Hoofdstuk 5 Hoofdrekenen met kommagetallen (1).pdf

# Rekenstrategieën voor hoofdrekenen met kommagetallen Dit hoofdstuk behandelt diverse strategieën voor het hoofdrekenen met kommagetallen, inclusief optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, met als doel het correct oplossen van deze oefeningen door het gebruik van de juiste technieken [3](#page=3). ### 1.1 Algemene benadering Het hoofdrekenen met kommagetallen verloopt analoog aan het rekenen met natuurlijke getallen. Een kerntechniek is het omzetten van kommagetallen naar eenheden zoals tientallen ($t$), honderdsten ($h$) of duizendsten ($d$), waardoor er gerekend kan worden zonder komma's. Het aanvullen met nullen kan hierbij nuttig zijn [3](#page=3). ### 1.2 Optellen en aftrekken met kommagetallen De strategieën voor optellen en aftrekken met kommagetallen zijn gebaseerd op het omzetten naar eenheden zoals tientallen of honderdsten, of door het getal op te splitsen [3](#page=3). **Voorbeelden:** * $8,4 + 0,7$ kan worden berekend als $84t + 7t = 91t = 9,1$ [3](#page=3). * Alternatief kan $8,4 + 0,7$ worden opgesplitst: $8,4 + 0,6 + 0,1 = 9 + 0,1 = 9,1$ [3](#page=3). * Voor $8,4 + 1,66$ wordt het omgezet naar honderdsten: $8,40 + 1,66 = 840h + 166h = 1006h = 10,06$ [3](#page=3). * Ook hier is opsplitsen een optie: $8,40 + 1,60 + 0,06 = 10 + 0,06 = 10,06$ [3](#page=3). * Voor aftrekken, zoals $8,5 – 3,6$, wordt het omgezet naar tientallen: $85t – 36t = 85t – 35t – 1t = 50t - 1t = 49t = 4,9$ [3](#page=3). * Opgesplitst: $8,5 – 3,5 – 0,1 = 5 – 0,1 = 4,9$ [3](#page=3). ### 1.3 Vermenigvuldigen met kommagetallen Er zijn diverse strategieën voor het vermenigvuldigen van kommagetallen [4](#page=4). #### 1.3.1 Omzetten naar tientallen, honderdsten of duizendsten Het vermenigvuldigtal kan worden omgezet naar $t$, $h$, of $d$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $7 \times 0,6 = 7 \times 6t = 42t = 4,2$ [4](#page=4). #### 1.3.2 Gebruik van de vermenigvuldigingswip De vermenigvuldigingswip is nuttig wanneer zowel de vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal kommagetallen zijn. Dit principe houdt in dat het vermenigvuldigen van twee getallen met een komma gelijk is aan het vermenigvuldigen van de getallen zonder komma, waarna de positie van de komma wordt aangepast [4](#page=4). **Voorbeelden:** * $0,7 \times 0,6$: Hierbij kan men denken aan $10 \times$ bij de ene factor en $:10$ bij de andere [4](#page=4). $0,7 \times 0,6 = 7 \times 0,06 = 7 \times 6h = 42h = 0,42$ [4](#page=4). * $0,6 \times 0,08$: $0,6 \times 0,08 = 6 \times 0,008 = 6 \times 8d = 48d = 0,048$ [4](#page=4). * $15 \times 1,2$: Hierbij kan men bijvoorbeeld deelt door 5 en vermenigvuldigt met 5 om het makkelijker te maken [4](#page=4). $15 \times 1,2$: $(15:5) \times (1,2 \times 5) = 3 \times 6 = 18$ [4](#page=4). #### 1.3.3 Vermenigvuldigen door om te zetten naar een breuk Het omzetten van minstens één factor naar een breuk kan de berekening vereenvoudigen [4](#page=4). **Handige omzettingen:** * $0,25 = \frac{1}{4}$ [4](#page=4). * $0,125 = \frac{1}{8}$ [4](#page=4). * $0,375 = \frac{3}{8}$ [4](#page=4). * $0,625 = \frac{5}{8}$ [4](#page=4). * $0,75 = \frac{3}{4}$ [4](#page=4). * $0,875 = \frac{7}{8}$ [4](#page=4). **Voorbeelden:** * $35,5 \times 0,2 = 35,5 \times \frac{1}{5} = 35,5: 5 = 7,1$ [4](#page=4). * $0,75 \times 24 = \frac{3}{4} \times 24 = (24: 4) \times 3 = 6 \times 3 = 18$ [4](#page=4). #### 1.3.4 Andere rekenregels voor vermenigvuldigen * Vermenigvuldigen met $0,1$ is gelijk aan delen door $10$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $125 \times 0,1 = 125 \times \frac{1}{10} = 125: 10 = 12,5$ [4](#page=4). * Vermenigvuldigen met $0,01$ is gelijk aan delen door $100$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $136 \times 0,01 = 136 \times \frac{1}{100} = 136: 100 = 1,36$ [4](#page=4). * Vermenigvuldigen met $0,5$ is gelijk aan delen door $2$ [4](#page=4). * **Voorbeeld:** $78 \times 0,5 = 78 \times \frac{1}{2} = 78: 2 = 39$ [4](#page=4). ### 1.4 Delen met kommagetallen Bij het delen met kommagetallen zijn er ook verschillende strategieën toepasbaar [5](#page=5). #### 1.4.1 Omzetten naar tientallen, honderdsten of duizendsten Het deeltal en/of de deler kunnen worden omgezet naar $t$, $h$, of $d$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5,4: 9 = 54t: 9 = 6t = 0,6$ [5](#page=5). * Voor $7,2: 0,8$ worden beide omgezet naar tientallen: $72t: 8t = 9$. Dit kan worden gezien als een verhoudingsdeling: hoe vaak past $8t$ in $72t$? [5](#page=5). #### 1.4.2 Gebruik van de delingshalter De delingshalter is gebaseerd op het principe dat het deeltal en de deler met hetzelfde