CÁLCULO TEORÍA 6.pdf

# Introducción a la integral de Riemann El cálculo integral unifica la resolución de problemas aparentemente dispares como el cálculo de áreas y volúmenes, la determinación de la posición de un móvil a partir de su velocidad, la inversión del proceso de derivación, y el cálculo de promedios de magnitudes físicas como la temperatura [1](#page=1). ### 1.1 Diagrama conceptual El estudio del cálculo integral se puede visualizar a través de un diagrama que relaciona los siguientes conceptos [1](#page=1): * **Integral definida:** Se obtiene a través de la aproximación de áreas [1](#page=1). * **Integral indefinida (o primitiva):** Representa la operación inversa de la derivación [1](#page=1). * **Teoremas fundamentales:** Establecen la conexión entre la integral definida y la integral indefinida [1](#page=1). * **Integración numérica:** Útil cuando el cálculo de una primitiva no es sencillo [1](#page=1). * **Integrales impropias:** Se utilizan para casos de intervalos no acotados o funciones no acotadas [1](#page=1). ### 1.2 Motivación para el cálculo integral El cálculo integral tiene sus raíces en la antigüedad, con métodos como el de exhaución de Eudoxo, que ya utilizaba la división de figuras en subfiguras para calcular áreas y volúmenes, sentando las bases del principio de la integración definida [2](#page=2). El cálculo integral permite conectar conceptos ya conocidos como las derivadas y las propiedades geométricas de figuras (áreas, volúmenes) con magnitudes y propiedades físicas [2](#page=2). #### 1.2.1 El cálculo de áreas El cálculo de áreas de figuras geométricas es un problema que se ha abordado desde la antigüedad. Si bien el área de figuras simples como rectángulos, triángulos o círculos es conocida, surge la pregunta de cómo calcular el área de figuras de forma arbitraria [1](#page=1) [2](#page=2). #### 1.2.2 La inversión de la derivación Dada una función, si conocemos su derivada, nos preguntamos si es posible realizar el proceso inverso: encontrar una función cuya derivada sea la función dada. Esta operación se conoce como encontrar la primitiva o la integral indefinida [1](#page=1). #### 1.2.3 Cálculo de promedios El cálculo integral también se aplica para determinar magnitudes promedio de una función en un intervalo. Por ejemplo, si se conoce la temperatura en cada punto de una barra, se puede calcular la temperatura media utilizando integrales [1](#page=1). ### 1.3 La integral definida La integral definida se introduce como una herramienta para calcular el área bajo la curva de una función continua [2](#page=2). #### 1.3.1 Aproximación mediante rectángulos Para funciones continuas $f: [a, b \to \mathbb{R}$ donde $f(x) \ge 0$ en el intervalo $[a, b]$, el área comprendida entre la gráfica de $f$, el eje $x$, y las rectas verticales $x = a$ y $x = b$ puede aproximarse sumando las áreas de rectángulos. El proceso implica dividir el intervalo $[a, b]$ en subintervalos, construir rectángulos sobre estos subintervalos y, finalmente, tomar el límite cuando la base de los rectángulos tiende a cero [2](#page=2). > **Tip:** El método de aproximación mediante rectángulos es la base conceptual de la integral de Riemann. La precisión aumenta a medida que el número de rectángulos se incrementa y su base disminuye. #### 1.3.2 Ejemplo de cálculo de área Se plantea el cálculo del área comprendida entre la gráfica de la función $f(x) = e^x$ en el intervalo $ $ y el eje $x$. El procedimiento para resolverlo implica la aproximación mediante rectángulos y la posterior toma de un límite [1](#page=1) [2](#page=2). > **Example:** Para calcular el área bajo $f(x) = x^2$ en $ $ usando rectángulos, se dividiría el intervalo en $n$ subintervalos de igual ancho $\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}$. Si se eligen los extremos derechos de cada subintervalo, se sumarían las áreas de los rectángulos: $\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$, donde $x_i = a + i \Delta x$. Tomando el límite cuando $n \to \infty$ se obtendría el área exacta [2](#page=2). --- # Definición y propiedades de la integral definida La integral definida se define formalmente a través de sumas de Riemann y representa el área neta bajo la curva de una función, teniendo en cuenta tanto las áreas por encima como por debajo del eje x [4](#page=4). ### 2.1 La integral de Riemann #### 2.1.1 Motivación y concepto El cálculo de áreas y volúmenes ha sido abordado desde la antigüedad, utilizando métodos que implican la división de figuras en partes más simples. La integral definida generaliza este principio, permitiendo calcular áreas bajo curvas mediante la aproximación con rectángulos. Si una función $f(x)$ es continua y no negativa en un intervalo $[a, b]$, el área comprendida entre su gráfica, el eje x y las rectas verticales $x=a$ y $x=b$ puede aproximarse sumando las áreas de rectángulos. La precisión de esta aproximación aumenta al refinar la partición del intervalo, es decir, al disminuir la base de los rectángulos. El área exacta se obtiene al tomar el límite de estas sumas cuando la longitud de la base de los rectángulos tiende a cero [2](#page=2) [4](#page=4). #### 2.1.2 La suma de Riemann Para definir formalmente la integral, se considera una partición $P$ del intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos, definidos por puntos $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n =b$. La longitud del $i$-ésimo subintervalo es $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$, y la finura de la partición, denotada $|P|$, es el máximo de estas longitudes. En cada subintervalo $[x_{i-1}, x_i]$, se elige un punto representativo $c_i$. La altura de cada rectángulo de aproximación es $f(c_i)$, y su área tiene un "signo" asociado: se suma si $f(c_i) \ge 0$ y se resta si $f(c_i) < 0$ [4](#page=4). La suma de Riemann para una partición $P$ y puntos representativos $c_i$ es: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$ Esta suma proporciona una aproximación del área neta bajo la curva de $f(x)$ en $[a, b]$ [4](#page=4) [5](#page=5). #### 2.1.3 Definición formal La integral definida de una función continua $f: [a, b \to \mathbb{R}$ se define como el límite de la suma de Riemann cuando la finura de la partición tiende a cero: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{|P| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$ Si este límite existe y no depende de la elección de la partición ni de los puntos representativos, se dice que la función es integrable en $[a, b]$ [5](#page=5). > **Tip:** La continuidad de la función $f(x)$ es fundamental para garantizar la existencia de la integral definida y que su valor no dependa de la elección de los puntos $c_i$ [4](#page=4). #### 2.1.4 Ejemplos de cálculo **Ejemplo 6.1 (Página 3):** Cálculo del área bajo la parábola $f(x) = e^x$ en $ $ [1](#page=1). 1. Se divide el intervalo $ $ en $n$ subintervalos de longitud $\Delta x = 1/n$ [1](#page=1). 2. Se elige la altura del $i$-ésimo rectángulo como $f(c_i) = e^{(i-1)/n}$. 