Hoofdstuk 7 Cijferen met kommagetallen.pdf

# Leerdoelen en algemene introductie van cijferen met kommagetallen Deze sectie beschrijft de leerdoelen met betrekking tot het rekenvaardigheid en vakdidactiek rondom cijferen met kommagetallen, de beginsituatie voor het aanleren hiervan, en introduceert een voortaak [3](#page=3) [4](#page=4). ### 1.1 Leerdoelen m.b.t. eigen rekenvaardigheid De leerdoelen voor de eigen rekenvaardigheid met kommagetallen omvatten het correct oplossen van willekeurige cijferoefeningen met kommagetallen, het bepalen van de juiste waarde van de rest bij dergelijke oefeningen, en het maken van zinvolle schattingen voor willekeurige cijferoefeningen met kommagetallen [3](#page=3). * Je kan een willekeurige cijferoefening met kommagetallen correct oplossen [3](#page=3). * Je kan de juiste waarde van de rest bepalen bij een willekeurige cijferoefening met kommagetallen [3](#page=3). * Je kan een zinvolle schatting maken bij een willekeurige cijferoefening met kommagetallen [3](#page=3). ### 1.2 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek Met betrekking tot de vakdidactiek dient men de nieuwe moeilijkheden te kunnen benoemen voor de vier hoofdbewerkingen (+, -, x,:) bij cijferen met decimale getallen in vergelijking met cijferen met natuurlijke getallen. Tevens moet men kunnen uitleggen hoe verschillende types oefeningen voor cijferend vermenigvuldigen en delen met decimale getallen aangebracht kunnen worden, uitgaande van een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3). * Je kan voor de vier hoofdbewerkingen (+; -; x;:) de nieuwe moeilijkheden benoemen voor cijferen met decimale getallen (in vergelijking met cijferen met natuurlijke getallen) [3](#page=3). * Je kan uitleggen op welke manier de verschillende types oefeningen voor cijferend vermenigvuldigen en delen met decimale getallen aangebracht worden vertrekkend vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3). ### 1.3 Beginsituatie Wanneer kinderen starten met cijferen met decimale getallen, hebben zij reeds ervaring met cijferen met natuurlijke getallen en kennen zij de verschillende cijferalgoritmen. Het is daardoor niet noodzakelijk om elk cijferalgoritme opnieuw op een concreet niveau met MAB-materiaal aan te brengen. De focus ligt in dit hoofdstuk op het identificeren van de nieuwe moeilijkheden die ontstaan door de introductie van kommagetallen in plaats van natuurlijke getallen [4](#page=4). ### 1.4 Voortaak De voortaak is een individuele opdracht met een geplande werktijd van twee uur, onderverdeeld in twee delen: cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen, en cijferend vermenigvuldigen en delen met kommagetallen [4](#page=4). #### 1.4.1 Cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen * **Opdracht 1:** Stel de notatie voor de beginsituatie van een eerste les over cijferend optellen met kommagetallen [4](#page=4). * **Opdracht 2:** Bedenk zelf diverse types cijferoefeningen voor optelling en aftrekking met kommagetallen en leid daaruit de nieuwe moeilijkheden af die leerlingen ervaren in vergelijking met cijferen zonder kommagetallen [4](#page=4). #### 1.4.2 Cijferend vermenigvuldigen en delen met kommagetallen * **Opdracht 3a:** Kies een geschikte oefening als introductie voor een eerste les over cijferend vermenigvuldigen met kommagetallen, waarbij het vermenigvuldigtal een kommagetal is [4](#page=4). * **Opdracht 3b:** Schat deze cijferoefening door een ondergrens en bovengrens voor het product aan te geven [4](#page=4). * **Opdracht 3c:** Reken de cijferoefening uit zonder rekening te houden met de komma, en let daarbij op de juiste plaats van de