SGDMat_05_G.pdf

# Elektrische geleiding in vaste stoffen Dit onderwerp verklaart de basisprincipes van elektrische geleiding in vaste stoffen door middel van energieniveaus en energiebanden, en classificeert materialen als geleiders, isolatoren en halfgeleiders, waarbij ook de wet van Ohm en de rol van resistiviteit en geleidbaarheid worden behandeld [4](#page=4). ### 1.1 Energieniveaus en energiebanden In vaste stoffen interageren atomen met elkaar en ervaren ze elkaars elektronen. Het uitsluitingsprincipe van Pauli is hierbij relevant. Wanneer atomen samenkomen in een vaste stof, versmelten hun individuele energieniveaus tot brede energiebanden. Deze banden kunnen volledig of gedeeltelijk gevuld zijn met elektronen [5](#page=5) [6](#page=6). De Fermi-energie is gedefinieerd als de hoogste bezette energietoestand bij een temperatuur van absolute nul (0 Kelvin). De manier waarop de energiebanden zijn gevuld en gescheiden, bepaalt de elektrische eigenschappen van een materiaal [7](#page=7). ### 1.2 Elektrische geleiding Elektrische geleiding treedt op wanneer een materiaal in een elektrisch veld wordt geplaatst. De elektronen in het materiaal ondervinden dan een kracht, waardoor ze kunnen bewegen. In materialen waar relatief weinig energie nodig is om elektronen naar hogere energieniveaus te exciteren, kan een elektrische stroom ontstaan. Naast elektrische velden kan ook warmte-energie elektronen exciteren [8](#page=8) [9](#page=9). ### 1.3 Classificatie van materialen Op basis van hun energiebandstructuur en het gemak waarmee elektronen kunnen bewegen, worden materialen ingedeeld in drie categorieën: * **Geleiders:** In geleiders zijn de valentieband en de geleidingsband overlappend of de geleidingsband is slechts gedeeltelijk gevuld. Dit maakt het voor elektronen zeer gemakkelijk om te bewegen onder invloed van een extern elektrisch veld, wat resulteert in een elektrische stroom [9](#page=9). * **Isolatoren:** Bij isolatoren is er een grote energieafstand (bandgap) tussen de volledig gevulde valentieband en de lege geleidingsband. Er is aanzienlijke energie nodig om elektronen van de valentieband naar de geleidingsband te brengen, waardoor er nauwelijks elektrische stroom loopt [9](#page=9). * **Halfgeleiders:** Halfgeleiders hebben een middelgrote bandgap. Bij kamertemperatuur of door toevoeging van energie (bijvoorbeeld warmte of licht) kunnen enkele elektronen de geleidingsband bereiken, waardoor er enige geleiding optreedt [9](#page=9). ### 1.4 Wet van Ohm, resistiviteit en geleidbaarheid De relatie tussen spanning ($V$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrische geleider wordt beschreven door de **wet van Ohm**: $V = IR$ [10](#page=10). De weerstand ($R$) van een geleider hangt af van verschillende factoren: * De lengte ($L$) van de geleider: weerstand stijgt met toenemende lengte [10](#page=10). * Het oppervlak ($A$) van de dwarsdoorsnede: weerstand daalt met toenemende oppervlakte [10](#page=10). * Het materiaal waaruit de geleider is gemaakt [10](#page=10). Deze materiaaleigenschap wordt uitgedrukt door middel van de **resistiviteit** ($\rho_e$), ook wel soortelijke weerstand genoemd, en de **geleidbaarheid** ($\sigma_e$), ook wel soortelijke geleidbaarheid genoemd. De weerstand kan worden uitgedrukt als: $$R = \rho_e \frac{L}{A}$$ [10](#page=10). of $$R = \frac{L}{A \sigma_e}$$ [10](#page=10). Geleidbaarheid ($\sigma_e$) is het omgekeerde van resistiviteit ($\rho_e$): $\sigma_e = \frac{1}{\rho_e}$. Een lage resistiviteit betekent een hoge geleidbaarheid, en vice versa [10](#page=10). Hieronder een tabel met typische resistiviteitswaarden voor verschillende materialen [11](#page=11): | Materiaal | Resistiviteit, $\rho_e$ (Ω·m) bij 20 °C | Materiaal | Resistiviteit, $\rho_e$ (Ω·m) bij 