3. La suma de las áreas de los $n$ rectángulos es una suma geométrica: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} e^{(i-1)/n} $$ 4. El límite de esta suma cuando $n \to \infty$ es: $$ A = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \frac{e - 1}{e^{1/n} - 1} = e - 1 $$ Se aplicó la regla de L'Hôpital para evaluar el límite [3](#page=3) [4](#page=4). **Ejemplo 6.2 (Página 5):** Cálculo de $\int_{-1}^{2} 2x \, dx$. 1. Se divide el intervalo $[-1, 2]$ en $n$ subintervalos de longitud $\Delta x = 3/n$. 2. Se elige $c_i = x_i = -1 + i(3/n)$ como punto representativo. 3. La función es $f(x) = 2x$. La suma de Riemann es: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} \left( 2 \left(-1 + \frac{3i}{n}\right) \right) \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left( -2 + \frac{6i}{n} \right) \frac{3}{n} $$ $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( -\frac{6}{n} + \frac{18i}{n^2} \right) = -\frac{6n}{n} + \frac{18}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i $$ Usando la fórmula para la suma de los primeros $n$ enteros ($\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$): $$ S_n = -6 + \frac{18}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} = -6 + 9 \frac{n+1}{n} = -6 + 9 \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 3 + \frac{9}{n} $$ 4. El límite cuando $n \to \infty$ es: $$ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = \lim_{n \to \infty} \left( 3 + \frac{9}{n} \right) = 3 $$ [5](#page=5). ### 2.2 Propiedades de la integral definida Las propiedades de la integral definida simplifican su cálculo y se derivan directamente de su definición y su interpretación geométrica. Sean $f(x)$ y $g(x)$ funciones continuas en un intervalo $[a, b]$ y $k$ una constante [6](#page=6). * **Integral de una función constante:** $$ \int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0 $$ El área sobre un intervalo de longitud cero es cero [6](#page=6). * **Producto por una constante:** $$ \int_{a}^{b} k f(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$ Si se escala la función por una constante, el área también se escala por esa constante [6](#page=6). * **Suma de funciones:** $$ \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx $$ El área bajo la suma de dos funciones es la suma de las áreas bajo cada función [6](#page=6). * **Monotonía:** Si $f(x) \le g(x)$ en $[a, b]$, entonces: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \le \int_{a}^{b} g(x) \, dx $$ Si una función está por debajo de otra, su integral (área neta) será menor o igual [6](#page=6). * **Valor absoluto:** $$ \left| \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx $$ Esta propiedad indica que el valor absoluto de la integral definida de una función es menor o igual a la integral de su valor absoluto [6](#page=6). * **Aditividad del intervalo de integración:** Si $c \in [a, b]$: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx $$ El área total sobre un intervalo es la suma de las áreas sobre subintervalos que lo componen [6](#page=6). * **Cambio de orden en los límites de integración:** $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx $$ Invertir los límites de integración cambia el signo de la integral [6](#page=6). #### 2.2.1 Ejemplo de aplicación de propiedades **Ejemplo 6.3 (Página 6):** Cálculo de $\int_{-1}^{2} 2x \, dx$ usando propiedades. Se puede expresar la integral como: $$ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = 2 \int_{-1}^{2} x \, dx $$ Interpretando geométricamente $\int_{-1}^{2} x \, dx$: * De $-1$ a $0$, el área es un triángulo debajo del eje x con base $1$ y altura $1$. Su valor es $-\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = -\frac{1}{2}$. * De $0$ a $2$, el área es un triángulo sobre el eje x con base $2$ y altura $2$. Su valor es $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$. Aplicando la propiedad de aditividad: $$ \int_{-1}^{2} x \, dx = \int_{-1}^{0} x \, dx + \int_{0}^{2} x \, dx = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} $$ Finalmente, multiplicando por la constante $2$: $$ \int_{-1}^{2} 2x \, dx = 2 \times \frac{3}{2} = 3 $$ [6](#page=6). ### 2.3 Interpretación geométrica La integral definida $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ se interpreta geométricamente como el **área neta** comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$, el eje x y las rectas verticales $x=a$ y $x=b$. Las áreas por encima del eje x se consideran positivas y se suman, mientras que las áreas por debajo del eje x se consideran negativas y se restan. Si la función es siempre positiva, la integral definida coincide con el área geométrica bajo la curva. Para funciones que toman valores positivos y negativos, la integral representa la diferencia entre el área positiva y la área negativa. Las funciones continuas en un intervalo $[a, b]$ son integrables en dicho intervalo [2](#page=2) [4](#page=4) [5](#page=5) [6](#page=6). --- # Integral indefinida y teoremas fundamentales del cálculo Este tema explora la relación inversa entre derivación e integración, presentando el concepto de primitiva y la integral indefinida, junto con los teoremas fundamentales que formalizan esta conexión. ### 3.1 La integral indefinida La integral indefinida surge como el proceso inverso de la derivación. Para una función continua $f: (a,b) \to \mathbb{R}$, una primitiva de $f$ es cualquier función $F$ tal que $F'(x) = f(x)$ para todo $x \in (a, b)$ [7](#page=7). La notación para una primitiva es: $$ \int f(x) \, dx $$ En esta expresión, $f(x)$ se denomina integrando, $x$ es la variable de integración, y $dx$ indica la variable respecto a la cual se realiza la integración. La integral indefinida de $f$ se define como el conjunto de todas sus primitivas [7](#page=7). Es crucial notar que la primitiva de una función no es única. Si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$, entonces cualquier función de la forma $F(x) + k$, donde $k$ es una constante real, también es una primitiva de $f(x)$, ya que la derivada de una constante es cero: $(F(x) + k)' = F'(x) = f(x)$ [7](#page=7). > **Tip:** La diferencia formal entre la integral indefinida y la integral definida radica en los límites de integración. Las integrales definidas presentan límites numéricos, mientras que la integral indefinida representa un conjunto de funciones [7](#page=7). **Ejemplo:** Dada la función $f(x) = 2x - 1$, una primitiva es $F(x) = x^2 - x$. Sin embargo, $F(x) = x^2 - x + 1$ y $F(x) = x^2 - x + 3$ también son primitivas. En general, la integral indefinida se expresa como [7](#page=7): $$ \int (2x - 1) \, dx = x^2 - x + k $$ donde $k$ es una constante real arbitraria [7](#page=7). Si dos funciones $F(x)$ y $G(x)$ tienen la misma derivada en un intervalo, entonces difieren en una constante, es decir, $F(x) - G(x) = k$. Por ello, al escribir una integral indefinida, se suele tomar una primitiva particular y añadirle la constante de integración $k$ [8](#page=8). ### 3.2 Teoremas fundamentales del cálculo Los teoremas fundamentales del cálculo establecen una conexión profunda entre la integración (entendida como suma o área bajo una curva) y la derivación, demostrando que son procesos inversos. Estos teoremas fueron desarrollados independientemente por Newton y Leibniz en el siglo XVII [8](#page=8). #### 3.2.1 Primer teorema fundamental del Cálculo Este teorema