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# El espacio R y sus propiedades El espacio de los números reales ($R$) es fundamental en cálculo, extendiendo las propiedades de los números racionales ($Q$) para incluir cantidades como longitudes irracionales, y se caracteriza por propiedades de orden, valor absoluto, intervalos y, crucialmente, el axioma del supremo [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.1. Motivación y los números reales Los números naturales ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$) se usan para contar; los enteros ($Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$) permiten sustracciones; y los racionales ($Q = \{\frac{p}{q} \mid p, q \in Z, q \neq 0\}$) introducen las proporciones. Sin embargo, existen magnitudes que no pueden ser descritas por estos conjuntos. Por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo con base y altura 1, cuya longitud es $\sqrt{2}$, no es un número racional. De manera similar, $\pi$ (la relación entre la circunferencia y su diámetro) es otro ejemplo de número no racional. El conjunto de los números reales ($R$) incluye tanto a los racionales ($Q$) como a los irracionales ($I$), formándose la cadena de inclusiones $N \subset Z \subset Q \subset R$. La unión de los racionales e irracionales es $R$ ($Q \cup I = R$), y su intersección es vacía ($Q \cap I = \emptyset$). Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos en una recta, conocida como la recta real [2](#page=2) [3](#page=3) [4](#page=4). > **Tip:** Es importante recordar que la construcción formal de $R$ a partir de $Q$ (a menudo mediante sucesiones de Cauchy o cortaduras de Dedekind) está ligada al cálculo infinitesimal, pero para este estudio, nos centramos en sus propiedades [3](#page=3). ### 1.2. Operaciones y propiedades del orden En $R$, se definen las operaciones de suma y producto, dotándolo de una estructura algebraica similar a $Q$. Además, los números reales pueden ser ordenados. Intuitivamente, $x \le y$ si la representación de $x$ en la recta real está a la izquierda o coincide con la de $y$. Si la representación de $x$ está estrictamente a la izquierda de $y$, se escribe $x < y$. Los números menores que 0 se denominan negativos, y los mayores que 0, positivos [4](#page=4). Las propiedades del orden en $R$ son: 1. **Orden total:** $x \le y$ o $y \le x$ [5](#page=5). 2. **Reflexiva:** $x \le x$ [5](#page=5). 3. **Antisimétrica:** Si $x \le y$ y $y \le x$, entonces $x = y$ [5](#page=5). 4. **Transitiva:** Si $x \le y$ y $y \le z$, entonces $x \le z$ [5](#page=5). 5. **Relación con la suma:** Si $x \le y$, entonces $x + z \le y + z$ para cualquier $z \in R$ [5](#page=5). 6. **Relación con el producto (no negativo):** Si $x \le y$ y $0 \le z$, entonces $xz \le yz$ [5](#page=5). 7. **Relación con el producto (negativo):** Si $x \le y$ y $z < 0$, entonces $xz \ge yz$ [5](#page=5). > **Ejemplo:** Usando estas propiedades, si $x \le y$ y $z \le w$, podemos demostrar que $x + z \le y + w$. Sumando $z$ a la primera desigualdad obtenemos $x + z \le y + z$. Sumando $y$ a la segunda desigualdad obtenemos $z + y \le w + y$. Dado que la suma es conmutativa ($y + z = z + y$), por transitividad, concluimos $x + z \le y + w$ [5](#page=5). ### 1.3. Valor absoluto El valor absoluto de un número real $x$, denotado por $|x|$, se define como: $$ |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $$ El valor absoluto de un número no nulo es siempre positivo. Gráficamente, $|x|$ representa la distancia entre $x$ y el origen en la recta real. La distancia entre dos números reales $x$ e $y$ se define como $|x - y|$ [5](#page=5). Propiedades clave del valor absoluto: 1. $|x| = 0 \implies x = 0$ [6](#page=6). 2. **Desigualdad triangular:** $|x + y| \le |x| + |y|$ [6](#page=6). 3. $||x| - |y|| \le |x - y|$ [6](#page=6). > **Contraejemplo:** La afirmación "$x < y$ implica $|x| < |y|$" es falsa. Por ejemplo, si $x = -2$ e $y = 1$, tenemos $-2 < 1$, pero $|-2| = 2 > |1| = 1$ [6](#page=6). ### 1.4. Intervalos Los intervalos son subconjuntos continuos de la recta real. Para $a, b \in R$ con $a < b$, se definen: * **Intervalo abierto:** $(a, b) = \{x \in R: a < x < b\}$ [6](#page=6). * **Intervalo cerrado:** $[a, b = \{x \in R: a \le x \le b\}$ [6](#page=6). * **Intervalos semiabiertos (o semicerrados):** $[a, b) = \{x \in R: a \le x < b\}$ y $(a, b = \{x \in R: a < x \le b\}$ [6](#page=6). Los números $a$ y $b$ son los extremos del intervalo [6](#page=6). También se definen intervalos que representan semirrectas: * $(a, \infty) = \{x \in R: a < x\}$ (Intervalo abierto) [6](#page=6). * $[a, \infty) = \{x \in R: a \le x\}$ (Intervalo cerrado) [6](#page=6). * $(-\infty, a) = \{x \in R: x < a\}$ (Intervalo abierto) [6](#page=6). * $(-\infty, a = \{x \in R: x \le a\}$ (Intervalo cerrado) [6](#page=6). * $(-\infty, \infty) = R$ [7](#page=7). El **punto medio** (o centro) de un intervalo $(a, b)$ con $a < b$ es $c = \frac{a+b}{2}$, y el **radio** es $r = \frac{b-a}{2}$. Utilizando el valor absoluto, los intervalos con centro $c$ y radio $r > 0$ pueden describirse como [7](#page=7): * $(c-r, c+r) = \{x \in R: |x - c| < r\}$ [7](#page=7). * $[c-r, c+r = \{x \in R: |x - c| \le r\}$ [7](#page=7). * $(c-r, c+r = \{x \in R: |x - c| \le r \text{ y } x \neq c+r \}$ [7](#page=7). * $[c-r, c+r) = \{x \in R: |x - c| \le r \text{ y } x \neq c-r \}$ [7](#page=7). > **Ejemplo:** El intervalo abierto $(1, 4)$ tiene centro $c = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}$ y radio $r = \frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}$. Se puede describir como $\{x \in R: |x - \frac{5}{2}| < \frac{3}{2}\}$ [7](#page=7). > **Ejemplo:** Los puntos a distancia menor o igual que $\frac{2}{3}$ del punto $-1$ forman el intervalo $[-1 - \frac{2}{3}, -1 + \frac{2}{3}] = [-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}]$ [8](#page=8). ### 1.5. Conjuntos acotados y el Axioma del supremo Se introducen las siguientes definiciones para caracterizar conjuntos en $R$: * Una **cota superior** $c$ para un conjunto $A \subset R$ es un número real tal que $a \le c$ para todo $a \in A$ [8](#page=8). * Un conjunto $A$ está **acotado superiormente** si posee al menos una cota superior [9](#page=9). * Una **cota inferior** $c$ para un conjunto $A \subset R$ es un número real tal que $a \ge c$ para todo $a \in A$ [9](#page=9). * Un conjunto $A$ está **acotado inferiormente** si posee al menos una cota inferior [9](#page=9). * Un conjunto $A$ está **acotado** si está acotado superior e inferiormente [9](#page=9). > **Ejemplo:** El conjunto de los números naturales $N$ no tiene cotas superiores (está acotado inferiormente por 0 o 1, pero no superiormente). El intervalo $[7, 3e^2]$ es acotado superiormente por $3e^2$ (y cualquier número mayor) e inferiormente por $7$ (y cualquier número menor) [10](#page=10) [9](#page=9). Si un conjunto $A$ tiene una cota superior, entonces existe la **menor de todas las cotas superiores**, llamada **supremo** de $A$, denotado por $\sup A$ [10](#page=10). * $\sup A$ es una cota superior para $A$ [10](#page=10). * Si $c$ es cualquier otra cota superior de $A$, entonces $\sup A \le c$ [10](#page=10). De manera análoga, si un conjunto $A$ tiene cotas inferiores, existe la **mayor de todas las cotas inferiores**, llamada **ínfimo** de $A$, denotado por $\inf A$ [10](#page=10). * $\inf A$ es una cota inferior para $A$ [10](#page=10). * Si $c$ es cualquier otra cota inferior de $A$, entonces $c \le \inf A$ [10](#page=10). El supremo y el ínfimo de un conjunto, si existen, son únicos [10](#page=10). > **Ejemplo:** Los intervalos $(-1,1), (-1, 1, [-1,1), [-1,1]$ tienen $\sup = 1$ e $\inf = -1$. Para $A = \{x \in Q: x^2 \le 7\}$, $\inf A = -\sqrt{7}$ y $\sup A = \sqrt{7}$ (ninguno de estos pertenece a $A$). Para $N$, $\inf N = 1$, pero $\sup N$ no existe [10](#page=10) [11](#page=11). El **Axioma del supremo** es una propiedad fundamental de los números reales: * **Todo subconjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene supremo.** Es decir, si $A \subset R$, $A \neq \emptyset$ y $A$ está acotado superiormente, entonces $\sup A \in R$ [11](#page=11). Este axioma distingue a $R$ de $Q$, ya que existen subconjuntos acotados superiormente de números racionales que no tienen un supremo en $Q$ [11](#page=11). Una propiedad análoga para el ínfimo es: * **Si $A \subset R$ está acotado inferiormente, entonces $\inf A \in R$.** [11](#page=11). > **Tip:** El Axioma del supremo es crucial para demostrar muchos resultados en cálculo infinitesimal, garantizando la existencia de límites y la completitud de los números reales [11](#page=11). --- # Sucesiones y series de números reales Este tema aborda el estudio de las sucesiones y series de números reales, centrándose en sus propiedades fundamentales como la convergencia, acotación y monotonicidad, así como en los criterios para determinar la convergencia de series [12](#page=12). ### 2.1 Sucesiones Una sucesión de números reales es una aplicación de los números naturales en los números reales. Los términos de la sucesión se suelen denotar como $a_1, a_2, a_3, \dots$, y la fórmula que los genera se conoce como término general [12](#page=12) [13](#page=13). #### 2.1.1 Convergencia de sucesiones Una sucesión $\{a_n\}$ tiene límite $l \in \mathbb{R}$ si para cada $\varepsilon > 0$, existe un número natural $N$ tal que $|a_n - l| < \varepsilon$ para todo $n > N$. Esto significa que, a partir de un cierto término, todos los demás términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente al límite [13](#page=13). * **Unicidad del límite:** Si una sucesión converge, su límite es único [14](#page=14). * **Sucesiones constantes:** Toda sucesión constante $\{a_n\} = \{c\}$ es convergente y su límite es $c$ [13](#page=13). * **Ejemplo de convergencia:** La sucesión $a_n = \frac{1}{n}$ converge a $0$, ya que para cualquier $\varepsilon > 0$, podemos encontrar un $N > \frac{1}{\varepsilon}$ tal que para $n \ge N$, $|a_n - 0| = \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon$ [14](#page=14). #### 2.1.2 Acotación de sucesiones Una sucesión $\{a_n\}$ es acotada si existe un número $c > 0$ tal que $|a_n| \le c$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [14](#page=14). * **Relación con la convergencia:** Toda sucesión convergente es acotada. Sin embargo, el recíproco no es cierto; una sucesión acotada no necesariamente converge (ejemplo: $\{(-1)^n\}$) [14](#page=14). #### 2.1.3 Monotonicidad de sucesiones * Una sucesión $\{a_n\}$ es **creciente** si $a_n \le a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Es **estrictamente creciente** si $a_n < a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Una sucesión $\{a_n\}$ es **decreciente** si $a_n \ge a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Es **estrictamente decreciente** si $a_n > a_{n+1}$ para todo $n \in \mathbb{N}$ [21](#page=21). * Una sucesión es **monótona** si es creciente o decreciente [21](#page=21). #### 2.1.4 Operaciones con límites de sucesiones Si $\lim_{n\to\infty} a_n = l$ y $\lim_{n\to\infty} b_n = m$ existen, entonces: * $\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = l + m$ [16](#page=16). * $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = l \cdot m$ [16](#page=16). * Si $b_n \ne 0$ para todo $n$ y $m \ne 0$, entonces $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{l}{m}$ [16](#page=16). > **Tip:** Para límites de cocientes de polinomios, dividir el numerador y el denominador por el monomio de mayor grado del denominador simplifica el cálculo [17](#page=17). #### 2.1.5 Límites infinitos Se escribe $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ si para cada $k > 0$, existe un $N \in \mathbb{N}$ tal que $a_n \ge k$ para todo $n \ge N$. De manera similar se define $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$. Las sucesiones con límite infinito o menos infinito no son convergentes [18](#page=18). * **Recta real ampliada:** Se define $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}$ para facilitar el cálculo de límites [17](#page=17). * **Sustitución por $\infty$:** Si al sustituir $n$ por $\infty$ en el término general de una sucesión se obtiene un valor definido en $\overline{\mathbb{R}}$ (distinto de las indeterminaciones), este coincide con el límite de la sucesión [18](#page=18). #### 2.1.6 Indeterminaciones Al calcular límites, algunas expresiones no están definidas y se denominan indeterminaciones. Estas incluyen: * $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ [19](#page=19). * $\infty - \infty$ [19](#page=19). * $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ [20](#page=20). Para resolverlas, se suelen aplicar técnicas como multiplicar y dividir por el conjugado, o utilizar la relación entre límites de exponenciales y logaritmos [19](#page=19). #### 2.1.7 Teoremas y criterios importantes para sucesiones * **Regla del emparedado:** Si $a_n \le b_n \le c_n$ para todo $n$, y $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} c_n = l$, entonces $\lim_{n\to\infty} b_n = l$ [15](#page=15). * **Teorema:** Si $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ y $\{b_n\}$ es acotada, entonces $\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = 0$ [15](#page=15). * **Proposición:** Si $\lim_{n\to\infty} a_n = l$, entonces $\lim_{n\to\infty} |a_n| = |l|$ [15](#page=15). * **Teorema de convergencia para sucesiones monótonas:** Si $\{a_n\}$ es monótona, entonces $\{a_n\}$ es convergente si y solo si es acotada [21](#page=21). * **Criterio de Stolz:** Si $\{b_n\}$ es monótona y $\lim_{n\to\infty} b_n = \pm\infty$ (o $\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} a_n = 0$), y existe $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = l$, entonces $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = l$ [22](#page=22). ### 2.2 Series de números reales Una serie de números reales es una suma infinita de los términos de una sucesión $\{a_n\}$, denotada como $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Se define a través de la sucesión de sumas parciales $\{s_n\}$, donde $s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ [24](#page=24). #### 2.2.1 Convergencia de series Una serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es **convergente** o sumable si su sucesión de sumas parciales $\{s_n\}$ es convergente. El límite de $\{s_n\}$ es la **suma** de la serie, denotada como $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Si $\{s_n\}$ no converge, la serie es **divergente** [25](#page=25) [26](#page=26). * **Condición necesaria para la convergencia:** Si $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es convergente, entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Sin embargo, el recíproco no es cierto (ejemplo: la serie armónica $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$) [26](#page=26) [27](#page=27). #### 2.2.2 Operaciones con series Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ son series sumables y $c \in \mathbb{R}$, entonces: * $\sum (a_n + b_n)$ es sumable y $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ [27](#page=27). * $\sum (c \cdot a_n)$ es sumable y $\sum_{n=1}^{\infty} (c \cdot a_n) = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ [27](#page=27). #### 2.2.3 Criterios de convergencia para series de términos no negativos Estos criterios se aplican a series donde $a_n \ge 0$ para todo $n$ [28](#page=28). * **Criterio de comparación:** Si existe un $n_0$ tal que $a_n \le b_n$ para $n \ge n_0$: * Si $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ converge [28](#page=28). * Si $\sum a_n$ diverge, entonces $\sum b_n$ diverge [28](#page=28). * **Criterio del cociente:** Sea $a_n > 0$ y $l = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ [28](#page=28). * Si $l < 1$, la serie converge [28](#page=28). * Si $l > 1$, la serie diverge [28](#page=28). * Si $l = 1$, el criterio no decide [28](#page=28). * **Criterio de la raíz:** Sea $a_n > 0$ y $l = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}$ [28](#page=28). * Si $l < 1$, la serie converge [28](#page=28). * Si $l > 1$, la serie diverge [28](#page=28). * Si $l = 1$, el criterio no decide [28](#page=28). > **Tip:** Si el Criterio del cociente decide, entonces el de la raíz también [30](#page=30). #### 2.2.4 Series de términos sin signo constante * **Convergencia absoluta:** Una serie $\sum a_n$ es **absolutamente convergente** si la serie de sus valores absolutos $\sum |a_n|$ es convergente [30](#page=30). * Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente [30](#page=30). * **Series alternadas:** Una serie es alternada si sus términos cambian de signo alternativamente [31](#page=31). * **Criterio de Leibniz:** Sea $\sum a_n$ una serie alternada tal que la sucesión $\{|a_n|\}$ es decreciente y $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Entonces la serie es convergente [31](#page=31). --- # Límites de funciones, continuidad y asíntotas Este apartado se centra en la generalización del concepto de límite para funciones reales de variable real, sentando las bases para el estudio de la continuidad y la identificación de comportamientos asintóticos de una función [32](#page=32). ### 3.1. Límites de funciones #### 3.1.1. Definición y motivación Las funciones reales de variable real son aplicaciones $f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, donde $D$ es el dominio y $f(D)$ es la imagen. Si el dominio no se especifica, se considera el mayor conjunto de números reales para el que la función está definida. El dominio de funciones construidas mediante suma, producto y división es el dominio de partida, excepto para la división, donde se excluyen los puntos que anulan el denominador. Una función es acotada si su imagen es un conjunto acotado [33](#page=33). La gráfica de una función es la representación de los puntos $(x, f(x))$ en el plano $xy$ [33](#page=33). #### 3.1.2. Límite de una función en un punto La definición formal de límite de una función $f$ en un punto $a$ es análoga a la de las sucesiones: **Definición 1.18:** La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiene límite $l$ en $a$ (se escribe $\lim_{x \to a} f(x) = l$) si para todo $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que si $x \in D \setminus \{a\}$ y $|x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - l| < \epsilon$ [33](#page=33). Para que el límite en $a$ tenga sentido, cualquier conjunto de la forma $(a - \delta, a) \cup (a, a + \delta)$ para $\delta > 0$ debe tener intersección no vacía con el dominio de $f$. Gráficamente, esto significa que para cualquier banda horizontal $\epsilon$-cercana a $l$, existe un intervalo $(a - \delta, a + \delta)$ tal que la gráfica de la función restringida a este intervalo (excluyendo $a$) se encuentra dentro de la banda horizontal [33](#page=33). **Proposición 1.9:** Si $\lim_{x \to a} f(x) > 0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x \in D \cap ((a - \delta, a + \delta) \setminus \{a\})$. Similarmente, si el límite es negativo, la función tomará valores negativos cerca de $a$ [34](#page=34). El límite de una función en un punto, si existe, es único [34](#page=34). **Ejemplo 1.43:** La función $f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 2, & x = 0 \\ -x+1, & x>0 \end{cases}$ tiene límite $1$ en $0$ [34](#page=34). **Ejemplo 1.44:** La función $f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ definida en $(0, \infty)$ no tiene límite en $0$ porque oscila con amplitud constante a medida que $x$ se acerca a $0$ [34](#page=34) [35](#page=35). **Regla del emparedado:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = l$ y $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ para todo $x$ en el dominio de $h$, entonces $\lim_{x \to a} h(x) = l$ [35](#page=35). **Proposición 1.10:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ y $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función acotada, entonces $\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = 0$. Esta propiedad se generaliza a funciones acotadas en un intervalo abierto $I$ que contiene a $a$ [35](#page=35). **Proposición 1.11:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = l$ y $\lim_{x \to a} g(x) = m$, entonces: * $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = l + m$ [36](#page=36). * $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = l \cdot m$ [36](#page=36). * Si además $g(x) \neq 0$ en $D$ y $m \neq 0$, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l}{m}$ [36](#page=36). #### 3.1.3. Límites infinitos, límites laterales y límites en el infinito **Límites infinitos:** * Escribimos $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ si para todo $k > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq k$ para todo $x \in (a - \delta, a + \delta) \setminus \{a\}$ [36](#page=36). * Escribimos $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ si $\lim_{x \to a} -f(x) = \infty$ [36](#page=36). **Ejemplo 1.45:** La función $f(x) = \frac{1}{x^2}$ verifica $\lim_{x \to 0} f(x) = \infty$ [36](#page=36). **Límites laterales:** Para definir límites laterales, se considera la restricción de la función a subconjuntos del dominio. **Definición 1.19:** Dada $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ y $J \subset D$, la restricción de $f$ a $J$ se denota por $f|_J$ y se define como $f|_J(x) = f(x)$ para $x \in J$ [37](#page=37). * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiene límite por la derecha $l \in \mathbb{R}$ en $a$ (se escribe $\lim_{x \to a^+} f(x) = l$) si $\lim_{x \to a} f|_{D \cap (a, \infty)}(x) = l$ [37](#page=37). * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiene límite por la izquierda $l \in \mathbb{R}$ en $a$ (se escribe $\lim_{x \to a^-} f(x) = l$) si $\lim_{x \to a} f|_{D \cap (-\infty, a)}(x) = l$ [37](#page=37). Una función puede tener límites laterales sin tener un límite en el punto [37](#page=37). **Ejemplo 1.46:** La función $f(x) = \frac{1}{x}$ verifica $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty$ y $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$. La función no tiene límite en $0$ [37](#page=37). **Teorema 1.4:** Si $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ y $l \in \mathbb{R}$, entonces $\lim_{x \to a} f(x) = l$ si y solo si $\lim_{x \to a^+} f(x) = l$ y $\lim_{x \to a^-} f(x) = l$ [37](#page=37). **Límites en el infinito:** * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiende a $l \in \mathbb{R}$ cuando $x$ tiende a infinito (se escribe $\lim_{x \to \infty} f(x) = l$) si para todo $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $x \in D$ y $x > \delta$ garantizan que $|f(x) - l| < \epsilon$ [37](#page=37). * La función $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ tiende a $l \in \mathbb{R}$ cuando $x$ tiende a $-\infty$ (se escribe $\lim_{x \to -\infty} f(x) = l$) si $\lim_{x \to \infty} f(-x) = l$ [37](#page=37). **Ejemplo 1.47:** Para la función $f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1}$, se tiene que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ [38](#page=38). #### 3.1.4. Asíntotas Las asíntotas son rectas a las que la gráfica de una función se aproxima arbitrariamente [38](#page=38). * **Asíntota horizontal:** La recta $y = b$ es una asíntota horizontal si y solo si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ o $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ [39](#page=39). * **Asíntota vertical:** Una condición necesaria y suficiente para que $x = a$ sea una asíntota vertical para $f(x)$ es que $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ o $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ [39](#page=39). **Ejemplo:** Tanto $f(x) = \frac{1}{x}$ como $f(x) = \frac{1}{x^2}$ tienen a $x = 0$ como asíntota vertical [39](#page=39). * **Asíntota oblicua:** La recta $y = mx + b$ con $m \neq 0$ es una asíntota oblicua si y solo si $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (mx + b)) = 0$ o $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (mx + b)) = 0$ [39](#page=39). **Proposición 1.12:** Si $f$ tiene como asíntota oblicua a la recta $y = mx + b$ con $m \neq 0$, entonces $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = m$ y $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ [39](#page=39). Para calcular $m$, se evalúa el límite de $\frac{f(x)}{x}$ cuando $x \to \infty$ (o $x \to -\infty$). Una vez obtenido $m$, se calcula $b$ evaluando el límite de $f(x) - mx$ cuando $x \to \infty$ (o $x \to -\infty$) [39](#page=39) [40](#page=40). **Ejemplo 1.48:** Para la función $f(x) = \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2 + 1}$: * No hay asíntotas verticales porque el denominador nunca se anula [39](#page=39). * No hay asíntotas horizontales, ya que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ [40](#page=40). * Para las asíntotas oblicuas: * $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x(x^2 + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^2 + 1}{x^3 + x} = 1$ [40](#page=40). * $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - 1 \cdot x) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^3 + x^2 + 1}{x^2 + 1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + x^2 + 1 - x^3 - x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 1} = 1$ [40](#page=40). Por lo tanto, la recta $y = x + 1$ es una asíntota oblicua para la función [40](#page=40). ### 3.2. Funciones continuas #### 3.2.1. Continuidad en un punto **Definición 1.20:** Una función $f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $a \in D$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Si esta condición no se cumple, la función es discontinua en $a$ [41](#page=41). **Proposición 1.13:** Si $f$ y $g$ son continuas en $a$, entonces $f+g$ y $f \cdot g$ son continuas en $a$. Además, si $g(a) \neq 0$, entonces $\frac{f}{g}$ es continua en $a$ [41](#page=41). **Proposición 1.14:** Si $f$ es continua en $a$ y $g$ es continua en $f(a)$, entonces la composición $g \circ f$ es continua en $a$ [41](#page=41). #### 3.2.2. Continuidad en un intervalo y propiedades **Definición 1.21:** Una función $f: D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se dice continua en $A \subset D$ si es continua en cada punto $a \in A$. Si el conjunto $A$ no se especifica, se asume que la función es continua en su dominio de definición [41](#page=41) [42](#page=42). **Teorema de Bolzano:** Si $f: [a, b \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y $f(a) \cdot f(b) < 0$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$ [42](#page=42). **Teorema de los valores intermedios:** Si $f: [a, b \rightarrow \mathbb{R}$ es continua y $f(a) < d < f(b)$ o $f(a) > d > f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = d$. En otras palabras, una función