20 °C | | :-------------------------- | :------------------------------------ | :-------------------------------------------------- | :------------------------------------ | | Zilver | 1.59 × 10⁻⁸ | Grafiet (// met de grafietvlakken) | 2.5 × 10⁻⁶ - 5 × 10⁻⁶ | | Koper | 1.68 × 10⁻⁸ | GaAs | 10⁻³ - 10⁸ | | Goud | 2.44 × 10⁻⁸ | Grafiet (⊥ met de grafietvlakken) | 3 × 10⁻³ | | Aluminium | 2.65 × 10⁻⁸ | Germanium | 4.6 × 10⁻¹ | | Wolfraam | 5.60 × 10⁻⁸ | Silicium | 2.3 × 10³ | | Zink | 5.90 × 10⁻⁸ | Diamant | 10¹² | | Kobalt | 6.24 × 10⁻⁸ | Aluminium oxide | > 10¹³ | | Nikkel | 6.99 × 10⁻⁸ | Porselein | 10¹⁰ - 10¹² | | Lithium | 9.28 × 10⁻⁸ | Vensterglas | 10¹⁰ - 10¹¹ | | IJzer | 9.70 × 10⁻⁸ | Kwartsglas | 7.5 × 10¹⁷ | | Platina | 1.06 × 10⁻⁷ | Beton | 10⁹ | | Tin | 1.09 × 10⁻⁷ | Hout (gedroogd) | 10¹⁴ to 10¹⁶ | | Staal | 1.43 × 10⁻⁷ | Polystyreen | >10¹⁴ | . | Lood | 2.20 × 10⁻⁷ | Polyethyleen | 10¹⁵ - 10¹⁷ | | Titanium | 4.20 × 10⁻⁷ | Polyamide 6-6 | 10¹² - 10¹³ | | Roestvast staal | 6.90 × 10⁻⁷ | Hard rubber | 10¹³ | . | Kwik | 9.80 × 10⁻⁷ | PET | 10²¹ | | Mangaan | 1.44 × 10⁻⁶ | PTFE (Teflon) | 10²³ to 10²⁵ | #### 1.4.1 Oefening voorbeeld Bereken de weerstand van een aluminium draad met een diameter van 5,00 millimeter en een lengte van 5,00 meter. Bereken ook de stroom die doorheen de draad zou stromen als het spanningsverschil 0,0400 V is. De elektrische soortelijke geleidbaarheid voor aluminium is 3,80 × 10⁷ (Ω·m)^-1 [13](#page=13). Gegeven: * Diameter $d$ = 5,00 mm = 5,00 × 10⁻³ m * Straal $r$ = $d/2$ = 2,50 mm = 2,50 × 10⁻³ m * Lengte $L$ = 5,00 m * Spanning $V$ = 0,0400 V * Geleidbaarheid $\sigma_e$ = 3,80 × 10⁷ (Ω·m)^-1 Eerst berekenen we de oppervlakte van de dwarsdoorsnede: $$A = \pi r^2 = \pi (2,50 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = \pi (6,25 \times 10^{-6} \text{ m}^2) \approx 1,96 \times 10^{-5} \text{ m}^2$$ Vervolgens berekenen we de weerstand met de formule $R = \frac{L}{A \sigma_e}$: $$R = \frac{5,00 \text{ m}}{(1,96 \times 10^{-5} \text{ m}^2) \times (3,80 \times 10^7 \text{ (Ω·m)}^{-1})}$$ $$R = \frac{5,00}{7,45} \Omega \approx 0,671 \Omega$$ Nu berekenen we de stroom met de wet van Ohm $I = \frac{V}{R}$: $$I = \frac{0,0400 \text{ V}}{0,671 \Omega} \approx 0,0596 \text{ A}$$ **Resultaat:** De weerstand van de aluminium draad is ongeveer 0,671 Ω en de stroom die erdoorheen zou lopen bij een spanning van 0,0400 V is ongeveer 0,0596 A [13](#page=13). ### 1.5 Supergeleiders Supergeleiders zijn materialen waarbij de elektrische weerstand opvalt tot nul daalt bij zeer lage temperaturen. Dit fenomeen opent deuren naar diverse technologische toepassingen [19](#page=19) [20](#page=20). ### 1.6 Contextuele voorbeelden Een veelvoorkomende reflectievraag betreft waarom vogels veilig op hoogspanningskabels kunnen zitten zonder een elektrische schok te krijgen, ondanks de duizenden volts die erdoorheen lopen. Dit komt doordat de vogel een relatief hoge weerstand heeft en de stroom die erdoorheen loopt verwaarloosbaar is, omdat er geen significant spanningsverschil over de vogel ontstaat. De stroom zoekt namelijk de weg van de minste weerstand, wat de kabel is [31](#page=31). --- # Halfgeleiders en hun eigenschappen Dit deel behandelt de fundamentele eigenschappen van halfgeleidermaterialen, inclusief intrinsieke en extrinsieke halfgeleiders, ladingsdragers en het proces van doteren. ### 2.1 Intrinsieke halfgeleiders Intrinsieke halfgeleiders zijn zuivere halfgeleidermaterialen zonder toegevoegde onzuiverheden. Kenmerkend voor deze materialen is de beperkte band gap. Wanneer een elektron in een intrinsieke halfgeleider wordt geëxciteerd, wordt het mobiel en laat het een lege plaats achter in de valentieband. Deze lege plaats gedraagt zich als een positieve lading en wordt een 'gat' genoemd. In