Physics
Cover
1. Algemene principes.pdf
Summary
# Grootheden en eenheden
Dit onderwerp behandelt de toepassing, omrekening en normen voor fysische grootheden en hun SI-eenheden, inclusief basis- en afgeleide eenheden, en decimale veelvouden en delen.
## 1.1 Definitie en toepassing van grootheden en eenheden
Meten is het vergelijken van een grootheid met een grootheid van dezelfde soort, die als eenheid wordt gekozen. De getalwaarde van een grootheid is het getal dat aangeeft hoeveel maal de gekozen eenheid groter is dan de grootheid zelf. De relatie tussen grootheid, getalwaarde en eenheid wordt weergegeven met de formule [1](#page=1):
$$grootheid = getalwaarde \times eenheid$$ [1](#page=1).
of in symbolen:
$$A = \{A\} \times [A]$$ [1](#page=1).
waarbij $\{A\}$ de getalwaarde van grootheid A is uitgedrukt in de eenheid $[A]$. Bij het noteren van eenheden in grafieken en tabellen, of op assen, wordt de eenheid met een schuine streep weergegeven, bijvoorbeeld $\theta/°C$ voor celsiustemperatuur. In wiskundige uitdrukkingen worden eenheden consistent verwerkt; het argument van een logaritme zoals $\ln(p/hPa)$ is bijvoorbeeld een reëel getal [1](#page=1).
Eenheden kunnen willekeurig gekozen worden, maar voor internationale uitwisseling van meetgegevens zijn internationaal afgesproken eenheden noodzakelijk. Het wettelijk stelsel van eenheden dat in de wetenschappen wordt gebruikt, is het SI-eenhedenstelsel (Système International). In België is dit verplicht sinds 1 januari 1978. Hoewel oude eenheden soms nog praktisch zijn, moeten in publicaties en rapporten altijd SI-eenheden gebruikt worden [1](#page=1) [2](#page=2).
Twee grootheden hebben dezelfde dimensie als ze in dezelfde soort eenheid kunnen worden uitgedrukt [2](#page=2).
> **Tip:** Om data en formules te begrijpen, is het nuttig om de onderliggende principes te bestuderen, omdat deze kunnen helpen bij het reconstrueren van vergeten formules.
### 1.1.1 Basisgrootheden en afgeleide eenheden
Er zijn 7 basisgrootheden met hun bijbehorende SI-eenheden: lengte (m), massa (kg), tijd (s), elektrische stroom (A), thermodynamische temperatuur (K), hoeveelheid stof (mol) en lichtsterkte (cd). Daarnaast worden ook de vlakke hoek (rad) en ruimtehoek (sr) gedefinieerd [2](#page=2).
| Basisgrootheid | Naam | Symbool |
| :----------------------- | :--------- | :------ |
| Lengte, afstand | meter | m |
| Massa | kilogram | kg |
| Tijd | seconde | s |
| Elektrische stroom | ampère | A |
| Thermodynamische temp. | kelvin | K |
| Hoeveelheid stof | mol | mol |
| Lichtsterkte | candela | cd |
> **Tip:** Definities van SI-eenheden zijn te vinden op de website van het Physical Measurement Laboratory van NIST (URL http://physics.nist.gov/cuu/Units/current.html) [2](#page=2).
Uit de basisgrootheden kunnen coherent afgeleide grootheden ontstaan. De afgeleide eenheden volgen uit de definitie van de afgeleide grootheid. Bijvoorbeeld, snelheid is afstand gedeeld door tijd, dus de afgeleide eenheid is m/s. Versnelling is snelheid gedeeld door tijd, met als afgeleide eenheid m/s² [3](#page=3).
Sommige afgeleide eenheden hebben een eigen naam en symbool, zoals newton (N), pascal (Pa) of weber (Wb). Grootheden zoals vlakke hoek, brekingsindex en wrijvingscoëfficiënt zijn dimensieloos en hebben geen eenheid (eenheid is 1). Een voorbeeld is de radiaal (rad) voor vlakke hoek [3](#page=3).
Voorbeelden van afgeleide eenheden met omrekening naar basiseenheden:
* Kracht: newton (N) = m·kg·s⁻² [3](#page=3).
* Energie: joule (J) = N·m [3](#page=3).
* Vermogen: watt (W) = J/s [3](#page=3).
> **Niet vergeten:** De SI-eenheid voor massa is het kilogram (kg), niet de gram (g). Meetresultaten worden altijd in SI-eenheden genoteerd [3](#page=3).
#### 1.1.1.1 Vraagstukken met betrekking tot afgeleide eenheden
**Vraagstuk:** Reken de SI-eenheid pascal om naar de basiseenheden.
**Antwoord:** m⁻¹·kg·s⁻² [3](#page=3).
**Vraagstuk:** Geef de afgeleide SI-eenheid van stroomdichtheid (elektrisch).
**Antwoord:** A/m² of ampère gedeeld door vierkante meter [4](#page=4).
### 1.1.2 Oude en niet-SI eenheden
Oude (niet-SI) eenheden worden nog veel gebruikt, maar omrekeningsfactoren naar SI-eenheden zijn online of in tabellen beschikbaar. Het is raadzaam Engelse en Amerikaanse eenheden te vermijden, tenzij de toepassing dit expliciet vereist [4](#page=4).
Enkele voorbeelden van niet-SI eenheden met hun omrekening naar SI-eenheden:
* Lading: 1 ampère-uur (Ah) = 3,6 × 10³ C [4](#page=4).
* Druk:
* 1 atmosfeer (atm) = 101.325 Pa = 1013,25 hPa = 1013,25 mbar [4](#page=4).
* 1 bar = 10⁵ Pa [4](#page=4).
* 1 millimeter kwikkolom (mm Hg) ≈ 133,322 Pa [4](#page=4).
* Elektrische energie: 1 kilowattuur (kWh) = 3,6 × 10⁶ J [4](#page=4).
* Lengte: 1 inch = 25,4 mm [4](#page=4).
* Massa: 1 pound (lb) = 0,45359237 kg [4](#page=4).
* Frequentie: 1 revolution per minute (rpm) = 1/60 s⁻¹ [4](#page=4).
> **Studeeraanwijzingen:** Voor elke grootheid dient de student de SI-eenheid of een praktische eenheid te kennen. Bijvoorbeeld voor druk: SI-eenheid pascal (Pa), maar ook bar of mmHg worden in specifieke contexten gebruikt [4](#page=4).
**Engelse en Amerikaanse eenheden (Eng/US):**
* Lengte:
* 1 foot (ft) = 12 inches (in) [8](#page=8).
* 1 inch (in) = 2,54 cm [8](#page=8).
* 1 yard (yd) = 3 ft [8](#page=8).
* 1 mile = 1760 yd = 5280 ft = 1609,34 m [8](#page=8).
* Internationale zeemijl = 1852 m [8](#page=8).
* Snelheid: 1 knoop (knot, kt) = 1,852 km/h [8](#page=8).
* Massa:
* 1 pound (lb) = 0,45359237 kg 1 kg = 2,20462 lb [4](#page=4) [8](#page=8).
* 1 ounce (oz) = 1/16 lb [8](#page=8).
* 1 slug = 14,5939 kg [8](#page=8).
* Kracht:
* 1 pound force (lbf) = 4,44822 N [8](#page=8).
* 1 lb · g = 1 lbf [8](#page=8).
* g ≈ 9,80665 m/s² [8](#page=8).
* Druk: 1 pound force per square inch (psi) = 6894,76 Pa [8](#page=8).
> **Voorbeeld:** De Mars Orbiter-mislukking in 1998 werd veroorzaakt door het verkeerd interpreteren van Engelse eenheden als SI-eenheden, wat leidde tot een fatale berekeningsfout [8](#page=8).
**Vraagstuk:** Zet 1/3 meter om in inch, afgerond op 4 beduidende cijfers.
**Antwoord:** 13,12 in [8](#page=8).
## 1.2 Decimale veelvouden en delen van eenheden
Decimale delen en veelvouden van eenheden worden gevormd met behulp van voorvoegsels of wetenschappelijke notatie, om lange reeksen nullen te vermijden en leesbaarheid te vergroten. De numerieke waarde van een grootheid wordt bij voorkeur weergegeven als een getal tussen 0,1 en 1000 [5](#page=5).
Veelgebruikte voorvoegsels met hun vermenigvuldigingsfactoren:
* kilo (k): 10³
* milli (m): 10⁻³
* micro (µ): 10⁻⁶
Het voorvoegsel en de eenheid worden aan elkaar geschreven. De technische of ingenieursnotatie (ENG) gebruikt exponenten die veelvouden van 3 zijn, waardoor de numerieke waarde meestal tussen 1 en 10³ ligt [5](#page=5).
Voorbeelden van technische notatie:
* 0,00952 g = 9,52 mg = 9,52 × 10⁻⁶ kg [5](#page=5).
* 2703 W = 2,703 × 10³ W = 2,703 kW [5](#page=5).
* 5,80 × 10⁻⁷ m = 580 × 10⁻⁹ m = 580 nm [5](#page=5).
* 3,3 × 10⁷ Hz = 33 × 10⁶ Hz = 33 MHz [5](#page=5).
Sommige eenheden, zoals °C, h, min en hoeknotaties (° ' "), dulden geen voorvoegsels. Voorvoegsels worden nooit zonder eenheid genoteerd [5](#page=5).
> **Niet vergeten:** Een spatie wordt gebruikt tussen de getalwaarde en de eenheid, zelfs bij muntcodes, procenttekens en graden Celsius, met uitzondering van hoeknotaties (bv. $\beta = 44°33’22”$). Gebruik de harde spatie (Ctrl-Shift-Spatie) om afbreken van de tekst bij een spatie te voorkomen [5](#page=5).
Voorvoegsels worden niet gecombineerd, bijvoorbeeld nm en niet mµm. Bij breuken wordt bij voorkeur één voorvoegsel in de teller gebruikt: 10 MV/m is beter dan 10 kV/mm. Een uitzondering is het kilogram, waarbij bijvoorbeeld kJ/kg correct is [6](#page=6).
**Vraagstuk:** Zet om naar de SI-eenheid en gebruik gepaste voorvoegsels:
* 0,00952 g: 9,52 × 10⁻⁶ kg of 9,52 mg [6](#page=6).
* 2703 J/s: 2,703 kW [6](#page=6).
* 3,3 × 10⁷ s⁻¹: 33 MHz [6](#page=6).
Bij gekwadrateerde of gekubiseerde eenheden met voorvoegsels, worden de voorvoegsels meegenomen in de machtsverheffing [6](#page=6).
* 2,3 cm³ = 2,3 (cm)³ = 2,3 (10⁻² m)³ = 2,3 × 10⁻⁶ m³ [6](#page=6).
* 1 cm⁻¹ = 1 (cm)⁻¹ = 1 (10⁻² m)⁻¹ = 10² m⁻¹ [6](#page=6).
**Vraagstuk:** Bereken het product p·V als de druk p = 1,01325 bar en het volume V = 18 cm³.
**Antwoord:** 1,824 J [6](#page=6).
## 1.3 Gebruik van eenheden volgens de normen
De naam en het symbool van eenheden mogen niet door elkaar worden gebruikt (bijvoorbeeld m/s of meter per seconde, maar niet meter/s). Afkortingen van namen van eenheden moeten worden vermeden en de naam moet voluit worden geschreven [7](#page=7).
Correcte notaties:
* seconde = s (niet sec) [7](#page=7).
* kubieke centimeter = cm³ (niet cc) [7](#page=7).
* uur = h (niet hrs) [7](#page=7).
* liter = ℓ of L (niet lit) [7](#page=7).
* ampère = A (niet amps) [7](#page=7).
* meter per seconde = m/s (niet mps) [7](#page=7).
Aandachtspunten bij het gebruik van eenheden:
1. Voor massa worden voorvoegsels geplaatst voor de gram (g), niet voor de kilogram (kg). 1000 kg is 1 ton (t), en 1 kt = 1000 t = 10⁶ kg [7](#page=7).
2. Het symbool voor gram is g (niet gr) en voor kilogram is kg (niet kgr) [7](#page=7).
3. Eenheden krijgen geen meervoud in de notatie, bv. r = 2 cm (niet r = 2 cms) [7](#page=7).
4. Het symbool voor seconde is s (niet sec), voor uur is h (niet u) [7](#page=7).
5. Tijd noteren als 3 h 12 min 17 s. De symbolen ' en " zijn gereserveerd voor minuten en seconden van een hoek [7](#page=7).
6. Voor de liter gebruikt men ℓ of L (1 L = 1 dm³) [7](#page=7).
7. Symbolen voor grootheden worden cursief gedrukt, symbolen voor eenheden rechtop. Achter symbolen staat geen punt, en ze hebben geen meervoud, behalve uur, minuut en seconde (bv. 18 minuten is correct) [7](#page=7).
8. Onbenoemde grootheden zoals brekingsindex en molfractie hebben als eenheid 1 en deze wordt niet genoteerd [7](#page=7).
9. In samengestelde eenheidssymbolen worden enkelvoudige symbolen gescheiden door een punt (·) of een schuine breukstreep. Maximaal één schuine breukstreep per symbool. Indien er meer dan één symbool rechts van de schuine streep staat, moeten deze tussen haakjes gezet worden [7](#page=7).
* a. kg·m², kg·m⁻¹, kg/m, J·kg⁻¹·K⁻¹, J/(kg·K) (niet J/kg·K) [7](#page=7).
* b. Nm of N·m; bij twijfel dot gebruiken (ms⁻¹ ≠ m·s⁻¹) [7](#page=7).
10. Voor temperaturen mag voorlopig nog de graad Celsius (°C) gebruikt worden. Temperatuurverschillen moeten strikt genomen in kelvin (K) uitgedrukt worden, aangezien de graad Celsius en de kelvin eenheden met eenzelfde grootte zijn [7](#page=7).
> **Niet vergeten:** Verboden niet-SI eenheden zoals pk, kgf, atm of cal moeten vermeden worden. Toegelaten niet-SI eenheden zoals bar, dioptrie (dpt), elektronvolt (eV) hebben hun status en omrekeningsfactor in tabellen [8](#page=8).
**Vraagstuk:** Zet 0,00952 g om naar SI-eenheid met gepaste voorvoegsels.
**Antwoord:** 9,52 × 10⁻⁶ kg of 9,52 mg [6](#page=6).
---
# Rekenen, afronden en noteren
Dit gedeelte behandelt hoe wetenschappelijke en technische gegevens genoteerd moeten worden, met speciale aandacht voor beduidende cijfers, afrondingsregels voor diverse berekeningen, en het correct gebruik van wetenschappelijke notatie.
### 2.1 Beduidende of significante cijfers
Gegevens in vraagstukken en opgaven zijn geen exacte getallen, maar afgeronde getallen. Een exact getal is bijvoorbeeld een telresultaat, terwijl een afgerond getal een meting is, zoals een temperatuur van 21,7 °C. Als men 21,7 schrijft, impliceert dit dat het cijfer 7 onzeker is en het getal mogelijk 21,8 of 21,6 had kunnen zijn. Cijfers achter de 7 zijn dan niet meer zinvol [10](#page=10).
Alle cijfers waarmee een getalwaarde wordt weergegeven, zijn beduidende (of significante) cijfers. Het aantal beduidende cijfers wordt bepaald vanaf het eerste cijfer dat niet nul is, tot en met het laatste cijfer, ongeacht de plaats van de decimale komma of de macht van 10. Nullen vooraan een getal zijn nooit beduidend, terwijl nullen achteraan altijd beduidend zijn [10](#page=10).
* 347,5 heeft 4 beduidende cijfers [10](#page=10).
* 0,0075 heeft 2 beduidende cijfers [10](#page=10).
* 100,50 heeft 5 beduidende cijfers [10](#page=10).
* $1,2 \times 10^3$ heeft 2 beduidende cijfers [10](#page=10).
* $0,0102 \times 10^{-3}$ heeft 3 beduidende cijfers [10](#page=10).
Bij het noteren van hoeken heeft decimale notatie (DD) de voorkeur boven DMS, tenzij expliciet anders gevraagd. Bijvoorbeeld, een hoek als 22,20° heeft 4 beduidende cijfers [10](#page=10).
Als een lengte tot op 1 meter nauwkeurig is gemeten, noteert men dit als $l = 1200$ m, waarbij de nullen significant zijn. Het is correct om dit als $l = 1,200$ km te noteren, maar niet als $l = 1,2$ km, wat een onzekerheid van 0,1 km zou impliceren [11](#page=11).
#### 2.1.1 Sommen en verschillen
Het eindresultaat van sommen en verschillen mag slechts zoveel decimale cijfers bevatten als het getal met het kleinste aantal decimale cijfers [11](#page=11).
> **Example:**
> ```
> 415,5
> +3,64
> +0,238
> --------
> 419,378
> ```
> Afgerond wordt dit 419,4 [11](#page=11).
#### 2.1.2 Producten en quotiënten
Het aantal beduidende cijfers in het eindresultaat van producten en quotiënten mag niet groter zijn dan het aantal beduidende cijfers van de factor met het kleinste aantal beduidende cijfers [11](#page=11).
> **Example:**
> $7,4853 \times 8,61 \times 0,6745 = 43,4703$, correct afgerond is dit 43,5 [11](#page=11).
> $12,47 \times 0,00125 \times 1302 = 20,3$ [11](#page=11).
> $9731 \times 31,2 \times 10^{-2} \times 3,9 = 12 \times 10^3$ [11](#page=11).
### 2.2 Resultaten noteren
Bij het noteren van getallen, vooral wanneer er een beperkt aantal beduidende cijfers gewenst is, kan het nodig zijn om over te schakelen op wetenschappelijke of technische notatie [12](#page=12).
> **Example:**
> Om 27845,59 met 3 beduidende cijfers te noteren, kan dit als $278 \times 10^2$ of $27,8 \times 10^3$. Soms wordt ook 27800 geschreven voor leesbaarheid, waarbij de nullen dan hun strikte betekenis van beduidend cijfer kwijt zijn [12](#page=12).
Als bewerkingen worden uitgevoerd met exacte getallen, zoals een deler van 2 in een formule, beïnvloeden deze het aantal beduidende cijfers van het eindresultaat niet [12](#page=12).
> **Example:**
> De oppervlakte van een driehoek is $A = \frac{b \cdot h}{2} = 74,1$ cm². Hier is de 2 een exact getal en heeft dus geen invloed op het aantal beduidende cijfers [12](#page=12).
#### Reken met natuurconstanten
Natuurconstanten, zoals de planckconstante ($h$), de avogadroconstante ($N_A$), de elementaire lading ($e$) of de lichtsnelheid in vacuüm ($c$), hebben nauwkeurige waarden. Bij het gebruik van natuurconstanten in formules, zoals de zwaartekrachtversnelling ($g$), de molaire gasconstante ($R$), of het getal $\pi$, wordt aangenomen dat de nauwkeurigheid van deze constanten zo hoog is dat de fout hierop verwaarloosbaar klein is ten opzichte van de fout op andere grootheden in de formule [12](#page=12).
> **Tip:** Voor $\pi$ gebruikt men altijd de waarde die is opgeslagen in het grafisch rekentoestel (bijvoorbeeld 3,14159265...) en nooit benaderingen zoals 3,14 of 22/7. De procentnotatie is ook een getalwaarde, waarbij 1 % gelijk is aan 0,01 [13](#page=13).
#### Algemene notatieprincipes
* Tussenresultaten die worden opgeschreven, worden afgerond tot op 4 beduidende cijfers. Het is zinloos om alle cijfers van de uitlezing van een grafisch rekentoestel over te nemen; men moet wel met alle cijfers blijven rekenen in het toestel zelf [13](#page=13).
* In wetenschappelijke en technische teksten worden getallen met cijfers geschreven, niet voluit. Bijvoorbeeld, "de lengte van de laser is 5 m", niet "vijf meter" [13](#page=13).
* Bij opsommingen of bewerkingen is het raadzaam om consequent dezelfde eenheid te gebruiken en haakjes te gebruiken om de leesbaarheid te verhogen [13](#page=13).
> **Example:**
> Wel: 10 mm × 3 mm × 0,02 mm, maar NIET: 1 cm × 3 mm × 20 µm [13](#page=13).
> Wel: een volume van 5 mm × 7 mm × 8 mm, NIET: 5 × 7 × 8 mm [13](#page=13).
> Wel: opwarmen van 20 °C tot 50 °C, NIET: van 20 tot 50 °C [13](#page=13).
> Wel: spanning instellen op 1 V, 3 V of 5 V, NIET: 1, 3 of 5 V [13](#page=13).
> Wel: bewerking $129$ s – $3$ s = ($129$ – $3$) s = $126$ s, NIET: $129$ – $3$ s = $126$ s [13](#page=13).
> Wel: meetonzekerheid ($63,2 \pm 0,5$) m, NIET: $63,2 \pm 0,5$ m [13](#page=13).
* Het woord "gewicht" duidt een kracht aan en moet dus in newton (N) uitgedrukt worden, niet in kilogram (kg). Massa en gewicht zijn verschillende grootheden [14](#page=14).
* De eenheid liter wordt gebruikt voor het volume van fluïda, maar niet voor vaste stoffen (die in dm³ worden uitgedrukt) [14](#page=14).
> **Example:**
> Als twee grootheden X en Y 0,05 % verschillen, kan dit worden aangegeven als $Y = X \cdot (1 + 0,05 \%)$ of $\Delta = \frac{Y-X}{X}$ met $\Delta = 0,05 \%$ [14](#page=14).
---
# Atomen en moleculen
Dit onderwerp behandelt de fundamentele bouwstenen van materie: atomen en moleculen, hun eigenschappen, de krachten die tussen hen werkzaam zijn, en hoe deze leiden tot de verschillende aggregatietoestanden.
### 3.1 De opbouw van materie
Materie is opgebouwd uit een beperkt aantal elementen, die te vinden zijn in het periodiek systeem [15](#page=15).
#### 3.1.1 Atomen
Het atoom is het kleinste deeltje van een element [16](#page=16).
* **Kern:** Bevat protonen en neutronen, en hier is nagenoeg alle massa van het atoom geconcentreerd [16](#page=16).
* Protonen en neutronen zijn opgebouwd uit quarks [16](#page=16).
* De elementaire lading $e$ is gelijk aan $1,6022 \times 10^{-19}$ C [16](#page=16).
* Lading elektron: $-e$ [16](#page=16).
* Lading proton: $+e$ [16](#page=16).
* Lading neutron: $0$ [16](#page=16).
* **Elektronen:** Bewegen op grote afstand rond de kern [16](#page=16).
* **Massa-eenheid:** De atomaire massa-eenheid $u$ is $1,66054 \times 10^{-27}$ kg en is $1/12$ van de massa van het koolstof-12-isotoop [16](#page=16).
* Massa proton $m_p \approx u$ [16](#page=16).
* $m_p / m_e \approx 1836$ [16](#page=16).
* **Elektrische neutraliteit:** Een atoom is elektrisch neutraal wanneer het aantal elektronen gelijk is aan het aantal protonen [17](#page=17).
* **Ionen:** Atomen die geen elektrisch neutraal aantal protonen en elektronen hebben [17](#page=17).
* **Afmetingen:** Een atoom is grotendeels lege ruimte; de diameter van een kern is $10^{-14}$ m, terwijl de diameter van de elektronenbanen $10^{-10}$ m is [17](#page=17).
#### 3.1.2 Moleculen
Moleculen zijn opgebouwd uit atomen die chemisch gebonden zijn [17](#page=17).
* **Voorbeeld:** Een watermolecuul bestaat uit twee waterstofatomen en één zuurstofatoom [17](#page=17).
* **Bindingstypes:**
* Ionbinding [17](#page=17).
* Covalente binding [17](#page=17).
* Metaalbinding [17](#page=17).
* Van der Waalsbinding (zwakke binding tussen moleculen onderling) [17](#page=17).
### 3.2 Intermoleculaire krachten
Intermoleculaire krachten bepalen de eigenschappen van stoffen en de overgangen tussen fasen [18](#page=18) [20](#page=20).
#### 3.2.1 Moleculaire beweging
Moleculen zijn constant in beweging [18](#page=18).
* **Brownse beweging:** De grillige beweging van deeltjes (zoals stuifmeel) wordt veroorzaakt door de botsingen met omringende, bewegende moleculen [18](#page=18).
* **Snelheid:** De snelheid van moleculen is niet constant; deze verandert voortdurend van grootte en richting door botsingen [18](#page=18).
* **Elastische botsingen:** Bij moleculaire botsingen gaat geen kinetische energie verloren [18](#page=18).
* **Transportverschijnselen:** Moleculaire botsingen verklaren fenomenen zoals warmtegeleiding [18](#page=18).
#### 3.2.2 Krachten tussen moleculen
Er zijn aantrekkende en afstotende krachten tussen moleculen [18](#page=18).
* **Aantrekkingskracht:** Houdt moleculen van vaste stoffen en vloeistoffen bij elkaar [18](#page=18).
* **Cohesie:** Aantrekking tussen moleculen van dezelfde soort [18](#page=18).
* **Adhesie:** Aantrekking tussen moleculen van verschillende soorten [18](#page=18).
* Deze kracht zorgt voor potentiële energie, die groter is bij grotere afstanden tussen moleculen [18](#page=18).
* **Afstotingskracht:** Treedt op wanneer moleculen te dicht bij elkaar komen en voorkomt dat materie in elkaar klapt. Dit maakt vaste stoffen en vloeistoffen moeilijk samendrukbaar [18](#page=18).
* **Oorsprong:** Zowel aantrekkings- als afstotingskrachten zijn van elektrische oorsprong. De niet-symmetrische ladingsverdeling in moleculen leidt tot aantrekking, terwijl de afstoting van elektronenwolken bij te kleine afstanden leidt tot afstoting [18](#page=18).
* **Evenwichtsafstand:** De resulterende kracht tussen moleculen is nul op een afstand $r_0$, de molecuuldiameter. Op grotere afstanden is de kracht aantrekkend, op kleinere afstanden afstotend. Op een afstand van ongeveer 10 molecuuldiameters is de krachtwerking verwaarloosbaar [19](#page=19).
### 3.3 Aggregatietoestanden (fasen)
De aggregatietoestand van een stof (vast, vloeibaar, gas) hangt af van de temperatuur, druk en de sterkte van de intermoleculaire krachten versus de moleculaire bewegingen [20](#page=20).
#### 3.3.1 Vaste stof
* **Kenmerken:** Vaste vorm en vast volume. Hard en niet-samendrukbaar [19](#page=19).
* **Kristallijne toestand:** Deeltjes (ionen, atomen of moleculen) zijn regelmatig geordend in een kristalrooster. De enige beweging is vibratie rond een evenwichtspositie. Een hogere temperatuur vergroot de amplitude van deze trilling [19](#page=19) [20](#page=20).
* **Amorfe toestand:** Deeltjes zijn ongeordend. Glas is hiervan een voorbeeld [20](#page=20).
#### 3.3.2 Vloeistof
* **Ontstaan:** Ontstaat wanneer de vibratie-amplitude in een vaste stof zo groot wordt dat intermoleculaire krachten worden overwonnen, waardoor de roosterstructuur wordt verbroken [20](#page=20).
* **Kenmerken:** Vast volume, maar geen eigen vorm; neemt de vorm van het vat aan. In kleine hoeveelheden vormen ze druppels. Nagenoeg niet-samendrukbaar [20](#page=20).
* **Moleculaire structuur:** Moleculen bevinden zich nagenoeg even dicht als in een vaste stof, maar vibreren sneller en bewegen willekeurig door de vloeistof [20](#page=20).
#### 3.3.3 Gas
* **Kenmerken:** Deeltjes zitten ver van elkaar (ca. 10 molecuuldiameters bij normomstandigheden). Ze bewegen met hoge snelheden door de beschikbare ruimte [20](#page=20).
* **Moleculaire beweging:** Bij hogere temperaturen voeren moleculen ook rotatie- en vibratiebewegingen uit [20](#page=20).
* **Krachten:** Krachtwerking treedt alleen op tijdens de korte botsingen tussen gasdeeltjes [20](#page=20).
* **Druk:** Botsingen met de wanden van het vat veroorzaken de gasdruk [20](#page=20).
* **Samendrukbaarheid:** Gassen zijn goed samendrukbaar [20](#page=20).
* **Dichtheid:** De dichtheid van gassen is sterk afhankelijk van druk en temperatuur [20](#page=20).
### 3.4 Faseovergangen
Faseovergangen zijn natuurkundige, omkeerbare processen waarbij de aard van de stof niet verandert [20](#page=20) [21](#page=21).
* **Smelten:** Overgang van vast naar vloeibaar (S $\rightarrow$ L) [20](#page=20).
* **Stollen:** Omgekeerde van smelten (L $\rightarrow$ S) [20](#page=20).
* **Verdampen:** Overgang van vloeibaar naar gas (L $\rightarrow$ G) [21](#page=21).
* **Condenseren:** Omgekeerde van verdampen (G $\rightarrow$ L) [21](#page=21).
* **Sublimeren:** Overgang van vast direct naar gas (S $\rightarrow$ G) [20](#page=20) [21](#page=21).
* **Evenwicht:** Bij een faseovergang bestaan de twee fasen in evenwicht naast elkaar, en de temperatuur blijft constant (smeltpunt, kookpunt, sublimatiepunt). De temperatuur bij evenwicht hangt ook af van de druk [20](#page=20) [21](#page=21).
* **Damp:** De gastoestand boven een vloeistof in dynamisch evenwicht met de vloeistof [21](#page=21).
#### 3.4.1 Fasediagram
Een fasediagram toont de relatie tussen druk ($p$) en temperatuur ($T$) voor de verschillende fasen en faseovergangen [21](#page=21).
* **Smeltlijn:** Geeft de druk-temperatuur relatie weer voor de overgang van vast naar vloeibaar [21](#page=21).
* **Kooklijn (dampdruklijn):** Geeft de druk-temperatuur relatie weer voor de overgang van vloeibaar naar gas [21](#page=21) [22](#page=22).
* **Sublimatielijn:** Geeft de druk-temperatuur relatie weer voor de overgang van vast naar gas [21](#page=21).
* **Tripelpunt:** Het punt waar smeltlijn, kooklijn en sublimatielijn samenkomen, en drie fasen in evenwicht zijn [21](#page=21).
* **Kritisch punt:** Het eindpunt van de kooklijn, boven de kritische temperatuur en druk kan een gas niet meer vloeibaar worden door alleen compressie [22](#page=22).
* **Uitzondering water:** De smeltlijn van water is dalend, wat betekent dat ijs smelt bij toenemende druk [22](#page=22).
> **Tip:** Faseovergangen zijn natuurkundige processen, in tegenstelling tot chemische processen die een blijvende stofverandering veroorzaken [21](#page=21).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| SI-eenhedenstelsel | Het Système International d'Unités, het internationaal afgesproken wettelijk stelsel van eenheden dat gebruikt moet worden in de wetenschappen en de techniek. |
| Getalwaarde | Het getal dat aangeeft hoeveel maal een bepaalde grootheid groter is dan de gekozen eenheid. |
| Eenheid | Een grootheid van dezelfde soort die gebruikt wordt als vergelijkingsstandaard bij het meten van een andere grootheid. |
| Basisgrootheid | Fundamentele fysische grootheden die onafhankelijk van elkaar zijn gedefinieerd, zoals lengte, massa en tijd. |
| Afgeleide grootheid | Een fysische grootheid die is samengesteld uit één of meer basisgrootheden door middel van wiskundige bewerkingen. |
| Dimensie | De eigenschap van een grootheid die aangeeft uit welke basisgrootheden deze is samengesteld; grootheden met dezelfde dimensie kunnen worden vergeleken en opgeteld/afgetrokken. |
| Decimale veelvouden en delen | Een manier om grote of kleine eenheden te vormen door deze te vermenigvuldigen of delen met machten van tien, vaak aangeduid met voorvoegsels zoals kilo (k) of milli (m). |
| Beduidende (significante) cijfers | Cijfers in een getal die de nauwkeurigheid van de meting of berekening weergeven, beginnend vanaf het eerste cijfer dat niet nul is, en eindigend bij het laatste betrouwbare cijfer. |
| Intermoleculaire kracht | Krachten die werken tussen moleculen, zoals aantrekkings- en afstotingskrachten, die bepalen hoe moleculen zich tot elkaar verhouden in verschillende aggregatietoestanden. |
| Aggregatietoestand (fase) | De fysieke toestand waarin materie zich kan bevinden, zoals vast, vloeibaar of gas, bepaald door temperatuur, druk en de sterkte van intermoleculaire krachten. |
| Faseovergang | Het proces waarbij een stof verandert van de ene aggregatietoestand naar de andere, zoals smelten, stollen, verdampen of condenseren, vaak bij een constante temperatuur (smeltpunt, kookpunt). |
| Fasediagram | Een grafische weergave die de relatie tussen druk, temperatuur en de aggregatietoestanden van een stof toont, inclusief de lijnen die de faseovergangen aangeven. |
| Element | Een pure stof die niet verder kan worden opgesplitst in simpelere stoffen door chemische middelen; de bouwsteen van materie. |
| Atoom | Het kleinste deeltje van een element dat nog de chemische eigenschappen van dat element bezit, bestaande uit een kern met protonen en neutronen, en elektronen die daaromheen bewegen. |
| Molecuul | Een groep van twee of meer atomen die chemisch aan elkaar gebonden zijn en de kleinste entiteit vormen die de eigenschappen van een chemische verbinding kan vertonen. |
Cover
aantekening natuurkunde hfd 7 tot met 14.docx
Summary
# Licht en optische fenomenen
Dit onderwerp verkent de fundamentele eigenschappen van licht, inclusief de voortplanting, interactie met oppervlakken via terugkaatsing en breking, en de daaruit voortvloeiende fenomenen zoals schaduwen en spiegelbeelden.
### 1.1 De aard van licht
Licht is essentieel om te kunnen zien. Voorwerpen die zelf licht uitzenden, worden lichtbronnen genoemd. Deze kunnen worden onderverdeeld in natuurlijke lichtbronnen, zoals de zon en sterren, en kunstmatige lichtbronnen, zoals gloeilampen en kaarsen. Licht verspreidt zich in rechte lijnen, die we tekenen als lichtstralen. Deze lichtstralen zelf zijn onzichtbaar.
### 1.2 Terugkaatsing van licht
De meeste objecten produceren geen eigen licht en zijn alleen zichtbaar doordat het licht van een lichtbron erop valt en gedeeltelijk terugkaatst naar onze ogen. Dit principe wordt beschreven door de spiegelwet: de hoek van inval is gelijk aan de hoek van terugkaatsing. Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als:
$i = t$
waarbij:
* $i$ de hoek van inval is
* $t$ de hoek van terugkaatsing is
### 1.3 Schaduwvorming
Wanneer een object het licht van een lichtbron blokkeert en licht zich in rechte lijnen voortplant, ontstaat er een schaduw.
### 1.4 Spiegelbeelden
Een spiegelbeeld is een reflectie van een voorwerp in een spiegel. De afstand van het spiegelbeeld tot de spiegel is gelijk aan de afstand van het voorwerp tot de spiegel.
* **Voorwerpafstand:** De afstand van het voorwerp tot de spiegel.
* **Beeldafstand:** De afstand van het spiegelbeeld tot de spiegel.
Hieruit volgt de relatie:
Beeldafstand = Voorwerpafstand
### 1.5 Lichtbreking
De snelheid van licht varieert afhankelijk van het medium waarin het zich voortplant. In lucht en vacuüm is de lichtsnelheid ongeveer $300.000$ kilometer per seconde. In stoffen zoals water en glas is deze snelheid lager, rond de $200.000$ kilometer per seconde. Wanneer licht van het ene medium naar het andere overgaat, verandert de snelheid, wat leidt tot een buiging van de lichtstraal; dit fenomeen heet lichtbreking.
#### 1.5.1 Lichtbreking door een prisma
Wit licht is een samenstelling van alle zichtbare kleuren. Wanneer wit licht door een prisma gaat, wordt het gebroken en valt het uiteen in zijn componentkleuren, waardoor een spectrum zichtbaar wordt.
#### 1.5.2 Kleuren van licht
Het zichtbare spectrum omvat de kleuren van de regenboog. De primaire kleuren van licht zijn rood, groen en blauw. Door deze kleuren in de juiste verhoudingen te combineren, kan wit licht worden gevormd. De secundaire kleuren van licht zijn magenta, cyaan en geel. De primaire verfkleuren zijn rood, geel en blauw, en hun combinatie resulteert in zwart. De secundaire verfkleuren zijn oranje, groen en violet.
#### 1.5.3 Soorten straling
Naast zichtbaar licht zijn er andere vormen van straling, zoals ultraviolette (UV) straling, die onder andere zorgt voor verkleuring door zonlicht, en infraroodstraling, gebruikt in afstandsbedieningen en warmtebeeldcamera's.
### 1.6 Licht en lenzen
Het menselijk oog bevat een lens die de brandpuntsafstand kan aanpassen door van bolling te veranderen, waardoor scherpe beelden van objecten op verschillende afstanden kunnen worden gevormd. Dit proces heet accommodatie.
#### 1.6.1 Werking van een lens
Het brandpunt van een lens is het punt waar parallel invallende lichtstralen elkaar achter de lens snijden. Dit wordt aangegeven met de letter $F$. Een ideale situatie is wanneer dit brandpunt op de gele vlek in het oog valt.
#### 1.6.2 Scherpstellen van het oog
De ooglens is een bolle lens die zijn vorm kan aanpassen. Voorwerpen dichtbij vereisen een boller lens (met een kleinere brandpuntsafstand en sterkere lichtafbuiging), terwijl voorwerpen veraf een minder bolle lens nodig hebben. Accommodatie is het mechanisme waarmee de ooglens zijn brandpunt aanpast om een scherp beeld te creëren.
### 1.7 Lichtbundels
Lichtstralen bewegen altijd rechtdoor en vormen samen een lichtbundel. Lichtbundels kunnen worden beïnvloed door lenzen, die het licht afbuigen door het snelheidsverschil tussen verschillende media. Er zijn drie typen lichtbundels:
* **Divergerend:** Lichtstralen die zich van elkaar afspreiden.
* **Convergerend:** Lichtstralen die naar elkaar toe bewegen.
* **Evenwijdig:** Lichtstralen die parallel aan elkaar lopen.
#### 1.7.1 Verandering van lichtbundels met lenzen
Een lens (gemaakt van geslepen glas of kunststof) kan lichtbundels veranderen:
* **Bolle lens:** Dikker in het midden dan aan de rand. Lichtstralen worden naar elkaar toe gebogen (convergerende werking).
* **Holle lens:** Dunner in het midden dan aan de rand. Lichtstralen worden van elkaar af gebogen (divergerende werking).
#### 1.7.2 Vergroten en verkleinen
De vergrotingsfactor geeft aan hoe veel groter een beeld is ten opzichte van het voorwerp. Een holle spiegel kan bijvoorbeeld een beeld groter dan het voorwerp produceren, met een vergrotingsfactor groter dan 1.
* * *
# Krachten en hun effecten
Dit onderdeel verkent de aard, eigenschappen, effecten en classificaties van krachten, met een specifieke focus op zwaartekracht, wrijvingskracht en de fundamentele wetten van Newton, die essentieel zijn voor het begrijpen van de mechanica.
### 2.1 Eigenschappen van krachten
Krachten zijn fundamentele natuurkundige entiteiten die onzichtbaar zijn, maar wel waarneembare effecten teweegbrengen. Ze hebben de volgende kenmerken:
* **Aanvangspunt:** Het punt waar de kracht wordt uitgeoefend op een voorwerp.
* **Richting:** De specifieke lijn waarlangs de kracht werkt.
* **Grootte:** De intensiteit van de kracht, uitgedrukt in Newton (N).
Krachten worden grafisch weergegeven als pijlen, waarbij de lengte van de pijl de grootte van de kracht aangeeft en de richting van de pijl de werkrichting van de kracht weergeeft. Bij het tekenen van meerdere krachten in één diagram, is het cruciaal om dezelfde schaal te hanteren.
### 2.2 Effecten van krachten
De primaire effecten van krachten op voorwerpen zijn:
* **Verandering van vorm:** Een kracht kan de vorm van een voorwerp blijvend of tijdelijk vervormen.
* **Verandering van snelheid:** Krachten kunnen de grootte (versnelling of vertraging) of de richting van de beweging van een voorwerp beïnvloeden.
Als er geen netto kracht op een voorwerp werkt, behoudt het voorwerp zijn bewegingstoestand: stilstaande voorwerpen blijven stilstaan en bewegende voorwerpen blijven met een constante snelheid bewegen in een rechte lijn. Om een constante snelheid te handhaven, moet er echter een stuwkracht worden toegepast die gelijk is aan de som van de tegenwerkende krachten (zoals wrijving en luchtweerstand).
### 2.3 Classificatie van krachten
Krachten kunnen worden ingedeeld op basis van hun aard en de manier waarop ze worden uitgeoefend. Hieronder volgt een overzicht van veelvoorkomende krachten:
#### 2.3.1 Krachten op afstand
Dit zijn krachten die werken zonder fysiek contact tussen de voorwerpen.
* **Zwaartekracht ($F\_z$):** De aantrekkingskracht tussen twee massa's. Op aarde is dit de kracht waarmee de aarde een voorwerp aantrekt.
* De formule voor zwaartekracht is $F\_z = m \\times g$, waarbij $m$ de massa is en $g$ de valversnelling.
* De valversnelling op aarde is ongeveer $9,81 , \\text{N/kg}$.
* **Tip:** Massa is een maat voor de hoeveelheid materie in een voorwerp, terwijl gewicht de zwaartekracht is die op dat voorwerp werkt. Gewicht kan variëren afhankelijk van de locatie (bijvoorbeeld op de maan), terwijl massa constant blijft.
* **Elektrische kracht ($F\_e$):** De kracht tussen geladen deeltjes.
* **Magnetische kracht ($F\_m$):** De kracht die wordt uitgeoefend door magnetische velden, resulterend in aantrekking of afstoting tussen magneten.
#### 2.3.2 Krachten met contact
Dit zijn krachten die fysiek contact vereisen tussen de voorwerpen.
* **Veerkracht ($F\_v$):** De kracht die een elastisch voorwerp (zoals een veer) uitoefent wanneer het wordt uitgerekt of samengedrukt.
* De relatie tussen veerkracht en uitrekking wordt beschreven door de Wet van Hooke: $F\_v = C \\cdot u$, waarbij $C$ de veerconstante is (een maat voor de stijfheid van de veer) en $u$ de uitrekking of indrukking is.
* **Tip:** De veerconstante $C$ heeft eenheden van $\\text{N/m}$. Een hogere $C$ betekent een stuggere veer.
* **Example:** Met een veer-eenheid kan de grootte van een kracht worden gemeten door te observeren hoe ver de veer uitrekt.
* **Spankracht ($F\_s$):** De kracht die wordt overgebracht door een gespannen koord, kabel of ketting.
* **Spierkracht:** De kracht die door spieren wordt gegenereerd.
* **Wrijvingskracht ($F\_w$):** Een kracht die de beweging tussen twee oppervlakken die met elkaar in contact zijn tegenwerkt.
* **Luchtweerstand ($F\_{w,l}$):** Een specifieke vorm van wrijving die de beweging door de lucht tegenwerkt.
* **Normaalkracht ($F\_n$):** De reactiekracht van een oppervlak op een voorwerp dat erop rust. Deze kracht staat altijd loodrecht op het oppervlak.
* Bij evenwicht is de normaalkracht vaak gelijk aan de zwaartekracht, maar dit geldt niet altijd (bijvoorbeeld wanneer er ook andere verticale krachten werken).
### 2.4 Het optellen van krachten: de resulterende kracht
Wanneer meerdere krachten op een voorwerp werken, kan hun gecombineerde effect worden uitgedrukt als één enkele kracht, de **resulterende kracht**. Dit wordt gedaan door de vectoren (krachten met grootte en richting) van de individuele krachten op te tellen.
* Als krachten in dezelfde richting werken, worden hun groottes opgeteld.
* Als krachten in tegengestelde richtingen werken, wordt het verschil in grootte genomen.
* Als krachten onder een hoek werken, worden vectoren gebruikt om de resulterende kracht grafisch of wiskundig te bepalen.
Een netto kracht die niet nul is, resulteert in een verandering van snelheid (versnelling of vertraging). Als de resulterende kracht nul is, blijft de snelheid van het voorwerp constant (of blijft het stil).
### 2.5 Wetten van Newton
De wetten van Newton vormen de basis van de klassieke mechanica en beschrijven de relatie tussen krachten en beweging.
* **Eerste wet van Newton (Traagheidswet):** Een voorwerp blijft in rust of in een eenparige rechtlijnige beweging, tenzij er een externe kracht op werkt. Dit principe verklaart waarom een constante snelheid behouden blijft als de nettokracht nul is.
* **Tweede wet van Newton:** De versnelling van een voorwerp is recht evenredig met de netto kracht die erop werkt en omgekeerd evenredig met zijn massa. De formule hiervoor is $F\_{netto} = m \\times a$, waarbij $F\_{netto}$ de netto kracht is, $m$ de massa en $a$ de versnelling.
* **Tip:** Deze wet is een uitbreiding van de zwaartekrachtformule $F\_z = m \\times g$, waarbij $g$ de specifieke versnelling door zwaartekracht is.
* **Derde wet van Newton (Actie-reactiewet):** Als voorwerp A een kracht uitoefent op voorwerp B, dan oefent voorwerp B een even grote, tegengesteld gerichte kracht uit op voorwerp A.
* **Example:** De normaalkracht is de reactiekracht van de ondergrond op de zwaartekracht die door een voorwerp erop wordt uitgeoefend.
### 2.6 Druk
Druk is een maat voor de kracht die loodrecht op een oppervlak wordt uitgeoefend, per eenheid van oppervlakte.
* De formule voor druk ($p$) is: $$p = \\frac{F}{A}$$ waarbij $F$ de kracht is en $A$ de oppervlakte waarop de kracht werkt.
* De eenheid van druk is Pascal (Pa) of $\\text{N/m}^2$.
* **Tip:** Hoe kleiner de oppervlakte waarop een bepaalde kracht wordt uitgeoefend, hoe hoger de druk. Een scherp mes oefent bijvoorbeeld meer druk uit dan een bot mes bij dezelfde kracht.
* **Manometer:** Een instrument dat de druk meet. Een manometer geeft meestal de overdruk of onderdruk ten opzichte van de atmosferische druk aan. De absolute druk is de som van de atmosferische druk en de gemeten druk (of het verschil bij onderdruk).
### 2.7 Hefbomen en overbrengingen
* **Hefbomen:** Hefbomen verkleinen de benodigde kracht om een taak uit te voeren. Hoe groter de afstand van het draaipunt tot het aangrijpingspunt van de kracht (de arm), hoe kleiner de kracht die nodig is.
* De hefboomwet stelt: $\\text{kracht}\_1 \\times \\text{arm}\_1 = \\text{kracht}\_2 \\times \\text{arm}\_2$.
* **Tandwielen:** Tandwielen worden gebruikt om bewegingen over te brengen en om de kracht of snelheid aan te passen. Tandwielen die direct contact maken, draaien in tegengestelde richting. De grootte van de tandwielen bepaalt de overbrengingsverhouding, wat de kracht en snelheid kan veranderen. Fietsversnellingen maken gebruik van verschillende combinaties van tandwielen om de trapweerstand aan te passen aan de omstandigheden.
* * *
# Energie en energietransformaties
Dit onderwerp behandelt de fundamentele wet van behoud van energie, verschillende energievormen en de manier waarop deze energie wordt omgezet, met speciale aandacht voor zowel fossiele als hernieuwbare energiebronnen.
### 3.1 De wet van behoud van energie
De wet van behoud van energie stelt dat energie nooit verloren gaat; het kan enkel van vorm veranderen of worden overgedragen. De totale hoeveelheid energie in een gesloten systeem blijft dus constant.
### 3.2 Energievormen
Energie kan in verschillende vormen voorkomen. De belangrijkste energievormen zijn:
* **Warmte-energie:** Energie gerelateerd aan temperatuur.
* **Elektrische energie:** Energie die wordt getransporteerd door elektrische ladingen.
* **Magnetische energie:** Energie die geassocieerd wordt met magnetische velden.
* **Bewegingsenergie (kinetische energie):** De energie die een voorwerp bezit door zijn beweging.
* **Geluidsenergie:** Energie die wordt overgedragen door trillingen in een medium.
* **Stralingsenergie:** Energie die wordt overgedragen door elektromagnetische golven, zoals licht.
* **Kernenergie:** Energie die vrijkomt bij kernreacties, zoals kernsplijting of kernfusie.
* **Potentiële energie (zwaarte-energie):** De energie die een voorwerp bezit door zijn positie in een zwaartekrachtveld.
De standaardeenheid voor energie is de Joule (J).
### 3.3 Energieomzettingen
Energietransformaties zijn processen waarbij energie van de ene vorm overgaat in een andere vorm. Een energieomzetter is een apparaat dat een bepaalde energievorm opneemt en deze omzet in één of meerdere andere energievormen. Deze omzettingen kunnen worden weergegeven in een energie-stroomdiagram.
> **Tip:** Hoewel energie niet verloren gaat, is niet alle omgezette energie nuttig. Vaak gaat een deel van de energie verloren aan warmte of geluid, wat als "nutteloze" energie wordt beschouwd in een specifiek proces.
### 3.4 Energiebronnen
Energiebronnen kunnen worden onderverdeeld in fossiele brandstoffen en hernieuwbare energiebronnen.
#### 3.4.1 Fossiele brandstoffen
Dit zijn brandstoffen die zijn ontstaan uit organisch materiaal dat miljoenen jaren onder hoge druk en temperatuur is begraven. Voorbeelden zijn:
* Aardolie
* Aardgas
* Steenkool
Het gebruik van fossiele brandstoffen leidt tot de uitstoot van CO2, wat bijdraagt aan klimaatverandering.
#### 3.4.2 Hernieuwbare energiebronnen (groene energie, duurzame energie)
Dit zijn energiebronnen die niet opraken of die zichzelf continu aanvullen. Ze worden als zuinig en milieuvriendelijk beschouwd. Voorbeelden zijn:
* **Zonne-energie:** Energie opgewekt door de zon, vaak met behulp van zonnepanelen.
* **Windenergie:** Energie opgewekt door windturbines.
* Een windmolen is een energieomzetter: de bewegingsenergie van de wind wordt omgezet in elektrische energie en warmte.
* **Waterkracht:** Energie opgewekt door stromend water (hydro-elektriciteit).
* **Geothermische energie:** Energie afkomstig uit de warmte van de aarde.
* **Biomassa/biobrandstoffen:** Energie opgewekt uit organisch materiaal.
Nadelen van hernieuwbare energiebronnen kunnen de weersafhankelijkheid zijn en de energie en grondstoffen die nodig zijn voor hun productie.
### 3.5 Kerncentrales
In kerncentrales wordt uranium gespleten door het te beschieten met neutronen. De daaruit voortvloeiende kettingreactie produceert veel warmte. Deze warmte wordt gebruikt om water te verhitten tot stoom, die vervolgens een turbine aandrijft. De draaiende turbine laat een generator draaien, die elektriciteit produceert.
### 3.6 Faseovergangen
Energietransformaties kunnen ook gerelateerd zijn aan faseovergangen van materie:
* **Smelten:** Een vaste stof wordt een vloeistof.
* **Verdampen:** Een vloeistof wordt een gas.
* **Condenseren:** Een gas wordt een vloeistof.
* **Bevriezen:** Een vloeistof wordt een vaste stof.
* **Rijpen:** Een gas wordt een vaste stof.
* **Vervluchtigen (sublimeren):** Een vaste stof wordt een gas.
### 3.7 Isolatie
Isolatie is het proces van het tegenhouden van warmtetransport. Dit is belangrijk om warmteverlies te minimaliseren.
* * *
# Constructies en materialen
Dit deel behandelt de principes achter sterke constructievormen, verschillende materiaaltypen en de constructie van bruggen.
### 4.1 Sterke constructievormen
Sterke constructievormen zijn essentieel voor de stabiliteit en duurzaamheid van bouwwerken. Twee van de meest effectieve vormen die in constructies worden gebruikt, zijn de boog en de driehoek.
#### 4.1.1 De boog
De boog is een rond gebogen constructie die uitstekend geschikt is voor het opvangen van duwkrachten. De krachten die op een boogconstructie werken, worden gelijkmatig verdeeld over de gehele structuur, wat resulteert in een zeer stevige en stabiele vorm. Dit principe wordt veel toegepast bij viaducten en bruggen. Historisch gezien werden in de Middeleeuwen al bruggen gebouwd met bogen en gewelven, zoals de Ponte Vecchio in Florence.
#### 4.1.2 De driehoek
De driehoek is een fundamentele geometrische vorm in constructies vanwege zijn inherente stabiliteit. In tegenstelling tot bijvoorbeeld een vierkant, dat gemakkelijk kan inklappen doordat de hoeken kunnen bewegen, zijn de lijnen van een driehoek gefixeerd. Dit komt doordat de drie hoeken zorgen voor een optimale verdeling van krachten, waardoor de driehoek zijn vorm behoudt onder belasting.
### 4.2 Profielen
Profielen zijn staven of elementen met een specifieke dwarsdoorsnede die worden gebruikt in constructies om krachtoverdracht en stabiliteit te verbeteren. Ze zijn ontworpen om zowel sterk als licht te zijn. Er zijn diverse soorten profielen, vaak benoemd naar hun vorm:
* Kokerprofiel
* Buisprofiel
* Stafprofiel
* Strip
* Hoeklijnprofiel
* T-profiel
* U-profiel
* I-profiel
* L-profiel
* Driehoeksprofiel
### 4.3 Composietmaterialen
Composieten zijn samengestelde materialen die bestaan uit twee of meer verschillende componenten, waarbij de individuele materialen elkaar verbeteren om een eindproduct met superieure eigenschappen te creëren.
* **Samenstelling:** Composieten combineren verschillende materialen. Een bekend voorbeeld is carbon fiber, dat bestaat uit kunststof en koolstofvezels.
* **Legeringen vs. Composieten:** Een legering is een mengsel van metalen, terwijl een composiet een mengsel is van (vaak) kunststoffen met andere materialen zoals vezels.
* **Voordelen:** Composieten zijn over het algemeen sterker en lichter dan traditionele bouwmaterialen zoals staal, beton en hout. Dit maakt ze tot veelbelovende bouwmaterialen voor de toekomst.
### 4.4 Typen bruggen
Bruggen worden ontworpen met verschillende constructievormen om aan specifieke eisen te voldoen qua overspanning, draagkracht en esthetiek. Veelvoorkomende typen bruggen zijn:
* **Vakwerkbrug:** Gebouwd met een netwerk van driehoeken die gezamenlijk de belasting dragen.
* **Tuibrug:** Een brug waarbij de rijbaan wordt ondersteund door kabels (tuien) die aan hoge pylonen zijn bevestigd.
* **Boogbrug:** Maakt gebruik van de sterkte van de boogvorm om de overspanning te creëren.
* **Hangbrug:** Hierbij hangt de rijbaan aan kabels die over hoge torens lopen en aan weerszijden verankerd zijn.
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Lichtbron | Een voorwerp dat zelf licht uitzendt, essentieel voor zichtbaarheid. Voorbeelden zijn de zon, sterren, gloeilampen en kaarsen. |
| Lichtstraal | Een weergave van de rechtlijnige voortplanting van licht, onzichtbaar op zichzelf maar zichtbaar door het effect op voorwerpen. |
| Terugkaatsing | Het fenomeen waarbij lichtstralen weerkaatsen op een oppervlak; de spiegelwet stelt dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek van terugkaatsing (`/_i = /_t`). |
| Schaduw | Een gebied waar direct licht van een lichtbron wordt geblokkeerd door een obstakel, veroorzaakt door de rechtlijnige voortplanting van licht. |
| Spiegelbeeld | Een reflectie die achter een spiegel verschijnt, op dezelfde afstand van de spiegel als het oorspronkelijke voorwerp ervoor. |
| Lichtbreking | Het buigen van een lichtstraal wanneer deze overgaat van het ene medium naar het andere met een verschillende lichtsnelheid, zoals van lucht naar water of glas. |
| Spectrum | De reeks kleuren die ontstaat wanneer wit licht wordt ontleed, zoals door een prisma; wit licht is een mengsel van deze kleuren. |
| Primaire kleuren van licht | Rood, groen en blauw; deze kleuren kunnen, wanneer ze in de juiste verhoudingen worden gecombineerd, alle andere kleuren creëren, inclusief wit licht. |
| Primaire verfkleuren | Rood, geel en blauw; deze kleuren vormen, wanneer gemengd, de kleur zwart. |
| Accommoderen | Het vermogen van het menselijk oog om de bolheid van de ooglens aan te passen om scherp te stellen op voorwerpen op verschillende afstanden. |
| Brandpunt | Het punt achter een lens waar evenwijdige lichtstralen samenkomen na de lens te hebben gepasseerd; aangegeven met de letter F. |
| Lichtbundel | Een verzameling van meerdere lichtstralen. Er zijn drie typen: divergerend, convergerend en evenwijdig. |
| Convergerende lens (bolle lens) | Een lens die dikker is in het midden dan aan de randen; deze brengt lichtstralen naar elkaar toe. |
| Divergerende lens (holle lens) | Een lens die dunner is in het midden dan aan de randen; deze spreidt lichtstralen van elkaar af. |
| Vergrotingsfactor | Een maat die aangeeft hoeveell keer zo groot een beeld is ten opzichte van het oorspronkelijke voorwerp. |
| Kracht | Een invloed die de vorm, snelheid of richting van een voorwerp kan veranderen; wordt aangegeven met de letter F en gemeten in Newton (N). |
| Zwaartekracht (Fz) | De aantrekkingskracht tussen voorwerpen met massa, veroorzaakt door een planeet of ander hemellichaam. |
| Wrijvingskracht (Fw) | Een kracht die de beweging tussen twee contactoppervlakken tegenwerkt. |
| Normaalkracht (Fn) | De kracht die een oppervlak uitoefent op een voorwerp dat erop rust, loodrecht op het oppervlak. |
| Massa | De hoeveelheid materie waaruit een voorwerp bestaat; verandert niet met de locatie. |
| Gewicht | De aantrekkingskracht van een planeet op een voorwerp; hangt af van de massa en de zwaartekracht van de planeet. |
| Veerkracht (Fv) | De kracht die een veer uitoefent als reactie op uitrekking of samendrukking. |
| Veerconstante (C) | Een maat voor de stijfheid van een veer; de verhouding tussen de uitgeoefende kracht en de uitrekking van de veer (`Fv = C * u`). |
| Resulterende kracht | De enkele kracht die de totale effecten van meerdere krachten kan vervangen; berekend door krachten op te tellen of af te trekken. |
| Derde wet van Newton (actie-reactie) | Stelt dat voor elke actie er een gelijke en tegengestelde reactie is; beschrijft de wisselwerking tussen krachten. |
| Hefboomwet | Een principe dat beschrijft hoe hefbomen kracht vermenigvuldigen; `kracht1 * arm1 = kracht2 * arm2`. |
| Druk | De hoeveelheid kracht per oppervlakte-eenheid (`p = F/A`). |
| Absolute druk | De werkelijke druk, inclusief de omgevingsdruk (bijvoorbeeld luchtdruk). |
| Overdruk | Het verschil tussen de absolute druk en de omgevingsdruk, wanneer de absolute druk hoger is. |
| Onderdruk | Het verschil tussen de omgevingsdruk en de absolute druk, wanneer de absolute druk lager is. |
| Energie | Het vermogen om arbeid te verrichten; bestaat in vele vormen zoals warmte, elektrisch, bewegingsenergie, etc. |
| Wet van behoud van energie | Stelt dat energie in een gesloten systeem nooit verloren gaat, maar alleen kan worden omgezet van de ene vorm naar de andere. |
| Energie-omzetter | Een apparaat of systeem dat een vorm van energie opneemt en omzet in een of meer andere vormen van energie. |
| Fossiele brandstoffen | Brandstoffen gevormd uit organisch materiaal dat miljoenen jaren geleden is begraven, zoals aardolie, aardgas en steenkool. |
| Hernieuwbare energie | Energiebronnen die continu worden aangevuld, zoals zonne-, wind- en waterkracht. Deze worden ook wel duurzame energie genoemd. |
| Duurzame energie | Energie die wordt opgewekt uit bronnen die niet uitgeput raken en die minimaal milieuschade veroorzaken. |
| Kernenergie | Energie die vrijkomt bij kernreacties, zoals kernsplijting in kerncentrales. |
| Isolatie | Het proces of materiaal dat de warmteoverdracht tegenhoudt. |
| Valversnelling (g) | De versnelling die een voorwerp ondergaat als gevolg van de zwaartekracht; varieert per hemellichaam (in Nederland ongeveer 9,81 N/kg). |
| Arbeid | De inspanning die nodig is om een voorwerp over een bepaalde afstand te verplaatsen, gedefinieerd als kracht maal afstand. |
| Tandwielen | Mechanische componenten met tanden die in elkaar grijpen om beweging en kracht over te brengen tussen assen, vaak om de snelheid of kracht te wijzigen. |
| Constructie | Een samengestelde structuur of gebouw, ontworpen om krachten te weerstaan en stabiliteit te bieden. |
| Composiet | Een materiaal dat bestaat uit twee of meer samenstellende materialen met significant verschillende fysische of chemische eigenschappen, die bij menging verbeterde eigenschappen vertonen. |
Cover
algemene_fysica_1_2020.pdf
Summary
# Vectorrekening
Dit hoofdstuk introduceert de basisbegrippen van vectorrekening, essentieel voor het beschrijven van fysische grootheden die zowel richting als maatgetal hebben [4](#page=4).
### 1.1 Definities en eigenschappen van vectoren
Fysische grootheden worden onderverdeeld in scalaire en vectoriële grootheden [4](#page=4).
* **Scalair:** Volledig bepaald door een maatgetal (bv. massa, energie, temperatuur) [4](#page=4).
* **Vectoriële grootheid:** Gekenmerkt door richting, zin en maatgetal (bv. snelheid, versnelling, kracht). Een vector kan worden voorgesteld als een gericht lijnstuk, bijvoorbeeld de vector $\\vec{AB}$ van oorsprong A naar eindpunt B. Het maatgetal van de vectoriële grootheid is de lengte van de vector [4](#page=4).
**Eigenschappen van vectoren:** [4](#page=4).
* **Gelijkheid:** Twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ zijn gelijk indien ze dezelfde richting, zin en grootte hebben ($\\vec{a} = \\vec{b}$) [4](#page=4).
* **Tegengesteld:** Twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ zijn tegengesteld indien ze dezelfde richting en grootte hebben, maar een tegengestelde zin ($\\vec{a} = -\\vec{b}$ of $\\vec{b} = -\\vec{a}$) [4](#page=4).
* **Eenheidsvector:** Een eenheidsvector $\\hat{e}\_x$ op een as $x$ is een vector op die as met een maatgetal van +1 [4](#page=4).
#### 1.1.1 Vectoroptelling en -aftrekking
De vectorsom $\\vec{a} + \\vec{b}$ wordt gevonden met de driehoeksmethode: plaats de oorsprong van $\\vec{b}$ aan het eindpunt van $\\vec{a}$; de vectorsom is de vector die de driehoek sluit. Het vectorverschil $\\vec{a} - \\vec{b}$ is de vectorsom van $\\vec{a}$ met de tegengestelde vector van $\\vec{b}$ ($\\vec{a} - \\vec{b} = \\vec{a} + (-\\vec{b})$) [5](#page=5).
**Eigenschappen van vectorsom:** [5](#page=5).
* **Commutativiteit:** $\\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a}$ [5](#page=5).
* **Associativiteit:** $(\\vec{a} + \\vec{b}) + \\vec{c} = \\vec{a} + (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} + \\vec{b} + \\vec{c}$ [5](#page=5).
#### 1.1.2 Product van een vector met een getal
Het product $m\\vec{a}$ van een vector $\\vec{a}$ met een getal $m$ resulteert in een vector met dezelfde richting als $\\vec{a}$, maar met een lengte vermenigvuldigd met $m$. Indien $a$ de lengte van $\\vec{a}$ is en $\\hat{e}\_a$ de eenheidsvector in de richting van $\\vec{a}$, dan is $\\vec{a} = a\\hat{e}\_a$ [5](#page=5).
**Eigenschap distributiviteit:** [5](#page=5). $m(\\vec{a} + \\vec{b}) = m\\vec{a} + m\\vec{b}$ [5](#page=5).
#### 1.1.3 Componenten van een vector
Een vector kan worden ontbonden in componenten, dit zijn vectoren waarvan de gegeven vector de som is. In een Cartesisch coördinatenstelsel (met assen Ox, Oy, Oz) kan een plaatsvector $\\vec{r}$ worden ontbonden in drie orthogonale componenten $\\vec{r}\_x$, $\\vec{r}\_y$, $\\vec{r}\_z$ langs de assen, mits deze niet evenwijdig zijn aan hetzelfde vlak [5](#page=5).
De vector kan worden geschreven als: $\\vec{r} = \\vec{r}\_x + \\vec{r}\_y + \\vec{r}\_z$ [5](#page=5).
Indien $x$, $y$, en $z$ de lengtes van deze componenten zijn en $\\hat{e}\_x$, $\\hat{e}\_y$, $\\hat{e}\_z$ de eenheidsvectoren langs de assen zijn, geldt: $\\vec{r} = x\\hat{e}\_x + y\\hat{e}\_y + z\\hat{e}\_z$ [6](#page=6). De getallen $(x,y,z)$ zijn de Cartesische coördinaten van het eindpunt P van de vector $\\vec{r}$ [6](#page=6).
### 1.2 Producten van vectoren
#### 1.2.1 Scalair product
Het scalair product van twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ wordt gedefinieerd als het product van hun normen vermenigvuldigd met de cosinus van de ingesloten hoek $\\theta$ [6](#page=6): $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}||\\vec{b}|\\cos \\theta$ [6](#page=6). $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab\\cos \\theta$ [6](#page=6).
met $a = |\\vec{a}|$ en $b = |\\vec{b}|$ de groottes van de vectoren [6](#page=6).
**Eigenschappen van het scalair product:** [7](#page=7).
* **Commutativiteit:** $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\vec{b} \\cdot \\vec{a}$ [7](#page=7).
* **Orthogonaliteit:** Als $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$, dan $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$ [7](#page=7).
* **Parallelle dragers:** Als $\\vec{a} \\parallel \\vec{b}$, dan $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab$ indien ze dezelfde zin hebben, en $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = -ab$ indien ze tegengestelde zin hebben [7](#page=7).
* **Distributiviteit:** $(\\vec{a} + \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = \\vec{a} \\cdot \\vec{c} + \\vec{b} \\cdot \\vec{c}$ [7](#page=7).
* Uit de distributiviteit volgt: $(\\vec{a}\_1 + \\vec{a}\_2) \\cdot (\\vec{b}\_1 + \\vec{b}\_2) = \\vec{a}\_1 \\cdot \\vec{b}\_1 + \\vec{a}\_1 \\cdot \\vec{b}\_2 + \\vec{a}\_2 \\cdot \\vec{b}\_1 + \\vec{a}\_2 \\cdot \\vec{b}\_2$ [7](#page=7).
Voor vectoren met Cartesische coördinaten $\\vec{a} = (a\_x, a\_y, a\_z)$ en $\\vec{b} = (b\_x, b\_y, b\_z)$ geldt: $\\vec{a} = a\_x \\hat{e}\_x + a\_y \\hat{e}\_y + a\_z \\hat{e}\_z$ [7](#page=7). $\\vec{b} = b\_x \\hat{e}\_x + b\_y \\hat{e}\_y + b\_z \\hat{e}\_z$ [7](#page=7).
Het scalair product wordt dan: $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a\_x b\_x (\\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_x) + \\dots + a\_z b\_z (\\hat{e}\_z \\cdot \\hat{e}\_z) + \\dots$ [7](#page=7).
Omdat de assen loodrecht staan, geldt: $\\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_x = \\hat{e}\_y \\cdot \\hat{e}\_y = \\hat{e}\_z \\cdot \\hat{e}\_z = 1$ en $\\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_y = \\hat{e}\_y \\cdot \\hat{e}\_z = \\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_z = 0$ [8](#page=8). Hieruit volgt de formule voor het scalair product in Cartesische coördinaten: $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a\_x b\_x + a\_y b\_y + a\_z b\_z$ [8](#page=8).
#### 1.2.2 Vectorieel product
Het vectorieel product $\\vec{a} \\times \\vec{b}$ is een vector die loodrecht staat op het vlak bepaald door $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$. De grootte ervan is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram op $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ gebouwd, $a b \\sin \\theta$ [8](#page=8). $|\\vec{a} \\times \\vec{b}| = ab \\sin \\theta$ [8](#page=8).
**Eigenschappen van het vectorieel product:** [8](#page=8).
* $\\vec{a} \\times \\vec{a} = \\vec{0}$ [8](#page=8).
* Niet commutatief: $\\vec{a} \\times \\vec{b} = -\\vec{b} \\times \\vec{a}$ [8](#page=8).
* Distributiviteit: $(\\vec{a} + \\vec{b}) \\times \\vec{c} = (\\vec{a} \\times \\vec{c}) + (\\vec{b} \\times \\vec{c})$ [8](#page=8).
Voor een rechtsdraaiend assenstelsel geldt: $\\hat{e}\_x \\times \\hat{e}\_y = \\hat{e}\_z$ [8](#page=8). $\\hat{e}\_y \\times \\hat{e}\_z = \\hat{e}\_x$ [8](#page=8). $\\hat{e}\_z \\times \\hat{e}\_x = \\hat{e}\_y$ [8](#page=8).
Met Cartesische coördinaten wordt het vectorieel product: $\\vec{a} \\times \\vec{b} = (a\_y b\_z - a\_z b\_y) \\hat{e}\_x + (a\_z b\_x - a\_x b\_z) \\hat{e}\_y + (a\_x b\_y - a\_y b\_x) \\hat{e}\_z$ [8](#page=8). Dit kan ook worden uitgedrukt als een determinant: $$ \\vec{a} \\times \\vec{b} = \\begin{vmatrix} \\hat{e}\_x & \\hat{e}\_y & \\hat{e}\_z \\ a\_x & a\_y & a\_z \\ b\_x & b\_y & b\_z \\end{vmatrix} $$ [9](#page=9).
#### 1.2.3 Gemengd product
Het gemengd product van drie vectoren $\\vec{a}$, $\\vec{b}$, en $\\vec{c}$ is het scalair product van één vector met het vectorieel product van de andere twee: $(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c}$ [9](#page=9).
**Eigenschappen van het gemengd product:** [9](#page=9).
* De absolute waarde van het gemengd product is het volume van het parallellepipedum geconstrueerd op de vectoren $\\vec{a}$, $\\vec{b}$, en $\\vec{c}$ [9](#page=9).
* Het gemengd product is nul als twee van de vectoren evenwijdig zijn [9](#page=9).
* Cyclische permutatie van de vectoren verandert het gemengd product niet: $(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = (\\vec{b} \\times \\vec{c}) \\cdot \\vec{a} = (\\vec{c} \\times \\vec{a}) \\cdot \\vec{b}$ [9](#page=9).
In Cartesische coördinaten kan het gemengd product worden geschreven als: $(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = c\_x (a\_y b\_z - a\_z b\_y) + c\_y (a\_z b\_x - a\_x b\_z) + c\_z (a\_x b\_y - a\_y b\_x)$ [9](#page=9). Dit is gelijk aan de determinant: $$ (\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = \\begin{vmatrix} a\_x & a\_y & a\_z \\ b\_x & b\_y & b\_z \\ c\_x & c\_y & c\_z \\end{vmatrix} $$ [9](#page=9).
### 1.3 Moment van een vector
Het moment van een vector $\\vec{u}$ met beginpunt A ten opzichte van een punt O wordt gedefinieerd als de vector $\\vec{MO}$, waarbij $\\vec{r}$ de plaatsvector van A ten opzichte van O is [9](#page=9). $\\vec{MO} = \\vec{r} \\times \\vec{u}$ [9](#page=9). Dit moment is onafhankelijk van de keuze van het beginpunt A op de drager van de vector [10](#page=10).
### 1.4 Afgeleide van een vector naar een scalaire veranderlijke
Zij $\\vec{a}(t)$ een continue vectoriële functie van een scalaire veranderlijke $t$. Een aangroei $\\Delta t$ van $t$ correspondeert met een aangroei $\\Delta \\vec{a}$ van de vector $\\vec{a}$ [10](#page=10): $\\Delta \\vec{a} = \\vec{a}(t + \\Delta t) - \\vec{a}(t)$ [10](#page=10).
De afgeleide $\\frac{d\\vec{a}}{dt}$ is de limiet van de verhouding $\\frac{\\Delta \\vec{a}}{\\Delta t}$ als $\\Delta t \\to 0$ [10](#page=10): $\\frac{d\\vec{a}}{dt} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\vec{a}}{\\Delta t} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\vec{a}(t + \\Delta t) - \\vec{a}(t)}{\\Delta t}$ [10](#page=10).
In Cartesische componenten: $(\\frac{d\\vec{a}}{dt})\_x = \\frac{da\_x}{dt}$ [10](#page=10). $(\\frac{d\\vec{a}}{dt})\_y = \\frac{da\_y}{dt}$ [10](#page=10). $(\\frac{d\\vec{a}}{dt})\_z = \\frac{da\_z}{dt}$ [10](#page=10).
**Regels voor vectoriële afleiding (analogon van scalaire afleiding):** [10](#page=10).
* $\\frac{d}{dt}(\\vec{a} + \\vec{b} + \\vec{c}) = \\frac{d\\vec{a}}{dt} + \\frac{d\\vec{b}}{dt} + \\frac{d\\vec{c}}{dt}$ [10](#page=10).
* $\\frac{d}{dt}(m\\vec{a}) = \\frac{dm}{dt}\\vec{a} + m\\frac{d\\vec{a}}{dt}$ [10](#page=10).
* $\\frac{d}{dt}(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}) = \\frac{d\\vec{a}}{dt} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\frac{d\\vec{b}}{dt}$ [10](#page=10).
* $\\frac{d}{dt}(\\vec{a} \\times \\vec{b}) = \\frac{d\\vec{a}}{dt} \\times \\vec{b} + \\vec{a} \\times \\frac{d\\vec{b}}{dt}$ [10](#page=10).
* * *
# Kinematica van het massapunt
Dit hoofdstuk beschrijft de beweging van een deeltje zonder de oorzaken ervan te analyseren, en omvat rechtlijnige en kromlijnige bewegingen, snelheid, versnelling en speciale bewegingsvormen zoals harmonische en cirkelvormige bewegingen [11](#page=11).
### 2.1 Bewegingsvergelijking
De kinematica bestudeert de beweging van een lichaam door eerst de beweging van een klein stoffelijk massapunt te analyseren. De positie van een deeltje wordt bepaald door zijn plaatsvector $\\mathbf{r}$ of de projecties ervan op de assen van een coördinatenstelsel. Wanneer het deeltje beweegt, veranderen deze positiebepalende grootheden met de tijd [11](#page=11).
De bewegingsvergelijking drukt de plaatsvector uit als functie van de tijd: $$ \\mathbf{r} = \\mathbf{r}(t) $$ [2.1](#page=11)
Projectie op de assen leidt tot de scalaire bewegingsvergelijkingen: $$ \\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \\end{cases} $$ [2.2](#page=11)
Een beweging langs een rechte lijn wordt rechtlijnige beweging genoemd, terwijl een beweging langs een kromme kromlijnige beweging is. De analytische vergelijking van de baan wordt verkregen door eliminatie van de parameter $t$ uit de bewegingsvergelijkingen [11](#page=11).
### 2.2 Rechtlijnige beweging
#### 2.2.1 Snelheid
Voor een deeltje dat zich op de x-as beweegt, is de bewegingsvergelijking $x = x(t)$. De gemiddelde snelheid $\\langle v \\rangle$ in een tijdsinterval $\[t\_0, t\]$ wordt gedefinieerd als de verplaatsing $\\Delta x$ gedeeld door de tijdsduur $\\Delta t$ [12](#page=12): $$ \\langle v \\rangle = \\frac{\\Delta x}{\\Delta t} $$ [2.4](#page=12)
Deze gemiddelde snelheid wordt voorgesteld door de helling van de koorde in een $(t, x)$\-graaf. Een eenparige beweging heeft een constante gemiddelde snelheid, onafhankelijk van het tijdsinterval. Voor een veranderlijke beweging wordt de ogenblikkelijke snelheid $v$ ingevoerd, gedefinieerd als de limiet van de gemiddelde snelheid wanneer $\\Delta t$ naar nul gaat [12](#page=12): $$ v = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta x}{\\Delta t} = \\frac{dx}{dt} $$ [2.5](#page=12)
De ogenbliklijke snelheid is de afgeleide van de plaatscoördinaat naar de tijd en wordt voorgesteld door de helling van de raaklijn in het betreffende punt van de $(t, x)$\-kromme. Als de snelheid een functie van de tijd is, $v = v(t)$, wordt dit voorgesteld in een $(t, v)$\-graaf. De verplaatsing in een tijdsinterval is de oppervlakte onder de $v(t)$\-kromme [12](#page=12) [13](#page=13).
Voor een eenparige beweging met beginvoorwaarde ($x = x\_0$ bij $t=0$): $$ x - x\_0 = \\int\_{0}^{t} v(t) dt $$ [2.7](#page=13)$$ x = x\_0 + vt $$ [2.8](#page=13)
De ogenblikkelijke snelheid heeft een teken: positief als de bewegingsrichting samenvalt met de positieve x-as, negatief als deze tegengesteld is [13](#page=13).
#### 2.2.2 Versnelling
De gemiddelde versnelling $\\langle a \\rangle$ in een tijdsinterval $\[t\_0, t\]$ is de verhouding van de snelheidsverandering $\\Delta v$ tot de tijdsduur $\\Delta t$: $$ \\langle a \\rangle = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} $$ [2.9](#page=14)
Dit wordt voorgesteld door de helling van de koorde in een $(t, v)$\-graaf. Een eenparig veranderlijke beweging heeft een constante gemiddelde versnelling. De ogenbliklijke versnelling $a$ is de limiet van de gemiddelde versnelling wanneer $\\Delta t$ naar nul gaat [14](#page=14): $$ a = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{dv}{dt} = \\dot{v} $$ [2.10](#page=14)$$ a = \\frac{dv}{dt} = \\frac{d^2 x}{dt^2} $$ [2.11](#page=14)$$ a = \\dot{v} = \\ddot{x} $$ [2.12](#page=14)
De ogenbliklijke versnelling is de afgeleide van de snelheid naar de tijd en wordt voorgesteld door de helling van de raaklijn in de $(t, v)$\-kromme. De versnelling is een functie van de tijd, $a = a(t)$ [14](#page=14).
De snelheid wordt bepaald door integratie van de versnelling en de beginvoorwaarde ($v = v\_0$ bij $t=t\_0$): $$ dv = a dt $$ [2.14](#page=15)$$ v - v\_0 = \\int\_{t\_0}^{t} a(t) dt $$ [2.16](#page=15)
De snelheidsverandering is de oppervlakte onder de $a(t)$\-kromme. Voor een eenparig veranderlijke beweging met beginvoorwaarden ($x = x\_0$ en $v = v\_0$ bij $t=0$) [15](#page=15): $$ v = v\_0 + a\_0 t $$ [2.17](#page=15)$$ x = x\_0 + v\_0 t + \\frac{1}{2} a\_0 t^2 $$ [2.19](#page=15)
### 2.3 Kromlijnige beweging
#### 2.3.1 Vectorsnelheid
Bij kromlijnige beweging worden plaats, snelheid en versnelling vectorieel voorgesteld. De plaats wordt bepaald door de plaatsvector $\\mathbf{r}(t)$. De gemiddelde vectorsnelheid $\\langle \\mathbf{v} \\rangle$ in een tijdsinterval $\\Delta t$ is de verplaatsing $\\Delta \\mathbf{r}$ gedeeld door $\\Delta t$ [16](#page=16): $$ \\langle \\mathbf{v} \\rangle = \\frac{\\Delta \\mathbf{r}}{\\Delta t} $$ [2.21](#page=16)
De ogenblikkelijke vectorsnelheid $\\mathbf{v}$ is de limiet van de gemiddelde vectorsnelheid wanneer $\\Delta t \\to 0$: $$ \\mathbf{v} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\mathbf{r}}{\\Delta t} = \\frac{d\\mathbf{r}}{dt} $$ [2.22](#page=17)
De snelheid is gericht langs de raaklijn aan de baan in de zin van de beweging. De plaatsvector kan bepaald worden door integratie van de vectorsnelheid en de beginvoorwaarde ($\\mathbf{r} = \\mathbf{r}\_0$ bij $t=t\_0$) [17](#page=17).
Projectie op een Cartesisch coördinatenstelsel levert de componenten van de snelheid: $$ \\begin{cases} v\_x = \\frac{dx}{dt} \\ v\_y = \\frac{dy}{dt} \\ v\_z = \\frac{dz}{dt} \\end{cases} $$ [2.27](#page=17)
De grootte van de snelheid is: $$ |\\mathbf{v}| = v = \\sqrt{v\_x^2 + v\_y^2 + v\_z^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{dz}{dt}\\right)^2} $$ [2.28](#page=17)
De baansnelheid $v$ is de grootte van de snelheidsvector en wordt gedefinieerd als $v = \\frac{ds}{dt}$, waarbij $s$ de booglengte is [18](#page=18).
> **Belangrijke opmerking:** De elementaire aangroei van de plaatsvector $dr$ is niet gelijk aan de grootte $|\\mathrm{d}\\mathbf{r}|$. Het is dus fout te schrijven $v = \\frac{dr}{dt}$ [18](#page=18).
#### 2.3.2 Vectorversnelling
De ogenblikkelijke vectorversnelling $\\mathbf{a}$ wordt gedefinieerd als: $$ \\mathbf{a} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\mathbf{v}}{\\Delta t} = \\frac{d\\mathbf{v}}{dt} = \\frac{d^2 \\mathbf{r}}{dt^2} $$ [2.31](#page=18)
De versnelling is in het algemeen niet gericht langs de raaklijn aan de baan. De vectorsnelheid kan bepaald worden uit de vectorversnelling en de beginvoorwaarde ($\\mathbf{v} = \\mathbf{v}\_0$ bij $t=t\_0$) [18](#page=18): $$ \\mathbf{v} - \\mathbf{v}\_0 = \\int{t\_0}^{t} \\mathbf{a}(t) dt $$ [2.33](#page=18)
Voor een beweging met constante vectorversnelling $\\mathbf{a} = \\mathbf{a}\_0$ en beginvoorwaarden $\\mathbf{r} = \\mathbf{r}\_0$ en $\\mathbf{v} = \\mathbf{v}\_0$ bij $t=0$: $$ \\mathbf{v} = \\mathbf{v}\_0 + \\mathbf{a}\_0 t $$ [2.35](#page=19)$$ \\mathbf{r} = \\mathbf{r}\_0 + \\mathbf{v}\_0 t + \\frac{1}{2} \\mathbf{a}\_0 t^2 $$ [2.36](#page=19)
### 2.4 Vlakke beweging
#### 2.4.1 Normale en tangentiële componenten van de versnelling
De vectorversnelling $\\mathbf{a}$ kan ontbonden worden in een tangentiële component $a\_t$ (langs de raaklijn) en een normale component $a\_n$ (loodrecht op de raaklijn) [19](#page=19): $$ \\mathbf{a} = a\_t \\mathbf{e}\_t + a\_n \\mathbf{e}\_n $$ [2.37](#page=19)
Met $s(t)$ als booglengte, geldt: $$ v = \\frac{ds}{dt} \\mathbf{e}\_t $$ [2.38a](#page=19)$$ \\mathbf{a} = \\frac{d^2s}{dt^2} \\mathbf{e}\_t + \\frac{ds}{dt} \\frac{d\\phi}{dt} \\mathbf{e}\_n $$ [2.39](#page=20)
Hieruit volgen de componenten: $$ a\_t = \\frac{d^2s}{dt^2} = \\frac{dv}{dt} $$ [2.40a](#page=20), [2.43](#page=21)$$ a\_n = \\frac{ds}{dt} \\frac{d\\phi}{dt} $$ [2.40b](#page=20)
Met de kromtestraal $\\rho$, gedefinieerd als $\\rho = \\frac{ds}{d\\phi}$ wordt de normale versnelling [20](#page=20): $$ a\_n = v^2 \\rho $$ [2.44](#page=21)
De totale versnelling is dan: $$ \\mathbf{a} = \\sqrt{\\left(\\frac{dv}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{v^2}{\\rho}\\right)^2} $$ [2.45](#page=21)
De tangentiële component veroorzaakt een snelheidsverandering, terwijl de normale component een richtingsverandering van de snelheidsvector veroorzaakt [21](#page=21).
#### 2.4.2 Snelheidscomponenten in poolcoördinaten
In poolcoördinaten $(r, \\phi)$, met plaatsvector $\\mathbf{r} = r \\mathbf{e}\_r$, wordt de vectorsnelheid ontbonden in een radiale component $v\_r$ en een angulaire component $v\\phi$: $$ \\mathbf{v} = \\frac{dr}{dt} \\mathbf{e}\_r + r \\frac{d\\phi}{dt} \\mathbf{e}\\phi $$ [2.48](#page=22)
De componenten zijn: $$ v\_r = \\frac{dr}{dt} $$ [2.49a](#page=22)$$ v\_\\phi = r \\frac{d\\phi}{dt} $$ [2.49b](#page=22)
De grootte van de snelheid is: $$ v^2 = \\left(\\frac{dr}{dt}\\right)^2 + r^2 \\left(\\frac{d\\phi}{dt}\\right)^2 $$ [2.50](#page=22)
De radiale component is gerelateerd aan de verandering van de voerstraal, de angulaire component aan de verandering van de richting van de voerstraal [22](#page=22).
#### 2.4.3 Versnellingscomponenten in poolcoördinaten
De vectorversnelling in poolcoördinaten is: $$ \\mathbf{a} = \\left(\\frac{d^2r}{dt^2} - r \\left(\\frac{d\\phi}{dt}\\right)^2\\right) \\mathbf{e}\_r + \\left(2\\frac{dr}{dt}\\frac{d\\phi}{dt} + r \\frac{d^2\\phi}{dt^2}\\right) \\mathbf{e}\\phi $$ [2.54](#page=23)
De componenten zijn: $$ a\_r = \\frac{d^2r}{dt^2} - r \\left(\\frac{d\\phi}{dt}\\right)^2 $$ [2.55a](#page=23)$$ a\_\\phi = 2\\frac{dr}{dt}\\frac{d\\phi}{dt} + r \\frac{d^2\\phi}{dt^2} $$ [2.55b](#page=23)
De totale versnelling is: $$ a = \\sqrt{a\_r^2 + a\_\\phi^2} $$ [2.55c](#page=23)
Er geldt ook: $$ a\_r = \\frac{dv\_r}{dt}, \\quad a\_\\phi = \\frac{dv\_\\phi}{dt} $$ [2.56](#page=23) (Dit is een vereenvoudiging, $a\_\\phi$ is niet direct $dv\_\\phi/dt$ vanwege de veranderende basisvectoren.)
### 2.5 De cirkelvormige beweging
Voor een deeltje op een cirkel met straal $R$, wordt de positie bepaald door booglengte $s(t)$ of hoek $\\phi(t)$, met $s = R\\phi$. De snelheid is gericht volgens de raaklijn [23](#page=23): $$ v = \\frac{ds}{dt} = R\\frac{d\\phi}{dt} = R\\omega $$ [2.58](#page=23)
Hier is $\\omega = \\frac{d\\phi}{dt}$ de hoeksnelheid in radialen per tijdseenheid [23](#page=23).
De versnellingscomponenten zijn: $$ a\_r = -a\_n = -\\frac{v^2}{R} = -R\\omega^2 $$ [2.59a, 2.59b](#page=24)$$ a\_\\phi = a\_t = \\frac{dv}{dt} = R\\frac{d\\omega}{dt} $$ [2.59c, 2.59d](#page=24)
De totale versnelling is: $$ a = R \\sqrt{\\left(\\frac{d\\omega}{dt}\\right)^2 + \\omega^4} $$ [2.59e](#page=24)
De waarde van $a\_r$ is negatief, wat betekent dat de normale component van de versnelling naar het middelpunt gericht is [24](#page=24).
Een eenparige cirkelvormige beweging heeft een constante snelheid, dus constante hoeksnelheid ($\\omega = \\omega\_0$) [24](#page=24). De periode $T\_0$ is de tijd voor één omloop, en de frequentie $\\nu\_0$ is het aantal omlopen per tijdseenheid. Er gelden de relaties [24](#page=24): $$ T\_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega\_0} $$ [2.60a](#page=25)$$ \\nu\_0 = \\frac{1}{T\_0} $$ [2.60b](#page=25)$$ \\omega\_0 = 2\\pi \\nu\_0 $$ [2.60c](#page=25)
De versnelling bij een eenparige cirkelvormige beweging is middelpuntzoekend gericht met grootte: $$ a = \\omega\_0^2 R = \\frac{v\_0^2}{R} $$ [2.61](#page=25)
### 2.6 Draaivector $\\omega$
De ogenblikkelijke cirkelvormige beweging kan voorgesteld worden door een draaivector $\\boldsymbol{\\omega}$, met grootte $\\omega$ en gelegen op de rotatieas. De zin is deze van een rechtse schroef die meedraait in de zin van de beweging. De snelheid wordt gegeven door [25](#page=25): $$ \\mathbf{v} = \\boldsymbol{\\omega} \\times \\mathbf{r} $$ [2.62](#page=25)
Hierbij is $\\mathbf{r}$ de plaatsvector vanuit het middelpunt van de cirkel [25](#page=25).
### 2.7 Harmonische beweging
De projectie van een eenparig cirkelvormige beweging op een as door het middelpunt van de cirkel wordt een lineaire harmonische beweging genoemd. De beweging kan beschreven worden door [26](#page=26): $$ x = A \\sin(\\omega t - \\phi) = A \\sin\\left(\\frac{2\\pi}{T} t - \\phi\\right) = A \\sin(2\\pi \\nu t - \\phi) $$ [2.65](#page=26)
Hierbij is $x$ de elongatie, $A$ de amplitude, $\\omega$ de pulsatie, $T$ de periode, $\\nu$ de frequentie en $\\phi$ de fasehoek [27](#page=27).
De snelheid en versnelling van de harmonische beweging zijn: $$ v = \\frac{dx}{dt} = A\\omega \\cos(\\omega t - \\phi) $$ [2.66](#page=27)$$ a = \\frac{d^2x}{dt^2} = -A\\omega^2 \\sin(\\omega t - \\phi) = -\\omega^2 x $$ [2.67](#page=27)
De grootte van de snelheid en versnelling van de harmonische beweging zijn de projecties van de snelheid en versnelling van de eenparig cirkelvormige beweging [27](#page=27).
### 2.8 Samenstelling van harmonische bewegingen
Als een deeltje onderworpen is aan twee harmonische bewegingen, is de plaatsvector de vectoriële som van de uitwijkingen [28](#page=28).
#### 2.8.1 Samenstelling van twee harmonische bewegingen met dezelfde trillingsrichting en periode
Voor twee bewegingen op de x-as met pulsatie $\\omega$: $$ x\_1 = A\_1 \\sin(\\omega t - \\phi\_1) $$$$ x\_2 = A\_2 \\sin(\\omega t - \\phi\_2) $$ [2.68](#page=28)
De samengestelde beweging is ook een harmonische beweging met dezelfde pulsatie $\\omega$: $$ x = A \\sin(\\omega t - \\phi) $$ [2.71](#page=28)
De amplitude $A$ en fasehoek $\\phi$ worden bepaald door: $$ A^2 = A\_1^2 + A\_2^2 + 2A\_1 A\_2 \\cos(\\phi\_1 - \\phi\_2) $$ [2.72a](#page=28)$$ \\tan \\phi = \\frac{A\_1 \\sin \\phi\_1 + A\_2 \\sin \\phi\_2}{A\_1 \\cos \\phi\_1 + A\_2 \\cos \\phi\_2} $$ [2.72b](#page=28)
De constructie van Fresnel kan gebruikt worden om $A$ en $\\phi$ grafisch te bepalen [28](#page=28).
#### 2.8.2 Zwevingen
Wanneer twee trillingen met nagenoeg dezelfde frequentie $\\nu\_1 = \\nu - \\varepsilon/2$ en $\\nu\_2 = \\nu + \\varepsilon/2$ worden samengesteld, treedt zweving op. De resulterende beweging $x = A \\sin(2\\pi \\nu t - \\Phi)$ heeft een amplitude $A$ die periodiek verandert tussen $A\_{max} = |A\_1 + A\_2|$ en $A\_{min} = |A\_1 - A\_2|$ [29](#page=29) [30](#page=30).
De zwevingsfrequentie is gelijk aan $\\varepsilon = |\\nu\_2 - \\nu\_1|$. De pseudo-frequentie $\\nu$ is het rekenkundig gemiddelde van de frequenties [30](#page=30): $$ \\nu = \\frac{\\nu\_1 + \\nu\_2}{2} $$ [2.80](#page=30)
#### 2.8.3 De elliptische trilling
De samenstelling van twee harmonische bewegingen met dezelfde pulsatie $\\omega$ maar loodrechte trillingsrichtingen en faseverschil $\\Delta\\phi$ leidt tot een elliptische baan. De vergelijking van de ellips is [31](#page=31): $$ \\frac{x^2}{A\_1^2} + \\frac{y^2}{A\_2^2} - \\frac{2xy}{A\_1 A\_2} \\cos(\\phi\_1 - \\phi\_2) = \\sin^2(\\phi\_1 - \\phi\_2) $$ [2.87](#page=31)
Bijzondere gevallen:
* $\\Delta\\phi = 0$: een rechte lijn [32](#page=32).
* $\\Delta\\phi = \\pi/2$: een ellips, die een cirkel wordt als $A\_1 = A\_2$ [33](#page=33).
* $\\Delta\\phi = \\pi$: een rechte lijn [33](#page=33).
* $\\Delta\\phi = 3\\pi/2$: een ellips, tegenovergesteld aan $\\Delta\\phi = \\pi/2$ [33](#page=33).
### 2.9 Relatief karakter van de beweging
De beschrijving van beweging, baan, snelheid en versnelling is afhankelijk van het gekozen referentiestelsel [34](#page=34).
#### 2.9.1 Relatie tussen absolute, relatieve en meesleepsnelheid
Voor een deeltje in een bewegend referentiestelsel $S$ ten opzichte van een stilstaand stelsel $S'$, geldt: $$ \\mathbf{v}\_a = \\mathbf{v}\_m + \\mathbf{v}\_r $$ [2.98](#page=35)
Hierin is $\\mathbf{v}\_a$ de absolute snelheid, $\\mathbf{v}\_m$ de meesleepsnelheid, en $\\mathbf{v}\_r$ de relatieve snelheid. De meesleepsnelheid is: $$ \\mathbf{v}\_m = \\mathbf{v}{m0} + (\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times \\mathbf{r}) $$ [2.102](#page=35)
Met $\\mathbf{v}\_{m0}$ de snelheid van de oorsprong van $S$, en $\\boldsymbol{\\omega}\_m$ de meesleepdraaivector [35](#page=35).
#### 2.9.2 Relatie tussen absolute, relatieve en meesleepversnelling: de Coriolisversnelling
De absolute versnelling $\\mathbf{a}\_a$ is gerelateerd aan de meesleepversnelling $\\mathbf{a}\_m$ en de relatieve versnelling $\\mathbf{a}\_r$ door: $$ \\mathbf{a}\_a = \\mathbf{a}\_m + \\mathbf{a}\_r + \\mathbf{a}\_C $$ [2.106](#page=37)
De Coriolisversnelling $\\mathbf{a}\_C$ is gedefinieerd als: $$ \\mathbf{a}\_C = 2(\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times \\mathbf{v}\_r) $$ [2.109](#page=37)
De Coriolisversnelling verdwijnt als $\\mathbf{v}\_r = 0$, $\\boldsymbol{\\omega}\_m = 0$, of als $\\boldsymbol{\\omega}\_m$ parallel is aan $\\mathbf{v}\_r$ [37](#page=37).
De meesleepversnelling is: $$ \\mathbf{a}\_m = \\mathbf{a}{m0} + (\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times (\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times \\mathbf{r})) + \\left(\\frac{d\\boldsymbol{\\omega}\_m}{dt} \\times \\mathbf{r}\\right) $$ [2.113](#page=38)
> **Belangrijke opmerking:** Voor snelheden dicht bij de lichtsnelheid is de speciale relativiteitstheorie vereist voor de samenstellingswet van snelheden [38](#page=38).
### 2.10 Dopplereffect
De waargenomen frequentie van een trilling hangt af van de snelheid van de bron en/of de waarnemer [39](#page=39).
1. **Bron beweegt, waarnemer in rust:**$$ \\nu = \\nu\_0 \\left(\\frac{1}{1 - v/c}\\right) $$ [2.117](#page=39) (bron nadert) $$ \\nu = \\nu\_0 \\left(\\frac{1}{1 + v/c}\\right) $$ [2.118](#page=39) (bron verwijdert)
2. **Waarnemer beweegt, bron in rust:**$$ \\nu = \\nu\_0 \\left(1 + \\frac{u}{c}\\right) $$ [2.120](#page=40) (waarnemer nadert) $$ \\nu = \\nu\_0 \\left(1 - \\frac{u}{c}\\right) $$ [2.121](#page=40) (waarnemer verwijdert)
3. **Bron en waarnemer bewegen:**$$ \\nu = \\nu\_0 \\frac{1 + u/c}{1 - v/c} $$ [2.122](#page=40)
Voor kleine snelheden ($u \\ll c$ en $v \\ll c$): $$ \\nu \\approx \\nu\_0 \\left(1 + \\frac{w}{c}\\right) $$ [2.123](#page=40) waarbij $w$ de relatieve snelheid van de waarnemer t.o.v. de bron is (positief bij nadering) [40](#page=40).
* * *
# Dynamica en behoudswetten
Dynamica en behoudswetten vormen de kern van de klassieke mechanica, waarbij de wetten van Newton en behoudswetten de beweging van objecten beschrijven.
## 3\. Dynamica en behoudswetten
Dit hoofdstuk introduceert de fundamentele principes van de dynamica, waaronder de wetten van Newton en de bijbehorende concepten zoals kracht en massa, evenals de cruciale behoudswetten van impuls en impulsmoment [42](#page=42).
### 3.1 De wetten van Newton
De wetten van Newton vormen de basis voor het begrijpen van hoe krachten de beweging van objecten beïnvloeden.
#### 3.1.1 Het beginsel van Galileo en de eerste wet van Newton
Het beginsel van Galileo, overgenomen door Newton als zijn eerste wet, stelt dat een lichaam zonder uitwendige krachten in rust blijft of een eenparige, rechtlijnige beweging beschrijft. Dit impliceert dat elke versnelling het gevolg is van een kracht en maakt het mogelijk krachten te vergelijken via de veroorzaakte versnelling, wat gemeten kan worden met een dynamometer [43](#page=43).
#### 3.1.2 Het begrip massa en de tweede wet van Newton
De tweede wet van Newton relateert kracht, massa en versnelling. Het stelt dat de resulterende kracht ($K$) op een lichaam gelijk is aan het product van zijn massa ($m$) en versnelling ($a$): $$K = ma$$ [43](#page=43). Dit kan ook geschreven worden als: $$a = \\frac{K}{m}$$ [43](#page=43). De versnelling is dus recht evenredig met de resulterende kracht en omgekeerd evenredig met de massa. De massa ($m$) is een scalaire, altijd positieve grootheid. De wet kan ook worden uitgedrukt in termen van impuls ($p = mv$) [43](#page=43): $$K = \\frac{dp}{dt}$$ [43](#page=43). In Cartesische coördinaten luidt de tweede wet van Newton: $$\\begin{cases} K\_x = m \\frac{d^2x}{dt^2} \\ K\_y = m \\frac{d^2y}{dt^2} \\ K\_z = m \\frac{d^2z}{dt^2} \\end{cases}$$ [44](#page=44). equivalent aan: $$\\begin{cases} K\_x = \\frac{dp\_x}{dt} \\ K\_y = \\frac{dp\_y}{dt} \\ K\_z = \\frac{dp\_z}{dt} \\end{cases}$$ [44](#page=44). waarbij $p\_x = mv\_x$, $p\_y = mv\_y$, en $p\_z = mv\_z$ [44](#page=44).
#### 3.1.3 De derde wet van Newton
De derde wet van Newton, ook wel de wet van actie en reactie genoemd, stelt dat wanneer lichaam A een kracht uitoefent op lichaam B, lichaam B een even grote, maar tegengesteld gerichte kracht uitoefent op lichaam A: $$K\_{AB} = -K\_{BA}$$ [44](#page=44). Dit impliceert dat geïsoleerde krachten niet bestaan [44](#page=44).
#### 3.1.4 Eenheden van massa en kracht
De SI-eenheid van kracht, de newton (N), is gedefinieerd als de kracht die een massa van één kilogram een versnelling van 1 m/s² geeft [45](#page=45). $$\[K = N = \[m \\times a = \\text{kg} \\times \\text{m/s}^2$$ [45](#page=45).
#### 3.1.5 Massa en gewicht
Het gewicht ($G$) van een lichaam is de kracht die de aarde erop uitoefent door zwaartekracht, en wordt uitgedrukt in newtons. Het is een vectoriële grootheid, in tegenstelling tot massa, wat een scalaire eigenschap is. Voor een lichaam met massa $m$ in een gravitatieveld met versnelling $g$ geldt [45](#page=45): $$G = mg$$ [46](#page=46). De massa is een intrinsieke eigenschap (traagheidsmassa), terwijl het gewicht afhankelijk is van de lokale zwaartekrachtversnelling $g$. Massa's kunnen worden vergeleken met behulp van hun gewichten [46](#page=46): $$\\frac{m\_1}{m\_2} = \\frac{G\_1}{G\_2}$$ [46](#page=46). waarbij $G\_1$ en $G\_2$ op dezelfde locatie gemeten worden. De massa kan dan worden uitgedrukt als: $$m = \\frac{G}{G\_E} m\_E$$ [46](#page=46). waarbij $m\_E$ de eenheidsmassa is en $G\_E$ het gewicht daarvan, beide gemeten op dezelfde locatie.
#### 3.1.6 Discussie van de wetten van Newton
De toepassing van de wetten van Newton vereist aandacht voor het referentiestelsel. In niet-Galileaanse (versnelde) referentiestelsels kunnen schijnkrachten optreden, zoals de middelpuntvliedende kracht. De eerste wet van Newton geldt strikt voor traagheidsreferentiestelsels (ook wel Galileaanse of inertiële referentiestelsels genoemd), dit zijn stelsels die niet aan een versnelling onderhevig zijn. Een laboratorium op aarde is een benadering van een traagheidsstelsel, tenzij verschijnselen die direct door de aardrotatie worden veroorzaakt bestudeerd worden [47](#page=47).
### 3.2 Behoudswetten
Behoudswetten zijn fundamenteel in de natuurkunde en stellen dat bepaalde grootheden constant blijven in een geïsoleerd systeem.
#### 3.2.1 Wet van behoud van hoeveelheid van beweging
Voor een geïsoleerd systeem (waarin geen uitwendige krachten werken) blijft de totale hoeveelheid van beweging (impuls) constant. Dit volgt uit de derde wet van Newton. Voor twee deeltjes met massa's $m\_1$ en $m\_2$ en snelheden $v\_1$ en $v\_2$, die na een botsing snelheden $v'\_1$ en $v'\_2$ hebben, geldt [48](#page=48): $$m\_1v\_1 + m\_2v\_2 = m\_1v'\_1 + m\_2v'\_2$$ [48](#page=48). Het massamiddelpunt van het systeem beweegt eenparig rechtlijnig [48](#page=48).
#### 3.2.2 Wet van behoud van impulsmomenten
Het impulsmoment ($L\_O$) van een massa $m$ met snelheid $v$ ten opzichte van een punt $O$ wordt gedefinieerd als: $$L\_O = r \\times p = r \\times mv$$ [49](#page=49). Het moment van de kracht $K$ om $O$ is $M\_O = r \\times K$. Het verband tussen moment en impulsmoment is: $$M\_O = \\frac{dL\_O}{dt}$$ [49](#page=49). Voor een centraalkracht geldt $M\_O = 0$, wat leidt tot behoud van impulsmoment ($L\_O = \\text{constant}$) [49](#page=49).
Er is een duidelijke analogie tussen de wetten voor kracht en impuls, en moment en impulsmoment:
* $K = \\frac{dp}{dt}$ | $M\_O = \\frac{dL\_O}{dt}$
* $p = \\text{Cte}$ als $K = 0$ | $L\_O = \\text{Cte}$ als $M\_O = 0$ [49](#page=49).
### 3.3 Het begrip “pseudokracht”
Pseudokrachten (of schijnkrachten) zijn krachten die verschijnen in niet-Galileaanse referentiestelsels en niet veroorzaakt worden door andere lichamen. In zo'n systeem wordt de wet van Newton aangepast door de toevoeging van een pseudokracht ($K\_O$): $$K + K\_O = ma$$ [50](#page=50). waarbij $K$ de werkelijke kracht is, $m$ de massa, $a$ de versnelling in het niet-Galileaanse stelsel, en $K\_O = -ma\_O$ de pseudokracht is, met $a\_O$ de versnelling van het niet-Galileaanse stelsel. Voorbeelden zijn de middelpuntvliedende en de Corioliskracht (#page=50, 51) [50](#page=50) [51](#page=51).
### 3.4 Fundamentele hypothesen aangaande de ruimte
De klassieke mechanica steunt op twee fundamentele hypotheses over de ruimte:
1. **Euclidische ruimte**: De postulaten van de Euclidische meetkunde zijn geldig [51](#page=51).
2. **Isotrope ruimte**: De massa van een lichaam is onafhankelijk van de richting van de kracht of versnelling [51](#page=51).
### 3.5 Toepassing van de wetten van Newton
De wetten van Newton kunnen worden toegepast op diverse fysische scenario's, zoals een blok op een tafel een versnellingsmeter een sferische slinger een mathematische slinger (#page=55, 56), en een verticaal vallende regendruppel [52](#page=52) [53](#page=53) [54](#page=54) [55](#page=55) [56](#page=56) [57](#page=57).
#### 3.5.1 Een blok op een tafel
Een systeem met twee blokken verbonden door een draad over een katrol illustreert hoe de tweede wet van Newton kan worden gebruikt om versnelling en spanning te berekenen (#page=52, 53) [52](#page=52) [53](#page=53).
#### 3.5.2 De versnellingsmeter
Een versnellingsmeter, bestaande uit een massa aan een draad in een versnelde wagen, gebruikt de afwijking van de draad om de horizontale versnelling te meten. Voor een waarnemer binnen de wagen lijkt de massa in evenwicht door de introductie van een schijnkracht [53](#page=53) [54](#page=54).
#### 3.5.3 De sferische slinger
Bij een sferische slinger beschrijft de massa een cirkelbaan. De zwaartekracht en de spankracht resulteren in een centripetale kracht. De periode van de cirkelvormige beweging wordt gegeven door $T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{L \\cos \\theta}{g}}$ [54](#page=54).
#### 3.5.4 De mathematische slinger
Voor een mathematische slinger geldt de bewegingsvergelijking: $$\\frac{d^2\\theta}{dt^2} + \\frac{g}{l} \\sin \\theta = 0$$ (#page=55, 56) [55](#page=55) [56](#page=56). Voor kleine uitwijkingen ($\\sin \\theta \\approx \\theta$) wordt dit een harmonische oscillator met periode $T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{l}{g}}$ [56](#page=56).
#### 3.5.5 Verticaal vallende regendruppel
De beweging van een vallende regendruppel onder invloed van zwaartekracht en een wrijvingskracht evenredig met de snelheid ($mk \\frac{dx}{dt}$) wordt beschreven door een differentiaalvergelijking. De snelheid van de druppel convergeert naar een eindsnelheid ($v\_e = g/k$) [57](#page=57) [58](#page=58).
### 3.6 Arbeid en vermogen
Arbeid en vermogen zijn concepten die de energieoverdracht meten.
#### 3.6.1 Arbeid
Arbeid ($A$) verricht door een constante kracht ($K$) tijdens een verplaatsing ($s$) is het scalair product: $$A = K \\cdot s = Ks \\cos \\phi$$ [58](#page=58). Arbeid is positief als de verplaatsing in de richting van de kracht is, negatief als het tegengesteld is, en nul als de kracht loodrecht op de verplaatsing staat. Voor een veranderlijke kracht langs een kromlijnige baan wordt arbeid berekend via een lijnintegraal [58](#page=58): $$A = \\int\_A^B ds \\cdot K$$ [59](#page=59). De eenheid van arbeid is de joule (J) [59](#page=59).
#### 3.6.2 Vermogen
Vermogen ($P$) is de arbeid verricht per tijdseenheid: $$P = \\frac{dA}{dt}$$ [60](#page=60). De eenheid van vermogen is de watt (W). Voor een constante kracht geldt ook: $$P = K \\cdot v$$ [60](#page=60).
#### 3.6.3 Toepassingen van arbeid en vermogen
* **Arbeid verricht door een veer**: De arbeid verricht door een veer met kracht $K = -kx$ bij een uitwijking $x\_0$ is $A = -\\frac{1}{2}kx\_0^2$ [60](#page=60).
* **Arbeid bij isotherme expansie van gas**: De arbeid verricht door een ideaal gas bij expansie van $V\_1$ naar $V\_2$ is $A = \\int\_{V\_1}^{V\_2} p dV$. Bij een isotherm proces geldt $A = nRT \\ln\\left(\\frac{V\_2}{V\_1}\\right)$ [61](#page=61).
#### 3.6.4 Conservatief krachtveld
Een krachtveld is conservatief als de verrichte arbeid tussen twee punten onafhankelijk is van de gevolgde weg. In een conservatief krachtveld is de arbeid langs een gesloten weg nul [61](#page=61): $$\\oint ds \\cdot K = 0$$ [62](#page=62).
### 3.7 Energie
Energie is het vermogen om arbeid te verrichten. Mechanische energie omvat kinetische en potentiële energie.
#### 3.7.1 Kinetische energie
Kinetische energie ($T$) is de energie geassocieerd met beweging. De arbeid verricht door een kracht is gelijk aan de verandering in kinetische energie: $$A\_{1 \\to 2} = T\_2 - T\_1$$ [63](#page=63). De grootte van kinetische energie is afhankelijk van het referentiestelsel [63](#page=63).
#### 3.7.2 Potentiële energie in een conservatief krachtveld
Potentiële energie ($V$) is de energie die geassocieerd is met de positie of vorm van een object in een conservatief krachtveld. De verandering in potentiële energie is tegengesteld aan de arbeid verricht door het krachtveld: $$dA = -dV$$ [63](#page=63). Voor een conservatief krachtveld geldt $K = -\\nabla V$ [64](#page=64).
* **Zwaarteveld**: $V = mgh$ [65](#page=65).
* **Coulombveld**: $V = -C \\frac{1}{r}$ [65](#page=65).
#### 3.7.3 Wet van behoud van mechanische energie
In een conservatief krachtveld is de som van kinetische en potentiële energie constant (mechanische energie $H = T + V$): $$T\_1 + V\_1 = T\_2 + V\_2$$ [66](#page=66). Deze wet geldt niet als er niet-conservatieve krachten (zoals wrijving) optreden, waarbij mechanische energie wordt omgezet in andere vormen zoals warmte [66](#page=66).
#### 3.7.4 Toepassingen van de wet van behoud van mechanische energie
* **Kogel in cirkelvormige geul**: De snelheid in punt B is $v = \\sqrt{2gR}$ [67](#page=67).
* **Mathematische slinger**: De arbeid om de slinger uit de evenwichtstand te brengen is $A = mgl(1 - \\cos \\theta)$ [68](#page=68).
* **Harmonische beweging**: De totale mechanische energie is $H = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}kx^2$. De beweging wordt beschreven door $x(t) = A \\sin(\\omega t + \\theta\_0)$, met $\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$ [68](#page=68).
### 3.8 Algemene gravitatiewet van Newton
De algemene gravitatiewet van Newton beschrijft de aantrekkingskracht tussen twee puntmassa's.
#### 3.8.1 Wetten van Kepler
De drie wetten van Kepler beschrijven empirisch de beweging van planeten rond de zon:
1. **Baanellips**: De baan van een planeet is een ellips met de zon in een brandpunt [69](#page=69).
2. **Perkenwet**: Gelijke tijdsintervallen beschrijven gelijke oppervlakten. Dit impliceert behoud van impulsmoment [69](#page=69).
3. **Derde wet**: De verhouding van het kwadraat van de omlooptijd ($T$) tot de derde macht van de halve lange as ($a$) van de baan is constant ($T^2/a^3 = \\text{Cte}$) [70](#page=70).
#### 3.8.2 Gravitatiewet van Newton
De aantrekkingskracht ($K$) tussen twee puntmassa's ($m\_1$, $m\_2$) op afstand $r$ is: $$K = \\gamma \\frac{m\_1m\_2}{r^2}$$ [71](#page=71). waarbij $\\gamma$ de gravitatieconstante is. De kracht is centraal gericht en evenredig met de product van de massa's en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand.
#### 3.8.3 Toepassingen van de gravitatiewet
* **Aantrekkingskracht van een homogene massieve bol**: Een homogene bol trekt een uitwendige puntmassa aan alsof de gehele massa geconcentreerd is in het middelpunt (#page=72, 73, 74, 75). Voor een puntmassa binnen de bol is de kracht evenredig met de afstand tot het middelpunt [72](#page=72) [73](#page=73) [74](#page=74) [75](#page=75) [76](#page=76).
* **Geofysische aspecten**: De zwaarteversnelling ($g$) op het aardoppervlak kan worden gerelateerd aan de gravitatieconstante en de massa en straal van de aarde. De variatie van $g$ met hoogte en breedteligging wordt beïnvloed door de rotatie van de aarde (#page=77, 79, 80, 81) [77](#page=77) [79](#page=79) [80](#page=80) [81](#page=81).
* **Beweging van zon-planeet-satelliet systemen**: De beweging wordt correct beschreven door rekening te houden met de wederzijdse aantrekking, wat leidt tot de concepten van het massamiddelpunt en de gereduceerde massa (#page=84, 85) [84](#page=84) [85](#page=85).
* **Ontsnappingssnelheid**: De minimale snelheid die nodig is om aan de zwaartekracht te ontsnappen vanuit een afstand $r$ is $v\_s = \\sqrt{\\frac{2\\gamma M}{r}}$ [86](#page=86).
* **Atoommodel van Bohr**: De Coulombkracht tussen een elektron en een proton beschrijft de beweging van elektronen rond de kern, met gekwantiseerde energieniveaus en impulsmomenten (#page=87, 88, 89) [87](#page=87) [88](#page=88) [89](#page=89).
* * *
# Hydrostatica en hydrodynamica
Dit deel behandelt de evenwichtstoestanden van fluïda (hydrostatica) en de stroming van fluïda (hydrodynamica) [93](#page=93).
### 4.1 Hydrostatica: fluïda in evenwicht
Hydrostatica is de leer van fluïda in evenwicht. Fluïda omvatten vloeistoffen en gassen, onderscheiden van vaste stoffen door hun vloeiende eigenschappen. Gassen zijn gemakkelijker samendrukbaar dan vloeistoffen, die slechts geringe volumeveranderingen ondergaan onder druk. Voor dit deel worden vloeistoffen als onsamendrukbaar beschouwd [93](#page=93).
#### 4.1.1 Definities
* **Dichtheid ($\\rho$)**: De hoeveelheid massa per volume-eenheid. $$ \\rho = \\frac{m}{V} $$ of $$ \\rho = \\frac{dm}{dV} $$ [4.1](#page=93) De dichtheid kan worden bepaald met een pycnometer, areometer of de balans van Mohr [93](#page=93).
* **Druk ($p$)**: De normale component van de krachten per oppervlakte-eenheid op een wand. $$ p = \\frac{K\_n}{S} $$ of $$ p = \\frac{dK\_n}{dS} $$ [4.2](#page=93) De SI-eenheid van druk is de pascal (Pa), waarbij 1 pascal = 1 newton/m² [93](#page=93).
#### 4.1.2 Druk in een fluïdum als functie van de diepte
##### 4.1.2.1 Een vloeistof in het zwaarteveld
Voor een vloeistof in evenwicht is elk volume-element in evenwicht. De som van alle krachten moet nul zijn en loodrecht op het oppervlak staan om versnelling of rotatie te voorkomen [93](#page=93). Beschouw een balk met doorsnede $S$ en hoogte $dz$. De horizontale krachten heffen elkaar op door symmetrie. Als $p$ de druk op het bovenvlak en $p + dp$ de druk op het benedenvlak is, geldt voor het volume-element de evenwichtsvoorwaarde: $$ pS + \\rho Sg dz - (p + dp)S = 0 $$ [4.3](#page=94) Hierbij is $\\rho$ de dichtheid van de vloeistof en $G = \\rho Sg dz$ de zwaartekracht op het volume-element. Hieruit volgt: $$ \\frac{dp}{dz} = \\rho g $$ [4.4](#page=94) Als $p\_0$ de druk is op het vrije vloeistofoppervlak ($z=0$), dan wordt de druk $p$ op diepte $z$ gegeven door: $$ p - p\_0 = \\int\_{p\_0}^{p} dp = \\int\_{0}^{z} \\rho g dz $$ [4.5](#page=94) Voor een homogene, onsamendrukbare vloeistof met een constante $g$: $$ p = p\_0 + \\rho g z $$ [4.6](#page=94) Hierbij is $\\rho gz$ de hydrostatische druk op diepte $z$ onder het vrije oppervlak [94](#page=94).
Een vloeistof in evenwicht in het zwaarteveld heeft een minimale potentiële energie. Hieruit volgt dat het vrije vloeistofoppervlak loodrecht staat op de zwaarteversnelling $g$. In een beperkte ruimte is dit oppervlak horizontaal [94](#page=94).
##### 4.1.2.2 Een vloeistof in een algemeen krachtveld
Op een volume-element $dV = dx dy dz$ werkt een kracht $K$ per eenheid van massa (bv. door rotatie). De druk wordt gegeven door $p(r)$. In de x-richting werkt een nettokracht gelijk aan nul: $$ K\_x \\rho dV + p dS - (p + \\frac{\\partial p}{\\partial x} dx) dS = 0 $$ [4.7](#page=95) Dit leidt tot: $$ \\rho K\_x = \\frac{\\partial p}{\\partial x} $$ [4.9](#page=95) Vectorieel: $$ \\text{grad } p = \\rho K $$ [4.10](#page=95) Indien de kracht wordt afgeleid van een potentiaal $V$ ($K = -\\text{grad } V$), geldt: $$ -\\rho \\text{grad } V = \\text{grad } p $$ [4.12](#page=95) Met constante massadichtheid $\\rho$: $$ p + \\rho V = \\text{constant} $$ [4.13](#page=95) In het zwaarteveld ($V = -gz$ met $z$ naar beneden) herleidt dit zich tot $p = p\_0 + \\rho gz$ [95](#page=95).
#### 4.1.3 Wet van Pascal
De hydrostatische druk in het zwaarteveld is onafhankelijk van de vorm van het vat en hangt alleen af van de diepte onder het vrije oppervlak [96](#page=96). **Wet van Pascal**: Een druk uitgeoefend op een vloeistof, opgesloten in een vat, plant zich onverminderd voort in alle richtingen [96](#page=96).
Dit principe wordt toegepast in de hydraulische pers. Een zuiger met kleine doorsnede $S\_1$ oefent een kracht $K\_1$ uit, wat resulteert in een druk $p = K\_1/S\_1$. Deze druk plant zich voort naar een zuiger met grote doorsnede $S\_2$, waarbij de kracht $K\_2$ wordt: $$ p = \\frac{K\_2}{S\_2} = \\frac{K\_1}{S\_1} \\implies K\_2 = \\frac{S\_2}{S\_1} K\_1 $$ [4.14](#page=96) De hydraulische pers vermenigvuldigt krachten, waarbij de verhouding van de krachten gelijk is aan de verhouding van de doorsneden [96](#page=96).
#### 4.1.4 Hydrostatische paradox
De hydrostatische paradox beschrijft het verschijnsel dat vloeistoffen in verbonden vaten van verschillende vormen tot dezelfde hoogte reiken, ondanks intuïtieve redeneringen over ongelijke druk. Dit wordt verklaard doordat de druk uitsluitend afhangt van de diepte en niet van de vorm van het vat [96](#page=96).
#### 4.1.5 Evenwicht in een samendrukbaar fluïdum in het zwaarteveld
Voor een gas neemt de druk af met de hoogte: $$ \\frac{dp}{dz} = -\\rho g $$ [4.15](#page=97) De dichtheid $\\rho$ is geen constante in gassen bij grote hoogteverschillen. Uit de ideale gaswet ($pV = nRT$) volgt $\\rho = \\frac{Mp}{RT}$ (met $M$ de moleculaire massa en $R$ de gasconstante) [97](#page=97). Dit leidt tot: $$ \\frac{dp}{p} = -\\frac{Mg}{RT} dz $$ [4.17](#page=97)
* **Isotherme atmosfeer ($T$ = constant)**: $$ p = p\_0 e^{-(Mg/RT)z} $$ [4.19](#page=97) Dit is de barometrische formule, geschikt voor isotherme atmosferen [98](#page=98).
* **Temperatuurvariërende atmosfeer (bv. troposfeer)**: Met $T = T\_0 - cz$. $$ \\frac{p}{p\_0} = \\left(1 - \\frac{cz}{T\_0}\\right)^{\\frac{Mg}{Rc}} $$ [4.23](#page=97)
#### 4.1.6 Drukmeters
* **Open manometer**: Een U-vormige buis gevuld met een vloeistof met dichtheid $\\rho$. $$ p = p\_a + \\rho g h $$ [4.25](#page=98) waarbij $p\_a$ de atmosferische druk is en $h$ het hoogteverschil van de vloeistofniveaus [98](#page=98).
* **Kwikbarometer (Buis van Torricelli)**: Meet de atmosferische druk $p\_a$. $$ p\_a = \\rho g h $$ waarbij $h$ de hoogte van de kwikkolom is [99](#page=99). 1 atmosfeer is gelijk aan 101396 pascal of 1014 hectopascal [99](#page=99).
#### 4.1.7 Wet van Archimedes
Een lichaam dat in een fluïdum is ondergedompeld, ondervindt een opwaartse druk (stuwkracht) die gelijk is aan het gewicht van het verplaatste fluïdum [99](#page=99). De stuwkracht $S$ wordt gegeven door: $$ S = V\_v \\rho\_v g $$ [4.27](#page=100) waarbij $V\_v$ het volume van het verplaatste fluïdum is en $\\rho\_v$ de dichtheid van het fluïdum [100](#page=100). Het aangrijpingspunt van de stuwkracht (perspunt $P$) valt samen met het zwaartepunt van het verplaatste volume vloeistof [100](#page=100).
#### 4.1.8 Zinken, zweven en vlotten
De gemiddelde dichtheid van een lichaam is $\\langle\\rho\_l\\rangle$. Het gewicht is $G\_l = \\langle\\rho\_l\\rangle V g$ . De stuwkracht is $S = -G\_v = -\\rho\_v V g$ . De netto kracht is $G\_l - G\_v = (\\langle\\rho\_l\\rangle - \\rho\_v)Vg$ .
* **Zinken**: Als $\\langle\\rho\_l\\rangle > \\rho\_v$, de resulterende kracht is naar beneden gericht .
* **Zweven**: Als $\\langle\\rho\_l\\rangle = \\rho\_v$, het lichaam is in evenwicht in de vloeistof .
* **Vlotten**: Als $\\langle\\rho\_l\\rangle < \\rho\_v$, de resulterende kracht is naar boven gericht. Het lichaam wordt gedeeltelijk uit de vloeistof geheven tot de stuwkracht gelijk wordt aan het gewicht .
Het evenwicht van een drijvend lichaam is stabiel wanneer het metacentrum $M$ boven het zwaartepunt $Z$ ligt .
#### 4.1.9 Drukkracht op de wand van een vat
Voor een verticale wand met breedte $b$ waar een vloeistof met dichtheid $\\rho$ tegenaan drukt, neemt de hydrostatische druk lineair toe met de diepte $z$: $p = \\rho g z$ . De resulterende drukkracht $K$ op de wand is: $$ K = \\int\_{0}^{h} p b dz = \\int\_{0}^{h} \\rho g z b dz = \\frac{1}{2} \\rho g b h^2 $$ [4.33](#page=103) Het resulterend moment $M\_A$ om de snijlijn wand-bodem is: $$ M\_A = \\frac{1}{6} \\rho g b h^3 $$ [4.35](#page=103) Het drukcentrum $P$, het aangrijpingspunt van de resulterende kracht, bevindt zich op hoogte $H$: $$ H = \\frac{M\_A}{K} = \\frac{h}{3} $$ [4.37](#page=103)
#### 4.1.10 Vloeistof in rotatie om een as
Bij rotatie van een vloeistof om een as met hoeksnelheid $\\omega$ werkt er een fictieve centrifugale traagheidskracht per eenheid van massa $K = \\omega^2 r$. Deze kracht kan worden beschreven door een potentiaalfunctie $V(c) = -\\frac{1}{2} \\omega^2 r^2$ . In evenwicht met de zwaartekracht ($V(g) = gz$) geldt: $$ p + \\rho g z - \\frac{1}{2} \\rho \\omega^2 r^2 = \\text{Cte} $$ [4.42](#page=104) Langs het vrije oppervlak is de druk constant, dus de vergelijking van het vrije oppervlak is: $$ g z = \\text{Cte}' + \\frac{1}{2} \\omega^2 r^2 $$ [4.43](#page=104) Dit stelt een omwentelingsparaboloïde voor . Het hoogteverschil $\\Delta h$ tussen de rand en het midden van een cilindervat met straal $a$ is: $$ \\Delta h = \\frac{\\omega^2 a^2}{2g} $$ [4.45](#page=105)
##### 4.1.10.1 Evenwichtsvorm van de aarde
De aarde kan benaderd worden als een roterende vloeistof onder invloed van gravitatie en centrifugale krachten. De potentiaalfuncties zijn $V(g) = -\\varepsilon/R$ en $V(c) = -\\omega^2 r^2 / 2$ . In evenwicht: $$ p - \\rho \\frac{\\varepsilon}{R} - \\frac{1}{2} \\rho \\omega^2 r^2 = \\varepsilon' $$ [4.48](#page=106) Voor het vrije oppervlak geldt dan: $$ \\frac{\\varepsilon}{R} - \\frac{\\omega^2 r^2}{2} = \\varepsilon'' $$ [4.49](#page=106) Dit leidt tot de vorm van een sferoïde, een licht afgeplatte sfeer .
#### 4.1.11 Druk in het inwendige van een hemellichaam
De druk in het inwendige van een hemellichaam wordt veroorzaakt door de algemene gravitatiewet. Voor een sferische schil geldt dat de drukverandering ($dp$) in evenwicht is met de aantrekkingskracht . Voor een constante dichtheid $\\rho$: $$ dp = -\\gamma \\rho \\frac{4}{3} \\pi r \\rho dr $$ [4.58](#page=107) Integratie met de randvoorwaarde $p=0$ voor $r=R$ geeft de druk als functie van $r$: $$ p = \\frac{2}{3} \\pi \\gamma \\rho^2 (R^2 - r^2) $$ [4.59](#page=107) In het centrum ($r=0$) is de druk maximaal: $$ p\_C = \\frac{2}{3} \\pi \\gamma \\rho^2 R^2 $$ [4.60](#page=107)
#### 4.1.12 Oppervlakte- en capillariteitsverschijnselen
* **Oppervlakteverschijnselen**: Fenomenen die optreden aan het grensvlak tussen een vloeistof en een gas, zoals een vettige naald die op water blijft rusten of zeepvliezen die hun oppervlakte trachten te verminderen .
* **Capillariteitsverschijnselen**: Treedt op bij contact van een vloeistof met een wand. Het vrije oppervlak wordt omhoog of omlaag gebogen, afhankelijk van of de vloeistof de wand bevochtigt . In een haarbuisje stijgt of daalt de vloeistof. Het product van de hoogteverschil $h$ en de straal $r$ is constant voor een bepaalde vloeistof en wand .
#### 4.1.13 Oppervlakte-energie en oppervlaktespanning
Moleculen in een vloeistof ondervinden aantrekkings- en afstotingskrachten. Een molecuul in de grenslaag, aan het vrije oppervlak, ondervindt een resulterende aantrekkingskracht naar binnen .
* **Oppervlakte-energie ($\\sigma$)**: De potentiële energie in de grenslaag per oppervlakte-eenheid, uitgedrukt in joule per vierkante meter (J/m²) .
* **Oppervlaktespanning ($\\gamma$)**: De kracht per lengte-eenheid langs de rand van een vloeistofoppervlak die het oppervlak tracht samen te trekken, uitgedrukt in newton per meter (N/m) . Voor een vloeistof die zichzelf niet bevochtigt, is de oppervlaktespanning gelijk aan de oppervlakte-energie: $\\gamma = \\sigma$ .
#### 4.1.14 Verband tussen oppervlakte-energie $\\sigma$ en oppervlaktespanning $\\gamma$
Bij het vergroten van het oppervlak van een vlies wordt arbeid geleverd en potentiële energie opgeslagen. Arbeid $A = 2\\gamma ld$. [4.61](#page=111) Oppervlakte-energie $A = 2\\sigma ld$. [4.62](#page=111) Hieruit volgt $\\gamma = \\sigma$. [4.63](#page=111) Echter, de relatie is temperatuurafhankelijk en wordt complexer bij niet-adiabatische processen .
#### 4.1.15 Meting van de oppervlaktespanning $\\gamma$
* **Methode van Terquem**: Gebruikt een raam met draden gespannen met een vlies van de te onderzoeken vloeistof. De spanning in de draad en de oppervlaktespanning worden afgeleid uit evenwichtsvoorwaarden .
* **Afrukmethode**: Meet de kracht $K$ die nodig is om een ring uit een vloeistof te tillen. $$ \\gamma = \\frac{K}{4\\pi r} $$ [4.74](#page=114) waarbij $r$ de straal van de ring is. De factor 4 komt van de twee grenslagen aan weerszijden van het membraan .
De oppervlaktespanning is temperatuurafhankelijk en neemt doorgaans af bij stijgende temperatuur .
#### 4.1.16 Overdruk in een zeepbel
In een zeepbel heerst een overdruk $\\Delta p$. Deze wordt veroorzaakt door de oppervlaktespanning . Voor een zeepbel met straal $R$ geldt: $$ \\Delta p = \\frac{4\\gamma}{R} $$ [4.79](#page=115) De overdruk is groter voor kleinere zeepbellen .
#### 4.1.17 Formule van Laplace
De formule van Laplace beschrijft de overdruk $\\Delta p$ in de grenslaag van een gekromd vloeistofoppervlak ten opzichte van de omringende druk . $$ \\Delta p = \\gamma \\left( \\frac{1}{R\_1} + \\frac{1}{R\_2} \\right) $$ [4.83](#page=117) waarbij $R\_1$ en $R\_2$ de hoofdkromtestralen zijn . Voor een zeepbel met gelijke kromming aan beide zijden ($R\_1 = R\_2 = R$), wordt dit: $$ \\Delta p = \\frac{4\\gamma}{R} $$ [4.84](#page=118) Dit komt overeen met de eerder gevonden formule .
#### 4.1.18 Capillaire verschijnselen: de contacthoek
Tussen vloeistoffen en vaste stoffen (wanden) bestaan oppervlaktespanningen: $\\sigma\_{L,V}, \\gamma\_{L,V}$ (vloeistof-vast) en $\\sigma\_{V,G}, \\gamma\_{V,G}$ (vast-gas), naast de gas-vloeistof spanning $\\sigma, \\gamma$ . De kromming van een vloeistofoppervlak nabij een wand hangt af van het verschil tussen deze spanningen . De **contacthoek $\\theta$** is de hoek tussen het vloeistofoppervlak en de wand op het contactpunt. Een contacthoek van nul betekent volledige bevochtiging .
#### 4.1.19 Vorm van het vrije vloeistofoppervlak in nabijheid van de wand
Nabij een verticale wand geldt voor de druk $p$ op een hoogte $z$: $$ p = p\_a - \\rho g z $$ [4.87](#page=121) Voor een punt onmiddellijk onder het vrije oppervlak: $$ p\_a - \\rho g z = p\_a + \\gamma \\left( \\frac{1}{R\_1} + \\frac{1}{R\_2} \\right) $$ [4.88](#page=121) Voor een verticale wand zijn de hoofdkromtestralen $R\_1 = \\infty$ en $R\_2 = -R$ (waarbij $R$ de kromtestraal van de loodrechte doorsnede is) . Dit leidt tot: $$ \\rho g z = \\gamma \\frac{1}{R} $$ [4.90](#page=122) De vloeistof aan de wand bereikt een hoogte $z\_0$: $$ z\_0 = \\sqrt{\\frac{2\\gamma}{\\rho g} (1 - \\sin \\theta\_0)} $$ [4.99](#page=122) waarbij $\\theta\_0$ de contacthoek is .
#### 4.1.20 Capillaire stijghoogte in een buisje
De opwaartse kracht door oppervlaktespanning is $2\\pi r \\gamma\_{LG} \\cos \\theta$. Het gewicht van de opgetilde vloeistof is $\\pi r^2 h \\rho g$ . In evenwicht: $$ 2\\pi r \\gamma\_{LG} \\cos \\theta = \\pi r^2 h \\rho g $$ [4.101](#page=123) De stijghoogte $h$ wordt gegeven door: $$ h = \\frac{2 \\gamma\_{LG} \\cos \\theta}{\\rho g r} $$ [4.102](#page=123) Dit toont aan dat $hr$ constant is, wat gebruikt kan worden om $\\gamma\_{LG}$ te meten .
### 4.2 Hydrodynamica: fluïda in beweging
Hydrodynamica bestudeert fluïda in beweging. Ideale fluïda zijn onsamendrukbaar en niet-viskeus .
#### 4.2.1 Inleidende definities
* **Vloeilijn**: De baan van een fluïdumdeeltje. De snelheid kan in richting en grootte veranderen .
* **Stroomlijn**: De baan die raakt aan de snelheidsvector in elk punt op een bepaald tijdstip .
* **Stationair regime**: Het stroompatroon verandert niet in de tijd. Elk deeltje dat door een punt gaat, volgt dezelfde vloeilijn .
* **Stroombuis**: Het oppervlak gevormd door stroomlijnen die door de omtrek van een oppervlakte-element gaan. In een stationair regime verlaat de vloeistof de stroombuis niet .
* **Stagnatiepunt**: Punten waar de snelheid nul is .
#### 4.2.2 Continuïteitsvergelijking
Voor een onsamendrukbaar fluïdum, waar $v\_1$ en $v\_2$ de snelheden zijn op doorsneden $A\_1$ en $A\_2$ van een stroombuis: $$ A\_1 v\_1 = A\_2 v\_2 $$ [5.2](#page=125) Dit betekent dat de stroomsnelheid omgekeerd evenredig is met de doorsnede . De stroomsterkte $I$ (massa per tijdseenheid) is: $$ I = \\frac{dm}{dt} = \\rho v A $$ [5.6](#page=126) Voor onsamendrukbare fluïda wordt de stroomsterkte behouden . De stroomdichtheid $J$ is de stroom per oppervlakte-eenheid: $$ J = \\rho v $$ [5.8](#page=126)
#### 4.2.3 Kracht uitgeoefend door een fluïdum op een gebogen stroombuis
Om een stroom $J$ van richting te veranderen, zijn er krachten nodig loodrecht op de stroomlijnen, veroorzaakt door drukverschillen. De resulterende kracht $K$ is gelijk aan de verandering van de impuls per tijdseenheid: $$ K = \\frac{dp}{dt} $$ [5.9](#page=126) Voor een stationair regime is de resulterende kracht op de stroombuis: $$ K = I(v\_1 - v\_2) $$ [5.14](#page=127)
#### 4.2.4 Vergelijking van Bernoulli: druk in een bewegende vloeistof
Voor een onsamendrukbaar fluïdum met stationair regime, op basis van behoud van mechanische energie, geldt de vergelijking van Bernoulli langs een stroombuis: $$ p + \\rho g h + \\frac{1}{2} \\rho v^2 = \\text{Cte} $$ [5.23](#page=129) Hierin is $p$ de druk, $\\rho gh$ de potentiële energie per volume-eenheid, en $\\frac{1}{2} \\rho v^2$ de kinetische energie per volume-eenheid . De grondvergelijking van de hydrostatica ($p + \\rho gh = \\text{Cte}$) is een speciaal geval voor stilstaande fluïda ($v=0$) .
##### 4.2.4.1 Toepassingen
* **Uitstroomsnelheid van een vloeistof**: Voor een open tank ($p=p\_a$): $$ v = \\sqrt{2gh} $$ [5.28](#page=129) Dit is gelijk aan de valsnelheid in vrije val . Voor een gesloten tank met druk $p$: $$ v = \\sqrt{\\frac{2(p - p\_a)}{\\rho}} $$ [5.29](#page=130)
* **Uitstromende vloeistof als stuwkracht**: De reactiekracht $K$ op de tank is: $$ K = v \\frac{dm}{dt} = v I = 2 A (p - p\_a) $$ [5.32](#page=130)
#### 4.2.5 Meten van stroomsnelheden
* **Venturibuis**: Meet het drukverschil in een vernauwde buis om de stroomsnelheid te bepalen. $$ v\_1 = \\sqrt{\\frac{2gh (\\rho\_0/\\rho)}{(A\_1/A\_2)^2 - 1}} $$ [5.36](#page=131) waarbij $\\rho\_0$ de dichtheid van de manometervloeistof is en $\\rho$ de dichtheid van het gas .
* **Pitotbuis**: Meet het drukverschil tussen een stagnatiepunt en een punt met stromingssnelheid. $$ v\_B = \\sqrt{\\frac{2(p\_A - p\_B)}{\\rho}} = \\sqrt{2gh \\frac{\\rho\_0}{\\rho}} $$ [5.40](#page=132) Wordt gebruikt in vliegtuigen om de luchtsnelheid te meten .
#### 4.2.6 Viscositeit
Viscositeit is de inwendige wrijving van een fluïdum. Het vereist een kracht om twee oppervlakken met een fluïdumlaag ertussen over elkaar te laten glijden . De viscositeitscoëfficiënt $\\eta$ is de evenredigheidsfactor tussen schuifspanning en snelheidsgradiënt: $$ K = \\eta \\frac{dv}{dz} A $$ [5.43](#page=135) De SI-eenheid van viscositeit is pascal-seconde (Pa·s) . De viscositeit is temperatuurafhankelijk: stijgt voor gassen, daalt voor vloeistoffen bij hogere temperaturen .
#### 4.2.7 Laminaire stroming, viscositeitscoëfficiënt
In laminaire stroming schuiven oneindig dunne vloeistoflaagjes over elkaar. De snelheid groeit lineair van een vaste naar een beweegbare wand .
#### 4.2.8 Wet van Poiseuille
Beschrijft de laminaire stroming van een fluïdum door een cilindrische buis met lengte $L$ en straal $R$ . Het snelheidsverloop is parabolisch: $$ v = \\frac{p\_1 - p\_2}{4\\eta L} (R^2 - r^2) $$ [5.49](#page=136) Het volumedebiet $Q$ is: $$ Q = \\frac{\\pi}{8\\eta} \\frac{(p\_1 - p\_2)}{L} R^4 $$ [5.53](#page=137) Het debiet is rechtevenredig met de drukgradiënt en de vierde macht van de straal, en omgekeerd evenredig met de viscositeit .
#### 4.2.9 Viscosimeter van Poiseuille
Meet de viscositeit $\\eta$ met behulp van de wet van Poiseuille, door het volumedebiet $Q$ te meten . $$ \\eta = \\frac{\\pi}{8Q} \\frac{h g \\rho L}{R^4} $$ [5.54](#page=138)
#### 4.2.10 Viscosimeter steunend op de wet van Stokes
De wet van Stokes beschrijft de wrijvingskracht $K$ op een sfeer met straal $a$ die beweegt met snelheid $v$ in een fluïdum met viscositeit $\\eta$: $$ K = 6 \\pi a \\eta v $$ [5.57](#page=138) Deze methode is geschikt voor zeer viskeuze vloeistoffen door de limietsnelheid $v\_0$ te meten . $$ \\eta = \\frac{2}{9} a^2 \\frac{(\\rho - \\rho') g}{v\_0} $$ [5.59](#page=139)
#### 4.2.11 Dynamische stuwkracht
Naast de statische stuwkracht is er ook een dynamische stuwkracht, veroorzaakt door de beweging van een fluïdum . Dit effect treedt op wanneer de stroomsnelheid boven een object toeneemt en onder het object afneemt, wat leidt tot een hydrodynamisch drukverschil volgens de wet van Bernoulli .
#### 4.2.12 Circulatie van het snelheidsvectorveld en de formule van Kutta-Joukowski
De circulatie $\\Gamma$ om een gesloten kromme in een snelheidsveld is gedefinieerd als de lijnintegraal: $$ \\Gamma = \\oint \\mathbf{v} \\cdot d\\mathbf{s} $$ [5.62](#page=140) De formule van Kutta-Joukowski stelt dat de hydrodynamische stuwkracht $K$ op een cilindrisch object evenredig is met de lengte $L$, de fluïdumdichtheid $\\rho$, de stroomsnelheid $v$ en de circulatie $\\Gamma$: $$ K = L \\rho v \\Gamma $$ [5.63](#page=140) Deze formule wordt toegepast op vliegtuigvleugels om de liftkracht te berekenen .
#### 4.2.13 Turbulente stroming, getal van Reynolds
Wanneer de stroomsnelheid een kritische waarde overschrijdt, kan de stroming turbulent worden, gekenmerkt door wervels . De overgang van laminaire naar turbulente stroming wordt bepaald door het **getal van Reynolds ($n\_R$)**: $$ n\_R = \\frac{\\rho v d}{\\eta} $$ [5.72](#page=143)
* $n\_R < 2000$: laminaire stroming.
* $2000 < n\_R < 3000$: overgangsregime.
* $n\_R > 3000$: turbulente stroming . Het getal van Reynolds is dimensieloos .
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Scalair | Een fysische grootheid die volledig bepaald is door een maatgetal. Massa, energie en temperatuur zijn voorbeelden. |
| Vector | Een fysische grootheid die gekenmerkt wordt door richting, zin en maatgetal. Snelheid, versnelling en kracht zijn voorbeelden van vectoriële grootheden. |
| Eenheidsvector | Een vector op een as met een maatgetal van +1, die de richting en zin van die as aangeeft. |
| Vectorsom | De som van twee of meer vectoren, gevonden met de driehoeksmethode, waarbij de vectoren achter elkaar worden geplaatst en de resultant de driehoek sluit. |
| Scalair product | Het product van twee vectoren dat resulteert in een scalair. Het is gelijk aan het product van de normen vermenigvuldigd met de cosinus van de ingesloten hoek. |
| Vectorieel product | Het product van twee vectoren dat resulteert in een vector. Deze vector staat loodrecht op het vlak gevormd door de twee oorspronkelijke vectoren en de grootte is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram op deze vectoren gebouwd. |
| Gemengd product | Het scalair product van één vector met het vectorieel product van twee andere vectoren. De absolute waarde is het volume van het parallellepipedum geconstrueerd op de drie vectoren. |
| Kinematica | De tak van de mechanica die de beweging van lichamen bestudeert zonder rekening te houden met de oorzaken ervan. |
| Bewegingsvergelijking | Een vergelijking die de plaatsvector van een deeltje uitdrukt als functie van de tijd, bijvoorbeeld r = r(t). |
| Rechtlijnige beweging | Beweging waarbij een deeltje zich voortbeweegt langs een rechte lijn. |
| Kromlijnige beweging | Beweging waarbij een deeltje zich voortbeweegt langs een gekromde baan. |
| Snelheid | De mate van verandering van positie van een object. Gemiddelde snelheid is de verplaatsing gedeeld door de tijd, en ogenblikkelijke snelheid is de afgeleide van de positie naar tijd. |
| Versnelling | De mate van verandering van snelheid van een object. Gemiddelde versnelling is de snelheidsverandering gedeeld door de tijdsduur, en ogenblikkelijke versnelling is de afgeleide van de snelheid naar tijd. |
| Tangentiële versnelling | Het component van de versnelling dat gericht is langs de raaklijn aan de baan en verantwoordelijk is voor de verandering in de grootte van de snelheid. |
| Normale versnelling | Het component van de versnelling dat gericht is volgens de normaal op de baan en verantwoordelijk is voor de verandering in de richting van de snelheidsvector (ook wel middelpuntzoekende versnelling genoemd). |
| Harmonische beweging | Een specifieke vorm van periodieke beweging, vaak beschreven als de projectie van een eenparig cirkelvormige beweging op een as. |
| Zwevingen | Een fenomeen dat optreedt bij de samenstelling van twee trillingen met bijna dezelfde frequenties, resulterend in een periodieke variatie van de amplitude. |
| Referentiestelsel | Een coördinatensysteem ten opzichte waarvan de beweging van een object wordt beschreven. |
| Traagheidsreferentiestelsel | Een referentiestelsel waarin de eerste wet van Newton (traagheidswet) geldig is, d.w.z. een stelsel dat niet versneld is ten opzichte van de sterren. |
| Pseudokracht | Een schijnkracht die optreedt in niet-inertiële referentiestelsels als gevolg van de versnelling van het stelsel zelf, om de wetten van Newton geldig te houden. Voorbeelden zijn de middelpuntvliedende en Corioliskracht. |
| Wet van behoud van hoeveelheid van beweging | In een geïsoleerd stelsel blijft de totale hoeveelheid van beweging (impuls) constant. |
| Impulsmoment | Het product van de plaatsvector van een deeltje met zijn impuls (massa maal snelheid). Het behoud van impulsmoment geldt in centraalkrachtvelden. |
| Arbeid | De verrichte arbeid door een kracht op een object is gelijk aan het scalair product van de krachtvector en de verplaatsingsvector. Het is de energie die wordt overgedragen door de kracht. |
| Vermogen | De arbeid verricht per tijdseenheid. Het is de snelheid waarmee energie wordt overgedragen of omgezet. |
| Potentiële energie | Energie die een object bezit als gevolg van zijn positie in een krachtveld (bijvoorbeeld zwaartekracht of veer). |
| Kinetische energie | Energie die een object bezit als gevolg van zijn beweging, gelijk aan 1/2 mv². |
| Wet van behoud van mechanische energie | In een conservatief krachtveld blijft de som van de kinetische en potentiële energie constant. |
| Gravitatiewet van Newton | Stelt dat twee puntmassa's elkaar aantrekken met een kracht die evenredig is met het product van hun massa's en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen hen. |
| Hydrostatica | De studie van fluïda (vloeistoffen en gassen) in rust. |
| Hydrodynamica | De studie van fluïda in beweging. |
| Dichtheid | Massa per volume-eenheid van een stof. |
| Druk | Kracht per oppervlakte-eenheid, loodrecht op het oppervlak. |
| Hydrostatische druk | De druk in een fluïdum als gevolg van de zwaartekracht, toenemend met de diepte. |
| Wet van Pascal | Een druk uitgeoefend op een ingesloten fluïdum plant zich onverminderd voort in alle richtingen. |
| Wet van Archimedes | Een in een fluïdum ondergedompeld lichaam ondervindt een opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van het verplaatste fluïdum. |
| Oppervlaktespanning | De kracht per lengte-eenheid die aan de rand van een vloeistofoppervlak werkt, veroorzaakt door de aantrekkingskrachten tussen de vloeistofmoleculen. |
| Viscositeit | De inwendige wrijving van een fluïdum, die weerstand biedt aan stroming. |
| Laminaire stroming | Stroming waarbij de vloeistoflagen parallel stromen zonder zich te mengen. |
| Turbulente stroming | Stroming met wervelingen en menging van de vloeistoflagen. |
| Wet van Poiseuille | Beschrijft de volumestroom van een viskeuze vloeistof door een cilindrische buis onder invloed van een drukverschil. |
| Getal van Reynold | Een dimensieloos getal dat de aard van de stroming (laminair of turbulent) bepaalt, afhankelijk van de dichtheid, snelheid, diameter en viscositeit van het fluïdum. |
Cover
cambridge igcse physics (3rd edition) by tom duncan and heather kennett.pdf
Summary
# Measurements and motion
This topic introduces fundamental concepts in physics related to measurement, including units, powers of ten, length, area, volume, mass, time, systematic errors, and precision measuring instruments [15](#page=15).
### 1.1 Units and basic quantities
Before any measurement can be made, a standard unit must be chosen. The size of the quantity is then determined using an instrument with a scale marked in that unit. The three fundamental quantities measured in physics are length, mass, and time, with units for other quantities being derived from these. The International System of Units (SI) is a metric system used globally, characterized by decimal divisions and multiplications by 10 for different units [15](#page=15).
### 1.2 Powers of ten shorthand
Powers of ten provide a concise way to express very large or very small numbers. This notation, also known as standard notation, uses a number multiplied by a power of 10 [15](#page=15).
* $4000 = 4 \times 10^3$ [15](#page=15).
* $400 = 4 \times 10^2$ [15](#page=15).
* $40 = 4 \times 10^1$ [15](#page=15).
* $4 = 4 \times 10^0$ [15](#page=15).
* $0.4 = 4 \times 10^{-1}$ [15](#page=15).
* $0.04 = 4 \times 10^{-2}$ [15](#page=15).
* $0.004 = 4 \times 10^{-3}$ [15](#page=15).
The exponent indicates how many times the number is multiplied by 10 (if positive) or divided by 10 (if negative) [15](#page=15).
### 1.3 Length
The SI unit of length is the metre (m). Submultiples include the decimetre (dm, $10^{-1}$ m), centimetre (cm, $10^{-2}$ m), millimetre (mm, $10^{-3}$ m), micrometre (µm, $10^{-6}$ m), and nanometre (nm, $10^{-9}$ m). A multiple for larger distances is the kilometre (km, $10^3$ m) [15](#page=15).
> **Tip:** When using a ruler, ensure your eye is directly over the mark to avoid parallax error [15](#page=15).
To obtain an average value for small distances, multiple instances can be measured and then divided. For example, measuring the distance of five waves in a ripple tank and dividing by five gives the average wavelength [16](#page=16).
### 1.4 Significant figures
Significant figures indicate the precision of a measurement. More significant figures should not be given than are justified by the limitations of the apparatus and the experimenter [16](#page=16).
* A measurement of 4.5 has two significant figures [16](#page=16).
* 0.0385 has three significant figures, with 3 being the most significant and 5 the least certain [16](#page=16).
When performing calculations, the answer should have the same number of significant figures as the least precise measurement used. To round a number, if the next digit to the right is less than 5, the last significant figure remains unchanged; if it is 5 or greater, the last significant figure is increased by one. In standard notation, the number of digits before the power of ten determines the significant figures (e.g., $2.73 \times 10^3$ has three significant figures) [16](#page=16).
### 1.5 Area
The area of a square with sides of length $l$ is $l^2$, and for a rectangle with length $l$ and breadth $b$, the area is $l \times b$. The SI unit of area is the square metre ($m^2$) [16](#page=16).
* $1 m^2 = 10000 cm^2 = 10^6 mm^2$ [16](#page=16).
The area of a triangle is given by $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$. The area of a circle with radius $r$ is $\pi r^2$, and its circumference is $2\pi r$, where $\pi \approx 22/7$ or $3.14$ [16](#page=16) [17](#page=17).
### 1.6 Volume
Volume is the amount of space occupied by an object. The SI unit is the cubic metre ($m^3$), but the cubic centimetre ($cm^3$) is often used [17](#page=17).
* $1 m^3 = 10^6 cm^3$ [17](#page=17).
For a rectangular block, volume is calculated as length × breadth × height. The volume of a sphere of radius $r$ is $\frac{4}{3}\pi r^3$, and the volume of a cylinder of radius $r$ and height $h$ is $\pi r^2 h$ [17](#page=17).
Liquid volumes can be measured using measuring cylinders or burettes. When reading these instruments, the eye must be level with the bottom of the meniscus (the curved surface of the liquid), except for mercury where the top is read. Liquid volumes are also expressed in litres (l), where $1$ litre $= 1000 cm^3 = 1 dm^3$, and $1$ millilitre (ml) $= 1 cm^3$ [17](#page=17).
### 1.7 Mass
Mass is the measure of the amount of matter in an object. The SI unit of mass is the kilogram (kg). The gram (g) is one-thousandth of a kilogram ($1 kg = 1000 g$) [17](#page=17).
> **Important Distinction:** Mass and weight are distinct concepts in science, although the term "weight" is often used colloquially when mass is meant. Mass is measured on balances, such as beam balances or digital top-pan balances [17](#page=17).
### 1.8 Time
The SI unit of time is the second (s). Modern clocks and watches use oscillations from quartz crystals or caesium atoms for accuracy [18](#page=18).
> **Tip:** To improve accuracy when measuring time intervals, time several oscillations rather than just one [18](#page=18).
For experiments, it's important to choose a timer accurate enough for the task; a stopwatch is suitable for a pendulum's period, but a clock measuring milliseconds is needed for faster events. Digital clocks triggered by electronic signals are useful for very short time intervals [18](#page=18).
### 1.9 Systematic errors
A systematic error is an error introduced by the measuring system itself, leading to consistent deviations from the true value. For example, a ruler with a gap before the zero mark will consistently underestimate heights by the length of that gap. Using a ruler with the zero at the end can avoid this specific error. Holding a measuring rule at an angle to the vertical also introduces a systematic error [18](#page=18) [19](#page=19).
### 1.10 Vernier scales and micrometers
For measurements requiring greater accuracy than a standard ruler (approximately 1 mm), vernier calipers and micrometer screw gauges are used [19](#page=19).
#### 1.10.1 Vernier scales
A vernier scale is a small sliding scale that allows for more precise readings. A common type measures to 0.01 cm. The length is determined by aligning the zero of the vernier scale with one end of the object and the zero of the main scale with the other. The reading to the second decimal place is found by identifying the vernier mark that exactly aligns with a mark on the main scale. The total length is calculated using the main scale reading and the number of vernier divisions. Vernier scales are also found on instruments like barometers and spectrometers [19](#page=19).
#### 1.10.2 Micrometer screw gauge
A micrometer screw gauge measures very small lengths to an accuracy of 0.001 cm. It consists of a shaft scale and a rotating drum scale. One revolution of the drum moves the jaws by a precise amount, typically 0.5 mm. The drum scale is divided into 50 divisions, so each division represents a movement of $0.05 \text{ mm} / 50 = 0.001$ cm. A friction clutch ensures consistent force when gripping the object [20](#page=20).
> **Important:** Always check that a micrometer screw gauge reads zero when the jaws are closed. If not, the zero error must be accounted for in subsequent measurements [20](#page=20).
---
# Speed, velocity, and acceleration
This topic explores the fundamental concepts of motion, defining and distinguishing between speed, velocity, and acceleration, and detailing methods for their measurement and graphical representation.
## 2 Speed, velocity, and acceleration
Speed is defined as the distance traveled per unit of time. It quantifies how quickly an object is moving, irrespective of its direction. The average speed is calculated by dividing the total distance moved by the total time taken [22](#page=22).
The formula for average speed is:
$$ \text{Average speed} = \frac{\text{distance moved}}{\text{time taken}} $$ [22](#page=22).
To determine the instantaneous speed, one needs to consider the distance moved over a very short interval of time [22](#page=22).
### 2.1 Velocity
Velocity is similar to speed but includes the direction of motion. It is defined as the distance traveled per unit of time in a stated direction. Two objects moving at the same speed in opposite directions have different velocities. Speed is a scalar quantity, while velocity is a vector quantity [22](#page=22).
The formula for velocity is:
$$ \text{velocity} = \frac{\text{distance moved in a stated direction}}{\text{time taken}} $$ [22](#page=22).
Distance moved in a stated direction is also known as displacement, which is a vector quantity, unlike distance which is a scalar. Velocity can also be defined as [22](#page=22):
$$ \text{velocity} = \frac{\text{displacement}}{\text{time taken}} $$ [22](#page=22).
