Electrical Engineering Telecommunications

# Basisbegrippen van wisselspanning en -stroom Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van wisselspanning en wisselstroom, inclusief hun tijdsverloop, periode, frequentie, gemiddelde en effectieve waarden. ### 1.1 Wisselstroom Een wisselstroom is een elektrische stroom waarvan de richting van de stroomzin niet constant is, maar afwisselend verandert. Om de actuele stroomzin op een bepaald moment duidelijk te maken, wordt een referentiezin gedefinieerd. Als de werkelijke stroom in de richting van de referentiepijl vloeit, wordt de stroomwaarde als positief beschouwd; anders, als de stroom tegengesteld stroomt, wordt de waarde negatief [12](#page=12). Het tijdsverloop van een wisselstroom wordt weergegeven in een grafiek die de stroomsterkte en polariteit over tijd toont. De snijpunten met de tijdas worden nulpunten genoemd, momenten waarop de stroomwaarde nul is. Delen van de grafiek boven de tijdas duiden op een positieve stroomzin (in de richting van de referentiepijl), terwijl delen eronder een negatieve stroomzin (tegengesteld aan de referentiepijl) aangeven [12](#page=12). Verschillende standaardvormen van wisselstromen bestaan, zoals blokgolven, driehoekgolven, zaagtandgolven en sinusgolven, die herkenbare patronen in hun tijdsverloop vertonen. Wanneer er geen herhalend patroon is, spreekt men van een willekeurig veranderlijke stroom [13](#page=13). #### 1.1.1 Ogenblikkelijke waarde van de stroom i(t) De waarde van een wisselstroom op een specifiek moment wordt de ogenblikkelijke waarde genoemd en wordt aangeduid met $i(t)$ of kortweg $i$. Kleine letters in de notatie duiden op een veranderlijke waarde, terwijl hoofdletters duiden op een constante waarde [14](#page=14). > **Voorbeeld:** > In een grafiek worden specifieke ogenblikkelijke spanningswaarden weergegeven, bijvoorbeeld op tijdstippen $t=1\text{s}$ met $u = +3\text{V}$, op $t=2.5\text{s}$ met $u(2.5) = 0\text{V}$, en op $t=2.5\text{s}$ met $u(2.5) = -6\text{V}$ [15](#page=15) [1](#page=1). ### 1.2 Wisselspanning Wisselspanningen zijn spanningen die wisselstromen opwekken, waarbij de polariteit van de klemmen afwisselend omkeert. Net als bij wisselstroom is de definitie van een referentiepolariteit (spanningspijl) essentieel om de werkelijke polariteit op elk moment te kunnen specificeren. Een positieve spanning wordt geregistreerd wanneer de werkelijke polariteit overeenkomt met de referentiezin, en een negatieve waarde wanneer deze tegengesteld is [13](#page=13). Het tijdsverloop van een wisselspanning toont de grootte en polariteit van de spanning over tijd. Delen van de grafiek boven de tijdas duiden op een positieve spanning, terwijl delen eronder een negatieve spanning aangeven. De interpretatie van het tijdsverloop is enkel eenduidig wanneer een spanningspijl is gedefinieerd [14](#page=14). > **Tip:** > Een handige manier om een spanningsverloop voor te stellen, is door de klem waar de referentiepijl vertrekt als massa (0V) te beschouwen. De evolutie van de potentiaal van de andere klem wordt dan weergegeven door het tijdsverloop [14](#page=14). #### 1.2.1 Ogenblikkelijke waarde van de spanning u(t) De waarde van een wisselspanning op een specifiek moment wordt de ogenblikkelijke waarde genoemd en wordt aangeduid met $u(t)$ of kortweg $u$. Kleine letters in de notatie duiden op een veranderlijke waarde [14](#page=14). ### 1.3 Periode T[s Een spanning of stroom wordt als periodiek beschouwd als er een herkenbaar patroon in het tijdsverloop steeds terugkomt. Het kleinste herhalende segment wordt een periode genoemd. De tijd die nodig is om één periode te doorlopen, is de periodetijd, aangeduid met $T$ en gemeten in seconden [15](#page=15). > **Voorbeeld:** > In een grafiek van een wisselspanning is de periodetijd $T = 4.5\text{s}$ af te leiden uit het herhalende patroon [15](#page=15). Wanneer er geen herhalend patroon is, spreekt men van een willekeurig verlopende of aperiodieke wisselspanning of -stroom [16](#page=16). ### 1.4 Frequentie f[Hz De frequentie ($f$) van een wisselspanning of -stroom is het aantal perioden dat binnen één seconde plaatsvindt en wordt uitgedrukt in Hertz (Hz = 1/s). De relatie tussen frequentie en periodetijd is [16](#page=16): $$f = \frac{1}{T}$$ [16](#page=16). > **Voorbeeld:** > Als een periode $T = 10\text{ms}$ (of $0.01\text{s}$) duurt, dan is de frequentie $f = \frac{1}{0.01\text{s}} = 100\text{Hz}$. Dit betekent dat er 100 perioden van 10ms in één seconde plaatsvinden [16](#page=16). Praktische frequenties variëren, zoals 50 Hz of 60 Hz voor het wisselspanningsnet, 16 2/3 Hz en 25 Hz voor spoorwegen, 20 Hz tot 20 kHz voor geluidsweergave, en 100 kHz tot 10 GHz voor hoogfrequenttechniek [16](#page=16). ### 1.5 Gemiddelde stroom I$_g$[A De gemiddelde waarde van een wisselstroom ($I_g$) vertegenwoordigt de netto lading die per periode wordt verplaatst. Als evenveel lading in beide richtingen stroomt, is de gemiddelde waarde nul, wat duidt op geen netto verplaatsing van lading [16](#page=16). > **Voorbeeld:** > Bij een symmetrische zaagtandspanning stroomt in één periode evenveel lading heen ($Q+$) als terug ($Q-$), waardoor de gemiddelde stroom $I_g = 0$ is [16](#page=16). Bij een niet-symmetrische wisselstroom is er een netto ladingsverplaatsing per periode. De gemiddelde stroom is dan de netto lading ($Q_g$) gedeeld door de periode ($T$) [17](#page=17). $$I_g = \frac{Q_g}{T} = \frac{Q_+ - Q_-}{T}$$ [17](#page=17). De intrinsieke betekenis van de gemiddelde stroomwaarde is de waarde van een constante gelijkstroom die in dezelfde tijd evenveel netto lading zou verplaatsen als de wisselstroom. Grafisch kan de gemiddelde waarde bepaald worden door een horizontale lijn te zoeken die de oppervlakte boven de lijn gelijk maakt aan de oppervlakte eronder binnen één periode [17](#page=17) [18](#page=18). ### 1.6 Gemiddelde spanning U$_g$[V De gemiddelde waarde van een wisselspanning ($U_g$) heeft minder een directe, inzichtelijke betekenis dan de gemiddelde stroom en wordt meer als een wiskundig begrip beschouwd. De berekeningsmethode is echter analoog aan die voor de gemiddelde stroom [18](#page=18). ### 1.7 Stroom- en spanningssoorten Spanningen en stromen kunnen worden ingedeeld op basis van hun tijdsverloop [18](#page=18): * **Zuivere gelijkstroom en -spanning:** Constant in waarde en polariteit. De ogenblikkelijke waarde is gelijk aan de gemiddelde waarde ($i(t) = I = I_g$, $u(t) = U = U_g$) [18](#page=18). * **Veranderlijke gelijkstroom of -spanning:** De waarde verandert, maar de polariteit blijft constant. De gemiddelde waarde kan positief of negatief zijn [18](#page=18). * **Zuivere wisselstroom of -spanning:** De polariteit verandert en de gemiddelde waarde is nul ($I_g = 0$, $U_g = 0$). De oppervlakten boven en onder de tijdas zijn per periode gelijk [19](#page=19). * **Onzuivere wisselstroom of -spanning:** De polariteit verandert en de gemiddelde waarde is niet nul. De gemiddelde waarde kan positief of negatief zijn [19](#page=19). Deze stroomsoorten worden vaak veroorzaakt door overeenkomstige spanningssoorten [19](#page=19). ### 1.8 Topwaarde U$_t$[V, top-top waarde U$_{tt}$[V en amplitude U$_m$[V De maximale waarde of topwaarde van een veranderlijke stroom of spanning is de uiterste waarde die bereikt wordt. Deze worden aangeduid als $U_{t+}$ en $U_{t-}$ (of $I_{t+}$ en $I_{t-}$) voor de positieve en negatieve maximale waarden. Het verschil tussen de maximale en minimale waarde is de top-top waarde, $U_{tt}$ of $U_{pp}$ [19](#page=19). Bij een zuivere wisselspanning of -stroom zijn de maximale waarden in positieve en negatieve zin gelijk. In dit geval spreekt men van amplitude ($U_m$ en $I_m$) [20](#page=20). ### 1.9 De effectieve waarden U[V en I[A De effectieve waarden van een wisselspanning of -stroom ($U$ en $I$) vertegenwoordigen de waarde van een constante gelijkspanning of -stroom die in dezelfde weerstand hetzelfde gemiddelde vermogen ontwikkelt. Deze waarden zijn essentieel voor het gebruik van eenvoudige vermogensformules zoals $P = U \cdot I = \frac{U^2}{R} = I^2 \cdot R$. Topwaarden of gemiddelde waarden zijn hiervoor niet geschikt [20](#page=20). Effectieve waarden zijn in technische zin de belangrijkste parameters, vooral bij energiedistributie, en zijn de waarden waarmee men in de praktijk werkt, bijvoorbeeld 230V wisselspanning. Gewone volt- en ampèremeters geven voor sinusvormige wisselspanningen de effectieve waarde aan. Effectieve waarden worden ook wel RMS-waarden (Root Mean Square) genoemd en worden genoteerd als $U$, $I$, $U_{eff}$, $I_{eff}$, $U_{RMS}$ of $I_{RMS}$ [21](#page=21). --- # Sinusoïdale spanning en stroom Dit hoofdstuk behandelt de specifieke eigenschappen, de vectoriële voorstelling en de berekening van ogenblikkelijke waarden voor sinusvormige wisselspanningen en -stromen [22](#page=22). ### 2.1 Periode, frequentie, alternantie, amplitude en top-topwaarde Zuivere sinusvormige wisselspanningen en -stromen zijn de meest voorkomende en fundamentele in de elektrotechniek. De definities van periode, frequentie en alternantie, zoals besproken in hoofdstuk 1, gelden ook hier [22](#page=22). * **Alternantie:** Het positieve deel van een periode wordt de positieve alternantie genoemd, en het negatieve deel de negatieve alternantie. Beide duren even lang, namelijk een halve periode [22](#page=22). * **Amplitude ($U_m$, $I_m$):** Bij sinusvormige grootheden spreekt men van amplitude in plaats van topwaarde. Dit is altijd een positief getal [22](#page=22). * **Topwaarden:** Vanwege de symmetrie gelden de volgende relaties voor de topwaarden: * $U_{t+} = +U_m$ en $U_{t-} = -U_m$ [22](#page=22). * $I_{t+} = +I_m$ en $I_{t-} = -I_m$ [22](#page=22). * **Top-topwaarde ($U_{tt}$, $I_{tt}$):** De top-topwaarde is het verschil tussen de positieve en negatieve topwaarde: * $U_{tt} = 2 \cdot U_m$ [22](#page=22). * $I_{tt} = 2 \cdot I_m$ [22](#page=22). > **Tip:** De isolatie van apparatuur en leidingen moet berekend worden op basis van de topwaarden ($U_{t+}$ en $U_{t-}$), aangezien dit de maximale spanning is die ze te verduren krijgen [24](#page=24). #### Voorbeeld Een apparaat is aangesloten op een wisselspanning van 230V/50Hz [24](#page=24). * De amplitude van de spanning is $U_m = \sqrt{2} \cdot U = \sqrt{2} \cdot 230\text{V} \approx 325\text{V}$ [24](#page=24). * De positieve en negatieve topwaarden zijn dus $U_{t+} = +325\text{V}$ en $U_{t-} = -325\text{V}$ [24](#page=24). * De periode is $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50\text{Hz}} = 0.02\text{s} = 20\text{ms}$ [24](#page=24). * De top-topwaarde is $U_{tt} = 2 \cdot U_m = 2 \cdot 325\text{V} = 650\text{V}$ [24](#page=24). * De gemiddelde waarde over een halve periode is $U_g = \frac{2}{\pi} \cdot U_m = \frac{2}{\pi} \cdot 