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# Introducción a los números reales y sus propiedades Este tema aborda la definición y propiedades de los conjuntos numéricos básicos (naturales, enteros, racionales) para sentar las bases del estudio de los números reales, destacando sus propiedades como cuerpo ordenado y la importancia del axioma del extremo superior. ### 1.1. Números naturales, enteros y racionales Se definen los conjuntos de números naturales $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ (sin incluir el cero) enteros $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ y racionales $\mathbb{Q} = \{p/q \mid p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\}$ [5](#page=5). #### 1.1.1. Propiedades de cuerpo ordenado para los racionales El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$, junto con las operaciones de suma (+) y producto (·), y la relación de orden (>), forma un cuerpo ordenado. Esto implica las siguientes propiedades [5](#page=5): * **Propiedades de cuerpo:** 1. **Asociativa y conmutativa:** * Suma: $a + (b + c) = (a + b) + c$ y $a + b = b + a$ * Producto: $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ y $a \cdot b = b \cdot a$ 2. **Distributiva:** $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ 3. **Elementos neutros:** * Suma: Existe $0$ tal que $a + 0 = a$ para todo $a \in \mathbb{Q}$. * Producto: Existe $1$ tal que $a \cdot 1 = a$ para todo $a \in \mathbb{Q}$. 4. **Elementos inversos:** * Suma: Para todo $a \in \mathbb{Q}$, existe $-a$ tal que $a + (-a) = 0$. * Producto: Para todo $a \in \mathbb{Q}, a \neq 0$, existe $a^{-1}$ tal que $a \cdot a^{-1} = 1$. * **Propiedades de orden:** Existe una relación ">" que satisface: 5. **Tricotomía:** Dado $a \in \mathbb{Q}$, solo una de las siguientes es cierta: $a > 0$, $-a > 0$, o $a = 0$. 6. **Cierre bajo suma y producto:** Si $a > 0$ y $b > 0$, entonces $a + b > 0$ y $a \cdot b > 0$. A partir de estas propiedades, se definen otras operaciones y relaciones [5](#page=5): * Diferencia: $a - b = a + (-b)$ * Cociente: Si $b \neq 0$, $a/b = a \cdot b^{-1}$ * Potencia: Si $n \in \mathbb{N}$, $a^n = a \cdot \ldots \cdot a$ ($n$ veces) * Mayor que: $b > a$ si $b - a > 0$ * Menor que: $b < a$ si $a > b$ * Mayor o igual que: $b \geq a$ si $b > a$ o $b = a$ * Menor o igual que: $b \leq a$ si $a \geq b$ Los conjuntos $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ no son cuerpos ya que $\mathbb{N}$ no posee inverso aditivo y $\mathbb{Z}$ no posee inverso multiplicativo [5](#page=5). #### 1.1.2. Demostraciones por inducción Para demostrar una afirmación $P(n)$ que depende de un número natural $n$, se utiliza el principio de inducción matemática: i) Demostrar $P $ (caso base) [1](#page=1). ii) Probar que $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ para todo $n$ (paso inductivo). Si ambas condiciones se cumplen, $P(n)$ es cierta para todo $n \in \mathbb{N}$ [6](#page=6). **Ejemplo:** Probar por inducción que $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ [6](#page=6). * Caso base ($n=1$): $1 = \frac{1(1+1)}{2}$ [6](#page=6). * Paso inductivo: Suponiendo $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, se demuestra que $\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ [6](#page=6). #### 1.1.3. Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm) * Un número natural $n$ es múltiplo de $d$ si $n/d$ es un número natural, es decir, $d$ es divisor de $n$ [6](#page=6). * Un número natural es primo si sus únicos divisores son 1 y él mismo [6](#page=6). * El **máximo común divisor (mcd)** de un conjunto de enteros $n_1, \ldots, n_k$ es el mayor número natural que divide a todos ellos [6](#page=6). * El **mínimo común múltiplo (mcm)** de un conjunto de enteros $n_1, \ldots, n_k$ es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos [6](#page=6). Para hallar el mcd de dos números $m, n$ ($m>n$), se puede usar el algoritmo de Euclides: $m = q_1n + r_1$, $n = q_2r_1 + r_2$, etc., hasta obtener resto cero. El último resto no nulo es el mcd [6](#page=6). El mcm de dos números puede calcularse usando la relación: $\text{mcm}[m, n = \frac{m \cdot n}{\text{mcd}[m, n]}$ [6](#page=6). **Ejemplo:** Para 2340 y 6798, con factorizaciones $2340 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 13$ y $6798 = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 103$, el mcd es $2 \cdot 3 = 6$ y el mcm es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 103 = 2651220$ [6](#page=6). #### 1.1.4. Factoriales, números combinatorios y binomio de Newton * **Factorial:** Para $n \in \mathbb{N}$, $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$. Se define $0! = 1$ [7](#page=7). * **Número combinatorio (coeficiente binomial):** Para $0 \leq k \leq n$, se define $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$ [7](#page=7). * $\binom{n}{k}$ representa el número de formas distintas de elegir $k$ elementos de un conjunto de $n$ elementos sin importar el orden [7](#page=7). * Propiedades: $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$, $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$ [7](#page=7). * **Binomio de Newton:** Para $n \in \mathbb{N}$, $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ [7](#page=7). * La demostración se basa en la inducción y la identidad $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ [7](#page=7). **Ejemplo:** $(1+x)^6 = 1 + 6x + 15x^2 + 20x^3 + 15x^4 + 6x^5 + x^6$ [7](#page=7). ### 1.2. Números irracionales y el conjunto de los números reales #### 1.2.1. Números irracionales Existen números que no pueden ser expresados como una fracción de dos enteros, es decir, no son racionales. Estos son los números irracionales [7](#page=7). * Su expresión decimal tiene infinitos decimales no periódicos [7](#page=7). * Ejemplos: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ [7](#page=7). * Demostración de la irracionalidad de $\sqrt{2}$: Se asume que $\sqrt{2} = p/q$ es una fracción irreducible. Si $p^2 = 2q^2$, entonces $p^2$ es par, lo que implica que $p$ es par ($p=2m$). Sustituyendo, $(2m)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4m^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2m^2$. Esto significa que $q^2$ es par, por lo tanto $q$ también es par, lo cual contradice la suposición de que $p/q$ era irreducible [7](#page=7). * Suma de un racional y un irracional: Si $p \in \mathbb{Q}$ y $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, entonces $p+x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ [8](#page=8). * Producto de un racional no nulo y un irracional: Si $p \in \mathbb{Q}, p \neq 0$ y $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, entonces $p \cdot x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ [8](#page=8). * La suma o producto de dos irracionales puede ser racional (ej: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$) [8](#page=8). #### 1.2.2. El conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$) Los números reales $\mathbb{R}$ son un conjunto que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales [9](#page=9). * **Definición axiomática:** $\mathbb{R}$ es un conjunto con operaciones "+" y "·" y una relación ">" que satisface las propiedades de cuerpo ordenado (similares a $\mathbb{Q}$) y además el **axioma del extremo superior** [9](#page=9). * Representación: Los números reales pueden representarse como una recta, llamada la recta real, donde cada punto corresponde a un número real [9](#page=9). #### 1.2.3. Propiedades de las desigualdades en $\mathbb{R}$ Se repasan algunas propiedades de las desigualdades, aplicables a los números reales [9](#page=9): * $a < b \Rightarrow a+c < b+c$ y $a-c < b-c$. * $a < b$ y $c < d \Rightarrow a+c < b+d$ y $a-d < b-c$. * $a < b$ y $c > 0 \Rightarrow ac < bc$ y $a/c < b/c$. * $a < b$ y $c < 0 \Rightarrow ac > bc$ y $a/c > b/c$. * Si $a, b, c, d > 0$: $ac < bd \Leftrightarrow ad < bc$. * Si $a, b > 0$: $1 < a \Rightarrow a < a^2$; $0 < a < 1 \Rightarrow a > a^2$. * Si $a, b > 0$: $a < b \Leftrightarrow 1/a > 1/b$, $a^2 < b^2$, $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. **Nota:** La notación $\sqrt{a}$ se refiere siempre a la raíz cuadrada positiva de $a \geq 0$ [9](#page=9). **Ejemplo:** Determinar $x$ tal que $\frac{x^2+2}{x} > 3$ [9](#page=9). La desigualdad se puede reescribir como $\frac{x^3-3x+2}{x} > 0$. Se factoriza el numerador como $(x-1)^2(x+2)$. Analizando los signos se obtienen las soluciones $\{x: x < -2 \text{ o } 0 < x < 1 \text{ o } x > 1\}$ [9](#page=9). #### 1.2.4. Valor absoluto El valor absoluto de $x \in \mathbb{R}$, denotado por $|x|$, se define como: $|x| = \sqrt{x^2} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$ [10](#page=10). * $|x|$ representa la distancia de $x$ al origen [10](#page=10). * $|x-y|$ representa la distancia entre $x$ e $y$ [10](#page=10). Propiedades del valor absoluto [10](#page=10): * $|x|^2 = x^2$ * $|x| = |-x|$ * $|xy| = |x||y|$ * $-|x| \leq x \leq |x|$ Teoremas importantes [10](#page=10): * Para $a > 0$: $|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$. * Para $a > 0$: $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$. * Desigualdad triangular: $|x+y| \leq |x|+|y|$. * Otras: $|x|-|y| \leq |x-y| \leq |x|+|y|$, y $\left| |x|-|y| \right| \leq |x-y|$. **Ejemplo:** Resolver $| \sqrt{x} - 2 | = x$ [10](#page=10). Se considera la definición de valor absoluto para $\sqrt{x}-2$. Si $x \geq 4$, $\sqrt{x} - 2 \geq 0$, entonces $\sqrt{x}-2 = x$. La ecuación $x^2+3x+4=0$ no tiene soluciones reales [10](#page=10). Si $0 \leq x \leq 4$, $\sqrt{x} - 2 \leq 0$, entonces $2-\sqrt{x} = x$. La ecuación $x^2-5x+4=0$ tiene soluciones $x=1$ y $x=4$. De estas, solo $x=1$ satisface la igualdad $| \sqrt{1} - 2 | = |1-2| = 1$, que es igual a $x=1$ [10](#page=10). **Ejemplo:** Resolver $\left| x^2-1 \right| \leq 3$ [10](#page=10). Esto es equivalente a $-3 \leq x^2-1 \leq 3$, lo que implica $-2 \leq x^2 \leq 4$. Dado que $x^2 \geq 0$, la condición se reduce a $x^2 \leq 4$, que es $|x| \leq 2$. Por lo tanto, las soluciones son $-2 \leq x \leq 2$ [10](#page=10). ### 1.3. El axioma del extremo superior #### 1.3.1. Conjuntos acotados * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **acotado superiormente** si existe $k \in \mathbb{R}$ tal que $a \leq k$ para todo $a \in A$. A $k$ se le llama cota superior [11](#page=11). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **acotado inferiormente** si existe $k \in \mathbb{R}$ tal que $a \geq k$ para todo $a \in A$. A $k$ se le llama cota inferior [11](#page=11). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **acotado** si está acotado superior e inferiormente (es decir, si existe $k \in \mathbb{R}$ tal que $|a| \leq k$ para todo $a \in A$) [11](#page=11). **Ejemplo:** $A = \{x: 0 \leq x < 7\}$ está acotado superiormente (ej: por 7, $\sqrt{93}$) e inferiormente (ej: por 0, -13) [11](#page=11). #### 1.3.2. Extremo superior (supremo) e inferior (ínfimo) * El **extremo superior (o supremo)** de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$, denotado por $\sup A$, es la menor de sus cotas superiores. Formalmente, $s = \sup A$ si [11](#page=11): i) $s$ es cota superior de $A$. ii) Si $k$ es cualquier cota superior de $A$, entonces $s \leq k$. * El **extremo inferior (o ínfimo)** de un conjunto $A \subset \mathbb{R}$, denotado por $\inf A$, es el mayor de sus cotas inferiores [11](#page=11). * Si el supremo de un conjunto pertenece al propio conjunto, se le llama **máximo** ($\max A$). De forma análoga, si el ínfimo pertenece al conjunto, se le llama **mínimo** ($\min A$) [11](#page=11). **Ejemplo:** Para $A = \{x: 0 \leq x < 7\}$, $\sup A = 7$. Sin embargo, $7 \notin A$, por lo que no tiene máximo. $\inf A = 0$, y como $0 \in A$, $0$ es también el mínimo de $A$ [11](#page=11). #### 1.3.3. Axioma del extremo superior **Axioma:** Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee extremo superior [11](#page=11). * Este axioma distingue a $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$. En $\mathbb{Q}$, existen conjuntos acotados superiormente que no tienen supremo en $\mathbb{Q}$ (ej: $\{x \in \mathbb{Q}: x^2 < 2\}$) [11](#page=11). * Los números reales "llenan por completo" la recta real, sin "huecos" como los que dejan los irracionales en la recta racional [11](#page=11). #### 1.3.4. Intervalos y entornos Se definen varios tipos de intervalos en $\mathbb{R}$: * Intervalo abierto: $(a,b) = \{x : a < x < b\}$ * Intervalo cerrado: $[a,b = \{x : a \leq x \leq b\}$ * Intervalos semiabiertos/semicerrados: $[a,b) = \{x : a \leq x < b\}$, $(a,b = \{x : a < x \leq b\}$ * Intervalos infinitos: $(a, \infty)$, $[a, \infty)$, $(-\infty, b)$, $(-\infty, b]$ [11](#page=11). Un **entorno** de centro $a$ y radio $r > 0$ es $B(a,r) = \{x: |x-a| < r\} = (a-r, a+r)$ [12](#page=12). #### 1.3.5. Conjuntos abiertos y cerrados * Un punto $a \in A$ es **punto interior** a $A$ si existe $r > 0$ tal que $B(a,r) \subset A$ [12](#page=12). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **abierto** si todos sus puntos son interiores [12](#page=12). * Un punto $p$ es **punto de acumulación** de $A$ si en todo entorno de $p$ existen puntos de $A$ distintos de $p$. Matemáticamente, para todo $r > 0$, $A \cap B^*(p,r) \neq \emptyset$, donde $B^*(p,r) = B(p,r) - \{p\}$ [12](#page=12). * Un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ es **cerrado** si contiene a todos sus puntos de acumulación [12](#page=12). **Teorema:** Un conjunto $A$ es cerrado si y solo si su complementario $R-A$ es abierto [12](#page=12). **Ejemplos:** * $[a,b]$ es cerrado pero no abierto [12](#page=12). * $(0, \infty)$ es abierto pero no cerrado (su punto de acumulación 0 no está en el conjunto) [12](#page=12). * $\{1/n: n \in \mathbb{N}\}$ no es abierto ni cerrado [12](#page=12). * $\{n \in \mathbb{N}: n \text{ es divisor de } 12\}$ es cerrado pero no abierto [12](#page=12). --- # Funciones, límites y continuidad El estudio de las funciones reales de variable real sienta las bases para la comprensión del cálculo infinitesimal, abarcando sus operaciones, propiedades fundamentales, el concepto de límite para funciones y sucesiones, y la noción de continuidad. ### 2.1 Funciones reales de variable real Una función $f$ es una regla que asigna a cada número $x$ de un conjunto $D \subset \mathbb{R}$, llamado dominio de $f$ ($\text{dom } f$), un único número real $f(x)$, su valor en $x$. El conjunto de todos los valores $f(x)$ para $x \in D$ se denomina imagen o recorrido de $f$ ($f(D)$, $\text{im } f$) [13](#page=13). > **Definición:** Una función $f$ es un conjunto de pares ordenados que no contiene dos pares distintos con el mismo primer elemento [13](#page=13). Geométricamente, una función se representa mediante su gráfica en el plano $xy$. Por ejemplo, la gráfica de $f(x) = mx+b$ es una recta [13](#page=13). #### Operaciones con funciones Dadas dos funciones $f$ y $g$, se pueden definir las siguientes operaciones: * Suma: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ [13](#page=13). * Resta: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ [13](#page=13). * Producto: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ [13](#page=13). * Cociente: $(f/g)(x) = f(x)/g(x)$, definido para $x$ tal que $g(x) \neq 0$ [13](#page=13). * Composición: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, definido para $x$ tal que $x \in \text{dom } g$ y $g(x) \in \text{dom } f$ [13](#page=13). La suma y el producto son conmutativos y asociativos, y satisfacen la propiedad distributiva. La composición es asociativa pero no conmutativa [13](#page=13). #### Propiedades de las funciones * **Inyectividad:** Una función $f$ es inyectiva en un conjunto $A \subset \mathbb{R}$ si $f(x) = f(x^*) \implies x = x^*$ para todo $x, x^* \in A$. Gráficamente, la gráfica de una función inyectiva no corta a ninguna recta horizontal más de una vez [13](#page=13). * **Función Inversa:** Si $f$ es inyectiva en $A$, existe su función inversa $f^{-1}: f(A) \to A$, definida por $f^{-1}(y) = x \iff y = f(x)$. Se cumple que $\text{dom } f^{-1} = \text{im } f$, $\text{im } f^{-1} = \text{dom } f$, y $(f^{-1} \circ f)(x) = (f \circ f^{-1})(x) = x$. Las gráficas de $f$ y $f^{-1}$ son simétricas respecto a la recta $y=x$ [13](#page=13) [14](#page=14). * **Monotonía:** Una función es: * Estrictamente creciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) < f(x^*)$ [14](#page=14). * Estrictamente decreciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) > f(x^*)$ [14](#page=14). * Creciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) \le f(x^*)$ [14](#page=14). * Decreciente en $A$ si $\forall x, x^* \in A$, $x < x^* \implies f(x) \ge f(x^*)$ [14](#page=14). Una función monótona es estrictamente creciente o estrictamente decreciente [14](#page=14). **Teorema:** Una función estrictamente monótona en $A$ es inyectiva en $A$ y posee inversa [14](#page=14). #### Funciones elementales Se describen gráficas y propiedades de diversas funciones elementales: * **Potencias:** $y = x^n$, $y = x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$, $y = x^{-n}$, $y = x^{-1/n}$, y $y = x^{m/n}$ [14](#page=14). * **Cónicas:** Circunferencias, elipses e hipérbolas. Algunas de estas ecuaciones no definen una única función (ej. la elipse) [15](#page=15). * **Trigonométricas:** Seno, coseno y tangente. Se definen sus propiedades de paridad (par/impar) y periodicidad. Se introducen las identidades trigonométricas fundamentales como $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ y las fórmulas de adición y sustracción para seno y coseno [15](#page=15) [16](#page=16). * **Funciones trigonométricas inversas:** Arcoseno ($\arcsin x$), arcocoseno ($\arccos x$), y arcotangente ($\arctan x$), que requieren la restricción del dominio de las funciones trigonométricas originales para asegurar su inyectividad [17](#page=17). * **Exponenciales y logaritmos:** Se define el logaritmo neperiano ($\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$) y a partir de él, la función exponencial ($e^x$) y las funciones $b^x$, $x^b$, y $\log_b x$. Se establecen propiedades como $b^{x+y} = b^x b^y$ y $(b^x)^y = b^{xy}$ [17](#page=17) [18](#page=18). * **Hiperbólicas:** Seno hiperbólico ($\sinh x$), coseno hiperbólico ($\cosh x$), y tangente hiperbólica ($\tanh x$), definidas a partir de las exponenciales. Tienen propiedades análogas a las trigonométricas [18](#page=18). ### 2.2 Sucesiones de números reales Una sucesión de números reales $\{a_n\}$ es una función de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ [19](#page=19). #### Convergencia de sucesiones * **Límite:** Una sucesión $\{a_n\}$ tiene límite $a$ si para todo $\varepsilon > 0$, existe un número natural $N$ tal que para todo $n \ge N$, se cumple $|a_n - a| < \varepsilon$. Se denota como $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ o $a_n \to a$ [19](#page=19). * **Divergencia:** Si una sucesión no es convergente, se dice que es divergente [19](#page=19). * **Acotación:** Una sucesión convergente es acotada. El recíproco no es cierto; una sucesión acotada no es necesariamente convergente (ej. $\{(-1)^n\}$) [20](#page=20). * **Divergencia a infinito:** Una sucesión diverge a $+\infty$ si para todo $K > 0$, existe $N$ tal que $\forall n \ge N$, $a_n \ge K$. De forma análoga se define la divergencia a $-\infty$ [20](#page=20). * **Monotonía:** Una sucesión es creciente si $a_n \le a_{n+1}$ para todo $n$, y decreciente si $a_n \ge a_{n+1}$ para todo $n$ [20](#page=20). **Teorema:** Una sucesión creciente y acotada superiormente converge. Una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge [20](#page=20). * **Subsucesiones:** Una subsucesión de $\{a_n\}$ se obtiene seleccionando un número infinito