rekenen januari cursus.docx

# De realistische visie op wiskundeonderwijs De realistische visie op wiskundeonderwijs legt de nadruk op het leren van wiskunde vanuit authentieke, herkenbare situaties, waarbij de leerling actief betrokken wordt bij het ontdekkingsproces. ## 1 De realistische visie op wiskundeonderwijs ### 1.1 Een stukje geschiedenis De visie op wiskundeonderwijs heeft een aanzienlijke evolutie doorgemaakt sinds de oprichting van basisscholen in de 19e eeuw. Tot de jaren 60 van de 20e eeuw lag de focus primair op het aanleren van praktische rekenvaardigheden via het memoriseren en oefenen van rekenregels. Kinderen gingen tot hun 14e naar school ter voorbereiding op praktische beroepen. In de jaren 70 en 80 van de 20e eeuw deed de 'moderne wiskunde' zijn intrede, gekenmerkt door abstracte concepten zoals verzamelingen en logische operatoren die vervolgens in concrete situaties werden toegepast. Deze abstracte en theoretische benadering stuitte echter op kritiek. Vanaf de jaren 90 evolueerde dit naar de huidige realistische visie op wiskundeonderwijs. ### 1.2 Kenmerken van de realistische visie op wiskundeonderwijs #### 1.2.1 Het belang van realistische probleemsituaties In de realistische visie worden wiskundelessen ingebed in realistische en authentieke situaties die representatief zijn voor de contexten waarin leerlingen hun wiskundige kennis en vaardigheden later zullen moeten toepassen. Dit omvat zowel alledaagse situaties (zoals boodschappen doen, taart verdelen, lengtes meten) als fantasievolle scenario's (zoals heksen die ingrediënten afwegen of spookjes die hun weg zoeken). Realistisch betekent hierbij dat de situaties begrijpelijk en voorstelbaar moeten zijn voor de leerling, niet noodzakelijk dat ze letterlijk waar gebeurd zijn. Het aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen met herkenbare situaties heeft meerdere voordelen: * **Betrokkenheid en zelfontdekking:** Het bevordert actieve betrokkenheid en stimuleert leerlingen om nieuwe kennis te ontdekken vanuit hun bestaande intuïtieve kennis. * **Inzicht:** Leerlingen passen rekenregels niet zomaar toe, maar gebruiken ze om oplossingen te bieden voor concrete problemen, waarbij ze rekening houden met de context en de gevraagde uitkomst. * **Motivatie:** De leerlingen zien de bruikbaarheid van wiskunde in hun dagelijks leven, wat de motivatie verhoogt. * **Transfer:** Realistische situaties dienen als zinvolle oefencontexten om transfer te maken tussen wiskundige kennis opgedaan in de klas en problemen in de echte wereld. #### 1.2.2 Aandacht voor zelfontdekkend en zelfsturend leren Volgens de realistische visie moeten leerlingen zelf actief kennis en vaardigheden verwerven en ontwikkelen, voortbouwend op hun reeds bestaande kennis. Dit impliceert dat de leerkracht niet altijd de enige is die rekenregels introduceert. Leerlingen worden gestimuleerd om zelf bepaalde regels of kennis te 'ontdekken'. > **Tip:** Observeer oefeningen en hun volgorde om te identificeren welke handige rekenregels leerlingen hierdoor zelf zouden kunnen ontdekken. #### 1.2.3 Interactief onderwijs Interactief onderwijs is essentieel om leerlingen te ondersteunen bij het zelfstandig opbouwen van wiskundige vaardigheden en inzichten. Dit omvat interactie tussen leerkracht en leerling, maar ook interactie tussen leerlingen onderling. Door ideeën uit te wisselen, inzichten te verwoorden en te verantwoorden, en oplossingswijzen te vergelijken, leren leerlingen beter. > **Voorbeelden:** > * Leerlingen schrijven per tweetal een rekenverhaal bij een bewerking en toetsen vervolgens elkaars verhaal. > * Leerlingen discussiëren over de juistheid van een wiskundige stelling en proberen elkaar te overtuigen van hun standpunt. > * Groepjes leerlingen lossen een vraagstuk op en presenteren hun oplossing aan de klas. #### 1.2.4 Leren is zelfgestuurd of zelfgereguleerd Het faciliteren van zelfstandige kennisconstructie en strategieontwikkeling brengt het risico met zich mee dat leerlingen inadequate of foute constructies ontwikkelen. Om dit tegen te gaan, is het cruciaal om leerlingen aan te zetten tot reflectie op hun eigen handelen. Dit metacognitieve aspect, waarbij leerlingen kritisch nadenken over hun uitkomsten en werkwijzen, wordt deels verschoven naar de leerlingen zelf. Het sturen van het eigen leerproces is een langlopend leerproces dat aangeleerd moet worden. > **Voorbeeld:** Leerlingen krijgen een vraagstuk voorgeschoteld met meerdere oplossingen en worden gevraagd deze kritisch te bekijken en te bespreken in groep. > **Tip:** Moedig leerlingen aan om zichzelf vragen te stellen zoals: "Kan deze uitkomst wel?", "Had ik een veel groter getal verwacht?", "Had ik dit eenvoudiger kunnen oplossen?", "Is mijn redenering wel correct?". --- # Het CSA-model en didactische materialen ## 2. Het CSA-model en didactische materialen Dit hoofdstuk introduceert het Concrete-Schematisch-Abstracte (CSA) model als een didactische opbouw voor het aanleren van wiskundige begrippen en beschrijft de rol en types van didactische materialen. ### 2.1 Inleiding tot het CSA-model Het CSA-model is een driedelige aanpak voor het aanbrengen van nieuwe wiskundige begrippen. De fases zijn: concreet, schematisch en abstract. Bij het doorlopen van deze fasen gelden twee belangrijke basisregels: * Elke fase moet de volgende fase voorbereiden. * Opdrachten in elke fase moeten een overgang naar de volgende fase ondersteunen. Bij moeilijkheden of fouten in een bepaalde fase moet teruggegrepen worden naar een vorige fase waar de leerling de stof wel beheerst. Het is belangrijk dat leerlingen dit zelf ook leren doen. ### 2.2 Het belang van de verschillende fasen van het CSA-model De fasen van het CSA-model bieden een gestructureerde weg van handelen naar denken: * **Concrete fase:** Leerlingen voeren handelingen uit met tastbaar materiaal. * **Schematische fase:** Leerlingen gebruiken tweedimensionale voorstellingen (tekeningen, schema's) ter ondersteuning van hun handelen en verwoorden. * **Abstracte fase:** Leerlingen lossen problemen louter mentaal op, waarbij inzicht en geheugen centraal staan. ### 2.3 Het aanbrengen van een nieuw wiskundig begrip volgens de fasen van het CSA-model Het aanbrengen van een nieuw begrip doorloopt systematisch de drie fasen: #### 2.3.1 De concrete fase In deze fase manipuleren leerlingen met fysiek materiaal. Dit materiaal kan afkomstig zijn uit de leefwereld van de leerling (bv. autootjes, blokjes) of uit speciaal ontworpen, gestructureerd materiaal (bv. MAB-materiaal). Aanvankelijk wordt de handeling zeer gedetailleerd uitgevoerd. Het is cruciaal dat leerlingen hun handelingen verwoorden terwijl ze deze uitvoeren. Dit helpt bij de overgang naar de volgende fase. Werkbladen horen hier niet thuis; er wordt gemanipuleerd met tastbare objecten. > **Tip:** Jonge leerlingen kunnen geneigd zijn om te spelen met het materiaal. Geef hen eerst de ruimte om het materiaal te verkennen alvorens de eerste opdracht te geven. > **Voorbeeld:** > * "Je krijgt per bank acht kastanjes. Verdeel de kastanjes zodat jij en je buur er evenveel hebben." (Hierbij wordt het begrip deling met een concreet, herkenbaar materiaal ingeleid.) > * "De leerlingen vullen een fles van 2 liter met een beker van 25 centiliter." (Dit leidt de begrippen inhoud en maateenheden in.) Het laatste stadium in deze fase is het 'perceptief handelen', waarbij leerlingen een deel van het materiaal leggen en de rest 'erbij denken' of 'wegdenken'. #### 2.3.2 De schematische fase Deze fase dient als overgang tussen de materiële handeling en de mentale handeling. Leerlingen doen geen handelingen meer met concreet materiaal, maar verwoorden wat ze doen, ondersteund door tweedimensionale voorstellingen zoals foto's, tekeningen of schema's. Leerlingen zullen hier ook zelf gaan verkorten in hun handelingen en verwoordingen. Werkbladen en schema's kunnen hier ingezet worden. > **Tip:** Bij twijfel of fouten in deze fase, grijp terug naar het concrete materiaal. Maak het materiaal zichtbaar aanwezig in de klas, zodat leerlingen er zelf naar kunnen teruggrijpen. Verkort deze fase niet te snel, leerlingen doen dit vanzelf wanneer ze er klaar voor zijn. > **Voorbeeld:** > * "Verdeel de vissen zodat Suske en Wiske er elk evenveel krijgen." (Hierbij wordt een tekening van vissen gebruikt om de verdeling te visualiseren.) > * "Hassan raapt 's morgens 8 eitjes bij de kippen van oma. Namiddag gebruikt oma drie eitjes om een taart te bakken. Hoeveel eitjes zijn er nog over?" (Een getekende situatie met eitjes en taarten kan hier gebruikt worden.) #### 2.3.3 De abstracte fase In deze fase zijn de oorspronkelijke materiële handelingen zodanig verkort en verinnerlijkt dat het oplossen van een probleem een puur mentale activiteit wordt, waarbij inzicht en geheugen een belangrijke rol spelen. > **Tip:** Hoewel in deze fase gesteund wordt op het geheugen, mag het niet gereduceerd worden tot 'indrillen'. Het gaat om het flexibel toepassen van verworven inzichten. Bied oefeningen aan in diverse vormen om flexibiliteit te bevorderen. > **Voorbeeld:** > * `3 + 2 =` > * `Het dubbel van 4 is ...` > * `Reken uit en vereenvoudig: 5 x 3 + 10` > * `Vul aan: 350 cl + 120 ml = ..... dl` > * `Hoeveel is 2,5% van 2000?