325\text{V} \approx 206.9\text{V}$ [24](#page=24). ### 2.2 Effectieve waarde $U$ van een zuivere sinus De effectieve waarde (RMS-waarde) van een spanning of stroom is de meest belangrijke parameter, omdat hiermee het vermogen in een weerstand berekend kan worden. Standaard volt- en ampèremeters geven voor sinusvormige wisselspanningen en -stromen steeds de effectieve waarde weer [23](#page=23). Het verband tussen de effectieve waarde ($U$ of $I$) en de amplitude ($U_m$ of $I_m$) van een sinusvormige spanning of stroom is: $$ U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot U_m $$ [23](#page=23). $$ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot I_m $$ [23](#page=23). Dit betekent dat de amplitude gelijk is aan: $$ U_m = \sqrt{2} \cdot U \approx 1.41 \cdot U $$ [23](#page=23). $$ I_m = \sqrt{2} \cdot I \approx 1.41 \cdot I $$ [23](#page=23). #### Voorbeeld Een stroom heeft een amplitude van 100A [24](#page=24). * De gemiddelde waarde over een halve periode is $I_g = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0.636 \cdot 100\text{A} = 63.6\text{A}$ [24](#page=24). * De effectieve waarde is $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{100\text{A}}{\sqrt{2}} \approx 70.7\text{A}$ [24](#page=24). ### 2.3 Gemiddelde waarde $U_g$ van een zuivere sinus De strikt wiskundige gemiddelde waarde van een zuiver sinusoïdale spanning of stroom over een volledige periode is nul, omdat de oppervlakte van de positieve en negatieve alternantie gelijk zijn. Om deze reden wordt de gemiddelde waarde meestal berekend over een halve periode [23](#page=23). De formule voor de gemiddelde waarde over een halve periode is: $$ U_g = \frac{2}{\pi} \cdot U_m \approx 0.636 \cdot U_m $$ [23](#page=23). $$ I_g = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0.636 \cdot I_m $$ [23](#page=23). ### 2.4 Herhaling: hoeken in graden en radialen In de wetenschap wordt de stand van een straal in een cirkel gemeten als een hoek $\alpha$ ten opzichte van de positieve horizontale as. Deze hoek wordt meestal uitgedrukt in graden of radialen, waarbij radialen de voorkeur genieten in de wetenschap [25](#page=25). De omrekeningsformules zijn: * Van radialen naar graden: $$ \alpha \text{ graden} = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx \alpha \cdot 57.296^\circ $$ [25](#page=25). * Van graden naar radialen: $$ \alpha \text{ radialen} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} \approx \alpha \cdot 0.0175 \text{ rad} $$ [25](#page=25). ### 2.5 Vectoriële voorstelling Het tijdsverloop van een sinusvormige wisselspanning of -stroom kan gevisualiseerd worden met een vector (pijl) die met constante snelheid tegen klokwijzerzin draait. De lengte van de vector is gelijk aan de amplitude ($U_m$ of $I_m$), waardoor de pijlpunt een cirkel beschrijft met die straal. De snelheid waarmee de vector draait, correspondeert met de frequentie van de spanning [25](#page=25). * De vector draait in één periodetijd ($T$) een hoek van $360^\circ$ of $2\pi$ radialen [26](#page=26). * De hoeksnelheid ($\omega$) van een draaiende beweging wordt gegeven door $\omega = 2\pi f$ [rad/s [26](#page=26). * Na een tijd $t$ heeft de vector een hoekstand $\phi_t = \phi_0 + \omega \cdot t$ (in radialen) aangenomen. Meestal wordt de beginhoek $\phi_0 = 0$ rad gekozen [26](#page=26). * Het moment $t$ kan ook aangeduid worden door de fasehoek $\phi_t$, gemeten in elektrische graden [26](#page=26). De constructie van de sinusvorm verloopt als volgt: de doorlopen hoek wordt uitgezet op de horizontale as, en de verticale component van de draaiende vector geeft de ogenblikkelijke waarde weer op de verticale as [26](#page=26). #### Voorbeeld Een spanning heeft een periode $T = 0.01\text{s}$ [26](#page=26). * De frequentie is $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.01\text{s}} = 100\text{Hz}$ [26](#page=26). * De hoeksnelheid is $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 100 = 628.3\text{ rad/s}$ [26](#page=26). * Als $\phi_0 = 0^\circ$, dan is na $t = 2\text{ms}$ de hoekstand $\phi_t = \omega \cdot t = 628\text{ rad/s} \cdot 0.002\text{s} = 1.255\text{ rad}$, wat overeenkomt met $72^\circ$ [26](#page=26). ### 2.6 Belang van de vectoriële voorstelling Het kennen van de frequentie ($f$), amplitude ($U_m$ of $I_m$) en initiële fasehoek ($\phi_0$) is voldoende om de ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale wisselspanning of -stroom op elk moment te berekenen en de sinus te reconstrueren [27](#page=27). Een vereenvoudiging is dat een sinusoïdale wisselspanning of -stroom voorgesteld kan worden door een stilstaande vector onder de hoek die overeenkomt met de initiële fase ($\phi_0$), met een lengte gelijk aan de amplitude. De frequentie wordt erbij genoteerd [27](#page=27). #### Gebruik van de effectieve waarde voor de grootte van de vector Omdat de effectieve waarde in de elektrotechniek belangrijker is, wordt de lengte van de vector vaak gekozen om overeen te komen met de effectieve waarde in plaats van de amplitude. Het verband blijft $U_m = \sqrt{2} \cdot U$ en $I_m = \sqrt{2} \cdot I$ [27](#page=27). #### Voorbeeld Een spanning met amplitude $U_m = 500\text{V}$ en frequentie $f = 25\text{Hz}$, met een initiële fase $\phi_0 = 0^\circ$ [27](#page=27). * Effectieve waarde: $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} = \frac{500\text{V}}{\sqrt{2}} \approx 353.5\text{V}$ [27](#page=27). * Periode: $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{25\text{Hz}} = 0.04\text{s} = 40\text{ms}$ [27](#page=27). * Hoeksnelheid: $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 25\text{Hz} = 157.08\text{ rad/s}$ [27](#page=27). > **Opmerking:** > 1. De netspanning in Europa heeft standaard een frequentie van 50Hz. Indien geen twijfel mogelijk is, wordt de frequentie soms weggelaten en verondersteld als 50Hz [28](#page=28). > 2. Als $\phi_0 = 0^\circ$, start de sinus met een positieve alternantie vanuit de oorsprong [28](#page=28). ### 2.7 Berekenen van de ogenblikkelijke waarde $u_t$ Gegeven de amplitude ($U_m$), frequentie ($f$) en initiële fasehoek ($\phi_0$), kan de ogenblikkelijke waarde van de spanning op elk moment berekend worden [27](#page=27). De fasehoek $\phi_t$ op een willekeurig moment $t$ wordt berekend met de formule (gebruik makend van radialen): $$ \phi_t = \phi_0 + \omega \cdot t = \phi_0 + 2\pi \cdot f \cdot t $$ [29](#page=29). **Let op:** Als $\phi_0$ in graden is gegeven, moet deze eerst naar radialen worden omgezet. Het resultaat $\phi_t$ is ook in radialen [29](#page=29). De ogenblikkelijke waarde $u_t$ is de grootte van de verticale component van de vector met fasehoek $\phi_t$: $$ u_t = U_m \cdot \sin(\phi_t) = U_m \cdot \sin(\phi_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) $$ [29](#page=29). > **Opmerking:** Bij berekeningen is het cruciaal om aandacht te besteden aan of hoeken in graden of radialen zijn gegeven, vooral bij het gebruik van een rekenmachine [29](#page=29). #### Oefening Het tijdsverloop van een spanning is gegeven met $T = 1\text{s}$, $U_m = 10\text{V}$ en $\phi_0 = 0^\circ$ [29](#page=29). * Frequentie: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1\text{s}} = 1\text{Hz}$ [29](#page=29). * Wiskundige uitdrukking: $u = U_m \cdot \sin(\phi_0 + 2\pi f \cdot t) = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t)$ [29](#page=29). Ogenblikkelijke waarden op specifieke tijdstippen: * $u_1$ op $t = 0.15\text{s}$: $u_1 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.15) \approx 8.09\text{V}$ [29](#page=29). * $u_2$ op $t = 0.25\text{s}$: $u_2 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.25) = 10.0\text{V}$ [29](#page=29). * $u_3$ op $t = 0.50\text{s}$: $u_3 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.50) = 0.00\text{V}$ [29](#page=29). * $u_4$ op $t = 0.90\text{s}$: $u_4 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.90) \approx -5.88\text{V}$ [29](#page=29). ### 2.8 Oefeningen (Verwijzing naar de oefeningen in het document.) [30](#page=30). --- # Enkelvoudige AC-kringen en impedantie Dit hoofdstuk introduceert de concepten van impedantie en faseverschuivingen in enkelvoudige AC-kringen, met een focus op de gedragingen van ideale weerstanden, condensatoren en spoelen. ### 3.1 Wisselstroom en impedantie Wanneer een sinusoïdale wisselspanning op een verbruiker wordt aangesloten, zal er een sinusoïdale wisselstroom met dezelfde frequentie in de kring stromen. De tegenstand die de verbruiker aan deze stroom biedt, wordt aangeduid met de term impedantie, genoteerd als $Z$, en heeft als eenheid de Ohm. De impedantie wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de effectieve waarden van spanning ($U$) en stroom ($I$) [31](#page=31): $$Z = \frac{U}{I} [\Omega]$$ [31](#page=31). > **Voorbeeld:** Een TL-lamp opgenomen op 230V met een stroom van 2A heeft een impedantie van $Z = \frac{230V}{2A} = 115\Omega$ [31](#page=31). Het grafische symbool voor impedantie is hetzelfde als dat van een weerstand. Bij het tekenen van kringschema's wordt de conventie gevolgd dat bij bronnen de spanning- en stroomreferentiepijlen in dezelfde zin staan, en bij belastingen in tegengestelde zin [31](#page=31). ### 3.2 Faseverschuiving Naast de grootte van de impedantie is de faseverschuiving ($\phi$) tussen spanning en stroom cruciaal voor een volledige beschrijving van het gedrag van een AC-kring. Een faseverschuiving treedt op wanneer spanning en stroom niet synchroon verlopen. Dit kan grafisch worden weergegeven in een tijdsdiagram (verschoven toppen en nulpunten) of een vectordiagram (hoek tussen spannings- en stroomvector). De faseverschuiving wordt meestal uitgedrukt in elektrische graden [32](#page=32). Om de relatieve aard van "voor- en na-ijlen" te vermijden, wordt de stroomvector als referentie genomen. Een draaiing tegen de klok in (CCW) ten opzichte van de stroomvector naar de spanningsvector is een positieve hoekverdraaiing ($\phi > 0^\circ$), terwijl een draaiing met de klok mee (CW) een negatieve hoekverdraaiing is ($\phi < 0^\circ$) [33](#page=33). ### 3.3 Volledige bepaling van de impedantie De volledige impedantie ($Z^\rightarrow$) omvat zowel de grootte ($Z$) als de faseverschuiving ($\phi$). Deze wordt genoteerd als $Z^\rightarrow = Z \angle \phi^\circ$ [33](#page=33). > **Voorbeeld:** De impedantie van de TL-lamp wordt volledig beschreven als $Z^\rightarrow = 115\Omega \angle +45^\circ$ [33](#page=33). De notatie $Z$ verwijst enkel naar de getalwaarde in Ohm, terwijl $Z^\rightarrow$ de volledige informatie inclusief de faseverschuiving bevat [33](#page=33). ### 3.4 De drie ideale componenten In de elektrotechniek worden drie ideale componenten bestudeerd: de zuivere weerstand, de zuivere condensator en de zuivere spoel. Hoewel deze in de praktijk niet perfect bestaan, is hun studie essentieel [33](#page=33). #### 3.4.1 De zuivere of ideale weerstand Componenten zoals verwarmingsweerstanden en gloeilampen benaderen het gedrag van een ideale weerstand. Bij een zuivere weerstand is de impedantie gelijk aan de weerstandswaarde ($Z = R$) en verloopt de stroom volledig synchroon met de spanning, wat betekent dat de faseverschuiving nul is ($\phi = 0^\circ$). De impedantie is onafhankelijk van de frequentie [34](#page=34). De wet van Ohm is geldig voor zowel effectieve als ogenblikkelijke waarden bij een ideale weerstand [34](#page=34): $$R = \frac{U}{I} [\Omega \quad \text{en} \quad R = \frac{u_R}{i_R}$$ [34](#page=34). De volledige impedantie van een ideale weerstand wordt genoteerd als: $$Z_R = R \angle 0^\circ$$ [41](#page=41). #### 3.4.2 De zuivere of ideale condensator Condensatoren slaan elektrische lading op en geven deze snel weer af. De belangrijkste eigenschap is de capaciteit ($C$), uitgedrukt in Farad (F), hoewel praktijkwaarden vaak in microFarad ($\mu F$) liggen [35](#page=35). De impedantie ($Z_C$) van een ideale condensator, ook wel capacitieve reactantie ($X_C$) genoemd, is frequentieafhankelijk en wordt gegeven door: $$Z_C = X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} [\Omega]$$ [36](#page=36). Hierin is $\omega$ de hoekfrequentie, gelijk aan $2\pi f$. > **Voorbeeld:** Bij een frequentie van 50 Hz en een condensator van 1 $\mu F$, is de impedantie $Z_C = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \cdot 1 \cdot 10^{-6}} \approx 3183\Omega$. Bij 100 Hz halveert de impedantie [36](#page=36). Een hogere frequentie resulteert in een lagere impedantie en dus een grotere stroom, en vice versa [36](#page=36). Bij een ideale condensator loopt de stroom 90° vooruit op de spanning ($\phi = -90^\circ$). Dit komt door het continue laden en ontladen van de condensatorplaten. Het is belangrijk om condensatoren altijd te ontladen voor het werken aan apparatuur, aangezien ze gevaarlijke spanningen kunnen bevatten [37](#page=37). De volledige impedantie van een ideale condensator wordt genoteerd als: $$Z_C^\rightarrow = X_C = \frac{1}{2\pi f C} \angle -90^\circ$$ [41](#page=41). #### 3.4.3 De zuivere of ideale spoel Spoelen wekken een magnetisch veld op wanneer er stroom doorheen loopt, wat essentieel is voor componenten zoals motoren en transformatoren. Energie wordt opgeslagen in dit magnetisch veld. De belangrijkste eigenschap is de zelfinductiecoëfficiënt ($L$), uitgedrukt in Henry (H), hoewel praktijkwaarden vaak in microHenry ($\mu H$) tot milliHenry ($mH$) liggen [38](#page=38). De impedantie ($Z_L$) van een ideale spoel, ook wel inductieve reactantie ($X_L$) genoemd, is frequentieafhankelijk en wordt gegeven door: $$Z_L = X_L = \omega L = 2\pi f L [\Omega]$$ [39](#page=39). > **Voorbeeld:** Voor een spoel van 1 H bij 50 Hz is de impedantie $Z_L = 2\pi \cdot 50 \cdot 1 \approx 314,2\Omega$. Bij 100 Hz verdubbelt de impedantie [39](#page=39). Een hogere frequentie resulteert in een hogere impedantie en dus een kleinere stroom, en vice versa [39](#page=39). Bij een ideale spoel loopt de stroom 90° achter op de spanning ($\phi = +90^\circ$). Dit is het gevolg van het magnetiserend effect van de stroom [40](#page=40). De volledige impedantie van een ideale spoel wordt genoteerd als: $$Z_L = X_L = 2\pi f L \angle +90^\circ$$ [41](#page=41). ### 3.5 Willekeurige verbruiker In de praktijk vertonen belastingen een gedrag dat varieert tussen zuiver ohms, inductief en capacitief. De faseverschuiving ($\phi$) bij een werkelijke belasting ligt meestal tussen -90° en +90° [42](#page=42). * **Inductief gedrag:** Indien de faseverschuiving positief is ($\phi > 0^\circ$), gedraagt de verbruiker zich inductief. De spanning ijlt voor op de stroom. Een zuivere inductantie resulteert in een faseverschuiving van +90° [42](#page=42). * **Capacitief gedrag:** Indien de faseverschuiving negatief is ($\phi < 0^\circ$), gedraagt de verbruiker zich capacitief. De spanning ijlt na op de stroom. Een zuivere capaciteit resulteert in een faseverschuiving van -90° [42](#page=42). Meeste praktische belastingen vertonen een overwegend ohme of inductieve karakteristiek, met faseverschuivingen tussen 0° en 60°. Elektronische apparaten die de netspanning gelijkrichten, vertonen vaak capacitief gedrag [43](#page=43). ### 3.6 Samenvatting ideale componenten | Component | Impedantie | Faseverschuiving ($\phi$) | Notatie Volledige Impedantie | | :-------------- | :---------------------------------------- | :------------------------ | :--------------------------- | | Weerstand ($R$) | $Z = R$ | $0^\circ$ | $Z_R = R \angle 0^\circ$ | | Condensator ($C$) | $Z_C = X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ | $-90^\circ$ | $Z_C = X_C \angle -90^\circ$ | | Spoel ($L$) | $Z_L = X_L = 2\pi f L$ | $+90^\circ$ | $Z_L = X_L \angle +90^\circ$ | Een sinusoïdale spanning veroorzaakt een sinusoïdale stroom van dezelfde frequentie. De sterkte van de stroom hangt af van de grootte van de impedantie. De faseverschuiving is essentieel voor een volledige kennis van de impedantie. Het teken van de faseverschuiving wordt bepaald door de draairichting van de stroomvector naar de spanningsvector: CW is negatief, CCW is positief. De impedantie van een weerstand is frequentie-onafhankelijk, terwijl de reactantie van spoelen en condensatoren wel frequentieafhankelijk is [41](#page=41). --- # Wisselstroomvermogens Dit hoofdstuk introduceert en analyseert de verschillende soorten vermogens in wisselstroomcircuits: actief, reactief en schijnbaar, inclusief de relatie tussen deze vermogens middels de vermogendriehoek en de invloed van de faseverschuiving. ### 4.1 Ogenblikkelijk vermogen Het ogenblikkelijk vermogen $p$ in een wisselstroomcircuit op een bepaald tijdstip is het product van de ogenblikkelijke spanning $u$ en de ogenblikkelijke stroom $i$. Omdat deze waarden voortdurend veranderen, fluctueert ook het ogenblikkelijk vermogen [45](#page=45). $$ p = u \ast i \quad [\text{W}] $$ #### 4.1.1 Vermogenverloop bij een ideale weerstand ($\phi = 0^\circ$) Bij een ideale weerstand zijn spanning en stroom in fase. Het ogenblikkelijk vermogen $p_R$ is het product van de ogenblikkelijke spanning en stroom. De grafische weergave toont aan dat het vermogen steeds positief is, met pulsen die de dubbele frequentie hebben van de spanning en stroom [46](#page=46). * Het vermogen is nul wanneer spanning en stroom nul zijn [46](#page=46). * Het maximale vermogen treedt op wanneer de spanning en stroom maxima bereiken [46](#page=46). * De frequentie van het vermogensverloop is tweemaal de frequentie van spanning en stroom [46](#page=46). #### 4.1.2 Actief of gemiddeld vermogen $P$ Het actief vermogen $P$, ook wel gemiddeld vermogen genoemd, is het constante vermogen dat per periode dezelfde hoeveelheid energie overbrengt. Dit is het vermogen dat doorgaans wordt bedoeld wanneer gesproken wordt over vermogen in wisselstroomcircuits. Voor een ideale weerstand wordt het actief vermogen berekend als de helft van het maximale ogenblikkelijke vermogen, of het product van de effectieve waarden van spanning en stroom [46](#page=46) [47](#page=47). $$ P_R = \frac{P_{R_m}}{2} = \frac{U_{R_m} \ast I_{R_m}}{2} = U_R \ast I_R \quad [\text{W}] $$ $$ P_R = \frac{U_R^2}{R} = I_R^2 \ast R \quad [\text{W}] $$ **Voorbeeld:** Een gloeilamp op netspanning ontvangt pulsvormig vermogen, maar door de nagloeitijd wordt dit uitgevlakt tot een continu lichtvermogen. Bij traditionele TL-lampen is het lichtvermogen echter niet continu en bestaat uit snelle "flitsen" die als continu worden waargenomen, wat echter problemen kan geven bij bepaalde apparatuur [47](#page=47). #### 4.1.3 Vermogenverloop bij een ideale condensator ($\phi = -90^\circ$) Bij een ideale condensator ijlt de spanning $90^\circ$ na op de stroom. Het ogenblikkelijk vermogen $p_C$ wisselt tussen positief en negatief. Positief vermogen duidt op het laden van de condensator, terwijl negatief vermogen duidt op het ontladen en terugleveren van energie aan de bron. Wiskundig gezien heeft het vermogensverloop een dubbele frequentie (#page=48, [48](#page=48) [49](#page=49). Het gemiddelde vermogen $P_C$ van een ideale condensator is nul, omdat de opgeslagen energie volledig wordt teruggegeven aan de bron tijdens de volgende halve periode [49](#page=49). $$ P_C = 0 \, \text{W} $$ #### 4.1.4 Vermogenverloop bij een ideale spoel ($\phi = +90^\circ$) Bij een ideale spoel ijlt de spanning $90^\circ$ voor op de stroom. Net als bij de condensator wisselt het ogenblikkelijk vermogen $p_L$ tussen positief en negatief. Positief vermogen duidt op het opbouwen van een magnetisch veld in de spoel, terwijl negatief vermogen duidt op het afbouwen van het magnetisch veld en het teruggeven van opgeslagen energie aan de bron. Het vermogensverloop heeft een dubbele frequentie (#page=50, [50](#page=50) [51](#page=51). Het gemiddelde vermogen $P_L$ van een ideale spoel is nul, omdat de opgeslagen energie volledig wordt teruggegeven aan de bron tijdens de volgende halve periode [51](#page=51). $$ P_L = 0 \, \text{W} $$ #### 4.1.5 Vermogenverloop bij een willekeurige belasting $Z$ ($-90^\circ \le \phi \le +90^\circ$) Bij een willekeurige belasting met een faseverschuiving $\phi$ tussen $-90^\circ$ en $+90^\circ$, is er zowel positief als negatief ogenblikkelijk vermogen $p_Z$. Het vermogensverloop is nog steeds sinusoïdaal met een dubbele frequentie (#page=52,. Een deel van de energie wordt verbruikt en een deel wordt tijdelijk opgeslagen (in een condensator of spoel) en vervolgens teruggegeven aan de bron [52](#page=52) [53](#page=53). Het gemiddelde vermogen $P_Z$ is bij een willekeurige belasting niet nul. Het wordt berekend met de formule: $$ P_Z = U_Z \ast I_Z \ast \cos(\phi) \quad [\text{W}] $$ Hierbij is $\cos(\phi)$ de arbeidsfactor (AF) en geeft aan hoe efficiënt de spanning en stroom worden gebruikt om actief vermogen over te brengen [53](#page=53). * Ideale weerstand: $\phi = 0^\circ$, $\cos(\phi) = 1 \implies P_R = U_R \ast I_R$ [53](#page=53). * Ideale condensator: $\phi = -90^\circ$, $\cos(\phi) = 0 \implies P_C = 0 \, \text{W}$ [53](#page=53). * Ideale spoel: $\phi = +90^\circ$, $\cos(\phi) = 0 \implies P_L = 0 \, \text{W}$ [53](#page=53). ### 4.2 Schijnbaar $S$ [VA en reactief vermogen $Q$ [VAR Naast het actief vermogen $P$ worden in wisselstroomcircuits ook het schijnbaar vermogen $S$ en het reactief vermogen $Q$ gedefinieerd. Deze zijn essentieel voor het berekenen van elektrische installaties en het bepalen van verbruikstarieven. #### 4.2.1 Reactief vermogen $Q$ Het reactief vermogen $Q$ vertegenwoordigt de hoeveelheid energie die tijdelijk in de belasting wordt opgeslagen en later weer aan de bron wordt afgegeven. Het is de gemiddelde waarde van dit heen-en-weer pendelende vermogen. De eenheid