syllabus toegepaste wiskunde 1 (2).pdf

# Breuken, percentages en decimale schrijfwijze ### Kernconcepten * Breuken, percentages en decimale getallen zijn verschillende manieren om delen van een geheel weer te geven [15](#page=15). * Omzettingen tussen deze notaties zijn essentieel voor berekeningen en begrip [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17). * Evenredigheden helpen bij het begrijpen van de relatie tussen veranderende grootheden [17](#page=17). ### Breuken * Een breuk $\frac{a}{b}$ is een deling waarbij $b$ (noemer) niet nul mag zijn [15](#page=15). * Vermenigvuldigen: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ [15](#page=15). * Delen: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ [15](#page=15). * Optellen en aftrekken vereisen een gemeenschappelijke noemer: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$ [15](#page=15). - > **Tip:** Voor optellen en aftrekken, zoek het kleinste gemene veelvoud (kgv) van de noemers voor de efficiëntste oplossing [16](#page=16) ### Percentages * Percentage (%) betekent "per honderd": $5\% = \frac{5}{100} = 0,05$ [16](#page=16). * Om een percentage van een getal te berekenen: $\text{percentage} \times \text{getal}$ [16](#page=16). * Procentuele afwijking: $\frac{\text{gemeten waarde} - \text{referentiewaarde}}{\text{referentiewaarde}} \times 100\%$ [17](#page=17). - > **Voorbeeld:** 16% van 256 bereken je als $\frac{16}{100} \times 256 = 40,96$ [16](#page=16) ### Decimale schrijfwijze * Decimale getallen kunnen direct worden omgezet naar breuken door de plaatswaarde te gebruiken [15](#page=15). * De omzetting van breuken naar decimale getallen gebeurt door deling [16](#page=16). ### Evenredigheden * Een evenredigheid is een gelijkheid van twee verhoudingen: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ [17](#page=17). * De eigenschap $ad = bc$ geldt voor evenredigheden [17](#page=17). * Recht evenredig: $a \sim kb$, waarbij $k$ een constante is [17](#page=17). * Omgekeerd evenredig: $a \sim \frac{k}{b}$ of $ab = k$, waarbij $k$ een constante is [18](#page=18). - > **Voorbeeld:** De compressieverhouding van een motor is een voorbeeld van een verhouding [16](#page=16) --- # Eenheden omzetten en talstelsels ### Eenheden omzetten * **Werkwijze:** Vermenigvuldig de uitdrukking met breuken om de gewenste eenheden te bereiken [27](#page=27). * **Breukconstructie:** Plaats in elke breuk voor de grootste eenheid een 1 en de bijbehorende factor bij de kleinste eenheid [27](#page=27). * **Voorbeeld snelheidsomzetting:** 5 m/s omgezet naar km/h is 18 km/h [27](#page=27). * Berekening: $5 \frac{m}{s} \times \frac{1 km}{1000 m} \times \frac{3600 s}{1 h} = 18 \frac{km}{h}$ [27](#page=27). * **Voorbeeld dichtheidsomzetting:** 13,55 g/cm³ omgezet naar kg/m³ is 13550 kg/m³ [27](#page=27). * Berekening: $13,55 \frac{g}{cm^3} \times \frac{1 kg}{1000 g} \times \frac{(10^2)^3 cm^3}{1 m^3} = 13550 \frac{kg}{m^3}$ [27](#page=27). * **Omzetten van graden naar radialen:** Gebruik de factor $\frac{\pi}{180}$ [27](#page=27). * **Omzetten van radialen naar graden:** Gebruik de factor $\frac{180}{\pi}$ [27](#page=27). * **Omzetten van graden, minuten, seconden naar graden:** Zet minuten en seconden om naar fracties van een graad [27](#page=27). * $40^\circ 25' 36'' = (40 + \frac{25}{60} + \frac{36}{3600})^\circ = 40,4267^\circ$ [27](#page=27). * **Omzetten van graden naar graden, minuten, seconden:** Vermenigvuldig het decimale deel van de graden met 60 voor minuten, en het decimale deel van de minuten met 60 voor seconden [28](#page=28). * $90,3211^\circ = 90^\circ 19' 15,96''$ [28](#page=28). ### Talstelsels * **Kernprincipe:** Een getal is opgebouwd uit veelvouden van machten van de basis (b) [28](#page=28). * **Algemene vorm:** $(c_k c_{k-1} \dots c_1 c_0, c_{-1} c_{-2} \dots)_b = \sum_{i=-\infty}^{k} c_i b^i$ [28](#page=28). * $c_i$ zijn de cijfers ($0 \le c_i < b$), $i$ is de positie [28](#page=28). * **Veelgebruikte bases:** 2 (binair), 8 (octaal), 10 (decimaal), 16 (hexadecimaal) [28](#page=28). * **Positievoorstelling:** Cijfers links van de komma hebben positieve posities, rechts ervan negatieve [28](#page=28). * **Rational getallen:** Kunnen een eindig of oneindig repeterend aantal cijfers hebben in hun positievoorstelling [29](#page=29). * **Irrationale getallen:** Hebben een oneindig aantal niet-repeterende cijfers [29](#page=29). * **Niet-unieke representatie:** Bijvoorbeeld, $14_{10} = 13,999\dots_{10}$ [29](#page=29). * **Overgang van eindig naar oneindig:** Is mogelijk bij basiswijziging, kan afrondingsfouten veroorzaken [29](#page=29). ### Binaire stelsel * **Basis:** 2 [29](#page=29). * **Cijfers:** 0 en 1 [29](#page=29). * **Omzetting decimaal naar binair (natuurlijke getallen):** Methode van opeenvolgende delingen; de resten vormen de binaire cijfers van rechts naar links [31](#page=31). * **Voorbeeld:** $ _{10} = _2$ [31](#page=31). ### Hexadecimale stelsel ### Overgang tussen talstelsels (snelle methode) --- # Oefeningen en toepassingen van wiskundige concepten ### Merkwaardige producten * Identiteiten voor merkwaardige producten met $A$ en $B$ als willekeurige uitdrukkingen: * $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ [33](#page=33). * $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ [33](#page=33). * $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ [33](#page=33). * $(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$ [33](#page=33). * $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$ [33](#page=33). * $(A+B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$ [33](#page=33). * $(A-B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3$ [33](#page=33). * Voorbeeld: $(\sin(x)-\cos(x))^2 = \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 - \sin(2x)$ [33](#page=33). * Ontbinding in factoren is het omgekeerde proces van merkwaardige producten [33](#page=33). ### Formules omvormen en evalueren * Formules omvormen betekent een uitdrukking oplossen naar een specifieke variabele [34](#page=34). * Prioriteitsregels voor bewerkingen bij het omvormen van formules (eerst weg = hoogste prioriteit, laatst weg = laagste prioriteit): * Optelling en aftrekking [35](#page=35). * Vermenigvuldiging en deling [35](#page=35). * Machtsverheffing en worteltrekking [35](#page=35). * Haakjes [35](#page=35). * Formules evalueren betekent de getalwaarde van de uitdrukking bepalen [35](#page=35). * Voorbeeld: $P = U \cdot I \Rightarrow U = \frac{P}{I}$ [34](#page=34). * Voorbeeld: $v = v_0 + at \Rightarrow t = \frac{v - v_0}{a}$ [34](#page=34). * Voorbeeld: $L = \frac{1}{2} \rho v^2 AC \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2L}{\rho AC}}$ [34](#page=34). * Voorbeeld: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ leidt tot $T_1 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 V_2}$ [34](#page=34). * Voorbeeld: $p \cdot V = n \cdot R \cdot T \Rightarrow V = \frac{nRT}{p}$ [35](#page=35). ### Toepassingen en voorbeelden uit de praktijk * Berekening van volumes van geometrische vormen (cilinder, bol, kegel) voor tanks [36](#page=36). * Berekening van procentuele afwijkingen tussen geschatte en werkelijke waarden [36](#page=36). * Berekening van het volume van isolatiemateriaal op basis van oppervlakte en dikte [37](#page=37). --- # het modelleren van verbanden met formules, tabellen en grafieken ### Kernidee * Een verband beschrijft hoe een outputwaarde afhangt van een inputwaarde, of meerdere inputwaarden [43](#page=43). * Wiskundig is een verband een verzameling van alle mogelijke koppels (input, output) [43](#page=43). * Verbanden kunnen worden weergegeven met formules, tabellen en grafieken [43](#page=43). ### Belangrijke feiten * De temperatuur in graden Celsius (input) en Fahrenheit (output) is een voorbeeld van een verband [43](#page=43). * Winst hangt af van omzet (input 1) en kosten (input 2) [43](#page=43). * De inhoud van een cilinder hangt af van straal (input 1) en hoogte (input 2) [43](#page=43). * Een formule definieert de regel die input omzet in output [43](#page=43). * Een tabel toont specifieke input-output paren van een verband [44](#page=44). * In een grafiek wordt de inputvariabele op de horizontale as en de outputvariabele op de verticale as geplaatst [44](#page=44). * Vaste en variabele kosten vormen samen de totale kosten voor productie [44](#page=44). * De formule voor totale kosten is $K = \text{vaste kosten} + (\text{variabele kosten per product} \times \text{aantal producten})$ [45](#page=45). * De formule voor het volume van een cilinder is $V = \pi r^2 h$ [46](#page=46). * De formule voor de valbeweging is $v = v_0 - gt$ en $h = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ met $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$ [47](#page=47). * Meetresultaten worden vaak eerst in een tabel gezet, waarna een formule of model bepaald wordt via regressie [47](#page=47). ### Belangrijke concepten * Inputvariabelen zijn de grootheden die de output beïnvloeden [43](#page=43). * Outputvariabelen zijn de resultaten die afhankelijk zijn van de input [43](#page=43). * De regel in een schematisch verband beschrijft hoe input wordt omgezet in output [43](#page=43). * F = 2C + 32 is de formule voor omzetting van graden Celsius naar Fahrenheit [44](#page=44). * Lineaire regressie wordt gebruikt om de best passende rechte door datapunten te vinden [48](#page=48). * Lineaire interpolatie benadert een waarde tussen twee bekende datapunten met een rechte [49](#page=49). * Lineaire extrapolatie voorspelt waarden buiten het bereik van de bekende datapunten [50](#page=50). * Het domein van een verband is de verzameling van alle mogelijke inputwaarden [52](#page=52). * Het bereik van een verband is de verzameling van alle mogelijke outputwaarden [52](#page=52). ### Implicaties * Formules, tabellen en grafieken zijn verschillende manieren om hetzelfde verband weer te geven [43](#page=43). * Grafieken maken de aard van een verband visueel duidelijk (bv. lineair, kwadratisch) [44](#page=44). --- # Functies: definitie, terminologie en grafisch kenmerk ### Kernidee * Een functie is een speciaal type verband waarbij elke inputwaarde precies één outputwaarde heeft [54](#page=54). * Niet alle verbanden zijn functies; een verband is geen functie als één input meerdere outputs heeft [54](#page=54). ### Belangrijke feiten * Functies worden aangeduid met letters zoals f, g, h [54](#page=54). * De notatie f: R -> R geeft aan dat R het domein is en de outputwaarden tot R behoren [54](#page=54). * $f(x)$ of $y$ is het functievoorschrift, dat de relatie tussen input en output beschrijft [54](#page=54). * $f = 0,5$ betekent dat voor inputwaarde 2 de outputwaarde 0,5 is [2](#page=2) [54](#page=54). * 'Input' en 'argument' zijn synoniemen; 'output' en 'beeld' zijn synoniemen [54](#page=54). * Een reële functie heeft één reële outputvariabele [54](#page=54). ### Belangrijke concepten * **Domein (dom f):** De verzameling van alle mogelijke reële inputwaarden [52](#page=52) [54](#page=54). * **Bereik (ber f):** De verzameling van alle mogelijke reële outputwaarden [52](#page=52) [54](#page=54). * **Verband:** Een verzameling van koppels (input, output) [52](#page=52). * **Functie:** Een verband waarbij elke input precies één output heeft [54](#page=54). * **Grafisch kenmerk (reële functie met één reële input):** Elke verticale rechte snijdt de grafiek hoogstens één keer [54](#page=54). * Het verband $y^2 = x$ is geen functie omdat $x=4$ overeenkomt met $y=2$ en $y=-2$ [54](#page=54). ### Implicaties * Context kan zowel het domein als het bereik van een functie beïnvloeden [53](#page=53). * Het grafisch kenmerk van de verticale rechte is essentieel om te bepalen of een verband een functie is [54](#page=54). * Bij het bestuderen van functies is het belangrijk om onderscheid te maken tussen het verband zelf en het functievoorschrift [54](#page=54). - > **Tip:** Denk bij het bepalen of een verband een functie is altijd aan de verticale-rechte-test - > **Voorbeeld:** De grafiek van $f(x) = 2x + 3$ is een functie omdat elke verticale rechte deze grafiek hoogstens één keer snijdt - De grafiek van $y = x^2$ is ook een functie [55](#page=55) [56](#page=56) --- # Omgekeerd verband: definitie, wanneer is het een functie en de grafiek ### Kernidee * Een omgekeerd verband ontstaat door de input- en outputvariabelen van een origineel verband te verwisselen [56](#page=56). * Het omgekeerde verband V⁻¹ bevat paren (b,a) als (a,b) in het originele verband V zit [56](#page=56). ### Sleutelbegrippen * **Omgekeerd verband (V⁻¹):** Het verband waarbij input en output zijn verwisseld ten opzichte van het originele verband V [56](#page=56). * **Functie:** Een verband waarbij elke inputwaarde precies één outputwaarde heeft [56](#page=56). * **Horizontale rechte:** Een rechte lijn die parallel loopt