de términos de $\{a_n\}$ en el mismo orden. Si $\{a_n\} \to a$, entonces cualquier subsucesión $\{a_{n_j}\} \to a$ [20](#page=20). * **Operaciones con límites de sucesiones:** Si $\{a_n\} \to a$ y $\{b_n\} \to b$, entonces: * $\{a_n + b_n\} \to a+b$ [21](#page=21). * $\{a_n - b_n\} \to a-b$ [21](#page=21). * $\{a_n b_n\} \to ab$ [21](#page=21). * Si $b \ne 0$, $\{a_n / b_n\} \to a/b$ [21](#page=21). * **Límites con infinito:** Se definen las operaciones con sucesiones que tienden a $\pm\infty$ [21](#page=21). * **Indeterminaciones:** Las formas indeterminadas en el cálculo de límites de sucesiones incluyen $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $0/0$, $\infty/\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$. Su resolución requiere manipulación algebraica o técnicas más avanzadas [22](#page=22). #### Teoremas fundamentales sobre sucesiones * **Teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones:** Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente [23](#page=23). * **Sucesión de Cauchy:** Una sucesión $\{a_n\}$ es de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$, existe $N$ tal que para todo $n, m \ge N$, $|a_n - a_m| < \varepsilon$ [23](#page=23). **Teorema:** Una sucesión en $\mathbb{R}$ converge si y solo si es de Cauchy [23](#page=23). * **Conjuntos completos:** Un conjunto es completo si toda sucesión de Cauchy en él converge a un elemento del propio conjunto. $\mathbb{R}$ es completo, mientras que $\mathbb{Q}$ no lo es [24](#page=24). * **Teorema:** Si $\{a_n\} \to a$ y $\{a_n\} \subset A$ con $A$ cerrado, entonces $a \in A$ [24](#page=24). ### 2.3 Límites de funciones y funciones continuas #### Límites de funciones * **Definición:** Una función $f$ tiende a $L$ cuando $x$ tiende a $a$ si para todo $\varepsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$. Se denota como $\lim_{x\to a} f(x) = L$. Es importante notar que el valor de $f$ en $a$ no afecta la existencia del límite [25](#page=25). * **Límites laterales:** * Límite por la derecha: $\lim_{x\to a^+} f(x) = L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $0 < x - a < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$ [25](#page=25). * Límite por la izquierda: $\lim_{x\to a^-} f(x) = L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $0 < a - x < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$ [25](#page=25). **Teorema:** $\lim_{x\to a} f(x) = L$ si y solo si existen $\lim_{x\to a^+} f(x)$ y $\lim_{x\to a^-} f(x)$ y ambos son iguales a $L$ [26](#page=26). * **Relación con sucesiones:** $\lim_{x\to a} f(x) = L$ si y solo si para toda sucesión $\{a_n\}$ en el dominio de $f$ tal que $a_n \ne a$ y $a_n \to a$, se tiene que $f(a_n) \to L$ [26](#page=26). * **Límites en el infinito y asíntotas:** Se definen límites cuando $x \to \infty$ o $x \to -\infty$, y cuando $f(x) \to \infty$ o $f(x) \to -\infty$ cuando $x \to a$ o $x \to \pm\infty$ [27](#page=27). #### Continuidad de funciones * **Definición:** Una función $f$ es continua en un punto $a$ (interior a su dominio) si $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$. Esto implica que el límite existe, $f(a)$ está definido, y ambos coinciden [28](#page=28). * **Continuidad en intervalos:** * Continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si es continua en cada punto $x \in (a,b)$ [29](#page=29). * Continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ si es continua en $(a,b)$ y $\lim_{x\to a^+} f(x) = f(a)$ y $\lim_{x\to b^-} f(x) = f(b)$ [29](#page=29). * **Continuidad de funciones elementales:** Se afirma que todas las funciones elementales (polinomios, racionales, raíces, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas) son continuas en sus respectivos dominios [29](#page=29). * **Teoremas de continuidad:** * Si $f$ y $g$ son continuas en $a$, entonces $f+g$, $f-g$, y $f \cdot g$ son continuas en $a$. Si $g(a) \ne 0$, entonces $f/g$ es continua en $a$ [28](#page=28). * Si $g$ es continua en $a$ y $f$ es continua en $g(a)$, entonces $f \circ g$ es continua en $a$ [28](#page=28). * Si $f$ es continua en $a$ y estrictamente monótona en un entorno de $a$, entonces $f^{-1}$ es continua en $f(a)$ [28](#page=28). **Teoremas importantes asociados:** * **Teorema de Bolzano (o de los valores intermedios):** Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $k$ es un valor entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = k$ (este teorema está implícito en la discusión de continuidad en intervalos cerrados) . * **Teorema de Weierstrass (o de los extremos):** Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo en $[a,b]$ (este teorema está implícito en la discusión de continuidad en intervalos cerrados) . --- # Derivadas y sus aplicaciones El estudio de las derivadas se enfoca en la tasa de cambio instantánea de una función y sus amplias aplicaciones para analizar el comportamiento de las mismas. ### 3.1 La definición y cálculo de la derivada La derivada de una función $f$ en un punto $a$, denotada por $f'(a)$, se define como el límite del cociente incremental cuando el incremento tiende a cero [34](#page=34): $$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Este límite representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $a$. Si la derivada existe en un punto, la función es continua en dicho punto [34](#page=34) [35](#page=35). #### 3.1.1 La función derivada La función derivada, $f'(x)$, asigna a cada punto $x$ en el dominio de $f$ donde esta es derivable, el valor de su derivada en $x$. Las derivadas sucesivas se denotan como $f''(x)$, $f'''(x)$, y en general $f^{(n)}(x)$, representando la $n$-ésima derivada de $f$. En la notación de Leibniz, se usa $\frac{df}{dx}$ para la primera derivada y $\frac{d^n f}{dx^n}$ para la $n$-ésima derivada [34](#page=34). #### 3.1.2 Derivadas laterales Se definen las derivadas por la derecha ($f'(a+)$) y por la izquierda ($f'(a-)$) como los límites laterales del cociente incremental [34](#page=34): $$f'(a+) = \lim_{h\to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ $$f'(a-) = \lim_{h\to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Una función es derivable en $a$ si y solo si ambas derivadas laterales existen y coinciden [34](#page=34). #### 3.1.3 Reglas de derivación Existen reglas fundamentales para calcular derivadas de funciones compuestas: * **Derivada de una constante por una función:** $(c \cdot f)'(a) = c \cdot f'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de una suma/resta:** $(f \pm g)'(a) = f'(a) \pm g'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de un producto:** $(f \cdot g)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de un cociente:** $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{[g(a)]^2}$, siempre que $g(a) \neq 0$ [35](#page=35). * **Regla de la cadena (composición de funciones):** Si $f$ es derivable en $g(a)$ y $g$ es derivable en $a$, entonces $f \circ g$ es derivable en $a$ y $(f \circ g)'(a) = f'[g(a)]g'(a)$ [35](#page=35). * **Derivada de la función inversa:** Si $f$ es derivable en $f^{-1}(b)$ y $f'[f^{-1}(b)] \neq 0$, entonces $f^{-1}$ es derivable en $b$ y $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'[f^{-1}(b)]}$ [35](#page=35). #### 3.1.4 Derivadas de funciones elementales Se listan las derivadas de funciones comunes, muchas de las cuales se demuestran por inducción o usando las reglas de derivación [36](#page=36): * $(x^b)' = b x^{b-1}$ para $b \in \mathbb{R}, x > 0$ [36](#page=36). * $(\log|x|)' = \frac{1}{x}$, $x \neq 0$ [36](#page=36). * $(e^x)' = e^x$ [36](#page=36). * $(b^x)' = b^x \log b$, $b > 0$ [36](#page=36). * $(\log_b x)' = \frac{1}{x \log b}$, $x > 0, b > 0, b \neq 1$ [36](#page=36). * Derivadas de funciones trigonométricas: $(\sen x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sen x$, $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ [36](#page=36). * Derivadas de funciones trigonométricas inversas: $(\arcsen x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$ [36](#page=36). #### 3.1.5 Clase $C^n$ de funciones Una función $f$ es derivable en un intervalo abierto $I$ si lo es en todos sus puntos. Se dice que $f$ es de clase 1 en $I$ ($f \in C^1(I)$) si su derivada $f'$ es continua en $I$. Generalizando, $f \in C^n(I)$ si $f$ posee $n$ derivadas en $I$ y la $n$-ésima derivada es continua en $I$. $f \in C^\infty(I)$ si existen derivadas de cualquier orden en $I$ [36](#page=36). ### 3.2 Teoremas sobre funciones derivables Estos teoremas relacionan la derivada de una función con sus propiedades de crecimiento, extremos y concavidad. #### 3.2.1 Extremos locales y puntos críticos Si una función $f$ tiene un extremo local (máximo o mínimo) en un punto $x$ interior a su dominio y es derivable en $x$, entonces $f'(x) = 0$. A estos puntos se les llama **puntos críticos**. Sin embargo, $f'(x)=0$ no garantiza un extremo local (ej: $f(x)=x^3$ en $x=0$) [38](#page=38). Para encontrar los extremos absolutos de una función continua $f$ en un intervalo cerrado $[a, b]$, se deben evaluar los valores de $f$ en: * Los extremos del intervalo ($a$ y $b$). * Los puntos $x \in (a,b)$ donde $f'(x)=0$. * Los puntos $x \in (a,b)$ donde $f'(x)$ no existe [38](#page=38). #### 3.2.2 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio * **Teorema de Rolle:** Si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, y $f(a)=f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$ [39](#page=39). * **Teorema del Valor Medio (TVM):** Si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, entonces existe al menos un $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Este teorema tiene una interpretación geométrica: la pendiente de la recta tangente en $c$ es paralela a la recta secante que une los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$ [39](#page=39). #### 3.2.3 Crecimiento y decrecimiento La monotonía de una función se determina por el signo de su primera derivada: * Si $f'(x) > 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es estrictamente creciente en $[a,b]$ [39](#page=39). * Si $f'(x) < 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es estrictamente decreciente en $[a,b]$ [39](#page=39). * Si $f'(x) = 0$ para todo $x \in (a,b)$, entonces $f$ es constante en $[a,b]$ [39](#page=39). #### 3.2.4 Criterios de extremo local (segunda derivada) * Si $f$ es de clase $C^2$ en un entorno de $c$, $f'(c)=0$, y $f''(c) > 0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$ [40](#page=40). * Si $f$ es de clase $C^2$ en un entorno de $c$, $f'(c)=0$, y $f''(c) < 0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ [40](#page=40). * Si $f'(c)=0$ y $f''(c)=0$, el criterio no es concluyente y se requiere un análisis adicional [40](#page=40). #### 3.2.5 Concavidad y convexidad La forma de la gráfica de una función se describe mediante su concavidad y convexidad, relacionadas con la segunda derivada: * **Convexa (hacia abajo):** Una función $f$ es convexa en un intervalo $I$ si el segmento que une dos puntos cualesquiera de su gráfica en $I$ se encuentra por encima de la gráfica. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f''(x) \ge 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es convexa en $[a,b]$ [40](#page=40). * **Cóncava (hacia arriba):** Una función $f$ es cóncava si $-f$ es convexa. Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f''(x) \le 0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es cóncava en $[a,b]$ [40](#page=40). * **Punto de inflexión:** Un punto donde la gráfica de $f$ cambia de convexa a cóncava o viceversa. Si $(c, f(c))$ es un punto de inflexión y $f$ es de clase $C^2$, entonces $f''(c)=0$ [40](#page=40). #### 3.2.6 Relación entre el límite de $f'$ y $f'$ Si $f$ es continua en $a$ y existe el límite de su derivada $f'(x)$ cuando $x \to a$, entonces $f'(a)$ existe y es igual a dicho límite. Esto es particularmente útil para determinar la derivada en puntos donde la definición directa resulta complicada [40](#page=40). #### 3.2.7 Regla de L'Hôpital Esta regla es fundamental para el cálculo de límites indeterminados de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$. Si $f(x)$ y $g(x)$ tienden a 0 (o a $\pm \infty$) cuando $x \to a$ (o $a^+$, $a^-$, $\pm \infty$), y existe el límite $\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces: $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ Para su demostración se utiliza el Teorema del Valor Medio de Cauchy [41](#page=41). ### 3.3 Polinomios Los polinomios son funciones fundamentales, y sus propiedades de raíces y derivadas son de gran interés. #### 3.3.1 Raíces de polinomios * **Teorema Fundamental del Álgebra:** Todo polinomio de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas (reales o no, repetidas o no) [42](#page=42). * **Raíces de coeficientes reales:** Si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz compleja $p+qi$, entonces su conjugada $p-qi$ también es raíz [42](#page=42). * **Raíces múltiples:** Una raíz $x_k$ de un polinomio $P(x)$ es múltiple si y solo si también es raíz de su derivada $P'(x)$. Las raíces múltiples de $P(x)$ son las raíces del máximo común divisor (MCD) de $P(x)$ y $P'(x)$ [42](#page=42). * **Raíces enteras:** Si un polinomio con coeficientes enteros tiene raíces enteras, estas deben ser divisores del término independiente [43](#page=43). * **Fórmulas para raíces:** Existen fórmulas para las raíces de polinomios de grado 2, 3 y 4. Sin embargo, para grados mayores que 5, no existen fórmulas generales expresadas en radicales. #### 3.3.2 Cálculo de raíces de polinomios cúbicos y bicuadrados * **Polinomios cúbicos:** Se presentan fórmulas complejas para calcular las raíces de $P_3(x) = px^3 + qx^2 + rx + s$, involucrando el discriminante $\Delta$ y una cantidad $S$ [43](#page=43). * **Polinomios bicuadrados:** Las raíces de $P(x) = ax^4 + bx^2 + c$ se encuentran fácilmente resolviendo $at^2 + bt + c = 0$ y luego $x^2 = t$ [43](#page=43). #### 3.3.3 Localización de raíces * **Cotas para raíces reales:** Si $c$ es una raíz real de $P_n(x)$, entonces $|c| \le \max\left\{1, \frac{1}{|a_n|} \sum_{k=0}^{n-1} |a_k|\right\}$ [44](#page=44). * **Ley de Descartes de los signos:** El número de raíces reales positivas de un polinomio $P(x)$ es menor o igual al número de cambios de signo en la sucesión de sus coeficientes, y la diferencia entre ambos es un número par. Esta ley se aplica también a las raíces negativas cambiando $x$ por $-x$ [44](#page=44). ### 3.4 Ceros de funciones Hallar los ceros de una función ($f(x^*)=0$) puede ser difícil, especialmente para funciones trascendentes. Se recurre a métodos numéricos para aproximar estos ceros. #### 3.4.1 Método de Newton Este método iterativo aproxima un cero $x^*$ utilizando la tangente a la gráfica de la función. Dada una aproximación inicial $x_n$, la siguiente aproximación se calcula como: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ La convergencia es rápida si $f'(x) \neq 0$ cerca del cero y si el cociente $\left| \frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} \right| < 1$ en un entorno del cero [45](#page=45). #### 3.4.2 Punto fijo contractivo Si una función $f: [a,b \to [a,b]$ es contractiva (es decir, $|f(x)-f(y)| \le c|x-y|$ con $c < 1$ para todo $x,y \in [a,b]$), entonces existe un único punto fijo $x^*$ tal que $f(x^*) = x^*$. Las sucesiones generadas por $x_{n+1} = f(x_n)$ convergen a $x^*$. Una forma de verificar si una función es contractiva es comprobar si el máximo de $|f'(x)|$ en $[a,b]$ es menor que 1 [46](#page=46). ### 3.5 Representación de funciones El análisis de la gráfica de una función se realiza sistemáticamente considerando diversos aspectos: * **Dominio y continuidad:** Identificar el dominio de la función y los puntos donde pueda ser discontinua. * **Simetrías:** Determinar si la función es par ($f(-x)=f(x)$, simetría respecto al eje $y$) o impar ($f(-x)=-f(x)$, simetría respecto al origen) [47](#page=47). * **Periodicidad:** Identificar si la función se repite cada cierto intervalo $T$ [47](#page=47). * **Asíntotas:** * **Verticales:** Ocurren donde la función tiende a $\pm \infty$. * **Horizontales:** Ocurren cuando la función tiende a un valor finito cuando $x \to \pm \infty$. * **Oblicuas:** Si la función se comporta como una recta $y=mx+b$ para $x \to \pm \infty$. * **Información de las derivadas:** * $f'$: Crecimiento/decrecimiento, extremos locales, puntos críticos. * $f''$: Concavidad/convexidad, puntos de inflexión. * **Valores clave:** * Intersección con el eje $y$ ($f $) . * Intersección con el eje $x$ (ceros de la función, $f(x)=0$). * Puntos donde $f'(x)=0$ o no existe. * Puntos donde $f''(x)=0$. Se deducen también las gráficas de funciones a partir de transformaciones de funciones conocidas, como traslaciones, estiramientos, compresiones y reflexiones [48](#page=48). --- # Series, Taylor y cálculo de límites Este tema introduce las series numéricas y de funciones, la convergencia puntual y uniforme, las series de potencias y sus desarrollos de Taylor, así como técnicas para el cálculo de límites indeterminados utilizando Taylor y L'Hôpital. ### 4.1 Series de números reales Se define una serie numérica como la suma infinita de una sucesión de números reales: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. La convergencia de una serie se determina por el límite de su sucesión de sumas parciales, $S_k = \sum_{n=1}^{k} a_n$. Si este límite existe y es finito, la serie converge a ese valor; de lo contrario, diverge [53](#page=53). #### 4.1.1 Convergencia de series * **Serie convergente:** Si la sucesión de sumas parciales $\{S_k\}$ converge [53](#page=53). * **Serie divergente:** Si la sucesión de sumas parciales $\{S_k\}$ diverge [53](#page=53). * Una propiedad fundamental es que si $\sum a_n$ converge, entonces $a_n \to 0$. Sin embargo, lo recíproco no es cierto; es decir, que $a_n \to 0$ no garantiza la convergencia de la serie [54](#page=54). #### 4.1.2 Casos especiales de series sumables * **Series geométricas:** $\sum_{n=0}^{\infty} r^n$. Converge a $\frac{1}{1-r}$ si $|r| < 1$, y diverge si $|r| \ge 1$ [54](#page=54). * **Series telescópicas:** $\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - b_{n+1})$. Converge si $\{b_n\}$ converge, y su suma es $b_1 - \lim_{n\to\infty} b_n$ [54](#page=54). #### 4.1.3 Criterios de convergencia para series de términos positivos * **Criterio integral:** Si $f(x)$ es una función positiva y decreciente para $x \ge 1$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ converge si y solo si $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ converge. Este criterio también proporciona una cota para el error cometido al aproximar la suma [55](#page=55). * Aplicación: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ converge si $s > 1$ y diverge si $s \le 1$ [55](#page=55). * **Criterio de comparación por desigualdades:** Si $0 \le a_n \le b_n$, entonces la convergencia de $\sum b_n$ implica la convergencia de $\sum a_n$. La divergencia de $\sum a_n$ implica la divergencia de $\sum b_n$ [56](#page=56). * **Criterio de comparación por paso al límite:** Sean $a_n, b_n \ge 0$ y $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = c$. * Si $c > 0$, $\sum a_n$ converge $\iff \sum b_n$ converge. * Si $c = 0$, $\sum b_n$ converge $\implies \sum a_n$ converge. * Si $c = \infty$, $\sum b_n$ diverge $\implies \sum a_n$ diverge. El símbolo "∼" se usa cuando $c > 0$, indicando que las series se comportan de manera similar en cuanto a convergencia [56](#page=56). * **Criterio del cociente:** Sea $r = \lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$. * Si $r < 1$, $\sum a_n$ converge absolutamente. * Si $r > 1$ (o $r=\infty$), $\sum a_n$ diverge. * Si $r = 1$, el criterio no decide [58](#page=58). * **Criterio de la raíz:** Sea $r = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. * Si $r < 1$, $\sum a_n$ converge absolutamente. * Si $r > 1$ (o $r=\infty$), $\sum a_n$ diverge. * Si $r = 1$, el criterio no decide [58](#page=58). #### 4.1.4 Series de términos cualesquiera * **Convergencia absoluta:** $\sum a_n$ es absolutamente convergente si $\sum |a_n|$ converge. El teorema clave es que si $\sum |a_n|$ converge, entonces $\sum a_n$ converge [57](#page=57). * **Convergencia condicional:** $\sum a_n$ es condicionalmente convergente si converge, pero no absolutamente [57](#page=57). * **Criterio de Leibniz (para series alternadas):** Si $\{a_n\}$ es una sucesión decreciente de términos no negativos y $a_n \to 0$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n$ converge. Además, el error absoluto $|S - S_N| \le a_{N+1}$ [57](#page=57). ### 4.2 Sucesiones y series de funciones Se consideran sucesiones de funciones $\{f_n(x)\}$ definidas en un dominio común $A$. #### 4.2.1 Convergencia puntual $\{f_n\}$ converge puntualmente hacia $f$ en $A$ si para cada $x \in A$, $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)$ [60](#page=60). #### 4.2.2 Convergencia uniforme $\{f_n\}$ converge uniformemente hacia $f$ en $A$ si para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que para todo $x \in A$, si $n \ge N$, entonces $|f(x) - f_n(x)| < \epsilon$. La convergencia uniforme implica la convergencia puntual, pero no a la inversa [60](#page=60). * **Teorema:** Si $|f_n(x) - f(x)| < a_n$ para todo $x \in A$ y $a_n \to 0$, entonces $f_n(x) \to f(x)$ uniformemente en $A$ [61](#page=61). * **Propiedad:** Si $f_n$ son continuas en un intervalo $I$ y $\{f_n\} \to f$ uniformemente en $I$, entonces $f$ es continua en $I$ [61](#page=61). #### 4.2.3 Convergencia de series de funciones Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ converge puntualmente o uniformemente hacia $f$ si la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{k=1}^{n} f_k$ lo hace [62](#page=62). * **Criterio de Weierstrass:** Si existen $\{M_n\}$ tal que $|f_n(x)| \le M_n$ para todo $x \in A$ y $\sum M_n$ converge, entonces $\sum f_n$ converge uniformemente en $A$ [62](#page=62). ### 4.3 Series de potencias Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$ se llama serie de potencias en $(x-a)$. Por simplicidad, se suele considerar $a=0$: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$. #### 4.3.1 Radio de convergencia A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia $R > 0$ tal que: * Si $R = 0$, la serie solo converge en $x=0$. * Si $R$ es finito, la serie converge para $|x| < R$ y diverge para $|x| > R$. * Si $R = \infty$, la serie converge para todo $x$. * Si $0 < x_0 < R$, la serie converge uniformemente en $[-x_0, x_0]$ [63](#page=63). El radio de convergencia se puede calcular a menudo usando los criterios del cociente o la raíz aplicados a los coeficientes $a_n$ [64](#page=64). #### 4.3.2 Propiedades de las series de potencias * Una función definida por una serie de potencias es infinitamente derivable dentro de su intervalo de convergencia $|x| < R$ [64](#page=64). * Se pueden derivar término a término: $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ para $|x| < R$ [64](#page=64). * Se pueden sumar, multiplicar y dividir (con ciertas condiciones) como si fueran polinomios [65](#page=65). ### 4.4 Polinomios y series de Taylor Los polinomios de Taylor aproximan una función $f(x)$ cerca de un punto $a$. * **Polinomio de Taylor de grado $n$ en $a$:** $$P_{n,a}(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ Este polinomio coincide con la función y sus $n$ primeras derivadas en $a$ [66](#page=66). * **Resto de Lagrange:** El error $R_{n,a}(x) = f(x) - P_{n,a}(x)$ se puede acotar mediante: $$R_{n,a}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ para algún $c$ entre $a$ y $x$ [66](#page=66). * **Fórmula de McLaurin:** Para $a=0$: $$f(x) = P_n(x) + R_n(x) = f + f' x + \dots + \frac{f^{(n)} }{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}$$ . [67](#page=67). * **Series de Taylor:** Si $f$ tiene infinitas derivadas en $a$ y el resto $R_n(x) \to 0$ cuando $n \to \infty$ para $x$ en un entorno de $a$, entonces $f(x)$ coincide con su serie de Taylor: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$ [68](#page=68). Algunas series de Taylor notables incluyen: * $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ * $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ * $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ * $\log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1}$ para $|x|<1$. * $(1+x)^r = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{r}{n} x^n$ para $|x|<1$ (#page=68, page=69) [68](#page=68) [69](#page=69). * **Polinomios de interpolación:** Aproximan una función $f$ mediante un polinomio $Q_n$ que coincide con $f$ en $n+1$ puntos distintos. La fórmula de Newton y la de Lagrange son métodos para construirlos [71](#page=71). ### 4.5 Cálculo de límites indeterminados Se utilizan desarrollos de Taylor y la regla de L'Hôpital. #### 4.5.1 Notación "o pequeña" $f(x) = o(g(x))$ cuando $x \to a$ si $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$. Esto permite expresar el resto de Taylor como $R_{n,a}(x) = o([x-a]^n)$ [72](#page=72). #### 4.5.2 Uso de Taylor para límites Sustituir las funciones en el límite por sus desarrollos de Taylor hasta un orden suficiente para que el numerador o denominador dejen de ser indeterminados (#page=72, page=73) [72](#page=72) [73](#page=73). #### 4.5.3 Regla de L'Hôpital Si $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0$ o $\pm \infty$, y existe $\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ [73](#page=73). * **Comparación Taylor vs. L'Hôpital:** Taylor suele ser más directo y menos propenso a errores para límites indeterminados que involucran funciones con desarrollos conocidos, especialmente cuando se requiere aplicar L'Hôpital múltiples veces. L'Hôpital es útil cuando los desarrollos de Taylor no son fácilmente aplicables (por ejemplo, límites en el infinito o cuando no se conocen los desarrollos) [73](#page=73). #### 4.5.4 Transformación de indeterminaciones Muchas indeterminaciones (como $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$) pueden transformarse en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ mediante manipulaciones algebraicas o tomando logaritmos, para luego aplicar L'Hôpital o Taylor (#page=72, page=74) [72](#page=72) [74](#page=74). * **Cambios de variable:** Sustituir $t = g(x)$ o $t = 1/x$ puede simplificar la expresión del límite y facilitar su cálculo [74](#page=74). --- # Integración y sus aplicaciones ¡Claro! Aquí tienes una guía de estudio detallada sobre "Integración y sus aplicaciones" basada en el contenido proporcionado, siguiendo todas las directrices de formato y contenido. ## 5. Integración y sus aplicaciones Este tema explora la integral de Riemann, sus propiedades y los teoremas fundamentales del cálculo, proporcionando herramientas para calcular primitivas, manejar integrales impropias y aproximar valores numéricamente, culminando en aplicaciones prácticas como el cálculo de áreas, longitudes y volúmenes. ### 5.1. Definición y propiedades La integral de una función acotada $f$ en un intervalo $[a,b]$ se define a través de sumas inferiores ($L_n$) y superiores ($U_n$), basadas en la división del intervalo en subintervalos de igual longitud $\Delta x$. Si ambas sucesiones de sumas convergen a un mismo límite cuando $n \to \infty$, la función es integrable en $[a,b]$ y dicho límite es la integral de $f$. Geométricamente, si $f \ge 0$, la integral representa el área bajo la curva; si $f \le 0$, su valor absoluto representa el área por debajo del eje x; y si $f$ tiene partes positivas y negativas, la integral es la diferencia entre estas áreas [78](#page=78). **Propiedades de la integral:** * **Linealidad:** Para funciones integrables $f$ y $g$, y constante $c$: * $\int_a^b c f(x) dx = c \int_a^b f(x) dx$ [79](#page=79). * $\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$ [79](#page=79). * **Monotonía:** Si $m \le f(x) \le M$ en $[a,b]$, entonces $m(b-a) \le \int_a^b f(x) dx \le M(b-a)$ [79](#page=79). * Si $f(x) \le g(x)$ en $[a,b]$, entonces $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$ [79](#page=79). * $\left|\int_a^b f(x) dx\right| \le \int_a^b |f(x)| dx$ [79](#page=79). * Si $f$ es impar, $\int_{-a}^a f(x) dx = 0$. Si $f$ es par, $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ [79](#page=79). * **Aditividad del intervalo:** Si $a < c < b$, entonces $f$ integrable en $[a,b]$ implica $f$ integrable en $[a,c]$ y $[c,b]$, y $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ [79](#page=79). **Integrabilidad:** * Una función continua en $[a,b]$ es integrable en $[a,b]$ [80](#page=80). * Una función continua a trozos en $[a,b]$ es integrable en $[a,b]$ [80](#page=80). * Funciones acotadas con un número finito de discontinuidades son integrables [78](#page=78) [80](#page=80). > **Tip:** Las funciones no integrables deben ser "patológicas", como la función de Dirichlet ($f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$, $f(x) = 0$ si $x \notin \mathbb{Q}$) [78](#page=78). ### 5.2. Teoremas fundamentales del cálculo Estos teoremas establecen la conexión crucial entre derivación e integración. * **Primer Teorema Fundamental del Cálculo (TFCI):** Si $f$ es integrable en $[a,b]$, entonces la función $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ es continua en $[a,b]$. Si además $f$ es continua en $c \in (a,b)$, entonces $F$ es derivable en $c$ y $F'(c) = f(c)$. Si $f$ es continua en todo $[a,b]$, entonces $F'(x) = f(x)$ para todo $x \in [a,b]$ [81](#page=81). > **Tip:** El TFCI muestra que la integral de una función $f$ produce una función $F$ que es "más suave" que $f$. Si $f$ es continua, $F$ es derivable; si $f$ tiene "picos", $F$ puede