continua en un intervalo toma todos los valores intermedios entre dos valores que toma [42](#page=42). Los teoremas anteriores pueden adaptarse a intervalos no cerrados y acotados modificando las hipótesis sobre los valores en los extremos por condiciones sobre los límites infinitos o laterales [42](#page=42). **Proposición 1.15 (Teorema de Weierstrass):** Si $f: [a, b \rightarrow \mathbb{R}$ es continua, entonces existen $c, d \in [a, b]$ tales que $f(c) \leq f(x) \leq f(d)$ para todo $x \in [a, b]$. Esto significa que una función continua en un intervalo cerrado y acotado es acotada y alcanza sus valores máximo y mínimo en dicho intervalo. La imagen de una función continua con dominio un intervalo cerrado y acotado es también un intervalo cerrado y acotado [42](#page=42). #### 3.2.3. Método de bisección El método de bisección es una técnica numérica para aproximar soluciones de ecuaciones de la forma $f(x) = 0$, basándose en el Teorema de Bolzano [43](#page=43). Si $f$ es continua en un intervalo $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$, garantizando la existencia de al menos una solución en $(a, b)$: 1. Se calcula el punto medio del intervalo: $c_1 = \frac{a+b}{2}$. 2. Se evalúa la función en $c_1$. Si $f(c_1) = 0$, $c_1$ es la solución exacta. 3. Si $f(c_1) \cdot f(a) < 0$, la solución está en el intervalo $[a, c_1]$. 4. Si $f(c_1) \cdot f(b) < 0$, la solución está en el intervalo $[c_1, b]$. 5. Se repite el proceso en el nuevo intervalo, que tiene la mitad de longitud que el anterior [44](#page=44). Este método construye una sucesión de puntos medios $\{c_n\}$ que converge a una solución de la ecuación [43](#page=43). El error tras $n$ iteraciones se puede estimar como $|c_n - \text{solución}| < \frac{b-a}{2^n}$. Esto permite determinar de antemano el número de iteraciones necesarias para alcanzar un error menor que un valor $\epsilon$ dado, utilizando la fórmula $n > \log_2\left(\frac{b-a}{\epsilon}\right)$ [44](#page=44). **Ejemplo 1.49:** Para resolver la ecuación $e^{-x} = x$ en el intervalo $ $ con un error menor de $0.1$ [1](#page=1): * La función es $f(x) = e^{-x} - x$. Es continua en $ $ y $f = 1 > 0$, $f \approx -0.632 < 0$ [1](#page=1). * Se necesitan $n > \log_2\left(\frac{1-0}{0.1}\right) = \log_2 \approx 3.32$, por lo que se requieren $4$ iteraciones [10](#page=10) [45](#page=45). * Iteración 1: $c_1 = 0.5$, $f(0.5) \approx 0.107 > 0$. Nuevo intervalo: $[0.5, 1]$. * Iteración 2: $c_2 = 0.75$, $f(0.75) \approx -0.278 < 0$. Nuevo intervalo: $[0.5, 0.75]$. * Iteración 3: $c_3 = 0.625$, $f(0.625) \approx -0.0898 < 0$. Nuevo intervalo: $[0.5, 0.625]$. * Iteración 4: $c_4 = 0.5625$. Tras esta iteración, el error es menor que $0.1$, y $c_4$ es una solución aproximada [45](#page=45). --- # Sucesiones y series de funciones Este tema introduce el concepto de sucesiones y series de funciones, explorando las nociones de convergencia puntual y uniforme, y dedicando especial atención a las series de potencias y sus dominios de convergencia. ### 4.1 Sucesiones de funciones Una sucesión de funciones, también llamada sucesión funcional, es una aplicación que asigna a cada número natural $n$ una función $f_n$ con un dominio común $D \subset \mathbb{R}$. El término general de la sucesión proporciona la fórmula para cada $f_n(x)$ [47](#page=47). > **Tip:** Es común utilizar la notación $\{f_n(x)\}_{x \in D}$ para referirse a una sucesión de funciones, aunque $f_n(x)$ sea un número para un $x$ fijo [47](#page=47). #### 4.1.1 Convergencia puntual Una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge puntualmente en un dominio $D$ a una función $f$, denominada función límite, si para cada $x \in D$, la sucesión numérica $\{f_n(x)\}$ converge a $f(x)$. Formalmente [48](#page=48): $$ \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad \forall x \in D $$ Un punto crucial es que la convergencia puntual no garantiza la conservación de la continuidad. Es decir, si todas las $f_n$ son continuas, su límite puntual $f$ podría no serlo [48](#page=48) [49](#page=49). > **Ejemplo:** La sucesión $f_n(x) = x^n$ en $ $ converge puntualmente a $f(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1) \\ 1, & x = 1 \end{cases}$. Las funciones $f_n(x)$ son continuas, pero su límite puntual $f(x)$ no lo es en $x=1$ [1](#page=1) [48](#page=48). #### 4.1.2 Convergencia uniforme La convergencia uniforme es una noción de convergencia más estricta que la puntual. Se dice que una sucesión de funciones $\{f_n\}$ converge uniformemente en $D$ a una función $f$ si el supremo de la diferencia absoluta entre $f_n(x)$ y $f(x)$ tiende a cero cuando $n \to \infty$ [49](#page=49). $$ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| = 0 $$ La convergencia uniforme es una condición más fuerte que la convergencia puntual; si una sucesión converge uniformemente, entonces también converge puntualmente [50](#page=50). > **Teorema:** Si $\{f_n\}$ converge uniformemente a $f$ en $D$, entonces también converge puntualmente a $f$ en $D$ [50](#page=50). Una propiedad fundamental de la convergencia uniforme es que sí conserva la continuidad: > **Teorema:** Si las funciones $f_n$ que conforman una sucesión son continuas en $D$ y convergen uniformemente en $D$ a la función límite $f$, entonces $f$ es continua en $D$ [51](#page=51). > **Tip:** Para estudiar la convergencia uniforme, primero