` ### 2.4 Didactische materialen Didactische materialen ondersteunen het leerproces in de verschillende fasen van het CSA-model. #### 2.4.1 Didactische materialen in de concrete fase In de concrete fase worden materialen gebruikt waarmee leerlingen direct kunnen handelen. * **Concrete materialen uit de leefwereld:** Dit zijn voorwerpen die leerlingen kennen uit hun dagelijkse omgeving. Ze zijn niet speciaal ontworpen voor wiskundeonderwijs, maar worden gebruikt om wiskundige ervaringen op te doen. * Voorbeelden: poppen, autootjes, knikkers, Legoblokjes, stoelen, potloden, flesjes, snoepjes, appels. * Leerlingen zelf kunnen ook als concreet materiaal dienen (bv. "Ga van klein naar groot staan"). * Het gebruik van diverse materialen is belangrijk. * **Concrete gestructureerde materialen:** Deze materialen zijn speciaal ontworpen voor wiskundeonderwijs en bevatten een vooraf bepaalde structuur die het leren structureren van hoeveelheden en getallen ondersteunt. * Voorbeelden: MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks), breukstokken, rekenrek (abacus), lus-abacus. #### 2.4.2 Didactische materialen in de schematische fase In de schematische fase wordt voornamelijk gewerkt met tweedimensionale voorstellingen op papier, het bord, etc. Gestructureerde materialen kunnen hier in hun schematische vorm worden gebruikt. * Voorbeelden: afbeeldingen van materiaal, tekeningen, schema's, magnetisch MAB-materiaal voor aan het bord, kaartjes met getalbeelden, tekeningen van breuken (bv. in taartvorm). #### 2.4.3 Didactische materialen in de abstracte fase In de abstracte fase worden voornamelijk oefeningen in werkboeken of op werkblaadjes aangeboden. Ook sommige educatieve spellen bieden oefeningen op abstract niveau. #### 2.4.4 Twee voorbeelden van gestructureerde materialen * **Het MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks):** * Visualiseert rekenkundige verhoudingen en ondersteunt het inzicht in het tiendelig talstelsel. Bestaat uit eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen. * Leerlingen kunnen hiermee getallen leggen, hoeveelheden vergelijken, en basisbewerkingen uitvoeren zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. * Het materiaal ondersteunt het inwisselen van eenheden voor tientallen en vice versa, wat essentieel is voor het begrijpen van getalstructuren en bewerkingen. * **De kwadratische getalbeelden van Lay:** * Vormen de basis voor het werken met kleine hoeveelheden en ondersteunen het aanleren van splitsen, optellen en aftrekken tot 10. * De getalbeelden zijn systematisch opgebouwd en kwadratisch geordend (vaak in blokken van vier), wat helpt bij het direct herkennen van hoeveelheden. * Ze bevorderen het flexibel splitsen en combineren van getallen en zijn nuttig voor het visueel maken van de aanvulling tot 10 (belangrijk voor rekenen met overschrijding). * De ordening in een dubbele rij komt vaak voor in de leefwereld. ### 2.5 Conclusie over het CSA-model en didactische materialen Het CSA-model biedt een pedagogische leidraad voor het opbouwen van wiskundig begrip, van concreet manipuleren naar abstract denken. Didactische materialen zijn hierbij onmisbaar om de verschillende fasen te ondersteunen en leerlingen te helpen bij het ontwikkelen van diepgaand inzicht. De keuze en het gebruik van gepaste materialen zijn cruciaal voor een effectief wiskundeonderwijs. --- # Natuurlijke getallen: systemen, bewerkingen en methoden Dit hoofdstuk biedt een gedetailleerd overzicht van de concepten en methoden rond natuurlijke getallen, beginnend bij historische getalsystemen en eindigend bij flexibele hoofdrekenstrategieën. ### 2. Getalsystemen in de oudheid In de loop van de geschiedenis hebben diverse culturen verschillende getalsystemen ontwikkeld. #### 2.1 De Egyptenaren (ca. 3000 – 300 v. Chr.) De Egyptenaren gebruikten een hierogliefensysteem met specifieke symbolen voor eenheden (streepjes) en machten van tien. Ze herhaalden symbolen naar behoefte en schreven van rechts naar links of van boven naar onder, beginnend met de grootste waarden. Er was geen symbool voor nul. #### 2.2 De Romeinen (ca. 500 v. Chr tot 1300 n. Chr.) Het Romeinse cijfersysteem gebruikte symbolen zoals I, V, X, L, C, D, M. De regels omvatten optelling van gelijke cijfers (maximaal driemaal na elkaar), optelling van kleinere cijfers rechts van grotere, en aftrekking van een kleiner cijfer geplaatst voor een groter cijfer (enkel voor I, X, C onder specifieke voorwaarden). Getallen werden ontleed in eenheden, tientallen, honderdtallen, etc., en omgezet naar Romeinse cijfers van groot naar klein. #### 2.3 De Indiërs en de Arabieren (ca 2de eeuw voor Christus) De cijfers die we vandaag gebruiken, zijn waarschijnlijk van Indische oorsprong en werden via de Arabische wereld in Europa geïntroduceerd. ### 3. Het decimaal of tiendelig talstelsel – inzicht in het plaatswaardesysteem Het tientallig stelsel, met een plaats-waardesysteem, is essentieel voor het begrijpen van getallen groter dan negen. #### 3.1 Inleiding Leerlingen ervaren moeilijkheden bij het uitbreiden van de getallenrij voorbij tien, vooral door het concept van groeperen per tien en de bijbehorende notatie. Een ander talstelsel (bv. viertallig) kan helpen deze concepten te verduidelijken. #### 3.2 Aanbrengen van de structuur van getallen die uit twee of meer cijfers bestaan. Het begrijpen van getallen groter dan negen vereist inzicht in: * **Hoeveelheden:** De concrete aantallen die door getallen worden aangeduid. * **Groepering:** Het groeperen per tien is cruciaal en verklaart de notatie. * **Notatie:** De plaats van een cijfer bepaalt de waarde (eenheden rechts, tientallen links). Het getal tien wordt genoteerd als '10', wat betekent 1 tiental en 0 eenheden. * **Lezen:** Het correct lezen van getallen, met speciale aandacht voor uitzonderingen zoals elf tot twaalf. #### 3.2.1 Beginsituatie Leerlingen hebben vaak fragmentaire voorkennis over getallen tot honderd, opgedaan via paginanummers, huisnummers of spelletjes. Een duidelijk overzicht van de getallenrij tot honderd ontbreekt vaak. #### 3.2.2 Uitbreiden van de telrij tot 100 Leerlingen moeten de systematiek van de telrij begrijpen: de terugkerende eenheden en de sprong in het tiental na negen. #### 3.2.3 Structurerend tellen Om efficiënt te tellen, moeten leerlingen structuur aanbrengen in grote hoeveelheden door te groeperen (bv. per twee, drie, tien). Dit verkort het tellen en voorkomt fouten. Concrete en schematische voorbeelden, zoals het groeperen van blokken of sterren, illustreren dit. #### 3.2.4 Groeperen per tien Het groeperen per tien, met aandacht voor de handeling, de verwoording van de handeling en het resultaat, is essentieel voor het begrijpen van het tientallig stelsel. Dit moet gebeuren met hoeveelheden tot negentig-negen om het concept van meerdere tientallen te omvatten. #### 3.2.5 Noteren en lezen van tweecijferige getallen (abstract niveau) Nadat het groeperen op concreet en schematisch niveau beheerst wordt, volgt de abstracte notatie. De afspraak is dat eenheden rechts en tientallen links worden genoteerd. Een tabel kan aanvankelijk helpen, waarna de getalnotatie (bv. '24' voor twee groepjes van tien en vier losse eenheden) en het lezen ervan (bv. vierentwintig) worden aangeleerd, met aandacht voor uitzonderingen zoals elf tot twintig. #### 3.2.6 Materialen- leermiddelen om getallen met twee of meer cijfers voor te stellen * **Concreet materiaal:** MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks) en de (lus)abacus zijn bruikbaar voor het visualiseren van eenheden, tientallen, honderdtallen, etc. * **Leermiddelen in de schematische en abstracte fase:** Getallenlijnen, getallenhallen en honderdvelden ondersteunen het inzicht in de getallenrij, de positie van getallen en de structuur van tien-sprongen. Het honderdveld visualiseert de decimale getalstructuur en maakt verbanden tussen plaats en grootte duidelijk. ### 4. Getallenverzamelingen Getallen kunnen geordend worden in verschillende verzamelingen: * **Natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$):** Bevatten optelling en vermenigvuldiging die inwendig zijn. * **Gehele getallen ($\mathbb{Z}$):** Breiden natuurlijke getallen uit met negatieve getallen, waardoor aftrekking ook inwendig is. * **Rationale getallen ($\mathbb{Q}$):** Breiden gehele getallen uit met breuken en decimale getallen, waardoor deling (behalve door nul) inwendig is. * **Reële getallen ($\mathbb{R}$):** Breiden rationale getallen uit met irrationale getallen. ### 5. Begrippen en eigenschappen van de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen #### 5.1 Vakinhoudelijke leerdoelen Het correct gebruiken van termen, verwoorden en illustreren van eigenschappen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en het vlot hoofdrekenen met correcte notatie van tussenstappen. #### 5.2 Optellen * **Basisbegrippen:** Samenvoegen of erbij doen van termen, resulterend in een som. Symbolische notatie: $a + b = c$. * **Eigenschappen:** * **Inwendig:** De som van twee natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal ($5 + 3 = 8$). * **Neutraal element:** Nul is het neutrale element ($a + 0 = 0 + a = a$). * **Commutatief:** Volgorde van termen verandert de som niet ($5 + 3 = 3 + 5$). * **Associatief:** Groepering van termen verandert de som niet ($(4 + 2) + 3 = 4 + (2 + 3)$). * **Elementaire optellingen:** Optellingen met termen kleiner dan of gelijk aan 10. #### 5.3 Aftrekken * **Basisbegrippen:** Wegnemen, vergelijken. Symbolische notatie: $a - b = c$. * **Eigenschappen:** * **Niet inwendig:** Het verschil is niet altijd een natuurlijk getal ($3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N}$). * **Geen neutraal element:** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a - n = n - a = a$. * **Niet commutatief:** Volgorde van termen is belangrijk ($5 - 3 \neq 3 - 5$). * **Niet associatief:** Groepering van termen is belangrijk ($(5 - 3) - 1 \neq 5 - (3 - 1)$). * **Elementaire aftrekkingen:** Aftrekkingen met aftrektal en aftrekker tot 20. #### 5.4 De vermenigvuldiging * **Basisbegrippen:** Herhaaldelijk nemen van dezelfde hoeveelheid, combineren van keuzes. Symbolische notatie: $a \times b = c$. * **Eigenschappen:** * **Inwendig:** Het product van twee natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal ($3 \times 2 = 6$). * **Neutraal element:** Eén is het neutrale element ($a \times 1 = 1 \times a = a$). * **Commutatief:** Volgorde van factoren verandert het product niet ($2 \times 3 = 3 \times 2$). * **Associatief:** Groepering van factoren verandert het product niet ($(3 \times 2) \times 4 = 3 \times (2 \times 4)$). * **Opslorpend element:** Nul is het opslorpend element ($a \times 0 = 0 \times a = 0$). * **Distributief t.o.v. optelling:** $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$. In de lagere school wordt dit 'splitsen en verdelen' genoemd. * **Elementaire vermenigvuldigingen:** Vermenigvuldigingen met factoren tot 10 (maaltafels). #### 5.5 De deling * **Basisbegrippen:** Verdelen in gelijke delen, bepalen hoeveel groepjes van een bepaalde grootte er in een hoeveelheid passen. Symbolische notatie: $a : b = c$. * **Eigenschappen:** * **Niet inwendig:** Het quotiënt is niet altijd een natuurlijk getal ($3 : 2 = 1.5 \notin \mathbb{N}$). * **Geen neutraal element:** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a : n = n : a = a$. * **Niet commutatief:** Volgorde van deeltal en deler is belangrijk ($4 : 2 \neq 2 : 4$). * **Niet associatief:** Groepering van deeltal en deler is belangrijk ($(10 : 2) : 5 \neq 10 : (2 : 5)$). * **Delen door nul is ongedefinieerd.