tener picos continuos pero sin picos agudos. En general, si $f \in C^n$, entonces $F \in C^{n+1}$ [81](#page=81). * **Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (TFCI):** Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $g$ es una primitiva de $f$ (es decir, $g' = f$), entonces $\int_a^b f(x) dx = g(b) - g(a)$ [81](#page=81). > **Tip:** El segundo TFCI permite calcular integrales definidas simplemente encontrando una primitiva de la función integrando, lo que evita el uso directo de las sumas de Riemann. El conjunto de todas las primitivas de $f$ se denota como $\int f(x) dx$ (integral indefinida) [82](#page=82). **Aplicaciones de los TFCI:** * **Cálculo de integrales definidas:** Se calculan encontrando una primitiva $G$ de $f$ y evaluando $G(b) - G(a)$ [81](#page=81). * **Derivación de funciones definidas por integrales con límites variables:** Si $H(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt$, entonces $H'(x) = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$ [83](#page=83). > **Ejemplo:** Para hallar la tangente a $F(x) = \int_x^{-1} \frac{t^3}{t^4-4} dt$ en $x=1$, calculamos $F'(x) = \frac{x^3}{x^4-4}$ y $F = \int_1^{-1} \frac{t^3}{t^4-4} dt = 0$ (la integral de una función impar en un intervalo simétrico). La tangente es $y = F' (x-1) + F = -\frac{1}{3}(x-1) + 0 = -\frac{1}{3}x$ [1](#page=1) [83](#page=83). ### 5.3. Cálculo de primitivas El cálculo de primitivas es fundamental para aplicar el segundo TFCI. * **Primitivas inmediatas:** Se obtienen directamente de las reglas de derivación conocidas (ej: $\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x$, $\int \frac{2x dx}{x^2-1} = \log|x^2-1|$). A menudo, solo faltan constantes multiplicativas [85](#page=85). * **Linealidad de la primitiva:** $\int [f(x)+g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ y $\int c f(x) dx = c \int f(x) dx$ [85](#page=85). * **Integración por partes:** Derivada de la regla del producto: $\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$. Se usa a menudo para reducir la complejidad del integrando, especialmente cuando la derivación simplifica una parte del integrando (ej: $\int x \sin x dx$, $\int \log x dx$) [85](#page=85). > **Tip:** La notación $u = f(x), dv = g'(x)dx \implies du = f'(x)dx, v = g(x)$ es muy útil para aplicar la integración por partes: $\int u dv = uv - \int v du$. * **Primitivas de funciones racionales:** $\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$, donde $P, Q$ son polinomios. Si $\text{grado}(P) \ge \text{grado}(Q)$, se realiza la división para obtener un polinomio más un resto $R(x)$ de menor grado. Luego, $Q(x)$ se factoriza en potencias de factores lineales $(x-a)^m$ y cuadráticos irreducibles $(x^2+cx+d)^n$. La fracción $\frac{R(x)}{Q(x)}$ se descompone en una suma de fracciones simples, cuya integración es conocida [86](#page=86). > **Ejemplo:** Para $\int \frac{4x^4-6x^3+5x^2-11x+4}{x^5-x^4+x^3-3x^2+2x} dx$, se factoriza el denominador $Q(x) = x(x-1)^2(x^2+x+2)$ y se descompone la fracción en simples: $\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+x+2}$. Integrar estas formas (polinomios, logaritmos, arcotangentes) completa la primitiva [86](#page=86). * **Cambios de variable:** * **Forma $f(g(x))g'(x)$:** $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$ donde $u=g(x)$, $du=g'(x)dx$ [87](#page=87). * **Sustitución general:** Si el integrando sugiere una sustitución $u=g(x)$, se despeja $x$, se calcula $dx$, y se sustituye todo en la integral. Los límites de integración también se transforman: $x=a \to u=g(a), x=b \to u=g(b)$ [87](#page=87). > **Ejemplo:** Para $\int \sqrt{e^x-1} dx$, se puede hacer $u = \sqrt{e^x-1}$, lo que implica $u^2 = e^x-1$, $e^x = u^2+1$, $x = \log(u^2+1)$, $dx = \frac{2u}{u^2+1} du$. La integral se transforma a $\int \frac{2u^2}{u^2+1} du$, que es una racional [87](#page=87). * **Primitivas de funciones trigonométricas:** Se manejan casos como $\int \sin^m x \cos^n x dx$, usando identidades trigonométricas y sustituciones como $u=\cos x$ o $u=\sin x$. Para $\int R(\sin x, \cos x) dx$, existen cambios de variable canónicos ($u=\tan(x/2)$) que la transforman en una integral racional [88](#page=88). * **Primitivas de irracionales:** * $\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) dx$: Sustitución $u = \sqrt[n]{ax+b}$ [89](#page=89). * $\int R(x, \sqrt{a^2-x^2}) dx$: Sustitución trigonométrica $x = a \sin u$ [89](#page=89). * $\int R(x, \sqrt{x^2+a}) dx$: Sustitución $u = x + \sqrt{x^2+a}$ [89](#page=89). > **Tip:** Siempre es aconsejable revisar si un integrando irracional puede resolverse mediante una sustitución simple o incluso si es una primitiva inmediata (ej: $\int \frac{x dx}{\sqrt{x^2+1}}$) [89](#page=89). ### 5.4. Integrales impropias Se extienden el concepto de integral a intervalos no acotados o a funciones no acotadas. * **Integrales impropias de primera especie (intervalo no acotado):** * $\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x) dx$ [90](#page=90). * $\int_{-\infty}^b f(x) dx = \lim_{a\to-\infty} \int_a^b f(x) dx$ [90](#page=90). * $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^\infty f(x) dx$ (para algún $c \in \mathbb{R}$). La integral es convergente solo si ambas sumas convergen [93](#page=93). > **Tip:** Para $\int_a^\infty \frac{1}{x^s} dx$, converge si $s > 1$ y diverge si $s \le 1$ [90](#page=90). * **Integrales impropias de segunda especie (función no acotada):** * $\int_a^b f(x) dx$, si $f$ no está acotada en $a$: $\lim_{t\to a^+} \int_t^b f(x) dx$ [92](#page=92). * $\int_a^b f(x) dx$, si $f$ no está acotada en $b$: $\lim_{t\to b^-} \int_a^t f(x) dx$ [92](#page=92). > **Tip:** Para $\int_a^b \frac{1}{(x-a)^s} dx$, converge si $s < 1$ y diverge si $s \ge 1$ [92](#page=92). **Criterios de Convergencia:** * **Para funciones positivas:** * **Criterio de comparación:** Si $0 \le f(x) \le g(x)$ en $[a, \infty)$, entonces $\int_a^\infty g(x) dx$ convergente $\implies \int_a^\infty f(x) dx$ convergente [90](#page=90). * **Criterio de comparación por límite:** Si $f, g \ge 0$ y $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = c$ finito: * Si $c > 0$, $\int_a^\infty g(x) dx$ converge $\iff \int_a^\infty f(x) dx$ converge [91](#page=91). * Si $c = 0$, $\int_a^\infty g(x) dx$ converge $\implies \int_a^\infty f(x) dx$ converge [91](#page=91). * **Para funciones de signo arbitrario:** Si $\int_a^\infty |f(x)| dx$ converge (absolutamente integrable), entonces $\int_a^\infty f(x) dx$ converge [91](#page=91). > **Ejemplo:** $\int_0^\infty e^{-x^2} dx$ converge porque $e^{-x^2} \le e^{-x}$ para $x \ge 1$, y $\int_1^\infty e^{-x} dx$ converge [91](#page=91). * **Valor Principal de Cauchy:** Para integrales de la forma $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx$, el límite $\lim_{b\to\infty} \int_{-b}^b f(x) dx$ se llama Valor Principal de Cauchy. Este límite puede existir incluso si la integral impropia diverge [93](#page=93). ### 5.5. Integración aproximada Cuando las primitivas son complicadas o inexistentes, se recurre a métodos numéricos. * **Integración de series de Taylor:** Si una función $f(x)$ tiene un desarrollo en serie de potencias convergente uniformemente en $[a,b]$, su integral se puede calcular integrando la serie término a término [94](#page=94). > **Ejemplo:** $\int_0^1 \sin(x^2) dx$ se aproxima sumando los primeros términos de la serie de Taylor de $\sin(t^2)$ integrada: $\int_0^1 (\frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^{11}}{1320} - \dots) dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} - \dots$ [95](#page=95). * **Fórmula de los trapecios:** Aproxima la integral dividiendo $[a,b]$ en $n$ trapecios de ancho $h=(b-a)/n$: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(a) + 2f(a+h) + \dots + 2f(a+(n-1)h) + f(b)]$ [96](#page=96). El error es $\le \frac{1}{12}(b-a) M_2 h^2$, donde $M_2 = \sup|f''(x)|$ [96](#page=96). * **Fórmula de Simpson:** Aproxima la integral usando parábolas que interpolan tres puntos consecutivos. Requiere un número par de subintervalos $n=2m$: $\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + 4f(a+3h) + \dots + 4f(a+(n-1)h) + f(b)]$ [96](#page=96). El error es $\le \frac{1}{180}(b-a) M_4 h^4$, donde $M_4 = \sup|f^{ }(x)|$ [4](#page=4) [96](#page=96). > **Tip:** La fórmula de Simpson es generalmente más precisa que la de los trapecios para el mismo $h$, ya que el error disminuye más rápidamente con $h$ (dependencia de $h^4$ vs $h^2$) [96](#page=96). ### 5.6. Aplicaciones La integración tiene aplicaciones fundamentales en diversas áreas de las matemáticas y la física. * **Áreas planas:** El área entre el eje x y $f(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x)| dx$. El área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en $[a,b]$ es $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$ [99](#page=99). > **Ejemplo:** El área encerrada por $f(x) = x^3-x$ y el eje horizontal se calcula como $\int_{-1}^1 |x^3-x| dx = \int_{-1}^0 (x^3-x) dx - \int_0^1 (x^3-x) dx = -2 \int_0^1 (x^3-x) dx = 1/2$ [99](#page=99). * **Áreas en coordenadas polares:** El área de una región acotada por $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$ y $r=f(\theta)$ es $\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta [f(\theta)]^2 d\theta$ [100](#page=100). > **Ejemplo:** El área de la región acotada por $r = 3+\cos\theta$ es $\frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (3+\cos\theta)^2 d\theta = \frac{19\pi}{2}$ [100](#page=100). * **Longitud de una curva:** La longitud de la gráfica de $f(x)$ en $[a,b]$ es $L = \int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2} dx$ [100](#page=100). > **Ejemplo:** La longitud del tramo de $y=x^2$ entre $(0,0)$ y $(1,1)$ es $\int_0^1 \sqrt{1+(2x)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1+4x^2} dx$, que requiere un cambio de variable o integración por partes [100](#page=100). * **Volúmenes (no detallado en estas páginas, pero es una aplicación común):** Los volúmenes de sólidos de revolución se calculan mediante la integración de áreas de discos, arandelas o capas cilíndricas. * **Cálculo de primitivas de funciones racionales e irracionales:** (Cubierto en la sección 5.3 y 5.4). * **Integrales impropias:** (Cubierto en la sección 5.4). --- # Cálculo en el conjunto de los números complejos Este tema introduce el conjunto de los números complejos, sus operaciones, representación geométrica y propiedades, para luego definir funciones de variable compleja, su límite, continuidad, derivabilidad, así como series de potencias complejas y sus aplicaciones. ### 6.1 Funciones de variable compleja El conjunto de los números complejos, denotado por $\mathbb{C}$, se introduce para resolver ecuaciones como $x^2 + 1 = 0$, que no tienen solución en $\mathbb{R}$. $\mathbb{C}$ se define como $\{z = a + ib \mid a, b \in \mathbb{R}\}$, donde $i$ es la unidad imaginaria con $i^2 = -1$ . #### 6.1.1 Operaciones y propiedades de los números complejos En $\mathbb{C}$, las operaciones de suma y producto están definidas como: * Suma: $(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)$ . * Producto: $(a + ib) \cdot (c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$ . Con estas operaciones, $\mathbb{C}$ forma un cuerpo, poseyendo propiedades asociativa, conmutativa, distributiva, elementos neutros (0 y 1) e inversos para la suma y la multiplicación (para $z \neq 0$) . La diferencia y el cociente se definen análogamente a $\mathbb{R}$: * Diferencia: $z - w = z + (-w)$ . * Cociente: $\frac{z}{w} = z \cdot w^{-1}$ si $w \neq 0$ . No es posible definir un orden en $\mathbb{C}$ compatible con estas operaciones . Para un número complejo $z = x + iy$: * **Conjugado:** $\bar{z} = x - iy$ . * **Módulo:** $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . #### 6.1.2 Representación geométrica de los números complejos Cada número complejo $z = x + iy$ puede representarse como el punto $(x, y)$ en el plano cartesiano . * La suma $z + w$ corresponde al cuarto vértice de un paralelogramo cuyos lados son los segmentos $Oz$ y $Ow$ . * El conjugado $\bar{z}$ es la reflexión de $z$ respecto al eje $x$ . * El módulo $|z|$ es la distancia del punto $z$ al origen $O$ . * La distancia entre dos complejos $z$ y $w$ es $|z - w|$ . Propiedades del conjugado y módulo: * $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$ . * $\overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}$ . * $\overline{z^{-1}} = (\bar{z})^{-1}$ . * $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$ . * $|z \cdot w| = |z| \cdot |w|$ . * $|z + w| \leq |z| + |w|$ (desigualdad triangular) . #### 6.1.3 Forma polar y exponencial de los números complejos Un número complejo $z = x + iy$ puede expresarse en coordenadas polares como $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$, donde $r = |z|$ y $\theta$ es el argumento de $z$. El argumento principal es aquel tal que $0 \leq \theta < 2\pi$. Se puede calcular usando $\tan\theta = \frac{y}{x}$ y observando el cuadrante donde se encuentra $z$ . La relación de Euler, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, permite una notación más compacta: $z = re^{i\theta}$ . #### 6.1.4 Operaciones con formas polares La forma polar es muy útil para productos, cocientes y potencias: * Producto: Si $z = re^{i\theta}$ y $w = se^{i\alpha}$, entonces $z \cdot w = rse^{i(\theta+\alpha)}$ . * Cociente: $\frac{z}{w} = \frac{r}{s}e^{i(\theta-\alpha)}$ . * Potencia: $z^n = r^n e^{in\theta}$ . #### 6.1.5 Raíces de números complejos Todo número complejo no nulo $z = re^{i\theta}$ tiene $n$ raíces $n$-simas distintas, dadas por: $$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 $$ Estas raíces se encuentran en los vértices de un polígono regular . #### 6.1.6 Ejemplos de operaciones y resolución de ecuaciones * **Cálculo de módulos:** $|i(3-4i)/(2+i)| = |i||3-4i|/|2+i| = 1 \cdot \sqrt{3^2+(-4)^2}/\sqrt{2^2+1^2} = 5/\sqrt{5} = \sqrt{5}$ . * **Potencias:** $(1-i)^6$ se puede calcular directamente o en forma polar. En polar, $1-i = \sqrt{2}e^{-i\pi/4}$, entonces $(1-i)^6 = (\sqrt{2})^6 e^{-i6\pi/4} = 8e^{-i3\pi/2} = 8i$ . * **Raíces cúbicas:** Las raíces cúbicas de $z = \frac{7+i}{1-i} = 3+4i = 5e^{i\arctan(4/3)}$ son $\sqrt {5}e^{i(\arctan(4/3)+2k\pi)/3}$ para $k=0,1,2$ [3](#page=3). * **Factorización de polinomios:** El polinomio real $x^4+1$ se factoriza usando sus raíces complejas, que son las cuartas raíces de $-1$: $x^4+1 = (x^2 - \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1)$ . * **Resolución de ecuaciones cuadráticas:** La fórmula cuadrática es válida en $\mathbb{C}$. Para $z^2 - iz - 1 - i = 0$, las raíces son $z = \frac{1}{2}[i \pm \sqrt{3+4i}]$. El cálculo de $\sqrt{3+4i}$ da $\pm(2+i)$, llevando a las raíces $z=1+i$ y $z=-1$ . #### 6.1.7 Representación de conjuntos en el plano complejo El conjunto de complejos $z$ que cumplen $|z - i| < 2$ corresponde a los puntos dentro del círculo de centro $(0,1)$ y radio 2, excluyendo la circunferencia . #### 6.1.8 Funciones trigonométricas y exponenciales (relación) Las identidades trigonométricas como $\cos(3\theta)$ y $\sin(3\theta)$ pueden derivarse usando potencias de números complejos y la fórmula de Euler . #### 6.1.9 Funciones de variable compleja Una función de variable compleja $f(z)$ asigna a cada complejo $z$ de un dominio un único complejo $f(z)$ . * Se pueden definir funciones reales de variable compleja (donde $f(z)$ es real) o funciones complejas de variable real (donde $z$ es real) . * Funciones importantes reales de variable compleja son el módulo $|z|$, el argumento $\text{Arg}(z)$, la parte real $\text{Re}(z)$ y la parte imaginaria $\text{Im}(z)$ . * Cualquier función compleja $f$ se puede escribir como $f = u + iv$, donde $u = \text{Re}(f)$ y $v = \text{Im}(f)$ son funciones reales . #### 6.1.10 Límite y continuidad de funciones complejas El límite y la continuidad se definen de manera análoga a $\mathbb{R}$, utilizando el módulo en lugar del valor absoluto . * **Límite:** $\lim_{z\to a} f(z) = L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $0 < |z-a| < \delta$, entonces $|f(z)-L| < \varepsilon$ . * **Continuidad:** $f$ es continua en $a$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$ tal que si $|z-a| < \delta$, entonces $|f(z)-f(a)| < \varepsilon$ . > **Tip:** La continuidad en $a$ significa que para cualquier entorno de $f(a)$ de radio $\varepsilon$, podemos encontrar un entorno de $a$ de radio $\delta$ cuya imagen esté contenida en el entorno de $f(a)$ . #### 6.1.11 Propiedades de continuidad * Las sumas, diferencias, productos y cocientes (donde el denominador no se anula) de funciones continuas son continuas . * Una función $f = u + iv$ es continua en $a$ si y solo si sus partes real $u$ y $v$ son continuas en $a$ . * Las funciones polinómicas y racionales son continuas en sus dominios . * Las funciones $\text{Re}(z)=x$ e $\text{Im}(z)=y$ son continuas en todo $\mathbb{C}$ . * La función $f(z)=z$ es continua en todo $\mathbb{C}$ . > **Tip:** La composición de funciones continuas es continua. Esto facilita demostrar la continuidad de funciones complejas complejas, como $f(x+iy) = y\arctan(xy) + ix\cos(x+y)$ . Existen funciones discontinuas, como $\text{Arg}(z)$ en el semieje real positivo . #### 6.1.12 Derivabilidad de funciones complejas Una función $f(z)$ es derivable en $a \in \mathbb{C}$ si existe el límite: $$ f'(a) = \lim_{z\to 0} \frac{f(a+z) - f(a)}{z} $$ . * La derivabilidad implica continuidad . * Las reglas de derivación para sumas, productos, cocientes y composiciones son las mismas que en $\mathbb{R}$ . > **Tip:** Las funciones no son arbitrarias para ser derivables. Por ejemplo, $f(z) = \bar{z}$ no es derivable porque $\lim_{z\to 0} \frac{\bar{z}}{z}$ toma valores diferentes (1 y -1) para distintos caminos de aproximación a 0 . Las **ecuaciones de Cauchy-Riemann** son una condición necesaria para la derivabilidad de $f = u + iv$: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ . ### 6.2 Series complejas de potencias Se estudian sucesiones $\{a_n\}$ de números complejos y series $\sum a_n$. #### 6.2.1 Convergencia de sucesiones y series complejas * **Convergencia de sucesiones:** $\{a_n\} \to L$ si $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N$ tal que si $n \geq N$, entonces $|a_n - L| < \varepsilon$ . * **Relación con sucesiones reales:** Si $a_n = b_n + ic_n$ y $L = p + iq$, entonces $\{a_n\} \to L \iff \{b_n\} \to p$ y $\{c_n\} \to q$ . * **Convergencia de series:** Una serie $\sum a_n$ converge si su sucesión de sumas parciales $S_n$ converge . * **Suma de series:** Si $\sum b_n$ y $\sum c_n$ convergen, entonces $\sum (b_n + ic_n) = \sum b_n + i \sum c_n$ . * **Convergencia absoluta:** $\sum a_n$ es absolutamente convergente si $\sum |a_n|$ converge. Los criterios de convergencia de series reales (cociente, raíz) se aplican a series complejas usando $|a_n|$ . > **Tip:** Si una serie compleja converge absolutamente, entonces converge. Esto se debe a que $|b_n| \leq |a_n|$ y $|c_n| \leq |a_n|$, por lo que la convergencia de $\sum |a_n|$ implica la convergencia de $\sum |b_n|$ y $\sum |c_n|$, y consecuentemente de $\sum b_n$ y $\sum c_n$ . #### 6.2.2 Series de potencias complejas Una serie de potencias compleja tiene la forma: $$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ldots, \quad a_n, z \in \mathbb{C} $$ . * **Radio de convergencia:** A cada serie de potencias se asocia un radio de convergencia $R \in [0, \infty]$ . * Si $R=0$, la serie solo converge en $z=0$. * Si $R=\infty$, la serie converge para todo $z \in \mathbb{C}$. * Si $R$ es un número real positivo, la serie converge para $|z| < R$ y diverge para $|z| > R$ . > **Tip:** El intervalo de convergencia en $\mathbb{R}$ se convierte en un círculo de convergencia $|z| < R$ en $\mathbb{C}$. La convergencia