Arithmetic

# Getallenkennis en bewerkingen Dit onderwerp behandelt de basisprincipes van getallenkennis, inclusief het herkennen, vergelijken, tellen en representeren van natuurlijke getallen, evenals de eerste beginselen van rekenkundige bewerkingen zoals optellen en aftrekken. ## 1.1 Natuurlijke getallen ### 1.1.1 Subiteren Subiteren is het herkennen van (on)gestructureerde aantallen zonder te tellen. Kleuters herkennen tot en met 5 vanaf 2,5 jaar, en aantallen groter dan vijf in één oogopslag vanaf 4 jaar [4](#page=4). **Wiskundetaal:** * hoeveel, geen enkel, niets [4](#page=4). * veel, heel veel, een beetje, één, twee, drie, vier, vijf, … [4](#page=4). ### 1.1.2 Vergelijken Vergelijken omvat het perceptueel vergelijken van duidelijk verschillende aantallen van hetzelfde materiaal op het zicht, wat mogelijk is vanaf 2,5-3 jaar. Kleuters ervaren de 1-1 verbinding, wat hen helpt om 'evenveel', 'meer', 'minder', 'te kort' en 'te veel' te begrijpen, eveneens vanaf 2,5-3 jaar. Vanaf 3 jaar worden (on)gestructureerde aantallen tot en met 10 vergeleken via de 1-1 relatie of door subiteren of tellen [4](#page=4). Vanaf 4 jaar kunnen kleuters sorteren en ordenen van weinig naar veel of omgekeerd (seriëren). Tussen 5-6 jaar ordenen ze cijfersymbolen tot 10 van weinig naar veel. Ook bouwen ze conservatie van aantal op, wat betekent dat ze beseffen dat het aantal niet afhangt van de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen [4](#page=4). **Wiskundetaal:** * evenveel, niet-evenveel [4](#page=4). * veel-weinig, gelijk-niet gelijk, te veel/te weinig, (genoeg) [4](#page=4). * meer, minder, meest, minst, tussen, één meer, één minder [4](#page=4). * van minder naar meer, van weinig naar veel [4](#page=4). * juist ervoor, juist erna [4](#page=4). * hoeveel meer, hoeveel minder [4](#page=4). ### 1.1.3 Tellen **Akoestisch tellen:** * Voorwaarts van 1 tot 10 (vanaf 2,5 jaar) [4](#page=4). * Voorwaarts tot 20 (vanaf 4 jaar) [4](#page=4). * Voorwaarts vanaf een willekeurige plaats tot en met 10 (vanaf 4 jaar) [4](#page=4). * Terugtellen vanaf een willekeurige plaats tot en met 10 (vanaf 3 jaar) [4](#page=4). * Terugtellen vanaf een getal groter dan 10 (vanaf 5 jaar) [4](#page=4). * Akoestisch tellen tussen twee getallen (vanaf 5 jaar) [4](#page=4). * Akoestisch tellen in sprongen van 2, 5 en 10 (vanaf 5 jaar) [4](#page=4). **Synchroon tellen:** Kleuters kennen de 1-1 relatie tussen objecten en telwoorden. Dit geldt tot 10 vanaf 3-4 jaar, en boven 10 vanaf 4 jaar [4](#page=4). **Resultatief tellen:** Dit is het tellen van een hoeveelheid objecten. Resultatief tellen tot 10 is mogelijk vanaf 4-5 jaar, en boven 10 vanaf 4-5 jaar. Kleuters kennen de irrelevantie van de volgorde van objecten bij het bepalen van een aantal vanaf 4 jaar [4](#page=4). **Telrij en verkort tellen:** Vanaf 4 jaar kunnen kleuters met behulp van de telrij 1 meer en 1 minder, juist ervoor en juist erna bepalen bij een gegeven getal tot en met 10. Verkort tellen tot 10, inclusief doortellen vanaf een bepaald aantal, tellen in groepjes en verkort tellen via terugtellen, wordt beheerst vanaf 5-6 jaar [4](#page=4). **Moeilijkere telvarianten:** Vanaf 5-6 jaar verkennen kleuters moeilijkere telvarianten zoals tellen zonder aanraken, op het gehoor, door te voelen, objecten in een cirkel of kriskras, en bewegende voorwerpen. Ook het tellen van ongewone eenheden komt aan bod [4](#page=4). **Wiskundetaal:** * hoeveel, tellen [4](#page=4). * één, twee, drie, vier,… (de hoofdtelwoorden) [4](#page=4). * een paar [4](#page=4). * verder tellen [4](#page=4). * terugtellen [4](#page=4). ### 1.1.4 Getallen representeren Kleuters koppelen (on)gestructureerde aantallen tot en met 10 aan het telwoord en de getalnotatie in alle richtingen vanaf 3 jaar. Gestructureerde hoeveelheden die hiervoor gebruikt kunnen worden, zijn domino- of dobbelsteenbeelden, kwadraatbeelden, vingerbeelden, de vijfstructuur, de eierdoosstructuur, en turven. Vanaf 3 jaar lezen ze de getallen in cijfers tot en met 10 [5](#page=5). ### 1.1.5 Getallen gebruiken Natuurlijke getallen worden gebruikt als hoeveelheidsaanduiding vanaf 2,5 jaar. Kleuters kennen natuurlijke getallen als zowel een aantal als een rangorde vanaf 4 jaar. Ze kunnen een rangorde tot en met 10 aangeven in de tijd of ruimte vanaf 4 jaar. De rangtelwoorden van eerste tot en met tiende kennen ze vanaf 4 jaar. Vanaf 5-6 jaar gebruiken ze getallen als code of als maatgetal bij het meten (verhouding) [5](#page=5). **Wiskundetaal:** * eerste, middelste, laatste, vorige, volgende, juist ervoor, juist erna [5](#page=5). * hoeveel, zoveel [5](#page=5). * eerste, tweede, derde,…tiende [5](#page=5). * de hoeveelste [5](#page=5). * welk nummer, welke code [5](#page=5). * hoeveel meet het, … [5](#page=5). ## 1.2 Bewerkingen Met concreet materiaal en tot en met 10 kunnen kleuters rekenhandelingen uitvoeren en verwoorden, waaronder optellen en aftrekken als oorzaak-verandering, combinatie of vergelijking, vermenigvuldigen als keerhandeling, splitsen van een aantal, en delen als verdelingsdeling. Deze vaardigheden zijn aanwezig vanaf 5-6 jaar, en bij vierjarigen in vereenvoudigde vorm (tot 5) met concreet materiaal [6](#page=6). **Wiskundetaal:** * bijdoen, erbij, samen(tellen), samenvoegen [6](#page=6). * weg(nemen, eraf [6](#page=6). * evenveel, het aantal gelijk maken, (gelijke) groepjes maken [6](#page=6). * keer nemen [6](#page=6). * splitsen; geheel, deel [6](#page=6). * (eerlijk) verdelen [6](#page=6). * vermeerderen, verminderen [6](#page=6). * hoeveel over, over houden [6](#page=6). * het verschil zoeken [6](#page=6). * hoeveel ieder [6](#page=6). * ieder evenveel geven [6](#page=6). * evenveel maken [6](#page=6). * dubbel [6](#page=6). --- # Meten en meetkundige concepten Dit gedeelte behandelt het ontwikkelen van inzicht in meten, waaronder diverse grootheden zoals lengte, oppervlakte, volume, inhoud, massa en tijd, alsook fundamentele meetkundige concepten zoals vormleer, plaatsbepaling, transformaties en relaties. ### 2.1 Overkoepelende meetinzichten en vaardigheden Kleuters ontwikkelen fundamentele inzichten in meten [7](#page=7): * Ze meten grootheden van objecten, niet de objecten zelf (bv. de lengte of inhoud van een aquarium) [7](#page=7). * Meten houdt in dat men vaststelt hoe vaak een natuurlijke maateenheid in de te meten grootheid past [7](#page=7). * Het principe van conservatie wordt begrepen: bepaalde handelingen veranderen de lengte, inhoud en massa van een object niet (bv. een touw oprollen) [7](#page=7). * Het principe van samenstellen wordt begrepen (bv. twee touwen kunnen samen even lang zijn als één lang touw) [7](#page=7). ### 2.2 Lengte, oppervlakte, volume, inhoud en massa #### 2.2.1 Lengte **Kwalitatief vergelijken van lengte:** * Op het zicht vergelijken: * Twee objecten met duidelijk lengteverschil (vanaf 2,5 jaar) [7](#page=7). * Meerdere objecten (vanaf 3 jaar) [7](#page=7). * Sorteren vanuit vergelijking: * In twee groepen (vanaf 2,5 jaar) [7](#page=7). * In meerdere groepen (vanaf 3 jaar) [7](#page=7). * Seriëren vanuit vergelijking: * 3-tal materialen (3-5 jaar) [7](#page=7). * 6-tal materialen (vanaf 3 jaar) [7](#page=7). * 10-tal materialen (vanaf 4 jaar) [7](#page=7). * Indirect vergelijken met een tussenmaat (vanaf 4 jaar) [7](#page=7). * Lengte, dikte, hoogte etc. (on)gelijk maken, samenstellen en verdelen (4-6 jaar) [7](#page=7). * Ontwikkelen van inzicht in conservatie van lengte (vanaf 5 jaar) [7](#page=7). **Taal bij lengte:** * Basisbegrippen: (even) lang, kort, hoog, laag, dik, dun, ver, dichtbij, diep, breed, smal [7](#page=7). * Vergelijkende en overtreffende trappen: langer, korter, langste, kortste, even hoog, hoger, lager, hoogste, laagste, verder, dichter, even breed, breder, smaller, even dik, dikker, dunner, dikste, dunste, dieper, diepste, breedste, smalste, verste, dichtste [7](#page=7). **Lengte meten:** * Met een reeks natuurlijke maateenheden (stokjes) (5-6 jaar) [7](#page=7). * Met één maateenheid (5-6 jaar) [7](#page=7). * Met meetinstrumenten voor natuurlijke maten (5-6 jaar) [7](#page=7). * Meetresultaten schematisch noteren (tot en met 10) (5-6 jaar) [7](#page=7). * Lengte vergelijken en sorteren vanuit het meten (5-6 jaar) [7](#page=7). * Seriëren vanuit het meten (5-6 jaar) [7](#page=7). * Taal bij meten: de lengte/hoogte/diepte/afstand is..., meet evenveel, meer, minder, hoeveel meer, hoeveel minder, meetlat, meetlint,... stokjes lang [8](#page=8). #### 2.2.2 Oppervlakte **Kwalitatief vergelijken van oppervlakte:** * Op het zicht vergelijken: * Twee objecten met duidelijk verschil (vanaf 2,5 jaar) [8](#page=8). * Meerdere objecten (vanaf 3 jaar) [8](#page=8). * Sorteren en seriëren vanuit vergelijking (vergelijkbaar met lengte) [8](#page=8). * Indirect vergelijken met een tussenmaat (vanaf 4 jaar) [8](#page=8). * Oppervlakte (on)gelijk maken, samenstellen en verdelen (4-6 jaar) [8](#page=8). * Ontwikkelen van inzicht in conservatie van oppervlakte (vanaf 5 jaar) [8](#page=8). **Taal bij oppervlakte:** * (even) groot, klein; groter, kleiner, grootste, kleinste [8](#page=8). * (te) veel plaats, weinig plaats, vergelijken, even groot maken, verkleinen, vergroten, de oppervlakte gelijk maken, samen, in gelijke stukken verdelen, deel, geheel, een hele, een halve, de helft, een kwart [8](#page=8). **Oppervlakte meten:** * Met een reeks natuurlijke maateenheden (kaartjes, blaadjes papier) (5-6 jaar) [8](#page=8). * Met één maateenheid (5-6 jaar) [8](#page=8). * Meetresultaten schematisch noteren (tot en met 10) (5-6 jaar) [8](#page=8). * Oppervlakte vergelijken, sorteren en seriëren vanuit het meten (5-6 jaar) [8](#page=8). * Taal bij meten: hoeveel maatjes, hoe groot, grootte, oppervlakte, plaats, meten, maat, schatten, controleren, er passen precies 6 kaartjes op het doekje [8](#page=8). #### 2.2.3 Volume **Kwalitatief vergelijken van volume:** * Op het zicht vergelijken (vanaf 2,5 jaar) [8](#page=8). * Sorteren en seriëren vanuit vergelijking (vergelijkbaar met lengte en oppervlakte) [8](#page=8). * Volume (on)gelijk maken, samenstellen en in even grote stukken verdelen (4-6 jaar) [8](#page=8). * Ontwikkelen van inzicht in conservatie van volume (extra) [9](#page=9). **Taal bij volume:** * (even) groot, klein; groter, kleiner, grootste, kleinste [9](#page=9). * even grote bij elkaar, dezelfde grootte, vergelijken, even groot maken, groter of kleiner maken, van klein naar groot, samen, in even grote stukken verdelen, deel, geheel, een hele, een halve, de helft, een kwart [9](#page=9). #### 2.2.4 Inhoud **Kwalitatief vergelijken van inhoud:** * Op het zicht vergelijken (vanaf 2,5 jaar) [9](#page=9). * Vergelijken door overgieten (5-6 jaar) [9](#page=9). * Vergelijken met een tussenmaat, indirect vergelijken (5-6 jaar) [9](#page=9). * Sorteren en seriëren vanuit vergelijking (vergelijkbaar met lengte, oppervlakte, volume) [9](#page=9). * Inhoud (on)gelijk maken, samenstellen en verdelen (4-6 jaar) [9](#page=9). * Opbouwen van inzicht in conservatie van inhoud (vanaf 5 jaar) [9](#page=9). **Taal bij inhoud:** * (even) veel, weinig; meer, minder, meeste, minste [9](#page=9). * vergelijken, inhoud, gelijk, gelijke hoeveelheden, bijdoen, afdoen, gelijk maken, evenveel maken, te veel, te weinig, genoeg, samen, verdelen, in elk potje evenveel [9](#page=9). * (bijna) vol, (bijna) leeg, voller, leger, halfvol, halfleeg, vullen, legen [9](#page=9). **Inhoud meten:** * Met een reeks gelijke bekertjes, potjes (5-6 jaar) [9](#page=9). * Met één maatje (5-6 jaar) [9](#page=9). * Met een meetinstrument voor natuurlijke maten (5-6 jaar) [9](#page=9). * Meetresultaten schematisch noteren (tot en met 10) (5-6 jaar) [9](#page=9). * Inhoud vergelijken, sorteren en seriëren na het meten (5-6 jaar) [9](#page=9). * Taal bij meten: hoeveel kan er in, het verschil is, gieten tot aan, maatje, hoeveel maatjes, de inhoud van het flesje is, er kan... in, meten, meet evenveel als, maatbeker [9](#page=9). #### 2.2.5 Massa (gewicht) **Kwalitatief vergelijken van massa:** * In de hand nemen (vanaf 2,5 jaar) [10](#page=10). * Via een balans of een wip (5-6 jaar) [10](#page=10). * Door observatie van de snelheid van de neerwaartse beweging (4-6 jaar) [10](#page=10). * Ervaren dat massa niet afhangt van grootte (4-6 jaar) [10](#page=10). * Massa (on)gelijk maken (4-6 jaar) [10](#page=10). * Ontwikkelen van inzicht in conservatie van massa (vanaf 5 jaar) [10](#page=10). * Sorteren en seriëren volgens massa vanuit vergelijking (vanaf 4 jaar) [10](#page=10). **Taal bij massa:** * (even) zwaar, licht; zwaarder, lichter, het zwaarste, het lichtste [10](#page=10). * vergelijken, te zwaar, te licht, samen, bijvoegen, afdoen, het gewicht gelijk maken, even zwaar maken, weegschaal, evenwicht, het zware voorwerp hangt lager [10](#page=10). **Massa meten (wegen):** * Met natuurlijke maten, met een balans (5-6 jaar) [10](#page=10). * Weegresultaten schematisch noteren (tot en met 10) (5-6 jaar) [10](#page=10). * Vergelijken, sorteren en seriëren vanuit het wegen (5-6 jaar) [10](#page=10). * Taal bij meten: wegen, gewichtjes, het gewicht, weegt, hoeveel weegt het, samen, elk, gelijk, gelijk maken, evenveel, elk evenveel, hoeveel zwaarder, hoeveel lichter, het verschil, keukenweegschaal, personenweegschaal, kilogram, het gewicht van de appel is 6 blokjes [10](#page=10). ### 2.3 Geld Kleuters herkennen munten en biljetten (vanaf 3 jaar) [10](#page=10). **Begrippen rond geld:** * Kopen, geven, krijgen, betalen, verkopen, ruilen, sparen [10](#page=10). * Kost meer, kost minder [10](#page=10). * Prijs [10](#page=10). * Euro [10](#page=10). * Duur/goedkoop, duurder/goedkoper dan, even duur/goedkoop als, duurste, goedkoopste, te duur/goedkoop, duur/goedkoop genoeg, hoeveel duurder/goedkoper/kost het meer/minder? [10](#page=10). * "Hoeveel kost de appel? De appel kost 3 euro. De prijs van de appel is 3 euro." [10](#page=10). **Omgaan met geld:** * Prijs (tot en met 10 euro) schematisch noteren (bv. met bolletjes of streepjes) (vanaf 4 jaar) [10](#page=10). * (ronde) prijzen (tot en met 10 euro) lezen (vanaf 4 jaar) [10](#page=10). * Betalen met muntstukken van 1 euro (tot en met 10 euro) (vanaf 4 jaar) [10](#page=10). * 1 of meer objecten kopen met een totaalbedrag tot en met 10 euro (vanaf 4 jaar) [10](#page=10). ### 2.4 Tijdstip en tijdsduur #### 2.4.1 Tijdsduur **Verkennen, vergelijken, meten van tijdsduur:** * Begrippen: (even) lang/kort, langer, korter, langst, kortst, dag, week, jaar, de duur, duren, begin, einde, start, stop, meer tijd, minder tijd, evenveel tijd, te lang, te kort, te veel tijd, te weinig tijd, op tijd, niet op tijd, te vroeg, te laat, uur, minuut, seconde, duur [11](#page=11). * Tijdsduur verkennen: eigen tijdsgevoel, duur van een tijdsinterval bewust beleven, besef dat een tijdsinterval een begin en einde heeft (vanaf 3 jaar) [11](#page=11). * Tijdsduur vergelijken: vaststellen wat langer of korter duurt, bij synchrone intervallen dat ze even lang duurden (vanaf 4 jaar) [11](#page=11). * Tijdsduur meten: * Aftellen tussen nu en speciale gebeurtenissen binnen een week (vanaf 5 jaar) [11](#page=11). * Duur van een activiteit meten met een instrument (zandloper, minuutwekker, kalender) (vanaf 5 jaar) [11](#page=11). * Kennismaken met eenvoudige conventionele tijdseenheden (dag, week, maand, seizoen, minuut, uur) (vanaf 5 jaar) [11](#page=11). #### 2.4.2 Tijdsvolgorde **Verkennen en representeren van tijdsvolgorde:** * Begrippen: eerder, vroeger, later, eerst, dan, daarna, laatst, straks, (te) vroeg, (te) laat, nu, wanneer, binnenkort, toen, ervoor, erna, om de beurt, op tijd, voordat, nadat, vervolgens, volgorde, afwisselend, (niet) samen, (niet) tegelijk, tegelijkertijd, ondertussen, terwijl, tussen, juist voor, juist na, de volgende stap, de een na de ander, eerste, tweede, derde,… tiende, opeenvolging, voorlaatste, vervolgens [11](#page=11). * Gebeurtenissen tijdens de dag chronologisch ordenen (seriëren) (vanaf 3 jaar) [11](#page=11). * Gebeurtenissen en eigen ervaringen chronologisch ordenen (bv. stappen in een verhaal, stappenplan) (vanaf 3 jaar) [11](#page=11). **Verband tussen tijdsvolgorde en tijdsduur:** * Verkennen dat wat eerder gedaan is, korter duurt en wat later gedaan is, langer duurt (vanaf 5 jaar) [11](#page=11). * De duur van een tijdspanne koppelen aan een opeenvolging van activiteiten (bv. "hoe lang nog") (vanaf 5 jaar) [11](#page=11). #### 2.4.3 Vast gestructureerd tijdskader * **Dagverloop:** * Gebeurtenissen chronologisch ordenen (vanaf 3 jaar) [11](#page=11). * Dagdelen en hun opeenvolging verkennen (vanaf 4 jaar) [11](#page=11). * Vaste activiteiten koppelen aan tijdstippen van de dag (vanaf 5 jaar) [11](#page=11). * De dagklok of daglijn gebruiken (vanaf 3 jaar) [11](#page=11). * Tijdstippen aflezen van de echte klok (vanaf 5 jaar) [11](#page=11). * Het dagverloop verwoorden (ochtend, voormiddag, middag, namiddag, avond, nacht) (vanaf 2,5 jaar) [11](#page=11). * **Weekverloop:** * Dagen van de week kennen (vanaf 3 jaar) [12](#page=12). * Vaste activiteiten koppelen aan bepaalde dagen (vanaf 3 jaar) [12](#page=12). * Kunnen zeggen welke dag van de week het vandaag, gisteren, morgen, eergisteren, overmorgen was (vanaf 4 jaar) [12](#page=12). * Het weekverloop verwoorden (vandaag, maandag, dinsdag, woensdag, donderdag, vrijdag, zaterdag, zondag, weekend, morgen, gisteren) (vanaf 5 jaar) [12](#page=12). * **Jaarverloop:** * Begrippen: het jaar, januari,..., december, begin van de maand, einde van de maand, herfst, winter, lente, zomer, seizoen, datum (vanaf 3 jaar) [12](#page=12). * Ritme van de seizoenen herkennen in de omgeving (namen, kenmerken, opeenvolging) (vanaf 5 jaar) [12](#page=12). * Maanden verkennen en benoemen (vanaf 5 jaar) [12](#page=12). * De datum verkennen (vanaf 5 jaar) [12](#page=12). * De opbouw van het jaar verkennen (jaaroverzicht) [12](#page=12). #### 2.4.4 Verleden en toekomst representeren * Vooruitblikken en terugblikken: * Terugblikken op wat voorbij is: daarstraks, toen, vroeger, voorbij, gisteren, een tijdje geleden, vorige week, vorig jaar, toen ik nog klein was [12](#page=12). * Vooruitzien naar wat komt, plannen: straks, meteen, binnenkort, morgen, overmorgen, nog twee keer slapen, volgende week, volgend jaar, als ik groot ben, ooit, nooit [12](#page=12). * Beseffen dat er naast een heden ook een verleden en een toekomst zijn (vanaf 5 jaar) [12](#page=12). * Geleidelijk aan historisch bewustzijn opbouwen: * Enkele veranderingen tussen verleden en heden opnoemen (bv. mensen leefden vroeger anders) (5.2.2) [12](#page=12). * Kennis prehistorie, oudheid, hedendaagse tijd (5.1.1, 5.1.2, 5.1.3) [12](#page=12). #### 2.4.5 Snelheid verkennen en representeren * Snelheid verkennen: snel – traag (vanaf 3 jaar) [12](#page=12). * Snelheid vergelijken: sneller, trager, snelst, traagst (vanaf 4 jaar) [12](#page=12). * Versnellen, vertragen (vanaf 5 jaar) [12](#page=12). * Verkennen van de relaties tussen snelheid, tijd en ruimtelijke verplaatsing (vanaf 5 jaar) [12](#page=12). * Tijdsbegrippen: snel, traag, langzaam, vlug, sneller, trager, traagst, snelst, vertragen, versnellen [12](#page=12). * Vanaf de 4e graad wordt de samengestelde grootheid snelheid als de verhouding van de afstand per tijdseenheid gekend. Natuurkundige verschijnselen zoals snelheid, versnellen, vertragen worden in de 4e graad behandeld [13](#page=13). ### 2.5 Meetkunde #### 2.5.1 Vormleer **Begrippen:** * De lijn, het punt, rond, recht, gebogen, de hoek [14](#page=14). * Vlakke figuren: de cirkel, het vierkant, de driehoek, de rechthoek, de ster, de ruit, het ovaal, de eivorm [14](#page=14). * Ruimtefiguren: de kubus, de bol, de balk, de piramide, de cilinder, de kegel [14](#page=14). * Vergelijken: hetzelfde, anders [14](#page=14). * Extra begrippen: vorm, vormen, vervormen, zijde, krom, gegolfd, kronkelig, puntig, hoekig, stekelig, afgerond, vlak, plat, grondvlak, zijvlak, hoekpunt [14](#page=14). **Handelen met meetkundige objecten:** * Herkennen, benoemen en sorteren van vlakke en ruimtefiguren (vanaf 3 jaar) [14](#page=14). * Hanteren van eigenschappen van figuren om ze te herkennen (bv. driehoek heeft drie hoeken) (vanaf 3 jaar) [14](#page=14). * Opdelen in en samenstellen uit andere meetkundige objecten (vanaf 4 jaar) [14](#page=14). **Patronen hanteren:** * **Herhalende patronen:** * Herkennen, kopiëren, verderzetten, opvullen, de eenheid herkennen, vanuit een gegeven eenheid een patroon opbouwen, zelf een patroon creëren, patroon vertalen, elementen benoemen met letters of nonsenswoorden (vanaf 3 jaar) [14](#page=14). * Moeilijkheidsgraden: AB-patroon, ABC-patroon, AAB-patroon, ABA-patroon, ABAC-patroon, ABBA-patroon (vanaf 4 jaar) [14](#page=14). * Taal: het patroon, opnieuw, hetzelfde, anders, rij, patrooneenheid, herhalen, terugkomen, telkens opnieuw [14](#page=14). * **Veranderende patronen:** * Groeiende patronen, krimpende patronen (vanaf 5 jaar) [14](#page=14). * Onderscheid maken tussen een willekeurige rij en een patroon (vanaf 4 jaar) [14](#page=14). #### 2.5.2 Plaatsbepaling * Zichzelf oriënteren in een ruimte op basis van positie, afstand en richting (vanaf 2,5 jaar) [15](#page=15). * Personen en objecten situeren ten opzichte van zichzelf en elkaar (vanaf 2,5 jaar) [15](#page=15). * Pictogrammen die een richting aanduiden lezen en gebruiken (vanaf 4 jaar) [15](#page=15). **Begrippen rond plaatsbepaling:** * **Omsluiting:** in, tussen, uit, binnen, buiten, open, gesloten, binnenkant, buitenkant, rand, kring, wand, muur, deur, gat, opening, er door, er langs, tussendoor [15](#page=15). * **Volgorde, positie en richting:** (er)op, (er)onder, (er)boven, (er)voor, (er)achter, (er)naast, tegenover, omhoog, naar boven, omlaag, naar beneden, vooruit, achteruit, naar mij toe, van mij weg, recht naar, schuin naar, waar, plaats, bovenaan, beneden, onderaan, vooraan, achteraan, links (van), rechts (van), voorste, achterste, de tweede vanaf de muur, de derde van boven, bovenste, onderste, binnenste, buitenste, de vierde in de rij, volgorde, achterstevoren, ondersteboven, naar voren, naar achteren, naar opzij, in de richting van, in dezelfde richting, in tegengestelde richting, in welke richting, naar links, naar rechts, verticaal, horizontaal [15](#page=15). **Verschillende gezichtspunten:** * Verwoorden wat men ziet vanuit een ander gezichtspunt door zich te verplaatsen (vanaf 4 jaar) [15](#page=15). * Verschillende kanten van een voorwerp benoemen (voorkant, achterkant, bovenkant, onderkant, zijkant) en de relatie tot "anders" en "hetzelfde" (vanaf 4 jaar) [15](#page=15). * Extra begrippen: van hieruit bekeken, veranderd, (de linkerkant, de rechterkant) [15](#page=15). #### 2.5.3 Meetkundige transformaties * **Begrippen:** verschuiven, draaien, spiegelen, het spiegelbeeld, vervormen, vergroten, verkleinen, de voorkant, de achterkant, de zijkant, de onderkant, de bovenkant [16](#page=16). * **Spiegelbeelden:** * Ontdekken met een (geo)spiegel (vanaf 2,5 jaar) [16](#page=16). * Inzichten: spiegelbeeld doet hetzelfde, ziet er hetzelfde uit, is omgekeerd, is omgekeerd ondersteboven of op zijn kop, is even groot, bevindt zich even ver van de spiegel (vanaf 4 jaar) [16](#page=16). * Eenvoudige spiegelbeelden leggen met materiaal (vanaf 4 jaar) [16](#page=16). * Spiegelbeelden tekenen (vanaf 5 jaar) [16](#page=16). * Constructies uitvoeren op basis van verbale instructies, voorschriften op foto's en tekeningen (vanaf 3 jaar) [16](#page=16). #### 2.5.4 Meetkundige relaties * **Begrippen:** even groot, dezelfde vorm [16](#page=16). * Identificeren van figuren met verschillende oriëntatie en locatie die: * Congruent zijn (gelijke vorm en gelijke grootte) (5-6 jaar) [16](#page=16). * Gelijkvormig zijn (gelijke vorm) (5-6 jaar) [16](#page=16). * Symmetrie in eenvoudige figuren herkennen (vanaf 4 jaar) [16](#page=16). * Extra begrippen: symmetrie, symmetrisch, de andere helft, de ene en de andere kant, ziet er hetzelfde uit aan beide kanten [16](#page=16). ### 2.6 Logica en verzamelingen * **Begrippen:** in, uit, binnen, buiten, als, dan, en, of, niet [17](#page=17). * Objecten sorteren op basis van een gemeenschappelijke eigenschap (1 of 2 criteria): * Kwalitatief classificeren (kleur, vorm, grootte) [17](#page=17). * Kwantitatief classificeren (aantal) [17](#page=17). * "Als … dan …" uitspraken gebruiken (bv. "als je een rode trui draagt, dan mag je overvaren") (2.4.19) [17](#page=17). #### 2.6.1 Leerlijn classificeren | Vaardigheid | 2,5j | 3j | 4j | 5j | | :---------------------------------------------------- | :--: | :-: | :-: | :-: | | Kenmerken verkennen en benoemen | X | X | | | | Kenmerken verkennen en benoemen, voorstellen met symbool | x | X | X | | | Sorteren met hulp | X | X | | | | Sorteren | X | | | | | Sorteren en doorsorteren | x | X | | | | De sorteerregel ontdekken | x | X | X | | | Wisselen van eigenschap waarop gesorteerd moet worden | x | X | | | | 2 kenmerken combineren | x | X | | | | 3 kenmerken combineren | x | X | X | | | 4 kenmerken combineren | | | X | | | Kenmerken ontkennen | x | X | | | | Symbool gebruiken voor de ontkenning | | X | | | | Op het mentale niveau: Kenmerken verkennen en benoemen | x | | | | | Op het mentale niveau: Kenmerken combineren | | X | | | | Op het mentale niveau: Kenmerken ontkennen | | X | | | **Taal bij classificeren:** rood, geel, blauw, kleur, klein, groot, dik, dun,..., en, of, niet, als … dan …, in, uit, binnen, buiten, groep, verzameling, soort, hoort er (niet) bij, hetzelfde, anders, ook, alle, sommige, enkele, geen enkele, waar/niet waar, enkel (maar), alleen (maar) [17](#page=17). #### 2.6.2 Leerlijn seriëren | Vaardigheid | 2,5j | 3j | 4j | 5j | | :------------------------------------------------------------------------------ | :--: | :-: | :-: | :-: | | Verschillen tussen dingen opmerken en verwoorden: even groot, niet even groot, verschillend, anders,... | X | X | X | X | | Tegenstellingen verkennen (zichtbare verschillen): lang-kort, dik-dun, hard-zacht, vol-leeg,... oud-jong, ... wankel-stabiel, smal-breed,... | X | | X | | | Tegenstellingen verkennen op het mentale niveau | x | X | | | | Seriëren op concreet niveau (kenmerken zichtbaar): 3-tal | X | | | | | Seriëren op concreet niveau (kenmerken zichtbaar): 6-tal | | X | | | | Seriëren op concreet niveau (kenmerken zichtbaar): 10-tal | | | X | | | Seriëren op het mentale niveau: via de taal en in gedachten | | X | X | | | Seriëren op het mentale niveau: 3-tal voorwerpen op gewicht seriëren | | | X | | **Taal bij seriëren:** op een rij, van groot naar klein, van dik naar dun, van donker naar licht, tegengesteld, rangschikken, van weinig naar veel, van minder naar meer, van laag naar hoog… [18](#page=18). Seriëren is een vorm van logisch ordenen die aan bod komt in de minimumdoelen van getallenkennis en meten & metend rekenen. Dit omvat seriëren volgens aantal lengte, hoogte, breedte, dikte, afstand, grootte, inhoud en massa (gewicht) [18](#page=18). --- # Kansrekenen, statistiek en probleemoplossend denken Dit onderwerp introduceert basisconcepten van kansrekenen en statistiek voor kleuters, evenals de ontwikkeling van probleemoplossend denken en computationele vaardigheden. ### 3.1 Kansrekenen en statistiek #### 3.1.1 Kansrekenen Kleuters ontwikkelen een begrip van waarschijnlijkheid door verschillende begrippen te leren en toe te passen [19](#page=19). * **Kernbegrippen:** * kan, kan niet [19](#page=19). * altijd, niet, nooit [19](#page=19). * mogelijk, misschien, soms [19](#page=19). * **Extra begrippen:** het is (niet) zeker dat, waarschijnlijk (wel/niet), misschien (wel/niet), de kans is groot/klein [19](#page=19). Kleuters kunnen zekere en onzekere gebeurtenissen van elkaar onderscheiden [19](#page=19). > **Voorbeeld:** "Ik poets vandaag mijn tanden" (zeker) versus "Opa en oma komen vandaag misschien op bezoek" (onzeker) [19](#page=19). Ze kunnen de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen beschrijven met behulp van passende begrippen [19](#page=19). > **Voorbeeld:** "Ik steek nooit over bij een rood licht" (nooit) versus "Op donderdag hebben we altijd turnles" (altijd) [19](#page=19). #### 3.1.2 Statistiek Kleuters kunnen gegevens over de klas verzamelen, ordenen en voorstellen [19](#page=19). * **Leerdoelen en voorbeelden:** * Verzamelen, ordenen en voorstellen van gegevens over bijvoorbeeld lievelingskleuren in de klas. Dit kan visueel worden gemaakt met blokjes per kleur, waarna de populairste kleur wordt bepaald door het grootste aantal blokjes te identificeren [19](#page=19). * Gebruik van een grote vloermatrix waarbij rijen "trui/t-shirt dragen" aanduiden en kolommen kleuren zoals "rood/geel/blauw/groen" [19](#page=19). * **Groeilijn voor statistiek:** * Vanaf 4 jaar: Concreet materiaal ordenen in een matrix als voorbereiding op grafieken [19](#page=19). * Vanaf 4 jaar: Materiaal voorstellen met behulp van ander materiaal (bv. blokjes) in een matrix, als opstap naar grafieken [19](#page=19). * Vanaf 5 jaar: Schriftelijke voorstelling in een tabel, door bijvoorbeeld een kruisje te zetten, een stempel te drukken of een vakje te kleuren [19](#page=19). #### 3.1.3 Combinatoriek Kleuters ontdekken met concreet materiaal dat er meerdere combinaties mogelijk zijn [19](#page=19). * **Activiteiten:** * Meerder mannetjes maken met gegeven elementen, zoals 3 soorten gezichten en 2 soorten hoeden [19](#page=19). * Met behulp van concreet materiaal alle mogelijke combinaties zoeken en bepalen hoeveel er zijn [19](#page=19). > **Voorbeeld:** Welke outfits kunnen worden gemaakt met truien in rood en blauw en broeken in rood en blauw [19](#page=19)? * **Kernbegrippen:** verschillend, anders, (niet) hetzelfde, combinatie, combineren [19](#page=19). ### 3.2 Probleemoplossend denken en vraagstukken #### 3.2.1 Probleemoplossend denken Kleuters kunnen problemen in spel- en leersituaties oplossen door wiskundige elementen te gebruiken. Dit doen zij door [20](#page=20): * Op zoek te gaan naar manieren om een probleem op te lossen, ook als er meerdere oplossingen mogelijk zijn [20](#page=20). * Concreet materiaal te gebruiken [20](#page=20). * Hun ideeën te delen met anderen [20](#page=20). #### 3.2.2 ICT: Computationeel denken Hoewel er geen minimumdoelen voor computationeel denken voor kleuters zijn geformuleerd, zijn aspecten hiervan wel terug te vinden binnen probleemoplossend denken en meetkunde. Hieronder volgt een overzicht van mogelijke leerinhouden voor kleuters [20](#page=20): * **Problemen herkennen en opdelen in stappen:** * Eenvoudige problemen herkennen in dagelijkse situaties [20](#page=20). * Een probleem, met hulp, opsplitsen in behapbare stappen [20](#page=20). * **Logisch redeneren:** * Patronen herkennen [20](#page=20). * Redeneren met verzamelingen [20](#page=20). * Het "Als…dan…" principe begrijpen en toepassen in concrete situaties [20](#page=20). * De begrippen "als…dan…" kennen [20](#page=20). * "Als…dan…" uitspraken gebruiken [20](#page=20). * **Een algoritme hanteren:** * Onder begeleiding een eenvoudig algoritme toepassen om een specifieke taak op te lossen of een doel te bereiken, zoals bij een bouwplan of een recept (vanaf 4 jaar) [20](#page=20). * Onder begeleiding een eenvoudig algoritme opstellen, toepassen en controleren, bijvoorbeeld bij het programmeren van een te volgen route (vanaf 4 jaar) [20](#page=20). * **Samenwerken aan probleemoplossing:** * Kinderen leren samen een probleem aan te pakken en een oplossing te bedenken [20](#page=20). * Ze overleggen en proberen elkaars ideeën uit [20](#page=20). --- # Minimumdoelen wiskunde voor kleuters Dit gedeelte beschrijft de officiële minimumdoelen voor wiskunde in het kleuteronderwijs, onderverdeeld per domein, met specifieke leerlijnen en begrippen die kinderen moeten beheersen [21](#page=21). ### 4.1 Getallenkennis Dit subthema focust op de basisprincipes van getallenbegrip bij jonge kinderen [21](#page=21). #### 4.1.1 Natuurlijke getallen De kleuters moeten op populatieniveau de volgende vaardigheden en kennis omtrent natuurlijke getallen beheersen: * Kennen de telrij van 0 tot en met 20 (akoestisch tellen) [21](#page=21). * Begrijpen natuurlijke getallen als hoeveelheid (aantal) en als positie in een reeks (rangorde) [21](#page=21). * Kennen de rangtelwoorden van 'eerste' tot en met 'tiende' [21](#page=21). * Begrijpen de één-op-één correspondentie tussen objecten en telwoorden (synchroon tellen) [21](#page=21). * Begrijpen dat de volgorde van objecten niet relevant is voor het bepalen van het aantal [21](#page=21). * Begrijpen het principe van conservatie: een aantal blijft hetzelfde, ongeacht tijd of ruimte [21](#page=21). * Kennen de volgende begrippen: * evenveel, niet-evenveel [21](#page=21). * veel/weinig, gelijk/niet gelijk, te veel/te weinig [21](#page=21). * meer, minder, meest, minst, tussen, één meer/één minder [21](#page=21). * van minder naar meer, van weinig naar veel [21](#page=21). * eerste, middelste, laatste, vorige, volgende [21](#page=21). * hoeveel, geen enkel, niets, hoeveel meer, hoeveel minder [21](#page=21). * juist ervoor, juist erna [21](#page=21). * Kunnen (on)gestructureerde aantallen tot en met 10: * vergelijken [21](#page=21). * sorteren [21](#page=21). * tellen (resultatief tellen) [21](#page=21). * koppelen aan het telwoord en de getalnotatie (in alle richtingen) [21](#page=21). * van weinig naar veel of omgekeerd ordenen (seriëren) [21](#page=21). * Kunnen (on)gestructureerde aantallen tot en met 5 herkennen zonder te tellen (subiteren) [21](#page=21). * Kunnen met behulp van de telrij: * vanaf een willekeurige plaats tot en met 10 tellen, doortellen en terugtellen [21](#page=21). * 1 meer en 1 minder, juist ervoor en juist erna bepalen bij een gegeven getal tot en met 10 [22](#page=22). * Kunnen een rangorde tot en met 10 aangeven [22](#page=22). * Kunnen getallen (in cijfers) tot en met 10 lezen [22](#page=22). ### 4.2 Bewerkingen Dit domein richt zich op de begripsvorming, eigenschappen en relaties tussen wiskundige bewerkingen [22](#page=22). #### 4.2.1 Overkoepelend deel: begripsvorming, eigenschappen van en relaties tussen bewerkingen De kleuters dienen de volgende begrippen te kennen: * bijdoen, erbij, samen(tellen), samenvoegen [22](#page=22). * weg(nemen), eraf [22](#page=22). * evenveel, gelijk maken, (gelijke) groepjes maken [22](#page=22). * keer nemen [22](#page=22). * splitsen [22](#page=22). * (eerlijk) verdelen [22](#page=22). Daarnaast kunnen de kleuters met concrete materialen en tot en met 10 de volgende rekenhandelingen uitvoeren en verwoorden: * Optellen en aftrekken als: * oorzaak-verandering: bv. "ik heb 5 knikkers en ik win er 2, hoeveel heb ik er nu?" [22](#page=22). * combinatie: bv. "ik heb 5 knikkers en jij hebt er 2, hoeveel hebben we er samen?" [22](#page=22). * vergelijking: bv. "ik heb 5 knikkers en jij hebt er 2, hoeveel heb jij er minder?" [22](#page=22). * Vermenigvuldigen als keerhandeling: bv. "ik heb 2 zakjes met 3 knikkers, hoeveel knikkers in totaal?" [22](#page=22). * Splitsen van een aantal: bv. "ik heb 6 noten in mijn jaszakken: 4 in de ene, 2 in de andere; dus 6 is gesplitst in een groepje van 4 en een groepje van 2." [22](#page=22). * Delen als verdelingsdeling: bv. "ik heb 8 knikkers en verdeel ze over 2 vrienden, hoeveel elk?" [22](#page=22). ### 4.3 Meten en metend rekenen Dit domein behandelt overkoepelende meetinzichten en vaardigheden [23](#page=23). #### 4.3.1 Overkoepelende meetinzichten en vaardigheden Kleuters dienen de volgende meetinzichten te kennen: * We meten geen objecten, maar grootheden van objecten (bv. we meten niet een aquarium, maar de lengte, de inhoud en de massa van een aquarium) [23](#page=23). * Bij een meting gaan we na hoe vaak de natuurlijke maateenheid in de te meten grootheid gaat [23](#page=23). * Begrijpen het principe van conservatie: bepaalde handelingen veranderen niets aan de lengte, inhoud en massa van een object (bv. een touw oprollen verandert niets aan de lengte, een stuk ervan afknippen wel) [23](#page=23). * Begrijpen het principe van samenstellen (bv. beseffen dat 2 (of meer) touwen samen even lang kunnen zijn als 1 lang touw of dat een emmer gevuld kan worden door de inhoud van verschillende waterflesjes en verschillende bekers samen te voegen) [23](#page=23). #### 4.3.2 Lengte – oppervlakte – inhoud/volume De volgende begrippen moeten bekend zijn: * (even) lang, kort, hoog, laag, ver, dichtbij, breed, smal, dik, dun, diep, groot, klein, (bijna) vol, (bijna) leeg, veel, weinig [23](#page=23). * langer, korter, hoger, lager, verder, dichter, breder, smaller, dikker, dunner, dieper, groter, kleiner, leger, voller, meer, minder [23](#page=23). * langste, kortste, hoogste, laagste, dikste, dunste, diepste, grootste, kleinste, meeste, minste [23](#page=23). Kleuters kunnen lengte, oppervlakte en inhoud/volume kwalitatief: * vergelijken [23](#page=23). * (on)gelijk maken [23](#page=23). * ordenen (seriëren) [23](#page=23). * samenstellen [23](#page=23). Kleuters kunnen lengte en inhoud kwantitatief: * meten met natuurlijke maten (bv. kijken hoeveel bekers nodig zijn om een drinkbus te vullen) [23](#page=23). * meten met meetinstrumenten voor natuurlijke maten (eventueel zelfgemaakt) (bv. een volle drinkbus overgieten in een fles met hoeveelheidsmarkeringen) [23](#page=23). * schematisch noteren (metingen tot en met 10) [23](#page=23). #### 4.3.3 Massa De volgende begrippen moeten bekend zijn: * (even) zwaar, (even) licht [23](#page=23). * zwaarder, lichter [23](#page=23). * zwaarste, lichtste [23](#page=23). Kleuters kunnen massa (gewicht) kwalitatief: * vergelijken [23](#page=23). * (on)gelijk maken (bv. maak een balletje dat zwaarder is) [23](#page=23). * ordenen (seriëren) [23](#page=23). * samenstellen [23](#page=23). Kleuters kunnen massa (gewicht) kwantitatief: * meten met natuurlijke maten (bv. zandzakjes) [24](#page=24). * meten met een (eventueel zelfgemaakte) balans [24](#page=24). * schematisch noteren (metingen tot en met 10) [24](#page=24). #### 4.3.4 Geld Kleuters kennen munten en biljetten om dingen te kopen [24](#page=24). De volgende begrippen moeten bekend zijn: * betalen, geven, krijgen, kopen, ruilen, verkopen, sparen [24](#page=24). * kost meer, kost minder [24](#page=24). * prijs [24](#page=24). * euro [24](#page=24). Kleuters kunnen bij een object een prijs (tot en met 10 euro) schematisch noteren (bv. met bolletjes of streepjes) [24](#page=24). Kleuters kunnen (ronde) prijzen (tot en met 10 euro) lezen [24](#page=24). Kleuters kunnen betalen met muntstukken van 1 euro (tot en met 10 euro) [24](#page=24). Kleuters kunnen 1 of meer objecten kopen met een totaalbedrag tot en met 10 euro [24](#page=24). #### 4.3.5 Tijdstip en tijdsduur De volgende begrippen moeten bekend zijn: * dagen van de week [25](#page=25). * eerder, vroeger, later, eerst, dan, daarna, laatst [25](#page=25). * (te) laat, (te) vroeg [25](#page=25). * straks [25](#page=25). * (even) lang, (even) kort [25](#page=25). * langer, korter [25](#page=25). * langst, kortst [25](#page=25). * vandaag, gisteren, morgen [25](#page=25). * de dag, de week, het jaar [25](#page=25). Kleuters kunnen zeggen welke dag van de week het vandaag is, welke dag het gisteren was en welke dag het morgen zal zijn [25](#page=25). Kleuters kunnen gebeurtenissen tijdens de dag chronologisch ordenen (seriëren) [25](#page=25). Kleuters kunnen aftellen tussen nu en speciale gebeurtenissen binnen de periode van een week (bv. "ik ben over 2 dagen jarig") [25](#page=25). Kleuters kunnen de duur van een activiteit meten met een meetinstrument (bv. met een zandloper) [25](#page=25). #### 4.3.6 Temperatuur * Geen specifieke minimumdoelen voor dit subthema op de aangegeven pagina's [25](#page=25). #### 4.3.7 Hoekgrootte * Geen specifieke minimumdoelen voor dit subthema op de aangegeven pagina's [25](#page=25). ### 4.4 Meetkunde Dit domein omvat vormleer, plaatsbepaling, meetkundige transformaties en relaties, logica en verzamelingen [26](#page=26). #### 4.4.1 Vormleer De volgende begrippen moeten bekend zijn: * het punt, de lijn, recht, gebogen, rond [26](#page=26). * de hoek [26](#page=26). * de driehoek, de rechthoek, het vierkant, de cirkel (vlakke figuren) [26](#page=26). * de kubus, de balk, de bol, de piramide (ruimtefiguren) [26](#page=26). * het patroon, opnieuw, hetzelfde, anders [26](#page=26). Kleuters kunnen vanuit handelen meetkundige objecten (vlakke figuren en ruimtefiguren) herkennen, benoemen en sorteren [26](#page=26). Kleuters kunnen vanuit handelen meetkundige objecten opdelen in en samenstellen uit andere meetkundige objecten [26](#page=26). Kleuters kunnen patronen hanteren: * rijen maken met een afgesproken eenheid (bv. kralen rijgen, versieringen maken) [26](#page=26). * herhalende patronen herkennen, (na)maken, verderzetten, opvullen (herhalende patronen zijn rijen waarvan de eenheid (bv. rood-blauw-blauw) zich herhaalt (bv. ‘rood-blauw-blauw-rood-blauw-blauw-…’)) [26](#page=26). * de eenheid herkennen in een herhalend patroon (bv. de eenheid is ‘rood-blauw-blauw’ in het patroon ‘rood-blauw-blauw-rood-blauw-blauw-…’) [26](#page=26). #### 4.4.2 Plaatsbepaling De volgende begrippen moeten bekend zijn: * in, tussen, uit, binnen, buiten [26](#page=26). * (er)voor, (er)achter, (er)onder, (er)boven, (er)op, (er)naast [26](#page=26). * ver, dichtbij, tegen, tegenover [26](#page=26). * omhoog, naar boven, omlaag, naar beneden, vooruit, achteruit [26](#page=26). * naar mij toe, van mij weg, dichterbij komen [26](#page=26). * recht naar, schuin naar [26](#page=26). Kleuters kunnen zichzelf oriënteren in een ruimte op basis van positie, afstand en richting [26](#page=26). Kleuters kunnen personen en objecten situeren op basis van positie, afstand en richting ten opzichte van zichzelf en elkaar [26](#page=26). Kleuters kunnen pictogrammen die onder meer een richting aanduiden lezen en gebruiken [26](#page=26). Kleuters kunnen met de gepaste begrippen verwoorden wat ze zien vanuit een ander gezichtspunt door zich te verplaatsen [26](#page=26). #### 4.4.3 Meetkundige transformaties De volgende begrippen moeten bekend zijn: * verschuiven, draaien, spiegelen [27](#page=27). * het spiegelbeeld [27](#page=27). * vervormen, vergroten, verkleinen [27](#page=27). * de voorkant, de achterkant, de zijkant, de onderkant, de bovenkant [27](#page=27). Kleuters kunnen spiegelbeelden ontdekken met een (geo)spiegel [27](#page=27). Kleuters kunnen eenvoudige spiegelbeelden met materiaal leggen met behulp van een (geo)spiegel [27](#page=27). Kleuters kunnen constructies uitvoeren op basis van verbale instructies, voorschriften op foto's en voorschriften op tekeningen (bv. een stappenplan volgen om met bouwstenen een toren na te bouwen) [27](#page=27). #### 4.4.4 Meetkundige relaties De volgende begrippen moeten bekend zijn: dezelfde vorm, even groot [27](#page=27). Kleuters kunnen met concreet materiaal figuren met verschillende oriëntatie en locatie identificeren die: * congruent zijn (gelijke vorm en gelijke grootte) [27](#page=27). * gelijkvormig zijn (gelijke vorm) [27](#page=27). Kleuters kunnen symmetrie in eenvoudige figuren herkennen (bv. door te plooien/vouwdruk) [27](#page=27). #### 4.4.5 Logica en verzamelingen De volgende begrippen moeten bekend zijn: * in, uit, binnen, buiten [27](#page=27). * als … dan … [27](#page=27). * en, of, niet [27](#page=27). Kleuters kunnen objecten sorteren op basis van een gemeenschappelijke eigenschap volgens 1 of 2 criteria (kwalitatief classificeren op basis van criteria zoals kleur, vorm, grootte, soort/kwantitatief classificeren op basis van aantal) [27](#page=27). Kleuters kunnen als... dan... uitspraken gebruiken (bv. bij het spel "schipper-mag-ik-overvaren?": "als je een rode trui draagt, dan mag je overvaren") [27](#page=27). ### 4.5 Kansrekenen en statistiek Dit domein behandelt de basisprincipes van kansrekening en statistiek voor kleuters [28](#page=28). #### 4.5.1 Kansrekenen De volgende begrippen moeten bekend zijn: * kan, kan niet [28](#page=28). * altijd, niet, nooit [28](#page=28). * mogelijk, misschien, soms [28](#page=28). Kleuters kunnen zekere en onzekere gebeurtenissen van elkaar onderscheiden (bv. "ik poets vandaag mijn tanden" / "opa en oma komen vandaag misschien op bezoek") [28](#page=28). Kleuters kunnen de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen beschrijven door gebruik te maken van gepaste begrippen (bv. "ik steek nooit over bij een rood licht" / "op donderdag hebben we altijd turnles") [28](#page=28). #### 4.5.2 Statistiek Kleuters kunnen gegevens over de klas verzamelen, ordenen en voorstellen (bv. lievelingskleuren in de klas voorstellen met blokjes per gekozen kleur en de populairste kleur vinden als de kleur met het grootste aantal blokjes / grote vloer-matrix met op de rijen ‘trui/t-shirt dragen’ en op de kolommen ‘rood/geel/blauw/groen’) [28](#page=28). ### 4.6 Probleemoplossend denken en vraagstukken Dit domein richt zich op de ontwikkeling van probleemoplossende vaardigheden bij jonge kinderen [28](#page=28). #### 4.6.1 Probleemoplossend denken Kleuters kunnen problemen in spel- en leersituaties oplossen, gebruikmakend van wiskundige elementen, door: * op zoek te gaan naar manieren om een probleem op te lossen, ook als er meerdere oplossingen zijn [28](#page=28). * concreet materiaal te gebruiken [28](#page=28). * hun ideeën te delen met anderen [28](#page=28). #### 4.6.2 Vraagstukken * Geen specifieke minimumdoelen voor dit subthema op de aangegeven pagina's [28](#page=28). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Subiteren | Het vermogen om snel en zonder te tellen een klein aantal objecten direct te herkennen. Dit geldt voor (on)gestructureerde aantallen tot en met 5. | | Conservatie van aantal | Het inzicht dat het aantal objecten in een verzameling gelijk blijft, ongeacht de ruimtelijke schikking of de vorm van de objecten. | | Akoestisch tellen | Het proces van het opzeggen van de telrij (voorwaarts of achterwaarts), waarbij de volgorde van de getallen bekend is maar de koppeling aan objecten nog niet essentieel is. | | Synchroon tellen | Het correct koppelen van elk object aan één telwoord tijdens het tellen, wat de basis vormt voor het bepalen van de hoeveelheid. | | Resultatief tellen | Het tellen van objecten om de totale hoeveelheid te bepalen, waarbij het laatste telwoord het aantal representeert. | | Optellen als oorzaak-verandering | Een bewerking waarbij een initiële hoeveelheid wordt vergroot door toevoeging, resulterend in een nieuwe, grotere hoeveelheid. | | Optellen als combinatie | Het samenvoegen van twee of meer afzonderlijke hoeveelheden om de totale hoeveelheid te bepalen. | | Optellen als vergelijking | Het bepalen van het verschil tussen twee hoeveelheden om te zien hoeveel meer of minder er is. | | Massa (gewicht) | De hoeveelheid materie in een voorwerp, die gemeten kan worden met behulp van een weegschaal en uitgedrukt wordt in natuurlijke maten. | | Oppervlakte | De grootte van een tweedimensionaal gebied, die kwalitatief en kwantitatief vergeleken en gemeten kan worden met natuurlijke maateenheden. | | Volume | De hoeveelheid ruimte die een driedimensionaal object inneemt, wat kwalitatief en kwantitatief vergeleken kan worden. | | Inhoud | De capaciteit van een vat of ruimte om een bepaalde hoeveelheid te bevatten, te meten door overgieten of met behulp van maateenheden. | | Tijdsduur | De lengte van een periode of interval, die verkend, vergeleken en gemeten kan worden met behulp van tijdsinstrumenten. | | Chronologisch ordenen | Het plaatsen van gebeurtenissen in de juiste volgorde van tijd, van vroeg naar laat. | | Vormleer | De studie van geometrische vormen, inclusief hun herkenning, benoeming en classificatie van zowel vlakke als ruimtefiguren. | | Meetkundige transformaties | Veranderingen in de positie, oriëntatie of grootte van meetkundige figuren, zoals verschuiven, draaien en spiegelen. | | Congruent | Twee figuren die exact dezelfde vorm en grootte hebben; ze zijn identiek en kunnen door translatie, rotatie of reflectie op elkaar worden afgebeeld. | | Gelijkvormig | Twee figuren die dezelfde vorm hebben, maar mogelijk een andere grootte. De verhoudingen van de zijden en de hoeken blijven behouden. | | Symmetrie | Een eigenschap van een figuur waarbij het in tweeën kan worden gedeeld door een lijn, zodanig dat beide helften elkaars spiegelbeeld zijn. | | Classificeren | Het sorteren van objecten op basis van gemeenschappelijke eigenschappen, volgens één of meerdere criteria. | | Seriëren | Het ordenen van objecten volgens een bepaald kenmerk, zoals grootte, lengte of gewicht, van minst naar meest of omgekeerd. | | Kansrekenen | Het bestuderen van de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen, inclusief het onderscheiden van zekere, onzekere en onmogelijke gebeurtenissen. | | Statistiek | Het verzamelen, ordenen, analyseren en voorstellen van gegevens om conclusies te trekken over een populatie of steekproef. | | Computationeel denken | Een probleemoplossende aanpak die elementen van informatica gebruikt, zoals het opsplitsen van problemen in stappen, het herkennen van patronen en het toepassen van algoritmes. |

# Begrippen en eigenschappen van de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen Dit onderwerp behandelt de definities, basisbegrippen en fundamentele eigenschappen van de vier hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) toegepast op natuurlijke getallen [4](#page=4). ### 1.1 Leerdoelen (vakdidactiek) * De relevante begrippen in verband met de vier basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) correct kunnen gebruiken [4](#page=4). * De eigenschappen van bewerkingen die in de lagere school aan bod komen, kunnen verwoorden en illustreren aan de hand van een gepast voorbeeld [4](#page=4). ### 1.2 Leerdoelen (eigen rekenvaardigheden) * Vlot hoofdrekenen met gebruik van de eigenschappen van bewerkingen, en hierbij de gebruikte tussenstappen correct noteren [4](#page=4). ### 1.3 Optellen #### 1.3.1 Basisbegrippen Optellen kan worden geïnterpreteerd als het samenvoegen van hoeveelheden of het erbij doen van getallen [5](#page=5). De optelling in de verzameling van de natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$) wordt symbolisch genoteerd als $a + b = c$ [5](#page=5). * $a$ en $b$ worden de termen genoemd [5](#page=5). * $c$ is het resultaat, de som [5](#page=5). * Het bewerkingsteken $+$ is het plusteken [5](#page=5). * $a + b$ wordt gelezen als "a plus b" [5](#page=5). > **Tip:** De volgorde van de getallen kan relevant zijn bij het verwoorden van een som, hoewel de uitkomst mathematisch gelijk blijft door de commutativiteit [5](#page=5). #### 1.3.2 Eigenschappen 1. **De optelling is inwendig in $\mathbb{N}$.** Dit betekent dat de som van twee natuurlijke getallen altijd opnieuw een natuurlijk getal is [5](#page=5). * Voorbeeld: $3 + 5 = 8$. Zowel $3$, $5$ als $8$ zijn natuurlijke getallen. 2. **Het natuurlijk getal 0 is het neutraal element van de optelling in $\mathbb{N}$.** De som van een natuurlijk getal $a$ en $0$, of $0$ en $a$, is steeds gelijk aan $a$ [5](#page=5). * Voorbeeld: $7 + 0 = 7$ en $0 + 7 = 7$. 3. **De optelling is commutatief in $\mathbb{N}$.** De som van twee natuurlijke getallen $a$ en $b$ blijft onveranderd wanneer de termen van plaats wisselen. Dit wordt in de basisschool vaak "van plaats wisselen" genoemd [6](#page=6). * Voorbeeld: $4 + 6 = 10$ en $6 + 4 = 10$. 4. **De optelling is associatief in $\mathbb{N}$.** Bij een optelling die uit drie termen bestaat, mogen de haakjes van plaats verwisseld worden. Dit wordt in de basisschool vaak "schakelen" genoemd [6](#page=6). * Voorbeeld: $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ en $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$. #### 1.3.3 Elementaire optellingen Elementaire optellingen betreffen optellingen met termen kleiner dan of gelijk aan 10. Deze moeten leerlingen paraat hebben voor hoofdrekenen en cijferend rekenen [6](#page=6). ### 1.4 Aftrekken #### 1.4.1 Basisbegrippen Aftrekken kan betekenen: * **Wegnemen:** Het aantal overblijvende objecten na het verwijderen van een deel [6](#page=6). * **Vergelijken:** Het verschil in hoeveelheid tussen twee getallen [6](#page=6). De aftrekking in $\mathbb{N}$ wordt symbolisch genoteerd als $a - b = c$ [6](#page=6). * $a$ en $b$ zijn de termen [6](#page=6). * $a$ is het aftrektal [6](#page=6). * $b$ is de aftrekker [6](#page=6). * $c$ is het resultaat, het verschil [6](#page=6). * Het bewerkingsteken $-$ is het minteken [6](#page=6). * $a - b$ wordt gelezen als "a min b" [6](#page=6). #### 1.4.2 Eigenschappen 1. **De aftrekking is niet inwendig in $\mathbb{N}$.** Het verschil van twee natuurlijke getallen is niet altijd opnieuw een natuurlijk getal [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: $3 - 5 = -2$. $-2$ is geen natuurlijk getal. 2. **De aftrekking heeft geen neutraal element in $\mathbb{N}$.** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a - n = a$ en $n - a = a$ voor elk natuurlijk getal $a$ [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: Als we $n=0$ zouden nemen, geldt $a - 0 = a$, maar $0 - a = -a$, wat niet gelijk is aan $a$ (tenzij $a=0$). 3. **De aftrekking is niet commutatief in $\mathbb{N}$.** In een aftrekking mogen de termen niet zomaar van plaats verwisseld worden [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: $10 - 3 = 7$, maar $3 - 10 = -7$. 4. **De aftrekking is niet associatief in $\mathbb{N}$.** In een aftrekking met drie termen mogen de haakjes niet van plaats verwisseld worden [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: $(10 - 3) - 2 = 7 - 2 = 5$, maar $10 - (3 - 2) = 10 - 1 = 9$. #### 1.4.3 Elementaire aftrekkingen Elementaire aftrekkingen zijn aftrekkingen waarbij het aftrektal en de aftrekker niet groter zijn dan 20. Deze moeten leerlingen paraat hebben voor hoofdrekenen en cijferend rekenen [7](#page=7). ### 1.5 De vermenigvuldiging #### 1.5.1 Basisbegrippen Vermenigvuldigen betekent: * Een aantal keren dezelfde hoeveelheid nemen [8](#page=8). * Het combineren van verschillende keuzemogelijkheden [8](#page=8). De vermenigvuldiging in $\mathbb{N}$ wordt symbolisch genoteerd als $a \times b = c$ [8](#page=8). * $a$ en $b$ zijn de factoren [8](#page=8). * $a$ is de vermenigvuldiger [8](#page=8). * $b$ is het vermenigvuldigtal [8](#page=8). * $c$ is het resultaat, het product [8](#page=8). * Het bewerkingsteken $\times$ is het maalteken [8](#page=8). * $a \times b$ wordt gelezen als "a maal b" of "a keer b" [8](#page=8). #### 1.5.2 Eigenschappen 1. **De vermenigvuldiging is inwendig in $\mathbb{N}$.** Het product van twee natuurlijke getallen is altijd opnieuw een natuurlijk getal [8](#page=8). * Voorbeeld: $4 \times 6 = 24$. Zowel $4$, $6$ als $24$ zijn natuurlijke getallen. 2. **Het natuurlijk getal 1 is het neutraal element van de vermenigvuldiging in $\mathbb{N}$.** Het product van 1 en elk natuurlijk getal $a$, of van $a$ en 1, is steeds gelijk aan $a$ [8](#page=8). * Voorbeeld: $9 \times 1 = 9$ en $1 \times 9 = 9$. 3. **De vermenigvuldiging is commutatief in $\mathbb{N}$.** Het product van twee natuurlijke getallen $a$ en $b$ blijft onveranderd wanneer de factoren van plaats wisselen [8](#page=8). * Voorbeeld: $5 \times 7 = 35$ en $7 \times 5 = 35$. 4. **De vermenigvuldiging is associatief in $\mathbb{N}$.** Bij een vermenigvuldiging die uit drie factoren bestaat, mogen de haakjes van plaats verwisseld worden [9](#page=9). * Voorbeeld: $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ en $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$. 5. **Het natuurlijk getal 0 is het opslorpend element van de vermenigvuldiging in $\mathbb{N}$.** Het product van 0 en elk natuurlijk getal $a$, of van $a$ en 0, is steeds gelijk aan 0 [9](#page=9). * Voorbeeld: $12 \times 0 = 0$ en $0 \times 12 = 0$. 6. **De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in $\mathbb{N}$.** Dit betekent dat $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ en $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$. In de lagere school wordt dit "splitsen en verdelen" genoemd [9](#page=9). * Voorbeeld: $3 \times (4 + 2) = 3 \times 6 = 18$. En $(3 \times 4) + (3 \times 2) = 12 + 6 = 18$. #### 1.5.3 Elementaire vermenigvuldigingen Elementaire vermenigvuldigingen zijn vermenigvuldigingen waarbij de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal niet groter zijn dan 10. Dit zijn de bekende maaltafels [9](#page=9). ### 1.6 De deling #### 1.6.1 Basisbegrippen Delen betekent: * Een hoeveelheid in gelijke delen verdelen [9](#page=9). * Groepjes van een bepaald aantal maken binnen een totale hoeveelheid [9](#page=9). De deling in $\mathbb{N}$ wordt symbolisch genoteerd als $a: b = c$ [9](#page=9). * $a$ is het deeltal [9](#page=9). * $b$ is de deler [9](#page=9). * $c$ is het resultaat, het quotiënt [9](#page=9). * Het bewerkingsteken $:$ is het deelteken [9](#page=9). * $a: b$ wordt gelezen als "a gedeeld door b" [9](#page=9). #### 1.6.2 Eigenschappen 1. **De deling van twee natuurlijke getallen is niet inwendig in $\mathbb{N}$.** Het quotiënt van twee natuurlijke getallen is niet altijd opnieuw een natuurlijk getal [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $7 : 2 = 3,5$. $3,5$ is geen natuurlijk getal. 2. **De deling heeft geen neutraal element in $\mathbb{N}$.** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a: n = a$ en $n: a = a$ voor elk natuurlijk getal $a$ [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: Als we $n=1$ zouden nemen, geldt $a : 1 = a$, maar $1 : a$ is alleen gelijk aan $a$ als $a=1$. 3. **De deling is niet commutatief in $\mathbb{N}$.** In een deling mogen de termen niet zomaar van plaats verwisseld worden [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $12 : 4 = 3$, maar $4 : 12 = \frac{1}{3}$. 4. **De deling is niet associatief in $\mathbb{N}$.** In een deling met drie factoren mogen de haakjes niet van plaats verwisseld worden [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $(24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2$, maar $24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8$. 5. **Men mag niet delen door 0.** [10](#page=10). 6. **De deling is rechtsdistributief t.o.v. de optelling in $\mathbb{N}$.** Voor zover de quotiënten bestaan, mag het deeltal worden geschreven als een som, en mogen de twee termen apart gedeeld worden [10](#page=10). * Voorbeeld: $154 : 7 = (140 + 14) : 7 = (140 : 7) + (14 : 7) = 20 + 2 = 22$. 7. **De deling is niet linksdistributief t.o.v. de optelling in $\mathbb{N}$.** De deler mag nooit als een som worden opgesplitst om vervolgens door beide termen afzonderlijk te delen [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $24 : (2 + 6) = 24 : 8 = 3$. Dit is niet gelijk aan $(24 : 2) + (24 : 6) = 12 + 4 = 16$. 8. **De deling is rechtsdistributief t.o.v. de aftrekking in $\mathbb{N}$.** Voor zover de quotiënten bestaan, mag het deeltal worden geschreven als een verschil, en mogen de twee termen apart gedeeld worden [11](#page=11). * Voorbeeld: $126 : 7 = (140 - 14) : 7 = (140 : 7) - (14 : 7) = 20 - 2 = 18$. 9. **De deling is niet linksdistributief t.o.v. de aftrekking in $\mathbb{N}$.** De deler mag nooit als een verschil worden geschreven om vervolgens door beide termen afzonderlijk te delen [11](#page=11). * Tegenvoorbeeld: $24 : (6 - 2) = 24 : 4 = 6$. Dit is niet gelijk aan $(24 : 6) - (24 : 2) = 4 - 12 = -8$. #### 1.6.3 Elementaire delingen Elementaire delingen betreffen deelsommen die leerlingen paraat moeten hebben voor hoofdrekenen en cijferend rekenen, zoals de bekende deeltafels [11](#page=11). ### 1.7 Volgorde van de bewerkingen De standaard volgorde voor het uitvoeren van bewerkingen is als volgt [11](#page=11): 1. Bewerkingen tussen haakjes [11](#page=11). 2. Vermenigvuldigingen en delingen (van links naar rechts, aangezien ze evenwaardig zijn) [11](#page=11). 3. Optellingen en aftrekkingen (van links naar rechts, aangezien ze evenwaardig zijn) [11](#page=11). > **Voorbeeld:** $4 \times 15 + 2 \times (7 + 3) - 5 \times 3 + 60 : 12$ > $= 60 + 2 \times 10 - 15 + 5$ > $= 60 + 20 - 15 + 5$ > $= 80 - 15 + 5$ > $= 65 + 5$ > $= 70$ ### 1.8 Noteren van tussenstappen Hoofdrekenen kan ondersteund worden met pen en papier, waarbij het noteren van tussenstappen essentieel is voor duidelijkheid en correctheid. Het gelijkheidsteken moet hierbij altijd correct gebruikt worden [12](#page=12). > **Foutieve notatie:** $45 \times 19 = 45 \times 20 = 900 - 45 = 855$ > (Dit is fout omdat $45 \times 19 \neq 45 \times 20$) > > **Correcte notatie:** $45 \times 19 = (45 \times 20) - 45 = 900 - 45 = 855$ > (De haakjes mogen eventueel weggelaten worden.) --- # Standaard- en flexibele methoden voor hoofdrekenen met natuurlijke getallen Dit deel onderzoekt de twee benaderingen voor hoofdrekenen: gestandaardiseerde methoden met vaste procedures en flexibele methoden die aangepast zijn aan de getallen, inclusief de voordelen en risico's van beide benaderingen voor leerlingen [13](#page=13). ### 2.1 Leerdoelen #### 2.1.1 Vakdidactiek * Het verschil uitleggen tussen gestandaardiseerd en flexibel hoofdrekenen [13](#page=13). * Van een oplossingsmethode kunnen zeggen of het om een standaard- of flexibele methode gaat [13](#page=13). #### 2.1.2 Eigen rekenvaardigheden * Hoofdrekenoefeningen met natuurlijke getallen kunnen oplossen volgens een standaard- en flexibele methode [13](#page=13). ### 2.2 Flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen Er wordt een onderscheid gemaakt tussen gestandaardiseerd en flexibel hoofdrekenen in de rekendidactiek [14](#page=14). #### 2.2.1 Gestandaardiseerd hoofdrekenen Gestandaardiseerd hoofdrekenen omvat het oplossen van een bepaald type oefening volgens een vaste rekenprocedure, onafhankelijk van de getallen waarmee gerekend wordt [14](#page=14). ##### 2.2.1.1 Standaardmethodes voor optellen en aftrekken De standaardmethode voor optellen en aftrekken houdt in dat de eerste term 'heel gelaten' wordt en de tweede term wordt gesplitst in tientallen en eenheden, die vervolgens achtereenvolgens bij de eerste term worden opgeteld of ervan worden afgetrokken [14](#page=14). * **Zonder overschrijding:** * Vb. 1: $36 + 12 = 36 + 10 + 2 = 46 + 2 = 48$ [14](#page=14). * Vb. 2: $75 – 23 = 75 – 20 – 3 = 55 – 3 = 52$ [14](#page=14). * **Met overschrijding:** * Vb. 3: $36 + 28 = 36 + 4 + 4 + 20 = 40 + 4 + 20 = 64$ [14](#page=14). * Vb. 4: $36 – 18 = 36 – 6 – 2 – 10 = 30 – 2 – 10 = 28 - 10 = 18$ [14](#page=14). ##### 2.2.1.2 Standaardmethode voor vermenigvuldigen De standaardmethode voor vermenigvuldigen bestaat uit splitsen en verdelen [14](#page=14). Vb.: $4 \times 213 = (4 \times 200) + (4 \times 10) + (4 \times 3) = 800 + 40 + 12$ [14](#page=14). ##### 2.2.1.3 Standaardprocedure voor delen De standaardprocedure voor delen bestaat erin het deeltal te splitsen in twee getallen die gemakkelijk gedeeld kunnen worden [14](#page=14). Vb.: $78: 6 = (60: 6) + (18: 6)$ [14](#page=14). #### 2.2.2 Flexibele methodes Flexibel hoofdrekenen kent geen vaste, uniforme methode, maar een opgave- of getalspecifieke aanpak, waarbij de oplossingsmethode afhangt van de structuur van de getallen of hun combinaties en bewerkingen [14](#page=14). ##### 2.2.2.1 Optellen en aftrekken * **Van plaats wisselen (commutativiteit):** De volgorde van de termen bij optellen mag gewisseld worden zonder dat de som verandert [15](#page=15). * $5 + 13 = 13 + 5$ [15](#page=15). * **Schakelen (associativiteit):** Bij optellen mag de groepering van termen worden gewijzigd zonder dat de som verandert [15](#page=15). * $34 + 75 + 25 = 34 + (75 + 25) = 34 + 100 = 134$ [15](#page=15). * **Werken met mooie getallen (compenseren):** Deze werkwijzen zijn een toepassing op de ‘optellingswip’ en ‘aftrekkingshalter’ [15](#page=15). * Bij optellen: De som van twee getallen verandert niet als bij één term een getal wordt opgeteld en datzelfde getal van de andere term wordt afgetrokken [15](#page=15). * $365 + 297 = 365 + 300 - 3 = 665 - 3 = 662$ [15](#page=15). * Bij aftrekken: Het verschil van twee getallen verandert niet als bij beide termen hetzelfde getal wordt opgeteld of ervan wordt afgetrokken [15](#page=15). * $365 - 297 = 365 - 300 + 3 = 65 + 3 = 68$ [15](#page=15). ##### 2.2.2.2 Vermenigvuldigen en delen * **Van plaats wisselen bij vermenigvuldigen:** De volgorde van de factoren mag gewisseld worden [15](#page=15). * Vb.: $160 \times 2 = 2 \times 160$ [15](#page=15). * **Schakelen bij vermenigvuldigen:** Bij vermenigvuldigen mag de groepering van factoren worden gewijzigd [15](#page=15). * Vb.: $3 \times 125 \times 8 = 3 \times (125 \times 8) = 3 \times 1000 = 3000$ [15](#page=15). * **Een factor schrijven als een product:** Een vermenigvuldiging kan makkelijker uit te rekenen zijn door een factor op te splitsen in een product [16](#page=16). * Vb.: $25 \times 32 = 25 \times 4 \times 8 = 100 \times 8 = 800$ [16](#page=16). * **Vermenigvuldigen naar analogie met de maaltafels:** Gebruik maken van het principe dat $a \times (b \times 10) = (a \times b) \times 10$ [16](#page=16). * Vb.: $5 \times 300 = 5 \times 3 \text{H} = 15 \text{H} = 1500$ [16](#page=16). * Vb.: $30 \times 20 = 3 \times (10 \times 20) = 3 \times 200 = 600$ [16](#page=16). * **Werken met ‘mooie’ getallen (compenseren) bij vermenigvuldigen en delen:** * Vb. vermenigvuldigen: $99 \times 16 = (100 - 1) \times 16 = (100 \times 16) – (1 \times 16) = 1600 – 16 = 1584$ [16](#page=16). * Vb. delen: $1470: 15 = (1500: 15) – (30: 15) = 100 – 2 = 98$ [16](#page=16). * **Deler schrijven als een product:** Een deling is soms makkelijker uit te rekenen als de deler wordt opgesplitst in een product [16](#page=16). * Vb.: $3336: 6 = (3336: 3): 2 = 1112: 2 = 556$ [16](#page=16). * **Delen naar analogie met de deeltafels:** Gebruik maken van het principe dat $(a \times 10): b = (a:b) \times 10$ [16](#page=16). * $150: 3 = 15\text{T}:3 = 5\text{T} = 50$ [16](#page=16). * $420: 70 = 42\text{T}: 7\text{T} = 6$ [16](#page=16). * of $420: 70 = (420: 10): 7 = 6$ [16](#page=16). * **Toepassing van de ‘vermenigvuldigingswip’ en ‘delingshalter’:** * Het product van twee getallen verandert niet als de ene factor wordt vermenigvuldigd met een getal en de andere factor wordt gedeeld door datzelfde getal [17](#page=17). * Het quotiënt van twee getallen verandert niet als het deeltal en de deler worden vermenigvuldigd met of gedeeld door hetzelfde getal [17](#page=17). * **Andere rekenvoordelen:** * $\text{. } \times 5 = (\text{. } \times 10): 2$ (analoog voor delen door 5) [17](#page=17). * $\text{. } \times 50 = (\text{. } \times 100): 2$ (analoog voor delen door 50) [17](#page=17). * $\text{. } \times 25 = (\text{. } \times 100): 4$ (analoog voor delen door 25) [17](#page=17). * $\text{. } \times 125 = (\text{. } \times 1000): 8$ (analoog voor delen door 125) [17](#page=17). #### 2.2.3 Kanttekeningen bij flexibele methodes Flexibel rekenen vraagt een inzichtelijke en probleemgerichte aanpak, waarbij de leerling voldoende inzicht heeft in de bewerking en de structuur van de getallen. Het laat ook ruimte voor verschillen tussen leerlingen, waarbij elk kind een eigen, voor hem meest handige, aanpak mag vinden [17](#page=17). **Risico's van overbeklemtoning:** Als de opgavespecifieke aanpakken te sterk worden benadrukt vanaf het begin, kunnen zwakkere leerlingen het overzicht verliezen, wat kan leiden tot verwarring en fouten [17](#page=17). **Balans tussen standaard en flexibel:** * In de eerste en tweede leerjaren wordt veel aandacht besteed aan gestandaardiseerd rekenen [17](#page=17). * Flexibel hoofdrekenen komt het best aan bod als de algemene standaardrekenmechanismen adequaat worden gebruikt, aangezien gestandaardiseerde berekeningen en parate kennis fungeren als kapstokken voor gevarieerde rekenwijzen [18](#page=18). * Het is nuttig om leerlingen soms een bepaalde methode te laten toepassen om een aantal methodes goed te leren beheersen [18](#page=18). * Op termijn is het de bedoeling dat leerlingen zelf een geschikte keuze maken uit gekende rekenmethodes [18](#page=18). * De taak van de leerkracht is om leerlingen verschillende mogelijkheden te laten ontdekken, te bespreken en te vergelijken op hun efficiëntie, zodat zij een verantwoorde keuze kunnen maken [18](#page=18). > **Tip:** Om een flexibele methode zoals $56 + 40 – 2$ toe te passen, moet een leerling eerst $56 + 40$ en $96 – 2$ paraat hebben of op een standaardmanier kunnen oplossen [18](#page=18). ### 2.3 Oefeningen #### Oefening 1 Welke oplossingswijze is fout? [19](#page=19). #### Oefening 2 Zijn deze oefeningen correct opgelost? Verbeter indien nodig [19](#page=19). a. $15 \times 35 = (10 \times 30) + (5 \times 5) = 300 + 25 = 325$ [19](#page=19). b. $5460: 15 = 5460: 10 = 546$, $5460: 5 = 1092$, $1092 – 546 = 546$ [19](#page=19). c. $5460: 15 = ((5000: 5) + (400: 5) + (60: 5)): 10 = (1000 + 80 + 12):10 = 19,2$ [19](#page=19). d. $1920: 15 = (1920: 10) +((1920: 10) \times 2) = 192 + 192 \times 2 = 192 + 384 = 576$ [19](#page=19). #### Oefening 3 (MD) Reken handig uit. Vermeld telkens je tussenstappen op een correcte manier [19](#page=19). a. $7357 – 3529 =$ [19](#page=19). b. $200\,000 – 946 =$ [19](#page=19). c. $54 \times 98 =$ [20](#page=20). d. $1360 \times 25 =$ [20](#page=20). e. $7500: 50 =$ [20](#page=20). f. $315: 15 =$ [20](#page=20). g. $41\,503 – 1499 =$ [20](#page=20). h. $26 \times 15 =$ [20](#page=20). i. $176: 16 =$ [20](#page=20). j. $24 \times 125 =$ [20](#page=20). --- # Optellen en aftrekken met natuurlijke getallen Hieronder volgt een uitgebreide studiegids over het optellen en aftrekken van natuurlijke getallen, gericht op het classificeren van oefeningstypes en het aanbrengen van concepten tot en boven twintig, zowel met als zonder overschrijding van tientallen. ## 3. Optellen en aftrekken met natuurlijke getallen Dit onderwerp behandelt de verschillende types optellingen en aftrekkingen met natuurlijke getallen, waarbij wordt ingegaan op hoe deze te classificeren en didactisch aan te brengen bij leerlingen, met specifieke aandacht voor berekeningen tot en boven twintig, en het concept van tientaloverschrijding [21](#page=21). ### 3.1 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek Na het bestuderen van dit onderwerp, ben je in staat om: * Alle mogelijke types optellingen en aftrekkingen met getallen tot twee cijfers te rubriceren in een overzicht [21](#page=21). * De oplossingswijze voor elk type oefening aan te brengen, voortbouwend op de voorkennis van leerlingen [21](#page=21). ### 3.2 Aandachtspunten bij optellen en aftrekken Optellen en aftrekken met getallen tot honderd worden vaak gelijktijdig aangeboden. Zowel bewerkingen met als zonder tientaloverschrijding worden globaal op hetzelfde moment geïntroduceerd. Initiële oefeningen omvatten geen tientaloverschrijdingen, waarna er snel wordt overgeschakeld naar een mix van opgaven. Dit biedt leerlingen maximale training in het beslissen over de benodigde tussenstappen. Bij elke opgave moeten leerlingen beslissingen nemen over de handeling (optellen of aftrekken) en de noodzaak van tussenstappen (tientaloverschrijding). Het is cruciaal om de uitgangshoeveelheid intact te houden om problemen bij aftrekkingen met overschrijding te voorkomen [21](#page=21) [22](#page=22). > **Tip:** Fouten bij aftrekken met overschrijding kunnen ontstaan doordat leerlingen onbewust het grootste getal vooraan plaatsen, omdat ze de bewerking van een kleiner getal van een groter getal (bijvoorbeeld 2 – 7) nog niet beheersen [22](#page=22). ### 3.3 Types oefeningen Oefeningen met getallen van twee cijfers kunnen worden ingedeeld op basis van het aantal cijfers in de operand en de operand, en of er al dan niet sprake is van tientaloverschrijding [23](#page=23). | Categorie | Zonder overschrijding | Met overschrijding | | :------------------------ | :-------------------- | :----------------- | | **Tot 20** | | | | Tiental +/- Eenheid (TE+/-E) | (bv. 12 + 5) | (bv. 8 + 5) | | Eenheid + Eenheid (E+E) | | | | Tiental - Eenheid (TE-E) | (bv. 19 - 3) | (bv. 13 - 6) | | Tiental +/- Eenheid (TE+/-E) | | | | Tiental +/- Tiental (T+/-T) | | | | Tiental +/- Tiental (TE+/-T) | (bv. 16 - 12) | | | Tiental +/- Tiental (TE+/-TE) | | | | **Boven 20** | | | | Tiental +/- Tiental (T+/-T) | (bv. 50 + 20) | | | Tiental +/- Tiental (TE+/-T) | (bv. 72 - 30) | | | Tiental +/- Eenheid (TE+/-E) | (bv. 32 + 5) | (bv. 38 + 7) | | Tiental +/- Tiental (TE+/-TE) | (bv. 45 + 23) | (bv. 67 + 25) | Een "oefening met overschrijding" verwijst naar een optelling of aftrekking waarbij het proces van het samenvoegen of afnemen van de eenheden leidt tot een verandering van het tiental, oftewel het "over de tien gaan" [23](#page=23). ### 3.4 Optellen en aftrekken tot 20 #### 3.4.1 Optellen en aftrekken tot 20 zonder overschrijding **Type TE+/- E:** Bij deze opgaven, zoals $10 + 4$, $12 + 5$, $19 – 3$, kunnen leerlingen steunen op automatismen van berekeningen tot 10. De tiengroep blijft hierbij intact en de bewerking raakt enkel de eenheden [24](#page=24). **Type TE - TE:** Bij aftrekkingen van dit type, zoals $16 – 12$, moet de aftrekker gesplitst worden in tientallen en eenheden. Het is onjuist om eerst de eenheden van het aftrektal in één keer weg te halen [24](#page=24). > **Voorbeeld (correcte aanpak voor 16 – 12):** > $16 – 12 = (16 – 10) – 2 = 4$ [24](#page=24). #### 3.4.2 Optellen en aftrekken tot 20 met overschrijding Dit type oefening introduceert het mechanisme van aanvullen of afhalen tot het tiental, ook wel de "brug over tien" genoemd [25](#page=25). Bij optellingen met overschrijding, zoals $8 + 5$, wordt het eerste getal aangevuld tot 10, waarbij het tweede getal wordt gesplitst in 2 en 3 [25](#page=25) [5](#page=5) [8](#page=8). Bij aftrekkingen zoals $13 – 6$ wordt eerst het getalbeeld 3 weggenomen en vervolgens nog eens drie van de tien [25](#page=25). > **Tip:** De "brug over tien" kan een lastige techniek zijn voor veel kinderen. Het is daarom effectief om te werken met diverse materialen en rekenverhalen met een duidelijke 10-structuur te gebruiken om het concept realistischer te maken [25](#page=25). > **Voorbeeld 1 (optelling): 7 + 8 = ...** > **Probleemstelling:** Aan de feestzaal zijn 2 parkings van 10 plaatsen. Op de eerste parking staan al 7 auto's. Er komen nog 8 auto's bij. De parkingwachter wil dat eerst de eerste parking volstaat. Hoeveel auto's staan er nu geparkeerd [25](#page=25)? > * **Concreet:** We vullen eerst aan tot 10. Hiervoor hebben we 3 auto's nodig. De overige 5 auto's gaan naar de tweede parking. Totaal: $10 + 5 = 15$ auto's [25](#page=25). > * **Schematisch:** > $7 + 8 = 7 + 3 + 5$ [26](#page=26). > * **Abstract:** > $7 + 8 = (7 + 3) + 5 = 10 + 5 = 15$ [26](#page=26). > De splitsingen van getallen kleiner dan 10 moeten goed gekend zijn [26](#page=26). > **Voorbeeld 2 (aftrekking): 17 - 8 = ...** > We hebben 17 blokken (10 in een doos, 7 los). We willen er 8 wegnemen. Eerst de 7 losse blokken. Dan nog 1 blok uit de doos [26](#page=26). > * **Schematisch/Abstract:** > $17 - 8 = (17 - 7) - 1 = 10 - 1 = 9$ [26](#page=26). > (Hierbij wordt de 8 gesplitst in 7 en 1.) [26](#page=26). Fouten bij het optellen en aftrekken met overschrijding kunnen variëren en duiden vaak op een onvoldoende begrip van de splitsingen van getallen of een verkeerde toepassing van de "brug over tien" methode [27](#page=27) [28](#page=28). ### 3.5 Optellen en aftrekken boven 20 #### 3.5.1 Optellen en aftrekken boven 20 zonder overschrijding Het rekenen boven 20 bouwt voort op de mechanismen die zijn geleerd voor het rekenen tot 20 [29](#page=29). **Type T+/- T:** Deze oefeningen betreffen bewerkingen met zuivere tientallen, zoals $50 + 20$ en $80 – 30$. Deze zijn relatief eenvoudig en vertonen analogie met het optellen van eenheden tot tien, maar dan met tientallen. Vaak worden deze opgaven gememoriseerd als rekencollecties [29](#page=29). **Type TE+/- T:** Hierbij is de opteller of aftrekker een zuiver tiental, zoals $72 – 30$ en $45 + 30$. Deze opgaven kunnen initieel worden ondersteund met sprongen op het honderdveld binnen dezelfde kolom. De splitsmethode $(72 – 30 = (70 – 30) + 2)$ biedt hier geen significant voordeel [31](#page=31). > **Voorbeeld (Type TE+/- T):** > $72 – 30$. Als leerlingen $70 – 20$ kennen, is de stap naar $72 – 20$ klein [31](#page=31). **Type TE+/- E:** Deze bewerkingen vallen binnen de tientallen, zoals $32 + 5$ en $65 – 2$. Ze zijn analoog aan bewerkingen tussen tien en twintig en kunnen worden gepresenteerd in analogiereeksen (bv. $12 + 3$, $22 + 3$). Indien leerlingen problemen hebben, is het belangrijk na te gaan of ze analoge opgaven tot twintig kunnen oplossen, of ze de plaatswaarde begrijpen en of ze geen moeite hebben met het lezen en noteren van getallen met twee cijfers [32](#page=32). > **Voorbeeld (Type TE+/- E):** > $32 + 5$. Dit is vergelijkbaar met $12 + 5$ [32](#page=32). **Type TE+/- TE:** Dit zijn de meest uitdagende opgaven waarbij zowel het optel- of aftrektal als de opteller of aftrekker uit tientallen en eenheden bestaan. Hiervoor zijn tussenstappen nodig, die genoteerd kunnen worden met de "lange notatie" [33](#page=33). > **Voorbeelden (Type TE+/- TE):** > * Optelling: $45 + 23 = 45 + 3 + 20 = 68$ of $45 + 20 + 3 = 68$ [33](#page=33). > * Aftrekking: $75 – 32 = 75 – 2 – 30 = 73 – 30 = 43$ of $75 – 30 – 2 = 45 – 2 = 43$ [33](#page=33). #### 3.5.2 Optellen en aftrekken boven de 20, met overschrijding **Type TE+/- E:** Oefeningen zoals $38 + 7$ en $54 – 7$ kunnen worden opgelost met dezelfde regel als bij berekeningen tot 20: aanvullen of afhalen tot tien [35](#page=35). > **Voorbeelden (Type TE+/- E met overschrijding):** > * $38 + 7 = 38 + 2 + 5 = 45$ [35](#page=35). > * $54 – 7 = 54 – 4 – 3 = 47$ [35](#page=35). **Type TE+/- TE:** Bij dit type oefening, zoals $67 + 25$ en $37 – 19$, splitst men eerst de opteller of aftrekker in tientallen en eenheden. De tientallen worden vervolgens bij de oorspronkelijke som opgeteld of ervan afgetrokken, waarna de eenheden worden verwerkt [35](#page=35). > **Voorbeelden (Type TE+/- TE met overschrijding):** > * $67 + 25 = 67 + 20 + 5 = 87 + 5 = 92$ of $67 + 5 + 20 = 72 + 20 = 92$ [35](#page=35). > * $37 – 19 = 37 – 10 – 9 = 27 – 9 = 18$ of $37 – 9 – 10 = 28 – 10 = 18$ [35](#page=35). --- # Vermenigvuldigen Dit hoofdstuk behandelt het inzichtelijk aanleren van vermenigvuldigingstafels in het basisonderwijs, met focus op de verschillende didactische fasen, de symbolisering van de bewerking en strategieën voor inoefening en automatisering. ### 4.1 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek Het is belangrijk dat studenten inzicht verwerven in hoe een maaltafel inzichtelijk kan worden aangeboden op de lagere school, met specifieke aandacht voor de ontwikkeling van rekenstrategieën [37](#page=37). ### 4.2 Voortaak De voortaak 4, uitgevoerd in 20 minuten door de individuele student, omvat het grondig doornemen van secties 4.3 en 4.4. Daarna volgt het aanbrengen van het begrip 'het dubbel van' op concreet, schematisch en abstract niveau, het schrijven van rekenverhalen voor $4 \times 5$ en $5 \times 4$, het tekenen van schematische voorstellingen voor deze verhalen, het afleiden van de betekenis van vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal hieruit, en het opzoeken van informatie over vermenigvuldigings- en deeltafels in het leerplan van de stageschool [37](#page=37). ### 4.3 De beginsituatie Bij het aanleren van vermenigvuldigen wordt aangesloten bij de informele kennis van leerlingen. Kinderen kennen het woord 'keer' en worden geconfronteerd met oefeningen die dit begrip vereisen. Voorbeelden hiervan zijn: "Klop drie keer op de tafel", "Draai vijf keer rond", en "Neem zes keer een potlood uit de doos". Tevens zijn veel kinderen bekend met het begrip 'dubbel', dat aangeleerd wordt op concreet, schematisch en abstract niveau [37](#page=37) [38](#page=38). ### 4.4 Inzicht in de betekenis van de vermenigvuldiging #### 4.4.1 Handelen op concreet niveau In de concrete fase van vermenigvuldigen ligt de nadruk op handelen en het verwoorden van handelingen, eerder dan op het bepalen van de uitkomst. Het meest gebruikte model is dat van groepjes met een gelijk aantal voorwerpen. Vlaamse rekenmethodes brengen vaak elke maaltafel afzonderlijk aan, maar het is niet noodzakelijk of wenselijk om een tafel volledig te memoriseren alvorens een nieuwe aan te leren. Leerlingen leggen situaties met concreet materiaal of gestructureerd materiaal. Bij manipulatie van concreet materiaal is het cruciaal om het onderscheid in betekenis tussen vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal te respecteren. De vermenigvuldiger geeft het aantal keren dat iets genomen wordt (het aantal groepjes), terwijl het vermenigvuldigtal het aantal voorwerpen per groepje aanduidt [38](#page=38). > **Voorbeeld:** > "drie keer vier" ($3 \times 4$) betekent drie groepjes van vier, terwijl "vier keer drie" ($4 \times 3$) vier groepjes van drie betekent [39](#page=39). Het is wenselijk om bij het aanbrengen van een nieuwe tafel een concrete context te gebruiken die specifiek aansluit bij die tafel, zoals speculaaskoekjes per twee, schoenen per kind, stoelpoten per stoel, eierdoosjes met zes eieren, of spinnen met acht poten [39](#page=39). #### 4.4.2 Vermenigvuldigingen voorstellen op schematisch niveau Op schematisch niveau kunnen vermenigvuldigingssituaties worden voorgesteld door groepjes en de elementen per groepje te tekenen, gebruikmakend van afbeeldingen uit de leefwereld of van gestructureerd materiaal [39](#page=39). #### 4.4.3 Bepalen van het resultaat van een vermenigvuldiging Zelfs zonder formele berekening kunnen kinderen de uitkomst van een vermenigvuldiging vinden door het te zien als een herhaalde optelling [39](#page=39). > **Voorbeeld 1:** > Als je aan 4 leerlingen telkens 2 stiften geeft, vraag je: "Aan hoeveel kinderen heb ik stiften gegeven?", "Heb ik aan ieder kind evenveel stiften gegeven?", "Hoeveel stiften heb ik aan ieder gegeven?". De conclusie is: 4 kinderen met elk 2 stiften, wat neerkomt op $2 + 2 + 2 + 2 = 8$ stiften, of "4 keer 2 stiften is acht stiften" [39](#page=39). > **Voorbeeld 2:** > Geen concreet voorbeeld gegeven, maar wordt de link met herhaalde optelling getoond [40](#page=40). #### 4.4.4 Aanbrengen van het symbool ‘x’ Om de lange notatie van herhaalde optellingen te vermijden, wordt het woord 'keer' vervangen door het symbool '$\times$' [40](#page=40). > **Voorbeeld:** > $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$ wordt $5$ keer $2$ is $10$, en uiteindelijk $5 \times 2 = 10$ [40](#page=40). Het is belangrijk om de aandacht te vestigen op de volgorde van de factoren in de vermenigvuldiging, door regelmatig rekenverhalen aan te bieden waarin de vermenigvuldiger na het vermenigvuldigtal komt [40](#page=40). > **Voorbeeld:** > In een week zijn er vijf schooldagen. We moeten nog drie weken naar school. Hoeveel dagen moeten we nog naar school? Dit is $3 \times 5$ en niet $5 \times 3$ [41](#page=41). #### 4.4.5 Inoefenen en automatiseren van de vermenigvuldigingstafels Hoewel het belang van het paraat hebben van de tafels erkend wordt, pleit men ervoor om in het tweede leerjaar de nadruk niet te zwaar te leggen op het indrillen, vanwege mogelijke negatieve gevoelens, ineffectiviteit voor zwakke leerlingen, en een gebrekkig inzicht dat flexibel toepassen belemmert. Er wordt gepleit voor een aanpak waarbij leerlingen strategieën leren om op basis van bekende tafels andere tafels te vinden. Door het veelvuldig toepassen van deze strategieën zal de parate kennis vanzelf verbeteren [41](#page=41). Opdrachten omvatten het bekijken van een videofragment over rekenstrategieën en het kritisch bespreken van de aanpak van de jongen en het meisje. Het spel "Kikker II" op het rekenweb leert leerlingen strategieën toe te passen voor maaloefeningen [41](#page=41). #### 4.4.6 Vermenigvuldigingen buiten de vermenigvuldigingstafels Wanneer leerlingen de vermenigvuldigingstafels geautomatiseerd hebben en handige rekenstrategieën beheersen, kunnen deze dienen als basis voor vermenigvuldigingen buiten de tafels [43](#page=43). > **Voorbeelden:** > * $10 \times 23$: Omdat $10 \times 23 = 23 \times 10$, zijn dit 23 tientallen, dus 230 [43](#page=43). > * $2 \times 30$: Via $2 \times 3$ en dan $\times 10$ [43](#page=43). > * $40 \times 14$: Via $40 \times 10$ en $40 \times 4$ [43](#page=43). > * $8 \times 23$: Door herhaald te verdubbelen: $23 \to 46 \to 92 \to 184$, of via $(8 \times 20) + (8 \times 3)$ [43](#page=43). > * $34 \times 19$: Gelijk aan $19 \times 34 = (20 \times 34) - (1 \times 34) = 680 - 34 = 646$, waarbij $20 \times 34$ berekend wordt via $2 \times 34$ [43](#page=43). > * $12 \times 970$: Kan berekend worden via $(10 \times 970) + (2 \times 970)$, of $(12 \times 900) + (12 \times 70)$, of $(12 \times 1000) - (12 \times 30)$, of $(3 \times 970) \times 4$, of $6 \times 1940$ [43](#page=43). --- # Delen ### 5.1 Inleiding Net als optelling en aftrekking elkaars inverse bewerkingen zijn, vormen vermenigvuldiging en deling ook een paar. Hoewel ze nauw verwant zijn, worden ze in deze tekst apart behandeld voor een duidelijke structuur, hoewel sommige methodes de twee al snel met elkaar vermengen [44](#page=44). ### 5.2 Beginsituatie Kinderen beschikken over informele kennis over delen, vaak beginnend met het begrip 'helft'. Concrete opdrachten waarbij kinderen helften van discontinue grootheden moeten nemen, staan centraal, waarbij handelen en verwoorden belangrijk zijn. De relatie tussen 'helft' en 'dubbel' kan hierbij reeds aan bod komen [44](#page=44). ### 5.3 Aanbrengen van de deling #### 5.3.1 De verdelingsdeling en de verhoudingsdeling Het is cruciaal om onderscheid te maken tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling, die beide kunnen voortvloeien uit dezelfde abstracte opgave zoals $6 \div 2 = 3$ [45](#page=45). * **Verdelingsdeling:** * **Probleemstelling:** Ik heb 6 bloemen die ik wil verdelen over 2 vazen. Hoeveel bloemen zitten in elke vaas [45](#page=45)? * **Gegeven:** Het totaal aantal elementen en het aantal groepjes dat gemaakt moet worden [45](#page=45). * **Gevraagd:** Het aantal elementen per groepje [45](#page=45). * **Aanverwante vermenigvuldiging:** $2 \times 3 = 6$ [45](#page=45). * **Schematische voorstelling:** Wordt visueel weergegeven [45](#page=45). * **Verhoudingsdeling:** * **Probleemstelling:** Ik heb 6 bloemen en wil 2 bloemen per vaas zetten. Hoeveel vazen heb ik nodig [45](#page=45)? * **Gegeven:** Het totaal aantal elementen en het aantal elementen in een groepje [45](#page=45). * **Gevraagd:** Het aantal groepjes [45](#page=45). * **Aanverwante vermenigvuldiging:** $3 \times 2 = 6$ [45](#page=45). * **Schematische voorstelling:** Wordt visueel weergegeven [45](#page=45). #### 5.3.2 Delen op concreet en schematisch niveau In de praktijk komen zowel verhoudings- als verdelingscontexten voor. Veel rekenmethodes starten echter met de verdelingsdeling vanwege de eenvoudiger inzichtelijke aanbreng. Aanvankelijk ligt de klemtoon op het handelen en verwoorden van de nieuwe rekenhandeling. Hierbij worden delingen met en zonder rest behandeld, wat overeenkomt met de dagelijkse realiteit van leerlingen. Andere methodes introduceren deling direct als de omgekeerde bewerking van vermenigvuldiging, waarbij verhoudingsdeling contexten geschikter zijn. Rekenverhalen moeten divers zijn en ook situaties omvatten waarin verdelen niet direct voor de hand ligt, zoals het omrekenen van dagen naar weken [45](#page=45) [46](#page=46). > **Voorbeeld 1 (Verdelingsdeling):** Tien bloemen verdelen over twee vazen, met de vraag hoeveel bloemen er per vaas komen. Leerlingen verwoorden de handeling en de resultaten, waarna de situatie schematisch wordt genoteerd: 10 gelijk verdeeld onder 2 is 5 [46](#page=46). > **Voorbeeld 2 (Verhoudingsdeling):** Tien bloemen en de vraag hoeveel vazen nodig zijn als er 2 bloemen per vaas komen. Leerlingen verwoorden de handeling en de resultaten, waarna de situatie schematisch wordt genoteerd: 10 in groepen van 2 is 5 [47](#page=47). #### 5.3.3 Aanbrengen van het symbool ‘:’ De woorden 'gedeeld door' worden verkort met het symbool ':' [47](#page=47). > **Voorbeeld:** 8 gedeeld door 2 wordt genoteerd als $8: 2$ [47](#page=47). #### 5.3.4 Bepalen van de uitkomst van een deling Na het handelen, verwoorden en noteren, wordt de overgang gemaakt naar herhaalde aftrekking om inzicht te krijgen in het bepalen van de uitkomst van een deling [48](#page=48). > **Voorbeeld:** 14 gommen verdelen over 3 banken. Via herhaaldelijk aftrekken wordt vastgesteld dat elke bank 4 gommen krijgt en er een rest van 2 overblijft. De herhaalde aftrekking wordt als volgt genoteerd [48](#page=48): > > $14 – 3 = 11$ > $11 – 3 = 8$ > $8 – 3 = 5$ > $5 – 3 = 2$ > > Dit betekent dat er 4 keer 3 gommen verdeeld konden worden, met een rest van 2 gommen. De uitkomst is dus 4 met rest 2 [48](#page=48). > > Herhaalde aftrekking is echter omslachtig. Men zoekt daarom snel naar verkorte manieren. De uitdeelcontext sluit aan bij vermenigvuldiging, zoals $3 \times 4$ gommen die werden uitgedeeld. Delingen worden daarom geleerd in relatie tot elementair vermenigvuldigen [49](#page=49). > **Voorbeeld:** Een deling zoals $45 \div 7$ kan worden opgelost door het tafelproduct $42$ te herkennen en het reststukje opzij te zetten. Leerlingen in het tweede leerjaar moeten inzien dat delingstafels worden afgeleid van vermenigvuldigingstafels; parate kennis van delingstafels tot en met 10 is leerstof voor het derde leerjaar [49](#page=49). ### 5.4 Delingen met getallen buiten de delingstafels Wanneer leerlingen vermenigvuldigingstafels geautomatiseerd hebben en effectieve rekenstrategieën beheersen, kan deze kennis dienen als basis voor delingen buiten de standaardtafels. De delingen uit de delingstafels fungeren hierbij als 'kapstokken'. Leerlingen moeten flexibel de meest doelmatige oplossingsmethode kunnen kiezen op basis van inzicht in getalstructuur en de eigenschappen van deling. Ze moeten deze delingen correct kunnen uitvoeren, verwoorden en noteren [50](#page=50). > **Voorbeelden van strategieën voor delingen buiten de delingstafels:** > > * $60 \div 4$ via $40 \div 4$ en $20 \div 4$ [50](#page=50). > * $560 \div 8$ via $56 \div 8$ [50](#page=50). > * $960 \div 8$ via $800 \div 8$ en $160 \div 8$ [50](#page=50). > * $24000 \div 48 = (24000 \div 24) \div 2$ [50](#page=50). > * $24800 \div 16$ via $12400 \div 8$ of $6200 \div 4$ [50](#page=50). > > **Tip:** Bij deze delingen worden de getallen meestal niet gesplitst volgens de tiendelige getalstructuur (tientallen en eenheden), maar op een andere manier geherstructureerd [50](#page=50). ### 5.5 Nataak #### 5.5.1 Nataak 1 * **Werkvorm:** Groepswerk per drie [51](#page=51). * **Geplande werktijd:** 90 minuten [51](#page=51). * **Opdrachten:** Vergelijk de aanbreng van de maal- en deeltafel in drie verschillende handleidingen (Wiskanjers, Wiskidz, zWISo). Onderzoek wat voorafgaat aan de introductie van de eerste maaltafel, de verschillen in de volgorde van aanbreng (afwisselend vs. eerst alle maaltafels), via welke deling de deeltafels worden aangebracht, hoe de link tussen vermenigvuldiging en deling wordt gelegd, welke methode aandacht besteedt aan vermenigvuldigingsstrategieën en hoe maal- en deeltafels speels kunnen worden ingeoefend [51](#page=51). #### 5.5.2 Nataak 2: Facultatief * **Werkvorm:** Per drie [51](#page=51). * **Geplande werktijd:** 2 uur [51](#page=51). * **Opdrachten:** Zoek een rekenspel voor het inoefenen van hoofdrekenen met natuurlijke getallen (gebruik spelotheek, zoek thuis, of ontwerp zelf). Specificeer voor welk leerjaar het spel geschikt is en welke leerdoelen het realiseert. Presenteer het spel kort aan klasgenoten en neem een ontwerp van het spel mee [51](#page=51). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Natuurlijke getallen | De verzameling van de positieve gehele getallen inclusief nul, gebruikt voor het tellen en ordenen van objecten. | | Hoofdbewerkingen | De vier elementaire rekenkundige operaties: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. | | Termen | De getallen die bij optelling of aftrekking bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken worden. | | Som | Het resultaat van een optelling. | | Aftrektal | Het getal waarvan een ander getal wordt afgetrokken. | | Aftrekker | Het getal dat van een ander getal wordt afgetrokken. | | Verschil | Het resultaat van een aftrekking. | | Factoren | De getallen die bij vermenigvuldiging met elkaar vermenigvuldigd worden. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. | | Deeltal | Het getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Het getal waardoor het deeltal gedeeld wordt. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. | | Inwendig | Een bewerking is inwendig in een verzameling als de uitkomst van de bewerking altijd binnen diezelfde verzameling valt. | | Neutraal element | Een element dat bij een bewerking met een ander element geen verandering teweegbrengt in dat element. Voor optelling is dit 0, voor vermenigvuldiging is dit 1. | | Commutatief | Een bewerking is commutatief als de volgorde van de operanden de uitkomst niet verandert (bv. a + b = b + a). | | Associatief | Een bewerking is associatief als de groepering van de operanden de uitkomst niet verandert (bv. (a + b) + c = a + (b + c)). | | Opslorpend element | Een element dat bij een bewerking met een ander element altijd resulteert in dat opslorpende element. Voor vermenigvuldiging is dit 0. | | Distributief | Een bewerking is distributief ten opzichte van een andere bewerking als het toepassen van de ene bewerking op de andere de uitkomst niet verandert (bv. a × (b + c) = (a × b) + (a × c)). | | Elementaire optellingen/aftrekkingen/vermenigvuldigingen/delingen | Basisrekenoefeningen die leerlingen paraat moeten kennen om complexere berekeningen te kunnen uitvoeren. | | Gestandaardiseerd hoofdrekenen | Het oplossen van een bepaald type oefening volgens een vaste, uniforme rekenprocedure, onafhankelijk van de specifieke getallen. | | Flexibel hoofdrekenen | Een opgave- of getalspecifieke aanpak voor hoofdrekenen, waarbij de methode wordt aangepast aan de structuur van de getallen. | | Brug over tien | Een techniek bij optellen en aftrekken waarbij een getal wordt aangevuld tot het volgende tiental, wat het rekenen vereenvoudigt. | | Verdelingsdeling | Een deling waarbij een hoeveelheid gelijk verdeeld wordt over een bepaald aantal groepen, en het aantal elementen per groep wordt gevraagd. | | Verhoudingsdeling | Een deling waarbij een hoeveelheid wordt opgedeeld in groepen van een bepaald aantal elementen, en het aantal groepen wordt gevraagd. | | Herhaalde optelling | Het optellen van een getal bij zichzelf meerdere keren, wat equivalent is aan vermenigvuldiging. | | Herhaalde aftrekking | Het herhaaldelijk aftrekken van een bepaald getal, wat equivalent is aan deling. | | Rekenverhaal | Een tekstuele opdracht die een rekenkundige situatie beschrijft, bedoeld om inzicht te geven in de toepassing van wiskundige concepten. | | Begripsvorming | Het proces van het ontwikkelen van een diepgaand begrip van wiskundige concepten en hun onderlinge relaties. |