establece que si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces la función definida como la integral de $f$ desde $a$ hasta una variable $x$ es derivable en $[a, b]$, y su derivada es la propia función $f(x)$ [9](#page=9). **Teorema 6.1 (Primer teorema fundamental del Cálculo)**. Si $f : [a, b \to \mathbb{R}$ es una función continua, entonces la función $$ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt $$ es derivable en $[a, b]$ y se cumple que $$ F'(x) = f(x) \quad \forall x \in (a, b) $$ [9](#page=9). Este teorema es fundamental porque garantiza que toda función continua en un intervalo posee una primitiva. Además, permite asegurar la existencia de primitivas incluso para funciones cuyas primitivas no pueden expresarse mediante funciones elementales, como es el caso de $f(t) = e^{-t^2}$ [10](#page=10) [8](#page=8) [9](#page=9). **Ejemplo 6.5**. La función error, utilizada en estadística, se define como: $$ \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt $$ . Aunque la primitiva de $e^{-t^2}$ no es una función elemental, la derivada de $\text{erf}(x)$ se puede encontrar directamente. Si $F(x) = \int_0^x e^{-t^2} \, dt$, entonces, según el primer teorema fundamental, $F'(x) = e^{-x^2}$ [9](#page=9). **Ejemplo 6.6**. Para calcular la derivada de $F(x) = \int_a^x (t^2 \sin t + 2t) \, dt$, simplemente sustituimos $t$ por $x$ en el integrando: $$ F'(x) = x^2 \sin x + 2x $$ [10](#page=10). Si la variable de integración se encuentra en el límite inferior, se puede aplicar el teorema invirtiendo el límite de integración y cambiando el signo, como se muestra en el siguiente ejemplo. **Ejemplo 6.7**. Para $G(x) = \int_x^b (t^4 + 2)e^{-t^2} \, dt$: $$ G'(x) = -\frac{d}{dx} \int_b^x (t^4 + 2)e^{-t^2} \, dt = -(x^4 + 2)e^{-x^2} $$ [10](#page=10). #### 3.2.2 Segundo teorema fundamental del Cálculo (Regla de Barrow) El segundo teorema fundamental del Cálculo, también conocido como Regla de Barrow, proporciona un método eficiente para calcular integrales definidas utilizando primitivas. **Teorema 6.2 (Segundo teorema fundamental del Cálculo)**. Si $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$ y $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$, entonces: $$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$ [10](#page=10) [11](#page=11). La notación $F(x)|_a^b$ se utiliza para representar $F(b) - F(a)$ [10](#page=10). **Demostración**: Se define $G(x) = \int_a^x f(t) \, dt$. Por el primer teorema fundamental, $G'(x) = f(x)$. Dado que $F(x)$ es también una primitiva de $f(x)$, se tiene que $(F-G)'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$. Esto implica que $F(x) - G(x) = k$ para alguna constante $k$. Evaluando en $x=a$, tenemos $G(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0$. Por lo tanto, $F(a) - G(a) = F(a) - 0 = k$, lo que significa que $k = F(a)$. Sustituyendo en la expresión de $F(x) - G(x)$, obtenemos $F(x) = G(x) + F(a)$. Evaluando en $x=b$, se llega a $F(b) = G(b) + F(a)$, y dado que $G(b) = \int_a^b f(x) \, dx$, se concluye que $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ [11](#page=11). Este teorema simplifica enormemente el cálculo de integrales definidas. En lugar de aproximar el área mediante sumas, basta encontrar una primitiva de la función e evaluar la diferencia de esta primitiva en los límites de integración [11](#page=11). **Ejemplo 6.8**. Para calcular $\int_0^1 e^x \, dx$, encontramos una primitiva de $e^x$, que es $F(x) = e^x$. Aplicando el segundo teorema fundamental: $$ \int_0^1 e^x \, dx = F - F = e^1 - e^0 = e - 1 $$ [1](#page=1). . Este cálculo es considerablemente más sencillo que uno basado en la definición de integral [11](#page=11). **Interpretación intuitiva**: La velocidad $v(t)$ como la derivada de la posición $x(t)$ ofrece una interpretación intuitiva de la Regla de Barrow. Si $v(t) = x'(t)$, entonces la integral definida de la velocidad entre dos instantes $a$ y $b$ representa el cambio en la posición, es decir, el espacio recorrido: $$ \int_a^b v(t) \, dt = x(b) - x(a) $$ . Si se asume que la velocidad no cambia de signo en el intervalo $[a, b]$, el lado derecho de la igualdad es el desplazamiento neto entre $a$ y $b$ [11](#page=11). --- # Técnicas de cálculo de integrales Este apartado repasa y amplía las técnicas fundamentales para el cálculo de primitivas de funciones, desde las más inmediatas hasta métodos más complejos como la integración por partes y la descomposición en fracciones simples. ### 4.1 Introducción y propiedades generales El cálculo de integrales definidas mediante límites es un proceso tedioso y poco práctico. En su lugar, se utilizan técnicas que facilitan la búsqueda de una primitiva. Es importante tener un buen dominio de estas técnicas para resolver integrales con soltura [12](#page=12). La integración, al igual que la derivación, es una operación lineal. Esto se refleja en las siguientes propiedades de la integral indefinida, si $f$ y $g$ son funciones continuas y $c$ es una constante [13](#page=13): * **Producto por una constante:** $$ \int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx $$ * **Integral de una suma:** $$ \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx $$ **Ejemplo:** $$ \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = 3 \int x^2 \, dx - 2 \int x \, dx + 5 \int 1 \, dx = x^3 - x^2 + 5x + k $$ donde $k$ es la constante de integración [13](#page=13). ### 4.2 Integrales inmediatas Las integrales inmediatas se obtienen directamente de las derivadas de funciones usuales. Es fundamental recordar una tabla de integrales básicas. Las siguientes fórmulas son válidas en los puntos donde las expresiones tienen sentido, e $f'(x)$ representa la derivada de $f(x)$ [14](#page=14): * $$ \int a \, dx = ax + k $$ * $$ \int f(x)^a \cdot f'(x) \, dx = \frac{f(x)^{a+1}}{a+1} + k, \quad \text{si } a \neq -1 $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln |f(x)| + k $$ * $$ \int e^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = e^{f(x)} + k $$ * $$ \int a^{f(x)} \cdot f'(x) \, dx = \frac{1}{\ln a} a^{f(x)} + k $$ * $$ \int \cos(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = \sin(f(x)) + k $$ * $$ \int \sin(f(x)) \cdot f'(x) \, dx = -\cos(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} \, dx = \tan(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{1 + f(x)^2} \, dx = \arctan(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}} \, dx = \arcsin(f(x)) + k $$ * $$ \int \frac{-f'(x)}{\sqrt{1 - f(x)^2}} \, dx = \arccos(f(x)) + k $$ **Ejemplo:** $$ \int 3 \cos^2 x \sin x \, dx = -3 \int (\cos x)^2 (-\sin x) \, dx = -\cos^3 x + k $$ Aquí, $f(x) = \cos x$ y $f'(x) = -\sin x$ [14](#page=14). **Ejemplo:** $$ \int e^x \cos(e^x) \, dx = \sin(e^x) + k $$ ya que $f(x) = e^x$, $f'(x) = e^x$ [15](#page=15). **Ejemplo:** $$ \int \frac{4x}{\sqrt{1 - 4x^4}} \, dx = \int \frac{4x}{\sqrt{1 - (2x^2)^2}} \, dx = \arcsin(2x^2) + k $$ La manipulación algebraica también puede llevar integrales a ser inmediatas. Por ejemplo: $$ \int \frac{2x}{x^2+3} \, dx = \ln |x^2+3| + k $$ ya que el numerador es la derivada del denominador [15](#page=15). **Ejemplo:** $$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + k $$ Se utiliza el