sobre la circunferencia $|z|=R$ debe ser analizada por separado . * **Propiedades de las series de potencias:** Dentro del círculo de convergencia, las series de potencias pueden sumarse, multiplicarse y dividirse de manera similar a las series reales . #### 6.2.3 Derivabilidad de funciones definidas por series de potencias Si $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ converge para $|z| < R$, entonces $f(z)$ es derivable para $|z| < R$ y su derivada es: $$ f'(z) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1} $$ . Las funciones definidas por series de potencias son infinitamente derivables y continuas dentro de su círculo de convergencia . > **Teorema Importante:** Una función $f(z)$ derivable en una región $A$ del plano complejo es infinitamente derivable en $A$. Además, en todo círculo contenido en $A$, $f(z)$ coincide con su serie de Taylor . #### 6.2.4 Definición de funciones exponenciales y trigonométricas complejas Se definen tres funciones complejas fundamentales mediante series de potencias: * **Exponencial:** $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ . * **Seno:** $\text{sen } z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ . * **Coseno:** $\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}$ para todo $z \in \mathbb{C}$ . Estas funciones tienen $R=\infty$ . Propiedades y relaciones: * $(\text{sen } z)' = \cos z$, $(\cos z)' = -\text{sen } z$, $(\text{e}^z)' = \text{e}^z$ . * $\text{e}^{z+w} = \text{e}^z \text{e}^w$ . * Relación de Euler: $e^{iz} = \cos z + i \text{sen } z$ . * $\text{sen } z = \frac{1}{2i}(e^{iz} - e^{-iz})$ . * $\cos z = \frac{1}{2}(e^{iz} + e^{-iz})$ . * Para $z = x+iy$, $e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i \text{sen } y)$ . > **Observación:** A diferencia de las funciones trigonométricas reales, las funciones complejas $\text{sen } z$ y $\cos z$ no están acotadas. Por ejemplo, en el eje imaginario: $\text{sen}(iy) = i\text{shy}$ y $\cos(iy) = \text{chy}$ . Las únicas funciones analíticas (infinitamente derivables) en todo $\mathbb{C}$ que están acotadas son las funciones constantes . --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Números naturales | El conjunto $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ... \}$ que representa las cantidades enteras positivas. | | Números enteros | El conjunto $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \}$ que incluye los números naturales, sus opuestos y el cero. | | Números racionales | El conjunto $Q = \{p/q \mid p, q \text{ son enteros, } q \neq 0 \}$ que se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. | | Cuerpo ordenado | Un conjunto con dos operaciones (suma y producto) que cumplen propiedades de asociatividad, conmutatividad, distributividad, existencia de neutros e inversos, y una relación de orden compatible con las operaciones. | | Demostración por inducción | Un método de demostración para proposiciones que dependen de un número natural $n$, que consiste en probar la proposición para $n=1$ y luego demostrar que si es cierta para $n$ implica que es cierta para $n+1$. | | Máximo común divisor (mcd) | El mayor número natural que divide a un conjunto de números naturales dados sin dejar resto. | | Mínimo común múltiplo (mcm) | El menor número natural que es múltiplo de todos los números dados. | | Factorial de $n$ ($n!$) | El producto de todos los números naturales desde 1 hasta $n$, definido como $n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$, con $0! = 1$. | | Número combinatorio ($\binom{n}{k}$) | El número de formas distintas de escoger $k$ elementos de un conjunto de $n$ elementos sin importar su orden, calculado como $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. | | Binomio de Newton | La fórmula que expresa la potencia $n$-ésima de un binomio $(a+b)^n$ en términos de coeficientes binomiales y potencias de $a$ y $b$: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$. | | Número irracional | Un número real que no es racional, cuya expresión decimal tiene infinitos decimales no periódicos. | | Axioma del extremo superior | Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente posee un extremo superior (supremo). | | Conjunto abierto | Un subconjunto de R donde cada punto es un punto interior, es decir, existe un entorno de ese punto completamente contenido en el subconjunto. | | Conjunto cerrado | Un subconjunto de R que contiene a todos sus puntos de acumulación. | | Función real de variable real | Una regla que asigna a cada número $x$ de un conjunto $D \subset R$ un único número real $f(x)$. | | Función inyectiva | Una función $f$ en un conjunto $A$ tal que si $f(x) = f(x^*)$ para $x, x^* \in A$, entonces $x = x^*$. | | Función monótona | Una función que es o bien creciente (no decreciente) o bien decreciente (no creciente) en todo su dominio. | | Límite de una sucesión | El valor al que se aproximan los términos de una sucesión a medida que el índice $n$ tiende a infinito. Formalmente, $\{a_n\} \to a$ si para todo $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que para todo $n \geq N$, $|a_n - a| < \epsilon$. | | Sucesión convergente | Una sucesión que tiene un límite finito. | | Sucesión divergente | Una sucesión que no converge a un límite finito; puede tender a infinito, menos infinito, o oscilar. | | Sucesión de Cauchy | Una sucesión $\{a_n\}$ tal que para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que para todo $n, m \geq N$, $|a_n - a_m| < \epsilon$. En R, una sucesión es de Cauchy si y solo si es convergente. | | Límite de una función | El valor $L$ al que se aproxima $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a un valor $a$. Formalmente, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \epsilon$. | | Continuidad de una función | Una función $f$ es continua en un punto $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. | | Teorema de Bolzano | Si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. | | Teorema del valor medio (para funciones) | Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. | | Derivada de una función | La tasa de cambio instantánea de una función, representada por $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto $a$. | | Regla de la cadena | Si $g$ es derivable en $a$ y $f$ es derivable en $g(a)$, entonces la función compuesta $f \circ g$ es derivable en $a$ y $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$. | | Polinomio de Taylor | Un polinomio que aproxima una función $f$ cerca de un punto $a$, coincidiendo con $f$ y sus $n$ primeras derivadas en $a$. $P_{n,a}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$. | | Serie de potencias | Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$, que representa una función en un intervalo de convergencia. | | Radio de convergencia ($R$) | Un número asociado a una serie de potencias que determina el intervalo $|x-a| < R$ donde la serie converge. | | Integración por partes | Una técnica para calcular primitivas basada en la regla del producto de la derivación: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. | | Cambio de variable (en integración) | Una técnica para simplificar integrales mediante la sustitución de una variable por una función de otra: $\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$. | | Integral impropia | Una integral definida donde el intervalo de integración es infinito o el integrando no está acotado en algún punto del intervalo. | | Criterio de comparación (para series/integrales) | Métodos para determinar la convergencia de una serie o integral comparándola con otra cuya convergencia se conoce, usualmente mediante desigualdades o límites. | | Criterio de Leibniz | Para series alternadas ($a_n \ge 0$ decreciente y $a_n \to 0$), la serie $\sum (-1)^n a_n$ converge. | | Criterio del cociente/raíz | Métodos para determinar la convergencia de series utilizando el límite del cociente o la raíz de los términos consecutivos de la serie. | | Convergencia puntual | Una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge puntualmente a $f$ en un conjunto $A$ si para cada $x \in A$, $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$. | | Convergencia uniforme | Una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ en un conjunto $A$ si para todo $\epsilon > 0$, existe un $N$ tal que para todo $n \geq N$ y para todo $x \in A$, $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$. | | Criterio de Weierstrass | Si $|f_n(x)| \leq M_n$ para todo $x \in A$ y $\sum M_n$ converge, entonces $\sum f_n$ converge uniformemente en $A$. | | Número complejo ($z$) | Un número de la forma $z = a + ib$, donde $a, b \in R$ e $i^2 = -1$. $a$ es la parte real (Re(z)) e $b$ es la parte imaginaria (Im(z)). | | Módulo de un número complejo ($|z|$) | La distancia de $z$ al origen en el plano complejo, dado por $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. | | Argumento de un número complejo ($\theta$) | El ángulo formado por el segmento que une el origen con $z$ y el semieje real positivo en el plano complejo. | | Forma polar de un número complejo | La representación de $z = a + ib$ como $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ o $z = re^{i\theta}$, donde $r = |z|$ y $\theta = \text{Arg}(z)$. | | Derivada de una función compleja | Similar a la derivada real: $f'(a) = \lim_{z \to 0} \frac{f(a+z) - f(a)}{z}$, si este límite existe. | | Ecuaciones de Cauchy-Riemann | Condiciones necesarias para que una función $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ sea derivable en $z = x+iy$: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$. | | Serie de potencias compleja | Una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$, donde $a_n$ y $z$ son números complejos. | | Radio de convergencia complejo ($R$) | Determina el círculo $|z| < R$ en el plano complejo dentro del cual una serie de potencias compleja converge. |