aan de x-as [56](#page=56). * **Eerste bissectrice:** De lijn y = x, die door de oorsprong gaat en een hoek van 45 graden maakt met de positieve x-as [58](#page=58). ### Kernfeiten * Als (a,b) tot V behoort, dan behoort (b,a) tot V⁻¹ [56](#page=56). * Het omgekeerde verband is een functie als elke horizontale rechte de grafiek van het verband hoogstens één keer snijdt [56](#page=56). * De grafieken van een verband en zijn omgekeerde zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de eerste bissectrice [58](#page=58). * Voorbeelden van verbanden en hun omgekeerde relaties worden getoond met de formules y = 2x + 3 en y = x² [56](#page=56) [57](#page=57). ### Implicaties * De grafische methode met horizontale rechten is een snelle manier om te bepalen of een omgekeerd verband een functie is [56](#page=56). * Niet elk verband heeft een omgekeerd verband dat ook een functie is (bv. y = x²) [56](#page=56). * Het spiegelbeeldprincipe biedt een krachtige visuele methode om de grafiek van een omgekeerd verband te construeren [58](#page=58). - > **Tip:** Denk aan de verticale-lijntest voor functies en de horizontale-lijntest voor omgekeerde functies [56](#page=56) - > **Voorbeeld:** Het verband y = 2x + 3 is een functie - Het omgekeerde verband is x = 2y + 3, wat ook een functie is (y = (x-3)/2) [56](#page=56) [57](#page=57) - > **Voorbeeld:** Het verband y = x² is een functie - Het omgekeerde verband is x = y², wat geen functie is omdat een positieve y-waarde meerdere x-waarden kan hebben [56](#page=56) [57](#page=57) --- # Transformaties en eigenschappen van grafieken van functies ### Kernidee * Grafieken van functies kunnen worden getransformeerd door middel van verschuivingen, spiegelingen, rekken en inkrimpen, wat leidt tot nieuwe functies met gerelateerde grafieken [67](#page=67). * Het begrijpen van deze transformaties maakt het mogelijk om de grafiek van een complexe functie te construeren vanuit een eenvoudigere basisfunctie [67](#page=67). ### Sleutelbegrippen * **Nulpunten:** Getallen in het domein waar de functiewaarde nul is ($f(x) = 0$) [74](#page=74). * **Tekenenverloop:** Geeft aan waar de functiewaarden positief of negatief zijn; tekenwissels treden op bij nulpunten of onderbrekingen [74](#page=74). * **Symmetrie:** * Even functie: $f(-x) = f(x)$, symmetrisch t.o.v. de y-as [75](#page=75). * Oneven functie: $f(-x) = -f(x)$, symmetrisch t.o.v. de oorsprong [75](#page=75). * **Verloop:** * Strikt stijgend: $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ [75](#page=75). * Strikt dalend: $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$ [75](#page=75). * **Periodiciteit:** Een functie $f$ is periodiek met periode $T > 0$ indien $f(x+T) = f(x)$ voor alle $x$ in het domein [76](#page=76). ### Transformaties * **Verticale verschuiving:** Toevoegen van een constante $c$ aan de functie $f(x)$, resulterend in $g(x) = f(x) + c$ [68](#page=68). * **Horizontale verschuiving:** Vervangen van $x$ door $x-c$ in de functie $f(x)$, resulterend in $g(x) = f(x-c)$. Een verschuiving naar rechts over $c$ eenheden [67](#page=67). * **Spiegeling t.o.v. de y-as:** Vervangen van $x$ door $-x$ in de functie $f(x)$, resulterend in $g(x) = f(-x)$ [67](#page=67). * **Horizontale inkrimping/uitrekking:** Vermenigvuldigen van $x$ met een factor $a$, resulterend in $g(x) = f(ax)$. Een factor $a > 1$ zorgt voor inkrimping [67](#page=67). ### Voorbeeld * Voor $f(x) = \sqrt{x}$ en $g(x) = \sqrt{-2x+6}$: - 1 - Spiegeling t - o - v - y-as: $y = \sqrt{-x}$ [67](#page=67) - 2 - Horizontale inkrimping met factor 2: $y = \sqrt{-2x}$ [67](#page=67) - 3 - Horizontale verschuiving naar rechts over 3 eenheden: $y = \sqrt{-2(x-3)} = \sqrt{-2x+6}$ [67](#page=67) ### Implicaties ### Veeltermfuncties --- # Opstellen en analyseren van wiskundige modellen uit data ### Kernidee * Wiskundige modellen stellen verbanden tussen variabelen voor, vaak gebaseerd op empirische data [69](#page=69). * Het doel is het beschrijven, verklaren en voorspellen van fenomenen [69](#page=69). * Regressieanalyse is een methode om de best passende curve door een set datapunten te vinden [69](#page=69). ### Belangrijke feiten * Data kan worden weergegeven in tabellen en grafieken om patronen te visualiseren [70](#page=70) [73](#page=73). * Een geschikt model moet de data accuraat beschrijven [69](#page=69) [73](#page=73). * Lineaire regressie vindt de best passende rechte lijn door datapunten [69](#page=69). * Andere regressiemodellen (bv. kwadratisch) kunnen nodig zijn voor niet-lineaire verbanden [70](#page=70). * Interpolatie voorspelt waarden binnen het bereik van de data, extrapolatie daarbuiten [69](#page=69). * Modellen kunnen helpen bij het beantwoorden van specifieke vragen over het systeem [69](#page=69) [70](#page=70). * Het evalueren van de geschiktheid van een model is cruciaal [70](#page=70). ### Belangrijke concepten * **Functie:** Een verband waarbij elke inputwaarde precies één outputwaarde heeft [69](#page=69) [70](#page=70). * **Omgekeerd verband:** Het verband tussen de input en output van een functie, of andersom [69](#page=69) [70](#page=70). * **Regressielijn:** De rechte lijn die de datapunten zo goed mogelijk benadert [69](#page=69). * **Kwadratische functie:** Een model van de vorm $y = ax^2 + bx + c$ [70](#page=70). * **Stuksgewijs gedefinieerde functie:** Een functie die uit verschillende stukken bestaat, elk met een eigen voorschrift [70](#page=70). * **Parametervergelijkingen:** Een manier om de positie van een object te beschrijven als functie van een parameter (meestal tijd) [70](#page=70) [71](#page=71). * **Inverse verbanden:** Het omkeren van een functie, waarbij de output de input wordt en vice versa [70](#page=70). ### Implicaties * Modellen maken kwantitatieve voorspellingen mogelijk [69](#page=69) [70](#page=70). * Het begrijpen van de beperkingen van een model is essentieel voor correct gebruik [69](#page=69). * Verschillende soorten modellen zijn geschikt voor verschillende soorten data [70](#page=70). * Het vereenvoudigen van data tot een model kan complexe problemen behapbaar maken [69](#page=69). - > **Tip:** Begin altijd met het visualiseren van de data in een grafiek om een eerste indruk te krijgen van het verband [69](#page=69) [73](#page=73) - > **Voorbeeld:** Bij het analyseren van temperatuur en druk van een koelmiddel kan lineaire regressie een eerste benadering geven, maar hogere-orde polynomen kunnen een betere fit bieden [69](#page=69) --- # types van functies ### Veeltermfuncties * Een veeltermfunctie is van de vorm $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ [76](#page=76). * Het domein van een veeltermfunctie is $\mathbb{R}$ [76](#page=76). * De graad van een veelterm $f(x)$ is $n$ als $a_n \neq 0$ [76](#page=76). * Een veelterm van graad $n$ heeft maximaal $n$ reële nulpunten [77](#page=77). * Een nulpunt $a$ met multipliciteit $p$ betekent dat $f(x) = (x-a)^p \cdot Q(x)$ maar niet $f(x) = (x-a)^{p+1} \cdot V(x)$ [77](#page=77). * Constante functies zijn van de vorm $f(x) = c$, grafiek is parallel aan de x-as [77](#page=77). * Eerstegraadsfuncties zijn van de vorm $f(x) = ax+b$ met $a \neq 0$ [77](#page=77). * Tweedegraadsfuncties zijn van de vorm $f(x) = ax^2+bx+c$ met $a \neq 0$ [78](#page=78). * De vorm van de parabool hangt af van het teken van $a$ en de discriminant $D = b^2 - 4ac$ [78](#page=78). * Drie vormen van paraboolvergelijkingen: standaardvorm, nulpuntenvorm, en topvorm [78](#page=78). ### Deling van veeltermen en reststelling * $A = B \cdot Q + R$ met graad $R <$ graad $B$ of $R=0$ [79](#page=79). * De deling is opgaand als de rest $R=0$ [79](#page=79). * De reststelling: bij deling van $V(x)$ door $(x-a)$, is $V(a) = R$ [79](#page=79). * De regel van Horner is een praktische schikking voor deling door $(x-a)$ [80](#page=80). * $(x-a)$ is een factor van $V(x)$ indien $a$ een nulpunt is van $V(x)$ [80](#page=80). ### Ontbinding in factoren * Ontbinden in factoren betekent een veelterm schrijven als een product van factoren met lagere graad [80](#page=80). * Methoden: gemeenschappelijke factoren, merkwaardige producten, en delen door $(x-d)$ bij een bekend nulpunt [80](#page=80). * Voor kwadratische veeltermen $ax^2+bx+c$: * $D>0$: $a(x-x_1)(x-x_2)$ [80](#page=80). * $D=0$: $a(x-x_1)^2$ [80](#page=80). * $D<0$: geen ontbinding in $\mathbb{R}$ mogelijk [80](#page=80). ### Rationale functies * Een rationale functie is van de vorm $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ [82](#page=82). * Domein: $\mathbb{R}$ \ {polen} (nulpunten van de noemer) [82](#page=82). * Nulpunten van de rationale functie zijn de nulpunten van de teller die geen polen zijn [82](#page=82). * Een pool die geen nulpunt is van de teller leidt tot een verticale asymptoot $x=p$ [82](#page=82). ### Machtsfuncties --- # Oplossen van vergelijkingen met verschillende functietypes ### Kernidee * Het oplossen van vergelijkingen vereist het herkennen van het functietype en het toepassen van specifieke methoden [84](#page=84) [85](#page=85) [86](#page=86) [87](#page=87) [89](#page=89) [90](#page=90) [92](#page=92). * Validatie van oplossingen door substitutie in de oorspronkelijke vergelijking is cruciaal om ongewenste oplossingen te elimineren [86](#page=86) [89](#page=89). ### Sleutelbegrippen * **Homografische functie:** Een functie van de vorm $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ met $ad \neq bc$ en $c \neq 0$ [84](#page=84). * Heeft een horizontale asymptoot $y = \frac{a}{c}$ en een verticale asymptoot $x = -\frac{d}{c}$ [84](#page=84). * De grafiek is een orthogonale hyperbool [84](#page=84). * **Machtsfunctie:** Een functie van de vorm $f(x) = x^k$ met $k \in \mathbb{R}_0$ [84](#page=84). * Domein: $\mathbb{R}$ [84](#page=84). * Bereik: $[0, \infty)$ voor even $k$, $\mathbb{R}$ voor oneven $k$ [84](#page=84). * Symmetrie: even voor even $k$, oneven voor oneven $k$ [84](#page=84). * **Irrationale functie:** Een functie waarbij de inputvariabele onder een wortelteken staat [85](#page=85). * Vereist controle van het domein (onder de wortel moet niet-negatief zijn) en eventuele noemers [86](#page=86). * **Goniometrische functies:** $sin(x)$, $cos(x)$, $tan(x)$, $cot(x)$ [86](#page=86) [87](#page=87). * Elke functie heeft een specifiek domein, bereik, periode, nulpunten en symmetrie [86](#page=86) [87](#page=87). * **Cyclometrische functies:** Omgekeerde functies van beperkte goniometrische functies (bijv. $arcsin(x)$, $arccos(x)$, $arctan(x)$) [90](#page=90) [91](#page=91). * Hebben specifieke domeinen en bereiken, afgeleid van de beperkingen op de oorspronkelijke functies [90](#page=90) [91](#page=91). * **Exponentiële functie:** Een functie van de vorm $f(x) = a^x$ met $a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ [92](#page=92). * Heeft de x-as ($y=0$) als horizontale asymptoot [92](#page=92). * Dalend voor $0 < a < 1$, stijgend voor $a > 1$ [92](#page=92). ### Sleutel-voorbeelden * Oplossen van homografische vergelijkingen: * $\frac{3x-5}{x-4} = 4 \implies 3x-5 = 4(x-4) \implies x = 11$ (controleren op nulpunt noemer) [84](#page=84). * $\frac{x^2-5x+6}{x-3} = 2 \implies x-3 = 2(x^2-5x+6) \implies 2x^2-11x+15=0 \implies x=5$ of $x=3$ (controleren op nulpunt noemer) [84](#page=84). * Oplossen van machtsvergelijkingen: * $x^{2n} = k \implies x = \pm \sqrt[2n]{k}$ voor $k \ge 0$ [85](#page=85). * $x^{2n+1} = k \implies x = \sqrt[2n+1]{k}$ [85](#page=85). * $x^4 - 81 = 0 \implies x^4 = 81 \implies x = \pm 3$ [85](#page=85). ### Implicaties ### Veelvoorkomende valkuilen --- # Meetkundige voorstelling van complexe getallen ### Core idea * Complexe getallen kunnen grafisch worden voorgesteld als punten of vectoren in een plat vlak, het complexe vlak van Gauss . * De keuze van weergave (punt of vector) hangt af van de bewerking die men wil uitvoeren . ### Key facts * Reële getallen $(x = x + 0i)$ worden afgebeeld op de horizontale as (reële as) . * Zuiver imaginaire getallen $(yi = 0 + yi)$ worden afgebeeld op de verticale as (imaginaire as) . * Een complex getal $z = x + yi$ kan worden voorgesteld als de vector van de oorsprong naar het punt $(x, y)$ . * Vectoriële optelling en scalaire vermenigvuldiging van complexe getallen komen overeen met de corresponderende vectorbewerkingen . * Poolcoördinaten $(r, \theta)$ beschrijven een punt door zijn afstand tot de oorsprong $(r)$ en de hoek ten opzichte van de positieve x-as $(\theta)$ . * De afstand $r$ is de modulus $|z|$ van het complexe getal . * De hoek $\theta$ is een argument $\arg(z)$ van het complexe getal . * Er zijn oneindig veel argumenten voor een complex getal; deze verschillen met veelvouden van $2\pi$ . * Het hoofdargument ligt tussen $-\pi$ en $\pi$ (exclusief $-\pi$, inclusief $\pi$) . * Het complexe getal $z=0$ heeft een onbepaald argument . ### Key concepts * **Puntvoorstelling:** elk complex getal $z = x + yi$ correspondeert met een uniek punt $(x, y)$ in het complexe vlak . * **Vectorinterpretatie:** complexe getallen kunnen worden gezien als vectoren die de oorsprong verbinden met hun puntvoorstelling . * **Poolcoördinaten:** * Cartesiaanse naar poolcoördinaten: $x = r \cos(\theta)$, $y = r \sin(\theta)$ . * Poolcoördinaten naar cartesiaanse: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\tan(\theta) = y/x$ (voor $x \neq 0$) . * Relatie: $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ . * Driehoeksongelijkheid: $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$ . * **Poolcoördinatenvormen:** * Goniometrische vorm: $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$ . * Amerikaanse vorm: $z = r \angle \theta$ . * Exponentiële vorm: $z = r e^{i\theta}$ (met $\theta$ in radialen), via de formule van Euler $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$ . * **Machtsverheffing in poolvorm:** $z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$ (Formule van Moivre als $r=1$) . * **Complexe $n$-de wortels:** de $n$ verschillende wortels uit $w = \rho \angle \alpha$ zijn $z_k = \sqrt[n]{\rho} \angle (\frac{\alpha}{n} + k \frac{2\pi}{n})$ voor $k = 0, 1, \ldots, n-1$ . ### Implications --- # Rekenen met complexe getallen in poolcoördinaten ### Core idea * Poolcoördinaten zijn handig voor vermenigvuldiging, deling, machtsverheffing en worteltrekking van complexe getallen . * Cartesiaanse coördinaten zijn beter voor optelling en aftrekking . ### Key facts * Complexe getallen in poolcoördinaten kunnen worden geschreven als $z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))$ (goniometrische vorm), $z = r \angle \theta$ (Amerikaanse vorm), of $z = r \cdot e^{i\theta}$ (exponentiële vorm) . * De exponentiële vorm gebruikt de formule van Euler: $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$, waarbij $\theta$ in radialen is . * Bij vermenigvuldiging worden de moduli vermenigvuldigd en de argumenten opgeteld: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))$ . * Bij deling worden de moduli gedeeld en de argumenten afgetrokken: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2))$ . * Bij machtsverheffing wordt de modulus verheven tot de macht en het argument vermenigvuldigd met de macht: $z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$ . * Voor $r=1$ geldt de formule van de Moivre: $(\cos(\theta) + i \sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ . * De rekenregels voor vermenigvuldiging, deling en machtsverheffing in exponentiële vorm zijn identiek aan die van reële getallen . * Er zijn $n$ verschillende $n$-de wortels uit een complex getal . * Alle $n$-de wortels hebben dezelfde modulus $\sqrt[n]{p}$ en de argumenten verschillen telkens met $\frac{2\pi}{n}$ . * De $n$ wortels vormen een regelmatige $n$-hoek in het complexe vlak . ### Key concepts * **Modulus van een product:** $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ . * **Argument van een product:** $\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ . * **Modulus van een quotiënt:** $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ . * **Argument van een quotiënt:** $\arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ . * **Modulus van een macht:** $|z^n| = |z|^n$ . * **Argument van een macht:** $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)$ . * **Formule voor $n$-de wortels:** $z = \sqrt[n]{p} \cdot e^{i(\frac{\alpha + k \cdot 2\pi}{n})}$, met $k \in \{0, 1, \ldots, n-1\}$ . ### Implications * Vermenigvuldiging in poolcoördinaten roteert en schaalt de complexe getallen . * Deling in poolcoördinaten roteert en schaalt de complexe getallen . * Machtsverheffing in poolcoördinaten resulteert in een sterkere schaling en rotatie . * Het vinden van $n$-de wortels verdeelt het complexe vlak in $n$ gelijke sectoren . * Fasoren (ronddraaiende complexe getallen) worden gebruikt om wisselsignalen te representeren . * De som van wisselsignalen met dezelfde pulsatie kan worden opgelost met complexe getallen . --- # Toepassingen van complexe getallen ### Wisselsignalen * Een wisselsignaal is een functie van de vorm $y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \phi)$ . * $A$ is de amplitude, $\omega$ is de pulsatie, en $\phi$ is de beginfase . * De periode is $T = \frac{2\pi}{\omega}$ en de frequentie is $f = \frac{\omega}{2\pi}$ . * In het Gauss-vlak wordt een wisselsignaal voorgesteld door een ronddraaiend complex getal (fasor) $z(t) = A \cdot e^{j(\omega t + \phi)}$ . * $Im(z(t)) = y(t)$, en $z(t)$ draait op een cirkel met straal $A$ . * De som van twee wisselsignalen met dezelfde pulsatie is een nieuw wisselsignaal met die pulsatie . * Dit kan grafisch worden weergegeven door vectoren op te tellen . * De som wordt verkregen door de fasoren op te tellen: $A_1 \cdot e^{j\phi_1} + A_2 \cdot e^{j\phi_2} = A \cdot e^{j\phi}$ . * Voorbeeld: $8 \cdot \sin(20t + \pi/6) + 3 \cdot \sin(20t + \pi/2) = A \cdot \sin(20t + \phi)$ . * Oplossing: $A = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 7^2} \approx 9.85$ en $\phi = \arctan(7/(4\sqrt{3})) \approx 0.79$ radialen . ### Veeltermen met reële coëfficiënten * Een veelterm $V(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ met reële coëfficiënten kan worden ontbonden in factoren van de vorm $(x-c_i)$ en $(x^2 + px + q)$ . * De complexe nulpunten van zo'n veelterm komen in toegevoegde paren voor . * Als $c = a + bi$ een nulpunt is, dan is $\bar{c} = a - bi$ ook een nulpunt met dezelfde multipliciteit . * Het product van factoren voor een toegevoegd paar is: $(x - (a+bi))(x - (a-bi)) = (x-a)^2 + b^2$ . * Deze kwadratische factor $x^2 + px + q$ heeft een strikt negatieve discriminant (Discriminant < 0) . * Een veelterm met reële coëfficiënten kan worden ontbonden als: $V(x) = a_n (x-a_1)^{m_1} \dots (x^2 + p_1 x + q_1)^{k_1} \dots$ . * $a_i$ zijn reële nulpunten, en $x^2 + p_i x + q_i$ zijn kwadratische factoren met negatieve discriminant . * De som van de multipliciteiten van de reële nulpunten en tweemaal de multipliciteiten van de kwadratische factoren is gelijk aan de graad van de veelterm . * Voorbeeld: $V(x) = 2x^5 + x^4 - 2x^3 - 5x^2 + 2x + 2 = 2(x-1)^2(x+1/2)(x^2+2x+2)$ . * De nulpunten zijn 1 (multipliciteit 2), -1/2 (multipliciteit 1), en $-1 \pm i$ (multipliciteit 1 elk) . ### Overige toepassingen * Bij de berekening van impedanties in elektrische kringen kunnen complexe getallen worden gebruikt . * De impedantie $Z_1 = R + j\omega L - \frac{1}{j\omega C}$ . * $Z_1$ is reëel als de imaginaire component nul is: $\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0$, wat leidt tot resonantiefrequentie $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ . --- # Toepassingen van matrices in diverse problemen ### Kernidee * Matrices bieden een krachtige en gestructureerde manier om systemen van lineaire vergelijkingen te representeren en op te lossen . * Ze worden gebruikt voor modellering van dynamische systemen en netwerken . ### Belangrijke concepten * **Inverteerbare matrices:** Vierkante matrices met een inverse, ook wel niet-singulier genoemd . * **Singuliere matrices:** Vierkante matrices zonder inverse . * **Determinant:** Een scalair getal geassocieerd met een vierkante matrix, dat inverteerbaarheid aangeeft . * **Nuldelers:** Matrices $A$ en $B$ die niet nul zijn, maar waarvan het product $A \cdot B = O$ wel nul is. Nuldelers kunnen geen inverse hebben . * **Lesliematrix:** Een speciale matrixvorm die de evolutie van populaties over verschillende leeftijdsklassen beschrijft . * **Migratiematrix:** Beschrijft de overgang van elementen (bv. klanten) tussen verschillende categorieën . * **Verbindingsmatrix:** Representeert directe verbindingen in een netwerk, waarbij matrixvermenigvuldiging kan worden gebruikt om indirecte paden te vinden . * **Cryptografie:** Matrices kunnen worden gebruikt voor codering en decodering van berichten . ### Eigenschappen van inverteerbare matrices * $(A^{-1})^{-1} = A$ . * $(rA)^{-1} = \frac{1}{r}A^{-1}$ voor $r \neq 0$ . * $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (let op de volgorde!) . * Deelven van matrices is niet gedefinieerd . ### Determinant berekeningen en eigenschappen * **Determinant van een $1 \times 1$ matrix:** $\det[a = a$ . * **Determinant van een $2 \times 2$ matrix:** $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ . * **Ontwikkeling naar een rij of kolom:** $\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} \det A_{1j}$ . * **Eigenschappen:** * Rijverwisseling verandert het teken . * Rij vermenigvuldigen met $k$ vermenigvuldigt determinant met $k$ . * Bij een rij een veelvoud van een andere rij optellen verandert de determinant niet . * Een determinant met twee gelijke of evenredige rijen is nul . * Een determinant met een nulrij is nul . * $\det(A^T) = \det A$ . * $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ . ### Praktische berekening van determinanten ### Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen --- # Oplossing van lineaire stelsels en matrixbewerkingen ### Kernidee * Lineaire stelsels kunnen worden opgelost door middel van matrixbewerkingen, zoals het herleiden tot gereduceerde echelonvorm . * Niet-lineaire problemen kunnen soms getransformeerd worden naar lineaire problemen . ### Belangrijke feiten * Een lineair stelsel kan strijdig zijn (geen oplossing), eenduidig oplosbaar (één oplossing) of onbepaald (oneindig veel oplossingen) . * De echelonvorm en gereduceerde echelonvorm van een matrix zijn essentieel voor het oplossen van stelsels . * Elementaire rijoperaties worden gebruikt om matrices te herleiden . * Een niet-strijdig lineair stelsel van 3 vergelijkingen met 4 onbekenden heeft oneindig veel oplossingen . * De gereduceerde echelonvorm van de uitgebreide matrix [C|D is niet altijd de gereduceerde echelonvorm van A . * Lineaire regressie kan worden toegepast om de beste rechte te vinden door een puntenwolk, zelfs als de punten niet exact op de lijn liggen . * Voor een matrix A geldt dat het aantal leidende elementen maximaal het minimum is van het aantal rijen en kolommen . * Matrixnotatie is nuttig om lineaire stelsels compact weer te geven . ### Belangrijke concepten * **Gereduceerde echelonvorm:** Een matrix waarin de leidende elementen 1 zijn en zich in de eerste niet-nul elementen van elke rij bevinden, met nullen erboven en eronder . * **Elementaire rijoperaties:** * Het verwisselen van twee rijen . * Het vermenigvuldigen van een rij met een niet-nul scalar . * Het optellen van een veelvoud van de ene rij bij een andere rij . * **Matrix notatie:** Een compacte manier om een stelsel van lineaire vergelijkingen te representeren, zoals $M = AX$ . * **Inverse matrix:** Wordt gebruikt om stelsels op te lossen door $X = A^{-1}M$ te berekenen . * **Regel van Cramer:** Een methode om lineaire stelsels op te lossen met behulp van determinanten . ### Implicaties * Complexe problemen, zoals het balanceren van reactievergelijkingen of het bepalen van legersamenstellingen, kunnen worden gemodelleerd als lineaire stelsels . * De oplossing van een lineair stelsel geeft direct de gewenste hoeveelheden of parameters weer . * In geval van meetfouten bieden technieken zoals de kleinste kwadraten methode een benaderende oplossing . - > **Tip:** Oefen het toepassen van elementaire rijoperaties om de gereduceerde echelonvorm te vinden - Dit is cruciaal voor het begrijpen van de oplossingsmethoden - > **Tip:** Wees voorzichtig met het interpreteren van de oplossingen van homogene stelsels; vaak zijn er oneindig veel oplossingen --- # Algemene eigenschappen van hoeken en hun metingen ### Kernidee * Een hoek is een vlakdeel begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt . * Hoeken worden gemeten in graden of radialen . ### Belangrijke feiten * Gelijke hoeken zijn congruente vlakdelen . * Twee niet-evenwijdige rechten bepalen 4 hoeken, die twee aan twee overstaand gelijk zijn . * Bij evenwijdige rechten gesneden door een derde rechte zijn verwisselende binnen- en buitenhoeken gelijk . * Overeenkomstige hoeken bij evenwijdige lijnen en een snijlijn zijn gelijk . * Hoeken waarvan de benen twee aan twee loodrecht op elkaar staan, zijn gelijk . * De som van de hoeken in een driehoek is 180 graden of $\pi$ radialen . * Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog . * Een omtrekshoek op een middellijn is een rechte hoek . ### Kernbegrippen * **Omtrekshoek:** Hoek met het hoekpunt op de cirkelomtrek en benen die de cirkel snijden . * **Middelpuntshoek:** Hoek met het hoekpunt in het middelpunt van de cirkel . * **Radiaal:** Eenheid voor hoekmeting, waarbij de booglengte gelijk is aan de straal. 