Mechanics

# Lichtbronnen en hun eigenschappen Dit onderwerp behandelt de verschillende soorten lichtbronnen, hoe licht zich voortplant, en concepten zoals terugkaatsing en schaduw, lichtbreking en de samenstelling van licht. ### 1.1 Lichtbronnen Voorwerpen die licht geven, worden lichtbronnen genoemd. We onderscheiden twee soorten lichtbronnen: * **Natuurlijke lichtbronnen:** Dit zijn lichtbronnen die van nature voorkomen. Voorbeelden zijn de zon en sterren. * **Kunstmatige lichtbronnen:** Dit zijn lichtbronnen die door mensen zijn gemaakt. Voorbeelden zijn gloeilampen en kaarsen. ### 1.2 Voortplanting van licht Licht verspreidt zich in rechte lijnen. Deze rechte lijnen worden lichtstralen genoemd. Lichtstralen zelf zijn onzichtbaar. #### 1.2.1 Terugkaatsing De meeste voorwerpen geven zelf geen licht. We zien deze voorwerpen doordat het licht dat op hen valt, door het voorwerp wordt teruggekaatst naar onze ogen. De spiegelwet beschrijft de terugkaatsing van licht: De hoek van inval is gelijk aan de hoek van terugkaatsing. Dit wordt wiskundig uitgedrukt als: $$ \angle i = \angle t $$ Waarin: * $\angle i$ de hoek van inval is. * $\angle t$ de hoek van terugkaatsing is. #### 1.2.2 Schaduw Een schaduw ontstaat wanneer een deel van het licht van een lichtbron wordt tegengehouden door een voorwerp. Dit komt doordat licht zich in rechte lijnen voortplant. #### 1.2.3 Spiegelbeeld Een spiegelbeeld is even ver achter de spiegel als het voorwerp ervoor staat. * De afstand van het voorwerp tot de spiegel wordt de voorwerpafstand genoemd. * De afstand van het spiegelbeeld tot de spiegel wordt de spiegelbeeld-afstand genoemd. Mathematisch geldt: $$ \text{Beeldafstand} = \text{Voorwerpafstand} $$ ### 1.3 Lichtbreking De snelheid van licht is niet in alle stoffen gelijk. In lucht en vacuüm is de lichtsnelheid ongeveer 300.000 kilometer per seconde. In stoffen zoals water en glas is deze snelheid lager, ongeveer 200.000 kilometer per seconde. Wanneer licht van de ene stof naar de andere gaat, verandert de snelheid, waardoor de lichtstraal van richting verandert. Dit fenomeen heet lichtbreking. #### 1.3.1 Lichtbreking door een prisma Wit licht is een mengsel van verschillende kleuren. Wanneer wit licht door een prisma gaat, wordt het licht gebroken en valt het uiteen in de verschillende kleuren van het spectrum, vergelijkbaar met een regenboog. #### 1.3.2 De samenstelling van licht Van alle soorten straling kunnen wij slechts een klein deel waarnemen als kleur. Dit zichtbare deel van het spectrum omvat de kleuren van de regenboog en mengsels daarvan. * **Primaire kleuren van het licht:** Rood, groen en blauw. Door deze kleuren in de juiste verhoudingen te mengen, ontstaat wit licht. * **Secundaire kleuren van het licht:** Magenta (blauwachtig rood), cyaan (groenachtig blauw) en geel. * **Primaire kleuren van verf:** Rood, geel en blauw. Door deze kleuren te mengen, ontstaat zwart. * **Secundaire kleuren van verf:** Oranje, groen en violet. ### 1.4 Andere vormen van straling Naast zichtbaar licht zijn er andere vormen van straling die we niet direct kunnen zien: * **Ultraviolette straling (UV):** Deze straling, vaak afkomstig van de zon, kan zorgen voor verkleuring van de huid (bruin worden) en wordt gebruikt in blacklights. * **Infraroodstraling:** Deze straling wordt gebruikt in afstandsbedieningen, bewegingsmelders en warmtebeeldcamera's. Het wordt geassocieerd met warmte. ### 1.5 Licht en lenzen Het menselijk oog bevat een lens die de vorm kan aanpassen (boller of platter maken) om beelden van objecten op verschillende afstanden scherp te stellen. Dit aanpassingsvermogen van het oog heet **accommodatie**. #### 1.5.1 Werking van een lens Het **brandpunt** van een lens is het punt waar evenwijdige lichtstralen die op de lens vallen, achter de lens samenkomen. Dit punt wordt aangegeven met de letter $F$. Voor scherp zicht in het oog is het ideaal als het brandpunt op de gele vlek van het netvlies valt. * **Bolle lens (convergerende lens):** De ooglens is een bolle lens. Een bolle lens is in het midden dikker dan aan de rand. Deze lens buigt lichtstralen naar elkaar toe. Een boller wordende lens heeft een kleinere brandpuntsafstand en buigt lichtstralen sterker af, wat nodig is om nabije objecten scherp te stellen. Een minder bolle lens is nodig voor verafgelegen objecten. * **Holle lens (divergerende lens):** Een holle lens is in het midden dunner dan aan de rand. Deze lens buigt lichtstralen van elkaar af. #### 1.5.2 Lichtbundels Een lichtbundel is een verzameling van lichtstralen. Er zijn drie typen lichtbundels: * **Divergerende bundel:** Lichtstralen lopen uiteen. * **Convergente bundel:** Lichtstralen lopen naar elkaar toe. * **Evenwijdige bundel:** Lichtstralen lopen parallel aan elkaar. Lenzen kunnen de richting van lichtbundels veranderen. Een bolle lens zorgt voor een convergerende werking, terwijl een holle lens een divergerende werking heeft. #### 1.5.3 Vergroten en verkleinen De vergrotingsfactor geeft aan hoe groot een beeld is ten opzichte van het oorspronkelijke voorwerp. Bij gebruik van een holle spiegel kan het beeld groter zijn dan het voorwerp, waarbij de vergrotingsfactor groter is dan 1. ### 1.6 Krachten (introductie) Hoewel dit deel van het document meer diepgaand ingaat op krachten, wordt het hier kort geïntroduceerd in relatie tot licht. Krachten worden gedefinieerd aan de hand van hun eigenschappen: aan- grijpingspunt, richting en grootte. Ze kunnen de vorm of de snelheid (grootte of richting) van een voorwerp veranderen. #### 1.6.1 Krachteenheid De eenheid van kracht is Newton (N). Krachten worden vaak aangeduid met de letter $F$. #### 1.6.2 Verschillende soorten krachten * **Kracht op afstand:** Zwaartekracht ($F_z$), elektrische kracht ($F_e$), magnetische kracht ($F_m$). * **Tegenwerkende kracht:** Wrijvingskracht ($F_w$), luchtweerstand ($F_{w,l}$). * **Krachten met contact:** Veerkracht ($F_v$), spankracht ($F_s$), spierkracht. Magnetische krachten ontstaan rond een magneet en kunnen voorwerpen aantrekken of afstoten. #### 1.6.3 Krachten tekenen Krachten worden getekend als pijlen (vectoren). De lengte van de pijl geeft de grootte van de kracht aan. Bij het tekenen van meerdere krachten in één afbeelding moet dezelfde schaal worden gebruikt. #### 1.6.4 Massa en gewicht * **Massa** is de hoeveelheid materie waaruit een voorwerp bestaat. * **Gewicht** is de aantrekkingskracht van een planeet op een voorwerp. Gewicht verandert afhankelijk van de planeet (bijvoorbeeld de maan ten opzichte van de aarde), terwijl massa constant blijft. De relatie tussen massa en gewicht kan als volgt worden uitgedrukt: $$ F_z = m \times g $$ Waarin: * $F_z$ de zwaartekracht is. * $m$ de massa is. * $g$ de valversnelling is (ongeveer 9,81 N/kg in Nederland). #### 1.6.5 Veerkracht Veerkracht is de kracht die een veer uitoefent wanneer deze wordt uitgerekt of ingedrukt. De grootte van de veerkracht is direct gerelateerd aan de uitrekking. Dit verband wordt beschreven door de veerconstante $C$: $$ F_v = C \cdot u $$ Waarin: * $F_v$ de veerkracht is. * $C$ de veerconstante is (in N/m). * $u$ de uitrekking van de veer is (in meter). > **Tip:** De veerconstante ($C$) geeft aan hoe stug een veer is. Een hogere $C$ betekent een stuggere veer die minder makkelijk uitrekt. > **Belangrijk:** Bij een constante snelheid is de stuwkracht gelijk aan de tegenwerkende kracht, waardoor de resulterende kracht nul is. --- # Krachten en hun effecten Dit deel van het document introduceert het concept van krachten, hun eigenschappen en de effecten die ze kunnen hebben op voorwerpen, zoals vervorming en veranderingen in snelheid. ### 2.1 Wat is een kracht? Een kracht is een onzichtbare invloed die de vorm of snelheid van een voorwerp kan veranderen. #### 2.1.1 Eigenschappen van krachten Krachten hebben de volgende eigenschappen: * **Onzichtbaar:** Krachten zelf zijn niet direct zichtbaar, maar hun effecten wel. * **Aangrijpingspunt:** Het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend. * **Richting:** De lijn waarin de kracht werkt. * **Grootte:** De sterkte van de kracht. #### 2.1.2 Effecten van krachten Krachten kunnen verschillende effecten hebben op voorwerpen: * **Verandering van vorm:** Een kracht kan een voorwerp blijvend of tijdelijk vervormen. * **Verandering van snelheid:** Een kracht kan de grootte of richting van de snelheid van een voorwerp veranderen. #### 2.1.3 Grootte en eenheid van krachten * Krachten worden aangeduid met de letter $F$ (van het Engelse 'force'). * De eenheid van kracht is Newton, afgekort met de letter $N$. #### 2.1.4 Soorten krachten Er worden verschillende soorten krachten onderscheiden: * **Krachten op afstand:** * Zwaartekracht ($F_z$): De aantrekkingskracht tussen massa's. * Elektrische kracht ($F_e$): Kracht tussen geladen deeltjes. * Magnetische kracht ($F_m$): Kracht tussen magneten of magnetische velden. * **Krachten met contact:** * Veerkracht ($F_v$): De kracht die een veer uitoefent als hij wordt uitgerekt of ingedrukt. * Spankracht ($F_s$): De kracht in een gespannen touw of kabel. * Spierkracht: De kracht die door spieren wordt uitgeoefend. * **Tegenwerkende krachten:** * Wrijvingskracht ($F_w$): Kracht die de beweging tegengaat door contact tussen oppervlakken. * Luchtweerstand ($F_{w,l}$): Wrijvingskracht veroorzaakt door lucht. * Normaalkracht ($F_n$): De kracht van een ondersteunend oppervlak loodrecht op dat oppervlak. ### 2.2 Het tekenen en optellen van krachten Krachten worden getekend als pijlen, waarbij de lengte van de pijl de grootte van de kracht aangeeft en de richting van de pijl de richting van de kracht. Bij het tekenen van meerdere krachten in één diagram wordt dezelfde schaal aangehouden. * **Resulterende kracht:** Meerdere krachten kunnen worden vervangen door één enkele kracht, de resulterende kracht genaamd. Dit is de netto-effectieve kracht. ### 2.3 Massa en gewicht * **Massa:** De hoeveelheid materie waaruit een voorwerp is opgebouwd. Massa is constant, ongeacht de locatie. * **Gewicht:** De aantrekkingskracht die een planeet uitoefent op een voorwerp. Gewicht is afhankelijk van de zwaartekracht van de planeet. * Op aarde is $1$ kilogram massa ongeveer gelijk aan een gewicht van $10$ Newton ($1$ kg $\approx 10$ N). * Het gewicht van een astronaut op de maan is aanzienlijk kleiner dan op aarde, hoewel de massa gelijk blijft. ### 2.4 Veerkracht en de veerconstante De veerkracht is de kracht die een veer uitoefent als deze wordt uitgerekt of ingedrukt. De grootte van deze kracht is evenredig met de uitrekking of indrukking van de veer. * **Veerunster:** Een instrument om krachten te meten door de uitrekking van een veer te meten. * **Veerconstante ($C$):** Een maat voor de stijfheid van een veer. Hoe groter de veerconstante, hoe stugger de veer. * De relatie tussen de veerkracht ($F_v$), de veerconstante ($C$) en de uitrekking ($u$) wordt gegeven door de formule: $$F_v = C \cdot u$$ Waarin: * $F_v$ de kracht op/van de veer is in Newton ($N$). * $C$ de veerconstante is in Newton per meter ($N/m$). * $u$ de uitrekking van de veer is in meter ($m$). #### **Tip:** Onthoud dat bij een spiraalveer, tweemaal zo ver uitrekken ook een tweemaal zo grote kracht betekent. ### 2.5 De normaalkracht De normaalkracht is de kracht die een ondersteunend oppervlak uitoefent op een voorwerp dat erop rust. Deze kracht staat altijd loodrecht op het ondersteunende vlak. * Bij evenwicht (wanneer een voorwerp stilstaat op een horizontaal oppervlak) is de normaalkracht gelijk aan de zwaartekracht ($F_n = F_z$). De normaalkracht is een reactiekracht op de zwaartekracht. ### 2.6 Verandering van snelheid Een resulterende kracht op een voorwerp zal leiden tot een verandering in snelheid. * **Versnellen:** Wanneer de aandrijvende kracht groter is dan de tegenwerkende krachten, neemt de snelheid toe. * **Vertragen (remmen):** Wanneer de tegenwerkende kracht groter is dan de aandrijvende kracht, neemt de snelheid af. Uiteindelijk kan het voorwerp tot stilstand komen. * **Constante snelheid:** Als er geen netto kracht op een voorwerp werkt (de resulterende kracht is $0$), behoudt het voorwerp een constante snelheid. Om met een constante snelheid te fietsen, is een stuwkracht nodig die gelijk is aan de totale tegenwerkende krachten (zoals wrijvingskracht en luchtweerstand). In dit geval is de somkracht $0$ Newton. #### **Voorbeeld:** Als de spierkracht van een fietser $150$ N is en de weerstandskracht ook $150$ N, dan is de somkracht $150 \, N - 150 \, N = 0 \, N$. De fietser behoudt een constante snelheid. Als de spierkracht groter is dan de weerstandskracht, zal de fietser versnellen. ### 2.7 De derde wet van Newton (actie-reactie) De derde wet van Newton stelt dat voor elke actie er een gelijke en tegengestelde reactie is. Dit betekent dat krachten altijd in paren optreden. * **Voorbeeld:** De zwaartekracht die de aarde op een blok uitoefent, is de actie. De reactie is de kracht die het blok op de aarde uitoefent. De normaalkracht die het oppervlak op het blok uitoefent, is ook een reactiekracht. ### 2.8 Druk Druk is de hoeveelheid kracht die op een bepaald oppervlak wordt uitgeoefend. * De formule voor druk ($p$) is: $$p = \frac{F}{A}$$ Waarin: * $p$ de druk is. * $F$ de kracht is in Newton ($N$). * $A$ het oppervlak is in vierkante meters ($m^2$). * Eenheden voor druk zijn Pascal ($Pa$). #### **Tip:** Een manometer geeft de overdruk of onderdruk weer ten opzichte van de luchtdruk. De absolute druk is de som van de luchtdruk en de overdruk, of het verschil tussen de luchtdruk en de onderdruk. ### 2.9 Hefbomen en de hefboomwet Hefbomen kunnen de benodigde kracht om een taak uit te voeren verkleinen. Hoe verder de kracht van het draaipunt wordt uitgeoefend, hoe kleiner de kracht die nodig is. * **Hefboomwet:** $$kracht_1 \times arm_1 = kracht_2 \times arm_2$$ Waarin: * $kracht_1$ en $kracht_2$ de krachten zijn. * $arm_1$ en $arm_2$ de afstanden van de krachten tot het draaipunt zijn. ### 2.10 Tandwielen en overbrengingen Tandwielen brengen beweging over van het ene deel van een machine naar het andere. De grootte van de tandwielen kan de beweging (kracht en snelheid) aanpassen. * Wanneer twee tandwielen elkaar raken, draaien ze in tegengestelde richting. * **Directe overbrenging:** Wanneer tandwielen elkaar raken, op verschillende assen zitten en in tegengestelde richting draaien. * Fietsversnellingen maken gebruik van tandwielen om de weerstand van de trapbeweging aan te passen, waardoor efficiënter gefietst kan worden in verschillende omstandigheden. ### 2.11 Magnetische krachten Rond een magneet bevindt zich een magnetisch veld dat magnetische krachten kan veroorzaken. Deze krachten kunnen zowel aantrekkend als afstotend werken. ### 2.12 Krachten bij botsingen Veiligheidsvoorzieningen zoals kreukelzones en veiligheidsgordels in auto's verminderen de kracht die optreedt bij een botsing. Dit komt doordat ze de remtijd van de botsing verlengen, wat resulteert in een kleinere vertraging volgens de formule $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Aangezien de kracht ook wordt gegeven door $F = m \cdot a$, leidt een kleinere vertraging tot een kleinere botskracht. ### 2.13 Arbeid Arbeid is de inspanning die nodig is om een voorwerp een bepaalde afstand te verplaatsen. Hoewel de tekst dit kort noemt, wordt de formule niet expliciet gegeven in dit deel. ### 2.14 Valversnelling Elk hemellichaam heeft zijn eigen valversnelling. Dit is de versnelling waarmee voorwerpen naar het centrum van het hemellichaam worden getrokken. Op aarde is de valversnelling ongeveer $g = 9,81 \, N/kg$. Dit betekent dat $1$ kg massa wordt aangetrokken met een kracht van circa $9,81$ N. ### 2.15 Krachten en constructies Bepaalde vormen zijn sterker en beter geschikt voor constructies omdat ze krachten beter verdelen. * **Driehoeken:** Zijn erg sterk omdat de druk goed verdeeld wordt en de lijnen niet zomaar van richting kunnen veranderen. * **Bogen:** Vangen duwkrachten goed op en verdelen de krachten gelijkmatig, wat ze erg stevig maakt. * **Profielen:** Geven constructies extra stevigheid en sterkte, bijvoorbeeld koker-, buis-, staaf-, strip-, hoeklijn-, T-, I-, en U-profielen. * **Composieten:** Materialen die bestaan uit verschillende componenten die elkaar verbeteren, zoals koolstofvezel (kunststof en koolstofvezels). Ze zijn vaak sterker en lichter dan traditionele materialen zoals staal of beton. --- # Energie en energieomzettingen Dit onderwerp verkent de fundamentele wet van behoud van energie, verschillende energievormen en hun omzettingen, evenals de bronnen van energie, zowel fossiele als hernieuwbare. ### 3.1 Wet van behoud van energie De wet van behoud van energie stelt dat energie nooit verloren gaat; deze blijft altijd bestaan. Energie kan echter wel worden omgezet van de ene vorm naar de andere. Deze omzettingen worden vaak weergegeven in energievormschema's of energiestroomdiagrammen. Een energieomzetter neemt een bepaalde energievorm op en geeft één of meer andere energievormen terug. ### 3.2 Soorten energie Er bestaan diverse vormen van energie: * **Warmte-energie:** Energie geassocieerd met de temperatuur van een object. * **Elektrische energie:** Energie die vrijkomt door de beweging van elektrische ladingen. * **Magnetische energie:** Energie die geassocieerd wordt met magnetische velden. * **Bewegingsenergie (kinetische energie):** Energie die een voorwerp bezit door zijn beweging. * **Geluidsenergie:** Energie die wordt overgedragen door trillingen in een medium. * **Stralingsenergie:** Energie die zich voortplant in de vorm van elektromagnetische golven (bv. licht, UV, infrarood). * **Kernenergie:** Energie die vrijkomt bij kernreacties, zoals kernsplijting. * **Potentiële energie (zwaarte-energie):** Energie die een voorwerp bezit door zijn positie in een zwaartekrachtveld. De standaardeenheid voor energie is de Joule, afgekort als $J$. ### 3.3 Energieomzettingen Energieomzettingen beschrijven hoe de ene energievorm wordt getransformeerd naar een andere. **Voorbeelden van energieomzetters en hun omzettingen:** * **Windmolen:** Zet bewegingsenergie van de wind om in elektrische energie en warmte. * Inkomende energie: Bewegingsenergie (wind). * Uitgaande energie: Elektrische energie, Warmte-energie. * **Kerncentrale:** Splijt uranium, waarbij veel warmte vrijkomt die water verwarmt tot stoom. De stoom drijft een turbine aan, die een generator laat draaien om elektriciteit te produceren. * Energiebron: Kernenergie (uraniumsplijting). * Omzetting: Kernenergie $\rightarrow$ Warmte-energie $\rightarrow$ Bewegingsenergie (turbine) $\rightarrow$ Elektrische energie. #### 3.3.1 Energieomzettingen in alledaagse voorbeelden * **Zonnepanelen:** Zonne-energie wordt direct omgezet in elektrische energie. * **Gloeilamp:** Elektrische energie wordt omgezet in licht- en warmte-energie. ### 3.4 Energiebronnen Energiebronnen kunnen worden onderverdeeld in fossiele brandstoffen en hernieuwbare energiebronnen. #### 3.4.1 Fossiele brandstoffen Dit zijn brandstoffen die ontstaan zijn uit afgestorven organisch materiaal over miljoenen jaren. Voorbeelden zijn aardolie, aardgas en steenkool. Het verbranden van fossiele brandstoffen stoot koolstofdioxide ($CO_2$) uit, wat bijdraagt aan klimaatverandering. #### 3.4.2 Hernieuwbare (groene) energie Hernieuwbare energiebronnen raken niet op en zijn milieuvriendelijker. Ze worden ook wel duurzame energie genoemd. * **Zonne-energie:** Energie afkomstig van de zon, vaak opgewekt met zonnepanelen. * **Windenergie:** Energie opgewekt door windturbines. * **Waterkracht:** Energie afkomstig van stromend water. * **Geothermische energie:** Energie gewonnen uit de warmte in de aardbodem. * **Biomassa (biobrandstoffen):** Energie uit organisch materiaal, zoals planten en afval. **Nadelen van hernieuwbare energie:** * Vaak afhankelijk van weersomstandigheden (bv. zon, wind). * Er zijn nog steeds grondstoffen en energie nodig voor de productie van installaties (bv. windmolens). ### 3.5 Energie en fasenovergangen Energie speelt ook een rol bij de overgang van de ene fase van materie naar de andere: * **Smelten:** Overgang van vast naar vloeibaar. * **Verdampen:** Overgang van vloeibaar naar gas. * **Condenseren:** Overgang van gas naar vloeibaar. * **Bevriezen:** Overgang van vloeibaar naar vast. * **Rijpen:** Overgang van gas naar vast. * **Vervluchtigen (sublimeren):** Overgang van vast naar gas. ### 3.6 Isolatie Isolatie is het proces waarbij warmtetransport wordt tegengehouden, bijvoorbeeld in gebouwen om warmteverlies te beperken. ### 3.7 Energietransformaties in het dagelijks leven Energie is overal aanwezig en wordt constant omgezet. Bij het fietsen bijvoorbeeld, wordt de chemische energie in voedsel omgezet in spierkracht, die vervolgens bewegingsenergie van de fiets creëert. Tegenwerkende krachten, zoals luchtweerstand en wrijvingskracht, zetten deze bewegingsenergie deels om in warmte. --- # Constructies en materiaaleigenschappen Hier is de samenvatting voor "Constructies en materiaaleigenschappen", opgesteld volgens de specificaties: ## 4. Constructies en materiaaleigenschappen Dit onderwerp behandelt de sterke vormen en materialen die essentieel zijn voor de constructie van bouwwerken en andere structuren, met aandacht voor hun specifieke eigenschappen en toepassingen. ### 4.1 Sterke vormen in constructies Bepaalde geometrische vormen bieden inherente structurele voordelen, waardoor ze ideaal zijn voor constructieve doeleinden. #### 4.1.1 De driehoek De driehoek wordt beschouwd als een van de sterkste vormen in constructies. De stabiliteit ervan is te danken aan het feit dat de hoeken van een driehoek niet kunnen verschuiven zonder de lengte van de zijden te veranderen. Dit zorgt voor een optimale verdeling van krachten en voorkomt inklappen. In tegenstelling tot een vierkant, dat door zijn vier hoeken wel kan inklappen, biedt de driehoek een robuuste en onvervormbare structuur. #### 4.1.2 De boog Bogen zijn vormen die uitstekend in staat zijn om duwkrachten op te vangen. De krachten die op een boogconstructie werken, worden gelijkmatig verdeeld, wat resulteert in een hoge mate van stevigheid. Deze eigenschap maakt bogen uitermate geschikt voor toepassingen zoals viaducten en bruggen. Historische voorbeelden, zoals bruggen gebouwd met bogen en gewelven in de Middeleeuwen, tonen de blijvende effectiviteit van deze constructievorm. #### 4.1.3 Profielen Profielen, staven met specifieke doorsnedevormen, worden veelvuldig gebruikt in bouwwerken. Ze combineren lichtheid met sterkte. Voorbeelden van profielen zijn: * Koker * Buis * Staf * Strip * Hoeklijn * T-profiel * U-profiel * I-profiel Deze profielen worden vaak vernoemd naar hun doorsnedevorm, zoals I-profiel of U-profiel. ### 4.2 Materialen in constructies De keuze van materialen is cruciaal voor de prestaties en duurzaamheid van constructies. Composieten en legeringen bieden verbeterde eigenschappen ten opzichte van traditionele materialen. #### 4.2.1 Composieten Composieten zijn samengestelde materialen die bestaan uit verschillende componenten die elkaars eigenschappen verbeteren. Een bekend voorbeeld is carbon fiber, dat is opgebouwd uit kunststof en koolstofvezels. Composieten zijn over het algemeen sterker en lichter dan materialen zoals staal, beton en hout, wat hen tot veelbelovende bouwmateriaalen voor de toekomst maakt. #### 4.2.2 Legeringen Een legering is een mengsel van metalen. Net als bij composieten is het doel van een legering om de eigenschappen van de individuele metalen te verbeteren, zodat het eindproduct beter aansluit bij het beoogde doel. ### 4.3 Soorten bruggen Er zijn diverse soorten bruggen, elk ontworpen met specifieke structurele principes om verschillende overspanningen en belastingseisen te accommoderen. Enkele veelvoorkomende typen zijn: * Vakwerkbrug * Tuibrug * Boogbrug * Hangbrug --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Lichtbronnen | Voorwerpen die zelf licht uitstralen, zoals de zon, sterren, gloeilampen en kaarsen. Ze zijn essentieel om objecten te kunnen zien. | | Natuurlijke lichtbron | Een lichtbron die van nature voorkomt, zoals de zon en sterren, en zelf licht produceert zonder menselijke tussenkomst. | | Kunstmatige lichtbron | Een lichtbron die door de mens is gemaakt en licht produceert, zoals gloeilampen, kaarsen en LED-lampen. | | Lichtstralen | De banen die licht volgt; licht verspreidt zich in rechte lijnen en deze worden voorgesteld als pijlen of lijnen. Lichtstralen zelf zijn onzichtbaar. | | Terugkaatsing | Het verschijnsel waarbij licht dat op een voorwerp valt, een deel van dat licht weer terugkaatst, waardoor het voorwerp zichtbaar wordt voor onze ogen. | | Spiegelwet | Een natuurkundige wet die stelt dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek van terugkaatsing (/_i = /_t). Dit principe is fundamenteel voor het begrijpen van hoe spiegels werken. | | Schaduw | Een gebied dat ontstaat wanneer een voorwerp het licht van een lichtbron blokkeert, omdat licht zich in rechte lijnen voortplant. | | Spiegelbeeld | Een reflectie die in een spiegel wordt gezien; het lijkt alsof het beeld zich even ver achter de spiegel bevindt als het voorwerp ervoor. | | Voorwerpafstand | De afstand tussen een object en een spiegel of lens. | | Beeldafstand | De afstand tussen een spiegel of lens en het gevormde beeld. Volgens de wet geldt: Beeldafstand = Voorwerpafstand. | | Lichtbreking | Het verschijnsel dat optreedt wanneer een lichtstraal van richting verandert bij het passeren van de ene stof naar de andere, doordat de lichtsnelheid verandert. | | Spectrum | De reeks kleuren