A body has uniform or constant velocity if it moves with a steady speed in a straight line. A curved path means the velocity is not uniform, even if the speed is constant. The units of speed and velocity are the same, such as kilometers per hour (km/h) or meters per second (m/s) [22](#page=22).
> **Tip:** While speed is just a magnitude, velocity has both magnitude and direction. For example, 20 m/s north is a velocity, whereas 20 m/s is a speed.
### 2.2 Acceleration
Acceleration is defined as the change of velocity per unit of time. When the velocity of a body changes, it is said to be accelerating [22](#page=22) [23](#page=23).
The formula for acceleration is:
$$ \text{acceleration} = \frac{\text{change of velocity}}{\text{time taken for change}} $$ [23](#page=23).
If a car starts from rest and reaches a velocity of 2 m/s due north after 1 second, its acceleration is 2 m/s per second due north, written as 2 m/s² [22](#page=22).
> **Example:** A car increases its speed from 20 m/s to 50 m/s in 5 seconds. Its acceleration is:
> $$ \text{acceleration} = \frac{(50 \text{ m/s} - 20 \text{ m/s})}{5 \text{ s}} = \frac{30 \text{ m/s}}{5 \text{ s}} = 6 \text{ m/s}^2 $$ [23](#page=23).
Acceleration is also a vector quantity, meaning both its magnitude and direction must be stated. However, when considering motion in a straight line, the magnitude of velocity equals speed, and the magnitude of acceleration equals the change of speed per unit time [23](#page=23).
A positive acceleration indicates an increasing velocity, while a negative acceleration (also called deceleration or retardation) indicates a decreasing velocity [23](#page=23).
> **Tip:** Uniform acceleration means the velocity changes by the same amount in equal time intervals.
### 2.3 Timers and motion analysis
Various devices are used in the laboratory to measure and analyze motion, including speed and acceleration [23](#page=23).
#### 2.3.1 Motion sensors
Motion sensors use ultrasonic echo techniques to determine an object's distance from the sensor. When connected to a datalogger and computer, they can directly plot distance–time graphs and, through further analysis, produce velocity–time graphs [23](#page=23).
#### 2.3.2 Tickertape timer
A tickertape timer uses a vibrating marker that makes dots on a paper tape pulled through it at regular intervals. A common timer makes 50 dots per second, meaning the interval between dots (a "tick") is 1/50 of a second. The distance between successive dots approximates the speed of the object pulling the tape. A "tentick" interval (1/5 second) is also frequently used [23](#page=23).
Tape charts are created by arranging successive tentick-length strips of tape side by side [23](#page=23).
* **Uniform speed** is represented by tape charts with equal distances moved in each tentick interval [23](#page=23).
* **Uniform acceleration** is shown by tape charts where each "step" (distance moved per tentick) is of equal size, indicating the speed increased by the same amount in every tentick interval [23](#page=23).
> **Example:** For a tape chart representing uniform acceleration, if the speed during the first tentick is 2 cm per 1/5 s (10 cm/s) and during the sixth tentick it is 12 cm per 1/5 s (60 cm/s), the average acceleration over the 1-second interval (5 tenticks) is:
> $$ \text{acceleration} = \frac{(60 \text{ cm/s} - 10 \text{ cm/s})}{1 \text{ s}} = 50 \text{ cm/s}^2 $$ [23](#page=23).
#### 2.3.3 Photogate timer
A photogate timer measures the time taken for an object with an "interrupt card" to pass through the gate. By knowing the length of the interrupt card, the velocity of the object can be calculated. Photogates are particularly useful for determining velocity at specific points [24](#page=24).
### 2.4 Practical work: Analyzing motion
Experiments involving pulling tape through a tickertape timer or using motion sensors allow for the analysis of personal motion and the motion of objects like trolleys on runways. By creating tape charts or obtaining distance–time and velocity–time graphs, one can identify periods of uniform speed, uniform acceleration, and changing acceleration [24](#page=24).
> **Tip:** When analyzing trolley motion down a runway with a tickertape timer, ignore the initial crowded dots, as they might not represent consistent motion. Focus on the later sections of the tape for analysis [24](#page=24).
### 2.5 Graphs of motion
* **Distance–time graphs:** These graphs plot the distance traveled against time. A straight, upward-sloping line indicates constant speed, while a steeper slope means higher speed. A horizontal line signifies the object is at rest [24](#page=24).
* **Velocity–time graphs:** These graphs plot velocity against time. A horizontal line indicates constant velocity (zero acceleration). An upward-sloping straight line represents uniform acceleration. The area under a velocity–time graph represents the displacement [24](#page=24).
> **Tip:** Understanding the relationship between the shape of a velocity-time graph and acceleration is crucial for problem-solving. A constant slope indicates constant acceleration.
---
# Force, momentum, and motion
This section explores the fundamental principles governing motion, including Newton's laws, the concepts of force, mass, inertia, and momentum, and the factors influencing acceleration, air resistance, and terminal velocity.
### 3.1 Falling bodies
In air, objects of different masses and shapes fall at different rates due to air resistance. However, in a vacuum, all objects fall at the same rate, regardless of their mass. This difference is attributed to air resistance having a greater proportional effect on lighter or less dense objects compared to heavier, denser ones. While a story suggests Galileo demonstrated this by dropping objects from the Leaning Tower of Pisa, it's now believed this specific experiment may be apocryphal [30](#page=30).
#### 3.1.1 Acceleration of free fall
When air resistance is negligible, all bodies falling freely under gravity accelerate uniformly. This constant acceleration is known as the **acceleration of free fall**, denoted by the symbol $g$. The value of $g$ varies slightly across the Earth but is constant at a specific location. For example, in India, it is approximately 9.8 m/s$^2$, often approximated as 10 m/s$^2$ for calculations. This means the velocity of a free-falling object increases by approximately 10 m/s every second [31](#page=31).
When using the equations of motion for free-falling bodies:
* For falling bodies, acceleration $a$ is positive, so $a = g = +10$ m/s$^2$ [31](#page=31).
* For rising bodies (which are decelerating), acceleration $a$ is negative, so $a = -g = -10$ m/s$^2$ [31](#page=31).
> **Tip:** When dealing with vertical motion involving gravity, always consider the direction of motion to assign the correct sign to acceleration $g$.
#### 3.1.2 Measuring $g$
The value of $g$ can be measured using an electronic timer and a falling object, such as a steel ball-bearing. An apparatus is set up where an electromagnet releases the ball, simultaneously starting a clock. When the ball hits an impact switch, the clock stops. The distance fallen ($s$), time taken ($t$), initial velocity ($u$), and acceleration ($a$) are related by the equation of motion $s = ut + \frac{1}{2}at^2$. For an object dropped from rest, $u = 0$ and $a = g$, so the equation becomes $s = \frac{1}{2}gt^2$. Rearranging this formula allows for the calculation of $g$ [31](#page=31):
$$ g = \frac{2s}{t^2} $$
Air resistance is considered negligible for dense objects falling short distances in such experiments [31](#page=31).
#### 3.1.3 Worked example: Vertical projection
Consider a ball projected vertically upwards with an initial velocity ($u$) of 30 m/s. We neglect air resistance and take $g = 10$ m/s$^2$.
* **a) Maximum height:** At its maximum height, the ball's velocity ($v$) is momentarily 0 m/s. We use the equation $v^2 = u^2 + 2as$ [32](#page=32).
Here, $u = 30$ m/s, $a = -10$ m/s$^2$ (since it's decelerating), and $v = 0$ m/s.
$$ 0^2 = (30 \text{ m/s})^2 + 2(-10 \text{ m/s}^2) \times s $$
$$ 0 = 900 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 20 \text{ m/s}^2 \times s $$
$$ 20 \text{ m/s}^2 \times s = 900 \text{ m}^2/\text{s}^2 $$
$$ s = \frac{900 \text{ m}^2/\text{s}^2}{20 \text{ m/s}^2} = 45 \text{ m} $$
The maximum height reached is 45 meters [32](#page=32).
* **b) Time to return to starting point:** Let $t$ be the time to reach the highest point. We use the equation $v = u + at$.
$$ 0 \text{ m/s} = 30 \text{ m/s} + (-10 \text{ m/s}^2) \times t $$
$$ -30 \text{ m/s} = -10 \text{ m/s}^2 \times t $$
$$ t = \frac{-30 \text{ m/s}}{-10 \text{ m/s}^2} = 3 \text{ s} $$
The time taken to reach the highest point is 3 seconds. The downward journey takes the same amount of time, so the total time to return to the starting point is $3 \text{ s} + 3 \text{ s} = 6 \text{ s}$ [32](#page=32).
#### 3.1.4 Distance–time graphs
For a body falling freely from rest, the distance ($s$) covered is related to time ($t$) by $s = \frac{1}{2}gt^2$. A graph of distance ($s$) against time ($t$) will be a curve. However, a graph of distance ($s$) against the square of time ($t^2$) will be a straight line passing through the origin, as $s$ is directly proportional to $t^2$ when $g$ is constant [32](#page=32).
> **Tip:** The shape of a distance-time graph can tell you about the object's motion. A straight line indicates constant velocity, while a curve indicates acceleration.
#### 3.1.5 Projectiles
The motion of a projectile can be understood by considering its horizontal and vertical components independently. The vertical motion of a projectile is governed by gravity, just like a freely falling object. The horizontal velocity of a projectile does not affect its vertical acceleration [32](#page=32).
* **Horizontal and Vertical Motion Independence:** If a ball is thrown horizontally from a cliff and takes 3 seconds to reach the ground, its height can be calculated using the vertical motion only. With an initial vertical velocity ($u$) of 0 m/s, acceleration ($a$) of $g = +10$ m/s$^2$, and time ($t$) of 3 s, the height ($s$) is [33](#page=33):
$$ s = ut + \frac{1}{2}at^2 $$
$$ s = (0 \text{ m/s})(3 \text{ s}) + \frac{1}{2}(10 \text{ m/s}^2)(3 \text{ s})^2 $$
$$ s = 0 + \frac{1}{2}(10 \text{ m/s}^2)(9 \text{ s}^2) = 45 \text{ m} $$
The height of the cliff is 45 meters [33](#page=33).
* **Range of Projectiles:** For projectiles launched near ground level at an angle (e.g., cricket balls), the horizontal distance traveled (range) depends on two factors:
1. **Speed of projection:** A higher initial speed leads to a greater range [33](#page=33).
2. **Angle of projection:** Neglecting air resistance, the range is maximized when the angle of projection is 45 degrees [33](#page=33).
### 3.2 Newton's laws of motion
*Note: While the provided pages focus on falling bodies and related concepts, Newton's laws are foundational to these principles. Based on common physics curricula and the context of "force, momentum, and motion," these laws are typically introduced here.*
Newton's laws of motion describe the relationship between an object's motion and the forces acting upon it.
#### 3.2.1 Newton's first law of motion (law of inertia)
An object at rest stays at rest, and an object in motion stays in motion with the same speed and in the same direction unless acted upon by an unbalanced force [PAGE NUMBER NEEDED. This property is known as inertia. Inertia is a measure of an object's resistance to changes in its state of motion and is directly proportional to its mass.
#### 3.2.2 Newton's second law of motion
Newton's second law states that the acceleration ($a$) of an object is directly proportional to the net force ($F$) acting on it and inversely proportional to its mass ($m$). This relationship is expressed by the formula:
$$ F = ma $$
The unit of force is the Newton (N), defined as the force required to accelerate a 1-kilogram mass at 1 meter per second squared.
#### 3.2.3 Newton's third law of motion
For every action, there is an equal and opposite reaction. This means that if object A exerts a force on object B, then object B exerts an equal and opposite force on object A. These forces act on different objects and do not cancel each other out.
### 3.3 Momentum
Momentum ($p$) is a measure of an object's motion and is defined as the product of its mass ($m$) and its velocity ($v$):
$$ p = mv $$
Momentum is a vector quantity, meaning it has both magnitude and direction. The SI unit of momentum is kilogram-meter per second (kg m/s) [PAGE NUMBER NEEDED.
#### 3.3.1 Principle of conservation of momentum
In the absence of external forces, the total momentum of a system remains constant [PAGE NUMBER NEEDED. This principle is fundamental and applies to collisions and explosions.
### 3.4 Air resistance and terminal velocity
Air resistance is a type of friction that opposes the motion of an object through the air. Its magnitude depends on factors such as the object's speed, shape, and surface area [30](#page=30).
**Terminal velocity** is reached when the force of air resistance acting on a falling object becomes equal in magnitude to the object's weight [PAGE NUMBER NEEDED. At this point, the net force on the object is zero, and it stops accelerating, falling at a constant velocity [PAGE NUMBER NEEDED. Objects with larger surface areas or lower masses tend to have lower terminal velocities because air resistance has a greater effect on them relative to their weight [30](#page=30).
> **Example:** A parachute is designed to increase air resistance by providing a large surface area, thereby lowering the skydiver's terminal velocity to a safe landing speed.
---
# Energy and its transformations
This section explores the concept of energy, its various forms, how it is transferred, and the fundamental principle of its conservation.
### 4.1 Forces and turning effects
#### 4.1.1 Moment of a force
The turning effect of a force is known as the moment of a force. It is calculated by multiplying the applied force by the perpendicular distance of the line of action of the force from the pivot or fulcrum. The unit for the moment of a force is the newton metre (N m) [52](#page=52).
The formula for the moment of a force is:
$$ \text{Moment} = \text{Force} \times \text{perpendicular distance from fulcrum} $$ [52](#page=52).
The position of a force relative to a pivot significantly affects its turning effect. For instance, applying a force at the edge of a door (further from the hinge) creates a larger moment than applying it closer to the hinge [52](#page=52).
> **Tip:** To maximize the turning effect, apply the force as far as possible from the pivot.
#### 4.1.2 Balancing a beam
A beam can be balanced on a pivot when the sum of the clockwise turning effects equals the sum of the anticlockwise turning effects. This state is known as equilibrium, where the net moment on the beam is zero. If a beam tends to swing in one direction, adjustments can be made by moving the applied forces or weights further from or nearer to the pivot to alter their moments [52](#page=52).
#### 4.1.3 The law of moments
The law of moments states that for a body to be in equilibrium, the sum of the clockwise moments about any point must equal the sum of the anticlockwise moments about the same point. This implies that there is no net moment acting on a body in equilibrium [53](#page=53).
**Worked Example:**
Consider a see-saw with individuals of different weights at various positions. To find an unknown weight ($W$), moments are taken about the fulcrum. The anticlockwise moment is calculated by summing the products of weights and their distances from the fulcrum. The clockwise moment is similarly calculated. By equating these two moments according to the law of moments, the unknown weight can be determined [53](#page=53).
#### 4.1.4 Levers
A lever is a device that can rotate around a pivot. In a working lever, an effort force is used to overcome a resisting force called the load, with the pivot point being the fulcrum. Examples of levers include crowbars, wheelbarrows, scissors, and spanners. The effort required to move a load depends on the distances from the fulcrum, as governed by the law of moments [53](#page=53).
#### 4.1.5 Conditions for equilibrium
For a body to be in equilibrium, two conditions must be met:
1. The sum of forces acting in one direction must equal the sum of forces acting in the opposite direction. This means there is no resultant force [54](#page=54).
2. The law of moments must apply, meaning the sum of clockwise moments equals the sum of anticlockwise moments about any point. This means there is no resultant turning effect [54](#page=54).
A body in equilibrium experiences no net force and no net turning effect [54](#page=54).
**Example:**
Consider a heavy plank resting on two trestles. The total upward forces (reactions) from the trestles must equal the downward weight of the plank. By taking moments about one of the trestles, the forces exerted by each trestle can be calculated [54](#page=54).
### 4.2 Centres of mass
#### 4.2.1 Definition and behavior
A body can be considered to have its entire mass concentrated at a single point, known as its centre of mass or centre of gravity. The weight of an object can be treated as acting at this point. For regularly shaped objects with uniform density, the centre of mass is at their geometric center [56](#page=56).
#### 4.2.2 Stability and toppling
The position of an object's centre of mass significantly influences its stability. A body will topple if the vertical line passing through its centre of mass falls outside its base of support. Conversely, if this line remains within the base, the body will be stable and will not topple [56](#page=56) [57](#page=57).
> **Tip:** To increase the stability of an object, lower its centre of mass and widen its base of support.
The stability of an object can be enhanced by:
* Lowering its centre of mass [57](#page=57).
* Increasing the area of its base [57](#page=57).
This principle is crucial in the design of vehicles, such as tractors and double-decker buses, to prevent overturning. Racing cars, for instance, have low centres of mass and wide wheelbases for maximum stability [57](#page=57).
#### 4.2.3 States of equilibrium
There are three states of equilibrium:
a) **Stable equilibrium:** If a body is slightly displaced and then released, it returns to its original position. Its centre of mass rises when displaced. An example is a ball at the bottom of a dish [58](#page=58).
b) **Unstable equilibrium:** If a body is slightly displaced and then released, it moves further away from its original position. Its centre of mass falls when displaced, creating a moment that increases the displacement. A balanced ruler on its edge is an example [58](#page=58).
c) **Neutral equilibrium:** If a body is displaced, it remains in its new position. Its centre of mass neither rises nor falls. An example is a ball on a flat surface [58](#page=58).
#### 4.2.4 Practical applications
Many balancing tricks and toys rely on positioning the centre of mass correctly for stability. Self-righting toys, for example, have a heavy base, ensuring that when tilted, the weight acting through the centre of mass creates a moment that restores the toy to its upright position [58](#page=58) [59](#page=59).
### 4.3 Circular motion and satellites
#### 4.3.1 Orbital motion
An object in orbit, such as a satellite around the Earth, is continuously pulled towards the central body by gravity. If the object's tangential velocity is sufficient, it will follow a path where its forward motion balances the inward pull of gravity, resulting in a stable orbit. This is similar to how a projectile can achieve orbit if fired with enough speed [50](#page=50).
The orbital period ($T$) of a satellite is the time it takes to complete one orbit. For a circular orbit, the velocity ($v$) is related to the orbital radius ($r$) and period by the formula $v = \frac{2\pi r}{T}$. Satellites in higher orbits have longer orbital periods than those in lower orbits [50](#page=50).
#### 4.3.2 Types of satellites
* **Communication satellites:** These are often placed in geostationary orbits above the equator, approximately 36,000 km high. They orbit at the same speed as the Earth rotates, appearing stationary from the Earth's surface with an orbital period of 24 hours. They are used for transmitting television, telephone, and data signals. Mobile phone networks utilize satellites in lower equatorial orbits that require regular adjustments to counteract atmospheric drag [50](#page=50).
* **Monitoring satellites:** These satellites orbit the Earth rapidly in low polar orbits, passing over both poles. At a height of 850 km, their orbital period is about 100 minutes. As the Earth rotates beneath them, they scan the entire surface, making them useful for mapping and monitoring, particularly for weather forecasting by transmitting infrared images of cloud patterns [50](#page=50).
#### 4.3.3 Centripetal force
Circular motion requires an unbalanced force acting towards the center of the circle, known as the centripetal force. For a car rounding a bend, friction between the tires and the road provides this centripetal force. A larger centripetal force is required if the car travels faster, the bend is more curved, or the car has more mass (e.g., more passengers). Racing car tires, like "slicks" on dry tracks, are designed to maximize this friction for better grip during cornering [51](#page=51).
### 4.4 Energy and its transformations (General Introduction - Not extensively covered in pages 50-59 but implied by context)
While the provided pages focus on mechanics like moments, levers, and circular motion, the broader topic of "Energy and its transformations" encompasses the fundamental concept of energy as the capacity to do work. Energy exists in various forms, including kinetic energy (energy of motion), potential energy (stored energy due to position or state), thermal energy, chemical energy, and radiant energy. The principle of conservation of energy states that energy cannot be created or destroyed, only transformed from one form to another or transferred between systems [implied from general physics principles.
For instance, in circular motion, the kinetic energy of a satellite is maintained by the continuous work done by the gravitational force (though the force itself does no net work in a circular orbit as it is perpendicular to the velocity) [implied from general physics principles. In levers, the effort force applied over a distance does work to overcome the load [53](#page=53).
#### 4.4.1 Kinetic energy
Kinetic energy is the energy an object possesses due to its motion. The faster an object moves, the greater its kinetic energy.
#### 4.4.2 Potential energy
Potential energy is stored energy. Gravitational potential energy is energy stored by an object due to its position in a gravitational field. For example, a book held at a height has gravitational potential energy.
#### 4.4.3 Power
Power is the rate at which work is done or energy is transferred. It is measured in watts (W). A more powerful engine can do more work in the same amount of time, or the same amount of work in less time.
#### 4.4.4 Driving and car safety
Concepts related to energy and forces are directly applicable to driving and car safety.
* **Kinetic energy and braking:** The kinetic energy of a moving car increases with the square of its speed ($KE = \frac{1}{2}mv^2$). This means that doubling the speed quadruples the kinetic energy, requiring four times the braking distance to dissipate that energy as heat through friction in the brakes [implied from general physics principles.
* **Centripetal force and cornering:** As discussed, the centripetal force is essential for a car to turn. If the required centripetal force exceeds the maximum friction available, the car will skid [51](#page=51).
* **Work done by seatbelts and airbags:** In a collision, seatbelts and airbags work by increasing the time over which the driver's momentum changes, thereby reducing the force exerted on the driver, as force is the rate of change of momentum ($F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$). This minimizes injury by reducing the impact force, which is related to the work done to stop the occupant [implied from general physics principles.
* **Crumple zones:** Modern cars incorporate crumple zones designed to deform upon impact. This deformation absorbs a significant amount of kinetic energy, reducing the force transmitted to the occupants and thus enhancing safety [implied from general physics principles.
---
# Electricity and magnetism
Electricity and magnetism is a foundational area of physics that explains the behavior of electric charges, currents, and magnetic fields, and their interconnectedness.
## 5. Electricity and magnetism
### 5.1 Static electricity
Static electricity involves the accumulation of electric charge on the surface of an object. This can occur through friction, contact, or induction. When objects with different properties are rubbed together, electrons can be transferred, leaving one object positively charged and the other negatively charged .
#### 5.1.1 Charging by friction
Friction between two insulators can lead to a transfer of electrons. For example, rubbing a balloon on hair causes electrons to move from the hair to the balloon, making the balloon negatively charged and the hair positively charged .
#### 5.1.2 Charging by contact and induction
An object can become charged by touching a charged object (charging by contact) or by the influence of a nearby charged object without direct contact (charging by induction) .
#### 5.1.3 Uses of static electricity
Static electricity has several practical applications:
* **Flue-ash precipitation:** Electrostatic precipitators use charged plates to remove ash particles from industrial chimneys .
* **Photocopiers:** These devices use static electricity to transfer toner powder onto paper to create copies .
* **Inkjet printers:** Charged ink droplets are deflected by electric fields to create images on paper .
* **Van de Graaff generator:** This device produces a continuous supply of high voltage static electricity, used for demonstrations and experiments .
### 5.2 Electric current
An electric current is the flow of electric charge. In metals, this flow is primarily due to electrons moving from the negative to the positive terminal of a battery in a circuit .
#### 5.2.1 Direct and alternating current
* **Direct Current (DC):** The flow of charge is in one direction only. Batteries typically provide DC .
* **Alternating Current (AC):** The direction of charge flow periodically reverses. Household electricity supply is AC, with a frequency of typically 50 Hz or 60 Hz .
#### 5.2.2 Measuring electric current
Electric current is measured in amperes (A) using an ammeter, which is connected in series with the circuit component being measured .
#### 5.2.3 Relationship between charge and current
The quantity of charge ($Q$) is related to the current ($I$) and the time ($t$) by the formula $Q = It$ .
### 5.3 Potential difference
Potential difference (p.d.), also known as voltage, is the energy transferred per unit charge between two points in a circuit. It is measured in volts (V) using a voltmeter, which is connected in parallel across the component where the p.d. is being measured .
#### 5.3.1 Voltages in series and parallel circuits
* **Series circuits:** The total voltage across components in series is the sum of the voltages across each component. For example, if $V$ is the supply voltage and $V_1, V_2, V_3$ are voltages across components, then $V = V_1 + V_2 + V_3$ .
* **Parallel circuits:** The voltage across components connected in parallel is the same. So, if $V_1$ and $V_2$ are voltages across two parallel components, $V_1 = V_2$ .
#### 5.3.2 Potential divider
A potential divider circuit uses two or more resistors in series to provide a specific fraction of the total supply voltage. For two resistors $R_1$ and $R_2$ in series with a supply voltage $V$, the voltage across $R_1$ is $V_1 = V \frac{R_1}{R_1 + R_2}$ and the voltage across $R_2$ is $V_2 = V \frac{R_2}{R_1 + R_2}$ .
### 5.4 Resistance
Resistance ($R$) is a measure of how difficult it is for electric current to flow through a material. It is defined by Ohm's law, which states that the current ($I$) through a conductor is directly proportional to the potential difference ($V$) across it, provided all physical conditions remain unchanged: $V = IR$. Resistance is measured in ohms ($\Omega$) .
#### 5.4.1 Factors affecting resistance
The resistance of a conductor depends on:
* **Length ($l$):** Resistance is directly proportional to length .
* **Cross-sectional area ($A$):** Resistance is inversely proportional to cross-sectional area .
* **Resistivity ($\rho$):** An intrinsic property of the material, representing its resistance per unit length and unit cross-sectional area. The formula is $R = \frac{\rho l}{A}$ .
* **Temperature:** For most conductors, resistance increases with temperature.
#### 5.4.2 Resistance in series and parallel
* **Series circuits:** The total resistance is the sum of individual resistances: $R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$ .
* **Parallel circuits:** The reciprocal of the total resistance is the sum of the reciprocals of individual resistances: $\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$ .
### 5.5 Capacitors
Capacitors store electrical energy in an electric field. They typically consist of two conductive plates separated by a dielectric material. The capacitance ($C$) is defined as the ratio of the charge ($Q$) stored on one plate to the potential difference ($V$) between the plates: $C = \frac{Q}{V}$ [No page available for direct definition, but implied by context of electronic systems. Capacitance is measured in farads (F).
### 5.6 Electric power
Electric power ($P$) is the rate at which electrical energy is transferred or converted. It can be calculated using the following formulas:
* $P = VI$ (Power equals voltage times current) .
* $P = I^2R$ (Power equals current squared times resistance) .
* $P = \frac{V^2}{R}$ (Power equals voltage squared divided by resistance) .
Power is measured in watts (W), where 1 watt is equal to 1 joule per second. Household electricity meters, like joulemeters, measure the total electrical energy consumed in joules .
#### 5.6.1 Household circuits
Household electrical systems are typically wired in parallel to ensure each appliance receives the full mains voltage (e.g., 230 V in the UK) and can be operated independently. Switches and fuses are always placed in the live wire for safety .
### 5.7 Electronic systems
Electronic systems use components like semiconductors to control the flow of electricity. They often involve transducers that convert physical quantities into electrical signals (input transducers) or electrical signals into physical quantities (output transducers).
#### 5.7.1 Input transducers
* **Light-dependent resistor (LDR):** Its resistance decreases as light intensity increases, making it useful for light-sensitive circuits .
* **Thermistor:** Its resistance changes significantly with temperature, typically decreasing as temperature rises. This is useful for temperature sensing and control .
#### 5.7.2 Output transducers
* **Relays:** Electrically operated switches that allow a small current in one circuit to control a larger current in another circuit .
* **Transistors:** Semiconductor devices used as switches or amplifiers in electronic circuits. They are crucial for miniaturization and efficiency in modern electronics .
#### 5.7.3 Applications of electronic systems
Electronic systems are prevalent in homes (washing machines, alarms), industry (robots, automation), and medicine (scanners, pacemakers) due to their compactness, reliability, speed, and low energy consumption .
### 5.8 Electromagnetic effects
Electromagnetism is the study of the relationship between electricity and magnetism. Electric currents create magnetic fields, and changing magnetic fields can induce electric currents.
#### 5.8.1 Electromagnets
An electromagnet is created when an electric current flows through a coil of wire, often wrapped around a ferromagnetic core. The strength of an electromagnet can be increased by increasing the current, the number of turns in the coil, or the permeability of the core .
* **Field due to a straight wire:** A current-carrying wire produces a magnetic field in concentric circles around it. The direction of the field can be determined by the right-hand screw rule .
* **Oersted's discovery:** In 1819, Hans Christian Ørsted discovered that an electric current produces a magnetic effect .
#### 5.8.2 Electric motors
Electric motors convert electrical energy into mechanical energy. They operate on the principle that a current-carrying conductor placed in a magnetic field experiences a force [No specific page for motors, but implied by topic.
#### 5.8.3 Generators
Generators convert mechanical energy into electrical energy using the principle of electromagnetic induction. A changing magnetic field induces an electromotive force (e.m.f.) or voltage in a conductor .
* **Alternators:** Produce alternating current (AC). They are commonly used in power stations and cars .
* **Dynamos:** Produce direct current (DC).
* **Bicycle generators:** Use a rotating magnet to induce voltage in a stationary coil .
#### 5.8.4 Transformers
Transformers are devices used to increase or decrease alternating voltages. They consist of two coils wound around a common iron core. The ratio of the voltages across the coils is equal to the ratio of the number of turns in the coils ($ \frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} $) .
* **Step-up transformer:** Increases voltage.
* **Step-down transformer:** Decreases voltage.
Transformers are essential for the efficient transmission of electrical power over long distances via the National Grid, where voltages are stepped up for transmission and then stepped down for distribution. Eddy currents induced in the core can cause heating, which is reduced by using laminated cores .
#### 5.8.5 Electromagnetic induction applications
* **Moving-coil microphone:** Sound waves vibrate a coil in a magnetic field, inducing a current .
* **Magnetic recording:** Varying magnetization on tapes or disks induces electrical signals .
#### 5.8.6 Electric meters
Electric meters measure electrical quantities. For example, an electric meter in a household measures the total electrical energy consumed. Ammeters measure current, and voltmeters measure potential difference .
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| Term | Definition |
|---|---|
| Standard notation | A method for writing numbers, particularly very large or very small ones, in the form $a \times 10^n$, where $1 \le a < 10$ and $n$ is an integer. |
| Significant figures | The number of digits in a measured value that are known with some degree of certainty, indicating the precision of the measurement. |
| Parallax error | An apparent shift in the position of an object when viewed from different angles, often occurring when reading scales on measuring instruments. |
| Systematic error | An error that consistently affects measurements in the same way, often due to faulty equipment or a flawed experimental method. |
| Vernier scale | A secondary, sliding scale used with a main scale to achieve more precise readings, typically to a fraction of the smallest division on the main scale. |
| Micrometer screw gauge | A precision measuring instrument used for making very accurate measurements of small lengths or thicknesses, typically to three decimal places of a centimetre. |
| Speed | The distance traveled per unit of time; it is a scalar quantity. |
| Velocity | The rate of change of displacement; it is a vector quantity, meaning it has both magnitude (speed) and direction. |
| Acceleration | The rate of change of velocity; it is a vector quantity. |
| Tickertape timer | A device used to analyze motion by recording short time intervals at regular intervals on a paper tape pulled through it. |
| Photogate timer | An electronic device that measures the time taken for an object with an interrupt card to pass through a light beam. |
| Motion sensor | A device that uses techniques like ultrasonic echoes to determine the position of an object and can be used with a datalogger to plot distance-time or velocity-time graphs. |
| Velocity–time graph | A graph where velocity is plotted against time. The gradient of the graph represents acceleration, and the area under the graph represents distance traveled. |
| Distance–time graph | A graph where distance is plotted against time. The gradient of the graph represents velocity. |
| Equations of motion | A set of kinematic equations that describe the motion of objects with uniform acceleration, typically relating displacement, initial velocity, final velocity, acceleration, and time. |
| Acceleration of free fall (g) | The constant acceleration experienced by an object falling freely under gravity, approximately $9.8 \, \text{m/s}^2$ near the Earth's surface. |
| Projectiles | Objects moving under the influence of gravity, where their horizontal and vertical motions can be analyzed independently. |
| Density | Mass per unit volume of a substance, calculated as $\rho = m/V$. |
| Floating and sinking | An object floats if its density is less than the density of the fluid it is in; it sinks if its density is greater. |
| Force | A push or a pull that can cause a change in motion, speed, direction, or shape of an object. |
| Weight | The force of gravity acting on an object; it is a vector quantity and depends on the gravitational field strength. |
| Newton | The SI unit of force. |
| Hooke’s law | States that the extension of a spring or elastic material is directly proportional to the stretching force applied, provided the elastic limit is not exceeded ($F = kx$). |
| Moment of a force | The turning effect of a force about a pivot, calculated as force × perpendicular distance from the pivot. Measured in newton-metres (N m). |
| Law of moments | States that for a body in equilibrium, the sum of the clockwise moments about any point equals the sum of the anticlockwise moments about the same point. |
| Levers | Simple machines consisting of a rigid bar that turns about a fixed point (fulcrum), used to overcome a load with an effort. |
| Conditions for equilibrium | For a body to be in equilibrium, the vector sum of all forces acting on it must be zero, and the sum of all moments about any point must also be zero. |
| Centre of mass | The single point where the entire weight of an object can be considered to act; it affects an object's stability. |
| Stability | The ability of an object to return to its original position after being slightly displaced. Affected by the position of the center of mass and the base of support. |
| States of equilibrium | Stable (returns to original position), unstable (moves further away), and neutral (stays in new position). |
| Momentum | The product of an object's mass and its velocity ($p = mv$); it is a vector quantity. |
| Conservation of momentum | The principle that the total momentum of a system remains constant if no external forces act on it. |
| Impulse | The product of force and the time for which it acts ($Ft$), equal to the change in momentum. |
| Energy transfer | The movement of energy from one form to another or from one object to another. |
| Forms of energy | Chemical, potential (gravitational and strain), kinetic, electrical, heat, light, sound, nuclear. |
| Work | Done when a force moves an object in the direction of the force; measured in joules ($W = Fd$). |
| Power | The rate at which work is done or energy is transferred ($P = E/t$); measured in watts (W). |
| Efficiency | The ratio of useful energy output to total energy input, often expressed as a percentage. |
| Kinetic energy (k.e.) | The energy an object possesses due to its motion ($E_k = \frac{1}{2}mv^2$). |
| Potential energy (p.e.) | The energy an object possesses due to its position or condition. Gravitational potential energy ($E_p = mgh$) and strain energy are common forms. |
| Conservation of energy | The principle that energy cannot be created or destroyed, only transferred or transformed from one form to another. |
| Specific heat capacity | The amount of heat energy required to raise the temperature of 1 kg of a substance by 1 °C ($Q = mc\Delta\theta$). |
| Thermal capacity | The amount of heat energy required to raise the temperature of an entire body by 1 °C (thermal capacity = mass × specific heat capacity). |
| Specific latent heat | The amount of heat energy required to change the state of 1 kg of a substance without changing its temperature (fusion: $Q = ml_f$; vaporisation: $Q = ml_v$). |
| Melting point | The fixed temperature at which a solid changes into a liquid. |
| Boiling point | The fixed temperature at which a liquid changes into a gas at a given pressure. |
| Evaporation | The process by which molecules escape from the surface of a liquid at any temperature. |
| Boiling | The process by which a liquid changes into a gas at a specific temperature, with the formation of bubbles within the liquid. |
| Conduction | Heat transfer through matter by the vibration of particles, without the overall movement of the matter itself. |
| Convection | Heat transfer through fluids (liquids or gases) by the movement of the heated fluid itself, creating convection currents. |
| Radiation | Heat transfer through electromagnetic waves, which can travel through a vacuum. |
| Vacuum flask | A container designed to minimize heat transfer by conduction, convection, and radiation, using vacuum insulation and silvered surfaces. |
| Greenhouse effect | The process by which certain gases in the atmosphere trap heat radiation, leading to warming. |
| Wavefronts | Lines connecting points on a wave that are in the same phase. |
| Rays | Lines drawn perpendicular to wavefronts, indicating the direction of wave propagation. |
| Reflection | The bouncing back of waves from a surface, where the angle of incidence equals the angle of reflection. |
| Refraction | The bending of waves as they pass from one medium to another, caused by a change in speed. |
| Diffraction | The spreading of waves as they pass through a gap or around an obstacle. |
| Interference | The effect produced when two or more waves superpose, resulting in larger or smaller amplitudes depending on whether they are in phase or out of phase. |
| Polarisation | An effect that occurs only with transverse waves, describing the orientation of the oscillations. |
| Sources of light | Luminous (emit their own light) and non-luminous (reflect light). |
| Laser | A device that produces a narrow, highly concentrated beam of light through stimulated emission. |
| Shadows | Areas where light is blocked by an opaque object, consisting of an umbra (total shadow) and penumbra (partial shadow). |
| Speed of light | The constant speed at which light travels in a vacuum, approximately $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$. |
| Law of reflection | States that the angle of incidence equals the angle of reflection, and the incident ray, reflected ray, and normal all lie in the same plane. |
| Periscopes | Optical instruments that use mirrors or prisms to allow observation over or around obstacles. |
| Regular reflection | Reflection of light from a smooth surface, where parallel incident rays are reflected as parallel rays. |
| Diffuse reflection | Reflection of light from a rough surface, where parallel incident rays are scattered in many directions. |
| Lateral inversion | The apparent left-right reversal of an image formed by a plane mirror. |
| Real image | An image formed by actual rays of light converging at a point, which can be projected onto a screen. |
| Virtual image | An image formed by apparent rays of light diverging from a point, which cannot be projected onto a screen. |
| Refraction of light | The bending of light rays as they pass from one medium to another due to a change in speed. |
| Normal | A line drawn perpendicular to a surface at the point where a ray strikes it. |
| Optically denser medium | A medium in which light travels slower than in another medium. |
| Refractive index (n) | The ratio of the speed of light in a vacuum to the speed of light in a medium ($n = c/v$), or the ratio of the sine of the angle of incidence to the sine of the angle of refraction ($n = \sin i / \sin r$). |
| Dispersion | The splitting of white light into its constituent colors when passing through a prism, due to different refractive indices for different colors. |
| Spectrum | The range of colors produced when white light is dispersed. |
| Total internal reflection | The phenomenon where light traveling from a denser to a less dense medium is completely reflected back into the denser medium when the angle of incidence exceeds the critical angle. |
| Critical angle (c) | The angle of incidence in a denser medium for which the angle of refraction in a less dense medium is 90°. |
| Light pipes and optical fibres | Devices that transmit light along curved paths using total internal reflection. |
| Lenses | Transparent optical components, usually made of glass or plastic, with at least one curved surface, used to converge or diverge light. |
| Converging (convex) lens | A lens that is thicker in the center and converges parallel rays of light to a focal point. |
| Diverging (concave) lens | A lens that is thinner in the center and diverges parallel rays of light as if they originated from a focal point. |
| Principal axis | The line passing through the optical center of a lens and perpendicular to its surfaces. |
| Optical centre (C) | The central point of a lens through which rays of light pass undeviated (for thin lenses). |
| Principal focus (F) | The point on the principal axis where parallel rays of light converge (converging lens) or appear to diverge from (diverging lens) after passing through the lens. |
| Focal length (f) | The distance from the optical center of a lens to its principal focus. |
| Ray diagrams | Diagrams used to show the path of light rays through optical systems to determine the position, nature, and size of images. |
| Magnification (m) | The ratio of the image height to the object height, or the ratio of the image distance to the object distance ($m = h_i/h_o = v/u$). |
| Power of a lens | The reciprocal of its focal length in meters ($P = 1/f$), measured in dioptres (D). |
| Magnifying glass | A converging lens used to produce a magnified, upright, virtual image of an object placed within its focal length. |
| Spectacles | Lenses worn to correct vision defects like short sight and long sight. |
| Short sight (myopia) | A condition where distant objects appear blurred because the eye focuses light in front of the retina. Corrected with diverging lenses. |
| Long sight (hyperopia) | A condition where close objects appear blurred because the eye focuses light behind the retina. Corrected with converging lenses. |
| Electromagnetic radiation | Energy that travels as transverse waves, comprising a spectrum of different wavelengths and frequencies, including light, radio waves, microwaves, infrared, ultraviolet, X-rays, and gamma rays. |
| Photoelectric effect | The emission of electrons from a material when electromagnetic radiation of sufficient frequency falls on it. |
| Photons | Packets of energy associated with electromagnetic radiation, whose energy is proportional to their frequency ($E = hf$). |
| Waves or particles | Electromagnetic radiation exhibits both wave-like (interference, diffraction) and particle-like (photoelectric effect) properties. |
| Sound waves | Longitudinal waves produced by vibrations, which travel through a medium by compressions and rarefactions. |
| Longitudinal waves | Waves in which the particles of the medium vibrate parallel to the direction of wave propagation. |
| Compressions | Regions in a longitudinal wave where particles are closest together. |
| Rarefactions | Regions in a longitudinal wave where particles are farthest apart. |
| Reflection of sound | The bouncing of sound waves off a surface, creating an echo. |
| Speed of sound | The speed at which sound travels through a medium, dependent on the medium's properties (e.g., temperature, density). |
| Limits of audibility | The range of frequencies that can be heard by the human ear, typically from about 20 Hz to 20,000 Hz. |
| Pitch of a note | Determined by the frequency of the sound wave; higher frequency means higher pitch. |
| Loudness | Determined by the amplitude of the sound wave; larger amplitude means greater loudness. |
| Quality (timbre) | The characteristic sound of an instrument, determined by the mixture of fundamental frequency and overtones. |
| Ultrasonics | Sound waves with frequencies above the upper limit of human hearing (typically above 20 kHz). |
| Seismic waves | Waves produced by earthquakes, including longitudinal (P-waves) and transverse (S-waves) waves. |
| Magnetic fields | The region around a magnet or current-carrying conductor where magnetic forces are exerted. Represented by lines of force. |
| Magnetic poles | Regions of a magnet where the magnetic force is strongest, typically near the ends (North and South poles). |
| Law of magnetic poles | Like poles repel, unlike poles attract. |
| Magnetisation | The process of making a magnetic material magnetic, either temporarily (soft iron) or permanently (steel). |
| Soft magnetic materials | Materials that are easily magnetized and demagnetized, used in electromagnets. |
| Hard magnetic materials | Materials that are difficult to magnetize but retain their magnetism, used for permanent magnets. |
| Solenoid | A coil of wire wound into a cylindrical shape, producing a magnetic field similar to that of a bar magnet. |
| Right-hand screw rule | A rule relating the direction of current in a straight wire or solenoid to the direction of the magnetic field it produces. |
| Electromagnets | Magnets created by passing an electric current through a coil of wire, often wound around a soft iron core. Their strength can be varied. |
| Electric bells | Devices that use electromagnets to create a vibrating hammer that strikes a gong repeatedly. |
| Relays | Electrically operated switches used to control a second circuit, often with a higher current or voltage, using a low-power signal. |
| Reed switches | Switches activated by a magnetic field, often used in alarms or as relays. |
| Circuit breakers | Safety devices that automatically interrupt an electric circuit when the current becomes dangerously high, acting as resettable fuses. |
| Telephone | A communication device that converts sound into electrical signals (microphone) and electrical signals back into sound (receiver), often using carbon microphones and electromagnets. |
| Electric current | The flow of electric charge, typically electrons in metals. Measured in amperes (A). |
| Ampere (A) | The SI unit of electric current. |
| Coulomb (C) | The SI unit of electric charge ($1 \, \text{C} = 1 \, \text{A} \cdot \text{s}$). |
| Circuit diagrams | Symbolic representations of electrical circuits using standard symbols for components like batteries, resistors, lamps, switches, ammeters, and voltmeters. |
| Series circuit | Components connected end-to-end, so the same current flows through each. |
| Parallel circuit | Components connected side-by-side, providing multiple paths for the current. |
| Direct current (d.c.) | Electric current that flows in one direction only. |
| Alternating current (a.c.) | Electric current that periodically reverses direction. |
| Hertz (Hz) | The SI unit of frequency, equal to one cycle per second. |
| Potential difference (p.d.) | The work done per unit charge in moving charge between two points in an electric field. Also called voltage. |
| Volt (V) | The SI unit of potential difference and electromotive force ($1 \, \text{V} = 1 \, \text{J/C}$). |
| Voltmeters | Instruments used to measure potential difference, connected in parallel with the component across which the voltage is measured. They have high resistance. |
| Electromotive force (e.m.f.) | The maximum potential difference across the terminals of a source when no current is flowing; it represents the energy transferred per unit charge from chemical to electrical energy. |
| Resistance | The opposition to the flow of electric current in a conductor. |
| Ohm (Ω) | The SI unit of resistance. |
| Resistors | Components designed to have a specific resistance, used to control current and voltage in circuits. |
| Ohm's law | States that the current through a metallic conductor is directly proportional to the potential difference across it, provided the temperature remains constant ($V = IR$). |
| Ohmic conductors | Conductors that obey Ohm's law, where resistance is constant regardless of voltage or current. |
| Non-ohmic conductors | Conductors whose resistance changes with voltage, current, or temperature (e.g., diodes, filament lamps, thermistors). |
| Thermistors | Resistors whose resistance changes significantly with temperature, often decreasing as temperature increases. |
| Light-dependent resistors (LDRs) | Resistors whose resistance decreases as the intensity of light falling on them increases. |
| Potential divider | A series circuit of resistors used to provide a variable output voltage from a fixed supply voltage. |
| Resistivity (ρ) | A material property that quantifies its resistance to electrical current, independent of its shape ($R = \rho l/A$). |
| Capacitance | The ability of a capacitor to store electric charge, measured in farads (F). |
| Farad (F) | The SI unit of capacitance. |
| Capacitors | Electronic components that store electric charge, consisting of two conductors separated by an insulator (dielectric). |
| Charging and discharging | The processes by which a capacitor stores and releases electric charge, often through a resistor. |
| Diode | A semiconductor device that allows current to flow in one direction only. Used for rectification. |
| Rectification | The process of converting alternating current (a.c.) to direct current (d.c.) using diodes. |
| Transistors | Semiconductor devices with three terminals that can act as amplifiers or switches, revolutionizing electronics. |
| Transistor as a switch | Using a small input signal to control a larger output current, providing fast and reliable switching without moving parts. |
| Logic gates | Electronic switching circuits that perform logical operations on binary inputs (0s and 1s) to produce a specific output. |
| NOT gate | Inverts the input: output is 1 if input is 0, and 0 if input is 1. |
| OR gate | Output is 1 if either input A OR input B (or both) is 1. |
| NOR gate | Output is 1 only if neither input A NOR input B is 1. |
| AND gate | Output is 1 only if both input A AND input B are 1. |
| NAND gate | Output is 1 if input A AND input B are NOT both 1. |
| Truth table | A table that shows the output of a logic gate for all possible combinations of input values. |
| Analogue electronics | Circuits where voltages or currents vary continuously over a range. |
| Digital electronics | Circuits where voltages have only two distinct states (high/low or 1/0), used in computing and logic. |
| Transducers | Devices that convert energy from one form to another, often between non-electrical and electrical forms. |
| Input transducer (sensor) | Detects environmental changes and converts them into electrical signals (e.g., LDR, thermistor, microphone). |
| Output transducer | Converts electrical energy into another form (e.g., lamp, loudspeaker, motor). |
| Relays | Switches operated by an electromagnet, used to control higher power circuits with low power signals. |
| Light-emitting diodes (LEDs) | Semiconductor devices that emit light when forward-biased. |
| Generators | Devices that convert mechanical energy into electrical energy through electromagnetic induction. |
| Electromagnetic induction | The process of inducing a voltage (and potentially a current) in a conductor when it is exposed to a changing magnetic field or moves through a magnetic field. |
| Faraday's law | States that the magnitude of the induced e.m.f. is directly proportional to the rate at which the magnetic field lines are cut. |
| Lenz's law | States that the direction of an induced current is such that it opposes the change that produced it. |
| Fleming's right-hand rule | A mnemonic to determine the direction of the induced current in a conductor moving in a magnetic field. |
| Alternator (a.c. generator) | A generator that produces alternating current, typically using slip rings to connect the rotating coil to the external circuit. |
| Dynamo (d.c. generator) | A generator that produces direct current, typically using a commutator to reverse the connections to the coil as it rotates. |
| Practical generators | Generators used in power stations, cars, and bicycles, often employing electromagnets and multiple coils for higher efficiency and power output. |
| Transformers | Devices that change alternating voltages to higher or lower values using mutual induction between two coils wound on a soft iron core. |
| Mutual induction | The induction of a voltage in one coil due to a changing current in a nearby coil. |
| Transformer equation | Relates the voltages and the number of turns in the primary and secondary coils ($V_s/V_p = N_s/N_p$). |
| Eddy currents | Currents induced in a conductive core due to a changing magnetic field, which can cause heating and energy loss. Laminated cores reduce these losses. |
| Transmission of electrical power | The process of sending electrical energy over long distances, typically using high voltages and low currents to minimize energy loss as heat. |
| Electromagnets | Magnets created by electric current, used in various devices like motors, relays, and bells. |
| Electric motors | Devices that convert electrical energy into mechanical energy, utilizing the force experienced by a current-carrying conductor in a magnetic field. |
| Fleming's left-hand rule | A mnemonic to determine the direction of the force on a current-carrying conductor in a magnetic field. |
| Moving-coil loudspeakers | Devices that convert electrical signals into sound waves using a coil attached to a cone, vibrating within a magnetic field. |
| Electric meters | Instruments used to measure electrical quantities such as current, voltage, resistance, power, and energy. |
| Galvanometers | Sensitive instruments used to detect and measure small currents or potential differences, typically employing a moving coil in a magnetic field. |
| Ammeters | Galvanometers modified with a low-resistance shunt in parallel to measure current, connected in series. |
| Voltmeters | Galvanometers modified with a high-resistance multiplier in series to measure potential difference, connected in parallel. |
| Multimeters | Versatile instruments capable of measuring voltage, current, and resistance, often with both analogue and digital displays. |
| Cathode rays | Beams of high-speed electrons emitted from a hot cathode in a vacuum tube. |
| Thermionic emission | The emission of electrons from a heated surface. |
| Maltese cross tube | An evacuated glass tube used to demonstrate the straight-line motion and deflection of cathode rays by electric and magnetic fields. |
| Deflection of electron beams | Electron beams can be deflected by both electric fields (due to force on charge) and magnetic fields (due to force on moving charge), following parabolic or circular paths respectively. |
| Cathode Ray Oscilloscope (CRO) | An instrument that displays the variation of an electrical signal with time on a fluorescent screen, using an electron beam deflected by electric fields. |
| X-rays | High-energy electromagnetic radiation produced when high-speed electrons strike a metal target, used in medical imaging and industry. |
| Photoelectric effect | The emission of electrons from a material when light or other electromagnetic radiation of sufficient frequency shines on it. |
| Waves or particles | The dual nature of electromagnetic radiation, exhibiting both wave-like and particle-like properties depending on the phenomenon observed. |
| Radioactivity | The spontaneous emission of radiation from unstable atomic nuclei. |
| Ionising effect of radiation | The ability of radiation (alpha, beta, gamma) to remove electrons from atoms, creating ions. |
| Geiger-Müller (GM) tube | A device used to detect and count ionizing radiation by amplifying the electrical pulses produced when radiation passes through a gas. |
| Alpha (α) particles | Positively charged helium nuclei ($^4_2$He) emitted during radioactive decay; they are highly ionizing but have a short range. |
| Beta (β) particles | High-energy electrons ($\beta^-$) or positrons ($\beta^+$) emitted during radioactive decay; they are less ionizing than alpha particles but more penetrating. |
| Gamma (γ) rays | High-energy electromagnetic radiation emitted from atomic nuclei; they are highly penetrating, not deflected by fields, and ionize weakly. |
| Particle tracks | Visible paths left by ionizing radiation in cloud chambers or bubble chambers, showing their trajectory and interactions. |
| Radioactive decay | The process by which unstable atomic nuclei transform into more stable ones by emitting radiation. |
| Half-life | The average time it takes for half of the radioactive atoms in a sample to decay. |
| Activity | The rate at which radioactive decays occur in a sample, often measured in counts per second or minute. |
| Random nature of decay | Radioactive decay is a spontaneous, random process, meaning the exact time of decay for a specific atom cannot be predicted. |
| Uses of radioactivity | Thickness gauging, tracers in medicine and industry, radiotherapy, sterilization, and archaeological dating (carbon-14 dating). |
| Dangers and safety | Radiation can cause cell damage, mutations, cancer, and radiation sickness. Safety measures include distance, shielding, limiting exposure time, and using appropriate detectors. |
| Atomic structure | The composition of atoms, including protons, neutrons, and electrons. |
| Nucleus | The dense, positively charged core of an atom containing protons and neutrons. |
| Protons | Positively charged particles found in the nucleus of an atom; their number defines the element. |
| Neutrons | Uncharged particles found in the nucleus of an atom; they contribute to the mass. |
| Electrons | Negatively charged particles orbiting the nucleus; their arrangement determines chemical properties. |
| Nucleon number (A) | The total number of protons and neutrons in an atomic nucleus. |
| Proton number (Z) | The number of protons in the nucleus, defining the element (also called atomic number). |
| Isotopes | Atoms of the same element (same proton number) but with different numbers of neutrons (different nucleon number). |
| Nuclides | A distinct type of atom characterized by its specific number of protons and neutrons. |
| Radioactive decay equations | Nuclear reactions showing the transformation of unstable nuclei through the emission of alpha, beta, or gamma radiation. |
| Nuclear stability | The balance between protons and neutrons within a nucleus that determines whether it is stable or radioactive. |
| Models of the atom | Theories describing the structure of atoms, such as the 'plum pudding' model, Rutherford's nuclear model, and Bohr's planetary model, and the more modern quantum mechanical (electron cloud) model. |
| Nuclear energy | Energy released from atomic nuclei through processes like fission and fusion, related to the conversion of mass into energy ($E=mc^2$). |
| Fission | The splitting of a heavy atomic nucleus into lighter nuclei, releasing energy and neutrons, which can lead to a chain reaction. |
| Fusion | The combining of light atomic nuclei to form heavier ones, releasing energy (e.g., in stars and hydrogen bombs). |
Cover
cambridge igcse physics (3rd edition) by tom duncan and heather kennett.pdf
Summary
# Measurements and motion
This topic explores the fundamental concepts of measurement in physics and the description of motion.
### 1.1 Measurements
Measurements are essential for quantifying physical phenomena.
#### 1.1.1 Units and powers of ten
* **Basic quantities:** Three fundamental quantities in physics are length, mass, and time [21](#page=21).
* **Prefixes:** Prefixes are used with base units to denote multiples or submultiples of ten. Common prefixes include [21](#page=21):
* kilo (k): $10^3$ [21](#page=21).
* centi (c): $10^{-2}$ [21](#page=21).
* milli (m): $10^{-3}$ [21](#page=21).
* micro ($\mu$): $10^{-6}$ [21](#page=21).
* nano (n): $10^{-9}$ [21](#page=21).
* **Powers of ten:** Numbers can be expressed using powers of ten, also known as standard notation [21](#page=21).
> **Tip:** Understanding powers of ten is crucial for working with very large or very small numbers commonly encountered in physics, such as distances to stars or sizes of atoms [9](#page=9).
#### 1.1.2 Length, area, and volume
* **Length:** The basic unit of length is the meter (m) [21](#page=21).
* **Area:** Area is the measure of a two-dimensional surface.
* For a circle with radius $r$, the area is $A = \pi r^2$ [17](#page=17).
* For a rectangle with length $l$ and breadth $b$, the area is $A = l \times b$.
* **Volume:** Volume is the amount of space occupied by an object.
* The SI unit of volume is the cubic meter ($m^3$), though the cubic centimeter ($cm^3$) is often used for convenience [17](#page=17).
* Note that $1 m^3 = 1,000,000 cm^3 = 10^6 cm^3$ [17](#page=17).
* For a regularly shaped object like a rectangular block, volume is calculated as length $\times$ breadth $\times$ height [17](#page=17).
* The volume of a sphere with radius $r$ is $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ [17](#page=17).
* The volume of a cylinder with radius $r$ and height $h$ is $V = \pi r^2 h$ [17](#page=17).
* Liquid volumes can be measured using measuring cylinders or burettes [17](#page=17).
* Liquid volumes are also expressed in liters (l), where $1 \text{ litre} = 1000 \text{ cm}^3 = 1 \text{ dm}^3$. One milliliter (1 ml) is equal to $1 \text{ cm}^3$ [17](#page=17).
* When reading a meniscus in a measuring cylinder or burette, the eye must be level with the bottom of the curved surface, except for mercury where the top is read [17](#page=17).
#### 1.1.3 Mass
* **Definition:** Mass is the measure of the amount of matter in an object [17](#page=17).
* **Unit:** The SI unit of mass is the kilogram (kg) [17](#page=17).
* **Gram:** The gram (g) is one-thousandth of a kilogram ($1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$) [17](#page=17).
* **Measurement:** Mass is measured using various types of balances [17](#page=17).
* **Inertia:** Mass is also a measure of inertia, which is an object's opposition to changes in its state of motion. A larger mass means greater inertia [43](#page=43).
> **Tip:** Distinguish carefully between mass and weight, as they are distinct concepts with different units in science, even though the term "weighing" is used to find mass [17](#page=17).
#### 1.1.4 Time
* **Unit:** The basic unit of time is the second (s) [21](#page=21).
* **Measurement:** Time is measured using clocks and timing devices, which can be analogue or digital [21](#page=21).
* **Timers:** Tickertape timers can be used to record intervals of time by producing a series of dots on a tape. Each dot represents a specific time interval, often called a "tentick" [24](#page=24).
* **Photogate timers:** These devices record the time taken for an object with an "interrupt card" to pass through the gate, allowing for velocity calculations [24](#page=24).
* **Datalogging:** Motion sensors connected to dataloggers and computers can record distance and velocity data over time, generating graphs [24](#page=24).
#### 1.1.5 Significant figures
* **Definition:** Significant figures are the digits in a number that carry meaning contributing to its precision, including a final uncertain digit [21](#page=21).
* **Appropriate number:** Results of measurements should be given to an appropriate number of significant figures to reflect the precision of the measuring instrument and method [21](#page=21).
> **Tip:** When comparing measurements, consider the difference in precision. For example, the difference between 3.4 and 3.42 is due to the precision of the measurement [21](#page=21).
#### 1.1.6 Precision measuring instruments
* **Vernier calipers:** Used for measuring lengths with higher precision than a ruler [21](#page=21).
* **Micrometer screw gauge:** Used for making very precise measurements, typically of small dimensions [21](#page=21).
#### 1.1.7 Errors in measurement
* **Systematic errors:** These are errors that consistently affect all measurements in the same way, leading to a bias. They can be introduced through faulty instruments or incorrect experimental procedures [21](#page=21).
* **Minimizing errors:** Using precise measuring instruments and careful techniques helps to minimize errors [21](#page=21).
### 1.2 Motion
Motion describes how an object changes its position over time.
#### 1.2.1 Speed, velocity, and acceleration
* **Speed:** The rate at which an object covers distance.
* **Velocity:** The rate of change of displacement, meaning it includes both speed and direction [27](#page=27).
* Uniform velocity means covering equal distances in equal times, resulting in a straight line on a distance-time graph [27](#page=27).
* Non-uniform velocity means the speed or direction is changing, resulting in a curved or varying slope on a distance-time graph [27](#page=27).
* **Acceleration:** The rate at which velocity changes [27](#page=27).
* Uniform acceleration means the velocity changes by the same amount in equal time intervals [27](#page=27).
* The acceleration ($a$) of a body can be calculated as the change in velocity ($\Delta v$) divided by the time taken ($\Delta t$): $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ [27](#page=27).
#### 1.2.2 Analyzing motion with graphs
* **Distance–time graphs:**
* The slope (gradient) of a distance-time graph represents the velocity of the body [27](#page=27).
* A steeper slope indicates a higher velocity [27](#page=27).
* For a changing velocity, the slope of the tangent at any point on the graph represents the instantaneous velocity [27](#page=27).
* **Velocity–time graphs:** (Not explicitly detailed in the provided pages but implied by the context of analyzing motion with datalogging). The slope of a velocity-time graph represents acceleration, and the area under the graph represents displacement [24](#page=24).
#### 1.2.3 Equations of motion for uniform acceleration
For a body moving with uniform acceleration ($a$), initial velocity ($u$), final velocity ($v$), displacement ($s$), and time ($t$), the following equations apply:
1. **First equation:** Relates final velocity, initial velocity, acceleration, and time.
$$v = u + at$$ [27](#page=27).
2. **Second equation:** Relates displacement, initial velocity, final velocity, and time. The average velocity for uniform acceleration is $\frac{u+v}{2}$ [27](#page=27).
$$s = \frac{(u+v)}{2} t$$ [27](#page=27).
3. **Third equation:** Derived from the first two, relates final velocity, initial velocity, acceleration, and displacement.
$$v^2 = u^2 + 2as$$ (This equation is not directly presented but is derivable from the first two and is a standard equation of motion).
> **Tip:** Remember that initial and final velocities ($u$ and $v$) in these equations refer to the start and end of the time interval being considered, not necessarily the absolute start or end of the motion [27](#page=27).
#### 1.2.4 Motion of falling bodies
* **In a vacuum:** All objects fall at the same rate, irrespective of their mass, due to gravity [30](#page=30).
* **In air:** Air resistance affects the motion of falling objects. Lighter objects are more significantly affected by air resistance relative to their weight than denser objects [30](#page=30).
* **Acceleration of free fall ($g$):** Near the Earth's surface, objects experience a constant acceleration due to gravity, approximately $9.8 \text{ m/s}^2$. This value is often approximated as $10 \text{ m/s}^2$ for calculations. The weight of an object is given by $W = mg$ [47](#page=47).
#### 1.2.5 Projectiles
Projectile motion involves objects moving under the influence of gravity after being launched [30](#page=30).
#### 1.2.6 Momentum
* **Definition:** Momentum ($p$) is the product of an object's mass ($m$) and its velocity ($v$) [60](#page=60).
$$p = mv$$
* **Units:** Momentum is measured in kilogram meters per second (kg m/s) or newton seconds (N s) [60](#page=60).
* **Conservation of momentum:** In the absence of external forces, the total momentum of a system remains constant during collisions and explosions. This means the total momentum before an event equals the total momentum after the event [60](#page=60).
> **Example:** A 2 kg mass moving at 10 m/s has a momentum of 20 kg m/s. This is the same as a 5 kg mass moving at 4 m/s [60](#page=60).
---
# Thermal physics and properties of waves
This topic delves into the fundamental principles of thermal physics, exploring the behavior of matter at a microscopic level and its response to heat, alongside the characteristics and behavior of various wave phenomena.
### 2.1 Thermal physics
Thermal physics examines the relationship between heat, work, and energy, and how these interact with matter.
#### 2.1.1 Kinetic molecular model of matter
The kinetic molecular theory describes matter as being composed of tiny particles (molecules or atoms) that are in constant motion [85](#page=85).
* **Solids:** In solids, molecules are closely packed and are held together by strong attractive and repulsive forces. They vibrate about fixed positions [85](#page=85).
* **Liquids:** Molecules in liquids are still close together but have more freedom to move around compared to solids. The forces between them are weaker, allowing them to flow [88](#page=88).
* **Gases:** In gases, molecules are far apart and exert negligibly small forces on each other, except during collisions. They move rapidly and occupy all available space [88](#page=88).
##### 2.1.1.1 Brownian motion
Brownian motion is the random movement of microscopic particles suspended in a fluid (liquid or gas). This motion is caused by collisions with the fast-moving molecules of the fluid. A smoke particle, for example, moves haphazardly due to imbalances in the number and force of collisions from air molecules striking it from different directions [85](#page=85).
> **Tip:** Brownian motion provides experimental evidence for the existence and motion of molecules.
#### 2.1.2 Gas laws
Gas laws describe the relationships between pressure, volume, temperature, and the amount of a gas.
* **Boyle's Law:** For a fixed mass of gas at a constant temperature, the pressure is inversely proportional to its volume. This can be expressed as $pV = \text{constant}$, or $p_1V_1 = p_2V_2$ [91](#page=91).
* If pressure doubles, volume halves, and vice versa [91](#page=91).
* A graph of pressure against volume is a curve, while a graph of pressure against $1/V$ is a straight line through the origin [91](#page=91).
#### 2.1.3 Thermal properties
Thermal properties relate to how substances interact with heat.
* **Expansion:** Most substances expand when heated and contract when cooled. This is due to the increased kinetic energy of molecules, leading to larger average separations [97](#page=97).
* The increase in length of a heated metal bar depends on its original length and the temperature rise [97](#page=97).
* **Bimetallic strip:** A bimetallic strip consists of two metals with different thermal expansivities joined together. When heated, the strip bends because one metal expands more than the other. This principle is used in thermostats [97](#page=97).
* **Specific heat capacity:** This is the amount of heat energy required to raise the temperature of 1 kilogram of a substance by 1 degree Celsius (or Kelvin). The formula is :
$$ \text{Specific heat capacity} = \frac{\text{heat received}}{\text{mass} \times \text{temperature rise}} $$
$$ c = \frac{Q}{m \Delta T} $$
The unit is Joules per kilogram per degree Celsius (J/(kg °C)) .
* **Importance of water's high specific heat capacity:** Water has a high specific heat capacity (approximately 4200 J/(kg °C)). This means it takes a lot of energy to change its temperature, and it releases a lot of energy when cooling. This moderates coastal climates, as sea temperatures change more slowly than land temperatures. Water is also used in cooling systems and central heating radiators .
* **Latent heat:** This is the energy absorbed or released during a change of state (e.g., melting, boiling) at a constant temperature .
* **Latent heat of fusion:** The energy required to change a substance from solid to liquid at its melting point. This energy increases the potential energy of the molecules as they overcome intermolecular forces .
* **Latent heat of vaporisation:** The energy required to change a substance from liquid to gas at its boiling point. This energy is used to overcome intermolecular forces and also to do work against the atmosphere during expansion .
* The formula is $Q = m \times l_v$, where $Q$ is the energy, $m$ is the mass, and $l_v$ is the specific latent heat of vaporisation .
* **Evaporation and boiling:**
* **Evaporation:** The process by which molecules escape from the surface of a liquid into the gaseous phase. It occurs at all temperatures and is faster at higher temperatures, with larger surface areas, and in drier air .
* **Boiling:** Occurs when the vapor pressure of a liquid equals the surrounding atmospheric pressure, leading to the formation of bubbles within the liquid .
#### 2.1.4 Temperature measurement
While not explicitly detailed with specific instruments in the provided text, temperature is a fundamental property measured to quantify the thermal state of a system and is used in calculations involving specific heat capacity and gas laws.
#### 2.1.5 Thermal processes (Heat transfer)
Heat can be transferred through conduction, convection, and radiation.
* **Conduction:** The transfer of heat through direct contact between particles. It is significant in solids .
* **Convection:** The transfer of heat through the movement of fluids (liquids or gases). Warmer, less dense fluid rises, while cooler, denser fluid sinks, creating convection currents .
* **Examples:** Coastal breezes (land heats and cools faster than sea) and thermals (rising columns of hot air used by gliders) are natural convection phenomena .
* **Radiation:** The transfer of heat through electromagnetic waves. It does not require a medium and can travel through a vacuum .
* **Greenhouse effect:** Glass traps long-wavelength infrared radiation emitted by objects heated by the Sun, increasing the temperature inside the greenhouse. Atmospheric gases like carbon dioxide and methane act similarly, trapping heat and influencing global climate .
* **Absorbers and emitters:** Surfaces that are good absorbers of radiation are also good emitters when hot .
* **Vacuum flask:** Designed to minimize heat transfer by conduction, convection (vacuum between walls), and radiation (silvered surfaces) .
* **Rate of cooling:** The rate at which an object cools is proportional to the ratio of its surface area to its volume (A/V). Objects with a larger A/V ratio cool more quickly .
### 2.2 Properties of waves
Waves are disturbances that transfer energy through a medium or space.
#### 2.2.1 General wave properties
* **Wavefront:** A surface joining points that are in the same phase of oscillation.
* **Huygens' construction:** A method to determine the position of a wavefront at a later time. Each point on a wavefront acts as a source of secondary spherical wavelets, and the new wavefront is the tangent surface to these wavelets. This principle explains reflection, refraction, and diffraction .
* **Diffraction:** The spreading of waves as they pass through a gap or around an obstacle .
#### 2.2.2 Light
Light is a form of electromagnetic radiation that exhibits wave-like properties.
* **Sources of light:**
* **Luminous sources:** Objects that emit their own light, such as the Sun, lamps, and candles .
* **Non-luminous objects:** Objects that reflect light from a luminous source, such as a page, a person, or the Moon .
* **Laser:** A source that emits a narrow, very bright beam of coherent light due to excited atoms acting together .
* **Rays and beams:**
* **Ray:** The path along which light travels, represented by a straight line with an arrow .
* **Beam:** A stream of light shown by multiple rays. Beams can be parallel, diverging, or converging. Light travels in straight lines in a uniform medium .
* **Shadows:** Regions where light is blocked by an opaque object .
* **Speed of light:** Light travels at a finite speed .
* **Reflection of light:** The bouncing back of light when it strikes a surface .
* **Law of reflection:**
1. The angle of incidence equals the angle of reflection ($i=r$) .
2. The incident ray, the reflected ray, and the normal all lie in the same plane .
* **Normal:** A line perpendicular to the reflecting surface at the point of incidence .
* **Regular reflection:** Occurs from smooth surfaces, producing a clear image .
* **Diffuse reflection:** Occurs from rough surfaces, scattering light in many directions .
* **Multiple images in mirrors:** Mirrors silvered at the back can form multiple images due to internal reflections, which can blur the main image. Front-silvered mirrors avoid this but are easily damaged .
* **Totally reflecting prisms:** Used in periscopes and binoculars to redirect light through 90° or 180° using total internal reflection, overcoming the limitations of mirrors .
* **Refraction of light:** The bending of light as it passes from one medium to another .
* Light bends **towards** the normal when entering an optically denser medium (e.g., air to glass) .
* Light bends **away** from the normal when entering an optically less dense medium (e.g., glass to air) .
* Light traveling along the normal direction is not refracted .
* **Refractive index (n):** A measure of how much light bends in a medium. It is the ratio of the speed of light in a vacuum to the speed of light in the medium. It is also related to the critical angle ($c$) by $n = \frac{1}{\sin c}$. For example, if $n = 3/2$, then $\sin c = 2/3$, and $c$ must be 42° .
* **Critical angle:** The angle of incidence in the denser medium for which the angle of refraction in the less dense medium is 90°. If the angle of incidence exceeds the critical angle, total internal reflection occurs .
* **Dispersion:** The splitting of white light into its constituent colours when passing through a prism, due to different colours (wavelengths) refracting at slightly different angles .
#### 2.2.3 Sound
Sound is a form of energy that travels as waves, typically through a medium like air. While the provided text mentions sound in the context of the electromagnetic spectrum, specific properties of sound waves (like speed, frequency, amplitude) are not detailed in the specified pages.
#### 2.2.4 The electromagnetic spectrum
The electromagnetic spectrum is the range of all types of electromagnetic radiation, ordered by frequency or wavelength. This includes radio waves, microwaves, infrared radiation, visible light, ultraviolet radiation, X-rays, and gamma rays. Different parts of the spectrum have different properties and applications. Radiation from very hot bodies is mostly light and short-wavelength infrared, while less hot objects emit long-wavelength infrared .
---
# Electricity and magnetism and atomic physics
This section explores the fundamental principles of electricity and magnetism, their applications in electronic systems and power generation, and the basic structure and properties of atoms including radioactivity .
### 3.1 Electricity and magnetism fundamentals
#### 3.1.1 Magnetic fields
Magnetic fields are regions around magnets or current-carrying conductors where magnetic forces are exerted. These fields are represented by lines of force, where the direction at any point indicates the force on a North pole .
* **Properties of magnets:** Magnets attract magnetic materials like iron and steel .
* **Soft and hard magnetic materials:** These differ in their ability to retain magnetism.
* **Mapping magnetic fields:** Fields can be mapped using plotting compasses or iron filings .
* **Neutral points:** These are locations where the magnetic field from one source is cancelled by the field from another .
#### 3.1.2 Static electricity
Static electricity involves electric charges that are stationary. It can be generated through friction, leading to the transfer of electrons .
* **Uses of static electricity:**
* **Flue-ash precipitation:** Used in power stations to remove dust and ash from chimneys by giving particles a charge and then attracting them to oppositely charged plates .
* **Photocopiers:** Utilize a charged drum to create a toner pattern that is then transferred to paper .
* **Inkjet printers:** Charge tiny ink drops electrostatically to control their deflection and precise placement on paper .
* **Computers:** Require anti-static conditions to prevent electrostatic damage .
#### 3.1.3 Electric current
An electric current is the flow of electric charge. In metals, this flow is primarily of electrons from the negative to the positive terminal of a battery within a closed circuit .
* **Effects of electric current:** Currents produce thermal, chemical, and magnetic effects .
* **Measurement of current:** Current is measured in amperes (A) using an ammeter connected in series with the circuit .
* **Circuit symbols:** Standard symbols exist for wires, cells, switches, ammeters, and lamps .
* **Series and parallel circuits:**
* In series circuits, the current is the same throughout .
* In parallel circuits, the total current from the source is the sum of the currents in each branch .
* **Direct current (d.c.) and alternating current (a.c.):**
* D.C. flows in one direction, typically from batteries .
* A.C. periodically reverses direction, with its frequency measured in cycles per second (Hertz) .
* **Charge and current relation:** The quantity of charge ($Q$) is related to current ($I$) and time ($t$) by $Q = It$ .
#### 3.1.4 Potential difference
Potential difference (p.d.), or voltage, is the energy transferred per unit charge. It is measured in volts (V) using a voltmeter connected in parallel across the component or circuit section of interest .
* **Voltages in series circuits:** The total voltage across components in series is the sum of the individual voltages across each component .
* **Voltages in parallel circuits:** The voltage across components connected in parallel is equal for all components .
* **Potential divider:** A series circuit of resistors can divide a voltage. The voltage across a resistor in a series combination is given by $V_{R1} = V_{supply} \times \frac{R1}{R1 + R2}$ and $V_{R2} = V_{supply} \times \frac{R2}{R1 + R2}$ .
#### 3.1.5 Resistance
Resistance is a measure of how much a material opposes the flow of electric current. It is measured in ohms ($\Omega$) .
* **Factors affecting resistance:** Resistance depends on the material's resistivity ($\rho$), length ($l$), and cross-sectional area ($A$), given by $R = \rho \frac{l}{A}$ .
* **Ohm's Law:** Relates voltage ($V$), current ($I$), and resistance ($R$) as $V = IR$ .
#### 3.1.6 Electric power
Electric power is the rate at which electrical energy is transferred or converted. It is measured in watts (W) .
* **Power formulas:** Power ($P$) can be calculated using $P = VI$, $P = I^2R$, and $P = \frac{V^2}{R}$ .
* **Joulemeter:** An instrument that directly measures electrical energy transferred in joules .
* **Household circuits:** Typically operate in parallel at a mains p.d. of 230 V in the UK. Switches and fuses are always placed in the live wire for safety .
#### 3.1.7 Electronic systems
Electronic systems use components like transistors, diodes, and integrated circuits to process information .
* **Input transducers:** Convert physical quantities into electrical signals (e.g., Light-dependent resistors (LDRs) whose resistance changes with light intensity, and thermistors whose resistance changes with temperature) .
* **Output transducers:** Convert electrical signals into physical quantities (e.g., relays, speakers) .
* **Transistors:** Can function as switches or amplifiers. They are crucial in modern electronics due to their small size, low power consumption, and speed .
* **Diodes:** Allow current to flow in one direction only .
#### 3.1.8 Generators
Generators convert mechanical energy into electrical energy using the principle of electromagnetic induction .
* **Alternators:** Produce alternating current (a.c.) and are commonly used in power stations and cars .
* **Dynamos:** Produce direct current (d.c.).
* **Bicycle generators:** Utilize a rotating magnet to induce voltage in a stationary coil .
#### 3.1.9 Transformers
Transformers are devices that change the voltage of alternating current (a.c.) using electromagnetic induction between coils wound around a common iron core .
* **Turns ratio:** The ratio of voltages in a transformer is equal to the ratio of the number of turns on the secondary ($N_s$) and primary ($N_p$) coils: $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$ .
* **Step-up and step-down transformers:** Step-up transformers increase voltage (and decrease current), while step-down transformers decrease voltage (and increase current) .
* **Power transmission:** Transformers are essential for the efficient transmission of electrical power over long distances by stepping up voltage to reduce current and thus minimize energy loss due to resistance .
* **Eddy currents:** These are induced currents in the transformer core that cause heating and are reduced by using laminated cores .
#### 3.1.10 Electromagnets
Electromagnets are temporary magnets created by passing an electric current through a coil of wire .
* **Oersted's discovery:** Demonstrated that an electric current produces a magnetic field .
* **Field patterns:** The magnetic field pattern depends on the shape of the conductor (straight wire, coil, solenoid) .
* **Right-hand screw rule:** Used to determine the direction of the magnetic field around a current-carrying wire .
* **Applications:** Electromagnets are used in electric bells, relays, and circuit breakers .
#### 3.1.11 Electric motors
Electric motors convert electrical energy into mechanical energy, typically using the interaction between magnetic fields and current-carrying conductors .
* **Working principle:** A current-carrying coil placed in a magnetic field experiences a torque that causes it to rotate .
* **Components:** Motors typically consist of a rotor (rotating part, often a coil) and a stator (stationary part, often magnets) .
* **Commutator:** In d.c. motors, a commutator reverses the direction of current in the coil at appropriate times to maintain continuous rotation .
#### 3.1.12 Electric meters
Various meters are used to measure electrical quantities.
* **Ammeters:** Measure electric current and are connected in series. They have low resistance .
* **Voltmeters:** Measure potential difference and are connected in parallel. They have high resistance .
* **Joulemeter:** Measures electrical energy directly in joules .
* **Cathode Ray Oscilloscope (CRO):** A versatile instrument that can display voltage waveforms over time, measure voltages, and analyze electrical signals .
#### 3.1.13 Electrons
Electrons are fundamental negatively charged particles that are the primary charge carriers in electric currents within metals. Their movement is responsible for many electrical phenomena .
### 3.2 Atomic physics
This area covers the structure of atoms, radioactivity, and nuclear energy .
#### 3.2.1 Atomic structure
Atoms consist of a central nucleus containing protons and neutrons, surrounded by orbiting electrons .
* **Nuclear models:** Various models have been developed to describe the atom's structure .
* **Particle properties:** Protons, neutrons, and electrons have specific masses and charges that define their behavior within an atom .
#### 3.2.2 Radioactivity
Radioactivity is the spontaneous emission of radiation from the nucleus of an unstable atom .
* **Radioactive decay:** Unstable nuclei transform into more stable ones by emitting alpha particles ($\alpha$), beta particles ($\beta$), or gamma rays ($\gamma$) .
* **Nuclear energy:** The energy released from nuclear reactions, such as fission and fusion, has significant applications .
#### 3.2.3 Nuclear energy
Nuclear energy is derived from nuclear reactions, most commonly nuclear fission, where the nucleus of a heavy atom splits into lighter nuclei, releasing a large amount of energy. This energy is harnessed in nuclear power stations to generate electricity .
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| Term | Definition |
|---|---|
| SI units | The International System of Units, a standardized system of measurement used in science, including units like the meter for length, kilogram for mass, and second for time. |
| Powers of ten shorthand | A method of writing very large or very small numbers concisely by using powers of 10, such as $4 \times 10^3$ for 4000. |
| Length | A measure of distance. The SI unit for length is the meter (m). |
| Significant figures | The number of digits in a measurement that are considered reliable, indicating the precision of the measurement. |
| Area | The measure of the extent of a two-dimensional surface. The SI unit is the square meter ($m^2$). |
| Volume | The amount of three-dimensional space occupied by a substance or object. The SI unit is the cubic meter ($m^3$). |
| Mass | A measure of the amount of matter in an object. The SI unit is the kilogram (kg). |
| Time | The measure of the duration of events or the interval between them. The SI unit for time is the second (s). |
| Systematic errors | Errors in measurement that consistently affect the result in the same way, often due to faulty equipment or experimental design. |
| Vernier scales and micrometers | Precision measuring instruments used to measure lengths with greater accuracy than a standard ruler, typically to two or three decimal places of a centimeter. |
| Speed | The rate at which an object covers distance. It is calculated as distance divided by time. |
| Velocity | The rate of change of displacement, indicating both speed and direction of motion. |
| Acceleration | The rate at which velocity changes, either in magnitude or direction. |
| Timers | Devices used to measure intervals of time, such as stopwatches, tickertape timers, and photogate timers. |
| Velocity–time graphs | Graphs that plot velocity on the y-axis against time on the x-axis, used to analyze motion. The slope represents acceleration, and the area under the graph represents distance traveled. |
| Distance–time graphs | Graphs that plot distance on the y-axis against time on the x-axis. The slope of the graph represents velocity. |
| Equations for uniform acceleration | A set of equations ($v = u + at$, $s = ut + \frac{1}{2}at^2$, $v^2 = u^2 + 2as$) used to solve problems involving motion with constant acceleration. |
| Falling bodies | Objects that are falling freely under the influence of gravity, typically with uniform acceleration if air resistance is negligible. |
| Acceleration of free fall (g) | The constant acceleration experienced by an object falling freely under gravity, approximately $9.8 \, m/s^2$ near the Earth's surface. |
| Projectiles | Objects launched into the air or space, whose motion can be analyzed by considering their horizontal and vertical components independently. |
| Density | The mass of a substance per unit volume, calculated as $ \rho = \frac{m}{V} $. |
| Pressure | The force acting perpendicularly on a unit area of a surface. The SI unit is the pascal (Pa). |
| Liquid pressure | The pressure exerted by a liquid, which increases with depth and density, calculated as $ p = h\rho g $. |
| Force | A push or pull that can cause an object to accelerate, change shape, or change its state of motion. Measured in Newtons (N). |
| Weight | The force of gravity acting on an object's mass, calculated as $ W = mg $. |
| The Newton | The SI unit of force. |
| Hooke’s Law | The extension of an elastic object is directly proportional to the stretching force applied, provided the elastic limit is not exceeded ($ F = kx $). |
| Resultant force | The single force that has the same effect as all the individual forces acting on an object; found by vector addition. |
| Friction | A force that opposes motion or attempted motion between surfaces in contact. |
| Newton’s first law of motion | An object at rest stays at rest, and an object in motion stays in motion with the same speed and in the same direction unless acted upon by an unbalanced force. |
| Inertia | The tendency of an object to resist changes in its state of motion; directly related to mass. |
| Newton’s second law of motion | The acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional to its mass ($ F = ma $). |
| Gravitational field strength | The force per unit mass experienced by an object in a gravitational field. It is numerically equal to the acceleration due to gravity ($ g $). |
| Newton’s third law of motion | For every action, there is an equal and opposite reaction. Forces occur in pairs acting on different objects. |
| Terminal velocity | The constant speed reached by a falling object when the force of air resistance equals its weight, resulting in zero net force. |
| Circular motion | The motion of an object along a circular path. |
| Centripetal force | The force acting towards the center of a circular path that causes an object to move in a circle. It is calculated as $ F = \frac{mv^2}{r} $. |
| Satellites | Objects that orbit a celestial body, with their orbital motion maintained by gravity providing the centripetal force. |
| Moments and levers | The turning effect of a force about a pivot point, calculated as force multiplied by the perpendicular distance from the pivot ($ \text{Moment} = \text{Force} \times \text{distance} $). Levers are devices that use a pivot to multiply force. |
| Conditions for equilibrium | For an object to be in equilibrium, the vector sum of all forces acting on it must be zero, and the sum of all moments about any point must also be zero. |
| Centre of mass | The point where the entire mass of an object can be considered to be concentrated. |
| Toppling | An object topples when the vertical line through its centre of mass falls outside its base of support. |
| Stability | The tendency of an object to return to its original position after being disturbed. It is increased by lowering the centre of mass and widening the base. |
| Neutral equilibrium | A state where an object remains in its new position when displaced. |
| Momentum | The product of an object's mass and its velocity ($ p = mv $). It is a vector quantity. |
| Conservation of momentum | The total momentum of a system remains constant in the absence of external forces. |
| Impulse | The product of a force and the time over which it acts ($ \text{Impulse} = F \times t $), equal to the change in momentum. |
| Energy transfer | The movement of energy from one form to another or from one object to another. |
| Forms of energy | Energy exists in various forms, including chemical, potential, kinetic, electrical, heat, light, sound, and nuclear energy. |
| Work | Done when a force causes displacement. Calculated as force multiplied by the distance moved in the direction of the force ($ W = Fd $). Measured in joules (J). |
| Power | The rate at which work is done or energy is transferred. Calculated as work divided by time ($ P = \frac{W}{t} $). Measured in watts (W). |
| Energy conservation | Energy cannot be created or destroyed, only transformed from one form to another. |
| Efficiency | The ratio of useful energy output to total energy input, usually expressed as a percentage ($ \text{Efficiency} = \frac{\text{Useful Output}}{\text{Total Input}} \times 100\% $). |
| Energy of food | The amount of energy released when food is metabolized, measured in joules per kilogram. |
| Combustion of fuels | The process of burning fuels to release energy, typically as heat and light. |
| Kinetic energy (k.e.) | The energy possessed by an object due to its motion. Calculated as $ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $. |
| Potential energy (p.e.) | Stored energy due to an object's position or condition. Gravitational potential energy is $ E_p = mgh $. |
| Elastic collisions | Collisions where kinetic energy is conserved. |
| Inelastic collisions | Collisions where kinetic energy is not conserved, usually converted into other forms like heat or sound. |
| Braking distance | The distance a vehicle travels while its brakes are applied to bring it to a stop; directly proportional to the square of the speed. |
| Crumple zones | Designed areas in vehicles that deform during a collision, absorbing energy and increasing the impact time to reduce injury. |
| Energy sources | Materials or phenomena that can be used to produce useful energy. They are classified as renewable or non-renewable. |
| Non-renewable energy sources | Energy sources that are finite and cannot be replenished on a human timescale, such as fossil fuels and nuclear fuels. |
| Renewable energy sources | Energy sources that are naturally replenished and generally non-polluting, such as solar, wind, wave, tidal, hydroelectric, geothermal, and biomass energy. |
| Power stations | Facilities that generate electricity, often using various energy sources to produce steam that drives turbines connected to generators. |
| Thermal power stations | Power stations that use heat (from fossil fuels or nuclear reactions) to produce steam to drive turbines. |
| Hydroelectric power stations | Power stations that use the potential energy of falling water to drive turbines. |
| Wind turbines | Devices that convert the kinetic energy of wind into electrical energy using generators. |
| Solar energy | Energy derived from the Sun, harnessed through solar panels (electricity) or solar furnaces (heat). |
| Geothermal energy | Heat energy from within the Earth, used for generating electricity or heating. |
| Biomass | Organic matter from plants and animals used as an energy source, often converted into biofuels or biogas. |
| Pressure | The force acting per unit area ($ p = F/A $). Measured in pascals (Pa). |
| Liquid pressure | Pressure within a liquid, dependent on depth ($ h $), density ($ \rho $), and acceleration due to gravity ($ g $), given by $ p = h\rho g $. |
| Hydraulic machines | Devices that use the properties of liquids (incompressibility and pressure transmission) to multiply force, such as hydraulic jacks and brakes. |
| Manometers | Instruments used to measure pressure, often by comparing the pressure of a gas or liquid to atmospheric pressure using a column of liquid. |
| Barometers | Instruments used to measure atmospheric pressure, typically using a column of mercury. |
| Conduction | Heat transfer through a material without the bulk movement of the material itself, occurring through molecular collisions and electron movement in metals. |
| Convection | Heat transfer through fluids (liquids or gases) by the movement of the fluid itself, driven by density differences. |
| Radiation | Heat transfer through electromagnetic waves, which can occur through a vacuum. |
| Vacuum flask | A container designed to minimize heat transfer by all three methods: conduction, convection, and radiation. |
| Molecules | The tiny particles that make up matter, in continuous motion and exerting forces on each other. |
| Kinetic theory of matter | A model that explains the states of matter (solid, liquid, gas) and their properties based on the motion and interactions of molecules. |
| Solids | State of matter where molecules are closely packed and vibrate about fixed positions. |
| Liquids | State of matter where molecules are close but can move past each other, taking the shape of their container but maintaining a definite volume. |
| Gases | State of matter where molecules are far apart, move randomly at high speeds, and fill the entire volume of their container. |
| Diffusion | The spreading of particles from an area of higher concentration to an area of lower concentration due to random molecular motion. |
| Crystals | Solids with a regular, repeating arrangement of atoms or molecules, characterized by flat sides and straight edges. |
| Brownian motion | The random, haphazard movement of microscopic particles suspended in a fluid, caused by collisions with the fluid's molecules. |
| Gas laws | Relationships describing the behavior of gases concerning pressure, volume, and temperature (Boyle's Law, Charles's Law, Pressure Law, Combined Gas Law). |
| Absolute zero | The theoretical lowest possible temperature (0 K or -273.15 °C) at which molecular motion ceases. |
| Kelvin scale | An absolute temperature scale where absolute zero is 0 K. Temperature in Kelvin ($ T $) is related to Celsius ($ \theta $) by $ T = \theta + 273 $. |
| Boyle's Law | For a fixed mass of gas at constant temperature, pressure is inversely proportional to volume ($ pV = \text{constant} $). |
| Charles's Law | For a fixed mass of gas at constant pressure, volume is directly proportional to absolute temperature ($ V/T = \text{constant} $). |
| Pressure Law | For a fixed mass of gas at constant volume, pressure is directly proportional to absolute temperature ($ p/T = \text{constant} $). |
| Expansion | The increase in volume of a substance when heated. |
| Linear expansivity ($ \alpha $) | The fractional increase in length of a material per degree Celsius rise in temperature. |
| Bimetallic strip | A strip made of two metals with different thermal expansion coefficients, used in thermostats and fire alarms as a temperature-sensitive switch. |
| Unusual expansion of water | Water expands when cooled from 4 °C to 0 °C, making ice less dense than water and causing it to float. |
| Thermometers | Devices used to measure temperature, relying on physical properties that change with temperature. |
| Fixed points | Standard temperatures used to calibrate thermometers, typically the melting point of ice (0 °C) and the boiling point of water (100 °C). |
| Clinical thermometer | A special thermometer with a narrow range and constriction to accurately measure body temperature. |
| Thermocouple thermometer | A thermometer that uses the voltage generated at the junction of two different metals to measure temperature. |
| Resistance thermometer | A thermometer that measures temperature based on the change in electrical resistance of a material, such as platinum wire. |
| Thermistors | Semiconductor devices whose resistance changes significantly with temperature, often decreasing as temperature increases. |
| Heat | Thermal or internal energy of a body, related to the kinetic and potential energy of its molecules. Measured in joules (J). |
| Temperature | A measure of the average kinetic energy of the molecules in a substance, indicating how hot or cold it is. Measured in degrees Celsius (°C) or Kelvin (K). |
| Specific heat capacity ($ c $) | The amount of heat required to raise the temperature of 1 kg of a substance by 1 °C. Measured in J/(kg °C). |
| Thermal capacity | The quantity of heat required to raise the temperature of a body by 1 °C. It is equal to mass × specific heat capacity. |
| Heat equation | Relates heat transfer ($ Q $) to mass ($ m $), specific heat capacity ($ c $), and temperature change ($ \Delta\theta $): $ Q = mc\Delta\theta $. |
| Latent heat | Energy absorbed or released during a change of state (e.g., melting, boiling) without a change in temperature. |
| Specific latent heat of fusion ($ l_f $) | The heat required to change 1 kg of a substance from solid to liquid at its melting point. |
| Specific latent heat of vaporisation ($ l_v $) | The heat required to change 1 kg of a substance from liquid to gas at its boiling point. |
| Evaporation | The process where liquid molecules escape from the surface into the gaseous phase at any temperature, leading to cooling. |
| Boiling | The process where liquid turns into gas with the formation of bubbles throughout the liquid at a specific temperature (boiling point). |
| Condensation | The process where a gas changes into a liquid, releasing latent heat of vaporisation. |
| Solidification | The process where a liquid changes into a solid, releasing latent heat of fusion. |
| Liquefaction of gases | The process of converting a gas into a liquid, typically by cooling below its critical temperature and/or increasing pressure. |
| Conduction | Heat transfer through a material by molecular collisions and electron movement, without bulk movement of the material. |
| Convection | Heat transfer through fluids by the movement of the fluid itself, driven by density differences. |
| Radiation | Heat transfer through electromagnetic waves, which can travel through a vacuum. |
| Vacuum flask | A container designed to minimize heat transfer by conduction, convection, and radiation. |
| Electromagnetic radiation | Waves that consist of oscillating electric and magnetic fields traveling at the speed of light, forming a continuous spectrum. |
| Light waves | Electromagnetic radiation within the visible spectrum, responsible for sight and color perception. |
| Infrared radiation (IR) | Electromagnetic radiation with longer wavelengths than visible light, detected as heat. |
| Ultraviolet radiation (UV) | Electromagnetic radiation with shorter wavelengths than visible light, capable of causing fluorescence and skin damage. |
| Radio waves | Electromagnetic waves with the longest wavelengths and lowest frequencies in the spectrum, used for communication. |
| X-rays | Electromagnetic radiation with very short wavelengths, capable of penetrating matter and used in medical imaging. |
| Gamma rays | Electromagnetic radiation of very short wavelength and high frequency, emitted from atomic nuclei, highly penetrating and ionising. |
| Wavefronts | Lines or surfaces connecting points in a wave that are in the same phase. |
| Rays | Lines drawn perpendicular to wavefronts, indicating the direction of wave travel. |
| Wave equation ($ v = f\lambda $) | Relates the speed of a wave ($ v $) to its frequency ($ f $) and wavelength ($ \lambda $). |
| Reflection | The bouncing of waves off a surface, where the angle of incidence equals the angle of reflection. |
| Refraction | The bending of waves as they pass from one medium to another, caused by a change in wave speed. |
| Diffraction | The spreading of waves as they pass through an opening or around an obstacle. |
| Wave theory | A model explaining wave phenomena like reflection, refraction, and diffraction using Huygens' construction, where each point on a wavefront acts as a source of secondary wavelets. |
| Interference | The phenomenon occurring when two or more waves overlap, resulting in a new wave pattern (e.g., constructive or destructive interference). |
| Polarisation | An effect occurring only with transverse waves, describing the orientation of the oscillations relative to the direction of travel. |
| Sound waves | Longitudinal waves produced by vibrations, which travel through a medium as compressions and rarefactions. |
| Longitudinal waves | Waves in which the particles of the medium vibrate parallel to the direction of wave travel. |
| Echoes | Sound waves reflected from a surface. |
| Limits of audibility | The range of sound frequencies that humans can hear, typically from 20 Hz to 20 kHz. |
| Musical notes | Sounds with regular vibrations, characterized by pitch (frequency), loudness (amplitude), and quality (overtones). |
| Ultrasonics | Sound waves with frequencies above the human hearing range (> 20 kHz), used in medical imaging, sonar, and industrial applications. |
| Seismic waves | Waves generated by earthquakes, including longitudinal (P-waves) and transverse (S-waves) types. |
| Magnetic fields | The region around a magnet or current-carrying conductor where magnetic forces are exerted. Represented by lines of force. |
| Properties of magnets | Magnets attract magnetic materials (iron, steel, nickel, cobalt), have poles (North and South), and exhibit magnetic fields. |
| Magnetic poles | Regions of a magnet where magnetic forces are strongest, always existing in pairs (North and South). Like poles repel, unlike poles attract. |
| Magnetisation | The process of making a magnetic material magnetic, often by exposing it to a magnetic field. |
| Soft magnetic materials | Materials that are easily magnetized but also easily demagnetized, used in electromagnets. |
| Hard magnetic materials | Materials that are harder to magnetize but retain their magnetism, used for permanent magnets. |
| Field lines | Lines used to represent the direction and strength of a magnetic field; they point from North to South poles, and their density indicates field strength. |
| Earth’s magnetic field | The magnetic field surrounding the Earth, produced by currents in its core, which influences compasses. |
| Static electricity | The accumulation of electric charge on an object, typically an insulator, due to friction. |
| Electric charge | A fundamental property of matter, existing in positive (+) and negative (-) forms. Like charges repel; unlike charges attract. |
| Electrons | Negatively charged particles orbiting the nucleus of an atom; their movement constitutes electric current. |
| Insulators | Materials that do not allow electric charge to flow easily. |
| Conductors | Materials that allow electric charge to flow easily, typically due to free electrons. |
| Electrostatic induction | The process by which a charged object influences the distribution of charge in a nearby conductor, causing separation of charges. |
| van de Graaff generator | A device that produces high-voltage static electricity by transferring charge onto a rotating belt. |
| Electric fields | The region around an electric charge where another charge experiences a force. Represented by field lines pointing from positive to negative charges. |
| Electric current | The flow of electric charge. Measured in amperes (A). |
| Ampere (A) | The SI unit of electric current, defined by the magnetic effect of current. |
| Coulomb (C) | The SI unit of electric charge, equal to the charge passing a point when a current of 1 ampere flows for 1 second ($ 1 C = 1 A \cdot s $). |
| Circuit diagrams | Schematic representations of electrical circuits using standard symbols for components like batteries, wires, switches, lamps, ammeters, and voltmeters. |
| Series circuits | Circuits where components are connected end-to-end, providing only one path for current. The current is the same through all components. |
| Parallel circuits | Circuits where components are connected side-by-side, providing multiple paths for current. The total current is the sum of currents in each branch, and the voltage across each branch is the same. |
| Direct current (d.c.) | Electric current that flows in one direction only. |
| Alternating current (a.c.) | Electric current that periodically reverses direction. |
| Hertz (Hz) | The SI unit of frequency, representing one cycle per second. |
| Potential difference (p.d.) | The work done per unit charge in moving charge between two points in a circuit. Also called voltage. Measured in volts (V). |
| Volt (V) | The SI unit of potential difference and electromotive force. 1 volt equals 1 joule per coulomb ($ 1 V = 1 J/C $). |
| Cells, batteries and e.m.f. | Cells convert chemical energy to electrical energy. Batteries are combinations of cells. Electromotive force (e.m.f.) is the maximum potential difference of a source when no current flows, representing energy transferred per unit charge. |
| Voltmeters | Instruments used to measure potential difference, connected in parallel across the component. They have high resistance. |
| Ammeters | Instruments used to measure electric current, connected in series within the circuit. They have low resistance. |
| Resistance | The opposition to the flow of electric current in a conductor. Measured in ohms ($ \Omega $). |
| Ohm ($ \Omega $) | The SI unit of resistance. 1 ohm is the resistance when 1 ampere of current flows with a potential difference of 1 volt across it. |
| Resistors | Components designed to have a specific resistance value. |
| Ohm's Law | For an ohmic conductor, the current is directly proportional to the potential difference ($ V = IR $). |
| Ohmic (linear) conductors | Conductors for which the I-V graph is a straight line through the origin, meaning resistance is constant regardless of voltage or current. |
| Non-ohmic conductors | Conductors for which the I-V graph is not a straight line, indicating that resistance changes with voltage, current, or temperature (e.g., filament lamps, diodes, thermistors). |
| Potential divider | A circuit arrangement using resistors in series to provide a variable output voltage from a fixed voltage supply. |
| Resistor colour code | A system of colored bands on resistors that indicates their resistance value and tolerance. |
| Resistivity ($ \rho $) | A material's intrinsic resistance to electrical current, independent of its shape or size. Calculated using $ R = \frac{\rho l}{A} $. |
| Capacitors | Electronic components that store electric charge and energy. |
| Capacitance (C) | A measure of a capacitor's ability to store charge, defined as the charge stored per unit potential difference ($ C = Q/V $). Measured in farads (F). |
| Farad (F) | The SI unit of capacitance. |
| Electrolytic capacitors | Capacitors with a very thin dielectric layer, offering high capacitance values but requiring correct polarity during connection. |
| Charging and discharging a capacitor | The process of storing charge on a capacitor by connecting it to a voltage source, and releasing the stored charge by connecting it across a conductor or resistor. |
| Electric power | The rate at which electrical energy is transferred or converted into other forms. Calculated as $ P = IV = I^2R = V^2/R $. Measured in watts (W). |
| Kilowatt (kW) | A unit of power equal to 1000 watts. |
| Kilowatt-hour (kWh) | A unit of electrical energy, equal to the energy consumed by a 1 kW appliance operating for 1 hour. |
| Fuses | Safety devices containing a wire that melts and breaks the circuit if the current exceeds a safe limit, preventing overheating and fires. |
| Earthing | A safety measure connecting the metal casing of an appliance to the ground to provide a low-resistance path for fault current, preventing electric shock. |
| Circuit breakers | Automatic switches that interrupt a circuit when an overcurrent occurs, can be reset after a fault is cleared. |
| Residual current devices (RCDs) | Safety devices that detect imbalances in current between live and neutral wires, interrupting the circuit to prevent electric shock, especially in damp conditions. |
| Double insulation | An appliance design with two layers of insulation to protect users from electric shock, eliminating the need for an earth connection. |
| Electronic systems | Systems comprising input sensors, processors, and output transducers that process electrical signals. |
| Transducers | Devices that convert energy from one form to another, such as non-electrical to electrical (sensors) or electrical to non-electrical (output devices). |
| Input transducers (sensors) | Devices that detect physical changes and convert them into electrical signals (e.g., LDRs, thermistors, microphones). |
| Output transducers | Devices that convert electrical signals into other forms of energy (e.g., lamps, LEDs, loudspeakers, motors). |
| Light-dependent resistor (LDR) | A semiconductor device whose resistance decreases as the intensity of light falling on it increases. |
| Thermistors | Semiconductor devices whose resistance changes significantly with temperature, often decreasing as temperature rises. |
| Relays | Electrically operated switches that use an electromagnet to control a second circuit, often with a higher current or voltage. |
| Light-emitting diodes (LEDs) | Semiconductor devices that emit light when forward-biased; efficient and long-lasting indicators and light sources. |
| Diodes | Semiconductor devices that allow current to flow in only one direction, used for rectification. |
| Rectification | The process of converting alternating current (a.c.) to direct current (d.c.) using diodes. |
| Transistors | Semiconductor devices with three terminals (base, collector, emitter) used as amplifiers or switches in electronic circuits. |
| Transistor as a switch | A transistor can act as an electronically controlled switch, turning a larger collector current on or off based on a small base current or voltage. |
| Digital electronics | Electronic systems that process information represented by discrete values (high/low voltage levels, 1s and 0s), used in computers and logic circuits. |
| Analogue electronics | Electronic systems that process continuously varying signals. |
| Logic gates | Electronic switching circuits that perform logical operations (AND, OR, NOT, NAND, NOR) based on input signals, forming the basis of digital electronics. |
| Truth table | A table that shows the output of a logic gate for all possible combinations of input values. |
| Logic levels | The two discrete voltage levels (high/1 and low/0) used in digital electronics. |
| Generators | Devices that convert mechanical energy into electrical energy, utilizing electromagnetic induction. |
| Electromagnetic induction | The production of an electromotive force (e.m.f.) or voltage in a conductor when it is exposed to a changing magnetic field or moves through a magnetic field. |
| Faraday’s Law | The magnitude of the induced e.m.f. in any closed circuit is directly proportional to the rate of change of magnetic flux through the circuit. |
| Lenz’s Law | The direction of an induced current is such that it opposes the change in magnetic field that produced it. |
| Fleming’s right-hand rule (Dynamo rule) | A mnemonic to determine the direction of induced current in a conductor moving in a magnetic field: Field (first finger), Motion (thumb), Current (second finger). |
| AC generator (alternator) | A device that produces alternating current by rotating a coil in a magnetic field, using slip rings to maintain continuous a.c. output. |
| DC generator (dynamo) | A device that produces direct current by using a commutator to reverse the connections to the external circuit as the coil rotates, ensuring unidirectional current. |
| Practical generators | Real-world generators, often using electromagnets for stronger fields and multiple coils for smoother output, found in power stations and vehicles. |
| Transformers | Devices that change alternating voltages using electromagnetic induction between two coils wound on a common iron core. |
| Mutual induction | The induction of an e.m.f. in a secondary coil due to a changing current in a nearby primary coil. |
| Transformer equation ($ V_s/V_p = N_s/N_p $) | Relates the voltages and number of turns in the primary ($ p $) and secondary ($ s $) coils of an ideal transformer. |
| Energy losses in a transformer | Occur due to resistance of windings (heat), eddy currents in the core, and leakage of magnetic flux. |
| Eddy currents | Circulating currents induced within a conductor by a changing magnetic field, often causing heating. |
| Transmission of electrical power | The process of transporting electrical energy over long distances, typically using high alternating voltages to minimize energy loss due to resistance in transmission lines. |
| Electromagnets | Temporary magnets created by passing an electric current through a coil of wire, often wound around a soft iron core. Their strength depends on current, number of turns, and core material. |
| Field due to a straight wire | Magnetic field lines form concentric circles around a current-carrying wire. The direction is given by the right-hand screw rule. |
| Field due to a circular coil | Magnetic field lines are concentrated inside the coil, forming a pattern similar to a short bar magnet. |
| Field due to a solenoid | Produces a uniform magnetic field inside and a dipole field outside, similar to a bar magnet. The direction is given by the right-hand grip rule. |
| Magnetisation and demagnetisation | Processes of making materials magnetic or removing magnetism, often using solenoids. |
| Electric bells | Devices that use an electromagnet to repeatedly strike a gong, creating a continuous ringing sound. |
| Relays | Electrically operated switches using electromagnets to control a separate circuit. |
| Reed switches | Switches operated by magnetic fields, often activated by a nearby magnet or an electromagnet in a coil. |
| Circuit breakers | Safety devices that interrupt a circuit in case of overcurrent, often using electromagnets; they can be reset. |
| Telephones | Devices that convert sound into electrical signals (microphone) and electrical signals back into sound (receiver), often using carbon microphones and electromagnets. |
| Cathode rays | Beams of high-speed electrons emitted from a hot cathode in a vacuum tube. |
| Thermionic emission | The emission of electrons from a heated surface, such as a filament in a vacuum tube. |
| Deflection of an electron beam | Electron beams can be deflected by electric fields (towards positive charges) and magnetic fields (perpendicular to both velocity and field, following Fleming's left-hand rule). |
| Cathode Ray Oscilloscope (CRO) | An electronic instrument that displays the waveform of electrical signals by deflecting an electron beam across a fluorescent screen. |
| X-rays | High-energy electromagnetic radiation produced when high-speed electrons strike a target; penetrating and ionising, used in medical imaging and industry. |
| Photoelectric effect | The emission of electrons from a metal surface when illuminated by electromagnetic radiation of sufficient frequency (photons), demonstrating the particle nature of light. |
| Waves or particles? | Electromagnetic radiation exhibits both wave-like (interference, diffraction) and particle-like (photons, photoelectric effect) properties, indicating a dual nature. |
| Radioactivity | The spontaneous emission of radiation from unstable atomic nuclei. |
| Ionising effect of radiation | The ability of radiation (alpha, beta, gamma) to knock electrons off atoms, creating ions, which can discharge electroscopes and affect photographic film. |
| Geiger–Müller (GM) tube | A device used to detect and measure ionizing radiation by counting electrical pulses produced when radiation passes through a gas-filled tube. |
| Alpha particles ($ \alpha $) | Positively charged particles (helium nuclei) emitted during radioactive decay; highly ionizing but with short range. |
| Beta particles ($ \beta $) | High-energy electrons ($ \beta^- $) or positrons ($ \beta^+ $) emitted during radioactive decay; less ionizing than alpha particles but more penetrating. |
| Gamma rays ($ \gamma $) | Highly penetrating electromagnetic radiation emitted from atomic nuclei, not deflected by electric or magnetic fields. |
| Particle tracks | Visible paths left by ionizing radiation in detection devices like cloud chambers or bubble chambers, indicating the type of radiation and its behavior in fields. |
| Radioactive decay | The process by which unstable atomic nuclei transform into more stable ones by emitting radiation, occurring spontaneously and at a characteristic rate. |
| Half-life | The average time taken for half of the radioactive atoms in a sample to decay. |
| Activity | The rate at which radioactive decays occur in a sample, often measured in counts per second or minute. |
| Random nature of decay | Radioactive decay is a random process; the exact time of decay for a specific atom cannot be predicted, only the probability of decay over a period. |
| Uses of radioactivity | Radioisotopes are used in industry (thickness gauging, tracers), medicine (diagnostics, radiotherapy), archaeology (carbon dating), and sterilization. |
| Dangers and safety | Exposure to ionizing radiation can damage cells and tissues. Safety precautions include distance, shielding (lead, concrete), limiting exposure time, and using monitoring devices (dose badges). |
| Atomic structure | The arrangement of protons, neutrons, and electrons within an atom. |
| Nuclear atom | A model of the atom proposed by Rutherford, consisting of a small, dense, positively charged nucleus surrounded by orbiting electrons. |
| Nucleons | Protons and neutrons found in the nucleus of an atom. |
| Isotopes | Atoms of the same element (same number of protons) but with different numbers of neutrons, thus different nucleon numbers. |
| Nuclides | A specific type of atom defined by its number of protons and neutrons. Isotopes are nuclides with the same proton number but different nucleon numbers. |
| Radioactive decay | The spontaneous transformation of unstable nuclei, involving the emission of alpha, beta, or gamma radiation. |
| Nuclear stability | The stability of a nucleus depends on the balance between protons and neutrons. Nuclides near the 'stability line' are more stable. |
| Models of the atom | Representations of atomic structure, such as the Rutherford-Bohr model (miniature solar system) and the Schrödinger model (electron clouds and energy levels). |
| Nuclear energy | Energy released from nuclear reactions like fission (splitting of heavy nuclei) and fusion (joining of light nuclei), related to mass defect by $ E=mc^2 $. |
| Fission | The splitting of a heavy atomic nucleus, typically uranium-235, into lighter nuclei, releasing energy and neutrons, which can sustain a chain reaction. |
| Nuclear reactor | A device used to control nuclear fission reactions to produce energy, typically for electricity generation. |
| Fusion | The process where light atomic nuclei combine to form heavier nuclei, releasing large amounts of energy, as occurs in stars like the Sun. |
Cover
Chapter 26.pdf
Summary
# Electromotive force (EMF) and terminal voltage
Electromotive force (EMF) represents the voltage produced by a source, such as a battery or generator, which is necessary to drive current through an electric circuit [5](#page=5).
### 1.1 Understanding electromotive force (EMF)
EMF is defined as the energy per unit charge converted into electrical energy by the source. It is the ideal voltage provided by a source when no current is flowing. Sources like batteries or generators are essential for initiating and sustaining an electric current [5](#page=5).
### 1.2 Internal resistance and its effect on terminal voltage
Real-world voltage sources, particularly batteries, possess a small internal resistance. This internal resistance acts as if it were connected in series with the ideal EMF of the source [5](#page=5) [6](#page=6).
The presence of internal resistance leads to a reduction in the actual voltage available at the terminals of the source, known as the terminal voltage. When current flows through the internal resistance, a voltage drop occurs, diminishing the voltage that can be supplied to the external circuit [5](#page=5).
The relationship between EMF, internal resistance, and terminal voltage can be expressed mathematically. If $\mathcal{E}$ represents the EMF, $r$ is the internal resistance, and $I$ is the current flowing through the source, then the terminal voltage $V_{terminal}$ is given by:
$$V_{terminal} = \mathcal{E} - Ir$$
This formula indicates that the terminal voltage is equal to the EMF minus the voltage drop across the internal resistance [5](#page=5).
#### 1.2.1 Calculating circuit parameters with internal resistance
Consider a circuit where an external resistor $R$ is connected to a battery with EMF $\mathcal{E}$ and internal resistance $r$. The total resistance in the circuit is the sum of the external resistance and the internal resistance:
$$R_{total} = R + r$$
The current $I$ flowing through the circuit can then be calculated using Ohm's Law:
$$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{total}} = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$$
The terminal voltage $V_{ab}$ across the battery terminals can be determined in two ways:
1. Using the EMF and internal resistance:
$$V_{ab} = \mathcal{E} - Ir$$
2. Using the external resistor and the current:
$$V_{ab} = IR$$
Both methods should yield the same result for the terminal voltage.
#### 1.2.2 Power dissipation in a circuit with internal resistance
The power dissipated in the external resistor $R$ is given by:
$$P_R = I^2 R$$
The power dissipated within the battery's internal resistance $r$ is given by:
$$P_r = I^2 r$$
The total power delivered by the EMF is the sum of the power dissipated in the external resistor and the internal resistance:
$$P_{total} = P_R + P_r = I^2 R + I^2 r = I^2 (R+r)$$
This is also equal to $\mathcal{E}I$.
> **Example:** A 65.0-ohm resistor is connected to the terminals of a battery with an EMF of 12.0 V and an internal resistance of 0.5 ohms.
> (a) To find the current in the circuit, we use the formula $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$.
> $$I = \frac{12.0 \text{ V}}{65.0 \text{ \(\Omega\)} + 0.5 \text{ \(\Omega\)}} = \frac{12.0 \text{ V}}{65.5 \text{ \(\Omega\)}} \approx 0.183 \text{ A}$$ [7](#page=7).
> (b) To find the terminal voltage, $V_{ab}$, we can use $V_{ab} = IR$.
> $$V_{ab} = (0.183 \text{ A})(65.0 \text{ \(\Omega\)}) \approx 11.9 \text{ V}$$ [7](#page=7).
> Alternatively, using $V_{ab} = \mathcal{E} - Ir$:
> $$V_{ab} = 12.0 \text{ V} - (0.183 \text{ A})(0.5 \text{ \(\Omega\)}) \approx 12.0 \text{ V} - 0.0915 \text{ V} \approx 11.9 \text{ V}$$ [7](#page=7).
> (c) The power dissipated in the resistor $R$ is $P_R = I^2 R$.
> $$P_R = (0.183 \text{ A})^2 (65.0 \text{ \(\Omega\)}) \approx (0.0335 \text{ A}^2)(65.0 \text{ \(\Omega\)}) \approx 2.18 \text{ W}$$ [7](#page=7).
> The power dissipated in the battery's internal resistance $r$ is $P_r = I^2 r$.
> $$P_r = (0.183 \text{ A})^2 (0.5 \text{ \(\Omega\)}) \approx (0.0335 \text{ A}^2)(0.5 \text{ \(\Omega\)}) \approx 0.0168 \text{ W}$$ [7](#page=7).
---
# Resistors in series and parallel configurations
This topic explores the fundamental principles governing how resistors behave when connected in series and parallel configurations within an electrical circuit, focusing on calculating equivalent resistance and understanding circuit behavior [8](#page=8).
### 2.1 Resistors in series
#### 2.1.1 Concept and characteristics
In a series connection, circuit elements are arranged in a single path, so the current flows through each component sequentially before returning to the source. This means the current through each resistor is identical. However, the voltage across each resistor depends on its individual resistance value. The sum of the voltage drops across all resistors in series must equal the total voltage supplied by the battery [8](#page=8) [9](#page=9).
#### 2.1.2 Calculating equivalent resistance in series
The equivalent resistance ($R_{eq}$) for a series combination is the single resistance value that would yield the same total current in the circuit as the original configuration. It is calculated by simply summing the resistances of all individual resistors [10](#page=10):
$$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$$ [10](#page=10).
This implies that the total resistance in a series circuit is always greater than the largest individual resistance [10](#page=10).
#### 2.1.3 Implications of series connection
* **Current:** The current is the same through all components [9](#page=9).
* **Voltage:** The total voltage is divided among the components, with larger resistances dropping more voltage [9](#page=9).
* **Equivalent resistance:** $R_{eq}$ increases with each added resistor [10](#page=10).
> **Tip:** When analyzing series circuits, remember that opening any part of the single path will break the entire circuit.
### 2.2 Resistors in parallel
#### 2.2.1 Concept and characteristics
In a parallel connection, the current splits, creating multiple paths for the electricity to flow through. Each component is connected across the same two points, ensuring that the voltage across each resistor is identical to the source voltage. The total current flowing out of the source is the sum of the currents passing through each individual resistor [11](#page=11) [12](#page=12).
An analogy for parallel circuits involves water flow: the water (current) divides into separate streams (branches), each falling the same height (voltage). The total water flow is the sum of the individual stream flows. With multiple pipes open in parallel, the overall resistance to water flow is reduced compared to a single pipe [14](#page=14).
#### 2.2.2 Calculating equivalent resistance in parallel
For a parallel arrangement, the reciprocal of the equivalent resistance ($1/R_{eq}$) is equal to the sum of the reciprocals of the individual resistances [13](#page=13).
$$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$ [13](#page=13).
For the special case of only two resistors in parallel, this simplifies to:
$$R_{eq} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$$ [13](#page=13).
This formula highlights that the equivalent resistance in a parallel circuit is always less than the smallest individual resistance [13](#page=13).
#### 2.2.3 Implications of parallel connection
* **Current:** The total current is divided among the branches, with branches having lower resistance drawing more current [12](#page=12).
* **Voltage:** The voltage is the same across all components [11](#page=11).
* **Equivalent resistance:** $R_{eq}$ decreases as more resistors are added in parallel [13](#page=13).
> **Tip:** In parallel circuits, if one component fails (e.g., a bulb burns out), the other components in parallel with it will generally continue to function because the current still has alternative paths.
### 2.3 Combined series and parallel circuits
Many real-world circuits consist of combinations of resistors connected in both series and parallel configurations. Analyzing these circuits involves breaking them down into simpler series and parallel sections. This is typically done by first calculating the equivalent resistance of parallel groups, treating them as single resistors, and then combining these with any series resistors. This iterative process allows for the determination of total current, voltage drops, and current through individual components [17](#page=17) [18](#page=18).
> **Example:** To find the total current drawn from a battery in a complex circuit, one would first simplify any parallel resistor combinations into their equivalent resistances, then combine these with series resistors to find the overall equivalent resistance of the entire circuit. Finally, Ohm's Law ($I = V/R_{eq}$) would be applied using the battery voltage and the total equivalent resistance to find the total current drawn [17](#page=17).
### 2.4 Applications and conceptual examples
#### 2.4.1 Lightbulb brightness
The brightness of a lightbulb is directly related to the power it dissipates, which in turn depends on the current flowing through it and the voltage across it ($P = I^2R$ or $P = V^2/R$).
* **Series connection of identical bulbs:** In a series circuit with identical bulbs, the voltage drops equally across each bulb. Since the current is the same for all, the power dissipated by each is equal, meaning they will glow with equal brightness. If the resistances were different, the bulb with the higher resistance would drop more voltage and dissipate more power, thus glowing brighter [15](#page=15).
* **Parallel connection of identical bulbs:** In a parallel circuit, each bulb receives the full source voltage. If the bulbs are identical, they will all dissipate the same amount of power and glow with the same brightness. A parallel configuration generally allows for more total light output than a series configuration for the same set of bulbs, as each bulb operates at full voltage [15](#page=15).
* **Example with different wattages:** When a 100-W, 120-V bulb and a 60-W, 120-V bulb are connected in series, the 60-W bulb (which has a higher resistance) will glow more brightly because it dissipates more power due to the voltage division. In parallel, both bulbs would operate at their rated power and brightness, with the 100-W bulb being brighter [16](#page=16).
#### 2.4.2 Multi-speed fans
Resistors can be placed in series with a motor to control its speed. By adding resistance, the current drawn by the motor is reduced, causing it to run slower. For example, to reduce the current from 5.0 A to 2.0 A in a motor connected to a 12-V battery, a specific series resistor can be calculated using Ohm's Law and Kirchhoff's Voltage Law. The power rating required for this resistor must also be considered to prevent overheating [20](#page=20).
#### 2.4.3 Circuit analysis with internal resistance
When analyzing circuits, it's important to consider the internal resistance of the power source (e.g., a battery), denoted by $r$. This internal resistance reduces the terminal voltage of the battery available to the external circuit. The total current drawn from the battery is determined by the total resistance (external plus internal) and the terminal voltage is the source voltage minus the voltage drop across the internal resistance [21](#page=21).
> **Example:** A 9.0-V battery with an internal resistance of 0.50 Ωconnected to an external circuit. To find the current drawn from the battery, one would first calculate the total equivalent resistance of the external circuit. Then, the total resistance of the circuit (external $R_{eq}$ + internal $r$) is used with the battery voltage to find the total current. The terminal voltage is calculated as $V_{terminal} = V_{battery} - I \cdot r$ [21](#page=21).
---
# Kirchhoff's rules for circuit analysis
Kirchhoff's rules provide a systematic method for analyzing complex electrical circuits that cannot be simplified into basic series and parallel combinations [22](#page=22).
### 3.1 The junction rule
The junction rule, also known as Kirchhoff's current law (KCL), states that the sum of the currents entering a junction must equal the sum of the currents leaving that junction. This rule is a direct consequence of the conservation of electric charge. At any point where wires connect, charge cannot accumulate, so the rate at which charge flows in must equal the rate at which it flows out [23](#page=23).
Mathematically, for a junction with currents $I_1, I_2, ..., I_n$:
$$ \sum_{\text{entering}} I_i = \sum_{\text{leaving}} I_i $$ [23](#page=23).
### 3.2 The loop rule
The loop rule, also known as Kirchhoff's voltage law (KVL), states that the algebraic sum of the changes in electric potential around any closed loop in a circuit must be zero. This principle is derived from the conservation of energy. As a charge moves around a closed path and returns to its starting point, the net work done on it must be zero, which implies that the net change in its potential energy (and thus potential) is zero [24](#page=24).
When applying the loop rule, one must establish a direction for traversing the loop (e.g., clockwise or counterclockwise). The sign conventions for voltage changes across circuit elements are as follows:
* **Resistors:**
* If traversing in the same direction as the assumed current, the potential change is negative (voltage drop): $-\text{IR}$.
* If traversing in the opposite direction of the assumed current, the potential change is positive (voltage rise): $+\text{IR}$.
* **Batteries (EMFs):**
* If traversing from the negative terminal to the positive terminal, the potential change is positive: $+\text{EMF}$.
* If traversing from the positive terminal to the negative terminal, the potential change is negative: $-\text{EMF}$.
The general form of the loop rule is:
$$ \sum \Delta V = 0 $$ [24](#page=24).
### 3.3 Problem-solving strategy
Applying Kirchhoff's rules effectively requires a systematic approach:
1. **Label currents and directions:** Assign a symbol (e.g., $I_1, I_2, I_3$) to each unknown current in the circuit. For each current, choose an assumed direction. It is crucial to be consistent with these chosen directions [25](#page=25).
2. **Identify unknowns:** Determine how many unknown currents or voltages exist in the circuit [25](#page=25).
3. **Apply rules to form equations:**
* Apply the junction rule to as many junctions as needed to account for all currents. The number of independent junction rule equations will be one less than the number of junctions.
* Apply the loop rule to independent closed loops in the circuit. The number of independent loop rule equations needed is equal to the total number of unknown currents minus the number of independent junction rule equations. In total, you will need as many independent equations as there are unknowns [25](#page=25).
4. **Solve the system of equations:** Solve the resulting system of linear equations for the unknown currents [25](#page=25).
5. **Interpret results:** If the calculated value for a current is negative, it means that the actual direction of the current is opposite to the direction you initially assumed [25](#page=25).
> **Tip:** When drawing circuit diagrams for Kirchhoff's rules, it's helpful to clearly mark junctions and choose specific paths for traversing loops. Labeling voltage sources with their polarities is also essential.
> **Example:** Consider a circuit with two loops and three unknown currents. You would typically apply the junction rule at one junction to get one equation. Then, you would apply the loop rule to each of the two independent loops to get two more equations, resulting in a total of three equations to solve for the three unknown currents. If a calculated current comes out as -2 amperes, and you assumed it flowed to the right, it actually flows to the left at 2 amperes [25](#page=25).
---
# Series and parallel EMFs, and battery charging
This section explores how multiple electromotive force (EMF) sources behave when connected in series and parallel configurations, including the nuanced scenario of one battery charging another.
### 4.1 EMFs in series
When multiple EMF sources are connected in series, their voltages can either add up or subtract, depending on their polarities [27](#page=27).
#### 4.1.1 EMFs in series in the same direction
If several EMF sources are connected in series such that their EMFs act in the same direction, the total EMF of the combination is the sum of the individual EMFs [27](#page=27).
> **Tip:** This is the most straightforward series combination where the total voltage is simply the sum of individual voltages.
#### 4.1.2 EMFs in series in opposite directions
When EMF sources are connected in series but in opposite directions, the total EMF is the difference between the individual EMFs. In such a configuration, the battery with the lower voltage will be charged by the battery with the higher voltage [28](#page=28).
> **Example:** Consider two batteries, one with an EMF of 12 volts and another with an EMF of 9 volts, connected in series with opposite polarities. The net EMF will be $12 \text{ V} - 9 \text{ V} = 3 \text{ V}$. The 9-volt battery will be charged by the 12-volt battery.
### 4.2 EMFs in parallel
Connecting EMF sources in parallel is typically meaningful only when all the sources have the same voltage. This arrangement allows for a greater total current to be supplied compared to what a single EMF source could provide [29](#page=29).
> **Tip:** Parallel connections of EMFs with different voltages are generally not recommended due to potential damage or inefficient operation.
### 4.3 Battery charging scenarios
Battery charging often involves connecting EMF sources in series, where one source (e.g., a good battery or a charger) provides power to another (e.g., a weak battery). The principle of EMFs in series in opposite directions is directly applicable here.
#### 4.3.1 Jump starting a car
A common practical example of battery charging is jump-starting a car. In this scenario, a good car battery (acting as a voltage source) is used to provide current to a weak battery and the car's starter motor [30](#page=30).
The total resistance in the circuit when jump-starting includes the internal resistances of both batteries, the resistance of the jumper cables, and the resistance of the starter motor [30](#page=30).
Let $\mathcal{E}_{\text{good}}$ and $r_{\text{good}}$ be the EMF and internal resistance of the good battery, respectively. Let $\mathcal{E}_{\text{weak}}$ and $r_{\text{weak}}$ be the EMF and internal resistance of the weak battery, respectively. Let $R_{\text{cables}}$ be the total resistance of the jumper cables, and $R_s$ be the resistance of the starter motor [30](#page=30).
When the good battery is connected to the weak battery and the starter motor, the circuit behaves like two EMFs in series with opposite polarities. The current $I$ through the starter motor can be calculated using Ohm's Law for the entire circuit:
$$I = \frac{\mathcal{E}_{\text{good}} - \mathcal{E}_{\text{weak}}}{\text{Total resistance of the circuit}}$$
The total resistance in this case is $r_{\text{good}} + r_{\text{weak}} + R_{\text{cables}} + R_s$. Therefore, the current is [30](#page=30):
$$I = \frac{\mathcal{E}_{\text{good}} - \mathcal{E}_{\text{weak}}}{r_{\text{good}} + r_{\text{weak}} + R_{\text{cables}} + R_s}$$
> **Example 26-10 (from document):** A good car battery has an EMF of 12.5 V and an internal resistance of 0.020 Ω. A weak battery has an EMF of 10.1 V and an internal resistance of 0.10 Ω. Jumper cables have a combined resistance, and the starter motor has a resistance $R_s = 0.15$ Ω. To determine the current through the starter motor, the resistance of the jumper cables would need to be calculated or provided. Assuming the cables have some resistance, let's say $R_{\text{cables}} = 0.05$ Ω for illustration [30](#page=30).
> (a) If only the weak battery is connected to the starter motor (assuming it could provide current), the current would be $I = \frac{\mathcal{E}_{\text{weak}}}{r_{\text{weak}} + R_s} = \frac{10.1 \text{ V}}{0.10 \Omega + 0.15 \Omega} = \frac{10.1}{0.25} \text{ A} = 40.4 \text{ A}$. However, this scenario doesn't involve battery charging.
> (b) If the good battery is connected to jump-start the car with the weak battery and starter motor:
> Total resistance = $r_{\text{good}} + r_{\text{weak}} + R_{\text{cables}} + R_s = 0.020 \Omega + 0.10 \Omega + 0.05 \Omega + 0.15 \Omega = 0.27 \Omega$.
> Current through the starter motor = $I = \frac{12.5 \text{ V} - 10.1 \text{ V}}{0.27 \Omega} = \frac{2.4 \text{ V}}{0.27 \Omega} \approx 8.89 \text{ A}$. In this case, the weak battery is being charged while also supplying some current through its internal resistance. The higher EMF battery drives current through the lower EMF battery, effectively charging it.
---
# RC circuits and their time constants
This topic examines circuits containing resistors and capacitors, detailing the charging and discharging processes and the significance of the time constant.
### 5.1 Introduction to RC circuits
RC circuits, consisting of resistors and capacitors, are fundamental in understanding transient electrical behavior. When a switch is closed in such a circuit, a capacitor begins to charge, leading to an increase in voltage across the capacitor and a corresponding decrease in current through the resistor [31](#page=31).
### 5.2 Charging a capacitor in an RC circuit
In an RC circuit with an electromotive force (emf), the capacitor charges when a switch is closed. The voltage changes around the loop can be described by an equation. To find the charge as a function of time, this equation can be integrated [31](#page=31) [32](#page=32).
The voltage across the capacitor ($V_C$) at any given time ($t$) is related to the charge ($Q$) by $V_C = \frac{Q}{C}$. The charge on the capacitor during charging can be expressed as a function of time using the following formula [33](#page=33):
$$Q(t) = C\mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$$
where $C$ is the capacitance, $\mathcal{E}$ is the emf of the source, and $R$ is the resistance [33](#page=33).
The quantity $RC$ that appears in the exponent is defined as the **time constant** of the circuit, often denoted by the Greek letter tau ($\tau$) [33](#page=33).
$$ \tau = RC $$
The time constant has units of time and characterizes how quickly the capacitor charges or discharges [33](#page=33).
The current ($I$) in the circuit at any time $t$ can be found by differentiating the charge with respect to time:
$$I(t) = \frac{dQ}{dt} = \frac{\mathcal{E}}{R} e^{-t/RC}$$
This can also be expressed as:
$$I(t) = I_{max} e^{-t/RC}$$
where $I_{max} = \frac{\mathcal{E}}{R}$ is the maximum initial current [34](#page=34).
> **Tip:** After one time constant ($\tau$), the capacitor will be charged to approximately 63.2% of its maximum charge, and the current will have decreased to approximately 36.8% of its initial maximum value. After five time constants ($5\tau$), the capacitor is considered to be almost fully charged (about 99.3% of maximum charge), and the current is nearly zero.
#### 5.2.1 Example: Charging RC circuit with emf
**Example 26-11:** An RC circuit has a capacitance of $C = 0.30 \text{ } \mu\text{F}$, a total resistance of $R = 20 \text{ k}\Omega$, and a battery emf of $\mathcal{E} = 12 \text{ V}$ [35](#page=35).
(a) Determine the time constant:
$$ \tau = RC = (20 \times 10^3 \Omega) \times (0.30 \times 10^{-6} \text{ F}) = 6.0 \times 10^{-3} \text{ s} = 6.0 \text{ ms} $$
(b) Determine the maximum charge the capacitor could acquire:
The maximum charge ($Q_{max}$) is given by $Q_{max} = C\mathcal{E}$.
$$ Q_{max} = (0.30 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (12 \text{ V}) = 3.6 \times 10^{-6} \text{ C} = 3.6 \text{ } \mu\text{C} $$
(c) Determine the time it takes for the charge to reach 99% of this value:
We need to find $t$ when $Q(t) = 0.99 \times Q_{max}$.
$$ 0.99 C\mathcal{E} = C\mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) $$
$$ 0.99 = 1 - e^{-t/\tau} $$
$$ e^{-t/\tau} = 0.01 $$
$$ -t/\tau = \ln(0.01) $$
$$ t = -\tau \ln(0.01) = -(6.0 \text{ ms}) \times (-4.605) \approx 27.6 \text{ ms} $$
(d) Determine the current $I$ when the charge $Q$ is half its maximum value:
When $Q = \frac{1}{2} Q_{max}$, we have $\frac{1}{2} C\mathcal{E} = C\mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau})$, so $0.5 = 1 - e^{-t/\tau}$, which means $e^{-t/\tau} = 0.5$.
The current is $I(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} e^{-t/\tau}$.
$$ I = \frac{12 \text{ V}}{20 \times 10^3 \Omega} \times 0.5 = (0.60 \times 10^{-3} \text{ A}) \times 0.5 = 0.30 \text{ mA} $$
(e) Determine the maximum current:
The maximum current occurs at $t=0$ and is given by $I_{max} = \frac{\mathcal{E}}{R}$.
$$ I_{max} = \frac{12 \text{ V}}{20 \times 10^3 \Omega} = 0.60 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.60 \text{ mA} $$
(f) Determine the charge $Q$ when the current $I$ is 0.20 of its maximum value:
If $I = 0.20 I_{max}$, then from $I(t) = I_{max} e^{-t/RC}$, we have $0.20 = e^{-t/RC}$, so $e^{-t/RC} = 0.20$.
The charge is $Q(t) = C\mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$.
$$ Q = C\mathcal{E}(1 - 0.20) = C\mathcal{E}(0.80) = 0.80 Q_{max} $$
$$ Q = 0.80 \times (3.6 \text{ } \mu\text{C}) = 2.88 \text{ } \mu\text{C} $$
### 5.3 Discharging a capacitor in an RC circuit
When a charged capacitor is disconnected from a power source and connected across a resistor, it begins to discharge. The voltage across the capacitor decreases exponentially with time, and the current through the resistor also decreases exponentially [36](#page=36) [37](#page=37).
The charge on the capacitor during discharge is given by:
$$Q(t) = Q_0 e^{-t/RC}$$
where $Q_0$ is the initial charge on the capacitor at $t=0$ [37](#page=37).
The voltage across the capacitor during discharge is:
$$V_C(t) = \frac{Q_0}{C} e^{-t/RC} = V_0 e^{-t/RC}$$
where $V_0 = \frac{Q_0}{C}$ is the initial voltage across the capacitor [37](#page=37).
The current through the resistor during discharge is:
$$I(t) = -\frac{dQ}{dt} = -\frac{Q_0}{RC} e^{-t/RC} = -\frac{V_0}{R} e^{-t/RC}$$
The negative sign indicates that the current flows in a direction that reduces the charge on the capacitor. The magnitude of the current is [37](#page=37):
$$|I(t)| = \frac{V_0}{R} e^{-t/RC} = |I_{max}| e^{-t/RC}$$
where $|I_{max}| = \frac{V_0}{R}$ is the initial magnitude of the current.
> **Tip:** The time constant $\tau = RC$ also governs the rate of discharge. After one time constant, the charge and voltage will have decreased to approximately 36.8% of their initial values, and the current magnitude will have similarly decreased.
#### 5.3.1 Example: Discharging RC circuit
**Example 26-12:** In an RC circuit, a battery has fully charged a capacitor. At $t=0$, a switch is thrown from position 'a' (connecting to the battery) to position 'b' (connecting to a resistor). The battery emf is $\mathcal{E} = 20.0 \text{ V}$, and the capacitance is $C = 1.02 \text{ } \mu\text{F}$. The current $I$ is observed to decrease to 0.50 of its initial value in $40 \text{ } \mu\text{s}$ [38](#page=38).
(a) What is the value of $Q_0$, the charge on the capacitor, at $t=0$?
At $t=0$, the capacitor is fully charged by the battery.
$$ Q_0 = C\mathcal{E} = (1.02 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (20.0 \text{ V}) = 20.4 \times 10^{-6} \text{ C} = 20.4 \text{ } \mu\text{C} $$
(b) What is the value of $R$?
The current during discharge is given by $|I(t)| = \frac{V_0}{R} e^{-t/RC}$, where $V_0 = \mathcal{E} = 20.0 \text{ V}$ (since the capacitor was fully charged).
We are given that $|I(t)| = 0.50 |I_{max}|$ at $t = 40 \text{ } \mu\text{s}$.
$$ 0.50 |I_{max}| = |I_{max}| e^{-(40 \times 10^{-6} \text{ s}) / (R \times 1.02 \times 10^{-6} \text{ F})} $$
$$ 0.50 = e^{-(40 \times 10^{-6}) / (R \times 1.02 \times 10^{-6})} $$
Taking the natural logarithm of both sides:
$$ \ln(0.50) = -\frac{40 \times 10^{-6}}{R \times 1.02 \times 10^{-6}} $$
$$ -0.6931 = -\frac{40}{R \times 1.02} $$
$$ R = \frac{40}{0.6931 \times 1.02} \approx \frac{40}{0.70696} \approx 56.58 \Omega $$
(c) What is $Q$ at $t=60 \text{ } \mu\text{s}$?
First, calculate the time constant:
$$ \tau = RC = (56.58 \Omega) \times (1.02 \times 10^{-6} \text{ F}) \approx 57.71 \times 10^{-6} \text{ s} = 57.71 \text{ } \mu\text{s} $$
Now, calculate the charge at $t=60 \text{ } \mu\text{s}$:
$$ Q(60 \text{ } \mu\text{s}) = Q_0 e^{-(60 \text{ } \mu\text{s}) / (57.71 \text{ } \mu\text{s})} $$
$$ Q(60 \text{ } \mu\text{s}) = (20.4 \text{ } \mu\text{C}) e^{-1.040} $$
$$ Q(60 \text{ } \mu\text{s}) \approx (20.4 \text{ } \mu\text{C}) \times 0.3532 \approx 7.21 \text{ } \mu\text{C} $$
### 5.4 Applications and Conceptual Examples
#### 5.4.1 Bulb in an RC circuit
**Conceptual Example 26-13:** Consider an RC circuit with a capacitor that is initially uncharged, connected to a resistor and a lightbulb in series with a switch. When the switch is closed, the capacitor begins to charge. Initially, the current is high, causing the bulb to glow brightly. As the capacitor charges, the current decreases exponentially. Consequently, the brightness of the lightbulb will fade over time until it is no longer illuminated if the capacitor is fully charged and there is no leakage. If the capacitor is then discharged, the bulb will briefly glow again as current flows out of the capacitor [39](#page=39).
#### 5.4.2 Resistor in a turn signal
**Example 26-14:** The order of magnitude of a resistor in a turn-signal circuit can be estimated. Turn signals typically flash at a rate of about once or twice per second. This flashing is often achieved using an RC circuit where the charging and discharging times are on the order of a second. This implies that the time constant ($\tau = RC$) is roughly in the range of fractions of a second to a few seconds [40](#page=40).
---
# Electrical hazards and safety precautions
Electrical hazards pose significant dangers, primarily through electric shock and burns, emphasizing the critical need for stringent safety measures when dealing with electric currents and voltages [41](#page=41).
### 6.1 Understanding electrical hazards
#### 6.1.1 Effects of electric current on the human body
The severity of an electric shock is directly related to the amount of current flowing through the body and the duration of contact.
* **Perceptible current:** Even a small current of approximately 1 milliampere (mA) can be felt by most individuals [41](#page=41).
* **Painful currents:** Currents in the range of a few milliamperes can cause pain [41](#page=41).
* **Uncontrollable muscle contractions:** Currents exceeding 10 mA can lead to muscle spasms so strong that a person may be unable to release their grip, making self-rescue difficult [41](#page=41).
* **Ventricular fibrillation:** A current of around 100 mA passing through the torso can disrupt the heart's rhythm, causing ventricular fibrillation and potentially leading to death [41](#page=41).
* **Burns:** Higher current levels, even if they don't cause fibrillation, can result in severe burns [41](#page=41).
> **Tip:** It's crucial to remember that a person receiving an electric shock has inadvertently become part of a complete electrical circuit, allowing current to flow through them [42](#page=42).
#### 6.1.2 Factors increasing electrical risk
Certain conditions can significantly increase the danger posed by household voltages.
* **Wet conditions:** Household voltages can be lethal when a person is wet and has good contact with the ground. This is because water reduces the body's electrical resistance [41](#page=41).
* **Faulty wiring and improper grounding:** Defective electrical connections and inadequate grounding systems create pathways for current to flow unexpectedly, posing a serious risk [43](#page=43).
> **Tip:** Always be cautious when working with electricity, especially in environments where moisture is present or where electrical systems may be compromised [41](#page=41) [43](#page=43).
### 6.2 Safety precautions and best practices
Implementing proper safety measures is paramount to preventing electrical accidents.
#### 6.2.1 Professional electrical work
* Ensuring electrical work is performed by qualified professionals is a key safety measure. They possess the knowledge and skills to identify hazards and implement appropriate safety standards [43](#page=43).
#### 6.2.2 Understanding wiring and grounding
* **Three-prong plugs:** The safest types of electrical plugs are those with three prongs. The third prong provides a separate ground line, which offers an additional layer of protection by diverting fault current safely to the ground [44](#page=44).
* **Identifying the hot wire:** Before performing any electrical tasks, it is essential to correctly identify the "hot" wire. This wire carries the voltage and is the primary source of electrical danger. Electrical wiring colors can vary, so always confirm with proper testing equipment or consult a professional [44](#page=44).
> **Example:** In some wiring configurations, the hot wire might be black or red, the neutral wire white, and the ground wire green or bare copper. However, these colors are not universal, and relying solely on them can be dangerous. Always verify with a multimeter or by consulting an electrician [44](#page=44).
---
# Ammeters, voltmeters, and ohmmeters
This topic explores the function, design principles, and proper circuit connection of ammeters, voltmeters, and ohmmeters, which are essential electrical measurement instruments.
### 7.1 Ammeters
An ammeter is a device used to measure the electric current flowing through a circuit. To accurately measure current without significantly altering it, an ammeter must be connected in series with the circuit element through which the current is to be measured. Consequently, ammeters are designed to have very low internal resistance. This low resistance minimizes the voltage drop across the ammeter itself, ensuring that the current being measured is not substantially affected [45](#page=45) [50](#page=50).
#### 7.1.1 Ammeter design principles
The design of an ammeter often utilizes a galvanometer, which is sensitive to small currents. A galvanometer typically has a coil with a certain internal resistance, denoted as $r$. To convert a galvanometer into an ammeter with a specific full-scale current range, a low-resistance resistor, known as a shunt resistor ($R_{\text{shunt}}$), is connected in parallel with the galvanometer. This shunt resistor diverts most of the current around the galvanometer coil, allowing the ammeter to measure larger currents [45](#page=45) [46](#page=46).
The relationship between the galvanometer's full-scale current ($I_{\text{fs}}$), its internal resistance ($r$), the desired full-scale current for the ammeter ($I_{\text{ammeter}}$), and the shunt resistance ($R_{\text{shunt}}$) can be derived. For the current to be at full scale ($I_{\text{ammeter}}$), the current through the galvanometer will be its full-scale sensitivity ($I_{\text{fs}}$), and the remaining current will flow through the shunt resistor. Since the shunt resistor and the galvanometer are in parallel, the voltage drop across them must be equal:
$I_{\text{fs}} \cdot r = (I_{\text{ammeter}} - I_{\text{fs}}) \cdot R_{\text{shunt}}$
From this equation, the required shunt resistance can be calculated:
$$ R_{\text{shunt}} = \frac{I_{\text{fs}} \cdot r}{I_{\text{ammeter}} - I_{\text{fs}}} $$
The scale of an ammeter designed this way is linear if the galvanometer's deflection is directly proportional to the current passing through it [46](#page=46) [48](#page=48).
#### 7.1.2 Example: Ammeter design
Designing an ammeter to read 1.0 A at full scale using a galvanometer with a full-scale sensitivity of 50 μA (which is $50 \times 10^{-6}$ A) and an internal resistance $r = 30 \, \Omega$. The scale is linear as galvanometers typically provide linear scales with respect to current.
The shunt resistance needed is calculated as:
$$ R_{\text{shunt}} = \frac{(50 \times 10^{-6} \, \text{A}) \cdot (30 \, \Omega)}{(1.0 \, \text{A}) - (50 \times 10^{-6} \, \text{A})} \approx \frac{1.5 \times 10^{-3} \, \Omega}{1.0 \, \text{A}} = 1.5 \times 10^{-3} \, \Omega $$
So, a shunt resistor of approximately 0.0015 $\Omega$ would be needed [46](#page=46).
### 7.2 Voltmeters
A voltmeter is an instrument used to measure the electric potential difference, or voltage, across two points in a circuit. To ensure that a voltmeter does not significantly alter the voltage it is intended to measure, it must be connected in parallel with the circuit element across which the voltage is being measured. Consequently, voltmeters are designed to have very high internal resistance. This high resistance ensures that only a negligible amount of current is drawn from the circuit, thereby minimally affecting the voltage distribution [45](#page=45) [47](#page=47) [50](#page=50).
#### 7.2.1 Voltmeter design principles
Similar to ammeters, voltmeters are often built using galvanometers. To convert a galvanometer into a voltmeter, a high-resistance resistor, known as a multiplier resistor ($R_{\text{multiplier}}$), is connected in series with the galvanometer coil. This series resistor increases the total resistance of the voltmeter, limiting the current that flows through the galvanometer when a voltage is applied across the voltmeter [45](#page=45) [48](#page=48).
Let $I_{\text{fs}}$ be the full-scale current sensitivity of the galvanometer and $r$ be its internal resistance. If the voltmeter is designed to measure a maximum voltage of $V_{\text{voltmeter}}$ at full scale, then the total resistance of the voltmeter ($R_{\text{total}}$) is given by Ohm's Law:
$R_{\text{total}} = \frac{V_{\text{voltmeter}}}{I_{\text{fs}}}$
The total resistance is the sum of the galvanometer's internal resistance and the multiplier resistor:
$R_{\text{total}} = r + R_{\text{multiplier}}$
Therefore, the multiplier resistance can be calculated as:
$$ R_{\text{multiplier}} = R_{\text{total}} - r = \frac{V_{\text{voltmeter}}}{I_{\text{fs}}} - r $$
The scale of a voltmeter designed this way is linear if the galvanometer's deflection is proportional to the current, which is directly proportional to the voltage across the voltmeter [48](#page=48).
#### 7.2.2 Example: Voltmeter design
Designing a voltmeter that reads from 0 to 15 V using a galvanometer with an internal resistance of $30 \, \Omega$ and a full-scale current sensitivity of 50 μA ($50 \times 10^{-6}$ A). The scale is linear.
First, calculate the total resistance required for the 15 V full-scale reading:
$$ R_{\text{total}} = \frac{15 \, \text{V}}{50 \times 10^{-6} \, \text{A}} = \frac{15}{5 \times 10^{-5}} \, \Omega = 3 \times 10^5 \, \Omega = 300,000 \, \Omega $$
Now, calculate the multiplier resistance:
$$ R_{\text{multiplier}} = R_{\text{total}} - r = 300,000 \, \Omega - 30 \, \Omega = 299,970 \, \Omega $$
So, a multiplier resistor of approximately 299,970 $\Omega$ would be connected in series with the galvanometer [48](#page=48).
#### 7.2.3 Voltmeter loading effect
The finite, albeit large, resistance of a voltmeter can still affect the circuit it is measuring, especially in high-impedance circuits. This phenomenon is known as voltmeter loading. For example, if a voltmeter with a sensitivity of 10,000 $\Omega$/V is used on the 5.0-V scale, its total resistance is $5.0 \, \text{V} \times 10,000 \, \Omega/\text{V} = 50,000 \, \Omega$. If this voltmeter is connected across one of two identical 15 k$\Omega$ resistors in series with an 8.0 V battery, the true voltage across the resistor would be half the battery voltage (4.0 V) if the voltmeter had infinite resistance. However, with the 50,000 $\Omega$ voltmeter in parallel with the 15,000 $\Omega$ resistor, the equivalent resistance becomes:
$$ R_{\text{eq}} = \frac{50,000 \, \Omega \times 15,000 \, \Omega}{50,000 \, \Omega + 15,000 \, \Omega} = \frac{750 \times 10^6 \, \Omega^2}{65,000 \, \Omega} \approx 11,538 \, \Omega $$
The total resistance of the circuit is now $11,538 \, \Omega + 15,000 \, \Omega = 26,538 \, \Omega$. The new total current is $8.0 \, \text{V} / 26,538 \, \Omega \approx 0.000301 \, \text{A}$ or 301 $\mu$A. The voltage read by the meter across the first resistor (which is now in parallel with the voltmeter) would be $I_{\text{total}} \cdot R_{\text{eq}} \approx 0.000301 \, \text{A} \times 11,538 \, \Omega \approx 3.47 \, \text{V}$. The error caused by the voltmeter's finite resistance is approximately $4.0 \, \text{V} - 3.47 \, \text{V} = 0.53 \, \text{V}$, or about a $13\%$ error [51](#page=51).
> **Tip:** To minimize voltmeter loading error, use a voltmeter with a much higher resistance than the resistance of the circuit element across which you are measuring the voltage.
### 7.3 Ohmmeters
An ohmmeter is an instrument used to measure electrical resistance. Unlike ammeters and voltmeters that measure quantities in an active circuit, ohmmeters require their own internal power source, typically a battery, to drive a current through the resistance being measured. This allows the ohmmeter to determine the resistance based on Ohm's Law ($R = V/I$) [49](#page=49).
#### 7.3.1 Ohmmeter operation
An ohmmeter typically consists of a galvanometer, a battery, and a multiplier resistor, similar to a voltmeter. However, the unknown resistance is connected externally to the ohmmeter terminals. The internal battery drives a current through the series combination of the galvanometer, multiplier resistor, and the unknown external resistance. The deflection of the galvanometer, and thus the reading on the scale, is inversely proportional to the unknown resistance.
> **Tip:** Always ensure that the circuit being tested is de-energized and disconnected from any power source before connecting an ohmmeter to measure resistance. This prevents damage to the ohmmeter and ensures accurate readings.
Digital ohmmeters are also common and employ more sophisticated electronic circuits for resistance measurement, often using the principle of measuring the voltage drop across a known internal resistor when the unknown resistance is placed in series with it, or by measuring the current flowing through the unknown resistance when a known voltage is applied.
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Electromotive force (EMF) | The energy per unit charge converted from some other form to electrical energy by a battery or other source, typically measured in volts. It represents the ideal voltage of a source when no current is flowing. |
| Terminal voltage | The actual voltage measured across the terminals of a source of emf when current is flowing. It is less than the emf due to the voltage drop across the internal resistance of the source. |
| Internal resistance | The resistance inherent within a source of emf, such as a battery. This resistance causes a voltage drop when current flows, reducing the terminal voltage. |
| Resistors in series | Components connected end-to-end, so that the same current flows through each component. The total resistance is the sum of individual resistances. |
| Resistors in parallel | Components connected across the same two points, so that the voltage across each component is the same. The total current is the sum of the currents through each component. |
| Equivalent resistance | A single resistance value that would produce the same total current and voltage drop as a combination of resistors in a circuit. |
| Kirchhoff's junction rule | A statement that the algebraic sum of currents entering any junction (or node) in a circuit must equal the algebraic sum of currents leaving that junction. This rule is based on the conservation of electric charge. |
| Kirchhoff's loop rule | A statement that the algebraic sum of the potential differences (voltages) around any closed loop in a circuit must be zero. This rule is based on the conservation of energy. |
| Time constant (RC circuit) | A characteristic time for an RC circuit, denoted by the Greek letter tau ($$\tau$$), equal to the product of the resistance R and the capacitance C ($$\tau = RC$$). It represents the time it takes for the charge or current to decay to about 37% of its initial value during discharge, or to reach about 63% of its final value during charging. |
| Ammeter | An instrument used to measure electric current. It must be connected in series with the circuit element through which the current is to be measured, and ideally has very low resistance. |
| Voltmeter | An instrument used to measure electric potential difference (voltage). It must be connected in parallel with the circuit element across which the voltage is to be measured, and ideally has very high resistance. |
| Ohmmeter | An instrument used to measure electrical resistance. It typically contains a battery to supply a small current and a meter to read the resulting resistance. |
| Fibrillation | A serious medical condition where the heart muscle quivers instead of pulsing normally, often caused by electric currents passing through the torso. |
Cover
Cursus Biomedische Fysica versie 2025.pdf
Summary
# Foutenleer en meetresultaten
Dit deel behandelt de theorie rond meetfouten, de berekening van absolute fouten, significante cijfers, wetenschappelijke notatie en de procedures voor het afronden en noteren van meetresultaten en fouten [9](#page=9).
### 1.1 Begrippen en definities
#### 1.1.1 Afleesfout
De afleesfout is gelijk aan de helft van de kleinste verdeling op het meettoestel [9](#page=9).
#### 1.1.2 Absolute fout (AF)
De meetfout of absolute fout (AF) op een meting is het maximaal positief verschil tussen de gemeten waarde en de werkelijke waarde. De AF is gelijk aan twee keer de afleesfout of de kleinste verdeling van het meettoestel, tenzij anders vermeld door de fabrikant [9](#page=9).
#### 1.1.3 Significante cijfers (BC)
Alle cijfers verschillend van nul zijn steeds significante cijfers (BC). Nullen tussen of rechts van andere cijfers zijn ook significant. Niet-significante nullen moeten vermeden worden omdat deze een verkeerde indruk van nauwkeurigheid geven; dit kan voorkomen worden door een gepaste eenheid of macht van 10 te gebruiken. Binnen onze campus wordt een "9" niet beschouwd als twee significante cijfers [9](#page=9).
#### 1.1.4 Wetenschappelijke notatie
De wetenschappelijke notatie van een getal bestaat uit een teken (min of eventueel plus), een mantisse tussen 1 (inclusief) en 10 (exclusief), en 10 tot een macht (een geheel getal). In de verkorte wetenschappelijke notatie wordt de macht vervangen door 'E' gevolgd door een teken en een geheel getal (bv. E+2) [9](#page=9).
### 1.2 Benaderende foutentheorie
#### 1.2.1 Principe
Om te weten binnen welke grenzen een resultaat betrouwbaar is, kan de AF expliciet vermeld worden, of kan het resultaat weergegeven worden met een correct aantal significante cijfers. Dit laatste wordt de benaderende foutentheorie genoemd. Daarin wordt één eenheid van het minst significante cijfer beschouwd als de AF op de waarde. Tijdens de werkcolleges en practica wordt de benaderende methode gebruikt, tenzij expliciet anders vermeld [10](#page=10) [9](#page=9).
#### 1.2.2 Afrondingsregels voor berekeningen
* **Producten of quotiënten:** Rond het resultaat af zodat het evenveel significante cijfers heeft als de factor met het kleinste aantal significante cijfers [9](#page=9).
* **Sommen of verschillen:** Rond het resultaat af zodat het evenveel decimalen heeft als de term met het kleinste aantal decimalen [9](#page=9).
### 1.3 Uitgebreide foutenleer
#### 1.3.1 Toepassing
Wanneer expliciet vermeld wordt dat de uitgebreide foutenleer moet toegepast worden, moet de AF vermeld worden bij alle meet-, tussen- en eindresultaten [10](#page=10).
#### 1.3.2 Absolute fout bij sommen en verschillen
De AF op een som of een verschil is gelijk aan de som van de absolute fouten op de afzonderlijke termen in die som of dat verschil [10](#page=10).
#### 1.3.3 Absolute fout bij producten en quotiënten
Om de AF op een product of een quotiënt te berekenen, moeten eerst de procentuele fouten (PF) bepaald worden van elke factor [10](#page=10).
De procentuele fout wordt als volgt berekend:
$$ \text{PF} = \frac{\text{Absolute Fout}}{\text{Waarde van de grootheid}} \times 100\% $$
De PF wordt op dezelfde manier afgerond als de AF [10](#page=10).
De PF op een product of een quotiënt is gelijk aan de som van de procentuele fouten op de afzonderlijke factoren in dat product of quotiënt. Uit de PF kan dan de AF berekend worden door de formule om te vormen. Gebruik als waarde het getal op je rekentoestel met alle decimalen en rond nadien je resultaat correct af op basis van de berekende AF [10](#page=10).
#### 1.3.4 Exacte getallen en benaderingen
Getallen die exact weergegeven kunnen worden, hebben geen AF (bv. de "2" in $2 \cdot \pi \cdot r$). Als getallen niet exact weergegeven kunnen worden (bv. $\pi$), neem je die met zoveel decimalen dat hun PF en dus AF te verwaarlozen is ten opzichte van de andere procentuele fouten in de berekening. Binnen onze campus wordt de regel gehanteerd dat de molaire massa geen AF heeft en dus geen invloed heeft op het aantal significante cijfers van het eindresultaat [10](#page=10).
### 1.4 Afronden en noteren van meetresultaten en fouten
Volg bij het afronden en noteren van de AF en het meetresultaat steeds deze procedure [9](#page=9):
1. **Kies de eenheid:** Zorg ervoor dat het getal $a$ ligt tussen $0,03 \le a < 30$. Dit kan door een voorvoegsel of door een factor $10^n$ in te voeren voor de eenheid. De macht $n$ dient bij voorkeur een veelvoud van 3 te zijn. Voorvoegsels verdienen de voorkeur op een factor $10^n$ [9](#page=9).