** * **Rechtsdistributief t.o.v. optelling en aftrekking:** $(a + b) : c = (a : c) + (b : c)$ (mits de deling opgaat). Linksdistributief is niet geldig. * **Elementaire delingen:** Deeltafels. #### 5.6 Volgorde van de bewerkingen De volgorde is: haakjes, vermenigvuldiging en deling (van links naar rechts), optelling en aftrekking (van links naar rechts). #### 5.7 Noteren van tussenstappen Bij hoofdrekenen mogen tussenstappen genoteerd worden, mits correct gebruik van het gelijkheidsteken. ### 6. Standaard – en flexibele methoden voor hoofdrekenen met natuurlijke getallen #### 6.1 Vakdidactische leerdoelen Het verschil tussen flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen kunnen uitleggen en herkennen in methodes. #### 6.2 Vakinhoudelijke leerdoelen Hoofdrekenoefeningen oplossen volgens zowel standaard- als flexibele methoden. #### 6.3 Voortaak Flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen. #### 6.4 Flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen * **Gestandaardiseerd hoofdrekenen:** Volgen van een vaste rekenprocedure, onafhankelijk van de getallen. * **Flexibel hoofdrekenen:** Een aanpak die afhankelijk is van de specifieke getallen en bewerkingen, gebruikmakend van inzicht en creativiteit. #### 6.4.1 Standaardmethodes * **Optellen/aftrekken:** Eerste term intact laten, tweede term splitsen in tientallen en eenheden (bv. $36 + 12 = 36 + 10 + 2$). * **Vermenigvuldigen:** Splitsen en verdelen (bv. $4 \times 213 = (4 \times 200) + (4 \times 10) + (4 \times 3)$). * **Delen:** Deeltal splitsen in getallen die gemakkelijk te delen zijn (bv. $78 : 6 = (60 : 6) + (18 : 6)$). #### 6.4.2 Flexibele methodes * **Optellen/aftrekken:** Van plaats wisselen (commutativiteit), schakelen (associativiteit), werken met 'mooie' getallen (compenseren). * **Vermenigvuldigen/delen:** Van plaats wisselen, schakelen, splitsen van factoren/delers, rekenen naar analogie, werken met 'mooie' getallen (compenseren). Toepassen van de 'vermenigvuldigingswip' en 'delingshalter'. #### 6.4.3 Kanttekeningen bij flexibele methodes Flexibel rekenen vereist inzicht en probleemoplossend vermogen. Te sterke nadruk op flexibiliteit kan zwakkere leerlingen overbelasten. Gestandaardiseerde methoden en parate kennis vormen een basis voor flexibel rekenen. ### 7. Optellen en aftrekken met natuurlijke getallen #### 7.3 Optellen en aftrekken: aandachtspunten Bij het aanbrengen van optellingen en aftrekkingen tot 100 wordt vaak gelijktijdig gewerkt met en zonder overschrijding van de tientallen. Het intact houden van de uitgangshoeveelheid bij aftrekkingen en het beginnen met de eenheden wordt benadrukt. #### 7.4 Optellen en aftrekken tot 20 * **Zonder overschrijding:** Gebruik maken van automatismen tot 10 (bv. $19 - 3$ analoog aan $9 - 3$). * **Met overschrijding:** De "brug over tien"-techniek (bv. $8 + 5 = (8 + 2) + 3$). #### 7.5 Optellen en aftrekken boven 20 * **Zonder overschrijding:** Werken met zuivere tientallen (bv. $50 + 20$) en tientallen met eenheden (bv. $72 - 30$, $32 + 5$). * **Met overschrijding:** Toepassen van de "brug over tien"-techniek (bv. $38 + 7$, $54 - 7$, $67 + 25$, $37 - 19$). ### 8. Vermenigvuldigen met natuurlijke getallen #### 8.3 Inzicht in de betekenis van de vermenigvuldiging * **Handelen op concreet niveau:** Nadruk op handelen en verwoorden (bv. "vijf keer drie knikkers"). Belang van het onderscheid tussen vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal. * **Schematisch niveau:** Groepjes en elementen tekenen. * **Bepalen van het resultaat:** Herhaalde optelling gebruiken. * **Aanbrengen van het symbool 'x':** Vervangen van "keer" door 'x'. #### 8.3.6 Vermenigvuldigingen buiten de vermenigvuldigingstafels Gebruikmaken van parate kennis van tafels en rekenstrategieën, bv. $10 \times 23 = 230$, $25 \times 32 = 25 \times 4 \times 8 = 100 \times 8 = 800$. ### 9. Delen met natuurlijke getallen #### 9.3 Beginsituatie Informele kennis van delen, zoals "helft nemen", als startpunt. #### 9.4 Aanbrengen van de deling * **Verdelingsdeling:** Gegeven totaal aantal elementen, bekend aantal groepjes, zoeken naar aantal elementen per groepje (bv. 6 bloemen verdelen over 2 vazen). * **Verhoudingsdeling:** Gegeven totaal aantal elementen, bekend aantal elementen per groepje, zoeken naar aantal groepjes (bv. 6 bloemen per vaas, hoeveel vazen?). * **Delen op concreet en schematisch niveau:** Zowel delingen met rest als zonder rest. * **Aanbrengen van het symbool ':':** Vervangen van "gedeeld door" door ':'. * **Bepalen van de uitkomst:** Gebruik van herhaalde aftrekking of relatie met vermenigvuldiging. #### 9.4.5 Delingen met getallen buiten de delingstafels Gebruik van parate kennis van tafels en rekenstrategieën, bv. $60 : 4$ via $40 : 4$ en $20 : 4$. ### 3. Cijferen met natuurlijke getallen #### 2.2 Hoofdrekenen vergelijken met cijferrekenen * **Cijferen:** Werken met onder elkaar geplaatste getallen, van boven naar onder, met losse cijfers. Standaard algoritme, vereist pen en papier. * **Hoofdrekenen:** Werken met volledige getallen, van links naar rechts, flexibele strategieën, kan zonder papier. #### 3.1 Didactische aandachtspunten bij het cijferen Inzichtelijk aanbrengen met MAB-materiaal, legschema's, schrijfschema's, nadruk op correcte wiskundige handeling (bij optellen: bij elkaar voegen; bij aftrekken: wegnemen). #### 3.2 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen Een stapsgewijze opbouw volgens moeilijkheidsgraad (zonder overschrijding/ontlening, éénmaal overschrijden/ontlenen, tweemaal overschrijden/ontlenen), met aandacht voor nullen in termen en uitkomst. #### 3.3 De optelling Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal, legschema en schrijfschema, waarbij het "overschrijden" (carry-over) wordt gemanipuleerd en genoteerd. #### 3.4 De aftrekking Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal, legschema en schrijfschema, waarbij het "ontlenen" (borrowing) wordt gemanipuleerd en genoteerd. #### 3.5 De vermenigvuldiging Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal en schrijfschema, met aandacht voor deelproducten en het optellen daarvan, inclusief overbrugging. #### 3.6 De deling Stapsgewijze aanpak met MAB-materiaal, legschema en schrijfschema, met aandacht voor het verdelen van deeltal en het bepalen van het quotiënt en de rest. #### 3.7 De algoritmen inoefenen Inzichtelijk aanleren van algoritmen, met voldoende oefening, controle door schattingen of omgekeerde bewerkingen, en gebruik van hulpmiddelen zoals een ruitjesschrift. #### 3.8 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen in het 4de leerjaar Uitbreiding met meermaals overschrijden/ontlenen, meerdere nullen in termen, vermenigvuldigen met getallen van twee cijfers, en delen door getallen van twee of meer cijfers. ### 6. Cijferen met kommagetallen #### 6.2 Optellen en aftrekken Correct onder elkaar plaatsen van de komma, eventueel aanvullen met nullen. #### 6.3 Vermenigvuldigen Het bepalen van de plaats van de komma in het product door te schatten en het aantal decimalen in vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal op te tellen. #### 6.4 Delen Het wegwerken van de komma in de deler door te vermenigvuldigen met 10, 100, etc., of het plaatsen van de komma in het quotiënt door middel van schatting. --- Dit studiemateriaal biedt een gestructureerd overzicht van de kernconcepten, procedures en didactische benaderingen met betrekking tot natuurlijke getallen, essentieel voor een grondig begrip van de basis van wiskunde. --- # Cijferen met natuurlijke en kommagetallen Dit deel behandelt de algemene principes van cijferen, de inzichten bij de vier hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen en de specifieke aanpak van cijferen met kommagetallen, inclusief de plaats van de komma. ## 5. Cijferen met natuurlijke getallen ### 5.1 Inleiding tot cijferen Cijferen, ook wel schriftelijk rekenen genoemd, is een methode om berekeningen systematisch uit te voeren met pen en papier, waarbij getallen onder elkaar geplaatst worden. Dit staat in contrast met hoofdrekenen, dat flexibeler is en minder afhankelijk van de beschikbaarheid van papier. ### 5.2 Hoofdrekenen versus cijferen * **Werkwijze:** Bij hoofdrekenen wordt van links naar rechts gewerkt met volledige getallen, terwijl bij cijferen van boven naar onder met losse cijfers wordt gerekend. * **Flexibiliteit vs. Standaardisatie:** Hoofdrekenen maakt gebruik van flexibele, getalspecifieke aanpakken die inzicht vereisen. Cijferen hanteert een vaste, standaardprocedure die houvast biedt, vooral voor zwakkere leerlingen, maar minder ruimte laat voor individuele flexibiliteit en inzicht. * **Voordelen en Nadelen:** * **Cijferen:** * Voordelen: Universeel toepasbaar, ook bij grote getallen; biedt houvast voor zwakkere leerlingen. * Nadelen: Vereist papier en pen; risico op fouten door het manipuleren van losse cijfers zonder diepgaand inzicht; verlies van flexibiliteit. * **Hoofdrekenen:** * Voordelen: Flexibel, kan overal worden toegepast; stimuleert inzicht en probleemoplossend vermogen; kan efficiënter zijn bij bepaalde getallencombinaties. * Nadelen: Kan omslachtig worden bij zeer grote getallen; vereist meer rekeninzicht en een brede rekenstrategieënkennis. ### 5.3 De cijferalgoritmen inzichtelijk maken Het aanleren van cijferalgoritmen verloopt stapsgewijs volgens het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract), met aandacht voor de plaats- en groeperingswaarde van cijfers. #### 5.3.1 Didactische aandachtspunten bij cijferen * **Inzichtelijkheid:** Het algoritme moet niet enkel technisch worden aangeleerd, maar ook inzichtelijk worden verklaard, waarbij het verband met materiaal en de getalstructuur duidelijk wordt. * **Materialen:** Gebruik van MAB-materiaal of een lusabacus in de concrete fase, en schrijfschema's met plaatsaanduidingen (eenheden, tientallen, honderdtallen) in de schematische fase. * **Opbouw:** Werk in stappen, beginnend zonder overschrijding/ontlening, daarna met één overschrijding/ontlening, en vervolgens met meerdere overschrijdingen/ontleningen. * **Vaktaal:** Gebruik specifieke wiskundige termen correct (bv. optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, overschrijden, ontlenen, deeltal, deler, quotiënt, product, som). #### 5.3.2 Geleidelijke opbouw bij cijferoefeningen (3de leerjaar) 1. **Eerste stap: Zonder overschrijding of ontlening:** * Voorbeelden: $512 + 376$, $728 - 214$, $448 \times 2$, $48 : 4$. 