is Volt-Ampère-Reactief (VAR) [54](#page=54). $$ Q_Z = U_Z \ast I_Z \ast \sin(\phi) \quad [\text{VAR}] $$ #### 4.2.2 Schijnbaar vermogen $S$ Het schijnbaar vermogen $S$ is het totaal gemiddeld vermogen dat de bron aan de belasting moet leveren, inclusief het actief en het heen-en-weer pendelende reactieve vermogen. Dit vermogen bepaalt de stroomsterkte door de bedrading en componenten van het distributiesysteem. De eenheid is Volt-Ampère (VA) [54](#page=54). $$ S_Z = U_Z \ast I_Z \quad [\text{VA}] $$ #### 4.2.3 Verband tussen $S$, $P$ en $Q$ De drie vermogens $S$, $P$ en $Q$ staan in een onderlinge relatie die beschreven wordt door de volgende formule: $$ S_Z^2 = P_Z^2 + Q_Z^2 $$ Dit verband kan visueel worden voorgesteld met de vermogendriehoek (#page=54, [54](#page=54) [60](#page=60). ### 4.3 Vermogen van ideale componenten #### 4.3.1 De ideale weerstand ($\phi = 0$) Voor een ideale weerstand is er geen reactief vermogen ($Q_R = 0$), omdat er geen energie wordt teruggestuurd naar de bron. Het schijnbaar vermogen is gelijk aan het actief vermogen [55](#page=55). $$ P_R = U_R \ast I_R \quad [\text{W}] $$ $$ Q_R = 0 \quad [\text{VAR}] $$ $$ S_R = U_R \ast I_R \quad [\text{VA}] $$ #### 4.3.2 De ideale condensator ($\phi = -90^\circ$) Bij een ideale condensator is er geen actief vermogen ($P_C = 0$), omdat alle energie wordt teruggegeven aan de bron. Het reactief vermogen is negatief en gelijk in grootte aan het schijnbaar vermogen [55](#page=55). $$ P_C = 0 \quad [\text{W}] $$ $$ Q_C = U_C \ast I_C \ast \sin(-90^\circ) = -U_C \ast I_C \quad [\text{VAR}] $$ $$ S_C = U_C \ast I_C \quad [\text{VA}] $$ Ook geldt: $$ Q_C = -\frac{U_C^2}{X_C} = -I_C^2 \ast X_C $$ #### 4.3.3 De ideale spoel ($\phi = +90^\circ$) Bij een ideale spoel is er geen actief vermogen ($P_L = 0$), omdat alle energie wordt teruggegeven aan de bron. Het reactief vermogen is positief en gelijk in grootte aan het schijnbaar vermogen [55](#page=55). $$ P_L = 0 \quad [\text{W}] $$ $$ Q_L = U_L \ast I_L \ast \sin(90^\circ) = +U_L \ast I_L \quad [\text{VAR}] $$ $$ S_L = U_L \ast I_L \quad [\text{VA}] $$ Ook geldt: $$ Q_L = \frac{U_L^2}{X_L} = I_L^2 \ast X_L $$ **Opmerking:** Het reactieve vermogen van een spoel is positief, terwijl dat van een condensator negatief is. Dit onderscheidt inductief van capacitief reactief vermogen [56](#page=56). ### 4.4 De stroomdriehoek en de vermogendriehoek Bij niet-ideale belastingen kan de stroomvector $I_Z$ worden ontbonden in een actief stroomdeel $I_P$ (in fase met de spanning) en een reactief stroomdeel $I_Q$ ($90^\circ$ verschoven ten opzichte van de spanning). Deze vormen de stroomdriehoek [59](#page=59). * $I_P = I_Z \ast \cos(\phi)$ * $I_Q = I_Z \ast \sin(\phi)$ * $I_Z^2 = I_P^2 + I_Q^2$ Door deze stroomcomponenten te vermenigvuldigen met de spanning, verkrijgen we de corresponderende vermogens: * $P_Z = U \ast I_P = U \ast I_Z \ast \cos(\phi)$ * $Q_Z = U \ast I_Q = U \ast I_Z \ast \sin(\phi)$ * $S_Z = U \ast I_Z$ Deze drie vermogens vormen de vermogendriehoek, waaruit de relaties $P_Z = S_Z \ast \cos(\phi)$, $Q_Z = S_Z \ast \sin(\phi)$ en $S_Z^2 = P_Z^2 + Q_Z^2$ kunnen worden afgeleid [60](#page=60). **Opmerkingen:** * Voor inductieve belastingen wijzen de stroom- en vermogendriehoeken naar beneden; voor capacitieve belastingen wijzen ze naar boven [60](#page=60). * Capacitief reactief vermogen ($Q_C$) is negatief, inductief reactief vermogen ($Q_L$) is positief [60](#page=60). ### 4.5 Optellen van vermogens bij meerdere parallelle verbruikers Wanneer er meerdere verbruikers parallel zijn aangesloten, mogen de individuele actieve vermogens $P$ en reactieve vermogens $Q$ worden opgeteld om het totale vermogen te vinden. Hierbij moeten de juiste tekens voor $Q$ worden gehanteerd. De schijnbare vermogens $S$ mogen niet zomaar worden opgeteld, maar kunnen berekend worden uit de totale $P$ en $Q$ [61](#page=61). $$ P_{\text{bron}} = P_1 + P_2 + P_3 + \dots $$ $$ Q_{\text{bron}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + \dots $$ $$ S_{\text{bron}} = \sqrt{P_{\text{bron}}^2 + Q_{\text{bron}}^2} = U_{\text{bron}} \ast I_{\text{bron}} $$ ### 4.6 Verbruikte energie Energieverbruik wordt berekend als vermogen maal tijd. In huishoudens wordt meestal enkel het actief verbruikte energie gemeten (kWh), terwijl in bedrijfsomgevingen ook het opgenomen reactieve energie (kVARh) wordt geregistreerd [62](#page=62). * Actief verbruikte energie: $W_P = P \ast t$ [62](#page=62). * Reactief verbruikte energie: $W_Q = Q \ast t$ [62](#page=62). --- # Parallel- en seriekringen Dit onderwerp behandelt de analyse van parallel- en seriekringen met weerstanden, spoelen en condensatoren, inclusief resonantie en de invloed van frequentie. ### 5.1 Inleiding Dit hoofdstuk behandelt het gedrag van parallelkringen opgebouwd uit ideale weerstanden, condensatoren en spoelen. Het doel is om voor elke schakeling een equivalente impedantie ($Z$) te bepalen en wiskundige verbanden op te stellen om het gedrag van de kring te voorspellen [63](#page=63). ### 5.2 Weerstanden in parallel Wanneer weerstanden parallel worden geschakeld aan een wisselspanningsbron ($U$), zijn de stromen door de individuele weerstanden ($I_1$, $I_2$, $I_3$) in fase met de spanning. De totale stroom ($I_t$) is de vectoriële som van de deelstromen. Omdat de fasen gelijk zijn, is de grootte de algebraïsche som [63](#page=63): $I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3}$ [63](#page=63). De equivalente weerstand ($R_v$) gedraagt zich zodanig dat deze dezelfde totale stroom levert als de parallelgroep [63](#page=63): $\frac{1}{R_v} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ [63](#page=63). ### 5.3 Spoelen in parallel Bij drie ideale spoelen parallel geschakeld, lopen de stromen ($I_1$, $I_2$, $I_3$) 90° na op de spanning. De totale stroom is opnieuw de algebraïsche som van de deelstromen [64](#page=64): $I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{X_{L1}} + \frac{U}{X_{L2}} + \frac{U}{X_{L3}}$ [64](#page=64). De equivalente spoel heeft een vervangingsreactantie ($X_{Lv}$) die voldoet aan: $\frac{1}{X_{Lv}} = \frac{1}{X_{L1}} + \frac{1}{X_{L2}} + \frac{1}{X_{L3}}$ [64](#page=64). Omdat $X_L = \omega L = 2\pi fL$, geldt voor de equivalente zelfinductie ($L_v$): $\frac{1}{L_v} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$ [64](#page=64). ### 5.4 Condensatoren in parallel Bij drie ideale condensatoren parallel, lopen de stromen ($I_1$, $I_2$, $I_3$) 90° vooruit op de spanning. De totale stroom is de algebraïsche som van de deelstromen [65](#page=65): $I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{X_{C1}} + \frac{U}{X_{C2}} + \frac{U}{X_{C3}}$ [65](#page=65). De equivalente condensator heeft een vervangingsreactantie ($X_{Cv}$) die voldoet aan: $\frac{1}{X_{Cv}} = \frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{X_{C3}}$ [65](#page=65). Omdat $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$, geldt voor de equivalente capaciteit ($C_v$): $C_v = C_1 + C_2 + C_3$ [65](#page=65). ### 5.5 Weerstand en spoel in parallel Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$) en een spoel ($L$), zijn de stromen $I_R$ en $I_L$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met de spanning $U$, terwijl $I_L$ 90° na-ijlt op $U$. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som van $I_R$ en $I_L$ [66](#page=66): $I = \sqrt{I_R^2 + I_L^2}$ [66](#page=66). * **Stroomdriehoek**: Toont de relatie tussen $I$, $I_R$ en $I_L$. * $\sin(\phi) = \frac{I_L}{I}$ * $\cos(\phi) = \frac{I_R}{I}$ * $\tan(\phi) = \frac{I_L}{I_R}$ [66](#page=66). * **Admittantiedriehoek**: Verkregen door de stroomdriehoek te delen door de spanning $U$. De admittantie ($Y$) is de omgekeerde van de impedantie ($Z$), met eenheid Siemens (S). * $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L})^2}$ [67](#page=67). * $\sin(\phi) = \frac{Z}{X_L}$, $\cos(\phi) = \frac{Z}{R}$, $\tan(\phi) = \frac{R}{X_L}$ [67](#page=67). * Vectoriële optelling van admittanties: $\vec{Y} = \vec{G} + \vec{B}_L$, waar $G = \frac{1}{R}$ en $B_L = \frac{1}{X_L}$ [67](#page=67). * **Vermogendriehoek**: Verkregen door de stroomdriehoek te vermenigvuldigen met de spanning $U$. * Schijnbaar vermogen $S = U \cdot I$ [67](#page=67). * Actief vermogen $P = U \cdot I_R = U \cdot I \cdot \cos(\phi)$ [67](#page=67). * Reactief vermogen $Q = U \cdot I_L = U \cdot I \cdot \sin(\phi)$ [67](#page=67). * $S^2 = P^2 + Q^2$ [67](#page=67). * Vectoriële optelling van vermogens: $\vec{S} = \vec{P} + \vec{Q}$ [68](#page=68). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie neemt $X_L$ toe, $I_L$ daalt, terwijl $I_R$ gelijk blijft. De totale stroom neemt af en de kring gedraagt zich ohmser [68](#page=68). ### 5.6 Weerstand en condensator in parallel Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$) en een condensator ($C$), zijn de stromen $I_R$ en $I_C$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met de spanning $U$, terwijl $I_C$ 90° vooruitloopt op $U$. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som van $I_R$ en $I_C$ [69](#page=69): $I = \sqrt{I_R^2 + I_C^2}$ [69](#page=69). * **Stroomdriehoek**: Toont de relatie tussen $I$, $I_R$ en $I_C$. De fasehoek $\phi$ is negatief voor capacitieve belasting. * $\sin(-\phi) = \frac{I_C}{I}$ * $\cos(-\phi) = \frac{I_R}{I}$ * $\tan(-\phi) = \frac{I_C}{I_R}$ [69](#page=69). * **Admittantiedriehoek**: De admittanties zijn $G = \frac{1}{R}$ en $B_C = \frac{1}{X_C}$. * $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_C})^2}$ [70](#page=70). * $\sin(-\phi) = \frac{Z}{X_C}$, $\cos(-\phi) = \frac{Z}{R}$, $\tan(-\phi) = \frac{R}{X_C}$ [70](#page=70). * Vectoriële optelling van admittanties: $\vec{Y} = \vec{G} + \vec{B}_C$ [70](#page=70). * **Vermogendriehoek**: Identiek aan de spoel-weerstand combinatie, maar $Q$ is nu negatief voor capacitieve belasting [70](#page=70). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie daalt $X_C$, $I_C$ stijgt, terwijl $I_R$ gelijk blijft. De totale stroom neemt toe en de kring gedraagt zich capacitiever [71](#page=71). ### 5.7 Weerstand, spoel en condensator in parallel Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$), zijn de stromen $I_R$, $I_L$ en $I_C$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met $U$, $I_L$ na-ijlt 90°, en $I_C$ vooruitloopt 90°. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som [72](#page=72): $I = \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2}$ [73](#page=73). * **5.7.1 $I_C < I_L$: Inductief gedrag** * De totale blindstroom ($I_Q$) is inductief, $I_Q = I_L - I_C$ [72](#page=72). * De totale stroom ($I$) volgt de inductieve aard van de blindstroom [72](#page=72). * **5.7.2 $I_C = I_L$: Ohms gedrag (resonantie)** * De blindstroom is nul, $I_L = I_C$. * De totale stroom is gelijk aan de weerstandsstroom: $I = I_R = \frac{U}{R}$ [74](#page=74). * De faseverschuiving $\phi$ is 0°. * **Stroomopslingering**: De stromen door de spoel en condensator kunnen veel groter zijn dan de totale stroom, omdat ze reactief vermogen uitwisselen [74](#page=74). * **5.7.3 $I_C > I_L$: Capacitief gedrag** * De totale blindstroom ($I_Q$) is capacitief, $I_Q = I_C - I_L$ [75](#page=75). * De totale stroom ($I$) volgt de capacitieve aard van de blindstroom [75](#page=75). * **Admittantiedriehoek**: * Voor $I_C < I_L$: $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$ [73](#page=73). * Voor $I_C > I_L$: $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L})^2}$ [75](#page=75). * **5.7.4 Resonantie- of eigenfrequentie**: * Resonantie treedt op wanneer $X_C = X_L$. * De resonantiefrequentie ($f_0$) wordt gegeven door: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [76](#page=76). * Bij $f < f_0$ is het gedrag inductief [76](#page=76). * Bij $f > f_0$ is het gedrag capacitief [76](#page=76). * Bij $f = f_0$ is het gedrag zuiver ohms [76](#page=76). * Bij resonantie is de totale impedantie maximaal en de totale stroom minimaal [77](#page=77). ### 6. Seriekringen In seriekringen is de stroom door alle componenten gelijk. De analyse start vanuit de stroom om de deelspanningen te bepalen en vervolgens de totale spanning [81](#page=81). ### 6.1 Weerstanden in serie Drie weerstanden in serie zorgen ervoor dat de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) in fase zijn met de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, die hier gelijk is aan de algebraïsche som [81](#page=81): $U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot R_1 + I \cdot R_2 + I \cdot R_3$ [81](#page=81). De equivalente weerstand ($R_v$) is de som van de individuele weerstanden: $R_v = R_1 + R_2 + R_3$ [81](#page=81). ### 6.2 Spoelen in serie Bij drie ideale spoelen in serie lopen de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) 90° vooruit op de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, wat neerkomt op de algebraïsche som [82](#page=82): $U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot X_{L1} + I \cdot X_{L2} + I \cdot X_{L3}$ [82](#page=82). De equivalente spoel heeft een vervangingsreactantie ($X_{Lv}$) die de som is van de individuele reactanties: $X_{Lv} = X_{L1} + X_{L2} + X_{L3}$ [82](#page=82). De equivalente zelfinductie ($L_v$) is eveneens de som: $L_v = L_1 + L_2 + L_3$ [82](#page=82). ### 6.3 Condensatoren in serie Bij drie ideale condensatoren in serie lopen de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) 90° na op de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, gelijk aan de algebraïsche som [83](#page=83): $U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot X_{C1} + I \cdot X_{C2} + I \cdot X_{C3}$ [83](#page=83). De equivalente reactantie ($X_{Cv}$) wordt bepaald door: $\frac{1}{X_{Cv}} = \frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{X_{C3}}$ [83](#page=83). Voor de equivalente capaciteit ($C_v$) geldt: $\frac{1}{C_v} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ [83](#page=83). ### 6.4 Weerstand en spoel in serie Bij een seriekring met een weerstand ($R$) en een spoel ($L$), is de spanning over de weerstand ($U_R$) in fase met de stroom ($I$), terwijl de spanning over de spoel ($U_L$) 90° vooruitloopt op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van $U_R$ en $U_L$ [84](#page=84): $U = \sqrt{U_R^2 + U_L^2}$ [85](#page=85). * **Spanningsdriehoek**: Toont de relatie tussen $U$, $U_R$ en $U_L$. * $\sin(\phi) = \frac{U_L}{U}$ * $\cos(\phi) = \frac{U_R}{U}$ * $\tan(\phi) = \frac{U_L}{U_R}$ [85](#page=85). * **Impedantiedriehoek**: Verkregen door de spanningsdriehoek te delen door de stroom $I$. De impedantie ($Z$) is de omgekeerde van de admittantie, met eenheid Ohm ($\Omega$). * $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ [85](#page=85). * $\sin(\phi) = \frac{X_L}{Z}$, $\cos(\phi) = \frac{R}{Z}$, $\tan(\phi) = \frac{X_L}{R}$ [85](#page=85). * Vectoriële optelling van impedanties: $\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X}_L$ [85](#page=85). * **Vermogendriehoek**: Verkregen door de spanningsdriehoek te vermenigvuldigen met de stroom $I$. * $P = U_R \cdot I = U \cdot I \cdot \cos(\phi)$ [85](#page=85). * $Q = U_L \cdot I = U \cdot I \cdot \sin(\phi)$ [85](#page=85). * $S = U \cdot I$ [85](#page=85). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie neemt $X_L$ toe, $U_L$ neemt toe, en de totale impedantie stijgt. De kring wordt meer inductief [86](#page=86). ### 6.5 Weerstand en condensator in serie In een seriekring met een weerstand ($R$) en een condensator ($C$), is de spanning over de weerstand ($U_R$) in fase met de stroom ($I$), terwijl de spanning over de condensator ($U_C$) 90° na-ijlt op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van $U_R$ en $U_C$ [87](#page=87): $U = \sqrt{U_R^2 + U_C^2}$ [87](#page=87). * **Spanningsdriehoek**: De fasehoek $\phi$ is negatief voor capacitieve belasting. * $\sin(-\phi) = \frac{U_C}{U}$ * $\cos(-\phi) = \frac{U_R}{U}$ * $\tan(-\phi) = \frac{U_C}{U_R}$ [87](#page=87). * **Impedantiedriehoek**: * $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ [88](#page=88). * $\sin(\phi) = \frac{X_C}{Z}$, $\cos(\phi) = \frac{R}{Z}$, $\tan(\phi) = \frac{X_C}{R}$ [88](#page=88). * Vectoriële optelling van impedanties: $\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X}_C$ [88](#page=88). * **Vermogendriehoek**: Identiek aan de spoel-weerstand combinatie, maar $Q$ is negatief voor capacitieve belasting [88](#page=88). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie daalt $X_C$, $U_C$ daalt, en de totale impedantie daalt. De kring wordt minder capacitief [89](#page=89). ### 6.6 Weerstand, spoel en condensator in serie Bij een seriekring met een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$), zijn de spanningen over de componenten gedesynchronsieerd. $U_R$ is in fase met $I$, $U_L$ vooruitloopt 90° op $I$, en $U_C$ na-ijlt 90° op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som [89](#page=89): $U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}$ [90](#page=90). * **6.6.1 $U_C < U_L$: Inductief gedrag** * De totale reactieve spanningscomponent ($U_Q$) is inductief, $U_Q = U_L - U_C$ [90](#page=90). * De totale spanning ($U$) volgt de inductieve aard van de reactieve component [90](#page=90). * **6.6.2 $U_C = U_L$: Ohms gedrag (resonantie)** * De reactieve spanningscomponent is nul, $U_L = U_C$. * De totale spanning is gelijk aan de weerstandspanning: $U = U_R = I \cdot R$ [91](#page=91). * De faseverschuiving $\phi$ is 0°. * De impedantie is minimaal en gelijk aan $R$: $Z = R$ [91](#page=91). * **Spanningsopslingering**: De spanningen over de spoel en condensator kunnen veel groter zijn dan de bronspanning, omdat ze reactief vermogen uitwisselen. De kwaliteitsfactor ($Q$) geeft de mate van overspanning aan: $Q = \frac{U_L}{U_R}$ of $Q = \frac{U_C}{U_R}$ bij resonantie [92](#page=92). * **6.6.3 $U_C > U_L$: Capacitief gedrag** * De totale reactieve spanningscomponent ($U_Q$) is capacitief, $U_Q = U_C - U_L$ [93](#page=93). * De totale spanning ($U$) volgt de capacitieve aard van de reactieve component [93](#page=93). * **Impedantiedriehoek**: * Voor $U_C < U_L$: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ [91](#page=91). * Voor $U_C > U_L$: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ [93](#page=93). * **6.6.4 Resonantie- of eigenfrequentie**: * Resonantie treedt op wanneer $X_C = X_L$. Dit is dezelfde resonantiefrequentie als bij een parallelschakeling [94](#page=94). * De resonantiefrequentie ($f_0$) wordt gegeven door: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [94](#page=94). * Bij $f < f_0$ is het gedrag capacitief [94](#page=94). * Bij $f > f_0$ is het gedrag inductief [94](#page=94). * Bij $f = f_0$ is het gedrag zuiver ohms [94](#page=94). * Bij resonantie is de totale impedantie minimaal en de totale stroom maximaal [95](#page=95). --- # Verbeteren van de arbeidsfactor Dit hoofdstuk behandelt de methoden en berekeningen voor het verbeteren van de arbeidsfactor (AF) van inductieve belastingen door middel van compensatiecondensatoren. ### 6.1 Invloed van de cos(φ) op de stroomsterkte en arbeidsfactor Het primaire doel van een distributiesysteem is het overbrengen van actief vermogen ($P$). Dit brengt een bepaalde stroomsterkte met zich mee door distributiecomponenten zoals kabels en transformatoren, wat leidt tot spannings- en warmteverliezen ($P_d = I^2 \cdot R_d$ en $U_d = I \cdot R_d$). Het is daarom voordelig om de stroomsterkte zo laag mogelijk te houden [100](#page=100). De faseverschuiving ($φ$) tussen spanning en stroom, uitgedrukt als de cosinus van deze hoek ($cos(φ)$), is een cruciale factor hierin. Een vast schijnbaar vermogen ($S$) bij een gegeven spanning ($U$) resulteert in een constante stroomsterkte ($I = S/U$). Echter, een lagere $cos(φ)$ betekent dat een groter deel van deze stroom wordt gebruikt voor het slingeren van reactief vermogen ($Q$), waardoor het nuttig overgebracht actief vermogen ($P = S \cdot cos(φ)$) daalt. Dit vermindert de efficiëntie waarmee actief vermogen wordt geleverd [100](#page=100). Industriële systemen hebben vaak te maken met beperkingen, zoals de maximale stroomsterkte die een kabel mag voeren. Een hogere $cos(φ)$ maakt het mogelijk om met dezelfde installatie meer actief vermogen over te dragen, wat leidt tot een efficiënter gebruik van de componenten [100](#page=100) . #### 6.1.1 De arbeidsfactor (AF) De arbeidsfactor (AF) is gedefinieerd als de verhouding van actief vermogen ($P$) tot schijnbaar vermogen ($S$): $AF = \frac{P}{S} = cos(φ)$ . De AF ligt altijd tussen 0 en 1 . * Een zuiver ohmse belasting resulteert in de hoogste efficiëntie ($AF = 1$) . * Een zuiver inductieve of capacitieve belasting resulteert in de laagste efficiëntie ($AF = 0$) . **Opmerkingen:** 1. Bij monofasige installaties is de AF numeriek gelijk aan $cos(φ)$ . 