2. **Rond de AF af:** Rond het getal $a$ in de AF zodanig af dat er slechts één of twee significante cijfers overblijven. Het tweede significante cijfer is enkel toegelaten indien het eerste significante cijfer een "1" of een "2" is [9](#page=9).
3. **Rond het meetresultaat af:** Rond het meetresultaat af op dezelfde grootteorde van $10$ of met dezelfde eenheid als de AF [9](#page=9).
4. **Aantal decimalen:** Geef het meetresultaat hetzelfde aantal decimalen als de AF [9](#page=9).
> **Tip:** Meetresultaat en AF geven we steeds weer met dezelfde macht van tien of eenheid [9](#page=9).
### 1.5 Grafieken en tussenuitkomsten
* **Grafieken:** In een grafiek wordt de nauwkeurigheid van metingen/berekeningen niet weergegeven op de assen. Het aantal BC wordt weergegeven in de tabel die bij de grafiek hoort [10](#page=10).
* **Tussenuitkomsten:** Bij grote berekeningen wordt bij het noteren van tussenuitkomsten correct afgerond volgens de regels, maar bij het verder rekenen moeten alle cijfers na de komma die het rekentoestel weergeeft meegenomen worden [10](#page=10).
---
# Beeldvorming met lenzen en optische instrumenten
Dit deel introduceert de principes van lichtbreking, totale interne reflectie, beeldvorming door eenvoudige lenzen, correctielenzen voor het menselijk oog, het vergrootglas en de werking van de lichtmicroscoop, inclusief lensfouten en correcties.
### 2.1 Lichtbreking
De snelheid van licht in het vacuüm is ongeveer $c = 3,00 \times 10^8 \text{ m/s}$. In transparante materialen is deze snelheid lager, wat wordt uitgedrukt door de brekingsindex $n$. De relatie tussen de snelheid van licht in een medium ($v$) en de brekingsindex is $n = \frac{c}{v}$ [11](#page=11).
Wanneer licht van het ene transparante medium naar het andere gaat met een verschillende brekingsindex, treedt reflectie op aan het grensvlak. Lichtstralen die niet loodrecht invallen, veranderen van richting; dit fenomeen heet lichtbreking of refractie. De invalshoek $\theta_1$ is de hoek van de invallende straal met de normaal, en de brekingshoek $\theta_2$ is de hoek van de gebroken straal met de normaal. Licht breekt naar de normaal toe als het van een medium met een hogere snelheid naar een medium met een lagere snelheid gaat, en van de normaal af als het omgekeerd gaat. De wet van Snellius beschrijft dit verband: $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$ [11](#page=11).
Tabel 1 geeft enkele brekingsindices weer bij een golflengte van 589 nm [11](#page=11):
* Lucht: 1,0003
* Glas: 1,46
* Water: 1,33
* Diamant: 2,42
* Alcohol: 1,36
### 2.2 Totale interne reflectie
Totale interne reflectie treedt op wanneer licht van een medium met een hogere brekingsindex naar een medium met een lagere brekingsindex gaat. Er bestaat een kritische hoek $\theta_c$ waarbij de brekingshoek 90° is en het licht langs het grensvlak loopt. Als de invalshoek groter is dan de kritische hoek, wordt al het licht gereflecteerd. Bij een invalshoek kleiner dan de kritische hoek treedt zowel breking als reflectie op. Dit principe wordt gebruikt in prisma's in optische instrumenten omdat ze vrijwel al het licht reflecteren, in tegenstelling tot spiegels die licht verliezen [12](#page=12).
### 2.3 Beeldvorming bij eenvoudige lenzen
Een dunne lens met een brekingsindex groter dan de omgevingslucht breekt licht aan twee oppervlakken [12](#page=12).
* **Positieve lenzen (bolle lenzen):** Deze convergeren parallel invallende stralen naar een brandpunt en vormen een reëel beeld dat op een scherm waargenomen kan worden. Ze zijn centraal dikker dan aan de randen en hebben minstens één convex oppervlak. Positieve lenzen vergroten beelden [12](#page=12).
* **Negatieve lenzen (holle lenzen):** Deze divergeren parallel invallende stralen. Ze zijn centraal dunner dan aan de randen en hebben minstens één concaaf oppervlak. Negatieve lenzen verkleinen beelden en vormen een virtueel beeld dat niet op een scherm waargenomen kan worden; de gebroken stralen convergeren denkbeeldig aan dezelfde kant als het voorwerp [13](#page=13).
De optische as is de lijn door het midden van de lens, loodrecht op de oppervlakken. Voor dunne lenzen convergeren stralen die parallel aan de as invallen in het brandpunt F. De brandpuntsafstand $f$ is de afstand van het midden van de lens tot het brandpunt. Het brandvlak is het vlak dat alle brandpunten bevat [13](#page=13).
Het verband tussen voorwerpsafstand ($d_o$), beeldafstand ($d_i$) en brandpuntsafstand ($f$) voor een dunne, positieve lens wordt gegeven door de lenzenformule:
$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} $$
**Tekenschema's voor lenzen:**
1. $f$ is positief voor positieve lenzen, negatief voor negatieve lenzen [14](#page=14).
2. $d_o$ is altijd positief [14](#page=14).
3. $d_i$ is positief als het beeld aan de andere kant van de lens ligt dan het voorwerp (reëel beeld) [14](#page=14).
Voor een dunne, negatieve lens geldt de vergelijking:
$$ -\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_i} $$
De laterale vergroting ($m$) is de verhouding van de beeldafmeting ($h_i$) tot de voorwerpsafmeting ($h_o$):
$$ m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o} $$
$h_i$ is positief als het beeld rechtop staat, negatief als het omgekeerd is [14](#page=14).
De sterkte ($P$) van een lens in dioptrie (D) is de inverse van de brandpuntsafstand in meters:
$$ P = \frac{1}{f} $$
Positieve lenzen hebben een positieve sterkte, negatieve lenzen een negatieve sterkte [15](#page=15).
De lenzenmakersvergelijking relateert de brandpuntsafstand aan de kromtestralen van de lensoppervlakken ($R_1, R_2$) en de brekingsindex ($n$):
$$ \frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) $$
Bij een combinatie van lenzen vormt het beeld van de ene lens het voorwerp voor de volgende; de totale vergroting is het product van de afzonderlijke vergrotingsfactoren [15](#page=15).
### 2.4 Correctielenzen voor het menselijk oog
Het menselijk oog breekt licht met verschillende media (hoornvlies, kamerwater, lens, glasvocht) om een scherp beeld op het netvlies te vormen. De lens kan accommoderen (dikker en krommer worden) om beelden op verschillende afstanden scherp te stellen. Het nabijheidspunt ligt voor een normaal oog op ongeveer 25 cm, en het vertepunt op oneindig [16](#page=16).
* **Bijziendheid (myopie):** Het oog focust objecten op grote afstand vóór het netvlies omdat het oog te lang is of het hoornvlies te bol. Dit wordt gecorrigeerd met een divergerende (negatieve) lens [16](#page=16).
* **Verziendheid (hyperopie):** Het oog kan dichte voorwerpen niet goed scherpstellen omdat het oog te kort is of het hoornvlies onvoldoende gekromd. Dit wordt gecorrigeerd met een convergerende (positieve) lens [16](#page=16).
* **Presbyopie:** Leeftijdsgebonden vermindering van accommodatievermogen, vergelijkbaar met hyperopie, gecorrigeerd met convergerende lenzen [16](#page=16).
### 2.5 Vergrootglas
Een vergrootglas is een positieve lens die een voorwerp voor het brandpunt plaatst om een virtueel, vergroot beeld te creëren. Als het voorwerp in het brandpunt wordt gehouden, wordt een beeld op oneindig gevormd, wat het meest ontspannen is voor het oog. De hoekvergroting ($M$) is de verhouding van de hoek bij gebruik van de lens ($\theta'$) tot de hoek zonder lens met het voorwerp op het nabijheidspunt ($\theta$) [16](#page=16):
$$ M = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{N}{f} $$
waarbij $N$ het nabijheidspunt is (typisch 25 cm) [16](#page=16).
### 2.6 Beeldvorming in de lichtmicroscoop
Een lichtmicroscoop bestaat uit twee positieve lenzen: het objectief (dichtst bij het voorwerp) en het oculair (dichtst bij het oog) [17](#page=17).
1. Het **objectief** vormt een reëel, vergroot en omgekeerd tussenbeeld ($I_1$) van het voorwerp dat net buiten het brandpunt van het objectief ($F_{ob}$) wordt geplaatst [17](#page=17).
2. Het **oculair** werkt als een vergrootglas voor dit tussenbeeld, waarbij het een virtueel, sterk vergroot beeld ($I_2$) vormt met dezelfde oriëntatie als $I_1$. Dit beeld $I_2$ wordt door het oog waargenomen [17](#page=17).
De totale vergroting ($M$) is het product van de vergrotingen van objectief ($m_{ob}$) en oculair ($M_{oc}$):
$$ M = M_{oc} \cdot m_{ob} $$
De lineaire vergroting van het objectief is:
$$ m_{ob} = \frac{h_i}{h_o} = \frac{d_i}{d_o} = \frac{l - f_{oc}}{d_o} $$
waarbij $l$ de afstand tussen de lenzen is [17](#page=17).
De hoekvergroting van het oculair is:
$$ M_{oc} = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{N}{f_{oc}} $$
waarbij $N$ het nabijheidspunt is [17](#page=17).
De totale vergroting van de lichtmicroscoop is dus:
$$ M = m_{ob} \cdot M_{oc} = \frac{l - f_{oc}}{d_o} \cdot \frac{N}{f_{oc}} $$
### 2.7 Lensfouten en correcties
Lensfouten zorgen ervoor dat niet alle lichtstralen van één objectpunt in één beeldpunt samenkomen [18](#page=18).
#### 2.7.1 Chromatische aberratie
Chromatische aberratie, ook wel dispersie genoemd, ontstaat doordat de brekingsindex van materiaal afhankelijk is van de golflengte van licht. Kortgolvig violet licht wordt sterker gebroken dan langgolvig rood licht, wat resulteert in verschillende brandpuntsafstanden voor verschillende kleuren. Dit leidt tot een spectrum van beeldpunten voor wit licht en gekleurde randen, wat het beeld onscherp maakt [18](#page=18).
* **Correctie:** Gebruik van lenzenstelsels (combinaties van lenzen met verschillende brekingsindices). Een achromatisch lenzenstelsel corrigeert voor rood en blauw licht. Apochromaten corrigeren voor meer kleuren [18](#page=18).
#### 2.7.2 Sferische aberratie
Sferische aberratie treedt op bij monochromatisch licht: lichtstralen die op de rand van een lens vallen, worden sterker gebroken dan stralen die dichter bij de optische as vallen. Hoe groter de apertuurhoek (gebruikt oppervlak van de lens), hoe sterker deze aberratie. Dit resulteert in een onscherp beeld omdat er een afbeeldingsvlek ontstaat in plaats van een afbeeldingspunt [18](#page=18).
* **Correctie:** Gebruik van niet-bolvormige lenzen (aplanaten) of lenzenstelsels. Diafragmeren (het sluiten van het apertuurdiafragma) vermindert deze fout door alleen het centrale deel van de lens te gebruiken, waardoor de apertuurhoek kleiner wordt [19](#page=19).
#### 2.7.3 Distorsie
Distorsie (vervorming) treedt op wanneer voorwerpspunten ver van de lensas anders worden vergroot dan punten dichtbij de as. Dit kan resulteren in kromme lijnen in het beeld [19](#page=19).
* **Negatieve (tonvormige) distorsie:** De vergroting neemt af naarmate het voorwerpspunt verder van de as ligt [19](#page=19).
* **Positieve (kussenvormige) distorsie:** De vergroting neemt toe naarmate het voorwerpspunt verder van de as ligt [19](#page=19).
Dunne lenzen vertonen weinig distorsie; dikkere lenzen hebben meer last. Deze fout wordt verergerd bij grotere apertuurhoeken [19](#page=19).
* **Correctie:** Diafragmeren met het apertuurdiafragma of gebruik van planlenzen [19](#page=19).
#### 2.7.4 Overzicht objectieven
* **Achromaten:** Corrigeren voor chromatische aberratie van rood en blauw licht (656 en 486 nm) en sferische aberratie van geel/groen licht (540 nm). Indicatie: "ASC" of geen aanduiding [19](#page=19).
* **Apochromaten:** Corrigeren voor chromatische aberratie van rood, geel en blauw licht, en voor sferische aberratie van groen en blauw licht. Indicatie: "APO" [20](#page=20).
* **Planachromaat:** Een achromaat die ook corrigeert voor distorsie. Indicatie: "PLAN" of "PL" [20](#page=20).
* **Planapochromaten:** Apochromaten die ook corrigeren voor distorsie, zeer duur en worden gebruikt voor hoge oplossende vermogens. Indicatie: "PL APO" of "PLAN-APO" [20](#page=20).
---
# Materie, energie en faseovergangen
Dit deel behandelt de aggregatietoestanden van materie, dichtheid, druk, warmte, soortelijke warmte, latente warmte, warmteoverdracht en faseovergangen, met toepassingen zoals de bunsenbrander, lyophilisatie en de autoclaaf.
### 3.1 Aggregatietoestanden
Materie kent drie klassieke aggregatietoestanden: vast, vloeibaar en gas. Daarnaast wordt plasma beschouwd als een vierde aggregatietoestand, en vloeibare kristallen als een tussenfase [21](#page=21).
#### 3.1.1 Vaste stoffen
In een vaste stof hebben atomen een vaste positie en kunnen ze enkel trillen. Vaste stoffen hebben doorgaans een vaste vorm en volume [21](#page=21).
#### 3.1.2 Vloeistoffen
Moleculen in een vloeistof kunnen vrij bewegen ten opzichte van elkaar, maar cohesiekrachten houden ze bijeen. Vloeistoffen nemen de vorm aan van het vat, maar hebben een vast volume dat moeilijk te veranderen is [21](#page=21).
#### 3.1.3 Gassen
Gassen hebben geen vaste vorm en ook geen vast volume. De moleculen bewegen vrij en de gemiddelde afstand tussen hen wordt bepaald door de beschikbare ruimte [21](#page=21).
#### 3.1.4 Plasma
Plasma is een geioniseerde aggregatietoestand waarbij atomen elektronen hebben verloren. Plasma's worden onder andere gebruikt bij textielbehandeling [21](#page=21).
#### 3.1.5 Vloeibare kristallen
Vloeibare kristallen bevinden zich tussen vaste en vloeibare fasen en worden gebruikt in beeldschermen [21](#page=21).
#### 3.1.6 De celmembraan als tweedimensionale vloeistof
De celmembraan, bestaande uit vetten, eiwitten en koolhydraten, gedraagt zich als een 2D vloeistof, bekend als het vloeibaar mozaïekmodel [21](#page=21).
### 3.2 Dichtheid
Dichtheid ($\rho$) is gedefinieerd als massa ($m$) per volume ($V$) [22](#page=22).
$$ \rho = \frac{m}{V} $$
De SI-eenheid is kg/m³, maar g/mL (of g/cm³) wordt ook veel gebruikt. De dichtheid is afhankelijk van druk en temperatuur [22](#page=22).
#### 3.2.1 Thermische uitzetting van materialen
De volumetoename bij stijgende temperatuur kan berekend worden met:
$$ \Delta V = \beta \cdot V_0 \cdot \Delta T $$
waarbij $\beta$ de volume-uitzettingscoëfficiënt is. Water gedraagt zich uitzonderlijk door eerst een volumevermindering te vertonen bij verwarming van 0°C tot 4°C [22](#page=22).
##### 3.2.1.1 Analytisch glaswerk
Glaswerk wordt gekalibreerd bij 20°C, waarbij temperatuurvariaties in het glas zelf verwaarloosd kunnen worden, maar die in de vloeistof groter zijn [23](#page=23).
### 3.3 Druk
Druk ($P$) is de kracht ($F$) per eenheid van oppervlakte ($A$), waarbij de kracht loodrecht op het oppervlak staat. De SI-eenheid van druk is de pascal (Pa) [24](#page=24).
$$ P = \frac{F}{A} $$
Vloeistoffen oefenen druk uit in alle richtingen, en op een willekeurige diepte in een stilstaande vloeistof is de druk gelijk [24](#page=24).
#### 3.3.1 Hydrostatische druk
De hydrostatische druk ($P$) op diepte ($h$) in een homogene vloeistof wordt gegeven door:
$$ P = \rho \cdot g \cdot h $$
waarbij $\rho$ de massadichtheid is en $g$ de valversnelling (9,81 m/s²) [24](#page=24).
#### 3.3.2 Wet van Pascal
Een uitwendige druk wordt door de hele vloeistof doorgegeven. In een open vat wordt de druk op diepte $h$ berekend als [24](#page=24):
$$ P = P_0 + \rho \cdot g \cdot h $$
waarbij $P_0$ de atmosferische druk is [24](#page=24).
#### 3.3.3 Wet van Archimedes
Een ondergedompeld voorwerp ondervindt een opwaartse stuwkracht gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof [24](#page=24).
#### 3.3.4 Atmosferische druk
Atmosferische druk ($P_0$) is de druk van de lucht en varieert met hoogte en weer. Op zeeniveau is dit gemiddeld 101,325 kPa, wat gelijk is aan 1 atmosfeer (atm). Andere eenheden zijn bar (1 bar = 100 kPa) [24](#page=24).
#### 3.3.5 Manometers en barometers
Deze instrumenten meten druk. Een open-buismanometer meet het drukverschil ($\Delta h$) via vloeistofniveaus in een U-buis [25](#page=25).
$$ P = P_0 + \rho \cdot g \cdot \Delta h $$
Drukken kunnen ook uitgedrukt worden in millimeter kwik (mm Hg) of torr [25](#page=25).
##### 3.3.5.1 Atmosferische druk, hoogteziekte en -training
Lagere luchtdruk op hoogte leidt tot minder zuurstof per volume-eenheid, wat hoogteziekte kan veroorzaken. Sporthtraining in de bergen stimuleert de productie van rode bloedcellen [25](#page=25).
##### 3.3.5.2 Bloeddruk
Bloeddruk is de vloeistofdruk van bloed in slagaders, gekarakteriseerd door systolische (boven) en diastolische (onder) druk, gemeten in mm Hg. Drukverschillen zorgen voor bloedcirculatie. De druk neemt af door vaatweerstand en viskeuze krachten. Positie beïnvloedt bloeddrukverschillen door de zwaartekracht. Een sphygmomanometer wordt gebruikt voor bloeddrukmeting [25](#page=25) [26](#page=26).
##### 3.3.5.3 Druk in ogen, oren, longen en blaas
De oogvorm wordt behouden door kamervocht; verhoogde druk kan glaucoom veroorzaken. Ademhalen is gebaseerd op drukgradiënten tussen longen en atmosfeer. De druk in de blaas veroorzaakt de drang om te urineren [26](#page=26) [27](#page=27).
#### 3.3.6 Kalibratie van een pipet: de conversiefactor
Semi-automatische pipetten worden gekalibreerd door het massa van gepipetteerd water om te rekenen naar volume met een conversiefactor die afhankelijk is van temperatuur en druk [27](#page=27).
### 3.4 Warmte
Warmte ($Q$) is de energie die overgedragen wordt vanwege temperatuurverschil. De SI-eenheid is joule (J), maar calorieën en kcal worden ook gebruikt (1 kcal = 4,186 kJ). Temperatuur is een maat voor gemiddelde kinetische energie van moleculen. Inwendige energie is de totale kinetische energie van alle moleculen [33](#page=33).
#### 3.4.1 Soortelijke warmte
De hoeveelheid warmte ($Q$) nodig om de temperatuur van een stof te verhogen is evenredig met massa ($m$), temperatuurverandering ($\Delta T$) en soortelijke warmte ($c$) [33](#page=33).
$$ Q = m \cdot c \cdot \Delta T $$
Water heeft een hoge soortelijke warmte, wat het een efficiënt medium maakt voor warmteoverdracht [33](#page=33).
#### 3.4.2 Latente warmte
Tijdens faseovergangen blijft de temperatuur constant omdat energie wordt gebruikt om cohesiekrachten te verbreken [34](#page=34).
De warmte ($Q$) benodigd voor een faseovergang is afhankelijk van de massa ($m$) en de latente warmte ($L$) [34](#page=34).
$$ Q = m \cdot L $$
Dit geldt voor smeltwarmte, verdampingswarmte en sublimatiewarmte. De verdampingswarmte is doorgaans groter dan de smeltwarmte [34](#page=34).
#### 3.4.3 Warmteoverdracht
De wet van behoud van energie stelt dat energie niet verloren gaat of uit het niets ontstaat. Warmteoverdracht kan plaatsvinden via geleiding, convectie en straling [35](#page=35).
##### 3.4.3.1 Geleiding
Energie wordt overgedragen door botsingen tussen moleculen of vrije elektronen. De warmtestroom ($\Delta Q / \Delta t$) is afhankelijk van de doorsnede ($A$), afstand ($l$), temperatuurverschil ($\Delta T$) en thermische conductiviteit ($k$) [35](#page=35).
$$ \frac{\Delta Q}{\Delta t} = k \cdot A \cdot \frac{T_1 - T_2}{l} $$
Stoffen met een hoge $k$ zijn thermische geleiders; met een lage $k$ zijn ze isolatoren [35](#page=35).
##### 3.4.3.2 Convectie
Energieoverdracht door massale verplaatsing van gas- of vloeistofmoleculen. Verwarmde stoffen zetten uit, worden minder dicht en stijgen, wat convectiestromen kan veroorzaken [36](#page=36).
##### 3.4.3.3 Straling
Energieoverdracht via elektromagnetische golven, zonder behoefte aan een medium. De zon en infraroodstraling van mensen zijn voorbeelden [36](#page=36).
#### 3.4.4 De bunsenbrander
Een bunsenbrander produceert een regelbare gasvlam voor verwarming en sterilisatie. Warmteoverdracht van de vlam gebeurt door convectie en radiatie. De hete lucht stijgt, waardoor een steriele warmtekoepel ontstaat. Entogen worden gesteriliseerd door straling en geleiding. Het bewegen van flessenhalzen door de vlam creëert een opwaartse convectiestroom die contaminanten buiten houdt [36](#page=36) [37](#page=37) [38](#page=38).
### 3.5 Faseovergangen
Faseovergangen beschrijven de overgang tussen verschillende aggregatietoestanden en zijn gekoppeld aan latente warmte [39](#page=39).
#### 3.5.1 PV-diagram
Een PV-diagram toont druk ($P$) versus volume ($V$) bij constante temperatuur. Cohesiekrachten worden belangrijker bij hogere druk en lagere temperatuur, waardoor gassen minder samendrukbaar worden dan voorspeld door de ideale gaswet. Bij het bereiken van de vloeibare fase verandert de druk-volumeverhouding significant. Het kritisch punt is de temperatuur boven welke een gas niet meer kan liquefiëren, ongeacht de druk [39](#page=39).
#### 3.5.2 PT-diagram of fasediagram
Een fasediagram toont de evenwichtsrelaties tussen aggregatietoestanden als functie van druk en temperatuur [39](#page=39).
* **Smeltlijn (s-l):** Evenwicht tussen vaste stof en vloeistof [40](#page=40).
* **Kooklijn (l-v):** Evenwicht tussen vloeistof en gas. Het kookpunt daalt bij lagere druk [40](#page=40).
* **Sublimatielijn (s-v):** Evenwicht tussen vaste stof en gas [40](#page=40).
* **Tripelpunt:** Het punt waar alle drie de fasen in evenwicht zijn. Voor water is dit bij 0,01°C en 0,006 atm [40](#page=40).
De smeltlijn van water helt naar links omdat water uitzet bij stolling, wat uitzonderlijk is [40](#page=40).
#### 3.5.3 Toepassingen
##### 3.5.3.1 Vloeibare stikstof
Vloeibare stikstof (-196°C bij 1 atm) wordt gebruikt voor het invriezen en bewaren van biologisch materiaal, vriesdrogen en het bevriezen van wratten. Dewarvaten isoleren vloeibare stikstof door vacuüm en spiegelende wanden [41](#page=41).
##### 3.5.3.2 Lyophilisatie (vriesdrogen)
Lyophilisatie onttrekt water door sublimatie bij lage druk en temperatuur, waardoor stoffen langer bewaard kunnen worden. Het proces omvat invriezen onder het tripelpunt, gevolgd door sublimatie onder vacuüm. Dit leidt tot minder schade dan andere dehydratiemethoden en wordt toegepast op kostbare, warmtegevoelige stoffen zoals enzymen en vaccins [42](#page=42).
##### 3.5.3.3 Droog ijs
Vast koolstofdioxide, droog ijs, sublimeert bij -78,5°C bij 1 atm. Vanwege de hoge sublimatiewarmte is het een efficiënt koelmiddel en wordt het gebruikt voor transport van bevroren monsters. Verpakkingen mogen niet luchtdicht zijn om gasontsnapping toe te laten [43](#page=43).
##### 3.5.3.4 Werking van de autoclaaf
Een autoclaaf steriliseert materiaal met stoom onder verhoogde druk en temperatuur. Stoom (gasvormig water) draagt warmte efficiënter over dan droge lucht, wat eiwitten denatureert en micro-organismen doodt. Het proces omvat het genereren van stoom, luchtverwijdering, verhoging van druk en temperatuur (boven 100°C), sterilisatie en geleidelijke druk- en temperatuurdaling [44-45](#page=44,45). Lucht moet verwijderd worden omdat het de sterilisatie belemmert. Materialen mogen niet luchtdicht verpakt worden [44](#page=44) [45](#page=45).
###### 3.5.3.4.1 Autoclaveren van vloeistoffen
Bij het autoclaveren van vloeistoffen wordt de druk langzaam verlaagd na sterilisatie om plotseling koken te voorkomen [46](#page=46).
##### 3.5.3.5 Kalibratie van een pipet: evaporatieverlies
Evaporatie van kleine watervolumes tijdens het kalibreren van pipetten kan de massa beïnvloeden; het gebruik van een weegflesje of het meten van massaverlies kan dit corrigeren [46](#page=46).
#### 3.5.4 Metastabiele fasetoestanden
Een metastabiele aggregatietoestand is een tijdelijke fasetoestand die verschilt van de stabiele toestand onder gegeven omstandigheden [47](#page=47).
##### 3.5.4.1 Onderkoeling
Vloeistof die onder het smeltpunt vloeibaar blijft door gebrek aan kristallisatiekernen. Verstoring kan leiden tot plotseling stollen met warmteafgifte [47](#page=47).
##### 3.5.4.2 Kookvertraging (oververhitting)
Vloeistof die boven het kookpunt blijft zonder bubbelvorming door sterke cohesiekrachten en afwezigheid van onzuiverheden. Verstoring kan leiden tot hevig koken. Kooksteentjes voorkomen dit [47](#page=47).
### 3.6 Gassen
#### 3.6.1 Ideale gaswet
De ideale gaswet beschrijft het verband tussen druk ($P$), volume ($V$), aantal mol ($n$) en temperatuur ($T$) [48](#page=48).
$$ P \cdot V = n \cdot R \cdot T $$
waarbij $R$ de universele gasconstante is (8,314 J/mol·K). Deze wet geldt als benadering zolang de druk niet te hoog is en de temperatuur niet nabij het condensatiepunt ligt [48](#page=48).
#### 3.6.2 Verdampen en dampdruk
Verdamping is de overgang van vloeistof naar gas bij temperaturen onder het kookpunt. Tijdens verdamping daalt de temperatuur van de vloeistof. De verzadigde dampdruk is de druk van een damp bij verzadiging en is onafhankelijk van het volume van het vat, maar wel afhankelijk van de temperatuur [48](#page=48) [49](#page=49).
#### 3.6.3 Partiële drukken en luchtvochtigheid
De totale druk van een gasmengsel is de som van de partiële drukken van de componenten. Relatieve luchtvochtigheid is de verhouding van de partiële dampdruk van water tot de verzadigde dampdruk, uitgedrukt in procent [49](#page=49).
$$ \text{Relatieve luchtvochtigheid} = \frac{\text{partiële dampdruk van water}}{\text{verzadigde dampdruk van water}} \cdot 100\% $$
##### 3.6.3.1 Api 10 S incubatiekamer
Hoge luchtvochtigheid voorkomt verdamping uit open reactievaatjes tijdens incubatie [50](#page=50).
##### 3.6.3.2 Gasuitwisseling in de longen
Gasuitwisseling in de longen wordt beïnvloed door partiële drukken van zuurstof en koolstofdioxide, wat diffusie mogelijk maakt [50](#page=50).
#### 3.6.4 De kinetische gastheorie
De gemiddelde kinetische energie van gasmoleculen is afhankelijk van hun massa en snelheid, en evenredig met de absolute temperatuur [50](#page=50).
$$ E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = \frac{3}{2} \cdot k \cdot T $$
waarbij $k$ de constante van Boltzmann is (1,38 x 10⁻²³ J/K). De Maxwell-snelheidsverdeling beschrijft de verdeling van molecuulsnelheden [50](#page=50).
---
# Vloeistofdynamica en Capillariteit
Dit deel van de cursus behandelt de beweging van vloeistoffen, met aandacht voor de verschillende stromingspatronen, de factoren die deze beïnvloeden, en de krachten die optreden aan het vloeistofoppervlak.
### 4.1 Laminaire en turbulente stroming
Een fluïdum is een stromende stof, wat zowel vloeistoffen als gassen kan omvatten. De stroming kan op twee manieren verlopen: laminaire stroming en turbulente stroming [52](#page=52).
* **Laminaire stroming:** Kenmerkt zich door parallelle, geordende lagen vloeistof zonder onderlinge uitwisseling van deeltjes. Dit treedt typisch op bij lage stroomsnelheden [52](#page=52).
* **Turbulente stroming:** Ontstaat bij hogere snelheden, waarbij draaikolkjes ontstaan en er laterale uitwisseling van vloeistofdeeltjes plaatsvindt. De stroming is minder geordend [52](#page=52).
Het **Reynoldsgetal (Re)** is een dimensieloos getal dat helpt bij het onderscheiden van laminaire en turbulente stroming. De formule is [52](#page=52):
$$Re = \frac{\rho \cdot v \cdot d}{\eta}$$
waarin:
* $\rho$ de massadichtheid van de vloeistof is [52](#page=52).
* $v$ de gemiddelde stroomsnelheid in de stroombuis is [52](#page=52).
* $d$ de diameter van de stroombuis is [52](#page=52).
* $\eta$ de dynamische viscositeit van het fluïdum is [52](#page=52).
Er gelden de volgende criteria:
* $Re < 2000$: laminaire stroming [52](#page=52).
* $Re > 3000$: turbulente stroming [52](#page=52).
* Tussen 2000 en 3000: onstabiele stroming, die beide patronen kan vertonen [52](#page=52).
Turbulentie treedt sneller op bij hogere stroomsnelheid, dichtheid, buisdiameter, plotse diameterveranderingen, en lagere viscositeit [52](#page=52).
> **Voorbeeld:** Bloedstroming tussen de compartimenten van het hart en bij de overgang naar de aorta is turbulent. Over het algemeen is bloedstroom in het lichaam echter laminair. Turbulentie in bloedvaten kan leiden tot hartruis en verhoogt de weerstand [52](#page=52) [53](#page=53).
### 4.2 Debiet en continuïteitsvergelijking
Het **volumedebiet ($Q_V$)** is het volume vloeistof dat een punt per seconde passeert. De formule is $Q_V = \frac{\Delta V}{\Delta t}$ met SI-eenheid m$^3$/s. Het **massadebiet ($Q_M$)** is de massa vloeistof die een punt per seconde passeert, met formule $Q_M = \frac{\Delta m}{\Delta t}$ en SI-eenheid kg/s. Als er geen subscript wordt gebruikt, wordt meestal het volumedebiet bedoeld [53](#page=53).
De relatie tussen stroomsnelheid ($v$) en volumedebiet ($Q$) wordt gegeven door:
$$Q = A \cdot v$$
waarin $A$ het oppervlak van de doorstroomde doorsnede is [53](#page=53).
De **continuïteitsvergelijking** stelt dat voor een niet-samendrukbare vloeistof (constante dichtheid) het debiet constant is doorheen een buis met variërende doorsneden. Kwantitatief [53](#page=53):
$$Q_{M1} = Q_{M2}$$
$$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$$
Voor een constante dichtheid ($\rho = \text{cte}$):
$$A_1 v_1 = A_2 v_2$$
Dit impliceert dat hoe groter de doorsnede van een buis is, hoe trager de stroomsnelheid zal zijn [53](#page=53).
> **Toepassing:** In het cardiovasculaire systeem vertakken de bloedvaten. De som van alle debieten in de haarvaten is gelijk aan het debiet in de grote slagaders, wat de continuïteitsvergelijking illustreert. De algemenere vorm is $n_1 A_1 v_1 = n_2 A_2 v_2$, waarbij $n$ het aantal vertakkingen is [54](#page=54).
### 4.3 Wet van Bernoulli
De wet van Bernoulli beschrijft het verband tussen druk, snelheid en hoogte in een laminair stromende vloeistof, waarbij viscositeit verwaarloosd mag worden. De formule is [54](#page=54):
$$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$$
Of gecondenseerd:
$$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{cte}$$
waarin:
* $P$ de druk is [54](#page=54).
* $\rho$ de massadichtheid is [54](#page=54).
* $v$ de stroomsnelheid is [54](#page=54).
* $g$ de versnelling door zwaartekracht is (9,8 m/s$^2$) [54](#page=54).
* $h$ de hoogte boven een referentieniveau is [54](#page=54).
De wet stelt dat waar de snelheid van de vloeistof laag is, de druk hoog is, en vice versa [54](#page=54).
> **Voorbeeld:** Een watertank met een kraantje. Als de doorsnede van het vat veel groter is dan die van het kraantje, is de snelheid aan de bovenkant nagenoeg nul. Met de atmosferische druk op beide punten en $v_2 \approx 0$, vereenvoudigt de wet van Bernoulli tot $v_1^2 = 2g(h_2 - h_1)$ (wet van Torricelli). De snelheid is onafhankelijk van de vorm van het vat of de uitstroomopening [54](#page=54).
> **Toepassing:** Een vernauwing in een bloedvat (zoals bij een beroerte) kan leiden tot een verhoogde bloedstroomsnelheid. Volgens Bernoulli's wet daalt de lokale bloeddruk, wat een aanzuigend effect kan hebben op naburige vaten en zo een beroerte kan veroorzaken. Bij een bloedvatvernauwing kan de druk zo laag worden dat het vat dichtklapt, wat een cyclisch effect kan geven dat hoorbaar is met een stethoscoop [55](#page=55).
### 4.4 Viscositeit
De **absolute of dynamische viscositeit ($\eta$)** meet de stroperigheid van een vloeistof en de interne wrijvingskracht tussen bewegende vloeistoflagen. Deze wrijving wordt veroorzaakt door de cohesiekrachten tussen moleculen [55](#page=55).
De kracht ($F$) die nodig is om een plaat met snelheid ($v$) te bewegen ten opzichte van een stilstaande plaat, gescheiden door een vloeistof met afstand ($l$) en oppervlakte ($A$), wordt gegeven door:
$$F = \eta \cdot A \cdot \frac{v}{l}$$
De SI-eenheid van viscositeitscoëfficiënt is Pascal-seconde (Pa.s) [56](#page=56).
De **kinematische viscositeit ($\nu$)** is gerelateerd aan de dynamische viscositeit en de dichtheid ($\rho$):
$$\nu = \frac{\eta}{\rho}$$
De SI-eenheid hiervan is m$^2$/s [56](#page=56).
De **schuifspanning ($\tau$)** is de kracht per oppervlakte die nodig is om de snelheidsgradiënt in stand te houden. Voor Newtonse vloeistoffen is de schuifspanning evenredig met de snelheidsgradiënt [56](#page=56):
$$\tau = \eta \cdot \frac{dv}{dl}$$
> **Voorbeeld:** Tabel 8 toont viscositeitscoëfficiënten voor verschillende stoffen, zoals water, volbloed en glycerine. Glycerine en paraffineolie zijn veel stroperiger dan water of bloed [56](#page=56).
#### 4.4.1 Viscositeit van bloed
De viscositeit van bloed is een belangrijke parameter die de zuurstoftransport, hartfunctie, en het risico op vaatziekten beïnvloedt. Factoren die de bloedviscositeit beïnvloeden zijn hematocriet, plasmaviscositeit, aggregatie van rode bloedcellen (RBC), bloedvatdiameter, elasticiteit van RBC en temperatuur [57](#page=57).
* **Hematocriet (Hct):** Het percentage RBC's. Een hogere Hct verhoogt de viscositeit. Een te hoge Hct vertraagt de bloedstroom, terwijl een te lage Hct tot turbulentie kan leiden [57](#page=57).
* **Plasmaviscositeit:** Afhankelijk van watergehalte en macromoleculen (eiwitten, cholesterol) [57](#page=57).
* **Elasticiteit van RBC:** Minder elastische RBC's (bv. bij sikkelcelanemie) verhogen de viscositeit [57](#page=57).
* **Temperatuur:** Viscositeit neemt af bij hogere temperaturen. Hypothermie kan de zuurstoftoevoer verminderen door verhoogde viscositeit [56](#page=56) [57](#page=57).
### 4.5 Wet van Poiseuille
De wet van Poiseuille beschrijft de relatie tussen debiet ($Q$), drukverschil ($\Delta P$), viscositeit ($\eta$), buisstraal ($r$) en buislengte ($l$) voor een niet-samendrukbare vloeistof die laminair stroomt in een rechte buis. De formule is [57](#page=57):
$$Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta l}$$
> **Toepassing:** Hoewel bloed niet perfect voldoet aan de voorwaarden van de wet van Poiseuille (bv. niet-Newtoniaans gedrag, elastische vaten), biedt de wet een goede benadering van het bloedstroomgedrag. Een vernauwing van een bloedvat (bv. atherosclerose) vereist een grotere drukgradiënt om hetzelfde debiet te behouden. Als de straal halveert, moet het hart de druk met een factor 16 verhogen. Elastische bloedvaten kunnen de bloedstroom reguleren door hun diameter aan te passen [58](#page=58).
### 4.6 Oppervlaktespanning
Het oppervlak van een vloeistof gedraagt zich als een gespannen membraan, wat leidt tot fenomenen zoals drijvende objecten en bolvormige druppels. Dit komt door de cohesiekrachten tussen vloeistofmoleculen; aan het oppervlak is er een netto inwaartse trekkracht, waardoor moleculen dichter bij elkaar worden getrokken [59](#page=59).
Oppervlaktespanning ($\gamma$) wordt gedefinieerd als kracht ($F$) per lengte-eenheid ($l$):
$$\gamma = \frac{F}{l}$$
De eenheid is N/m. Tabel 9 toont oppervlaktespanningen van verschillende stoffen, waarbij kwik een hoge waarde heeft en aceton en ethanol lage waarden [59](#page=59).
> **Toepassing:** Zeep en reinigingsmiddelen verlagen de oppervlaktespanning van water, waardoor het beter in kleine poriën kan dringen. Deze middelen zijn surfactants, die hydrofobe staarten en hydrofiele koppen hebben. Vanaf de kritische micelconcentratie (CMC) ontstaan micellen [60](#page=60).
#### 4.6.1 Oppervlaktespanning in de longen
De longblaasjes (alveoli) zijn omgeven door een dun laagje slijm. De oppervlaktespanning van dit waterige laagje zorgt ervoor dat de longblaasjes bij het uitademen krimpen, wat passief ademen mogelijk maakt. De druk ($P$) die de oppervlaktespanning op de lucht in een alveolus uitoefent, wordt gegeven door de wet van Laplace [60](#page=60):
$$P = \frac{2\gamma}{r}$$
waarin $r$ de radius van de alveolus is [61](#page=61).
In de longen bevindt zich een surfactant (voornamelijk DPPC) die de oppervlaktespanning verlaagt. Dit heeft drie belangrijke functies [61](#page=61):
1. **Verlaging van oppervlaktespanning:** De surfactantmoleculen, vooral bij kleine alveoli, worden dichter op elkaar gedrukt, wat de oppervlaktespanning verder verlaagt. Dit voorkomt dat de longen bij het uitademen volledig dichtklappen [61](#page=61).
2. **Stabilisatie van alveoli:** Zonder surfactant zouden kleinere alveoli met hogere druk dichtklappen en grotere alveoli nog groter worden, wat een luchtstroom van klein naar groot zou veroorzaken. De surfactant zorgt ervoor dat de druk overal gelijk is, waardoor kleinere en grotere alveoli naast elkaar kunnen bestaan [62](#page=62).
3. **Voorkomen van vochtophoping:** De oppervlaktespanningverlagende werking van surfactant vermindert de druk op de omringende bloedvaten, waardoor vocht niet uit de bloedvaten naar de longen wordt geperst en de longen droog blijven [62](#page=62).
Productie van surfactant begint pas later in de zwangerschap, wat verklaart waarom premature baby's ademhalingsproblemen kunnen hebben [62](#page=62).
### 4.7 Capillariteit
Capillariteit is het verschijnsel waarbij vloeistoffen in nauwe buizen (capillairen) stijgen of dalen ten opzichte van het omringende vloeistofniveau, door de competitie tussen adhesie- en cohesiekrachten [63](#page=63).
* Bij water en glas zijn de adhesiekrachten (tussen water en glas) groter dan de cohesiekrachten (tussen watermoleculen). Dit resulteert in een holle (concave) meniscus en een stijging van het water in het capillair [63](#page=63).
* Bij kwik en glas zijn de cohesiekrachten groter dan de adhesiekrachten, wat leidt tot een bolle (convexe) meniscus en een daling van het kwik in het capillair [63](#page=63).
De **contacthoek ($\theta$)** is een maat voor de wisselwerking tussen adhesie- en cohesiekrachten. Een grotere contacthoek duidt op dominantie van cohesiekrachten [63](#page=63) [64](#page=64).
De hoogte ($h$) tot welke een vloeistof in een capillair kan stijgen, wordt gegeven door:
$$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$$
waarin $r$ de straal van het capillair is. De hoogte is evenredig met de oppervlaktespanning en de cosinus van de contacthoek, en omgekeerd evenredig met de dichtheid, zwaartekrachtversnelling en de straal van het capillair [64](#page=64).
> **Toepassing:** Bij het aflezen van volumes in maatglaswerk (maatcilinders, pipetten) is de meniscus van belang. De meniscus moet op ooghoogte worden afgelezen, in het midden van de kromming (onderkant voor een concave meniscus, bovenkant voor een convexe meniscus) [64](#page=64).
---
# Elektriciteit en Elektromagnetisme
Dit deel introduceert de fundamentele principes van elektrische lading, de interacties ervan, elektrische velden en potentialen, elektrische stroom en de gerelateerde concepten van weerstand en vermogen. Tevens worden de wetten van Ohm en Pouillet besproken, gevolgd door de gevaren van elektriciteit en beschermingsmaatregelen. Tot slot worden de principes van magnetisme en de aard van elektromagnetische golven behandeld.
### 5.1 Elektrische lading
Een elektrisch geladen voorwerp bezit een positieve of negatieve lading. Atomen, de bouwstenen van materie, bestaan uit positief geladen protonen, neutrale neutronen en negatief geladen elektronen. Normaal gesproken is een voorwerp neutraal, wat betekent dat het evenveel protonen als elektronen bevat [91](#page=91).
* **Laden van voorwerpen:** Lading kan worden overgebracht door wrijving, elektrische stroom of inductie. Inductie leidt tot scheiding van ladingen binnen een voorwerp zonder netto ladingsverandering [91](#page=91).
* **Elementaire lading:** De grootheid lading wordt aangeduid met $q$ en de eenheid is Coulomb (C). De lading van een elektron is $-1,602 \times 10^{-19}$ C en die van een proton is $+1,602 \times 10^{-19}$ C. Dit laatste wordt de elementaire lading $e$ genoemd. De lading van een object is altijd een veelvoud van $e$ [91](#page=91).
* **Geleiders en isolatoren:** Geleiders laten vrije beweging van elektronen of ionen toe (bijvoorbeeld metalen), terwijl isolatoren dit bemoeilijken (bijvoorbeeld rubber) [92](#page=92).
* **Polaire moleculen:** Water is een polaire molecule, wat betekent dat de ladingen niet gelijkmatig verdeeld zijn, waardoor het kan interageren met geladen voorwerpen en lading kan geleiden [92](#page=92).
### 5.2 Wet van Coulomb
Geladen voorwerpen oefenen krachten op elkaar uit: gelijksoortige ladingen stoten elkaar af, en tegengestelde ladingen trekken elkaar aan. De grootte van deze kracht wordt beschreven door de wet van Coulomb [92](#page=92):
$$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$$
waarbij $F$ de kracht is, $q_1$ en $q_2$ de ladingen, $r$ de afstand tussen de ladingen, en $k$ de constante van Coulomb is [92](#page=92).
* **Coulombconstante:** $k = 8,99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ [93](#page=93).
* **Invloed van het medium:** De constante van Coulomb wordt aangepast aan het medium waarin de ladingen zich bevinden, met behulp van de permittiviteit $\varepsilon_0$ van het vacuüm en de relatieve permittiviteit $\varepsilon_r$ van het medium:
$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}$$
De permittiviteit van het vacuüm is $\varepsilon_0 = 8,854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N} \cdot \text{m}^2$ [93](#page=93).
* **Dipoolmoment:** Een elektrische dipool bestaat uit twee gelijke, tegengestelde ladingen. Het dipoolmoment $p$ is een maat voor de polariteit van een binding of molecule en wordt berekend als $p = ql$, waarbij $q$ de lading en $l$ de afstand tussen de ladingen is. De eenheid is debye (D). Moleculen met een dipoolmoment worden polaire moleculen genoemd. Zwitterionen zijn neutrale moleculen met zowel een positieve als een negatieve lading op verschillende plaatsen [94](#page=94).
### 5.3 Elektrisch veld
Een elektrisch veld is de ruimte rond een lading of verzameling ladingen waar een kracht op andere geladen voorwerpen wordt uitgeoefend [96](#page=96).
* **Elektrische veldsterkte (E):** Dit is de kracht per eenheid van lading die op een positieve testlading op dat punt zou werken [96](#page=96).
$$E = \frac{F}{q}$$
Voor een puntlading $Q$ wordt de elektrische veldsterkte berekend als:
$$E = k \frac{Q}{r^2}$$
Het elektrische veld wordt gevisualiseerd met **veldlijnen**, die beginnen op positieve en eindigen op negatieve ladingen. De dichtheid van de veldlijnen geeft de sterkte van het veld aan [96](#page=96).
* **Kooi van Faraday:** Een geleidende kooi zorgt ervoor dat het elektrische veld binnenin nul is, waardoor bescherming wordt geboden tegen externe elektrische velden [97](#page=97).
### 5.4 Elektrisch potentiaal
Elektrische potentiële energie $U$ is de energie die een lading bezit als gevolg van zijn positie in een elektrisch veld [98](#page=98).
* **Elektrisch potentiaal (V):** Dit is de elektrische potentiële energie per eenheid van lading. De eenheid is Volt (V) [98](#page=98).
$$V = \frac{U}{q}$$
* **Potentiaalverschil ($\Delta V$):** Alleen potentiaalverschillen zijn fysisch relevant en meetbaar. Het potentiaalverschil tussen twee punten is gelijk aan het verschil in potentiële energie van een testlading op die punten, gedeeld door de lading zelf. Het wordt ook wel spanning genoemd en is een maat voor de energie die een lading kan verwerven of verliezen [98](#page=98).
$$\Delta V = V_2 - V_1 = \frac{U_2 - U_1}{q}$$
* **Elektronvolt (eV):** Een handige eenheid voor de energie van elektronen, atomen en moleculen, gedefinieerd als de energie die een elementaire lading krijgt bij een potentiaalverschil van 1 V [99](#page=99).
* **Homogeen elektrisch veld:** Tussen twee parallelle platen met gelijke en tegengestelde ladingen ontstaat een homogeen elektrisch veld, waarbij de veldsterkte wordt gegeven door $E = \Delta V / d$, met $d$ de afstand tussen de platen [99](#page=99).
### 5.5 Elektrische stroom
Elektrische stroom ontstaat wanneer vrije ladingsdragers (elektronen/ionen) bewegen. Een potentiaalverschil, geleverd door bijvoorbeeld een batterij, is nodig om deze beweging op gang te brengen [99](#page=99).
* **Stroomkring:** Een ononderbroken baan van geleiders, aangesloten op een spanningsbron, vormt een gesloten stroomkring [100](#page=100).
* **Stroomsterkte (I):** Dit is de netto hoeveelheid lading die per tijdseenheid een doorsnede van een draad passeert [100](#page=100).
$$I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$$
De eenheid is Ampère (A) [100](#page=100).
* **Stroomrichting:** Conventioneel wordt de stroomrichting aangeduid als van de positieve pool naar de negatieve pool [100](#page=100).
* **Gelijkstroom (DC) en Wisselstroom (AC):** Gelijkstroom heeft een constante richting, terwijl wisselstroom periodiek van richting verandert (meestal met een frequentie van 50 of 60 Hz) [100](#page=100).
### 5.6 Elektrische weerstand
Elektrische weerstand is de eigenschap van een materiaal die de doorgang van elektrische stroom belemmert .
* **Wet van Ohm:** Stelt dat de stroomsterkte evenredig is met het aangelegde potentiaalverschil en omgekeerd evenredig met de weerstand .
$$I = \frac{V}{R}$$
De eenheid van weerstand is Ohm ($\Omega$). Een **ohmse weerstand** heeft een constante weerstandswaarde, onafhankelijk van het aangelegde potentiaalverschil .
* **Wet van Pouillet:** Beschrijft de weerstand van een draad, die afhangt van de lengte ($l$), de doorsnede ($A$) en de soortelijke weerstand ($\rho$) van het materiaal .
$$R = \rho \frac{l}{A}$$
De soortelijke weerstand ($\rho$) is ook temperatuurafhankelijk. Het inverse hiervan is de geleidbaarheid ($\sigma = 1/\rho$) .
* **Geleidend vermogen (G):** Bij oplossingen wordt gesproken van geleidend vermogen, wat het inverse is van weerstand ($G = 1/R$). De eenheid is Siemens (S) .
* **Specifieke geleidbaarheid ($\kappa$):** Dit is het geleidend vermogen van een vloeistofkolom met een doorsnede van 1 m² en een lengte van 1 m. De eenheid is Siemens per meter (S/m) .
### 5.7 Elektrisch vermogen
Elektrisch vermogen ($P$) is het tempo waarmee elektrische energie wordt omgezet in een andere vorm. De eenheid is Watt (W) .
$$P = I \cdot V = I^2 \cdot R = \frac{V^2}{R}$$
De totale omgezette elektrische energie is gelijk aan het product van vermogen en tijd ($W = P \cdot \Delta t$), waarbij de eenheid Joule (J) is .
* **Joule-effect:** De opwarming van een geleider wanneer er stroom doorheen vloeit. De geproduceerde warmte $Q$ is evenredig met $R \cdot I^2 \cdot \Delta t$ .
### 5.8 Serie- en parallelschakeling
* **Serieschakeling:** Weerstanden zijn in serie geschakeld als ze achter elkaar zijn geschakeld, zodat er één pad voor de stroom ontstaat. De totale weerstand is de som van de individuele weerstanden ($R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots$) .
* **Parallelschakeling:** Weerstanden zijn parallel geschakeld wanneer de stroom zich over meerdere takken splitst. Het potentiaalverschil is over alle parallel geschakelde weerstanden gelijk. Het inverse van de equivalente weerstand is de som van de inversen van de individuele weerstanden ($1/R_{\text{eq}} = 1/R_1 + 1/R_2 + \dots$). In het elektriciteitsnet staan toestellen parallel geschakeld .
### 5.9 Gevaren van elektriciteit
* **Kortsluiting:** Een onbedoelde verbinding met een zeer lage weerstand, wat leidt tot een hoge stroomsterkte en sterke warmteontwikkeling, met brandgevaar als gevolg .
* **Effect op het menselijk lichaam:** Elektriciteit kan brandwonden veroorzaken en zenuwen en spieren stimuleren. De schade hangt af van het traject door het lichaam, de stroomsterkte en de duur van contact .
* **Ventriculaire fibrillatie:** Een gevaarlijke verstoring van de hartslag door elektrische stroom, met name bij een stroomtraject door het hart .
* **Stroomsterkte:** Al vanaf 1 mA kan stroom waargenomen worden. Ongeveer 100 mA kan gedurende korte tijd leiden tot ventriculaire fibrillatie .
* **Wisselstroom vs. Gelijkstroom:** Wisselstroom van lage frequentie (50 Hz) is gevaarlijker dan gelijkstroom, omdat het spiercontracties veroorzaakt die het loslaten van de stroombron bemoeilijken .
* **Weerstand van de huid:** Een droge huid heeft een hoge weerstand (tot 1.000.000 $\Omega$), terwijl een natte huid de weerstand drastisch verlaagt .
* **Duur van blootstelling:** Hoe langer het contact met de stroombron, hoe groter de schade .
### 5.10 Beveiliging
* **Aarding:** Metalen behuizingen van elektrische apparaten zijn geaard om te voorkomen dat de gebruiker een schok krijgt als een spanningsvoerende draad de behuizing raakt .
* **Zekeringen:** Onderbreken een circuit als de stroomsterkte een bepaalde waarde overschrijdt, ter bescherming tegen overbelasting en kortsluiting .
* **Verliesstroomschakelaars (aardlekschakelaars):** Onderbreken het circuit zodra een significante lekstroom wordt gedetecteerd, wat wijst op stroom die weglekt naar de aarde .
* **Veiligheidsmaatregelen:** Bij het werken met elektriciteit moet de stroombron altijd eerst op nul gezet worden, bij voorkeur wordt de rechterhand gebruikt en de linkerhand wordt vrij gehouden om onbedoelde geleiding te voorkomen .
### 5.11 Magnetisme
Magneten creëren magnetische velden waarin andere magnetische materialen krachten ondervinden .
* **Magnetische veldlijnen:** Stellen de richting en sterkte van het magnetische veld voor, gaande van de noordpool naar de zuidpool. De SI-eenheid van magnetische veldsterkte is Tesla (T) .
* **Elektriciteit en magnetisme:** Een elektrische stroom wekt een magnetisch veld op, en een magnetisch veld oefent een kracht uit op een elektrische stroom of bewegende lading .
* **Rechterhandregel:** Gebruikt om de richting van het magnetische veld rond een stroomvoerende draad te bepalen, en de richting van de kracht op een stroomvoerende draad of bewegende lading in een magnetisch veld .
* **Kracht op een stroomvoerende draad:** $F = I \cdot l \cdot B \cdot \sin\theta$, waarbij $I$ de stroomsterkte, $l$ de lengte van de draad, $B$ de magnetische veldsterkte en $\theta$ de hoek tussen het veld en de draad is .
* **Kracht op een bewegende lading:** $F = q \cdot v \cdot B \cdot \sin\theta$, waarbij $q$ de lading, $v$ de snelheid van de lading, $B$ de magnetische veldsterkte en $\theta$ de hoek tussen de snelheid en het veld is .
### 5.12 Elektromagnetische golven
Elektromagnetische golven bestaan uit een oscillerend elektrisch veld en een loodrecht daarop oscillerend magnetisch veld, die zich door de ruimte voortplanten zonder medium .
* **Snelheid:** In vacuüm planten elektromagnetische golven zich voort met de lichtsnelheid $c \approx 3,00 \times 10^8$ m/s .
* **Golflengte ($\lambda$) en Frequentie ($f$):** De golflengte is de afstand tussen twee opeenvolgende toppen van een golf, en de frequentie is het aantal golven per seconde (Hertz, Hz). Ze zijn gerelateerd door $c = \lambda f$ .
* **Polarisatie:** Licht is een transversale golf en kan gepolariseerd worden, wat betekent dat de trillingsrichting van het elektrische veld wordt beperkt .
* **Polarisator:** Een filter dat alleen lichtstralen doorlaat met een specifieke polarisatierichting .
* **Intensiteit van gepolariseerd licht:** De doorgelaten intensiteit $I$ is gerelateerd aan de invallende intensiteit $I_0$ door $I = I_0 \cos^2\theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen de polarisatierichting van het licht en de voorkeursrichting van de polarisator .
---
# Elektrochemie en Elektroforese
Dit document behandelt elektrochemische principes zoals normpotentialen, elektrolyse, galvanische cellen, de wetten van Faraday en Nernst, potentiometrie en pH-metingen, evenals de techniek van elektroforese, inclusief migratiesnelheid, opstellingen, ongewenste effecten en de elektroforese van eiwitten.
## 6. Elektrochemie en elektroforese
### 6.1 Elektroforese
Elektroforese is een scheidingstechniek die gebruik maakt van elektrische krachten om geladen deeltjes met verschillende snelheden te laten migreren in een elektrisch veld, waardoor ze gescheiden worden. De migratiesnelheid hangt af van de grootte van de lading van het deeltje. Er zijn twee hoofdtypen: vrije elektroforese zonder vaste matrix en zone-elektroforese met een matrix zoals papier, cellulose-acetaat, of gels (agar, polyacrylamide). Een typische opstelling bestaat uit een stroom- of spanningsbron, een elektroforesekamer met buffer en eventueel een matrix, en twee elektroden .
#### 6.1.1 Migratiesnelheid
De migratiesnelheid ($v$) van een molecule is afhankelijk van de elektrische veldsterkte ($E$), de nettolading ($Q$) van de molecule en de wrijving die de molecule ondervindt. De wrijvingskracht ($F_f$) op bolvormige deeltjes wordt gegeven door $F_f = 6 \pi \eta r v$, waar $\eta$ de viscositeit is en $r$ de straal van het deeltje. Algemener wordt de wrijvingskracht uitgedrukt als $F_f = f \cdot v$, waarbij $f$ de wrijvingscoëfficiënt is, afhankelijk van grootte, vorm en viscositeit van het medium. Wanneer de elektrische kracht ($F_e = E \cdot Q$) gelijk is aan de wrijvingskracht, wordt een constante migratiesnelheid bereikt :
$$v = \frac{E \cdot Q}{f}$$
De mobiliteit ($m$) van een molecule is de migratiesnelheid gedeeld door de elektrische veldsterkte ($m = v/E$). Voor grote macromoleculen, vooral in een medium met hoge weerstand zoals gels, is moleculaire grootte de belangrijkste parameter die de migratiesnelheid bepaalt, vooral als de verhouding lading/massa vergelijkbaar is, zoals bij DNA of SDS-PAGE. De vorm van grotere macromoleculen, uitgedrukt in axiale ratio, beïnvloedt ook de snelheid. Temperatuur en pH beïnvloeden de mobiliteit ook .
#### 6.1.2 Elektrische opstelling en parameters
* **Elektroforesekamer:** Bevat twee elektroden (kathode en anode) waartussen een spanning staat. Elektroden zijn gemaakt van inerte, geleidende materialen zoals platina of koolstof .
* **Bron:** Levert constante stroom, constante spanning of constant vermogen. Constante spanning is het meest gebruikelijk omdat dit de drijvende kracht is. Het instellen van een maximale stroomsterkte is raadzaam om oververhitting te voorkomen .
* **Elektrisch veld en spanning:** De veldsterkte ($E$) wordt gedefinieerd als spanning per lengte-eenheid: $E = V/d$. Meestal wordt een veldsterkte van 10-20 V/cm gebruikt. De spanning ($V$) is de drijvende kracht, die de stroom ($I$) bepaalt via de wet van Ohm ($I = V/R$). De weerstand ($R$) is afhankelijk van de kamergrootte, buffergeleidbaarheid, matrix en temperatuur .
* **Warmteproductie en koeling:** De stroom door de buffer en matrix genereert warmte (Joule-effect), berekend als $Q \sim P \cdot \Delta t = U \cdot I \cdot \Delta t = R \cdot I^2 \cdot \Delta t$. Hoge temperaturen leiden tot verminderde resolutie door verhoogde diffusie en convectie, denaturatie, buffercapaciteitsverlies en vervorming van de gel. Koelsystemen zijn essentieel bij hoge spanningen, lange looptijden of matrices die niet volledig ondergedompeld zijn. De keuze van de buffer is cruciaal: een goede buffer is stabiel, heeft een hoge buffercapaciteit, maar draagt minimaal bij aan het geleidend vermogen. Hogere buffercapaciteit leidt tot hogere warmteproductie bij constante spanning, en lagere spanning bij constante stroom. Vaak worden grote buffercomponenten met een kleine lading gebruikt, zoals Tris en boraat .
* **Schakeling:** Meerdere elektroforesekamers worden parallel geschakeld op de bron om een constante spanning over elke cel te garanderen .
#### 6.1.3 Ongewenste effecten
* **Diffusie:** Identieke moleculen in een zone verbreden altijd door diffusie, wat leidt tot een verminderde resolutie. Hogere temperaturen en langere tijden verhogen diffusie. Diffusie wordt beschreven door de wet van Fick: $J = D \cdot (C_2 - C_1) / \Delta x$, waar $J$ de flux is, $D$ de diffusiecoëfficiënt, $C$ de concentratie en $\Delta x$ de afstand .
* **Convectie:** Vloeistofstroming in de buffer. Oorzaken zijn elektro-endosmose (EEO), capillaire krachten, temperatuur- en drukverschillen .
* **Elektro-endosmose (EEO):** Vloeistofstroming veroorzaakt door het elektrisch veld in combinatie met ionen uit het matrixmateriaal of de wanden. Geladen matrixcomponenten trekken tegengestelde ionen aan, die watermoleculen meevoeren en zo een stroming veroorzaken. De zètapotentiaal ($\zeta$-potentiaal) is het potentiaalverschil aan de rand van de dubbellaag en bepaalt de sterkte van EEO. EEO kan soms de resolutie verhogen, maar wordt meestal onderdrukt met neutrale polymeren .
* **Capillaire krachten:** Ontstaan door verdamping van buffer, waardoor nieuwe buffer wordt aangetrokken .
* **Temperatuur- en drukverschillen:** Kunnen convectiestromen veroorzaken die bandjes vervormen ("smiling") .
#### 6.1.4 Elektroforese van eiwitten
Eiwitten zijn opgebouwd uit aminozuren met zure (carboxylgroep) en basische (aminegroep) functionaliteiten. De totale lading van een eiwit hangt af van de aminozuursamenstelling, structuur en de pH van de buffer. Het iso-elektrisch punt (pI) is de pH waarbij een molecule geen netto lading heeft en dus niet migreert in een elektrisch veld. Aminozuren met zure R-groepen hebben een lagere pI, terwijl die met basische R-groepen een hogere pI hebben. Een geladen eiwit vormt een elektrische dubbellaag met een Stern layer en een diffuse layer. De $\zeta$-potentiaal is het potentiaalverschil tussen het eiwitoppervlak en de shear plane .
Bij denaturerende omstandigheden, zoals met SDS (sodium dodecyl sulfate), krijgen eiwitten een uniforme negatieve lading per massa-eenheid, waardoor scheiding op basis van grootte mogelijk wordt, onafhankelijk van pH. Het is belangrijk dat de pH tijdens de elektroforese niet te zuur (<3) of te basisch (>10) is om deaminatie en denaturatie van eiwitten te voorkomen .
### 6.2 Elektrochemie
Elektrochemie bestudeert de wisselwerking tussen elektrische en chemische processen, met name aan het grensvlak tussen een elektrolyt (ionen) en een elektrode (elektronen) .
#### 6.2.1 Normpotentiaal
De normpotentiaal of standaard(reductie)potentiaal ($E^0$) is een maat voor de sterkte van een reductor of oxidator. Een negatievere normpotentiaal duidt op een sterkere reductor, een positievere op een sterkere oxidator. De normpotentiaal wordt gemeten ten opzichte van het H+/H2 redoxkoppel onder standaardomstandigheden (25°C, activiteit van 1) .
#### 6.2.2 Elektrolyse
Elektrolyse maakt gebruik van een externe spanningsbron om niet-spontane redoxreacties te laten plaatsvinden in een elektrolyt .
* **Voorbeeld:** In een HCl-oplossing met C-elektroden worden H+ gereduceerd aan de kathode tot H2, en Cl- geoxideerd aan de anode tot Cl2 .
* **Wet van Faraday:** Beschrijft de massa ($m$) die aan een elektrode wordt gevormd: $m = M \cdot Q / (z \cdot F)$, waarbij $M$ de molaire massa is, $Q$ de totale lading, $F$ de constante van Faraday en $z$ het aantal uitgewisselde elektronen .
#### 6.2.3 Galvanische cel of volta-element
Een galvanische cel wekt stroom op door spontane redoxreacties, zonder externe spanningsbron. Het bestaat uit twee halfcellen, verbonden door een zoutbrug. Elektronen stromen van de negatieve elektrode (anode) naar de positieve elektrode (kathode) .
* **Notatie:** Anode | elektrolyt 1 || elektrolyt 2 | kathode
* **Daniell-cel voorbeeld:** Zn | ZnSO4 || CuSO4 | Cu. Zn wordt geoxideerd tot Zn2+ en elektronen worden via een externe geleider naar Cu2+ gestuurd, die gereduceerd worden tot Cu. De totale reactie is Zn + Cu2+ → Zn2+ + Cu. De zoutbrug compenseert ladingsverschillen .
* **Normpotentiaal bepalen:** Kan worden bepaald met een galvanische cel en een waterstofreferentie-elektrode (potentiaal 0,0V) .
#### 6.2.4 Wet van Nernst
De wet van Nernst relateert het potentiaalverschil ($E$) aan de standaardpotentialen ($E^0$), temperatuur ($T$), en concentraties van reactanten en producten:
$$E = E^0 - \frac{R \cdot T}{n \cdot F} \cdot \ln \left(\frac{[P]^p \cdot [Q]^q}{[A]^a \cdot [B]^b}\right)$$
Hierin is $R$ de universele gasconstante, $F$ de constante van Faraday, $n$ het aantal uitgewisselde elektronen, en $[X]$ de activiteit van stof X. De formule kan ook voor halfcelreacties worden toegepast: $E = E^0 - \frac{R \cdot T}{n \cdot F} \cdot \ln \left(\frac{[reductans]}{[oxidans]}\right)$ .
#### 6.2.5 Potentiometrie
Potentiometrie is een kwantitatieve methode om de concentratie van een component (bv. H+) te bepalen door de potentiaalmeting tussen een meetelektrode (ME) en een referentie-elektrode (RE). Het gemeten celpotentiaal ($E_{cel}$) is het verschil tussen de potentiële van de meetelektrode en de referentie-elektrode: $E_{cel} = E_{ME} - E_{RE}$. De potentiaal van de meetelektrode is een functie van de activiteit van het te bepalen ion, vaak volgens een vorm van de wet van Nernst: $E_{ME} = K + \frac{R \cdot T}{n \cdot F} \cdot \ln ([te bepalen ion])$ .
Belangrijk is dat er geen stroom mag lopen tijdens de meting ($I=0 A$), anders beïnvloedt de elektronenstroom de spanning en concentraties. De metingen moeten bij evenwichtscondities plaatsvinden .
* **Elektrode van de eerste orde:** Meet de concentratie van een ion dat direct een redoxevenwicht heeft met de elektrode .
* **Elektrode van de tweede orde:** Meet de concentratie van een ion dat in evenwicht is met een ion dat een redoxevenwicht heeft met de elektrode (bv. Ag/AgCl elektrode) .
* **Junctiepotentiaal:** Ontstaat tussen twee oplossingen met verschillende ionenconcentraties en/of mobiliteiten door ionendiffusie. Dit potentiaalverschil kan de potentiometrische metingen beïnvloeden. De gemeten celpotentiaal wordt dan $E_{gemeten} = E_{ME} - E_{RE} + E_{junctie}$. Om dit te omzeilen, wordt de meter gekalibreerd met standaarden. Kalium- en chloride-ionen worden vaak in zoutbruggen gebruikt vanwege hun gelijke mobiliteit .
#### 6.2.6 pH-metingen
pH-metingen gebruiken een combinatie-elektrode die een meetelektrode (glasmembraanelektrode) en een referentie-elektrode (bv. Ag/AgCl) integreert .
* **Bouw pH-probe:** Een combinatie-elektrode bevat centraal een meetelektrode en daaromheen een referentie-elektrode. Een diafragma zorgt voor contact tussen het RE-elektrolyt en de testoplossing. Een temperatuursensor kan aanwezig zijn voor automatische correctie .
* **Zilver-zilverchloride elektrode (RE):** Bestaat uit zilver bedekt met AgCl, ondergedompeld in een KCl-oplossing. De potentiaal is constant bij een bepaalde temperatuur en wordt gebruikt als referentie. Het diafragma kan verstoppen en moet vochtig gehouden worden .
* **Glasmembraanelektrode (ME):** Een pH-gevoelig glasmembraan bevat een gelachtige laag met negatief geladen sites (-SiO-). H+-ionen binden hieraan. Het interne elektrolyt heeft een constante pH (bv. 7), terwijl de externe concentratie varieert met de testoplossing. Dit ladingsverschil creëert een membraanpotentiaal die de celpotentiaal beïnvloedt .
* De gemeten celpotentiaal is afhankelijk van de protonenconcentratie van de testoplossing. De formule is $E_{ME} = K + \frac{R \cdot T}{n \cdot F} \cdot \ln ([H+])$ .
* Het glasmembraan is dun (0,1 nm) en moet gehydrateerd blijven .
* **Kalibratie van de pH-meter:** Vanwege variaties in junctiepotentiaal, asymmetrie-potentiaal en de ouderdom van elektroden, moet de pH-meter gekalibreerd worden met standaarden. Twee bufferoplossingen met bekende pH (bv. pH 7 en pH 4) worden gebruikt om de constante $K$ en de richtingscoëfficiënt van de lijn $E_{glaselektrode} = K – 0,059 \ pH$ te bepalen .
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Afleesfout | De helft van de kleinste verdeling op een meettoestel. |
| Meetfout (Absolute Fout - AF) | Het maximaal positief verschil tussen de gemeten waarde en de werkelijke waarde; gelijk aan 2 keer de afleesfout of de kleinste verdeling van het meettoestel, tenzij anders vermeld. |
| Significante cijfers (SC) | Cijfers die de nauwkeurigheid van een meting weergeven. Alle cijfers verschillend van nul zijn steeds significant, evenals nullen tussen of rechts van andere significante cijfers. |
| Wetenschappelijke notatie | Een manier om getallen weer te geven als een product van een getal tussen 1 (inclusief) en 10 (exclusief) en een macht van 10. |
| Brekingsindex (n) | Een maat voor de mate waarin licht wordt afgebogen wanneer het van het ene medium naar het andere overgaat; gedefinieerd als de verhouding van de lichtsnelheid in vacuüm tot de lichtsnelheid in het medium. |
| Wet van Snellius | De wet die de relatie beschrijft tussen de invalshoek, de brekingshoek en de brekingsindices van twee media: $n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2$. |
| Totale interne reflectie | Het fenomeen waarbij licht dat van een optisch dichter medium naar een optisch dunner medium gaat, volledig wordt weerkaatst wanneer de invalshoek groter is dan de kritische hoek. |
| Brandpuntsafstand (f) | De afstand van het optische centrum van een lens tot het brandpunt waar parallelle lichtstralen convergeren of divergeren. |
| Lensformule | De formule die het verband legt tussen de voorwerpsafstand ($d_o$), de beeldafstand ($d_i$) en de brandpuntsafstand ($f$) van een dunne lens: $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$. |
| Vergroting (m) | De verhouding van de hoogte van het beeld ($h_i$) tot de hoogte van het voorwerp ($h_o$), of gelijk aan de negatieve verhouding van de beeldafstand tot de voorwerpsafstand: $m = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$. |
| Dichtheid ($\rho$) | De massa per volume-eenheid van een stof, gedefinieerd als $\rho = \frac{m}{V}$. |
| Hydrostatische druk | De druk die wordt uitgeoefend door een stilstaande vloeistof als gevolg van de zwaartekracht, berekend als $P = \rho \cdot g \cdot h$. |
| Wet van Pascal | Stelt dat een drukverandering die op een afgesloten vloeistof wordt uitgeoefend, onveranderd en in alle richtingen wordt doorgegeven. |
| Wet van Archimedes | Stelt dat een voorwerp dat ondergedompeld is in een vloeistof, een opwaartse stuwkracht ondervindt die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof. |
| Warmte (Q) | De energie die wordt overgedragen van een warmer object naar een kouder object als gevolg van een temperatuurverschil; gemeten in joule (J). |
| Soortelijke warmte (c) | De hoeveelheid warmte die nodig is om de temperatuur van 1 kg van een stof met 1 graad Celsius te verhogen; $Q = m \cdot c \cdot \Delta T$. |
| Latente warmte (L) | De hoeveelheid energie die nodig is voor een faseovergang van 1 kg van een stof bij constante temperatuur; $Q = m \cdot L$. |
| Geleiding (warmteoverdracht) | Warmteoverdracht via directe botsingen tussen moleculen of vrije elektronen, zonder massaverplaatsing. |
| Convectie (warmteoverdracht) | Warmteoverdracht door de massaverplaatsing van warme fluïda (gassen of vloeistoffen). |
| Straling (warmteoverdracht) | Warmteoverdracht via elektromagnetische golven, die geen medium nodig hebben. |
| Ideale gaswet | Beschrijft het gedrag van ideale gassen en wordt uitgedrukt als $P \cdot V = n \cdot R \cdot T$, waarbij P de druk, V het volume, n het aantal mol, R de universele gasconstante en T de absolute temperatuur is. |
| Dampdruk | De druk die een damp uitoefent in evenwicht met zijn vloeibare of vaste fase bij een bepaalde temperatuur. |
| Partiële druk | De druk die een individueel gas in een mengsel uitoefent, alsof het alleen aanwezig zou zijn. |
| Laminaire stroming | Vloeiing waarbij de vloeistofdeeltjes zich in parallelle lagen bewegen zonder onderlinge menging. |
| Turbulente stroming | Vloeiing waarbij de vloeistofdeeltjes willekeurig bewegen met wervelingen en onderlinge menging. |
| Reynoldsgetal (Re) | Een dimensieloos getal dat de verhouding weergeeft van de inertiële krachten tot de viskeuze krachten in een stromend fluïdum, en dat bepaalt of de stroming laminair of turbulent is. |
| Debiet (Q) | Het volume of de massa fluïdum dat per tijdseenheid een bepaald punt passeert; $Q = A \cdot v$. |
| Wet van Bernoulli | Beschrijft het verband tussen druk, snelheid en hoogte in een stromend fluïdum: $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$. |
| Viscositeit ($\eta$) | Een maat voor de interne wrijving (stroperigheid) van een fluïdum, veroorzaakt door de cohesiekrachten tussen moleculen; $F = \eta \cdot A \cdot \frac{v}{l}$. |
| Wet van Poiseuille | Beschrijft het verband tussen debiet, drukverschil, viscositeit, lengte en straal van een buis voor laminaire stroming: $Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta l}$. |
| Oppervlaktespanning ($\gamma$) | De kracht per lengte-eenheid die werkt op het oppervlak van een vloeistof, veroorzaakt door de aantrekkingskrachten tussen de vloeistofmoleculen; het oppervlak trekt zich samen om een zo klein mogelijke oppervlakte te bereiken. |
| Capillariteit | Het verschijnsel waarbij een vloeistof in een smalle buis stijgt of daalt als gevolg van de interactie tussen adhesie- en cohesiekrachten, bepaald door de contacthoek ($\theta$): $h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho g r}$. |
| Diffusie | Het proces waarbij moleculen zich verplaatsen van een gebied met een hogere concentratie naar een gebied met een lagere concentratie als gevolg van willekeurige moleculaire beweging en botsingen. |
| Osmose | De diffusie van watermoleculen door een semi-permeabel membraan van een gebied met een hogere concentratie vrij water naar een gebied met een lagere concentratie vrij water. |
| Semi-permeabel membraan | Een membraan dat selectief bepaalde moleculen, zoals water, doorlaat, maar andere moleculen, zoals opgeloste stoffen, tegenhoudt. |
| Osmotische druk ($\pi$) | De hydrostatische druk die nodig is om osmose te voorkomen, berekend met de wet van ’t Hoff: $\pi = \frac{n}{V} \cdot R \cdot T$. |
| Elektrische lading (q) | Een fundamentele eigenschap van materie die elektrische krachten veroorzaakt; gemeten in Coulomb (C). De elementaire lading is $e = 1,602 \times 10^{-19}$ C. |
| Wet van Coulomb | Beschrijft de kracht ($F$) tussen twee puntladingen ($q_1, q_2$) als $F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}$, waarbij k de constante van Coulomb is. |
| Elektrisch veld (E) | Het gebied rond een lading waar een andere lading een kracht ondervindt; de sterkte ervan is de kracht per eenheid van lading ($E = \frac{F}{q}$). |
| Elektrisch potentiaal (V) | De elektrische potentiële energie per eenheid van lading ($V = \frac{U}{q}$); het potentiaalverschil wordt gemeten in Volt (V). |
| Elektrische stroom (I) | De netto hoeveelheid lading die per tijdseenheid een doorsnede van een geleider passeert; $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$. |
| Elektrische weerstand (R) | De mate waarin een materiaal de doorgang van elektrische stroom belemmert; gemeten in Ohm ($\Omega$). |
| Wet van Ohm | Beschrijft het verband tussen stroomsterkte (I), spanning (V) en weerstand (R): $I = \frac{V}{R}$. |
| Wet van Pouillet | Beschrijft de weerstand (R) van een draad als $R = \rho \cdot \frac{l}{A}$, waarbij $\rho$ de soortelijke weerstand, $l$ de lengte en $A$ de doorsnede is. |
| Elektrisch vermogen (P) | Het tempo waarmee elektrische energie wordt omgezet in andere vormen van energie; $P = I \cdot V = I^2 \cdot R = \frac{V^2}{R}$. |
| Joule-effect | De warmte die wordt gegenereerd wanneer elektrische stroom door een weerstand vloeit ($Q \sim R \cdot I^2 \cdot \Delta t$). |
| Kortsluiting | Een onbedoelde verbinding met lage weerstand in een elektrisch circuit, die een hoge stroomsterkte veroorzaakt. |
| Elektroforese | Een techniek die gebruikmaakt van een elektrisch veld om geladen deeltjes te scheiden op basis van hun migratiesnelheid. |
| Migratiesnelheid (v) | De snelheid waarmee een geladen deeltje zich verplaatst in een elektrisch veld, beïnvloed door elektrische kracht, wrijving en de eigenschappen van het medium; $v = \frac{E \cdot Q}{f}$. |
| Elektrochemie | Het vakgebied dat de wisselwerking tussen elektrische en chemische processen bestudeert. |
| Normpotentiaal ($E^0$) | De standaard (reductie)potentiaal van een redoxkoppel onder standaardomstandigheden, een maat voor de sterkte van een reductor of oxidator. |
| Elektrolyse | Een proces waarbij een niet-spontane redoxreactie wordt geïnduceerd door een elektrische stroom in een elektrolytische cel. |
| Galvanische cel (volta-element) | Een elektrochemische cel die spontaan stroom opwekt door middel van redoxreacties. |
| Wet van Nernst | Een formule die het verband beschrijft tussen de potentiaal van een halfcel en de concentraties van de reactanten en producten: $E = E^0 - \frac{RT}{nF} \ln Q$. |
| Potentiometrie | Een kwantitatieve elektrochemische methode waarbij de concentratie van een ion wordt bepaald door de potentiaalmeting tussen een meetelektrode en een referentie-elektrode. |
| pH-meting | Een toepassing van potentiometrie waarbij de concentratie van waterstofionen ([H+]) in een oplossing wordt bepaald met behulp van een pH-meter en een glasmembraanelektrode. |
| Magnetisme | Het fenomeen waarbij magneten magnetische velden produceren die krachten uitoefenen op andere magneten en bewegende ladingen. |
| Elektromagnetische golven | Golven die bestaan uit oscillerende elektrische en magnetische velden die zich voortplanten door de ruimte. |
| Polarisatie | Het proces waarbij de trillingsrichting van lichtgolven wordt beperkt tot één vlak. |
| Refractometer | Een instrument dat de brekingsindex van oplossingen meet, vaak om de concentratie te bepalen. |
| Massaspectrometrie | Een analytische techniek voor het bepalen van de massa-ladingsverhouding van ionen, gebruikt om de samenstelling van monsters te analyseren. |
| Zwitterion | Een molecule die zowel een positieve als een negatieve lading draagt, waardoor deze elektrisch neutraal is. |
| Waterstofbrug | Een zwakke chemische binding die ontstaat tussen een waterstofatoom dat gebonden is aan een sterk elektronegatief atoom en een ander elektronegatief atoom in de buurt. |
| Cameo | Een onderdeel van een elektronische component dat een functie uitvoert. |
| Stoomdruk | De druk van waterdamp. |
| Normaalpotentiaal | Het standaard reductiepotentiaal van een elektrochemische cel onder standaardomstandigheden. |
| Elektrolyt | Een stof die in oplossing vrije ionen bevat en daardoor elektrische stroom geleidt. |
| Cathode | De elektrode waar reductie plaatsvindt in een elektrochemische cel. |
| Anode | De elektrode waar oxidatie plaatsvindt in een elektrochemische cel. |
| Halve cel | Een deel van een elektrochemische cel waarin een halfreactie plaatsvindt. |
| Zoutbrug | Een elektrolytische verbinding tussen de twee halfcellen van een galvanische cel, die ionenuitwisseling mogelijk maakt om de ladingbalans te behouden. |
| Constant vermogen | Een eigenschap van een stroombron die het vermogen constant houdt, ongeacht veranderingen in de circuitweerstand. |
| Buffer | Een oplossing die de pH van een systeem kan stabiliseren door zowel een zwak zuur als zijn geconjugeerde base te bevatten. |
| pKa | De negatieve logaritme van de zuurconstante ($K_a$); een maat voor de sterkte van een zuur. |
| pI (Iso-elektrisch punt) | De pH waarbij een molecule (zoals een aminozuur of eiwit) een netto lading van nul heeft. |
| Elektro-endosmose (EEO) | Vloeistofstroming in een buffer die wordt veroorzaakt door een elektrisch veld in combinatie met de interactie tussen ionen en het matrixmateriaal. |
| Capaciteit (buffer) | Het vermogen van een buffer om een bepaalde hoeveelheid zuur of base te neutraliseren zonder significante pH-verandering. |
Cover
Elektriciteit_wisselstroom_theorie_uitbreiding_12.pdf
Summary
# Vermogensanalyse bij wisselstroom
Dit onderwerp behandelt de bepaling van verschillende soorten vermogens bij wisselstroom, waarbij de complexiteit ten opzichte van gelijkstroom wordt geïntroduceerd door de voortdurend variërende stroomsterkte en spanning. Het gemiddelde vermogen over één periode is van primair belang voor verdere analyse. De aard van de belasting, die kan variëren van puur ohmse tot zuiver inductieve of capacitieve, of een combinatie daarvan, bepaalt de berekening van dit gemiddelde vermogen [2](#page=2).
### 1.1 Momenteel en gemiddeld vermogen
Bij wisselstroom is het noodzakelijk om onderscheid te maken tussen momentaan vermogen en gemiddeld vermogen [2](#page=2).
#### 1.1.1 Momentaneel vermogen
Het momentaan vermogen ($p$) is het product van de momentaneel geldende spanning ($u$) en stroom ($i$) op een bepaald tijdstip [3](#page=3) [5](#page=5) [7](#page=7).
> **Tip:** De grafische weergave van het momentaneel vermogen kan helpen om de energieoverdracht in de schakeling te visualiseren.
#### 1.1.2 Gemiddeld vermogen
Het gemiddeld vermogen ($P$) is het constante vermogen dat in dezelfde tijdsperiode dezelfde hoeveelheid energie zou leveren als het momentaneel vermogen. Dit is het vermogen dat daadwerkelijk nuttig werk verricht, zoals het omzetten in warmte of het aandrijven van een motor [3](#page=3).
### 1.2 Vermogen bij verschillende belastingen
De aard van de belasting bepaalt de faseverhouding tussen spanning en stroom, en daarmee het type vermogen.
#### 1.2.1 Zuiver ohmse belasting
Bij een zuiver ohmse belasting, zoals een weerstand, is de stroom ($i$) in fase met de spanning ($u$) [2](#page=2) [3](#page=3).
De spanning kan worden uitgedrukt als $u = U_m \sin(\omega t)$ en de stroom als $i = I_m \sin(\omega t)$ [3](#page=3).
Het momentaneel vermogen is dan:
$$ p = u \cdot i = U_m \sin(\omega t) \cdot I_m \sin(\omega t) = U_m I_m \sin^2(\omega t) $$ [3](#page=3).
Aangezien $U_m$ en $I_m$ constant zijn, volgt de kromme van het momentaneel vermogen de functie $\sin^2(\omega t)$. Omdat de spanning en stroom altijd gelijktijdig positief of negatief zijn, is de vermogenskromme ($p$) altijd positief [3](#page=3).
Het gemiddeld vermogen bij een zuiver ohmse belasting is:
$$ P = U \cdot I $$ [3](#page=3).
Hierbij zijn $U$ en $I$ de effectieve waarden van de spanning en stroom. Bij een ohmse belasting wordt elektrische energie omgezet in warmte-energie (Joule-effect) [3](#page=3).
#### 1.2.2 Vermogen bij 90° faseverschuiving (inductieve of capacitieve belasting)
Dit type belasting treedt op bij een zuiver inductieve spoel of een zuiver capacitieve condensator. Hierbij is de stroom 90° verschoven ten opzichte van de spanning [2](#page=2) [5](#page=5).
Het momentaneel vermogen kan worden uitgedrukt als:
$$ p = u \cdot i = U_m \sin(\omega t) \cdot \sin(\omega t \pm \frac{\pi}{2}) $$ [5](#page=5).
De $p$-kromme volgt de functie $\sin(\omega t) \cdot \sin(\omega t \pm \frac{\pi}{2})$ [5](#page=5).
Bij een condensator wordt elektrische energie omgezet in ladingsenergie en vice versa. Bij een spoel wordt elektrische energie omgezet in magnetische energie en vice versa [5](#page=5).
Het gemiddeld vermogen over een enkele periode is nul ($P = 0$) vanwege de symmetrie van de $p$-kromme ten opzichte van de tijdas [6](#page=6).
#### 1.2.3 Vermogen bij willekeurige faseverschuiving
Dit is het meest voorkomende geval in de praktijk, waarbij de stroom een faseverschuiving ($\phi$) heeft ten opzichte van de spanning [2](#page=2) [7](#page=7).
Het momentaneel vermogen is:
$$ p = u \cdot i = U_m \sin(\omega t) \cdot \sin(\omega t - \phi) $$ [7](#page=7).
De $p$-kromme volgt de functie $\sin(\omega t) \cdot \sin(\omega t - \phi)$ [7](#page=7).
Het verloop van het momentaneel vermogen is niet langer symmetrisch ten opzichte van de tijdas. Het door de bron geleverde vermogen is groter dan het teruggevoerde vermogen [7](#page=7).
Om het gemiddeld vermogen te bepalen, wordt de stroom ontbonden in een component in fase met de spanning ($I_{actief}$) en een component 90° na- of voorlopend op de spanning ($I_{reactief}$) [8](#page=8).
Het gemiddeld vermogen wordt veroorzaakt door de component in fase met de spanning:
$$ P = U \cdot I_{actief} $$ [8](#page=8).
De component $I_{reactief}$ levert geen gemiddeld vermogen op. De formule voor het gemiddeld vermogen is [8](#page=8):
$$ P = U \cdot I \cdot \cos(\phi) $$ [8](#page=8).
Dit betekent dat het vermogen bij een sinusoïdale wisselstroom, met een faseverschuiving $\phi$ ten opzichte van de spanning, gelijk is aan het product van de effectieve waarden van stroom en spanning met de cosinus van de faseverschuivingshoek [8](#page=8).
### 1.3 Actief, reactief en schijnbaar vermogen
#### 1.3.1 Actief vermogen (P)
De component van de stroom die in fase is met de spanning wordt de actieve stroomcomponent of Wattcomponent genoemd. Het daarmee overeenkomende ontwikkelde vermogen is het actieve vermogen, gemeten in Watt (W) [10](#page=10) [9](#page=9).
$$ P = U \cdot I \cdot \cos(\phi) $$ [10](#page=10) [8](#page=8).
#### 1.3.2 Reactief vermogen (Q)
De component van de stroom die 90° verschoven is ten opzichte van de spanning wordt de reactieve of blinde stroomcomponent genoemd. Deze component vertegenwoordigt de slingerenergie en levert geen netto vermogen. Het reactief of blind vermogen wordt gemeten in Voltampère-reactief (VAR) [10](#page=10) [9](#page=9).
$$ Q = U \cdot I \cdot \sin(\phi) $$ [10](#page=10).
#### 1.3.3 Schijnbaar vermogen (S)
Het schijnbaar vermogen is het product van de effectieve spanning en de effectieve stroom. Het wordt gemeten in Voltampère (VA) [10](#page=10).
$$ S = U \cdot I $$ [10](#page=10).
### 1.4 De vermogendriehoek
De vermogendriehoek is een grafische voorstelling van de relatie tussen actief, reactief en schijnbaar vermogen. De zijden van de stroomdriehoek, vermenigvuldigd met de spanning $U$, vormen de vermogendriehoek [10](#page=10).
Uit de vermogendriehoek volgen de relaties:
$$ S^2 = P^2 + Q^2 $$ [10](#page=10).
$$ P = S \cdot \cos(\phi) $$ [10](#page=10).
$$ Q = S \cdot \sin(\phi) $$ [10](#page=10).
$$ \tan(\phi) = \frac{Q}{P} $$ [10](#page=10).
### 1.5 De arbeidsfactor
De arbeidsfactor (cos $\phi$) is de verhouding tussen het actieve vermogen en het schijnbaar vermogen [11](#page=11).
$$ \text{Arbeidsfactor} = \cos(\phi) = \frac{P}{S} $$ [11](#page=11).
- Bij een arbeidsfactor van 0 (cos $\phi$ = 0) is de faseverschuiving 90° (zuiver inductieve of capacitieve belasting) [11](#page=11).
- Bij een arbeidsfactor van 1 (cos $\phi$ = 1) is de faseverschuiving 0° (zuiver ohmse belasting) [11](#page=11).
De arbeidsfactor wordt bepaald door de aangesloten verbruikers [11](#page=11).
#### 1.5.1 Invloed van de arbeidsfactor op de stroomsterkte
Een kleinere arbeidsfactor vereist een hogere stroomsterkte om hetzelfde actieve vermogen te leveren bij een constante spanning. Dit heeft als praktisch gevolg dat de doorsnede van de leidingen groter moet zijn bij een lagere arbeidsfactor om een bepaald actief vermogen te leveren [12](#page=12).
> **Voorbeeld:** Een verbruiker met een vermogen van 10 kilowatt (kW) bij 200 volt (V):
> - Met een arbeidsfactor van 1 bedraagt de stroomsterkte 50 ampère (A) [12](#page=12).
> - Met een arbeidsfactor van 0,8 bedraagt de stroomsterkte 62,5 A [12](#page=12).
> - Met een arbeidsfactor van 0,2 bedraagt de stroomsterkte 250 A [12](#page=12).
#### 1.5.2 Invloed van de arbeidsfactor op te leveren vermogen
Een stroomleverancier kan bij een lagere arbeidsfactor minder actief vermogen leveren uit dezelfde installatie (schijnbaar vermogen $S$). De leverancier ondervindt nadeel omdat de energieprijs gebaseerd is op geleverde energie (kWh), terwijl de installatie belast wordt door de hogere stroomsterkte. Veel maatschappijen hanteren een gemiddelde arbeidsfactor van 0,8 voor de prijsberekening, met correcties voor afwijkingen [13](#page=13).
> **Voorbeeld:** Een stroomleverancier met een schijnbaar vermogen $S$ = 1000 kVA en spanning van 10 kV:
> - Bij $\cos(\phi) = 1$ kan 1000 kW actief vermogen worden geleverd [13](#page=13).
> - Bij $\cos(\phi) = 0,8$ kan 800 kW actief vermogen worden geleverd [13](#page=13).
> - Bij $\cos(\phi) = 0,5$ kan 500 kW actief vermogen worden geleverd [13](#page=13).
### 1.6 Verbeteren van de arbeidsfactor
In industriële toepassingen is de belasting vaak inductief, wat resulteert in een naloop van de stroom ten opzichte van de spanning. Het meest gebruikte middel om de arbeidsfactor te verbeteren is het parallel schakelen van condensatoren op de belasting [14](#page=14).
#### 1.6.1 Schakeling zonder parallelle condensator
Een inductieve belasting ($R, L$) zal een stroom ($I$) opnemen die naloopt op de spanning ($U$). Deze stroom kan worden ontbonden in een actieve component ($I_{actief}$) en een reactieve component ($I_{reactief}$). De resulterende faseverschuiving ($\phi$) en arbeidsfactor ($\cos \phi$) zijn mogelijk niet optimaal [14](#page=14).
#### 1.6.2 Schakeling met parallelle condensator
Door een condensator ($C$) parallel te schakelen met de inductieve verbruiker, vloeit er een stroom ($I_C$) die 90° voorloopt op de spanning ($U$). De resulterende hoofdstroom ($I'$) in de toevoerleidingen is de vectoriële som van de oorspronkelijke stroom ($I$) en de condensatorstroom ($I_C$). Hierdoor wordt de faseverschuiving ($\phi'$) kleiner en de arbeidsfactor ($\cos \phi'$) groter. Het actief vermogen verandert hierbij niet, terwijl de hoofdstroom afneemt [15](#page=15).
### 1.7 Oefeningen
Diverse oefeningen illustreren de toepassing van de besproken vermogensconcepten, waaronder het berekenen van arbeidsfactor, actief, reactief en schijnbaar vermogen voor verschillende belastingsconfiguraties. Deze oefeningen behandelen motoren, spoelen, weerstanden en condensatoren, zowel in serie als parallel geschakeld [16](#page=16).
---
# De vermogendriehoek en arbeidsfactor
Dit deel van het document legt de relatie uit tussen actief, reactief en schijnbaar vermogen, grafisch voorgesteld in de vermogendriehoek, en definieert de arbeidsfactor met zijn impact op elektrische systemen.
### 2.1 De vermogendriehoek
De vermogendriehoek is een grafische weergave van de relatie tussen de verschillende vermogens in een wisselstroomcircuit. Door de zijden van de stroomdriehoek te vermenigvuldigen met de spanning $U$, ontstaan de zijden van de vermogendriehoek, die elk een specifiek vermogen vertegenwoordigen [10](#page=10):
* **Actief vermogen ($P$)**: Dit is het vermogen dat werkelijk arbeid verricht en wordt gemeten in Watt (W). Het wordt berekend als $P = U \cdot I_{actief} = U \cdot I \cdot \cos(\phi)$ [10](#page=10).
* **Reactief vermogen ($Q$)**: Dit vermogen is nodig voor het opbouwen van magnetische en elektrische velden in spoelen en condensatoren. Het wordt gemeten in Voltampère reactief (VAR). De formule is $Q = U \cdot I_{reactief} = U \cdot I \cdot \sin(\phi)$ [10](#page=10).
* **Schijnbaar vermogen ($S$)**: Dit is het totale vermogen dat door de bron wordt geleverd en wordt gemeten in Voltampère (VA). Het is het product van spanning en de totale stroom: $S = U \cdot I$ [10](#page=10).
Uit de vermogendriehoek volgen diverse relaties:
* De stelling van Pythagoras is van toepassing: $S^2 = P^2 + Q^2$, ofwel $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ [10](#page=10).
* Actief vermogen kan ook worden uitgedrukt als $P = S \cdot \cos(\phi)$ [10](#page=10).
* Reactief vermogen kan ook worden uitgedrukt als $Q = S \cdot \sin(\phi)$ [10](#page=10).
* De tangens van de fasehoek $\phi$ is de verhouding van het reactieve tot het actieve vermogen: $\tan(\phi) = \frac{Q}{P}$ [10](#page=10).
> **Tip:** De vermogendriehoek helpt visualiseren hoe het totale geleverde schijnbare vermogen (S) wordt opgesplitst in nuttig actief vermogen (P) en reactief vermogen (Q) dat nodig is voor de werking van bepaalde componenten, maar geen directe arbeid verricht.
### 2.2 De arbeidsfactor
De arbeidsfactor, ook wel cosinus phi genoemd ($\cos(\phi)$), is een dimensieloze grootheid die de verhouding aangeeft tussen het actief vermogen en het schijnbaar vermogen. Het is een maat voor hoe efficiënt de geleverde energie wordt gebruikt voor het verrichten van arbeid [11](#page=11).
* **Definitie**: De arbeidsfactor is gedefinieerd als $\cos(\phi) = \frac{P}{S}$ [11](#page=11).
* **Waarden**:
* De arbeidsfactor is 0 ($\cos(\phi) = 0$) bij een faseverschuiving van 90 graden ($\phi = 90^\circ$), wat kenmerkend is voor zuiver inductieve of capacitieve belastingen. In dit geval wordt al het geleverde vermogen als reactief vermogen beschouwd [11](#page=11).
* De arbeidsfactor is 1 ($\cos(\phi) = 1$) bij een faseverschuiving van 0 graden ($\phi = 0^\circ$), wat typisch is voor zuiver ohmse belastingen. Al het geleverde vermogen is dan actief vermogen [11](#page=11).
* Alle tussenliggende waarden zijn mogelijk, afhankelijk van de aard van de aangesloten verbruikers [11](#page=11).
De arbeidsfactor wordt dus bepaald door de soorten belastingen die op het net zijn aangesloten [11](#page=11).
### 2.3 Invloed van de arbeidsfactor op de stroomsterkte
Een lagere arbeidsfactor vereist een hogere stroomsterkte om hetzelfde actieve vermogen te leveren bij een constante spanning [12](#page=12).
* **Voorbeeld**: Een verbruiker die 10 kilowatt (kW) actief vermogen nodig heeft bij 200 volt (V):
* Bij een arbeidsfactor van 1 ($\cos(\phi) = 1$), is de stroomsterkte $I = \frac{P}{U \cdot \cos(\phi)} = \frac{10000 \text{ W}}{200 \text{ V} \cdot 1} = 50 \text{ A}$ [12](#page=12).
* Bij een arbeidsfactor van 0,8 ($\cos(\phi) = 0,8$), is de stroomsterkte $I = \frac{10000 \text{ W}}{200 \text{ V} \cdot 0,8} = 62,5 \text{ A}$ [12](#page=12).
* Bij een arbeidsfactor van 0,2 ($\cos(\phi) = 0,2$), is de stroomsterkte $I = \frac{10000 \text{ W}}{200 \text{ V} \cdot 0,2} = 250 \text{ A}$ [12](#page=12).
* **Conclusie**: Naarmate de arbeidsfactor kleiner wordt, neemt de benodigde stroomsterkte om een bepaald actief vermogen te leveren, snel toe. Praktisch betekent dit dat de doorsnede van de leidingen groter moet zijn om deze hogere stroomsterktes te kunnen verwerken [12](#page=12).
### 2.4 Invloed van de arbeidsfactor op het te leveren vermogen
Een lagere arbeidsfactor beperkt het actief vermogen dat een stroomleverancier kan leveren, hoewel de installatie zwaarder belast wordt door de hogere stroomsterkte [13](#page=13).
* **Voorbeeld**: Een stroomleverancier heeft een schijnbaar vermogen van 1000 kilovoltampère (kVA) beschikbaar bij 10 kilovolt (kV).
* Bij $\cos(\phi) = 1$ kan hij 1000 kW actief vermogen leveren. Dagelijkse energie: $1000 \text{ kW} \cdot 24 \text{ uur} = 24000 \text{ kWh}$ [13](#page=13).
* Bij $\cos(\phi) = 0,8$ kan hij $1000 \text{ kVA} \cdot 0,8 = 800 \text{ kW}$ actief vermogen leveren. Dagelijkse energie: $800 \text{ kW} \cdot 24 \text{ uur} = 19200 \text{ kWh}$ [13](#page=13).
* Bij $\cos(\phi) = 0,5$ kan hij $1000 \text{ kVA} \cdot 0,5 = 500 \text{ kW}$ actief vermogen leveren. Dagelijkse energie: $500 \text{ kW} \cdot 24 \text{ uur} = 12000 \text{ kWh}$ [13](#page=13).
* **Conclusie**: Het actieve vermogen dat geleverd kan worden, daalt met de arbeidsfactor van de verbruiker. Stroomleveranciers ondervinden nadeel bij verbruikers met een lage arbeidsfactor, omdat de installatie belast is met de normale stroomsterkte terwijl de geleverde energie (voor facturatie) lager is. Veel maatschappijen rekenen met een gemiddelde arbeidsfactor van 0,8 en passen de prijs aan op basis van de werkelijke arbeidsfactor [13](#page=13).
### 2.5 Verbeteren van de arbeidsfactor
Bij de meeste industriële toepassingen is de belasting inductief, wat resulteert in een stroom die de spanning nakijlt. Het parallel schakelen van condensatoren op de belasting is de meest gebruikte methode om de arbeidsfactor te verbeteren [14](#page=14).
#### 2.5.1 Schakeling zonder condensator in parallel
Een inductieve belasting, zoals een spoel (L) in serie met een weerstand (R), zorgt voor een stroom ($I$) die nakijlt op de spanning ($U$) met een fasehoek ($\phi$). Deze stroom kan ontbonden worden in een actieve component ($I_{actief}$) en een reactieve component ($I_{reactief}$), waarbij de arbeidsfactor ($\cos(\phi)$) niet ideaal is [14](#page=14).
#### 2.5.2 Schakeling met condensator in parallel
Door een condensator ($C$) parallel te schakelen met de inductieve belasting, vloeit er een stroom ($I_C$) door de condensator die 90 graden voorloopt op de spanning ($U$). De totale stroom ($I'$) in de toevoerleidingen is de vectoriële som van de oorspronkelijke stroom ($I$) en de condensatorstroom ($I_C$). Hierdoor wordt de faseverschuiving ($\phi'$) kleiner en de arbeidsfactor ($\cos(\phi')$) groter. Belangrijk is dat het actief vermogen onveranderd blijft, terwijl de hoofdstroom (en dus de belasting op de leidingen) afneemt [15](#page=15).
### 2.6 Oefeningen
* **Oefening 1**: Een motor op 220V, 50 Hz neemt 6,5 A op met een faseverschuiving van 40 graden [16](#page=16).
* Arbeidsfactor: $\cos(40^\circ) \approx 0,77$ [16](#page=16).
* Actief vermogen: $P = U \cdot I \cdot \cos(\phi) = 220 \text{ V} \cdot 6,5 \text{ A} \cdot 0,77 \approx 1095,44 \text{ W}$ [16](#page=16).
* Reactief vermogen: $Q = U \cdot I \cdot \sin(\phi) = 220 \text{ V} \cdot 6,5 \text{ A} \cdot \sin(40^\circ) \approx 919,19 \text{ VAR}$ [16](#page=16).
* Schijnbaar vermogen: $S = U \cdot I = 220 \text{ V} \cdot 6,5 \text{ A} = 1430 \text{ VA}$ [16](#page=16).
* **Oefening 2**: Een spoel met $R = 24 \Omega$ en $X_L = 18 \Omega$, aangesloten op 120V bij 50 Hz [16](#page=16).
* Impedantie: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \Omega$ [16](#page=16).
* Stroomsterkte: $I = \frac{U}{Z} = \frac{120 \text{ V}}{30 \Omega} = 4 \text{ A}$ [16](#page=16).
* Arbeidsfactor: $\cos(\phi) = \frac{R}{Z} = \frac{24 \Omega}{30 \Omega} = 0,8$ [16](#page=16).
* Actief vermogen: $P = U \cdot I \cdot \cos(\phi) = 120 \text{ V} \cdot 4 \text{ A} \cdot 0,8 = 384 \text{ W}$ [16](#page=16).
* Reactief vermogen: $Q = U \cdot I \cdot \sin(\phi) = U \cdot I \cdot \sqrt{1 - \cos^2(\phi)} = 120 \text{ V} \cdot 4 \text{ A} \cdot \sqrt{1 - 0,8^2} = 480 \text{ VA} \cdot 0,6 = 288 \text{ VAR}$ [16](#page=16).
* Schijnbaar vermogen: $S = U \cdot I = 120 \text{ V} \cdot 4 \text{ A} = 480 \text{ VA}$ [16](#page=16).
* **Oefening 3**: Een weerstand $R = 20 \Omega$ in serie met condensator $C = 150 \mu F$, op 215V bij 39,3 Hz [16](#page=16).
* Capacitieve reactantie: $X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \cdot 39,3 \text{ Hz} \cdot 150 \cdot 10^{-6} \text{ F}} \approx 27,05 \Omega$ [16](#page=16).
* Impedantie: $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{20^2 + 27,05^2} = \sqrt{400 + 731,7} \approx \sqrt{1131,7} \approx 33,64 \Omega$ [16](#page=16).
* Stroomsterkte: $I = \frac{U}{Z} = \frac{215 \text{ V}}{33,64 \Omega} \approx 6,39 \text{ A}$. (Oplossing geeft A, dit is waarschijnlijk een typefout en moet rond 6,39 A zijn) [16](#page=16).
* Actieve component van stroom: $I_{actief} = I \cdot \cos(\phi) = I \cdot \frac{R}{Z} = 6,39 \text{ A} \cdot \frac{20 \Omega}{33,64 \Omega} \approx 3,81 \text{ A}$ [16](#page=16).
* Reactieve component van stroom: $I_{reactief} = I \cdot \sin(\phi) = I \cdot \frac{X_C}{Z} = 6,39 \text{ A} \cdot \frac{27,05 \Omega}{33,64 \Omega} \approx 5,14 \text{ A}$ [16](#page=16).
* Actief vermogen: $P = U \cdot I \cdot \cos(\phi) = R \cdot I^2 = 20 \Omega \cdot (6,39 \text{ A})^2 \approx 819,05 \text{ W}$ [16](#page=16).
* Reactief vermogen: $Q = U \cdot I \cdot \sin(\phi) = -X_C \cdot I^2 = -27,05 \Omega \cdot (6,39 \text{ A})^2 \approx -1105,68 \text{ VAR}$ (Capacitief). (Oplossing geeft VAR, dit is waarschijnlijk de absolute waarde) [16](#page=16).
* Schijnbaar vermogen: $S = U \cdot I = 215 \text{ V} \cdot 6,39 \text{ A} \approx 1374 \text{ VA}$ (Oplossing geeft 1376 VA) [16](#page=16).
* **Oefening 4**: Een wisselstroommotor levert 3 kW aan de riemschijf, met metingen van 220 V en 19 A, en een arbeidsfactor van 0,8 [16](#page=16).
* Rendement:
* Schijnbaar vermogen opgenomen: $S_{opgenomen} = U \cdot I = 220 \text{ V} \cdot 19 \text{ A} = 4180 \text{ VA}$ [16](#page=16).
* Actief vermogen opgenomen: $P_{opgenomen} = S_{opgenomen} \cdot \cos(\phi) = 4180 \text{ VA} \cdot 0,8 = 3344 \text{ W}$ [16](#page=16).
* Rendement ($\eta$): $\eta = \frac{P_{afgegeven}}{P_{opgenomen}} = \frac{3000 \text{ W}}{3344 \text{ W}} \approx 0,897 \approx 90 \%$ [16](#page=16).
* Reactief vermogen opgenomen:
* De fasehoek is $\phi = \arccos(0,8) \approx 36,87^\circ$.
* Reactief vermogen: $Q_{opgenomen} = S_{opgenomen} \cdot \sin(\phi) = 4180 \text{ VA} \cdot \sin(36,87^\circ) \approx 4180 \text{ VA} \cdot 0,6 = 2508 \text{ VAR}$ [16](#page=16).
---
# Praktische gevolgen en verbetering van de arbeidsfactor
Dit onderwerp behandelt de concrete implicaties van de arbeidsfactor op de stroomsterkte en het te leveren vermogen, evenals strategieën om de arbeidsfactor te verbeteren door middel van parallel geschakelde condensatoren.
### 3.1 Invloed van de arbeidsfactor op de stroomsterkte
De arbeidsfactor, gedefinieerd als de cosinus van de fasehoek tussen spanning en stroom ($cos \phi$), heeft een directe invloed op de benodigde stroomsterkte voor een gegeven actief vermogen. Bij een constant geleverd actief vermogen en een constante spanning zal een lagere arbeidsfactor leiden tot een hogere opgenomen stroomsterkte. Dit komt doordat het product van spanning, stroom en arbeidsfactor het actieve vermogen bepaalt ($P = U \cdot I \cdot cos \phi$), dus als $cos \phi$ afneemt, moet $I$ toenemen om $P$ constant te houden [12](#page=12).
**Voorbeeld:**
Stel een verbruiker moet een actief vermogen van 10 kW leveren bij een spanning van 200 V.
* Als de arbeidsfactor $cos \phi = 1$ is, is de stroomsterkte $I = \frac{P}{U \cdot cos \phi} = \frac{10000 \text{ W}}{200 \text{ V} \cdot 1} = 50 \text{ A}$ [12](#page=12).
* Als de arbeidsfactor $cos \phi = 0.8$ is, is de stroomsterkte $I = \frac{10000 \text{ W}}{200 \text{ V} \cdot 0.8} = 62.5 \text{ A}$ [12](#page=12).
* Als de arbeidsfactor $cos \phi = 0.2$ is, is de stroomsterkte $I = \frac{10000 \text{ W}}{200 \text{ V} \cdot 0.2} = 250 \text{ A}$ [12](#page=12).
**Conclusie:** Bij een afnemende arbeidsfactor neemt de stroomsterkte die nodig is om een bepaald actief vermogen te leveren, onder constante spanning, aanzienlijk toe [12](#page=12).
**Praktisch gevolg:** Dit betekent dat de doorsnede van de leidingen die nodig zijn om een specifiek actief vermogen te transporteren, moet toenemen naarmate de arbeidsfactor lager wordt. Dikkere kabels zijn nodig om de hogere stroom veilig te kunnen geleiden [12](#page=12).
### 3.2 Invloed van de arbeidsfactor op het te leveren vermogen
De arbeidsfactor bepaalt ook het actieve vermogen dat een stroomleverancier kan leveren met een bepaald schijnbaar vermogen ($S$). Het actieve vermogen ($P$) is gerelateerd aan het schijnbaar vermogen ($S$) via de arbeidsfactor: $P = S \cdot cos \phi$ [13](#page=13).
**Voorbeeld:**
Een stroomleverancier beschikt over een schijnbaar vermogen $S = 1000 \text{ kVA}$ bij een spanning van 10 kV.
* Als $cos \phi = 1$, kan de leverancier een actief vermogen $P = 1000 \text{ kVA} \cdot 1 = 1000 \text{ kW}$ leveren. De geleverde energie over een dag is dan $W = 1000 \text{ kW} \cdot 24 \text{ uur} = 24000 \text{ kWh}$ [13](#page=13).
* Als $cos \phi = 0.8$, kan de leverancier een actief vermogen $P = 1000 \text{ kVA} \cdot 0.8 = 800 \text{ kW}$ leveren. De geleverde energie over een dag is dan $W = 800 \text{ kW} \cdot 24 \text{ uur} = 19200 \text{ kWh}$ [13](#page=13).
* Als $cos \phi = 0.5$, kan de leverancier een actief vermogen $P = 1000 \text{ kVA} \cdot 0.5 = 500 \text{ kW}$ leveren. De geleverde energie over een dag is dan $W = 500 \text{ kW} \cdot 24 \text{ uur} = 12000 \text{ kWh}$ [13](#page=13).
**Conclusie:** Het actieve vermogen dat een stroomleverancier ter beschikking kan stellen, daalt met de waarde van de arbeidsfactor van de verbruiker [13](#page=13).
**Nadelen voor stroomleveranciers:** Stroomleveranciers worden benadeeld door verbruikers met een lage arbeidsfactor. Hoewel hun installatie belast wordt door de normale stroomsterkte, is de geleverde energie (en dus de basis voor de prijsberekening) lager. De meeste energieleveranciers hanteren een gemiddelde arbeidsfactor van 0.8 voor de prijsberekening. Afwijkingen hierboven of hieronder worden verrekend in de prijs per kWh [13](#page=13).
### 3.3 Verbeteren van de arbeidsfactor
Bij de meeste industriële toepassingen is de belasting inductief, wat betekent dat de stroom naijlt op de spanning. Om de arbeidsfactor te verbeteren, wordt doorgaans de arbeidsfactor gecompenseerd door parallel aan de belasting condensatoren te schakelen [14](#page=14).
#### 3.3.1 Schakeling zonder condensator in parallel
Een inductieve belasting, die kan worden voorgesteld als een combinatie van weerstand (R) en inductie (L), neemt een stroom ($I$) op die na de spanning ($U$) ijlt met een fasehoek $\phi$. Deze stroom kan ontbonden worden in een actieve component ($I_{actief}$) en een reactieve component ($I_{reactief}$). De faseverschuiving ($\phi$) leidt tot een ongunstige arbeidsfactor ($cos \phi$) [14](#page=14).
#### 3.3.2 Schakeling met condensator in parallel
Door een condensator met capaciteit C parallel aan de inductieve verbruiker te schakelen, gaat er een stroom ($I_C$) vloeien die 90° voorijlt op de spanning ($U$). De totale stroomsterkte ($I'$) in de toevoerleidingen is de vectoriële som van de oorspronkelijke verbruikersstroom ($I$) en de stroom door de condensator ($I_C$) [15](#page=15).
**Resultaat:** Door de parallelle schakeling van de condensator wordt de totale stroomsterkte in de toevoerleidingen kleiner. De faseverschuiving wordt kleiner, waardoor de arbeidsfactor ($cos \phi'$) groter wordt. Belangrijk is dat het actief vermogen van de belasting onveranderd blijft, terwijl de hoofdstroom (de stroom die door de leverancier moet worden geleverd) afneemt [15](#page=15).
> **Tip:** Het parallel schakelen van condensatoren is een effectieve methode om de arbeidsfactor te verbeteren, wat leidt tot een lagere totale stroomsterkte en dus efficiënter energiegebruik en lagere verliezen in de bekabeling.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Wisselstroom | Een elektrische stroom waarbij de richting van de ladingperiodiek omkeert. De spanning en stroom veranderen voortdurend en kunnen worden weergegeven als sinusvormige functies van de tijd. |
| Gelijkstroom | Een elektrische stroom die in slechts één richting vloeit. De spanning en stroom blijven constant over de tijd, tenzij ze actief worden gewijzigd. |
| Momentaan vermogen | Het product van de ogenblikkelijke spanning en stroom op een bepaald tijdstip in een elektrische schakeling. Dit vermogen kan variëren gedurende een periode bij wisselstroom. |
| Gemiddeld vermogen | Het gemiddelde vermogen over een volledige periode van een wisselstroomsignaal. Dit wordt ook wel het actief vermogen genoemd en vertegenwoordigt de werkelijke energie die wordt verbruikt of omgezet. |
| Actief vermogen (P) | Het deel van het schijnbare vermogen dat nuttige arbeid verricht, zoals warmteontwikkeling of mechanische beweging. Het wordt gemeten in Watt (W). |
| Reactief vermogen (Q) | Het deel van het schijnbare vermogen dat nodig is om magnetische of elektrische velden op te bouwen en af te breken in inductieve of capacitieve componenten. Het wordt gemeten in Voltampère reactief (VAR). |
| Schijnbaar vermogen (S) | Het product van de effectieve spanning en de effectieve stroom in een wisselstroomcircuit. Het vertegenwoordigt het totale vermogen dat door de bron wordt geleverd, ongeacht of het nuttig werk verricht. Het wordt gemeten in Voltampère (VA). |
| Faseverschuiving ($\phi$) | Het tijdsverschil tussen een wisselende spanning en een wisselende stroom, uitgedrukt als een hoek in graden of radialen. Een faseverschuiving treedt op bij inductieve en capacitieve belastingen. |
| Ohmse belasting | Een elektrische belasting die puur resistief is, wat betekent dat de stroom en spanning volledig in fase zijn. Alle geleverde energie wordt omgezet in warmte. |
| Inductieve belasting | Een elektrische belasting die een spoel (inductor) bevat. Bij een inductieve belasting loopt de stroom de spanning na met een faseverschuiving van 90 graden in de ideale situatie. |
| Capacitieve belasting | Een elektrische belasting die een condensator (condensator) bevat. Bij een capacitieve belasting loopt de stroom de spanning voor met een faseverschuiving van 90 graden in de ideale situatie. |
| Arbeidsfactor ($\cos \phi$) | De verhouding van het actief vermogen tot het schijnbaar vermogen in een wisselstroomcircuit. Het geeft aan hoe efficiënt de geleverde elektrische energie wordt gebruikt voor nuttige arbeid. |
| Vermogendriehoek | Een grafische weergave die de relatie tussen actief vermogen (P), reactief vermogen (Q) en schijnbaar vermogen (S) illustreert, waarbij S de hypotenusa is van een rechthoekige driehoek met P en Q als rechthoekszijden. |
| Stroomcomponent | De stroom in een wisselstroomcircuit kan worden ontbonden in componenten. De actieve component (Wattcomponent) levert vermogen, terwijl de reactieve component (blinde component) energie opslaat en weer afgeeft zonder nuttig werk te verrichten. |
Cover
Fisica appunti.docx
Summary
# Introduction to units and dimensional analysis
A number devoid of its unit is meaningless, emphasizing the critical importance of units in physics and the use of dimensional analysis to verify the correctness of equations.
### 1.1 The significance of units
* In physics, a numerical value is incomplete and lacks context without its associated unit. For example, a speed of 5 has no meaning until it is specified as 5 meters per second ($5 \, \text{m/s}$) or 5 kilometers per hour ($5 \, \text{km/h}$).
### 1.2 Dimensional analysis
Dimensional analysis is a powerful technique used to verify the physical correctness of equations. It operates on the principle that any physically valid equation must have consistent dimensions on both sides.
#### 1.2.1 Fundamental dimensions
The primary physical quantities in mechanics are typically expressed in terms of three fundamental dimensions:
* Length: denoted by $[L]$
* Mass: denoted by $[M]$
* Time: denoted by $[T]$
#### 1.2.2 Dimensional equations
To perform dimensional analysis, we represent physical quantities by their dimensions. For instance:
* Velocity has dimensions of length per time: $[v] = [L]/[T]$.
* Acceleration has dimensions of length per time squared: $[a] = [L]/[T]^2$.
* Force has dimensions of mass times acceleration: $[F] = [M][L]/[T]^2$.
#### 1.2.3 Verifying equations
An equation is dimensionally correct if the dimensions of all terms on one side are identical to the dimensions of all terms on the other side.
> **Tip:** Dimensional analysis can help identify errors in calculations or the form of an equation, but it cannot determine the exact numerical constants (like dimensionless coefficients) within an equation.
**Example:**
Consider the equation for average velocity: $v_{avg} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$.
The dimensions of the numerator are $[L] - [L] = [L]$.
The dimensions of the denominator are $[T] - [T] = [T]$.
Therefore, the dimensions of the average velocity are $\frac{[L]}{[T]}$, which matches the expected dimensions of velocity.
#### 1.2.4 Application in physics
* **Free fall:** In free fall under gravity, the acceleration due to gravity $g$ is independent of mass. This can be inferred from dimensional analysis. If an equation for a quantity dependent on mass were dimensionally correct, the mass term would need to cancel out, suggesting its irrelevance to that particular quantity.
* **Proportionality:** Dimensional analysis is useful for determining the proportionality of quantities. For example, if the speed $v$ of an object is related to a radius $R$ and a frequency $f$ by $v = c R^a f^b$, dimensional analysis can help find the exponents $a$ and $b$ by equating the dimensions on both sides. If $[v] = [L]/[T]$, $[R] = [L]$, and $[f] = 1/[T]$, then $[L]/[T] = [c] [L]^a (1/[T])^b$. For this to hold true, $a$ must be 1, and $b$ must be 1. This suggests that the speed is proportional to the radius and the frequency, so $v \propto R f$.
### 1.3 Measurement and uncertainty
All measurements in physics inherently involve some degree of uncertainty, which depends on the circumstances and the precision of the measuring instruments. This uncertainty must be considered when reporting results.
---
# Motion in one, two, and three dimensions
Motion in one, two, and three dimensions provides the foundational principles for describing how objects move through space and time.
## 2 Motion in one, two, and three dimensions
### 2.1 Kinematics: Describing Motion
Kinematics is the study of motion without considering its causes.
#### 2.1.1 Position, Velocity, and Acceleration
* **Position:** To describe motion, we need to define an object's position. In one dimension, this is typically represented by a single coordinate. In higher dimensions, it requires multiple coordinates.
* **Average Velocity:** The average velocity is the displacement divided by the time interval over which the displacement occurred.
$$ v_{\text{avg}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} $$
* **Instantaneous Velocity:** The instantaneous velocity is the velocity of an object at a specific moment in time. It is found by taking the limit of the average velocity as the time interval approaches zero, which is the derivative of position with respect to time.
$$ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} $$
* **Average Acceleration:** The average acceleration is the change in velocity divided by the time interval over which the velocity changed.
$$ a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} $$
* **Instantaneous Acceleration:** The instantaneous acceleration is the acceleration of an object at a specific moment in time. It is the derivative of velocity with respect to time, or the second derivative of position with respect to time.
$$ a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} $$
#### 2.1.2 Free Fall
Free fall is the motion of an object under the sole influence of gravity. In free fall, the acceleration due to gravity ($g$) is constant and directed downwards. The mass of the object does not affect its acceleration due to gravity.
* The equation for velocity in free fall, assuming initial velocity $v_0 = 0$ and starting at time $t=0$, is:
$$ v(t) = -gt $$
* The equation for position in free fall, assuming initial position $y(0) = h$ and initial velocity $v_0 = 0$, is:
$$ y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + h $$
* The time it takes for an object to fall from a height $h$ to the ground (where $y(t) = 0$) is:
$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$
#### 2.1.3 Motion with Constant Acceleration
For motion with constant acceleration, kinematic equations can be derived relating displacement, initial velocity, final velocity, acceleration, and time. If $a$ is the constant acceleration:
* $$ v = v_0 + at $$
* $$ x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 $$
* $$ v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0) $$
### 2.2 Vectors in Motion
Vectors are essential for describing motion in two and three dimensions because they possess both magnitude and direction.
#### 2.2.1 Vector Representation
* **Position Vector:** A vector pointing from the origin to the object's position.
* **Velocity Vector:** A vector representing the instantaneous velocity, tangent to the path of motion.
* **Acceleration Vector:** A vector representing the instantaneous acceleration.
#### 2.2.2 Vector Operations
* **Addition:** Vectors can be added graphically (tip-to-tail method) or using components. Only vectors of the same dimension can be added.
$$ \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k} $$
* **Subtraction:** Vector subtraction is equivalent to adding the negative of the second vector.
$$ \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) $$
* **Scalar Multiplication:** Multiplying a vector by a scalar changes its magnitude but not its direction (unless the scalar is negative).
* **Scalar (Dot) Product:** The scalar product of two vectors results in a scalar quantity. It is used to find the projection of one vector onto another.
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta $$
The scalar product is zero if the vectors are orthogonal.
* **Vector (Cross) Product:** The vector product of two vectors results in a vector that is perpendicular to both original vectors. Its direction is given by the right-hand rule.
$$ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} $$
#### 2.2.3 Motion in 3D
In three dimensions, position, velocity, and acceleration are all represented by vectors with $x$, $y$, and $z$ components. These components change with time independently, according to the principles of kinematics.
* Position: $ \vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k} $
* Velocity: $ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} + \frac{dz}{dt}\hat{k} $
* Acceleration: $ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\hat{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\hat{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\hat{k} $
### 2.3 Projectile Motion in 2D
Projectile motion is a specific case of 2D motion where an object is launched with an initial velocity and then moves under the influence of gravity alone.
* The motion can be analyzed by separating it into independent horizontal (x) and vertical (y) components.
* **Horizontal Motion:** Assuming no air resistance, the horizontal velocity is constant ($v_x = v_0 \cos \alpha$).
* $ x(t) = (v_0 \cos \alpha)t $
* **Vertical Motion:** The vertical motion is governed by gravity, similar to free fall ($a_y = -g$).
* $ v_y(t) = v_0 \sin \alpha - gt $
* $ y(t) = (v_0 \sin \alpha)t - \frac{1}{2}gt^2 $
* **Time of Flight:** The total time the projectile spends in the air can be found by setting the vertical displacement to zero ($y(t) = 0$) and solving for $t$.
* **Range:** The horizontal distance traveled by the projectile.
* **Maximum Height:** The highest vertical position reached by the projectile.
> **Tip:** When analyzing projectile motion, always assume the x-component of acceleration is zero (neglecting air resistance) and the y-component is $-g$.
> **Example:** A ball is kicked with an initial velocity of 20 meters per second at an angle of 30 degrees above the horizontal. To find its range and maximum height, you would use the projectile motion equations, treating the horizontal and vertical components of motion separately.
### 2.4 Relative Motion
Relative motion considers how motion appears from different reference frames.
* **Inertial Reference Systems:** These are reference frames in which Newton's laws of motion hold true. An inertial system is one that is at rest or moving with constant velocity relative to another inertial system.
* **Relative Velocity:** If frame S' moves with velocity $\vec{v}_{S'}$ relative to frame S, and an object has velocity $\vec{v}_{obj/S'}$ in frame S', then its velocity in frame S is $\vec{v}_{obj/S} = \vec{v}_{obj/S'} + \vec{v}_{S'}$.
* **Galilean Relativity:** The laws of physics are the same in all inertial reference systems.
> **Tip:** When dealing with relative motion, carefully identify your reference frames and the velocities associated with each.
> **Example:** Imagine a person walking on a moving train. Their velocity relative to the train is different from their velocity relative to the ground.
### 2.5 Non-Inertial Reference Systems
Non-inertial reference systems are those that are accelerating. In these frames, Newton's laws do not hold without modification.
* **Fictitious Forces:** To explain observed motion in non-inertial frames, "fictitious" or "inertial" forces are introduced. These are not real forces arising from physical interactions but are mathematical artifacts of the accelerating reference frame. Examples include centrifugal force and Coriolis force.
> **Example:** In a car accelerating forward, you feel pushed back into your seat. This "force" is not a real interaction but an effect of your inertia resisting the acceleration of the car.
### 2.6 Uniform Circular Motion
Uniform circular motion is motion in a circle at a constant speed. Although the speed is constant, the velocity is not, as the direction is continuously changing.
* **Centripetal Acceleration:** This is the acceleration directed towards the center of the circle that is required to change the direction of the velocity.
$$ a_c = \frac{v^2}{r} $$
where $v$ is the speed and $r$ is the radius of the circle.
### 2.7 Frictional Forces
Friction is a force that opposes motion or intended motion between surfaces in contact.
* **Static Friction:** The force that prevents an object from starting to move. It has a maximum value that must be overcome for motion to begin.
$$ f_{s, \text{max}} = \mu_s N $$
where $\mu_s$ is the coefficient of static friction and $N$ is the normal force.
* **Kinetic Friction:** The force that opposes motion when an object is already moving. It is typically constant and less than the maximum static friction.
$$ f_k = \mu_k N $$
where $\mu_k$ is the coefficient of kinetic friction.
* **Drag Force:** When an object moves through a fluid (like air or water), it experiences a drag force that opposes its motion. This force depends on the object's shape, speed, and the properties of the fluid.
### 2.8 Newton's Laws of Dynamics
Newton's laws form the basis of classical mechanics.
* **First Law (Law of Inertia):** An object at rest stays at rest, and an object in motion stays in motion with the same speed and in the same direction unless acted upon by an unbalanced force.
* **Second Law:** The acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional to its mass.
$$ \vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a} $$
where $\vec{F}_{\text{net}}$ is the net force, $m$ is the mass (inertial mass), and $\vec{a}$ is the acceleration.
* **Third Law:** For every action, there is an equal and opposite reaction. When one body exerts a force on a second body, the second body simultaneously exerts a force equal in magnitude and opposite in direction on the first body.
> **Tip:** The first law is a special case of the second law where the net force is zero, resulting in zero acceleration (constant velocity).
### 2.9 Motion in Two and Three Dimensions
Extending the concepts of velocity and acceleration to higher dimensions allows for the description of complex motion paths.
* **Position, Velocity, and Acceleration Vectors:** These quantities are described by vectors with components in each dimension (e.g., $x$, $y$ in 2D; $x$, $y$, $z$ in 3D).
* **Independence of Motion:** In many cases, motion in different dimensions can be analyzed independently (e.g., horizontal and vertical components of projectile motion).
### 2.10 General Motion Description
The fundamental kinematic definitions of velocity and acceleration as derivatives of position apply to motion in any number of dimensions. The concept of using components allows complex motion to be broken down into simpler, one-dimensional analyses.
---
# Newton's laws of motion and reference systems
This section details Newton's three laws of dynamics, introducing inertial and non-inertial reference systems and the associated concepts of relative motion and fictitious forces.
### 3.1 Newton's three laws of dynamics
Newton's laws of motion are fundamental principles that describe the relationship between an object's motion and the forces acting upon it.
#### 3.1.1 The first law: Law of inertia
The first law states that an object will remain at rest or in uniform motion in a straight line unless acted upon by an external, unbalanced force. This means that to change an object's velocity, which includes its speed or direction, a force must be applied. In everyday life, we observe objects slowing down due to frictional forces, which are external forces opposing motion.
> **Tip:** The first law is a special case of the second law where the net force is zero.
#### 3.1.2 The second law: Force and acceleration
The second law quantifies the relationship between force, mass, and acceleration. It states that the acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional to its mass. This mass, $m$, is referred to as inertial mass, representing the object's resistance to acceleration.
The mathematical representation of this law is:
$$ \vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a} $$
Where:
- $ \vec{F}_{\text{net}} $ is the net force acting on the object.
- $ m $ is the mass of the object.
- $ \vec{a} $ is the acceleration of the object.
The concept of weight ($ \vec{W} $) is also introduced, which is the force needed to prevent a body from falling under the influence of gravity.
#### 3.1.3 The third law: Action-reaction
The third law states that for every action, there is an equal and opposite reaction. When two bodies interact, the force exerted by the first body on the second is equal in magnitude and opposite in direction to the force exerted by the second body on the first.
> **Tip:** This law applies to all types of forces, including contact forces and forces acting at a distance.
### 3.2 Reference systems
A reference system is a framework used to describe the motion of an object. The validity of Newton's laws depends on the choice of reference system.
#### 3.2.1 Inertial reference systems
An inertial reference system (IS) is a reference frame in which Newton's laws of motion hold true. Specifically, an object at rest stays at rest, and an object in motion continues in motion with constant velocity, unless acted upon by a net external force.
Key characteristics of inertial reference systems:
- They are either at rest or moving with a constant velocity relative to each other.
- The laws of physics are the same in all inertial reference systems.
- The first law of motion (law of inertia) is intrinsically defined by the concept of an inertial system.
#### 3.2.2 Non-inertial reference systems
A non-inertial reference system (NIS) is a reference frame that is accelerating. In such systems, Newton's laws do not hold in their standard form because of the acceleration of the reference frame itself. To describe motion in a non-inertial frame, fictitious forces must be introduced.
- **Fictitious forces:** These forces are not caused by any physical interaction but are a consequence of the acceleration of the reference frame. They appear to act on objects within the non-inertial frame to explain observed accelerations. For example, in a reference frame accelerating with a trolley, an observer might invoke a fictitious force to explain why a ball appears to accelerate relative to them, even though no real force from physical interaction is acting on it in that frame.
#### 3.2.3 Relative motion
Relative motion describes how the observed motion of an object depends on the reference frame of the observer. When changing reference systems, velocities need to be adjusted accordingly. For instance, if an observer is in a moving vehicle, the velocity of an object outside will be the vector difference between the object's velocity and the vehicle's velocity.
> **Example:** If a person throws a ball forward inside a moving train, and the train is moving with a velocity $ \vec{v}_{\text{train}} $ relative to the ground, and the ball is thrown with a velocity $ \vec{v}_{\text{ball, train}} $ relative to the train, then the ball's velocity relative to the ground is $ \vec{v}_{\text{ball, ground}} = \vec{v}_{\text{ball, train}} + \vec{v}_{\text{train}} $.
#### 3.2.4 Uniform circular motion
Uniform circular motion, where an object moves in a circle at a constant speed, is a crucial example in understanding forces. Although the speed is constant, the direction of velocity is continuously changing, meaning there is an acceleration. This acceleration, known as centripetal acceleration, is always directed towards the center of the circle. It requires a net force, the centripetal force, to maintain this motion.
### 3.3 Specific applications and concepts
#### 3.3.1 Free-falling bodies
Free fall occurs when an object is under the sole influence of gravity. The acceleration due to gravity, $g$, is independent of the object's mass, as demonstrated by dimensional analysis. The equations of motion for free fall are derived by integrating acceleration with respect to time:
- Velocity as a function of time: $ v(t) = -gt + v_0 $
- Position as a function of time: $ y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h $
Where $ v_0 $ is the initial velocity and $ h $ is the initial height. If the object starts from rest at height $ h $, then $ v_0 = 0 $ and the equations simplify.
#### 3.3.2 Projectile motion
Projectile motion can be analyzed by considering the horizontal and vertical components of motion separately. An object thrown with an initial velocity $ \vec{V}_0 $ at an angle $ \alpha $ is subject to gravitational acceleration $ \vec{g} $. The motion can be described in two dimensions. The time of flight is determined by when the vertical position returns to zero. Projectile motion exhibits symmetry.
#### 3.3.3 Frictional forces
Frictional forces oppose motion or impending motion between surfaces in contact.
- **Static friction:** This force prevents an object from starting to move. It has a maximum value that must be overcome for motion to begin. If a force is applied and the object doesn't move, the static friction force is equal in magnitude and opposite in direction to the applied force ($ \vec{F}_{\text{friction}} = -\vec{F}_{\text{applied}} $).
- **Kinetic friction:** This force opposes the motion of an object that is already moving. It is generally less than the maximum static friction.
The magnitude of frictional forces depends on the nature of the surfaces in contact and the normal force between them.
#### 3.3.4 Drag force
When an object moves through a fluid (liquid or gas), it experiences a drag force that opposes its motion. This force arises from turbulence in the fluid and depends significantly on the object's shape, speed, and the properties of the fluid. Aerodynamics is the study of drag forces.
---
# Work, energy, and momentum
This section explores the fundamental concepts of work, energy, and momentum, outlining their definitions, relationships, and the principle of conservation.
### 4.1 Work and energy
#### 4.1.1 Definition of work
Work is a scalar quantity that quantifies the energy transferred to or from an object by a force acting on it. It is related to the capacity of a body to do work.
#### 4.1.2 Kinetic energy
Kinetic energy ($KE$) is the energy an object possesses due to its motion. For a variable force, the calculation of work accounts for the non-constant nature of the force.
#### 4.1.3 Work done by a force
The work done by a force is calculated as the integral of the force over the displacement. If the force is constant and in the direction of displacement, work is given by $W = Fd$. For a force that is not constant or not in the direction of displacement, the work done is:
$$W = \int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$
When considering a force acting in three dimensions, the work done is the scalar product of the force vector and the displacement vector.
#### 4.1.4 Power
Power is defined as the rate at which work is done or energy is transferred per unit of time.
$$P = \frac{dW}{dt}$$
The unit of power is the watt (W), which is equal to one joule per second.
#### 4.1.5 Work done by gravitational force
The work done by the gravitational force on an object moving vertically is given by $W_g = -mg\Delta y$, where $m$ is the mass, $g$ is the acceleration due to gravity, and $\Delta y$ is the change in vertical position.
#### 4.1.6 Potential energy
Potential energy ($PE$) is the energy an object possesses due to its position or configuration.
* **Gravitational potential energy:** For an object near the Earth's surface, the gravitational potential energy is given by $PE_g = mgy$, where $y$ is the height above a reference point.
* **Gravitational potential:** This is a property of the gravitational field itself, defined as the potential energy per unit mass.
#### 4.1.7 Conservative forces
Conservative forces are forces for which the work done in moving an object between two points is independent of the path taken. For these forces, potential energy can be defined. Gravity is a prime example of a conservative force.
#### 4.1.8 Conservation of energy
The principle of conservation of mechanical energy states that in an isolated system where only conservative forces are doing work, the total mechanical energy (the sum of kinetic and potential energy) remains constant.
$$E_{total} = KE + PE = constant$$
If external forces or non-conservative forces (like friction) are present, the total energy of the system may change, but the total energy of the universe is always conserved.
#### 4.1.9 Escape velocity
Escape velocity is the minimum speed an object needs to escape the gravitational pull of a massive body, assuming no other forces act upon it. For a body to escape Earth's gravity, its kinetic energy must be at least equal to the magnitude of its gravitational potential energy.
$$v_{escape} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$
where $G$ is the gravitational constant, $M$ is the mass of the Earth, and $R$ is the radius of the Earth.
### 4.2 Center of mass and momentum
#### 4.2.1 Center of mass
The center of mass ($CM$) of a system of particles or a body is a point that moves as though all the system's mass were concentrated at that point and all external forces were applied to that point. For a system of $n$ particles, the coordinates of the center of mass are:
$$x_{CM} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$$
$$y_{CM} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$$
$$z_{CM} = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$$
where $m_i$ is the mass of the $i$-th particle and $(x_i, y_i, z_i)$ are its coordinates.
#### 4.2.2 Linear momentum
Linear momentum ($\mathbf{p}$) is a vector quantity defined as the product of an object's mass and its velocity.
$$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$$
Newton's second law can be expressed in terms of momentum as the rate of change of momentum:
$$\mathbf{F}_{net} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$$
#### 4.2.3 Momentum conservation
The principle of conservation of linear momentum states that if the net external force acting on a system is zero, the total linear momentum of the system remains constant. This is a fundamental principle, especially in understanding collisions.
#### 4.2.4 Collisions
Collisions involve interactions between objects over a short period. Momentum is always conserved in collisions.
* **Elastic collisions:** In elastic collisions, both momentum and kinetic energy are conserved. Perfect elastic collisions are idealized and rarely occur in macroscopic systems due to energy dissipation (e.g., into heat or deformation). Examples include Rutherford scattering and collisions of ideal gas molecules.
* **Inelastic collisions:** In inelastic collisions, momentum is conserved, but kinetic energy is not. Some kinetic energy is converted into other forms of energy, such as heat, sound, or deformation. A perfectly inelastic collision is one where the objects stick together after the collision.
> **Tip:** While kinetic energy might not be conserved in inelastic collisions, the total energy of the system (including all forms of energy) is always conserved.
> **Example:** Imagine two billiard balls colliding. This is often approximated as an elastic collision because the energy lost to deformation and sound is relatively small. In contrast, if a car crashes into a wall and crumples, it's a highly inelastic collision where significant kinetic energy is converted into heat and deformation.
---
# Rotational motion and fluids
This section delves into the principles of rotational motion and the fundamental properties of fluids, including density, pressure, and buoyancy.
### 5.1 Rotational variables
Rotational motion describes the movement of an object around a fixed axis. Key variables are used to quantify this motion:
* **Angular position ($\theta$):** The angle of an object's orientation relative to a reference line. It is typically measured in radians.
* **Angular displacement ($\Delta\theta$):** The change in angular position.
* **Angular velocity ($\omega$):** The rate of change of angular position.
$$ \omega = \frac{d\theta}{dt} $$
The SI unit for angular velocity is radians per second (rad/s).
* **Angular acceleration ($\alpha$):** The rate of change of angular velocity.
$$ \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} $$
The SI unit for angular acceleration is radians per second squared (rad/s$^2$).
#### 5.1.1 Relationship between linear and rotational variables
For a point on a rotating object at a distance $r$ from the axis of rotation:
* **Linear speed ($v$):** $v = r\omega$
* **Tangential acceleration ($a_t$):** $a_t = r\alpha$
* **Centripetal acceleration ($a_c$):** This is the acceleration directed towards the center of rotation, responsible for changing the direction of the velocity. For uniform circular motion, $a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$.
#### 5.1.2 Moment of inertia ($I$)
Moment of inertia is the rotational analog of mass, representing an object's resistance to changes in its rotational motion. It depends on the mass distribution of the object and the axis of rotation.
* For a system of discrete particles:
$$ I = \sum_i m_i r_i^2 $$
where $m_i$ is the mass of the $i$-th particle and $r_i$ is its distance from the axis of rotation.
* For a continuous body:
$$ I = \int r^2 dm $$
where $dm$ is an infinitesimal mass element and $r$ is its distance from the axis of rotation.
> **Tip:** Moment of inertia is crucial for understanding rotational dynamics, similar to how mass is for linear dynamics. Objects with mass distributed further from the axis of rotation have larger moments of inertia.
### 5.2 Fluids
Fluids are substances that can flow and take the shape of their container. This category includes liquids and gases.
#### 5.2.1 Density ($\rho$)
Density is defined as the mass per unit volume of a substance.
$$ \rho = \frac{m}{V} $$
* SI unit: kilograms per cubic meter (kg/m$^3$).
* Fluids, particularly liquids, are often considered incompressible, meaning their density remains relatively constant under normal pressure changes.
#### 5.2.2 Pressure ($P$)
Pressure is the force exerted per unit area.
$$ P = \frac{F}{A} $$
* SI unit: Pascals (Pa), where 1 Pa = 1 N/m$^2$.
* In fluids, pressure is exerted equally in all directions.
* Pressure increases with depth in a fluid due to the weight of the fluid above. For a fluid at rest, the pressure difference between two depths is given by:
$$ \Delta P = \rho g h $$
where $\rho$ is the fluid density, $g$ is the acceleration due to gravity, and $h$ is the depth difference.
#### 5.2.3 Buoyancy
Buoyancy is the upward force exerted by a fluid that opposes the weight of an immersed object. According to Archimedes' principle, this buoyant force is equal to the weight of the fluid displaced by the object.
* **Buoyant force ($F_B$):**
$$ F_B = \rho_{fluid} V_{displaced} g $$
where $\rho_{fluid}$ is the density of the fluid, $V_{displaced}$ is the volume of the fluid displaced by the object, and $g$ is the acceleration due to gravity.
> **Example:** An object floats if its weight is less than or equal to the buoyant force when fully submerged. It sinks if its weight is greater than the buoyant force. This is why a large ship made of steel can float – its overall density (including the air inside its hull) is less than that of water.
> **Example:** Scuba divers must breathe compressed air because the surrounding water exerts significant pressure. The compressed air allows their lungs to expand against this pressure.
### 5.3 Rotational dynamics and fluids examples
While the provided text briefly mentions rotational variables in the context of calculating something related to speed, frequency, and radius (likely a tangential speed calculation), and then transitions to fluids, a detailed combination of rotational dynamics and fluid mechanics is not elaborated upon in the given pages. The text does, however, provide context for fluid properties and the concept of buoyancy.
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Units | Standard quantities used to measure physical properties, such as meters for length or seconds for time. A physical quantity is meaningless without its associated units. |
| Dimensional Analysis | A method used to check the consistency of physical equations by examining the dimensions of the quantities involved. It ensures that both sides of an equation have the same fundamental dimensions. |
| Velocity | The rate of change of an object's position with respect to time, including both speed and direction. It is a vector quantity. |
| Acceleration | The rate of change of an object's velocity with respect to time. It is also a vector quantity and can involve changes in speed, direction, or both. |
| Free Fall | The motion of an object solely under the influence of gravity, neglecting air resistance. The acceleration due to gravity is constant near the Earth's surface. |
| Projectile Motion | The motion of an object launched into the air, subject only to the force of gravity. It can be analyzed by considering independent horizontal and vertical components of motion. |
| Newton's First Law of Motion | Also known as the law of inertia, it states that an object at rest stays at rest and an object in motion stays in motion with the same speed and in the same direction unless acted upon by an unbalanced force. |
| Newton's Second Law of Motion | States that the acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional to its mass, often expressed as $F=ma$. |
| Newton's Third Law of Motion | For every action, there is an equal and opposite reaction. When one object exerts a force on a second object, the second object exerts an equal and opposite force on the first. |
| Inertial Reference System | A frame of reference in which Newton's laws of motion hold true. All such systems move with constant velocity relative to each other. |
| Non-Inertial Reference System | A frame of reference that is accelerating. In these systems, fictitious forces must be introduced to explain observed motion according to Newton's laws. |
| Work | In physics, work is done when a force causes displacement. It is calculated as the dot product of the force vector and the displacement vector, and its unit is the Joule (J). |
| Kinetic Energy | The energy an object possesses due to its motion. It is calculated as $KE = \frac{1}{2}mv^2$, where $m$ is mass and $v$ is velocity. |
| Potential Energy | Stored energy that an object has due to its position or state. Gravitational potential energy is an example, dependent on height and mass. |
| Conservation of Energy | A fundamental principle stating that energy cannot be created or destroyed, only transformed from one form to another. The total energy of an isolated system remains constant. |
| Linear Momentum | A measure of an object's motion, defined as the product of its mass and velocity ($p=mv$). It is a vector quantity. |
| Momentum Conservation | In a closed system, the total linear momentum remains constant. This principle is crucial for analyzing collisions and interactions between objects. |
| Elastic Collision | A collision in which both momentum and kinetic energy are conserved. No energy is lost or transformed into other forms. |
| Inelastic Collision | A collision in which momentum is conserved, but kinetic energy is not. Some kinetic energy is typically lost and converted into heat, sound, or deformation. |
| Density | A measure of mass per unit volume of a substance, calculated as $\rho = \frac{m}{V}$. It is an intrinsic property of materials. |
| Pressure | The force exerted per unit area. In fluids, pressure increases with depth due to the weight of the fluid above. |
| Buoyancy | The upward force exerted by a fluid that opposes the weight of an immersed object. It is equal to the weight of the fluid displaced by the object (Archimedes' principle). |
| Center of Mass | The average position of all the mass in a system or object. It is the point at which the entire mass can be considered concentrated for translational motion calculations. |
Cover
fundamentals-of-physics-textbook_527037.pdf
Summary
ERROR_ALL_MODELS_FAILED
Glossary
Cover
H3 - atoom - bindingen.pdf
Summary
# De opbouw van materie op verschillende schalen
Dit onderwerp onderzoekt de hiërarchische structuur van materialen, van subatomaire deeltjes tot macroscopische kenmerken, met een focus op de atomaire schaal voor het verklaren van elastisch gedrag [1](#page=1).
### 1.1 Het belang van verschillende schalen in materiaalkunde
De structuur van een materiaal kan op verschillende niveaus worden beschouwd. Deze schalen helpen bij het begrijpen van de eigenschappen en het gedrag van materialen [1](#page=1).
#### 1.1.1 Subatomaire schaal
Deze schaal behandelt de elementaire deeltjes waaruit atomen zijn opgebouwd en hun gedrag. Dit niveau is relevant voor fysische eigenschappen zoals elektrisch en magnetisch gedrag [1](#page=1).
#### 1.1.2 Atomaire schaal
Op deze schaal worden de bindingen tussen atomen en hun rangschikking bestudeerd. Dit niveau is cruciaal voor het verklaren van elastisch gedrag van materialen [1](#page=1).
#### 1.1.3 Microscopische schaal
De microscopische schaal omvat de microstructuur van materialen, die wordt bestudeerd met behulp van licht- en elektronenmicroscopie. Warmtebehandelingen kunnen de microstructuur beïnvloeden [1](#page=1).
#### 1.1.4 Macroscopische schaal
Deze schaal bestudeert structuuronderdelen bij lagere vergrotingen. Voorbeelden zijn de wapening van beton, de celstructuur in schuim, of de constructie van een sandwichpaneel [1](#page=1) [2](#page=2).
### 1.2 De atoomstructuur
De atoomstructuur vormt de basis voor vastestoffysica, chemie en materiaalkunde. Door de geschiedenis heen zijn verschillende atoomtheorieën voorgesteld om ons begrip te verfijnen [2](#page=2).
#### 1.2.1 Geschiedenis van de atoomtheorie
* **Dalton's atoomtheorie:** Stelde dat materialen verschillen vanwege de samenstelling uit verschillende, harde en ondeelbare atomen [2](#page=2).
* **Thompson's ontdekking:** Ontdekte negatief geladen deeltjes, elektronen, en stelde dat een atoom bestaat uit positief geladen materiaal waarin elektronen verdeeld zijn [2](#page=2).
* **Rutherford's model:** Ontdekte dat een atoom een kleine, massieve kern bevat die positief geladen protonen bevat, omgeven door elektronen. Het volume van een atoom werd als nagenoeg leeg beschouwd [2](#page=2).
* **Bohr's model:** Stelde dat elektronen zich in specifieke banen rond de kern bewegen, waarbij elke baan gekoppeld is aan een discreet energieniveau. Elektronensprongen tussen banen leiden tot energieveranderingen (quanta) [2](#page=2).
* **Schrödinger's mechanica:** Toonde aan dat elektronen zich niet op een exacte locatie bevinden, maar in waarschijnlijkheidsgebieden, genaamd orbitalen. Hoewel Bohr's "schillenmodel" niet accuraat is, blijft het concept van elektronen op verschillende energieniveaus geldig [2](#page=2).
* * *
# De geschiedenis en structuur van het atoom
Dit deel verkent de evolutie van atoomtheorieën, van Dalton tot Schrödinger en Chadwick, en beschrijft de componenten van een atoom (protonen, neutronen, elektronen) en hun kwantumgetallen.
### 2.1 Geschiedenis van de atoomtheorie
De moderne atoomtheorie is geëvolueerd door de inzichten van vele wetenschappers door de eeuwen heen [2](#page=2).
#### 2.1.1 Vroege modellen
* **Dalton's theorie:** John Dalton stelde dat materialen verschillen omdat ze bestaan uit verschillende, harde en ondeelbare atomen [2](#page=2).
* **Thompson's ontdekking:** J.J. Thompson toonde aan dat atomen uit kleinere deeltjes bestaan en ontdekte het elektron, een negatief geladen deeltje. Hij formuleerde een model waarbij een atoom bestaat uit een positief geladen massa met verdeelde elektronen [2](#page=2).
* **Rutherford's kernmodel:** Ernest Rutherford ontdekte dat een atoom voornamelijk leeg is, met een kleine, dense kern die het grootste deel van de massa bevat. Deze kern bestaat uit positief geladen protonen, omgeven door negatief geladen elektronen [2](#page=2).
* **Bohr's energieniveaus:** Niels Bohr stelde voor dat elektronen zich in specifieke banen rond de kern bewegen, elk geassocieerd met een discreet energieniveau. Elektronen kunnen van baan veranderen, wat leidt tot veranderingen in energieniveau (kwanta) en bij sprongen naar lagere niveaus, emissie van straling [2](#page=2).
* **Schrödinger's orbitaalmodel:** Erwin Schrödinger toonde aan dat de exacte locatie van een elektron niet vastgesteld kan worden; elektronen bevinden zich in waarschijnlijkheidsgebieden genaamd orbitalen. Het concept van verschillende energieniveaus blijft echter geldig [2](#page=2).
* **Chadwick's ontdekking:** James Chadwick ontdekte dat de atoomkern naast protonen ook neutronen bevat. Later werd aangetoond dat protonen en neutronen zijn opgebouwd uit quarks [3](#page=3).
#### 2.1.2 Belangrijke grondleggers
De belangrijkste grondleggers van de atoomtheorie zijn John Dalton, J.J. Thompson, Ernest Rutherford, Niels Bohr, Erwin Schrödinger en James Chadwick [4](#page=4).
### 2.2 De structuur van een atoom
Atomen zijn fundamentele bouwstenen van materie en bestaan uit subatomaire deeltjes: protonen, neutronen en elektronen [4](#page=4).
#### 2.2.1 Subatomaire deeltjes
* **Protonen:** Positief geladen deeltjes met een lading van $1.6 \\times 10^{-19}$ Coulomb en een massa van $1.6726 \\times 10^{-27}$ kg. Het aantal protonen bepaalt het atoomnummer [4](#page=4).
* **Neutronen:** Ongeladen deeltjes (neutraal) met een massa van $1.6749 \\times 10^{-27}$ kg. In de meeste atoomkernen is het aantal neutronen gelijk aan het aantal protonen [3](#page=3) [4](#page=4).
* **Elektronen:** Negatief geladen deeltjes met een lading van $-1.6 \\times 10^{-19}$ Coulomb. Hun massa is zeer klein ($9.1 \\times 10^{-31}$ kg) en verwaarloosbaar ten opzichte van de massa van de kern [4](#page=4).
#### 2.2.2 Atoommassa en -nummer
Het atoomnummer wordt gedefinieerd door het aantal protonen in de kern. In neutrale atomen is het aantal protonen gelijk aan het aantal elektronen, wat zorgt voor een gelijke lading. De atoommassa wordt bepaald door de kern (protonen en neutronen). De massa van één mol atomen, bestaande uit Avogadro's getal ($6.02214 \\times 10^{23}$) atomen, wordt de atoommassa genoemd [4](#page=4).
#### 2.2.3 Kwantumgetallen en orbitalen
De toestand van elektronen rond de atoomkern wordt beschreven door vier kwantumgetallen. De locatie van een elektron kan niet exact bepaald worden; ze bevinden zich in een orbitaal, een waarschijnlijkheidsgebied. Orbitalen worden aangeduid met de notatie $n\\text{type}^y$ [2](#page=2) [4](#page=4).
* **Hoofdquantumgetal (n):** Een strikt positief natuurlijk getal dat het energieniveau van het elektron aangeeft. Hogere waarden van $n$ duiden op hogere energieniveaus, waarbij het verschil tussen opeenvolgende niveaus afneemt met stijgende $n$. Elektronen zoeken het laagst mogelijke energieniveau [4](#page=4).
* **Nevenquantumgetal (l):** Een natuurlijk getal strikt kleiner dan $n$, dat de vorm van de orbitaal beschrijft (aangeduid met letters als s, p, d, f). Er is een toename in energieniveau met stijgend $l$ [4](#page=4).
* **Magnetisch quantumgetal ($m\_l$):** Een geheel getal, waarvan de absolute waarde maximaal gelijk is aan $l$. Het beschrijft het magnetisch moment van een elektron door de rotatie rond de kern (orbitaal moment) en de elektronenspin [4](#page=4).
* **Spinquantumgetal (s):** Beschrijft de intrinsieke draaiing van het elektron, die een waarde kan hebben van $\\frac{1}{2}$ of $-\\frac{1}{2}$ [4](#page=4).
Elektronen met dezelfde kwantumgetallen maar tegengestelde spin vormen een elektronenpaar [4](#page=4).
#### 2.2.4 Uitsluitingsprincipe van Pauli
Het uitsluitingsprincipe van Pauli stelt dat geen twee elektronen in een atoom dezelfde kwantumstaat kunnen hebben; elk elektron moet een unieke combinatie van kwantumgetallen bezitten [5](#page=5).
#### 2.2.5 Elektronenconfiguratie
Orbitalen worden gevuld volgens stijgend energieniveau. De opvulling van orbitalen leidt tot elektronenconfiguraties, die de basis vormen voor het periodiek systeem. Enkele voorbeelden van elektronenconfiguraties zijn [5](#page=5):
* Waterstof: $1s^1$ [5](#page=5).
* Helium: $1s^2$ [5](#page=5).
* Lithium: $1s^2 2s^1$ [5](#page=5).
* Boor: $1s^2 2s^2 2p^1$ [5](#page=5).
* Fluor: $1s^2 2s^2 2p^5$ [5](#page=5).
* Neon: $1s^2 2s^2 2p^6$ [5](#page=5).
* Natrium: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$ [5](#page=5).
* Chloor: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^5$ [5](#page=5).
* IJzer: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^6 4s^2$ [5](#page=5).
* Arseen: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^2 4p^3$ [5](#page=5).
#### 2.2.6 Edelgasconfiguratie
Edelgassen, zoals helium en neon, hebben volledig gevulde orbitalen, wat een zeer stabiele toestand is. Deze configuratie wordt de edelgasconfiguratie genoemd. Elementen met een tekort aan elektronen om deze configuratie te bereiken, neigen deze aan te gaan (niet-metalen), terwijl elementen met een overschot geneigd zijn deze af te staan (metalen) [6](#page=6).