# Rekenstrategieën voor hoofdrekenen met kommagetallen Dit hoofdstuk behandelt diverse strategieën voor het hoofdrekenen met kommagetallen, inclusief optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, met als doel het correct oplossen van deze oefeningen door het gebruik van de juiste technieken [3](#page=3). ### 1.1 Algemene benadering Het hoofdrekenen met kommagetallen verloopt analoog aan het rekenen met natuurlijke getallen. Een kerntechniek is het omzetten van kommagetallen naar eenheden zoals tientallen ($t$), honderdsten ($h$) of duizendsten ($d$), waardoor er gerekend kan worden zonder komma's. Het aanvullen met nullen kan hierbij nuttig zijn [3](#page=3). ### 1.2 Optellen en aftrekken met kommagetallen De strategieën voor optellen en aftrekken met kommagetallen zijn gebaseerd op het omzetten naar eenheden zoals tientallen of honderdsten, of door het getal op te splitsen [3](#page=3). **Voorbeelden:** * $8,4 + 0,7$ kan worden berekend als $84t + 7t = 91t = 9,1$ [3](#page=3). * Alternatief kan $8,4 + 0,7$ worden opgesplitst: $8,4 + 0,6 + 0,1 = 9 + 0,1 = 9,1$ [3](#page=3). * Voor $8,4 + 1,66$ wordt het omgezet naar honderdsten: $8,40 + 1,66 = 840h + 166h = 1006h = 10,06$ [3](#page=3). * Ook hier is opsplitsen een optie: $8,40 + 1,60 + 0,06 = 10 + 0,06 = 10,06$ [3](#page=3). * Voor aftrekken, zoals $8,5 – 3,6$, wordt het omgezet naar tientallen: $85t – 36t = 85t – 35t – 1t = 50t - 1t = 49t = 4,9$ [3](#page=3). * Opgesplitst: $8,5 – 3,5 – 0,1 = 5 – 0,1 = 4,9$ [3](#page=3). ### 1.3 Vermenigvuldigen met kommagetallen Er zijn diverse strategieën voor het vermenigvuldigen van kommagetallen [4](#page=4). #### 1.3.1 Omzetten naar tientallen, honderdsten of duizendsten Het vermenigvuldigtal kan worden omgezet naar $t$, $h$, of $d$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $7 \times 0,6 = 7 \times 6t = 42t = 4,2$ [4](#page=4). #### 1.3.2 Gebruik van de vermenigvuldigingswip De vermenigvuldigingswip is nuttig wanneer zowel de vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal kommagetallen zijn. Dit principe houdt in dat het vermenigvuldigen van twee getallen met een komma gelijk is aan het vermenigvuldigen van de getallen zonder komma, waarna de positie van de komma wordt aangepast [4](#page=4). **Voorbeelden:** * $0,7 \times 0,6$: Hierbij kan men denken aan $10 \times$ bij de ene factor en $:10$ bij de andere [4](#page=4). $0,7 \times 0,6 = 7 \times 0,06 = 7 \times 6h = 42h = 0,42$ [4](#page=4). * $0,6 \times 0,08$: $0,6 \times 0,08 = 6 \times 0,008 = 6 \times 8d = 48d = 0,048$ [4](#page=4). * $15 \times 1,2$: Hierbij kan men bijvoorbeeld deelt door 5 en vermenigvuldigt met 5 om het makkelijker te maken [4](#page=4). $15 \times 1,2$: $(15:5) \times (1,2 \times 5) = 3 \times 6 = 18$ [4](#page=4). #### 1.3.3 Vermenigvuldigen door om te zetten naar een breuk Het omzetten van minstens één factor naar een breuk kan de berekening vereenvoudigen [4](#page=4). **Handige omzettingen:** * $0,25 = \frac{1}{4}$ [4](#page=4). * $0,125 = \frac{1}{8}$ [4](#page=4). * $0,375 = \frac{3}{8}$ [4](#page=4). * $0,625 = \frac{5}{8}$ [4](#page=4). * $0,75 = \frac{3}{4}$ [4](#page=4). * $0,875 = \frac{7}{8}$ [4](#page=4). **Voorbeelden:** * $35,5 \times 0,2 = 35,5 \times \frac{1}{5} = 35,5: 5 = 7,1$ [4](#page=4). * $0,75 \times 24 = \frac{3}{4} \times 24 = (24: 4) \times 3 = 6 \times 3 = 18$ [4](#page=4). #### 1.3.4 Andere rekenregels voor vermenigvuldigen * Vermenigvuldigen met $0,1$ is gelijk aan delen door $10$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $125 \times 0,1 = 125 \times \frac{1}{10} = 125: 10 = 12,5$ [4](#page=4). * Vermenigvuldigen met $0,01$ is gelijk aan delen door $100$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $136 \times 0,01 = 136 \times \frac{1}{100} = 136: 100 = 1,36$ [4](#page=4). * Vermenigvuldigen met $0,5$ is gelijk aan delen door $2$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $78 \times 0,5 = 78 \times \frac{1}{2} = 78: 2 = 39$ [4](#page=4). ### 1.4 Delen met kommagetallen Bij het delen met kommagetallen zijn er ook verschillende strategieën toepasbaar [5](#page=5). #### 1.4.1 Omzetten naar tientallen, honderdsten of duizendsten Het deeltal en/of de deler kunnen worden omgezet naar $t$, $h$, of $d$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5,4: 9 = 54t: 9 = 6t = 0,6$ [5](#page=5). * Voor $7,2: 0,8$ worden beide omgezet naar tientallen: $72t: 8t = 9$. Dit kan worden gezien als een verhoudingsdeling: hoe vaak past $8t$ in $72t$? [5](#page=5). #### 1.4.2 Gebruik van de delingshalter De delingshalter is gebaseerd op het principe dat het deeltal en de deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd of gedeeld mogen worden zonder dat de uitkomst verandert [5](#page=5). **Voorbeelden:** * $7,2: 0,8$: Beide getallen worden vermenigvuldigd met $10$ [5](#page=5). $(7,2 \times 10): (0,8 \times 10) = 72: 8 = 9$ [5](#page=5). * $122,5: 2,5$: Beide getallen worden vermenigvuldigd met $4$ om de deler een geheel getal te maken [5](#page=5). $(122,5 \times 4): (2,5 \times 4) = 490: 10 = 49$ [5](#page=5). #### 1.4.3 Andere rekenregels voor delen * Delen door $0,1$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $10$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5: 0,1 = 5 \times 10 = 50$ (dit omdat $1t$ 50 keer in 5 past) [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $245: 0,1 = 245 \times 10 = 2450$ [5](#page=5). * Delen door $0,01$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $100$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5: 0,01 = 5 \times 100 = 500$ (dit omdat $1h$ 500 keer in 5 past) [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $24,5: 0,01 = 24,5 \times 100 = 2450$ [5](#page=5). * Delen door $0,001$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $1000$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5: 0,001 = 5 \times 1000 = 5000$ (dit omdat $1d$ 5000 keer in 5 past) [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $0,57: 0,001 = 0,57 \times 1000 = 570$ [5](#page=5). * Delen door $0,5$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $2$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $3: 0,5 = 3 \times 2 = 6$ [5](#page=5). ### 1.5 Oefeningen Hieronder volgen oefeningen om de geleerde rekenstrategieën toe te passen [6](#page=6). 1. $127,35 : 0,01 =$ 2. $856 \times 0,375 =$ 3. $2512 : 0,25 =$ 4. $999,99 + 2,11 =$ 5. $234 : 1,5 =$ 6. $89 \times 2,5 =$ 7. $4215 : 1,5 =$ 8. $50 \times 0,75 =$ 9. $0,5 \times 3,2 =$ 10. $2,1 \times 0,7 =$ 11. $8,3 : 0,02 =$ 12. $73,5 : 0,2 =$ 13. $538 \times 0,1 =$ 14. $23,4 : 6 =$ 15. $0,245 \times 98 =$ 16. $0,9 \times 31 =$ 17. $352,28 + 0,073 =$ 18. $2,35 — 0,035 =$ 19. $4,45 + 0,6 =$ 20. $8 : 25 =$ Extra oefeningen zijn te vinden op de TOLEDO course “Wiskunde oefenpakket UCLL” [6](#page=6). --- # Kommagetallen in de lagere school Dit gedeelte van de studiehandleiding behandelt de didactiek van kommagetallen in het lager onderwijs, met de focus op hoe deze concepten geïntroduceerd, begrepen en toegepast kunnen worden door middel van metend rekenen en MAB-materiaal [7](#page=7). ### 2.1 Vakdidactische leerdoelen * Je kan kommagetallen inzichtelijk introduceren in het lager onderwijs vanuit realistische contexten [7](#page=7). * Je kan alle mogelijke types hoofdrekenen met kommagetallen rubriceren in een overzicht [7](#page=7). * Je kan bij elk type oefening de oplossingswijze inzichtelijk aanbrengen, voortbouwend op de voorkennis van leerlingen [7](#page=7). ### 2.2 Voortaak De voortaak omvat groepswerk om het leerplan te raadplegen over de introductie van kommagetallen, het bekijken van een demonstratieles met observatieopdrachten, en het grondig bestuderen van de volgende secties inclusief het oplossen van geïntegreerde opdrachten en het noteren van vragen [7](#page=7). ### 2.3 Kommagetallen aanbrengen vanuit metend rekenen Het aanbrengen van kommagetallen via metend rekenen is voordelig omdat concrete meetcontexten voor kinderen beter voorstelbaar zijn dan onbenoemde getallen [8](#page=8). #### 2.3.1 Een betekenisvolle meetcontext Kommagetallen worden vaak in de praktijk ervaren bij het werken met meetgetallen [8](#page=8). > **Voorbeeld:** De vraag "Welke van de volgende getallen ligt het dichtst bij 1,98?" is moeilijk zonder context. Met de toevoeging van de grootheid kilogram (bijvoorbeeld 2,12 kg, 1,9 kg, 1,895 kg, 2,001 kg) wordt de opgave vereenvoudigd door omzetting naar gram (2120 g, 1900 g, 1895 g, 2001 g) [8](#page=8). Leerlingen komen al vroeg in contact met kommagetallen, bijvoorbeeld met geldwaarden in euro vanaf het tweede leerjaar, waarbij ze geldwaarden met maximaal twee decimalen leren lezen (bv. 2,50 euro als twee en een halve euro). Vanaf het vierde leerjaar worden kommagetallen verder geïntroduceerd [8](#page=8) [9](#page=9). #### 2.3.2 Handelen en verwoorden Een methode om decimale getallen te introduceren is via de concrete relatie meter (m) en decimeter (dm). Leerlingen meten stroken en noteren de lengtes, bijvoorbeeld [9](#page=9): * Strook 1: 1 m of 10 dm * Strook 2: 1 dm * Strook 3: 4 dm * Strook 4: 1 m 7 dm of 17 dm * Strook 5: 1 m 2 dm of 12 dm Door de eerste strook (1 meter) in decimeters te verdelen, wordt duidelijk dat 1 dm gelijk is aan 1/10 m. De lengtes worden vervolgens in de maateenheid meter weergegeven, eerst in tiendelige breuken [9](#page=9): * Strook 1: 1 m * Strook 2: 1/10 m * Strook 3: 4/10 m * Strook 4: 1 m + 7/10 m * Strook 5: 1 m + 2/10 m Grotere afmetingen, zoals de speelplaats (bv. 34 m en 3 dm lang), worden ook omgezet naar meters [9](#page=9): * 34 m + 3/10 m * 19 m + 8/10 m #### 2.3.3 Schematiseren en verwoorden De maten worden in een tabel geplaatst, waarbij de positietabel uitgebreid wordt met een kolom voor de tienden (t). Dit toont aan dat een cijfer rechts van een ander cijfer tien keer kleiner is in waarde, waardoor de positietabel naar rechts kan worden uitgebreid. De komma wordt niet in de tabel genoteerd, maar wordt cruciaal bij het lezen van het getal uit de tabel [10](#page=10). #### 2.3.4 Noteren en lezen Omdat het werken met tabellen lastig is, wordt de komma geïntroduceerd om de positie van de eenheden aan te geven. Getallen worden genoteerd als 1,7 m, 34,3 m, 19,8 m, etc. Het correct lezen van deze getallen is essentieel, bijvoorbeeld "vierendertig meter drie decimeter" of "vierendertig meter en drie tienden" [10](#page=10). ### 2.4 Kommagetallen aanbrengen met MAB-materiaal MAB-materiaal is geschikt om het tientallig stelsel uit te breiden naar decimalen. Een kubus van duizend wordt als één eenheid beschouwd. Een vlak wordt gebruikt om de eenheid in tien gelijke delen te verdelen, wat resulteert in "één tiende" of 1/10. De nieuwe schrijfwijze wordt aangeleerd door hoeveelheden in een tabel te noteren, waarbij een komma tussen de eenheden en de tienden wordt geplaatst. Wanneer de kubus de eenheid wordt, wordt het tiental een superstaaf en het honderdtal een superplak, die echter niet gematerialiseerd worden [11](#page=11). ### 2.5 Getallenkennis inoefenen Kommagetallen worden ondersteund door ze uitgebreid te lezen, bijvoorbeeld [12](#page=12): * 0,7 = (0 gehelen) 7 tienden (in plaats van 0 komma 7) * 2,53 = 2 gehelen 53 honderdsten of 2 gehelen 5 tienden en 3 honderdsten of 253 honderdsten (in plaats van 2 komma 53) Het concreet vormen, schematisch en abstract noteren van kommagetallen moet herhaaldelijk worden ingeoefend. Daarbij moet de strikte regelmaat van het getalsysteem benadrukt worden: de waarde van een cijfer is steeds tien keer groter dan het cijfer rechts ervan, en één tiende van het cijfer links ervan [12](#page=12). > **Voorbeeld:** Oefeningen die de structuur van kommagetallen versterken, zoals het plaatsen van getallen op een getallenlijn of het vinden van getallen tussen twee gegeven getallen, zijn belangrijk [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15). Leerlingen kunnen denkfouten maken, bijvoorbeeld in het begrijpen van de dichtheid van kommagetallen (het kleinste kommagetal groter dan 0). Remediatie richt zich op het verduidelijken van de positiewaarde en het getalbegrip [14](#page=14) [15](#page=15). > **Tip:** Gebruik websites zoals www.rekenweb.nl voor spelletjes om kommagetallen in te oefenen, zoals betalen met euro's of balloon pop math [14](#page=14). ### 2.6 Optellen en aftrekken met kommagetallen Leerlingen moeten optellingen en aftrekkingen met kommagetallen (maximaal drie decimalen) uit het hoofd kunnen uitvoeren. Dit gebeurt stapsgewijs [16](#page=16): 1. Werken met materiaal en de handeling verwoorden. 2. Werken met materiaal, verwoorden, en de lange notatie van de handeling en het resultaat noteren. 3. De handeling en het resultaat uitvoerig verwoorden. 4. Automatiseren. #### 2.6.1 Types oefeningen Oefeningen worden ingedeeld in optellen en aftrekken, met en zonder overschrijding, en met verschillende combinaties van tienden (t) en eenheden (E) [16](#page=16). | | Zonder overschrijding | Met overschrijding | Zonder overschrijding | Met overschrijding | | :------------- | :-------------------- | :----------------- | :-------------------- | :----------------- | | t + t | vb.: | vb.: | | | | E + t | vb.: | vb.: | | | | Et + E | vb.: | vb.: | | | | Et + Et | vb.: | vb.: | | | | t - t | vb.: | | vb.: | vb.: | | Et - t | vb.: | | vb.: | vb.: | | Et - E | vb.: | | vb.: | vb.: | | Et - Et | vb.: | | vb.: | vb.: | #### 2.6.2 Zonder overschrijding Het eenvoudigste type (t +/- t zonder overschrijding) wordt eerst aangeboden en de moeilijkheidsgraad wordt langzaam opgevoerd [17](#page=17). > **Voorbeeld:** Voor 0,3 + 0,4 wordt MAB-materiaal gebruikt om drie tienden en vier tienden bij elkaar te voegen, wat resulteert in zeven tienden (0,7). Schematisch wordt dit weergegeven door stroken in te kleuren [17](#page=17). > Notatie: $0,3 + 0,4 = 3t + 4t = 7t = 0,7$ [17](#page=17). Oefeningen met eenheden en tienden (bv. E + t, Et + t) worden analoog uitgewerkt met MAB-materiaal [17](#page=17). #### 2.6.3 Met overschrijding Bij bewerkingen met overschrijding is het cruciaal dat de tiendelige getalstructuur zichtbaar blijft in zowel de concrete als schematische fasen. Met MAB-materiaal worden tien tienden omgewisseld voor één eenheid. Schematisch wordt eerst een strook van tien vakjes (tien tienden) gevuld [18](#page=18). > **Voorbeeld:** Voor 3,3 – 0,8 wordt met MAB-materiaal 3 eenheden en 3 tienden gelegd. Om 8 tienden weg te nemen, worden eerst 3 tienden weggenomen. Vervolgens wordt een eenheid omgewisseld in tien tienden, waarvan er nog 5 worden weggenomen. Dit resulteert in 2 eenheden en 5 tienden (2,5) [18](#page=18). > Abstracte notatie: $3,3 - 0,8 = 3E + 3t - 8t = 3E + 3t - 3t - 5t = 3E - 5t = 2E + 10t - 5t = 2E + 5t = 2,5$ [18](#page=18). Leerlingen krijgen de kans om eigen, correcte strategieën te ontwikkelen [18](#page=18). > **Opdracht:** Zoek zoveel mogelijk verschillende oplossingswijzen voor oefeningen als 3,7 + 2,2 en 1,05 – 0,06 [19](#page=19). ### 2.7 Kommagetallen vermenigvuldigen #### 2.7.1 Types oefeningen De typen vermenigvuldigingen omvatten: het vermenigvuldigtal is een kommagetal, het vermenigvuldiger is een kommagetal, en zowel het vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal zijn kommagetallen. Een speciaal geval is het vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 [20](#page=20). #### 2.7.2 Het vermenigvuldigtal is een kommagetal Bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met een natuurlijk getal, wordt uitgegaan van het aanwijzen van fracties van een strook [20](#page=20). > **Voorbeeld:** 2 × 0,3 (twee keer 3 tienden) wordt voorgesteld als 6 tienden (0,6) [20](#page=20). > $1 \times 0,3 = 0,3$ [20](#page=20). > $2 \times 0,3 = 6t = 0,6$ [20](#page=20). > $3 \times 0,3 = 9t = 0,9$ [20](#page=20). > $4 \times 0,3 = 12t = 1E + 2t = 1,2$ [20](#page=20). De tafels van vermenigvuldiging worden opgebouwd met kommagetallen. Belangrijk is dat leerlingen inzien dat als het vermenigvuldigtal kleiner is dan 1, het product kleiner is dan de vermenigvuldiger [21](#page=21). > **Opdracht:** Los oefeningen op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden, bv. $3 \times 0,7$ en $3 \times 2,3$ [21](#page=21). Het tellen met sprongen en het gebruik van de getallenlijn zijn handige leermiddelen [21](#page=21). #### 2.7.3 De vermenigvuldiger is een kommagetal Het is lastig voor leerlingen te begrijpen dat vermenigvuldigen met een tiende de rang van het cijfer deelt door tien, waardoor de cijferwaarden "met een rang naar rechts opschuiven" en verkleinen. Er wordt gestart met voorbeelden waarbij de vermenigvuldiger een begrijpelijk getal is, zoals 0,5 (helft nemen) of 0,1 (tiende nemen) [22](#page=22). > **Voorbeeld:** $0,5 \times 8$ = de helft van 8 = 4 [22](#page=22). > $0,2 \times 4 = \frac{1}{5} \times 4 = 0,8$ [22](#page=22). De plaats van de komma kan bepaald worden aan de hand van een schatting. De commutatieve eigenschap van de vermenigvuldiging is ook een handige methode [22](#page=22). > **Voorbeeld:** $0,2 \times 4 = 4 \times 0,2 = 4 \times 2t = 8t = 0,8$ [23](#page=23). > **Opdracht:** Los de oefening $2,5 \times 5$ op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden [23](#page=23). #### 2.7.4 Kommagetallen vermenigvuldigen met tien, honderd en duizend Door het tienvoud, honderdvoud en duizendvoud van kommagetallen te berekenen en de resultaten te bespreken, wordt de regel afgeleid: bij vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 schuift de komma één, twee of drie plaatsen naar rechts [23](#page=23). > **Voorbeelden:** > $10 \times 3,1 = 31$ [23](#page=23). > $100 \times 3,1 = 310$ [23](#page=23). > $1000 \times 3,1 = 3100$ [23](#page=23). > **Opdracht:** Los oefeningen op met de lange notatie (zonder de regel van het verschuiven van de komma toe te passen), bv. $10 \times 7,356$ [24](#page=24). #### 2.7.5 Een kommagetal vermenigvuldigen met een kommagetal In het zesde leerjaar kunnen leerlingen eenvoudige vermenigvuldigingen met kommagetallen uitvoeren. Oefeningen met 0,1; 0,01; 0,001 en 0,5 worden benadrukt [24](#page=24). > **Opdracht:** Wat klopt er niet aan het antwoord van de leerling: $0,5 \times 0,8 = 40t = 4$ [24](#page=24)? Oefeningen waarbij de leerlingen de handeling concreet kunnen voorstellen, zoals 0,5 keer iets nemen, worden gebruikt [24](#page=24). > **Voorbeeld:** $0,5 \times 0,8$ = de helft van 0,8 = 0,4 [24](#page=24). > $0,1 \times 8,6$ = een tiende keer 8,6 = een tiende deel van 8,6 = 0,86 [24](#page=24). ### 2.8 Kommagetallen delen #### 2.8.1 Types oefeningen Verschillende types delingen komen voor: een kommagetal gedeeld door een natuurlijk getal, een natuurlijk getal gedeeld door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt, een natuurlijk getal gedeeld door een kommagetal, en een kommagetal gedeeld door een eenvoudig kommagetal. Speciale gevallen zijn delen door 10, 100 of 1000 [25](#page=25). #### 2.8.2 Een kommagetal delen door een natuurlijk getal Bij het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal ontstaan geen speciale problemen bij voldoende getalbegrip [26](#page=26). > **Voorbeeld:** 0,8 verdelen in 2 gelijke delen geeft 0,4 per deel [26](#page=26). > Notatie: $0,8: 2 = 0,4$ [26](#page=26). > $1,2: 3 = 12t: 3 = 4t = 0,4$ [26](#page=26). Leerlingen worden aangemoedigd om meerdere oplossingswijzen te vinden [26](#page=26). > **Opdracht:** Los oefeningen op met zoveel mogelijk verschillende oplossingswijzen, bv. $6,4: 2$ en $0,035: 5$ [26](#page=26). #### 2.8.3 Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt Deze oefeningen worden analoog aangebracht aan de vorige sectie [27](#page=27). > **Voorbeeld:** $1: 2 = 10t: 2 = 5t = 0,5$ [27](#page=27). > $2: 5 = 20t: 5 = 4t = 0,4$ [27](#page=27). > **Opdracht:** Los oefeningen op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden, bv. $4: 20$ [27](#page=27). #### 2.8.4 Kommagetallen delen door tien en honderd, natuurlijke getallen delen door tien, honderd en duizend met een kommagetal als quotiënt Door delingen door 10, 100 en 1000 te vergelijken, wordt de regel ontdekt: bij delen door 10, 100 of 1000 schuift de komma één, twee of drie plaatsen naar links [28](#page=28). > **Voorbeelden:** > $375: 10 = 37,5$ [28](#page=28). > $18,6: 10 = 1,86$ [28](#page=28). > **Opdracht:** Los oefeningen op de lange manier op (zonder de rekenregel met het verplaatsen van de komma), bv. $39,75: 10$ [28](#page=28). #### 2.8.5 Een natuurlijk getal delen door een kommagetal Het delen door een kommagetal kleiner dan één is lastig omdat delen normaal gesproken een getal kleiner maakt, terwijl hier het resultaat groter wordt dan het deeltal (bv. 4: 0,1 = 40). Dit kan enkel op abstract niveau worden begrepen. Een concrete context van metend rekenen met verhoudingsdeling kan verduidelijking bieden [29](#page=29). > **Voorbeeld:** Hoeveel planken van verschillende lengtes zijn nodig om een lengte van 4 meter vol te leggen? > * 4m planken: 4: 4 = 1 plank [29](#page=29). > * 2m planken: 4: 2 = 2 planken [29](#page=29). > * 0,5m planken: 4: 0,5 = 8 planken [29](#page=29). > * 0,1m planken: 4: 0,1 = 40 planken [29](#page=29). Abstract worden deze oefeningen het handigst opgelost met de delingshalter (het quotiënt blijft hetzelfde als deler en deeltal met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of gedeeld) [29](#page=29). > **Voorbeeld:** > $10: 0,2 = 100: 2 = 50$ [29](#page=29). > $4,2: 0,07 = 420: 7 = 60$ [29](#page=29). > **Opdracht:** Los de oefening $7,5: 0,15$ op [29](#page=29). --- # Oefeningen en toepassingen met kommagetallen Dit gedeelte behandelt diverse oefeningen en toepassingen met kommagetallen, met een focus op de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Er wordt aandacht besteed aan veelvoorkomende denkfouten van leerlingen en strategieën voor remediëring [14](#page=14) [6](#page=6). ### 3.1 Inleiding en algemene oefeningen Het inoefenen van kommagetallen kan worden ondersteund door middel van online spelletjes. Er worden verschillende soorten oefeningen gepresenteerd om denkfouten te identificeren en remediëringsstrategieën te ontwikkelen [14](#page=14). #### 3.1.1 Plaatsen op de getallenas Een fundamenteel aspect van het werken met kommagetallen is het correct plaatsen ervan op een getallenas. Dit helpt bij het ontwikkelen van inzicht in de grootte en relatieve positie van getallen [14](#page=14). > **Voorbeeld:** Plaats de getallen 4,8; 4,10 en 4,015 op de getallenas [14](#page=14). #### 3.1.2 Volgende en tussenliggende getallen Het bepalen van het getal dat direct volgt op een gegeven kommagetal, of een getal dat tussen twee gegeven kommagetallen ligt, oefent het begrip van de opeenvolging en dichtheid van kommagetallen [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Noteer het getal dat meteen volgt op 14,455 [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Welk getal ligt tussen 15,45 en 15,47? [15](#page=15). #### 3.1.3 Beoordeling van leerlingoplossingen en aanpassing van opgaven Het analyseren van de antwoorden van leerlingen op kommagetalopgaven is cruciaal voor het identificeren van misconcepties. Het aanpassen van de opgaven om ze duidelijker te maken, is een belangrijke remediëringsstrategie [15](#page=15). ### 3.2 Optellen en aftrekken met kommagetallen Leerlingen moeten optellingen en aftrekkingen met kommagetallen (maximaal drie decimalen) uit het hoofd kunnen uitvoeren. Dit wordt opgebouwd via verschillende fasen: werken met materiaal, uitvoerig verwoorden, lange notatie noteren, en uiteindelijk automatiseren [16](#page=16). #### 3.2.1 Types oefeningen bij optellen en aftrekken Er worden verschillende typen oefeningen onderscheiden, gebaseerd op het al dan niet overschrijden van eenheden en het aantal decimalen. Deze kunnen worden ingedeeld naar: * **Optellen:** * Zonder overschrijding: * Tientallen + Tientallen (t + t) [16](#page=16). * Eenheden + Tientallen (E + t) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden + Tientallen (Et + t) [16](#page=16). * Eenheden + Eenheden (E + E) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden + Eenheden (Et + E) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden + Tientallen van Eenheden (Et + Et) [16](#page=16). * Met overschrijding [16](#page=16): * t + t [16](#page=16). * E + t [16](#page=16). * Et + t [16](#page=16). * Et + E [16](#page=16). * Et + Et [16](#page=16). * **Aftrekken:** * Zonder overschrijding: * Tientallen – Tientallen (t – t) [16](#page=16). * Eenheden – Tientallen (E – t) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden – Eenheden (Et – E) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden – Tientallen van Eenheden (Et – Et) [16](#page=16). * Met overschrijding [16](#page=16): * t – t [16](#page=16). * Et – t [16](#page=16). * Et – E [16](#page=16). * Et – Et [16](#page=16). #### 3.2.2 Zonder overschrijding Bij oefeningen zonder overschrijding wordt gestart met de eenvoudigste vorm (bijvoorbeeld tienden + tienden) en de moeilijkheidsgraad wordt geleidelijk opgevoerd. MAB-materiaal en schematische voorstellingen helpen bij het visualiseren van de bewerkingen [17](#page=17). > **Voorbeeld:** 0,3 + 0,4 [17](#page=17). > **Opdracht:** Werk 0,8 – 0,5 uit analoog aan het voorbeeld [17](#page=17). > **Opdracht:** Bedenk een passend rekenverhaal voor 1,2 + 0,3 [17](#page=17). #### 3.2.3 Met overschrijding Bij bewerkingen met overschrijding is het cruciaal dat de tiendelige getalstructuur zichtbaar blijft, zowel concreet (omwisselen van tien tienden voor één eenheid) als schematisch (vullen van stroken) [18](#page=18). > **Voorbeeld:** 3,3 – 0,8. Hierbij wordt getoond hoe een eenheid wordt omgewisseld in tien tienden om de aftrekking mogelijk te maken [18](#page=18). > Abstract wordt dit genoteerd als: > $$3,3 - 0,8 = 3E + 3t - 8t$$ > $$= 3E + 3t - 3t - 5t$$ > $$= 3E - 5t$$ > $$= 2E + 10t - 5t$$ > $$= 2E + 5t$$ > $$= 2,5$$ [18](#page=18). Het stimuleren van leerlingen om eigen, correcte strategieën te ontwikkelen is belangrijk bij hoofdrekenen [18](#page=18). > **Opdracht:** Zoek zo veel mogelijk verschillende oplossingswijzen voor: 3,7 + 2,2; 8,4 – 3,1; 1,05 – 0,06; 1,3 – 0,8; 5,125 – 1,005 [19](#page=19). ### 3.3 Kommagetallen vermenigvuldigen #### 3.3.1 Types oefeningen bij vermenigvuldigen De oefeningen met kommagetallen vermenigvuldigen kunnen worden onderverdeeld in: * Vermenigvuldigtal is een kommagetal [20](#page=20). * Speciaal geval: kommagetal vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 [20](#page=20). * Vermenigvuldiger is een kommagetal [20](#page=20). * Vermenigvuldiger én vermenigvuldigtal zijn kommagetallen [20](#page=20). #### 3.3.2 Het vermenigvuldigtal is een kommagetal Bij deze oefeningen wordt de betekenis van vermenigvuldigen met een kommagetal bevraagd, waarbij wordt geïllustreerd hoe herhaald optellen leidt tot de oplossing. Het inzicht dat het product kleiner is dan de vermenigvuldiger wanneer deze kleiner is dan 1, is essentieel [21](#page=21). > **Voorbeeld:** 2  0,3 [20](#page=20). > Dit illustreert hoe de tafel van vermenigvuldiging kan worden opgebouwd met kommagetallen, bijvoorbeeld de tafel van 0,3 [21](#page=21). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden: 3  0,7; 3  2,3 [21](#page=21). Het tellen met sprongen en het gebruik van de getallenlijn kunnen hierbij nuttig zijn [21](#page=21). #### 3.3.3 De vermenigvuldiger is een kommagetal Leerlingen vinden het soms moeilijk te begrijpen dat vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1 resulteert in een kleiner product. Concepten zoals "de helft nemen" (0,5 keer) of "een tiende deel nemen" (0,1 keer) worden gebruikt om dit te verduidelijken [22](#page=22). > **Voorbeeld:** 0,5  8 = de helft van 8 = 4 [22](#page=22). > **Voorbeeld:** 0,2  4 = $\frac{1}{5}$ keer 4 = 0,8 [22](#page=22). Het bepalen van de plaats van de komma kan door middel van schatten worden ingeoefend. De commutatieve eigenschap kan ook een handige werkwijze zijn [22](#page=22). > **Voorbeeld:** 0,2  4 = 4  0,2 = 4  2 tienden = 8 tienden = 0,8 [23](#page=23). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden: 2,5  5 [23](#page=23). #### 3.3.4 Kommagetallen vermenigvuldigen met tien, honderd en duizend Bij het vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 wordt de komma één, twee of drie plaatsen naar rechts verschoven. Dit wordt afgeleid uit concrete voorbeelden [23](#page=23). > **Voorbeeld:** > $$10 \times 3,1 = 31$$ [23](#page=23). > $$100 \times 3,1 = 310$$ [23](#page=23). > $$1000 \times 3,1 = 3100$$ [23](#page=23). > **Opdracht:** Los op met de lange notatie (zonder de regel van het verschuiven van de komma toe te passen): 10  7,356; 100  18,205; 1000  7,356 [24](#page=24). #### 3.3.5 Een kommagetal vermenigvuldigen met een kommagetal Leerlingen moeten het product kunnen berekenen van een eenvoudig kommagetal met een kommagetal. Er wordt bijzondere aandacht besteed aan vermenigvuldigingen naar analogie met vermenigvuldigingstafels en vermenigvuldigen met 0,1; 0,01 en 0,5 [24](#page=24). > **Opdracht:** Wat klopt er niet aan 0,5  0,8 = 40 tienden = 4? [24](#page=24). Het product is kleiner dan het deeltal omdat de vermenigvuldiger kleiner is dan 1 [24](#page=24). > **Voorbeeld:** 0,5  0,8 = de helft van 0,8 = 0,4 [24](#page=24). > **Voorbeeld:** 0,1  8,6 = een tiende deel van 8,6 = 0,86 [24](#page=24). ### 3.4 Kommagetallen delen #### 3.4.1 Types oefeningen bij delen Bij het delen van kommagetallen kunnen verschillende types oefeningen voorkomen [25](#page=25): * Kommagetal gedeeld door een natuurlijk getal [25](#page=25). * Speciaal geval: Kommagetal gedeeld door 10, 100 [25](#page=25). * Natuurlijk getal gedeeld door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt [25](#page=25). * Speciaal geval: Natuurlijk getal delen door 10, 100 of 1000 [25](#page=25). * Natuurlijk getal gedeeld door een kommagetal [25](#page=25). * Kommagetal gedeeld door een eenvoudig kommagetal [25](#page=25). #### 3.4.2 Een kommagetal delen door een natuurlijk getal Bij het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal ontstaan geen speciale problemen als leerlingen voldoende getalbegrip hebben. Het tienden, honderdsten, enzovoort, kunnen verder worden verdeeld [26](#page=26). > **Voorbeeld:** 0,8: 2 = 0,4 [26](#page=26). > **Voorbeeld:** 1,2: 3 = 12 tienden: 3 = 4 tienden = 0,4 [26](#page=26). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingswijzen: 6,4: 2; 0,035: 5 [26](#page=26). #### 3.4.3 Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt Deze oefeningen worden analoog aangebracht als het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal [27](#page=27). > **Voorbeeld:** 1: 2 = 10 tienden: 2 = 5 tienden = 0,5 [27](#page=27). > **Voorbeeld:** 2: 5 = 20 tienden: 5 = 4 tienden = 0,4 [27](#page=27). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden: 4: 20; 3: 15 [27](#page=27). #### 3.4.4 Kommagetallen delen door tien en honderd, natuurlijke getallen delen door tien, honderd en duizend met een kommagetal als quotiënt Bij het delen door 10, 100 of 1000 wordt de komma één, twee of drie plaatsen naar links verschoven. Dit wordt afgeleid uit concrete voorbeelden [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > $$375: 10 = 37,5$$ [28](#page=28). > $$18,6: 10 = 1,86$$ [28](#page=28). > **Opdracht:** Los op op de lange manier (zonder de rekenregel met het verplaatsen van de komma): 39,75: 10; 193,2: 100; 7: 1000 [28](#page=28). #### 3.4.5 Een natuurlijk getal delen door een kommagetal Delen door een kommagetal kleiner dan één leidt tot een resultaat dat groter is dan het deeltal, wat een hindernis kan zijn omdat men niet in 0,1 groepjes kan verdelen. Werken met een concrete context van metend rekenen en verhoudingsdeling kan verduidelijking bieden [29](#page=29). > **Voorbeeld:** Ik wil een lengte van 4 meter vol leggen met planken van verschillende lengtes [29](#page=29). > * 4: 4 = 1 plank [29](#page=29). > * 4: 2 = 2 planken [29](#page=29). > * 4: 1 = 4 planken [29](#page=29). > * 4: 0,5 = 8 planken [29](#page=29). > * 4: 0,1 = 40 planken [29](#page=29). Op abstract niveau worden deze oefeningen het handigst opgelost d.m.v. de delingshalter, waarbij zowel deler als deeltal met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of gedeeld [29](#page=29). > **Voorbeeld:** > $$10: 0,2 \quad (= 100: 2) = 50$$ [29](#page=29). > $$4,2: 0,07 \quad (= 420: 7) = 60$$ [29](#page=29). > **Opdracht:** 7,5: 0,15 [29](#page=29). ### 3.5 Nataak De nataak omvat verschillende opdrachten gericht op het inoefenen van de bewerkingen met kommagetallen, het identificeren van leerlingfouten en het bedenken van remediëringsstrategieën [30](#page=30). > **Opdracht 1a:** Los de volgende oefeningen op: 0,8 + 0,8; 7 x 0,3; 0,4 x 0,6; 7,2: 1,8; 6: 0,1 [30](#page=30). > **Opdracht 1b:** Welke fouten verwacht je van de leerlingen voor elke oefening? [30](#page=30). > **Opdracht 1c:** Hoe zou je leerlingen helpen die deze fouten maken? [30](#page=30). > **Opdracht 2:** Bedenk een passend rekenverhaal voor 5 x 2,4 en 0,1 x 2,4 [30](#page=30). > **Opdracht 3:** Rangschik de volgende bewerkingen volgens stijgende moeilijkheidsgraad en verklaar: 2 x 2,4; 0,5 x 2,4; 0,3 x 2,4; 5 x 2,4; 0,1 x 2,4; 1,6 x 2,4 [30](#page=30). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kommagetal | Een getal dat wordt geschreven met een komma om de gehele en fractionele delen van het getal te scheiden. Het decimale deel wordt weergegeven na de komma, waarbij elke positie na de komma een macht van 1/10 vertegenwoordigt. | | Hoofdrekenen | Het vermogen om rekenkundige bewerkingen uit te voeren zonder gebruik te maken van rekenmachines of schriftelijke methoden, puur door middel van mentale berekeningen. | | Rekenstrategieën | Verschillende methoden en technieken die worden gebruikt om wiskundige problemen op te lossen, vaak gericht op efficiëntie en begrip, zoals het omzetten van getallen of het gebruik van kenmerkende eigenschappen. | | MAB-materiaal | Een didactisch hulpmiddel (Meta-Analyse-Basis) dat veelal bestaat uit blokjes, staafjes en platen, gebruikt om abstracte wiskundige concepten, zoals het tientallig stelsel en decimale getallen, visueel en tastbaar te maken voor leerlingen. | | Metend rekenen | Een onderdeel van wiskundeonderwijs waarbij leerlingen leren meten en werken met meeteenheden (zoals lengte, gewicht, inhoud). Het koppelt wiskundige concepten aan reële, meetbare situaties en objecten. | | Vakdidactische leerdoelen | Specifieke leerdoelen die betrekking hebben op de manier waarop een bepaald schoolvak, in dit geval wiskunde, onderwezen moet worden. Ze richten zich op de inhoud, de didactiek en de pedagogische aanpak van het vak. | | Decimaal getal | Een synoniem voor kommagetal; een getal dat wordt weergegeven in het decimale stelsel en een komma gebruikt om het gehele deel van het fractionele deel te scheiden. | | Tienden | De eerste decimale plaats na de komma, die een waarde van 1/10 vertegenwoordigt. Een getal als 0,7 bestaat uit 7 tienden. | | Honderdsten | De tweede decimale plaats na de komma, die een waarde van 1/100 vertegenwoordigt. Een getal als 0,07 bestaat uit 7 honderdsten. | | Duizendsten | De derde decimale plaats na de komma, die een waarde van 1/1000 vertegenwoordigt. Een getal als 0,007 bestaat uit 7 duizendsten. | | Positionele waarde | De waarde die een cijfer heeft op basis van zijn positie binnen een getal. In het decimale stelsel neemt de waarde van een cijfer toe met een factor 10 voor elke positie naar links en neemt af met een factor 10 voor elke positie naar rechts. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld door een ander getal in een deling. In de bewerking $a : b = c$, is $a$ het deeltal. | | Deler | Het getal waardoor een ander getal wordt gedeeld in een deling. In de bewerking $a : b = c$, is $b$ de deler. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. In de bewerking $a : b = c$, is $c$ het quotiënt. | | Vermenigvuldiger | Het getal waarmee een ander getal wordt vermenigvuldigd. In de bewerking $a \times b = c$, is $b$ de vermenigvuldiger. | | Vermenigvuldigtal | Het getal dat wordt vermenigvuldigd met een ander getal. In de bewerking $a \times b = c$, is $a$ het vermenigvuldigtal. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. In de bewerking $a \times b = c$, is $c$ het product. | | Afgeleide regel | Een wiskundige regel die is afgeleid uit basisprincipes of observaties van patronen. Vaak worden deze regels vereenvoudigingen die het oplossen van problemen versnellen. | | Getallenlijn | Een visuele weergave van getallen op een rechte lijn, waarbij de afstanden tussen opeenvolgende getallen consistent zijn. Het wordt gebruikt om de volgorde, grootte en relaties tussen getallen te illustreren. | | Commutatieve eigenschap | Een eigenschap van binaire wiskundige bewerkingen waarbij de volgorde van de operanden het resultaat niet verandert. Voor vermenigvuldigen geldt bijvoorbeeld $a \times b = b \times a$. | | Negatie | De bewerking die de waarde of richting van een getal omkeert. Bijvoorbeeld, de negatie van 5 is -5, en de negatie van -5 is 5. | | Remediëren | Het proces van het corrigeren van leerachterstanden of fouten. In het onderwijs betekent dit het aanbieden van extra ondersteuning of aangepaste instructies om leerlingen te helpen concepten beter te begrijpen. |

# Inleiding tot cijferen en hoofdrekenen Hier volgt een gedetailleerde studiehandleiding voor "Inleiding tot cijferen en hoofdrekenen", gebaseerd op de verstrekte documenten. ## 1. Inleiding tot cijferen en hoofdrekenen Deze sectie introduceert de leerdoelen met betrekking tot rekenvaardigheid en vakdidactiek, en vergelijkt vervolgens hoofdrekenen met cijferen, waarbij de voor- en nadelen van beide methoden worden besproken [3](#page=3) [4](#page=4). ### 1.1 Leerdoelen De leerdoelen van dit deel zijn onderverdeeld in twee categorieën: die betreffende de eigen rekenvaardigheid en die betreffende de vakdidactiek [3](#page=3). #### 1.1.1 Leerdoelen m.b.t. eigen rekenvaardigheid * Een willekeurige cijferoefening met natuurlijke getallen correct kunnen oplossen [3](#page=3). * Een zinvolle schatting kunnen maken bij een willekeurige cijferoefening met natuurlijke getallen [3](#page=3). #### 1.1.2 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek * De moeilijkheden in een willekeurige cijferoefening met natuurlijke getallen kunnen benoemen [3](#page=3). * Cijferoefeningen met natuurlijke getallen kunnen ordenen volgens moeilijkheidsgraad [3](#page=3). * Uitleggen hoe de vier cijferalgoritmen (+, -, x,:) met natuurlijke getallen in het derde leerjaar stapsgewijs worden aangeboden volgens de fasen van begripsvorming (CSA-model), vertrekkend vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3). * Gerichte opdrachten of doelgerichte vragen formuleren (met aandacht voor vaktaal) om een willekeurige cijferoefening uit het 3e leerjaar uit te werken volgens het CSA-model met behulp van MAB-materiaal [3](#page=3). * Uitleggen hoe het cijferend vermenigvuldigen met een getal bestaande uit 2 cijfers of meer in het 4e leerjaar wordt aangeboden, vertrekkend vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3). * Vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening het cijferend delen door een getal bestaande uit 2 cijfers kunnen uitwerken [3](#page=3). ### 1.2 Hoofdrekenen versus cijferen #### 1.2.1 Verschillen in aanpak Bij hoofdrekenen wordt er naast elkaar gerekend, doorgaans van links naar rechts. Bij cijferen worden de getallen onder elkaar geplaatst en wordt er van boven naar onder gerekend [5](#page=5). Een cruciaal verschil is hoe getallen worden benaderd. Bij cijferen vallen getallen uiteen in losse cijfers waarmee afzonderlijk wordt gerekend. Bij hoofdrekenen blijven de getallen als geheel behouden, ook bij splitsing. Bijvoorbeeld, bij de splitsing van 547, blijft de 5 de waarde 500 behouden en wordt deze niet als een losse 5 behandeld [5](#page=5) [8](#page=8). #### 1.2.2 Flexibiliteit en bruikbaarheid Hoofdrekenen staat voor rekenen met flexibele rekenstrategieën, waarbij rekening gehouden wordt met individuele verschillen en inzichten in getalstructuren en bewerkingen. Cijferen kent daarentegen een vast cijferalgoritme dat door elke leerling op dezelfde manier wordt gevolgd [5](#page=5). De bruikbaarheid van de methodes verschilt ook. Cijferen kan in principe altijd toegepast worden, ongeacht de grootte van de getallen. Hoofdrekenen heeft hier beperkingen; bij te grote getallen kan het omslachtig worden [5](#page=5). > **Tip:** Hoofdrekenen moet breder gezien worden dan enkel rekenen uit het hoofd zonder papier. Het omvat rekenen met het hoofd, waarbij papier een handig hulpmiddel kan zijn om tussenstappen te noteren [5](#page=5). #### 1.2.3 Voordelen en nadelen | Methode | Voordelen | Nadelen | | :------------ | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | **Cijferen** | - Onbeperkte bruikbaarheid bij grote getallen.
- Een vast standaardalgoritme biedt houvast voor zwakke leerlingen. | - Vereist pen en papier, wat niet altijd voorhanden is.
- Rekenen met losse cijfers vergroot het risico op het verliezen van overzicht en belangrijke rekenfouten.
- Indien niet inzichtelijk aangeleerd, kan het leiden tot verlies van houvast wanneer het algoritme vergeten wordt. | [5](#page=5) [8](#page=8). | **Hoofdrekenen** | - Kan in alle omstandigheden aangewend worden, ook zonder papier.
- Flexibel rekenen houdt rekening met individuele verschillen en bevordert inzicht in getallen en bewerkingen. | - Beperkingen bij te grote getallen, kan omslachtig worden.
- Flexibele strategieën kunnen voor zwakke leerlingen minder houvast bieden dan een vast algoritme. | [5](#page=5). #### 1.2.4 Risico op fouten Omdat bij cijferen met losse cijfers wordt gerekend, bestaat het risico op het verliezen van overzicht en dus op belangrijke rekenfouten. Als het achterliggende inzicht bij het cijferalgoritme ontbreekt, is het risico op fouten aanzienlijk [5](#page=5) [8](#page=8). > **Voorbeeld:** Een voorbeeld van leerlingfouten die te wijten zijn aan het niet inzichtelijk beheersen van cijferalgoritmen wordt genoemd in de context van dit document [5](#page=5). De opdrachten in de voortaak dienen om de leerlingen zelf te laten ervaren wat de verschillen zijn tussen hoofdrekenen en cijferrekenen, en om de voordelen en nadelen van beide methodes te identificeren [4](#page=4). --- # Didactische aanpak van cijferalgoritmen Dit deel behandelt de didactische aandachtspunten bij het aanleren van cijferalgoritmen, met een focus op een geleidelijke opbouw in het derde leerjaar en specifieke overwegingen voor optelling en aftrekking. ### 2.1 Didactische aandachtspunten bij het cijferen Het inzichtelijk aanbrengen van cijferalgoritmen in het derde leerjaar is sterk methodegebonden, waarbij veel Vlaamse rekenmethodes gebruikmaken van MAB-materiaal of de lusabacus in de concrete fase. Sommige methodes integreren het MAB-materiaal in een legschema om de structuur van de cijferoefening te visualiseren. De kern is dat het concrete handelen overeenkomt met de wiskundige bewerking: optellen betekent bijvoegen en aftrekken betekent wegnemen van de beginhoeveelheid. Bij aftrekkingen mag het aftrektal nooit eerst worden neergelegd met MAB-materiaal, gevolgd door de aftrekker, omdat dit de wiskundige handeling niet ondersteunt. Vrijwel alle methodes gebruiken ook een schrijfschema met aanduidingen voor eenheden, tientallen en honderdtallen, waar leerlingen langdurig in oefenen alvorens over te stappen naar abstract rekenen. De verschillen tussen methodes in schrijfschema's zitten vaak in de notatie van het te onthouden getal of het omwisselen [9](#page=9). De klemtoon bij cijferen in de lagere school ligt op: * Het inzichtelijk maken van cijferalgoritmen voor de vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen [9](#page=9). * Het voldoende inoefenen van deze cijferalgoritmen [9](#page=9). ### 2.2 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen in het 3de leerjaar Bij het aanbieden van cijferoefeningen wordt aandacht besteed aan een correcte opeenvolging van moeilijkheden. Voor de vier bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) wordt eenzelfde stap vooruitgang nagestreefd. Dit betekent eerst optellen zonder overschrijding, dan aftrekken zonder ontlening, vervolgens vermenigvuldigen zonder overschrijding, en tot slot delen zonder ontlening. Deze cyclische aanpak zorgt ervoor dat alle bewerkingen regelmatig aan bod komen en niet vergeten worden. Wat geleerd is bij optellen, wordt toegepast bij vermenigvuldigen, en wat geleerd is bij aftrekken, wordt toegepast bij delen, wat leidt tot vaardigheid en nauwkeurigheid [10](#page=10). De opbouw verloopt in stappen: * **Eerste stap: Zonder overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $512 + 376$ [10](#page=10). * $728 - 214$ [10](#page=10). * $314 \times 2$ [10](#page=10). * $484 \div 4$ [10](#page=10). * **Tweede stap: Eenmaal overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $517 + 214$ [10](#page=10). * $642 - 323$ [10](#page=10). * $214 \times 3$ [10](#page=10). * $642 \div 3$ [10](#page=10). * **Derde stap: Tweemaal overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $235 + 189$ [10](#page=10). * $645 - 257$ [10](#page=10). * $236 \times 4$ [10](#page=10). * $936 \div 6$ [10](#page=10). Moeilijkheden die extra aandacht vereisen zijn: * **Een nul in de uitkomst** * Voorbeelden: * $714 + 276$ [11](#page=11). * $982 - 532$ [11](#page=11). * $114 \times 5$ [11](#page=11). * $918 \div 9$ [11](#page=11). * **Een nul in één van de termen van de bewerking** * Voorbeelden: * $570 + 358$ [11](#page=11). * $603 - 514$ [11](#page=11). * $420 \times 3$ [11](#page=11). * $906 \div 3$ [11](#page=11). * **Twee nullen in het aftrektal** * Dit brengt geen specifieke moeilijkheden mee bij optellen, vermenigvuldigen en delen, maar wel bij aftrekken [11](#page=11). * Voorbeeld: $600 - 127$ [11](#page=11). ### 2.3 De optelling Bij het aanleren van cijferend optellen, wordt het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) toegepast [12](#page=12). > **Tip:** Voordat leerlingen optellen met overschrijding oefenen, moeten ze eerst optellen zonder overschrijding aanbrengen, analoog aan de fasen van het CSA-model [12](#page=12). De oefening $263 + 154$ illustreert optellen met één keer overschrijden [12](#page=12). * **Concreet niveau:** Het stap voor stap oplossen met MAB-materiaal wordt uitgelegd door specifieke opdrachten en vragen te formuleren aan de leerlingen. Dit omvat het bij elkaar voegen van eenheden, tientallen en honderdtallen, en het omgaan met overschrijdingen naar de volgende kolom [12](#page=12). * **Schematisch niveau:** De integratie van het CSA-model bij het uitwerken van de oefening verloopt via visuele ondersteuning en gerichte vragen [12](#page=12). ### 2.4 De aftrekking #### 2.4.1 Zonder ontlening Bij het aanleren van cijferend aftrekken zonder ontlening, is het verwerven van inzicht in het algoritme cruciaal [12](#page=12). * **Inleiding:** De les begint met een zinvolle inleiding die aansluit bij de beginsituatie van de leerlingen [12](#page=12). * **Fasen van begripsvorming (CSA):** * **Concreet niveau:** Leerlingen werken met MAB-materiaal en een legschema. Ze leggen het aftrektal neer en nemen er delen van weg met behulp van een blanco blad om de weg te nemen hoeveelheid te markeren. Vragen stimuleren het inzicht: "Wat heb je gelegd?", "Welke bewerking moet je doen?", "Hoeveel moet je wegnemen?", "Hoeveel houd je over?", en de koppeling naar de cijfermatige notatie ("9 E min 6 E is 3 E") [13](#page=13). * **Schematisch niveau:** De leerkracht gebruikt magnetisch MAB-materiaal aan het bord om de handelingen te visualiseren. De pijlen in de voorstelling geven de handelingen van de leerkracht weer [14](#page=14). * **Abstract niveau:** De oefening wordt vervolgens genoteerd in een schrijfschema [14](#page=14). Voorbeeld: $439 - 216 = \dots$ [13](#page=13) [14](#page=14). #### 2.4.2 Met ontlening Bij aftrekken met ontlening, zoals in de oefening $265 - 187$, treden er extra moeilijkheden op [15](#page=15). * **Moeilijkheden:** Deze oefening vereist ontlening, omdat er bij de eenheden meer moet worden weggenomen dan aanwezig is ($7$ moet van $5$ worden afgetrokken). Dit vereist het omwisselen van een tiental naar tien eenheden, en potentieel ook van honderdtallen naar tientallen [15](#page=15). * **Stapsgewijze uitwerking met MAB-materiaal en CSA:** * Leerlingen werken per drie in een groepje: leerkracht, leerling, observator [15](#page=15). * De leerkracht formuleert doelgerichte vragen en duidelijke instructies, gebruikmakend van vaktaal [15](#page=15). * De leerling voert de handelingen uit met MAB-materiaal en schema's [15](#page=15). * De observator noteert instructies, vragen, antwoorden en onderlijnt vaktaal [15](#page=15). * Na afloop wordt de oefening besproken aan de hand van richtvragen over de helderheid van instructies, de duidelijkheid van vraagstelling, de stapsgewijze opbouw, de beantwoordbaarheid van vragen, en het gebruik van vaktaal [15](#page=15). > **Tip:** Tijdens de lespraktijk is het essentieel om de formulering van instructies en vragen te evalueren en bij te sturen om twijfel bij de leerling te minimaliseren en het inzicht te maximaliseren. Het benutten van alle mogelijkheden om vaktaal te introduceren, verhoogt de didactische effectiviteit [15](#page=15). --- # Cijferend vermenigvuldigen en delen Dit deel behandelt de aanpak van cijferend vermenigvuldigen, zowel zonder als met overbrugging, en cijferend delen, zowel zonder als met ontlening, met voorbeelden en didactische overwegingen [16](#page=16). ## 3.1 Cijferend vermenigvuldigen Cijferend vermenigvuldigen wordt uitgewerkt volgens de methode van Nieuwe Talrijk, waarbij voor het derde leerjaar wordt gestart met vermenigvuldigers van slechts één cijfer. De methode doorloopt de fasen van begripsvorming: concreet (MAB-materiaal), schematisch (magnetisch MAB-materiaal aan het bord) en abstract (schrijfschema) [16](#page=16). ### 3.1.1 Vermenigvuldigen zonder overbrugging Bij vermenigvuldigen zonder overbrugging wordt het getal, voorgesteld met MAB-materiaal, vermenigvuldigd met het enkelvoudige cijfer. De leerlingen werken eerst met concreet materiaal en noteren de handelingen op een blanco kaart, waarna de leerkracht dit schematisch aan het bord kan tonen. Vervolgens wordt de abstracte notatie met een schrijfschema geïntroduceerd, die na verloop van tijd wordt verkort tot een schrijfoefening op ruitjespapier [16](#page=16) [18](#page=18). **Voorbeeld: $2 \times 134 = \dots$** [16](#page=16). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 134 met MAB-materiaal (1 honderdtal, 3 tientallen, 4 eenheden) en nemen dit tweemaal [16](#page=16). 2. **Handeling:** Ze vermenigvuldigen de eenheden ($2 \times 4 \text{ E} = 8 \text{ E}$), de tientallen ($2 \times 3 \text{ T} = 6 \text{ T}$) en de honderdtallen ($2 \times 1 \text{ H} = 2 \text{ H}$) [17](#page=17). 3. **Optellen deelproducten:** De deelproducten worden bij elkaar opgeteld om het eindproduct te bekomen [17](#page=17). 4. **Resultaat:** Het product is 268 [17](#page=17). > **Tip:** De getallen worden na elke vermenigvuldiging een stapje lager gelegd om de deelproducten duidelijk te scheiden voor het latere optellen [16](#page=16). De abstracte weergave met een schrijfschema toont de stappen expliciet, waarbij deelproducten van eenheden, tientallen en honderdtallen afzonderlijk worden genoteerd alvorens ze op te tellen. Dit wordt uiteindelijk vereenvoudigd tot een standaard schrijfoefening [18](#page=18). ### 3.1.2 Vermenigvuldigen met overbrugging Bij vermenigvuldigen met overbrugging worden de stappen gevolgd met MAB-materiaal, waarbij er rekening wordt gehouden met het omwisselen van eenheden naar tientallen of tientallen naar honderdtallen wanneer een waarde van tien wordt bereikt [19](#page=19). **Voorbeeld: $3 \times 251 = \dots$** [19](#page=19). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 251 (2 honderdtallen, 5 tientallen, 1 eenheid) en vermenigvuldigen dit driemaal [19](#page=19). 2. **Eenheden:** $3 \times 1 \text{ E} = 3 \text{ E}$. Dit wordt genoteerd [19](#page=19). 3. **Tientallen:** $3 \times 5 \text{ T} = 15 \text{ T}$. Aangezien 15 tientallen niet in één kolom genoteerd kunnen worden, worden 10 tientallen omgewisseld voor 1 honderdtal. Er blijven 5 tientallen over. Het omgewisselde honderdtal wordt toegevoegd aan de honderdtallenkolom [19](#page=19) [20](#page=20). 4. **Honderdtallen:** $3 \times 2 \text{ H} = 6 \text{ H}$. Hierbij wordt het omgewisselde honderdtal van de tientallenkolom opgeteld, wat resulteert in 7 honderdtallen [20](#page=20). 5. **Optellen deelproducten:** De deelproducten (3 eenheden, 5 tientallen, 7 honderdtallen) worden samengevoegd [20](#page=20). 6. **Resultaat:** Het product is 753 [20](#page=20). > **Aandachtspunt:** Het omwisselen van eenheden naar tientallen of tientallen naar honderdtallen is cruciaal bij de overbrugging [19](#page=19). Het schrijfschema visualiseert de overbrugging door het cijfer dat wordt overgedragen naar de volgende kolom te noteren. De oefening wordt nadien vereenvoudigd naar ruitjespapier [20](#page=20) [21](#page=21). ## 3.2 Cijferend delen Cijferend delen wordt eveneens uitgewerkt volgens de methode van Nieuwe Talrijk, met delers van één cijfer in het derde leerjaar. De aanpak verloopt via de fasen concreet, schematisch en abstract. Bij delingen wordt steeds van links naar rechts gewerkt [22](#page=22). ### 3.2.1 Delen zonder ontlening Bij het delen zonder ontlening worden de getallen (de) verdeeld in een vooraf bepaald aantal gelijke delen. Dit gebeurt eerst met de grootste eenheden (tientallen, dan eenheden) [22](#page=22). **Voorbeeld: $48: 4 = \dots$** [22](#page=22). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 48 (4 tientallen, 8 eenheden) en bereiden 4 gekleurde bladen voor als delen [22](#page=22). 2. **Verdelen tientallen:** De 4 tientallen worden verdeeld onder de 4 kinderen, wat resulteert in 1 staafje per kind. Er zijn 0 tientallen over. De bewerking $4 \times 1 \text{ T} = 4 \text{ T}$ wordt genoteerd [22](#page=22). 3. **Verdelen eenheden:** De 8 eenheden worden verdeeld onder de 4 kinderen, wat resulteert in 2 eenheden per kind. Er zijn 0 eenheden over. De bewerking $4 \times 2 \text{ E} = 8 \text{ E}$ wordt genoteerd [23](#page=23). 4. **Resultaat:** Het quotiënt is 12 [23](#page=23). Het schrijfschema toont het proces van verdeling, waarbij het afgetrokken deel en de rest duidelijk worden aangegeven [23](#page=23). ### 3.2.2 Delen met ontlening Bij delen met ontlening is het soms noodzakelijk om een grotere eenheid om te wisselen naar kleinere eenheden om de verdeling mogelijk te maken [24](#page=24). **Voorbeeld: $342: 3 = \dots$** [24](#page=24). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 342 (3 honderdtallen, 4 tientallen, 2 eenheden) en bereiden 3 gekleurde bladen voor [24](#page=24). 2. **Verdelen honderdtallen:** De 3 honderdtallen worden verdeeld, wat resulteert in 1 honderdtal per deel. Er zijn 0 honderdtallen over. De bewerking $3 \times 1 \text{ H} = 3 \text{ H}$ wordt genoteerd [24](#page=24). 3. **Verdelen tientallen:** De 4 tientallen worden verdeeld, wat resulteert in 1 staafje per deel. Er is 1 staafje over (4 - 3 = 1) [24](#page=24). 4. **Ontlenen en verdelen eenheden:** Het overgebleven tiental wordt omgewisseld voor 10 eenheden. Nu moeten er 10 eenheden + 2 reeds aanwezige eenheden = 12 eenheden verdeeld worden. Deze 12 eenheden worden verdeeld, wat resulteert in 4 eenheden per deel. De bewerking $3 \times 4 \text{ E} = 12 \text{ E}$ wordt genoteerd [24](#page=24) [25](#page=25). 5. **Resultaat:** Het quotiënt is 114 [25](#page=25). Het abstracte schrijfschema illustreert het ontlenen door het overgebleven tiental om te wisselen voor 10 eenheden, die vervolgens worden toegevoegd aan de bestaande eenheden voor verdere verdeling [25](#page=25). --- # Verdieping en uitbreiding van cijfervaardigheden Dit deel beschrijft de verdere oefening en controle bij het cijferen, de geleidelijke opbouw in het vierde leerjaar voor complexere vermenigvuldigingen en delingen, en de benodigde voorkennis. ### 4.1 Oefening en inzicht bij cijferen Cijferen moet een vlot gehanteerd automatisme worden dat voortkomt uit inzicht, niet uit dril. Leerlingen moeten een algoritme niet alleen technisch kunnen toepassen, maar ook inhoudelijk kunnen begrijpen en uitleggen. Regelmatig en veelvuldig oefenen, gesteund op een stevige basis, is essentieel [26](#page=26). #### 4.1.1 Basis voor het cijferen De fundamenten voor succesvol cijferen omvatten: * Een soepele kennis van het tientallig talstelsel, inclusief de onderlinge verhoudingen tussen eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc [26](#page=26). * Vlotte hoofdrekenvaardigheden, met een solide kennis van optel-, aftrek-, vermenigvuldigings- en deeltafels [26](#page=26). * Een goed inzicht in de plaats en het belang van het cijfer nul, zowel in getallen als in bewerkingen [26](#page=26). #### 4.1.2 Controle bij het cijferen Leerlingen moeten uitgevoerde bewerkingen controleren met behulp van diverse methoden [26](#page=26): * **Schatten:** Eerst een schatting maken van de grootteorde van het resultaat en deze vergelijken met de uiteindelijke uitkomst. Een schatting wordt verkregen door een vereenvoudigde, snel oplosbare bewerking [26](#page=26) [27](#page=27). * **Omgekeerde bewerking:** Bij optelling en aftrekking de omgekeerde bewerking uitvoeren [26](#page=26). * **Rekenmachine:** De rekenmachine gebruiken voor verificatie [26](#page=26). * **Negenproef:** Een specifieke controle die gebruikt kan worden [26](#page=26). #### 4.1.3 Hulpmiddelen bij het aanleren Diverse hulpmiddelen ondersteunen het aanleren van cijfervaardigheden [27](#page=27): * Een ruitjesschrift voor nauwkeurige schikking van bewerkingen [27](#page=27). * Ordelijk werken op de rekenkast en/of het bord [27](#page=27). * Meerdere leerlingen tegelijk aan het bord laten werken om fouten direct te identificeren [27](#page=27). ### 4.2 Geleidelijke opbouw van cijferoefeningen in het vierde leerjaar In het vierde leerjaar wordt de complexiteit van vermenigvuldigingen en delingen geleidelijk opgebouwd, met aandacht voor nieuwe stappen ten opzichte van het derde leerjaar [27](#page=27). #### 4.2.1 Eerste stap: Meermaals overschrijden of ontlenen Dit betreft de basisprincipes van optellen en aftrekken waarbij het kan voorkomen dat er overschreden (bij optellen) of ontleend (bij aftrekken) moet worden [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > Schatting van $8325 + 20567$: ongeveer $8000 + 20000 = 28000$. De exacte som is $28892$ [28](#page=28). > Schatting van $73205 - 14867$: ongeveer $73000 - 15000 = 58000$. De exacte aftrekking is $58338$ [28](#page=28). > Schatting van $12246 \times 5$: ongeveer $12000 \times 5 = 60000$. De exacte vermenigvuldiging is $61230$ [28](#page=28). > Schatting van $7938 \times 3$: ongeveer $8000 \times 3 = 24000$. De exacte vermenigvuldiging is $23814$ [28](#page=28). #### 4.2.2 Tweede stap: Meerdere nullen bij som, aftrektal, product, deeltal Deze stap focust op oefeningen waarbij nullen een prominente rol spelen in de getallen waarmee gerekend wordt [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > Schatting van $5135 + 4865$: ongeveer $5000 + 5000 = 10000$. De exacte som is $10000$ [28](#page=28). > Schatting van $2500 \times 4$: ongeveer $2500 \times 4 = 10000$. De exacte vermenigvuldiging is $10000$ [28](#page=28). > Schatting van $10101 - 7324$: ongeveer $10000 - 7000 = 3000$. De exacte aftrekking is $2777$ [28](#page=28). #### 4.2.3 Derde stap: Vermenigvuldigen met een getal van twee cijfers of meer Bij vermenigvuldigen met een getal van twee cijfers, zoals $13 \times 34$, wordt de logica ontleed als $10 \times 34 + 3 \times 34$. Leerlingen leren eerst vermenigvuldigen met het cijfer van de eenheden, daarna met het cijfer van de tientallen, waarbij de plaatsingsnul belangrijk is totdat de leerlingen begrijpen dat men op de rang van het tiental begint te schrijven [29](#page=29). > **Voorbeeld:** > $34 \times 13$ kan worden uitgewerkt als: > $34 \times 10 = 340$ > $34 \times 3 = 102$ > Totaal: $340 + 102 = 442$ [29](#page=29). > > De meer gestructureerde schrijfwijze is: > ``` > 34 > x 13 > ---- > 102 (34 x 3) > 340 (34 x 10) > ---- > 442 > ``` > [29](#page=29). > > Leerlingen moeten ook dergelijke vermenigvuldigingen schatten [29](#page=29). > Schatting van $126 \times 32$: ongeveer $130 \times 30 = 3900$ [29](#page=29). > Schatting van $167 \times 91$: ongeveer $170 \times 90 = 15300$ [29](#page=29). #### 4.2.4 Vierde stap: De deler telt twee of meer cijfers Bij delingen met een deler die uit meer dan één cijfer bestaat, ontstaan nieuwe moeilijkheden. De opeenvolgende cijfers van het quotiënt worden bepaald door schattingen van hoeveel keer de deler in de verschillende delen van het deeltal (duizendtallen, honderdtallen, etc.) gaat. Elke stap vereist het laten 'dalen' van telkens één cijfer van het deeltal [30](#page=30). > **Voorbeeld:** > Deling $9318: 37$ [30](#page=30). > Schatting: $9000: 30 = 300$ [30](#page=30). > > Uitwerking: > ``` > 251 (quotiënt) > _______ > 37 | 9318 (deeltal) > - 74 (37 x 2, bij 93 H) > ---- > 191 (rest) > - 185 (37 x 5, bij 191 T) > ---- > 68 (rest) > - 37 (37 x 1, bij 68 E) > ---- > 31 (rest) > ``` > [30](#page=30). > Besluit: $9318: 37 = 251$ met rest $31$ [30](#page=30). > Een veelgemaakte fout is het laten dalen van te veel cijfers; er mag telkens slechts één cijfer tegelijk gedaald worden [30](#page=30). > **Voorbeeld:** > Deling $8588: 76$ [30](#page=30). ### 4.3 Verdiepende opdrachten voor cijferen De documentatie bevat opdrachten die gericht zijn op het verdiepen van de kennis rond cijferend vermenigvuldigen en delen [31](#page=31) [33](#page=33). #### 4.3.1 Cijferend vermenigvuldigen met een getal van 2 cijfers of meer Opdrachten richten zich op het kiezen van geschikte oefeningen voor het vierde leerjaar, het uitschrijven van de stappen en de gestelde vragen aan leerlingen, en het formuleren van de inzichten die leerlingen moeten verwerven [31](#page=31). > **Voorbeeld (Uit ‘Rekensprong’):** > Cijferend vermenigvuldigen met een zuiver tiental [31](#page=31). > Cijferend vermenigvuldigen met een getal bestaande uit 2 cijfers [32](#page=32). #### 4.3.2 Cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers Opdrachten vereisen het identificeren van de benodigde voorkennis, de soort deling waarop men steunt, het doel van de inleiding en de instructiefase, en een kritische evaluatie van startoefeningen [33](#page=33). > **Vragen ter overweging:** > 1. Welke voorkennis moeten de leerlingen hebben [33](#page=33)? > 2. Op welke soort deling steunt men bij het cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers [33](#page=33)? > 3. Wat is het doel van de inleiding die de handleiding aanreikt [33](#page=33)? > 4. Wat is het doel van de instructie (kern en verwerking)? Waarom komt deze lesfase eerst aan bod in de kern [33](#page=33)? > 5. Is de oefening $306: 24$ zinvol om mee te starten in een eerste les cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers? Waarom wel/niet [33](#page=33)? --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Cijferen | Een rekenmethode waarbij getallen onder elkaar worden geplaatst en bewerkingen worden uitgevoerd aan de hand van specifieke algoritmen, vaak met het gebruik van pen en papier. | | Hoofdrekenen | Rekenen met flexibele strategieën, vaak mentaal of met papier als hulpmiddel, waarbij getallen als geheel worden beschouwd en er rekening wordt gehouden met individuele leerlingenverschillen. | | Leerdoelen | Specifieke, meetbare, acceptabele, realistische en tijdgebonden doelstellingen die de leerling aan het einde van een les of leertraject moet kunnen bereiken, zowel op het gebied van rekenvaardigheid als vakdidactiek. | | MAB-materiaal | Een didactisch hulpmiddel dat bestaat uit blokjes (eenheden), staafjes (tientallen) en vierkanten (honderdtallen) om wiskundige bewerkingen concreet te maken en inzicht te verschaffen in getalstructuren. | | CSA-model | Een model voor begripsvorming dat de fasen Concreet, Schematisch en Abstract doorloopt, waarbij leerlingen eerst via tastbare materialen, dan via tekeningen en tenslotte via abstracte symbolen leren. | | Algoritme | Een stapsgewijze procedure of reeks regels die gevolgd wordt om een probleem op te lossen of een berekening uit te voeren, zoals de standaardalgoritmen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. | | Overschrijding | Een term gebruikt bij optellen en vermenigvuldigen, waarbij het aantal eenheden, tientallen of honderdtallen de waarde van de volgende positie overschrijdt en moet worden omgewisseld of overgedragen. | | Ontlening | Een term gebruikt bij aftrekken en delen, waarbij er een tekort is aan eenheden, tientallen of honderdtallen om de bewerking uit te voeren, waardoor er geleend moet worden van de volgende hogere positie. | | Vaktaal | Specifieke terminologie die in een bepaald vakgebied wordt gebruikt, in dit geval wiskunde, zoals 'eenheden', 'tientallen', 'overschrijding' en 'ontlening'. | | Schatting | Een snelle berekening om een idee te krijgen van de grootteorde van het resultaat van een bewerking, wat helpt bij het controleren van de nauwkeurigheid van de uiteindelijke uitkomst. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld in een deling; het getal waar de deling op van toepassing is. | | Deler | Het getal waardoor het deeltal wordt gedeeld in een deling; het getal dat aangeeft in hoeveel gelijke delen het deeltal wordt opgesplitst. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling; het aantal keren dat de deler in het deeltal gaat. | | Rest | Het deel van het deeltal dat overblijft na een deling, omdat het niet precies kan worden verdeeld door de deler. | | Negenproef | Een controlemechanisme om de correctheid van een cijferoefening te verifiëren door gebruik te maken van de eigenschappen van het getal negen en de digitale sommen van de getallen. | | Scholing | De methode van het organiseren en aanbieden van lesmateriaal en opdrachten, waarbij geleidelijke opbouw en verschillende didactische fasen centraal staan. |