180 graden = $\pi$ rad . * **Georiënteerde hoek:** Hoek met een vastgelegde oriëntatie (tegenwijzerzin positief, wijzerzin negatief) . * **Goniometrische cirkel:** Cirkel met straal 1, middelpunt in de oorsprong, gebruikt voor goniometrische getallen . * **Beeldpunt:** Snijpunt van het eindbeen van een georiënteerde hoek met de goniometrische cirkel . ### Implicaties * Goniometrische getallen definiëren de verhoudingen van zijden in een rechthoekige driehoek . * Goniometrische gelijkwaardige hoeken hebben hetzelfde beeldpunt op de eenheidscirkel . * Formules voor verwante hoeken vereenvoudigen berekeningen met verschillende hoeken . * De cosinusregel en sinusregel maken het mogelijk willekeurige driehoeken op te lossen . ### Tips - > **Tip:** Een hoek meten in radialen is vaak handiger in formules, omdat de straal van de cirkel hierin is opgenomen - > **Tip:** De basisformule $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ is cruciaal voor veel goniometrische vereenvoudigingen - > **Tip:** Oefen het herkennen van de relaties tussen verschillende soorten hoeken (overstaand, verwisselend, overeenkomstig) bij snijdende en evenwijdige lijnen --- # Goniometrie en goniometrische getallen ### Kernidee * Goniometrie behandelt de relatie tussen hoeken en zijden van driehoeken en cirkels . ### Belangrijke feiten * Een georiënteerde hoek heeft een positieve (tegenwijzerzin) of negatieve (wijzerzin) oriëntatie . * Goniometrisch gelijkwaardige hoeken hebben hetzelfde beeldpunt op de goniometrische cirkel . * Hun maatgetallen verschillen met een veelvoud van 360° of $2\pi$ radialen . * De basisformule van de goniometrie is $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ . * Bijkomende formules zijn $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ en $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ . * Er geldt $\sin(x) = \sin(x \text{ rad})$ voor elk reëel getal $x$ . ### Kernconcepten * **Goniometrische cirkel:** Een cirkel met straal 1, middelpunt in de oorsprong, gebruikt om goniometrische getallen te definiëren . * **Beeldpunt P:** Het snijpunt van het eindbeen van een georiënteerde hoek met de goniometrische cirkel . * **Goniometrische getallen:** * $\sin \alpha = y$-coördinaat van P . * $\cos \alpha = x$-coördinaat van P . * $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (mits $\cos \alpha \neq 0$) . * $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (mits $\sin \alpha \neq 0$) . * $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$ (mits $\cos \alpha \neq 0$) . * $\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}$ (mits $\sin \alpha \neq 0$) . * **Formules verwante hoeken:** Relaties tussen goniometrische getallen van verschillende hoeken (tegengesteld, complementair, supplementair, etc.) . * **Som- en verschilformules:** Formules voor de sinus, cosinus en tangens van de som of het verschil van twee hoeken . * **Verdubbelingsformules:** Speciale gevallen van somformules waarbij $\alpha = \beta$ . * **Halveringsformules:** Formules die $\cos^2 \alpha$ en $\sin^2 \alpha$ uitdrukken met $\cos(2\alpha)$ . * **Formules van Simpson:** Formules die producten omzetten naar sommen en vice versa . ### Implicaties * Deze formules zijn essentieel voor het oplossen van driehoeken en het vereenvoudigen van goniometrische uitdrukkingen . * De goniometrische getallen van hoeken zoals $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ zijn belangrijke referentiewaarden . * De formules maken het mogelijk om complexe berekeningen te reduceren tot eenvoudigere vormen . - > **Tip:** Leer de formules voor verwante hoeken en de som- en verschilformules uit het hoofd; deze vormen de basis voor veel andere afleidingen --- # berekeningen met meetkunde en goniometrie ### Core idea * Vele problemen in de fysica en techniek vereisen het uitvoeren van berekeningen met vectoren en hoeken . * Vectoren combineren geometrische eigenschappen met numerieke waarden voor analyse . * Goniometrische functies zijn essentieel voor het oplossen van driehoeken en het analyseren van cyclische fenomenen . ### Key facts * Een vector heeft een richting, een zin en een grootte (norm of lengte) . * Gelijke vectoren hebben dezelfde richting, zin en grootte . * De norm van vector $v$ wordt genoteerd als $|v|$ . * Een vector met norm nul is de nulvector $0$ . * Een vector met norm 1 is een eenheidsvector (bv. $\bar{u}, \bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$) . * Vectoren met dezelfde richting zijn evenwijdig . * Tegenstellende vectoren hebben dezelfde richting en norm, maar tegengestelde zin (bv. $v$ en $-v$) . * Vectoroptelling kan met de staart-aan-kop methode (Betrekking van Chasles-Möbius: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$) . * Vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal $k$ (scalaire vermenigvuldiging) resulteert in een nieuwe vector met norm $|k| \cdot |v|$ . * De zin van $k \cdot v$ is gelijk aan $v$ als $k > 0$ en tegengesteld als $k < 0$ . * De cosinusregel wordt gebruikt om de amplitude en beginfase van samengestelde trillingen te berekenen: $A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2 \cos(\phi_1 - \phi_2)$ . ### Key concepts * **Vectoren:** Concepten zoals richting, zin, grootte, nulvector, eenheidsvector, evenwijdige vectoren en tegengestelde vectoren . * **Vectoroptelling:** Staart-aan-kop methode en de eigenschappen van vectoroptelling . * **Scalaire vermenigvuldiging:** De effecten van vermenigvuldiging met een scalair op richting, zin en norm . * **Goniometrische relaties:** Gebruik van de cosinusregel voor de analyse van samengestelde fenomenen . * **Oplossen van driehoeken:** Zowel rechthoekige als willekeurige driehoeken kunnen worden opgelost met behulp van goniometrische regels . * **Identiteiten:** Vereenvoudigen van goniometrische uitdrukkingen en bewijzen van identiteiten . ### Implications * Vectorrekening is essentieel voor het modelleren van krachten, snelheden en andere fysische grootheden . * Goniometrie is fundamenteel voor navigatie, astronomie, engineering en signaalverwerking . * Begrip van deze concepten maakt het mogelijk om complexe geometrische problemen op te lossen en onmeetbare afstanden te bepalen . * De toepassing van vectoroptelling is cruciaal bij het analyseren van de resulterende kracht of snelheid uit meerdere bijdragende factoren . - > **Tip:** Oefen veelvuldig met het oplossen van verschillende soorten driehoeken (rechthoekig en willekeurig) en het vereenvoudigen van goniometrische identiteiten om de vaardigheid te vergroten --- # Meetkundige interpretatie van vectoren en assenstelsels ### Kernidee * Vectoren kunnen meetkundig worden voorgesteld als punten of pijlen in een assenstelsel . * Rekenen met vectoren (optellen, scalaire vermenigvuldiging) correspondeert met rekenen met hun componenten . * Een assenstelsel maakt het mogelijk meetkundige objecten en relaties algebraïsch te beschrijven en te manipuleren . ### Kernfeiten * In $\mathbb{R}^n$ zijn elementen geordende $n$-tallen $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ die als punten of vectoren kunnen worden beschouwd . * Optelling van vectoren in $\mathbb{R}^n$: $(x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$ . * Scalaire vermenigvuldiging in $\mathbb{R}^n$: $k(x_1, \dots, x_n) = (kx_1, \dots, kx_n)$ met $k \in \mathbb{R}$ . * In $\mathbb{R}^2$ bepaalt een punt $P$ een oorsprongsvector $\vec{OP}$ waarvan de componenten de coördinaten van $P$ zijn . * In $\mathbb{R}^3$ worden vectoren voorgesteld door $(v_1, v_2, v_3)$, waarbij de componenten de coördinaten van het eindpunt zijn bij tekening als oorsprongsvector . * De vector $\vec{PQ}$ tussen punten $P(x_1, y_1, z_1)$ en $Q(x_2, y_2, z_2)$ is $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ . ### Kernconcepten * **Orthonormaal assenstelsel:** Een stelsel van assen die onderling loodrecht staan en een eenheidslengte hebben . * **Componenten van een vector:** De getallen die de vector definiëren in een bepaald assenstelsel . * **Eenheidsvector:** Een vector met norm (lengte) 1 . * **Normeren van een vector:** Het omzetten van een vector naar een eenheidsvector in dezelfde richting en zin . * **Basisvectoren:** Standaard eenheidsvectoren langs de assen ($\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) . * **Lineaire combinatie van basisvectoren:** Elke vector kan geschreven worden als een som van basisvectoren vermenigvuldigd met hun componenten . ### Implicaties * De keuze van een assenstelsel is cruciaal voor het analytisch oplossen van meetkundige problemen . * Algebraïsch rekenen met componenten vereenvoudigt complexe meetkundige operaties in de ruimte . * Vectorcomponenten kunnen worden gebruikt om afstanden en richtingen te berekenen . * Het begrijpen van de meetkundige interpretatie van vectoren is essentieel voor concepten zoals het scalair product en vectorieel product . ### Voorbeeld - > **Voorbeeld:** Het koppel $(2,3)$ kan worden voorgesteld door het punt $P(2,3)$ of de vector $\vec{OP}=(2,3)$ - Om van de oorsprong naar $P$ te gaan, beweegt men 2 stappen in de positieve $x$-richting en 3 stappen in de positieve $y$-richting --- # Het scalair product van vectoren ### Core idea * Het scalair product is een bewerking tussen twee vectoren die resulteert in een scalair (getal) . * De meetkundige definitie relateert het product aan de lengtes van de vectoren en de cosinus van de hoek ertussen . ### Key facts * De notatie `ū · v` is verplicht, met "dot product" als Engelse term . * `ū · v = |ū| · |v| · cosθ`, met `θ` de hoek tussen `ū` en `v` (`0 ≤ θ ≤ π`) . * `ū · 0 = 0 · ū = 0` . * Het scalair product kan worden geïnterpreteerd als de lengte van de ene vector maal de algebraïsche loodrechte projectie van de andere vector erop . * In een orthonormaal assenstelsel, voor `ū = (u₁, u₂)` en `v = (v₁, v₂)`: `ū · v = u₁v₁ + u₂v₂` . * In de ruimte, voor `ū = (u₁, u₂, u₃)` en `v = (v₁, v₂, v₃)`: `ū · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃` . ### Key concepts * **Rekenen met het scalair product:** - Commutativiteit: `ū · v = v · ū` . - Distributiviteit: `ū · (v + w) = ū · v + ū · w` . - Homogeniteit: `(kū) · v = k(ū · v) = ū · (kv) = kū · v` . - Niet-negativiteit: `ū · ū ≥ 0`, en `ū · ū = 0` enkel als `ū = 0` . * **Nut van het scalair product:** - Berekenen van de norm van een vector: `|ū| = √(ū · ū)` . - Berekenen van de hoek tussen vectoren: `cos θ = (ū · v) / (|ū| · |v|)` . - Nagaan of vectoren loodrecht staan: `ū ⊥ v` als `ū · v = 0` . - Berekenen van een algebraïsche loodrechte projectie van `v` op `ū`: `v · ū / |ū|` . - Berekenen van een vectoriële loodrechte projectie van `v` op `ū`: `proj_ū v = ((v · ū) / (ū · ū)) * ū` . ### Implications * Het scalair product laat toe om de onderlinge oriëntatie en relatie tussen vectoren te kwantificeren. * Het is een fundamenteel gereedschap voor diverse berekeningen in de analytische meetkunde, zoals afstanden, hoeken en projecties. * De componentenformule maakt het scalair product efficiënt berekenbaar in een Cartesisch coördinatensysteem. ### Example - > **Example:** Gegeven vectoren `v` en `w` met `|v| = 5` en `|w| = 2`, de hoek tussen `v` en `w` is 120° - Bereken `(2v + 3w) · (4v - 2w)` - > `(2v + 3w) · (4v - 2w) = 8v·v - 4v·w + 12w·v - 6w·w` --- # vlakken in de ruimte ### Punt-normaal vergelijking * Een normaalvector $\bar{n} = (a,b,c)$ staat loodrecht op een vlak $\alpha$ . * Als $P_0(x_0, y_0, z_0)$ een punt in het vlak is, dan is de punt-normaal-vergelijking $\bar{n} \cdot \vec{P_0P} = 0$ . * Dit leidt tot de vorm $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ . * Na uitwerken ontstaat de algemene cartesiaanse vergelijking $ax + by + cz + d = 0$ . * $\bar{n} = (a,b,c)$ is de normaalvector van het vlak $ax + by + cz + d = 0$ . * **Voorbeeld:** Vlak door $(3,-1,7)$ met normaalvector $(4,2,-5)$ is $4(x-3)+2(y+1)-5(z-7)=0$, oftewel $4x+2y-5z+25=0$ . ### Drie punten * Drie niet-collineaire punten $P_0, P_1, P_2$ bepalen een uniek vlak . * De normaalvector $\bar{n}$ kan berekend worden als het kruisproduct van twee vectoren in het vlak: $\bar{n} = \vec{P_0P_1} \times \vec{P_0P_2}$ . * Gebruik vervolgens de punt-normaal-vergelijking met een van de punten en de berekende normaalvector . * **Voorbeeld:** Vlak door $P_0(1,2,-1), P_1(2,3,1), P_2(3,-1,2)$. $\vec{P_0P_1}=(1,1,2)$, $\vec{P_0P_2}=(2,-3,3)$. $\bar{n}=(9,1,-5)$. Vergelijking: $9(x-1)+1(y-2)-5(z+1)=0$, oftewel $9x+y-5z-16=0$ . * De determinantvorm voor een vlak door $(x_0, y_0, z_0), (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ is: - $$ - \begin{vmatrix} - x & y & z & 1 \\ - x_0 & y_0 & z_0 & 1 \\ - x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ - x_2 & y_2 & z_2 & 1 - \end{vmatrix} = 0 - $$ ### Punt-richting * Een vlak wordt bepaald door een punt $P_0(x_0, y_0, z_0)$ en twee niet-evenwijdige richtingsvectoren $\bar{u}=(u_1, u_2, u_3)$ en $\bar{v}=(v_1, v_2, v_3)$ . * Elk punt $P(x,y,z)$ in het vlak kan worden geschreven als $\vec{OP} = \vec{OP_0} + r\bar{u} + s\bar{v}$, met $r, s \in \mathbb{R}$ . * Dit leidt tot de parametervergelijkingen: - $x = x_0 + ru_1 + sv_1$ - $y = y_0 + ru_2 + sv_2$ - $z = z_0 + ru_3 + sv_3$ ### Afstand van een punt tot een vlak --- # De kleinste kwadraten benadering en lineaire regressie ### Kernidee * Het bepalen van de beste kromme $y = f(x)$ die door een gegeven set meetpunten past . * Dit wordt bereikt door de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen (residuen) te minimaliseren . * Dit proces leidt tot het oplossen van een overgedetermineerd stelsel via de normaalvergelijkingen . ### Sleutelbegrippen * **Curve fitting**: Het aanpassen van een kromme aan gegeven data . * **Residu**: De verticale afwijking van een meetpunt ten opzichte van de voorspelde waarde op de curve $r_i = y_i - \hat{y}_i$ . * **Kleinste kwadraten benadering**: Het vinden van parameters die de som van de gekwadrateerde residuen minimaliseren . * **Lineaire regressie**: Specifiek het toepassen van de kleinste kwadraten benadering op een lineair model . * **Overgedetermineerd stelsel**: Een stelsel met meer vergelijkingen dan onbekenden, dat meestal geen exacte oplossing heeft . * **Normaalvergelijkingen**: Het stelsel $A^T A \cdot X = A^T Y$, dat altijd een oplossing heeft voor de kleinste kwadraten benadering . ### Sleutelfeiten * Lineaire modellen kunnen de vorm hebben $y = a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x) + \dots + a_k f_k(x)$ . * Voor een rechte lijn is het model $y = a + bx$, waarbij $a$ en $b$ de te bepalen coëfficiënten zijn . * De matrixvorm van het oorspronkelijke stelsel is $A \cdot X = Y$ . * Het stelsel van normaalvergelijkingen is $A^T A \cdot X = A^T Y$ . * Voor een rechte lijn met data $(x_i, y_i)$, de normaalvergelijkingen worden: - $$ \begin{pmatrix} n & \sum x_i \\ \sum x_i & \sum x_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum y_i \\ \sum x_i y_i \end{pmatrix} $$ * De oplossing van de normaalvergelijkingen levert de coëfficiënten van de kleinste kwadraten kromme . * De oplossing is uniek indien $A^T A$ een inverse heeft . ### Implicaties * De kleinste kwadraten benadering maakt het mogelijk om de beste passende curve te vinden voor data die niet perfect op een lijn of curve liggen . * Dit is essentieel voor het voorspellen van waarden bij nieuwe input ($x$) op basis van experimentele data . * Niet-lineaire verbanden kunnen soms getransformeerd worden naar een lineair probleem, bijvoorbeeld via logaritmen . ### Voorbeeld * Het bepalen van de beste rechte $y = a + bx$ door de punten (1,3), (2,1) en (3,5) . * De kleinste-kwadraten rechte is $y = x + 1$ . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Scalair product | Het scalair product van twee vectoren is een getal dat wordt berekend als het product van de lengtes van de vectoren en de cosinus van de hoek ertussen. Het wordt genoteerd als `ū · v`. | | Dot product | De Engelstalige benaming voor het scalair product, waarbij de puntnotatie tussen de vectoren verplicht is. | | Algebraïsche loodrechte projectie | De lengte van de vectoriële loodrechte projectie van een vector op een andere vector, voorzien van een plus- of minteken afhankelijk van de richting. | | Norm van een vector | De lengte van een vector, die berekend kan worden met behulp van het scalair product: `|v| = sqrt(v · v)`. | | Loodrechte stand | Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als hun scalair product gelijk is aan nul: `ū · v = 0`. | | Vectoriële loodrechte projectie | De projectie van een vector op een andere vector, resulterend in een nieuwe vector die de component van de ene vector in de richting van de andere weergeeft. | | Eenheidsvector | Een vector met een lengte van 1, die gebruikt wordt om de richting en zin van een andere vector aan te geven. | | Componenten | De getallen die de bijdrage van elke basisvector aan een gegeven vector weergeven in een coördinatensysteem. | | Orthonormaal assenstelsel | Een assenstelsel waarbij de basisvectoren loodrecht op elkaar staan en een lengte van 1 hebben. | | Term | Definitie | | Normaalvector | Een vector die loodrecht staat op een vlak. Als $\vec{n} = (a,b,c)$ een normaalvector is van een vlak, dan staat deze vector loodrecht op elke vector die in dat vlak ligt. | | Punt-normaal-vergelijking | De vergelijking van een vlak die wordt bepaald door een punt $P_0(x_0, y_0, z_0)$ op het vlak en een normaalvector $\vec{n} = (a,b,c)$. De vergelijking luidt $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$. | | Cartesiaanse vergelijking van een vlak | De algemene vorm van de vergelijking van een vlak, namelijk $ax + by + cz + d = 0$, waarbij $a, b, c$ constanten zijn en niet alle drie nul zijn. De vector $\vec{n} = (a,b,c)$ is hierbij de normaalvector van het vlak. | | Parametervergelijkingen van een vlak | Een stel vergelijkingen dat een vlak beschrijft met behulp van parameters. Een vlak kan worden bepaald door een punt $P_0(x_0, y_0, z_0)$ en twee niet-evenwijdige richtingsvectoren $\vec{u}$ en $\vec{v}$. De parametervergelijkingen zijn dan $x = x_0 + ru_1 + sv_1$, $y = y_0 + ru_2 + sv_2$, en $z = z_0 + ru_3 + sv_3$, met $r, s \in \mathbb{R}$. | | Afstand van een punt tot een vlak | De kortste afstand tussen een gegeven punt $P(x_0, y_0, z_0)$ en een vlak met vergelijking $ax + by + cz + d = 0$. Deze afstand wordt berekend met de formule $D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. | | Richtingsvector van een vlak | Een vector die parallel loopt aan het vlak. Een vlak wordt bepaald door een punt en twee niet-evenwijdige richtingsvectoren. | | Deler | Een getal dat, wanneer vermenigvuldigd met een ander getal, een derde getal oplevert. Als getal $a$ geschreven kan worden als het product van getallen $b$ en $c$, dan zijn $b$ en $c$ delers van $a$. | | Priemgetal | Een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts twee positieve delers heeft: 1 en zichzelf. Voorbeelden zijn 2, 3, 5, 7, 11, enzovoort. | | Ontbinden in priemfactoren | Het proces waarbij een getal wordt geschreven als een product van zijn priemgetallen. Elk natuurlijk getal groter dan 1 kan op een unieke manier worden ontbonden in priemfactoren. | | Grootste gemene deler (ggd) | Het grootste natuurlijke getal dat een deler is van twee of meer gegeven natuurlijke getallen. Het wordt bepaald door het product te nemen van de gemeenschappelijke priemfactoren, elk met de kleinst voorkomende exponent. | | Kleinste gemeen veelvoud (kgv) | Het kleinste natuurlijke getal dat een veelvoud is van twee of meer gegeven natuurlijke getallen. Het wordt bepaald door het product te nemen van alle voorkomende priemfactoren, elk met de grootst optredende exponent. | | Breuk | Een getal dat wordt voorgesteld als een quotiënt van twee gehele getallen, waarbij de noemer niet nul mag zijn. Een breuk bestaat uit een teller en een noemer. | | Verhouding | Een vergelijking tussen twee hoeveelheden die aangeeft hoe ze zich tot elkaar verhouden. Het wordt vaak genoteerd als $a:b$ of $\frac{a}{b}$. | | Percentage | Een deel van honderd, uitgedrukt als een breuk met een noemer van 100 of als een decimaal getal. Het symbool voor percentage is %. | | Decimale schrijfwijze | Een manier om getallen weer te geven met behulp van een decimale punt, waarbij de cijfers na de punt posities vertegenwoordigen die machten van $\frac{1}{10}$ voorstellen. | | Evenredigheid | Een gelijkheid van twee verhoudingen, bijvoorbeeld $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. De termen $a$ en $d$ worden de uiterste termen genoemd, en $b$ en $c$ de middelste termen. | | Recht evenredig | Twee grootheden zijn recht evenredig als hun quotiënt constant is. Als $a$ recht evenredig is met $b$, dan geldt $a = k \cdot b$, waarbij $k$ een constante is. | | Omgekeerd evenredig | Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig als hun product constant is. Als $a$ omgekeerd evenredig is met $b$, dan geldt $a \cdot b = k$, waarbij $k$ een constante is. | | Merkwaardige producten | Dit zijn standaard algebraïsche identiteiten die worden gebruikt om het kwadraat of de derdemacht van een binomiale uitdrukking uit te werken of om te ontbinden in factoren. Ze vereenvoudigen complexe berekeningen. | | Formule omvormen | Het proces waarbij een wiskundige formule wordt herschreven om een andere variabele als onderwerp te isoleren, zodat deze kan worden berekend op basis van de andere variabelen in de formule. | | Formule evalueren | Het proces waarbij de getalwaarde van een formule wordt berekend door de gegeven numerieke waarden voor de variabelen in te vullen en de berekening uit te voeren. | | Prioriteitsregels | Een set regels die de volgorde bepalen waarin bewerkingen in een wiskundige uitdrukking moeten worden uitgevoerd. De standaardvolgorde is haakjes, machten/wortels, vermenigvuldiging/deling, en tot slot optelling/aftrekking. | | Procentuele afwijking | Een maatstaf die aangeeft hoeveel een geschatte waarde afwijkt van een werkelijke waarde, uitgedrukt als een percentage van de werkelijke waarde. Het kan positief (overschatting) of negatief (onderschatting) zijn. | | Manteloppervlakte | Het oppervlak van een driedimensionaal object exclusief de basis(sen). Voor een cilinder is dit het gebogen zijoppervlak, en voor een kegel is dit het schuine zijoppervlak. | | Apothema | De lengte van een beschrijvende lijn van een kegel, gemeten vanaf de top van de kegel tot een punt op de omtrek van de basis langs het schuine oppervlak. | | Gelijkwaardige uitdrukking | Een wiskundige uitdrukking die, hoewel anders geschreven, dezelfde waarde of hetzelfde resultaat oplevert als een andere uitdrukking onder dezelfde voorwaarden. | | Kleinste gemene veelvoud (kgv) | Het kleinste positieve gehele getal dat een veelvoud is van twee of meer gegeven gehele getallen. | | Ingenieursnotatie | Een manier om getallen weer te geven waarbij de exponent van 10 altijd een veelvoud van drie is, wat handig is voor het werken met technische en wetenschappelijke eenheden en voorvoegsels. | | SI-eenheden | Het internationale systeem van eenheden, een standaard voor metingen in wetenschap en techniek, gebaseerd op zeven basiseenheden zoals meter, kilogram en seconde. | | Omgekeerd verband | Een verband waarbij de inputvariabelen en de outputvariabelen van het oorspronkelijke verband worden verwisseld. Als een punt $(a,b)$ tot het oorspronkelijke verband behoort, dan behoort het punt $(b,a)$ tot het omgekeerde verband. | | Functie | Een relatie waarbij elke inputwaarde precies één outputwaarde heeft. In de context van grafieken betekent dit dat elke verticale lijn de grafiek van de functie hoogstens één keer snijdt. | | Grafiek van het omgekeerde verband | De grafische weergave van een omgekeerd verband. De grafiek van het omgekeerde verband is altijd een spiegelbeeld van de grafiek van het oorspronkelijke verband ten opzichte van de eerste bissectrice ($y=x$). | | Eerste bissectrice | De lijn die de grafiek van een verband en zijn omgekeerde verband scheidt. Punten op deze lijn hebben gelijke x- en y-coördinaten, dus de vergelijking is $y=x$. | | Horizontale rechte | Een rechte lijn die parallel loopt aan de x-as. De vergelijking van een horizontale rechte is van de vorm $y=c$, waarbij $c$ een constante is. | | Snijpunt | Het punt waar twee of meer grafieken of lijnen elkaar kruisen. | | Spiegelbeeld | Een punt of figuur dat symmetrisch is ten opzichte van een lijn of punt. | | Inputvariabele | De variabele die wordt gebruikt om de output te bepalen in een verband of functie. | | Outputvariabele | De variabele waarvan de waarde wordt bepaald door de inputvariabele in een verband of functie. | | Wiskundig model | Een wiskundige representatie van een reëel systeem of fenomeen, gebruikt om het gedrag ervan te begrijpen, te voorspellen of te simuleren. | | Regressie | Een statistische methode die wordt gebruikt om de relatie tussen een afhankelijke variabele en een of meer onafhankelijke variabelen te modelleren en te analyseren. | | Lineaire regressie | Een regressietechniek die een lineair verband tussen de variabelen modelleert, vaak weergegeven door een rechte lijn. | | Lineaire regressielijn | De rechte lijn die het best past bij een set datapunten, berekend met behulp van lineaire regressie, om de trend in de data weer te geven. | | Grafiek | Een visuele weergave van data of een wiskundige relatie, waarbij punten worden geplot in een coördinatensysteem om patronen en verbanden te tonen. | | Verband | Een relatie tussen twee of meer variabelen, waarbij de waarde van de ene variabele afhangt van de waarde van de andere. | | Stuksgewijs gedefinieerde functie | Een functie die is gedefinieerd door verschillende voorschriften op verschillende intervallen van het domein. | | Parametervergelijkingen | Een set vergelijkingen die de coördinaten van punten op een curve of oppervlak uitdrukken als functies van een of meer