2. **Tweede stap: Eén keer overschrijden of ontlenen:** * Voorbeelden: $517 + 214$, $642 - 323$, $214 \times 3$, $484 : 2$ (met een mogelijke ontlening). 3. **Derde stap: Twee keer overschrijden of ontlenen:** * Voorbeelden: $235 + 189$, $645 - 257$, $236 \times 4$, $936 : 3$ (met ontlening van honderdtallen naar tientallen). 4. **Moeilijkheden:** * Een nul in de uitkomst ($714 + 276$). * Een nul in een van de termen ($570 + 358$). * Twee nullen in het aftrektal bij aftrekken ($600 - 127$). #### 5.3.3 De optelling * **Aanbreng:** Begin met oefeningen zonder overschrijding ($263 + 154$). MAB-materiaal wordt gebruikt om de eenheden, tientallen en honderdtallen samen te voegen. Nadien wordt dit overgezet naar een schrijfschema. * **Met overschrijding:** Oefeningen zoals $263 + 184$ vereisen het omwisselen van tien eenheden voor één tiental. Dit wordt eerst concreet met MAB-materiaal getoond en vervolgens in het schrijfschema genoteerd (bovenaan de kolom tientallen). #### 5.3.4 De aftrekking * **Zonder ontlening:** * **Concreet niveau:** Gebruik MAB-materiaal om het aftrektal te leggen en vervolgens het aantal eenheden, tientallen en honderdtallen van de aftrekker weg te nemen. * **Schematisch niveau:** Gebruik een legschema en/of magnetisch MAB-materiaal aan het bord. * **Abstract niveau:** Gebruik een schrijfschema met plaatsaanduidingen. * Voorbeeld: $439 - 216$. * **Met ontlening:** * **Concreet niveau:** Bij $265 - 187$, wanneer er bij de eenheden te weinig zijn om weg te nemen, wordt een tiental omgewisseld voor tien eenheden. * **Schematisch/Abstract niveau:** Dit wordt genoteerd in het schrijfschema door een 'ontleende' tiental te doorstrepen en een 1 voor de eenheden te schrijven, en het te doorstrepen tiental te vervangen door 10 in de kolom van de eenheden. #### 5.3.5 De vermenigvuldiging * **Aanbreng (3de leerjaar):** * **Zonder overbrugging:** Begin met het vermenigvuldigen van een getal met één cijfer, waarbij er geen overbrugging is (bv. $2 \times 134$). De handeling wordt uitgelegd als herhaalde optelling en gematerialiseerd met MAB-materiaal. * **Met overbrugging:** Bij $3 \times 251$ moeten de 15 tientallen worden omgewisseld voor 1 honderdtal en 5 tientallen, wat zichtbaar wordt gemaakt met MAB-materiaal en genoteerd in het schrijfschema (het 'overgedragen' getal wordt bovenaan de volgende kolom geschreven). * **Inoefenen:** Herhaaldelijk oefenen met steeds complexere getallen, waarbij het belang van het nauwkeurig plaatsen van de deelproducten wordt benadrukt. #### 5.3.6 De deling * **Aanbreng (3de leerjaar):** * **Zonder ontlening:** Bij $48 : 4$ worden eerst de tientallen verdeeld, en daarna de eenheden. Dit gebeurt met MAB-materiaal en een schematische voorstelling, waarna het abstract genoteerd wordt. Het quotiënt wordt van links naar rechts opgebouwd. * **Met ontlening:** Bij $342 : 3$ moeten de 4 tientallen eerst worden omgewisseld voor 40 eenheden, zodat er in totaal 42 eenheden zijn die verdeeld kunnen worden. * **Delen door een getal van twee of meer cijfers (4de leerjaar):** * Dit vereist eerst het schatten van het aantal keren dat de deler in het deeltal past. * Men laat telkens één cijfer uit het deeltal 'dalen', niet zo veel cijfers als de deler telt. * Voorbeeld: $9318 : 37$. Eerst schatten we $9000 : 30 \approx 300$. Vervolgens bepalen we hoeveel keer $37$ in $93$ past (2 keer), schrijven dit als het eerste cijfer van het quotiënt, vermenigvuldigen $2 \times 37$ en trekken dit af van $93$. Daarna laten we het volgende cijfer dalen en herhalen we het proces. ### 5.4 Cijferen met kommagetallen Bij het cijferen met kommagetallen gelden dezelfde algoritmen als bij natuurlijke getallen, maar met specifieke aandachtspunten voor de plaats van de komma en het correct uitlijnen van de getallen. #### 5.4.1 Beginsituatie Leerlingen kennen reeds de cijferalgoritmen voor natuurlijke getallen. De focus ligt nu op de nieuwe moeilijkheden die kommagetallen introduceren. #### 5.4.2 Optellen en aftrekken * **Kernpunt:** Het correct onder elkaar plaatsen van de getallen, met de komma's op één lijn. * **Aanpak:** * Vul 'open plekken' aan met nullen om de getallen visueel gelijkwaardig te maken (bv. $1890,115 + 12,25$ wordt $1890,115 + 12,250$). * De komma in de uitkomst wordt op dezelfde plaats gezet als in de opgave. * Bij aftrekken, als het aftrektal minder decimalen heeft dan de aftrekker, worden de ontbrekende decimalen aangevuld met nullen (bv. $1576 - 258,75$ wordt $1576,00 - 258,75$). #### 5.4.3 Vermenigvuldigen * **Nieuwe moeilijkheid:** Het bepalen van de plaats van de komma in het product. * **Aanpak:** 1. **Schatting:** Maak eerst een schatting van het resultaat. 2. **Cijferen:** Voer de vermenigvuldiging uit zonder rekening te houden met de komma. 3. **Kommaplaatsing:** Tel het aantal cijfers achter de komma in de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal. Het product heeft evenveel cijfers achter de komma als de som van de cijfers achter de komma in de oorspronkelijke getallen. * Voorbeeld: $5,3 \times 5$ -> schatting $5 \times 5 = 25$. Cijferen: $53 \times 5 = 265$. Eén cijfer achter de komma in $5,3$, dus één cijfer achter de komma in het product: $26,5$. #### 5.4.4 Delen * **Nieuwe moeilijkheid:** Het plaatsen van de komma in het quotiënt, vooral wanneer de deling niet direct opgaat. * **Aanpak algemeen:** 1. **Schatting:** Maak een schatting van het resultaat. 2. **Komma in deler wegwerken:** Als de deler een kommagetal is, vermenigvuldig deeltal en deler met hetzelfde getal (10, 100, ...) om de komma in de deler weg te werken. Dit verandert het quotiënt niet. 3. **Cijferen:** Voer de deling uit. 4. **Kommaplaatsing in quotiënt:** Plaats de komma in het quotiënt op de plaats die overeenkomt met de schatting. Als het deeltal ook een komma bevat, wordt deze doorgetrokken naar het quotiënt. 5. **Rest:** Bij delingen die niet opgaan, moet de rest correct worden afgelezen, rekening houdend met de oorspronkelijke plaats van de komma in het deeltal. * **Specifieke gevallen:** * **Deeltal is een kommagetal, deling gaat op:** Bij $5,4 : 9$ wordt gerekend als $54$ tienden gedeeld door $9$, wat $6$ tienden is ($0,6$). * **Deeltal is een natuurlijk getal, de deling gaat niet op:** Om $1:2$ te delen, wordt $1$ omgezet naar $10$ tienden, waarna $10$ tienden gedeeld door $2$ resulteert in $5$ tienden ($0,5$). * **Delen door 10, 100, 1000:** De komma verschuift respectievelijk één, twee of drie plaatsen naar links. * **Delen door een kommagetal:** De komma in de deler wordt weggewerkt door deeltal en deler met hetzelfde getal te vermenigvuldigen (bv. $7,2 : 0,8 = 72 : 8 = 9$). ## 6. Cijferen met breuken (Geen specifieke pagina's meegeleverd voor dit deel van het onderwerp) Hoewel dit deel niet expliciet wordt behandeld binnen de gevraagde pagina's, is het belangrijk te vermelden dat het werken met breuken kan leiden tot nieuwe inzichten in getalbegrip en relaties tussen getallen, wat aansluit bij de basisprincipes van cijferen. De overgang van natuurlijke getallen naar rationale getallen (breuken) introduceert de noodzaak van nieuwe rekenregels en notaties. --- Dit overzicht biedt een gestructureerde samenvatting van de kernconcepten met betrekking tot cijferen met natuurlijke en kommagetallen, zoals behandeld in de documentatie. Het legt de nadruk op de didactische aanpak, de verschillende fases van begripsvorming en de veelvoorkomende moeilijkheden. --- # Breuken en procenten: concept, bewerkingen en toepassingen Dit document biedt een gedetailleerd overzicht van breuken en procenten, hun concepten, bewerkingen en diverse toepassingen, met specifieke aandacht voor didactische strategieën en leerplandoelen. ## 5. Breuken en procenten: concept, bewerkingen en toepassingen Dit onderwerp behandelt de introductie van breuken, hun verschillende verschijningsvormen, het vergelijken en vereenvoudigen van breuken, en de bewerkingen met breuken en procenten. ### 5.1 Het breukconcept en de overgang naar rationale getallen Het introduceren van breuken is essentieel om de verzameling van rationale getallen uit te breiden, aangezien niet alle delingen tussen gehele getallen resulteren in een geheel getal. Breuken, zoals $\frac{10}{4}$, bestaan uit een teller (het deeltal van de deling), een noemer (de deler) en een breukstreep. Leerlingen kunnen moeite hebben met breuken door onvoldoende begripsvorming of te snelle overgang naar abstract rekenen. Voorkennis over breuken, zoals het nemen van de helft van een hoeveelheid, kan worden benut. #### 5.1.1 Soorten breuken Breuken kunnen op verschillende manieren worden gecategoriseerd: * **Echte breuk:** De teller is kleiner dan de noemer (bv. $\frac{2}{3}$). * **Onechte