valor absoluto para asegurar que el argumento del logaritmo sea positivo [15](#page=15). ### 4.3 Cambio de variable Esta técnica, derivada de la regla de la cadena, permite simplificar integrales mediante la sustitución de una parte del integrando por una nueva variable, $t$. Si hacemos $x = g(t)$, entonces $dx = g'(t) \, dt$. La integral se transforma en: $$ \int f(x) \, dx = \int f(g(t)) g'(t) \, dt $$ Es crucial deshacer el cambio de variable al final para que el resultado esté en función de $x$ [16](#page=16). > **Tip:** La clave está en elegir el cambio de variable adecuado. Una buena pista es buscar si el integrando se puede descomponer en dos partes, donde una es la derivada de la otra. **Ejemplo:** Para resolver $I = \int \frac{(-3x+2)^2+1}{2} \, dx$, proponemos el cambio $t = -3x+2$. Derivando, obtenemos $dt = -3 \, dx$, por lo que $dx = -\frac{1}{3} dt$. La integral se transforma en: $$ I = \int \frac{t^2+1}{2} \left(-\frac{1}{3}\right) dt = -\frac{1}{6} \int (t^2+1) \, dt = -\frac{1}{6} \left(\frac{t^3}{3} + t\right) + k $$ Deshaciendo el cambio: $$ I = -\frac{1}{6} \left(\frac{(-3x+2)^3}{3} + (-3x+2)\right) + k $$ Otra forma de resolverla sería haberla transformado en una integral arcotangente directamente [16](#page=16). **Ejemplo:** Resolver $I = \int \cos x \sqrt{1+\sin x} \, dx$. Observamos que $\cos x$ es la derivada de $1+\sin x$. Sea $t = 1+\sin x$, entonces $dt = \cos x \, dx$. La integral se convierte en: $$ I = \int \sqrt{t} \, dt = \int t^{1/2} \, dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} + k = \frac{2}{3} (1+\sin x)^{3/2} + k $$ [16](#page=16). Para **integrales definidas**, se puede optar por transformar también los límites de integración de acuerdo con el cambio de variable. Si $x = g(t)$ con $g$ continua y derivable en $[c, d]$, y $a=g(c)$, $b=g(d)$, entonces: $$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_c^d f(g(t)) g'(t) \, dt $$ [17](#page=17). **Ejemplo:** Calcular $I = \int_0^{\pi^2} \sin(\sqrt{x}) \, dx$. Sea $t = \sqrt{x}$, entonces $dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$, o $dx = 2\sqrt{x} dt = 2t \, dt$. Los límites cambian: si $x=0$, $t=0$; si $x=\pi^2$, $t=\pi$. $$ I = \int_0^\pi \sin(t) (2t \, dt) = 2 \int_0^\pi t \sin t \, dt $$ Esta integral se resolverá más adelante [17](#page=17). ### 4.4 Integración por partes Este método se basa en la regla de la derivada de un producto: $(uv)' = u'v + uv'$. Integrando, obtenemos la fórmula de integración por partes: $$ \int uv' \, dx = uv - \int u'v \, dx $$ [18](#page=18). > **Tip:** La clave es elegir $u$ y $v'$ de tal manera que la nueva integral $\int u'v \, dx$ sea más sencilla que la original y que sea fácil derivar $u$ y encontrar una primitiva de $v'$. **Ejemplo:** Calcular $I = \int \ln x \, dx$. Elegimos $u = \ln x$ y $v' = 1$. Entonces, $u' = \frac{1}{x}$ y $v = x$. $$ I = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + k $$ [18](#page=18). A veces, es necesario aplicar la integración por partes varias veces, lo que se conoce como **integración por partes reiterada**. **Ejemplo:** Calcular $I = \int x^2 e^x \, dx$. Aplicamos integración por partes dos veces. Primera aplicación: $u = x^2$, $v' = e^x \implies u' = 2x$, $v = e^x$. $$ I = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx $$ Segunda aplicación para $\int x e^x \, dx$: $u = x$, $v' = e^x \implies u' = 1$, $v = e^x$. $$ \int x e^x \, dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx = x e^x - e^x $$ Sustituyendo de nuevo: $$ I = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + k = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + k $$ [18](#page=18). En ocasiones, la integración por partes conduce a una ecuación donde la integral original puede despejarse. **Ejemplo:** Calcular $I = \int e^x \cos x \, dx$. Primera aplicación: $u = \cos x$, $v' = e^x \implies u' = -\sin x$, $v = e^x$. $$ I = e^x \cos x - \int (-\sin x) e^x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx $$ Segunda aplicación para $\int e^x \sin x \, dx$: $u = \sin x$, $v' = e^x \implies u' = \cos x$, $v = e^x$. $$ \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx $$ Sustituyendo en la primera ecuación: $$ I = e^x \cos x + (e^x \sin x - I) $$ $$ 2I = e^x \cos x + e^x \sin x $$ $$ I = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + k $$ [19](#page=19). La integración por partes también puede generar **fórmulas de recurrencia**. **Ejemplo:** Calcular $I_n = \int \cos^n x \, dx$. Elegimos $u = \cos^{n-1} x$ y $v' = \cos x$. Entonces $u' = -(n-1) \cos^{n-2} x \sin x$ y $v = \sin x$. $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x - \int (-(n-1) \cos^{n-2} x \sin x) \sin x \, dx $$ $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sin^2 x \, dx $$ Usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1 - \cos^2 x) \, dx $$ $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \, dx - (n-1) \int \cos^n x \, dx $$ $$ I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n $$ Despejando $I_n$: $$ n I_n = \sin x \cos^{n-1} x + (n-1) I_{n-2} $$ $$ I_n = \frac{1}{n} \sin x \cos^{n-1} x + \frac{n-1}{n} I_{n-2} $$ [20](#page=20). Para **integrales definidas**, se aplica el segundo teorema fundamental del cálculo junto con la integración por partes: $$ \int_a^b uv' \, dx = [uv]_a^b - \int_a^b u'v \, dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - \int_a^b u'v \, dx $$ [20](#page=20). **Ejemplo:** Resolviendo la integral pendiente $I = \int_0^{\pi^2} \sin(\sqrt{x}) \, dx$ (de Ejemplo 6.17) por partes. Ya habíamos obtenido $I = 2 \int_0^\pi t \sin t \, dt$. Elegimos $u = t$ y $v' = \sin t$. Entonces $u' = 1$ y $v = -\cos t$. $$ I = 2 \left( [-t \cos t]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos t) \, dt \right) $$ $$ I = 2 \left( (-\pi \cos \pi - 0) + \int_0^\pi \cos t \, dt \right) $$ $$ I = 2 \left( \pi + [\sin t]_0^\pi \right) = 2 (\pi + (\sin \pi - \sin 0)) = 2\pi $$ [20](#page=20). ### 4.5 Integración de funciones racionales Se refiere a la integración de funciones de la forma $\frac{p(x)}{q(x)}$, donde $p(x)$ y $q(x)$ son polinomios. #### 4.5.1 Descomposición en fracciones simples Si el grado de $p(x)$ es mayor o igual que el de $q(x)$, se realiza la división polinomial para obtener $P(x) + \frac{r(x)}{q(x)}$, donde el grado de $r(x)$ es menor que el de $q(x)$. El objetivo es descomponer el término racional $\frac{r(x)}{q(x)}$ en una suma de fracciones más simples [21](#page=21). La descomposición se basa en la factorización del denominador $q(x)$ en factores lineales $ (x-a_i)^{n_i} $ y factores cuadráticos irreducibles $ (x^2 + b_k x + c_k)^{m_k} $. $$ q(x) = K \prod (x-a_i)^{n_i} \prod (x^2 + b_k x + c_k)^{m_k} $$ La función racional se descompone como: $$ \frac{p(x)}{q(x)} = \sum_{i} \sum_{j=1}^{n_i} \frac{A_{i,j}}{(x-a_i)^j} + \sum_{k} \sum_{l=1}^{m_k} \frac{B_{k,l}x + C_{k,l}}{(x^2 + b_k x + c_k)^l} $$ donde $A_{i,j}$, $B_{k,l}$ y $C_{k,l}$ son constantes reales a determinar [21](#page=21). > **Tip:** Las raíces reales del denominador se identifican fácilmente para formar los primeros términos de la suma. Los factores cuadráticos irreducibles corresponden a raíces complejas o a factores no factorizables en reales. **Ejemplo:** Descomponer $\frac{2x^3 + 13x - 30}{(x+2)(x-1)^2(x^2+4)}$. Las raíces reales son $x=-2$ (multiplicidad 1) y $x=1$ (multiplicidad 2). El factor irreducible es $x^2+4$. La descomposición es: $$ \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+4} $$ Igualando numeradores y dando valores a $x$ (especialmente las raíces del denominador) permite calcular los coeficientes. Para $x=1$, se obtiene $C=-1$. Para $x=-2$, se obtiene $A=-1$. Usando otros valores como $x=0, x=-1, x=2$ y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, se obtienen los valores $B=2$, $D=-1$, $E=-1$. La descomposición queda: $$ \frac{-1}{x+2} + \frac{2}{x-1} + \frac{-1}{(x-1)^2} + \frac{-x-1}{x^2+4} $$ [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23). Las integrales de estas fracciones simples son manejables: * Integrales de la forma $ \int \frac{A}{x-a} \, dx = A \ln |x-a| + k $. * Integrales de la forma $ \int \frac{A}{(x-a)^n} \, dx = \frac{A}{-(n-1)(x-a)^{n-1}} + k $ para $n \neq 1$. * Integrales con denominador irreducible de segundo grado, como $ \int \frac{Dx+E}{x^2+b x+c} \, dx $, se resuelven separando en un logaritmo y un arcotangente. **Ejemplo:** Calcular $I = \int \frac{2x^3 + 13x - 30}{(x+2)(x-1)^2(x^2+4)} \, dx$. Usando la descomposición anterior: $$ I = \int \frac{-1}{x+2} \, dx + \int \frac{2}{x-1} \, dx + \int \frac{-1}{(x-1)^2} \, dx + \int \frac{-x-1}{x^2+4} \, dx $$ Las primeras tres son inmediatas: $$ - \ln |x+2| + 2 \ln |x-1| + \frac{1}{x-1} $$ La cuarta integral se separa: $$ \int \frac{-x}{x^2+4} \, dx - \int \frac{1}{x^2+4} \, dx = -\frac{1}{2} \ln |x^2+4| - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) $$ Sumando todas las partes: $$ I = -\ln |x+2| + 2 \ln |x-1| + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2} \ln |x^2+4| - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + k $$ Combinando logaritmos y reordenando: $$ I = \ln \frac{|x-1|^2}{|x+2|\sqrt{x^2+4}} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + k $$ [23](#page=23) [24](#page=24). #### 4.5.2 Método de Hermite Este método es particularmente útil para integrales racionales con raíces múltiples en el denominador. La idea es expresar la integral racional como la suma de una derivada de una fracción racional y una integral racional más simple: $$ \int \frac{p(x)}{q(x)} \, dx = \frac{d}{dx} \left(\frac{g(x)}{q_1(x)}\right) + \int \frac{P_1(x)}{q_1(x)} \, dx $$ donde $q_1(x)$ es el factor obtenido al dividir $q(x)$ por el máximo común divisor de $q(x)$ y $q'(x)$. $q_1(x)$ contiene las mismas raíces que $q(x)$ pero con multiplicidad uno. $g(x)$ es un polinomio con las mismas raíces que $q(x)$ pero con multiplicidad reducida en uno. La integral restante $\int \frac{P_1(x)}{q_1(x)} \, dx$ es una integral racional con denominador de raíces simples. **Ejemplo:** Calcular $I = \int \frac{1}{(x+1)(x^2+1)^2} \, dx$. El denominador es $q(x) = (x+1)(x^2+1)^2$. El método de Hermite propone la forma: $$ I = \frac{d}{dx} \left(\frac{cx+d}{x^2+1}\right) + \int \left(\frac{A}{x+1} + \frac{Mx+N}{x^2+1}\right) \, dx $$ Tras realizar la derivada, igualar coeficientes y resolver el sistema de ecuaciones resultante para $c, d, A, M, N$, se obtienen los valores. Este proceso es laborioso, pero simplifica la integral final. [25](#page=25) [26](#page=26). ### 4.6 Integración de expresiones trigonométricas Muchas integrales que involucran funciones trigonométricas pueden transformarse en integrales racionales mediante el cambio de variable $t = \tan(\frac{x}{2})$. Con este cambio: * $dx = \frac{2 \, dt}{1+t^2}$ * $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ * $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ [27](#page=27). **Ejemplo:** Calcular $I = \int \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx$. Aplicando el cambio $t = \tan(\frac{x}{2})$: $$ I = \int \frac{1}{1 + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2} \cdot \frac{2 \, dt}{1+t^2} = \int \frac{1}{\frac{(1+t^2)^2 + (2t)^2}{(1+t^2)^2}} \cdot \frac{2 \, dt}{1+t^2} $$ $$ I = \int \frac{(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2 + 4t^2} \cdot \frac{2 \, dt}{1+t^2} = \int \frac{2(1+t^2)}{1+2t^2+t^4+4t^2} \, dt = \int \frac{2(1+t^2)}{1+6t^2+t^4} \, dt $$ Esta integral racional puede resolverse. Si se utiliza el cambio $t=\tan x$ en lugar de $t=\tan(x/2)$, la integral se simplifica: $$ I = \int \frac{1}{1+\sin^2 x} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x + \sin^2 x + \sin^2 x} \, dx = \int \frac{1}{\cos^2 x + 2\sin^2 x} \, dx $$ Dividiendo numerador y denominador por $\cos^2 x$: $$ I = \int \frac{\sec^2 x}{1 + 2\tan^2 x} \, dx $$ Sea $u = \tan x$, $du = \sec^2 x \, dx$. $$ I = \int \frac{1}{1 + 2u^2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{1}{2} + u^2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + u^2} \, du $$ $$ I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{u}{1/\sqrt{2}}\right) + k = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan(\sqrt{2} u) + k = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\sqrt{2} \tan x) + k $$ [27](#page=27). Cuando el integrando tiene la forma $\sin^m x \cos^n x$, se recurre a identidades trigonométricas para simplificar la integral. * Si $n$ y $m$ son pares: * $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ * $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ **Ejemplo:** Calcular $I = \int \cos^2 x \sin^2 x \, dx$. $$ I = \int \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right) \, dx = \int \frac{1 - \cos^2(2x)}{4} \, dx $$ Usando de nuevo la identidad para $\cos^2$: $$ I = \frac{1}{4} \int \left(1 - \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) \, dx = \frac{1}{4} \int \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos(4x)}{2}\right) \, dx $$ $$ I = \frac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx = \frac{1}{8} \left(x - \frac{1}{4} \sin(4x)\right) + k = \frac{x}{8} - \frac{1}{32} \sin(4x) + k $$ [28](#page=28). --- # Integración numérica y aproximaciones Este tema aborda la necesidad de aproximar el valor de integrales definidas cuando su cálculo analítico es imposible o cuando solo se conocen los valores de la función en puntos discretos [29](#page=29) [30](#page=30). ### 5.1 Motivación y principios generales La integración numérica se vuelve esencial porque no siempre es posible encontrar una primitiva de una función para aplicar la Regla de Barrow. Además, en escenarios prácticos, a menudo solo se dispone de valores de la función en puntos específicos dentro del intervalo de integración. Los métodos de integración numérica se basan en la idea de que la integral definida de una función sobre un intervalo representa el área bajo su curva. La estrategia general implica dividir el intervalo de integración en subintervalos más pequeños y aplicar fórmulas de aproximación del área en cada uno de ellos, sumando luego los resultados [29](#page=29) [30](#page=30). > **Tip:** Es recomendable representar gráficamente el significado de la integración numérica para una mejor comprensión. Para minimizar errores de cálculo, se aconseja el uso de hojas de cálculo o software de cálculo simbólico [29](#page=29). ### 5.2 Métodos elementales de aproximación Los métodos elementales de integración numérica aproximan