onafhankelijke variabelen, genaamd parameters. | | Inter- of extrapolatie | Interpolatie is het schatten van waarden binnen het bereik van bekende datapunten, terwijl extrapolatie het schatten van waarden buiten dit bereik betreft. | | Domein | De verzameling van alle mogelijke invoerwaarden voor een functie of verband. | | Wisselsignaal | Een functie van de vorm $y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t + \phi)$, waarbij $A$ de amplitude is, $\omega$ de pulsatie of hoekfrequentie, en $\phi$ de beginfase. Dit signaal is periodiek en kan in het complexe vlak worden voorgesteld als een ronddraaiende vector (fasor). | | Fasor | Een complex getal dat een wisselsignaal representeert in het complexe vlak. Het is een ronddraaiende vector met een straal gelijk aan de amplitude van het signaal en een hoeksnelheid gelijk aan de pulsatie. | | Pulsatie (of hoekfrequentie) | De parameter $\omega$ in een wisselsignaal, die de snelheid van de rotatie van de fasor in het complexe vlak aangeeft, uitgedrukt in radialen per seconde. | | Amplitude | De maximale waarde van een wisselsignaal, die overeenkomt met de straal van de cirkel waarop de fasor in het complexe vlak ronddraait. | | Beginfase | De fasehoek $\phi$ van een wisselsignaal op tijdstip $t=0$, die de initiële positie van de fasor in het complexe vlak bepaalt. | | Complex nulpunt | Een waarde van de variabele $x$ (die een complex getal kan zijn) waarvoor een veelterm $V(x)$ gelijk is aan nul. | | Complex toegevoegd getal | Voor een complex getal $c = a + bi$, is het complex toegevoegde getal $\bar{c} = a - bi$. Als een veelterm reële coëfficiënten heeft, en $c$ is een nulpunt, dan is $\bar{c}$ ook een nulpunt met dezelfde multipliciteit. | | Multipliciteit van een nulpunt | Het aantal keren dat een nulpunt voorkomt in de ontbinding van een veelterm in factoren. Een nulpunt met multipliciteit $m$ betekent dat de factor $(x-c)$ $m$ keer voorkomt. | | Reële kwadratische factor | Een kwadratische uitdrukking van de vorm $x^2 + px + q$ met reële coëfficiënten, die ontstaat uit de vermenigvuldiging van factoren die corresponderen met een paar complex toegevoegde nulpunten. Deze kwadratische vorm heeft een strikt negatieve discriminant. | | Discriminant | De waarde $b^2 - 4ac$ voor een kwadratische vergelijking $ax^2 + bx + c = 0$. Voor een reële kwadratische factor $x^2 + px + q$ is de discriminant $p^2 - 4q$. Een negatieve discriminant geeft aan dat de nulpunten complex zijn. | | Resonantie | Een fenomeen dat optreedt in elektrische circuits (zoals bij de impedantie $Z_1$) wanneer de reactieve componenten elkaar opheffen, wat resulteert in een minimale totale impedantie en een maximale stroom bij een specifieke frequentie. | | Inverse matrix | Een vierkante matrix $B$ is de inverse van een vierkante matrix $A$ als het product van $A$ en $B$ gelijk is aan de identiteitsmatrix $I$, dus $A \cdot B = B \cdot A = I$. Een matrix kan slechts één unieke inverse hebben. | | Inverteerbare matrix (niet-singulier) | Een vierkante matrix die een inverse heeft. | | Niet-inverteerbare matrix (singulier) | Een vierkante matrix die geen inverse heeft. Dit is het geval wanneer de determinant van de matrix gelijk is aan nul. | | Determinant | Een getal dat aan een vierkante matrix is gekoppeld en informatie geeft over de eigenschappen ervan, zoals of de matrix inverteerbaar is. Voor een 2x2 matrix $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ is de determinant $ad - bc$. | | Nuldelers | Matrices $A$ en $B$ die beide niet de nulmatrix zijn, maar waarvan het product $A \cdot B$ wel de nulmatrix is. Nuldelers kunnen geen inverse hebben. | | Identiteitsmatrix ($I$) | Een vierkante matrix met enen op de hoofddiagonaal en nullen elders. Het product van een matrix met de identiteitsmatrix is de matrix zelf. | | Bovendriehoeksmatrix | Een vierkante matrix waarbij alle elementen onder de hoofddiagonaal nul zijn. De determinant van een bovendriehoeksmatrix is het product van de elementen op de hoofddiagonaal. | | Elementaire rijoperatie | Een bewerking op de rijen van een matrix die de determinant op een voorspelbare manier verandert: het verwisselen van twee rijen verandert het teken, het vermenigvuldigen van een rij met een constante vermenigvuldigt de determinant met die constante, en het optellen van een veelvoud van een rij bij een andere rij verandert de determinant niet. | | Uitgebreide matrix | De matrix die wordt gevormd door de kolom van de rechterleden ($B$) toe te voegen aan de coëfficiëntenmatrix ($A$) van een stelsel lineaire vergelijkingen, genoteerd als $[A|B]$. | | Homogeen stelsel | Een stelsel lineaire vergelijkingen waarbij de rechterleden van alle vergelijkingen nul zijn. De triviale oplossing $(0, 0, \dots, 0)$ is altijd een oplossing voor een homogeen stelsel. | | Oplossingenverzameling | De verzameling van alle mogelijke oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen. | | Equivalente stelsels | Twee stelsels lineaire vergelijkingen die dezelfde oplossingenverzameling hebben. | | Kleinste kwadraten benadering | Een methode om de "beste" kromme te vinden die door een set van gegevenspunten gaat, door de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen (residuen) tussen de datapunten en de kromme te minimaliseren. | | Residu | Het verschil tussen de waargenomen waarde van de afhankelijke variabele (een datapunt) en de voorspelde waarde van de afhankelijke variabele door het regressiemodel; het vertegenwoordigt de verticale afwijking van het datapunt ten opzichte van de regressielijn. | | Overgedetermineerd stelsel | Een stelsel van lineaire vergelijkingen waarbij het aantal vergelijkingen groter is dan het aantal onbekenden, wat vaak resulteert in geen exacte oplossing. | | Normaalvergelijkingen | Een stelsel van lineaire vergelijkingen dat wordt afgeleid uit een oorspronkelijk overgedetermineerd stelsel door vermenigvuldiging met de getransponeerde van de coëfficiëntenmatrix; de oplossing van dit stelsel levert de kleinste kwadraten oplossing. | | Curve fitting | Het proces van het aanpassen van een wiskundige functie aan een reeks datapunten, met als doel de onderliggende relatie tussen de variabelen te beschrijven of te voorspellen. | | Lineaire uitdrukking | Een wiskundige uitdrukking waarin de variabelen alleen voorkomen met exponent 1 en niet met elkaar worden vermenigvuldigd. | | Coëfficiënt | Een numerieke factor die een variabele vermenigvuldigt in een wiskundige uitdrukking; in lineaire regressie zijn dit de parameters die de relatie tussen de variabelen bepalen. | | Logaritmische transformatie | Een wiskundige bewerking waarbij de logaritme van een variabele wordt genomen, vaak gebruikt om niet-lineaire relaties om te zetten in lineaire relaties, waardoor ze gemakkelijker te analyseren zijn met lineaire regressietechnieken. | | Eenheid omzetten | Het proces waarbij een waarde wordt uitgedrukt in een andere meeteenheid, vaak door middel van omzettingsfactoren in de vorm van breuken. Dit vereist het vermenigvuldigen van de oorspronkelijke waarde met de juiste breuken om de gewenste eenheden te verkrijgen. | | Omzettingsfactor | Een breuk die wordt gebruikt om een eenheid om te zetten naar een andere. De grootste eenheid krijgt een waarde van 1 in de teller of noemer, en de corresponderende waarde van de kleinere eenheid wordt in de andere positie geplaatst. | | Talstelsel | Een systeem voor het weergeven van getallen, gekenmerkt door een basis (ook wel grondtal genoemd). Elk getal wordt opgebouwd uit veelvouden van machten van deze basis, waarbij de cijfers die gebruikt worden kleiner zijn dan de basis zelf. | | Basis (talstelsel) | Het getal dat de grondslag vormt van een talstelsel. Het bepaalt hoeveel verschillende cijfers er beschikbaar zijn en welke machten van dit getal worden gebruikt om getallen te representeren. Een basis is een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1. | | Decimaal stelsel | Het talstelsel met basis 10, dat we dagelijks gebruiken. De cijfers die gebruikt worden zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Getallen worden opgebouwd uit machten van 10. | | Binair stelsel | Het talstelsel met basis 2. De enige beschikbare cijfers zijn 0 en 1. Dit stelsel is fundamenteel voor computers en digitale systemen. | | Hexadecimaal stelsel | Het talstelsel met basis 16. Dit stelsel gebruikt de cijfers 0-9 en de letters A-F om waarden van 10 tot 15 weer te geven. Het wordt vaak gebruikt in computerwetenschappen om binaire getallen compacter weer te geven. | | Positievoorstelling | De manier waarop een getal wordt weergegeven in een specifiek talstelsel, waarbij de waarde van elk cijfer afhangt van zijn positie ten opzichte van de komma (of het scheidingsteken voor gehele en fractionele delen). | | Rationaal getal | Een getal dat kan worden uitgedrukt als een breuk van twee gehele getallen. In een talstelsel heeft een rationaal getal een positievoorstelling die eindig is of een repeterend deel bevat. | | Irrationaal getal | Een getal dat niet kan worden uitgedrukt als een breuk van twee gehele getallen. In een talstelsel heeft een irrationaal getal een oneindige positievoorstelling zonder een repeterend deel. | | Opeenvolgende delingen | Een methode om een natuurlijk getal van basis 10 om te zetten naar een andere basis. Hierbij wordt het getal herhaaldelijk gedeeld door de nieuwe basis, waarbij de resten de cijfers van het getal in de nieuwe basis vormen, gelezen van onder naar boven. | | Opeenvolgende vermenigvuldigingen | Een methode om het fractionele deel van een getal van basis 10 om te zetten naar een andere basis. Hierbij wordt het fractionele deel herhaaldelijk vermenigvuldigd met de nieuwe basis, waarbij de gehele delen de cijfers van het getal in de nieuwe basis vormen, gelezen van boven naar beneden. | | Lineair stelsel | Een verzameling van vergelijkingen waarbij elke vergelijking een lineaire relatie tussen de variabelen voorstelt. De algemene vorm is $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b$. | | Matrix | Een rechthoekige verzameling van getallen, symbolen of uitdrukkingen, geordend in rijen en kolommen. Matrices worden gebruikt om lineaire transformaties en stelsels van lineaire vergelijkingen weer te geven. | | Gereduceerde echelonvorm | Een matrix die voldoet aan specifieke voorwaarden, zoals dat elke leidende 1 de enige niet-nul element in zijn kolom is en dat leidende 1'en naar rechts en naar beneden verschuiven. Dit is een vereenvoudigde vorm die helpt bij het oplossen van stelsels. | | Elementaire rijoperaties | Basisbewerkingen die op de rijen van een matrix kunnen worden toegepast om deze te vereenvoudigen, zoals het verwisselen van rijen, het vermenigvuldigen van een rij met een constante, of het optellen van een veelvoud van een rij bij een andere rij. | | Niet-strijdig stelsel | Een stelsel van lineaire vergelijkingen dat ten minste één oplossing heeft. Dit betekent dat de vergelijkingen consistent zijn met elkaar. | | Leidende elementen (pivot) | Het eerste niet-nul element in een rij van een matrix in echelonvorm. Dit element is cruciaal voor het vereenvoudigen van de matrix en het oplossen van stelsels. | | Regel van Cramer | Een methode om de oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen te vinden met behulp van determinanten. Deze regel is alleen toepasbaar op stelsels met evenveel vergelijkingen als onbekenden en waarbij de determinant van de coëfficiëntenmatrix niet nul is. | | Vector | Een wiskundig object dat een richting, een zin en een grootte (norm of lengte) heeft, voorgesteld door een pijl. | | Gelijke vectoren | Vectoren die dezelfde richting, dezelfde zin en dezelfde grootte hebben. | | Nulvector | Een vector met een norm van nul. Deze vector heeft geen specifieke richting en wordt genoteerd als $0$. | | Evenwijdige vectoren | Vectoren die dezelfde richting hebben, ongeacht hun zin of grootte. | | Tegengestelde vectoren | Vectoren die dezelfde richting en dezelfde norm hebben, maar een tegengestelde zin. Als een vector $v$ is, dan is de tegengestelde vector $-v$. | | Optelling van vectoren (Staart-aan-kop methode) | De methode om twee vectoren op te tellen door de tweede vector te laten vertrekken vanuit het eindpunt van de eerste vector. De resulterende vector loopt van het beginpunt van de eerste naar het eindpunt van de tweede vector. | | Betrekking van Chasles-Möbius | Een regel voor vectoroptelling die stelt dat voor punten A, B en C geldt: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. | | Scalaire vermenigvuldiging | De vermenigvuldiging van een vector met een reëel getal (scalar). De richting van de resulterende vector is gelijk aan die van de oorspronkelijke vector (tenzij de scalar negatief is, dan is de zin tegengesteld), en de norm is het product van de absolute waarde van de scalar en de norm van de