HC5_LP_2025.pdf

# Verdelingstesten Dit gedeelte behandelt het gebruik van chi-kwadraat verdelingstesten om te bepalen of waargenomen frequenties overeenkomen met verwachte frequenties, met een focus op de 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling [2](#page=2). ## 1.1 De 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling De 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling wordt gebruikt om te toetsen of de waargenomen frequenties van categorische data overeenkomen met verwachte frequenties, die gebaseerd zijn op een specifieke hypothetische verdeling [2](#page=2). ### 1.1.1 Toepassingsvoorbeeld: Bloedgroepen Stel dat uit eerder onderzoek de kansen voor bloedgroepen in België als volgt waren [3](#page=3): * Bloedgroep O: 0.46 * Bloedgroep A: 0.42 * Bloedgroep B: 0.09 * Bloedgroep AB: 0.03 Er wordt een steekproef genomen van 200 willekeurige Belgen, waarbij de volgende aantallen worden geobserveerd [4](#page=4): * Bloedgroep O: 96 * Bloedgroep A: 79 * Bloedgroep B: 13 * Bloedgroep AB: 12 De vraag is of deze waargenomen frequenties significant afwijken van de verwachte frequenties gebaseerd op de oude kansen, wat zou impliceren dat de kansen veranderd zijn [4](#page=4). ### 1.1.2 Hypothesen formuleren De nulhypothese ($H_0$) stelt dat de kansen voor de bloedgroepen onveranderd zijn ten opzichte van de oudere schattingen. De alternatieve hypothese ($H_A$) stelt dat minstens één van de kansen is veranderd [5](#page=5). * $H_0$: De kansen zijn respectievelijk 0.46, 0.42, 0.09 en 0.03. * $H_A$: Minstens één van de kansen is veranderd. ### 1.1.3 Verwachte frequenties berekenen Als de nulhypothese waar is, kunnen de verwachte frequenties ($E_i$) voor elke categorie berekend worden door de totale steekproefgrootte ($n$) te vermenigvuldigen met de hypothetische kans ($p_i$) voor die categorie [5](#page=5): $E_i = n \times p_i$ Voor het bloedgroepvoorbeeld, met $n=200$ en de kansen uit de nulhypothese [7](#page=7): * Verwacht O: $200 \times 0.46 = 92$ * Verwacht A: $200 \times 0.42 = 84$ * Verwacht B: $200 \times 0.09 = 18$ * Verwacht AB: $200 \times 0.03 = 6$ ### 1.1.4 De toetsingsgrootheid: Chi-kwadraat (𝜒2) Om te bepalen hoe groot de afwijking tussen de geobserveerde ($O_i$) en verwachte ($E_i$) frequenties mag zijn zonder de nulhypothese te verwerpen, wordt de chi-kwadraat toetsingsgrootheid gebruikt. Deze grootheid is gedefinieerd als [9](#page=9): $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ waarbij $k$ het aantal categorieën is [10](#page=10). * De term $\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ meet de gekwadrateerde afwijking voor categorie $i$, gewogen door de verwachte frequentie. Het kwadrateren zorgt ervoor dat zowel positieve als negatieve afwijkingen bijdragen aan de totale afwijking [10](#page=10). ### 1.1.5 Verdelingskenmerken van de toetsingsgrootheid Onder de nulhypothese en mits de steekproef voldoende groot is, volgt de toetsingsgrootheid een chi-kwadraat verdeling met $k-1$ vrijheidsgraden [10](#page=10). > **Tip:** De vuistregel voor een "voldoende grote" steekproef is dat de verwachte frequentie ($E_i$) in elke categorie minstens 5 moet zijn. Indien deze regel niet voldaan is, kunnen categorieën worden samengenomen [14](#page=14). In het bloedgroepvoorbeeld zijn er $k=4$ categorieën, dus de toetsingsgrootheid volgt een $\chi^2$-verdeling met $4-1 = 3$ vrijheidsgraden [15](#page=15). ### 1.1.6 Het verwerpingsgebied bepalen Om een beslissing te nemen over de nulhypothese, wordt de berekende 𝜒2-waarde vergeleken met een kritische