Slides6_PG_WInstMax.pdf

# Inleiding tot winstmaximering Dit gedeelte introduceert het concept van winstmaximalisatie door de nadruk te leggen op het maximaliseren van totale ontvangsten en het minimaliseren van totale kosten, met een focus op de relatie tussen prijs, vraag, marginale ontvangsten en marginale kosten [3](#page=3). ### 1.1 Winst, Totale Ontvangsten en Kosten Winst ($W$) wordt gedefinieerd als het verschil tussen totale ontvangsten ($TO$) en totale kosten ($TK$) [3](#page=3): $$W = TO - TK$$ Totale ontvangsten ($TO$) zijn het product van de prijs ($p$) en de output ($y$) [4](#page=4): $$TO = p \cdot y$$ ### 1.2 De Prijs-Afzet-Curve en Vraag * **Perfecte Concurrentie:** In een markt met perfecte concurrentie is de prijs ($p$) exogeen voor de producent [4](#page=4). * **Andere Marktbentuken:** In andere marktvormen hangt de prijs af van de output, wat wordt weergegeven door de prijs-afzet-curve ($p(y)$) [4](#page=4). * **Bedrijfsspecifieke Vraag:** De inverse van de prijs-afzet-curve toont het verband tussen de gevraagde prijs en de af te zetten output, genoteerd als $y(p)$. Dit vertegenwoordigt de vraag naar het specifieke product van de producent [4](#page=4). ### 1.3 Prijselasticiteit van de Vraag De prijselasticiteit van de vraag naar het product van een bedrijf ($\varepsilon_p^y$) meet de procentuele verandering in de gevraagde hoeveelheid als gevolg van een procentuele verandering in de prijs [5](#page=5): $$\varepsilon_p^y = \frac{\partial y(p)}{\partial p} \cdot \frac{p}{y}$$ Een negatievere waarde van $\varepsilon_p^y$ duidt op een kleinere marktmacht van het bedrijf [5](#page=5). ### 1.4 Gemiddelde en Marginale Ontvangsten * **Totale Ontvangsten als Functie van Output:** Wanneer de prijs afhangt van de output, worden totale ontvangsten een functie van de output: $TO(y) = p(y) \cdot y$ [5](#page=5). * **Gemiddelde Ontvangsten (GO):** De gemiddelde ontvangsten zijn gelijk aan de prijs: $GO(y) = \frac{TO(y)}{y} = p(y)$ [5](#page=5). * **Marginale Ontvangsten (MO):** De marginale ontvangsten zijn de verandering in totale ontvangsten als gevolg van een eenheidsverandering in output [5](#page=5): $$MO(y) = \frac{\partial TO(y)}{\partial y} = \frac{\partial p(y)}{\partial y} y + p(y)$$ ### 1.5 De Formule van Amoroso-Robinson Deze formule legt een verband tussen de prijs ($p(y)$), de marginale ontvangsten ($MO(y)$) en de prijselasticiteit van de vraag ($\varepsilon_p^y$) ] [6](#page=6): $$MO(y) = p(y) \left(1 + \frac{1}{\varepsilon_p^y}\right)$$ **Gevolgtrekking:** Aangezien de prijselasticiteit van de vraag ($\varepsilon_p^y$) kleiner of gelijk is aan nul, geldt dat $MO(y) \le GO(y)$. De marginale ontvangsten zijn gelijk aan de gemiddelde ontvangsten (en dus de prijs) alleen wanneer de vraag perfect elastisch is ($\varepsilon_p^y = -\infty$) [6](#page=6). ### 1.6 Totale Kosten en Winstmaximalisatie Elk outputniveau kan worden geproduceerd met een minimale combinatie van productiefactoren, wat leidt tot een totale kostencurve ($TK(y)$) . Het winstmaximalisatieprobleem voor de producent is dan [7](#page=7): $$ \underset{y}{\text{Max}} W(y) = TO(y) - TK(y) $$ #### 1.6.1 Eerste Orde Voorwaarde (EOV) De eerste orde voorwaarde voor winstmaximalisatie is dat de afgeleide van de winstfunctie naar output nul is [8](#page=8): $$ \frac{\partial W(y)}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial TO(y)}{\partial y} - \frac{\partial TK(y)}{\partial y} = 0 \implies MO(y) = MK(y) $$ Dit betekent dat winst gemaximaliseerd wordt wanneer de marginale ontvangsten gelijk zijn aan de marginale kosten ($MK$). #### 1.6.2 Tweede Orde Voorwaarde (TOV) De tweede orde voorwaarde zorgt ervoor dat het gevonden punt een maximum is, en niet een minimum [8](#page=8): $$ \frac{\partial^2 W(y)}{(\partial y)^2} \le 0 \implies \frac{\partial^2 TO(y)}{(\partial y)^2} \le \frac{\partial^2 TK(y)}{(\partial y)^2} \implies \frac{\partial MO(y)}{\partial y} \le \frac{\partial MK(y)}{\partial y} $$ Dit impliceert dat in het optimum, de helling van de marginale kostencurve groter moet zijn dan of gelijk aan de helling van de marginale ontvangsten-curve [8](#page=8). ### 1.7 Het Theorema van Cournot Dit theorema legt een verband tussen de prijs ($p$), de marginale kost ($MK(y^*)$) en de marktmacht van de producent, gemeten aan de hand van de prijselasticiteit van de vraag ($\varepsilon_p^y(y^*)$) bij de winstmaximerende output ($y^*$) [9](#page=9): $$ p - MK(y^*) = - \frac{p}{\varepsilon_p^y(y^*)} $$ **Bewijs:** Uit de formule van Amoroso-Robinson weten we dat $MO(y) = p \left(1 + \frac{1}{\varepsilon_p^y}\right)$. Voor de winstmaximerende output $y^*$ geldt $MO(y^*) = MK(y^*)$ [10](#page=10) [11](#page=11): $$ p \left(1 + \frac{1}{\varepsilon_p^y(y^*)}\right) = MK(y^*) $$ $$ p + \frac{p}{\varepsilon_p^y(y^*)} = MK(y^*) $$ $$ p - MK(y^*) = - \frac{p}{\varepsilon_p^y(y^*)} $$ ### 1.8 Implicaties van het Theorema van Cournot 1. **Winstmaximerende output bevindt zich in het elastische deel van de vraagcurve:** De winstmaximerende output ($y^*$) treedt op waar de bedrijfsspecifieke vraagcurve elastisch is ($\varepsilon_p^y(y^*) < -1$). Als de vraag inelastisch zou zijn ($-1 \le \varepsilon_p^y(y^*) \le 0$), zou dit leiden tot negatieve marginale kosten, wat economisch onmogelijk is [12](#page=12) [13](#page=13). 