die zichtbaar wordt wanneer wit licht door een prisma valt, wat aantoont dat wit licht is samengesteld uit verschillende kleuren. | | Primaire kleuren van het licht | Rood, groen en blauw. Door deze kleuren in verschillende verhoudingen te mengen, kan alle andere zichtbare kleuren worden gevormd, inclusief wit licht. | | Primaire verfkleuren | Rood, geel en blauw. Deze kleuren zijn de basis voor het mengen van verf en kunnen, wanneer ze in de juiste verhoudingen worden gecombineerd, zwart vormen. | | Straling | Energie die zich voortplant in de vorm van golven of deeltjes, zoals ultraviolette (UV) en infrarode (IR) straling, waarvan een deel onzichtbaar is voor het menselijk oog. | | Accommoderen | Het proces waarbij de ooglens van vorm verandert om de focus aan te passen, zodat objecten op verschillende afstanden scherp kunnen worden waargenomen. | | Brandpunt | Het punt waar evenwijdige lichtstralen samenkomen achter een bolle lens, of waar ze vandaan lijken te komen bij een holle lens. | | Lichtbundel | Een verzameling van meerdere lichtstralen die zich samen voortplanten. Deze bundels kunnen divergerend (uit elkaar lopend), convergerend (naar elkaar toe lopend) of evenwijdig zijn. | | Vergrotingsfactor | Een getal dat aangeeft hoe veel groter of kleiner een beeld is ten opzichte van het oorspronkelijke voorwerp. | | Kracht | Een natuurkundige grootheid die de oorzaak is van een verandering in vorm of snelheid van een voorwerp. Krachten worden gemeten in Newton (N). | | Aangrijpingspunt | Het punt op een voorwerp waar een kracht wordt uitgeoefend. | | Resultante kracht | De enkele kracht die de plaats inneemt van meerdere krachten die op een voorwerp werken; de nettokracht. | | Massa | De hoeveelheid materie waaruit een voorwerp bestaat. Massa blijft constant, onafhankelijk van de locatie. | | Gewicht | De aantrekkingskracht die een planeet uitoefent op een voorwerp. Gewicht verandert afhankelijk van de zwaartekracht van de planeet. | | Veerkracht | De kracht die een uitgerekte of samengedrukte veer uitoefent om terug te keren naar zijn oorspronkelijke vorm. | | Veerconstante ($C$) | Een maat voor de stijfheid van een veer; hoe groter de veerconstante, hoe stugger de veer. De formule is $F_v = C \cdot u$. | | Normaalkracht | De kracht die een oppervlak uitoefent op een voorwerp dat erop rust, loodrecht op het oppervlak. Bij evenwicht is deze gelijk aan de zwaartekracht. | | Versnellen | Het proces waarbij de snelheid van een voorwerp toeneemt. | | Vertragen | Het proces waarbij de snelheid van een voorwerp afneemt. | | Constante snelheid | De situatie waarin de snelheid van een voorwerp niet verandert; de resulterende kracht is nul. | | Derde wet van Newton | Stelt dat voor elke actie er een gelijke en tegengestelde reactie is; een wisselwerking tussen krachten. | | Hefboomwet | Een principe dat stelt dat het product van kracht en armlengte aan weerszijden van een draaipunt gelijk is ($kracht1 \times arm1 = kracht2 \times arm2$). | | Druk | De kracht per eenheid van oppervlakte ($p = F/A$). | | Absolute druk | De werkelijke druk, inclusief de omgevingsdruk (bijvoorbeeld luchtdruk). | | Overdruk | Het verschil tussen de absolute druk en de omgevingsdruk, wanneer de absolute druk hoger is. | | Onderdruk | Het verschil tussen de omgevingsdruk en de absolute druk, wanneer de absolute druk lager is. | | Energie | Het vermogen om arbeid te verrichten. Energie kan verschillende vormen aannemen en kan worden omgezet, maar gaat nooit verloren (wet van behoud van energie). | | Wet van behoud van energie | Een fundamentele natuurwet die stelt dat energie in een gesloten systeem constant blijft; het kan alleen van vorm veranderen. | | Energieomzetter | Een apparaat of systeem dat een vorm van energie omzet in een of meer andere vormen van energie. | | Energiebronnen | Natuurlijke of kunstmatige bronnen waaruit energie kan worden verkregen, zoals fossiele brandstoffen en hernieuwbare bronnen. | | Fossiele brandstoffen | Brandstoffen gevormd uit de resten van oude organismen, zoals aardolie, aardgas en steenkool. | | Hernieuwbare energie | Energie uit bronnen die zichzelf continu aanvullen, zoals zon, wind en water. Deze bronnen zijn duurzaam en milieuvriendelijker. | | Duurzame energie | Energie die op een milieuvriendelijke en efficiënte manier wordt geproduceerd en gebruikt, met minimale impact op het milieu. | | Isolatie | Het proces of materiaal dat wordt gebruikt om warmtetransport tegen te houden, om warmte binnen of buiten te houden. | | Snelheid/tijd diagram (v,t) | Een grafiek die de snelheid van een voorwerp weergeeft als functie van de tijd. | | Afstand/tijd diagram (s/t) | Een grafiek die de afgelegde afstand van een voorwerp weergeeft als functie van de tijd. | | Zwaartekracht ($F_z$) | De aantrekkingskracht tussen twee massa's, met name de kracht die de aarde uitoefent op objecten nabij het aardoppervlak. De formule is $F_z = m \times g$. | | Valversnelling ($g$) | De versnelling die een object ondervindt door de zwaartekracht. Deze is afhankelijk van de massa van het hemellichaam (bijv. $g \approx 9,81$ N/kg op aarde). | | Remkracht | De kracht die nodig is om een bewegend voorwerp te vertragen of tot stilstand te brengen. | | Arbeid | Het verrichten van een kracht over een bepaalde afstand. De eenheid is Joule (J). | | Tandwielen | Mechanische componenten met tanden die in elkaar grijpen om beweging en kracht over te brengen tussen assen, vaak met een verandering in snelheid of richting. | | Constructies | Gebouwen of structuren die zijn opgebouwd uit verschillende onderdelen, ontworpen om krachten te weerstaan en stabiliteit te bieden. | | Composiet | Een materiaal dat bestaat uit twee of meer samengestelde materialen met verschillende eigenschappen, zoals koolstofvezel (kunststof en koolstofvezels). | | Legering | Een mengsel van twee of meer metalen, of een metaal met een ander element, om de eigenschappen van de metalen te verbeteren. |

# Oplossingen voor trillingen met veren Dit gedeelte behandelt de analyse en berekening van de beweging van massa's die aan veren zijn opgehangen, waarbij concepten als amplitude, frequentie, periode en snelheid centraal staan. ### 1.1 Basisprincipes van trillingen met veren Wanneer een massa aan een veer wordt gehangen en uit zijn evenwichtsstand wordt gebracht, zal deze een harmonische beweging uitvoeren, mits wrijving verwaarloosd wordt. De terugwerkende kracht van de veer is evenredig met de uitrekking of indrukking volgens de wet van Hooke. * **Wet van Hooke:** De kracht $F$ die door een veer wordt uitgeoefend, is recht evenredig met de uitrekking of indrukking $\Delta y$ ten opzichte van de ruststand. De evenredigheidsconstante is de veerconstante $k$. $F = k \cdot \Delta y$ [10](#page=10) [11](#page=11) [15](#page=15) [17](#page=17) [19](#page=19) [6](#page=6) [8](#page=8). * **Gravitatiekracht:** De kracht die door de massa wordt uitgeoefend op de veer, is gelijk aan zijn gewicht, $G = mg$ [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [19](#page=19) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8). * **Evenwichtsstand:** In de evenwichtsstand is de zwaartekracht gelijk aan de veerkracht [19](#page=19) [1](#page=1) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8). ### 1.2 Berekening van veerconstante, massa, amplitude, frequentie en periode De beweging van een massa aan een veer kan worden gekarakteriseerd door de amplitude, de frequentie en de periode. * **Amplitude (A):** De maximale uitwijking vanaf de evenwichtsstand [19](#page=19) [1](#page=1) [6](#page=6) [8](#page=8). * In veel gevallen is de amplitude de extra uitrekking of indrukking die aan de veer wordt gegeven nadat de massa in rust is gebracht in de evenwichtsstand [1](#page=1) [6](#page=6) [8](#page=8). * **Hoekfrequentie ($\omega$):** De hoekfrequentie van de trilling is gerelateerd aan de veerconstante en de massa volgens: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ [19](#page=19) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8) [9](#page=9). Het kan ook worden berekend uit de maximale snelheid ($v_{max}$) en de amplitude ($A$): $\omega = \frac{v_{max}}{A}$ [8](#page=8) [9](#page=9). * **Periode (T):** De tijd die nodig is voor één volledige trilling. De periode is gerelateerd aan de hoekfrequentie door: $T = \frac{2\pi}{\omega}$ [6](#page=6) [7](#page=7). Door substitutie van de uitdrukking voor $\omega$ krijgt men: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ [6](#page=6) [7](#page=7). De tijd tussen het hoogste en laagste punt van de beweging is gelijk aan een halve periode [7](#page=7). * **Frequentie (f):** Het aantal trillingen per seconde. De frequentie is het omgekeerde van de periode: $f = \frac{1}{T}$ [6](#page=6). Dit impliceert ook $f = \frac{\omega}{2\pi}$ [6](#page=6). ### 1.3 Verband tussen energie en beweging Bij trillingen met veren wordt energie omgezet tussen potentiële en kinetische energie. * **Potentiële energie van een veer ($E_{pot,veer}$):** De energie opgeslagen in een uitgerekte of samengedrukte veer wordt gegeven door: $E_{pot,veer} = \frac{1}{2} k y^2$ [16](#page=16) [17](#page=17). waar $y$ de uitwijking is ten opzichte van de ruststand. * **Kinetische energie ($E_k$):** De energie van beweging. $E_k = \frac{1}{2} m v^2$ * **Potentiële energie van zwaartekracht ($E_{pot,zwaartekracht}$):** De energie gerelateerd aan de hoogte. $E_{pot,zwaartekracht} = mgh$ [16](#page=16) [17](#page=17). * **Behoud van energie:** In een wrijvingsloos systeem wordt de totale mechanische energie (som van kinetische en potentiële energie) behouden. Dit principe wordt gebruikt om de hoogte te berekenen die een object bereikt na te zijn weggeschoten door een veer of om de veerconstante te bepalen wanneer een vallend object een veer samendrukt [16](#page=16) [17](#page=17). ### 1.4 Specifieke toepassingen en voorbeelden De principes van trillingen met veren worden toegepast in diverse situaties, zoals: * **Bepalen van mechanische eigenschappen:** Uit gegevens over uitrekking bij een gegeven massa kan de veerconstante worden berekend. Omgekeerd kan de massa worden bepaald als de veerconstante en de bewegingsparameters bekend zijn [19](#page=19) [6](#page=6) [8](#page=8) [9](#page=9). * **Drukventielen:** De werking van drukventielen in stoomketels en -vaten is gebaseerd op veren die bij een bepaalde druk worden ingedrukt, waardoor stoom kan ontsnappen. De veerconstante en de druk waarbij het ventiel opent, zijn gerelateerd via de kracht op het ventieloppervlak en de veerwet [10](#page=10) [11](#page=11). * De kracht die een ventiel opent, wordt berekend als $F = p \cdot A$, waarbij $p$ de overdruk is en $A$ het oppervlak van het afsluitstuk [10](#page=10) [11](#page=11). * De veerconstante kan vervolgens worden berekend met $k = F / \Delta y$ [11](#page=11). * **Voertuighoephanging:** De veren in de ophanging van een wagen dragen het gewicht van de wagen en de passagiers. De doorzakking van de wagen door extra gewicht kan worden berekend met de wet van Hooke, waarbij de totale veerkracht wordt verdeeld over de individuele veren [15](#page=15). * **Dynamische bewegingsanalyse:** De positie van een trillende massa op een bepaald tijdstip kan worden beschreven met een sinus- of cosinusfunctie, afhankelijk van de beginvoorwaarden (beginpositie en beginsnelheid). De algemene vorm van de uitwijking is $y = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$, waarbij $\phi_0$ de beginfase is die bepaald wordt uit de begincondities bij $t=0$ [19](#page=19). > **Tip:** Let goed op de eenheden die in de opgaven worden gebruikt. Zorg ervoor dat alle waarden worden omgerekend naar standaard SI-eenheden (kilogram voor massa, meters voor lengte, seconden voor tijd) voordat je berekeningen uitvoert [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [19](#page=19) [1](#page=1) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8) [9](#page=9). > **Tip:** Bij het oplossen van problemen waarbij energie wordt omgezet, is het nuttig om alle energiebronnen en -vormen in kaart te brengen en het principe van energiebehoud toe te passen [16](#page=16) [17](#page=17). > **Tip:** De tijd tussen het bovenste en onderste punt van een trilling is altijd een halve periode. Dit is een veelgebruikte manier om de periode indirect te bepalen [7](#page=7). --- # Oplossingen voor slingerbewegingen Dit gedeelte behandelt de berekeningen gerelateerd aan slingers, waaronder de bepaling van de periode, lengte en de maximale snelheid van een slingerende massa [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21) [2](#page=2) [5](#page=5). ### 2.1 Wiskundige slinger en gerelateerde formules Een wiskundige slinger kan worden benaderd met specifieke formules die de relatie tussen de hoeksnelheid ($\omega$), de periode ($T$), de frequentie ($f$), de lengte van de slinger ($l$) en de zwaartekrachtsversnelling ($g$) beschrijven [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21). #### 2.1.1 De hoeksnelheid en periode De hoeksnelheid van een wiskundige slinger is gerelateerd aan de zwaartekrachtsversnelling en de lengte van de slinger door de volgende formule [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21): $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$ De hoeksnelheid is ook gerelateerd aan de periode ($T$) en frequentie ($f$) door de volgende relaties [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21): $$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$ $$ \omega = 2\pi f $$ Door deze formules te combineren, kunnen we de volgende relaties afleiden voor de periode en lengte van een slinger [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [21](#page=21): $$ \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{g}{l}} $$ $$ l = g \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 $$ $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$ **Voorbeeld:** Bepaal de lengte van een slinger met een periode van 0,80 seconden [13](#page=13). Gegeven: $T = 0,80 \, \text{s}$, $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$. Gebruik de formule: $l = g \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2$. $$ l = 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \left( \frac{2\pi}{0,80 \, \text{s}} \right)^2 = 0,1590337 \, \text{m} $$ Het antwoord is $l = 0,159 \, \text{m}$ [13](#page=13). **Voorbeeld:** Bepaal de periode van een slinger als deze 42 centimeter langer wordt gemaakt, gegeven dat de oorspronkelijke frequentie 0,735 Hz was [18](#page=18). Eerst bepalen we de oorspronkelijke lengte van de slinger met $f = 0,735 \, \text{Hz}$ en $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$. $$ 2\pi f = \sqrt{\frac{g}{l}} $$ $$ \frac{g}{l} = (2\pi f)^2 $$ $$ l = \frac{g}{(2\pi f)^2} = \frac{9,81 \, \text{m/s}^2}{(2\pi \cdot 0,735 \, \text{Hz})^2} = 0,459975 \, \text{m} $$ De slinger wordt 42 cm langer gemaakt, dus de nieuwe lengte is $l_{\text{nieuw}} = 0,459975 \, \text{m} + 0,42 \, \text{m} = 0,8799754 \, \text{m}$. Nu berekenen we de nieuwe periode met de nieuwe lengte: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l_{\text{nieuw}}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,8799754 \, \text{m}}{9,81 \, \text{m/s}^2}} = 1,88131 \, \text{s} $$ Het antwoord is $T = 1,88 \, \text{s}$ [18](#page=18). ### 2.2 Maximale snelheid van een slingerende massa De maximale snelheid ($v_{\text{max}}$) van een slingerende massa treedt op in de evenwichtspositie en is gerelateerd aan de amplitude ($A$) en de hoeksnelheid ($\omega$) door de volgende formule [20](#page=20) [21](#page=21): $$ v_{\text{max}} = A \cdot \omega $$ Hierbij is de amplitude ($A$) de maximale uitwijking vanuit de evenwichtspositie. Deze uitwijking kan worden uitgedrukt in termen van de straal (de lengte van de slinger $l$) en de maximale hoek ($\theta$) als een booglengte: $$ A = r \cdot \theta $$ waarbij $r = l$. Als de beginpositie van de slinger een bepaalde hoogte heeft, kan de amplitude ook worden bepaald door de kinetische energie in de evenwichtspositie gelijk te stellen aan de potentiële energie op de maximale uitwijking, of door de uitwijking als een booglengte te berekenen uit de beginhoogte of de initiële hoek. **Voorbeeld:** Bepaal de hoek waarover een slinger van 1,28 meter lengte moet worden uitgetrokken, zodat de maximale snelheid in de evenwichtspositie 1,58 m/s is [20](#page=20). Gegeven: $l = 1,28 \, \text{m}$, $v_{\text{max}} = 1,58 \, \text{m/s}$, $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$. Eerst bepalen we de hoeksnelheid $\omega$: $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,81 \, \text{m/s}^2}{1,28 \, \text{m}}} = 2,768404 \, \text{s}^{-1} $$ Vervolgens bepalen we de amplitude $A$ met $v_{\text{max}} = A \cdot \omega$: $$ A = \frac{v_{\text{max}}}{\omega} = \frac{1,58 \, \text{m/s}}{2,768404 \, \text{s}^{-1}} = 0,570726 \, \text{m} $$ Nu berekenen we de hoek $\theta$ waarover de massa is uitgetrokken, gebruikmakend van $A = r \cdot \theta$: $$ \theta = \frac{A}{r} = \frac{0,570726 \, \text{m}}{1,28 \, \text{m}} = 0,44588 \, \text{rad} $$ Omzetten naar graden: $$ 0,44588 \, \text{rad} \cdot \frac{180^\circ}{\pi \, \text{rad}} = 25,547^\circ $$ Het antwoord is $25,547^\circ$ of $25^\circ 32' 49''$ [20](#page=20). **Voorbeeld:** Een slinger met een lengte van 87,3 cm en een massa van 237 g wordt 42,6 cm opzij getrokken en losgelaten. Bepaal de periode en de maximale snelheid [21](#page=21). Gegeven: $l = 87,3 \, \text{cm} = 0,873 \, \text{m}$, initiële uitwijking = 42,6 cm. a) Bepaal de periode ($T$): $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,873 \, \text{m}}{9,81 \, \text{m/s}^2}} = 1,87436 \, \text{s} $$ De periode is $T \approx 1,87 \, \text{s}$ [21](#page=21). b) Bepaal de maximale snelheid ($v_{\text{max}}$): Eerst berekenen we de hoeksnelheid $\omega$: $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,81 \, \text{m/s}^2}{0,873 \, \text{m}}} = 3,35218 \, \text{s}^{-1} $$ Om de amplitude $A$ te bepalen, gebruiken we de initiële uitwijking. De relatie tussen de initiële hoek $\theta_{\text{initieel}}$ en de booglengte van de uitwijking is $A = l \cdot \theta_{\text{initieel}}$. We kunnen $\theta_{\text{initieel}}$ vinden door te kijken naar de initiële uitwijking als een deel van de lengte. Als we de initiële uitwijking van 42,6 cm beschouwen als een booglengte $A$, dan is de hoek $\theta_{\text{initieel}} = A/l$. Echter, de berekening in het document gebruikt $\sin(\theta_{\text{initieel}}) = \frac{\text{uitwijking}}{l}$. Dit impliceert dat de 42,6 cm een horizontale afstand is, en niet een booglengte. In dit geval wordt de hoek $\theta_{\text{initieel}}$ als volgt berekend: $$ \sin(\theta_{\text{initieel}}) = \frac{42,6 \, \text{cm}}{87,3 \, \text{cm}} = 0,4879725 $$ $$ \theta_{\text{initieel}} = \arcsin(0,4879725) = 0,509765 \, \text{rad} $$ De amplitude (booglengte) is dan: $$ A = l \cdot \theta_{\text{initieel}} = 0,873 \, \text{m} \cdot 0,509765 \, \text{rad} = 0,4450252 \, \text{m} $$ Nu de maximale snelheid: $$ v_{\text{max}} = A \cdot \omega = 0,4450252 \, \text{m} \cdot 3,35218 \, \text{s}^{-1} = 1,4918 \, \text{m/s} $$ De maximale snelheid is $v_{\text{max}} \approx 1,49 \, \text{m/s}$ [21](#page=21). > **Tip:** Bij het berekenen van de maximale snelheid van een slinger is het cruciaal om de amplitude correct te bepalen. Vaak wordt de amplitude gegeven als een booglengte, maar soms moet deze worden afgeleid uit een initiële hoek of een horizontale afstand. ### 2.3 Voorbeelden uit het document Enkele voorbeelden uit het document illustreren de toepassing van deze formules [12](#page=12) [13](#page=13) [15](#page=15) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21) [2](#page=2) [5](#page=5). * Een massa van 0,5 kg aan een slinger moet een lengte van 0,99396 m hebben om een periode van 2 s te hebben [12](#page=12). * Een slinger met een lengte van 1,28 m en een massa van 168 g vereist een hoek van 25,547° voor een maximale snelheid van 1,58 m/s [20](#page=20). * Een slinger met een lengte van 87,3 cm en een massa van 237 g heeft een periode van 1,87 s en een maximale snelheid van 1,49 m/s wanneer deze 42,6 cm opzij wordt getrokken [21](#page=21). --- # Toepassingen van veren en slingers in voertuigen en ventielen Deze sectie analyseert de toepassing van veersystemen en drukventielen in voertuigen en stoomketels, inclusief de berekening van frequenties en benodigde veerconstanten. ### 3.1 Veersystemen in voertuigen Voertuigen maken gebruik van veersystemen voor de ophanging, wat essentieel is voor comfort en rijgedrag. De ophanging van een wagen kan worden gemodelleerd als een veersysteem. #### 3.1.1 Berekening van de frequentie van de ophanging De frequentie waarmee een wagen op en neer veert, kan worden berekend met behulp van de massa van de wagen (inclusief inzittenden) en de gecombineerde veerconstante van de veringen. Aangenomen wordt dat elke veer dezelfde belasting draagt. De formule voor de frequentie ($f$) van een trillend systeem is afgeleid van de hoekfrequentie $\omega$: $$ \omega = 2\pi T = 2\pi f $$ En ook: $$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$ Waar $k$ de totale effectieve veerconstante is en $m$ de massa. Door deze gelijk te stellen, verkrijgen we: $$ 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{m}} $$ En de frequentie $f$ wordt dan: $$ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $$ **Voorbeeld:** Een wagen met een massa van 1280 kg (inclusief twee personen) heeft vier veringen, elk met een krachtconstante van $1,25 \times 10^4$ N/m. De massa die aan elke veer wordt toebedeeld, is $1/4$ van de totale massa, dus 320 kg. De frequentie waarmee de wagen op en neer veert bij het rijden over een drempel van 12,5 cm hoog, is [14](#page=14): $$ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1,25 \times 10^4 \text{ N/m}}{320 \text{ kg}}} \approx 0,995 \text{ Hz} $$ #### 3.1.2 Berekening van de doorzakking van de wagen Bij het instappen van personen neemt de totale massa van de wagen toe, wat resulteert in een extra doorzakking van de vering. Deze doorzakking kan worden berekend met behulp van de Wet van Hooke ($F = k \cdot \Delta y$). De extra kracht op elke veer is een deel van het totale gewicht van de extra personen. Als de massa van de personen $m_p$ is en er vier veren zijn, dan is de extra kracht per veer $F_{\text{extra}} = \frac{m_p \cdot g}{4}$. De doorzakking $\Delta y$ kan dan worden berekend als $\Delta y = \frac{F_{\text{extra}}}{k_{\text{veer}}}$. **Voorbeeld:** Een wagen met een massa van 1175 kg heeft vier veren met een veerconstante van $1,10 \times 10^4$ N/m. Als er drie personen met een totale massa van 244 kg instappen, is de extra kracht per veer [15](#page=15): $$ G = \frac{244 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{4} = 598,41 \text{ N} $$ Volgens de Wet van Hooke, $F = k \cdot \Delta y$, wordt de doorzakking $\Delta y$ berekend als: $$ \Delta y = \frac{598,41 \text{ N}}{1,10 \times 10^4 \text{ N/m}} = 0,0544 \text{ m} $$ Dit komt overeen met 5,44 cm [15](#page=15). ### 3.2 Drukventielen in stoomketels Drukventielen, essentieel voor de veiligheid van stoomketels en stoomvaten, maken gebruik van veren om de druk te reguleren. Wanneer de druk in het vat te hoog wordt, wordt een veer ingedrukt, waardoor een afsluitstuk omhoog gaat en stoom kan ontsnappen. #### 3.2.1 Berekening van de openingsdruk van een ventiel De druk waarbij een ventiel opent, is gerelateerd aan de kracht die nodig is om de veer een bepaalde afstand in te drukken, en de oppervlakte waarop de druk werkt. De kracht die de veer moet overwinnen is $F = k \cdot \Delta y$, waar $k$ de veerconstante is en $\Delta y$ de doorbuiging van de veer op het moment van openen. De druk $p$ wordt berekend met de formule $p = F/A$, waarbij $A$ het oppervlak van het afsluitstuk is. Het oppervlak wordt berekend met $A = \pi r^2$, waar $r$ de straal van het afsluitstuk is [10](#page=10). **Voorbeeld 1:** Een ventiel met een veerconstante van 2450 N/m moet een doorbuiging van 4,0 cm (0,04 m) weerstaan voordat stoom kan ontsnappen. Het afsluitstuk heeft een diameter van 2,4 cm (straal van 0,012 m). De kracht die de veer ondervindt is [10](#page=10): $$ F = 2450 \text{ N/m} \cdot 0,04 \text{ m} = 98 \text{ N} $$ De druk waarbij de stoom ontsnapt is: $$ p = \frac{98 \text{ N}}{\pi \cdot (0,012 \text{ m})^2} \approx 216627,56 \text{ Pa} $$ Dit komt overeen met ongeveer 216 kPa [10](#page=10). **Voorbeeld 2:** Een drukventiel met een diameter van 1,905 cm (straal van 0,009525 m) moet openen als de druk 2,1 bar (210000 Pa) hoger is dan atmosferische druk. Het ventiel opent als de veer 2,7 cm (0,027 m) wordt ingedrukt. De kracht die op de veer wordt uitgeoefend bij deze druk is [11](#page=11): $$ F = p \cdot A = 210000 \text{ Pa} \cdot \pi \cdot (0,009525 \text{ m})^2 \approx 59,854821 \text{ N} $$ De vereiste veerconstante $k$ wordt dan berekend met de Wet van Hooke: $$ k = \frac{F}{\Delta y} = \frac{59,854821 \text{ N}}{0,027 \text{ m}} \approx 2216,845 \text{ N/m} $$ ### 3.3 Slingers Slingers, in dit geval wiskundige slingers, worden ook toegepast en hun gedrag wordt bepaald door hun lengte en de massa die eraan hangt. #### 3.3.1 Berekening van de lengte van een slinger De periode van een wiskundige slinger ($T$) wordt bepaald door de lengte ($l$) van de slinger en de versnelling van de zwaartekracht ($g$). De formule hiervoor is: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$ Om de lengte te bepalen, kunnen we deze formule herschikken: $$ \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}} $$ $$ \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{l}{g} $$ $$ l = g \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 $$ **Voorbeeld 1:** Om een slinger met een massa van 0,5 kg een periode van 2 seconden te geven, moet de lengte van de slinger zijn (met $g \approx 9,81$ m/s²): $$ l = 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot \left(\frac{2 \text{ s}}{2\pi}\right)^2 \approx 0,99396 \text{ m} $$ **Voorbeeld 2:** Een massa van 230 g wordt 6,2 cm opzij getrokken vanaf de verticale evenwichtspositie en losgelaten, wat resulteert in een slingerbeweging met een periode van 0,80 s. De lengte van het touw ($l$) wordt berekend met de herschikte formule [3](#page=3): $$ l = 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot \left(\frac{0,80 \text{ s}}{2\pi}\right)^2 \approx 0,159 \text{ m} $$ #### 3.3.2 Berekening van de massa van een massa-veersysteem De massa die aan een veer hangt en trilt, kan worden bepaald aan de hand van de amplitude van de trilling, de snelheid door de evenwichtspositie en de veerconstante. Voor een massa-veer systeem geldt dat de maximale potentiële energie gelijk is aan de maximale kinetische energie. De relatie tussen de amplitude ($A$), de snelheid door de evenwichtspositie ($v_{\text{max}}$), de massa ($m$) en de veerconstante ($k$) is: $$ \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 $$ Dit kan worden herschikt om de massa te vinden: $$ m = k \left(\frac{A}{v_{\text{max}}}\right)^2 $$ **Voorbeeld:** Een massa hangt aan een veer met een amplitude van 5 cm (0,05 m) en gaat met een snelheid van 0,8 m/s door haar evenwichtstand. De veerconstante $k$ is 30 N/m. De massa die aan de veer hangt, is [2](#page=2): $$ m = 30 \text{ N/m} \cdot \left(\frac{0,05 \text{ m}}{0,8 \text{ m/s}}\right)^2 = 30 \cdot (0,0625)^2 = 30 \cdot 0,00390625 = 0,1171875 \text{ kg} $$ Dit komt overeen met 117,1875 gram [2](#page=2). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Amplitude | De maximale uitwijking van een trillend voorwerp vanuit de evenwichtspositie. Het is de afstand van het midden van de beweging tot het toppunt of dal van de golf. | | Frequentie | Het aantal volledige trillingen dat per seconde wordt uitgevoerd. De eenheid van frequentie is Hertz (Hz), wat overeenkomt met trillingen per seconde. | | Periode | De tijd die nodig is voor één volledige trilling. Het is de omgekeerde waarde van de frequentie en wordt uitgedrukt in seconden (s). | | Veerconstante | Een maat voor de stijfheid van een veer, aangeduid met $k$. Een hogere veerconstante betekent dat er meer kracht nodig is om de veer in te drukken of uit te rekken. De eenheid is Newton per meter (N/m). | | Harmonische beweging | Een specifieke vorm van periodieke beweging waarbij de terugkerende kracht recht evenredig is met de verplaatsing uit de evenwichtspositie en tegengesteld gericht is. | | Evenwichtspositie | De positie waarin een object zich bevindt wanneer er geen resulterende kracht op werkt, waardoor het stilstaat of met constante snelheid beweegt. Bij een trillend systeem is dit het punt waar de netto kracht nul is. | | Wiskundige slinger | Een geïdealiseerd model van een slinger, bestaande uit een puntmassa die aan een massaloos, onrekbaar touw hangt. De beweging van een wiskundige slinger wordt beschreven door een specifieke vergelijking. | | Potentiële energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn positie of toestand. Bij een veer is dit de opgeslagen energie door in- of uitdrukken, en bij een slinger is het de energie door de hoogte. | | Kinetische energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn beweging. Dit is de energie van massa in beweging en wordt bepaald door zowel de massa als de snelheid van het voorwerp. | | Behoud van energie | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale energie in een geïsoleerd systeem constant blijft; energie kan niet worden gecreëerd of vernietigd, alleen worden omgezet van de ene vorm naar de andere. | | Druk | De kracht die per eenheid van oppervlakte wordt uitgeoefend. In het geval van een gas of vloeistof is dit de kracht die het medium uitoefent op de wanden van een vat of een oppervlak. De eenheid is Pascal (Pa) of bar. | | Diameter | De afstand over een cirkel door het middelpunt. Het is tweemaal de straal van de cirkel en wordt vaak gebruikt om de grootte van ronde objecten te specificeren. | | Straal | De afstand van het middelpunt van een cirkel tot elk punt op de omtrek. De diameter is twee keer de straal. | | Hoek | Een maat voor de rotatie tussen twee lijnen die samenkomen in een punt. Hoeken worden gemeten in graden of radialen. | | Radiaal | Een eenheid voor het meten van hoeken, waarbij een volledige cirkel gelijk is aan $2\pi$ radialen. Eén radiaal is de hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal van de cirkel. |

# Kinematica: de beschrijving van beweging Kinematica is de tak van de mechanica die de beweging van objecten beschrijft zonder de oorzaken ervan (zoals krachten) te analyseren. Beweging is altijd relatief en wordt beschreven ten opzichte van een referentiepunt of -systeem [1](#page=1). ### 1.1 Vectoren Vectoren zijn fundamentele wiskundige concepten in de kinematica omdat ze grootheden met zowel grootte als richting en zin vertegenwoordigen [2](#page=2). #### 1.1.1 Scalairen en vectoren * **Scalaire grootheden:** Deze worden volledig beschreven door een getal en een eenheid, zonder richting. Voorbeelden zijn temperatuur, massa en tijd [28](#page=28) [2](#page=2). * **Vector grootheden:** Deze worden gekenmerkt door richting, zin en grootte. Ze worden vaak voorgesteld door een pijl. Voorbeelden zijn verplaatsing, snelheid en versnelling [28](#page=28) [2](#page=2). #### 1.1.2 Notatie en voorstelling van vectoren * **Notatie:** Vectoren worden aangeduid met een letter met een pijl erboven (bv. $\\vec{AB}$) of een schuingedrukte letter (bv. $\\vec{r}$). De grootte of absolute waarde wordt genoteerd als $|\\vec{AB}|$, $AB$, $|\\vec{r}|$, of $r$ [2](#page=2). * **Voorstelling:** Een vector wordt grafisch voorgesteld door een pijl, waarbij de lengte de grootte voorstelt, de richting de oriëntatie in de ruimte en de punt de zin aangeeft [2](#page=2). #### 1.1.3 Plaatsbepaling Om de positie van een object te bepalen, wordt een oorsprong $O$ en een coördinatenstelsel (bv. een orthogonaal rechtshandig stelsel in 3D) gekozen [3](#page=3). * **Locatie via coördinaten:** Een punt $P$ kan worden gelokaliseerd met zijn coördinaten $(x, y)$ in 2D of $(x, y, z)$ in 3D [3](#page=3). * **Locatie via plaatsvector:** Een punt kan ook worden beschreven door zijn plaatsvector $\\vec{r}$, die vanuit de oorsprong $O$ naar het punt wijst. De componenten van de plaatsvector komen overeen met de coördinaten van het punt [3](#page=3). * **Plaatsverandering (verplaatsingsvector):** De verandering in positie van een object, bijvoorbeeld van punt $A$ naar punt $B$, wordt beschreven door de verplaatsingsvector $\\vec{AB}$. Deze vector is onafhankelijk van de afgelegde baan [3](#page=3). * **Baan:** De baan is de opeenvolging van punten die een lichaam tijdens zijn beweging doorloopt. De verplaatsing valt niet noodzakelijk samen met de baan [3](#page=3). #### 1.1.4 Ontbinden van vectoren in componenten Een vector kan worden ontbonden in componenten, wat de projecties van de vector op de assen van een coördinatenstelsel zijn [4](#page=4). * **2D-ontbinding:** Een vector $\\vec{a}$ kan worden ontbonden in componenten $\\vec{a}\_x$ en $\\vec{a}\_y$ langs de x- en y-as [4](#page=4). * $a\_x = a \\cos \\phi$ * $a\_y = a \\sin \\phi$ * $a^2 = a\_x^2 + a\_y^2$ * $\\tan \\phi = \\frac{a\_y}{a\_x}$ Met $a$ de grootte van de vector en $\\phi$ de hoek met de x-as [4](#page=4). * **Eenheidsvectoren:** Eenheidsvectoren ($\\hat{i}$ voor de x-richting, $\\hat{j}$ voor de y-richting, $\\hat{k}$ voor de z-richting) hebben een grootte van 1 en geven de richting aan. Een vector kan worden geschreven als een som van zijn componenten vermenigvuldigd met de eenheidsvectoren: $\\vec{a} = a\_x \\hat{i} + a\_y \\hat{j}$ [4](#page=4). * **3D-ontbinding:** In drie dimensies worden componenten langs de x-, y- en z-as bepaald: $\\vec{a} = a\_x \\hat{i} + a\_y \\hat{j} + a\_z \\hat{k}$ [4](#page=4). #### 1.1.5 De som en het verschil van vectoren * **Grafische methode:** * **Som:** Om twee vectoren grafisch op te tellen ($\\vec{a} + \\vec{b}$), wordt het beginpunt van de tweede vector aangesloten aan het eindpunt van de eerste vector. De resulterende vector loopt van het beginpunt van de eerste naar het eindpunt van de tweede. $\\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a}$ (commutativiteit) [5](#page=5). * **Verschil:** Het verschil $\\vec{a} - \\vec{b}$ wordt berekend door $\\vec{b}$ om te keren en dan op te tellen: $\\vec{a} - \\vec{b} = \\vec{a} + (-\\vec{b})$ [5](#page=5). * **Algebraïsche methode:** Vectoren worden opgeteld door hun corresponderende componenten op te tellen: * Als $\\vec{c} = \\vec{a} + \\vec{b}$, dan geldt: * $c\_x = a\_x + b\_x$ * $c\_y = a\_y + b\_y$ * De grootte van de resulterende vector is $c = \\sqrt{c\_x^2 + c\_y^2}$ [5](#page=5). #### 1.1.6 Producten met vectoren * **Product van een scalair met een vector:** Het product van een scalair $k$ met een vector $\\vec{a}$ ($k\\vec{a}$) resulteert in een vector met dezelfde richting maar met een grootte die met $k$ wordt vermenigvuldigd. Als $k$ negatief is, draait de zin om [6](#page=6). * **Scalair product (inproduct):** Het scalaire product van twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ geeft een scalair resultaat. * $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab \\cos \\phi$, waarbij $a$ en $b$ de groottes van de vectoren zijn en $\\phi$ de kleinste hoek tussen hen [6](#page=6). * Het scalaire product is maximaal als de vectoren evenwijdig zijn ($\\cos 0^\\circ = 1$). * Het scalaire product is nul als de vectoren loodrecht op elkaar staan ($\\cos 90^\\circ = 0$) [6](#page=6). * Eigenschappen: commutatief ($\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\vec{b} \\cdot \\vec{a}$), associatief met scalaire vermenigvuldiging ($k\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = k(\\vec{a} \\cdot \\vec{b})$), en distributief ($\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c}$) [6](#page=6). * **Vectorproduct (kruisproduct):** Het vectorproduct van twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ resulteert in een nieuwe vector $\\vec{c}$. * De grootte is $c = ab \\sin \\phi$, waarbij $\\phi$ de kleinste hoek tussen $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ is [7](#page=7). * De richting staat loodrecht op het vlak bepaald door $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$. De zin wordt bepaald door de rechterhandregel (kurkentrekkerregel) [7](#page=7). * Het kruisproduct is nul als de vectoren evenwijdig zijn ($\\sin 0^\\circ = 0$) [7](#page=7). * Het kruisproduct is maximaal als de vectoren loodrecht op elkaar staan ($\\sin 90^\\circ = 1$). * Eigenschappen: niet commutatief ($\\vec{a} \\times \\vec{b} = -\\vec{b} \\times \\vec{a}$), distributief ($\\vec{a} \\times (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\times \\vec{b} + \\vec{a} \\times \\vec{c}$) [7](#page=7). ### 1.2 Snelheid en versnelling #### 1.2.1 Snelheid Snelheid beschrijft hoe snel en in welke richting de positie van een object verandert [8](#page=8). * **Gemiddelde snelheid:** De gemiddelde snelheid over een tijdsinterval $\\Delta t$ is de verplaatsing $\\Delta \\vec{r}$ gedeeld door de tijdsduur $\\Delta t$ [8](#page=8). $$ \\vec{v}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{r}}{\\Delta t} $$ * **Ogenblikkelijke snelheid:** De ogenblikkelijke snelheid is de snelheid op een specifiek tijdstip. Het is de limiet van de gemiddelde snelheid als de tijdsinterval naar nul gaat [8](#page=8). $$ \\vec{v} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\vec{r}}{\\Delta t} = \\frac{d\\vec{r}}{dt} $$ * De ogenblikkelijke snelheid is een vector die altijd raakt aan de baan van het object. De eenheid is meter per seconde (m/s) [8](#page=8). #### 1.2.2 Versnelling Versnelling beschrijft de mate waarin de snelheid van een object verandert in de tijd [9](#page=9). * **Gemiddelde versnelling:** De gemiddelde versnelling over een tijdsinterval $\\Delta t$ is de verandering in snelheid $\\Delta \\vec{v}$ gedeeld door de tijdsduur $\\Delta t$ [9](#page=9). $$ \\vec{a}\_{gem} = \\frac{\\Delta \\vec{v}}{\\Delta t} $$ * **Ogenblikkelijke versnelling:** De ogenblikkelijke versnelling is de limiet van de gemiddelde versnelling als de tijdsinterval naar nul gaat [10](#page=10). $$ \\vec{a} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\vec{v}}{\\Delta t} = \\frac{d\\vec{v}}{dt} $$ * De versnelling is de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd. De eenheid is meter per seconde kwadraat (m/s²). De richting van de versnelling is rakend aan de hodograaf (de baan van het snelheidsvectorpunt) [10](#page=10). ### 1.3 Toepassingen: soorten beweging #### 1.3.1 Eenparige, rechtlijnige beweging (ERB) Bij een ERB is de snelheid constant ($\\vec{v} = \\text{constant}$) en de versnelling is nul ($\\vec{a} = 0$) [11](#page=11). * **Vergelijking:** $x = x\_0 + vt$ * $x$: positie op tijdstip $t$ [11](#page=11). * $x\_0$: beginpositie op $t=0$ [11](#page=11). * $v$: constante snelheid [11](#page=11). * $t$: tijd [11](#page=11). #### 1.3.2 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EURB) Bij een EURB is de versnelling constant ($\\vec{a} = \\text{constant}$) [11](#page=11). * **Kinematische vergelijkingen voor constante versnelling:** * $v = v\_0 + at$ * $x = x\_0 + v\_0t + \\frac{1}{2}at^2$ * $v^2 = v\_0^2 + 2a(x - x\_0)$ * $v\_0$: beginsnelheid op $t=0$ [12](#page=12). * $x\_0$: beginpositie op $t=0$ [12](#page=12). * $a$: constante versnelling [12](#page=12). * $v$: snelheid op tijdstip $t$ [12](#page=12). * $x$: positie op tijdstip $t$ [12](#page=12). > **Tip:** De formule $v^2 = v\_0^2 + 2a(x - x\_0)$ is handig wanneer de tijd $t$ niet bekend is of niet van belang is [12](#page=12). * **Voorbeeld: Vrije val:** Een vrije val is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging (verticaal) waarbij de versnelling de zwaartekrachtsversnelling $g \\approx 9.81 , m/s^2$ is, altijd naar beneden gericht [14](#page=14). * Met de y-as naar boven gericht: $a\_y = -g$. * Beginvoorwaarden: $y\_0 = h$, $v\_0 = 0$. * Vergelijkingen: * $v\_y = -gt$ * $y = h - \\frac{1}{2}gt^2$ * Tijd om de grond te bereiken ($y=0$): $t = \\sqrt{\\frac{2h}{g}}$ [14](#page=14). * Snelheid bij grondcontact: $v = \\sqrt{2gh}$ [14](#page=14). * **Voorbeeld: Verticale worp:** Een worp met een beginsnelheid omhoog. * De beweging is een EURB met $a\_y = -g$. * Beginvoorwaarden: $y\_0 = 0$. * Vergelijkingen: * $v\_y = v\_0 - gt$ * $y = v\_0t - \\frac{1}{2}gt^2$ * Op het hoogste punt is de verticale snelheid $v\_y = 0$. De tijd om dit punt te bereiken is $t\_{top} = \\frac{v\_0}{g}$ [16](#page=16). #### 1.3.3 Beweging met constante versnelling in een vlak Wanneer de bewegingsrichting niet gelijk is aan die van de versnelling, is een vectorbenadering in 2D noodzakelijk. De beweging kan worden opgesplitst in componenten langs de x- en y-as [16](#page=16). * Als de versnelling $\\vec{a}$ constant is, dan zijn de componenten $a\_x$ en $a\_y$ ook constant [17](#page=17). * **Kinematische vergelijkingen per component:** * $v\_x = v\_{0x} + a\_x t$ * $x = x\_0 + v\_{0x}t + \\frac{1}{2}a\_x t^2$ * $v\_y = v\_{0y} + a\_y t$ * $y = y\_0 + v\_{0y}t + \\frac{1}{2}a\_y t^2$ * **Projectielbaan (kogelbaan):** Dit is een beweging van een voorwerp geprojecteerd in een willekeurige richting, waarbij de zwaartekracht de enige constante versnelling (verticaal neerwaarts, $a\_y = -g$) uitoefent en luchtweerstand wordt verwaarloosd [18](#page=18). * Beginvoorwaarden op $t=0$: $\\vec{r}\_0 = x\_0 \\hat{i} + y\_0 \\hat{j}$, $\\vec{v}\_0 = v{0x} \\hat{i} + v{0y} \\hat{j}$, met $v\_{0x} = v\_0 \\cos \\theta\_0$ en $v\_{0y} = v\_0 \\sin \\theta\_0$ [19](#page=19). * Versnelling: $\\vec{a} = -g\\hat{j}$ (met de y-as naar boven gericht) [18](#page=18). * **Snelheid op tijdstip $t$:** * $v\_x = v\_{0x}$ (constante horizontale snelheid) [19](#page=19). * $v\_y = v\_{0y} - gt$ [19](#page=19). * **Baabvergelijking ($y$ als functie van $x$):** $y = (\\tan \\theta\_0) x - \\frac{g}{2 v\_0^2 \\cos^2 \\theta\_0} x^2$. Dit beschrijft een parabool [19](#page=19). * **Hoogste punt:** Bereikt wanneer $v\_y = 0$. De tijd is $t\_{top} = \\frac{v\_0 \\sin \\theta\_0}{g}$. De hoogte is $y\_{top} = \\frac{v\_0^2 \\sin^2 \\theta\_0}{2g}$ [20](#page=20). * **Reikwijdte (draagwijdte):** De horizontale afstand afgelegd tot het object de grond raakt ($y=0$). De reikwijdte $R$ is maximaal bij een worp- of uittraphoek van $45^\\circ$ [21](#page=21). * $R = \\frac{v\_0^2 \\sin(2\\theta\_0)}{g}$ [21](#page=21). #### 1.3.4 Eenparige cirkelvormige beweging Een punt dat met constante omloopsnelheid een cirkelbaan beschrijft, voert een eenparige cirkelvormige beweging uit [22](#page=22). * **Hoeksnelheid:** Beschrijft hoe snel de hoekpositie verandert. * Gemiddelde hoeksnelheid: $\\langle \\omega \\rangle = \\frac{\\Delta \\theta}{\\Delta t}$ [22](#page=22). * Ogenblikkelijke hoeksnelheid: $\\omega = \\frac{d\\theta}{dt}$. Eenheid: rad/s [22](#page=22). * Bij een eenparige cirkelvormige beweging is $\\omega$ constant. De hoek is $\\theta = \\omega t + \\theta\_0$ [22](#page=22). * **Afgelegde weg langs de cirkelbaan:** $s = r\\theta$, waarbij $\\theta$ in radialen is [23](#page=23). * **Lineaire snelheid ($v$):** De grootte van de snelheid langs de cirkelbaan. $v = \\omega r$ [23](#page=23). * **Frequentie ($f$):** Aantal omwentelingen per seconde. Eenheid: Hertz (Hz). $f = \\frac{\\omega}{2\\pi}$ [23](#page=23). * **Periode ($T$):** De tijd voor één volledige omwenteling. $T = \\frac{1}{f} = \\frac{2\\pi}{\\omega}$ [23](#page=23). * **Versnelling:** Bij een eenparige cirkelvormige beweging is de grootte van de snelheid constant, maar de richting verandert voortdurend. Dit impliceert een versnelling. * **Centripetale versnelling ($a\_c$):** Gericht naar het middelpunt van de cirkel. De grootte is $a\_c = \\frac{v^2}{r} = \\omega^2 r$ [24](#page=24) [25](#page=25). #### 1.3.5 Rotatiebeweging van een star lichaam om een vaste as Een star lichaam behoudt zijn vorm; de afstand tussen elk puntpaar is constant. Elk punt van het lichaam beschrijft een cirkelbaan rond de rotatie-as [25](#page=25). * **Hoeksnelheid ($\\omega$):** Is voor alle punten van het star lichaam gelijk [25](#page=25). * **Lineaire snelheid ($v$) van een punt P:** $v = \\omega r$, waarbij $r$ de afstand van het punt tot de rotatie-as is [26](#page=26). * **Versnelling van een punt P:** Een punt op een roterend star lichaam kan twee soorten versnelling hebben: * **Tangentiële versnelling ($a\_t$):** Verandert de grootte van de lineaire snelheid. $a\_t = \\frac{dv}{dt} = r \\frac{d\\omega}{dt} = r\\alpha$, waarbij $\\alpha$ de hoekversnelling is [26](#page=26). * **Centripetale (radiale) versnelling ($a\_c$):** Verandert de richting van de lineaire snelheid. $a\_c = \\frac{v^2}{r} = \\omega^2 r$ [26](#page=26). * De totale versnelling is de vectoriële som van deze twee componenten: $\\vec{a} = \\vec{a}\_t + \\vec{a}\_c$. Als de hoeksnelheid constant is ($\\alpha=0$), is er alleen centripetale versnelling [26](#page=26). * * * # Dynamica: de studie van krachten en beweging Dynamica bestudeert het verband tussen krachten en beweging [30](#page=30). ## 2\. Dynamica: de studie van krachten en beweging Dynamica onderzoekt de relatie tussen de krachten die op een voorwerp inwerken en de daaruit voortvloeiende beweging. Het omvat de wetten van Newton, verschillende soorten krachten en hun toepassingen [30](#page=30). ### 2.1 Basisbegrippen * **Kracht**: Een grootheid die de vorm of de snelheid van een voorwerp kan veranderen [30](#page=30). * **Massa**: Een eigenschap van materie, die recht evenredig is met de hoeveelheid materie en maatgevend is voor de traagheid van een voorwerp [30](#page=30). * **Onderscheid massa en gewicht**: Massa is een intrinsieke eigenschap van een voorwerp, uitgedrukt in kilogram. Gewicht is een kracht (de aantrekkingskracht van bijvoorbeeld de aarde op een voorwerp), uitgedrukt in Newton [30](#page=30). ### 2.2 Meten van krachten Krachten worden niet rechtstreeks vastgesteld, maar bepaald door de vervorming die ze veroorzaken op een niet-bewegende massa. Een dynamometer, een geijkte spiraalveer, wordt hiervoor gebruikt, gebaseerd op de wet van Hooke: $F = k \\Delta s$. Hierbij is $k$ de veerconstante en $\\Delta s$ de uittrekking van de spiraalveer [31](#page=31). ### 2.3 De wetten van Newton De bewegingswetten van Newton zijn enkel geldig in inertiële referentiestelsels, dit zijn assenstelsels die zich in rust bevinden of een eenparig rechtlijnige beweging uitvoeren [33](#page=33). #### 2.3.1 De eerste wet van Newton: de traagheidswet Elk lichaam blijft in zijn rusttoestand of in de toestand van een eenparige rechtlijnige beweging, tenzij het verplicht wordt deze toestand te verlaten door een uitwendige oorzaak, de totale kracht (de som van alle krachten die op het lichaam werken) . Als de totale kracht nul is ($\\Sigma F = 0$), dan is de versnelling ook nul ($\\Sigma F = ma = 0 \\Rightarrow a = 0$) . Een voorwerp in beweging wil in beweging blijven, een voorwerp in rust wil in rust blijven. Krachten zorgen voor vervormingen of veranderingen in beweging (versnellingen) \] [31](#page=31). #### 2.3.2 De tweede wet van Newton: verband tussen kracht en versnelling De verhouding tussen een kracht en de daardoor veroorzaakte versnelling is constant voor een bepaald lichaam en is gelijk aan de massa van dat lichaam. Massa is een scalaire grootheid die aangeeft hoe een lichaam zich verzet tegen veranderingen in zijn bewegingstoestand. De tweede wet van Newton wordt wiskundig uitgedrukt als [33](#page=33): $$ \\Sigma \\vec{F} = m\\vec{a} $$ waarbij $\\Sigma \\vec{F}$ de som van alle krachten is die op het lichaam inwerken, $m$ de massa is en $\\vec{a}$ de versnelling. De krachten zijn vectorgrootheden, en de richting van de versnelling is gelijk aan de richting van de nettokracht. De eenheid van kracht is Newton (N), wat gelijk is aan kg m/s² [33](#page=33). #### 2.3.3 De derde wet van Newton: actie en reactie Wanneer lichaam A een kracht uitoefent op lichaam B, oefent B ook een kracht uit op A. Deze actie-reactie krachtparen zijn even groot, werken langs dezelfde rechte lijn, maar in tegengestelde zin. Formeel: $\\vec{F}\_{AB} = -\\vec{F}{BA}$ . Belangrijk is dat actie- en reactiekrachten op verschillende lichamen aangrijpen [33](#page=33). > **Voorbeeld**: Een raketmotor drukt gassen verticaal omlaag uit. De gassen oefenen een gelijke, tegengestelde kracht verticaal omhoog uit op de raket, waardoor deze opstijgt [34](#page=34). ### 2.4 Enkele belangrijke krachten #### 2.4.1 Zwaartekracht De aarde oefent op elk lichaam een aantrekkingskracht uit, de zwaartekracht ($G$), die wordt gegeven door $G = mg$ . Hierin is $g$ de gravitatieversnelling, ongeveer $9.81 , \\text{m/s}^2$ . De universele gravitatiekracht tussen twee massa's $m\_1$ en $m\_2$ op afstand $r$ is $F = G \\frac{m\_1 m\_2}{r^2}$, met $G = 6.673 \\times 10^{-11} , \\text{N m}^2/\\text{kg}^2$ . De waarde van $g$ is afhankelijk van de hoogte boven de zeespiegel [34](#page=34). > **Belangrijk**: Gewicht is een kracht (vector), terwijl massa een maat voor traagheid is (scalair) \] [34](#page=34). #### 2.4.2 De normaalkracht en de trekkracht * **Normaalkracht ($F\_N$)**: Wordt veroorzaakt door contact met een steunvlak en werkt loodrecht op dit vlak. De grootte van de normaalkracht kan gelijk zijn aan, groter of kleiner zijn dan de zwaartekracht, afhankelijk van andere krachten die werken [35](#page=35). * **Trekkracht ($T$)**: Ontstaat wanneer een lichaam hangt aan een touw of kabel, en werkt langs de richting van het touw [35](#page=35). #### 2.4.3 Wrijvingskrachten Wrijvingskrachten treden op tussen contactoppervlakken en hun richting is tegengesteld aan de relatieve bewegingsrichting. Ze zijn evenwijdig aan het contactoppervlak [36](#page=36). * **Statische wrijvingskracht ($f\_s$)**: De wrijvingskracht die voorkomt dat een stilstaand voorwerp in beweging komt. Er is een maximale statische wrijvingskracht ($f\_{s,max}$) die overwonnen moet worden om beweging te initiëren. De richting is tegengesteld aan de aangelegde kracht [36](#page=36). * **Kinetische wrijvingskracht ($f\_k$)**: De wrijvingskracht die optreedt wanneer een voorwerp in beweging is. Deze is meestal kleiner dan de maximale statische wrijvingskracht [36](#page=36) [37](#page=37). Empirisch geldt dat wrijvingskrachten onafhankelijk zijn van de grootte van het contactoppervlak en evenredig zijn met de normaalkracht. Dit wordt uitgedrukt met wrijvingscoëfficiënten [36](#page=36): * Statische wrijving: $f\_{s,max} = \\mu\_s N$ \] [37](#page=37). * Kinetische wrijving: $f\_k = \\mu\_k N$ \] [37](#page=37). Meestal is $\\mu\_s > \\mu\_k$ \] [37](#page=37). > **Voorbeeld**: Tabel met wrijvingscoëfficiënten voor diverse materiaalcombinaties [37](#page=37). ### 2.5 Pseudokrachten Pseudokrachten (of fictieve krachten) worden geïntroduceerd om de wetten van Newton te kunnen blijven toepassen in niet-inertiële referentiestelsels. Een voorbeeld hiervan is de centrifugaalkracht, die een fictieve kracht is die de centripetale kracht compenseert in een roterend referentiestelsel [37](#page=37). > **Opm.** In deze cursus worden fictieve krachten vermeden [37](#page=37). ### 2.6 Toepassingen #### 2.6.1 Algemene werkwijze om oefeningen te maken 1. Identificeer het te onderzoeken lichaam [38](#page=38). 