# Leerdoelen en algemene introductie van cijferen met kommagetallen Deze sectie beschrijft de leerdoelen met betrekking tot het rekenvaardigheid en vakdidactiek rondom cijferen met kommagetallen, de beginsituatie voor het aanleren hiervan, en introduceert een voortaak [3](#page=3) [4](#page=4). ### 1.1 Leerdoelen m.b.t. eigen rekenvaardigheid De leerdoelen voor de eigen rekenvaardigheid met kommagetallen omvatten het correct oplossen van willekeurige cijferoefeningen met kommagetallen, het bepalen van de juiste waarde van de rest bij dergelijke oefeningen, en het maken van zinvolle schattingen voor willekeurige cijferoefeningen met kommagetallen [3](#page=3). * Je kan een willekeurige cijferoefening met kommagetallen correct oplossen [3](#page=3). * Je kan de juiste waarde van de rest bepalen bij een willekeurige cijferoefening met kommagetallen [3](#page=3). * Je kan een zinvolle schatting maken bij een willekeurige cijferoefening met kommagetallen [3](#page=3). ### 1.2 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek Met betrekking tot de vakdidactiek dient men de nieuwe moeilijkheden te kunnen benoemen voor de vier hoofdbewerkingen (+, -, x,:) bij cijferen met decimale getallen in vergelijking met cijferen met natuurlijke getallen. Tevens moet men kunnen uitleggen hoe verschillende types oefeningen voor cijferend vermenigvuldigen en delen met decimale getallen aangebracht kunnen worden, uitgaande van een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3). * Je kan voor de vier hoofdbewerkingen (+; -; x;:) de nieuwe moeilijkheden benoemen voor cijferen met decimale getallen (in vergelijking met cijferen met natuurlijke getallen) [3](#page=3). * Je kan uitleggen op welke manier de verschillende types oefeningen voor cijferend vermenigvuldigen en delen met decimale getallen aangebracht worden vertrekkend vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3). ### 1.3 Beginsituatie Wanneer kinderen starten met cijferen met decimale getallen, hebben zij reeds ervaring met cijferen met natuurlijke getallen en kennen zij de verschillende cijferalgoritmen. Het is daardoor niet noodzakelijk om elk cijferalgoritme opnieuw op een concreet niveau met MAB-materiaal aan te brengen. De focus ligt in dit hoofdstuk op het identificeren van de nieuwe moeilijkheden die ontstaan door de introductie van kommagetallen in plaats van natuurlijke getallen [4](#page=4). ### 1.4 Voortaak De voortaak is een individuele opdracht met een geplande werktijd van twee uur, onderverdeeld in twee delen: cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen, en cijferend vermenigvuldigen en delen met kommagetallen [4](#page=4). #### 1.4.1 Cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen * **Opdracht 1:** Stel de notatie voor de beginsituatie van een eerste les over cijferend optellen met kommagetallen [4](#page=4). * **Opdracht 2:** Bedenk zelf diverse types cijferoefeningen voor optelling en aftrekking met kommagetallen en leid daaruit de nieuwe moeilijkheden af die leerlingen ervaren in vergelijking met cijferen zonder kommagetallen [4](#page=4). #### 1.4.2 Cijferend vermenigvuldigen en delen met kommagetallen * **Opdracht 3a:** Kies een geschikte oefening als introductie voor een eerste les over cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen, waarbij het vermenigvuldigtal een kommagetal is [4](#page=4). * **Opdracht 3b:** Schat deze cijferoefening door een ondergrens en bovengrens voor het product aan te geven [4](#page=4). * **Opdracht 3c:** Reken de cijferoefening uit zonder rekening te houden met de komma, en let daarbij op de juiste plaats van de factoren in de cijferoefening [4](#page=4). --- # Optellen en aftrekken met kommagetallen Dit gedeelte behandelt de kernaspecten van cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen, met de nadruk op correcte positionering en het plaatsen van de komma [6](#page=6). ### 2.1 Belang van correct noteren Het belangrijkste aandachtspunt bij het cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen is het correct onder elkaar schrijven van de getallen, vooral wanneer deze een verschillend aantal decimalen hebben [6](#page=6). ### 2.2 Strategieën voor optellen en aftrekken Na het correct onder elkaar schrijven van de getallen, volgt onmiddellijk de plaatsing van de komma in de uitkomst. Het is toegestaan om nullen bij te voegen om 'open plekken' te vermijden, aangezien de waarde van een getal niet verandert door nullen achter het decimale deel te plaatsen. Deze methode geldt ook voor het optellen van natuurlijke getallen en kommagetallen [6](#page=6). #### 2.2.1 Gebruik van een positieschema Indien leerlingen moeite hebben met het correct onder elkaar schrijven, kunnen de getallen in een positieschema worden geplaatst. Boven elke kolom wordt dan de cijferwaarde aangegeven, zoals T (tientallen), E (eenheden), t (tienden), h (honderdsten) [6](#page=6). #### 2.2.2 Omgaan met ontbrekende decimalen bij aftrekken Bij een aftrekking is het noodzakelijk om ontbrekende decimalen door nullen te vervangen als het aftrektal minder cijfers bevat dan de aftrekker [6](#page=6). > **Voorbeeld van optellen:** > 1890,115 + 12,25 + 372,5 = > ``` > 1 8 9 0, 1 1 5 > 1 2, 2 5 > + 3 7 2, 5 > ---------- > 2 2 7 4, 8 6 5 > ``` > [6](#page=6). > **Voorbeeld van aftrekken:** > 1576 – 258,75 = > ``` > 1 5 7 6, 0 0 > - 2 5 8, 7 5 > ---------- > 1 3 1 7, 2 5 > ``` > [6](#page=6). --- # Vermenigvuldigen met kommagetallen Dit onderwerp verklaart hoe leerlingen zelf de regel voor het plaatsen van de komma in een product kunnen ontdekken door middel van schattingen en het vergelijken met cijferoefeningen, toegepast op verschillende scenario's [7](#page=7). ### 3.1 Het vermenigvuldigtal is een kommagetal Om de plaats van de komma in het product te bepalen wanneer het vermenigvuldigtal een kommagetal is, starten leerlingen met een schatting. Vervolgens voeren ze de cijferoefening uit zonder rekening te houden met de komma. Door het resultaat van de cijferoefening te vergelijken met de schatting, ontdekken ze hoeveel cijfers ze moeten afsnijden in het product om tot het correcte resultaat te komen [7](#page=7). #### 3.1.1 Ontdekking van de regel Na het uitvoeren van verschillende voorbeelden, zoals $5 \times 5,3$ en $13 \times 2,25$, waarbij de leerlingen leren dat het aantal afgesneden cijfers in het product gelijk is aan het aantal cijfers achter de komma in het vermenigvuldigtal, wordt de algemene conclusie geformuleerd [7](#page=7). > **Conclusie:** Er worden evenveel cijfers afgesneden bij het product als bij het vermenigvuldigtal [7](#page=7). Speciale aandacht gaat uit naar bewerkingen waarbij het product eindigt op nullen die mogen wegvallen, zoals bij $16 \times 1,25$ [8](#page=8). > **Voorbeeld:** > $16 \times 1,25$ > Schatting: $16 \times 1 = 16$ en $16 \times 2 = 32$. De uitkomst ligt tussen 16 en 32 [8](#page=8). > Cijferen zonder komma: > $$ > \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} > & & 1 & , & 2 & 5 \\ > \times & & & 1 & 6 \\ > \hline > & & 7 & 5 & 0 \\ > 1 & 2 & 5 & 0 & \\ > \hline > 2 & 0 & , & 0 & 0 \\ > \end{array} > $$ > Het product, na het weglaten van de overbodige nullen, komt overeen met de schatting [8](#page=8). ### 3.2 De vermenigvuldiger is een kommagetal Wanneer de vermenigvuldiger een kommagetal is, volgt de procedure dezelfde logica als wanneer het vermenigvuldigtal een kommagetal is. Eerst wordt er een schatting gemaakt, gevolgd door de cijferoefening zonder aandacht voor de komma [8](#page=8). > **Voorbeeld:** > $2,5 \times 15$ > Schatten: $2 \times 15 = 30$ en $3 \times 15 = 45$. Het product ligt tussen 30 en 45 [8](#page=8). > Cijferen zonder komma: > $$ > \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} > & & 1 & 5 \\ > \times & 2 & , & 5 \\ > \hline > & 7 & 5 \\ > 3 & 0 & 0 \\ > \hline > 3 & 7 & 5 \\ > \end{array} > $$ > Door één cijfer af te snijden, komt het resultaat overeen met de schatting [8](#page=8). #### 3.2.1 Ontdekking van de regel Na het oefenen met voorbeelden zoals $2,5 \times 15$ en $12,5 \times 59$, waarbij de leerlingen concluderen dat het aantal afgesneden cijfers in het product overeenkomt met het aantal cijfers achter de komma in de vermenigvuldiger, wordt de volgende regel geformuleerd [8](#page=8). > **Conclusie:** In het product worden evenveel cijfers afgesneden als er bij de vermenigvuldiger afgesneden zijn [9](#page=9). ### 3.3 Vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal zijn kommagetallen In het geval dat zowel de vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal kommagetallen zijn, wordt de schattingsmethode opnieuw toegepast. De cijferoefening wordt wederom uitgevoerd zonder rekening te houden met de komma's [9](#page=9). > **Voorbeeld:** > $4,3 \times 7,25$ > Schatten: $4 \times 7 = 28$ [9](#page=9). > Cijferen zonder komma: > $$ > \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} > & & & 7 & , & 2 & 5 \\ > \times & & & 4 & , & 3 \\ > \hline > & & 2 & 1 & 7 & 5 \\ > 2 & 9 & 0 & 0 & 0 \\ > \hline > 3 & 1 & , & 1 & 7 & 5 \\ > \end{array} > $$ > Door drie cijfers af te snijden, komt het resultaat overeen met de schatting [9](#page=9). #### 3.3.1 De algemene regel Door het vergelijken van het aantal decimalen in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal met het aantal decimalen in het product, na diverse oefeningen van dit type, wordt de algemene regel geformuleerd [9](#page=9). > **Algemene Conclusie:** In het product worden telkens zoveel cijfers afgesneden als er bij het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger samen afgesneden worden [9](#page=9). > **Opmerking:** Bij het cijferend vermenigvuldigen van kommagetallen is het niet noodzakelijk om de getallen nauwkeurig onder elkaar te schrijven [9](#page=9). --- # Delen met kommagetallen Dit onderwerp behandelt diverse methoden voor het uitvoeren van delingen waarbij één of beide getallen kommagetallen zijn, met een focus op het correct plaatsen van de komma en het interpreteren van de rest. ### 4.1 Algemene principes bij delingen met kommagetallen Bij elke deling met kommagetallen kan gestart worden met een schatting om de plaats van de komma in de uitkomst te bepalen. Bij het cijferend uitvoeren van de deling wordt de komma in eerste instantie genegeerd. Vervolgens wordt de schatting gebruikt om de komma correct te plaatsen in het uiteindelijke antwoord [10](#page=10). > **Tip:** Begin altijd met een schatting. Dit helpt enorm bij het controleren van je uiteindelijke antwoord en het correct plaatsen van de komma. ### 4.2 Verschillende typen delingen met kommagetallen #### 4.2.1 Het deeltal is een kommagetal, de deling gaat op Bij dit type deling wordt de komma in het deeltal genegeerd tijdens het cijferen. Na het cijferen wordt de schatting gebruikt om de komma op de juiste plaats te zetten in de uitkomst [10](#page=10). > **Voorbeeld:** > $$17,55 \div 3$$ > Schatting: $18 \div 3 = 6$. > Cijferen zonder komma: $1755 \div 3 = 585$. > Juiste plaatsing komma: $5,85$. #### 4.2.2 Het deeltal is een kommagetal, de deling gaat niet op Ook hier worden de komma's in eerste instantie genegeerd tijdens het cijferen. De schatting helpt bij het correct plaatsen van de komma in de uitkomst. De rest wordt afgelezen op basis van de oorspronkelijke waarde van de cijfers die worden afgetrokken [10](#page=10). > **Voorbeeld:** > $$146,87 \div 2$$ > Schatting: $146 \div 2 = 73$. > Cijferen zonder komma: $14687 \div 2 = 7343$ met rest $1$. > Juiste plaatsing komma: $73,43$ met rest $0,01$. #### 4.2.3 Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal tot op zekere nauwkeurigheid Om tot op een bepaalde nauwkeurigheid te delen (bijvoorbeeld op 0,001 nauwkeurig), wordt een komma achter het deeltal geplaatst, gevolgd door het benodigde aantal nullen. De deling wordt vervolgens cijferend uitgevoerd zonder rekening te houden met de komma's. De schatting wordt gebruikt voor het bepalen van de plaats van de komma in de uitkomst. De rest wordt correct afgelezen [11](#page=11). > **Voorbeeld:** Bepaal tot op 0,001 nauwkeurig: $265 \div 2$. > Schatting: $260 \div 2 = 130$. > Cijferen: $265,000 \div 2$. > Uitkomst: $132,500$ met rest $0$. > Nauwkeuriger voorbeeld: $265 \div 9$. > Schatting: $270 \div 9 = 30$. > Cijferen: $265,000 \div 9$. > Uitkomst: $29,444$ met rest $0,004$. #### 4.2.4 Deler is een kommagetal Bij een deler die een kommagetal is, moet de komma in de deler weggewerkt worden. Dit gebeurt door het deeltal en de deler met hetzelfde getal (10, 100, 1000, etc.) te vermenigvuldigen, zodat de komma in de deler verdwijnt. Hierbij blijft het quotiënt gelijk [12](#page=12). > **Principe:** Het quotiënt van een deling verandert niet als zowel het deeltal als de deler met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd. > $a \div b = (a \times k) \div (b \times k)$ ##### 4.2.4.1 Type 1: het aantal decimalen van deeltal en deler is gelijk Na het vermenigvuldigen van deeltal en deler om de komma in de deler weg te werken, resulteert dit type deling in een geheel getal als uitkomst, zonder komma [12](#page=12). > **Voorbeeld:** $676,25 \div 1,25$. > Vermenigvuldig met 100: $67625 \div 125$. > Schatting: $60000 \div 100 = 600$. > Cijferen: $67625 \div 125 = 541$. > Uitkomst: $541$. ##### 4.2.4.2 Type 2: de deler heeft meer decimalen dan het deeltal Ook hier worden deeltal en deler vermenigvuldigd totdat de komma in de deler verdwijnt. Het kan nodig zijn om nullen toe te voegen aan het deeltal om dit te realiseren. Het resultaat is een geheel getal [13](#page=13). > **Voorbeeld:** $668,75 \div 3,125$. > Vermenigvuldig met 1000: $668750 \div 3125$. > Schatting: $600000 \div 3000 = 200$. > Cijferen: $668750 \div 3125 = 214$. > Uitkomst: $214$. ##### 4.2.4.3 Type 3: het deeltal heeft meer decimalen dan de deler Deeltal en deler worden vermenigvuldigd om de komma in de deler weg te werken. De komma in het deeltal schuift hierbij mee naar rechts. De oefening wordt hierdoor een deling van het type 2.5.1 (deeltal is een kommagetal, deling gaat op of niet op). De uitkomst wordt vergeleken met de schatting om de komma correct te plaatsen [13](#page=13). > **Voorbeeld:** $15,1 \div 2,6$. > Vermenigvuldig met 10: $151 \div 26$. > Schatting: $150 \div 25 = 6$. > Cijferen: $151 \div 26 = 5$ met rest $21$. > Plaatsing komma in deeltal: $15,1$ wordt $151$. > Uitkomst: $5,8$ met rest $0,02$. De rest $0,02$ is afkomstig van de oorspronkelijke $15,1$. #### 4.2.5 Een kommagetal delen door een kommagetal tot op zekere nauwkeurigheid Om deze delingen uit te voeren, wordt de komma in de deler weggewerkt door te vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, enzovoort. De komma in het deeltal schuift dienovereenkomstig op. De deling wordt vervolgens cijferend uitgevoerd, waarbij de uitkomst vergeleken wordt met de schatting om de komma correct te plaatsen. De rest wordt correct afgelezen door te kijken naar de oorspronkelijke plaats van de komma in het deeltal [14](#page=14). > **Voorbeeld:** Bepaal tot op 0,01 nauwkeurig: $1,892 \div 1,4$. > Vermenigvuldig met 10: $18,92 \div 14$. > Schatting: $14 \div 14 = 1$. > Cijferen: $18,92 \div 14$. > Uitkomst: $1,35$ met rest $0,002$. De rest is $0,002$ want $(1,35 \times 1,4) + 0,002 = 1,892$. ### 4.3 Algemene besluiten bij delingen met kommagetallen Bij het cijferend delen met kommagetallen is de kernstrategie het wegwerken van de komma in de deler door te vermenigvuldigen met een passende macht van 10. Het is niet altijd noodzakelijk om de komma in het deeltal weg te werken; de deling kan ook zonder deze aanpassing worden uitgevoerd, waarna de uitkomst met de schatting wordt vergeleken. Het wegwerken van de komma in het deeltal kan de deler onnodig vergroten en de oefening complexer maken [15](#page=15). Bij het aflezen van de rest is het cruciaal om te refereren aan de oorspronkelijke plaats van de komma in het deeltal [15](#page=15). > **Tip:** Concentreer je eerst op het vereenvoudigen van de deler. Het deeltal kan vaak ongemoeid gelaten worden, tenzij dit de deling aanzienlijk vergemakkelijkt. > > **Tip:** Vergeet nooit de rest te interpreteren in relatie tot de oorspronkelijke waarden van de getallen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kommagetal | Een getal dat bestaat uit een geheel deel en een breukdeel, gescheiden door een decimale komma. Dit omvat zowel getallen met een eindig aantal decimalen als getallen die in principe oneindig veel decimalen hebben. | | Natuurlijk getal | Een positief geheel getal (1, 2, 3, ...) dat wordt gebruikt voor het tellen en ordenen. Soms wordt ook nul als natuurlijk getal beschouwd, afhankelijk van de definitie. | | Cijferen | Een methode om rekenkundige bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uit te voeren met behulp van een gestructureerde, kolomvormige notatie. | | Deeltal | Het getal dat bij een deling wordt gedeeld. Het is het getal dat wordt opgedeeld in gelijke delen. | | Deler | Het getal waarmee het deeltal bij een deling wordt gedeeld. Het bepaalt de grootte van de gelijke delen waarin het deeltal wordt opgedeeld. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. Het geeft aan hoe vaak de deler in het deeltal past. | | Rest | Het deel dat overblijft na een deling wanneer het deeltal niet precies deelbaar is door de deler. | | Vermenigvuldigtal | Het getal dat bij een vermenigvuldiging wordt vermenigvuldigd. Het is het getal dat meerdere keren bij elkaar wordt opgeteld. | | Vermenigvuldiger | Het getal waarmee het vermenigvuldigtal bij een vermenigvuldiging wordt vermenigvuldigd. Het geeft aan hoe vaak het vermenigvuldigtal wordt herhaald. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. Het is het eindgetal na het uitvoeren van de vermenigvuldiging. | | Schatting | Een benadering van het resultaat van een berekening die snel en met minder precisie wordt uitgevoerd. Het dient om een idee te krijgen van de orde van grootte van de uitkomst. | | Decimaal getal | Een getal dat gebruikmaakt van een decimale punt (komma in het Nederlands) om het gehele deel van het fractionele deel te scheiden. Dit is synoniem aan kommagetal. | | Vakdidactiek | Het vakgebied binnen de onderwijskunde dat zich bezighoudt met de specifieke methoden en strategieën voor het onderwijzen van een bepaald schoolvak, in dit geval wiskunde. |

# Rationale getallen en hun representaties Dit topic behandelt de definitie en verschillende representaties van rationale getallen, inclusief de overgang van natuurlijke getallen naar rationale getallen en de bijbehorende verschillen in representatie, vergelijking, ordening en bewerkingen, en introduceert kort irrationale en reële getallen. ## 1.1 De verzameling van de rationale getallen De verzameling van de natuurlijke getallen is aangeduid met ℕ en omvat {1, 2, 3, 4, 5,...}. De verzameling van de gehele getallen, aangeduid met ℤ, omvat {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,...} [5](#page=5). Een rationaal getal is een getal dat kan worden uitgedrukt als een breuk $\frac{a}{b}$, waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn ( $a, b \in \mathbb{Z}$ ) en $b$ niet gelijk is aan nul ($b \neq 0$). De verzameling van rationale getallen wordt voorgesteld door de letter ℚ. In het basisonderwijs worden voornamelijk positieve breuken gebruikt [5](#page=5). Hoewel rationale getallen kunnen worden weergegeven als een breuk, is "breuk" niet synoniem met "rationaal getal". Rationale getallen kunnen ook voorkomen als kommagetallen (bijvoorbeeld 0,5; 0,75; 1,5) of als percentages (bijvoorbeeld 50%; 75%; 150%). Ze kunnen groter zijn dan 1 (bijvoorbeeld $\frac{6}{4}$) en kleiner dan 0 (bijvoorbeeld $-\frac{1}{2}$). Niet alle rationale getallen zijn natuurlijke getallen, maar alle natuurlijke getallen zijn wel rationale getallen. Een breuk is dus slechts één mogelijke representatie van een rationaal getal. Net als natuurlijke getallen kunnen rationale getallen ook worden voorgesteld op een getallenas [5](#page=5) [6](#page=6). > **Tip:** Het is belangrijk om te onthouden dat een breuk slechts één van de representaties is voor een rationaal getal. ## 1.2 De overgang van natuurlijke naar rationale getallen Leerlingen kunnen moeite hebben met het toepassen van voorkennis van natuurlijke getallen op rationale getallen, wat leidt tot misvattingen. Dit komt doordat de rekenregels voor natuurlijke getallen niet altijd direct overdraagbaar zijn naar rationale getallen. Het is cruciaal voor leerkrachten om expliciet de verschillen tussen natuurlijke en rationale getallen te benadrukken en te waarschuwen voor het onterecht toepassen van regels voor natuurlijke getallen op rationale getallen [6](#page=6). ### 1.2.1 Verschillen in representaties De representatie van een getal kan sterk verschillen bij de overgang van natuurlijke naar rationale getallen. Een natuurlijk getal zoals '2' kan als rationaal getal ook worden genoteerd als $\frac{2}{1}$, 2,0, of 200%. Een kwart, dat als natuurlijk getal niet direct bestaat, kan worden voorgesteld als $\frac{1}{4}$, 0,25, of 25%. Bovendien kan $\frac{1}{4}$ op oneindig veel manieren worden geschreven met andere breuken zoals $\frac{3}{12}$ of $\frac{5}{20}$, en ook op oneindig veel manieren als kommagetal of percentage (bijvoorbeeld 0,250; 0,2500; 25,0%; 25,00%) [7](#page=7). ### 1.2.2 Verschillen in vergelijken en ordenen Bij natuurlijke getallen zijn getallen met meer cijfers altijd groter, maar dit geldt niet altijd voor rationale getallen. Leerlingen beschouwen bij breuken vaak de teller en noemer als afzonderlijke gehelen, terwijl ze als één geheel bekeken moeten worden. Om rationale getallen met verschillende representaties te vergelijken, moeten ze eerst worden omgezet naar dezelfde representatie [8](#page=8). > **Tip:** Om breuken te vergelijken, zet ze om naar een gemeenschappelijke noemer of zet ze om naar decimale getallen. ### 1.2.3 Discreet versus dicht De structuur van de getallenverzameling verschilt: natuurlijke getallen zijn discreet, terwijl rationale getallen dicht zijn. Dit betekent dat er tussen twee opeenvolgende natuurlijke getallen geen ander natuurlijk getal ligt, maar tussen twee rationale getallen oneindig veel andere rationale getallen liggen [8](#page=8). **Voorbeeld:** Hoeveel getallen liggen er tussen 35 en 37? Bij de natuurlijke getallen is het antwoord "één, namelijk 36". Bij de rationale getallen is het antwoord "oneindig veel", bijvoorbeeld 35,83; 36; 36,042;... [8](#page=8). Beide leerlingen denken dat er een eindig aantal getallen ligt tussen 0,5 en 0,6, maar in werkelijkheid zijn het er oneindig veel (bijvoorbeeld 0,513; 0,5378;...) [8](#page=8). ### 1.2.4 Verschillen in bewerkingen De rekenregels voor bewerkingen met natuurlijke getallen gelden niet altijd voor rationale getallen [9](#page=9). * **Optellen:** Voor natuurlijke getallen geldt: $1 + 5 = 6$ [9](#page=9). Voor rationale getallen geldt *niet* dat $\frac{1}{3} + \frac{5}{4} = \frac{1+5}{3+4} = \frac{6}{7}$ [9](#page=9). * **Aftrekken:** Voor natuurlijke getallen geldt: $4 - 1 = 3$ [9](#page=9). Voor rationale getallen geldt *niet* dat $\frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{4-1}{5-2} = \frac{3}{3} = 1$ [9](#page=9). * **Vermenigvuldigen:** Bij het vermenigvuldigen van twee natuurlijke getallen is het product altijd groter dan of gelijk aan één van beide getallen. Bijvoorbeeld: $6 \times 4 = 24$, waarbij $24 > 6$ en $24 > 4$ [10](#page=10). Bij het vermenigvuldigen van twee rationale getallen kan het product echter kleiner zijn dan één van beide getallen. Bijvoorbeeld: $4 \times 0,5 = 2$, waarbij $2 > 0,5$ maar $2 < 4$ [10](#page=10). * **Delen:** Bij het delen van twee natuurlijke getallen is het quotiënt altijd kleiner dan of gelijk aan het deeltal. Bijvoorbeeld: $12: 3 = 4$, waarbij $4 < 12$ [10](#page=10). Bij het delen van twee rationale getallen kan het quotiënt echter groter zijn dan of gelijk aan het deeltal. Bijvoorbeeld: $12: 0,3 = 40$, waarbij $40 > 12$ [10](#page=10). > **Voorbeeld:** Een veelvoorkomende misvatting bij optellen van breuken is het optellen van tellers en noemers apart, wat leidt tot incorrecte resultaten zoals $\frac{1}{3} + \frac{5}{4} = \frac{6}{7}$. De juiste methode vereist een gemeenschappelijke noemer. ## 1.3 De verzameling van de irrationale getallen Niet alle getallen kunnen worden uitgedrukt als een breuk $\frac{a}{b}$ waarbij $a, b \in \mathbb{Z}$ en $b \neq 0$. Voorbeelden hiervan zijn niet-repeterende oneindige kommagetallen. Deze getallen, die niet als een breuk kunnen worden geschreven, worden irrationale getallen genoemd. De verzameling van rationale getallen en de verzameling van irrationale getallen vormen samen de verzameling van de reële getallen, aangeduid met ℝ [11](#page=11). ## 1.4 Wil je meer weten? Er zijn aanvullende video's beschikbaar op Toledo die de "continuïteit" van de rationale getallen illustreren, wat verklaart hoe men kinderen kan laten zien dat er oneindig veel breuken liggen tussen twee willekeurige breuken. Deze video's kunnen helpen bij het analyseren van leerlingreacties en het ontwikkelen van effectievere onderwijsstrategieën [11](#page=11). --- # Het breukconcept en zijn aspecten Dit onderwerp behandelt de opbouw van het breukconcept in het basisonderwijs, met specifieke aandacht voor het CSA-model, diverse breuksoorten, en het onderscheid tussen wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten van breuken, inclusief de vijf verschijningsvormen. ### 2.1 Leerdoelen m.b.t. rekenvaardigheden Leerlingen dienen in staat te zijn verschillende soorten breuken te definiëren en voorbeelden te geven. Daarnaast moeten ze breuken kunnen afbeelden op een getallenas, gelijkwaardige breuken bepalen, breuken vereenvoudigen, vergelijken en ordenen [12](#page=12). ### 2.2 Vakdidactische leerdoelen Docenten moeten kunnen aantonen hoe het breukconcept stapsgewijs wordt opgebouwd in het basisonderwijs en de relatie ervan met natuurlijke getallen. Het is essentieel om de vijf verschijningsvormen van breuken (deel-geheel, operator, maat, verhouding/kans, en getal) te onderscheiden, beschrijven en herkennen. Leerlingen moeten breukvraagjes kunnen analyseren en zelf opstellen binnen een gegeven context. Tevens moeten wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten van breuken beschreven kunnen worden, en moeten misvattingen van leerlingen over gelijkwaardige breuken, vereenvoudigen, vergelijken en ordenen begrepen en verklaard kunnen worden. Het hanteren en beschrijven van diverse voorstellingswijzen voor breuken (zoals stroken, getallenas, cirkel, maatbeker) is ook een leerdoel [12](#page=12). ### 2.3 Inleiding Delingen tussen gehele getallen leveren niet altijd gehele getallen op. Om dit op te lossen, zijn breuken geïntroduceerd. Een breuk, zoals $\frac{10}{4}$, bestaat uit een teller (het deeltal, hier 10), een noemer (de deler, hier 4) en een breukstreep. Veel leerlingen vinden breuken lastig door onvoldoende aandacht voor begripsvorming en te snelle abstractie. Kinderen hebben echter al voorkennis over breuken vanuit de dagelijkse omgangstaal, wat als bouwsteen kan dienen [12](#page=12) [13](#page=13). ### 2.4 Het CSA-model Het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) is cruciaal bij het aanleren van breuken. De onderwijsmethodiek dient te vertrekken vanuit reële, betekenisvolle contexten waarbij leerlingen handelen en verwoorden. Handelingen met breuken kunnen het resultaat of het uitgangspunt van een handeling uitdrukken. Verwoorden betekent niet alleen de activiteit benoemen, maar ook op verschillende manieren kunnen uitdrukken, wat begrip garandeert. Concreet waargenomen zaken, via materialen, vertalen leerlingen met hulp van de leerkracht naar schematische voorstellingen. Deze schematische voorstellingen vormen de basis voor abstracte redeneringen. Bij falen op een bepaald niveau, grijpt men terug naar een eerdere fase [13](#page=13) [14](#page=14). > **Tip:** Het CSA-model is essentieel voor een diepgaand begrip van breuken en wordt gedurende dit hoofdstuk frequent toegepast. ### 2.5 Soorten breuken Er worden zes soorten breuken onderscheiden [14](#page=14): | Naam | Omschrijving | Voorbeelden | | :---------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------- | :----------------------- | | Echte breuk | De teller is kleiner dan de noemer. | $\frac{2}{5}, -\frac{3}{7}, \frac{1}{9}$ | | Onechte breuk | De absolute waarde van de teller is groter of gelijk aan de noemer. | $\frac{3}{2}, -\frac{17}{5}, \frac{9}{3}$ | | Oneigenlijke breuk | De teller is een veelvoud van de noemer ($\frac{na}{a}$ met $n \in \mathbb{Z}$). Vereenvoudigbaar tot gehele getallen. | $-\frac{9}{3}, \frac{49}{7}, \frac{60}{5}$ | | Stambreuk | De absolute waarde van de teller is gelijk aan 1. | $-\frac{1}{7}, \frac{1}{17}, -\frac{1}{145}$ | | Decimale breuk | De noemer is van de vorm $10^n$ met $n \in \mathbb{N}$. | $\frac{125}{100}, -\frac{7}{10}, \frac{615}{1000}$ | | Gemengd getal | Samenstelling van een geheel getal en een breuk. | $2\frac{1}{3}, -8\frac{1}{2}, 13\frac{5}{6}$ | Een breuk kan tot meerdere soorten behoren. Bijvoorbeeld, $\frac{1}{10}$ is een echte breuk, een stambreuk en een decimale breuk [14](#page=14). ### 2.6 Wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten Voor een goed breukbegrip moeten leerlingen onderscheid maken tussen wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten [15](#page=15). #### 2.6.1 Wezenlijke aspecten De wezenlijke aspecten zijn essentieel; wijziging hiervan verandert de breuk [15](#page=15): 1. **Gelijke delen:** Het geheel wordt verdeeld in "gelijke" delen, die bij samenvoeging het geheel vormen [15](#page=15). 2. **Noemer:** Geeft het aantal gelijke delen aan waarin het geheel is verdeeld. (bv. in $\frac{2}{5}$ geeft 5 aan dat het geheel in 5 gelijke delen wordt verdeeld) [15](#page=15). 3. **Teller:** Geeft het aantal delen aan dat van het geheel wordt genomen. (bv. in $\frac{8}{\dots}$ geeft 8 aan dat we acht van de gelijke delen nemen) [15](#page=15). #### 2.6.2 Niet-wezenlijke aspecten De aard van het materiaal, de aard van de grootheden, de grootte van het geheel en de manier van verdelen zijn niet-wezenlijke aspecten. Wijziging hiervan verandert de breuk niet. Het is belangrijk deze aspecten in lessen te variëren en expliciet te benoemen [15](#page=15). 1. **De aard van het materiaal (discreet of continu):** * **Discreet:** Een aantal losse voorwerpen (bv. potloden, knikkers). Hierbij moet het aantal voorwerpen een veelvoud zijn van de noemer [16](#page=16). * **Continu:** Een samenhangende grootheid (bv. water, tijd, pizza). De noemer kan hier willekeurig zijn, mits de afmetingen van het materiaal aangepast zijn aan de noemer [16](#page=16). > **Voorbeeld:** Bij discreet materiaal met zes knikkers, kunnen deze verdeeld worden in één, twee, drie of zes gelijke delen. Bij continu materiaal, zoals een rechthoek, kleurt men $\frac{5}{7}$ door deze in zeven gelijke delen te verdelen [16](#page=16). 2. **De aard van de grootheden:** Breuken kunnen betrekking hebben op diverse grootheden zoals lengte, tijd, inhoud, gewicht, geldwaarde, of figuren [16](#page=16). > **Voorbeeld:** $\frac{1}{2}$ kg aardappelen kan zowel betrekking hebben op het aantal aardappelen als op het gewicht [16](#page=16). 3. **De grootte van het geheel:** De grootte van het geheel moet variëren om te voorkomen dat leerlingen een specifieke grootte met een breuk associëren. Het geheel moet duidelijk aangegeven zijn [17](#page=17). > **Voorbeeld:** $\frac{1}{2}$ van een groot geheel kan groter zijn dan $\frac{3}{4}$ van een kleiner geheel [17](#page=17). 4. **De manier van verdelen:** Gehelen kunnen op verschillende manieren in gelijke delen worden verdeeld [18](#page=18). > **Voorbeeld 1:** Een vierkant kan op verschillende manieren in vier gelijke delen verdeeld worden [18](#page=18). > **Voorbeeld 2:** Drie pizza's verdelen onder vier personen [18](#page=18). ### 2.7 Verschijningsvormen van breuken Breuken kennen vijf verschijningsvormen die geïntegreerd aangeboden moeten worden voor een volledig breukbegrip [20](#page=20). 1. **Deel-geheel:** Het eerlijk verdelen van een geheel in gelijke delen [20](#page=20). > **Voorbeeld:** Een taart eerlijk verdelen onder acht personen, waarbij ieder $\frac{1}{8}$ van de taart krijgt. Bij het verdelen van een blad papier onder twee kinderen krijgt elk een "half blad" of $\frac{1}{2}$ blad. Bij het verdelen van een taart onder vier kinderen krijgt elk $\frac{1}{4}$ taart. Een zakje met 20 snoepjes eerlijk verdelen onder vijf kinderen betekent dat elk kind $\frac{1}{5}$ van de snoepjes krijgt, wat neerkomt op 4 snoepjes. Men kan ook meerdere delen nemen van één geheel, zoals $\frac{3}{4}$ van een taart [20](#page=20) [22](#page=22) [23](#page=23) [24](#page=24). * **Breukvraagjes:** Een gestructureerd hulpmiddel voor dit concept [22](#page=22). * Wat is het geheel? * In hoeveel gelijke delen verdeel je het geheel? * Hoeveel gelijke delen neem je? * Welk deel is dit van het geheel? 2. **Operator:** De breuk is het uitgangspunt van een handeling (#page=20, 29). Dit kan toegepast worden op continue grootheden of op aantallen [20](#page=20) [29](#page=29). > **Voorbeeld (continue grootheid):** Neem $\frac{1}{2}$ van een blad papier. Teken $\frac{6}{5}$ van een rechthoek, wat betekent dat het geheel in 5 delen wordt verdeeld en er 6 delen worden genomen. Als $\frac{6}{5}$ van een figuur gegeven is, moet de oorspronkelijke figuur getekend worden; dit is moeilijker omdat het de omgekeerde bewerking vereist [29](#page=29) [30](#page=30). > **Voorbeeld (aantal):** $\frac{2}{3}$ van 12 handpopjes kiezen. Dit kan berekend worden als $12 \div 3 = 4$ en $2 \times 4 = 8$ [31](#page=31) [32](#page=32). * **Bewerking:** $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ [32](#page=32). 3. **Maat:** De breuk wordt gebruikt om een meetresultaat nauwkeuriger te noteren (#page=20, 34). Het kan het eindresultaat van een handeling zijn of het uitgangspunt [20](#page=20) [34](#page=34). > **Voorbeeld:** De lengte van een lessenaar wordt gemeten met een strookje papier. Als het strookje er drie keer in past en een restant overblijft van $\frac{1}{2}$ strook, is de lengte $3\frac{1}{2}$ keer de strook, of $\frac{7}{2}$ strook [34](#page=34). 4. **Verhouding/Kans:** Breuken geven verhoudingen weer in het dagelijks leven, zoals de verhouding van een deel ten opzichte van het geheel, tussen twee delen, bij verkleining/vergroting, op schaal, of in mengsels (#page=20, 35, 36) [20](#page=20) [35](#page=35) [36](#page=36). * **Breuk als verhouding:** Bij kralenkettingen met witte en zwarte kralen, kan men de verhouding uitdrukken als $\frac{\text{aantal witte kralen}}{\text{aantal zwarte kralen}} = \frac{1}{3}$ of $\frac{\text{aantal witte kralen}}{\text{totaal aantal kralen}} = \frac{1}{4}$ [37](#page=37). * **Typen verhoudingen:** * **Deel-deel vergelijkingen:** Vergelijkt de grootte van een deel met een ander deel [38](#page=38). * **Deel-geheel vergelijkingen:** Vergelijkt de grootte van een deel met het totaal [38](#page=38). * **Breuk als kans:** De kans op een gebeurtenis wordt uitgedrukt als een breuk. Bij het opwerpen van een muntstuk is de kans op kruis $\frac{1}{2}$. Bij het gooien met twee dobbelstenen is de kans op een som van 5 $\frac{4}{36}$ of $\frac{1}{9}$ [38](#page=38) [39](#page=39). 5. **Getal:** Vanaf het vierde leerjaar krijgt de breuk betekenis als een rationaal getal op de getallenas, waarbij de afstand tussen 0 en 1 het abstracte geheel is (#page=20, 40) [20](#page=20) [40](#page=40). > **Voorbeeld:** $\frac{3}{4}$ wordt geplaatst op de getallenas door de afstand tussen 0 en 1 in 4 gelijke delen te verdelen en er 3 van te nemen. Het vereenvoudigen van breuken kan het plaatsen op de getallenas vergemakkelijken, bv. $\frac{12}{60}$ wordt $\frac{1}{5}$. Onechte breuken liggen buiten het interval [1](#page=1) [40](#page=40) [41](#page=41). ### 2.8 Gelijkwaardige breuken Breuken met dezelfde waarde hebben dezelfde eenvoudigste vorm. Om een reeks gelijkwaardige breuken te bepalen, vermenigvuldigt men de teller en noemer van de eenvoudigste vorm met hetzelfde getal. Het vermeerderen of verminderen van de teller en noemer met eenzelfde getal is fout; enkel vermenigvuldigen of delen met eenzelfde getal behoudt de verhouding [43](#page=43). ### 2.9 Breuken vereenvoudigen Vereenvoudigen gebeurt door teller en noemer door een gemeenschappelijke deler te delen. De breuk is in zijn eenvoudigste vorm wanneer teller en noemer geen gemeenschappelijke delers meer hebben (onvereenvoudigbare breuk). Voor grotere getallen zoekt men de grootste gemeenschappelijke deler (GGD) [45](#page=45) [46](#page=46). > **Formule:** Om de onvereenvoudigbare breuk te vinden, deel je teller en noemer door de GGD van teller en noemer [46](#page=46). > **Voorbeeld:** $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$. Voor $\frac{75}{125}$ is de GGD 25, dus $\frac{75 \div 25}{125 \div 25} = \frac{3}{5}$ [45](#page=45) [46](#page=46). ### 2.10 Breuken vergelijken en ordenen * **Stambreuken:** Bij stambreuken is de breuk met de grootste noemer de kleinste breuk, omdat het geheel in meer delen is verdeeld (#page=47, 48). Bijvoorbeeld, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ [47](#page=47) [48](#page=48). * **Gelijknamige breuken:** De breuk met de grootste teller is de grootste breuk. Bijvoorbeeld, $\frac{5}{6} > \frac{3}{6}$ [48](#page=48). * **Breuken met dezelfde teller:** De breuk met de kleinste noemer is de grootste breuk, omdat het geheel in minder delen is verdeeld, waardoor elk deel groter is. Bijvoorbeeld, $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$ [49](#page=49). * **Breuken met verschillende teller en noemer:** Maak de breuken gelijknamig om ze te vergelijken (#page=50, 51). Bijvoorbeeld, om $\frac{3}{5}$ en $\frac{2}{3}$ te vergelijken, maak je ze gelijknamig tot $\frac{9}{15}$ en $\frac{10}{15}$. Dan is $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, dus $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ [50](#page=50) [51](#page=51). > **Let op:** Het verschil tussen teller en noemer of de grootte van teller en noemer afzonderlijk bepalen niet de grootte van de breuk [51](#page=51). ### 2.11 Vergelijkingsstrategieën Naast het vereenvoudigen, vergelijken van tellers/noemers en gelijknamig maken, gebruiken leerlingen vaak spontane strategieën [53](#page=53): 1. **Referentiepunten:** Vergelijken met een bekende breuk zoals $\frac{1}{2}$ of 1. Dit werkt goed als de breuken aan verschillende kanten van het referentiepunt liggen [53](#page=53). 2. **Hoeveelheid tot het geheel:** Verwijzen naar de hoeveelheid die nog nodig is om het geheel te bereiken [53](#page=53). Uit onderzoek blijkt dat deze spontane strategieën vaak succesvol zijn, terwijl "op gelijke noemer zetten" minder effectief kan zijn. Kloofdenken, gebaseerd op het verschil tussen teller en noemer, is een foute strategie [53](#page=53) [54](#page=54). --- # Bewerkingen met breuken Dit topic behandelt de verschillende rekenkundige bewerkingen met breuken, waaronder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, met nadruk op inzichtelijke aanbrenging vanuit realistische contexten [55](#page=55). ## 3.1 Leerdoelen ### 3.1.1 Rekenvaardigheden * Optellen en aftrekken van zowel gelijknamige als ongelijknamige breuken [55](#page=55). * Vermenigvuldigen van breuken en natuurlijke getallen met elkaar, en delen door elkaar [55](#page=55). * Vermenigvuldigen en delen van breuken met elkaar [55](#page=55). ### 3.1.2 Vakdidactische leerdoelen * Hanteren, beschrijven en toepassen van verschillende voorstellingswijzen voor bewerkingen met breuken (bv. stroken, getallenas, cirkel, maatbeker, breukenladder, pijlenvoorstelling) [55](#page=55). * Zelf contexten bedenken bij gegeven bewerkingen met breuken [55](#page=55). * Begrijpen en verklaren van misvattingen van leerlingen omtrent bewerkingen met breuken [55](#page=55). ## 3.2 Inleiding tot bewerkingen met breuken Bewerkingen met breuken worden in de lagere school aangereikt vanuit realistische contexten, die vervolgens schematisch worden voorgesteld. De bijbehorende rekenregel wordt pas geformuleerd nadat leerlingen voldoende hebben gehandeld en gematerialiseerd. De nadruk ligt niet op het abstract uitvoeren van bewerkingen, maar op inzichtelijk oplossen in praktische situaties, vaak ondersteund door visuele representaties [56](#page=56). > **Tip:** Het is belangrijk om de nadruk te leggen op begrip en inzicht, in plaats van enkel het toepassen van abstracte regels. ## 3.3 Optellen en aftrekken Optellen en aftrekken van breuken worden doorgaans gelijktijdig aangeboden in het vierde leerjaar. Een belangrijk onderscheid in moeilijkheid is het verschil tussen gelijknamige en ongelijknamige breuken. Bij het optellen of aftrekken van breuken mag men de tellers en noemers niet zomaar bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken [56](#page=56). ### 3.3.1 Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken Bij gelijknamige breuken worden de overeenkomstige delen (tellers) bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken, terwijl de noemer behouden blijft. Dit concept kan worden verduidelijkt met materialen zoals stroken, getallenas, breukenladder of breukentafel [57](#page=57) [58](#page=58). **Concept:** Alleen gelijknamige breuken kunnen direct opgeteld of afgetrokken worden, omdat ze dezelfde grootte van delen representeren [58](#page=58). #### Voorbeeld: Optellen Op weg naar school eet een kind $\frac{1}{4}$ van zijn broodje, en geeft nog eens $\frac{1}{4}$ aan zijn broertje. Welk deel is er nu kwijt? Representatie met stroken: ``` |---|---|---|---| |---|---|---|---| 1/4 1/4 ``` Samen is dit $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ van het broodje [57](#page=57). #### Voorbeeld: Aftrekken Oma brengt $\frac{3}{4}$ van een taart. Mama eet $\frac{1}{4}$ op. Welk deel blijft er over? Representatie met cirkel: ``` (hele taart) o /|\ / | \ / | \ / | \ -----*----- / \ / \ / \ / V V \ 0 1/4 2/4 3/4 1 ``` Van de $\frac{3}{4}$ wordt $\frac{1}{4}$ weggenomen, wat resulteert in $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ van de taart die overblijft [58](#page=58). > **Tip:** Het werken met concrete materialen zoals een echt broodje of een taart helpt het begrip van de bewerking [57](#page=57) [58](#page=58). ### 3.3.2 Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken Om ongelijknamige breuken op te tellen of af te trekken, moeten ze eerst gelijknamig worden gemaakt. Dit betekent dat ze worden omgezet naar gelijkwaardige breuken met een gemeenschappelijke noemer. Daarna kan de optelling of aftrekking plaatsvinden zoals bij gelijknamige breuken [60](#page=60) [61](#page=61). **Concept:** Je kunt alleen delen bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken als die delen even groot zijn [61](#page=61). #### Voorbeeld: Optellen Tuur knipt $\frac{1}{4}$ meter van een papierstrook en Saar knipt $\frac{1}{2}$ meter. Hoeveel meter slinger hebben ze samen gemaakt? Eerst maak je de breuken gelijknamig: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Daarna tel je op: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ meter [61](#page=61). #### Voorbeeld: Optellen Van een reep chocolade eet zusje $\frac{1}{3}$ en jij $\frac{1}{2}$. Welk deel van de reep hebben jullie samen opgegeten? Om deze breuken op te tellen, maak je ze eerst gelijknamig: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ en $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. De som is $\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$ van de reep [62](#page=62) [63](#page=63). > **Tip:** Het is cruciaal om stil te staan bij het proces van gelijknamig maken en waarom dit nodig is, om te voorkomen dat leerlingen de regel zonder inzicht toepassen [61](#page=61). ## 3.4 Vermenigvuldigen Bij vermenigvuldigen met breuken ligt de nadruk op de betekenis van de bewerking, waarbij de context centraal staat. De betekenis verschilt afhankelijk van de volgorde (bv. $\frac{1}{4} \times 5$ versus $5 \times \frac{1}{4}$). Wanneer een breuk de vermenigvuldiger is, wordt de vermenigvuldiging gelezen als "van" [64](#page=64). > **Tip:** Vermijd het te snel aanreiken van rekenregels; besteed voldoende aandacht aan de juiste verwoording en betekenis [64](#page=64). ### 3.4.1 Natuurlijk getal x breuk Dit type vermenigvuldiging kan worden geïnterpreteerd als herhaalde optelling en geschematiseerd met stroken, getallenassen of pijlenvoorstellingen [65](#page=65). **Regel:** Om een breuk te vermenigvuldigen met een natuurlijk getal, vermenigvuldig je het getal met de teller en behoud je de noemer. Een alternatieve methode is om de noemer te delen door het getal, maar dit is enkel mogelijk als de noemer deelbaar is [67](#page=67). #### Voorbeeld Ingrediënten voor wafels voor 4 personen zijn: $\frac{1}{8}$ liter water, $\frac{1}{5}$ liter melk, $\frac{4}{3}$ kop bloem. Hoeveel is nodig voor 12 personen (dus 3 keer zoveel)? Water: $3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ liter [65](#page=65). ### 3.4.2 Breuk x natuurlijk getal Hierbij fungeert de breuk als operator; het maalteken betekent "van". Bijvoorbeeld, $\frac{2}{5} \times 3$ betekent "twee vijfde van 3 nemen" [67](#page=67). ### 3.4.3 Breuk x breuk Bij de vermenigvuldiging van twee breuken zijn er drie mogelijke situaties, die geschematiseerd kunnen worden met rechthoekmodellen, getallenassen en pijlenvoorstellingen [68](#page=68). **Regel:** Om een breuk te vermenigvuldigen met een breuk, vermenigvuldig je de teller met de teller en de noemer met de noemer [71](#page=71). #### Situatie 1: Stambreuk x stambreuk Loesje mag $\frac{1}{2}$ van $\frac{1}{3}$ van een reep chocolade eten. De bewerking is $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$. Dit betekent $\frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$ [68](#page=68). #### Situatie 2: Stambreuk x niet-stambreuk Er is $\frac{3}{4}$ van een pizza over. Papa geeft daarvan $\frac{1}{3}$ aan zijn zoon. Welk deel van de pizza krijgt de zoon? De bewerking is $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$. Dit betekent $\frac{1 \times 3}{3 \times 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ van de pizza [69](#page=69). #### Situatie 3: Niet-stambreuk x niet-stambreuk Evi koopt $\frac{2}{5}$ kg tomaten en gebruikt daarvan $\frac{3}{4}$ voor soep. Hoeveel kg tomaten gebruikt ze? De bewerking is $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}$. Dit betekent $\frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ kg tomaten [70](#page=70) [71](#page=71). > **Waarschuwing:** Vermenigvuldigen maakt niet altijd het vermenigvuldigtal groter en delen het deeltal niet altijd kleiner, zoals bij natuurlijke getallen. Bij breuken kan $\times \frac{1}{2}$ gelijk zijn aan $: 2$ [71](#page=71). ## 3.5 Delen Het delen door een breuk moet inzichtelijk worden onderbouwd, en de betekenis van "delen door een breuk" moet voldoende aandacht krijgen [73](#page=73). ### 3.5.1 Breuk : natuurlijk getal Er zijn twee situaties mogelijk: 1. **Teller deelbaar door deler:** De teller van het deeltal is deelbaar door het natuurlijke getal. Voorbeeld: $\frac{4}{5}$ van een perk wordt verdeeld in twee gelijke delen. De bewerking is $\frac{4}{5}: 2 = \frac{4:2}{5} = \frac{2}{5}$ [73](#page=73) [74](#page=74). 2. **Teller niet deelbaar door deler:** De teller van het deeltal is niet deelbaar door het natuurlijke getal. Voorbeeld: $\frac{1}{4}$ van een pizza wordt eerlijk verdeeld in 3. De bewerking kan worden opgelost door een gelijkwaardige breuk te vinden waarvan de teller deelbaar is, of door de noemer te vermenigvuldigen met het getal: $\frac{1}{4}: 3 = \frac{1}{12}$ [74](#page=74) [75](#page=75). **Regel:** Om een breuk te delen door een natuurlijk getal: * Vermenigvuldig de noemer van de breuk met het natuurlijke getal en behoud de teller. Deze werkwijze is altijd mogelijk [75](#page=75). * Deel de teller van de breuk door het natuurlijke getal en behoud de noemer. Dit is slechts mogelijk indien de teller deelbaar is of indien een gelijkwaardige breuk wordt gevonden [75](#page=75). ### 3.5.2 Natuurlijk getal : breuk Dit is uitbreidingsleerstof. Bij het delen van een natuurlijk getal door een stambreuk, vermenigvuldig je het natuurlijke getal met de noemer van de stambreuk [76](#page=76). #### Voorbeeld $5 : \frac{1}{2}$ betekent "hoeveel keer gaat $\frac{1}{2}$ in 5?". In 1 geheel gaat $\frac{1}{2}$ twee keer. In 5 gehelen gaat $\frac{1}{2}$ dus $5 \times 2 = 10$ keer. De bewerking is $5 \times 2 = 10$ [76](#page=76). ### 3.5.3 Breuk : breuk Dit is eveneens uitbreidingsleerstof. **Regel:** Om een breuk te delen door een breuk, vermenigvuldig je de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk [77](#page=77). #### Voorbeeld Tuur koopt $\frac{1}{2}$ kg snoepjes en verdeelt deze over zakjes van $\frac{1}{8}$ kg. Hoeveel zakjes kan hij vullen? De bewerking is $\frac{1}{2}: \frac{1}{8}$. Dit kan worden opgelost door te vermenigvuldigen met het omgekeerde: $\frac{1}{2} \times 8 = 4$. Tuur kan dus 4 zakjes vullen [77](#page=77). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Rationale getallen | Rationale getallen zijn getallen die uitgedrukt kunnen worden als een breuk $a/b$, waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn en $b$ niet nul is. Deze verzameling wordt aangeduid met het symbool $\mathbb{Q}$. | | Irrationale getallen | Irrationale getallen zijn reële getallen die niet als een breuk $a/b$ kunnen worden geschreven, waarbij $a$ en $b$ gehele getallen zijn en $b$ niet nul is. Voorbeelden zijn $\pi$ en $\sqrt{2}$. | | Reële getallen | De verzameling van de reële getallen, aangeduid met $\mathbb{R}$, omvat zowel de rationale als de irrationale getallen. Deze getallen kunnen op een continue getallenas worden geplaatst. | | Breuk | Een breuk is een wiskundige uitdrukking die bestaat uit een teller en een noemer, gescheiden door een breukstreep. Het representeert een deel van een geheel of een uitkomst van een deling. | | Teller | De teller is het bovenste getal in een breuk en geeft aan hoeveel delen van het geheel worden beschouwd of genomen. | | Noemer | De noemer is het onderste getal in een breuk en geeft aan in hoeveel gelijke delen het geheel is verdeeld. | | CSA-model | Het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) is een didactische aanpak die leerlingen helpt wiskundige concepten te begrijpen door eerst te handelen met concrete materialen, vervolgens dit te visualiseren met schema's, en uiteindelijk over te gaan naar abstracte wiskundige notatie. | | Verschijningsvormen van breuken | Dit verwijst naar de verschillende manieren waarop breuken in de praktijk voorkomen en geïnterpreteerd kunnen worden, zoals deel-geheel, operator, maat, verhouding/kans en als een getal op de getallenas. | | Wezenlijke aspecten van een breuk | Dit zijn de fundamentele kenmerken van een breuk die, indien gewijzigd, de breuk zelf veranderen. Dit omvat het principe van gelijke delen, de rol van de noemer en de rol van de teller. | | Niet-wezenlijke aspecten van een breuk | Dit zijn aspecten van de voorstelling van een breuk die kunnen variëren zonder de waarde van de breuk te beïnvloeden. Voorbeelden zijn de aard van het materiaal, de grootte van het geheel en de manier van verdelen. | | Gelijkwaardige breuken | Gelijkwaardige breuken zijn breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen, ook al hebben ze een verschillende teller en noemer. Ze kunnen worden verkregen door de teller en noemer van een breuk met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen. | | Vereenvoudigen van breuken | Het proces van het omzetten van een breuk naar zijn eenvoudigste vorm, waarbij de teller en de noemer van de breuk worden gedeeld door hun grootste gemeenschappelijke deler. | | Gelijknamige breuken | Gelijknamige breuken zijn breuken die dezelfde noemer hebben. | | Ongelijknamige breuken | Ongelijknamige breuken zijn breuken die verschillende noemers hebben. | | Operator | In de context van breuken, wanneer een breuk fungeert als een operator, geeft het aan welke handeling moet worden uitgevoerd, bijvoorbeeld '2/3 van' betekent delen door 3 en vermenigvuldigen met 2. | | Verhouding | Een verhouding beschrijft de relatie tussen twee of meer getallen of hoeveelheden. Breuken kunnen gebruikt worden om verhoudingen weer te geven, zoals 'deel-geheel' of 'deel-deel'. | | Kans | Kans is de waarschijnlijkheid dat een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt. Het wordt vaak uitgedrukt als een breuk, waarbij de teller het aantal gunstige uitkomsten is en de noemer het totale aantal mogelijke uitkomsten. | | Getal als quotiënt | Een breuk kan ook worden geïnterpreteerd als de uitkomst van een deling, waarbij de teller het deeltal is en de noemer de deler. Dit representeert de positie van het getal op de getallenas. | | Omgekeerde van een breuk | Het omgekeerde van een breuk $a/b$ is $b/a$. Dit concept is essentieel voor het delen door breuken. |

# Invoeren van het begrip procenten Dit deel behandelt de introductie van het concept procenten, inclusief het gebruik van visuele hulpmiddelen zoals het honderdveld, rekenblokken en stroken om leerlingen te helpen procenten te begrijpen en te visualiseren. ### 1.1 Informele kennis en conceptvorming Leerlingen hebben vaak al enige informele kennis van procenten voordat ze er formeel mee in aanraking komen. Ze kunnen kortingen van 50% en 25% interpreteren als respectievelijk $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{4}$ deel van het geheel [6](#page=6). #### 1.1.1 Het woord 'procent' Het woord 'cent' betekent letterlijk honderd, zoals in centimeter, centiliter en eurocent. 'Procent' betekent dan ook per honderd, zoveel op honderd. Het is cruciaal dat leerlingen dit correct verwoorden, bijvoorbeeld 10 procent als 10%. Dit kan gelezen worden als 10 voor elke 100, 10 per 100, 10 ten 100, 10 op 100, of 10 van de 100 [6](#page=6). #### 1.1.2 Activiteiten voor introductie Een goede lesopbouw kan beginnen met het aanbieden van een probleemsituatie om de informele kennis van leerlingen te peilen. Leerlingen kunnen gevraagd worden materiaal mee te brengen zoals folders, aanbiedingen of kledinglabels, waarop ze kunnen zoeken naar het woord 'procenten'. Via een onderwijsleergesprek kan vervolgens de begripsvorming worden opgebouwd door vragen te stellen over waar de teksten en aanbiedingen over gaan en wat er steeds terugkomt [6](#page=6). ### 1.2 Visualisatiehulpmiddelen voor procenten Handige hulpmiddelen om procenten te visualiseren zijn het honderdveld, rekenblokken (MAB-materiaal) en stroken [6](#page=6). #### 1.2.1 Het honderdveld Een honderdveld bestaat uit 100 vakjes en dient als een visueel model om procenten weer te geven. Als de context 'per honderd' is, leg je voor elk honderdeenheid vijf vakjes kleur, wat 5% voorstelt [6](#page=6). > **Tip:** Het visueel maken van procenten met het honderdveld helpt leerlingen om de abstracte hoeveelheid procent om te zetten naar een tastbaar deel van een geheel. #### 1.2.2 Rekenblokken / MAB-materiaal MAB-materiaal, zoals blokjes van 100, staven van 10 en losse eenheden, kan ook gebruikt worden om procenten te visualiseren. Voor 5% wordt bijvoorbeeld aangegeven dat er voor elke 100 eenheden er 5 gelegd moeten worden [6](#page=6). #### 1.2.3 Stroken Stroken kunnen worden gebruikt om delen van een geheel te representeren, die vervolgens kunnen worden gelabeld met percentages [6](#page=6). #### 1.2.4 Groepswerk en klassikale consolidatie Leerlingen kunnen in groepjes werken aan het visualiseren van verschillende percentages (zoals 0%, 5%, 10%, 20%, 25%, 50%) met behulp van de genoemde materialen. De leerkracht kan vervolgens de gekleurde velden en stroken aan het bord hangen. Op basis van het gekleurde deel kunnen leerlingen relaties leggen, bijvoorbeeld dat 5% één twintigste deel is, 10% één tiende deel, 20% één vijfde deel, 25% één vierde deel, 50% de helft, en 100% het geheel [7](#page=7). ### 1.3 Berekeningen met procenten #### 1.3.1 Het geheel is een veelvoud van 100 Wanneer het geheel een veelvoud van 100 is, zoals bij 5% van 300, kan dit met MAB-materiaal worden afgeleid. Als het geheel 300 is, moeten er vijftien eenheden worden gelegd, verhoudingsgewijs. Visueel betekent dit dat er drie honderdvelden worden gebruikt, en op elk honderdveld zijn vijf vakjes gekleurd, wat samen 15 is voor 300 [7](#page=7). Dit kan worden weergegeven in een standaard rekenschema: ```latex \begin{tabular}{|c|c|} \hline DEEL & GEHEEL \\ \hline & \\ \hline \end{tabular} ``` Dit schema biedt inzichtelijke ondersteuning, vooral voor rekenzwakke leerlingen. Er zijn meerdere oplossingswegen mogelijk [8](#page=8): 1. 5% van 300 = $\frac{5}{100}$ van 300 = 15 [8](#page=8). 2. 5% van 300 = (300: 100) x 5 = 3 x 5 = 15 [8](#page=8). 3. 1% van 300 = 3. Dus 5% van 300 is dan 3 x 5 = 15 [8](#page=8). #### 1.3.2 Het geheel is kleiner dan 100 Bij een geheel dat kleiner is dan 100, zoals bij 4% van 50, kan met MAB-materiaal worden afgeleid dat als het geheel 50 is, je 2 eenheden moet leggen, verhoudingsgewijs. Omdat 4% betekent 4 voor elke 100, kleur je 4 vakjes op het honderdveld. Aangezien 50 de helft is van 100, kleurt men de helft van het aantal vakjes. Het honderdveld wordt hiervoor middendoor geknipt; twee vakjes komen bij de linkerhelft en twee bij de rechterhelft, waardoor leerlingen ontdekken dat er per 50 vakjes twee vakjes gekleurd zijn [8](#page=8). Het standaard rekenschema ziet er dan als volgt uit: ```latex \begin{tabular}{|c|c|} \hline DEEL & GEHEEL \\ \hline & \\ \hline \end{tabular} ``` De berekeningen zijn: 1. 4% van 50 = $\frac{4}{100}$ van 50 = 2 [9](#page=9). 2. 4% van 50 = (50: 100) x 4 = 0,5 x 4 = 2 [9](#page=9). 3. 1% van 50 = 0,5. 4% van 50 = 0,5 x 4 = 2 [9](#page=9). > **Belangrijk:** Men mag niet zomaar twee procentuele kortingen optellen. Een tweede korting (bijvoorbeeld 40%) wordt immers berekend van een ander bedrag dan de eerste korting (bijvoorbeeld 60%). Dit geldt alleen als het bedrag waarop de procenten worden berekend 100 euro is [9](#page=9). ### 1.4 Opdrachten Er worden oefeningen voorgesteld waarbij leerlingen moeten aangeven hoeveel er gekleurd is en zelf delen moeten inkleuren [9](#page=9). --- # Situaties waar procenten voorkomen Dit gedeelte beschrijft de verschillende contexten waarin procenten voorkomen, onderverdeeld in operator, verhouding, deel-geheel en veranderingen. ## 2 Situaties waar procenten voorkomen Procenten worden in diverse alledaagse en specifieke situaties gebruikt. De documentatie identificeert vier hoofdtypen situaties: procenten als operator, als uitdrukking van een verhouding, in deel-geheelrelaties, en in situaties van toename of afname [12](#page=12) [13](#page=13) [16](#page=16) [18](#page=18). ### 2.1 Procenten als operator Procenten als operator komen veel voor in dagelijkse contexten zoals kortingen, prijsverhogingen, omzetbelasting (BTW), of als een fractie van een groep [12](#page=12). * **Concept:** Een percentage wordt toegepast op een bepaald bedrag of aantal om een specifiek deel daarvan te berekenen. * **Visualisatiehulpmiddelen:** * Het honderdveld: Leerlingen kunnen vakjes inkleuren om het percentage te visualiseren. Dit kan per strook van tien gebeuren [13](#page=13). * Een strook verdeeld in 100 gelijke delen: Hierbij worden het aantal vakjes ingekleurd dat overeenkomt met het percentage [13](#page=13). * Verhoudingstabel: Kan gebruikt worden om het inzicht in de verhouding te verdiepen [13](#page=13). * Procentenstrook: Vergelijkbaar met een dubbele getallenlijn, waarbij een strook wordt gebruikt om het percentage te representeren [13](#page=13). * Dubbele getallenlijn: Visualiseert de relatie tussen het percentage en de bijbehorende waarde [14](#page=14). * **Berekening:** Het percentage wordt omgerekend naar een breuk of een decimaal getal en hiermee wordt het oorspronkelijke bedrag vermenigvuldigd. * Formule: $\text{Percentage} \times \text{Geheel} = \text{Deel}$ * Voorbeeld: 25% korting op een cd van 20 euro. * Omzetting: 25% is $\frac{25}{100}$ of $\frac{1}{4}$ of 0,25 [13](#page=13) [14](#page=14). * Berekening korting: $\frac{25}{100} \times 20 \text{ euro} = 5 \text{ euro}$ [14](#page=14). * Conclusie: De korting bedraagt 5 euro [14](#page=14). > **Tip:** Leg de nadruk op het 'geheel' (alle 100 vakjes of de totale waarde) bij het visualiseren [13](#page=13). ### 2.2 Verhouding Een gegeven percentage kan ook een verhouding uitdrukken, wat handig is om verschillende verhoudingen met elkaar te vergelijken [14](#page=14). * **Concept:** Vergelijken van prestaties of aantallen door deze om te zetten naar een standaard percentage (op 100). * **Voorbeeld:** Toon behaalde 20 op 25 voor Nederlands en 30 op 40 voor wiskunde. * Omzetting naar scores op 100: * Nederlands: $\frac{20}{25} \times 100 = 80$ wat neerkomt op 80% [15](#page=15). * Wiskunde: $\frac{30}{40} \times 100 = 75$ wat neerkomt op 75% [15](#page=15). * Conclusie: Toon scoorde het best voor Nederlands met 80% [15](#page=15). ### 2.3 Deel-geheel Een percentage beschrijft een deel-geheelrelatie, wat betekent dat het een fractie van een geheel vertegenwoordigt [16](#page=16). * **Contexten:** Mengsels, opiniepeilingen, slagingspercentages, bevolkingssamenstelling, gezinsuitgaven, kansen [16](#page=16). * **Grootheden:** Bij deze berekeningen zijn er drie belangrijke grootheden: 1. Het geheel 2. Het deel dat genomen werd 3. Het percentage * **Probleemtypen:** Als twee van de drie grootheden gegeven zijn, kan de derde berekend worden [16](#page=16). * **Situatie A (Percentage berekenen):** Het percentage is onbekend. * Voorbeeld: Wickmayer slaat 28 van de 35 eerste opslagen goed. Wat is haar percentage? * Aanpak: Net als bij het omzetten van verhoudingen naar percentages [16](#page=16). * **Situatie B (Deel berekenen):** Het deel is onbekend. * Voorbeeld: Hoeveel is 4% van 200 euro? * Aanpak: Procenten als operator gebruiken [16](#page=16). * Berekening: $0,04 \times 200 \text{ euro} = 8 \text{ euro}$. * **Situatie C (Geheel berekenen):** Het geheel (beginsituatie) is onbekend. * Voorbeeld: Een spel kostte 42 euro, wat 40% korting was op de normale prijs. Wat was de normale prijs? * Moeilijkheidsgraad: Hoger dan Situatie A en B [16](#page=16). * Hulpmiddelen: * Dubbel pijlenschema: Illustreert de relatie tussen deel, geheel en percentage met pijlen [17](#page=17). * Schema verkorte berekeningswijze: Een meer directe wiskundige aanpak [17](#page=17). ### 2.4 Geheel plus of min deel (Veranderingssituaties) Procenten worden hier gebruikt om veranderingen aan te duiden, zoals toename of afname [18](#page=18). * **Contexten:** Prijsverhogingen, prijsverlagingen, bevolkingsgroei, bevolkingsafname, rente [18](#page=18). * **Probleemtypen:** Drie soorten problemen kunnen hier voorkomen, vergelijkbaar met deel-geheel: * **Voorbeeld A (Percentage verandering berekenen):** De oorspronkelijke prijs en de nieuwe prijs zijn bekend, het percentage verandering is onbekend. * Voorbeeld: Een fiets kostte 500 euro, nu 420 euro. Hoeveel procent korting ging eraf? * Aanpak: Bereken het absolute verschil en zet dit om naar een percentage van de beginsituatie. * **Voorbeeld B (Eindsituatie berekenen na verandering):** De beginsituatie en de procentuele verandering zijn bekend, de eindsituatie is onbekend. * Voorbeeld: Een krant van 2,50 euro wordt 10% duurder. Hoeveel moet je nu betalen? * Aanpak: Bereken de toename en tel deze bij de beginsituatie op. * **Voorbeeld C (Beginsituatie berekenen na verandering):** De eindsituatie en de procentuele verandering zijn bekend, de beginsituatie is onbekend. * Voorbeeld: Een auto kost 20500 euro inclusief 25% BTW. Hoeveel kostte de auto zonder BTW? * Moeilijkheidsgraad: Dit is vaak het moeilijkste type probleem binnen de veranderingssituaties [18](#page=18). > **Tip:** Veranderingssituaties zijn over het algemeen moeilijker te begrijpen dan deel-geheelsituaties. Het berekenen van de beginsituatie of het terugkeren naar de oorspronkelijke waarde is complexer dan het opsporen van het deel of het percentage. Houd hier rekening mee bij het didactisch opbouwen van de lesstof [18](#page=18). > **Voorbeeld:** Bij het oplossen van opeenvolgende kortingen mag je de percentages niet zomaar optellen. Een korting van 60% gevolgd door 40% is niet gelijk aan 100% korting, omdat de tweede korting berekend wordt over het reeds gereduceerde bedrag [18](#page=18). --- # Omzetten van procenten naar breuken en kommagetallen Het is cruciaal om de gelijkwaardigheid tussen procenten, breuken en kommagetallen te begrijpen en deze vlot te kunnen omzetten. Dit onderdeel richt zich op deze omzettingen en hoe deze concepten met elkaar verbonden zijn [10](#page=10). ### 3.1 Basisprincipes van procentuele omzettingen Procenten kunnen worden uitgedrukt als breuken met een noemer van 100, en vervolgens vereenvoudigd tot de eenvoudigste breuk. Deze breuken kunnen vervolgens worden omgezet naar kommagetallen [10](#page=10). ### 3.2 Voorbeeld: 60% omzetten Om de omzetting te illustreren, nemen we 60% als voorbeeld. Dit kan op de volgende manieren worden weergegeven [10](#page=10): * **Percentage:** 60% [10](#page=10). * **Breuk met noemer 100:** $\frac{60}{100}$ [10](#page=10). * **Breuk met noemer 10:** $\frac{6}{10}$ [10](#page=10). * **Eenvoudigste breuk:** $\frac{3}{5}$ [10](#page=10). * **Kommagetal:** 0,6 [10](#page=10). Dit proces toont aan hoe een percentage kan worden herleid tot verschillende equivalente vormen. ### 3.3 Belangrijke percentages als parate kennis Er zijn specifieke percentages die leerlingen als parate kennis zouden moeten beheersen. Het is nuttig om deze percentages te memoriseren, samen met hun breuk- en kommagetalvormen, om sneller te kunnen rekenen [10](#page=10). > **Tip:** Oefen regelmatig met het omzetten van verschillende percentages om vertrouwd te raken met de procedure. Gebruik hierbij zowel de methoden die direct een breuk met noemer 100 opleveren, als het vereenvoudigen naar de kleinste breuk. > **Voorbeeld:** Laten we 25% omzetten. > * Percentage: 25% > * Breuk met noemer 100: $\frac{25}{100}$ > * Eenvoudigste breuk: $\frac{1}{4}$ > * Kommagetal: 0,25 --- # Procentberekening met behulp van een zakrekenmachine Dit onderdeel behandelt hoe een zakrekenmachine (ZRM) gebruikt kan worden voor procentberekeningen, met een focus op het schatten van resultaten en het kritisch beoordelen van de uitkomsten [19](#page=19). ### Het belang van schatten en kritische controle Het doel is dat leerlingen niet blindelings vertrouwen op de zakrekenmachine, maar ook leren schatten en de verkregen resultaten kritisch controleren. Dit proces stimuleert een dieper begrip van procentberekeningen [19](#page=19). > **Tip:** Gebruik noteerstroken om leerlingen te helpen de stappen van de berekening op de zakrekenmachine te volgen en te begrijpen wat er op het display verschijnt [19](#page=19). ### Werkwijze met de zakrekenmachine De berekening van een percentage, bijvoorbeeld 10% van 200, kan als volgt worden uitgevoerd: 1. **Schatten:** Laat leerlingen eerst een schatting maken van het resultaat [19](#page=19). 2. **Intypen:** Voer de berekening in op de zakrekenmachine. 3. **Resultaat:** Het display toont het uiteindelijke antwoord. Een typisch schema voor op het bord, zoals dat ook in werkboeken wordt gebruikt, ziet er als volgt uit: * **Ik toets in...** * `200 x 10 %` * **Ik zie...** * `200` * `200` * `10` * `20` Dit schema visualiseert de invoer en de verschillende waarden die tijdens de berekening op het display verschijnen [19](#page=19). ### Oefenen en bespreken Na de introductie van de methode, wordt aangeraden leerlingen individueel enkele oefeningen te laten maken. Vervolgens worden de schattingen en de uiteindelijke resultaten klassikaal besproken om het begrip te versterken en eventuele misvattingen te corrigeren [19](#page=19). ### Extra oefenmateriaal Voor aanvullende oefeningen en de bijbehorende correctiesleutel kan verwezen worden naar Toledo, in het specifieke hoofdstuk over percenten [19](#page=19). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Procent | Een procent (of percentage) is een honderdste deel van een geheel, uitgedrukt als een fractie van 100. Het wordt vaak gebruikt om verhoudingen, kortingen, toenames of afnames te beschrijven. | | Honderdveld | Een honderdveld is een visueel hulpmiddel, meestal een raster van 10x10 vakjes, dat gebruikt wordt om procenten te introduceren en te visualiseren, waarbij elk vakje 1% vertegenwoordigt. | | MAB-materiaal | MAB-materiaal (Materiaal voor Abstracte enconcrete Benadering) zijn bouwstenen, vaak kubussen of blokken, die gebruikt worden om wiskundige begrippen, waaronder procenten, concreet te maken voor leerlingen. | | Procentmeter | Een procentmeter is een hulpmiddel, vaak een elastiek met markeringen, dat gebruikt wordt om procenten af te lezen en inzicht te geven in procentuele verhoudingen op een lijn van 0% tot 100%. | | Operator | In de context van procenten fungeert een procent als een operator wanneer het wordt toegepast op een hoeveelheid om een deel van die hoeveelheid te berekenen, zoals bij kortingen of renteberekeningen. | | Verhouding | Een procent kan een verhouding uitdrukken, wat het vergelijken van verschillende hoeveelheden of scores mogelijk maakt door ze te standaardiseren naar een percentage. | | Deel-geheel | Dit verwijst naar een relatie waarbij een percentage een specifiek deel vertegenwoordigt van een groter geheel, zoals een fractie of een mengsel. | | Geheel plus of min deel | Dit type situatie beschrijft veranderingsprocessen, zoals prijsstijgingen of -dalingen, bevolkingsgroei of -afname, waarbij procenten de mate van toename of afname ten opzichte van een beginsituatie aangeven. | | Vakdidactiek | Vakdidactiek is de wetenschap van het onderwijzen van een specifiek vak, in dit geval wiskunde, en omvat de studie van de leerprocessen, lesmethoden en leerstrategieën die relevant zijn voor dat vak. | | Verhoudingstabel | Een verhoudingstabel is een grafische weergave die wordt gebruikt om relaties tussen verschillende grootheden te tonen en om berekeningen met verhoudingen, inclusief die met procenten, te vergemakkelijken. | | Dubbele getallenlijn | Een dubbele getallenlijn is een visueel hulpmiddel dat twee gerelateerde schalen naast elkaar toont, vaak gebruikt om procentuele verhoudingen en hun equivalenten, zoals breuken of decimale getallen, te illustreren. |

# Begrippen rond het bepalen van hoeveelheden Dit onderdeel introduceert de fundamentele vaardigheden die essentieel zijn voor het ontwikkelen van kwantitatieve concepten, met een focus op het gevoel voor hoeveelheid en subiteren. ### 1.1 Gevoel voor hoeveelheid Het gevoel voor hoeveelheid, ook wel 'getalbegrip' genoemd, omvat het vermogen om hoeveelheden te herkennen en te waarderen zonder expliciet te tellen. Dit ontwikkelt zich door directe ervaringen met objecten en situaties die met aantallen te maken hebben. Het gaat hierbij niet om het exact tellen, maar om een intuïtief besef van grootte en vergelijking van hoeveelheden. ### 1.2 Subiteren Subiteren is het directe en automatische waarnemen van een klein aantal objecten (doorgaans tot vier) zonder te tellen. Dit proces is zeer snel en vereist geen cognitieve inspanning. Het is een voorloper van het tellen en stelt kinderen in staat om snel kleine verzamelingen te herkennen. > **Tip:** Herkenning van patronen is cruciaal voor subiteren. Kinderen leren bijvoorbeeld snel hoeveel stippen er op een dobbelsteen voorkomen, omdat deze patronen vastliggen en direct herkenbaar zijn. ### 1.3 Tellen: de basisvaardigheden Tellen is een complex proces dat meerdere vaardigheden vereist, waaronder: * **Akoestisch tellen:** Het opzeggen van de telrij in de juiste volgorde. Dit is het memoriseren van de vaste volgorde van de telwoorden. * **Synchroon tellen:** Het één-op-één relateren van een telwoord aan elk aangewezen voorwerp tijdens het tellen. Hierbij wordt elk object met een telwoord geassocieerd. * **Resultatief tellen:** Het inzien dat het laatst genoemde telwoord de totale hoeveelheid aangeeft. Dit is het eindresultaat van een telactie. * **Verkort tellen:** Dit omvat efficiëntere telstrategieën zoals: * Doortellen vanaf een bepaald aantal. * Tellen in sprongen. * Terugtellen (ook tot nul). * **Inzicht in de overige telprincipes:** * **Principe van irrelevantie van de volgorde:** Begrijpen dat de volgorde waarin objecten worden geteld, niet van invloed is op het totaal. * **Principe van abstractie:** Inzien dat allerlei soorten elementen geteld kunnen worden, ongeacht hun aard, kleur, vorm of grootte. > **Voorbeeld:** Een kind dat 6 kastanjes telt en daarbij elk getelde kastanje vooruit schuift, demonstreert synchroon tellen. Wanneer het kind het totale aantal van 6 correct kan benoemen na het tellen, toont het resultatief tellen. ### 1.4 Ontwikkeling van telvaardigheden De ontwikkeling van het tellen verloopt vaak geleidelijk: * **Akoestisch tellen** is vaak de eerste stap, waarbij kinderen de telwoorden leren opzeggen. * **Synchroon tellen** volgt, waarbij kinderen beginnen met het koppelen van telwoorden aan objecten. * **Resultatief tellen** ontwikkelt zich verder, waarbij het besef groeit dat het laatste telwoord het totale aantal vertegenwoordigt. * **Verkort tellen** strategieën worden op latere leeftijd toegepast voor meer efficiëntie. Er worden diverse oefenvarianten voorgesteld om deze vaardigheden te stimuleren, variërend van het tellen van zichtbare objecten tot het tellen op het gehoor, door te voelen, of zelfs het tellen van bewegende objecten. Het introduceren van 'ongewone eenheden' zoals paren schoenen of halve appels, stimuleert ook het abstractievermogen binnen het tellen. > **Tip:** Expliciete instructie, waarbij de leerdoelen duidelijk worden gemaakt, voorkennis wordt geactiveerd, en de instructeur model staat voor het proces, is effectief voor het aanleren van telvaardigheden. Het geleidelijk afbouwen van ondersteuning en het geven van directe feedback zijn hierbij cruciaal. ### 1.5 Veelvoorkomende telfouten Bij het leren tellen kunnen diverse fouten optreden, zoals: * Verkeerde volgorde van telwoorden. * Telwoorden overslaan of herhalen. * Fouten tegen het één-op-één principe (een object twee keer tellen of een object overslaan). * Het verkeerde getal benoemen als eindresultaat. Het bespreken van deze fouten met kinderen, bijvoorbeeld aan de hand van een figuur als 'Meneer De Telkwijt', kan helpen bij het ontwikkelen van bewustzijn van de telprincipes en het verbeteren van telstrategieën. De 'zone van naaste ontwikkeling' (ZNO) is hierbij leidend: uitdagende opdrachten bieden die net buiten het huidige niveau liggen, met passende ondersteuning. --- # Het proces en de principes van tellen Dit thema verkent de kernactiviteit van tellen, de ontwikkeling ervan en de vijf essentiële telprincipes die nodig zijn voor correct tellen, inclusief verschillende telmethoden. ## 2.1 De ontwikkeling van tellen Tellen is een fundamentele wiskundige vaardigheid die zich ontwikkelt via verschillende stadia. ### 2.1.1 Akoestisch tellen Akoestisch tellen verwijst naar het louter opzeggen van de telrij en het leren van de vaste volgorde van de telwoorden. Dit is de eerste stap in het leerproces van tellen. ### 2.1.2 Synchroon tellen Bij synchroon tellen wordt elk voorwerp één voor één aangewezen tijdens het uitspreken van een telwoord. Er is een één-op-één corresponderende relatie tussen het telwoord en het aangewezen voorwerp. ### 2.1.3 Resultatief tellen Resultatief tellen houdt in dat via het telproces het totale aantal voorwerpen in een groep wordt bepaald. Het laatst genoemde telwoord geeft hierbij het totale aantal aan. Dit principe is cruciaal voor het begrijpen van de betekenis van het tellen. ### 2.1.4 Verkort tellen Verkort tellen omvat efficiëntere strategieën dan synchroon en resultatief tellen voor grotere hoeveelheden. Dit kan op verschillende manieren: * **Doortellen vanaf een bepaald aantal:** Beginnen met tellen vanaf een reeds bekend aantal. * **Tellen in sprongen:** Groeperen van elementen en in sprongen tellen (bijvoorbeeld tellen in veelvouden van twee of vijf). * **Verkort tellen via terugtellen:** Beginnen bij een hoger getal en terugtellen, wat nuttig kan zijn bij taken zoals het wegnemen van objecten. ## 2.2 De vijf essentiële telprincipes Om correct te kunnen tellen, moeten kinderen vijf essentiële principes begrijpen en toepassen. Deze principes vormen de basis voor een dieper begrip van kwantiteit. ### 2.2.1 Principe van de telwoordvolgorde Kinderen moeten de telwoorden in de juiste volgorde kunnen opzeggen. Dit is de basis van akoestisch tellen. ### 2.2.2 Principe van de één-op-één correspondentie Bij het tellen moet er een één-op-één relatie worden gemaakt tussen elk telwoord en het aangewezen voorwerp. Elk voorwerp krijgt precies één telwoord toegewezen. ### 2.2.3 Principe van de kardinaliteit Het principe van de kardinaliteit stelt dat het laatst genoemde telwoord aangeeft hoeveel er in de getelde groep zijn. Dit is het centrale inzicht van resultatief tellen. ### 2.2.4 Principe van de irrelevantie van de volgorde Kinderen moeten begrijpen dat de volgorde waarin de voorwerpen worden geteld er niet toe doet voor het eindresultaat. Of je nu van links naar rechts, rechts naar links, of in een willekeurige volgorde telt, het totale aantal blijft hetzelfde. ### 2.2.5 Principe van abstractie Dit principe houdt in dat allerlei soorten elementen kunnen worden geteld, ongeacht hun aard, grootte, kleur of vorm. Wat geteld wordt, is de hoeveelheid, niet de specifieke kenmerken van de objecten. > **Tip:** Fouten die kinderen maken bij het tellen, zoals het overslaan van telwoorden, het herhalen van telwoorden, of het niet correct toepassen van de één-op-één correspondentie, bieden waardevolle inzichten in hun begripsniveau en de principes die ze nog moeten ontwikkelen. ## 2.3 Hulpmiddelen en activiteiten ter stimulering van tellen Er zijn diverse materialen en activiteiten die ingezet kunnen worden om de telvaardigheden en het begrip van de telprincipes te bevorderen. ### 2.3.1 Telboeken en liedjes * **Telboek 'Klap klap':** Combineert tellen met beweging, wat kinderen helpt om het proces te internaliseren. * **Liedjes:** Liedjes zoals 'Holle bolle bollen' kunnen worden aangepast om getalreeksen te oefenen, bijvoorbeeld door op veelvouden van vijf de handen in te zetten. * **Tellen en klappen:** Een activiteit waarbij kinderen tellen en tegelijkertijd klappen, waarbij op specifieke intervallen (bijvoorbeeld op veelvouden van vijf) de handen worden gebruikt om de sprongen te markeren. ### 2.3.2 Spelletjes * **Kleurendief:** Een spel waarbij kinderen een bepaald aantal wasco's van één kleur tellen. Nadat er één is weggenomen, moeten ze de kleur van de gestolen wasco identificeren, wat een vorm van resultatief tellen stimuleert. * **Getallendwergen:** Een activiteit waarbij kinderen worden uitgedaagd om een aantal stappen te zetten of een beweging uit te voeren, gelijk aan het aantal waargenomen, gevoelde of gehoorde objecten of gebeurtenissen. ### 2.3.3 Materiële hulpmiddelen * **Telbokalen (counting jars):** Bussen gevuld met een bepaald aantal objecten. Kinderen worden uitgedaagd om het aantal te tellen. De moeilijkheidsgraad kan worden opgebouwd door grotere aantallen te gebruiken en kinderen meer zelfstandig te laten werken, eventueel met het noteren van hun telresultaat. ### 2.3.4 Varianten van tellen * **Tellen zonder aanraken:** Kinderen tellen voorwerpen zonder ze fysiek aan te raken, wat het principe van abstractie benadrukt. * **Tellen op het gehoor:** Tellen op basis van auditieve prikkels, zoals bij het liedje 'Pim pam poren'. * **Tellen door te voelen:** Objecten tellen die alleen tastbaar zijn, bijvoorbeeld in een gesloten doos of zak. * **Bewegende voorwerpen tellen:** Het tellen van objecten die in beweging zijn, wat een extra uitdaging biedt. * **Ongewone eenheden tellen:** Het tellen van objecten in groepen of met andere eenheden dan enkelvoudige items, zoals paren schoenen, halve appels of kwartjes. * **Tellen tussen twee getallen:** Oefenen met het tellen van een reeks getallen binnen een specifiek interval. * **Tellen in sprongen:** Zoals eerder genoemd, een efficiënte methode voor grotere aantallen. * **Terugtellen:** Oefenen met aftellen, inclusief tot nul. ## 2.4 Expliciete instructie en de Zone van Naaste Ontwikkeling (ZNO) Effectieve instructie bij het leren tellen maakt gebruik van expliciete aanpakken en houdt rekening met de Zone van Naaste Ontwikkeling (ZNO). ### 2.4.1 Expliciete instructie Expliciete instructie bij het tellen omvat: * **Leerdoel expliciteren:** Duidelijk maken wat er van het kind verwacht wordt. * **Voorkennis activeren:** Aansluiten bij wat het kind al weet. * **Modelleren:** Het (voor)doen van de telhandeling door de leerkracht. * **Ondersteuning geleidelijk afbouwen:** De hulp van de leerkracht verminderen naarmate het kind de vaardigheid beter beheerst. * **Directe feedback:** Onmiddellijke en specifieke feedback geven op de uitgevoerde handelingen. ### 2.4.2 De Zone van Naaste Ontwikkeling (ZNO) De ZNO verwijst naar het verschil tussen wat een kind zelfstandig kan en wat het kan bereiken met hulp van een meer capabele persoon (zoals een leerkracht of medeleerling). Bij het stimuleren van tellen betekent dit dat opdrachten net iets boven het huidige niveau van het kind moeten liggen, zodat er geleidelijk aan nieuwe vaardigheden geleerd kunnen worden. > **Voorbeeld:** Een leerkracht kan bij het instructiemoment met Charlie (zie document) verschillende niveaus van ondersteuning bieden: van het expliciet instrueren om de voorwerpen aan te wijzen ('Zet de rode eens op een rij terwijl je ze telt.') tot het uitnodigen tot zelfcorrectie en het herkennen van fouten ('Is dat een rode?' 'Is er nog één?' 'O jawel!'). Dit proces bouwt voort op synchroon tellen en stimuleert tegelijkertijd resultatief tellen. ## 2.5 De hoeveelheid nul De hoeveelheid nul is een abstract concept dat voor jonge kinderen uitdagend kan zijn. Het begrijpen van nul als de afwezigheid van een hoeveelheid is een belangrijk onderdeel van wiskundig begrip. ### 2.5.1 Conceptontwikkeling nul Het leren van nul als een getal dat ook een hoeveelheid representeert, ontwikkelt zich vaak later dan het tellen van positieve aantallen. Activiteiten die hierbij helpen, kunnen het oefenen met terugtellen tot nul zijn, of het identificeren van situaties waarin er 'niets' is. --- **Reflectie op de vijf telprincipes:** * **Volgorde telwoorden:** Wordt geoefend met het akoestisch opzeggen en integreren in activiteiten. * **Eén-op-één:** Wordt gestimuleerd door het aanwijzen van voorwerpen tijdens het tellen (synchroon tellen). * **Kardinaliteit:** Het inzicht dat het laatste getal het totaal is, wordt geoefend met resultatief tellen. * **Relevantie volgorde:** Kinderen helpen realiseren dat het aantal hetzelfde blijft ongeacht de telvolgorde. * **Abstractie:** Tellen van diverse objecten, abstracte concepten (bv. geluiden) en in verschillende eenheden. Door deze principes expliciet te maken en te integreren in diverse telactiviteiten, wordt de basis gelegd voor een solide rekenkundig begrip. --- # Verdere ontwikkeling en moeilijkere varianten van tellen Dit onderdeel verkent complexere telvaardigheden en variaties die zich verder ontwikkelen na de basale telprincipes, inclusief verkort tellen, tellen zonder aanraken, tellen op het gehoor en het tellen van ongebruikelijke eenheden. ### 3.1 Moeilijkere varianten van akoestisch tellen Akoestisch tellen, het louter opzeggen van de telrij in de juiste volgorde, wordt bij oudere kleuters uitgebreid met complexere patronen en structuren. #### 3.1.1 Getal overslaan Dit omvat het zingen van liedjes waarbij bepaalde getallen worden overgeslagen, zoals het liedje "Holle bolle bollen". #### 3.1.2 Tellen en klappen (op veelvouden) Een activiteit waarbij kinderen op specifieke veelvouden tellen en daarbij een handeling uitvoeren, zoals klappen. Bijvoorbeeld, op elke vijf getelde objecten wordt er geklapt. #### 3.1.3 Terugtellen Het oefenen van het terugtellen, wat bij oudere kleuters ook tot nul kan worden uitgebreid. #### 3.1.4 Tellen tussen twee getallen Het vermogen om te tellen tussen twee specifieke getallen. #### 3.1.5 Tellen in sprongen Dit betreft het tellen met grotere stappen dan één, wat de basis legt voor verder rekenbegrip. ### 3.2 Moeilijkere varianten van resultatief tellen Resultatief tellen, waarbij het laatst genoemde telwoord de totale hoeveelheid aangeeft, wordt uitgebreid met technieken die minder direct fysiek contact vereisen. #### 3.2.1 Tellen zonder aanraken Hierbij tellen kinderen objecten zonder ze fysiek aan te raken. Dit kan bijvoorbeeld door naar objecten te wijzen of ze visueel te volgen. #### 3.2.2 Tellen op het gehoor Objecten worden geteld op basis van geluid. Een voorbeeld hiervan is het gebruik van liedjes waarbij de telwoorden corresponderen met geluiden, zoals in het liedje "Pim pam poren". #### 3.2.3 Tellen door te voelen Kinderen tellen objecten door hun tastzin te gebruiken, wat met gesloten ogen kan gebeuren. #### 3.2.4 Tellen van bewegende voorwerpen Het tellen van objecten die in beweging zijn, vereist een hogere mate van concentratie en het vermogen om impulsen te synchroniseren met de beweging. #### 3.2.5 Ongewone eenheden tellen Dit houdt in dat er geteld wordt met eenheden anders dan enkelvoudige objecten. Voorbeelden hiervan zijn: * Paren schoenen tellen * Halve appels tellen * Kwartjes tellen #### 3.2.6 Tellen met behulp van visuele kaarten en getallendwergen Activiteiten met "Getallendwergen" waarbij kinderen bijvoorbeeld moeten aangeven hoeveel ze zien, hoeveel ze bewegen, of hoeveel ze voelen, waarna ze een corresponderend aantal stappen zetten. ### 3.3 Expliciete instructie en de zone van naaste ontwikkeling Bij het aanleren van telvaardigheden is expliciete instructie cruciaal. Dit proces omvat: * **Leerdoel expliciteren:** Duidelijk maken wat er geleerd moet worden. * **Voorkennis activeren:** Aansluiten bij wat het kind al weet. * **Modelleren:** Voordoen hoe de taak moet worden uitgevoerd. * **Ondersteuning geleidelijk afbouwen:** Het kind meer zelfstandigheid geven naarmate de vaardigheid verbetert. * **Directe feedback:** Onmiddellijk corrigeren of bevestigen van de prestatie. De zone van naaste ontwikkeling (ZNO) is hierbij leidend. Activiteiten worden zo vormgegeven dat ze net iets boven het huidige niveau van het kind liggen, met ondersteuning van de leerkracht om succes mogelijk te maken. > **Voorbeeld:** Een leerkracht kan eerst vragen om alle rode potloden op een rij te zetten terwijl ze geteld worden, daarna de rode potloden op een rij te zetten *en dan* te tellen, en vervolgens het kind aan te moedigen om ze aan te wijzen tijdens het tellen. ### 3.4 Oefenvarianten voor resultatief tellen (opbouw) De moeilijkheidsgraad van resultatief tellen kan systematisch worden opgebouwd: 1. **Objecten op een rij met verplaatsing:** Zes kastanjes liggen op een rij. Bij het tellen wordt elke getelde kastanje naar voren geschoven. Dit helpt bij het visualiseren van het getelde object. 2. **Objecten op een rij met aanwijzen:** Zes kastanjes liggen op een rij. Bij het tellen wordt elke getelde kastanje aangewezen. Dit stimuleert de 1-1 correspondentie. 3. **Objecten nemen uit een grotere collectie:** Zes kastanjes worden uit een grotere bak met kastanjes genomen. Dit vereist het selecteren en tellen van een specifiek aantal. 4. **Nacontrole (het resultaat is gegeven):** Er liggen bijvoorbeeld zes kastanjes. Het kind wordt gevraagd om na te tellen of dit aantal klopt. Dit stimuleert het controleren van een gegeven hoeveelheid. ### 3.5 Bewustwording van de telprincipes Middels spelsituaties, zoals het spel "Meneer De Telkwijt", kunnen kinderen geconfronteerd worden met veelvoorkomende telfouten. Dit helpt hen om deze fouten te herkennen en te corrigeren. Fouten kunnen betrekking hebben op: * Verkeerde volgorde van telwoorden * Telwoorden overslaan * Telwoorden herhalen * Fouten tegen het 1-1 principe (meerdere objecten aanwijzen met één telwoord, of één object met meerdere telwoorden) * Het verkeerde getal zeggen als resultaat * Reeds getelde objecten opnieuw aanwijzen en tellen Door deze fouten met de kleuters te bespreken en te oefenen, wordt hun begrip van de telprincipes verdiept. --- # Expliciete instructie en foutenanalyse bij tellen Hier is een gedetailleerde samenvatting over expliciete instructie en foutenanalyse bij tellen, geoptimaliseerd voor een studiehandleiding. ## 4. Expliciete instructie en foutenanalyse bij tellen Dit onderwerp richt zich op het bevorderen van resultatief tellen door middel van expliciete instructie, inclusief het modelleren en afbouwen van ondersteuning, en het analyseren van veelvoorkomende telfouten om kinderen effectief te helpen. ### 4.1 Expliciete instructie bij resultatief tellen Expliciete instructie bij tellen omvat een gestructureerde aanpak waarbij de leerkracht gericht de te leren vaardigheden demonstreert en uitlegt. Dit proces bestaat uit meerdere componenten om ervoor te zorgen dat kinderen de principes van tellen begrijpen en toepassen. #### 4.1.1 Componenten van expliciete instructie * **Leerdoel expliciteren:** Het duidelijk maken aan de kinderen wat ze gaan leren en waarom dit belangrijk is. * **Voorkennis activeren:** De leerkracht stimuleert kinderen om aan te sluiten bij wat ze al weten over tellen. * **Modelleren:** De leerkracht demonstreert de telhandeling stap voor stap, waarbij het denkproces hardop wordt verwoord. Dit kan door het gebruik van voorwerpen, visuele hulpmiddelen of specifieke routines. * **Ondersteuning geleidelijk afbouwen:** Na het modelleren wordt de directe hulp van de leerkracht langzaam verminderd. Kinderen krijgen steeds meer de ruimte om zelfstandig te tellen, waarbij de leerkracht zich terugtrekt naar een observerende rol of aanmoedigende feedback geeft. * **Directe feedback:** De leerkracht geeft onmiddellijk feedback op de telhandelingen van de kinderen, zowel op de correcte uitvoering als op gemaakte fouten, om het leerproces te sturen. > **Tip:** Het modelleren van het telproces, waarbij de leerkracht hardop denkt, is cruciaal. Dit helpt kinderen de interne strategieën te internaliseren die nodig zijn voor succesvol tellen. #### 4.1.2 Opbouwen van oefenvarianten voor resultatief tellen De moeilijkheidsgraad van telactiviteiten wordt geleidelijk opgebouwd: 1. **Voorwerpen op een rij:** Beginnen met een klein, overzichtelijk aantal voorwerpen die in een rij liggen. Bij het tellen wordt elk voorwerp aangewezen of, nog beter, naar voren geschoven nadat het is geteld om dubbeltelling te voorkomen. > **Example:** Zes kastanjes op een rij. Tel elk kastanje aan en schuif het vervolgens naar voren. 2. **Voorwerpen aanwijzen:** Dezelfde opstelling als hierboven, maar nu wordt het voorwerp aangewezen in plaats van verplaatst. > **Example:** Zes kastanjes op een rij. Wijs elk kastanje aan terwijl je het telt. 3. **Voorwerpen nemen uit een grotere collectie:** Kinderen nemen een specifiek aantal voorwerpen uit een grotere verzameling. Dit vereist een betere controle over het eindpunt van de telhandeling. > **Example:** Neem zes kastanjes uit een doos waar veel meer kastanjes in liggen. 4. **Resultaat is gegeven (natellen):** Kinderen krijgen een hoeveelheid voorwerpen en moeten controleren of het gegeven aantal klopt. Dit dwingt hen om het telprincipe nauwkeurig toe te passen om het resultaat te verifiëren. > **Example:** "Hier liggen zes kastanjes. Kun jij natellen of het er echt zes zijn?" #### 4.1.3 Stimuleren van de zone van naaste ontwikkeling (ZNO) Bij het begeleiden van kinderen in hun telontwikkeling is het belangrijk om aan te sluiten bij hun huidige niveau en hen net iets uit te dagen wat ze nog niet zelfstandig kunnen. Dit gebeurt door gerichte vragen en aanwijzingen die passen binnen de zone van naaste ontwikkeling. > **Example:** Een begeleider kan eerst vragen: "Zet de rode eens op een rij terwijl je ze telt." Als het kind dit beheerst, wordt de uitdaging vergroot naar: "Zet eerst eens alle rode op een rij en dan kan je ze tellen." Vervolgens kan de instructie verder gaan met: "Tel ze nog eens en raak ze aan bij het tellen." en door het kind te laten reflecteren op eigen fouten: "Is dat een rode?" "Is er nog één?" "Nee... O jawel!" ### 4.2 Foutenanalyse bij tellen Wanneer kinderen leren tellen, maken ze vaak specifieke fouten. Het identificeren en analyseren van deze fouten is essentieel om kinderen effectief te ondersteunen. De leerkracht kan deze fouten gebruiken als leermomenten, bijvoorbeeld door een fictief personage zoals "Meneer De Telkwijt" te introduceren die telfouten maakt en hulp nodig heeft. #### 4.2.1 Veelvoorkomende telfouten De fouten kunnen variëren van eenvoudig tot complex: * **Verkeerde volgorde van de telwoorden:** Het opzeggen van de telrij in een incorrecte volgorde (bijvoorbeeld 1, 3, 2, 4). * **Een telwoord overslaan:** Bij het aanwijzen van voorwerpen wordt een bepaald telwoord niet uitgesproken. * **Telwoorden herhalen:** Een telwoord wordt meerdere keren uitgesproken tijdens het tellen van verschillende voorwerpen. * **Fouten tegen het één-één principe:** * Twee voorwerpen tegelijk aanwijzen met één telwoord. * Eén voorwerp twee keer aanwijzen en tegelijkertijd twee verschillende telwoorden gebruiken. * De handeling van het aanwijzen van een voorwerp en het uitspreken van het telwoord zijn niet gesynchroniseerd. * **Het verkeerde getal zeggen als resultaat van het tellen:** Het laatst genoemde telwoord komt niet overeen met het daadwerkelijke aantal voorwerpen. Dit kan komen door het overslaan van een telwoord, het herhalen van een telwoord, of een fout in het tellen zelf. * **Reeds getelde voorwerpen opnieuw aanwijzen en tellen:** Dit is een gevolg van een gebrek aan controle, vaak omdat de voorwerpen niet gemarkeerd of verplaatst worden na het tellen. #### 4.2.2 Hulp bij telfouten Om kinderen te helpen bij deze fouten, kan de leerkracht het volgende doen: * **Bewustwording creëren:** Door het bespreken van de fouten van "Meneer De Telkwijt" worden kinderen gestimuleerd na te denken over de correcte telprincipes. * **Gerichte oefening:** Specifieke oefeningen kunnen worden ingezet om de problematische telprincipes te versterken. Bijvoorbeeld, bij fouten tegen het één-één principe, kan het expliciet aanwijzen of verplaatsen van elk voorwerp tijdens het tellen worden benadrukt. * **Modelgedrag:** De leerkracht modelleert opnieuw de correcte telhandeling en geeft onmiddellijke feedback. * **Visuele hulpmiddelen:** Gebruik maken van visuele kaarten, het schuiven van voorwerpen of het markeren van getelde objecten kan helpen om de telhandeling te structureren en fouten te voorkomen. * **Akoestisch-synchroon-resultatief opbouw:** Kinderen begeleiden van het louter opzeggen van de telrij (akoestisch) naar het synchroon aanwijzen van voorwerpen tijdens het tellen, en uiteindelijk naar het begrijpen dat het laatste telwoord het totale aantal aangeeft (resultatief). > **Tip:** Het introduceren van "Meneer De Telkwijt" is een speelse manier om kinderen te betrekken bij het analyseren van fouten zonder hen direct te bekritiseren. Het moedigt samenwerking aan om de problemen op te lossen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Gevoel voor hoeveelheid | Het intuïtieve begrip van een hoeveelheid zonder te tellen; het besef dat een groep objecten meer of minder kan zijn dan een andere groep. Dit is een voorwaarde voor verder kwantitatief redeneren. | | Subiteren | Het direct waarnemen en benoemen van kleine aantallen (meestal tot 4 of 5) zonder te tellen. Dit is een directe perceptie van een hoeveelheid. | | Tellen | Het proces waarbij objecten één voor één worden toegewezen aan telwoorden in de juiste volgorde om de totale hoeveelheid te bepalen. Dit omvat meerdere principes zoals de 1-op-1 correspondentie en het eindpuntprincipe. | | Telprincipes | De fundamentele concepten die ten grondslag liggen aan het correct kunnen tellen van objecten. Dit zijn onder andere de juiste volgorde van telwoorden, de 1-op-1 relatie, het resultaatprincipe, de irrelevantie van de volgorde en het principe van abstractie. | | Akoestisch tellen | Het opzeggen van de telrij in de juiste volgorde zonder directe koppeling aan objecten. Dit is puur het memoriseren en reproduceren van de telwoordenreeks. | | Synchroon tellen | Het proces waarbij elk object één telwoord krijgt toegewezen tijdens het tellen, wat inhoudt dat er een één-op-één correspondentie wordt gelegd tussen het object en het telwoord. | | Resultatief tellen | Het proces waarbij het laatst genoemde telwoord het totale aantal objecten in een verzameling aangeeft. Dit principe is cruciaal om de betekenis van het tellen te begrijpen. | | Verkort tellen | Geavanceerdere telstrategieën waarbij niet vanaf nul begonnen hoeft te worden, zoals doortellen vanaf een bepaald getal, tellen in sprongen of terugtellen. | | Expliciete instructie | Een didactische benadering waarbij leerdoelen duidelijk worden gemaakt, voorgedaan, gemodelleerd en ondersteund, met geleidelijke afbouw van hulp om zelfstandigheid te bevorderen. | | Zone van naaste ontwikkeling (ZNO) | Het gebied tussen wat een lerende zelfstandig kan doen en wat hij of zij kan doen met hulp van een meer competente persoon (zoals een docent of medeleerling). | | Meneer De Telkwijt | Een metafoor of personage dat telfouten maakt, gebruikt om met kinderen te oefenen in het herkennen en corrigeren van diverse telproblemen. | | 1-1 principe | Een van de telprincipes, wat inhoudt dat er een exacte overeenkomst moet zijn tussen de objecten die geteld worden en de telwoorden die gebruikt worden. Elk object krijgt precies één telwoord toegewezen. |