la función por polinomios sencillos cuyos valores se conocen en puntos específicos. #### 5.2.1 Fórmulas de los rectángulos Las fórmulas de los rectángulos aproximan la integral utilizando el área de rectángulos [30](#page=30). * **Fórmula del rectángulo izquierdo:** Se aproxima la integral por el área de un rectángulo con base `(b-a)` y altura `f(a)` [30](#page=30). $$ \int_a^b f(x) dx \approx f(a)(b-a) $$ * **Fórmula del rectángulo derecho:** Se aproxima la integral por el área de un rectángulo con base `(b-a)` y altura `f(b)` [30](#page=30). $$ \int_a^b f(x) dx \approx f(b)(b-a) $$ * **Fórmula del rectángulo central:** Se aproxima la integral por el área de un rectángulo con base `(b-a)` y altura `f((a+b)/2)` [30](#page=30). $$ \int_a^b f(x) dx \approx f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a) $$ > **Example:** Para la función $f(x) = x^3 - 3.3x^2 + 3x$ en el intervalo [1, 2.5, la fórmula del rectángulo izquierdo da una aproximación de 1.05, la del derecho de 3.75, y la central de 0.75 [31](#page=31). #### 5.2.2 Fórmulas compuestas de los rectángulos Para reducir el error, el intervalo `[a, b]` se divide en `n` subintervalos iguales de longitud `h = (b-a)/n`. Las fórmulas compuestas aplican el método del rectángulo en cada subintervalo y suman los resultados [32](#page=32). * **Fórmula compuesta del rectángulo izquierdo:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) $$ donde $x_k = a + kh$. * **Fórmula compuesta del rectángulo derecho:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) $$ donde $x_k = a + kh$. * **Fórmula compuesta del rectángulo central:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_k + \frac{h}{2}\right) $$ donde $x_k = a + kh$. > **Example:** Aplicando las fórmulas compuestas de los rectángulos a la integral del Ejemplo 6.29 con tres subintervalos: el izquierdo aproxima la integral a 0.975, el derecho a 1.875, y el central a 1.242 [32](#page=32). #### 5.2.3 Fórmula del trapecio La fórmula del trapecio aproxima la función mediante un polinomio de grado uno (una recta) que une dos puntos consecutivos, y luego integra esta recta [32](#page=32). * **Fórmula del trapecio:** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{f(a) + f(b)}{2} (b-a) $$ Geométricamente, esto corresponde al área de un trapecio con bases $f(a)$ y $f(b)$ y altura $(b-a)$ [33](#page=33). > **Example:** Para la integral del Ejemplo 6.29, la fórmula del trapecio da una aproximación de 2.4 [33](#page=33). #### 5.2.4 Fórmula compuesta del trapecio Similar a las fórmulas compuestas de los rectángulos, el intervalo `[a, b]` se divide en `n` subintervalos iguales. Se aplica la fórmula del trapecio en cada subintervalo y se suman los resultados [33](#page=33). $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} (f_0 + 2f_1 + 2f_2 + \dots + 2f_{n-1} + f_n) $$ donde $h = (b-a)/n$ y $f_k = f(x_k)$ con $x_k = a + kh$. > **Tip:** La fórmula compuesta del trapecio se puede recordar como: $\frac{h}{2} (\text{Extremos} + 2 \times \text{Centrales})$. > **Example:** Aplicando la fórmula compuesta del trapecio con dos subintervalos a la integral del Ejemplo 6.29, se obtiene una aproximación de 1.577 [33](#page=33). #### 5.2.5 Fórmula de Simpson La fórmula de Simpson aproxima la función mediante un polinomio de grado dos (una parábola) que pasa por tres puntos: los extremos del subintervalo y el punto medio [33](#page=33). * **Fórmula de Simpson (para un solo intervalo de la forma `[a, b]` con un punto medio `(a+b)/2`):** $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)}{6} (b-a) $$ #### 5.2.6 Regla de Simpson compuesta Para la regla de Simpson compuesta, el intervalo `[a, b]` se divide en `n` subintervalos, lo que requiere que el número total de puntos sea `2n` (incluyendo los extremos y los puntos medios de cada subintervalo) [34](#page=34). $$ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{6} (f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + \dots + 2f_{2n-2} + 4f_{2n-1} + f_{2n}) $$ donde $h = (b-a)/n$ y $f_k = f(x_k)$ con $x_k = a + kh$. > **Tip:** La regla de Simpson compuesta se puede recordar como: $\frac{h}{6} (\text{Extremos} + 2 \times \text{Pares} + 4 \times \text{Impares})$. > **Example:** Para una tabla de valores dada, la fórmula de Simpson simple aproxima la integral I a 1.23. Utilizando la fórmula compuesta de Simpson en tres subintervalos, la aproximación es 1.2333 [34](#page=34). ### 5.3 Estimaciones del error La estimación del error es crucial en métodos numéricos para evaluar la precisión de las aproximaciones [35](#page=35). #### 5.3.1 Error de la fórmula compuesta del trapecio Si se utiliza la fórmula compuesta del trapecio con `m` subintervalos, el error absoluto `$\epsilon$` satisface la siguiente cota [35](#page=35): $$ |\epsilon| \le \frac{(b-a)^3}{12m^2} M_2 $$ donde $M_2$ es una cota superior del valor absoluto de la segunda derivada de $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$, es decir, $|f''(x)| \le M_2$ para todo $x \in [a, b]$. > **Example:** Al aproximar la integral $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ con 10 y 20 subintervalos, y sabiendo que $|f''(x)| \le 2$ en $ $, los errores máximos estimados son $\epsilon_{10} \le 1/600$ y $\epsilon_{20} \le 1/2400$ [1](#page=1) [35](#page=35) [36](#page=36). #### 5.3.2 Error de la regla de Simpson compuesta Si se utiliza la regla de Simpson compuesta con `m` subintervalos, el error absoluto `$\epsilon$` satisface la siguiente cota [36](#page=36): $$ |\epsilon| \le \frac{(b-a)^5}{2880m^4} M_4 $$ donde $M_4$ es una cota superior del valor absoluto de la cuarta derivada de $f(x)$ en el intervalo $[a, b]$, es decir, $|f^{ }(x)| \le M_4$ para todo $x \in [a, b]$ [4](#page=4). > **Example:** Para aproximar $\int_0^2 f(x) dx$ con $|f^{ }(x)| \le 50$ y un error absoluto deseado menor que 0.0001, se necesita dividir el intervalo en al menos nueve subintervalos [36](#page=36) [4](#page=4). --- # Integrales impropias y paso al límite en integración Este tema explora cómo extender el concepto de integración a intervalos no acotados o funciones no acotadas, analizando su convergencia y divergencia, y estableciendo condiciones para intercambiar el orden del límite y la integral en sucesiones de funciones. ### 6.1 Integrales impropias Las integrales impropias surgen cuando el intervalo de integración no está acotado o la función a integrar no está acotada en dicho intervalo. Su cálculo se basa en la noción de límite [37](#page=37) [38](#page=38). #### 6.1.1 Integrales impropias de primera especie Estas integrales involucran intervalos de integración no acotados [38](#page=38). * **Definición:** Si $f : [a, \infty) \to \mathbb{R}$ es una función continua, la integral impropia de primera especie en $[a, \infty)$ se define como: $$ \int_{a}^{\infty} f(x) dx = \lim_{M \to \infty} \int_{a}^{M} f(x) dx $$ Si el límite existe y es un número real, la integral es **convergente**; de lo contrario, es **divergente** [38](#page=38). * **Extensión a otros intervalos:** La definición se extiende a intervalos $(-\infty, b]$ y $\mathbb{R}$: $$ \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{M \to -\infty} \int_{M}^{b} f(x) dx $$ $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{\infty} f(x) dx $$ para un número real $c$. La integral en $\mathbb{R}$ es convergente si ambas integrales son convergentes [40](#page=40). * **Ejemplos:** * Estudio de $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx$: $$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{M \to \infty} \int_{1}^{M} \frac{1}{x} dx = \lim_{M \to \infty} [\ln x]_{1}^{M} = \lim_{M \to \infty} (\ln M - \ln 1) = \infty $$ La integral es divergente [39](#page=39). * Estudio de $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ para $p \in \mathbb{R}$: * Si $p=1$, diverge (como se vio anteriormente) [39](#page=39). * Si $p \neq 1$: $$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \lim_{M \to \infty} \int_{1}^{M} x^{-p} dx = \lim_{M \to \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{M} = \lim_{M \to \infty} \frac{1}{1-p} (M^{1-p} - 1) $$ * Si $1-p > 0$ (es decir, $p < 1$), el límite es $\infty$, por lo que la integral diverge [39](#page=39). * Si $1-p < 0$ (es decir, $p > 1$), el límite es $-\frac{1}{1-p} = \frac{1}{p-1}$, por lo que la integral converge [39](#page=39). * Estudio de $\int_{0}^{\infty} e^{-kx} dx$: * Si $k=0$, la integral $\int_{0}^{\infty} 1 dx$ es divergente [39](#page=39). * Si $k \neq 0$: $$ \int_{0}^{\infty} e^{-kx} dx = \lim_{M \to \infty} \int_{0}^{M} e^{-kx} dx = \lim_{M \to \infty} \left[ -\frac{1}{k} e^{-kx} \right]_{0}^{M} = \lim_{M \to \infty} -\frac{1}{k} (e^{-kM} - 1) $$ * Si $k > 0$, $\lim_{M \to \infty} e^{-kM} = 0$, por lo que el límite es $\frac{1}{k}$, y la integral converge [40](#page=40). * Si $k < 0$, $\lim_{M \to \infty} e^{-kM} = \infty$, por lo que la integral diverge [40](#page=40). * Estudio de $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$: $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx $$ $$ = \lim_{N \to -\infty} \int_{N}^{0} \frac{1}{1+x^2} dx + \lim_{M \to \infty} \int_{0}^{M} \frac{1}{1+x^2} dx $$ $$ = \lim_{N \to -\infty} [\arctan x]_{N}^{0} + \lim_{M \to \infty} [\arctan x]_{0}^{M} = \lim_{N \to -\infty} (0 - \arctan N) + \lim_{M \to \infty} (\arctan M - 0) $$ $$ = 0 - (-\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi $$ La integral es convergente [40](#page=40). * **Condición necesaria para convergencia:** Si $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ converge, entonces $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, siempre que el límite exista [40](#page=40). #### 6.1.2 Integrales impropias de segunda especie Estas integrales involucran funciones no acotadas en un intervalo acotado [40](#page=40) [41](#page=41). * **Definición:** Si $f : (a, b \to \mathbb{R}$ es una función continua y no acotada en $(a, b]$, la integral impropia de segunda especie es: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{c \to a^{+}} \int_{c}^{b} f(x) dx $$ Si el límite es un número real, la integral es **convergente**; de lo contrario, es **divergente** [41](#page=41). De forma análoga, si $f : [a, b) \to \mathbb{R}$ es continua y no acotada en $[a, b)$, se define como: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{c \to b^{-}} \int_{a}^{c} f(x) dx $$ * **Integrales con asíntota vertical:** Si una función $f: (a, b \to \mathbb{R}$ tiene una asíntota vertical en $x=c$, donde $c \in [a, b]$, la integral se divide en dos integrales de segunda especie [42](#page=42). * **Ejemplos:** * Estudio de $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx$ para $p \in \mathbb{R}$: * Para $c \in (0, 1]$ y $p \neq 1$: $$ \int_{c}^{1} \frac{1}{x^p} dx = \int_{c}^{1} x^{-p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{c}^{1} = \frac{1 - c^{1-p}}{1-p} $$ * Si $1-p > 0$ (es decir, $p < 1$), $\lim_{c \to 0^{+}} c^{1-p} = 0$. El límite es $\frac{1}{1-p}$, por lo que la integral converge [41](#page=41). * Si $1-p < 0$ (es decir, $p > 1$), $\lim_{c \to 0^{+}} c^{1-p} = \infty$. El límite es $\infty$, por lo que la integral diverge [41](#page=41). * Si $p=1$: $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{c \to 0^{+}} \int_{c}^{1} \frac{1}{x} dx = \lim_{c \to 0^{+}} [\ln x]_{c}^{1} = \lim_{c \to 0^{+}} (\ln 1 - \ln c) = \lim_{c \to 0^{+}} (-\ln c) = \infty $$ La integral diverge [41](#page=41). * Estudio de $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx$: La función $\frac{1}{x^2}$ tiene una asíntota vertical en $x=0$. Se divide en dos integrales impropias de segunda especie: $$ \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx $$ Ambas integrales son divergentes: $$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{c \to 0^{+}} \int_{c}^{1} x^{-2} dx = \lim_{c \to 0^{+}} \left[ -x^{-1} \right]_{c}^{1} = \lim_{c \to 0^{+}} (-1 - (-\frac{1}{c})) = \lim_{c \to 0^{+}} (\frac{1}{c} - 1) = \infty $$ $$ \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{c \to 0^{-}} \int_{-1}^{c} x^{-2} dx = \lim_{c \to 0^{-}} \left[ -x^{-1} \right]_{-1}^{c} = \lim_{c \to 0^{-}} (-\frac{1}{c} - (-\frac{1}{-1})) = \lim_{c \to 0^{-}} (-\frac{1}{c} - 1) = \infty $$ Por lo tanto, la integral $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ es divergente [42](#page=42). #### 6.1.3 Integrales de tercera especie Son aquellas donde el intervalo de integración es no acotado y la función a integrar no está acotada simultáneamente. Se resuelven dividiéndolas en la suma de una integral de primera especie y una de segunda especie [41](#page=41). ### 6.2 Criterios de convergencia y divergencia Evaluar integrales impropias puede ser complejo, por lo que se utilizan criterios de comparación con integrales conocidas. #### 6.2.1 Criterio de comparación (primera especie) Sean $f(x) \ge 0$ y $g(x) \ge 0$ funciones continuas para $x \in [a, \infty)$. * Si $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ converge, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ también converge [43](#page=43). * Si $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ también diverge [43](#page=43). * **Ejemplo:** Estudiar la convergencia de $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}} dx$. Para $x \ge 1$, tenemos: $$ 0 \le \frac{1}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}} \le \frac{1}{\sqrt{x^4}} = \frac{1}{x^2} $$ Como $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$ converge (p=2 > 1) por el criterio de comparación, $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^4 + x^2 + 1}} dx$ también converge [39](#page=39) [43](#page=43). Este criterio tiene un equivalente para integrales de segunda especie [43](#page=43). #### 6.2.2 Criterio de comparación mediante límite Sean $f(x) \ge 0$ y $g(x) > 0$ funciones continuas para $x \in [a, \infty)$. Sea $L = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$. * Si $L \in (0, \infty)$, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ y $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ son ambas convergentes o ambas divergentes [44](#page=44). * Si $L = 0$ y $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ converge, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ converge [44](#page=44). * Si $L = \infty$ y $\int_{a}^{\infty} g(x) dx$ diverge, entonces $\int_{a}^{\infty} f(x) dx$ diverge [44](#page=44). * **Ejemplo:** Estudiar la convergencia de $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x + 1} dx$. Sabemos que $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ converge (k=1 > 0) [40](#page=40). Consideremos el límite: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^x + 1}}{e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{e^x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{-x}} = 1 $$ Como el límite es $1 \in (0, \infty)$ y $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ converge, la integral $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x + 1} dx$ también converge [44](#page=44). Este criterio también se puede extender a integrales de segunda especie [44](#page=44). ### 6.3 Sucesiones funcionales e integrabilidad La relación entre límite e integral en sucesiones de funciones se establece mediante el concepto de convergencia uniforme. #### 6.3.1 Proposición sobre convergencia uniforme e integrabilidad Sea $\{f_n\}$ una sucesión de funciones que converge uniformemente a la función $f$ en $[a, b]$. Si las funciones $f_n$ son continuas en $[a, b]$, entonces se puede intercambiar el límite y la integral: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx $$ * **Ejemplo:** Sea $f_n(x) = \frac{2n \cos x + \sin(2nx)}{n}$ en $[0, \pi]$. * Convergencia puntual: $$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 2 \cos x + \frac{\sin(2nx)}{n} \right) $$ Como $0 \le \sin(2nx) \le 1$, $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin(2nx)}{n} = 0$. Por lo tanto, $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x) = 2 \cos x$ [45](#page=45). * Convergencia uniforme: $$ |f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{2n \cos x + \sin(2nx)}{n} - 2 \cos x \right| = \left| 2 \cos x + \frac{\sin(2nx)}{n} - 2 \cos x \right| = \left| \frac{\sin(2nx)}{n} \right| \le \frac{1}{n} $$ Entonces, $\sup_{x \in [0, \pi]} |f_n(x) - f(x)| \le \frac{1}{n}$. Dado que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, la convergencia es uniforme [45](#page=45). * Cálculo de la integral del límite: Como la convergencia es uniforme y las $f_n$ son continuas, podemos intercambiar el límite y la integral: $$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\pi} f_n(x) dx = \int_{0}^{\pi} f(x) dx = \int_{0}^{\pi} 2 \cos x dx = [2 \sin x]_{0}^{\pi} = 2 \sin \pi - 2 \sin 0 = 0 - 0 = 0 $$ #### 6.3.2 Integración término a término de series Si una función $f(x)$ se representa como una serie de potencias en $(-c, c)$, $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, entonces su integral también puede calcularse término a término: $$ \int f(x) dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int a_n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^{n+1}}{n+1} + k $$ donde $k \in \mathbb{R}$ es la constante de integración [46](#page=46). * **Ejemplo:** Calcular una primitiva de $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ en $(-1, 1)$. $$ \int f(x) dx = \int \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n \right) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int (-1)^n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + k $$ --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Integral de Riemann | Es una forma de definir formalmente la integral definida de una función continua como el límite de una suma ponderada de los valores de la función en puntos de una partición del intervalo de integración, donde la finura de la partición tiende a cero. | | Integral definida | Representa el área neta (o volumen neto) bajo una curva entre dos puntos específicos en el eje horizontal. Se calcula como el límite de las sumas de Riemann. | | Integral indefinida | Se refiere al conjunto de todas las primitivas de una función dada. Es la operación inversa de la derivación y se denota usualmente con la constante de integración 'k'. | | Primitiva | Una función $F(x)$ es una primitiva de otra función $f(x)$ si la derivada de $F(x)$ es igual a $f(x)$ en todo el intervalo considerado, es decir, $F'(x) = f(x)$. | | Suma de Riemann | Es la suma de las áreas de rectángulos que aproximan la región bajo la curva de una función. Se calcula como $\sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i$, donde $c_i$ es un punto en el subintervalo y $\Delta x_i$ es la longitud del subintervalo. | | Teorema fundamental del Cálculo | Un conjunto de dos teoremas que establecen la relación fundamental entre la derivación y la integración, permitiendo calcular integrales definidas evaluando una primitiva en los límites de integración. | | Regla de Barrow | También conocida como el segundo teorema fundamental del Cálculo, establece que la integral definida de una función $f(x)$ desde $a$ hasta $b$ es igual a $F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$. | | Cambio de variable | Una técnica de integración que sustituye la variable de integración por una nueva variable, a menudo para simplificar la integral o transformarla en una forma conocida, utilizando la regla de la cadena de la derivación. | | Integración por partes | Una técnica de integración que deriva de la regla del producto de la derivación, permitiendo integrar el producto de dos funciones mediante la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. | | Fracciones simples | Término utilizado en la descomposición de funciones racionales, donde un cociente de polinomios se expresa como una suma de fracciones con denominadores que son potencias de factores lineales o cuadráticos irreducibles del denominador original. | | Integración numérica | Métodos para aproximar el valor de una integral definida cuando no es posible calcularla analíticamente o cuando solo se conocen valores discretos de la función. | | Fórmulas de los rectángulos | Métodos de integración numérica que aproximan la integral mediante el área de rectángulos. Las fórmulas izquierda, derecha y central utilizan la altura de los rectángulos en los extremos o en el punto medio de cada subintervalo. | | Fórmula del trapecio | Un método de integración numérica que aproxima la integral mediante el área de trapecios formados por conectar puntos adyacentes de la función con líneas rectas. | | Fórmula de Simpson | Un método de integración numérica que aproxima la integral utilizando polinomios de grado dos (parábolas) para interpolar puntos de la función, ofreciendo generalmente una mayor precisión que los métodos anteriores. | | Integrales impropias | Integrales definidas donde el intervalo de integración es infinito o la función a integrar es no acotada en algún punto del intervalo. Se definen como límites de integrales definidas ordinarias. | | Convergencia de una integral | Una integral impropia se dice que es convergente si el límite que la define existe y es un número real finito. | | Divergencia de una integral | Una integral impropia se dice que es divergente si el límite que la define no existe o es infinito. | | Sucesión funcional | Una colección de funciones, indexadas por un número natural, que puede converger a otra función (puntual o uniformemente) bajo ciertas condiciones. | | Convergencia uniforme | Un tipo de convergencia de sucesiones funcionales donde la distancia máxima entre la función de la sucesión y la función límite es uniformemente pequeña en todo el intervalo. |