Cover
Start nu gratis Hoofdstuk 6 Cijferen met natuurlijke getallen(1) (1).pdf
Summary
# Inleiding tot cijferen en hoofdrekenen
Hier volgt een gedetailleerde studiehandleiding voor "Inleiding tot cijferen en hoofdrekenen", gebaseerd op de verstrekte documenten.
## 1. Inleiding tot cijferen en hoofdrekenen
Deze sectie introduceert de leerdoelen met betrekking tot rekenvaardigheid en vakdidactiek, en vergelijkt vervolgens hoofdrekenen met cijferen, waarbij de voor- en nadelen van beide methoden worden besproken [3](#page=3) [4](#page=4).
### 1.1 Leerdoelen
De leerdoelen van dit deel zijn onderverdeeld in twee categorieën: die betreffende de eigen rekenvaardigheid en die betreffende de vakdidactiek [3](#page=3).
#### 1.1.1 Leerdoelen m.b.t. eigen rekenvaardigheid
* Een willekeurige cijferoefening met natuurlijke getallen correct kunnen oplossen [3](#page=3).
* Een zinvolle schatting kunnen maken bij een willekeurige cijferoefening met natuurlijke getallen [3](#page=3).
#### 1.1.2 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek
* De moeilijkheden in een willekeurige cijferoefening met natuurlijke getallen kunnen benoemen [3](#page=3).
* Cijferoefeningen met natuurlijke getallen kunnen ordenen volgens moeilijkheidsgraad [3](#page=3).
* Uitleggen hoe de vier cijferalgoritmen (+, -, x,:) met natuurlijke getallen in het derde leerjaar stapsgewijs worden aangeboden volgens de fasen van begripsvorming (CSA-model), vertrekkend vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3).
* Gerichte opdrachten of doelgerichte vragen formuleren (met aandacht voor vaktaal) om een willekeurige cijferoefening uit het 3e leerjaar uit te werken volgens het CSA-model met behulp van MAB-materiaal [3](#page=3).
* Uitleggen hoe het cijferend vermenigvuldigen met een getal bestaande uit 2 cijfers of meer in het 4e leerjaar wordt aangeboden, vertrekkend vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening [3](#page=3).
* Vanuit een geschikte, zelfgekozen oefening het cijferend delen door een getal bestaande uit 2 cijfers kunnen uitwerken [3](#page=3).
### 1.2 Hoofdrekenen versus cijferen
#### 1.2.1 Verschillen in aanpak
Bij hoofdrekenen wordt er naast elkaar gerekend, doorgaans van links naar rechts. Bij cijferen worden de getallen onder elkaar geplaatst en wordt er van boven naar onder gerekend [5](#page=5).
Een cruciaal verschil is hoe getallen worden benaderd. Bij cijferen vallen getallen uiteen in losse cijfers waarmee afzonderlijk wordt gerekend. Bij hoofdrekenen blijven de getallen als geheel behouden, ook bij splitsing. Bijvoorbeeld, bij de splitsing van 547, blijft de 5 de waarde 500 behouden en wordt deze niet als een losse 5 behandeld [5](#page=5) [8](#page=8).
#### 1.2.2 Flexibiliteit en bruikbaarheid
Hoofdrekenen staat voor rekenen met flexibele rekenstrategieën, waarbij rekening gehouden wordt met individuele verschillen en inzichten in getalstructuren en bewerkingen. Cijferen kent daarentegen een vast cijferalgoritme dat door elke leerling op dezelfde manier wordt gevolgd [5](#page=5).
De bruikbaarheid van de methodes verschilt ook. Cijferen kan in principe altijd toegepast worden, ongeacht de grootte van de getallen. Hoofdrekenen heeft hier beperkingen; bij te grote getallen kan het omslachtig worden [5](#page=5).
> **Tip:** Hoofdrekenen moet breder gezien worden dan enkel rekenen uit het hoofd zonder papier. Het omvat rekenen met het hoofd, waarbij papier een handig hulpmiddel kan zijn om tussenstappen te noteren [5](#page=5).
#### 1.2.3 Voordelen en nadelen
| Methode | Voordelen | Nadelen |
| :------------ | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| **Cijferen** | - Onbeperkte bruikbaarheid bij grote getallen.
- Een vast standaardalgoritme biedt houvast voor zwakke leerlingen. | - Vereist pen en papier, wat niet altijd voorhanden is.
- Rekenen met losse cijfers vergroot het risico op het verliezen van overzicht en belangrijke rekenfouten.
- Indien niet inzichtelijk aangeleerd, kan het leiden tot verlies van houvast wanneer het algoritme vergeten wordt. | [5](#page=5) [8](#page=8). | **Hoofdrekenen** | - Kan in alle omstandigheden aangewend worden, ook zonder papier.
- Flexibel rekenen houdt rekening met individuele verschillen en bevordert inzicht in getallen en bewerkingen. | - Beperkingen bij te grote getallen, kan omslachtig worden.
- Flexibele strategieën kunnen voor zwakke leerlingen minder houvast bieden dan een vast algoritme. | [5](#page=5). #### 1.2.4 Risico op fouten Omdat bij cijferen met losse cijfers wordt gerekend, bestaat het risico op het verliezen van overzicht en dus op belangrijke rekenfouten. Als het achterliggende inzicht bij het cijferalgoritme ontbreekt, is het risico op fouten aanzienlijk [5](#page=5) [8](#page=8). > **Voorbeeld:** Een voorbeeld van leerlingfouten die te wijten zijn aan het niet inzichtelijk beheersen van cijferalgoritmen wordt genoemd in de context van dit document [5](#page=5). De opdrachten in de voortaak dienen om de leerlingen zelf te laten ervaren wat de verschillen zijn tussen hoofdrekenen en cijferrekenen, en om de voordelen en nadelen van beide methodes te identificeren [4](#page=4). --- # Didactische aanpak van cijferalgoritmen Dit deel behandelt de didactische aandachtspunten bij het aanleren van cijferalgoritmen, met een focus op een geleidelijke opbouw in het derde leerjaar en specifieke overwegingen voor optelling en aftrekking. ### 2.1 Didactische aandachtspunten bij het cijferen Het inzichtelijk aanbrengen van cijferalgoritmen in het derde leerjaar is sterk methodegebonden, waarbij veel Vlaamse rekenmethodes gebruikmaken van MAB-materiaal of de lusabacus in de concrete fase. Sommige methodes integreren het MAB-materiaal in een legschema om de structuur van de cijferoefening te visualiseren. De kern is dat het concrete handelen overeenkomt met de wiskundige bewerking: optellen betekent bijvoegen en aftrekken betekent wegnemen van de beginhoeveelheid. Bij aftrekkingen mag het aftrektal nooit eerst worden neergelegd met MAB-materiaal, gevolgd door de aftrekker, omdat dit de wiskundige handeling niet ondersteunt. Vrijwel alle methodes gebruiken ook een schrijfschema met aanduidingen voor eenheden, tientallen en honderdtallen, waar leerlingen langdurig in oefenen alvorens over te stappen naar abstract rekenen. De verschillen tussen methodes in schrijfschema's zitten vaak in de notatie van het te onthouden getal of het omwisselen [9](#page=9). De klemtoon bij cijferen in de lagere school ligt op: * Het inzichtelijk maken van cijferalgoritmen voor de vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen [9](#page=9). * Het voldoende inoefenen van deze cijferalgoritmen [9](#page=9). ### 2.2 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen in het 3de leerjaar Bij het aanbieden van cijferoefeningen wordt aandacht besteed aan een correcte opeenvolging van moeilijkheden. Voor de vier bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) wordt eenzelfde stap vooruitgang nagestreefd. Dit betekent eerst optellen zonder overschrijding, dan aftrekken zonder ontlening, vervolgens vermenigvuldigen zonder overschrijding, en tot slot delen zonder ontlening. Deze cyclische aanpak zorgt ervoor dat alle bewerkingen regelmatig aan bod komen en niet vergeten worden. Wat geleerd is bij optellen, wordt toegepast bij vermenigvuldigen, en wat geleerd is bij aftrekken, wordt toegepast bij delen, wat leidt tot vaardigheid en nauwkeurigheid [10](#page=10). De opbouw verloopt in stappen: * **Eerste stap: Zonder overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $512 + 376$ [10](#page=10). * $728 - 214$ [10](#page=10). * $314 \times 2$ [10](#page=10). * $484 \div 4$ [10](#page=10). * **Tweede stap: Eenmaal overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $517 + 214$ [10](#page=10). * $642 - 323$ [10](#page=10). * $214 \times 3$ [10](#page=10). * $642 \div 3$ [10](#page=10). * **Derde stap: Tweemaal overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $235 + 189$ [10](#page=10). * $645 - 257$ [10](#page=10). * $236 \times 4$ [10](#page=10). * $936 \div 6$ [10](#page=10). Moeilijkheden die extra aandacht vereisen zijn: * **Een nul in de uitkomst** * Voorbeelden: * $714 + 276$ [11](#page=11). * $982 - 532$ [11](#page=11). * $114 \times 5$ [11](#page=11). * $918 \div 9$ [11](#page=11). * **Een nul in één van de termen van de bewerking** * Voorbeelden: * $570 + 358$ [11](#page=11). * $603 - 514$ [11](#page=11). * $420 \times 3$ [11](#page=11). * $906 \div 3$ [11](#page=11). * **Twee nullen in het aftrektal** * Dit brengt geen specifieke moeilijkheden mee bij optellen, vermenigvuldigen en delen, maar wel bij aftrekken [11](#page=11). * Voorbeeld: $600 - 127$ [11](#page=11). ### 2.3 De optelling Bij het aanleren van cijferend optellen, wordt het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) toegepast [12](#page=12). > **Tip:** Voordat leerlingen optellen met overschrijding oefenen, moeten ze eerst optellen zonder overschrijding aanbrengen, analoog aan de fasen van het CSA-model [12](#page=12). De oefening $263 + 154$ illustreert optellen met één keer overschrijden [12](#page=12). * **Concreet niveau:** Het stap voor stap oplossen met MAB-materiaal wordt uitgelegd door specifieke opdrachten en vragen te formuleren aan de leerlingen. Dit omvat het bij elkaar voegen van eenheden, tientallen en honderdtallen, en het omgaan met overschrijdingen naar de volgende kolom [12](#page=12). * **Schematisch niveau:** De integratie van het CSA-model bij het uitwerken van de oefening verloopt via visuele ondersteuning en gerichte vragen [12](#page=12). ### 2.4 De aftrekking #### 2.4.1 Zonder ontlening Bij het aanleren van cijferend aftrekken zonder ontlening, is het verwerven van inzicht in het algoritme cruciaal [12](#page=12). * **Inleiding:** De les begint met een zinvolle inleiding die aansluit bij de beginsituatie van de leerlingen [12](#page=12). * **Fasen van begripsvorming (CSA):** * **Concreet niveau:** Leerlingen werken met MAB-materiaal en een legschema. Ze leggen het aftrektal neer en nemen er delen van weg met behulp van een blanco blad om de weg te nemen hoeveelheid te markeren. Vragen stimuleren het inzicht: "Wat heb je gelegd?", "Welke bewerking moet je doen?", "Hoeveel moet je wegnemen?", "Hoeveel houd je over?", en de koppeling naar de cijfermatige notatie ("9 E min 6 E is 3 E") [13](#page=13). * **Schematisch niveau:** De leerkracht gebruikt magnetisch MAB-materiaal aan het bord om de handelingen te visualiseren. De pijlen in de voorstelling geven de handelingen van de leerkracht weer [14](#page=14). * **Abstract niveau:** De oefening wordt vervolgens genoteerd in een schrijfschema [14](#page=14). Voorbeeld: $439 - 216 = \dots$ [13](#page=13) [14](#page=14). #### 2.4.2 Met ontlening Bij aftrekken met ontlening, zoals in de oefening $265 - 187$, treden er extra moeilijkheden op [15](#page=15). * **Moeilijkheden:** Deze oefening vereist ontlening, omdat er bij de eenheden meer moet worden weggenomen dan aanwezig is ($7$ moet van $5$ worden afgetrokken). Dit vereist het omwisselen van een tiental naar tien eenheden, en potentieel ook van honderdtallen naar tientallen [15](#page=15). * **Stapsgewijze uitwerking met MAB-materiaal en CSA:** * Leerlingen werken per drie in een groepje: leerkracht, leerling, observator [15](#page=15). * De leerkracht formuleert doelgerichte vragen en duidelijke instructies, gebruikmakend van vaktaal [15](#page=15). * De leerling voert de handelingen uit met MAB-materiaal en schema's [15](#page=15). * De observator noteert instructies, vragen, antwoorden en onderlijnt vaktaal [15](#page=15). * Na afloop wordt de oefening besproken aan de hand van richtvragen over de helderheid van instructies, de duidelijkheid van vraagstelling, de stapsgewijze opbouw, de beantwoordbaarheid van vragen, en het gebruik van vaktaal [15](#page=15). > **Tip:** Tijdens de lespraktijk is het essentieel om de formulering van instructies en vragen te evalueren en bij te sturen om twijfel bij de leerling te minimaliseren en het inzicht te maximaliseren. Het benutten van alle mogelijkheden om vaktaal te introduceren, verhoogt de didactische effectiviteit [15](#page=15). --- # Cijferend vermenigvuldigen en delen Dit deel behandelt de aanpak van cijferend vermenigvuldigen, zowel zonder als met overbrugging, en cijferend delen, zowel zonder als met ontlening, met voorbeelden en didactische overwegingen [16](#page=16). ## 3.1 Cijferend vermenigvuldigen Cijferend vermenigvuldigen wordt uitgewerkt volgens de methode van Nieuwe Talrijk, waarbij voor het derde leerjaar wordt gestart met vermenigvuldigers van slechts één cijfer. De methode doorloopt de fasen van begripsvorming: concreet (MAB-materiaal), schematisch (magnetisch MAB-materiaal aan het bord) en abstract (schrijfschema) [16](#page=16). ### 3.1.1 Vermenigvuldigen zonder overbrugging Bij vermenigvuldigen zonder overbrugging wordt het getal, voorgesteld met MAB-materiaal, vermenigvuldigd met het enkelvoudige cijfer. De leerlingen werken eerst met concreet materiaal en noteren de handelingen op een blanco kaart, waarna de leerkracht dit schematisch aan het bord kan tonen. Vervolgens wordt de abstracte notatie met een schrijfschema geïntroduceerd, die na verloop van tijd wordt verkort tot een schrijfoefening op ruitjespapier [16](#page=16) [18](#page=18). **Voorbeeld: $2 \times 134 = \dots$** [16](#page=16). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 134 met MAB-materiaal (1 honderdtal, 3 tientallen, 4 eenheden) en nemen dit tweemaal [16](#page=16). 2. **Handeling:** Ze vermenigvuldigen de eenheden ($2 \times 4 \text{ E} = 8 \text{ E}$), de tientallen ($2 \times 3 \text{ T} = 6 \text{ T}$) en de honderdtallen ($2 \times 1 \text{ H} = 2 \text{ H}$) [17](#page=17). 3. **Optellen deelproducten:** De deelproducten worden bij elkaar opgeteld om het eindproduct te bekomen [17](#page=17). 4. **Resultaat:** Het product is 268 [17](#page=17). > **Tip:** De getallen worden na elke vermenigvuldiging een stapje lager gelegd om de deelproducten duidelijk te scheiden voor het latere optellen [16](#page=16). De abstracte weergave met een schrijfschema toont de stappen expliciet, waarbij deelproducten van eenheden, tientallen en honderdtallen afzonderlijk worden genoteerd alvorens ze op te tellen. Dit wordt uiteindelijk vereenvoudigd tot een standaard schrijfoefening [18](#page=18). ### 3.1.2 Vermenigvuldigen met overbrugging Bij vermenigvuldigen met overbrugging worden de stappen gevolgd met MAB-materiaal, waarbij er rekening wordt gehouden met het omwisselen van eenheden naar tientallen of tientallen naar honderdtallen wanneer een waarde van tien wordt bereikt [19](#page=19). **Voorbeeld: $3 \times 251 = \dots$** [19](#page=19). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 251 (2 honderdtallen, 5 tientallen, 1 eenheid) en vermenigvuldigen dit driemaal [19](#page=19). 2. **Eenheden:** $3 \times 1 \text{ E} = 3 \text{ E}$. Dit wordt genoteerd [19](#page=19). 3. **Tientallen:** $3 \times 5 \text{ T} = 15 \text{ T}$. Aangezien 15 tientallen niet in één kolom genoteerd kunnen worden, worden 10 tientallen omgewisseld voor 1 honderdtal. Er blijven 5 tientallen over. Het omgewisselde honderdtal wordt toegevoegd aan de honderdtallenkolom [19](#page=19) [20](#page=20). 4. **Honderdtallen:** $3 \times 2 \text{ H} = 6 \text{ H}$. Hierbij wordt het omgewisselde honderdtal van de tientallenkolom opgeteld, wat resulteert in 7 honderdtallen [20](#page=20). 5. **Optellen deelproducten:** De deelproducten (3 eenheden, 5 tientallen, 7 honderdtallen) worden samengevoegd [20](#page=20). 6. **Resultaat:** Het product is 753 [20](#page=20). > **Aandachtspunt:** Het omwisselen van eenheden naar tientallen of tientallen naar honderdtallen is cruciaal bij de overbrugging [19](#page=19). Het schrijfschema visualiseert de overbrugging door het cijfer dat wordt overgedragen naar de volgende kolom te noteren. De oefening wordt nadien vereenvoudigd naar ruitjespapier [20](#page=20) [21](#page=21). ## 3.2 Cijferend delen Cijferend delen wordt eveneens uitgewerkt volgens de methode van Nieuwe Talrijk, met delers van één cijfer in het derde leerjaar. De aanpak verloopt via de fasen concreet, schematisch en abstract. Bij delingen wordt steeds van links naar rechts gewerkt [22](#page=22). ### 3.2.1 Delen zonder ontlening Bij het delen zonder ontlening worden de getallen (de) verdeeld in een vooraf bepaald aantal gelijke delen. Dit gebeurt eerst met de grootste eenheden (tientallen, dan eenheden) [22](#page=22). **Voorbeeld: $48: 4 = \dots$** [22](#page=22). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 48 (4 tientallen, 8 eenheden) en bereiden 4 gekleurde bladen voor als delen [22](#page=22). 2. **Verdelen tientallen:** De 4 tientallen worden verdeeld onder de 4 kinderen, wat resulteert in 1 staafje per kind. Er zijn 0 tientallen over. De bewerking $4 \times 1 \text{ T} = 4 \text{ T}$ wordt genoteerd [22](#page=22). 3. **Verdelen eenheden:** De 8 eenheden worden verdeeld onder de 4 kinderen, wat resulteert in 2 eenheden per kind. Er zijn 0 eenheden over. De bewerking $4 \times 2 \text{ E} = 8 \text{ E}$ wordt genoteerd [23](#page=23). 4. **Resultaat:** Het quotiënt is 12 [23](#page=23). Het schrijfschema toont het proces van verdeling, waarbij het afgetrokken deel en de rest duidelijk worden aangegeven [23](#page=23). ### 3.2.2 Delen met ontlening Bij delen met ontlening is het soms noodzakelijk om een grotere eenheid om te wisselen naar kleinere eenheden om de verdeling mogelijk te maken [24](#page=24). **Voorbeeld: $342: 3 = \dots$** [24](#page=24). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 342 (3 honderdtallen, 4 tientallen, 2 eenheden) en bereiden 3 gekleurde bladen voor [24](#page=24). 2. **Verdelen honderdtallen:** De 3 honderdtallen worden verdeeld, wat resulteert in 1 honderdtal per deel. Er zijn 0 honderdtallen over. De bewerking $3 \times 1 \text{ H} = 3 \text{ H}$ wordt genoteerd [24](#page=24). 3. **Verdelen tientallen:** De 4 tientallen worden verdeeld, wat resulteert in 1 staafje per deel. Er is 1 staafje over (4 - 3 = 1) [24](#page=24). 4. **Ontlenen en verdelen eenheden:** Het overgebleven tiental wordt omgewisseld voor 10 eenheden. Nu moeten er 10 eenheden + 2 reeds aanwezige eenheden = 12 eenheden verdeeld worden. Deze 12 eenheden worden verdeeld, wat resulteert in 4 eenheden per deel. De bewerking $3 \times 4 \text{ E} = 12 \text{ E}$ wordt genoteerd [24](#page=24) [25](#page=25). 5. **Resultaat:** Het quotiënt is 114 [25](#page=25). Het abstracte schrijfschema illustreert het ontlenen door het overgebleven tiental om te wisselen voor 10 eenheden, die vervolgens worden toegevoegd aan de bestaande eenheden voor verdere verdeling [25](#page=25). --- # Verdieping en uitbreiding van cijfervaardigheden Dit deel beschrijft de verdere oefening en controle bij het cijferen, de geleidelijke opbouw in het vierde leerjaar voor complexere vermenigvuldigingen en delingen, en de benodigde voorkennis. ### 4.1 Oefening en inzicht bij cijferen Cijferen moet een vlot gehanteerd automatisme worden dat voortkomt uit inzicht, niet uit dril. Leerlingen moeten een algoritme niet alleen technisch kunnen toepassen, maar ook inhoudelijk kunnen begrijpen en uitleggen. Regelmatig en veelvuldig oefenen, gesteund op een stevige basis, is essentieel [26](#page=26). #### 4.1.1 Basis voor het cijferen De fundamenten voor succesvol cijferen omvatten: * Een soepele kennis van het tientallig talstelsel, inclusief de onderlinge verhoudingen tussen eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc [26](#page=26). * Vlotte hoofdrekenvaardigheden, met een solide kennis van