2. Industriële klanten zijn vaak verplicht een minimale AF van 0,8 te handhaven om boetes te voorkomen . ### 6.2 Verbeteren van de AF De meeste industriële belastingen zijn inductief van aard. De arbeidsfactor hiervan kan worden verbeterd door compensatiecondensatoren parallel aan de belasting te plaatsen. Deze condensatoren leveren een capacitief reactief vermogen dat tegengesteld is aan het inductieve reactieve vermogen van de belasting, waardoor de totale faseverschuiving afneemt en de $cos(φ)$ toeneemt . #### 6.2.1 Situatie zonder compensatie Wanneer een verbruiker ($Z$) zonder compensatie is aangesloten, zijn de bronstroom ($I_1$), het schijnbaar vermogen ($S_1$), het actief vermogen ($P_1$), het reactief vermogen ($Q_1$) en de faseverschuiving ($φ_1$) identiek aan die van de verbruiker . $I_1 = I_Z$ . $S_1 = S_Z$ . $P_1 = P_Z$ . $Q_1 = Q_Z$ . Faseverschuiving $φ_1$ . #### 6.2.2 Situatie met compensatie Wanneer een compensatiecondensator ($C$) parallel aan de verbruiker wordt geplaatst, blijft de verbruiker dezelfde stroom ($I_Z$) en vermogens ($S_Z, P_Z, Q_Z$) opnemen, aangezien deze op dezelfde spanning blijft. Echter, de bron moet nu ook de stroom ($I_C$) en het reactief vermogen ($Q_C$) van de condensator leveren . De totale bronstroom ($I_2$) is de vectoriële som van de stroom door de verbruiker ($I_Z$) en de stroom door de condensator ($I_C$): $\vec{I_2} = \vec{I_Z} + \vec{I_C}$ . De extra stroom $I_C$ is 90° voorijlend op de spanning. Door de vectoriële optelling wordt de totale bronstroom $I_2$ kleiner dan $I_1$, en de faseverschuiving ($φ_2$) wordt kleiner dan $φ_1$ . Het principe hierachter is dat de condensator een reactief vermogen ($Q_C$) opneemt dat tegengesteld is aan het reactieve vermogen van de inductieve belasting ($Q_Z$). Hierdoor slingert er minder reactief vermogen tussen de bron en de belasting, wat de distributiecomponenten ontlast . ### 6.3 Bepalen van de benodigde capaciteit Het doel is om een bepaalde verbetering van de arbeidsfactor te realiseren. Hoewel volledige compensatie ($φ_2 = 0$, $AF = 1$) theoretisch mogelijk is, wordt in de praktijk vaak gecompenseerd tot een AF van 0,9 ($φ_2 = 25,84°$) om praktische redenen . De methode omvat: 1. Bepalen van het bestaande actief vermogen ($P_1$) en de bestaande AF ($AF_1$), vaak door meting . 2. Kiezen van een gewenste AF ($AF_2$) . 3. Berekenen van het benodigde reactieve vermogen ($Q_C$) en de daaruit voortvloeiende capaciteit ($C$) . #### 6.3.1 Voorbeeld: Vermogens zonder compensatie Een inductieve verbruiker op 230V/50Hz neemt een stroom van $I_1 = 2A$ op, met een gemeten vermogen van $P_1 = 276W$. * Schijnbaar vermogen: $S_1 = U \cdot I_1 = 230V \cdot 2A = 460VA$ . * Arbeidsfactor: $cos(φ_1) = P_1 / S_1 = 276W / 460VA = 0,6$ . * Faseverschuiving: $φ_1 = \arccos(0,6) = 53,13°$ . * Reactief vermogen: $Q_1 = P_1 \cdot \tan(φ_1) = 276W \cdot \tan(53,13°) \approx 276W \cdot 1,3333 \approx 368VAR$ . #### 6.3.2 Voorbeeld: Vermogens met compensatie Doel: verbeteren van AF tot 0,9. * Nieuwe faseverschuiving: $φ_2 = \arccos(0,9) = 25,84°$ . * Actief vermogen blijft gelijk: $P_2 = P_1 = 276W$, aangezien de condensator geen actief vermogen opneemt . * Nieuw reactief vermogen: $Q_2 = P_2 \cdot \tan(φ_2) = 276W \cdot \tan(25,84°) \approx 276W \cdot 0,484 \approx 133,7VAR$ . * Nieuw schijnbaar vermogen: $S_2 = P_2 / cos(φ_2) = 276W / 0,9 \approx 306,7VA$ . Het benodigde reactieve vermogen van de condensator ($Q_C$) wordt berekend als het verschil tussen het oorspronkelijke en het gewenste reactieve vermogen: $Q_C = Q_2 - Q_1 = 133,7VAR - 368VAR = -234,3VAR$ . #### 6.3.3 Voorbeeld: De capaciteit Het reactief vermogen van een condensator wordt gegeven door: $Q_C = -U^2 \cdot 2\pi f C$ . Hieruit volgt de benodigde capaciteit ($C$): $C = \frac{-Q_C}{U^2 \cdot 2\pi f} = \frac{234,3VAR}{230V^2 \cdot 2\pi \cdot 50Hz} \approx 1,41 \times 10^{-5} F = 14,1 \mu F$ . #### 6.3.4 Voorbeeld: Bronstroom zonder en met compensatie * Bronstroom zonder compensatie: $I_1 = 2A$ . * Bronstroom met compensatie: $I_2 = S_2 / U = 306,7VA / 230V \approx 1,338A$ . De actief componenten van de stroom ($I \cdot cos(φ)$) blijven gelijk, terwijl de reactieve componenten ($I \cdot sin(φ)$) en de totale stroom afnemen . #### 6.3.5 Conclusie van het voorbeeld De compensatiecondensator ontlast de distributiecomponenten met $I_1 - I_2 = 2A - 1,338A = 0,662A$ stroom. Dit vermindert de Joule-verliezen en creëert ruimte om meer actief vermogen te transporteren zonder de werking van de verbruiker te beïnvloeden . ### 6.4 Algemene formule Een algemene formule voor het berekenen van de benodigde capaciteit is: $C = \frac{P_Z \cdot (\tan(φ_1) - \tan(φ_2))}{U^2 \cdot 2\pi f}$ . **Opmerkingen:** 1. Volledige compensatie ($φ_2 = 0°$) is mogelijk en resulteert in de laagst mogelijke bronstroom voor die verbruiker, maar vereist een grotere capaciteit . 2. Overcompensatie (capaciteit groter dan nodig voor volledige compensatie) leidt tot een capacitief gedrag van de keten en een stijgende bronstroom . ### 6.5 Oefeningen Hieronder volgen enkele oefeningen om de principes van arbeidsfactorverbetering te oefenen: 1. Een inductief toestel neemt 6kVA op bij 110V/50Hz met een $cos(φ) = 0,8$. Bereken de capaciteit voor volledige compensatie ($cos(φ) = 1$) . 2. Voor een fluorescentielamp van 40W op 220V/50Hz wordt 4,5µF geadviseerd voor een $cos(φ) = 0,95$. Bepaal het reactief vermogen van de capaciteit en het schijnbaar vermogen en de $cos(φ)$ van de ongecompenseerde lamp . 3. Een wisselstroommotor van 20kW (rendement 85%) op 220V/50Hz heeft een $cos(φ) = 0,75$. Bereken de benodigde capaciteit voor volledige compensatie . 4. Een verbruiker neemt 80kW op bij een arbeidsfactor van 0,55 op 1000V/400Hz. Bereken de capaciteit om de AF te verbeteren tot 0,9 . 5. Een TL-lamp van 65W neemt 591mA op bij 230V/50Hz. Bereken de benodigde capaciteit en de bronstroom na compensatie voor: * a) $cos(φ) = 1$ . * b) $cos(φ) = 0,8$ . 6. Een oude monofasige motor op 230V/50Hz. DC-metingen aan de hoofdspoel op 10VDC gaven 5A, AC-metingen op 10VAC gaven 2A. * a. Bereken de stroom, $cos(φ)$ en het actieve vermogen van de spoel . * b. Bereken de benodigde capaciteit voor volledige compensatie . 7. Een klassieke TL-verlichting met een gasontladingslamp in serie met een ballast (spoel) en een lamp die als ohmse weerstand kan worden voorgesteld na ontsteking. * a. Bereken de stroom en de faseverschuiving uit het equivalent schema ($L=700mH, R_L=12\Omega, U=230V/50Hz, R_{lamp}=38\Omega$) . * b. Bereken de benodigde capaciteit en de nieuwe bronstroom bij volledige compensatie . * c. Bereken de benodigde capaciteit en de nieuwe bronstroom bij compensatie tot een AF = 0,9 . --- # Driefasige netten en belastingen Driefasige netten vormen de ruggengraat van industriële energievoorziening, waarbij ze superieure efficiëntie en de mogelijkheid tot het aandrijven van krachtige motoren bieden ten opzichte van monofasige systemen . ### 7.1. Opbouw van een driefasig net Een driefasig netwerk wordt gegenereerd door drie afzonderlijke monofasige bronnen, die doorgaans deel uitmaken van een transformator of generator. Deze bronnen produceren sinusvormige wisselspanningen die elk een fase vertegenwoordigen: aangeduid als de U-, V-, en W-fase. De spanningen in deze spoelen zijn identiek in grootte en frequentie (typisch 50 Hz in Europa) maar zijn 120° in tijd verschoven ten opzichte van elkaar, wat resulteert in een driefasig systeem . #### 7.1.1. Schakelmogelijkheden van de bronnen De drie spoelen van de bron kunnen op twee fundamentele manieren met elkaar worden verbonden: * **Ster (Y) schakeling:** Hierbij worden de ene klem van elke spoel (bijvoorbeeld U2, V2, W2) met elkaar verbonden om een "sterpunt" te vormen . * **Driehoek (D of Δ) schakeling:** Hierbij worden de spoelen aan de uiteinden met elkaar verbonden in een gesloten circuit . #### 7.1.2. Het vierdraadsnet (sterschakeling) Bij een sterschakeling van de bron worden de spoelen zodanig verbonden dat er een neutraalpunt ontstaat. Dit resulteert in een vierdraadsnetwerk met drie lijndraden (L1, L2, L3) en een nulleider (N). De lijndraden dragen de spanningen L1 (bruin), L2 (zwart), en L3 (grijs), terwijl de nulleider blauw is. In industriële omgevingen kunnen de lijndraden ook allemaal zwart zijn en worden ze onderscheiden door nummering . ##### 7.1.2.1. Spanningen in een vierdraadsnet In een vierdraadsnet zijn twee soorten spanningen beschikbaar: * **Fasespanningen (Uf):** Dit zijn de spanningen opgewekt door de individuele spoelen van de bron. Ze zijn meetbaar tussen een lijndraad en de nulleider (bijv. UL1-N). De drie fasespanningen (Uf1, Uf2, Uf3) zijn gelijk in grootte en 120° van elkaar verschoven . $$ U_f = U_{f1} = U_{f2} = U_{f3} $$ * **Lijnspanningen (UL):** Dit zijn de spanningen aanwezig tussen elk paar lijndraden (bijv. UL12, UL23, UL31). De lijnspanningen zijn ook gelijk in grootte en 120° van elkaar verschoven, maar zijn hoger dan de fasespanningen . Het verband tussen de lijnspanning en de fasespanning in een stersysteem is: $$ U_L = \sqrt{3} \times U_f $$ . In België komen courant de volgende fase- en lijnspanningen voor: * Oudere netten: 130/230V . * Geharmoniseerde netten: 230/400V . * Industriële omgevingen: 400/690V . #### 7.1.3. Spanningsaanduiding op installaties De kenmerkende spanning van een driefasig net wordt doorgaans aangeduid met de lijnspanning UL. Een aanduiding zoals "3x400V+N" betekent een lijnspanning van 400V en de aanwezigheid van een nulleider, wat impliceert dat ook de fasespanning van 230V beschikbaar is. Een alternatieve aanduiding kan "3N400V" zijn . | Aanduiding | Lijnspanning UL | Fasespanning Uf | Alternatieve aanduiding | | :--------- | :-------------- | :-------------- | :------------------------ | | 3x230V+N | 230V | 130V | 3N230V | | 3x400V+N | 400V | 230V | 3N400V | | 3x690V+N | 690V | 400V | 3N690V | In het labo is een vierdraadsnet van 3x400V+N aanwezig . #### 7.1.4. Het driedraadsnet (driehoekschakeling) Bij een driehoekschakeling van de bron worden de drie spoelen aan hun uiteinden met elkaar verbonden, wat resulteert in een driedraadsnetwerk zonder nulleider. Dit type net wordt in distributienetten vermeden vanwege belangrijke nadelen. De spanningsaanduiding is bijvoorbeeld "3x230V", wat aangeeft dat de lijnspanning 230V is en er geen nulleider aanwezig is . ### 7.2. Driefasige belastingen Een driefasige belasting bestaat uit drie monofasige belastingen (impedanties Z1, Z2, Z3), die elk een fase van de belasting vormen. Deze fasen moeten ook in ster of driehoek geschakeld worden voor aansluiting op een driefasig net . #### 7.2.1. Aansluitingen van belastingen Er zijn drie mogelijke manieren om belastingen aan te sluiten: * **Driedraadsaansluiting:** De belasting wordt aangesloten zonder gebruik te maken van de nulleider N. Dit kan zowel in ster (Y) als in driehoek (D) . * **Vierdraadsaansluiting:** Dit is enkel mogelijk op een vierdraadsnet met de belasting in ster geschakeld. De nulleider N van het net wordt verbonden met het sterpunt van de belasting . #### 7.2.2. Gelijkmatige en ongelijkmatige belasting Een belangrijk onderscheid bij driefasige belastingen is: * **Gelijkmatige (symmetrische) belasting:** De drie afzonderlijke belastingen zijn identiek, zowel in grootte (ohm) als in faseverschuiving tussen spanning en stroom. Driefasige motoren en industriële ovens vormen typisch een gelijkmatige belasting . $$ Z_1 = Z_2 = Z_3 $$ * **Ongelijkmatige (asymmetrische) belasting:** De drie afzonderlijke belastingen zijn niet identiek, bijvoorbeeld lampen van verschillend vermogen of belastingen met verschillende