# Vergelijken en ordenen van getallen Dit onderwerp behandelt de wiskundige taal en strategieën voor het vergelijken en ordenen van hoeveelheden, inclusief het concept van nul en het gebruik van één-op-één correspondentie. ### 1.1 Wiskundetaal voor het vergelijken en ordenen Kinderen ontwikkelen een wiskundige taal om hoeveelheden te vergelijken en te ordenen. Belangrijke termen en concepten omvatten: * **Vergelijkingen:** * Ik heb meer stenen dan jij. * Vier is minder dan zeven. * Hoeveel is vier en twee samen? * Er zijn evenveel jongens als meisjes vandaag. * Wie heeft de meeste/minste knopen? * **Ordenen:** * Ik leg de cijferkaartjes van weinig naar veel. * Ik leg de knopendoosjes van minder naar meer knopen. * **Correcties op veelvoorkomende taalfouten:** * Meer/minder *als* (correct is meer/minder *dan*) * Evenveel *dan* (correct is evenveel *als*) * Het is gelijk / Het is hetzelfde * **Kernbegrippen:** * (niet) evenveel als * meer dan, minder dan * meeste / minste van * weinig naar veel, van veel naar weinig * van minder naar meer, van meer naar minder * komt voor, komt na * rangschikken, ordenen, in de juiste volgorde #### 1.1.1 Hoe kinderen leren wat evenveel, meer of minder is Het begrijpen van 'evenveel', 'meer' en 'minder' verloopt via specifieke strategieën: 1. **Eén-op-één correspondentie:** * Dit is de basisstrategie om te bepalen of hoeveelheden gelijk zijn. Hierbij wordt elk element van de ene groep gekoppeld aan precies één element van de andere groep. * Als er voor elke witte steen een zwarte steen is, dan zijn er evenveel witte stenen als zwarte. * **Fase 1:** Eerst worden objecten die duidelijk bij elkaar horen vergeleken (eenvoudig). * **Fase 2:** Vervolgens worden willekeurige objecten vergeleken (moeilijker). > **Tip:** De leraar modelleert eerst de 1-1 verbinding en laat het kind vervolgens zelf oefenen met verwoording. > **Voorbeeld:** Een leraar legt witte schelpen op een rij en zegt: "Ik wil evenveel witte schelpen als zwarte. Ik leg nu bij elke witte schelp een zwarte schelp. Zo heb ik er evenveel." Vervolgens vraagt de leraar aan het kind om hetzelfde te doen met andere objecten. 2. **Perceptueel vergelijken:** * Duidelijk verschillende aantallen van hetzelfde materiaal worden op het zicht vergeleken. Dit vindt plaats bij jonge kleuters (ca. 2,5-3 jaar) en omvat begrippen als 'veel', 'weinig', 'meer', 'minder', 'meest', 'minst'. 3. **Vergelijken via meer precieze strategieën:** * **Via de 1-1 verbinding:** Uitzoeken waar er meer, minder of evenveel is door de 1-1 koppeling te gebruiken. * **Via het tellen:** Tellen om uit te zoeken waar meer, minder of (niet) evenveel is. > **Voorbeeld:** "Ik tel 7 koeien en 6 varkens. 7 is meer dan 6, dus er zijn meer koeien dan varkens." * **Via subiteren:** Snelle, intuïtieve herkenning van kleine aantallen om te bepalen waar meer, minder of (niet) evenveel is. > **Voorbeeld:** "Ik zie 2 koeien. Ik zie 3 varkens. Dus er zijn meer varkens, want drie is meer dan twee." 4. **Sorteren en ordenen:** * **(On)gestructureerde aantallen tot en met 10 sorteren door groepjes te maken van evenveel. * **Ordenen (seriëren) naar aantal:** Van weinig naar veel of omgekeerd. Dit kan met tastbare aantallen, afbeeldingen of cijfersymbolen. 5. **Conservatie van aantal:** * Kinderen leren beseffen dat het aantal voorwerpen niet verandert, ongeacht de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. Dit wordt eerst geschat en vervolgens gecontroleerd via tellen of de 1-1 verbinding. ### 1.2 De rol van nul Nul is een essentieel concept in het vergelijken en ordenen van getallen. Het vertegenwoordigt de afwezigheid van hoeveelheid of 'niets'. * Kinderen leren het concept 'nul' kennen door termen als 'niets' en 'geen'. * Het terugtellen tot nul is een strategie die oudere kleuters al kunnen toepassen. * Nul is cruciaal bij het begrip 'minder dan' en het plaatsen van getallen op een getallenlijn. ### 1.3 Representaties van getallen en het CSA-model Getallen kunnen op verschillende manieren worden gerepresenteerd, wat essentieel is voor het ontwikkelen van wiskundige inzichten. Het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) beschrijft de fasen in dit leerproces: 1. **Concreet (C):** * Representatie met 3D-materiaal (bv. blokjes, schelpen). * Voorbeelden: Tellen van objecten, 1-1 correspondentie met materiaal. * De nadruk in de kleuterschool ligt sterk op deze fase. 2. **Schematisch (S):** * Representatie met afbeeldingen of tekeningen. * Voorbeelden: Getalbeelden (domino, dobbelsteen, kwadraat, vingerbeeld), turven, pictogrammen. 3. **Abstract (A):** * Representatie met cijfersymbolen of telwoorden, zonder directe visuele ondersteuning. * Voorbeelden: Arabische cijfers ($0, 1, 2, ...$), benoemen van getallen. > **Tip:** Het combineren van deze representaties ondersteunt het leren van cijfers. Leg kaartjes met getalbeelden en cijfers bij groepjes materialen. #### 1.3.1 Concrete hoeveelheden structureren Het structureren van concrete hoeveelheden helpt bij het sneller herkennen en tellen van aantallen. * **Manieren van structureren:** * Op één lijn (bv. bij tellen) * Volgens een getalbeeld (bv. domino, dobbelsteen, kwadraat, vingerbeeld) * Eierdoos (gestructureerd in rijen of patronen) * Telraam, rekenrek, kralenketting * **Voordelen van structureren:** * Makkelijker subiteren bij kleine aantallen. * Makkelijker de tel bijhouden of verkort tellen bij grotere aantallen. > **Tip:** Laat verschillende getalbeelden aan bod komen. Voor jongere kleuters is tonen en gebruiken belangrijk, voor oudere kleuters is het vergelijken van getalbeelden een uitdaging. #### 1.3.2 De schematische hoeveelheid Representatie met afbeeldingen of tekeningen, zoals: * Op één lijn * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Vijfstructuur (bv. in een eierdoos) * Turven (voor oudste kleuters) > **Tip:** Gebruik schematische hoeveelheden bij prenten, laat getalbeelden aan bod komen en koppel deze aan realistische contexten (bv. recepten, boodschappenlijstjes). Voor de oudste kleuters is het belangrijk om de voorstellingswijze die in het 1e leerjaar aan bod komt, te oefenen zodat ze getalbeelden vlot op het zicht herkennen. #### 1.3.3 De abstracte representatie: cijfers Dit betreft de weergave van getallen met Arabische cijfers ($0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$). * **Stimuleren van aandacht voor cijfers:** * Cijfers in de klas brengen. * Aandacht voor cijfers waarderen. * Cijfers benoemen. * **Meercijferige getallen:** * Deze zijn geen doel op zich voor kleuters, maar er kan worden ingespeeld op interesse. * Let op de verwoording: niet "1 en 5 is samen vijftien", maar "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien". * Visuele ondersteuning is belangrijk: cijfers koppelen aan de bijbehorende hoeveelheid (concreet en schematisch). ### 1.4 Functies van getallen Getallen hebben verschillende functies in de wiskunde: * **Getal als hoeveelheid:** Geeft aan 'hoeveel' er is. * **Getal als rangorde:** Geeft de positie aan in een volgorde (bv. eerste, tweede). * **Getal als maatgetal:** Dient om iets te meten (bv. lengte, gewicht, tijd). * **Getal als code:** Dient als herkenningskenmerk (bv. telefoonnummer, huisnummer). ### 1.5 Leerlijn voor vergelijken en ordenen De ontwikkeling van inzicht in getallen verloopt volgens een leerlijn: 1. **Duidelijk verschillende aantallen perceptueel vergelijken** (ca. 2,5-3 jaar). 2. **De 1-1 verbinding ervaren** (ca. 2,5-3 jaar): bij elk één leggen, evenveel/meer/minder/te weinig/te veel ervaren. 3. **Vergelijken via de 1-1 verbinding:** uitzoeken waar er meer/minder/evenveel is. 4. **Vergelijken via het tellen:** tellen om meer/minder/(niet) evenveel te bepalen. 5. **Vergelijken via subiteren:** snelle herkenning van aantallen om meer/minder/(niet) evenveel te bepalen. 6. **(On)gestructureerde aantallen sorteren:** groepjes maken van evenveel. 7. **Ordenen naar aantal (seriëren):** van weinig naar veel of omgekeerd, eerst met tastbare objecten, dan met afbeeldingen, en later met cijfersymbolen. 8. **Conservatie van aantal opbouwen:** beseffen dat aantal niet afhangt van schikking of aard van voorwerpen. ### 1.6 Praktijkvoorbeelden en materialen Verschillende opdrachten en spelvormen kunnen worden ingezet om het vergelijken en ordenen van getallen te oefenen: * Kaart vullen * Potjes vol zaaien * Memory op aantal * Keetje kakel (spel) * Potje schud (spel) * Insey winsey spider (spel) * Evenveel met het rad (spel) * Bolletjesmix (spel) * Zelfstandig spel-aanbod * Liedjes * Dobbelsteen- en domino-activiteiten * Vakjesdoos-activiteiten > **Tip:** Voorzie varianten in moeilijkheidsgraad. Maak het gemakkelijker door slechts één soort materiaal te gebruiken of door matrixsystemen weg te laten. Maak het moeilijker met grotere aantallen of cijfers in plaats van getalbeelden. #### 1.6.1 Cijferkennis bij kleuters Onderzoek toont aan dat: * Ongeveer 40% van de 5-jarigen Arabische getallen tot 10 kan benoemen. * Ongeveer 10% van de kleuters kan dat ook voor getallen boven twintig. * Een klein percentage kleuters kan zelfs getallen boven de honderd correct benoemen. --- # Representaties van getallen Dit deel behandelt de diverse manieren waarop getallen worden weergegeven, van tastbare objecten tot abstracte symbolen, en hoe deze representaties bijdragen aan de opbouw van wiskundig inzicht. ### 2.1 De fasen van het CSA-model De ontwikkeling van wiskundige inzichten bij jonge kinderen verloopt volgens het CSA-model: concreet, schematisch en abstract. In de kleuterschool ligt de nadruk primair op de concrete fase. #### 2.1.1 De concrete fase In deze fase worden getallen voorgesteld met behulp van tastbare 3D-materialen. Dit helpt kinderen om hoeveelheden direct waar te nemen en te manipuleren. * **Concrete hoeveelheden structureren:** Kinderen leren om concrete hoeveelheden te ordenen op verschillende manieren: * **Op één lijn:** Dit is de meest basale manier, vergelijkbaar met tellen. * **Volgens een getalbeeld:** Hierbij wordt gebruikgemaakt van gestructureerde patronen die kinderen snel kunnen herkennen. Voorbeelden hiervan zijn: * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Eierdoos (gestructureerd in groepen van 4 of 6 voor jonge kleuters, 10 voor oudere kleuters, met extra uitdagingen zoals een pallet) * Telraam * Rekenrek * Kralenketting of telketting **Voordeel van structureren:** Het structureren van hoeveelheden maakt het makkelijker om bij kleine aantallen te subiteren (snel herkennen zonder te tellen) en bij grotere aantallen de tel bij te houden of verkort te tellen. **Inzet in de klas:** Verschillende getalbeelden worden aan bod laten komen. Jonge kleuters worden aangemoedigd deze te tonen en te gebruiken, terwijl oudere kleuters verschillende getalbeelden met elkaar kunnen vergelijken om bijvoorbeeld te onderzoeken hoe een bepaald getal op verschillende manieren gevormd kan worden. Het voordeel van structureren wordt met name aan oudere kleuters duidelijk gemaakt. * **Hoeveelheden structureren bij verlies of winst:** Bij taken als "Hoeveel bloemen zijn er geplukt?" of "Hoeveel zijn er weggenomen?" wordt gestimuleerd dat kinderen zelf manieren zoeken om snel te zien hoeveel er verdwenen zijn, wat probleemoplossend denken bevordert. #### 2.1.2 De schematische fase Deze fase omvat representaties met afbeeldingen, die een stap verwijderd zijn van de concrete objecten. * **Getalbeelden met afbeeldingen:** Hierbij worden dezelfde gestructureerde patronen gebruikt als in de concrete fase, maar dan in een 2D-vorm: * Op één lijn * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Vijfstructuur * Eierdoos (gevuld volgens vijfstructuur of kwadraatbeeld) * Turven (voor oudste kleuters) * **Inzet in de klas:** Bij prenten kunnen kinderen hoeveelheden benoemen. Verschillende getalbeelden komen aan bod, met een focus op voorstellingswijzen die in het eerste leerjaar aan bod komen, zodat kinderen deze vlot op het zicht kunnen herkennen. Deze representaties worden ook geïntegreerd in realistische contexten, zoals recepten of boodschappenlijstjes. Kistjes met materialen voor 1, 2, 3 kunnen hierbij ondersteunend zijn. #### 2.1.3 De abstracte fase Dit is de meest abstracte vorm van getalrepresentatie, waarbij gebruik wordt gemaakt van symbolen. * **Arabische cijfers:** De cijfers 0 tot en met 9 vormen de basis van dit systeem. * **Stimuleren van aandacht:** Spontane aandacht voor cijfers wordt bevorderd door ze zichtbaar in de klas te brengen en de aandacht ervoor te waarderen. * **Benoemen van cijfers:** Cijfers worden benoemd om de herkenning te vergroten. * **Meercijferige getallen:** Meercijferige getallen zijn voor kleuters nog geen primair doel, maar er wordt op ingespeeld bij interesse van het kind. * **Correcte verwoording:** Het is belangrijk om de verwoording van meercijferige getallen correct te hanteren. Bijvoorbeeld: niet "een 1 en een 5 is samen vijftien", maar "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien". * **Visuele ondersteuning:** Het koppelen van cijfers aan de bijbehorende hoeveelheden (concreet, schematisch, abstract) en het aanwijzen ervan tijdens het benoemen, is cruciaal. ### 2.2 Het koppelen van representaties Het leren van de cijfers wordt ondersteund door de verschillende representaties met elkaar te combineren. Kaartjes met getalbeelden en cijfers worden bij groepjes materialen gelegd. ### 2.3 Functies van getallen Getallen hebben diverse functies die kinderen leren herkennen: * **Getal als hoeveelheid:** Geeft een bepaalde grootte aan (bv. drie appels). * **Getal als rangorde:** Duidt de positie in een reeks aan (bv. de eerste, de tweede). * **Getal als maatgetal:** Dient om een meting uit te drukken (bv. 5 meter). * **Getal als code:** Wordt gebruikt als identificatie, zonder kwantitatieve waarde (bv. telefoonnummer). ### 2.4 Oefeningen en praktijkvoorbeelden Er zijn diverse praktische oefeningen en spellen die de verschillende representaties en functies van getallen ondersteunen: * **Kaart vullen:** Kinderen vullen een kaart met het juiste aantal elementen, getalbeelden of cijfers. * **Potjes vol zaaien:** Een spel waarbij hoeveelheden worden gemanipuleerd. * **Memory op aantal:** Een geheugenspel gericht op het herkennen van hoeveelheden. * **Keetje kakel (spel verkennen):** Een spel dat de functies van getallen kan illustreren. * **Potje schud:** Een spel met schudden en tellen. * **Liedjes:** Liedjes zoals "Insey winsey spider" kunnen worden aangepast om met aantallen te werken. * **Evenveel met het rad:** Een spel waarbij kinderen gelijke hoeveelheden moeten creëren. * **Bolletjesmix:** Een spel dat gericht is op het mengen en tellen van hoeveelheden. * **Zelfstandig spel:** Aanbod voor zelfstandig spel met materialen voor getalrepresentatie. **Variaties in moeilijkheid:** * **Gemakkelijker:** Eén soort pitten gebruiken, matrixsysteem weglaten en kinderen de juiste getalbeelden in vakjes laten leggen. * **Moeilijker:** Grotere aantallen gebruiken of cijfers in plaats van getalbeelden. ### 2.5 Percentages van kleuters met getalbegrip Uit onderzoek blijkt het volgende percentage kleuters in staat te zijn om: * Arabische getallen tot 10 te benoemen: 40%, 60%, of 80%. * Arabische getallen boven twintig (bv. 31, 26, 80) te benoemen: 10%, 25%, of 50%. * Verschillende getallen boven de honderd (bv. 107, 164, 270) correct te benoemen: Ja (ongeveer 10%), Ja (ongeveer 5%), of Nee. > **Tip:** Het is cruciaal om te onthouden dat het leren van getalrepresentaties een proces is dat tijd en herhaling vergt, waarbij de overgang van concreet naar abstract geleidelijk moet verlopen. De nadruk in de kleuterklas ligt op de concrete en schematische fasen om een solide basis te leggen. > **Tip:** Bij het introduceren van meercijferige getallen is de precieze taal die gebruikt wordt essentieel. Vermijd samenvoegingen die de waarde van de cijfers vertroebelen. Visuele ondersteuning bij het koppelen van cijfers aan hoeveelheden is onmisbaar. --- # Functies van getallen Functies van getallen onderzoekt de uiteenlopende rollen die getallen vervullen binnen de wiskunde. ## 3. Functies van getallen Getallen kunnen verschillende functies vervullen, waaronder het aanduiden van een hoeveelheid, een rangorde, een maat of een code. ### 3.1 Getal als hoeveelheid Een getal kan gebruikt worden om een concrete hoeveelheid aan te duiden. Dit kan variëren van het aangeven van het aantal objecten in een verzameling tot het beschrijven van een abstracte hoeveelheid. #### 3.1.1 Representaties van hoeveelheden Er zijn verschillende manieren waarop kinderen hoeveelheden leren representeren en begrijpen: * **Concrete hoeveelheid:** Dit gebeurt met tastbaar 3D-materiaal. * **Schematische hoeveelheid:** Hierbij worden afbeeldingen gebruikt om hoeveelheden weer te geven, zoals in getalbeelden (domino-, dobbelsteen-, kwadraatbeeld, vingerbeeld, eierdoosbeeld, telraam, rekenrek, kralenketting). * **Abstracte hoeveelheid:** Dit omvat het gebruik van telwoorden en cijfersymbolen. #### 3.1.2 Ontwikkeling in het begrijpen van hoeveelheden De ontwikkeling van het begrip van hoeveelheden bij jonge kinderen verloopt via verschillende fasen: 1. **Perceptueel vergelijken:** Jonge kinderen (2,5-3 jaar) kunnen duidelijk verschillende aantallen van hetzelfde materiaal op het zicht vergelijken. 2. **De 1-1 verbinding ervaren:** Kinderen ervaren dat er evenveel, meer, minder, te weinig of te veel is door bij elk object één ander object te leggen. 3. **Vergelijken via 1-1 relatie:** Hoeveelheden worden vergeleken door een 1-op-1 correspondentie te leggen om te bepalen waar er meer, minder of evenveel is. 4. **Vergelijken via tellen:** Kinderen leren tellen om te bepalen waar meer, minder of (niet) evenveel is. Bijvoorbeeld, het tellen van koeien en varkens om te zien welke groep groter is. 5. **Vergelijken via subiteren:** Kinderen leren door snelle herkenning van kleine aantallen (subiteren) te bepalen welke hoeveelheid groter is. Bijvoorbeeld, het direct herkennen van twee koeien en drie varkens en concluderen dat er meer varkens zijn. 6. **Sorteren van (on)gestructureerde aantallen:** Kinderen maken groepjes van evenveel, bijvoorbeeld door bakjes met hetzelfde aantal pleisters samen te zetten. 7. **Seriëren naar aantal:** Hoeveelheden worden geordend van weinig naar veel of omgekeerd. Dit kan met tastbare aantallen, afbeeldingen of cijfersymbolen. 8. **Conservatie van aantal:** Kinderen beseffen geleidelijk dat het aantal objecten niet verandert, ongeacht de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. Dit wordt eerst geschat en vervolgens gecontroleerd door tellen of de 1-1 verbinding. #### 3.1.3 Gestructureerde hoeveelheden Het structureren van concrete hoeveelheden, bijvoorbeeld door het gebruik van een eierdoos, biedt voordelen: * **Voordeel bij kleine aantallen:** Makkelijker subiteren. * **Voordeel bij grote aantallen:** Makkelijker de tel bijhouden of verkort tellen. Verschillende getalbeelden, zoals de eierdoos of het vingerbeeld, kunnen worden ingezet. Voor oudere kleuters is het vergelijken van verschillende getalbeelden nuttig om te zien hoe een getal op verschillende manieren kan worden gevormd. #### 3.1.4 Schematische hoeveelheden Schematische hoeveelheden, weergegeven met afbeeldingen, omvatten diverse getalbeelden zoals domino-, dobbelsteen-, kwadraat-, vinger- en eierdoosbeelden. Ook turven behoort tot deze categorie voor oudste kleuters. Deze worden ingezet bij prenten, waarbij kinderen hoeveelheden benoemen en verschillende getalbeelden door het jaar heen verkennen. #### 3.1.5 Abstracte representatie: cijfers De abstracte representatie van getallen gebeurt via Arabische cijfers (0 tot en met 9). Het stimuleren van spontane aandacht voor cijfers in de klas, door ze te benoemen en te koppelen aan concrete en schematische hoeveelheden, is belangrijk. Bij meercijferige getallen is het cruciaal om de juiste verwoording te gebruiken, zoals "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien", en visuele ondersteuning te bieden. > **Tip:** Voor jonge kleuters ligt de nadruk op de concrete fase van het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract). ### 3.2 Getal als rangorde Getallen geven ook een positie of rangorde aan binnen een reeks. Dit wordt duidelijk wanneer objecten van weinig naar veel of van meer naar minder worden gerangschikt, of wanneer er gesproken wordt over 'de eerste', 'de tweede', enzovoort. ### 3.3 Getal als maatgetal Getallen kunnen gebruikt worden om maten aan te duiden, zoals lengte, gewicht, tijd of temperatuur. Dit omvat het gebruik van eenheden en meetinstrumenten. ### 3.4 Getal als code Nummers kunnen dienen als code, bijvoorbeeld in telefoonnummers, huisnummers of kentekens. Hierbij is de specifieke volgorde van de cijfers belangrijker dan hun kwantitatieve waarde. > **Voorbeeld:** Bij het benoemen van het cijfer 'vijf' als onderdeel van het telefoonnummer 'vijf-acht-twee', is de functie van het cijfer als onderdeel van de code centraal, niet de hoeveelheid vijf. ### 3.5 Vergelijken en ordenen van getallen Het vergelijken en ordenen van getallen is een fundamenteel wiskundig concept. De wiskundetaal hiervoor omvat termen als 'meer dan', 'minder dan', '(niet) evenveel als', 'meeste', 'minste', en het rangschikken van 'weinig naar veel' of 'veel naar weinig'. #### 3.5.1 Strategieën voor vergelijken Kinderen leren dit begrip ontwikkelen via: * **1-op-1 correspondentie:** Het koppelen van objecten uit twee groepen om te bepalen of de aantallen gelijk zijn, of welke groep groter is. * **Tellen:** Het tellen van de objecten in elke groep om vervolgens de getallen te vergelijken. * **Subiteren:** Het direct herkennen van kleine aantallen om een vergelijking te maken. #### 3.5.2 Verwoording van vergelijkingen Het correct verwoorden van vergelijkingen is essentieel. Correcte formuleringen zijn: "evenveel als", "meer dan", "minder dan", "het is gelijk aan", "het is hetzelfde als". Incorrecte formuleringen zijn: "meer als", "evenveel dan". ### 3.6 Nul als getal Nul vertegenwoordigt het concept 'niets' of 'geen'. Het is belangrijk om nul ook als een getal te behandelen, vooral bij oudere kleuters die kunnen terugtellen tot nul. ### 3.7 Doelen 'Functies van getallen' De verschillende functies van getallen zijn gekoppeld aan concrete leerdoelen die getoetst kunnen worden door middel van spelletjes en opdrachten, zoals: * Het vullen van kaarten. * Het sorteren van objecten (bv. zaadjes in potjes). * Memory-spellen op aantal. * Spelletjes als 'Keetje kakel' en 'Potje schud'. * Opdrachten met een rad of bolletjesmix. * Zelfstandig spelactiviteiten. Bij deze activiteiten is het belangrijk om varianten in moeilijkheidsgraad aan te bieden, zoals het gebruik van grotere aantallen of cijfers in plaats van getalbeelden. --- # Spel en zelfstandige activiteiten met getallen Dit onderwerp beschrijft praktische spelletjes en zelfstandige activiteiten die kinderen kunnen uitvoeren om hun begrip van getallen te versterken, met variaties in moeilijkheidsgraad. ### 4.1 Getalbegrip en vergelijken Het begrijpen van getallen omvat meer dan alleen tellen; het omvat ook het concept van nul, vergelijken, ordenen en het gebruik van wiskundetaal. #### 4.1.1 Nul en aftellen Nul dient ook aandacht te krijgen als een hoeveelheid: niets, geen. Terugtellen kan ook tot nul, wat vooral voor oudere kleuters een geschikte activiteit is. #### 4.1.2 Wiskundetaal voor vergelijken en ordenen Een rijke wiskundetaal is essentieel voor het begrijpen van hoeveelheden. Kernbegrippen en -uitdrukkingen omvatten: * "Ik heb meer stenen dan jij." * "Vier is minder dan zeven." * "Hoeveel is vier en twee samen?" * "Ik leg de cijferkaartjes van weinig naar veel." * "Er zijn evenveel jongens als meisjes vandaag." * "Ik heb de 8 blauwe knopen samen gelegd." * "Wie heeft de minste knopen?" * "Ik leg de knopendoosjes van minder naar meer knopen." * "Wie heeft de meeste/minste kaartjes?" **Te corrigeren taalfouten:** * Meer / minder als (juist is: meer dan / minder dan) * Evenveel dan (juist is: evenveel als) * Het is gelijk / Het is hetzelfde (dit kan, maar het precieze wiskundige 'gelijk aan' is beter) **Kernbegrippen voor vergelijken:** * (niet) evenveel als * meer dan, minder dan * meeste / minste van * weinig naar veel, van veel naar weinig * van minder naar meer, van meer naar minder * komt voor, komt na * rangschikken, ordenen, in de juiste volgorde #### 4.1.3 Hoe kinderen leren vergelijken Kinderen leren het concept van evenveel, meer en minder op verschillende manieren: 1. **Via één-op-één verbinding (1-1 correspodentie):** * Elk element van de ene groep wordt gekoppeld aan precies één element van de andere groep. * Voorbeeld: Als er voor elke witte steen één zwarte steen is, dan zijn er evenveel witte als zwarte stenen. * Eerst: objecten die logisch bij elkaar horen (eenvoudig). * Vervolgens: willekeurige objecten (moeilijker). > **Tip:** Het modelleren en verwoorden door de leerkracht (LK) is cruciaal. Begin met het zelf voordoen en laat het kind daarna zelfstandig uitvoeren met nadruk op het verwoorden. 2. **Perceptueel vergelijken:** * Kinderen (vanaf 2,5-3 jaar) kunnen duidelijk verschillende aantallen van hetzelfde materiaal op het zicht vergelijken. * Ze gebruiken begrippen als veel, weinig, meer, minder, meest, minst. 3. **1-1 verbinding ervaren:** * Kinderen (vanaf 2,5-3 jaar) ervaren zelf het principe van 'bij elk één leggen' en voelen direct wanneer er evenveel, meer, minder, te weinig of te veel is. 4. **Vergelijken via precieze strategieën:** * **Vanuit de 1-1 relatie:** Kinderen ontdekken of er meer, minder of evenveel is door de 1-1 verbinding te leggen. * **Vanuit het tellen:** Kinderen tellen om te bepalen waar meer, minder of (niet) evenveel is. * Voorbeeld: "Ik tel 7 koeien. Ik tel 6 varkens. 7 is meer dan 6, dus er zijn meer koeien dan varkens." * **Vanuit subiteren:** Kinderen gebruiken subitering (het direct zien van kleine aantallen) om te bepalen welk aantal groter is. * Voorbeeld: "Ik zie 2 koeien. Ik zie 3 varkens. Er zijn meer varkens, want 3 is meer dan 2." #### 4.1.4 Andere leerlijnen en concepten * **(On)gestructureerde aantallen tot en met 10 sorteren:** Groepjes maken van evenveel. * **Ordenen (Serialiseren):** Van weinig naar veel of omgekeerd. Dit kan met tastbare aantallen of met cijfersymbolen. Het aanvullen van buurgetallen hoort hier ook bij. * **Conservatie van aantal:** Kinderen ervaren en beseffen dat het aantal objecten niet verandert door de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. Ze leren schatten en controleren dit via tellen of de 1-1 verbinding. ### 4.2 Representaties van getallen De ontwikkeling van wiskundige inzichten verloopt via het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract). In de kleuterschool ligt de nadruk op de concrete fase. * **Concrete hoeveelheid:** Gemaakt met 3D-materiaal. * **Schematische hoeveelheid:** Gemaakt met afbeeldingen. * **Abstracte hoeveelheid:** Met telwoorden of met cijfers. #### 4.2.1 Concrete hoeveelheden structureren Het structureren van concrete hoeveelheden helpt bij het sneller herkennen van aantallen (subiteren) en het makkelijker bijhouden van het tellen. Verschillende getalbeelden kunnen hierbij worden gebruikt: * Op één lijn (tellen) * Volgens een getalbeeld: * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Eierdoos (met 4 of 6 bij jonge kleuters (JK), met 10 bij oudere kleuters (OK), met pallet als extra uitdaging) * Telraam * Rekenrek * Kralenketting/telketting > **Tip:** Laat verschillende getalbeelden aan bod komen. JK kunnen ze tonen en gebruiken, OK kunnen ze vergelijken. Stimuleer probleemoplossend denken door kinderen zelf manieren te laten zoeken om hoeveelheden snel te herkennen, bijvoorbeeld bij het benoemen van weggenomen voorwerpen. #### 4.2.2 Schematische hoeveelheid Dit omvat het gebruik van afbeeldingen om aantallen weer te geven. * **Getalbeelden:** * Op één lijn * Domino- of dobbelsteenbeeld * Kwadraatbeeld * Vingerbeeld * Vijfstructuur * Eierdoos (volgens vijfstructuur of kwadraatbeeld) * Turven (voor oudste kleuters) > **Tip:** Gebruik afbeeldingen in realistische contexten, zoals recepten of boodschappenlijstjes. #### 4.2.3 Abstracte representatie: cijfers Dit betreft de Arabische cijfers (0-9). * Stimuleer spontane aandacht voor cijfers door ze zichtbaar in de klas te presenteren en de aandacht van kinderen ervoor te waarderen en te benoemen. * Meercijferige getallen zijn geen doel op zich voor kleuters, maar er kan op ingespeeld worden bij interesse. * **Correcte verwoording bij meervoudige cijfers:** Niet "1 en 5 is samen vijftien", maar "een 1 en daarnaast een 5 vormt vijftien". * Visuele ondersteuning is belangrijk: koppel cijfers aan de bijbehorende hoeveelheid (concreet, schematisch, abstract). > **Tip:** Combineer de verschillende representaties om het leren van cijfers te ondersteunen. Leg kaartjes met getalbeelden en cijfers bij groepjes materialen. ### 4.3 Doelen en praktische spelletjes De doelen met betrekking tot getallen representeren en de functies van getallen kunnen worden bereikt door middel van diverse spelletjes en activiteiten. #### 4.3.1 Functies van getallen * **Getal als hoeveelheid:** Het tellen van objecten. * **Getal als rangorde:** De plaats in een reeks (eerste, tweede, etc.). * **Getal als maatgetal:** Bijvoorbeeld bij lengte of gewicht. * **Getal als code:** Bijvoorbeeld een huisnummer of telefoonnummer. #### 4.3.2 Praktijkvoorbeelden en spelletjes Diverse spelletjes kunnen ingezet worden voor zelfstandig spel, met variaties in moeilijkheidsgraad: * **Kaart vullen:** Eenvoudig spel waarbij de kaart met de juiste hoeveelheden of getalbeelden wordt gevuld. * **Gemakkelijker:** Eén soort pitten gebruiken, matrixsysteem weglaten (kinderen leggen het aantal in elk vakje). * **Moeilijker:** Grotere aantallen, cijfers in plaats van getalbeelden. * **Liedje dobbelsteen:** Gebruik van dobbelstenen in liedjes. * **Memory op aantal:** Memorykaarten met matchende hoeveelheden of getalbeelden. * **Zelfstandig bakjes vullen:** Gebruik van bakjes en materialen om specifieke aantallen te vormen. * **Vakjesdoos:** Een raster dat gebruikt kan worden voor het plaatsen van objecten volgens een bepaald aantal of patroon. * **Potjes vol zaaien / Potje schud:** Spelletjes die gericht zijn op het vormen van aantallen. * **Keetje kakel, Insey winsey spider, Bolletjesmix:** Verschillende interactieve spelletjes die tellen en hoeveelheden betrekken. * **Evenveel met het rad:** Gebruik van een rad om de hoeveelheid te bepalen die gematcht moet worden. > **Tip:** Pas de moeilijkheidsgraad aan door variaties in het aantal objecten, de complexiteit van de getalbeelden, of het gebruik van cijfers in plaats van getalbeelden. #### 4.3.3 Statistische inzichten (voor docenten) Uit onderzoek blijkt dat: * Ongeveer 40% van de 5-jarigen Arabische getallen tot 10 kan benoemen. * Ongeveer 10-25% van de kleuters kan dat ook voor getallen boven de twintig. * Een klein percentage (ongeveer 5-10%) kan zelfs getallen boven de honderd correct benoemen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Nul | Het getal nul vertegenwoordigt de afwezigheid van hoeveelheid, of de lege verzameling, en is essentieel voor het begrip van getallenreeksen en vergelijkingen. | | Eén-op-één correspondentie (1-1 verbinding) | Een strategie waarbij elk element van de ene groep wordt gekoppeld aan precies één element van een andere groep om de gelijkheid van de hoeveelheden vast te stellen of te vergelijken. | | Perceptueel vergelijken | Het direct vergelijken van aantallen zonder te tellen, gebaseerd op visuele waarneming van de grootte of de spreiding van objecten. | | Tellen | Het proces van het systematisch benoemen van getallen in volgorde om de hoeveelheid van een verzameling objecten vast te stellen. | | Subiteren | De vaardigheid om snel en zonder tellen de hoeveelheid van een kleine verzameling objecten te herkennen, meestal tot vijf. | | Sorteren | Het groeperen van objecten op basis van gemeenschappelijke kenmerken, zoals het maken van groepjes met evenveel items. | | Seriëren | Het ordenen van objecten of aantallen op volgorde, meestal van klein naar groot of omgekeerd, gebaseerd op een bepaald criterium zoals hoeveelheid. | | Conservatie van aantal | Het inzicht dat het aantal objecten in een verzameling gelijk blijft, ongeacht veranderingen in de ruimtelijke schikking of de aard van de voorwerpen. | | Concrete fase | De eerste fase in het opbouwen van wiskundige inzichten, waarbij kinderen werken met tastbare, driedimensionale materialen om concepten te begrijpen. | | Schematische fase | De fase na de concrete fase, waarbij abstracte concepten worden voorgesteld met behulp van afbeeldingen, tekeningen of andere tweedimensionale representaties. | | Abstracte fase | De hoogste fase in het opbouwen van wiskundige inzichten, waarbij kinderen werken met symbolen en getalnamen zonder visuele ondersteuning. | | Getalbeeld | Een mentale voorstelling van een getal, vaak geassocieerd met een specifieke structuur of patroon, zoals een dobbelsteenafbeelding of een vingerbeeld. | | Domino- of dobbelsteenbeeld | Een gestructureerde manier om kleine aantallen te representeren, gebaseerd op de patronen van ogen op een dobbelsteen of de punten op een dominosteen. | | Eierdoos | Een gestructureerd hulpmiddel, vaak met 6 of 10 vakjes, dat gebruikt kan worden om aantallen te organiseren en getalbeelden te visualiseren, bijvoorbeeld de vijfstructuur. | | Turven | Het maken van streepjes om aantallen te registreren, vaak gebruikt als een tussenstap tussen concrete hoeveelheden en abstracte cijfers. | | Arabische cijfers | De cijfers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 die wereldwijd worden gebruikt voor het noteren van getallen. | | Getal als hoeveelheid | De functie van een getal die aangeeft hoe veel van iets er is. | | Getal als rangorde | De functie van een getal die de positie van een object in een reeks aangeeft, zoals eerste, tweede, derde. | | Getal als maatgetal | De functie van een getal die wordt gebruikt om een hoeveelheid te kwantificeren met een eenheid, zoals lengte, gewicht of tijd. | | Getal als code | De functie van een getal die wordt gebruikt om iets te identificeren, zoals een telefoonnummer, een huisnummer of een productcode. |

# Inleiding tot rekenhandelingen en het gevoel voor optellen en aftrekken Dit topic introduceert rekenhandelingen als het oplossen van problemen met behulp van bewerkingen en materialen, met een focus op het vroege gevoel voor optellen en aftrekken bij jonge kinderen. ### 1.1 Rekenhandelingen: een algemeen concept Rekenhandelingen worden gedefinieerd als het handelend oplossen van problemen met behulp van bewerkingen en daadwerkelijk materiaal, vooral bij kleine aantallen. Het omvat diverse wiskundige bewerkingen. #### 1.1.1 Tijdsindicatie voor rekenhandelingen De introductie van diverse rekenhandelingen bij jonge kinderen is afhankelijk van hun leeftijd en ontwikkeling: * **Optellen en aftrekken:** Vanaf 4 jaar, met een focus op kleine getallen tot 5 indien ingebed in vertrouwde contexten en ondersteund met concreet materiaal. Doorgaans ook aangeboden vanaf 5-6 jaar. * **Splitsen:** Vanaf 4 jaar (met voorbehoud zoals hierboven vermeld), en vanaf 5-6 jaar. * **Vermenigvuldigen:** Vanaf 4 jaar (met voorbehoud), en vanaf 5-6 jaar. * **Delen:** Vanaf 4 jaar (met voorbehoud), en vanaf 5-6 jaar. * **Breuken en verhoudingen:** Vanaf 5-6 jaar. #### 1.1.2 Contexten voor optellen en aftrekken Optellen en aftrekken kunnen binnen verschillende contexten worden aangeboden: * **Als oorzaak-verandering (veranderingssituatie):** Situaties waarin iets wordt toegevoegd of weggenomen, wat resulteert in een verandering van het aantal. * **Als combinatie:** Het samenvoegen van twee of meer groepen om een totaal te vormen. * **Als vergelijking:** Situaties waarin aantallen worden vergeleken om verschillen of overeenkomsten te bepalen, zoals "evenveel maken", "hoeveel meer/minder" of "x meer/minder nemen". ### 1.2 Het vroege gevoel voor optellen en aftrekken (leeftijd 1-2 jaar) Het vroege gevoel voor optellen en aftrekken, dat zich ontwikkelt vanaf ongeveer 1 tot 2 jaar, is het intuïtieve besef dat er meer voorwerpen zijn wanneer er iets wordt bijgelegd, en minder wanneer er iets wordt weggenomen. Dit is een fundamenteel, nog niet formeel wiskundig inzicht. ### 1.3 Bewerkingen en hun verwoording (voor kleuters en eerste leerjaar) De manier waarop kleuters en kinderen in het eerste leerjaar wiskundige bewerkingen ervaren en verwoorden, varieert per bewerking en context. #### 1.3.1 Optellen en aftrekken * **Optellen als oorzaak-verandering:** * *Verwoording bij kleuters:* "Er komen nog bij." * *Bewerking (1e LJ):* Optellen. * **Aftrekken als oorzaak-verandering:** * *Verwoording bij kleuters:* "Er gaat er af." * *Bewerking (1e LJ):* Aftrekken. * **Optellen als combinatie:** * *Verwoording bij kleuters:* "Alles samen." * *Bewerking (1e LJ):* Optellen. * **Aftrekken als combinatie (wegnemen):** * *Verwoording bij kleuters:* "Er blijven er over." * *Bewerking (1e LJ):* Aftrekken. * **Optellen en aftrekken als vergelijking (evenveel maken):** * *Verwoording bij kleuters:* "Om het evenveel te maken." * *Bewerking (1e LJ):* Optellen en aftrekken. * **Optellen en aftrekken als vergelijking (hoeveel meer/hoeveel minder):** * *Verwoording bij kleuters:* "Hoeveel meer/minder dan...?" * *Bewerking (1e LJ):* Optellen en aftrekken. * **Optellen en aftrekken als vergelijking (x meer / minder nemen):** * *Verwoording bij kleuters:* "Neem er nog x bij/weg." * *Bewerking (1e LJ):* Optellen en aftrekken. #### 1.3.2 Splitsen van een aantal Splitsen van getallen verwijst naar het verdelen van een getal in twee of meer delen. Kleuters oefenen dit voornamelijk in twee delen. Dit kan op twee manieren gebeuren: * **Tellend splitsen:** Kinderen tellen om de delen te bepalen. * **Automatisch splitsen:** Kinderen kunnen de splitsing direct uit het hoofd doen. Er zijn diverse materialen die het splitsen kunnen ondersteunen, zoals splitsbuizen, splitsmachines, splitsdozen en splitsflessen. Werkkaarten kunnen gebruikt worden om de genoteerde splitsingen vast te leggen. * *Verwoording bij kleuters:* "Dit stukje en dat stukje maken samen..." * *Bewerking (1e LJ):* Splitsen. #### 1.3.3 Vermenigvuldigen als keerhandeling Dit omvat situaties waarin een groep herhaaldelijk wordt toegevoegd. * *Verwoording bij kleuters:* "Groepjes van..." * *Bewerking (2e LJ):* Vermenigvuldigen. #### 1.3.4 Delen als verdelingsdeling Dit betreft situaties waarin een hoeveelheid eerlijk wordt verdeeld over een bepaald aantal ontvangers of groepen. * *Verwoording bij kleuters:* "Verdelen over..." * *Bewerking (2e LJ):* Delen. #### 1.3.5 Breuken en verhoudingen Bij oudste kleuters kunnen breuken, zoals $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{4}$, betekenisvol worden geïntroduceerd door middel van concrete materialen en handelend leren. Ook verhoudingen, zoals een één-op-veel verhouding, komen aan bod. * **Verhoudingsprobleem voorbeeld:** Voor één pot soep hebben we 3 ajuinen nodig. We maken 2 potten soep. Hoeveel ajuinen hebben we nodig? De oplossing kan via een 1-op-1 relatie of door te tellen. * *Verwoording:* "Voor elke pot..., hebben we..." * *Bewerking:* Verhoudingen. ### 1.4 Hoe lossen kleuters bewerkingen op? Kleuters lossen bewerkingen op met verschillende methodes, variërend van tellend en aanwijzend tot meer geautomatiseerde processen. #### 1.4.1 Oplossingsmethodes * **Tellend:** Kinderen tellen objecten of tellen mee met de leerkracht. * **Aanwijzend/Visueel:** Kinderen gebruiken visuele representaties of hun vingers. * **Strategieën:** Ontwikkelen van eigen rekenstrategieën. * **Geautomatiseerd:** Snel en zonder nadenken tot de oplossing komen. #### 1.4.2 Praktijkvoorbeelden van bewerkingen en oplossingsmethodes * **Oefening 1: Wortels toevoegen** * *Situatie:* Hoeveel wortels moeten erbij om er evenveel te hebben als Kato? * *Bewerking:* Optellen/Aftrekken (vergelijken, aanvullen). * *Oplossingsmethode:* De leerkracht zal dit waarschijnlijk aanvullend of aanwijzend oplossen, waarbij de kinderen het verschil tellen. * **Oefening 2: Winkeltje met legoblokken** * *Situatie:* Een kleuter koopt een blok van 3 euro en één van 2 euro. Hoeveel is dat samen? * *Bewerking:* Optellen (combinatie). * *Oplossingsmethode:* Het kind telt de muntstukken, wat duidt op een handelende, tellende oplossingsmethode. * **Oefening 3: Konijn met wortels** * *Situatie:* Konijn heeft 3 wortels en krijgt er 2 bij. Hoeveel heeft hij er nu? * *Bewerking:* Optellen (oorzaak-verandering). * *Oplossingsmethode:* Kobe telt verder vanaf het begingetal, wat een tellende methode is. * **Oefening 4: Kaarten verdelen** * *Situatie:* Sara verdeelt 9 kaarten over 3 spelers. * *Bewerking:* Delen (verdelingsdeling). * *Oplossingsmethode:* Sara verdeelt één voor één, wat een directe handelswijze is die het principe van delen illustreert. ### 1.5 Opdrachten en praktijkvoorbeelden Diverse opdrachten en praktijkvoorbeelden kunnen worden ingezet om rekenhandelingen te oefenen en te stimuleren bij kleuters. #### 1.5.1 Opdrachten voor rekenhandelingen * **Optellen als combinatie met dobbelstenen:** Oudere kleuters kunnen dobbelstenen gebruiken waarbij de gegooid ogen worden opgeteld. * **Optellen als combinatie met een werpspel (pittenzakjes):** Zones met punten (1, 2, 3) op een mat stimuleren het optellen van behaalde punten. Impulsen en werkkaarten voor het noteren van de punten zijn hierbij nuttig. * **Splitsen met een kegelspel:** Kinderen kunnen de omgevallen kegels groeperen om zo het splitsen te oefenen. Het noteren van de splitsing kan gebeuren met behulp van werkbladen of materialen. * **Winkelspel voor bewerkingen:** * **Delen als verdelingsdeling:** Kinderen verdelen producten over klanten. * **Samenvoegen (optellen):** Kinderen tellen de prijs van meerdere producten op. * **Verminderen (aftrekken):** Kinderen geven wisselgeld terug. #### 1.5.2 Praktijkvoorbeelden 5-jarigen (3e kleuterklas) * **Bus stop:** Kinderen stappen in en uit de bus, wat een visuele voorstelling is van optellen en aftrekken. * **Onder welke kokosnoot?** Een spel waarbij getallen worden gecombineerd of gesplitst. * **Doosjes openen:** Het combineren van inhoud uit verschillende doosjes. * **Eén meer nemen / één minder nemen:** Werkkaarten die gericht zijn op het verhogen of verlagen van een aantal met één. * **Splitsen met rekenfiches:** Concrete manipulatie van fiches om getallen te splitsen. * **Spelletjes met cijferdobbelsteen:** Indien getalbeelden goed beheerst worden, kan dit een extra uitdaging zijn. Ondersteunende werkkaarten zijn nuttig voor kinderen die de cijfers nog niet kennen. * **Spelletjes met 2 dobbelstenen (samenvoegen):** Beginnen met dobbelstenen tot 3 om het samenvoegen te oefenen. Vervolgens uitbreiden met dominobeelden en cijferdobbelstenen. * **In de zak / uit de zak:** Een spel dat vergelijkbaar is met "Bus stop" en gericht is op optellen en aftrekken. --- # Verschillende rekenhandelingen en hun toepassingen bij kleuters Dit deel behandelt diverse rekenhandelingen zoals splitsen, vermenigvuldigen, delen en breuken/verhoudingen, inclusief de leeftijdsaanduidingen en contexten waarin deze aangeboden kunnen worden. ### 2.1 Algemene introductie tot rekenhandelingen bij kleuters Rekenhandelingen worden bij kleuters aangeboden door handelend probleemsituaties op te lossen met echte materialen en met kleine aantallen. Het gaat om het ontwikkelen van een gevoel voor deze bewerkingen. ### 2.2 Leeftijdsindicaties en contexten voor rekenhandelingen * **Gevoel voor optellen en aftrekken**: Ontwikkelt zich vanaf 1 tot 2 jaar. Kleuters voelen aan dat er meer voorwerpen zijn bij toevoeging en minder bij wegneming. * **Optellen en aftrekken, splitsen, vermenigvuldigen, delen**: Kunnen aangeboden worden vanaf 4 jaar, met nadruk op 5-6 jaar. * **Tip**: Bij vierjarigen kunnen deze rekenhandelingen ook al aan bod komen wanneer ze goed ingebed zijn in vertrouwde contexten, met kleine getallen tot 5 (totaal) en ondersteund met concreet materiaal. ### 2.3 Soorten rekenhandelingen en hun toepassingen #### 2.3.1 Optellen en aftrekken Optellen en aftrekken kunnen op verschillende manieren worden geïnterpreteerd en aangeboden aan kleuters: * **Als oorzaak-verandering (veranderingssituatie)**: Een situatie waarbij een hoeveelheid verandert. * **Verwoording bij kleuters**: * **Bewerking (1e leerjaar)**: * **Als combinatie**: Het samenvoegen van twee of meer hoeveelheden. * **Verwoording bij kleuters**: * **Bewerking (1e leerjaar)**: * **Als vergelijking**: Het vergelijken van twee hoeveelheden. * **Verwoording bij kleuters**: * **Bewerking (1e leerjaar)**: * **Evenveel maken**: Streven naar gelijkheid tussen hoeveelheden. * **Hoeveel meer/hoeveel minder**: Het verschil tussen twee hoeveelheden bepalen. * **X meer/minder nemen**: Een specifieke hoeveelheid meer of minder nemen. > **Voorbeeld**: Oefening 1: "Hoeveel wortels moet je toevoegen om er evenveel te hebben als Kato?" (bewerking: aftrekken als vergelijking; oplossingsmethode: tellend) > **Voorbeeld**: Oefening 2: Kleuters spelen winkeltje met legoblokken. Een kleuter koopt een blok van 3 euro en één van 2 euro. Hoeveel is dat samen? De kleuter legt voor het eerste blok 3 euro neer en voor het andere blok 2 euro. Op vraag van de LK telt hij al de muntstukken: samen is dat 5 euro. (bewerking: optellen als combinatie; oplossingsmethode: tellend) > **Voorbeeld**: Oefening 3: Konijn heeft drie wortels en krijgt er nog twee bij. Hoeveel heeft hij er dan? Kobe telt verder: “Vier, vijf. Konijn heeft er nu vijf!” (bewerking: optellen als oorzaak-verandering; oplossingsmethode: doortellen) #### 2.3.2 Splitsen van een aantal Splitsen van getallen verwijst naar het verdelen van getallen in twee of meer delen. Kinderen doen dit door te tellen (tellend splitsen) of uit hun hoofd (automatisch splitsen). Bij kleuters wordt primair gefocust op het splitsen in twee delen. * **Materialen en werkvormen**: * Splitsbuis / Splitsmachine * Werkkaarten om de splitsing te noteren * Splitsdoos * Splitsmolen * Splitsfles > **Voorbeeld**: Opdracht 3: Hoe kan je de bewerking ‘splitsen’ oefenen via een kegelspel? Hoe kan je de kinderen de splitsing laten noteren? Noteer je impulsen en maak duidelijk welke begrippen de kleuters leren. #### 2.3.3 Vermenigvuldigen als keerhandeling Dit concept wordt aangeboden vanaf 4 jaar, met nadruk op 5-6 jaar, en wordt typisch in het tweede leerjaar verder uitgediept. * **Verwoording bij kleuters**: * **Bewerking (2e leerjaar)**: #### 2.3.4 Delen als verdelingsdeling Dit concept wordt aangeboden vanaf 4 jaar, met nadruk op 5-6 jaar, en wordt typisch in het tweede leerjaar verder uitgediept. * **Verwoording bij kleuters**: * **Bewerking (2e leerjaar)**: > **Voorbeeld**: Oefening 4: Sara verdeelt de 9 kaarten over de drie spelers: Ze geeft iedereen er één, vervolgens nog eens iedereen één, etc …tot de kaarten op zijn. (bewerking: delen als verdelingsdeling; oplossingsmethode: herhaald aftrekken/groeperen) > **Voorbeeld**: Opdracht 4: Je gaat een winkelspel spelen met de kinderen onder jouw begeleiding om het oefenen van bewerkingen te stimuleren. Welke opdracht geef je om de bewerking ‘delen als verdelingsdeling’ aan bod te laten komen? #### 2.3.5 Breuken en verhoudingen Deze concepten worden aangeboden aan de oudste kleuters (5-6 jaar). * **Breuken (bv. ½, ¼)**: Leren kennen door al handelend met materialen te werken. * **Hoe kan dit betekenisvol aan bod komen bij de oudste kleuters?**: * **Welke begrippen en verwoordingen?**: * **Verhoudingen (bv. één tot veel verhouding)**: * **Verwoording**: * **Bewerking**: > **Voorbeeld**: Voor één pot soep hebben we 3 ajuinen nodig. We gaan twee potten soep maken. Hoeveel ajuinen hebben we nodig? > $$ > \begin{array}{c|cc} > \text{ajuinen} & 3 & \rightarrow & 6 \\ > \text{potten soep} & 1 & \rightarrow & 2 \\ > \end{array} > $$ > (Oplossingsmethodes: Via de 1-1 relatie of via het tellen.) ### 2.4 Praktische toepassingen en stimulansen bij 5-jarigen (3e kleuterklas) * **Bus stop (+ opdracht)** * **Onder welke kokosnoot? (+ doelen aanvinken)** * **Doosjes openen (+ doelen aanvinken)** * **Eén meer nemen (één minder nemen)** * **Splitsen met rekenfiches** * **Extra uitdaging: spelletjes met cijferdobbelsteen** (indien getalbeelden goed beheerst). * **Tip**: Zorg voor een ondersteunende werkkaart bij een spel voor kleuters die de cijfers nog niet kennen. * **Extra uitdaging: spelletjes met 2 dobbelstenen (samenvoegen)** * "Hoeveel heb je gegooid?" * "Hoeveel is het samen?" * **Opgelet**: Start met 2 dobbelstenen tot 3. * **Met dominobeelden (tellen)** * **Met cijfer- en dominobeelddobbelsteen (doortellen)** * **Moeilijker met 2 cijferdobbelstenen** * **Bus Stop** * **In de zak / uit de zak** --- # Oplossingsmethoden en werkcontexten voor rekenhandelingen Dit onderdeel bespreekt de diverse manieren waarop kleuters rekenkundige bewerkingen oplossen en de praktische werkcontexten waarin deze vaardigheden worden geoefend. ### 3.1 Gevoel voor optellen en aftrekken Het gevoel voor optellen en aftrekken ontwikkelt zich bij jonge kinderen, vaak al tussen 1 en 2 jaar oud. Het omvat het aanvoelen dat een hoeveelheid groter wordt wanneer er iets wordt bijgevoegd, en kleiner wanneer er iets wordt weggenomen. ### 3.2 Soorten rekenhandelingen en leeftijdsindicaties Kleuters kunnen al vroeg kennismaken met diverse rekenhandelingen. De volgende indicaties geven aan wanneer deze bewerkingen typisch aan bod komen, met de kanttekening dat bij vierjarigen, mits ingebed in vertrouwde contexten met kleine aantallen tot vijf en concreet materiaal, deze ook al geïntroduceerd kunnen worden: * **Optellen en aftrekken:** Vanaf 4 jaar, met een bredere toepassing bij 5-6 jaar. * **Splitsen:** Vanaf 4 jaar, met een bredere toepassing bij 5-6 jaar. * **Vermenigvuldigen:** Vanaf 4 jaar, met een bredere toepassing bij 5-6 jaar. * **Delen:** Vanaf 4 jaar, met een bredere toepassing bij 5-6 jaar. * **Breuken en verhoudingen:** Vanaf 5-6 jaar. Deze rekenhandelingen kunnen vanuit verschillende perspectieven benaderd worden: * Als oorzaak-verandering. * Als combinatie. * Als vergelijking. #### 3.2.1 Optellen en aftrekken als oorzaak-verandering Dit betreft veranderingssituaties waarbij de hoeveelheid verandert door een toevoeging of wegneming. * **Verwoording bij kleuters:** "Er komen erbij", "Er gaan er weg". * **Bewerking (1e leerjaar):** Gevolgen van een verandering op een hoeveelheid. #### 3.2.2 Optellen en aftrekken als combinatie Hierbij worden twee of meer afzonderlijke hoeveelheden samengevoegd tot één grotere hoeveelheid, of wordt een grotere hoeveelheid opgesplitst in kleinere delen. * **Verwoording bij kleuters:** "Samen met", "Hoeveel is dat in totaal?". * **Bewerking (1e leerjaar):** Samenvoegen van afzonderlijke hoeveelheden. #### 3.2.3 Optellen en aftrekken als vergelijking Dit aspect richt zich op het vergelijken van twee hoeveelheden. * **Vergelijking: Evenveel maken:** Het aanpassen van de ene hoeveelheid zodat deze gelijk is aan de andere. * **Verwoording bij kleuters:** "Hoeveel moet erbij om evenveel te hebben?", "Hoeveel moet er weg om evenveel te hebben?". * **Bewerking (1e leerjaar):** Het verschil tussen twee aantallen vaststellen om ze gelijk te maken. * **Vergelijking: Hoeveel meer/hoeveel minder:** Het bepalen van het verschil tussen twee bestaande hoeveelheden. * **Verwoording bij kleuters:** "Hoeveel meer heeft de ene?", "Hoeveel minder heeft de andere?". * **Bewerking (1e leerjaar):** Het verschil tussen twee aantallen berekenen. * **Vergelijking: X meer/minder nemen:** Het systematisch vergroten of verkleinen van een hoeveelheid met een bepaald aantal. * **Verwoording bij kleuters:** "Neem er twee bij", "Doe er één weg". * **Bewerking (1e leerjaar):** Het aantal verhogen of verlagen met een specifiek aantal. ### 3.3 Splitsen van een aantal Het splitsen van getallen houdt in dat een getal wordt verdeeld in twee of meer delen. Kinderen kunnen dit oplossen door te tellen (tellend splitsen) of uit hun hoofd (automatisch splitsen). Bij kleuters wordt voornamelijk gefocust op het splitsen in twee delen. * **Verwoording bij kleuters:** "Hoe kan je dit maken?", "Met welke twee getallen kan je dit maken?". * **Bewerking (1e leerjaar):** Een getal ontbinden in twee componenten. Er zijn diverse materialen en werkvormen om splitsen te oefenen: * **Splitsbuis/Splitsmachine:** Een hulpmiddel om getallen in twee delen te scheiden. * **Werkkaarten:** Om de splitsing visueel of notatief vast te leggen. * **Minder voorgestructureerde materialen:** Splitsdoos, splitsmolen, splitsfles. #### 3.3.1 Expliciete instructie bij splitsen Een effectieve aanpak om het splitsen aan te leren omvat duidelijke stappen van expliciete instructie, waarbij doelen, minimumdoelen en kernwoorden helder zijn geformuleerd en de lesopbouw gestructureerd verloopt. ### 3.4 Vermenigvuldigen als keerhandeling Vermenigvuldigen wordt als een herhaalde optelling begrepen, waarbij een bepaald aantal groepen met een gelijke inhoud wordt samengevoegd. * **Verwoording bij kleuters:** "Groepen van", "Hoeveel in totaal als je ... groepen hebt van ...?". * **Bewerking (2e leerjaar):** Het herhaald optellen van een getal. ### 3.5 Delen als verdelingsdeling Bij delen gaat het om het verdelen van een totale hoeveelheid in gelijke groepen, of het bepalen hoeveel groepen van een bepaalde grootte er in een totaal passen. * **Verwoording bij kleuters:** "Verdeel eerlijk", "Hoeveel krijgt iedereen?", "Hoeveel groepjes kan je maken?". * **Bewerking (2e leerjaar):** Het verdelen van een hoeveelheid in gelijke delen. ### 3.6 Breuken en verhoudingen Oudere kleuters kunnen kennismaken met breuken zoals $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{4}$ door middel van handelend leren met materialen. Dit kan betekenisvol worden aangeboden in contexten die verhoudingen behandelen, zoals een "één tot veel" verhouding. * **Voorbeeld:** "Voor één pot soep hebben we 3 ajuinen nodig. We maken twee potten soep. Hoeveel ajuinen hebben we nodig?" (Dit leidt tot de inzet van vermenigvuldigen of een schaalvergroting: $1 \xrightarrow{\times 2} 2$ en $3 \xrightarrow{\times 2} 6$). #### 3.6.1 Oplossingsmethodes bij verhoudingen Kleuters kunnen verhoudingsvraagstukken oplossen via twee methodes: * **Via de 1-1 relatie:** Het direct koppelen van de ene hoeveelheid aan de andere. * **Via het tellen:** Het herhaald optellen of een andere telstrategie toepassen. ### 3.7 Oplossingsmethoden van kleuters voor rekenhandelingen Kleuters zetten diverse strategieën in om rekenopgaven op te lossen. Hieronder enkele voorbeelden met de bijbehorende bewerking en oplossingsmethode: * **Oefening 1:** "Hoeveel wortels moet je toevoegen om er evenveel te hebben als Kato?" * **Bewerking:** Aftrekken (verschil bepalen om gelijk te maken). * **Oplossingsmethode:** Visueel vergelijken en tellen van het verschil. * **Oefening 2:** Kleuters spelen winkeltje en kopen blokken van 3 dollars en 2 dollars. * **Bewerking:** Optellen (samenvoegen). * **Oplossingsmethode:** Concrete munten tellen. * **Oefening 3:** Een konijn heeft drie wortels en krijgt er twee bij. Kobe telt verder vanaf drie: "Vier, vijf. Konijn heeft er nu vijf!" * **Bewerking:** Optellen (oorzaak-verandering). * **Oplossingsmethode:** Doortellen vanaf het startgetal. * **Oefening 4:** Sara verdeelt 9 kaarten over drie spelers door iedereen om de beurt een kaart te geven. * **Bewerking:** Delen (verdelingsdeling). * **Oplossingsmethode:** Verdelen in groepjes door middel van een 1-op-1 verdeling. ### 3.8 Werkcontexten en werkvormen voor rekenhandelingen Verschillende werkcontexten en werkvormen stimuleren het oefenen van rekenhandelingen: #### 3.8.1 Werken met dobbelstenen * **Optellen als combinatie met dobbelstenen:** Kinderen gooien twee dobbelstenen en tellen het totaal aantal ogen. Ze kunnen dit registreren op een werkkaart. * **Optellen als combinatie via werpspel (pittenzakjes):** Een mat is verdeeld in zones met punten (1, 2, 3). Kinderen gooien pittenzakjes en tellen hun punten op. Impulsen kunnen gericht zijn op het benoemen van de getallen en de som. Kinderen kunnen hun punten bijhouden op een werkkaart. #### 3.8.2 Kegelspel Dit spel kan worden ingezet om het splitsen te oefenen. Kinderen gooien met een bal naar kegels en noteren hoe de omgevallen kegels verdeeld kunnen worden (bv. hoeveel vielen er om, hoeveel bleven staan). Impulsen kunnen gericht zijn op het benoemen van de getallen en de relatie daartussen. #### 3.8.3 Winkelspel Dit spel biedt diverse mogelijkheden voor rekenhandelingen: * **Delen als verdelingsdeling:** Kinderen moeten een bepaalde hoeveelheid goederen eerlijk verdelen onder medespelers (bv. 12 koekjes verdelen over 3 kinderen). * **Samenvoegen (optellen):** Kinderen kopen meerdere artikelen met verschillende prijzen en moeten het totaalbedrag berekenen. * **Verminderen (aftrekken):** Kinderen betalen met een groter bedrag dan de prijs van het artikel en moeten wisselgeld berekenen. #### 3.8.4 Praktijkvoorbeelden voor 5-jarigen * **Bus stop:** Een spel waarbij kinderen 'in' en 'uit' de bus stappen, wat optellen en aftrekken illustreert. * **Onder welke kokosnoot?:** Een spel dat gericht kan zijn op diverse rekenconcepten, afhankelijk van de uitwerking. * **Doosjes openen:** Kan gebruikt worden om getallen te splitsen of te combineren. * **Eén meer nemen (één minder nemen):** Een eenvoudige context om de effecten van optellen en aftrekken met 1 te ervaren. * **Splitsen met rekenfiches:** Kinderen verdelen een bepaald aantal fiches over twee bakjes. #### 3.8.5 Extra uitdaging en ondersteuning * **Spelletjes met cijferdobbelsteen:** Ondersteuning met werkkaarten voor kinderen die de cijfers nog niet kennen, maar wel het getalbeeld beheersen. * **Spelletjes met 2 dobbelstenen (samenvoegen):** Starten met dobbelstenen tot 3, en dan uitbreiden. Vragen als "Hoeveel heb je gegooid?" en "Hoeveel is het samen?" stimuleren het optellen. * **Dominobeelden (tellen):** Gebruikmaken van de herkenbare patronen op dominostenen om te tellen. * **Cijfer- en dominobeeelddobbelsteen (doortellen):** Combineren van abstracte cijfers met concrete beelden om door te tellen. * **Moeilijker met 2 cijferdobbelstenen:** Verhoogt de complexiteit van het optellen. * **"In de zak / uit de zak":** Een variant van het bus stop spel, gericht op het veranderen van hoeveelheden. > **Tip:** Bij het aanbieden van rekenhandelingen is het cruciaal om te starten met kleine aantallen, veelvuldig gebruik te maken van concreet materiaal en de contexten te verbinden met de belevingswereld van de kleuters. Het stellen van open vragen stimuleert het denkproces en de ontwikkeling van diverse oplossingsstrategieën. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Rekenhandelingen | Het oplossen van problemen en leersituaties door middel van bewerkingen en het gebruik van concrete materialen, vaak met kleine aantallen. | | Gevoel voor optellen en aftrekken | Het intuïtief aanvoelen dat de hoeveelheid toeneemt wanneer er iets bijkomt en afneemt wanneer er iets wordt weggenomen, meestal ontwikkeld tussen 1 en 2 jaar. | | Splitsen van getallen | Het verdelen van een hoeveelheid of getal in twee of meer delen, wat door kinderen op verschillende manieren kan gebeuren, zoals tellend of uit het hoofd. | | Vermenigvuldigen als keerhandeling | Een rekenkundige bewerking die het herhaald optellen van hetzelfde getal voorstelt, vaak geïntroduceerd als een ‘keer’ situatie. | | Delen als verdelingsdeling | Een rekenkundige bewerking waarbij een hoeveelheid gelijkmatig over een bepaald aantal groepen of personen wordt verdeeld. | | Breuken | Een deel van een geheel, waarbij een breuk wordt voorgesteld door een teller en een noemer die aangeven hoeveel delen er zijn en hoeveel van die delen worden beschouwd. | | Verhoudingen | De relatie tussen twee of meer hoeveelheden, zoals een één-op-veel verhouding, waarbij een gegeven aantal van het ene kan worden omgezet naar een ander aantal van het andere. | | Optellen als combinatie | Een situatie waarin twee afzonderlijke hoeveelheden worden samengevoegd tot één grotere hoeveelheid, zonder dat er sprake is van een verandering over tijd. | | Aftrekken als combinatie | Het bepalen van de totale hoeveelheid wanneer twee aparte hoeveelheden bekend zijn, of het bepalen van een deel wanneer het totaal en het andere deel bekend zijn. | | Optellen en aftrekken als vergelijking | Situaties waarin twee hoeveelheden met elkaar worden vergeleken om het verschil te bepalen, zoals hoeveel meer of minder er is. | | Tellend splitsen | Een methode om getallen te splitsen waarbij kinderen letterlijk de objecten of de stappen tellen om tot de delen te komen. | | Automatisch splitsen | Het vermogen om splitsingen van getallen direct uit het geheugen op te roepen, zonder te hoeven tellen. | | Expliciete instructie | Een gestructureerde en doelgerichte onderwijsmethode die stapsgewijze uitleg, demonstratie en begeleide oefening omvat om een vaardigheid of concept aan te leren. |

# Ontwikkeling van maatbegrip bij kleuters De ontwikkeling van maatbegrip bij kleuters beschrijft de evolutie van het begrijpen van verschillende grootheden, beginnend bij het verkennen van tastbare eigenschappen tot het kwantitatief meten met niet-standaard eenheden, waarbij een verschuiving plaatsvindt van een egocentrische, zintuiglijke beleving naar een meer objectieve benadering. ### 1.1 Wat is meten en metend rekenen? Meten is het vaststellen van een grootheid door te bepalen hoe vaak een bepaalde eenheid erin past. Voor kleuters begint dit proces niet met abstracte standaardeenheden, maar met concrete, zintuiglijke ervaringen zoals kijken, voelen en vergelijken. Gaandeweg evolueren ze van een subjectieve beleving naar een objectieve aanpak, waarbij ze leren meten met zelfgekozen of niet-standaard eenheden. Metend rekenen bouwt hierop voort door te redeneren en rekenen met deze maateenheden, bijvoorbeeld door vergelijkingen te maken, hoeveelheden samen te stellen of verschillen vast te stellen. > **Tip:** Het is cruciaal om de juiste wiskundetaal consequent te gebruiken, zowel voor de leerkracht als voor de kleuters, om misconcepties te voorkomen. ### 1.2 Maatbegrip Maatbegrip, net als getalbegrip, is fundamenteel voor de wiskundige ontwikkeling van jonge kinderen. Het betekent begrijpen dat meetresultaten afhankelijk zijn van zowel de te meten eigenschap (lengte, inhoud, massa, tijd, geld) als de gebruikte maateenheid (zelfgekozen, natuurlijk of standaard). Kleuters ontdekken dat kleinere maateenheden een groter maatgetal opleveren en grotere maateenheden een kleiner maatgetal, wat aangeeft dat het meetresultaat afhangt van de keuze van de maateenheid. ### 1.3 De ontwikkeling van meten in vier fasen De ontwikkeling van meten volgt een logische opbouw, waarbij kleuters evolueren van een egocentrische, zintuiglijke beleving naar een objectieve, kwantitatieve benadering met niet-standaard eenheden. Deze ontwikkeling doorloopt vier fasen, die voor alle grootheden vergelijkbaar zijn: #### 1.3.1 Fase 1: Verkennen van eigenschappen In deze fase ontdekken kleuters eigenschappen van voorwerpen via zintuiglijke ervaringen. De leerkracht introduceert de bijbehorende wiskundetaal om de woordenschat voor het benoemen van eigenschappen op te bouwen. * **Voorbeeld:** De leerkracht voorziet korte en lange linten en benoemt de zwaarte van een doos die de kleuters optillen. #### 1.3.2 Fase 2: Vergelijken Kleuters vergelijken twee objecten met eenzelfde eigenschap (bv. groot-klein, lang-kort, zwaar-licht). Deze vergelijking is direct en perceptueel, waarbij objecten naast elkaar gehouden worden om de tegenstelling te zien. Er is nog geen sprake van een tussenliggende maat. * **Voorbeeld:** Een leerkracht vergelijkt een lang met een kort lint. Kleuters voelen en leggen linten naast elkaar om te bepalen welk kort en welk lang is. > **Tip:** Zorg ervoor dat de tegenstellingen duidelijk zichtbaar zijn voor jonge kleuters. Een lang lint moet echt lang zijn ten opzichte van een kort lint. #### 1.3.3 Fase 3: Kwalitatief meten, ordenen en seriëren Kleuters worden vaardiger in het vergelijken en kunnen nu meerdere objecten ordenen en seriëren op basis van een eigenschap. Dit vereist een systematische aanpak. Ook indirect vergelijken wordt mogelijk. * **Voorbeeld:** Lintjes worden gesorteerd van kort naar lang (kort-korter-kortste, lang-langer-langste). Flessen worden van leeg naar vol geordend. Stenen worden van zwaar naar licht gesorteerd. Bij het vergelijken van dozen met blokken wordt gekeken of de inhoud van de ene doos in de andere past. #### 1.3.4 Fase 4: Kwantitatief meten Dit is de fase waarin een getalwaarde aan een grootheid wordt toegekend met behulp van niet-standaard, zelfgekozen maateenheden. Kleuters ontdekken dat een afmeting kan worden uitgedrukt in een getal en zien de noodzaak van meting. * **Voorbeeld:** Een lint wordt gemeten met blokjes; het lint is 8 blokjes lang. De hoogte van een toren wordt bepaald door het aantal blokken te tellen. ### 1.4 Het principe van conservatie Conservatie is het fundamentele inzicht dat een grootheid gelijk blijft ondanks veranderingen in vorm, positie of uiterlijk. Dit begrip ontwikkelt zich geleidelijk en is essentieel voor een echt begrip van meten. * **Voorbeeld:** Een opgerold lint is even lang als een uitgerold lint. Een bol klei blijft even zwaar, ook als deze wordt platgedrukt. ### 1.5 Meten van lineaire grootheden Lineaire grootheden omvatten eigenschappen die in één dimensie gemeten worden, zoals lengte, hoogte, breedte, diepte, dikte en afstand. Deze zijn tastbaar en zichtbaar voor kleuters. * **Wiskundetaal:** lang-kort, hoog-laag, ver-dichtbij, breed-smal, dik-dun, diep-ondiep, langer-korter, hoger-lager, breder-smaller, dikker-dunner, dieper-ondieper, langst-kortst, hoogst-laagst, breedst-smalst, dikst-dunst, diepst-ondiepst. De ontwikkeling verloopt via de vier fasen: verkennen van eigenschappen (fysieke ervaring, koppelen aan taal), vergelijken (objecten naast elkaar, uitbreiding met vergrotende trap), ordenen en kwalitatief meten (meer dan twee objecten, overtreffende trap, indirect vergelijken met hulpmiddelen) en kwantitatief meten (toekennen van getalwaarde met niet-standaard maateenheden, belang van dezelfde maateenheid). ### 1.6 Meten van oppervlakte Oppervlakte meten betreft twee dimensies (2D): lengte en breedte. Voor kleuters gaat het om het begrijpen hoeveel van een zelfgekozen maateenheid op een plat vlak past of hoeveel ruimte iets inneemt. * **Wiskundetaal:** groot-klein, groter-kleiner, grootst-kleinst, groter dan, kleiner dan, bedekken, passen, past erop, past er niet op, meten, oppervlak, even groot als, te klein, te groot, hoe groot, hoeveel past erop. De ontwikkeling verloopt via: verkennen van eigenschappen (zintuiglijke ervaringen met vlakken), vergelijken (objecten op elkaar leggen), ordenen en kwalitatief meten (ordenen van groot naar klein, indirect meten met hulpmiddelen) en kwantitatief meten (tellen van maateenheden die het oppervlak bedekken, met de voorwaarde dat maateenheden aaneengesloten, zonder overlappingen en van gelijke grootte zijn). **Conservatie van oppervlakte** is het inzicht dat de oppervlakte gelijk blijft, ongeacht vormverandering, zolang er niets wordt toegevoegd of weggenomen. ### 1.7 Meten van volume Volume betreft de ruimte die een voorwerp inneemt (3D). Kleuters ervaren volume als de uitwendige grootte van voorwerpen, wat concreet wordt bij spel met bouwmaterialen. * **Wiskundetaal:** groot-groter-grootst, klein-kleiner-kleinst, groter dan, kleiner dan, even groot als, neemt meer plaats in, neemt minder plaats in, past erin, past er niet in. De ontwikkeling omvat: verkennen van eigenschappen (tillen, steken, plaatsen, begrippen groot-klein), vergelijken (objecten naast elkaar en in elkaar, groter/kleiner dan), ordenen en kwalitatief meten (logische volgorde, gebruik van vergelijkende taal, begrippen 'past erin' en 'past er niet in', gebruik van een maateenheid zonder te tellen) en kwantitatief meten (gebruik van inhoud als een didactische omweg om volume te kwantificeren door te vullen). **Conservatie van volume** is cognitief complex en wordt pas veel later begrepen. ### 1.8 Meten van inhoud Inhoud gaat over wat en hoeveel er in een hol object past. Kleuters ervaren dit door fysieke handelingen met vullen, ledigen en scheppen. * **Wiskundetaal:** vol-leeg-halfvol-voller-volste, veel-weinig, er kan meer in, er kan minder in, erin, eruit, evenveel in, vullen, leeg gieten/maken, het minste in, het meeste in, er kan nog bij, er kan niets meer bij. De ontwikkeling omvat: verkennen van eigenschappen (vullen met vormloos en vormgebonden materiaal, begrippen vol-leeg), vergelijken (inzicht in 'er kan meer in', 'er kan minder in', 'evenveel in', verwoorden van verschillen), ordenen en kwalitatief meten (ordenen van vol naar leeg of omgekeerd, gebruik van maateenheid zonder te tellen) en kwantitatief meten (bepalen van de hoeveelheid met een zelfgekozen maateenheid door te tellen). ### 1.9 Meten van massa Massa meten gaat over het vergelijken van hoe zwaar voorwerpen zijn. De correcte term is massa (hoeveelheid materie), hoewel 'gewicht' gangbaar is. Een balans is een nuttig instrument. * **Wiskundetaal:** zwaar-licht, zwaarder-lichter, zwaarst-lichtst, even zwaar-even licht, meer wegen-minder wegen, is even zwaar als, is zwaarder dan, is lichter dan, in evenwicht. De ontwikkeling omvat: verkennen van eigenschappen (tillen, sleuren, heffen, begrip 'zwaar' en 'licht'), vergelijken (met een duidelijk verschil, gebruik van balans), ordenen en kwalitatief meten (ordenen van zwaar naar licht met balans, gebruik van zelfgekozen maateenheden om balans in evenwicht te brengen) en kwantitatief meten (uitdrukken van massa in een getal met behulp van een balans en niet-standaard maateenheden, belang van zorgvuldige keuze van maateenheden). ### 1.10 Meten van tijd Tijd is voor kleuters geen objectieve grootheid, maar een gevoelde werkelijkheid gekoppeld aan routines, emoties en cyclische herhaling. Het gaat om tijdsbesef (ordenen, benoemen, cyclische patronen), tijdsduur (voelen en meten hoe lang iets duurt) en tijdstip (herkennen van specifieke momenten). #### 1.10.1 Tijdsbesef Dit is het natuurlijke vermogen om tijd te ervaren, ordenen en benoemen via routines, herhaling en cyclische patronen. Het gaat om ritme, voorspelbaarheid, en het herkennen van verleden, heden en toekomst. De ontwikkeling verloopt via: verkennen van de opeenvolging van gebeurtenissen (dagritme), beginnend besef van opeenvolging (vaststaande momenten, 'straks' in directe context), verkennen van cyclische tijd (dagen van de week, koppelen aan activiteiten, cyclische karakter van een week) en begrijpen van cycli in de tijd (correcte plaatsing van gebeurtenissen, herhaling van cycli). #### 1.10.2 Tijdstip Dit is het moment waarop iets gebeurt, gekoppeld aan concrete ervaringen en dagdelen, niet aan kloklezen. Het draagt bij aan structuur, veiligheid en sociale competentie. De ontwikkeling verloopt via: eerste besef van vaste momenten (koppelen aan signalen), dagdelen herkennen en benoemen (koppelen aan activiteiten, bv. ochtend = ontbijt), dagdelen verfijnen en benoemen (splitsen in voormiddag/namiddag) en het concept 'op tijd zijn' begrijpen (begrippen te laat, te vroeg, op tijd in sociale context). #### 1.10.3 Tijdsduur Dit gaat over het ervaren, vergelijken en meten van de lengte van activiteiten. De ontwikkeling verloopt via: subjectief ervaren (leuk = kort, saai = lang), tijdsduur onderscheiden (subjectief verschil), tijdsduur vergelijken (intuïtief voelen, visuele hulpmiddelen zoals zandloper) en tijdsduur meten met een meetinstrument (stellen van de duur vast met zandlopers, kennis maken met standaardeenheden zoals minuten). ### 1.11 Geld Geld is een abstract begrip voor kleuters, een middel met waarde om goederen en diensten te kopen. Ze leren dat het cijfer op een munt of biljet de waarde aangeeft. De ontwikkeling verloopt via: kennismaken met geld (kopen, betalen, ruilen, principe geven-krijgen), betalen met munten van 1 euro (1 object = 1 munt, proces automatiseren), en betalen met meerdere munten (herkennen van prijzen, tellen van munten, budgetbeheer, concepten goedkoop/duur en sparen). --- # Meten van verschillende grootheden Dit hoofdstuk bespreekt het proces van meten en metend rekenen bij kleuters, waarbij de nadruk ligt op de ontwikkeling van maatbegrip en de verschillende meetfasen voor lineaire grootheden, oppervlakte, volume, inhoud, massa en tijd. ### 2.1 Wat is meten en metend rekenen? Meten is het vaststellen van een grootheid door te vergelijken met een eenheid. Metend rekenen gaat een stap verder door te redeneren en te rekenen met maateenheden. Voor kleuters begint dit proces met concrete, zintuiglijke ervaringen en evolueert naar het gebruik van niet-standaard en later standaard maateenheden. Het correcte gebruik van wiskundetaal is hierbij essentieel. #### 2.1.1 Maatbegrip Maatbegrip houdt in dat kleuters begrijpen dat meetresultaten afhankelijk zijn van de gemeten eigenschap en de gebruikte maateenheid. Ze leren dat kleinere maateenheden een groter maatgetal opleveren en grotere maateenheden een kleiner maatgetal. #### 2.1.2 Basisbegrippen De ontwikkeling van maatbegrip doorloopt vier fasen: 1. **Verkennen van eigenschappen:** Zintuiglijke ervaringen met begrippen als lang, kort, zwaar, licht, vol, leeg. 2. **Vergelijken:** Directe vergelijking van twee objecten op basis van eenzelfde eigenschap, zoals lang versus kort. 3. **Kwalitatief meten, ordenen en seriëren:** Systematisch vergelijken van meerdere objecten om ze op volgorde te zetten, van bijvoorbeeld leeg naar vol, of van licht naar zwaar. Dit omvat ook indirect vergelijken met hulpmiddelen. 4. **Kwantitatief meten:** Toekennen van een getalswaarde aan een grootheid met behulp van een niet-standaard maateenheid. #### 2.1.3 Het principe van conservatie Conservatie is het inzicht dat een grootheid gelijk blijft ondanks veranderingen in vorm, positie of uiterlijk. Dit begrip is cruciaal voor een diepgaand begrip van meten. > **Tip:** Het begrip conservatie ontwikkelt zich geleidelijk en is complex voor jonge kinderen. Het is belangrijk dit te illustreren met concrete voorbeelden. ### 2.2 Meten van lineaire grootheden Lineaire grootheden meten eigenschappen in één dimensie, zoals lengte, hoogte, breedte, diepte, dikte en afstand. #### 2.2.1 Basisbegrippen * **Lineaire Grootheid:** Een grootheid die in één dimensie wordt uitgedrukt. De ontwikkeling volgt de algemene fasen: verkennen, vergelijken, ordenen/kwalitatief meten en kwantitatief meten. * **Verkennen van eigenschappen:** Fysieke ervaringen met begrippen zoals lang, kort, hoog, laag, breed, smal, dik, dun, diep. * **Vergelijken:** Twee objecten direct vergelijken, waarbij de tegenstelling duidelijk zichtbaar is. Taalgebruik breidt zich uit met de vergrotende trap (langer, korter). * **Ordenen en kwalitatief meten:** Systematisch meer dan twee objecten ordenen op basis van een eigenschap (langer-kort, hoog-laag). Hierbij kan een hulpmiddel gebruikt worden zonder getallen. * **Kwantitatief meten:** Een getalwaarde toekennen aan een lineaire grootheid met behulp van niet-standaard maateenheden. Het is essentieel dat dezelfde maateenheid consistent wordt gebruikt. #### 2.2.2 Voorbeelden van lineaire grootheden en wiskundetaal | Grootheid | Definitie | Wiskundetaal | Meetmateriaal | | :-------- | :---------------------------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------------------------- | | Lengte | Horizontale afstand tussen twee punten. | Lang-kort, langer-korter, langst-kortst | Linten, platte balken, latjes, meetpiertjes | | Hoogte | Verticale afstand van basis tot top. | Hoog-laag, hoger-lager, hoogst-laagst | Balken met maatverdeling, blokjes | | Breedte | Afmeting dwars op de lengte. | Breed-smal, breder-smaller, breedst-smalst | Platte balken, latjes | | Dikte | Afmeting tussen boven- en onderkant. | Dik-dun, dikker-dunner, dikst-dunst | Linten, latjes | | Diepte | Afstand naar beneden of naar binnen. | Diep-ondiep, dieper-ondieper, diepst-ondiepst | Zie hoogte | | Afstand | Ruimte tussen twee punten of objecten. | Ver-dichtbij, verder-dichterbij, het verste | Zie lengte | #### 2.2.3 Maateenheden en meetresultaten | MAATEENHEID | MEETRESULTAAT (voor een lint) | | :------------ | :---------------------------- | | Grote blokken | 4 blokken lang | | Kleine blokken| 8 blokken lang | Dit illustreert hoe de keuze van de maateenheid het meetresultaat beïnvloedt. ### 2.3 Meten van oppervlakte Oppervlakte meten gebeurt in twee dimensies (2D) en betreft de hoeveelheid ruimte die een plat vlak inneemt. #### 2.3.1 Basisbegrippen * **Oppervlakte:** De hoeveelheid ruimte die iets inneemt op een plat vlak. * **Oppervlak:** De buitenste of bovenste laag van iets. Kleuters leren dat een oppervlak groter of kleiner is en bedekt kan worden met maateenheden. De wiskundetaal omvat begrippen als groot-klein, bedekken, passen, hoeveel past erop. De ontwikkeling verloopt via: 1. **Verkennen van eigenschappen:** Zintuiglijke en motorische ervaringen met vlakken (bv. schilderen, tafelkleden leggen). 2. **Vergelijken:** Objecten op elkaar leggen om direct te zien welk vlak groter of kleiner is. 3. **Ordenen en kwalitatief meten:** Meer dan twee oppervlaktes ordenen van groot naar klein of omgekeerd. Hierbij kan een maateenheid gebruikt worden zonder te tellen. 4. **Kwantitatief meten:** De oppervlakte meten door te tellen hoeveel van een zelfgekozen maateenheid (bv. vierkante plaatjes) er precies op passen. De maateenheden moeten tegen elkaar gelegd worden zonder overlappingen en van gelijke grootte zijn. #### 2.3.2 Conservatie van oppervlakte Conservatie van oppervlakte is het inzicht dat de oppervlakte gelijk blijft, zelfs als de vorm verandert, mits niets wordt toegevoegd of weggenomen. Dit begrip ontstaat wanneer kinderen zien dat verschillende vormen met een gelijk aantal maateenheden bedekt kunnen worden. ### 2.4 Meten van volume Volume is een grootheid in drie dimensies (3D) en betreft de ruimte die een voorwerp inneemt. #### 2.4.1 Basisbegrippen * **Volume:** De hoeveelheid ruimte die een vast voorwerp inneemt (buitenruimte). Kleuters ervaren volume concreet door te spelen met bouwmaterialen en dozen. De wiskundetaal omvat begrippen als groot-groter-grootst, neemt meer plaats in, past erin. De ontwikkeling verloopt via: 1. **Verkennen van eigenschappen:** Zintuiglijke ervaringen (bv. tillen, objecten in elkaar steken). 2. **Vergelijken:** Objecten naast en in elkaar plaatsen om te zien welke meer plaats innemen. 3. **Ordenen en kwalitatief meten:** Objecten logisch rangschikken (bv. van klein naar groot). Het begrip 'past erin' wordt hierbij belangrijk. Een maateenheid kan gebruikt worden om vergelijkingsresultaten te bepalen zonder te tellen. 4. **Kwantitatief meten:** Dit is abstract voor kleuters. De praktijk is om holle objecten te vullen met maateenheden (bv. kubussen) om zo de inhoud te meten, wat indirect iets zegt over het volume van het omringende object. Dit is een didactische 'omweg'. Conservatie van volume is cognitief complex en ontwikkelt zich pas later. ### 2.5 Meten van inhoud Inhoud betreft wat en hoeveel er in een hol object kan, waarbij de substantie de vorm al dan niet aanneemt. #### 2.5.1 Basisbegrippen * **Inhoud:** De hoeveelheid die in een object past. Kleuters ervaren inhoud door te vullen, ledigen en overgieten. De wiskundetaal omvat begrippen als vol-leeg, meer-minder, vullen. De ontwikkeling verloopt via: 1. **Verkennen van eigenschappen:** Ervaringen met vullen en ledigen, waarbij de begrippen vol en leeg centraal staan. 2. **Vergelijken:** Begrippen als 'er kan meer in', 'er kan minder in', 'evenveel in' komen aan bod. 3. **Ordenen en kwalitatief meten:** Objecten ordenen van vol naar leeg of omgekeerd. Kwalitatief meten gebeurt met een maateenheid zonder na te gaan hoeveel. 4. **Kwantitatief meten:** De hoeveelheid inhoud bepalen door te tellen hoe vaak een zelfgekozen maateenheid erin past. ### 2.6 Meten van massa Massa gaat over hoe zwaar voorwerpen zijn; het is de hoeveelheid materie in een voorwerp. #### 2.6.1 Basisbegrippen * **Massa:** De hoeveelheid materie in een voorwerp. * **Gewicht:** De kracht waarmee een voorwerp drukt. De wiskundetaal omvat zwaar-licht, zwaarder-lichter, zwaarst-lichtst, in evenwicht. De ontwikkeling verloopt via: 1. **Verkennen van eigenschappen:** Ervaringen met tillen, heffen en sleuren om het begrip 'zwaar' te ervaren. 2. **Vergelijken:** Twee objecten vergelijken op zwaarte. Een balans is een nuttig instrument om dit zichtbaar te maken. 3. **Ordenen en kwalitatief meten:** Meerdere objecten ordenen van zwaar naar licht of omgekeerd, vaak met behulp van een balans. Het belang van dezelfde maateenheid wordt benadrukt. 4. **Kwantitatief meten:** De massa uitdrukken in een bepaalde maateenheid, waarbij de balans in evenwicht wordt gebracht. De massa wordt uitgedrukt in een getal. > **Tip:** Bij het kwantitatief meten van massa is het belangrijk om zorgvuldig zelfgekozen maateenheden te kiezen die het voor kleuters mogelijk maken de balans in evenwicht te brengen. ### 2.7 Meten van tijd Tijd wordt door kleuters ervaren als een gevoelde werkelijkheid die samenhangt met routines, emoties en cyclische herhaling, niet als een abstract getal. #### 2.7.1 Tijdsbesef Tijdsbesef is het vermogen om tijd te ervaren, ordenen en benoemen via routines en cyclische patronen. Het gaat over ritme, voorspelbaarheid en het onderscheiden van verleden, heden en toekomst. **Ontwikkeling van tijdsbesef:** * **Fase 1:** Verkennen van de opeenvolging van gebeurtenissen in de dag (bv. volgen van het dagritme). * **Fase 2:** Beginnnend besef van opeenvolging, begrijpen van 'straks' in directe context. * **Fase 3:** Verkennen van cyclische tijd, zoals de dagen van de week, en het chronologisch rangschikken van minstens vier gebeurtenissen. * **Fase 4:** Begrijpen van cycli, stilaan onderscheiden van gisteren, vandaag en morgen, en het herkennen van herhalende gebeurtenissen. #### 2.7.2 Tijdstip Tijdstip is het moment waarop iets gebeurt, voornamelijk gekoppeld aan dagdelen en vaste routines. **Ontwikkeling van tijdstip:** * **Fase 1:** Eerste besef van vaste momenten via signalen (bv. opruimliedje). * **Fase 2:** Dagdelen (ochtend, middag, avond) herkennen en koppelen aan activiteiten. * **Fase 3:** Dagdelen verfijnen (voormiddag, namiddag) en benoemen. * **Fase 4:** Het sociale concept 'op tijd zijn' begrijpen, inclusief begrippen als (te) laat en (te) vroeg. #### 2.7.3 Tijdsduur Tijdsduur is hoe lang iets duurt, ervaren als subjectief lang of kort, en later meetbaar met instrumenten. **Ontwikkeling van tijdsduur:** * **Fase 1:** Subjectieve ervaring van tijdsduur (bv. leuk = kort, saai = lang). * **Fase 2:** Onderscheid maken tussen lang en kort, nog steeds subjectief. * **Fase 3:** Vergelijken van tijdsduren, vaak met visuele hulpmiddelen zoals een zandloper. * **Fase 4:** Meten van tijdsduur met een instrument, zoals een zandloper, en het koppelen aan getallen (bv. aantal zandlopers). ### 2.8 Geld Geld is een abstract middel met waarde voor het kopen van objecten en diensten. #### 2.8.1 Basisbegrippen De ontwikkeling van geldbegrip verloopt via: 1. **Kennismaken met geld:** Begrijpen van kopen, betalen, geven, krijgen, ruilen. Geld is een middel om iets te verkrijgen. 2. **Betalen met munten van één euro (1 object = 1 munt):** Eenvoudige 1-op-1 betalingen oefenen en het proces automatiseren. 3. **Betalen met munten van één euro (meerdere munten, prijzen en budget):** Prijzen herkennen, meerdere munten tellen en afgeven, eenvoudige berekeningen uitvoeren en het concept van budget en sparen begrijpen. --- **Tabel met Kernbegrippen** | Term | Definitie | | :---------------- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------- | | **Meten** | Het bepalen of vaststellen van een grootheid. | | **Grootheid** | Een meetbare eigenschap van een object. | | **Eenheid** | De maat waarmee een grootheid vergeleken of uitgedrukt wordt. | | **Niet-standaard maateenheid** | Een niet-gestandaardiseerde eenheid (bv. een potlood, schoen). | | **Standaard maateenheid** | Een algemeen erkende, wereldwijd consistente eenheid (bv. meter, liter). | | **Natuurlijke maateenheid** | Een niet-standaard eenheid uit de natuur of van het menselijk lichaam (bv. voet, handspan). | | **Zelfgekozen maateenheid** | Een niet-standaard eenheid door de leraar of het kind geselecteerd voor een specifiek meetprobleem. | | **Vergelijken** | Twee of meer objecten naast elkaar plaatsen op basis van een grootheid. | | **Kwalitatief vergelijken** | Objecten vergelijken zonder getalswaarde. | | **Kwantitatief meten** | Een getalswaarde toekennen aan een meting door te bepalen hoe vaak een maateenheid past. | | **Ordenen/seriëren** | Objecten in volgorde plaatsen op basis van één eigenschap. | | **Conservatie** | Het inzicht dat een grootheid gelijk blijft, ongeacht manipulatie, zolang niets wordt toegevoegd of weggenomen. | --- # Geldbegrip en transacties bij kleuters Kleuters maken kennis met geld als middel voor transacties, beginnend met ruilen, vervolgens betalen met één euro munten, en uiteindelijk het herkennen van prijzen, budgetteren en sparen. ### 3.1 De ontwikkeling van geldconcepten Geld is voor kleuters een abstract begrip. Ze observeren volwassenen die betalen, maar begrijpen de werking ervan niet altijd volledig. Geld wordt geleerd als een middel met een waarde om objecten en diensten te kopen. Hoewel contactloos betalen gangbaar is, behouden munten en biljetten hun functie: geld geven voor een tegenprestatie. Kleuters leren dat geld een waarde heeft, aangegeven door cijfers op munten of biljetten. Door met geld te werken, tellen ze munten, vergelijken ze prijzen en voeren ze eenvoudige rekenkundige bewerkingen uit. Het thema geld binnen meten en metend rekenen omvat: * Het begrijpen van geld als concept. * Het herkennen van munten en biljetten en het koppelen van prijzen. * Het begrijpen en hanteren van het betaalsysteem. #### 3.1.1 Fase 1: Kennismaken met geld: kopen, betalen en ruilen Kleuters maken kennis met de kernconcepten kopen, betalen, geven, krijgen, ruilen en verkopen. Ze leren dat geld een middel is om objecten te verkrijgen. De nadruk ligt op het principe van ruilen: iets geven in ruil voor iets anders. Dit vormt de basis voor het latere begrip van waarde en prijzen. Kleuters leren dat geld nodig is om iets te kopen en dat betalen een ruilhandeling is: geld geven voor een object. De specifieke waarde van het geld is in deze fase nog niet relevant; het gaat puur om het concept dat geld een middel is om iets te ontvangen. > **Voorbeeld:** De leerkracht demonstreert tijdens de instructie het principe van betalen en ruilen: "Geef een munt, krijg een blok terug." Zo ervaren kleuters het principe van geven en krijgen. De leerkracht benadrukt expliciet: "Wanneer je geld geeft, krijg je iets terug. Dit heet betalen." #### 3.1.2 Fase 2: Betalen met munten van één euro: één object = één munt In deze fase leren kleuters betalen met munten van één euro, met een focus op een eenvoudige één-op-één verhouding: één object kost één munt. Dit is een cruciale stap tussen het ruilprincipe en het latere werken met prijzen en meerdere munten. Kleuters leren dat betalen inhoudt dat je een munt weggeeft en daarvoor een object terugkrijgt. Door dit herhaaldelijk te oefenen, automatiseren zij dit proces. Prijsverschillen of het geven van meerdere munten zijn in deze fase nog niet aan de orde. De focus ligt op het tellen van munten, het uitvoeren van de betaalhandeling (één munt geven → één object krijgen) en het bijhouden van het resterende aantal munten. Deze fase legt de basis voor het werken met prijzen en budgetbeperkingen in de volgende fase. > **Voorbeeld:** De leerkracht plaatst kubussen op tafel. Elke kubus kost één euro (één munt van één euro). Kleuters krijgen drie munten van één euro. Ze kiezen een kubus, geven één munt en ontvangen de kubus. De leerkracht benoemt expliciet: "Deze kubus kost één euro. Je geeft één munt, je krijgt de kubus. Hoeveel munten heb je nog over? Kun je nog een kubus kopen?" #### 3.1.3 Fase 3: Betalen met munten van één euro: meerdere munten, prijzen en budget Kleuters leren nu prijzen herkennen en koppelen aan objecten, en meerdere munten tellen en afgeven. Bij de aankoop van meerdere objecten voeren ze eenvoudige optellingen en aftrekkingen uit. Ze ontdekken dat objecten verschillende prijzen hebben en dat ze voor duurdere objecten meer munten moeten geven en voor goedkopere objecten minder munten. Dit vereist van hen dat ze prijzen lezen (voorgesteld door een getalbeeld), het juiste aantal munten geven en berekenen hoeveel geld er overblijft na een aankoop. Hierdoor maken kleuters kennis met het concept van budget: ze beschikken over een beperkt aantal munten en moeten keuzes maken over wat ze willen kopen. Dit leidt tot wiskundig redeneren: "Als ik dit koop, hoeveel blijft er dan over? Kan ik nog iets anders kopen?" Kleuters ontdekken dat goedkope objecten meer ruimte laten voor andere aankopen, terwijl dure objecten een groter deel van hun budget opslokken. Dit is een eerste kennismaking met financiële planning en het principe van sparen. > **Voorbeeld:** De leerkracht plaatst kubussen van verschillende groottes op tafel met prijskaartjes (getalbeelden van één tot vijf euro). Kleine kubus = één euro, middelgrote kubus = drie euro, grote kubus = vijf euro. Kleuters krijgen een budget van tien munten van één euro. De leerkracht begeleidt. Kleuters ontdekken: > * Goedkope objecten laten meer geld over. > * Dure objecten kosten veel munten. > * Je kunt meer kleine kubussen kopen dan grote kubussen met hetzelfde budget. ### 3.2 Geld als concept * **Geld:** Een middel waarmee je objecten kunt kopen of verkopen. * **Waarde:** De economische betekenis of ruilkracht van een object of dienst, uitgedrukt in geld. #### 3.2.1 Leerlijnen voor geldconcepten | Niveau | Beschrijving | Wiskundetaal | Basismateriaal | | :----- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :------------------------------------------------------ | :-------------------------------------------------------------------------------- | | K1 | Kleuters kunnen de basishandelingen van geven, krijgen, betalen uitvoeren. Kleuters begrijpen dat geld het middel is om iets te ontvangen. | Kopen, betalen, geven, krijgen, ruilen, verkopen, munt, euro | Munten van één euro, kubussen 3x3x3 cm | | K2 | Kleuters kunnen een object kopen door één munt van één euro te geven. Kleuters kunnen het proces van betalen herhalen met verschillende objecten. Kleuters kunnen tellen hoeveel munten ze nog hebben na een aankoop. | Betalen, kopen, munt, euro, geven, krijgen, één euro, over hebben | Munten van één euro, kubussen 3x3x3 cm | | K3 | Kleuters kunnen prijzen tot tien euro herkennen en koppelen aan objecten. Kleuters kunnen meerdere objecten kopen binnen een budget van tien euro. Kleuters kunnen de begrippen goedkoop, duur, kost minder, kost meer toepassen. Kleuters begrijpen dat ze kunnen sparen door niet alles meteen uit te geven. | Prijs, kopen, betalen, goedkoop, duur, kost meer, kost minder, sparen, budget, euro, munten, over hebben, genoeg geld | Munten van één euro, kubussen 3x3x3 cm, kubussen van 5x5x5, kubussen van 8x8x8. Prijskaartjes met getalbeelden en/of cijferbeelden: 1-2-3 en later 1-3-5. | ### 3.3 Betalingen en budgettering Kleuters leren prijzen herkennen en koppelen aan objecten, meerdere munten tellen en afgeven. Bij de aankoop van meerdere objecten voeren ze eenvoudige optellingen en aftrekkingen uit. Ze ontdekken dat objecten verschillende prijzen hebben en dat ze voor duurdere objecten meer munten moeten geven en voor goedkopere objecten minder munten. Dit vereist van hen dat ze prijzen lezen (voorgesteld door een getalbeeld), het juiste aantal munten geven en berekenen hoeveel geld er overblijft na een aankoop. Hierdoor maken kleuters kennis met het concept van budget: ze beschikken over een beperkt aantal munten en moeten keuzes maken over wat ze willen kopen. Dit leidt tot wiskundig redeneren: "Als ik dit koop, hoeveel blijft er dan over? Kan ik nog iets anders kopen?" Kleuters ontdekken dat goedkope objecten meer ruimte laten voor andere aankopen, terwijl dure objecten een groter deel van hun budget opslokken. Dit is een eerste kennismaking met financiële planning en het principe van sparen. > **Tip:** Het gebruik van speelgoedwinkels in de klas, met echte munten (onder toezicht) en speelgoed met prijskaartjes, is een effectieve manier om deze concepten te oefenen. > **Tip:** Introduceer geleidelijk de begrippen 'budget' en 'sparen' door te praten over het kiezen van aankopen binnen een bepaald geldbedrag en het opzij leggen van geld voor toekomstige wensen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Meten | Het bepalen of vaststellen van een grootheid zoals lengte, massa, inhoud, volume, tijd, geld of oppervlakte door vergelijking met een eenheid. | | Metend rekenen | Het redeneren en rekenen met maateenheden, waarbij vergelijkingen worden gemaakt, hoeveelheden worden samengesteld of verschillen worden vastgesteld. | | Grootheid | Een meetbare eigenschap van een object, zoals lengte, massa, inhoud, volume, tijd of oppervlakte. | | Eenheid | De maat waarmee een grootheid wordt vergeleken of uitgedrukt, zoals een blokje, een lint of een standaardeenheid zoals meter. | | Niet-standaard maateenheid | Een eenheid die niet algemeen erkend of gestandaardiseerd is en kan variëren in grootte, zoals een potlood, een schoen, of een touwtje. | | Standaard maateenheid | Een algemeen erkende en nauwkeurig gedefinieerde eenheid die wereldwijd consistent is, zoals meter, liter of kilogram. | | Natuurlijke maateenheid | Een niet-standaard eenheid die afkomstig is uit de natuur of van het menselijk lichaam, zoals een voet, handspan, stap, kastanje of eikel. | | Zelfgekozen maateenheid | Een niet-standaard eenheid die de leraar of het kind zelf selecteert om een specifiek meetprobleem op te lossen. | | Vergelijken | Het naast elkaar plaatsen of tegenover elkaar zetten van twee of meer objecten op basis van een gemeenschappelijke grootheid om verschillen of overeenkomsten vast te stellen. | | Kwalitatief vergelijken | Het vergelijken van objecten op basis van een eigenschap zonder een getalswaarde te gebruiken, waarbij de nadruk ligt op de aard van de eigenschap. | | Kwantitatief meten | Het toekennen van een getalswaarde aan een meting door te bepalen hoe vaak een maateenheid in de te meten grootheid past. | | Ordenen/seriëren | Het in volgorde plaatsen van objecten op basis van één eigenschap, bijvoorbeeld van kort naar lang, of van licht naar zwaar. | | Conservatie | Het inzicht dat de grootheid van een object (zoals lengte of inhoud) onveranderd blijft, ongeacht hoe het object wordt gemanipuleerd, zolang er niets wordt toegevoegd of weggenomen. | | Lineaire grootheid | Een grootheid die in één dimensie wordt uitgedrukt, zoals lengte, hoogte, breedte, diepte, dikte en afstand. | | Oppervlakte | De hoeveelheid ruimte die iets inneemt op een plat vlak, gemeten in twee dimensies (lengte en breedte). | | Volume | De hoeveelheid ruimte die een vast voorwerp inneemt, gemeten in drie dimensies (lengte, breedte en hoogte). Het gaat over de buitenruimte die het voorwerp inneemt. | | Inhoud | De hoeveelheid die in een hol object past, zoals vloeistoffen of losse materialen. | | Massa | De hoeveelheid materie waaruit een voorwerp bestaat. De standaardmaateenheid is kilogram. | | Tijd | Een natuurkundige grootheid om aan te geven wanneer iets gebeurt en hoe lang dat duurt. Tijd maakt het mogelijk gebeurtenissen te ordenen en te meten. | | Tijdsbesef | Het natuurlijke vermogen om tijd te ervaren, te ordenen en te benoemen via routines, herhaling en cyclische patronen (dag, week, seizoen). Het gaat over het gevoel van ritme en voorspelbaarheid. | | Tijdsduur | De lengte of duur van een gebeurtenis, zoals hoe lang iets duurt. Dit kan subjectief of objectief gemeten worden. | | Tijdstip | Een specifiek moment waarop iets gebeurt, vaak gekoppeld aan dagdelen (ochtend, middag, avond) of kloktijden. | | Geld | Een middel waarmee objecten en diensten gekocht of verkocht kunnen worden, met een bepaalde waarde. | | Waarde (geld) | De economische betekenis of ruilkracht van een object of dienst, uitgedrukt in geld. |