se puede analizar la convergencia puntual. Si esta no existe, tampoco habrá convergencia uniforme. Si existe, se procede a analizar la convergencia uniforme de la sucesión límite encontrada [50](#page=50). > **Interpretación gráfica:** La convergencia uniforme de $f_n \to f$ significa que para cualquier $\epsilon > 0$, existe un $n_0$ tal que para todo $n \geq n_0$, las gráficas de $f_n(x)$ están contenidas dentro de una banda $(\epsilon-f, \epsilon+f)$ centrada en la gráfica de $f(x)$ [53](#page=53). > **Ejemplo:** La sucesión $f_n(x) = \frac{\sin x}{n^2}$ converge uniformemente a $f(x) = 0$ en $\mathbb{R}$. El supremo de $|\frac{\sin x}{n^2}|$ en $\mathbb{R}$ es $\frac{1}{n^2}$, y su límite cuando $n \to \infty$ es 0 [50](#page=50) [51](#page=51). > **Ejemplo:** La sucesión $f_n(x) = \arctan\left(\frac{x}{n}\right)$ converge puntualmente a $f(x) = 0$ en $\mathbb{R}$, pero no uniformemente. El supremo de $\left|\arctan\left(\frac{x}{n}\right)\right|$ en $\mathbb{R}$ es $\frac{\pi}{2}$, cuyo límite cuando $n \to \infty$ no es cero [51](#page=51) [52](#page=52). ### 4.2 Series de funciones Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ se define a partir de una sucesión de funciones $\{f_n(x)\}$ mediante su sucesión de sumas parciales $\{F_n(x)\}$, donde $F_n(x) = \sum_{i=1}^{n} f_i(x)$ [53](#page=53) [54](#page=54). #### 4.2.1 Convergencia puntual de series Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge puntualmente en $D$ a una función $F$, llamada función suma, si la sucesión de sumas parciales $\{F_n(x)\}$ converge puntualmente a $F$ en $D$. Esto implica que para cada $x \in D$, la serie numérica $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge a $F(x)$ [54](#page=54). #### 4.2.2 Convergencia absoluta de series Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ es absolutamente convergente en $D$ si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} |f_n(x)|$ converge para todo $x \in D$. La convergencia absoluta implica la convergencia puntual [54](#page=54). > **Teorema:** Si $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ es absolutamente convergente en $D$, entonces es puntualmente convergente en $D$ [54](#page=54). #### 4.2.3 Convergencia uniforme de series Una serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge uniformemente en $D$ a una función $F$ si su sucesión de sumas parciales $\{F_n(x)\}$ converge uniformemente en $D$ a $F$ [54](#page=54). Si una serie de funciones converge uniformemente en $D$, entonces también converge puntualmente en $D$. Además, si las funciones $f_n$ son continuas en un punto $a \in D$ y la serie converge uniformemente a $F$, entonces $F$ es continua en $a$ [54](#page=54) [55](#page=55). #### 4.2.4 Criterio de la mayorante (Weierstrass) Este criterio proporciona una condición suficiente para la convergencia absoluta y uniforme de una serie de funciones. Si existe una sucesión de números $\{M_n\}$ tal que $|f_n(x)| \leq M_n$ para todo $x \in D$ y la serie numérica $\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ converge, entonces la serie de funciones $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ converge absoluta y uniformemente en $D$ [55](#page=55). > **Ejemplo:** Dada $f_n(x) = e^{-nx^2}$, si consideramos el intervalo $[1/2, 1]$, tenemos que $|f_n(x)| \leq e^{-n/4}$. Como $\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n/4}$ es una serie geométrica convergente, la serie $\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx^2}$ converge uniformemente en $[1/2, 1]$ [56](#page=56). ### 4.3 Series de potencias Una serie de potencias es un tipo particular de serie funcional de la forma: $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \dots $$ donde $x_0$ es el centro de la serie y $a_n$ son los coeficientes constantes. Un cambio de variable $y = x - x_0$ permite reducir el estudio a series centradas en 0: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n y^n$ [57](#page=57). Las series de potencias centradas en 0 pueden clasificarse en tres tipos según su convergencia: 1. **Tipo 1:** Convergen solo para $x = 0$. El radio de convergencia es $R=0$. 2. **Tipo 2:** Convergen en un intervalo $(-R, R)$ (o similar), con $R \in (0, \infty)$. Son absolutamente y uniformemente convergentes en cualquier intervalo $[-k, k]$ con $k < R$. La convergencia en los extremos $x = -R$ y $x = R$ debe ser estudiada por separado. El radio de convergencia es $R$. 3. **Tipo 3:** Convergen para todo $x \in \mathbb{R}$. Son absolutamente y uniformemente convergentes en cualquier intervalo cerrado y acotado de $\mathbb{R}$. El radio de convergencia es $R=\infty$. El intervalo donde una serie de potencias converge puntualmente se denomina **intervalo de convergencia**, y la mitad de su longitud (si es finito) es el **radio de convergencia** [58](#page=58). > **Proposición:** Si $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x_p^n$ converge para un $x_p \neq 0$, y $0 < k < |x_p|$, entonces la serie converge absoluta y uniformemente en $[-k, k]$ [57](#page=57). #### 4.3.1 Criterios para el radio de convergencia Los siguientes criterios, basados en el comportamiento de los coeficientes $a_n$, ayudan a determinar el radio de convergencia $R$: * **Criterio de la raíz:** Sea $S = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$. * Si $S \in (0, \infty)$, entonces $R = \frac{1}{S}$. * Si $S = 0$, entonces $R = \infty$. * Si $S = \infty$, entonces $R = 0$. * **Criterio del cociente:** Sea $S = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. * Si $S \in (0, \infty)$, entonces $R = \frac{1}{S}$. * Si $S = 0$, entonces $R = \infty$. * Si $S = \infty$, entonces $R = 0$. > **Tip:** La elección del criterio más adecuado depende de la forma de los coeficientes $a_n$. > **Ejemplo:** Para la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|} = 0$. Por el criterio de la raíz, $S=0$, lo que implica $R=\infty$. La serie converge en todo $\mathbb{R}$ [58](#page=58). > **Ejemplo:** Para la serie $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(x-2)^n$, $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{n+2}{n+1}\right| = 1$. Por el criterio del cociente, $S=1$, lo que implica $R=1$. El intervalo de convergencia es $|x-2| < 1$, es decir, $(1, 3)$ [60](#page=60). La función suma de una serie de potencias es continua en el interior de su intervalo de convergencia, ya que la convergencia allí es uniforme [59](#page=59). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Axioma del supremo | El axioma que establece que todo subconjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo (la menor de sus cotas superiores). Es una propiedad fundamental que distingue a los números reales de los racionales. | | Convergencia puntual | Un tipo de convergencia para sucesiones de funciones donde, para cada punto específico en el dominio, la sucesión numérica de los valores de las funciones en ese punto converge a un límite. | | Convergencia uniforme | Un tipo de convergencia más estricto para sucesiones de funciones donde la sucesión converge a la función límite de manera que la diferencia máxima entre cualquier término de la sucesión y la función límite se acerca a cero uniformemente en todo el dominio. | | Cota superior | Un número real `c` es una cota superior para un conjunto `A` si todos los elementos `a` en `A` son menores o iguales que `c` (`a ≤ c` para todo `a ∈ A`). | | Cota inferior | Un número real `c` es una cota inferior para un conjunto `A` si todos los elementos `a` en `A` son mayores o iguales que `c` (`a ≥ c` para todo `a ∈ A`). | | Divergente | Una sucesión o serie se dice divergente si no converge a un límite finito o si su suma infinita no está definida. | | Dominio | El conjunto de todos los valores de entrada posibles para una función. En el contexto de funciones de una variable real, es un subconjunto de los números reales. | | Función continua | Una función `f` es continua en un punto `a` si el límite de `f(x)` cuando `x` se aproxima a `a` es igual a `f(a)`, y además `f(a)` está definido. | | Intervalo abierto | Un conjunto de números reales de la forma `(a, b)` que incluye todos los números entre `a` y `b`, pero no incluye `a` ni `b`. | | Intervalo cerrado | Un conjunto de números reales de la forma `[a, b]` que incluye todos los números entre `a` y `b`, así como `a` y `b`. | | Indeterminación | Una expresión matemática que surge al calcular límites y que no puede resolverse directamente, requiriendo técnicas adicionales para determinar el valor del límite. Ejemplos comunes incluyen `0/0`, `∞/∞`, `∞ - ∞`. | | Límite de una función en un punto | El valor al que se aproximan los valores de una función a medida que la entrada se aproxima a un punto específico, sin necesidad de que la función esté definida en ese punto. | | Límite de una sucesión | El valor al que los términos de una sucesión se aproximan a medida que el índice de la sucesión tiende a infinito. | | Monótona | Una sucesión ` {an} ` es monótona si es creciente ( `an ≤ an+1` para todo `n`) o decreciente ( `an ≥ an+1` para todo `n`). | | Número irracional | Un número real que no puede ser expresado como una fracción de dos enteros (`p/q`, donde `p` y `q` son enteros y `q ≠ 0`). Ejemplos incluyen `√2` y `π`. | | Número racional | Un número que puede ser expresado como una fracción de dos enteros (`p/q`, donde `p` y `q` son enteros y `q ≠ 0`). | | Radio de convergencia | Para una serie de potencias, es la mitad del diámetro del intervalo de convergencia. Define el rango de valores para los cuales la serie converge. | | Recta real ampliada | La recta real `R` aumentada con los elementos `−∞` y `+∞`, lo que permite trabajar con límites infinitos de manera más formal. | | Serie de potencias | Una serie de la forma `∑ an(x - x0)ⁿ`, donde `x0` es el centro, `an` son coeficientes constantes y la suma se extiende infinitamente. | | Serie geométrica | Una serie donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada razón. Se expresa como `∑ arⁿ`. | | Serie numérica | Una suma infinita de números reales, de la forma `∑ an`. | | Sucesión de sumas parciales | Para una serie `∑ an`, es la sucesión `sn` donde `sn` es la suma de los primeros `n` términos de la serie. | | Sucesión funcional | Una sucesión cuyos términos son funciones, ` {fn(x)} `. | | Supremo | El supremo de un conjunto no vacío `A` de números reales, denotado `sup A`, es la menor de todas las cotas superiores de `A`. | | Teorema de Bolzano | Si una función `f` es continua en un intervalo cerrado `[a, b]` y `f(a)` y `f(b)` tienen signos opuestos, entonces existe al menos un cero de la función en el intervalo `(a, b)`. | | Valor absoluto | La distancia de un número real a cero en la recta real. Se denota por `|x|`. |