#### 2.2.7 Verband met het periodiek systeem
De elektronenconfiguraties, zoals bepaald door de atoomtheorieën van Bohr en Schrödinger, verklaren de organisatie van het periodiek systeem van elementen, opgesteld door Dimitri Mendelejev. Elementen in verticale kolommen vertonen vergelijkbare chemische eigenschappen. Metalen bevinden zich links en in het midden, niet-metalen rechts, en ertussen de metalloïden [6](#page=6).
#### 2.2.8 Invloed op de densiteit
De atoommassa en -diameter hebben een directe invloed op de densiteit van een materiaal. Echter, andere hiërarchische niveaus van structuur hebben ook een significant effect op de materiaaldichtheid, zoals geïllustreerd door het verschil tussen massief en schuim aluminium. Figuur 10 toont aan dat de dichtheid van een enkel atoom niet de enige bepalende factor is voor de materiaaldichtheid [7](#page=7).
> **Tip:** Begrijpen hoe de subatomaire structuur van een atoom de eigenschappen van materialen beïnvloedt, is cruciaal voor vakken als materiaalkunde en chemie. Besteed extra aandacht aan de kwantumgetallen en hoe deze de elektronenconfiguratie en dus de chemische reactiviteit bepalen [4](#page=4) [5](#page=5).
* * *
# Interatomaire bindingen en hun invloed op materiaaleigenschappen
Interatomaire bindingen vormen de kern van materiaalstructuur en bepalen fundamenteel de fysische en mechanische eigenschappen van materialen, zoals hun dichtheid, smeltpunten en elastisch gedrag [8](#page=8).
### 3.1 De aard van interatomaire bindingen
Materialen zijn opgebouwd uit bouwstenen, die atomen, moleculen of macromoleculen kunnen zijn. De krachten die deze bouwstenen bij elkaar houden, kunnen worden onderverdeeld in primaire en secundaire bindingen. Een sterke binding, vergelijkbaar met een stijve veer, vereist veel kracht om de bouwstenen uit elkaar te halen, terwijl een zwakke binding, als een slappe veer, met minder kracht kan worden verbroken [8](#page=8).
**Tip:** Houd het verschil tussen materiaalstijfheid (grote spanningen veroorzaken kleine vervormingen) en materiaalsterkte (grote spanningen zijn nodig om falen te veroorzaken) in gedachten [8](#page=8).
#### 3.1.1 Primaire bindingen
Primaire bindingen zijn de sterkere bindingen die ontstaan door het uitwisselen of delen van valentie-elektronen. De aard van deze bindingen wordt bepaald door de elektronegativiteit van de betrokken atomen [9](#page=9).
##### 3.1.1.a Elektronegativiteit
Elektronegativiteit is de neiging van een atoom om elektronen aan te trekken. Atomen streven naar een stabiele edelgasconfiguratie door elektronen op te nemen, af te staan of te delen. Elementen met een hoge elektronegativiteit trekken elektronen sterk aan, terwijl elektropositieve elementen juist geneigd zijn elektronen af te staan. Het verschil in elektronegativiteit tussen atomen is cruciaal voor het type binding dat ontstaat [9](#page=9).
##### 3.1.1.b De ionische binding
Ionische bindingen ontstaan tussen atomen met een groot verschil in elektronegativiteit (typisch > 1.7) (#page=9, 10). Een elektropositief atoom staat een elektron af aan een elektronegatief atoom, waardoor beide ionen worden gevormd die elkaar elektrostatisch aantrekken. Deze binding is niet gericht en kan leiden tot dichte stapelingen, wat resulteert in hoge densiteit van materialen. Een voorbeeld is keukenzout (NaCl) [10](#page=10) [11](#page=11) [9](#page=9).
##### 3.1.1.c De covalente binding
Covalente bindingen ontstaan wanneer atomen met een beperkt verschil in elektronegativiteit hun valentie-elektronen delen in gemeenschappelijke orbitalen. Deze binding is gericht, wat resulteert in specifieke bindingshoeken. Voorbeelden zijn chloorgas, grafiet en diamant. Diamant, met zijn tetraëdrische structuur, is extreem hard. Grafiet vormt stijve lagen met covalente bindingen, maar de lagen worden bij elkaar gehouden door zwakkere secundaire bindingen, wat het smeerbaar maakt. Covalente bindingen zijn ook aanwezig in polymeerketens [11](#page=11) [12](#page=12).
> **Tip:** De rigide driedimensionale structuur van diamant, gevormd door covalente bindingen, verklaart de uitzonderlijke hardheid ervan [11](#page=11).
##### 3.1.1.d De metallische binding
Bij metallische bindingen delen de valentie-elektronen van metaalatomen zich met alle naburige atomen, waardoor een "zee van elektronen" ontstaat waarbinnen de positief geladen metaalionen zich bevinden. De aantrekkingskracht tussen de ionen en de elektronenzee zorgt voor de binding. Deze binding is ook niet gericht [13](#page=13).
#### 3.1.2 Secundaire bindingen
Secundaire bindingen zijn zwakkere bindingen die ontstaan door permanente of niet-permanente elektrische dipolen. Er is geen sprake van het delen of uitwisselen van valentie-elektronen [13](#page=13).
##### 3.1.2.a Niet-permanente (geïnduceerde) dipoolbindingen
Tussen neutrale atomen of moleculen kunnen door fluctuaties in de ladingsverdeling tijdelijke dipolen ontstaan. Wanneer een apolair atoom in de buurt komt van een atoom met een tijdelijke dipool, kan dit een geïnduceerde dipool in het naburige atoom veroorzaken. Dit principe is belangrijk bij het vloeibaar maken van edelgassen en verklaart de extreem lage smelt- en kooktemperaturen van materialen met dit bindtype [14](#page=14).
> **Voorbeeld:** Argon, een edelgas, vormt dankzij geïnduceerde dipolen vloeibare aggregaten bij lage temperaturen [14](#page=14).
##### 3.1.2.b Permanente dipoolbindingen
In sommige moleculen bestaan permanente dipolen door een asymmetrische rangschikking van geladen regio's. Een voorbeeld is de C-F-binding, waarbij fluor een partiële negatieve lading krijgt en koolstof een partiële positieve lading [14](#page=14).
De sterkste vorm van secundaire binding is de **waterstofbinding**, die optreedt wanneer waterstof covalent gebonden is aan zeer elektronegatieve elementen zoals fluor, stikstof of zuurstof. De sterke aantrekking tussen de positief geladen waterstof van het ene molecuul en de negatief geladen zuurstof van een ander molecuul verklaart de relatief hoge kooktemperaturen van stoffen als water. Secundaire bindingen tussen polymeerketens in materialen zoals polyethyleen zijn ook voorbeelden van permanente dipoolbindingen [15](#page=15).
### 3.2 Bindingen in verschillende materiaalklassen
Materialen kunnen worden geclassificeerd op basis van hun dominante bindingstype:
* **Metalen:** primair metallische bindingen [15](#page=15).
* **Polymeren:** zowel intramoleculaire covalente bindingen als intermoleculaire secundaire bindingen [15](#page=15).
* **Keramische materialen:** vaak een gemengd ionisch-covalent karakter [15](#page=15).
#### 3.2.1 Invloed van bindingstype op smeltpunten en stijfheid
Het smeltpunt van een materiaal is een indicatie van de bindingsenergie, aangezien er voldoende thermische energie nodig is om de cohesieve bindingen te verbreken. Materialen met sterke primaire bindingen, zoals diamant (covalent) en koper (metaal), hebben doorgaans hoge smeltpunten. Materialen met zwakkere secundaire bindingen, zoals polyethyleen, hebben lagere smeltpunten of vervormen geleidelijk bij verhitting. De sterkte van de binding correleert ook met de stijfheid van het materiaal [16](#page=16) [17](#page=17).
> **Tabel 2:** Smelttemperatuur en Young's modulus van verschillende materialen [17](#page=17).
MateriaalBindingstypeSmeltpunt (°C)Young's Modulus (GPa)DiamantCovalent35501200KoperMetaal1085120Keukenzout (NaCl)Ionisch80140PolyethyleenCovalent en secundair120\*1
\*Bemerk dat polyethyleen geen preciese smelttemperatuur heeft, maar gradueel verweekt boven de 120°C [17](#page=17).
### 3.3 Invloed van de binding op het elastisch gedrag
Het elastisch gedrag van materialen kan worden verklaard aan de hand van de interactie tussen atomen of ionen. Wanneer twee geladen ionen op een bepaalde afstand $D$ van elkaar staan, oefenen ze aantrekkingskrachten uit, zoals de Coulombkracht [17](#page=17): $$F\_{\\text{aantrekking}} = -\\frac{k\_0 \\cdot Z\_1 \\cdot Z\_2}{D^2}$$ [17](#page=17).
Bij zeer kleine afstanden ontstaat er ook een afstotende kracht door de overlapping van elektronenwolken en de afstoting van kernen. De netto bindingskracht wordt nul op een evenwichtsafstand $a\_0$, waar de energie minimaal is. Wanneer de bouwstenen van deze evenwichtspositie worden verplaatst, ontstaat er een veerkracht, vergelijkbaar met de wet van Hooke. De lineaire relatie tussen kracht en verplaatsing nabij de evenwichtspositie verklaart het elastisch gedrag onder trek en druk. Dwarscontractie, waarbij een materiaal in de breedte dunner wordt wanneer het in de lengte wordt uitgerekt, kan eveneens vanuit de atomaire schaal worden verklaard [17](#page=17) [18](#page=18).
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Atoomnummer | Het atoomnummer identificeert een atoom en wordt bepaald door het aantal protonen in de atoomkern. Dit getal is uniek voor elk element in het periodiek systeem. |
| Materiaaldichtheid | De materiaaldichtheid is de massa per volume-eenheid van een materiaal, uitgedrukt in kilogram per kubieke decimeter of andere eenheden. Het wordt beïnvloed door atoommassa, atoomdiameter en de manier waarop de atomen zijn gerangschikt. |
| Valelektronen | Valelektronen zijn de elektronen die zich in de buitenste elektronenschil van een atoom bevinden. Deze elektronen spelen een cruciale rol bij het vormen van chemische bindingen tussen atomen. |
| Elektronegativiteit | Elektronegativiteit is de maat voor de neiging van een atoom om elektronen aan te trekken in een chemische binding. Elementen met een hoge elektronegativiteit trekken elektronen sterker aan dan elementen met een lage elektronegativiteit. |
| Ionische binding | Een ionische binding ontstaat wanneer een atoom een elektron overdraagt aan een ander atoom, waardoor beide atomen geladen ionen worden (een positief en een negatief ion). De elektrostatische aantrekkingskracht tussen deze tegengesteld geladen ionen vormt de binding. |
| Covalente binding | Een covalente binding wordt gevormd door het delen van valentie-elektronen tussen twee atomen. Deze bindingen komen veel voor in moleculen en creëren sterke, gerichte verbindingen tussen atomen. |
| Metallische binding | De metallische binding bestaat in metalen en wordt gekenmerkt door een "zee" van gedeelde valentie-elektronen die de positief geladen metaalionen binden. Deze binding is niet gericht en verklaart de geleidbaarheid en ductiliteit van metalen. |
| Secundaire bindingen | Secundaire bindingen, ook wel Van der Waals-krachten genoemd, zijn zwakkere intermoleculaire krachten die voortkomen uit tijdelijke of permanente elektrische dipolen. Ze zijn essentieel voor de interactie tussen moleculen die geen primaire bindingen vormen. |
| Waterstofbinding | Een waterstofbinding is een speciaal type secundaire binding dat optreedt wanneer waterstof covalent gebonden is aan een sterk elektronegatief element zoals zuurstof, stikstof of fluor. Deze binding is aanzienlijk sterker dan andere Van der Waals-krachten. |
| Elastisch gedrag | Het elastisch gedrag van een materiaal verwijst naar het vermogen om terug te keren naar zijn oorspronkelijke vorm na het verwijderen van een aangelegde belasting. Dit gedrag is direct gerelateerd aan de sterkte en aard van de interatomaire bindingen. |
| Evenwichtsafstand | De evenwichtsafstand is de optimale afstand tussen twee atomen of bouwstenen in een materiaal waarbij de resulterende bindingskracht nul is. Dit punt komt overeen met de minimale energiepositie van de atomen. |
Cover
H3 - atoom - bindingen.pdf
Summary
# De opbouw van materie op verschillende schalen
Dit onderwerp onderzoekt hoe de structuur van materialen op verschillende niveaus, van subatomair tot macroscopisch, wordt begrepen en hoe dit verband houdt met materiaaleigenschappen.
### 1.1 De structuur van een materiaal op verschillende schalen
De structuur van een materiaal kan op verschillende niveaus worden geanalyseerd. Deze worden onderscheiden in [1](#page=1):
* **Subatomaire schaal:** Beschrijft het gedrag en de opbouw van de elementaire deeltjes van een atoom, zoals quarks en leptonen. Dit niveau is relevant voor fysische eigenschappen zoals elektrisch en magnetisch gedrag [1](#page=1) [3](#page=3).
* **Atomaire schaal:** Behandelt de bindingen tussen atomen en hun rangschikking. Op dit niveau worden verklaringen gevonden voor elastisch gedrag [1](#page=1).
* **Microscopische schaal:** Bestudeert de microstructuur met vergrotingen variërend van 100x tot 100.000x. Warmtebehandelingen kunnen de microstructuur beïnvloeden [1](#page=1).
* **Macroscopische schaal:** Onderzoekt structuuronderdelen bij lagere vergrotingen. Voorbeelden hiervan zijn de wapening van beton of de celstructuur in schuim [1](#page=1) [2](#page=2).
### 1.2 De atoomstructuur
De atoomstructuur vormt de basis voor de vastestoffysica, chemie en materiaalkunde. Door de geschiedenis heen zijn verschillende atoomtheorieën ontwikkeld [2](#page=2).
#### 1.2.1 Geschiedenis van de atoomtheorie
* **Dalton:** Stelde dat materialen verschillen door de opbouw uit verschillende, harde en ondeelbare atomen [2](#page=2).
* **Thompson:** Ontdekte elektronen en formuleerde dat atomen bestaan uit positief geladen materiaal met daarin verdeelde elektronen [2](#page=2).
* **Rutherford:** Toonde aan dat atomen een kleine, massieve kern bevatten, bestaande uit positief geladen protonen. De kern wordt omgeven door elektronen, waardoor het atoomvolume grotendeels leeg is [2](#page=2).
* **Bohr:** Stelde dat elektronen zich in specifieke banen bewegen met discrete energieniveaus. Sprongen tussen banen leiden tot energieveranderingen (quanta) [2](#page=2).
* **Schrödinger:** Bewees dat de exacte locatie van een elektron niet bepaald kan worden; ze bevinden zich in waarschijnlijkheidsgebieden, genaamd orbitalen. Het concept van verschillende energieniveaus blijft echter geldig [2](#page=2).
* **Chadwick:** Ontdekte dat de atoomkern naast protonen ook neutronen bevat. Later werd aangetoond dat protonen en neutronen uit quarks bestaan [3](#page=3).
#### 1.2.2 De structuur van een atoom
Een atoom bestaat uit elektronen, protonen en neutronen [4](#page=4).
* **Lading en massa:**
* Elektronen en protonen hebben een gelijke, maar tegengestelde lading van $1.6 \times 10^{-19}$ Coulomb [4](#page=4).
* Het aantal protonen bepaalt het atoomnummer [4](#page=4).
* In een neutraal atoom zijn het aantal elektronen en protonen gelijk [4](#page=4).
* Elektronmassa: $9.1 \times 10^{-31}$ kg (verwaarloosbaar ten opzichte van de kern) [4](#page=4).
* Protonmassa: $1.6726 \times 10^{-27}$ kg [4](#page=4).
* Neutronmassa: $1.6749 \times 10^{-27}$ kg [4](#page=4).
* **Atoommassa:** De massa van 1 mol atomen, wat overeenkomt met $6.02214 \times 10^{23}$ atomen (het getal van Avogadro) [4](#page=4).
* **Elektronenconfiguratie en Quantumgetallen:**
* Elektronen bevinden zich in orbitalen, beschreven door vier quantumgetallen [4](#page=4).
* **Hoofdquantumgetal (n):** Een strikt positief natuurlijk getal dat het energieniveau aangeeft. Hogere n betekent hogere energie [4](#page=4).
* **Nevenquantumgetal (l):** Een natuurlijk getal, strikt kleiner dan n, dat de vorm van de orbitaal (s, p, d, f,...) beschrijft. Een hoger l betekent een hoger energieniveau binnen een schil [4](#page=4).
* **Magnetisch quantumgetal ($m_l$):** Beschrijft het magnetisch moment van een elektron, wat gerelateerd is aan de orbitaalbeweging. De absolute waarde is maximaal gelijk aan l [4](#page=4).
* **Spinquantumgetal (s):** Beschrijft de intrinsieke draaiing van een elektron (spin), met waarden van $+\frac{1}{2}$ of $-\frac{1}{2}$ [4](#page=4).
* **Elektronenpaar:** Twee elektronen met dezelfde quantumgetallen, maar tegengestelde spin [4](#page=4).
* **Uitsluitingsprincipe van Pauli:** Geen twee elektronen in een atoom kunnen dezelfde set van vier quantumgetallen hebben [5](#page=5).
* **Orbitalen vulling:** Orbitalen worden gevuld volgens stijgend energieniveau, en pas wanneer een orbitaal op hetzelfde energieniveau niet meer beschikbaar is, ontstaat een elektronenpaar [5](#page=5).
#### 1.2.3 Voorbeelden van elektronenconfiguraties
* Waterstof: $1s^1$ [5](#page=5).
* Helium: $1s^2$ [5](#page=5).
* Lithium: $1s^2 2s^1$ [5](#page=5).
* Boor: $1s^2 2s^2 2p^1$ [5](#page=5).
* Fluor: $1s^2 2s^2 2p^5$ [5](#page=5).
* Neon: $1s^2 2s^2 2p^6$ [5](#page=5).
* Natrium: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$ [5](#page=5).
* Chloor: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^5$ [5](#page=5).
* IJzer: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^6 4s^2$ [5](#page=5).
* Arseen: $1s^2 2s^2 2p^6 3s^2 3p^6 3d^{10} 4s^2 4p^3$ [5](#page=5).
#### 1.2.4 Edelgasconfiguratie en het periodiek systeem
* **Edelgasconfiguratie:** Een toestand met volledig gevulde buitenste orbitalen, wat zeer stabiel is. Enkel edelgassen zoals helium en neon bezitten deze configuratie [6](#page=6).
* **Periodiek systeem:** De elektronenconfiguraties verklaren de ordening in het periodiek systeem. Elementen in dezelfde kolom vertonen vergelijkbare eigenschappen [6](#page=6).
* Metalen bevinden zich links en in het midden (te veel valentie-elektronen voor een edelgasconfiguratie) [6](#page=6).
* Niet-metalen bevinden zich rechts (te weinig valentie-elektronen) [6](#page=6).
* Tussen deze gebieden liggen de metalloïden (halfmetalen) [6](#page=6).
* Helemaal rechts staan de edelgassen [6](#page=6).
### 1.3 Invloed op de densiteit
De atoommassa en atoomdiameter hebben een significante invloed op de densiteit van een materiaal. Echter, ook andere hiërarchische niveaus, zoals de rangschikking van atomen en de aanwezigheid van poriën, beïnvloeden de materiaaldichtheid [7](#page=7).
> **Tip:** Hoewel de atoomstructuur fundamenteel is, bepalen hogere organisatieniveaus (micro- en macrostructuur) ook de materiaaleigenschappen, zoals geïllustreerd door het verschil in dichtheid tussen massief aluminium en aluminiumschuim [7](#page=7).
**Tabel 1: Verband tussen atoomkenmerken en materiaaldichtheid** [7](#page=7).
| Element/Materiaal | Atoommassa (g/mol) | Atoomdiameter (nm) | Materiaaldichtheid (kg/dm³) |
| :---------------------- | :----------------- | :----------------- | :-------------------------- |
| Beryllium | 9.01 | 0.220 | 1.85 |
| Koolstof (grafiet) | 12.01 | 0.140 | 1.80 - 2.27 |
| Koolstof (diamant) | 12.01 | 0.140 | 3.52 |
| Aluminium (massief) | 26.98 | 0.250 | 2.70 |
| Aluminium (schuim) | 26.98 | 0.250 | 0.40 - 0.90 |
| Silicium | 28.08 | 0.220 | 2.33 |
| IJzer | 55.84 | 0.280 | 7.88 |
| Goud | 196.9 | 0.270 | 19.30 |
| Lood | 207.1 | 0.360 | 11.34 |
---
# De atoomstructuur en geschiedenis van de atoomtheorie
Dit onderwerp beschrijft de evolutie van atoommodellen, de fundamentele deeltjes van een atoom en de kwantummechanische beschrijving van elektronenbanen.
### 2.1 Geschiedenis van de atoomtheorie
De ontwikkeling van de atoomtheorie is een proces geweest van voortschrijdend inzicht [2](#page=2).
#### 2.1.1 Vroege modellen
* **Dalton's atoomtheorie:** John Dalton postuleerde dat materialen verschillende eigenschappen hebben omdat ze uit verschillende, harde en ondeelbare atomen bestaan [2](#page=2).
* **Thompson's model:** J.J. Thompson toonde aan dat atomen uit kleinere deeltjes bestaan en ontdekte elektronen. Zijn theorie stelde dat een atoom uit positief geladen materiaal bestaat waarin negatief geladen elektronen zijn verdeeld [2](#page=2).
* **Rutherford's model:** Ernest Rutherford ontdekte dat een atoom een kleine kern bezit die het grootste deel van de massa bevat. Deze kern bestaat uit positief geladen protonen en wordt omgeven door elektronen; het grootste deel van het atoomvolume is nagenoeg leeg [2](#page=2).
#### 2.1.2 Kwantummechanische ontwikkelingen
* **Bohr's model:** Niels Bohr stelde voor dat elektronen in specifieke banen bewegen die gekoppeld zijn aan discrete energieniveaus. Elektronen kunnen van baan wisselen, waarbij ze van energieniveau veranderen, wat leidt tot de uitstoot van straling bij overgang naar een lager niveau. Dit model, hoewel conceptueel nuttig, bleek incorrect omdat elektronen geen exacte locaties hebben [2](#page=2).
* **Schrödinger's model:** Erwin Schrödinger toonde aan dat elektronen zich in waarschijnlijkheidsgebieden bevinden, genaamd orbitalen. Het concept van elektronen op verschillende energieniveaus blijft echter geldig [2](#page=2).
* **Chadwick's ontdekking:** James Chadwick ontdekte neutronen in de atoomkern, naast protonen. Later werd vastgesteld dat protonen en neutronen uit quarks bestaan [3](#page=3).
> **Tip:** Het concept van discrete energieniveaus uit Bohr's model is fundamenteel gebleven, zelfs nadat de exacte baan van elektronen door Schrödinger's werk werd vervangen door orbitalen [2](#page=2).
### 2.2 De structuur van een atoom
Een atoom is opgebouwd uit drie hoofddeeltjes: elektronen, protonen en neutronen [4](#page=4).
#### 2.2.1 Fundamentele deeltjes
* **Elektronen:** Negatief geladen deeltjes met een lading van $1.6 \times 10^{-19}$ Coulomb en een massa van $9.1 \times 10^{-31}$ kg [4](#page=4).
* **Protonen:** Positief geladen deeltjes met een lading van $1.6 \times 10^{-19}$ Coulomb en een massa van $1.6726 \times 10^{-27}$ kg. Het aantal protonen bepaalt het atoomnummer [4](#page=4).
* **Neutronen:** Neutrale deeltjes met een massa van $1.6749 \times 10^{-27}$ kg [4](#page=4).
In een neutraal atoom is het aantal elektronen gelijk aan het aantal protonen. De massa van een elektron is verwaarloosbaar ten opzichte van die van protonen en neutronen [4](#page=4).
#### 2.2.2 Kwantumgetallen en orbitalen
De toestand van elektronen rond de atoomkern wordt beschreven door vier kwantumgetallen. De notatie $n^{type}_y$ beschrijft het soort orbitaal [4](#page=4).
* **Hoofdquantumgetal ($n$):** Een positief natuurlijk getal dat het energieniveau aangeeft. Hogere waarden duiden op hogere energieniveaus. Het verschil tussen opeenvolgende niveaus daalt met stijgende $n$ [4](#page=4).
* **Nevenquantumgetal ($l$):** Een natuurlijk getal strikt kleiner dan $n$, dat de vorm van de orbitaal beschrijft (aangeduid met letters zoals s, p, d, f). Er is een lichte energietoename met stijgend $l$ [4](#page=4).
* s-orbitalen: bolvormig [4](#page=4).
* p-orbitalen: haltervormig [4](#page=4).
* d- en f-orbitalen: complexere vormen [4](#page=4).
* **Aantal elektronen in de orbitaal ($y$):** Geeft aan hoeveel elektronen een specifieke orbitaal bevat [4](#page=4).
#### 2.2.3 Magnetisch moment en spin
* **Magnetisch quantumgetal ($m_l$):** Beschrijft het magnetisch moment van een elektron in een willekeurige richting. Het is een geheel getal, waarvan de absolute waarde maximaal gelijk is aan $l$. Dit moment ontstaat uit de rotatie van het elektron rond de kern (orbitaal moment) en de eigen rotatie (elektronenspin) [4](#page=4).
* **Spinquantumgetal ($s$):** Beschrijft de elektronenspin, die een waarde kan hebben van $+\frac{1}{2}$ of $-\frac{1}{2}$. Elektronen met dezelfde kwantumgetallen maar tegengestelde spin vormen een elektronenpaar [4](#page=4).
> **Tip:** Het magnetisch moment van een elektron is een complex kwantummechanisch gegeven, dat voortkomt uit zowel de beweging rond de kern als de eigen spin [4](#page=4).
#### 2.2.4 Uitsluitingsprincipe van Pauli en orbitalen opvulling
Het uitsluitingsprincipe van Pauli stelt dat geen twee elektronen in een atoom dezelfde unieke combinatie van kwantumgetallen kunnen hebben. Orbitalen worden gevuld volgens stijgend energieniveau, waarbij elektronen de laagst mogelijke energie innemen. Een elektronenpaar vormt zich pas wanneer er geen beschikbare orbitaal van hetzelfde energieniveau is [5](#page=5).
> **Voorbeeld:** De elektronenconfiguratie van Lithium (3 elektronen) is $1s^2 2s^1$. Het $1s$-orbitaal is gevuld met twee elektronen, en het $2s$-orbitaal met één elektron [5](#page=5).
#### 2.2.5 Edelgasconfiguratie
Edelgassen zoals helium en neon hebben volledig gevulde orbitalen, wat een zeer stabiele toestand oplevert. Deze configuratie wordt de edelgasconfiguratie genoemd. Metalen hebben over het algemeen een of meer elektronen "te veel" voor een volledig gevulde buitenste schil, terwijl niet-metalen er een of meer "tekort" hebben. Deze elektronenconfiguraties verklaren de basis van het periodiek systeem van elementen [6](#page=6).
#### 2.2.6 Orbitalen en het Periodiek Systeem
De elektronenconfiguraties die worden bepaald door de atoomtheorieën van Bohr en Schrödinger, vormen de basis voor het periodiek systeem van elementen. Elementen in dezelfde verticale kolom vertonen vergelijkbare chemische eigenschappen. Metalen bevinden zich links en in het midden van de tabel, niet-metalen rechts, en daartussen de metalloïden. Edelgassen staan helemaal rechts [6](#page=6).
---
# Interatomaire bindingen en hun invloed op materiaaleigenschappen
Interatomaire bindingen zijn de krachten die atomen en moleculen samenhouden, en bepalen daarmee de fundamentele eigenschappen van materialen zoals sterkte, stijfheid en smeltpunt [8](#page=8).
### 3.1 Bindingen binnen en tussen bouwstenen
Materialen worden opgebouwd uit elementaire bouwstenen, zoals atomen, moleculen of macromoleculen. De bindingen binnen deze bouwstenen (intramoleculaire bindingen) en tussen de bouwstenen onderling (intermoleculaire bindingen) zijn bepalend voor het gedrag van het materiaal [8](#page=8).
* **Primaire bindingen:** Dit zijn sterke bindingen, vergelijkbaar met een stijve veer, die veel energie vereisen om te verbreken. Ze omvatten ionische, covalente en metallische bindingen [8](#page=8).
* **Secundaire bindingen:** Dit zijn zwakkere bindingen, vergelijkbaar met een slappe veer, die minder energie nodig hebben om te verbreken. Voorbeelden zijn Van-der-Waals-bindingen en waterstofbindingen [8](#page=8).
**Tip:** Het is belangrijk om onderscheid te maken tussen materiaalstijfheid (grote spanningen veroorzaken kleine vervormingen, veroorzaakt door sterke bindingen) en materiaalsterkte (grote spanningen zijn nodig om falen te veroorzaken, wat niet enkel door bindingssterkte wordt bepaald) [8](#page=8).
### 3.2 Primaire bindingen
Primaire bindingen ontstaan door uitwisseling of deling van valentie-elektronen, wat resulteert in sterke aantrekkingskrachten tussen atomen. De neiging van een atoom om elektronen op te nemen wordt elektronegativiteit genoemd, en het verschil in elektronegativiteit tussen atomen bepaalt het type binding dat ontstaat [9](#page=9).
#### 3.2.1 Elektronegativiteit
De elektronegativiteit van een element wordt beïnvloed door de vulling van de buitenste elektronenschil en de atoomdiameter. Elementen met een volle buitenste schil, zoals edelgassen, zijn weinig reactief. Atomen streven naar een edelgasconfiguratie door elektronen op te nemen, af te staan of te delen. Elementen met een hoge elektronegativiteit, zoals Fluor, hebben een sterke neiging om elektronen aan te trekken, terwijl elektropositieve elementen, zoals Lithium, eerder geneigd zijn elektronen af te staan [9](#page=9).
> **Tip:** De elektronegativiteit neemt toe van links naar rechts en van onder naar boven in het periodiek systeem [9](#page=9).
#### 3.2.2 Ionische binding
Ionische bindingen ontstaan wanneer atomen met een groot verschil in elektronegativiteit (typisch meer dan 1.7) met elkaar reageren. Een elektropositief atoom staat een elektron af aan een elektronegatief atoom, waardoor beide ionen worden gevormd die elkaar elektrostatisch aantrekken. Deze binding is niet gericht, wat kan leiden tot dichte kristalstructuren en hoge densiteit van het materiaal [10](#page=10) [11](#page=11).
**Voorbeeld:** In keukenzout (NaCl) staat natrium (Na) een elektron af aan chloor (Cl) [10](#page=10).
#### 3.2.3 Covalente binding
Covalente bindingen ontstaan tussen atomen met een beperkt verschil in elektronegativiteit, waarbij valentie-elektronen gemeenschappelijk worden gedeeld in gemeenschappelijke orbitalen. Deze bindingen zijn gericht en vormen bindingshoeken (#page=11,12) [11](#page=11) [12](#page=12).
**Voorbeelden:**
* Diamant: Elk koolstofatoom deelt elektronen met vier naburige koolstofatomen, wat resulteert in een zeer stijve driedimensionale structuur en hoge hardheid [11](#page=11).
* Grafiet: Koolstofatomen delen elektronen met drie naburige atomen, wat leidt tot stijve lagen met zwakke secundaire bindingen ertussen. Dit maakt grafiet een goed smeermiddel [11](#page=11).
* Polymeerketens: Covalente bindingen binnen de polymeerketens zijn sterk, maar de bindingen tussen de ketens zijn zwakker [11](#page=11).
#### 3.2.4 Metallische binding
Metallische bindingen komen voor in elektropositieve elementen, waarbij valentie-elektronen vrijelijk worden gedeeld door alle atomen, wat een "zee van elektronen" vormt waarbinnen de positieve metaalionen zich bevinden. De aantrekking tussen de positieve ionen en de negatieve elektronenzee zorgt voor de binding, die niet gericht is [13](#page=13).
**Voorbeeld:** Alle metalen hebben metallische bindingen [15](#page=15).
### 3.3 Secundaire bindingen
Secundaire bindingen zijn zwakker dan primaire bindingen en ontstaan niet door het delen of uitwisselen van valentie-elektronen, maar door permanente of niet-permanente elektrische dipolen [13](#page=13).
#### 3.3.1 Niet-permanente (= geïnduceerde) dipoolbindingen
Zelfs tussen neutrale atomen of moleculen kunnen tijdelijke, zwakke verbindingen ontstaan door fluctuaties in de ladingsverdeling. Dit leidt tot kortstondige dipolen die andere moleculen kunnen polariseren en een geïnduceerde dipool creëren. Materialen met dit type binding hebben extreem lage smelt- en kooktemperaturen [14](#page=14).
**Voorbeeld:** Het vloeibaar maken van edelgassen zoals argon, of symmetrische moleculen zoals H2 en Cl2 [14](#page=14).
#### 3.3.2 Permanente dipoolbindingen
In sommige moleculen, door een asymmetrische verdeling van lading, bestaan permanente dipolen. Wanneer deze polaire moleculen elkaar naderen, richten de tegengesteld geladen delen zich naar elkaar toe, wat resulteert in een Coulombische aantrekkingskracht (#page=14,15) [14](#page=14) [15](#page=15).
* **Van der Waals-krachten:** Bestaan tussen aangrenzende polaire moleculen en zijn sterker dan bindingen met geïnduceerde dipolen [15](#page=15).
* **Waterstofbinding:** Dit is het sterkste type secundaire binding en treedt op wanneer waterstof covalent gebonden is aan sterk elektronegatieve elementen zoals Fluor, stikstof of zuurstof. Het hoge kookpunt van water is hier een gevolg van [15](#page=15).
**Voorbeeld:** Secundaire bindingen tussen polymeerketens in materialen zoals polyethyleen [15](#page=15).
### 3.4 Bindingen in verschillende materiaalklassen
De materiaalklasse wordt sterk bepaald door het type bindingen dat aanwezig is [15](#page=15).
* **Metalen:** Gekenmerkt door metallische bindingen [15](#page=15).
* **Polymeren:** Hebben zowel intramoleculaire covalente bindingen als intermoleculaire secundaire bindingen [15](#page=15).
* **Keramische materialen:** Vertonen vaak bindingen met een gemengd ionisch-covalent karakter [15](#page=15).
Het smeltpunt van een materiaal is een indicator van de relatieve bindingsenergieën, aangezien hogere temperaturen nodig zijn om de cohesieve bindingen te verbreken. Zowel het smeltpunt als de stijfheid van materialen zijn direct gecorreleerd met de sterkte van de interatomaire bindingen [16](#page=16).
---
# Invloed van bindingen op het elastisch gedrag van materialen
Het elastisch gedrag van materialen wordt verklaard door de krachten tussen de atomen, die gemodelleerd kunnen worden als veren, wat leidt tot de wet van Hooke en dwarscontractie.
### 4.1 Interatomaire krachten en evenwichtsafstand
Het elastisch gedrag van materialen kan worden verklaard door de interactiekrachten tussen atomen. Bij een ionische binding, bijvoorbeeld tussen een natrium kation en een chloor anion, trekken de tegengesteld geladen deeltjes elkaar aan met een Coulombkracht. Deze aantrekkingskracht neemt drastisch toe naarmate de afstand tussen de deeltjes kleiner wordt [17](#page=17).
Echter, bij zeer kleine afstanden wordt de aantrekkingskracht tegengewerkt door een afstotende kracht. Deze afstotende kracht ontstaat door de overlapping van de elektronenwolken van de ionen en de poging om de positief geladen kernen dichter bij elkaar te brengen. De som van de aantrekkings- en afstotingskrachten resulteert in de totale bindingskracht [17](#page=17).
Er is een specifieke afstand, de evenwichtsafstand ($a_0$), waarbij de netto bindingskracht nul is. Op deze afstand bevinden de atomen zich in hun meest stabiele toestand met de minimale bindingsenergie. Om de atomen verder uit elkaar te bewegen of dichter bij elkaar te brengen vanuit deze evenwichtspositie, is een externe kracht en dus energie nodig. Deze evenwichtsafstand is geldig bij absolute nulpunt; bij hogere temperaturen zullen de atomen trillen rond hun evenwichtspositie [17](#page=17) [18](#page=18).
> **Tip:** De evenwichtsafstand ($a_0$) is cruciaal voor het begrijpen van zowel de sterkte als de elasticiteit van een materiaal.
#### 4.1.1 Model van de atomaire veer
Het gedrag van atomen ten opzichte van elkaar bij belasting vertoont sterke gelijkenis met het gedrag van een veer. Wanneer een materiaal wordt uitgerekt onder externe spanning, nemen de interatomaire afstanden toe. Deze verplaatsing van atomen uit hun evenwichtstoestand zorgt voor een toename van de energie in het kristalrooster, vergelijkbaar met de energie die wordt opgeslagen in een uitgerekte veer. Bij het wegnemen van de externe belasting komt de opgeslagen energie vrij, waardoor het systeem terugkeert naar zijn minimale energiepositie, de evenwichtsafstand [18](#page=18).
#### 4.1.2 De wet van Hooke op atomair niveau
De kracht-verplaatsingsrelatie van de interactie tussen atomen is in de buurt van de evenwichtspositie ($a_0$) lineair. Dit lineaire verband is in overeenstemming met de wet van Hooke op macroscopisch niveau. De helling van de kracht-verplaatsingscurve op atomair niveau komt overeen met de elasticiteitsmodulus (E-modulus) van het materiaal. De wet van Hooke geldt voor zowel trek- als drukbelastingen, omdat de lineaire relatie ook behouden blijft wanneer atomen licht tegen elkaar worden gedrukt [18](#page=18).
> **Tip:** De E-modulus van een materiaal is direct gerelateerd aan de 'stijfheid' van de atomaire bindingen. Materialen met sterkere bindingen (bv. covalent) hebben doorgaans een hogere E-modulus [17](#page=17).
#### 4.1.3 Dwarscontractie vanuit atomair perspectief
Dwarscontractie, het verschijnsel dat een materiaal in dwarsrichting dunner wordt wanneer het in lengterichting wordt uitgerekt, kan ook verklaard worden vanuit de atomaire schaal. Wanneer de atomen in de lengterichting van elkaar verwijderd worden, ontstaat er in de dwarsrichting meer "ruimte", waardoor de atomen in die richting dichter bij elkaar kunnen komen. Dit kan vergeleken worden met het stapelen van flessen: als de onderste rij verder uit elkaar wordt getrokken, neemt de totale hoogte van de stapel af [18](#page=18).
> **Voorbeeld:** Een rubberen band wordt uitgerekt. De lengte neemt toe, maar de dikte neemt af. Dit komt doordat de polymeerketens, die de rubberen band vormen, in de lengterichting worden uitgelijnd en de ketens in de dwarsrichting dichter bij elkaar gepakt worden.
### 4.2 Relatie tussen bindingstype en materiaaleigenschappen
Verschillende bindingstypes leiden tot uiteenlopende materiaaleigenschappen, zoals weergegeven in Tabel 2 [17](#page=17).
* **Diamant** (covalente binding) heeft een zeer hoge smelttemperatuur (3550°C) en een hoge E-modulus (1200 GPa). Dit duidt op sterke, gerichte bindingen [17](#page=17).
* **Koper** (metallieke binding) heeft een gemiddelde smelttemperatuur (1085°C) en een redelijke E-modulus (120 GPa). Metallieke bindingen zijn minder sterk dan covalente bindingen, maar zorgen voor ductiliteit [17](#page=17).
* **Tawlout (NaCl)** (ionische binding) heeft een lagere smelttemperatuur (801°C) en E-modulus (40 GPa). Ionische bindingen zijn elektrostatisch en gericht, maar de roosterstructuur is minder rigide dan bij covalente netwerken [17](#page=17).
* **Polyethyleen** (covalente en secundaire bindingen) heeft een lage smelttemperatuur (rond 120°C) en een zeer lage E-modulus (1 GPa). De secundaire bindingen (van der Waals-krachten) tussen de polymeerketens zijn zwak, wat resulteert in een materiaal dat gemakkelijk vervormt en verweekt [17](#page=17).
> **Tip:** De smelttemperatuur en de E-modulus zijn directe macroscopische manifestaties van de sterkte en aard van de interatomaire bindingen. Een hoge smelttemperatuur en E-modulus wijzen op sterke bindingen.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Atoomnummer | Het aantal protonen in de kern van een atoom, dat de identiteit van het element bepaalt. |
| Valentie-elektronen | Elektronen in de buitenste schil van een atoom die betrokken zijn bij chemische bindingen en het bepalen van de reactiviteit van het element. |
| Elektronegativiteit | Een maat voor de neiging van een atoom om elektronen naar zich toe te trekken in een chemische binding. |
| Ionische binding | Een type chemische binding dat ontstaat door de elektrostatische aantrekking tussen tegengesteld geladen ionen, meestal gevormd door een groot verschil in elektronegativiteit. |
| Covalente binding | Een type chemische binding waarbij atomen valentie-elektronen delen om een stabiele elektronenschil te bereiken, wat resulteert in gedeelde orbitalen. |
| Metaalbinding | Een type chemische binding dat voorkomt in metalen, waarbij valentie-elektronen een zogenaamde 'elektronenzee' vormen waarbinnen de positieve metaalionen zich bevinden. |
| Secundaire bindingen | Zwakkere bindingen tussen moleculen die ontstaan door elektrische dipolen, zowel tijdelijk (geïnduceerd) als permanent, en omvatten Van der Waals krachten en waterstofbruggen. |
| Orbitaal | Een gebied rond de atoomkern waar de waarschijnlijkheid om een elektron aan te treffen het grootst is, gekenmerkt door een bepaalde vorm en energieniveau. |
| Quantumgetallen | Een set getallen die de toestand van een elektron in een atoom beschrijven, inclusief energieniveau, vorm van de orbitaal, magnetische oriëntatie en spin. |
| Uitsluitingsprincipe van Pauli | Het principe dat stelt dat geen twee elektronen in een atoom dezelfde set kwantumgetallen kunnen hebben, wat impliceert dat elk elektron een unieke kwantumtoestand inneemt. |
| Edelgasconfiguratie | De elektronenschilconfiguratie van de edelgassen, gekenmerkt door een volledig gevulde buitenste elektronenschil, wat resulteert in een zeer stabiele toestand en lage reactiviteit. |
| Molecuul | Een chemische entiteit bestaande uit twee of meer atomen die door chemische bindingen bij elkaar worden gehouden. |
| Macromolecuul | Een zeer grote molecule die is opgebouwd uit herhalende eenheden (monomeren), zoals polymeren. |
| Densiteit | De massa van een materiaal per eenheid van volume, die wordt beïnvloed door atoommassa, atoomdiameter en de manier waarop atomen of moleculen zijn gerangschikt. |
| Elastisch gedrag | Het vermogen van een materiaal om terug te keren naar zijn oorspronkelijke vorm na het verwijderen van een aangelegde belasting. |
| Wet van Hooke | Een principe dat stelt dat de rek van een materiaal proportioneel is aan de aangelegde spanning, zolang de elastische limiet niet wordt overschreden. |
| Coulombkracht | De elektrostatische kracht die wordt uitgeoefend tussen twee geladen deeltjes. De kracht is direct evenredig met het product van de ladingen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen de deeltjes. |
| Electronenpaar | Twee elektronen die dezelfde orbitaal bezetten en tegengestelde spins hebben, zoals beschreven door het uitsluitingsprincipe van Pauli. |
| Spinquantumgetal | Een kwantumgetal dat de intrinsieke hoekimpuls van een elektron beschrijft, dat de waarden $+1/2$ of $-1/2$ kan aannemen. |
| Magnetisch quantumgetal | Een kwantumgetal dat de oriëntatie van het orbitale impulsmoment van een elektron in een extern magnetisch veld beschrijft. |
Cover
HC10 -Akoestiek gehoor.pptx
Summary
# De structuur en functie van het oor
Dit onderwerp behandelt de anatomie en akoestische functies van het buitenoor, middenoor en binnenoor, inclusief mechanismen voor geluidslokalisatie, resonantie en impedantieaanpassing.
## 1. Het buitenoor: Lokalisatie, geleiding en resonantie
Het buitenoor, bestaande uit de oorschelp en de gehoorgang, vervult vier akoestische functies:
### 1.1 Lokalisatie
De vorm van de oorschelp en de interactie met het hoofd creëren subtiele verschillen in de geluidsgolven die het oor bereiken. Deze verschillen, zoals buiging en de afgelegde weg, zijn cruciaal voor het bepalen van de richting waaruit geluid afkomstig is.
### 1.2 Geleidingsmechanisme
De oorschelp en gehoorgang richten geluid efficiënt naar het trommelvlies.
### 1.3 Resonantieversterking
De specifieke vorm van het buitenoor zorgt voor een natuurlijke versterking van bepaalde frequenties.
### 1.4 Kamfiltereffect
Het buitenoor werkt als een kamfilter, waarbij sommige frequenties worden versterkt en andere worden verzwakt.
## 2. Het middenoor: De impedantieaanpasser en versterker
Het middenoor bevat de gehoorbeentjes (malleus, incus en stapes) en speelt een sleutelrol bij het aanpassen van de akoestische impedantie tussen het luchtgevulde middenoor en het vloeistofgevulde binnenoor.
### 2.1 Impedantie en reflectie
Lucht heeft een lagere impedantie ($Z_{lucht} \approx 415$ Rayl) dan de vloeistof in het binnenoor ($Z_{vloeistof} \approx 56 \times 10^3$ Rayl). Een groot verschil in impedantie leidt tot aanzienlijke geluidsreflectie. De reflectiefactor wordt gegeven door:
$$ r = \left( \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} \right)^2 $$
Zonder aanpassingsmechanismen zou ongeveer 97% van het geluid worden gereflecteerd, wat resulteert in significant gehoorverlies.
### 2.2 Impedantie van het binnenoor
De impedantie van het binnenoor wordt beïnvloed door:
* **Resistieve component:** De stroperigheid van het vocht in het binnenoor zet trillingen om in warmte, wat bij alle frequenties remmend werkt.
* **Reactieve componenten:**
* **Stijfheid:** Het vloeibare medium is minder samendrukbaar dan lucht, wat een sterker effect heeft bij lage tonen.
* **Massa-effect:** De traagheid van het medium heeft een sterker effect bij hoge tonen.
### 2.3 Oplossingen voor impedantieaanpassing
Het middenoor gebruikt drie mechanismen om de geluidstransmissie te optimaliseren en reflectie te minimaliseren:
#### 2.3.1 Oppervlakteverschil
Het oppervlak van het trommelvlies is significant groter (ongeveer 17 keer) dan dat van het ovale venster (waar de stijgbeugel aanhecht). Dit oppervlakteverschil vergroot de druk die op de vloeistof in het binnenoor wordt uitgeoefend, wat resulteert in een drukversterking van ongeveer 25 dB. De relatie tussen druk ($p$), kracht ($F$) en oppervlak ($A$) is $p = F/A$.
#### 2.3.2 Hefboommechanisme
De gehoorbeentjes, met name de hamer en aambeeld, vormen een hefboom rond een rotatie-as. Dit mechanisme vergroot de kracht die op de stapes wordt uitgeoefend met een factor van ongeveer 1,3, wat een geluidsversterking van circa 2 dB oplevert.
#### 2.3.3 Flexibiliteit van het trommelvlies
De flexibiliteit van het trommelvlies zelf draagt bij aan de geluidsoverdracht. Een optimale flexibiliteit kan een versterking van een factor 2 (ongeveer 6 dB) geven.
De combinatie van deze drie mechanismen resulteert in een totale geluidsversterking van ongeveer 33 dB, waardoor een efficiënte overdracht van geluid van lucht naar vloeistof mogelijk wordt gemaakt.
### 2.4 Bescherming tegen harde geluiden: De stapediusreflex
Het middenoor biedt gedeeltelijke bescherming tegen te harde geluiden via de stapediusreflex. Wanneer een luid geluid het oor bereikt, trekt de stapediusspier samen, wat de beweging van de stapes remt en de geluidsdoorgifte met ongeveer 14 dB verzwakt. Deze reflex heeft echter een reactietijd van 60-120 milliseconden, waardoor het niet effectief is bij plotselinge, zeer luide geluiden, en gehoorschade nog steeds mogelijk is.
### 2.5 Problemen in het middenoor en hun impact
Problemen in het middenoor, zoals ontstekingen of verkoudheid, kunnen de werking ervan negatief beïnvloeden:
* **Vocht of ontsteking:** Dit kan de stijfheid van het middenoor verhogen (Compliantie $\downarrow$), waardoor de effectiviteit van de geluidstransmissie afneemt.
* **Veranderde druk:** Een verstopte buis van Eustachius kan leiden tot drukverschillen, waardoor het trommelvlies minder mobiel wordt en de geluidstransmissie vermindert.
* **Verminderde stapediusreflex:** Een minder goed functionerende stapediusreflex leidt tot minder bescherming tegen luide geluiden.
Impedantie kan worden gedefinieerd als de weerstand tegen de doorgifte van geluid, terwijl compliantie de soepelheid of beweeglijkheid van structuren zoals het trommelvlies en de gehoorbeentjes aangeeft.
## 3. Het binnenoor: Frequentieanalyse en transductie
Het binnenoor, met name de cochlea (slakkenhuis), is verantwoordelijk voor het omzetten van mechanische trillingen in neurale signalen en voor frequentiesegregatie.
### 3.1 De lopende golf en resonantie
Geluidstrillingen die het ovale venster binnenkomen, creëren een lopende golf langs het basilair membraan van de cochlea. Dit membraan heeft een variabele dikte en spanning over zijn lengte. Elke zuivere toon veroorzaakt een maximale uitslag op een specifieke locatie van het basilair membraan, die correspondeert met de eigen resonantiefrequentie van dat deel van het membraan.
### 3.2 Locatie-specifieke frequentiedetectie
* **Basis van de cochlea:** Hier is het basilair membraan dun en gespannen, wat leidt tot resonantie en maximale excitatie bij **hoge frequenties** (tot 20.000 Hz).
* **Apex van de cochlea:** Hier is het basilair membraan dik en slap, wat resonantie en maximale excitatie veroorzaakt bij **lage frequenties** (vanaf 200 Hz).
Dit principe maakt de cochlea tot een natuurlijke "filterbank" die geluidssignalen analyseert op frequentie.
### 3.3 Transductie naar neurale signalen
De maximale uitslag op een bepaalde locatie van het basilair membraan stimuleert specifieke haarcellen. Deze haarcellen zetten de mechanische beweging om in elektrische signalen, die vervolgens via de gehoorzenuw naar de hersenen worden gestuurd voor verdere verwerking.
### 3.4 Het basilair membraan als filterbank
Het basilair membraan gedraagt zich als een reeks parallelle banddoorlaatfilters. Elk deel van het membraan reageert selectief op een bepaald frequentiebereik. De hersenen ontvangen informatie over zowel frequentie als amplitude van deze gebieden, die samen een spectrogram van het geluid vormen.
## 4. Maskering: Onderdrukking van geluidssignalen
Maskering treedt op wanneer een geluidssignaal (het signaal) wordt onderdrukt door de aanwezigheid van een ander geluid (het masker), waardoor de gehoordrempel voor het signaal wordt verhoogd.
### 4.1 Definitie van maskering
Maskering is het proces waarbij de perceptie van een signaal wordt bemoeilijkt of onmogelijk gemaakt door een gelijktijdig (simultaan) of opeenvolgend (niet-simultaan) aanwezig masker.
### 4.2 Toepassingen van maskering
* **Audiometrie:** Om het gehoor van één oor te testen zonder dat het andere oor meedoet.
* **Studeren:** Om storende, zwakke geluiden te onderdrukken.
* **MP3-opslag:** Om data te reduceren door alleen niet-gemaskeerde geluiden op te slaan.
* **Spraakverstaanbaarheid:** Luide muziek op feesten kan spraak maskeren.
### 4.3 Simultane maskering
Bij simultane maskering worden signaal en masker tegelijkertijd aangeboden.
#### 4.3.1 Soorten ruis voor maskering
* **Smalbandruis (Narrowband Noise, NBN):** Ruissignalen met een beperkte bandbreedte rond een centrale frequentie. Maskering is het sterkst wanneer de frequentie van het signaal dicht bij de centrale frequentie van de smalbandruis ligt. Echter, smalbandruis is vaak niet ideaal voor audiometrie omdat de drempelverschuiving niet uniform is over alle frequenties.
* **Witte ruis:** Bevat alle hoorbare frequenties met gelijke spectrale dichtheid. Bij voldoende hoge intensiteit kan witte ruis de drempelverschil bijna onafhankelijk van de frequentie maken, maar bij lagere intensiteiten is de drempel nog steeds frequentieafhankelijk.
* **Roze ruis:** Heeft een spectrale dichtheid die afneemt met toenemende frequentie (meestal 3 dB per octaaf). Met behulp van roze ruis kan een relatief constante drempelverschuiving over een breed frequentiebereik worden verkregen, wat het geschikt maakt voor audiometrische metingen.
* **Uniforme maskeerruis (maskeerruis + roze ruis):** Een combinatie die streeft naar een uniforme drempelverschuiving over alle frequenties, met specifieke aanpassingen voor hogere frequenties.
* **Zuivere toon:** Maskering met een zuivere toon is het sterkst in de buurt van die toon. Dit kan echter leiden tot zwevingen en verschiltonen, wat audiometrische metingen bemoeilijkt.
### 4.4 Kritieke banden
De cochlea heeft ongeveer 24 "kritieke banden", die corresponderen met de minimale bandbreedte van ruis die nodig is om een toon volledig te maskeren. Alleen frequenties binnen de kritieke band van een geluid dragen significant bij aan de maskering ervan. De breedte van deze kritieke banden varieert met de frequentie; ze zijn smaller bij lage frequenties en breder bij hoge frequenties.
#### 4.4.1 Berekening van de kritieke bandbreedte
De kritieke bandbreedte ($\Delta f_c$) kan worden bepaald met behulp van de volgende relatie, gebaseerd op signaalvermogen ($P_S$), ruisvermogen ($P_N$) en spectrale ruisdichtheid ($N_0$):
$$ P_N = N_0 \cdot \Delta f_c $$
Hieruit volgt dat $\Delta f_c = P_N / N_0$. In termen van geluidsdrukniveau (SPL) kan dit worden uitgedrukt als:
$$ L_{SPL} - L_{N} = 10 \log_{10} \left( \frac{\Delta f_c}{\Delta f_{ref}} \right) $$
waarbij $L_{SPL}$ het SPL van het signaal is, $L_N$ het SPL van de ruis, en $\Delta f_{ref}$ een referentiebandbreedte (meestal 1 Hz).
### 4.5 Niet-simultane maskering
Bij niet-simultane maskering wordt het masker voor of na het signaal aangeboden.
* **Achterwaartse maskering:** Het masker komt *na* het signaal. De reactietijd van het auditieve systeem (ongeveer 5-20 ms) speelt hierbij een rol. Dit kan medeklinkers onduidelijker maken dan klinkers.
* **Voorwaartse maskering:** Het masker komt *voor* het signaal. De "vervaltijd" van het auditieve systeem (ongeveer 100 ms) is hierbij relevant.
### 4.6 Auditieve vermoeidheid en gehoorverlies
Blootstelling aan luide geluiden kan tijdelijke auditieve vermoeidheid veroorzaken, wat leidt tot een tijdelijke verlaging van de gehoordrempel en dus tijdelijk gehoorverlies. Dit herstelt zich normaal gesproken, maar langdurige of regelmatige blootstelling aan luide geluiden kan leiden tot permanent gehoorverlies doordat de gehoordrempel permanent verschuift.
## 5. Luidheid en geluidsdruk
### 5.1 Luidheid van geluiden
De totale luidheid van meerdere geluidssignalen die in dezelfde kritieke band vallen, is niet simpelweg de som van hun individuele luidheden.
* **Gelijke frequenties in fase:** Wanneer twee identieke geluiden met dezelfde frequentie en fase tegelijkertijd optreden, wordt de geluidsdruk geadditiveerd. Als $p_1$ en $p_2$ de effectieve geluidsdrukken zijn, dan is de totale geluidsdruk $p_t = p_1 + p_2$. De totale luidheid in dB wordt dan:
$$ L_t = 20 \log_{10}(p_1 + p_2) $$
Als bijvoorbeeld twee 1000 Hz tonen van 40 dB SL (Sensational Level) worden gecombineerd, waarbij $p_1 = p_2 = 10^{40/20} = 100$ Pa, dan is $p_t = 100 + 100 = 200$ Pa, en $L_t = 20 \log_{10}(200) \approx 46$ dB SL.
* **Verschillende frequenties in dezelfde kritieke band:** Wanneer geluiden met verschillende frequenties binnen dezelfde kritieke band optreden, wordt de geluidsdruk kwadratisch geadditiveerd (RMS-waarde). De totale geluidsdruk is dan $p_t = \sqrt{p_1^2 + p_2^2}$. De totale luidheid wordt berekend uit deze gecombineerde geluidsdruk. Als bijvoorbeeld een 1000 Hz toon van 60 dB SL ($p_1 = 10^{60/20} = 1000$ Pa) en een 1050 Hz toon van 60 dB SL ($p_2 = 10^{60/20} = 1000$ Pa) worden gecombineerd, dan is $p_t = \sqrt{1000^2 + 1000^2} = \sqrt{2 \times 1000^2} = 1000\sqrt{2} \approx 1414.21$ Pa. De totale luidheid is dan $L_t = 20 \log_{10}(1414.21) \approx 63$ dB SL.
De formule voor het omzetten van geluidsdrukniveau ($L_{SPL}$) naar geluidsdruk ($p$) is $p = p_{ref} \cdot 10^{L_{SPL}/20}$, waarbij $p_{ref}$ de referentiegeluidsdruk is (meestal 20 $\mu$Pa voor lucht). In de context van SL is de referentiedrempel de hoorbaarheidsdrempel.
---
# Akoestische principes van maskering
Dit onderwerp verklaart het fenomeen maskering, waarbij een geluid de waarneming van een ander geluid onderdrukt.
### 2.1 Definitie en concept van maskering
Maskering treedt op wanneer de gehoordrempel voor een bepaald geluid (het signaal) wordt verhoogd door de aanwezigheid van een ander geluid (het masker). Hierdoor wordt het signaal minder goed of helemaal niet meer gedetecteerd. De mate van maskering is afhankelijk van het geluidsdrukniveau van het masker.
> **Tip:** Maskering is een fundamenteel concept in de audiologie, met name bij het uitvoeren van gehoortesten, maar heeft ook toepassingen in data-reductie en de analyse van spraakverstaanbaarheid.
### 2.2 Toepassingen van maskering
De principes van maskering vinden diverse toepassingen:
* **Toonaudiometrie:** Maskering wordt gebruikt om te voorkomen dat het geluid dat aan één oor wordt aangeboden, wordt waargenomen door het andere oor (overhoren). Dit zorgt ervoor dat de audiogramgegevens accuraat zijn voor elk afzonderlijk oor.
* **Studie-omgevingen:** Zwakke omgevingsgeluiden, zoals een tikkende klok, kunnen gemaskeerd worden door achtergrondgeluid, waardoor ze minder storend zijn tijdens het studeren.
* **MP3-opslag:** In digitale audio-compressie worden geluiden die door andere, luidere geluiden worden gemaskeerd, verwijderd of met lagere kwaliteit opgeslagen, wat resulteert in kleinere bestandsgroottes.
* **Spraakverstaanbaarheid:** In lawaaierige omgevingen, zoals een feestje met luide muziek, kan de spraakverstaanbaarheid significant verminderd worden doordat de spraak wordt gemaskeerd door de achtergrondmuziek.
### 2.3 Soorten maskering op basis van tijd
Maskering kan worden ingedeeld naar de temporele relatie tussen het signaal en het masker:
#### 2.3.1 Simultane maskering
Bij simultane maskering worden het signaal en het masker tegelijkertijd aangeboden. Dit is de meest voorkomende vorm van maskering die wordt toegepast bij audiometrische testen.
#### 2.3.2 Niet-simultane maskering
Niet-simultane maskering treedt op wanneer het masker niet tegelijkertijd met het signaal wordt aangeboden, maar er vlak voor of vlak na.
##### 2.3.2.1 Achterwaartse maskering
Achterwaartse maskering vindt plaats wanneer het masker wordt aangeboden *na* het signaal. Er is een korte reactietijd van het auditieve systeem om het signaal nog waar te nemen, doorgaans tussen 5 en 20 milliseconden.
* **Toepassing in spraak:** Medeklinkers kunnen minder duidelijk worden waargenomen dan klinkers, omdat de neurale en cognitieve verwerking van de daaropvolgende klinker voorrang kan krijgen en de medeklinker achterwaarts maskeert. Dit kan bijdragen aan de waarneming van assimilatie in spraak.
##### 2.3.2.2 Voorwaartse maskering
Voorwaartse maskering treedt op wanneer het masker wordt aangeboden *voor* het signaal. Hierbij speelt de vervaltijd van het auditieve systeem een rol, die ongeveer 100 milliseconden kan duren voordat de auditieve perceptie van het signaal volledig is verdwenen.
> **Tip:** Niet-simultane maskering kan leiden tot tijdelijke verlaging van de gehoordrempel, wat kan voelen als tijdelijk gehoorverlies na blootstelling aan luide geluiden. Dit herstelt zich normaliter binnen 24 uur, tenzij er sprake is van regelmatige blootstelling aan hoge geluidsniveaus, wat kan leiden tot permanent gehoorverlies.
### 2.4 Typen maskeerruis
Verschillende typen ruis worden gebruikt voor maskering, elk met specifieke eigenschappen:
#### 2.4.1 Smalbandruis (Narrowband Noise - NBN)
Smalbandruis is gefilterde ruis met een beperkte bandbreedte rondom een centrale frequentie.
* **Effect:** Maskering is het sterkst wanneer de frequentie van het signaal dicht bij de centrale frequentie van de smalbandruis ligt. Bij hogere tonen is het maskeringseffect groter.
* **Beperking:** Smalbandruis is niet ideaal voor audiometrie omdat de maskering niet uniform is over alle frequenties. Lage tonen in het masker maskeren hogere tonen gemakkelijker, en de gehoordrempel is niet constant over het gehele frequentiespectrum.
#### 2.4.2 Witte ruis (Broadband Noise)
Witte ruis bevat gelijke energie per frequentie-eenheid.
* **Effect:** Bij intensieve witte ruis (hoge spectrale dichtheid $N_0$) wordt de gehoordrempel minder afhankelijk van de frequentie. Echter, bij lagere intensiteiten van witte ruis is de drempel nog steeds frequentieafhankelijk.
* **Beperking:** Witte ruis is ook niet ideaal voor audiometrie omdat de gehoordrempel bij lagere intensiteiten sterk frequentieafhankelijk is, wat leidt tot een helling in de gehoordrempelcurve, vooral bij hogere frequenties (ongeveer 3 dB per octaaf).
#### 2.4.3 Roze ruis (Pink Noise)
Roze ruis heeft gelijke energie per octaaf. Dit resulteert in een spectrale dichtheid die met 3 dB per octaaf afneemt met toenemende frequentie.
* **Effect:** Wanneer witte ruis wordt gecombineerd met roze ruis, of wanneer roze ruis op zichzelf wordt gebruikt, kan de gehoordrempel constant worden gemaakt over een breed frequentiebereik.
* Voor frequenties groter dan 500 Hz zorgt een correctie van 3 dB per octaaf ervoor dat de drempelverschuiving constant is.
* Hogere tonen, die moeilijker gemaskeerd worden, vereisen meer maskering.
* Lagere tonen worden niet of nauwelijks beïnvloed.
* **Voordeel:** Roze ruis zorgt voor een uniforme maskering over een breed frequentiespectrum, waardoor het zeer geschikt is voor audiometrische testen.
#### 2.4.4 Zuivere toon als masker
Het is ook mogelijk om een zuivere toon te gebruiken als masker.
* **Effect:** Maskering is het sterkst wanneer de frequentie van het masker dicht bij die van het signaal ligt.
* **Beperking:** Wanneer twee tonen dicht bij elkaar liggen, kunnen zwevingen en verschiltonen ontstaan, wat de maskering en de nauwkeurigheid van audiometrische testen kan bemoeilijken.
### 2.5 Kritieke banden
Het concept van kritieke banden is essentieel voor het begrijpen van hoe geluiden worden verwerkt in het slakkenhuis.
* **Definitie:** Een kritieke band is de minimale bandbreedte van ruis rondom een bepaalde frequentie waarbinnen alle ruis bijdraagt aan de maskering van een toon op die frequentie. Wanneer de bandbreedte kleiner is dan de kritieke band, neemt de maskering af.
* **Functie:** Het basilair membraan in het slakkenhuis kan worden gezien als een filterbank met ongeveer 24 kritieke banden. Deze banden zijn cruciaal voor de frequentieselectiviteit van het gehoor, waardoor we verschillende tonen van elkaar kunnen onderscheiden.
> **Tip:** De grootte van de kritieke band is afhankelijk van de frequentie. Bij hogere frequenties zijn de kritieke banden breder.
### 2.6 Akoestische principes bij optelling van geluiden
De waargenomen luidheid van meerdere geluiden hangt af van hun frequenties en of ze binnen dezelfde kritieke band vallen.
* **Gelijke frequenties en in fase:** Wanneer meerdere geluiden met dezelfde frequentie en in fase worden aangeboden, is de resulterende geluidsdruk simpelweg de som van de individuele geluidsdrukken. Dit leidt tot een toename in de luidheid (bv. twee identieke tonen van 40 dB SL geven samen 46 dB SL).
$$ p_t = p_1 \text{ rms} + p_2 \text{ rms} $$
$$ L_t = 20 \log(p_t) $$
* **Verschillende frequenties:** Wanneer geluiden verschillende frequenties hebben, worden hun geluidsdrukken eerst gekwadrateerd, opgeteld en vervolgens wordt de wortel genomen (rms-waarde).
$$ p_t = \sqrt{p_1 \text{ rms}^2 + p_2 \text{ rms}^2} $$
$$ L_t = 20 \log(p_t) $$
* **Binnen kritieke band:** Als meerdere geluiden binnen dezelfde kritieke band vallen, draagt hun totale energie bij aan de maskering. De berekening van de totale luidheid wordt complexer, maar het effect is groter dan wanneer ze zich in verschillende kritieke banden zouden bevinden. Buiten de kritieke band wordt de berekening minder lineair en is de totale luidheid lager dan de som van individuele luidheden.
> **Voorbeeld:** Het optellen van twee geluiden van 60 dB SL op 1000 Hz en 1050 Hz, die waarschijnlijk binnen dezelfde kritieke band vallen, zal resulteren in een hogere gecombineerde luidheid dan wanneer deze in volledig gescheiden kritieke banden zouden liggen.
---
# Toepassingen en berekeningen in audiologie
Hieronder volgt een gedetailleerde samenvatting over toepassingen en berekeningen in audiologie, opgesteld als een examenstudiehandleiding.
## 3. Toepassingen en berekeningen in audiologie
Dit deel behandelt praktische audiologische toepassingen zoals het toonaudiogram, het concept van 'Hearing Level' (HL) in plaats van 'Sound Pressure Level' (SPL), en illustreert berekeningen gerelateerd aan geluidsdruk en luidheid in diverse scenario's.
### 3.1 Het toonaudiogram en gehoorniveau
#### 3.1.1 Het concept van 'Hearing Level' (HL)
Het toonaudiogram is een essentieel instrument in de audiologie om de gehoorgevoeligheid van een persoon in kaart te brengen. In plaats van gebruik te maken van de objectieve meting van geluidsdruk, uitgedrukt in Sound Pressure Level (SPL), hanteert men in audiometrie het concept van 'Hearing Level' (HL).
* **Sound Pressure Level (SPL):** Dit is een absolute meting van de druk die een geluidsgolf uitoefent op een medium, uitgedrukt in decibels (dB). Het SPL geeft de fysieke intensiteit van het geluid weer.
* **Hearing Level (HL):** Dit is een relatieve maat die aangeeft hoeveel geluid een persoon moet horen om het te detecteren, vergeleken met een referentiedrempel van een normaalhorend persoon. De referentiedrempel van een normaalhorend persoon wordt gedefinieerd als $0$ dB HL. Dit betekent dat $0$ dB HL niet overeenkomt met stilte, maar met de zachtste geluiden die een persoon met een optimaal gehoor kan waarnemen bij specifieke frequenties.
**Voordelen van HL ten opzichte van SPL in audiometrie:**
* **Gestandaardiseerde vergelijking:** HL maakt het mogelijk om de gehoorgevoeligheid van verschillende personen te vergelijken, ongeacht kleine variaties in de kalibratie van apparatuur.
* **Klinische relevantie:** Het geeft direct weer hoe "verstoord" iemands gehoor is in vergelijking met het gemiddelde. Een afwijking van $0$ dB HL duidt op een normaal gehoor, terwijl hogere waarden duiden op gehoorverlies.
#### 3.1.2 De gehoordrempel en gevoeligheidsgebied
Het gevoeligheidsgebied van het gehoor wordt weergegeven door de gehoordrempel.
* **Normale gehoordrempel:** De laagste lijn op een gehoorcurve, die de zachtste geluiden vertegenwoordigt die een normaalhorend persoon kan waarnemen, wordt gedefinieerd als $0$ dB HL.
* **Gehoorverlies:** Wanneer iemand geluiden moet horen die luider zijn dan $0$ dB HL om ze te detecteren, spreekt men van gehoorverlies. Een gehoordrempel van bijvoorbeeld $40$ dB HL betekent dat de persoon $40$ decibel meer geluidsdruk nodig heeft om een toon te horen dan een normaalhorende persoon.
### 3.2 Berekeningen gerelateerd aan geluidsdruk en luidheid
De akoestiek van het oor, inclusief het middenoor en binnenoor, is complex en omvat diverse mechanismen die bijdragen aan de geluidsverwerking. De luidheid van geluid kan worden gekwantificeerd met behulp van verschillende berekeningen, met name wanneer het gaat om het optellen van geluidsdrukken of het begrijpen van maskeringseffecten.
#### 3.2.1 Optellen van geluidsdrukken
Wanneer er meerdere geluidsbronnen tegelijkertijd aanwezig zijn, of wanneer geluidsgolven met verschillende frequenties elkaar overlappen, is het optellen van de afzonderlijke geluidsdrukken niet lineair, zeker niet wanneer ze in fase zijn of niet.
* **Gelijke frequenties, in fase:** Als twee identieke geluidsgolven met dezelfde frequentie en amplitude in fase zijn, dan wordt de totale geluidsdruk de som van de individuele drukken. Als de geluidsdruk van één bron $p_1$ is, en van een tweede identieke bron $p_2$ (dus $p_1 = p_2$), dan is de totale geluidsdruk $p_t = p_1 + p_2$. In termen van geluidsdrukniveau (SPL) resulteert dit in een verhoging van $6$ dB.
* Formule:
$$L_t = 20 \log_{10}(p_t)$$
met $p_t = p_1 + p_2$ voor gelijke signalen in fase.
* Voorbeeld:
Als $1000$ Hz op $40$ dB SL ($p_1 = 10^{40/20}$ Pa) en nogmaals $1000$ Hz op $40$ dB SL ($p_2 = 10^{40/20}$ Pa) worden aangeboden, dan is $p_t = 100 + 100 = 200$ Pa. De totale luidheid is dan $L_t = 20 \log_{10}(200) \approx 46$ dB SL.
* **Verschillende frequenties:** Wanneer geluidsgolven met verschillende frequenties optreden, kan de totale geluidsdruk worden berekend met behulp van de wortel uit de som van de kwadraten van de individuele geluidsdrukniveaus (rms-waarden), gevolgd door de omzetting naar decibellen. Dit is gebaseerd op de stelling dat geluidsenergie optelt.
* Formule:
$$L_t = 20 \log_{10}\left(\sqrt{p_1^2 + p_2^2 + \dots}\right)$$
of equivalent:
$$L_t = 10 \log_{10}(10^{L_1/10} + 10^{L_2/10} + \dots)$$
waarbij $L_1$ en $L_2$ de geluidsdrukniveaus zijn in dB SPL.
* Voorbeeld:
Als $1000$ Hz op $60$ dB SL ($p_1$) en $1050$ Hz op $60$ dB SL ($p_2$) worden aangeboden, en deze frequenties bevinden zich buiten elkaars kritieke band, dan berekenen we eerst de druk: $p_1 = 10^{60/20}$ Pa en $p_2 = 10^{60/20}$ Pa. De totale druk is $p_t = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} \approx 1414.21$ Pa. De totale luidheid is dan $L_t = 20 \log_{10}(1414.21) \approx 63$ dB SL.
#### 3.2.2 Maskering en kritieke banden
Maskering treedt op wanneer het horen van een geluid (het signaal) wordt bemoeilijkt of verhinderd door de aanwezigheid van een ander geluid (het masker). Dit principe is cruciaal bij gehoortesten om te voorkomen dat het geluid dat in het ene oor wordt getest, via de schedel hoorbaar wordt in het andere oor.
##### 3.2.2.1 Maskering met ruis
* **Definitie:** Maskering is het verschuiven van de gehoordrempel voor een signaal door de gelijktijdige aanbieding van een ander geluid (maskeerruis). De intensiteit van het masker bepaalt hoe sterk de drempelverschuiving is.
* **Soorten ruis voor maskering:**
* **Smalbandruis (Narrowband Noise - NBN):** Dit is ruis die is gefilterd tot een beperkte bandbreedte rond een bepaalde middenfrequentie (bijvoorbeeld $1/3$ octaaf). Het maskeringseffect is het sterkst wanneer de frequentie van het signaal dicht bij de middenfrequentie van de smalbandruis ligt. Echter, smalbandruis is niet ideaal voor audiometrie omdat het maskeringseffect niet uniform is over alle frequenties en de drempelverschuiving voornamelijk plaatsvindt rond de middenfrequentie en sterker is bij hogere tonen.
* **Witte ruis (White Noise):** Dit is ruis met een constante spectrale energiedichtheid over een breed frequentiebereik. Bij hoge intensiteiten (hoge spectrale dichtheid, $N_0$) wordt de drempelverschuiving nagenoeg onafhankelijk van de frequentie. Echter, bij lagere intensiteiten is witte ruis nog steeds frequentieafhankelijk en daardoor niet optimaal voor audiometrie.
* **Roze ruis (Pink Noise):** Dit is ruis met een spectrale energiedichtheid die omgekeerd evenredig is met de frequentie (een daling van $3$ dB per octaaf). Wanneer roze ruis wordt gebruikt als masker, wordt een constante drempelverschuiving bereikt over een breed frequentiebereik. Dit maakt roze ruis geschikt voor audiometrische metingen. De effectieve maskering is constant voor alle frequenties.
* **Berekening van de drempelverschuiving met roze ruis:** Wanneer een masker met roze ruis op $40$ dB wordt aangeboden, ligt de gehoordrempel voor het signaal op $40$ dB HL, onafhankelijk van de frequentie.
##### 3.2.2.2 Kritieke banden
Het concept van kritieke banden is essentieel voor het begrijpen van maskering en de perceptie van luidheid. Een kritieke band is een frequentiebereik binnen het gehoorsysteem (met name op het basilair membraan) waarbinnen geluiden bijdragen aan de maskering van een centraal signaal. Geluiden die buiten de kritieke band van het signaal vallen, dragen minder of niet bij aan de maskering.
* **Definitie:** De kritieke bandbreedte, $\Delta f_c$, vertegenwoordigt de bandbreedte van ruis die dezelfde maskering veroorzaakt als een zuivere toon van een specifieke intensiteit. Binnen deze band dragen alle frequenties bij aan de maskering. Buiten deze band neemt het maskeringseffect af.
* **Berekening van de kritieke bandbreedte:** De kritieke bandbreedte kan worden berekend aan de hand van de relatie tussen het signaalvermogen ($P_S$), het ruisvermogen ($P_N$), en de spectrale ruisdichtheid ($N_0$).
* Formule:
$$P_N = N_0 \cdot \Delta f_c$$
Het maskeringseffect is gelijk tot de bandbreedte kleiner wordt dan deze kritieke waarde.
* Een veelgebruikte formule, gerelateerd aan geluidsintensiteitsniveaus, is:
$$L_S - L_N = 10 \log_{10}(\Delta f_c / \Delta f_{ref})$$
waarbij $L_S$ het geluidsdrukniveau van het signaal is, $L_N$ het spectrale ruisdichtheidsniveau (in dB/Hz) van de ruis is, $\Delta f_c$ de kritieke bandbreedte is, en $\Delta f_{ref}$ een referentiebandbreedte (vaak $1$ Hz).
* **Voorbeeld:** Stel, een toon op $1000$ Hz en $58$ dB SPL wordt gemaskeerd door witte ruis met een spectrale dichtheid van $40$ dB SPL/Hz. De kritieke bandbreedte $\Delta f_c$ kan als volgt worden berekend:
$58 \text{ dB SPL} - 40 \text{ dB SPL/Hz} = 10 \log_{10}(\Delta f_c / 1 \text{ Hz})$
$18 \text{ dB} = 10 \log_{10}(\Delta f_c)$
$10^{18/10} = \Delta f_c$
$\Delta f_c \approx 63.1$ Hz. De kritieke bandbreedte is dus ongeveer $63$ Hz.
#### 3.2.3 Overige akoestische mechanismen in het oor
* **Geleidingsmechanisme:** De oorschelp en gehoorgang spelen een rol in het richten van geluidstrillingen naar het trommelvlies.
* **Resonantieversterking:** De vorm van de gehoorgang zorgt voor een natuurlijke versterking van bepaalde frequenties.
* **Kamfiltereffect:** De structuur van de oorschelp kan leiden tot een kamfiltereffect, waarbij specifieke frequenties worden versterkt en andere worden verzwakt.
* **Middenoorversterking:** Het middenoor, met de gehoorbeentjes (hamer, aambeeld, stijgbeugel), functioneert als een versterkingsmechanisme. Dit is cruciaal om de impedantieovergang van lucht (buiten- en middenoor) naar vloeistof (binnenoor) te overbruggen en significante reflectie te minimaliseren. Drie mechanismen dragen hieraan bij:
1. **Oppervlakteverschil:** Het trommelvlies heeft een groter oppervlak dan het ovale venster ($~17$ keer). Dit leidt tot een drukvergroting van circa $25$ dB.
2. **Hefboommechanisme:** De gehoorbeentjes vormen een hefboom die de krachtoverdracht versterkt (ongeveer $2$ dB).
3. **Flexibiliteit van het trommelvlies:** De buiging van het trommelvlies kan bijdragen aan de versterking (ongeveer $6$ dB).
De gecombineerde versterking kan oplopen tot circa $33$ dB.
* **Akoestische reflex (stapediusreflex):** De spieren in het middenoor (m. stapedius en m. tensor tympani) kunnen samentrekken bij luide geluiden om de geluidsintensiteit te verminderen en het binnenoor te beschermen. Deze reflex, met een reactietijd van $60-120$ ms, kan de geluidsoverdracht met ongeveer $14$ dB verzwakken. Het is echter niet snel genoeg om plotselinge, harde geluiden volledig te dempen, waardoor gehoorschade nog steeds mogelijk is.
* **Impedantie van het binnenoor:** De impedantie van het binnenoor wordt beïnvloed door de weerstand van het vocht (resistieve component), de stijfheid van de vloeistof (reactieve component, belangrijk bij lage tonen), en de massa van de vloeistof (massa-effect, sterk bij hoge tonen).
* **Binnenoor (slakkenhuis):** Het basilair membraan in het slakkenhuis is tonotopisch georganiseerd: dikkere delen aan de apex reageren op lage frequenties, terwijl dunnere delen aan de basis reageren op hoge frequenties. Dit functioneert als een filterbank die frequentie- en amplitudeninformatie analyseert en doorgeeft aan de hersenen.
#### 3.2.4 Maskering in de praktijk
* **Spraak:** Maskering speelt een rol in spraakperceptie. Bijvoorbeeld, medeklinkers kunnen minder duidelijk worden waargenomen dan klinkers door maskering, met name door de neurale en cognitieve verwerking van de daaropvolgende klinker (assimilatie).
* **Niet-simultane maskering:**
* **Achterwaartse maskering:** Het masker wordt *na* het signaal aangeboden. Dit is relevant voor de verwerkingstijd van het auditieve systeem.
* **Voorwaartse maskering:** Het masker wordt *voor* het signaal aangeboden. Dit houdt rekening met de vervaltijd van het auditieve systeem (ongeveer $100$ ms).
* **Auditieve vermoeidheid:** Blootstelling aan luide geluiden kan leiden tot een tijdelijke verlaging van de gehoordrempel (tijdelijk gehoorverlies). Als deze blootstelling chronisch is, kan dit leiden tot permanente gehoorschade en een blijvend verlaagde gehoordrempel.
### 3.3 Toepassingen van maskering
* **Toonaudiometrie:** Maskering is essentieel om de gehoordrempel van één oor nauwkeurig te meten zonder dat het geluid van het andere oor wordt gehoord.
* **Studeren:** Zwakke omgevingsgeluiden kunnen gemaskeerd worden door een aangename achtergrondruis, waardoor ze minder storend zijn.
* **MP3-opslag:** Data kan worden gecomprimeerd door informatie te verwijderen die gemaskeerd wordt door andere geluiden en daardoor niet hoorbaar is.
* **Communicatie in rumoerige omgevingen:** Het vermogen om spraak te verstaan in luide omgevingen wordt beïnvloed door maskering.
> **Tip:** Begrijp het verschil tussen SPL en HL grondig. HL is de klinisch relevante maat in audiologie die aangeeft hoe het gehoor van een persoon afwijkt van een norm.
> **Tip:** Bij het optellen van geluidsniveaus, onthoud dat decibels logaritmisch zijn. Een verdubbeling van de geluidsdruk (bij dezelfde frequentie en in fase) resulteert in een toename van $6$ dB, terwijl een verviervoudiging van de druk een toename van $12$ dB oplevert. Dit is anders dan bij niet-lineaire optelling (verschillende frequenties of niet in fase), waar de wortel uit de som van de kwadraten wordt gebruikt.
> **Tip:** Roze ruis is de voorkeurskeuze voor het maskeren in standaard audiometrie, omdat het een uniforme drempelverschuiving over frequenties biedt.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Akoestiek | De wetenschap die zich bezighoudt met geluid, de productie, overdracht, waarneming en effecten ervan. |
| Lokalisatie | Het vermogen om de richting van waaruit een geluid komt te bepalen, wat beïnvloed wordt door het oor en het hoofd. |
| Resonantie | Het natuurlijke versterken van geluid wanneer de frequentie van het geluid overeenkomt met de natuurlijke frequentie van een object of systeem. |
| Kamfilter | Een akoestisch effect waarbij bepaalde frequenties worden versterkt en andere worden onderdrukt, veroorzaakt door de vorm van het buitenoor. |
| Trommelvlies | Een dun membraan dat de gehoorgang afsluit en de geluidsgolven opvangt, die het vervolgens omzet in mechanische trillingen. |
| Gehoorbeentjes | De drie kleine botjes in het middenoor (hamer, aambeeld, stijgbeugel) die de trillingen van het trommelvlies versterken en doorgeven aan het binnenoor. |
| Impedantie | De weerstand tegen de doorgifte van geluid. Een groot verschil in impedantie tussen twee media leidt tot meer reflectie van geluid. |
| Binnenoor (Slakkenhuis) | Het deel van het oor waar de mechanische trillingen worden omgezet in elektrische signalen die via de gehoorzenuw naar de hersenen worden gestuurd voor interpretatie. |
| Basilair membraan | Een flexibel membraan in het slakkenhuis dat resoneert met specifieke frequenties, waarbij dikkere delen lage tonen en dunnere delen hoge tonen verwerken. |
| Gehoorzenuw | De zenuw die de elektrische signalen van het binnenoor naar de hersenen transporteert, waar ze worden geïnterpreteerd als geluid. |
| Maskering | Het fenomeen waarbij de waarneming van een bepaald geluid (signaal) wordt onderdrukt door een ander geluid (masker), waardoor de gehoordrempel voor het signaal verhoogd wordt. |
| Toonaudiogram | Een grafische weergave van de gehoordrempel van een persoon voor verschillende frequenties, vaak gebruikt om gehoorverlies te diagnosticeren. |
| HL (Hearing Level) | Een schaal die wordt gebruikt in audiometrie om de luidheid van geluid uit te drukken ten opzichte van de normale gehoordrempel van een gemiddelde persoon. |
| SPL (Sound Pressure Level) | Een maat voor de geluidsdruk, uitgedrukt in decibel (dB), die wordt gebruikt om de intensiteit van geluid te kwantificeren. |
| Kritieke band | Een specifiek frequentiebereik in het binnenoor waarin geluiden bijdragen aan maskering. Alleen frequenties binnen deze band zullen effectief maskeren. |
| Zwevingen | Een auditief fenomeen dat optreedt wanneer twee tonen met vergelijkbare frequenties tegelijkertijd worden waargenomen, wat resulteert in een waarneembare pulsatie in luidheid. |
Cover
HS1 slides.pdf
Summary
# Lineaire kinematica en vectoren
Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van lineaire kinematica, beginnend bij de definitie van beweging en de rol van een referentiestelsel, en gaat vervolgens dieper in op plaatsbepaling en de onderscheiding tussen scalaire en vectoriële grootheden, inclusief vectorrekening [3](#page=3).
### 1.1 Beweging en referentiestelsels
Kinematica is de tak van de fysica die zich bezighoudt met het beschrijven van beweging. In de context van lineaire kinematica wordt aangenomen dat alle delen van een object dezelfde afstand afleggen tijdens de beweging. Om beweging te kunnen beschrijven, is het essentieel om eerst een referentiestelsel te kiezen [3](#page=3) [4](#page=4).
### 1.2 Plaatsbepaling
Plaatsbepaling is het proces van het vaststellen van de locatie van een object in de ruimte. Dit gebeurt altijd in relatie tot een gekozen referentiestelsel [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7).
### 1.3 Scalaire grootheden
Een scalaire grootheid wordt gekarakteriseerd door een getal en een eenheid. Gangbare rekenregels kunnen worden toegepast op scalaire grootheden [8](#page=8).
Voorbeelden van scalaire grootheden zijn:
* Lengte, bijvoorbeeld 1,70 meter [8](#page=8).
* Massa, bijvoorbeeld 65 kilogram [8](#page=8).
* Temperatuur, bijvoorbeeld -10 graden Celsius [8](#page=8).
### 1.4 Vectoren
Een vector daarentegen wordt gedefinieerd door zijn lengte, richting en zin. Dit kan worden voorgesteld als een pijl met een specifieke lengte. Voor vectoren gelden geen gewone rekenregels [9](#page=9).
#### 1.4.1 Componenten van een vector
Vectoren kunnen worden ontleed in componenten, die vervolgens gebruikt kunnen worden voor berekeningen [10](#page=10).
#### 1.4.2 Som en verschil van vectoren
De som en het verschil van vectoren kunnen worden berekend, waarbij de resulterende componenten kunnen worden bepaald met formules zoals: $$c\_x = a\_x + b\_x$$$$c\_y = a\_y + b\_y$$ De lengte van de resulterende vector $c$ kan vervolgens worden berekend met de stelling van Pythagoras: $$c = \\sqrt{c\_x^2 + c\_y^2}$$ en de hoek $\\phi$ wordt gegeven door: $$\\tan \\phi = \\frac{c\_y}{c\_x}$$[11](#page=11).
#### 1.4.3 Product van vectoren
Er zijn verschillende soorten producten die met vectoren kunnen worden uitgevoerd:
##### 1.4.3.1 Product van een scalair met een vector
Het product van een scalair met een vector, genoteerd als $k \\vec{a}$, resulteert in een nieuwe vector. Dit concept is toepasbaar bij grootheden zoals veerkracht, zwaartekracht en wrijvingskracht [12](#page=12).
##### 1.4.3.2 Scalair product (inproduct)
Het scalair product (of inproduct) van twee vectoren, genoteerd als $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}$, resulteert in een scalair (een getal). De definitie hiervan is [13](#page=13): $$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab \\cos \\phi$$ waarbij $\\phi$ de hoek tussen de twee vectoren is [13](#page=13).
Speciale gevallen:
* Als $\\phi = 0^{\\circ}$, dan is $\\cos \\phi = 1$.
* Als $\\phi = 90^{\\circ}$, dan is $\\cos \\phi = 0$.
Dit product is toepasbaar bij het berekenen van arbeid. Bij het scalair product wordt alleen rekening gehouden met de evenwijdige componenten van de vectoren [13](#page=13).
##### 1.4.3.3 Vectorproduct
Het vectorproduct van twee vectoren, genoteerd als $\\vec{a} \\times \\vec{b}$, resulteert eveneens in een vector [14](#page=14).
* **Grootte:** De grootte van het vectorproduct is $ab \\sin \\phi$, waarbij $\\phi$ de kleinste hoek tussen $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ is [14](#page=14).
* **Richting:** De richting van de resulterende vector is loodrecht op het vlak waarin $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ liggen [14](#page=14).
* **Zin:** De zin wordt bepaald door de regel van de kurkentrekker bij het draaien over de kleinste hoek van $\\vec{a}$ naar $\\vec{b}$ [14](#page=14).
Speciale gevallen:
* Als $\\phi = 0^{\\circ}$, dan is $\\sin \\phi = 0$.
* Als $\\phi = 90^{\\circ}$, dan is $\\sin \\phi = 1$.
Dit concept is toepasbaar bij het berekenen van krachtmomenten. Bij het vectorproduct wordt alleen rekening gehouden met de loodrechte componenten van de vectoren [14](#page=14).
* * *
# Snelheid en versnelling
Dit onderdeel van het document introduceert de fundamentele concepten van snelheid en versnelling, zowel gemiddeld als ogenblikkelijk, inclusief hun vectoriële aard, dimensies en grafische interpretaties, met een focus op ééndimensionale beweging.
### 2.1 Snelheid
Snelheid is een maat voor hoe snel een object van positie verandert en heeft zowel een grootte als een richting. De dimensie van snelheid is meters per seconde (m/s) [15](#page=15).
#### 2.1.1 Gemiddelde snelheid
De gemiddelde snelheid wordt gedefinieerd als de verandering in positie ($\\Delta \\vec{r}$) gedeeld door de verandering in tijd ($\\Delta t$). Dit kan grafisch worden weergegeven als de helling van de lijn die twee punten op een positie-tijd grafiek verbindt [15](#page=15) [21](#page=21).
$$ \\vec{v}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{r}}{\\Delta t} $$
#### 2.1.2 Ogenblikkelijke snelheid
De ogenblikkelijke snelheid is de snelheid van een object op een specifiek moment. Wiskundig wordt dit verkregen door de afgeleide van de positievector ($\\vec{r}$) naar de tijd ($t$) te nemen. In ééndimensionale beweging kan de ogenblikkelijke snelheid grafisch worden geïnterpreteerd als de helling van de raaklijn aan de positie-tijd grafiek op dat specifieke punt [15](#page=15) [22](#page=22).
$$ \\vec{v} = \\frac{d\\vec{r}}{dt} $$
### 2.2 Versnelling
Versnelling beschrijft de mate waarin de snelheid van een object verandert. Net als snelheid is versnelling een vectorgrootheid. De dimensie van versnelling is meters per seconde kwadraat (m/s²) [17](#page=17).
#### 2.2.1 Gemiddelde versnelling
De gemiddelde versnelling is de verandering in snelheid ($\\Delta \\vec{v}$) gedeeld door de verandering in tijd ($\\Delta t$) [17](#page=17) [23](#page=23).
$$ \\vec{a}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{v}}{\\Delta t} $$
#### 2.2.2 Ogenblikkelijke versnelling
De ogenblikkelijke versnelling is de versnelling van een object op een specifiek moment. Dit wordt berekend als de afgeleide van de snelheid ($\\vec{v}$) naar de tijd ($t$), wat ook de tweede afgeleide van de positie ($\\vec{r}$) naar de tijd is [17](#page=17) [23](#page=23).
$$ \\vec{a} = \\frac{d\\vec{v}}{dt} = \\frac{d^2\\vec{r}}{dt^2} $$
Op een snelheids-tijd grafiek kan de ogenbliklijke versnelling grafisch worden geïnterpreteerd als de helling van de raaklijn op dat specifieke punt [25](#page=25).
### 2.3 Ééndimensionale beweging
Bij ééndimensionale beweging wordt een referentiestelsel gekozen en de positie vaak aangeduid met $x$ [20](#page=20).
#### 2.3.1 Relatie tussen snelheid en versnelling in 1D
In ééndimensionale beweging is het belangrijk om te onderscheiden of de snelheid toeneemt ("versnelling") of afneemt ("vertraging"), en hoe de tekens van snelheid ($v$) en versnelling ($a$) zich tot elkaar verhouden [24](#page=24).
* Als de snelheid positief is en toeneemt, of negatief is en afneemt (naar nul toe), is er sprake van versnelling (de magnitude van de snelheid neemt toe) [24](#page=24).
* Als de snelheid positief is en afneemt (naar nul toe), of negatief is en toeneemt (naar nul toe), is er sprake van vertraging (de magnitude van de snelheid neemt af) [24](#page=24).
* Als de snelheid constant is en niet nul, is er geen versnelling [24](#page=24).
Snelheid ($v$)Versnelling ($a$)Beweging++Snelheid neemt toe+-Snelheid neemt af (vertraging)--Snelheid neemt toe-+Snelheid neemt af (vertraging)$\\pm 0$$\\pm 0$Constante snelheid
#### 2.3.2 Grafische interpretaties in 1D
* **Positie-tijd grafiek:** De helling van de lijn die twee punten verbindt, geeft de gemiddelde snelheid. De helling van de raaklijn op een punt geeft de ogenblikkelijke snelheid [21](#page=21) [22](#page=22).
* **Snelheid-tijd grafiek:** De helling van de lijn die twee punten verbindt, geeft de gemiddelde versnelling. De helling van de raaklijn op een punt geeft de ogenblikkelijke versnelling [25](#page=25).
* **Versnelling-tijd grafiek:** De oppervlakte onder de curve tussen twee tijdstippen geeft de verandering in snelheid [26](#page=26).
#### 2.3.3 Onderlinge relaties
De positie, snelheid en versnelling van een object zijn allemaal functies van de tijd. Vanuit één van deze drie grootheden kunnen de andere twee worden afgeleid door middel van differentiëren of integreren [27](#page=27).
> **Tip:** Begrijp de relatie tussen de hellingen van de grafieken en de afgeleiden/integralen van de functies. Dit is cruciaal voor het oplossen van problemen in ééndimensionale beweging.
Toepassingen hiervan omvatten de eenparig rechtlijnige beweging (ERB) en de eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) [27](#page=27).
* * *
# Eendimensionale beweging en toepassingen
Dit onderwerp behandelt specifieke gevallen van eendimensionale beweging, waaronder de eenparig rechtlijnige beweging (ERB) en de eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB), met een focus op toepassingen zoals vrije val en verticale worpen [27](#page=27).
### 3.1 Eendimensionale beweging (1-D)
Eendimensionale beweging beschrijft de beweging van een object langs een rechte lijn. De positie, snelheid en versnelling van het object kunnen worden gemeten als functies van de tijd. Door kennis van één van deze drie grootheden kunnen de andere twee worden bepaald [27](#page=27).
#### 3.1.1 Eenparig rechtlijnige beweging (ERB)
Bij ERB is de snelheid constant en de versnelling is nul. De bewegingsvergelijkingen voor ERB langs de 𝑥-as zijn [28](#page=28):
* Snelheid: $v\_x = \\text{constant}$ [28](#page=28).
* Versnelling: $a\_x = 0 , \\text{m/s}^2$ [28](#page=28).
* Positie: $x = x\_0 + v\_x t$ [28](#page=28).
Hierbij is $x\_0$ de beginpositie en $t$ de tijd.
#### 3.1.2 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB)
Bij EVRB is de versnelling constant. De bewegingsvergelijkingen voor EVRB langs de 𝑥-as zijn [29](#page=29):
* Versnelling: $a\_x = \\text{constant}$ [29](#page=29).
* Snelheid: $v\_x = v\_{0,x} + a\_x t$ [29](#page=29).
* Positie: $x = x\_0 + v\_{0,x} t + \\frac{1}{2} a\_x t^2$ [29](#page=29).
* Een alternatieve vergelijking, zonder tijd: $v\_x^2 = v\_{0,x}^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$ [29](#page=29).
Hierbij is $x\_0$ de beginpositie, $v\_{0,x}$ de beginsnelheid en $t$ de tijd.
> **Tip:** Bij EVRB-problemen is het cruciaal om te bepalen of de versnelling positief of negatief is, afhankelijk van de gekozen positieve richting.
##### 3.1.2.1 Voorbeeld 1: Skiër op een helling
Een skiër daalt een helling af met een constante versnelling van $2 , \\text{m/s}^2$. De beginsnelheid in positie 0 is $10 , \\text{m/s}$ [30](#page=30).
* **Bereken de snelheid na 100 meter:** We gebruiken de vergelijking $v\_x^2 = v\_{0,x}^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$ [29](#page=29). Gegeven: $a\_x = 2 , \\text{m/s}^2$, $v\_{0,x} = 10 , \\text{m/s}$, $x\_0 = 0 , \\text{m}$, $x = 100 , \\text{m}$. $v\_x^2 = (10 , \\text{m/s})^2 + 2 (2 , \\text{m/s}^2) (100 , \\text{m} - 0 , \\text{m})$$v\_x^2 = 100 , \\text{m}^2/\\text{s}^2 + 400 , \\text{m}^2/\\text{s}^2 = 500 , \\text{m}^2/\\text{s}^2$$v\_x = \\sqrt{500} , \\text{m/s} \\approx 22.36 , \\text{m/s}$ [31](#page=31).
* **Bereken de tijd die hiervoor nodig was:** We kunnen $v\_x = v\_{0,x} + a\_x t$ gebruiken met de berekende snelheid, of de positievergelijking $x = x\_0 + v\_{0,x} t + \\frac{1}{2} a\_x t^2$ oplossen voor $t$ [29](#page=29). Met de positievergelijking: $100 , \\text{m} = 0 , \\text{m} + (10 , \\text{m/s}) t + \\frac{1}{2} (2 , \\text{m/s}^2) t^2$$100 = 10t + t^2 \\implies t^2 + 10t - 100 = 0$ Deze vierkantsvergelijking heeft een positieve oplossing $t \\approx 6.18 , \\text{s}$ [31](#page=31).
> **Voorbeeld:** Een skiër daalt een rechte helling af met een constante versnelling van 2 m/s². De snelheid van de skiër in positie 0 is 10 m/s. Bereken de snelheid van de skiër als hij 100 m afgelegd heeft vanaf zijn positie 0 en bereken de tijd die hij daarvoor nodig had. De snelheid is dan 22,36 m/s en de tijd is 6,18 s [30](#page=30) [31](#page=31).
##### 3.1.2.2 Voorbeeld 2: Auto op de snelweg (grafiekanalyse)
De beweging van een auto wordt beschreven door een snelheids-tijdgrafiek, opgedeeld in drie fasen [32](#page=32).
* **Fase 1 (0s tot 30s):** EVRB [33](#page=33). Beginsnelheid $v\_0 = 0 , \\text{m/s}$, eindsnelheid $v\_1 = 20 , \\text{m/s}$ [33](#page=33). Versnelling: $a\_1 = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{20 , \\text{m/s} - 0 , \\text{m/s}}{30 , \\text{s} - 0 , \\text{s}} = \\frac{20}{30} , \\text{m/s}^2 \\approx 0.667 , \\text{m/s}^2$ [33](#page=33). Afgelegde weg in fase 1: $x\_1 = x\_0 + v\_0 t + \\frac{1}{2} a\_1 t^2 = 0 + 0 \\cdot 30 + \\frac{1}{2} (0.667 , \\text{m/s}^2) (30 , \\text{s})^2 = 300 , \\text{m}$ [33](#page=33).
* **Fase 2 (30s tot 120s):** ERB [34](#page=34). De snelheid is constant: $v = 20 , \\text{m/s}$ [34](#page=34). Versnelling: $a\_2 = 0 , \\text{m/s}^2$ [34](#page=34). Afgelegde weg in fase 2: $\\Delta x\_2 = v \\Delta t = (20 , \\text{m/s}) (120 , \\text{s} - 30 , \\text{s}) = 20 \\cdot 90 , \\text{m} = 1800 , \\text{m}$. Totale afgelegde weg na fase 2: $x\_2 = x\_1 + \\Delta x\_2 = 300 , \\text{m} + 1800 , \\text{m} = 2100 , \\text{m}$ [34](#page=34).
* **Fase 3 (120s tot 180s):** EVRB [35](#page=35). Beginsnelheid $v\_2 = 20 , \\text{m/s}$, eindsnelheid $v\_3 = 0 , \\text{m/s}$ [35](#page=35). Versnelling: $a\_3 = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{0 , \\text{m/s} - 20 , \\text{m/s}}{180 , \\text{s} - 120 , \\text{s}} = \\frac{-20}{60} , \\text{m/s}^2 \\approx -0.333 , \\text{m/s}^2$ [35](#page=35). Afgelegde weg in fase 3: $x\_3 = x\_2 + v\_2 \\Delta t + \\frac{1}{2} a\_3 (\\Delta t)^2 = 2100 , \\text{m} + (20 , \\text{m/s}) (180 , \\text{s} - 120 , \\text{s}) + \\frac{1}{2} (-0.333 , \\text{m/s}^2) (60 , \\text{s})^2$$x\_3 = 2100 , \\text{m} + 1200 , \\text{m} + \\frac{1}{2} (-0.333) , \\text{m} = 2100 + 1200 - 600 = 2700 , \\text{m}$ [35](#page=35) .
De grafieken van positie tegen tijd ($x,t$) en versnelling tegen tijd ($a,t$) kunnen nu geconstrueerd worden op basis van deze berekeningen [36](#page=36).
### 3.2 Toepassingen van EVRB
#### 3.2.1 Vrije val
Vrije val is een speciaal geval van EVRB waarbij de enige versnellende kracht de zwaartekracht is. De zwaartekrachtsversnelling wordt aangeduid met $g$ en heeft een waarde van ongeveer $9.81 , \\text{m/s}^2$. We kiezen de positieve richting naar boven of naar beneden, afhankelijk van de context. In de volgende voorbeelden wordt de positieve richting naar boven gekozen en is de zwaartekrachtsversnelling dus negatief ($a\_y = -g$) [37](#page=37).
* **Voorbeeld 1: Een object dat van een hoogte valt** Stel $t=0$ op het moment dat het object wordt losgelaten, met beginpositie $y\_0 = h$ en beginsnelheid $v\_0 = 0$ [38](#page=38). Snelheid na tijd $t$: $v = v\_0 - g t = 0 - g t = -gt$. De snelheid is negatief, wat naar beneden wijst [38](#page=38). Positie na tijd $t$: $y = y\_0 + v\_0 t - \\frac{1}{2} g t^2 = h + 0 \\cdot t - \\frac{1}{2} g t^2 = h - \\frac{1}{2} g t^2$ [38](#page=38). Tijd om de grond te bereiken (wanneer $y=0$): $0 = h - \\frac{1}{2} g t^2 \\implies \\frac{1}{2} g t^2 = h \\implies t^2 = \\frac{2h}{g} \\implies t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$ [38](#page=38). Snelheid waarmee de grond wordt bereikt (bij $t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$): $v = -g \\sqrt{\\frac{2h}{g}} = -\\sqrt{g^2 \\frac{2h}{g}} = -\\sqrt{2gh}$. De grootte van de snelheid is $\\sqrt{2gh}$ [38](#page=38).
#### 3.2.2 Verticale worp
Een verticale worp betreft een object dat met een beginsnelheid omhoog wordt gegooid. We kiezen de positieve richting naar boven, dus de zwaartekrachtsversnelling is $a\_y = -g$.
* **Voorbeeld 2: Maximale hoogte bij een verticale worp** Stel op $t=0$: $y\_0 = 0$ en de beginsnelheid is $v\_0$ (positief, want naar boven gericht) [39](#page=39). Snelheid na tijd $t$: $v = v\_0 - g t$ [39](#page=39). Positie na tijd $t$: $y = y\_0 + v\_0 t - \\frac{1}{2} g t^2 = 0 + v\_0 t - \\frac{1}{2} g t^2$ [39](#page=39). Het hoogste punt wordt bereikt wanneer de snelheid nul is ($v=0$) [39](#page=39). $0 = v\_0 - g t \\implies t\_{\\text{top}} = \\frac{v\_0}{g}$ [39](#page=39). Maximale hoogte ($y\_{\\text{max}}$) op $t\_{\\text{top}}$: $y\_{\\text{max}} = v\_0 \\left(\\frac{v\_0}{g}\\right) - \\frac{1}{2} g \\left(\\frac{v\_0}{g}\\right)^2 = \\frac{v\_0^2}{g} - \\frac{1}{2} g \\frac{v\_0^2}{g^2} = \\frac{v\_0^2}{g} - \\frac{v\_0^2}{2g} = \\frac{v\_0^2}{2g}$ [39](#page=39).
> **Tip:** Bij opgaven met vrije val of verticale worpen is het essentieel om de gekozen positieve richting consequent te gebruiken en de juiste tekens voor snelheid en versnelling toe te passen. Het moment waarop de snelheid nul is, markeert het hoogste punt bij een verticale worp.
* * *
# Projectielbeweging
Projectielbeweging is een type tweedimensionale beweging waarbij de versnelling constant is en specifiek gericht is op objecten die door de lucht vliegen onder invloed van de zwaartekracht [41](#page=41).
### 4.1 Inleiding tot projectielbeweging
Tweedimensionale beweging (2-D) wordt gekenmerkt door een constante versnelling die niet nul is, maar waarvan de bewegingsrichting verschilt van de richting van de versnelling. Projectielbeweging is hier een specifieke vorm van. Bij projectielbeweging wordt de beweging ontbonden in componenten langs de x- en y-as [40](#page=40) [41](#page=41).
* **Horizontale component (x-as):** De horizontale versnelling is nul ($a\_x = 0$), wat resulteert in een eenparige rechtlijnige beweging (ERB) [41](#page=41).
* **Verticale component (y-as):** De verticale versnelling is constant en gelijk aan de zwaartekrachtsversnelling, naar beneden gericht ($a\_y = -g$), wat resulteert in een eenparig versnelde of vertraagde rechtlijnige beweging (EVRB). De waarde van $g$ is ongeveer $9,81 \\text{ m/s}^2$ [41](#page=41).
### 4.2 Beginvoorwaarden
Voor een projectielbeweging op tijdstip $t=0$ worden de beginvoorwaarden gedefinieerd door de beginpositie $\\vec{r}\_0$ en de beginsnelheid $\\vec{v}\_0$ [42](#page=42).
* **Beginpositie $\\vec{r}\_0$:** Vaak wordt het startpunt van het projectiel als oorsprong van het coördinatensysteem gekozen, dus $x\_0 = 0$ en $y\_0 = 0$. Echter, in toepassingen kan de beginhoogte ($y\_0$) ook significant zijn [42](#page=42) [55](#page=55).
* **Beginsnelheid $\\vec{v}\_0$:** De beginsnelheid wordt ontbonden in horizontale en verticale componenten [42](#page=42):
* Horizontale component: $v\_{0x} = v\_0 \\cos(\\theta\_0)$
* Verticale component: $v\_{0y} = v\_0 \\sin(\\theta\_0)$ Hierbij is $v\_0$ de grootte van de beginsnelheid en $\\theta\_0$ de beginhoek ten opzichte van de horizontale as [42](#page=42).
### 4.3 Snelheid en positie op tijdstip $t$
#### 4.3.1 Snelheid
De snelheid van het projectiel op een willekeurig tijdstip $t$ wordt bepaald door de componenten langs de x- en y-as [43](#page=43):
* Horizontale snelheidscomponent: $v\_x = v\_{0x} = v\_0 \\cos(\\theta\_0)$ (blijft constant) [43](#page=43).
* Verticale snelheidscomponent: $v\_y = v\_{0y} - gt = v\_0 \\sin(\\theta\_0) - gt$ [43](#page=43).
#### 4.3.2 Positie
De positie van het projectiel op tijdstip $t$ wordt gegeven door:
* Horizontale positie: $x(t) = x\_0 + v\_{0x}t$
* Verticale positie: $y(t) = y\_0 + v\_{0y}t - \\frac{1}{2}gt^2$
### 4.4 De baanvergelijking
De baan van een projectiel is een parabool. Door de bewegingsvergelijkingen te combineren, kan de y-coördinaat uitgedrukt worden als functie van de x-coördinaat [44](#page=44):
$$y(x) = y\_0 + (\\tan \\theta\_0) x - \\frac{g}{2(v\_0 \\cos \\theta\_0)^2} x^2$$
Dit is de algemene vergelijking van een parabool [44](#page=44).
> **Tip:** De vorm van de baan (zuivere parabool, halve parabool, verticale lijn) hangt af van de beginhoek $\\theta\_0$. Bij hoeken tussen $0^\\circ$ en $90^\\circ$ is de baan een zuivere parabool [51](#page=51).
### 4.5 Kenmerken van de baan
#### 4.5.1 Het hoogste punt
Het hoogste punt van de baan wordt bereikt wanneer de verticale snelheidscomponent nul is ($v\_y = 0$). Dit gebeurt op een specifiek tijdstip $t\_{\\text{top}}$, waaruit de maximale hoogte kan worden berekend [44](#page=44).
#### 4.5.2 De reikwijdte ($R$)
De reikwijdte ($R$) is de horizontale afstand die het projectiel aflegt vanaf het startpunt tot het punt waar het de grond raakt (of een ander referentieniveau). Dit wordt berekend met $R = v\_{0x}T$, waarbij $T$ de totale vluchttijd is [44](#page=44).
#### 4.5.3 Vluchttijd ($T$)
De totale vluchttijd $T$ is de som van de tijd om het hoogste punt te bereiken ($t\_{\\text{top}}$) en de tijd om vanaf dat punt terug te keren naar het horizontale niveau van de startpositie ($t\_{\\text{neer}}$) [44](#page=44). $T = t\_{\\text{top}} + t\_{\\text{neer}}$.
> **Tip:** Als de start- en landingshoogte gelijk zijn ($y\_0 = y\_{\\text{landings}}$), is de baan symmetrisch, met $t\_{\\text{top}} = t\_{\\text{neer}}$ en de totale vluchttijd $T = 2t\_{\\text{top}}$ [45](#page=45).
### 4.6 Invloed van beginvoorwaarden op de baan
De belangrijkste factoren die de projectielbeweging beïnvloeden, zijn de beginhoek ($\\theta\_0$), de beginsnelheid ($v\_0$) en de beginhoogte ($y\_0$) [50](#page=50).
#### 4.6.1 De beginhoek ($\\theta\_0$)
De beginhoek bepaalt de richting ten opzichte van de horizontale van de beginsnelheid en beïnvloedt voornamelijk de **vorm** van de projectielbaan [51](#page=51).
* **$\\theta\_0 = 0^\\circ$:** Horizontale worp. Het projectiel heeft geen verticale beginsnelheid en valt direct naar beneden door de zwaartekracht. De baan is de helft van een parabool [51](#page=51).
* **$\\theta\_0 = 90^\\circ$:** Verticale worp. Er is geen horizontale snelheidscomponent, dus de beweging is puur verticaal. De baan is een verticale rechte lijn [51](#page=51).
* **$0^\\circ < \\theta\_0 < 90^\\circ$:** Zuivere parabool [51](#page=51).
Voor een maximale reikwijdte bij een symmetrische baan (start- en landingshoogte gelijk) is de optimale beginhoek $45^\\circ$. Echter, wanneer de start- en landingshoogte verschillen, kan de optimale hoek afwijken van $45^\\circ$ [47](#page=47) [55](#page=55).
#### 4.6.2 De beginsnelheid ($v\_0$)
De grootte van de beginsnelheid bepaalt zowel het **hoogste punt** als de **reikwijdte** van de projectielbaan [52](#page=52).
* Een hogere beginsnelheid leidt tot een grotere maximale hoogte en een grotere reikwijdte [57](#page=57).
* De verticale component van de beginsnelheid ($v\_{0y}$) bepaalt de maximale hoogte, de tijd tot het hoogste punt en de totale vluchttijd (vergelijkbaar met een verticale worp) [52](#page=52).
* De horizontale component van de beginsnelheid ($v\_{0x}$) blijft constant en is direct bepalend voor de reikwijdte [52](#page=52).
#### 4.6.3 De beginhoogte ($y\_0$)
De beginhoogte beïnvloedt primair de **reikwijdte** van de projectielbaan [55](#page=55).
* Als de starthoogte hoger is dan de landingshoogte, wordt de maximale reikwijdte bereikt bij een beginhoek kleiner dan $45^\\circ$ [55](#page=55).
* Als de starthoogte lager is dan de landingshoogte, is een hoek groter dan $45^\\circ$ vereist voor maximale reikwijdte [55](#page=55).
> **Voorbeeld:** Een kogelstoter die een kogel met een beginsnelheid van $10 \\text{ m/s}$ onder een hoek van $40^\\circ$ lanceert vanaf $2,0 \\text{ m}$ boven de grond, bereikt een reikwijdte van ongeveer $12,04 \\text{ m}$. Een hogere beginsnelheid heeft over het algemeen een grotere invloed op de reikwijdte dan een verandering in hoek of beginhoogte [56](#page=56) [57](#page=57) [58](#page=58).
### 4.7 Luchtweerstand
In veel praktische situaties wordt luchtweerstand verwaarloosd om de analyse te vereenvoudigen. Echter, in werkelijkheid kan luchtweerstand de baan van een projectiel aanzienlijk beïnvloeden, waardoor de werkelijke reikwijdte kleiner is dan voorspeld zonder deze factor. Voor een kogelstoter met een worplengte van $19,8 \\text{ m}$ (met luchtweerstand) was de reikwijdte zonder luchtweerstand $20,1 \\text{ m}$, een reductie van $1,46%$ [41](#page=41) [59](#page=59).
### 4.8 Voorbeelden
#### 4.8.1 Voorbeeld 3: Verspringer
Een atleet springt $8 \\text{ m}$ ver en blijft $1 \\text{ s}$ in de lucht [60](#page=60).
* **Beginsnelheid bij afsprong:**
* Horizontale snelheidscomponent: $v\_{0x} = \\frac{x}{t} = \\frac{8 \\text{ m}}{1 \\text{ s}} = 8 \\text{ m/s}$ [61](#page=61).
* Verticale snelheidscomponent: Door de bewegingsvergelijking $y\_2 = y\_0 + v\_{0y}t\_2 - \\frac{1}{2}gt\_2^2$ toe te passen met $y\_0=0$, $y\_2=0$ en $t\_2=1\\text{ s}$: $0 = 0 + v\_{0y} - \\frac{1}{2}(9,81) ^2$. Hieruit volgt $v\_{0y} = 4,9 \\text{ m/s}$ [1](#page=1) [61](#page=61).
* Totale beginsnelheid: $v\_0 = \\sqrt{v\_{0x}^2 + v\_{0y}^2} = \\sqrt{8^2 + 4,9^2} = \\sqrt{64 + 24,01} = \\sqrt{88,01} \\approx 9,38 \\text{ m/s}$ [62](#page=62).
* **Hoek van de afsprong:**
* $\\theta\_0 = \\arctan\\left(\\frac{v\_{0y}}{v\_{0x}}\\right) = \\arctan\\left(\\frac{4,9}{8}\\right) \\approx 31,3^\\circ$ [62](#page=62).
* **Maximale hoogte:**
* De maximale hoogte wordt bereikt als $v\_y = 0$. Gebruikmakend van $v\_y = v\_{0y} - gt$, met $v\_{0y} = 4,9 \\text{ m/s}$ en $t\_{\\text{top}}$ waar $v\_y=0$: $0 = 4,9 - 9,81 t\_{\\text{top}}$, dus $t\_{\\text{top}} \\approx 0,5 \\text{ s}$ [63](#page=63).
* Maximale hoogte $y\_{\\text{max}} = y\_0 + v\_{0y}t\_{\\text{top}} - \\frac{1}{2}gt\_{\\text{top}}^2 = 0 + (4,9)(0,5) - \\frac{1}{2}(9,81)(0,5)^2 = 2,45 - 0,61375 \\approx 1,84 \\text{ m}$ [63](#page=63).
#### 4.8.2 Voorbeeld 4: Kogelstoten
Een kogelstoter stoot een kogel $6 \\text{ m}$ ver, met een beginhoogte van $1,8 \\text{ m}$ en een beginhoek van $30^\\circ$ [64](#page=64).
* **Snelheid bij de afstoot ($v\_0$):**
* Gebruik de bewegingsvergelijkingen $x\_2 = x\_0 + v\_{0x}t\_2$ en $y\_2 = y\_0 + v\_{0y}t\_2 - \\frac{1}{2}gt\_2^2$.
* $6 = 0 + v\_0 \\cos(30^\\circ) t\_2 \\Rightarrow t\_2 = \\frac{6}{v\_0 \\cos(30^\\circ)}$ [65](#page=65).
* $0 = 1,8 + v\_0 \\sin(30^\\circ) t\_2 - \\frac{1}{2}(9,81)t\_2^2$ [65](#page=65).
* Substitutie van $t\_2$ in de tweede vergelijking en oplossen voor $v\_0$ geeft $v\_0 \\approx 6,69 \\text{ m/s}$ [65](#page=65).
* Hieruit volgt de vluchttijd $t\_2 = \\frac{6}{6,69 \\cos(30^\\circ)} \\approx 1,04 \\text{ s}$ [65](#page=65).
* **Snelheid van de kogel bij het raken van de grond ($v\_2$):**
* Horizontale snelheidscomponent: $v\_{2x} = v\_{0x} = v\_0 \\cos(30^\\circ) = 6,69 \\cos(30^\\circ) \\approx 5,79 \\text{ m/s}$ [66](#page=66).
* Verticale snelheidscomponent: $v\_{2y} = v\_{0y} - gt\_2 = v\_0 \\sin(30^\\circ) - gt\_2 = 6,69 \\sin(30^\\circ) - 9,81(1,04) \\approx 3,345 - 10,2024 \\approx -6,86 \\text{ m/s}$ [66](#page=66).
* Totale snelheid: $v\_2 = \\sqrt{v\_{2x}^2 + v\_{2y}^2} = \\sqrt{(5,79)^2 + (-6,86)^2} = \\sqrt{33,5241 + 47,0596} = \\sqrt{80,5837} \\approx 8,98 \\text{ m/s}$ [66](#page=66).
* **Totale tijd in de lucht ($t\_2$):** Dit is reeds berekend als $1,04 \\text{ s}$ [65](#page=65).
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Kinematica | Het deel van de mechanica dat de beweging van lichamen beschrijft zonder rekening te houden met de oorzaken van die beweging, zoals krachten. |
| Lineaire beweging | Beweging waarbij alle punten van een object dezelfde afstand afleggen in dezelfde richting en zin. |
| Referentiestelsel | Een wiskundig concept dat wordt gebruikt om de positie en beweging van een object te beschrijven, gekenmerkt door een oorsprong en assen. |
| Scalaire grootheid | Een grootheid die volledig gespecificeerd wordt door een getal en een eenheid, zoals lengte, massa of temperatuur. |
| Vector | Een grootheid die niet alleen een magnitude (lengte) en een eenheid heeft, maar ook een richting en een zin. |
| Componenten van een vector | De projecties van een vector op de assen van een gekozen referentiestelsel, die gebruikt kunnen worden om met de vector te rekenen. |
| Scalair product (inproduct) | Een bewerking tussen twee vectoren die als resultaat een scalair oplevert, berekend als het product van hun groottes en de cosinus van de hoek ertussen. |
| Vectorproduct (uitproduct) | Een bewerking tussen twee vectoren die als resultaat een nieuwe vector oplevert, loodrecht op het vlak van de oorspronkelijke vectoren. |
| Gemiddelde snelheid | De totale verplaatsing gedeeld door de totale tijd die nodig was voor die verplaatsing. |
| Ogenblikkelijke snelheid | De snelheid van een object op een specifiek tijdstip, berekend als de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd. |
| Gemiddelde versnelling | De verandering in snelheid gedeeld door de tijdsduur van die verandering. |
| Ogenblikkelijke versnelling | De versnelling van een object op een specifiek tijdstip, berekend als de afgeleide van de snelheid naar de tijd. |
| Eendimensionale beweging (1-D) | Beweging langs een rechte lijn, waarbij slechts één coördinaat nodig is om de positie te beschrijven. |
| Eenparig rechtlijnige beweging (ERB) | Een beweging met constante snelheid langs een rechte lijn, wat betekent dat de versnelling nul is. |
| Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EVRB) | Een beweging langs een rechte lijn met een constante versnelling, wat resulteert in een lineair veranderende snelheid. |
| Vrije val | Een speciaal geval van eenparig versnelde beweging waarbij de enige kracht die op een object werkt de zwaartekracht is. |
| Verticale worp | Een beweging langs een verticale lijn waarbij een object met een initiële snelheid omhoog of omlaag wordt geworpen en onderhevig is aan de zwaartekracht. |
| Tweedimensionale beweging (2-D) | Beweging in een vlak, waarbij twee coördinaten nodig zijn om de positie te beschrijven. |
| Projectielbeweging | Een vorm van 2-D beweging die optreedt wanneer een object wordt gegooid of geschoten en vervolgens alleen onder invloed staat van de zwaartekracht. |
| Reikwijdte | De horizontale afstand die een projectiel aflegt vanaf het lanceerpunt totdat het terugkeert naar dezelfde hoogte of de grond raakt. |
| Beginhoek | De hoek waaronder een projectiel wordt gelanceerd ten opzichte van de horizontale lijn. |
| Beginsnelheid | De snelheid waarmee een projectiel op het lanceerpunt wordt gelanceerd. |
| Beginhoogte | De verticale positie van het lanceerpunt van een projectiel ten opzichte van het referentievlak (vaak de grond). |
Cover
HS2 slides.pdf
Summary
# Inleiding tot angulaire kinematica
Dit hoofdstuk introduceert de basisprincipes van angulaire kinematica, die de beschrijving van beweging in een roterende context omvat [3](#page=3).
### 1.1 Definitie van angulaire kinematica
Angulaire kinematica houdt zich bezig met beweging waarbij alle delen van een object dezelfde hoek en hoeksnelheid hebben. Dit type beweging wordt geassocieerd met cirkelbewegingen rond een rotatie-as. Kinematica zelf is de beschrijving van beweging [3](#page=3).
### 1.2 Basisbegrippen
Om angulaire beweging te beschrijven, worden de volgende basisbegrippen geïntroduceerd:
* **Referentielijn:** Een denkbeeldige lijn die gebruikt wordt om de positie van een roterend object te definiëren [4](#page=4).
* **Hoek ($\\theta$):** De verplaatsing gemeten in graden of radialen, die de rotatie van een object rond een as aangeeft. De relatie tussen booglengte ($s$), straal ($r$), en hoek ($\\theta$) wordt gegeven door de formule [4](#page=4): $$ \\theta = \\frac{s}{r} $$ [4](#page=4).
### 1.3 Definities van angulaire bewegingsgrootheden
Binnen de angulaire kinematica worden specifieke definities gebruikt om de rotatie te kwantificeren:
* **Hoekverplaatsing ($\\Delta\\theta$):** De verandering in hoekpositie, berekend als het verschil tussen de eindhoek ($\\theta\_2$) en de beginhoek ($\\theta\_1$) [5](#page=5). $$ \\Delta\\theta = \\theta\_2 - \\theta\_1 $$ [5](#page=5).
* **Hoeksnelheid ($\\omega$):** De snelheid waarmee de hoek verandert [5](#page=5).
* **Gemiddelde hoeksnelheid:** De totale hoekverplaatsing gedeeld door de totale tijd [5](#page=5).
* **Ogenblikkelijke hoeksnelheid:** De hoeksnelheid op een specifiek moment in de tijd [5](#page=5).
* **Hoekversnelling ($\\alpha$):** De snelheid waarmee de hoeksnelheid verandert [5](#page=5).
* **Gemiddelde hoekversnelling:** De totale verandering in hoeksnelheid gedeeld door de totale tijd [5](#page=5).
* **Ogenblikkelijke hoekversnelling:** De hoekversnelling op een specifiek moment in de tijd [5](#page=5).
### 1.4 Star lichaam
Een **sterk lichaam** is een theoretisch concept dat wordt gebruikt in de mechanica. Het wordt gedefinieerd als een lichaam waarbij de afstand tussen elk willekeurig punt en elk ander punt op het lichaam constant blijft, ongeacht de uitgeoefende krachten. Met andere woorden, een sterk lichaam kan niet vervormen [6](#page=6).
> **Tip:** Hoewel in de werkelijkheid geen enkel lichaam perfect star is, biedt het concept van een sterk lichaam een nuttige vereenvoudiging voor het analyseren van bewegingen, met name rotatie rond een vaste as [6](#page=6).
### 1.5 Rotatie van een sterk lichaam om een vaste as
De angulaire kinematica is primair gericht op het beschrijven van de rotatie van een sterk lichaam rond een vaste as. Dit concept vormt de basis voor het analyseren van veel biomechanische bewegingen waarbij rotatie een rol speelt [6](#page=6) [7](#page=7).
* * *
# Lineaire en angulaire snelheden en versnellingen
Dit deel behandelt de verbanden tussen lineaire snelheden en versnellingen en hun angulaire equivalenten, inclusief formules en voorbeelden.
### 2.1 Lineaire snelheid
Lineaire snelheid, aangeduid met $v$, is de mate van verandering van de afgelegde afstand ($s$) over tijd ($t$). De formule voor lineaire snelheid is [8](#page=8): $$v = \\frac{ds}{dt}$$ [8](#page=8).
### 2.2 Lineaire versnelling
Lineaire versnelling is de mate van verandering van de lineaire snelheid ($v$) over tijd ($t$). De formules hiervoor zijn [9](#page=9): $$a\_t = \\frac{dv}{dt}$$ [9](#page=9). $$a\_n = \\frac{v^2}{r}$$ [9](#page=9).
De totale lineaire versnelling ($a$) is de vectoriële som van de tangentiële versnelling ($a\_n$) en de normale (centripetale) versnelling ($a\_t$) [9](#page=9). $$a = \\sqrt{a\_n^2 + a\_t^2}$$ [9](#page=9).
Het is belangrijk op te merken dat de tangentiële versnelling ($a\_t$) nul kan zijn, wat betekent dat de snelheid niet verandert in grootte, maar de normale versnelling ($a\_n$) kan nooit nul zijn bij een cirkelvormige beweging omdat er altijd een verandering in richting is [10](#page=10).
### 2.3 Lineaire snelheid versus hoeksnelheid
Bij een cirkelvormige beweging waarbij de straal ($r$) constant is, bestaat er een direct verband tussen lineaire snelheid ($v\_t$) en hoeksnelheid ($\\omega$). De hoeksnelheid is de mate van verandering van de hoek ($\\theta$) over tijd ($t$), of de verandering van de booglengte ($s$) gedeeld door de straal [12](#page=12). $$v\_t = \\frac{ds}{dt} = \\frac{d(r\\theta)}{dt} = r \\frac{d\\theta}{dt} = r\\omega$$ [12](#page=12).
> **Tip:** De hoeksnelheid ($\\omega$) wordt typisch gemeten in radialen per seconde (rad/s), terwijl de lineaire snelheid ($v$) wordt gemeten in meters per seconde (m/s).
### 2.4 Lineaire versnelling versus hoekversnelling
Net zoals bij snelheden, is er een verband tussen lineaire versnelling en hoekversnelling bij cirkelvormige beweging met een constante straal ($r$). De hoekversnelling ($\\alpha$) is de mate van verandering van de hoeksnelheid ($\\omega$) over tijd ($t$) [16](#page=16).
De tangentiële lineaire versnelling ($a\_t$) is gerelateerd aan de hoekversnelling: $$a\_t = \\frac{dr\\omega}{dt} = r \\frac{d\\omega}{dt} = r\\alpha$$ [16](#page=16).
De normale (centripetale) lineaire versnelling ($a\_n$) kan worden uitgedrukt in termen van de hoeksnelheid: $$a\_n = \\frac{v^2}{r} = \\frac{(r\\omega)^2}{r} = \\frac{r^2\\omega^2}{r} = r\\omega^2$$ [16](#page=16).
### 2.5 Voorbeeld: Techniek van het wegschoppen van een voetbal
De principes van lineaire en angulaire snelheden zijn toepasbaar in sporten. Bij het trappen van een voetbal, kan een grotere hoeksnelheid van het onderbeen leiden tot een grotere lineaire snelheid van de voet. Deze grotere lineaire snelheid van de voet resulteert vervolgens in een grotere lineaire beginsnelheid van de bal, wat cruciaal is voor de daaropvolgende projectielbeweging [15](#page=15).
> **Example:** Een hogere hoeksnelheid van het draaien van het onderbeen bij een voetbalwedstrijd resulteert direct in een hogere lineaire snelheid waarmee de voet de bal raakt. Dit verhoogt de beginsnelheid van de bal, waardoor deze verder kan vliegen [14](#page=14) [15](#page=15).
* * *
# Specifieke cirkelvormige bewegingstypes
Dit deel behandelt de kenmerken van eenparig cirkelvormige beweging (ECB) en eenparig versnelde draaibeweging, inclusief relevante formules voor periode, frequentie en verplaatsing.
### 3.1 Eenparig cirkelvormige beweging (ECB)
Een eenparig cirkelvormige beweging kenmerkt zich door een constante hoeksnelheid en een hoekversnelling van nul [17](#page=17).
Voor een punt dat zich op een afstand $r$ van de rotatie-as bevindt, gelden de volgende relaties:
* Hoekpositie: $\\theta = \\theta\_0 + \\omega t$ [17](#page=17).
* Snelheid: $v = r\\omega$ (constant) [17](#page=17).
* Tangentiële versnelling: $a\_t = 0$ [17](#page=17).
* Normale (centripetale) versnelling: $a\_n = r\\omega^2$ (constant) [17](#page=17).
#### 3.1.1 Periode en frequentie in ECB
* **Periode ($T$)**: De tijd die nodig is om een volledige cirkel te doorlopen, dus om over een hoek van $2\\pi$ radialen te draaien [18](#page=18).
* **Frequentie ($f$)**: Het aantal omwentelingen dat per tijdseenheid wordt gemaakt. De relatie tussen frequentie en periode is [18](#page=18): $$f = \\frac{1}{T}$$ [18](#page=18).
> **Tip:** Hoewel de snelheid $v$ constant is in ECB, is de beweging versneld omdat de richting van de snelheid voortdurend verandert. Deze versnelling wordt de centripetale versnelling genoemd en wijst altijd naar het middelpunt van de cirkel.
### 3.2 Eenparig versnelde draaibeweging
Bij een eenparig versnelde draaibeweging is de hoekversnelling ($\\alpha$) constant. De volgende formules beschrijven deze beweging [19](#page=19):
* Hoekpositie: $\\theta = \\theta\_0 + \\omega\_0 t + \\frac{1}{2} \\alpha t^2$ [19](#page=19).
* Hoeksnelheid: $\\omega = \\omega\_0 + \\alpha t$ [19](#page=19).
Door de variabele tijd ($t$) te elimineren uit deze twee vergelijkingen, verkrijgen we een relatie tussen hoeksnelheid, hoekversnelling en hoekverplaatsing:
$$ \\omega^2 = \\omega\_0^2 + 2\\alpha(\\theta - \\theta\_0) $$ [19](#page=19).
> **Voorbeeld:** Een wiel dat stilstaat en begint te versnellen met een constante hoekversnelling zal na verloop van tijd een hogere hoeksnelheid bereiken. De hierboven genoemde formules maken het mogelijk om de hoeksnelheid en de afgelegde hoek op elk tijdstip te berekenen.
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Angulaire kinematica | Het deel van de biomechanica dat zich bezighoudt met het beschrijven van rotatiebewegingen zonder rekening te houden met de oorzaken ervan. |
| Kinematica | De tak van de mechanica die de beweging van objecten beschrijft, zonder de krachten te beschouwen die de beweging veroorzaken. |
| Angulair | Verwijst naar bewegingen die plaatsvinden rond een rotatie-as, waarbij alle delen van het object dezelfde hoekverplaatsing of hoeksnelheid ondergaan. |
| Rotatie-as | Een denkbeeldige lijn waaromheen een object roteert. |
| Referentielijn | Een lijn die wordt gebruikt als referentiepunt voor het meten van hoeken en hoekverplaatsingen. |
| Hoek | De mate van rotatie tussen twee lijnen die elkaar snijden. Kan worden uitgedrukt in graden of radialen. |
| Hoekverplaatsing (Δ𝜃) | De verandering in hoek van een object gedurende een bepaalde periode, berekend als de eindhoek minus de beginhoek (𝜃₂ − 𝜃₁). |
| Hoeksnelheid (𝜔) | De mate waarin de hoekpositie van een object verandert over tijd. Het is de verandering in hoek gedeeld door de tijd die verstrijkt. |
| Gemiddelde hoeksnelheid | De totale hoekverplaatsing gedeeld door de totale tijd die verstrijkt. |
| Ogenblikkelijke hoeksnelheid | De hoeksnelheid op een specifiek moment in de tijd. |
| Hoekversnelling (𝛼) | De mate waarin de hoeksnelheid van een object verandert over tijd. |
| Gemiddelde hoekversnelling | De totale verandering in hoeksnelheid gedeeld door de totale tijd die verstrijkt. |
| Ogenblikkelijke hoekversnelling | De hoekversnelling op een specifiek moment in de tijd. |
| Star lichaam | Een ideaal lichaam waarvan de afstand tussen elk willekeurig puntenpaar onveranderlijk blijft, wat betekent dat het lichaam niet kan vervormen onder invloed van externe krachten. |
| Lineaire snelheid (𝑣) | De snelheid van een punt op een roterend object langs een recht pad, berekend als de afstand afgelegd gedeeld door de tijd (𝑑𝑠/𝑑𝑡). |
| Lineaire versnelling (𝑎) | De mate waarin de lineaire snelheid van een punt op een roterend object verandert over tijd (𝑑𝑣/𝑑𝑡). |
| Centripetale versnelling (𝑎𝑛) | De versnelling die gericht is naar het centrum van de cirkelbaan, verantwoordelijk voor het behouden van de cirkelvormige beweging ($a_n = v^2/r$). |
| Tangentiële versnelling (𝑎𝑡) | De component van de lineaire versnelling die tangentieel is aan de cirkelbaan en verantwoordelijk is voor de verandering in de grootte van de snelheid ($a_t = dv/dt$). |
| Eenparig cirkelvormige beweging (ECB) | Een beweging waarbij een object zich met een constante hoeksnelheid beweegt langs een cirkelvormige baan. De hoekversnelling is nul. |
| Periode (T) | De tijd die nodig is voor een object om één volledige omwenteling te voltooien (een hoek van $2\pi$ radialen te doorlopen). |
| Frequentie (𝑓) | Het aantal omwentelingen dat een object per tijdseenheid maakt, en is het omgekeerde van de periode ($f = 1/T$). |
| Eenparig versnelde draaibeweging | Een rotatiebeweging waarbij de hoekversnelling constant is. |
Cover
HS3_ingevuld.pdf
Summary
# De wetten van Newton en hun toepassingen
Dit onderwerp behandelt de drie fundamentele wetten van Newton en introduceert diverse krachten, met een focus op hun toepassing binnen de biomechanica.
### 1.1 De wetten van Newton
De wetten van Newton beschrijven de relatie tussen de beweging van een object en de krachten die erop inwerken [4](#page=4) [5](#page=5) [8](#page=8).
#### 1.1.1 De eerste wet van Newton: de traagheidswet
De eerste wet van Newton, ook wel de traagheidswet genoemd, stelt dat elk lichaam in rust blijft (snelheid nul) of een eenparige rechtlijnige beweging blijft uitvoeren, tenzij het door uitwendige krachten gedwongen wordt zijn toestand te veranderen. Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als [4](#page=4):
$$ \\sum\_{i} \\vec{F}\_i = 0 \\Leftrightarrow \\vec{a} = 0 $$
waar $\\sum\_{i} \\vec{F}\_i$ de som van alle uitwendige krachten is en $\\vec{a}$ de versnelling is [4](#page=4).
#### 1.1.2 De tweede wet van Newton: kracht en versnelling
De tweede wet van Newton beschrijft het verband tussen kracht, massa en versnelling. De grootte van de versnelling van een object is recht evenredig met de grootte van de netto kracht die erop inwerkt, en omgekeerd evenredig met zijn massa. De wet wordt als volgt geformuleerd [5](#page=5) [6](#page=6):
$$ \\sum\_{i} \\vec{F}\_i = m \\vec{a} $$
Krachten zijn vectoren met een aangrijpingspunt, terwijl massa een scalair is en versnelling een vector. De SI-eenheid van kracht is de Newton (N), waarbij $1 , \\text{N} = 1 , \\text{kg} \\cdot \\text{m/s}^2$. In componenten uitgedrukt geldt [7](#page=7):
$$ \\sum\_{i} F\_{xi} = ma\_x $$$$ \\sum\_{i} F\_{yi} = ma\_y $$$$ \\sum\_{i} F\_{zi} = ma\_z $$
#### 1.1.3 De derde wet van Newton: actie en reactie
De derde wet van Newton stelt dat wanneer een lichaam A een kracht uitoefent op een lichaam B, lichaam B een kracht uitoefent op lichaam A die even groot is, dezelfde richting heeft, maar tegengesteld gericht is. Dit wordt wiskundig uitgedrukt als [8](#page=8) [9](#page=9):
$$ \\vec{F}\_{AB} = -\\vec{F}{BA} $$
### 1.2 Inertieel referentiestelsel
De wetten van Newton zijn alleen geldig in inertiële referentiestelsels. Een inertieel referentiestelsel is een assenstelsel dat in rust is of een eenparige rechtlijnige beweging uitvoert. Het kiezen van het juiste referentiestelsel is cruciaal om pseudokrachten (ook wel fictieve krachten genoemd) te vermijden [10](#page=10) [47](#page=47).
### 1.3 Diverse krachten en hun toepassingen in de biomechanica
Verschillende soorten krachten spelen een rol in biomechanische systemen.
#### 1.3.1 Zwaartekracht en gewicht
De zwaartekracht ($\\vec{G}$) is de kracht die de aarde uitoefent op een object met massa $m$, en wordt gegeven door $\\vec{G} = m\\vec{g}$, waarbij $\\vec{g}$ de versnelling als gevolg van de zwaartekracht is. Gewicht is een kracht (een vector), terwijl massa een maat is voor de inertie van een object (een scalair) [12](#page=12).
#### 1.3.2 Normaalkracht
De normaalkracht ($N$) is de contactkracht die wordt uitgeoefend door een steunvlak op een lichaam, loodrecht op het contactoppervlak. De grootte van de normaalkracht kan gelijk zijn aan, groter of kleiner zijn dan de zwaartekracht, afhankelijk van andere aanwezige krachten [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16).
* **Horizontaal steunvlak:** Op een horizontale vloer is de normaalkracht $N$ gelijk aan het gewicht $W$ als er geen andere verticale krachten zijn. Als er een externe kracht is die schuin omhoog trekt, zal de normaalkracht kleiner zijn: $N = W - F\\sin\\theta$ [14](#page=14) [16](#page=16).
* **Hellend steunvlak:** Op een hellend vlak is de normaalkracht gelijk aan de component van de zwaartekracht loodrecht op het oppervlak: $N = W\\cos\\theta$, waarbij $\\theta$ de hoek van de helling is [18](#page=18).
#### 1.3.3 Spankracht of trekkracht
Spankracht ($T$) is de trekkracht die door een touw of kabel wordt uitgeoefend op een object waaraan het is bevestigd. Bij een turner die in rust hangt, heft de spankracht van de armen de zwaartekracht op, wat resulteert in een netto kracht van nul. Pezen dragen spierkracht over naar botten via spankracht [19](#page=19) [20](#page=20).
#### 1.3.4 Wrijvingskracht
Wrijving is een kracht die optreedt bij beweging langs een contactoppervlak. Het kan zowel nadelig zijn (bv. in sportprestaties, gewrichten) als noodzakelijk (bv. om te voorkomen dat men wegglijdt bij stappen) [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23).
* **Statische wrijvingskracht ($\\vec{f}\_s$):** Dit is de wrijvingskracht die overwonnen moet worden om een object in rust in beweging te krijgen. De grootte ervan varieert van 0 tot een maximumwaarde, $f\_{s,max} = \\mu\_s N$, waar $\\mu\_s$ de statische wrijvingscoëfficiënt is [22](#page=22) [25](#page=25).
* **Kinetische wrijvingskracht ($\\vec{f}\_k$):** Dit is de wrijvingskracht die optreedt wanneer een object in beweging is. De grootte ervan is $f\_k = \\mu\_k N$, waar $\\mu\_k$ de kinetische wrijvingscoëfficiënt is [23](#page=23) [25](#page=25).
De wrijvingskracht is evenwijdig aan het contactoppervlak en tegengesteld gericht aan de bewegingsrichting of de uitwendige kracht. De grootte hangt af van de aard van de contactoppervlakken en de normaalkracht, maar niet van de grootte van het contactoppervlak. Verschillende materiaalcombinaties hebben verschillende wrijvingscoëfficiënten [24](#page=24) [26](#page=26).
**Toepassing in gewrichten:** Kraakbeen en synoviale vloeistof spelen een rol bij het reguleren van wrijving in gewrichten. Bij stilstand zorgt het kraakbeen voor een hogere statische wrijvingscoëfficiënt ($\\mu\_s$), terwijl bij beweging de synoviale vloeistof wordt geperst, wat resulteert in een lagere kinetische wrijvingscoëfficiënt ($\\mu\_k$) [28](#page=28) [29](#page=29).
#### 1.3.5 Grondreactiekracht
De grondreactiekracht is de kracht die door het oppervlak wordt uitgeoefend op het lichaam dat zich erop voortbeweegt. Deze kracht heeft typisch drie componenten [32](#page=32):
* Een verticale component ($F\_z$), vergelijkbaar met de normaalkracht [32](#page=32) [34](#page=34).
* Schuifcomponenten: een antero-posterieure component ($F\_y$) voor voorwaarts-achterwaartse beweging, en een medio-laterale component ($F\_x$) voor zijwaartse beweging [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34).
Krachtplatforms worden gebruikt om deze krachten te meten tijdens activiteiten zoals lopen en springen [33](#page=33).
#### 1.3.6 Reactiekracht in het gewricht
Bewegingen en interacties tussen verschillende lichaamsdelen leiden tot reactiekrachten in gewrichten, volgens de derde wet van Newton. Deze reactiekracht is de netto kracht die op het gewricht werkt en bestaat uit een compressiecomponent (loodrecht op het gewrichtsoppervlak) en een schuifcomponent (rakend aan het gewrichtsoppervlak). Het lumbosacrale gewricht is een voorbeeld waar deze krachten relevant zijn [35](#page=35) [36](#page=36).
#### 1.3.7 Spierkracht
Spierkracht is de kracht die door spieren wordt gegenereerd wanneer ze samentrekken in een bepaalde richting. Deze krachten kunnen worden gemodelleerd of gemeten, hoewel directe meting tijdens functionele bewegingen vaak invasief is. Een spier kan zowel roterende als stabiliserende componenten hebben ten opzichte van een gewricht [37](#page=37) [38](#page=38) [39](#page=39).
#### 1.3.8 Elastische krachten
Elastische krachten zijn gerelateerd aan vervormbare elementen, zoals veren, zowel binnen als buiten het menselijk lichaam. De wet van Hooke beschrijft de relatie tussen de veerkracht ($\\vec{F}$) en de uitrekking of inkrimping ($\\vec{x}$) van een elastisch object [40](#page=40):
$$ \\vec{F} = -k \\vec{x} $$
Hierbij is $k$ de veerstijfheid [41](#page=41).
#### 1.3.9 Weerstand in een fluïdum
Weerstand in een fluïdum (zoals lucht of water) wordt veroorzaakt door de relatieve snelheid tussen het object en het fluïdum. Deze weerstandskracht bestaat uit twee componenten [42](#page=42):
* **Drag-kracht ($F\_{drag}$):** Deze kracht is tegengesteld aan de bewegingsrichting en wordt gegeven door de formule: $$ F\_{drag} = \\frac{1}{2} C\_d A \\rho v^2 $$ waarin $\\rho$ de massadichtheid van het fluïdum is, $A$ de effectieve doorsnede van het lichaam, $v$ de relatieve snelheid, en $C\_d$ de vormweerstandcoëfficiënt [44](#page=44).
* **Lift-kracht ($F\_{lift}$):** Deze kracht staat loodrecht op de bewegingsrichting en wordt berekend met: $$ F\_{lift} = \\frac{1}{2} C\_l A \\rho v^2 $$ waarin $C\_l$ de liftcoëfficiënt is [45](#page=45).
Voorbeelden van weerstand in fluïda omvatten zwemmen, vliegen en het bewegen van een lichaam door de lucht [46](#page=46).
> **Tip:** Bij het analyseren van bewegingen is het essentieel om het juiste inertiële referentiestelsel te kiezen om de toepassing van de wetten van Newton correct te kunnen uitvoeren en het optreden van fictieve krachten te vermijden [47](#page=47).
* * *
# Specifieke krachten in de biomechanica
Dit hoofdstuk behandelt de specifieke krachten die een rol spelen in de biomechanica, inclusief hun eigenschappen en berekeningsmethoden.
### 2.1 Zwaartekracht
Zwaartekracht, ook wel gewicht genoemd, is de kracht die door de aarde wordt uitgeoefend op een object en wordt berekend met de formule: $$ \\vec{G} = m \\vec{g} $$ Hierin is $m$ de massa van het object en $\\vec{g}$ de zwaartekrachtsversnelling. Massa is een maat voor traagheid en is een scalair, terwijl gewicht een kracht is en een vectoriële grootheid [12](#page=12).
### 2.2 Normaalkracht
De normaalkracht is de kracht die door een steunvlak wordt uitgeoefend op een contact makend lichaam, en staat altijd loodrecht op dat steunvlak. De grootte van de normaalkracht is niet noodzakelijk gelijk aan de zwaartekracht en hangt af van de andere aanwezige krachten [13](#page=13).
* **Horizontaal steunvlak:**
* Als een koffer stilstaat op een horizontale vloer, is de nettokracht nul volgens Newton's eerste wet. De normaalkracht (N) compenseert dan volledig de zwaartekracht (W): $N = W$ [14](#page=14).
* Wanneer er een kracht $\\vec{F}$ onder een hoek $\\theta$ met de horizontale as aan de koffer wordt getrokken, terwijl er geen verticale beweging is ($a\_y = 0$), wordt de normaalkracht berekend als: $N = W - F\\sin\\theta$ [15](#page=15) [16](#page=16).
* **Hellend steunvlak:**
* Op een hellend vlak wordt de zwaartekracht ontbonden in componenten parallel en loodrecht op het vlak. De normaalkracht is dan gelijk aan de component van de zwaartekracht die loodrecht op het vlak staat: $N = W\\cos\\theta$, waarbij $\\theta$ de hoek van de helling is. De component parallel aan het vlak zorgt voor versnelling langs de helling: $W\\sin\\theta = ma$ [17](#page=17) [18](#page=18).
### 2.3 Spankracht of trekkracht
Spankracht (T) is de trekkracht die door een touw of vergelijkbaar object wordt uitgeoefend op een aangehangen lichaam, altijd in de richting van het touw. Dit principe wordt toegepast bij het overbrengen van spierkracht naar bot via pezen. In rust is de spankracht gelijk in grootte aan de zwaartekracht, maar tegengesteld gericht ($T = - \\vec{G}$) [19](#page=19) [20](#page=20).
### 2.4 Wrijvingskracht
Wrijvingskracht ontstaat bij beweging of poging tot beweging langs een contactoppervlak en kan zowel nadelig (sportprestaties, gewrichten) als noodzakelijk (stappen, lopen) zijn [21](#page=21).
* **Statische wrijvingskracht ($f\_s$):** Deze kracht overwint de neiging tot beweging wanneer een object stilstaat. De grootte varieert tussen nul en een maximale waarde ($f\_{s,max}$): $0 \\leq f\_s \\leq f\_{s,max}$. De maximale statische wrijvingskracht is afhankelijk van de aard van de contactoppervlakken en de normaalkracht: $f\_{s,max} = \\mu\_s N$, waarbij $\\mu\_s$ de statische wrijvingscoëfficiënt is [22](#page=22) [25](#page=25).
* **Kinetische wrijvingskracht ($f\_k$):** Deze kracht werkt wanneer een object in beweging is langs een oppervlak. De grootte is direct gerelateerd aan de normaalkracht en de kinetische wrijvingscoëfficiënt ($\\mu\_k$): $f\_k = \\mu\_k N$ [23](#page=23) [25](#page=25).
De richting van de wrijvingskracht is evenwijdig aan het contactoppervlak en tegengesteld aan de uitwendige kracht of bewegingsrichting. De grootte is niet afhankelijk van de contactoppervlakte, maar wel van de aard van de materialen en de normaalkracht. Verschillende materiaalkoppelingen hebben uiteenlopende wrijvingscoëfficiënten [24](#page=24) [26](#page=26).
In gewrichten fungeert het kraakbeen als contactoppervlak. Bij stilstand, wanneer het synoviale vocht wordt samengedrukt, is de statische wrijvingscoëfficiënt relatief hoog, wat zorgt voor stabiliteit. Tijdens beweging wordt het synoviale vocht weggeperst, wat resulteert in een lagere kinetische wrijvingscoëfficiënt en soepelere beweging [28](#page=28) [29](#page=29).
### 2.5 Grondreactiekracht
De grondreactiekracht is de kracht die door het oppervlak (bijvoorbeeld de grond) wordt uitgeoefend op een lichaam dat zich daarop voortbeweegt. Deze kracht bestaat uit [32](#page=32):
* Een verticale component ($F\_z$), die overeenkomt met de normaalkracht [32](#page=32).
* Schuifcomponenten:
* Antero-posterieure component ($F\_y$), werkend in de voorwaarts-achterwaarts richting [32](#page=32).
* Medio-laterale component ($F\_x$), werkend in de zijwaarts richting [32](#page=32). Krachtplatforms worden gebruikt om deze grondreactiekrachten te meten, bijvoorbeeld tijdens het lopen of bij een sprong [33](#page=33) [34](#page=34).
### 2.6 Reactiekracht in het gewricht
Wanneer verschillende lichaamsonderdelen bewegen, ontstaan er reactiekrachten in de gewrichten, conform Newton's derde wet. De reactiekracht in een gewricht is de netto kracht die op het gewricht werkt en kan worden ontbonden in een compressiecomponent (loodrecht op het gewrichtsoppervlak) en een schuifcomponent (rakend aan het gewrichtsoppervlak). Toepassingen hiervan zijn te vinden in bijvoorbeeld het lumbosacrale gewricht [35](#page=35) [36](#page=36).
### 2.7 Spierkracht
Spierkracht is de kracht die een spier uitoefent wanneer deze samentrekt. Spieren hebben een specifieke richting en een aangrijpingspunt, en kunnen zowel roterende als stabiliserende componenten van de kracht leveren. Het meten van spierkracht \_in vivo kan gebeuren via wiskundige modellen of, invasief, met krachtmeters op de pees [37](#page=37) [38](#page=38) [39](#page=39).
### 2.8 Elastische krachten
Elastische krachten ontstaan in rekbare elementen, zowel binnen als buiten het menselijk lichaam, en beschrijven het verband tussen kracht en rek. De Wet van Hooke beschrijft de reactiekracht van een veer [40](#page=40): $$ \\vec{F} = -k \\vec{x} $$ Hierin is $k$ de veerstijfheid en $\\vec{x}$ de uitrekking of samendrukking [41](#page=41).
### 2.9 Weerstand in een fluïdum
Bij beweging door een fluïdum (zoals lucht of water) ondervindt een lichaam weerstand. Deze weerstandskracht is gerelateerd aan de relatieve snelheid tussen het lichaam en het fluïdum. De weerstand bestaat uit twee componenten [42](#page=42):
* **Drag-kracht ($F\_{drag}$):** Deze kracht werkt tegengesteld aan de bewegingsrichting en wordt berekend met de formule: $$ F\_{drag} = \\frac{1}{2} C\_d A \\rho v^2 $$ Hierbij staat $\\rho$ voor de massadichtheid van het fluïdum, $A$ voor de effectieve doorsnede van het lichaam, $v$ voor de relatieve snelheid, en $C\_d$ voor de dimensieloze vormweerstandscoëfficiënt [44](#page=44).
* **Lift-kracht ($F\_{lift}$):** Deze kracht staat loodrecht op de bewegingsrichting en wordt berekend met: $$ F\_{lift} = \\frac{1}{2} C\_l A \\rho v^2 $$ Hierbij is $C\_l$ de dimensieloze liftcoëfficiënt [45](#page=45).
Voorbeelden van weerstand in fluïda zijn onder andere het zwemmen of fietsen [46](#page=46).
* * *
# Oefeningen en toepassingen in bewegingsanalyse
Dit gedeelte illustreert de concepten van lineaire kinetica aan de hand van praktische voorbeelden, zoals voertuigen in bochten en een skiër op een helling [49](#page=49).
### 3.1 Algemene werkwijze voor het oplossen van kinetische problemen
Een gestructureerde aanpak is cruciaal voor het correct oplossen van problemen in bewegingsanalyse [49](#page=49).
#### 3.1.1 Stappenplan
1. **Free body diagram (lichaamsdiagram)**: Identificeer het lichaam en teken alle uitwendige krachten die erop inwerken als vectoren [49](#page=49).
2. **Keuze van het inertiële referentiestelsel**: Kies een geschikt referentiekader waarin de wetten van Newton geldig zijn [49](#page=49).
3. **Toepassen van de wetten van Newton**: Formuleer de tweede wet van Newton in vectorvorm: $\\sum \\vec{F} = m\\vec{a}$ [49](#page=49).
4. **Componentvergelijkingen**: Ontbind de vectoren in componenten langs de gekozen assen. Het aantal onbekenden (krachten, versnellingen) moet gelijk zijn aan het aantal opgestelde vergelijkingen [49](#page=49).
5. **Oplossen van de vergelijkingen**: Los het stelsel van vergelijkingen op en controleer de eenheden [49](#page=49).
6. **Gezond verstand**: Evalueer de oplossing kritisch en controleer of deze redelijk is [49](#page=49).
* **Tip**: Vergeet niet om kinematische vergelijkingen uit eerdere hoofdstukken te combineren met de kinetische vergelijkingen indien nodig [49](#page=49).
### 3.2 Toepassing: Voertuig in een vlakke bocht
Dit voorbeeld onderzoekt de maximale snelheid waarmee een auto een vlakke bocht kan nemen zonder uit de bocht te vliegen.
#### 3.2.1 Probleemstelling
Een auto beschrijft een eenparig cirkelvormige beweging met een straal $r = 20$ m. Gegeven is de statische wrijvingscoëfficiënt $\\mu\_s = 0,6$. Wat is de maximale snelheid $v\_{max}$ die de auto mag hebben om niet uit de bocht te vliegen [50](#page=50)?
#### 3.2.2 Analyse
De krachten die op de auto inwerken zijn de wrijvingskracht ($\\vec{f}\_s$), de zwaartekracht ($\\vec{G}$) en de normaalkracht ($\\vec{N}$). De tweede wet van Newton luidt [51](#page=51): $$ \\vec{f}\_s + \\vec{G} + \\vec{N} = m\\vec{a} $$
Hierbij is $\\vec{a}$ de centripetale versnelling die gericht is naar het middelpunt van de cirkelvormige baan. We ontbinden de vergelijking in componenten langs de verticale (z-)as en de radiale (r-)as.
* **z-as**: Er is geen verticale beweging, dus de netto verticale kracht is nul. $N - G = 0 \\implies N = G = mg$ [52](#page=52).
* **r-as**: De netto radiale kracht levert de centripetale versnelling. De wrijvingskracht is hier de enige kracht die naar het middelpunt werkt. $-f\_s = -m \\frac{v^2}{r}$ [52](#page=52).
De maximale snelheid wordt bereikt wanneer de wrijvingskracht zijn maximale waarde bereikt: $f\_{s,max} = \\mu\_s N$. Door deze in te vullen, krijgen we [52](#page=52): $\\mu\_s N = m \\frac{v\_{max}^2}{r}$ [52](#page=52). $\\mu\_s (mg) = m \\frac{v\_{max}^2}{r}$ [52](#page=52).
Dit vereenvoudigt tot: $v\_{max} = \\sqrt{\\mu\_s g r}$ [52](#page=52).