waarde uit de 𝜒2-verdelingstabel, bij een bepaald significantieniveau (bv. 5%) en het berekende aantal vrijheidsgraden [16](#page=16). * Voor een significantieniveau van 5% en 3 vrijheidsgraden is de kritische waarde 7.81 [16](#page=16). * Als de berekende 𝜒2-waarde groter is dan de kritische waarde, wordt de nulhypothese verworpen [16](#page=16). > **Tip:** Een alternatieve benadering is het berekenen van de p-waarde. Als de p-waarde kleiner is dan het significantieniveau, wordt de nulhypothese verworpen. ### 1.1.7 Berekeningen en besluit (bloedgroepvoorbeeld) De geobserveerde en verwachte frequenties zijn: * O: Geobserveerd 96, Verwacht 92 * A: Geobserveerd 79, Verwacht 84 * B: Geobserveerd 13, Verwacht 18 * AB: Geobserveerd 12, Verwacht 6 [17](#page=17). De bijdragen aan de 𝜒2-toetsingsgrootheid per categorie zijn: * O: $\frac{(96-92)^2}{92} = \frac{16}{92} \approx 0.1739$ * A: $\frac{(79-84)^2}{84} = \frac{25}{84} \approx 0.2976$ * B: $\frac{(13-18)^2}{18} = \frac{25}{18} \approx 1.3889$ * AB: $\frac{(12-6)^2}{6} = \frac{36}{6} = 6.0000$ [17](#page=17). De totale 𝜒2-waarde is de som van deze bijdragen: $$ \chi^2 = 0.1739 + 0.2976 + 1.3889 + 6.0000 = 7.8604 $$ [17](#page=17). Vergelijking met de kritische waarde: * De berekende 𝜒2-waarde (7.8604) is groter dan de kritische waarde (7.81) [18](#page=18). * De p-waarde is $P(\chi^2_{3} > 7.8604)$, wat kleiner is dan 0.05 [18](#page=18). **Besluit:** Op een significantieniveau van 5% wordt de nulhypothese verworpen. Er is voldoende bewijs om te concluderen dat minstens één van de bloedgroepkansen significant is veranderd ten opzichte van 20 jaar geleden [18](#page=18). > **Opmerking:** De kritische waarde en de berekende toetsingsgrootheid liggen erg dicht bij elkaar, wat aangeeft dat het een randgeval is. De grote bijdrage van de AB-bloedgroep aan de 𝜒2-waarde (6.0000) suggereert dat dit de categorie is die het meest afwijkt [18](#page=18). ### 1.1.8 Voorwaarden voor de 𝜒2-test De 𝜒2-test voor een multinomiale verdeling vereist dat de steekproef voldoende groot is, met als vuistregel dat de verwachte frequenties ($E_i$) voor alle categorieën minstens 5 moeten zijn. Indien dit niet het geval is, moeten categorieën gecombineerd worden. De vrijheidsgraden voor de 𝜒2-verdeling zijn het aantal categorieën minus 1 ($k-1$) [14](#page=14) [15](#page=15). ### 1.1.9 De 𝜒2-verdelingstabel De 𝜒2-verdelingstabel toont kritische waarden voor verschillende aantallen vrijheidsgraden en cumulatieve kansen. Deze tabel wordt gebruikt om de p-waarde te bepalen of om direct de nulhypothese te verwerpen door de berekende toetsingsgrootheid te vergelijken met de kritische waarde [12](#page=12). > **Voorbeeld oefening:** Stel dat $X \sim \chi^2 $. Zoek $x$ zodat $P(X < x) = 0.95$. Dit betekent dat we de waarde zoeken die 95% van de verdeling links van zich heeft bij 8 vrijheidsgraden. Door de tabel te raadplegen, vinden we deze waarde [12](#page=12) [8](#page=8). --- # Nagaan van normaliteit Het nagaan van normaliteit is een cruciale stap in de statistische analyse om te bepalen of een steekproef afkomstig is uit een normaal verdeelde populatie, wat essentieel is voor de correcte toepassing van parametrische testen [20](#page=20). ### 7.2.1 Waarom normaliteit nagaan? Het controleren op normaliteit is met name belangrijk in de volgende situaties: * **Hypothesetesten:** Normaliteit is een voorwaarde voor veel parametrische testen, vooral wanneer de populatieomvang klein is [20](#page=20). * **Onzekerheid over populatieverdeling:** Als er geen voorkennis is over de