2. Bepaal alle krachten die door de omgeving op het lichaam worden uitgeoefend [38](#page=38). 3. Kies een geschikt assenstelsel [38](#page=38). 4. Teken een krachtendiagram van het lichaam en alle erop werkende krachten [38](#page=38). 5. Pas de wetten van Newton toe in vector- en componentenvorm [38](#page=38). #### 2.6.2 Voorbeeld: Een voertuig in een vlakke bocht Bij het nemen van een vlakke bocht beschrijft een auto een eenparig cirkelvormige beweging. De zijdelingse statische wrijvingskracht tussen de banden en het wegdek zorgt voor de benodigde centripetale kracht. De maximale snelheid om de bocht te kunnen nemen zonder uit te vliegen, wordt bepaald door de wrijvingskracht: $f\_{s,max} = \\mu\_s N = \\mu\_s mg$. De centripetale kracht is $F\_c = \\frac{mv\_{max}^2}{r}$. Door deze gelijk te stellen, vindt men $v\_{max} = \\sqrt{\\mu\_s gr}$ \] [39](#page=39) [40](#page=40). #### 2.6.3 Voorbeeld van de dynamica van het hellend vlak Een skiër glijdt een helling af. De krachten die op de skiër werken zijn de zwaartekracht ($G$), de normaalkracht ($N$) en de kinetische wrijvingskracht ($f\_k$) . Door de tweede wet van Newton ($ \\Sigma \\vec{F} = m\\vec{a} $) te ontbinden langs de helling en loodrecht erop, kan de versnelling langs de helling berekend worden: $a\_x = g(\\mu\_k \\cos\\theta - \\sin\\theta)$ . Aangezien de versnelling constant is, kan de eindsnelheid bepaald worden met de bewegingsvergelijking $v^2 = v\_0^2 + 2a\_x (x-x\_0)$ \] [41](#page=41) [42](#page=42). * * * # Arbeid en energie Dit deel verkent de concepten van arbeid en energie, inclusief de stelling van arbeid en energie, kinetische en potentiële energie, en de wetten van behoud van mechanische en totale energie met diverse toepassingen [43](#page=43). ### 3.1 Het begrip arbeid Mechanische arbeid $W$ wordt verricht wanneer een kracht $F$ op een lichaam inwerkt en dit lichaam over een afstand verplaatst [43](#page=43). * Als de kracht en de verplaatsing $d$ dezelfde richting en zin hebben, wordt de arbeid berekend als: $W = Fd$ [43](#page=43). * Als de richting van de kracht niet samenvalt met de verplaatsing, wordt alleen de component van de kracht in de richting van de verplaatsing meegenomen: $W = Fd \\cos(\\theta)$ [43](#page=43). waarbij $\\theta$ de hoek is tussen de krachtvector en de verplaatsingsvector [44](#page=44). * **Positieve arbeid:** Als $0^\\circ \\le \\theta < 90^\\circ$, verricht de kracht positieve arbeid [44](#page=44). * **Nul arbeid:** Als $\\theta = 90^\\circ$, is de verrichte arbeid nul [44](#page=44). * **Negatieve arbeid:** Als $90^\\circ < \\theta \\le 180^\\circ$, verricht de kracht negatieve arbeid [44](#page=44). De eenheid van arbeid is de Joule (J), waarbij $1 , \\text{J} = 1 , \\text{N} \\times 1 , \\text{m}$. Het fysieke begrip arbeid verschilt van de geleverde inspanning [44](#page=44). #### 3.1.1 Arbeid verricht door een veranderlijke kracht ##### 3.1.1.1 Veranderlijke kracht met vaste richting Voor een eendimensionale rechtlijnige beweging waarbij de kracht $F(x)$ verandert in grootte en gericht is volgens de bewegingsrichting, wordt de totale arbeid verricht bij een verplaatsing van $x\_1$ naar $x\_2$ berekend als de integraal van de kracht over de verplaatsing: $$W\_{12} = \\int\_{x\_1}^{x\_2} F(x) , dx$$ [46](#page=46). Deze arbeid komt overeen met de oppervlakte onder de kracht-verplaatsingscurve tussen de grenzen $x\_1$ en $x\_2$ [46](#page=46). * **Voorbeeld:** Arbeid verricht om een veer uit te rekken. Volgens de Wet van Hooke is de kracht $F = kx$, waarbij $k$ de veerstijfheid is. De arbeid om de veer uit te rekken van $x=0$ naar $x=l$ is: $$W = \\int\_{0}^{l} kx , dx = \\frac{1}{2} kl^2$$ [47](#page=47). ##### 3.1.1.2 Veranderlijke kracht - Algemeen In meerdimensionale gevallen, waar de kracht $F$ in grootte en richting kan veranderen tijdens een verplaatsing van punt $a$ naar punt $b$, wordt de arbeid berekend met het scalair product van de krachtvector en de infinitesimale verplaatsingsvector $d\\vec{r}$: $$W\_{ab} = \\int\_{a}^{b} \\vec{F} \\cdot d\\vec{r}$$ [48](#page=48). In Cartesische coördinaten wordt dit: $$W = \\int\_{x\_a}^{x\_b} F\_x , dx + \\int\_{y\_a}^{y\_b} F\_y , dy + \\int\_{z\_a}^{z\_b} F\_z , dz$$ [48](#page=48). ### 3.2 Stelling van arbeid en energie De stelling van arbeid en energie stelt dat de totale arbeid die op een lichaam wordt verricht door de resultante van de krachten die op het lichaam werken, gelijk is aan de verandering in de kinetische energie van het lichaam [49](#page=49). * De kinetische energie ($K$) van een lichaam met massa $m$ en snelheid $v$ is gedefinieerd als: $$K = \\frac{1}{2} mv^2$$ [48](#page=48) [49](#page=49). * De stelling luidt: $$W = \\Delta K = K\_{\\text{eind}} - K\_{\\text{begin}}$$ [49](#page=49). Dit geldt ook wanneer de kracht verandert in grootte en richting [49](#page=49). * **Voorbeeld:** Bij een schuine worp met beginsnelheid $v\_0$ is de arbeid verricht door de zwaartekracht nul, omdat de zwaartekracht loodrecht staat op de horizontale component van de verplaatsing. Volgens de stelling is $\\Delta K = 0$, wat impliceert dat de eindsnelheid gelijk is aan de beginsnelheid qua grootte [50](#page=50). ### 3.3 Arbeidstempo of vermogen Vermogen ($P$) is het tempo waarmee arbeid wordt verricht [50](#page=50). * Het gemiddeld vermogen is: $$\\langle P \\rangle = \\frac{W}{\\Delta t}$$ [50](#page=50). * Het ogenblikkelijk vermogen op een bepaald tijdstip is: $$P = \\frac{dW}{dt}$$ [50](#page=50). Bij constant vermogen is $W = Pt$. De eenheid van vermogen is Watt (W), waarbij $1 , \\text{W} = 1 , \\text{J/s}$. Een praktische eenheid is paardekracht (PK) [50](#page=50). ### 3.5 Potentiële energie van een systeem #### 3.5.1 Conservatieve en niet-conservatieve krachten * **Conservatieve krachten:** Krachten waarbij de verrichte arbeid tussen twee punten onafhankelijk is van de gevolgde weg en de arbeid verricht bij een gesloten cyclus nul is. Voorbeelden zijn de zwaartekracht, veerkracht en de coulombkracht [52](#page=52). * **Niet-conservatieve krachten:** Krachten waarbij de verrichte arbeid wel afhankelijk is van de gevolgde weg en de arbeid bij een gesloten cyclus niet nul is. Voorbeelden zijn wrijvingskracht en luchtweerstand [52](#page=52). #### 3.5.2 Het begrip potentiële energie Potentiële energie ($U$) is de "arbeid in voorraad" van een systeem. Het kan alleen gedefinieerd worden voor systemen met conservatieve krachten [53](#page=53) [54](#page=54). * **Potentiële energie in het zwaartekrachtveld:** Voor een massa $m$ op hoogte $h$, met de potentiële energie op aardoppervlak ($h=0$) gelijk aan nul, is de potentiële energie: $$U = mgh$$ [53](#page=53). De verandering in potentiële energie is $\\Delta U = U\_B - U\_A = -W\_{AB}$, waarbij $W\_{AB}$ de arbeid is verricht door de zwaartekracht van A naar B [53](#page=53). * **Potentiële energie bij eendimensionale systemen:** De verandering in potentiële energie is: $$\\Delta U = U(x) - U(x\_0) = - \\int\_{x\_0}^{x} F(x') , dx'$$ [53](#page=53). Hierbij is $F(x)$ de conservatieve kracht en $x\_0$ een referentiepunt waar de potentiële energie $U\_0$ wordt gedefinieerd [53](#page=53). * **Potentiële energie bij meerdimensionale systemen:**$$\\Delta U = - \\int\_{r\_A}^{r\_B} \\vec{F}(\\vec{r}') \\cdot d\\vec{r}'$$ [54](#page=54). Potentiële energie is een toestandsfunctie die hoort bij een systeem, niet bij een enkel voorwerp [54](#page=54). ### 3.6 Wet van behoud van mechanische energie Deze wet geldt **enkel** voor systemen waarin alleen conservatieve krachten werkzaam zijn [54](#page=54). * De mechanische energie ($E$) van een systeem is de som van de kinetische energie ($K$) en de potentiële energie ($U$): $$E = K + U$$ [55](#page=55). * **Wet van behoud van mechanische energie:** In een systeem waar alleen conservatieve krachten werkzaam zijn, blijft de totale mechanische energie constant gedurende de beweging [55](#page=55). $$E\_A = E\_B \\quad \\text{of} \\quad K\_A + U\_A = K\_B + U\_B$$ [54](#page=54) [55](#page=55). * **Voorbeeld:** Een vallende steen zet potentiële energie om in kinetische energie. Een kind op een slee op een wrijvingsloze helling [56](#page=56) [57](#page=57). #### 3.6.1 Toepassing: de ideale veer Voor een lichaam met massa $m$ onder invloed van een ideale veer op een wrijvingsloos horizontaal oppervlak, is de kracht gegeven door de Wet van Hooke: $F\_x = -kx$ [57](#page=57). * De potentiële energie van het veersysteem bij een elongatie $x$ is: $$U(x) = \\frac{1}{2} kx^2$$ [57](#page=57). Hierbij wordt de potentiële energie bij een ongespannen veer ($x=0$) als nul gedefinieerd [57](#page=57). * Tijdens de beweging van de veer wisselen potentiële en kinetische energie elkaar af, maar de totale mechanische energie blijft constant. De maximale kinetische energie wordt bereikt wanneer de potentiële energie minimaal is, en omgekeerd [58](#page=58). $$\\frac{1}{2} mv\_{\\text{max}}^2 = \\frac{1}{2} kx\_{\\text{max}}^2$$ [58](#page=58). * **Slingerbeweging:** Voor kleine uitwijkhoeken is de tangentiële component van de zwaartekracht $F \\approx -mg\\theta$ de terugroepende kracht, analoog aan de veerkracht. De snelheid in de rusttoestand is dan $v = \\sqrt{2gh}$ [59](#page=59). ### 3.8 Wet van behoud van totale energie Wanneer niet-conservatieve krachten (zoals wrijving) ook werkzaam zijn, treedt energieverlies op in de mechanische energie [59](#page=59). * De stelling van arbeid en energie, uitgebreid met niet-conservatieve krachten, luidt: $$W\_{\\text{conservatief}} + W\_{\\text{niet-conservatief}} = \\Delta K$$ [59](#page=59). Of, uitgedrukt in energieën: $$\\Delta E\_{\\text{mechanisch}} = W\_{\\text{niet-conservatief}}$$ [59](#page=59). * **Principe van het behoud van de totale energie:** Energie kan worden omgezet van de ene vorm naar de andere, maar kan niet worden vernietigd of gecreëerd. De verloren mechanische energie wordt omgezet in andere vormen, zoals inwendige energie (warmte) [59](#page=59) [60](#page=60). $$\\Delta E\_{\\text{mechanisch}} + \\Delta U\_{\\text{inwendig}} = 0$$ [60](#page=60). * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kinematica | De tak van de mechanica die de beweging van voorwerpen bestudeert zonder rekening te houden met de oorzaken van die beweging, zoals krachten. Het beschrijft hoe dingen bewegen. | | Vectoren | Wiskundige entiteiten die zowel een grootte (lengte) als een richting en zin hebben. Ze worden vaak gebruikt om grootheden zoals verplaatsing, snelheid en kracht weer te geven. | | Scalaire | Een grootheid die alleen een grootte heeft en geen richting of zin. Voorbeelden zijn temperatuur, massa en afstand. | | Snelheid | De mate waarin de positie van een voorwerp verandert in de tijd. Het is een vectorgrootheid, met zowel grootte als richting en zin. | | Versnelling | De mate waarin de snelheid van een voorwerp verandert in de tijd. Het is een vectorgrootheid, met zowel grootte als richting en zin. | | Referentiesysteem | Een coördinatensysteem met een oorsprong en assen, gebruikt om de positie, snelheid en versnelling van een voorwerp te beschrijven. | | Plaatsvector | Een vector die de positie van een punt in de ruimte aangeeft ten opzichte van een gekozen oorsprong. | | Componenten van een vector | De projecties van een vector op de assen van een coördinatenstelsel. Deze componenten geven de bijdrage van de vector in elke richting weer. | | Scalair product | Een operatie tussen twee vectoren die resulteert in een scalair. Het wordt berekend als het product van de groottes van de vectoren en de cosinus van de hoek ertussen ($a \cdot b = ab\cos\phi$). | | Vectorproduct | Een operatie tussen twee vectoren die resulteert in een nieuwe vector die loodrecht staat op het vlak van de oorspronkelijke vectoren. De grootte is $ab\sin\phi$. | | Inertie | De weerstand van een voorwerp tegen verandering in zijn bewegingstoestand. Massa is een maat voor inertie. | | Kracht | Een interactie die, indien niet gecompenseerd, de bewegingstoestand of vorm van een voorwerp kan veranderen. Het is een vectorgrootheid. | | Massa | Een fundamentele eigenschap van materie die de inertie van een voorwerp bepaalt en de hoeveelheid materie in het voorwerp aangeeft. | | Gewicht | De kracht die de zwaartekracht uitoefent op een voorwerp. Het is een vectorgrootheid en is afhankelijk van de massa en de lokale zwaartekrachtsversnelling. | | Traagheidswet (Eerste wet van Newton) | Stelt dat een voorwerp in rust in rust blijft en een voorwerp in een eenparige rechtlijnige beweging die beweging voortzet, tenzij er een netto uitwendige kracht op inwerkt. | | Tweede wet van Newton | Stelt dat de netto kracht die op een voorwerp werkt, gelijk is aan het product van de massa van het voorwerp en zijn versnelling ($\vec{F} = m\vec{a}$). | | Derde wet van Newton (Actie-reactie) | Stelt dat voor elke actie er een gelijke en tegengestelde reactie is. Krachten komen altijd in paren voor die op verschillende lichamen aangrijpen. | | Zwaartekracht | De aantrekkingskracht tussen twee voorwerpen met massa. Op aarde is dit de kracht die de aarde op een voorwerp uitoefent, vaak aangeduid als $\vec{G} = m\vec{g}$. | | Normaalkracht | De kracht die een oppervlak uitoefent op een voorwerp dat erop rust, loodrecht op het oppervlak. | | Trekkracht (Spankracht) | De kracht die door een touw, kabel of ketting wordt overgebracht wanneer deze wordt gespannen. | | Wrijvingskracht | Een kracht die de relatieve beweging tussen twee contactoppervlakken tegenwerkt. Er zijn statische (voorkomt beweging) en kinetische (verzet zich tegen beweging) wrijvingskrachten. | | Centripetale versnelling | De versnelling die nodig is om een voorwerp in een cirkelvormige baan te houden, gericht naar het centrum van de cirkel. De grootte is $a_c = v^2/r$. | | Centripetale kracht | De netto kracht die nodig is om een voorwerp in een cirkelvormige baan te houden. Het is de oorzaak van de centripetale versnelling ($\vec{F}_c = m\vec{a}_c$). | | Arbeid | De mechanische arbeid verricht door een kracht wanneer deze een verplaatsing veroorzaakt. Het is een scalair product van de kracht en de verplaatsing ($W = \vec{F} \cdot \vec{d}$). | | Kinetische energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn beweging. Het wordt gegeven door de formule $K = \frac{1}{2}mv^2$. | | Potentiële energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn positie in een krachtveld, zoals een zwaartekrachtveld of een elastisch veld. | | Stelling van arbeid en energie | Stelt dat de netto arbeid verricht op een voorwerp gelijk is aan de verandering in zijn kinetische energie ($W_{netto} = \Delta K$). | | Vermogen | Het tempo waarmee arbeid wordt verricht of energie wordt overgedragen. Het is de arbeid gedeeld door de tijd ($P = W/\Delta t$). | | Conservatieve kracht | Een kracht waarbij de arbeid verricht tussen twee punten onafhankelijk is van het gevolgde pad. De arbeid verricht door een conservatieve kracht over een gesloten pad is nul. | | Niet-conservatieve kracht | Een kracht waarbij de arbeid verricht tussen twee punten afhankelijk is van het gevolgde pad. Voorbeelden zijn wrijvingskracht en luchtweerstand. | | Wet van behoud van mechanische energie | Stelt dat de totale mechanische energie (som van kinetische en potentiële energie) van een systeem constant blijft als alleen conservatieve krachten arbeid verrichten. ($E = K + U = \text{constant}$). | | Wet van behoud van totale energie | Een fundamenteel principe dat stelt dat energie niet kan worden gecreëerd of vernietigd, maar alleen kan worden omgezet van de ene vorm in de andere. | | Eenparige rechtlijnige beweging (ERB) | Een beweging met constante snelheid langs een rechte lijn; de versnelling is nul. | | Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EURB) | Een beweging langs een rechte lijn met constante versnelling. | | Eenparige cirkelvormige beweging | Een beweging langs een cirkelbaan met constante snelheid. De snelheidsvector verandert voortdurend van richting, wat resulteert in een constante centripetale versnelling. | | Projectielbeweging | De beweging van een voorwerp dat wordt geworpen of geschoten en vervolgens alleen onder invloed van de zwaartekracht beweegt (luchtweerstand verwaarloosd). | | Veerconstante (k) | Een maat voor de stijfheid van een veer. Hoe hoger de constante, hoe stijver de veer. | | Wet van Hooke | Beschrijft de relatie tussen de kracht die nodig is om een veer uit te rekken of samen te drukken en de uitrekking of samendrukking. De kracht is evenredig met de verplaatsing vanuit de rustpositie ($F = -kx$). |

# Kinematica Kinematica beschrijft bewegingen zonder hun oorzaken, en omvat concepten zoals vectoren, snelheid en versnelling, evenals diverse bewegingstypes [1](#page=1). ### 1.1 Inleiding Kinematica is de leer van bewegingen zonder hun oorzaken; het beschrijft de beweging zelf. Beweging is altijd relatief en wordt beschreven ten opzichte van een ander referentiepunt [1](#page=1). ### 1.2 Vectoren #### 1.2.1 Scalairen en vectoren * **Scalaire grootheden** hebben enkel een grootte (bv. temperatuur, massa) [2](#page=2). * **Vectorgrootheden** hebben een richting, zin en grootte (bv. snelheid, kracht, verplaatsing) [2](#page=2). Vectoren worden voorgesteld door pijlen, waarbij de richting, zin (aangegeven door de pijlpunt) en grootte (lengte van de pijl) essentieel zijn. Notatie kan zijn als $\vec{AB}$, $\vec{r}$ of $AB$. De grootte wordt genoteerd als $|AB|$, $AB$, $|r|$ of $r$. Vectoren volgen geen gewone algebraïsche rekenregels; de som van de groottes van twee opeenvolgende verplaatsingen is niet gelijk aan de grootte van de resulterende verplaatsing [2](#page=2). #### 1.2.2 Plaatsbepaling Om de positie van een punt te bepalen, kiest men een oorsprong $O$ en een assenstelsel (driedimensionaal: orthogonaal rechtshandig assenstelsel). Punten kunnen gelokaliseerd worden via coördinaten $(x, y, z)$ of via een plaatsvector $\vec{r}$ [3](#page=3). De **plaatsverandering** wordt beschreven door de verplaatsingsvector $\vec{AB}$, die de richting en zin van de verplaatsing aangeeft. De **baan** is de verzameling punten die een lichaam doorloopt; de verplaatsing valt niet noodzakelijk samen met de baan [3](#page=3). #### 1.2.3 Ontbinden van vectoren in componenten Vectoren kunnen ontbonden worden in componenten, wat de projecties van de vector op de assen van een coördinatenstelsel zijn. In een 2D-systeem [4](#page=4): * $a_x = a \cos \phi$ (component langs de x-as) * $a_y = a \sin \phi$ (component langs de y-as) * $a^2 = a_x^2 + a_y^2$ * $\tan \phi = \frac{a_y}{a_x}$ **Eenheidsvectoren** ($\vec{i}$ voor de x-richting, $\vec{j}$ voor de y-richting, $\vec{k}$ voor de z-richting) zijn vectoren met grootte 1 en dezelfde richting als de assen. Een vector $\vec{a}$ kan geschreven worden als $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j}$ in 2D, of $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$ in 3D [4](#page=4). #### 1.2.4 De som en het verschil van vectoren * **Grafische methode:** * **Som:** De staart van de tweede vector wordt aan de kop van de eerste vector geplaatst. De resulterende vector loopt van de staart van de eerste naar de kop van de tweede. Vectoroptelling is commutatief: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ [5](#page=5). * **Verschil:** $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. De zin van de vector die afgetrokken wordt, wordt omgedraaid [5](#page=5). * **Algebraïsche methode:** Vectoren worden opgeteld door hun corresponderende componenten op te tellen. Als $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, dan geldt: * $c_x = a_x + b_x$ * $c_y = a_y + b_y$ De grootte van $\vec{c}$ is $|c| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2}$ en de richting wordt bepaald door $\tan \phi = \frac{c_y}{c_x}$ [5](#page=5). #### 1.2.5 Producten met vectoren * **Product van een scalair met een vector:** Vermenigvuldigen van een vector $\vec{a}$ met een scalair $k$ verandert de grootte en/of zin, maar niet de richting. $\vec{b} = k\vec{a}$. Als $k>0$, is de zin gelijk; als $k<0$, is de zin tegengesteld [6](#page=6). * **Scalair product (inwendig product) van 2 vectoren:** Het resultaat is een scalair [6](#page=6). $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \phi = ab \cos \phi$, waarbij $\phi$ de kleinste hoek tussen de twee vectoren is [6](#page=6). * Eigenschappen: * $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (commutatief) [6](#page=6). * $k\vec{a} \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$ [6](#page=6). * $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ (distributief) [6](#page=6). * Speciale gevallen: * Als $\vec{a}$ en $\vec{b}$ evenwijdig zijn: $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab$ (maximaal) [6](#page=6). * Als $\vec{a}$ loodrecht op $\vec{b}$ staat ($\phi = 90^\circ$): $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ [6](#page=6). * **Vectorproduct (uitwendig product) van 2 vectoren:** Het resultaat is een nieuwe vector $\vec{c}$ [7](#page=7). $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$. * Grootte: $|\vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \phi = ab \sin \phi$, waarbij $\phi$ de kleinste hoek tussen $\vec{a}$ en $\vec{b}$ is [7](#page=7). * Richting: $\vec{c}$ staat loodrecht op het vlak bepaald door $\vec{a}$ en $\vec{b}$. * Zin: Bepaald door de regel van de kurkentrekker bij draaiing over de kleinste hoek van $\vec{a}$ naar $\vec{b}$ [7](#page=7). * Eigenschappen: * $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$ (niet commutatief) [7](#page=7). * $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ [7](#page=7). * Speciale gevallen: * Als $\vec{a}$ en $\vec{b}$ evenwijdig zijn: $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ [7](#page=7). * Als $\vec{a}$ loodrecht op $\vec{b}$ staat: $|\vec{a} \times \vec{b}| = ab$ (maximaal) [7](#page=7). ### 1.3 Snelheid en versnelling #### 1.3.1 Snelheid Snelheid is het tempo waarmee de plaats van een deeltje verandert in de tijd [8](#page=8). * **Gemiddelde snelheid** ($ \vec{v}_{gem} $): Verplaatsing gedeeld door de tijdspanne [8](#page=8). $$ \vec{v}_{gem} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $$ * **Ogenblikkelijke snelheid** ($\vec{v}$): De snelheid op een specifiek tijdstip, verkregen door de limiet te nemen wanneer $\Delta t \to 0$ [8](#page=8). $$ \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt} $$ Snelheid is een vector met een richting en zin rakend aan de baan. De dimensie is lengte per tijd en de eenheid is m/s [8](#page=8). #### 1.3.2 Versnelling Versnelling is het tempo waarmee de snelheid van een deeltje verandert in de tijd [9](#page=9). * **Gemiddelde versnelling** ($\vec{a}_{gem}$): Verandering van snelheid gedeeld door de tijdspanne [9](#page=9). $$ \vec{a}_{gem} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{t_2 - t_1} $$ * **Ogenblikkelijke versnelling** ($\vec{a}$): De versnelling op een specifiek tijdstip, verkregen door de limiet te nemen wanneer $\Delta t \to 0$ [10](#page=10). $$ \vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{d\vec{v}}{dt} $$ Versnelling is een vector. De dimensie is lengte per tijd kwadraat en de eenheid is m/s² [10](#page=10). > **Tip:** De richting van de snelheidsvector is altijd rakend aan de baan. De richting van de versnellingsvector is rakend aan de "hodograaf" (de baan van de snelheid) [10](#page=10). ### 1.4 Toepassingen: enkele soorten beweging #### 1.4.1 De eenparige, rechtlijnige beweging (ERB) * Snelheid $\vec{v}$ is constant [11](#page=11). * Versnelling $\vec{a} = 0$ [11](#page=11). * Beschrijving in 1D: $x = x_0 + vt$ [11](#page=11). #### 1.4.2 Eenparige, versnelde rechtlijnige beweging (EURB) * Versnelling $\vec{a}$ is constant [12](#page=12). * Beschrijving in 1D met beginpositie $x_0$ en beginsnelheid $v_0$: * $v = v_0 + at$ [12](#page=12). * $x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ [12](#page=12). * $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ [12](#page=12). > **Tip:** De formule $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ is nuttig wanneer de tijd niet gegeven of gevraagd is [12](#page=12). Er zijn twee types constante versnelling: * **Constante versnelling + stijgende snelheid:** De snelheid neemt toe, de versnelling heeft dezelfde zin als de snelheid [13](#page=13). * **Constante versnelling + dalende snelheid (vertraging):** De snelheid neemt af, de versnelling heeft een tegengestelde zin als de snelheid [14](#page=14). **Voorbeeld 1: De vrije val** * Vrije val is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging met constante versnelling $g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$ [14](#page=14). * Beweging langs de y-as, met $a = -g$ (als de positieve y-as naar boven gericht is) [14](#page=14). * Met beginvoorwaarden $y_0 = h$ en $v_0 = 0$: * $v = -gt$ [14](#page=14). * $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ [14](#page=14). * Tijd om de grond te bereiken ($y=0$): $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ [14](#page=14). * Snelheid bij het raken van de grond: $v = -\sqrt{2gh}$ [14](#page=14). **Voorbeeld 2: De verticale worp** * Een verticale worp opwaarts vanuit de grond ($y_0 = 0$) met beginsnelheid $v_0$. * Versnelling is $a = -g$. * Kinematische vergelijkingen: * $v = v_0 - gt$ [16](#page=16). * $y = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$ [16](#page=16). * Hoogste punt $y_{max}$ wordt bereikt wanneer $v=0$. De tijd om dit punt te bereiken is $t_{top} = \frac{v_0}{g}$ [16](#page=16). #### 1.4.3 Beweging met constante versnelling in een vlak Wanneer de bewegingsrichting niet die