factoren in de cijferoefening [4](#page=4). --- # Optellen en aftrekken met kommagetallen Dit gedeelte behandelt de kernaspecten van cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen, met de nadruk op correcte positionering en het plaatsen van de komma [6](#page=6). ### 2.1 Belang van correct noteren Het belangrijkste aandachtspunt bij het cijferend optellen en aftrekken met kommagetallen is het correct onder elkaar schrijven van de getallen, vooral wanneer deze een verschillend aantal decimalen hebben [6](#page=6). ### 2.2 Strategieën voor optellen en aftrekken Na het correct onder elkaar schrijven van de getallen, volgt onmiddellijk de plaatsing van de komma in de uitkomst. Het is toegestaan om nullen bij te voegen om 'open plekken' te vermijden, aangezien de waarde van een getal niet verandert door nullen achter het decimale deel te plaatsen. Deze methode geldt ook voor het optellen van natuurlijke getallen en kommagetallen [6](#page=6). #### 2.2.1 Gebruik van een positieschema Indien leerlingen moeite hebben met het correct onder elkaar schrijven, kunnen de getallen in een positieschema worden geplaatst. Boven elke kolom wordt dan de cijferwaarde aangegeven, zoals T (tientallen), E (eenheden), t (tienden), h (honderdsten) [6](#page=6). #### 2.2.2 Omgaan met ontbrekende decimalen bij aftrekken Bij een aftrekking is het noodzakelijk om ontbrekende decimalen door nullen te vervangen als het aftrektal minder cijfers bevat dan de aftrekker [6](#page=6). > **Voorbeeld van optellen:** > 1890,115 + 12,25 + 372,5 = > ``` > 1 8 9 0, 1 1 5 > 1 2, 2 5 > + 3 7 2, 5 > ---------- > 2 2 7 4, 8 6 5 > ``` > [6](#page=6). > **Voorbeeld van aftrekken:** > 1576 – 258,75 = > ``` > 1 5 7 6, 0 0 > - 2 5 8, 7 5 > ---------- > 1 3 1 7, 2 5 > ``` > [6](#page=6). --- # Vermenigvuldigen met kommagetallen Dit onderwerp verklaart hoe leerlingen zelf de regel voor het plaatsen van de komma in een product kunnen ontdekken door middel van schattingen en het vergelijken met cijferoefeningen, toegepast op verschillende scenario's [7](#page=7). ### 3.1 Het vermenigvuldigtal is een kommagetal Om de plaats van de komma in het product te bepalen wanneer het vermenigvuldigtal een kommagetal is, starten leerlingen met een schatting. Vervolgens voeren ze de cijferoefening uit zonder rekening te houden met de komma. Door het resultaat van de cijferoefening te vergelijken met de schatting, ontdekken ze hoeveel cijfers ze moeten afsnijden in het product om tot het correcte resultaat te komen [7](#page=7). #### 3.1.1 Ontdekking van de regel Na het uitvoeren van verschillende voorbeelden, zoals $5 \times 5,3$ en $13 \times 2,25$, waarbij de leerlingen leren dat het aantal afgesneden cijfers in het product gelijk is aan het aantal cijfers achter de komma in het vermenigvuldigtal, wordt de algemene conclusie geformuleerd [7](#page=7). > **Conclusie:** Er worden evenveel cijfers afgesneden bij het product als bij het vermenigvuldigtal [7](#page=7). Speciale aandacht gaat uit naar bewerkingen waarbij het product eindigt op nullen die mogen wegvallen, zoals bij $16 \times 1,25$ [8](#page=8). > **Voorbeeld:** > $16 \times 1,25$ > Schatting: $16 \times 1 = 16$ en $16 \times 2 = 32$. De uitkomst ligt tussen 16 en 32 [8](#page=8). > Cijferen zonder komma: > $$ > \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} > & & 1 & , & 2 & 5 \\ > \times & & & 1 & 6 \\ > \hline > & & 7 & 5 & 0 \\ > 1 & 2 & 5 & 0 & \\ > \hline > 2 & 0 & , & 0 & 0 \\ > \end{array} > $$ > Het product, na het weglaten van de overbodige nullen, komt overeen met de schatting [8](#page=8). ### 3.2 De vermenigvuldiger is een kommagetal Wanneer de vermenigvuldiger