# Basisbegrippen van meten en metend rekenen Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van meten, essentieel voor het begrijpen van kwantitatieve aspecten van de wereld om ons heen. ### 1.1 Wat is meten en metend rekenen? Meten kan worden gedefinieerd als het afpassen van een maateenheid. Dit proces stelt ons in staat om verschillende eigenschappen van objecten en verschijnselen te kwantificeren. #### 1.1.1 Meetbare grootheden Verschillende aspecten van onze omgeving kunnen worden gemeten, waaronder: * Lengte (bijvoorbeeld de lengte van een persoon) * Gewicht * Inhoud (bijvoorbeeld in liters) * Snelheid * Tijd #### 1.1.2 De noodzaak van meten Meten is cruciaal om kennis te vergaren over de fysieke wereld, wat nodig is voor zowel het begrijpen van bestaande situaties als voor het creëren van nieuwe objecten of oplossingen. Het vermogen om te meten en metend te rekenen is een vaardigheid die continu in ontwikkeling is en op het juiste moment binnen het onderwijs moet worden aangeboden. #### 1.1.3 Fasen van meten Het leerproces rond meten kan worden onderverdeeld in twee hoofdfasen: de kwalitatieve fase en de kwantitatieve fase. ##### 1.1.3.1 Kwalitatieve fase In de kwalitatieve fase ligt de nadruk op grootte-eigenschappen en het principe van conservatie. * **Kenmerken:** * Meetresultaten worden niet uitgedrukt in getallen. * Er worden geen specifieke meetinstrumenten gebruikt, maar wel hulpmiddelen. * Maatgetallen zijn afwezig. * **Voorbeelden van activiteiten:** * Vergelijken wie het grootst of kleinst is. * Bepalen wat het zwaarst of het lichtst is. * **Basisvoorwaarden (naar Piaget):** * **Omkeerbaarheidsprincipe:** De handeling om een object of eigenschap te veranderen, verandert de kenmerken ervan niet fundamenteel. Bijvoorbeeld, het verdelen van water over meerdere glazen verandert de totale hoeveelheid water niet. Men moet kunnen terugdenken naar de oorspronkelijke toestand. * **Conservatieprincipe:** Erkennen dat er niets is bijgekomen of weggegaan, waardoor de hoeveelheid of eigenschap constant blijft. Dit principe is fundamenteel voor meten en ontwikkelt zich reeds in het eerste leerjaar. * **Kwalitatief vergelijken van voorwerpen:** * Twee voorwerpen worden vergeleken op basis van een zichtbare eigenschap, zoals: "... is voller dan ...", "... is langer dan ...", "... is zwaarder dan ...". * Het is uitdagender om een volgorde te bepalen voor meer dan twee voorwerpen. Kinderen leren hierbij strategieën te ontwikkelen en toe te passen. * **Samenstellen en optellen van gelijksoortige grootheden:** * Een totale lengte, inhoud of gewicht kan worden gevormd door het samenvoegen van meerdere van dezelfde grootheden. * Voorbeeld: De breedte van een kast kan worden gemeten door de lengte van twee verschillende touwen die samen die breedte overbruggen, op te tellen. ##### 1.1.3.2 Kwantitatieve fase De kwantitatieve fase kenmerkt zich door het uitdrukken van meetresultaten in getallen. Deze fase kent twee deelfasen: * **Meten met natuurlijke maateenheden:** * Dit houdt in dat er wordt gemeten met niet-gestandaardiseerde eenheden, zoals handen, voeten of touwen. * **Gevaren:** Dit kan leiden tot verschillende meetresultaten, afhankelijk van de gebruikte 'natuurlijke' maat. Kinderen in de eerste en tweede graad ontdekken dit zelf, wat hen bewust maakt van de noodzaak van gestandaardiseerde eenheden. * Voorbeeld: Hoe vaak past de lengte van een potlood in de breedte van een deur? * **Meten met standaardmaateenheden:** * Hierbij worden internationaal afgesproken, gestandaardiseerde eenheden gebruikt. Dit zorgt voor eenduidige en vergelijkbare meetresultaten. ### 1.2 Meetinstrumenten Diverse meetinstrumenten zijn beschikbaar voor gebruik in het dagelijks leven en onderwijs, waaronder weegschalen voor gewicht en fietspompen met barometers voor druk. ### 1.3 Referentiematen Referentiematen zijn concrete voorbeelden van standaardeenheden die kinderen helpen bij het ontwikkelen van maatgevoel. Dit kunnen alledaagse objecten zijn zoals een brik melk (1 liter), een flesje Actimel (1 deciliter), of afbeeldingen van grotere hoeveelheden. > **Tip:** Het herhalen en tastbaar maken van referentiematen is cruciaal voor het inschatten van onbekende hoeveelheden. Een quiz kan helpen om de kennis van referentiematen te activeren en de noodzaak ervan voor schatten te benadrukken. ### 1.4 Herleiden Herleidingen tussen standaardeenheden en afgeleide eenheden, en tussen veelgebruikte maateenheden, worden beperkt tot maximaal drie decimalen om de complexiteit te beheersen. De uitleg van tabellen voor maateenheden is essentieel voor inzicht. ### 1.5 Grootheden en eenheden * **Definitie grootheid:** Een eigenschap die gemeten kan worden, is een grootheid. * **Soorten metingen:** * Lengtemetingen zijn voorbeelden van verhoudingsmetingen. * Temperatuurmetingen zijn voorbeelden van intervalmetingen, waarbij waarden zowel positief als negatief kunnen zijn. * Inhoudsmetingen zijn ook voorbeelden van verhoudingsmetingen. * **Kwalitatieve eigenschap:** Een eigenschap die moeilijk of niet te meten is. #### 1.5.1 Lengtematen Bij het werken met lengtematen is het belangrijk de juiste benamingen te gebruiken. Het concept 'hoogst' verwijst naar de verticale richting, wat kan contrasteren met tekeningen op een horizontaal vlak. #### 1.5.2 Oppervlakte- en landmaten Het meten van oppervlakte betreft de grootte van een tweimensionaal gebied. * **Concept:** Het verschil tussen een vierkante meter en een vierkante decimeter is factor 100. Bij het omrekenen van vierkante meter naar vierkante decimeter wordt het maatgetal 100 keer groter. * **Vorm en oppervlakte:** De vorm van een figuur is een niet-wezenlijk aspect ten opzichte van de oppervlakte. Een andere vorm kan dezelfde oppervlakte hebben. #### 1.5.3 Volume- en inhoudsmaten De leerlijn voor meten omvat zowel kwalitatieve als kwantitatieve metingen van volume en inhoud. #### 1.5.4 Gewicht/massa Dit hoofdstuk behandelt de concepten rond gewicht en massa. #### 1.5.5 Tijd Dit hoofdstuk behandelt tijdmetingen. #### 1.5.6 Hoekgrootte Dit hoofdstuk behandelt het meten van hoeken. #### 1.5.7 Gemiddelde en mediaan Concepten zoals gemiddelde en mediaan worden inductief opgebouwd, waarbij leerlingen deze zelf ontdekken. Geld wordt in de lagere school vanaf het tweede leerjaar behandeld in de context van metend rekenen. ### 1.6 Formules Formules zijn essentieel voor het berekenen van verschillende meetkundige groottes. #### 1.6.1 Omtrek Formules voor omtrek worden behandeld. #### 1.6.2 Oppervlakte Verschillende formules voor het berekenen van oppervlaktes van figuren zoals driehoeken, ruiten, trapezia, regelmatige veelhoeken en cirkels worden behandeld. Ook de oppervlakte van ruimtefiguren komt aan bod. #### 1.6.3 Volume Formules voor volume worden besproken. ### 1.7 Samengestelde grootheden Dit zijn grootheden die zijn afgeleid van andere grootheden, vaak via een verhouding. #### 1.7.1 Schaal Schaal drukt de verhouding uit tussen een getekende afstand en de werkelijke afstand. * Een schaal van 1:500 is een grotere schaal dan 1:5000, omdat $\frac{1}{500} > \frac{1}{5000}$. * Bij het omrekenen van oppervlakte of volume naar werkelijke maten op schaal, moet rekening gehouden worden met het kwadraat of de derdemacht van de schaalfactor. #### 1.7.2 Snelheid Snelheid is een samengestelde grootheid die de verhouding weergeeft tussen afgelegde afstand en tijdseenheid. De relatie tussen snelheid, afstand en tijd is cruciaal. #### 1.7.3 Massadichtheid (soortelijk gewicht) Dichtheid is de verhouding van massa ten opzichte van het volume van een stof. Concreet werken met materialen is hierbij belangrijk. #### 1.7.4 Debiet Debiet drukt de verhouding uit tussen inhoud en tijd. #### 1.7.5 Bevolkingsdichtheid Bevolkingsdichtheid is de verhouding tussen het aantal inwoners en de oppervlakte van een gebied. Dit concept kan vakoverschrijdend worden aangeboden. ### 1.8 Toepassingen Verschillende praktische toepassingen van meten en metend rekenen worden behandeld. #### 1.8.1 Bruto, netto, tarra * **Bruto:** Het totale gewicht, inclusief verpakking. * **Netto:** Het gewicht van de inhoud zelf. * **Tarra:** Het gewicht van de verpakking. #### 1.8.2 Snelheid Toepassingen van snelheidsberekeningen. #### 1.8.3 Oppervlakte Toepassingen van oppervlakteberekeningen. --- **Belangrijke concepten en termen:** * **Classificeren:** Het rubriceren of groeperen van objecten op basis van gemeenschappelijke kenmerken. * **Seriëren:** Het ordenen of rangschikken van objecten op basis van een bepaalde eigenschap, zoals grootte. * **Wezenlijke/Niet-wezenlijke aspecten:** Een wezenlijk aspect is een eigenschap die inherent is aan het object of concept (bijv. volume bepaalt de ruimte die iets inneemt). Een niet-wezenlijk aspect is een eigenschap die niet direct gerelateerd is (bijv. gewicht is niet direct bepaald door volume, denk aan materialen). * **Conservatie:** Het principe dat bepaalde eigenschappen constant blijven ondanks veranderingen in de vorm of presentatie. * **Maatgevoel:** Het vermogen om hoeveelheden en afmetingen in te schatten zonder direct te meten. Dit overzicht vormt de basis voor een dieper begrip van meten en metend rekenen, met aandacht voor zowel de theoretische concepten als de praktische didactiek ervan in het onderwijs. --- # Meetinstrumenten en referentiematen Dit onderdeel behandelt de verschillende soorten meetinstrumenten die in het dagelijks leven en op school gebruikt kunnen worden, evenals het belang en de totstandkoming van referentiematen voor de ontwikkeling van maatgevoel bij kinderen. ### 2.1 Meetinstrumenten Meetinstrumenten zijn essentieel voor het kwantificeren van grootheden. De tekst noemt enkele voorbeelden van meetinstrumenten die thuis gebruikt kunnen worden, waaronder een weegschaal voor het meten van gewicht en een fietspomp met barometer voor het meten van druk. ### 2.2 Referentiematen Referentiematen spelen een cruciale rol bij het ontwikkelen van maatgevoel bij kinderen. Het gaat hierbij om het gebruik van concrete, herkenbare objecten met een bekende maat, die als vergelijkingsbasis dienen. #### 2.2.1 Belang van referentiematen Kennis van referentiematen is noodzakelijk om de inhouden van andere recipiënten goed te kunnen schatten. Door deze referentiematen te herhalen en te bespreken, kan het maatgevoel van leerlingen worden vergroot. #### 2.2.2 Creatie en gebruik van referentiematen * **Tastbaar en hanteerbaar:** De gebruikte materialen voor referentiematen moeten tastbaar en hanteerbaar zijn voor kinderen. Dit kan door middel van een demonstratietafel of groepswerk. * **Voorbeelden van referentiematen voor inhoud:** * Een brik melk (inhoud van 1 liter). * Een actimelflesje (inhoud van 1 deciliter). * Voor grotere inhouden, zoals 100 liter of 1 000 liter, kunnen afbeeldingen gebruikt worden. * **Woordstroken:** Woordstroken met termen als "meer dan 1 l", "minder dan 1 l", "precies 1 l", "delen", "veelvouden", en "hoofdeenheid" kunnen ondersteunend gebruikt worden. #### 2.2.3 Opdrachten rond referentiematen Het maken van een overzicht van referentiematen, waarbij gebruik wordt gemaakt van 'echte' materialen en zelfgemaakte foto's, stimuleert creativiteit en relateert aan de leefwereld van kinderen. Denk hierbij aan alledaagse voorwerpen zoals blikjes frisdrank, flesjes water, melkpakken en zakjes suiker. > **Tip:** Het is effectief om een les over maatgevoel te starten met een korte quiz over referentiematen, gevolgd door een gezamenlijke bespreking om de vaststellingen te verduidelijken. ### 2.3 Fasen van meten Het proces van meten kan worden onderverdeeld in verschillende fasen, die een logische opbouw in het leerproces van kinderen weerspiegelen: #### 2.3.1 Kwalitatieve fase * **Kenmerken:** In deze fase wordt aandacht besteed aan grootte-eigenschappen en het principe van conservatie. Het meetresultaat wordt niet uitgedrukt in een getal. Er worden geen specifieke meetinstrumenten gebruikt, wel hulpmaterialen. * **Principes:** * **Omkeerbaarheidsprincipe:** Kinderen begrijpen dat bepaalde handelingen de kenmerken van een object niet veranderen. Bijvoorbeeld, het verdelen van water over verschillende glazen verandert de totale hoeveelheid water niet. * **Conservatieprincipe:** Kinderen beseffen dat er niets bijkomt of weggaat, wat essentieel is voor het begrip van meten. * **Activiteiten:** * Kwalitatief vergelijken van voorwerpen op basis van zichtbare eigenschappen (bv. "is voller dan", "is langer dan"). * Samenstellen en optellen van gelijksoortige grootheden (bv. de breedte van een kast meten met twee touwen). #### 2.3.2 Kwantitatieve fase * **Kenmerken:** Het meetresultaat wordt uitgedrukt in getallen. Deze fase kent twee deelfases: * **Meten met natuurlijke maateenheden:** Hierbij worden niet-gestandaardiseerde eenheden gebruikt, zoals de lengte van een hand of voet. Dit kan tot verschillende resultaten leiden afhankelijk van de gebruikte natuurlijke eenheid. Kinderen leren hierdoor dat meten met natuurlijke maateenheden niet altijd eerlijk of nauwkeurig is. Voorbeelden zijn het meten van de lengte van de klas met de handmaat. * **Meten met standaardmaateenheden:** Dit maakt gebruik van internationaal afgesproken eenheden (bv. meter, kilogram, liter). Dit zorgt voor eenduidige en vergelijkbare meetresultaten. ### 2.4 Grootheden en eenheden De tekst noemt de volgende grootheden die in de lagere school aan bod komen, elk met hun eigen meeteenheden: * Lengtematen (bv. meter, decimeter, centimeter) * Oppervlakte- en landmaten (bv. vierkante meter, vierkante decimeter) * Volume- en inhoudsmaten (bv. liter, kubieke meter) * Gewicht / Massa (bv. kilogram, gram) * Tijd (bv. seconden, minuten, uren) * Hoekgrootte (bv. graden) * Gemiddelde en mediaan * Samengestelde grootheden zoals schaal, snelheid, massadichtheid, debiet en bevolkingsdichtheid. Bij het omrekenen tussen standaardeenheden en afgeleide eenheden, worden kommagetallen beperkt tot drie decimalen. > **Tip:** Bij het introduceren van eenheden zoals vierkante meter, is het belangrijk de verwoording ("maatgetal wordt 100 keer groter" bij omzetting naar vierkante decimeter) te benadrukken voor een beter inzicht. #### 2.4.1 Belang van eenheden Het is essentieel dat kinderen inzicht hebben in het verband tussen verschillende maateenheden. #### 2.4.2 Formules Formules voor omtrek, oppervlakte en volume worden behandeld, met specifieke aandacht voor het afleiden ervan op een manier die geschikt is voor de lagere school. Voorbeelden zijn het afleiden van de oppervlakte van een driehoek als helft van een parallellogram of rechthoek. #### 2.4.3 Samengestelde grootheden * **Schaal:** Druk de verhouding uit tussen getekende en werkelijke afstanden. Een grotere schaal (bv. 1:500) betekent een kleinere werkelijke afstand op de kaart dan een kleinere schaal (bv. 1:5000). * **Snelheid:** De verhouding tussen afgelegde afstand en tijdseenheid. * **Massadichtheid:** De verhouding van massa ten opzichte van volume. * **Debiet:** De verhouding tussen inhoud en tijd. * **Bevolkingsdichtheid:** De verhouding tussen aantal inwoners en oppervlakte. #### 2.4.4 Toepassingen * **Bruto, netto, tarra:** Deze begrippen worden toegepast op gewichten, waarbij netto het nettogewicht (inhoud) aangeeft en tarra het gewicht van de verpakking. > **Voorbeeld:** Het concept "wezenlijk" versus "niet-wezenlijk" aspect is belangrijk. Vorm is bijvoorbeeld een niet-wezenlijk aspect van oppervlakte, omdat een figuur met een andere vorm toch dezelfde oppervlakte kan hebben. Gewicht is een niet-wezenlijk aspect van volume. --- # Grootheden, eenheden en formules Dit deel behandelt de fundamentele concepten van meten, inclusief verschillende grootheden, hun standaard- en afgeleide eenheden, en de bijbehorende formules voor omtrek, oppervlakte en volume. ## 3.1 Begrippen van meten en metend rekenen Meten is het afpassen van een maateenheid om de grootte van een eigenschap te bepalen. Het stelt ons in staat om de wereld om ons heen beter te begrijpen en te kwantificeren, wat essentieel is voor diverse toepassingen, van alledaagse taken tot wetenschappelijk onderzoek. ### 3.1.1 Fasen van meten Er worden twee hoofdfasen onderscheiden in de ontwikkeling van het begrip meten bij kinderen: * **Kwalitatieve fase:** In deze fase worden grootheden zonder getallen of meetinstrumenten vergeleken. Kinderen leren voorwerpen kwalitatief te vergelijken op basis van zichtbare eigenschappen zoals lengte, gewicht of inhoud. Belangrijke principes die hierbij een rol spelen zijn: * **Omkeerbaarheidsprincipe:** Kinderen begrijpen dat bepaalde handelingen de kenmerken van een object niet veranderen, zelfs als het uiterlijk verandert. Bijvoorbeeld, water dat van een fles naar meerdere glazen wordt verdeeld, behoudt dezelfde totale hoeveelheid. * **Conservatieprincipe:** Kinderen realiseren zich dat de hoeveelheid constant blijft als er niets wordt toegevoegd of weggenomen. Dit principe is cruciaal voor het begrip van meten. * **Vergelijken van voorwerpen:** Kinderen leren voorwerpen direct met elkaar te vergelijken op basis van een bepaalde grootheid. * **Samenstellen en optellen van gelijksoortige grootheden:** Een grotere grootheid kan worden opgebouwd uit kleinere, gelijksoortige eenheden. * **Kwantitatieve fase:** In deze fase wordt de grootte uitgedrukt in getallen. Deze fase kent twee deelfasen: * **Meten met natuurlijke maateenheden:** Hierbij worden niet-gestandaardiseerde eenheden gebruikt (bv. de lengte van een hand, een voet). Dit kan leiden tot verschillende meetresultaten afhankelijk van de gebruikte eenheid, wat kinderen helpt te begrijpen waarom standaardeenheden nodig zijn. * **Meten met standaardmaateenheden:** Hierbij worden internationaal afgesproken eenheden gebruikt (bv. meter, kilogram). Dit zorgt voor eenduidige en vergelijkbare meetresultaten. ### 3.1.2 Meetinstrumenten Meetinstrumenten zijn hulpmiddelen die gebruikt worden om de grootte van een grootheid te bepalen. Voorbeelden zijn: * Weegschaal voor gewicht. * Fietspomp met barometer voor druk. ### 3.1.3 Referentiematen Referentiematen zijn tastbare voorwerpen die kinderen helpen bij het ontwikkelen van maatgevoel en het schatten van grootheden. Ze vormen een belangrijke basis voor het leren meten en worden vaak gebruikt ter ondersteuning van schattingsoefeningen. ### 3.1.4 Herleiden van eenheden Herleiden van eenheden is het omzetten van een meting van de ene eenheid naar de andere. Dit vereist inzicht in de relatie tussen verschillende eenheden en is cruciaal voor het correct uitvoeren van berekeningen. Bij het herleiden tussen standaard- en afgeleide eenheden wordt het aantal decimalen in de lagere school doorgaans beperkt tot drie. > **Tip:** Het belang van een tabel voor het herleiden van eenheden mag niet onderschat worden, maar het is ook essentieel om de concepten zonder tabel te kunnen uitleggen om dieper inzicht te bevorderen. ## 3.2 Grootheden en eenheden Grootheden zijn eigenschappen die gemeten kunnen worden. Elke grootheid heeft een bijbehorende eenheid. ### 3.2.1 Lengtematen Lengte is een eendimensionale grootheid die de afstand tussen twee punten aangeeft. Gangbare eenheden zijn meter (m), decimeter (dm), centimeter (cm), millimeter (mm), kilometer (km). * Relaties: $1 \text{ m} = 10 \text{ dm} = 100 \text{ cm} = 1000 \text{ mm}$ * Relaties: $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$ ### 3.2.2 Oppervlakte- en landmaten Oppervlakte is een tweedimensionale grootheid die de grootte van een plat vlak aangeeft. Eenheden zijn gekwadrateerd, zoals vierkante meter ($m^2$), vierkante decimeter ($dm^2$), vierkante centimeter ($cm^2$). * Relaties: $1 m^2 = 100 dm^2 = 10000 cm^2$ * Wanneer je van een grotere naar een kleinere oppervlakte-eenheid gaat, wordt het maatgetal 100 keer groter (bv. $1 m^2 = 100 dm^2$). * De vorm van een figuur is een niet-wezenlijk aspect ten opzichte van de oppervlakte; verschillende vormen kunnen dezelfde oppervlakte hebben. ### 3.2.3 Volume- en inhoudsmaten Volume is een driedimensionale grootheid die de ruimte aangeeft die een object inneemt. Inhoud is gerelateerd aan het volume van een recipiënt. Gangbare eenheden zijn kubieke meter ($m^3$), kubieke decimeter ($dm^3$), kubieke centimeter ($cm^3$). Ook liters (L) en milliliters (mL) worden veel gebruikt voor inhoud. * Relaties: $1 m^3 = 1000 dm^3 = 1000000 cm^3$ * Relaties: $1 dm^3 = 1 \text{ L}$ * Relaties: $1 mL = 1 cm^3$ > **Tip:** Het concept van volume kan worden verkend door het vulcapaciteit van verschillende recipiënten te vergelijken en door te meten hoeveel kleinere eenheden een grotere eenheid vullen. ### 3.2.4 Gewicht/massa Massa, vaak in de volksmond aangeduid als gewicht, is een maat voor de hoeveelheid materie in een object. Gangbare eenheden zijn kilogram (kg), gram (g), ton. * Relaties: $1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$ * Relaties: $1 \text{ ton} = 1000 \text{ kg}$ ### 3.2.5 Tijd Tijd is een fundamentele grootheid die de duur van gebeurtenissen aangeeft. Eenheden zijn seconden (s), minuten (min), uren (u), dagen, weken, maanden, jaren. * Relaties: $1 \text{ min} = 60 \text{ s}$ * Relaties: $1 \text{ u} = 60 \text{ min}$ * Relaties: $1 \text{ dag} = 24 \text{ u}$ ### 3.2.6 Hoekgrootte Hoeken worden gemeten in graden (°). ### 3.2.7 Gemiddelde en mediaan Gemiddelde en mediaan zijn statistische maten die gebruikt worden om een dataset te samenvatten. * **Gemiddelde:** De som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden. * **Mediaan:** De middelste waarde in een gesorteerde dataset. ## 3.3 Formules Formules zijn wiskundige uitdrukkingen die relaties tussen grootheden beschrijven. ### 3.3.1 Omtrek De omtrek is de totale lengte van de buitenste rand van een tweedimensionale figuur. * **Vierkant:** $Omtrek = 4 \times z\text{ijde}$ * **Rechthoek:** $Omtrek = 2 \times (l\text{engte} + b\text{reedte})$ * **Cirkel:** $Omtrek = \pi \times d\text{iameter}$ of $Omtrek = 2 \times \pi \times r\text{a\text{dius}}$ ### 3.3.2 Oppervlakte De oppervlakte is de grootte van het vlak dat een tweedimensionale figuur inneemt. * **Vierkant:** $Oppervlakte = \text{zijde} \times \text{zijde} = \text{zijde}^2$ * **Rechthoek:** $Oppervlakte = \text{lengte} \times \text{breedte}$ * **Driehoek:** $Oppervlakte = \frac{1}{2} \times \text{basis} \times \text{hoogte}$ * **Parallellogram:** $Oppervlakte = \text{basis} \times \text{hoogte}$ * **Ruit:** $Oppervlakte = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ (waarbij $d_1$ en $d_2$ de lengtes van de diagonalen zijn) * **Trapezium:** $Oppervlakte = \frac{1}{2} \times (b_1 + b_2) \times \text{hoogte}$ (waarbij $b_1$ en $b_2$ de lengtes van de parallelle zijden zijn) * **Regelmatige veelhoek:** Kan worden opgedeeld in driehoeken. De oppervlakte is de som van de oppervlakten van deze driehoeken. * **Cirkel:** $Oppervlakte = \pi \times r^2$ (waarbij $r$ de straal is) > **Tip:** De formules voor oppervlaktes van complexe figuren kunnen vaak worden afgeleid door ze op te splitsen in eenvoudigere vormen zoals rechthoeken en driehoeken. ### 3.3.3 Volume Het volume is de hoeveelheid ruimte die een driedimensionaal object inneemt. * **Balk:** $Volume = \text{lengte} \times \text{breedte} \times \text{hoogte}$ * **Kubus:** $Volume = \text{zijde}^3$ * **Cilinder:** $Volume = \pi \times r^2 \times \text{hoogte}$ * **Kegel:** $Volume = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times \text{hoogte}$ * **Bol:** $Volume = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$ ## 3.4 Samengestelde grootheden Samengestelde grootheden zijn grootheden die zijn afgeleid uit de combinatie van twee of meer basisgrootheden. ### 3.4.1 Schaal Schaal drukt de verhouding uit tussen een getekende afstand en de werkelijke afstand. * Een schaal van $1:500$ betekent dat $1$ eenheid op de kaart $500$ dezelfde eenheden in werkelijkheid representeert. Een grotere schaal betekent een kleinere weergave. * Bij het omrekenen van oppervlaktes of volumes met schaal moet men rekening houden met de driedimensionale aard: * Oppervlakteschaal is het kwadraat van de lineaire schaal. * Volumeschaal is de derde macht van de lineaire schaal. ### 3.4.2 Snelheid Snelheid is de afstand die per tijdseenheid wordt afgelegd. * Formule: $snelheid = \frac{afgelegde \ afstand}{tijd}$ * Relaties: * Afstand: $afstand = snelheid \times tijd$ * Tijd: $tijd = \frac{afgelegde \ afstand}{snelheid}$ ### 3.4.3 Massadichtheid (soortelijk gewicht) Massadichtheid is de verhouding tussen de massa van een stof en het volume dat deze stof inneemt. * Formule: $dichtheid = \frac{massa}{volume}$ * De dichtheid van water is ongeveer $1000 \text{ kg}/m^3$ of $1 \text{ g}/cm^3$. Objecten met een dichtheid groter dan de dichtheid van het medium waarin ze zich bevinden, zinken. Objecten met een lagere dichtheid drijven. ### 3.4.4 Debiet Debiet drukt de verhouding uit tussen inhoud en tijd, oftewel de hoeveelheid die per tijdseenheid wordt verplaatst. * Formule: $debiet = \frac{inhoud}{tijd}$ ### 3.4.5 Bevolkingsdichtheid Bevolkingsdichtheid is de verhouding tussen het aantal inwoners en de oppervlakte van een bepaald gebied. * Formule: $bevolkingsdichtheid = \frac{aantal \ inwoners}{oppervlakte}$ ## 3.5 Toepassingen ### 3.5.1 Bruto, netto, tarra * **Bruto:** Het totale gewicht of volume van een product inclusief verpakking. * **Netto:** Het gewicht of volume van het product zelf, exclusief verpakking. * **Tarra:** Het gewicht of volume van de verpakking. * Relaties: $Bruto = Netto + Tarra$ ### 3.5.2 Snelheid, oppervlakte, volume, debiet en bevolkingsdichtheid Deze samengestelde grootheden vinden diverse praktische toepassingen in de maatschappij, van verkeersplanning en bouw tot bevolkingsonderzoek en milieustudies. * **Snelheid:** Essentieel voor het begrijpen van verkeersstromen, reistijden en de prestaties van voertuigen. * **Oppervlakte:** Belangrijk voor landmeten, kaarttekenen, bouwkunde en het berekenen van benodigde materialen. * **Volume:** Cruciaal voor het bepalen van opslagcapaciteit, de hoeveelheid benodigde vloeistoffen of materialen, en in scheikunde. * **Debiet:** Wordt gebruikt in de hydrologie (bv. rivierdebiet) en bij pompinstallaties. * **Bevolkingsdichtheid:** Helpt bij stedelijke planning, resource management en het begrijpen van demografische trends. --- # Samengestelde grootheden en toepassingen Dit onderwerp behandelt samengestelde grootheden, hun formules en praktische toepassingen in de lagere school, inclusief concepten als bruto, netto en tarra. ### 4.1 Wat is meten en metend rekenen? Meten is het afpassen van een maateenheid om eigenschappen van objecten of verschijnselen te kwantificeren. Dit kan gaan om lengte, gewicht, inhoud, snelheid, tijd en meer. Meten is essentieel om kennis te vergaren, objecten te maken of processen te begrijpen. Het meetproces doorloopt verschillende fasen: #### 4.1.1 Kwalitatieve fase In deze fase worden grootte-eigenschappen zonder getal of meetinstrumenten vergeleken. Concepten als omkeerbaarheid en conservatie zijn hierbij cruciaal. Leerlingen vergelijken objecten kwalitatief op basis van zichtbare eigenschappen zoals lengte, gewicht of volheid. Het samenstellen en optellen van gelijksoortige grootheden komt ook aan bod. #### 4.1.2 Kwantitatieve fase Deze fase kenmerkt zich door het uitdrukken van metingen in getallen. Dit kan initieel met natuurlijke maateenheden, wat tot verschillende resultaten kan leiden. Vervolgens wordt overgeschakeld op standaardmaateenheden die internationaal zijn afgesproken. #### 4.1.3 Meetinstrumenten en referentiematen Diverse meetinstrumenten zoals weegschalen, fietspompen en barometers worden gebruikt. Referentiematen, zoals een brik melk (1 liter) of een actimel flesje (1 deciliter), zijn belangrijk om een gevoel voor grootte te ontwikkelen en metingen te schatten. #### 4.1.4 Herleiden van eenheden Bij het herleiden van eenheden, met name tussen standaard- en afgeleide eenheden, worden kommagetallen beperkt tot drie decimalen. De multidimensionale aard van eenheden, zoals vierkante decimeters ($dm^2$), wordt verklaard door de twee dimensies (lengte en breedte). * **Grootheid:** Een eigenschap die gemeten kan worden. * **Verhoudingsmeting:** Een meting waarbij het nulpunt een werkelijk nulpunt is (bv. lengte, inhoud). * **Intervalmeting:** Een meting waarbij het nulpunt arbitrair is (bv. temperatuur, waar het omlaag kan gaan terwijl er iets bijkomt). * **Kwalitatieve eigenschap:** Een eigenschap die niet of moeilijk meetbaar is. ### 4.2 Grootheden en eenheden #### 4.2.1 Lengtematen Bij het vergelijken van hoogtes of lengtes is het belangrijk om rekening te houden met de oriëntatie (verticaal versus horizontaal). Leerlingen kunnen aan de hand van lichaamsmaten als spanwijdte, voeten of onderarmen concepten ontwikkelen over lengte. #### 4.2.2 Oppervlakte- en landmaten Oppervlakte betreft de grootte van een plat vlak, zoals waar je overheen kunt wrijven of verven. Bij de omrekening van vierkante maten (bv. $m^2$ naar $dm^2$) wordt het maatgetal met 100 vermenigvuldigd, omdat $1 m^2$ gelijk is aan $100 dm^2$. Vorm is een niet-wezenlijk aspect van oppervlakte; een andere vorm met dezelfde oppervlakte kan bestaan. #### 4.2.3 Volume- en inhoudsmaten Dit omvat de ruimte die een voorwerp inneemt of de hoeveelheid die een recipiënt kan bevatten. #### 4.2.4 Gewicht/massa Dit verwijst naar de hoeveelheid materie in een voorwerp. #### 4.2.5 Tijd Meten van de duur van gebeurtenissen. #### 4.2.6 Hoekgrootte Meten van de opening tussen twee lijnen of vlakken. #### 4.2.7 Gemiddelde en mediaan Deze begrippen, vaak inductief opgebouwd, worden gebruikt om gegevens te analyseren en samenvatten. In de lagere school komt geld pas vanaf het tweede leerjaar aan bod. ### 4.3 Formules Formules voor omtrek en oppervlakte van diverse geometrische figuren worden in de lagere school geïntroduceerd, met een focus op het afleiden ervan via concrete activiteiten. #### 4.3.1 Omtrek De lengte rondom een gesloten figuur. #### 4.3.2 Oppervlakte De grootte van een tweedimensionaal vlak. #### 4.3.3 Volume De ruimte die een driedimensionaal object inneemt. ### 4.4 Samengestelde grootheden Samengestelde grootheden worden gevormd door de combinatie van twee of meer basisgrootheden. #### 4.4.1 Schaal Schaal drukt de verhouding uit tussen een afstand op een kaart of tekening en de werkelijke afstand. Een grotere schaal (bv. 1:500) betekent een grotere weergave dan een kleinere schaal (bv. 1:5000). Bij het omrekenen van oppervlaktes of volumes op schaal, moet rekening gehouden worden met de kwadraten en derdemachten van de schaalfactor. * Voorbeeld: Een schaal van $1:500$ betekent dat $1$ eenheid op de kaart overeenkomt met $500$ eenheden in werkelijkheid. * Wanneer een afstand op de kaart met een factor $k$ wordt vergroot, wordt de werkelijke afstand met dezelfde factor $k$ vergroot. * Wanneer een oppervlakte op de kaart met een factor $k$ wordt vergroot, wordt de werkelijke oppervlakte met een factor $k^2$ vergroot. * Wanneer een volume op de kaart met een factor $k$ wordt vergroot, wordt het werkelijke volume met een factor $k^3$ vergroot. #### 4.4.2 Snelheid Snelheid is de verhouding tussen afgelegde afstand en tijd. * Formule: $snelheid = \frac{afstand}{tijd}$ #### 4.4.3 Massadichtheid (soortelijk gewicht) Massadichtheid is de verhouding tussen massa en volume. * Formule: $dichtheid = \frac{massa}{volume}$ #### 4.4.4 Debiet Debiet is de verhouding tussen inhoud (volume) en tijd. * Formule: $debiet = \frac{inhoud}{tijd}$ #### 4.4.5 Bevolkingsdichtheid Bevolkingsdichtheid is de verhouding tussen het aantal inwoners en de oppervlakte van een gebied. * Formule: $bevolkingsdichtheid = \frac{aantal\ inwoners}{oppervlakte}$ ### 4.5 Toepassingen #### 4.5.1 Bruto, netto, tarra * **Bruto:** Het totale gewicht of volume, inclusief verpakking. * **Netto:** Het gewicht of volume van het product zelf, exclusief verpakking. * **Tarra:** Het gewicht van de verpakking. * Relatie: $Bruto = Netto + Tarra$ #### 4.5.2 Snelheid Praktische toepassingen van snelheid, zoals het berekenen van reistijd of afgelegde afstand. #### 4.5.3 Oppervlakte Toepassingen van oppervlakteberekeningen in het dagelijks leven, zoals het berekenen van de benodigde verf voor een muur. > **Tip:** Het is belangrijk dat leerlingen niet alleen formules leren, maar ook inzien hoe deze tot stand komen en hoe ze toegepast kunnen worden in verschillende contexten. Het gebruik van concrete materialen en doe-opdrachten is essentieel voor het ontwikkelen van maatgevoel en begrip. > **Voorbeeld:** Een kind dat de oppervlakte van een tafel wil bedekken met tegels, gebruikt natuurlijke maateenheden. Als men vervolgens de tafel wil bedekken met vierkante decimeters, gebruikt men standaardmaateenheden en leert men het verband tussen deze eenheden. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Meten | Het proces waarbij een grootheid wordt vergeleken met een gekozen eenheid om een kwantitatieve waarde te bepalen. | | Metend rekenen | Het toepassen van wiskundige procedures en concepten om meetproblemen op te lossen en resultaten te interpreteren. | | Maateenheid | Een standaardhoeveelheid van een bepaalde grootheid die gebruikt wordt als referentiepunt voor metingen. | | Lengte | Een dimensie die de afstand tussen twee punten aangeeft, meestal uitgedrukt in meters, centimeters of kilometers. | | Gewicht | De kracht die door de zwaartekracht op een voorwerp wordt uitgeoefend; in alledaags taalgebruik vaak synoniem met massa. | | Inhoud | De hoeveelheid ruimte die een voorwerp inneemt, vaak uitgedrukt in liters of kubieke centimeters. | | Snelheid | De maat voor hoe snel een object beweegt, gedefinieerd als de afgelegde afstand per tijdseenheid. | | Tijd | De voortgang van gebeurtenissen van het verleden door het heden naar de toekomst; gemeten in seconden, minuten, uren, etc. | | Kwalitatieve fase | Een vroege fase van meten waarbij voorwerpen worden vergeleken op basis van hun eigenschappen zonder gebruik te maken van getallen of gestandaardiseerde eenheden. | | Kwantitatieve fase | Een latere fase van meten waarbij getallen en gestandaardiseerde eenheden worden gebruikt om metingen uit te drukken. | | Omkeerbaarheidsprincipe | Het concept dat bepaalde handelingen de kenmerken van een object of hoeveelheid niet veranderen, zelfs als de vorm verandert (bijvoorbeeld het verdelen van water over verschillende glazen). | | Conservatieprincipe | Het inzicht dat een bepaalde hoeveelheid of eigenschap constant blijft, ondanks veranderingen in uiterlijk of vorm, zolang er niets is toegevoegd of weggenomen. | | Natuurlijke maateenheden | Maateenheden die gebaseerd zijn op lichaamsdelen (zoals handbreedte) of alledaagse voorwerpen, wat kan leiden tot variërende meetresultaten. | | Standaardmaateenheden | Wereldwijd overeengekomen maateenheden (zoals meters, kilogrammen) die zorgen voor consistente en vergelijkbare meetresultaten. | | Meetinstrumenten | Apparaten die worden gebruikt om metingen uit te voeren, zoals weegschalen, linialen en thermometers. | | Referentiematen | Bekende en tastbare voorwerpen die dienen als herkenningsobjecten voor specifieke maten, om het schatten van grootheden te vergemakkelijken. | | Herleiden | Het omzetten van een meeteenheid naar een andere, gerelateerde meeteenheid (bijvoorbeeld van meters naar centimeters). | | Grootheid | Een meetbare eigenschap van een object of fenomeen, zoals lengte, massa of temperatuur. | | Eenheid | Een gestandaardiseerde maatstaf voor een grootheid, zoals de meter voor lengte of de kilogram voor massa. | | Oppervlakte | De grootte van een plat vlak, gemeten in vierkante eenheden zoals vierkante meters of vierkante centimeters. | | Volume | De hoeveelheid driedimensionale ruimte die een object inneemt, gemeten in kubieke eenheden of liters. | | Massa | De hoeveelheid materie in een voorwerp; gerelateerd aan gewicht, maar een fundamenteel andere fysische eigenschap. | | Gemiddelde | De som van een reeks getallen gedeeld door het aantal getallen in die reeks; een maat voor centrale tendens. | | Mediaan | De middelste waarde in een gesorteerde reeks getallen; het punt dat de reeks in twee gelijke helften verdeelt. | | Formule | Een wiskundige uitdrukking die een relatie tussen verschillende grootheden beschrijft. | | Omtrek | De totale lengte van de grens van een tweedimensionale figuur. | | Samengestelde grootheid | Een grootheid die wordt uitgedrukt als een combinatie van twee of meer andere grootheden (bijvoorbeeld snelheid = afstand/tijd). | | Schaal | De verhouding tussen de afmetingen op een kaart of model en de werkelijke afmetingen. | | Massadichtheid | De massa per volume-eenheid van een stof, uitgedrukt in kilogram per kubieke meter ($kg/m^3$) of gram per kubieke centimeter ($g/cm^3$). | | Debiet | De hoeveelheid vloeistof of gas die per tijdseenheid door een bepaald punt stroomt, vaak uitgedrukt in liters per minuut. | | Bevolkingsdichtheid | Het aantal inwoners per oppervlakte-eenheid van een bepaald gebied, meestal uitgedrukt in inwoners per vierkante kilometer. | | Bruto | Het totale gewicht of volume van een product, inclusief verpakking. | | Netto | Het gewicht of volume van het product zelf, exclusief de verpakking. | | Tarra | Het gewicht van de verpakking van een product. | | Classificeren | Het ordenen van objecten in groepen op basis van gemeenschappelijke kenmerken. | | Seriëren | Het rangschikken van objecten op volgorde van een bepaalde eigenschap, zoals grootte of lengte. | | Wezenlijk aspect | Een kenmerk van een object dat intrinsiek verbonden is met een bepaalde eigenschap (bijvoorbeeld de oppervlakte van een figuur). | | Niet-wezenlijk aspect | Een kenmerk dat niet direct gerelateerd is aan de gemeten eigenschap (bijvoorbeeld de vorm van een object die niet zijn volume bepaalt). |

# Stimuleren van getalinzicht bij kleuters door middel van spelletjes Dit document presenteert praktische spelideeën gericht op het ontwikkelen van getalinzicht en wiskundetaal bij jonge kinderen door middel van speelse activiteiten [1](#page=1). ### 1.1 Algemene principes en doelen De spelletjes zijn ontworpen om het getalinzicht en de wiskundetaal van kleuters spelenderwijs te stimuleren. Daarbij worden de volgende leerdoelen gehanteerd [1](#page=1): * **Subitiseren:** Het direct herkennen van kleine hoeveelheden zonder te tellen. Dit wordt specifiek benoemd voor hoeveelheden tot twee of drie tot drie (of vier) tot vijf [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3). * **Vergelijken van hoeveelheden:** Het grof met elkaar vergelijken van grotere hoeveelheden op het zicht [1](#page=1) [2](#page=2). * **Wiskundetaal:** Het introduceren en oefenen van specifieke wiskundige terminologie [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3). De leeftijdsaanduidingen zijn gemiddelden, en de moeilijkheidsgraad en varianten van de spelletjes moeten worden aangepast aan het specifieke ontwikkelingsniveau van de kleuters [1](#page=1). ### 1.2 Praktische spelideeën #### 1.2.1 Draai maar om (3-jarigen) Dit spel richt zich op subitiseren van hoeveelheden tot twee of drie en het grof vergelijken van grotere hoeveelheden [1](#page=1). * **Leerdoelen:** Hoeveelheden tot twee of drie subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; wiskundetaal zoals: *hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder* [1](#page=1). * **Speldoel:** Kinderen verzamelen mormeltjes [1](#page=1). * **Activiteiten:** 1. Mormeltjes verstoppen onder potjes. Kinderen kijken hoeveel er onder zitten [1](#page=1). 2. Een potje omdraaien, benoemen hoeveel mormeltjes eronder liggen en deze verzamelen [1](#page=1). 3. Vergelijken van verzamelde mormeltjes (veel, weinig, kleuren) [1](#page=1). 4. Torens maken met de mormeltjes en vergelijken qua hoeveelheid (veel, weinig, meer, minder) [1](#page=1). #### 1.2.2 Potje vol (3-jarigen) Dit spel heeft vergelijkbare doelen als "Draai maar om", met een focus op hoeveelheden tot drie (of vier) [2](#page=2). * **Leerdoelen:** Hoeveelheden tot drie (of vier) subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; wiskundetaal zoals: *hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder* [2](#page=2). * **Speldoel:** Kinderen verzamelen mormeltjes [2](#page=2). * **Activiteiten:** 1. Draaien aan een rad en benoemen hoeveel mormeltjes in het aangewezen vak liggen (geen, één, twee, drie, (vier)) [2](#page=2). 2. Evenveel mormeltjes nemen en in het eigen potje doen, of de mormeltjes van het rad nemen [2](#page=2). 3. Bepalen wie als eerste zijn potje vol heeft [2](#page=2). #### 1.2.3 Wat zit er in de pot? (3-jarigen) Dit spel combineert subitiseren en vergelijken met een dobbelsteenactiviteit [2](#page=2). * **Leerdoelen:** Hoeveelheden tot drie subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; wiskundetaal zoals: *hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder* [2](#page=2). * **Speldoel:** Kinderen verzamelen mormeltjes [2](#page=2). * **Activiteiten:** 1. Gooien met een kleurendobbelsteen. Bij een kleur kiezen de kinderen een mormeltje in die kleur. Bij wit mogen ze een potje uit het midden kiezen en benoemen wat erin zit (weinig, veel, niets, één, twee, drie) [2](#page=2). 2. Na het verdelen van de potjes, grof vergelijken wie de meeste/minste mormeltjes heeft (heel veel/weinig, meer, minder) [2](#page=2). 3. Opruimen door torens van twee of drie te maken [2](#page=2). #### 1.2.4 Torentjes maken (3-jarigen) Dit spel stimuleert het maken van torens en vergelijken van hoeveelheden en hoogtes [2](#page=2). * **Leerdoelen:** Hoeveelheden tot drie subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; seriëren op aantal en hoogte; wiskundetaal zoals: *hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder* [2](#page=2). * **Activiteiten:** 1. Kinderen stimuleren om hoge torens of torens van specifieke aantallen/kleuren te maken [2](#page=2). 2. Met een dobbelsteen rollen en evenveel mormeltjes voor hun toren nemen [2](#page=2). 3. Na een aantal rondes vergelijken wie de meeste/minste toren heeft (veel/weinig, meer/minder) [2](#page=2). 4. Spelen tot een bepaald punt (zandloper, wekker) en opnieuw vergelijken [2](#page=2). 5. Torens rangschikken van weinig naar veel (weinig, veel, meer, minder, meeste, minste, hoogste, laagste, hoger, lager) [2](#page=2). #### 1.2.5 Piepen onder het potje (2,5- en 3-jarigen) Dit spel is gericht op subitiseren van kleine aantallen en het oefenen van de wiskundetaal [2](#page=2). * **Leerdoelen:** Hoeveelheden tot twee (of drie, of vier) subiteren; wiskundetaal zoals: *hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder* [2](#page=2). * **Activiteit:** Kleine aantallen worden onder potjes verstopt. Na het doorschuiven van de potjes, proberen kinderen het specifieke aantal (bv. de 'toffe twee') te vinden. Bij correctheid ontvangen ze een ster. Na vier tot vijf keer succesvol kunnen grotere aantallen (dolle drie, vinnige vier, vlotte vijf) worden geïntroduceerd. Dit kan ook met doosjes [2](#page=2). #### 1.2.6 Flip de Flitser (vanaf 3 jaar) Dit spel traint het subitiseren van hoeveelheden tot vijf en het herkennen van grotere hoeveelheden in één oogopslag [3](#page=3). * **Leerdoelen:** Hoeveelheden tot vijf subiteren; grotere hoeveelheden in één oogopslag herkennen; wiskundetaal: de hoofdtelwoorden, *hoeveel* [3](#page=3). * **Activiteit:** Een stippenkaart of voorwerpen worden heel kort (2 seconden of minder) getoond. Kinderen tonen met vingers hoeveel ze zagen. De nadruk ligt op goed en rustig kijken en het maken van een mentale "foto" [3](#page=3). * **Strategieën:** De kinderen worden aangemoedigd hun strategie te verwoorden, zoals het maken van groepjes [3](#page=3). * **Variaties:** De hoeveelheden en ruimtelijke schikkingen variëren. Hulpmiddelen kunnen zijn: losse voorwerpen onder een doek, flitskaarten, dominostenen, dobbelstenen, een flitsboekje, bouwstenen onder een doos, of gaatjeskaarten op een overheadprojector [3](#page=3). #### 1.2.7 Hoeveel onder de tegel? Dit spel is gericht op het subitiseren van hoeveelheden tot vijf [3](#page=3). * **Leerdoelen:** Hoeveelheden tot vijf subiteren; wiskundetaal: hoofdtelwoorden, *hoeveel* [3](#page=3). * **Activiteit:** Twee spelers gebruiken kaarten met vakjes die zijn afgedekt met tegels. Eén speler tilt een tegel op, de ander moet zeggen hoeveel stippen hij zag. Bij een correct antwoord wint hij de tegel [3](#page=3). #### 1.2.8 Ten Black Dots (Donald Crews, 1995) Dit betreft een prentenboek dat gebruikt kan worden om het gesprek over hoeveelheden en het herkennen van getallen te stimuleren [3](#page=3). * **Activiteit:** Het boek gaat over tien zwarte stippen en nodigt uit tot nadenken over hoeveelheden van 1 tot 10 en hoe men een aantal (bv. 8) herkent [3](#page=3). > **Tip:** Zorg voor een variatie aan materialen en oefen de wiskundetaal consequent tijdens de spelletjes. Pas de spelletjes aan op het niveau van de kinderen en bied uitdaging door middel van verschillende moeilijkheidsgraden en varianten [1](#page=1). --- # Ontwikkeling van strategieën voor getalherkenning zonder te tellen Deze sectie beschrijft diverse spelletjes en methoden gericht op het ontwikkelen van het vermogen om kleine aantallen direct te herkennen zonder te tellen (subitiseren), door middel van visuele prikkels en strategieën voor snelle patroonherkenning [2](#page=2) [3](#page=3). ### 2.1 Kernconcepten van subitiseren Subitiseren is het directe herkenningsvermogen van kleine aantallen, zonder dat er geteld hoeft te worden. Dit vermogen wordt gestimuleerd door het blootstellen van kinderen aan visuele patronen en het aanleren van strategieën om deze patronen efficiënt te herkennen [2](#page=2) [3](#page=3). #### 2.1.1 Belangrijkheid van subitiseren Het ontwikkelen van subitiseren is een fundamentele stap in het wiskundig initiatieproces voor jonge kinderen. Het legt de basis voor een goed getalgevoel en helpt bij het vlotter vergelijken en begrijpen van hoeveelheden [2](#page=2) [3](#page=3). #### 2.1.2 Leeftijdsindicaties De beschreven activiteiten zijn geschikt voor kinderen vanaf ongeveer 2,5 jaar. Verschillende spellen zijn aangepast om te starten met zeer kleine aantallen, zoals één en twee, en geleidelijk op te bouwen naar grotere hoeveelheden tot vijf of tien [2](#page=2) [3](#page=3). #### 2.1.3 Wiskundetaal bij subitiseren Bij deze activiteiten wordt actief ingezet op het gebruik van specifieke wiskundetaal. Dit omvat hoofdtelwoorden zoals "hoeveelheid", "geen", "niets", "één", "twee", "drie", "(heel) veel", "(heel) weinig", "een beetje", "een beetje meer/minder", en "veel meer/minder" [2](#page=2) [3](#page=3). ### 2.2 Spel- en activiteitsvoorbeelden #### 2.2.1 Wat zit er in de pot? (3-jarigen) Dit spel richt zich op het subiteren van hoeveelheden tot drie en het grof vergelijken van grotere hoeveelheden op het zicht. Kinderen verzamelen mormeltjes op basis van de kleur aangegeven door een dobbelsteen. Bij een witte dobbelsteen kiezen ze een potje en benoemen ze de hoeveelheid die erin zit (weinig, veel, niets, één, twee, drie) . Na het verdelen van de potjes vergelijken ze wie het meeste/minste heeft [2](#page=2). #### 2.2.2 Torentjes maken (3-jarigen) Dit spel stimuleert het subiteren van hoeveelheden tot drie en het vergelijken van grotere hoeveelheden op het zicht. Kinderen maken torens met mormeltjes gebaseerd op het aantal stippen op een dobbelsteen. Na het spel worden de torens op volgorde van klein naar groot gezet (seriëren op aantal en hoogte) ] [2](#page=2). #### 2.2.3 Piepen onder het potje (2,5- en 3-jarigen) Bij dit spel verstopt men kleine aantallen (startend met één en twee) onder potjes. De potjes worden door elkaar geschoven en de kinderen proberen de "toffe twee" te vinden door een potje om te draaien. Correcte herkenning van aantallen kan leiden tot het verdienen van een ster. Het aantal kan geleidelijk worden opgevoerd naar drie, vier, of vijf [2](#page=2). #### 2.2.4 Flip de Flitser (vanaf 3 jaar) Dit spel bevordert het subiteren van hoeveelheden tot vijf en het herkennen van grotere hoeveelheden in één oogopslag. Een stippenkaart of voorwerpen wordt kort getoond (2 seconden of minder), waarna de kinderen met hun vingers moeten aangeven hoeveel ze zagen. De vraag "Hoe wist je dat het 5 was?" stimuleert kinderen om hun strategieën te verwoorden, zoals het maken van groepjes. Variatie in ruimtelijke schikking en het gebruik van verschillende materialen zoals flitskaarten, dominostenen, dobbelstenen, of bouwstenen, versterken dit proces [3](#page=3). > **Tip:** Het is belangrijk om bij "Flip de Flitser" niet alleen de hoeveelheden, maar ook de ruimtelijke schikking te variëren om een breder herkenningsvermogen te stimuleren [3](#page=3). #### 2.2.5 Hoeveel onder de tegel? Dit spel is gericht op het subiteren van hoeveelheden tot vijf. Twee spelers hebben elk een kaart waarbij vakjes met tegels zijn afgedekt. Eén speler tilt een tegel op en de ander moet snel het aantal stippen herkennen en benoemen om de tegel te winnen [3](#page=3). #### 2.2.6 Ten Black Dots (Donald Crews, 1995) Dit prentenboek, dat draait om tien zwarte stippen, kan gebruikt worden om kinderen uit te dagen om hoeveelheden te herkennen en te beredeneren hoe ze tot een bepaald aantal komen. Het boek stimuleert discussie over patronen en strategieën bij het herkennen van aantallen [3](#page=3). ### 2.3 Strategieën voor patroonherkenning #### 2.3.1 Groeperen en visuele patronen Het aanleren van strategieën om aantallen te groeperen en te herkennen via vaste visuele patronen is cruciaal. Voorbeelden hiervan zijn de vijfvormige structuur (zoals op een dobbelsteen) ] [3](#page=3). #### 2.3.2 Verwoorden van strategieën Het expliciet vragen naar hoe kinderen tot een bepaald aantal kwamen, helpt hen hun denkprocessen te structureren en te verfijnen. Dit geeft ook de leerkracht inzicht in hun ontwikkelingsniveau [3](#page=3). #### 2.3.3 Gebruik van visuele hulpmiddelen Diverse visuele hulpmiddelen kunnen ingezet worden om subitiseren te oefenen, waaronder: * Losse voorwerpen onder een doek [3](#page=3). * Flitskaarten met diverse schikkingen [3](#page=3). * Dominostenen en dobbelstenen [3](#page=3). * Specifieke flitsboekjes [3](#page=3). * Bouwstenen onder een doos die kort wordt opgelicht [3](#page=3). * Gaatjeskaarten op een overheadprojector [3](#page=3). --- # Wiskundetaal in de vroege kinderjaren Het belang van het introduceren en gebruiken van specifieke wiskundige taal in spelletjes wordt benadrukt om het inzicht in hoeveelheden, vergelijkingen en getallen bij jonge kinderen te stimuleren. De aangeboden praktijkvoorbeelden sluiten aan bij de theorie over de ontwikkeling van getalinzicht en laten zien hoe dit gericht en op een speelse manier kan worden gestimuleerd. De leeftijdsaanduidingen zijn gemiddelden en de moeilijkheidsgraad van de spelletjes kan aangepast worden aan het ontwikkelingsniveau van de kleuters [1](#page=1). ### 3.1 Kernconcepten en Leerdoelen De focus ligt op het aanleren van termen gerelateerd aan: * **Hoeveelheden:** * Subiteren van kleine hoeveelheden (tot twee, drie, vier of vijf). Subiteren is het direct waarnemen van een kleine hoeveelheid zonder te tellen [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3). * Grotere hoeveelheden grof met elkaar vergelijken op het zicht voor getalgevoel [1](#page=1) [2](#page=2). * Seriëren op aantal of hoogte [2](#page=2). * **Wiskundetaal:** * Hoofdtelwoorden: één, twee, drie, etc. [1](#page=1) [3](#page=3). * Specifieke termen gerelateerd aan hoeveelheden: hoeveel, geen, niets, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3). ### 3.2 Praktijkvoorbeelden en Spelletjes Hieronder volgt een overzicht van spelletjes die gericht zijn op het stimuleren van getalinzicht en wiskundetaal bij jonge kinderen: #### 3.2.1 Draai maar om (3-jarigen) * **Doelen:** Hoeveelheden tot twee of drie subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; gebruik van wiskundetaal zoals: hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder [1](#page=1). * **Spel:** Kinderen verzamelen "mormeltjes" door potjes om te draaien en te benoemen hoeveel eronder zitten. Vervolgens vergelijken ze de verzamelde hoeveelheden en maken ze torens, waarbij ze termen als "veel", "weinig", "meer" en "minder" gebruiken [1](#page=1). #### 3.2.2 Potje vol (3-jarigen) * **Doelen:** Hoeveelheden tot drie (of vier) subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; gebruik van wiskundetaal: hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder [1](#page=1). * **Spel:** Kinderen draaien aan een rad en benoemen de hoeveelheid mormels in een vak (geen, één, twee, drie, vier). Ze verzamelen mormels in hun potje en strijden om wie als eerste zijn potje vol heeft [1](#page=1). #### 3.2.3 Wat zit er in de pot? (3-jarigen) * **Doelen:** Hoeveelheden tot drie subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; gebruik van wiskundetaal: hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder [2](#page=2). * **Spel:** Kinderen gooien met een kleurendobbelsteen en kiezen een mormeltje in die kleur of een potje uit het midden. Ze benoemen wat er in het potje zit (weinig, veel, niets, één, twee, drie). Daarna vergelijken ze grof wie het meest/minste heeft en maken ze torens van twee of drie [2](#page=2). #### 3.2.4 Torentjes maken (3-jarigen) * **Doelen:** Hoeveelheden tot drie subiteren; grotere hoeveelheden grof vergelijken; seriëren op aantal/hoogte; gebruik van wiskundetaal: hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder [2](#page=2). * **Spel:** Kinderen maken torens en gebruiken een dobbelsteen om te bepalen hoeveel mormeltjes ze voor hun toren nemen. Na een paar rondes vergelijken ze de torens op basis van hoeveelheid en hoogte met termen als "meer", "minder", "hoogste", "laagste". Torens kunnen van weinig naar veel gerangschikt worden [2](#page=2). #### 3.2.5 Piepen onder het potje (2,5- en 3-jarigen) * **Doelen:** Hoeveelheden tot twee (of drie, of vier) subiteren; gebruik van wiskundetaal: hoeveel, geen, niets, één, twee, drie, (heel) veel, (heel) weinig, een beetje, een beetje meer/minder, veel meer/minder [2](#page=2). * **Spel:** Kleine aantallen worden onder potjes verstopt. Kinderen kiezen een potje, draaien het om en benoemen de hoeveelheid. Ze kunnen winnen als ze de "toffe twee" vinden, of een ster krijgen als ze een andere hoeveelheid correct benoemen. Dit kan worden uitgebreid naar grotere aantallen zoals "dolle drie" [2](#page=2). #### 3.2.6 Flip de Flitser (vanaf 3 jaar) * **Doelen:** Hoeveelheden tot 5 subiteren; grotere hoeveelheden in één oogopslag herkennen; gebruik van wiskundetaal: de hoofdtelwoorden, hoeveel [3](#page=3). * **Spel:** Een stippenkaart of voorwerpen wordt heel kort (2 seconden of minder) getoond. Kinderen tonen met hun vingers hoeveel ze zagen. De kinderen worden aangemoedigd om goed en rustig te kijken en hun strategie te verwoorden, bijvoorbeeld door te zeggen dat ze een "foto in hun hoofd maken". Variatie in schikking is belangrijk [3](#page=3). > **Tip:** Stimuleer kinderen om te verwoorden *hoe* ze een bepaalde hoeveelheid zagen, dit geeft inzicht in hun denkstrategieën. #### 3.2.7 Hoeveel onder de tegel? * **Doelen:** Hoeveelheden tot 5 subiteren; gebruik van wiskundetaal: hoofdtelwoorden, hoeveel [3](#page=3). * **Spel:** Twee spelers hebben kaarten met vakjes die afgedekt zijn met tegels. Eén speler tilt een tegel op, de ander benoemt hoeveel stippen hij zag. Bij een correct antwoord wint de speler de tegel [3](#page=3). #### 3.2.8 Ten Black Dots (Donald Crews, 1995) * **Concept:** Een prentenboek dat gebruikt wordt om te praten over het aantal stippen en wat deze aantallen kunnen vertegenwoordigen [3](#page=3). * **Focus:** Stimuleert de vraag "Hoe zie je dat het er X zijn?" om kinderen hun denkproces te laten verwoorden [3](#page=3). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Subiteren | Het vermogen om een klein aantal objecten onmiddellijk te herkennen zonder te tellen, vaak binnen een tijdsbestek van minder dan 2 seconden. Dit is een cruciale vaardigheid voor de ontwikkeling van getalgevoel. | | Getalgevoel | Een intuïtief begrip van getallen, hun grootte en de relaties tussen getallen. Het omvat het vermogen om hoeveelheden te schatten, te vergelijken en te manipuleren. | | Wiskundetaal | De specifieke terminologie en het vocabulaire dat wordt gebruikt om wiskundige concepten, relaties en operaties te beschrijven. Dit omvat termen zoals "hoeveelheden", "vergelijken", "meer", "minder", "gelijk aan", etc. | | Hoeveelheden | De mate waarin iets aanwezig is, uitgedrukt in getallen of een schatting daarvan. In de context van kleuteronderwijs gaat het vaak om kleine, direct herkenbare aantallen. | | Vergelijken | Het vaststellen van de relatie tussen twee of meer hoeveelheden op basis van grootte, aantal of andere kenmerken. Dit kan "meer dan", "minder dan" of "evenveel als" inhouden. | | Hoofdtelwoorden | De basistelwoorden die worden gebruikt om aantallen aan te duiden, zoals "één", "twee", "drie", etc. In deze context gaat het om de woorden die direct geassocieerd worden met de herkende hoeveelheden. | | Seriëren | Het rangschikken van objecten op basis van een bepaald kenmerk, zoals grootte, hoogte of aantal. Bijvoorbeeld, het maken van torens van klein naar groot of van veel naar weinig. | | Grof vergelijken | Een snelle en globale vergelijking van hoeveelheden, vaak gebaseerd op visuele indruk in plaats van nauwkeurig tellen. Dit draagt bij aan het algemene getalgevoel. | | Flitskaart | Een kaart waarop een bepaald aantal objecten, stippen of symbolen is afgebeeld. Deze kaarten worden kort getoond om het subiteren van de hoeveelheid te oefenen. |