breuk:** De teller is groter dan of gelijk aan de noemer (bv. $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{7}$). * **Gemengd getal:** Een geheel getal gecombineerd met een breuk (bv. $1\frac{1}{4}$). * **Stambreuk:** De teller is 1 (bv. $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$). * **Decimale breuk:** De noemer is een macht van tien ($10^n$, bv. $\frac{6}{10}$, $\frac{25}{100}$). * **Vereenvoudigbare breuk:** De teller en noemer zijn deelbaar door een gemeenschappelijke factor groter dan 1 (bv. $\frac{6}{10}$). #### 5.1.2 Wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten van breuken Een goed begrip van breuken vereist het onderscheiden van wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten: * **Wezenlijke aspecten:** * Het geheel wordt verdeeld in gelijke delen. * De noemer geeft het aantal gelijke delen aan. * De teller geeft het aantal van die delen aan dat genomen wordt. * **Niet-wezenlijke aspecten:** * De aard van het materiaal (discreet of continu). * De aard van de grootheden (lengte, gewicht, tijd, geld, etc.). * De grootte van het geheel. * De manier van verdelen. Het variëren van de niet-wezenlijke aspecten helpt leerlingen te beseffen dat de breukwaarde gelijk blijft, ongeacht deze kenmerken. #### 5.1.3 Verschijningsvormen van breuken Breuken komen in verschillende contexten voor, elk met een specifieke betekenis: * **Deel-geheel:** Het eerlijk verdelen van een hoeveelheid (continu of discreet) en het benoemen van het deel dat elk krijgt. * *Voorbeeld (continu):* Een taart verdelen in 4 gelijke delen; elk deel is $\frac{1}{4}$ van de taart. * *Voorbeeld (discreet):* 20 snoepjes verdelen onder 5 kinderen; elk kind krijgt $\frac{1}{5}$ van de snoepjes, wat neerkomt op 4 snoepjes. * **Operator:** De breuk wordt gebruikt om een handeling op een hoeveelheid aan te geven. * *Voorbeeld:* $\frac{2}{3}$ van 12 betekent 12 delen door 3 en het resultaat vermenigvuldigen met 2. Schematisch kan dit worden voorgesteld met stroken of pijlen: $12 \xrightarrow{:\,3} 4 \xrightarrow{\times\,2} 8$. * *Omgekeerde bewerking:* Als $\frac{3}{4}$ van een figuur wordt gegeven, moet de leerling het geheel reconstrueren. * **Maat:** De breuk wordt gebruikt om een meetresultaat nauwkeuriger te noteren, vaak als een restant na het meten. * *Voorbeeld:* Een lessenaar is 3 keer een strook papier lang, met een restant van $\frac{1}{2}$ strook. De totale lengte is dan $3\frac{1}{2}$ strook. * **Verhouding/Kans:** De breuk drukt de relatie tussen twee hoeveelheden uit of de kans op een bepaalde uitkomst. * *Verhouding:* Bij een kralenketting met 1 witte en 3 zwarte kralen is de verhouding witte kralen tot zwarte kralen $\frac{1}{3}$. De verhouding witte kralen tot het totaal is $\frac{1}{4}$. * *Kans:* De kans op het gooien van een specifieke zijde met een eerlijke munt is $\frac{1}{2}$. Bij het gooien met twee dobbelstenen is de kans op een som van 5 $\frac{4}{36}$ of $\frac{1}{9}$. * **Getal:** Breuken worden geïntroduceerd als rationale getallen die een plaats op de getallenas innemen. * *Voorbeeld:* Plaats $\frac{3}{4}$ op de getallenas. Dit betekent de afstand tussen 0 en 1 verdelen in 4 gelijke delen en 3 van die delen nemen. Vereenvoudiging naar $\frac{3}{4} = \frac{12}{16}$ kan helpen bij het plaatsen op een fijnere schaal. #### 5.1.4 Gelijkwaardige breuken en vereenvoudiging Gelijkwaardige breuken hebben dezelfde waarde, ook al zien ze er anders uit. Dit kan worden aangetoond door de teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen. * **Tip:** Het vereenvoudigen van breuken gebeurt door teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler (GGD). Een breuk die niet verder vereenvoudigd kan worden, is een 'onvereenvoudigbare breuk'. #### 5.1.5 Breuken vergelijken en ordenen Het vergelijken van breuken kan op verschillende manieren: * **Stambreuken:** Bij stambreuken met een grotere noemer is de breuk kleiner, omdat het geheel in meer delen wordt verdeeld (bv. $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$). * **Gelijknamige breuken:** Bij breuken met dezelfde noemer is de breuk met de grootste teller het grootst (bv. $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$). * **Breuken met dezelfde teller:** Bij breuken met dezelfde teller is de breuk met de kleinste noemer het grootst, omdat het geheel in minder, dus grotere, delen wordt verdeeld (bv. $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$). * **Ongelijknamige breuken met verschillende tellers:** Vaak is het handig om de breuken eerst gelijknamig te maken door ze om te zetten naar gelijkwaardige breuken met dezelfde noemer. * **Referentiepunten:** Breuken kunnen worden vergeleken met bekende breuken zoals $\frac{1}{2}$, 0 of 1. * **Kloofdenken:** Sommige leerlingen vergelijken het verschil tussen de teller en de noemer, wat niet altijd correct is. ### 5.2 Bewerkingen met breuken Bewerkingen met breuken worden inzichtelijk aangeleerd, beginnend met concrete situaties en materialen. #### 5.2.1 Optellen en aftrekken * **Gelijknamige breuken:** De tellers worden opgeteld of afgetrokken, terwijl de noemer behouden blijft (bv. $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$). Dit wordt ondersteund door stroken, breukentafels of een getallenas. * **Ongelijknamige breuken:** Eerst moeten de breuken gelijknamig gemaakt worden door ze om te zetten naar gelijkwaardige breuken met dezelfde noemer. Daarna volgt de optelling of aftrekking zoals bij gelijknamige breuken. * *Voorbeeld:* Om $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ op te lossen, maak je ze gelijknamig: $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. #### 5.2.2 Vermenigvuldigen * **Natuurlijk getal x breuk:** Dit kan worden gezien als herhaalde optelling. * *Voorbeeld:* $3 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. De regel is: vermenigvuldig het natuurlijke getal met de teller en behoud de noemer. * **Breuk x natuurlijk getal:** Hier fungeert de breuk als operator. * *Voorbeeld:* $\frac{2}{3} \times 6$ betekent $\frac{2}{3}$ van 6 nemen. Dit kan worden opgelost door 6 te delen door 3 en te vermenigvuldigen met 2, wat resulteert in 4. * **Breuk x breuk:** Teller maal teller en noemer maal noemer. * *Voorbeeld:* $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6}$. Dit kan visueel worden voorgesteld met rechthoekmodellen of stroken. #### 5.2.3 Delen * **Breuk : natuurlijk getal:** * Als de teller deelbaar is door het natuurlijke getal, deel je de teller door het getal en behoud je de noemer (bv. $\frac{2}{5} : 2 = \frac{1}{5}$). * Als de teller niet deelbaar is, vermenigvuldig je de noemer met het natuurlijke getal en behoud je de teller (bv. $\frac{3}{5} : 2 = \frac{3}{5 \times 2} = \frac{3}{10}$). * **Natuurlijk getal : breuk:** Dit is een verhoudingsdeling. Om dit op te lossen, vermenigvuldig je het natuurlijke getal met de omgekeerde breuk (de breuk met verwisselde teller en noemer). * *Voorbeeld:* $5 : \frac{1}{2} = 5 \times \frac{2}{1} = 10$. * **Breuk : breuk:** Vermenigvuldig de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk. * *Voorbeeld:* $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = 1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}$. ### 5.3 Procenten Procenten, wat staat voor 'per honderd', worden gebruikt om verhoudingen, veranderingen of delen van een geheel uit te drukken. Leerlingen kunnen concepten als 50% ($\frac{1}{2}$), 25% ($\frac{1}{4}$) en 100% (het geheel) vaak al informeel. #### 5.3.1 Invoeren van het begrip procent * **Visualisatie:** Hulpmiddelen zoals het honderdveld, MAB-materiaal, stroken, procentmeters en dubbele getallijnen helpen om het begrip procent visueel te maken. * **Omzetting:** Procenten kunnen worden omgezet naar breuken (met noemer 100, vereenvoudigde breuken) en kommagetallen (door te delen door 100). * *Voorbeeld:* $60\% = \frac{60}{100} = \frac{6}{10} = 0,6$. #### 5.3.2 Situaties waar procenten voorkomen * **Operator:** Een procent wordt gebruikt om een deel van een getal of hoeveelheid te berekenen (bv. 25% korting op €20). * *Berekening:* $25\% \text{ van } €20 = \frac{25}{100} \times €20 = €5$. Dit kan worden voorgesteld met honderdvelden, stroken of verhoudingstabellen. * **Verhouding:** Procenten kunnen worden gebruikt om verhoudingen te vergelijken. * *Voorbeeld:* Toon scoorde 20 van 25 voor Nederlands en 30 van 40 voor wiskunde. Om te bepalen voor welk vak hij het best scoorde, zet je de scores om naar percentages: Nederlands: $\frac{20}{25} = \frac{80}{100} = 80\%$; Wiskunde: $\frac{30}{40} = \frac{75}{100} = 75\%$. Hij scoorde dus beter voor Nederlands. * **Deel-geheel:** Bij deze situaties zijn het geheel, het deel en het percentage gegeven of gevraagd. * *Voorbeeld:* 28 van 35 eerste opslagen zijn goed geslagen. Wat is het percentage geslaagde opslagen? $\frac{28}{35} = \frac{4}{5} = \frac{80}{100} = 80\%$. * **Geheel plus of min deel:** Procenten worden gebruikt om veranderingen aan te duiden (toename of afname). * *Voorbeeld:* Een fiets van €500 kost nu €420. Wat is de procentuele korting? Eerst bereken je de korting: €500 - €420 = €80. Dan bereken je welk percentage dit is van de oorspronkelijke prijs: $\frac{80}{500} = \frac{16}{100} = 16\%$. #### 5.3.3 Procentberekeningen met de zakrekenmachine (ZRM) Leerlingen moeten leren hoe ze procentberekeningen correct uitvoeren met een ZRM, inclusief het gebruik van de procenttoets. Het is belangrijk dat ze eerst een schatting maken van de uitkomst om de nauwkeurigheid van de ZRM te controleren en blindelings vertrouwen te vermijden. * *Voorbeeld:* 10% van 200. * Schattingsstrategie: 10% van 100 is 10, dus 10% van 200 zal 20 zijn. * ZRM-invoer: `200 x 10 %` geeft 20. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Realistische visie op wiskundeonderwijs | Een onderwijsvisie waarbij wiskunde wordt aangeleerd via authentieke, herkenbare situaties die aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen, met de nadruk op zelfontdekkend en interactief leren. | | CSA-model | Een didactisch model dat de fasen van het leerproces bij het aanbrengen van nieuwe wiskundige begrippen beschrijft: Concreet (materiaalgebruik), Schematisch (tekeningen, schema's) en Abstract (mentale handelingen, symbolen). | | Didactische materialen | Hulpmiddelen die gebruikt worden om wiskundige concepten tastbaar en begrijpelijk te maken, zoals MAB-materiaal, breukstokken, rekenrekken, honderdvelden, etc., onderverdeeld in materiaal voor de concrete, schematische en abstracte fase. | | Natuurlijke getallen | De verzameling van de positieve gehele getallen, inclusief nul (soms ook gedefinieerd zonder nul, afhankelijk van de conventie). Dit zijn de getallen die we gebruiken om te tellen. | | Getalsystemen in de oudheid | Verschillende manieren waarop oude beschavingen, zoals de Egyptenaren en Romeinen, getallen en bewerkingen noteerden en uitvoerden, vaak met unieke symbolen en regels voor representatie en calculatie. | | Tiendelig talstelsel (Decimaal stelsel) | Een getalsysteem gebaseerd op het grondtal tien, waarbij de plaats van een cijfer de waarde ervan bepaalt (plaatswaardesysteem) en getallen worden opgebouwd met tien verschillende cijfers (0-9). | | Hoofdbewerkingen | De vier basisoperaties in de rekenkunde: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. | | Flexibel hoofdrekenen | Een aanpak van hoofdrekenen waarbij de leerling opgave- of getalspecifieke strategieën kiest om een berekening efficiënt uit te voeren, gebaseerd op inzicht en kennis van wiskundige eigenschappen. | | Gestandaardiseerd hoofdrekenen | Een aanpak van hoofdrekenen waarbij een vaste rekenprocedure wordt gevolgd voor een bepaald type oefening, onafhankelijk van de specifieke getallen, wat kan leiden tot een systematische, zij het minder flexibele, manier van werken. | | Cijferen | Een methode om rekenkundige bewerkingen uit te voeren met behulp van een gestandaardiseerd algoritme, waarbij getallen onder elkaar geplaatst worden en de berekening van rechts naar links (of van boven naar onder) plaatsvindt, vaak met tussenstappen zoals ‘lenen’ of ‘overdragen’. | | Kommagetallen | Getallen die een deel van een geheel uitdrukken, geschreven met een decimale komma die de gehele getallen scheidt van de fractionele delen (tienden, honderdsten, enz.). | | Breuken | Getallen die een deel van een geheel representeren, geschreven als een teller boven een breukstreep en een noemer onder de breukstreep, die respectievelijk het aantal genomen delen en het totale aantal gelijke delen aanduiden. | | Procenten | Een manier om een deel van een geheel uit te drukken als een fractie van honderd, weergegeven met het symbool '%'. Het staat voor 'per honderd'. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken die, hoewel verschillend geschreven, dezelfde numerieke waarde vertegenwoordigen, verkregen door de teller en noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen of te delen. | | Vereenvoudigen van breuken | Het proces waarbij een breuk wordt herschreven in zijn eenvoudigste vorm door de teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler, zodat geen verdere deling mogelijk is. | | Verhouding | Een relatie tussen twee getallen die aangeeft hoe vaak het ene getal in het andere voorkomt, vaak uitgedrukt als een breuk of een percentage. | | Kans | De waarschijnlijkheid dat een bepaalde gebeurtenis zal plaatsvinden, uitgedrukt als een verhouding tussen het aantal gunstige uitkomsten en het totaal aantal mogelijke uitkomsten. | | Operator | Een wiskundig symbool of een getal dat een bewerking op een ander getal of een uitdrukking aanduidt, zoals een breuk die 'van' een ander getal neemt. | | Maat | Het gebruik van breuken om meetresultaten nauwkeuriger weer te geven, bijvoorbeeld lengtes of gewichten die niet exact uitgedrukt kunnen worden in gehele eenheden. | | Vermenigvuldigingswip | Een strategie om berekeningen te vereenvoudigen door factoren te herschikken of te splitsen, bijvoorbeeld om te werken met 'mooie getallen'. | | Delingshalter | Een methode om delingen te vereenvoudigen door het deeltal en de deler te vermenigvuldigen of te delen met hetzelfde getal, zonder de uitkomst te veranderen. | | Negenproef | Een controlemethode om de juistheid van rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) te controleren door de som van de cijfers van de getallen en de resultaten te vergelijken. | | Plaatswaardesysteem | Een systeem waarin de waarde van een cijfer in een getal wordt bepaald door zijn positie ten opzichte van de decimale komma of de eenhedenpositie. | | Breuk als operator | Het toepassen van een breuk als een bewerking die een handeling aangeeft, zoals het 'nemen van' een deel van een hoeveelheid of een ander getal. | | Breuk als maat | Het gebruik van breuken om meetresultaten nauwkeuriger te specificeren, waarbij de breuk een deel van een meeteenheid vertegenwoordigt. | | Breuk als verhouding | Het uitdrukken van de relatie tussen twee hoeveelheden of delen van een geheel als een breuk. | | Breuk als kans | Het kwantificeren van de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis, uitgedrukt als een breuk van de mogelijke uitkomsten. | | Breuk als getal | Het plaatsen van breuken op de getallenas, waarbij ze als rationele getallen worden beschouwd met een specifieke positie tussen gehele getallen. | | Lineaire interpolatie | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om een waarde te schatten tussen twee bekende datapunten, die hier impliciet gebruikt kan worden bij het plaatsen van breuken op een getallenas. | | CSA-model | (Zie eerder) Concreet, Schematisch, Abstract model voor het aanleren van concepten. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, een set van houten of plastic blokken die eenheden, tientallen, honderdtallen en duizendtallen representeren om inzicht te geven in ons tiendelig talstelsel. | | Honderdveld | Een visueel hulpmiddel dat de getallen van 1 tot 100 weergeeft in een raster van 10x10, nuttig voor het ontwikkelen van getalbegrip en het visualiseren van relaties tussen getallen. | | Stambreuk | Een breuk waarbij de teller gelijk is aan 1, zoals 1/2, 1/3, 1/4, etc. | | Gelijknamige breuken | Breuken die dezelfde noemer hebben, waardoor ze directe vergelijking of bewerking mogelijk maken. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers, die eerst gelijknamig gemaakt moeten worden om ze te kunnen vergelijken of bewerken. | | Verhoudingstabel | Een tabel die wordt gebruikt om de relaties tussen verschillende hoeveelheden of getallen weer te geven, vaak gebruikt bij het werken met breuken, procenten en verhoudingen. | | Procentmeter | Een visueel hulpmiddel (vaak een strook met markeringen) om percentages te representeren en te vergelijken, vergelijkbaar met een getallenlijn voor procentuele waarden. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat aangeeft hoe een handeling of verandering op een bepaald geheel van toepassing is, zoals korting of prijsverhoging. | | Deel-geheel (in procenten) | Het uitdrukken van een deel van een geheel als een percentage, bijvoorbeeld het aantal geslaagden op een examen als percentage van het totale aantal leerlingen. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Het beschrijven van veranderingssituaties, zoals toename of afname in prijs of aantal, uitgedrukt als een percentage van het oorspronkelijke geheel. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Een elektronisch apparaat voor het uitvoeren van rekenkundige berekeningen, dat ook gebruikt kan worden voor procentberekeningen. | | Cijferalgoritme | Een stap-voor-stap procedure voor het uitvoeren van een rekenkundige bewerking (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) op schriftelijke wijze. | | Ontlening (bij aftrekken) | Het proces waarbij een tiental of honderdtal wordt 'geleend' van een hogere plaatswaarde om een aftrekking mogelijk te maken wanneer het cijfer in de te aftrekken positie groter is dan het cijfer in de aftrekker. | | Overbrugging / Overdragen (bij optellen) | Het proces waarbij tien eenheden worden omgewisseld voor een tiental, of tien tientallen voor een honderdtal, wanneer de som van de cijfers in een kolom tien of meer bedraagt. | | Product (in vermenigvuldiging) | Het resultaat van een vermenigvuldiging. | | Quotiënt (in deling) | Het resultaat van een deling. | | Rest (in deling) | Het deel van het deeltal dat niet volledig deelbaar is door de deler. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld in een deling. | | Deler | Het getal waardoor wordt gedeeld in een deling. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen die worden genoteerd om het verloop van een berekening, met name bij hoofdrekenen, te verduidelijken. | | Flexibele oplossingsmethoden | Verschillende, op de specifieke opgave afgestemde manieren om een rekenkundige bewerking uit te voeren. | | Standaardmethodes | Vaste, algemeen toepasbare procedures voor het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen. | | Rekenverhaal | Een probleem dat in een verhaalvorm wordt gepresenteerd, om het inzicht in een wiskundige bewerking te vergroten en de relevantie ervan aan te tonen. | | Verwerkingsopdracht | Een opdracht die bedoeld is om de opgedane kennis en vaardigheden toe te passen en te versterken. | | Breukvraagjes | Hulpmiddelen in de vorm van vragen om leerlingen te begeleiden bij het begrijpen en oplossen van problemen met breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model voor de opbouw van wiskundige concepten. | | Vereenvoudigen | Het proces van het reduceren van een breuk tot zijn eenvoudigste vorm door teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen, ook al hebben ze verschillende tellers en noemers. | | Stambreuk | Een breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Deel-geheel | Een relatie waarbij een breuk een deel van een grotere hoeveelheid of eenheid vertegenwoordigt. | | Operator | Een factor die een bewerking of transformatie op een ander getal of uitdrukking aangeeft. | | Maat | Het gebruik van breuken om meetresultaten te kwantificeren, vaak als een deel van een eenheid. | | Verhouding/Kans | Het uitdrukken van relaties tussen aantallen of de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis als een breuk. | | Getal (als breuk) | De representatie van een breuk op de getallenas, waardoor breuken als reële getallen worden beschouwd. | | Vermeerderen (breuken) | Het optellen van breuken of het vergroten van een hoeveelheid met een breuk. | | Verminderen (breuken) | Het aftrekken van breuken of het verkleinen van een hoeveelheid met een breuk. | | Vergroten (breuken) | Het optellen van breuken of het vergroten van een hoeveelheid met een breuk. | | Verkleinen (breuken) | Het aftrekken van breuken of het verkleinen van een hoeveelheid met een breuk. | | Herhaalde optelling | Het proces van het optellen van hetzelfde getal meerdere keren, wat equivalent is aan vermenigvuldiging. | | Verhoudingsdeling | Een type deling waarbij wordt gezocht naar het aantal keren dat een deler in een deeltal past. | | Verdelingsdeling | Een type deling waarbij een hoeveelheid wordt verdeeld in gelijke groepen. | | Omgekeerde bewerking | Een bewerking die de effecten van een oorspronkelijke bewerking ongedaan maakt, zoals aftrekken de tegenhanger van optellen is. | | Vermenigvuldigen met een breuk | Het proces van het nemen van een deel van een breuk, of het toepassen van een breuk als operator. | | Delen door een breuk | Het proces van het bepalen hoe vaak een breuk in een ander getal of breuk past, wat equivalent is aan vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler. | | Procent | Een uitdrukking van een deel van honderd, vaak gebruikt om verhoudingen of veranderingen aan te geven. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie tussen twee hoeveelheden als een percentage. | | Gemengd getal | Een getal dat bestaat uit een geheel getal en een breuk, zoals 3 ½. | | Breukvereenvoudiging | Het proces van het reduceren van een breuk tot zijn eenvoudigste vorm door teller en noemer te delen door hun grootste gemeenschappelijke deler. | | Breuken vergelijken | Het bepalen welke van twee breuken groter, kleiner of gelijk is aan de andere, vaak door ze op gelijke noemer te brengen of te vergelijken met referentiepunten. | | Breuken ordenen | Het plaatsen van breuken op volgorde van grootte, van klein naar groot of omgekeerd. | | Vergelijkingsstrategieën (breuken) | Methoden die leerlingen spontaan of aangeleerd gebruiken om breuken te vergelijken, zoals het gebruik van referentiepunten of het gelijknamig maken. | | Operator (met breuken) | Een breuk die een bewerking aangeeft, zoals het nemen van een deel van een ander getal. | | Procentberekening | Het uitvoeren van berekeningen waarbij procenten worden gebruikt, zoals het berekenen van een percentage van een getal, een deel als percentage uitdrukken, of het geheel berekenen gegeven een deel en percentage. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model voor de opbouw van wiskundige concepten. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, een set van blokken die helpen bij het visualiseren van getallen en bewerkingen. | | Honderdveld | Een raster van 10x10 dat de getallen van 1 tot 100 weergeeft, nuttig voor het visualiseren van percentages. | | Procentmeter | Een strook met markeringen van 0% tot 100%, gebruikt om percentages te visualiseren en te vergelijken. | | Verhoudingstabel | Een tabel die wordt gebruikt om verhoudingen tussen getallen weer te geven en te manipuleren. | | Dubbele getallenlijn | Twee getallenlijnen die naast elkaar worden geplaatst om relaties tussen getallen, zoals bij procenten, te visualiseren. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Een elektronisch hulpmiddel voor rekenkundige berekeningen, inclusief procentberekeningen. | | Operator (met procenten) | Een percentage dat een deel van een geheel aangeeft, zoals 25% korting. | | Verhouding (met procenten) | Het uitdrukken van een relatie tussen twee hoeveelheden als een percentage. | | Deel-geheel (met procenten) | Het relateren van een deel aan een totaal, uitgedrukt als een percentage van het geheel. | | Geheel plus of min deel (met procenten) | Het beschrijven van veranderingen (toename of afname) als percentages van een oorspronkelijke hoeveelheid. | | Cijferen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op schrift met behulp van gestandaardiseerde algoritmes. | | Hoofdrekenen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen in het hoofd, eventueel met behulp van pen en papier voor tussenstappen. | | Flexibel rekenen | Een aanpak waarbij de leerling verschillende strategieën toepast om een berekening uit te voeren, afhankelijk van de specifieke opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Een systematische, stap-voor-stap benadering van rekenkundige bewerkingen. | | Ontlening | Het lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken om een berekening mogelijk te maken. | | Overbrugging | Het overdragen van een tiental, honderdtal, etc. bij optellen wanneer de som van de eenheden of tientallen tien of meer bedraagt. | | Operator | Een symbool of getal dat een bewerking aangeeft. | | Getalbeelden | Visuele representaties van getallen, zoals die op dobbelstenen of in patronen, die helpen bij het begrijpen van getalstructuur en bewerkingen. | | Breukentafel | Een didactisch hulpmiddel dat bestaat uit stroken die verschillende breuken representeren en die gebruikt kunnen worden om breuken te vergelijken en te manipuleren. | | Getallenas | Een lijn waarop getallen zijn geordend volgens hun numerieke waarde, gebruikt om breuken en andere getallen te plaatsen en te vergelijken. | | Rechthoekmodel | Een visuele voorstelling van breuken en vermenigvuldigingen met breuken, waarbij een rechthoek wordt verdeeld in secties die de breuken representeren. | | Pijlenvoorstelling | Een visuele methode om bewerkingen te tonen door pijlen te gebruiken die de transformatie van getallen aangeven. | | Breuk : natuurlijk getal | Een deling waarbij een breuk wordt gedeeld door een geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Een deling waarbij een geheel getal wordt gedeeld door een breuk. | | Breuk : breuk | Een deling waarbij een breuk wordt gedeeld door een andere breuk. | | Omgekeerde van een breuk | Een breuk waarbij de teller en de noemer van de oorspronkelijke breuk zijn omgewisseld. | | Verhoudingsdeling | Een type deling dat focust op het aantal keren dat een deler in een deeltal past. | | Verdelingsdeling | Een type deling dat focust op het verdelen van een hoeveelheid in gelijke groepen. | | Negenproef | Een methode om de juistheid van rekenkundige bewerkingen te controleren. | | Cijferalgoritmen | Gestandaardiseerde procedures voor het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op schrift. | | Operator (algemeen) | Een symbool of uitdrukking die een bewerking aangeeft. | | Soepele kennis van het tientallig talstelsel | Het diepgaande begrip van de structuur en de waarden van de cijfers binnen het decimale getalsysteem. | | Parate kennis | Vlug beschikbare kennis, zoals de tafels van vermenigvuldiging, die essentieel is voor efficiënt rekenen. | | Schematisch niveau | De fase van begripsvorming waarbij abstracte concepten worden voorgesteld met behulp van tekeningen, diagrammen of schema's. | | Concreet niveau | De fase van begripsvorming waarbij tastbaar materiaal wordt gebruikt om concepten te demonstreren en te begrijpen. | | Abstract niveau | De fase van begripsvorming waarbij concepten worden begrepen en toegepast op een puur mentale of symbolische manier. | | Deel-geheel relatie | De relatie tussen een deel en het geheel waar het deel van afkomstig is. | | Veranderingssituaties | Situaties die een toename of afname van een hoeveelheid beschrijven, vaak uitgedrukt in procenten. | | Operator | Een factor die een bewerking of transformatie op een ander getal of uitdrukking aangeeft. | | Verhouding | Een relatie tussen twee getallen die aangeeft hoe vaak het ene getal in het andere voorkomt, vaak uitgedrukt als een breuk of een percentage. | | Kans | De waarschijnlijkheid dat een bepaalde gebeurtenis zal plaatsvinden. | | Getal (in breukencontext) | De representatie van een breuk als een punt op de getallenas, waardoor breuken als reële getallen worden beschouwd. | | Wegnemend model | Een model voor aftrekken waarbij elementen uit een oorspronkelijke hoeveelheid worden verwijderd. | | Vergelijkingsmodel | Een model voor aftrekken waarbij het verschil tussen twee hoeveelheden wordt bepaald. | | Samenvoegen | Het proces van het combineren van twee of meer hoeveelheden, wat leidt tot optelling. | | Erbij doen | Het toevoegen van een hoeveelheid aan een bestaande hoeveelheid, wat leidt tot optelling. | | Wegnemen | Het verwijderen van een hoeveelheid uit een bestaande hoeveelheid, wat leidt tot aftrekking. | | Vergelijken | Het bepalen van het verschil of de relatie tussen twee hoeveelheden, wat kan leiden tot aftrekking of een verhouding. | | Vermenigvuldiger | Het getal waarmee wordt vermenigvuldigd in een vermenigvuldiging. | | Vermenigvuldigtal | Het getal dat wordt vermenigvuldigd in een vermenigvuldiging. | | Factoren | De getallen die met elkaar worden vermenigvuldigd. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld in een deling. | | Deler | Het getal waardoor wordt gedeeld in een deling. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. | | Rest | Het overblijfsel bij een deling wanneer het deeltal niet volledig deelbaar is door de deler. | | Deeltafels | De memorisatie van de resultaten van delingen, analoog aan de tafels van vermenigvuldiging. | | Vermenigvuldigingstafels | De memorisatie van de resultaten van vermenigvuldigingen, cruciaal voor efficiënt rekenen. | | Commutatieve eigenschap | Een eigenschap van bewerkingen waarbij de volgorde van de operanden de uitkomst niet verandert (bv. a + b = b + a). | | Associatieve eigenschap | Een eigenschap van bewerkingen waarbij de groepering van operanden de uitkomst niet verandert (bv. (a + b) + c = a + (b + c)). | | Distributieve eigenschap | Een eigenschap die de relatie tussen vermenigvuldigen en optellen of aftrekken beschrijft (bv. a x (b + c) = (a x b) + (a x c)). | | Neutraal element | Een getal dat, wanneer het met een ander getal wordt gecombineerd door een bewerking, het andere getal onveranderd laat (bv. 0 bij optellen, 1 bij vermenigvuldigen). | | Opslorpend element | Een getal dat, wanneer het met een ander getal wordt gecombineerd door een bewerking, altijd nul als resultaat oplevert (bv. 0 bij vermenigvuldigen). | | Rationale getallen | Getallen die kunnen worden uitgedrukt als een breuk p/q, waarbij p en q gehele getallen zijn en q niet nul is. Dit omvat gehele getallen en breuken. | | Gehele getallen | De verzameling van positieve en negatieve gehele getallen, inclusief nul. | | Irrationale getallen | Reële getallen die niet als een eenvoudige breuk kunnen worden uitgedrukt, zoals pi of de wortel van 2. | | Reële getallen | De verzameling van alle rationale en irrationale getallen. | | Operator (wiskunde) | Een symbool of uitdrukking die een wiskundige bewerking aangeeft. | | Verschijningsvormen van breuken | De verschillende manieren waarop breuken kunnen worden geïnterpreteerd en gebruikt, zoals deel-geheel, operator, maat, verhouding/kans, en getal. | | Wezenlijke aspecten van breuken | De kernkenmerken van breuken die essentieel zijn voor hun definitie en betekenis, zoals het principe van gelijke delen en de rol van teller en noemer. | | Niet-wezenlijke aspecten van breuken | Kenmerken van breuken die kunnen variëren zonder de waarde van de breuk te veranderen, zoals het materiaal, de grootte van het geheel, of de manier van verdelen. | | Leerdoelen | Specifieke uitkomsten of competenties die een leerling aan het einde van een leerproces moet bereiken. | | Vakdidactiek | De studie van de methoden en technieken voor het onderwijzen van een specifiek schoolvak, in dit geval wiskunde. | | Voortaak | Een opdracht die leerlingen voor een les moeten voorbereiden, vaak om voorkennis te activeren of te verdiepen. | | Natuurlijk getal | Getallen die gebruikt worden om te tellen (1, 2, 3, ...), soms inclusief nul. | | Breuken | Getallen die een deel van een geheel voorstellen. | | Kommagetallen | Getallen die een decimaal deel van een geheel voorstellen, gescheiden door een komma. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Deel-geheel | De relatie tussen een deel en het geheel waar het deel van afkomstig is. | | Operator | Een factor of symbool dat een bewerking aangeeft. | | Maat | Een eenheid van meting, vaak gebruikt in combinatie met breuken of procenten. | | Verhouding / Kans | De relatie tussen twee getallen of de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis. | | Getal (als breuk) | De representatie van een breuk op de getallenas. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken die dezelfde waarde hebben, ondanks verschillende tellers en noemers. | | Breuken vereenvoudigen | Het proces om een breuk in zijn meest eenvoudige vorm te zetten. | | Breuken vergelijken | Het bepalen van de relatieve grootte van breuken. | | Breuken ordenen | Het plaatsen van breuken op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden die worden gebruikt om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van een geheel getal met een breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van een breuk door een geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van een geheel getal door een breuk. | | Breuk : breuk | Delen van een breuk door een andere breuk. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie tussen twee hoeveelheden als een percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Het relateren van een deel aan een totaal, uitgedrukt als een percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Het beschrijven van veranderingen als percentages. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Een elektronisch hulpmiddel voor rekenkundige berekeningen. | | Cijferen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen op schrift. | | Hoofdrekenen | Het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Een aanpak waarbij de leerling verschillende strategieën toepast. | | Gestandaardiseerd rekenen | Een systematische, stap-voor-stap benadering van rekenkundige bewerkingen. | | Ontlening | Het lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Het overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. | | Rest | Het overblijfsel bij een deling. | | Deeltal | Het getal dat wordt gedeeld. | | Deler | Het getal waardoor wordt gedeeld. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen die het verloop van een berekening verduidelijken. | | Rekenverhaal | Een probleem dat in een verhaalvorm wordt gepresenteerd. | | Verwerkingsopdracht | Een opdracht om de opgedane kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Vragen die leerlingen helpen bij het begrijpen van breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model voor conceptopbouw. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Verhouding | Een relatie tussen twee getallen. | | Kans | De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van een vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van een deling. | | Rest | Overblijfsel bij een deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, didactisch materiaal. | | Honderdveld | Visueel hulpmiddel voor getallen van 1-100. | | Stambreuk | Breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Vereenvoudigen | Reduceren tot eenvoudigste vorm. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken met dezelfde waarde. | | Vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte. | | Ordenen | Plaatsen op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen van breuken. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van geheel getal met breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van breuk met geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van breuk door geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van geheel getal door breuk. | | Breuk : breuk | Delen van breuk door breuk. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Elektronisch rekentuig. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Breuken vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte van breuken. | | Breuken ordenen | Plaatsen van breuken op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Zakrekenmachine (ZRM) | Elektronisch rekentuig. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, didactisch materiaal. | | Honderdveld | Visueel hulpmiddel voor getallen van 1-100. | | Stambreuk | Breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Vereenvoudigen | Reduceren tot eenvoudigste vorm. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken met dezelfde waarde. | | Vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte. | | Ordenen | Plaatsen op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen van breuken. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van geheel getal met breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van breuk met geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van breuk door geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van geheel getal door breuk. | | Breuk : breuk | Delen van breuk door breuk. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | Operator | Een factor die een bewerking aangeeft. | | Negenproef | Controle op juistheid van rekenkundige bewerkingen. | | Vermenigvuldigen met een breuk | Het nemen van een deel van een breuk of een hoeveelheid. | | Delen door een breuk | Het bepalen hoe vaak een breuk in een getal past. | | Procenten | Een uitdrukking van een deel van honderd. | | Operator (in procenten) | Een percentage dat een handeling of verandering aangeeft. | | Verhouding (in procenten) | Het uitdrukken van een relatie als percentage. | | Deel-geheel (in procenten) | Een deel van een totaal als percentage. | | Geheel plus of min deel (in procenten) | Veranderingen uitgedrukt als percentage. | | Cijferen | Schriftelijke rekenmethode. | | Hoofdrekenen | Rekenmethode in het hoofd. | | Flexibel rekenen | Aanpassen van rekenstrategie aan de opgave. | | Gestandaardiseerd rekenen | Standaard rekenprocedures. | | Ontlening | Lenen van een hogere plaatswaarde bij aftrekken. | | Overbrugging | Overdragen van een hogere plaatswaarde bij optellen. | | Product | Resultaat van vermenigvuldiging. | | Quotiënt | Resultaat van deling. | | Rest | Overblijfsel bij deling. | | Deeltal | Getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Getal waardoor gedeeld wordt. | | Tussenstappen | Hulpberekeningen. | | Rekenverhaal | Wiskundig probleem in verhaalvorm. | | Verwerkingsopdracht | Opdracht om kennis toe te passen. | | Breukvraagjes | Begeleidende vragen bij breuken. | | CSA-model | Concreet, Schematisch, Abstract model. | | MAB-materiaal | Multibase Arithmetic Blocks, didactisch materiaal. | | Honderdveld | Visueel hulpmiddel voor getallen van 1-100. | | Stambreuk | Breuk met teller 1. | | Gelijknamige breuken | Breuken met dezelfde noemer. | | Ongelijknamige breuken | Breuken met verschillende noemers. | | Vereenvoudigen | Reduceren tot eenvoudigste vorm. | | Gelijkwaardige breuken | Breuken met dezelfde waarde. | | Vergelijken | Bepalen van de relatieve grootte. | | Ordenen | Plaatsen op volgorde van grootte. | | Vergelijkingsstrategieën | Methoden om breuken te vergelijken. | | Bewerkingen met breuken | Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen van breuken. | | Natuurlijk getal x breuk | Vermenigvuldigen van geheel getal met breuk. | | Breuk x natuurlijk getal | Vermenigvuldigen van breuk met geheel getal. | | Breuk x breuk | Vermenigvuldigen van twee breuken. | | Breuk : natuurlijk getal | Delen van breuk door geheel getal. | | Natuurlijk getal : breuk | Delen van geheel getal door breuk. | | Breuk : breuk | Delen van breuk door breuk. |