verdeling van de populatie waaruit de steekproef afkomstig is, is het raadzaam om de normaliteit te controleren [20](#page=20). * **Besluitvorming over testtype:** Op basis van de resultaten van normaliteitstesten kan worden besloten of een parametrische of een niet-parametrische test de meest geschikte analysemethode is [20](#page=20). ### 7.2.2 Methoden voor het nagaan van normaliteit Er zijn verschillende manieren om de normaliteit van gegevens te onderzoeken: * **Classificatie in klassen:** Hoewel gegevens in klassen kunnen worden ingedeeld om ze te analyseren op een vergelijkbare manier als bij de multinomiale verdeling, gaat hierbij informatie verloren [21](#page=21). * **Informeel (grafisch):** De QQ-plot (quantile-quantile plot), ook wel bekend als een normal probability plot, biedt een visuele indicatie van de normaliteit [21](#page=21) [22](#page=22). * **Formeel (statistisch):** De Shapiro-Wilk test is een statistische test die formeel de hypothese van normaliteit toetst [21](#page=21). ### 7.2.3 De QQ-plot De QQ-plot is een grafische methode om te beoordelen of een steekproef normaal verdeeld is [22](#page=22). * **Constructie:** De exacte berekening van de plot wordt doorgaans niet zelf uitgevoerd, maar het onderliggende principe is belangrijk [22](#page=22). * **Idee:** De plot vergelijkt de geobserveerde waarden in de steekproef met de waarden die theoretisch verwacht zouden worden als de populatie normaal verdeeld was [22](#page=22). * **Grafische weergave:** De verwachte kwantielen onder normaliteit worden uitgezet op de x-as en de geobserveerde kwantielen van de steekproef op de y-as [22](#page=22). * **Interpretatie:** Als de gegevens inderdaad normaal verdeeld zijn, zullen de punten in de QQ-plot ongeveer op de rechte lijn $y=x$ liggen. In de praktijk wordt vaak gekeken naar gestandaardiseerde verwachte en geobserveerde waarden [22](#page=22) [24](#page=24). > **Tip:** Een kwantiel is equivalent aan een percentiel en vertegenwoordigt de waarde waarbinnen een bepaald percentage van de gegevens valt [22](#page=22). * **Beoordeling:** De beoordeling van een QQ-plot is subjectief en vereist visuele inspectie van de afwijking van de punten ten opzichte van de rechte lijn [25](#page=25) [26](#page=26). ### 7.2.4 De Shapiro-Wilk test De Shapiro-Wilk test is een statistische toets voor normaliteit die een meer objectieve beoordeling biedt dan de QQ-plot [28](#page=28). * **Hypotheses:** * $H_0$: De steekproef komt uit een normaal verdeelde populatie. * $H_A$: De steekproef komt niet uit een normaal verdeelde populatie. * **Berekening en interpretatie:** De test zelf hoeft niet handmatig berekend te worden. De belangrijkste stap is het correct interpreteren van de p-waarde die door software (zoals R) wordt gegenereerd [28](#page=28). * **Beslissingsregel (bij een significantieniveau van 5%):** * Als $p < 0.05$: verwerp $H_0$. Dit betekent dat er onvoldoende bewijs is om aan te nemen dat de steekproef normaal verdeeld is [28](#page=28). * Als $p \geq 0.05$: verwerp $H_0$ niet. Dit suggereert dat er geen significant bewijs is tegen de normaliteit van de steekproef [28](#page=28). ### 7.2.5 Normaliteit nagaan in R Softwarepakketten zoals R bieden functies om normaliteitstesten uit te voeren en visualisaties te genereren [29](#page=29) [30](#page=30). #### 7.2.5.1 De obesitasstudie: voorbeeld Een voorbeeld dat de toepassing van deze methoden illustreert, is de obesitasstudie uit 2013 in het Jessa ziekenhuis. In deze studie wordt onderzocht of het gemiddelde belastingsniveau van meisjes (n=28) bij uitputting lager is dan 150. Om dit te kunnen toetsen met parametrische methoden, moet eerst de normaliteit van het belastingsniveau ($Wpiek$) bij de meisjes worden nagegaan. Dit kan visueel worden gedaan met een QQ-plot en formeel met de Shapiro-Wilk test [31](#page=31) [32](#page=32) [34](#page=34). --- # Onafhankelijkheidstesten Dit gedeelte behandelt methoden om te toetsen of twee categorische variabelen onafhankelijk zijn, met een focus op de chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid en de interpretatie van de resultaten [36](#page=36). ### 7.3.1 Het concept van onafhankelijkheid Onafhankelijkheid tussen twee variabelen betekent dat de verdeling van de ene variabele niet afhangt van de categorie van de andere variabele. Anders gezegd, de kans op een bepaalde uitkomst in de ene variabele is hetzelfde, ongeacht de uitkomst van de andere variabele [40](#page=40). **Voorbeeld: HPV-virus en baarmoederhalskanker** [37](#page=37). Stel dat we willen onderzoeken of er een verband is tussen het type HPV-virus (type 6 of 11) en de ernst van baarmoederhalskanker (licht, gevorderd, metastasen). De nulhypothese ($H_0$) zou zijn dat het type HPV en de ernst van de kanker onafhankelijk zijn. De alternatieve hypothese ($H_A$) stelt dat ze niet onafhankelijk zijn. Als $H_0$ waar is, zou de kans op een meer kwaadaardige kanker hetzelfde moeten zijn voor patiënten met type 6 en type 11 virus [40](#page=40). ### 7.3.2 De chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid De chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid wordt gebruikt om te bepalen of de geobserveerde aantallen in een kruistabel significant afwijken van de verwachte aantallen onder de aanname van onafhankelijkheid [45](#page=45). #### 7.3.2.1 Stappen in de toets 1. **Opstellen van een kruistabel (contingentietabel):** Dit is een tabel die de geobserveerde frequenties weergeeft voor de combinaties van de categorieën van de twee variabelen [39](#page=39). **Voorbeeld (HPV-virus en kanker-ernst):** [39](#page=39). | Type HPV | Licht | Gevorderd | Metastasen | Totaal | | :------- | :---- | :-------- | :--------- | :----- | | 6 | 95 | 32 | 8 | 135 | | 11 | 86 | 42 | 8 | 136 | | Totaal | 181 | 74 | 16 | 271 | 2. **Berekenen van de verwachte aantallen ($E_{ij}$) onder de aanname van onafhankelijkheid:** Als de twee variabelen onafhankelijk zijn, kan het verwachte aantal in een cel $(i,j)$ berekend worden met de volgende formule: $$E_{ij} = \frac{\text{rijtotaal} \times \text{kolomtotaal}}{\text{algemeen totaal}}$$ **Voorbeeld (verwachte aantallen):** [43](#page=43). | Type HPV | Licht | Gevorderd | Metastasen | Totaal | | :------- | :------- | :-------- | :--------- | :----- | | 6 | 90.1661 | 36.8635 | 7.9705 | 135 | | 11 | 90.8340 | 37.1365 | 8.0295 | 136 | | Totaal | 181 | 74 | 16 | 271 | 3. **Berekenen van de chi-kwadraat teststatistiek ($\chi^2$):** De teststatistiek wordt berekend door de gekwadrateerde verschillen tussen geobserveerde ($O_{ij}$) en verwachte ($E_{ij}$) aantallen te wegen met de verwachte aantallen, en dit vervolgens te sommeren over alle cellen van de tabel: $$\chi^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$ waarbij $r$ het aantal rijen en $c$ het aantal kolommen is [45](#page=45). **Voorbeeld (chi-kwadraat bijdragen per cel):** [47](#page=47). | Type HPV | Licht | Gevorderd | Metastasen | | :------- | :----- | :-------- | :--------- | | 6 | 0.2592 | 0.6417 | 0.0001 | | 11 | 0.2573 | 0.6369 | 0.0001 | De som van deze bijdragen is de $\chi^2$-teststatistiek: $1.7952$ [47](#page=47). 