2. **Prijs is hoger dan marginale kost:** In het winstmaximerende punt is de prijs ($p$) groter dan de marginale kost ($MK(y^*)$) omdat $\varepsilon_p^y(y^*) < -1$ [12](#page=12) [14](#page=14). 3. **Perfecte elasticiteit leidt tot p = MK:** Als de vraagcurve perfect elastisch is ($\varepsilon_p^y(y^*) = -\infty$), wat het geval is bij perfecte concurrentie ($p = \bar{p}$), dan is de prijs gelijk aan de marginale kost [12](#page=12) [15](#page=15). 4. **Winstmaximerende hoeveelheid is kleiner dan omzetmaximerende hoeveelheid:** De winstmaximerende output is kleiner dan de output die de totale ontvangsten maximaliseert. Dit komt doordat bij winstmaximalisatie de marginale ontvangsten positief zijn ($MO(y^*) > 0$), wat aangeeft dat de totale ontvangsten nog steeds stijgen bij $y^*$ [12](#page=12) [16](#page=16). ### 1.9 Mark-up De mark-up, ook wel premie of opslag genoemd, is het verschil tussen de prijs en de marginale kost [17](#page=17): $$ p - MK(y^*) = - \frac{p}{\varepsilon_p^y(y^*)} $$ De mark-up is afhankelijk van de prijsgevoeligheid van de consument; een negatievere prijselasticiteit betekent meer marktmacht en een hogere mark-up [17](#page=17). ### 1.10 Flexibiliteit De flexibiliteit is de reciproque van de prijselasticiteit van de vraag ($\varepsilon_p^y$) [18](#page=18): $$ \varepsilon_p^y = \frac{\partial p(y)}{\partial y} \cdot \frac{y}{p} $$ Een grotere absolute waarde van de flexibiliteit impliceert meer marktmacht voor de producent. Het theorema van Cournot kan ook worden uitgedrukt in termen van flexibiliteit [18](#page=18): $$ p - MK(y^*) = -p \cdot \varepsilon_p^y(y^*) $$ $$ \frac{p - MK(y^*)}{p} = -\varepsilon_p^y(y^*) $$ --- # Specificatie van de prijs-afzet-curve De prijs-afzet-curve is cruciaal omdat deze bepaalt hoe de totale ontvangsten (TO) verlopen en daarmee de marktmacht van een onderneming. Dit deel van de studie behandelt twee veelvoorkomende specificaties van de prijs-afzet-curve: de horizontale curve, kenmerkend voor volkomen concurrentie, en de lineair dalende curve, die voorkomt bij imperfecte concurrentie [19](#page=19) [20](#page=20). ### 2.1 De horizontale prijs-afzet-curve (Volkomen Concurrentie) Een horizontale prijs-afzet-curve wordt gekenmerkt door een constante prijs per eenheid product, onafhankelijk van de verkochte hoeveelheid. Deze situatie wordt wiskundig uitgedrukt als $p(y) = \bar{p}$, waarbij $\bar{p}$ de constante marktprijs is [19](#page=19) [20](#page=20). #### 2.1.1 Kenmerken en implicaties * **Prijselasticiteit van de vraag:** Bij een horizontale prijs-afzet-curve is de prijselasticiteit van de vraag gelijk aan nul ($\epsilon_p^y = 0$). Dit betekent dat elke verandering in de verkochte hoeveelheid ($ \Delta y $) geen effect heeft op de prijs ($ \partial p / \partial y = 0 $) [21](#page=21). * **Marktmacht:** Ondernemingen die opereren onder een horizontale prijs-afzet-curve hebben geen marktmacht. Zij kunnen de prijs niet beïnvloeden door hun afzet te veranderen. Als een individuele producent een kleine prijsverhoging doorvoert, valt de vraag naar zijn product volledig weg ($\epsilon_p^y = -\infty$) [20](#page=20) [21](#page=21). * **Marktvorm:** Deze specificatie van de prijs-afzet-curve is kenmerkend voor de marktvorm van volkomen concurrentie [20](#page=20). #### 2.1.2 Ontvangsten bij een horizontale curve Voor een horizontale prijs-afzet-curve gelden de volgende relaties voor de ontvangsten: * **Totale Ontvangsten (TO):** $TO(y) = \bar{p} y$. Dit is een rechte lijn door de oorsprong met een rico gelijk aan $\bar{p}$ [22](#page=22). * **Gemiddelde Ontvangsten (GO):** $GO(y) = \bar{p}$. De gemiddelde ontvangsten zijn gelijk aan de prijs [22](#page=22). * **Marginale Ontvangsten (MO):** $MO(y) = \bar{p}$. De marginale ontvangsten zijn eveneens gelijk aan de prijs [22](#page=22). Grafisch wordt dit weergegeven door de GO en MO die samenvallen met een horizontale rechte op het niveau van $\bar{p}$ [22](#page=22) [23](#page=23). > **Tip:** Bij volkomen concurrentie is het cruciaal om te onthouden dat de individuele producent een "prijsnemer" is. Hij accepteert de marktprijs en kan deze niet zelf beïnvloeden. ### 2.2 De lineair dalende prijs-afzet-curve (Imperfecte Concurrentie) Een lineair dalende prijs-afzet-curve geeft aan dat de prijs die een onderneming kan vragen, afneemt naarmate de verkochte hoeveelheid toeneemt. Deze relatie kan worden uitgedrukt als $p(y) = a - by$, met $a > 0$ (de maximale prijs die gevraagd kan worden bij een afzet van nul) en $b > 0$ (de mate waarin de prijs daalt bij een toename van de afzet) [19](#page=19) [20](#page=20). #### 2.2.1 Kenmerken en implicaties * **Prijselasticiteit van de vraag:** De prijselasticiteit van de vraag voor een lineair dalende prijs-afzet-curve is $\epsilon_p^y = -\frac{by}{p} = -\frac{by}{a - by}$. Dit betekent dat een kleine prijsverhoging niet noodzakelijk leidt tot een wegvallen van de vraag; de vraag daalt wel, maar blijft positief zolang de prijs niet te hoog oploopt. De relatie tussen de prijselasticiteit en de marginale ontvangsten is belangrijk: de Amoroso-Robinson-relatie stelt dat $MO(y) = 0$ wanneer $\epsilon_p^y = -1$. Dit is het punt waar de totale ontvangsten maximaal zijn [21](#page=21) [24](#page=24). * **Marktmacht:** Ondernemingen die opereren onder een lineair dalende prijs-afzet-curve hebben marktmacht. Zij kunnen de prijs beïnvloeden door de hoeveelheid die zij aanbieden te veranderen [20](#page=20). * **Marktvorm:** Deze specificatie is representatief voor marktvormen zoals monopolie, oligopolie, en andere vormen van imperfecte concurrentie [20](#page=20). #### 2.2.2 Ontvangsten bij een lineaire curve Voor een lineaire dalende prijs-afzet-curve gelden de volgende relaties voor de ontvangsten: * **Totale Ontvangsten (TO):** $TO(y) = p(y) \cdot y = (a - by)y = ay - by^2$. Dit is een tweedegraadsfunctie van $y$, wat resulteert in een parabolisch verloop. De totale ontvangsten bereiken een maximum wanneer $MO(y) = 0$, wat overeenkomt met $\epsilon_p^y = -1$. Dit maximale punt voor TO ligt bij $y = a/(2b)$ [24](#page=24) [25](#page=25). * **Gemiddelde Ontvangsten (GO):** $GO(y) = p(y) = a - by$. Dit is een rechte lijn met een intercept van $a$ en een rico van $-b$. De GO-curve is identiek aan de prijs-afzet-curve [24](#page=24) [25](#page=25). * **Marginale Ontvangsten (MO):** $MO(y) = \frac{\partial TO(y)}{\partial y} = a - 2by$. Dit is een rechte lijn met een intercept van $a$ en een rico van $-2b$. De MO-curve verloopt dus twee keer zo steil als de GO-curve en snijdt de horizontale as op de helft van de hoeveelheid waar de GO-curve de horizontale as snijdt [24](#page=24) [25](#page=25). > **Tip:** Het verschil in de rico tussen de GO-curve ($-b$) en de MO-curve ($-2b$) is een fundamenteel kenmerk bij lineair dalende prijs-afzet-curves en direct gerelateerd aan het winstmaximalisatiegedrag van ondernemingen. ### 2.3 Verband met Winstmaximalisatie De specificatie van de prijs-afzet-curve is direct gekoppeld aan hoe een onderneming haar winst kan maximaliseren. Winst ($W$) wordt gedefinieerd als totale ontvangsten ($TO$) minus totale kosten ($TK$): $W(y) = TO(y) - TK(y)$. Aangezien de productieafhankelijkheid van winst via productiefactoren ($y = f(L, K)$) ook kan worden uitgedrukt als $W(L, K) = TO(L, K) - TK(L, K)$, kan winstmaximalisatie ook worden benaderd door te optimaliseren met betrekking tot de inzet van productiefactoren (arbeid $L$ en kapitaal $K$). Dit onderscheid is belangrijk voor de analyse van winstmaximalisatie op zowel korte als lange termijn. De vorm van de kostenfunctie (klassiek U-vormig of anders) speelt hierbij eveneens een rol [19](#page=19) [26](#page=26). --- # Winstmaximering op korte termijn Winstmaximalisatie op korte termijn analyseert hoe een onderneming haar outputniveau kiest om de winst te maximaliseren, rekening houdend met vaste kosten en variabele kosten, onder verschillende prijs-afzet-omstandigheden en kostenstructuren [27](#page=27). ### 3.1 Korte termijn, horizontale prijs-afzet-curve #### 3.1.1 Klassiek kostenverloop Op korte termijn wordt de productiefunctie gegeven door $y(L) = f(\overline{K}, L)$, waarbij $\overline{K}$ de vaste kapitaalgoederen voorstellen. De totale kosten ($TK$) bestaan uit constante vaste kosten ($r\overline{K}$) en variabele loonkosten ($ \ell L $). De totale opbrengst ($TO$) is gelijk aan de constante prijs per eenheid ($\overline{p}$) vermenigvuldigd met de output ($y$), dus $TO(y) = \overline{p}y$ [27](#page=27). De winstfunctie ($W$) kan worden uitgedrukt in termen van arbeid ($L$) of output ($y$): $W(L) = TO(L) - TK(L) = \overline{p}f(\overline{K}, L) - \ell L - r\overline{K}$ [28](#page=28). $W(y) = TO(y) - TK(y) = \overline{p}y - TK(y)$ [31](#page=31). Om de winst te maximaliseren, wordt de eerste orde voorwaarde genomen: $\frac{\partial W(L)}{\partial L} = 0 \implies \frac{\partial TO(L)}{\partial L} - \frac{\partial TK(L)}{\partial L} = 0 \implies MO(L) = MK(L)$ [28](#page=28). $\frac{\partial W(y)}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial TO(y)}{\partial y} - \frac{\partial TK(y)}{\partial y} = 0 \implies MO(y) = MK(y)$ [31](#page=31). Voor een horizontale prijs-afzet-curve geldt: $MO(L) = \overline{p} \frac{\partial f(\overline{K}, L)}{\partial L} = \ell$ [28](#page=28). $MO(y) = \overline{p}$ [31](#page=31). De tweede orde voorwaarde voor winstmaximalisatie vereist dat de tweede afgeleide van de winstfunctie naar de gekozen variabele negatief of nul is. Dit impliceert dat de marginale opbrengstkurve dalend moet zijn of de marginale kostkurve stijgend moet zijn (#page=29, 32) [29](#page=29) [32](#page=32). Voor winstmaximalisatie in termen van output ($y$) is de tweede orde voorwaarde: $\frac{\partial^2 W(y)}{\partial y^2} \leq 0 \implies \frac{\partial^2 TO(y)}{\partial y^2} \leq \frac{\partial^2 TK(y)}{\partial y^2}$ [32](#page=32). Gezien $TO(y) = \overline{p}y$, is $\frac{\partial^2 TO(y)}{\partial y^2} = 0$, dus de voorwaarde wordt $0 \leq \frac{\partial^2 TK(y)}{\partial y^2}$. Dit betekent dat de marginale kostencurve ($MK(y)$) stijgend moet zijn in het optimum [32](#page=32). #### 3.1.1.1 Situaties van winstmaximalisatie De analyse van de winstmaximalisatie op korte termijn met een horizontale prijs-afzet-curve en klassiek kostenverloop kan leiden tot verschillende situaties, afhankelijk van de hoogte van de prijs ($\overline{p}$) ten opzichte van de gemiddelde totale kosten ($GTK$) en de gemiddelde variabele kosten ($GVK$) [34-47](#page=34-47). * **Positieve winst:** Wanneer $\overline{p} > \min(GTK)$, produceert de onderneming op het punt waar $MO(y) = MK(y)$ en de $MK(y)$-curve stijgend is. De totale winst is dan positief [35](#page=35). > **Tip:** De winst wordt gerealiseerd op de intramarginale eenheden, waarvoor de prijs hoger is dan de marginale kost [36](#page=36). * **Break-even:** Wanneer $\overline{p} = \min(GTK)$, is de winst gelijk aan nul. De totale opbrengst is gelijk aan de totale kosten [38](#page=38). * **Productie met verlies:** Wanneer $\min(GVK) < \overline{p} < \min(GTK)$, maakt de onderneming verlies, maar produceert ze toch omdat de totale opbrengst de variabele kosten dekt en zo een deel van de vaste kosten kan recupereren. Het verlies door te produceren is kleiner dan het verlies bij stilstand (gelijk aan de vaste kosten) (#page=41, 42). Dit is "ruïneuze mededinging" [39](#page=39) [41](#page=41) [42](#page=42). * **Stopzetting van productie:** Wanneer $\overline{p} < \min(GVK)$, dekt de totale opbrengst zelfs de variabele kosten niet. In dit geval is het verlies door productie groter dan de vaste kosten (het verlies bij stilstand). De onderneming zal de productie stopzetten om het verlies te minimaliseren [47](#page=47). #### 3.1.1.2 De aanbodcurve van de producent De individuele aanbodcurve van een producent op korte termijn met een horizontale prijs-afzet-curve is het stijgende deel van de marginale kostencurve ($MK(y)$) boven het minimum van de gemiddelde variabele kostencurve ($GVK(y)$) (#page=50, 51) [50](#page=50) [51](#page=51). * $\overline{p} > \min(GVK)$: de onderneming biedt aan waar $MO(y) = MK(y)$ [50](#page=50). * $\overline{p} = \min(GVK)$: de onderneming is indifferent tussen produceren en stilstand. * $\overline{p} < \min(GVK)$: de onderneming produceert niets [50](#page=50). De collectieve aanbodcurve is de horizontale sommatie van de individuele aanbodcurven van alle producenten [52](#page=52). #### 3.1.2 Lineair kostenverloop Bij een lineair kostenverloop op korte termijn, met een vaste hoeveelheid kapitaal ($\overline{K}$), zijn de totale kosten lineair in arbeid ($L$) en dus ook in output ($y$), mits de productiefunctie lineair is in $L$ [53](#page=53). $TK(y) = \ell L(y) + r\overline{K}$ Als $y(L) = dL$, dan is $L(y) = \frac{1}{d}y$. $TK(y) = \frac{\ell}{d}y + r\overline{K}$ [53](#page=53). De gemiddelde variabele kosten zijn constant: $GVK(y) = \frac{\ell}{d}$ [53](#page=53). De winstfunctie wordt: $W(y) = \overline{p}y - (\frac{\ell}{d}y + r\overline{K}) = (\overline{p} - \frac{\ell}{d})y - r\overline{K}$ [54](#page=54). Afhankelijk van de verhouding tussen $\overline{p}$ en $\frac{\ell}{d}$ zijn er drie gevallen voor de winstfunctie: * $\overline{p} > \frac{\ell}{d}$: de winstfunctie is stijgend in $y$. Winstmaximalisatie wordt bereikt bij de maximale productiecapaciteit ($\overline{y}$) (#page=55, 56). De onderneming maakt positieve winst [55](#page=55) [56](#page=56) [57](#page=57). * $\overline{p} = \frac{\ell}{d}$: de winstfunctie is constant. Elk productie-niveau tussen 0 en $\overline{y}$ leidt tot dezelfde winst (break-even, $W(y)=0$) (#page=55, 58) [55](#page=55) [58](#page=58). * $\overline{p} < \frac{\ell}{d}$: de winstfunctie is dalend in $y$. Bij productie wordt verlies gemaakt [55](#page=55). * Als $\overline{p} > GVK(y)$, wordt geproduceerd met verlies, maar dit is beter dan stilstand, aangezien een deel van de vaste kosten wordt gedekt [59](#page=59). * Als $\overline{p} = GVK(y)$, is er geen voorkeur tussen produceren en stilstand; het verlies is gelijk aan de vaste kosten [60](#page=60). * Als $\overline{p} < GVK(y)$, is het verlies door productie groter dan de vaste kosten. De productie wordt stopgezet [61](#page=61). De aanbodcurve bij lineair kostenverloop is het stijgende deel van de MK-curve (die hier samenvalt met de GVK-curve) boven het minimum van de GVK-curve, met een capaciteitsbeperking op $\overline{y}$. Als de prijs onder het minimum van de GVK-curve zakt, wordt niets geproduceerd [62](#page=62). ### 3.2 Korte termijn, lineair dalende prijs-afzet-curve #### 3.2.1 Klassiek kostenverloop Bij een lineair dalende prijs-afzet-curve geldt $p = a - b \cdot y$, met $a > 0$ en $b > 0$. De totale opbrengst is $TO(y) = p \cdot y = ay - by^2$. De gemiddelde opbrengst ($GO(y)$) is gelijk aan de prijs $p$, en de marginale opbrengst ($MO(y)$) is $MO(y) = \frac{\partial TO(y)}{\partial y} = a - 2by$. De MO-curve heeft een tweemaal zo steile helling als de GO-curve [63](#page=63). De winstmaximalisatie gebeurt nog steeds waar $MO(y) = MK(y)$. De tweede orde voorwaarde wordt hier vervuld als de MK-curve stijgend is en de MO-curve dalend [64](#page=64) [69](#page=69). Het winstmaximerende outputniveau ($y_C$) wordt gevonden op de MK-curve, terwijl de prijs ($p_C$) wordt bepaald door de GO-curve (de prijs-afzet-curve) op dat outputniveau [64](#page=64). * **Positieve winst:** Wanneer de totale opbrengst de totale kosten overschrijdt ($TO(y) > TK(y)$) bij $y_C$ [64](#page=64). * **Break-even:** Wanneer de totale opbrengst gelijk is aan de totale kosten ($TO(y) = TK(y)$) bij $y_C$, dus $GO(y_C) = GTK(y_C)$ (#page=65, 70) [65](#page=65) [70](#page=70). * **Productie met verlies / Stopzetting productie:** Situaties met verlies kunnen optreden als de $TK(y)$-curve boven de $TO(y)$-curve ligt. De onderneming produceert dan enkel als de opbrengst een deel van de vaste kosten kan dekken (verlies kleiner dan vaste kosten); anders wordt de productie stopgezet [71](#page=71). #### 3.2.2 Lineair kostenverloop Met een lineair kostenverloop en een lineair dalende prijs-afzet-curve is de winstfunctie een tweedegraadsfunctie: $W(y) = (a - \frac{\ell}{d})y - by^2 - r\overline{K}$ [68](#page=68). Deze functie kan gemaximaliseerd worden door de eerste afgeleide gelijk aan nul te stellen: $\frac{\partial W(y)}{\partial y} = a - \frac{\ell}{d} - 2by = 0 \implies y_C = \frac{a - \ell/d}{2b}$ (#page=68, 69) [68](#page=68) [69](#page=69). De tweede orde voorwaarde wordt automatisch voldaan omdat de winstfunctie een dalende parabool is. Winst is positief als $W(y_C) > 0$ nul bij break-even en negatief bij verlies [69](#page=69) [70](#page=70) [71](#page=71). --- # Winstmaximering op lange termijn Winstmaximering op lange termijn met een horizontale prijs-afzet-curve analyseert hoe bedrijven hun productie en inzet van productiefactoren optimaliseren wanneer ze geen invloed hebben op de marktprijs en alle productiefactoren variabel zijn [72](#page=72). ### 4.1 Klassiek kostenverloop Op lange termijn worden de kosten gemodelleerd met een productiefunctie $y = f(L, K)$, waarbij $L$ de hoeveelheid arbeid en $K$ de hoeveelheid kapitaal voorstelt. De totale opbrengsten (TO) zijn gelijk aan de marktprijs ($\bar{p}$) vermenigvuldigd met de output ($y$), dus $TO = \bar{p} \cdot y$. Winstmaximering op lange termijn impliceert kostenminimering voor elke productieniveau. De kostenminimerende vraag naar arbeid $L(y)$ en kapitaal $K(y)$ wordt hieruit afgeleid [72](#page=72). De winstfunctie ($W$) kan worden uitgedrukt als: $W(y) = TO(y) - TK(y) = \bar{p} \cdot y - \ell L(y) - r K(y)$, waarbij $\ell$ de loonvoet en $r$ de rentevoet zijn [73](#page=73). Om de winst te maximaliseren, wordt de eerste-orde voorwaarde gesteld aan de afgeleide van de winstfunctie naar output ($y$): $\frac{\partial W}{\partial y} = 0 \implies \frac{\partial TO(y)}{\partial y} - \frac{\partial TK(y)}{\partial y} = 0 \implies \bar{p} = MO(y) = MK(y)$ [73](#page=73). De tweede-orde voorwaarde voor winstmaximering is: $\frac{\partial^2 W}{(\partial y)^2} \le 0 \implies \frac{\partial^2 TO(y)}{(\partial y)^2} \le \frac{\partial^2 TK(y)}{(\partial y)^2} \implies 0 \le \frac{\partial^2 TK(y)}{(\partial y)^2}$ [73](#page=73). Dit betekent dat de marginale kosten (MK) curve stijgend moet zijn in het winstmaximum [73](#page=73). Als alternatief kan de winstfunctie ook worden uitgedrukt in termen van de ingezette productiefactoren arbeid en kapitaal: $W(L, K) = TO(L, K) - TK(L, K) = \bar{p} \cdot f(L, K) - \ell L - r K$ [74](#page=74). De eerste-orde voorwaarden voor het maximaliseren van de winst met betrekking tot $L$ en $K$ zijn: $\frac{\partial W}{\partial L} = 0 \implies \bar{p} \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} - \ell = 0 \implies \bar{p} \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} = \ell$ [74](#page=74). $\frac{\partial W}{\partial K} = 0 \implies \bar{p} \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} - r = 0 \implies \bar{p} \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} = r$ [74](#page=74). Dit leidt tot de marginale productiviteitsregel op lange termijn: de waarde van het marginale product van elke productiefactor is gelijk aan de prijs van die productiefactor [74](#page=74). Uit de eerste-orde voorwaarden volgt ook dat de verhouding van de marginale producten gelijk is aan de verhouding van de prijzen van de productiefactoren: $\frac{\bar{p} \frac{\partial f(L,K)}{\partial L}}{\bar{p} \frac{\partial f(L,K)}{\partial K}} = \frac{\ell}{r} \implies \frac{MPL}{MPK} = \frac{\ell}{r}$ [75](#page=75). Dit impliceert dat de gekozen combinatie van productiefactoren op het lange termijn expansiepad ligt, wat logisch is aangezien winstmaximalisatie kostenminimalisatie inhoudt [75](#page=75). #### 4.1.1 Het bereiken van het lange termijn optimum Een bedrijf begint met een bepaalde bedrijfsdimensie (bijvoorbeeld A) en maximaliseert op korte termijn zijn winst bij output $y_A$, waar $\bar{p} = MKA_K(y_A)$. Als er op lange termijn goedkoper geproduceerd kan worden (d.w.z. de lange termijn gemiddekte kosten $GTKL(y_A)$ zijn lager dan de korte termijn gemiddekte kosten $GTKA_K(y_A)$), zal de onderneming haar schaal uitbreiden [76](#page=76). Het bedrijf breidt zijn kapitaal uit van $K_A$ naar $K_F$ (figuur op pagina 77) en bereikt zo een nieuwe bedrijfsdimensie (bijvoorbeeld B). Dit nieuwe korte termijn expansiepad is geassocieerd met een nieuwe korte termijn gemiddekte kostencurve ($GTK_B_K(y)$). De onderneming maximaliseert nu zijn winst bij output $y_B$, waar $\bar{p} = MKB_K(y_B)$ [77](#page=77) [78](#page=78). Dit proces van schaalvergroting stopt pas wanneer er geen verdere kostenbesparingen meer mogelijk zijn op lange termijn. Het lange termijn optimum wordt bereikt in punt C, waar de korte termijn gemiddekte kostencurve ($GTK_C_K(y)$) de lange termijn gemiddekte kostencurve ($GTKL(y)$) raakt in het minimum van de GTKL-curve. Op dit punt geldt [80](#page=80): $\bar{p} = MKK(y) = MKL(y)$ [81](#page=81). De producent wordt op elk moment geconfronteerd met een gegeven hoeveelheid kapitaal, het korte termijn expansiepad en de geassocieerde kostencurven, en streeft naar winstmaximalisatie ($\bar{p} = MO(y) = MKK(y)$). Als het uitbreiden van de kapitaalvoorraad de winst kan verhogen, bevindt het bedrijf zich niet in zijn lange termijn optimum. Het lange termijn optimum wordt gekenmerkt door $\bar{p} = MKK(y) = MKL(y)$, waarbij de $MKL(y)$-curve stijgend moet verlopen [81](#page=81). Afhankelijk van de marktprijs ($\bar{p}$) ten opzichte van de lange termijn gemiddekte kosten ($GTKL$), zijn drie situaties mogelijk: * **Positieve winst:** Als $\bar{p} > GTKL$, dan bevindt het winstmaximerende snijpunt zich boven de $GTKL(y)$-curve. Het optimum ligt in het gebied van afnemende schaalopbrengsten en de onderneming maakt winst [82](#page=82) [85](#page=85). * **Break-even:** Als $\bar{p} = GTKL$, dan produceert de onderneming zonder winst of verlies. Het optimum ligt in het minimum van de $GTKL(y)$-curve, in de zone van constante schaalopbrengsten [83](#page=83) [86](#page=86). * **Verlies:** Als $\bar{p} < GTKL$, maakt de onderneming verlies. Als het bedrijf zich in de zone van toenemende schaalopbrengsten bevindt (links van het minimum van de $GTKL(y)$-curve), zal de productie worden stopgezet [84](#page=84) [85](#page=85) [86](#page=86). #### 4.1.2 Verandering in factorprijzen Een verandering in de prijs van een productiefactor, bijvoorbeeld een stijging van de loonvoet ($\ell \uparrow$), heeft een output- en substitutie-effect op de vraag naar arbeid en kapitaal [87](#page=87). * **Outputeffect:** Een hogere loonvoet verhoogt de marginale kosten, waardoor de winstmaximerende output daalt. Dit leidt tot een lager gelegen isoquant voor de productiefunctie [87](#page=87). * **Substitutie-effect:** Een stijging van de loonvoet maakt arbeid relatief duurder ten opzichte van kapitaal. De onderneming zal proberen arbeid te substitueren door kapitaal, wat leidt tot een verandering in de gebruikte combinatie van productiefactoren langs de isoquant [88](#page=88). Als beide productiefactoren normale goederen zijn, zal een stijging in $\ell$ leiden tot een daling in zowel de inzet van arbeid als kapitaal. Als een van de factoren een inferieur goed is, kan het effect anders uitpakken [88](#page=88) [89](#page=89). ### 4.2 Cobb-Douglas productiefunctie De Cobb-Douglas productiefunctie $y = a L^\alpha K^\beta$ wordt gebruikt om het verband tussen schaalopbrengsten, kosten en winst op lange termijn te analyseren. Er zijn drie gevallen te onderscheiden op basis van de som van de exponenten $\alpha + \beta$ [90](#page=90): 1. **Afnemende schaalopbrengsten (ASO):** Indien $\alpha + \beta < 1$, is er een optimale bedrijfsdimensie waarbij de onderneming winst maximaliseert en positieve winst maakt, mits $\bar{p} > GTKL$ [91](#page=91) [95](#page=95). 2. **Toenemende schaalopbrengsten (TSO):** Indien $\alpha + \beta > 1$, heeft de onderneming reden om haar schaal continu uit te breiden om kosten te besparen. De optimale schaal is onbegrensd en er is potentieel voor winst op korte termijn [92](#page=92) [95](#page=95). 