een kommagetal is, volgt de procedure dezelfde logica als wanneer het vermenigvuldigtal een kommagetal is. Eerst wordt er een schatting gemaakt, gevolgd door de cijferoefening zonder aandacht voor de komma [8](#page=8). > **Voorbeeld:** > $2,5 \times 15$ > Schatten: $2 \times 15 = 30$ en $3 \times 15 = 45$. Het product ligt tussen 30 en 45 [8](#page=8). > Cijferen zonder komma: > $$ > \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c} > & & 1 & 5 \\ > \times & 2 & , & 5 \\ > \hline > & 7 & 5 \\ > 3 & 0 & 0 \\ > \hline > 3 & 7 & 5 \\ > \end{array} > $$ > Door één cijfer af te snijden, komt het resultaat overeen met de schatting [8](#page=8). #### 3.2.1 Ontdekking van de regel Na het oefenen met voorbeelden zoals $2,5 \times 15$ en $12,5 \times 59$, waarbij de leerlingen concluderen dat het aantal afgesneden cijfers in het product overeenkomt met het aantal cijfers achter de komma in de vermenigvuldiger, wordt de volgende regel geformuleerd [8](#page=8). > **Conclusie:** In het product worden evenveel cijfers afgesneden als er bij de vermenigvuldiger afgesneden zijn [9](#page=9). ### 3.3 Vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal zijn kommagetallen In het geval dat zowel de vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal kommagetallen zijn, wordt de schattingsmethode opnieuw toegepast. De cijferoefening wordt wederom uitgevoerd zonder rekening te houden met de komma's [9](#page=9). > **Voorbeeld:** > $4,3 \times 7,25$ > Schatten: $4 \times 7 = 28$ [9](#page=9). > Cijferen zonder komma: > $$ > \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} > & & & 7 & , & 2 & 5 \\ > \times & & & 4 & , & 3 \\ > \hline > & & 2 & 1 & 7 & 5 \\ > 2 & 9 & 0 & 0 & 0 \\ > \hline > 3 & 1 & , & 1 & 7 & 5 \\ > \end{array} > $$ > Door drie cijfers af te snijden, komt het resultaat overeen met de schatting [9](#page=9). #### 3.3.1 De algemene regel Door het vergelijken van het aantal decimalen in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal met het aantal decimalen in het product, na diverse oefeningen van dit type, wordt de algemene regel geformuleerd [9](#page=9). > **Algemene Conclusie:** In het product worden telkens zoveel cijfers afgesneden als er bij het vermenigvuldigtal en de vermenigvuldiger samen afgesneden worden [9](#page=9). > **Opmerking:** Bij het cijferend vermenigvuldigen van kommagetallen is het niet noodzakelijk om de getallen nauwkeurig onder elkaar te schrijven [9](#page=9). --- # Delen met kommagetallen Dit onderwerp behandelt diverse methoden voor het uitvoeren van delingen waarbij één of beide getallen kommagetallen zijn, met een focus op het correct plaatsen van de komma en het interpreteren van de rest. ### 4.1 Algemene principes bij delingen met kommagetallen Bij elke deling met kommagetallen kan gestart worden met een schatting om de plaats van de komma in de uitkomst te bepalen. Bij het cijferend uitvoeren van de deling wordt de komma in eerste instantie genegeerd. Vervolgens wordt de schatting gebruikt om de komma correct te plaatsen in het uiteindelijke antwoord [10](#page=10). > **Tip:** Begin altijd met een schatting. Dit helpt enorm bij het controleren van je uiteindelijke antwoord en het correct plaatsen van de komma. ### 4.2 Verschillende typen delingen met kommagetallen #### 4.2.1 Het deeltal is een kommagetal, de deling gaat op Bij dit type deling wordt de komma in het deeltal genegeerd tijdens het cijferen. Na het cijferen wordt de schatting gebruikt om de komma op de juiste plaats te zetten in de uitkomst [10](#page=10). > **Voorbeeld:** > $$17,55 \div 3$$ > Schatting: $18 \div 3 = 6$. > Cijferen zonder komma: $1755 \div 3 = 