een intrinsieke halfgeleider is het aantal mobiele elektronen (n) gelijk aan het aantal gaten (p), dus $n=p$. De geleidbaarheid van intrinsieke halfgeleiders is sterk temperatuursafhankelijk. Voorbeelden van intrinsieke halfgeleiders zijn silicium (Si), germanium (Ge) en galliumarsenide (GaAs) [14](#page=14). ### 2.2 Extrinsieke halfgeleiders: doteren Extrinsieke halfgeleiders worden gecreëerd door een proces genaamd doteren, waarbij een kleine hoeveelheid onzuiverheden wordt toegevoegd aan een zuiver halfgeleidermateriaal om het aantal ladingsdragers te verhogen en de elektrische eigenschappen te beïnvloeden [15](#page=15). #### 2.2.1 n-dopering Bij n-dopering worden atomen met meer valentie-elektronen dan het halfgeleidermateriaal zelf, toegevoegd. Een veelvoorkomend voorbeeld is het doteren van silicium met fosfor (P). Fosfor heeft vijf valentie-elektronen, terwijl silicium er vier heeft. Vier van de valentie-elektronen van fosfor vormen bindingen met de siliciumatomen, terwijl het vijfde elektron zwak gebonden is en gemakkelijk kan worden vrijgemaakt om een mobiel elektron te worden. Deze extra mobiele elektronen dragen de negatieve lading, vandaar de term 'n-doping' (negatief). De atomen die het extra elektron leveren, worden donor-atomen genoemd. Deze extra valentie-elektronen bevinden zich in een hogere energietoestand die zich tussen de valentieband en de conductieband bevindt [15](#page=15). #### 2.2.2 p-dopering Bij p-dopering worden atomen met minder valentie-elektronen dan het halfgeleidermateriaal zelf, toegevoegd. Voorbeelden hiervan zijn boor (B) of aluminium (Al) bij het doteren van silicium. Deze atomen hebben slechts drie valentie-elektronen, wat betekent dat er een tekort is aan één elektron om volledige bindingen te vormen met de omringende siliciumatomen. Dit tekort creëert een 'gat', dat zich gedraagt als een positieve ladingsdrager. Deze gaten kunnen zich door het materiaal verplaatsen doordat naburige elektronen naar het gat springen. De atomen die het gat creëren, worden acceptor-atomen genoemd. De gaten bevinden zich in een lager energieniveau dat zich tussen de valentieband en de conductieband bevindt. Hierdoor is er minder energie nodig om elektronen naar dit niveau te exciteren, waardoor gaten effectief worden gecreëerd [16](#page=16). ### 2.3 Toepassingen De specifieke eigenschappen van intrinsieke en extrinsieke halfgeleiders maken ze essentieel voor een breed scala aan elektronische toepassingen. Door het gecontroleerd doteren van halfgeleidermaterialen kunnen fabrikanten de geleidbaarheid en andere elektrische kenmerken aanpassen, wat de basis vormt voor componenten zoals diodes, transistors en geïntegreerde schakelingen die de kern vormen van moderne elektronica [17](#page=17). --- # Thermische geleiding in materialen Dit hoofdstuk verkent de mechanismen achter thermische geleiding en de bijbehorende warmtegeleidingscoëfficiënten van diverse materialen [21](#page=21). ### 3.1 Principes van thermische geleiding Thermische geleiding is het proces waarbij warmte stroomt van een warmere naar een koudere zone binnen een materiaal of tussen materialen die in contact staan, als gevolg van een temperatuurverschil. Er zijn twee primaire mechanismen die bijdragen aan dit proces: de beweging van elektronen en de trillingen van atomen (fononen). De warmtegeleidingscoëfficiënt, aangeduid met $\lambda$, is een materiaaleigenschap die kwantificeert hoe goed een materiaal warmte geleidt. De eenheid hiervan is Watt per meter-Kelvin (W/(m·K)) [23](#page=23) [29](#page=29). ### 3.2 Warmtegeleiding door elektronenbeweging In materialen die goed elektriciteit geleiden, zoals metalen, draagt de beweging van vrije elektronen significant bij aan thermische geleiding. Wanneer warmte wordt