# Didactische krachtlijnen en het concrete-schematische-abstracte model ### Betekenisvolle situaties * Leren dat rekenkundige probleemstellingen uit het dagelijks leven kunnen worden omgezet in een rekenkundige formule en omgekeerd. * Meer betekenis wordt verkregen indien men omzet naar een levensecht voorbeeld, wat leidt tot inzicht in de bewerking. * Betekenisvolle situaties zijn relevant voor zowel makkelijke als complexe bewerkingen. * Het verband tussen wiskunde en de realiteit, waaruit wiskunde groeit en toepasbaar is, wordt "verwiskundigen" genoemd. * Verwiskundigen van een situatie kan wel leiden tot informatieverlies. * De relatie met de realiteit is nodig om een probleem juist op te lossen. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt de motivatie. * Leerlingen leren problemen analyseren door levensechte situaties te vertalen naar wiskundeproblemen (bv. hoe laat vertrekken om trein te halen?). * Leerlingen ontdekken het praktische en maatschappelijke nut van wiskunde. * Bieden inzicht voor het verwerven van wiskundige begrippen, zowel bij inoefenen, verwerking als evaluatie. ### Concreet – Schematisch – Abstract (CSA-model) #### Concrete fase * Aanschouwelijke voorstelling die herkenbaar is voor de leerling als hulpmiddel voor inzicht. * Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden en meerdere zintuigen aanspreken. * Voorbeelden: MAB-materiaal in positietabel, ongestructureerd en/of gestructureerd materiaal, natura-materiaal (knopen, lego, eieren). * Materiaal staat in plaats van andere werkelijkheid. * Concrete voorstellingen evolueren naar meer gestructureerde voorstellingen, waarbij uiterlijke kenmerken beperkt worden (bv. 1 bol staat voor 1 auto of bloem, niet het uiterlijk). * Nadruk op het hoeveelheidsaspect, niet op het uitzicht van het voorwerp. * Gestructureerd rekenmateriaal is ook concreet (bv. telraam, breukschijven). #### Schematische fase * Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces en inzicht. * Duidelijke verwijzing naar concreet materiaal met progressieve schematisering. * Voorbeelden: getallen in positietabel (ipv MAB), lijnen, tabellen, schema's, positietabel, honderdveld. * Het honderdveld toont patronen in rangorde (horizontaal eenheden, verticaal tientallen). * Kan leiden tot fouten bij het tellend rekenen (bv. niet herkennen van tellen met sprongen). #### Abstracte fase * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de leerling de betekenis moet kennen. * Geen concreet materiaal of schematische voorstelling meer nodig. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) toont een oefening op alle drie de niveaus. ### Aandachtspunten --- * Wiskundige problemen kunnen worden omgezet naar formules en vice versa, wat meer inzicht geeft. * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en tonen het praktisch nut van wiskunde. * Vertalen van levensechte situaties naar wiskundeproblemen helpt bij de analyse. * Wiskunde groeit uit de realiteit en is erin toepasbaar. * Gebruik van tastbaar, manipuleerbaar materiaal dat de werkelijkheid voorstelt. * Materiaal kan ongestructureerd (natura) of gestructureerd (bv. MAB-materiaal) zijn. * Focus op de hoeveelheid, niet zozeer op de uiterlijke kenmerken van het voorwerp. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, MAB-materiaal in een positietabel. * Voorstellen van de werkelijkheid via tekeningen, schema's en stappenplannen. * Duidelijke verwijzing naar de concrete fase met progressieve schematisering. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * Honderdveld toont structuren en rangorde, maar kan tegenintuïtief zijn (grotere hoeveelheid lager getal). * Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Triplecodemodel: oefening eerst concreet, dan schematisch, met de abstracte notatie erbij. * Consequente verwoording is cruciaal in alle fasen. ### Aandachtspunten CSA-model en Galperin * Leerkracht moet nagaan of leerlingen alle drie de niveaus begrijpen. * Differentiatie en remediëring zijn belangrijk voor leerlingen die moeite hebben. * Leerlingen moeten zelf initiatief nemen en zelfredzaamheid tonen. #### Handelingsniveaus van Galperin * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden onmiddellijk. * **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** Denkwerk is volledig intern. ### Inzichtelijke aanpak * Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen. * Meer vertrouwen in eigen redeneringsvermogen en mogelijkheid om terug te vallen op inzicht. * Nieuwe begrippen kaderen in de leerlijn en activeren voorkennis. ### Belang van correct wiskundig verwoorden ### Functies van getallen ### Talstelsels ### Getalverzamelingen ### Breuken ### Kommagetallen ### Procenten ### Veelvouden en delers ### Basisbegrippen en rekenmethodes ### Optellen en aftrekken ### Vermenigvuldigen en delen --- ### Concreet-schematisch-abstract (CSA) model * **Concrete fase**: * Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Aanschouwelijke voorstellingen die herkenbaar zijn voor leerlingen. * Diverse materialen zoals knopen, lego, eieren, voedsel kunnen gebruikt worden. * Materialen staan in plaats van de werkelijkheid. * Focus op het hoeveelheidsaspect, niet het uitzicht van het voorwerp. * Materiaal evolueert naar meer gestructureerde rekenmaterialen (bv. MAB-materiaal, telraam). * **Schematische fase**: * Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. * Afbeeldingen evolueren van werkelijkheid naar 'in plaats van' (kruisjes, bollen) naar gestructureerd rekenmateriaal. * Nadruk op structuur en rangorde in getallen (horizontaal en verticaal). * **Abstracte fase**: * Gebruik van symbolen, tekens en getallen. * Leerlingen moeten de betekenis van de symbolen kennen. * Oefeningen worden zonder concreet of schematisch materiaal uitgevoerd. * **Triple Code Model**: * Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met de abstracte notatie bij beide fasen getoond. * Consistente verwoording is cruciaal in alle drie de fasen. ### Aandachtspunten bij het CSA-model * Leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt. * Differentiëren en remediëren is essentieel. * Leerlingen moeten initiatief nemen en zelfredzaam zijn. ### Handelingsniveaus van Gal'perin * **Materieel handelen**: Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen. * **Perceptueel handelen**: Handelen enkel via waarneming, zonder manipulatie. ### Automatiseren – memoriseren ### Inductief werken --- ### Kernidee * De didactische krachtlijnen benadrukken het belang van betekenisvolle situaties en het verband tussen wiskunde en de realiteit. * Het concrete-schematische-abstracte (CSA) model is een leidraad voor het aanleren van wiskundige begrippen en vaardigheden. * De fases van het CSA-model ondersteunen een geleidelijke opbouw van inzicht, van tastbaar naar symbolisch. ### Belangrijke aspecten van betekenisvolle situaties * Wiskundige probleemstellingen kunnen worden omgezet naar formules en omgekeerd, wat leidt tot meer inzicht. * Leerlingen ontdekken het praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde. * Levensechte situaties helpen bij het analyseren van problemen en het vertalen naar wiskundige concepten. ### Concrete fase (CSA-model) * Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen met tastbare voorwerpen ter ondersteuning van inzicht. * Gebruik van ongestructureerd en/of gestructureerd materiaal dat de werkelijkheid (verv)angt. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, MAB-materiaal, telraam. * Nadruk ligt op het hoeveelheidsaspect, niet op het uiterlijke kenmerk van het voorwerp. ### Schematische fase (CSA-model) * Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen en het denkproces te ondersteunen. * Illustreert patronen in rangorde, zoals horizontale eenheden en verticale tientallen. ### Abstracte fase (CSA-model) * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis voor de leerling cruciaal is. * De oefening wordt voorgesteld zonder concreet materiaal of schematische voorstelling. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) wordt consequent toegepast bij het aanleren van bewerkingen. * De leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt. * Differentiëren en remediëren is essentieel, met aandacht voor de opbouw in materiaalkeuze. ### Handelingsniveaus van Galperin * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal en dit onmiddellijk verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen door waarneming, zonder direct manipuleren. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden hoe een oefening wordt opgelost. * **Mentaal handelen:** Het denkwerk vindt volledig plaats in het hoofd. ### Gebruik van verhoudingstabellen ### Getalverzamelingen en getalbegrip ### Kenmerken van deelbaarheid ### Rekenen: basisbegrippen en methodes --- * Het concrete-schematische-abstracte (CSA) model is een didactische krachtlijn die het leerproces van wiskundige begrippen begeleidt. * Dit model bevordert inzicht door leerlingen door opeenvolgende fases te laten doorlopen: van tastbare voorwerpen naar symbolen. ### Concrete fase * Leerlingen hanteren tastbare voorwerpen (natura of MAB-materiaal) die de werkelijkheid voorstellen. * Het accent ligt op het manipuleren en zintuiglijk waarnemen om het begrip te vatten. * Voorbeelden zijn knopen, LEGO, eieren of eten als concrete representatie. * Materiaal evolueert van ongestructureerd naar gestructureerd, waarbij de hoeveelheid belangrijker wordt dan het uiterlijk. ### Schematische fase * Leerlingen gebruiken tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. * Er is een duidelijke verwijzing naar het concrete, met een progressieve abstractie. * Voorbeelden zijn getallenlijnen, tabellen, positietabellen, honderdvelden en rekentabellen. * Focus ligt op de structuur en de opbouw van getallen. ### Abstracte fase * Leerlingen werken met symbolen, tekens en getallen, waarbij ze de betekenis moeten kennen. * Deze fase vindt plaats zonder concreet materiaal of expliciete schematische voorstelling. * Het triplecodemodel (concreet, schematisch, abstract) toont oefeningen in alle drie de fasen. ### Aandachtspunten en handelingsniveaus * De leerkracht moet nagaan of leerlingen alle drie de niveaus begrijpen en waar nodig differentiëren of remediëren. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) beschrijven de ontwikkeling van inzicht. * Inzichtelijke aanpak: leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de redenering. * Regelmatig herhalen, vooral bij abstracte begrippen, bevordert transfer en verankering. * Correct wiskundig verwoorden is cruciaal voor de brug tussen manipulatie en abstract werken. ### Getalbegrip en talstelsels * Functies van getallen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding) moeten met de juiste context worden aangeboden. * Het tientallig talstelsel wordt systematisch aangebracht met aandacht voor groepering per tien (MAB, positietabel). * Romeinse en twintigtallige (Maya's) talstelsels worden aangeboden als alternatieve systemen. * Natuurlijke, gehele (met negatieve getallen), rationale (breuken, kommagetallen) en reële getallen worden progressief aangeboden. * Breuken worden aangeboden via het CSA-model, beginnend met concrete situaties van eerlijk verdelen. * Belangrijke verschijningsvormen zijn breuk als resultaat van verdeling, operator, getal, verhouding en kans. * Gelijkwaardige breuken en breuken vereenvoudigen worden inzichtelijk aangeboden via het breukenmuur of strokenmodel. --- # Het breukbegrip en de verschillende verschijningsvormen ### Kernidee * Het breukbegrip is een fundamenteel concept in de wiskunde dat vaak een struikelblok vormt voor leerlingen. * Breuken vertegenwoordigen een deel van een geheel, wat een abstract begrip is dat niet altijd aansluit bij het natuurlijke getalbegrip. * Het begrijpen van breuken vereist een geleidelijke opbouw via het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract). ### Sleutelconcepten * **De breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** Een situatie waarin een verdeling leidt tot een breuk als uitkomst. * **Deel van 1 geheel:** Het geheel wordt opgedeeld in gelijke delen (bv. een pizza in 4 gelijke stukken, elk kind krijgt 1/4). * **Gelijkheid van oppervlakte:** Gelijkheid van delen is gebaseerd op oppervlakte, niet noodzakelijk op vorm. * **Discontinu materiaal:** Verdeling van aantallen (bv. 30 eieren verdelen onder 5 personen, elk krijgt 6 eieren of 1/5 deel). - **De breuk als deel van meer dan 1 geheel:** Wanneer het geheel zelf groter is dan één (bv. 3 pizza's verdelen onder 4 kinderen, elk kind krijgt 3/4 van een * Dit kan leiden tot onechte breuken. * **De breuk als operator:** De breuk bepaalt de verdeel- en neem-handeling. * Vereist vaste denkstappen: wat is het geheel, hoeveel gelijke delen zijn er (noemer), hoeveel delen neem je (teller). * **De breuk als getal:** Loskoppelen van de concrete situatie, resulterend in een rationaal getal. * De breukstreep is een deelteken ($\frac{a}{b}$ is $a \div b$). * Echte breuken resulteren in kommagetallen kleiner dan 1. * **De breuk als verhouding:** Vergelijking van een deel met het totaal, waarbij exacte getallen minder belangrijk zijn dan de vergelijking (bv. "1 op 3 bussen"). * **De breuk als kans:** De verhouding van het aantal gunstige mogelijkheden tot het totale aantal mogelijkheden. ### Belangrijke aandachtspunten * **CSA-model:** Concreet materiaal, schematische voorstellingen en abstracte notatie moeten consequent worden toegepast. * **Verhoudingstabel:** Een nuttig hulpmiddel om verhoudingen en percentages te visualiseren en te berekenen. * **Vakterminologie:** Het correct gebruiken en begrijpen van termen als breuk, teller, noemer, geheel. * **Misconcepties ("Natural number bias"):** Leerlingen passen eigenschappen van natuurlijke getallen toe op breuken, wat leidt tot fouten (bv. denken dat $\frac{1}{5} > \frac{1}{3}$ omdat 5 > 3). * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen, belangrijk voor vereenvoudiging en vergelijking. * **Vereenvoudiging van breuken:** Het vinden van de meest vereenvoudigde vorm door delers te zoeken. * **Vergelijken van breuken:** Vereist strategisch denken, vaak door ze gelijknamig te maken of te vergelijken met 1 geheel of de helft. ### Verschijningsvormen van breuken * **Als resultaat van een verdeelsituatie:** * Deel van 1 geheel (bv. $\frac{1}{4}$ pizza). --- * Breuken vertegenwoordigen een deel ten opzichte van een geheel. * Het correct plaatsen van breuken in de juiste context is cruciaal voor begrip. ### Belangrijke feiten * Breuken zijn vaak een struikelblok omdat ze niet natuurlijk aanvoelen als gehele getallen. * Het cijfergebruik bij breuken is hetzelfde als bij natuurlijke getallen, wat tot misconcepties kan leiden. * Het "natural number bias" treedt op wanneer leerlingen eigenschappen van natuurlijke getallen onterecht toepassen op breuken. * Het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract) is essentieel voor het aanleren van breuken. * De breukstreep kan horizontaal of schuin voorkomen; beide moeten herkend worden. * Breuken kunnen geherstructureerd worden (bv. 3 keer 1 kwart is driekwart). * Bij alle breukbewerkingen zijn dezelfde denkstappen nodig: deel ten opzichte van het geheel. ### Belangrijke concepten * **Breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** Situaties waarin een deling leidt tot een breuk. * **Deel van 1 geheel:** Geheel wordt verdeeld in gelijke delen (bv. pizza, strook). * **Deel van meer dan 1 geheel:** Meerdere gehelen worden verdeeld (bv. 3 pizza's voor 4 kinderen). * **Breuk als operator:** De breuk bepaalt de verdeelhandeling en het nemen van delen. * Lezen als "... van de ... gelijke delen van het geheel." * Handelen met continu en discontinu materiaal. * Vaste opeenvolging van denkstappen: Wat is het geheel? Hoeveel delen? Hoeveel is 1 deel? Hoeveel delen neem je? Hoeveel heb je totaal? * **Breuk als getal:** De breuk wordt losgekoppeld van de concrete situatie en wordt een rationaal getal. * Resultaat van een deling (teller = deeltal, noemer = deler). * Echte breuken leiden tot een kommagetal kleiner dan 1. * Aanduiden op een getallenas, uitgaande van de maateenheid 1 als geheel. * **Breuk als verhouding:** Vergelijking van deel tot totaal aantal, waarbij exacte getallen minder belangrijk zijn dan de verhouding. * Gebruik van verhoudingstabellen om deel en geheel te onderscheiden. * Voorbeelden: schaal, kans, verhouding in mengsels. * **Breuk als kans:** Verhouding van het aantal "gunstige mogelijkheden" tot het "totaal aantal mogelijkheden". * Moeilijk te relateren aan de realiteit bij kleine aantallen; benadert de breuk bij veel herhalingen. ### Implicaties ### Tip --- * Breuken zijn essentieel voor het begrijpen van verhoudingen en het kwantificeren van delen van een geheel. * Het begrijpen van breuken vereist een overgang van concrete situaties naar abstracte wiskundige notaties. * Het breukbegrip is een struikelblok voor veel leerlingen omdat breuken geen natuurlijke getallen zijn. * De componenten van een breuk zijn de teller (boven de breukstreep), de noemer (onder de breukstreep) en de breukstreep zelf. * Breuken kunnen worden voorgesteld als het resultaat van een verdeelsituatie, als operator, als getal, als verhouding, of als kans. * Bij het werken met breuken is het essentieel om consequent te verwijzen naar het geheel. * **Breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** * Situaties waarin een verdeling leidt tot een breuk. * Het geheel wordt verdeeld in gelijke delen. * Voorbeelden: een pizza verdelen onder kinderen, een hoeveelheid eieren verdelen. * Bij continu materiaal (bv. een strook) kunnen de delen willekeurig gelijk worden gemaakt. * Bij discontinu materiaal (bv. eieren) zijn de mogelijke verdelingen beperkter. * **Breuk als deel van meer dan 1 geheel:** * Situaties waarin de breuk een hoeveelheid vertegenwoordigt die groter is dan het geheel. * Voorbeeld: 3 pizza's verdelen onder 4 kinderen, wat leidt tot de breuk $\frac{3}{4}$ per kind. * Dit concept leidt tot onechte breuken. * **Breuk als operator:** * De breuk bepaalt de verdeelhandeling en het nemen van delen. * De breuk wordt gelezen als '... van de ... gelijke delen van het geheel'. * Vereist een vaste opeenvolging van denkstappen: bepalen van het geheel, bepalen van de noemer, bepalen van 1 deel, bepalen van de teller. * **Breuk als getal:** * De breuk wordt losgekoppeld van de concrete situatie en beschouwd als een rationaal getal. * De breukstreep kan worden gelezen als een deelteken. * Echte breuken resulteren in een decimaal getal kleiner dan 1. ### Veelvoorkomende valkuilen --- * Breuken vertegenwoordigen een deel ten opzichte van het geheel. * Het begrip breuk is een struikelblok voor leerlingen omdat het niet direct een natuurlijk getal is. * Er zijn verschillende verschijningsvormen van breuken die elk een specifieke interpretatie vereisen. ### Kernfeiten * Breuken hebben abstracte begrippen zoals deel, geheel, teller, noemer en breukstreep. * Het concept van het "geheel" is cruciaal voor het begrijpen van breuken. * Leerlingen vertonen vaak "natural number bias" waarbij ze breuken vergelijken op basis van hun natuurlijke getal eigenschappen. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het aanleren van breukbegrip. * De horizontale breukstreep is de standaardnotatie, hoewel de schuine breukstreep ook herkend moet worden. * Breuken kunnen worden voorgesteld als een deel van één geheel, een deel van meer dan één geheel, een operator, een getal, een verhouding, of een kans. * **De breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** * Focus op het eerlijk verdelen van een geheel in gelijke delen. * Onderscheid tussen continu materiaal (pizza) en discontinu materiaal (eieren). * De teller en noemer worden geïntroduceerd na vele concrete en schematische voorstellingen. * Bij de verdeling van meerdere gehelen ontstaan onechte breuken. * **De breuk als operator:** * Oefeningen vereisen een vaste opeenvolging van denkstappen: wat is het geheel, in hoeveel delen is het verdeeld (noemer), hoeveel delen neem je (teller). * Kan toegepast worden op continue, discontinue hoeveelheden en getallen. * Onechte breuken worden ook als operator gebruikt. * **De breuk als getal:** * Losgekoppeld van de concrete situatie; een rationaal getal. * Equivalent aan een deling (teller gedeeld door noemer). * Kan worden voorgesteld op een getallenas. * Vereist beheersing van de breuk als operator. * **De breuk als verhouding:** ### Tip: Het belang van het geheel ### Tip: Verschillende modellen --- ## Breukbegrip en de verschillende verschijningsvormen * Breuken vormen een overgang van natuurlijke getallen naar rationele getallen. * Het breukbegrip is essentieel voor het begrijpen van verhoudingen en delen van een geheel. * Breuken kennen verschillende verschijningsvormen die een correcte interpretatie vereisen. * **Breuk als deel van 1 geheel:** Het geheel wordt opgedeeld in gelijke delen. * `½` betekent 1 van de 2 gelijke delen van een geheel. * Gelijkmatige verdeling is cruciaal, niet noodzakelijk gelijke vormen. * **Breuk als deel van meer dan 1 geheel:** Dit leidt tot onechte breuken of gemengde getallen. * `¾` kan betekenen 3 gedeeld door 4, waarbij 3 gehelen worden verdeeld. * Meerdere manieren van verdelen kunnen tot hetzelfde resultaat leiden. * **Breuk als operator:** De breuk bepaalt de verdeelhandeling. * De breuk bepaalt de verdeelhandeling en het aantal te nemen delen. * Dit vereist een vaste opeenvolging van denkstappen: geheel, noemer, teller. * **Breuk als getal:** Losgekoppeld van concrete situaties, een rationaal getal. * De breukstreep is een deelteken; de breuk is het resultaat van een deling. * Echte breuken (`< 1`) worden als kommagetal of op een getallenas voorgesteld. * **Breuk als verhouding:** Vergelijking van deel tot totaal, niet altijd exacte getallen. * Gebruikt in schaal, kansberekening, mengsels, en onderzoeksresultaten. * Verhoudingstabellen helpen bij het onderscheiden van delen en gehelen. * **Breuk als kans:** Verhouding van gunstige mogelijkheden tot het totaal aantal mogelijkheden. * Relatie tot realiteit wordt pas duidelijk na veel herhalingen (vb. dobbelsteenworpen). ### Soorten breuken * **Stambreuken:** Breuken met teller 1, de eerste breuksoort die leerlingen leren. * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken met dezelfde waarde, visueel te ontdekken met breukmaterialen. * Vereenvoudigen van breuken leidt tot de meest vereenvoudigde (onvereenvoudigbare) breuk. * **Ongelijknamige breuken:** Vereisen gelijknamig maken voor vergelijking en bewerkingen. * Vergelijken met behulp van ankerpunten (geheel, helft) of door gelijknamig te maken. ### Didactische aandachtspunten --- # Basisbewerkingen: optellen en aftrekken ### Kernidee * Betekenisvolle situaties maken rekenkundige problemen relevanter en verhogen de motivatie van leerlingen. * De overzetting van een realistische situatie naar een wiskundige formule en omgekeerd, versterkt het inzicht in de bewerking. ### Belangrijke feiten * Betekenisvolle situaties kunnen zowel eenvoudige als complexe bewerkingen ondersteunen. * De relatie met de realiteit is nodig om een probleem correct op te lossen en wiskundig inzicht te verwerven. * De leefwereld van leerlingen betrekken verhoogt hun motivatie en laat hen het nut van wiskunde ontdekken. * Het vertalen van levensechte situaties naar wiskundeproblemen helpt bij het analyseren van problemen. * Materiaal staat in plaats van een andere werkelijkheid en kan tastbaar en zintuiglijk worden ingezet. * Concrete voorstellingen evolueren naar meer gestructureerde voorstellingen die zich meer focussen op de hoeveelheid. * Abstracte fase maakt gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) wordt consequent toegepast bij het aanbrengen van bewerkingen. * Differentiatie en remediëring zijn cruciaal om ervoor te zorgen dat elke leerling de verschillende niveaus begrijpt. * Leerlingen moeten zelf initiatief nemen en zelfredzaamheid tonen bij het verwerven van begrip. * Het correct wiskundig verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen is fundamenteel. * Automatisatie van optellen en aftrekken tot 20 (later tot 100) en maal- en deeltafels is essentieel voor efficiënt rekenen. ### Belangrijke concepten * **Concreet niveau:** Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen met tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren. * **Schematisch niveau:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * **Abstract niveau:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis kent. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal, directe verwoording. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming, zonder fysieke manipulatie. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van de oplossingsmethode. * **Mentaal handelen:** Denkwerk volledig in het hoofd. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen in de redenering. ### Implicaties --- * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven omzetten naar wiskundige formules en vice versa om inzicht te verhogen. * De relatie tussen wiskunde en realiteit is cruciaal voor het begrijpen en oplossen van problemen. * Betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt motivatie en toont het nut van wiskunde. * **Verwiskundigen van een situatie:** Informatie kan verloren gaan bij het omzetten van een situatie naar een wiskundige voorstelling. * **Triplecodemodel (concreet – schematisch – abstract):** * **Concreet:** Tastbare voorwerpen, manipulatie, inzet van zintuigen (bv. MAB-materiaal, legoblokjes). Benadrukt hoeveelheidsaspect. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen (bv. getallenlijn, positietabel, honderdveld). Focus op gestructureerd rekenmateriaal. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Galperin's handelingsniveaus:** * Materieel handelen: Handelen met concreet materiaal en direct verwoorden. * Perceptueel handelen: Handelen via waarneming, kijken naar materialen of voorstellingen. * Verbaal handelen: Hardop verwoorden hoe de oefening is opgelost. * Mentaal handelen: Denkwerk volledig in het hoofd, zonder uitwendige verwoording. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen. * **Correct wiskundig verwoorden:** Cruciaal voor het begrijpen van oplossingsmethodes en begrippen, de brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * **Automatisering/Memoriseren:** Efficiëntie verhogen, maar steunt altijd op onderliggende inzichtelijke berekening. * **Leerlijn:** Altijd eerst inzichtelijk, gebruik van materiaal en schema's, verwoorden, tussenstappen noteren, veel oefenen. * **Inductief werken:** Van bijzondere voorbeelden naar algemene regels. * **Deductief werken:** Van de regel naar oefeningen (niet in lagere school). * **Functies van getallen:** Getal als hoeveelheid, rangorde, code, of verhouding (deel tot geheel). * **Talstelsels:** Tiendelig talstelsel (positioneel systeem), Romeins talstelsel (additief), twintigtallig stelsel (Maya's). * **Getalverzamelingen:** Natuurlijke getallen (N), gehele getallen (Z) (positieve natuurlijke getallen + negatieve getallen). * **Breuken:** Deel tot geheel, breuk als resultaat van verdeling, operator, getal, verhouding, of kans. * **Kommagetallen:** Deel van een geheel, verfijning van meetresultaten, koppeling aan geldrekenen. * **Procenten:** Verhouding ten opzichte van 100, verschillende verschijningsvormen (operator, verhouding, getal). ### Belangrijke aandachtspunten ### Tools en hulpmiddelen ### Oefenvormen en methodes --- * Wiskundige problemen kunnen worden omgezet van en naar realistische situaties om inzicht en betekenis te vergroten. * Het begrijpen van de relatie tussen wiskunde en de realiteit verhoogt de motivatie en het leerrendement. * De didactische krachtlijnen benadrukken het belang van betekenisvolle situaties om wiskundige concepten te leren. * De didactiek volgt het concreet – schematisch – abstract (CSA)-model. * **Materieel handelen:** leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden hun acties direct. * **Perceptueel handelen:** leerlingen handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** denkwerk gebeurt volledig intern, zonder verwoording of voorstelling. * Automatiseren van optellen, aftrekken tot 20 (en later tot 100), en maal- en deeltafels is essentieel. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel, als brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * Het doel is om leerlingen zelfredzaam te maken en hen de betekenis van begrippen te laten begrijpen. * **Verwiskundigen:** het proces van het omzetten van een realistische situatie naar een wiskundig probleem. * **CSA-model:** * **Concreet:** tastbare voorwerpen manipuleren, zintuigen gebruiken. * **Schematisch:** tekeningen, schema's, stappenplannen stellen de werkelijkheid voor. * **Abstract:** gebruik van symbolen, tekens en getallen. * **Triple-codemodel:** een oefening doorlopen in de concrete, schematische en abstracte fase. * **Handelingsniveaus van Galperin:** materieel handelen, perceptueel handelen, verbaal handelen, mentaal handelen. * **Inductief werken:** vertrekken van bijzondere voorbeelden naar een algemene regel. * **Deductief werken:** vertrekken van een regel naar specifieke oefeningen (minder gebruikt in lagere school). * **Functies van getallen:** getal als hoeveelheid, rangorde, code of verhouding. * **Talstelsels:** het tiendelig positional stelsel en andere systemen (bv. Romeins, twintigtallig). * **Breukbegrip:** deel ten opzichte van het geheel, als resultaat van een deling, als operator, als getal, als verhouding, als kans. * **Kommagetallen:** uitbreiding van het positional stelsel naar rechts van de eenheid. --- ### Kernconcepten - De betekenis van rekenkundige problemen uit het dagelijks leven vertalen naar wiskundige formules en omgekeerd verhoogt het inzicht. - Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt de motivatie en laat hen het praktische nut van wiskunde ontdekken. - Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model is essentieel voor het verwerven van wiskundig inzicht. ### Concreet fase - Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen met tastbare objecten die manipulatie en zintuiglijke betrokkenheid stimuleren. - Materiaal staat in plaats van de werkelijkheid, waarbij de hoeveelheid benadrukt wordt boven het uiterlijk van het voorwerp. - Voorbeelden: MAB-materiaal, legoblokjes, knopen. ### Schematische fase - Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. - Progressieve schematisering van concrete voorstellingen naar gestructureerd rekenmateriaal. - Voorbeelden: getallenlijn, positietabel, honderdveld. ### Abstracte fase - Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis ervan moet kennen. - Triple-codemodel: een oefening eerst concreet, dan schematisch en ten slotte abstract voorstellen met bijhorende notatie. ### Handelingsniveaus van Gal'perin - **Materieel handelen:** Leren door fysiek te handelen met concreet materiaal en dit onmiddellijk te verwoorden. - **Perceptueel handelen:** Leren door te waarnemen en te manipuleren via het kijken naar materiaal of voorstellingen. - **Verbaal handelen:** Leren door luidop te verwoorden hoe een oefening is opgelost. - **Mentaal handelen:** Denken vindt volledig intern plaats, zonder hoorbare verwoording of visuele voorstelling. ### Belang van correct wiskundig verwoorden - Het verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen is fundamenteel om de brug te slaan tussen manipuleren en werken zonder materiaal. - Systematisch hanteren van vaste verwoordingen helpt leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes en automatiseren. - Het correct invullen van woordbetekenissen en vakterminologie is cruciaal. ### Automatiseren en memoriseren - Optellen en aftrekken tot 20 (en later tot 100) en maal- en deeltafels moeten geautomatiseerd worden voor een kortere weg bij problemen. - Belangrijk om inzichtelijke berekeningen te behouden als ondersteuning bij geautomatiseerde bewerkingen. - Goede balans tussen oefenen op snelheid en op juistheid. ### Verhoudingstabellen - Een hulpmiddel om hoeveelheden en grootheden te vergelijken en ermee te rekenen. - Belangrijk om grootheden en eenheden te benoemen en de verhoudingstabel correct op te bouwen en te lezen. - Ondersteunt het inzicht in de betekenis van verhoudingen en helpt bij het verwoorden ervan. ### Functies van getallen - Getallen kunnen verschillende functies hebben (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding) en moeten in de juiste context geplaatst worden. ### Talstelsels ### Getalbegrip uitbreiden tot 100 ### Gehele getallen (Z) ### Rationele getallen (Breuken en kommagetallen) ### Procenten ### Veelvouden en delers ### Kenmerken van deelbaarheid ### Optellen en aftrekken ### Vermenigvuldigen en delen --- * Focus ligt op de overgang naar meer abstracte en systematische methodes voor optellen en aftrekken, met nadruk op inzicht en correcte wiskundige verwoording. * Het triple-codemodel (concreet-schematisch-abstract) blijft centraal bij het aanleren van bewerkingen. * **Differentiëring en remediëring:** Essentieel om te controleren of elke leerling de drie niveaus van het triple-codemodel begrijpt en om gerichte ondersteuning te bieden. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden hun oplossingsproces luidop. * **Mentaal handelen:** Het denkwerk gebeurt volledig intern zonder hoorbare verwoording. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen, wat leidt tot meer vertrouwen en zelfredzaamheid. * **Kaderen van nieuwe begrippen:** Nieuwe kennis plaatsen in de leerlijn, activeren van voorkennis en koppelen aan bestaande kennis bevordert verankering. * **Belang van correcte wiskundige verwoording:** * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Systematisch hanteren van vaste verwoordingen helpt bij het verwerven van oplossingsmethodes. * Vervanging van spreektaal door vaktaal, met controle op de juiste invulling van begrippen. * Fouten analyseren is een belangrijk leerproces. ### Kernfeiten * **Automatiseren:** Optellen en aftrekken tot 20 (later tot 100) en maal- en deeltafels moeten geautomatiseerd worden voor een efficiëntere aanpak van problemen. * **Leerlijn voor optellen en aftrekken:** Altijd eerst inzichtelijk aanleren met materiaal en schema's, tussenstappen noteren en terugvallen op inzichtelijke berekeningen bij problemen. * **Variatie in werkvormen:** Belangrijk om motivatie hoog te houden en een balans te vinden tussen snelheid en juistheid. * **Inductief werken:** Vertrekken vanuit concrete voorbeelden om patronen en wetmatigheden te ontdekken, om daarna tot een algemene regel te komen. * **Deductief werken:** Vertrekken van de regel en hierop oefeningen maken (minder geschikt voor lagere school). * **Inzicht bevorderen:** Regelmatig oefenen, tempo opdrijven om bewerkingen te automatiseren en antwoorden paraat te hebben. * Een sterke nadruk op het begrijpen van de **betekenisvolle situaties** achter de wiskundige bewerkingen. * De leerling moet in staat zijn om een situatie te **verwiskundigen** (omzetten naar een wiskundig probleem) en omgekeerd. * Het **leefwereld van de leerling** betrekken verhoogt de motivatie en het inzicht in het praktische nut van wiskunde. * Het **CSA-model** (Concreet – Schematisch – Abstract) biedt een duidelijke opbouw voor het verwerven van wiskundige begrippen. --- # Het aanbrengen en inoefenen van maaltafels ### Kernidee * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en het inzicht in wiskunde. * Het omzetten van dagelijkse problemen naar rekenkundige formules en omgekeerd verdiept het begrip van bewerkingen. * De leefwereld van leerlingen betrekken creëert relevantie en toont het praktische nut van wiskunde. ### Belangrijke feiten * Wiskundige denkprocessen omvatten de cyclus van het omzetten van de realiteit naar wiskunde (verwiskundigen) en omgekeerd. * Bij het verwiskundigen van een situatie kunnen essentiële informatie verloren gaan. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt hun motivatie. * Levenssituaties helpen leerlingen wiskundeproblemen te analyseren en het nut ervan te ontdekken. * Concrete, schematische en abstracte (CSA) fasen ondersteunen het leerproces van begrip tot inoefening. * **Tip:** Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) is essentieel bij het aanbrengen van nieuwe bewerkingen. ### Belangrijke concepten * **Concrete fase:** * Herkenbare, tastbare voorstellingen die manipulatie met zintuigen toelaten. * Voorbeelden: MAB-materiaal, ongestructureerd/gestructureerd materiaal, natuurlijke materialen. * Nadruk op hoeveelheidsaspect boven uiterlijke kenmerken. * **Schematische fase:** * Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * Progressieve schematisering: van afbeeldingen van de werkelijkheid naar afbeeldingen 'in plaats van' werkelijkheid (kruisjes, bollen). * Voorbeelden: getallenlijn, positietabel, honderdveld. * **Abstracte fase:** * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis ervan kennen. * Oefeningen zonder concreet materiaal of schematische voorstelling. * **Handelingsniveaus van Gal'perin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal en direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van het oplossingsproces. * **Mentaal handelen:** Volledig intern denkwerk zonder externe verwoording. ### Implicaties ### Aandachtspunten --- * Het aanleren van maaltafels verloopt in verschillende fasen: oriëntatie, reconstructie en automatisatie. * Inzicht in vermenigvuldigen en delen is cruciaal, niet enkel het memoriseren van tafels. * Het inoefenen van tafels kan op verschillende manieren om motivatie te behouden en diverse leerstijlen te ondersteunen. ### Kernfeiten * **Oriëntatiefase:** kennismaking met de begrippen vermenigvuldigen en delen, focus op inzicht en betekenis. * **Reconstructiefase:** tafels inzichtelijk opbouwen door gebruik van steunpunten en rekenstrategieën. * **Consolidatiefase:** oefenen om tot automatisatie te komen, gebruik van spelletjes en ICT. * **Uitbreidingsfase:** kennis van tafels uitbreiden naar grotere getallen en andere contexten (bv. breuken, niet-opgaande delingen). * Vermenigvuldigen wordt geïntroduceerd als herhaalde optelling, delen als verhoudingsdeling of verdelingsdeling. * De maaltafels moeten automatisch gekend zijn voor hoofdrekenen en cijferen. * Verhoudingsdeling is het aantal groepjes dat je kunt maken, verdelingsdeling is het bepalen hoe groot elk groepje is. * Bij vermenigvuldigen wordt het maalteken ($ \times $) gebruikt, bij delen het deelteken ($ \div $) of een breukstreep ($ / $). * De begrippen vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal en product (of deeltal, deler en quotiënt) worden aangeleerd. ### Kernconcepten * **Vermenigvuldigen:** herhaalde optelling, getal wordt herhaaldelijk bij zichzelf opgeteld. * Voorbeeld: $3 \times 6$ betekent 3 keer 6, of $6 + 6 + 6$. * **Delen:** * **Verhoudingsdeling:** hoe vaak past een getal in een ander getal (hoeveel groepjes). * Voorbeeld: $15 \div 3$ betekent hoe vaak past 3 in 15, of hoeveel groepjes van 3 kun je maken uit 15. * **Verdelingsdeling:** een hoeveelheid eerlijk verdelen onder een bepaald aantal. * Voorbeeld: $20 \div 5$ betekent 20 koekjes eerlijk verdelen onder 5 kinderen, hoeveel krijgt elk kind? * **Steunpunten en rekenstrategieën:** handige manieren om vermenigvuldigingen en delingen uit te rekenen zonder alles te memoriseren. * Voorbeeld: $7 \times 8$ kan uitgerekend worden als $(7 \times 5) + (7 \times 3)$. * **Modellen voor oriëntatiefase:** * **Groepjesmodel:** gebruik van concrete materialen om groepjes te vormen. * **Rechthoekmodel:** gebruik van rijen en kolommen. * **Getallenlijn:** sprongen maken om tot het resultaat te komen. ### Tips --- * Het aanleren van maaltafels moet plaatsvinden na een solide basis in optellen en aftrekken tot en met 20. * Vermenigvuldigen en delen worden geïntroduceerd als nieuwe bewerkingen, die voortbouwen op optellen en aftrekken. * Het belang van inzichtelijke aanpak en geautomatiseerde kennis van de tafels wordt benadrukt. * **Oriëntatiefase:** Eerste kennismaking met de begrippen vermenigvuldigen en delen, met focus op de betekenis. * **(Her)constructiefase:** Tafels worden inzichtelijk opgebouwd, eerst door herhaalde optelling, later door rekenstrategieën. * **Automatiseringsfase:** Oefenen om tot geautomatiseerde kennis te komen, met aandacht voor welbevinden van de leerling. * **Uitbreidingsfase:** Toepassen van tafels in complexere contexten, zoals delen met rest en combinatorische opgaven. * Vermenigvuldigen wordt geïntroduceerd als een verkorte manier van optellen. * Delen wordt op twee manieren voorgesteld: verhoudingsdeling en verdelingsdeling. * **Vermenigvuldigen:** * Herhaalde optelling. * Contexten herkennen en wiskundige notatie toepassen (bv. $3 \times 6$ of 4 keer 6). * Begrippen: vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product. * **Verhoudingsdeling:** Hoeveel groepjes van een bepaald aantal je kunt maken. * **Verdelingsdeling:** Een hoeveelheid eerlijk verdelen in een gegeven aantal gelijke delen. * Begrippen: deeltal, deler, quotient. * **Modellen voor de oriëntatiefase:** * Groepjesmodel: Sluit nauw aan bij concreet materiaal. * Rechthoekmodel: Biedt meer structuur en visualiseert de commutatieve eigenschap. * Getallenlijn: Schematische voorstelling voor sprongsgewijs tellen. * **Rekenstrategieën:** Gebruik van steunpunten en verbanden om tafels te berekenen (bv. $9 \times 7$ via $10 \times 7 - 7$). * Een te hoog lestempo of te weinig oefening kan leiden tot problemen bij hoofdrekenen en cijferen. * Focus op welbevinden en motivatie van de leerling bij het aanleren van de tafels is cruciaal. * Het belang van het inzichtelijk aanleren van de betekenis van vermenigvuldigen en delen vóór automatisatie. --- * Inzichtelijk aanbrengen van vermenigvuldigen en delen via diverse modellen en contexten. * Automatiseren van tafels door een combinatie van strategieën en herhaling. * Relatie leggen tussen inzicht en het paraat kennen van de tafels. * Maaltafels worden automatisch gekend, met ondersteuning van tussenstappen en rekenstrategieën. * De leerlijn start met optellen en aftrekken tot 20, gevolgd door getalbereik tot 100. * Vermenigvuldigen en delen worden aangepakt na het verwerven van inzicht in optellen en aftrekken. * De oriëntatiefase legt de focus op het begrijpen van de begrippen vermenigvuldigen en delen. * De (re)constructiefase bouwt de tafels inzichtelijk op, met nadruk op het verkort uitrekenen. * De consolidatiefase richt zich op het oefenen van de tafels om tot automatisatie te komen. * De uitbreidingsfase omvat vermenigvuldigen en delen boven de basis tafels, strategieën zoals splitsen en verdelen, en niet-opgaande delingen. * **Oriëntatiefase:** * Kennismaking met de begrippen vermenigvuldigen en delen. * Inzicht in de betekenis door middel van levensechte situaties. * Omzetting van spreektaal naar abstracte wiskundige notatie. * Modellen zoals het groepjesmodel, rechthoekmodel en getallenlijn worden gebruikt. * **Modellen oriëntatiefase:** * **Groepjesmodel:** Vlotte koppeling met concreet materiaal, benadrukt deelbaarheid en vermenigvuldiging. * **Rechthoekmodel:** Meer structuur, visualiseert vermenigvuldiging door rijen en kolommen. * **Getallenlijn:** Loskoppeling van concreet materiaal, toont sprongsgewijs tellen. * **(Re)constructiefase:** * Inzichtelijke opbouw van de tafels. * Gebruik van rekenstrategieën en steunpunten om verkort uit te rekenen. * Automatiseren van tafels door herhaling en spelvormen. * **Vakterminologie:** * Vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product. ### Tip --- * Het aanleren van maaltafels vereist een gefaseerde aanpak die begint met inzicht in de bewerking en eindigt met automatisatie. * De didactische krachtlijnen benadrukken het belang van betekenisvolle situaties, het driedimensionale model (concreet-schematisch-abstract) en de handelingsniveaus van Galperin. * **Verwiskundigen:** Het omzetten van een reële situatie naar een wiskundige formule en vice versa, om inzicht te vergroten. * **Concreet-schematisch-abstract (CSA)-model:** * **Concreet:** Gebruik van tastbaar materiaal (bv. MAB-materiaal, lego) dat gemanipuleerd kan worden. * **Schematisch:** Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen (bv. positietabel, getallenlijn). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal, direct verwoorden. * **Verbaal handelen:** Verwoorden van de oplossing, luidop denken. * **Mentaal handelen:** Denkwerk volledig in het hoofd, zonder externe ondersteuning. * **Inzichtelijke aanpak:** Begrijpen van de betekenis van een begrip en de deelhandelingen in de redenering. * **Automatiseren:** Het vlot en paraat kennen van bewerkingen zoals optellen/aftrekken tot 20 en de maaltafels. * **Inductief werken:** Van bijzondere naar algemene regels werken, vertrekkend vanuit concrete voorbeelden. ### Sleutelfeiten * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en het inzicht van leerlingen. * Het CSA-model moet consequent toegepast worden bij het aanbrengen van bewerkingen. * Differentiatie en remediëring zijn cruciaal om ervoor te zorgen dat elke leerling de drie niveaus begrijpt. * Het correct wiskundig verwoorden van begrippen en oplossingsmethodes is fundamenteel. * Automatisering van de maaltafels gebeurt best na een grondige inzichtelijke aanpak. * Het systematisch hanteren van vaste verwoordingen helpt leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes. * Het ontdekken van patronen en wetmatigheden door inductief te werken bevordert het begrip. * De leerlijn voor optellen en aftrekken bouwt geleidelijk op van concrete tot abstracte bewerkingen, met aandacht voor verschillende rekenmethodes. * Voor vermenigvuldigen en delen is een oriëntatiefase nodig om de begrippen inzichtelijk aan te brengen, gevolgd door een reconstructieve fase voor het inoefenen van de tafels. * De didactische aanpak van maaltafels moet rekening houden met verschillende leerstijlen en tempo's. ### Werkvormen en materialen ### Aandachtspunten bij aanbreng maaltafels --- # Eigenschappen van bewerkingen ### Kernidee * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven omzetten naar wiskundige formules en vice versa verhoogt het inzicht in bewerkingen. * De koppeling tussen wiskunde en de realiteit is essentieel voor zowel het begrip als de toepassing ervan. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen vergroot hun motivatie en laat hen het praktisch nut van wiskunde ontdekken. ### Sleutelbegrippen * **Verwiskundigen:** Het proces waarbij informatie uit een levenschte situatie wordt vertaald naar een wiskundig probleem, waarbij informatie verloren kan gaan. * **Concreet – Schematisch – Abstract (CSA-model):** Een didactisch model dat de opbouw van inzicht in leerinhouden beschrijft. * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstellingen met tastbare, manipuleerbare voorwerpen die zintuigen prikkelen. * Gebruik van natura-materiaal of materialen die de werkelijkheid vervangen (bv. knopen, lego). * Nadruk op hoeveelheidsaspect, minder op uiterlijke kenmerken. * Gestructureerd concreet materiaal (bv. MAB-materiaal, telraam). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * Progressieve schematisering met afbeeldingen uit de werkelijkheid, 'in plaats van' werkelijkheid (kruisjes, bollen), of gestructureerd rekenmateriaal. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de leerling de betekenis ervan kent. * **Handelingsniveaus van Galperin:** Focust op de rol van handelen en verwoorden bij het verwerven van inzicht. * **Materieel handelen:** Leren door te handelen met concreet materiaal en dit direct te verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming, waarbij materiaal (nog) gemanipuleerd wordt terwijl ernaar gekeken wordt. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig intern, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen, wat leidt tot meer vertrouwen en zelfredzaamheid. * **Correct wiskundig verwoorden:** Essentieel voor het overbruggen van de kloof tussen manipuleren en werken zonder materiaal, en het overschakelen van spreektaal naar vaktaal. ### Aandachtspunten * **Differentiatie en remediëring:** Essentieel om na te gaan of elke leerling de drie niveaus van het CSA-model begrijpt en om ondersteuning te bieden waar nodig. * **Zelfredzaamheid:** Stimuleren van leerlingen om zelf initiatief te nemen en hun eigen oplossingsmethoden te ontwikkelen. * **Herhaling:** Regelmatig herhalen, vooral bij abstracte begrippen, bevordert transfer. * **Opbouw in materiaalkeuze en handelingniveaus:** Zorg voor een duidelijke progressie in de gebruikte materialen en de handelingsniveaus. --- * De didactische krachtlijnen rond betekenisvolle situaties benadrukken de connectie tussen wiskunde en de realiteit. * Situaties uit het dagelijks leven vertalen naar wiskundige formules en omgekeerd verhoogt het inzicht en de motivatie van leerlingen. * De CSA-aanpak (concreet – schematisch – abstract) wordt toegepast om wiskundige begrippen te structureren. ### Kernconcepten * **Concreet-schematisch-abstract (CSA)-model**: * **Concrete fase**: Aanschouwelijke voorstellingen, tastbare objecten, manipulatiemateriaal (bv. MAB-materiaal, legoblokjes). Benadrukt de hoeveelheid. * **Schematische fase**: Tekeningen, schema's, stappenplannen, symbolische voorstellingen van materiaal (bv. kruisjes, bollen), getallenlijnen, positietafels. * **Abstracte fase**: Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Triplecodemodel**: Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met telkens de abstracte notatie erbij getoond. * **Handelingsniveaus van Galperin**: * **Materieel handelen**: Handelen met concreet materiaal en onmiddellijk verwoorden. * **Perceptueel handelen**: Handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen**: Luidop verwoorden hoe een oefening is opgelost. * **Mentaal handelen**: Denkwerk volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording. * **Inzichtelijke aanpak**: Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen in de redenering. * **Verhoudingstabellen**: Vergelijken van hoeveelheden tussen grootheden, bij recht of omgekeerd evenredige grootheden, groeipercentages en samengestelde grootheden. * **Functies van getallen**: Getallen kunnen verschillende functies hebben (bv. als hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Talstelsels**: * Het tientallig positionalstelsel (eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.). * Kennismaking met andere talstelsels (bv. Romeins, twintigtallig). * **Getalbegrippen**: * Natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$): Tellen en hoeveelheden. * Gehele getallen ($\mathbb{Z}$): Positieve en negatieve getallen (bv. temperaturen). * Rationale getallen: Breuken en kommagetallen. * **Breuken**: * Begrip als deel van een geheel of deel van een hoeveelheid. ### Sleutelfeiten ### Implicaties --- * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven vertalen naar wiskundige formules en omgekeerd verhoogt het inzicht in bewerkingen. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt motivatie en toont het praktisch nut van wiskunde. ### Concreet-schematisch-abstract (CSA) model #### Concrete fase * Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen die manipulatie en zintuiglijke input toelaten. * Voorbeelden: MAB-materiaal in positietabel, natura-materiaal (lego, eieren). * Nadruk op het hoeveelheidsaspect, minder op uiterlijk van het voorwerp. #### Schematische fase * Vertegenwoordiging van de werkelijkheid door tekeningen, schema's en stappenplannen. * Progressieve schematisering: afbeeldingen van de werkelijkheid, afbeeldingen 'in plaats van', gestructureerd rekenmateriaal. #### Abstracte fase * Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Geen concreet of schematisch materiaal meer nodig. ### Handelingsniveaus van Galperin #### Materieel handelen * Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen. #### Perceptueel handelen * Handelen enkel via waarneming; materialen of voorstellingen bekijken. #### Verbaal handelen * Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. #### Mentaal handelen * Denkwerk is volledig intern, zonder hoorbare verwoording of zichtbare voorstelling. ### Belang van correct wiskundig verwoorden * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Vaste verwoordingen helpen bij het verwerven van oplossingsmethoden en automatiseren. * Controleer of leerlingen de juiste invulling aan wiskundige termen geven. * Fouten leren vinden is een belangrijk leerproces dat verder brengt dan direct het juiste antwoord hebben. ### Automatiseren en memoriseren * Optellen en aftrekken tot 20, maal- en deeltafels. * Kortere weg geschreven over langere weg door automatisatie. * Steunen op onderliggende, inzichtelijke berekening bij problemen. ### Inductief en deductief werken #### Inductief werken * Van bijzondere voorbeelden naar algemene regels of principes. * Patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. #### Deductief werken * Vertrekken van de regel en hierop oefeningen maken (niet in lagere school). ### Functies van getallen * Getal als hoeveelheid: classificeren, tellen (synchroon, resultatief), subitizing, conservatie van hoeveelheid. ### Talstelsels #### Tiendelig talstelsel #### Andere talstelsels ### Getallenverzamelingen ### Breuken ### Kommagetallen ### Procenten ### Veelvouden en delers #### Veelvouden #### Delers ### Kenmerken van deelbaarheid ### Basisbewerkingen #### Optellen en aftrekken #### Vermenigvuldigen en delen --- * Betekenisvolle situaties creëren inzicht in de betekenis van bewerkingen door het verband tussen de realiteit en wiskundige formules te leggen. * Het concrete-schematische-abstracte (CSA) model dient als leidraad voor het aanbrengen van nieuwe leerinhouden. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) bieden een structuur voor het verwerven van inzicht. ### Belangrijke feiten * Relatie met de realiteit is nodig om problemen juist op te lossen en verhoogt de motivatie van leerlingen. * Het CSA-model is een proces waarbij leerlingen van tastbare voorwerpen naar symbolen evolueren. * **Concreet:** Gebruik van manipuleerbaar materiaal, zoals MAB-materiaal of natuurlijke voorwerpen. * **Schematisch:** Voorstellingen met tekeningen, schema's, getallenlijnen en positietabellen. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis moeten kennen. * De leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt en kan uitleggen. * Regelmatig herhalen van begrippen en vaardigheden bevordert transfer. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel voor het overbruggen van de kloof tussen manipuleren en abstract werken. * Automatisatie van basisbewerkingen (optellen/aftrekken tot 20, maal-/deeltafels) is essentieel, maar steunt op inzichtelijke berekeningen. * Inductief werken (van bijzonder naar algemeen) helpt leerlingen patronen en wetmatigheden te ontdekken. ### Kernbegrippen * **Verwiskundigen:** Het omzetten van een realiteitssituatie naar een wiskundig probleem. * **CSA-model:** * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstelling met manipuleerbaar materiaal. * **Schematisch:** Representaties zoals tekeningen, schema's, lijnen, tabellen. * **Abstract:** Gebruik van symbolen en getallen. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel:** Handelen met concreet materiaal en directe verwoording. * **Perceptueel:** Handelen enkel via waarneming van materiaal of voorstellingen. * **Verbaal:** Luidop verwoorden van het denkproces. * **Mentaal:** Denkwerk volledig in het hoofd. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen. * **Automatiseren:** Snellere uitvoering van bewerkingen door oefening. --- * De link tussen wiskunde en de realiteit waaruit wiskunde groeit en toepasbaar is, wordt "verwiskundigen" genoemd. ### Kernfeiten * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt motivatie en vergroot hun inzicht. * Situaties uit het dagelijks leven helpen leerlingen het praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde te ontdekken. * Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model wordt gebruikt om wiskundige begrippen aan te brengen. * **Concreet stadium:** Aanschouwelijke voorstellingen met tastbare objecten die gemanipuleerd kunnen worden. * Voorbeelden: MAB-materiaal, telraam, Lego, natuurlijke materialen (eieren, eten). * **Schematisch stadium:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * **Abstract stadium:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis moet kennen. * **Triple-codemodel:** Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met de abstracte notatie zichtbaar in beide fasen. * De leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus (concreet, schematisch, abstract) begrijpt. * Differentiëren en remediëren zijn essentieel bij het omgaan met leerlingen die moeite hebben met de opbouw. * Het belang van het correct wiskundig verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen wordt benadrukt. * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden onmiddellijk wat ze doen. * **Perceptueel handelen:** Leerlingen handelen enkel via waarneming van materiaal of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk vindt volledig in het hoofd plaats, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * De brug slaan tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Vaste verwoordingen helpen leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes en automatiseren. * Leerlingen schakelen over van spreektaal naar vaktaal. --- # Standaardmethodes voor optellen en aftrekken ### Kernidee * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven omzetten naar wiskundige formules en omgekeerd om inzicht te vergroten. * De link tussen wiskunde en de realiteit (verwiskundigen) is essentieel voor probleemoplossing en motivatie. ### Belangrijke concepten * **Concreet-schematisch-abstract (CSA)-model:** * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstelling met tastbare materialen (bv. MAB-materiaal, telraam). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, stappenplannen, getallenlijnen, tabellen (bv. honderdveld). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, met begrip van hun betekenis. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming van materiaal/voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van de oplossing. * **Mentaal handelen:** Het denkwerk volledig in het hoofd uitvoeren. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van begrippen en deelhandelingen. * **Correct wiskundig verwoorden:** Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal; overschakelen van spreektaal naar vaktaal. * **Automatiseren en memoriseren:** Kortere weg door automatisatie, steunen op onderliggende inzichtelijke berekening. * **Inductief werken:** Van bijzondere voorbeelden naar algemene regels. * **Deductief werken:** Van de regel naar specifieke oefeningen (niet in lagere school). ### Sleutelprincipes * **Betekenisvolle situaties:** Vergroten inzicht en motivatie door de relevantie van wiskunde te tonen. * **Leefwereld van leerlingen:** Betrekken van hun leefwereld verhoogt motivatie en begrip. * **Consequente verwoording:** Drie fasen (concreet, schematisch, abstract) komen aan bod bij het aanbrengen van bewerkingen. * **Differentiëren en remediëren:** Nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt en gepaste ondersteuning bieden. * **Opbouw in materiaalkeuze:** De leerling moet de opbouw in het gebruik van materialen begrijpen. * **Zelfredzaamheid:** Stimuleren dat leerlingen zelf initiatief nemen. * **Vaste verwoordingen:** Systematisch hanteren helpt leerlingen oplossingsmethodes te verwerven. * **Controleren van begrip:** Nagaan of leerlingen de juiste invulling geven aan woordgebruik door betekenis te vragen. * **Foutenanalyse:** Leren waar de fout zit is een belangrijk leerproces. ### Didactische hulpmiddelen en technieken --- * De focus ligt op het ontwikkelen van inzicht in optellen en aftrekken, met een geleidelijke opbouw van concreet naar abstract. * Betekenisvolle situaties en de leefwereld van leerlingen worden gebruikt om de motivatie en het begrip te verhogen. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) en de handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) zijn leidend in de didactische aanpak. ### Kernfeiten * Het betrekken van levensechte situaties helpt leerlingen het nut van wiskunde te ontdekken en te waarderen. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) wordt toegepast om nieuwe leerinhouden aan te brengen. * **Concreet:** Tastbare voorwerpen en manipuleerbaar materiaal (bv. MAB-materiaal, positietabel) staan centraal voor herkenbaarheid en zintuiglijke betrokkenheid. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, stappenplannen en gestructureerd rekenmateriaal (bv. getallenlijn, honderdveld) representeren de werkelijkheid en ondersteunen het denkproces. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis ervan moeten kennen. * De drie fasen van het triple-codemodel worden consequent toegepast bij het aanbrengen van bewerkingen, getalbegrip en breuken. * Leerlingen moeten de opbouw van het materiaal begrijpen en kunnen uitleggen om de leerstof te beheersen. * De handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) stimuleren inzichtelijk begrip door zelfstandig handelen en verwoorden. * Het belang van correct wiskundig verwoorden wordt benadrukt als brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * Automatiseren van optellen, aftrekken (tot 20, later tot 100) en maal-/deeltafels is een doel, maar steunt op onderliggend inzicht. * Inductief werken (van bijzonder naar algemeen) vanuit concrete voorbeelden helpt patronen en wetmatigheden te ontdekken. ### Sleutelconcepten * **Betekenisvolle situaties:** Wiskundige problemen vertalen naar herkenbare situaties uit het dagelijks leven om inzicht te vergroten en motivatie te verhogen. * **CSA-model:** Concreet, Schematisch, Abstract; de didactische route voor het aanbrengen van nieuwe wiskundige concepten. * **Handelingsniveaus van Galperin:** Materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen als opeenvolgende stappen naar inzicht. * **Verbaliseren:** Het hardop uitleggen van het denkproces en de oplossing is cruciaal voor het verwerven van begrip en zelfredzaamheid. * **Automatiseren:** Het vlot en zonder nadenken kunnen uitvoeren van basisbewerkingen, ondersteund door inzicht. * **Inductief werken:** Leren door patronen en regels te ontdekken vanuit concrete voorbeelden. * **Triple-codemodel:** Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract voorgesteld, met het bijhorende verbale en symbolische aspect. --- * Probleemstellingen uit het dagelijks leven kunnen worden omgezet naar wiskundige formules en vice versa, wat het inzicht in bewerkingen verdiept. * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en bieden inzicht bij zowel het aanleren als inoefenen van leerinhoud. * De relatie tussen wiskunde en de realiteit ("verwiskundigen") is cruciaal voor probleemoplossing. * **Concreet-schematisch-abstract (CSA-model):** * **Concreet:** Herkenbare, tastbare voorstellingen en manipuleerbaar materiaal (bv. MAB, eieren, lego). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen (bv. getallenlijn, positietabel, honderdveld). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Triplecodemodel:** Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met de abstracte notatie erbij getoond. * **Handelingsniveaus van Gal'perin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal en dit direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming, zonder manipulatie. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden hoe een oefening is opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk volledig in het hoofd uitvoeren. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen. * **Automatiseren/Memoriseren:** Het doel is om bewerkingen vlot te kunnen uitvoeren door herhaling, zoals optellen/aftrekken tot 20 en maal-/deeltafels. * **Inductief werken:** Vertrekken van specifieke voorbeelden naar algemene regels of patronen. * **Verhoudingstabellen:** Vergelijken van hoeveelheden tussen grootheden en rekenen daarmee, essentieel voor breuken en procenten. * **Functies van getallen:** Getallen kunnen worden geplaatst in verschillende contexten (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Talstelsels:** Het tientallig stelsel als basis, met uitbreidingen naar Romeinse en soms twintigtallige systemen. * **Getallenverzamelingen:** Focus op natuurlijke getallen, gehele getallen (inclusief negatieve getallen), breuken en kommagetallen. * **Breuken:** Begrip als deel van een geheel, resultaat van deling, operator, getal, verhouding en kans. * **Kommagetallen:** De betekenis van de cijfers na de komma, met koppeling aan maten en geld. * **Procenten:** Relatieve getallen die een verhouding tot 100 weergeven, met verschillende toepassingen. * **Veelvouden en delers:** Kenmerken van getallen en hun onderlinge relaties. * **Kenmerken van deelbaarheid:** Technieken om de deelbaarheid door bepaalde getallen te bepalen zonder volledige deling. ### Concreet-schematisch-abstract (CSA) model ### Handelingsniveaus van Gal'perin ### Aanpak van bewerkingen (optellen en aftrekken) ### Vermenigvuldigen en Delen ### Breuken ### Kommagetallen ### Procenten ### Veelvouden en Delers ### Rekenen met Natuurlijke Getallen --- * Didactische methodes bevorderen betekenisvol leren van optellen en aftrekken door de koppeling met de realiteit. * Het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract) vormt de basis voor het aanleren van rekenvaardigheden. * De handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) leiden tot inzichtelijke aanpak. ### Belangrijke feiten * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en het inzicht, zowel voor makkelijke als complexe bewerkingen. * Het verwiskundigen van situaties transformeert realiteit naar wiskundige formules en omgekeerd. * Het concrete stadium maakt gebruik van tastbare voorwerpen en zintuigen. * Het schematische stadium gebruikt tekeningen, schema's en symbolen die de werkelijkheid voorstellen. * Het abstracte stadium werkt met symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel biedt een oefening eerst concreet, dan schematisch en ten slotte abstract aan. * Automatiseren van bewerkingen (tot 20, later tot 100, en tafels) versnelt het rekenproces. * Inductief werken, van concrete voorbeelden naar algemene regels, bevordert inzicht. * Deductief werken (van regel naar oefening) wordt in de lagere school vermeden. * Verhoudingstabellen worden gebruikt om hoeveelheden in verschillende grootheden te vergelijken. * Getallen hebben verschillende functies: hoeveelheid, rangorde, code, en verhouding. * Het tiendelige talstelsel is een positioneel systeem gebaseerd op groeperen per tien. * Andere talstelsels zoals het Romeinse (additief) en Maya (positioneel, twintigtallig) worden kort aangestipt. * Het leren van natuurlijke en gehele getallen (inclusief negatieve getallen via context) vormt de basis. * Breuken, kommagetallen en percentages worden als rationele getallen behandeld. ### Kernconcepten * **CSA-model**: * **Concreet**: Manipuleren van tastbare objecten (bv. MAB-materiaal, knopen, lego). * **Schematisch**: Gebruik van tekeningen, schema's, getallenlijnen, tabellen (bv. positietabel, honderdveld). * **Abstract**: Gebruik van symbolen, getallen en formules. * **Handelingsniveaus van Galperin**: * **Materieel handelen**: Handelen met concreet materiaal, direct verwoorden. * **Perceptueel handelen**: Handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. ### Implicaties ### Veelvoorkomende valkuilen --- ### Inzicht in bewerkingen door betekenisvolle situaties * Rekenkundige probleemstellingen uit het dagelijks leven kunnen worden omgezet in rekenkundige formules en omgekeerd. * Het omzetten naar een levensecht voorbeeld verhoogt de betekenis van een bewerking. * Levenswereld van leerlingen betrekken verhoogt motivatie en biedt inzicht. * Leerlingen ontdekken praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde. * Realistische situaties helpen bij het verwerven van wiskundig begrip en bij verwerking. ### Concrete, schematische en abstracte fasen (CSA-model) * **Concrete fase:** * Aanschouwelijke, herkenbare voorstelling als hulpmiddel voor begrip of oplossingsmethoden. * Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, eten; MAB-materiaal in positietabel. * Ongestructureerd of gestructureerd materiaal, materialen staan in plaats van de werkelijkheid. * Nadruk op hoeveelheidsaspect, niet op uiterlijk van het voorwerp. * **Schematische fase:** * Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. * Duidelijke verwijzing naar de concrete fase met progressieve schematisering. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * Getallen in positietabel benadrukken structuur en opbouw van getallen. * **Abstracte fase:** * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis moeten kennen. * Triplecodemodel: oefening eerst concreet, dan schematisch, en de abstracte notatie tonen bij beide. * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen. * **Perceptueel handelen:** Leerlingen handelen enkel via waarneming (kijken) naar materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. ### Belang van correct wiskundig verwoorden * Het verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen is fundamenteel. * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. ### Automatisatie - Memoriseren ### Bewerkingen: optellen en aftrekken ### Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen --- # Gebruik van de rekenmachine in het onderwijs ### Kernidee * De rekenmachine is een didactisch hulpmiddel dat kan bijdragen aan betekenisvol wiskundeonderwijs. * Het gebruik van de rekenmachine moet aansluiten bij de drie fasen van het concreet-schematisch-abstract (CSA) model. * De rekenmachine ondersteunt het leerproces door leerlingen te laten focussen op analyse, inzicht en redeneren, in plaats van op louter computationele vaardigheden. ### Belangrijke feiten * Betekenisvolle situaties, waarin wiskunde gekoppeld wordt aan de leefwereld, verhogen de motivatie en het inzicht. * Het vertalen van realistische situaties naar wiskundige problemen (verwiskundigen) helpt leerlingen het nut van wiskunde te ontdekken. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het opbouwen van wiskundig begrip. * De concrete fase omvat tastbare voorwerpen en manipulatie, zoals MAB-materiaal. * De schematische fase maakt gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen, zoals getallenlijnen en tabellen. * De abstracte fase omvat het gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) bieden een structuur voor de opbouw van inzicht. * Correct wiskundig verwoorden is cruciaal voor het overbruggen van het gat tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Automatiseren van bewerkingen, zoals optellen en aftrekken tot 20 en maal- en deeltafels, verkort de weg naar complexere problemen. * Inductief werken, van bijzondere naar algemene regels, helpt leerlingen patronen en wetmatigheden te ontdekken. * Deductief werken, van de regel naar specifieke oefeningen, is minder geschikt voor de lagere school. ### Kernconcepten * **Verhoudingstabellen**: Hulpmiddel bij het vergelijken van grootheden en het berekenen van toenames of afnames. * **Functies van getallen**: Getallen kunnen verschillende rollen vervullen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Talstelsels**: Het tiendelig getalstelsel met zijn positiewaarde is de basis. Andere talstelsels (Romeins, Maya) verrijken het begrip. * **Getalverzamelingen**: Natuurlijke getallen, gehele getallen (inclusief negatieve getallen). * **Breuken**: Deel van een geheel, waarbij de breuk als resultaat van deling, operator, getal, verhouding of kans beschouwd kan worden. * **Kommagetallen**: Uitbreiding van het tiendelig talstelsel met cijfers na de komma, gekoppeld aan euro's, meetresultaten en breuken. * **Procenten**: Een specifieke verhouding ten opzichte van 100, die als operator, verhouding of getal kan functioneren. * **Veelvouden en delers**: Basisbegrippen voor het begrijpen van getallen en hun onderlinge relaties. * **Priemgetallen**: Natuurlijke getallen groter dan 1 die slechts twee delers hebben: 1 en zichzelf. * **Deelbaarheidskenmerken**: Hulpmiddelen om snel te bepalen of een getal deelbaar is door een ander getal. * **Berekeningswijzen**: Hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen en rekenen met de rekenmachine, elk met eigen doelen en toepassingen. ### Implicaties --- * Betekenisvolle wiskundige situaties creëren door de leefwereld van leerlingen te betrekken. * Leerlingen de praktische en maatschappelijke relevantie van wiskunde laten ontdekken. * Inzicht vergroten door te vertrekken van concrete situaties naar schematische en abstracte voorstellingen (CSA-model). * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en bieden inzicht in bewerkingen. * Het omzetten van realiteit naar wiskunde (verwiskundigen) is essentieel, maar kan informatieverlies opleveren. * De concrete fase gebruikt tastbare voorwerpen en zintuigen om inzicht te verwerven. * Schematische voorstellingen gebruiken tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid representeren. * Abstracte fase omvat het gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel (concreet-schematisch-abstract) moet consistent worden toegepast bij het aanbrengen van bewerkingen. * Handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) tonen de opbouw van begrip. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel voor de brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * Automatiseren van bewerkingen (optellen, aftrekken, tafels) is nodig voor efficiënt rekenen. * Inductief werken (van bijzonder naar algemeen) helpt patronen en wetmatigheden te ontdekken. ### Belangrijke concepten * **Verwiskundigen:** Het proces van het vertalen van een reële situatie naar een wiskundige formulering. * **CSA-model:** Concreet, Schematisch, Abstract - een didactisch model voor het aanleren van wiskundige begrippen. * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstellingen, tastbare objecten (bv. MAB-materiaal, knopen). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, lijnen, tabellen die de werkelijkheid voorstellen (bv. getallenlijn, honderdveld). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, getallen en tekens met gekende betekenis. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal, direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming (kijken naar materiaal). * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van het denkproces. * **Mentaal handelen:** Volledig intern denkproces, zonder zichtbare verwoording. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen in de redenering. * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken met dezelfde waarde maar verschillende tellers en noemers (bv. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$). ### Gevolgen en implicaties ### Tip --- * De rekenmachine is een hulpmiddel dat kan bijdragen aan betekenisvol wiskundeonderwijs. * Het correcte gebruik van de rekenmachine vereist inzicht in de onderliggende wiskundige concepten. ### Kernfeiten * Betekenisvolle situaties verbinden dagelijkse problemen met wiskundige formules, wat inzicht vergroot. * De leefwereld van leerlingen betrekken verhoogt motivatie en toont het nut van wiskunde. * Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model biedt een didactisch kader voor leerinhouden. * Abstracte begrippen moeten gekoppeld worden aan hun betekenis. * Handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) beschrijven de opbouw van inzicht. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel voor het overbruggen van manipulatie en abstract werken. * Automatiseren van bewerkingen biedt een kortere weg maar moet steunen op inzicht. * Inductief werken (van specifiek naar algemeen) is essentieel, deductief werken is voor latere leerjaren. * Verhoudingstabellen helpen bij het vergelijken van grootheden en het berekenen van relaties. * Getallen hebben verschillende functies: hoeveelheid, rangorde, code, verhouding. * Het tientallig positiestelsel is de basis voor getalbegrip. * Negatieve getallen worden geïntroduceerd via contexten zoals temperatuur. * Breuken vereisen een goed begrip van verhoudingen (deel tot geheel). * Kommagetallen worden aangebracht via geldrekenen en maatgetallen. * Procenten worden begrepen als een verhouding ten opzichte van 100. * Veelvouden en delers zijn basisbegrippen voor bewerkingen en vereenvoudiging. * Kenmerken van deelbaarheid versnellen het rekenwerk. * Verschillende rekenmethodes (hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen, rekenmachine) hebben elk hun plaats. * Hoofdrekenen focust op flexibele en inzichtelijke methodes. * Cijferen is een standaardalgoritme voor systematische berekeningen. * Schattend rekenen vereist inzicht in afronden en bewerkingskennis. * De rekenmachine dient als controlemiddel en voor complexe opgaven. * Optellen en aftrekken worden aangebracht via handelingscontexten (veranderings-, deel-geheel-, vergelijkingssituaties). ### Voorbeelden --- * De rekenmachine dient als hulpmiddel en niet als vervanging van het rekenproces. * Integratie van de rekenmachine vereist een duidelijke didactische visie en specifieke leerdoelen. * De rekenmachine kan ingezet worden voor betekenisvolle situaties, analyse en verwerking van data. * **Functies van getallen:** * Getal als hoeveelheid (effectief tellen, één-op-éénrelatie). * Getal als rangorde (seriëren, volgorde). * Getal als code (identificatie, geen rangorde). * Getal als verhouding (deel ten opzichte van het geheel, breuken, procenten). * **Talstelsels:** * Tiendelig talstelsel: positionaliteit, groeperen per tien, MAB-materiaal, positietabel. * Andere talstelsels (Romeins, twintigtallig Maya's) voor vergelijkend inzicht. * **Breuken:** * Begrip: deel van een geheel, deel van meer dan één geheel, operator, getal, verhouding, kans. * CSA-model: concreet (vouwen, verdelen), schematisch (stroken, honderdveld), abstract (notatie). * Verschijningsvormen: resultaat van verdeling, operator, getal, verhouding, kans. * Gelijkwaardige breuken: visueel en via de hoofdeigenschap (teller en noemer vermenigvuldigen/delen met hetzelfde getal). * Vereenvoudigen: tot een onvereenvoudigbare breuk. * Vergelijken: gelijknamige breuken, gelijke tellers, verschillende tellers/noemers. * **Kommagetallen:** * Begrip: uitbreiding tiendelig stelsel, plaatswaarde na de komma. * Correct lezen en noteren (bv. "zeven komma twee" of "zevenentwintig honderdsten"). * Positietabel met tienden, honderdsten, duizendsten. * Verband met geldwaarden en meten. * **Procenten:** * Betekenis: "per honderd", verhouding tot 100. --- * De rekenmachine wordt ingezet als didactisch hulpmiddel om leerlingen te ondersteunen bij het verwerven van wiskundige concepten en vaardigheden. * Het doel is niet het vervangen van inzicht, maar het faciliteren van het leerproces door de rekenmachine in te zetten op de juiste momenten en met de juiste didactische intentie. * De rekenmachine kan helpen bij het verkennen van patronen, het uitvoeren van complexe berekeningen en het stimuleren van onderzoekend leren. * **Verhoging van motivatie:** Betekenisvolle situaties, waarbij de rekenmachine kan worden ingezet, verhogen de motivatie van leerlingen door het nut van wiskunde te tonen. * **Verkenning van patronen:** De rekenmachine maakt het mogelijk om snel veel berekeningen uit te voeren, wat helpt bij het ontdekken van patronen en verbanden. * **Ondersteuning bij complexe berekeningen:** Bij ingewikkelde berekeningen kan de rekenmachine een uitkomst bieden, waardoor leerlingen zich kunnen focussen op het wiskundig denkproces in plaats van op de rekenhandeling zelf. * **Differentiatie:** De rekenmachine kan een middel zijn om te differentiëren, waarbij leerlingen op hun eigen tempo en niveau kunnen werken. * **Toepassing van het CSA-model:** De rekenmachine kan gebruikt worden in de abstracte fase van het CSA-model, nadat het concept eerst concreet en schematisch is aangereikt. * **Verwiskundigen:** Het proces waarbij een real-world situatie wordt omgezet naar een wiskundige formule of probleemstelling. De rekenmachine kan hierbij een rol spelen bij het verkennen van de mogelijkheden. * **Didactische krachtlijnen:** Richtlijnen voor het effectief inzetten van leermiddelen, waaronder de rekenmachine, om leerlingen tot leren te laten komen. * **Handelingsniveaus van Galperin:** Een model dat de opbouw van wiskundig begrip beschrijft, van materieel handelen tot mentaal handelen. De rekenmachine kan op verschillende niveaus worden ingezet. * **Triplecodemodel:** Een didactisch model waarbij een oefening eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract wordt aangeboden. De rekenmachine past vooral in de abstracte fase. * **Inzichtelijke aanpak:** Het leerproces waarbij leerlingen de betekenis van een begrip zelf begrijpen en de redenering kunnen volgen. De rekenmachine moet dit inzicht ondersteunen, niet vervangen. * **Vakdidactische keuzes:** Leerkrachten moeten weloverwogen keuzes maken over wanneer en hoe de rekenmachine wordt ingezet, rekening houdend met de leerdoelen. * **Training van leerkrachten:** Leerkrachten hebben training nodig om de rekenmachine effectief en didactisch verantwoord in te zetten. * **Voorbereiding op vervolgonderwijs:** Het correcte gebruik van de rekenmachine op school bereidt leerlingen voor op het gebruik ervan in vervolgonderwijs en het werkveld. * **Balans tussen strategieën:** Het is cruciaal om een balans te vinden tussen het aanleren van rekenstrategieën, het automatiseren van bewerkingen en het inzetten van de rekenmachine. * **Risico op misbruik:** Zonder duidelijke richtlijnen en begeleiding kan de rekenmachine leiden tot oppervlakkig leren of het omzeilen van het leerproces. --- * Betekenisvolle situaties bevorderen wiskundig inzicht door de link met de realiteit te leggen. * Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model biedt een gestructureerde aanpak voor het verwerven van wiskundige begrippen. * Betekenisvolle situaties motiveren leerlingen en tonen het praktisch nut van wiskunde. * Het vertalen van realistische situaties naar wiskundeproblemen en omgekeerd, verhoogt het inzicht in bewerkingen. * De concrete fase maakt gebruik van tastbare materialen die gemanipuleerd kunnen worden. * Schematische voorstellingen omvatten tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid representeren. * Abstracte fase maakt gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel houdt in dat een oefening eerst concreet, dan schematisch en ten slotte abstract wordt voorgesteld. * De leerkracht moet nagaan of leerlingen de drie niveaus begrijpen en hen ondersteunen waar nodig. * Het Galperin-model onderscheidt vier handelingsniveaus: materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen. * Inzichtelijke aanpak bevordert vertrouwen in eigen redeneringsvermogen en transfer. * Correct wiskundig verwoorden is cruciaal voor de brug tussen manipuleren en abstract werken. * Automatisatie van bewerkingen (optellen/aftrekken tot 20, maal- en deeltafels) maakt een kortere weg mogelijk. * Inductief werken vertrekt van specifieke voorbeelden om tot algemene regels te komen. * Verhoudingstabellen worden gebruikt om hoeveelheden in verschillende grootheden te vergelijken en te berekenen. * Getallen kunnen verschillende functies hebben: als hoeveelheid, rangorde, code of verhouding. * Het tientallig talstelsel is een positiestelsel waarbij groeperen per tien centraal staat. * Romeinse en Maya-talstelsels zijn alternatieve systemen met specifieke kenmerken. * Getallenverzamelingen zoals natuurlijke en gehele getallen worden behandeld, inclusief negatieve getallen. * Breuken vertegenwoordigen een deel ten opzichte van het geheel en vereisen een solide breukbegrip. * Kommagetallen breiden het plaatswaardesysteem uit naar rechts van de komma. * Procenten vertegenwoordigen een verhouding ten opzichte van 100 en komen in verschillende verschijningsvormen voor. * Veelvouden en delers vormen de basis voor concepten als kgv en ggd. * Kenmerken van deelbaarheid vereenvoudigen het bepalen van deelbaarheid door specifieke getallen. * Verschillende rekenmethodes (hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen, rekenmachine) moeten beheerst worden en de juiste keuze moet gemaakt kunnen worden. --- # Rekenen met natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken ### Kernconcepten * Betekenisvolle situaties helpen leerlingen de relatie tussen wiskunde en de realiteit te begrijpen. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het verwerven van inzicht in wiskundige begrippen. * Handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) ondersteunen de ontwikkeling van wiskundig begrip. ### Concrete fase * Aanschouwelijke, tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden, bieden inzicht. * Voorbeelden: MAB-materiaal, legoblokjes, eieren. * Materiaal staat in plaats van de werkelijkheid; het benadrukt de hoeveelheid, niet het uiterlijk. ### Schematische fase * Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. * Progressieve schematisering: van afbeeldingen van de werkelijkheid naar afbeeldingen die "in plaats van" de werkelijkheid staan (kruisjes, bollen). * Gestructureerd rekenmateriaal zoals telramen en breukschijven worden hier gebruikt. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. ### Abstracte fase * Gebruik van symbolen, tekens en getallen; leerlingen moeten de betekenis kennen. * Het triplecodemodel (concreet, schematisch, abstract) wordt consequent toegepast. * Belangrijk is de consistente verwoording van de drie fasen bij het aanbrengen van een bewerking. ### Aandachtspunten didactiek * Leerkracht moet nagaan of leerlingen alle drie de niveaus begrijpen. * Differentiëren en remediëren zijn cruciaal. * Leerlingen moeten zelf initiatief nemen en zelfredzaamheid tonen. ### Handelingsniveaus van Galperin * **Materieel handelen**: Direct handelen met concreet materiaal en onmiddellijk verwoorden wat men doet. * **Perceptueel handelen**: Handelen enkel via waarneming; materiaal of voorstellingen bekijken. * **Verbaal handelen**: Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen**: Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording. ### Belang van correct wiskundig verwoorden * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Vaste verwoordingen helpen leerlingen om oplossingsmethodes te verwerven. * Leerlingen schakelen over van spreektaal naar vaktaal. * Vragen naar de betekenis van gebruikte begrippen is essentieel. ### Automatiseren en memoriseren * Optellen en aftrekken tot 20 (en later tot 100), en maal- en deeltafels moeten geautomatiseerd worden. ### Inductief en deductief werken ### Talstelsels ### Getalbegrip en functies van getallen ### Gehele getallen (Z) ### Rationele getallen (Breuken en kommagetallen) ### Procenten ### Veelvouden en delers ### Basisbewerkingen (Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) --- ### Kernidee * Betekenisvolle situaties helpen leerlingen wiskundige problemen te analyseren en het nut van wiskunde te ontdekken. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het verwerven van inzicht. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel om de brug tussen manipulatie en abstractie te slaan. ### Kernfeiten * **Concreet:** Gebruik tastbare voorwerpen en manipuleerbaar materiaal om begrip te vergroten. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. * **Abstract:** Gebruik symbolen, tekens en getallen, waarbij de leerling de betekenis ervan kent. * **Triplecodemodel:** Een oefening doorloopt eerst de concrete, dan de schematische, en tenslotte de abstracte fase. * **Handelingsniveaus (Galperin):** Materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen bevorderen inzicht. * **Getallen:** Kunnen een hoeveelheid, rangorde, code of verhouding voorstellen. * **Talstelsels:** Het tiendelig positiestelsel is de basis, maar ook andere stelsels zoals het Romeinse en Maya-stelsel komen aan bod. * **Breuken:** Verkennen de breuk als deel van een geheel, operator, getal, verhouding of kans. * **Kommagetallen:** Verkennen de betekenis van de komma als scheiding tussen eenheden en tienden/honderdsten, en de koppeling met geldwaarden. * **Procenten:** Begrijpen procenten als een verhouding tot 100, met toepassingen als operator, verhouding en getal. * **Veelvouden en delers:** Systematisch noteren, kenmerken ontdekken en toepassen in situaties zoals het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) en grootste gemeenschappelijke deler (ggd). * **Deelbaarheidskenmerken:** Vereenvoudigen het controleren van deelbaarheid zonder volledige delingen uit te voeren. * **Berekeningswijzen:** Hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen en rekenmachinegebruik worden aangeleerd. * **Verwiskundigen:** Het omzetten van een situatie naar een wiskundige voorstelling. * **Getalbegrip:** Het begrijpen van de verschillende functies van getallen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Breukbegrip:** Het concept van een deel van een geheel en de verschillende verschijningsvormen van breuken. * **Kommagetal:** Een getal met een decimale komma, dat een preciezere weergave mogelijk maakt. * **Percentage:** Een specifieke vorm van verhouding, uitgedrukt per honderd. * **Veelvouden:** Getallen die ontstaan door vermenigvuldiging met een natuurlijk getal. * **Delers:** Getallen waardoor een ander getal deelbaar is. * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen. * **Vereenvoudigen van breuken:** Het vinden van de meest eenvoudige vorm van een breuk. ### Implicaties ### Tips ### Voorbeelden --- ### Kernideeën - Betekenisvolle situaties helpen om wiskundige problemen te begrijpen en de relatie met de realiteit te zien. - Het CSA-model (Concreet – Schematisch – Abstract) wordt gebruikt om leerinhouden aan te brengen. - Verschillende functies van getallen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding) moeten worden herkend en begrepen. - Het tiendelige talstelsel en andere talstelsels (zoals het Romeinse) worden onderzocht. - Getalbegrip wordt uitgebreid naar gehele getallen (inclusief negatieve getallen). - Breuken, kommagetallen en procenten worden ingevoerd als uitbreidingen van het getalbegrip. #### Het concreet-schematisch-abstract model (CSA) - **Concreet:** Gebruik van tastbare voorwerpen om begrip te bevorderen. - Ongestructureerd en gestructureerd materiaal (bv. Lego, MAB-materiaal). - Materiaal staat in plaats van de werkelijkheid, focus op hoeveelheid. - **Schematisch:** Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. - Cijfers in een positietabel. - Getallenlijn, tabellen, honderdveld. - Abstractere voorstellingen waarbij uiterlijke kenmerken beperkt worden. - **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij leerlingen de betekenis kennen. - Concentratie op de wiskundige notatie. - **Tip:** Zorg dat leerlingen de overgang tussen de drie niveaus begrijpen. #### Handelingsniveaus van Galperin - **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct. - **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming, zonder manipulatie. - **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. - **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder externe verwoording. - **Tip:** Een inzichtelijke aanpak betekent dat leerlingen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen snappen. #### Functies van getallen - **Getal als hoeveelheid:** Abstract aspect van tellen, 1-op-1 relatie met voorwerpen. - Synchroon tellen: tellen en aanwijzen/kijken naar voorwerpen. - Resultatief tellen: koppelen geteld aantal aan de hoeveelheid. - Besef van behoud van hoeveelheid (conservatie). #### Talstelsels #### Gehele getallen (inclusief negatieve getallen) #### Breuken #### Kommagetallen #### Procenten #### Veelvouden en delers #### Bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) --- ### Betekenisvolle situaties en het CSA-model * **Kernidee:** Wiskundige problemen uit het dagelijks leven omzetten naar formules en omgekeerd verhoogt inzicht en motivatie. * **Doel:** Leerlingen het praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde laten ontdekken. * **Concreet – Schematisch – Abstract (CSA) model:** * **Concreet:** Aanschouwelijke, manipuleerbare voorwerpen die de werkelijkheid zo herkenbaar mogelijk voorstellen. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, getallenlijnen, tabellen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. ### Handelingsniveaus van Gal'perin * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden onmiddellijk wat ze doen. * **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming (kijken naar materialen of voorstellingen). * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig intern, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. ### Betekenis van getallen * **Getal als hoeveelheid:** Abstract aspect waarbij het getal de hoeveelheid vertegenwoordigt (resultatief tellen, subitizing, conservatie). * **Getal als rangorde:** Ordenen volgens criteria (serieel tellen, rangtelwoorden). * **Getal als code:** Identificerende functie zonder wiskundige betekenis (bv. busnummer). * **Getal als verhouding:** Deel ten opzichte van het geheel (breuken, procenten). * **Getal als maatgetal:** Een eenheid ontbreekt soms. * **Tiendelig talstelsel:** Positiesysteem waarbij groepering per tien essentieel is. * MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks) ondersteunt dit, met benamingen zoals eenheid, tiental, honderdtal. * Positietabel helpt bij het voorstellen van het tientallig stelsel. * **Andere talstelsels:** * **Romeins talstelsel:** Additief systeem met extra regels. * **Twintigtallig stelsel (Maya's):** Additief en positioneel systeem. ### Getallenverzamelingen * **Natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$):** Gekoppeld aan tellen en hoeveelheden. * **Gehele getallen ($\mathbb{Z}$):** Natuurlijke getallen inclusief negatieve getallen, aangebracht via concrete situaties zoals temperatuur. * **Rationale getallen:** Breuken en kommagetallen. ### Breuken * **Breukbegrip:** Verhouding deel tot geheel; cruciaal om de 'natural number bias' te doorbreken. ### Kommagetallen ### Bewerkingen --- ### Concreet, schematisch en abstract (CSA-model) * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstelling die zo herkenbaar mogelijk is voor de leerling als hulpmiddel voor inzicht. Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Materiaal dat de werkelijkheid vervangt, zoals bollen die één auto voorstellen. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, eten. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces en inzicht. Duidelijke verwijzing naar concreet materiaal. * Getallen in een positietabel in plaats van MAB-materiaal. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis kent. * Triplecodemodel: een oefening eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract voorstellen. * **Perceptueel handelen:** Leren via waarneming van materialen of voorstellingen, die gemanipuleerd kunnen worden terwijl ernaar gekeken wordt. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * Oplossingsmethodes en begrippen verwoorden is van fundamenteel belang. * Vaste verwoordingen systematisch hanteren helpt leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes. * Controleer of leerlingen de juiste invulling aan een woord geven door naar de betekenis te vragen. * **Veelvouden:** Getallen die je verkrijgt door een natuurlijk getal te vermenigvuldigen met een ander natuurlijk getal. * Elk getal is een veelvoud van zichzelf. * Alle veelvouden van 0 zijn 0. * **Delers:** Getallen waardoor een ander getal deelbaar is zonder rest. * Elk getal heeft minstens 1 en zichzelf als deler (onechte delers). * **Grootste gemeenschappelijke deler (GGD):** De grootste deler die twee of meer getallen gemeenschappelijk hebben. * Belangrijk bij het vereenvoudigen van breuken. * **Kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV):** Het kleinste veelvoud dat twee of meer getallen gemeenschappelijk hebben. * Belangrijk bij het gelijknamig maken van breuken. --- * Betekenisvolle situaties linken wiskunde aan de realiteit, wat leidt tot beter begrip en hogere motivatie bij leerlingen. * Het leerproces verloopt via het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model, waarbij abstractie geleidelijk wordt opgebouwd. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) ondersteunen de ontwikkeling van inzicht. ### Belangrijke feiten * **Verkunnigen van situaties:** dagelijkse problemen omzetten in wiskundige formules en omgekeerd om betekenis te geven. * **Concreet:** gebruik van tastbare materialen die gemanipuleerd kunnen worden. * **Schematisch:** voorstellingen met tekeningen, schema's, stappenplannen en gestructureerd rekenmateriaal. * **Abstract:** gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Triple Code Model:** een oefening eerst concreet, dan schematisch en abstract voorstellen, met consistente verwoording op elk niveau. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** handelen met concreet materiaal en dit direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** handelen via waarneming, zonder direct te manipuleren. * **Verbaal handelen:** luidop verwoorden hoe een oefening wordt opgelost. * **Mentaal handelen:** denken zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * **Inzichtelijke aanpak:** leerlingen begrijpen de betekenis van begrippen en deelhandelingen. * **Correct wiskundig verwoorden:** fundamenteel voor begrip en transfer; brug tussen manipulatie en abstract werken. * **Automatiseren:** sneller en efficiënter rekenen door memoriseren van bewerkingen (optellen/aftrekken tot 20/100, maal- en deeltafels). * **Inductief werken:** van specifieke voorbeelden naar algemene regels. * **Deductief werken:** van een regel naar specifieke oefeningen (niet in lagere school). ### Belangrijke concepten * **Verhoudingstabellen:** vergelijken van hoeveelheden in verschillende grootheden, recht of omgekeerd evenredige grootheden berekenen. * Belangrijk om grootheden en eenheden te benoemen. * Herleidingen kunnen in de tabel genoteerd worden. * **Functies van getallen:** getallen kunnen verschillende rollen vervullen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Getal als hoeveelheid:** tellen, hoeveelheidsaspect, conservatie, reversibel denken. * **Getal als rangorde:** seriëren, telrij, rangtelwoorden. * **Getal als code:** identificatie zonder wiskundige betekenis. ### Tip ### Voorbeeld --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Betekenisvolle situaties | Contexten uit het dagelijks leven die gebruikt worden om wiskundige concepten te illustreren en te verbinden met de realiteit van leerlingen, wat leidt tot meer inzicht en motivatie. | | Verwiskundigen | Het proces van het vertalen van een situatie uit de werkelijkheid naar een wiskundig probleem of model, waarbij informatie verloren kan gaan. | | Concreet – schematisch – abstract (CSA-model) | Een didactisch model dat de opbouw van begrip in drie fasen beschrijft: eerst via tastbare voorwerpen, dan via tekeningen of schema's, en ten slotte via symbolen en getallen. | | Concrete fase | De initiële fase van het leerproces waarbij leerlingen leren met tastbare voorwerpen die ze kunnen manipuleren om wiskundige concepten te begrijpen. | | Schematische fase | De fase waarin de werkelijkheid wordt voorgesteld door middel van tekeningen, schema's en stappenplannen, wat het denkproces en inzicht ondersteunt. | | Abstracte fase | De fase waarin leerlingen werken met symbolen, tekens en getallen, zonder direct gebruik te maken van concreet materiaal of schematische voorstellingen. | | Handelingsniveaus van Galperin | Een model dat vier niveaus van handelen beschrijft: materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen, om de ontwikkeling van inzicht te ondersteunen. | | Materieel handelen | Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen, waarbij ze de voorwerpen manipuleren. | | Perceptueel handelen | Leerlingen handelen enkel via waarneming, waarbij ze materialen of voorstellingen bekijken en eventueel manipuleren terwijl ze ernaar kijken. | | Verbaal handelen | Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost, wat hun denkproces ondersteunt. | | Mentaal handelen | Het denkwerk vindt volledig in het hoofd plaats, zonder hoorbare verwoording of externe voorstelling. | | Inzichtelijke aanpak | Een benadering waarbij leerlingen de betekenis van een wiskundig begrip zelf begrijpen en alle deelhandelingen in de redenering snappen. | | Automatiseren – Memoriseren | Het proces waarbij wiskundige feiten en procedures, zoals de uitkomsten van maaltafels, zo goed worden geoefend dat ze zonder veel nadenken paraat zijn, wat een kortere weg biedt dan de langere, inzichtelijke berekening. | | Inductief werken | Een leermethode waarbij men vertrekt van specifieke voorbeelden en patronen om tot een algemene regel of begrip te komen, wat nuttig is bij het ontdekken van de structuur en wetmatigheden in maaltafels. | | Verhoudingstabel | Een tabel die wordt gebruikt om hoeveelheden in verschillende grootheden te vergelijken en ermee te rekenen, wat kan helpen bij het begrijpen van de relaties binnen maaltafels en de toepassing ervan in diverse contexten. | | Tiendelig talstelsel | Het getalsysteem dat gebaseerd is op groeperingen van tien, waarbij de positie van een cijfer de waarde bepaalt. Dit systeem vormt de basis voor het begrijpen van getallen en bewerkingen, inclusief maaltafels. | | MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocs) | Gestructureerd rekenmateriaal dat bestaat uit blokjes, staafjes en platen om eenheden, tientallen en honderdtallen voor te stellen, en dat gebruikt kan worden om het tiendelige talstelsel en bewerkingen zoals vermenigvuldigen te illustreren. | | Concreet | De fase waarin leerlingen leren met tastbare voorwerpen en aanschouwelijke voorstellingen die herkenbaar zijn voor hun leefwereld, om zo inzicht te verwerven in wiskundige begrippen. | | Schematisch | De fase waarin werkelijkheid wordt voorgesteld door middel van tekeningen, schema's en stappenplannen, waarbij de nadruk ligt op de essentiële kenmerken en hoeveelheidsaspecten. | | Abstract | De fase waarin leerlingen werken met symbolen, tekens en getallen, zonder directe ondersteuning van concreet materiaal of schematische voorstellingen, maar met begrip van de betekenis. | | Term | Definitie | | Concreet-schematisch-abstract (CSA-model) | Een didactisch model dat de leerontwikkeling beschrijft in drie fasen: de concrete fase (gebruik van tastbare voorwerpen), de schematische fase (gebruik van tekeningen en schema's) en de abstracte fase (gebruik van symbolen en getallen). | | Automatiseren | Het proces waarbij wiskundige bewerkingen en feiten zo geoefend worden dat ze zonder nadenken paraat zijn, wat een snellere en efficiëntere probleemoplossing mogelijk maakt. | | Triplecodemodel | Een didactische aanpak waarbij eenzelfde oefening of concept eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract wordt voorgesteld, met de bijbehorende symbolische notatie in elke fase. | | Deductief werken | Een leermethode waarbij men vertrekt vanuit een algemene regel of principe en deze toepast op specifieke oefeningen; dit wordt in de lagere school minder toegepast. | | CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) | Een didactisch model dat de ontwikkeling van wiskundig begrip beschrijft, beginnend met tastbare voorwerpen (concreet), via tekeningen en schema's (schematisch), naar symbolen en getallen (abstract). | | Concreet materiaal | Tastbare voorwerpen die leerlingen kunnen manipuleren om wiskundige concepten te verkennen, waarbij meerdere zintuigen worden aangesproken om inzicht te bevorderen. | | Correct wiskundig verwoorden | Het fundamenteel belang van het nauwkeurig en consequent gebruiken van wiskundige terminologie om de brug te slaan tussen manipulatie met materiaal en abstracte concepten. | | Concreet-schematisch-abstract (CSA) model | Een didactisch model dat leertrajecten opdeelt in drie fasen: de concrete fase met tastbaar materiaal, de schematische fase met tekeningen en schema's, en de abstracte fase met symbolen en getallen. Dit model bevordert een dieper wiskundig begrip. | | Functies van getallen | De verschillende rollen die getallen kunnen spelen, zoals het aanduiden van een hoeveelheid, een rangorde, een code of een verhouding. Het correct plaatsen van getallen in de juiste context is essentieel voor begrip. |