585$. > Juiste plaatsing komma: $5,85$. #### 4.2.2 Het deeltal is een kommagetal, de deling gaat niet op Ook hier worden de komma's in eerste instantie genegeerd tijdens het cijferen. De schatting helpt bij het correct plaatsen van de komma in de uitkomst. De rest wordt afgelezen op basis van de oorspronkelijke waarde van de cijfers die worden afgetrokken [10](#page=10). > **Voorbeeld:** > $$146,87 \div 2$$ > Schatting: $146 \div 2 = 73$. > Cijferen zonder komma: $14687 \div 2 = 7343$ met rest $1$. > Juiste plaatsing komma: $73,43$ met rest $0,01$. #### 4.2.3 Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal tot op zekere nauwkeurigheid Om tot op een bepaalde nauwkeurigheid te delen (bijvoorbeeld op 0,001 nauwkeurig), wordt een komma achter het deeltal geplaatst, gevolgd door het benodigde aantal nullen. De deling wordt vervolgens cijferend uitgevoerd zonder rekening te houden met de komma's. De schatting wordt gebruikt voor het bepalen van de plaats van de komma in de uitkomst. De rest wordt correct afgelezen [11](#page=11). > **Voorbeeld:** Bepaal tot op 0,001 nauwkeurig: $265 \div 2$. > Schatting: $260 \div 2 = 130$. > Cijferen: $265,000 \div 2$. > Uitkomst: $132,500$ met rest $0$. > Nauwkeuriger voorbeeld: $265 \div 9$. > Schatting: $270 \div 9 = 30$. > Cijferen: $265,000 \div 9$. > Uitkomst: $29,444$ met rest $0,004$. #### 4.2.4 Deler is een kommagetal Bij een deler die een kommagetal is, moet de komma in de deler weggewerkt worden. Dit gebeurt door het deeltal en de deler met hetzelfde getal (10, 100, 1000, etc.) te vermenigvuldigen, zodat de komma in de deler verdwijnt. Hierbij blijft het quotiënt gelijk [12](#page=12). > **Principe:** Het quotiënt van een deling verandert niet als zowel het deeltal als de deler met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd. > $a \div b = (a \times k) \div (b \times k)$ ##### 4.2.4.1 Type 1: het aantal decimalen van deeltal en deler is gelijk Na het vermenigvuldigen van deeltal en deler om de komma in de deler weg te werken, resulteert dit type deling in een geheel getal als uitkomst, zonder komma [12](#page=12). > **Voorbeeld:** $676,25 \div 1,25$. > Vermenigvuldig met 100: $67625 \div 125$. > Schatting: $60000 \div 100 = 600$. > Cijferen: $67625 \div 125 = 541$. > Uitkomst: $541$. ##### 4.2.4.2 Type 2: de deler heeft meer decimalen dan het deeltal Ook hier worden deeltal en deler vermenigvuldigd totdat de komma in de deler verdwijnt. Het kan nodig zijn om nullen toe te voegen aan het deeltal om dit te realiseren. Het resultaat is een geheel getal [13](#page=13). > **Voorbeeld:** $668,75 \div 3,125$. > Vermenigvuldig met 1000: $668750 \div 3125$. > Schatting: $600000 \div 3000 = 200$. > Cijferen: $668750 \div 3125 = 214$. > Uitkomst: $214$. ##### 4.2.4.3 Type 3: het deeltal heeft meer decimalen dan de deler Deeltal en deler worden vermenigvuldigd om de komma in de deler weg te werken. De komma in het deeltal schuift hierbij mee naar rechts. De oefening wordt hierdoor een deling van het type 2.5.1 (deeltal is een kommagetal, deling gaat op of niet op). De uitkomst wordt vergeleken met de schatting om de komma correct te plaatsen [13](#page=13). > **Voorbeeld:** $15,1 \div 2,6$. > Vermenigvuldig met 10: $151 \div 26$. > Schatting: $150 \div 25 = 6$. > Cijferen: $151 \div 26 = 5$ met rest $21$. > Plaatsing komma in deeltal: $15,1$ wordt $151$. > Uitkomst: $5,8$ met rest $0,02$. De rest $0,02$ is afkomstig van de oorspronkelijke $15,1$. #### 4.2.5 Een kommagetal delen door een kommagetal tot op zekere nauwkeurigheid Om deze delingen uit te voeren, wordt de komma in de deler weggewerkt door te vermenigvuldigen met 10, 100, 