faseverschuivingen . #### 7.2.3. Voorbeelden van belastingaansluitingen * **Net met UL = 230V, belasting in driehoek:** Elke fase van de belasting wordt aangesloten op een lijnspanning UL van 230V. Dit is geschikt voor een driefasige oven die op 230V werkt. De nulleider N wordt niet gebruikt . * **Net met UL = 400V, ongelijkmatige belasting in ster met N:** De belasting wordt vierdraads in ster aangesloten. Elke fase van de belasting krijgt de fasespanning van het net (Uf net = 230V). Dit vereist een 3x400V+N net . * **Net met UL = 400V, gelijkmatige belasting in ster:** Als de belasting gelijkmatig is, loopt er geen stroom door de nulleider. De nulleider hoeft niet aangesloten te worden, en het sterpunt van de belasting wordt een virtueel nulpunt. Aansluiting kan driedraads op 3x400V of 3x400V+N (N niet aangesloten) . > **Tip:** Driefasige elektrische motoren zijn bij uitstek gelijkmatige belastingen. Ze worden daarom vaak driedraads aangesloten, ook al is een nulleider beschikbaar. Het aansluiten van de nulleider kan echter zorgen voor stabielere fasespanningen aan de belasting . #### 7.2.4. Omschakelbare en niet-omschakelbare belastingen * **Omschakelbare belasting:** De zes klemmen van de drie deel-impedanties zijn beschikbaar, waardoor de schakeling (Y of Δ) zelf gekozen kan worden. Deze belastingen hebben vaak een dubbele spanningsaanduiding, bijvoorbeeld 230/400V. Een driefasige motor is een typisch voorbeeld . * **Niet-omschakelbare belasting:** De fabrikant heeft de schakeling al bepaald, en er wordt slechts één spanning opgegeven. Als er vier klemmen beschikbaar zijn (L1, L2, L3, N), is de belasting in ster geschakeld en wordt deze meestal vierdraads aangesloten. Bij slechts drie klemmen kan de belasting in ster of driehoek geschakeld zijn . ### 7.3. Berekeningen op driefasige netten en belastingen De berekeningen in driefasige netten maken gebruik van de bestaande elektrische wetmatigheden, waarbij rekening wordt gehouden met de vectoriële aard van spanningen en stromen . #### 7.3.1. Stromen * **Lijnstromen (IL1, IL2, IL3):** Stromen in de lijndraden L1, L2, L3 . * **Nulstroom of terugvoerstroom (IN):** Stroom in de nulleider N . * **Fasestromen (If1, If2, If3):** Stromen in de drie fasen van de belasting . #### 7.3.2. Belasting in driehoek * **Spanningen:** De fasespanning van de belasting is gelijk aan de lijnspanning van het net ($U_{f_{\text{belasting}}} = U_L$). Als er een nulleider aanwezig is, zal de stroom hierin nul zijn ($I_N = 0$) . * **Stromen:** De verbanden tussen lijn- en fasestromen worden gegeven door de knoopwet van Kirchhoff, vectorieel uitgeschreven: $$ I_{L1} = I_{f1} - I_{f3} $$ $$ I_{L2} = I_{f2} - I_{f1} $$ $$ I_{L3} = I_{f3} - I_{f2} $$ Voor een gelijkmatige belasting geldt: $$ I_L = \sqrt{3} \cdot I_f $$ . #### 7.3.3. Belasting in ster met N aangesloten * **Spanningen:** De fasespanning van de belasting is gelijk aan de fasespanning van het net ($U_{f_{\text{belasting}}} = U_{f_{\text{net}}}$), en de fasespanning van het net is de lijnspanning van het net gedeeld door $\sqrt{3}$ ($U_{f_{\text{net}}} = \frac{U_{L_{\text{net}}}}{\sqrt{3}}$) . * **Stromen:** De fasestromen zijn identiek aan de overeenkomstige lijnstromen ($I_{f1} = I_{L1}$, etc.). De nulstroom is de vectoriële som van de lijnstromen : $$ I_N = I_{L1} + I_{L2} + I_{L3} $$ . #### 7.3.4. Belasting in ster zonder N aangesloten Dit is enkel van toepassing bij gelijkmatige belastingen. De nulleiderstroom ($I_N$) is nul, waardoor de nulleider weggelaten kan worden zonder de fasestromen en fasespanningen van de belasting te beïnvloeden. Het sterpunt van de belasting wordt een virtueel nulpunt . #### 7.3.5. Nulleiderbreuk bij sterschakeling Indien bij een ongelijkmatige belasting de nulleider wordt onderbroken, zal de vectoriële som van de lijnstromen nul moeten zijn. Dit leidt tot veranderingen in de spanningen over de fasen van de belasting, waarbij de impedanties met hogere waarden lagere spanningen en die met lagere waarden hogere spanningen zullen ervaren. Dit kan leiden tot schade aan de verbruiker en wordt een "nulpuntverschuiving" genoemd . ### 7.4. Meerdere belastingen aansluiten op driefasige installaties Op driefasige installaties worden zowel monofasige als driefasige belastingen aangesloten . #### 7.4.1. Vierdraadsnet 3x400V+N * **Monofasige verbruikers:** Hebben meestal een werkspanning van 230V en worden aangesloten tussen een lijndraad en de nulleider . * **Driefasige verbruikers:** Moeten geschikt zijn voor een lijnspanning van 400V en worden aangesloten op de drie lijndraden . **Verdelen van monofasige belastingen:** Om een zo gelijkmatig mogelijke belasting te creëren, worden monofasige verbruikers verdeeld over de verschillende lijndraden, wat de nulleiderstroom minimaliseert . **Nulleiderbreuk:** Bij een nulleiderbreuk in een vierdraadsnet kunnen de fasespanningen van de belastingen sterk variëren, wat kan leiden tot overspanning en defecten aan de apparatuur . #### 7.4.2. Driedraadsnet Beschikbare driedraadsnetten hebben meestal een lijnspanning van 230V. Monofasige verbruikers worden aangesloten tussen twee lijndraden, en driefasige verbruikers moeten geschikt zijn voor 230V lijnspanning. Het is aangewezen om monofasige belastingen zo gelijkmatig mogelijk te verdelen . --- # Driefasige vermogens en arbeidsfactor Dit hoofdstuk analyseert de berekening van vermogens in driefasige systemen, de vereenvoudigingen bij symmetrische belastingen en de methoden voor het verbeteren van de arbeidsfactor. ## 8. Driefasige vermogens en arbeidsfactor ### 8.1 Inleiding tot driefasige vermogens Het berekenen van driefasige vermogens is cruciaal voor het ontwerpen van distributiesystemen en installaties, zoals het bepalen van de benodigde kabelsecties. Tevens is het essentieel voor facturering, herstelling en onderhoud dat deze vermogens gemeten kunnen worden . ### 8.2 Vermogensberekening in driefasige systemen Een driefasig systeem kan worden beschouwd als drie afzonderlijke monofasige systemen. De totale vermogens zijn de som van de vermogens van deze afzonderlijke fasen. De formules voor het berekenen van de schijnbare, actieve en reactieve vermogens per fase zijn : * Schijnbare vermogen per fase ($S$): $S = U_f \cdot I_f$ . * Actief vermogen per fase ($P$): $P = U_f \cdot I_f \cdot \cos(\phi)$ . * Reactief vermogen per fase ($Q$): $Q = U_f \cdot I_f \cdot \sin(\phi)$ . De totale vermogens worden verkregen door deze waarden per fase op te tellen: * Totaal schijnbaar vermogen ($S_{tot}$): $S_{tot} = S_1 + S_2 + S_3$ . * Totaal actief vermogen ($P_{tot}$): $P_{tot} = P_1 + P_2 + P_3$ . * Totaal reactief vermogen ($Q_{tot}$): $Q_{tot} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ . Hierbij geldt dat de fasespanningen ($U_f$) gelijk zijn ($U_{f1} = U_{f2} = U_{f3} = U_f$), maar de stromen ($I_f$) en faseverschuivingen ($\phi$) kunnen verschillen . ### 8.3 Vereenvoudigingen voor symmetrische belastingen Bij een symmetrische belasting worden alle drie de fasen identiek belast, wat betekent dat de stromen ($I_f$), faseverschuivingen ($\phi$) en vermogens gelijk zijn voor elke fase. Hierdoor kunnen de totale vermogens worden berekend door het vermogen van één fase te vermenigvuldigen met drie : * $S_{tot} = 3 \cdot S_1 = 3 \cdot S_2 = 3 \cdot S_3$ . * $P_{tot} = 3 \cdot P_1 = 3 \cdot P_2 = 3 \cdot P_3$ . * $Q_{tot} = 3 \cdot Q_1 = 3 \cdot Q_2 = 3 \cdot Q_3$ . #### 8.3.1 Vereenvoudiging voor sterschakeling Voor een sterschakeling geldt de relatie $U_f = U_L / \sqrt{3}$ en $I_L = I_f$. Door dit in de algemene vermogensformules in te vullen, verkrijgen we voor symmetrische belastingen: * $S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$ . * $P_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos(\phi)$ . * $Q_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin(\phi)$ . #### 8.3.2 Vereenvoudiging voor driehoekschakeling Voor een driehoekschakeling met symmetrische belasting geldt $U_f = U_L$ en $I_f = I_L / \sqrt{3}$. Net als bij de sterschakeling leiden deze relaties tot dezelfde vereenvoudigde formules voor de totale vermogens: * $S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$ . * $P_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos(\phi)$ . * $Q_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin(\phi)$ . **Betekenis:** Voor een gelijkmatige belasting kunnen de driefasige vermogens berekend worden met dezelfde formules, gebruikmakend van de lijngrootheden ($U_L$ en $I_L$), ongeacht of de belasting in ster of driehoek is geschakeld . **Belangrijke opmerking:** De relatie $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ die geldt voor monofasige netten, is strikt theoretisch niet geldig voor asymmetrische driefasige belastingen ($S_{tot} \neq \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}$). In de praktijk wordt deze formule echter wel gebruikt voor het bepalen van een benadering van het totale schijnbare vermogen van een installatie, waarbij de fout kleiner wordt naarmate de belasting meer gelijkmatig is . ### 8.4 Bepalen van de arbeidsfactor (AF) De arbeidsfactor (AF) geeft de efficiëntie van het gebruik van het elektriciteitsnet aan en wordt gedefinieerd als: $AF = \frac{P}{S}$ . Voor monofasige netten is de arbeidsfactor gelijk aan $\cos(\phi)$. Bij driefasige netten, met potentieel drie verschillende faseverschuivingen, is men in de praktijk geïnteresseerd in een globale beoordeling van de efficiëntie van de totale installatie. Daarom wordt voor driefasige netten de arbeidsfactor berekend als de verhouding van het totale actieve vermogen tot het totale schijnbare vermogen : $AF = \frac{P_{tot}}{S_{tot}}$ . Alleen bij symmetrische belastingen is deze waarde gelijk aan de cosinus van de faseverschuiving ($\cos(\phi)$) . ### 8.5 Verbeteren van de arbeidsfactor Het verbeteren van de arbeidsfactor gebeurt op dezelfde manier als bij monofasige netten, voornamelijk door het toevoegen van compensatiecondensatoren, omdat de meeste verbruikers inductief van aard zijn. Deze condensatoren worden parallel aan de belasting of installatie geschakeld, zowel in ster- als in driehoekschakeling . * De benodigde capaciteit voor compensatie hangt af van de schakeling . * De totale benodigde capaciteit is drie keer lager bij een driehoekschakeling vergeleken met een sterschakeling . * Hoewel de werkspanning hoger is bij een driehoekschakeling (wat duurdere condensatoren vereist), is de kostprijs vaak lager door de kleinere benodigde capaciteit voor dezelfde compensatie . * Daarom wordt in de praktijk de driehoekschakeling van compensatiecondensatoren het meest toegepast . ### 8.6 Oefeningen Oefeningen gerelateerd aan het berekenen van vermogens, stromen, en arbeidsfactoren voor zowel symmetrische als asymmetrische belastingen, en in zowel ster- als driehoekschakelingen, worden