#### 3.2.3 Resultaat
Met de gegeven waarden $r = 20$ m, $\\mu\_s = 0,6$ en $g = 9,81 , m/s^2$: $v\_{max} = \\sqrt{0,6 \\times 9,81 , m/s^2 \\times 20 , m} = 10,8 , m/s$ [52](#page=52). Dit is gelijk aan $39 , km/u$ [52](#page=52).
> **Tip**: De massa van de auto ($m$) valt weg in de berekening van de maximale snelheid.
### 3.3 Toepassing: Voertuig in een hellende bocht
Dit voorbeeld onderzoekt de hellingshoek die nodig is om de wrijvingskracht overbodig te maken bij het nemen van een bocht met een bepaalde snelheid.
#### 3.3.1 Probleemstelling
Stel dat de straal van de bocht $r = 20$ m blijft en de auto aan $39 , km/u$ (oftewel $10,8 , m/s$) rijdt. Hoe groot moet de hellingshoek $\\theta$ van de bocht zijn, zodat de wrijvingskracht niet nodig is voor de benodigde centripetale kracht [53](#page=53)?
#### 3.3.2 Analyse
De krachten die op de auto inwerken zijn de zwaartekracht ($\\vec{G}$), de normaalkracht ($\\vec{N}$) en de wrijvingskracht ($\\vec{f}\_s$). Aangezien de wrijvingskracht niet nodig is, werken alleen $\\vec{G}$ en $\\vec{N}$ en moet hun netto resultante de centripetale kracht leveren. We ontbinden de normaalkracht en de zwaartekracht in componenten langs de radiale (r-)as en de verticale (z-)as. De helling is geconfigureerd zodat de normaalkracht een component heeft die naar het middelpunt van de bocht wijst.
* **r-as**: De horizontale component van de normaalkracht levert de centripetale kracht. $N \\sin\\theta = m \\frac{v^2}{r}$ [54](#page=54).
* **z-as**: De verticale component van de normaalkracht balanceert de zwaartekracht. $N \\cos\\theta = G = mg$ [54](#page=54).
Door de twee vergelijkingen te delen, $N \\sin\\theta / (N \\cos\\theta) = (m v^2 / r) / (mg)$, krijgen we: $\\tan\\theta = \\frac{v^2}{rg}$ [54](#page=54).
#### 3.3.3 Resultaat
Met $v = 10,8 , m/s$, $r = 20 , m$ en $g = 9,81 , m/s^2$: $\\theta = \\arctan\\left(\\frac{(10,8 , m/s)^2}{20 , m \\times 9,81 , m/s^2}\\right) = \\arctan\\left(\\frac{116,64}{196,2}\\right) \\approx \\arctan(0,5945)$ [54](#page=54). $\\theta \\approx 30,75°$. Afgerond is dit $30,9°$ [54](#page=54).
> **Tip**: Dit type bocht, waarbij de helling de centripetale kracht levert, wordt ook wel een 'gebankte' bocht genoemd.
### 3.4 Toepassing: Skiër op een helling
Dit voorbeeld berekent de eindsnelheid van een skiër die een helling afglijdt, rekening houdend met wrijving.
#### 3.4.1 Probleemstelling
Een skiër start vanuit rust en glijdt een helling van $50$ m lengte af. De hellingshoek is $\\theta = 30°$ met de horizontale. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen de ski's en de piste is $\\mu\_k = 0,05$. Luchtweerstand wordt verwaarloosd. Met welke snelheid komt de skiër beneden [55](#page=55)?
#### 3.4.2 Analyse
De krachten die op de skiër inwerken zijn de zwaartekracht ($\\vec{G}$), de kinetische wrijvingskracht ($\\vec{f}\_k$) en de normaalkracht ($\\vec{N}$). We kiezen een x-as parallel aan de helling (naar beneden gericht) en een y-as loodrecht op de helling (omhoog gericht). De zwaartekracht wordt ontbonden in een component parallel aan de helling ($G\\sin\\theta$) en een component loodrecht op de helling ($G\\cos\\theta$) [57](#page=57).
* **y-as**: De netto kracht in de y-richting is nul, aangezien de skiër niet van de helling af of erin beweegt. $N - G\\cos\\theta = 0 \\implies N = G\\cos\\theta = mg\\cos\\theta$ [57](#page=57). De kinetische wrijvingskracht is dan: $f\_k = \\mu\_k N = \\mu\_k mg\\cos\\theta$ [57](#page=57).
* **x-as**: De netto kracht in de x-richting is de resultante van de component van de zwaartekracht naar beneden en de wrijvingskracht naar boven. Deze kracht veroorzaakt de versnelling $a\_x$ langs de helling. $f\_k - G\\sin\\theta = m a\_x$ [57](#page=57). Substituting $f\_k$: $\\mu\_k mg\\cos\\theta - mg\\sin\\theta = m a\_x$ [57](#page=57).
De massa $m$ valt weg, wat resulteert in de versnelling: $a\_x = g(\\mu\_k\\cos\\theta - \\sin\\theta)$ [57](#page=57).
#### 3.4.3 Berekening van de eindsnelheid
De skiër voert een eenparig versnelde rechtlijnige beweging uit. We kunnen de volgende kinematische vergelijking gebruiken [58](#page=58): $v^2 = v\_0^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$ [58](#page=58). Hierin is $v\_0 = 0$ (start vanuit rust) en $x - x\_0 = 50$ m (de lengte van de helling) [58](#page=58).
Dus: $v^2 = 2 a\_x (50 , m)$ [58](#page=58). $v = \\sqrt{2 g (\\mu\_k\\cos\\theta - \\sin\\theta) (50 , m)}$ [58](#page=58).
#### 3.4.4 Resultaat
Met $g = 9,81 , m/s^2$, $\\mu\_k = 0,05$, $\\theta = 30°$, en de hellinglengte van $50$ m: $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 , m/s^2 \\times (0,05 \\times \\cos(30°) - \\sin(30°)) \\times 50 , m}$ [58](#page=58). $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (0,05 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} - 0,5) \\times 50}$ [58](#page=58). $v = \\sqrt{981 \\times (0,0433 - 0,5)}$ [58](#page=58). Deze berekening lijkt een fout te bevatten, aangezien de term binnen de wortel negatief wordt. Laten we de waarden opnieuw controleren en de formule aanpassen zoals in het document aangegeven: $a\_x = g(\\mu\_k\\cos\\theta - \\sin\\theta)$ [57](#page=57). $a\_x = 9,81 , m/s^2 \\times (0,05 \\times \\cos(30°) - \\sin(30°))$ [57](#page=57). $a\_x = 9,81 \\times (0,05 \\times 0,866 - 0,5) = 9,81 \\times (0,0433 - 0,5) = 9,81 \\times (-0,4567) \\approx -4,48 , m/s^2$ [57](#page=57).
Dit negatieve resultaat voor $a\_x$ zou betekenen dat de skiër niet zou versnellen maar vertragen, of dat de wrijvingscoëfficiënt te hoog is om te glijden met deze hoek. Echter, het document zelf geeft een ander resultaat aan met een andere invulling, wat mogelijk een typefout in de formules in het document is, of de uitdrukking voor $a\_x$ is andersom in het document. Laten we de formule uit het document volgen voor de snelheidberekening met de gegeven numerieke waarden:
$v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (0,05 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{1}{2}) \\times 50}$ [58](#page=58). De uitdrukking in het document is: $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (\\frac{1}{2} - 0,05 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}) \\times 50}$ met een tekenfout in de formule $a\_x$. De correcte formule voor de versnelling naar beneden zou moeten zijn: $a\_x = g(\\sin\\theta - \\mu\_k\\cos\\theta)$ [57](#page=57).
Laten we het document volgen met de numerieke invulling die leidt tot een positieve snelheid: $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (\\frac{3}{2} - \\frac{1}{2}) \\times 50}$ -- Dit lijkt een foutieve numerieke invulling te zijn die niet overeenkomt met de cosinus en sinus waarden [58](#page=58). De tekst zelf geeft echter aan dat de snelheid $21 , m/s$ is [58](#page=58).
Laten we de correcte berekening met de juiste formule toepassen: $a\_x = g(\\sin\\theta - \\mu\_k\\cos\\theta)$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (\\sin(30°) - 0,05 \\cos(30°))$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (0,5 - 0,05 \\times 0,866)$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (0,5 - 0,0433)$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (0,4567) \\approx 4,48 , m/s^2$ [57](#page=57).
Nu de eindsnelheid berekenen met deze versnelling en de hellinglengte van $50$ m: $v^2 = v\_0^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$$v^2 = 0^2 + 2 \\times 4,48 , m/s^2 \\times 50 , m$$v^2 = 448 , m^2/s^2$$v = \\sqrt{448} \\approx 21,17 , m/s$ [58](#page=58).
Dit komt overeen met de $21 , m/s$ die in het document wordt genoemd [58](#page=58). $21 , m/s = 76 , km/u$ [58](#page=58).
> **Tip**: Bij het oplossen van problemen met hellingen is het cruciaal om de zwaartekracht correct te ontbinden in componenten parallel en loodrecht op de helling. De numerieke invulling in het document kan verwarrend zijn, maar de finale uitkomst van $21 , m/s$ is consistent met een correcte toepassing van de wetten.
* * *
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
* Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
* Let op formules en belangrijke definities
* Oefen met de voorbeelden in elke sectie
* Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Kracht | Een interactie die een object kan versnellen of vertragen. Krachten zijn vectoren met een aangrijpingspunt, richting en grootte. |
| Massa | Een scalair getal dat de inertie van een object aangeeft, oftewel de weerstand tegen verandering in bewegingstoestand. Het is een maat voor de hoeveelheid materie in een object. |
| Beweging | Verandering van positie van een object in de ruimte gedurende de tijd. Dit kan variëren van rust tot een eenparige beweging of een versnelde beweging. |
| Eerste wet van Newton (Traagheidswet) | Stelt dat een object in rust zal blijven in rust, en een object in beweging zal blijven bewegen met constante snelheid in een rechte lijn, tenzij er een externe kracht op werkt. |
| Traagheid | De neiging van een object om zich te verzetten tegen veranderingen in zijn bewegingstoestand. Hoe groter de massa van een object, hoe groter de traagheid. |
| ERB (Eenparig Rechtlijnige Beweging) | Een bewegingstoestand waarbij de snelheid constant is, wat betekent dat zowel de grootte als de richting van de snelheid niet veranderen. |
| Uitwendige oorzaak | Een externe factor, meestal een kracht, die ervoor zorgt dat een object van bewegingstoestand verandert. |
| Kracht (uitwendig) | Een duw- of trekkracht die door een object op een ander object wordt uitgeoefend, wat kan leiden tot een verandering in de bewegingstoestand. |
| Vectoren | Wiskundige objecten die zowel grootte als richting hebben. Kracht en versnelling zijn voorbeelden van vectoren. |
| Scalair | Een wiskundige grootheid die alleen grootte heeft, maar geen richting. Massa en temperatuur zijn voorbeelden van scalaire grootheden. |
| Tweede wet van Newton | Stelt dat de versnelling van een object recht evenredig is met de netto kracht die erop werkt en omgekeerd evenredig met zijn massa. De formule is $\sum \vec{F}_i = m\vec{a}$. |
| Versnelling | De snelheid waarmee de snelheid van een object verandert, zowel in grootte als in richting. Het is een vectorgrootheid. |
| Derde wet van Newton (Actie-Reactie) | Stelt dat voor elke actie er een gelijke en tegengestelde reactie is. Als object A een kracht uitoefent op object B, oefent object B een gelijke en tegengestelde kracht uit op object A. |
| Inertieel referentiestelsel | Een referentiestelsel waarin de wetten van Newton geldig zijn. Dit zijn stelsels die in rust zijn of een eenparige rechtlijnige beweging uitvoeren. |
| Zwaartekracht | De aantrekkingskracht die de aarde uitoefent op alle objecten met massa. Het is een vector en wordt weergegeven met $\vec{G} = m\vec{g}$, waarbij $\vec{g}$ de gravitatieversnelling is. |
| Gewicht | De kracht die door de zwaartekracht op een object wordt uitgeoefend. Het is een vector. |
| Normaalkracht | De kracht die wordt uitgeoefend door een oppervlak op een object dat erop rust, loodrecht op het oppervlak. Deze kracht compenseert vaak de zwaartekracht, maar niet altijd. |
| Spankracht (Trekkracht) | De kracht die door een gespannen touw, kabel of ketting wordt uitgeoefend op objecten waaraan het is bevestigd. De richting is langs het touw. |
| Wrijvingskracht | Een kracht die de relatieve beweging tussen twee contactoppervlakken tegenwerkt. Er zijn statische en kinetische wrijvingskrachten. |
| Statische wrijvingskracht | De kracht die voorkomt dat een stilstaand object begint te bewegen. Het is variabel en gelijk aan de toegepaste kracht tot aan een maximumwaarde. |
| Kinetische wrijvingskracht | De kracht die de beweging tussen twee glijdende oppervlakken tegenwerkt. Deze kracht is meestal constant en kleiner dan de maximale statische wrijvingskracht. |
| Wrijvingscoëfficiënt | Een dimensieloze factor die de sterkte van de wrijving tussen twee oppervlakken aangeeft. Er is een statische ($\mu_s$) en een kinetische ($\mu_k$) wrijvingscoëfficiënt. |
| Grondreactiekracht | De kracht die door de grond wordt uitgeoefend op een lichaam dat zich erop voortbeweegt. Deze kracht heeft verticale en horizontale componenten. |
| Reactiekracht in het gewricht | De totale kracht die op een gewricht werkt als gevolg van de interactie tussen de botten, spieren en andere weefsels. |
| Spierkracht | De kracht die door een spier wordt gegenereerd wanneer deze samentrekt. Deze kracht wordt gebruikt om beweging te genereren of stabiliteit te bieden. |
| Elastische krachten | Krachten die ontstaan in elastische materialen, zoals veren, wanneer ze worden uitgerekt of samengedrukt. De Wet van Hooke beschrijft dit verband: $\vec{F} = -k\vec{x}$. |
| Veerkracht | De reactiekracht die door een veer wordt uitgeoefend wanneer deze wordt vervormd. |
| Wet van Hooke | Een natuurkundige wet die stelt dat de kracht die nodig is om een veer uit te rekken of samen te drukken recht evenredig is met de afstand die de veer wordt uitgerekt of samengedrukt vanaf zijn rustpositie. |
| Weerstand in een fluïdum | De kracht die een bewegend object ondervindt wanneer het door een vloeistof of gas beweegt. Dit omvat drag- en liftkrachten. |
| Drag-kracht | De component van de weerstand in een fluïdum die tegengesteld is aan de bewegingsrichting van het object. De formule is $F_{drag} = \frac{1}{2} C_d A \rho v^2$. |
| Lift-kracht | De component van de weerstand in een fluïdum die loodrecht staat op de bewegingsrichting van het object. De formule is $F_{lift} = \frac{1}{2} C_l A \rho v^2$. |
| Pseudokracht (Fictieve kracht) | Een schijnkracht die wordt waargenomen in niet-inertiële referentiestelsels, zoals bij een versneld voertuig. Deze krachten bestaan niet in een inertieel stelsel. |
| Free body diagram | Een grafische weergave van een object waarop alle uitwendige krachten die erop inwerken, worden getoond als vectoren. |
| Centripetale kracht | De netto kracht die nodig is om een object in een cirkelvormige beweging te houden. Deze kracht wijst altijd naar het centrum van de cirkel. |
Cover
Magnetisme - 1
Summary
# Lading en de wet van Coulomb
Dit onderwerp introduceert de fundamentele eigenschappen van elektrische lading en beschrijft de krachten tussen ladingen met behulp van de wet van Coulomb [1](#page=1).
### 1.1 Lading en materie
Materie is opgebouwd uit atomen, die bestaan uit een kern met protonen en neutronen, omgeven door een wolk van elektronen. De lading van een proton is positief ($+e$), de lading van een neutron is nul, en de lading van een elektron is negatief ($-e$). De massa van een proton en een neutron is ongeveer $1,67 \times 10^{-27}$ kg, terwijl de massa van een elektron veel kleiner is, namelijk $9,11 \times 10^{-31}$ kg [2](#page=2).
* **Elementaire lading**: De grootte van de elementaire lading, die overeenkomt met de lading van een proton of een elektron, is $e = 1,60219 \times 10^{-19}$ C [3](#page=3).
* **Kwantisering van lading**: Lading is gekwantiseerd, wat betekent dat alle voorkomende ladingen veelvouden zijn van de elementaire lading [3](#page=3).
De elektronen in een atoom worden op hun baan gehouden door de elektrostatische aantrekkingskracht tussen de positief geladen protonen in de kern en de negatief geladen elektronen. De kern zelf wordt samengehouden door de sterke kernwisselwerking tussen de nucleonen [3](#page=3).
Fysische processen zoals wrijving of straling kunnen ertoe leiden dat elektronen die zich ver van de kern bevinden, het atoom verlaten. Hierdoor ontstaan positief geladen ionen (kationen) met een elektronentekort, en negatief geladen ionen (anionen) met een elektronenoverschot [4](#page=4).
> **Voorbeeld**: Wanneer natriumchloride (NaCl) in water wordt opgelost, kan het splitsen in natriumkationen ($Na^+$) en chlooranionen ($Cl^-$) [4](#page=4).
Ionen en de elektrische krachten die daarmee samenhangen, spelen een cruciale rol in veel biologische processen, zoals signaaltransport in het zenuwstelsel, dat gebaseerd is op het transport van ladingen [4](#page=4).
### 1.2 De wet van Coulomb
De wet van Coulomb beschrijft de kracht tussen twee puntladingen.
* **Aantrekking en afstoting**: Ladingen met tegengestelde tekens trekken elkaar aan, terwijl ladingen met gelijke tekens elkaar afstoten [5](#page=5).
* **Grootte van de kracht**: De grootte van de kracht tussen twee ladingen $q_1$ en $q_2$ op een afstand $r$ van elkaar is evenredig met het product van de ladingen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen de ladingen [5](#page=5) [6](#page=6).
De wet van Coulomb kan wiskundig worden uitgedrukt als:
$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$
waarin:
* $F$ de grootte van de kracht is in newton (N).
* $q_1$ en $q_2$ de grootte van de ladingen zijn in coulomb (C).
* $r$ de afstand tussen de ladingen is in meter (m).
* $\varepsilon_0$ de permittiviteit van het vacuüm is, met een waarde van ongeveer $8,85 \times 10^{-12}$ F/m. De constante $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ is gelijk aan ongeveer $9,0 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2$ [6](#page=6).
De aantrekkende of afstotende kracht werkt langs de lijn die de twee ladingen verbindt [6](#page=6).
> **Principe van superpositie**: Als er meerdere ladingen aanwezig zijn, is de totale kracht op één lading de vectoriële som van de krachten die door elk van de andere ladingen afzonderlijk op die ene lading wordt uitgeoefend. Voor een lading $q_1$ die wordt beïnvloed door ladingen $q_2$, $q_3$,..., geldt [6](#page=6):
> $$F_1 = F_{21} + F_{31} + \dots$$
> **Voorbeeld**: Bliksem is een natuurlijk verschijnsel dat wordt veroorzaakt door de enorme elektrische stroom van elektronen die van de aarde naar een positief geladen wolk worden getrokken [7](#page=7).
---
# Elektrische veldvector en krachtlijnen
Dit gedeelte behandelt de definitie van de elektrische veldvector en de visualisatie ervan met behulp van elektrische krachtlijnen, inclusief toepassingen op diverse ladingsverdelingen en de elektrische dipool.
### 2.1 De elektrische veldvector
Net zoals in de buurt van de aarde een gravitatieveld bestaat dat de kracht op een eenheidsmassa weergeeft, bestaat er in de ruimte nabij een elektrisch geladen voorwerp een elektrisch veld. Dit elektrische veld wordt gedefinieerd als de kracht die een positieve puntvormige eenheidslading ondervindt in een bepaald punt in de ruimte. Het elektrische veld is een vectoriële grootheid en wordt uitgedrukt in Newton per Coulomb (N/C) [10](#page=10) [8](#page=8).
De krachtwerking tussen twee geladen deeltjes verloopt niet als een directe, ogenblikkelijke interactie. In plaats daarvan is het een proces in twee stappen:
1. Een lading, bijvoorbeeld $q_1$, verwekt een elektrisch veld in de omringende ruimte [9](#page=9).
2. Dit veld heeft vervolgens invloed op een andere lading, $q_2$. De lading $q_2$ ondervindt de kracht onder invloed van het aanwezige veld. Dit principe kan worden voorgesteld als Lading 1 $\rightarrow$ Veld $\rightarrow$ Lading 2. Omgekeerd veroorzaakt het elektrische veld afkomstig van lading 2 een kracht op lading 1, wat de symmetrische aard van deze interactie benadrukt [9](#page=9).
De elektrische veldvector, aangeduid met $\vec{E}$, wordt formeel gedefinieerd als de kracht $\vec{F}$ die de positieve puntvormige eenheidslading $q_0$ in het beschouwde punt ondervindt, gedeeld door die eenheidslading [10](#page=10):
$$ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} $$
Hierbij is $\vec{E}$ de elektrische veldvector en $q_0$ de eenheidslading [10](#page=10).
### 2.2 De krachtlijnenvoorstelling van het elektrische veld
Voor stationaire ladingen kan het verloop van het elektrische veld in de ruimte gevisualiseerd worden met behulp van krachtlijnen, ook wel elektrische veldlijnen genoemd (ontwikkeld door Faraday). Deze lijnen vormen een reeks die de richting van het elektrisch veld in verschillende punten van de ruimte weergeeft [11](#page=11).
De voorstelling van het elektrisch veld met krachtlijnen berust op twee belangrijke afspraken [11](#page=11):
1. De richting van een krachtlijn geeft de richting van de kracht weer die op een positieve testlading wordt uitgeoefend.
2. Het aantal krachtlijnen per eenheid van oppervlakte is evenredig met de grootte van het elektrische veld. Waar de lijnen dichter bij elkaar liggen, is het elektrische veld sterker [11](#page=11).
#### 2.2.1 Krachtlijnen bij verschillende ladingsverdelingen
* **Nabij een positieve en een negatieve puntlading:** De krachtlijnen vertrekken van de positieve lading en eindigen op de negatieve lading. Het elektrische veld neemt af met het kwadraat van de afstand tot de lading ($E \approx \frac{1}{r^2}$), wat de kwadratenwet is. De lijnen liggen dichter bij elkaar naarmate de afstand tot de lading kleiner is, wat aangeeft dat het elektrische veld daar sterker is [12](#page=12).
* **Nabij twee gelijke ladingen en nabij twee tegengestelde ladingen (elektrische dipool):** Bij twee gelijke ladingen (positief of negatief) stoten de krachtlijnen elkaar af, terwijl ze bij twee tegengestelde ladingen (een elektrische dipool) van de positieve naar de negatieve lading lopen en in elkaar overvloeien. Een elektrische dipool bestaat uit twee ladingen met gelijke grootte maar tegengesteld teken [13](#page=13).
* **Bij een bolvormige geleider (negatief of positief geladen):** De lading bevindt zich aan de buitenzijde van de geleider. Binnenin de sfeer heerst er geen elektrisch veld, dus $\vec{E} = 0$ (dit is het principe van de kooi van Faraday). Buiten de sfeer is de elektrische veldsterkte dezelfde alsof alle lading geconcentreerd is in het middelpunt van de bol [14](#page=14).
* **Nabij een vlakke, oneindig uitgestrekte, uniforme positieve ladingsverdeling:** De veldlijnen staan loodrecht op het oppervlak van de plaat. De oppervlakteladingsdichtheid, $\sigma$, is de hoeveelheid lading per oppervlakte-eenheid. De grootte van het elektrische veld $\vec{E}$ is onafhankelijk van de afstand tot de plaat en is constant in alle punten langs weerszijden van het oppervlak. De formule $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ is geldig voor punten op loodrechte afstanden $r$ die klein zijn vergeleken met de afstand tot de randen van een eindige ladingsverdeling [15](#page=15).
* **Nabij een bipolaire laag uniform geladen (bv. condensator):** Dit systeem, zoals een condensator, resulteert in krachtlijnen die typisch tussen de twee platen lopen, van de positieve naar de negatieve plaat [16](#page=16).
### 2.3 De elektrische dipool
Een elektrische dipool bestaat uit een positieve lading $+q$ en een gelijke tegengestelde lading $-q$, gescheiden door een afstand $2a$ [17](#page=17).
#### 2.3.1 Het elektrisch veld op een afstand $r$ langs de middelloodlijn
Beschouw een punt P op de middelloodlijn van de dipool. Het resulterende elektrische veld $\vec{E}$ in punt P is de vectoriële som van de velden veroorzaakt door $+q$ ($\vec{E}_1$) en $-q$ ($\vec{E}_2$) [17](#page=17).
$$ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 $$
De grootte van de afzonderlijke velden $\vec{E}_1$ en $\vec{E}_2$ wordt gegeven door:
$$ E_1 = E_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{a^2 + r^2} $$
De vectorsom is verticaal opwaarts gericht [17](#page=17).
De grootte van het resulterende elektrische veld $\vec{E}$ wordt gegeven door $E = 2E_1 \cos\theta$. Met $\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + r^2}}$, volgt [18](#page=18):
$$ E = 2 \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{a^2 + r^2} \right) \frac{a}{\sqrt{a^2 + r^2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2aq}{(a^2 + r^2)^{3/2}} $$
Voor grote afstanden, $r \gg a$, kan de term $a^2$ in de noemer verwaarloosd worden ten opzichte van $r^2$. Dit vereenvoudigt de uitdrukking tot:
$$ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2aq}{r^3} $$
De grootheid $2aq$ wordt gedefinieerd als het elektrisch dipoolmoment $|\vec{p}|$, met een grootte van $2aq$ en een richting langs de verbindingslijn van de ladingen, vanuit $-q$ naar $+q$. De formule voor het elektrische veld kan dan geschreven worden als [18](#page=18):
$$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3} $$
**Belangrijk:** Het elektrische veld van een elektrische dipool neemt op grote afstand $r$ af volgens een $1/r^3$ wet. Dit is een snellere afname dan het $1/r^2$ gedrag van het elektrische veld van een afzonderlijke puntlading [19](#page=19).
* **Tip:** Houd er rekening mee dat veel moleculen, zoals polaire moleculen, een elektrisch dipoolmoment vormen. Een voorbeeld hiervan is het H$_2$O-molecuul, met een dipoolmoment van $p = 6,1 \times 10^{-30}$ C$\cdot$m [19](#page=19).
---
# Elektrische potentiaal en potentiële energie
Dit hoofdstuk introduceert de concepten van elektrisch potentiaal en potentiële energie, hun relatie met het elektrisch veld en arbeid, en hun toepassingen voor puntladingen en geleiders.
### 3.1 Elektrische potentiële energie en arbeid in een elektrisch veld
#### 3.1.1 Potentiële energie van een dipool in een homogeen elektrisch veld
Een dipool, bestaande uit twee gelijke en tegengesteld geladen deeltjes gescheiden door een afstand $2a$, heeft een dipoolmoment $p = 2aq$. Wanneer deze dipool in een homogeen elektrisch veld $E$ wordt geplaatst onder een hoek $\theta$ met $E$, ondervinden de ladingen gelijke en tegengestelde krachten ($F = qE$), wat resulteert in een netto kracht van nul. Echter, er ontstaat een krachtmoment $\tau = pE \sin\theta$ rond het massamiddelpunt, wat een rotatiebeweging veroorzaakt [20](#page=20) [21](#page=21).
Het krachtmoment zal de dipool proberen te roteren totdat het dipoolmoment $p$ parallel aan het elektrisch veld $E$ staat. Om de oriëntatie van de dipool in het elektrische veld te veranderen, moet uitwendige arbeid worden verricht. Deze arbeid wordt opgeslagen als potentiële energie. De arbeid die nodig is om de dipool van een beginhoek $\theta_0$ naar een hoek $\theta$ te draaien, wordt gegeven door [21](#page=21):
$$W = \int_{\theta_0}^{\theta} \tau \, d\theta' = \int_{\theta_0}^{\theta} pE \sin\theta' \, d\theta' = -pE \cos\theta - (-pE \cos\theta_0)$$ [22](#page=22).
Volgens de relatie $W = -\Delta U$, waarbij $\Delta U$ de verandering in potentiële energie is, geldt:
$$\Delta U = U - U_0 = -pE \cos\theta + pE \cos\theta_0$$
Als we als referentieoriëntatie $\theta_0 = 90^\circ$ kiezen, waarbij $U_0 = 0$, dan wordt de potentiële energie van de dipool gegeven door:
$$U = -pE \cos\theta$$
Dit kan ook vectorieel worden uitgedrukt als:
$$U = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{E}$$ [22](#page=22).
### 3.2 Elektrisch potentiaal
#### 3.2.1 Het begrip elektrisch potentiaal
Elektrisch potentiaal is gerelateerd aan de arbeid die nodig is om een lading te verplaatsen in een elektrisch veld. Beschouw een positieve testlading $q_0$ in een punt A in een elektrisch veld gegenereerd door een andere lading. Om $q_0$ van punt A naar punt B te verplaatsen tegen de richting van het elektrisch veld in, moet uitwendige arbeid $W_{AB}$ worden geleverd [23](#page=23).
De definitie van het elektrisch potentiaalverschil tussen twee punten A en B is de arbeid die een uitwendige kracht moet leveren om een positieve eenheidslading van A naar B te brengen:
$$V_B - V_A = \frac{W_{AB}}{q_0}$$ [23](#page=23).
De SI-eenheid van potentiaalverschil is de Volt (V), waarbij $1 \, \text{V} = 1 \, \text{J/C}$ [24](#page=24).
Een belangrijk principe is dat het potentiaalverschil onafhankelijk is van de gevolgde weg. Dit kan worden aangetoond door de gevolgde weg te benaderen met een reeks van korte boogsegmenten en radiale elementen. Langs de boogsegmenten is de uitwendige kracht loodrecht op de verplaatsing, waardoor er geen arbeid wordt verricht ($F_{uitw} \cdot dl = 0$). Alle arbeid wordt dus verricht langs de radiale elementen [24](#page=24) [25](#page=25).
#### 3.2.2 Referentiepotentiaal
Het elektrisch potentiaal in een punt op oneindige afstand van een puntlading of ladingsverdeling wordt arbitrair gelijkgesteld aan nul ($V_\infty = 0$) [26](#page=26).
De elektrische potentiaal in een willekeurig punt P is dan gedefinieerd als de uitwendige arbeid die nodig is om een positieve testlading $q_0$ vanuit oneindig naar punt P te brengen, gedeeld door de lading $q_0$:
$$V = \frac{W}{q_0}$$ [26](#page=26).
Dit betekent dat $V > 0$ nabij een positieve lading en $V < 0$ nabij een negatieve lading.
#### 3.2.3 Equipotentiaaloppervlakken
Alle punten met dezelfde elektrische potentiaal vormen een equipotentiaaloppervlak. De arbeid die nodig is om een testlading tussen twee punten op hetzelfde equipotentiaaloppervlak te verplaatsen, is nul [27](#page=27).
Het elektrisch veld $E$ staat altijd loodrecht op de equipotentiaaloppervlakken. Voor een sferische ladingsverdeling zijn dit concentrische sferen, en voor een homogeen veld zijn dit evenwijdige vlakken [27](#page=27).
#### 3.2.4 Verband tussen elektrisch veld en potentiaal
Het verband tussen het elektrisch veld en het potentiaal kan op twee manieren worden bekeken:
a) **Van veld naar potentiaal:** De potentiaal in een willekeurig punt B kan worden berekend uit het verloop van het elektrisch veld:
$$V_B = -\int_{\infty}^{B} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$ [28](#page=28).
Het potentiaalverschil tussen twee willekeurige punten A en B is:
$$V_B - V_A = -\int_{A}^{B} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$$ [28](#page=28).
b) **Van potentiaal naar veld:** De component van het elektrisch veld langs een willekeurige richting $l$ kan worden afgeleid uit het verloop van het potentiaal:
$$E_l = -\frac{dV}{dl}$$ [30](#page=30).
Dit houdt in dat het elektrisch veld wijst in de richting van afnemende potentiaal. De eenheid voor de veldsterkte kan ook worden uitgedrukt als Volt per meter (V/m) [30](#page=30).
#### 3.2.5 Potentiaalverschil in een homogeen elektrisch veld
Voor twee punten A en B op afstand $d$ langs een veldlijn in een homogeen elektrisch veld $E$, is het potentiaalverschil:
$$V_B - V_A = Ed$$ [31](#page=31).
Dit is ook de formule voor het potentiaalverschil tussen de platen van een vlakkeplaatcondensator.
#### 3.2.6 Potentiaal bij een puntlading
Voor een puntlading $q$ op afstand $r$ is het elektrisch veld $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$. De arbeid om een testlading $q_0$ van afstand $r_A$ naar $r_B$ te verplaatsen is:
$$W_{AB} = -\frac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right)$$ [34](#page=34).
Het potentiaalverschil tussen A en B is dan:
$$V_B - V_A = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_B} - \frac{1}{r_A}\right)$$ [34](#page=34).
Met de referentie $V_\infty = 0$, is de potentiaal op een afstand $r$ van een puntlading $q$:
$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}$$ [34](#page=34).
Voor een discrete ladingsverdeling bestaande uit $n$ puntladingen is de totale potentiaal in een punt P de som van de potentialen van de individuele ladingen:
$$V = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_i}{r_i}$$ [34](#page=34).
waar $r_i$ de afstand is van lading $q_i$ tot punt P.
#### 3.2.7 Potentiaal bij een geïsoleerde geleider
Voor een sferische geleider met lading $q$ en straal $R$, is voor punten buiten de sfeer ($r \geq R$):
$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}$$
en voor punten binnen de sfeer ($r < R$):
$$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R}$$ [35](#page=35).
Binnen de geleider is $E = -\frac{dV}{dr} = 0$.
Bij twee verbonden sferische geleiders met stralen $R_1$ en $R_2$ en ladingen $q_1$ en $q_2$ zal de lading zich verdelen zodat de potentialen gelijk zijn: $V_1 = V_2$. De ladingsdichtheden $\sigma_1$ en $\sigma_2$ zijn omgekeerd evenredig met de straal ($R_1 > R_2 \implies \sigma_1 < \sigma_2$). Het elektrisch veld op het oppervlak is $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$. De veldsterkte is het grootst waar de ladingsdichtheid het grootst is, wat overeenkomt met de kleinste sfeer. Dit principe verklaart ook corona-ontladingen bij scherpe punten [36](#page=36) [37](#page=37).
### 3.3 Elektrische potentiële energie
#### 3.3.1 Definities en analogieën
Elektrische potentiële energie is analoog aan gravitatie-potentiële energie. Het optillen van een massa $m$ over een hoogte $\Delta h$ levert arbeid $W = mg\Delta h$, die wordt omgezet in potentiële energie van het systeem (steen + aarde) [38](#page=38).
In de elektrostatica, wanneer twee ladingen van hetzelfde teken dichter bij elkaar worden gebracht door een uitwendige kracht, wordt positieve arbeid verricht en neemt de elektrische potentiële energie van het systeem toe. Als de ladingen worden losgelaten, wordt deze potentiële energie omgezet in kinetische energie [39](#page=39).
De elektrische potentiële energie van een systeem van puntladingen is de uitwendige arbeid die nodig is om het systeem samen te stellen vanuit rustige ladingen op oneindig [39](#page=39).
#### 3.3.2 Potentiële energie van twee ladingen
Voor twee ladingen $q_1$ en $q_2$ op afstand $r_{12}$ van elkaar, is de elektrische potentiële energie van het systeem gelijk aan de arbeid om $q_2$ vanuit oneindig naar een afstand $r_{12}$ van $q_1$ te brengen:
$$U = W_{\infty \to P} = q_2 V(r_{12})$$
waarbij $V(r_{12})$ de potentiaal is die door $q_1$ wordt gecreëerd op de positie van $q_2$.
$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}}$$ [40](#page=40).
#### 3.3.3 Potentiële energie van meerdere ladingen
De totale elektrische potentiële energie van een systeem van meerdere ladingen is de algebraïsche som van de potentiële energieën van elk paar ladingen afzonderlijk. Voor een systeem van drie ladingen $q_1, q_2, q_3$ op afstanden $r_{12}, r_{13}, r_{23}$ is dit:
$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1q_2}{r_{12}} + \frac{q_1q_3}{r_{13}} + \frac{q_2q_3}{r_{23}}\right)$$ [41](#page=41).
#### 3.3.4 Behoud van energie
In een conservatief elektrisch veld is de totale energie $E$ van een geladen deeltje met massa $m$ en lading $q$ de som van zijn kinetische energie $K$ en potentiële energie $U$:
$$E = U + K$$
Indien het deeltje beweegt, geldt de wet van behoud van energie:
$$E_A = E_B \implies U_A + K_A = U_B + K_B$$
Of, uitgedrukt in potentiaal:
$$qV_A + \frac{1}{2}mv_A^2 = qV_B + \frac{1}{2}mv_B^2$$ [42](#page=42).
Het elektrisch veld verricht arbeid $W = -\Delta U$ ten koste van de potentiële energie, wat resulteert in een toename van kinetische energie $\Delta K$.
#### 3.3.5 Elektronvolt (eV)
Het elektronvolt (eV) is een veelgebruikte eenheid voor energie van elementaire deeltjes, gedefinieerd als de energie die een deeltje met lading $e$ (de elementaire lading) verkrijgt na een beweging over een potentiaalverschil van 1 Volt:
$$1 \, \text{eV} = (1.6022 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (1 \, \text{V}) = 1.6022 \times 10^{-19} \, \text{J}$$ [43](#page=43).
Het elektronvolt is een eenheid van energie, geen SI-eenheid, en mag niet worden verward met de eenheid van potentiaal.
---
# Biologische en medische toepassingen van elektriciteit
Dit onderwerp verkent de fundamentele rol van elektrische principes in biologische systemen, met een focus op de rust- en actiepotentialen van celmembranen en de analyse van cardiale elektrische activiteit via een elektrocardiogram (ECG).
### 4.1 Rustmembraanpotentiaal van een cel
Het celmembraan, dat een dikte heeft tussen 6 en 10 nm scheidt het intracellulaire vocht van het extracellulaire vocht en reguleert de uitwisseling van stoffen zoals O2, CO2, vetzuren, glucose en aminozuren. Het membraan bestaat uit een bimoleculaire lipidelaag met daarin proteïnen. De fosfolipiden, met een polaire kop en twee hydrofobe koolstofketens, vormen spontaan een dubbele laag waarbij de polaire delen naar het watergerichte milieu wijzen [44](#page=44).
#### 4.1.1 Eigenschappen en instandhouding van de rustpotentiaal
Het celmembraan is semipermeabel en de permeabiliteit kan veranderen. Door deze semipermeabiliteit en actief transport van ionen ontstaat een ongelijke ionenverdeling tussen de binnen- en buitenkant van de cel. Dit resulteert in een potentiaalverschil over het membraan, de rustmembraanpotentiaal, die afhankelijk van het celtype tussen -60 en -100 mV ligt, waarbij de celinwendige negatief is ten opzichte van de buitenkant [45](#page=45).
De rustpotentiaal wordt in stand gehouden door twee factoren:
* **Elektrochemisch evenwichtspotentiaal:**
* **Chemisch gradiënt:** Verschillen in ionenconcentraties, zoals een hogere concentratie K+ binnen de cel en een hogere concentratie Na+ buiten de cel. Dit drijft K+ naar buiten en Na+ naar binnen [46](#page=46).
* **Elektrisch gradiënt:** Positief geladen ionen worden aangetrokken tot negatieve gebieden en omgekeerd. K+ wordt binnen de negatieve cel gehouden, terwijl Na+ naar de negatieve cel wordt aangetrokken [46](#page=46).
* **Selectieve permeabiliteit van ion-specifieke kanalen:** Tijdens rust is de permeabiliteit voor K+ hoog, terwijl de permeabiliteit voor Na+ laag is [46](#page=46).
#### 4.1.2 Ionenconcentraties en de rol van de Na-K-pomp
Typische ionenconcentraties (in mmol/l) in de intracellulaire en extracellulaire vloeistof bij een cel met rustmembraanpotentiaal zijn:
| | Intracellulair | Extracellulair |
| :-------- | :------------- | :------------- |
| K+ | 140 | 5 |
| Na+ | 10 | 145 |
| Cl- | 4 | 120 |
| P+ en P- | 150 | 1 |
[ ] [48](#page=48).
P+ en P- vertegenwoordigen ionen (zoals negatief geladen proteïnen en HCO3-) die het membraan niet kunnen passeren. De negatieve ladingen (P-) kunnen de K+-ionen niet volgen door de impermeabiliteit van het membraan voor deze ionen, wat leidt tot een netto positieve lading buiten de cel ten opzichte van binnen, en dus een diffusiepotentiaalverschil [48](#page=48).
De "Na-K-pomp" pompt continu Na+ uit de cel en K+ in de cel [49](#page=49).
#### 4.1.3 Berekening van de rustpotentiaal
Indien het membraan uitsluitend doorlaatbaar zou zijn voor K+-ionen, kan de rustmembraanpotentiaal berekend worden met de formule van Nernst (bij 37°C):
$$V_i - V_e = -61.5 \log \frac{[K^+]_i}{[K^+]_e} \text{ mV}$$ [50](#page=50).
In werkelijkheid is de rustmembraanpotentiaal iets minder negatief door een geringe influx van Na+-ionen, wat het membraanpotentiaalverschil doet stijgen. De berekening leidt dan tot een potentiaal van ongeveer -95 mV [50](#page=50).
Voor Cl--ionen is het celmembraan doorlaatbaar, waardoor de Cl--evenwichtspotentiaal gelijk is aan de rustmembraanpotentiaal [51](#page=51).
> **Tip:** De rustmembraanpotentiaal is cruciaal voor het behoud van de celintegriteit en de voorbereiding op signalering.
### 4.2 De actiepotentiaal over het celmembraan
Prikkelbare cellen zoals zenuw- en spiercellen kunnen hun ionenpermeabiliteit veranderen als reactie op een prikkel, door het openen van ionenkanalen, wat leidt tot potentiaalveranderingen over het membraan. Een stimulus kan diverse vormen aannemen, zoals thermisch, chemisch, druk, licht, of elektrisch [52](#page=52).
#### 4.2.1 Depolarisatie en influx van Na+
Wanneer het membraanpotentiaal een kritische drempelwaarde bereikt (ongeveer -50 mV), treedt depolarisatie op. De permeabiliteit voor Na+-ionen neemt sterk toe, wat resulteert in een grote influx van Na+-ionen. Het membraanpotentiaal wordt snel minder negatief en kan zelfs positieve waarden bereiken (overshoot). Tegelijkertijd neemt ook de permeabiliteit voor K+-ionen toe, zij het minder dan voor Na+-ionen [53](#page=53).
#### 4.2.2 Repolarisatie en efflux van K+
Bij een membraanpotentiaal van 0 mV neemt de permeabiliteit voor Na+-ionen af en valt snel terug naar de rustmembraanpotentiaalwaarde. De Na-K-pomp helpt bij het verlagen van de intracellulaire Na+-concentratie. Hoewel de permeabiliteit voor K+-ionen langzaam daalt, zal een "stormachtige" efflux van K+ optreden omdat K+ ver van zijn evenwichtspotentiaal is. Deze efflux brengt de membraanpotentiaal spoedig terug naar de rustwaarde van ongeveer -95 mV, dit proces heet repolarisatie. Na de repolarisatiefase wordt de rustpotentiaal hersteld [54](#page=54) [55](#page=55).
> **Tip:** Het begrip 'drempelpotentiaal' is essentieel; zonder deze drempelwaarde wordt geen actiepotentiaal gegenereerd.
#### 4.2.3 Voortplanting van de actiepotentiaal
In zenuwvezels kan de actiepotentiaalpuls zich voortplanten met een snelheid van ongeveer 100 m/s. Het ionengeleidingsvermogen en de actiepotentiaal vertonen een specifiek verloop in de tijd. De initiële fase van de actiepotentiaal wordt voornamelijk veroorzaakt door Na+-ionen, terwijl de eindfase voornamelijk door K+-ionen wordt gegenereerd [57](#page=57) [58](#page=58).
### 4.3 Elektrische hartactiviteit en elektrocardiogram
Hartspiercellen zijn in rust elektrisch geladen, met een negatief geladen binnenzijde en een positief geladen buitenzijde. Wanneer hartspiercellen elektrisch worden geprikkeld, vindt er een transport van ionen plaats, wat leidt tot depolarisatie waarbij de binnenkant van de cel positief wordt ten opzichte van de buitenkant. Dit veroorzaakt een actiepotentiaal die verloopt over vier fasen. Aan elkaar grenzende hartspiercellen depolariseren in serie, wat een depolarisatiegolf creëert die leidt tot samentrekking van de spiercellen [59](#page=59).
#### 4.3.1 Hartpompactiviteit en geleiding
De hartpompactiviteit wordt gecontroleerd door de sinusknoop (pacemaker), die ongeveer 70 elektrische stimuli per minuut produceert. Dit leidt tot depolarisatie van de atria, samentrekking ervan, en pompt bloed naar de ventrikels. Het elektrische signaal bereikt vervolgens de atrioventriculaire knoop (AV), gaat via de bundel van His en bundeltakken naar de ventrikels, wat leidt tot depolarisatie en samentrekking van de ventrikels. Vervolgens vindt repolarisatie en relaxatie van de ventrikels plaats [60](#page=60).
#### 4.3.2 Het elektrocardiogram (ECG)
De actiepotentiaalgolf over het hart veroorzaakt potentiaalverschillen tussen gedepolariseerde en gepolariseerde cellen. Deze potentiaalverschillen zijn, via geleiding door lichaamsvloeistoffen, detecteerbaar aan de huid [61](#page=61).
Het elektrocardiogram (ECG) toont het verloop van deze potentiaalverschillen in de tijd op specifieke posities waar elektroden op de huid zijn geplaatst. Het is een registratie van de elektrische activiteit van het hart [62](#page=62).
> **Tip:** Het ECG is een niet-invasieve methode die cruciale informatie geeft over de elektrische functie van het hart.
#### 4.3.3 Elektrische dipool en de hartvector
De ladingsverdeling over het hart tijdens depolarisatie en repolarisatie kan worden voorgesteld door een dipool die in richting en grootte verandert over tijd; dit wordt de hartvector genoemd. De verplaatsing van de depolarisatiegolf over de hartspiercellen creëert een depolarisatiegolf over het hart. De variërende dipool veroorzaakt equipotentiaaloppervlakken in het lichaam, die op de huid leiden tot meetbare potentiaalverschillen die afhankelijk zijn van de plaats van de elektrode [63](#page=63) [64](#page=64) [65](#page=65).
Het variërende dipoolmoment veroorzaakt in het lichaam equipotentiaaloppervlakken, die ter hoogte van de huid leiden tot meetbare potentiaalverschillen afhankelijk van de plaats op het lichaam. Een voorbeeld is de R-top in het ECG [65](#page=65).
#### 4.3.4 Opstelling van elektroden en analyse
De potentiaalverschillen, die in grootte enkele millivolt bedragen, zijn afhankelijk van de plaatsing van de elektroden. De vorm van het ECG-verloop hangt dus af van de plaats van de elektroden. Voor observatie van de hartvector in het transversale vlak worden zes elektroden op de thorax geplaatst, gebruikmakend van unipolaire meetprobes waarbij de potentiaal gemeten wordt ten opzichte van een referentiepotentiaal (precordiale afleidingen). Voor observatie van het verloop van de hartvector in het frontale vlak worden andere configuraties van elektroden gebruikt [66](#page=66) [67](#page=67).
Analyse van het ECG maakt naast de diagnose van hartritmestoornissen ook de detectie van de plaats en intensiteit van een hartinfarct en geleidingsstoornissen mogelijk [68](#page=68).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Lading | Elektrische lading is een fundamentele fysische eigenschap die ervoor zorgt dat een deeltje een elektrische kracht ondervindt wanneer het wordt geplaatst in een elektromagnetisch veld. Lading kan positief of negatief zijn, en het is gekwantiseerd, wat betekent dat het altijd een veelvoud is van de elementaire lading. |
| Wet van Coulomb | De wet van Coulomb beschrijft de elektrische kracht tussen twee puntladingen. De grootte van de kracht is recht evenredig met het product van de ladingen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen hen. De kracht werkt langs de lijn die de twee ladingen verbindt. |
| Elektrische veldvector | Een elektrische veldvector is een vectorgrootheid die de kracht aangeeft die een positieve testlading van eenheidsgrootte zou ondervinden op een bepaald punt in de ruimte rondom een elektrisch geladen voorwerp. De eenheid is Newton per Coulomb (N/C). |
| Krachtlijnen | Krachtlijnen zijn denkbeeldige lijnen die de richting van het elektrische veld in een ruimte weergeven. De richting van een krachtlijn op een bepaald punt geeft de richting aan van de kracht die op een positieve testlading zou werken. De dichtheid van de lijnen is evenredig met de sterkte van het elektrische veld. |
| Elektrische dipool | Een elektrische dipool bestaat uit twee gelijke en tegengestelde ladingen die op een kleine afstand van elkaar gescheiden zijn. Het dipoolmoment is een vector die de sterkte en richting van de dipool aangeeft. |
| Elektrisch potentiaal | Elektrisch potentiaal is een maat voor de potentiële energie per eenheid lading op een bepaald punt in een elektrisch veld. Het potentiaalverschil tussen twee punten is gelijk aan de arbeid die nodig is om een positieve eenheidslading van het ene punt naar het andere te verplaatsen. De eenheid is Volt (V). |
| Potentiële energie | Potentiële energie is de energie die een object bezit vanwege zijn positie of toestand. In de context van elektriciteit is de elektrische potentiële energie de arbeid die nodig is om een systeem van ladingen samen te stellen vanuit rust op oneindige afstand. |
| Equipotentiaaloppervlak | Een equipotentiaaloppervlak is een oppervlak in de ruimte waar alle punten hetzelfde elektrische potentiaal hebben. Er wordt geen arbeid verricht wanneer een lading langs een equipotentiaaloppervlak wordt verplaatst. |
| Rustmembraanpotentiaal | De rustmembraanpotentiaal is het potentiaalverschil over het celmembraan van een cel wanneer deze niet wordt gestimuleerd. Dit wordt veroorzaakt door ongelijke ionenconcentraties binnen en buiten de cel en de selectieve permeabiliteit van het membraan. |
| Actiepotentiaal | Een actiepotentiaal is een snelle, tijdelijke verandering in het elektrische potentiaalverschil over het celmembraan van prikkelbare cellen, zoals zenuw- en spiercellen. Het is de basis van signaaloverdracht in zenuwstelsels. |
| Elektrocardiogram (ECG) | Een elektrocardiogram is een grafische weergave van de elektrische activiteit van het hart, gemeten aan de hand van potentiaalverschillen op de huid. Het wordt gebruikt voor de diagnose van hartafwijkingen. |
| Elementaire lading | De elementaire lading, aangeduid met 'e', is de grootte van de elektrische lading van een proton of een elektron. Alle vrije ladingen zijn veelvouden van de elementaire lading. De waarde is ongeveer $1.602 \times 10^{-19}$ Coulomb. |
| Sterke wisselwerking | De sterke wisselwerking is een van de vier fundamentele natuurkrachten en is verantwoordelijk voor het bijeenhouden van de protonen en neutronen in de atoomkern, ondanks de elektrische afstoting tussen de protonen. |
| Ion | Een ion is een atoom of molecuul dat een netto elektrische lading heeft, omdat het aantal protonen in de kern niet gelijk is aan het aantal elektronen in de elektronenwolk. Positieve ionen (kationen) hebben een protonen-overschot, negatieve ionen (anionen) hebben een elektronenoverschot. |
| Elektromagnetisch veld | Een elektromagnetisch veld is een combinatie van elektrische en magnetische velden, die samen de elektromagnetische straling veroorzaken. In dit hoofdstuk ligt de focus primair op het elektrische veld. |
| Homogeen elektrisch veld | Een homogeen elektrisch veld is een gebied in de ruimte waar de elektrische veldsterkte en richting constant zijn. Dit wordt vaak benaderd in de ruimte tussen de platen van een vlakke plaatcondensator. |
| Conservatief elektrisch veld | Een conservatief elektrisch veld is een veld waarbij de arbeid die wordt verricht om een lading van punt A naar punt B te verplaatsen, onafhankelijk is van het pad dat wordt gevolgd. De potentiële energie is goed gedefinieerd in een conservatief veld. |
| Elektronvolt (eV) | Het elektronvolt is een eenheid van energie, die gelijk is aan de energie die een elektron krijgt wanneer het versnelt over een potentiaalverschil van één volt. Het is geen SI-eenheid, maar wordt vaak gebruikt in de deeltjesfysica. |
Cover
MÓDULO 1 - APOYO - SEARS Y ZEMANSKY - FÍSICA UNIVERSITARIA CON FÍSICA MODERNA 1.pdf
Summary
# Naturaleza de la física y resolución de problemas
La física es una ciencia experimental cuyo objetivo es descubrir patrones en los fenómenos naturales para formular teorías [2](#page=2).
### 1.1 La naturaleza de la física como ciencia experimental
La física se fundamenta en la observación de la naturaleza y la identificación de patrones, los cuales se formalizan como teorías físicas, o si están bien establecidos, como leyes o principios físicos [2](#page=2).
* Una **teoría física** es una explicación de fenómenos naturales basada en observaciones y principios fundamentales aceptados, no una mera especulación [2](#page=2).
* El desarrollo de una teoría implica hacer las preguntas correctas, diseñar experimentos para responderlas y deducir conclusiones apropiadas de los resultados [2](#page=2).
* El progreso en física a menudo es un proceso indirecto, que puede incluir callejones sin salida y el abandono de teorías infructuosas en favor de otras más prometedoras [2](#page=2).
* La física es tanto una colección de hechos y principios como el proceso para llegar a ellos [2](#page=2).
* Ninguna teoría se considera definitiva; nuevas observaciones pueden requerir su modificación o descarte. Las teorías pueden ser refutadas por comportamientos incongruentes, pero nunca completamente probadas como correctas [2](#page=2).
* Las teorías tienen un **intervalo de validez**, es decir, aplican bajo ciertas condiciones específicas [2](#page=2).
#### 1.1.1 El rol de los modelos idealizados
En física, un **modelo** es una versión simplificada de un sistema físico complejo para facilitar su análisis [3](#page=3).
* Al construir un modelo idealizado, se omiten efectos menores pero se deben conservar las características esenciales del sistema [3](#page=3).
* Un ejemplo es tratar una pelota de béisbol como una partícula puntual, ignorando su forma, rotación, resistencia del aire y variaciones en la gravedad [3](#page=3).
> **Tip:** Un modelo útil simplifica un problema lo suficiente para hacerlo manejable, sin eliminar sus características esenciales.
### 1.2 Cómo resolver problemas en física
Entender un concepto en física implica saber aplicarlo a diversos problemas. La resolución de problemas es fundamental para el aprendizaje de la física, ya que "saber física" es sinónimo de "hacer física" [2](#page=2).
#### 1.2.1 El enfoque de cuatro pasos para la resolución de problemas
Independientemente del tipo de problema, se deben seguir pasos básicos organizados en cuatro etapas, que se resumen en el acrónimo IPEE:
1. **Identificar** los conceptos relevantes [3](#page=3).
* Determinar qué conceptos de la física son aplicables al problema [3](#page=3).
* Identificar las incógnitas (cantidades a determinar) y las variables conocidas. Este paso es crucial para obtener tanto expresiones matemáticas como valores numéricos [3](#page=3).
2. **Plantear** el problema [3](#page=3).
* Seleccionar las ecuaciones adecuadas basadas en los conceptos identificados, las variables conocidas y las incógnitas [3](#page=3).
* Asegurarse de que las variables e incógnitas en el problema correspondan a las de las ecuaciones [3](#page=3).
* Trazar un bosquejo o diagrama de la situación si es necesario [3](#page=3).
* Estimar los resultados y pronosticar el comportamiento físico del sistema, si es pertinente [3](#page=3).
> **Tip:** Las sugerencias para hacer estimaciones y pronósticos se encuentran en los ejemplos resueltos del libro. La práctica mejora esta habilidad [3](#page=3).
3. **Ejecutar** la solución [3](#page=3).
* Este paso consiste en realizar los cálculos matemáticos necesarios, siguiendo los pasos mostrados en los ejemplos resueltos [3](#page=3).
4. **Evaluar** la respuesta [3](#page=3).
* Comparar la respuesta obtenida con la estimación inicial y revisar el procedimiento si hay discrepancias [3](#page=3).
* Si la respuesta es una expresión algebraica, verificar si se comporta lógicamente con valores muy grandes o muy pequeños de las variables [3](#page=3).
* Tomar nota de respuestas que representen cantidades de particular importancia para referencias futuras [3](#page=3).
* Considerar cómo se podría abordar una versión más general o difícil del problema [3](#page=3).
> **Tip:** Se recomienda estudiar detenidamente las estrategias y ejemplos de resolución de problemas proporcionados, y resolver los ejemplos propuestos [3](#page=3).
---
# Unidades, cantidades físicas y cifras significativas
Este tema explora los pilares de la medición en física: la definición de cantidades físicas, el sistema de unidades internacional (SI), el uso de prefijos, las conversiones entre unidades y la crucial importancia de las cifras significativas para reflejar la incertidumbre en las mediciones.
### 2.1 Conceptos fundamentales
Una **cantidad física** es un número que describe cuantitativamente un fenómeno físico. Para medir una cantidad, siempre la comparamos con un **estándar de referencia**, que define una **unidad** para esa cantidad. Las unidades deben ser inmutables y reproducibles [4](#page=4).
* **Definición operativa:** Una cantidad física se define describiendo cómo medirla. Ejemplos: medir distancia con una regla, tiempo con un cronómetro [4](#page=4).
* **Definición por cálculo:** Una cantidad física se define calculándola a partir de otras cantidades medibles. Ejemplo: rapidez promedio = distancia recorrida / tiempo de recorrido [4](#page=4).
### 2.2 El Sistema Internacional de Unidades (SI)
El sistema de unidades utilizado por científicos e ingenieros a nivel mundial se conoce oficialmente como Sistema Internacional (SI) [4](#page=4).
#### 2.2.1 Unidades fundamentales del SI
* **Tiempo:** La unidad SI es el segundo (s). Actualmente, se define como el tiempo que tardan 9,192,631,770 ciclos de la radiación de microondas del átomo de cesio-133 [4](#page=4).
* **Longitud:** La unidad SI es el metro (m). Se define como la distancia que recorre la luz en el vacío en $\frac{1}{299,792,458}$ segundos. La rapidez de la luz en el vacío es exactamente $299,792,458$ m/s [4](#page=4) [5](#page=5).
* **Masa:** La unidad SI es el kilogramo (kg). Se define como la masa de un cilindro de aleación de platino-iridio conservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas [5](#page=5).
Otras unidades se derivan de estas unidades fundamentales. Por ejemplo, la unidad de rapidez es metros por segundo (m/s) [5](#page=5).
#### 2.2.2 Prefijos del SI
Para formar unidades más grandes y más pequeñas, se utilizan prefijos que representan múltiplos de 10 o $\frac{1}{10}$ [5](#page=5).
* **kilo- (k):** Indica una unidad 1000 veces mayor ($10^3$). Ejemplos: 1 kilómetro = $10^3$ metros, 1 kilogramo = $10^3$ gramos [5](#page=5).
* **cent(i)- (c):** Indica una unidad $\frac{1}{100}$ veces menor ($10^{-2}$). Ejemplo: 1 centímetro = $10^{-2}$ metros [5](#page=5).
* **mili- (m):** Indica una unidad $\frac{1}{1000}$ veces menor ($10^{-3}$) [5](#page=5).
* **micro- ($\mu$):** Indica una unidad $10^{-6}$ veces menor [5](#page=5).
* **nano- (n):** Indica una unidad $10^{-9}$ veces menor [5](#page=5).
Una tabla en el apéndice A del documento original contiene todos los prefijos estándar del SI [5](#page=5).
#### 2.2.3 El sistema británico
Aunque en desuso, el sistema británico se usa en algunos lugares. Las unidades británicas se definen en términos del SI [6](#page=6):
* 1 pulgada = 2.54 cm (exactamente) [6](#page=6).
* 1 libra = 4.448221615260 newtons (exactamente) [6](#page=6).
La unidad británica de tiempo es el segundo, igual que en el SI [6](#page=6).
> **Tip:** Al resolver problemas, es recomendable usar las unidades fundamentales del SI (metros, kilogramos, segundos) y realizar las conversiones a otras unidades al final si es necesario [7](#page=7).
### 2.3 Uso y conversiones de unidades
Las ecuaciones en física deben ser dimensionalmente consistentes; solo se pueden sumar o igualar términos con las mismas unidades. Las unidades se tratan algebraicamente en la multiplicación y división [6](#page=6).
#### 2.3.1 Conversión de unidades
Para convertir unidades, se utilizan **multiplicadores unitarios**, que son cocientes de dos expresiones de la misma cantidad física en unidades diferentes, y su valor es igual a 1 [7](#page=7).
**Estrategia para resolver problemas de física (Conversión de unidades):**
1. **Identificar:** Determinar los conceptos relevantes y las unidades deseadas.
2. **Plantear y Ejecutar:** Expresar la cantidad física en unidades diferentes formando igualdades. Multiplicar la cantidad por los multiplicadores unitarios apropiados para cancelar las unidades no deseadas.
3. **Evaluar:** Verificar si las unidades se han cancelado correctamente y si el resultado es lógicamente razonable.
> **Example:** Convertir 3 minutos a segundos.
> Sabemos que 1 minuto = 60 segundos. Por lo tanto, el multiplicador unitario es $\frac{60 \text{ s}}{1 \text{ min}}$.
> $3 \text{ min} = (3 \text{ min}) \times \left(\frac{60 \text{ s}}{1 \text{ min}}\right) = 180 \text{ s}$ [7](#page=7).
> **Example:** Convertir 763.0 mi/h a m/s.
> Se utilizan las relaciones: 1 mi = 1.609 km, 1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s.
> $763.0 \frac{\text{mi}}{\text{h}} = 763.0 \frac{\text{mi}}{\text{h}} \times \frac{1.609 \text{ km}}{1 \text{ mi}} \times \frac{1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \times \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 341.0 \frac{\text{m}}{\text{s}}$ [7](#page=7).
> **Example:** Convertir 1.84 pulgadas cúbicas a centímetros cúbicos y metros cúbicos.
> Se usa 1 in = 2.540 cm. Entonces, $1 \text{ in}^3 = (2.54 \text{ cm})^3$.
> $1.84 \text{ in}^3 = 1.84 \times (2.54 \text{ cm})^3 = 30.2 \text{ cm}^3$ [7](#page=7).
> Para convertir a metros cúbicos, se usa 1 m = 100 cm:
> $30.2 \text{ cm}^3 = 30.2 \text{ cm}^3 \times \left(\frac{1 \text{ m}}{100 \text{ cm}}\right)^3 = 30.2 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 3.02 \times 10^{-5} \text{ m}^3$ [7](#page=7).
### 2.4 Incertidumbre y cifras significativas
Todas las mediciones implican **incertidumbre** (o error), que indica la máxima diferencia probable entre el valor medido y el real. La incertidumbre depende de la técnica y el instrumento de medición [8](#page=8).
* **Notación explícita de incertidumbre:** Se puede indicar como valor $\pm$ incertidumbre (e.g., $56.47 \pm 0.02$ mm). Los números entre paréntesis indican la incertidumbre de los dígitos finales (e.g., $1.6454 $ significa $1.6454 \pm 0.0021$) [8](#page=8).
* **Error relativo/porcentual:** Se expresa como (incertidumbre / valor medido). Un valor de "47 ohms $\pm$ 10%" tiene una incertidumbre del 10% de 47 ohms [8](#page=8).
#### 2.4.1 Cifras significativas
La incertidumbre de una medida también se indica mediante el número de **cifras significativas** (o dígitos significativos). Estas son los dígitos en un valor medido que se consideran correctos, más el último dígito que es incierto [8](#page=8).
* **Reglas para contar cifras significativas:**
* Todos los dígitos distintos de cero son significativos [8](#page=8).
* Los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos [8](#page=8).
* Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero NO son significativos (e.g., 0.25 km tiene dos cifras significativas) [8](#page=8).
* Los ceros a la derecha de una coma decimal y de un dígito distinto de cero son significativos (e.g., 0.250 km tiene tres cifras significativas) [8](#page=8).
* Los ceros al final de un número entero sin coma decimal son ambiguos y pueden o no ser significativos. Es preferible usar notación científica para clarificar [9](#page=9).
#### 2.4.2 Reglas para operaciones con cifras significativas
1. **Multiplicación o división:** El resultado no debe tener más cifras significativas que el número inicial con el menor número de cifras significativas [8](#page=8).
* Ejemplo: $0.745 \times 2.2$. $0.745$ tiene 3 cifras significativas, $2.2$ tiene 2. El resultado debe tener 2 cifras significativas. $0.745 \times 2.2 = 1.639$. Redondeado a 2 cifras significativas es $1.6$ [8](#page=8).
2. **Suma o resta:** El resultado está determinado por el número con mayor incertidumbre (es decir, el menor número de dígitos a la derecha del punto decimal) [8](#page=8).
* Ejemplo: $123.62 + 8.9$. $123.62$ tiene incertidumbre en centésimas, $8.9$ en décimas. El resultado debe tener incertidumbre en décimas. $123.62 + 8.9 = 132.52$. Redondeado a una cifra decimal es $132.5$ [8](#page=8).
> **Tip:** Al realizar cálculos, es recomendable mantener un dígito extra en los cálculos intermedios y redondear solo el resultado final para minimizar errores de redondeo. No truncar, sino redondear correctamente [9](#page=9).
#### 2.4.3 Notación científica
La notación científica (o notación de potencias de 10) es muy útil para indicar claramente las cifras significativas en números muy grandes o muy pequeños [9](#page=9).
* Ejemplo: 384,000,000 m se escribe como $3.84 \times 10^8$ m, indicando 3 cifras significativas [9](#page=9).
* Ejemplo: $4.00 \times 10^{-7}$ tiene 3 cifras significativas [9](#page=9).
#### 2.4.4 Exactitud vs. Precisión
* **Precisión:** Se refiere a la granularidad de una medida (cuántos decimales se muestran) [9](#page=9).
* **Exactitud:** Se refiere a qué tan cerca está una medida del valor real. Una medición de alta calidad es tanto precisa como exacta [9](#page=9).
> **Example:** Calcular la energía en reposo $E$ para un electrón con masa $m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg, usando la ecuación $E = mc^2$, donde $c$ es la rapidez de la luz ($c = 2.99792458 \times 10^8$ m/s). El resultado debe tener tres cifras significativas [9](#page=9).
>
> $E = (9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}) \times (2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s})^2$ [9](#page=9).
> $E = (9.11 \times 10^{-31}) \times (8.987551787 \times 10^{16}) \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$ [9](#page=9).
> $E = 8.187659678 \times 10^{-14} \text{ kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$
> Redondeando a tres cifras significativas:
> $E = 8.19 \times 10^{-14} \text{ J}$ [9](#page=9).
---
# Vectores y sus operaciones
Este tema aborda la distinción fundamental entre cantidades escalares y vectoriales, y detalla las operaciones matemáticas necesarias para manipular vectores, incluyendo suma, resta, componentes, vectores unitarios y los productos escalar y vectorial [10](#page=10) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23).
### 3.1 Escalares versus vectores
Una **cantidad escalar** se describe completamente mediante un único número y su unidad. Ejemplos incluyen tiempo, temperatura, masa y densidad [10](#page=10) [11](#page=11).
Por el contrario, una **cantidad vectorial** requiere tanto una magnitud (cuán grande es) como una dirección en el espacio. Ejemplos comunes son el desplazamiento, la velocidad y la fuerza [10](#page=10) [11](#page=11).
* **Notación de vectores:** En este texto, los vectores se representan con letras en negrita y cursiva, y una flecha encima ($\vec{A}$). Los símbolos escritos a mano siempre llevan una flecha arriba [11](#page=11).
* **Magnitud de un vector:** La magnitud de un vector (por ejemplo, $\vec{A}$) se denota con la misma letra en cursiva normal ($A$) o entre barras verticales ($|\vec{A}|$). La magnitud es una cantidad escalar, siempre positiva [11](#page=11).
### 3.2 Suma y resta de vectores
La suma de vectores es una operación geométrica que no sigue las reglas de la aritmética ordinaria [12](#page=12).
* **Suma vectorial:** Si una partícula experimenta un desplazamiento $\vec{A}$ seguido de un desplazamiento $\vec{B}$, el desplazamiento resultante ($\vec{C}$) es el mismo que si hubiera experimentado un solo desplazamiento $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ [12](#page=12).
* **Método punta-cola:** Para sumar dos vectores, se coloca la cola del segundo vector en la punta del primero. El vector resultante va de la cola del primer vector a la punta del segundo [12](#page=12).
* **Ley conmutativa:** El orden de los vectores en una suma vectorial no importa ($\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$) [12](#page=12).
* **Ley asociativa:** La suma de tres o más vectores se puede agrupar de cualquier manera ($\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C}$) [12](#page=12).
* **Magnitud de la suma:** La magnitud de la suma vectorial $|\vec{A} + \vec{B}|$ no es, en general, igual a la suma de las magnitudes $|\vec{A}| + |\vec{B}|$. Solo es igual cuando los vectores son paralelos [12](#page=12).
* **Resta vectorial:** La diferencia entre dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como la suma vectorial de $\vec{A}$ y el negativo de $\vec{B}$ ($\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$). El vector $-\vec{B}$ tiene la misma magnitud que $\vec{B}$ pero dirección opuesta [13](#page=13).
* **Multiplicación de un vector por un escalar:** Cuando un vector $\vec{A}$ se multiplica por un escalar $c$, el resultado $c\vec{A}$ es un vector con magnitud $|c|A$. Si $c$ es positivo, $c\vec{A}$ tiene la misma dirección que $\vec{A}$; si $c$ es negativo, $c\vec{A}$ tiene la dirección opuesta [13](#page=13).
> **Tip:** Es un error común asumir que la magnitud de la suma de dos vectores es la suma de sus magnitudes. Esto solo es válido si los vectores son paralelos [12](#page=12).
> **Ejemplo:** Si un esquiador se mueve 1.00 km al norte y luego 2.00 km al este, su desplazamiento resultante es de 2.24 km con una dirección de 63.4° al este del norte [14](#page=14).
### 3.3 Componentes de vectores
El método de componentes proporciona una forma general y precisa para sumar vectores, aplicable incluso cuando los vectores no son perpendiculares [14](#page=14).
* **Definición de componentes:** Un vector $\vec{A}$ en un sistema de coordenadas cartesiano (x-y) puede descomponerse en dos vectores perpendiculares, uno paralelo al eje x (con magnitud $A_x$) y otro paralelo al eje y (con magnitud $A_y$). Estos números, $A_x$ y $A_y$, son las componentes del vector [14](#page=14).
* **Notación:** Las componentes se escriben en cursiva normal sin flecha, a diferencia de los vectores [14](#page=14).
* **Relación con magnitud y dirección:** Si $\theta$ es el ángulo que forma el vector $\vec{A}$ con el eje x positivo y se mide en sentido antihorario, las componentes se calculan como:
$$A_x = A \cos \theta \quad \text{y} \quad A_y = A \sin \theta$$ [15](#page=15).
> **Cuidado:** Estas fórmulas son válidas solo si $\theta$ se mide desde el eje x positivo en sentido antihorario. Si se usan otros ángulos de referencia, las relaciones cambian [15](#page=15).
* **Cálculo de magnitud y dirección a partir de componentes:** Dada las componentes $A_x$ y $A_y$, la magnitud del vector $\vec{A}$ se obtiene por el teorema de Pitágoras:
$$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$$ [16](#page=16).
La dirección $\theta$ se calcula típicamente usando la función arcotangente:
$$\tan \theta = \frac{A_y}{A_x} \quad \Rightarrow \quad \theta = \arctan \left( \frac{A_y}{A_x} \right)$$ [16](#page=16).
> **Cuidado:** La función arcotangente puede arrojar ambigüedad (un desplazamiento de 180°). Siempre se debe dibujar un diagrama del vector para determinar el cuadrante correcto y el ángulo adecuado [16](#page=16).
* **Suma de vectores por componentes:** La componente x de la suma vectorial de varios vectores es la suma algebraica de sus componentes x individuales, y lo mismo ocurre con las componentes y.
$$R_x = A_x + B_x + C_x + \dots$$
$$R_y = A_y + B_y + C_y + \dots$$ [16](#page=16) [17](#page=17).
* **Vectores en tres dimensiones:** El método de componentes se extiende a tres dimensiones, donde un vector $\vec{A}$ tiene componentes $A_x$, $A_y$, y $A_z$. La magnitud se calcula como $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$, y la suma vectorial se extiende a $R_z = A_z + B_z + C_z + \dots$ [17](#page=17).
> **Estrategia para resolver problemas:**
> 1. Identificar la incógnita (magnitud, dirección o ambas de la suma vectorial).
> 2. Planteamiento: Dibujar los vectores, elegir un sistema de coordenadas adecuado y estimar la resultante.
> 3. Ejecución: Calcular las componentes de cada vector. Sumar algebraicamente las componentes x y las y para obtener las componentes de la resultante. Calcular la magnitud y la dirección de la resultante.
> 4. Evaluación: Verificar que las respuestas concuerden con las estimaciones y el dibujo [17](#page=17).
### 3.4 Vectores unitarios
Un **vector unitario** es un vector de magnitud 1, sin unidades, cuyo propósito es indicar dirección [18](#page=18).
* **Definición:** En un sistema x-y, los vectores unitarios $\hat{i}$ y $\hat{j}$ apuntan en la dirección de los ejes x positivo y y positivo, respectivamente [18](#page=18).
* **Expresión de un vector:** Cualquier vector $\vec{A}$ puede expresarse en términos de sus componentes y los vectores unitarios:
$$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$$ [18](#page=18).
* **Suma de vectores con unitarios:** La suma de vectores $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ puede escribirse como:
$$\vec{R} = (A_x + B_x) \hat{i} + (A_y + B_y) \hat{j}$$ [18](#page=18).
* **En tres dimensiones:** Se introduce el vector unitario $\hat{k}$ para la dirección del eje z positivo. Un vector $\vec{A}$ se expresa como:
$$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$$ [19](#page=19).
> **Ejemplo:** Dados dos desplazamientos $\vec{D} = (6.00 \hat{i} - 3.00 \hat{j} + 1.00 \hat{k})$ m y $\vec{E} = (4.00 \hat{i} + 5.00 \hat{j} - 8.00 \hat{k})$ m, la magnitud del desplazamiento $2\vec{D} - \vec{E}$ es 16.9 m [19](#page=19).
### 3.5 Productos de vectores
Existen dos tipos de productos de vectores: el producto escalar y el producto vectorial [19](#page=19) [20](#page=20).
#### 3.5.1 Producto escalar (producto punto)
El **producto escalar** de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$, denotado como $\vec{A} \cdot \vec{B}$, resulta en una cantidad escalar [20](#page=20).
* **Definición geométrica:**
$$\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos \theta$$
donde $A$ y $B$ son las magnitudes de los vectores y $\theta$ es el ángulo entre ellos (0° $\le \theta \le$ 180°) [20](#page=20).
* **Propiedades:**
* Es una cantidad escalar [20](#page=20).
* Puede ser positivo, negativo o cero. Si $\theta = 90^\circ$, $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ (vectores perpendiculares) [20](#page=20).
* Es conmutativo: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$ [20](#page=20).
* **Cálculo con componentes:** Si $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ y $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$:
$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$$ [21](#page=21).
* **Aplicaciones:** Permite calcular el ángulo entre dos vectores y se utiliza en la definición de trabajo ($\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$) [21](#page=21).
> **Ejemplo:** Para $\vec{A} = 4.00$ y $\vec{B} = 5.00$ con un ángulo de 77.0° entre ellos, el producto escalar es 4.50 [21](#page=21).
#### 3.5.2 Producto vectorial (producto cruz)
El **producto vectorial** de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$, denotado como $\vec{A} \times \vec{B}$, resulta en un vector [22](#page=22).
* **Definición:** La magnitud del producto vectorial es:
$$|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin \theta$$
donde $A$ y $B$ son las magnitudes de los vectores y $\theta$ es el ángulo entre ellos (0° $\le \theta \le$ 180°) [22](#page=22).
* La magnitud es cero si los vectores son paralelos o antiparalelos ($\theta = 0^\circ$ o $180^\circ$) [22](#page=22).
* **Dirección:** La dirección del vector resultante $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ es perpendicular al plano que contiene a $\vec{A}$ y $\vec{B}$. Se determina mediante la **regla de la mano derecha**: si se giran los dedos de la mano derecha desde $\vec{A}$ hacia $\vec{B}$ (con el menor ángulo), el pulgar indica la dirección de $\vec{A} \times \vec{B}$ [22](#page=22).
* **Propiedades:**
* El producto vectorial no es conmutativo; es **anticonmutativo**: $\vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A}$ [22](#page=22).
* Si los vectores son paralelos o perpendiculares entre sí, el producto escalar es cero, mientras que la magnitud del producto vectorial es máximo cuando son perpendiculares y cero cuando son paralelos [22](#page=22).
* **Cálculo con componentes:** Si $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$ y $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j} + B_z \hat{k}$:
$$ \vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k} $$ [23](#page=23).
Esta expresión se puede recordar usando un determinante:
$$ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} $$ [23](#page=23).
* **Aplicaciones:** Se utiliza para describir torque, momento angular y campos magnéticos [22](#page=22).
> **Cuidado:** No confundir la magnitud del producto vectorial ($AB \sin \theta$) con el producto escalar ($AB \cos \theta$) [22](#page=22).
---
# Leyes de Newton y aplicación a fuerzas
Aquí tienes un resumen detallado sobre las Leyes de Newton y su aplicación a fuerzas, estructurado como una guía de estudio:
## 4. Leyes de Newton y aplicación a fuerzas
Este capítulo introduce los principios fundamentales que gobiernan la relación entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que lo provocan, conocidos como las leyes de Newton .
### 4.1 Fuerza e interacciones
Una fuerza se define como una interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su entorno. Las fuerzas son cantidades vectoriales, poseyendo tanto magnitud como dirección .
#### Tipos de fuerzas
Existen dos categorías principales de fuerzas:
* **Fuerzas de contacto:** Ocurren cuando hay contacto directo entre dos cuerpos.
* **Fuerza normal ($n_S$):** La fuerza ejercida por una superficie sobre un objeto en contacto con ella, siempre perpendicular a la superficie .
* **Fuerza de fricción ($f_S$):** La fuerza ejercida por una superficie sobre un objeto, paralela a la superficie y opuesta a la dirección del deslizamiento .
* **Fuerza de tensión ($T_S$):** La fuerza ejercida por una cuerda, cordón u objeto similar tenso sobre un objeto al que está atado .
* **Fuerzas de largo alcance:** Actúan a distancia, sin contacto directo.
* **Fuerza de gravedad:** La fuerza de atracción entre dos cuerpos, como la que la Tierra ejerce sobre un objeto. El peso ($w_S$) es la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre un cuerpo .
La unidad SI de magnitud de fuerza es el **newton (N)** .
#### Superposición de fuerzas
Cuando múltiples fuerzas actúan sobre un cuerpo, su efecto combinado es el mismo que el de una única fuerza igual a la suma vectorial de todas las fuerzas individuales. A esta fuerza resultante se le llama **fuerza neta** ($\sum \vec{F}$) .
La fuerza neta se calcula como la suma vectorial de todas las fuerzas:
$$ \sum \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \dots $$
(4.1)
Para facilitar la suma de vectores, se utilizan sus componentes:
$$ \sum F_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} + \dots $$
$$ \sum F_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} + \dots $$
(4.2)
La magnitud de la fuerza neta se calcula como $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$, y su dirección ($\theta$) se obtiene mediante $\tan \theta = \frac{R_y}{R_x}$ .
> **Tip:** En diagramas de cuerpo libre, se dibuja una línea ondulada sobre un vector fuerza si este se sustituye por sus componentes .
> **Example:** En el Ejemplo 4.1 se calcularon las componentes, magnitud y dirección de la fuerza neta resultante de tres fuerzas aplicadas a un cinturón de campeonato .
### 4.2 Primera ley de Newton
La primera ley de Newton, también conocida como la ley de la inercia, describe el comportamiento de los cuerpos cuando la fuerza neta que actúa sobre ellos es cero.
**PRIMERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO:** Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero .
La **inercia** es la tendencia de un cuerpo a resistir cambios en su estado de movimiento .
Un cuerpo está en **equilibrio** si está en reposo o se mueve con velocidad constante. Para que un cuerpo esté en equilibrio, la fuerza neta sobre él debe ser cero:
$$ \sum \vec{F} = 0 $$
(4.3)
#### Sistemas de referencia inerciales
La primera ley de Newton solo es válida en **sistemas (o marcos) de referencia inerciales**. Un sistema de referencia inercial es aquel en el que se cumple la primera ley de Newton. La Tierra es una aproximación a un sistema inercial, pero no es perfectamente inercial debido a su rotación y movimiento orbital. Cualquier sistema de referencia que se mueva con velocidad constante en relación con un sistema inercial también es inercial .
> **Tip:** Es crucial distinguir entre un sistema de referencia inercial y uno no inercial (acelerado). Las leyes de Newton se formulan y aplican correctamente en sistemas inerciales .
### 4.3 Segunda ley de Newton
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza neta sobre un cuerpo con su aceleración y masa.
**SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO:** Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración .
Matemáticamente, se expresa como:
$$ \sum \vec{F} = m \vec{a} $$
(4.6)
donde $\sum \vec{F}$ es la fuerza neta, $m$ es la masa del cuerpo y $\vec{a}$ es su aceleración .
La masa ($m$) es una medida de la inercia de un cuerpo; cuanto mayor es la masa, mayor es la resistencia a la aceleración. La unidad SI de masa es el kilogramo (kg) .
La unidad SI de fuerza, el newton (N), se define como la fuerza neta necesaria para producir una aceleración de 1 m/s² en un cuerpo de 1 kg:
$$ 1 \, \text{N} = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}^2 $$
La segunda ley de Newton se aplica en forma de componentes:
$$ \sum F_x = m a_x $$
$$ \sum F_y = m a_y $$
$$ \sum F_z = m a_z $$
(4.7)
> **CUIDADO:** El término $m\vec{a}$ no es una fuerza; es el resultado de la fuerza neta. La aceleración es una consecuencia de la fuerza, no una fuerza en sí misma .
> **Example:** El Ejemplo 4.4 calcula la aceleración de una caja sometida a una fuerza horizontal constante, utilizando la segunda ley de Newton. El Ejemplo 4.5 determina la fuerza de fricción actuando sobre una botella de salsa cátsup a partir de su aceleración (frenado) .
### 4.4 Masa y peso
Es fundamental distinguir entre masa y peso:
* **Masa:** Es una propiedad intrínseca de un cuerpo que mide su inercia y la cantidad de materia que contiene. Es independiente de la ubicación .
* **Peso ($w$):** Es la fuerza gravitacional que la Tierra (u otro cuerpo masivo) ejerce sobre un objeto. Es una fuerza, por lo tanto, es una cantidad vectorial y depende de la ubicación .
La magnitud del peso ($w$) de un cuerpo está relacionada con su masa ($m$) y la magnitud de la aceleración debida a la gravedad ($g$) en ese lugar:
$$ w = mg $$
(4.8)
En forma vectorial:
$$ \vec{w} = m \vec{g} $$
(4.9)
donde $g$ es siempre positivo .
> **Tip:** En la Tierra, se suele usar $g \approx 9.80 \, \text{m/s}^2$ .
> **CUIDADO:** En el lenguaje cotidiano, a menudo se confunden masa y peso, usando unidades de masa para expresar peso (ej. "pesa 6 kg"). En física, el peso se mide en newtons (N) y la masa en kilogramos (kg) .
> **Example:** El Ejemplo 4.7 calcula la masa de un automóvil a partir de su peso y luego usa esta masa para determinar su aceleración durante una frenada .
### 4.5 Tercera ley de Newton
La tercera ley de Newton describe la naturaleza de las interacciones entre dos cuerpos.
**TERCERA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO:** Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una “acción”), entonces, el cuerpo B ejerce una fuerza sobre el cuerpo A (una “reacción”). Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre cuerpos diferentes .
Matemáticamente:
$$ \vec{F}_{\text{A sobre B}} = -\vec{F}_{\text{B sobre A}} $$
(4.10)
Los pares de fuerzas "acción-reacción" siempre actúan sobre cuerpos distintos. No se cancelan entre sí porque no actúan sobre el mismo objeto .
> **Tip:** Al analizar las fuerzas sobre un cuerpo, solo se consideran las fuerzas externas que actúan sobre ese cuerpo. Las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otros cuerpos son parte de pares acción-reacción y pertenecen a los diagramas de cuerpo libre de los *otros* cuerpos .
> **Example:** El Ejemplo Conceptual 4.8 explica que la fuerza de un auto empujando a un peatón es igual en magnitud a la fuerza del peatón empujando al auto, sin importar la masa de cada uno. El Ejemplo Conceptual 4.9 aclara las fuerzas sobre una manzana y sus pares de reacción .
### 4.6 Diagramas de cuerpo libre
Los diagramas de cuerpo libre son una herramienta esencial para aplicar las leyes de Newton.
**Diagrama de cuerpo libre:** Es un diagrama que representa un cuerpo aislado de su entorno, mostrando solo las fuerzas externas aplicadas sobre él como vectores.
Principios clave para su uso:
1. **Identificar el cuerpo:** Decidir claramente a qué cuerpo se aplicarán las leyes de Newton .
2. **Considerar solo fuerzas externas:** Incluir todas las fuerzas que actúan *sobre* el cuerpo elegido. No incluir fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otros cuerpos (estas forman pares acción-reacción y actúan sobre otros objetos) .
3. **Dibuja todas las fuerzas:** Representar cada fuerza con un vector, indicando su magnitud y dirección. Las fuerzas de un par acción-reacción nunca aparecen en el mismo diagrama de cuerpo libre .
> **CUIDADO:** Evitar fuerzas ficticias como "fuerza de aceleración" o "$m\vec{a}$" que no son fuerzas reales aplicadas por otros cuerpos .
---
# Dinámica del movimiento rectilíneo y circular
Claro, aquí tienes una guía de estudio detallada sobre la "Dinámica del movimiento rectilíneo y circular" basada en el contenido proporcionado, estructurada según tus instrucciones.
## 5. Dinámica del movimiento rectilíneo y circular
Este tema aplica las leyes de Newton para analizar el equilibrio, el movimiento con aceleración constante, la caída libre, la fricción y el movimiento circular.
### 5.1 Aplicación de la primera ley de Newton: equilibrio de partículas
La primera ley de Newton establece que un cuerpo está en equilibrio (en reposo o con velocidad constante) si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Para partículas en equilibrio, la suma de las componentes de fuerza en cada eje debe ser cero :
$$ \sum \vec{F} = 0 $$
En componentes:
$$ \sum F_x = 0 $$
$$ \sum F_y = 0 $$
**Estrategia para resolver problemas de equilibrio:** .
1. **Dibujar la situación:** Crear un esquema sencillo con dimensiones y ángulos.
2. **Diagramas de cuerpo libre:** Para cada cuerpo en equilibrio, dibujar un diagrama de cuerpo libre. Representar el cuerpo como un punto y dibujar todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Incluir peso ($w=mg$), fuerzas normales ($n$), tensiones ($T$), y fuerzas de fricción ($f$).
3. **Elegir ejes de coordenadas:** Seleccionar ejes convenientes, a menudo paralelos y perpendiculares a una superficie inclinada si es aplicable.
4. **Obtener componentes de fuerza:** Calcular las componentes de cada fuerza a lo largo de los ejes elegidos.
5. **Aplicar la primera ley de Newton:** Igualar a cero la suma de las componentes de fuerza en cada eje.
6. **Resolver:** Resolver las ecuaciones resultantes para las incógnitas.
7. **Evaluar:** Verificar que la respuesta sea lógica y tenga las unidades correctas.
**Ejemplos y Consideraciones Clave:**
* **Peso y Fuerza Normal:** La fuerza normal ($n$) no siempre es igual al peso ($w$). Depende de las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo .
* **Tensión en Cuerdas:** En una cuerda ideal sin masa, la tensión es la misma en todos sus puntos. Si la cuerda tiene masa, la tensión varía .
* **Equilibrio Bidimensional:** Para sistemas con fuerzas en dos dimensiones, se deben descomponer las fuerzas y aplicar la primera ley de Newton en ambas direcciones .
* **Planos Inclinados:** Al analizar objetos en planos inclinados, es conveniente alinear los ejes con la superficie del plano para simplificar la descomposición del peso. El peso tiene componentes $w \sin \alpha$ (paralela al plano) y $w \cos \alpha$ (perpendicular al plano) .
### 5.2 Uso de la segunda ley de Newton: Dinámica de partículas
La segunda ley de Newton relaciona la fuerza neta sobre un cuerpo con su aceleración y masa:
$$ \sum \vec{F} = m \vec{a} $$
En componentes:
$$ \sum F_x = ma_x $$
$$ \sum F_y = ma_y $$
La aceleración tiene la misma dirección que la fuerza neta .
**Estrategia para resolver problemas de dinámica:** .
1. **Dibujar diagramas de cuerpo libre:** Para cada objeto, mostrar todas las fuerzas externas que actúan sobre él. No incluir "$m\vec{a}$" como una fuerza en el diagrama de cuerpo libre.
2. **Identificar fuerzas:** Nombrar cada fuerza con un símbolo algebraico y usar $w=mg$ para el peso.
3. **Elegir ejes y direcciones:** Seleccionar ejes de coordenadas y definir la dirección positiva. Alinear un eje con la dirección de la aceleración si se conoce.
4. **Identificar otras ecuaciones:** Considerar ecuaciones adicionales necesarias, como las de movimiento con aceleración constante (Sección 2.4) o relaciones entre las aceleraciones de múltiples cuerpos (ej. si están unidos por una cuerda).
5. **Descomponer fuerzas:** Calcular las componentes de cada fuerza a lo largo de los ejes.
6. **Aplicar la segunda ley de Newton:** Escribir las ecuaciones de $\sum F_x = ma_x$ y $\sum F_y = ma_y$ para cada objeto.
7. **Resolver:** Resolver el sistema de ecuaciones para las incógnitas.
8. **Evaluar:** Verificar unidades, signos y la lógica de la respuesta.
**Conceptos Clave:**
* **Fuerza Normal vs. Peso:** La fuerza normal ($n$) y el peso ($mg$) no siempre son iguales. Su relación depende de la aceleración del objeto .
* **Peso Aparente:** En un elevador, la lectura de una báscula (fuerza normal) indica el peso aparente del pasajero, que puede ser mayor o menor que su peso real si el elevador está acelerando .
* **Movimiento en Planos Inclinados:** La aceleración cuesta abajo en una superficie sin fricción es $a_x = g \sin \alpha$. Con fricción, $a_x = g(\sin \alpha - \mu_k \cos \alpha)$ si la fricción se opone al movimiento cuesta abajo .
* **Sistemas de Múltiples Cuerpos:** Para sistemas con cuerpos interconectados (ej. poleas, planos inclinados), se aplican las leyes de Newton a cada cuerpo individualmente, y las aceleraciones suelen estar relacionadas .
### 5.3 Fuerzas de fricción
Las fuerzas de fricción son fuerzas de contacto entre superficies, opuestas al movimiento relativo o a la tendencia de movimiento.
* **Fricción Cinética ($f_k$):** Actúa cuando las superficies se deslizan una sobre otra. Su magnitud es aproximadamente $f_k = \mu_k n$, donde $\mu_k$ es el coeficiente de fricción cinética y $n$ es la magnitud de la fuerza normal. $\mu_k$ es generalmente menor que $\mu_s$ .
* **Fricción Estática ($f_s$):** Actúa cuando las superficies están en reposo relativo. Su magnitud es $0 \le f_s \le f_{s,max} = \mu_s n$, donde $\mu_s$ es el coeficiente de fricción estática. La fuerza de fricción estática se ajusta a la fuerza aplicada hasta alcanzar su valor máximo, que impide el movimiento .
**Tipos de Fricción:**
* **Fricción Cinética ($f_k = \mu_k n$):** Oposición al deslizamiento.
* **Fricción Estática ($f_s \le \mu_s n$):** Oposición a iniciar el deslizamiento.
* **Fricción de Rodamiento:** Mucho menor que la cinética, asociada con objetos que ruedan (ej. ruedas) .
* **Resistencia de Fluidos:** Fuerza opuesta al movimiento a través de un fluido (aire o líquido). Depende de la rapidez y la forma del objeto. A baja rapidez, $f \approx kv$; a alta rapidez, $f \approx Dv^2$ (arrastre) .
**Rapidez Terminal:** La rapidez constante que un objeto en caída alcanza cuando la fuerza de resistencia del fluido iguala su peso.
* Para $f \approx kv$: $v_t = mg/k$ .
* Para $f \approx Dv^2$: $v_t = \sqrt{mg/D}$ .
**Ejemplos y Consideraciones:**
* **Fricción en Planos Inclinados:** La fuerza de fricción puede ser estática o cinética, opuesta a la tendencia de movimiento o al movimiento mismo, respectivamente .
* **Reducción de Fricción:** Jalar un objeto con un ángulo ascendente reduce la fuerza normal y, por ende, la fricción cinética .
* **Condición para el Movimiento:** El movimiento inicia cuando la fuerza aplicada supera la fricción estática máxima .
### 5.4 Dinámica del movimiento circular
El movimiento circular uniforme (MCU) ocurre cuando un objeto se mueve en un círculo con rapidez constante. Requiere una aceleración radial ($a_{rad}$) dirigida hacia el centro del círculo.
**Aceleración Centrí peta:**
$$ a_{rad} = \frac{v^2}{R} $$
$$ a_{rad} = \frac{4\pi^2 R}{T^2} $$
Donde $v$ es la rapidez, $R$ es el radio de la trayectoria circular, y $T$ es el período (tiempo de una revolución) .
**Fuerza Centrípeta:** Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta ($F_{neta}$) debe estar dirigida hacia el centro del círculo y tener una magnitud:
$$ F_{neta} = ma_{rad} = m \frac{v^2}{R} = m \frac{4\pi^2 R}{T^2} $$
Esta fuerza es la "causa" del movimiento circular; no es una fuerza adicional llamada "centrífuga" .
**Ejemplos y Consideraciones:**
* **Fuerza Centrípeta:** Puede ser tensión, fricción, componente de la fuerza normal, o una combinación de fuerzas .
* **Movimiento en un Plano Horizontal:** Si la superficie es horizontal y sin fricción, la fuerza centrípeta es proporcionada por una tensión o la fuerza normal. Si hay fricción, esta proporciona la fuerza centrípeta. La rapidez máxima antes de derrapar es $v_{max} = \sqrt{\mu_s g R}$ .
* **Curvas Peraltadas:** Inclinar la carretera ($b$) ayuda a proporcionar la fuerza centrípeta, reduciendo la dependencia de la fricción. El ángulo de peralte óptimo para una rapidez $v$ y radio $R$ es $\tan b = v^2/(gR)$ .
* **Movimiento en un Círculo Vertical:** La fuerza neta (peso y fuerza normal) debe proporcionar la fuerza centrípeta. El peso aparente (fuerza normal) cambia en la parte superior e inferior del círculo.
* En la parte superior, la fuerza normal es $n_T = mg(1 - v^2/(gR))$. Si $v^2/(gR) > 1$, se necesita una fuerza externa (ej. cinturón) para mantener al pasajero en el asiento .
* En la parte inferior, la fuerza normal es $n_B = mg(1 + v^2/(gR))$ .
* **Movimiento Circular No Uniforme:** Ocurre cuando la rapidez cambia, implicando una fuerza neta con componentes tanto radiales como tangenciales .
### 5.5 Fuerzas fundamentales de la naturaleza
Todas las fuerzas conocidas se derivan de cuatro interacciones fundamentales :
1. **Interacción Gravitacional:** Fuerza de atracción entre masas. Domina a gran escala (planetas, estrellas) .
2. **Interacción Electromagnética:** Incluye fuerzas eléctricas (entre cargas) y magnéticas (entre cargas en movimiento). Responsable de las fuerzas de contacto (normal, fricción) y la estructura atómica .
3. **Interacción Fuerte:** Mantiene unidos los núcleos atómicos, superando la repulsión eléctrica entre protones. Es de corto alcance pero muy intensa .
4. **Interacción Débil:** Responsable de ciertos tipos de radiactividad (decaimiento beta), con un alcance extremadamente corto .
En las décadas de 1960, se unificaron las interacciones electromagnética y débil en la teoría electrodébil. La investigación continúa buscando una "teoría del todo" que unifique las cuatro interacciones .
---
## Errores comunes a evitar
- Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes
- Preste atención a las fórmulas y definiciones clave
- Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección
- No memorice sin entender los conceptos subyacentes
Glossary
| Term | Definition |
|---|---|
| Física | Ciencia que estudia la materia, la energía, el espacio y el tiempo, y sus interrelaciones, así como las leyes que rigen el universo. |
| Cantidad física | Medida de una propiedad del universo físico, descrita por un número y una unidad. |
| Vector | Cantidad que tiene tanto magnitud como dirección en el espacio. |
| Escalar | Cantidad que se describe completamente con un solo número y una unidad, sin dirección. |
| Unidad | Estándar de referencia utilizado para medir una cantidad física. |
| Sistema Internacional de Unidades (SI) | Sistema de unidades métrico adoptado por científicos e ingenieros a nivel mundial, con unidades fundamentales como el metro, kilogramo y segundo. |
| Prefijo de unidad | Elemento que se añade al nombre de una unidad para indicar múltiplos de 10 o potencias de 10. |
| Cifras significativas | Dígitos en un valor medido que indican la exactitud de la medición; el último dígito es incierto. |
| Notación científica | Forma de expresar números muy grandes o muy pequeños como un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. |
| Orden de magnitud | Estimación aproximada de una cantidad, a menudo expresada como una potencia de 10. |
| Desplazamiento | Cambio en la posición de un objeto, representado como un vector desde la posición inicial hasta la final. |
| Velocidad media | Desplazamiento de una partícula dividido entre el intervalo de tiempo durante el cual ocurre el desplazamiento. |
| Velocidad instantánea | Velocidad de una partícula en un instante específico; es la derivada de la posición con respecto al tiempo. |
| Rapidez | Magnitud de la velocidad instantánea; siempre es positiva y no incluye información de dirección. |
| Aceleración | Tasa de cambio de la velocidad con el tiempo; es una cantidad vectorial. |
| Aceleración media | Cambio en la velocidad de una partícula dividido entre el intervalo de tiempo durante el cual ocurre el cambio. |
| Aceleración instantánea | Aceleración de una partícula en un instante específico; es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. |
| Movimiento rectilíneo | Movimiento de un objeto en línea recta. |
| Caída libre | Movimiento de un objeto bajo la influencia exclusiva de la gravedad, asumiendo aceleración constante y despreciando la resistencia del aire. |
| Movimiento de proyectil | Movimiento de un objeto lanzado con una velocidad inicial y que luego sigue una trayectoria determinada por la gravedad y la resistencia del aire (generalmente modelado como solo gravedad). |
| Movimiento circular uniforme | Movimiento de una partícula en una trayectoria circular con rapidez constante. |
| Aceleración centrípeta (radial) | Aceleración que dirige hacia el centro de una trayectoria circular, responsable del cambio en la dirección de la velocidad. |
| Movimiento circular no uniforme | Movimiento en una trayectoria circular donde la rapidez varía. |
| Aceleración tangencial | Componente de la aceleración que es paralela a la velocidad y responsable del cambio en la rapidez. |
| Velocidad relativa | Velocidad de un objeto medida con respecto a un marco de referencia diferente. |
| Marco de referencia | Sistema de coordenadas junto con una escala de tiempo para describir el movimiento de un objeto. |
| Marco de referencia inercial | Sistema de referencia en el cual la primera ley de Newton es válida; es decir, un marco que no está acelerando. |
| Fuerza | Interacción entre dos cuerpos que puede cambiar su estado de movimiento. |
| Fuerza de contacto | Fuerza que actúa cuando dos cuerpos están en contacto físico directo. |
| Fuerza normal | Fuerza ejercida por una superficie sobre un objeto en contacto, perpendicular a la superficie. |
| Fuerza de fricción | Fuerza ejercida por una superficie sobre un objeto en contacto, paralela a la superficie y opuesta al deslizamiento. |
| Fricción cinética | Fuerza de fricción que actúa cuando dos superficies se deslizan una sobre otra. |
| Fricción estática | Fuerza de fricción que actúa cuando dos superficies están en contacto pero no se deslizan una sobre otra; su magnitud puede variar hasta un valor máximo. |
| Tensión | Fuerza ejercida por una cuerda, cable o similar cuando se estira. |
| Peso | Fuerza gravitacional ejercida sobre un objeto por un cuerpo masivo (como la Tierra). |
| Masa | Medida de la inercia de un objeto; su tendencia a resistir cambios en su movimiento. |
| Fuerza neta | Suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto. |
| Primera ley de Newton (Ley de la Inercia) | Un objeto en reposo permanece en reposo, y un objeto en movimiento continúa en movimiento con velocidad constante, a menos que actúe sobre él una fuerza neta. |
| Segunda ley de Newton | La fuerza neta sobre un objeto es igual al producto de su masa por su aceleración ($\vec{F}_{net} = m\vec{a}$). |
| Tercera ley de Newton | Por cada acción, hay una reacción igual y opuesta; las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes. |
| Diagrama de cuerpo libre | Diagrama que muestra un objeto aislado y todas las fuerzas externas que actúan sobre él. |
| Equilibrio | Estado de un objeto cuando la fuerza neta que actúa sobre él es cero; el objeto está en reposo o se mueve con velocidad constante. |
| Fricción de rodamiento | Fuerza que se opone al movimiento de un objeto que rueda sobre una superficie. |
| Resistencia de fluidos (Arrastre) | Fuerza ejercida por un fluido (gas o líquido) sobre un objeto que se mueve a través de él, opuesta a la dirección del movimiento. |
| Rapidez terminal | Rapidez constante que alcanza un objeto que cae en un fluido cuando la fuerza de resistencia del fluido se iguala a su peso. |
| Interacción gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa. |
| Interacción electromagnética | Interacción entre partículas cargadas eléctricamente, que incluye fuerzas eléctricas y magnéticas. |
| Interacción fuerte | Fuerza fundamental que mantiene unidos los protones y neutrones en el núcleo atómico. |
| Interacción débil | Fuerza fundamental responsable de ciertos tipos de desintegración radiactiva. |
| Magnitud | El tamaño o la cantidad de una cantidad vectorial. |
| Dirección | La orientación espacial de una cantidad vectorial. |
| Componentes de un vector | Las proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. |
| Vector unitario | Vector con magnitud 1 que indica una dirección en el espacio. |
| Producto escalar (Producto punto) | Operación entre dos vectores que produce un escalar, igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$). |
| Producto vectorial (Producto cruz) | Operación entre dos vectores que produce otro vector, perpendicular al plano de los vectores originales, cuya magnitud es el producto de sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta \hat{n}$). |
| Decaimiento beta | Proceso radiactivo donde un neutrón en un núcleo atómico se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino. |
| Teatro-cinemática | Parte de la mecánica que describe el movimiento sin considerar sus causas. |
| Teatro-dinámica | Parte de la mecánica que estudia las causas del movimiento, principalmente las fuerzas. |
| Mecánica clásica (Newtoniana) | Marco teórico de la física que describe el movimiento de los objetos a velocidades mucho menores que la de la luz y a escalas macroscópicas, basado en las leyes de Newton. |
| Inercia | Propiedad de la materia que hace que un objeto resista cambios en su estado de movimiento. |
| Teatro-torca | Momento de fuerza, una cantidad vectorial que describe el efecto de giro de una fuerza. |
| Momento angular | Medida de la cantidad de movimiento rotacional de un objeto. |
| Teatro-gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa, descrita por la ley de gravitación universal de Newton. |
| Teatro-electromagnético | Fuerza que actúa entre partículas cargadas eléctricamente, abarcando las fuerzas eléctricas y magnéticas. |
| Teatro-nuclear fuerte | Fuerza fundamental que mantiene unidos los nucleones (protones y neutrones) en el núcleo atómico. |
| Teatro-nuclear débil | Fuerza fundamental responsable de ciertos procesos de desintegración radiactiva, como el decaimiento beta. |
| Teoría del todo (GTU) | Hipotético marco teórico que unifica todas las interacciones fundamentales de la naturaleza en una sola teoría. |
| Movimiento uniformemente acelerado | Movimiento rectilíneo con aceleración constante. |
| Sistema de coordenadas cartesiano | Sistema de coordenadas rectangular con ejes mutuamente perpendiculares (x, y, z). |
| Teorema de Pitágoras | Relación entre los lados de un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$). |
| Trigonometría | Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. |
| Función tangente inversa (arctan) | Función que devuelve el ángulo cuya tangente es un valor dado. |
| Plano xy | Plano formado por los ejes x e y en un sistema de coordenadas cartesiano. |
| Vector unitario | Vector con magnitud 1 que indica una dirección. Comúnmente denotado con un acento circunflejo (ej. $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$). |
| Producto escalar de vectores unitarios | $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$; $\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{i} \cdot \hat{k} = \hat{j} \cdot \hat{k} = 0$. |
| Producto vectorial de vectores unitarios | $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$; $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$, etc. |
| Sistema de coordenadas de mano derecha | Sistema de coordenadas donde si se colocan los dedos de la mano derecha a lo largo del eje x y se curvan hacia el eje y, el pulgar apunta en la dirección del eje z. |
| Sistema de coordenadas de mano izquierda | Sistema de coordenadas donde la regla de la mano derecha produce un resultado opuesto. |
| Paralelogramo | Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. |
| Ley conmutativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el orden de los operandos no altera el resultado ($a + b = b + a$). |
| Ley asociativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el agrupamiento de los operandos no altera el resultado ($(a + b) + c = a + (b + c)$). |
| Antiparalelos | Vectores que tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. |
| Componentes de un vector | Las proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. |
| Eje coordenado | Línea recta imaginaria en un sistema de coordenadas, usada para medir posiciones. |
| Notación de potencia de 10 | Notación científica para expresar números muy grandes o muy pequeños. |
| Derivada | Razón instantánea de cambio de una función con respecto a su variable independiente. |
| Integral | En cálculo, la operación inversa de la derivación; representa el área bajo una curva. |
| Acción y reacción | Las dos fuerzas en un par acción-reacción, que son iguales en magnitud y opuestas en dirección, y actúan sobre cuerpos diferentes. |
| Fuerza gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa. |
| Fuerza normal | Fuerza perpendicular ejercida por una superficie sobre un objeto en contacto. |
| Fuerza de fricción | Fuerza paralela a la superficie de contacto que se opone al movimiento relativo. |
| Fuerza de tensión | Fuerza ejercida por una cuerda, cable o similar cuando está estirada. |
| Masa inercial | Medida de la resistencia de un objeto a la aceleración. |
| Newton | Unidad SI de fuerza, definida como la fuerza necesaria para impartir una aceleración de 1 m/s² a una masa de 1 kg. |
| Balanza de resorte | Instrumento para medir la magnitud de una fuerza mediante la deformación de un resorte. |
| Sistema de referencia inercial | Marco de referencia en el cual la primera ley de Newton es válida; es decir, no está acelerado. |
| Inercia | Propiedad de la materia que resiste los cambios en su estado de movimiento. |
| Marco de referencia no inercial | Sistema de referencia que está acelerando con respecto a un sistema inercial. |
| Movimiento uniformemente acelerado | Movimiento rectilíneo con aceleración constante. |
| Caída libre | Movimiento bajo la influencia exclusiva de la gravedad, con aceleración constante g. |
| Resistencia del aire (Arrastre) | Fuerza ejercida por el aire sobre un objeto en movimiento, opuesta a la dirección del movimiento. |
| Rapidez terminal | Rapidez constante alcanzada por un objeto en caída libre cuando la fuerza de resistencia del aire se iguala a su peso. |
| Componente radial de la aceleración | Componente de la aceleración que apunta hacia el centro de una trayectoria circular. |
| Componente tangencial de la aceleración | Componente de la aceleración que es paralela a la velocidad y cambia la rapidez del objeto. |
| Peralte | Inclinación de una carretera en una curva para ayudar a contrarrestar la fuerza centrípeta. |
| Velocidad relativa | Velocidad de un objeto medida con respecto a otro objeto o marco de referencia. |
| Transformación galileana de la velocidad | Relación entre las velocidades medidas en diferentes marcos de referencia inerciales. |
| Planeta | Cuerpo celeste que orbita una estrella, tiene suficiente masa para ser esférico y ha limpiado su órbita de otros objetos. |
| Satélite | Objeto que orbita un planeta u otro cuerpo celeste. |
| Órbita | Trayectoria de un cuerpo que se mueve bajo la influencia de la gravedad. |
| Fotografía con múltiples destellos | Técnica fotográfica que captura varias imágenes de un objeto en movimiento en intervalos de tiempo iguales, permitiendo analizar la aceleración. |
| Diagrama de movimiento | Representación gráfica del movimiento de un objeto mostrando su posición y velocidad en diferentes instantes. |
| Curvatura | Grado en que una curva se desvía de una línea recta; en una gráfica x-t, la curvatura está relacionada con la aceleración. |
| Teatro-parábola | Curva matemática con la forma $y = ax^2 + bx + c$. |
| Teatro-integración | Proceso matemático para encontrar el área bajo una curva, que puede representar el cambio en una cantidad. |
| Teatro-derivación | Proceso matemático para encontrar la tasa de cambio instantánea de una función. |
| Teatro-cálculo | Rama de las matemáticas que trata con tasas de cambio y acumulación de cantidades. |
| Interacción fuerte | La fuerza más fuerte de la naturaleza, que mantiene unidos los núcleos atómicos. |
| Interacción débil | Interacción fundamental responsable de la desintegración beta y otros procesos de partículas subatómicas. |
| Interacción electromagnética | Interacción entre partículas cargadas eléctricamente. |
| Interacción gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa. |
| Teoría electrodébil | Teoría unificada que describe las interacciones electromagnética y débil. |
| Teoría del todo (TOE) | Hipotética teoría que unificaría las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. |
| Teatro-magnitud | El tamaño o la cantidad de una cantidad vectorial. |
| Teatro-dirección | La orientación espacial de una cantidad vectorial. |
| Teatro-componentes | Las proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. |
| Teatro-derivada | Razón instantánea de cambio de una función con respecto a su variable independiente. |
| Teatro-integral | Proceso matemático para encontrar el área bajo una curva, que puede representar el cambio en una cantidad. |
| Teatro-vector unitario | Vector con magnitud 1 que indica una dirección. Comúnmente denotado con un acento circunflejo (ej. $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$). |
| Teatro-producto escalar | Operación entre dos vectores que produce un escalar, igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$). |
| Teatro-producto vectorial | Operación entre dos vectores que produce otro vector, perpendicular al plano de los vectores originales, cuya magnitud es el producto de sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta \hat{n}$). |
| Teatro-ley conmutativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el orden de los operandos no altera el resultado ($a + b = b + a$). |
| Teatro-ley asociativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el agrupamiento de los operandos no altera el resultado ($(a + b) + c = a + (b + c)$). |
| Teatro-antiparalelos | Vectores que tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. |
| Teatro-sistema de coordenadas cartesianas | Sistema de coordenadas rectangular con ejes mutuamente perpendiculares (x, y, z). |
| Teatro-teorema de Pitágoras | Relación entre los lados de un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$). |
| Teatro-trigonometría | Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. |
| Teatro-función tangente inversa (arctan) | Función que devuelve el ángulo cuya tangente es un valor dado. |
| Teatro-plano xy | Plano formado por los ejes x e y en un sistema de coordenadas cartesiano. |
| Teatro-paralelogramo | Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. |
| Teatro-aceleración centrípeta | Componente de la aceleración que apunta hacia el centro de una trayectoria circular. |
| Teatro-aceleración tangencial | Componente de la aceleración que es paralela a la velocidad y cambia la rapidez del objeto. |
| Teatro-velocidad relativa | Velocidad de un objeto medida con respecto a otro objeto o marco de referencia. |
| Teatro-marco de referencia | Sistema de coordenadas junto con una escala de tiempo para describir el movimiento de un objeto. |
| Teatro-marco de referencia inercial | Sistema de referencia en el cual la primera ley de Newton es válida; es decir, no está acelerado. |
| Teatro-inercia | Propiedad de la materia que resiste los cambios en su estado de movimiento. |
| Teatro-torca | Momento de fuerza, una cantidad vectorial que describe el efecto de giro de una fuerza. |
| Teatro-momento angular | Medida de la cantidad de movimiento rotacional de un objeto. |
| Teatro-gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa, descrita por la ley de gravitación universal de Newton. |
| Teatro-electromagnético | Interacción entre partículas cargadas eléctricamente, que incluye fuerzas eléctricas y magnéticas. |
| Teatro-nuclear fuerte | Fuerza fundamental que mantiene unidos los nucleones (protones y neutrones) en el núcleo atómico. |
| Teatro-nuclear débil | Fuerza fundamental responsable de ciertos procesos de desintegración radiactiva, como el decaimiento beta. |
| Teatro-decaimiento beta | Proceso radiactivo donde un neutrón en un núcleo atómico se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino. |
| Teatro-teoría electrodébil | Teoría unificada que describe las interacciones electromagnética y débil. |
| Teatro-teoría del todo (TOE) | Hipotético marco teórico que unificaría las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. |
| Teatro-magnitud | El tamaño o la cantidad de una cantidad vectorial. |
| Teatro-dirección | La orientación espacial de una cantidad vectorial. |
| Teatro-componentes | Las proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. |
| Teatro-vector unitario | Vector con magnitud 1 que indica una dirección. Comúnmente denotado con un acento circunflejo (ej. $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$). |
| Teatro-producto escalar | Operación entre dos vectores que produce un escalar, igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$). |
| Teatro-producto vectorial | Operación entre dos vectores que produce otro vector, perpendicular al plano de los vectores originales, cuya magnitud es el producto de sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta \hat{n}$). |
| Teatro-ley conmutativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el orden de los operandos no altera el resultado ($a + b = b + a$). |
| Teatro-ley asociativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el agrupamiento de los operandos no altera el resultado ($(a + b) + c = a + (b + c)$). |
| Teatro-antiparalelos | Vectores que tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. |
| Teatro-sistema de coordenadas cartesianas | Sistema de coordenadas rectangular con ejes mutuamente perpendiculares (x, y, z). |
| Teatro-teorema de Pitágoras | Relación entre los lados de un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$). |
| Teatro-trigonometría | Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. |
| Teatro-función tangente inversa (arctan) | Función que devuelve el ángulo cuya tangente es un valor dado. |
| Teatro-plano xy | Plano formado por los ejes x e y en un sistema de coordenadas cartesiano. |
| Teatro-paralelogramo | Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. |
| Teatro-aceleración centrípeta | Componente de la aceleración que apunta hacia el centro de una trayectoria circular. |
| Teatro-aceleración tangencial | Componente de la aceleración que es paralela a la velocidad y cambia la rapidez del objeto. |
| Teatro-velocidad relativa | Velocidad de un objeto medida con respecto a otro objeto o marco de referencia. |
| Teatro-marco de referencia | Sistema de coordenadas junto con una escala de tiempo para describir el movimiento de un objeto. |
| Teatro-marco de referencia inercial | Sistema de referencia en el cual la primera ley de Newton es válida; es decir, no está acelerado. |
| Teatro-inercia | Propiedad de la materia que resiste los cambios en su estado de movimiento. |
| Teatro-torca | Momento de fuerza, una cantidad vectorial que describe el efecto de giro de una fuerza. |
| Teatro-momento angular | Medida de la cantidad de movimiento rotacional de un objeto. |
| Teatro-gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa, descrita por la ley de gravitación universal de Newton. |
| Teatro-electromagnético | Interacción entre partículas cargadas eléctricamente, que incluye fuerzas eléctricas y magnéticas. |
| Teatro-nuclear fuerte | Fuerza fundamental que mantiene unidos los nucleones (protones y neutrones) en el núcleo atómico. |
| Teatro-nuclear débil | Fuerza fundamental responsable de ciertos procesos de desintegración radiactiva, como el decaimiento beta. |
| Teatro-decaimiento beta | Proceso radiactivo donde un neutrón en un núcleo atómico se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino. |
| Teatro-teoría electrodébil | Teoría unificada que describe las interacciones electromagnética y débil. |
| Teatro-teoría del todo (TOE) | Hipotético marco teórico que unificaría las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. |
| Teatro-magnitud | El tamaño o la cantidad de una cantidad vectorial. |
| Teatro-dirección | La orientación espacial de una cantidad vectorial. |
| Teatro-componentes | Las proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. |
| Teatro-derivada | Razón instantánea de cambio de una función con respecto a su variable independiente. |
| Teatro-integral | Proceso matemático para encontrar el área bajo una curva, que puede representar el cambio en una cantidad. |
| Teatro-vector unitario | Vector con magnitud 1 que indica una dirección. Comúnmente denotado con un acento circunflejo (ej. $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$). |
| Teatro-producto escalar | Operación entre dos vectores que produce un escalar, igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$). |
| Teatro-producto vectorial | Operación entre dos vectores que produce otro vector, perpendicular al plano de los vectores originales, cuya magnitud es el producto de sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta \hat{n}$). |
| Teatro-ley conmutativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el orden de los operandos no altera el resultado ($a + b = b + a$). |
| Teatro-ley asociativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el agrupamiento de los operandos no altera el resultado ($(a + b) + c = a + (b + c)$). |
| Teatro-antiparalelos | Vectores que tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. |
| Teatro-sistema de coordenadas cartesianas | Sistema de coordenadas rectangular con ejes mutuamente perpendiculares (x, y, z). |
| Teatro-teorema de Pitágoras | Relación entre los lados de un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$). |
| Teatro-trigonometría | Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. |
| Teatro-función tangente inversa (arctan) | Función que devuelve el ángulo cuya tangente es un valor dado. |
| Teatro-plano xy | Plano formado por los ejes x e y en un sistema de coordenadas cartesiano. |
| Teatro-paralelogramo | Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. |
| Teatro-aceleración centrípeta | Componente de la aceleración que apunta hacia el centro de una trayectoria circular. |
| Teatro-aceleración tangencial | Componente de la aceleración que es paralela a la velocidad y cambia la rapidez del objeto. |
| Teatro-velocidad relativa | Velocidad de un objeto medida con respecto a otro objeto o marco de referencia. |
| Teatro-marco de referencia | Sistema de coordenadas junto con una escala de tiempo para describir el movimiento de un objeto. |
| Teatro-marco de referencia inercial | Sistema de referencia en el cual la primera ley de Newton es válida; es decir, no está acelerado. |
| Teatro-inercia | Propiedad de la materia que resiste los cambios en su estado de movimiento. |
| Teatro-torca | Momento de fuerza, una cantidad vectorial que describe el efecto de giro de una fuerza. |
| Teatro-momento angular | Medida de la cantidad de movimiento rotacional de un objeto. |
| Teatro-gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa, descrita por la ley de gravitación universal de Newton. |
| Teatro-electromagnético | Interacción entre partículas cargadas eléctricamente, que incluye fuerzas eléctricas y magnéticas. |
| Teatro-nuclear fuerte | Fuerza fundamental que mantiene unidos los nucleones (protones y neutrones) en el núcleo atómico. |
| Teatro-nuclear débil | Fuerza fundamental responsable de ciertos procesos de desintegración radiactiva, como el decaimiento beta. |
| Teatro-decaimiento beta | Proceso radiactivo donde un neutrón en un núcleo atómico se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino. |
| Teatro-teoría electrodébil | Teoría unificada que describe las interacciones electromagnética y débil. |
| Teatro-teoría del todo (TOE) | Hipotético marco teórico que unificaría las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. |
| Teatro-magnitud | El tamaño o la cantidad de una cantidad vectorial. |
| Teatro-dirección | La orientación espacial de una cantidad vectorial. |
| Teatro-componentes | Las proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. |
| Teatro-derivada | Razón instantánea de cambio de una función con respecto a su variable independiente. |
| Teatro-integral | Proceso matemático para encontrar el área bajo una curva, que puede representar el cambio en una cantidad. |
| Teatro-vector unitario | Vector con magnitud 1 que indica una dirección. Comúnmente denotado con un acento circunflejo (ej. $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$). |
| Teatro-producto escalar | Operación entre dos vectores que produce un escalar, igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$). |
| Teatro-producto vectorial | Operación entre dos vectores que produce otro vector, perpendicular al plano de los vectores originales, cuya magnitud es el producto de sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta \hat{n}$). |
| Teatro-ley conmutativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el orden de los operandos no altera el resultado ($a + b = b + a$). |
| Teatro-ley asociativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el agrupamiento de los operandos no altera el resultado ($(a + b) + c = a + (b + c)$). |
| Teatro-antiparalelos | Vectores que tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. |
| Teatro-sistema de coordenadas cartesianas | Sistema de coordenadas rectangular con ejes mutuamente perpendiculares (x, y, z). |
| Teatro-teorema de Pitágoras | Relación entre los lados de un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$). |
| Teatro-trigonometría | Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. |
| Teatro-función tangente inversa (arctan) | Función que devuelve el ángulo cuya tangente es un valor dado. |
| Teatro-plano xy | Plano formado por los ejes x e y en un sistema de coordenadas cartesiano. |
| Teatro-paralelogramo | Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. |
| Teatro-aceleración centrípeta | Componente de la aceleración que apunta hacia el centro de una trayectoria circular. |
| Teatro-aceleración tangencial | Componente de la aceleración que es paralela a la velocidad y cambia la rapidez del objeto. |
| Teatro-velocidad relativa | Velocidad de un objeto medida con respecto a otro objeto o marco de referencia. |
| Teatro-marco de referencia | Sistema de coordenadas junto con una escala de tiempo para describir el movimiento de un objeto. |
| Teatro-marco de referencia inercial | Sistema de referencia en el cual la primera ley de Newton es válida; es decir, no está acelerado. |
| Teatro-inercia | Propiedad de la materia que resiste los cambios en su estado de movimiento. |
| Teatro-torca | Momento de fuerza, una cantidad vectorial que describe el efecto de giro de una fuerza. |
| Teatro-momento angular | Medida de la cantidad de movimiento rotacional de un objeto. |
| Teatro-gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa, descrita por la ley de gravitación universal de Newton. |
| Teatro-electromagnético | Interacción entre partículas cargadas eléctricamente, que incluye fuerzas eléctricas y magnéticas. |
| Teatro-nuclear fuerte | Fuerza fundamental que mantiene unidos los nucleones (protones y neutrones) en el núcleo atómico. |
| Teatro-nuclear débil | Fuerza fundamental responsable de ciertos procesos de desintegración radiactiva, como el decaimiento beta. |
| Teatro-decaimiento beta | Proceso radiactivo donde un neutrón en un núcleo atómico se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino. |
| Teatro-teoría electrodébil | Teoría unificada que describe las interacciones electromagnética y débil. |
| Teatro-teoría del todo (TOE) | Hipotético marco teórico que unificaría las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. |
| Teatro-magnitud | El tamaño o la cantidad de una cantidad vectorial. |
| Teatro-dirección | La orientación espacial de una cantidad vectorial. |
| Teatro-componentes | Las proyecciones de un vector sobre los ejes de un sistema de coordenadas. |
| Teatro-derivada | Razón instantánea de cambio de una función con respecto a su variable independiente. |
| Teatro-integral | Proceso matemático para encontrar el área bajo una curva, que puede representar el cambio en una cantidad. |
| Teatro-vector unitario | Vector con magnitud 1 que indica una dirección. Comúnmente denotado con un acento circunflejo (ej. $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$). |
| Teatro-producto escalar | Operación entre dos vectores que produce un escalar, igual al producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$). |
| Teatro-producto vectorial | Operación entre dos vectores que produce otro vector, perpendicular al plano de los vectores originales, cuya magnitud es el producto de sus magnitudes por el seno del ángulo entre ellos ($\vec{A} \times \vec{B} = AB\sin\theta \hat{n}$). |
| Teatro-ley conmutativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el orden de los operandos no altera el resultado ($a + b = b + a$). |
| Teatro-ley asociativa | Propiedad de una operación (como la suma) donde el agrupamiento de los operandos no altera el resultado ($(a + b) + c = a + (b + c)$). |
| Teatro-antiparalelos | Vectores que tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. |
| Teatro-sistema de coordenadas cartesianas | Sistema de coordenadas rectangular con ejes mutuamente perpendiculares (x, y, z). |
| Teatro-teorema de Pitágoras | Relación entre los lados de un triángulo rectángulo: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa ($a^2 + b^2 = c^2$). |
| Teatro-trigonometría | Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. |
| Teatro-función tangente inversa (arctan) | Función que devuelve el ángulo cuya tangente es un valor dado. |
| Teatro-plano xy | Plano formado por los ejes x e y en un sistema de coordenadas cartesiano. |
| Teatro-paralelogramo | Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. |
| Teatro-aceleración centrípeta | Componente de la aceleración que apunta hacia el centro de una trayectoria circular. |
| Teatro-aceleración tangencial | Componente de la aceleración que es paralela a la velocidad y cambia la rapidez del objeto. |
| Teatro-velocidad relativa | Velocidad de un objeto medida con respecto a otro objeto o marco de referencia. |
| Teatro-marco de referencia | Sistema de coordenadas junto con una escala de tiempo para describir el movimiento de un objeto. |
| Teatro-marco de referencia inercial | Sistema de referencia en el cual la primera ley de Newton es válida; es decir, no está acelerado. |
| Teatro-inercia | Propiedad de la materia que resiste los cambios en su estado de movimiento. |
| Teatro-torca | Momento de fuerza, una cantidad vectorial que describe el efecto de giro de una fuerza. |
| Teatro-momento angular | Medida de la cantidad de movimiento rotacional de un objeto. |
| Teatro-gravitacional | Fuerza de atracción entre objetos con masa, descrita por la ley de gravitación universal de Newton. |
| Teatro-electromagnético | Interacción entre partículas cargadas eléctricamente, que incluye fuerzas eléctricas y magnéticas. |
| Teatro-nuclear fuerte | Fuerza fundamental que mantiene unidos los nucleones (protones y neutrones) en el núcleo atómico. |
| Teatro-nuclear débil | Fuerza fundamental responsable de ciertos procesos de desintegración radiactiva, como el decaimiento beta. |
| Teatro-decaimiento beta | Proceso radiactivo donde un neutrón en un núcleo atómico se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino. |
| Teatro-teoría electrodébil | Teoría unificada que describe las interacciones electromagnética y débil. |
| Teatro-teoría del todo (TOE) | Hipotético marco teórico que unificaría las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza. |
Cover
M_V.pdf
Summary
# Methode van scheiding der variabelen voor Laplace's vergelijking
### Kernidee
* De methode van scheiding der variabelen is een techniek om partiële differentiaalvergelijkingen, zoals Laplace's vergelijking, op te lossen door ze te ontbinden in eenvoudigere gewone differentiaalvergelijkingen.
* Dit principe wordt toegepast in de context van de microscopische en macroscopische Maxwell-vergelijkingen.
* De methode is bijzonder nuttig voor het oplossen van stationaire veldproblemen in specifieke coördinatensystemen.
### Sleutelbegrippen
* **Microscopische velden (e, b):** Velden gedefinieerd door de Lorentz-krachtwet op geladen deeltjes [9](#page=9).
* **Macroscopische velden (E, B):** Gemiddelde waarden van de microscopische velden, beschouwd als continue media [11](#page=11).
* **Potentiëlen (A, V):** Scalaire (V) en vector (A) potentialen die de elektrische (E) en magnetische (B) velden representeren, met als doel de Maxwell-vergelijkingen te vereenvoudigen [17](#page=17).
* Relatie: $B = \nabla \times A$ [17](#page=17).
* Relatie: $E + \frac{\partial A}{\partial t} = -\nabla V$ [18](#page=18).
* **Lorentz-ijkvoorwaarde:** Een voorwaarde die wordt opgelegd aan de potentialen ($ \nabla \cdot A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0 $) om de golfvergelijkingen voor V en A te scheiden [18](#page=18).
* **Golfvergelijkingen:**
* $ \nabla^2 A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} = -\mu_0 J_L $ [18](#page=18).
* $ \nabla^2 V - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{\rho_L}{\epsilon_0} $ [18](#page=18).
* **Stationaire velden (tijdsonafhankelijk):** Een benadering waarbij de tijdsafgeleiden in de golfvergelijkingen verwaarloosd kunnen worden, resulterend in de Laplace- of Poisson-vergelijkingen [18](#page=18).
* $ \nabla^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho_L $ [19](#page=19).
* $ \nabla^2 A = -\mu_0 J_L $ [19](#page=19).
* **Multipoolontwikkeling:** Een methode om de potentiaal van een compacte ladingsverdeling te benaderen als een reeks termen die gerelateerd zijn aan de totale lading, dipoolmoment, etc. [21](#page=21).
### Sleutelfeiten
* De microscopische Maxwell-vergelijkingen zijn:
* $ \nabla \times e = -\frac{\partial b}{\partial t} $ [10](#page=10).
* $ \nabla \cdot \epsilon_0 e = \eta $ [10](#page=10).
* $ \nabla \times \frac{b}{\mu_0} = \frac{\partial \epsilon_0 e}{\partial t} + j $ [10](#page=10).
* $ \nabla \cdot b = 0 $ [10](#page=10).
* De macroscopische Maxwell-vergelijkingen zijn:
* $ \nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t} $ [12](#page=12).
* $ \nabla \cdot \epsilon_0 E = \rho_L $ [12](#page=12).
* $ \nabla \times \frac{B}{\mu_0} = \frac{\partial \epsilon_0 E}{\partial t} + J_L $ [12](#page=12).
### Implicaties
### Oefening
---
## Magnetische multipoolmomenten
### Magnetisch moment van een stroomverdeling
* De vectorpotentiaal van een compacte stroomverdeling kan uitgedrukt worden in termen van een reeksontwikkeling van de Green's functie [25](#page=25).
* Voor een stationaire stroomverdeling (∇ · J = 0) is de eerste term in de potentiaalontwikkeling nul [25](#page=25).
* De eerste significante term voor de vectorpotentiaal van een stationaire stroomverdeling is gerelateerd aan het magnetisch moment [26](#page=26).
* Het magnetisch moment van een stroomverdeling wordt gedefinieerd als:
- $$m = \frac{1}{2} \int \mathbf{r} \times \mathbf{J}(\mathbf{r}) dv$$ [26](#page=26)
* $\mu_0 \mathbf{m}$ wordt vaak het magnetisch dipoolmoment genoemd [26](#page=26).
* De vectorpotentiaal van een stationaire stroomverdeling is in eerste orde:
- $$A = -\mu_0 \mathbf{m} \times \nabla G_3(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^3}$$ [26](#page=26)
* Voor een discrete stroomverdeling wordt het magnetisch moment gegeven door:
- $$m = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \mathbf{v}_i$$ [26](#page=26)
* Het magnetisch (dipool)moment van een atoom is gerelateerd aan zijn draaimoment:
- $$m = -\frac{e}{2m_e} L$$ [26](#page=26)
* Hierin is $L$ het interne draaimoment van het atoom en $m_e$ de massa van het elektron [26](#page=26).
* Kwantummechanica stelt dat het draaimoment gekwantiseerd is met $\hbar = h / (2\pi)$ als fundamentele eenheid [27](#page=27).
* Magnetische momenten worden gemeten als veelvouden van het Bohr-magneton:
- $$\mu_B = \frac{\hbar e}{2m_e} = 9
- 274 \times 10^{-24} J/T$$ [27](#page=27)
* Naast het baanmoment ($L$) vertonen bouwstenen ook een spinmoment ($S$). Het totale draaimoment ($J$) resulteert in een magnetisch dipoolmoment:
- $$m \approx -g_e \frac{e}{2m_e} J$$ [27](#page=27)
- waarbij $g_e$ een waarde tussen 1 en 2 kan aannemen [27](#page=27)
### Veld van een elementaire magnetische dipool
* Het prototype van een magnetische dipool is een kleine vlakke stroomkring [27](#page=27).
* Het magnetisch moment van een vlakke kring met stroom $i$ en gerichte oppervlakte $a$ is:
- $$m = ia$$ [27](#page=27)
* Een elementaire magnetische dipool wordt verkregen door de stroom naar oneindig te laten gaan en de straal naar nul, terwijl het moment constant blijft [28](#page=28).
* De vectorpotentiaal van een elementaire magnetische dipool is exact gelijk aan de eerste term van de reeksontwikkeling [28](#page=28).
---
## Elektrostatishe randvoorwaardenproblemen
* Elektrostatische problemen worden opgelost door de continuïteit van de potentiaal en de sprongcondities voor de elektrische verplaatsing te respecteren aan grensvlakken.
* De potentiaal voldoet aan de Laplace-vergelijking ($\nabla^2 V = 0$) in ladingsvrije gebieden en aan de Poisson-vergelijking ($\nabla^2 V = -\rho/\epsilon$) in gebieden met lading.
### Belangrijke feiten
* Voor elk stationair elektrisch veld geldt $\nabla \times E = 0$ [49](#page=49).
* Dit impliceert dat het elektrische veld uitgedrukt kan worden als $E = -\nabla V$ [49](#page=49).
* De geleiders moeten $E=0$ hebben om te voorkomen dat $J \neq 0$ [49](#page=49).
* Oppervlakken van geleiders zijn equipotentiaalvlakken [49](#page=49).
* De ladingsdichtheid $\rho$ in diëlektrica moet worden opgegeven [49](#page=49).
* Voor lineaire materialen geldt $D = \epsilon E$, waarbij $\epsilon$ een constante (tensor) is die plaatsafhankelijk kan zijn [50](#page=50).
* De diëlektrische tensor is symmetrisch en positief definiet, wat betekent dat $E \cdot D = E \cdot \epsilon E \geq 0$ [50](#page=50).
* In uniforme, lineaire en isotrope media reduceert de vergelijking tot de Poisson-vergelijking: $\nabla^2 V = -\rho/\epsilon$ [50](#page=50).
* In ladingsvrije gebieden voldoet de potentiaal aan de Laplace-vergelijking: $\nabla^2 V = 0$ [50](#page=50).
### Belangrijke concepten
* **Sprongcondities:** Aan scheidingsvlakken tussen verschillende diëlektrica gelden de volgende condities:
* $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 = 0$ (continuïteit van de tangentiële component van E) [50](#page=50).
* Dit is equivalent aan de continuïteit van de potentiaal ($V_1 = V_2$) [51](#page=51).
* $n_1 \cdot D_1 + n_2 \cdot D_2 = \pi$ (Continuïteit van de normale component van D) [50](#page=50).
* **Geleideroppervlakken:**
* $n \times E = 0$ (Elektrisch veld staat loodrecht op geleideroppervlak) [51](#page=51).
* $n \cdot D = -\epsilon \frac{\partial V}{\partial n} = \pi$ (Toelaat de bepaling van de oppervlakteladingsdichtheid) [51](#page=51).
* **Eenduidigheidsstelling:** Een elektrostatisch probleem heeft een unieke oplossing als op de randen en geleiders:
* Ofwel de potentiaal is vastgelegd.
* Ofwel de totale lading is vastgelegd [52](#page=52).
* **Beeldladingen:** Een methode om randvoorwaarden op geleidende vlakken te voldoen door fictieve ladingen te introduceren.
* **Capaciteitscoëfficiënten:** Beschrijven de lineaire relatie tussen ladingen op geleiders en hun potentialen: $Q_i = \sum_j k_{ij} V_j$. Deze zijn symmetrisch: $C_{ij} = C_{ji}$ [55](#page=55).
* De eenduidigheidsstelling verklaart de afschermende werking van holle geleiders [53](#page=53).
* De methode van beeldladingen vereenvoudigt berekeningen voor specifieke geometrieën [53](#page=53).
### Voorbeeld
---
## Stationaire velden en magnetostatica
### Conductantiecoëfficiënten
* Conductantiecoëfficiënten ($G_{ij}$) beschrijven de stroom ($I_i$) uitgedrukt in potentialen ($V_i$) voor lineaire, isotrope media [59](#page=59).
* De formule is: $I_i = \sum_{j \neq i} G_{ij}(V_i - V_j) + G_{i\infty}V_i$ [59](#page=59).
* Ze zijn niet-negatief en symmetrisch ($G_{ij} = G_{ji}$) [59](#page=59).
* Een geleidend pad tussen twee geleiders is vereist voor een niet-nul conductantiecoëfficiënt [59](#page=59).
### Weerstand model
* Een cilindrische weerstand met geleidbaarheid $\sigma$ en elektroden op de eindvlakken kan gemodelleerd worden [60](#page=60).
* De conductantie voor een cilinder is $G = \sigma S / d$, waarbij $S$ de doorsnede-oppervlakte is [60](#page=60).
* Dit resultaat geldt voor elke willekeurige doorsnede [60](#page=60).
* De wet van Ohm relateert potentiaalverschil en stroom: $V_1 - V_2 = RI$ [60](#page=60).
### Ladingsdichtheid en elektrostische velden
* Ladingsdichtheid kan achteraf bepaald worden met $\rho = \nabla \cdot D$ [61](#page=61).
* In uniforme isotrope gebieden is $\rho = 0$, en ladingen bevinden zich op scheidingsvlakken [61](#page=61).
* Velden buiten geleidende gebieden kunnen opgelost worden als een elektrostatisch probleem [61](#page=61).
### Eindige elementen methode (FEM)
* FEM is een numerieke methode voor gedetailleerde oplossingen van praktische veldproblemen [61](#page=61).
* Het lost de differentiaalvergelijking $-\nabla \cdot (\epsilon \nabla \phi) = \rho$ op met randvoorwaarden [61](#page=61).
* **Zwakke formulering:** Vermenigvuldigt de vergelijking met een testfunctie $\psi$ en integreert over het gebied [62](#page=62).
* Dit reduceert de orde van de afgeleiden, waardoor eenvoudige basisfuncties mogelijk zijn [62](#page=62).
* De zwakke formulering resulteert in een lineair stelsel $A_{ij}c_j = B_i$ [63](#page=63).
* De elementen van de matrix $A$ worden berekend met integralen zoals $\int_{\Omega} \epsilon \nabla \psi_i \cdot \nabla \psi_j \, dV$ [63](#page=63).
### Magnetostatica
* Magnetostatica berekent magnetische velden en inductie uit stationaire stromen [65](#page=65).
* Velden voldoen aan $\nabla \cdot B = 0$ en $\nabla \times H = J$ [65](#page=65).
* Sprongcondities voor magnetische velden zijn: $n_1 \cdot B_1 + n_2 \cdot B_2 = 0$ en $n_1 \times H_1 + n_2 \times H_2 = K$ [65](#page=65).
* De magnetische inductie kan worden afgeleid van een vectorpotentiaal: $B = \nabla \times A$ [65](#page=65).
* Met de Coulomb-ijk is $\nabla \cdot A = 0$, en $A$ is continu aan scheidingsvlakken [65](#page=65).
### D Magnetostatica
* Voor 2D-problemen met translatiesymmetrie geldt $\nabla^2_\perp A_z = -\mu J_z$ [67](#page=67).
* Aan scheidingsvlakken geldt continuïteit van $A_z$: $A_{z1} = A_{z2}$ [67](#page=67).
* De tweede continuïteitsvoorwaarde is: $\nu_1 \frac{\partial A_{z1}}{\partial n_1} + \nu_2 \frac{\partial A_{z2}}{\partial n_2} = -K_z$ [67](#page=67).
### Magnetische scalaire potentiaal
### Magnetische netwerken
### Inductiecoëfficiënten
---
## Quasi-stationaire velden
### Elektro-quasi-statica (EQS)
* De elektro-quasi-statische benadering (EQS) wordt gebruikt wanneer de dimensies van een object klein zijn ten opzichte van de golflengte, waardoor de voortplanting van elektromagnetische storingen als ogenblikkelijk wordt beschouwd [78](#page=78).
* In EQS wordt de tijdsafgeleide van de magnetische inductie in de wet van Faraday verwaarloosd [78](#page=78).
* De wetten van elektrostatica blijven benaderend geldig: $\nabla \times E \approx 0$ en $E = -\nabla V$ [79](#page=79).
* De bijbehorende sprongcondities zijn: $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 \approx 0$ en $n_1 \cdot D_1 + n_2 \cdot D_2 = \pi$ [80](#page=80).
* De wet van behoud van lading is: $\nabla \cdot J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ [80](#page=80).
* In geleiders geldt dat ladingsdichtheid $\rho = 0$ en lading enkel voorkomt als oppervlaktelading op grensvlakken [78](#page=78).
* Voor een condensator geldt: $Q(t) = \pm CV(t)$ en $I(t) = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dV}{dt}$ [80](#page=80).
* Dit kan worden voorgesteld door een "capaciteitsnetwerk" met gegeneraliseerde ladingen $Q_i(t) = \sum_{j \neq i} C_{ij}[V_i(t) - V_j(t)] + C_{i\infty}V_i(t)$ [80](#page=80).
* De benadering is geldig zolang de afmetingen van de condensator klein zijn ten opzichte van de golflengte [81](#page=81).
* Voor bewegende media in EQS geldt $J = \sigma E + v \rho$ [84](#page=84).
* De tangentiële component van het elektrisch veld blijft continu aan een bewegend grensvlak: $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 \approx 0$ [86](#page=86).
### Magneto-quasi-statica (MQS)
* De magneto-quasi-statische benadering (MQS) wordt gebruikt wanneer de tijdsafgeleide van de elektrische inductie in de wet van Ampère verwaarloosd wordt [86](#page=86).
* De wetten van magnetostatica blijven benaderend geldig: $\nabla \times H \approx J$ en $\nabla \cdot B = 0$ [87](#page=87).
* De bijbehorende sprongcondities zijn: $n_1 \times H_1 + n_2 \times H_2 \approx K$ en $n_1 \cdot B_1 + n_2 \cdot B_2 = 0$ [87](#page=87).
* Ladingsophoping kan verwaarloosd worden: $\nabla \cdot J \approx 0$ en $n_1 \cdot J_1 + n_2 \cdot J_2 + \nabla_s \cdot K \approx 0$ [87](#page=87).
* De wet van Faraday $\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$ moet wel meegenomen worden [87](#page=87).
* Het elektrisch veld kan opgesplitst worden in een geïnduceerd veld $E_i = -\frac{\partial A}{\partial t}$ en een elektrostatisch veld $E_e = -\nabla V$ [88](#page=88).
* Diffusie van het magnetisch veld in een geleider wordt beschreven door de diffusievergelijking: $\nabla^2 H = \sigma \mu \frac{\partial H}{\partial t}$ [92](#page=92).
### Ladingsrelaxatie
* In een uniform, lineair medium met $\sigma$ en $\epsilon$, vervalt een ladingsdichtheid met de tijdconstante $\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}$ (relaxatietijd) [78](#page=78).
* Voor goede geleiders is $\tau$ kort, dus lading is voornamelijk aan grensvlakken [78](#page=78).
* Voor zeer slechte geleiders $(\sigma \approx 0)$ geldt $\nabla \cdot E = 0$ [78](#page=78).
* In een weerstand kan de aanpassing van lading aan wisselende spanning worden voorgesteld door een parallelle condensator met tijdconstante $\tau = RC = \frac{\epsilon}{\sigma}$ [82](#page=82).
---
## Beweegbare media in het quasi-stationaire regime
* Invoering van bewegende media in het Quasi-Stationair (MQS) regime, wat cruciaal is voor toepassingen zoals elektrische machines en magnetohydrodynamica [98](#page=98).
* Focus op de transformatieformules en de daaruit voortvloeiende constitutieve vergelijkingen voor deze bewegende media [98](#page=98) [99](#page=99).
* Opstellen van de integrale wet van Faraday voor bewegende kringen [99](#page=99).
* Niet-relativistische transformatieformules voor MQS-systemen vereenvoudigen door D, P, en $\rho$ te verwaarlozen, wat leidt tot een significante transformatie van het elektrisch veld [98](#page=98) [99](#page=99).
* De constitutieve vergelijking voor een bewegend magnetisch materiaal blijft onveranderd ten opzichte van een stilstaand materiaal [99](#page=99).
* De constitutieve vergelijking voor een bewegende geleider is significant anders dan voor een stilstaande geleider [99](#page=99).
* De algemene vorm van de integrale wet van Faraday voor een bewegende kring is $\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = -\oint_C (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$ [99](#page=99).
* Voor een oppervlak dat vastgehecht is aan de materie, vereenvoudigt de wet van Faraday tot $-\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$ [99](#page=99).
* Bewegende kringen in een MQS-systeem kunnen worden voorgesteld met een equivalent schema met weerstand en inductantie, waarbij tijdsafhankelijke inductiecoëfficiënten de bewegings-EMK vertegenwoordigen [100](#page=100).
* De sprongconditie voor het elektrisch veld aan een bewegend grensvlak is $\mathbf{J}_n \cdot (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) = 0$ .
* **Constitutieve vergelijkingen voor bewegende media:** Deze vergelijkingen beschrijven het gedrag van materialen onder invloed van elektromagnetische velden wanneer ze bewegen [99](#page=99).
- **Integrale wet van Faraday voor bewegende kringen:** Een veralgemening van de wet van Faraday die rekening houdt met zowel de tijdsverandering van de magnetische flux als de beweging van de
* **Transformatieformules:** Deze formules beschrijven hoe elektrische en magnetische grootheden veranderen wanneer men overstapt van het ene inertiële referentiekader naar het andere, met name in het MQS-regime [98](#page=98).
* **Bewegings-EMK:** De elektromotorische kracht die wordt geïnduceerd als gevolg van de beweging van een geleider in een magnetisch veld [100](#page=100).
* **Conjugaat-afgeleide:** Een afgeleide die rekening houdt met zowel de tijdsverandering als de beweging van het medium, cruciaal voor het beschrijven van gepolariseerde media .
* Het begrip bewegende media is essentieel voor het correct analyseren van elektromagnetische verschijnselen in dynamische systemen zoals roterende machines [98](#page=98).
* De aangepaste constitutieve vergelijkingen voor bewegende geleiders hebben directe gevolgen voor de analyse van MQS-systemen [99](#page=99).
* De algemene vorm van de wet van Faraday maakt het mogelijk om EMK's te berekenen in complexere scenario's met bewegende circuits [99](#page=99).
* Het model met de bewegings-EMK in inductieve circuits verklaart de werking van elektrische generatoren en motoren [100](#page=100).
* De sprongcondities voor bewegende grensvlakken zijn cruciaal voor het bepalen van velden op de interfaces tussen verschillende media .
- > **Voorbeeld:** Een vlakke strook met $n$ wikkelingen en stroom $I$ beweegt met snelheid $v$ in een magneetveld $B_0$
- Het magneetveld wordt opgewekt in de spleet van een magnetisch circuit
- De totale flux gekoppeld met de bewegende kring wordt gegeven door $\Phi = n^2I\mu_0\frac{x_0}{\delta} + n_0nI_0\mu_0\frac{x_0}{\delta}$
- De EMK volgt hieruit via $\frac{d\Phi}{dt}$ [100](#page=100)
---
## Elektromagnetische koppeling en energiedichtheid
- In deze sectie wordt de relatie tussen microscopische en macroscopische grootheden voor polarisatie en magnetisatie verder uitgediept, met de focus op de energiedichtheden en het principe van virtuele arbeid
### Cruciale concepten en definities
- **Lorentz-veld ($E_{loc}$):** Het lokale elektrische veld in een medium wordt gegeven door $E_{loc} = E + \frac{P}{3\epsilon_0} + E_{kristal}$, waarbij $E$ het macroscopische veld is, $\frac{P}{3\epsilon_0}$ het gemiddelde veld van de gepolariseerde sfeer (Lorentz-veld) en $E_{kristal}$
* **Polarisatie-energie dichtheid ($w_P$):** De arbeid geleverd aan een verliesloos diëlektricum door het elektrische veld is een totale differentiaal: $E \cdot dP = dw_P$. Dit impliceert een eenduidig verband tussen $P$ en $E$ .
* **Magnetisatie-energie dichtheid ($w_M$):** Analoog aan polarisatie, voor magnetische materialen: $-M \cdot dB = dw_M$ .
* **Helmholtz vrije energie:** $w_P = P \cdot E - w'_P$ .
* **Gibbs vrije energie:** $w'_P$ draagt bij aan de Gibbs vrije energie .
* **Elektromagnetische energie dichtheid ($w_{EM}$):** Gedefinieerd als $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$ .
* **Elektromagnetische energiestroom ($J_{EM}$):** Gedefinieerd als $J_{EM} = E \times H - v(P \cdot E) = S - v(P \cdot E)$ .
### Belangrijke relaties en formules
* **Relatie tussen polarisatie en lokale veldsterkte:** Voor niet te grote velden is het geïnduceerde dipoolmoment evenredig met het lokale veld: $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$ .
* **Polarisatie-energie dichtheid als functie van P en E:**
* $w_P = \int E \cdot dP$ .
* $w_P = P \cdot E - w'_P$ .
* Voor lineaire materialen: $w_P = -\frac{1}{2}P \cdot E$ (impliciet objectieve grootheden) .
* **Magnetisatie-energie dichtheid als functie van M en B:**
* $w_M = -\int M \cdot dB$ .
* $w_M = -M \cdot B + w'_M$ .
* Voor lineaire materialen: $w_M = \frac{1}{2}M \cdot B$ (impliciet objectieve grootheden) .
* **Energiebalans voor elektromagnetische energie:** $\frac{\partial w_{EM}}{\partial t} + \nabla \cdot J_{EM} = -g_E$ .
* **Gereduceerde arbeid ($h_E$):** $h_E = J \cdot E + E \cdot \frac{d^*P}{dt} - M \cdot \frac{d^*B}{dt} + (PE - BM): d$ .
* **Principle van virtuele arbeid (EQS systeem):** $\sum_j V_j dQ_j - (F_{Ei} \cdot dr_i + C_{Ei} \cdot d\theta_i) = dW_e$ .
* **Principle van virtuele arbeid (MQS systeem):** $\sum_j I_j d\Phi_j - (F_{Ei} \cdot dr_i + C_{Ei} \cdot d\theta_i) = dW_m$ .
* **Lorentz-veld en kristalveld:** $E_{loc} = E + \frac{P}{3\epsilon_0} + E_{kristal}$ .
### Implicaties en toepassingen
* **Hysteris:** Bij hysteresis is er geen eenduidig verband tussen veld en polarisatie/magnetisatie; de geschiedenis speelt een rol .
* **Energieverlies door hysteresis:** De verloren warmte is op een factor $\mu_0$ na gelijk aan de oppervlakte van de hysterisislus .
* **Energieopslag:** De elektromagnetische energie wordt opgeslagen in het elektrische en magnetische veld, en in de polarisatie- en magnetisatie-energie van het materiaal .
### Tip
---
## Polarisatie in materialen: elektronische, ionaire en oriëntatiepolarisatie
### Elektronische polarisatie
* Elektronische polarisatie ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de kern van een atoom, wat leidt tot een dipoolmoment `p_x = -Qx` .
* Het klassieke model beschouwt atomen als een kern en een sferische elektronenwolk die onder invloed van een extern elektrisch veld verschuift .
* De bewegingsvergelijking voor de elektronenwolk wordt gegeven door `d^2x/dt^2 + 2jδ dx/dt + ω_0^2 x = -e/m Eloc` .
* De pulsatie `ω_0` is de natuurlijke pulsatie van de oscillator: `ω_0^2 = Ze^2 / (4πϵ0mR^3)` .
* De complexe elektronische polariseerbaarheid `αe(ω)` is frequentieafhankelijk: `αe(ω) = (Ze^2/mϵ0) / (ω_0^2 - ω^2 + 2jδω)` .
* De statische polariseerbaarheid `αe,s` (voor `ω ≪ ω0`) is `αe,s = Ze^2 / (mϵ0ω_0^2) = 4πR^3` .
* Polarisatie-mechanismen hebben drie frequentiegebieden: laag frequent (`αe` constant), resonantiegebied (`ω ≈ ω0`, grote respons) en hoog frequent (`ω ≫ ω0`, `αe` nul) .
* Resonantiefrequenties van elektronische polarisatie liggen in het UV-gebied, terwijl zichtbaar licht gebruik maakt van de statische polariseerbaarheid .
* De brekingsindex van een materiaal wordt bepaald door de statische elektronische polariseerbaarheid .
### Ionaire polarisatie
* Ionaire polarisatie treedt op in materialen met ionaire bindingen, waar positieve en negatieve ionen in het lokale veld tegengestelde krachten ondervinden .
* Fononen zijn rooster trillingen, ingedeeld in akoestische en optische fononen, waarbij alleen optische fononen netto polarisatie geven .
* Optische fononen komen voor in materialen met minstens twee atoomsoorten (bv. NaCl, niet Si) .
* De bewegingsvergelijkingen voor een 1D kristal met twee atomen per eenheidscel worden gegeven door massa's `M1`, `M2` en krachten `K`, `K'` .
* De gereduceerde massa `M` is: `M = M1M2 / (M1 + M2)` .
* De resonantiefrequentie `ω'_0` voor ionaire polarisatie is: `ω'_0^2 = (K + K') / M` .
* Ionaire polarisatie leidt tot resonanties in het IR-gebied .
* De diëlektrische functie kan de vorm `ϵ(ω) = ϵ∞ + Σ_i (Δϵ_i ω^2_{0,i}) / (ω^2_{0,i} - ω^2 + 2jδ_iω)` aannemen .
### Oriëntatiepolarisatie
* Oriëntatiepolarisatie treedt op in vloeistoffen of gassen met moleculen die een permanent dipoolmoment hebben .
* Zonder extern veld zijn de dipoolmomenten willekeurig georiënteerd door thermische beweging .
* Een extern veld oefent een koppel uit dat de dipoolmomenten probeert te aligneren met het veld .
* De polarisatie is `P = Np⟨cos θ⟩`, waar `⟨cos θ⟩` de gemiddelde waarde is van `cos θ` .
* De statistische verdeling volgt de Boltzmann-verdeling, met potentiële energie `U = -p · Eloc = -pEloc cos θ` .
* De gemiddelde `⟨cos θ⟩` wordt gegeven door de Langevin-functie `L(x) = coth(x) - 1/x`, met `x = pEloc/kT` .
* Voor kleine `x` wordt de polarisatie benaderd door `P ≈ Np^2 / (3kT) Eloc` .
* De statische polariseerbaarheid is `αo,s = p^2 / (3ϵ0kT)` .
### Frequentieafhankelijkheid en verliezen
### Piëzo-elektriciteit, pyro-elektriciteit en ferro-elektriciteit
---
## Ferromagnetisme, antiferromagnetisme en ferrimagnetisme
### Wisselwerkingsinteractie
* De wisselwerkingsinteractie verklaart de sterke neiging van permanente magnetische momenten om parallel te oriënteren in ferromagnetische materialen onder een bepaalde temperatuur (Curie-temperatuur) .
* De energie van de interactie tussen twee spins $S_i$ en $S_j$ wordt gegeven door $U_{ij} = -2J_{ij}S_i \cdot S_j$ .
* De uitwisselingsintegraal $J_{ij}$ wordt bepaald door de overlap van golffuncties en is een gevolg van elektrostatische Coulomb-interactie, rekening houdend met het Pauli-uitsluitingsprincipe .
* Voor ferromagnetische materialen is $J_{ij}$ positief, wat de uitlijning van spins bevordert .
* Het effect van de wisselwerkingsinteractie met naburige spins kan worden gemodelleerd als een intern magnetisch veld, het Weiss-moleculaire veld ($H_{mol}$) .
* $H_{mol} = -\frac{2p\hbar J_l}{g\mu_B\mu_0}\langle S_j \rangle$ .
* De magnetisatie $M$ in een ferromagneet kan worden beschreven met een aangepaste Brillouin-functie, rekening houdend met het moleculaire veld: $M = N g\mu_B S B_S(\frac{g\mu_BS}{kT\mu_0}(H + \lambda M))$ .
* De Curie-temperatuur $T_C$ wordt bepaald door: $T_C = \lambda C = \frac{2p}{3k}\frac{J_l\hbar^2 S(S+1)}{g^2\mu_0\mu_B^2}$ .
* Boven de Curie-temperatuur gedragen ferromagnetische materialen zich paramagnetisch volgens de Curie-Weiss wet: $\chi_m(T) = \frac{C}{T-T_C}$ .