van de versnelling is, is een vectorbenadering in 2D noodzakelijk. De beweging wordt opgesplitst in componenten langs de x- en y-as [16](#page=16). * De beweging langs de x-as en y-as zijn onafhankelijk, maar delen dezelfde tijd $t$. * Indien de versnelling $\vec{a}$ constant is ($a_x$ en $a_y$ constant), kunnen de volgende kinematische vergelijkingen per component worden toegepast: * Volgens x-richting: * $v_x = v_{0x} + a_x t$ * $x = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2}a_x t^2$ * Volgens y-richting: * $v_y = v_{0y} + a_y t$ * $y = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2}a_y t^2$ * In vectorvorm: $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a} t^2$ [17](#page=17). **Voorbeeld examenvraag: Raketlancering** Een raket wordt verticaal omhoog gestuurd met een constante versnelling van $8 \, \text{m/s}^2$ gedurende 7 seconden. Daarna wordt de motor uitgezet en ondervindt de raket alleen de zwaartekracht ($g = 9.81 \, \text{m/s}^2$). De hoogte die de raket bereikt, moet berekend worden [17](#page=17). * Fase 1 (motoren aan): * $a_1 = 8 \, \text{m/s}^2$ * $v_1 = v_0 + a_1 t = 0 + 8 \times 7 = 56 \, \text{m/s}$ * $y_1 = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_1 t^2 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \times 8 \times 7^2 = 196 \, \text{m}$ * Fase 2 (motoren uit): * Beginvoorwaarden: $y_0 = 196 \, \text{m}$, $v_0 = 56 \, \text{m/s}$, $a_2 = -g = -9.81 \, \text{m/s}^2$. * Hoogste punt wordt bereikt als $v = 0$. Tijd: $t_{top} = \frac{v_0}{g} = \frac{56}{9.81} \approx 5.708 \, \text{s}$. * Maximale hoogte: $y_{max} = y_0 + v_0 t_{top} - \frac{1}{2}gt_{top}^2 = 196 + 56 \times 5.708 - \frac{1}{2} \times 9.81 \times (5.708)^2 \approx 356 \, \text{m}$ [17](#page=17). #### 1.4.4 Projectielbaan (Kogelbaan) * Een projectiel is een voorwerp dat met een initiële snelheid wordt geprojecteerd in een willekeurige richting, onder invloed van de zwaartekracht (en idealiter zonder luchtweerstand) [18](#page=18). * De zwaartekracht zorgt voor een constante neerwaartse versnelling ($g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$) [18](#page=18). * Bij verwaarlozing van luchtweerstand: * Beweging langs de x-as: eenparig rechtlijnig ($a_x = 0$) [18](#page=18). * Beweging langs de y-as: eenparig versneld rechtlijnig ($a_y = -g$) [18](#page=18). * **Beginvoorwaarden op $t=0$**: * Plaatsvector: $\vec{r}_0 = x_0 \vec{i} + y_0 \vec{j}$ * Snelheidsvector: $\vec{v}_0 = v_{0x} \vec{i} + v_{0y} \vec{j}$ met $v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$ en $v_{0y} = v_0 \sin \theta_0$ [19](#page=19). * **Snelheid op tijdstip $t$**: * $v_x(t) = v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$ [19](#page=19). * $v_y(t) = v_{0y} - gt = v_0 \sin \theta_0 - gt$ [19](#page=19). * Grootte: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ [19](#page=19). * Richting: $\tan \phi = \frac{v_y}{v_x}$ [19](#page=19). * **De baanvergelijking** ($y$ als functie van $x$): * $x(t) = x_0 + (v_0 \cos \theta_0) t$ * $y(t) = y_0 + (v_0 \sin \theta_0) t - \frac{1}{2}gt^2$ * Eliminatie van $t$ levert: $y = y_0 + (\tan \theta_0)(x - x_0) - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta_0}(x - x_0)^2$ [19](#page=19). Dit is de vergelijking van een parabool [19](#page=19). * **Hoogste punt van de baan**: * Bereikt wanneer $v_y = 0$ [20](#page=20). * Tijdstip: $t_{top} = \frac{v_0 \sin \theta_0}{g}$ [20](#page=20). * Hoogste punt coördinaten: * $x_{top} = x_0 + \frac{v_0^2 \sin \theta_0 \cos \theta_0}{g} = x_0 + \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{2g}$ [20](#page=20). * $y_{top} = y_0 + \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g}$ [20](#page=20). * **Reikwijdte** ($R$): De horizontale afstand afgelegd alvorens het projectiel op dezelfde hoogte ($y=y_0$) terugkomt. * $t_{land} = \frac{2v_0 \sin \theta_0}{g}$ (als $y_0=0$) [21](#page=21). * Reikwijdte: $R = (v_0 \cos \theta_0) t_{land} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{g}$ [21](#page=21). * De reikwijdte is maximaal bij $\theta_0 = 45^\circ$ [21](#page=21). #### 1.4.5 De eenparige cirkelvormige beweging * Een punt dat met constante omloopsnelheid een cirkelbaan beschrijft [22](#page=22). * **Hoeksnelheid** ($\omega$): De snelheid waarmee de hoek verandert [22](#page=22). * Gemiddelde hoeksnelheid: $\langle \omega \rangle = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ [22](#page=22). * Ogenblikkelijke hoeksnelheid: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$. Eenheid: rad/s [22](#page=22). * Voor een eenparige cirkelvormige beweging is $\omega$ constant. De hoek op tijdstip $t$ is $\theta(t) = \omega t + \theta_0$, met $\theta_0$ de beginhoek [22](#page=22). * **Afgelegde weg** ($s$) langs de cirkelbaan: $s = r\theta$, waarbij $\theta$ in radialen is [23](#page=23). * **Lineaire snelheid** ($v$): De snelheid langs de cirkelbaan. * Grootte: $v = \omega r$. Eenheid: m/s [23](#page=23). * Omtrek van de cirkel is $2\pi r$. * Frequentie ($f$): Aantal omwentelingen per seconde (eenheid: Hertz, Hz) [23](#page=23). * Periode ($T$): Tijd voor één complete omwenteling. $T = \frac{1}{f}$ [23](#page=23). * $v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f$ [23](#page=23). * **Versnelling**: Bij een eenparige cirkelvormige beweging verandert de richting van de snelheidsvector constant, wat leidt tot een versnelling [24](#page=24). * **Grootte van de versnelling** ($a_c$): Deze is gericht naar het middelpunt van de cirkel (centripetale versnelling). $$ a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r $$ [24](#page=24). * **Richting van de versnelling**: Gericht naar het middelpunt $O$ van de cirkel [25](#page=25). #### 1.4.6 Rotatiebeweging van een star lichaam om een vaste as * Een **star lichaam** is een lichaam waarvan de afstand tussen elk puntpaar onveranderlijk is [25](#page=25). * Elk punt van het lichaam beschrijft een cirkelbaan in een vlak loodrecht op de rotatieas [25](#page=25). * De **ogenblikkelijke hoeksnelheid** $\omega$ is voor alle punten van het star lichaam gelijk: $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ [25](#page=25). * **Lineaire snelheid** ($v$) van een punt $P$ op afstand $r$ van de as: $v = \omega r$ [26](#page=26). * **Ogenblikkelijke versnelling** ($a$): * **Tangentiële versnelling** ($a_t$): Verandert de grootte van de lineaire snelheid. $a_t = \frac{dv}{dt} = r \frac{d\omega}{dt} = r \alpha$, waarbij $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ de hoekversnelling is [26](#page=26). * **Centripetale (radiale) versnelling** ($a_c$): Verandert de richting van de lineaire snelheid. $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$ [26](#page=26). * De totale versnelling is de vectoriële som van de tangentiële en centripetale versnelling: $\vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_c$ [26](#page=26). * Als $\omega$ constant is (eenparige cirkelvormige beweging), dan is $\alpha=0$ en $a_t=0$. De enige versnelling is de centripetale versnelling [26](#page=26). * Als $\alpha \neq 0$, dan is er zowel tangentiële als centripetale versnelling [26](#page=26). --- # Dynamica en de wetten van Newton Dynamica bestudeert het verband tussen krachten en de daaruit voortvloeiende bewegingen van voorwerpen. ### 2.1 Basisbegrippen * Een **kracht** is een grootheid die de vorm of de snelheid van een voorwerp kan veranderen [30](#page=30). * **Massa** is een eigenschap van materie, recht evenredig met de hoeveelheid materie en een maat voor de traagheid van een voorwerp [30](#page=30). * Er moet een onderscheid gemaakt worden tussen massa en gewicht: * Massa is een eigenschap van het voorwerp, uitgedrukt in gram [30](#page=30). * Gewicht is een kracht, de aantrekkende kracht die de zwaartekracht uitoefent op een voorwerp, uitgedrukt in Newton [30](#page=30). ### 2.2 Meten van krachten Krachten kunnen niet rechtstreeks worden vastgesteld. De grootte van krachten wordt bepaald door de vervorming die ze veroorzaken op een niet-bewegende massa. Dit gebeurt met een **dynamometer**, een geijkte spiraalveer, gebaseerd op de wet van Hooke: $F = k \Delta s$ [31](#page=31). Hierin is: * $k$ de veerconstante [31](#page=31). * $\Delta s$ de uittrekking van de spiraalveer [31](#page=31). ### 2.3 De wetten van Newton #### 2.3.1 De eerste wet van Newton: de traagheidswet Elk lichaam blijft in zijn rusttoestand of in de toestand van een eenparig rechtlijnige beweging, tenzij het verplicht wordt deze toestand te verlaten door een uitwendige oorzaak, de totale kracht. Dit betekent dat een voorwerp in beweging wil blijven bewegen en een voorwerp in rust wil in rust blijven, tenzij een nettokracht anders bepaalt. Krachten zorgen voor vervormingen en veranderingen van bewegingen [31](#page=31). Wiskundig: als $\sum F = 0$, dan $a = 0$ [31](#page=31). #### 2.3.2 De tweede wet van Newton: verband tussen kracht en versnelling De verhouding tussen een kracht en de daardoor veroorzaakte versnelling is voor een bepaald lichaam constant. Deze constante is de massa van het lichaam. De massa is een eigenschap die maatgevend is voor het verzet tegen verandering in bewegingstoestand [33](#page=33). De tweede wet van Newton luidt: $$ \sum \vec{F} = m \vec{a} $$ waarin: * $\sum \vec{F}$ de som is van alle krachten die op het lichaam inwerken (de nettokracht) [33](#page=33). * $m$ de massa van het lichaam is [33](#page=33). * $\vec{a}$ de versnelling is, die dezelfde richting heeft als de nettokracht [33](#page=33). De eenheid van kracht is de Newton (N), waarbij $1 \, \text{N} = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$ [33](#page=33). De wetten van Newton zijn alleen geldig in **inertiële referentiestelsels**, wat assenstelsels zijn die in rust zijn of een eenparig rechtlijnige beweging uitvoeren [33](#page=33). #### 2.3.3 De derde wet van Newton: actie en reactie Wanneer lichaam A een kracht uitoefent op lichaam B, oefent B ook een kracht uit op A. Deze actie-reactie krachtparen zijn even groot, werken langs dezelfde rechte lijn, maar in tegengestelde zin [33](#page=33). Mathematisch: $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ [33](#page=33). Belangrijke eigenschappen van actie- en reactiekrachten: * Ze zijn tegengesteld [33](#page=33). * Ze werken op verschillende lichamen [33](#page=33). * Ze grijpen nooit op hetzelfde lichaam aan [33](#page=33). > **Tip:** Een veelvoorkomende misvatting is dat actie- en reactiekrachten elkaar opheffen. Dit is onjuist omdat ze op verschillende lichamen aangrijpen. Ze heffen elkaar alleen op als ze op hetzelfde lichaam aangrijpen, zoals bij de nettokracht in de tweede wet van Newton. **Voorbeeld:** De lancering van een raket. De raketmotor drukt gassen naar beneden, en de gassen oefenen een gelijke en tegengestelde kracht op de raket uit, waardoor deze omhoog beweegt [34](#page=34). ### 2.4 Enkele belangrijke krachten #### 2.4.1 Zwaartekracht De aarde oefent op elk lichaam een aantrekkingskracht uit, de **zwaartekracht**, die wordt gegeven door: $$ G = m g $$ waarin $g$ de gravitatieversnelling is ($ \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$) [34](#page=34). De **universele gravitatiekracht** beschrijft de aantrekkingskracht tussen twee willekeurige lichamen met massa $m_1$ en $m_2$, op een afstand $r$ van elkaar: $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$ Hierin is $G$ de universele gravitatieconstante ($6.673 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$) [34](#page=34). De gravitatieversnelling $g$ is afhankelijk van de hoogte boven de zeespiegel [34](#page=34). > **Opm.:** Gewicht is een kracht (vector) en massa is een maat voor traagheid (scalair) [34](#page=34). #### 2.4.2 De normaalkracht en de trekkracht * De **normaalkracht** ($\vec{F}_N$) wordt veroorzaakt door het contact van een lichaam met een steunvlak. Het steunvlak oefent deze kracht uit op het lichaam, loodrecht op het steunvlak. De normaalkracht kan gelijk zijn aan, groter of kleiner zijn dan de zwaartekracht, afhankelijk van andere krachten die op het lichaam inwerken [35](#page=35). * Voorbeeld (doos van 10 kg op een tafel): * Als er geen andere verticale krachten zijn: $\sum F_y = F_N - mg = 0 \Rightarrow F_N = mg = 98 \, \text{N}$ [35](#page=35). * Als er nog een kracht van 40.0 N naar beneden werkt: $\sum F_y = F_N - mg - 40.0 \, \text{N} = 0 \Rightarrow F_N = mg + 40.0 \, \text{N} = 98 \, \text{N} + 40.0 \, \text{N} = 138 \, \text{N}$ [35](#page=35). * Als er nog een kracht van 40.0 N naar boven werkt: $\sum F_y = F_N - mg + 40.0 \, \text{N} = 0 \Rightarrow F_N = mg - 40.0 \, \text{N} = 98 \, \text{N} - 40.0 \, \text{N} = 58 \, \text{N}$ [35](#page=35). * De **trekkracht** of **spankracht** ($\vec{T}$) wordt uitgeoefend door bijvoorbeeld een touw of kabel op een opgehangen lichaam. De richting van de trekkracht is langs het touw [35](#page=35). #### 2.4.3 Wrijvingskrachten Wrijvingskrachten werken tussen contactoppervlakken en zijn tegengesteld aan de relatieve bewegingsrichting [36](#page=36). * **Statische wrijvingskracht** ($\vec{f}_s$): Deze kracht voorkomt dat een stilstaand voorwerp gaat bewegen. Er is een maximale statische wrijvingskracht ($f_{s,max}$) die overwonnen moet worden om het voorwerp in beweging te zetten [36](#page=36). $$ f_{s,max} = \mu_s N $$ waarin $\mu_s$ de statische wrijvingscoëfficiënt is en $N$ de normaalkracht [37](#page=37). * **Kinetische wrijvingskracht** ($\vec{f}_k$): Deze kracht werkt als het voorwerp al in beweging is. Eenmaal in beweging is er meestal een geringere kracht nodig om de kinetische wrijvingskracht te compenseren en het voorwerp in een eenparige beweging te houden [36](#page=36). $$ f_k = \mu_k N $$ waarin $\mu_k$ de kinetische wrijvingscoëfficiënt is en $N$ de normaalkracht [37](#page=37). Empirisch blijkt dat wrijvingskrachten: * Onafhankelijk zijn van de grootte van het contactoppervlak [36](#page=36). * In grootte evenredig zijn met de normaalkracht op het lichaam [36](#page=36). De wrijvingscoëfficiënten ($\mu_s$ en $\mu_k$) zijn afhankelijk van de aard van de materialen en de toestand van de contactoppervlakken. Meestal is $\mu_s > \mu_k$ [37](#page=37). > **Tip:** Wrijvingscoëfficiënten worden vaak gegeven in tabellen en zijn specifiek voor bepaalde materiaalcombinaties [37](#page=37). ### 2.5 Pseudokrachten Pseudokrachten (of fictieve krachten) worden ingevoerd in niet-inertiële referentiestelsels om de wetten van Newton toch te kunnen toepassen. Een voorbeeld hiervan is de **centrifugaalkracht**, die in een roterend referentiekader wordt ingevoerd om de centripetale kracht te compenseren en het voorwerp in rust te laten lijken. In deze cursus wordt vermeden fictieve krachten te gebruiken [37](#page=37). ### 2.6 Toepassingen #### 2.6.1 Algemene werkwijze om oefeningen te maken 1. Identificeer het lichaam waarvan de beweging onderzocht moet worden [38](#page=38). 2. Bepaal alle krachten die door de omgeving op dit lichaam worden uitgeoefend [38](#page=38). 3. Kies een geschikt assenstelsel [38](#page=38). 4. Teken een **krachtendiagram** (vrijlichaamdiagram) van het lichaam en alle inwerkende krachten [38](#page=38). 5. Pas de wetten van Newton toe, zowel in vectorvorm als in componentenvorm [38](#page=38). #### 2.6.2 Voorbeeld: Een voertuig in een vlakke bocht Bij het nemen van een vlakke bocht beschrijft een auto een eenparig cirkelvormige beweging. De **zijdelingse statische wrijvingskracht** tussen de banden en het wegdek zorgt voor de benodigde centripetale kracht om de beweging te onderhouden [39](#page=39). * Gegeven: $r = 20 \, \text{m}$, $\mu_s = 0.6$. * Gevraagd: Maximale snelheid ($v_{max}$) om niet uit de bocht te vliegen. De maximale snelheid wordt bepaald door de maximale wrijvingskracht: $f_{s,max} = \mu_s N$. In dit geval is de normaalkracht gelijk aan de zwaartekracht ($N=mg$). Dus: $f_{s,max} = \mu_s mg$. De centripetale kracht is: $F_c = \frac{mv_{max}^2}{r}$. Door de tweede wet van Newton toe te passen in de richting van de bocht: $f_{s,max} = F_c$. $$ \mu_s mg = \frac{mv_{max}^2}{r} $$ $$ v_{max} = \sqrt{\mu_s g r} $$ $$ v_{max} = \sqrt{0.6 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 20 \, \text{m}} \approx 10.8 \, \text{m/s} \approx 39 \, \text{km/u} $$ [40](#page=40). #### 2.6.3 Voorbeeld van de dynamica van het hellend vlak Een skiër glijdt vanuit rust een helling af. De krachten die inwerken zijn de zwaartekracht ($\vec{G}$), de normaalkracht ($\vec{N}$) en de kinetische wrijvingskracht ($\vec{f}_k$). * Gegeven: Hoek helling $\theta = 30^\circ$, lengte helling $x = 50 \, \text{m}$, kinetische wrijvingscoëfficiënt $\mu_k = 0.05$, startsnelheid $v_0 = 0$. * Gevraagd: Snelheid beneden aan de helling ($v$). Keuze assenstelsel: Oorsprong onderaan de helling, x-as langs de helling naar beneden, y-as loodrecht op de helling omhoog. Ontbinding van krachten: * Lang de y-as: $N - G \cos \theta = 0 \Rightarrow N = mg \cos \theta$ [41](#page=41). * De wrijvingskracht: $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ [41](#page=41). * Lang de x-as: $f_k - G \sin \theta = m a_x$. (Merk op: f_k is tegengesteld aan de bewegingsrichting, dus negatief in de formule) [41](#page=41). $$ -f_k - mg \sin \theta = ma_x $$ $$ -\mu_k mg \cos \theta - mg \sin \theta = ma_x $$ $$ a_x = -g(\mu_k \cos \theta + \sin \theta) $$ Er lijkt hier een tekenfout te zijn in de originele documentatie. Als we aannemen dat de wrijvingskracht tegengesteld is aan de beweging en de zwaartekracht component de skiër naar beneden trekt, zou de vergelijking eerder moeten zijn: $mg \sin \theta - f_k = ma_x$ $mg \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta = ma_x$ $a_x = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$ Dit wordt ook bevestigd door de volgende berekening in de samenvatting die $a = g (\mu \cos\theta - \sin\theta)$ gebruikt (wat ook omgekeerd zou moeten zijn voor het omhoog gaan van de berg). Laten we uitgaan van de berekening die tot een positieve snelheid leidt [42](#page=42): $a_x = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$ (#page=41, 42) [41](#page=41) [42](#page=42). $a_x = 9.81 \, \text{m/s}^2 (\sin 30^\circ - 0.05 \cos 30^\circ)$ $a_x = 9.81 \, \text{m/s}^2 (0.5 - 0.05 \times 0.866) \approx 9.81 (0.5 - 0.0433) \approx 4.47 \, \text{m/s}^2$. De skiër voert een eenparig versnelde, rechtlijnige beweging uit. De eindsnelheid $v$ kan berekend worden met: $v^2 = v_0^2 + 2 a_x (x - x_0)$ [41](#page=41) [42](#page=42). Met $v_0=0$, $x_0=0$ en $x=50 \, \text{m}$: $v^2 = 2 \times 4.47 \, \text{m/s}^2 \times 50 \, \text{m} = 447 \, \text{m}^2/\text{s}^2$ $v = \sqrt{447} \, \text{m/s} \approx 21.1 \, \text{m/s}$ [42](#page=42). Omgerekend naar km/u: $21.1 \, \text{m/s} \times 3.6 \approx 76 \, \text{km/u}$ [42](#page=42). > **Opm.:** De formule voor de versnelling $a = g(\mu \cos\theta - \sin\theta)$ in en lijkt omgekeerd te zijn voor een glijdend voorwerp naar beneden, waar $g \sin\theta$ de drijvende kracht is en $f_k = \mu_k mg \cos\theta$ de tegenwerkende kracht. Correct is waarschijnlijk $a = g(\sin\theta - \mu_k \cos\theta)$. De berekening leidt echter tot het resultaat van 21 m/s [41](#page=41) [42](#page=42). --- # Arbeid en energie Dit hoofdstuk onderzoekt het concept van arbeid, zowel door constante als veranderlijke krachten, en introduceert de stellingen van arbeid en energie, vermogen, potentiële en kinetische energie, en de wetten van behoud van mechanische en totale energie. ### 3.1 Het begrip arbeid Mechanische arbeid ($W$) wordt verricht wanneer een kracht ($F$) op een lichaam werkt en dit lichaam over een bepaalde afstand ($d$) verplaatst [43](#page=43). * **Constante kracht in dezelfde richting als verplaatsing:** Als de kracht en de verplaatsing dezelfde richting en zin hebben, wordt de arbeid berekend als $W = Fd$ [43](#page=43). * **Constante kracht met hoek:** Indien de richting van de kracht niet samenvalt met de verplaatsing, wordt enkel de component van de kracht in de richting van de verplaatsing in rekening gebracht. De arbeid wordt dan gegeven door $W = Fd \cos \theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen de krachtvector en de verplaatsingsvector [43](#page=43) [44](#page=44). * Als $0^\circ \le \theta < 90^\circ$, verricht $F$ positieve arbeid [44](#page=44). * Als $\theta = 90^\circ$, is $W = 0$ [44](#page=44). * Als $90^\circ < \theta \le 180^\circ$, verricht $F$ negatieve arbeid [44](#page=44). De eenheid van arbeid is de Joule (J), gedefinieerd als 1 Newton maal 1 meter ($1 \, \text{J} = 1 \, \text{N} \times 1 \, \text{m}$). Het fysieke begrip arbeid verschilt van de geleverde inspanning. Arbeid is een scalair product [44](#page=44). **Voorbeeld:** De arbeid verricht door een bergwandelaar op een rugzak om deze de berg op te dragen is $W = Fh = mgh$, waarbij $m$ de massa, $g$ de zwaartekrachtversnelling en $h$ de hoogte is. De arbeid verricht door de zwaartekracht op de rugzak is $W_G = -mgh$. De verrichte arbeid is enkel afhankelijk van de verandering in hoogte. Een persoon die een boodschappentas met constante snelheid horizontaal draagt, verricht geen arbeid op de tas omdat de kracht loodrecht staat op de verplaatsingsvector [44](#page=44) [45](#page=45). ### 3.2 Arbeid verricht door een veranderlijke kracht #### 3.2.1 Veranderlijke kracht met vaste richting Bij een eendimensionale, rechtlijnige beweging waarbij de kracht $F$ van grootte verandert, maar de richting vast is, kan de arbeid berekend worden door de verplaatsing op te delen in kleine intervallen $\Delta x$. De arbeid over een interval is dan ongeveer $F(x) \Delta x$. In de limiet waarbij $\Delta x \to 0$, wordt de totale arbeid de integraal van de kracht over de verplaatsing [46](#page=46): $$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx$$ Dit komt overeen met de oppervlakte onder de krachtcurve $F(x)$ tussen $x_1$ en $x_2$ [46](#page=46). **Voorbeeld:** De arbeid nodig om een veer uit te rekken volgens de Wet van Hooke ($F = kx$) over een afstand $x_2$ (met $x_1 = 0$) is: $$W = \int_{0}^{x_2} kx \, dx = \frac{1}{2} kx_2^2$$ Hierbij stelt de gearceerde oppervlakte de verrichte arbeid voor [47](#page=47). #### 3.2.2 Veranderlijke kracht - Algemeen Voor een algemeen geval in twee of drie dimensies, waar de kracht $F$ in grootte en richting kan veranderen, wordt de baan opgedeeld in kleine verplaatsingen $\Delta \vec{r}$. De arbeid over een klein interval is $AW = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r}$. In de limiet waarbij $\Delta \vec{r} \to 0$, wordt de totale arbeid gegeven door de lijnintegraal [48](#page=48): $$W = \int_{a}^{b} \vec{F} \cdot d\vec{r}$$ Voor een driedimensionaal geval met $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ en $d\vec{r} = (dx, dy, dz)$ wordt dit: $$W = \int_{x_a}^{x_b} F_x \, dx + \int_{y_a}^{y_b} F_y \, dy + \int_{z_a}^{z_b} F_z \, dz$$ [48](#page=48). ### 3.3 Stelling van arbeid en energie De stelling van arbeid en energie stelt dat de totale arbeid die op een lichaam wordt verricht door de resultante van de krachten die op het lichaam werken, gelijk is aan de verandering in de kinetische energie van het lichaam [49](#page=49). * **Eendimensionaal geval met constante kracht:** $F = ma$. De arbeid is $W = Fx = max$. Met behulp van bewegingsvergelijkingen ($v = v_0 + at$ en $x = v_0t + \frac{1}{2}at^2$) kan men afleiden dat $W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \Delta K$, waarbij $K = \frac{1}{2}mv^2$ de kinetische energie is [48](#page=48). * **Eendimensionaal geval met veranderlijke kracht:** Bij verplaatsing van $x_0$ naar $x$ is de arbeid $W = \int_{x_0}^{x} F(x) \, dx$. Omdat $F = ma = m \frac{dv}{dt} = m \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = mv \frac{dv}{dx}$, volgt dat $W = \int_{v_0}^{v} mv \, dv = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \Delta K$ [49](#page=49). * **Algemeen geval:** De totale arbeid $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ is gelijk aan de verandering in kinetische energie: $W = K - K_0 = \Delta K$ [49](#page=49). **Voorbeeld:** Bij een schuine worp met beginsnelheid $v_0$, is de arbeid verricht door de zwaartekracht ($W = -mgh$) gelijk aan de verandering in kinetische energie ($W = K_f - K_0$). Als $W=0$ (bij gelijke begin- en eindhoogte), dan is $K_f = K_0$, wat impliceert dat de eindsnelheid gelijk is aan de beginsnelheid qua grootte, maar niet qua richting en zin [50](#page=50). ### 3.4 Arbeidstempo of vermogen Vermogen ($P$) is het tempo waarmee arbeid wordt verricht [50](#page=50). * **Gemiddeld vermogen:** $\langle P \rangle = \frac{W}{\Delta t}$ [50](#page=50). * **Ogenblikkelijk vermogen:** $P = \frac{dW}{dt}$ [50](#page=50). Bij constant vermogen is $W = Pt$. De eenheid van vermogen is Watt (W), met $1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}$. Een praktische eenheid is de paardekracht (PK) [50](#page=50). ### 3.5 Potentiële energie van een systeem #### 3.5.1 Conservatieve en niet-conservatieve krachten * **Conservatieve krachten:** Een kracht is conservatief als de arbeid verricht op een lichaam bij een verplaatsing tussen twee punten enkel afhangt van de ligging van deze punten, en niet van de gevolgde weg. Bovendien is de arbeid verricht door een conservatieve kracht bij het doorlopen van een gesloten cyclus nul. Voorbeelden zijn de zwaartekracht, veerkracht en de coulombkracht [52](#page=52). * **Niet-conservatieve krachten:** Krachten zoals wrijvingskracht en luchtweerstand zijn niet-conservatief, omdat de verrichte arbeid afhangt van de gevolgde weg. De arbeid verricht door de wrijvingskracht bij een heen-en-weer beweging is niet nul [52](#page=52). #### 3.5.2 Het begrip potentiële energie Potentiële energie ($U$) is de hoeveelheid "arbeid in voorraad" in een systeem. De verandering in potentiële energie ($\Delta U$) tussen twee toestanden is gelijk aan de negatieve arbeid verricht door de conservatieve krachten: $\Delta U = -W_{conservatief}$ [53](#page=53). * **Potentiële energie in het zwaartekrachtveld:** Op hoogte $h$ boven een referentiepunt is de potentiële energie $U = mgh$, waarbij $U=0$ op het referentieoppervlak [53](#page=53). * **Potentiële energie bij eendimensionale systemen:** Voor een kracht $F(x)$ is de verandering in potentiële energie $\Delta U = U_b - U_a = -\int_{a}^{b} F(x) \, dx$. Als de veer ongespannen is ($x=0$) en de potentiële energie nul is ($U =0$), dan is de potentiële energie bij elongatie $x$: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ (#page=53, 57) [53](#page=53) [57](#page=57). * **Potentiële energie bij 2- en 3-dimensionale systemen:** $\Delta U = -\int_{a}^{b} \vec{F} \cdot d\vec{r}$ [54](#page=54). Potentiële energie kan enkel gedefinieerd worden voor systemen waarin conservatieve krachten optreden. Het is een toestandsfunctie die hoort bij een systeem en gekoppeld is aan een kracht [54](#page=54). ### 3.6 Wet van behoud van mechanische energie Voor een systeem waarin enkel conservatieve krachten werken, blijft de mechanische energie ($E$), de som van kinetische ($K$) en potentiële ($U$) energie, constant [55](#page=55). $$E = K + U = \text{constant}$$ Dit volgt uit de stelling van arbeid en energie ($W_{conservatief} = \Delta K$) en de definitie van potentiële energie ($\Delta U = -W_{conservatief}$), wat leidt tot $W_{conservatief} = -\Delta U$. Dus $\Delta K = -\Delta U$, of $\Delta K + \Delta U = 0$, dus $K+U = \text{constant}$ [55](#page=55). **Voorbeeld:** Een vallende steen zet potentiële energie om in kinetische energie. Bij een kind op een slee op een wrijvingsloos hellend vlak is de totale mechanische energie constant. De beginsnelheid wordt omgezet in hoogte, en vice versa [56](#page=56) [57](#page=57). ### 3.7 Toepassing: de ideale veer Bij een ideaal systeem met een veer op een wrijvingsloos oppervlak, is de mechanische energie behouden. De terugroepende kracht van de veer wordt gegeven door de Wet van Hooke: $F_x = -kx$. De potentiële energie van de veer bij elongatie $x$ is $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$. Tijdens de beweging wordt potentiële energie omgezet in kinetische energie en omgekeerd. De snelheid bij de evenwichtspositie ($x=0$) is maximaal ($K = \frac{1}{2}mv^2$), terwijl de potentiële energie minimaal is ($U=0$). De totale mechanische energie is $E = \frac{1}{2}kx_m^2$ (bij maximale uitwijking $x_m$) en $E = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ (bij de evenwichtspositie), dus $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$, wat leidt tot $v = \pm x \sqrt{\frac{k}{m}}$ [57](#page=57) [58](#page=58). Bij een slingerbeweging is voor kleine uitwijkhoeken de tangentiële component van de zwaartekracht ($F = -mg\sin\theta \approx -mg\theta$) een terugroepende kracht die een oscillerende beweging veroorzaakt (#page=58, 59). De snelheid bij de evenwichtspositie kan berekend worden met de wet van behoud van mechanische energie [58](#page=58) [59](#page=59). ### 3.8 Wet van behoud van totale energie Wanneer naast conservatieve krachten ook niet-conservatieve krachten (zoals wrijvingskrachten $F_f$) aanwezig zijn, wordt de stelling van arbeid en energie uitgebreid. De arbeid verricht door niet-conservatieve krachten zorgt voor een verandering in mechanische energie [59](#page=59). $$W_{niet-conservatief} = \Delta K + \Delta U = \Delta E_{mechanisch}$$ De arbeid verricht door wrijvingskrachten is negatief, wat leidt tot een afname van de mechanische energie. Deze verloren mechanische energie wordt omgezet in andere vormen van energie, met name inwendige energie (warmte) (#page=59, 60) [59](#page=59) [60](#page=60). Het principe van het behoud van totale energie stelt dat energie nooit vernietigd of gecreëerd kan worden, maar enkel kan worden omgezet van de ene vorm naar de andere [60](#page=60). $$\Delta E_{totale} = 0$$ --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kinematica | De tak van de mechanica die de beweging van lichamen beschrijft zonder rekening te houden met de oorzaken die deze beweging teweegbrengen, zoals krachten. Het richt zich op grootheden als verplaatsing, snelheid en versnelling. | | Vector | Een wiskundige entiteit die zowel een grootte als een richting heeft, en wordt vaak voorgesteld door een pijl. Vectoren worden gebruikt om grootheden zoals verplaatsing, snelheid en kracht te beschrijven. | | Scalair | Een grootheid die enkel een grootte heeft en geen richting. Voorbeelden zijn massa, temperatuur en afstand. | | Verplaatsing | De verandering in positie van een object, gespecificeerd door de richting en de afstand. Het is een vectorgrootheid. | | Snelheid | De snelheid waarmee een object van positie verandert. Het is een vectorgrootheid en wordt gedefinieerd als de verandering in plaats gedeeld door de verandering in tijd. | | Ogenblikkelijke snelheid | De snelheid van een object op een specifiek tijdstip, verkregen door de limiet te nemen van de gemiddelde snelheid als de tijdsinterval nul nadert. | | Gemiddelde snelheid | De totale verplaatsing van een object gedeeld door de totale tijd die nodig was voor die verplaatsing. | | Versnelling | De snelheid waarmee de snelheid van een object verandert. Het is een vectorgrootheid en wordt gedefinieerd als de verandering in snelheid gedeeld door de verandering in tijd. | | Ogenblikkelijke versnelling | De versnelling van een object op een specifiek tijdstip, verkregen door de limiet te nemen van de gemiddelde versnelling als de tijdsinterval nul nadert. | | Gemiddelde versnelling | De totale verandering in snelheid van een object gedeeld door de totale tijd die nodig was voor die snelheidsverandering. | | Eenparige rechtlijnige beweging (ERB) | Een beweging waarbij de snelheid constant is en er geen versnelling optreedt. De afgelegde afstand is recht evenredig met de tijd. | | Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (EURB) | Een beweging waarbij de versnelling constant is. De snelheid neemt lineair toe met de tijd, en de afgelegde afstand neemt kwadratisch toe met de tijd. | | Projectielbaan | De baan die een object volgt wanneer het in de lucht wordt geworpen onder invloed van alleen de zwaartekracht (en luchtweerstand verwaarloosd). Het is een parabolische baan. | | Eenparige cirkelvormige beweging | Een beweging waarbij een object met constante omloopsnelheid een cirkelbaan beschrijft. Hoewel de lineaire snelheid constant is in grootte, verandert de richting voortdurend, wat resulteert in een centripetale versnelling. | | Hoeksnelheid | De snelheid waarmee de hoekpositie van een object verandert. Het wordt gemeten in radialen per seconde (rad/s). | | Centripetale versnelling | De versnelling die gericht is naar het middelpunt van een cirkelbaan en die nodig is om de richting van de snelheidsvector van een bewegend object te veranderen, zodat het langs een cirkelbaan beweegt. | | Kracht | Een interactie die, wanneer niet tegengewerkt, de bewegingstoestand van een object verandert. Krachten zijn vectorgrootheden. | | Massa | Een maat voor de traagheid van een object; de weerstand die het biedt tegen verandering in zijn bewegingstoestand. Massa is een scalaire grootheid. | | Gewicht | De kracht die door de zwaartekracht op een object wordt uitgeoefend, gelijk aan het product van de massa van het object en de lokale zwaartekrachtsversnelling ($G = mg$). | | Wet van Newton | Drie fundamentele wetten die de relatie tussen krachten en beweging beschrijven: de traagheidswet, de tweede wet (F=ma) en de derde wet (actie-reactie). | | Traagheidswet (Eerste wet van Newton) | Elk lichaam blijft in zijn rusttoestand of in de toestand van een eenparige rechtlijnige beweging, tenzij het gedwongen wordt deze toestand te veranderen door een uitwendige kracht. | | Tweede wet van Newton | De netto kracht die op een object werkt, is gelijk aan het product van de massa van het object en zijn versnelling ($F_{netto} = ma$). | | Derde wet van Newton | Voor elke actie is er een gelijke en tegengestelde reactie. Als object A een kracht uitoefent op object B, oefent object B een gelijke en tegengesteld gerichte kracht uit op object A. | | Zwaartekracht | De aantrekkingskracht tussen twee objecten met massa. Op aarde is dit de kracht die objecten naar het centrum van de aarde trekt. | | Normaalkracht | De kracht die een oppervlak uitoefent op een object dat er contact mee maakt, loodrecht op het oppervlak. | | Trekkracht | De kracht die door een touw of kabel wordt uitgeoefend wanneer het wordt aangespannen. | | Wrijvingskracht | Een kracht die de relatieve beweging tussen twee contactoppervlakken tegenwerkt. | | Statische wrijving | De wrijvingskracht die de beweging van een object tegenwerkt wanneer het in rust is. | | Kinetische wrijving | De wrijvingskracht die de beweging van een object tegenwerkt wanneer het in beweging is. | | Pseudokracht | Een schijnbare kracht die wordt geïntroduceerd in een niet-inertieel referentiestelsel om de wetten van Newton geldig te laten zijn. | | Arbeid | De energie die door een kracht op een object wordt overgedragen. Het wordt gedefinieerd als het product van de krachtcomponent in de richting van de verplaatsing en de grootte van de verplaatsing ($W = Fd\cos\theta$). | | Vermogen | Het tempo waarmee arbeid wordt verricht, gedefinieerd als arbeid gedeeld door tijd ($P = W/t$). | | Potentiële energie | Energie die een object bezit vanwege zijn positie in een krachtveld (zoals zwaartekracht of een veer). | | Kinetische energie | De energie die een object bezit vanwege zijn beweging, gedefinieerd als $K = \frac{1}{2}mv^2$. | | Conservatieve kracht | Een kracht waarbij de arbeid die verricht wordt tussen twee punten onafhankelijk is van het pad dat gevolgd wordt. De netto arbeid over een gesloten pad is nul. | | Niet-conservatieve kracht | Een kracht waarbij de arbeid die verricht wordt afhankelijk is van het pad dat gevolgd wordt. | | Wet van behoud van mechanische energie | In een systeem waar alleen conservatieve krachten werken, blijft de som van de kinetische en potentiële energie constant ($E = K + U = \text{constant}$). | | Wet van behoud van totale energie | Energie kan niet worden gecreëerd of vernietigd, alleen worden omgezet van de ene vorm naar de andere. |

# Hoeveelheid van beweging en impuls Dit hoofdstuk introduceert de concepten van hoeveelheid van beweging (lineair moment) en impuls, hun behoudswetten en toepassingen bij botsingen. ## 1\. Hoeveelheid van beweging en impuls ### 1.1 Soorten bewegingen * **Translatie:** De beweging van een lichaam waarbij elk punt een gelijke verschuiving ondergaat, ongeacht of de baan rechtlijnig of kromlijnig is. De beweging van elk punt is representatief voor de beweging van het totale lichaam [3](#page=3). * **Rotatie:** Een lichaam roteert als er op elk moment een as bestaat waarrond alle punten concentrische cirkels beschrijven [4](#page=4). * Alle bewegingen van een star (onvervormbaar) lichaam kunnen beschreven worden als de samenstelling van een translatie en een rotatie [4](#page=4). ### 1.2 Het massamiddelpunt Het massamiddelpunt (MM) is het punt waarin de volledige massa van een systeem geconcentreerd kan worden gedacht. Dit punt beweegt op dezelfde manier als een stoffelijk punt met de totale massa van het lichaam, onder invloed van de som van alle uitwendige krachten die op het lichaam inwerken. Voor een systeem van twee deeltjes met massa $m\_1$ en $m\_2$, onderworpen aan krachten $F\_1$ en $F\_2$, beweegt het massamiddelpunt $P$ alsof een puntmassa $M = m\_1 + m\_2$ onderworpen is aan de totale kracht $F = F\_1 + F\_2$ [5](#page=5). #### 1.2.1 Het massamiddelpunt bij ééndimensionale verdeling van puntmassa's Voor twee puntmassa's $m\_1$ en $m\_2$ met coördinaten $x\_1$ en $x\_2$ wordt de coördinaat van het massamiddelpunt gegeven door: $$x\_{mm} = \\frac{m\_1 x\_1 + m\_2 x\_2}{m\_1 + m\_2}$$ [5](#page=5). Voor meerdere puntmassa's $m\_i$ met coördinaten $x\_i$: $$x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{M}$$ [5](#page=5). waarbij $M$ de totale massa van het systeem is ($M = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i$) [5](#page=5). #### 1.2.2 Het massamiddelpunt bij een ruimtelijke verdeling van puntmassa's De coördinaten van het massamiddelpunt $(x\_{mm}, y\_{mm}, z\_{mm})$ van een systeem van $n$ puntmassa's $m\_i$ op positie $r\_i = x\_i \\vec{i} + y\_i \\vec{j} + z\_i \\vec{k}$ zijn: $$x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{M}$$ [6](#page=6). $$y\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i y\_i}{M}$$ [6](#page=6). $$z\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i z\_i}{M}$$ [6](#page=6). In vectornotatie is de plaatsvector van het massamiddelpunt: $$\\vec{r}\_{mm} = \\frac{\\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{r}\_i}{M}$$ [6](#page=6). Dit is onafhankelijk van de keuze van het assenstelsel en afhankelijk van de massa's en relatieve afstanden van de deeltjes [6](#page=6). #### 1.2.3 Het massamiddelpunt van onvervormbare lichamen (continue massaverdeling) Voor een continu lichaam kan de coördinaat van het massamiddelpunt worden berekend via integralen. Voor een lichaam met totale massa $M$: $$x\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int x , dm$$ [7](#page=7). $$y\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int y , dm$$ [7](#page=7). $$z\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int z , dm$$ [7](#page=7). In vectornotatie: $$\\vec{r}\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int \\vec{r} , dm$$ [7](#page=7). Indien het lichaam homogeen is met massadichtheid $\\rho$, dan is $dm = \\rho , dV$, en: $$\\vec{r}{mm} = \\frac{1}{M} \\int \\rho \\vec{r} , dV$$ [7](#page=7). * **Bijzondere gevallen:** * Bij puntsymmetrie is het massamiddelpunt het symmetriepunt [8](#page=8). * Bij lijnsymmetrie ligt het massamiddelpunt op de symmetrielijn [8](#page=8). ### 1.3 Beweging van het massamiddelpunt De beweging van het massamiddelpunt van een systeem van deeltjes of een vast lichaam wordt bepaald door de totale massa en de \_uitwendige krachten. Als $M$ de totale massa is en $\\vec{a}\_{mm}$ de versnelling van het massamiddelpunt, dan geldt [9](#page=9): $$M \\vec{a}{mm} = \\sum\_{i} \\vec{F}\_{i, \\text{uitw}}$$ [9](#page=9). Dit betekent dat het massamiddelpunt beweegt alsof de totale massa in dat punt is geconcentreerd en alle uitwendige krachten daar aangrijpen. In het zwaartekrachtveld valt het massamiddelpunt samen met het zwaartepunt [9](#page=9). > **Tip:** Bij sporten zoals schoonspringen, duiken of hoogspringen, beschrijft het massamiddelpunt van de atleet een parabolische baan. Een correcte techniek maximaliseert de prestatie door de beweging van het massamiddelpunt optimaal te sturen. Bij hoogspringen kan het massamiddelpunt zelfs onder de lat door bewegen [10](#page=10) [15](#page=15) [9](#page=9). ### 1.4 Hoeveelheid van beweging of lineair moment Het lineair moment (of hoeveelheid van beweging, impuls) van een deeltje is een vectoriële grootheid gedefinieerd als: $$\\vec{p} = m\\vec{v}$$ [10](#page=10). waarbij $m$ de massa en $\\vec{v}$ de snelheid is. De tweede wet van Newton kan worden geformuleerd in termen van het lineair moment: de afgeleide van het lineair moment naar de tijd is gelijk aan de netto kracht die op het deeltje inwerkt: $$\\frac{d\\vec{p}}{dt} = m\\vec{a} = \\vec{F}$$ [10](#page=10). Voor een systeem van $n$ deeltjes is het totale lineaire moment $P$ de som van de individuele momenten: $$\\vec{P} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{p}\_i = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{v}\_i$$ [10](#page=10). Dit totale moment kan ook geschreven worden als $P = M \\vec{v}{mm}$, waarbij $M$ de totale massa is en $\\vec{v}\_{mm}$ de snelheid van het massamiddelpunt [10](#page=10). De afgeleide van het totale lineaire moment naar de tijd is gelijk aan de som van de uitwendige krachten: $$\\frac{d\\vec{P}}{dt} = \\sum{i} \\vec{F}\_{i, \\text{uitw}}$$ [10](#page=10). ### 1.5 Wet van behoud van lineair moment of van hoeveelheid van beweging De wet van behoud van lineair moment stelt dat indien de som van alle uitwendige krachten die op een systeem inwerken gelijk is aan nul ($\\sum \\vec{F}\_{i, \\text{uitw}} = 0$), het lineair moment van het systeem constant blijft [11](#page=11). $$\\text{Als } \\sum \\vec{F}{i, \\text{uitw}} = 0, \\text{ dan is } \\vec{P} = \\text{constant}$$ [11](#page=11). Dit impliceert dat de snelheid van het massamiddelpunt constant is ($\\vec{v}\_{mm} = \\text{constant}$). Inwendige krachten heffen elkaar op volgens de derde wet van Newton en hebben geen invloed op het totale moment van het systeem [11](#page=11). > **Voorbeeld:** Een passagier verplaatst zich op een boot. Het systeem (passagier + boot) heeft een totaal lineair moment van nul als er geen uitwendige horizontale krachten zijn. Hoewel de passagier zich verplaatst, blijft het massamiddelpunt van het systeem op dezelfde positie. De boot beweegt tegengesteld aan de passagier om dit te compenseren [11](#page=11) [12](#page=12). ### 1.6 Botsingen: stoot van een kracht Een botsing is een fysisch verschijnsel waarbij lichamen elkaar ontmoeten, wat leidt tot een plotselinge verandering in hun beweging. Tijdens een botsing werken er gedurende een korte tijd grote krachten, de zogenaamde impulsieve krachten of stootkrachten [13](#page=13). #### 1.6.1 Stoot van een kracht De stoot van een kracht is gedefinieerd als de integraal van de kracht over de tijd van de botsing. Als de netto uitwendige kracht op een systeem nul is tijdens een botsing, dan is de verandering in het lineair moment gelijk aan nul. Voor een tijdsinterval $dt$ tijdens de botsing geldt $dp = F , dt$. De totale verandering van het lineair moment ($p\_f - p\_i$) gedurende de gehele botsing is de stoot [13](#page=13): $$p\_f - p\_i = \\int\_{t\_i}^{t\_f} \\vec{F} , dt = \\text{Stoot}$$ [13](#page=13). De verandering van het lineair moment onder invloed van een stootkracht is dus gelijk aan de stoot van die kracht [13](#page=13). ### 1.7 Behoud van hoeveelheid van beweging bij botsing tussen lichamen Bij een botsing tussen twee lichamen 1 en 2 werken er interne krachten $F\_{12}$ (kracht van 1 op 2) en $F\_{21}$ (kracht van 2 op 1). Volgens de derde wet van Newton geldt $F\_{12} = -F\_{21}$. De impuls van deze krachten tijdens de botsing is dan [14](#page=14): $$\\int\_{t\_i}^{t\_f} \\vec{F}\_{12} , dt = -\\int{t\_i}^{t\_f} \\vec{F}\_{21} , dt$$ [14](#page=14). Dit betekent dat de verandering in lineair moment van de lichamen door interne krachten elkaar opheffen: $\\Delta \\vec{p}\_1 = -\\Delta \\vec{p}\_2$, zodat $\\Delta \\vec{p}\_1 + \\Delta \\vec{p}\_2 = 0$ [14](#page=14). Als de som van de uitwendige krachten verwaarloosbaar klein is gedurende de korte duur van de botsing, blijft de totale hoeveelheid van beweging van het systeem behouden [14](#page=14). #### 1.7.1 Classificatie van botsingsverschijnselen Botsingen worden geclassificeerd op basis van het behoud van kinetische energie: * **Elastische botsingen:** Kinetische energie blijft behouden [15](#page=15). * **Niet-elastische botsingen:** Kinetische energie is niet behouden; deze wordt omgezet in warmte, geluid of vervorming [15](#page=15). * **Volkomen inelastische botsingen:** De deeltjes kleven na de botsing aan elkaar en bewegen verder als één lichaam. Een groot deel van de kinetische energie gaat verloren [15](#page=15). ### 1.8 De ééndimensionale botsing van 2 lichamen Bij een ééndimensionale botsing bewegen twee lichamen langs dezelfde lijn. Voor een elastische botsing zijn zowel het lineair moment als de kinetische energie behouden. De snelheden na de botsing kunnen berekend worden met behulp van deze twee behoudswetten [16](#page=16) [17](#page=17). Voor de botsing geldt: 1. Behoud van lineair moment: $m\_1 v\_{1i} + m\_2 v\_{2i} = m\_1 v\_{1f} + m\_2 v\_{2f}$ [16](#page=16). 2. Behoud van kinetische energie: $\\frac{1}{2} m\_1 v\_{1i}^2 + \\frac{1}{2} m\_2 v\_{2i}^2 = \\frac{1}{2} m\_1 v\_{1f}^2 + \\frac{1}{2} m\_2 v\_{2f}^2$ [16](#page=16). Uit deze vergelijkingen kan worden afgeleid dat de relatieve verwijderingssnelheid na de botsing gelijk is aan de relatieve naderingssnelheid vóór de botsing: $v\_{1i} - v\_{2i} = v\_{2f} - v\_{1f}$ [16](#page=16). De snelheden na de botsing kunnen berekend worden als: $$v\_{1f} = \\frac{m\_1 - m\_2}{m\_1 + m\_2} v\_{1i} + \\frac{2 m\_2}{m\_1 + m\_2} v\_{2i}$$ [17](#page=17). $$v\_{2f} = \\frac{2 m\_1}{m\_1 + m\_2} v\_{1i} + \\frac{m\_2 - m\_1}{m\_1 + m\_2} v\_{2i}$$ [17](#page=17). #### 1.8.1 Bijzondere gevallen van elastische botsingen: * **Gelijke massa's ($m\_1 = m\_2$):** De snelheden worden uitgewisseld: $v\_{1f} = v\_{2i}$ en $v\_{2f} = v\_{1i}$ [17](#page=17). * **Zware massa botst met lichte massa in rust ($m\_2 \\gg m\_1$, $v\_{2i}=0$):** De lichte massa kaatst terug met bijna dezelfde snelheid ($v\_{1f} \\approx -v\_{1i}$), de zware massa blijft bijna in rust ($v\_{2f} \\approx 0$) [18](#page=18). * **Lichte massa botst met zware massa in rust ($m\_2 \\ll m\_1$, $v\_{2i}=0$):** De lichte massa gaat door met vrijwel dezelfde snelheid ($v\_{1f} \\approx v\_{1i}$), de zware massa krijgt een snelheid die twee keer de oorspronkelijke snelheid van de lichte massa is ($v\_{2f} \\approx 2v\_{1i}$) [18](#page=18). #### 1.8.2 Niet-elastische botsing Bij een niet-elastische botsing gaat kinetische energie verloren. Bij een **volkomen inelastische botsing** is het verlies aan kinetische energie maximaal en bewegen de lichamen na de botsing als één geheel verder met een gemeenschappelijke snelheid $v\_f$. Het lineair moment blijft behouden: $m\_1 v\_{1i} + m\_2 v\_{2i} = (m\_1 + m\_2) v\_f$ [18](#page=18). De gemeenschappelijke snelheid is: $$v\_f = \\frac{m\_1 v\_{1i} + m\_2 v\_{2i}}{m\_1 + m\_2}$$ [18](#page=18). ### 1.9 Twee- en driedimensionale botsingen Bij botsingen in twee of drie dimensies blijft de totale hoeveelheid van beweging behouden langs elke coördinaatrichting afzonderlijk [19](#page=19). Voor een botsing tussen twee lichamen met initiële momenten $\\vec{p}\_{1i}$ en $\\vec{p}{2i}$ geldt: $$\\vec{P}\_i = \\vec{p}{1i} + \\vec{p}\_{2i} = \\vec{p}{1f} + \\vec{p}\_{2f} = \\vec{P}\_f$$ [19](#page=19). Bij een tweedimensionale botsing met $m\_1, m\_2, v{1i}, v{2i}$ bekend, zijn er vier onbekenden ($v\_{1f}, v\_{2f}$ en hun richtingen). Twee vergelijkingen (momentbehoud in x- en y-richting) zijn niet voldoende om deze vier onbekenden te bepalen. Extra informatie, zoals het behoud van kinetische energie bij een elastische botsing, is nodig [19](#page=19). #### 1.9.1 Speciaal geval: elastische botsing met een vaste wand * **Loodrecht op de wand:** Dit is equivalent aan een ééndimensionale botsing met een zeer zware, stilstaande massa, waarbij de snelheid tegengesteld wordt aan de oorspronkelijke richting ($v\_{1f} = -v\_{1i}$) [19](#page=19) [20](#page=20). * **Onder een hoek met de normaal:** De component van de snelheid parallel aan de wand blijft behouden. De component loodrecht op de wand keert om ($v\_{\\perp,f} = -v\_{\\perp,i}$). Hierdoor is de invalshoek gelijk aan de terugkaatsingshoek ($\\alpha = \\beta$). De grootte van de snelheid blijft gelijk na de botsing [20](#page=20). > **Voorbeeld:** Een auto botst met een trein op een overweg. De botsing wordt als volkomen inelastisch beschouwd omdat de auto wordt meegesleurd door de trein. Door behoud van lineair moment in de x- en y-richtingen kan de onbekende snelheid van de trein voor de botsing berekend worden [21](#page=21). * * * # Dynamica van de rotatiebeweging Dit hoofdstuk behandelt de principes die ten grondslag liggen aan de rotatiebeweging van objecten, inclusief krachten die rotatie veroorzaken, de weerstand tegen rotatie, de energie die aan rotatie is gerelateerd, en het behoud van draai-impuls [22](#page=22). ### 5.1 Krachtmoment Het moment van een kracht, ook wel krachtmoment genoemd, is de maat voor het rotatie-effect dat een kracht uitoefent [22](#page=22). * **Definitie:** Het moment van een kracht $\\vec{F}$ met aangrijpingspunt bepaald door de plaatsvector $\\vec{r}$ ten opzichte van een punt O is gedefinieerd als: $$ \\vec{\\tau} = \\vec{r} \\times \\vec{F} $$ [23](#page=23). * **Vectoriële grootheid:** Het krachtmoment is een vector die loodrecht staat op het vlak bepaald door $\\vec{r}$ en $\\vec{F}$ [23](#page=23). * **Grootte:** De grootte van het krachtmoment wordt gegeven door: $$ \\tau = r F \\sin\\theta $$ [23](#page=23). waarbij $\\theta$ de kleinste hoek is tussen $\\vec{r}$ en $\\vec{F}$ [23](#page=23). Dit kan ook geschreven worden als $\\tau = r\_{\\perp} F$ of $\\tau = r F\_{\\perp}$, waarbij $r\_{\\perp}$ de momentarm is (de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht) en $F\_{\\perp}$ de component van de kracht loodrecht op $\\vec{r}$ [24](#page=24). * **Richting:** De richting wordt bepaald door de rechterhandregel (kurkentrekkerregel) [23](#page=23). * **Eenheid:** Newtonmeter (Nm) [23](#page=23). * **Effect:** Een krachtmoment veroorzaakt een hoekversnelling [22](#page=22). * **Speciale gevallen:** Als $\\vec{r} = 0$, $F = 0$, of $\\theta = 0^\\circ$ of $180^\\circ$, dan is het krachtmoment nul [24](#page=24). > **Tip:** Het krachtmoment is cruciaal om te begrijpen hoe een kracht een object doet draaien. De effectiviteit hangt af van zowel de grootte van de kracht als waar deze wordt uitgeoefend ten opzichte van het draaipunt. ### 