4. **Bepalen van de vrijheidsgraden:** De vrijheidsgraden voor de chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid zijn $(r-1)(c-1)$. In het HPV-voorbeeld is dit $(2-1)(3-1) = 1 \times 2 = 2$ vrijheidsgraden [45](#page=45) [50](#page=50). 5. **Vergelijken met de kritieke waarde of interpreteren van de p-waarde:** De berekende $\chi^2$-statistiek wordt vergeleken met een kritieke waarde uit de $\chi^2$-verdeling bij een gekozen significantieniveau ($\alpha$, vaak 0.05) en het berekende aantal vrijheidsgraden [46](#page=46). * Als de berekende $\chi^2$-statistiek groter is dan de kritieke waarde, wordt de nulhypothese verworpen. * Als de p-waarde kleiner is dan $\alpha$, wordt de nulhypothese verworpen. **Voorbeeld (vergelijking met kritieke waarde):** [48](#page=48) [50](#page=50). Voor $\alpha = 0.05$ en 2 vrijheidsgraden is de kritieke waarde van de $\chi^2$-verdeling $5.99$. De berekende $\chi^2$-statistiek is $1.7952$. Omdat $1.7952 < 5.99$, wordt de nulhypothese niet verworpen op een significantieniveau van 5%. Dit betekent dat er geen statistisch significant bewijs is om te concluderen dat het type HPV en de ernst van baarmoederhalskanker afhankelijk zijn [50](#page=50). #### 7.3.2.2 Voorwaarden voor de chi-kwadraat toets * Alle verwachte aantallen ($E_{ij}$) moeten groter zijn dan of gelijk zijn aan 5. Als deze voorwaarde niet voldaan is, bijvoorbeeld in kleine tabellen of wanneer er weinig frequenties zijn, kan Fisher's exact test gebruikt worden voor 2x2 tabellen [45](#page=45) [51](#page=51). * De data moet uit een willekeurige steekproef komen. * De variabelen moeten categorisch zijn. > **Tip:** Als de verwachte waarden lager zijn dan 5, kan de chi-kwadraat toets onbetrouwbaar zijn. Overweeg dan andere toetsen zoals Fisher's exact test [51](#page=51). ### 7.3.3 Onafhankelijkheidstesten in R R biedt functies om onafhankelijkheidstesten uit te voeren [51](#page=51). 1. **Kruistabel opstellen:** Dit kan handmatig of met de functie `table()`. 2. **Voorwaarden nagaan:** De verwachte waarden kunnen gecontroleerd worden met `chisq.test(tabel)USDexpected`. 3. **Chi-kwadraat toets uitvoeren:** Als de voorwaarden voldaan zijn, kan de toets uitgevoerd worden met `chisq.test(tabel)`. 4. **Alternatief bij niet-voldane voorwaarden:** Indien de voorwaarden niet voldaan zijn, kan `fisher.test(tabel)` gebruikt worden voor 2x2 tabellen [51](#page=51). **Voorbeeld: Ziek zijn en garnalen eten in een restaurant** [52](#page=52) [53](#page=53). * $H_0$: Ziek zijn en garnalen eten zijn onafhankelijk. * $H_A$: Ziek zijn en garnalen eten zijn afhankelijk. * Als de p-waarde 0.2832 is en we een significantieniveau van 5% hanteren, verwerpen we $H_0$ niet. Er is geen statistisch significant verband tussen ziek zijn en garnalen eten [53](#page=53). **Correctie voor continuïteit (Yates' correctie):** Voor 2x2 tabellen wordt standaard een correctie uitgevoerd. Om dichter bij de handmatige berekening te komen, kan `correct = FALSE` gebruikt worden in de `chisq.test()` functie [54](#page=54). **Voorbeeld: Geslacht en beginletter van familienaam** [55](#page=55). Stel dat we onderzoeken of het beginnen van de familienaam met een 'V' onafhankelijk is van het geslacht van de student. | | V | Geen V | Totaal | | :----- | :--- | :----- | :----- | | Meisje | 17 | 103 | 120 | | Jongen | 9 | 49 | 58 | | Totaal | 26 | 152 | 178 | $H_0$: Geslacht en beginletter V zijn onafhankelijk [56](#page=56). $H_A$: Geslacht en beginletter V zijn niet onafhankelijk [56](#page=56). **Voorbeeld: Overgewicht en geslacht in een obesitasstudie** [57](#page=57) [58](#page=58). In een obesitasstudie wordt onderzocht of de overgewichtcategorie (geen, matig, ernstig) onafhankelijk is van het geslacht van het kind. * $H_0$: Geslacht en overgewicht categorie zijn onafhankelijk. * $H_A$: Geslacht en overgewicht categorie zijn niet onafhankelijk. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Verdelingstesten | Statistieke toetsen die worden gebruikt om te beoordelen of de waargenomen verdeling van gegevens overeenkomt met een theoretische verdeling of om verschillen tussen verwachte en geobserveerde frequenties te analyseren. | | Multinomiale verdeling | Een kansverdeling die de kans op een bepaald aantal uitkomsten van een reeks onafhankelijke experimenten beschrijft, waarbij elk experiment meer dan twee mogelijke uitkomsten heeft. | | Nulhypothese (H0) | Een stelling die stelt dat er geen significant verschil of verband is tussen variabelen, of dat een bepaalde parameter gelijk is aan een specifieke waarde. | | Alternatieve hypothese (HA) | Een stelling die het tegenovergestelde beweert van de nulhypothese en die wordt aangenomen als de nulhypothese wordt verworpen. | | Geobserveerde frequentie (Oi) | Het aantal keren dat een bepaalde gebeurtenis of categorie voorkomt in een steekproef. | | Verwachte frequentie (Ei) | Het aantal keren dat een bepaalde gebeurtenis of categorie naar verwachting zou voorkomen in een steekproef als de nulhypothese waar zou zijn. | | Chi-kwadraat (𝜒2) verdeling | Een continue kansverdeling die vaak wordt gebruikt bij het testen van hypothesen, met name voor het analyseren van variantie of het vergelijken van verwachte en geobserveerde frequenties. | | Vrijheidsgraden | Het aantal waarden in de laatste berekening van een statistische toets dat vrij kan variëren. Dit bepaalt de specifieke vorm van de kansverdeling. | | QQ-plot (Quantile-Quantile plot) | Een grafische methode om te beoordelen of een steekproef afkomstig is uit een theoretische populatieverdeling, door de kwantielen van de steekproef te vergelijken met de kwantielen van de theoretische verdeling. | | Normaliteitstest | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of een dataset is getrokken uit een normaal verdeelde populatie. | | Shapiro-Wilk test | Een specifieke normaliteitstest die de gelijkenis van de kwantielen van de geordende steekproefdata met de verwachte kwantielen van een normaal verdeelde populatie evalueert. | | Onafhankelijkheidstest | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee categorische variabelen in een populatie. | | Contingentietabel (Kruistabel) | Een tabel die de frequentieverdeling van twee of meer categorische variabelen weergeeft, waarbij de rijen en kolommen de categorieën van de variabelen vertegenwoordigen. | | P-waarde | De kans om resultaten te observeren die minstens zo extreem zijn als de waargenomen resultaten, onder de aanname dat de nulhypothese waar is. | | Significantieniveau (s.n.) | Het drempelniveau (vaak 0.05 of 5%) dat wordt gebruikt om te beslissen of de nulhypothese wordt verworpen; als de p-waarde kleiner is dan het significantieniveau, wordt de nulhypothese verworpen. | | Parametrische test | Een statistische toets die aannames doet over de verdeling van de populatieparameters, zoals normaliteit en homogeniteit van varianties. | | Niet-parametrische test | Een statistische toets die geen sterke aannames doet over de verdeling van de populatieparameters en daarom kan worden gebruikt wanneer de aannames van parametrische tests niet worden voldaan. |