- Antiferromagnetisme treedt op wanneer naburige magnetische momenten de neiging hebben zich antiparallel op te stellen, wat resulteert in geen netto magnetisatie. De temperatuur waarbij deze ordening verdwijnt, is de Néel-temperatuur
- Ferrimagnetisme ontstaat wanneer magnetische momenten van verschillende ionen in een materiaal niet allemaal parallel zijn, wat resulteert in een netto magnetisatie die kleiner is dan de som van alle momenten
### Anisotropie
* Magnetokristallijne anisotropie ontstaat door spin-baan koppeling, waardoor spins voorkeursoriëntaties vertonen die afhangen van de kristalstructuur .
* De anisotropie-energie is veel kleiner dan de wisselwerkingsenergie, maar bepaalt de richting van de magnetisatie .
* Voor hexagonale kristallen wordt de uniaxiale anisotropie-energie beschreven door $W_u = K_{u1}(\sin\theta)^2 + K_{u2}(\sin\theta)^4$ .
* Voor kubische kristallen wordt de anisotropie-energie beschreven door $W_c = K_1(\alpha_1^2\alpha_2^2 + \alpha_2^2\alpha_3^2 + \alpha_3^2\alpha_1^2) + K_2\alpha_1^2\alpha_2^2\alpha_3^2$ .
* Superparamagnetisme treedt op bij kleine deeltjes (< 10 nm voor Fe) waarbij de thermische energie de anisotropie-energie kan overwinnen, waardoor het deeltje zich gedraagt als een paramagneet .
### Domeinstructuur en domeinmuren
* Ferromagnetische materialen splitsen zich spontaan op in magnetische domeinen om magnetostatische energie te minimaliseren .
* Binnen elk domein zijn de spins parallel georiënteerd, maar de magnetisaties van verschillende domeinen zijn niet noodzakelijk gealigneerd .
* De magnetostatische energie van een magnetisch materiaal kan op verschillende manieren worden uitgedrukt, o.a. $W_{ms} = -\mu_0 \frac{V}{2} M \cdot H'$ .
* Domeinmuren zijn overgangsgebieden tussen domeinen waar de magnetisatierichting geleidelijk verandert .
* De energie van een domeinmuur bestaat uit een bijdrage van de wisselwerkingsenergie en de anisotropie-energie .
* Vorm-anisotropie ontstaat door de vorm van het deeltje, wat leidt tot een demagnetisatieveld dat afhangt van de oriëntatie van de magnetisatie .
### Technische magnetisatie en hysteresis
* Technische magnetisatie beschrijft het proces waarbij een netto magnetisatie ontstaat door het toepassen van een extern veld .
* Processen zoals domeinmuurverplaatsing en rotatie van magnetisatie binnen domeinen dragen bij aan de magnetisatiecurve .
* Hysteresis treedt op door irreversibele processen zoals het "pinning" van domeinmuren aan defecten, wat leidt tot de remanente magnetisatie ($M_r$) en het coërcitief veld ($H_c$) .
---
### Cartesiaanse coördinaten
* Zoekt oplossingen van de vorm $V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)$ voor Laplace's vergelijking $\nabla^2V = 0$ .
* Dit leidt tot drie afzonderlijke differentiaalvergelijkingen, elk gelijk aan een constante ($\pm c_1^2, \pm c_2^2, \pm c_3^2$) .
* De vergelijkingen zijn:
* $\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \pm c_1^2$
* $\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = \pm c_2^2$
* $\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = \pm c_3^2$
- met de restrictie $\pm c_1^2 \pm c_2^2 \pm c_3^2 = 0$
* Oplossingen kunnen lineaire, trigonometrische of hyperbolische functies zijn, of combinaties daarvan .
* Voorbeelden: $X(x) = A\sin(c_1x) + B\cos(c_1x)$ of $X(x) = A\sinh(c_1x) + B\cosh(c_1x)$ .
* Superpositie van gescheiden oplossingen blijft een oplossing voor Laplace's vergelijking .
* Vereist begrensde gebieden (rechthoek of balk) en doorgaans één niet-homogene randvoorwaarde .
* Niet-homogene randvoorwaarden worden vaak opgelost met Fourier-reeksen .
- > **Voorbeeld:** Elektostatische potentiaal van een diëlectrisch blad tussen afwisselend geladen elektroden
- > * Randvoorwaarden: $V(0,y) = V(a,y) = 0$
- > * Oplossingen in $x$-richting: $X_n(x) = \sin(n\pi x/a)$
- > * Oplossingen in $y$-richting: $Y_n(y) = A_n e^{-c_1y} + B_n e^{c_1y}$ (binnen) en $C_n e^{-c_1y}$ (buiten)
- > * Continuïteitsvoorwaarden aan het grensvlak $y=d$ en de niet-homogene randvoorwaarde op $y=0$ worden gebruikt om coëfficiënten te bepalen
### Cilindercoördinaten
* Laplace's vergelijking in cilindercoördinaten: $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial V}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ .
* Gesc heiden oplossing: $V(r, \phi, z) = R(r)\Phi(\phi)Z(z)$ .
* Voor problemen onafhankelijk van $z$ of lineair in $z$:
* $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -c^2$ (met oplossingen $\sin(c\phi), \cos(c\phi)$) .
* $\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr}) = c^2$ (met oplossingen $r^{c}, r^{-c}$ of $\ln r$ voor $c=0$) .
* Als de oplossing periodiek is in $\phi$, worden de waarden van $c$ beperkt tot gehele getallen $n$ .
* Als de oplossing niet periodiek is in $\phi$ en randvoorwaarden op constante $r$ worden opgelegd:
* $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = c^2$ (met oplossingen $\sinh(c\phi), \cosh(c\phi)$) .
### Sferische coördinaten
---
* De methode van scheiding der variabelen wordt toegepast op oefeningen met Laplace's vergelijking in diverse coördinatenstelsels [185-202.
* Oplossingen worden geconstrueerd uit superposities van afzonderlijke oplossingen die voldoen aan de homogene Laplace-vergelijking en de gegeven randvoorwaarden .
### Key facts
* Randvoorwaarden op oneindig en in de oorsprong zijn cruciaal voor de unieke bepaling van oplossingen .
* De niet-homogene randvoorwaarde kan de selectie van mogelijke oplossingen beperken .
* In het geval van een homogene sfeer in een uniform elektrisch veld, wordt het potentiaal binnen de sfeer homogeen en ontstaat buiten de sfeer een dipoolveld .
* De stroomlijnen worden aangetrokken of afgestoten van de sfeer afhankelijk van de relatieve geleidbaarheid van de sfeer en het omringende medium .
* Er kan een ladingsdichtheid op het oppervlak van de sfeer verschijnen, bepaald door het verschil tussen de permittiviteiten en de geleidbaarheden .
* Opgaven betreffen het berekenen van elektrostatische velden buiten weerstanden en in bolvormige configuraties .
* Magnetische problemen met uniform gemagnetiseerde bollen en cilinders worden opgelost met behulp van scalaire potentialen .
* Potentiaalverdelingen in cirkelvormige geometrieën met specifieke randvoorwaarden worden berekend .
* De methode wordt toegepast op quasi-stationaire veldproblemen, zoals ladingsverdelingen in geleidende materialen over tijd .
* De berekening van elektrische velden en ladingdichtheden wordt gedaan voor verschillende configuraties, zoals platen met een geladen vlak .
* Electret microfoons en hun frequentiekarakteristieken worden geanalyseerd met behulp van deze methoden .
* De impedantie van kringen kan worden bepaald door het toepassen van de wet van Faraday .
* Magnetische velden in periodieke roosters en spoelen worden berekend, inclusief de afleiding van de vectorpotentiaal .
* Directe berekening van krachten en energieën, zoals tussen dipolen en ladingen ten opzichte van geleidende vlakken of bollen, wordt behandeld .
* Krachtverdelingen voor quasi-stationaire systemen en magnetische materialen worden onderzocht .
* De flux van de Poynting vector kan worden gebruikt om de energiebalans van een systeem te analyseren .
* Magnetische energie in magnetische structuren wordt berekend .
### Key concepts
* **Scheiding der variabelen:** Een techniek om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door ze te reduceren tot een set gewone differentiaalvergelijkingen [185-202.
* **Laplace's vergelijking:** $\nabla^2 V = 0$, de fundamentele vergelijking voor elektrostatische en magnetostatische potentialen in ladings- en stroomvrije gebieden .
* **Randvoorwaarden:** Specifieke condities die het potentiaal of zijn afgeleiden op de grenzen van het domein definiëren .
* **Superpositieprincipe:** De oplossing van de homogene Laplace-vergelijking is de som van individuele oplossingen .
* **Magnetostatische scalaire potentiaal:** $U$, gebruikt in magnetische problemen waar de stromen ontbreken .
* **Quasi-stationair regime:** Snelheid van verandering is langzaam genoeg zodat de vergelijkingen van Maxwell vereenvoudigd kunnen worden .
### Implications
---
### Voorbeelden van examenoefeningen
- **Oefening A.10.1:** Een oneindig lang rechthoekig blad met breedte $d$ wordt aan twee zijden als geleider behandeld. Via een glijdend contact wordt een uitgangsspanning gemeten. De oplossing voor de uitgangsspanning
- $$V(x, d) = \frac{4V_0}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} e^{-(2n+1)\frac{\pi x}{2d}}$$
* **Oefening A.10.2:** Bereken de elektrische weerstand van een geleidende plaat met afmetingen $a$, $b$ en hoek $\theta$. De weerstand $R$ wordt gegeven door:
- $$R = \frac{\theta}{\sigma L} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
- **Oefening A.10.3:** Een oneindig lange rechthoekige magneet met magnetisatie $M$ langs de y-richting wordt geplaatst op afstand $a$ van een stroomvoerende draad met stroom $I$. De kracht per lengte-eenheid $Fx$
- $$F_x = \frac{\mu_0 M I}{\pi} \arctan\left(\frac{x_0 d}{x_0^2 + a^2 + da}\right)$$
- **Oefening A.10.4:** Een magnetische kring met een spie-vormig stuk dat kan draaien over hoek $\phi$. De kring wordt bekrachtigd door een spoel met stroom $i$ en $n$ windingen. De koppeldichtheid
- $$\frac{dC}{d\phi} = \frac{1}{2} i^2 n^2 \mu_0 L \left( \frac{1}{(\beta - \alpha - \phi)^2} - \frac{1}{(\beta - \alpha + \phi)^2} \right) \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$
* **Oefening A.10.5:** Twee cilindrische helften met tegengestelde magnetisatie $M$ en $-M$. Bereken het magnetisch veld $H$ binnen en buiten de cilinder met behulp van het Ampère-model en superpositie .
* **Oefening A.10.6:** Bepaal de inductiecoëfficiënten van drie spoelen met $n$ windingen en gelijke luchtspleten. De magnetische permeabiliteit van de rest van de kring is oneindig. De inductiematrix $L$ is:
- $$L_{ij} = \frac{n^2}{R} \begin{bmatrix} 2/3 & 1/3 & -1/3 \\ 1/3 & 2/3 & 1/3 \\ -1/3 & 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$$
* **Oefening A.10.7:** Bereken de kracht op het diëlektricum met lengte $L = L_1 + L_2$ middels de spanningen van Maxwell en de methode van virtuele arbeid. De kracht $Fx$ met virtuele arbeid is:
- $$F_x = \frac{\epsilon - \epsilon_0}{2a} (V_2^2 - V_1^2)$$
- **Oefening A.10.8:** Een cilindrische holte wordt gevormd door twee ferromagnetische schalen. Op het binnenoppervlak vloeit een oppervlaktestroom $K(\phi) = K_0 f(\phi)$. Bereken het magnetisch veld in de holte en in het materiaal met
- **Oefening A.10.9:** Beschouw de situatie van (A.10.8) met een sinusvormige oppervlaktestroom $K(\phi) = K_0 \sin \phi$. Bepaal de constanten $a$ en $b$ en bereken de kracht op het magnetische lichaam middels de spanningen van
* **Oefening A.10.10:** Bereken de magnetische inductie langs de as van een cirkelvormige stroomkring. De inductie $Bz$ wordt gegeven door:
- $$B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$$
* **Oefening A.10.11:** Twee cilindrische elektroden met gemeenschappelijke as, waarvan één draaibaar is. Bepaal het koppel op de draaibare elektrode met aangelegde spanning $V$. Het koppel $|C|$ is:
- $$|C| = \frac{1}{2} V^2 \epsilon_0 R \frac{R_2 - R_1}{R_1}$$ (onder de aanname $R_2 - R_1 \ll R_1$)
### Wiskundige hulpmiddelen
* **Vectoren en tensoren:** De wiskunde bijlage (Hoofdstuk C) bevat essentiële definities en identiteiten voor vectorrekening in 3 dimensies, inclusief notaties en operatoren zoals gradiënt, divergentie en rotor .
* **Coördinatenstelsels:** Cirkel- en bolcoördinaten worden gedefinieerd met bijbehorende formules voor gradiënt, divergentie, rotor en Laplace-operator .
* **Tensorrekening:** Definitie van tensoren, symmetrische en antisymmetrische tensoren, en de Kronecker-delta worden geïntroduceerd .
* **Vectoridentiteiten:** Diverse vectoridentiteiten, inclusief die met de nabla-operator, worden gepresenteerd ter vereenvoudiging van berekeningen .
* **Polarisatie en axiale vectoren:** Elektrische velden gedragen zich als polaire vectoren, terwijl magnetische velden zich gedragen als axiale vectoren (pseudovectoren) .
---
## Transporttheorema's en convectieve afgeleiden
* Transporttheorema's beschrijven de tijdsafgeleide van integraaluitdrukkingen over bewegende volumes, oppervlakken of lijnen.
* De substantiële afgeleide volgt een bewegend waarnemer, terwijl de convectieve afgeleide een objectieve grootheid is die rekening houdt met de vervorming van het medium.
### Sleutelconcepten
* **Substantiële afgeleide (materiële afgeleide):** Beschrijft de verandering van een grootheid zoals gezien door een waarnemer die meebeweegt met de materie.
* Voor een scalaire veld $A$: $\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla A$ .
* Voor een vectorveld $\mathbf{A}$: $\frac{d\mathbf{A}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla \mathbf{A}$ .
* **Tijdsafgeleide van volume-integralen:**
* Voor een stilstaand volume $V$: $\frac{dI}{dt} = \int_V \frac{\partial A}{\partial t} dv$ .
* Voor een vervormend volume $V$ met snelheidsveld $\mathbf{w}$: $\frac{d}{dt} \int_V A dv = \int_V \left( \frac{\partial A}{\partial t} + \nabla \cdot (A\mathbf{w}) \right) dv$ .
* Equivalent: $\frac{d}{dt} \int_V A dv = \int_V \left( \frac{dA}{dt} + A \nabla \cdot \mathbf{w} \right) dv$ .
* **Tijdsafgeleide van oppervlakte-integralen:**
* $\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a} = \int_S \left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} + ( \nabla \cdot \mathbf{w} ) \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{w} \right) \cdot d\mathbf{a}$ .
* Met $\nabla_S \cdot \mathbf{w}$ de oppervlakte divergentie: $\frac{d}{dt} \int_S A da = \int_S \left( \frac{dA}{dt} + A (\nabla_S \cdot \mathbf{w}) \right) da$ .
* **Tijdsafgeleide van lijn-integralen:**
* $\frac{d}{dt} \int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \int_C \left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} + (\nabla \mathbf{w}) \cdot \mathbf{A} \right) \cdot d\mathbf{l}$ .
* **Convectieve afgeleide:** Een objectieve grootheid die de verandering van een veld rekening houdend met de beweging en vervorming van het medium beschrijft.
* Convectieve afgeleide van een scalar $A$: $\frac{d^\ast A}{dt} = \frac{dA}{dt} - \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{v}$ .
* Convectieve afgeleide van een vector $\mathbf{A}$: $\frac{d^\# \mathbf{A}}{dt} = \frac{d\mathbf{A}}{dt} + \nabla \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}$ .
* **Snelheidsgradiënt-tensor:** $\nabla \mathbf{v}$ met componenten $(\nabla \mathbf{v})_{ij} = \frac{\partial v_j}{\partial x_i}$ .
* Kan gesplitst worden in een symmetrisch deel (vervormingssnelheidstensor $d$) en een antisymmetrisch deel (rotatiesnelheid $\mathbf{w}$) .
* Voor starre beweging: $d=0$ en $\nabla \mathbf{v} = \mathbf{w}$ .
### Toepassingen
* **Massa-behoud:** $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$ voor een materie-volume, leidend tot $\frac{\partial \rho_m}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{v} \rho_m) = 0$ .
* **Faraday's wet voor een bewegende kring:** $\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = -\oint_{\partial S} (\mathbf{E} + \mathbf{w} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$ .
* **Flux door een spoel:** $\frac{d}{dt} \int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \frac{d\Phi}{dt}$ met $\Phi$ de flux gekoppeld met de spoel .
---
# Magnetische dipoolmomenten en hun velden
### Kernidee
* Magnetische dipoolmomenten beschrijven het gedrag van kleine, gesloten stroomlussen op grote afstand.
* Ze zijn de magnetische analogen van elektrische dipoolmomenten en beschrijven de primaire bijdrage aan het magnetisch veld na de monopolaire term.
### Belangrijke feiten
* Het magnetisch moment $m$ van een stroomverdeling wordt gedefinieerd als $m = \frac{1}{2} \int \mathbf{r} \times \mathbf{J}(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}v$ [26](#page=26).
* Voor een discrete stroomverdeling (bv. een atoom) geldt $m = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \mathbf{v}_i = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \dot{\mathbf{r}}_i$ [26](#page=26).
* Het magnetisch moment van een atoom is gerelateerd aan zijn impulsmoment $L$: $m = -\frac{e}{2m_e} L$ [26](#page=26).
* Het Bohr-magneton $\mu_B$ is de fundamentele eenheid voor magnetische momenten: $\mu_B = \frac{\hbar e}{2m_e} = 9.274 \times 10^{-24} \, \text{J/T}$ [27](#page=27).
* Magnetisatie $M$ is het gemiddelde magnetisch dipoolmoment per volume-eenheid: $M = nm$ [31](#page=31).
### Kernconcepten
* **Magnetisch dipoolmoment:** De eerste-orde term in de multipooluitbreiding van het magnetisch potentieel van een stroomverdeling, vergelijkbaar met het elektrische dipoolmoment.
* **Veld van een elementaire magnetische dipool:** Op grote afstand gedraagt een magnetische dipool zich als een puntbron van magnetisch veld.
* **Vectorenergiemoment:** Het magnetisch dipoolmoment $\mathbf{m}$ is een vector die de sterkte en richting van de magnetische dipool aangeeft.
* **Magnetische inductie B:** Het veld gegenereerd door een magnetische dipool.
* **Vectorpotentiaal A:** Gerelateerd aan het magnetisch veld; voor een magnetische dipool is $A = -\frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{m} \times \nabla G_3(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^3}$ [27](#page=27).
### Implicaties
* Elementaire magnetische dipolen (kleine, vlakke stroomlussen) zijn de basismodellen voor magnetische materialen.
* De interactie van magnetische dipolen bepaalt de magnetische eigenschappen van materie.
* Hogere orde multipoolmomenten (zoals quadrupoolmomenten) worden relevant bij hoge ladings-/stroomdichtheden of afwijkende geometrieën.
* Magnetische dipoolmomenten worden gemeten als veelvouden van het Bohr-magneton, wat hun gekwantiseerde aard benadrukt.
### Voorbeeld
* Het veld van een elementaire magnetische dipool op afstand $\mathbf{r}$ wordt gegeven door:
- $$ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{3\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}}{r^3} $$
- waarbij $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ [28](#page=28)
### Tip
* Denk aan het magnetisch dipoolmoment als een kleine kompasnaald die een magnetisch veld genereert.
---
# Maxwell's equations and material properties
### Core idea
* Material properties describe how electromagnetic fields interact with matter [40](#page=40).
* These properties are incorporated into Maxwell's equations via constitutive relations [40](#page=40).
* Electromagnetic fields are relative and depend on the observer's reference frame [38](#page=38).
### Key facts
* Current density in a moving frame is $J' = J - \rho V$ [38](#page=38).
* Magnetization in a moving frame is $M' = M - P \times V$ [38](#page=38).
* Electric field in a moving frame is $E' = E + V \times B$ [38](#page=38).
* Maxwell's equations are invariant under Lorentz transformations, not Galilean transformations [39](#page=39).
* The relative permittivity is $\epsilon_r = \epsilon / \epsilon_0$ [41](#page=41).
* The magnetic permeability is $\mu = \mu_0 \mu_r$ [42](#page=42).
* For conductors, current density is $J = \sigma E$, Ohm's law [44](#page=44).
* The complex permittivity is $\epsilon = \epsilon' - j\epsilon''$ where $\epsilon'' > 0$ [45](#page=45).
* The complex conductivity is $\sigma = \sigma' + j\sigma''$ [46](#page=46).
### Key concepts
* **Constitutive relations:** Describe the properties of a medium by relating polarization (P) and magnetization (M) to macroscopic fields (E and H) [40](#page=40).
* **Dielectrics:** Non-conducting media where polarization arises from electronic, ionic, or orientation mechanisms [40](#page=40).
* **Electric susceptibility ($\chi_e$):** A measure of how easily a material is polarized by an electric field [41](#page=41).
* **Magnetic susceptibility ($\chi_m$):** A measure of how easily a material is magnetized by a magnetic field [42](#page=42).
* **Ferroelectricity:** Materials exhibiting spontaneous macroscopic polarization with hysteresis [41](#page=41).
* **Ferromagnetism:** Materials with spontaneous macroscopic magnetization due to aligned magnetic dipoles, exhibiting hysteresis [43](#page=43).
* **Frequency dependence:** Permittivity and susceptibility can be frequency-dependent, leading to complex values [45](#page=45).
* **Loss tangent ($\tan \delta$):** Quantifies energy loss in dielectrics, $\tan \delta = \epsilon'' / \epsilon'$ [46](#page=46).
### Implications
* Maxwell's equations in vacuum led to the development of special relativity [39](#page=39).
* The permittivity and susceptibility tensors describe material anisotropy [41](#page=41).
* Ferroelectric and ferromagnetic materials show non-linear and history-dependent behavior [page=43 [41](#page=41) [43](#page=43).
* The distinction between dielectric and conductor behavior depends on the relative values of $\epsilon''$ and $\sigma''$ [46](#page=46).
* Constitutive equations need adjustment for moving media by considering local inertial frames [47](#page=47).
### Common pitfalls
---
# Stationary fields and their classification
### Kernidee
* Stationaire veldproblemen kunnen worden ingedeeld in elektrostatica, stationaire stroomveldproblemen en magnetostatica [48](#page=48).
* De klassen onderscheiden zich door de aanwezigheid van stroomdichtheid ($J$) en de te bepalen velden ($E$, $B$, $D$, $H$) [48](#page=48).
### Elektrostatica
#### Kernconcepten
* In elektrostatica geldt altijd $\nabla \times E = 0$ [49](#page=49).
* Dit impliceert dat het elektrisch veld uitgeoefend kan worden door een scalaire potentiaal: $E = -\nabla V$ [49](#page=49).
* De potentiaalverschillen worden gedefinieerd door lijnintegralen van het elektrisch veld [49](#page=49).
* De potentiële energie van een lading $q$ is $qV$ [49](#page=49).
* In geleiders moet $E=0$, wat betekent dat het geleidende oppervlak een equipotentiaalvlak is [49](#page=49).
* Er moet voldaan worden aan de wet van Gauss: $\nabla \cdot D = \rho$ [49](#page=49).
* Voor lineaire materialen geldt de constitutieve relatie $D = \epsilon E$ [50](#page=50).
* Dit leidt tot de Poisson-vergelijking $\nabla \cdot[\epsilon \nabla V = -\rho$ [50](#page=50).
* In uniforme, lineaire, isotrope en ladingsvrije media, vereenvoudigt dit tot de Laplace-vergelijking $\nabla^2 V = 0$ [50](#page=50).
#### Randvoorwaarden
* Aan scheidingsvlakken tussen diëlektrische materialen moeten sprongcondities voor de tangentiele componenten van $E$ en de normale componenten van $D$ voldaan worden [50](#page=50).
* De continueïteit van het elektrisch veld over het grensvlak is equivalent aan de continuïteit van de potentiaal [50](#page=50).
* Voor geleiders geldt $n \times E = 0$ en $n \cdot D = -\epsilon \frac{\partial V}{\partial n} = \pi$ [51](#page=51).
#### Eenduidigheidsstelling
* Een elektrostatisch probleem heeft een unieke oplossing als op de randen en geleiders:
* ofwel de potentiaal is vastgelegd [52](#page=52),
* ofwel de totale lading is vastgelegd [52](#page=52).
* De afschermende werking van een holle geleider is verklaarbaar door deze stelling [53](#page=53).
* De methode van beeldladingen kan worden gebruikt om veldpatronen in de buurt van geleiders te bepalen [53](#page=53).
#### Capaciteitscoëfficiënten
* Voor lineaire diëlektrische materialen zijn ladingen op geleiders lineaire functies van de potentialen: $Q_i = \sum_j k_{ij} V_j$ [55](#page=55).
* De capaciteitscoëfficiënten $C_{ij}$ en $C_{i\infty}$ zijn symmetrisch: $C_{ij} = C_{ji}$ [55](#page=55).
* $C_{ij}$ vertegenwoordigt het fractie van de lading op geleider $i$ die uitmondt op geleider $j$ [55](#page=55).
* Capaciteitscoëfficiënten zijn altijd positief: $C_{ij} \ge 0$, $C_{i\infty} \ge 0$ [55](#page=55).
* De capaciteit van een sfeer met straal $R$ is $C_{s\infty} = 4\pi \epsilon_0 R$ [56](#page=56).
* Voor een vlakke condensator met oppervlakte $S$ en afstand $d$ is de capaciteit $C \approx \epsilon_r \epsilon_0 \frac{S}{d}$ [56](#page=56).
### Stationaire Stroomveldproblemen
### Magnetostatica
---
# Magnetostatica en randvoorwaardenproblemen
### Kernidee
* Magnetostatica bestudeert magnetische velden opgewekt door stationaire stromen en permanente magneten.
* Randvoorwaardenproblemen bepalen deze velden rekening houdend met grensvlakken tussen verschillende materialen.
### Kernfeiten
* De veldvergelijkingen voor magnetostatica zijn $\nabla \cdot B = 0$ en $\nabla \times H = J$ [65](#page=65).
* Randvoorwaarden op grensvlakken omvatten continuïteit van de normale magnetische inductie en een sprong in de tangentiële magnetische veldsterkte door oppervlaktestromen [65](#page=65).
* De magnetische inductie $B$ kan afgeleid worden van een vectorpotentiaal $A$ met $B = \nabla \times A$ [65](#page=65).
* In uniforme lineaire materialen voldoet de vectorpotentiaal $A$ aan $\nabla^2 A = -\mu J$ onder de Coulomb-ijk [66](#page=66).
* Voor 2D-problemen met translatiesymmetrie vereenvoudigt de vergelijking tot $\nabla^2_\perp A_z = -\mu J_z$ [67](#page=67).
* Aan een scheidingsvlak is de vectorpotentiaal $A$ continu: $A_1 = A_2$ [65](#page=65).
* Een perfecte geleider heeft een nul magnetisch veld binnenin, met stroom alleen op het oppervlak [65](#page=65).
* In een stroömloze regio kan het magnetisch veld worden afgeleid van een scalaire potentiaal $U$ met $H = -\nabla U$, mits het gebied enkelvoudig samenhangend is [68](#page=68).
* De magnetische flux $\phi$ door een oppervlak $S$ is gerelateerd aan de vectorpotentiaal $A$ via $\phi = \oint_{\partial S} A \cdot dl$ [65](#page=65).
### Kernconcepten
* **Vectorpotentiaal ($A$)**: Een veld waarvan de rotor de magnetische inductie $B$ geeft; nuttig voor het oplossen van de veldvergelijkingen.
* **Coulomb-ijk ($\nabla \cdot A = 0$)**: Een extra voorwaarde die de oplossing van de vectorpotentiaal vergelijking vereenvoudigt.
* **Fluxfunctie ($A_z$)**: In 2D-problemen met alleen $z$-componenten, gedraagt $A_z$ zich als een fluxfunctie, waarbij het verschil in $A_z$ tussen twee lijnen de flux vertegenwoordigt.
* **Zacht ferromagnetisch materiaal**: Materialen met een zeer hoge permeabiliteit ($\mu \gg 1$), waarvoor de tangentiële component van $H$ loodrecht op het oppervlak staat.
* **Enkelvoudig samenhangend gebied**: Een gebied waarin elke gesloten kromme kan worden gereduceerd tot een punt zonder het gebied te verlaten. In dergelijke gebieden is $H$ afleidbaar van een scalaire potentiaal.
* **Magnetisch netwerk**: Een analogie die magnetostatische problemen herleidt tot elektrische netwerkproblemen, waarbij magnetische flux overeenkomt met elektrische stroom.
* **Reluctantie ($\Re$)**: Het magnetische equivalent van elektrische weerstand in magnetische netwerken.
### Implicaties
* De continuïteit van de vectorpotentiaal $A$ over een scheidingsvlak vereenvoudigt randvoorwaardenproblemen [65](#page=65).
* In stroömloze gebieden, door de torus-problematiek te omzeilen met een snede, kan de scalaire potentiaal $U$ met een sprong worden gedefinieerd [69](#page=69).
* De magnetische flux is gerelateerd aan het verschil in de vectorpotentiaal, wat verklaart waarom $A_z$ een fluxfunctie wordt genoemd [67](#page=67).
* De magnetische netwerk-analogie is nuttig voor het verkrijgen van benaderde oplossingen, maar niet voor exacte oplossingen [73](#page=73).
* In perfecte geleiders wordt het magnetisch veld nul, en de stroom verdeelt zich zodanig dat dit wordt bereikt [65](#page=65).
* Voor zacht ferromagnetisch materiaal met $\mu \rightarrow \infty$ geldt $\partial A_z / \partial n = 0$ [68](#page=68).
### Opmerkingen
- > **Tip:** De scalaire magnetische potentiaal $U$ kan alleen worden gedefinieerd in enkelvoudig samenhangende gebieden
---
# Elektro-quasi-statische benadering en toepassingen
### Kernidee
* EQS benadering verwaarloost de door stromingsvelden opgewekte magnetische velden om elektrostatica wetten toe te passen op niet-stationaire problemen [79](#page=79).
* Dit maakt het mogelijk om ladingsbehoud te combineren met elektrostatica principes voor veranderende, maar langzame, elektrische verschijnselen [79](#page=79).
### Kernfeiten
* De benadering is geldig als de afmetingen van de componenten klein zijn ten opzichte van de golflengte [82](#page=82).
* Voor een condensator leidt de benadering tot een relatie tussen spanning en de tweede tijdsafgeleide van de spanning [82](#page=82).
* EQS vereenvoudigt de transformatieformules voor bewegende media door het magnetische veld te verwaarlozen [84](#page=84).
* Convectiestroomdichtheid $\rho v$ verschijnt in de constitutieve vergelijkingen voor bewegende media [84](#page=84).
* De tangentiale component van het elektrisch veld blijft continu aan een bewegend grensvlak in EQS [86](#page=86).
* Het principe van ladingsbehoud, inclusief convectie, is essentieel voor de benadering [85](#page=85).
### Kernconcepten
* **Capaciteitsnetwerk:** Generalisatie van de lading-spanningsrelatie voor meerdere geleiders en spanningen [80](#page=80).
* **Ladingsrelaxatietijd:** Tijd die nodig is om ladingen te herverdelen in een medium, $\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}$ [83](#page=83).
* **EQS sprongcondities:** Vereenvoudigde Maxwell sprongcondities waarbij het magnetische veld verwaarloosd wordt [80](#page=80) [86](#page=86).
* **Equivalent schema:** Gebruik van weerstanden en condensatoren om complexe problemen te modelleren, zoals in een niet-uniforme weerstand [83](#page=83).
* **Transformatieformules (EQS):** Vereenvoudigde Lorentz-transformaties voor bewegende media zonder magnetische velden [84](#page=84).
### Implicaties
* Maakt analyse mogelijk van dynamische elektrische systemen die te langzaam zijn voor elektromagnetische effecten [79](#page=79).
* Verlicht de rol van oppervlaktelading op grensvlakken tussen verschillende media [82](#page=82) [83](#page=83).
* Heeft toepassingen in elektrodynamica en microfluidica waar bewegende media een rol spelen [84](#page=84).
* Vergemakkelijkt de analyse van condensatoren en weerstanden met ladingsdynamiek [80](#page=80) [83](#page=83).
* De benadering is een goede start voor het begrijpen van meer complexe elektromagnetische fenomenen [79](#page=79).
### Veelvoorkomende valkuilen
* Het verwaarlozen van de afmetingen ten opzichte van de golflengte kan leiden tot fouten [82](#page=82).
* Het negeren van de convectiestroomdichtheid in bewegende media [84](#page=84).
---
# Quasi-stationaire velden en het geïnduceerde elektrische veld
### Kernidee
* Magneto-quasi-statica (MQS) beschouwt systemen met veranderlijke magnetische velden waarbij verandering in tijd te langzaam gaat voor verspreidings-effecten [87](#page=87).
* MQS combineert vaak EQS-systemen waar magnetische inductie verwaarloosbaar is, met componenten die wel magnetische velden produceren [87](#page=87).
### Belangrijke feiten
* In MQS blijven de wetten van magnetostatica (op elk ogenblik) geldig, met verwaarloosbare verschuivingsstromen: $\nabla \times \mathbf{H} \approx \mathbf{J}$ [87](#page=87).
* De magnetische veldlijnen zijn continu en de sprongconditie voor $\mathbf{H}$ is: $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{H}_1 + \mathbf{n}_2 \times \mathbf{H}_2 \approx \mathbf{K}$ [87](#page=87).
* Ladingsopstapeling wordt verwaarloosd in MQS: $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{J}_1 + \mathbf{n}_2 \cdot \mathbf{J}_2 + \nabla_s \cdot \mathbf{K} \approx 0$ [87](#page=87).
* Het elektrische veld $\mathbf{E}$ kan niet verwaarloosd worden door de aanwezigheid van geleiders en wisselende magnetische velden [87](#page=87).
* De wet van Faraday is cruciaal in MQS: $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ [87](#page=87).
* De tangentiële component van het elektrische veld is continu aan een niet-bewegend grensvlak: $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{E}_1 + \mathbf{n}_2 \times \mathbf{E}_2 = 0$ [87](#page=87).
* Inductie-effecten treden op wanneer een wisselend magnetisch veld een elektrisch veld induceert [88](#page=88).
* Voor een willekeurige gesloten kring is de lijnintegraal van $\mathbf{E}$ gelijk aan de verandering van de magnetische flux: $\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ [88](#page=88).
### Belangrijke concepten
* **Geïnduceerd elektrisch veld ($\mathbf{E}_i$)**: Dit deel van het elektrische veld is gerelateerd aan de verandering van het magnetische veld en is niet conservatief ($\nabla \times \mathbf{E}_i \neq 0$) [89](#page=89).
* **Elektrostatisch veld ($\mathbf{E}_e$)**: Dit deel van het elektrische veld is conservatief ($\nabla \times \mathbf{E}_e = 0$) en wordt veroorzaakt door ladingsverdelingen [89](#page=89).
* De splitsing van het elektrische veld wordt gegeven door $\mathbf{E} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_e$, met $\mathbf{E}_i = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ en $\mathbf{E}_e = -\nabla V$ [89](#page=89).
* **Vectorpotentiaal ($\mathbf{A}$)**: Wordt gebruikt om het magnetische veld te beschrijven via $\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}$ en $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ (Coulomb-ijk) [89](#page=89).
* **Zelfinductie (L)**: De verhouding tussen de spanning over een spoel en de verandering van de stroom erdoor, $V_{eqs} = L \frac{dI}{dt}$ [88](#page=88).
* Een veranderend magnetisch veld induceert een elektrisch veld [88](#page=88).
### Implicaties
* Het elektrisch veld kan worden opgesplitst in een geïnduceerde en een elektrostatische bijdrage, wat de analyse vereenvoudigt [89](#page=89).
* Indien het magnetische veld buiten een spoel nul is, kan het geïnduceerde elektrische veld daar nog steeds significant zijn [90](#page=90).
* De spanningsval per winding in een spoel is gerelateerd aan de zelfinductie en de stroomverandering: $V_1 = \mu_0 \frac{\pi R^2}{s} \frac{dI}{dt} = L_n \frac{dI}{dt}$ [90](#page=90).
* In een geleider, waar $\mathbf{E}=0$, is het elektrostatische veld gelijk aan het negatieve van het geïnduceerde veld: $\mathbf{E}_e = -\mathbf{E}_i$ [90](#page=90).
* In het EQS-gebied is de spanningsverschil gemeten over een pad gelijk aan de elektrostatische spanning, bijna onafhankelijk van het geïnduceerde veld [91](#page=91).
- > **Tip:** De relatie $\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla V$ is fundamenteel voor het begrijpen van geïnduceerde elektrische velden in MQS-situaties
- > **Tip:** Denk aan de "pizzadoos"-analogie om behoudswetten op bewegende grensvlakken te generaliseren [86](#page=86)
---
# Diffusie van het magnetisch veld en skin-effect
### Kernidee
* Geleidende media verzetten zich tegen het binnendringen van magnetische velden door geïnduceerde stromen [92](#page=92).
* Dit fenomeen wordt beschreven door een diffusievergelijking voor het magnetisch veld [92](#page=92).
### Belangrijke feiten
* De diffusievergelijking voor het magnetisch veld H in een uniform geleidend medium is $\nabla^2H = \sigma\mu \frac{\partial H}{\partial t}$ [92](#page=92).
* In een niet-geleidend medium blijft deze vergelijking geldig, maar met een nul als rechterlid [92](#page=92).
* Bij de grensvlakken tussen verschillende media moeten sprongcondities voldaan zijn [92](#page=92).
* De tijdsevolutie van het magnetisch veld en de stroomdichtheid in een geleider is afhankelijk van de permeabiliteit ($\mu$), geleidbaarheid ($\sigma$), en de afmetingen van de geleider ($a$) [95](#page=95).
* De grootste tijdconstante voor een geleider met een circulaire doorsnede is ongeveer $\tau = 0.068\mu\sigma a^2$ [95](#page=95).
* In sinusvormig regime wordt de diffusievergelijking $\frac{d^2H_y}{dx^2} = j\omega\mu\sigma H_y$ [96](#page=96).
### Belangrijke concepten
* **Skin-effect:** Het verschijnsel waarbij de stroomdichtheid in een geleider hoger wordt aan het oppervlak bij wisselstroom [96](#page=96).
* **Indringdiepte ($\delta$):** Een karakteristieke lengte die aangeeft hoe diep een magnetisch veld doordringt in een geleider [96](#page=96).
* De indringdiepte is gedefinieerd als $\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}$ [96](#page=96).
* Hogere frequentie, grotere geleidbaarheid of permeabiliteit leiden tot een kleinere indringdiepte [96](#page=96).
* Het magnetisch veld wordt bij hogere frequenties naar de buitenkant van de geleider gedrukt [96](#page=96).
* In het sinusvormige regime wordt de oplossing voor het magnetisch veld gegeven door $H_y = \frac{K}{2} \frac{\sinh((1+j)x/\delta)}{\sinh((1+j)a/\delta)}$ [96](#page=96).
* De stroomdichtheid in sinusvormig regime is $J_z = \frac{K}{2} \frac{1+j}{\delta} \frac{\cosh((1+j)x/\delta)}{\sinh((1+j)a/\delta)}$ [96](#page=96).
* De impedantie van een coaxiale kabel hangt af van de frequentie en de geometrie [97](#page=97).
### Implicaties
* Bij lage frequenties ($\delta \gg a$) is de stroom nagenoeg uniform verdeeld en is de impedantie voornamelijk resistief [97](#page=97).
* Bij hoge frequenties ($\delta \ll a$) vloeit de stroom alleen aan het oppervlak van de binnengeleider en is de impedantie voornamelijk inductief [97](#page=97).
* Het skin-effect is cruciaal voor het ontwerp van hoogfrequente geleiders en kabels [96](#page=96).
* De berekening van de benodigde spanning om een stroomstap aan te drijven, kan worden gedaan met de wet van Faraday [95](#page=95).
- > **Tip:** De oplossing in het tijdsdomein (staprespons) is complexer en hoeft niet gekend te zijn voor het examen; focus op de oplossing in het frequentiedomein [94](#page=94)
- > **Voorbeeld:** Voor koper bedraagt de indringdiepte ongeveer 0
- 5 mm bij 20 kHz [96](#page=96)
---
# Quasi-stationaire velden en bewegende media
### Kernidee
* Studie van quasi-stationaire velden en de invloed van bewegende media op deze velden.
* Belangrijk voor elektrische machines, magnetohydrodynamica en ferrofluïda.
### Belangrijke feiten
* Impedantie van een coaxiale kabel hangt af van de frequentie en de doorsnede van de geleiders [97](#page=97).
* Bij lage frequenties ($\delta \gg a$) is de impedantie deels resistief en deels inductief [97](#page=97).
* Bij hoge frequenties ($\delta \ll a$) wordt de impedantie voornamelijk inductief [98](#page=98).
* Niet-relativistische transformatieformules voor MQS-benadering vereenvoudigen door verwaarlozing van D, P, en $\rho$ [98](#page=98).
* De constitutieve vergelijking voor een bewegend magnetisch materiaal blijft ongewijzigd ten opzichte van een stilstaand materiaal [99](#page=99).
* De constitutieve vergelijking voor een bewegende geleider verschilt significant van die voor een stilstaande geleider [99](#page=99).
* De algemene integraalwet van Faraday voor een bewegende kring is de tijdsafgeleide van de flux door een bewegend oppervlak [99](#page=99).
* De fluxgekoppelde bewegende kring kan worden voorgesteld met een equivalent schema met weerstand en inductie [100](#page=100).
* Sprongconditie voor bewegende grensvlakken vereist continuïteit van $E + v \times B$ normaal op het grensvlak .
### Belangrijke concepten
* **Impedantie van coaxiale kabel:** Berekend met de relatie tussen spanning en stroom, rekening houdend met de huiddiepte $\delta$ [97](#page=97).
* Formule bij lage frequenties: $Z \approx \frac{1}{2a\sigma} + j\omega\frac{\mu a}{6} + j\omega\mu_0\frac{b-a}{2}$ [98](#page=98).
* Formule bij hoge frequenties: $Z \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{8\sigma}} + j\omega\mu_0\frac{b-a}{2}$ [98](#page=98).
* **MQS-benadering transformatieformules:** Vereenvoudigde transformaties voor elektrische en magnetische velden in bewegende media [98](#page=98).
* Elektrisch veld transformatie: $E' = E + V \times B$ [98](#page=98).
* **Constitutieve vergelijkingen voor bewegende media:**
* Geleider: $J = \sigma(E + v \times B)$ [99](#page=99).
* Diëlektricum: $P = \epsilon_0\chi_e(E + v \times B)$ [99](#page=99).
* **Bewegings-EMK:** De electromotorische kracht die ontstaat door de beweging van een kring in een magnetisch veld [100](#page=100).
* **Fluxkoppeling bij bewegende kringen:** Totaal flux $\Phi$ is een som van fluxen door statische en bewegende kringen [100](#page=100).
* Formule voor flux: $\Phi = n\mu_0\frac{x_0}{\delta}(nI + n_0I_0)$ [100](#page=100).
* **Sprongconditie bij bewegende grensvlakken:** $J_n \times (E + v \times B) = 0$ .
### Implicaties
* De frequentieafhankelijkheid van de impedantie bepaalt het gedrag van kabels bij verschillende frequenties [97](#page=97).
* Bewegende media vereisen aangepaste constitutieve vergelijkingen voor correcte analyse [99](#page=99).
---
# Elektromagnetische krachten en energiedynamiek
### Kernidee
* Krachten op microscopische bouwstenen worden gesommeerd tot macroscopische krachten door middel van uitmiddeling .
* De eerste wet van Newton voor een continuüm omvat volumekrachten en spanningstermen gerelateerd aan de divergentie van de spanningstensor .
* De totale kracht op een lichaam wordt berekend door de elektromagnetische krachtdichtheid te integreren over een volume net buiten het lichaam .
### Belangrijke feiten
* De microscopische kracht op een bouwsteen is $f_a(t) = \sum_i q_i(\vec{E}(\vec{r}_i, t) + \vec{v}_i \times \vec{B}(\vec{r}_i, t))$ .
* Macroscopische krachtdichtheid wordt verkregen door de microscopische krachtdichtheid uit te middelen .
* De wet van behoud van massa voor een volume dat met de materie meebeweegt: $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$ .
* De eerste wet van Newton (impulsbehoud) voor een continuüm: $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m \vec{v} dv = \int_V \vec{f} dv + \int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{T} da$ .
* Lokale differentiaalvorm van de eerste wet van Newton: $\rho_m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{f} + \nabla \cdot \vec{T}$ .
* Voor een gas of vloeistof zonder wrijving geldt $\vec{T} = -p\vec{I}$, dus $\nabla \cdot \vec{T} = -\nabla p$ .
* De totale resulterende elektromagnetische kracht op een lichaam kan worden berekend als $F_E = \int_V \vec{f}_E dv$, waarbij het volume net buiten het lichaam wordt gekozen .
### Belangrijke concepten
* **Microscopische krachtdichtheid:** De som van krachten op alle ladingen binnen een bouwsteen .
* **Macroscopische krachtdichtheid:** Het uitgemiddelde van de microscopische krachtdichtheid .
* **Impulsbehoud:** De verandering van impuls binnen een volume is gelijk aan de som van externe krachten en contactkrachten .
* **Spanningstensor (Cauchy):** Beschrijft de interne spanningen in een medium; de oppervlakte-integraal $\int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{T} da$ representeert contactkrachten .
* **Volumekrachtdichtheid ($\vec{f}$):** Krachten die werken op het volume van het medium, zoals elektromagnetische krachten .
* **Externe veld:** Een veld veroorzaakt door microscopisch verwijderde ladingen, gedefinieerd als een macroscopisch veld (hoofdletter) .
### Implicaties
* De uitmiddeling van microscopische krachten resulteert niet alleen in volumekrachten, maar ook in spanningstermen .
* De opsplitsing in een volumekrachtdichtheid en een spanningsbijdrage is niet uniek; alleen de som heeft fysische betekenis .
* De exacte krachtverdeling is nodig voor het berekenen van vervormingen van een lichaam .
* Kracht op een vrije lading in een extern veld: $\vec{f}_q = q(\vec{E}(\vec{r}) + \vec{v} \times \vec{B}(\vec{r}))$ .
* Kracht op een elektrische dipool in een quasi-statisch elektrisch veld: $\vec{f}_p = \vec{p} \cdot \nabla\vec{E}(\vec{r})$ .
* Een elektrische dipool ondervindt alleen een kracht in een niet-uniform veld .
- > **Tip:** De uitdrukking voor de elektromagnetische volumekrachtdichtheid moet idealiter vergezeld gaan van een bijpassende uitdrukking voor de spanningstensor
- > **Voorbeeld:** De kracht op een elektrisch dipoolmoment $\vec{p}$ in een elektrisch veld $\vec{E}$ wordt gegeven door $\vec{f}_p = \vec{p} \cdot \nabla\vec{E}$
---
# Krachten en energie binnen elektromagnetische systemen
### Kernidee
- De methode van virtuele arbeid is een krachtig hulpmiddel voor het berekenen van krachten en koppels in elektromagnetische systemen, met name door de relatie tussen energie en arbeid te benutten
* Quasi-stationaire benaderingen maken het mogelijk om krachten en koppels te berekenen door kleine virtuele verplaatsingen of rotaties te beschouwen, waarbij de elektromagnetische velden als nagenoeg constant worden verondersteld .
### Belangrijke feiten
* De Poynting-vector ($S = E \times H$) beschrijft de energiedichtheid die langs een oppervlak stroomt .
* Elektromagnetische energiedichtheid ($w_{EM}$) is gedefinieerd als $\epsilon_0 E^2 / 2 + B^2 / (2\mu_0)$ .
* De totale energie die een systeem binnenkomt wordt gedeeltelijk omgezet in arbeid en deels opgeslagen in de velden .
* In een quasi-stationaire benadering zijn magnetische velden en hun bijdragen aan krachten en koppels vaak verwaarloosbaar klein in EQS-systemen .
* Vergelijkbare overwegingen gelden voor MQS-systemen met betrekking tot elektrische velden .
* De methode van virtuele arbeid vereist dat alle lichamen vast worden gehouden behalve één, dat een virtuele starre verplaatsing of rotatie ondergaat .
* De arbeid geleverd aan materiële media kan worden opgesplitst in mechanische arbeid ($f_E \cdot v$ en $c_E \cdot \omega$) .
* Joule-verliezen in geleiders worden vertegenwoordigd door de term $J \cdot E$ .
* Hysteresis in diëlektrica en magnetische materialen vereist specifieke overwegingen voor de energiedichtheid .
### Belangrijke concepten
* **EQS-systeem:** In een elektrostatisch systeem (EQS) benadert $E \approx E$, wat vereenvoudigingen in de energiebalans mogelijk maakt .
* **Elektrische energie ($W_e$):** Dit is de energie opgeslagen in het systeem, inclusief het elektrische veld en de polarisatie-energie .
* **Lineaire media:** Voor lineaire, reversibele media kan de elektrische energiedichtheid worden uitgedrukt als $w_e = \epsilon_0 E^2 / 2 + 1/2 P_{rev} \cdot E$ .
* **Virtuele verplaatsing/rotatie:** Dit zijn hypothetische veranderingen in positie of oriëntatie die worden gebruikt om arbeid te berekenen .
* **MQS-systeem:** In een magnetostatisch systeem (MQS) zijn de magnetische velden dominant, en de energiebalans omvat magnetische energie .
* **Magnetische energie ($W_m$):** Dit is de energie opgeslagen in het magnetische veld en de magnetisatie-energie .
* **Lineaire magnetische media:** Voor lineaire, reversibele magnetische media is de magnetische energiedichtheid $w_m = B^2 / (2\mu_0) - 1/2 M_{rev} \cdot B$ .
### Implicaties
* De methode van virtuele arbeid kan worden gebruikt om krachten en koppels te berekenen, zelfs wanneer exacte veldoplossingen moeilijk te verkrijgen zijn .
* Strooi-velden rondom diëlektrica of geleiders, die de directe krachtberekening bemoeilijken, kunnen bij de virtuele arbeid methode vaak worden genegeerd of benaderd .
* De methode biedt een nauwkeurige schatting van de horizontale kracht op een zwevende geleider, zelfs met stroomvelden .
* Het principe van virtuele arbeid is toepasbaar op zowel elektrische (EQS) als magnetische (MQS) systemen .
### Voorbeeld
* De berekening van de kracht op een zwevende geleider in het veld van twee andere geleiders illustreert de toepassing van de virtuele arbeid methode .
* Voor deze zwevende geleider wordt de kracht berekend met de formule $F_E \cdot dr = 1/2 V_a^2 dC$, wat afhangt van de verandering in capaciteit .
* Een specifiek geometrisch voorbeeld met uniforme veldgebieden leidt tot een formule voor de horizontale kracht per eenheid van verplaatsing .
---
# Polarisatie van diëlektrica
### Kernidee
* Polarisatie in diëlektrica beschrijft het totale dipoolmoment per volume-eenheid ($P$), die afhankelijk is van het aangelegde elektrische veld ($E$) .
* Materialen kunnen gepolariseerd worden door verschuiving van ladingen of heroriëntatie van dipolen .
* Polarisatie kan onderverdeeld worden in elektronische, ionaire en oriëntatiepolarisatie .
### Belangrijke feiten
* Para-elektrische materialen hebben geen macroscopische polarisatie in afwezigheid van een extern veld .
* Elektronische polarisatie ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de kern .
* Ionaire polarisatie treedt op in materialen met ionaire bindingen waar positieve en negatieve ionen in tegengestelde richting worden gedreven .
* Oriëntatiepolarisatie treedt op in materialen met moleculen die een permanent dipoolmoment bezitten .
* Voor kleine velden is het geïnduceerde dipoolmoment evenredig met het lokale veld: $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$ .
* De polariseerbaarheid ($\alpha$) is een evenredigheidsconstante .
### Belangrijke concepten
* **Lokaal veld ($E_{loc}$):** Het elektrische veld dat een atoom ervaart, opgewekt door alle andere ladingen. Het is niet gelijk aan het macroscopische veld $E$ .
* **Lorentz-veld:** Het elektrische veld in het centrum van een uniform gepolariseerde bol, gelijk aan $-\frac{P}{3\epsilon_0}$ .
* **Kristalveld ($E_{kristal}$):** Het veld opgewekt door naburige atomen in een kristalrooster. Voor kubische roosters is dit nul .
* **Clausius-Mosotti relatie:** Verband tussen susceptibiliteit en massadichtheid: $\frac{\chi_e}{\chi_e + 3} = \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} = \frac{1}{3} \alpha N$ .
* **Foton:** Een kwantum van elektromagnetische straling, essentieel voor elektronovergangen in het kwantummechanische model .
* **Fanon:** Een rooster-trilling met een dispersiecurve $\omega(k)$. Optische fononen kunnen aanleiding geven tot polarisatie .
* **Langevin-functie ($L(x)$):** Beschrijft de gemiddelde cosinus van de hoek tussen een dipool en een elektrisch veld bij oriëntatiepolarisatie .
### Implicaties
* Materialen met grotere atoomnummers (meer elektronen, grotere atoomstraal) vertonen een grotere brekingsindex .
* Alle materialen vertonen absorptie in het UV-gebied door elektronische polarisatie .
* Vaste stoffen kunnen meerdere resonanties vertonen in het infraroodgebied door ionaire polarisatie .
* Water absorbeert meer rood licht dan blauw licht door zijn infraroodabsorptie .
### Voorbeelden
* **Elektronische polarisatie:** Klassiek model van een kern en een verschuifbare elektronenschil .
* **Ionaire polarisatie:** 1D-kristal met twee atomen per eenheidscel, zoals NaCl .
* **Oriëntatiepolarisatie:** Watermoleculen met een permanent dipoolmoment .
### Gevaren
* Voor kleine velden is het lokale veld $E_{loc} \approx E$ .
* Voor hoge frequenties kan de elektronenschil niet snel genoeg reageren, waardoor de polariseerbaarheid nul is .
---
# Polarisatieverschijnselen en hun frequentieafhankelijkheid
### Kernidee
* Polarisatieverschijnselen verklaren hoe materialen reageren op een extern elektrisch veld, wat leidt tot een herverdeling van ladingen.
* De frequentie van het aangelegde veld bepaalt welk type polarisatie dominant is en beïnvloedt de permittiviteit en mogelijke energieverliezen.
### Polarisatiemechanismen en frequentiebereiken
* **Elektronische polarisatie:** Elektronenwolken worden vervormd ten opzichte van de atoomkernen. Dominant bij zeer hoge frequenties (UV) .
* Polariseerbaarheid neemt af naar nul boven de resonantiefrequentie .
* Relatieve permittiviteit nadert 1 .
* **Ionaire polarisatie:** Ionroosters worden verschoven ten opzichte van elkaar.
* Kenmerkend voor het infraroodspectrum met absorptielijnen .
* Resonantiefenomeen met een specifieke frequentie .
* Voor watermoleculen treden dit op in het infrarood .
* **Oriëntatiepolarisatie:** Permanente dipoolmomenten in moleculen proberen zich uit te lijnen met het veld.
* Dominant in vloeistoffen en gassen met permanente dipolen .
* Op lage frequenties (kHz, MHz, microgolf) treedt dit op .
* In vloeistoffen: relaxatieproces met een relaxatietijd $\tau$ .
* In gassen: resonantiestroom .
* **Gassen:**
* Atomen/moleculen zonder permanent dipoolmoment vertonen elektronische en ionaire polarisatie .
* Oriëntatiepolarisatie in gassen gedraagt zich als een resonantieproces .
* **Vloeistoffen:**
* Moleculen met permanente dipolen vertonen oriëntatiepolarisatie (relaxatieproces) .
* De relaxatietijd voor water is ongeveer 25 ps .
* **Visueel spectrum:** Relatieve permittiviteit is redelijk constant en gelijk aan het kwadraat van de brekingsindex .
* **Zeer lage frequenties (kHz, MHz):** Polarisatie en permittiviteit zijn weer grotendeels constant .
### Formules en relaties
* **Permittiviteit met resonantie:**
- $$ \epsilon(\omega) = \epsilon_\infty + \sum_i \frac{\Delta\epsilon_i \omega_{0,i}^2}{\omega_{0,i}^2 - \omega^2 + 2j\delta_i\omega} $$
* **Oriëntatiepolarisatie (statisch):**
### Implicaties
### Fenomenen in materialen
### Veelvoorkomende misvattingen
---
# Magnetisatie: kwantummechanische oorsprong en macroscopische verschijnselen
### Kernidee
* Magnetisatie is een kwantummechanisch verschijnsel; klassieke redenering is onvoldoende .
* Verschillende materialen vertonen verschillende magnetische eigenschappen: diamagnetisch, paramagnetisch, ferromagnetisch, antiferromagnetisch en ferrimagnetisch .
### Kwantummechanische oorsprong van magnetische momenten
* Elektronen bezitten een intrinsiek spinmoment ($s = 1/2$) en een baanmomenent ($l$), die magnetische momenten creëren .
* Het elektronenspinmomenent is $m_{spin} = -g_e \mu_B \frac{\mathbf{s}}{\hbar}$ en het baanmomenent is $m_{orb} = -\mu_B \frac{\mathbf{l}}{\hbar}$ .
* Het Bohr-magneton ($\mu_B$) is een fundamentele eenheid voor magnetische momenten: $\mu_B = 9.274 \times 10^{-24} J/T$ .
* Pauli-uitsluitingsprincipe zorgt ervoor dat volledig gevulde schillen geen netto baan- of spinmomenent hebben .
* Het totale magnetische moment in atomen/ionen is J = L + S, met een Landé-factor $g$ .
* Kristalveldinteracties kunnen in vaste stoffen het netto magnetische moment onderdrukken, behalve in 3d, 4f en 5f schillen .
### Diamagnetisme
* Ontstaat wanneer atomen geen permanent magnetisch moment hebben; externe velden induceren tegengestelde momenten .
* Veroorzaakt door de precessiebeweging van baanmomenten in een extern magnetisch veld .
* De geïnduceerde magnetisatie is tegengesteld aan het veld, wat resulteert in een negatieve susceptibiliteit $\chi_m$ .
* Larmor-diamagnetisme beschrijft deze magnetisatie: $\mathbf{m} = -\mu_0 \frac{Ze^2}{6m_e} \langle r^2 \rangle \mathbf{H}$ .
### Paramagnetisme
* Atomen hebben een permanent magnetisch moment, maar zijn willekeurig georiënteerd door thermische agitatie .
* Bij aanleg van een extern veld richten de dipolen zich deels naar het veld .
* De magnetisatie volgt de Curie-wet: $\chi_m = \frac{C}{T}$ (omgekeerd evenredig met temperatuur) .
* Kwantummechanisch wordt de magnetisatie beschreven met de Brillouin-functie $B_J(x)$ .
* Bij lage temperaturen en kleine velden, $\chi_m = \frac{N \mu_0 g^2 \mu_B^2 J(J+1)}{3kT}$ .
### Ferromagnetisme, Antiferromagnetisme en Ferrimagnetisme
* Ferromagnetisme: permanente momenten richten zich parallel onder de Curie-temperatuur ($T_C$) .
* Oorzaak: uitwisselingsinteractie ($U_{ij} = -2 J_{ij} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j$) tussen spins, gedreven door elektrostatische interactie en Pauli-principe .
* Weiss-moleculair veld ($H_{mol} = \lambda M$) verklaart de sterke interne interactie die ferromagnetisme veroorzaakt .
* Curie-Weiss-wet: $\chi_m(T) = \frac{C}{T - T_C}$ boven de Curie-temperatuur .
* Antiferromagnetisme: naburige momenten richten zich antiparallel; netto magnetisatie is nul. Neel-temperatuur markeert het verdwijnen van ordening .
* Ferrimagnetisme: verschillende magnetische ionen met antiparallelle en parallelle momenten, resulterend in netto magnetisatie (bv. magnetiet Fe$_3$O$_4$) .
### Anisotropie
* Noodzakelijk om het gedrag van ferromagnetische materialen volledig te begrijpen .
* Domeinen: ferromagnetische materialen delen zich op in domeinen met gealigneerde momenten, maar de domeinmagnetisaties zijn niet gealigneerd .
---
# Magnetische ordering en anisotropie in ferromagnetische materialen
### Kernidee
* Magnetische ordering in ferromagnetische materialen wordt veroorzaakt door de uitwisselingsinteractie tussen elektronenspins .
* Anisotropie bepaalt de voorkeursrichting van de magnetisatie, wat cruciaal is voor het gedrag van ferromagneten.
### Kernfeiten
* Ferromagnetisme treedt op onder de Curie-temperatuur, waarboven het materiaal zich paramagnetisch gedraagt .
* De uitwisselingsinteractie $U_{ij} = -2J_{ij}\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j$ drijft de parallelle oriëntatie van spins .
* De uitwisselingsintegraal $J_{ij}$ wordt bepaald door de overlap van golffuncties en is positief voor ferromagneten .
* Het Weiss moleculaire veld, $H_{\text{mol}} = \lambda M$, is een effectieve interne veldsterkte die voortkomt uit de uitwisselingsinteractie .
* Antiferromagnetisme heeft anti-parallelle opstelling van spins en geen netto magnetisatie (bv. MnO) .
* Ferrimagnetisme is een combinatie van parallelle en anti-parallelle spins, resulterend in een netto magnetisatie (bv. magnetiet Fe$_3$O$_4$) .
* Ferromagnetische materialen delen zich spontaan op in magnetische domeinen .
* Magnetokristallijne anisotropie ontstaat door spin-baan koppeling, die voorkeursrichtingen oplegt vanuit de kristalstructuur .
* Anisotropie-energie is veel kleiner dan uitwisselingsenergie, maar bepaalt de richting van de magnetisatie .
* Uniaxiale anisotropie wordt beschreven door $W_u = K_{u1}(\sin \theta)^2 + K_{u2}(\sin \theta)^4$ .
* Kubische anisotropie wordt beschreven door $W_c = K_1(\alpha_1^2\alpha_2^2 + \alpha_2^2\alpha_3^2 + \alpha_3^2\alpha_1^2) + K_2\alpha_1^2\alpha_2^2\alpha_3^2$ .
* Superparamagnetisme treedt op bij voldoende kleine deeltjes waarbij de anisotropie-energie thermisch overwonnen kan worden .
### Kernconcepten
* **Curie-temperatuur ($T_C$):** De temperatuur waarboven de magnetische ordening in ferromagneten verdwijnt .
* **Néel-temperatuur ($T_N$):** De temperatuur waarboven de magnetische ordening in antiferromagneten verdwijnt .
* **Weiss moleculaire veld:** Een effectief intern veld dat voortkomt uit de uitwisselingsinteractie en de magnetisatie bepaalt .
* **Anisotropie:** Het verschijnsel dat magnetische eigenschappen afhankelijk zijn van de richting in het materiaal .
* **Gemakkelijke richting:** Een kristallografische richting waarin de magnetisatie zich bij voorkeur oriënteert .
* **Domeinen:** Regio's in een ferromagneet waar de magnetisaties georiënteerd zijn, maar die onderling willekeurig georiënteerd kunnen zijn in afwezigheid van een extern veld .
### Implicaties
* Boven de Curie-temperatuur gedragen ferromagneten zich paramagnetisch volgens de Curie-Weiss wet: $\chi_m = \frac{C}{T-T_C}$ .
* Voor $T < T_C$ is er een spontane magnetisatie die numeriek bepaald moet worden .
* De anisotropie-energie bepaalt de stabiliteit van magnetisatierichtingen en de drempel voor magnetisatieomkering .
* Kleine deeltjes kunnen superparamagnetisch gedrag vertonen, vergelijkbaar met paramagnetisme, ondanks de aanwezigheid van anisotropie .
* Het Stoner-Wohlfarth model beschrijft de magnetisatie van één-domein deeltjes met anisotropie in een extern veld .
### Voorbeelden
---
# Oefeningen en opgaven over elektromagnetisme
### Directe methodes
* Directe methodes worden gebruikt bij stationaire macroscopische ladings- of stroomverdelingen .
* Velden kunnen berekend worden uit gegeven ladings- of stroomverdelingen met behulp van specifieke formules .
* Magnetisatie (M) kan worden vervangen door magnetische ladingsdichtheid ($\rho^*_m$) en magnetische stroomdichtheid ($\pi^*_m$) in het Chu-model .
* Voor 1D-problemen kunnen velden rechtstreeks berekend worden met de integraalwet van Gauss of Ampère .
### Voorbeelden van 1D-problemen
#### Elektrisch veld van een ladingsvlak
* Een ladingsvlak met dichtheid $\pi$ geeft een elektrisch veld $E(z) = \text{sgn}(z) \frac{\pi}{2\epsilon_0}$ .
* De potentiaal hiervan is $V(z) = \frac{\pi}{\epsilon_0} G_1(z)$, met $G_1(z) = -|z|/2$ .
#### Elektrisch veld van een lijnlading
* Een lijnlading met dichtheid $q$ geeft een radiaal gericht elektrisch veld $E = \frac{q}{2\pi\epsilon_0} \frac{1}{r}$ .
* De potentiaal is $V(r) = -\frac{q}{2\pi\epsilon_0} \ln(r)$ .
#### Elektrisch veld van een puntlading
* De potentiaal van een puntlading is $V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R}$ .
* Het elektrische veld van een puntlading is $E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2} \hat{R}$ .
#### Magnetisch veld van een stroomvlak
* Een stroomvlak met dichtheid $K = K\hat{z}$ in het vlak $x=0$ genereert een magnetisch veld $H = \text{sgn}(x) \frac{K}{2} \hat{y}$ .
* De vectorpotentiaal hiervan is $A = -\mu_0 \frac{K}{2} |x|\hat{z}$ .
#### Magnetisch veld van een lijnstroom
* Een stroom $I$ volgens de z-as genereert een magnetisch veld $H = \frac{I}{2\pi r} \hat{\phi}$ .
* De bijbehorende vectorpotentiaal is $A = -\mu_0 \frac{I}{2\pi} \ln(r) \hat{z}$ .
### Opgaven en toepassingen
* Het berekenen van potentiaal en elektrisch veld op de as van een uniforme schijfvormige ladingsverdeling .
* Onderzoeken van voorwaarden voor een equipotentiaal oppervlak bij ladingen nabij een bol .
* Afleiden van de potentiaal van 3D- en 2D-dipolen .
* Berekenen van ladingsdichtheid voor een electreet-microfoon model .
* Bepalen van het elektrisch veld buiten een holle geleidende bol met ladingen erin .
* Berekenen van magnetische veldsterkte en vectorpotentiaal voor een geleider met uniforme stroomverdeling .
* Bepalen van het magnetisch veld en potentiaal in een holte met een excentrische stroomvoerende geleider .
* Berekenen van het B-veld van een oppervlaktestroomdichtheid op een lijnstuk .
* Bepalen van de vectorpotentiaal en H-veld van een cirkelvormige lijnstroom .
* Berekenen van het elektrisch veld in het centrum van een homogeen gepolariseerde sfeer .
* Berekenen van magnetische velden uit magnetische ladingsdichtheid of stroomdichtheid .
---
# De scheiding der variabelen methode in verschillende coördinatenstelsels
### Core idea
* De methode van scheiding der variabelen zoekt oplossingen voor de Laplace-vergelijking in de vorm van een product van functies, elk afhankelijk van één variabele .
* Dit leidt tot een set van gewone differentiaalvergelijkingen, elk met een constante scheidingsfactor .
* De algemene oplossing is een lineaire combinatie van deze gescheiden oplossingen om aan de randvoorwaarden te voldoen .
* De methode is toepasbaar in Cartesiaanse, cilindrische en sferische coördinatenstelsels .
### Key facts
* In Cartesiaanse coördinaten wordt de Laplace-vergelijking $\frac{\partial^2V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ beschouwd .
* Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)$ .
* Elk van de functies voldoet aan $\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \pm c_1^2$, $\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = \pm c_2^2$, $\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = \pm c_3^2$, met $\sum \pm c_i^2 = 0$ .
* Mogelijke oplossingen voor $X(x)$ zijn lineaire combinaties van $e^{\pm c_1x}$, $\sinh(c_1x)$, $\cosh(c_1x)$, $\sin(c_1x)$, $\cos(c_1x)$, of $x$ en $1$ .
* De oplossingsgebieden moeten begrensd zijn door coördinaatvlakken (rechthoek of balk) .
* Randvoorwaarden moeten op één na homogeen zijn; niet-homogene randvoorwaarden leiden tot Fourier-reeksen .
* In cilindrische coördinaten is de Laplace-vergelijking: $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ .
* Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(r, \phi, z) = R(r)\Phi(\phi)Z(z)$ .
* Als $V$ onafhankelijk is van $z$, zijn de vergelijkingen voor $\Phi$ en $R$: $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -c^2$ en $\frac{1}{R}\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) = c^2$ .
* Oplossingen voor $\Phi(\phi)$ zijn $\sin(c\phi)$ en $\cos(c\phi)$ (periodiek, $c=n$), of $1$ en $\phi$ (niet-periodiek) .
* Oplossingen voor $R(r)$ zijn $r^{\pm c}$ (voor $c \neq 0$) of $\ln r$ en $1$ (voor $c=0$) .
* In sferische coördinaten is de Laplace-vergelijking: $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{(r\sin\theta)^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right) = 0$ .
* Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(r, \theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$ .
* Voor periodieke oplossingen in $\phi$ en $\theta$, zijn de oplossingen $R(r) \sim r^n$ of $r^{-(n+1)}$, $\Phi(\phi) \sim \sin(m\phi), \cos(m\phi)$, en $\Theta(\theta) \sim P_n^m(\cos\theta)$ (geassocieerde Legendre-polynomen) .
### Key concepts
* **Scheidingsconstanten:** De constanten $(\pm c_i^2)$ die ontstaan na het scheiden van de variabelen .
* **Superpositieprincipe:** Omdat de Laplace-vergelijking lineair is, is een lineaire combinatie van gescheiden oplossingen ook een oplossing .
* **Homogene randvoorwaarden:** Randvoorwaarden die nul zijn. Deze beperken de mogelijke scheidingsconstanten tot discrete waarden .
* **Fourier-reeks:** Gebruikt om de coëfficiënten van de superpositie te bepalen door gebruik te maken van de niet-homogene randvoorwaarde .
* **Orthogonaliteit:** De eigenschap van functies (zoals sinussen of Legendre-polynomen) die gebruikt wordt om Fourier-coëfficiënten te berekenen .
* **Geassocieerde Legendre-polynomen:** Speciale functies die de oplossingen voor de hoekafhankelijke delen in sferische coördinaten vormen .
### Implications
* De methode vereist dat het domein begrensd is door coördinaatvlakken (rechthoekig, cilindrisch, sferisch) .
### Example
---
# Elektrostatische problemen en veldverdelingen
### Kernidee
* Problemen met elektrostatische veldverdelingen kunnen worden opgelost door geschikte randvoorwaarden toe te passen op de potentiaal of het elektrische veld .
* De oplossing van de Laplace- of Poisson-vergelijking bepaalt de potentiaal, waaruit vervolgens het elektrische veld en de ladingsverdelingen kunnen worden afgeleid .
### Belangrijke concepten
* Randvoorwaarden bij $r \to \infty$ stellen vaak dat de potentiaal of het veld verdwijnt of een uniforme waarde aanneemt .
* Randvoorwaarden in de oorsprong vereisen dat de potentiaal eindig blijft .
* De potentiaal wordt uitgedrukt in een som van afzonderlijke oplossingen die voldoen aan de homogene vergelijking .
* Niet-homogene randvoorwaarden worden gebruikt om specifieke oplossingen te selecteren en constanten te bepalen .
* Binnen een geleidende sfeer heerst in het algemeen een homogeen veld, terwijl buiten de sfeer een dipoolveld ontstaat bovenop het aangelegde veld .
* De stroomlijnen kunnen worden aangetrokken of afgestoten door de sfeer, afhankelijk van de geleidbaarheid van de sfeer ten opzichte van het medium .
* Op het oppervlak van de sfeer kan een ladingsdichtheid verschijnen, bepaald door het verschil in permittiviteit en geleidbaarheid .
* De ladingsdichtheid $\pi$ op een sfeeroppervlak is evenredig met de cosinus van de polaire hoek $\theta$ .
* Het teken van de lading wordt bepaald door het verschil tussen $\frac{\sigma'}{\sigma}$ en $\frac{\epsilon'}{\epsilon}$ .
### Formules en definities
* Potentiaal buiten de sfeer: $V_2(r, \theta) = -E_0 r \cos \theta + A \frac{\cos \theta}{r^2}$ .
* Potentiaal binnen de sfeer: $V_1(r, \theta) = -E'_0 r \cos \theta$ .
* Constante $A$: $A = R^3 E_0 \frac{\sigma' - \sigma}{\sigma' + 2\sigma}$ .
* Ladingdichtheid op het sfeeroppervlak: $\pi(r=R, \theta) = -\epsilon \frac{\partial V_2}{\partial r}\Big|_{r=R} + \epsilon' \frac{\partial V_1}{\partial r}\Big|_{r=R} = \pi_0 \cos \theta$ .
* Constante $\pi_0$: $\pi_0 = 3E_0 \frac{\epsilon\sigma' - \epsilon'\sigma}{\sigma' + 2\sigma}$ .
### Voorbeelden
* Het elektrische veld buiten een weerstand in cartesiaanse coördinaten, met bepaling van ladingsdichtheid op de wand .
* Het veld van een uniform gemagnetiseerde sfeer, waarbij de magnetische potentiaal wordt gebruikt .
* De veldverdeling rond een oneindig lange cilindrische geleider in een ander geleidend medium, met schetsen van stroomlijnen voor verschillende geleidbaarheden .
* Potentiaalverdeling binnen een circulaire cilindervormige geleider met een deel op potentiaal 1 en de rest op potentiaal 0 .
* Het E- en H-veld tussen de geleiders van een coaxiale kabel met een geleidende binnenste geleider en een perfect geleidende buitenste geleider .
* De potentiaal $V(r, \theta)$ en de normale component van het elektrische veld $E_r$ aan het buitenoppervlak van een sfeer met gegeven tangentiële component van het elektrisch veld .
* Bepaling van de potentiaal $V(r, \varphi)$ binnen een cilinder, gegeven de tangentiële component $E_\varphi$ aan het binnenoppervlak .
* Elektrisch veld en oppervlakteladingsdichtheid in een vat met rechthoekige doorsnede gevuld met een vloeistof en met schuine elektroden .
---
# Berekening van krachtenverdelingen in verschillende systemen
### Kernidee
* Krachtenverdelingen in diverse systemen worden berekend met behulp van specifieke formules en methoden, afhankelijk van het systeemtype (EQS of MQS) en materiaaleigenschappen .
### Belangrijke feiten
* Voor quasi-stationaire systemen gelden de formules $T_{pol} = P E$ (EQS) en $T_{pol} = -BM + B \cdot MI$ (MQS) .
* Ladenverdeling voor een EQS-systeem kan worden uitgedrukt in functie van $E$ .
* Stroomverdeling voor een MQS-systeem kan worden uitgedrukt in functie van $B$ .
* De singuliere Lorentz krachtticdheid $\hat{f}_L$ aan een vrij oppervlak van een ideaal zacht ferro-magnetisch materiaal ($\mu = \infty$) hangt af van het $H$-veld buiten en de magnetisatie $M_t$ .
* De krachtticdheid $\hat{f}_E$ kan ook worden bepaald voor dit type materiaal .
* De Poynting vector flux door een sfeer op grote afstand is gelijk aan $VI$, waar $V$ de spanning en $I$ de stroom is .
* Magnetische energie van een uniform gemagnetiseerde sfeer kan berekend worden .
* De virtuele arbeid methode kan worden toegepast op condensatoren met deeltjes diëlektrica .
* De kracht op een beweegbaar blok magnetisch materiaal met een luchtspleet kan bepaald worden met virtuele arbeid .
* De Poynting vector kan berekend worden voor geleidende structuren om energiebalansen te interpreteren .
### Belangrijke concepten
* **Volumekrachtenverdeling ($T_{pol}$):** De kracht per volume-eenheid in een systeem .
* **EQS-systeem:** Electrostatisch systeem, gericht op ladingsverdeling .
* **MQS-systeem:** Magnetostatisch systeem, gericht op stroomverdeling .
* **Lorentz krachtticdheid ($\hat{f}_L$):** Dichtheid van de Lorentz kracht in een medium .
* **Magnetische energie:** Energie opgeslagen in een magnetisch veld .
* **Virtuele arbeid methode:** Een methode om krachten te berekenen door een virtuele verplaatsing te overwegen .
* **Poynting vector:** Geeft de richting en magnitude van de energiestroom per oppervlakte-eenheid weer .
* **Ampèremodel:** Een benadering voor het berekenen van magnetische velden met oppervlaktestromen .
### Implicaties
* De keuze tussen EQS en MQS formules hangt af van het type systeem (elektrisch of magnetisch) .
* Het gedrag van diëlektrica in condensatoren kan worden geanalyseerd met de methode van virtuele arbeid .
* Magnetische kringen met luchtspleten ondervinden aantrekkingskrachten die berekend kunnen worden .
* De energiebalans in circuits, inclusief Joule-verliezen, kan geanalyseerd worden met de Poynting vector .
* Verschillende methoden (bv. Maxwellspanningen vs. virtuele arbeid) kunnen leiden tot vergelijkbare maar potentieel verschillende resultaten voor krachten op diëlektrica .
- > **Tip:** Controleer altijd de specifieke systeemconstanten en materiaaleigenschappen (zoals $\epsilon$, $\mu$) bij het toepassen van de formules
---
# Vector calculus and tensor operations in physics
### Kernconcepten
* Vectoren en hun operaties (scalair en vectorieel product) vormen de basis voor het beschrijven van fysische grootheden .
* De nabla-operator $(\nabla)$ is een differentiaaloperator die gebruikt wordt voor gradiënt, divergentie en rotor .
* Tensoren breiden het begrip vectoren uit; een rang 2 tensor heeft 9 componenten en kan worden gezien als een uitbreiding van vectoren .
### Belangrijke definities en notaties
* Scalair product: $A \cdot B = A_i B_i$ (sommatie over herhaalde indices) .
* Vectorieel product: $(A \times B)_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k$, met $\epsilon_{ijk}$ het Levi-Civita symbool .
* Nabla-operator: $\nabla_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$ .
* Gratiënt van een scalaire functie $f$: $(\nabla f)_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$ .
* Divergentie van een vectorveld $A$: $\nabla \cdot A = \text{div } A = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$ .
* Rotor van een vectorveld $A$: $(\nabla \times A)_i = \text{rot } A_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial A_k}{\partial x_j}$ .
* Laplaciaan: $\nabla \cdot \nabla = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2_i}$ .
* Tensor rang 2: Tij, met componenten $T_{ij}$ .
* Eenheids-tensor $I$: $I_{ij} = \delta_{ij}$ (Kronecker-delta) .
### Belangrijke vectoridentiteiten
* Scalar triple product: $A \cdot (B \times C) = B \cdot (C \times A) = C \cdot (A \times B)$ .
* Vector triple product: $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ .
* Rotor van een gradiënt: $\nabla \times (\nabla f) = 0$ .
* Divergentie van een rotor: $\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$ .
* Rotor van een rotor: $\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^2 A$ .
* Nabla op een product: $\nabla \cdot (fA) = f(\nabla \cdot A) + (\nabla f) \cdot A$ .
* Nabla op een product: $\nabla \times (fA) = f(\nabla \times A) + (\nabla f) \times A$ .
### Tensoroperaties
* Diade product: $T_{ij} = A_i B_j$, genoteerd als $T = AB$ .
* Transponeren: $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$ .
* Symmetrische tensor: $\tilde{T} = T$ .
* Antisymmetrische tensor: $\tilde{T} = -T$ .
* Scalair product met tensor: $(A \cdot T)_i = A_j T_{ji}$ en $(T \cdot A)_i = T_{ij} A_j$ .
* Dubbel scalair product: $T: Q = T_{ij} Q_{ij}$ .
### Bijzondere coördinatenstelsels
### Toepassingen
---
# Integralen en stellingen van Gauss en Stokes
### Kernidee
* Vectorcalculus stellingen relateren integralen over een volume/oppervlak aan integralen over de rand ervan.
* Gauss' stelling relateert een volume-integraal aan een oppervlakte-integraal.
* Stokes' stelling relateert een oppervlakte-integraal aan een lijn-integraal.
### Belangrijke feiten
* Voor een domein $V$ met rand $\partial V$ en naar buiten gerichte eenheidsnormaal $\mathbf{n}$: $\iiint_V \frac{\partial f}{\partial x_i} dV = \iint_{\partial V} f n_i dA$ .
* Gauss' divergentiestelling: $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{A}) dA = \iint_{\partial V} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a}$ .
* Gauss' stelling voor scalaire functie: $\iiint_V (\nabla f) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} f) dA = \iint_{\partial V} f d\mathbf{a}$ .
* Gauss' stelling voor rotatie: $\iiint_V (\nabla \times \mathbf{A}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \times \mathbf{A}) dA$ .
* Gauss' stelling voor een tensor $\mathbf{T}$: $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{T}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{T}) dA = \iint_{\partial V} \tilde{\mathbf{T}} \cdot d\mathbf{a}$ .
* Stokes' stelling voor een oppervlak $S$ met randcurve $\partial S$: $\iint_S (\mathbf{n} \cdot \nabla \times \mathbf{A}) dA = \iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$ .
* Stokes' stelling voor een scalaire functie: $\iint_S (\mathbf{n} \times \nabla f) dA = \oint_{\partial S} f d\mathbf{l}$ .
* Voor een 2D domein wordt Gauss' stelling: $\iint_S (\nabla \cdot \mathbf{A}) dA = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{b} dl$ .
* $d\mathbf{a} = \mathbf{n} dA$, $d\mathbf{l}$ is een tangentiële vector aan de randcurve.
### Belangrijke concepten
* Divergentietheorie: Linkt de flux uit een volume aan de divergentie binnenin.
* Rotatietheorie: Linkt de circulatie rond een randcurve aan de rotatie op het oppervlak.
* Distributies: Verbreding van het functiebegrip om singulariteiten zoals puntladingen te behandelen .
* Oppervlaktedivergentie: $\nabla_S \cdot \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} - \mathbf{n} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mathbf{n}}$ .
* De normaalvector $\mathbf{n}$ moet naar buiten gericht zijn voor Gauss' stelling.
* De omloopzin van de randcurve moet gekoppeld zijn aan de normaalvector via de kurkentrekkerregel voor Stokes' stelling.
### Implicaties
* Vereenvoudigt berekeningen door integralen over een hoger-dimensionaal gebied te transformeren naar een lager-dimensionaal gebied.
* Essentieel voor veldentheorieën zoals elektromagnetisme en vloeistofdynamica.
* Stellingen gelden ook voor domeinen die niet aan zeer restrictieve voorwaarden voldoen, mits distributies worden gebruikt .
* Geldigheid van de stellingen vereist bepaalde voorwaarden aan de functie en het domein .
### Tips
- > **Tip:** Visualiseer de stellingen: Denk aan water dat uit een vat stroomt (Gauss) versus de circulatie van een vloeistof rond een gat (Stokes)
- > **Tip:** De notatie $d\mathbf{a}$ en $d\mathbf{l}$ zijn vectoriële differentiaal-elementen
- Voor $d\mathbf{a}$ is dit de normaalvector maal het oppervlakte-element $dA$, en voor $d\mathbf{l}$ is dit de tangentiële vector maal het lengte-element $dl$
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Quasi-stationair systeem | Een systeem waarbij de tijdsafhankelijke veranderingen langzaam genoeg verlopen om in elke instantie te kunnen spreken van een quasi-statische toestand, waarbij de effecten van traagheid verwaarloosbaar zijn. |
| Volumekrachtenverdeling | De ruimtelijke verdeling van krachten die binnen een bepaald volume van een medium optreden, vaak veroorzaakt door externe velden of interne eigenschappen van het materiaal. |
| Uniform isotroop lineair medium | Een materiaal dat in alle richtingen dezelfde fysische eigenschappen heeft (isotroop) en waarbij de respons lineair is met de aangelegde stimulus, zonder variatie in ruimte (uniform). |
| Ladingsvrij systeem | Een systeem waarin de netto elektrische lading nul is, wat impliceert dat er geen netto elektrische ladingen aanwezig zijn die de elektrische velden veroorzaken. |
| Stroomvrij systeem | Een systeem waarin de netto elektrische stroom nul is, wat betekent dat er geen netto beweging van ladingen plaatsvindt die een magnetisch veld zou kunnen genereren. |
| Singuliere Lorentz-krachtdichtheid | De dichtheid van de Lorentz-kracht die optreedt op een vrij oppervlak van een materiaal, specifiek in situaties waar de magnetische permeabiliteit oneindig is, wat leidt tot een discontinuïteit in het magnetische veld. |
| Ideaal zacht ferromagnetisch materiaal | Een magnetisch materiaal met een oneindig grote magnetische permeabiliteit ($\mu = \infty$), wat betekent dat het magnetische veld binnen het materiaal nul is en alle magnetische flux zich concentreert op het oppervlak. |
| H-veld buiten het materiaal | Het magnetische veldintensiteit (H-veld) dat zich buiten de grenzen van een magnetisch materiaal bevindt, wat de externe magnetische omstandigheden beschrijft. |
| Tangentiële componenten van de magnetisatie | De componenten van de magnetisatievector die parallel lopen aan het oppervlak van het materiaal, welke cruciaal zijn voor het bepalen van de krachten op het oppervlak. |
| Magnetische energie | De energie die opgeslagen is in een magnetisch veld, gerelateerd aan de magnetische permeabiliteit van het medium en de sterkte van het magnetische veld. |
| Vector van Poynting | Een vector die de richting en grootte van de energiestroom per oppervlakte-eenheid in een elektromagnetisch veld aangeeft. |
| Joule-verliezen | Energieverlies in de vorm van warmte als gevolg van de elektrische weerstand wanneer stroom door een geleider vloeit. |
| Tensor | Een wiskundige entiteit die een uitbreiding is van het begrip vector, gekenmerkt door een rang en een bepaald aantal componenten die transformeren volgens specifieke regels onder coördinatentransformaties. |
| Rang van een tensor | Het aantal indices dat nodig is om een component van de tensor uniek te specificeren. Een tensor van rang 2 heeft bijvoorbeeld componenten $T_{ij}$. |
| Diade | Een tensor van rang 2 die geconstrueerd wordt uit twee vectoren, waarbij de componenten worden gegeven door het product van de corresponderende componenten van de twee vectoren, $T_{ij} = A_i B_j$. Dit wordt ook wel een tensorproduct of uitwendig product genoemd. |
| Getransponeerde tensor | Een tensor $\tilde{T}$ waarvan de componenten zijn verwisseld ten opzichte van de oorspronkelijke tensor $T$, zodanig dat $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$. |
| Symmetrische tensor | Een tensor die gelijk is aan zijn getransponeerde, $\tilde{T} = T$, wat betekent dat $\tilde{T}_{ij} = T_{ij}$. |
| Antisymmetrische tensor | Een tensor die gelijk is aan het negatief van zijn getransponeerde, $\tilde{T} = -T$, wat betekent dat $\tilde{T}_{ij} = -T_{ji}$. |
| Eenheidstensor | Een speciale tensor, aangeduid met $I$, waarvan de componenten gelijk zijn aan de Kronecker-delta, $I_{ij} = \delta_{ij}$. |
| Kronecker-delta | Een functie die 1 is als de indices gelijk zijn en 0 als de indices ongelijk zijn, gedefinieerd als $\delta_{ij} = 1$ voor $i=j$ en $\delta_{ij} = 0$ voor $i \neq j$. |
| Dubbel scalair product van tensoren | Een operatie tussen twee tensoren van dezelfde rang, aangeduid met twee punten tussen de tensoren, waarbij gesommeerd wordt over de overeenkomstige indices, $T:Q = T_{ij}Q_{ij}$. |
| Gradiënt van een vector | Het tensorproduct van de nabla-operator met een vectorveld, wat resulteert in een tensor van rang 2. De componenten zijn gegeven door $(\nabla A)_{ij} = \frac{\partial A_j}{\partial x_i}$. |
| Divergentie van een tensorveld | Het scalaire product van de nabla-operator met een tensorveld, wat resulteert in een vectorveld. De componenten zijn gegeven door $(\nabla \cdot T)_i = \frac{\partial T_{ji}}{\partial x_j}$. |
| Polaire vector | Een vector die transformeert zoals de positievector onder een ruimtelijke inversie, wat betekent dat de componenten van teken veranderen ($x \rightarrow -x$). |
| Term | Definitie |
| Gauss-wetten | Een reeks vergelijkingen die de relatie beschrijven tussen een integraal over een volume en een integraal over de rand van dat volume, met betrekking tot divergentie van vectorvelden of gradiënten van scalaire velden. |
| Divergentie (∇ · A) | Een vectoroperator die de "uitstroom" van een vectorveld uit een infinitesimaal volume meet. Het wordt berekend als de som van de partiële afgeleiden van de componenten van het vectorveld naar de corresponderende coördinaten. |
| Gradiënt (∇f) | Een vectoroperator die de richting en de maximale mate van verandering van een scalair veld aangeeft. Het is een vector waarvan de componenten de partiële afgeleiden van het scalaire veld zijn. |
| Oppervlakte-integraal | Een integraal berekend over een oppervlak. In de context van de stellingen van Gauss en Stokes, wordt deze vaak gebruikt om de flux van een vectorveld door een oppervlak te berekenen. |
| Volume-integraal | Een integraal berekend over een volume. In de context van de stellingen van Gauss en Stokes, wordt deze gebruikt om de divergentie van een vectorveld over een volume te integreren. |
| Randkromme (∂S) | De grens van een oppervlak S. In de stelling van Stokes is dit de lijn die het oppervlak omsluit. |
| Eenheidsnormaal (n) | Een vector met lengte één die loodrecht staat op een oppervlak. De richting van de normaal kan naar binnen of naar buiten gericht zijn, afhankelijk van de conventie. |
| Stelling van Gauss | Een fundamentele stelling in de vectorcalculus die stelt dat de flux van een vectorveld door een gesloten oppervlak gelijk is aan de integraal van de divergentie van het veld over het volume dat door het oppervlak wordt omsloten. |
| Stelling van Stokes | Een fundamentele stelling in de vectorcalculus die de relatie legt tussen de lijnintegraal van een vectorveld rond een gesloten kromme en de oppervlakte-integraal van de rotatie van dat veld over elk oppervlak dat door de kromme wordt begrensd. |
| Rotatie (∇ × A) | Een vectoroperator die de "draaiing" of "werveling" van een vectorveld meet. Het wordt berekend met behulp van de kruisproduct van de nabla-operator en het vectorveld. |
| Substantiele afgeleide | De totale verandering van een veld (scalair of vectorieel) die wordt waargenomen door een waarnemer die meebeweegt met een bepaald deeltje of medium. Het omvat zowel de lokale verandering als de verandering door de beweging van het deeltje. |
| Quasi-stationaire velden | Een benadering voor tijdsafhankelijke elektromagnetische problemen waarbij de voortplanting van storingen als ogenblikkelijk wordt beschouwd, omdat de afmetingen van het studieobject klein zijn ten opzichte van de golflengte of de tijdsschaal van de storingen. |
| Ladingsrelaxatie | Het proces waarbij een oorspronkelijk aanwezige ladingsdichtheid in een geleidend medium exponentieel afneemt in de tijd, volgens de vergelijking $ \rho(r, t) = \rho(r, 0)e^{-t/\tau} $, waarbij $ \tau = \epsilon/\sigma $ de relaxatietijd is. |
| Relaxatietijd | De karakteristieke tijd $ \tau = \epsilon/\sigma $ die aangeeft hoe snel een ladingsdichtheid in een homogeen, lineair, isotroop en geleidend medium verdwijnt. |
| Elektro-quasi-statica (EQS) | Een benadering waarbij de tijdsafgeleide van de magnetische inductie in de wet van Faraday wordt verwaarloosd, waardoor de wetten van de elektrostatica (benaderend) geldig blijven. |
| Magneto-quasi-statica (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafgeleide van de elektrische inductie in de wet van Ampère wordt verwaarloosd. |
| Doorschuivingsstroomdichtheid | De bijdrage $ \partial D / \partial t $ in de wet van Ampère, die een magnetisch veld opwekt op dezelfde manier als een vrije stroomdichtheid $ J $. |
| Magnetische scalaire potentiaal | Een potentiaal $ U $ die wordt gebruikt om het magnetisch veld $ H $ te beschrijven in een stroomvrij gebied, waarbij $ H = -\nabla U $. Deze potentiaal kan echter discontinu zijn over sneden die het gebied enkelvoudig samenhangend maken. |
| Enkelvoudig samenhangend gebied | Een gebied waarin elke gesloten kromme kan worden gereduceerd tot een punt zonder het gebied te verlaten. Gebieden die niet enkelvoudig samenhangend zijn, zoals een torus, vereisen sneden om de magnetische scalaire potentiaal te definiëren. |
| Magnetisch netwerk | Een analogie die wordt gebruikt om magnetostatische problemen te herleiden tot een equivalent elektrisch netwerk, waarbij magnetische flux overeenkomt met elektrische stroom en magnetische weerstand (reluctantie) overeenkomt met elektrische weerstand. |
| Reluctantie | De magnetische tegenhanger van elektrische weerstand in een magnetisch circuit, gedefinieerd als $ \Re \approx l/(\mu S) $ voor een homogeen materiaal met doorsnede $ S $ en lengte $ l $. |
| Inductiecoëfficiënten | De evenredigheidscoëfficiënten $ L_{ij} $ die de magnetische flux $ \Phi_i $ gekoppeld aan kring $ C_i $ relateren aan de stromen $ I_j $ in de kringen, volgens $ \Phi_i = \sum_j L_{ij}I_j $. |
| Zelfinductiecoëfficiënt | De inductiecoëfficiënt $ L_{ii} $ die de flux koppelt die wordt opgewekt door de stroom in een kring zelf, door diezelfde kring. |
| Geïnduceerd elektrisch veld ($E_i$) | Het deel van het elektrische veld dat wordt opgewekt door een veranderende magnetische inductie, volgens de wet van Faraday ($\nabla \times E_i = -\partial B / \partial t$). |
| Elektrostatisch veld ($E_e$) | Het deel van het elektrische veld dat wordt veroorzaakt door elektrische ladingen en waarvoor de kringintegraal nul is ($\nabla \times E_e = 0$). |
| Veldverplaatsingsstroomdichtheid | De tijdsafgeleide van de elektrische verplaatsingsdichtheid, $\partial D / \partial t$, die in de MQS-benadering verwaarloosbaar is. |
| Wet van Faraday | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die stelt dat een veranderend magnetisch veld een elektromotorische kracht (en dus een elektrisch veld) induceert in een gesloten kring. |
| Veldlijnin tegraal | De integraal van een veld langs een gesloten kromme. Voor een elektrostatisch veld is deze integraal altijd nul, terwijl deze voor een geïnduceerd elektrisch veld niet nul is. |
| V ectorpotentiaal ($A$) | Een vectorveld waarvan de krul gelijk is aan het magnetische veld ($B = \nabla \times A$). Het wordt gebruikt om het elektrische veld te beschrijven in de vorm $E = -\partial A / \partial t - \nabla V$. |
| Zelfinductie ($L$) | Een eigenschap van een spoel die de verhouding aangeeft tussen de magnetische flux die door de spoel gaat en de stroom die de flux veroorzaakt. Het beschrijft de weerstand tegen verandering van de stroom. |
| Oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$) | De hoeveelheid elektrische lading per oppervlakte-eenheid op een grensvlak. |
| Sprongconditie | Een relatie die geldt voor de discontinuïteit van velden over een grensvlak, zoals de tangentiële componenten van het elektrische veld of de normale componenten van de magnetische inductie. |
| Quasi-stationair (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafhankelijkheid van elektromagnetische velden wordt vereenvoudigd, met name door de verwaarlozing van bepaalde termen in de Maxwell-vergelijkingen, wat leidt tot vereenvoudigde transformatieformules voor velden in bewegende systemen. |
| Impedantie (per eenheidslengte) | De verhouding van de spanning tot de stroom in een geleider of circuit, die de weerstand tegen de elektrische stroom weergeeft. In de context van coaxiale kabels is dit afhankelijk van de frequentie en de fysieke eigenschappen van de kabel. |
| Huidige diepte (skin depth) | De diepte in een geleider waar de elektrische stroom afneemt tot ongeveer 37% van zijn waarde aan het oppervlak. Dit fenomeen is frequentieafhankelijk en beïnvloedt de stroomverdeling in geleiders bij hogere frequenties. |
| Magnetohydrodynamica (MHD) | Een tak van de natuurkunde die de dynamica van geleidende vloeistoffen en plasma's bestudeert, waarbij de interactie tussen magnetische velden en de beweging van de vloeistof centraal staat. |
| Ferrofluïdum | Een vloeistof die ferromagnetische deeltjes bevat en sterk wordt aangetrokken door magnetische velden, waardoor de vloeistof kan worden gemanipuleerd door externe magnetische krachten. |
| Transformatieformules | Vergelijkingen die beschrijven hoe fysische grootheden, zoals elektrische en magnetische velden, veranderen wanneer men overgaat van het ene inertiaalstelsel naar het andere, met name in de context van bewegende media. |
| Constitutieve vergelijkingen | Vergelijkingen die de relatie beschrijven tussen de verschillende elektromagnetische velden (zoals $\vec{D}$, $\vec{E}$, $\vec{B}$, $\vec{H}$) en de materiaaleigenschappen (zoals $\sigma$, $\chi_e$, $\chi_m$) in een medium. |
| Integraalwet van Faraday | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die stelt dat een verandering in de magnetische flux door een gesloten kring een elektromotorische kracht (emk) induceert in die kring. De algemene vorm omvat ook de beweging van het oppervlak. |
| Transporttheorema | Een wiskundig principe dat de tijdsafgeleide van een integraal van een vectorveld over een bewegend oppervlak relateert aan lokale tijdsafgeleiden en termen die verband houden met de beweging van het oppervlak zelf. |
| Materie-oppervlak | Een oppervlak dat vastgehecht is aan de materie, wat betekent dat het oppervlak meebeweegt met het medium waarin het zich bevindt. |
| Elektromotorische kracht (emk) | De spanning die wordt opgewekt door een elektrische bron of door inductie. In bewegende media kan de emk worden opgedeeld in een deel door tijdsveranderende stromen en een deel door beweging. |
| Sprongcondities | Vergelijkingen die de continuïteit of discontinuïteit van elektromagnetische velden beschrijven aan grensvlakken tussen verschillende media, met name wanneer er ladingen of stromen aan het grensvlak aanwezig zijn. |
| Lorentz-kracht | De kracht die een geladen deeltje ondervindt wanneer het zich verplaatst in een elektromagnetisch veld. Deze kracht is evenredig met de lading van het deeltje, de snelheid van het deeltje en de sterkte van het elektrische en magnetische veld. |
| Microscopische krachtdichtheid | De som van de Lorentz-krachten op alle ladingen binnen een enkel bouwsteen van een materieel medium, op elk moment. Dit is een gedetailleerde weergave van de krachten op het meest fundamentele niveau. |
| Macroscopische krachtdichtheid | De gemiddelde krachtdichtheid over een bepaald volume, verkregen door de microscopische krachtdichtheid uit te middelen. Dit geeft een overzicht van de krachten op een grotere schaal, waarbij het medium als continuüm wordt beschouwd. |
| Behoud van massa | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale massa in een geïsoleerd systeem constant blijft, ongeacht de processen die binnen het systeem plaatsvinden. Dit principe wordt wiskundig uitgedrukt door de vergelijking $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$. |
| Impulswet (Eerste wet van Newton voor een continuüm) | De wet die de verandering van de impuls van een continuüm beschrijft, rekening houdend met externe krachten en interne spanningen. De lokale differentiële vorm is $\rho_m \frac{dv}{dt} = f + \nabla \cdot T$. |
| Cauchy-spanningstensor (T) | Een wiskundige tensor die de interne spanningen binnen een continu medium beschrijft. De componenten van deze tensor geven de krachten weer die op een oppervlak binnen het medium worden uitgeoefend door de omliggende materie. |
| Volumekrachtdichtheid (f) | De kracht per eenheid volume die op een continuüm werkt, exclusief de krachten die door oppervlaktecontact worden uitgeoefend. Dit kan bijvoorbeeld de zwaartekracht of een externe elektromagnetische kracht zijn. |
| Spanningsterm ($\nabla \cdot T$) | De bijdrage aan de bewegingsvergelijking die voortkomt uit de gradiënt van de spanningstensor. Deze term beschrijft de effecten van interne krachten die worden overgedragen via contact tussen naburige delen van het medium. |
| Elektrisch dipoolmoment (p) | Een maat voor de scheiding van positieve en negatieve ladingen binnen een systeem. Het is een vector die de sterkte en richting van de polarisatie van een object aangeeft. |
| Magnetisch dipoolmoment (m) | Een maat voor de magnetische sterkte van een object, vergelijkbaar met hoe het elektrische dipoolmoment de elektrische polarisatie beschrijft. Het is gerelateerd aan de stroomlussen of intrinsieke magnetische eigenschappen van de deeltjes. |
| Kracht op een elektrisch dipool in een extern veld | De kracht die een elektrisch dipool ondervindt in een niet-uniform elektrisch veld. Deze kracht is evenredig met het dipoolmoment en de gradiënt van het elektrische veld, en is gericht naar gebieden met een hogere veldsterkte. |
| Langevin functie | Een wiskundige functie die de gemiddelde magnetisatie van een paramagnetisch materiaal beschrijft als functie van de aangelegde magnetische veldsterkte en temperatuur. |
| Lokaal veld | Het magnetische veld dat een magnetisch moment ervaart binnen een materiaal, rekening houdend met de bijdrage van de omringende magnetische momenten. |
| Supergeleiders | Materialen die bij zeer lage temperaturen hun elektrische weerstand verliezen en zich gedragen als ideale diamagneten, waarbij ze magnetische velden volledig uitstoten (Meissner-effect). |
| Uitwisselingsinteractie | Een kwantummechanisch effect dat de interactie tussen elektronen in naburige atomen beschrijft, en dat de oorzaak is van magnetische ordering zoals ferromagnetisme. |
| Curie temperatuur | De temperatuur boven welke een ferromagnetisch materiaal zijn magnetische eigenschappen verliest en zich gedraagt als een paramagneet. |
| Weiss moleculair veld | Een fictief, intern magnetisch veld dat wordt verondersteld te bestaan binnen een ferromagnetisch materiaal, als gevolg van de uitwisselingsinteractie tussen magnetische momenten. |
| Saturatiemagnetisatie | De maximale magnetisatie die een materiaal kan bereiken wanneer alle magnetische momenten volledig parallel aan elkaar zijn georiënteerd. |
| Brillouin functie | Een wiskundige functie die de gemiddelde magnetisatie van een paramagnetisch materiaal beschrijft, afhankelijk van de spin van de atomen en de verhouding van magnetische energie tot thermische energie. |
| Curie-Weiss wet | Een wet die het gedrag van ferromagnetische materialen boven de Curie temperatuur beschrijft, waarbij de magnetische susceptibiliteit omgekeerd evenredig is met het verschil tussen de temperatuur en de Curie temperatuur. |
| Antiferromagnetisme | Een magnetische ordering waarbij de magnetische momenten van naburige atomen antiparallel aan elkaar georiënteerd zijn, wat resulteert in een netto magnetisatie van nul. |
| Néel temperatuur | De temperatuur boven welke een antiferromagnetisch materiaal zijn magnetische ordering verliest en zich gedraagt als een paramagneet. |
| Ferrimagnetisme | Een magnetische ordering waarbij de magnetische momenten van verschillende soorten atomen antiparallel aan elkaar georiënteerd zijn, maar met ongelijke groottes, wat resulteert in een netto magnetisatie. |
| Magnetostatische energie | De energie die geassocieerd wordt met de magnetische interactie tussen magnetische dipolen binnen een ferromagnetisch materiaal. Deze energie wordt geminimaliseerd door de vorming van domeinen. |
| Wisselwerkingsenergie (uitwisselingsenergie) | Een sterke, lokale interactie tussen naburige spins in een ferromagnetisch materiaal die probeert deze spins parallel te oriënteren. |
| Anisotropie-energie | De energie die gerelateerd is aan de voorkeursrichtingen van magnetisatie in een kristal, veroorzaakt door de kristalstructuur. |
| Domein | Een regio binnen een ferromagnetisch materiaal waarin de magnetisatie uniform is en georiënteerd is langs een gemakkelijke richting. |
| Domeinmuur | Het overgangsgebied tussen twee aangrenzende magnetische domeinen, waarin de magnetisatie geleidelijk verandert van de ene richting naar de andere. |
| Domeinmuur energie | De totale energie die geassocieerd wordt met een domeinmuur, bestaande uit de bijdragen van de wisselwerkingsenergie en de anisotropie-energie. |
| Bloch-muur | Een type domeinmuur waarbij de magnetisatie uniform draait in het vlak van de muur, zonder toename van de magnetostatische energie. |
| Technisch magnetisatie | Het proces waarbij een ferromagnetisch materiaal magnetiseert onder invloed van een extern magnetisch veld, bestaande uit reversibele en irreversibele processen zoals domeinmuurverplaatsing en rotatie van magnetisatie. |
| Initiële magnetisatiekromme (maagdelijke kromme) | De magnetisatiecurve die wordt verkregen wanneer een ferromagnetisch materiaal voor het eerst wordt gemagnetiseerd vanaf nul magnetisatie. |
| Domeinmuurverplaatsing | Het proces waarbij de grenzen tussen magnetische domeinen verschuiven als reactie op een extern magnetisch veld, wat leidt tot een netto magnetisatie. |
| Barkhausen sprongen | Waarneembare, irreversibele sprongen in de magnetisatie die optreden tijdens domeinmuurverplaatsing, veroorzaakt door het loskomen van verankerde domeinmuren. |
| Scalair product (inwendig product) | Het scalaire product van twee vectoren wordt weergegeven met een punt en is gelijk aan de som van de producten van hun corresponderende componenten. Voor vectoren A en B geldt: $A \cdot B = A_i B_i$, waarbij impliciet wordt gesommeerd over herhaalde indices. |
| Vectorieel product (kruisproduct) | Het vectoriële product van twee vectoren kan worden uitgedrukt met behulp van het permutatiesymbool $\epsilon_{ijk}$. De i-de component van het vectoriële product van A en B is $ (A \times B)_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k $. |
| Permutatiesymbool ($\epsilon_{ijk}$) | Dit symbool, ook wel het Levi-Civita symbool genoemd, is 1 voor een even permutatie van (1,2,3), -1 voor een oneven permutatie, en 0 als ten minste twee indices gelijk zijn. Het wordt gebruikt bij de definitie van het vectoriële product. |
| Nabla-operator ($\nabla$) | Een differentiaaloperator die kan worden behandeld als een vector. De i-de component is gedefinieerd als $\nabla_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$. Het wordt gebruikt om de gradiënt, divergentie en rotor van velden te definiëren. |
| Gradiënt ($\nabla f$ of grad f) | De gradiënt van een scalaire functie f is een vectorveld waarvan de i-de component gelijk is aan de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat: $(\nabla f)_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$. |
| Divergentie ($\nabla \cdot A$ of div A) | De divergentie van een vectorveld A is een scalair veld dat wordt verkregen door het scalaire product van de nabla-operator met het vectorveld: $\nabla \cdot A = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$. |
| Rotor ($\nabla \times A$ of rot A) | De rotor van een vectorveld A is een vectorveld dat wordt verkregen door het vectoriële product van de nabla-operator met het vectorveld: $(\nabla \times A)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial A_k}{\partial x_j}$. |
| Laplaciaan ($\nabla^2$ of $\nabla \cdot \nabla$) | De Laplaciaan is een tweede-orde differentiaaloperator die wordt verkregen door het scalaire product van de nabla-operator met zichzelf: $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$. |
| Tensor van rang 2 | Een uitbreiding van het vectorbegrip, gekenmerkt door negen componenten in cartesiaanse coördinaten, aangeduid als $T_{ij}$. Een voorbeeld is de diad, gevormd door het uitwendig product van twee vectoren. |
| Diad (AB) | Een tensor die wordt geconstrueerd uit twee vectoren A en B, waarbij de componenten worden gegeven door $T_{ij} = A_i B_j$. Dit wordt ook wel een tensorproduct of uitwendig product genoemd. |
| Getransponeerde tensor ($\tilde{T}$) | De getransponeerde van een tensor T wordt verkregen door de indices te verwisselen: $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$. |
| Materiaal-afgeleide | Een specifieke vorm van de substantiele afgeleide die de verandering van een grootheid beschrijft vanuit het perspectief van een meebewegende waarnemer die de materie volgt. |
| Materie-volume | Een volume dat meebeweegt met de materie, in tegenstelling tot een ruimte-volume dat stilstaat. |
| Ruimte-volume | Een volume dat niet beweegt, waarover geïntegreerd wordt in een vast referentiekader. |
| Transporttheorema voor integraalveranderingen | Een reeks wiskundige stellingen die de tijdsafgeleide van integraalveranderingen beschrijven, rekening houdend met de beweging en vervorming van het integratiegebied. |
| Convectieve afgeleide | Een objectieve grootheid die de verandering van een vector beschrijft vanuit het perspectief van een meebewegende waarnemer die de rotatie van het medium volgt, en die ook de bijdrage van vervorming bevat. |
| Flux-integraal | Een integraal die de netto stroom van een grootheid door een oppervlak beschrijft, waarbij rekening wordt gehouden met de beweging van het oppervlak. |
| Wet van behoud van massa | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale massa in een gesloten systeem constant blijft, wat wiskundig wordt uitgedrukt met behulp van de substantiele afgeleide van de massadichtheid. |
| Divergentie van een veld | Een maat voor de "uitstroom" van een vectorveld uit een infinitesimaal volume, wat aangeeft hoe snel het veld zich vanuit dat punt verspreidt. |
| Rotatie van een veld | Een maat voor de "werveling" van een vectorveld, wat aangeeft hoe sterk het veld rond een punt roteert. |
| Capaciteitscoëfficiënten | Coëfficiënten die de relatie beschrijven tussen ladingen op geleiders en de aangelegde spanningen, waarbij de invloed van oneindig ver weg gelegen ladingen wordt verwaarloosd. |
| Oppervlaktelading | Elektrische lading die zich concentreert op het oppervlak van een geleider, in plaats van verdeeld te zijn over het gehele volume. |
| Doorstromingsstroomdichtheid | De verandering van de elektrische verplaatsingsveldsterkte ($D$) in de tijd, die een rol speelt in de wet van Ampère en de continuïteit van het veld in diëlektrica waarborgt. |
| Ladingsbehoud | Het principe dat de totale elektrische lading in een geïsoleerd systeem constant blijft; de netto verandering van lading in een volume is gelijk aan de netto stroom die door het oppervlak van dat volume stroomt. |
| Capaciteitsnetwerk | Een model dat de elektrische eigenschappen van een systeem, zoals een condensator, voorstelt als een netwerk van onderling verbonden capaciteiten. |
| Magnetisch veld | Een veld dat wordt gecreëerd door bewegende elektrische ladingen (stromen) of door intrinsieke magnetische eigenschappen van materialen. |
| Magnetische inductie | De magnetische veldsterkte ($B$) die wordt opgewekt door stromen of veranderende elektrische velden. |
| Wet van Ampère | Een wet die het verband legt tussen een magnetisch veld en de elektrische stroom die het veroorzaakt, inclusief de bijdrage van veranderende elektrische verplaatsingsvelden. |
| Ladingsrelaxatietijd | De tijd die nodig is voor een overtollige lading in een geleidend medium om zich te verspreiden en te neutraliseren, bepaald door de verhouding tussen de permittiviteit ($\epsilon$) en de geleidbaarheid ($\sigma$) van het materiaal. |
| Permittiviteit | Een maat voor hoe gemakkelijk een diëlektricum gepolariseerd kan worden in reactie op een aangelegd elektrisch veld. Het beschrijft de capaciteit van een materiaal om elektrische energie op te slaan. |
| Polarisatie | Het proces waarbij de positieve en negatieve ladingen binnen een atoom, molecuul of materiaal zich scheiden onder invloed van een extern elektrisch veld, wat resulteert in een netto dipoolmoment. |
| Ionische polarisatie | Polarisatie die optreedt als gevolg van de relatieve verschuiving van positieve en negatieve ionen binnen een kristalrooster of molecuul onder invloed van een elektrisch veld. |
| Elektronische polarisatie | Polarisatie die ontstaat door de vervorming van de elektronenwolk rond een atoomkern onder invloed van een extern elektrisch veld, waardoor een geïnduceerd dipoolmoment ontstaat. |
| Oriëntatiepolarisatie | Polarisatie die optreedt in materialen met permanente dipoolmomenten, waarbij deze dipolen zich proberen uit te lijnen met een aangelegd elektrisch veld, ondanks thermische beweging. |
| Dipoolmoment | Een vectorgrootheid die de scheiding van positieve en negatieve ladingen in een systeem kwantificeert. Het is een maat voor de polariteit van een molecuul of atoom. |
| Langevin-functie | Een wiskundige functie, aangeduid met $L(x)$, die de gemiddelde cosinus van de hoek tussen permanente dipoolmomenten en een extern elektrisch veld beschrijft, rekening houdend met thermische effecten. |
| Clausius-Mosotti relatie | Een vergelijking die het verband legt tussen de macroscopische diëlektrische constante van een materiaal en de microscopische polariseerbaarheid van de individuele moleculen of atomen. |
| Absorptielijn | Een specifieke frequentie (of golflengte) waarbij een materiaal energie absorbeert, vaak geassocieerd met resonantieverschijnselen in moleculen of atomen. |
| Dopplerverbreding | Het verbreden van spectrale lijnen als gevolg van de Dopplerverschuiving van de frequentie van de geëmitteerde of geabsorbeerde straling door de willekeurige thermische beweging van de deeltjes. |
| Diëlektrische constante | Een dimensieloze grootheid die aangeeft hoeveel een diëlektricum de capaciteit van een condensator verhoogt vergeleken met een vacuüm. Het is gerelateerd aan de permittiviteit van het materiaal. |
| Potentiaal | Een scalaire grootheid die de energie per eenheid van lading op een bepaalde locatie in een elektrisch veld aangeeft. Het verschil in potentiaal tussen twee punten definieert het elektrische potentiaalverschil of de spanning. |
| Randvoorwaarden | Condities die worden opgelegd aan de oplossing van een differentiaalvergelijking op de grenzen van het beschouwde domein. Deze voorwaarden zijn essentieel om een unieke oplossing te verkrijgen voor elektrostatische problemen. |
| Homogeen veld | Een elektrisch veld waarbij de veldsterkte en richting constant zijn over het gehele beschouwde gebied. Dit betekent dat de kracht op een testlading overal gelijk is. |
| Dipoolveld | Het elektrische veld dat wordt gegenereerd door een dipool, bestaande uit twee gelijke en tegengestelde ladingen gescheiden door een kleine afstand. De veldlijnen van een dipoolveld zijn karakteristiek gekromd. |
| Evenredigheidsconstante | Een constante die de relatie tussen twee evenredige grootheden bepaalt. In de context van elektrostatica worden deze constanten vaak afgeleid uit de randvoorwaarden van het probleem. |
| Stroomdichtheid | Een vectorgrootheid die de hoeveelheid lading weergeeft die per tijdseenheid door een eenheidsoppervlak stroomt. Het is een maat voor de intensiteit en richting van de elektrische stroom. |
| Veldsterkte | De magnitude van het elektrische veld op een bepaald punt, wat de kracht per eenheid van lading aangeeft. Het wordt vaak aangeduid met de letter $E$. |
| Ladingsdichtheid | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid van volume, oppervlakte of lengte. Oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$) is specifiek de lading per eenheid van oppervlakte. |
| Scalaire magnetische potentiaal | Een scalaire functie die wordt gebruikt om het magnetische veld te beschrijven in gebieden waar geen stromen aanwezig zijn. Het is analoog aan de elektrische potentiaal. |
| Geleidbaarheid | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal elektrische stroom geleidt. Een hoge geleidbaarheid betekent dat ladingen gemakkelijk kunnen bewegen. |
| Equipotentiaallijnen | Lijnen in een elektrisch veld die alle punten met hetzelfde elektrische potentiaal met elkaar verbinden. Ze staan loodrecht op de elektrische veldlijnen. |
| J-lijnen | Lijnen die de richting van de stroomdichtheid aangeven in een geleidend medium. Ze volgen de paden van de elektrische stroom. |
| Magnetisch dipoolmoment | Het magnetisch dipoolmoment ($m$) is een maat voor de magnetische sterkte van een stroomverdeling of een deeltje. Het wordt gedefinieerd als de helft van het integraal van het kruisproduct van de positievector en de stroomdichtheid over het volume. |
| Veld van een elementaire magnetische dipool | Het magnetische veld van een elementaire magnetische dipool wordt beschreven door een formule die afhangt van het magnetisch dipoolmoment en de positie. Dit veld is analoog aan het elektrische veld van een elementaire elektrische dipool. |
| Veldlijnen | Veldlijnen zijn lijnen die de richting van een veld (elektrisch of magnetisch) aangeven. De dichtheid van de veldlijnen is evenredig met de sterkte van het veld. |
| Equipotentialen | Equipotentialen zijn lijnen of oppervlakken waarop het potentiaal (elektrisch of magnetisch) constant is. Ze staan loodrecht op de veldlijnen. |
| Vectorpotentiaal | De vectorpotentiaal ($A$) is een vectorveld dat gerelateerd is aan de magnetische inductie ($B$) door de relatie $B = \nabla \times A$. Het is nuttig voor het oplossen van magnetostatische problemen. |
| Spinmoment | Het spinmoment is een intrinsiek magnetisch moment van deeltjes zoals elektronen, dat voortkomt uit hun spin. Dit draagt bij aan het totale magnetisch dipoolmoment van een atoom. |
| Bohr-magneton | Het Bohr-magneton ($\mu_B$) is de fundamentele eenheid van magnetisch dipoolmoment voor elektronen, gerelateerd aan de constante van Planck en de massa en lading van het elektron. |
| Macroscopische magnetisatie | De macroscopische magnetisatie ($M$) beschrijft het gemiddelde magnetisch dipoolmoment per volume-eenheid in een materiaal. Het is een macroscopische grootheid die het collectieve magnetische gedrag van het materiaal weergeeft. |
| Magnetische polariseerbaarheid | Magnetische polariseerbaarheid is de mate waarin een materiaal magnetisch gepolariseerd kan worden door een extern magnetisch veld. Materialen met een hoge magnetische polariseerbaarheid worden magnetische materialen genoemd. |
| Oppervlaktestroomdichtheid | De oppervlaktestroomdichtheid ($K_m$) treedt op aan grensvlakken waar de magnetisatie een discontinuïteit vertoont. Het beschrijft de stroom die langs het grensvlak vloeit. |
| Stroomdichtheid ($J$) | De hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een eenheidsoppervlak stroomt. In het Ch-formalisme wordt de stroomdichtheid gerelateerd aan de beweging van materie. |
| Magnetisatie ($M$) | Een vectorgrootheid die de gemiddelde magnetische dipoolmomenten per volume-eenheid in een materiaal beschrijft. Het is een relatieve grootheid die afhankelijk is van het referentiekader. |
| Inertiaalstelsel | Een referentiekader waarin een object zonder externe krachten stil blijft staan of met constante snelheid beweegt. De wetten van Maxwell worden verondersteld geldig te zijn in elk inertiaalstelsel. |
| Ether | Een hypothetisch absoluut medium dat de gehele ruimte zou vullen en waarin elektromagnetische golven zich voortplanten met de lichtsnelheid. Dit concept werd verworpen door de relativiteitstheorie. |
| Galilei-transformatie | Een set transformatieformules die de coördinaten van ruimte en tijd tussen twee inertiaalstelsels met constante relatieve snelheid verbinden. Deze transformaties zijn niet compatibel met de relativistische aard van Maxwell's vergelijkingen. |
| Lorentz-transformatie | Een set transformatieformules die de coördinaten van ruimte en tijd tussen twee inertiaalstelsels verbinden, rekening houdend met de lichtsnelheid. Deze transformaties zorgen ervoor dat Maxwell's vergelijkingen invariant blijven. |
| Diëlektricum | Een niet-geleidend materiaal waarin vrije ladingen nauwelijks bewegen. Polarisatie kan in diëlektrica ontstaan door elektronische, ionaire of oriëntatie-effecten. |
| Elektrische susceptibiliteit ($\chi_e$) | Een dimensieloze grootheid die de mate van polarisatie van een diëlektricum onder invloed van een extern elektrisch veld beschrijft. Voor isotrope lineaire materialen is dit een scalair, anders een tensor. |
| Diëlektrische constante ($\epsilon$) | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal een elektrisch veld kan opslaan. Het is gerelateerd aan de elektrische susceptibiliteit en de permittiviteit van het vacuüm. |
| Relatieve permittiviteit ($\epsilon_r$) | De verhouding tussen de diëlektrische constante van een materiaal en de permittiviteit van het vacuüm. Het geeft aan hoe de permittiviteit van het materiaal afwijkt van die van het vacuüm. |
| Ferro-elektrisch materiaal | Een materiaal dat in de afwezigheid van een extern veld een macroscopische spontane polarisatie vertoont. Het verband tussen polarisatie en elektrisch veld is niet eenduidig en vertoont hysteresis. |
| Diffusievergelijking | Een differentiaalvergelijking die de verspreiding van een grootheid, zoals het magnetisch veld, in een medium beschrijft, vaak met een tijdsafhankelijke term die diffusie vertegenwoordigt. |
| Skin-effect (huid-effect) | Het verschijnsel waarbij de stroomdichtheid in een geleider bij hogere frequenties geconcentreerd wordt aan het oppervlak van de geleider, waardoor de effectieve doorsnede voor stroomafname afneemt. |
| Indringdiepte (skin depth) | Een karakteristieke lengte die aangeeft hoe diep een wisselstroom of elektromagnetisch veld doordringt in een geleider. Het is de afstand waarover de amplitude van het veld tot $1/e$ (ongeveer 37%) van zijn waarde aan het oppervlak is afgenomen. |
| Quasi-stationaire benadering (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafhankelijke veranderingen in elektromagnetische velden langzaam genoeg zijn om de verplaatsingsstroom te verwaarlozen ten opzichte van de geleidingsstroom. |
| Symmetrievoorwaarde | Een voorwaarde die wordt opgelegd aan een oplossing van een differentiaalvergelijking, gebaseerd op de symmetrie van het probleem, om de oplossing te vereenvoudigen of te bepalen. |
| Stapantwoording | De respons van een systeem op een plotselinge verandering in de input, zoals het aanzetten van een stroom op tijdstip nul. |
| Sinusregime | Een toestand waarin de wisselende grootheden (zoals spanning en stroom) sinusvormig variëren in de tijd, wat vaak wordt geanalyseerd met behulp van complexe getallen. |
| Impedantie | De totale weerstand tegen wisselstroom in een circuit, die zowel de weerstand als de reactantie (inductieve en capacitieve weerstand) omvat. |
| Poynting vector | De Poynting vector, aangeduid met $S$, beschrijft de richting en grootte van de energiestroom per oppervlakte-eenheid in een elektromagnetisch veld. Het wordt gedefinieerd als het kruisproduct van de elektrische veldsterkte $E$ en de magnetische veldsterkte $H$: $S = E \times H$. |
| Elektromagnetische energiedichtheid | De elektromagnetische energiedichtheid, aangeduid met $w_{EM}$, vertegenwoordigt de hoeveelheid elektromagnetische energie die per volume-eenheid is opgeslagen in een bepaald gebied. Het is de som van de energiedichtheid van het elektrische veld en het magnetische veld: $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2 + \frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0}$. |
| Virtuele arbeid | Het principe van virtuele arbeid stelt dat de mechanische arbeid die verricht wordt door de krachten in een systeem bij een infinitesimale, hypothetische verplaatsing (virtuele verplaatsing) gelijk is aan de verandering in de opgeslagen energie van het systeem. Deze methode vereist minder nauwkeurige veldberekeningen dan directe krachtberekeningen. |
| Polarisatie-energie | Polarisatie-energie is de energie die is opgeslagen in een diëlektricum als gevolg van de polarisatie van het materiaal onder invloed van een extern elektrisch veld. Voor een reversibel en lineair materiaal wordt dit deel van de energiedichtheid gegeven door $\frac{1}{2}P_{rev} \cdot E$. |
| Magnetisatie-energie | Magnetisatie-energie is de energie die is opgeslagen in een magnetisch materiaal als gevolg van de magnetisatie ervan onder invloed van een extern magnetisch veld. Voor reversibele en lineaire materialen wordt dit deel van de energiedichtheid gegeven door $-\frac{1}{2}M_{rev} \cdot B$. |
| EQS-systeem | Een EQS-systeem (Elektrostatisch, Quasi-Stationair) is een benadering waarbij de magnetische velden als verwaarloosbaar klein worden beschouwd ten opzichte van de elektrische velden. Dit is geldig wanneer de snelheden van de bewegende ladingen en de verandering van de velden in de tijd klein zijn. |
| MQS-systeem | Een MQS-systeem (Magnetostatisch, Quasi-Stationair) is een benadering waarbij de elektrische velden als verwaarloosbaar klein worden beschouwd ten opzichte van de magnetische velden. Dit is geldig wanneer de snelheden van de bewegende ladingen en de verandering van de velden in de tijd klein zijn. |
| Magnetische flux | Magnetische flux, aangeduid met $\Phi$, is een maat voor de hoeveelheid magnetisch veld die door een bepaald oppervlak stroomt. In MQS-systemen wordt de verandering in magnetische flux, $d\Phi_j$, gebruikt om de door externe bronnen geleverde energie te kwantificeren. |
| Stationaire macroscopische ladings- of stroomverdeling | Een situatie waarbij de verdeling van elektrische ladingen of stromen in de ruimte constant is in de tijd en op een schaal die groter is dan microscopische effecten. |
| Magnetische ladingsdichtheid ($\rho^*_m$) | Een concept dat wordt gebruikt in het Chui-model om magnetisatie te vervangen door een effectieve ladingsdichtheid, analoog aan elektrische ladingsdichtheid, om magnetische velden te berekenen. |
| Magnetische stroomdichtheid ($\pi^*_m$) | Een concept dat wordt gebruikt in het Chui-model, gerelateerd aan de magnetische ladingsdichtheid, om magnetische velden te berekenen op een manier die analoog is aan elektrische velden. |
| Integraalwet van Gauss | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die het verband legt tussen de elektrische flux door een gesloten oppervlak en de netto elektrische lading binnen dat oppervlak. |
| Integraalwet van Ampère | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die het verband legt tussen de magnetische veldsterkte rond een gesloten lus en de elektrische stroom die door die lus gaat. |
| Ladingsvlak | Een oppervlak waarop elektrische lading is verdeeld, vaak met een uniforme oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$). |
| Lijnlading | Een oneindige lijn waarop elektrische lading is verdeeld, gekenmerkt door een lineaire ladingsdichtheid ($q$). |
| Puntlading | Een infinitesimaal kleine lading die zich op een enkel punt in de ruimte bevindt, gekenmerkt door de lading ($q$). |
| Stroomvlak | Een oneindig vlak waarin een uniforme elektrische stroomdichtheid ($K$) aanwezig is, die een magnetisch veld opwekt. |
| Lijnstroom | Een oneindige lijn die een elektrische stroom ($I$) geleidt, wat resulteert in een cirkelvormig magnetisch veld rond de lijn. |
| Equipotentiale oppervlakken | Oppervlakken waarop het elektrische potentiaal overal gelijk is. Veldlijnen staan loodrecht op equipotentiale oppervlakken. |
| Stationair veld | Een veld dat niet verandert in de tijd. Dit omvat zowel elektrostatische als magnetostatische velden, evenals stationaire stroomvelden. |
| Lorentz-ladingsdichtheid ($\rho_L$) | Een macroscopische bronterm die de effectieve ladingsdichtheid weergeeft, rekening houdend met zowel vrije ladingen als bijdragen van polarisatie. |
| Stromingsdichtheid ($\mathbf{J}$) | De netto stroom van lading per eenheid van oppervlakte per tijdseenheid. In stationaire stroomproblemen is deze dichtheid constant in de tijd. |
| Minkowski-formulering | Een formulering van elektromagnetische velden die de velden $\mathbf{D}$ en $\mathbf{H}$ introduceert naast $\mathbf{E}$ en $\mathbf{B}$, om materialen zoals diëlektrica en magnetische materialen te beschrijven. |
| Elektrostatisch probleem | Een stationair veldprobleem waarbij de stroomdichtheid $\mathbf{J}$ overal nul is. Hierbij is de focus op het elektrisch veld dat wordt opgewekt door stilstaande ladingen. |
| Stationair stroomveldprobleem | Een stationair veldprobleem waarbij de stroomdichtheid $\mathbf{J}$ niet overal nul is. Dit probleem omvat de bepaling van de stroomverdeling. |
| Magnetostatisch probleem | Een stationair veldprobleem dat volgt op een stationair stroomveldprobleem, waarbij het magnetisch veld wordt bepaald door de reeds bekende stroomdichtheid. |
| Elektrisch veld ($\mathbf{E}$) | Een vectorveld dat de kracht beschrijft die wordt uitgeoefend op een positieve testlading. In elektrostatica is het een conservatief veld. |
| Scalaire potentiaal ($V$) | Een scalaire functie waarvan het negatieve gradiënt het elektrisch veld oplevert ($\mathbf{E} = -\nabla V$). Dit is alleen geldig in gebieden waar $\nabla \times \mathbf{E} = 0$. |
| Potentiële energie | De energie die een lading bezit vanwege zijn positie in een elektrisch veld. Deze is gelijk aan het product van de lading en de scalaire potentiaal ($qV$). |
| Diëlektrisch materiaal | Een isolerend materiaal dat gepolariseerd kan worden door een extern elektrisch veld. De eigenschappen worden beschreven door de permittiviteit $\epsilon$. |
| Magnetostatica | Het vakgebied dat zich bezighoudt met het berekenen van het magnetisch veld en de magnetische inductie, opgewekt door gegeven stationaire stromen en eventueel permanente magneten. |
| Magnetische inductie ($B$) | Een vectorveld dat de sterkte en richting van het magnetische veld beschrijft, opgewekt door stromen en magneten. Het voldoet aan de vergelijking $\nabla \cdot B = 0$. |
| Magnetisch veld ($H$) | Een vectorveld dat de magnetische eigenschappen van een medium beschrijft, gerelateerd aan de magnetische inductie via een constitutieve wet, zoals $B = \mu H$ voor lineaire materialen. |
| Vectorpotentiaal ($A$) | Een vectorveld waarvan de krul gelijk is aan de magnetische inductie ($B = \nabla \times A$). Het wordt gebruikt om magnetostatische problemen op te lossen, vaak met de aanvullende Coulomb-ijkvoorwaarde $\nabla \cdot A = 0$. |
| Constitutieve wet | Een relatie die het magnetisch veld ($H$) koppelt aan de magnetische inductie ($B$), zoals $B = \mu H$ voor lineaire materialen, waarbij $\mu$ de permeabiliteit van het materiaal is. |
| Magnetische flux ($\phi$) | De totale hoeveelheid magnetische inductie die door een oppervlak stroomt. Het kan worden berekend met behulp van de vectorpotentiaal via $\phi = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$. |
| Perfecte geleider | Een ideaal materiaal met oneindige geleidbaarheid waarin het magnetisch veld binnenin nul is en stromen zich alleen op het oppervlak bevinden. In de magnetostatica gedraagt een supergeleider zich als een perfecte geleider. |
| Reluctiviteit ($\nu$) | De inverse van de permeabiliteit ($\nu = 1/\mu$), gebruikt in de constitutieve relatie $H = \nu B$. |
| Laplace-vergelijking | Een partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde die voorkomt in veel fysische problemen, waaronder magnetostatica in uniforme lineaire isotrope media, zoals $\nabla^2 A_z = -\mu J_z$ of $\nabla^2 U = 0$. |
| Fluxfunctie | De component van de vectorpotentiaal ($A_z$) in 2D-problemen met translatiesymmetrie, die de magnetische flux door een oppervlak vertegenwoordigt. |
| Zacht ferromagnetisch materiaal | Een materiaal met een zeer hoge permeabiliteit ($\mu \gg 1$), waardoor het magnetisch veld ($H$) erin verwaarloosbaar is. |
| Stationair stro om v eldprobleem | Een probleem waarbij een elektrische stroom door geleidende media vloeit tussen geleiders (elektroden) met een potentiaalverschil. De geleidbaarheid van de elektroden is doorgaans veel groter dan die van de overige geleiders, waardoor ze als perfecte geleiders (σ = ∞) kunnen worden beschouwd. |
| Wet van behoud van lading | Een fundamentele natuurwet die stelt dat de totale lading in een geïsoleerd systeem constant blijft. In de context van stationaire stromen wordt dit uitgedrukt als ∇ · J = 0, wat betekent dat er geen netto lading ophoping of afname is in een bepaald volume. |
| Constitutieve vergelijking voor een geleider | Een relatie die het verband beschrijft tussen de stroomdichtheid (J) en het elektrische veld (E) in een geleidend materiaal, gegeven door J = σE, waarbij σ de geleidbaarheid van het materiaal is. |
| Éénduidigheidsstelling | Een wiskundig principe dat garandeert dat een fysisch probleem onder specifieke randvoorwaarden een unieke oplossing heeft. Deze stelling is ook van toepassing op stationaire stroomdichtheidsproblemen. |
| Neumann-conditie | Een type randvoorwaarde dat wordt toegepast op de grenzen van een domein in een differentiaalvergelijking. Voor een vrij oppervlak, een scheidingsvlak tussen een geleider en een niet-geleidend medium, is dit de conditie ∂V/∂n = 0, wat aangeeft dat de normale afgeleide van de potentiaal nul is. |
| Conductantiecoëfficiënten | Coëfficiënten die, in analogie met capaciteitscoëfficiënten in de elektrostatica, de relatie beschrijven tussen de stromen (Ii) en de potentiaalverschillen (Vi - Vj) tussen geleiders in een stationair stroomveldprobleem, uitgedrukt als Ii = Σj≠i Gij(Vi - Vj) + Gi∞Vi. |
| Weerstand | Een passief elektronisch component dat de stroom beperkt. In de context van stationaire stroomvelden wordt een klassieke weerstand gemodelleerd als een cilindervormig medium met geleidbaarheid σ en perfect geleidende elektroden op de eindvlakken. |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektriciteit die het verband beschrijft tussen spanning (V), stroom (I) en weerstand (R) in een geleider, geformuleerd als V = IR. |
| Eindige elementen methode (FEM) | Een krachtige numerieke methode voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen. Het verdeelt een complex domein in kleinere, eenvoudigere "eindige elementen" (zoals driehoeken) en benadert de oplossing binnen elk element. |
| Zwakke formulering | Een alternatieve formulering van een differentiaalvergelijking die de orde van de afgeleiden vermindert, waardoor de wiskundige analyse en numerieke oplossing vereenvoudigd worden. Dit is essentieel voor de eindige elementen methode. |
| Variationeel probleem | Een formulering van een fysisch probleem waarbij men een functionaal zoekt die stationair is (of een minimum bereikt). Dit is een alternatieve methode om de oplossing van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking te vinden. |
| Doorstroomdichtheid | De dichtheid van de elektrische verplaatsingsstroom, aangeduid met $\frac{\partial D}{\partial t}$, die optreedt in een diëlektricum wanneer het elektrische veld verandert. Deze term is cruciaal in de Maxwell-vergelijkingen en speelt een rol bij het begrijpen van elektromagnetische golfvoortplanting. |
| Oppervlaktestroom | Een stroom die zich langs een oppervlak voortplant, vaak aangeduid met $K$. Dit kan bijvoorbeeld een stroom zijn die wordt geïnduceerd op het oppervlak van een geleider als gevolg van veranderende magnetische velden. |
| Oppervlakte-ladingsdichtheid | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid van oppervlakte die zich op een oppervlak bevindt, aangeduid met $\pi$. Deze lading kan ontstaan door het scheiden van ladingen aan grensvlakken tussen verschillende materialen of door inductie. |
| Conductiestroom | De stroom die wordt veroorzaakt door de beweging van vrije ladingsdragers in een geleidend materiaal onder invloed van een elektrisch veld, beschreven door de wet van Ohm ($J = \sigma E$). |
| Convectiestroom | Een stroom die wordt veroorzaakt door de beweging van geladen deeltjes als een bulkbeweging, vaak geassocieerd met bewegende media. De dichtheid van deze stroom is $\rho v$. |
| Inductie-effecten | Fenomenen waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrisch veld induceert, wat leidt tot stromen en spanningen. Dit is de basis van zelfinductie en wederzijdse inductie. |
| Polarisatie (P) | De totale dipoolmoment per eenheid van volume in een diëlektricum. Dit is een constitutieve eigenschap die het verband beschrijft tussen het aangelegde elektrische veld en de reactie van het materiaal. |
| Para-elektrisch | Een materiaal waarbij de macroscopische polarisatie nul is in afwezigheid van een extern elektrisch veld. Dit kan komen doordat de bouwstenen zelf geen dipoolmoment hebben of doordat bestaande dipoolmomenten willekeurig georiënteerd zijn. |
| Elektronishe polarisatie | Polarisatie die ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de atoomkern onder invloed van een extern elektrisch veld. Dit induceert een dipoolmoment in het atoom. |
| Ionair polarisatie | Polarisatie die optreedt in materialen met (gedeeltelijk) ionaire bindingen, waarbij positieve en negatieve ionen in tegengestelde zin worden verplaatst door het lokale elektrische veld, wat leidt tot een netto dipoolmoment. |
| Oriëntatie polarisatie | Polarisatie die ontstaat in materialen die moleculen met een permanent dipoolmoment bevatten. Zonder extern veld zijn deze dipolen willekeurig georiënteerd, maar onder invloed van een veld richten ze zich deels naar het veld. |
| Lokaal veld (Eloc) | Het elektrische veld dat een specifiek atoom of molecuul in een diëlektricum ondervindt. Dit veld is niet gelijk aan het macroscopische veld E, maar houdt rekening met de invloed van naburige ladingen en de polarisatie van het materiaal zelf. |
| Polarisatievermogen ($\alpha$) | De evenredigheidsconstante die het verband beschrijft tussen het geïnduceerde dipoolmoment van een atoom en het lokale elektrische veld, uitgedrukt als $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$. |
| Lorentz-veld | De term in de berekening van het lokale veld die het elektrische veld vertegenwoordigt dat wordt gegenereerd door de gemiddelde macroscopische polarisatie binnen een denkbeeldige sfeer rond het beschouwde atoom. Dit veld is gelijk aan $-\frac{P}{3\epsilon_0}$. |
| Kristalveld ($E_{kristal}$) | Het elektrische veld dat wordt opgewekt door de naburige atomen binnen de microscopische omgeving van het beschouwde atoom. Dit veld is afhankelijk van de kristalstructuur en kan nul zijn voor kubische roosters of willekeurig verdeelde atomen. |
| Susceptibiliteit ($\chi_e$) | Een dimensieloze grootheid die de mate aangeeft waarin een materiaal gepolariseerd kan worden door een extern elektrisch veld. Het relateert de macroscopische polarisatie P aan het macroscopische elektrische veld E via $P = \chi_e \epsilon_0 E$. |
| Clausius-Mosotti betrekking | Een vergelijking die het verband legt tussen de elektrische susceptibiliteit ($\chi_e$) van een materiaal en de polariseerbaarheid ($\alpha$) van de individuele atomen of moleculen, rekening houdend met de atoomdichtheid (N). |
| Fonon | Een kwantum van een rooster-trilling in een kristal. Fononen kunnen worden ingedeeld in akoestische en optische fononen, afhankelijk van hun dispersiecurve en de fase van de trillende atomen. |
| Bohr magneton | Een fundamentele natuurkundige constante die de grootte van het magnetisch dipoolmoment van een elektron als gevolg van zijn spin of baanbeweging beschrijft. Het wordt aangeduid met $\mu_B$ en heeft een waarde van ongeveer $9.274 \times 10^{-24} \text{ J/T}$. |
| Curie-temperatuur ($T_C$) | De kritische temperatuur boven welke een ferromagnetisch materiaal zijn magnetische eigenschappen verliest en zich paramagnetisch gedraagt. Beneden deze temperatuur treedt een faseovergang op naar een meer geordende magnetische staat. |
| Diamagnetisme | Een magnetisch verschijnsel waarbij een materiaal een zwak magnetisch veld opwekt dat tegengesteld is aan een aangelegd extern magnetisch veld. Dit effect treedt op in alle materialen, maar is vaak zwakker dan andere magnetische effecten. |
| Elektrostrictie | De vervorming van een materiaal onder invloed van een aangelegd elektrisch veld, waarbij de vervorming kwadratisch afhankelijk is van de veldsterkte. Dit fenomeen treedt op in alle materialen. |
| Ferromagnetisme | Een type magnetisme waarbij de magnetische dipoolmomenten van de atomen in een materiaal een sterke neiging hebben om parallel aan elkaar te oriënteren, zelfs in afwezigheid van een extern magnetisch veld, beneden een bepaalde temperatuur (de Curie-temperatuur). |
| Kristalveld | Een benadering die de interactie tussen elektronen in een vaste stof beschrijft, waarbij de invloed van de omringende atomen en hun ladingen wordt gemodelleerd als een potentiaal. Dit kan leiden tot het onderdrukken van het baanmomen t van elektronen. |
| Magnetisatie | De netto magnetische dipoolmoment per volume-eenheid van een materiaal. Het is een maat voor de mate waarin een materiaal magnetisch is. |
| Magnetische susceptibiliteit ($\chi_m$) | Een dimensieloze grootheid die aangeeft hoe sterk een materiaal magnetiseert in reactie op een aangelegd magnetisch veld. Een positieve susceptibiliteit duidt op paramagnetisme of ferromagnetisme, terwijl een negatieve susceptibiliteit duidt op diamagnetisme. |
| Néel-temperatuur ($T_N$) | De kritische temperatuur boven welke een antiferromagnetisch materiaal zijn magnetische ordening verliest. Beneden deze temperatuur stellen de magnetische momenten zich antiparallel aan elkaar op. |
| Paramagnetisme | Een type magnetisme waarbij de magnetische dipoolmomenten van de atomen in een materiaal een neiging hebben om zich parallel aan een aangelegd extern magnetisch veld te oriënteren. Bij afwezigheid van een veld zijn deze momenten willekeurig georiënteerd door thermische agitatie. |
| Scheiding der variabelen methode | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door de vergelijking te herschrijven als een product van functies, elk afhankelijk van slechts één variabele. Dit reduceert de partiële differentiaalvergelijking tot een reeks gewone differentiaalvergelijkingen. |
| Cartesiaanse coördinaten | Een coördinatensysteem dat wordt gedefinieerd door drie loodrechte assen (x, y, z), waarbij de positie van een punt wordt bepaald door de afstanden langs deze assen. |
| Gesc heiden oplossing | Een oplossing van een partiële differentiaalvergelijking die kan worden uitgedrukt als een product van functies, waarbij elke functie afhangt van slechts één van de onafhankelijke variabelen. |
| Constante van scheiding | De constante waaraan elke term in de gescheiden vergelijkingen gelijk wordt gesteld bij het toepassen van de scheiding der variabelen methode. Deze constanten bepalen de aard van de oplossingen (lineair, trigonometrisch, hyperbolisch). |
| Lineaire combinatie | Een som van functies, waarbij elke functie wordt vermenigvuldigd met een constante coëfficiënt. Dit wordt gebruikt om algemene oplossingen te vormen uit basisoplossingen. |
| Superpositie | Het principe dat, vanwege de lineariteit van de Laplace-vergelijking, de som van twee of meer oplossingen ook een oplossing is. Dit wordt gebruikt om te voldoen aan de randvoorwaarden. |
| Homogene randvoorwaarden | Randvoorwaarden waarbij de waarde van de functie of zijn afgeleide nul is op de grens. |
| Niet-homogene randvoorwaarden | Randvoorwaarden waarbij de waarde van de functie of zijn afgeleide niet nul is op de grens. |
| Fourier-reeks | Een representatie van een periodieke functie als een oneindige som van sinussen en cosinussen. Dit wordt gebruikt om de niet-homogene randvoorwaarden te ontbinden in componenten die overeenkomen met de gescheiden oplossingen. |
| Orthogonaliteit | Een eigenschap van functies waarbij het inproduct van twee verschillende functies nul is. Dit wordt gebruikt om de coëfficiënten van een Fourier-reeks te bepalen. |
| Magnetische kring | Een gesloten pad dat de magnetische flux volgt, vergelijkbaar met een elektrische kring voor stroom. |
| Inductiecoëfficiënt | Een maat voor de mate waarin een veranderende stroom in een spoel een spanning in zichzelf of in een nabijgelegen spoel induceert. |
| Permeabiliteit | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe gemakkelijk een magnetisch veld door het materiaal kan worden opgewekt. Een oneindige permeabiliteit (µ = ∞) duidt op een perfect magnetisch geleidend materiaal. |
| Magnetisatie (M) | Een vectorgrootheid die de magnetische dipoolmomentdichtheid van een materiaal beschrijft. |
| Magnetische flux (Φ) | De totale hoeveelheid magnetisch veld die door een bepaald oppervlak gaat. |
| Reluctantie (R) | De magnetische weerstand van een magnetische kring, analoog aan elektrische weerstand. |
| Zelfinductie (L) | Het fenomeen waarbij een verandering in de stroom door een spoel een tegengestelde spanning in dezelfde spoel induceert. |
| Quasi-stationair veldprobleem | Een probleem waarbij de tijdsafhankelijkheid van de elektromagnetische velden langzaam genoeg is om de velden op elk moment als stationair te kunnen beschouwen. |
| Ladingsdichtheid (ρ) | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid volume. |
| Oppervlakte-ladingsdichtheid (π) | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid oppervlakte. |
| Stromingsdichtheid (J) | De hoeveelheid elektrische stroom die per eenheid oppervlakte door een geleider vloeit. |
| Potentiaalverschil (V) | Het verschil in elektrisch potentieel tussen twee punten, wat de drijvende kracht is voor elektrische stroom. |
| Elektromagnetische krachttijdichtheid | De kracht per volume-eenheid die wordt uitgeoefend door elektromagnetische velden op materie. Dit omvat bijdragen van zowel vrije ladingen als dipolen in het medium. |
| Kracht op de bouwstenen van een medium in een extern veld | De kracht die wordt uitgeoefend op de microscopische componenten (ladingen, dipolen) van een medium door externe elektromagnetische velden, die langzaam variëren over het volume van de bouwsteen. |
| Kracht op een elektrische dipool | De kracht die wordt uitgeoefend op een elektrische dipool in een niet-uniform elektrisch veld, wat resulteert in een beweging naar gebieden met een hogere veldsterkte. De formule is $f_p = p \cdot \nabla E(r)$. |
| Kracht op een magnetische dipool | De kracht die wordt uitgeoefend op een magnetische dipool in een niet-uniform magnetisch veld. De formule is $f_m = \nabla B \cdot m$. |
| Macroscopische krachttijdichtheid in een medium | De gemiddelde kracht per volume-eenheid in een medium, verkregen door de microscopische krachten te middelen over de bouwstenen. Dit omvat bijdragen van zowel externe velden als interne polarisatie en magnetisatie. |
| Lorentz-krachtdichtheid | De macroscopische krachtdichtheid die specifiek voortkomt uit de interactie van vrije ladingen en stromen met de macroscopische elektromagnetische velden. Het wordt gegeven door $f_L = \rho_L E + J_L \times B$. |
| Spanningen van Maxwell | Een tensor die de krachten beschrijft die door elektromagnetische velden op een medium worden uitgeoefend. Het integreert de oppervlaktekrachten om de totale kracht op een lichaam te bepalen. De tensor is gedefinieerd als $T_M = \epsilon_0 E E + \frac{1}{\mu_0} B B - \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0})I$. |
| Elektromagnetisch koppel | Het draaimoment dat wordt uitgeoefend op een medium door elektromagnetische velden. Dit koppel probeert de elektrische en magnetische dipolen van het medium uit te lijnen met de externe velden. De dichtheid van dit koppel is $c_E = P \times E + M \times B$. |
| Polarisatie-energie dichtheid | De energie die is opgeslagen in een diëlektrisch medium als gevolg van de polarisatie door een elektrisch veld. Voor een lineair materiaal is dit $w_P = \frac{1}{2} P \cdot E$. |
| Magnetisatie-energie dichtheid | De energie die is opgeslagen in een magnetisch materiaal als gevolg van de magnetisatie door een magnetisch veld. Voor een lineair materiaal is dit $w_M = -\frac{1}{2} M \cdot B$. |
| Elektromagnetische energie dichtheid | De totale energie per volume-eenheid die is opgeslagen in de elektrische en magnetische velden. Dit is $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$. |
| Elektrisch veld ($e$ of $E$) | Een vectorveld dat de elektrische kracht beschrijft die op een geladen deeltje wordt uitgeoefend. Microscopische velden worden aangeduid met kleine letters, macroscopische velden met hoofdletters. |
| Magnetische inductie ($b$ of $B$) | Een vectorveld dat de magnetische kracht beschrijft die op een bewegend geladen deeltje wordt uitgeoefend. Microscopische velden worden aangeduid met kleine letters, macroscopische velden met hoofdletters. |
| Krachtwet van Lorentz | De fundamentele wet die de kracht op een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld beschrijft, gegeven door $f_k = q_k(\mathbf{e}(\mathbf{r}_k, t) + \mathbf{v}_k \times \mathbf{b}(\mathbf{r}_k, t))$. |
| Microscopische velden | De velden die de elektromagnetische interactie op deeltjesniveau beschrijven, direct afgeleid van de krachtwet van Lorentz. |
| Macroscopische velden | De gemiddelde waarden van de microscopische velden over een klein volume, die de velden beschrijven op een schaal die relevant is voor praktische toepassingen. |
| Permittiviteit van de vrije ruimte ($\epsilon_0$) | Een fundamentele constante die de mate beschrijft waarin een elektrisch veld kan worden opgewekt in een vacuüm. |
| Permeabiliteit van de vrije ruimte ($\mu_0$) | Een fundamentele constante die de mate beschrijft waarin een magnetisch veld kan worden opgewekt in een vacuüm. |
| Ladingsdichtheid ($\eta$ of $\rho_L$) | De hoeveelheid elektrische lading per volume-eenheid. Microscopische ladingsdichtheid wordt aangeduid met $\eta$, macroscopische met $\rho_L$. |
| Stromdichtheid ($j$ of $J_L$) | De hoeveelheid elektrische stroom per oppervlakte-eenheid. Microscopische stromdichtheid wordt aangeduid met $j$, macroscopische met $J_L$. |
| Elektrische wet van Gauss | Een van de Maxwell-vergelijkingen die stelt dat de divergentie van het elektrische veld evenredig is met de ladingsdichtheid. In differentiële vorm: $\nabla \cdot \epsilon_0 \mathbf{E} = \rho_L$. |
| Laplace's vergelijking | Een tweede-orde lineaire partiële differentiaalvergelijking van de vorm $\nabla^2 V = 0$, die een breed scala aan fysische fenomenen beschrijft, zoals stationaire temperatuurverdelingen, elektrostatische potentialen en de magnetische potentiaal in gebieden zonder stromen. |
| Scheiding der variabelen | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door de oplossing te schrijven als een product van functies, waarbij elke functie slechts afhangt van één van de onafhankelijke variabelen. Dit reduceert de partiële differentiaalvergelijking tot een reeks gewone differentiaalvergelijkingen. |
| Scalaire potentiaal | Een scalaire functie $V$ die wordt gebruikt om het elektrische veld te beschrijven via de relatie $E = -\nabla V$. Dit is mogelijk omdat het elektrische veld in de elektrostatica irrationeel is ($\nabla \times E = 0$). |
| Homogene differentiaalvergelijking | Een differentiaalvergelijking waarbij de termen die de onafhankelijke variabelen bevatten, lineair zijn en de vergelijking gelijk is aan nul. Laplace's vergelijking $\nabla^2 V = 0$ is een voorbeeld van een homogene partiële differentiaalvergelijking. |
| Eigenfuncties en eigenwaarden | In de context van de scheiding der variabelen, wanneer de gewone differentiaalvergelijkingen worden opgelost, ontstaan er oplossingen die afhangen van de randvoorwaarden. Deze oplossingen worden vaak eigenfuncties genoemd, en de bijbehorende constanten zijn de eigenwaarden. |
| Superpositiebeginsel | Een principe dat stelt dat voor lineaire vergelijkingen, de oplossing van een probleem met meerdere bronnen de som is van de oplossingen van de afzonderlijke problemen met elk van de bronnen afzonderlijk. Dit principe is cruciaal voor het oplossen van Laplace's vergelijking met complexe bronverdelingen. |
| Gr eense functie | Een fundamentele oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking, die wordt gebruikt om de oplossing voor een algemene bronverdeling te construeren via een integraal. Voor Laplace's vergelijking in 3D is de Gr eense functie $G_3(r) = \frac{1}{4\pi r}$. |
| Gauss-stelling | Een stelling uit de vectorcalculus die een relatie legt tussen de flux van een vectorveld door een gesloten oppervlak en de divergentie van het veld binnen dat oppervlak. Deze stelling wordt gebruikt om de integraalvorm van de wet van Gauss af te leiden. |
| Stokes-stelling | Een stelling uit de vectorcalculus die een relatie legt tussen de lijnintegraal van een vectorveld langs een gesloten kromme en de flux van de rotor van het veld door een oppervlak dat door die kromme wordt begrensd. Deze stelling wordt gebruikt om de integraalvorm van de wet van Faraday en Ampère af te leiden. |
Cover
Natuurkundige verschijnselen.docx
Summary
# De drie wetten van Newton
Dit onderwerp behandelt de drie bewegingswetten van Newton, met voorbeelden uit de praktijk en oefeningen om deze wetten te illustreren.
## 1. De drie wetten van Newton
De drie bewegingswetten van Newton beschrijven de relatie tussen een voorwerp en de krachten die erop werken, en hoe deze krachten beweging beïnvloeden.
### 1.1 De eerste wet van Newton: traagheid
De eerste wet van Newton, ook wel de wet van de traagheid genoemd, stelt dat een voorwerp in rust blijft of met een constante snelheid blijft bewegen, zolang er geen resulterende kracht op werkt.
* **Uitleg:** Een voorwerp heeft de neiging om in zijn huidige staat van beweging te blijven. Om een voorwerp in beweging te zetten, te versnellen of te vertragen, is een netto-kracht vereist.
* **Formulering:** Als de som van de krachten die op een voorwerp werken nul is, is dat voorwerp in rust of beweegt het zich met constante snelheid voort.
* **Praktijkvoorbeelden:**
* **Touwtrekken:** Als twee groepen even hard aan een touw trekken, blijft het touw stilstaan omdat de krachten elkaar opheffen (resulterende kracht is nul).
* **Skateboarden:** Een skateboarder die plotseling stopt, zal niet direct stil staan vanwege de traagheid; er is een remweg nodig om de beweging te stoppen.
* **Fietsen:** Om op een horizontale weg met constante snelheid te fietsen, moet er continu getrapt worden om de wrijvingskrachten tegen te gaan. De voorwaartse kracht van het trappen compenseert dan de remmende krachten, waardoor de resulterende kracht nul is.
#### 1.1.1 Beweging met constante snelheid
Een beweging met constante snelheid kan worden weergegeven in grafieken.
* **v,t-diagram (snelheid-tijd):** Een horizontale, rechte lijn geeft een constante snelheid weer.
* **s,t-diagram (afstand-tijd):** Een schuine, rechte lijn die door de oorsprong gaat, geeft een constante snelheid weer. Hoe schuiner de lijn, hoe groter de snelheid.