3. **Constante schaalopbrengsten (CSO):** Indien $\alpha + \beta = 1$, zijn er twee subgevallen: * Als $\bar{p} > GTKL(y)$, kan op korte termijn winst gemaakt worden. Op lange termijn zal de onderneming haar schaal blijven uitbreiden, waardoor de optimale schaal onbegrensd is [93](#page=93) [95](#page=95). * Als $\bar{p} = GTKL(y)$, is de winst nul, ongeacht de schaal. De optimale schaal is onbepaald [94](#page=94) [95](#page=95). De winstmaximerende input van arbeid ($L$) en kapitaal ($K$) voor een Cobb-Douglas technologie kan worden afgeleid uit de eerste-orde voorwaarden: $\bar{p} \cdot a \cdot \alpha \cdot L^{\alpha-1} \cdot K^{\beta} = \ell$ [96](#page=96). $\bar{p} \cdot a \cdot L^{\alpha} \cdot \beta \cdot K^{\beta-1} = r$ [96](#page=96). Door deze vergelijkingen te delen, kan het lange termijn expansiepad worden bepaald: $\frac{\ell}{r} = \frac{\alpha}{\beta} \frac{K}{L} \implies K = \frac{\beta}{\alpha} \frac{\ell}{r} L$ [97](#page=97). Door substitutie in de eerste-orde voorwaarden kunnen de optimale inputs worden uitgedrukt als functies van de factorprijzen ($\ell, r$) en de marktprijs ($\bar{p}$): $L^*(\ell, r, \bar{p}) = \left[ \bar{p} \cdot a \cdot \alpha \cdot \left(\frac{\beta}{\alpha} \frac{\ell}{r}\right)^\beta \right]^{\frac{1}{\alpha+\beta-1}}$ [100](#page=100) [98](#page=98). $K^*(\ell, r, \bar{p}) = \left[ \bar{p} \cdot a \cdot \beta \cdot \left(\frac{\alpha}{\beta} \frac{r}{\ell}\right)^\alpha \right]^{\frac{1}{\alpha+\beta-1}}$ [100](#page=100) [99](#page=99). De grafische analyse toont aan dat het optimum alleen goed gedefinieerd is bij afnemende schaalopbrengsten ($\alpha + \beta < 1$), aangezien de exponent $\frac{1}{\alpha+\beta-1}$ negatief is, wat impliceert dat de vraag naar de productiefactoren afneemt bij stijgende eigen prijzen en toeneemt bij een hogere marktprijs [100](#page=100). --- # Winstmaximering met lineair dalende prijs-afzet-curve op lange termijn De analyse van winstmaximering op lange termijn wordt voortgezet met een lineair dalende prijs-afzet-curve, waarbij zowel het klassieke kostenverloop als de Cobb Douglas productiefunctie worden beschouwd . ### 5.1 Klassiek kostenverloop Bij een lineair dalende prijs-afzet-curve, gedefinieerd door $p = a - b \cdot y$ met $a, b > 0$ zijn de condities voor winstmaximering : * Marginale Opbrengst (MO) gelijk aan Marginale Kosten (MK): $MO(y) = MK(y)$ . * De tweede-orde voorwaarde voor winstmaximering is dat de afgeleide van MO kleiner of gelijk moet zijn aan de afgeleide van MK: $\frac{\partial MO(y)}{\partial y} \le \frac{\partial MK(y)}{\partial y}$ . Met een lineair dalende prijs-afzet-curve en klassiek kostenverloop, kan het winstmaximerende optimum zich bevinden in de zone van afnemende schaalopbrengsten (ASO), constante schaalopbrengsten (CSO) of toenemende schaalopbrengsten (TSO) . #### 5.1.1 Evenwicht in zone van afnemende schaalopbrengsten (ASO) In dit geval is er sprake van maximale winst ($winst > 0$) bij een productiehoeveelheid $y_C$, waarbij de prijs hoger is dan de gemiddelde totale kosten op lange termijn ($p(y_C) > GTKL(y_C)$). De winstmaximalisatie treedt op aan de rechterkant van het minimum van de gemiddelde totale kosten op lange termijn (GTKL) . > **Tip:** De grafiek toont dat bij afnemende schaalopbrengsten, de MK-curve de GTKL-curve snijdt in het minimum van de GTKL-curve. Het winstmaximum ligt echter in de zone waar de GTKL stijgt . #### 5.1.2 Evenwicht in zone van constante schaalopbrengsten (CSO) Hier wordt maximale winst ($winst > 0$) behaald bij een productiehoeveelheid $y_A$, waarbij de prijs de gemiddelde totale kosten op lange termijn overschrijdt ($p(y_A) > GTKL(y_A)$). De optimale productiehoeveelheid $y_A$ bevindt zich in het minimum van de GTKL-curve . > **Tip:** Bij constante schaalopbrengsten valt het punt van maximale winst samen met het minimum van de GTKL op lange termijn . #### 5.1.3 Evenwicht in zone van toenemende schaalopbrengsten (TSO) In dit scenario wordt maximale winst ($winst > 0$) gerealiseerd bij een productiehoeveelheid $y_B$, waarvoor geldt dat de prijs boven de gemiddelde totale kosten op lange termijn ligt ($p(y_B) > GTKL(y_B)$). De winstmaximalisatie vindt plaats aan de linkerkant van het minimum van de GTKL op lange termijn . > **Tip:** Bij toenemende schaalopbrengsten ligt het winstmaximum in de zone waar de GTKL daalt . #### 5.1.4 Cruciale verschillen met horizontale prijs-afzet-curve De belangrijkste verschillen met het model met een horizontale prijs-afzet-curve zijn: * Een evenwicht met winst is mogelijk in de zone van toenemende schaalopbrengsten (TSO) . * Een evenwicht met winst is mogelijk in de zone van constante schaalopbrengsten (CSO) . ### 5.2 Cobb Douglas productiefunctie De analyse van winstmaximering met een lineair dalende prijs-afzet-curve wordt ook uitgevoerd met een Cobb Douglas productiefunctie. Dit leidt tot drie mogelijke gevallen van schaalopbrengsten: afnemend, toenemend en constant . #### 5.2.1 Afnemende schaalopbrengsten ($\alpha + \beta < 1$) Bij afnemende schaalopbrengsten, waarbij de som van de exponenten in de Cobb Douglas functie kleiner is dan 1 ($\alpha + \beta < 1$) wordt maximale winst ($winst > 0$) behaald bij productiehoeveelheid $y_C$, waarvoor geldt $p(y_C) > GTKL(y_C)$. Dit optimum ligt in de zone van stijgende GTKL op lange termijn (ASO) . > **Tip:** Grafisch is te zien dat de MK-curve de GTKL-curve snijdt bij het minimum van de GTKL, maar het winstmaximum ligt in het gebied van stijgende GTKL . #### 5.2.2 Constante schaalopbrengsten ($\alpha + \beta = 1$) In het geval van constante schaalopbrengsten, waar $\alpha + \beta = 1$ wordt maximale winst ($winst > 0$) behaald bij productiehoeveelheid $y_A$ met $p(y_A) > GTKL(y_A)$. De optimale productiehoeveelheid $y_A$ bevindt zich precies in het minimum van de GTKL-curve op lange termijn . > **Tip:** Voor constante schaalopbrengsten valt het punt van maximale winst samen met het minimum van de GTKL op lange termijn . #### 5.2.3 Toenemende schaalopbrengsten ($\alpha + \beta > 1$) Bij toenemende schaalopbrengsten, gedefinieerd door $\alpha + \beta > 1$ wordt maximale winst ($winst > 0$) gerealiseerd bij productiehoeveelheid $y_B$, waar de prijs de gemiddelde totale kosten op lange termijn overtreft ($p(y_B) > GTKL(y_B)$). Het winstmaximerende punt ligt in de zone van dalende GTKL op lange termijn (TSO) . > **Tip:** Bij toenemende schaalopbrengsten wordt de winst gemaximaliseerd in de regio waar de GTKL op lange termijn daalt . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Winst | Winst is het verschil tussen de totale ontvangsten (TO) en de totale kosten (TK) van een onderneming. Het doel van winstmaximering is om de productieomvang te vinden waarbij dit verschil het grootst is. | | Totale ontvangsten (TO) | Dit zijn de totale inkomsten die een bedrijf genereert uit de verkoop van zijn producten of diensten. Het wordt berekend als prijs vermenigvuldigd met de verkochte hoeveelheid. | | Totale kosten (TK) | Dit zijn de som van alle kosten die een bedrijf maakt om zijn producten te produceren, inclusief zowel vaste als variabele kosten. | | Prijs-afzet-curve | Dit is een grafische weergave die het verband toont tussen de prijs die een producent vraagt voor zijn product en de hoeveelheid van dat product die hij kan verkopen. | | Bedrijfsspecifieke vraag | Dit is de vraagcurve die specifiek is voor de output van een individuele producent, en beschrijft hoeveel van zijn product consumenten zullen kopen tegen verschillende prijzen. | | Prijselasticiteit van de vraag ($\varepsilon_y^p$) | Dit meet de gevoeligheid van de gevraagde hoeveelheid voor veranderingen in de prijs. Een negatieve waarde geeft aan dat de vraag afneemt als de prijs stijgt. | | Marktmacht | Het vermogen van een bedrijf om de prijs van zijn product te beïnvloeden zonder dat dit leidt tot een volledige ineenstorting van de vraag. Dit is gerelateerd aan de prijselasticiteit van de vraag. | | Gemiddelde ontvangsten (GO) | De gemiddelde ontvangsten per eenheid product, berekend als TO / y. Bij een horizontale prijs-afzet-curve is GO gelijk aan de prijs. | | Marginale ontvangsten (MO) | De extra ontvangsten die voortvloeien uit de verkoop van één extra eenheid product. Het wordt berekend als de verandering in TO gedeeld door de verandering in y. | | Marginale kosten (MK) | De extra kosten die gemaakt worden om één extra eenheid product te produceren. Het wordt berekend als de verandering in TK gedeeld door de verandering in y. | | Korte termijn | Een periode waarin ten minste één productiefactor (meestal kapitaal) vast is (K = $\bar{K}$), terwijl andere factoren (zoals arbeid) variabel zijn. | | Lange termijn | Een periode waarin alle productiefactoren variabel zijn, inclusief kapitaal en arbeid, wat ondernemingen in staat stelt hun omvang aan te passen. | | Klassiek kostenverloop | Een kostenstructuur waarbij de marginale kosten aanvankelijk dalen, een minimum bereiken, en daarna stijgen, wat resulteert in een U-vormige marginale kostencurve. | | Lineair kostenverloop | Een kostenstructuur waarbij de variabele kosten lineair toenemen met de productie, wat leidt tot constante marginale kosten per eenheid. | | Constante schaalopbrengsten | Een situatie in de productie waarbij een proportionele toename van alle inputs leidt tot een gelijkwaardige proportionele toename van de output. | | Toenemende schaalopbrengsten | Een situatie waarbij een proportionele toename van alle inputs leidt tot een meer dan evenredige toename van de output, wat vaak gepaard gaat met dalende gemiddelde kosten. | | Afnemende schaalopbrengsten | Een situatie waarbij een proportionele toename van alle inputs leidt tot een minder dan evenredige toename van de output, wat vaak gepaard gaat met stijgende gemiddelde kosten. | | Break-even punt | Het punt waarop de totale ontvangsten gelijk zijn aan de totale kosten, wat resulteert in een winst van nul. | | Ruïneuze mededinging | Een situatie waarin een onderneming verlies maakt maar toch besluit door te produceren omdat de totale ontvangsten de variabele kosten dekken en zo een deel van de vaste kosten verrekend wordt. | | Stopzetting productie | Een situatie waarin de totale ontvangsten lager zijn dan de variabele kosten, waardoor de onderneming haar productie stillegt om het verlies te minimaliseren. | | Aanbodcurve | Een grafiek die de hoeveelheid van een product weergeeft die een producent bereid is te verkopen bij verschillende prijzen. | | Collectieve aanbodcurve | De horizontale som van de individuele aanbodcurven van alle producenten in een markt. | | Cobb-Douglas productiefunctie | Een specifieke econometrische vorm van de productiefunctie die de relatie tussen productiefactoren (arbeid en kapitaal) en output beschrijft, vaak gebruikt om schaalopbrengsten te analyseren. |