optel-, aftrek-, vermenigvuldigings- en deeltafels [26](#page=26). * Een goed inzicht in de plaats en het belang van het cijfer nul, zowel in getallen als in bewerkingen [26](#page=26). #### 4.1.2 Controle bij het cijferen Leerlingen moeten uitgevoerde bewerkingen controleren met behulp van diverse methoden [26](#page=26): * **Schatten:** Eerst een schatting maken van de grootteorde van het resultaat en deze vergelijken met de uiteindelijke uitkomst. Een schatting wordt verkregen door een vereenvoudigde, snel oplosbare bewerking [26](#page=26) [27](#page=27). * **Omgekeerde bewerking:** Bij optelling en aftrekking de omgekeerde bewerking uitvoeren [26](#page=26). * **Rekenmachine:** De rekenmachine gebruiken voor verificatie [26](#page=26). * **Negenproef:** Een specifieke controle die gebruikt kan worden [26](#page=26). #### 4.1.3 Hulpmiddelen bij het aanleren Diverse hulpmiddelen ondersteunen het aanleren van cijfervaardigheden [27](#page=27): * Een ruitjesschrift voor nauwkeurige schikking van bewerkingen [27](#page=27). * Ordelijk werken op de rekenkast en/of het bord [27](#page=27). * Meerdere leerlingen tegelijk aan het bord laten werken om fouten direct te identificeren [27](#page=27). ### 4.2 Geleidelijke opbouw van cijferoefeningen in het vierde leerjaar In het vierde leerjaar wordt de complexiteit van vermenigvuldigingen en delingen geleidelijk opgebouwd, met aandacht voor nieuwe stappen ten opzichte van het derde leerjaar [27](#page=27). #### 4.2.1 Eerste stap: Meermaals overschrijden of ontlenen Dit betreft de basisprincipes van optellen en aftrekken waarbij het kan voorkomen dat er overschreden (bij optellen) of ontleend (bij aftrekken) moet worden [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > Schatting van $8325 + 20567$: ongeveer $8000 + 20000 = 28000$. De exacte som is $28892$ [28](#page=28). > Schatting van $73205 - 14867$: ongeveer $73000 - 15000 = 58000$. De exacte aftrekking is $58338$ [28](#page=28). > Schatting van $12246 \times 5$: ongeveer $12000 \times 5 = 60000$. De exacte vermenigvuldiging is $61230$ [28](#page=28). > Schatting van $7938 \times 3$: ongeveer $8000 \times 3 = 24000$. De exacte vermenigvuldiging is $23814$ [28](#page=28). #### 4.2.2 Tweede stap: Meerdere nullen bij som, aftrektal, product, deeltal Deze stap focust op oefeningen waarbij nullen een prominente rol spelen in de getallen waarmee gerekend wordt [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > Schatting van $5135 + 4865$: ongeveer $5000 + 5000 = 10000$. De exacte som is $10000$ [28](#page=28). > Schatting van $2500 \times 4$: ongeveer $2500 \times 4 = 10000$. De exacte vermenigvuldiging is $10000$ [28](#page=28). > Schatting van $10101 - 7324$: ongeveer $10000 - 7000 = 3000$. De exacte aftrekking is $2777$ [28](#page=28). #### 4.2.3 Derde stap: Vermenigvuldigen met een getal van twee cijfers of meer Bij vermenigvuldigen met een getal van twee cijfers, zoals $13 \times 34$, wordt de logica ontleed als $10 \times 34 + 3 \times 34$. Leerlingen leren eerst vermenigvuldigen met het cijfer van de eenheden, daarna met het cijfer van de tientallen, waarbij de plaatsingsnul belangrijk is totdat de leerlingen begrijpen dat men op de rang van het tiental begint te schrijven [29](#page=29). > **Voorbeeld:** > $34 \times 13$ kan worden uitgewerkt als: > $34 \times 10 = 340$ > $34 \times 3 = 102$ > Totaal: $340 + 102 = 442$ [29](#page=29). > > De meer gestructureerde schrijfwijze is: > ``` > 34 > x 13 > ---- > 102 (34 x 3) > 340 (34 x 10) > ---- > 442 > ``` > [29](#page=29). > > Leerlingen moeten ook dergelijke vermenigvuldigingen schatten [29](#page=29). > Schatting van $126 \times 32$: ongeveer $130 \times 30 = 3900$ [29](#page=29). > Schatting van $167 \times 91$: ongeveer $170 \times 90 = 15300$ [29](#page=29). #### 4.2.4 Vierde stap: De deler telt twee of meer cijfers Bij delingen met een deler die uit meer dan één cijfer bestaat, ontstaan nieuwe moeilijkheden. De opeenvolgende cijfers van het quotiënt worden bepaald door schattingen van hoeveel keer de deler in de verschillende delen van het deeltal (duizendtallen, honderdtallen, etc.) gaat. Elke stap vereist het laten 'dalen' van telkens één cijfer van het deeltal [30](#page=30). > **Voorbeeld:** > Deling $9318: 37$ [30](#page=30). > Schatting: $9000: 30 = 300$ [30](#page=30). > > Uitwerking: > ``` > 251 (quotiënt) > _______ > 37 | 9318 (deeltal) > - 74 (37 x 2, bij 93 H) > ---- > 191 (rest) > - 185 (37 x 5, bij 191 T) > ---- > 68 (rest) > - 37 (37 x 1, bij 68 E) > ---- > 31 (rest) > ``` > [30](#page=30). > Besluit: $9318: 37 = 251$ met rest $31$ [30](#page=30). > Een veelgemaakte fout is het laten dalen van te veel cijfers; er mag telkens slechts één cijfer tegelijk gedaald worden [30](#page=30). > **Voorbeeld:** > Deling $8588: 76$ [30](#page=30). ### 4.3 Verdiepende opdrachten voor cijferen De documentatie bevat opdrachten die gericht zijn op het verdiepen van de kennis rond cijferend vermenigvuldigen en delen [31](#page=31) [33](#page=33). #### 4.3.1 Cijferend vermenigvuldigen met een getal van 2 cijfers of meer Opdrachten richten zich op het kiezen van geschikte oefeningen voor het vierde leerjaar, het uitschrijven van de stappen en de gestelde vragen aan leerlingen, en het formuleren van de inzichten die leerlingen moeten verwerven [31](#page=31). > **Voorbeeld (Uit ‘Rekensprong’):** > Cijferend vermenigvuldigen met een zuiver tiental [31](#page=31). > Cijferend vermenigvuldigen met een getal bestaande uit 2 cijfers [32](#page=32). #### 4.3.2 Cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers Opdrachten vereisen het identificeren van de benodigde voorkennis, de soort deling waarop men steunt, het doel van de inleiding en de instructiefase, en een kritische evaluatie van startoefeningen [33](#page=33). > **Vragen ter overweging:** > 1. Welke voorkennis moeten de leerlingen hebben [33](#page=33)? > 2. Op welke soort deling steunt men bij het cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers [33](#page=33)? > 3. Wat is het doel van de inleiding die de handleiding aanreikt [33](#page=33)? > 4. Wat is het doel van de instructie (kern en verwerking)? Waarom komt deze lesfase eerst aan bod in de kern [33](#page=33)? > 5. Is de oefening $306: 24$ zinvol om mee te starten in een eerste les cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers? Waarom wel/niet [33](#page=33)? --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
- Een vast standaardalgoritme biedt houvast voor zwakke leerlingen. | - Vereist pen en papier, wat niet altijd voorhanden is.