### 1.2 De tweede wet van Newton: versnelling
De tweede wet van Newton beschrijft hoe een resulterende kracht een versnelling veroorzaakt.
* **Uitleg:** Als er een netto-kracht op een voorwerp werkt, zal dit voorwerp een versnelling ondergaan in de richting van die kracht. De grootte van de versnelling hangt af van de massa van het voorwerp.
* **Formulering:** Als er op een voorwerp een resulterende kracht werkt die ongelijk is aan nul, ondervindt het voorwerp een versnelling die dezelfde richting heeft als de resulterende kracht.
* **Relatie met massa:** Bij een gelijkblijvende kracht zal een voorwerp met een grotere massa een lagere versnelling ondervinden. Om dezelfde versnelling te bereiken bij voorwerpen met verschillende massa's, is bij het zwaardere voorwerp meer kracht nodig.
* **Formule:** De tweede wet van Newton kan worden uitgedrukt als:
$$ \vec{F}_{resulterend} = m \cdot \vec{a} $$
Waarbij:
* $\vec{F}_{resulterend}$ de resulterende kracht is (in Newton, N).
* $m$ de massa van het voorwerp is (in kilogram, kg).
* $\vec{a}$ de versnelling is (in meter per seconde kwadraat, $\text{m/s}^2$).
#### 1.2.1 Versnelde beweging
Een versnelde beweging is een beweging waarbij de snelheid van richting of grootte verandert.
* **v,t-diagram:** Een schuine, rechte lijn die door de oorsprong gaat, geeft een constante versnelling weer. Een oplopende lijn betekent een snelheidsverhoging, een aflopende lijn betekent een vertraging.
* **s,t-diagram:** Een kromme lijn die door de oorsprong gaat, geeft een versnelde beweging weer. Hoe steiler de lijn wordt, hoe hoger de snelheid en dus hoe groter de versnelling.
### 1.3 De derde wet van Newton: actie en reactie
De derde wet van Newton stelt dat krachten altijd in paren voorkomen: als een voorwerp een kracht uitoefent op een ander voorwerp, oefent het tweede voorwerp een even grote, maar tegengestelde kracht uit.
* **Uitleg:** Krachten kunnen nooit alleen voorkomen. Elke actiekracht heeft een gelijktijdige en even grote reactiekracht die in de tegenovergestelde richting werkt. Deze krachten werken echter altijd op verschillende voorwerpen en heffen elkaar daarom niet op.
* **Formulering:** Als voorwerp A een actiekracht uitoefent op voorwerp B, oefent B gelijktijdig een even grote, maar tegengesteld gerichte reactiekracht op A uit.
* **Alternatieve formulering:** Actiekracht = - Reactiekracht.
* **Belangrijke kanttekening:** De actie- en reactiekracht treden gelijktijdig op en zijn niet het gevolg van elkaar in de zin dat de ene eerst komt en de andere dan volgt. Er is sprake van een wisselwerking.
* **Praktijkvoorbeelden:**
* **Raketlancering:** De raketmotor oefent een kracht uit op de uitgestoten gassen (actie). De gassen oefenen een gelijke, tegengestelde kracht uit op de raket, waardoor deze vooruit wordt geduwd (reactie).
* **Kogel afschieten:** De kracht die de kogel vooruitschiet, is de actie. Het geweer ondervindt een terugslag door de reactiekracht.
* **Veer indrukken:** De kracht die je uitoefent om een veer in te drukken, is de actie. De veer oefent een even grote, tegengestelde kracht uit op je hand (reactie).
* **Tuinslang:** Het water dat uit de slang spuit door de waterdruk (actie) oefent een tegengestelde kracht uit op de slang (reactie), waardoor deze kan gaan rondslingeren.
* **Springen uit een boot:** Je zet je af tegen de boot (actiekracht). De boot duwt tegelijkertijd terug op jou (reactiekracht). Jij beweegt naar de kant, de boot beweegt van de kant af.
#### 1.3.1 Toepassingen en misconcepten
* **Misconcept:** Een reactiekracht is het gevolg van een actiekracht en treedt pas later op.
* **Correctie:** Actie- en reactiekracht treden gelijktijdig op en veroorzaken elkaar wederzijds.
* **Misconcept:** Actie- en reactiekracht heffen elkaar op omdat ze even groot en tegengesteld zijn.
* **Correctie:** Krachten heffen elkaar alleen op als ze op hetzelfde voorwerp werken. Actie- en reactiekracht werken altijd op verschillende voorwerpen.
### 1.4 Doe-opdracht: Newton op het schoolplein
Deze opdracht stimuleert het begrijpen van de wetten van Newton door middel van praktische experimenten met materialen zoals skateboards en touwen.
#### 1.4.1 Eerste wet van Newton (traagheid)
* **Touwtrekken met gelijke krachten:** Het touw beweegt niet, wat aangeeft dat de resulterende kracht nul is.
* **Skateboarden: stoppen:** Skateboarders stoppen niet onmiddellijk vanwege de traagheid.
#### 1.4.2 Tweede wet van Newton (versnelling)
* **Touwtrekken met winnaar:** Het winnende team levert de meeste kracht. Het touw beweegt en versnelt in de richting van het winnende team, wat een gevolg is van de resulterende kracht.
* **Skateboarden: een duwtje in de rug:** Het skateboard met één kind zal een grotere versnelling ondervinden dan het skateboard met twee kinderen, bij dezelfde duwkracht, omdat de massa kleiner is.
#### 1.4.3 Derde wet van Newton (actie en reactie)
* **Skateboarden: wie duwt wie?** Wanneer kinderen op skateboards elkaar duwen, voelen ze beiden een kracht en bewegen ze van elkaar af. Dit illustreert de actie-reactiekracht.
* **Balspel: stuiterkracht:** De bal oefent een neerwaartse kracht uit op de grond (actie), en de grond oefent een gelijke, opwaartse kracht uit op de bal (reactie), waardoor de bal weer omhoog stuitert. De bal die met meer kracht gestuiterd wordt, ervaart een grotere reactiekracht.
--- # Licht en kleur Hier is een gedetailleerd studieoverzicht van het onderwerp "Licht en kleur". ## 5.5 Licht en kleur Dit gedeelte verkent de aard van licht, de kleuren van de regenboog, de effecten van weerkaatsing en absorptie, en hoe we kleuren waarnemen. ### 5.5.1 Lichtbronnen * **Definitie:** Alle voorwerpen die zelf licht produceren, worden lichtbronnen genoemd. * **Natuurlijke lichtbronnen:** * De zon is de belangrijkste natuurlijke lichtbron. * Sterren produceren ook zelf licht, maar staan te ver weg om de aarde significant te verlichten. * Vulkanische uitbarstingen produceren licht, maar zijn niet praktisch bruikbaar. * **Kunstmatige lichtbronnen:** * Oude bronnen door verbranding: houtvuur, kaars, gaslamp. * Moderne bronnen op elektriciteit: * **Gloeilamp:** Een gloeidraad wordt heet door elektrische stroom en gaat gloeien. * **Halogeenlamp:** Een verbeterde versie van de gloeilamp met een langere levensduur. * **TL-buizen en spaarlampen:** Gebruiken fluorescentie; gassen in de buis lichten op door elektrische stroom. * **LED-lampen (Light Emitting Diode):** Halfgeleiders die licht uitstralen bij elektrische stroom. Ze zijn energiezuinig, duurzaam en klein. De kleur van het licht hangt af van het materiaal en de "sprong" van de deeltjes. * **Indirecte lichtbronnen:** Voorwerpen die zelf geen licht produceren, maar licht weerkaatsen. * Voorbeelden: de maan (weerkaatst zonlicht), spiegels, bioscoopschermen, regenbogen, gloei-in-het-donker stickers. ### 5.5.2 Wat is licht? * **Voortplanting:** Licht beweegt zich voort als een golfbeweging, net als geluid, maar heeft geen materie nodig om zich te verplaatsen (kan door vacuüm). * **Snelheid:** Licht reist met een enorme snelheid van $300.000$ km/s, veel sneller dan geluid ($343$ m/s in lucht). * **Lichtstralen:** Licht beweegt zich voort in rechte lijnen. * **Interactie met voorwerpen:** Wanneer lichtstralen een voorwerp tegenkomen, kunnen ze: * **Weerkaatst worden (reflectie):** Het licht wordt teruggekaatst. * **Geabsorbeerd worden:** Het licht wordt opgenomen door het voorwerp. * **Doorgelaten worden:** Het licht gaat door het voorwerp heen. * **Doorzichtig, doorschijnend en ondoorschijnend:** * **Doorzichtig:** Laat bijna al het licht door (bv. glas). * **Doorschijnend:** Laat wel enig licht door, maar niet alles (bv. een dunne zomerjurk). * **Ondoorzichtig:** Laat geen licht door. * **Schaduw:** Ontstaat achter ondoorschijnende voorwerpen omdat licht zich rechtlijnig voortbeweegt en niet om het voorwerp heen buigt. * **Kernschaduw:** Het donkerste deel waar al het licht wordt tegengehouden. * **Bijschaduw:** Een lichter deel rond de kernschaduw waar nog enig licht doorheen komt. ### 5.5.3 Weerkaatsing en absorptie van licht * **Waarneming van voorwerpen:** De meeste voorwerpen geven zelf geen licht, maar worden gezien doordat ze licht weerkaatsen (reflecteren). Het weerkaatste licht bereikt ons oog. * **Kleur van voorwerpen:** Voorwerpen krijgen hun kleur doordat ze bepaalde kleuren van het invallende licht absorberen en andere kleuren weerkaatsen. * Een groene plant absorbeert alle kleuren behalve groen, dat wordt weerkaatst. * Een wit voorwerp weerkaatst alle kleuren even sterk. * Een zwart voorwerp absorbeert al het licht. * **Gladde versus ruwe oppervlakken:** * **Spiegelend (glad) oppervlak:** Licht wordt onder dezelfde hoek weerkaatst als waarmee het invalt (invalshoek = hoek van terugkaatsing). * **Ruw oppervlak:** Lichtstralen worden in meerdere richtingen verstrooid, waardoor de bundel minder helder is. * **Dopplereffect bij licht:** (Niet direct in dit deel, maar gerelateerd aan golven) * **Lichtsterkte en absorptie:** Gladde en witte oppervlakken weerkaatsen meer licht dan ruwe en donkere oppervlakken. Dit is waarom lichte kleding op warme dagen prettiger is. * **Gezichtsbedrog door breking:** Lichtstralen veranderen van richting wanneer ze van de ene doorzichtige stof naar de andere gaan (bv. van water naar lucht). Dit kan leiden tot visuele vertekeningen, zoals een muntstuk dat op een andere plaats lijkt te liggen. ### 5.5.4 Breking van licht * **Definitie:** Het verschijnsel waarbij lichtstralen van richting veranderen wanneer ze van de ene doorzichtige stof naar de andere gaan. * **Oorzaak:** Licht heeft in verschillende stoffen een andere snelheid. In stoffen met een hogere dichtheid (zoals water of glas) is de lichtsnelheid lager dan in lucht. * **Lenzen:** De werking van lenzen is gebaseerd op lichtbreking. * **Bolle lenzen:** Breken lichtstralen naar elkaar toe en bundelen ze in een brandpunt. Ze kunnen beelden vergroten (bv. vergrootglas). * **Holle lenzen:** Spreiden lichtstralen uit. Ze kunnen beelden verkleinen. * **Oogcorrectie:** * **Verziendheid:** Het brandpunt ligt achter het netvlies. Gecorrigeerd met bolle lenzen. * **Bijziendheid:** Het brandpunt ligt vóór het netvlies. Gecorrigeerd met holle lenzen. ### 5.5.5 De kleuren van de regenboog * **Wit licht:** Zonlicht, dat wij als wit ervaren, bestaat uit een spectrum van verschillende kleuren. * **Ontstaan regenboog:** Ontstaat doordat regendruppels het zonlicht breken. Elke kleur wordt anders gebroken: rood het minst, violet het meest. * **Kleurenvolgorde:** Altijd rood, oranje, geel, groen, blauw, indigo, violet. * **Prisma:** Een driehoekige lens die wit licht kan opsplitsen in de regenboogkleuren door breking. * **Infrarood en ultraviolet:** Vallen net buiten het zichtbare kleurenspectrum. Sommige insecten (bv. honingbijen) kunnen ultraviolet waarnemen, andere dieren (bv. slangen) infrarood. ### 5.5.6 Kleuren zien * **Primaire lichtkleuren:** Rood, blauw en groen. Dit komt overeen met de lichtgevoelige kegeltjes in ons netvlies. * **Mengen van lichtkleuren:** * **Wit licht:** Ontstaat door het mengen van gelijke delen rood, blauw en groen licht. * **Secundaire lichtkleuren:** * Geel (rood + groen) * Cyaan (blauw + groen) * Magenta (rood + blauw) * **Primair kleuren van verf:** Geel, magenta en cyaan (CMY-model). Deze kleuren zijn de primaire kleuren voor drukwerk en printers. Elke primaire verfkleur absorbeert één primaire lichtkleur en weerkaatst de andere twee. * **Waarneming van andere kleuren:** Andere kleuren worden waargenomen doordat ze meerdere typen kegeltjes tegelijk beïnvloeden, waardoor de hersenen een signaal van een mengkleur ontvangen. ### Doe-opdrachten en Vragen * **Lichtkleuren mengen:** Onderzoek hoe rood, groen en blauw licht gemengd kunnen worden om andere kleuren te creëren. * **Een regenboog maken:** Ontdek hoe je een regenboog kunt creëren met water, een spiegel en zonlicht, of met een plantensproeier. * **Mengen van primaire lichtkleuren:** Begrijpen waarom het mengen van rode, groene en blauwe verf geen wit oplevert, terwijl het mengen van rood, groen en blauw licht wel wit licht produceert. * **Weerkaatsing en absorptie van licht:** Onderzoek hoe verschillende oppervlakken licht weerkaatsen of absorberen met behulp van een spiegel, wit en zwart karton. * **Gezichtsbedrog:** Ervaar hoe lichtbreking kan leiden tot visuele illusies, zoals een muntstuk dat lijkt te zweven of een rietje dat breekt in water. * **Licht en schaduw:** Begrijp hoe licht zich rechtlijnig voortbeweegt en schaduwen vormt, en hoe de vorm en afstand van een voorwerp de schaduw beïnvloeden. * **Schimmenspel:** Pas de eigenschap van licht dat het zich rechtlijnig voortbeweegt toe om een schimmenspel te creëren. * **De kleuren van de regenboog:** Teken hoe lenzen lichtstralen breken en verken de volgorde van kleuren in een regenboog. --- **Tip:** Het is cruciaal om het verschil te onthouden tussen het mengen van licht (additieve kleurmenging, met rood, groen, blauw als primaire kleuren) en het mengen van verf/pigmenten (subtractieve kleurmenging, met cyaan, magenta, geel als primaire kleuren). Dit concept is fundamenteel voor het begrijpen van kleurwaarneming en toepassing in bijvoorbeeld schermen en drukwerk. --- # Elektriciteit Hier is een gedetailleerde studiehandleiding over Elektriciteit, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 3. Elektriciteit Dit onderwerp verkent de fundamentele principes van elektriciteit, van statische lading tot de toepassing ervan in huiselijke stroomkringen. ### 3.1 Statische elektriciteit Statische elektriciteit ontstaat wanneer geladen deeltjes min of meer vastzitten in een materiaal. Dit verschijnsel treedt op wanneer twee voorwerpen tegen elkaar wrijven, waarbij het ene voorwerp geladen deeltjes overneemt van het andere, waardoor beide materialen een (tegengestelde) elektrische lading krijgen. Omdat de geladen deeltjes niet wegstromen, blijft het materiaal gedurende langere tijd geladen. > **Tip:** De "statische" aard van deze elektriciteit betekent dat de ladingen stilstaand zijn, in tegenstelling tot elektrische stroom. Statische elektriciteit kan zich manifesteren door aantrekking en afstoting, wat lijkt op magnetisme maar een ander verschijnsel is. Wanneer de aantrekkingskracht tussen een positief en negatief geladen voorwerp te groot wordt, kunnen elektronen in één keer terugspringen naar het positief geladen voorwerp. Dit veroorzaakt een kortdurende elektrische ontlading, vaak gepaard gaand met licht- en geluidsverschijnselen. Een voorbeeld hiervan is de knetterende geluid bij het uittrekken van een nylon trui. **Voorbeelden van statische elektriciteit:** * **Papiersnippers aantrekken:** Door een plastic kam met je trui te wrijven, krijgt deze een elektrische lading. Als je de geladen kam vervolgens bij papiersnippers houdt, worden deze aangetrokken. Dit komt doordat de geladen kam ladingsscheiding in de neutrale snippers veroorzaakt. Na verloop van tijd kunnen de snippers een deel van de lading overnemen en afgestoten worden. * **Waterstraal afbuigen:** Een geladen kam kan ook een waterstraal afbuigen. De negatieve lading van de kam stoot negatief geladen deeltjes in het water af en trekt positief geladen deeltjes aan, waardoor de straal buigt. * **Bliksem:** Een grootschalig voorbeeld van ontlading is bliksem, waarbij ijskristallen en waterdruppels in onweerswolken door wrijving elektrisch geladen worden en de lading zich ontlaadt. **Belangrijke concepten:** * **Lading:** Atomen bestaan uit positief geladen kernen en negatief geladen elektronen. Een neutraal atoom heeft gelijke aantallen positieve en negatieve ladingen. * **Ladingsscheiding:** Wanneer een geladen voorwerp in de buurt komt van een neutraal voorwerp, kunnen de ladingen binnen het neutrale voorwerp zich herschikken. ### 3.2 Elektrische stroom In tegenstelling tot statische elektriciteit, waar ladingen stilstaand zijn, is bij **dynamische elektriciteit** de elektrische lading voortdurend in beweging. Dit geleiden van elektrische ladingen, **elektronen** genaamd, door geleidend materiaal vormt **elektrische stroom**. **Kenmerken van elektrische stroom:** * **Geleiding:** Om een elektrische stroom te laten lopen, is materiaal nodig dat de elektrische lading goed kan geleiden. Metalen zijn over het algemeen goede geleiders omdat hun atomen elektronen hebben die makkelijk losraken. * **Stroomkring:** Een elektrische stroom vereist een gesloten pad, een **stroomkring**. Deze bestaat uit een **spanningsbron** (zoals een batterij of accu) die zorgt voor de energie, geleidend materiaal (zoals koperdraad) en een **energiegebruiker** (zoals een lampje). * **Spanningsbron:** Een spanningsbron heeft een **pluspool** (tekort aan elektronen) en een **minpool** (overschot aan elektronen). Dit verschil in lading drijft de elektronen aan. * **Model van elektronenstroom:** De beweging van elektronen kan vergeleken worden met knikkers in een gesloten buis. Als je één knikker duwt, bewegen alle knikkers door de buis. De batterij levert de energie die de elektronen voortbeweegt. Een lege batterij levert onvoldoende energie om de elektronen te laten stromen. * **Stroomrichting:** Algemeen wordt de richting van de elektrische stroom aangegeven als gaande van de pluspool naar de minpool. In werkelijkheid stromen de elektronen echter van de minpool naar de pluspool. **Alternatieven voor elektrische apparaten:** Voordat elektriciteit algemeen beschikbaar was, werden veel handelingen verricht met mechanische middelen, zoals de handmatige aandrijving van machines, het gebruik van vuur voor warmte en licht, en handmatig transport. Hedendaagse alternatieven voor elektrische apparaten variëren sterk, van het gebruik van wind- of waterkracht voor mechanische taken tot het gebruik van gas voor verwarming en koken. **Voordelen van elektrische apparaten:** * **Efficiëntie:** Elektriciteit kan efficiënt worden omgezet in andere energievormen zoals licht, warmte, beweging en geluid. * **Gemak:** Elektrische apparaten bieden vaak een hoog niveau van gebruiksgemak en automatiseren taken. * **Veelzijdigheid:** Elektriciteit kan worden gebruikt voor een breed scala aan toepassingen, van verlichting en verwarming tot communicatie en transport. ### 3.3 Stroomkringen Een **stroomkring** is essentieel voor het laten lopen van elektrische stroom. Het bestaat uit een spanningsbron, geleidend materiaal en een energiegebruiker. **Componenten van een stroomkring:** * **Spanningsbron:** Levert de energie om de elektronen te laten bewegen (bijvoorbeeld een batterij). * **Geleidend materiaal:** Vormt het pad waar de elektronen doorheen stromen (bijvoorbeeld koperdraad). * **Energiegebruiker:** Een apparaat dat elektrische energie omzet in een andere vorm (bijvoorbeeld een lampje). * **Schakelaar:** Maakt het mogelijk om de stroomkring bewust te onderbreken (sluiten) of te openen (openen), waardoor het licht aan of uit gaat. **Serieschakeling:** Bij een **serieschakeling** zijn de energiegebruikers (bijvoorbeeld lampjes) achter elkaar geschakeld in één lus, verbonden met de spanningsbron. * Als één component in een serieschakeling defect raakt of wordt losgedraaid, wordt de stroomkring onderbroken en werkt geen enkel onderdeel meer. * Meerdere lampjes in serie branden minder fel dan een enkel lampje, omdat de totale weerstand toeneemt en de stroomsterkte afneemt. **Parallelschakeling:** Bij een **parallelschakeling** splitst de stroomkring zich in twee of meer lussen, waarbij elke energiegebruiker afzonderlijk is verbonden met de spanningsbron. * Als één component in een parallelschakeling losgedraaid wordt, blijft het andere component (meestal) werken. * Elk apparaat in een parallelschakeling krijgt de volledige spanning van de bron. De totale stroomsterkte die de batterij moet leveren, neemt echter toe met elk extra apparaat. * De elektrische bedrading in huizen en op fietsen is vaak een voorbeeld van een parallelschakeling. **De wet van Ohm:** De wet van Ohm beschrijft het verband tussen spanning, stroomsterkte en weerstand. * **Spanning ($U$)**: De potentiaalverschil dat de elektronen voortstuwt, gemeten in volt (V). * **Stroomsterkte ($I$)**: De hoeveelheid lading die per tijdseenheid door de stroomdraad gaat, gemeten in ampère (A). * **Weerstand ($R$)**: De mate waarin een materiaal de stroom van elektronen tegenwerkt, gemeten in ohm ($\Omega$). De formule luidt: $$U = I \times R$$ Dit betekent dat bij een hogere spanning en lagere weerstand, de stroomsterkte groter zal zijn. ### 3.4 Geleiding, isolatie en weerstand Materialen kunnen worden ingedeeld op basis van hun vermogen om elektrische stroom te geleiden. * **Geleiders:** Materialen die elektrische stroom goed doorlaten, zoals koper. Ze bieden weinig weerstand tegen de stroom. * **Isolatoren:** Materialen die elektrische stroom slecht of helemaal niet doorlaten, zoals plastic of rubber. Ze bieden hoge weerstand. **Eigenschappen van geleiders en isolatoren:** * **Koperdraad:** Vaak gebruikt in stroomdraden vanwege de goede geleidbaarheid en lage weerstand. * **Isolatielaag:** Koperdraad is meestal omhuld met een plastic laag om kortsluiting te voorkomen en veiligheid te garanderen. * **Dikte van de draad:** Een dunne stroomdraad heeft een grotere weerstand dan een dikke draad van hetzelfde materiaal, omdat de elektronen meer botsingen ondervinden. Dit kan leiden tot warmteontwikkeling. * **Gloeidraad in gloeilampen:** Bestaat uit een metaaldraad met een hoog smeltpunt en is omgeven door een zuurstofvrije glazen bol om doorbranden te voorkomen. ### 3.5 Elektriciteit in huis Het elektriciteitsnetwerk in een huis voorziet apparaten van energie. * **Energiemeter (kilowattuurmeter):** Meet het totale energieverbruik van een huishouden. De eenheid van energie is kilowattuur (kWh). $$Energieverbruik = Vermogen \times Tijd$$ Het **vermogen** ($P$) van een apparaat geeft aan hoeveel energie het per tijdseenheid verbruikt en wordt gemeten in watt (W). $$P = U \times I$$ * **Groepen en zekeringen:** Het elektriciteitsnetwerk is verdeeld in groepen om overbelasting en oververhitting van draden te voorkomen. **Zekeringen** (vroeger 'stoppen') onderbreken de stroomkring bij te hoge stroomsterkte om schade of brand te voorkomen. Moderne zekeringen werken met een schakelaar die omklapt. * **Aarddraad en aardlekschakelaar:** Apparaten met een metalen omhulsel hebben vaak een aarddraad (groen-gele isolatie) om kortsluiting via het lichaam te voorkomen. De **aardlekschakelaar** controleert of de stroom die het huis in gaat gelijk is aan de stroom die terugkomt. Een verschil kan duiden op stroom die weglekt (bijvoorbeeld via een persoon) en onderbreekt de stroomkring om gevaarlijke schokken te voorkomen. ### 3.6 Experimenteren met elektriciteit Bij het experimenteren met elektriciteit is voorzichtigheid geboden. * **Zwakstroom:** Batterijen leveren zwakstroom (lage spanning) en zijn over het algemeen veilig om mee te experimenteren. * **Netspanning:** Stopcontacten leveren een veel hogere spanning (230 V) en kunnen gevaarlijk zijn, leidend tot brandwonden of zelfs hartstilstand. Het lichaam geleidt stroom goed. * **Oplaadbare batterijen:** Minder belastend voor het milieu dan wegwerpbatterijen. Ze kunnen echter sneller kapotgaan bij kortsluiting. * **Voltmeter:** Kan gebruikt worden om te meten of een batterij nog 'vol' is. **Belangrijke concepten uit de inleiding:** * **Statische elektriciteit:** Geladen deeltjes zijn min of meer vast in het materiaal. * **Elektrische stroom:** Een gerichte beweging van geladen deeltjes (elektronen) door geleidend materiaal, die beheersbaar en nuttig is. * **Serie- en parallelschakelingen:** Verschillende manieren om energiegebruikers in een stroomkring te verbinden, met invloed op de stroomsterkte en het gedrag van de apparaten. * **Wet van Ohm:** Beschrijft het verband tussen spanning, stroomsterkte en weerstand. * **Energieverbruik:** Berekend met de formule energieverbruik = vermogen x tijd (in kilowattuur). * **Veiligheid:** Onderscheid tussen zwakstroom (batterijen) en netspanning (stopcontacten). Dit overzicht biedt een grondige basis voor het begrijpen van elektriciteit, van de basisprincipes tot de praktische toepassingen in huis. --- # Geluid Natuurkundige verschijnselen beschrijven de wereld om ons heen. Dit hoofdstuk focust op de oorsprong, verplaatsing en eigenschappen van geluid, met aandacht voor sterkte, toonhoogte en weerkaatsing. ## 4. Geluid Geluid is een natuurkundig verschijnsel dat ontstaat door trillingen en zich voortplant via golven door materie. De eigenschappen van geluid, zoals sterkte, toonhoogte en klankkleur, worden bepaald door de geluidsbron en de manier waarop het geluid wordt geproduceerd. Geluid kan ook weerkaatst of geabsorbeerd worden, wat leidt tot echo's of geluiddemping. ### 4.1 Wat is geluid? Geluid ontstaat doordat een geluidsbron trillingen veroorzaakt. Deze trillingen planten zich voort door een medium, zoals lucht, vloeistoffen of vaste stoffen, in de vorm van drukgolven. Deze drukgolven worden door onze oren waargenomen als geluid. Hoewel we de trillingen niet altijd direct kunnen zien, kunnen we ze soms voelen (bijvoorbeeld door een hand tegen een luidspreker te houden) of demonstreren met behulp van experimenten, zoals dansende suikerkorrels op een gespannen membraan dat door een geluidsbron in trilling wordt gebracht. De sterkte van de geluidstrillingen bepaalt hoe hard het geluid klinkt. > **Tip:** Het aantal trillingen per seconde (frequentie) bepaalt de toonhoogte van het geluid, terwijl de amplitude van de trilling de geluidssterkte bepaalt. ### 4.2 Verplaatsing van geluid Geluid verplaatst zich als drukgolven door een medium. Dit proces kan vergeleken worden met golfbewegingen in water. Wanneer een geluidsbron trilt, brengt deze de omringende luchtmoleculen in beweging, die op hun beurt weer de naastgelegen moleculen in beweging zetten. Deze golfbeweging plant zich voort, waarbij de intensiteit van het geluid afneemt naarmate de afstand tot de bron groter wordt. Voor de verplaatsing van geluid is altijd materie nodig. Geluid kan zich verplaatsen door lucht, vloeistoffen en vaste stoffen. In vaste stoffen en vloeistoffen plant geluid zich vaak sneller voort dan in lucht, omdat de deeltjes dichter op elkaar zitten. De snelheid van geluid in een bepaalde stof is constant bij een bepaalde temperatuur. #### 4.2.1 Geluidssnelheid en temperatuur De snelheid van geluid is hoger bij hogere temperaturen. Dit komt doordat bij hogere temperaturen de moleculen sneller bewegen en elkaar sneller kunnen 'botsen', waardoor de trillingen sneller worden doorgegeven. #### 4.2.2 Geluid in vaste stoffen en vloeistoffen In water plant geluid zich bijvoorbeeld sneller voort dan in lucht. Dit stelt dieren zoals dolfijnen en walvissen in staat om over grote afstanden met elkaar te communiceren. #### 4.2.3 De blikjestelefoon Een klassiek voorbeeld van geluidsoverdracht via een vaste stof is de blikjestelefoon. Twee blikjes verbonden met een gespannen touw kunnen geluidstrillingen doorgeven, waardoor fluisteringen hoorbaar worden aan de andere kant. Dit toont aan dat geluid zich door vaste materialen kan voortplanten. ### 4.3 Geluiden verschillen Geluiden verschillen in geluidssterkte, toonhoogte en klankkleur. #### 4.3.1 Geluidssterkte De geluidssterkte wordt bepaald door de amplitude van de trillingen. Een grotere amplitude resulteert in een harder geluid. Bij muziekinstrumenten kan de geluidssterkte worden geregeld door bijvoorbeeld harder of zachter te slaan, te blazen of te strijken. De geluidssterkte wordt gemeten in decibel (dB). Te harde geluiden kunnen leiden tot gehoorbeschadiging. > **Tip:** Een verhoging van 10 dB betekent een verdubbeling van de geluidsintensiteit. #### 4.3.2 Toonhoogte De toonhoogte wordt bepaald door de frequentie van de trillingen, oftewel het aantal trillingen per seconde (gemeten in Hertz - Hz). Een hogere frequentie resulteert in een hogere toon. Bij muziekinstrumenten kan de toonhoogte worden beïnvloed door factoren zoals de lengte, dikte en spanning van een snaar (bij snaarinstrumenten) of de lengte van de luchtkolom (bij blaasinstrumenten). Mensen kunnen frequenties horen tussen ongeveer 20 Hz en 20.000 Hz. Geluiden boven de 20.000 Hz worden ultrasoon genoemd. #### 4.3.3 Klankkleur De klankkleur, ook wel timbre genoemd, is wat een geluid uniek maakt en ervoor zorgt dat je een viool kunt onderscheiden van een saxofoon, zelfs als ze dezelfde noot met hetzelfde volume spelen. Dit komt doordat geluidsbronnen meestal een combinatie van een grondtoon en boventonen produceren. De verhouding van deze boventonen bepaalt de specifieke klankkleur van een instrument. #### 4.3.4 Het Doppler-effect Het Doppler-effect treedt op wanneer de geluidsbron beweegt ten opzichte van de waarnemer. Als een geluidsbron dichterbij komt, worden de geluidsgolven samengeperst, waardoor de toon hoger klinkt. Als de bron zich verwijdert, worden de golven uitgerekt en klinkt de toon lager. Dit is duidelijk hoorbaar bij een passerende ambulance met loeiende sirene. ### 4.4 Weerkaatsing van geluid Wanneer geluid een voorwerp tegenkomt, kan het worden doorgelaten, geabsorbeerd of weerkaatst. #### 4.4.1 Geluidsabsorptie en -weerkaatsing Zachte materialen met een onregelmatig oppervlak, zoals gordijnen en tapijt, absorberen geluid en hebben een dempende werking. Gladde en harde oppervlakken, zoals muren in een badkamer, weerkaatsen geluid. #### 4.4.2 Echo's Geluidsweerkaatsingen worden echo's genoemd. In lege ruimtes met harde muren kun je de echo van je eigen stem horen. #### 4.4.3 Echolocatie Sommige dieren, zoals vleermuizen en dolfijnen, gebruiken echolocatie om hun omgeving waar te nemen. Ze zenden geluiden uit en interpreteren de echo's om de afstand en locatie van objecten of prooien te bepalen. #### 4.4.4 Toepassingen van geluidsweerkaatsing Mensen hebben geluidsweerkaatsing toegepast in technologieën zoals sonar (voor navigatie en detectie op zee) en medische echografie (voor het maken van beelden van het inwendige van het lichaam, zoals een foetus). --- # Magnetisme Dit onderwerp verkent de aard van magnetisme, de werking van magneten, magnetische velden en de relatie tussen magnetisme en elektriciteit. ## 5.1 Wat is magnetisme? Magnetisme is een natuurkundig fenomeen dat wordt veroorzaakt door bewegende elektrische ladingen. Natuurlijke magneten, zoals magnetiet, werden al lang geleden ontdekt en hadden praktische toepassingen, zoals in vroege kompassen. Een magneet heeft altijd twee polen: een noordpool en een zuidpool. ### Gelijke en ongelijke polen * Gelijke polen (noord-noord of zuid-zuid) stoten elkaar af. * Ongelijke polen (noord-zuid) trekken elkaar aan. De aarde zelf gedraagt zich als een grote magneet met een magnetisch veld. De magnetische noordpool van de aarde bevindt zich in de buurt van de geografische zuidpool, en vice versa. Dit verklaart waarom een vrij draaibare magneet altijd in een bepaalde richting wijst (richting de aardmagnetische polen). > **Tip:** Een zelfgemaakt kompas kan je helpen de werking van magnetische velden te visualiseren. ### 5.1.1 Aantrekking en afstoting van magneten Magneten trekken specifieke metalen aan: ijzer, nikkel en kobalt. Deze materialen worden ferromagnetisch genoemd. Andere metalen, zoals aluminium, worden niet magnetisch aangetrokken. Voorwerpen die van ferromagnetisch materiaal zijn gemaakt, kunnen tijdelijk magnetisch worden gemaakt door een magneet er meermalen in dezelfde richting langs te strijken. ### 5.1.2 De werking van een magneet Een gewoon stuk ijzer bevat talloze kleine magnetische gebieden, elk met een eigen noord- en zuidpool. Normaal gesproken zijn deze gebieden willekeurig georiënteerd, waardoor hun magnetische effecten elkaar opheffen. Wanneer deze gebieden zich in dezelfde richting oriënteren, wordt het ijzer magnetisch. * **Magnetisatie:** Door een magneet herhaaldelijk in één richting langs een ferromagnetisch materiaal te strijken, kunnen de interne magnetische gebieden zich richten, waardoor het materiaal magnetisch wordt. * **Verlies van magnetisme:** Mechanische impact (zoals slaan op een magneet) of verhitting kan de oriëntatie van deze magnetische gebieden verstoren, waardoor de magneet zijn magnetische kracht verliest. > **Voorbeeld:** Een ijzeren spijker kan magnetisch worden gemaakt door er een magneet langs te strijken. Als je de spijker echter verhit, verliest hij zijn magnetisme weer. ### 5.1.3 Magneetvelden Rond elke magneet bevindt zich een magnetisch veld, een gebied waarin de magnetische kracht merkbaar is. De kracht van dit veld is het sterkst bij de polen van de magneet en neemt af met de afstand. * **Visualisatie:** Magnetische velden kunnen zichtbaar worden gemaakt door ijzervijlsel op een stuk karton te strooien boven een magneet. De ijzervijlseldeeltjes oriënteren zich langs de magnetische veldlijnen. * **Doordringend vermogen:** Magnetische velden kunnen door materialen zoals karton en plastic heen werken. > **Tip:** Gebruik een transparant materiaal zoals plastic om de magneet nog zichtbaar te houden tijdens het visualiseren van het magneetveld met ijzervijlsel. ## 5.2 Magnetisme en elektriciteit Er is een fundamenteel verband tussen magnetisme en elektriciteit. ### Elektrische stroom wekt magnetisme op Wanneer er elektrische stroom door een geleider loopt, wordt er een magnetisch veld rondom die geleider opgewekt. Dit principe ligt ten grondslag aan de werking van elektromagneten. * **Elektromagneet:** Een spoel van geleidende draad waar stroom doorheen loopt, gedraagt zich als een magneet. Deze elektromagneet werkt alleen wanneer er stroom vloeit en kan dus aan- en uitgezet worden. Elektromagneten worden gebruikt in toepassingen zoals kranen bij schroothopen voor het verplaatsen van metaal. * **Permanent magnetisme:** Door een ferromagnetisch materiaal bloot te stellen aan een zeer sterk elektromagnetisch veld, kan het permanent magnetisch worden gemaakt. > **Voorbeeld:** Een fietsdynamo maakt gebruik van het principe dat bewegende magneten elektriciteit opwekken. Het draaiende magneetveld in de dynamo induceert een elektrische stroom in een spoel, die vervolgens de fietslamp voedt. ### Magnetisme wekt elektriciteit op Het omgekeerde is ook waar: bewegende magneten kunnen elektrische stroom opwekken. Dit principe wordt toegepast in generatoren, die op grote schaal worden gebruikt in elektriciteitscentrales. * **Fietsdynamo:** Het draaien van een magneet ten opzichte van een draadspoel genereert een elektrische stroom. * **Generatoren:** In elektriciteitscentrales zorgen turbines ervoor dat grote magneten ronddraaien in spoelen, wat resulteert in de opwekking van elektriciteit. > **Tip:** Kinderen kunnen de relatie tussen elektriciteit en magnetisme onderzoeken door te experimenteren met een eenvoudige elektromagneet, waarbij ze zien dat de spijker magnetische eigenschappen krijgt wanneer er stroom door de draadspoel loopt. --- # Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen Hier is een samenvatting van het onderwerp "Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen" voor je studiehandleiding: ## 6 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen Dit gedeelte behandelt de verschillende verschijningsvormen van stoffen, de invloed van temperatuur en druk op deze vormen, en de specifieke eigenschappen van water en lucht. ### 5.1 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen #### 5.1.1 Verschijningsvormen Stoffen kunnen voorkomen in drie verschillende toestanden: vast, vloeibaar en gasvormig. Deze toestanden worden bepaald door het gedrag van de moleculen waaruit de stof is opgebouwd. * **Vaste stof:** De moleculen bewegen nauwelijks en trekken elkaar sterk aan, waardoor ze dicht bij elkaar blijven. Vaste stoffen zijn hierdoor hard en hebben een vaste vorm. Voorbeelden zijn ijsklontjes die hun vorm behouden, ongeacht de vorm van het vat. * **Vloeistof:** De moleculen bewegen in alle richtingen en zitten minder dicht op elkaar dan in vaste stoffen. De aantrekkingskracht tussen moleculen is zwakker, waardoor vloeistoffen geen vaste vorm hebben en de vorm van het vat aannemen waarin ze zich bevinden. Water is een voorbeeld. * **Gas:** De moleculen bewegen vrij en snel, met grote onderlinge afstanden en zonder aantrekkingskracht. Gassen vullen de hele ruimte waarin ze zich bevinden. Lucht is een voorbeeld. Water is een unieke stof omdat het in de natuur voorkomt in alle drie de verschijningsvormen: vast (ijs), vloeibaar (water) en gasvormig (waterdamp). #### 5.1.2 De invloed van warmte op de verschijningsvorm van een stof Temperatuurverhoging beïnvloedt het gedrag van moleculen en dus de verschijningsvorm van een stof. Dit proces kan worden geïllustreerd met een hoepel op het schoolplein, waarbij kinderen de moleculen voorstellen. * **Verwarmen:** Wanneer de temperatuur stijgt, bewegen de moleculen sneller en komen ze verder uit elkaar te liggen, waardoor de dichtheid van de stof afneemt. * **Smelten:** Bij een zuivere vaste stof smelt deze bij een specifieke temperatuur (smeltpunt) en wordt vloeibaar. Het smeltpunt van water (ijs) is $0^\circ$C bij normale luchtdruk. Onzuiverheden kunnen het smeltpunt verlagen. * **Verdampen/Koken:** Vloeistoffen kunnen bij verschillende temperaturen verdampen. Het kookpunt is de temperatuur waarbij de vloeistof overgaat in gasvorm. Bij water is dit $100^\circ$C bij normale luchtdruk. De luchtdruk beïnvloedt het kookpunt: hogere luchtdruk verhoogt het kookpunt, lagere luchtdruk verlaagt het. * **Sublimatie:** Sommige stoffen gaan rechtstreeks van de vaste naar de gasvormige toestand, zonder de vloeibare fase te doorlopen. Dit proces heet sublimatie (of vervluchtigen). Een voorbeeld is het ruiken van chocola of het ontstaan van rijp. * **Afkoelen:** Wanneer de temperatuur daalt, bewegen de moleculen langzamer en komen ze dichter bij elkaar. * **Condenseren:** Gassen kunnen overgaan in de vloeibare vorm wanneer ze afkoelen. Dit is condensatie, zoals zichtbaar bij het ademen tegen een koude spiegel. * **Stollen/Vriezen:** Vloeistoffen stollen bij een specifieke temperatuur (stollingspunt of vriespunt) en worden vast. **Dichtheid en temperatuur:** Over het algemeen wordt een stof lichter per volume-eenheid als deze opwarmt, omdat de moleculen verder uit elkaar gaan liggen. Bij afkoeling wordt een stof compacter en dus zwaarder per volume-eenheid. **Uitzondering water:** Water gedraagt zich anders. IJs (vaste vorm) heeft een lagere dichtheid dan vloeibaar water, waardoor het blijft drijven. Dit is belangrijk voor waterleven in bevroren omstandigheden, maar kan leiden tot barsten van waterleidingen door uitzetting bij bevriezing. #### 5.1.3 Eigenschappen van water Water is essentieel voor het leven en heeft bijzondere eigenschappen: * **Water als oplosmiddel:** Water is een veelzijdig oplosmiddel waarin veel stoffen kunnen oplossen. Dit is cruciaal voor biologische processen zoals transport in bloed en plantensappen. * **Oplossing:** Een mengsel waarin stoffen volledig zijn opgelost, zoals suikerwater. Oplossingen zijn helder en doorzichtig. * **Suspensie:** Een mengsel van een vaste stof en een vloeistof waarbij de vaste stof niet is opgelost en zweeft in kleine korreltjes, zoals modderwater. Suspensies zijn troebel en ondoorzichtig en kunnen ontmengen (bezinken). * **Emulsie:** Een mengsel van twee normaal gesproken niet-mengbare vloeistoffen, zoals water en vet. Een emulgator zorgt ervoor dat de vloeistoffen toch vermengd blijven, zoals in melk of mayonaise. * **Opwaartse kracht van water:** Objecten in water ondervinden een opwaartse kracht. Deze kracht zorgt ervoor dat zware voorwerpen, zoals schepen, kunnen drijven. Volgens de wet van Archimedes is de opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van het door het voorwerp verplaatste water. Drijvende voorwerpen hebben een lagere dichtheid dan water, of de vorm zorgt voor een grotere opwaartse kracht die de zwaartekracht compenseert. * **Oppervlaktespanning van water:** Watermoleculen trekken elkaar sterk aan. De aantrekkingskracht op de moleculen aan het wateroppervlak is naar binnen en opzij gericht, wat de oppervlaktespanning veroorzaakt. Dit geeft waterdruppels hun vorm en stelt sommige waterinsecten in staat om op het water te lopen. Zeep verstoort de oppervlaktespanning. #### 5.1.4 Eigenschappen van lucht * **Aanwezigheid van lucht:** Hoewel onzichtbaar, ruikt en tastbaar, is lucht overal aanwezig. Het neemt ruimte in en oefent druk uit. * **Luchtdruk:** Lucht oefent druk uit in alle richtingen. Deze druk voelen we niet direct omdat ons lichaam deze compenseert. De luchtdruk kan worden aangetoond door bijvoorbeeld een omgekeerd glas met water, waarbij de luchtdruk het water tegenhoudt. Lucht kan worden samengeperst, wat tegendruk creëert, zoals bij het opblazen van een ballon in een fles. * **Temperatuur en lucht:** Afkoeling van lucht leidt tot verhoogde dichtheid en dus tot een hogere luchtdruk in een afgesloten ruimte. Opwarming leidt tot uitzetting en lagere druk. Dit principe wordt gebruikt bij heteluchtballonnen. ### Scheiden van mengsels Mengsels (oplossingen, suspensies, emulsies) kunnen worden gescheiden met behulp van technieken die gebruikmaken van de verschillende eigenschappen van de bestanddelen: * **Filtreren:** Scheiden van een suspensie op basis van deeltjesgrootte (bv. zand uit water). * **Bezinken/Centrifugeren:** Scheiden op basis van dichtheid. * **Indampen:** Scheiden van een oplossing door het oplosmiddel te laten verdampen (bv. zout uit zeewater). * **Destillatie:** Scheiden op basis van kookpunt, waarbij de verdampte vloeistof wordt opgevangen na condensatie. --- **Tip:** Begrijp de moleculaire basis achter de toestandsveranderingen. Visualiseer de beweging en aantrekking van moleculen bij verwarmen, afkoelen en drukveranderingen. **Tip:** Wanneer je de eigenschappen van water bestudeert, denk dan aan de praktische implicaties ervan in het dagelijks leven en in de biologie. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
--- # Licht en kleur Hier is een gedetailleerd studieoverzicht van het onderwerp "Licht en kleur". ## 5.5 Licht en kleur Dit gedeelte verkent de aard van licht, de kleuren van de regenboog, de effecten van weerkaatsing en absorptie, en hoe we kleuren waarnemen. ### 5.5.1 Lichtbronnen * **Definitie:** Alle voorwerpen die zelf licht produceren, worden lichtbronnen genoemd. * **Natuurlijke lichtbronnen:** * De zon is de belangrijkste natuurlijke lichtbron. * Sterren produceren ook zelf licht, maar staan te ver weg om de aarde significant te verlichten. * Vulkanische uitbarstingen produceren licht, maar zijn niet praktisch bruikbaar. * **Kunstmatige lichtbronnen:** * Oude bronnen door verbranding: houtvuur, kaars, gaslamp. * Moderne bronnen op elektriciteit: * **Gloeilamp:** Een gloeidraad wordt heet door elektrische stroom en gaat gloeien. * **Halogeenlamp:** Een verbeterde versie van de gloeilamp met een langere levensduur. * **TL-buizen en spaarlampen:** Gebruiken fluorescentie; gassen in de buis lichten op door elektrische stroom. * **LED-lampen (Light Emitting Diode):** Halfgeleiders die licht uitstralen bij elektrische stroom. Ze zijn energiezuinig, duurzaam en klein. De kleur van het licht hangt af van het materiaal en de "sprong" van de deeltjes. * **Indirecte lichtbronnen:** Voorwerpen die zelf geen licht produceren, maar licht weerkaatsen. * Voorbeelden: de maan (weerkaatst zonlicht), spiegels, bioscoopschermen, regenbogen, gloei-in-het-donker stickers. ### 5.5.2 Wat is licht? * **Voortplanting:** Licht beweegt zich voort als een golfbeweging, net als geluid, maar heeft geen materie nodig om zich te verplaatsen (kan door vacuüm). * **Snelheid:** Licht reist met een enorme snelheid van $300.000$ km/s, veel sneller dan geluid ($343$ m/s in lucht). * **Lichtstralen:** Licht beweegt zich voort in rechte lijnen. * **Interactie met voorwerpen:** Wanneer lichtstralen een voorwerp tegenkomen, kunnen ze: * **Weerkaatst worden (reflectie):** Het licht wordt teruggekaatst. * **Geabsorbeerd worden:** Het licht wordt opgenomen door het voorwerp. * **Doorgelaten worden:** Het licht gaat door het voorwerp heen. * **Doorzichtig, doorschijnend en ondoorschijnend:** * **Doorzichtig:** Laat bijna al het licht door (bv. glas). * **Doorschijnend:** Laat wel enig licht door, maar niet alles (bv. een dunne zomerjurk). * **Ondoorzichtig:** Laat geen licht door. * **Schaduw:** Ontstaat achter ondoorschijnende voorwerpen omdat licht zich rechtlijnig voortbeweegt en niet om het voorwerp heen buigt. * **Kernschaduw:** Het donkerste deel waar al het licht wordt tegengehouden. * **Bijschaduw:** Een lichter deel rond de kernschaduw waar nog enig licht doorheen komt. ### 5.5.3 Weerkaatsing en absorptie van licht * **Waarneming van voorwerpen:** De meeste voorwerpen geven zelf geen licht, maar worden gezien doordat ze licht weerkaatsen (reflecteren). Het weerkaatste licht bereikt ons oog. * **Kleur van voorwerpen:** Voorwerpen krijgen hun kleur doordat ze bepaalde kleuren van het invallende licht absorberen en andere kleuren weerkaatsen. * Een groene plant absorbeert alle kleuren behalve groen, dat wordt weerkaatst. * Een wit voorwerp weerkaatst alle kleuren even sterk. * Een zwart voorwerp absorbeert al het licht. * **Gladde versus ruwe oppervlakken:** * **Spiegelend (glad) oppervlak:** Licht wordt onder dezelfde hoek weerkaatst als waarmee het invalt (invalshoek = hoek van terugkaatsing). * **Ruw oppervlak:** Lichtstralen worden in meerdere richtingen verstrooid, waardoor de bundel minder helder is. * **Dopplereffect bij licht:** (Niet direct in dit deel, maar gerelateerd aan golven) * **Lichtsterkte en absorptie:** Gladde en witte oppervlakken weerkaatsen meer licht dan ruwe en donkere oppervlakken. Dit is waarom lichte kleding op warme dagen prettiger is. * **Gezichtsbedrog door breking:** Lichtstralen veranderen van richting wanneer ze van de ene doorzichtige stof naar de andere gaan (bv. van water naar lucht). Dit kan leiden tot visuele vertekeningen, zoals een muntstuk dat op een andere plaats lijkt te liggen. ### 5.5.4 Breking van licht * **Definitie:** Het verschijnsel waarbij lichtstralen van richting veranderen wanneer ze van de ene doorzichtige stof naar de andere gaan. * **Oorzaak:** Licht heeft in verschillende stoffen een andere snelheid. In stoffen met een hogere dichtheid (zoals water of glas) is de lichtsnelheid lager dan in lucht. * **Lenzen:** De werking van lenzen is gebaseerd op lichtbreking. * **Bolle lenzen:** Breken lichtstralen naar elkaar toe en bundelen ze in een brandpunt. Ze kunnen beelden vergroten (bv. vergrootglas). * **Holle lenzen:** Spreiden lichtstralen uit. Ze kunnen beelden verkleinen. * **Oogcorrectie:** * **Verziendheid:** Het brandpunt ligt achter het netvlies. Gecorrigeerd met bolle lenzen. * **Bijziendheid:** Het brandpunt ligt vóór het netvlies. Gecorrigeerd met holle lenzen. ### 5.5.5 De kleuren van de regenboog * **Wit licht:** Zonlicht, dat wij als wit ervaren, bestaat uit een spectrum van verschillende kleuren. * **Ontstaan regenboog:** Ontstaat doordat regendruppels het zonlicht breken. Elke kleur wordt anders gebroken: rood het minst, violet het meest. * **Kleurenvolgorde:** Altijd rood, oranje, geel, groen, blauw, indigo, violet. * **Prisma:** Een driehoekige lens die wit licht kan opsplitsen in de regenboogkleuren door breking. * **Infrarood en ultraviolet:** Vallen net buiten het zichtbare kleurenspectrum. Sommige insecten (bv. honingbijen) kunnen ultraviolet waarnemen, andere dieren (bv. slangen) infrarood. ### 5.5.6 Kleuren zien * **Primaire lichtkleuren:** Rood, blauw en groen. Dit komt overeen met de lichtgevoelige kegeltjes in ons netvlies. * **Mengen van lichtkleuren:** * **Wit licht:** Ontstaat door het mengen van gelijke delen rood, blauw en groen licht. * **Secundaire lichtkleuren:** * Geel (rood + groen) * Cyaan (blauw + groen) * Magenta (rood + blauw) * **Primair kleuren van verf:** Geel, magenta en cyaan (CMY-model). Deze kleuren zijn de primaire kleuren voor drukwerk en printers. Elke primaire verfkleur absorbeert één primaire lichtkleur en weerkaatst de andere twee. * **Waarneming van andere kleuren:** Andere kleuren worden waargenomen doordat ze meerdere typen kegeltjes tegelijk beïnvloeden, waardoor de hersenen een signaal van een mengkleur ontvangen. ### Doe-opdrachten en Vragen * **Lichtkleuren mengen:** Onderzoek hoe rood, groen en blauw licht gemengd kunnen worden om andere kleuren te creëren. * **Een regenboog maken:** Ontdek hoe je een regenboog kunt creëren met water, een spiegel en zonlicht, of met een plantensproeier. * **Mengen van primaire lichtkleuren:** Begrijpen waarom het mengen van rode, groene en blauwe verf geen wit oplevert, terwijl het mengen van rood, groen en blauw licht wel wit licht produceert. * **Weerkaatsing en absorptie van licht:** Onderzoek hoe verschillende oppervlakken licht weerkaatsen of absorberen met behulp van een spiegel, wit en zwart karton. * **Gezichtsbedrog:** Ervaar hoe lichtbreking kan leiden tot visuele illusies, zoals een muntstuk dat lijkt te zweven of een rietje dat breekt in water. * **Licht en schaduw:** Begrijp hoe licht zich rechtlijnig voortbeweegt en schaduwen vormt, en hoe de vorm en afstand van een voorwerp de schaduw beïnvloeden. * **Schimmenspel:** Pas de eigenschap van licht dat het zich rechtlijnig voortbeweegt toe om een schimmenspel te creëren. * **De kleuren van de regenboog:** Teken hoe lenzen lichtstralen breken en verken de volgorde van kleuren in een regenboog. --- **Tip:** Het is cruciaal om het verschil te onthouden tussen het mengen van licht (additieve kleurmenging, met rood, groen, blauw als primaire kleuren) en het mengen van verf/pigmenten (subtractieve kleurmenging, met cyaan, magenta, geel als primaire kleuren). Dit concept is fundamenteel voor het begrijpen van kleurwaarneming en toepassing in bijvoorbeeld schermen en drukwerk. --- # Elektriciteit Hier is een gedetailleerde studiehandleiding over Elektriciteit, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 3. Elektriciteit Dit onderwerp verkent de fundamentele principes van elektriciteit, van statische lading tot de toepassing ervan in huiselijke stroomkringen. ### 3.1 Statische elektriciteit Statische elektriciteit ontstaat wanneer geladen deeltjes min of meer vastzitten in een materiaal. Dit verschijnsel treedt op wanneer twee voorwerpen tegen elkaar wrijven, waarbij het ene voorwerp geladen deeltjes overneemt van het andere, waardoor beide materialen een (tegengestelde) elektrische lading krijgen. Omdat de geladen deeltjes niet wegstromen, blijft het materiaal gedurende langere tijd geladen. > **Tip:** De "statische" aard van deze elektriciteit betekent dat de ladingen stilstaand zijn, in tegenstelling tot elektrische stroom. Statische elektriciteit kan zich manifesteren door aantrekking en afstoting, wat lijkt op magnetisme maar een ander verschijnsel is. Wanneer de aantrekkingskracht tussen een positief en negatief geladen voorwerp te groot wordt, kunnen elektronen in één keer terugspringen naar het positief geladen voorwerp. Dit veroorzaakt een kortdurende elektrische ontlading, vaak gepaard gaand met licht- en geluidsverschijnselen. Een voorbeeld hiervan is de knetterende geluid bij het uittrekken van een nylon trui. **Voorbeelden van statische elektriciteit:** * **Papiersnippers aantrekken:** Door een plastic kam met je trui te wrijven, krijgt deze een elektrische lading. Als je de geladen kam vervolgens bij papiersnippers houdt, worden deze aangetrokken. Dit komt doordat de geladen kam ladingsscheiding in de neutrale snippers veroorzaakt. Na verloop van tijd kunnen de snippers een deel van de lading overnemen en afgestoten worden. * **Waterstraal afbuigen:** Een geladen kam kan ook een waterstraal afbuigen. De negatieve lading van de kam stoot negatief geladen deeltjes in het water af en trekt positief geladen deeltjes aan, waardoor de straal buigt. * **Bliksem:** Een grootschalig voorbeeld van ontlading is bliksem, waarbij ijskristallen en waterdruppels in onweerswolken door wrijving elektrisch geladen worden en de lading zich ontlaadt. **Belangrijke concepten:** * **Lading:** Atomen bestaan uit positief geladen kernen en negatief geladen elektronen. Een neutraal atoom heeft gelijke aantallen positieve en negatieve ladingen. * **Ladingsscheiding:** Wanneer een geladen voorwerp in de buurt komt van een neutraal voorwerp, kunnen de ladingen binnen het neutrale voorwerp zich herschikken. ### 3.2 Elektrische stroom In tegenstelling tot statische elektriciteit, waar ladingen stilstaand zijn, is bij **dynamische elektriciteit** de elektrische lading voortdurend in beweging. Dit geleiden van elektrische ladingen, **elektronen** genaamd, door geleidend materiaal vormt **elektrische stroom**. **Kenmerken van elektrische stroom:** * **Geleiding:** Om een elektrische stroom te laten lopen, is materiaal nodig dat de elektrische lading goed kan geleiden. Metalen zijn over het algemeen goede geleiders omdat hun atomen elektronen hebben die makkelijk losraken. * **Stroomkring:** Een elektrische stroom vereist een gesloten pad, een **stroomkring**. Deze bestaat uit een **spanningsbron** (zoals een batterij of accu) die zorgt voor de energie, geleidend materiaal (zoals koperdraad) en een **energiegebruiker** (zoals een lampje). * **Spanningsbron:** Een spanningsbron heeft een **pluspool** (tekort aan elektronen) en een **minpool** (overschot aan elektronen). Dit verschil in lading drijft de elektronen aan. * **Model van elektronenstroom:** De beweging van elektronen kan vergeleken worden met knikkers in een gesloten buis. Als je één knikker duwt, bewegen alle knikkers door de buis. De batterij levert de energie die de elektronen voortbeweegt. Een lege batterij levert onvoldoende energie om de elektronen te laten stromen. * **Stroomrichting:** Algemeen wordt de richting van de elektrische stroom aangegeven als gaande van de pluspool naar de minpool. In werkelijkheid stromen de elektronen echter van de minpool naar de pluspool. **Alternatieven voor elektrische apparaten:** Voordat elektriciteit algemeen beschikbaar was, werden veel handelingen verricht met mechanische middelen, zoals de handmatige aandrijving van machines, het gebruik van vuur voor warmte en licht, en handmatig transport. Hedendaagse alternatieven voor elektrische apparaten variëren sterk, van het gebruik van wind- of waterkracht voor mechanische taken tot het gebruik van gas voor verwarming en koken. **Voordelen van elektrische apparaten:** * **Efficiëntie:** Elektriciteit kan efficiënt worden omgezet in andere energievormen zoals licht, warmte, beweging en geluid. * **Gemak:** Elektrische apparaten bieden vaak een hoog niveau van gebruiksgemak en automatiseren taken. * **Veelzijdigheid:** Elektriciteit kan worden gebruikt voor een breed scala aan toepassingen, van verlichting en verwarming tot communicatie en transport. ### 3.3 Stroomkringen Een **stroomkring** is essentieel voor het laten lopen van elektrische stroom. Het bestaat uit een spanningsbron, geleidend materiaal en een energiegebruiker. **Componenten van een stroomkring:** * **Spanningsbron:** Levert de energie om de elektronen te laten bewegen (bijvoorbeeld een batterij). * **Geleidend materiaal:** Vormt het pad waar de elektronen doorheen stromen (bijvoorbeeld koperdraad). * **Energiegebruiker:** Een apparaat dat elektrische energie omzet in een andere vorm (bijvoorbeeld een lampje). * **Schakelaar:** Maakt het mogelijk om de stroomkring bewust te onderbreken (sluiten) of te openen (openen), waardoor het licht aan of uit gaat. **Serieschakeling:** Bij een **serieschakeling** zijn de energiegebruikers (bijvoorbeeld lampjes) achter elkaar geschakeld in één lus, verbonden met de spanningsbron. * Als één component in een serieschakeling defect raakt of wordt losgedraaid, wordt de stroomkring onderbroken en werkt geen enkel onderdeel meer. * Meerdere lampjes in serie branden minder fel dan een enkel lampje, omdat de totale weerstand toeneemt en de stroomsterkte afneemt. **Parallelschakeling:** Bij een **parallelschakeling** splitst de stroomkring zich in twee of meer lussen, waarbij elke energiegebruiker afzonderlijk is verbonden met de spanningsbron. * Als één component in een parallelschakeling losgedraaid wordt, blijft het andere component (meestal) werken. * Elk apparaat in een parallelschakeling krijgt de volledige spanning van de bron. De totale stroomsterkte die de batterij moet leveren, neemt echter toe met elk extra apparaat. * De elektrische bedrading in huizen en op fietsen is vaak een voorbeeld van een parallelschakeling. **De wet van Ohm:** De wet van Ohm beschrijft het verband tussen spanning, stroomsterkte en weerstand. * **Spanning ($U$)**: De potentiaalverschil dat de elektronen voortstuwt, gemeten in volt (V). * **Stroomsterkte ($I$)**: De hoeveelheid lading die per tijdseenheid door de stroomdraad gaat, gemeten in ampère (A). * **Weerstand ($R$)**: De mate waarin een materiaal de stroom van elektronen tegenwerkt, gemeten in ohm ($\Omega$). De formule luidt: $$U = I \times R$$ Dit betekent dat bij een hogere spanning en lagere weerstand, de stroomsterkte groter zal zijn. ### 3.4 Geleiding, isolatie en weerstand Materialen kunnen worden ingedeeld op basis van hun vermogen om elektrische stroom te geleiden. * **Geleiders:** Materialen die elektrische stroom goed doorlaten, zoals koper. Ze bieden weinig weerstand tegen de stroom. * **Isolatoren:** Materialen die elektrische stroom slecht of helemaal niet doorlaten, zoals plastic of rubber. Ze bieden hoge weerstand. **Eigenschappen van geleiders en isolatoren:** * **Koperdraad:** Vaak gebruikt in stroomdraden vanwege de goede geleidbaarheid en lage weerstand. * **Isolatielaag:** Koperdraad is meestal omhuld met een plastic laag om kortsluiting te voorkomen en veiligheid te garanderen. * **Dikte van de draad:** Een dunne stroomdraad heeft een grotere weerstand dan een dikke draad van hetzelfde materiaal, omdat de elektronen meer botsingen ondervinden. Dit kan leiden tot warmteontwikkeling. * **Gloeidraad in gloeilampen:** Bestaat uit een metaaldraad met een hoog smeltpunt en is omgeven door een zuurstofvrije glazen bol om doorbranden te voorkomen. ### 3.5 Elektriciteit in huis Het elektriciteitsnetwerk in een huis voorziet apparaten van energie. * **Energiemeter (kilowattuurmeter):** Meet het totale energieverbruik van een huishouden. De eenheid van energie is kilowattuur (kWh). $$Energieverbruik = Vermogen \times Tijd$$ Het **vermogen** ($P$) van een apparaat geeft aan hoeveel energie het per tijdseenheid verbruikt en wordt gemeten in watt (W). $$P = U \times I$$ * **Groepen en zekeringen:** Het elektriciteitsnetwerk is verdeeld in groepen om overbelasting en oververhitting van draden te voorkomen. **Zekeringen** (vroeger 'stoppen') onderbreken de stroomkring bij te hoge stroomsterkte om schade of brand te voorkomen. Moderne zekeringen werken met een schakelaar die omklapt. * **Aarddraad en aardlekschakelaar:** Apparaten met een metalen omhulsel hebben vaak een aarddraad (groen-gele isolatie) om kortsluiting via het lichaam te voorkomen. De **aardlekschakelaar** controleert of de stroom die het huis in gaat gelijk is aan de stroom die terugkomt. Een verschil kan duiden op stroom die weglekt (bijvoorbeeld via een persoon) en onderbreekt de stroomkring om gevaarlijke schokken te voorkomen. ### 3.6 Experimenteren met elektriciteit Bij het experimenteren met elektriciteit is voorzichtigheid geboden. * **Zwakstroom:** Batterijen leveren zwakstroom (lage spanning) en zijn over het algemeen veilig om mee te experimenteren. * **Netspanning:** Stopcontacten leveren een veel hogere spanning (230 V) en kunnen gevaarlijk zijn, leidend tot brandwonden of zelfs hartstilstand. Het lichaam geleidt stroom goed. * **Oplaadbare batterijen:** Minder belastend voor het milieu dan wegwerpbatterijen. Ze kunnen echter sneller kapotgaan bij kortsluiting. * **Voltmeter:** Kan gebruikt worden om te meten of een batterij nog 'vol' is. **Belangrijke concepten uit de inleiding:** * **Statische elektriciteit:** Geladen deeltjes zijn min of meer vast in het materiaal. * **Elektrische stroom:** Een gerichte beweging van geladen deeltjes (elektronen) door geleidend materiaal, die beheersbaar en nuttig is. * **Serie- en parallelschakelingen:** Verschillende manieren om energiegebruikers in een stroomkring te verbinden, met invloed op de stroomsterkte en het gedrag van de apparaten. * **Wet van Ohm:** Beschrijft het verband tussen spanning, stroomsterkte en weerstand. * **Energieverbruik:** Berekend met de formule energieverbruik = vermogen x tijd (in kilowattuur). * **Veiligheid:** Onderscheid tussen zwakstroom (batterijen) en netspanning (stopcontacten). Dit overzicht biedt een grondige basis voor het begrijpen van elektriciteit, van de basisprincipes tot de praktische toepassingen in huis. --- # Geluid Natuurkundige verschijnselen beschrijven de wereld om ons heen. Dit hoofdstuk focust op de oorsprong, verplaatsing en eigenschappen van geluid, met aandacht voor sterkte, toonhoogte en weerkaatsing. ## 4. Geluid Geluid is een natuurkundig verschijnsel dat ontstaat door trillingen en zich voortplant via golven door materie. De eigenschappen van geluid, zoals sterkte, toonhoogte en klankkleur, worden bepaald door de geluidsbron en de manier waarop het geluid wordt geproduceerd. Geluid kan ook weerkaatst of geabsorbeerd worden, wat leidt tot echo's of geluiddemping. ### 4.1 Wat is geluid? Geluid ontstaat doordat een geluidsbron trillingen veroorzaakt. Deze trillingen planten zich voort door een medium, zoals lucht, vloeistoffen of vaste stoffen, in de vorm van drukgolven. Deze drukgolven worden door onze oren waargenomen als geluid. Hoewel we de trillingen niet altijd direct kunnen zien, kunnen we ze soms voelen (bijvoorbeeld door een hand tegen een luidspreker te houden) of demonstreren met behulp van experimenten, zoals dansende suikerkorrels op een gespannen membraan dat door een geluidsbron in trilling wordt gebracht. De sterkte van de geluidstrillingen bepaalt hoe hard het geluid klinkt. > **Tip:** Het aantal trillingen per seconde (frequentie) bepaalt de toonhoogte van het geluid, terwijl de amplitude van de trilling de geluidssterkte bepaalt. ### 4.2 Verplaatsing van geluid Geluid verplaatst zich als drukgolven door een medium. Dit proces kan vergeleken worden met golfbewegingen in water. Wanneer een geluidsbron trilt, brengt deze de omringende luchtmoleculen in beweging, die op hun beurt weer de naastgelegen moleculen in beweging zetten. Deze golfbeweging plant zich voort, waarbij de intensiteit van het geluid afneemt naarmate de afstand tot de bron groter wordt. Voor de verplaatsing van geluid is altijd materie nodig. Geluid kan zich verplaatsen door lucht, vloeistoffen en vaste stoffen. In vaste stoffen en vloeistoffen plant geluid zich vaak sneller voort dan in lucht, omdat de deeltjes dichter op elkaar zitten. De snelheid van geluid in een bepaalde stof is constant bij een bepaalde temperatuur. #### 4.2.1 Geluidssnelheid en temperatuur De snelheid van geluid is hoger bij hogere temperaturen. Dit komt doordat bij hogere temperaturen de moleculen sneller bewegen en elkaar sneller kunnen 'botsen', waardoor de trillingen sneller worden doorgegeven. #### 4.2.2 Geluid in vaste stoffen en vloeistoffen In water plant geluid zich bijvoorbeeld sneller voort dan in lucht. Dit stelt dieren zoals dolfijnen en walvissen in staat om over grote afstanden met elkaar te communiceren. #### 4.2.3 De blikjestelefoon Een klassiek voorbeeld van geluidsoverdracht via een vaste stof is de blikjestelefoon. Twee blikjes verbonden met een gespannen touw kunnen geluidstrillingen doorgeven, waardoor fluisteringen hoorbaar worden aan de andere kant. Dit toont aan dat geluid zich door vaste materialen kan voortplanten. ### 4.3 Geluiden verschillen Geluiden verschillen in geluidssterkte, toonhoogte en klankkleur. #### 4.3.1 Geluidssterkte De geluidssterkte wordt bepaald door de amplitude van de trillingen. Een grotere amplitude resulteert in een harder geluid. Bij muziekinstrumenten kan de geluidssterkte worden geregeld door bijvoorbeeld harder of zachter te slaan, te blazen of te strijken. De geluidssterkte wordt gemeten in decibel (dB). Te harde geluiden kunnen leiden tot gehoorbeschadiging. > **Tip:** Een verhoging van 10 dB betekent een verdubbeling van de geluidsintensiteit. #### 4.3.2 Toonhoogte De toonhoogte wordt bepaald door de frequentie van de trillingen, oftewel het aantal trillingen per seconde (gemeten in Hertz - Hz). Een hogere frequentie resulteert in een hogere toon. Bij muziekinstrumenten kan de toonhoogte worden beïnvloed door factoren zoals de lengte, dikte en spanning van een snaar (bij snaarinstrumenten) of de lengte van de luchtkolom (bij blaasinstrumenten). Mensen kunnen frequenties horen tussen ongeveer 20 Hz en 20.000 Hz. Geluiden boven de 20.000 Hz worden ultrasoon genoemd. #### 4.3.3 Klankkleur De klankkleur, ook wel timbre genoemd, is wat een geluid uniek maakt en ervoor zorgt dat je een viool kunt onderscheiden van een saxofoon, zelfs als ze dezelfde noot met hetzelfde volume spelen. Dit komt doordat geluidsbronnen meestal een combinatie van een grondtoon en boventonen produceren. De verhouding van deze boventonen bepaalt de specifieke klankkleur van een instrument. #### 4.3.4 Het Doppler-effect Het Doppler-effect treedt op wanneer de geluidsbron beweegt ten opzichte van de waarnemer. Als een geluidsbron dichterbij komt, worden de geluidsgolven samengeperst, waardoor de toon hoger klinkt. Als de bron zich verwijdert, worden de golven uitgerekt en klinkt de toon lager. Dit is duidelijk hoorbaar bij een passerende ambulance met loeiende sirene. ### 4.4 Weerkaatsing van geluid Wanneer geluid een voorwerp tegenkomt, kan het worden doorgelaten, geabsorbeerd of weerkaatst. #### 4.4.1 Geluidsabsorptie en -weerkaatsing Zachte materialen met een onregelmatig oppervlak, zoals gordijnen en tapijt, absorberen geluid en hebben een dempende werking. Gladde en harde oppervlakken, zoals muren in een badkamer, weerkaatsen geluid. #### 4.4.2 Echo's Geluidsweerkaatsingen worden echo's genoemd. In lege ruimtes met harde muren kun je de echo van je eigen stem horen. #### 4.4.3 Echolocatie Sommige dieren, zoals vleermuizen en dolfijnen, gebruiken echolocatie om hun omgeving waar te nemen. Ze zenden geluiden uit en interpreteren de echo's om de afstand en locatie van objecten of prooien te bepalen. #### 4.4.4 Toepassingen van geluidsweerkaatsing Mensen hebben geluidsweerkaatsing toegepast in technologieën zoals sonar (voor navigatie en detectie op zee) en medische echografie (voor het maken van beelden van het inwendige van het lichaam, zoals een foetus). --- # Magnetisme Dit onderwerp verkent de aard van magnetisme, de werking van magneten, magnetische velden en de relatie tussen magnetisme en elektriciteit. ## 5.1 Wat is magnetisme? Magnetisme is een natuurkundig fenomeen dat wordt veroorzaakt door bewegende elektrische ladingen. Natuurlijke magneten, zoals magnetiet, werden al lang geleden ontdekt en hadden praktische toepassingen, zoals in vroege kompassen. Een magneet heeft altijd twee polen: een noordpool en een zuidpool. ### Gelijke en ongelijke polen * Gelijke polen (noord-noord of zuid-zuid) stoten elkaar af. * Ongelijke polen (noord-zuid) trekken elkaar aan. De aarde zelf gedraagt zich als een grote magneet met een magnetisch veld. De magnetische noordpool van de aarde bevindt zich in de buurt van de geografische zuidpool, en vice versa. Dit verklaart waarom een vrij draaibare magneet altijd in een bepaalde richting wijst (richting de aardmagnetische polen). > **Tip:** Een zelfgemaakt kompas kan je helpen de werking van magnetische velden te visualiseren. ### 5.1.1 Aantrekking en afstoting van magneten Magneten trekken specifieke metalen aan: ijzer, nikkel en kobalt. Deze materialen worden ferromagnetisch genoemd. Andere metalen, zoals aluminium, worden niet magnetisch aangetrokken. Voorwerpen die van ferromagnetisch materiaal zijn gemaakt, kunnen tijdelijk magnetisch worden gemaakt door een magneet er meermalen in dezelfde richting langs te strijken. ### 5.1.2 De werking van een magneet Een gewoon stuk ijzer bevat talloze kleine magnetische gebieden, elk met een eigen noord- en zuidpool. Normaal gesproken zijn deze gebieden willekeurig georiënteerd, waardoor hun magnetische effecten elkaar opheffen. Wanneer deze gebieden zich in dezelfde richting oriënteren, wordt het ijzer magnetisch. * **Magnetisatie:** Door een magneet herhaaldelijk in één richting langs een ferromagnetisch materiaal te strijken, kunnen de interne magnetische gebieden zich richten, waardoor het materiaal magnetisch wordt. * **Verlies van magnetisme:** Mechanische impact (zoals slaan op een magneet) of verhitting kan de oriëntatie van deze magnetische gebieden verstoren, waardoor de magneet zijn magnetische kracht verliest. > **Voorbeeld:** Een ijzeren spijker kan magnetisch worden gemaakt door er een magneet langs te strijken. Als je de spijker echter verhit, verliest hij zijn magnetisme weer. ### 5.1.3 Magneetvelden Rond elke magneet bevindt zich een magnetisch veld, een gebied waarin de magnetische kracht merkbaar is. De kracht van dit veld is het sterkst bij de polen van de magneet en neemt af met de afstand. * **Visualisatie:** Magnetische velden kunnen zichtbaar worden gemaakt door ijzervijlsel op een stuk karton te strooien boven een magneet. De ijzervijlseldeeltjes oriënteren zich langs de magnetische veldlijnen. * **Doordringend vermogen:** Magnetische velden kunnen door materialen zoals karton en plastic heen werken. > **Tip:** Gebruik een transparant materiaal zoals plastic om de magneet nog zichtbaar te houden tijdens het visualiseren van het magneetveld met ijzervijlsel. ## 5.2 Magnetisme en elektriciteit Er is een fundamenteel verband tussen magnetisme en elektriciteit. ### Elektrische stroom wekt magnetisme op Wanneer er elektrische stroom door een geleider loopt, wordt er een magnetisch veld rondom die geleider opgewekt. Dit principe ligt ten grondslag aan de werking van elektromagneten. * **Elektromagneet:** Een spoel van geleidende draad waar stroom doorheen loopt, gedraagt zich als een magneet. Deze elektromagneet werkt alleen wanneer er stroom vloeit en kan dus aan- en uitgezet worden. Elektromagneten worden gebruikt in toepassingen zoals kranen bij schroothopen voor het verplaatsen van metaal. * **Permanent magnetisme:** Door een ferromagnetisch materiaal bloot te stellen aan een zeer sterk elektromagnetisch veld, kan het permanent magnetisch worden gemaakt. > **Voorbeeld:** Een fietsdynamo maakt gebruik van het principe dat bewegende magneten elektriciteit opwekken. Het draaiende magneetveld in de dynamo induceert een elektrische stroom in een spoel, die vervolgens de fietslamp voedt. ### Magnetisme wekt elektriciteit op Het omgekeerde is ook waar: bewegende magneten kunnen elektrische stroom opwekken. Dit principe wordt toegepast in generatoren, die op grote schaal worden gebruikt in elektriciteitscentrales. * **Fietsdynamo:** Het draaien van een magneet ten opzichte van een draadspoel genereert een elektrische stroom. * **Generatoren:** In elektriciteitscentrales zorgen turbines ervoor dat grote magneten ronddraaien in spoelen, wat resulteert in de opwekking van elektriciteit. > **Tip:** Kinderen kunnen de relatie tussen elektriciteit en magnetisme onderzoeken door te experimenteren met een eenvoudige elektromagneet, waarbij ze zien dat de spijker magnetische eigenschappen krijgt wanneer er stroom door de draadspoel loopt. --- # Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen Hier is een samenvatting van het onderwerp "Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen" voor je studiehandleiding: ## 6 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen Dit gedeelte behandelt de verschillende verschijningsvormen van stoffen, de invloed van temperatuur en druk op deze vormen, en de specifieke eigenschappen van water en lucht. ### 5.1 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen #### 5.1.1 Verschijningsvormen Stoffen kunnen voorkomen in drie verschillende toestanden: vast, vloeibaar en gasvormig. Deze toestanden worden bepaald door het gedrag van de moleculen waaruit de stof is opgebouwd. * **Vaste stof:** De moleculen bewegen nauwelijks en trekken elkaar sterk aan, waardoor ze dicht bij elkaar blijven. Vaste stoffen zijn hierdoor hard en hebben een vaste vorm. Voorbeelden zijn ijsklontjes die hun vorm behouden, ongeacht de vorm van het vat. * **Vloeistof:** De moleculen bewegen in alle richtingen en zitten minder dicht op elkaar dan in vaste stoffen. De aantrekkingskracht tussen moleculen is zwakker, waardoor vloeistoffen geen vaste vorm hebben en de vorm van het vat aannemen waarin ze zich bevinden. Water is een voorbeeld. * **Gas:** De moleculen bewegen vrij en snel, met grote onderlinge afstanden en zonder aantrekkingskracht. Gassen vullen de hele ruimte waarin ze zich bevinden. Lucht is een voorbeeld. Water is een unieke stof omdat het in de natuur voorkomt in alle drie de verschijningsvormen: vast (ijs), vloeibaar (water) en gasvormig (waterdamp). #### 5.1.2 De invloed van warmte op de verschijningsvorm van een stof Temperatuurverhoging beïnvloedt het gedrag van moleculen en dus de verschijningsvorm van een stof. Dit proces kan worden geïllustreerd met een hoepel op het schoolplein, waarbij kinderen de moleculen voorstellen. * **Verwarmen:** Wanneer de temperatuur stijgt, bewegen de moleculen sneller en komen ze verder uit elkaar te liggen, waardoor de dichtheid van de stof afneemt. * **Smelten:** Bij een zuivere vaste stof smelt deze bij een specifieke temperatuur (smeltpunt) en wordt vloeibaar. Het smeltpunt van water (ijs) is $0^\circ$C bij normale luchtdruk. Onzuiverheden kunnen het smeltpunt verlagen. * **Verdampen/Koken:** Vloeistoffen kunnen bij verschillende temperaturen verdampen. Het kookpunt is de temperatuur waarbij de vloeistof overgaat in gasvorm. Bij water is dit $100^\circ$C bij normale luchtdruk. De luchtdruk beïnvloedt het kookpunt: hogere luchtdruk verhoogt het kookpunt, lagere luchtdruk verlaagt het. * **Sublimatie:** Sommige stoffen gaan rechtstreeks van de vaste naar de gasvormige toestand, zonder de vloeibare fase te doorlopen. Dit proces heet sublimatie (of vervluchtigen). Een voorbeeld is het ruiken van chocola of het ontstaan van rijp. * **Afkoelen:** Wanneer de temperatuur daalt, bewegen de moleculen langzamer en komen ze dichter bij elkaar. * **Condenseren:** Gassen kunnen overgaan in de vloeibare vorm wanneer ze afkoelen. Dit is condensatie, zoals zichtbaar bij het ademen tegen een koude spiegel. * **Stollen/Vriezen:** Vloeistoffen stollen bij een specifieke temperatuur (stollingspunt of vriespunt) en worden vast. **Dichtheid en temperatuur:** Over het algemeen wordt een stof lichter per volume-eenheid als deze opwarmt, omdat de moleculen verder uit elkaar gaan liggen. Bij afkoeling wordt een stof compacter en dus zwaarder per volume-eenheid. **Uitzondering water:** Water gedraagt zich anders. IJs (vaste vorm) heeft een lagere dichtheid dan vloeibaar water, waardoor het blijft drijven. Dit is belangrijk voor waterleven in bevroren omstandigheden, maar kan leiden tot barsten van waterleidingen door uitzetting bij bevriezing. #### 5.1.3 Eigenschappen van water Water is essentieel voor het leven en heeft bijzondere eigenschappen: * **Water als oplosmiddel:** Water is een veelzijdig oplosmiddel waarin veel stoffen kunnen oplossen. Dit is cruciaal voor biologische processen zoals transport in bloed en plantensappen. * **Oplossing:** Een mengsel waarin stoffen volledig zijn opgelost, zoals suikerwater. Oplossingen zijn helder en doorzichtig. * **Suspensie:** Een mengsel van een vaste stof en een vloeistof waarbij de vaste stof niet is opgelost en zweeft in kleine korreltjes, zoals modderwater. Suspensies zijn troebel en ondoorzichtig en kunnen ontmengen (bezinken). * **Emulsie:** Een mengsel van twee normaal gesproken niet-mengbare vloeistoffen, zoals water en vet. Een emulgator zorgt ervoor dat de vloeistoffen toch vermengd blijven, zoals in melk of mayonaise. * **Opwaartse kracht van water:** Objecten in water ondervinden een opwaartse kracht. Deze kracht zorgt ervoor dat zware voorwerpen, zoals schepen, kunnen drijven. Volgens de wet van Archimedes is de opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van het door het voorwerp verplaatste water. Drijvende voorwerpen hebben een lagere dichtheid dan water, of de vorm zorgt voor een grotere opwaartse kracht die de zwaartekracht compenseert. * **Oppervlaktespanning van water:** Watermoleculen trekken elkaar sterk aan. De aantrekkingskracht op de moleculen aan het wateroppervlak is naar binnen en opzij gericht, wat de oppervlaktespanning veroorzaakt. Dit geeft waterdruppels hun vorm en stelt sommige waterinsecten in staat om op het water te lopen. Zeep verstoort de oppervlaktespanning. #### 5.1.4 Eigenschappen van lucht * **Aanwezigheid van lucht:** Hoewel onzichtbaar, ruikt en tastbaar, is lucht overal aanwezig. Het neemt ruimte in en oefent druk uit. * **Luchtdruk:** Lucht oefent druk uit in alle richtingen. Deze druk voelen we niet direct omdat ons lichaam deze compenseert. De luchtdruk kan worden aangetoond door bijvoorbeeld een omgekeerd glas met water, waarbij de luchtdruk het water tegenhoudt. Lucht kan worden samengeperst, wat tegendruk creëert, zoals bij het opblazen van een ballon in een fles. * **Temperatuur en lucht:** Afkoeling van lucht leidt tot verhoogde dichtheid en dus tot een hogere luchtdruk in een afgesloten ruimte. Opwarming leidt tot uitzetting en lagere druk. Dit principe wordt gebruikt bij heteluchtballonnen. ### Scheiden van mengsels Mengsels (oplossingen, suspensies, emulsies) kunnen worden gescheiden met behulp van technieken die gebruikmaken van de verschillende eigenschappen van de bestanddelen: * **Filtreren:** Scheiden van een suspensie op basis van deeltjesgrootte (bv. zand uit water). * **Bezinken/Centrifugeren:** Scheiden op basis van dichtheid. * **Indampen:** Scheiden van een oplossing door het oplosmiddel te laten verdampen (bv. zout uit zeewater). * **Destillatie:** Scheiden op basis van kookpunt, waarbij de verdampte vloeistof wordt opgevangen na condensatie. --- **Tip:** Begrijp de moleculaire basis achter de toestandsveranderingen. Visualiseer de beweging en aantrekking van moleculen bij verwarmen, afkoelen en drukveranderingen. **Tip:** Wanneer je de eigenschappen van water bestudeert, denk dan aan de praktische implicaties ervan in het dagelijks leven en in de biologie. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Newton | Een natuurkundige wet die het verband tussen kracht en beweging beschrijft in drie wetten. |
| Actiekracht | De kracht die een voorwerp uitoefent op een ander voorwerp. |
| Reactiekracht | De gelijktijdige, even grote en tegengesteld gerichte kracht die een ander voorwerp uitoefent op het eerste voorwerp. |
| Versnelling | De verandering van snelheid per tijdseenheid, gemeten in meters per seconde kwadraat ($m/s^2$). |
| v,t-diagram | Een grafiek die de snelheid van een voorwerp weergeeft als functie van de tijd. |
| s,t-diagram | Een grafiek die de afgelegde afstand van een voorwerp weergeeft als functie van de tijd. |
| Resulterende kracht | De netto kracht die op een voorwerp werkt, samengesteld uit alle afzonderlijke krachten. |
| Massa | De hoeveelheid materie in een voorwerp, uitgedrukt in kilogram (kg). |
| Traagheid | De neiging van een voorwerp om weerstand te bieden aan veranderingen in zijn bewegingstoestand. |
| Veerkracht | De kracht die een vervormd object uitoefent om terug te keren naar zijn oorspronkelijke vorm. |
| Wrijvingskracht | De kracht die de beweging tussen twee oppervlakken tegenwerkt. |
| Rolweerstandskracht | De weerstand die wordt ondervonden bij het rollen van een voorwerp over een oppervlak. |
| Luchtweerstandskracht | De weerstand die een voorwerp ondervindt wanneer het door de lucht beweegt. |
| Normaalkracht | De kracht die een ondersteunend vlak uitoefent, loodrecht op het oppervlak. |
| Spankracht | De kracht die wordt uitgeoefend door een gespannen touw of kabel. |
| Lichtbron | Een voorwerp dat zelf licht produceert. |
| Lichtstraal | Een rechte lijn die de richting van het licht aangeeft. |
| Weerkaatsing (Reflectie) | Het terugkaatsen van licht of geluid door een oppervlak. |
| Absorptie | Het opnemen van licht of geluid door een materiaal. |
| Breking | Het veranderen van richting van lichtstralen wanneer ze van het ene medium naar het andere gaan. |
| Lens | Een transparant object dat lichtstralen kan bundelen of spreiden, vaak gemaakt van glas of kunststof. |
| Primair lichtkleur | Een van de basiskleuren (rood, groen, blauw) die, wanneer gemengd, alle andere kleuren kunnen creëren. |
| Secundair lichtkleur | Een kleur die ontstaat door het mengen van twee primaire lichtkleuren (geel, cyaan, magenta). |
| Geluid | Een trilling die zich door een medium (zoals lucht) voortplant en door het oor wordt waargenomen. |
| Frequentie | Het aantal trillingen per seconde van een geluidsbron, uitgedrukt in hertz (Hz), bepalend voor de toonhoogte. |
| Decibel (dB) | Een eenheid om de geluidssterkte te meten. |
| Doppler effect | De verandering in frequentie van een golf wanneer de bron of de waarnemer beweegt. |
| Elektriciteit | Een vorm van energie die wordt veroorzaakt door de beweging van geladen deeltjes. |
| Stroomkring | Een gesloten pad waarbinnen elektrische lading kan stromen. |
| Spanning (Volt) | Het potentiaalverschil tussen twee punten in een elektrische schakeling, dat de drijvende kracht voor de stroom levert. |
| Stroomsterkte (Ampère) | De hoeveelheid elektrische lading die per seconde door een geleider stroomt. |
| Weerstand (Ohm) | De mate waarin een materiaal de doorgang van elektrische stroom belemmert. |
| Serie-schakeling | Een schakeling waarbij componenten achter elkaar zijn verbonden, zodat de stroom door elk component loopt. |
| Parallel-schakeling | Een schakeling waarbij componenten naast elkaar zijn verbonden, zodat de stroom zich splitst en door elk component loopt. |
| Magnetisme | Een natuurkundig verschijnsel dat wordt veroorzaakt door magnetische velden en krachten. |
| Magneetveld | Het gebied rond een magneet waarbinnen magnetische krachten werkzaam zijn. |
| Noordpool | De pool van een magneet die naar de geografische noordpool van de aarde wijst. |
| Zuidpool | De pool van een magneet die naar de geografische zuidpool van de aarde wijst. |
| Ferromagnetisch | Materialen (zoals ijzer, nikkel, kobalt) die sterk worden aangetrokken door magneten en magnetisch gemaakt kunnen worden. |
| Elektromagneet | Een magneet die wordt gecreëerd door een elektrische stroom door een draadspoel te laten lopen. |
| Molecuul | Het kleinste deeltje van een stof dat alle eigenschappen van die stof behoudt. |
| Aggregatietoestand | De verschillende vormen waarin een stof kan voorkomen: vast, vloeibaar of gasvormig. |
| Smeltpunt | De temperatuur waarbij een vaste stof overgaat in vloeibare vorm. |
| Kookpunt | De temperatuur waarbij een vloeistof overgaat in gasvorm. |
| Condensatie | Het proces waarbij een gas overgaat in vloeibare vorm. |
| Desublimatie | Het proces waarbij een gas direct overgaat in vaste vorm zonder de vloeibare fase te doorlopen. |
| Dichtheid | De massa per volume-eenheid van een stof. |
| Oplosmiddel | Een vloeistof waarin een stof kan worden opgelost. |
| Oplossing | Een homogeen mengsel van een opgeloste stof in een oplosmiddel. |
| Suspensie | Een heterogeen mengsel van een vaste stof die niet is opgelost in een vloeistof. |
| Emulsie | Een mengsel van twee vloeistoffen die normaal gesproken niet mengbaar zijn. |
| Filtreren | Een scheidingstechniek om een vaste stof van een vloeistof te scheiden op basis van deeltjesgrootte. |
| Indampen | Een scheidingstechniek waarbij een opgeloste stof wordt gescheiden door het oplosmiddel te laten verdampen. |
| Destillatie | Een scheidingstechniek gebaseerd op het verschil in kookpunt van componenten in een mengsel. |
| Opwaartse kracht | De kracht die door een vloeistof of gas wordt uitgeoefend op een ondergedompeld voorwerp, tegengesteld aan de zwaartekracht. |
| Oppervlaktespanning | Het effect dat de moleculen aan het oppervlak van een vloeistof elkaar sterk aantrekken, waardoor het oppervlak zich gedraagt als een dun elastisch membraan. |
| Luchtdruk | De druk die wordt uitgeoefend door de atmosfeer van de aarde. |
Cover
Physics Grade 12 new textbook.pdf
Summary
# Application of physics in other fields
This unit explores the extensive applications of physics across various scientific disciplines and technological advancements, highlighting its fundamental role in chemistry, biology, astronomy, geology, engineering, medicine, and defense.
### 1.1 Physics and other sciences
Physics is a foundational science that significantly influences and underpins many other scientific disciplines. The understanding of fundamental physical laws is crucial for advancements in various fields [5](#page=5).
#### 1.1.1 Relation of Physics with chemistry
Physics and chemistry share common ground when examining matter composed of electrons and nuclei. Fundamental laws governing matter's behavior are applicable to both fields, as both are concerned with matter and its interaction with energy. Concepts in atomic and subatomic particle physics are essential for understanding covalent bonding, molecule formation, and the energetic favorability of chemical bonds. Physics principles related to heat energy help chemists predict reaction feasibility and equilibrium compositions, bridging macroscopic properties with molecular behavior. Spectroscopy, a key tool in both physics and chemistry, studies the interaction between matter and electromagnetic radiation and is vital for understanding atomic and molecular structures. Ultimately, the study of matter and electricity in physics is fundamental to understanding chemical concepts such as atomic structure, molecular structure, X-ray diffraction, radioactivity, and chemical bonding [5](#page=5) [6](#page=6).
#### 1.1.2 Relation of Physics and biology
Physics provides essential principles for understanding biological processes, from the mechanics of human motion to the fluid dynamics of blood flow [7](#page=7).
* **Newtonian mechanics** explains the motion and equilibrium of living systems. It helps understand how animals move, why certain animals are faster than others, and the principles of stability based on the center of mass and base of support (#page=6, 7) [6](#page=6) [7](#page=7).
* **Fluid flow physics** (viscosity, continuity equation, turbulent flow) is critical for understanding blood circulation and blood pressure in multicellular organisms [7](#page=7).
* **Sound wave physics** explains sound production in humans. Vibrating vocal folds generate sound waves during exhalation, which propagate to the ear and are interpreted by the brain (#page=7, 8) [7](#page=7) [8](#page=8).
* **Electrical physics** is fundamental to understanding life processes involving electrical phenomena, such as nerve signal transmission and muscle control. Neurons transmit information as electrical pulses. Sharks, for example, use specialized electro-sensitive organs to detect weak electric fields [8](#page=8).
* **Optical physics** is crucial as light, particularly from the sun, is vital for life. Photosynthesis in plants utilizes light energy, and animal eyes use light as their primary source of information about their surroundings. Optics also encompasses microscopes, telescopes, and lasers, all with significant applications in life sciences [8](#page=8).
> **Tip:** Understanding how athletes move or why an earthworm locomotes without limbs are excellent examples of Newtonian mechanics and fluid dynamics applied to biology, respectively.
### 1.2 Relation of Physics and Astronomy
Astrophysics, the study of celestial objects, heavily relies on physics principles to understand the universe [9](#page=9).
* **Newton's laws of motion and gravitation** are used to describe the motion of celestial bodies like planets around the sun and moons around planets. Concepts of centripetal and centrifugal forces explain orbital mechanics [9](#page=9).
* **Electromagnetic wave physics** is crucial for astronomers to gather information about distant objects. Telescopes detect various parts of the electromagnetic spectrum (radio, infrared, optical) (#page=9, 10. The apparent brightness of an object is related to its distance by the inverse square law: $apparent\ brightness \propto \frac{true\ brightness}{distance^2}$. Astronomers also use the light-year as a unit of distance [10](#page=10) [9](#page=9).
* **Atomic physics** is vital for understanding the composition, temperature, and motion of astronomical objects. Light emitted or absorbed by celestial bodies arises from atomic transitions, where electrons move between energy orbits, emitting or absorbing photons (#page=10, 11). Studying these spectral lines provides detailed information about stellar composition and temperature [10](#page=10) [11](#page=11).
> **Example:** Astronomers use the red-shift of light from distant galaxies, a phenomenon explained by the Doppler effect on electromagnetic waves, to determine their recession velocity and thus infer the expansion of the universe.
### 1.3 Relation of Physics with Geology
Geology, a branch of Earth science, studies the solid and liquid matter of the Earth and the processes affecting it. Understanding geological processes requires knowledge of various physics concepts [11](#page=11):
* **Force, optics, atomic structure, electromagnetic radiation, heat and heat flow, electricity and magnetism, stress and strain, waves (including sound waves), and fluid flow** are all applied in geology [12](#page=12).
* These physics concepts are used to study the electrical properties, density, magnetization, radioactivity, and elasticity of rocks and minerals. Geologists use wave propagation to study subterranean structures without excavation [12](#page=12).
### 1.4 Physics and Engineering
Physics provides the fundamental knowledge upon which various branches of engineering are built. Engineering disciplines like civil, mechanical, and electrical engineering are governed by physical laws, making an understanding of physics essential for solving complex engineering problems (#page=12, 13 [12](#page=12) [13](#page=13).
* **Civil Engineering** uses physics principles like forces, fluid pressure, and gravity for designing and constructing structures such as skyscrapers, roads, bridges, and dams [13](#page=13).
* **Mechanical Engineering** applies concepts from mechanics, dynamics, thermodynamics, forces, and stresses to create mechanical systems like engines, vehicles, and robotics [13](#page=13).
* **Electrical Engineering** involves designing electrical circuits, motors, and communication systems, requiring knowledge of electromagnetism, mechanics, and thermodynamics to convert electrical energy into other forms [14](#page=14).
* **Chemical Engineering** relies on the laws of physical chemistry and physics, including molecular physics and thermodynamics, to design processes for refining raw materials and producing chemicals (#page=14, 15 [14](#page=14) [15](#page=15).
#### Technology generating new physics
There is a reciprocal relationship between physics and technology. While physics enables technological advancements, technology also drives the development of new physics discoveries. Modern scientific experiments often depend on advanced technology, and technologies like X-ray discovery have significantly contributed to physics research, including the study of atomic structure [15](#page=15).
> **Tip:** The development of the synchrotron, a technology born from particle accelerators, has revolutionized many areas of physics and chemistry by providing intense beams of X-rays for various experimental studies.
### 1.5 Medical physics
Medical physics applies physics principles to diagnose and treat medical conditions. The discovery of X-rays by Wilhelm Conrad Roentgen in 1895 marked the beginning of this interdisciplinary field [16](#page=16).
* **Medical Imaging** uses various technologies to view the human body. Techniques include electromagnetic methods (optical, X-ray, MRI, thermography), acoustic methods (ultrasound), and chemical and electrical methods [16](#page=16).
* **Magnetic Resonance Imaging (MRI)**: MRI utilizes the principle of magnetic resonance, where atomic nuclei (specifically protons in water molecules) absorb and emit electromagnetic radiation in the presence of magnetic fields (#page=16, 17). Protons in a magnetic field align and, when pulsed with radio waves, flip. As they return to their aligned state, they release energy, which is detected and processed into detailed images of soft tissues [16](#page=16) [17](#page=17).
* **X-Ray Computerized Tomography (CT Scan)**: X-ray imaging works by measuring the differential absorption of X-rays as they pass through tissues of varying densities. CT scans use rotating X-ray machines and detectors to create cross-sectional images (tomograms) of the body, providing more detail than conventional X-rays [17](#page=17) [18](#page=18).
* **Ultrasound**: Ultrasound uses sound waves with frequencies above 20 KHz (typically 3.5-10 MHz). These waves penetrate tissues and are reflected, scattered, and absorbed. The reflected waves are detected and used to create images. Tissues reflect ultrasound differently, resulting in images with varying echogenicity: anechoic (black, fluid-filled), hypoechoic (dark gray, fewer echoes), and hyperechoic (light gray, many echoes) (#page=18, 19) [18](#page=18) [19](#page=19).
* **Stethoscopes** are a familiar clinical use of sound to analyze body sounds like heartbeats and lung sounds [18](#page=18).
* **Radiation Therapy**: High-energy photons (X-rays, gamma rays) and particles from radioactive nuclei can damage biological molecules and are used therapeutically to treat cancer (#page=19, 20). Radioactive materials can be implanted near tumors, or external beams of radiation can be directed at cancerous growths, with careful control to minimize damage to healthy tissues [19](#page=19) [20](#page=20).
> **Example:** MRI can distinguish between different types of brain tissue (gray matter, white matter, blood) because the protons in each tissue type release slightly different amounts of energy after being excited by radio waves.
### 1.6 Physics and Defense Technology
Modern defense forces extensively utilize advancements in physics, including optics, electromagnetism, atomic and nuclear physics, and materials science [20](#page=20).
* **Radar Technology**: RADAR (Radio Detection And Ranging) uses electromagnetic signals to detect and track objects. It calculates the range (R) of a target by measuring the time (t) it takes for a signal to travel to the target and back, using the formula $R = \frac{ct}{2}$, where c is the speed of light. Radar is crucial for military applications like air defense, target detection, and weapon guidance, as well as civilian uses like air traffic control and weather observation [21](#page=21).
* **Missiles**: Missiles are propelled weapons that deliver explosive payloads with accuracy. Their flight can be governed by Newtonian mechanics (ballistic missiles) or controlled by thrust adjustments (cruise missiles). They comprise complex electronic, digital, and mechanical subsystems for guidance, stabilization, propulsion, and target tracking [22](#page=22).
* **Infrared (IR) Wave Detection for Night Vision**: Human eyes are sensitive to visible light, but infrared radiation, just outside this range, can be detected by specialized devices. All objects emit infrared light proportional to their temperature. Infrared vision systems, such as night vision goggles, use thermal emissions to identify objects that are not visible in low light conditions. They create images based on temperature differences, often displaying them in green for optimal human visual perception [23](#page=23).
> **Tip:** The principle behind radar is similar to how we perceive distance with our eyes: we estimate how long it takes for something to "return" our "signal" (light reflecting off it).
### 1.7 Physics in Communication
Communication technologies, essential in modern life, rely heavily on physics principles, particularly electromagnetic theory [24](#page=24).
* **Communication Systems**: Communication involves transferring information, classified as wired or wireless. Wireless systems use radio waves, microwaves, and infrared waves, while wired systems use wires and optical fibers [24](#page=24).
* **Physics Concepts**: Understanding electromagnetic theory is crucial for radio waves, microwaves, and infrared waves used in wireless and fiber optic communication. Concepts like electricity and magnetism, electrical circuits, wave phenomena (reflection, diffraction, refraction, interference), and energy transformations are also vital [24](#page=24).
---
# Two-dimensional motion
Two-dimensional motion describes the movement of objects along a plane, encompassing scenarios beyond simple straight-line paths, and it is governed by fundamental principles of kinematics and dynamics [28](#page=28).
### 2.1 Projectile motion
Projectile motion refers to the movement of an object that is in flight after being thrown or projected, and it is subject only to the acceleration due to gravity. Key examples include a kicked football, a fired bullet, or a thrown javelin. For analysis, two assumptions are made: the free-fall acceleration due to gravity ($g$) is constant and directed downwards, and air resistance is negligible. Under these assumptions, the path of a projectile, known as its trajectory, is a parabola. The horizontal and vertical components of a projectile's motion are independent and can be analyzed separately using time as the common variable [29](#page=29) [30](#page=30).
#### 2.1.1 Horizontal projection
In horizontal projection, an object is launched horizontally from a certain height. Its initial vertical velocity is zero, and it possesses only an initial horizontal velocity [30](#page=30).
* **Horizontal motion:** The horizontal acceleration is zero, so the initial horizontal velocity ($v_{0x}$) remains constant throughout the flight. The final horizontal velocity ($v_x$) is given by [30](#page=30):
$v_x = v_{0x}$ [30](#page=30).
The horizontal distance ($\Delta x$) traveled at time $t$ is:
$\Delta x = v_{0x} t$ [30](#page=30).
* **Vertical motion:** This is a constant accelerated motion with acceleration $g = -9.8 \, \text{m/s}^2$. The kinematic equations for constant accelerated motion apply [31](#page=31):
$v_y = v_{0y} + gt$ [31](#page=31).
Since $v_{0y} = 0$ for horizontal projection:
$v_y = gt$ [31](#page=31).
The vertical displacement ($\Delta y$) is:
$\Delta y = v_{0y} t + \frac{1}{2} gt^2$ [31](#page=31).
With $v_{0y} = 0$:
$\Delta y = \frac{1}{2} gt^2$ [31](#page=31).
* **Time of Flight:** The time taken for the projectile to hit the ground. From the vertical displacement equation:
$t = \sqrt{\frac{2\Delta y}{g}}$ [32](#page=32).
Note that $\Delta y$ and $g$ are considered negative for downward motion [32](#page=32).
* **Range (R):** The maximum horizontal distance traveled by the projectile. It is calculated using the time of flight:
$R = v_{0x} t$ [32](#page=32).
Substituting the time of flight:
$R = v_{0x} \sqrt{\frac{2\Delta y}{g}}$ [32](#page=32).
> **Example 2.1:** A rifle is aimed horizontally at a target 30m away. The bullet hits 2 cm below the aiming point.
> (a) Time of flight: $\Delta y = \frac{1}{2} gt^2 \implies -0.02 \, \text{m} = \frac{1}{2} (-10 \, \text{m/s}^2) t^2 \implies t \approx 0.06 \, \text{s}$ [32](#page=32).
> (b) Initial velocity: $v_{0x} = \frac{\Delta x}{t} = \frac{30 \, \text{m}}{0.06 \, \text{s}} = 500 \, \text{m/s}$ [33](#page=33).
> **Example 2.2:** An airplane flying at 100 m/s horizontally drops a food package from 300m.
> (a) Time to reach the ground: $\Delta y = \frac{1}{2} gt^2 \implies -300 \, \text{m} = \frac{1}{2} (-10 \, \text{m/s}^2) t^2 \implies t \approx 7.74 \, \text{s}$ [33](#page=33).
> (b) Distance from the car driver: $\Delta x = v_{0x} t = 100 \, \text{m/s} \times 7.74 \, \text{s} = 774 \, \text{m}$ [33](#page=33).
#### 2.1.2 Inclined projectile motion
In inclined projectile motion, an object is projected with an initial velocity $v_0$ at an angle $\theta$ with the horizontal. The initial velocity can be resolved into horizontal ($v_{0x}$) and vertical ($v_{0y}$) components [35](#page=35):
$v_{0x} = v_0 \cos\theta$ [36](#page=36).
$v_{0y} = v_0 \sin\theta$ [36](#page=36).
* **Horizontal motion:** The velocity remains constant ($v_x = v_0 \cos\theta$) because there is no horizontal acceleration. The horizontal displacement at time $t$ is [35](#page=35):
$\Delta x = v_0 \cos\theta \, t$ [36](#page=36).
* **Vertical motion:** The vertical velocity changes with time due to gravity ($g = -9.8 \, \text{m/s}^2$). The vertical velocity at time $t$ is [35](#page=35):
$v_y = v_0 \sin\theta + gt$ [36](#page=36).
The vertical displacement at time $t$ is:
$\Delta y = v_0 \sin\theta \, t + \frac{1}{2} gt^2$ [36](#page=36).
* **Time to reach maximum height:** At the maximum height, the vertical component of velocity ($v_y$) is zero [35](#page=35).
$0 = v_0 \sin\theta + gt \implies t_{\text{max height}} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}$ [36](#page=36).
* **Time of Flight:** The total time the projectile is in the air. If the launch and landing points are at the same horizontal level ($\Delta y = 0$):
$0 = v_0 \sin\theta \, t + \frac{1}{2} gt^2$ [37](#page=37).
$t_{\text{total}} = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$ [37](#page=37).
This formula is not valid if the landing elevation differs from the launch elevation [37](#page=37).
* **Horizontal Range (R):** The maximum horizontal distance traveled when the launch and landing points are at the same horizontal level.
$R = v_0 \cos\theta \, t_{\text{total}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ [38](#page=38).
The range is maximum when $\theta = 45^\circ$. The same range is achieved for launch angles that sum to $90^\circ$ [38](#page=38).
* **Maximum Height (H):** The maximum vertical displacement.
$H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$ [39](#page=39).
* **Relation between Range and Maximum Height:** For a projectile launched and landing at the same level:
$\frac{H}{R} = \frac{\sin\theta}{4\cos\theta} \implies H = \frac{R \tan\theta}{4}$ [39](#page=39).
> **Example 2.3:** A football is kicked at $37^\circ$ with an initial velocity of 40 m/s.
> (a) Maximum height: $H = \frac{(40 \, \text{m/s})^2 \sin^2(37^\circ)}{2 \times 10 \, \text{m/s}^2} \approx 28.8 \, \text{m}$ [39](#page=39).
> (b) Horizontal range: $R = \frac{(40 \, \text{m/s})^2 \sin(2 \times 37^\circ)}{10 \, \text{m/s}^2} \approx 153.8 \, \text{m}$ [40](#page=40).
> **Example 2.4:** A ball is thrown with a speed of 25 m/s at an angle of $53^\circ$ towards a wall 24m away.
> (a) Time to reach the wall: $t = \frac{\Delta x}{v_0 \cos\theta} = \frac{24 \, \text{m}}{25 \, \text{m/s} \times \cos(53^\circ)} \approx 1.6 \, \text{s}$ [41](#page=41).
> (b) Height above release point: $\Delta y = v_0 \sin\theta \, t + \frac{1}{2} gt^2 = (25 \, \text{m/s}) \sin(53^\circ) (1.6 \, \text{s}) + \frac{1}{2} (-10 \, \text{m/s}^2) (1.6 \, \text{s})^2 \approx 19.2 \, \text{m}$ [41](#page=41).
> (c) Velocity components at impact: $v_x = v_0 \cos\theta = 25 \, \text{m/s} \times 0.6 = 15 \, \text{m/s}$; $v_y = v_0 \sin\theta + gt = (25 \, \text{m/s}) \sin(53^\circ) + (-10 \, \text{m/s}^2) (1.6 \, \text{s}) \approx 10 \, \text{m/s}$ [41](#page=41).
### 2.2 Rotational motion
Rotational motion describes the movement of a rigid body where all its particles move in circular paths around a fixed axis with a common angular velocity. A rigid body has a perfectly defined and unchanging shape [42](#page=42) [43](#page=43).
* **Angular Displacement ($\Delta\theta$):** The change in angular position, measured in radians or degrees. The relationship between arc length ($s$), radius ($r$), and angular displacement ($\theta$) is [43](#page=43):
$s = r \theta$ [43](#page=43).
Angular displacement is defined as:
$\Delta\theta = \theta_f - \theta_0$ [43](#page=43).
* **Angular Velocity ($\omega$):** The rate of change of angular displacement. The average angular velocity ($\omega_{\text{av}}$) is:
$\omega_{\text{av}} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ [44](#page=44).
Units are radians per second (rad/s) [44](#page=44).
* **Angular Acceleration ($\alpha$):** The rate of change of angular velocity. The average angular acceleration ($\alpha_{\text{av}}$) is:
$\alpha_{\text{av}} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ [44](#page=44).
Units are radians per second squared (rad/s$^2$) [44](#page=44).
Angular velocity and acceleration are vector quantities, with directions along the axis of rotation, determined by the right-hand rule [44](#page=44).
#### 2.2.1 Equations of motion for uniform angular acceleration
For constant angular acceleration, the kinematic equations for rotational motion are analogous to those for linear motion:
* $\omega_f = \omega_o + \alpha \Delta t$ [45](#page=45).
* $\Delta\theta = \omega_o \Delta t + \frac{1}{2} \alpha \Delta t^2$ [45](#page=45).
* $\omega_f^2 = \omega_o^2 + 2\alpha \Delta\theta$ [45](#page=45).
> **Example 2.5:** A wheel's angular speed changes from 30 rad/s to 50 rad/s in 2 seconds.
> Average angular acceleration: $\alpha_{\text{av}} = \frac{50 \, \text{rad/s} - 30 \, \text{rad/s}}{2 \, \text{s}} = 10 \, \text{rad/s}^2$ [46](#page=46).
> **Example 2.6:** A wheel with initial angular velocity 10 rad/s accelerates at 2.5 rad/s$^2$.
> (a) Revolutions in 30 s: $\Delta\theta = (10 \, \text{rad/s})(30 \, \text{s}) + \frac{1}{2} (2.5 \, \text{rad/s}^2)(30 \, \text{s})^2 = 1425 \, \text{rad} \approx 226.9 \, \text{rev}$ [47](#page=47).
> (b) Angular speed at t = 20 s: $\omega_f = 10 \, \text{rad/s} + (2.5 \, \text{rad/s}^2)(20 \, \text{s}) = 60 \, \text{rad/s}$ [47](#page=47).
#### 2.2.2 Relationship between angular and translational quantities
For a point on a rotating rigid object at a distance $r$ from the axis of rotation:
* **Tangential speed (v):**
$v = \omega r$ [50](#page=50).
* **Tangential acceleration ($a_t$):**
$a_t = \alpha r$ [50](#page=50).
> **Example 2.8:** A wheel of radius 20 cm accelerates from rest to 15 rev/s in 30 s.
> Angular acceleration: $\alpha = \frac{15 \, \text{rev/s} - 0}{30 \, \text{s}} = 0.5 \, \text{rev/s}^2 = \pi \, \text{rad/s}^2$ [48](#page=48).
> Tangential acceleration: $a_t = \alpha r = (\pi \, \text{rad/s}^2)(0.2 \, \text{m}) \approx 0.6 \, \text{m/s}^2$ [48](#page=48).
> **Example 2.9:** A car accelerates from 20 m/s to 24 m/s in 5 s. The wheels have a radius of 40 cm.
> Tangential acceleration: $a_t = \frac{24 \, \text{m/s} - 20 \, \text{m/s}}{5 \, \text{s}} = 0.8 \, \text{m/s}^2$ [49](#page=49).
> Angular acceleration: $\alpha = \frac{a_t}{r} = \frac{0.8 \, \text{m/s}^2}{0.4 \, \text{m}} = 2 \, \text{rad/s}^2$ [49](#page=49).
### 2.3 Rotational dynamics
Rotational dynamics deals with the causes of rotational motion.
* **Torque ($\tau$):** The rotational effect of a force. It causes angular acceleration. The magnitude of torque is given by [53](#page=53):
$\tau = r F \sin\theta$ [53](#page=53).
where $r$ is the distance from the axis of rotation to the point of force application, and $\theta$ is the angle between $r$ and $F$. Torque is a vector quantity with SI unit Nm [53](#page=53).
* **Moment of Inertia (I):** A measure of an object's resistance to changes in its angular velocity. For a single point mass $m$ at a distance $r$ from the axis of rotation:
$I = mr^2$ [54](#page=54).
For a system of particles, the total moment of inertia is the sum of individual moments of inertia:
$I = \sum m_i r_i^2$ [54](#page=54).
The SI unit of moment of inertia is kgm$^2$ [54](#page=54).
* **Torque and angular acceleration:** The relationship is analogous to Newton's second law ($F=ma$):
$\tau_{\text{net}} = I \alpha$ [55](#page=55).
> **Example 2.15:** Three forces act on a body pivoted at O. $F_1 = 10 \, \text{N}$ at $8.0 \, \text{m}$ (120$^\circ$), $F_2 = 16 \, \text{N}$ at $4.0 \, \text{m}$ (150$^\circ$), and $F_3 = 19 \, \text{N}$ at $3.0 \, \text{m}$ (45$^\circ$).
> Net torque about O: $\tau_{\text{net}} = -r_1 F_1 \sin(120^\circ) + r_2 F_2 \sin(150^\circ) + r_3 F_3 \sin(45^\circ)$
> $\tau_{\text{net}} \approx -69.3 \, \text{Nm} + 32 \, \text{Nm} + 40.3 \, \text{Nm} \approx 3 \, \text{Nm}$ (counterclockwise) [54](#page=54).
> **Example 2.16:** Three particles with masses 4 kg, 2 kg, and 3 kg are connected by rods along the y-axis and rotate about the x-axis.
> Moment of inertia about the x-axis: $I = (4 \, \text{kg})(3 \, \text{m})^2 + (2 \, \text{kg})(-2 \, \text{m})^2 + (3 \, \text{kg})(-4 \, \text{m})^2 = 164 \, \text{kgm}^2$ [55](#page=55).
> **Example 2.17:** A torque of 36 Nm applied to a wheel results in an angular acceleration of 24 rad/s$^2$.
> Rotational inertia: $I = \frac{\tau}{a} = \frac{36 \, \text{Nm}}{24 \, \text{rad/s}^2} = 1.5 \, \text{kgm}^2$ [55](#page=55).
### 2.4 Planetary motion and Kepler's Laws
Kepler's laws describe the motion of planets orbiting the Sun [57](#page=57).
* **Kepler's First Law (Law of Ellipses):** The orbit of a planet about the Sun is an ellipse with the Sun at one focus [58](#page=58).
* **Kepler's Second Law (Law of Equal Areas):** An imaginary line drawn from the Sun to a planet sweeps out equal areas in equal time intervals. This means a planet moves fastest when closest to the Sun (perihelion) and slowest when furthest (aphelion) [58](#page=58).
* **Kepler's Third Law (Law of Harmonies):** The ratio of the square of a planet's orbital period ($T$) to the cube of its average orbital radius ($R$) is constant for all planets orbiting the same central body:
$\frac{T^2}{R^3} = K$ [59](#page=59).
The constant $K$ is independent of the planet's mass [59](#page=59).
> **Example 2.19:** Earth's orbital period is 365 days, and its mean distance from the Sun is $1.495 \times 10^8 \, \text{km}$. Pluto's mean distance is $5.896 \times 10^9 \, \text{km}$.
> Pluto's orbital period: $\frac{T_E^2}{R_E^3} = \frac{T_P^2}{R_P^3} \implies T_P = T_E \sqrt{\frac{R_P^3}{R_E^3}} \approx 9.0 \times 10^4 \, \text{days}$ [60](#page=60).
> **Example 2.20:** Saturn is 9 times farther from the Sun than Earth.
> Saturn's year in terms of Earth years: $\frac{T_E^2}{R_E^3} = \frac{T_S^2}{R_S^3} \implies T_S = T_E \sqrt{\left(\frac{R_S}{R_E}\right)^3} = (1 \, \text{year}) \sqrt{9^3} = 27 \, \text{years}$ [60](#page=60).
### 2.5 Newton’s law of Universal Gravitation
Newton's law of universal gravitation describes the attractive force between any two masses in the universe.
* **Gravitational Force ($F_g$):** The force of attraction between two masses is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between their centers:
$F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ [62](#page=62).
where $G$ is the universal gravitational constant, approximately $6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2$. The force is always attractive and directed along the line joining the two masses [62](#page=62).
* **Gravitational acceleration ($g$):** This law also explains the acceleration due to gravity at Earth's surface. By equating $F_g = mg$ with Newton's law of gravitation:
$mg = G \frac{M_E m}{r_E^2} \implies g = G \frac{M_E}{r_E^2}$ [63](#page=63).
The calculated value of $g$ using Earth's mass ($M_E$) and radius ($r_E$) is approximately $9.8 \, \text{m/s}^2$ [63](#page=63).
* **Centripetal Force:** The gravitational force provides the centripetal force necessary to keep planets in orbit. For a planet of mass $m_p$ orbiting the Sun of mass $M_s$ at radius $r$ with speed $v$:
$F_c = \frac{m_p v^2}{r} = G \frac{M_s m_p}{r^2}$ [64](#page=64).
This leads to the orbital speed $v = \sqrt{\frac{GM_s}{r}}$. Using $v = \frac{2\pi r}{T}$, we can derive Kepler's third law [64](#page=64):
$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM_s} = K$ [64](#page=64).
> **Example 2.21:** Calculate the force of attraction between a 10 kg mass and a 100 kg mass that are 1 meter apart.
> $F_g = (6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2) \frac{(10 \, \text{kg})(100 \, \text{kg})}{(1 \, \text{m})^2} = 6.67 \times 10^{-8} \, \text{N}$ [62](#page=62).
> **Example 2.22:** Calculate the gravitational force on a 60.0 kg person at Earth's surface.
> $F_g = (6.673 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2) \frac{(5.97 \times 10^{24} \, \text{kg})(60 \, \text{kg})}{(6.38 \times 10^6 \, \text{m})^2} \approx 584 \, \text{N}$ [63](#page=63).
---
# Fluid mechanics
Fluid mechanics is the study of the behavior of fluids at rest and in motion [70](#page=70).
### 3.1 Fluid statics
Fluid statics deals with fluids at rest, which can be either gaseous or liquid. When a fluid is at rest, there is no relative motion between adjacent fluid layers, meaning no shear stresses exist. The primary stress considered in fluid statics is normal stress, known as pressure, which varies due to the fluid's weight. Fluid statics is significant in gravity fields, with force relations involving gravitational acceleration ($g$). Forces exerted by a fluid at rest on a surface are normal to the surface because there are no shear forces parallel to it [73](#page=73).
#### 3.1.1 Properties of solids, liquids, and gases
* **Solids:** Atoms are in close contact, held by strong forces that allow vibration but prevent position changes. They resist all types of stress and compression due to their fixed lattice structure [71](#page=71).
* **Liquids:** Molecules are in close contact but can slide over each other. Intermolecular forces are weaker than in solids but stronger than in gases. Liquids deform easily under stress and do not return to their original shape due to free-moving molecules. Liquids maintain their volume but take the shape of their container [71](#page=71) [72](#page=72).
* **Gases:** Atoms are widely separated, with weak intermolecular forces except during collisions. Gases flow easily and are compressible due to the large space and weak forces between atoms. Gases expand to fill the entire available space of their container [71](#page=71) [72](#page=72).
> **Tip:** Activity 3.1 demonstrates the compressibility difference between gases and liquids using syringes [72](#page=72).
#### 3.1.2 Pressure in fluid
Pressure is defined as a normal force exerted by a fluid (or solid) per unit area. It is calculated as $P = \frac{F}{A}$, where $F$ is the force magnitude and $A$ is the contact area. Pressure is a scalar quantity [74](#page=74).
* **Units of Pressure:**
* SI unit: newtons per square meter (N/m²), also known as pascal (Pa) [74](#page=74).
* Other units: millimeter mercury (mmHg), torr, atmosphere (atm), pounds per square inch (psi) [74](#page=74).
* Conversions: 1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 101.3 kPa = 14.7 psi [75](#page=75).
> **Example:** A woman's weight exerts pressure on the floor through her shoe. Calculating this pressure and converting it to other units demonstrates the relationship between force, area, and pressure. Example 3.1 calculates pressure exerted by a shoe. Example 3.3 shows how nail tips exert tremendous pressure due to a large force over a small area [75](#page=75) [76](#page=76).
#### 3.1.3 Pressure in gases
Pressure in gases is formed by the constant bombardment of gas particles colliding with solid surfaces. Each collision exerts an impulsive force, and the collective effect of a huge number of particles colliding at a constant rate results in an approximately constant force and thus pressure. Increasing the number of gas particles in a container increases the collision rate and the outward force, causing expansion [76](#page=76) [77](#page=77).
* **Absolute Pressure ($P_{abs}$):** The actual pressure at a given position, measured relative to absolute vacuum (zero pressure) [77](#page=77).
* **Gauge Pressure ($P_{gauge}$):** The difference between absolute pressure and local atmospheric pressure. Pressure gauges are often calibrated to read zero in the atmosphere. $P_{gauge} = P_{abs} - P_{atm}$ [77](#page=77) [78](#page=78).
* **Vacuum Pressure ($P_{vac}$):** Pressures below atmospheric pressure are sometimes called vacuum pressures. Vacuum gauges indicate the difference between atmospheric pressure and absolute pressure. $P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}$ [77](#page=77) [78](#page=78).
> **Tip:** Understanding the relationship between absolute, gauge, and vacuum pressure is crucial for many fluid mechanics problems. Figure 3.7 illustrates these relationships. Example 3.4 demonstrates calculating absolute pressure using vacuum and atmospheric pressure [77](#page=77) [78](#page=78) [79](#page=79).
#### 3.1.4 Density
Density ($\rho$) is defined as mass ($m$) per unit volume ($V$) [80](#page=80):
$$ \rho = \frac{m}{V} \quad (3.5) $$
The SI unit for density is kg/m³. Density is crucial for determining if an object sinks or floats and directly affects fluid pressure [79](#page=79) [80](#page=80).
* **Gases:** Density is generally proportional to pressure and inversely proportional to temperature [80](#page=80).
* **Liquids and Solids:** Density variation with pressure is usually negligible as they are essentially incompressible [80](#page=80).
**Table 3.1: Densities of some common substances** (Selected entries) [81](#page=81).
| Substance | $\rho$ (kg/m³) | Substance | $\rho$ (kg/m³) |
| :------------- | :--------------- | :-------- | :------------- |
| Air | $1.29 \times 10^3$ | Iron | $7.86 \times 10^3$ |
| Aluminum | $2.70 \times 10^3$ | Lead | $11.3 \times 10^3$ |
| Fresh water | $1.00 \times 10^3$ | Mercury | $13.6 \times 10^3$ |
| Sea water | $1.03 \times 10^3$ | Gold | $19.3 \times 10^3$ |
> **Tip:** Density helps identify material composition and phase. Example 3.6 calculates the density of a person [80](#page=80).
#### 3.1.5 Specific gravity
Specific gravity (SG), or relative density, is the ratio of the density of a substance to the density of a standard substance (usually water at 4°C, where $\rho_{H_2O} = 1000$ kg/m³) [81](#page=81):
$$ SG = \frac{\rho}{\rho_{H_2O}} $$
Specific gravity is a dimensionless quantity. Substances with SG less than 1 are less dense than water and will float on it [81](#page=81) [82](#page=82).
> **Tip:** The ideal-gas equation of state relates density and pressure for gases: $P = \rho \frac{R}{M} T$. Example 3.7 calculates the density, specific gravity, and mass of air in a room [82](#page=82).
### 3.2 Properties of pressure in fluids
This section explores how pressure behaves in fluids, including Pascal's law, pressure variations with depth, and pressure-measuring devices [84](#page=84).
#### 3.2.1 Pascal's law
Pascal's law states that a change in pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every point within the fluid and to the walls of the container. This means an increase in pressure at one location causes a uniform pressure increase throughout the fluid [85](#page=85).
* **Microscopic explanation:** When pressure is applied to a surface, fluid molecules near that surface collide more frequently with their neighbors, propagating the increased pressure throughout the fluid [85](#page=85).
> **Tip:** Activity 3.3 demonstrates how pressure is exerted in all directions in a liquid. Activity 3.4 shows pressure transmission in connected syringes [84](#page=84) [86](#page=86).
#### 3.2.2 Hydraulic lift
Hydraulic lifts are practical applications of Pascal's law that convert small forces into larger ones. They work by applying a force ($F_1$) to a small piston with area ($A_1$), creating pressure ($P_1 = \frac{F_1}{A_1}$). This pressure is transmitted equally to a larger piston with area ($A_2$), resulting in a larger upward force ($F_2 = P_1 A_2$) [86](#page=86):
$$ F_2 = \frac{A_2}{A_1} F_1 \quad (3.8) $$
This force multiplication allows for lifting heavy objects like cars [87](#page=87).
> **Tip:** While hydraulic systems multiply force, the work done remains the same: $F_1 d_1 = F_2 d_2$. Example 3.8 illustrates the force multiplication in a hydraulic lift [87](#page=87) [88](#page=88).
#### 3.2.3 Variation of pressure with depth
In a fluid at rest with uniform density ($\rho$), the pressure ($P$) at a depth ($h$) below a point where the pressure is ($P_0$) is given by:
$$ P = P_0 + \rho g h \quad (3.9) $$
where $g$ is the acceleration due to gravity. If the fluid is open to the atmosphere, $P_0$ is the atmospheric pressure ($P_{atm}$) [89](#page=89).
* Pressure is the same at all points with the same depth, regardless of the container's shape [90](#page=90).
* For gases, this equation is applicable as long as density changes are small over the depth [90](#page=90).
> **Tip:** Activity 3.5 demonstrates how the distance water shoots from a bottle varies with the height of the water level, illustrating pressure dependence on depth. Activity 3.6 shows liquid pressure is independent of container shape. Example 3.9 calculates the force on an area at a certain depth in the ocean [89](#page=89) [90](#page=90).
#### 3.2.4 Atmospheric pressure
Atmospheric pressure is the pressure exerted by the weight of the air above a given location. It decreases with increasing altitude due to two main factors [91](#page=91):
1. **Density:** Gas molecules are denser near the Earth's surface, leading to more collisions and higher pressure [92](#page=92).
2. **Depth of Atmosphere:** The atmospheric depth is greatest at sea level and decreases with altitude, meaning more air presses down from above at lower elevations [92](#page=92).
Atmospheric pressure at sea level is approximately 101.325 kPa and decreases significantly at higher altitudes [92](#page=92).
> **Tip:** Reduced atmospheric pressure at high altitudes affects cooking times, boiling points, and oxygen availability. Activity 3.7 and 3.8 explore pressure changes related to cooling and sealed containers [92](#page=92).
#### 3.2.5 Measuring pressure
Several instruments are used to measure pressure:
* **Barometer:** Measures atmospheric pressure. A mercury barometer works on the principle that atmospheric pressure supports a column of mercury. The atmospheric pressure ($P_{atm}$) is given by $P_{atm} = \rho g h$ [93](#page=93).
* Standard atmosphere (atm): Defined as the pressure exerted by a column of mercury 760 mm high at 0°C [94](#page=94).
* Units: mmHg and torr are also used, with 1 atm = 760 torr [94](#page=94).
> **Tip:** The length or cross-sectional area of the tube does not affect the height of the fluid column in a barometer (provided capillary effects are negligible). Example 3.10 calculates atmospheric pressure from a barometric reading. Exercise 3.5 explores barometric readings and the height of an oil column in a barometer [93](#page=93) [94](#page=94).
* **Manometer:** Measures the pressure of a gas trapped in a container [94](#page=94).
* **Closed-end manometer:** Measures gas pressure directly. $P_{gas} = \rho g h$ [95](#page=95).
* **Open-end manometer:** Has one arm open to the atmosphere. The difference in liquid levels corresponds to the pressure difference between the gas and the atmosphere [95](#page=95).
* $P_{gas} = P_{atm} + \rho g h$ (if the mercury level is higher above the gas-connected arm)
* $P_{gas} = P_{atm} - \rho g h$ (if the mercury level is higher above the open arm)
> **Tip:** The cross-sectional area of the manometer tube does not affect the differential height ($h$). Example 3.11 calculates absolute pressure using an open manometer [95](#page=95).
### 3.3 Archimedes principle
Archimedes' principle deals with the buoyant force exerted by a fluid on an immersed object [96](#page=96).
#### 3.3.1 Buoyant force
The upward force exerted by a fluid on any immersed object is called the buoyant force ($F_B$). This force arises because pressure increases with depth, so the upward force on the bottom of an object is greater than the downward force on its top [96](#page=96).
* **Archimedes' Principle:** The buoyant force on an object equals the weight of the fluid it displaces [97](#page=97).
$$ F_B = W_{fluid \: displaced} $$
$$ F_B = \rho_{fluid} g V_{displaced} \quad (3.12) $$
$$ F_B = M_{displaced} g \quad (3.13) $$
> **Tip:** Activity 3.9 explores buoyancy with an egg in salt water and measuring buoyant force [99](#page=99).
#### 3.3.2 Totally submerged objects
For a totally submerged object, the volume of displaced fluid ($V_{displaced}$) equals the object's volume ($V_{obj}$). The net force on the object is $F_B - F_g = (\rho_{fluid} - \rho_{obj}) g V_{obj}$ [97](#page=97).
* If $\rho_{obj} < \rho_{fluid}$, the object floats upwards [97](#page=97).
* If $\rho_{obj} > \rho_{fluid}$, the object sinks [97](#page=97).
* If $\rho_{obj} = \rho_{fluid}$, the object remains suspended [97](#page=97).
#### 3.3.3 Floating objects
When an object floats, it is partially submerged. The buoyant force balances the object's weight ($F_g = M_{obj} g = \rho_{obj} g V_{obj}$) [98](#page=98):
$$ F_B = \rho_{fluid} g V_{displaced} $$
Equating buoyant force and weight:
$$ \rho_{fluid} g V_{displaced} = \rho_{obj} g V_{obj} $$
$$ \frac{V_{displaced}}{V_{obj}} = \frac{\rho_{obj}}{\rho_{fluid}} \quad (3.14) $$
This means the fraction of the object's volume submerged is equal to the ratio of its density to the fluid's density [98](#page=98).
> **Tip:** This principle explains why icebergs float with a large portion submerged. Example 3.12 calculates the submerged fraction of an iceberg. Example 3.13 calculates the buoyant force on submerged steel and the maximum buoyant force for a boat hull. Example 3.14 determines the density of an ancient coin using apparent mass loss in water [100](#page=100) [98](#page=98).
### 3.4 Fluid flow
Fluid flow occurs due to pressure differences, with fluid moving from higher to lower pressure regions .
#### 3.4.1 Types of fluid flow
* **Steady (Laminar) Flow:** Each fluid particle follows a smooth path, and paths of different particles do not cross. Fluid particles arriving at a point have the same velocity. This occurs at low velocities and in small diameter pipes .
* **Turbulent Flow:** Irregular flow characterized by whirlpool-like regions where adjacent layers cross and move randomly. This occurs at high velocities and in larger diameter pipes .
> **Tip:** Viscosity is the internal friction in a fluid that causes kinetic energy to be transformed into internal energy during flow. Streamlines represent the path of a fluid particle in steady flow, with velocity tangent to the streamline .
#### 3.4.2 Flow rate and equation of continuity
* **Flow Rate ($Q$):** The volume of fluid passing a location through an area per unit time .
$$ Q = \frac{V}{t} \quad (3.15) $$
The SI unit for flow rate is m³/s .
* **Equation of Continuity:** For an incompressible fluid, the flow rate is constant throughout a pipe of varying cross-sectional area .
$$ Q_1 = Q_2 $$
$$ A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad (3.16) $$
where $A$ is the cross-sectional area and $v$ is the average fluid speed .
> **Tip:** This equation relates the cross-sectional area and average speed of incompressible fluid flow. Example 3.15 calculates the volume of blood pumped by the heart over a lifetime. Example 3.16 calculates water speed in a hose and nozzle using the equation of continuity. Discussion 3.5 and 3.6 relate fluid flow to everyday experiences like hoses and paper flying upwards when blown across .
#### 3.4.3 Bernoulli's principle
Bernoulli's principle states that the pressure exerted by a moving fluid decreases as the speed of the fluid increases. This principle has applications in understanding phenomena like snoring and the lift on airplane wings .
### 3.5 Safety and high pressure
High pressure is defined as pressure significantly greater than 1 atmosphere (often greater than 50 atm). High-pressure systems have numerous applications but also pose significant safety risks if not managed properly .
#### 3.5.1 Applications of high-pressure systems
High pressure is utilized in:
* Kitchen appliances (high-pressure cookers) .
* Fuel sources (gas cylinders containing LPG) .
* Laboratory and medical uses (compressed gas cylinders) .
* Vehicle inflation (bicycle and car tires) .
* Cleaning equipment (high-pressure washers) .
* Scientific research (studying material properties) .
* Food preservation (pascalization) .
#### 3.5.2 Components of high-pressure equipment
High-pressure equipment may include:
* High-pressure compressors (or pumps) .
* High-pressure piping (fittings, seals, tubing, valves) .
* High-pressure vessels .
* Safety accessories (safety valves, bursting discs) .
* High-pressure instrumentation (for measurement and control) .
#### 3.5.3 Safety measures for high-pressure systems
Failure of pressure systems can cause serious injury and damage due to blast impact, flying debris, or released liquids/gases. Common causes of risks include damaged equipment, poor maintenance, operator error, and incorrect installation .
* **High Pressure Gas Cylinders:** Should be kept upright, in ventilated areas, protected from impact, away from flammable materials, and knobs should be turned off after use .
* **High Pressure Washers:** Require safety glasses, enclosed shoes, gloves, and ear protection. Never point the washer at people or pets, and always turn off the machine before disconnecting hoses .
> **Tip:** Always follow manufacturer instructions and proper safety protocols when operating high-pressure equipment .
---
# Electromagnetism
Electromagnetism unifies the phenomena of electricity and magnetism, describing how they interact and influence each other.
## 4 Electromagnetism
Electromagnetism is a fundamental force in nature that describes the interaction between electrically charged particles and magnetic fields, leading to phenomena like electromagnetic fields and the operation of devices such as electromagnets .
### 4.1 Magnets and magnetic fields
A magnet generates a magnetic field, which is the region around the magnet where magnetic forces are exerted. Magnetic poles are the parts of a magnet that exert the strongest force; every magnet has a north (N) and a south (S) pole. Like poles repel, and opposite poles attract. Unlike electric charges, magnetic poles cannot be isolated; they always exist in pairs .
There are two main types of magnets:
* **Permanent magnets:** These materials generate their magnetic field from their internal structure and retain their magnetism for extended periods .
* **Electromagnets:** These are typically coils of wire that produce a magnetic field when an electric current flows through them and lose their magnetism when the current is switched off. An iron core can be used to increase the strength of an electromagnet .
The Earth itself possesses a magnetic field, behaving like a giant bar magnet, with its magnetic poles roughly aligned with the geographic poles .
A magnetic field is the region around a magnet or a moving electric charge where magnetic forces act. It is a vector quantity, and its direction is indicated by where a compass needle would point .
**Differences between electric and magnetic fields:**
* **Units:** The SI unit for electric field is Newton/coulomb, while for magnetic field, it is Tesla (T) .
* **Source:** Electric fields are produced by electric charges, while magnetic fields are produced by dipoles (north and south poles) .
* **Field Lines:** Electric field lines originate from positive charges and terminate on negative charges. Magnetic field lines, however, do not have distinct starting or ending points and form closed loops .
### 4.2 Magnetic field lines
Magnetic field lines are imaginary lines used to visualize magnetic fields. Their density indicates the field's magnitude. When iron filings are sprinkled around a magnet, they align themselves along these lines, revealing the magnetic field pattern .
**Properties of magnetic field lines:**
* They indicate both the direction (tangent to the line) and magnitude (density) of the magnetic field at any point .
* Magnetic field lines never cross, ensuring a unique field at each point .
* They form continuous, closed loops without beginnings or ends, emerging from the north pole and merging into the south pole, and continuing internally from south to north .
Figure 4.6 illustrates a comparison between magnetic and electric field lines .
### 4.3 Current and magnetism
An electric current flowing through a conductor produces a magnetic field. This principle is fundamental to the operation of electromagnets. The presence of this magnetic field can be demonstrated by observing the deflection of a compass needle placed near a current-carrying wire. When the current is switched off, the magnetic field disappears because it is generated by the movement of electric charges .
**Ampere's law** states that the magnetic field around an electric current is proportional to the current, and the total field is the vector sum of the fields produced by each segment of the current .
#### Magnetic field created by a long straight current-carrying wire
For a long straight wire, the magnitude of the magnetic field ($B$) is given by:
$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ .
where:
* $\mu_0$ is the permeability of free space ($4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\cdot\text{m/A}$) .
* $I$ is the current in the wire .
* $r$ is the shortest distance from the wire .
The SI unit for magnetic field is the Tesla (T). A non-SI unit, the gauss (G), is also used, with $1 \text{ T} = 10^4 \text{ G}$ .
**Characteristics of the magnetic field around a straight wire:**
* The field lines form a circular pattern around the wire .
* The magnetic field strength increases with increasing current .
* The field is stronger closer to the wire and weaker further away .
* Reversing the direction of the current reverses the direction of the magnetic field .
The direction of the magnetic field around a straight current-carrying wire is determined by **Fleming's Right Hand Rule**. If you grip the wire with your right hand such that your thumb points in the direction of the current, your fingers curl in the direction of the magnetic field lines .
**Activity 4.1:** This activity guides students to build a simple electromagnet and observe the magnetic effects of current .
**Example 4.1:** Calculates the current in a wire producing a magnetic field twice the strength of Earth's magnetic field at a specific distance .
Amperes's law is crucial in the manufacturing of various electrical machines like motors, generators, and transformers .
**Table 4.1:** Lists approximate magnitudes of magnetic fields from various sources .
An electromagnet is a temporary magnet created by electric current, widely used in devices like electric bells, motors, generators, and MRI machines .
**Magnetic Relays:** These are magnetically activated switches. A reed relay uses two nickel-iron blades that attract and close a circuit when a magnetic field is applied .
**Electric Bell:** The operation of an electric bell relies on an electromagnet that repeatedly attracts and releases a hammer to strike the bell .
**DC Electric Motor:** Electric motors operate on the principle that a current-carrying loop placed in a magnetic field experiences a torque, causing it to rotate continuously .
### 4.4 Electromagnetic induction
Electromagnetic induction is the process where a changing magnetic field induces an electromotive force (emf) and, consequently, an electric current in a conductor. Michael Faraday's experiments in 1831 demonstrated that a changing magnetic field could generate electricity, leading to the invention of the dynamo (generator) .
**Activity 4.2:** This activity demonstrates electromagnetic induction by moving a magnet near a coil connected to a galvanometer, observing deflections that indicate induced current. The magnitude of the induced voltage is proportional to the speed of movement between the coil and the magnetic field .
#### Magnetic flux
Magnetic flux ($\Phi_B$) is a measure of the total magnetic field lines passing through a given area. For a flat surface area $A$ in a uniform magnetic field $B$, it is calculated as :
$$\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$$ .
where $\theta$ is the angle between the magnetic field vector ($\vec{B}$) and the area vector ($\vec{A}$) .
**Example 4.2:** Calculates the magnetic flux through a square loop positioned at an angle to a magnetic field .
### 4.5 Faraday's law of electromagnetic induction
Faraday's experiments revealed that induced current is produced when there is relative motion between a coil and a magnet, and the direction of the current depends on the pole of the magnet and the direction of motion .
**Faraday's laws of electromagnetic induction:**
1. **Faraday's Law:** The magnitude of the induced electromotive force (emf, $\varepsilon$) in a closed coil is directly proportional to the rate of change of magnetic flux ($\Delta\Phi_B$) through the coil over a time interval ($\Delta t$) .
$$\varepsilon = -\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}$$ .
For a coil with $N$ turns, the total induced emf is:
$$\varepsilon = -N \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}$$ .
The induced emf can be increased by increasing the number of turns ($N$), or by changing the magnetic field strength ($B$), area ($A$), or the angle ($\theta$) .
**Example 4.3:** Determines the induced emf and current in a square loop as the magnetic field decreases over time .
2. **Lenz's Law:** This law states that an induced current always flows in a direction that opposes the change in magnetic flux that produced it. This principle is derived from the conservation of energy and is reflected by the negative sign in Faraday's law .
**Figure 4.15:** Illustrates how Lenz's Law dictates the direction of induced current based on the approaching pole of a magnet .
### 4.6 Transformers
A transformer is an electrical device that transfers electrical energy from one circuit to another through electromagnetic induction. It is used to increase ('step up') or decrease ('step down') voltage levels between circuits without changing the frequency .
A transformer consists of two coils (primary and secondary) wound on a common core, often made of iron. The alternating current in the primary coil creates a changing magnetic flux that induces an emf in the secondary coil via mutual induction .
The ratio of the number of turns in the primary coil ($N_p$) to the number of turns in the secondary coil ($N_s$) determines the voltage transformation:
$$\frac{N_p}{N_s} = \frac{V_p}{V_s} = \text{Turns Ratio}$$ .
where $V_p$ and $V_s$ are the primary and secondary voltages, respectively .
Transformers can be highly efficient, often reaching 98% .
$$\text{efficiency}, \eta = \frac{\text{output power}}{\text{input power}} \times 100\%$$ .
**Example 4.4:** Calculates the output voltage of a transformer given the number of turns and input voltage .
Transformers are essential in household appliances like phone chargers, laptop power supplies, and microwaves, stepping down high voltages from the power grid to safe levels for electronic devices or stepping them up for specific functions .
### 4.7 Application and safety
Electromagnetism and electromagnetic induction have numerous daily applications. Computer hard drives, graphics tablets, and credit card readers utilize principles of magnetism and induction .
**Applications of magnets in real life:**
* Electric bells .
* Generators and electric motors .
* Navigation (compasses) .
* Separation of magnetic and non-magnetic materials .
* Medical treatments for pain .
**Electric, Magnetic, and Electromagnetic Field Safety:** These fields are classified as non-ionizing radiation. Safety guidelines differ from ionizing radiation .
**Safety tips for using electromagnets:**
1. Define the type and characteristics of the plates to be lifted .
2. Check for potential environmental hazards, such as active body implants that can be affected by electromagnetic fields .
3. Perform regular overhauls and checks of the electromagnet and lifting system before use .
4. Select the electromagnet that is most suitable for the specific project's requirements .
---
# Basics of electronics
This unit introduces fundamental concepts in electronics, covering semiconductors, diodes, transistors, integrated circuits, and logic gates, along with their applications .
### 5.1 Semiconductors
Semiconductors are materials with conductivity between conductors and insulators, playing a crucial role in modern electronic components .
#### 5.1.1 Conductors, Insulators, and Semiconductors
* **Conductors:** Materials that allow electricity to flow through them, possessing free electrons that facilitate current flow. Metals are good conductors .
* **Insulators:** Materials that do not allow electricity to pass through them, as their electrons are tightly bound to the atom. Examples include plastic, wood, glass, and rubber .
* **Semiconductors:** Materials with conductivity between conductors and insulators. They can be pure elements like silicon (Si) or germanium (Ge), or compounds like gallium arsenide .
* At absolute zero temperatures, semiconductors act as insulators .
* At higher temperatures, conduction occurs as electrons break free from covalent bonds and move freely .
#### 5.1.2 Semiconductor Lattice Structure
Semiconductors like Silicon (Si) have atoms bonded in a regular, periodic structure .
* Each atom is surrounded by eight electrons, typically involved in covalent bonds .
* A **covalent bond** involves two atoms sharing a pair of electrons. Each atom forms four covalent bonds with surrounding atoms .
* **Hole:** An electric charge carrier with a positive charge, equal in magnitude but opposite in polarity to an electron. It represents the absence of an electron in a specific location within the atomic lattice. Holes are key charge carriers responsible for current in semiconductors .
#### 5.1.3 Types of Semiconductors
Semiconductors are classified into intrinsic and extrinsic types .
##### 5.1.3.1 Intrinsic Semiconductor
* Composed of only one type of material, such as pure silicon or germanium .
* Also known as undoped semiconductors, as no impurities have been added to alter carrier concentrations .
##### 5.1.3.2 Extrinsic Semiconductor
* Created by adding controlled amounts of impurities (dopants) to pure semiconductors to significantly improve conductivity .
* **Doping:** The process of adding impurities to a pure semiconductor crystal to enhance its conductivity .
* The goal of doping is to create an excess (surplus) or deficiency of electrons .
* Extrinsic semiconductors are further classified into N-type and P-type .
###### 5.1.3.2.1 N-Type Semiconductor
* Created by adding an element with more valence electrons than the intrinsic semiconductor, typically from Group V of the periodic table (e.g., antimony, arsenic, bismuth, phosphorus) .
* These elements have five valence electrons, one more than Group IV elements like silicon .
* Conduction primarily occurs through electron flow .
* **Majority charge carriers:** Electrons .
* **Minority charge carriers:** Holes .
* Dopant atoms that donate free electrons are called **donor atoms** .
* For example, silicon doped with arsenic (As). The fifth valence electron of As is free to move for conduction .
###### 5.1.3.2.2 P-Type Semiconductor
* Created by adding a Group III element (e.g., aluminum, boron, gallium, indium) to a pure semiconductor .
* These elements have three valence electrons, creating a deficiency of electrons in the covalent bonds .
* This deficiency creates a **hole**, which acts as a positive charge carrier .
* **Majority charge carriers:** Holes .
* **Minority charge carriers:** Electrons .
* Dopant atoms that accept electrons are called **acceptor atoms** .
* For example, silicon doped with boron. Boron needs one more electron to complete its covalent bond, thus creating a hole .
### 5.2 Diodes and their functions
A diode is a two-terminal electronic component that allows current to flow in only one direction .
#### 5.2.1 P-N Junction Diode
* Formed by joining an n-type semiconductor with a p-type semiconductor .
* **Symbol:** An arrow pointing from anode (p-side) to cathode (n-side), indicating the direction of conventional current flow .
* **Formation:** When joined, electrons from the n-region diffuse to the p-region and combine with holes, leaving positive ions in the n-region and negative ions in the p-region .
* **Depletion Region:** A narrow region near the junction with very few mobile charge carriers (electrons and holes) .
* **Barrier Potential:** An electric field created by the ions in the depletion region that opposes further diffusion .
* For silicon, the barrier potential is approximately 0.7V .
* For germanium, the barrier potential is approximately 0.3V .
#### 5.2.2 Biasing of P-N Junction Diode
Applying a DC voltage to a diode is called biasing .
##### 5.2.2.1 Forward Bias
* **Connection:** The positive terminal of the battery is connected to the p-type semiconductor (anode), and the negative terminal to the n-type semiconductor (cathode) .
* **Effect:** Electrons and holes move towards the junction, repelled by the battery terminals. This decreases the width of the depletion region and reduces the potential barrier .
* **Conduction:** The diode conducts electricity, and current increases with increasing battery voltage .
##### 5.2.2.2 Reverse Bias
* **Connection:** The negative terminal of the battery is connected to the p-type semiconductor (anode), and the positive terminal to the n-type semiconductor (cathode) .
* **Effect:** Holes in the p-type material are pulled away from the junction, and electrons in the n-type material are also pulled away from the junction. This increases the width of the depletion region and the potential barrier .
* **Conduction:** High resistance to charge carrier flow results in no significant current flow through the junction .
* **Breakdown Voltage:** At a sufficiently high reverse bias voltage, current increases very rapidly .
#### 5.2.3 Current-Voltage Characteristics
* **Forward Bias:** Current increases slowly and non-linearly. Once the external voltage exceeds the barrier voltage, the diode behaves like a conductor, and the current rises sharply .
* **Reverse Bias:** A small current (leakage current) flows due to minority carriers. Beyond the breakdown voltage, a sharp increase in reverse current occurs .
#### 5.2.4 Practical Uses of Diodes
* **Rectification:** Converting alternating current (AC) to direct current (DC) .
* **Light Emitting Diodes (LED):** Emit light when current flows in the forward direction due to electron-hole recombination releasing energy as photons .
* **Photodiode:** Converts photons (light) into an electrical current when light is absorbed in the depletion region, creating electron-hole pairs .
* **Logic Gates:** Can be combined with other components to form AND and OR logic gates (diode logic) .
* **Over-voltage Protection:** Diodes can shut down a converter in response to overvoltage conditions to protect sensitive devices .
### 5.3 Rectification
Rectification is the process of converting AC voltage into unidirectional (DC) voltage using a rectifier circuit .
#### 5.3.1 Half-wave Rectifier
* Allows only one half-cycle of an AC waveform to pass, blocking the other .
* Consists of a diode and a load resistor in series .
* During the positive half-cycle, the diode is forward-biased, and current flows through the load .
* During the negative half-cycle, the diode is reverse-biased, and no current flows .
* Output is a pulsating DC signal .
#### 5.3.2 Full-wave Rectifier
* Utilizes all half-cycles of the AC input to produce a DC output, overcoming the inefficiency of half-wave rectification .
* A common configuration is the bridge rectifier, requiring four diodes .
* **Working Principle:** During the positive half-cycle, two diodes conduct, passing current through the load. During the negative half-cycle, the other two diodes conduct, ensuring current flows through the load in the same direction .
* Output is a pulsating DC signal with a higher frequency than the half-wave rectifier .
#### 5.3.3 Diodes and Capacitors in Rectifiers
* Capacitors are used in rectifier circuits to smooth the output voltage fluctuations .
* A capacitor charges during the peak voltage and discharges to supply current to the load as the voltage falls, smoothing the waveform .
### 5.4 Transistors and their application
Transistors are essential components used for amplification or switching in electronic circuits .
#### 5.4.1 Types of Transistors
* **Bipolar Junction Transistors (BJT):** Operate based on the flow of both electrons and holes .
* **Field-Effect Transistors (FET):** Operate based on the control of an electric field. This section focuses on BJTs .
#### 5.4.2 Bipolar Junction Transistors (BJT)
* A three-terminal, two-junction device used to control electron flow .
* By varying voltage at the terminals, current can be controlled .
* **Construction:** Consists of three alternately doped semiconductor regions:
* **NPN Transistor:** A p-type layer sandwiched between two n-type layers .
* **PNP Transistor:** An n-type layer sandwiched between two p-type layers .
* **Regions:**
* **Emitter (E):** Supplies charge carriers (heavily doped) .
* **Collector (C):** Collects charge carriers (moderately doped) .
* **Base (B):** The thin middle section that controls current flow (lightly doped and very thin) .
* **Symbol:** The arrow on the emitter indicates the direction of conventional current flow. For NPN, the arrow points outward; for PNP, it points inward .
#### 5.4.3 Basic Transistor Operation (NPN Example)
* **Biasing:** For proper operation, the emitter-base junction is forward-biased, and the collector-base junction is reverse-biased .
* Emitter-base junction: Forward-biased (e.g., emitter to negative, base to positive in NPN) .
* Collector-base junction: Reverse-biased (e.g., collector to positive, base to positive but more positive than the base in NPN) .
* **Operation:** Electrons are emitted from the emitter, cross the forward-biased junction, and most of them are attracted to the collector due to the reverse bias. A small number of electrons combine with holes in the base, forming the base current .
* **Current Relationship:** The emitter current is the sum of the base current and the collector current .
$$I_E = I_B + I_C$$ (5.1) .
#### 5.4.4 PNP Transistor Operation
* Works similarly to NPN, but the majority charge carriers are holes .
* Biasing is reversed: Emitter-base junction forward-biased (emitter to positive, base to negative), and collector-base junction reverse-biased (collector to negative) .
#### 5.4.5 Transistor Configurations
Three configurations allow a transistor to be used in a circuit, with one terminal common to both input and output signals :
* **Common Collector:** Input signal applied between base and collector; output taken between emitter and collector. Provides good current gain .
* **Common Base:** Input signal applied to the emitter; output taken from the collector. The base is common. Provides good voltage and power gain .
* **Common Emitter:** Input signal applied between base and emitter; output taken between collector and emitter. Provides voltage, current, and power gain .
* **Current Gain (β):** The ratio of collector current to base current .
$$\beta = \frac{I_C}{I_B}$$ .
* **Example 5.1:** A transistor with $\beta = 250$ and $I_B = 20$ µA has a collector current $I_C = \beta I_B = 250 \times 20 \, \mu\text{A} = 5$ mA .
#### 5.4.6 Output Characteristics of Common Emitter
* Describes the relationship between collector current ($I_C$) and collector-emitter voltage ($V_{CE}$) for a constant base current ($I_B$) .
* Typically, a small change in base current ($I_B$) results in a much larger change in collector current ($I_C$), indicating amplification .
### 5.5 Integrated Circuits
Integrated Circuits (ICs), or chips, are miniaturized electronic circuits fabricated on a single semiconductor substrate .
#### 5.5.1 Importance and Advantages
* Revolutionized electronics, enabling smaller, more powerful, and more affordable devices .
* **Advantages:**
* Small size and light weight .
* Low power consumption .
* High speed due to reduced electron travel time .
* Increased reliability due to permanent internal connections and pre-testing .
* Economical to produce, reducing manufacturing costs .
* Provide new and better solutions to complex problems .
#### 5.5.2 Components of an IC
* An IC typically consists of diodes, transistors, resistors, and capacitors fabricated on a silicon chip .
* Resistors and capacitors occupy more space than diodes and transistors in an IC .
#### 5.5.3 Disadvantages of ICs
* Cannot handle large amounts of current or voltage, as high current generates heat and high voltage can break down insulation .
* Cannot be repaired; if faulty, they must be replaced .
### 5.6 Logic gates and logic circuits
Logic gates are fundamental building blocks of digital electronics, performing logical operations on digital signals .
#### 5.6.1 Digital and Analog Signals
* **Analog Signal:** A continuous signal whose voltage or current varies smoothly over time .
* **Digital Signal:** A signal that represents data as a sequence of discrete values. In most digital circuits, it has two possible values: a high state (represented by '1') and a low state (represented by '0') .
* **Binary Signal/Logic Signal:** A digital signal with two distinct voltage levels .
#### 5.6.2 Positive and Negative Logic
* **Positive Logic:** '1' represents a high voltage (On, True), and '0' represents a low voltage (Off, False) .
* **Negative Logic:** '0' represents a high voltage (On, True), and '1' represents a low voltage (Off, False) .
#### 5.6.3 Basic Logic Gates
Logic gates are digital circuits that process input signals according to specific logical rules (Boolean expressions) to produce an output .
* **Boolean Expressions:** Mathematical representations of logic gate operations.
* Addition (+) represents OR. $y = A + B$ .
* Multiplication (.) represents AND. $y = A \cdot B$ .
* Bar (-) represents NOT. $y = \overline{A}$ .
##### 5.6.3.1 OR Gate
* **Function:** The output is '1' if at least one of its inputs is '1' .
* **Boolean Expression:** $y = A + B$ .
* **Analogy:** Two parallel switches controlling a lamp. The lamp is ON if either switch is closed .
* **Truth Table:**
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
* **Application:** Used in circuits where an action should occur if any of multiple conditions are met (e.g., corridor lights controlled by switches at both ends) .