getal vermenigvuldigd of gedeeld mogen worden zonder dat de uitkomst verandert [5](#page=5). **Voorbeelden:** * $7,2: 0,8$: Beide getallen worden vermenigvuldigd met $10$ [5](#page=5). $(7,2 \times 10): (0,8 \times 10) = 72: 8 = 9$ [5](#page=5). * $122,5: 2,5$: Beide getallen worden vermenigvuldigd met $4$ om de deler een geheel getal te maken [5](#page=5). $(122,5 \times 4): (2,5 \times 4) = 490: 10 = 49$ [5](#page=5). #### 1.4.3 Andere rekenregels voor delen * Delen door $0,1$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $10$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5: 0,1 = 5 \times 10 = 50$ (dit omdat $1t$ 50 keer in 5 past) [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $245: 0,1 = 245 \times 10 = 2450$ [5](#page=5). * Delen door $0,01$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $100$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5: 0,01 = 5 \times 100 = 500$ (dit omdat $1h$ 500 keer in 5 past) [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $24,5: 0,01 = 24,5 \times 100 = 2450$ [5](#page=5). * Delen door $0,001$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $1000$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $5: 0,001 = 5 \times 1000 = 5000$ (dit omdat $1d$ 5000 keer in 5 past) [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $0,57: 0,001 = 0,57 \times 1000 = 570$ [5](#page=5). * Delen door $0,5$ is gelijk aan vermenigvuldigen met $2$ [5](#page=5). * **Voorbeeld:** $3: 0,5 = 3 \times 2 = 6$ [5](#page=5). ### 1.5 Oefeningen Hieronder volgen oefeningen om de geleerde rekenstrategieën toe te passen [6](#page=6). 1. $127,35 : 0,01 =$ 2. $856 \times 0,375 =$ 3. $2512 : 0,25 =$ 4. $999,99 + 2,11 =$ 5. $234 : 1,5 =$ 6. $89 \times 2,5 =$ 7. $4215 : 1,5 =$ 8. $50 \times 0,75 =$ 9. $0,5 \times 3,2 =$ 10. $2,1 \times 0,7 =$ 11. $8,3 : 0,02 =$ 12. $73,5 : 0,2 =$ 13. $538 \times 0,1 =$ 14. $23,4 : 6 =$ 15. $0,245 \times 98 =$ 16. $0,9 \times 31 =$ 17. $352,28 + 0,073 =$ 18. $2,35 — 0,035 =$ 19. $4,45 + 0,6 =$ 20. $8 : 25 =$ Extra oefeningen zijn te vinden op de TOLEDO course “Wiskunde oefenpakket UCLL” [6](#page=6). --- # Kommagetallen in de lagere school Dit gedeelte van de studiehandleiding behandelt de didactiek van kommagetallen in het lager onderwijs, met de focus op hoe deze concepten geïntroduceerd, begrepen en toegepast kunnen worden door middel van metend rekenen en MAB-materiaal [7](#page=7). ### 2.1 Vakdidactische leerdoelen * Je kan kommagetallen inzichtelijk introduceren in het lager onderwijs vanuit realistische contexten [7](#page=7). * Je kan alle mogelijke types hoofdrekenen met kommagetallen rubriceren in een overzicht [7](#page=7). * Je kan bij elk type oefening de oplossingswijze inzichtelijk aanbrengen, voortbouwend op de voorkennis van leerlingen [7](#page=7). ### 2.2 Voortaak De voortaak omvat groepswerk om het leerplan te raadplegen over de introductie van kommagetallen, het bekijken van een demonstratieles met observatieopdrachten, en het grondig bestuderen van de volgende secties inclusief het oplossen van geïntegreerde opdrachten en het noteren van vragen [7](#page=7). ### 2.3 Kommagetallen aanbrengen vanuit metend rekenen Het aanbrengen van kommagetallen via metend rekenen is voordelig omdat concrete meetcontexten voor kinderen beter voorstelbaar zijn dan onbenoemde getallen [8](#page=8). #### 2.3.1 Een betekenisvolle meetcontext Kommagetallen worden vaak in de praktijk ervaren bij het werken met meetgetallen [8](#page=8). > **Voorbeeld:** De vraag "Welke van de volgende getallen ligt het dichtst bij 1,98?" is moeilijk zonder context. Met de toevoeging van de grootheid kilogram (bijvoorbeeld 2,12 kg, 1,9 kg, 1,895 kg, 2,001 kg) wordt de opgave vereenvoudigd door omzetting naar gram (2120 g, 1900 g, 1895 g, 2001 g) [8](#page=8). Leerlingen komen al vroeg in contact met kommagetallen, bijvoorbeeld met geldwaarden in euro vanaf het tweede leerjaar, waarbij ze geldwaarden met maximaal twee decimalen leren lezen (bv. 2,50 euro als twee en een halve euro). Vanaf het vierde leerjaar worden kommagetallen verder geïntroduceerd [8](#page=8) [9](#page=9). #### 2.3.2 Handelen en verwoorden Een methode om decimale getallen te introduceren is via de concrete relatie meter (m) en decimeter (dm). Leerlingen meten stroken en noteren de lengtes, bijvoorbeeld [9](#page=9): * Strook 1: 1 m of 10 dm * Strook 2: 1 dm * Strook 3: 4 dm * Strook 4: 1 m 7 dm of 17 dm * Strook 5: 1 m 2 dm of 12 dm Door de eerste strook (1 meter) in decimeters te verdelen, wordt duidelijk dat 1 dm gelijk is aan 1/10 m. De lengtes worden vervolgens in de maateenheid meter weergegeven, eerst in tiendelige breuken [9](#page=9): * Strook 1: 1 m * Strook 2: 1/10 m * Strook 3: 4/10 m * Strook 4: 1 m + 7/10 m * Strook 5: 1 m + 2/10 m Grotere afmetingen, zoals de speelplaats (bv. 34 m en 3 dm lang), worden ook omgezet naar meters [9](#page=9): * 34 m + 3/10 m * 19 m + 8/10 m #### 2.3.3 Schematiseren en verwoorden De maten worden in een tabel geplaatst, waarbij de positietabel uitgebreid wordt met een kolom voor de tienden (t). Dit toont aan dat een cijfer rechts van een ander cijfer tien keer kleiner is in waarde, waardoor de positietabel naar rechts kan worden uitgebreid. De komma wordt niet in de tabel genoteerd, maar wordt cruciaal bij het lezen van het getal uit de tabel [10](#page=10). #### 2.3.4 Noteren en lezen Omdat het werken met tabellen lastig is, wordt de komma geïntroduceerd om de positie van de eenheden aan te geven. Getallen worden genoteerd als 1,7 m, 34,3 m, 19,8 m, etc. Het correct lezen van deze getallen is essentieel, bijvoorbeeld "vierendertig meter drie decimeter" of "vierendertig meter en drie tienden" [10](#page=10). ### 2.4 Kommagetallen aanbrengen met MAB-materiaal MAB-materiaal is geschikt om het tientallig stelsel uit te breiden naar decimalen. Een kubus van duizend wordt als één eenheid beschouwd. Een vlak wordt gebruikt om de eenheid in tien gelijke delen te verdelen, wat resulteert in "één tiende" of 1/10. De nieuwe schrijfwijze wordt aangeleerd door hoeveelheden in een tabel te noteren, waarbij een komma tussen de eenheden en de tienden wordt geplaatst. Wanneer de kubus de eenheid wordt, wordt het tiental een superstaaf en het honderdtal een superplak, die echter niet gematerialiseerd worden [11](#page=11). ### 2.5 Getallenkennis inoefenen Kommagetallen worden ondersteund door ze uitgebreid te lezen, bijvoorbeeld [12](#page=12): * 0,7 = (0 gehelen) 7 tienden (in plaats van 0 komma 7) * 2,53 = 2 gehelen 53 honderdsten of 2 gehelen 5 tienden en 3 honderdsten of 253 honderdsten (in plaats van 2 komma 53) Het concreet vormen, schematisch en abstract noteren van kommagetallen moet herhaaldelijk worden ingeoefend. Daarbij moet de strikte regelmaat van het getalsysteem benadrukt worden: de waarde van een cijfer is steeds tien keer groter dan het cijfer rechts ervan, en één tiende van het cijfer links ervan [12](#page=12). > **Voorbeeld:** Oefeningen die de structuur van kommagetallen versterken, zoals het plaatsen van getallen op een getallenlijn of het vinden van getallen tussen twee gegeven getallen, zijn belangrijk [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15). Leerlingen kunnen denkfouten maken, bijvoorbeeld in het begrijpen van de dichtheid van kommagetallen (het kleinste kommagetal groter dan 0). Remediatie richt zich op het verduidelijken van de positiewaarde en het getalbegrip [14](#page=14) [15](#page=15). > **Tip:** Gebruik websites zoals www.rekenweb.nl voor spelletjes om kommagetallen in te oefenen, zoals betalen met euro's of balloon pop math [14](#page=14). ### 2.6 Optellen en aftrekken met kommagetallen Leerlingen moeten optellingen en aftrekkingen met kommagetallen (maximaal drie decimalen) uit het hoofd kunnen uitvoeren. Dit gebeurt stapsgewijs [16](#page=16): 1. Werken met materiaal en de handeling verwoorden. 2. Werken met materiaal, verwoorden, en de lange notatie van de handeling en het resultaat noteren. 3. De handeling en het resultaat uitvoerig verwoorden. 4. Automatiseren. #### 2.6.1 Types oefeningen Oefeningen worden ingedeeld in optellen en aftrekken, met en zonder overschrijding, en met verschillende combinaties van tienden (t) en eenheden (E) [16](#page=16). | | Zonder overschrijding | Met overschrijding | Zonder overschrijding | Met overschrijding | | :------------- | :-------------------- | :----------------- | :-------------------- | :----------------- | | t + t | vb.: | vb.: | | | | E + t | vb.: | vb.: | | | | Et + E | vb.: | vb.: | | | | Et + Et | vb.: | vb.: | | | | t - t | vb.: | | vb.: | vb.: | | Et - t | vb.: | | vb.: | vb.: | | Et - E | vb.: | | vb.: | vb.: | | Et - Et | vb.: | | vb.: | vb.: | #### 2.6.2 Zonder overschrijding Het eenvoudigste type (t +/- t zonder overschrijding) wordt eerst aangeboden en de moeilijkheidsgraad wordt langzaam opgevoerd [17](#page=17). > **Voorbeeld:** Voor 0,3 + 0,4 wordt MAB-materiaal gebruikt om drie tienden en vier tienden bij elkaar te voegen, wat resulteert in zeven tienden (0,7). Schematisch wordt dit weergegeven door stroken in te kleuren [17](#page=17). > Notatie: $0,3 + 0,4 = 3t + 4t = 7t = 0,7$ [17](#page=17). Oefeningen met eenheden en tienden (bv. E + t, Et + t) worden analoog uitgewerkt met MAB-materiaal [17](#page=17). #### 2.6.3 Met overschrijding