oorspronkelijke vector. | | Cosinusregel | Een formule die de lengte van een zijde van een driehoek relateert aan de lengtes van de andere twee zijden en de cosinus van de ingesloten hoek. Voor een driehoek met zijden $A_1$, $A_2$ en $A$ en de hoek tussen $A_1$ en $A_2$ als $\theta_2 - \theta_1$, geldt: $A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$. | | Periodieke functie | Een functie $f$ is periodiek als er een strikt positief reëel getal $T$ bestaat zodanig dat voor elke $x$ in het domein van de functie ook $x+T$ tot het domein behoort en $f(x+T) = f(x)$. Het kleinste getal $T$ met deze eigenschap is de periode van de functie. | | Cyclus | Een cyclus is het kleinste deel van de grafiek van een periodieke functie dat zich telkens herhaalt, tussen de rechten $x=a$ en $x=a+T$, waarbij $a$ tot het domein van $f$ behoort. | | Veeltermfunctie | Een veeltermfunctie is een functie van de vorm $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$, waarbij de coëfficiënten $a_i$ reële getallen zijn voor $i = 0, \dots, n$. | | Graad van een veelterm | Als $a_n \neq 0$, dan is $n$ de graad van de veelterm $f(x)$. | | Nulpunt met multipliciteit | Een getal $a$ is een nulpunt met multipliciteit $p$ van een veelterm $f(x)$ als $f(x)$ geschreven kan worden als $f(x) = (x-a)^p \cdot Q(x)$, maar niet als $f(x) = (x-a)^{p+1} \cdot V(x)$, waarbij $Q(x)$ en $V(x)$ veeltermen zijn. | | Constante functie | Een constante functie is van de vorm $f(x) = c$, waarbij $c$ een reëel getal is. De grafiek van een constante functie loopt evenwijdig met de x-as. | | Eerstegraadsfunctie | Een eerstegraadsfunctie is van de vorm $f(x) = ax+b$, waarbij $a \neq 0$. De grafiek is een rechte lijn. | | Tweedegraadsfunctie | Een tweedegraadsfunctie is van de vorm $f(x) = ax^2 + bx + c$, waarbij $a \neq 0$. De grafiek is een parabool. | | Quotiënt en Rest (Polynoomdeling) | Bij de deling van veelterm $A$ door veelterm $B$ ($B \neq 0$) zijn $Q$ en $R$ respectievelijk het quotiënt en de rest als $A = B \cdot Q + R$, waarbij de graad van $R$ kleiner is dan de graad van $B$, of $R=0$. | | Opgaande deling | Een deling van veeltermen is opgaand als de rest $R=0$. Dit betekent dat de veelterm $A$ deelbaar is door de veelterm $B$. | | Reststelling | De reststelling stelt dat bij deling van een veelterm $V(x)$ door $(x-a)$, de rest gelijk is aan $V(a)$. | | Echelonmatrix (Rijechelonmatrix) | Een matrix waarin de niet-nulrijen boven de nulrijen staan, elk leidend element rechts van het leidende element van de voorgaande rij staat, en de kolom van een leidend element uitsluitend nullen bevat onder dat element. | | Gereduceerde echelonmatrix | Een echelonmatrix waarin elk leidend element 1 is en het enige element verschillend van nul in zijn kolom. | | Leidend element | Het eerste niet-nulelement in een rij van een matrix. | | Rijechelonvorm | Een matrix die is verkregen door elementaire rijoperaties toe te passen op een oorspronkelijke matrix, resulterend in een echelonmatrix. | | Gereduceerde echelonvorm (rref) | De unieke gereduceerde echelonmatrix die equivalent is aan een gegeven matrix, verkregen door verdere rijherleiding. | | Hoofdvariabelen | De variabelen in een stelsel lineaire vergelijkingen die corresponderen met de leidende elementen in de gereduceerde echelonvorm van de uitgebreide matrix. | | Vrije variabelen | De variabelen in een stelsel lineaire vergelijkingen die niet corresponderen met leidende elementen en willekeurige waarden kunnen aannemen. | | Strijdig stelsel | Een stelsel lineaire vergelijkingen dat geen enkele oplossing heeft. | | Triviale nuloplossing | De oplossing van een homogeen stelsel waarbij alle variabelen gelijk zijn aan nul. | | Input | De variabele(n) of grootheid(en) die worden ingevoerd om een output te verkrijgen. | | Output | De variabele(n) of grootheid(en) die het resultaat zijn van een bewerking op de input, bepaald door een regel. | | Formule | Een wiskundige uitdrukking die de relatie tussen input- en outputvariabelen weergeeft, bijvoorbeeld `$F = \frac{9}{5}C + 32$`. | | Tabel | Een gestructureerde weergave van data die input- en outputwaarden koppelt, vaak in kolommen en rijen, om een verband te illustreren. | | Bereik | De verzameling van alle mogelijke reële waarden van de outputvariabele(n) die corresponderen met de inputwaarden in het domein. | | Lineaire interpolatie | Een methode om een onbekende waarde te schatten binnen een bereik van bekende datapunten, door de grafiek lokaal te benaderen met een rechte lijn tussen twee punten. | | Lineaire extrapolatie | Een methode om een onbekende waarde te schatten buiten het bereik van bekende datapunten, door de grafiek te benaderen met een rechte lijn die door twee bekende punten gaat. | | Nulpunt | Een nulpunt van een functie is een waarde uit het domein waarvoor de functiewaarde gelijk is aan nul. Nulpunten zijn de oplossingen van de vergelijking $f(x) = 0$. | | Tekenverloop | Het tekenverloop geeft aan in welke intervallen de functiewaarden positief of negatief zijn. Een tekenwissel kan optreden bij een nulpunt of bij een onderbreking van de grafiek. | | Even functie | Een functie $f$ is even als voor elke $x$ in het domein geldt dat $-x$ ook in het domein zit en $f(-x) = f(x)$. De grafiek van een even functie is symmetrisch ten opzichte van de y-as. | | Oneven functie | Een functie $f$ is oneven als voor elke $x$ in het domein geldt dat $-x$ ook in het domein zit en $f(-x) = -f(x)$. De grafiek van een oneven functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. | | Strikt stijgend | Een functie $f$ is strikt stijgend over een interval $I$ als voor elke $x_1$ en $x_2$ uit $I$ geldt dat als $x_1 < x_2$, dan $f(x_1) < f(x_2)$. | | Strikt dalend | Een functie $f$ is strikt dalend over een interval $I$ als voor elke $x_1$ en $x_2$ uit $I$ geldt dat als $x_1 < x_2$, dan $f(x_1) > f(x_2)$. | | Perforatie | Een perforatie in de grafiek van een rationale functie treedt op bij een nulpunt van de teller dat ook een nulpunt van de noemer is, wat resulteert in een "gat" in de grafiek op die specifieke x-waarde. | | Verticale asymptoot | Een verticale asymptoot is een verticale lijn ($x=c$) waar de grafiek van een functie naar toe nadert, maar deze nooit bereikt, vaak voorkomend bij nulpunten van de noemer van een rationale functie. | | Homografische functie | Een homografische functie is een functie van de vorm $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$, waarbij $ad \neq bc$ en $c \neq 0$. Deze functies hebben een horizontale asymptoot $y = \frac{a}{c}$ en een verticale asymptoot $x = -\frac{d}{c}$. | | Machtsfunctie | Een machtsfunctie is een functie van de vorm $f(x) = x^k$, waarbij $k$ een reëel getal is ($k \in \mathbb{R}$). De eigenschappen, zoals domein en bereik, zijn afhankelijk van de waarde van de exponent $k$. | | Irrationale functie | Een irrationale functie is een functie waarin de inputvariabele ($x$) voorkomt onder een wortelteken, zoals $f(x) = \sqrt{x+2}$ of $f(x) = \sqrt[3]{4x^2 - 3x}$. | | Goniometrische functies | Goniometrische functies, zoals sinus ($sin(x)$), cosinus ($cos(x)$), tangens ($tan(x)$) en cotangens ($cot(x)$), beschrijven relaties tussen hoeken en zijden in driehoeken en hebben periodieke eigenschappen. | | Cyclometrische functies | Cyclometrische functies, zoals arcsinus ($arcsin(x)$), arccosinus ($arccos(x)$), arctangens ($arctan(x)$) en arccotangens ($arccot(x)$), zijn de inverse functies van de beperkte goniometrische functies en worden gebruikt om hoeken te vinden. | | Exponentiële functie | Een exponentiële functie is een functie van de vorm $f(x) = a^x$, waarbij het grondtal $a$ een positief reëel getal is ongelijk aan 1 ($a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$). | | Amplitude (algemene sinusfunctie) | De amplitude van een algemene sinusfunctie $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ is de absolute waarde van $a$, wat de maximale afwijking van de horizontale middellijn aangeeft. | | Periode (algemene sinusfunctie) | De periode van een algemene sinusfunctie $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ is $\frac{2\pi}{|b|}$, wat de lengte van één volledige cyclus van de functie aangeeft. | | Horizontale verschuiving (algemene sinusfunctie) | De horizontale verschuiving van een algemene sinusfunctie $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ wordt bepaald door $c$, wat aangeeft hoeveel de grafiek naar links of rechts is verplaatst. | | Verticale verschuiving (algemene sinusfunctie) | De verticale verschuiving van een algemene sinusfunctie $f(x) = a \cdot \sin(b(x-c)) + d$ wordt bepaald door $d$, wat aangeeft hoeveel de grafiek naar boven of beneden is verplaatst ten opzichte van de x-as. | | Functie met een meervoudig voorschrift | Een functie waarvan het domein is opgesplitst in minstens twee deelgebieden, waarbij elk deelgebied zijn eigen specifieke formule of voorschrift heeft om de functiewaarde te bepalen. | | Nulpunten | De invoerwaarden waarvoor de functiewaarde gelijk is aan nul. Voor functies met een meervoudig voorschrift moeten de nulpunten binnen de specifieke domeindelen van die functiewaarden worden gezocht. | | Logaritmische schaal | Een schaal waarbij de afstanden tussen opeenvolgende getallen niet constant zijn, maar evenredig met de logaritme van die getallen. Dit wordt vaak gebruikt om een groot bereik aan waarden op een beperkte ruimte weer te geven. | | Cyclus (decade) | Een interval op een logaritmische schaal dat zich herhaalt, bijvoorbeeld van 1 tot 10, van 10 tot 100, of van 100 tot 1000. De lengte van een cyclus wordt de modulus genoemd. | | Modulus | De lengte van een cyclus op een logaritmische schaal, die wordt gebruikt om afstanden te meten en getallen te plaatsen. | | Complex getal | Een getal van de vorm $x + yi$, waarbij $x$ en $y$ reële getallen zijn en $i$ de imaginaire eenheid is met de eigenschap $i^2 = -1$. | | Reëel deel | Het deel van een complex getal dat niet vermenigvuldigd is met de imaginaire eenheid $i$. Voor een complex getal $z = x + yi$ is het reële deel $x$. | | Imaginair deel | Het deel van een complex getal dat vermenigvuldigd is met de imaginaire eenheid $i$. Voor een complex getal $z = x + yi$ is het imaginaire deel $y$. | | Inverse van een matrix | De inverse van een vierkante matrix $A$, aangeduid als $A^{-1}$, is een matrix zodanig dat het product van $A$ en $A^{-1}$ de eenheidsmatrix $I$ oplevert ($A \cdot A^{-1} = I$ en $A^{-1} \cdot A = I$). Een matrix is inverteerbaar als deze door elementaire rijoperaties herleid kan worden tot de eenheidsmatrix. | | Eenheidsmatrix ($I$) | Een vierkante matrix met enen op de hoofddiagonaal en nullen elders. Het product van een matrix en de eenheidsmatrix van dezelfde afmeting is gelijk aan de oorspronkelijke matrix. | | Gauss-Jordan eliminatie | Een methode om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen of de inverse van een matrix te berekenen door middel van elementaire rijoperaties om de uitgebreide matrix te herleiden tot de gereduceerde echelonvorm. | | Coëfficiëntenmatrix | De matrix die de coëfficiënten van de variabelen in een stelsel lineaire vergelijkingen bevat. | | Rechterleden | De constanten aan de rechterkant van de gelijkheidstekens in een stelsel lineaire vergelijkingen. | | Vrije variabele | Een variabele in een stelsel lineaire vergelijkingen die niet uniek bepaald is en willekeurige waarden kan aannemen, wat leidt tot oneindig veel oplossingen. | | Hoofdvariabele | Een variabele in een stelsel lineaire vergelijkingen die uniek bepaald is in functie van de vrije variabelen of constanten. | | Slecht geconditioneerd stelsel | Een stelsel lineaire vergelijkingen waarbij kleine wijzigingen in de coëfficiënten of rechterleden leiden tot grote veranderingen in de oplossing. Dit treedt op wanneer de determinant van de coëfficiëntenmatrix bijna nul is. | | Georiënteerde hoek | Een hoek die een oriëntatie heeft, waarbij de tegenwijzerzin als positief en de wijzerzin als negatief wordt beschouwd. Er is sprake van een beginbeen en een eindbeen. | | Goniometrische cirkel | Een cirkel met straal 1, gecentreerd in de oorsprong van een orthonormaal assenstelsel, die wordt gebruikt om goniometrische getallen te definiëren. | | Beeldpunt | Het snijpunt van het eindbeen van een georiënteerde hoek met de goniometrische cirkel, waarbij het beginbeen samenvalt met de positieve x-as. | | Goniometrisch gelijkwaardige hoeken | Hoeken waarvan de maatgetallen gelijk zijn op een geheel veelvoud van 360° of $2\pi$ rad na, en die hetzelfde beeldpunt hebben op de goniometrische cirkel. | | Sinus (sin) | Het goniometrische getal dat gedefinieerd wordt als de y-coördinaat van het beeldpunt op de goniometrische cirkel. | | Cosinus (cos) | Het goniometrische getal dat gedefinieerd wordt als de x-coördinaat van het beeldpunt op de goniometrische