# Drempels verlagen voor participatie en gelijke kansen in het onderwijs ### Kernidee * Het verlagen van drempels en het bevorderen van gelijke kansen vereist een inclusieve aanpak die rekening houdt met individuele behoeften en diverse leerstijlen. ### Kernfeiten * **Prenumerieke ontwikkeling:** Baby's onderscheiden hoeveelheden vanaf 6 maanden (1:2 ratio) en vanaf 10 maanden kleinere verschillen (2:3 ratio). * **Prenumerieke getalgevoeligheid voorspelt toekomstig rekenen:** Getaldiscriminatie op 24 maanden verklaart een deel van de variatie in rekenen. * **Voorbereidend rekenen:** Oudere modellen (Piaget) zijn onvoldoende; aanvullende vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken, rekentaal en patronen herkennen zijn essentieel. * **Aanvankelijk rekenen (1e lj):** Focus op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten en automatiseren van rekenfeiten. * **Principes voor rekenonderwijs:** Het Concrete-Schematische-Abstracte (CSA) principe en de IJsbergdidactiek (concreetheid, structuurmodellen, schematische modellen, formele bewerking) zijn cruciaal. * **Dyscalculie (DC):** Een ernstige en hardnekkige rekenproblematiek zonder andere volledig verklarende oorzaken, met een neurobiologische basis. * **Criteria voor dyscalculie:** Vroegere criteria omvatten normaliteits- en discrepantiecriteria (verschil tussen IQ en rekenprestatie). * **Comorbiditeit bij DC:** Vaak samengaand met taalproblemen, dyslexie, ADHD, ASS, fobieën en angststoornissen. * **Heterogeniteit en leeftijdsgebonden inkleuring:** Grote variatie in ontluikende gecijferdheid, wat onderwijs noodzakelijk maakt om ongelijkheid te verminderen. * **Diagnostiek:** Vereist grondige kennis van normale ontwikkeling, stoornissen, en het gebruik van genormeerde, valide, betrouwbare en recent genormeerde tests. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Focust op vaardigheden, psychologische factoren, fysieke aspecten en orthopedagogische/externe factoren. * **Foutenanalyse:** Essentieel voor het begrijpen van denkprocessen en het bepalen van de juiste interventie. * **Evidence-based handelen:** Maatregelen gebaseerd op wetenschappelijk onderzoek, met een focus op Vroegtijdige Inzet, Duidelijke Instructie, en Foutloos Leren. * **Universal Design for Learning (UDL):** Didactiek die zo min mogelijk kinderen uitsluit en flexibiliteit en variatie centraal stelt. * **Redelijke aanpassingen:** Wettelijk verankerd recht op aanpassingen om deelname te garanderen (M-decreet, Decreet Leersteun). ### Kernconcepten * **Translatie:** Het omzetten van getal tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Prenumerieke vaardigheden:** Protonumerische competenties zoals getaldiscriminatie, vergelijken van hoeveelheden en ordinale relaties. * **Principe van Concretiseren-Schematiseren-Abstractiseren (CSA):** De kern van inzichtelijk leren; van tastbaar materiaal naar mentale beelden en formele symbolen. * **Handelingsmodel (IJsbergdidactiek):** Wiskundige wereldoriëntatie, structuurmodellen, schematische denkmodellen, formele bewerking. * **Resultatief en procedureel tellen:** Conceptuele kennis (kardinaal, stabiele volgorde) versus procedurele kennis (telrij kennen). * **Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen):** Sommen die kunnen worden afgeleid uit gekende rekenfeiten. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** DC voldoet aan criteria zoals vroege start, stabiliteit, en mogelijke genetische/neurobiologische bepaaldheid. * **Beschrijvende versus verklarende diagnose:** DC is een beschrijvende diagnose, waaruit handelingsgerichte adviezen worden afgeleid. * **Zorgcontinuüm:** De progressieve opbouw van zorg, van brede basiszorg tot individueel aangepast curriculum. ### Implicaties --- ### Kernideeën * De focus ligt op het wegnemen van belemmeringen om participatie en gelijke kansen in het onderwijs te bevorderen. * Dit omvat zowel algemene maatregelen voor alle leerlingen als specifieke aanpassingen voor leerlingen met specifieke behoeften. * Juridische kaders, zoals het VN-verdrag en decreten, onderbouwen het recht op redelijke aanpassingen. ### Sleutelfeiten * **Universal Design for Learning (UDL)**: Ontwerpt didactiek die uitval minimaliseert door variatie en flexibiliteit centraal te stellen. * **STICORDI/REDICODI**: Stimuleren, Remediëren, Differentiëren, Compenseren, Dispenseren – een model voor ondersteuning. * **Juridische basis**: Het VN-verdrag inzake kinderrechten, VN-verdrag voor rechten van personen met handicap, Vlaams decreet gelijke kansen en het M-decreet (nu decreet leersteun). * **Decreet leersteun**: Legt nadruk op sterke basiszorg, verhoogde zorg, duidelijke rollen voor CLB en pedagogische begeleidingsdiensten. * **Handelingsgerichte diagnostiek**: Kijkt naar struikelblokken, dagelijks leven, interesses en externe factoren. * **UDL-principes**: * Meervoudige middelen voor presentatie. * Meervoudige middelen voor actie en expressie. * Meervoudige middelen voor betrokkenheid. * **Redelijke aanpassingen**: Wettelijk vastgelegd recht om onderwijs toegankelijk te maken. * **Zorgcontinuüm**: Fase 0 (basiszorg) tot Fase 3 (individueel aangepast curriculum). * **Handelingsgericht werken**: Gericht op onderwijs- en opvoedingsbehoeften, wisselwerking, en het benutten van positieve aspecten. * **REDICODI-maatregelen**: Bespreking van maatregelen met alle betrokken partijen (kind, therapeut, leerkracht, CLB, ouders, etc.). * **Inclusieve didactiek**: Gericht op het voorkomen van uitval door onderwijs aan te passen aan de diversiteit van leerlingen. * **Gelijkwaardigheid**: Maatregelen moeten ervoor zorgen dat leerlingen met of zonder specifieke noden gelijke kansen krijgen. * **Vroegtijdige interventie**: Adequate ondersteuning vanaf jonge leeftijd is cruciaal voor latere schoolse successen. * **Samenwerking**: Effectieve aanpak vereist nauwe samenwerking tussen school, ouders, zorgverleners en het kind zelf. * **Rol van de leerkracht**: Leerkrachten worden versterkt in hun rol om differentiatie en individuele ondersteuning te bieden. ### Voorbeelden van maatregelen bij toetsen * Aankondigen van toetsen. * Meer tijd bieden. * Geleidelijke opbouw van moeilijkheidsgraad. * Toestaan van hulpmiddelen. --- * Het creëren van een inclusieve leeromgeving door het wegnemen van belemmeringen en het bevorderen van gelijke kansen voor alle leerlingen, met speciale aandacht voor leerlingen met dyscalculie en andere leeruitdagingen. * Universal Design for Learning (UDL) streeft naar didactiek die de kans verkleint dat leerlingen om welke reden dan ook buiten de boot vallen. * Maatregelen moeten gericht zijn op het bevorderen van participatie en het aanpassen van leersituaties voor leerlingen met specifieke behoeften. * Juridische kaders, zoals het VN-verdrag inzake de rechten van het kind en het M-decreet, onderbouwen het recht op redelijke aanpassingen. * Redelijke aanpassingen kunnen betrekking hebben op toetsen, de leeromgeving, en het gebruik van hulpmiddelen. * De focus ligt op het individu en het betrekken van alle betrokken partijen (kind, therapeut, leerkracht, ouders, CLB) bij het bepalen van passende maatregelen. * Hulpmiddelen moeten worden afgestemd op de cliënt en samen met hen worden opgesteld. * **Universal Design for Learning (UDL):** Een ontwerpprincipe dat flexibiliteit en variatie in didactiek centraal stelt om alle leerlingen te ondersteunen. * **Redelijke aanpassingen:** Aanpassingen die noodzakelijk zijn om gelijke kansen te garanderen voor personen met een handicap of specifieke leerbehoeften. * **STICORDI (later REDICODI):** Een acroniem dat de verschillende niveaus van ondersteuning beschrijft: Stimuleren, Remediëren, Differentiëren, Compenseren, Dispenseren. * **Handelingsgericht werken:** Een benadering die start vanuit de onderwijs- en opvoedingsbehoeften van de leerling en uitgaat van een wisselwerking tussen de leerling, de leerkracht, ouders en andere betrokkenen. * **Psycho-educatie:** Het verstrekken van informatie over een stoornis, het bevorderen van acceptatie, het verbeteren van copingvaardigheden en het versterken van het zelfvertrouwen. * **Metacognitie:** Het denkvermogen om eigen denkprocessen te monitoren en te sturen; bij leerlingen met dyscalculie is dit vaak een aandachtspunt. * **Gelijke kansen en participatie:** Het principe dat alle leerlingen, ongeacht hun achtergrond of uitdagingen, dezelfde mogelijkheden moeten krijgen om deel te nemen aan en te profiteren van het onderwijs. * Onderwijs moet zich aanpassen aan de diversiteit van leerlingen, in plaats van leerlingen te laten voldoen aan een vooraf bepaald model. * Een proactieve aanpak met tijdige interventies en ondersteuning is cruciaal. * Het verlagen van drempels vereist een integrale aanpak waarbij zowel de schoolomgeving als de individuele leerling worden ondersteund. * Het is essentieel om te focussen op de sterke punten van de leerling en deze te benutten. * Ouders en leerkrachten spelen een sleutelrol in het creëren van een ondersteunende omgeving en het implementeren van aanpassingen. * De nadruk ligt op het ontwikkelen van strategieën die de leerling zelfstandig kan toepassen, in plaats van enkel compensatiemiddelen te bieden. - > **Tip:** Universal Design for Learning (UDL) is een krachtig raamwerk om te denken over hoe het onderwijs zodanig kan worden ontworpen dat het vanaf het begin inclusief is, in - plaats van achteraf aanpassingen te moeten doen - > **Voorbeeld:** Een leerkracht die bij een toets duidelijke, eenvoudige taal gebruikt, een overzichtelijke lay-out voorziet en gestructureerde opgaven aanbiedt, creëert een UDL-vriendelijke omgeving die alle leerlingen ten goede komt --- * Vroegtijdige en doelgerichte ondersteuning, zowel op numeriek als psychosociaal vlak, is cruciaal voor gelijke kansen. * Universeel ontwerp voor leren (UDL) is een breed toepasbare didactiek die de inclusie van alle leerlingen bevordert. * Individuele redelijke aanpassingen zijn wettelijk verankerd en bieden specifieke ondersteuning waar UDL tekortschiet. ### Belangrijke feiten * Vroegtijdige interventie, zelfs in de peuter- en kleuterleeftijd, is effectief voor numerieke ondersteuning. * Kinderen met dyscalculie hebben vaak moeite met subitiseren (snel overzien van kleine hoeveelheden) en vergelijken van groottepresentaties. * Het vergelijken van hoeveelheden is een sterke predictor voor toekomstig rekenen. * UDL streeft naar didactiek waarbij zo min mogelijk kinderen uit de boot vallen, met focus op variatie en flexibiliteit. * Redelijke aanpassingen zijn wettelijk verankerd en omvatten juridische onderbouwing vanuit diverse verdragen en decreten. * **Universeel Ontwerp voor Leren (UDL):** * Drempels verlagen door middel van maatregelen die voor iedereen goed zijn. * Variatie en flexibiliteit staan centraal in de didactiek. * Voorbeelden: consistente woordkeuze, toetsen vergelijkbaar met lesoefeningen, geen samengestelde vragen, duidelijke lay-out, voldoende tijd. * **Redelijke aanpassingen:** * Juridisch verankerd recht op aanpassingen om deelname te garanderen. * Omvatten stimuleren, remediëren, differentiëren, compenseren en dispenseren (STICORDI, later REDICODI). * Juridische basis: VN-verdrag kinderrechten, VN-verdrag personen met handicap, Vlaams decreet gelijke kansen, M-decreet, decreet leersteun. * **Decreet leersteun:** * Zorgt voor een duurzaam leersteunmodel met passende arbeidsvoorwaarden. * Versterkt de kwaliteit van gewoon en buitengewoon onderwijs. * Focus op sterke basiszorg en verhoogde zorg, met duidelijke rollen voor CLB en pedagogische begeleidingsdiensten. * **Psycho-educatie:** * Verwerven van inzicht in de stoornis en de aanpak. * Ontwikkelen van vaardigheden om met de stoornis om te gaan. * Versterken van zelfvertrouwen voor adequate maatschappelijke participatie. * Doelgroepen: kind, ouders, leerkrachten, klasgenoten. ### Tips --- # Begrijpend lezen: kennis, vaardigheden en aanpak ### Kernidee * Begrijpend lezen (BL) is een actief en strategisch denkproces waarbij lezers een mentaal model creëren van de tekst. * BL omvat zowel algemene cognitieve vaardigheden als taakspecifieke kennis en kindgebonden factoren. * De didactiek van BL is cruciaal voor de ontwikkeling van begrip en integratie van informatie. ### Kennis en vaardigheden * **Tekstkenmerken:** * Kennis van verschillende tekstsoorten (gedicht, verhaal, informatieve tekst) en hun specifieke structuur en opbouw. * Inzicht in tekstorganisatie: uiterlijke kenmerken (titels, subtitels, illustraties, signaalwoorden) en tekststructuur (inhoudelijke ordening). * Signaalwoorden (bv. eerst, daarna, ten eerste, daarnaast) helpen bij het reproduceren en navertellen van informatie. * **Begrip van tekst:** * Vereist persoonlijke verwerking en synthese om een mentaal model te creëren. * Actief lezen, niet passief consumeren van informatie. * **Problemen bij begrijpend lezen:** * Kan voorkomen bij dyslexie, autisme spectrum stoornissen, ADHD, mondelinge taalproblemen, beperkte intellectuele mogelijkheden en dyscalculie. * Sterke diversiteit in manifestatie, ook binnen groepen. ### Aanpak begrijpend lezen * **Basisprincipes:** * Starten bij aanvankelijk lezen (AVI 1 of M3) met teksten die enkelvoudige zinnen en kernwoorden bevatten. * Aandacht voor leesmotivatie; interesse bevordert voortlezen. * Integratie van BL-therapie, zelfs bij focus op technisch lezen (bv. navertellen, voorspellen, mening vormen). * **Didactische sleutels:** * **Functionaliteit:** Werken met betekenisvolle taken waarbij het doel van het lezen duidelijk is. * **Leesmotivatie:** Aansluiten bij interesses en inspraak geven. * **Interactie:** Instructies en feedback op maat tijdens het lezen, zowel tussen therapeut en kind als onderling. * **Transfer:** Geleerde vaardigheden toepassen in andere contexten (bv. ouderbegeleiding, bibliotheekbezoek). * **Strategie-instructie:** Expliciet aanleren en inoefenen van cognitieve en metacognitieve leesstrategieën. * **Cognitieve en metacognitieve leesstrategieën:** * **Cognitieve:** Stellen van vragen, visualiseren, verbinden met voorkennis, samenvatten, tekststructuur herkennen (signaalwoorden). ### Inhoud therapie: Werken op cognitieve en metacognitieve leesstrategieën --- * Begrijpend lezen (BL) is een complex, actief en strategisch proces dat het creëren van een mentaal model van de tekst inhoudt. * Het omvat zowel taakspecifieke vaardigheden als interactie met de tekst, met een focus op het actief verwerken van informatie. * Er is een aanzienlijk therapie-effect op BL, dat langdurig blijft bestaan bij het aanleren van strategieën. ### Vaardigheden en kennis * **Cognitieve leesstrategieën:** * Tekstinhoud visualiseren (via tekening of schema). * Verbinden met voorkennis. * Samenvatten. * Tekststructuur herkennen (signaalwoorden). * **Metacognitieve leesstrategieën:** * Tekstoriëntatie (activeren voorkennis, stellen leesdoelen). * Begrip bewaken en onduidelijkheden verhelderen (herstelstrategieën). * **Verbal begrip:** * Begrijpen van woordbetekenissen, ook nuances en gradaties. * Begrijpen van complexe zinsstructuren, inclusief bijzinnen en voegwoorden. * Koppelen van verwijswoorden aan antecedenten. * **Interpretatie op mesoniveau (paragraafniveau):** * **Elaboratieve inferenties:** Toevoegen van voorkennis aan de tekst (causale, logische, instrumentele, categorale). * **Overbruggingsinferenties:** Verbanden leggen tussen zinnen (given-new, anaforische). * **Interpretatie op macroniveau (tekstniveau):** * Verbanden leggen tussen begin, midden en slot. * Relateren van tekstgegevens aan de buitenwereld (extrapolatie). * **Tekstkenmerken:** * Inzicht in verschillende tekstsoorten (verhaal, gedicht, informatieve tekst). * Herkenning van tekstorganisatie (uiterlijke kenmerken zoals titels, subtitels, afbeeldingen, grafieken, signaalwoorden). * Begrip van tekststructuur (inhoudelijke ordening van gedachten). ### Aanpak en interventie --- * Begrijpend lezen (BL) is een actief, strategisch en complex proces dat de persoonlijke verwerking en synthese van tekst inhoudt, resulterend in een "mentaal model". * BL vereist een combinatie van algemene cognitieve vaardigheden, taakspecifieke kennis van tekstkenmerken, en kindgebonden factoren zoals woordenschat en motivatie. * De aanpak van BL dient vroeg te beginnen, strategisch te zijn en rekening te houden met de functionaliteit, leesmotivatie, interactie, transfer en strategie-instructie. ### Belangrijke inzichten en vaardigheden * **Zingeving van geschreven taal:** Inzicht in de betekenis van geschreven tekst. * **Leesmotivatie:** Vreugde beleven aan het lezen van verhalen is een basis voor latere leesmotivatie. * **Hoofd- en bijzaken onderscheiden:** Essentiële informatie uit een tekst halen. * **Woordenschatuitbreiding:** Aanleren van specifieke termen uit geschreven teksten. * **Oorzaak-gevolgrelaties:** Actief meedenken over verbanden in een verhaal. * **Anticiperen:** Voorspellen van gebeurtenissen in een verhaal. * **Samenvatten:** De kern van een tekst in eigen woorden weergeven. * **Mening vormen:** Een eigen standpunt innemen over de tekstinhoud. ### Componenten van begrijpend lezen * **Algemene componenten:** Intelligentie, redeneervermogen, werkgeheugen. * **Taakspecifieke componenten:** Kennis van tekstkenmerken (tekstsoort, organisatie, structuur). * **Kindgebonden factoren:** Woordenschat, motivatie, voorkennis. * **Leersituatie:** De manier waarop tekst wordt aangeboden. ### Tekstkenmerken * **Tekstsoort:** Gedichten, verhalen, informatieve teksten vereisen verschillende leeswijzen en structuren. * **Tekstorganisatie (uiterlijke kenmerken):** Titels, subtitels, illustraties, grafieken, signaalwoorden die visueel herkenbaar zijn. * Signaalwoorden (tijd, opsomming) helpen bij reproductie en navertellen. * **Tekststructuur (inhoudelijk):** De ordening van gedachten door de schrijver; zorgt voor samenhang en begripsgemak. ### Problemen bij begrijpend lezen * **Bij dyslectici:** Grote diversiteit; technische leesproblemen, spelling, problemen met BL. * **Andere factoren:** Autismespectrumstoornissen, ADHD, mondelinge taalproblemen, beperkte intellectuele mogelijkheden, dyscalculie. ### Aanpak van begrijpend lezen: Basisprincipes * **Vroeg beginnen:** Aanpakken vanaf aanvankelijk lezen (AVI 1 / M3). * **Strategie-instructie:** Expliciet aanleren en inoefenen van cognitieve en metacognitieve strategieën. * **Functioneel werken:** Taken met een duidelijke, betekenisvolle reden om te lezen. * **Leesmotivatie:** Aansluiten bij interesses, betekenisvolle taken, inspraak en keuze. ### Didactische sleutels ### Strategie-instructie: Cognitieve en metacognitieve strategieën ### Herstelstrategieën ### Leren interpreteren ### Extrapolatie ### Metacognitieve leesstrategieën ### Voorbeelden van interventies bij begrijpend lezen --- * Begrijpend lezen is een actief, strategisch proces van persoonlijke verwerking en synthese, waarbij een mentaal model van de tekst wordt gecreëerd. * Het omvat diverse componenten: algemene cognitieve vaardigheden (intelligentie, redeneervermogen, werkgeheugen), taakspecifieke vaardigheden (tekstkenmerken) en kindgebonden factoren (woordenschat, motivatie). ### Strategie-instructie * Strategie-instructie richt zich op het expliciet aanleren van cognitieve en metacognitieve strategieën die het leesbegrip ondersteunen, monitoren en herstellen. * **Cognitieve strategieën:** * Zelf vragen stellen over de tekstinhoud. * Tekstinhoud visualiseren (via tekeningen of schema's). * Tekststructuur herkennen (o.a. signaalwoorden). * **Metacognitieve strategieën:** * Tekstoriëntatie en leesdoelen stellen vóór het lezen. * Herhaling en interactie zijn essentieel bij het aanleren van deze strategieën. ### Voorlezen en interactie * Interactief voorlezen en hardop denkend voorlezen stimuleren het begrijpend lezen bij jonge kinderen. * Denkontwikkelende vragen en discussie bevorderen betrokkenheid, woordenschatuitbreiding en inzicht in oorzaak-gevolgrelaties. * ### Uiterlijke kenmerken en organisatie * Titels, subtitels, tekeningen, grafieken, foto's en signaalwoorden helpen bij de eerste oriëntatie op de tekst. * Signaalwoorden (bv. 'eerst', 'daarna', 'ten eerste') ondersteunen de structuur en de reproductie van informatie. * ### Tekststructuur * De inhoudelijke ordening van gedachten door de schrijver, niet visueel zichtbaar. * Een goed gestructureerde tekst is inhoudelijk samenhangend en makkelijker te begrijpen. * Kunnen samengaan met technische lees- en spellingproblemen, autisme spectrumstoornissen, ADHD, mondelinge taalproblemen en een beperkter intellectueel vermogen. ### Aanpak: basisprincipes * Vroegtijdige aanpak vanaf het aanvankelijk lezen is cruciaal. * Focus op leesstrategieën op tekstniveau, niet enkel op prenten. * Aandacht voor leesmotivatie door aansluiting bij interesses en betekenisvolle taken. ### Interpretatie op mesoniveau (paragraafniveau) ### Interpretatie op macroniveau (tekstniveau) ### Meta-cognitieve leesstrategieën --- * Begrijpend lezen is een actief, strategisch proces waarbij een mentaal model van de tekst wordt gecreëerd. * Het is complex en vereist diverse componenten, waaronder algemene cognitieve vaardigheden, taakspecifieke kennis en kindgebonden factoren. * Inzicht in verschillende tekstsoorten (gedicht, verhaal, informatieve tekst) is cruciaal vanaf het tweede leerjaar. * Tekstorganisatie omvat uiterlijke kenmerken (titels, afbeeldingen, signaalwoorden) en tekststructuur. * Signaalwoorden helpen bij het ordenen en reproduceren van informatie. * Tekststructuur gaat over de inhoudelijke ordening van gedachten door de schrijver. * **Problemen bij begrijpend lezen:** * Kunnen voorkomen bij personen met dyslexie, ASS, ADHD, mondelinge taalproblemen, beperkte intellectuele mogelijkheden, en ook bij dyscalculie (op groepsniveau). * Grote diversiteit in moeilijkheidsgraad en presentatie. * **Cognitieve en metacognitieve leesstrategieën (VLOR):** * **Cognitieve strategieën:** Vragen stellen, visualiseren, verbinden met voorkennis, samenvatten, tekststructuur herkennen. * **Metacognitieve strategieën:** Tekstoriëntatie (voorkennis activeren, leesdoelen stellen), begrip bewaken en onduidelijkheden verhelderen (herstelstrategieën op woord- en tekstniveau). ### Didactische sleutels voor aanpak begrijpend lezen * **Functionaliteit:** Werken met betekenisvolle taken waar het doel duidelijk is. * **Interactie:** Voor, tijdens en na het lezen instructies en feedback op maat geven. * **Transfer:** Het geleerde toepassen in andere contexten (bv. ouderbegeleiding, bibliotheek). ### Strategie-instructie in de praktijk * **Directe instructiemodel:** Minimaal 2-3 keer modelleren/demonstreren ("hardop denkend redeneren"). * **Voor het lezen:** Voorspellen op basis van uiterlijke kenmerken, activeren van voorkennis en ervaringen. Belangrijk is durven voorspellen en interactie hierover. * **Verbaal begrip:** * Begrijpen van woordenschat (nuances, gradaties, morfologische opbouw) en complexe zinsstructuren. * Stimuleren door te vragen wat het kind niet begrijpt en afleiden uit context. * **Interpreteren op mesoniveau (paragraafniveau):** * **Elaboratieve inferenties:** Voorkennis toevoegen (causale, logische). ### Voorbeelden en toepassingen ### Aanpak tekstsoorten en tekstkeuze --- * Begrijpend lezen (BL) is een complex proces waarbij lezers actief een mentaal model van de tekst creëren. * De aanpak van BL vereist een focus op strategie-instructie, interactie, leesmotivatie, functionaliteit en transfer. * **Zingeving**: Begrijpen van de betekenis van geschreven taal, wat een basis legt voor latere leesmotivatie. * **Woordenschatuitbreiding**: Opdoen van specifieke termen uit boekentaal. * **Oorzaak-gevolgrelaties**: Actief meedenken over verbanden in het verhaal. * **Anticiperen**: Verwachtingen opbouwen over wat er zal gebeuren. * **Samenvatten**: Het verhaal in eigen woorden kunnen navertellen. * **Mening vormen**: Een eigen oordeel kunnen geven over de tekst. * **Actief lezen**: Niet passief, maar nadenken over de gelezen inhoud. * **Strategisch denkproces**: Toepassen van specifieke leesstrategieën. * **Tekstsoort**: Verschillen in leeswijze, structuur en opbouw (bv. gedicht, verhaal, informatieve tekst). * **Tekstorganisatie**: * **Uiterlijke kenmerken**: Titels, subtitels, afbeeldingen, grafieken, signaalwoorden (visueel waarneembaar). * **Tekststructuur**: De inhoudelijke ordening van gedachten door de schrijver (niet direct visueel zichtbaar). * **Diversiteit**: Grote verschillen, ook bij personen met dyslexie, autisme, ADHD, taalproblemen of een beperktere intellectuele capaciteit. * **Technische leesproblemen**: Kunnen het begrijpend lezen bemoeilijken. * **Onvoldoende activering voorkennis**: Niet automatisch koppelen van bestaande kennis aan de tekst. ### Didactische sleutels voor de aanpak * **F = Functionaliteit**: Werken met betekenisvolle taken waarbij het doel van het lezen duidelijk is (bv. stappenplan volgen, recept bereiden). * **L = Leesmotivatie**: Aansluiten bij interesses, betekenisvolle taken en inspraak bieden. * **I = Interactie**: Instructies en feedback op maat geven, zowel tussen begeleider en kind als tussen kinderen onderling. * **T = Transfer**: Geleerde vaardigheden toepassen in andere contexten (bv. ouderbegeleiding, bibliotheekbezoek). * **S = Strategie-instructie**: * Aanleren van cognitieve en metacognitieve leesstrategieën. * Model staan door hardop te redeneren. * Herhaling en inoefening van strategieën. ### Cognitieve en metacognitieve leesstrategieën ### Meta-cognitie bij begrijpend lezen --- # Interpretatie op mesoniveau: elaboratieve inferenties ### Kernidee * Elaboratieve inferenties vereisen het toevoegen van voorkennis van de lezer aan de tekst om impliciete verbanden te leggen op paragraafniveau. ### Kernfeiten * Elaboratieve inferenties worden ook wel 'overbruggingsinferenties' genoemd, maar dit is onjuist; overbruggingsinferenties leggen verbanden *binnen* de tekst. * Elaboratieve inferenties vereisen de integratie van externe kennis met de tekstuele informatie. * Deze inferenties helpen bij het begrijpen van de impliciete betekenissen in een paragraaf. ### Kernconcepten * **Causale inferenties:** Begrijpen van oorzaak-gevolgrelaties door voorkennis te combineren met tekstuele informatie. * Aanleren gebeurt via 'waarom'-vragen en het vragen om verantwoording. * Signaalwoorden zoals 'daardoor' en 'daarom' kunnen helpen. * Verschillen in moeilijkheidsgraad hangen af van benodigde basiskennis. * **Logische inferenties:** Gebruik van algemene kennis (zoals kennis over seizoenen) om deducties te maken op basis van tekstuele aanwijzingen. * Vereist het oproepen van voorkennis en integreren ervan met de gelezen tekst. * Voorbeeld: Afleiden van het seizoen op basis van de maand en de tekstuele context. * **Instrumentele inferenties:** Zoeken naar impliciet vermelde middel-doelrelaties, waarbij de tekst nodig is voor het antwoord. * Vragen die direct gebaseerd zijn op de tekst. * **Categorale inferenties:** Indelen van begrippen in klassen, waarbij de tekst noodzakelijk is voor het antwoord. * Vragen die classificatie vereisen op basis van informatie uit de tekst. ### Implicaties * Het vermogen om elaboratieve inferenties te maken is cruciaal voor dieper tekstbegrip. * Deze vaardigheid helpt lezers om de 'gaten' in de tekst op te vullen met hun eigen kennis. * Begeleiding bij het maken van deze inferenties kan het leesbegrip aanzienlijk verbeteren. * Oefening, zoals het stellen van 'waarom'-vragen en het model staan, is essentieel voor het aanleren ervan. --- * Elaboratieve inferenties voegen voorkennis van de lezer toe aan de tekst voor een dieper begrip op paragraafniveau. * Dit type inferentie vereist het leggen van verbanden tussen impliciete informatie in de tekst en de reeds bestaande kennis van de lezer. ### Belangrijke concepten * **Causale inferenties:** Begrijpen van oorzaak-gevolgrelaties door de impliciet vermelde oorzaak of gevolg te achterhalen, vaak gestimuleerd door 'waarom'-vragen en het vragen naar verantwoording. * **Logische inferenties:** Toepassen van logisch denken, waarbij voorkennis wordt opgeroepen en geïntegreerd met de tekstinhoud, zoals redeneren in de vorm van 'als... dan...'. * **Instrumentele inferenties:** Zoeken naar impliciet vermelde middel-doelrelaties, waarvoor de tekst nodig is om de vraag te beantwoorden. * **Categorale inferenties:** Indelen van begrippen in klassen, waarbij de tekst gebruikt wordt om de classificatie te onderbouwen. ### Sleutelfeiten * Elaboratieve inferenties zijn een type interpretatie op mesoniveau (paragraafniveau). * Ze vereisen de integratie van lezersvoorkennis met tekstuele informatie. * Causale en logische inferenties worden beschouwd als de belangrijkste soorten. * Het aanleren ervan kan functioneler gemaakt worden door middel van quiz-achtige vraag-antwoord situaties. * Demonstreren door hardop te redeneren is een effectieve leermethode. * Helpt lezers om achterliggende redenen en logische verbanden in teksten te begrijpen. * Bevordert een dieper en rijker begrip van de tekstinhoud. * Stimuleert kritisch denken en het actief verwerken van informatie. * Essentieel voor het ontwikkelen van tekstbegrip, met name op het niveau van individuele paragrafen. * Verschillen in voorkennis kunnen de moeilijkheidsgraad van deze inferenties beïnvloeden. --- * Elaboratieve inferenties omvatten het toevoegen van voorkennis aan tekstgegevens om betekenis te creëren. * Deze inferenties helpen bij het interpreteren van informatie op paragraafniveau (mesoniveau). * Ondersteund door "waarom" en "hoe komt het dat" vragen om expliciete en impliciete verbanden te ontdekken. * Het leren hoe deze verbanden te vinden wordt gemodelleerd door hardop redeneren. * Verschillen in moeilijkheidsgraad bestaan, afhankelijk van de benodigde voorkennis (bv. popster, kapster, gitarist). * **Logische inferenties:** Vereisen het oproepen en integreren van voorkennis met de tekstinhoud om logische redeneringen te maken. * Voorbeelden omvatten het bepalen van het seizoen op basis van maandinformatie en context. * Vereist het koppelen van tekstuele aanwijzingen aan algemene kennis. * **Instrumentele inferenties:** Identificeren van impliciet vermelde middel-doelrelaties, waarbij de tekst essentieel is voor het antwoord. * Vereist het baseren van het antwoord op de informatie die in de tekst wordt gepresenteerd. * **Categorale inferenties:** Het indelen van begrippen in klassen, waarbij de tekst noodzakelijk is om de classificatie te voltooien. * Elaboratieve inferenties voegen voorkennis van de lezer toe aan de tekst. * Causale en logische inferenties worden als de belangrijkste soorten beschouwd. * Instrumentele en categorale inferenties overlappen deels en komen minder vaak voor. * Het aanleren hiervan gebeurt via directe instructie, vragen stellen, en modelleren. * Het stellen van "waarom" vragen en het vragen om verantwoording stimuleert metacognitie. * Het effectief aanleren vereist het bespreken van antwoorden, inclusief correcte antwoorden. * De moeilijkheidsgraad kan variëren op basis van de benodigde voorkennis. --- * Elaboratieve inferenties omvatten het toevoegen van voorkennis aan tekstuele gegevens op paragraafniveau. * Deze inferenties leggen verbanden tussen impliciete informatie en de voorkennis van de lezer. ### Sleutelconcepten * **Causale inferenties:** Begrijpen van oorzaak-gevolgrelaties door impliciete informatie en voorkennis te combineren. * Focus op 'waarom'-vragen en het vragen naar verantwoording van antwoorden. * Niveau van moeilijkheid varieert afhankelijk van de benodigde voorkennis. * **Logische inferenties:** Redeneren op basis van tekstuele informatie en voorkennis, met de 'als-dan'-redenering als kern. * Vereist het integreren van algemene kennis met de gelezen tekst. * **Categorale inferenties:** Het indelen van begrippen in klassen, waarbij de tekst vereist is om de classificatie te kunnen beantwoorden. * Elaboratieve inferenties zijn cruciaal voor diepgaand tekstbegrip op paragraafniveau. * Het aanleren hiervan vereist gerichte instructie, interactie en modelleren. * Verschillen in moeilijkheidsgraad zijn afhankelijk van de hoeveelheid en het soort voorkennis dat nodig is. * Vragen stellen over 'waarom' en 'hoe weet je dat?' stimuleert metacognitie. --- # Concepten en vaardigheden in rekenonderwijs ### Kernidee * Rekenen omvat diverse concepten en vaardigheden, van prenumerische getalgevoeligheid tot complexe bewerkingen en breuken. * De ontwikkeling van rekenvaardigheden is een continu proces met specifieke fasen en onderliggende vaardigheden. * Begrip van de normale ontwikkeling is cruciaal voor het identificeren en aanpakken van rekenproblemen zoals dyscalculie. ### Kernconcepten * **Translatie**: het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Prenumerische ontwikkeling**: vaardigheden die voorafgaan aan formeel getalbegrip, zoals getaldiscriminatie en het herkennen van ordinale relaties. * Baby's kunnen vanaf 6 maanden onderscheid maken tussen hoeveelheden (1:2 ratio). * Vanaf 10 maanden wordt het waarnemen van kleinere verschillen mogelijk (2:3 ratio). * **Voorbereidende rekenvaardigheden**: vaardigheden die noodzakelijk zijn voor getalbegrip, waaronder tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie. * **Aanvankelijk rekenen (1e lj)**: focus op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, ondersteunen van rekentaal en visueel-ruimtelijke aspecten. * **CSA-principe (Concreet-Schematisch-Abstract)**: leren door eerst te ervaren, te verwoorden, te schematiseren en mentaal uit te voeren. * **Handelsmodel (IJsbergdidactiek)**: wiskundige wereldoriëntatie, structuurmodellen, schematische denkmodellen, formele bewerking. * **Gevorderd rekenen (vanaf 2e lj)**: inzicht in het tiendelige talstelsel, getalnotatie, hoofd- en deelbewerkingen, hoofdrekenen en contextrijke toepassingen. * **Dyscalculie (DC)**: een ernstige, hardnekkige rekenstoornis die niet volledig verklaard kan worden door andere primaire stoornissen. * Een neurobiologische ontwikkelingsstoornis met problemen vanaf vroege kinderjaren. * **Foutenanalyse**: classificeren van rekenfouten (bv. nulfout, lokalisatiefout, basisfout, instellingsfout) is essentieel voor begeleiding. ### Belangrijke vaardigheden * **Getalgevoeligheid**: het vermogen om hoeveelheden te onderscheiden en te vergelijken. * Wordt voorspeld door protonumerische getalgevoeligheid. * **Tellen**: zowel procedurele kennis (telrij kennen) als conceptuele kennis (principes zoals 1-1 correspondentie, kardinaliteit, irrelevante volgorde). * **Splitsen**: het ontleden van getallen, cruciaal voor optellen en aftrekken met brug. * **Optellen en aftrekken**: inzicht in complementaire relaties en commutativiteit. * **Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen)**: het afleiden van sommen uit gekende rekenfeiten. * **Getallenkennis (K-taken)**: lezen, schrijven, koppelen aan waarden, plaatswaarde en tiental-/eenheidsstructuur. * **Operatiesymbolen (S-taken)**: kennis van +, -, <, >. * **Rekentaal (T-, V-, C-taken)**: begrijpen en gebruiken van wiskundige termen. * **Contextrijke toepassingen (C-taken)**: oplossen van vraagstukken, opgedeeld in enkelvoudige en samengestelde opgaven. ### Implicaties ### Tip --- * **Translatie:** Het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, arabisch cijfer). * **Numerieke ontwikkeling:** Start met getalgevoeligheid bij baby's (onderscheid tussen hoeveelheden) en evolueert naar complexere rekenvaardigheden. * **Voorbereidend rekenen:** Vaardigheden die cruciaal zijn voor het ontwikkelen van getalbegrip, verder dan Piaget's oorspronkelijke model. * **Aanvankelijk rekenen:** Focus op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal, en visueel-ruimtelijke aspecten. ### Belangrijke feiten * **Getalgevoeligheid:** Baby's kunnen al vanaf 6 maanden onderscheid maken tussen hoeveelheden (1:2 ratio) en vanaf 10 maanden kleinere verschillen waarnemen (2:3 ratio). * **Protonumerische getalgevoeligheid:** Voorspellend voor toekomstig rekenen, met name getaldiscriminatie op 24 maanden verklaart een deel van de rekenvariantie. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen, en translatie. * **Aanvankelijk rekenen (1e lj):** Inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, ondersteunen rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten, automatiseren van rekenfeiten. * **CPA-model (Concreetheid - Schematisch - Abstractie):** Een didactisch principe voor het aanleren van rekenen door geleidelijk minder concreet te worden. * **IJsbergdidactiek:** Een model dat de wiskundige wereldoriëntatie, structuurmodellen, schematische denkmodellen en formele bewerkingen omvat. * **Basiskennis (1e lj):** Getallen lezen en schrijven (tot 20), koppelen aan waarde (K-taak), plaatswaarde, tiental-/eenheidsstructuur, kennis van operatiesymbolen (S-taak). * **Procedures (1e lj):** Tellen en splitsen (procedurele en conceptuele kennis), optellen en aftrekken via materialen, splitsingen als basis voor optellen/aftrekken. * **Afgeleide rekenfeiten/rekenvoordelen:** Sommen die afgeleid kunnen worden uit gekende rekenfeiten; niet altijd helpend voor kinderen met dyscalculie. * **Gevorderd rekenen (vanaf 2e lj):** Inzicht in tiendelig talstelsel, getalnotatie tot 100.000, decimale getallen, de 4 hoofdbewerkingen, hoofdrekenen, vraagstukken. * **Kennis (gevorderd):** Lezen/schrijven getallen tot miljoenen, koppelen aan plaatswaarde, getallenkennis, rangschikken, getallenlijn. * **Procedures (gevorderd):** Optellen en aftrekken tot 1000+, verschillende methoden, vermenigvuldigen en delen, tafels automatiseren. * **Getalbegrip:** Het begrijpen van de conceptuele aspecten van getallen, inclusief kardinale, ordinale en meetaspecten. * **Getalgevoeligheid:** Het vermogen om hoeveelheden te onderscheiden en te vergelijken. * **Tellen:** Zowel procedurele kennis (telrij kennen) als conceptuele kennis (principe van 1-1 correspondentie, kardinaliteit, irrelevante volgorde, abstractie). * **Splitsen:** Een cruciale vaardigheid voor getallenkennis en inzicht in de getalstructuur, nodig voor optellen en aftrekken met brug. * **Afgeleide rekenfeiten:** Gebruik van gekende sommen om nieuwe sommen op te lossen; kan voor kinderen met DC een uitdaging zijn. * **CPA-principe (Concreet, Schematisch, Abstract):** Een didactisch model om concepten geleidelijk aan te leren. * **IJsbergdidactiek:** Een model dat de fasen van wiskundeonderwijs vertegenwoordigt, van concrete handelingen tot abstracte formele bewerkingen. * **Plaatswaarde:** Het belang van de positie van een cijfer in een getal (eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.). * **Rekentaal:** De specifieke taal die gebruikt wordt in wiskunde, essentieel voor het begrijpen van opgaven. --- * Translatie is het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten: getalwoord, hoeveelheid en Arabisch cijfer. * Getalgevoeligheid (numerieke competenties) is cruciaal voor toekomstig rekenen; kinderen met een sterkere getalgevoeligheid presteren vaak beter. * In het begin van de rekenontwikkeling zijn voorbereidende rekenvaardigheden belangrijker dan de strikte voorwaarden van Piaget. * **Prenumerische ontwikkeling:** * Baby's kunnen vanaf circa zes maanden onderscheid maken tussen hoeveelheden (1:2 ratio). * Vanaf tien maanden nemen ze al kleinere verschillen waar (2:3 ratio). * Belangrijk zijn onder andere getaldiscriminatie, eenvoudige bewerkingen en ordinale relaties. * **Voorbereidend rekenen:** * Vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie zijn essentieel. * **Aanvankelijk rekenen (eerste leerjaar):** * Fase gericht op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis en regels. * Ondersteuning van rekentaal en visueel-ruimtelijke aspecten. * Automatiseren van rekenfeiten bouwt voort op elementair getalbegrip. * CSA-principe (Concreet-Schematisch-Abstract) of CPA-model. * Handelsmodel/ijsbergdidactiek: wiskundige wereldoriëntatie, structuurmodellen, schematische denkmodellen, formele bewerking. * **Gevorderd rekenen (vanaf tweede leerjaar):** * Inzicht in het tientallig stelsel, getalnotatie tot 100.000. * Beheersing van de vier hoofdbewerkingen, hoofdrekenen, cijferen, breuken en procenten. * Contextrijke toepassingen zoals vraagstukken. * **Getallen lezen en schrijven:** Eerst tot tien, dan tot twintig, met aandacht voor onregelmatige getalwoorden (dertien, veertien). Koppelen aan waarde en plaatswaarde. * **Kennis van operatiesymbolen:** Begrijpen van +, -, <, >. * **Tellen en splitsen:** Procedurele en conceptuele kennis van tellen, splitsen van getallen tot tien is cruciaal voor brugoefeningen. * **Optellen en aftrekken:** Via materialen, met behulp van splitsingen, en als complementaire bewerkingen. * **Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen):** Gebruiken van bekende sommen om nieuwe sommen op te lossen. * **Tafels automatiseren:** Belangrijk voor het tempo en efficiëntie. ### Manipulatie van getallen --- * **Translatie:** Het omzetten van een getal van de ene naar de andere modaliteit (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Protonumerische competenties:** Baby's kunnen onderscheid maken tussen hoeveelheden (getaldiscriminatie), met een toenemende precisie naarmate ze ouder worden. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Vaardigheden die nodig zijn voor getalbegrip, zoals tellen, maatbegrip, vergelijken, rekentaal, patronen herkennen en translatie. * **Handelingsmodel (CSA – Principe of CPA – Model):** Leren rekenen door concreet te ervaren, te verwoorden, te schematiseren en mentaal uit te voeren, waarbij de concretisering geleidelijk wordt afgebouwd. * **IJsbergdidactiek:** Een model dat de verschillende stadia van wiskundige vorming weergeeft, van alledaagse toepassingen tot abstracte formele bewerkingen. * **Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen):** Sommen die worden afgeleid uit reeds bekende rekenfeiten. * **Dyscalculie (DC):** Een ernstige en hardnekkige rekenprobleem dat voortkomt uit kindkenmerken en niet volledig verklaard kan worden door andere oorzaken. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** Een classificatie voor dyscalculie, gekenmerkt door problemen vanaf vroege kinderjaren die stabiel verlopen en een genetische/neurobiologische oorsprong hebben. * **Diagnostische criteria voor dyscalculie:** In het verleden werd gekeken naar normaliteitscriteria en discrepantiecriteria; huidige diagnostiek is beschrijvend, categoriserend en handelingsgericht. * **Comorbiditeit:** De gelijktijdige aanwezigheid van dyscalculie met andere stoornissen, zoals taalproblemen, dyslexie, ADHD, ASS en angststoornissen. * **Heterogeniteit:** De grote variatie in de presentatie en ernst van rekenproblemen bij kinderen met dyscalculie. ### Voorbereidend rekenen * **Prenumerische getalgevoeligheid:** * Baby's kunnen vanaf circa zes maanden onderscheid maken tussen hoeveelheden met een 1:2 ratio. * Vanaf tien maanden kunnen ze kleinere verschillen waarnemen met een 2:3 ratio. * Prenumerische getalgevoeligheid voorspelt toekomstig rekenen, met grotere verschillen tussen kinderen dan in geletterdheid. * **Voorbereidende rekenvaardigheden (in tegenstelling tot Piaget's rekenvoorwaarden):** * Tellen * Maatbegrip * Vergelijken van hoeveelheden * Rekentaal * Patronen herkennen * Translatie ### Aanvankelijk rekenen (1e leerjaar) * **Basis:** Bouwt voort op elementair getalbegrip en voorbereidende rekenvaardigheden. * **Focus:** Inzichtelijk aanbrengen van basiskennis en regels, ondersteunen van rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten, automatiseren van rekenfeiten. * **Kern taken:** ### Gevorderd rekenen (vanaf 2e leerjaar) ### Onderwijsdoelen en leerplannen ### Stoornis of moeilijkheid ### Neurodiversiteit ### Wanneer spreekt men van dyscalculie? ### Hoe vaak komt het voor en bij wie? ### Comorbiditeit ### Wat is de oorzaak? ### Heterogeniteit ### Leeftijdsgebonden inkleuring ### Diagnostiek en begeleiding bij rekenproblemen ### Onderzoek ### Diagnostisch rekenonderzoek ### Foutenanalyse ### Tests nader bekeken ### Aanpak en behandeling ### Prenumerische ondersteuning ### Numerische ondersteuning ### Psychosociale ondersteuning ### Drempels verlagen en zorgen voor optimale participatie ### Gedragsleren ### Handelingsgericht werken ### Spontane focus op getallen (SFON) ### Subitizeren ### Object-file systeem & ANS ### Fasen in de ontwikkeling ### Concepten in prenumerisch en voorbereidend rekenen ### Tellen ### Maatbegrip ### Goed getalbegrip ### Rekenen en taal ### Begrijpend lezen (BL) --- * Centraal staat de ontwikkeling van rekenvaardigheden, van prenumerieke competenties tot gevorderd rekenen. * Verschillende didactische modellen zoals CSA en de ijsbergdidactiek worden gebruikt om inzicht te bevorderen. * De focus ligt op het ontwikkelen van zowel conceptuele kennis als procedurele vaardigheden. ### Kernfeiten * **Translatiemodaliteiten:** getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer. * **Prenumerieke competenties:** vanaf 6 maanden onderscheid tussen hoeveelheden (1:2 ratio), vanaf 10 maanden (2:3 ratio). * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** tellen, maatbegrip, vergelijken, rekentaal, patronen herkennen, translatie. * **Aanvankelijk rekenen (1e lj):** inzichtelijk aanbrengen basiskennis, ondersteunen rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten. * **Handelingsmodel (ijsbergdidactiek):** concrete handelingen, schematische denkmodellen, formele bewerkingen. * **Basisvaardigheden 1e lj:** getallen lezen/schrijven (tot 20), koppelen aan waarde, plaatswaarde, tiental-/eenheidsstructuur, operatiesymbolen. * **Procedures 1e lj:** tellen (procedureel/conceptueel), splitsen (tot 10), optellen/aftrekken via materialen, afgeleide rekenfeiten. * **Gevorderd rekenen (vanaf 2e lj):** inzicht tiendelig talstelsel, getalnotatie (tot 100.000+), decimale getallen, 4 hoofdbewerkingen, contextrijke toepassingen. * **Onderwijsdoelen:** leerplannen wiskunde in basisschool. * **Dyscalculie:** ernstige, hardnekkige rekenproblemen zonder andere volledige verklaring. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** criteria omvatten vroege aanvang, comorbiditeit, stabiel verloop, gelijke prevalentie bij jongens/meisjes. * **Diagnostische criteria dyscalculie:** verouderde criteria (normaliteits-, discrepantiecriterium) en handelingsgericht perspectief. * **Comorbiditeiten:** taalproblemen, dyslexie, ADHD, ASS, angststoornissen. * **Heterogeniteit:** verschillen in profielen bij dyscalculie. * **CPA/CSA-principe:** Concreet, Schematisch, Abstract. * **Ijsbergdidactiek:** van materieel naar mentaal handelen. * **Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen):** sommen afleiden uit gekende sommen. * **Kennis (K-taken):** getallen lezen/schrijven, getallenkennis, metend rekenen. * **Procedures (P-taken):** tellen, splitsen, optellen/aftrekken, cijferen. * **Symbolen (S-taken):** operatiesymbolen. * **Rekentaal (T-, V-, C-taken):** verbale en contextuele aspecten. * **Verwerkingssnelheid (VS):** relevant bij aandachtsproblemen. --- * **Translatie** is het omzetten van een getal van de ene modaliteit (getalwoord, hoeveelheid, arabisch cijfer) naar de andere. * **Prenumerische competenties** (zoals getalgevoeligheid) voorspellen toekomstig rekenen; verschil tussen 2 en 4 objecten is herkenbaar vanaf 6 maanden (1:2 ratio). * Vanaf 10 maanden wordt een 2:3 ratio waargenomen, wat duidt op een verfijnder onderscheid tussen hoeveelheden. * Verschillen tussen kinderen in ontluikende gecijferdheid zijn groter dan in ontluikende geletterdheid. * **Piaget's rekenvoorwaarden** zijn bekritiseerd; postpiagetiaanse inzichten benadrukken **voorbereidende rekenvaardigheden** in plaats van noodzakelijke voorwaarden. * **Aanvankelijk rekenen** focust op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal, en visueel-ruimtelijke aspecten. * Het **CSA-principe (Concrete – Schematisch – Abstract)** of **CPA (Concrete – Pictorial – Abstract)** model wordt gebruikt voor het leren rekenen door steeds minder concreet te worden. * **IJsbergdidactiek** omvat wiskundige wereldoriëntatie, structuurmodellen, schematische denkmodellen, en ten slotte formele bewerkingen. * In het **eerste leerjaar** ligt de focus op getallen lezen en schrijven tot 20, koppelen aan waarde (plaatswaarde), en operatiesymbolen. * **Afgeleide rekenfeiten** (rekenvoordelen) ontstaan vanuit gekende rekenfeiten en zijn niet altijd behulpzaam voor kinderen met dyscalculie. * **Gevorderd rekenen** (vanaf 2e leerjaar) omvat inzicht in het tientallig stelsel, de vier hoofdbewerkingen, en contextrijke toepassingen. * **Dyscalculie** is een ernstige en hardnekkige rekenproblematiek die wordt omschreven aan de hand van primaire kenmerken, zonder volledige verklaarbare oorzaken buiten kindkenmerken. * Dyscalculie wordt beschouwd als een neurobiologische ontwikkelingsstoornis met specifieke criteria. * **Comorbiditeit** met taalproblemen (tot 50%), dyslexie (17-70%), en ADHD (12-36%) komt frequent voor bij dyscalculie. * **Handelingsgerichte diagnostiek** beveelt aanbevelingen op vier niveaus: vaardigheids-, psychologisch, fysiek, en orthopedagogisch niveau. * **Foutenanalyse** is cruciaal om rekenproblemen te classificeren (nulfouten, lokalisatiefouten, basisfouten, S-taken, G-fouten, instellingsfouten, etc.). * **Screeners** detecteren taakspecifieke risicosignalen voor dyscalculie, maar een diagnose vereist diepgaander onderzoek naar hardnekkigheid en uitsluiting van andere verklaringen. ### Kernvaardigheden * **Voorbereidende rekenvaardigheden** omvatten tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen, en translatie. * **Tellen** kent procedurele kennis (telrij) en conceptuele kennis (principes zoals 1-1 correspondentie, kardinaliteit). * **Splitsen** van getallen tot 10 is essentieel voor optellen en aftrekken met brug. * **Optellen en aftrekken** kunnen worden aangeboden via tellen met materiaal, en door het begrip van splitsingen als complementair te zien. * **Vermenigvuldigen en delen** vereisen inzicht, waarbij vermenigvuldigen kan worden aangebracht via herhaald optellen of verdubbelen/halveren. * **Breuken en procenten** vereisen inzicht in het verdelen in gelijke delen en het koppelen aan de noemer (pro cent = op 100). * **Metend rekenen en meetkunde** vereisen inzicht in maten, omzetten, en vergelijken, beginnend met natuurlijke maten en opschuivend naar standaardmaten. * **Cijferen** vereist een specifieke werkrichting en systematische inoefening met stappenplannen. --- * **Translatie:** Het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten: getalwoord, hoeveelheid, en Arabisch cijfer. * **Prenumerische ontwikkeling:** De vroege vaardigheden van baby's om hoeveelheden te onderscheiden (getaldiscriminatie). * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Vaardigheden die nodig zijn om tot getalbegrip te komen, waaronder tellen, maatbegrip en vergelijken van hoeveelheden. * **Aanvankelijk rekenen:** De fase in het eerste leerjaar gericht op het aanbrengen van basiskennis, rekentaal en visueel-ruimtelijke aspecten. * **Gevorderd rekenen:** Vanaf het tweede leerjaar, met focus op het tiendelige talstelsel, de vier hoofdbewerkingen en contextrijke toepassingen. * **Dyscalculie (DC):** Een ernstige, hardnekkige rekenprobleemstoornis met een kindkenmerk als oorzaak, zonder andere volledig verklarende oorzaken. * Prenumerische getalgevoeligheid, zoals getaldiscriminatie, voorspelt toekomstig rekenen. * Kinderen kunnen vanaf 6 maanden een 1:2 ratio (bv. 2 vs. 4 stippen) onderscheiden en vanaf 10 maanden een 2:3 ratio. * Post-Piagetiaanse inzichten benadrukken het belang van voorbereidende rekenvaardigheden naast Piaget's concepten. * Het CSA-principe (Concreet-Schematisch-Abstract) is een didactisch model voor het leren rekenen. * Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen) kunnen helpen bij het sneller oplossen van sommen. * Dyscalculie is een neurobiologische ontwikkelingsstoornis die wordt gekenmerkt door problemen vanaf vroege kinderjaren en stabiele tekorten. * Comorbiditeit met taalproblemen (tot 50%), dyslexie (17-70%) en ADHD (12-36%) is veelvoorkomend bij dyscalculie. ### Kernvaardigheden en processen * **Tellen:** Zowel procedurele (telrij kennen) als conceptuele kennis (principes van tellen). * **Splitsen:** Het opbreken van getallen, essentieel voor optellen en aftrekken met brug. * **Cijferen:** Het systematisch uitvoeren van bewerkingen met getallen volgens procedures. * **Rekentaal:** Het begrijpen en gebruiken van wiskundige termen en instructies. * **Getallenkennis:** Begrip van getalwaarden, plaatswaarde en getalnotatie tot grote getallen. * **Foutenanalyse:** Het classificeren en begrijpen van verschillende soorten rekenfouten. * **Metacognitie:** Het vermogen om eigen denkprocessen te overzien, plannen en evalueren tijdens het rekenen. * **Werkgeheugen:** Essentieel voor het verwerken van informatie tijdens rekenopdrachten. ### Implicaties voor onderwijs en begeleiding * **Vroege interventie:** Prenumerische ondersteuning is cruciaal, beginnend bij het vergelijken van hoeveelheden. * **Directe instructie en modelleren:** Essentieel voor het aanleren van strategieën en procedures. * **CSA-principe:** Concrete materialen, schematische weergaven en abstracte concepten moeten systematisch worden opgebouwd. --- # Schoolse problemen en ondersteuning bij rekenstoornissen ### Kernidee * Dyscalculie is een ernstige en hardnekkige rekenstoornis met oorzaak in kindkenmerken, zonder andere volledige verklaringen. * Het is een neurobiologische ontwikkelingsstoornis die zich uit vanaf de vroege kinderjaren. * Dyscalculie is een beschrijvende diagnose die leidt tot handelingsgerichte adviezen. * Het aanpakken van dyscalculie vereist een handelingsgerichte, gestructureerde en op maat gemaakte aanpak. ### Belangrijke feiten * Er is een verband tussen protonumerische getalgevoeligheid en toekomstig rekenen; getaldiscriminatie op 24 maanden verklaart deels de variantie in rekenen. * Ontluikende gecijferdheid vertoont meer individuele verschillen dan ontluikende geletterdheid. * Comorbiditeit is frequent: taalproblemen (tot 50%), dyslexie (17-70%), ADHD (12-36%), ASS (4x hogere prevalentie). * Dyscalculie wordt erkend als een arbeidshandicap. * De diagnose dyscalculie is niet eenduidig en er is variatie in de definitie en criteria door de jaren heen. ### Kernconcepten * **Translatie:** Het omzetten van getalsinformatie tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Prenumerische ontwikkeling:** Vaardigheden die aan rekenen voorafgaan, zoals getalgevoeligheid (getaldiscriminatie, ordinale relaties) en protonumerische competenties. * **Voorbereidend rekenen:** Vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie. * **Handelingsmodel (CPA/CSA):** Concreet, Schematisch, Abstract - een didactisch principe voor het aanleren van wiskundige concepten. * **IJsbergdidactiek:** Een model dat de fasen van wiskundeonderwijs beschrijft van wiskundige wereldoriëntatie tot formele bewerkingen. * **Afgeleide rekenfeiten/rekenvoordelen:** Sommen die afgeleid worden uit bekende rekenfeiten, wat voor kinderen met dyscalculie niet altijd helpt. * **Dyscalculie criteria:** Vroegere criteria omvatten normaliteitscriterium en discrepantiecriterium (problemen groter dan verwacht op basis van IQ). * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** Kwalificatie van dyscalculie die voldoet aan criteria van vroege start, stabiliteit, en mogelijke genetische/neurobiologische bepaaldheid. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Een aanpak gericht op het formuleren van adviezen op vier niveaus: vaardigheids-, psychologisch, fysiek en orthopedagogisch niveau. * **Procesonderzoek:** Het observeren van het effect van structurering, vereenvoudiging, materiele en verbale hulp, en modelleren. * **Foutenanalyse:** Het classificeren van rekenfouten om de specifieke moeilijkheden van het kind te identificeren. * **Evidence-based handelen:** Werkwijze gebaseerd op wetenschappelijk onderzoek en effectieve interventies. * **Cognitivisme:** Theorie die mentale processen centraal stelt bij het leren, naast observeerbaar gedrag. * **Eclectische aanpak:** Een brede diagnostische en therapeutische benadering die verschillende theorieën en methoden combineert. * **Zorgcontinuüm:** De verschillende fasen van zorg, van brede basiszorg tot individueel aangepast curriculum. * **Universal Design for Learning (UDL):** Een ontwerpfilosofie die flexibiliteit en variatie centraal stelt om belemmeringen voor alle leerlingen te verminderen. ### Implicaties ### Tips --- * Dyscalculie (DC) is een ernstige, hardnekkige rekenstoornis met oorzaak in kindkenmerken, zonder andere verklaringen. * Het is een neurobiologische ontwikkelingsstoornis met problemen vanaf vroege kinderjaren, stabiel verloop en blijvende tekorten. * DC treft evenveel jongens als meisjes. * Diagnose is beschrijvend en leidt tot handelingsgerichte adviezen. * Verouderde criteria: normaliteits- en discrepantiecriterium (IQ-verschil). * Handelingsgerichte diagnostiek beveelt aanbevelingen op vier niveaus: vaardigheid, psychologisch, fysiek, orthopedagogisch. * **Prenumerische competenties:** getaldiscriminatie, vergelijken van hoeveelheden, ordinale relaties. * **Voorbereidende rekenvaardigheden (Piaget/post-Piaget):** tellen, maatbegrip, vergelijken, rekentaal, patronen, translatie. * **Aanvankelijk rekenen:** inzichtelijk aanbrengen basiskennis, ondersteunen rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten, automatiseren rekenfeiten. * **CPA-model:** Concreet, Schematisch, Abstract. * **Handelingsmodel (IJsbergdidactiek):** wiskundige wereldoriëntatie, structuurmodellen, schematische denkmodellen, formele bewerking. * **Foutenanalyse:** classificatie van fouten (bv. nulfout, doortellen, basisfout, substitutie, instellingsfout). * **Screeners:** detecteren taakspecifieke risicosignalen voor dyscalculie. * **Redelijke aanpassingen (juridisch onderbouwd):** maatregelen voor gelijke kansen. * Vroege ondersteuning bij prenumerische vaardigheden is cruciaal. * Foutenanalyse is essentieel voor het bepalen van de aanpak. * Werkgeheugen en aandachtsproblemen (bv. bij ADHD) beïnvloeden rekenvaardigheden. * Hulpmiddelen (bv. tafelkaarten, schrijfplan) en compenserende middelen zijn belangrijk. * Gelijke kansen en participatie bevorderen door drempels te verlagen. * Psycho-educatie (inzicht in stoornis, hanteren, zelfvertrouwen) is een belangrijk onderdeel van de ondersteuning. --- * Ondersteuning bij rekenstoornissen (dyscalculie) richt zich op het overwinnen van specifieke leerhindernissen en het bevorderen van participatie. * Een handelingsgerichte aanpak, met oog voor zowel de cognitieve als psychosociale aspecten, is cruciaal voor effectieve begeleiding. * Dyscalculie is een neurobiologische ontwikkelingsstoornis die gekenmerkt wordt door ernstige, hardnekkige rekenproblemen zonder duidelijke andere verklaringen. * Comorbiditeit met andere stoornissen, zoals dyslexie, ADHD en ASS, komt frequent voor en beïnvloedt de aanpak. * De diagnose dyscalculie is beschrijvend en vormt de basis voor handelingsgerichte adviezen. * Vroege signalering en ondersteuning, reeds op prenumerisch niveau, zijn belangrijk. * **Prenumerische ontwikkeling:** Bevat protonumerische competenties zoals getaldiscriminatie en vergelijken van hoeveelheden. * **Voorbereidend rekenen:** Omvat vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, en rekentaal. * **Aanvankelijk rekenen:** Focust op inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, rekentaal, en visueel-ruimtelijke aspecten. * **Gevorderd rekenen:** Omvat inzicht in het tientallig stelsel, de vier hoofdbewerkingen, hoofdrekenen, en contextrijke toepassingen. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Analyseert rekenvaardigheden, psychologische factoren, fysieke en externe factoren. * **Foutenanalyse:** Cruciaal om de specifieke denkprocessen en problemen van het kind te identificeren. * **Evidence-based handelen:** Gebruik van methoden en interventies die wetenschappelijk onderbouwd zijn. * **Psycho-educatie:** Zorgt voor inzicht in de stoornis, vaardigheden om ermee om te gaan, en het versterken van zelfvertrouwen. * **Universal Design for Learning (UDL):** Ontwerpt leeromgevingen die voor alle leerlingen toegankelijk zijn. * **REDICODI:** Stimuleren, Remediëren, Differentiëren, Compenseren, Dispenseren – maatregelen om drempels te verlagen. * Een grondige kennis van de normale rekenontwikkeling is essentieel voor het herkennen van problemen. * De aanpak moet rekening houden met de heterogeniteit van dyscalculie en individuele leerbehoeften. * Het bevorderen van een constructief zelfbeeld, autonome motivatie en metacognitie is een integraal onderdeel van de ondersteuning. * Effectieve samenwerking tussen school, ouders en therapeuten is van groot belang voor participatie en gelijke kansen. * Hulpmiddelen en compenserende middelen moeten tijdig en op maat worden ingezet om faalervaringen te voorkomen. * De focus ligt op inzicht en het aanleren van strategieën, eerder dan op tempo en het blindelings toepassen van trucs. * Het recht op redelijke aanpassingen is wettelijk verankerd en vormt de basis voor inclusief onderwijs. --- * Dyscalculie (DC) is een ernstige en hardnekkige rekenstoornis die niet volledig verklaard kan worden door andere factoren. * Het is een neurobiologische ontwikkelingsstoornis die vanaf vroege kinderjaren aanwezig is en stabiel verloopt met blijvende tekorten. * Er is geen verschil in prevalentie tussen jongens en meisjes bij dyscalculie. * DC wordt beschrijvend gediagnosticeerd op basis van primaire kenmerken. * Vroegere criteria voor DC omvatten normaliteits- en discrepantiecriteria gerelateerd aan intelligentie. * Comorbiditeiten met DC zijn frequent: taalproblemen (tot 50%), dyslexie (17-70%), ADHD (12-36%), ASS (4x hogere prevalentie), angststoornissen (30%) en gedragsstoornissen (23%). * Kinderen met DC vertonen vaak problemen met spontane interesse voor cijfers (SFON), classificeren, seriëren, subitizeren, mapping, rekentaal en het snel benoemen van kleuren/cijfers. * Er is meer variatie in ontluikende gecijferdheid dan in ontluikende geletterdheid. * **Translatie:** Het omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Prenumerische ontwikkeling:** Baby's tonen al getalgevoeligheid door te differentiëren tussen hoeveelheden (vanaf 6 maanden: 1:2 ratio, vanaf 10 maanden: 2:3 ratio). * **Voorbereidend rekenen (Piaget & post-Piaget):** Omvat vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie. Dit is belangrijker dan de oorspronkelijke "rekenvoorwaarden". * **Aanvankelijk rekenen:** Inzichtelijk aanbrengen van basiskennis, ondersteunen van rekentaal en de visueel-ruimtelijke aspecten van rekenen. Hierbij wordt het **concrete-schematische-abstracte (CSA)-principe** toegepast. * **Gevorderd rekenen:** Vanaf het tweede leerjaar, met focus op het tientallig stelsel, de vier hoofdbewerkingen, hoofdrekenen, cijferen, breuken, procenten en contextrijke toepassingen. * **Neurobiologische ontwikkelingsstoornis:** Kenmerkt zich door problemen vanaf vroege kinderjaren, stabiliteit, en invloed van genetische/neurobiologische factoren. * **Handelingsgerichte diagnostiek:** Richt zich op vier niveaus: vaardigheidsniveau, psychologisch niveau, fysiek niveau en orthopedagogisch niveau. * **Foutenanalyse:** Classificeren van fouten (bv. nulfout, lokalisatiefout, basisfout, substitutiefout, instellingsfout) is cruciaal voor het bepalen van de aanpak. * Vroege identificatie en interventie zijn essentieel, met speciale aandacht voor prenumerische ondersteuning (bv. vergelijken van hoeveelheden). * Onderwijs moet gericht zijn op het **wegwerken van 'ongelijkheid'** en het compenseren van tekorten door maatwerk. * Handelingsgerichte diagnostiek en een brede, eclectische aanpak die rekening houdt met cognitieve, metacognitieve en psychosociale factoren zijn noodzakelijk. * Het belang van **foutloos leren** en het **creëren van succeservaringen** wordt benadrukt om een constructief zelfbeeld en autonome motivatie te bevorderen. * Ondersteuning moet niet alleen gericht zijn op het kind, maar ook op ouders en leerkrachten (psycho-educatie). * Juridische kaders (VN-verdrag, decreten) onderbouwen het recht op redelijke aanpassingen en gelijke kansen. - > **Tip:** Bij dyscalculie is het belangrijker om kinderen te leren omgaan met hun moeilijkheden en hen te voorzien van passende hulpmiddelen, dan enkel te focussen op het versnellen van - het tempo - > **Tip:** Trucs en standaardregeltjes zijn vaak minder effectief bij kinderen met dyscalculie vanwege hun beperkte werkgeheugen; focus op inzicht en conceptuele basis --- * Dyscalculie (DC) is een ernstige en hardnekkige rekenstoornis met oorzaak in kindkenmerken, zonder andere volledig verklarende oorzaken. * DC is een neurobiologische ontwikkelingsstoornis die de kenmerken van vroege start, problemen met taal/cognitie/motoriek/sociaal, stabiel verloop, en onbekende etiologie met genetische/neurobiologische aanwijzingen deelt. * Diagnoses zijn beschrijvend en leiden tot handelingsgerichte adviezen, niet verklarend. * Ondersteuning richt zich op zowel rekenvaardigheden als psychosociale aspecten, met oog voor participatie en gelijke kansen. ### Kernfeiten * DC wordt niet voorspeld door IQ-scores; het is een op zichzelf staande stoornis. * Comorbiditeit is hoog, met name taalproblemen (tot 50%), dyslexie (17-70%), ADHD (12-36%), ASS (4x hogere prevalentie), angststoornissen (30%), en ODD/CD (23%). * Diagnostiek omvat handelingsgerichte aanpak op vaardigheids-, psychologisch, fysiek, en orthopedagogisch niveau. * Validiteit van tests is cruciaal: genormeerd op voldoende grote groepen, recent, en theoretisch onderbouwd. * Een grondige analyse van fouten (kwalitatief) en het vaststellen van het rekenniveau (kwantitatief) zijn essentieel. * **Translatie:** Omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, Arabisch cijfer). * **Protonumerische competenties:** Vroege vaardigheden zoals getaldiscriminatie en het vergelijken van hoeveelheden bij baby's. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Competenties als tellen, maatbegrip, vergelijken, rekentaal, patronen herkennen, die cruciaal zijn voor getalbegrip (naast Piagets model). * **CSA-principe (Concreet-Schematisch-Abstract):** Een didactische aanpak waarbij de abstractie geleidelijk wordt opgebouwd. * **IJsbergdidactiek:** Model dat de verschillende niveaus van wiskundige kennis en handelen representeert, van dagelijkse toepassingen tot formele bewerkingen. * **Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen):** Sommen die afgeleid kunnen worden uit gekende rekenfeiten; niet altijd helpend voor kinderen met DC. * **Handelingsgericht werken:** Een benadering die uitgaat van de onderwijs- en opvoedingsbehoeften van het kind, met betrokkenheid van leerkracht en ouders. * **Universal Design for Learning (UDL):** Een didactisch principe dat streeft naar het creëren van leersituaties die voor iedereen toegankelijk zijn, met variatie en flexibiliteit. * **REDI-CODI:** Maatregelen voor remediëren, differentiëren, compenseren en dispenseren om drempels te verlagen en participatie te bevorderen. * Vroege signalering en ondersteuning bij protonumerische vaardigheden en voorbereidend rekenen zijn cruciaal. * Didactische aanpakken moeten concreet beginnen en geleidelijk abstraheren (CSA-principe). * Ondersteuning dient zowel op cognitief/rekenkundig niveau als op psychosociaal niveau (zelfbeeld, motivatie, metacognitie). * Effectieve begeleiding vereist een multidisciplinaire aanpak en samenwerking met school en ouders. * Het aanleren van strategieën (bv. voor tekstbegrip) is belangrijker dan het automatiseren van trucs, vooral vanwege werkgeheugenproblemen. * Juridisch kader (bv. VN-verdrag, M-decreet) ondersteunt het recht op redelijke aanpassingen en gelijke kansen. * Bij diagnostiek is het cruciaal om niet enkel te kijken naar tekorten, maar ook naar krachten en sterktes van het kind. --- * Dyscalculie (DC) is een ernstige, hardnekkige rekenstoornis die voortkomt uit kindkenmerken, zonder volledige verklaring in externe factoren. * Ondersteuning bij rekenstoornissen vereist een handelingsgerichte, multidisciplinaire aanpak die rekening houdt met de individuele behoeften van het kind. * Het succesvol aanpakken van rekenproblemen omvat zowel didactische interventies als psychosociale ondersteuning en het creëren van gelijke kansen. * Dyscalculie wordt beschouwd als een neurobiologische ontwikkelingsstoornis met problemen vanaf de vroege kinderjaren. * Comorbiditeit is frequent: tot 50% heeft taalproblemen, 17-70% dyslexie, 12-36% ADHD. * Diagnostiek is zowel kwantitatief (rekeniveau) als kwalitatief (type fouten, denkprocessen). * Ondersteuning focust op het bevorderen van zelfbeeld, autonome motivatie, metacognitie en zelfregulering. * Vroege signalering en interventie zijn cruciaal voor de ontwikkeling van rekenvaardigheden. * **Translatie:** Omzetten van getalinformatie tussen verschillende modaliteiten (getalwoord, hoeveelheid, cijfer). * **Prenumerieke competenties:** Basale vaardigheden zoals getaldiscriminatie en het vergelijken van hoeveelheden, reeds aanwezig bij baby's. * **Voorbereidende rekenvaardigheden:** Vaardigheden die voorafgaan aan formeel rekenen, zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal en patronen herkennen. * **CSA-principe (Concreteness – Schematisation – Abstraction):** Een didactisch model waarbij de aanpak evolueert van concreet handelen naar schematisch denken en uiteindelijk abstracte concepten. * **Handelingsgericht werken:** Een aanpak die vertrekt vanuit de specifieke onderwijs- en opvoedingsbehoeften van het kind, met betrokkenheid van alle partijen. * **Foutenanalyse:** Systematische analyse van gemaakte rekenfouten om de oorzaak te achterhalen en gepaste ondersteuning te bieden. * **Psycho-educatie:** Het verwerven van inzicht in de stoornis, de aanpak ervan, en het ontwikkelen van vaardigheden om ermee om te gaan. * **Universal Design for Learning (UDL):** Een didactisch principe om de leeromgeving zo te ontwerpen dat deze voor zoveel mogelijk leerlingen toegankelijk is. * Individuele verschillen in rekenontwikkeling zijn groot; vroege signalering is noodzakelijk. * De diagnostiek moet breed zijn, rekening houdend met zowel rekenvaardigheden als psychologische en externe factoren. * Effectieve remediëring vereist een planmatige, evidence-based aanpak die zowel inhoudelijk als procesgericht is. * Het verlagen van drempels en het bieden van redelijke aanpassingen is essentieel voor gelijke kansen en participatie. * Samenwerking tussen school, ouders en eventuele externe hulpverleners is cruciaal voor een consistent en effectief ondersteuningsplan. --- * Dyscalculie wordt beschouwd als een neurobiologische ontwikkelingsstoornis die zich kenmerkt door ernstige, hardnekkige rekenproblemen. * Diagnostiek en begeleiding bij dyscalculie vereisen een handelingsgerichte aanpak, met aandacht voor zowel de rekenvaardigheden als psychologische, fysieke en orthopedagogische factoren. * Ondersteuning richt zich op het verlagen van drempels, het bevorderen van participatie en het waarborgen van gelijke kansen, zowel via universele ontwerpprincipes als individuele aanpassingen. * Dyscalculie is een beschrijvende diagnose, niet verklarend. * Comorbiditeit met taalproblemen (tot 50%), dyslexie (17-70%) en ADHD (12-36%) komt frequent voor. * Neurobiologische ontwikkelingsstoornissen kenmerken zich door problemen vanaf vroege kinderjaren, stabiliteit met progressieve verbetering en gelijke prevalentie bij jongens en meisjes bij dyscalculie. * Oude diagnostische criteria voor dyscalculie omvatten normaliteits- en discrepantiecriteria (relatie met IQ). * Handelingsgerichte diagnostiek beveelt aan op vier niveaus: vaardigheids-, psychologisch, fysiek en orthopedagogisch. * De diagnose dyscalculie wordt nooit na een eerste onderzoek gesteld vanwege de vereiste van hardnekkigheid. * Universeel ontwerp voor leren (UDL) streeft naar inclusieve didactiek die voor alle leerlingen voordelen biedt. * STICORDI (Stimuleren, Remediëren, Differentiëren, Compenseren, Dispenseren) is een model voor aanpakmaatregelen. * Juridisch kader voor redelijke aanpassingen is verankerd in decreten zoals het M-decreet en het decreet leersteun. * **Translatie**: Omzetten van getal van de ene modaliteit (getalwoord, hoeveelheid, cijfer) naar de andere. * **Prenumerische ontwikkeling**: Vroege gevoeligheid voor hoeveelheden, zoals getaldiscriminatie en ordinale relaties. * **Voorbereidend rekenen**: Vaardigheden zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal en patronen herkennen. * **Handelingsmodel (CSA/CPA)**: Concreet-Schematisch-Abstract principe, waarbij men geleidelijk minder concreet wordt in de ondersteuning. * **IJsbergdidactiek**: Model van wiskundige wereldoriëntatie naar formele bewerking, waarbij de top van de ijsberg de abstracte formele bewerking voorstelt. * **Foutenanalyse**: Classificeren van rekenfouten om de aard van de moeilijkheden te begrijpen (bv. nulfout, lokalisatiefout, basisfout, substitutiefout). * **Evidence-based handelen**: Gebruik maken van aanpakken die wetenschappelijk onderbouwd zijn. * **Metacognitie**: Het vermogen om het eigen denken en leren te sturen, te monitoren en te evalueren. * **Autonome motivatie**: Intrinsieke motivatie bevorderen door keuze, competentie en betrokkenheid te bieden. * **Psycho-educatie**: Informatie verstrekken over de stoornis, acceptatie bevorderen en vaardigheden aanleren om ermee om te gaan. * **Interpreteren op mesoniveau**: Relaties leggen tussen impliciete gegevens binnen een paragraaf (elaboratieve en overbruggingsinferenties). * **Interpreteren op macroniveau**: Verbanden leggen tussen impliciete tekstgebonden gegevens op tekstniveau. * **Extrapolatie**: Relaties leggen tussen tekstgegevens en gegevens buiten de tekst. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Translatie | Het omzetten van een getal van de ene modaliteit naar de andere, waarbij de drie modaliteiten getalwoorden, hoeveelheden en Arabische cijfers omvatten. | | Getalgevoeligheid | Protonumerische competenties die aangeven dat baby's in staat zijn onderscheid te maken tussen verschillende hoeveelheden, zoals getaldiscriminatie. | | Voorbereidende rekenvaardigheden | Vaardigheden die nodig zijn om tot getalbegrip te komen, zoals tellen, maatbegrip, vergelijken van hoeveelheden, rekentaal en patronen herkennen. | | Aanvankelijk rekenen | De fase in de rekenontwikkeling, typisch in het eerste leerjaar, gericht op het inzichtelijk aanbrengen van basiskennis en regels, het ondersteunen van rekentaal, visueel-ruimtelijke aspecten, en het automatiseren van rekenfeiten. | | Inzichtelijk aanbrengen | Leren rekenen door eerst de dingen te ervaren, te verwoorden, te schematiseren en mentaal uit te voeren, wat de basis vormt voor begrip. | | CSA-principe (Concreteness Fading) | Een didactisch principe waarbij de mate van concreetheid geleidelijk wordt afgebouwd, van concreet naar schematisch en uiteindelijk naar abstract. | | IJsbergdidactiek | Een didactisch model dat bestaat uit vier niveaus: wiskundige wereldoriëntatie, structuurmodellen, schematische denkmodellen en formele bewerkingen, waarbij de top van de ijsberg de meest abstracte vorm van kennis vertegenwoordigt. | | Basiskennis (rekenen) | Fundamentele kennis die nodig is voor rekenen, waaronder het lezen en schrijven van getallen, het koppelen aan de waarde van getallen (plaatswaarde, tiental- en eenheidsstructuur), en kennis van operatiesymbolen. | | Procedures (rekenen) | De methoden en stappen die worden gebruikt om rekenkundige taken uit te voeren, zoals tellen, splitsen, optellen en aftrekken. | | Splitsen van getallen | Het opdelen van een getal in kleinere delen, wat een belangrijke procedure is ter ondersteuning van brugoefeningen en het begrijpen van getalstructuren. | | Afgeleide rekenfeiten (rekenvoordelen) | Sommen die kunnen worden afgeleid uit reeds bekende rekenfeiten, wat kinderen kan helpen bij het oplossen van nieuwe sommen. | | Gevorderd rekenen | De fase in de rekenontwikkeling, vanaf het tweede leerjaar, gericht op inzicht in het tiendelige talstelsel, getallenkennis tot 100.000, decimale getallen, de vier hoofdbewerkingen en contextrijke toepassingen. | | Prenumerische ontwikkeling | De ontwikkeling van vaardigheden die voorafgaan aan het formele rekenen, zoals getalgevoeligheid, het vergelijken van grote en kleine hoeveelheden, en het herkennen van ordinale relaties tussen hoeveelheden. | | Protonumerische competenties | De aangeboren of vroeg ontwikkelde vaardigheden van baby's en jonge kinderen om onderscheid te maken tussen verschillende hoeveelheden, wat een basis vormt voor verdere rekenontwikkeling. | | Voorbereidend rekenen | Vaardigheden die nodig zijn om tot een goed getalbegrip te komen, zoals tellen, maatbegrip, het vergelijken van hoeveelheden, rekentaal, patronen herkennen en translatie. | | Inzicht | Het proces van leren rekenen door eerst de concepten te ervaren, te verwoorden, te schematiseren en mentaal uit te voeren, wat centraal staat in het CSA-principe. | | CSA-principe (Concreetheid-Schematisering-Abstractie) | Een didactisch model waarbij de leerstof geleidelijk minder concreet wordt gemaakt, van handelen met concrete materialen naar schematische voorstellingen en uiteindelijk abstracte wiskundige concepten. | | Handelingsmodel | Een didactische benadering die de nadruk legt op het actief handelen en ervaren om wiskundige concepten te leren begrijpen. | | Term | Definitie | | Concrete-Schematische-Abstracte (CSA) principe | Een didactisch principe waarbij leerstof eerst concreet wordt aangeboden, vervolgens geschematiseerd en ten slotte abstract wordt gemaakt, om zo tot begrip te komen. | | Basis k en S – taken | K-taken betreffen kennis van getallen (lezen, schrijven, plaatswaarde), terwijl S-taken betrekking hebben op kennis van operatiesymbolen zoals +, -, < en >. | | Procedurele kennis | Kennis van hoe een rekenhandeling uitgevoerd moet worden, zoals het stapsgewijs tellen of splitsen van getallen. | | Conceptuele kennis | Inzicht in de betekenis en de onderliggende principes van rekenconcepten en -procedures. | | CSA-principe (Concreetheid, Schematisering, Abstractie) | Een didactisch model waarbij de leerstof geleidelijk minder concreet wordt gemaakt, van tastbare materialen naar schematische voorstellingen en uiteindelijk naar abstracte symbolen. | | Prenumerische competenties | De protonumerische competenties die baby's in staat stellen onderscheid te maken tussen verschillende hoeveelheden, zoals getaldiscriminatie. | | Getaldiscriminatie | Het vermogen om onderscheid te maken tussen verschillende hoeveelheden, een protonumerische competentie die al bij jonge baby's aanwezig is. | | Ordinale relaties tussen hoeveelheden | Het begrijpen van de volgorde of rangschikking van verschillende hoeveelheden, bijvoorbeeld weten dat 5 meer is dan 3. | | Concreteness Fading (CSA-principe) | Een didactisch principe waarbij de concreetheid van leermateriaal geleidelijk wordt afgebouwd, van tastbare objecten naar abstracte representaties. | | Automatiseren van rekenfeiten | Het vlot en zonder nadenken kunnen oproepen van basisrekenkennis, zoals sommen en tafels, wat essentieel is voor efficiënt rekenen. | | Neurobiologische ontwikkelingsstoornis | Een stoornis die vanaf de vroege kinderjaren problemen veroorzaakt op het gebied van taal, cognitie, motoriek of sociale vaardigheden, met een stabiel verloop en aanwijzingen voor genetische of neurobiologische bepaaldheid. | | Dyscalculie (DC) | Een ernstige en hardnekkige rekenstoornis waarbij de oorzaak primair bij het kind ligt en er geen andere verklaringen zijn die de problemen volledig kunnen verklaren. | | CSA-principe (Concreetheid-Schematisch-Abstract) | Een didactisch principe waarbij de leerstof steeds minder concreet wordt aangeboden, van materieel handelen naar schematische voorstellingen en uiteindelijk naar abstracte concepten. | | Basiskennis | De fundamentele kennis die nodig is voor rekenen, zoals het lezen en schrijven van getallen, het koppelen aan de waarde van getallen (plaats- en tiental-eenheidsstructuur) en kennis van operatiesymbolen. | | Procedures | De methoden en stappen die worden gebruikt om rekenkundige taken uit te voeren, zoals tellen, splitsen, optellen en aftrekken. | | Begrijpend Lezen (BL) | Een actief en strategisch denkproces waarbij de lezer een persoonlijk verwerkte synthese creëert, vergelijkbaar met het creëren van een mentaal model, om de betekenis van geschreven taal te doorgronden. | | Cognitieve Leesstrategieën | Mentale hulpmiddelen die lezers gebruiken om hun begrip te ondersteunen, zoals het stellen van vragen over de tekstinhoud, het visualiseren van informatie, het verbinden met voorkennis, het samenvatten en het herkennen van de tekststructuur. | | Metacognitieve Leesstrategieën | Strategieën die gericht zijn op het sturen en bewaken van het leesproces, waaronder het activeren van voorkennis, het stellen van leesdoelen, het bewaken van begrip en het toepassen van herstelstrategieën bij onduidelijkheden op woord- en tekstniveau. | | Tekstkenmerken | Aspecten van een tekst die invloed hebben op de verwerking ervan, waaronder de tekstsoort (bv. gedicht, verhaal, informatieve tekst), de tekstorganisatie (uiterlijke kenmerken zoals titels en signaalwoorden) en de tekststructuur (de inhoudelijke ordening van gedachten). | | Tekstorganisatie | De uiterlijke kenmerken van een tekst die visueel waarneembaar zijn, zoals titels, subtitels, tekeningen, grafieken, foto's en signaalwoorden, die helpen bij het structureren van de informatie. | | Tekststructuur | De manier waarop de schrijver zijn gedachten inhoudelijk ordent, wat niet direct visueel zichtbaar is, maar essentieel is voor de samenhang en begrijpelijkheid van de tekst. | | Signaalwoorden | Woorden die de lezer helpen de structuur van een tekst te begrijpen, zoals woorden die een tijdsvolgorde aangeven (bv. eerst, daarna) of woorden die een opsomming aanduiden (bv. ten eerste, ook, daarnaast). | | Herstelstrategieën | Strategieën die worden toegepast wanneer het begrip van de tekst hapert, zowel op woordniveau (bv. verbaal begrip) als op tekstniveau (bv. opnieuw lezen, verder lezen voor verduidelijking, teruglezen). | | Strategie-instructie | Het expliciet aanleren en inoefenen van cognitieve en metacognitieve leesstrategieën, waarbij de nadruk ligt op het modelleren van het denkproces en het geven van feedback op maat. | | Functionaliteit | Het werken met betekenisvolle taken waarbij het duidelijk is waarom de tekst gelezen wordt, wat de motivatie verhoogt en leidt tot een oplossing of doel. | | Leesmotivatie | De intrinsieke drijfveer om te lezen, die bevorderd wordt door aan te sluiten bij de interesses van de lezer, betekenisvolle taken aan te bieden en inspraak en keuze te geven. | | Interactie | Het proces van communicatie en feedback tussen de lezer en de begeleider (of tussen lezers onderling) gedurende het leesproces, essentieel voor het aanleren van strategieën. | | Basis Kennis (L-taak, K-taak, S-taak) | Fundamentele wiskundige kennis die nodig is voor aanvankelijk rekenen, waaronder het lezen en schrijven van getallen (L-taak), het koppelen aan de waarde van getallen en plaatswaarde (K-taak), en kennis van operatiesymbolen (S-taak). |

# Ontwikkeling van getalbegrip en rekenvaardigheden Dit onderwerp behandelt de fasen in de ontwikkeling van rekenvaardigheden, beginnend bij voorbereidende vaardigheden zoals tellen en getalbegrip, en de rol van cognitieve en taalontwikkeling hierin. ### 1.1 Fasen in het rekenproces Het rekenproces kent drie hoofdfasen: * **Voorbereidende of ontluikende gecijferdheid:** Dit omvat de vaardigheden die nodig zijn voordat formeel tellen en rekenen begint, vaak ontwikkeld in de kleuterklas. * **Aanvankelijk rekenen:** De fase waarin kinderen beginnen met formeel tellen en basale rekenprocedures leren. * **Gevorderd rekenen:** De fase waarin complexere wiskundige concepten en procedures worden toegepast. ### 1.2 De rol van voorbereidende vaardigheden De voorbereidende rekenvaardigheden, die vanaf ongeveer vier jaar tot ontwikkeling komen, zijn cruciaal voor het verwerven van getalbegrip. Deze vaardigheden worden gezien als voorwaarden voor het latere rekenen. #### 1.2.1 Basisvoorwaarden voor rekenvaardigheden Algemene cognitieve vaardigheden spelen een belangrijke rol bij het leren rekenen. Deze omvatten: * **Algemene cognitieve vaardigheden:** * Ruimtelijke oriëntatie * Oog-hand coördinatie * Visuele waarneming * Links-rechts onderscheid * **Taalontwikkeling:** Taalvaardigheid en getalbegrip zijn sterk met elkaar verbonden. Problemen op het ene gebied vergroten de kans op problemen op het andere. * **Aandacht:** Nodig voor het verwerken van instructies en informatie. * **Geheugen:** Essentieel voor het onthouden van telrijen, feiten en procedures. #### 1.2.2 Aanleg rekenen: Subitizing Subitizing is de sensitiviteit voor hoeveelheden en de snelle, exacte herkenning van kleine hoeveelheden (meestal kleiner dan vier) zonder te hoeven tellen. Dit lijkt een aangeboren vaardigheid te zijn, die ook bij dieren in beperkte mate aanwezig is. Bij grotere hoeveelheden wordt subitizing overgenomen door het langzamere proces van tellen. #### 1.2.3 Voorbereidende rekenvaardigheden (Piagetiaanse concepten en kernvaardigheden) De huidige visie ziet deze vaardigheden niet zozeer als strikte voorwaarden, maar als belangrijke ontwikkelingen die gelijktijdig met het leren tellen plaatsvinden. * **Psychologische voorbereidende rekenvaardigheden (gebaseerd op Piaget):** * **Conservatie:** Het inzicht dat hoeveelheden, gewichten of volumes gelijk blijven, ook al verandert de vorm (bv. evenveel cola in een smal hoog glas als in een breed laag glas). Dit vereist de mogelijkheid tot reversibel denken en compensatie. * **Correspondentie:** De vaardigheid om hoeveelheden te vergelijken via een een-op-een relatie, om zo het aantal te bepalen. * **Voorbereidende kernvaardigheden:** * **Classificatie:** Het vermogen om elementen te groeperen op basis van gemeenschappelijke eigenschappen. Dit kent verschillende niveaus: * Figuratieve verzamelingen (bv. een auto bouwen met blokken). * Non-figuratieve verzamelingen (bv. roze blokken bij elkaar leggen). * Inclusie van klassen (bv. kleine roze buisjes bij elkaar leggen). * **Seriatie:** Het kunnen rangschikken van elementen in een reeks op basis van variërende kenmerken (bv. appels van klein naar groot sorteren). Dit kent ook fasen: * Paarsgewijs denken (vergelijken van twee elementen). * Empirisch zoekend seriëren (experimenteel ordenen, waarbij elementen nog verplaatst moeten worden). * Transitief niveau (volledig beheersen van het ordenen van een reeks). * **Maatbegrip:** Het inzicht dat verschillende hoeveelheden vergeleken kunnen worden met behulp van een bemiddelaar (maat), zoals graden Celsius, meters of uren. > **Tip:** Hoewel Piaget vier specifieke 'rekenvoorwaarden' benoemde (seriatie, classificatie, conservatie, correspondentie), ziet de huidige visie deze meer als 'voorbereidende rekenvaardigheden' die naast het leren tellen ontwikkeld worden. #### 1.2.4 Tellen Tellen is een complex proces dat kinderen ongeveer vier jaar leren beheersen en dat verschillende stadia kent. De belangrijkste principes van tellen zijn: * **Stabiele getalvolgorde (ordinaliteit):** Het correct opzeggen van de telrij (één, twee, drie...). * **Eén-op-één correspondentie:** Elk object wordt één keer benoemd met een telwoord. * **Kardinaliteit:** Het laatste gebruikte telwoord geeft het totale aantal objecten aan. * **Telvolgorde is irrelevant:** De volgorde waarin objecten worden geteld, maakt niet uit voor het eindresultaat. * **Abstractie:** Het begrijpen van een getal als een absolute hoeveelheid, onafhankelijk van de eigenschappen van de objecten. #### 1.2.5 Ontwikkeling van getalbegrip Getalbegrip is het inzicht dat een getal meer dan één functie of betekenis heeft. Een kind heeft getalbegrip als het bij het aftellen van elementen elk telwoord opvat als zowel de aanduiding van het opeenvolgende element *als* het totale aantal tot dan toe getelde elementen. Het getalbegrip omvat verschillende aspecten: * **Kardinaliteit:** Het getal als aanduiding van een aantal objecten in een verzameling. * **Ordinaliteit:** Het getal als positie in een geordende reeks (bv. de derde knikker). * **Meetaspect:** Het getal als maat (bv. vier meter lang). * **Rekenaspect:** Het getal als onderdeel van een rekenopgave (bv. 2 + 2 = 4). * **Coderingsaspect:** Het getal als naam of label (bv. huisnummer 4). De overgang van voorbereidend naar aanvankelijk rekenen wordt gekenmerkt door de ontwikkeling van dit getalbegrip. > **Tip:** Een risicofactor voor dyscalculie is het uitvallen op meerdere aspecten van het getalbegrip. Niet alle kleuters beheersen de onderliggende telprincipes bij aanvang van het eerste leerjaar, wat leidt tot grote individuele verschillen. ### 1.3 Specifieke rekenvaardigheden Specifieke rekenvaardigheden kunnen worden onderverdeeld in drie categorieën: * **Conceptuele kennis (WAT?):** Begrip van wiskundige concepten, zoals de betekenis van vermenigvuldigen als herhaald optellen. Dit wordt vaak opgebouwd uit ervaringen en inzicht in relaties. * Voorbeeld: Begrip van de inverse relatie tussen deeltal, deler en quotiënt ($8 \div 2 = 4$ impliceert $2 \times 4 = 8$). * **Procedurele kennis (HOE?):** Kennis van algoritmen en procedures om rekenopgaven op te lossen. Dit kan variëren van eenvoudige telstrategieën tot complexe cijferprocedures. * Voorbeeld van strategieën bij optellen: * Volledig tellen. * Doortellen vanaf het grootste getal. * Decompositie (bv. aanvullen tot 10: $8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14$). * **Feitenkennis:** Het snel en accuraat oproepen van rekenfeiten (bv. de tafels van vermenigvuldiging) uit het lange-termijngeheugen. Dit vereist veel herhaling en leidt tot een sterk geheugenspoor. Het voordeel is efficiëntie en meer beschikbare werkgeheugencapaciteit. ### 1.4 Dyscalculie Dyscalculie is een primaire leerstoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het vlot of accuraat oproepen van rekenfeiten en/of het leren en vlot of accuraat toepassen van rekenprocedures. #### 1.4.1 Kenmerken van dyscalculie Dyscalculie kan zich uiten op minimaal één van de volgende drie gebieden: 1. Problemen met getallenkennis. 2. Problemen met het automatiseren van rekenfeiten. 3. Problemen met het onthouden en accuraat uitvoeren van rekenprocedures, wat leidt tot problemen met nauwkeurigheid en snelheid. #### 1.4.2 Criteria voor diagnostiek Voor de diagnose van dyscalculie worden doorgaans drie criteria gehanteerd: 1. **Achterstandscriterium:** Een significante achterstand op gestandaardiseerde rekentests ten opzichte van een relevante vergelijkingsgroep. 2. **Hardnekkigheidscriterium (didactische resistentie):** De rekenproblemen zijn blijvend, ook na adequate instructie en oefening. 3. **Exclusiviteitscriterium:** De rekenproblemen zijn niet volledig toe te schrijven aan een andere oorzaak (zoals een andere leerstoornis of intellectuele beperking). #### 1.4.3 Prevalentie en comorbiditeit * **Prevalentie:** Ongeveer 2 tot 8% van de leerlingen heeft dyscalculie. De prevalentie lijkt vergelijkbaar bij jongens en meisjes. * **Comorbiditeit:** Dyscalculie komt vaak samen voor met andere problematiek: * **Homotypische comorbiditeit:** Samen met andere leerstoornissen, zoals dyslexie en dysorthografie. * **Heterotypische comorbiditeit:** Samen met stoornissen uit andere diagnostische groepen, zoals ADHD, gedragsproblemen en depressie. Comorbiditeit met dyslexie is veelvoorkomend (17-43% van de gevallen), mede door de verwevenheid van taal en rekenen. Problemen met leesvaardigheden kunnen het risico op rekenstoornissen vergroten. ADHD-problemen beïnvloeden de prognose van dyscalculie negatief. > **Tip:** De samenhang tussen lees- en rekenstoornissen is aanzienlijk. Aangezien bepaalde deelaspecten van wiskunde taalgebruik vereisen, kunnen leesmoeilijkheden het risico op het ontwikkelen van verwante rekenstoornissen vergroten. --- # Specifieke rekenvaardigheden en feitenkennis Dit deel behandelt de verschillende soorten rekenkennis, hun ontwikkeling en veelvoorkomende uitdagingen, met specifieke aandacht voor dyscalculie. ### 2.1 Inleiding tot rekenvaardigheden Rekenkundige vaardigheden zijn essentieel in het dagelijks leven, van het omgaan met geld en afstanden tot tijdsberekeningen en snelheden. Het falen in deze vaardigheden kan leiden tot een moeilijker en minder voorspelbaar leven. Het rekenproces kan worden onderverdeeld in drie fasen: voorbereidende of ontluikende gecijferdheid, aanvankelijk rekenen en gevorderd rekenen. ### 2.2 Ontwikkeling van aantallen, hoeveelheden en relaties De ontwikkeling van getalbegrip en rekenvaardigheden begint al in de kleuterklas met "ontluikende gecijferdheid" en "voorbereidende rekenvaardigheden". Het is hierbij belangrijker dat jonge kinderen een gevoel ontwikkelen voor maten, hoeveelheden, reeksen en getallen dan dat ze cijfers mooi kunnen naschrijven. Informele ervaringen spelen een grote rol in het leren van de onderliggende logica van wiskunde. #### 2.2.1 Basisvoorwaarden voor rekenen Algemene cognitieve vaardigheden vormen de basis voor het verwerven van rekenvaardigheden. Deze omvatten: * **Psychomotoriek:** Ruimtelijke oriëntatie, oog-hand coördinatie, visuele waarneming, links-rechts onderscheid. * **Taalontwikkeling:** Taal en getalbegrip zijn sterk met elkaar verbonden. Problemen op het ene gebied vergroten de kans op problemen op het andere. * **Aandacht:** Het vermogen om te focussen op rekenkundige taken. * **Geheugen:** Het opslaan en oproepen van rekenkundige informatie. #### 2.2.2 Aanleg voor rekenen: Subitizing * **Subitizing** is de sensitiviteit voor hoeveelheden en de snelle, exacte herkenning van kleine aantallen zonder te tellen. Dit is een aangeboren vaardigheid, beperkt tot hoeveelheden kleiner dan vier, die bij jonge kinderen al zichtbaar is. Het is een snel, parallel proces dat wordt overgenomen door tellen wanneer hoeveelheden groter worden. #### 2.2.3 Voorbereidende rekenvaardigheden Deze vaardigheden zijn cruciaal voor het ontwikkelen van getalbegrip en komen vanaf ongeveer vier jaar tot ontwikkeling. Historisch gezien werd, onder invloed van Piaget, gesproken over vier rekenvoorwaarden: * **Seriatie:** Het kunnen rangschikken van elementen in een reeks op basis van kenmerken. * **Classificatie:** Het inzicht in het maken van verzamelingen door elementen te groeperen op basis van gelijke eigenschappen. * **Conservatie:** Het inzicht dat hoeveelheden, gewichten of volumes gelijk blijven, ook al verandert de vorm (bv. gelijke hoeveelheid cola in een smal hoog glas en een breed laag glas). Dit vereist reversibel denken en compensatie. * **Correspondentie:** De vaardigheid om hoeveelheden te vergelijken via een een-op-een relatie. De huidige visie beschouwt deze niet langer als strikte voorwaarden, maar als "voorbereidende rekenvaardigheden" die gelijktijdig met het leren tellen worden ontwikkeld. Naast de Piagetiaanse concepten worden ook maatbegrip en meer complexe vormen van classificatie en seriatie benoemd. #### 2.2.4 Tellen Het leren tellen, hoewel het makkelijk lijkt, duurt ongeveer vier jaar en kent verschillende stadia. Essentiële principes zijn: * **Stabiele getalvolgorde (ordinaliteit):** De telrij wordt correct opgezegd. * **Eén-op-één correspondentie:** Elk geteld voorwerp krijgt één telwoord toegewezen. * **Kardinaliteit:** Het laatste telwoord duidt het totale aantal getelde objecten aan. * **Irrelevante telvolgorde:** Het maakt niet uit of je van links naar rechts of andersom telt. * **Abstractie:** Getallen worden als een absolute hoeveelheid beschouwd, onafhankelijk van de kenmerken van de objecten. #### 2.2.5 Ontwikkeling van getalbegrip Getalbegrip is het inzicht dat een getal meerdere functies kan hebben. Een kind heeft getalbegrip wanneer het tijdens het aftellen elk telwoord opvat als aanduiding van het hoeveelste getelde element én als het totale aantal tot dan toe getelde elementen. Getalbegrip omvat diverse aspecten: * **Kardinaliteit:** Het getal als aanduiding van het aantal in een verzameling. * **Ordinaliteit:** Hoeveelheden worden geordend in reeksen (bv. 3 is groter dan 2). * **Meetaspect:** Het getal als maat (bv. 4 graden Celsius, 4 meter). * **Rekenaspect:** Het getal in relatie tot bewerkingen (bv. 2 + 2 = 4). * **Coderingsaspect:** Het getal als naam of label (bv. huisnummer 4). De overgang van voorbereidend naar aanvankelijk rekenen wordt gekenmerkt door de ontwikkeling van getalbegrip. Een aanzienlijk deel van de kleuters beheerst de onderliggende telprincipes nog niet bij de start van het eerste leerjaar. ### 2.3 Specifieke rekenvaardigheden Deze vaardigheden worden onderverdeeld in drie categorieën: #### 2.3.1 Conceptuele kennis Dit betreft het begrip van de onderliggende principes en relaties in het rekenen. Het is gebaseerd op ervaring en begrip van concepten. * **Voorbeeld:** Begrijpen dat vermenigvuldigen herhaald optellen is ($3 \times 5 = 5 + 5 + 5$). * **Voorbeeld:** Het inzicht in de inverse relatie tussen de deler en het quotiënt bij delingen (bv. als $8 \div 2 = 4$, dan is $2 \times 4 = 8$). #### 2.3.2 Procedurele kennis Dit omvat de kennis van procedures en algoritmen om rekenopgaven op te lossen. * **Eenvoudig:** Van (verkort) tellen naar optellen (bv. $2+3$ oplossen door door te tellen vanaf het grootste getal). * **Complexer:** Cijferen, algebraïsche procedures, decompositie (bv. $8 + 5$ oplossen door eerst aan te vullen tot 10: $8 + 2 = 10$, waarna $10 + 3 = 13$). Veelvoorkomende fouten in procedurele kennis kunnen optreden bij het optellen (bv. $22 + 7 = 92$, $11 \times 3 = 14$, $52 + 29 = 61$, $34 + 17 = 21$) en aftrekken (bv. $63 - 4 = 61$, $25 - 17 = 12$, $27 + 8 = 34$, $34 - 23 = 29$). Fouten bij optellen komen ook voor bij grotere getallen, zoals $16 + 16 = 22$. #### 2.3.3 Feitenkennis Dit betreft het snel en accuraat oproepen van rekenfeiten uit het langetermijngeheugen. Dit wordt ontwikkeld door veelvuldige herhaling van specifieke problemen, vooral met kleine getallen voor eenvoudige optellingen en vermenigvuldigingen. * **Voordelen:** Maakt rekenen sneller en makkelijker, en ontlast het werkgeheugen. ### 2.4 Dyscalculie Dyscalculie is een primaire leerstoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het vlot en accuraat oproepen van rekenfeiten, en/of het leren en vlot toepassen van rekenprocedures. #### 2.4.1 Kenmerken van dyscalculie Problemen met dyscalculie kunnen zich manifesteren op minimaal één van de volgende gebieden: * Problemen met getallenkennis. * Problemen met het automatiseren van rekenfeiten. * Problemen met het onthouden en accuraat uitvoeren van rekenprocedures. Dit leidt tot problemen met nauwkeurigheid en snelheid in rekenkundige taken. #### 2.4.2 Criteria voor diagnostiek van dyscalculie De diagnose van dyscalculie vereist het voldoen aan de volgende criteria: * **Achterstandscriterium:** Een ernstige achterstand op gestandaardiseerde rekentesten, vergeleken met een relevante leeftijds- en opleidingsgroep. * **Hardnekkigheidscriterium (didactische resistentie):** De rekenproblemen zijn niet tijdelijk en blijken niet op te lossen met adequate instructie en oefening. * **Exclusiviteitscriterium (milde vorm):** De problemen zijn niet volledig toe te schrijven aan andere (leer)stoornissen. #### 2.4.3 Prevalentie en comorbiditeit De algemene prevalentie van dyscalculie wordt geschat op 2 tot 8%. Dyscalculie wordt vaker bestudeerd in combinatie met andere stoornissen: * **Comorbiditeit met dyslexie:** Dit komt veel voor (17-43%), mede door de verwevenheid van taal en rekenen. * **Comorbiditeit met dysorthografie:** Ook frequent voorkomend (50%), wat de prognose negatief beïnvloedt. * **Comorbiditeit met ADHD:** Ligt tussen de 20-60% en beïnvloedt de prognose negatief. * **Comorbiditeit met gedragsproblemen:** Komt voor bij 43% van de gevallen. Het gelijktijdig voorkomen van deze stoornissen kan de ernst en prognose van dyscalculie beïnvloeden. --- # Dyscalculie: kenmerken, diagnostiek en comorbiditeit Dit onderwerp behandelt dyscalculie als een specifieke leerstoornis, de criteria voor de diagnose en de relatie met andere stoornissen. ### 4.1 Kenmerken van dyscalculie Dyscalculie manifesteert zich op minimaal één van de volgende drie gebieden: * Problemen met getallenkennis. * Problemen met het automatiseren van rekenfeiten. * Problemen met het onthouden en accuraat uitvoeren van rekenprocedures. Deze problemen leiden tot een tekort in zowel de nauwkeurigheid als de snelheid van rekenen. Rekenen en wiskunde bestaan uit diverse deelvaardigheden, en de genoemde problemen kunnen op verschillende complexiteitsniveaus optreden. Dyscalculie wordt gekenmerkt door hardnekkige problemen met het vlot of accuraat oproepen van rekenfeiten en/of het leren en vlot of accuraat toepassen van rekenprocedures. ### 4.2 Criteria voor diagnostiek De diagnose van dyscalculie wordt gesteld aan de hand van de volgende criteria: #### 4.2.1 Achterstandscriterium Er is sprake van een ernstige achterstand op een gestandaardiseerde rekentest, wat betreft het vlot en accuraat oproepen van rekenfeiten en/of het toepassen van rekenprocedures. Deze achterstand wordt beoordeeld in vergelijking met een relevante vergelijkingsgroep, rekening houdend met leeftijd, intellectuele mogelijkheden en opleiding. #### 4.2.2 Hardnekkigheidscriterium (didactische resistentie) De rekenproblemen moeten van niet-voorbijgaande aard zijn, wat wordt vastgesteld op verschillende meetmomenten in de tijd. Bovendien moet aangetoond worden dat adequate instructie en oefening niet hebben geleid tot het wegwerken van de achterstand. #### 4.2.3 Exclusiviteitscriterium (milde vorm) De hardnekkige rekenproblemen mogen niet volledig toe te schrijven zijn aan een andere problematiek. ### 4.3 Prevalentie De algemene prevalentie van dyscalculie wordt geschat op 2 tot 8% van de leerlingen. Vergeleken met dyslexie is dyscalculie een minder bestudeerde leerstoornis. Momenteel gaat men uit van een gelijke of iets hogere prevalentie bij meisjes dan bij jongens. ### 4.4 Comorbiditeit Comorbiditeit verwijst naar het gelijktijdig voorkomen van aandoeningen (concurrente comorbiditeit) of het voortvloeien van de ene aandoening uit de andere (successieve comorbiditeit). Men onderscheidt homotypische comorbiditeit (stoornissen binnen dezelfde diagnostische groep, zoals dyslexie en dyscalculie beide leerstoornissen) en heterotypische comorbiditeit (stoornissen uit verschillende diagnostische groepen, zoals dyscalculie en depressie). Er is vaak sprake van successieve comorbiditeit met taalproblemen op kleuterleeftijd, hoewel hier geen precieze cijfers van bekend zijn. * **Homotypische comorbiditeit:** * In 17 tot 43% van de gevallen is er sprake van een dubbeldiagnose met dyslexie. * In 50% van de gevallen is er sprake van homotypische comorbiditeit met dysorthografie. Comorbide dysorthografie beïnvloedt de prognose van dyscalculie negatief. De combinatie van dyscalculie en dyslexie met spellingsproblemen komt in ongeveer 7,5% van de gevallen voor, voornamelijk bij jongens. * **Invloed van leesvaardigheden:** Diverse onderzoeken bevestigen de samenhang tussen lees- en rekenstoornissen. Leesvaardigheden beïnvloeden de vorderingsgraad in wiskunde, omdat bepaalde deelgebieden in wiskunde taal gebruiken. Specifieke leesmoeilijkheden kunnen het risico op de ontwikkeling van bijkomende of verwante rekenstoornissen vergroten. * **Heterotypische comorbiditeit:** * De prevalentie van ADHD ligt tussen de 20 en 60%. ADHD-problemen beïnvloeden de prognose van dyscalculie negatief. * Er is een heterotypische comorbiditeit van 43% met gedragsproblemen. > **Tip:** Comorbiditeit, met name met dyslexie, ADHD en gedragsproblemen, kan de prognose van dyscalculie negatief beïnvloeden. Houd hier rekening mee bij diagnostiek en interventie. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Ontluikende gecijferdheid | Een vroege fase in de ontwikkeling van rekenvaardigheden, gericht op het ontwikkelen van een gevoel voor maten, hoeveelheden, reeksen en getallen bij jonge kinderen, nog voordat zij getallen kunnen naschrijven. | | Subitizing | De aangeboren vaardigheid om in één oogopslag een kleine hoeveelheid objecten snel, exact en zonder te tellen te herkennen, meestal tot een aantal van vier. | | Seriatie | De vaardigheid om elementen te kunnen rangschikken tot een reeks op basis van één of meerdere variërende kenmerken, zoals van klein naar groot of van veel naar weinig. | | Classificatie | Het vermogen om elementen te groeperen op basis van één of meer gelijke eigenschappen, wat leidt tot het maken van verzamelingen en het begrijpen van klassenhiërarchieën. | | Conservatie | Het inzicht dat bepaalde eigenschappen van objecten, zoals hoeveelheid, gewicht of volume, gelijk blijven ondanks veranderingen in uiterlijke vorm of presentatie. | | Correspondentie | De vaardigheid om hoeveelheden te vergelijken door een een-op-een relatie te leggen, waarbij begrepen wordt dat twee groepen objecten evenveel zijn als er een één-op-één koppeling mogelijk is. | | Kardinaliteit | Het principe van tellen dat stelt dat het laatste telwoord dat genoemd wordt bij het tellen van een set objecten, het totale aantal objecten in die set aangeeft. | | Ordinaliteit | Het principe van tellen dat verwijst naar de stabiele volgorde van telwoorden (de telrij) en de positie van elk telwoord binnen die reeks. | | Getalbegrip | Het inzicht dat een getal meerdere functies of aspecten kan hebben, zoals het aangeven van een hoeveelheid (kardinaal aspect), een positie in een reeks (ordinaal aspect), of een maat. | | Conceptuele kennis | Begrip van de onderliggende wiskundige ideeën en relaties, zoals de betekenis van bewerkingen en hoe deze met elkaar verband houden, gebaseerd op ervaringen en redeneringen. | | Procedurele kennis | De kennis van algoritmes en stappenplannen om wiskundige problemen op te lossen, zoals het uitvoeren van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en delingen. | | Feitenkennis | Het direct kunnen oproepen van antwoorden op veelvoorkomende rekenopgaven, zoals sommen met kleine getallen, door middel van geautomatiseerde geheugenstrategieën. | | Dyscalculie | Een primaire leerstoornis die gekenmerkt wordt door hardnekkige problemen met het vlot en accuraat oproepen van rekenfeiten en/of het leren en toepassen van rekenprocedures, ondanks adequate instructie. | | Comorbiditeit | Het gelijktijdig voorkomen van dyscalculie met andere aandoeningen, zoals dyslexie, ADHD of depressie, wat de prognose en behandeling van dyscalculie kan beïnvloeden. |