Bij bewerkingen met overschrijding is het cruciaal dat de tiendelige getalstructuur zichtbaar blijft in zowel de concrete als schematische fasen. Met MAB-materiaal worden tien tienden omgewisseld voor één eenheid. Schematisch wordt eerst een strook van tien vakjes (tien tienden) gevuld [18](#page=18). > **Voorbeeld:** Voor 3,3 – 0,8 wordt met MAB-materiaal 3 eenheden en 3 tienden gelegd. Om 8 tienden weg te nemen, worden eerst 3 tienden weggenomen. Vervolgens wordt een eenheid omgewisseld in tien tienden, waarvan er nog 5 worden weggenomen. Dit resulteert in 2 eenheden en 5 tienden (2,5) [18](#page=18). > Abstracte notatie: $3,3 - 0,8 = 3E + 3t - 8t = 3E + 3t - 3t - 5t = 3E - 5t = 2E + 10t - 5t = 2E + 5t = 2,5$ [18](#page=18). Leerlingen krijgen de kans om eigen, correcte strategieën te ontwikkelen [18](#page=18). > **Opdracht:** Zoek zoveel mogelijk verschillende oplossingswijzen voor oefeningen als 3,7 + 2,2 en 1,05 – 0,06 [19](#page=19). ### 2.7 Kommagetallen vermenigvuldigen #### 2.7.1 Types oefeningen De typen vermenigvuldigingen omvatten: het vermenigvuldigtal is een kommagetal, het vermenigvuldiger is een kommagetal, en zowel het vermenigvuldiger als het vermenigvuldigtal zijn kommagetallen. Een speciaal geval is het vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 [20](#page=20). #### 2.7.2 Het vermenigvuldigtal is een kommagetal Bij het vermenigvuldigen van een kommagetal met een natuurlijk getal, wordt uitgegaan van het aanwijzen van fracties van een strook [20](#page=20). > **Voorbeeld:** 2 × 0,3 (twee keer 3 tienden) wordt voorgesteld als 6 tienden (0,6) [20](#page=20). > $1 \times 0,3 = 0,3$ [20](#page=20). > $2 \times 0,3 = 6t = 0,6$ [20](#page=20). > $3 \times 0,3 = 9t = 0,9$ [20](#page=20). > $4 \times 0,3 = 12t = 1E + 2t = 1,2$ [20](#page=20). De tafels van vermenigvuldiging worden opgebouwd met kommagetallen. Belangrijk is dat leerlingen inzien dat als het vermenigvuldigtal kleiner is dan 1, het product kleiner is dan de vermenigvuldiger [21](#page=21). > **Opdracht:** Los oefeningen op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden, bv. $3 \times 0,7$ en $3 \times 2,3$ [21](#page=21). Het tellen met sprongen en het gebruik van de getallenlijn zijn handige leermiddelen [21](#page=21). #### 2.7.3 De vermenigvuldiger is een kommagetal Het is lastig voor leerlingen te begrijpen dat vermenigvuldigen met een tiende de rang van het cijfer deelt door tien, waardoor de cijferwaarden "met een rang naar rechts opschuiven" en verkleinen. Er wordt gestart met voorbeelden waarbij de vermenigvuldiger een begrijpelijk getal is, zoals 0,5 (helft nemen) of 0,1 (tiende nemen) [22](#page=22). > **Voorbeeld:** $0,5 \times 8$ = de helft van 8 = 4 [22](#page=22). > $0,2 \times 4 = \frac{1}{5} \times 4 = 0,8$ [22](#page=22). De plaats van de komma kan bepaald worden aan de hand van een schatting. De commutatieve eigenschap van de vermenigvuldiging is ook een handige methode [22](#page=22). > **Voorbeeld:** $0,2 \times 4 = 4 \times 0,2 = 4 \times 2t = 8t = 0,8$ [23](#page=23). > **Opdracht:** Los de oefening $2,5 \times 5$ op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden [23](#page=23). #### 2.7.4 Kommagetallen vermenigvuldigen met tien, honderd en duizend Door het tienvoud, honderdvoud en duizendvoud van kommagetallen te berekenen en de resultaten te bespreken, wordt de regel afgeleid: bij vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 schuift de komma één, twee of drie plaatsen naar rechts [23](#page=23). > **Voorbeelden:** > $10 \times 3,1 = 31$ [23](#page=23). > $100 \times 3,1 = 310$ [23](#page=23). > $1000 \times 3,1 = 3100$ [23](#page=23). > **Opdracht:** Los oefeningen op met de lange notatie (zonder de regel van het verschuiven van de komma toe te passen), bv. $10 \times 7,356$ [24](#page=24). #### 2.7.5 Een kommagetal vermenigvuldigen met een kommagetal In het zesde leerjaar kunnen leerlingen eenvoudige vermenigvuldigingen met kommagetallen uitvoeren. Oefeningen met 0,1; 0,01; 0,001 en 0,5 worden benadrukt [24](#page=24). > **Opdracht:** Wat klopt er niet aan het antwoord van de leerling: $0,5 \times 0,8 = 40t = 4$ [24](#page=24)? Oefeningen waarbij de leerlingen de handeling concreet kunnen voorstellen, zoals 0,5 keer iets nemen, worden gebruikt [24](#page=24). > **Voorbeeld:** $0,5 \times 0,8$ = de helft van 0,8 = 0,4 [24](#page=24). > $0,1 \times 8,6$ = een tiende keer 8,6 = een tiende deel van 8,6 = 0,86 [24](#page=24). ### 2.8 Kommagetallen delen #### 2.8.1 Types oefeningen Verschillende types delingen komen voor: een kommagetal gedeeld door een natuurlijk getal, een natuurlijk getal gedeeld