cirkel. | | Tangens (tan) | Het goniometrische getal dat gedefinieerd wordt als de verhouding van de sinus tot de cosinus van een hoek: $tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$, mits $cos \alpha \neq 0$. | | Cotangens (cot) | Het goniometrische getal dat gedefinieerd wordt als de verhouding van de cosinus tot de sinus van een hoek: $cot \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$, mits $sin \alpha \neq 0$. | | Secans (sec) | Het goniometrische getal dat gedefinieerd wordt als het omgekeerde van de cosinus van een hoek: $sec \alpha = \frac{1}{cos \alpha}$, mits $cos \alpha \neq 0$. | | Cosecans (csc) | Het goniometrische getal dat gedefinieerd wordt als het omgekeerde van de sinus van een hoek: $csc \alpha = \frac{1}{sin \alpha}$, mits $sin \alpha \neq 0$. | | Basisformule van de goniometrie | De fundamentele identiteit die de relatie tussen sinus en cosinus van een hoek beschrijft: $cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1$. | | Tegengestelde hoeken | Hoeken die elkaars tegengestelde zijn (bijvoorbeeld $\alpha$ en $-\alpha$), waarbij de cosinus gelijk blijft en de sinus en tangens van teken wisselen. | | Cartesiaanse vorm | Een complexe getal uitgedrukt als $z = x + yi$, waarbij $x$ het reële deel en $y$ het imaginaire deel is. | | Poolcoördinaten | Een manier om een punt in een vlak te beschrijven met behulp van een afstand tot de oorsprong (modulus) en een hoek ten opzichte van een referentierichting (argument). | | Goniometrische vorm | De uitdrukking van een complex getal in poolcoördinaten als $z = r(\cos(\theta) + i \cdot \sin(\theta))$, waarbij $r$ de modulus en $\theta$ het argument is. | | Amerikaanse vorm | Een notatie voor complexe getallen in poolcoördinaten, vaak gebruikt in technische toepassingen, geschreven als $z = r \angle \theta$. | | Exponentiële vorm | De uitdrukking van een complex getal in poolcoördinaten met behulp van de formule van Euler, geschreven als $z = r \cdot e^{i\theta}$, waarbij $\theta$ in radialen moet zijn. | | Formule van Euler | De wiskundige relatie die de exponentiële functie met imaginaire exponent koppelt aan goniometrische functies: $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \cdot \sin(\theta)$. | | Argument | De hoek tussen de positieve reële as en de lijn die de oorsprong verbindt met het beeldpunt van een complex getal in het complexe vlak. Wordt aangeduid met $\arg(z)$. | | Vermenigvuldiging van complexe getallen in poolcoördinaten | Bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen in poolcoördinaten worden de moduli vermenigvuldigd en de argumenten opgeteld: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \cdot \sin(\theta_1 + \theta_2))$. | | Deling van complexe getallen in poolcoördinaten | Bij het delen van twee complexe getallen in poolcoördinaten worden de moduli gedeeld en de argumenten van elkaar afgetrokken: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \cdot \sin(\theta_1 - \theta_2))$. | | Machtsverheffing van complexe getallen in poolcoördinaten | Om een complex getal in poolcoördinaten tot de macht $n$ te verheffen, wordt de modulus tot de macht $n$ verheven en het argument vermenigvuldigd met $n$: $z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \cdot \sin(n\theta))$. | | Formule van de Moivre | Een specifieke toepassing van de machtsverheffing voor complexe getallen met modulus 1: $(\cos(\theta) + i \cdot \sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i \cdot \sin(n\theta)$. | | Complex vlak van Gauss | Een orthonormaal assenstelsel waarin complexe getallen grafisch kunnen worden voorgesteld als punten. De x-as wordt de reële as genoemd en de y-as de imaginaire as. | | Reële as | De x-as in het complexe vlak, waarop reële getallen (van de vorm $x + 0i$) worden afgebeeld. | | Imaginaire as | De y-as in het complexe vlak, waarop zuiver imaginaire getallen (van de vorm $0 + yi$) worden afgebeeld. | | Vectorinterpretatie | De meetkundige voorstelling van een complex getal $z = x + yi$ als een vector met componenten $(x, y)$, die de oorsprong verbindt met het punt $(x, y)$ in het complexe vlak. | | Voerstraal ($r$) | De afstand van de oorsprong tot het punt dat een complex getal voorstelt in het complexe vlak. Dit is gelijk aan de modulus van het complexe getal, $|z|$. | | Poolhoek ($\theta$) | Een georiënteerde hoek van de positieve x-as naar de vector die een complex getal voorstelt. In de context van complexe getallen wordt dit het argument van $z$ genoemd, genoteerd als $\arg(z)$. | | Argument ($\arg(z)$) | De poolhoek $\theta$ van een complex getal $z$, die de richting van de vector vanuit de oorsprong naar het punt $z$ in het complexe vlak aangeeft. | | Modulus ($|z|$) | De afstand van de oorsprong tot het punt dat een complex getal $z$ voorstelt in het complexe vlak. Het wordt berekend als $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ voor $z = x + yi$. | | Orde van een matrix | De afmetingen van een matrix, uitgedrukt als het aantal rijen maal het aantal kolommen (m x n). | | Element van een matrix | Een individueel getal binnen een matrix, aangeduid met de notatie $a_{ij}$, waarbij $i$ de rijindex en $j$ de kolomindex is. | | Vierkante matrix | Een matrix waarbij het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen ($n \times n$). | | Rijmatrix (rijvector) | Een matrix met slechts één rij. | | Kolommatrix (kolomvector) | Een matrix met slechts één kolom. | | Nulmatrix | Een matrix waarin alle elementen gelijk zijn aan nul. | | Diagonaal van een vierkante matrix | De elementen van een vierkante matrix waarbij de rijindex gelijk is aan de kolomindex ($a_{ii}$). | | Benedendriehoeksmatrix | Een vierkante matrix waarbij alle elementen boven de hoofddiagonaal nul zijn. | | Diagonaalmatrix | Een vierkante matrix waarbij alle elementen buiten de hoofddiagonaal nul zijn. | | Eenheidsmatrix | Een diagonaalmatrix waarvan alle diagonaalelementen gelijk zijn aan 1. Genoteerd als $I$ of $I_n$. | | Hoek | Een deel van een vlak, begrensd door twee halfrechten (benen) met een gemeenschappelijk beginpunt (hoekpunt). | | Congruente hoeken | Hoeken die congruente vlakdelen zijn; de ene hoek valt samen met de andere na een verschuiving, rotatie en/of spiegeling. | | Overstaande hoeken | Twee hoeken die tegenover elkaar liggen wanneer twee niet-evenwijdige rechten elkaar snijden; deze hoeken zijn gelijk. | | Binnenhoeken | Hoeken die gevormd worden tussen twee evenwijdige rechten en een derde snijdende rechte, en die zich aan dezelfde kant van de snijdende rechte bevinden. | | Buitenhoeken | Hoeken die gevormd worden buiten het gebied tussen twee evenwijdige rechten en een derde snijdende rechte, en die zich aan dezelfde kant van de snijdende rechte bevinden. | | Verwisselende binnenhoeken | Twee binnenhoeken die aan weerszijden van de snijdende rechte liggen en tussen de evenwijdige lijnen; deze hoeken zijn gelijk. | | Verwisselende buitenhoeken | Twee buitenhoeken die aan weerszijden van de snijdende rechte liggen en buiten de evenwijdige lijnen; deze hoeken zijn gelijk. | | Overeenkomstige hoeken | Twee hoeken die zich op dezelfde positie bevinden ten opzichte van de snijdende rechte en de evenwijdige lijnen; deze hoeken zijn gelijk. | | Assenstelsel | Een systeem van coördinaatassen dat wordt gebruikt om de positie van punten en vectoren in een ruimte te definiëren. In een orthonormaal assenstelsel staan de assen loodrecht op elkaar en hebben ze een eenheidslengte. | | Cartesiaanse coördinaten | Een stel getallen dat de positie van een punt in een coördinatenstelsel aangeeft, meestal aangeduid met $(x, y)$ in 2D of $(x, y, z)$ in 3D. Deze coördinaten komen overeen met de componenten van de oorsprongsvector naar dat punt. | | Componenten van een vector | De getallen die de grootte en richting van een vector aangeven langs de assen van een coördinatenstelsel. Een vector $v$ in 3D kan worden geschreven als $v = (v_1, v_2, v_3)$, waarbij $v_1$, $v_2$, en $v_3$ de componenten zijn. | | Lineaire combinatie | Een uitdrukking die wordt gevormd door vectoren te vermenigvuldigen met scalairen en deze resultaten vervolgens op te tellen. Elke vector in een basis kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de basisvectoren. | | Oorsprongsvector | Een vector waarvan het startpunt de oorsprong van het coördinatenstelsel is. De componenten van de oorsprongsvector naar een punt zijn gelijk aan de coördinaten van dat punt. | | Stelsel van lineaire vergelijkingen | Een verzameling van vergelijkingen die elk een lineaire relatie tussen variabelen beschrijven. Een oplossing van het stelsel is een geordend stel getallen dat elke vergelijking waar maakt. | | Oplossing van een stelsel | Een geordend stel getallen dat, wanneer toegewezen aan de variabelen van het stelsel, elke vergelijking in het stelsel tot een ware uitspraak maakt. | | Matrixvoorstelling van een stelsel | Een compacte representatie van een stelsel van lineaire vergelijkingen in de vorm $A \cdot X = B$, waarbij $A$ de coëfficiëntenmatrix is, $X$ de vector van variabelen, en $B$ de vector van constanten aan de rechterzijde. | | Niet strijdig stelsel | Een stelsel van lineaire vergelijkingen dat ten minste één oplossing heeft (dus één of oneindig veel oplossingen). | | Variabelen elimineren | Een methode om een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen door middel van systematische manipulaties om variabelen te verwijderen, leidend tot een eenvoudiger equivalent stelsel. | | Rijequevalentie | Twee matrices zijn rijequivalent als de ene kan worden verkregen uit de andere door een eindig aantal elementaire rijoperaties. | | Omgekeerd verband (Inverse verband) | Een verband dat wordt gedefinieerd door de input- en outputvariabelen van een oorspronkelijk verband te verwisselen. Als $(a,b)$ tot het oorspronkelijke verband behoort, dan behoort $(b,a)$ tot het omgekeerde verband. | | Parametervergelijking | Een methode om een verband te beschrijven waarbij zowel de input- als de outputvariabelen worden uitgedrukt als functies van een hulpvariabele, de parameter genoemd. | | Elementaire functie | Een standaardfunctie die als bouwsteen kan dienen voor complexere functies, zoals de identiteitsfunctie ($f(x)=x$), de kwadratische functie ($f(x)=x^2$), of de sinusfunctie ($f(x)=\sin(x)$). | | Transformatie van grafieken | Wijzigingen aangebracht aan de grafiek van een functie, zoals verschuivingen, spiegelingen, uitrekkingen of inkrimpingen, om de grafiek van een nieuwe functie te verkrijgen. | | Verticale verschuiving | Het omhoog of omlaag verplaatsen van een grafiek over een bepaalde afstand, wat resulteert in een verandering van de outputwaarde van de functie. | | Horizontale verschuiving | Het naar links of naar rechts verplaatsen van een grafiek over een bepaalde afstand, wat resulteert in een verandering van de inputwaarde van de functie. | | Spiegeling t.o.v. de assen | Het creëren van een gespiegelde versie van een grafiek ten opzichte van de x-as of de y-as. | | Verticale uitrekking/inkrimping | Het verticaal vergroten of verkleinen van een grafiek met een bepaalde factor, wat de amplitude van de functie beïnvloedt. | | Nulpuntenvorm van een parabool | Een alternatieve vorm voor de vergelijking van een parabool, namelijk $y = a(x-x_1)(x-x_2)$, waarbij $x_1$ en $x_2$ de nulpunten van de functie zijn. Deze vorm maakt het gemakkelijk om de nulpunten af te lezen. | | Topvorm van een parabool | Een alternatieve vorm voor de vergelijking van een parabool, namelijk $y = a(x-\alpha)^2 + \beta$. Hierin zijn $(\alpha, \beta)$ de coördinaten van de top van de parabool. | | Ontbinden in factoren | Het proces waarbij een veelterm wordt geschreven als een product van twee of meer veeltermen van lagere graad. Dit is nuttig voor het oplossen van vergelijkingen en het vereenvoudigen van uitdrukkingen. | | Rationele functie | Een functie die kan worden uitgedrukt als de verhouding van twee veeltermen, $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, waarbij $P(x)$ en $Q(x)$ veeltermen zijn en $Q(x)$ niet de nulveelterm is. | | Vlak | Een plat, tweedimensionaal oppervlak dat zich oneindig uitstrekt. In de driedimensionale ruimte wordt een vlak bepaald door een punt en een normaalvector, of door drie niet-collineaire punten. | | Evenwijdig vlak | Twee vlakken die elkaar nooit snijden en altijd dezelfde afstand tussen zich behouden. Ze hebben dezelfde normaalvector, maar zijn verschillend. | | Afstand tussen twee evenwijdige vlakken | De kortste afstand tussen enig punt op het ene vlak en het andere vlak. Deze afstand is constant voor elk punt op het ene vlak. | | Vectorieel product | Een bewerking op twee vectoren in de driedimensionale ruimte die een nieuwe vector oplevert die loodrecht staat op beide oorspronkelijke vectoren. Dit is relevant voor het vinden van normaalvectoren van vlakken. |