- Rekenen met losse cijfers vergroot het risico op het verliezen van overzicht en belangrijke rekenfouten.
- Indien niet inzichtelijk aangeleerd, kan het leiden tot verlies van houvast wanneer het algoritme vergeten wordt. | [5](#page=5) [8](#page=8). | **Hoofdrekenen** | - Kan in alle omstandigheden aangewend worden, ook zonder papier.
- Flexibel rekenen houdt rekening met individuele verschillen en bevordert inzicht in getallen en bewerkingen. | - Beperkingen bij te grote getallen, kan omslachtig worden.
- Flexibele strategieën kunnen voor zwakke leerlingen minder houvast bieden dan een vast algoritme. | [5](#page=5). #### 1.2.4 Risico op fouten Omdat bij cijferen met losse cijfers wordt gerekend, bestaat het risico op het verliezen van overzicht en dus op belangrijke rekenfouten. Als het achterliggende inzicht bij het cijferalgoritme ontbreekt, is het risico op fouten aanzienlijk [5](#page=5) [8](#page=8). > **Voorbeeld:** Een voorbeeld van leerlingfouten die te wijten zijn aan het niet inzichtelijk beheersen van cijferalgoritmen wordt genoemd in de context van dit document [5](#page=5). De opdrachten in de voortaak dienen om de leerlingen zelf te laten ervaren wat de verschillen zijn tussen hoofdrekenen en cijferrekenen, en om de voordelen en nadelen van beide methodes te identificeren [4](#page=4). --- # Didactische aanpak van cijferalgoritmen Dit deel behandelt de didactische aandachtspunten bij het aanleren van cijferalgoritmen, met een focus op een geleidelijke opbouw in het derde leerjaar en specifieke overwegingen voor optelling en aftrekking. ### 2.1 Didactische aandachtspunten bij het cijferen Het inzichtelijk aanbrengen van cijferalgoritmen in het derde leerjaar is sterk methodegebonden, waarbij veel Vlaamse rekenmethodes gebruikmaken van MAB-materiaal of de lusabacus in de concrete fase. Sommige methodes integreren het MAB-materiaal in een legschema om de structuur van de cijferoefening te visualiseren. De kern is dat het concrete handelen overeenkomt met de wiskundige bewerking: optellen betekent bijvoegen en aftrekken betekent wegnemen van de beginhoeveelheid. Bij aftrekkingen mag het aftrektal nooit eerst worden neergelegd met MAB-materiaal, gevolgd door de aftrekker, omdat dit de wiskundige handeling niet ondersteunt. Vrijwel alle methodes gebruiken ook een schrijfschema met aanduidingen voor eenheden, tientallen en honderdtallen, waar leerlingen langdurig in oefenen alvorens over te stappen naar abstract rekenen. De verschillen tussen methodes in schrijfschema's zitten vaak in de notatie van het te onthouden getal of het omwisselen [9](#page=9). De klemtoon bij cijferen in de lagere school ligt op: * Het inzichtelijk maken van cijferalgoritmen voor de vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen [9](#page=9). * Het voldoende inoefenen van deze cijferalgoritmen [9](#page=9). ### 2.2 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen in het 3de leerjaar Bij het aanbieden van cijferoefeningen wordt aandacht besteed aan een correcte opeenvolging van moeilijkheden. Voor de vier bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) wordt eenzelfde stap vooruitgang nagestreefd. Dit betekent eerst optellen zonder overschrijding, dan aftrekken zonder ontlening, vervolgens vermenigvuldigen zonder overschrijding, en tot slot delen zonder ontlening. Deze cyclische aanpak zorgt ervoor dat alle bewerkingen regelmatig aan bod komen en niet vergeten worden. Wat geleerd is bij optellen, wordt toegepast bij vermenigvuldigen, en wat geleerd is bij aftrekken, wordt toegepast bij delen, wat leidt tot vaardigheid en nauwkeurigheid [10](#page=10). De opbouw verloopt in stappen: * **Eerste stap: Zonder overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $512 + 376$ [10](#page=10). * $728 - 214$ [10](#page=10). * $314 \times 2$ [10](#page=10). * $484 \div 4$ [10](#page=10). * **Tweede stap: Eenmaal overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $517 + 214$ [10](#page=10). * $642 - 323$ [10](#page=10). * $214 \times 3$ [10](#page=10). * $642 \div 3$ [10](#page=10). * **Derde stap: Tweemaal overschrijden of ontlenen** * Voorbeelden: * $235 + 189$ [10](#page=10). * $645 - 257$ [10](#page=10). * $236 \times 4$ [10](#page=10). * $936 \div 6$ [10](#page=10). Moeilijkheden die extra aandacht vereisen zijn: * **Een nul in de uitkomst** * Voorbeelden: * $714 + 276$ [11](#page=11). * $982 - 532$ [11](#page=11). * $114 \times 5$ [11](#page=11). * $918 \div 9$ [11](#page=11). * **Een nul in één van de termen van de bewerking** * Voorbeelden: * $570 + 358$ [11](#page=11). * $603 - 514$ [11](#page=11). * $420 \times 3$ [11](#page=11). * $906 \div 3$ [11](#page=11). * **Twee nullen in het aftrektal** * Dit brengt geen specifieke moeilijkheden mee bij optellen, vermenigvuldigen en delen, maar wel bij aftrekken [11](#page=11). * Voorbeeld: $600 - 127$ [11](#page=11). ### 2.3 De optelling Bij het aanleren van cijferend optellen, wordt het CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) toegepast [12](#page=12). > **Tip:** Voordat leerlingen optellen met overschrijding oefenen, moeten ze eerst optellen zonder overschrijding aanbrengen, analoog aan de fasen van het CSA-model [12](#page=12). De oefening $263 + 154$ illustreert optellen met één keer overschrijden [12](#page=12). * **Concreet niveau:** Het stap voor stap oplossen met MAB-materiaal wordt uitgelegd door specifieke opdrachten en vragen te formuleren aan de leerlingen. Dit omvat het bij elkaar voegen van eenheden, tientallen en honderdtallen, en het omgaan met overschrijdingen naar de volgende kolom [12](#page=12). * **Schematisch niveau:** De integratie van het CSA-model bij het uitwerken van de oefening verloopt via visuele ondersteuning en gerichte vragen [12](#page=12). ### 2.4 De aftrekking #### 2.4.1 Zonder ontlening Bij het aanleren van cijferend aftrekken zonder ontlening, is het verwerven van inzicht in het algoritme cruciaal [12](#page=12). * **Inleiding:** De les begint met een zinvolle inleiding die aansluit bij de beginsituatie van de leerlingen [12](#page=12). * **Fasen van begripsvorming (CSA):** * **Concreet niveau:** Leerlingen werken met MAB-materiaal en een legschema. Ze leggen het aftrektal neer en nemen er delen van weg met behulp van een blanco blad om de weg te nemen hoeveelheid te