door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt, een natuurlijk getal gedeeld door een kommagetal, en een kommagetal gedeeld door een eenvoudig kommagetal. Speciale gevallen zijn delen door 10, 100 of 1000 [25](#page=25). #### 2.8.2 Een kommagetal delen door een natuurlijk getal Bij het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal ontstaan geen speciale problemen bij voldoende getalbegrip [26](#page=26). > **Voorbeeld:** 0,8 verdelen in 2 gelijke delen geeft 0,4 per deel [26](#page=26). > Notatie: $0,8: 2 = 0,4$ [26](#page=26). > $1,2: 3 = 12t: 3 = 4t = 0,4$ [26](#page=26). Leerlingen worden aangemoedigd om meerdere oplossingswijzen te vinden [26](#page=26). > **Opdracht:** Los oefeningen op met zoveel mogelijk verschillende oplossingswijzen, bv. $6,4: 2$ en $0,035: 5$ [26](#page=26). #### 2.8.3 Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt Deze oefeningen worden analoog aangebracht aan de vorige sectie [27](#page=27). > **Voorbeeld:** $1: 2 = 10t: 2 = 5t = 0,5$ [27](#page=27). > $2: 5 = 20t: 5 = 4t = 0,4$ [27](#page=27). > **Opdracht:** Los oefeningen op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden, bv. $4: 20$ [27](#page=27). #### 2.8.4 Kommagetallen delen door tien en honderd, natuurlijke getallen delen door tien, honderd en duizend met een kommagetal als quotiënt Door delingen door 10, 100 en 1000 te vergelijken, wordt de regel ontdekt: bij delen door 10, 100 of 1000 schuift de komma één, twee of drie plaatsen naar links [28](#page=28). > **Voorbeelden:** > $375: 10 = 37,5$ [28](#page=28). > $18,6: 10 = 1,86$ [28](#page=28). > **Opdracht:** Los oefeningen op de lange manier op (zonder de rekenregel met het verplaatsen van de komma), bv. $39,75: 10$ [28](#page=28). #### 2.8.5 Een natuurlijk getal delen door een kommagetal Het delen door een kommagetal kleiner dan één is lastig omdat delen normaal gesproken een getal kleiner maakt, terwijl hier het resultaat groter wordt dan het deeltal (bv. 4: 0,1 = 40). Dit kan enkel op abstract niveau worden begrepen. Een concrete context van metend rekenen met verhoudingsdeling kan verduidelijking bieden [29](#page=29). > **Voorbeeld:** Hoeveel planken van verschillende lengtes zijn nodig om een lengte van 4 meter vol te leggen? > * 4m planken: 4: 4 = 1 plank [29](#page=29). > * 2m planken: 4: 2 = 2 planken [29](#page=29). > * 0,5m planken: 4: 0,5 = 8 planken [29](#page=29). > * 0,1m planken: 4: 0,1 = 40 planken [29](#page=29). Abstract worden deze oefeningen het handigst opgelost met de delingshalter (het quotiënt blijft hetzelfde als deler en deeltal met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of gedeeld) [29](#page=29). > **Voorbeeld:** > $10: 0,2 = 100: 2 = 50$ [29](#page=29). > $4,2: 0,07 = 420: 7 = 60$ [29](#page=29). > **Opdracht:** Los de oefening $7,5: 0,15$ op [29](#page=29). --- # Oefeningen en toepassingen met kommagetallen Dit gedeelte behandelt diverse oefeningen en toepassingen met kommagetallen, met een focus op de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Er wordt aandacht besteed aan veelvoorkomende denkfouten van leerlingen en strategieën voor remediëring [14](#page=14) [6](#page=6). ### 3.1 Inleiding en algemene oefeningen Het inoefenen van kommagetallen kan worden ondersteund door middel van online spelletjes. Er worden verschillende soorten oefeningen gepresenteerd om denkfouten te identificeren en remediëringsstrategieën te ontwikkelen [14](#page=14). #### 3.1.1 Plaatsen op de getallenas Een fundamenteel aspect van het werken met kommagetallen is het correct plaatsen ervan op een getallenas. Dit helpt bij het ontwikkelen van inzicht in de grootte en relatieve positie van getallen [14](#page=14). > **Voorbeeld:** Plaats de getallen 4,8; 4,10 en 4,015 op de getallenas [14](#page=14). #### 3.1.2 Volgende en tussenliggende getallen Het bepalen van het getal dat direct volgt op een gegeven kommagetal, of een getal dat tussen twee gegeven kommagetallen ligt, oefent het begrip van de opeenvolging en dichtheid van kommagetallen [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Noteer het getal dat meteen volgt op 14,455 [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Welk getal ligt tussen 15,45 en 15,47? [15](#page=15). #### 3.1.3 Beoordeling van leerlingoplossingen en aanpassing van opgaven Het analyseren van de antwoorden van leerlingen op kommagetalopgaven is cruciaal voor het identificeren van misconcepties. Het aanpassen van de opgaven om ze duidelijker te maken, is een belangrijke remediëringsstrategie [15](#page=15). ### 3.2 Optellen en aftrekken met kommagetallen Leerlingen moeten optellingen en aftrekkingen met kommagetallen (maximaal drie