5.2 Het traagheidsmoment Het traagheidsmoment ($I$) is de rotatie-analogon van massa bij translatie. Het is een maat voor de weerstand van een object tegen verandering in zijn rotatietoestand (hoekversnelling) [25](#page=25). #### 5.2.1 Rotatie van een puntmassa rond een vaste as Voor een puntmassa $m$ die met straal $R$ rond een as cirkelt: $$ F = ma $$ [25](#page=25). De tangentiële versnelling is $a\_t = R\\alpha$ [25](#page=25). Het krachtmoment is $\\tau = R F = R(ma\_t) = R(mR\\alpha) = mR^2\\alpha$ [25](#page=25). Hieruit volgt de relatie $\\tau = I\\alpha$, waarbij $I = mR^2$ het traagheidsmoment is [25](#page=25). #### 5.2.2 Rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as Voor een systeem van discrete puntmassa's: $$ I = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i R\_i^2 $$ [26](#page=26). Voor een continu verdeelde massa: $$ I = \\int R^2 dm $$ [27](#page=27). waarbij $R$ de afstand is van het massadeeltje $dm$ tot de rotatie-as [27](#page=27). De tweede wet van Newton voor rotatie is: $$ \\sum \\vec{\\tau} = I \\vec{\\alpha} $$ (#page=26, 27) [26](#page=26) [27](#page=27). waarbij $\\sum \\vec{\\tau}$ het totale uitwendige krachtmoment is om de rotatie-as [27](#page=27). #### 5.2.3 Berekening van traagheidsmomenten Het traagheidsmoment hangt af van de massa én van de ruimtelijke verdeling van de massa ten opzichte van de rotatie-as [27](#page=27). * **Volle cilinder (rotatie-as door het midden):**$$ I = \\frac{1}{2}MR^2 $$ (#page=28, 29) [28](#page=28) [29](#page=29). * **Ring (rotatie-as loodrecht op het vlak door het midden):**$$ I = MR^2 $$ [29](#page=29). * **Dunwandige holle bol (rotatie-as door het midden):**$$ I = \\frac{2}{3}MR^2 $$ [29](#page=29). * **Volle bol (rotatie-as door het midden):**$$ I = \\frac{2}{5}MR^2 $$ [29](#page=29). * **Balk (rotatie-as door het midden, evenwijdig aan zijde a):**$$ I = \\frac{1}{12}M(b^2+c^2) $$ [29](#page=29). > **Tip:** Een groot traagheidsmoment betekent dat het moeilijker is om een object te laten roteren of te stoppen met roteren. #### 5.2.4 Hoofdtraagheidsassen Hoofdtraagheidsassen zijn onderling loodrechte assen door het massamiddelpunt van een object waarvoor de componenten van het traagheidsmoment het eenvoudigst zijn. Voor het menselijk lichaam in anatomische houding zijn dit de longitudinale, transversale en frontale/anteroposterior assen [27](#page=27). > **Voorbeeld:** Een object met alle massa dicht bij de rotatie-as heeft een kleiner traagheidsmoment dan een object met dezelfde massa maar met de massa verder verspreid [27](#page=27). ### 5.3 Regel van Steiner (Parallelle-as theorema) De regel van Steiner stelt dat het traagheidsmoment van een star lichaam om elke willekeurige as gelijk is aan het traagheidsmoment om een evenwijdige as door het massamiddelpunt, plus een term die afhangt van de massa van het lichaam en het kwadraat van de afstand tussen de assen [32](#page=32). * **Formule:**$$ I\_P = I\_{MM} + Md^2 $$ [32](#page=32). waarbij: * $I\_P$ het traagheidsmoment is om de willekeurige as. * $I\_{MM}$ het traagheidsmoment is om de evenwijdige as door het massamiddelpunt. * $M$ de totale massa van het lichaam is. * $d$ de afstand is tussen de twee evenwijdige assen. > **Tip:** Dit theorema is essentieel om het traagheidsmoment om elke as te berekenen, mits het traagheidsmoment om een parallelle as door het massamiddelpunt bekend is. > **Voorbeeld:** De berekening van het traagheidsmoment van het hoofd t.o.v. de laatste cervicale wervel, benaderd als een bol [33](#page=33). ### 5.4 De kinetische rotatie-energie De kinetische rotatie-energie is de energie die een object bezit als gevolg van zijn rotatie [33](#page=33). * **Definitie:** Voor een star lichaam dat roteert rond een vaste as met hoeksnelheid $\\omega$, verdeeld in massa-elementen $m\_i$ met baansnelheden $v\_i$: $$ K = \\sum\_{i=1}^{n} \\frac{1}{2} m\_i v\_i^2 $$ [33](#page=33). * **Relatie met hoeksnelheid:** Aangezien $v\_i = r\_i \\omega$, geldt: $$ K = \\sum\_{i=1}^{n} \\frac{1}{2} m\_i (r\_i \\omega)^2 = \\frac{1}{2} \\omega^2 \\sum\_{i=1}^{n} m\_i r\_i^2 $$ [34](#page=34). * **Formule:** In de limiet van continu verdeelde massa: $$ K = \\frac{1}{2} I \\omega^2 $$ [34](#page=34). waarbij $I$ het traagheidsmoment van het lichaam is om de beschouwde rotatie-as [34](#page=34). ### 5.5 Kinetische energie bij rollende beweging Een rollende beweging kan worden beschouwd als een combinatie van translatie van het massamiddelpunt en zuivere rotatie rond een as door het massamiddelpunt [35](#page=35). * **Totale kinetische energie van een rollend lichaam:** De kinetische energie van een rollend lichaam is de som van de kinetische energie van de translatie van het massamiddelpunt en de kinetische energie van de rotatie rond het massamiddelpunt [35](#page=35). $$ K\_{totaal} = K\_{translatie} + K\_{rotatie} = \\frac{1}{2} M v\_{MM}^2 + \\frac{1}{2} I\_{MM} \\omega^2 $$ [35](#page=35). waarbij: * $M$ de massa is. * $v\_{MM}$ de snelheid van het massamiddelpunt is. * $I\_{MM}$ het traagheidsmoment is rond de as door het massamiddelpunt. * $\\omega$ de hoeksnelheid is. > **Toepassing:** Deze benadering wordt gebruikt om de snelheid van een rollende cilinder die van een helling afrolt te bepalen met behulp van energiewetgeving. (#page=31, 36) [31](#page=31) [36](#page=36). ### 5.6 Het angulair moment (impulsmoment) Het angulair moment, ook wel impulsmoment genoemd, is het rotatie-analoog van het lineaire momentum [37](#page=37). #### 5.6.1 Angulair moment van een deeltje * **Definitie:** Het angulair moment $\\vec{l}$ van een deeltje met lineair momentum $\\vec{p}$ en plaatsvector $\\vec{r}$ ten opzichte van een punt O is: $$ \\vec{l} = \\vec{r} \\times \\vec{p} $$ [37](#page=37). * **Grootte:** $l = r p \\sin\\theta$, waarbij $\\theta$ de hoek is tussen $\\vec{r}$ en $\\vec{p}$ [37](#page=37). * **Momentarm:** $l = p r\_{\\perp}$, waarbij $r\_{\\perp}$ de component van $\\vec{r}$ loodrecht op de actielijn van $\\vec{p}$ is [37](#page=37). * **Eenheid:** kg m²/s [37](#page=37). #### 5.6.2 Verband tussen angulair moment en krachtmoment De verandering van het angulair moment van een deeltje per tijdseenheid is gelijk aan het krachtmoment dat op het deeltje inwerkt [38](#page=38). * **Vectoriële relatie:**$$ \\frac{d\\vec{l}}{dt} = \\vec{\\tau}\_{ext} $$ [38](#page=38). waarbij $\\vec{\\tau}{ext}$ het uitwendige krachtmoment is [38](#page=38). > **Tip:** Dit verband is analoog aan $\\frac{d\\vec{p}}{dt} = \\vec{F}$ voor translatie. #### 5.6.3 Angulair moment van een star lichaam Voor een star lichaam dat roteert om een vaste as, is de component van het angulair moment langs die as gelijk aan: $$ L\_{as} = I \\omega $$ (#page=40, 46, 47) [40](#page=40) [46](#page=46) [47](#page=47). waarbij $I$ het traagheidsmoment is ten opzichte van die as [47](#page=47). ### 5.7 Het angulair moment van een systeem van deeltjes * **Totaal angulair moment:** Het totale angulair moment $\\vec{L}$ van een systeem van deeltjes ten opzichte van een vast punt O is de vectoriële som van de angulaire momenten van de individuele deeltjes: $$ \\vec{L} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{l}\_i $$ [42](#page=42). * **Verband met uitwendige krachtmomenten:** De verandering per tijdseenheid van het totale angulair moment van een systeem van deeltjes is gelijk aan de som van de uitwendige krachtmomenten om dat punt: $$ \\frac{d\\vec{L}}{dt} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{\\tau}\_{uitw, i} $$ (#page=42, 44) [42](#page=42) [44](#page=44). De krachtmomenten van inwendige krachten heffen elkaar paarsgewijs op [42](#page=42). > **Toepassing:** Dit principe is van toepassing op systemen van twee deeltjes en meer-deeltjes systemen. (#page=43, 44, 45) [43](#page=43) [44](#page=44) [45](#page=45). ### 5.8 Wet van behoud van angulair moment De wet van behoud van angulair moment stelt dat als het totale uitwendige krachtmoment op een systeem nul is, het totale angulair moment van het systeem constant blijft [46](#page=46). * **Formulering:** Indien $\\sum \\vec{\\tau}\_{uitw} = 0$, dan is $\\frac{d\\vec{L}}{dt} = 0$, wat impliceert dat $\\vec{L} = \\text{constant}$ [46](#page=46). * **Voor rotatie om een as:** Voor rotatie om een vaste as geldt: Als $\\sum \\tau\_{uitw} = 0$, dan is $I \\omega = \\text{constant}$ [47](#page=47). > **Tip:** Deze wet is zeer krachtig en verklaart veel natuurkundige fenomenen. Zorg dat je het verschil tussen $\\tau$ (krachtmoment) en $I$ (traagheidsmoment) goed begrijpt. #### 5.8.1 Toepassingen * **Schaatsen/Ballet (pirouette):** Door de armen en benen in te trekken, verkleint een schaatser of ballerina zijn/haar traagheidsmoment ($I$), waardoor de hoeksnelheid ($\\omega$) toeneemt om het angulair moment constant te houden ($I\_1\\omega\_1 = I\_2\\omega\_2$) [48](#page=48). * **Salto:** Een turner kan door het intrekken van de benen het traagheidsmoment verkleinen, wat leidt tot een hogere hoeksnelheid en dus een snellere rotatie tijdens de salto [49](#page=49). * **Val van een kat:** Een kat kan zijn lichaam zo manipuleren dat het, ondanks een initieel angulair moment van nul, toch op zijn poten landt door de rotatie van verschillende lichaamsdelen in tegengestelde richtingen te coördineren [50](#page=50). * * * # Massamiddelpunt en zijn beweging Het massamiddelpunt is een conceptueel punt dat de beweging van een complex systeem of lichaam vereenvoudigt, en zijn beweging onder invloed van uitwendige krachten wordt beschreven alsof de totale massa in dit punt geconcentreerd is. ### 3.1 Het massamiddelpunt Het massamiddelpunt (MM) is een punt dat zich op dezelfde manier gedraagt als een enkelvoudige puntmassa met de totale massa van het systeem, wanneer het onderworpen is aan de som van alle uitwendige krachten die op het systeem inwerken. Dit concept is nuttig om de beweging van samengestelde objecten, zoals een kind op een slee, te analyseren door het systeem voor te stellen als één enkel puntmassa waarop alle relevante krachten aangrijpen [5](#page=5). #### 3.1.1 Het massamiddelpunt bij ééndimensionale verdeling van puntmassa's Voor een systeem van discrete puntmassa's ($m\_i$) langs een lijn met coördinaten ($x\_i$), wordt de coördinaat van het massamiddelpunt ($x\_{mm}$) gegeven door de som van de producten van elke massa en zijn coördinaat, gedeeld door de totale massa ($M$) van het systeem [5](#page=5). $$ x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i} $$ Waarbij $M = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i$ de totale massa is [5](#page=5). #### 3.1.2 Het massamiddelpunt bij een ruimtelijke verdeling van puntmassa's Voor een systeem van puntmassa's in drie dimensies, worden de coördinaten van het massamiddelpunt ($x\_{mm}, y\_{mm}, z\_{mm}$) berekend met de volgende formules [6](#page=6): $$ x\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i x\_i}{M} $$$$ y\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i y\_i}{M} $$$$ z\_{mm} = \\frac{\\sum\_{i=1}^{n} m\_i z\_i}{M} $$ In vectornotatie wordt de plaatsvector van het massamiddelpunt ($\\vec{r}\_{mm}$) gegeven door: $$ \\vec{r}\_{mm} = \\frac{\\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{r}\_i}{M} $$ Waarbij $\\vec{r}\_i$ de plaatsvector is van de $i$\-de massa $m\_i$. De positie van het massamiddelpunt is onafhankelijk van de keuze van het assenstelsel en is afhankelijk van de massa's van de deeltjes en hun relatieve afstanden [6](#page=6). #### 3.1.3 Het massamiddelpunt van onvervormbare lichamen (continue massaverdeling) Voor lichamen met een continue massaverdeling kan het massamiddelpunt worden berekend door het lichaam te beschouwen als een stapeling van infinitesimale massa-elementen ($dm$). De coördinaten van het massamiddelpunt worden gegeven door integralen over het gehele lichaam [7](#page=7): $$ x\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int x , dm $$$$ y\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int y , dm $$$$ z\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int z , dm $$ In vectornotatie: $$ \\vec{r}\_{mm} = \\frac{1}{M} \\int \\vec{r} , dm $$ Als het lichaam homogeen is met een constante massadichtheid ($\\rho$), dan is $dm = \\rho , dV$, en de formules worden: $$ x\_{mm} = \\frac{\\int x \\rho , dV}{M} $$$$ y\_{mm} = \\frac{\\int y \\rho , dV}{M} $$$$ z\_{mm} = \\frac{\\int z \\rho , dV}{M} $$ > **Tip:** Voor homogene lichamen met symmetrie valt het massamiddelpunt samen met het symmetriepunt (bij puntsymmetrie) of ligt het op de symmetrielijn (bij lijnsymmetrie) [8](#page=8). ### 3.2 Beweging van het massamiddelpunt De beweging van het massamiddelpunt van een systeem van deeltjes kan worden afgeleid door de plaatsvector van het massamiddelpunt tweemaal naar de tijd af te leiden [8](#page=8). De plaatsvector van het massamiddelpunt ($\\vec{r}\_{mm}$) voor een systeem van $n$ deeltjes met massa's $m\_i$ en plaatsvectoren $\\vec{r}\_i$ is: $$ M \\vec{r}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{r}\_i $$ Waarbij $M = \\sum\_{i=1}^{n} m\_i$ de totale massa is [8](#page=8). De snelheid van het massamiddelpunt ($\\vec{v}\_{mm}$) is: $$ M \\vec{v}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{v}\_i $$ De versnelling van het massamiddelpunt ($\\vec{a}\_{mm}$) is: $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{a}\_i $$ Volgens de tweede wet van Newton is $m\_i \\vec{a}\_i = \\vec{F}\_i$, de totale kracht op deeltje $i$. Dus: $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_i $$ Dit kan worden opgesplitst in uitwendige krachten ($\\vec{F}\_{i,uitw}$) en inwendige krachten ($\\vec{F}{i,inw}$): $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,uitw} + \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,inw} $$ Volgens de derde wet van Newton heffen inwendige krachten elkaar paarsgewijs op. Daarom vereenvoudigt de vergelijking tot: $$ M \\vec{a}\_{mm} = \\sum{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,uitw} $$ **Conclusie:** Het massamiddelpunt van een systeem van deeltjes beweegt alsof de totale massa geconcentreerd is in dat massamiddelpunt, en alle uitwendige krachten in dat punt aangrijpen. Alleen uitwendige krachten bepalen de bewegingsrichting van het massamiddelpunt. Dit geldt voor zowel systemen van deeltjes met complexe interne bewegingen als voor solide lichamen [9](#page=9). > **Tip:** In een zwaartekrachtveld is het massamiddelpunt gelijk aan het zwaartepunt, het aangrijpingspunt van de zwaartekracht op het lichaam [9](#page=9). > **Voorbeeld:** Bij een schoonspringer beschrijft het massamiddelpunt een parabolische baan, onafhankelijk van de rotaties of sprongtechniek van de springer. Dit betekent dat het massamiddelpunt de baan volgt van een projectiel met dezelfde beginsnelheid en massa als de springer. Hetzelfde principe geldt voor atleten in sporten zoals hoogspringen, waar de techniek erop gericht is het massamiddelpunt onder de lat door te leiden, zelfs als delen van het lichaam boven de lat zijn [10](#page=10) [9](#page=9). ### 3.3 Hoeveelheid van beweging of lineair moment Het lineair moment (ook wel impuls genoemd) van een deeltje met massa $m$ en snelheid $\\vec{v}$ is een vectorgrootheid: $$ \\vec{p} = m \\vec{v} $$ De verandering van het lineair moment naar de tijd is gelijk aan de netto kracht die op het deeltje werkt (tweede wet van Newton): $$ \\frac{d\\vec{p}}{dt} = m \\vec{a} = \\vec{F} $$ Voor een systeem van $n$ deeltjes met constante massa's, is het totale lineaire moment $P$ de vectoriële som van de individuele lineaire momenten: $$ \\vec{P} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{p}\_i = \\sum{i=1}^{n} m\_i \\vec{v}\_i $$ Dit kan ook worden uitgedrukt in termen van de totale massa $M$ en de snelheid van het massamiddelpunt $\\vec{v}\_{mm}$: $$ \\vec{P} = M \\vec{v}\_{mm} $$ De afgeleide van het totale lineaire moment naar de tijd is gelijk aan de som van de uitwendige krachten die op het systeem inwerken: $$ \\frac{d\\vec{P}}{dt} = \\sum\_{i=1}^{n} \\vec{F}\_{i,uitw} $$ * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Hoeveelheid van beweging (Lineair moment) | De hoeveelheid van beweging van een deeltje, gedefinieerd als het product van zijn massa en zijn snelheid ($p = mv$). Het is een vectoriële grootheid die grootte, richting en zin heeft. | | Impuls | De verandering van de hoeveelheid van beweging van een deeltje onder invloed van een kracht gedurende een tijdsinterval. Impuls wordt berekend als de integraal van de kracht over de tijd ($J = \int F dt$). | | Wet van behoud van lineair moment | Stelt dat indien de netto uitwendige kracht op een systeem nul is, het totale lineaire moment van het systeem constant blijft. Dit is een fundamenteel principe in de mechanica. | | Botsing | Een fysisch verschijnsel waarbij twee of meer lichamen elkaar ontmoeten en hun beweging plotseling verandert. Botsingen kunnen elastisch of niet-elastisch zijn, afhankelijk van de behoud van kinetische energie. | | Elastische botsing | Een botsing waarbij zowel de hoeveelheid van beweging als de kinetische energie behouden blijven. Er treedt geen energieverlies op door vervorming of warmteontwikkeling. | | Niet-elastische botsing | Een botsing waarbij de hoeveelheid van beweging behouden blijft, maar de kinetische energie niet. Een deel van de kinetische energie wordt omgezet in andere vormen van energie, zoals warmte of potentiële energie van vervorming. | | Volkomen inelastische botsing | Een extreem geval van een niet-elastische botsing waarbij de botsende lichamen na de botsing aan elkaar kleven en met een gemeenschappelijke snelheid bewegen. Hierbij gaat het grootste deel van de kinetische energie verloren. | | Krachtmoment (Moment van een kracht) | De draaiende invloed van een kracht op een voorwerp, bepaald door het product van de kracht en de loodrechte afstand tot het draaipunt (momentarm). Het is een vectoriële grootheid ($\tau = r \times F$). | | Traagheidsmoment | De maat voor de inertie van een voorwerp bij een rotatiebeweging. Het hangt af van de massa van het voorwerp en de verdeling van die massa ten opzichte van de rotatie-as. | | Regel van Steiner (Parallelle-as theorema) | Een stelling die het mogelijk maakt het traagheidsmoment van een voorwerp om een willekeurige as te berekenen, indien het traagheidsmoment om een parallelle as door het massamiddelpunt bekend is. De formule is $I_p = I_{MM} + Md^2$. | | Kinetische rotatie-energie | De energie die een voorwerp bezit als gevolg van zijn rotatiebeweging. Het wordt berekend als de helft van het product van het traagheidsmoment en het kwadraat van de hoeksnelheid ($K_{rotatie} = \frac{1}{2}I\omega^2$). | | Angulair moment (Impulsmoment) | Het analogon van lineair moment voor rotatiebewegingen. Het is de vectoriële grootheid die de draaiende bewegingstoestand van een deeltje of systeem beschrijft, gedefinieerd als $L = r \times p$. | | Wet van behoud van angulair moment | Stelt dat indien het netto krachtmoment op een systeem nul is, het totale angulair moment van het systeem constant blijft. Dit principe is cruciaal voor het begrijpen van rotatiebewegingen zonder externe draaiende invloeden. | | Massamiddelpunt (MM) | Het punt in een systeem waar de gehele massa van het systeem geconcentreerd kan worden beschouwd voor de beschrijving van de translatiebeweging. Het beweegt alsof het onderworpen is aan de som van alle uitwendige krachten op het systeem. | | Rotatiebeweging | Beweging waarbij alle punten van een lichaam concentrische cirkels beschrijven rondom een gemeenschappelijke as. | | Translatiebeweging | Beweging waarbij elk punt van een lichaam dezelfde verplaatsing ondergaat. |

# Toepassingen van de wet van Bernoulli en continuïteitsvergelijking Dit onderwerp behandelt de praktische toepassing van de wet van Bernoulli en de continuïteitsvergelijking voor het analyseren van vloeistofstromen, met name bij het berekenen van drukverschillen, snelheden en debieten in situaties waar de buisdiameter en/of de hoogte varieert [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.1 De continuïteitsvergelijking De continuïteitsvergelijking, ook wel massabehoud genoemd voor onsamendrukbare vloeistoffen, stelt dat het massadebiet constant blijft door een gesloten systeem. Voor onsamendrukbare vloeistoffen kan dit worden uitgedrukt als [9](#page=9): $A_1 v_1 = A_2 v_2$ [9](#page=9). Waarbij: * $A$ staat voor de dwarsdoorsnede-oppervlakte van de buis [9](#page=9). * $v$ staat voor de gemiddelde stroomsnelheid van de vloeistof [9](#page=9). Deze vergelijking impliceert dat waar de oppervlakte van de buis afneemt, de stroomsnelheid moet toenemen, en vice versa [9](#page=9). #### 1.1.1 Berekening van diameters en snelheden De continuïteitsvergelijking kan worden gebruikt om de vereiste diameter van toevoerbuizen te bepalen, gegeven het volume dat ververst moet worden en de beschikbare tijd, rekening houdend met de snelheid van de luchtstroom. Ook kan het worden ingezet om de snelheid te berekenen wanneer de diameters van verschillende secties van een leiding bekend zijn en het debiet constant is [1](#page=1) [7](#page=7) [8](#page=8). **Voorbeeld:** In een ventilatiesysteem moet een lokaal van een bepaald volume in een gegeven tijd ververst worden. Als de lucht met een bepaalde snelheid in de toevoerbuizen stroomt, kan de benodigde diameter van deze buizen berekend worden met behulp van het volume, de tijd en de continuïteitsvergelijking [1](#page=1). ### 1.2 De wet van Bernoulli De wet van Bernoulli beschrijft het behoud van energie in een stromende vloeistof. Voor een ideale, onsamendrukbare en niet-viskeuze vloeistof stelt de wet dat de som van de druk, de kinetische energie per volume-eenheid en de potentiële energie per volume-eenheid constant is langs een stroomlijn [10](#page=10) [14](#page=14) [7](#page=7) [9](#page=9): $$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$$ [14](#page=14) [7](#page=7). Waarbij: * $p$ is de statische druk [7](#page=7). * $\rho$ is de dichtheid van de vloeistof [7](#page=7). * $v$ is de stroomsnelheid van de vloeistof [7](#page=7). * $g$ is de versnelling van de zwaartekracht (ongeveer 9,81 m/s²) [7](#page=7). * $h$ is de hoogte boven een referentiepunt [7](#page=7). De wet van Bernoulli kan worden toegepast op twee verschillende punten (1 en 2) in een stromingssysteem: $$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$$ [14](#page=14) [7](#page=7). Als de hoogteverschillen verwaarloosbaar zijn ($h_1 \approx h_2$), vereenvoudigt de vergelijking tot: $$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$ [14](#page=14) [8](#page=8). Als de snelheidsverschillen klein zijn, kan de kinetische energie term worden verwaarloosd, en blijft de hydrostatische drukoverdruk over. #### 1.2.1 Toepassingen in drukverschillen en snelheden De wet van Bernoulli is cruciaal voor het berekenen van drukverschillen die ontstaan door veranderingen in snelheid of hoogte. Dit is relevant bij het analyseren van vloeistofstromen in vernauwingen, zoals in een Venturi-buis, of bij het bepalen van de snelheid van uitstromende vloeistof uit een vat [10](#page=10) [2](#page=2) [4](#page=4) [8](#page=8) [9](#page=9). **Venturi-effect:** In een vernauwde sectie van een buis neemt de snelheid van de vloeistof toe volgens de continuïteitsvergelijking. Volgens de wet van Bernoulli leidt deze snelheidsverhoging tot een drukverlaging in de vernauwde sectie ten opzichte van de bredere sectie. Het gemeten drukverschil kan direct gebruikt worden om de stroomsnelheid te berekenen [4](#page=4) [8](#page=8). **Uitstromende vloeistof uit een vat (Torricelli's wet):** Voor een opening aan de onderkant van een vat kan, door de wet van Bernoulli toe te passen tussen het oppervlak van de vloeistof en de opening (en de hoogteverschillen mee te nemen), de uitstroomsnelheid worden afgeleid. Als de vloeistof aan de bovenkant vrij aan de atmosfeer is blootgesteld en de opening ook, en de oppervlakte van het vat veel groter is dan de opening, kan de snelheid van het oppervlak dat daalt verwaarloosd worden. De uitstroomsnelheid is dan $v = \sqrt{2g\Delta h}$, wat bekend staat als Torricelli's wet [10](#page=10) [2](#page=2) [9](#page=9). **Liftkracht van een vliegtuigvleugel:** De wet van Bernoulli verklaart ook hoe een vliegtuigvleugel lift genereert. De vorm van de vleugel zorgt ervoor dat de lucht boven de vleugel een langere weg aflegt dan de lucht onder de vleugel, waardoor de luchtsnelheid boven de vleugel hoger is. Dit resulteert in een lagere druk boven de vleugel vergeleken met de druk onder de vleugel, wat een netto opwaartse kracht (lift) veroorzaakt [14](#page=14) [3](#page=3) [9](#page=9). #### 1.2.2 Berekeningen met hoogteverschillen Wanneer er hoogteverschillen optreden, moet de potentiële energieterm ($\rho g h$) worden meegenomen in de berekeningen. Dit is essentieel bij het analyseren van stromingen in verwarmingssystemen met hoogteverschillen, of bij het bepalen van de stroom uit een vat dat zich op een bepaalde hoogte bevindt [10](#page=10) [3](#page=3) [7](#page=7) [9](#page=9). **Voorbeeld:** Water circuleert in een verwarmingssysteem. In de kelder is de druk en snelheid bekend. Om de druk op de tweede verdieping te berekenen, waar de buisdiameter kleiner is en de hoogte significant hoger ligt, worden zowel de continuïteitsvergelijking als de volledige wet van Bernoulli toegepast [3](#page=3) [7](#page=7). ### 1.3 Praktische Oefeningen en Voorbeelden De volgende oefeningen illustreren de toepassing van deze principes: * **Ventilatiesysteem:** Bereken de diameter van de toevoerbuizen van een ventilatiesysteem, gegeven het te verversen volume, de tijd en de luchtsnelheid [1](#page=1). * **Wijnvat:** Bepaal de snelheid waarmee wijn uit een vat stroomt door een opening, rekening houdend met de hoogte van de vloeistof en de diameter van de opening. Hierbij wordt vaak gebruik gemaakt van Torricelli's wet, een speciale toepassing van Bernoulli [2](#page=2). * **Centrale verwarming:** Bereken de stroomsnelheid en de druk in een leiding op een hogere verdieping, gegeven de initiële snelheid en druk in de kelder en de verandering in buisdiameter en hoogte [3](#page=3) [7](#page=7). * **Olie in vernauwde buis:** Bepaal de stroomsnelheid van olie in een buis met variërende diameter, gebaseerd op het gemeten drukverschil tussen de brede en smalle secties [4](#page=4) [8](#page=8). * **Watertank met afvoerbuis:** Bereken het debiet waarmee water uit een tank stroomt via een afvoerbuis die onder een hoek naar beneden loopt, waarbij zowel de continuïteitsvergelijking als de wet van Bernoulli worden gebruikt [10](#page=10) [5](#page=5) [9](#page=9). * **Horizontale buis met olie:** Bereken het drukverschil dat nodig is om een bepaald debiet olie door een horizontale buis te laten stromen, rekening houdend met de viscositeit (hoewel in veel van deze oefeningen de viscositeit verwaarloosd mag worden, speelt deze een rol in de meer geavanceerde berekeningen van Hagen-Poiseuille ). De oefeningen 6, 7 en 8 tonen aan dat voor een gegeven debiet en buisparameters een specifiek drukverschil vereist is. Oefening 7 en 8 tonen dit aan voor specifieke viscositeitswaarden, terwijl oefening 6 hier een drukverschil vereist voor een gegeven debiet en buis [2](#page=2) [6](#page=6) [8](#page=8). * **Vliegtuigvleugel:** Bepaal de liftkracht van een vliegtuigvleugel door het drukverschil tussen de boven- en onderkant te berekenen, gebaseerd op de verschillende luchtsnelheden [14](#page=14) [9](#page=9). * **Vernauwing door kalkaanslag:** Kwantificeer de vermindering van het volumedebiet door een vernauwing in een buis als gevolg van kalkaanslag, door het effect op de effectieve diameter te berekenen [10](#page=10) [4](#page=4). > **Tip:** Bij het oplossen van problemen met de wet van Bernoulli en de continuïteitsvergelijking, is het cruciaal om systematisch te werk te gaan. Identificeer eerst de bekende en onbekende variabelen en bepaal welke vergelijking (continuïteit of Bernoulli) het meest geschikt is voor de specifieke situatie. Vergeet niet de eenheden consistent te houden en correcte conversies uit te voeren. Voor situaties met aanzienlijke hoogteverschillen, gebruik de volledige vorm van de wet van Bernoulli. > **Tip:** Wanneer viscositeit wordt verwaarloosd, worden de stromingen beschouwd als ideaal. Dit vereenvoudigt de berekeningen aanzienlijk. In de praktijk zal er echter altijd enige weerstand zijn door viscositeit, wat kan leiden tot drukverliezen en lagere debieten dan voorspeld door ideale modellen [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8). --- # Effect van viscositeit op vloeistofstroming Deze sectie behandelt hoe de viscositeit van een vloeistof invloed heeft op drukverschillen en debieten in stromingsproblemen, met een specifieke focus op de wet van Poiseuille [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [2](#page=2). ### 2.1 Principes van viskeuze stroming Viscositeit is een maat voor de weerstand van een vloeistof tegen stroming. Bij het berekenen van drukverschillen of debieten speelt de viscositeit een cruciale rol, vooral in situaties waar wrijvingsverliezen significant zijn, zoals in buizen. De wet van Poiseuille beschrijft de relatie tussen debiet, drukverschil, viscositeit, lengte en radius van een cilndrische buis voor laminaire stroming [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [2](#page=2). ### 2.2 De wet van Poiseuille De wet van Poiseuille, ook wel bekend als de wet van Hagen-Poiseuille, beschrijft het debiet ($Q$) van een viskeuze vloeistof door een cilindrische buis onder constante drukverschil ($\Delta p$) in een situatie van laminaire stroming [11](#page=11) [13](#page=13). De formule luidt als volgt: $$Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8 \eta l}$$ [11](#page=11) [13](#page=13). Waar: * $Q$ staat voor het volumestroom, gemeten in kubieke meters per seconde ($m^3/s$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $r$ is de straal van de buis, gemeten in meters ($m$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $\Delta p$ is het drukverschil tussen de uiteinden van de buis, gemeten in Pascals ($Pa$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $\eta$ (eta) is de dynamische viscositeit van de vloeistof, gemeten in Pascal-seconden ($Pa \cdot s$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). * $l$ is de lengte van de buis, gemeten in meters ($m$) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13). #### 2.2.1 Toepassingen en berekeningen met de wet van Poiseuille De wet van Poiseuille kan worden herschreven om het benodigde drukverschil ($\Delta p$) te berekenen voor een bepaald debiet ($Q$): $$\Delta p = \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4}$$ [11](#page=11) [12](#page=12). De straal ($r$) kan worden afgeleid uit de diameter ($d$) met $r = d/2$ [11](#page=11) [13](#page=13). **Voorbeelden:** > **Voorbeeld 1:** Men wil dat er door een horizontale buis een debiet van 2,50 liter per seconde ($l/s$) stroomt. De buis heeft een lengte van 4,85 meter ($m$) en een binnendiameter van 5,08 centimeter ($cm$). De olie heeft een viscositeit van 0,764 millipascal-seconden ($mPa \cdot s$) en een dichtheid van 0,882 kg/l. Welk drukverschil moet er zijn tussen de beide uiteinden van de buis? > > Eerst zetten we het debiet om naar $m^3/s$: $Q = 2,50 \, l/s = 0,00250 \, m^3/s$. > De straal van de buis is $r = 5,08 \, cm / 2 = 2,54 \, cm = 0,0254 \, m$. > De viscositeit is $\eta = 0,764 \, mPa \cdot s = 0,764 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s$. > Nu passen we de formule voor USD\Delta p aan: > $$\Delta p = \frac{8 \times (0,764 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s) \times 4,85 \, m \times 0,00250 \, m^3/s}{\pi \times (0,0254 \, m)^4}$$ > $$\Delta p \approx 56,67354 \, Pa$$ [11](#page=11). > Het antwoord is dus ongeveer 56,7 $Pa$ [11](#page=11). > **Voorbeeld 2:** Door een dun buisje met een diameter van 1,8 millimeter ($mm$) loopt motorolie met een viscositeit van 200 millipascal-seconden ($mPa \cdot s$) bij een temperatuur van 35°C. Het buisje is 6,5 centimeter ($cm$) lang. Welk drukverschil is nodig om een debiet van 8,4 milliliter per minuut ($ml/min$) in stand te houden? > > We zetten de eenheden om: > Diameter $d = 1,8 \, mm$, dus straal $r = 0,9 \, mm = 0,0009 \, m$. > Viscositeit $\eta = 200 \, mPa \cdot s = 0,200 \, Pa \cdot s$. > Lengte $l = 6,5 \, cm = 0,065 \, m$. > Debiet $Q = 8,4 \, ml/min = \frac{8,4 \times 10^{-3} \, l}{60 \, s} = \frac{8,4 \times 10^{-6} \, m^3}{60 \, s} \approx 1,4 \times 10^{-7} \, m^3/s$. > Nu berekenen we het drukverschil: > $$\Delta p = \frac{8 \times (0,200 \, Pa \cdot s) \times 0,065 \, m \times (1,4 \times 10^{-7} \, m^3/s)}{\pi \times (0,0009 \, m)^4}$$ > $$\Delta p \approx 7,06385 \, Pa$$ [12](#page=12). > Het benodigde drukverschil is ongeveer 7,06 $Pa$ [12](#page=12). > **Voorbeeld 3:** Door een horizontale buis met een diameter van 3,50 centimeter ($cm$) en een lengte van 28,0 meter ($m$) stroomt petroleum. Het drukverschil tussen de twee uiteinden van de buis bedraagt 2,50 kilopascal ($kPa$). Bepaal hoeveel liter petroleum er per seconde door deze buis vloeit en de snelheid waarmee de petroleum in deze buis stroomt. Petroleum heeft een viscositeit van 0,650 millipascal-seconden ($mPa \cdot s$) en een dichtheid van 0,792 kg/l. > > Eerst zetten we de eenheden om: > Diameter $d = 3,50 \, cm$, dus straal $r = 1,75 \, cm = 0,0175 \, m$. > Drukverschil $\Delta p = 2,50 \, kPa = 2500 \, Pa$. > Viscositeit $\eta = 0,650 \, mPa \cdot s = 0,650 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s$. > Lengte $l = 28,0 \, m$. > > a) Berekening van het debiet ($Q$): > $$Q = \frac{\pi \times (0,0175 \, m)^4 \times 2500 \, Pa}{8 \times (0,650 \times 10^{-3} \, Pa \cdot s) \times 28,0 \, m}$$ > $$Q \approx 0,00505918666 \, m^3/s$$ [13](#page=13). > Om dit in liters per seconde uit te drukken: $Q \approx 0,00505918666 \times 1000 \, l/s = 5,05918666 \, l/s$. > Afgerond is dit 5,06 $l/s$ [13](#page=13). > > b) Berekening van de snelheid ($v$): > Het debiet is ook gelijk aan de oppervlakte ($A$) maal de snelheid ($v$): $Q = A \cdot v$. > De oppervlakte van de buis is $A = \pi r^2 = \pi \times (0,0175 \, m)^2$. > Nu kunnen we de snelheid berekenen: > $$v = \frac{Q}{A} = \frac{0,00505918666 \, m^3/s}{\pi \times (0,0175 \, m)^2}$$ > $$v \approx 5,258 \, m/s$$ [13](#page=13). > Afgerond is dit 5,26 $m/s$ [13](#page=13). ### 2.3 Overige stromingsprincipes (zonder viscositeit) In sommige gevallen, wanneer de viscositeit verwaarloosbaar is, kunnen andere principes worden toegepast. De wet van Bernoulli is hier een voorbeeld van, die energiebehoud beschrijft voor ideale vloeistoffen [2](#page=2). #### 2.3.1 Wet van Torricelli De wet van Torricelli, een speciaal geval van de wet van Bernoulli, beschrijft de uitstroomsnelheid van een vloeistof uit een opening in een vat. Deze wet is geldig wanneer wrijvingsverliezen door viscositeit en turbulentie worden verwaarloosd [6](#page=6). De formule is: $$v = \sqrt{2gh}$$ [6](#page=6). Waar: * $v$ is de uitstroomsnelheid van de vloeistof. * $g$ is de valversnelling (ongeveer $9,81 \, m/s^2$). * $h$ is de hoogte van het vloeistofoppervlak boven de uitstroomopening. > **Voorbeeld:** Men beschouwt een watertank met een hoogte van 3,9 meter en een diameter van 5,8 meter. De tank is gevuld tot een hoogte van 2,4 meter. Onderaan bevindt zich een afvoerbuis. De hoogte tussen het vloeistofoppervlak en de uitstroomopening wordt gegeven. > Als $h = 32,5 \, cm = 0,325 \, m$, dan is de uitstroomsnelheid: > $$v = \sqrt{2 \times 9,81 \, m/s^2 \times 0,325 \, m}$$ > $$v \approx 2,52517 \, m/s$$ [6](#page=6). > Afgerond is dit 2,53 $m/s$ [6](#page=6). > **Tip:** Bij het toepassen van de wet van Torricelli is het cruciaal om de juiste hoogte ($h$) te gebruiken, namelijk de verticale afstand tussen het vrije vloeistofoppervlak en het niveau van de uitstroomopening [6](#page=6). #### 2.3.2 Verwaarlozing van viscositeit in voorbeelden Er zijn voorbeelden waarbij de viscositeit bewust wordt verwaarloosd om de berekeningen te vereenvoudigen, zoals bij het bepalen van de snelheid van olie in een vernauwde buis. Ook bij het bepalen van het debiet uit een watertank, wanneer de viscositeit wordt genegeerd, wordt de wet van Torricelli of de algemene principes van energiebehoud toegepast. Echter, bij langere buizen of specifieke vloeistoffen met hogere viscositeit, wordt de invloed van viscositeit significant en is de wet van Poiseuille noodzakelijk [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [2](#page=2). --- # Invloed van wandafzettingen op vloeistofdebiet Deze sectie analyseert de impact van vernauwingen in buizen, veroorzaakt door afzettingen zoals vuil of kalk, op het volumedebiet, waarbij de wet van Poiseuille centraal staat [15](#page=15) [4](#page=4). ### 3.1 De wet van Poiseuille en debiet De wet van Poiseuille beschrijft het verband tussen het volumedebiet ($Q$) van een viskeuze vloeistof die door een cilindrische buis stroomt, en verschillende parameters van de vloeistof en de buis. De formule luidt [15](#page=15): $$Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8\eta l}$$ Waarbij: * $Q$ het volumedebiet is [15](#page=15). * $r$ de straal van de buis is [15](#page=15). * $\Delta p$ het drukverschil over de lengte van de buis is [15](#page=15). * $\eta$ de dynamische viscositeit van de vloeistof is [15](#page=15). * $l$ de lengte van de buis is [15](#page=15). > **Tip:** Deze formule toont aan dat het debiet recht evenredig is met de vierde macht van de straal ($r^4$) en het drukverschil ($\Delta p$), en omgekeerd evenredig met de viscositeit ($\eta$) en de lengte ($l$) van de buis. Een kleine verandering in de straal heeft dus een significant effect op het debiet [15](#page=15). ### 3.2 Vernauwingen door wandafzettingen Wanneer vuil of kalk zich aan de binnenkant van een buis hecht, vermindert de effectieve straal van de buis, wat leidt tot een afname van het volumedebiet [15](#page=15) [4](#page=4). #### 3.2.1 Berekening van de procentuele vermindering van het debiet Wanneer een buis vernauwd raakt, verandert de effectieve straal van de oorspronkelijke straal $r_1$ naar een nieuwe, kleinere straal $r_2$. Als we ervan uitgaan dat het drukverschil en de viscositeit constant blijven, kunnen we de verhouding van de debieten voor en na de vernauwing berekenen [15](#page=15). Voor het oorspronkelijke debiet $Q_1$ geldt: $$Q_1 = \frac{\pi r_1^4 \Delta p}{8\eta l}$$ Voor het debiet $Q_2$ na vernauwing geldt: $$Q_2 = \frac{\pi r_2^4 \Delta p}{8\eta l}$$ De verhouding van de debieten is dan: $$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{\frac{\pi r_2^4 \Delta p}{8\eta l}}{\frac{\pi r_1^4 \Delta p}{8\eta l}} = \frac{r_2^4}{r_1^4} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4$$ De procentuele vermindering van het debiet kan vervolgens berekend worden als $100\% - (\frac{Q_2}{Q_1} \times 100\%)$ [15](#page=15). #### 3.2.2 Voorbeeld 1: Verkalking van een buis Een buis heeft een diameter van 2,00 cm (straal $r_1 = 1,00$ cm). Er vormt zich een laagje kalk van 1,00 mm dik aan de binnenwand. Dit betekent dat de nieuwe straal $r_2$ kleiner wordt. De oorspronkelijke straal is 1,00 cm = 10,00 mm. De nieuwe straal is $10,00 \text{ mm} - 1,00 \text{ mm} = 9,00 \text{ mm}$ [15](#page=15). De verhouding van de debieten is: $$\frac{Q_2}{Q_1} = \left(\frac{9,00 \text{ mm}}{10,00 \text{ mm}}\right)^4 = (0,9)^4 = 0,6561$$ Dus, $Q_2 = 0,6561 \times Q_1$. Dit betekent dat het nieuwe debiet 65,61% is van het oorspronkelijke debiet [15](#page=15). De procentuele vermindering is: $100\% - 65,61\% = 34,39\%$ [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Het volumedebiet vermindert dus met ongeveer 34,4 % ten gevolge van de verkalking [15](#page=15). #### 3.2.3 Berekening van het debiet met een plaatselijke vernauwing In situaties waar een vernauwing slechts over een deel van de lengte van de buis optreedt, wordt de totale weerstand in de buis de som van de weerstanden van het niet-vernieuwde deel en het vernauwde deel. Het drukverschil over de gehele buis ($\Delta p$) blijft gelijk, maar het wordt verdeeld over de verschillende secties [16](#page=16) [17](#page=17). Het totale drukverschil $\Delta p$ kan worden uitgedrukt als de som van de drukverschillen over het niet-afgezette deel ($\Delta p_{na}$) en het afgezette deel ($\Delta p_a$) [16](#page=16) [17](#page=17). $$\Delta p = \Delta p_{na} + \Delta p_a$$ Met de wet van Poiseuille kunnen deze drukverschillen worden uitgedrukt in termen van het debiet $Q$ en de respectievelijke lengtes en stralen. We gebruiken $Q_1$ voor het oorspronkelijke debiet met straal $r_1$ over de totale lengte $l$, en $Q_2$ voor het nieuwe debiet met een deel van de lengte $l_{na}$ met straal $r_{na}$ en een deel $l_a$ met straal $r_a$. Aangezien het debiet overal gelijk moet zijn, geldt $Q_2$ voor zowel het niet-afgezette als het afgezette deel [17](#page=17). $$\Delta p = \frac{8\eta l_{na} Q_2}{\pi r_{na}^4} + \frac{8\eta l_a Q_2}{\pi r_a^4}$$ Het oorspronkelijke drukverschil was: $$\Delta p = \frac{8\eta l Q_1}{\pi r_1^4}$$ Door deze twee uitdrukkingen voor $\Delta p$ gelijk te stellen, kunnen we $Q_2$ bepalen [17](#page=17): $$\frac{8\eta l_{na} Q_2}{\pi r_{na}^4} + \frac{8\eta l_a Q_2}{\pi r_a^4} = \frac{8\eta l Q_1}{\pi r_1^4}$$ Vereenvoudigd door de constante termen te verwijderen: $$\frac{l_{na} Q_2}{r_{na}^4} + \frac{l_a Q_2}{r_a^4} = \frac{l Q_1}{r_1^4}$$ Hierin geldt dat de straal van de niet-afgezette buis gelijk is aan de oorspronkelijke straal van de buis ($r_{na} = r_1$), en de straal van het afgezette deel is $r_a$. De totale lengte $l = l_{na} + l_a$ [17](#page=17). Het debiet $Q_2$ kan worden herschreven als: $$Q_2 \left( \frac{l_{na}}{r_{na}^4} + \frac{l_a}{r_a^4} \right) = \frac{l Q_1}{r_1^4}$$ $$Q_2 = \frac{\frac{l}{r_1^4}}{\frac{l_{na}}{r_{na}^4} + \frac{l_a}{r_a^4}} Q_1$$ #### 3.2.4 Voorbeeld 2: Vernauwing door vuil in een buis Een buis heeft een totale lengte van 21 m en een diameter van 3,20 cm (oorspronkelijke straal $r_1 = 1,60$ cm). Het oorspronkelijke debiet is 38,7 liter per minuut. Er is een plaatselijke vernauwing over een lengte van 71,4 cm ($l_a = 0,714$ m) door vuil met een dikte van 1,40 mm [16](#page=16). De straal van de vernauwde sectie ($r_a$) is de oorspronkelijke straal min de dikte van het vuil: $r_a = 1,60 \text{ cm} - 0,140 \text{ cm} = 1,46$ cm [17](#page=17). De lengte van het niet-afgezette deel is de totale lengte minus de lengte van de vernauwing: $l_{na} = 21 \text{ m} - 0,714 \text{ m} = 20,286$ m [17](#page=17). Nu kunnen we $Q_2$ berekenen met de formule: $$Q_2 = \frac{\frac{l}{r_1^4}}{\frac{l_{na}}{r_{na}^4} + \frac{l_a}{r_a^4}} Q_1$$ Invullen van de waarden: $$Q_2 = \frac{\frac{21 \text{ m}}{(1,60 \text{ cm})^4}}{\frac{20,286 \text{ m}}{(1,60 \text{ cm})^4} + \frac{0,714 \text{ m}}{(1,46 \text{ cm})^4}} \times 38,7 \frac{\text{ liter}}{\text{ min}}$$ $$Q_2 = 34,326945 \frac{\text{ liter}}{\text{ min}}$$ > **Voorbeeld:** Het debiet na de vernauwing is ongeveer 34,3 liter per minuut [17](#page=17). --- # Berekening van aerodynamische krachten Dit onderdeel behandelt de berekening van de liftkracht op een vliegtuigvleugel door middel van de wet van Bernoulli, waarbij rekening wordt gehouden met de verschillende luchtsnelheden boven en onder de vleugel. ### 4.1 Toepassing van de wet van Bernoulli op vliegtuigvleugels De wet van Bernoulli is een fundamenteel principe in de vloeistofdynamica dat de relatie beschrijft tussen druk, dichtheid en snelheid van een stromende vloeistof of gas. Bij de berekening van aerodynamische krachten, met name de liftkracht op een vliegtuigvleugel, wordt deze wet gebruikt om het drukverschil te bepalen dat ontstaat door de verschillende snelheden van de lucht die langs de boven- en onderkant van de vleugel stroomt [14](#page=14). #### 4.1.1 Bernoulli's vergelijking Bernoulli's vergelijking, toegepast op horizontale stroming waar het hoogteverschil verwaarloosbaar is, stelt dat de som van de statische druk en de dynamische druk constant is. De algemene vorm van Bernoulli's vergelijking is [14](#page=14): $$p + \rho g h + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constante}$$ Voor de context van een vliegtuigvleugel, waar het hoogteverschil tussen de boven- en onderkant verwaarloosbaar is ($h_1 \approx h_2$), kan de vergelijking worden vereenvoudigd tot: $$p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$ Hierin staat: * $p$ voor de statische druk [14](#page=14). * $\rho$ voor de dichtheid van het fluïdum (lucht in dit geval) [14](#page=14). * $g$ voor de versnelling van de zwaartekracht (indien relevant, maar hier verwaarloosbaar) [14](#page=14). * $h$ voor de hoogte [14](#page=14). * $v$ voor de snelheid van het fluïdum [14](#page=14). * De indices 1 en 2 verwijzen respectievelijk naar de onderkant en de bovenkant van de vleugel, of omgekeerd, afhankelijk van de conventie die wordt gevolgd voor de snelheden. #### 4.1.2 Berekening van het drukverschil Het drukverschil ($\Delta p$) tussen de boven- en onderkant van de vleugel is cruciaal voor het genereren van lift. Dit verschil ontstaat doordat de luchtstroom aan de bovenkant van de vleugel, die een langere afstand moet afleggen (vanwege de welving van de vleugel), een hogere snelheid heeft dan de luchtstroom aan de onderkant [14](#page=14) [3](#page=3). Het drukverschil kan worden berekend met de volgende formule, afgeleid van Bernoulli's vergelijking en rekening houdend met de verwaarlozing van het hoogteverschil ($\Delta h \approx 0$): $$\Delta p = p_{\text{onderkant}} - p_{\text{bovenkant}}$$ $$p_{\text{onderkant}} + \rho g h_{\text{onderkant}} + \frac{1}{2}\rho v_{\text{onderkant}}^2 = p_{\text{bovenkant}} + \rho g h_{\text{bovenkant}} + \frac{1}{2}\rho v_{\text{bovenkant}}^2$$ Omdat $\Delta h = h_{\text{bovenkant}} - h_{\text{onderkant}} \approx 0$: $$\Delta p = p_{\text{onderkant}} - p_{\text{bovenkant}} = \frac{1}{2}\rho (v_{\text{bovenkant}}^2 - v_{\text{onderkant}}^2)$$ Hierbij wordt aangenomen dat $v_{\text{bovenkant}} > v_{\text{onderkant}}$, wat resulteert in een lagere druk aan de bovenkant ($p_{\text{bovenkant}}$) en dus een netto opwaartse kracht [14](#page=14). > **Tip:** Converteer altijd eerst alle snelheden naar standaardeenheden (meter per seconde, m/s) voordat u de berekeningen uitvoert. De conversie van km/u naar m/s is door te delen door 3,6 [14](#page=14). #### 4.1.3 Berekening van de liftkracht De totale liftkracht ($F$) die het vliegtuig omhoog duwt, is het product van het berekende drukverschil en het totale oppervlak ($A$) van de vleugels [14](#page=14). $$F = \Delta p \cdot A$$ **Voorbeeld berekening van liftkracht voor een Boeing 767:** Gegeven: * Kruissnelheid: 850 km/u (vloeiend onder de vleugel, $v_1$) [14](#page=14) [3](#page=3). * Snelheid boven de vleugel: 890 km/u ($v_2$) [14](#page=14) [3](#page=3). * Massa van het vliegtuig: 156.000 kg [14](#page=14) [3](#page=3). * Vleugeloppervlak ($A$): 283,3 m² [14](#page=14) [3](#page=3). * Dichtheid van lucht op 11.000 m hoogte ($\rho$): 0,40 kg/m³ [14](#page=14) [3](#page=3). Stappen: 1. **Converteer snelheden naar m/s:** * $v_1 = 850 \text{ km/u} = \frac{850 \times 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 236,111 \text{ m/s}$ [14](#page=14). * $v_2 = 890 \text{ km/u} = \frac{890 \times 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 247,222 \text{ m/s}$ [14](#page=14). 2. **Bereken het drukverschil ($\Delta p$)**: $$\Delta p = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)$$ $$\Delta p = \frac{1}{2} \times 0,40 \text{ kg/m}^3 \times [(247,222 \text{ m/s})^2 - (236,111 \text{ m/s})^2]$$ $$\Delta p = 0,20 \text{ kg/m}^3 \times [61118,32 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 55749,73 \text{ m}^2/\text{s}^2]$$ $$\Delta p = 0,20 \text{ kg/m}^3 \times 5368,59 \text{ m}^2/\text{s}^2$$ $$\Delta p = 1073,718 \text{ Pa}$$ (Er kan een lichte afrondingsverschil zijn met de bron, 1074,074 Pa wordt ook genoemd) [14](#page=14). 3. **Bereken de liftkracht ($F$)**: $$F = \Delta p \cdot A$$ $$F = 1074,074 \text{ Pa} \times 283,3 \text{ m}^2$$ $$F = 304.285 \text{ N}$$ [14](#page=14) [3](#page=3). Het vliegtuig ondervindt dus een maximale opwaartse kracht van ongeveer 304.285 Newton. Dit is de kracht waarmee het vliegtuig omhoog wordt geduwd. Merk op dat deze kracht voldoende moet zijn om de zwaartekracht op het vliegtuig tegen te gaan om in de lucht te blijven of te stijgen [14](#page=14) [3](#page=3). > **Opmerking:** In de praktijk zijn de aerodynamische krachten op een vleugel complexer en worden ze beïnvloed door factoren zoals de aanvalshoek, de vorm van het vleugelprofiel en de Mach-getal. Dit model biedt een vereenvoudigde, maar fundamentele, benadering met behulp van Bernoulli's principe. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Ventilatiedebiet | Het volume lucht dat per tijdseenheid door een ventilatiesysteem wordt verplaatst, essentieel voor het bepalen van de luchtsnelheid in toevoerbuizen. | | Wet van Torricelli | Deze wet beschrijft de uitstroomsnelheid van een vloeistof uit een opening in een vat, gelijk aan de snelheid die een object zou verkrijgen bij vrije val van de hoogte van het vloeistofniveau tot de opening. De formule is $v = \sqrt{2gh}$, waarbij $g$ de valversnelling is en $h$ de hoogte. | | Bernoulli | Een principe dat stelt dat voor een ideale vloeistof in horizontale stroming, de som van de statische druk, de dynamische druk en de hydrostatische druk constant is. De formule is $p + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$. | | Continuïteitsvergelijking | Dit principe stelt dat voor een incompresibele vloeistof, het product van de dwarsdoorsnede van de buis en de stroomsnelheid constant is over de gehele lengte van de buis. De formule is $A_1v_1 = A_2v_2$. | | Drukverschil | Het verschil in druk tussen twee punten in een vloeistof of gas, wat de drijvende kracht is achter de stroming. | | Viscositeit | Een maat voor de weerstand van een vloeistof of gas tegen stroming. Een hogere viscositeit betekent een grotere interne wrijving en dus langzamere stroming. | | Wet van Poiseuille | Beschrijft de volumestroom van een viskeuze vloeistof door een cilindrische buis onder invloed van een drukverschil. De formule is $Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8 \eta l}$, waarbij $r$ de straal is, $\eta$ de viscositeit, $l$ de lengte van de buis en $\Delta p$ het drukverschil. | | Debiet | De hoeveelheid vloeistof of gas die per tijdseenheid door een bepaald punt stroomt, uitgedrukt in volume per tijdseenheid (bijv. $m^3/s$, $l/min$). | | Vernauwing | Een sectie in een buis waar de diameter kleiner is dan in het omringende gedeelte, wat leidt tot een hogere snelheid en een lagere druk volgens de continuïteitsvergelijking en de wet van Bernoulli. | | Verkaalking | De afzetting van kalk of andere mineralen aan de binnenwand van een buis, wat de effectieve diameter van de buis verkleint en de weerstand tegen stroming verhoogt, waardoor het debiet afneemt. | | Aerodynamische liftkracht | De kracht die omhoog werkt op een vliegtuigvleugel, veroorzaakt door het drukverschil tussen de boven- en onderkant van de vleugel, dat op zijn beurt wordt gegenereerd door de verschillende luchtsnelheden. |