markeren. Vragen stimuleren het inzicht: "Wat heb je gelegd?", "Welke bewerking moet je doen?", "Hoeveel moet je wegnemen?", "Hoeveel houd je over?", en de koppeling naar de cijfermatige notatie ("9 E min 6 E is 3 E") [13](#page=13). * **Schematisch niveau:** De leerkracht gebruikt magnetisch MAB-materiaal aan het bord om de handelingen te visualiseren. De pijlen in de voorstelling geven de handelingen van de leerkracht weer [14](#page=14). * **Abstract niveau:** De oefening wordt vervolgens genoteerd in een schrijfschema [14](#page=14). Voorbeeld: $439 - 216 = \dots$ [13](#page=13) [14](#page=14). #### 2.4.2 Met ontlening Bij aftrekken met ontlening, zoals in de oefening $265 - 187$, treden er extra moeilijkheden op [15](#page=15). * **Moeilijkheden:** Deze oefening vereist ontlening, omdat er bij de eenheden meer moet worden weggenomen dan aanwezig is ($7$ moet van $5$ worden afgetrokken). Dit vereist het omwisselen van een tiental naar tien eenheden, en potentieel ook van honderdtallen naar tientallen [15](#page=15). * **Stapsgewijze uitwerking met MAB-materiaal en CSA:** * Leerlingen werken per drie in een groepje: leerkracht, leerling, observator [15](#page=15). * De leerkracht formuleert doelgerichte vragen en duidelijke instructies, gebruikmakend van vaktaal [15](#page=15). * De leerling voert de handelingen uit met MAB-materiaal en schema's [15](#page=15). * De observator noteert instructies, vragen, antwoorden en onderlijnt vaktaal [15](#page=15). * Na afloop wordt de oefening besproken aan de hand van richtvragen over de helderheid van instructies, de duidelijkheid van vraagstelling, de stapsgewijze opbouw, de beantwoordbaarheid van vragen, en het gebruik van vaktaal [15](#page=15). > **Tip:** Tijdens de lespraktijk is het essentieel om de formulering van instructies en vragen te evalueren en bij te sturen om twijfel bij de leerling te minimaliseren en het inzicht te maximaliseren. Het benutten van alle mogelijkheden om vaktaal te introduceren, verhoogt de didactische effectiviteit [15](#page=15). --- # Cijferend vermenigvuldigen en delen Dit deel behandelt de aanpak van cijferend vermenigvuldigen, zowel zonder als met overbrugging, en cijferend delen, zowel zonder als met ontlening, met voorbeelden en didactische overwegingen [16](#page=16). ## 3.1 Cijferend vermenigvuldigen Cijferend vermenigvuldigen wordt uitgewerkt volgens de methode van Nieuwe Talrijk, waarbij voor het derde leerjaar wordt gestart met vermenigvuldigers van slechts één cijfer. De methode doorloopt de fasen van begripsvorming: concreet (MAB-materiaal), schematisch (magnetisch MAB-materiaal aan het bord) en abstract (schrijfschema) [16](#page=16). ### 3.1.1 Vermenigvuldigen zonder overbrugging Bij vermenigvuldigen zonder overbrugging wordt het getal, voorgesteld met MAB-materiaal, vermenigvuldigd met het enkelvoudige cijfer. De leerlingen werken eerst met concreet materiaal en noteren de handelingen op een blanco kaart, waarna de leerkracht dit schematisch aan het bord kan tonen. Vervolgens wordt de abstracte notatie met een schrijfschema geïntroduceerd, die na verloop van tijd wordt verkort tot een schrijfoefening op ruitjespapier [16](#page=16) [18](#page=18). **Voorbeeld: $2 \times 134 = \dots$** [16](#page=16). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 134 met MAB-materiaal (1 honderdtal, 3 tientallen, 4 eenheden) en nemen dit tweemaal [16](#page=16). 2. **Handeling:** Ze vermenigvuldigen de eenheden ($2 \times 4 \text{ E} = 8 \text{ E}$), de tientallen ($2 \times 3 \text{ T} = 6 \text{ T}$) en de honderdtallen ($2 \times 1 \text{ H} = 2 \text{ H}$) [17](#page=17). 3. **Optellen deelproducten:** De deelproducten worden bij elkaar opgeteld om het eindproduct te bekomen [17](#page=17). 4. **Resultaat:** Het product is 268 [17](#page=17). > **Tip:** De getallen worden na elke vermenigvuldiging een stapje lager gelegd om de deelproducten duidelijk te scheiden voor het latere optellen [16](#page=16). De abstracte weergave met een schrijfschema toont de stappen expliciet, waarbij deelproducten van eenheden, tientallen en honderdtallen afzonderlijk worden genoteerd alvorens ze op te tellen. Dit wordt uiteindelijk vereenvoudigd tot een standaard schrijfoefening [18](#page=18). ### 3.1.2 Vermenigvuldigen met overbrugging Bij vermenigvuldigen met overbrugging worden de stappen gevolgd met MAB-materiaal, waarbij er rekening wordt gehouden met het omwisselen van eenheden naar tientallen of tientallen naar honderdtallen wanneer een waarde van tien wordt bereikt [19](#page=19). **Voorbeeld: $3 \times 251 = \dots$** [19](#page=19). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 251 (2 honderdtallen, 5 tientallen, 1 eenheid) en vermenigvuldigen dit driemaal [19](#page=19). 2. **Eenheden:** $3 \times 1 \text{ E} = 3 \text{ E}$. Dit wordt genoteerd [19](#page=19). 3. **Tientallen:** $3 \times 5 \text{ T} = 15 \text{ T}$. Aangezien 15 tientallen niet in één kolom genoteerd kunnen worden, worden 10 tientallen omgewisseld voor 1 honderdtal. Er blijven 5 tientallen over. Het omgewisselde honderdtal wordt toegevoegd aan de honderdtallenkolom [19](#page=19) [20](#page=20). 4. **Honderdtallen:** $3 \times 2 \text{ H} = 6 \text{ H}$. Hierbij wordt het omgewisselde honderdtal van de tientallenkolom opgeteld, wat resulteert in 7 honderdtallen [20](#page=20). 5. **Optellen deelproducten:** De deelproducten (3 eenheden, 5 tientallen, 7 honderdtallen) worden samengevoegd [20](#page=20). 6. **Resultaat:** Het product is 753 [20](#page=20). > **Aandachtspunt:** Het omwisselen van eenheden naar tientallen of tientallen naar honderdtallen is cruciaal bij de overbrugging [19](#page=19). Het schrijfschema visualiseert de overbrugging door het cijfer dat wordt overgedragen naar de volgende kolom te noteren. De oefening wordt nadien vereenvoudigd naar ruitjespapier [20](#page=20) [21](#page=21). ## 3.2 Cijferend delen Cijferend delen wordt eveneens uitgewerkt volgens de methode van Nieuwe Talrijk, met delers van één cijfer in het derde leerjaar. De aanpak verloopt via de fasen concreet, schematisch en abstract. Bij delingen wordt steeds van links naar rechts gewerkt [22](#page=22). ### 3.2.1 Delen zonder ontlening Bij het delen zonder ontlening worden de getallen (de) verdeeld in een vooraf bepaald aantal gelijke delen. Dit gebeurt eerst met de grootste eenheden (tientallen, dan eenheden) [22](#page=22). **Voorbeeld: $48: 4 = \dots$** [22](#page=22). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 48 (4 tientallen, 8 eenheden) en bereiden 4 gekleurde bladen voor als delen [22](#page=22). 2. **Verdelen tientallen:** De 4 tientallen worden verdeeld onder de 4 kinderen, wat resulteert in 1 staafje per kind. Er zijn 0 tientallen over. De bewerking $4 \times 1 \text{ T} = 4 \text{ T}$ wordt genoteerd [22](#page=22). 3. **Verdelen eenheden:** De 8 eenheden worden verdeeld onder de 4 kinderen, wat resulteert in 2 eenheden per kind. Er zijn 0 eenheden over. De bewerking $4 \times 2 \text{ E} = 8 \text{ E}$ wordt genoteerd [23](#page=23). 4. **Resultaat:** Het quotiënt is 12 [23](#page=23). Het schrijfschema toont het proces van verdeling, waarbij het afgetrokken deel en de rest duidelijk worden aangegeven [23](#page=23). ### 3.2.2 Delen met ontlening Bij delen met ontlening is het soms noodzakelijk om een grotere eenheid om te wisselen naar kleinere eenheden om de verdeling mogelijk te maken [24](#page=24). **Voorbeeld: $342: 3 = \dots$** [24](#page=24). 1. **Concreet niveau:** Leerlingen leggen 342 (3 honderdtallen, 4 tientallen, 2 eenheden) en bereiden 3 gekleurde bladen voor [24](#page=24). 2. **Verdelen honderdtallen:** De 3 honderdtallen worden verdeeld, wat resulteert in 1 honderdtal per deel. Er zijn 0 honderdtallen over. De bewerking $3 \times 1 \text{ H} = 3 \text{ H}$ wordt genoteerd [24](#page=24). 3. **Verdelen tientallen:** De 4 tientallen worden verdeeld, wat resulteert in 1 staafje per deel. Er is 1 staafje over (4 - 3 = 1) [24](#page=24). 4. **Ontlenen en verdelen eenheden:** Het overgebleven tiental wordt omgewisseld voor 10 eenheden. Nu moeten er 10 eenheden + 2 reeds aanwezige eenheden = 12 eenheden verdeeld worden. Deze 12 eenheden worden verdeeld, wat resulteert in 4 eenheden per deel. De bewerking $3 \times 4 \text{ E} = 12 \text{ E}$ wordt genoteerd [24](#page=24) [25](#page=25). 5. **Resultaat:** Het quotiënt is 114 [25](#page=25). Het abstracte schrijfschema illustreert het ontlenen door het overgebleven tiental om te wisselen voor 10 eenheden, die vervolgens worden toegevoegd aan de bestaande eenheden voor verdere verdeling [25](#page=25). --- # Verdieping en uitbreiding van cijfervaardigheden Dit deel beschrijft de verdere oefening en controle bij het cijferen, de geleidelijke opbouw in het vierde leerjaar voor complexere vermenigvuldigingen en delingen, en de benodigde voorkennis. ### 4.1 Oefening en inzicht bij cijferen Cijferen moet een vlot gehanteerd automatisme worden dat voortkomt uit inzicht, niet uit dril. Leerlingen moeten een algoritme niet alleen technisch kunnen toepassen, maar ook inhoudelijk kunnen begrijpen en uitleggen. Regelmatig en veelvuldig oefenen, gesteund op een stevige basis, is essentieel [26](#page=26). #### 4.1.1 Basis voor het cijferen De fundamenten voor succesvol cijferen omvatten: * Een soepele kennis van het tientallig talstelsel, inclusief de onderlinge verhoudingen tussen eenheden, tientallen, honderdtallen, duizendtallen, etc [26](#page=26). * Vlotte hoofdrekenvaardigheden, met een solide kennis van optel-, aftrek-, vermenigvuldigings- en deeltafels [26](#page=26). * Een goed inzicht in de plaats en het belang van het cijfer nul, zowel in getallen als in bewerkingen [26](#page=26). #### 4.1.2 Controle bij het cijferen Leerlingen moeten uitgevoerde bewerkingen controleren met behulp van diverse methoden [26](#page=26): * **Schatten:** Eerst een schatting maken van de grootteorde van het resultaat en deze vergelijken met de uiteindelijke uitkomst. Een schatting wordt verkregen door een vereenvoudigde, snel oplosbare bewerking [26](#page=26) [27](#page=27). * **Omgekeerde bewerking:** Bij optelling en aftrekking de omgekeerde bewerking uitvoeren [26](#page=26). * **Rekenmachine:** De rekenmachine gebruiken voor verificatie [26](#page=26). * **Negenproef:** Een specifieke controle die gebruikt kan worden [26](#page=26). #### 4.1.3 Hulpmiddelen bij het aanleren Diverse hulpmiddelen ondersteunen het aanleren van cijfervaardigheden [27](#page=27): * Een ruitjesschrift voor nauwkeurige schikking van bewerkingen [27](#page=27). * Ordelijk werken op de rekenkast en/of het bord [27](#page=27). * Meerdere leerlingen tegelijk aan het bord laten werken om fouten direct te identificeren [27](#page=27). ### 4.2 Geleidelijke opbouw van cijferoefeningen in het vierde leerjaar In het vierde leerjaar wordt de complexiteit van vermenigvuldigingen en delingen geleidelijk opgebouwd, met aandacht voor nieuwe stappen ten opzichte van het derde leerjaar [27](#page=27). #### 4.2.1 Eerste stap: Meermaals overschrijden of ontlenen Dit betreft de basisprincipes van optellen en aftrekken waarbij het kan voorkomen dat er overschreden (bij optellen) of ontleend (bij aftrekken) moet worden [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > Schatting van $8325 + 20567$: ongeveer $8000 + 20000 = 28000$. De exacte som is $28892$ [28](#page=28). > Schatting van $73205 - 14867$: ongeveer $73000 - 15000 = 58000$. De exacte aftrekking is $58338$ [28](#page=28). > Schatting van $12246 \times 5$: ongeveer $12000 \times 5 = 60000$. De exacte vermenigvuldiging is $61230$ [28](#page=28). > Schatting van $7938 \times 3$: ongeveer $8000 \times 3 = 24000$. De exacte vermenigvuldiging is $23814$ [28](#page=28). #### 4.2.2 Tweede stap: Meerdere nullen bij som, aftrektal, product, deeltal Deze stap focust op oefeningen waarbij nullen een prominente rol spelen in de getallen waarmee gerekend wordt [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > Schatting van $5135 + 4865$: ongeveer $5000 + 5000 = 10000$. De exacte som is $10000$ [28](#page=28). > Schatting van $2500 \times 4$: ongeveer $2500 \times 4 = 10000$. De exacte vermenigvuldiging is $10000$ [28](#page=28). > Schatting van $10101 - 7324$: ongeveer $10000 - 7000 = 3000$. De exacte aftrekking is $2777$ [28](#page=28). #### 4.2.3 Derde stap: Vermenigvuldigen met een getal van twee cijfers of meer Bij vermenigvuldigen met een getal van twee cijfers, zoals $13 \times 34$, wordt de logica ontleed als $10 \times 34 + 3 \times 34$. Leerlingen leren eerst vermenigvuldigen met het cijfer van de eenheden, daarna met het cijfer van