toegevoerd, worden de elektronen geëxciteerd en verkrijgen ze kinetische energie. Deze energierijke elektronen bewegen zich door het materiaal, zelfs met snelheden die vergelijkbaar zijn met de lichtsnelheid. Bij botsingen met de atoomroosters geven ze hun energie af, waardoor de temperatuur van het koudere deel van het materiaal toeneemt [24](#page=24) [25](#page=25). Er bestaat een verband tussen de thermische en elektrische geleidbaarheid van materialen, dat beschreven kan worden met de Lorentz-constante ($L_0$), die een waarde heeft van $2.44 \times 10^{-8} \Omega W/K^2$. De relatie wordt weergegeven door de formule [25](#page=25): $$L_0 = \frac{\lambda_{elektronisch}}{\sigma T}$$ waarbij $\lambda_{elektronisch}$ de bijdrage van elektronen aan de thermische geleiding is, $\sigma$ de elektrische geleidbaarheid en $T$ de temperatuur. Een andere gerelateerde formule voor de warmtegeleidingscoëfficiënt door elektronen is [25](#page=25): $$ \lambda_{elektronisch} = \frac{1}{3} c_v v_f \ell $$ waarbij $c_v$ de soortelijke warmte van de elektronen is, $v_f$ de Fermi-snelheid en $\ell$ de gemiddelde vrije weglengte van de elektronen [25](#page=25). ### 3.3 Warmtegeleiding door atoomtrillingen (fononen) In alle materialen, en met name in isolatoren waar vrije elektronen afwezig zijn, vindt warmtegeleiding plaats via trillingen van het atoomrooster. Bij hogere temperaturen bewegen de atomen in het rooster continu heen en weer rond hun evenwichtsstand. Een trillend atoom oefent een kracht uit op naburige atomen, waardoor deze ook gaan trillen en de trilling zich door het materiaal voortplant. Dit proces wordt voorgesteld als de beweging van 'fononen', wat deeltjesequivalenten zijn van deze trillingsgolven [26](#page=26) [27](#page=27) [28](#page=28). De snelheid waarmee deze trillingen zich voortplanten, is vergelijkbaar met de geluidssnelheid in een vaste stof. Factoren die de snelheid van deze voortplanting beïnvloeden, zijn de stijfheid van de atoombindingen (stijvere bindingen leiden tot snellere voortplanting) en het atoomgewicht (zwaardere atomen leiden tot tragere voortplanting). De geluidssnelheid $c_0$ in een materiaal kan geschat worden met de volgende formule [27](#page=27): $$c_0 = \sqrt{\frac{E}{\rho} \frac{1-\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}}$$ waarbij $E$ de Young's modulus, $\rho$ de dichtheid en $\nu$ de Poisson-verhouding van het materiaal zijn [28](#page=28). > **Tip:** Fononen zijn kwantummechanische concepten die de discrete energiepakketjes van rooster vibraties vertegenwoordigen. Ze gedragen zich als deeltjes en spelen een cruciale rol in de thermische eigenschappen van vaste stoffen. Enkele voorbeelden van geluidssnelheden in verschillende materialen zijn: * IJzer: $5900 \, \text{m/s}$ [28](#page=28). * Aluminium: $6300 \, \text{m/s}$ [28](#page=28). * Diamant: $12900 \, \text{m/s}$ [28](#page=28). * Lucht (bij $20^\circ \text{C}$): $343 \, \text{m/s}$ [28](#page=28). ### 3.4 Warmtegeleidingscoëfficiënten van diverse materialen De warmtegeleidingscoëfficiënt ($\lambda$) varieert aanzienlijk tussen verschillende materialen, wat hun uiteenlopende toepassingen bepaalt. Over het algemeen hebben metalen hoge waarden voor $\lambda$, wat aangeeft dat ze uitstekende warmtegeleiders zijn [29](#page=29). Tabel met warmtegeleidingscoëfficiënten $\lambda$ in W/(m·K) (bij $293 \, \text{K}$): | Stof | $\lambda$ (W/(m·K)) | Stof | $\lambda$ (W/(m·K)) | | :------------------- | :------------------ | :------------------------ | :------------------ | | Zilver | 417 | Hout | 0.1 - 0.5 | | Koper | 390 | Papier | 0.18 | | Goud | 317 | Polyetheen (PE) | 0.23 - 0.29 | | Aluminium | 237 | Polyamide 6-6 (Nylon) | 0.23 - 0.25 | | Messing | 122 | Lucht | 0.024 | | IJzer | 79 | Water | 0.6 | | Staal | 50 | IJs (bij $269 \, \text{K}$) | 2.1 | | Roestvast staal | 16 - 27 | Schuimbeton | 0.09 | | Diamant | 900 - 2320 | Polystyreenschuim (EPS) | 0.035 | | Grafiet | 160 | Minerale wol | 0.04 | | Glas | 0.8 - 0.9 | Polyurethaanschuim | 0.03 | | Beton | 0.2 - 20 | Aerogel | ca. 0.017 | > **Voorbeeld:** Diamant heeft een uitzonderlijk hoge warmtegeleidingscoëfficiënt (tot wel $2320 \, \text{W/(m·K)}$) wat het een ideaal materiaal maakt voor toepassingen waar efficiënte warmteafvoer cruciaal is, zoals in koellichamen voor elektronica. Lucht daarentegen heeft een zeer lage waarde ($0.024 \, \text{W/(m·K)}$) wat het een effectief isolatiemateriaal maakt [29](#page=29). De selectie van een materiaal voor een specifieke toepassing hangt sterk af van zijn warmtegeleidingscoëfficiënt. Materialen met hoge $\lambda$ worden gebruikt voor warmtegeleidende toepassingen, terwijl materialen met lage $\lambda$ worden ingezet voor thermische isolatie [29](#page=29) [30](#page=30). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Energiebanden | Structuren van energieniveaus in vaste stoffen die de beweging van elektronen bepalen en onderscheiden tussen geleiders, isolatoren en halfgeleiders. | | Geleiders | Materialen met een lage elektrische weerstand, waarin elektronen gemakkelijk kunnen bewegen en een elektrische stroom kunnen geleiden. | | Isolatoren | Materialen met een zeer hoge elektrische weerstand, waarin elektronen slechts met grote moeite kunnen bewegen, waardoor ze elektriciteit slecht geleiden. | | Halfgeleiders | Materialen waarvan de elektrische geleidbaarheid ligt tussen die van geleiders en isolatoren, en die beïnvloed kan worden door temperatuur en dotering. | | Soortelijke weerstand (resistiviteit) | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe sterk een materiaal zich verzet tegen elektrische stroom. Een hoge resistiviteit betekent een slechte geleider. | | Soortelijke geleidbaarheid (conductiviteit) | De inverse van de soortelijke weerstand; een maat voor hoe goed een materiaal elektrische stroom geleidt. Een hoge conductiviteit betekent een goede geleider. | | Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektrotechniek die het verband beschrijft tussen spanning ($V$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrische schakeling, uitgedrukt als $V = I \cdot R$. | | Fermi-energie | De hoogste energie die een elektron kan bezitten bij absolute nul temperatuur ($0$ K) in een vast materiaal. | | Intrinsieke halfgeleider | Een halfgeleider die puur is en geen onzuiverheden bevat; het aantal vrije elektronen en gaten is gelijk en wordt bepaald door de temperatuur. | | Extrinsieke halfgeleider | Een halfgeleider die is gedoteerd met specifieke onzuiverheden om het aantal ladingsdragers (elektronen of gaten) te verhogen, waardoor de geleidbaarheid wordt aangepast. | | n-dopering | Het proces van het toevoegen van atomen met meer valentie-elektronen dan het basismateriaal (bijvoorbeeld fosfor in silicium), wat resulteert in een overschot aan vrije elektronen als ladingsdragers. | | p-dopering | Het proces van het toevoegen van atomen met minder valentie-elektronen dan het basismateriaal (bijvoorbeeld borium in silicium), wat resulteert in een overschot aan gaten (positieve ladingsdragers). | | Thermische geleiding | Het proces waarbij warmte wordt overgedragen door directe interactie tussen deeltjes, zoals atomen en elektronen, in een materiaal. | | Fononen | Kwanta van rooster trillingen, die zich gedragen als deeltjes en verantwoordelijk zijn voor de warmteoverdracht in veel vaste stoffen via trillingsvoortplanting. | | Warmtegeleidingscoëfficiënt ($\lambda$) | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal warmte geleidt; een hoge coëfficiënt betekent een goede warmtegeleider. |