# Basisbegrippen van rekenkundige bewerkingen Dit gedeelte introduceert de vier basisbewerkingen en verschillende rekenwijzen, waarbij het belang van inzicht en het kiezen van de meest efficiënte methode wordt benadrukt [4](#page=4) [5](#page=5). ## 1\. Rekenundige bewerkingen Het leren van rekenkundige bewerkingen begint bij het begrijpen van de betekenis van de bewerking zelf. Er zijn vier basistypen van rekenkundige bewerkingen [4](#page=4): * Optellen (+) [4](#page=4). * Aftrekken (-) [4](#page=4). * Vermenigvuldigen (x) [4](#page=4). * Delen (:) [4](#page=4). Naast de bewerkingen zelf, is het van belang om inzicht te ontwikkelen in verschillende rekenwijzen, zodat men de meest efficiënte methode kan kiezen afhankelijk van de specifieke situatie. De vier belangrijkste rekenwijzen zijn [4](#page=4) [5](#page=5): * Hoofdrekenen [4](#page=4). * Cijferen [4](#page=4). * Schattend rekenen [4](#page=4). * Rekenen met de zakrekenmachine (ZRM) [4](#page=4). In het lager onderwijs werden deze bewerkingen aanvankelijk enkel toegepast op natuurlijke getallen, decimale getallen en breuken [4](#page=4). > **Tip:** Het leren rekenen omvat zowel het inzichtelijk aanleren van oplossingsmethoden als het correct kunnen verwoorden ervan [5](#page=5). Voorbeelden van het kiezen van een berekeningswijze zijn: * $398 - 150 = 398 - 100 - 50 = 298 - 50 = 248$ → Hoofdrekenen [6](#page=6). * $249 \\times 18 = \\dots$ → Schatten (bv. $250 \\times 20 = 5000$) of Cijferen/ZRM [6](#page=6). * $154 + 327 + 246 = 400 + 327 = 727$ → Hoofdrekenen [6](#page=6). * $343 - 176 = 367 - 200 = 167$ → Hoofdrekenen [7](#page=7). * $8674: 3 = \\dots$ → Cijferen/ZRM (aangezien het niet deelbaar is door 3) [7](#page=7). * $368 + 273 + 465 = \\dots$ → Cijferen/ZRM [7](#page=7). * $0,25 \\times 64 = 64: 4 = 32: 2 = 16$ → Hoofdrekenen [7](#page=7). * $2136: 3 = (2100: 3) + (36: 3) = 700 + 12 = 712$ → Hoofdrekenen [7](#page=7). ### 1.1 Hoofdrekenen Hoofdrekenen moet niet verward worden met 'uit het hoofd rekenen', maar betekent 'rekenen met het hoofd'. Het is geen algoritme zoals cijferen, maar vereist nadenken over een berekeningswijze. Het doel van hoofdrekenen is het flexibel en inzichtelijk toepassen van een doelmatige oplossingsmethode, gebruikmakend van eigenschappen, rekenregels en getalstructuren. Automatisatie van basisrekenfeiten, zoals optellingen en aftrekkingen tot 20, en maal- en deeltafels, is hiervoor essentieel [8](#page=8). Er bestaan twee soorten doelmatige oplossingsmethodes binnen hoofdrekenen [9](#page=9): * **Standaardmethodes:** Deze kunnen altijd gebruikt worden, ongeacht de structuur van de getallen [9](#page=9). * **Handige methodes:** Deze vereisen meer inzicht in de getalstructuur en bieden rekenvoordelen [9](#page=9). Het concept 'getal van de week' wordt gebruikt om getalinzicht, getalbegrip en basisbewerkingen tot 100 te versterken, waarbij leerlingen verschillende invullingen aan het getal geven [10](#page=10) [11](#page=11) [9](#page=9). ### 1.2 Cijferen Cijferen wordt gedefinieerd als een algoritme of een 'recept'. Het volgen van de regels garandeert een correct eindresultaat, waardoor er minder noodzaak is om over de methode na te denken. Het is een standaardmethode die vooral nuttig is bij grote getallen of 'ondoorzichtige' getallen (waar geen direct rekenvoordeel is). Bij cijferen worden de cijfers bekeken in hun plaatsingswaarde (rangen) en niet meer als een volledig getal [12](#page=12). ### 1.3 Schattend rekenen Schattend rekenen is 'ongeveer rekenen'. Het is meer dan enkel afronden; het vereist vlot kunnen rekenen met ronde getallen en inzicht in de eigenschappen van bewerkingen. Dit kan een uitdaging zijn voor zwakke rekenaars [13](#page=13). ### 1.4 Rekenen met de zakrekenmachine (ZRM) De zakrekenmachine (ZRM) is een uitstekend controlemiddel en een hulpmiddel bij ingewikkeldere opgaven. Door gebruik te maken van de ZRM wordt het uitvoeren van cijferwerk beperkt, waardoor er meer aandacht besteed kan worden aan het denkwerk [14](#page=14). * * * # Aanbreng van vermenigvuldigen en delen Dit deel bespreekt de didactiek van het aanleren van tafels (vermenigvuldigen en delen), inclusief mogelijke oorzaken van moeilijkheden, de leerfasen en gebruikte modellen [16](#page=16) [18](#page=18). ### 2.1 Problemen bij het leren van tafels Het leren van tafels wordt gezien als een van de knelpunten in het rekenonderwijs. Problemen kunnen zich uiten doordat kinderen de tafels niet onder de knie krijgen, of wel de tafels kennen maar ze niet kunnen toepassen in eenvoudige contexten, zoals vraagstukken, omdat ze de vermenigvuldiging niet herkennen. Onvoldoende beheersing van de tafels leidt tot aanzienlijke problemen bij hoofdrekenen en cijferen [16](#page=16). #### 2.1.1 Mogelijke oorzaken van moeilijkheden Verschillende factoren kunnen bijdragen aan moeilijkheden bij het leren van tafels: * Te vroeg starten met het aanleren [17](#page=17). * Te weinig tijd besteden aan optellen en aftrekken [17](#page=17). * Onvoldoende diepgaande verkenning van de begrippen vermenigvuldigen en delen [17](#page=17). * Te weinig tijd om te automatiseren, wat leidt tot het langdurig moeten verkorten van de oplossingswijze [17](#page=17). * Een tekort aan rekenstrategieën en steunpunten [17](#page=17). * Te veel nadruk leggen op het blindelings memoriseren (van buiten leren) [17](#page=17). ### 2.2 Het leerproces van vermenigvuldigen en delen De huidige rekendidactiek hecht belang aan zowel het proces van het leren van de tafels als het product daarvan. Het leerproces kan worden onderverdeeld in verschillende fasen [18](#page=18): #### 2.2.1 De leerfasen * **Oriëntatiefase:** Inzichtelijk werken aan de betekenis van vermenigvuldigen en delen, vertrekkende vanuit levensechte situaties. De nadruk ligt hierbij minimaal op het uitrekenen, maar maximaal op het begrip [19](#page=19) [22](#page=22). * **(Re)constructiefase:** Het inzichtelijk opbouwen van de tafel per tafel. Dit wordt de (re)constructiefase genoemd omdat leerlingen die moeite hebben met automatiseren de tafel steeds opnieuw moeten opbouwen met behulp van steunpunten en rekenstrategieën [19](#page=19). * **Consolidatiefase:** Het aanbieden van oefenmateriaal om het inslijpen van de tafels te ondersteunen, zoals spelletjes (domino, memory, bingo) en computerprogramma's [19](#page=19). * **Uitbreidingsfase:** Het uitbreiden van de kennis van de tafels. Dit omvat vermenigvuldigingen en delingen boven de standaard tafels, de strategie 'splitsen en verdelen' (bv. 12 x 3 en 72: 3), verdelingsdeling als aanloop naar breuken, niet-opgaande delingen (delingen met rest), combinatorische opgaven en andere methoden zoals Japans vermenigvuldigen [19](#page=19) [20](#page=20). #### 2.2.2 Beginsituatie voor het aanleren Een goede beginsituatie voor het aanleren van vermenigvuldigen en delen vereist dat leerlingen: * Vlot kunnen optellen en aftrekken tot 100. Gedurende de aanbreng wordt gewerkt met herhaald optellen en aftrekken, en tellen met sprongen [21](#page=21). * Bekend zijn met concreet gestructureerd rekenmateriaal, zoals MAB [21](#page=21). * Bekend zijn met schematische voorstellingen, zoals de getallenlijn [21](#page=21). #### 2.2.3 Oriëntatiefase: inzicht in het begrip vermenigvuldigen en delen In de oriëntatiefase ligt de focus op het verwerven van inzicht in de begrippen vermenigvuldigen en delen, waarbij de nadruk op het uitrekenen minimaal is. De aanpak beweegt van concreet (vanuit een betekenisvolle situatie) naar abstract en ook van abstract naar concreet [22](#page=22) [23](#page=23). * **Vermenigvuldigen als herhaald optellen:** Leerlingen worden aangemoedigd om concreet materiaal te structureren door groepjes te maken en te tellen met sprongen, wat efficiënter werkt dan één voor één tellen. Vermenigvuldigen wordt geïntroduceerd als een herhaalde optelling, met als doel het aanleren van een korte, kernachtige notatie. Dit kan ook worden gestimuleerd door te werken met onzichtbare hoeveelheden [29](#page=29) [30](#page=30) [31](#page=31). > **Voorbeeld:** De som $6 + 6 + 6 + 6$ wordt vertaald naar "4 keer 6", wat leidt tot de notatie $4 \\times 6$ [30](#page=30). * **Delen: verhoudingsdeling en verdelingsdeling:** Delingen kunnen op twee manieren worden 'gelezen': als verhoudingsdeling en als verdelingsdeling [36](#page=36). * **Verhoudingsdeling:** Hierbij gaat het om het bepalen van het aantal groepen van een bepaalde grootte. De getallenlijn kan worden gebruikt om dit schematisch voor te stellen. Het oefenen van de omgekeerde richting, waarbij leerlingen een rekenverhaal verzinnen bij een abstract geformuleerde deling, is essentieel voor het verwerven van inzicht [37](#page=37) [38](#page=38) [39](#page=39). > **Voorbeeld:** De deling $15: 3 =$ kan worden voorgesteld door sprongen van 3 op de getallenlijn te maken tot aan 15 [38](#page=38). * **Verdelingsdeling:** Hierbij gaat het om het verdelen van een hoeveelheid in een bepaald aantal gelijke groepen. Het voorstellen van verdelingsdeling op de getallenlijn is complex, omdat het verdelen één per één niet efficiënt is en het vereist dat het quotiënt gekend is om te weten welke sprongen te maken. Ook hier is het oefenen van de omgekeerde richting, waarbij leerlingen een rekenverhaal verzinnen, belangrijk [41](#page=41) [42](#page=42) [43](#page=43). > **Voorbeeld:** Bij $20: 5 =$ wordt gezocht naar het aantal groepen van 5 dat in 20 past [41](#page=41). #### 2.2.4 Gebruikte modellen ter ondersteuning van inzicht Om inzicht te verwerven in de bewerkingen worden drie modellen gebruikt [45](#page=45): * **Groepjesmodel:** Dit model sluit het dichtst aan bij het handelen met concreet materiaal. Het biedt een koppeling tussen verhoudingsdeling en de bijbehorende vermenigvuldiging, omdat de schematische voorstelling hetzelfde is. Een nadeel is dat de wisseleigenschap niet direct wordt gevisualiseerd [46](#page=46). > **Afbeeldingen:** [47](#page=47). * **Rechthoekmodel:** Dit model is rijker dan het groepjesmodel, omdat de wisseleigenschap hier zichtbaar wordt. Het stelt ons in staat om zowel $4 \\times 5$ als $5 \\times 4$ voor te stellen [48](#page=48) [56](#page=56). > **Afbeeldingen:** [49](#page=49) [50](#page=50). * **Getallenlijn:** Op de getallenlijn wordt meer met getallen gewerkt, waardoor de context meer wordt losgelaten. Ook hier wordt de wisseleigenschap zichtbaar [51](#page=51). > **Afbeeldingen:** [52](#page=52). > **Tip:** De oriëntatiefase is de periode waarin kinderen vanuit voorstellingen van groepjes naar uitdrukkingen als '... keer,... maal' tot uiteindelijk het maaltekensymbool gaan. Ze worden gestimuleerd om met sprongen te tellen, waarbij het product wordt bepaald door herhaald optellen [57](#page=57). > **Voorbeeld van oefening en bespreking:** Vraag 1 & 2: Welke bewerking en tafel(s) worden afgebeeld [53](#page=53) [55](#page=55)? Vraag 3: Waarom is afbeelding B rijker dan afbeelding A [53](#page=53) [56](#page=56)? Afbeelding B is rijker omdat de wisseleigenschap wordt gevisualiseerd door het rechthoekmodel, waardoor zowel $4 \\times 5$ als $5 \\times 4$ voorgesteld kan worden [56](#page=56). Vraag 4: In welke fase van de maaltafels gebruik je deze voorstellingen [53](#page=53) [57](#page=57)? Deze voorstellingen worden gebruikt in de oriëntatiefase omdat kinderen vanuit een voorstelling van groepjes komen tot het gebruik van het maaltekensymbool. Ze kunnen nog één voor één tellen, maar worden gestimuleerd om met sprongen te tellen, waarbij het product door herhaald optellen wordt bepaald [57](#page=57). * * * # Verdieping van inzicht in vermenigvuldigen en delen Dit deel gaat dieper in op de uitbreidingsfase van het leerproces, waarbij vermenigvuldigingen en delingen worden behandeld die buiten de basis maal- en deeltafels vallen, met aandacht voor splitsen, verdelen, delingen met rest en de gradatie van oefeningen [90](#page=90). ### 3.1 De uitbreidingsfase: vermenigvuldigingen en delingen buiten de basis De uitbreidingsfase richt zich op het verdiepen van inzicht in vermenigvuldigen en delen, waarbij berekeningen die verder gaan dan de standaard tafels centraal staan [90](#page=90). #### 3.1.1 Vermenigvuldigingen met een vermenigvuldiger groter dan 10 Bij vermenigvuldigingen waarbij de vermenigvuldiger groter is dan 10, wordt leerlingen geleerd om gestructureerd te tellen en getallen te splitsen. Dit gebeurt vaak met behulp van een voorstelling van gegroepeerde hoeveelheden, zoals een vloer met tegels. Het principe van 'splitsen en verdelen' wordt hier geïntroduceerd, waarbij de vermenigvuldiging wordt opgesplitst in delen die bekend zijn, zoals het vermenigvuldigen met 10 en het vermenigvuldigen met het resterende deel [90](#page=90) [91](#page=91) [93](#page=93). **Voorbeeld:** Om $12 \\times 7$ te berekenen, kan men dit splitsen in $(10 \\times 7) + (2 \\times 7)$, wat resulteert in $70 + 14 = 84$ [91](#page=91). #### 3.1.2 Vermenigvuldigingen met een vermenigvuldigtal groter dan 10 Ook bij een vermenigvuldigtal groter dan 10 wordt het principe van gestructureerd tellen toegepast, bijvoorbeeld door rijen of kolommen te groeperen. Het splitsen en verdelen van het vermenigvuldigtal is hierbij de kernstrategie [92](#page=92) [93](#page=93). **Voorbeeld:** Bij $9 \\times 14$ wordt dit opgesplitst in $(9 \\times 10) + (9 \\times 4)$, wat leidt tot $90 + 36 = 126$ [93](#page=93). #### 3.1.3 Vermenigvuldigingen met beide factoren groter dan 10 Wanneer zowel de vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal groter zijn dan 10, wordt de splitsingsstrategie uitgebreid. Een factor wordt opgesplitst, bijvoorbeeld de 12 in $12 \\times 16$ wordt gesplitst in 10 en 2. Vervolgens worden beide delen vermenigvuldigd met de andere factor en de resultaten opgeteld [94](#page=94). **Voorbeeld:** $12 \\times 16$ wordt berekend als $(10 \\times 16) + (2 \\times 16) = 160 + 32 = 192$ [94](#page=94). #### 3.1.4 Delingen waarbij het deeltal groter is dan 10 maal de deler Bij delingen waar het deeltal aanzienlijk groter is dan de deler, is het belangrijk dat leerlingen getallen kunnen splitsen in functie van de deler. Inzicht in de getalstructuur is hierbij cruciaal [95](#page=95). **Voorbeeld:** Bij de vraag hoeveel koeien er in elke weide komen als boer Marc 60 koeien heeft en 3 weides, wordt het splitsen van 60 in delen die deelbaar zijn door 3 benadrukt [95](#page=95). #### 3.1.5 Delen met rest: verhoudingsdeling Delen met rest binnen de verhoudingsdeling vereist dat leerlingen zelf oplossingen zoeken met concreet materiaal en dit manipuleren. De aanpak omvat het stellen van vragen zoals "Wat heb je gedaan?" en het visualiseren op de getallenlijn. Leerlingen leren hun beginhoeveelheid te splitsen om het aantal keren dat de deler erin past te bepalen, waarna ze de rest kunnen identificeren [97](#page=97) [98](#page=98). **Voorbeeld:** Bij $20: 6$ wordt de splitsing $20 = 18 + 2$ gebruikt. Hierbij gaat 6 drie keer in 20, met een rest van 2. De notatie hiervoor is $q = 3$ en $r = 2$. Het is belangrijk dit proces te herhalen met diverse getallen en telkens een concrete situatie te koppelen aan de deling [98](#page=98) [99](#page=99). #### 3.1.6 Delen met rest: verdelingsdeling Bij verdelingsdeling met rest wordt gekeken naar hoe een totaal eerlijk verdeeld kan worden onder een bepaald aantal delen, en wat er overblijft. De kernvraag is hoeveel elk deel krijgt en wat de rest is . **Voorbeeld:** Als 11 potloden eerlijk verdeeld moeten worden onder 4 kinderen, wordt eerst gezocht naar het grootste getal kleiner dan 11 dat deelbaar is door 4 (dit is 8). Elk kind krijgt dan 2 potloden ($8: 4 = 2$), en er blijven 3 potloden over als rest . ### 3.2 Gradatie van oefeningen De gradatie van oefeningen is essentieel om het begrip bij leerlingen te bevorderen. Dit omvat het aanbieden van oefeningen die beginnen met concrete situaties en geleidelijk overgaan naar meer abstracte representaties [67](#page=67) [70](#page=70) [79](#page=79) [80](#page=80) [81](#page=81) [82](#page=82) [83](#page=83) [84](#page=84) [85](#page=85) [86](#page=86) [87](#page=87). * **Beginfase:** Werk met concrete materialen en gegroepeerde hoeveelheden die aansluiten bij de realiteit. De 'trap'-methode (herhaalde optelling) kan worden gebruikt om de eerste maaltafels op te bouwen [65](#page=65) [67](#page=67). * **Vervolg:** Het afbouwen van concreet materiaal naar voorgestructureerde kaartjes of beeldmateriaal. Daarna kunnen rekenstrategieën worden ingezet om de automatisatie te vergemakkelijken [67](#page=67) [68](#page=68). * **Uitbreiding:** Oefeningen worden geleidelijk complexer, waarbij het principe van splitsen en verdelen wordt toegepast op grotere getallen [91](#page=91) [93](#page=93) [94](#page=94). * **Delen met rest:** Oefeningen met rest worden ingeleid met concrete situaties, waarbij leerlingen zelf oplossingen moeten zoeken en verwoorden. De gradatie kan variëren van eenvoudige naar moeilijke oefeningen [84](#page=84) [97](#page=97) [98](#page=98) [99](#page=99). * **Abstractie:** Tot slot kunnen kale, abstracte oefeningen worden aangeboden, vaak als laatste stap [87](#page=87). > **Tip:** Kritisch bekijken van handleidingen is belangrijk om te controleren of er sprake is van een logische gradatie van eenvoudig naar moeilijk, en of ondersteunende figuren daadwerkelijk bijdragen aan het begrip [79](#page=79). #### 3.2.1 Verhoudingsdeling vs. verdelingsdeling in de gradatie * **Verhoudingsdeling:** Hierbij wordt het totaal en het aantal per groepje gekend, en het aantal groepjes wordt gezocht. De link met de corresponderende maaltafel is direct. Bij delingen met rest in de verhoudingsdeling, wordt geleerd hoeveel groepjes gevuld kunnen worden en hoeveel er overblijven [73](#page=73) [74](#page=74) [97](#page=97) [98](#page=98). * **Verdelingsdeling:** Bij deze vorm van deling is het totaal en het aantal gelijke groepjes gekend, en er wordt gezocht naar de grootte van elk groepje. De link met de maaltafel is aanwezig, maar kan met een andere maaltafel zijn dan de direct corresponderende. Verdelingsdeling wordt over het algemeen als minder geschikt geacht voor het tweede leerjaar omdat alle maaltafels dan nog niet gekend zijn en het wordt belangrijker geacht voor de latere aanbreng van breuken in het derde leerjaar. Bij delingen met rest in de verdelingsdeling wordt gekeken naar de grootte van elk deel na een eerlijke verdeling en wat de rest is [76](#page=76) [78](#page=78) [85](#page=85) [86](#page=86). > **Tip:** De effectieve inzet van het CSA-model (Context, Schematisch, Abstract) is zichtbaar in de gradatie van oefeningen. Zorg voor voldoende afwisseling in de oefeningen en gebruik verschillende verwoordingen om het begrip te versterken [79](#page=79) [82](#page=82) [87](#page=87). * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Bewerkingen | Een reeks rekenkundige handelingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen die worden uitgevoerd op getallen. Deze vormen de basis van rekenen en worden ingezet om problemen op te lossen. | | Hoofdrekenen | Rekenactiviteiten die plaatsvinden in het hoofd, waarbij flexibel en inzichtelijk gebruik wordt gemaakt van eigenschappen, rekenregels en getalstructuur om een doelmatige oplossingsmethode toe te passen. | | Cijferen | Een systematische rekenmethode, ook wel een algoritme genoemd, die bestaat uit het volgen van vaste regels om gegarandeerd een correct eindresultaat te verkrijgen, vooral bij grote of "ondoorzichtige" getallen. | | Schattend rekenen | Een rekenwijze die gericht is op het verkrijgen van een benaderend antwoord, waarbij gebruik wordt gemaakt van afronding en inzicht in de eigenschappen van bewerkingen met ronde getallen. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Een elektronisch hulpmiddel dat gebruikt kan worden als controlemiddel voor berekeningen of als ondersteuning bij complexere opgaven, waardoor meer nadruk kan komen te liggen op het denkwerk. | | Oriëntatiefase | De eerste fase in het leerproces van vermenigvuldigen en delen, waarin nadruk ligt op het ontwikkelen van inzicht in de betekenis van de bewerkingen vanuit levensechte situaties. | | (Re)constructiefase | Een fase waarin tafels inzichtelijk worden opgebouwd, waarbij leerlingen die moeite hebben met automatisatie, de tafels steeds opnieuw moeten reconstrueren met behulp van steunpunten en rekenstrategieën. | | Consolidatiefase | De fase waarin oefenmateriaal wordt aangeboden om het inslijpen van de tafels te ondersteunen, bijvoorbeeld door middel van spelletjes, domino, memory en computerprogramma's. | | Uitbreidingsfase | De fase waarin de kennis van de tafels wordt uitgebreid naar grotere getallen, zoals vermenigvuldigingen en delingen boven de standaard maal- en deeltafels, verdelingsdeling, niet-opgaande delingen en combinatorische opgaven. | | Getal van de week | Een educatieve activiteit waarbij leerlingen verschillende invullingen en associaties geven aan een specifiek getal, ter versterking van getalinzicht, getalbegrip en basisbewerkingen. | | Algoritme | Een reeks precieze stappen of regels die gevolgd moeten worden om een bepaald probleem op te lossen of een berekening uit te voeren, zoals bij cijferen. | | Groepjesmodel | Een didactisch model waarbij een hoeveelheid wordt voorgesteld door middel van gelijke groepjes, wat aansluit bij het handelen met concreet materiaal en de koppeling met verhoudingsdeling. | | Rechthoekmodel | Een didactisch model dat riker is dan het groepjesmodel en waarbij de wisseleigenschap van vermenigvuldigen zichtbaar wordt gemaakt, door middel van een rechthoekige structuur. | | Getallenlijn | Een schematische voorstelling die gebruikt kan worden in de oriëntatiefase en consolidatiefase om inzicht te geven in bewerkingen, waarbij de context van de getallen meer losgelaten wordt. | | Verhoudingsdeling | Een type deling waarbij gezocht wordt naar hoe vaak een bepaald getal (de deler) in een groter getal (het deeltal) past. Het antwoord is het quotiënt. | | Verdelingsdeling | Een type deling waarbij een geheel wordt verdeeld in een bepaald aantal gelijke delen, en gevraagd wordt hoe groot elk deel is. | | Steunpunten | Handige, gemakkelijk te onthouden getallen of feiten die gebruikt kunnen worden als basis om complexere berekeningen uit te voeren of tafels te leren. | | Rekenen met de zakrekenmachine (ZRM) | Het gebruik van een zakrekenmachine als hulpmiddel bij berekeningen, voornamelijk ter controle of ter ondersteuning van complexere opgaven, waardoor meer denkwerk mogelijk wordt. | | Automatiseren | Het proces waarbij rekenfeiten of procedures zo vaak worden geoefend dat ze zonder veel nadenken kunnen worden toegepast, wat essentieel is voor efficiënt hoofdrekenen. | | Mnemotechnische middelen | Hulpmiddelen, zoals ezelsbruggetjes of versjes, die gebruikt kunnen worden om het memoriseren van feiten, zoals de tafels, te ondersteunen. | | Splitten en verdelen | Een rekenstrategie waarbij een vermenigvuldiging of deling wordt opgesplitst in eenvoudigere delen, die vervolgens apart worden berekend en daarna worden samengevoegd. | | Delen met rest | Een deling waarbij het deeltal niet exact deelbaar is door de deler, wat resulteert in een quotiënt en een rest. |

# Introductie tot cijferen en didactische principes Dit gedeelte introduceert de fundamentele concepten van cijferen in het lager onderwijs, met de nadruk op het belang van concreet materiaal en didactische principes voor een effectieve leerervaring. ### 1.1 Het belang van cijferen in de lagere school Cijferen is een essentiële vaardigheid die in de lagere school wordt aangeleerd. Leerlingen worden aangemoedigd om te oefenen op ruitjespapier, bij voorkeur met grote ruitjes, om zo de basis te leggen voor netheid en structuur. Het oefenen op wit papier benadrukt het belang van het nauwkeurig onder elkaar plaatsen van getallen. ### 1.2 Concreet materiaal: legschema en schrijfschema De introductie van cijferen vereist het gebruik van concreet materiaal om abstracte concepten te visualiseren. #### 1.2.1 Het legschema Het legschema dient als de fysieke ruimte waar leerlingen met concreet materiaal (zoals MAB-materiaal: Munten, A-blokken, B-blokken) de cijferopdrachten uitvoeren. Dit helpt hen om de bewerkingen te begrijpen door ze daadwerkelijk te "leggen". #### 1.2.2 Het schrijfschema Het schrijfschema is de representatie van het legschema op papier, meestal in de vorm van een plaatswaardeschema. Hier noteren de leerlingen de getallen en de stappen van de bewerking, wat de overgang van concreet naar abstract ondersteunt. Het netjes noteren in dit schema is cruciaal. ### 1.3 Didactische principes Een effectieve aanpak van cijferen steunt op een aantal kernprincipes. #### 1.3.1 De rol van verwoording Een goede verwoording tijdens het werken met materiaal is essentieel. Door hardop te verwoorden wat ze doen, internaliseren leerlingen de stappen en de betekenis van de bewerking. Dit maakt de stap naar het werken zonder materiaal uiteindelijk mogelijk. > **Tip:** De mondelinge verwoording helpt leerlingen om de koppeling te maken tussen hun concrete handelingen en de abstracte cijfernotatie. #### 1.3.2 Beginsituatie voor cijferen Voordat leerlingen kunnen starten met cijferen, is een solide beginsituatie vereist. Dit omvat: * **Algemene beginsituatie:** * Goed inzicht in de vier basisbewerkingen: weten wanneer optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen aan de orde is. * Hoofdrekenen: optellingen en aftrekkingen met brug kunnen uitvoeren. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem: inwisselen en omgaan met nullen. * Het vermogen om een schatting te maken van de uitkomst. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken (zonder inwisselen):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, zonder inwisselen. * De waarde van een cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen kunnen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Optellen en aftrekken tot 20 zonder brug kunnen uitvoeren. * Een passende schatting kunnen maken. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken (met inwisselen):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, inclusief inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Optellen en aftrekken tot 20 met brug kunnen uitvoeren. * Een passende schatting kunnen maken. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend vermenigvuldigen (E x natuurlijk getal):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, met inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen beheersen. * Een passende schatting kunnen maken. * Alle maaltafels paraat kennen. * Splitsen en verdelen bij hoofdrekenen kunnen toepassen. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend delen (HTE : E, verdelingsdeling):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, met inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Een passende schatting kunnen maken. * Delen kunnen verwoorden als verdelingsdeling (verdelen in gelijke delen). * Alle maal- en deeltafels paraat kennen. * Cijferend aftrekken met inwisselen kunnen uitvoeren. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend delen (HTE : E, verhoudingsdeling):** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, met inwisselen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Een passende schatting kunnen maken. * Delen kunnen verwoorden als verhoudingsdeling (hoeveel keer gaat ... in ...?). * Alle maal- en deeltafels paraat kennen. * Cijferend aftrekken met inwisselen kunnen uitvoeren. #### 1.3.3 Nadeel van het werken met legschema's Hoewel nuttig, heeft het werken met legschema's ook nadelen: * **Bij optellen:** Beide termen worden gematerialiseerd, maar na het samenvoegen zijn de oorspronkelijke termen niet meer zichtbaar. * **Bij aftrekken:** Enkel het aftrektal wordt gematerialiseerd. De aftrekker wordt weggenomen en onderaan gelegd, waardoor deze zichtbaar blijft. Het verschil is ook zichtbaar. Echter, het aftrektal is na de bewerking niet meer zichtbaar. #### 1.3.4 Oplossingsgericht denken bij problemen Bij het oplossen van problemen is het belangrijk om oplossingsgericht te denken. Een voorbeeld is het vermijden van problemen met een "rond" aftrektal door de oefening om te bouwen tot een aftrekking zonder brug met behulp van de aftrekkingshalter. #### 1.3.5 Cijferen: vermenigvuldigen (type E x natuurlijk getal) Bij dit type vermenigvuldiging worden alle deelproducten eerst gelegd met materiaal, waarna ze verkort genoteerd kunnen worden. Bij het noteren is het belangrijk om het getal met het meeste aantal cijfers bovenaan te plaatsen om de overzichtelijkheid te bewaren. > **Voorbeeld:** Bij de oefening 248 x 3 is het efficiënter om 248 bovenaan te plaatsen in het schrijfschema. #### 1.3.6 Cijferen: delen (type HTE : E) Delen kan worden onderwezen als verdelingsdeling (verdelen in gelijke delen) of als verhoudingsdeling (hoeveel keer gaat ... in ...?). Een "opgaande deling" is een deling waarbij de rest 0 is. > **Tip:** Zorg voor fijne inoefening van de basisvaardigheden om de overgang naar complexere cijferopdrachten te vergemakkelijken. --- # Cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen Dit onderdeel behandelt de didactiek van het cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen, inclusief de beginsituatie en methoden met MAB-materiaal. ## 2. Cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen Cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen vormt een fundamenteel onderdeel van de rekenvaardigheid. De didactische aanpak richt zich op het geleidelijk aanleren van deze bewerkingen, waarbij de overgang van concreet materiaal naar abstracte notatie centraal staat. ### 2.1 Materialen en schema's Voor het aanleren van cijferen zonder inwisselen zijn specifieke materialen en schema's essentieel: * **MAB-materiaal (Materiaal voor Abstracte Behandeling):** Dit materiaal, zoals blokjes (eenheden), staafjes (tientallen) en platen (honderdtallen), stelt leerlingen in staat om getallen concreet weer te geven en bewerkingen uit te voeren. * **Legschema:** Hierin wordt het MAB-materiaal gemanipuleerd om de berekening uit te voeren. * **Schrijfschema:** Dit is een plaatswaardeschema (vaak op ruitjespapier) waarin de abstracte notatie van de cijferoefening plaatsvindt. Het gebruik van ruitjespapier, bij voorkeur met grote ruiten, helpt bij het netjes onder elkaar plaatsen van cijfers. Het oefenen op wit papier benadrukt de noodzaak van een nauwkeurige positionering. > **Tip:** Een goede verwoording van de handelingen die met het materiaal worden uitgevoerd, is cruciaal om de overgang naar het abstracte cijferen soepeler te laten verlopen. ### 2.2 Beginsituatie Voordat gestart kan worden met het aanleren van cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen, dient de leerling aan bepaalde voorwaarden te voldoen: * **Algemene beginsituatie:** * Goed inzicht in de basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen). * Vaardigheid in het hoofdrekenen, inclusief optellingen en aftrekkingen 'met brug'. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem, inclusief het kunnen inwisselen en omgaan met nullen. * Vaardigheid in het schatten van uitkomsten. * **Specifieke beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen:** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, specifiek zonder inwisselen, en daarbij de waarde van elk cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen kunnen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Optellen en aftrekken tot 20 zonder brug kunnen uitvoeren als hoofdrekenoefening. * Een passende schatting kunnen maken van de uitkomst. ### 2.3 Didactische aanpak met MAB-materiaal Het proces van cijferend optellen en aftrekken zonder inwisselen wordt bij voorkeur aangeleerd met behulp van MAB-materiaal en de bijbehorende schema's. #### 2.3.1 Cijferend optellen zonder inwisselen **Voorbeeld:** $253 + 26$ 1. **Leggen:** Het getal 253 wordt gelegd met MAB-materiaal in het legschema (2 platen, 5 staafjes, 3 blokjes). Het getal 26 wordt ook gelegd (2 staafjes, 6 blokjes). 2. **Samenvoegen:** De materialen van beide getallen worden samengevoegd, eerst de eenheden, dan de tientallen. * 3 eenheden + 6 eenheden = 9 eenheden. * 5 tientallen + 2 tientallen = 7 tientallen. * 2 honderdtallen (van 253) blijven behouden. 3. **Noteren (in het schrijfschema):** De uitkomst wordt in het schrijfschema genoteerd: ``` 2 5 3 + 2 6 ------- 2 7 9 ``` De som van 253 en 26 is 279. > **Tip:** Leerlingen moeten luidop verwoorden wat ze doen tijdens het manipuleren van het materiaal en het noteren in het schrijfschema. #### 2.3.2 Cijferend aftrekken zonder inwisselen **Voorbeeld:** $357 - 26$ 1. **Leggen:** Het getal 357 (aftrektal) wordt gelegd met MAB-materiaal (3 platen, 5 staafjes, 7 blokjes). Het getal 26 (aftrekker) wordt apart gelegd (2 staafjes, 6 blokjes) of er wordt een apart deel van het materiaal weggenomen. 2. **Wegnemen:** Van het gelegde aftrektal wordt het aantal eenheden en tientallen van de aftrekker weggenomen. * 7 eenheden - 6 eenheden = 1 eenheid. * 5 tientallen - 2 tientallen = 3 tientallen. * 3 honderdtallen (van 357) blijven behouden. 3. **Noteren (in het schrijfschema):** De uitkomst wordt in het schrijfschema genoteerd: ``` 3 5 7 - 2 6 ------- 3 3 1 ``` Het verschil van 357 en 26 is 331. > **Tip:** Een nadeel bij het werken met legschema's voor optellen is dat na het samenvoegen de oorspronkelijke termen niet meer zichtbaar zijn. Bij aftrekken is het aftrektal na de bewerking ook niet meer zichtbaar, terwijl de aftrekker en het verschil wel zichtbaar blijven. ### 2.4 Oefenen en consolideren Na het aanbrengen met concreet materiaal, wordt de focus geleidelijk verlegd naar het schrijfschema. Een goede verwoording blijft essentieel om de koppeling tussen handeling en notatie te verstevigen. Fijne inoefening met een gevarieerd aanbod aan oefeningen is noodzakelijk voor consolidatie. Het gebruik van wit papier stimuleert leerlingen om nauwkeurig te werken en het nut van het plaatswaardesysteem te begrijpen. --- # Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen Dit gedeelte van de studiegids behandelt de leerlijn van cijferend optellen en aftrekken, met specifieke aandacht voor het proces van inwisselen, waarbij het MAB-materiaal, het schrijfschema en schatten centraal staan. ## 3.1 De rol van materiaal en schema's Het werken met cijferen wordt ondersteund door concreet materiaal, zoals MAB-materiaal (materiaal voor eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.), dat wordt gebruikt in een legschema. De notatie van de handelingen gebeurt vervolgens in een schrijfschema, dat vaak op ruitjespapier (bij voorkeur met grote ruitjes) wordt uitgevoerd om netheid te bevorderen. Later kan ook op wit papier geoefend worden om het nut van nauwkeurig schrijven te benadrukken. Een goede verwoording van de handelingen met materiaal is cruciaal om het gebruik van het materiaal uiteindelijk te kunnen loslaten. ### 3.1.1 Nadeel van legschema's Het werken met legschema's kent enkele nadelen: * **Bij optellen:** Beide termen worden gematerialiseerd, maar na het samenvoegen en het bepalen van de som, zijn de oorspronkelijke termen niet meer zichtbaar. * **Bij aftrekken:** Enkel het aftrektal wordt gematerialiseerd. De aftrekker wordt weggenomen en zichtbaar onderaan gelegd, evenals het verschil. Het aftrektal is na de bewerking niet meer zichtbaar. ## 3.2 Beginsituatie voor cijferend optellen en aftrekken met inwisselen Om te starten met cijferend optellen en aftrekken waarbij inwisselen nodig is, moeten leerlingen aan een aantal voorwaarden voldoen: * **Algemeen:** * Goed inzicht in de vier basisbewerkingen: weten wanneer op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen of te delen. * Hoofdrekenen: optellingen en aftrekkingen met "brug" uitvoeren. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem: leerlingen moeten kunnen inwisselen en overweg kunnen met nullen. * Schatten: een passende schatting kunnen maken van de uitkomst. * **Specifiek voor cijferend optellen en aftrekken met inwisselen:** * Getallen kunnen leggen met MAB-materiaal of zetten op de abacus, inclusief het proces van inwisselen. Ze moeten de waarde van elk cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen kunnen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Optellen en aftrekken tot 20 met "brug" kunnen uitvoeren als hoofdrekenoefening. * Een passende schatting kunnen uitvoeren van de uitkomst. ## 3.3 Cijferend optellen met inwisselen Bij het cijferend optellen met inwisselen wordt MAB-materiaal gebruikt in een legschema, en worden de stappen genoteerd in een schrijfschema. Er wordt luidop verwoord wat er gebeurt tijdens het proces. ### 3.3.1 Voorbeeld: 761 + 169 * **Schatten:** Een schatting kan gemaakt worden door de getallen af te ronden, bijvoorbeeld: $750 + 150 = 900$. * **Cijferen (met MAB-materiaal en schrijfschema):** 1. Leg de getallen 761 (7H, 6T, 1E) en 169 (1H, 6T, 9E) in het legschema. 2. Begin met de eenheden: $1 + 9 = 10$. Dit zijn 10 eenheden, wat gelijk is aan 1 tiental en 0 eenheden. Wissel de 10 eenheden in voor 1 tiental. Noteer 0 bij de eenheden en 1 in het inwisselvak bij de tientallen in het schrijfschema. 3. Tel de tientallen op, inclusief het ingewisselde tiental: $1$ (inwissel) $+ 6 + 6 = 13$. Dit zijn 13 tientallen, wat gelijk is aan 1 honderdtal en 3 tientallen. Wissel de 10 tientallen in voor 1 honderdtal. Noteer 3 bij de tientallen en 1 in het inwisselvak bij de honderdtallen. 4. Tel de honderdtallen op, inclusief het ingewisselde honderdtal: $1$ (inwissel) $+ 7 + 1 = 9$. Noteer 9 bij de honderdtallen. * **Antwoord:** De som van 761 en 169 is 930. * **Schrijfschema:** ``` 1 1 7 6 1 + 1 6 9 ------- 9 3 0 ``` > **Tip:** Bij de eerste aanbreng van cijferend optellen met inwisselen, kan het nuttig zijn om kort te bespreken dat een tweecijferig getal niet in één kolom van het plaatswaardeschema mag staan. Nadien schrijft men direct 0 in de kolom van de eenheden en 1 in het inwisselvak van de tientallen. ## 3.4 Cijferend aftrekken met inwisselen Ook bij cijferend aftrekken met inwisselen wordt gebruik gemaakt van MAB-materiaal in een legschema en een schrijfschema. ### 3.4.1 Voorbeeld: 512 - 245 * **Schatten:** Een schatting kan gemaakt worden door de getallen af te ronden, bijvoorbeeld: $500 - 230 = 270$. * **Cijferen (met MAB-materiaal en schrijfschema):** 1. Leg het getal 512 (5H, 1T, 2E) in het legschema. Het getal 245 (de aftrekker) wordt later weggenomen. 2. Begin met de eenheden: Je wilt 5 eenheden wegnemen uit 2 eenheden. Dit kan niet. Wissel daarom 1 tiental in voor 10 eenheden. Het getal wordt dan 5H, 0T, 12E. 3. Neem 5 eenheden weg van de 12 eenheden. Je houdt 7 eenheden over. Noteer 7 bij de eenheden. 4. Ga naar de tientallen: Je wilt 4 tientallen wegnemen uit 0 tientallen. Dit kan niet. Wissel daarom 1 honderdtal in voor 10 tientallen. Het getal wordt dan 4H, 10T, 12E. 5. Neem 4 tientallen weg van de 10 tientallen. Je houdt 6 tientallen over. Noteer 6 bij de tientallen. 6. Ga naar de honderdtallen: Neem 2 honderdtallen weg van de 4 honderdtallen. Je houdt 2 honderdtallen over. Noteer 2 bij de honderdtallen. * **Antwoord:** Het verschil van 512 en 245 is 267. * **Schrijfschema:** ``` 4 10 12 5 1 2 - 2 4 5 --------- 2 6 7 ``` > **Tip:** Bij problemen met 'rond' aftrektal, kan het ombouwen naar een aftrekking zonder brug met een aftrekkingshalter een oplossingsgerichte aanpak zijn. ## 3.5 Beginsituatie voor andere bewerkingen met inwisselen (ter context) Hoewel de focus ligt op optellen en aftrekken, wordt kort de beginsituatie voor vermenigvuldigen en delen met inwisselen aangestipt om het bredere plaatje te schetsen. De vereisten zijn vergelijkbaar: * **Vermenigvuldigen (bijv. E x natuurlijk getal):** * Getallen leggen met MAB-materiaal (inclusief inwisselen). * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen. * Een passende schatting uitvoeren. * Alle maaltafels paraat kennen. * Splitsen en verdelen bij hoofdrekenen beheersen. * De volgorde van het plaatsen van het getal met het meeste aantal cijfers bovenaan kan een punt van overweging zijn bij oefeningen. * **Delen (bijv. HTE : E, verdelings- en verhoudingsdeling):** * Getallen leggen met MAB-materiaal (inclusief inwisselen). * Getallen noteren in een plaatswaardeschema. * Een passende schatting uitvoeren. * Deling kunnen verwoorden als verdelingsdeling (verdelen in gelijke delen) of verhoudingsdeling (hoeveel keer gaat ... in ...?). * Alle maal- en deeltafels paraat kennen. * Cijferend aftrekken met inwisselen. * Een deling waarbij de rest 0 is, wordt een opgaande deling genoemd. --- # Cijferend vermenigvuldigen Dit deel behandelt de methodes voor cijferend vermenigvuldigen van een éénhandgetal met een natuurlijk getal, met aandacht voor zowel het leggen van alle deelproducten als voor verkort noteren. ### 4.1 Vermenigvuldigen van een éénhandgetal met een natuurlijk getal Vermenigvuldigen kan worden aangeleerd door het gebruik van concreet materiaal, zoals MAB-materiaal, in combinatie met een legschema en een schrijfschema. Een goede verwoording van de handelingen is essentieel om het gebruik van materiaal te kunnen afbouwen. #### 4.1.1 Alle deelproducten leggen Bij deze methode worden alle deelproducten uitgerekend en vervolgens opgeteld. Dit sluit aan bij de betekenis van vermenigvuldigen als herhaald optellen en legt de nadruk op het concept van deelproducten. **Beginsituatie:** * Getallen leggen met MAB-materiaal of op de abacus, inclusief inwisselen. * Waarde van een cijfer in een getal kunnen verwoorden. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen beheersen. * Een passende schatting kunnen uitvoeren. * Alle maaltafels paraat kennen. * Splitsen en verdelen bij hoofdrekenen beheersen. **Voorbeeld:** $7 \times 130$ 1. **Schatten:** $7 \times 100 = 700$. 2. **Leggen met materiaal:** Leg zeven keer het getal 130. Dit kan worden opgedeeld in zeven keer 100, zeven keer 30, en zeven keer 0. * $7 \times 100 = 700$ * $7 \times 30 = 210$ * $7 \times 0 = 0$ 3. **Noteren (alle deelproducten):** ``` 130 x 7 ----- 0 (7 x 0) 210 (7 x 30) 700 (7 x 100) ----- 910 ``` 4. **Antwoord:** De som van de deelproducten is $700 + 210 + 0 = 910$. De uitkomst van $7 \times 130$ is 910. > **Tip:** Het is nuttig om de leerlingen eerst te laten werken met het materiaal en dit te koppelen aan de geschreven weergave. Daarna kan het gebruik van materiaal worden afgebouwd, terwijl het schrijfschema behouden blijft. #### 4.1.2 Verkort noteren Deze methode is efficiënter doordat de deelproducten direct bij de juiste positie worden opgeteld en eventuele overdrachten (wissels) meteen worden verwerkt. **Beginsituatie:** * Dezelfde beginsituatie als bij "Alle deelproducten leggen". * Specifiek: Cijferend optellen en aftrekken met inwisselen beheersen is cruciaal. **Voorbeeld:** $2 \times 489$ 1. **Schatten:** $2 \times 500 = 1000$. 2. **Leggen met materiaal (optioneel, ter illustratie):** * Twee keer het getal 489 leggen. * $2 \times 9$ eenheden = 18 eenheden. Dit is 1 tien en 8 eenheden. Wissel de tien. * $2 \times 8$ tientallen = 16 tientallen. Tel hier de gewisselde tien bij op: $16 + 1 = 17$ tientallen. Dit is 1 honderd en 7 tientallen. Wissel de honderd. * $2 \times 4$ honderdtallen = 8 honderdtallen. Tel hier de gewisselde honderd bij op: $8 + 1 = 9$ honderdtallen. 3. **Noteren (verkort):** ``` 489 x 2 ----- 1 (wissel van T naar H) 1 (wissel van E naar T) --- 918 ``` * $2 \times 9 = 18$. Schrijf 8 op bij de eenheden en onthoud 1 tien (noteer deze klein boven de tientallen). * $2 \times 8 = 16$. Tel de onthouden tien erbij op: $16 + 1 = 17$. Schrijf 7 op bij de tientallen en onthoud 1 honderd (noteer deze klein boven de honderdtallen). * $2 \times 4 = 8$. Tel de onthouden honderd erbij op: $8 + 1 = 9$. Schrijf 9 op bij de honderdtallen. 4. **Antwoord:** De uitkomst van $2 \times 489$ is 918. > **Tip:** Benadruk het belang van het netjes noteren van de wissels om verwarring te voorkomen. De volgorde van vermenigvuldigen (van rechts naar links) is hierbij cruciaal. #### 4.1.3 Plaatsing van de getallen Bij vermenigvuldigingen met grotere getallen wordt het getal met het meeste aantal cijfers meestal bovenaan geplaatst. Dit maakt het rekenwerk met materiaal en het noteren overzichtelijker. **Voorbeeld:** $3 \times 248$ versus $248 \times 3$ Bij $248 \times 3$ wordt het getal met meer cijfers (248) bovenaan geplaatst, wat de handelingen en het noteren vergemakkelijkt in vergelijking met $3 \times 248$. Dit principe geldt ook bij het werken met MAB-materiaal. --- # Cijferend delen Dit gedeelte behandelt de didactiek van cijferend delen, met een focus op twee types: verdelingsdeling en verhoudingsdeling, waarbij gebruik wordt gemaakt van het MAB-materiaal en een schrijfschema. ### 5.1 Inleiding tot cijferend delen Cijferend delen is een methode om delingen uit te voeren die te complex zijn voor hoofdrekenen. Het proces vereist inzicht in basisbewerkingen, schatten, en de beheersing van het plaatswaardesysteem. Het werken met concreet materiaal, zoals MAB-materiaal, in combinatie met een legschema en schrijfschema, is essentieel voor de initiële aanbreng. Een goede verwoording van de handelingen met het materiaal is cruciaal om uiteindelijk over te kunnen stappen naar het abstracte cijferen. #### 5.1.1 Beginsituatie voor cijferend delen Voordat leerlingen starten met cijferend delen, dienen ze over de volgende vaardigheden te beschikken: * **Algemeen:** * Goed inzicht in de basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen). * Hoofdrekenen met optellingen en aftrekkingen, inclusief die met brug. * Parate kennis van de maal- en deeltafels. * Goede beheersing van het plaatswaardesysteem (inwisselen en omgaan met nullen). * Het kunnen uitvoeren van een passende schatting. * **Specifiek voor cijferend delen (verdelingsdeling en verhoudingsdeling):** * Getallen leggen met MAB-materiaal of zetten op de abacus, inclusief inwisselen, en de waarde van elk cijfer kunnen benoemen. * Getallen noteren in een plaatswaardeschema (schrijfschema). * Een passende schatting kunnen uitvoeren. * Deling kunnen verwoorden als verdelingsdeling ("Verdelen in gelijke delen"). * Deling kunnen verwoorden als verhoudingsdeling ("Hoeveel keer gaat ... in ...?"). * Cijferend aftrekken met inwisselen beheersen. #### 5.1.2 Werken met concreet materiaal en schrijfschema Bij de aanbreng van cijferend delen wordt gewerkt met MAB-materiaal (materiaal voor automatiseren, basisschool). Dit materiaal wordt in een **legschema** geplaatst om de bewerking te visualiseren. De notatie van de bewerking en de tussenresultaten gebeurt in een **schrijfschema**, meestal op ruitjespapier. Het is belangrijk leerlingen te laten oefenen op wit papier om het nut van netjes onder elkaar schrijven te benadrukken. Het proces omvat doorgaans de volgende stappen: 1. **Schatten:** Een ruwe schatting maken van het antwoord om de uitkomst te controleren. 2. **Leggen met MAB-materiaal:** Het deeltal visualiseren met MAB-materiaal. 3. **Verdelen/Groeperen:** Het deeltal verdelen in gelijke groepen (verdelingsdeling) of bepalen hoeveel keer de deler in het deeltal past (verhoudingsdeling). 4. **Noteren in het schrijfschema:** De stappen van het cijferen nauwkeurig noteren. 5. **Verwoorden:** Luidop benoemen wat er gebeurt tijdens het leggen en noteren. ##### 5.1.2.1 Nadeel van het werken met legschema's Een nadeel bij het werken met legschema's is dat bij optellen en aftrekken, de oorspronkelijke termen na de bewerking niet meer zichtbaar zijn. Bij aftrekken is enkel het aftrektal gematerialiseerd, en de aftrekker wordt weggenomen. Dit kan leiden tot verwarring als de oorspronkelijke getallen opnieuw nodig zijn. ### 5.2 Cijferend delen: Verdelingsdeling (HTE : E) Bij verdelingsdeling wordt het deeltal (bv. HTE - honderdtallen, tientallen, eenheden) verdeeld in een aantal gelijke groepen, gelijk aan de deler (E - eenheden). #### 5.2.1 Voorbeeld: 435 : 3 (Verdelingsdeling) **1. Schatting:** ongeveer $450 : 3 = 150$ **2. Leggen met MAB-materiaal:** Leg 4 honderdtallen, 3 tientallen en 5 eenheden. **3. Verdelen:** Verdeel de 4 honderdtallen. Je kunt 3 honderdtallen verdelen, wat 1 honderdtal per groep geeft. Er blijft 1 honderdtal over. Wissel dit honderdtal in voor 10 tientallen. Je hebt nu $3 + 10 = 13$ tientallen. Verdeel de 13 tientallen. Je kunt 12 tientallen verdelen, wat 4 tientallen per groep geeft. Er blijft 1 tiental over. Wissel dit tiental in voor 10 eenheden. Je hebt nu $5 + 10 = 15$ eenheden. Verdeel de 15 eenheden. Dit geeft 5 eenheden per groep. **4. Noteren in het schrijfschema:** $$ \begin{array}{r|c@{}c@{}c} \multicolumn{2}{r}{1} & 4 & 5 \\ \cline{2-4} 3 & 4 & 3 & 5 \\ \multicolumn{2}{r}{3} \downarrow \\ \cline{2-2} \multicolumn{2}{r}{1} & 3 \\ \multicolumn{2}{r}{1} & 2 \downarrow \\ \cline{3-3} \multicolumn{2}{r}{} & 1 & 5 \\ \multicolumn{2}{r}{} & 1 & 5 \\ \cline{4-4} \multicolumn{2}{r}{} & & 0 \\ \end{array} $$ **Uitleg van het schrijfschema:** * De deler (3) staat links. * Het deeltal (435) staat rechts. * De grootste eenheid (H) wordt als eerste verdeeld. * 4 honderdtallen gedeeld door 3 geeft 1 honderdtal per groep. Dit noteer je boven de H. * $1 \times 3 = 3$ honderdtallen. Dit trek je af van de 4 honderdtallen: $4 - 3 = 1$ honderdtal over. * Dit resterende honderdtal wordt ingewisseld voor 10 tientallen. Dit komt bovenop de bestaande 3 tientallen, dus $3 + 10 = 13$ tientallen. * 13 tientallen gedeeld door 3 geeft 4 tientallen per groep. Dit noteer je boven de T. * $4 \times 3 = 12$ tientallen. Dit trek je af van de 13 tientallen: $13 - 12 = 1$ tiental over. * Dit resterende tiental wordt ingewisseld voor 10 eenheden. Dit komt bovenop de bestaande 5 eenheden, dus $5 + 10 = 15$ eenheden. * 15 eenheden gedeeld door 3 geeft 5 eenheden per groep. Dit noteer je boven de E. * $5 \times 3 = 15$ eenheden. Dit trek je af van de 15 eenheden: $15 - 15 = 0$. * De uitkomst is $145$. De deling is opgaand omdat de rest 0 is. > **Tip:** Een deling waarbij de rest 0 is, wordt een **opgaande deling** genoemd. ### 5.3 Cijferend delen: Verhoudingsdeling (HTE : E) Bij verhoudingsdeling wordt bepaald hoe vaak de deler (E) in het deeltal (HTE) past. #### 5.3.1 Voorbeeld: 622 : 3 (Verhoudingsdeling) **1. Schatting:** ongeveer $600 : 3 = 200$ **2. Leggen met MAB-materiaal:** Leg 6 honderdtallen, 2 tientallen en 2 eenheden. **3. Bepalen hoe vaak de deler past:** Hoe vaak past 3 in 6 honderdtallen? 2 keer. Dus 2 honderdtallen per groep. Hoe vaak past 3 in de resterende 2 tientallen? 0 keer. Hoe vaak past 3 in de resterende 22 eenheden? 7 keer, met een rest van 1. **4. Noteren in het schrijfschema:** $$ \begin{array}{r|c@{}c@{}c} \multicolumn{2}{r}{2} & 0 & 7 \\ \cline{2-4} 3 & 6 & 2 & 2 \\ \multicolumn{2}{r}{6} \downarrow \\ \cline{2-2} \multicolumn{2}{r}{} & 2 & \\ \multicolumn{2}{r}{} & 0 & \downarrow \\ \cline{3-3} \multicolumn{2}{r}{} & 2 & 2 \\ \multicolumn{2}{r}{} & 2 & 1 \\ \cline{4-4} \multicolumn{2}{r}{} & & 1 \\ \end{array} $$ **Uitleg van het schrijfschema:** * De deler (3) staat links. * Het deeltal (622) staat rechts. * Bepaal hoe vaak de deler (3) in het eerste cijfer van het deeltal (6) past. Dat is 2 keer ($2 \times 3 = 6$). Dit noteer je boven de 6. * Trek $2 \times 3 = 6$ af van 6: $6 - 6 = 0$. * Laat het volgende cijfer van het deeltal (2) zakken. Je hebt nu 2 tientallen. * Bepaal hoe vaak de deler (3) in 2 past. Dat is 0 keer. Dit noteer je boven de 2. * $0 \times 3 = 0$. Trek dit af van 2: $2 - 0 = 2$. * Laat het volgende cijfer van het deeltal (2) zakken. Je hebt nu 22 eenheden. * Bepaal hoe vaak de deler (3) in 22 past. Dat is 7 keer ($7 \times 3 = 21$). Dit noteer je boven de 2. * Trek $7 \times 3 = 21$ af van 22: $22 - 21 = 1$. * De uitkomst is $207$ met een rest van $1$. > **Tip:** Bij verhoudingsdeling is het belangrijk om te vragen: "Hoeveel keer gaat de deler in dit deel van het deeltal?". #### 5.3.2 Waarom het getal met het meeste aantal cijfers bovenaan plaatsen? Bij vermenigvuldigingen zoals $3 \times 248$ versus $248 \times 3$, is het efficiënter om het getal met het meeste aantal cijfers (in dit geval 248) bovenaan te plaatsen. Dit komt omdat de vermenigvuldiging dan uitgesplitst wordt in minder deelvermenigvuldigingen. Bij $248 \times 3$ vermenigvuldig je elk cijfer van 248 met 3. Bij $3 \times 248$ zou je de 3 theoretisch moeten vermenigvuldigen met de honderdtallen, tientallen en eenheden van 248, wat conceptueel minder direct is in het cijferend proces, hoewel het resultaat hetzelfde is. In het schrijfschema leidt het plaatsen van het getal met meer cijfers bovenaan tot een meer gestructureerde en overzichtelijkere uitwerking. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Cijferen | Het proces van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) met getallen, waarbij men de getallen onder elkaar schrijft volgens een vaststaand schema om het rekenproces te structureren en te vereenvoudigen. | | Legschema | Een visueel hulpmiddel, vaak een rooster of een gebied op tafel, waar concreet materiaal wordt geplaatst om wiskundige bewerkingen te demonstreren en te begrijpen. Het dient om de abstracte getallen te materialiseren. | | Schrijfschema | Een rasterpapier, meestal met ruitjes, dat wordt gebruikt om cijferoefeningen netjes onder elkaar te noteren. Dit schema helpt bij het correct positioneren van getallen en cijfers volgens hun plaatswaarde tijdens het rekenen. | | MAB-materiaal | Materialen zoals blokjes, staafjes en platen die verschillende plaatswaardes representeren (eenheden, tientallen, honderdtallen). Dit materiaal wordt gebruikt om wiskundige concepten tastbaar te maken, vooral bij het aanleren van cijferen. | | Plaatswaardesysteem | Het systeem waarbij de waarde van een cijfer in een getal wordt bepaald door zijn positie. Elk cijfer heeft een specifieke waarde afhankelijk van of het op de positie van de eenheden, tientallen, honderdtallen, etc. staat. | | Inwisselen | Het proces waarbij een tiental wordt omgezet in tien eenheden, een honderdtal in tien tientallen, enzovoort. Dit concept is cruciaal voor cijferend rekenen wanneer een bewerking niet direct kan worden uitgevoerd met de aanwezige eenheden of tientallen. | | Schatten | Het benaderen van de uitkomst van een berekening door de getallen af te ronden naar eenvoudigere getallen. Dit helpt om een idee te krijgen van de orde van grootte van het antwoord en om de juistheid van de berekende uitkomst te controleren. | | Basisbewerkingen | De vier fundamentele rekenkundige operaties: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Een goed begrip hiervan is essentieel voor het kunnen toepassen van cijfertechnieken. | | Brug (optellen/aftrekken) | Een term die verwijst naar het inwisselen van tientallen of honderdtallen bij optellen of aftrekken, wat nodig is wanneer de cijfers in een kolom onvoldoende zijn om de bewerking direct uit te voeren. | | Delingsdeling | Een type deling waarbij het totale aantal objecten ( Dividend ) wordt verdeeld in een bepaald aantal gelijke groepen (deler), en men zoekt naar het aantal objecten per groep ( quotient ). | | Verhoudingsdeling | Een type deling waarbij men zoekt naar het aantal keer dat een bepaalde hoeveelheid (deler) in een grotere hoeveelheid (Dividend ) past. Het antwoord is het aantal keren dat de deler in het dividend kan worden opgenomen. | | Opgaande deling | Een deling waarbij de rest nul is. Dit betekent dat het dividend exact deelbaar is door de deler, zonder enig overblijvend deel. |

# Typische fouten bij cijferen en hulpstrategieën Dit hoofdstuk analyseert veelvoorkomende fouten die leerlingen maken bij het cijferen, waaronder bij optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en biedt concrete hulpstrategieën en remediëringsaanbevelingen. ### 1.1 Veelvoorkomende fouten bij optellen #### 1.1.1 Onthoudcijfers en plusteken vergeten * **Probleem:** Leerlingen vergeten het onthoudcijfer te noteren of het plusteken te gebruiken bij het optellen van het onthoudcijfer met de volgende kolom. * **Hulpstrategieën:** * Gebruik een checklist: * Is het bewerkingsteken correct genoteerd? * Zijn de onthoudcijfers genoteerd? * Als het probleem ligt bij het inwisselen, keer terug naar de Cijfer Systeem Architectuur (CSA): Aangrijpen $\rightarrow$ Symboliseren $\rightarrow$ Concretiseren. * Raadpleeg het schrijfschema en, indien nodig, MAB (Materiaal-Afbeelding-Begrip). * Zorg voor netjes onder elkaar schikken en begin bij de eenheden. #### 1.1.2 Startfout (optellen tot 20 met brug) * **Probleem:** Bij het tellen op de vingers kan er steeds één teveel of één te weinig geteld worden, wat leidt tot een startfout bij optellingen met een brug. Bijvoorbeeld: $6 + 3$ is dan 1 te weinig. * **Hulpstrategieën:** * Als het probleem ligt bij optellen tot 20 met en zonder brug, oefen hoofdrekenen als remediëring voor het cijferen. * Zorg voor netjes onder elkaar schikken. * Noteer het bewerkingsteken. * Begin bij de eenheden. * Oefen het onthouden (inwisselen). ### 1.2 Veelvoorkomende fouten bij aftrekken #### 1.2.1 Startfout (aftrekken tot 20 met brug) * **Probleem:** Gelijkaardig aan optellen, kan er bij aftrekken met brug een startfout optreden, waarbij er één teveel of te weinig wordt afgetrokken. Bijvoorbeeld: $6 - 3$ is dan 1 teveel. * **Hulpstrategieën:** * Als het probleem ligt bij aftrekken tot 20 met en zonder brug, oefen hoofdrekenen als remediëring voor het cijferen. * Zorg voor netjes onder elkaar schikken. * Noteer het bewerkingsteken. * Begin bij de eenheden. * Oefen het ontlenen (inwisselen). #### 1.2.2 Nulfout (aftrekken in 2 richtingen of vergeten ontlenen) * **Probleem:** Leerlingen trekken af in twee richtingen (bijvoorbeeld, ze trekken zowel van het deeltal als van het onthoudcijfer af) of vergeten te ontlenen, wat leidt tot incorrecte berekeningen. Dit kan twee keer voorkomen in één som. * **Hulpstrategieën:** * Als het probleem ligt bij aftrekken in twee richtingen, keer terug naar materiaal om de noodzaak van ontlenen te ervaren. * Zorg voor netjes onder elkaar schikken. * Noteer het bewerkingsteken. * Begin bij de eenheden. * Als het probleem is dat er vergeten wordt te ontlenen, gebruik een checklist: is de ontlening genoteerd? * Als het probleem ontlenen is, keer terug naar de CSA: Aangrijpen $\rightarrow$ Symboliseren $\rightarrow$ Concretiseren. * Raadpleeg het schrijfschema en, indien nodig, MAB. ### 1.3 Veelvoorkomende fouten bij vermenigvuldigen #### 1.3.1 Vermenigvuldigen met nul * **Probleem:** Leerlingen maken fouten bij het vermenigvuldigen met nul. Bijvoorbeeld, bij $3 \times 0 = 0$. * **Hulpstrategieën:** * Verwoorden: "3 keer 0" of "3 keer niets" is 0. * Noteer het bewerkingsteken. * Gebruik maaltafels. * Begin bij de eenheden. #### 1.3.2 Vermenigvuldigen en optellen van onthoudcijfers * **Probleem:** Leerlingen vergeten de onthoudcijfers bij het vermenigvuldigen, of tellen het onthoudcijfer verkeerd op bij het deeltal. Bijvoorbeeld, bij $3 \times 7 = 21$: leerling schrijft 1 en onthoudt 2. Vervolgens $2 + 4 = 6$ en $3 \times 6 = 18$. * **Hulpstrategieën:** * Herhaal de stappen: eerst vermenigvuldigen, dan optellen. Doe dit eventueel met behulp van materiaal. * Noteer het bewerkingsteken. * Gebruik maaltafels. * Begin bij de eenheden. * Zorg dat de leerling weet dat er moet ingewisseld worden. Noteer de onthoudcijfers rechts van de vermenigvuldiging. #### 1.3.3 Plaatsfouten bij vermenigvuldigen met tientallen * **Probleem:** Leerlingen maken een plaatsfout bij het vermenigvuldigen met tientallen, zoals bij $30 \times 347$. Ze vergeten de nullen in de deelproducten te schrijven of laten ruimte over. * **Hulpstrategieën:** * Link naar splitsen en verdelen: $30 \times 347 = 10 \times (3 \times 347)$. Het product is 10 keer groter, daarom schuiven we een rang naar links. * Noteer de bewerkingstekens. * Gebruik maaltafels. * Begin bij de eenheden. * Tel de deelproducten op. * Schrijf nullen in de deelproducten en geen lege ruimte of stipjes. #### 1.3.4 Terugkeren in de leerlijn bij vermenigvuldigen * **Probleem:** Leerlingen hebben moeite met het opnemen van vermenigvuldigingen met tientallen na het oefenen met eenheden. * **Hulpstrategieën:** * Keer terug naar E $\times$ natuurlijk getal, dan T $\times$ natuurlijk getal, om vervolgens TE $\times$ natuurlijk getal op te nemen (terugkeren in de leerlijn). * Keer indien nodig terug naar de CSA. * Noteer de bewerkingstekens. * Gebruik maaltafels. * Begin bij de eenheden. * Tel de deelproducten op. ### 1.4 Veelvoorkomende fouten bij delen #### 1.4.1 Rest te groot (groter dan deler) * **Probleem:** De rest is groter dan de deler, wat aangeeft dat er nogmaals gedeeld had kunnen worden. Ook kan het laatste cijfer van het quotiënt fout zijn. * **Hulpstrategieën:** * Check: is de rest kleiner dan de deler? * Controleer de vermenigvuldigingen. * Oefen het "cijfers laten zakken" met materiaal om te begrijpen waar dit vandaan komt. * Zorg voor netter noteren. * Noteer de bewerkingstekens. * Begin links. * Volg de bewerkingsvolgorde in het algoritme. #### 1.4.2 Deeltafelfout en verkeerde aftrekking * **Probleem:** Leerlingen maken een deeltafelfout en trekken vervolgens verkeerd af (het aftrektal is niet het grootst). * **Hulpstrategieën:** * Oefen de eerste stap van het algoritme: niet-opgaande deling uitvoeren. * Controleer of de aftrekkingen correct zijn: het aftrektal moet het grootst zijn. * Noteer de bewerkingstekens. * Begin links. * Volg de bewerkingsvolgorde in het algoritme. #### 1.4.3 Delingshalter en plaatsfouten * **Probleem:** Leerlingen passen de delingshalter incorrect toe, waardoor het deeltal en de deler 10 keer kleiner worden en het quotiënt gelijk blijft. Ook kan er een fout gebeuren bij het "twee cijfers tegelijk laten zakken" met een fout genoteerde nul in het quotiënt. Een rekenfout kan ook optreden, zoals $156 - 144 = 12$. * **Hulpstrategieën:** * Herhaal de delingshalter en noteer bewerkingen met pijlenschema's. * Voer de staartdeling uit, ook als er een rekenfoutje optreedt, om het algoritme te oefenen. > **Tip:** Een grondige kennis van de leerlijn van de vier basisbewerkingen is essentieel om de correcte hulpstrategieën te kunnen toepassen. Het consolideren van hoofdrekenvaardigheden kan het cijferen significant verbeteren. Gebruik van concreet materiaal (MAB) en visuele hulpmiddelen (schrijfschema, CSA) is cruciaal voor leerlingen die moeite hebben met het abstracte rekenen. --- # Vergeten onthoudcijfers en verkeerd inwisselen Dit hoofdstuk behandelt veelvoorkomende fouten bij het cijferend optellen en aftrekken, specifiek gericht op het vergeten van onthoudcijfers en incorrect inwisselen, met nadruk op het gebruik van checklists en het terugkeren naar basisconcepten. ### 2.1 Fouten bij optellen #### 2.1.1 Vergeten onthoudcijfers en plusteken Een veelvoorkomende fout bij cijferend optellen is het vergeten van het onthoudcijfer dat voortkomt uit een eerdere optelling. Dit kan leiden tot incorrecte resultaten omdat de tientallen, honderdtallen, etc., niet correct worden meegenomen. Ook het vergeten van het plus-teken kan tot misinterpretatie van de bewerking leiden. > **Tip:** Als het probleem is dat een onthoudcijfer vergeten wordt, kan een checklist helpen. Deze checklist kan de volgende vragen bevatten: is het bewerkingsteken correct genoteerd? Zijn de onthoudcijfers genoteerd? Als het probleem voortkomt uit het vergeten van onthoudcijfers, kan de leerling geholpen worden door terug te keren naar de basisprincipes van cijferen. Het netjes onder elkaar schikken van de getallen en het starten bij de eenheden zijn essentiële stappen die herhaald moeten worden. Voor optellen tot 20 met brug (waarbij inwisselen nodig is) kan het oefenen van hoofdrekenen als remediëring dienen. #### 2.1.2 Startfouten bij optellen Startfouten kunnen zich manifesteren doordat de leerling bij het tellen op de vingers systematisch één te veel of één te weinig telt. Bijvoorbeeld, bij $6 + 3$ zou de leerling één te weinig kunnen rekenen. > **Tip:** Als het probleem optellen tot 20 (zonder én met brug) betreft, is het oefenen van hoofdrekenen een geschikte remediëring. Belangrijke stappen zijn: netjes onder elkaar schikken, het bewerkingsteken noteren, starten bij de eenheden, en het correct onthouden (inwisselen) van de overschrijding. ### 2.2 Fouten bij aftrekken #### 2.2.1 Fouten bij inwisselen (ontlenen) Bij aftrekken is het correct inwisselen van getallen cruciaal, vooral wanneer een cijfer in het aftrekgetal groter is dan het corresponderende cijfer in het getal waarvan afgetrokken wordt. * **Aftrekken in 2 richtingen of vergeten ontlenen:** Dit is een specifieke fout waarbij de leerling ofwel de bewerking in beide richtingen uitvoert (bijvoorbeeld zowel van het ene cijfer als van het geleende cijfer aftrekt) of simpelweg vergeet te ontlenen. * **Nulfout (aftrekken in 2 richtingen):** Dit verwijst naar situaties waar bij het aftrekken van nul, de leerling foutief een bewerking uitvoert alsof er wel een getal afgetrokken moest worden. > **Tip:** Als het probleem is dat er in twee richtingen wordt afgetrokken, kan het nuttig zijn terug te keren naar materiaal dat de noodzaak van ontlenen illustreert. Het netjes onder elkaar schikken, het bewerkingsteken noteren en starten bij de eenheden blijven belangrijke stappen. > **Tip:** Bij het vergeten te ontlenen, kan een checklist helpen: is de ontlening genoteerd? > Bij problemen met ontlenen in het algemeen, kan terugkeren naar het CSA-model (Concrete-Semantische-Abstracte fasen), het schrijfschema, en indien nodig naar MAB (Materialen, Activeren, Begeleiden) ondersteuning bieden. #### 2.2.2 Aftrekken tot 20 met brug Net als bij optellen, is het correct uitvoeren van aftrekken tot 20 met brug belangrijk. Fouten hierbij kunnen vergelijkbaar zijn met de algemene aftrekfouten. > **Tip:** Als het probleem aftrekken tot 20 (zonder én met brug) betreft, is het oefenen van hoofdrekenen een geschikte remediëring. De kernstappen zijn: netjes onder elkaar schikken, het bewerkingsteken noteren, starten bij de eenheden, en correct ontlenen (inwisselen). ### 2.3 Fouten bij vermenigvuldigen #### 2.3.1 Fouten met nul en onthoudcijfers Bij vermenigvuldigen kunnen specifieke fouten optreden met betrekking tot het getal nul. Bijvoorbeeld, $3 \times 0 = 0$ kan verkeerd worden geïnterpreteerd of toegepast. Ook het correct omgaan met onthoudcijfers die voortkomen uit vermenigvuldigingen is essentieel. * **Verwoorden:** De leerling moet begrijpen wat het betekent om een getal 'nul keer' te nemen. Bijvoorbeeld, "3 keer 0" betekent 3 keer niets, wat resulteert in 0. * **Stappen herhalen:** De juiste volgorde van de bewerkingen is cruciaal. Eerst vermenigvuldigen, dan optellen, en daarbij de onthoudcijfers correct verwerken. Materiaal kan hierbij ondersteuning bieden. * **Onthoudcijfers noteren:** Het is belangrijk dat onthoudcijfers genoteerd worden rechts van het huidige cijfer om ze niet te vergeten, wat mede het belang van inwisselen benadrukt. #### 2.3.2 Plaatsfouten en deelproducten optellen Bij meercijferige vermenigvuldigingen ontstaan deelproducten. Fouten kunnen optreden bij het correct plaatsen van deze deelproducten (plaatsfout) of bij het optellen van deze deelproducten. * **Linken naar splitsen en verdelen:** Het vermenigvuldigen van bijvoorbeeld 30 met 347 kan verklaard worden door het te zien als $10 \times (3 \times 347)$. Dit betekent dat het product 10 keer groter is, wat resulteert in een verschuiving van een rang naar links. * **Nullen in deelproducten:** Het is belangrijk om nullen te noteren in de deelproducten om de juiste plaats te waarborgen, in plaats van lege ruimtes of stippen te gebruiken. * **Terugkeren in leerlijn:** Om de juistheid van de deelproducten te waarborgen, kan het nuttig zijn terug te keren naar de leerlijn van 'een natuurlijk getal vermenigvuldigen met een natuurlijk getal', dan 'tientallen vermenigvuldigen', en vervolgens 'honderdtallen vermenigvuldigen'. Indien nodig kan ook teruggekeerd worden naar het CSA-model. ### 2.4 Fouten bij delen #### 2.4.1 Rest te groot Een veelvoorkomende fout bij delingen is dat de rest groter is dan de deler. Dit geeft aan dat er nog een keer met de deler vermenigvuldigd had kunnen worden. * **Checklist:** Een essentiële controle is: is de rest kleiner dan de deler? * **Vermenigvuldigingen controleren:** De vermenigvuldiging van het quotiënt met de deler moet gecontroleerd worden. * **Cijfers laten zakken:** De correcte procedure van het 'laten zakken' van cijfers moet begrepen worden. Terugkeren naar materiaal kan helpen dit inzichtelijk te maken. * **Netter noteren en volgorde:** Een nette notatie en het correct volgen van de volgorde van bewerkingen binnen het delingsalgoritme zijn belangrijk. Het links starten van de deling is hierbij een aandachtspunt. #### 2.4.2 Deeltafelfout en incorrect aftrekken Fouten in de deeltafel kunnen leiden tot foutieve aftrekkingen. Ook is het belangrijk dat de aftrekking correct wordt uitgevoerd, waarbij het aftrekgetal kleiner moet zijn dan het getal waarvan wordt afgetrokken. * **Eerste stap oefenen:** Het correct uitvoeren van de eerste stap van het algoritme, met name bij delingen die niet precies opgaan, is cruciaal. * **Aftrekkingen controleren:** Nagaan of de aftrekkingen correct zijn, met name of het aftrekgetal het grootste is. * **Bewerkingstekens en volgorde:** Correct noteren van bewerkingstekens en het volgen van de algoritmevolgorde zijn essentieel. #### 2.4.3 Problemen met quotiënt en deeltal/deler * **Delingshalter:** Het principe van de 'delingshalter' (het effect van het 10 keer kleiner maken van zowel deeltal als deler op het quotiënt) moet begrepen worden. * **Twee cijfers tegelijk laten zakken:** Wanneer twee cijfers tegelijk worden laten zakken, is het correct noteren van een nul in het quotiënt van belang, hoewel dit ook tot gevaarlijke situaties kan leiden als het begrip ontbreekt. * **Rekenfouten bij aftrekken:** Zelfs bij een correcte procedure kunnen rekenfouten bij het aftrekken het eindresultaat beïnvloeden. > **Tip:** Het herhalen van de delingshalter en het noteren van bewerkingen met een pijlenschema kan helpen. Het uitvoeren van de staartdeling, zelfs met de aanwezigheid van rekenfouten, is een belangrijke stap om de procedure te leren. --- # Problemen bij vermenigvuldigen en delen Deze sectie behandelt specifieke veelvoorkomende fouten die leerlingen maken bij het cijferend vermenigvuldigen en delen, en biedt strategieën om deze problemen aan te pakken. ### 3.1 Typische fouten bij vermenigvuldigen Bij het cijferend vermenigvuldigen komen diverse fouten voor, met name gerelateerd aan nul en plaatsfouten. #### 3.1.1 Nulfouten Een veelvoorkomende fout is de 'nulfout', waarbij bij het vermenigvuldigen met nul, de nul niet correct wordt verwerkt of de resultaten van de vermenigvuldiging met de nul incorrect zijn. * **Voorbeeld van een fout:** $3 \times 0 = 0$, maar vervolgens wordt dit niet correct in de bredere berekening opgenomen. * **Aanpak:** * Het belang van de betekenis van 'nul keer' of 'nul maal' benadrukken. * Het belang van het noteren van het juiste bewerkingsteken. * Oefenen van de maaltafels. * Herhalen van de stappen: eerst vermenigvuldigen, dan optellen. Indien nodig ondersteunen met materiaal. #### 3.1.2 Plaatsfouten Plaatsfouten treden op wanneer de cijfers niet correct onder elkaar worden geplaatst, wat leidt tot foutieve deelproducten en een incorrect eindantwoord. Dit gebeurt met name bij het vermenigvuldigen met getallen die tientallen bevatten. * **Voorbeeld van een fout:** Bij het vermenigvuldigen van $30 \times 347$, waarbij de resultaten van de vermenigvuldiging met de tientallen (de $30$) niet correct worden verschoven naar links. Dit resulteert in een lege ruimte of een stipje in plaats van een nul, wat de plaatsing van de getallen verstoort. * **Aanpak:** * Verbanden leggen met het splitsen en verdelen van getallen. Bijvoorbeeld, $30 \times 347$ is tien keer groter dan $3 \times 347$, wat verklaard waarom het product een rang naar links verschuift. * Het belang van het correct noteren van bewerkingstekens benadrukken. * Oefenen van de maaltafels. * Het belang van het correct optellen van deelproducten benadrukken, wat verklaart waarom nullen (of een juiste verschuiving) in de deelproducten nodig zijn. * Terugkeren in de leerlijn: van $E \times$ natuurlijk getal, naar $T \times$ natuurlijk getal, om vervolgens $TE \times$ natuurlijk getal op te nemen. Indien nodig terugkeren in de CSA-methodiek. #### 3.1.3 Overige vermenigvuldigingsfouten * **Fouten bij het onthouden:** Het niet correct noteren of meenemen van de onthoudcijfers bij het inwisselen (bruggen bouwen). * **Aanpak:** Een checklist hanteren: 'Onthoudcijfers genoteerd?'. Indien het probleem 'vergeten' is, dan is dit een mogelijke oplossing. * **Onjuiste toepassing van het inwisselen:** Bij optellen tot 20 met brug, kan het inwisselen (onthouden) fout gaan. * **Aanpak:** Hoofdrekenen oefenen als remediëring bij het cijferen. Netjes onder elkaar schikken, bewerkingsteken noteren, starten bij de eenheden, en correct onthouden (inwisselen). ### 3.2 Typische fouten bij delen Bij het cijferend delen zijn fouten vaak gerelateerd aan de rest, incorrecte aftrekkingen, en het laten zakken van cijfers. #### 3.2.1 Te grote rest Een veelvoorkomende fout is dat de rest groter is dan de deler. Dit duidt erop dat er nog een deel van de deler in het resterende getal past. * **Voorbeeld van een fout:** Een rest van 8 bij een deler van 4. * **Aanpak:** * **Check:** Is de rest kleiner dan de deler? * Vermenigvuldigingen controleren om te zien of het juiste quotiëntdeel is berekend. * Het 'laten zakken' van cijfers visualiseren met materiaal om de oorsprong ervan te begrijpen. * Netter noteren en het belang van de volgorde van bewerkingen in het algoritme benadrukken. Starten bij de linkerkant van het deeltal. #### 3.2.2 Incorrecte aftrekkingen Fouten kunnen optreden in de aftrekstap van het delingsalgoritme, wat kan leiden tot een negatief resultaat of een resultaat dat niet correct kan worden gedeeld. Dit kan voortkomen uit een deeltafout of een foutieve richting van de aftrekking. * **Voorbeeld van een fout:** Bij het uitvoeren van de deling, wordt een incorrecte aftrekking gedaan, bijvoorbeeld $144 - 156$. * **Aanpak:** * De eerste stap in het algoritme oefenen: het uitvoeren van niet-opgaande delingen. * Controleren of de aftrekkingen correct zijn uitgevoerd: het aftrektal moet altijd groter zijn dan het getal waarvan men aftrekt, om een positief resultaat te verkrijgen. * Noteren van de bewerkingstekens en het volgen van de juiste volgorde in het algoritme, startend aan de linkerkant. #### 3.2.3 Fouten bij het laten zakken van cijfers Dit kan zich uiten in het te laat laten zakken van een cijfer, twee cijfers tegelijk laten zakken zonder de correcte notatie in het quotiënt (zoals een nul), of rekenfouten maken in de aftrek na het laten zakken. * **Voorbeeld van een fout:** Twee cijfers tegelijk laten zakken en de 0 noteren in het quotiënt, wat correct is maar gevaarlijk kan zijn als de leerling de logica erachter niet volledig begrijpt. Een ander voorbeeld is een rekenfout zoals $156 – 144 = 12$. * **Aanpak:** * De 'delingshalter' herhalen en de bewerkingen visualiseren met een pijlenschema. * De staartdeling uitvoeren en aandacht besteden aan eventuele rekenfouten in de aftrekstap. * Het principe herhalen dat als het deeltal en de deler 10 keer kleiner worden, het quotiënt gelijk blijft (met betrekking tot de delingshalter). * Netjes noteren en de volgorde van bewerkingen in het algoritme volgen. #### 3.2.4 Overige delingsfouten * **Fouten bij inwisselen/ontlenen:** Bij aftrekken met brug of ontlenen, kan de leerling vergeten te ontlenen of dit incorrect doen. * **Aanpak:** Terugkeren naar materiaal om de noodzaak van ontlenen te ervaren. Een checklist hanteren: 'Ontlening genoteerd?'. Indien het probleem 'vergeten' is, kan dit helpen. Indien het probleem 'ontlenen' is, terugkeren in CSA (A $\rightarrow$ S $\rightarrow$ C) en eventueel terug naar het schrijfschema of MAB-materiaal. > **Tip:** Voor zowel vermenigvuldigen als delen is het cruciaal dat leerlingen de onderliggende concepten van het inwisselen en ontlenen begrijpen. Het gebruik van concreet materiaal kan hierbij enorm helpen. > **Tip:** Een checklist voor veelvoorkomende fouten (zoals 'onthoudcijfer genoteerd?', 'ontlening genoteerd?', 'rest < deler?') kan leerlingen helpen om hun werk te controleren. > **Tip:** Het stimuleren van het hardop verwoorden van de stappen die worden genomen tijdens het cijferen, kan helpen om denkfouten bloot te leggen en te corrigeren. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Cijferen | Het proces van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) met meercijferige getallen, waarbij specifieke algoritmes worden gevolgd. | | Typische fouten | Veelvoorkomende denk- of uitvoeringsfouten die leerlingen maken bij het oplossen van rekenkundige problemen, specifiek binnen het domein van het cijferen. | | Onthoudcijfers | Cijfers die tijdelijk worden genoteerd tijdens een bewerking, zoals bij optellen met een brug, om een overdraging van tientallen, honderdtallen, etc. bij te houden. | | Plusteken vergeten | Een veelvoorkomende fout waarbij het correct noteren van het opteken (+), met name bij het optellen of bij de tussenstappen van vermenigvuldigen, wordt nagelaten. | | Bewerkingsteken | Het symbool dat een wiskundige operatie aanduidt, zoals +, -, x of :. Correct noteren is cruciaal voor het uitvoeren van de juiste berekening. | | Inwisselen | Het concept dat bij optellen of aftrekken centraal staat, waarbij een tiental wordt ingewisseld voor tien eenheden, of tien eenheden voor één tiental, om de bewerking mogelijk te maken. | | CSA (Concept, Symbool, Algoritme) | Een didactisch model dat de leerlijn van wiskundige concepten beschrijft, beginnend bij het begrijpen van het concept, via symbolische representatie naar het toepassen van het algoritme. | | Schrijfschema | Een instructie of visuele hulp die de juiste volgorde en plaatsing van cijfers en bewerkingstekens bij het cijferen aanleert. | | MAB (Materiaal, Abstract, Beeld) | Een leertraject dat leerlingen helpt om wiskundige concepten te begrijpen, beginnend met concreet materiaal, via een visuele voorstelling naar abstracte symbolen. | | Eenheden | De meest rechtse cijferkolom in een getal, die de waarde van 1 vertegenwoordigt. Cijferoperaties starten traditioneel bij de eenheden. | | Optellen tot 20 met brug | Het optellen van twee getallen waarbij de som groter is dan 10, wat een 'brug' of 'inwisseling' noodzakelijk maakt. | | Hoofdrekenen | Het mentaal uitvoeren van rekenkundige bewerkingen zonder schriftelijke hulpmiddelen. Vaak gebruikt als remediëring voor problemen bij cijferen. | | Aftrekken tot 20 met brug | Het aftrekken van twee getallen waarbij het min(e)nd te lenen is, wat een 'ontlening' of 'inwisseling' noodzakelijk maakt. | | Ontlenen | Het proces waarbij een tiental (of honderdtal) wordt ingewisseld om voldoende eenheden (of tientallen) te verkrijgen voor een aftrekking. | | Nulfout | Een fout waarbij een nul in het getal wordt genegeerd of verkeerd wordt behandeld tijdens een rekenkundige bewerking, met name bij aftrekken en vermenigvuldigen. | | Maaltafels | De tafels van vermenigvuldiging (bijvoorbeeld 1 tot 10), die essentieel zijn voor het correct uitvoeren van vermenigvuldigingen en delingen. | | Deelproducten | Tussenresultaten die worden verkregen bij het vermenigvuldigen van een meercijferig getal met een ander meercijferig getal, waarbij het ene getal deel voor deel wordt vermenigvuldigd. | | Plaatsfout | Een fout die ontstaat doordat cijfers op de verkeerde positie (kolom) worden geplaatst, wat leidt tot een incorrect eindresultaat. | | Delingshalter | Een methode of visuele ondersteuning die helpt bij het correct uitvoeren van staartdelingen, met name bij het bepalen van het quotiënt en de rest. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. | | Rest | Het deel van het deeltal dat overblijft nadat het zo vaak mogelijk door de deler is gedeeld. De rest moet altijd kleiner zijn dan de deler. | | Deler | Het getal waardoor een ander getal (het deeltal) wordt gedeeld. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld door een ander getal (de deler). |