de tientallen, waarbij de plaatsingsnul belangrijk is totdat de leerlingen begrijpen dat men op de rang van het tiental begint te schrijven [29](#page=29). > **Voorbeeld:** > $34 \times 13$ kan worden uitgewerkt als: > $34 \times 10 = 340$ > $34 \times 3 = 102$ > Totaal: $340 + 102 = 442$ [29](#page=29). > > De meer gestructureerde schrijfwijze is: > ``` > 34 > x 13 > ---- > 102 (34 x 3) > 340 (34 x 10) > ---- > 442 > ``` > [29](#page=29). > > Leerlingen moeten ook dergelijke vermenigvuldigingen schatten [29](#page=29). > Schatting van $126 \times 32$: ongeveer $130 \times 30 = 3900$ [29](#page=29). > Schatting van $167 \times 91$: ongeveer $170 \times 90 = 15300$ [29](#page=29). #### 4.2.4 Vierde stap: De deler telt twee of meer cijfers Bij delingen met een deler die uit meer dan één cijfer bestaat, ontstaan nieuwe moeilijkheden. De opeenvolgende cijfers van het quotiënt worden bepaald door schattingen van hoeveel keer de deler in de verschillende delen van het deeltal (duizendtallen, honderdtallen, etc.) gaat. Elke stap vereist het laten 'dalen' van telkens één cijfer van het deeltal [30](#page=30). > **Voorbeeld:** > Deling $9318: 37$ [30](#page=30). > Schatting: $9000: 30 = 300$ [30](#page=30). > > Uitwerking: > ``` > 251 (quotiënt) > _______ > 37 | 9318 (deeltal) > - 74 (37 x 2, bij 93 H) > ---- > 191 (rest) > - 185 (37 x 5, bij 191 T) > ---- > 68 (rest) > - 37 (37 x 1, bij 68 E) > ---- > 31 (rest) > ``` > [30](#page=30). > Besluit: $9318: 37 = 251$ met rest $31$ [30](#page=30). > Een veelgemaakte fout is het laten dalen van te veel cijfers; er mag telkens slechts één cijfer tegelijk gedaald worden [30](#page=30). > **Voorbeeld:** > Deling $8588: 76$ [30](#page=30). ### 4.3 Verdiepende opdrachten voor cijferen De documentatie bevat opdrachten die gericht zijn op het verdiepen van de kennis rond cijferend vermenigvuldigen en delen [31](#page=31) [33](#page=33). #### 4.3.1 Cijferend vermenigvuldigen met een getal van 2 cijfers of meer Opdrachten richten zich op het kiezen van geschikte oefeningen voor het vierde leerjaar, het uitschrijven van de stappen en de gestelde vragen aan leerlingen, en het formuleren van de inzichten die leerlingen moeten verwerven [31](#page=31). > **Voorbeeld (Uit ‘Rekensprong’):** > Cijferend vermenigvuldigen met een zuiver tiental [31](#page=31). > Cijferend vermenigvuldigen met een getal bestaande uit 2 cijfers [32](#page=32). #### 4.3.2 Cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers Opdrachten vereisen het identificeren van de benodigde voorkennis, de soort deling waarop men steunt, het doel van de inleiding en de instructiefase, en een kritische evaluatie van startoefeningen [33](#page=33). > **Vragen ter overweging:** > 1. Welke voorkennis moeten de leerlingen hebben [33](#page=33)? > 2. Op welke soort deling steunt men bij het cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers [33](#page=33)? > 3. Wat is het doel van de inleiding die de handleiding aanreikt [33](#page=33)? > 4. Wat is het doel van de instructie (kern en verwerking)? Waarom komt deze lesfase eerst aan bod in de kern [33](#page=33)? > 5. Is de oefening $306: 24$ zinvol om mee te starten in een eerste les cijferend delen door een getal bestaande uit 2 of meer cijfers? Waarom wel/niet [33](#page=33)? --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Cijferen | Een rekenmethode waarbij getallen onder elkaar worden geplaatst en bewerkingen worden uitgevoerd aan de hand van specifieke algoritmen, vaak met het gebruik van pen en papier. |
| Hoofdrekenen | Rekenen met flexibele strategieën, vaak mentaal of met papier als hulpmiddel, waarbij getallen als geheel worden beschouwd en er rekening wordt gehouden met individuele leerlingenverschillen. |
| Leerdoelen | Specifieke, meetbare, acceptabele, realistische en tijdgebonden doelstellingen die de leerling aan het einde van een les of leertraject moet kunnen bereiken, zowel op het gebied van rekenvaardigheid als vakdidactiek. |
| MAB-materiaal | Een didactisch hulpmiddel dat bestaat uit blokjes (eenheden), staafjes (tientallen) en vierkanten (honderdtallen) om wiskundige bewerkingen concreet te maken en inzicht te verschaffen in getalstructuren. |
| CSA-model | Een model voor begripsvorming dat de fasen Concreet, Schematisch en Abstract doorloopt, waarbij leerlingen eerst via tastbare materialen, dan via tekeningen en tenslotte via abstracte symbolen leren. |
| Algoritme | Een stapsgewijze procedure of reeks regels die gevolgd wordt om een probleem op te lossen of een berekening uit te voeren, zoals de standaardalgoritmen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. |
| Overschrijding | Een term gebruikt bij optellen en vermenigvuldigen, waarbij het aantal eenheden, tientallen of honderdtallen de waarde van de volgende positie overschrijdt en moet worden omgewisseld of overgedragen. |
| Ontlening | Een term gebruikt bij aftrekken en delen, waarbij er een tekort is aan eenheden, tientallen of honderdtallen om de bewerking uit te voeren, waardoor er geleend moet worden van de volgende hogere positie. |
| Vaktaal | Specifieke terminologie die in een bepaald vakgebied wordt gebruikt, in dit geval wiskunde, zoals 'eenheden', 'tientallen', 'overschrijding' en 'ontlening'. |
| Schatting | Een snelle berekening om een idee te krijgen van de grootteorde van het resultaat van een bewerking, wat helpt bij het controleren van de nauwkeurigheid van de uiteindelijke uitkomst. |
| Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld in een deling; het getal waar de deling op van toepassing is. |
| Deler | Het getal waardoor het deeltal wordt gedeeld in een deling; het getal dat aangeeft in hoeveel gelijke delen het deeltal wordt opgesplitst. |
| Quotiënt | Het resultaat van een deling; het aantal keren dat de deler in het deeltal gaat. |
| Rest | Het deel van het deeltal dat overblijft na een deling, omdat het niet precies kan worden verdeeld door de deler. |
| Negenproef | Een controlemechanisme om de correctheid van een cijferoefening te verifiëren door gebruik te maken van de eigenschappen van het getal negen en de digitale sommen van de getallen. |
| Scholing | De methode van het organiseren en aanbieden van lesmateriaal en opdrachten, waarbij geleidelijke opbouw en verschillende didactische fasen centraal staan. |