decimalen) uit het hoofd kunnen uitvoeren. Dit wordt opgebouwd via verschillende fasen: werken met materiaal, uitvoerig verwoorden, lange notatie noteren, en uiteindelijk automatiseren [16](#page=16). #### 3.2.1 Types oefeningen bij optellen en aftrekken Er worden verschillende typen oefeningen onderscheiden, gebaseerd op het al dan niet overschrijden van eenheden en het aantal decimalen. Deze kunnen worden ingedeeld naar: * **Optellen:** * Zonder overschrijding: * Tientallen + Tientallen (t + t) [16](#page=16). * Eenheden + Tientallen (E + t) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden + Tientallen (Et + t) [16](#page=16). * Eenheden + Eenheden (E + E) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden + Eenheden (Et + E) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden + Tientallen van Eenheden (Et + Et) [16](#page=16). * Met overschrijding [16](#page=16): * t + t [16](#page=16). * E + t [16](#page=16). * Et + t [16](#page=16). * Et + E [16](#page=16). * Et + Et [16](#page=16). * **Aftrekken:** * Zonder overschrijding: * Tientallen – Tientallen (t – t) [16](#page=16). * Eenheden – Tientallen (E – t) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden – Eenheden (Et – E) [16](#page=16). * Tientallen van Eenheden – Tientallen van Eenheden (Et – Et) [16](#page=16). * Met overschrijding [16](#page=16): * t – t [16](#page=16). * Et – t [16](#page=16). * Et – E [16](#page=16). * Et – Et [16](#page=16). #### 3.2.2 Zonder overschrijding Bij oefeningen zonder overschrijding wordt gestart met de eenvoudigste vorm (bijvoorbeeld tienden + tienden) en de moeilijkheidsgraad wordt geleidelijk opgevoerd. MAB-materiaal en schematische voorstellingen helpen bij het visualiseren van de bewerkingen [17](#page=17). > **Voorbeeld:** 0,3 + 0,4 [17](#page=17). > **Opdracht:** Werk 0,8 – 0,5 uit analoog aan het voorbeeld [17](#page=17). > **Opdracht:** Bedenk een passend rekenverhaal voor 1,2 + 0,3 [17](#page=17). #### 3.2.3 Met overschrijding Bij bewerkingen met overschrijding is het cruciaal dat de tiendelige getalstructuur zichtbaar blijft, zowel concreet (omwisselen van tien tienden voor één eenheid) als schematisch (vullen van stroken) [18](#page=18). > **Voorbeeld:** 3,3 – 0,8. Hierbij wordt getoond hoe een eenheid wordt omgewisseld in tien tienden om de aftrekking mogelijk te maken [18](#page=18). > Abstract wordt dit genoteerd als: > $$3,3 - 0,8 = 3E + 3t - 8t$$ > $$= 3E + 3t - 3t - 5t$$ > $$= 3E - 5t$$ > $$= 2E + 10t - 5t$$ > $$= 2E + 5t$$ > $$= 2,5$$ [18](#page=18). Het stimuleren van leerlingen om eigen, correcte strategieën te ontwikkelen is belangrijk bij hoofdrekenen [18](#page=18). > **Opdracht:** Zoek zo veel mogelijk verschillende oplossingswijzen voor: 3,7 + 2,2; 8,4 – 3,1; 1,05 – 0,06; 1,3 – 0,8; 5,125 – 1,005 [19](#page=19). ### 3.3 Kommagetallen vermenigvuldigen #### 3.3.1 Types oefeningen bij vermenigvuldigen De oefeningen met kommagetallen vermenigvuldigen kunnen worden onderverdeeld in: * Vermenigvuldigtal is een kommagetal [20](#page=20). * Speciaal geval: kommagetal vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 [20](#page=20). * Vermenigvuldiger is een kommagetal [20](#page=20). * Vermenigvuldiger én vermenigvuldigtal zijn kommagetallen [20](#page=20). #### 3.3.2 Het vermenigvuldigtal is een kommagetal Bij deze oefeningen wordt de betekenis van vermenigvuldigen met een kommagetal bevraagd, waarbij wordt geïllustreerd hoe herhaald optellen leidt tot de oplossing. Het inzicht dat het product kleiner is dan de vermenigvuldiger wanneer deze kleiner is dan 1, is essentieel [21](#page=21). > **Voorbeeld:** 2  0,3 [20](#page=20). > Dit illustreert hoe de tafel van vermenigvuldiging kan worden opgebouwd met kommagetallen, bijvoorbeeld de tafel van 0,3 [21](#page=21). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden: 3  0,7; 3  2,3 [21](#page=21). Het tellen met sprongen en het gebruik van de getallenlijn kunnen hierbij nuttig zijn [21](#page=21). #### 3.3.3 De vermenigvuldiger is een kommagetal Leerlingen vinden het soms moeilijk te begrijpen dat vermenigvuldigen met een getal kleiner dan 1 resulteert in een kleiner product. Concepten zoals "de helft nemen" (0,5 keer) of "een tiende deel nemen" (0,1 keer) worden gebruikt om dit te verduidelijken [22](#page=22). > **Voorbeeld:** 0,5  8 = de helft van 8 = 4 [22](#page=22). > **Voorbeeld:** 0,2  4 = $\frac{1}{5}$ keer 4 = 0,8 [22](#page=22). Het bepalen van de plaats van de komma kan door middel van schatten worden ingeoefend. De commutatieve eigenschap kan ook een handige werkwijze zijn [22](#page=22). > **Voorbeeld:** 0,2  4 = 4  0,2 = 4  2 tienden = 8 tienden = 0,8 [23](#page=23). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden: 2,5  5 [23](#page=23). #### 3.3.4 Kommagetallen vermenigvuldigen met tien, honderd en duizend Bij het vermenigvuldigen met 10, 100 of 1000 wordt de komma één, twee of drie plaatsen naar rechts verschoven. Dit wordt afgeleid uit concrete voorbeelden [23](#page=23). > **Voorbeeld:** > $$10 \times 3,1 = 31$$ [23](#page=23). > $$100 \times 3,1 = 310$$ [23](#page=23). > $$1000 \times 3,1 = 3100$$ [23](#page=23). > **Opdracht:** Los op met de lange notatie (zonder de regel van het verschuiven van de komma toe te passen): 10  7,356; 100  18,205; 1000  7,356 [24](#page=24). #### 3.3.5 Een kommagetal vermenigvuldigen met een kommagetal Leerlingen moeten het product kunnen berekenen van een eenvoudig kommagetal met een kommagetal. Er wordt bijzondere aandacht besteed aan vermenigvuldigingen naar analogie met vermenigvuldigingstafels en vermenigvuldigen met 0,1; 0,01 en 0,5 [24](#page=24). > **Opdracht:** Wat klopt er niet aan 0,5  0,8 = 40 tienden = 4? [24](#page=24). Het product is kleiner dan het deeltal omdat de vermenigvuldiger kleiner is dan 1 [24](#page=24). > **Voorbeeld:** 0,5  0,8 = de helft van 0,8 = 0,4 [24](#page=24). > **Voorbeeld:** 0,1  8,6 = een tiende deel van 8,6 = 0,86 [24](#page=24). ### 3.4 Kommagetallen delen #### 3.4.1 Types oefeningen bij delen Bij het delen van kommagetallen kunnen verschillende types oefeningen voorkomen [25](#page=25): * Kommagetal gedeeld door een natuurlijk getal [25](#page=25). * Speciaal geval: Kommagetal gedeeld door 10, 100 [25](#page=25). * Natuurlijk getal gedeeld door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt [25](#page=25). * Speciaal geval: Natuurlijk getal delen door 10, 100 of 1000 [25](#page=25). * Natuurlijk getal gedeeld door een kommagetal [25](#page=25). * Kommagetal gedeeld door een eenvoudig kommagetal [25](#page=25). #### 3.4.2 Een kommagetal delen door een natuurlijk getal Bij het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal ontstaan geen speciale problemen als leerlingen voldoende getalbegrip hebben. Het tienden, honderdsten, enzovoort, kunnen verder worden verdeeld [26](#page=26). > **Voorbeeld:** 0,8: 2 = 0,4 [26](#page=26). > **Voorbeeld:** 1,2: 3 = 12 tienden: 3 = 4 tienden = 0,4 [26](#page=26). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingswijzen: 6,4: 2; 0,035: 5 [26](#page=26). #### 3.4.3 Een natuurlijk getal delen door een natuurlijk getal met een kommagetal als quotiënt Deze oefeningen worden analoog aangebracht als het delen van een kommagetal door een natuurlijk getal [27](#page=27). > **Voorbeeld:** 1: 2 = 10 tienden: 2 = 5 tienden = 0,5 [27](#page=27). > **Voorbeeld:** 2: 5 = 20 tienden: 5 = 4 tienden = 0,4 [27](#page=27). > **Opdracht:** Los op met zoveel mogelijk verschillende oplossingsmethoden: 4: 20; 3: 15 [27](#page=27). #### 3.4.4 Kommagetallen delen door tien en honderd, natuurlijke getallen delen door tien, honderd en duizend met een kommagetal als quotiënt Bij het delen door 10, 100 of 1000 wordt de komma één, twee of drie plaatsen naar links verschoven. Dit wordt afgeleid uit concrete voorbeelden [28](#page=28). > **Voorbeeld:** > $$375: 10 = 37,5$$ [28](#page=28). > $$18,6: 10 = 1,86$$ [28](#page=28). > **Opdracht:** Los op op de lange manier (zonder de rekenregel met het verplaatsen van de komma): 39,75: 10; 193,2: 100; 7: 1000 [28](#page=28). #### 3.4.5 Een natuurlijk getal delen door een kommagetal Delen door een kommagetal kleiner dan één leidt tot een resultaat dat groter is dan het deeltal, wat een hindernis kan zijn omdat men niet in 0,1 groepjes kan verdelen. Werken met een concrete context van metend rekenen en verhoudingsdeling kan verduidelijking bieden [29](#page=29). > **Voorbeeld:** Ik wil een lengte van 4 meter vol leggen met planken van verschillende lengtes [29](#page=29). > * 4: 4 = 1 plank [29](#page=29). > * 4: 2 = 2 planken [29](#page=29). > * 4: 1 = 4 planken [29](#page=29). > * 4: 0,5 = 8 planken [29](#page=29). > * 4: 0,1 = 40 planken [29](#page=29). Op abstract niveau worden deze oefeningen het handigst opgelost d.m.v. de delingshalter, waarbij zowel deler als deeltal met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of gedeeld [29](#page=29). > **Voorbeeld:** > $$10: 0,2 \quad (= 100: 2) = 50$$ [29](#page=29). > $$4,2: 0,07 \quad (= 420: 7) = 60$$ [29](#page=29). > **Opdracht:** 7,5: 0,15 [29](#page=29). ### 3.5 Nataak De nataak omvat verschillende opdrachten gericht op het inoefenen van de bewerkingen met kommagetallen, het identificeren van leerlingfouten en het bedenken van remediëringsstrategieën [30](#page=30). > **Opdracht 1a:** Los de volgende oefeningen op: 0,8 + 0,8; 7 x 0,3; 0,4 x 0,6; 7,2: 1,8; 6: 0,1 [30](#page=30). > **Opdracht 1b:** Welke fouten verwacht je van de leerlingen voor elke oefening? [30](#page=30). > **Opdracht 1c:** Hoe zou je leerlingen helpen die deze fouten maken? [30](#page=30). > **Opdracht 2:** Bedenk een passend rekenverhaal voor 5 x 2,4 en 0,1 x 2,4 [30](#page=30). > **Opdracht 3:** Rangschik de volgende bewerkingen volgens stijgende moeilijkheidsgraad en verklaar: 2 x 2,4; 0,5 x 2,4; 0,3 x 2,4; 5 x 2,4; 0,1 x 2,4; 1,6 x 2,4 [30](#page=30). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kommagetal | Een getal dat wordt geschreven met een komma om de gehele en fractionele delen van het getal te scheiden. Het decimale deel wordt weergegeven na de komma, waarbij elke positie na de komma een macht van 1/10 vertegenwoordigt. | | Hoofdrekenen | Het vermogen om rekenkundige bewerkingen uit te voeren zonder gebruik te maken van rekenmachines of schriftelijke methoden, puur door middel van mentale berekeningen. | | Rekenstrategieën | Verschillende methoden en technieken die worden gebruikt om wiskundige problemen op te lossen, vaak gericht op efficiëntie en begrip, zoals het omzetten van getallen of het gebruik van kenmerkende eigenschappen. | | MAB-materiaal | Een didactisch hulpmiddel (Meta-Analyse-Basis) dat veelal bestaat uit blokjes, staafjes en platen, gebruikt om abstracte wiskundige concepten, zoals het tientallig stelsel en decimale getallen, visueel en tastbaar te maken voor leerlingen. | | Metend rekenen | Een onderdeel van wiskundeonderwijs waarbij leerlingen leren meten en werken met meeteenheden (zoals lengte, gewicht, inhoud). Het koppelt wiskundige concepten aan reële, meetbare situaties en objecten. | | Vakdidactische leerdoelen | Specifieke leerdoelen die betrekking hebben op de manier waarop een bepaald schoolvak, in dit geval wiskunde, onderwezen moet worden. Ze richten zich op de inhoud, de didactiek en de pedagogische aanpak van het vak. | | Decimaal getal | Een synoniem voor kommagetal; een getal dat wordt weergegeven in het decimale stelsel en een komma gebruikt om het gehele deel van het fractionele deel te scheiden. | | Tienden | De eerste decimale plaats na de komma, die een waarde van 1/10 vertegenwoordigt. Een getal als 0,7 bestaat uit 7 tienden. | | Honderdsten | De tweede decimale plaats na de komma, die een waarde van 1/100 vertegenwoordigt. Een getal als 0,07 bestaat uit 7 honderdsten. | | Duizendsten | De derde decimale plaats na de komma, die een waarde van 1/1000 vertegenwoordigt. Een getal als 0,007 bestaat uit 7 duizendsten. | | Positionele waarde | De waarde die een cijfer heeft op basis van zijn positie binnen een getal. In het decimale stelsel neemt de waarde van een cijfer toe met een factor 10 voor elke positie naar links en neemt af met een factor 10 voor elke positie naar rechts. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld door een ander getal in een deling. In de bewerking $a : b = c$, is $a$ het deeltal. | | Deler | Het getal waardoor een ander getal wordt gedeeld in een deling. In de bewerking $a : b = c$, is $b$ de deler. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. In de bewerking $a : b = c$, is $c$ het quotiënt. | | Vermenigvuldiger | Het getal waarmee een ander getal wordt vermenigvuldigd. In de bewerking $a \times b = c$, is $b$ de vermenigvuldiger. | | Vermenigvuldigtal | Het getal dat wordt vermenigvuldigd met een ander getal. In de bewerking $a \times b = c$, is $a$ het vermenigvuldigtal. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. In de bewerking $a \times b = c$, is $c$ het product. | | Afgeleide regel | Een wiskundige regel die is afgeleid uit basisprincipes of observaties van patronen. Vaak worden deze regels vereenvoudigingen die het oplossen van problemen versnellen. | | Getallenlijn | Een visuele weergave van getallen op een rechte lijn, waarbij de afstanden tussen opeenvolgende getallen consistent zijn. Het wordt gebruikt om de volgorde, grootte en relaties tussen getallen te illustreren. | | Commutatieve eigenschap | Een eigenschap van binaire wiskundige bewerkingen waarbij de volgorde van de operanden het resultaat niet verandert. Voor vermenigvuldigen geldt bijvoorbeeld $a \times b = b \times a$. | | Negatie | De bewerking die de waarde of richting van een getal omkeert. Bijvoorbeeld, de negatie van 5 is -5, en de negatie van -5 is 5. | | Remediëren | Het proces van het corrigeren van leerachterstanden of fouten. In het onderwijs betekent dit het aanbieden van extra ondersteuning of aangepaste instructies om leerlingen te helpen concepten beter te begrijpen. |