1000, enzovoort. De komma in het deeltal schuift dienovereenkomstig op. De deling wordt vervolgens cijferend uitgevoerd, waarbij de uitkomst vergeleken wordt met de schatting om de komma correct te plaatsen. De rest wordt correct afgelezen door te kijken naar de oorspronkelijke plaats van de komma in het deeltal [14](#page=14). > **Voorbeeld:** Bepaal tot op 0,01 nauwkeurig: $1,892 \div 1,4$. > Vermenigvuldig met 10: $18,92 \div 14$. > Schatting: $14 \div 14 = 1$. > Cijferen: $18,92 \div 14$. > Uitkomst: $1,35$ met rest $0,002$. De rest is $0,002$ want $(1,35 \times 1,4) + 0,002 = 1,892$. ### 4.3 Algemene besluiten bij delingen met kommagetallen Bij het cijferend delen met kommagetallen is de kernstrategie het wegwerken van de komma in de deler door te vermenigvuldigen met een passende macht van 10. Het is niet altijd noodzakelijk om de komma in het deeltal weg te werken; de deling kan ook zonder deze aanpassing worden uitgevoerd, waarna de uitkomst met de schatting wordt vergeleken. Het wegwerken van de komma in het deeltal kan de deler onnodig vergroten en de oefening complexer maken [15](#page=15). Bij het aflezen van de rest is het cruciaal om te refereren aan de oorspronkelijke plaats van de komma in het deeltal [15](#page=15). > **Tip:** Concentreer je eerst op het vereenvoudigen van de deler. Het deeltal kan vaak ongemoeid gelaten worden, tenzij dit de deling aanzienlijk vergemakkelijkt. > > **Tip:** Vergeet nooit de rest te interpreteren in relatie tot de oorspronkelijke waarden van de getallen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kommagetal | Een getal dat bestaat uit een geheel deel en een breukdeel, gescheiden door een decimale komma. Dit omvat zowel getallen met een eindig aantal decimalen als getallen die in principe oneindig veel decimalen hebben. | | Natuurlijk getal | Een positief geheel getal (1, 2, 3, ...) dat wordt gebruikt voor het tellen en ordenen. Soms wordt ook nul als natuurlijk getal beschouwd, afhankelijk van de definitie. | | Cijferen | Een methode om rekenkundige bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uit te voeren met behulp van een gestructureerde, kolomvormige notatie. | | Deeltal | Het getal dat bij een deling wordt gedeeld. Het is het getal dat wordt opgedeeld in gelijke delen. | | Deler | Het getal waarmee het deeltal bij een deling wordt gedeeld. Het bepaalt de grootte van de gelijke delen waarin het deeltal wordt opgedeeld. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. Het geeft aan hoe vaak de deler in het deeltal past. | | Rest | Het deel dat overblijft na een deling wanneer het deeltal niet precies deelbaar is door de deler. | | Vermenigvuldigtal | Het getal dat bij een vermenigvuldiging wordt vermenigvuldigd. Het is het getal dat meerdere keren bij elkaar wordt opgeteld. | | Vermenigvuldiger | Het getal waarmee het vermenigvuldigtal bij een vermenigvuldiging wordt vermenigvuldigd. Het geeft aan hoe vaak het vermenigvuldigtal wordt herhaald. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. Het is het eindgetal na het uitvoeren van de vermenigvuldiging. | | Schatting | Een benadering van het resultaat van een berekening die snel en met minder precisie wordt uitgevoerd. Het dient om een idee te krijgen van de orde van grootte van de uitkomst. | | Decimaal getal | Een getal dat gebruikmaakt van een decimale punt (komma in het Nederlands) om het gehele deel van het fractionele deel te scheiden. Dit is synoniem aan kommagetal. | | Vakdidactiek | Het vakgebied binnen de onderwijskunde dat zich bezighoudt met de specifieke methoden en strategieën voor het onderwijzen van een bepaald schoolvak, in dit geval wiskunde. |