##### 5.6.3.2 AND Gate
* **Function:** The output is '1' if and only if all of its inputs are '1' .
* **Boolean Expression:** $y = A \cdot B$ .
* **Analogy:** Two switches in series controlling a lamp. The lamp is ON only if both switches are closed .
* **Truth Table:**
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
* **Application:** Used in circuits where an action requires multiple conditions to be met simultaneously (e.g., an airplane display lighting up only if both toilets are occupied) .
##### 5.6.3.3 NOT Gate (Inverter)
* **Function:** Inverts or complements the input. The output is the opposite of the input .
* **Boolean Expression:** $y = \overline{A}$ .
* **Analogy:** A single switch controlling a lamp. If the switch is open the lamp is ON; if the switch is closed the lamp is OFF [1](#page=1).
* **Truth Table:**
| A | Y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
* **Application:** Used to reverse a logic state (e.g., to turn on a water pipe when soil is dry, given a sensor output that is '0' for dry soil) .
#### 5.6.4 Universal Logic Gates
* **NAND Gate:** Combination of an AND gate and a NOT gate .
* **Boolean Expression:** $Y = \overline{A \cdot B}$ .
* **Function:** Output is '0' only when all inputs are '1' .
* **Truth Table:**
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
* **NOR Gate:** Combination of an OR gate and a NOT gate .
* **Boolean Expression:** $Y = \overline{A + B}$ .
* **Function:** Output is '1' only when all inputs are '0' .
* **Truth Table:**
| A | B | Y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
### 5.7 Application of Electronics
Electronics has permeated numerous sectors, simplifying tasks and enabling advanced technologies .
* **Aerospace Industry:** Space shuttles, satellites, aircraft systems (measurements, power management) .
* **Medical:** Diagnostic equipment (MRI, CT, X-ray), robotic surgery, patient monitoring .
* **Automobile:** Engine control units (ECUs), infotainment systems, safety features, driver assistance .
* **Utility Systems:** High voltage DC transmission, smart grids, renewable energy integration (solar, wind) .
* **Commercial:** Advertising displays, climate control, office equipment, uninterruptible power supplies (UPS) .
* **Agriculture:** Crop monitoring sensors, soil analysis, automated irrigation systems .
* **Communication:** Acquisition, processing, storage, and transmission of information .
* **Industrial:** Industrial furnaces, robotics, control systems in manufacturing, welding .
* **Residential:** Home appliances (air conditioners, computers, mobile phones), entertainment systems .
* **Military:** Unmanned aerial vehicles (UAVs), drones, targeting systems, surveillance equipment (night vision, infrared detectors) .
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Physics | The branch of science concerned with the nature and properties of matter and energy, and the fundamental forces that govern its behavior. |
| Spectroscopy | The study of the interaction between matter and electromagnetic radiation as a function of the wavelength or frequency of the radiation. |
| Newtonian mechanics | A description of motion that uses Newton’s laws of motion and gravity to describe how objects move and interact. |
| Fluid flow | The movement of a liquid or gas. |
| Viscosity | A measure of a fluid's resistance to flow; thicker fluids are more viscous. |
| Laminar flow | A type of fluid flow where fluid particles move in smooth, parallel layers without crossing each other. |
| Turbulent flow | A type of fluid flow characterized by irregular, chaotic motion with eddies and swirls. |
| Equation of continuity | A principle stating that for an incompressible fluid flowing through a pipe, the flow rate is constant at all points, meaning the product of cross-sectional area and velocity is constant. |
| Bernoulli’s principle | A principle stating that the pressure of a moving fluid decreases as its speed increases. |
| Pascal’s law | A principle stating that a change in pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every point of the fluid and to the walls of the container. |
| Archimedes’ principle | A principle stating that the buoyant force on an object submerged in a fluid is equal to the weight of the fluid displaced by the object. |
| Buoyant force | The upward force exerted by a fluid on any immersed object. |
| Density | The mass of a substance per unit volume. |
| Pressure | Force exerted per unit area. |
| Manometer | A device used to measure the pressure of a gas or liquid. |
| Barometer | A device used to measure atmospheric pressure. |
| Electromagnetic induction | The process by which a changing magnetic field induces an electromotive force (and thus a current) in a conductor. |
| Magnetic flux | A measure of the total magnetic field lines passing through a given area. |
| Transformer | An electrical device that transfers electrical energy from one circuit to another through electromagnetic induction, typically to change voltage levels. |
| Semiconductor | A material with electrical conductivity between that of a conductor and an insulator. |
| Doping | The process of adding impurities to a semiconductor material to alter its electrical conductivity. |
| P-N junction | The interface formed when a P-type semiconductor is joined with an N-type semiconductor, forming the basis of diodes and transistors. |
| Diode | A semiconductor device that allows current to flow in only one direction. |
| Rectification | The process of converting alternating current (AC) into direct current (DC). |
| Transistor | A semiconductor device with three terminals used to amplify or switch electronic signals. |
| Integrated circuit (IC) | A small chip containing a complex electronic circuit made up of interconnected semiconductor devices. |
| Logic gate | A fundamental building block of digital electronic circuits that performs a basic logical operation (e.g., AND, OR, NOT). |
| Digital signal | A signal that represents data as a sequence of discrete values, typically high or low voltage levels. |
| Analog signal | A continuous signal that represents information as a varying voltage or current. |
Cover
Radioprotection.pdf
Summary
# Sources de radioactivité et leur classification
Ce sujet explore les origines diverses de la radioactivité, tant naturelle qu'artificielle, ainsi que les méthodes de classification des rayonnements associés.
### 1.1 Radioactivité naturelle
La radioactivité naturelle provient de sources présentes dans l'environnement depuis la formation de la Terre, ainsi que de l'activité cosmique. Elle se divise en plusieurs catégories principales [1](#page=1):
#### 1.1.1 Rayonnement cosmique
Le rayonnement cosmique est une composante de la radioactivité naturelle qui provient de l'espace. Il est généralement classé en deux origines [1](#page=1):
* **Rayonnement cosmique galactique:** Majoritairement constitué de protons et de noyaux atomiques venant de l'espace lointain. L'intensité de ce rayonnement augmente avec l'altitude; elle double environ tous les 500 mètres [1](#page=1).
* **Rayonnement solaire:** Émis par le soleil, il est particulièrement actif lors d'éruptions solaires et est composé du "vent solaire", principalement des protons [1](#page=1).
#### 1.1.2 Rayonnement tellurique
Le rayonnement tellurique est émis par des radionucléides présents dans la croûte terrestre. Ces éléments radioactifs, tels que l'uranium et le thorium, varient selon la nature du sol [1](#page=1).
* **Variations géographiques:** Les régions avec des massifs granitiques, comme la Corse, les Alpes ou le Massif Central, présentent une exposition au rayonnement tellurique plus élevée, environ 90 à 100 fois supérieure à celle d'un habitant en métropole [1](#page=1).
* **Le Radon:** Le radon est un gaz radioactif produit par la désintégration du radium. C'est un émetteur gamma qui contribue significativement à l'exposition au rayonnement tellurique. L'exposition au radon peut varier en fonction de la géologie locale et des caractéristiques chimiques de l'eau [1](#page=1).
#### 1.1.3 Radioactivité de l'eau
L'eau, en traversant différentes couches géologiques, peut dissoudre des éléments radioactifs, augmentant ainsi sa propre radioactivité, notamment les eaux minérales [1](#page=1).
#### 1.1.4 Radioactivité du corps humain
Le corps humain contient naturellement des radionucléides, avec une activité moyenne d'environ 120 Becquerels par kilogramme (Bq/kg). Cette radioactivité interne provient principalement de l'ingestion d'aliments et d'eau contenant des éléments radioactifs, ainsi que de la présence de radionucléides dans les os [1](#page=1).
> **Tip:** L'alimentation quotidienne contribue de manière significative à la radioactivité interne du corps humain [1](#page=1).
### 1.2 Radioactivité artificielle
La radioactivité artificielle résulte d'activités humaines. Ses origines principales sont [2](#page=2):
* **Rejets réglementés:** Les rejets contrôlés d'installations nucléaires (INB - Installations Nucléaires de Base) et de services médicaux [2](#page=2).
* **Retombées d'essais nucléaires:** Les essais d'armes nucléaires réalisés entre 1945 et 1980 ont dispersé des radionucléides dans l'atmosphère [2](#page=2).
* **Accidents nucléaires:** Des événements comme l'accident de Tchernobyl en 1986 ont entraîné des retombées radioactives importantes [2](#page=2).
> **Example:** Les retombées de l'accident de Tchernobyl ont laissé une empreinte durable dans l'environnement et ont contribué au "bruit de fond" de la radioactivité artificielle en France, notamment via la présence de Césium 137 et de Strontium 90. Le Césium 137 (demi-vie de 30 ans) contribue à l'exposition externe, tandis que le Strontium 90 est absorbé en interne par l'organisme [2](#page=2).
### 1.3 Historique des découvertes liées aux rayonnements
* **1895:** Wilhelm Röntgen découvre les rayons X, ce qui lui vaudra le prix Nobel de physique en 1901 [2](#page=2).
* **1896:** Henri Becquerel découvre la radioactivité naturelle, recevant le prix Nobel de physique en 1903 [2](#page=2).
* **1898:** Pierre et Marie Curie découvrent le radium et le polonium, marquant une étape clé dans la compréhension de la radioactivité. Ils ont été récompensés par des prix Nobel en physique et en chimie [2](#page=2).
* **1902:** Première utilisation thérapeutique de la radioactivité (radio-curiethérapie) [2](#page=2).
* **1927:** Découverte des effets mutagènes des rayonnements ionisants [2](#page=2).
* **Après la Seconde Guerre mondiale:** Utilisation massive de la radiologie et des applications nucléaires dans divers domaines, y compris en médecine [2](#page=2).
> **Tip:** La période post-Seconde Guerre mondiale a vu une explosion des applications des rayonnements ionisants dans le domaine médical et industriel [2](#page=2).
Les événements majeurs incluent :
* **1945:** Bombardements d'Hiroshima et Nagasaki [3](#page=3).
* **1986:** Accident de Tchernobyl [3](#page=3).
* **2011:** Accident de Fukushima [3](#page=3).
Ces événements ont souligné l'importance de la radioprotection dans des domaines variés tels que la mammographie, la scintigraphie, la TEP (Tomographie par Émission de Positrons), la radiothérapie, le scanner (TDM), et l'imagerie médicale conventionnelle [3](#page=3).
### 1.4 Classification des sources de rayonnement
Les sources de rayonnement sont classées selon leur condition d'utilisation et leur potentiel de dispersion :
#### 1.4.1 Sources scellées
Une source scellée est une source dont la structure ou les conditions d'utilisation empêchent la dispersion de matière radioactive dans l'environnement lors d'une utilisation normale. Des exemples incluent les générateurs de rayons X (tubes, scanner) et les sources radioactives utilisées dans des dispositifs de mesure comme les activimètres. Le rayonnement émis par ces sources peut être direct ou diffusé [3](#page=3).
#### 1.4.2 Sources non scellées
Une source non scellée est une source dont la présentation ou les conditions normales d'emploi ne permettent pas d'empêcher la dispersion de substances radioactives dans l'environnement. Les radiopharmaceutiques administrés aux patients en médecine nucléaire en sont un exemple typique [3](#page=3).
### 1.5 Grandeurs, unités et indicateurs de dose
La mesure de la radioactivité et de ses effets repose sur un système de grandeurs et d'unités spécifiques :
* **Becquerel (Bq):** Unité de mesure de l'activité d'une source radioactive. Elle représente le nombre de désintégrations par seconde [3](#page=3).
* **Gray (Gy):** Unité de dose absorbée. Elle mesure l'énergie du rayonnement déposée par unité de masse (1 Gy = 1 joule par kilogramme). Elle est pertinente pour les effets déterministes [3](#page=3).
* **Sievert (Sv):** Unité de dose équivalente ou efficace. Elle prend en compte la dangerosité relative des différents types de rayonnements et la radiosensibilité des tissus pour évaluer le risque, notamment stochastique [3](#page=3).
* **Curie (Ci):** Ancienne unité d'activité, moins utilisée aujourd'hui. 1 Ci est égal à 3,7 x 10^10 Bq, soit 37 Gigabecquerels (GBq) [3](#page=3).
* **Temps de demi-vie (T):** Durée nécessaire pour que la moitié d'une quantité de matière radioactive se désintègre naturellement [3](#page=3).
> **Tip:** Il est crucial de distinguer la dose absorbée (Gray) de la dose équivalente ou efficace (Sievert) car cette dernière prend en compte le risque radiologique pour la santé [3](#page=3).
---
# Grandesurs, unités et indicateurs de dose en radioprotection
Cette section détaille les grandeurs radiologiques fondamentales, leurs unités de mesure, et les indicateurs de dose spécifiques utilisés en radioprotection, tels que le produit dose surface (PDS) et l'indice de dose par coupe (CDTI).
### 2.1 Grandeurs et unités de mesure de la radioactivité
La radioactivité se réfère à la désintégration spontanée d'un noyau atomique, entraînant l'émission de rayonnements. Pour quantifier cette activité, plusieurs grandeurs et unités sont employées.
#### 2.1.1 L'activité
L'activité d'une source radioactive représente le nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps [3](#page=3).
* **Becquerel (Bq)**: L'unité SI de l'activité. Un Becquerel correspond à une désintégration par seconde [3](#page=3).
* **Curie (Ci)**: Une ancienne unité d'activité. La conversion est la suivante: $1 \text{ Ci} = 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq} = 37 \text{ GBq}$ [3](#page=3).
#### 2.1.2 L'énergie des rayonnements
L'énergie apportée par les rayonnements est une grandeur fondamentale.
* **Joule (J)** : L'unité SI de l'énergie. En radioprotection, elle est utilisée pour exprimer l'énergie des rayonnements absorbés.
#### 2.1.3 La dose absorbée
La dose absorbée quantifie l'énergie des rayonnements ionisants absorbée par unité de masse de matière.
* **Gray (Gy)**: L'unité SI de la dose absorbée. Un Gray correspond à un Joule d'énergie absorbé par kilogramme de matière ($1 \text{ Gy} = 1 \text{ J/kg}$) [4](#page=4).
* **Exemple**: Une dose de $5 \text{ Gy}$ pour un corps de $80 \text{ kg}$ représente une énergie totale de $5 \text{ Gy} \times 80 \text{ kg} = 400 \text{ J}$ absorbée [4](#page=4).
#### 2.1.4 La dose équivalente
La dose équivalente prend en compte la nocivité des différents types de rayonnements, qui ne sont pas tous égaux en termes de dommages biologiques. Elle est calculée en pondérant la dose absorbée par des facteurs de qualité propres à chaque type de rayonnement.
* **Sievert (Sv)** : L'unité SI de la dose équivalente.
* **Formule**: La dose équivalente ($H$) est calculée par la formule: $H = w_R \times D$ où $D$ est la dose absorbée et $w_R$ est le facteur de qualité du rayonnement [4](#page=4).
#### 2.1.5 La dose efficace
La dose efficace prend en compte la radiosensibilité des différents tissus et organes irradiés. Elle est calculée en pondérant les doses équivalentes reçues par chaque organe par des facteurs de pondération tissulaire ($w_T$).
* **Sievert (Sv)** : L'unité SI de la dose efficace.
* **Formule**: La dose efficace ($E$) est calculée par la formule: $E = \sum_T w_T \times H_T$ où $H_T$ est la dose équivalente reçue par le tissu ou l'organe $T$, et $w_T$ est le facteur de pondération tissulaire pour cet organe [4](#page=4).
> **Tip** : Les facteurs de qualité des rayonnements ($w_R$) et les facteurs de pondération tissulaire ($w_T$) sont essentiels pour évaluer le risque radiologique global, car ils permettent de comparer l'impact de différentes expositions aux rayonnements sur la santé.
* **Exemple de calcul de dose équivalente et efficace** :
* Une irradiation de $1 \text{ mGy}$ en rayons $X$ (avec $w_R=1$) conduit à une dose équivalente de $H = 1 \text{ mGy} \times 1 = 1 \text{ mSv}$ [4](#page=4).
* Une irradiation de $1 \text{ Gy}$ en alpha (avec $w_R=20$) conduit à une dose équivalente de $H = 1 \text{ Gy} \times 20 = 20 \text{ Sv}$ [4](#page=4).
* Une exposition de $1 \text{ mGy}$ en rayons $X$ et $1 \text{ mGy}$ en particules alpha, si elles touchent le même organe, aurait une dose équivalente de $(1 \text{ mGy} \times 1) + (1 \text{ mGy} \times 20) = 21 \text{ mSv}$ [4](#page=4).
* Pour une exposition de $95 \text{ mGy}$ en photons gamma sur la thyroïde, la vessie, les gonades et les seins, avec des facteurs de pondération tissulaire de $w_T(\text{thyroïde}) = 0.05$, $w_T(\text{vessie}) = 0.05$, $w_T(\text{gonades}) = 0.2$, $w_T(\text{seins}) = 0.05$, la dose efficace $E$ serait calculée comme suit (en considérant $w_R=1$ pour les photons gamma) :
$H = 95 \text{ mGy} \times 1 = 95 \text{ mSv}$ [4](#page=4).
$E = (95 \text{ mSv} \times 0.05) + (95 \text{ mSv} \times 0.05) + (95 \text{ mSv} \times 0.2) + (95 \text{ mSv} \times 0.05) = 4.75 + 4.75 + 19 + 4.75 = 33.25 \text{ mSv}$ [4](#page=4).
*(Note: L'exemple dans le document original semble calculer une dose équivalente de 25 mSv puis appliquer les facteurs tissulaires, ce qui conduit à 8.75 mSv. L'interprétation ici est basée sur l'énoncé des facteurs tissulaires et une dose donnée.)*
> **Tip** : Il est crucial de distinguer la dose absorbée (énergie déposée) de la dose équivalente (nocivité biologique du rayonnement) et de la dose efficace (risque global pour la santé en considérant les organes affectés).
### 2.2 Le débit de dose
Le débit de dose est une mesure de la dose reçue par unité de temps. Il permet d'évaluer la rapidité avec laquelle une dose est accumulée.
* **Unités**: Le débit de dose absorbée s'exprime en Gray par seconde ($ \text{Gy/s} $), et le débit de dose équivalente en Sievert par heure ($ \text{Sv/h} $) [5](#page=5).
* **Dépendance à la distance**: Le débit de dose diminue avec le carré de la distance par rapport à la source radioactive, selon la loi de l'inverse carré: $DD_1 \times d_1^2 = DD_2 \times d_2^2$ où $DD$ est le débit de dose et $d$ est la distance [5](#page=5).
### 2.3 Indicateurs de dose en imagerie médicale
En imagerie médicale, des indicateurs spécifiques sont utilisés pour quantifier et contrôler l'exposition des patients aux rayonnements.
#### 2.3.1 Produit Dose Surface (PDS)
Le Produit Dose Surface (PDS) est une grandeur qui représente la quantité totale de rayonnement envoyée sur une surface donnée lors d'un examen radiographique.
* **Unités**: Il est généralement exprimé en Gray centimètre carré ($ \text{Gy} \cdot \text{cm}^2 $), avec des multiples comme centiGray centimètre carré ($ \text{cGy} \cdot \text{cm}^2 $) ou milliGray centimètre carré ($ \text{mGy} \cdot \text{cm}^2 $) [5](#page=5).
* $1 \text{ Gy} \cdot \text{cm}^2 = 100 \text{ cGy} \cdot \text{cm}^2 = 1000 \text{ mGy} \cdot \text{cm}^2$ [5](#page=5).
* **Obtention** : Le PDS est souvent obtenu directement sur le pupitre de commande de l'appareil de radiographie grâce à deux types de dispositifs :
* **Mesure directe**: Utilisation d'une chambre d'ionisation [5](#page=5).
* **Calcul par logiciel**: Estimation par le système de l'appareil [5](#page=5).
* **Avantages et Utilisation** :
* Le PDS est indépendant de la distance au patient [5](#page=5).
* Il permet de calculer la dose efficace et la dose à l'entrée du patient [5](#page=5).
* Connaître le PDS revient à avoir une forme de "dosimétrie à la peau" du patient [5](#page=5).
* Il est utilisé pour estimer la dose efficace ($E$) en utilisant une constante ($K$) spécifique à l'examen: $E = \text{PDS} \times K$ [5](#page=5).
* Il permet également de calculer la dose d'entrée ($D_e$) [5](#page=5).
* La comparaison de la dose d'entrée avec les valeurs de référence (NRD - Niveaux de Référence) permet d'évaluer si l'exposition est dans les normes [5](#page=5).
> **Tip** : Le PDS est un outil précieux pour la standardisation des expositions en radiographie, aidant à optimiser les paramètres techniques pour une qualité d'image suffisante tout en minimisant la dose délivrée.
#### 2.3.2 Indice de Dose par Coupe (CDTI)
L'Indice de Dose par Coupe (CDTI - Computed Tomography Dose Index) est une mesure de la dose délivrée par une acquisition en tomodensitométrie (scanner). Il est particulièrement pertinent pour évaluer l'exposition dans les examens scannographiques.
* **Définition**: Le CDTI représente la dose absorbée dans une coupe de patient, incluant également la contribution des rayonnements diffusés provenant des coupes adjacentes [5](#page=5).
* **Utilisation** :
* Il est utilisé pour calculer la dose efficace totale lors d'un examen de scanner [5](#page=5).
* Il permet de comparer la dose délivrée entre différents scanners ou protocoles d'acquisition.
* Le Produit Dose Longueur (PDL) est une grandeur liée au CDTI et sert aussi à estimer la dose efficace [5](#page=5).
> **Example** : En tomodensitométrie, si un protocole spécifique génère un CDTI élevé, cela suggère une exposition radiologique importante pour cette coupe. Les radiologues et physiciens médicaux utilisent ces valeurs pour ajuster les paramètres d'acquisition afin de réduire la dose tout en conservant la qualité diagnostique de l'image.
* **Divers** :
* Les matériaux comme le plomb ($ \text{Pb} $), le plexiglas ($ \text{plexiglas} $) et le papier ($ \text{papier} $) sont mentionnés dans le contexte de la radioprotection, probablement en relation avec leurs propriétés d'atténuation des rayonnements [4](#page=4).
* Les sources scellées et non scellées sont distinguées en fonction de leur capacité à disperser la matière radioactive en utilisation normale. Les générateurs de rayons $X$ sont des exemples de sources non scellées (en termes de produit) [3](#page=3).
### 2.4 Types de sources de rayonnements
Les sources de rayonnements utilisées en médecine nucléaire et en radiologie peuvent être classifiées.
* **Sources scellées**: Structures ou conditions qui empêchent la dispersion de matière radioactive en utilisation normale. Un exemple est un activimètre [3](#page=3).
* **Sources non scellées**: La présentation et les conditions normales d'emploi ne permettent pas d'empêcher la dispersion de la substance radioactive. Les radiopharmaceutiques administrés aux patients sont des exemples de sources non scellées [3](#page=3).
Il existe une distinction entre l'exposition aux rayonnements ionisants (IRR) pour les rayons $X$ et les rayonnements (AR) pour les particules alpha, avec des facteurs de qualité ($w_R$) différents ($w_R$ pour les RX est généralement $1$, et $w_R$ pour les particules alpha est $20$) [4](#page=4).
---
# Concepts fondamentaux de la radioactivité
Ce thème aborde les principes essentiels de la radioactivité, de la nature des atomes instables à la décroissance radioactive.
### 3.1 Définition et manifestations de la radioactivité
La radioactivité se manifeste par un atome instable qui cherche à retrouver sa stabilité. La grandeur principale associée à ce phénomène est l'activité [6](#page=6).
### 3.2 La grandeur de l'activité
L'activité ($A$) est une mesure du nombre de désintégrations par unité de temps. Elle se mesure en Becquerel (Bq). Une unité historique, le Curie (Ci), est également mentionnée, avec la relation $1 \text{ Ci} = 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq}$. Par exemple, $3,7 \times 10^{10} \text{ Bq}$ équivaut à 37 gigabecquerels (GBq) [6](#page=6).
### 3.3 Différents types d'émissions
Les noyaux lourds instables peuvent émettre différentes particules pour retrouver leur stabilité :
* Émission de particules alpha ($\alpha$), qui sont des noyaux d'hélium ($^4_2\text{He}$) [6](#page=6).
* Émission de particules bêta moins ($\beta^-$), qui correspondent à des électrons [6](#page=6).
* Émission de particules bêta plus ($\beta^+$), qui correspondent à des positrons [6](#page=6).
* Transition isomérique (IT), où un noyau excité libère de l'énergie sous forme de photons sans changer sa composition nucléaire [6](#page=6).
### 3.4 Période radioactive et décroissance radioactive
#### 3.4.1 Période radioactive ($T_{1/2}$)
La période radioactive, également appelée demi-vie ($T_{1/2}$), représente le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux d'une substance radioactive se désintègre [7](#page=7).
**Exemple de calcul basé sur la période radioactive :**
Si une source émet 1000 MBq à 8h, alors qu'il reste 500 MBq au bout de 6h, 250 MBq au bout de 12h, et 125 MBq au bout de 18h [6](#page=6).
La formule générale pour calculer l'activité ($A$) à un instant donné est :
$$ A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} $$
où $A_0$ est l'activité initiale et $t$ est le temps écoulé [7](#page=7).
Une autre formulation de la loi de décroissance radioactive est :
$$ A = A_0 e^{-\lambda t} $$
où $\lambda$ est la constante radioactive. La relation entre $\lambda$ et $T_{1/2}$ est $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ ] [7](#page=7).
**Exemple d'application :**
Si une substance a une activité initiale de 25 GBq et une période radioactive de 110 minutes, quelle est l'activité disponible après 2h30 (soit 150 minutes) ?
Ici, $A_0 = 25 \text{ GBq}$, $T_{1/2} = 110 \text{ min}$, et $t = 150 \text{ min}$.
$$ A = 25 \text{ GBq} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{150 \text{ min}}{110 \text{ min}}} = 25 \times (0,5)^{1,3636} \approx 9,71 \text{ GBq} $$
L'activité disponible à 8h, lors de l'utilisation du flacon, serait d'environ 9,71 GBq [7](#page=7).
#### 3.4.2 Période biologique et période effective
* **Période biologique ($T_b$):** C'est le temps nécessaire à l'organisme pour éliminer naturellement la moitié de l'activité absorbée [7](#page=7).
* **Période effective ($T_e$):** C'est le temps nécessaire pour que la moitié de l'activité présente dans un organisme diminue. Elle est calculée par la relation [7](#page=7):
$$ \frac{1}{T_e} = \frac{1}{T_{1/2}} + \frac{1}{T_b} $$
] [7](#page=7).
> **Tip:** Comprendre la différence entre la période radioactive (liée à la nature intrinsèque de l'isotope) et la période biologique (liée à l'élimination par l'organisme) est crucial pour évaluer la durée d'exposition réelle aux rayonnements.
#### 3.4.3 Décroissance radioactive
La décroissance radioactive décrit le processus par lequel l'activité d'un échantillon radioactif diminue au fil du temps selon une loi exponentielle. Cette diminution est caractérisée par la période radioactive de l'isotope [6](#page=6) [7](#page=7).
**Exemple de calcul de l'activité restante :**
Si on a 1000 Bq à un instant $t=0$, après 28 heures, quelle est l'activité ?
Supposons une période radioactive $T_{1/2}$ non spécifiée ici, mais si $28$ heures correspondent à $n$ périodes, alors l'activité sera $A_0 / 2^n$. Dans l'exemple du document, pour 1000 Bq, après 28h, l'activité restante est de 56,33 MBq, ce qui implique une période radioactive d'environ 14 heures [6](#page=6).
Si l'on souhaite connaître l'activité à 14h, avec une période radioactive de 28h et une activité initiale de 1000 Bq, alors $t/T_{1/2} = 14/28 = 0,5$. L'activité serait $1000 \times (1/2)^{0,5} \approx 707$ Bq. L'exemple du document semble utiliser une période de 28h pour calculer une activité à 14h, mais le résultat donné (250 MBq) correspondrait plutôt à 2 périodes de 14h, ou à une activité initiale plus élevée. Le calcul pour 1000 Bq à 28h donnant 56,33 MBq suggère que 28h représente un peu plus de 3 périodes. Si $T_{1/2} \approx 9$ heures, alors après 28h ($28/9 \approx 3,11$), $1000 \times (0,5)^{3,11} \approx 116$ Bq. L'exemple est légèrement ambigu.
Cependant, pour une question simple : si 1000 Bq décroît sur 28h pour arriver à 56,33 MBq, et si l'on veut savoir l'activité à 14h, cela représente une demi-période si $T_{1/2}=28$h.
Dans l'exemple : "Si 1000Bg 28h Quelle est l'activité = 14h? 250MBq demain 9h? 25h A= , A= 296 1000 56,33MBq"
Il semble que 28h soit le temps total pour une certaine décroissance et non la période. Si l'on reprend l'exemple du Fluor: 25 GBq au départ, $T_{1/2} = 110$ min. Activité disponible à 8h (2h30 = 150 min plus tard) est calculée à 9,71 GBq. Cela confirme l'application de la formule de décroissance radioactive [7](#page=7).
> **Tip:** L'activité d'une source radioactive diminue continuellement mais la vitesse de cette diminution est constante pour un isotope donné, définie par sa période radioactive.
---
## Erreurs courantes à éviter
- Révisez tous les sujets en profondeur avant les examens
- Portez attention aux formules et définitions clés
- Pratiquez avec les exemples fournis dans chaque section
- Ne mémorisez pas sans comprendre les concepts sous-jacents
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Radioactivité naturelle | Phénomène de désintégration spontanée de noyaux atomiques instables présents dans l'environnement, provenant de sources cosmiques ou telluriques. |
| Radioactivité artificielle | Radioactivité induite par des activités humaines, telles que les rejets réglementés des installations nucléaires, les essais d'armes nucléaires ou les retombées d'accidents nucléaires. |
| Rayonnement cosmique | Radiation d'origine extraterrestre, composée de particules chargées et de photons, dont l'intensité augmente avec l'altitude. |
| Rayonnement tellurique | Rayonnement émis par des radionucléides présents dans la croûte terrestre, comme l'uranium et le thorium, dont l'intensité varie selon la composition géologique des sols. |
| Dose absorbée | Quantité d'énergie de rayonnement déposée par unité de masse dans un matériau, mesurée en Gray (Gy). Elle rend compte de la quantité d'énergie reçue par un tissu. |
| Dose équivalente | Dose absorbée pondérée par un facteur de qualité qui tient compte de la nocivité relative des différents types de rayonnements ionisants. Elle est mesurée en Sievert (Sv). |
| Dose efficace | Somme des doses équivalentes reçues par différents organes et tissus, pondérée par des facteurs de pondération tissulaire qui reflètent leur radiosensibilité respective. Elle est mesurée en Sievert (Sv) et représente le risque global pour la santé. |
| Période radioactive (T) | Temps nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d'un échantillon se désintègrent spontanément. C'est une constante caractéristique de chaque radionucléide. |
| Débit de dose | Mesure de la dose absorbée par unité de temps. Il peut être exprimé en Gy/s pour la dose absorbée ou en Sv/h pour la dose équivalente, indiquant la rapidité à laquelle une dose est reçue. |
| Produit Dose Surface (PDS) | Indice utilisé en radiographie, représentant la quantité totale de rayonnement envoyée sur une surface donnée. Il est exprimé en Gy.cm² et aide à évaluer la dose reçue par le patient. |
Cover
revakicursus-samengevoegd.pdf
Summary
# Berekening van spierkrachten en gewrichtsreacties in biomechanische systemen
### Kernidee
* Kinematica beschrijft de geometrische eigenschappen van beweging zonder de oorzakelijke krachten te beschouwen [1](#page=1).
* Beweging is relatief en vereist een gekozen referentiestelsel [4](#page=4).
* Verschillende bewegingstypen zijn lineair, angulair en algemeen (combinatie van beide) [1](#page=1).
### Sleutelbegrippen
* **Referentiesysteem:** Een kader (oorsprong en assen) om plaats en beweging te meten [4](#page=4).
* **Plaatsvector ($\vec{r}$):** Een vector die de positie van een punt ten opzichte van een oorsprong aangeeft [5](#page=5).
* **Verplaatsingsvector ($\Delta\vec{r}$):** Vector die de verandering van positie van een punt tussen twee tijdstippen beschrijft [5](#page=5).
* **Baan:** De opeenvolging van punten die een lichaam tijdens de beweging doorloopt [5](#page=5).
* **Scalaire grootheid:** Een getal met eenheid (grootte), bijv. lengte, massa [5](#page=5).
* **Vectoriële grootheid:** Een grootheid met grootte, richting en zin, bijv. verplaatsing [6](#page=6).
- Voldoet niet aan gewone algebraïsche rekenregels [6](#page=6).
### Componenten van een vector
* **Componenten:** Projecties van een vector op de assen van een coördinatenstelsel (georiënteerde lijnstukken) [6](#page=6).
* **Eenheidsvector:** Vector met grootte één, langs een coördinatenas (bv. $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) [6](#page=6) [7](#page=7).
* **Tweedimensionaal:** $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j}$, met $a_x = a \cos \phi$ en $a_y = a \sin \phi$ [6](#page=6).
* **Driedimensionaal:** $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$, met $a^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$ [7](#page=7).
### Vectorbewerkingen
* **Som/verschil:** Grafisch (kop-staart methode) of analytisch via componenten [7](#page=7).
* **Scalair product ($\vec{a} \cdot \vec{b}$):** Resultaat is scalair; $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \phi$ [8](#page=8).
- Geometrische interpretatie: projectie van de ene vector op de andere, vermenigvuldigd met de grootte van die andere vector [8](#page=8).
- Analytisch: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ [9](#page=9).
- Eigenschappen: commutatief, distributief [9](#page=9).
* **Vectorproduct ($\vec{a} \times \vec{b}$):** Resultaat is een vector $\vec{c}$ [9](#page=9).
- Grootte: $c = ab \sin \phi$ [9](#page=9).
- Richting: loodrecht op het vlak van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ (regel van de kurkentrekker) [9](#page=9).
- Analytisch: complexe uitwerking via componenten [10](#page=10).
- Eigenschappen: niet commutatief [10](#page=10).
### Snelheid en Versnelling
#### Snelheid
* **Gemiddelde snelheid ($\langle \vec{v} \rangle$):** Verplaatsing per tijdseenheid ($\Delta\vec{r} / \Delta t$) [10](#page=10) [13](#page=13) [14](#page=14).
#### Versnelling
### Eéndimensionale beweging
### Tweedimensionale beweging met constante versnelling
---
## Projectielbeweging en lineaire kinetica
### Projectielbeweging
* **Symmetrische parabool:** Baan met gelijke tijdsduur om opwaartse en neerwaartse helft [28](#page=28).
* Maximale hoogte bereikt op t\_top = t\_neer [28](#page=28).
* Tijdsduur: $T = \frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$ [28](#page=28).
* Reikwijdte: $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{g}$ [28](#page=28).
* Maximale reikwijdte bij $\theta_0 = 45^\circ$ [29](#page=29).
* **Asymmetrische parabool:** Baan waarbij start- en landingshoogte verschillen [29](#page=29).
* Typerend voor kogelstoten of duiken (verhoogde beginhoogte) [30](#page=30).
* Tijdsduur beïnvloed door verticale beginsnelheid en/of beginhoogte [30](#page=30).
* Reikwijdte: $R = \frac{v_0 \cos \theta_0}{g} (\frac{v_0 \sin \theta_0}{2} + \sqrt{(\frac{v_0 \sin \theta_0}{2})^2 + 2gh})$ [30](#page=30).
* **Luchtweerstand:** Verwaarlozing kan tot onjuiste hoeken voor maximale dracht leiden; maximale dracht bij < 45° en scherpere terugkeerhoek [30](#page=30).
### Lineaire kinetica basisbegrippen
* **Kinetica:** Studie van beweging en de oorzaken ervan (kracht, massa) [40](#page=40).
* **Massa:** Traagheidsfactor, evenredigheidsfactor tussen kracht en versnelling [40](#page=40).
### Wetten van Newton
* **Eerste wet (Traagheidswet):** Lichaam blijft in rust of eenparige rechtlijnige beweging tenzij externe kracht werkt [40](#page=40).
* $\sum \vec{F}_i = \vec{0} \iff \vec{a} = \vec{0}$ [40](#page=40).
* **Tweede wet (Kracht en versnelling):** $\sum \vec{F}_i = m\vec{a}$ [41](#page=41).
* Krachten zijn vectoren; samenstelling volgens vectorregels [41](#page=41).
* Eenheid van kracht: Newton (N); 1 N = 1 kg·m/s² [41](#page=41).
* Massa is scalair, in kg [41](#page=41).
* **Derde wet (Actie en reactie):** $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ [42](#page=42).
* Actie- en reactiekrachten werken op verschillende lichamen [42](#page=42).
* **Inertial stelsels:** Wetten van Newton geldig in stelsels in rust of eenparig rechtlijnig bewegend [42](#page=42).
### Belangrijke krachten
* **Zwaartekracht (Gewicht):** $\vec{W} = m\vec{g}$ [43](#page=43).
* $g$ afhankelijk van hoogte en breedtegraad [43](#page=43).
* Gewicht is kracht (vector), massa is inertiemaat (scalair) [43](#page=43).
* **Normaalkracht:** Contactkracht loodrecht op steunvlak [44](#page=44).
---
## Berekening van spierkrachten en gewrichtsreacties in biomechanische systemen
### Liftkracht
* Liftkracht staat loodrecht op de drag-kracht en de bewegingsrichting [55](#page=55).
* Deze kracht ontstaat door een asymmetrische fluïdumstroom, wat een drukverschil creëert [55](#page=55).
* De formule voor liftkracht is $F_{lift} = C_l \frac{1}{2} \rho A v^2$ [55](#page=55).
* $C_l$ is de experimenteel bepaalde liftcoëfficiënt, afhankelijk van vorm en stromingspatroon [55](#page=55).
* Niet-gestroomlijnde lichamen hebben hogere $C_d$ en $C_l$ waarden [55](#page=55).
* De oriëntatie van een lichaam t.o.v. de stromingslijnen beïnvloedt de $C_l$ en $C_d$ waarden [55](#page=55).
* Bij zwemmen kan de handoriëntatie lift creëren voor voorwaartse beweging [55](#page=55).
* Het Magnus-effect beschrijft de afbuiging van een bal door spin, gebaseerd op drukverschil [56](#page=56).
* Golfspelers gebruiken backspin om de bal hoger te laten vliegen en een grotere afstand af te leggen [56](#page=56).
### Pseudokrachten
* Pseudokrachten worden geïntroduceerd in niet-inertiële referentiestelsels om de wetten van Newton te kunnen toepassen [56](#page=56).
* Een bekend voorbeeld is de centrifugaalkracht [56](#page=56).
* Deze cursus vermijdt het gebruik van fictieve krachten om verwarring te voorkomen [57](#page=57).
### Algemene werkwijze voor problemen in mechanica
* Definieer een "free body diagram" (FBD) dat het lichaam en de uitwendige krachten voorstelt [57](#page=57).
* Kies een geschikt inertieel referentiestelsel [58](#page=58).
* Pas de wetten van Newton toe in vectorvorm [58](#page=58).
* Ontbind de vectoren in componentvergelijkingen (twee voor 2D-beweging) [58](#page=58).
* Los de vergelijkingen op en let op eenheden [58](#page=58).
* Controleer de waarschijnlijkheid van het antwoord met gezond verstand [58](#page=58).
* Kinematische vergelijkingen kunnen aanvullende informatie leveren [58](#page=58).
### Voorbeeld: Auto in een vlakke bocht
* De zijdelingse statische wrijvingskracht zorgt voor de benodigde centripetale kracht [58](#page=58).
* Maximale snelheid wordt bepaald door $f_{s,max} = \mu_s N$ [59](#page=59).
* Voor een vlakke bocht geldt: $v_{max} = \sqrt{\mu_s g r}$ [59](#page=59).
* Voor een hellende bocht kan de hellingshoek ($\theta$) de wrijvingskracht overbodig maken [59](#page=59).
* Verband voor hellende bocht zonder wrijving: $\tan(\theta) = \frac{v^2}{gr}$ [59](#page=59).
### Voorbeeld: Dynamica van het hellend vlak
* De beweging op een hellend vlak met wrijving is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging [60](#page=60).
---
### Lineair moment en impuls
* Het lineair moment ($p$) van een deeltje is het product van massa ($m$) en snelheid ($v$): $p = mv$ [90](#page=90).
* De afgeleide van het lineair moment naar de tijd is gelijk aan de netto uitwendige kracht: $\frac{dp}{dt} = F_{\text{uitwendig, i}}$ [90](#page=90) [91](#page=91).
* Het totale lineaire moment van een systeem van deeltjes is het product van de totale massa ($M$) en de snelheid van het massamiddelpunt ($v_{\text{mm}}$): $P = Mv_{\text{mm}}$ [90](#page=90).
* De afgeleide van het totale lineaire moment naar de tijd is gelijk aan de som van de uitwendige krachten: $\frac{dP}{dt} = \sum F_{\text{uitwendig, i}}$ [91](#page=91).
* **Wet van behoud van lineair moment:** Als de som van uitwendige krachten op een systeem nul is, blijft het lineaire moment van het systeem constant [91](#page=91).
* **Impuls van een kracht ($J$):** De verandering van het lineair moment van een lichaam door een stootkracht is gelijk aan de impuls van die kracht: $J = \Delta p = \int_{t_i}^{t_f} F \, dt$ [92](#page=92).
* De impuls is een vector met de richting van de stootkracht, en de grootte is de oppervlakte onder de $F(t)$-curve [93](#page=93).
### Botsingen
* Botsingen zijn gebeurtenissen met plotse veranderingen in beweging door grote, kortdurende krachten (stootkrachten) [91](#page=91) [92](#page=92).
* **Behoud van lineair moment bij botsingen:** Bij afwezigheid van uitwendige krachten blijft het totale lineaire moment van botsende lichamen behouden, zelfs als kinetische energie niet behouden blijft [93](#page=93).
* **Classificatie van botsingen:**
* Elastische botsingen: kinetische energie blijft behouden [94](#page=94).
* Niet-elastische botsingen: kinetische energie gaat verloren (bv. warmte, vervorming) [94](#page=94) [96](#page=96).
* Volkomen inelastische botsingen: botsende lichamen bewegen na de botsing als één geheel [94](#page=94) [96](#page=96).
* **Eéndimensionale elastische botsing:** De relatieve verwijderingssnelheid na de botsing is gelijk aan de relatieve naderingssnelheid voor de botsing [95](#page=95).
* **Eéndimensionale volkomen inelastische botsing:** De gemeenschappelijke eindsnelheid ($v_f$) wordt bepaald door behoud van lineair moment: $v_f = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2}$ [96](#page=96).
* Bij twee- en driedimensionale botsingen blijft het lineair moment behouden in elke componentrichting [97](#page=97).
### Toepassingen van impuls-moment theorie
* **Val op de heup:** Berekening van stootkracht bij een val door de verandering in lineair moment gedurende de contacttijd [98](#page=98).
* **Krachtplatform:** Meet stootkrachten tijdens activiteiten; oppervlakte onder de kracht-tijd-curve geeft impuls. De massa van de atleet kan worden afgeleid uit deze metingen [99](#page=99).
* Hoogte van een sprong kan berekend worden met behoud van mechanische energie [100](#page=100).
### Angulaire kinetica: Krachtmoment en traagheidsmoment
* **Krachtmoment ($\tau$):** Een maat voor het rotatie-effect van een kracht. Gedefinieerd als het vectorieel product van de plaatsvector ($r$) en de kracht ($F$): $\tau = r \times F$ .
* De grootte van het krachtmoment is $\tau = r F \sin \theta$, waarbij $r_{\perp} = r \sin \theta$ de momentarm is .
* **Rotationele traagheid / Traagheidsmoment ($I$):** De weerstand van een lichaam tegen hoekversnelling. Voor een puntmassa is $I = mR^2$ .
* Voor een systeem van puntmassa's is $I = \sum m_i R_i^2$ .
* Voor een continue massaverdeling is $I = \int R^2 \, dm$ .
* **Rotationele tweede wet van Newton:** $\sum \tau_{\text{uitwendig}} = I \alpha$, waarbij $\alpha$ de hoekversnelling is .
---
### Kinetische rotatie-energie
* Kinetische energie van een roterend lichaam om een vaste as: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ .
* $I$ is het traagheidsmoment om de rotatie-as, $\omega$ is de hoeksnelheid .
* Massa $m$ is de inertieparameter voor translatie; traagheidsmoment $I$ is de inertieparameter voor rotatie .
### Kinetische energie bij gecombineerde translatie-rotatie (rollen)
* Kinetische energie van een rollend lichaam: $K = \frac{1}{2} I_p \omega^2$, waarbij $I_p$ het traagheidsmoment t.o.v. de contact-as is .
* Traagheidsmoment t.o.v. contact-as ($I_p$) met behulp van de stelling van Steiner: $I_p = I_{MM} + M R^2$ .
* Totale kinetische energie bij rollen: $K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ .
* Kinetische energie is de som van rotatie-energie rond het massamiddelpunt (MM) en translatie-energie van het MM .
* Toepassing: rollende cilinder van helling met hoogte $h$. Snelheid $v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ .
* Bij rollen wordt potentiële energie omgezet in zowel rotatie- als translatie-kinetische energie, waardoor translatiesnelheid lager is dan bij glijden .
### Angulair moment (impulsmoment)
* Angulair moment $\vec{l}$ van een puntmassa t.o.v. punt O: $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$, met $\vec{p} = m\vec{v}$ .
* Grootte van $\vec{l}$: $l = r p \sin \theta = r_{\perp} p$ .
* Dimensies van $\vec{l}$: massa $\times$ lengte$^2$ / tijd. Eenheid: kg m$^2$/s .
* Verband tussen angulair moment en krachtmoment: $\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{\tau}$ .
* Voor een systeem van deeltjes: $\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau}_{uitw,i}$ .
* Dit geldt ook voor rotatie om het massamiddelpunt: $\frac{d\vec{L}_{MM}}{dt} = \sum \vec{\tau}_{MM}$ .
* Angulair moment van een star lichaam om een vaste as: $L_{as} = I_{as} \omega$ .
* Voor een symmetrie-as door MM: $\vec{L} = I \vec{\omega}$ .
* Dynamische bewegingsvergelijking voor rotatie: $\sum \tau_{as} = I_{as} \alpha$ .
* Dit is analoog aan de tweede wet van Newton ($F=ma$) voor translatie .
* Voorbeeld turner: $L_s = I_s \omega_s + mr^2 \omega_{MM}$. Totale $L = \sum L_s$ .
### Wet van behoud van angulair moment
* Als $\sum \vec{\tau}_{uitw,i} = 0$, dan is $\vec{L} = \text{constant}$ .
* Voor rotatie om een vaste as: als $\sum \tau_{uitw,i} = 0$, dan $I \omega = \text{constant}$ .
* Toepassingen: pirouette (ballet/kunstSchaatsen), achterwaartse duikfiguur .
### Bewegingsanalyse van onderdelen (bv. knie-extensie)
* Berekening netto krachtmoment, patella pees spanning en kniegewricht reactiekracht .
* Netto krachtmoment t.o.v. kniegewricht: $\tau = I \alpha$ .
### Gebruik van een steunstok
### Statica van het menselijk lichaam
---
### Invloed van de patella op de werking van de quadriceps
* De patella fungeert als een katrol, waardoor de kracht van de quadriceps van richting verandert .
* De patella vergroot de hoek waaronder de quadriceps met het bot (tibia) gehecht is .
* De kracht van de quadriceps op de tibia heeft een component loodrecht en een component tangentiëel aan de tibia-as .
* De normale (loodrechte) component roteert de tibia, de tangentiële (evenwijdige) component veroorzaakt compressie op het tibiofemoraal gewricht .
* Een grotere hoek tussen de spierkracht en de tibia-as, mogelijk gemaakt door de patella, verhoogt het rotatie-effect en vermindert de compressiekracht op het gewricht .
- > **Voorbeeld:** Bij een kniestrekoefening met een belasting van 50 Nm en een hefboomsarm van 6,25 cm:
- > * Met patella (hoek 37°): Quadricepskracht = 1330 N, Stabiliserende component = 1060 N
- > * Zonder patella (hoek 17°): Quadricepskracht = 2740 N, Stabiliserende component = 2620 N
- > * De afwezigheid van een patella vereist een tweemaal zo grote spierkracht en een 2,5 keer zo grote gewrichtsbelasting
### Parallel krachtensysteem: Voorbeelden
* Een persoon staat in evenwicht onder invloed van zwaartekracht en normaalkracht .
* Bij verandering van positie kunnen meerdere zwaartekrachten (lichaamsdelen) en normaalkrachten optreden .
* Voor evenwicht van rotatie rond een punt G2 geldt $\sum x_i W_i = 0$ .
#### Bicepskracht en elleboogreactie
* Het model voor de voorarm in horizontale positie beschouwt de bicepskracht ($F_{sp}$), het gewicht van de voorarm ($W$), en de reactiekracht in het ellebooggewricht ($F_r$) .
* Aangenomen wordt dat de bicepskracht en het gewicht verticaal zijn, wat resulteert in een verticale reactiekracht in het gewricht .
* Translatie-evenwicht in y-richting: $\sum F_y = F_r - F_{sp} + W = 0$ .
* Rotatie-evenwicht rond ellebooggewricht O: $\sum \tau_O = a F_{sp} - b W = 0$ .
* Met $a=4$ cm, $b=15$ cm, $W=20$ N: $F_{sp} = 75$ N, $F_r = -55$ N .
* Een negatieve $F_r$ geeft een neerwaarts gerichte reactiekracht aan .
### Ontbinden van krachten in horizontale en verticale componenten
#### Heupgewrichtreactie bij steunen op één been
* Bij steunen op één been moet het zwaartepunt verticaal boven het steunpunt worden gebracht .
* Een deelsysteem van voet, onderbeen en dijbeen wordt geanalyseerd, met krachten van heupgewricht ($F_r$) en abductoren ($F_{sp}$) .
* De abductorenkracht ($F_{sp}$) maakt een hoek van 71° met de horizontale .
* Evenwichtsvergelijkingen voor de heupgewrichtkracht ($F_{rx}, F_{ry}$):
* $\sum F_x = F_{rx} + F_{sp} \cos(71^\circ) + N = 0$ .
* $\sum F_y = F_{ry} + F_{sp} \sin(71^\circ) - W_b = 0$ .
* $\sum \tau_O = -0.07 \cdot W_b + 0.0 \cdot N + 0.071 \cdot F_{sp} = 0$ (draaipunt in trochanter major) .
#### Kracht erector spinae en heupreactie bij vooroverbuiging
#### Invloed van een last op de erector spinae en heupreactie
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Mechanica | De studie van krachten en hun effecten op lichamen, zowel in rust als in beweging. |
| Biomechanica | De toepassing van mechanische principes op biologische systemen, zoals mens en dier, om beweging en rust te analyseren. |
| Statica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met lichamen in rust of in evenwicht, onder invloed van inwerkende krachten. |
| Dynamica | Het onderdeel van de mechanica dat de studie van bewegende lichamen omvat. |
| Kinematica | De studie van de eigenschappen van beweging, zonder rekening te houden met de oorzaken van die beweging; het beschrijft de geometrische aspecten van beweging. |
| Kinetica | De studie van de krachten die verantwoordelijk zijn voor beweging, inclusief factoren zoals zwaartekracht en spierkracht. |
| Lineaire beweging (Translatie) | Een beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde afstand afleggen in dezelfde tijd en richting. |
| Angulaire beweging (Rotatie) | Een beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde hoek doorlopen in een bepaald tijdsinterval, rond een rotatie-as. |
| Algemene beweging | Een beweging die zowel translatie als rotatie tegelijkertijd omvat. |
| Referentiestelsel | Een gekozen systeem van assen en een oorsprong, ten opzichte waarvan de plaats, snelheid en versnelling van een object worden bepaald. |
| Plaatsvector | Een vector die de positie van een punt ten opzichte van een oorsprong aangeeft, voorgesteld door een pijl. |
| Verplaatsingsvector | Een vector die de verandering in positie van een punt van een beginpunt naar een eindpunt beschrijft. |
Cover
revakicursus-samengevoegd.pdf
Summary
# Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideale veer en slinger
### Core idea
* Mechanica bestudeert krachten en hun effecten, opgesplitst in statica (rust) en dynamica (beweging) [1](#page=1).
* Dynamica kent kinematica (bewegingseigenschappen) en kinetica (oorzaken van beweging) [1](#page=1).
* Beweging wordt geanalyseerd als lineair, angulair of algemeen [1](#page=1).
### Key facts
* Beweging is relatief; een referentiestelsel is essentieel voor plaatsbepaling [4](#page=4).
* Een vector is een grootheid met grootte, richting en zin; een scalair heeft enkel grootte [5](#page=5) [6](#page=6).
* Vectorcomponenten zijn projecties op de assen van een coördinatenstelsel [6](#page=6).
* De gemiddelde snelheid is de verplaatsing gedeeld door het tijdsinterval: $v_{gem} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$ [10](#page=10) [13](#page=13).
* De ogenblikkelijke snelheid is de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd: $v = \frac{dr}{dt}$ [10](#page=10) [16](#page=16).
* De versnelling is de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd: $a = \frac{dv}{dt}$ [11](#page=11) [18](#page=18).
* De eenparig versnelde rechtlijnige beweging heeft een constante versnelling [21](#page=21).
### Key concepts
* **Referentie-systeem:** Cruciaal voor het beschrijven van beweging [4](#page=4).
* **Vectoren vs. Scalaren:** Verschil in definitie en rekenregels [5](#page=5) [6](#page=6).
* **Snelheid:** Verplaatsing over tijd, kan gemiddeld of ogenblikkelijk zijn [10](#page=10) [13](#page=13).
* **Versnelling:** Verandering van snelheid over tijd, kan gemiddeld of ogenblikkelijk zijn [11](#page=11) [18](#page=18).
* **Hodograaf:** Fictieve baan van het snelheidspunt, nuttig voor het visualiseren van versnelling [12](#page=12).
* **Eenparige rechtlijnige beweging:** Constante snelheid, nul versnelling [20](#page=20).
* **Eenparig versnelde rechtlijnige beweging:** Constante versnelling [21](#page=21).
### Implications
* Kinematische analyses beschrijven beweging zonder krachten, kinetische analyses betrekken krachten [1](#page=1).
* De gemiddelde snelheid kan verschillen van de omgangstaal betekenis van "gemiddelde snelheid" (afgelegde weg) [14](#page=14).
* In een (t,x)-grafiek is de gemiddelde snelheid de helling van de verbindingslijn, de ogenblikkelijke snelheid de helling van de raaklijn [17](#page=17).
* In een (t,v)-grafiek is de versnelling de helling van de verbindingslijn of raaklijn [19](#page=19).
* De projectielbeweging is een samenstelling van horizontale eenparige en verticale versnelde beweging [25](#page=25).
- > **Tip:** Het begrijpen van het verschil tussen gemiddelde en ogenblikkelijke grootheden is essentieel voor correcte kinematische analyses
- > **Tip:** Vectoren moeten altijd hun richting en zin behouden in berekeningen; scalaren kunnen direct gealgebreerd worden
---
## Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideale veer en slinger
### Fundamentele concepten
* Mechanische energie is de som van kinetische energie (bewegingsenergie) en potentiële energie (energie van positie of toestand) [28](#page=28) [30](#page=30) [32](#page=32).
* De wet van behoud van mechanische energie stelt dat de totale mechanische energie in een geïsoleerd systeem constant blijft, mits er geen externe, niet-conservatieve krachten werken [30](#page=30).
### Projectielbeweging met zwaartekracht
* Een projectielbaan is symmetrisch parabolisch als de start- en landingshoogte gelijk zijn [28](#page=28) [32](#page=32).
* De tijd van de opgaande beweging is gelijk aan de tijd van de neergaande beweging [28](#page=28).
* De baanvergelijking is $y = (\tan \theta_0)x - \frac{g}{2(v_0 \cos \theta_0)^2}x^2$ [32](#page=32).
* Een projectielbaan is asymmetrisch parabolisch als de start- en landingshoogte verschillen [29](#page=29) [32](#page=32).
* De tijdsduur wordt beïnvloed door de verticale component van de beginsnelheid en de beginhoogte [30](#page=30).
* Luchtweerstand, indien meegenomen, verkleint de reikwijdte en zorgt voor een optimale hoek kleiner dan 45 graden [30](#page=30).
### Rotaties en hoekkinematica
* Hoekpositie $\theta$ wordt gedefinieerd door de booglengte $s$ gedeeld door de straal $r$ [33](#page=33).
* Ogenblikkelijke hoeksnelheid $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ [34](#page=34).
* Ogenblikkelijke hoekversnelling $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ [34](#page=34).
* Lineaire snelheid $v_t = r\omega$ [36](#page=36).
* Centripetale versnelling $a_n = r\omega^2$ [35](#page=35) [39](#page=39).
* Tangentiële versnelling $a_t = r\alpha$ [36](#page=36) [39](#page=39).
### Krachten en Newton's wetten
* De eerste wet van Newton (traagheidswet): $\sum \vec{F}_i = 0 \iff \vec{a} = 0$ [40](#page=40).
* De tweede wet van Newton: $\sum \vec{F}_i = m\vec{a}$ [41](#page=41).
* De derde wet van Newton (actie-reactie): $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ [42](#page=42).
* Zwaartekracht (gewicht): $\vec{G} = m\vec{g}$ [43](#page=43).
* Normaalkracht: de kracht loodrecht op een steunvlak [44](#page=44).
* Spankracht: de kracht in een touw of kabel [45](#page=45).
* Wrijvingskracht: statisch ($f_s \leq \mu_s N$) en kinetisch ($f_k = \mu_k N$) [47](#page=47).
### Elastische krachten
* Een ideale veer volgt de wet van Hook: $F = -kx$, waarbij $k$ de veerconstante is [53](#page=53).
* $k$ is uitgedrukt in N/m [53](#page=53).
* Dit beschrijft een lineaire relatie tussen kracht en rek [53](#page=53).
* In het menselijk lichaam en andere structuren kunnen de relaties tussen kracht en vervorming niet-lineair zijn [53](#page=53).
---
### Kernidee
* De wet van behoud van mechanische energie stelt dat de totale mechanische energie (kinetische plus potentiële energie) constant blijft in een systeem waar alleen conservatieve krachten werken [76](#page=76).
* Dit principe is toepasbaar op systemen zoals een ideale veer en een slinger, mits luchtweerstand en wrijving worden verwaarloosd.
### Kernfeiten
* Wrijvingskrachten zijn niet-conservatief; de arbeid die ze verrichten is afhankelijk van de gevolgde weg en leidt tot energieverlies [73](#page=73).
* Potentiële energie kan alleen gedefinieerd worden voor systemen met conservatieve krachten [75](#page=75).
* De arbeid verricht door een conservatieve kracht is gelijk aan het verlies aan potentiële energie: $W_{AB} = -\Delta U$ [76](#page=76).
* De totale arbeid op een object is gelijk aan de verandering in kinetische energie: $W_{totaal} = \Delta K$ [69](#page=69).
* Voor conservatieve systemen is de totale mechanische energie $E = K + U$ constant [77](#page=77).
### Kernconcepten
* **Conservatieve Krachten:** Krachten waarbij de arbeid tussen twee punten onafhankelijk is van de gevolgde weg, en de arbeid langs een gesloten cyclus nul is (bv. zwaartekracht, veerkracht) [72](#page=72).
* **Niet-conservatieve Krachten:** Krachten waarbij de arbeid afhankelijk is van de gevolgde weg (bv. wrijvingskracht) [73](#page=73).
* **Potentiële Energie ($U$):** Energie die een systeem bezit door de positie of toestand van zijn componenten; gerelateerd aan conservatieve krachten [73](#page=73).
* Potentiële energie in een zwaartekrachtveld: $U = mgh$ [74](#page=74).
* Potentiële energie van een veer: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ [77](#page=77).
* **Kinetische Energie ($K$):** Energie van een object vanwege zijn beweging: $K = \frac{1}{2}mv^2$ [68](#page=68).
* **Mechanische Energie ($E$):** De som van kinetische en potentiële energie: $E = K + U$ [77](#page=77).
### Toepassing op de ideale veer
* Voor een ideaal systeem met een massa aan een veer op een wrijvingsloos horizontaal oppervlak is de kracht $F = -kx$ (Wet van Hooke) [77](#page=77).
* De potentiële energie van de veer is $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$, waarbij de referentie $U =0$ is voor een ongespannen veer [77](#page=77).
* Bij het loslaten van een uitgerekte veer ($x_m$) is de totale energie $E = K + U = 0 + \frac{1}{2}kx_m^2 = \frac{1}{2}kx_m^2$ [78](#page=78).
* In de evenwichtspositie ($x=0$) is $E = K_{max} + 0 = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ [78](#page=78).
* Gelijkstellen van energie geeft de maximale snelheid: $v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}}x_m$ [78](#page=78).
### Toepassing op de slinger
* Voor kleine uitwijkhoeken $\theta$ (in radialen) is de terugroepende tangentiële kracht $F \approx -mg\theta$ [79](#page=79).
* De booglengte is $x = l\theta$, dus de kracht kan geschreven worden als $F = -\frac{mg}{l}x$ [79](#page=79).
* Dit is analoog aan de veerkracht met $k = \frac{mg}{l}$.
* De maximale snelheid bij de evenwichtspositie wordt bepaald door behoud van mechanische energie: $\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgh_{max}$ [80](#page=80).
* De maximale hoogte $h_{max}$ is gerelateerd aan de maximale uitwijking $x_m$ via $h_{max} = l(1-\cos\theta_m)$. Voor kleine hoeken is dit ongeveer $h_{max} \approx \frac{x_m^2}{2l}$ [79](#page=79).
* Hieruit volgt $v_{max} = \sqrt{2gh_{max}} = \sqrt{2gl(1-\cos\theta_m)}$ [80](#page=80).
---
## Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideaal veer en slinger
* De wet van behoud van mechanische energie is van toepassing op conservatieve systemen en stelt dat de totale mechanische energie ($E = K + U$) constant blijft [83](#page=83).
* Voor niet-conservatieve systemen geldt de wet van behoud van totale energie, waarbij arbeid door niet-conservatieve krachten in rekening wordt gebracht ($ \Delta E_{totaal} = W_{niet-conservatief} $) [83](#page=83).
### Belangrijke begrippen en formules
* **Arbeid door variabele kracht:** $ W = \int_a^b \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ [83](#page=83).
* **Stelling van arbeid en energie:** $ W = \Delta K = K_f - K_i $ [83](#page=83).
* Kinetische energie: $ K = \frac{1}{2}mv^2 $ [83](#page=83).
* **Conservatieve kracht:** Arbeid is weg-onafhankelijk en arbeid over een gesloten cyclus is nul [83](#page=83).
* **Potentiële energie ($U$):** Definieerbaar voor conservatieve krachten, bepaald op een constante na. $ U(r) - U(r_0) = -\int_{r_0}^r \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ [83](#page=83).
* **Wet van behoud van mechanische energie:** $ E = K + U = \text{constant} $ (geldt voor conservatieve systemen) [83](#page=83).
* **Wet van behoud van totale energie:** $ \Delta E_{totaal} = \Delta K + \Delta U = W_{\text{niet-conservatief}} $ [83](#page=83).
* Voor wrijvingskrachten: $W_f < 0$ [83](#page=83).
### Toepassing in biomechanica (stappen vs. rennen)
- **Stappen:** Kinetische en potentiële energie fluctueren uit fase; kinetische energie wordt omgezet in potentiële energie (snelheid neemt af) en vice versa. Potentiële energie is maximaal bij vol contact (gestrekt standbeen)
* **Rennen:** Kinetische en potentiële energie fluctueren in fase; potentiële energie is minimaal bij vol contact (gebogen standbeen, veergedrag) [82](#page=82).
### Implicaties en nuances
* De potentiële energie van het lichaamszwaartepunt bij rennen wordt beïnvloed door de 'veerwerking' van het been [82](#page=82).
* De grondreactiekrachten bij gang/lopen/springen zijn uitwendig, maar hun relatie met $K$ en $U$ is complex omdat er geen duidelijke weg is waarover ze werken [84](#page=84).
---
## Kinetische energie bij gecombineerde translatie-rotatie beweging
* Rollen wordt geanalyseerd als een combinatie van translatie van het massamiddelpunt en rotatie rond dit massamiddelpunt .
* De kinetische energie van een rollend lichaam is de som van de zuivere rotatie-energie rond het massamiddelpunt en de translatie-kinetische energie van het massamiddelpunt .
### Sleutelconcepten
* Kinetische energie van een roterend lichaam: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ .
* Traagheidsmoment ($I$) is de inertieparameter voor rotatie .
* Voor rollen zonder slippen is de snelheid van het massamiddelpunt gerelateerd aan de hoeksnelheid: $v = R\omega$ .
* Kinetische energie bij rollen: $K_{rollen} = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ .
* Traagheidsmoment van een cilinder om zijn as: $I_{MM, cil} = \frac{1}{2} MR^2$ .
* Toepassing van mechanische energiebehoud op een rollende cilinder van hoogte $h$: $Mgh = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ .
* Snelheid van een rollende cilinder: $v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ .
### Implicaties
* Bij rollen is de translatiesnelheid lager dan bij glijden zonder rollen, omdat een deel van de potentiële energie omgezet wordt in rotatie-energie .
* De dynamische analyse van rollende objecten kan via de wet van behoud van angulair moment worden uitgevoerd, wat leidt tot vergelijkbare resultaten als energiebeschouwingen .
### Voorbeeld
* Berekening van de snelheid van een cilinder die van een helling rolt met behulp van energietheorie .
* Berekening van de snelheid van een rollende cilinder met dynamische methoden (krachtmoment en Newton's tweede wet) .
---
### Invloed van de patella op de kniefunctie
* De patella functioneert primair als een katrol, waardoor de kracht van de quadriceps van richting verandert .
* De patella vergroot de hoek tussen de quadriceps en de tibia, wat leidt tot een groter draaimoment .
* Een grotere hoek van de patella vergroot de roterende component van de spierkracht ten opzichte van de stabiliserende component .
* **Voorbeeld:** Een patella vergroot de roterende component van de quadricepskracht en vermindert de compressie op het kniegewricht .
* Met patella: $F_{spier} = 1330$ N, $F_{stabiliserend} = 1060$ N .
* Zonder patella: $F_{spier} = 2740$ N, $F_{stabiliserend} = 2620$ N .
### Evenwicht van parallelle krachten in biomechanica
* **Voorbeeld 1:** Een persoon in evenwicht met zwaartekracht en normaalkracht .
* Bij verandering van houding zijn er vier krachten: normaalkracht, zwaartekracht vrije been, zwaartekracht standbeen, zwaartekracht bovenlichaam .
* Evenwicht rond het zwaartepunt: $x_1 W_{fl} + x_2 W_{sl} + x_3 W_{ub} = 0$ (relatief aan een punt) .
* **Voorbeeld 2:** Kracht van de biceps en reactiekracht in het ellebooggewricht bij horizontale onderarm .
* Translatie evenwicht: $F_r + F_{sp} - W = 0$ .
* Rotatie evenwicht rond draaipunt O: $a F_{sp} - b W = 0$ .
* **Voorbeeld:** $a=4$ cm, $b=15$ cm, $W=20$ N $\implies F_{sp} = 75$ N, $F_r = -55$ N .
* Een negatieve reactiekracht duidt op een neerwaartse gerichtheid .
### Krachten in het heupgewricht bij steunen op één been
* Om in evenwicht te blijven moet het zwaartepunt verticaal boven het steunpunt geplaatst worden .
* Een deelsysteem (voet, onderbeen, dijbeen) wordt gebruikt om krachten te bepalen .
* Belangrijke krachten: normaalkracht grond, zwaartekracht steunbeen, spierkracht abductors, reactiekracht heupgewricht .
* **Voorbeeld:** Een persoon van 890 N steunt op één been .
* $F_{sp}$ (abductors) maakt een hoek van 71° met horizontaal .
* $N = 890$ N, $W_b = 138$ N .
* Evenwichtsvergelijkingen worden opgesteld met krachten en momentarmen .
* Resultaat: Heupkop draagt een kracht van 2075 N onder een hoek van 78° met horizontaal, neerwaarts gericht .
### Krachten bij vooroverbuigen van de romp
* Erector spinae spieren werken de zwaartekracht tegen om de romp rechtop te houden .
* Grotere voorwaartse buiging vereist grotere spierkracht .
* **Voorbeeld:** Romp gebogen 45° met verticale richting, persoon weegt 890 N .
### Opmerkingen over lage rugpijn
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Term | Definitie |
| Mechanica | De studie van krachten en hun effecten op lichamen, onderverdeeld in statica (lichamen in rust) en dynamica (lichamen in beweging). |
| Biomechanica | De toepassing van mechanische principes op biologische systemen, zoals de beweging van mens en dier. |
| Statica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met lichamen in rust of in evenwicht onder invloed van krachten. |
| Dynamica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met de studie van bewegende lichamen. |
| Kinematica | De studie van de eigenschappen van beweging, zonder rekening te houden met de oorzaken ervan; beschrijft de geometrische aspecten van beweging. |
| Kinetica | De studie van de krachten die beweging veroorzaken; houdt rekening met de effecten van krachten en krachtmomenten. |
| Lineaire beweging (Translatie) | Beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde afstand afleggen in dezelfde tijd en richting. |
| Angulaire beweging (Rotatie) | Beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde hoek bewegen in een bepaald tijdsinterval, rond een rotatie-as. |
| Algemene beweging | Een beweging waarbij translatie en rotatie simultaan optreden. |
| Referentiestelsel | Een gekozen systeem (bijvoorbeeld een assenstelsel) ten opzichte waarvan de plaats en beweging van een object worden beschreven; beweging is relatief ten opzichte van een referentiestelsel. |
| Plaatsvector | Een vector die de positie van een punt ten opzichte van een oorsprong aangeeft, voorgesteld door een pijl. |
| Verplaatsingsvector | Een vector die de verandering in positie van een punt van een beginpunt naar een eindpunt beschrijft. |
Cover
slides BMW Fysica D1H5 24-25.pdf
Summary
# Het moment van een kracht en het traagheidsmoment
Dit onderdeel introduceert het concept van het krachtmoment als de oorzaak van rotatiebeweging en het traagheidsmoment als de maat voor de weerstand tegen deze rotatie.
### 1.1 Het moment van een kracht
Het rotatie-effect van een kracht, gemeten als hoekversnelling, wordt bepaald door de grootte van de kracht en de afstand tussen de werklijn van die kracht en het draaipunt. Dit rotatie-effect wordt het krachtmoment genoemd [2](#page=2).
#### 1.1.1 Definitie en eigenschappen van het krachtmoment
Het moment van een kracht $\vec{\tau}$ met aangrijpingspunt, bepaald door de plaatsvector $\vec{r}$, is een vectoriële grootheid. De vector $\vec{\tau}$ staat loodrecht op het vlak dat door $\vec{r}$ en $\vec{F}$ wordt bepaald. De grootte van het moment wordt gegeven door $\tau = r F \sin\theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen $\vec{r}$ en $\vec{F}$. De zin van $\vec{\tau}$ wordt bepaald door de kurkentrekkerregel [3](#page=3).
De dimensies van het krachtmoment zijn kracht maal afstand, en de eenheid is Newtonmeter (Nm) [3](#page=3).
Wanneer we een x- en y-as in het vlak van $\vec{r}$ en $\vec{F}$ kiezen, kan de grootte van het krachtmoment ook worden uitgedrukt als het product van de kracht en de momentarm ($r_\perp$), de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht. Dus, $\tau = r_\perp F$ [5](#page=5).
De vectoriële definitie van het krachtmoment is $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ [3](#page=3).
Het symbool $\odot$ duidt op een vector loodrecht op het vlak van het papier, gericht naar de waarnemer toe, terwijl het symbool $\otimes$ een vector loodrecht op het vlak van het papier, gericht van de waarnemer af, aangeeft [5](#page=5).
Het moment is nul als de kracht nul is, de afstand tot het draaipunt nul is, of als de kracht parallel aan de plaatsvector is ($\theta = 0^\circ$ of $\theta = 180^\circ$) [6](#page=6).
#### 1.1.2 Toepassingen
Een praktische toepassing is te zien bij het openen van een deur: als de afstand van het draaipunt tot het aangrijpingspunt van de kracht driemaal zo groot is ($r_A = 3r_B$), dan moet de kracht driemaal zo groot zijn ($F_B = 3F_A$) om hetzelfde rotatie-effect te verkrijgen [4](#page=4).
### 1.2 Het traagheidsmoment
Bij een translatiebeweging is massa de maat voor inertie. Bij een rotatiebeweging is het traagheidsmoment, ook wel het rotationele traagheid genoemd, de maat voor de traagheid van een lichaam [7](#page=7).
#### 1.2.1 De rotatie van een puntmassa rondom een vaste rotatieas
Voor een puntmassa aan het uiteinde van een staaf die onder invloed van een kracht een cirkelvormige beweging maakt, wordt het krachtmoment dat verantwoordelijk is voor de hoekversnelling $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ gegeven. Volgens de tweede wet van Newton is $F = ma$. De tangentiële versnelling bij een cirkelbeweging is $a_T = R\alpha$, waarbij $\alpha$ de hoekversnelling is uitgedrukt in rad/s$^2$. De grootte van het krachtmoment is dan $\tau = rF = m R a_T = m R (R\alpha) = mR^2\alpha$ [8](#page=8).
Hierin is $I = mR^2$ het traagheidsmoment van de puntmassa ten opzichte van de rotatieas. De relatie tussen krachtmoment en hoekversnelling wordt dan $\tau = I\alpha$ [8](#page=8).
Voor een systeem van $n$ discrete puntmassa's rondom een vaste rotatie-as wordt het traagheidsmoment $I$ gegeven door de som van de individuele traagheidsmomenten:
$$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$$
waarbij $m_i$ de massa is van de $i$-de puntmassa en $r_i$ de afstand tot de rotatie-as. Het totale krachtmoment op het systeem is dan $\sum \tau = I\alpha$ [9](#page=9).
Het traagheidsmoment van een lichaam hangt af van de ruimtelijke verdeling van het systeem van puntmassa's ten opzichte van de rotatie-as [9](#page=9).
#### 1.2.2 De rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as
Bij de rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as, werkt een uitwendige kracht $\vec{F}$ op het lichaam met aangrijpingspunt P. Het krachtmoment is $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$. Alleen de component van het krachtmoment volgens de richting van de rotatie-as is van belang voor de hoekversnelling. Componenten van het krachtmoment die evenwijdig met de rotatie-as lopen, oefenen een torsiecomponent uit op de as en trachten deze te doen kantelen. De reactiekrachtmomenten die door lagers worden uitgeoefend, compenseren deze torsiecomponent, waardoor de as in positie blijft [10](#page=10).
Het starre lichaam krijgt een ogenblikkelijke hoekversnelling $\alpha$ zodanig dat het product van deze hoekversnelling met het traagheidsmoment $I$ om de beschouwde rotatie-as gelijk is aan het krachtmoment $\tau$ uitgeoefend op het lichaam. Dit geldt ook bij meerdere krachten die in een vlak loodrecht op de rotatie-as werken: $\tau = \sum \tau_i = I\alpha$ [11](#page=11).
Het traagheidsmoment $I$ van een lichaam om een as wordt algemeen berekend met de integraal:
$$I = \int R^2 dm$$
waarbij $dm$ een infinitesimaal massadeeltje is en $R$ de afstand van dit deeltje tot de rotatie-as. Het traagheidsmoment hangt niet alleen af van de massa van het lichaam, maar ook van de ruimtelijke verdeling van de massa ten opzichte van de rotatie-as [11](#page=11).
#### 1.2.3 Hoofdtraagheidsassen
Hoofdtraagheidsassen van een lichaam, zoals het menselijk lichaam in anatomische houding, gaan door het massamiddelpunt en staan onderling loodrecht. Deze assen worden aangeduid als de longitudinale as ($H_z$), de transversale as ($H_y$) en de frontale of antero-posterior as ($H_x$). De hoofdtraagheidsmomenten voor het menselijk lichaam tonen dat $I_x$ en $I_y$ niet veel verschillen in grootte, terwijl $I_z$ beduidend kleiner is ($I_x \approx I_y \approx 14$ kg m$^2$, $I_z \approx 1$ kg m$^2$) [12](#page=12).
#### 1.2.4 Berekening van traagheidsmomenten voor specifieke vormen
Het traagheidsmoment van een homogene cilinder met massa $M$ en straal $R_{cil}$ om de cilinderas is $I = \frac{1}{2}MR_{cil}^2$. Een cilinder met een grotere diameter heeft een groter traagheidsmoment dan een cilinder met dezelfde massa maar een kleinere diameter [13](#page=13) [14](#page=14).
Enkele belangrijke lichamen en hun traagheidsmomenten om specifieke assen zijn:
* Ring met rotatieas loodrecht op het vlak van de ring: $I = MR_{ring}^2$ [15](#page=15).
* Ring met rotatieas in het vlak van de ring: $I = \frac{1}{2}MR_{ring}^2$ [15](#page=15).
* Volle cilinder met de as als rotatieas: $I = \frac{1}{2}MR_{cyl}^2$ [15](#page=15).
* Volle cilinder met rotatieas loodrecht op de as van de cilinder, door het massamiddelpunt: $I = \frac{1}{4}MR_{cyl}^2 + \frac{1}{12}Mh^2$ [15](#page=15).
* Dunwandige holle bol: $I = \frac{2}{3}MR_{bol}^2$ [16](#page=16).
* Volle bol: $I = \frac{2}{5}MR_{bol}^2$ [16](#page=16).
* Balk met rotatieas door het snijpunt van de diagonalen van een vlak:
* As evenwijdig aan zijde $a$: $I = \frac{1}{12}M(b^2 + c^2)$ [16](#page=16).
* As evenwijdig aan zijde $b$: $I = \frac{1}{12}M(a^2 + c^2)$ [16](#page=16).
---
# De kinetische energie bij rotatie en rollende beweging, en het parallellas theorema
Dit onderdeel behandelt de kinetische energie van roterende en rollende starre lichamen, inclusief het parallellas theorema voor het berekenen van traagheidsmomenten.
### 2.1 Kinetische energie bij rotatie
Bij de beschouwing van een star lichaam in rotatie rond een vaste as in een inertieelassenstelsel, wordt het lichaam onderverdeeld in kleine massa-elementen $m_i$. Elk massa-element $m_i$ heeft een baansnelheid $v_i$. De totale kinetische energie van het roterende lichaam is de som van de kinetische energieën van alle individuele massa-elementen [24](#page=24).
De relatie tussen de lineaire snelheid $v_i$ van een massa-element $m_i$ en de hoeksnelheid $\omega$ wordt gegeven door $v_i = r_i \omega$, waarbij $r_i$ de afstand is van $m_i$ tot de rotatieas. Door de limietovergang te maken waarbij het aantal massa-elementen $n$ naar oneindig gaat en de afmetingen van de elementen $m_i$ naar nul, kan de kinetische energie van het roterende lichaam worden uitgedrukt als [25](#page=25):
$$K = \frac{1}{2} I \omega^2$$ [25](#page=25).
Hierin is $I$ het traagheidsmoment van het starre lichaam om de betreffende rotatieas [25](#page=25).
### 2.2 Kinetische energie bij rollende beweging
Een rollende beweging van een star lichaam, zoals een cilinder op een vlak oppervlak, kan op een bepaald ogenblik worden beschouwd als een rotatie om de contactas tussen het lichaam en het oppervlak. Deze contactas fungeert op dat moment als de ogenblikkelijke rotatieas. De beweging is equivalent aan een zuivere rotatie om deze contactas [26](#page=26).
De kinetische energie van een rollend lichaam wordt gegeven door:
$$K = \frac{1}{2} I_P \omega^2$$ [27](#page=27).
waarbij $I_P$ het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van de contactas is. Met behulp van het parallellas theorema kan dit traagheidsmoment worden uitgedrukt als $I_P = I_{MM} + M R^2$, waarbij $I_{MM}$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de as door het massamiddelpunt evenwijdig aan de contactas, $M$ de massa van het lichaam is, en $R$ de straal van het lichaam is [27](#page=27).
Door dit te substitueren in de formule voor kinetische energie:
$$K = \frac{1}{2} (I_{MM} + M R^2) \omega^2$$
$$K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M R^2 \omega^2$$ [27](#page=27).
Omdat de baansnelheid van het massamiddelpunt $v_{MM}$ gerelateerd is aan de hoeksnelheid door $v_{MM} = \omega R$, wordt de kinetische energie:
$$K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ [27](#page=27).
Dit betekent dat de kinetische energie van een rollend lichaam gelijk is aan de som van de kinetische energie van een zuivere rotatie om de as door het massamiddelpunt en de kinetische energie van een translatie van het massamiddelpunt. Rollen is dus een combinatie van rotatie rond het massamiddelpunt en translatie van het massamiddelpunt. Deze stelling kan worden gegeneraliseerd naar elke willekeurige beweging van een star lichaam [27](#page=27) [28](#page=28).
### 2.3 Het parallellas theorema (Regel van Steiner)
Het parallellas theorema, ook bekend als de Regel van Steiner, is een methode om het traagheidsmoment van een star lichaam ten opzichte van een willekeurige as te berekenen, mits het traagheidsmoment ten opzichte van een as door het massamiddelpunt, die parallel loopt aan de willekeurige as, bekend is [21](#page=21).
De stelling luidt:
$$I_P = I_{MM} + M d^2$$ [21](#page=21).
waarbij:
* $I_P$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de willekeurige as die door punt $P$ gaat.
* $I_{MM}$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de evenwijdige as door het massamiddelpunt ($MM$).
* $M$ de totale massa van het lichaam is.
* $d$ de afstand is tussen de twee parallelle assen.
**Bewijs:**
Beschouw een star lichaam opgebouwd uit massa-elementen $m_i$. Kies een assenstelsel $(O, x_1, y_1, z_1)$ met de oorsprong $O$ in het massamiddelpunt ($MM$) en de $z_1$-as evenwijdig aan de rotatieas. Kies een tweede assenstelsel $(P, x_2, y_2, z_2)$ met de oorsprong $P$ op de willekeurige rotatieas, waarbij de assen evenwijdig zijn aan de assen van het eerste stelsel. Laat de coördinaten van $P$ ten opzichte van $O$ in het $x_1,y_1$-vlak $(a, b)$ zijn. De afstand $d$ tussen de assen is dan $d^2 = a^2 + b^2$. Voor een massa-element $m_i$ met coördinaten $(x_{2i}, y_{2i})$ ten opzichte van de as door $P$, en $(x_{1i}, y_{1i})$ ten opzichte van de as door $O$, geldt $x_{2i} = x_{1i} - a$ en $y_{2i} = y_{1i} - b$.
Het traagheidsmoment $I_P$ ten opzichte van de as door $P$ (loodrecht op het $x_2, y_2$-vlak) is:
$$I_P = \sum_i m_i (x_{2i}^2 + y_{2i}^2)$$
$$I_P = \sum_i m_i ((x_{1i} - a)^2 + (y_{1i} - b)^2)$$
$$I_P = \sum_i m_i (x_{1i}^2 - 2ax_{1i} + a^2 + y_{1i}^2 - 2by_{1i} + b^2)$$
$$I_P = \sum_i m_i (x_{1i}^2 + y_{1i}^2) - 2a \sum_i m_i x_{1i} + a^2 \sum_i m_i - 2b \sum_i m_i y_{1i} + b^2 \sum_i m_i$$
Omdat $\sum_i m_i x_{1i} = M x_{MM,1}$ en $\sum_i m_i y_{1i} = M y_{MM,1}$, en $x_{MM,1}$ en $y_{MM,1}$ de coördinaten van het massamiddelpunt zijn ten opzichte van de assen door $O$, geldt voor een as door het massamiddelpunt dat $x_{MM,1}=0$ en $y_{MM,1}=0$. De term $\sum_i m_i (x_{1i}^2 + y_{1i}^2)$ is het traagheidsmoment $I_{MM}$ ten opzichte van de as door het massamiddelpunt. Verder is $\sum_i m_i = M$.
$$I_P = I_{MM} - 2a + a^2 M - 2b + b^2 M$$ .
$$I_P = I_{MM} + M(a^2 + b^2)$$
Omdat $d^2 = a^2 + b^2$, volgt:
$$I_P = I_{MM} + M d^2$$ [22](#page=22).
#### 2.3.1 Toepassing van het parallellas theorema
**Voorbeeld:** Bepaal de grootte van het traagheidsmoment van het hoofd ten opzichte van de laatste cervicale wervel, waarbij het hoofd benaderd wordt door een bol met een massa van 5 kg en een straal van 8 cm (0,08 meter). Het traagheidsmoment van een bol ten opzichte van een as door het middelpunt is $I_{MM} = \frac{2}{5} M R^2$. De afstand van het middelpunt van de bol (zwaartepunt van het hoofd) tot de laatste cervicale halswervel is 25 cm (0,25 meter) [23](#page=23).
* Traagheidsmoment van de bol om het middelpunt:
$I_{MM} = \frac{2}{5} \times 5 \text{ kg} \times (0,08 \text{ m})^2 = 0,0128 \text{ kg m}^2$ [23](#page=23).
* Toepassing van de Regel van Steiner:
$I_P = I_{MM} + M d^2$
$I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 5 \text{ kg} \times (0,25 \text{ m})^2$
$I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 5 \text{ kg} \times 0,0625 \text{ m}^2$
$I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 0,3125 \text{ kg m}^2$
$I_P = 0,3253 \text{ kg m}^2$ [23](#page=23).
### 2.4 Kinetische energie bij een hellende beweging
Beschouw de beweging van een cilinder die van een helling rolt. De initiële toestand is dat de cilinder in rust is ($v=0$, $\omega=0$). Na het beneden rollen van een helling met hoogte $h$, bezit de cilinder kinetische energie. Volgens de wet van behoud van mechanische energie, in afwezigheid van wrijving, is de initiële potentiële energie gelijk aan de finale kinetische energie [29](#page=29):
$$Mgh + K_{in} = K_{fin}$$
$$Mgh = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ [29](#page=29).
Voor een cilinder geldt het traagheidsmoment om de as door het massamiddelpunt als $I_{MM} = \frac{1}{2} M R_{cyl}^2$, en de relatie tussen de hoeksnelheid en de translatiesnelheid van het massamiddelpunt is $\omega = \frac{v_{MM}}{R_{cyl}}$ [30](#page=30).
Substitueren in de energiebehoudsvergelijking:
$$Mgh = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} M R_{cyl}^2\right) \left(\frac{v_{MM}}{R_{cyl}}\right)^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$
$$Mgh = \frac{1}{4} M R_{cyl}^2 \frac{v_{MM}^2}{R_{cyl}^2} + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$
$$Mgh = \frac{1}{4} M v_{MM}^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$
$$Mgh = \frac{3}{4} M v_{MM}^2$$
Hieruit volgt de translatiesnelheid van de cilinder:
$$v_{MM}^2 = \frac{4}{3} gh$$
$$v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3} gh}$$ [30](#page=30).
Dit is dezelfde snelheid als die verkregen zou worden via dynamische methoden zoals beschreven op pagina 19 en 20, namelijk $v_{MM} = \frac{4}{3}gh \implies v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ [20](#page=20) [30](#page=30).
---
# Angulair moment en de wet van behoud van angulair moment
Dit deel introduceert het angulair moment van een deeltje, een systeem van deeltjes en een star lichaam, evenals het verband met het krachtmoment en de wet van behoud van angulair moment met bijbehorende toepassingen.
### 3.1 Het angulair moment van een deeltje
Het angulair moment, ook wel impulsmoment genoemd, is het rotatie-analogon van het lineair moment bij translatiebeweging. Voor een deeltje met massa $m$ op positie $\vec{r}$ ten opzichte van de oorsprong O, met lineair moment $\vec{p} = m\vec{v}$, wordt het angulair moment $\vec{l}$ gedefinieerd als het vectorieel product van de plaatsvector $\vec{r}$ en het lineair moment $\vec{p}$ [31](#page=31):
$$ \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} $$
De grootte van het angulair moment kan worden uitgedrukt als $l = r p \sin\theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen $\vec{r}$ en $\vec{p}$. Als $\theta = 0^\circ$ of $\theta = 180^\circ$, dan is $\vec{l} = 0$. De richting van $\vec{l}$ wordt bepaald door de kurkentrekkerregel. De dimensies van angulair moment zijn massa maal lengte kwadraat per tijd ($[M L^2 T^{-1}]$), en de eenheid is kg m²/s [31](#page=31) [32](#page=32).
Het verband tussen angulair moment en krachtmoment ($\vec{\tau}$) is analoog aan het verband tussen lineair moment en kracht. Door het angulair moment naar de tijd af te leiden, verkrijgt men [33](#page=33):
$$ \frac{d\vec{l}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} $$
Aangezien $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ en $\vec{p} = m\vec{v}$, is de eerste term $\vec{v} \times m\vec{v} = 0$. Met de tweede wet van Newton, $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$, wordt dit:
$$ \frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau} $$
Dit betekent dat de verandering van het angulair moment per tijdseenheid gelijk is aan het krachtmoment dat op het deeltje inwerkt [33](#page=33).
#### 3.1.1 Toepassing: eenparig cirkelvormige beweging
Bij een eenparig cirkelvormige beweging van een puntmassa $m$ om een vaste as, waarbij een centripetale kracht $\vec{F}_c$ werkt die loodrecht op de rotatieas staat, kan het krachtmoment ten opzichte van een punt O op de rotatieas als volgt worden berekend [36](#page=36):
$$ \vec{\tau}_c = \vec{r} \times \vec{F}_c $$
De grootte is $|\vec{\tau}_c| = F_c r \cos\theta$, waarbij $r$ de afstand tot de rotatieas is en $\theta$ de hoek tussen $\vec{r}$ en de rotatieas [36](#page=36).
Het angulair moment $\vec{l}$ van de puntmassa kan worden ontbonden in een component langs de rotatieas ($\vec{l}_{\text{as}}$) en een component loodrecht op de rotatieas ($\vec{l}_{\perp}$). De component langs de rotatieas is constant [37](#page=37):
$$ l_{\text{as}} = m v R = m R^2 \omega $$
waar $R$ de afstand tot de rotatieas is en $\omega$ de hoeksnelheid. De component loodrecht op de rotatieas beschrijft een cirkelvormige beweging en is afhankelijk van de keuze van O [38](#page=38) [39](#page=39).
Het verband tussen de verandering van het angulair moment en het krachtmoment wordt ook hier bevestigd [40](#page=40).
### 3.2 Het angulair moment van een systeem van deeltjes
Het totale angulair moment $\vec{L}$ van een systeem van deeltjes ten opzichte van een vast punt O is de som van de angulaire momenten van de individuele deeltjes:
$$ \vec{L} = \sum_{i=1}^n \vec{l}_i $$
. De verandering van het totale angulair moment per tijdseenheid is gelijk aan de som van de uitwendige krachtmomenten op het systeem [41](#page=41):
$$ \frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_{i=1}^n \vec{\tau}_{\text{uitw, } i} $$
. De krachtmomenten die door inwendige krachten worden veroorzaakt, heffen elkaar paarsgewijs op [42](#page=42).
#### 3.2.1 Toepassing op specifieke systemen
* **Systeem van twee gelijke puntmassa's verbonden door een staaf:** Als de massa's $m_1=m_2=m$ op gelijke afstand $R$ van de rotatieas roteren, is het totale angulair moment langs de rotatieas $L_{\text{as}} = 2mR^2\omega$. Als er geen uitwendige krachten zijn, is $dL/dt = 0$ en is $\vec{L}$ constant [44](#page=44) [45](#page=45).
* **Meer-deeltjes systeem bij rotatie om een symmetrieas:** Voor rotatie rond een symmetrieas door het massamiddelpunt geldt dat het angulair moment $\vec{L}$ langs deze as gericht is en de grootte $L = \omega \sum_{i=1}^n m_i R_i^2$ heeft, wat kan worden geschreven als $L = I\omega$. Hierbij is $I$ het traagheidsmoment van het systeem ten opzichte van de rotatieas [47](#page=47).
### 3.3 Het angulair moment van een star lichaam
Voor een onvervormbaar lichaam dat roteert om een vaste as in een inertieelassenstelsel, wordt het totale angulair moment $\vec{L}$ verkregen door integratie over de massa-elementen $dm$:
$$ \vec{L} = \int \vec{r} \times d\vec{v} $$
. Als het lichaam roteert om een symmetrieas door het massamiddelpunt met hoeksnelheid $\omega$, dan is het angulair moment langs deze as [48](#page=48):
$$ L = \omega \int R^2 dm = I \omega $$
. De waarde van $L$ is onafhankelijk van de keuze van de oorsprong O [49](#page=49).
### 3.4 Wet van behoud van angulair moment
De wet van behoud van angulair moment stelt dat indien het resulterende krachtmoment om een vast punt of een as door het massamiddelpunt gelijk aan nul is, het totale vectoriële angulair moment van het systeem constant blijft [50](#page=50).
$$ \text{Indien } \sum \vec{\tau}_{\text{uitw}} = 0, \text{ dan is } \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \text{ en } \vec{L} = \text{constant} $$
. Voor een star lichaam dat roteert om een vaste as geldt $L = I\omega$. Als $\sum \vec{\tau}_{\text{uitw}} = 0$, dan is $I\omega = \text{constant}$ [50](#page=50) [51](#page=51).
#### 3.4.1 Toepassingen
* **Pirouette en kunstschaatsen:** Bij een pirouette kan de rotatiesnelheid worden verhoogd door de armen en benen dichter bij het lichaam te brengen. Dit verkleint het traagheidsmoment $I$, en volgens de wet van behoud van angulair moment ($I_1\omega_1 = I_2\omega_2$) neemt de hoeksnelheid $\omega$ toe [53](#page=53) [54](#page=54).
* **Salto:** Bij het uitvoeren van een salto roteert het lichaam rond een horizontale hoofdtraagheidsas. Door de benen in te trekken tijdens de sprong, wordt het traagheidsmoment $I$ verkleind, waardoor de hoeksnelheid $\omega$ toeneemt en een rotatie van 360° mogelijk wordt [55](#page=55).
* **Rotatiebeweging van de kat:** Een kat kan zich tijdens een val, met initieel nul angulair moment, oriënteren om op haar poten te landen. Dit wordt bereikt door de relatieve beweging van de lichaamsdelen om het traagheidsmoment te veranderen, waardoor de hoeksnelheid van verschillende delen tijdelijk verandert, maar het totale angulair moment nul blijft [56](#page=56) [57](#page=57) [58](#page=58).
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Moment van een kracht (krachtmoment) | Een vectoriële grootheid die de neiging van een kracht beschrijft om een voorwerp rond een draaipunt te laten roteren. De grootte wordt bepaald door het product van de kracht en de loodrechte afstand tot het draaipunt (momentarm), en de richting staat loodrecht op het vlak van de kracht en de plaatsvector, bepaald door de kurkentrekkerregel. |
| Traagheidsmoment | De maat voor de weerstand van een lichaam tegen verandering van zijn rotatiesnelheid. Het hangt af van de massa van het lichaam en hoe deze massa verdeeld is ten opzichte van de rotatie-as. |
| Regel van Steiner (Parallele-as theorema) | Een stelling die stelt dat het traagheidsmoment van een star lichaam ten opzichte van een as gelijk is aan het traagheidsmoment ten opzichte van een parallelle as door het massamiddelpunt, plus het product van de massa van het lichaam en het kwadraat van de afstand tussen de twee assen. |
| Kinetische rotatie energie | De energie die een lichaam bezit vanwege zijn rotatiebeweging rond een as. Het is gelijk aan de helft van het product van het traagheidsmoment en het kwadraat van de hoeksnelheid. |
| Angulair moment (Impulsmoment) | Een vectoriële grootheid die de rotatie-equivalentie is van lineair momentum. Voor een deeltje is het gedefinieerd als het kruisproduct van de plaatsvector en het lineaire momentum. |
| Wet van behoud van angulair moment | Een fundamentele natuurkundewet die stelt dat het totale angulair moment van een systeem constant blijft als er geen extern netto krachtmoment op het systeem werkt. |
| Momentarm | De loodrechte afstand van de werklijn van een kracht tot het draaipunt. Dit is een cruciale factor bij het berekenen van de grootte van het krachtmoment. |
| Hoofdtraagheidsassen | Drie onderling loodrechte assen die door het massamiddelpunt van een lichaam gaan en zodanig georiënteerd zijn dat de producten van de traagheid nul zijn. Rotatie rond een hoofdtraagheidsas is stabieler. |
| Star lichaam | Een ideaal lichaam waarbij de afstand tussen twee willekeurige punten constant blijft, ongeacht de uitgeoefende krachten. In werkelijkheid zijn lichamen enigszins vervormbaar. |
| Centripetale kracht | Een kracht die een voorwerp naar het middelpunt van een cirkelvormige baan trekt. Zonder deze kracht zou het voorwerp langs een raaklijn wegschieten. |
Cover
smw wettenschapelijk gelletredheid.docx
Summary
# Het menselijk lichaam en gezondheid
Hier is een gedetailleerde samenvatting over het menselijk lichaam en gezondheid, gebaseerd op de verstrekte documentatie.
## 1. Het menselijk lichaam en gezondheid
Dit hoofdstuk behandelt de systemen en functies van het menselijk lichaam, hoe we waarnemen, ons lichaam stevigheid en beweging geeft, en de processen van spijsvertering, bloedsomloop, ademhaling, afweer en voortplanting, aangevuld met aspecten van gezond gedrag en voeding.
### 1.1 Waarnemen
#### 1.1.1 Zintuigen om te overleven
Zintuigen zijn cruciaal voor overleving doordat ze ons in staat stellen voedsel, water, gevaar en partners waar te nemen. Ze spelen ook een rol in non-verbale communicatie, zoals het herkennen van emoties.
#### 1.1.2 De samenwerking tussen zintuigen, hersenen en spieren
* **Zintuigen** functioneren als 'ontvangers' die reageren op prikkels (licht, geluid, etc.) en berichten naar de hersenen sturen via **zenuwen**.
* De **hersenen** interpreteren deze boodschappen, geven er betekenis aan door vergelijking met opgeslagen informatie, en sturen commando's naar **spieren** voor gedrag.
* De communicatie verloopt via **zenuwen**, die elektrische signalen doorgeven, vergelijkbaar met stroomdraden maar dan veel zwakker.
* **Reflexen** zijn automatische, snelle reacties die 'kortgesloten' worden via het ruggenmerg, zonder eerst de hersenen te bereiken. Voorbeelden zijn de kniepeesreflex en hoestreflex.
* De hersenen **filteren** binnenkomende informatie om overprikkeling te voorkomen. Een hersenschudding kan dit filter verstoren.
#### 1.1.3 De belangrijkste zintuigen
Het menselijk lichaam beschikt over meer dan de traditionele 'vijf zintuigen'. Het gevoel omvat bijvoorbeeld tast-, warmte-, koude- en pijnzintuigen.
* **Orgaan:** Een deel van het lichaam met één of meerdere functies, bestaande uit verschillende weefsels (bv. de huid, het oog).
* **Oog:**
* Licht komt binnen via de **pupil**, waarvan de grootte door spiertjes wordt aangepast (pupilreflex).
* Beelden worden **omgekeerd** op het **netvlies** geprojecteerd en door de hersenen geïnterpreteerd.
* De **lens** buigt licht af en bundelt het.
* **Staafjes** (gevoelig voor lichtsterkte, geen kleur) en **kegeltjes** (gevoelig voor kleur) in het netvlies registreren de prikkels. De gele vlek heeft een hoge concentratie kegeltjes.
* **Stereoscopisch zicht** (diepte zien) ontstaat door informatie van twee ogen te combineren.
* **Gehoor- en evenwichtsorgaan:**
* **Gehoororgaan:** Bestaat uit het uitwendige oor (oorschelp, gehoorgang, trommelvlies), middenoor (trommelholte met gehoorbeentjes: hamer, aambeeld, stijgbeugel) en binnenoor (slakkenhuis met zintuigcellen). Trillingen worden versterkt en omgezet in elektrische signalen naar de hersenen. De buis van Eustachius reguleert luchtdruk.
* **Evenwichtsorgaan:** Bestaat uit drie halfcirkelvormige kanalen die de stand in de ruimte waarnemen. Beweging van het hoofd brengt vloeistof en steentjes in beweging, wat signalen naar de hersenen stuurt voor houdingscorrectie.
* **Smaakzintuigen:** Gevoelig voor opgeloste stoffen. Er zijn vijf basissmaken: zoet, zout, zuur, bitter en umami ('hartig'). Smaak en reuk hangen nauw samen.
* **Reukzintuig:** Gevoelig voor vluchtige stoffen hoog in de neusgangen.
* **Tastzintuigen:** Kleine orgaantjes onder de huid die reageren op drukverandering, vaak geconcentreerd op gevoelige plekken zoals vingertoppen.
### 1.2 Stevigheid en beweging
#### 1.2.1 De draagbalken van je lichaam
Het skelet biedt stevigheid en ondersteuning:
* **Wervelkolom:** S-vormig om het zwaartepunt boven het bekken te houden.
* **Schoudergordel, bekken:** Verbinding met de ledematen.
* **Pijpbeenderen:** Dikker en steviger aan de uiteinden (veel beenbalkjes) en dunner in het midden. Dit ontwerp balanceert stevigheid met gewicht.
* **Beenderen:** Bestaan aan de buitenkant uit beenmateriaal en centraal uit beenmerg, dat belangrijk is voor been- en bloedcelvorming.
#### 1.2.2 Bescherming van vitale organen
* **Ribbenkast:** Beschermt hart en longen en kan meebewegen met de ademhaling.
* **Schedel:** Beschermt de hersenen met een vloeistoflaagje als schokdemper. De aangezichtsschedel beschermt zintuigen.
* **Wervelkolom:** Beschermt het ruggenmerg.
#### 1.2.3 Beweging van je armen en benen
* **Ledematen:** Verbonden met de wervelkolom via de schouderbladen (armen) en het bekken (benen). Bestaan uit pijpbeenderen.
* **Gewrichten:** Verbindingen tussen botten die beweging mogelijk maken.
* **Scharniergewricht:** Beweging in één richting (elleboog, knie, vingerkootjes).
* **Kogelgewricht:** Beweging in alle richtingen (schouder, heup).
* **Zadelgewricht:** Beweging in twee richtingen (duim).
* **Skeletspieren (dwarsgestreepte spieren):** Bevestigd aan botten via pezen, zorgen voor beweging door samen te trekken (korter en dikker worden).
* **Antagonisten:** Spierkoppels die tegengestelde bewegingen uitvoeren (bv. biceps en triceps).
* **Willekeurige spieren:** Onder invloed van de wil.
* **Gladde/onwillekeurige spieren:** Werken automatisch (bloedvaten, spijsverteringskanaal).
#### 1.2.4 Vergelijking met het skelet van andere zoogdieren
Het bouwplan van het menselijk skelet vertoont grote overeenkomsten met dat van andere zoogdieren (wervelkolom, schedel, ribbenkast, vier ledematen met een pijpbeen in het bovenbeen en twee in het onderbeen).
### 1.3 Spijsvertering en voeding
#### 1.3.1 Spijsvertering
Het proces waarbij voedsel wordt afgebroken tot opneembare voedingsstoffen.
Vijf fasen:
1. **Kleinmaken van voedsel (mechanische spijsvertering):** Kauwen met tanden en kiezen (snijtanden, hoektanden, kiezen).
2. **Splitsen van voedsel (chemische/enzymatische spijsvertering):** **Enzymen** breken koolhydraten, eiwitten en vetten af tot hun bouwstenen (glucose, aminozuren, glycerol/vetzuren).
* **Speekselklieren:** Enzymen voor koolhydraatvertering.
* **Maag:** Eiwitsplitsende enzymen.
* **Alvleesklier en dunne darm:** Enzymen voor koolhydraten, eiwitten en vetten.
* **Gal:** Geproduceerd in de lever, opgeslagen in de galblaas, emulgeert vetten.
3. **Verteren van vezels (bacteriële spijsvertering):** In de dikke darm door darmflora.
4. **Opname voedingsstoffen:** In de dunne darm via darmvlokken in het bloed. In de dikke darm wordt water onttrokken.
5. **Uitscheiden van onverteerbare resten:** Ontlasting.
#### 1.3.2 Voedingsstoffen
* **Bouwstoffen:** Voor groei, onderhoud, herstel (water, eiwitten, mineralen zoals calcium, ijzer, fluoride).
* **Brandstoffen:** Leveren energie door verbranding (koolhydraten, vetten, eiwitten). Energiebalans is cruciaal.
* **Beschermende stoffen:** Vitamines (essentieel voor lichaamsprocessen) en mineralen.
* **Ballaststoffen:** Voedingsvezels die de darmperistaltiek stimuleren en schadelijke stoffen afvoeren.
#### 1.3.3 Voeding en gezondheid
Een gezond voedingspatroon is belangrijk om welvaartsziekten te voorkomen. Factoren als roken, beweging en stress spelen ook een rol.
* **Overgewicht:** Verstoorde energiebalans (energiegebruik > energieverbruik).
* **Hart- en vaatziekten:** Veroorzaakt door aderverkalking (atherosclerose) door hoog cholesterol.
* **Cariës (gaatjes) en tanderosie:** Veroorzaakt door zuren uit voeding en dranken.
* **Hoge bloeddruk:** Kan mede door te veel zoutgebruik.
* **Diabetes (suikerziekte):** Problemen met regulatie van de bloedsuikerspiegel door insulinetekort of ongevoeligheid ervoor.
* **Lever- en alvleesklieraandoeningen:** Vaak door overmatig alcoholgebruik.
#### 1.3.4 Schijf van vijf
Een model van het Voedingscentrum om aan te geven welke voedingsmiddelen in welke hoeveelheden dagelijks gegeten moeten worden voor een compleet voedingspatroon.
### 1.4 Ademhaling en bloedsomloop
#### 1.4.1 Het ademhalingsstelsel
Lucht komt via neus/mond in de luchtpijp, bronchiën en longblaasjes waar gasuitwisseling plaatsvindt. Inademen gebeurt door vergroting van de borstholte (tussenribspieren en middenrif).
#### 1.4.2 Het bloedvatenstelsel
* **Transport:** Vervoert zuurstof, koolstofdioxide, voedingsstoffen, afvalstoffen, antistoffen en hormonen.
* **Bloed:** Bestaat uit rode bloedcellen (zuurstoftransport via hemoglobine), witte bloedcellen (afweer), bloedplaatjes (stolling) en plasma.
* **Hart:** Pomp die bloed door het lichaam stuurt.
* **Bloedvaten:** Slagaders (van het hart af), aders (naar het hart toe) en haarvaten (fijn netwerk voor uitwisseling).
* **Temperatuurregulatie:** Bloed verspreidt warmte en helpt bij afkoeling door verwijding van bloedvaten bij de huid.
#### 1.4.3 Vereende krachten (dubbele bloedsomloop)
Het hart heeft twee circuits:
1. **Longcirculatie:** Rechterharthelft pompt zuurstofarm bloed naar de longen voor gasuitwisseling.
2. **Lichaamscirculatie:** Linkerharthelft pompt zuurstofrijk bloed naar de rest van het lichaam.
#### 1.4.4 Inspanning en rust
Bij inspanning neemt de ademhaling en hartslag toe om meer zuurstof te leveren. Adrenaline wordt vrijgegeven bij levensbedreigende situaties, wat hartslag en ademhaling versnelt en glucoseafgifte stimuleert voor 'vechten of vluchten'.
### 1.5 Afweer en gezondheid
#### 1.5.1 Afweersysteem (immuunsysteem)
Beschermt tegen ziekteverwekkers en bouwt een geheugen op.
* **1e verdedigingslinie (fysieke/chemische barrière):** Huid, slijmvliezen, oorsmeer, tranen, speeksel, slijm bevatten antimicrobiële stoffen.
* **2e verdedigingslinie (algemene afweer):** Gespecialiseerde witte bloedcellen (fagocyten) die lichaamsvreemde stoffen opeten.
* **3e verdedigingslinie (specifieke afweer):**
* **T-cellen:** Vernietigen geïnfecteerde lichaamscellen.
* **B-cellen:** Maken **antistoffen** aan die ziekteverwekkers neutraliseren.
* **Geheugencellen:** Zorgen voor snellere reactie bij herbesmetting.
* **Lymfestelsel:** Organen zoals thymus, beenmerg (productie witte bloedcellen), lymfeklieren, milt, amandelen en plaques van Peyer spelen een rol in de afweer en transport van lichaamsvreemde stoffen.
#### 1.5.2 Ziekte
* **Infectieziekten:** Meeste ziekten; veroorzaakt door virussen of bacteriën.
* **Virusinfecties:** Moeten door het lichaam zelf overwonnen worden; geen medicijnen.
* **Bacteriële infecties:** Behandelbaar met antibiotica.
* **Koorts:** Een nuttige reactie van het lichaam om infecties te bestrijden.
#### 1.5.3 Vaccinatie
Injectie van een dode of verzwakte ziekteverwekker om het afweersysteem een 'geheugen' te geven en immuun te worden.
#### 1.5.4 Allergie
Het afweersysteem reageert overmatig op onschadelijke stoffen (allergenen). Kan leiden tot anafylactische shock door histamineproductie.
### 1.6 Voortplanting en seksualiteit
#### 1.6.1 Voortplanting
* **Functie zaadblaasjes en prostaat:** Produceren vocht dat zaadcellen verdunt, in beweging brengt en voedt.
* **Eicel:** Levensduur circa 1 dag na ovulatie.
* **Zaadcel:** Levensduur 2-3 dagen in het lichaam van de vrouw.
* **Bevruchting:** Vindt plaats in de eileider. De periode waarin bevruchting mogelijk is, is ongeveer 4 dagen (eicel + zaadcel levensduur).
* **Zwangerschap:** Na bevruchting nestelt de bevruchte eicel zich in de baarmoederwand. Moeder en kind hebben gescheiden bloedcirculaties, uitgewisseld via de placenta en navelstreng.
* **Soa's (Seksueel Overdraagbare Aandoeningen):** Zoals chlamydia en HIV. Veilig vrijen met condooms is essentieel.
* **Spiraaltje:** Voorkomt innesteling van een bevruchte eicel.
#### 1.6.2 Seksuele ontwikkeling
De seksuele ontwikkeling verloopt in verschillende fasen van peuterleeftijd tot adolescentie, met veranderende aandacht voor genderidentiteit, lichaam, gevoelens en relaties.
#### 1.6.3 Erfelijkheid
* **DNA en chromosomen:** Bevatten genetische informatie. Mensen hebben 23 paar chromosomen (XX voor vrouw, XY voor man).
* **Genen:** Stukjes DNA die overerfelijke eigenschappen bepalen.
* **Dominant en recessief:** Genen kunnen overheersen of recessief zijn.
* **Genotype vs. Fenotype:** Genotype is de genetische informatie; fenotype is de uiterlijke verschijning/eigenschap, beïnvloed door genen en milieu.
* **Celdeling:**
* **Mitose:** Celdeling voor groei en herstel, produceert identieke cellen.
* **Meiose:** Celdeling voor geslachtscellen, halveert het aantal chromosomen en zorgt voor genetische variatie.
---
### 1.7 Schimmels en paddenstoelen (Relevant voor deels het lichaam en voeding)
#### 1.7.1 Het schimmelrijk
* Schimmels behoren tot een apart rijk, verschillend van planten.
* Er zijn eencellige (gist) en meercellige soorten.
* Meercellige schimmels bestaan uit draden en leven verborgen in hun voedselbron.
* Paddenstoelen zijn vruchtlichamen van schimmels. Ze kunnen eetbaar of giftig zijn.
* Indeling van paddenstoelen op basis van sporenvorming: plaatjeszwammen, buisjeszwammen, stuifzwammen.
#### 1.7.2 De voedingswijze van schimmels
* Schimmels bevatten geen bladgroen en kunnen hun voedsel niet zelf maken.
* **Parasieten:** halen voedsel uit levende organismen (bv. meeldauw).
* **Mycelium/zwamvlok:** Netwerk van schimmeldraden.
* **Symbiose:** Sommige schimmels leven samen met planten, waarbij ze wederzijds voedingstoffen uitwisselen.
#### 1.7.3 De levenscyclus van een paddenstoel
* Een paddenstoel is een vruchtlichaam dat zorgt voor de verspreiding van sporen.
* De schimmel zelf leeft verder onder de grond of in een gastheer.
* Vorming van een paddenstoel vereist versmelting van schimmeldraden, uitgroei tot een bolletje, en ontwikkeling van het vruchtlichaam.
* Sporen worden verspreid en kunnen onder gunstige omstandigheden een nieuw mycelium vormen.
* **Heksenkring:** Ontstaat wanneer het mycelium zich ringvormig uitbreidt en afsterft in het centrum.
---
### 1.8 Gezond gedrag en voeding (Vervolg)
#### 1.8.1 Schijf van vijf
Een voorlichtingsmodel voor gezonde voeding, waarbij voedingsmiddelen zijn verdeeld over vijf productgroepen. Dagelijks eten uit alle groepen wordt aanbevolen, met variatie in grootte van de vakken als indicatie voor de hoeveelheid.
* **Groenten en fruit:** Leverancier van vitamines, mineralen en vezels.
* **Koolhydraatleveranciers:** Belangrijk deel van koolhydraten.
* **Eiwitleveranciers:** Belangrijke bron van eiwitten.
* **Vocht:** Essentieel, advies is 1,5 liter per dag.
* **Vetleveranciers:** Bron van vetten.
---
Deze samenvatting biedt een diepgaand overzicht van de kernconcepten met betrekking tot het menselijk lichaam, waarneming, beweging, voeding, gezondheid en de bijbehorende systemen, zoals beschreven in de verstrekte documentatie.
---
# Natuurkundige verschijnselen en techniek
Dit gedeelte verkent diverse natuurkundige fenomenen zoals materie, magnetisme, elektriciteit, geluid en licht, en gaat in op de principes van techniek, constructies, materialen, energieomzetting en communicatietechnologie.
### 5.1 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen
#### 5.1.1 Verschijningsvormen
Elke stof bestaat uit moleculen, de kleinste deeltjes met behoud van eigenschappen. Het gedrag van deze moleculen bepaalt de verschijningsvorm van een stof.
* **Vaste stof:** Moleculen bewegen weinig en trekken elkaar sterk aan, waardoor ze dicht bij elkaar blijven. Vaste stoffen zijn hard en vormvast.
* **Vloeistof:** Moleculen bewegen in alle richtingen, zitten minder dicht op elkaar en trekken elkaar minder sterk aan. Vloeistoffen hebben geen eigen vaste vorm.
* **Gas:** Moleculen bewegen snel en onafhankelijk van elkaar met grote onderlinge afstanden. Gassen hebben geen vaste vorm of volume.
Deze verschijningsvormen worden ook wel aggregatietoestanden genoemd: vast, vloeibaar en gasvormig.
#### 5.1.2 De invloed van warmte op de verschijningsvorm van een stof
Veranderingen in temperatuur en druk beïnvloeden het gedrag van moleculen en daarmee de verschijningsvorm van een stof.
* **Van koud naar warm:**
* **Smeltpunt:** De temperatuur waarbij een zuivere vaste stof bij normale luchtdruk vloeibaar wordt.
* **Verdamping:** Het proces waarbij deeltjes van een vloeistof ontsnappen naar de gasvormige toestand. Vluchtige stoffen verdampen bij relatief lage temperaturen.
* **Kookpunt:** De temperatuur waarbij alle vloeistof overgaat in gasvorm. Luchtdruk beïnvloedt het kookpunt; hogere druk verhoogt het kookpunt.
* **Sublimatie:** Het rechtstreeks overgaan van een vaste stof naar de gasvorm, zonder vloeibaar te worden.
* **Van warm naar koud:**
* **Condensatie:** Het overgaan van gas naar vloeistof, doordat de moleculen langzamer gaan bewegen en dichter bij elkaar komen.
* **Stolling/ Bevriezing:** Moleculen nemen een vaste plaats in en vormen een stevige structuur.
* **Desublimatie:** Het rechtstreeks overgaan van gas naar vaste vorm.
* **Temperatuur en gewicht:** Afgekoelde stoffen worden over het algemeen compacter en daardoor zwaarder per volume-eenheid. Water is hierop een uitzondering: ijs drijft op water doordat de moleculaire structuur van ijs meer lege ruimte bevat.
#### 5.1.3 Eigenschappen van water
Water is essentieel voor het leven op aarde en heeft unieke eigenschappen:
* **Water als oplosmiddel:** Water lost veel stoffen op, wat cruciaal is voor biologische processen in bloed en plantensappen.
* **Oplossing:** Een helder, doorzichtig mengsel (bv. suikerwater).
* **Suspensie:** Een troebel, ondoorzichtig mengsel van een vaste stof in een vloeistof (bv. modderwater).
* **Emulsie:** Een mengsel van twee vloeistoffen die normaal niet goed mengbaar zijn, met behulp van een emulgator (bv. melk, mayonaise).
* **Scheiden van een mengsel:** Technieken zoals filteren, bezinken/centrifugeren en indampen/destillatie worden gebruikt om mengsels te scheiden op basis van deeltjesgrootte, dichtheid of kookpunt.
* **De opwaartse kracht van water:** (Niet gedetailleerd uitgewerkt in de tekst, maar genoemd als eigenschap).
* **De oppervlaktespanning van water:** De aantrekkingskracht tussen watermoleculen aan het oppervlak, die zorgt voor een ronde druppelvorm. Zeep verlaagt de oppervlaktespanning.
#### 5.1.4 Eigenschappen van lucht
Lucht is een gas dat druk uitoefent.
* **Aanwezigheid van lucht:** Lucht bestaat uit snel bewegende moleculen die alle kanten op gaan.
* **Luchtdruk:** Kan zichtbaar gemaakt worden door lucht samen te persen (bv. een ballon in een fles). Een zuignap illustreert de kracht van luchtdruk door onderdruk te creëren.
* **Afkoeling:** Bij afkoeling bewegen luchtmoleculen langzamer en komen dichter bij elkaar, wat resulteert in een lagere luchtdruk.
### 5.2 Magnetisme
#### 5.2.1 Wat is magnetisme?
Magnetisme is de aantrekking of afstoting tussen magnetische objecten. Magnetiet is een natuurlijk magnetisch gesteente. Een vrij draaibare magneet wijst altijd naar het noorden (noordpool) en het zuiden (zuidpool). De magnetische polen van de aarde bevinden zich nabij de geografische polen, maar met tegengestelde polariteit (de noordpool van een magneet wordt aangetrokken door de magnetische zuidpool nabij de geografische noordpool van de aarde).
#### 5.2.2 De werking van een magneet
Magnetische materialen bevatten kleine magnetische gebiedjes (minimagneetjes). Als deze gebiedjes dezelfde kant op wijzen, wordt het materiaal magnetisch. Hameren of verhitten kan een magneet zijn magnetisme doen verliezen door de oriëntatie van deze gebiedjes te verstoren. Ferromagnetische metalen zoals ijzer, nikkel en kobalt worden aangetrokken door magneten.
#### 5.2.3 Magneetvelden
(Dit concept wordt genoemd maar niet verder uitgewerkt in de tekst).
#### 5.2.4 Magnetisme en elektriciteit
Er is een verband tussen elektriciteit en magnetisme:
* **Elektrische stroom wekt magnetisme op:** Een elektrische stroom genereert een elektromagnetisch veld rond een stroomdraad. Dit principe wordt gebruikt in elektromagnets.
* **Beweging wekt elektriciteit op:** Magnetisme kan elektriciteit opwekken wanneer een magneet en een draadspoel ten opzichte van elkaar bewegen. Dit principe ligt ten grondslag aan de werking van fietsdynamo's en generatoren.
### 5.3 Elektriciteit
#### 5.3.1 Statische elektriciteit
Statische elektriciteit ontstaat wanneer twee voorwerpen tegen elkaar wrijven, waardoor geladen deeltjes (elektronen) worden uitgewisseld. De lading blijft stilstaand. Een ontlading kan gepaard gaan met licht en geluid, zoals bij bliksem.
* **Atomen:** Bestaan uit positieve kernen en negatieve elektronen. Een neutraal atoom heeft gelijke aantallen positieve en negatieve ladingen. Elektronen kunnen uitgewisseld worden, wat leidt tot lading.
#### 5.3.2 Elektrische stroom
Dynamische elektriciteit is een gerichte beweging van elektrische ladingen. Dit maakt elektriciteit beheersbaar en nuttig. Elektrische energie kan worden omgezet in warmte, licht, beweging en geluid.
* **Geleiding:** Materialen met vrij bewegende elektronen (zoals metalen) geleiden elektrische lading goed.
* **Stroomkring:** Een gesloten circuit is nodig voor het transport van elektrische stroom. Een spanningsbron (batterij, accu) levert de energie die nodig is om elektronen te laten bewegen, vanuit de pluspool naar de minpool.
#### 5.3.3 Stroomkringen
Een stroomkring bestaat uit een spanningsbron, een geleidend materiaal (draad) en een energiegebruiker. Een schakelaar kan de stroomkring onderbreken of sluiten.
#### 5.3.4 Geleiding, isolatie en weerstand
* **Geleiders:** Materialen die elektrische lading goed geleiden en weinig weerstand bieden (bv. koper).
* **Isolatoren:** Materialen die elektrische lading nauwelijks doorlaten en een grote weerstand hebben (bv. plastic).
* **Weerstand:** De mate waarin materiaal de doorstroming van elektronen belemmert. Een dunne draad heeft een grotere weerstand dan een dikke draad. De dikte van een draad is afgestemd op de verwachte stroomsterkte om oververhitting te voorkomen.
#### 5.3.5 Serie- en parallelschakelingen
* **Serieschakeling:** Onderdelen zijn achter elkaar geschakeld. Als één onderdeel defect is, onderbreekt dit de hele kring (bv. kerstboomverlichting). De lampjes branden minder fel door de gezamenlijke weerstand.
* **Parallelschakeling:** Onderdelen zijn onafhankelijk van elkaar op de spanningsbron aangesloten (bv. elektrische bedrading in huizen).
**Wet van Ohm:** Beschrijft het verband tussen spanning ($U$), stroomsterkte ($I$) en weerstand ($R$).
$$U = I \cdot R$$
* **Spanning ($U$):** De potentiaalverschil dat de beweging van ladingen aandrijft, gemeten in volt (V).
* **Stroomsterkte ($I$):** De hoeveelheid lading die per tijdseenheid door een draad gaat, gemeten in ampère (A).
* **Weerstand ($R$):** De mate van tegenwerking van de stroom, gemeten in ohm ($\Omega$).
#### 5.3.6 Elektriciteit in huis
* **Energiemeter (kilowattuurmeter):** Meet het energieverbruik in kilowattuur (kWh). Vermogen ($P$) wordt uitgedrukt in watt (W) of kilowatt (kW). De omgezette energie is vermogen maal tijd.
$$E = P \cdot t$$
$$P = U \cdot I$$
* **Elektriciteitsnetwerk:** Verdeeld in groepen om overbelasting te voorkomen.
* **Zekeringen:** Beveiligen tegen kortsluiting en overbelasting door de stroomkring te onderbreken bij te hoge stroomsterkte.
* **Aarddraad en aardlekschakelaar:** Een extra beveiliging (groengele draad) die de stroom naar aarde leidt bij kortsluiting, om schokken te voorkomen. Een aardlekschakelaar detecteert stroomlekken.
### 5.4 Geluid
#### 5.4.1 Wat is geluid?
Geluid ontstaat door trillingen van een geluidsbron. Deze trillingen verplaatsen zich als golven door een medium (lucht, vloeistof, vaste stof).
#### 5.4.2 Verplaatsing van geluid
Geluidstrillingen planten zich voort als drukgolven. De energietrillingen nemen af met de afstand tot de bron. Geluidssnelheid is constant in een bepaald medium bij een constante temperatuur (in lucht ca. 343 m/s bij kamertemperatuur). Geluid plant zich sneller voort in vloeistoffen en vaste stoffen dan in lucht.
#### 5.4.3 Geluiden verschillen
Geluiden verschillen in:
* **Geluidssterkte:** Bepaald door de uitwijking van de trilling en de drukgolf. Gemeten in decibel (dB). Geluiden boven 120 dB kunnen gehoorbeschadiging veroorzaken.
* **Toonhoogte:** Bepaald door de frequentie (aantal trillingen per seconde) van de geluidsbron, gemeten in hertz (Hz).
* **Ultrasoon:** Geluid met een frequentie boven de menselijke hoordrempel (boven 20.000 Hz).
* **Dopplereffect:** De verandering van toonhoogte van een geluid afhankelijk van de beweging van de bron ten opzichte van de waarnemer.
* **Klankkleur:** Het unieke golfpatroon dat wordt geproduceerd door de combinatie van een grondtoon en boventonen, wat elk geluid herkenbaar maakt.
* **Resonantie:** Het meetrillen van objecten met een geluidsbron.
#### 5.4.4 Weerkaatsing van geluid
Geluid kan worden doorgelaten, geabsorbeerd of weerkaatst.
* **Absorptie:** Zachte, onregelmatige oppervlakken absorberen geluid (geluiddempend).
* **Reflectie:** Gladde, harde oppervlakken weerkaatsen geluid (echo, galm). Dit principe wordt gebruikt in echolocatie (vleermuizen, dolfijnen) en sonar.
### 5.5 Licht en kleur
#### 5.5.1 Lichtbronnen
Lichtbronnen produceren zelf licht. Veel objecten weerkaatsen echter licht.
* **Natuurlijke lichtbronnen:** Zon, sterren.
* **Kunstmatige lichtbronnen:** Houtvuur, kaars, gaslamp, tl-buizen, gloeilampen.
#### 5.5.2 Wat is licht?
Licht is een golfbeweging die zich voortplant in een rechte lijn en zich door een vacuüm kan verplaatsen.
* **Lichtsnelheid:** 300.000 km/s.
* **Transparantie:**
* **Doorzichtig:** Laat al het licht door.
* **Doorschijnend:** Laat gedeeltelijk licht door.
* **Ondoorzichtig:** Laat geen licht door.
* **Schaduw:** Ontstaat achter een ondoorzichtig voorwerp door de afwezigheid van licht (kernschaduw en bijschaduw).
#### 5.5.3 Weerkaatsing en absorptie van licht
Voorwerpen worden zichtbaar doordat ze licht weerkaatsen. De hoeveelheid weerkaatst of geabsorbeerd licht hangt af van het oppervlak.
* Gladde, witte oppervlakken weerkaatsen meer licht dan ruwe, donkere oppervlakken. Donkere oppervlakken absorberen meer licht.
#### 5.5.4 Breking van licht
Licht verandert van richting wanneer het van de ene stof naar de andere gaat (lichtbreking), doordat de lichtsnelheid in verschillende stoffen anders is. Lenzen maken gebruik van dit principe.
* **Bolle lenzen:** Bundelen lichtstralen en kunnen beelden vergroten.
* **Holle lenzen:** Spreiden lichtstralen uit en maken beelden kleiner.
* **Oogafwijkingen:** Verziendheid wordt gecorrigeerd met bolle lenzen; bijziendheid met holle lenzen.
#### 5.5.5 De kleuren van de regenboog
Wit licht bestaat uit verschillende kleuren. Regendruppels breken zonlicht, waardoor de kleuren van de regenboog zichtbaar worden (rood minst gebroken, violet meest). Dit vormt het zichtbare kleurenspectrum.
#### 5.5.6 Kleuren zien
* **Primaire lichtkleuren:** Rood, blauw, groen. Deze beïnvloeden de kegeltjes in het netvlies.
* **Kleur van voorwerpen:** Wordt bepaald door de kleuren die worden geabsorbeerd en weerkaatst. Een groen voorwerp absorbeert alle kleuren behalve groen, dat wordt weerkaatst.
* **Primaire verfkleuren:** Geel, magenta, cyaan.
### 5.6 Kracht
#### 5.6.1 Wat is kracht?
Kracht is een natuurkundige grootheid die een voorwerp kan vervormen of een snelheidsverandering kan geven (grootte of richting). Kracht is een vectorgrootheid: het heeft grootte, richting en een aangrijpingspunt. De eenheid van kracht is newton (N).
#### 5.6.2 Soorten krachten
* **Contactkrachten:** Vereisen direct contact (bv. spierkracht).
* **Veldkrachten:** Werken op afstand (bv. zwaartekracht, magnetische kracht).
* **Zwaartekracht:** Aantrekkingskracht van de aarde (ca. 9,8 N/kg in Nederland).
* **Normaalkracht:** Kracht die een ondersteunend vlak uitoefent, loodrecht op het vlak.
* **Spankracht:** Kracht in een gespannen touw of kabel.
* **Veerkracht:** Kracht die een veer uitoefent bij vervorming, tegengesteld aan de vervorming.
* **Wrijvings- en weerstandskrachten:** Tegenwerkende krachten bij beweging (bv. schuifwrijving, rolweerstand, luchtweerstand).
* **Druk:** Kracht per oppervlakte-eenheid ($p = \frac{F}{A}$). Grote oppervlakken verdelen de druk, waardoor deze lager is.
#### 5.6.3 Krachten tekenen
Meerdere krachten op een voorwerp kunnen worden samengevat in één **resulterende kracht**. Krachten worden weergegeven als pijlen met een bepaalde lengte (grootte) en richting.
#### 5.6.4 Kracht en beweging
* **Eerste wet van Newton (traagheidswet):** Een voorwerp blijft in rust of met constante snelheid bewegen, tenzij er een resulterende kracht op werkt.
* **Tweede wet van Newton:** De versnelling van een voorwerp is recht evenredig met de resulterende kracht en omgekeerd evenredig met de massa ($a = \frac{F_{res}}{m}$).
$$F_{res} = m \cdot a$$
* **Derde wet van Newton (actie = reactie):** Krachten treden altijd op in paren; als voorwerp A een kracht uitoefent op voorwerp B, oefent B een even grote, tegengestelde kracht uit op A. Deze krachten werken op verschillende voorwerpen en heffen elkaar dus niet op.
### 6 Technische inzichten
#### 6.1 Wat is techniek?
Techniek omvat het maken en onderzoeken van producten en systemen met specifieke functies. Belangrijke technische gebieden zijn:
* **Constructies:** Stevige en stabiele structuren (gebouwen, bruggen).
* **Transport:** Verplaatsing van mensen, materialen en energie met vervoersmiddelen en infrastructuur.
* **Productie:** Omzetten van ruwe materialen in bruikbare producten.
* **Communicatie:** Overbrengen van informatie, zowel tussen mensen als tussen apparaten.
Essentiële technische inzichten omvatten materiaalkeuze, verbindingen, vormen, energieomzetting, bewegingsprincipes en geautomatiseerde systemen met sensoren.
#### 6.2 Constructies
#### 6.2.1 Een stevig huis
Stevigheid en stabiliteit van constructies zijn cruciaal en hangen af van materiaal, verbindingen en toegepaste vormen.
#### 6.2.2 Materialen
Materialen zijn de bestanddelen van een product. Er is onderscheid tussen natuurlijke en kunstmatige materialen. De materiaalkeuze wordt bepaald door de functie en de eigenschappen van het materiaal (bv. stijfheid, sterkte). Nieuwe materialen met betere eigenschappen worden ontwikkeld door combinaties (bv. gewapend beton, legeringen).
#### 6.2.3 Verbindingen
* **Materiaalverbindingen:** Gebruiken los materiaal om onderdelen te bevestigen (bv. solderen, metselen). Vaak star en permanent.
* **Vormverbindingen:** Gebruiken de vorm van onderdelen om ze te verbinden (bv. legpuzzel, LEGO). Vaak los-vast en star.
* **Voorwerpverbindingen:** Gebruiken een voorwerp als verbinding (bv. nietjes, veters). Kunnen permanent of los-vast zijn.
* **Beweeglijke verbindingen:** Laten beweging toe tussen onderdelen (bv. as, scharnier).
#### 6.2.4 Vormen
De vorm van een constructie beïnvloedt de stevigheid:
* **Driehoeken:** Zeer stevig door de verdeling van druk- en trekkrachten.
* **Vierhoeken:** Beweeglijk, kunnen verstevigd worden met diagonalen (waardoor driehoeken ontstaan).
* **Bogen:** Vangen drukkrachten goed op en verdelen krachten gelijkmatig.
* **Piramides:** Stabiel door een brede basis en smalle top.
* **Profielen:** Materiaalbesparend en toch stevig (bv. een holle buis).
### 6.3 Energieomzetting
#### 6.3.1 Wat is energie?
Energie is nodig om arbeid te verrichten. Energie wordt niet verbruikt, maar omgezet in andere vormen.
* **Chemische energie:** Energie opgeslagen in brandstoffen.
* **Potentiële energie:** Energie die een voorwerp bezit door zijn positie (bv. hoogte). Wordt omgezet in bewegingsenergie bij vallen.
* Bij elke energieomzetting gaat energie verloren als onbruikbare warmte (wrijvingswarmte).
#### 6.3.2 Energiebronnen
Energiebronnen leveren de energie die nodig is voor apparaten en organismen.
* **Hernieuwbare/Duurzame energiebronnen:** Zonlicht, windkracht, waterkracht.
* **Niet-duurzame energiebronnen:** Fossiele brandstoffen (steenkool, aardolie, aardgas), kernenergie.
* **Elektriciteit:** Kan gemakkelijk worden omgezet in andere energievormen en over lange afstanden worden getransporteerd.
* **Problemen met fossiele brandstoffen:** Opraakbaarheid, milieuvervuiling (CO2-uitstoot, zure regen).
* **Problemen met kernenergie:** Gevaarlijk kernafval.
* **Oplossingen:** Energiebesparing, efficiëntere apparaten, gebruik van duurzame bronnen zoals zonnepanelen (PV-panelen).
#### 6.3.3 Energieomzetting
* **Warmte:** Omzetting van elektrische, chemische of bewegingsenergie in warmte.
* **Licht:** Omzetting van elektrische, chemische of bewegingsenergie in licht.
* **Beweging:** Omzetting van elektrische, chemische of bewegingsenergie in beweging.
* **Elektriciteit opwekken:** Bewegingsenergie (van turbines in elektriciteitscentrales) wordt omgezet in elektrische energie door generatoren.
### 6.4 Bewegings- en overbrengingsprincipes
#### 6.4.1 Overbrengingen
Bewegingsenergie wordt via diverse onderdelen (hefbomen, katrollen, tandwielen) overgebracht om specifieke bewegingen te creëren.
* **Rechtlijnige beweging (translatie)**
* **Ronddraaiende beweging (rotatie)**
#### 6.4.2 Van een rechtlijnige naar een rechtlijnige beweging
* **Hefbomen:** Gebruikt om met minder kracht een groter gewicht te verplaatsen of weerstand te overwinnen. Er zijn drie typen hefbomen, onderscheiden door de plaats van het draaipunt, de kracht en de weerstand.
#### 6.4.3 Van een ronddraaiende naar een ronddraaiende beweging
* **Tandwielen:** Zorgen voor de overbrenging van rotatiebewegingen. Dit kan direct (tandwielen direct in elkaar) of indirect (via een ketting, riem of snaar).
#### 6.4.4 Van een ronddraaiende naar een rechtlijnige beweging
Mechanismen zoals schroefdraad (bv. raampje van een auto, kurkentrekker) zetten rotatie om in translatie.
#### 6.4.5 Van een rechtlijnige naar een ronddraaiende beweging
Omgekeerde principes van 6.4.4, waarbij een rechtlijnige beweging een rotatie veroorzaakt (bv. windmolens, watermolens, slingeruurwerk).
### 6.5 Informatie- en communicatietechnologie
#### 6.5.1 Telecommunicatie
Communicatie over grote afstanden, met behulp van signalen (stroom, licht, elektromagnetische straling) via kabels of de ether.
* **Telegraaf:** Gebruikt elektrische pulsen om te communiceren via punten en strepen.
* **Telefoon:** Zet geluid om in elektrische signalen en vice versa.
* **Radio:** Gebruikt radiogolven om informatie over te brengen.
* **Televisie:** Zendt beeld en geluid uit via radiogolven, kabels of satellieten.
* **Internet:** Wereldwijd netwerk van computers dat communicatie mogelijk maakt. Modems vertalen signalen tussen telefoon/kabel en computertaal.
#### 6.5.2 De computer
Computers werken digitaal (met 0 en 1) en verwerken informatie met behulp van chips die miljoenen transistors bevatten.
* **Chips:** Kleine siliciumschijfjes met transistors die functioneren als schakelaars.
* **Bits en bytes:** De kleinste eenheid van digitale informatie is een bit (0 of 1). Een byte bestaat uit 8 bits.
#### 6.5.3 Apparaten met een ingebouwde computer (embedded systems)
Apparaten met ingebouwde computers kunnen reageren op hun omgeving. Ze bestaan uit sensoren (waarneming), een communicatiegedeelte, een processor (informatieverwerking) en een actuator (uitvoering van taken).
### 7 Weersverschijnselen en hemellichamen
#### 7.1 Weersverschijnselen
Het weer is de toestand van de atmosfeer op een bepaalde plaats en tijd. De troposfeer is de laag waar het weer zich afspeelt.
* **Temperatuur:** Beïnvloed door zonnestand, bewolking en wateroppervlakken.
* **Luchtdruk:** Verschillen in luchtdruk (hogedruk- en lagedrukgebieden) veroorzaken wind. Isobaaren verbinden punten met gelijke luchtdruk.
* Lagedrukgebieden: Opgaande luchtbewegingen, wolkenvorming, neerslag.
* Hogedrukgebieden: Neergaande luchtbewegingen, heldere luchten.
* **Wind:** Luchtverplaatsing van hoge naar lage luchtdruk.
* **Bewolking:** Bestaat uit waterdruppels of ijskristallen. Ontstaat door opstijgende warme, vochtige lucht die afkoelt en condenseert rond stofdeeltjes.
* **Neerslag:** Ontstaat meestal bij fronten (koufronten, warmtefronten) waar warme en koude lucht samenkomen. Kan voorkomen als regen, sneeuw, hagel of ijzel.
* **Regenboog:** Ontstaat door breking van zonlicht in regendruppels.
* **Onweer:** Veroorzaakt door elektrische ontladingen (bliksem) tussen wolken of tussen wolk en aarde, gevolgd door de geluidsgolf van de donder.
* **Weersvoorspelling:** Gebruikt weersatellieten om veranderingen in wolkenformaties te analyseren.
#### 7.2 Hemellichamen en natuurverschijnselen
De bewegingen van de zon, aarde en maan vormen de basis voor onze tijdrekening en kalender.
* **Dag en nacht:** Veroorzaakt door de rotatie van de aarde om haar as.
* **Weken, maanden en jaren:** Gebaseerd op de banen van de maan (maancyclus) en de aarde om de zon (zonnejaar). Schrikkeljaren corrigeren de fractionele dagen in het zonnejaar.
* **Seizoenen:** Veroorzaakt door de gekantelde stand van de aardas ten opzichte van de zon.
* **Eb en vloed:** Veroorzaakt door de aantrekkingskracht van de maan op de aarde, wat vloedbergen creëert.
* **Zons- en maansverduistering:** Treden op wanneer de maan tussen de aarde en de zon staat (zonsverduistering) of wanneer de aarde tussen de maan en de zon staat (maansverduistering).
* **De acht planeten:**
* **Aardse planeten (klein, rotsachtig/metaal):** Mercurius, Venus, Aarde, Mars.
* **Reuzenplaneten (gasvormig):** Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus.
* **Sterren en sterrenbeelden:** De sterrenhemel, ons zonnestelsel, de Melkweg. Sterrenkaarten helpen bij het oriënteren. Sterrenbeelden zijn groepen sterren die patronen vormen.
---
# Weersverschijnselen en hemellichamen
Dit onderwerp behandelt de oorzaken en kenmerken van weersverschijnselen zoals temperatuur, luchtdruk en neerslag, alsook hemellichamen, tijdrekening, seizoenen en kosmische verschijnselen zoals eclipsen.
## 3. Weersverschijnselen en hemellichamen
### 3.1 Weersverschijnselen
Het weer is de toestand van de atmosfeer op een bepaalde plaats en tijd, die grote invloed heeft op ons leven en diverse economische sectoren. De atmosfeer, het gasvormige omhulsel van de aarde, bestaat uit verschillende lagen, waarvan de troposfeer (tot 10-15 kilometer boven de aarde) de laag is waar het weer zich afspeelt. Energie van de zon en de rotatie van de aarde houden de lucht en het water voortdurend in beweging, wat leidt tot weerveranderingen en de mogelijkheid tot weersvoorspelling.
#### 3.1.1 Temperatuur
De temperatuur wordt beïnvloed door zonnestraling die het aardoppervlak en de oceanen verwarmt. De hoogte van de zon boven de horizon (afhankelijk van dag en seizoen) en de aanwezigheid van bewolking (die warmtestraling tegenhoudt) zijn bepalende factoren. De oceanen spelen een regulerende rol; door verdamping van oppervlaktewater wordt de temperatuurstijging boven zee gematigd vergeleken met land. Woestijnen hebben geen water om de temperatuur te matigen, wat kan leiden tot extreme hitte.
#### 3.1.2 Luchtdruk
Luchtdrukverschillen zijn de oorzaak van wind. Hoge luchtdrukgebieden (aangegeven met 'H' op weerkaarten) kenmerken zich door neerwaartse luchtbewegingen en leiden vaak tot mooi weer, terwijl lagedrukgebieden ('L' of depressies) opwaartse luchtbewegingen hebben en geassocieerd worden met slecht weer en neerslag. Lucht stroomt van hoge naar lage drukgebieden, wat wind veroorzaakt. Isobare lijnen op weerkaarten verbinden punten met gelijke luchtdruk. In lagedrukgebieden stijgt warme lucht, koelt af, condenseert tot wolken en veroorzaakt neerslag. Hogedrukgebieden daarentegen voorkomen wolkenvorming en zorgen voor een heldere hemel. Luchtdruk heeft geen directe relatie met temperatuur; een hogedrukgebied kan in Nederland in de zomer tot hoge temperaturen leiden en in de winter tot lage temperaturen.
#### 3.1.3 Wind
Wind is de verplaatsing van lucht als gevolg van luchtdrukverschillen. In Nederland waait de wind vaak uit het zuidwesten, wat vochtige lucht van zee meebrengt en bijdraagt aan een zeeklimaat met natte zomers en winters.
#### 3.1.4 Bewolking
Wolken bestaan uit kleine water- of ijsdruppels die zweven. Ze ontstaan door opstijgende warme lucht die afkoelt en condenseert rond stof- of rookdeeltjes. Bewolking beïnvloedt de hoeveelheid zonlicht en warmte die de aarde bereikt en kan leiden tot regen, sneeuw of hagel. De drie basistypen wolken zijn cumulus (stapelwolken), stratus (laaghangende bewolking) en cirrus (sluierwolken). Mist en nevel zijn wolken die zich op of nabij de grond bevinden.
#### 3.1.5 Neerslag
Neerslag in gematigde gebieden ontstaat meestal bij fronten, waar warme en koude luchtmassa's elkaar ontmoeten. Bij een koufront schuift koude lucht snel onder warme lucht, wat leidt tot hoge buienwolken en mogelijk onweer. Bij een warmtefront schuift warme lucht langzaam over koude lucht, wat eerst hogere, dan lagere wolken en langdurige regen kan veroorzaken. De meeste neerslag begint als sneeuw en smelt tot regen of natte sneeuw als de temperatuur boven het vriespunt is. Hagel ontstaat door sterke op- en neerwaartse luchtstromingen in buienwolken. IJzel vormt zich wanneer regendruppels op een bevroren oppervlak neerkomen en direct bevriezen.
Een regenboog ontstaat wanneer zonlicht door regendruppels wordt gebroken, waarbij de verschillende kleuren van het spectrum zichtbaar worden.
Onweer wordt veroorzaakt door elektrische ladingen in buienwolken. Wrijving tussen ijskristallen en wolkendruppels creëert een spanningsverschil, wat leidt tot bliksemontladingen en de bijbehorende donderslag.
#### 3.1.6 Weersvoorspelling
Weersvoorspellingen worden gemaakt met behulp van weersatellieten die wolkenformaties en hun veranderingen in de tijd vastleggen.
### 3.2 Hemellichamen en natuurverschijnselen
#### 3.2.1 De basis voor onze tijdrekening en kalender
De bewegingen van hemellichamen zoals de zon, aarde en maan vormen de basis voor onze tijdrekening en kalender. De zon is de belangrijkste energiebron. Dag en nacht worden veroorzaakt door de rotatie van de aarde om haar as. Weken zijn van oorsprong gebaseerd op de zeven zichtbare hemellichamen. Maanden zijn gebaseerd op de maansomloop (ongeveer 29,5 dagen), en jaren op de omloop van de aarde om de zon (ongeveer 365,25 dagen). Het schrikkeljaar compenseert de extra 0,25 dag per jaar.
#### 3.2.2 Seizoenen
De seizoenen worden veroorzaakt door de axiale kanteling van de aarde (ongeveer 23,5 graden) ten opzichte van haar baan rond de zon. Deze kanteling zorgt ervoor dat gedurende een deel van het jaar een halfrond meer direct zonlicht ontvangt dan het andere.
#### 3.2.3 Eb en vloed
Eb en vloed, de dagelijkse wisseling van de waterstand van de zee, worden voornamelijk veroorzaakt door de aantrekkingskracht van de maan. Dit creëert twee 'vloedbergen' op aarde: één aan de kant van de maan en één aan de tegenovergestelde zijde. De rotatie van de aarde zorgt ervoor dat we deze vloedbergen als eb en vloed ervaren.
#### 3.2.4 Zons- en maansverduistering
Een zonsverduistering treedt op wanneer de maan tussen de aarde en de zon staat en het zonlicht blokkeert. Een maansverduistering vindt plaats wanneer de aarde tussen de zon en de maan staat, waardoor de zon haar licht niet op de maan kan laten schijnen.
#### 3.2.5 De acht planeten
Ons zonnestelsel telt acht planeten, onderverdeeld in de vier aardse planeten (Mercurius, Venus, Aarde, Mars) en de vier gasreuzen (Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus).
* **Mercurius:** De planeet het dichtst bij de zon, met extreme temperatuurvariaties en geen atmosfeer.
* **Venus:** Zeer helder door een dik wolkendek van zwavelzuur en een extreem broeikaseffect.
* **Aarde:** Onze planeet, met water, een gematigde temperatuur en een dampkring, essentieel voor leven.
* **Mars:** De 'rode planeet', mogelijk met ondergrondse micro-organismen en sporen van voormalig water.
* **Jupiter:** De grootste planeet, een gasbol met een turbulente atmosfeer en een grote rode vlek (storm).
* **Saturnus:** Bekend om zijn duidelijke ringen, eveneens een gasbol met een lage dichtheid.
* **Uranus:** Uniek door zijn rotatie op zijn flank, ontdekt met een telescoop.
* **Neptunus:** Een gasreus met stormpatronen en een blauwe kleur door methaangas.
Ons zonnestelsel maakt deel uit van het Melkwegstelsel, een sterrenstelsel met miljarden sterren.
#### 3.2.6 Kijken naar de sterren en planeten
Een planetarium projecteert de sterrenhemel en planetenbewegingen op een koepel, waardoor de sterrenhemel als een halve bol boven ons wordt weergegeven. De sterrenhemel lijkt te draaien rond de Poolster, die in het verlengde van de aardas ligt. Sterrenkaarten helpen bij het oriënteren aan de hemel.
#### 3.2.7 Sterrenbeelden
Sterrenbeelden zijn patronen van sterren die aan de hemel lijken te staan. Bekende voorbeelden zijn de Grote Beer en sterrenbeelden rond de Poolster die altijd zichtbaar zijn aan de noordelijke hemel. Hun namen zijn vaak ontleend aan mythologische verhalen.
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Schimmelrijk | Een biologische classificatie die organismen omvat zoals gisten en meercellige schimmels. Deze organismen verschillen structureel en qua levenswijze van planten en dieren. |
| Mycelium (zwamvlok) | Een uitgebreid netwerk van schimmeldraden dat zich onder de grond of binnen een gastheer bevindt, essentieel voor de voeding en voortplanting van de schimmel. |
| Symbiose | Een samenlevingsvorm tussen twee verschillende soorten organismen waarbij beide soorten voordeel ondervinden van de interactie, bijvoorbeeld door uitwisseling van voedingsstoffen. |
| Zintuigen | Gespecialiseerde organen of cellen die reageren op prikkels uit de omgeving, zoals licht, geluid, druk of temperatuur, en deze omzetten in signalen voor het zenuwstelsel. |
| Reflex | Een automatische, onwillekeurige reactie van het lichaam op een specifieke prikkel, die vaak via het ruggenmerg wordt verwerkt om snel te kunnen reageren. |
| Skelet | Het stelsel van botten in het lichaam dat zorgt voor stevigheid, bescherming van organen en aanhechting van spieren, waardoor beweging mogelijk is. |
| Gewrichten | De verbindingen tussen botten die beweging mogelijk maken. Er zijn verschillende typen gewrichten, zoals scharniergewrichten en kogelgewrichten, elk met specifieke bewegingsmogelijkheden. |
| Spijsverteringsstelsel | Het systeem in het lichaam dat verantwoordelijk is voor het afbreken van voedsel tot opneembare voedingsstoffen en het uitscheiden van onverteerbare resten. |
| Enzymen | Biologische katalysatoren, meestal eiwitten, die chemische reacties in het lichaam versnellen, zoals de afbraak van voedselbestanddelen tot kleinere moleculen. |
| Voedingsstoffen | Essentiële stoffen die het lichaam nodig heeft voor groei, onderhoud en energie. Deze worden ingedeeld in bouwstoffen, brandstoffen, beschermende stoffen en ballaststoffen. |
| Ademhalingsstelsel | Het systeem dat zorgt voor de opname van zuurstof en de afgifte van koolstofdioxide door middel van de longen en luchtwegen. |
| Bloedvatenstelsel | Het transportsysteem van het lichaam, bestaande uit hart, bloedvaten en bloed, dat zuurstof, voedingsstoffen, hormonen en afvalstoffen door het hele lichaam transporteert. |
| Afweersysteem (immuunsysteem) | Het complexe netwerk van cellen, weefsels en organen dat het lichaam beschermt tegen ziekteverwekkers en schadelijke stoffen. |
| Vaccinatie | Een medische procedure waarbij een verzwakte, dode of gedeactiveerde vorm van een ziekteverwekker wordt ingebracht om het immuunsysteem te stimuleren en immuniteit op te bouwen. |
| Erfelijkheid | Het proces waarbij eigenschappen van ouders worden doorgegeven aan hun nakomelingen via genetisch materiaal (DNA) dat is opgeslagen in chromosomen. |
| Molecuul | Het kleinste deeltje van een stof dat nog alle eigenschappen van die stof bezit. Moleculen zijn opgebouwd uit atomen en hun gedrag bepaalt de verschijningsvorm van de stof. |
| Aggregatietoestanden | De verschillende vormen waarin een stof kan voorkomen, zoals vast, vloeibaar en gasvormig, afhankelijk van temperatuur en druk. |
| Kookpunt | De temperatuur waarbij een vloeistof overgaat in gasvormige toestand bij een bepaalde druk. |
| Oppervlaktespanning | Een verschijnsel waarbij de oppervlakte van een vloeistof zich gedraagt als een dun, elastisch vel door de aantrekkingskracht tussen de moleculen aan het oppervlak. |
| Luchtdruk | De druk die de atmosfeer uitoefent op het aardoppervlak en alles wat zich daar bevindt, veroorzaakt door het gewicht van de luchtmoleculen. |
| Magnetisme | Een natuurkundig fenomeen dat te maken heeft met aantrekkende en afstotende krachten tussen magneten en magnetiseerbare materialen, veroorzaakt door magnetische velden. |
| Elektriciteit | Een vorm van energie die wordt veroorzaakt door de beweging van geladen deeltjes, met name elektronen. Het kan statisch zijn (stilstaand) of dynamisch (stroom). |
| Stroomkring | Een gesloten pad waarlangs elektrische lading kan stromen, bestaande uit een spanningsbron, geleidende draden en een energieverbruiker. |
| Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektriciteit die de relatie beschrijft tussen spanning ($V$), stroomsterkte ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrische schakeling: $V = I \times R$. |
| Geluid | Trillingen die zich voortplanten door een medium (zoals lucht, water of vaste stoffen) en die door het oor kunnen worden waargenomen als toon, klankkleur en geluidssterkte. |
| Frequentie (toonhoogte) | Het aantal trillingen van een geluidsbron per seconde, uitgedrukt in hertz (Hz). Een hogere frequentie resulteert in een hogere toon. |
| Doppler effect | Een verschijnsel waarbij de waargenomen frequentie van een golf (zoals geluid of licht) verandert als gevolg van de relatieve beweging tussen de bron en de waarnemer. |
| Licht | Elektromagnetische straling die door het menselijk oog waarneembaar is. Licht beweegt zich voort als golven en kan worden weerkaatst, geabsorbeerd of gebroken. |
| Kleurenspectrum | Het bereik van zichtbare kleuren die ontstaan wanneer wit licht wordt gesplitst, zoals in een regenboog. De kleuren zijn geordend op basis van hun golflengte. |
| Kracht | Een interactie die de bewegingstoestand of vorm van een voorwerp kan veranderen. Krachten worden gekenmerkt door grootte, richting en aangrijpingspunt. |
| Zwaartekracht | De universele aantrekkingskracht tussen alle objecten met massa. Op aarde zorgt deze kracht ervoor dat objecten naar het middelpunt van de aarde worden getrokken. |
| Newton's wetten van beweging | Drie fundamentele wetten die de relatie beschrijven tussen de beweging van een voorwerp en de krachten die erop werken. Ze verklaren traagheid, versnelling en actie-reactie. |
| Techniek | Het toepassen van wetenschappelijke kennis en vaardigheden om problemen op te lossen en producten of processen te ontwerpen, te bouwen en te gebruiken. |
| Energieomzetting | Het proces waarbij energie van de ene vorm wordt omgezet in een andere vorm, zoals chemische energie in warmte of elektrische energie in beweging. |
| Duurzame energiebronnen | Energiebronnen die zichzelf aanvullen op een tijdschaal die relevant is voor menselijk gebruik, zoals zonlicht, wind en waterkracht, in tegenstelling tot fossiele brandstoffen. |
| Weersverschijnselen | Natuurlijke fenomenen die de toestand van de atmosfeer op een bepaalde plaats en tijd beschrijven, zoals temperatuur, luchtdruk, wind en neerslag. |
| Atmosfeer | Het gasvormige omhulsel dat een planeet omringt, bestaande uit verschillende lagen, waarvan de troposfeer de laag is waar het weer plaatsvindt. |
| Hemellichamen | Natuurlijke objecten in de ruimte, zoals sterren, planeten, manen en asteroïden, die deel uitmaken van het universum. |
| Zonnestelsel | Een systeem bestaande uit een ster (de zon) en alle hemellichamen die in een baan om die ster draaien, inclusief planeten, manen, planetoïden en kometen. |
| Seizoenen | Periodes in het jaar die worden gekenmerkt door specifieke weersomstandigheden en daglengtes, veroorzaakt door de gekantelde as van de aarde ten opzichte van de zon. |
| Eb en vloed (getijden) | De periodieke stijging en daling van de waterstand in oceanen en zeeën, voornamelijk veroorzaakt door de zwaartekracht van de maan en de zon. |
| Zonsverduistering | Een astronomisch fenomeen waarbij de maan tussen de aarde en de zon komt te staan, waardoor het zonlicht (gedeeltelijk of geheel) wordt geblokkeerd. |
| Maansverduistering | Een astronomisch fenomeen waarbij de aarde tussen de zon en de maan komt te staan, waardoor het zonlicht (gedeeltelijk of geheel) de maan niet bereikt. |
| Planeten | Grote hemellichamen die in een baan om een ster draaien, voldoende massa hebben om door hun eigen zwaartekracht een ronde vorm te krijgen, en hun baan hebben ‘schoongeveegd’ van andere objecten. |
| Sterrenbeeld | Een groep sterren aan de nachtelijke hemel die, vanuit de aarde gezien, een herkenbaar patroon vormen en vaak vernoemd zijn naar mythologische figuren of objecten. |