behandeld om de theoretische concepten toe te passen . ### 8.7 Meten van vermogens Voor het meten van schijnbare, actieve en reactieve vermogens bestaan gespecialiseerde apparaten. De complexiteit van de meetopstelling hangt af van het type net (vier- of d raads) en de aard van de belasting (symmetrisch of asymmetrisch) . #### 8.7.1 Meten van actief vermogen ($P$) Er zijn verschillende gevallen te onderscheiden voor het meten van actief vermogen: * **Met nulleider en asymmetrische belasting:** Omdat de fasen ongelijk belast zijn, moeten de drie vermogens afzonderlijk worden gemeten met drie wattmeters. De formules zijn : $P_1 = U_f \cdot I_{L1} \cdot \cos(\phi_1)$ $P_2 = U_f \cdot I_{L2} \cdot \cos(\phi_2)$ $P_3 = U_f \cdot I_{L3} \cdot \cos(\phi_3)$ $P_{tot} = P_1 + P_2 + P_3$ . * **Met nulleider en symmetrische belasting:** Omdat de fasen identiek belast zijn, volstaat een meting in één fase, waarbij het totale vermogen drie keer het gemeten vermogen is: $P_{tot} = 3 \cdot P_1$ . * **Zonder nulleider en symmetrische belasting:** Een specifieke driefasige wattmeter voor symmetrische belastingen kan gebruikt worden. Deze meter meet het vermogen in één fase, wat direct het totale vermogen aangeeft, ook zonder nulleider . **Foute schakeling:** Het lijkt mogelijk om de lijnspanning te gebruiken en de meetwaarde met $\sqrt{3}$ te vermenigvuldigen voor symmetrische belastingen, maar dit is een foute redenering . --- # Monofasige transformatoren Dit hoofdstuk behandelt de opbouw, werking, nullast- en kortsluitproeven, nominale waarden en speciale uitvoeringen van monofasige transformatoren . ### 9.1 Inleiding Een transformator is een statisch toestel dat elektrische wisselstroomenergie omzet van een bepaalde spannings- en stroomwaarde naar een andere spanning- en stroomwaarde, met behoud van frequentie. Ze worden gebruikt voor zowel kleine vermogens (bv. voedingen van elektronische apparatuur) als voor middelgrote en grote vermogens (bv. energietransport) . ### 9.2 Opbouw en schemasymbool De basisopbouw van een transformator bestaat uit een magnetische kern, meestal vervaardigd uit gelamineerde ijzerblikplaten, waarop twee elektrische wikkelingen zijn aangebracht: de primaire en de secundaire wikkeling. De wikkeling waaraan de energie wordt toegevoerd, is de primaire met spanningsbron $U_1$ en $N_1$ windingen. De wikkeling waaruit de energie wordt afgenomen, is de secundaire met de opgewekte spanning $U_2$ en $N_2$ windingen, waarop een belasting kan worden aangesloten. Het grafische symbool varieert tussen bedradingsschema's en ééndraadschema's . ### 9.3 Principewerking De werking berust op elektromagnetische inductie. Een wisselspanning $U_1$ aan de primaire wikkeling veroorzaakt een wisselstroom $I_1$, die een wisselende magnetische flux $\phi$ in de kern opwekt. Deze flux induceert een wisselspanning $U_2$ in de secundaire wikkeling. Als een belasting wordt aangesloten, vloeit er een secundaire stroom $I_2$. Alle grootheden (spanningen, stromen, flux) wisselen sinusvormig en vereisen vectoriële analyse . * **Belangrijk:** Een transformator werkt uitsluitend met wisselspanning (AC), niet met gelijkspanning (DC). Bij DC ontstaat er geen wisselende flux, waardoor geen spanning wordt opgewekt in de secundaire, en er kunnen te hoge stromen ontstaan in de primaire . ### 9.4 Gedrag bij nullast Bij nullast is de secundaire wikkeling onbelast ($I_2=0$). De transformator gedraagt zich dan als een spoel met grote zelfinductie. De primaire stroom $I_1$ wordt de nullaststroom $I_0$ genoemd, die klein is en nagenoeg 90° na-ijlt op de primaire spanning $U_1$, mede door de draadweerstand en kernverliezen . De wikkelverhouding wordt gedefinieerd als $N_1/N_2$. De transformatieverhouding $k$ is $U_1/U_2$. Bij nullast zijn deze verhoudingen vrijwel gelijk : $$ k = \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} $$ Als spanningsverliezen worden verwaarloosd, geldt: $$ U_2 = \frac{U_1}{k} $$ Afhankelijk van de waarde van $k$, onderscheiden we: * $k > 1$ ($N_1 > N_2 \implies U_1 > U_2$): Spanningsverlagende transformator . * $k < 1$ ($N_1 < N_2 \implies U_1 < U_2$): Spanningsverhogende transformator . * $k = 1$ ($N_1 = N_2 \implies U_1 = U_2$): Scheidingstransformator . De geïnduceerde EMK per winding is gelijk voor primaire en secundaire. Omkering van aansluitingen op een wikkeling resulteert in een faseverschuiving van 180°, aangeduid met stippen op schema's . ### 9.5 Gedrag bij belasting Bij belasting met impedantie $Z$ ontstaat een secundaire stroom $I_2$, waarvan de faseverschuiving ten opzichte van $U_2$ afhangt van de aard van $Z$ . $$ I_2 = \frac{U_2}{Z} $$ Naarmate $I_2$ toeneemt, neemt ook $I_1$ toe. Bij voldoende belasting, waarbij de nullaststroom $I_0$ verwaarloosbaar is ten opzichte van $I_1$, geldt de volgende stroomtransformatieverhouding: $$ \frac{I_2}{I_1} = k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2} $$ Dit betekent dat als de spanning aan de secundaire met een factor $k$ lager is, de stroom daar $k$ keer hoger is vergeleken met de primaire . Bij voldoende belasting geldt voor de schijnbare vermogens dat $S_1 = S_2$: $$ S_1 = U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2 = S_2 $$ Het geleverde schijnbaar vermogen aan de belasting $S_2$ wordt dus door het net als $S_1$ geleverd. In de praktijk is $S_1$ iets hoger dan $S_2$ door magnetisering van de kern en energieverliezen . De faseverschuiving $\phi_1$ aan de primaire is bij voldoende belasting nagenoeg gelijk aan $\phi_2$ aan de secundaire . ### 9.6 Spanningsverliezen Spanningsverliezen treden op door: 1. **Draadweerstanden ($R_1, R_2$):** De primaire stroom $I_1$ veroorzaakt een spanningsval $I_1 \cdot R_1$, waardoor de geïnduceerde EMK $E_1$ lager is dan $U_1$. Bij nullast zijn deze verliezen verwaarloosbaar . 2. **Lekflux:** Een deel van het magnetische veld ontsnapt aan de kern, wat leidt tot extra spanningsverliezen . ### 9.7 Nominale waarden * **Nominale spanningen ($U_{1n}, U_{2n}$):** $U_{1n}$ is de spanning waarvoor de transformator ontworpen is (vaak 230V). $U_{2n}$ is de spanning die de transformator bij vollast aan de klemmen levert, ondanks spanningsverliezen. De spanning bij nullast is hoger dan $U_{2n}$ . * **Nominaal schijnbaar vermogen ($S_n$):** Dit is het maximale vermogen dat continu kan worden overgedragen. Het wordt beperkt door de maximale toegestane stromen ($I_{1n}, I_{2n}$) in de wikkelingen om oververhitting door Jouleverliezen te voorkomen. De nominale stromen kunnen berekend worden uit $S_n$ : $$ S_n = S_{1n} = U_{1n} \cdot I_{1n} = U_{2n} \cdot I_{2n} = S_{2n} $$ waarbij $k = U_{1n}/U_{2n} = I_{2n}/I_{1n}$ . **Voorbeeld:** Een transformator met $U_{1n} = 230$V, $U_{2n} = 50$V, en $S_n = 2300$VA heeft: * Transformatieverhouding: $k = 230 \text{V} / 50 \text{V} = 4.6$ . * Nominale primaire stroom: $I_{1n} = S_n / U_{1n} = 2300 \text{VA} / 230 \text{V} = 10 \text{A}$ . * Nominale secundaire stroom: $I_{2n} = S_n / U_{2n} = 2300 \text{VA} / 50 \text{V} = 46 \text{A}$ . ### 9.8 Oefeningen * Een transformator met $3$kVA, $400$V/$230$V. Bereken $k$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ . * Een transformator met $2$MVA, $24$kV/$3.2$kV. Bereken $k$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ . * Een transformator met $k=25$, $U_{1n} = 6000$V, $I_{1n} = 1$A. Bereken $U_{2n}$, $S_n$, $I_{2n}$ . * Een transformator met $10$kVA, $U_{2n} = 400$V, $k=5$. Bereken $U_{1n}$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ . ### 9.9 De nullastproef De nullastproef dient om het gedrag van de transformator bij geen belasting te bepalen. De primaire wordt aangesloten op $U_{1n}$ en de secundaire is open. De gemeten transformatieverhouding $k = U_1/U_2$ is hierbij nagenoeg gelijk aan de wikkelverhouding $N_1/N_2$ . Het gemeten vermogen $P_0$ bij nullast zijn voornamelijk de ijzerverliezen ($P_{Fe}$), veroorzaakt door magnetische hysteresis en wervelstromen in de kern, omdat de nullaststroom $I_0$ en de draadweerstand $R_1$ klein zijn. De faseverschuiving $\phi_0$ tussen $U_1$ en $I_0$ is bijna 90° . $$ \cos\phi_0 = \frac{P_0}{U_1 \cdot I_0} $$ Het nullastvermogen kan worden opgesplitst in een actief vermogen $P_0$ (door de actieve stroomcomponent $I_v$) en een reactief vermogen $Q_0$ (door de magnetiserende stroomcomponent $I_m$): $$ P_0 = U_1 \cdot I_v = U_1 \cdot I_0 \cdot \cos\phi_0 $$ $$ Q_0 = U_1 \cdot I_m = U_1 \cdot I_0 \cdot \sin\phi_0 $$ Het elektrisch model van de transformator bij nullast bestaat uit een weerstand $R_v$ (voor $P_0$) en een spoel met inductie $X_m$ (voor $Q_0$) : $$ P_0 = \frac{U_1^2}{R_v} \implies R_v = \frac{U_1}{I_v} = \frac{U_1^2}{P_0} $$ $$ Q_0 = \frac{U_1^2}{X_m} \implies X_m = \frac{U_1}{I_m} = \frac{U_1^2}{Q_0} $$ ### 9.10 De kortsluitproef Bij de kortsluitproef wordt de secundaire wikkeling kortgesloten en wordt de primaire aangesloten op een sterk verlaagde spanning, de kortsluitspanning $U_k$. Deze spanning wordt zo geregeld dat de nominale stromen $I_{1n}$ en $I_{2n}$ vloeien. De kortsluitspanning is typisch slechts 6% tot 8% van de nominale primaire spanning . $$ U_k (\%) = \frac{U_k}{U_{1n}} \cdot 100\% $$ De Wattmeter meet de koperverliezen ($P_{cu}$) bij nominale stromen, omdat de ijzerverliezen bij de lage kortsluitspanning verwaarloosbaar zijn: $$ P_{cu, nom} = I_{1n}^2 \cdot R_1 + I_{2n}^2 \cdot R_2 $$ ### 9.11 Serie schakelen Serie schakelen van secundaire wikkelingen met verschillende nominale waarden kan leiden tot andere secundaire spanningen (bv. som of verschil). De maximale leverbare stroom wordt beperkt door de wikkeling met de dunste draad . Trafo's met meerdere secundaire aftakkingen kunnen worden gezien als een serieschakeling van deelspoelen, waardoor diverse spanningen verkrijgbaar zijn. Een middenaftakking (center tap) biedt spanningen ten opzichte van deze aftakking . ### 9.12 Diverse uitvoeringen en speciale transformatoren #### 9.12.1 De spaartrafo of autotrafo Een autotransformator heeft één enkele wikkeling met een aftakking, wat kosten en gewicht bespaart. Er is echter geen galvanische scheiding tussen primair en secundair circuit, wat een veiligheidsrisico kan vormen . * **Spanningsverlagende uitvoering:** Werkt als een spanningsdeler. $$ U_2 = \frac{N_2}{N_1} \cdot U_1 $$ waarbij $N_1$ het totale aantal windingen is en $N_2$ het aantal windingen van de aftakking . * **Spanningsverhogende uitvoering:** Een extra spoel wordt in serie geschakeld met de primaire. $$ U_2 = \frac{N_1 + N_2}{N_1} \cdot U_1 $$ waarbij $N_1$ de primaire winding is en $N_2$ de extra spoel . * **Regeltrafo (variac):** Heeft een verschuifbaar contact om de secundaire spanning traploos te regelen . #### 9.12.2 Meettransformatoren Meettransformatoren worden gebruikt om hoge spanningen en stromen veilig te meten, door ze te reduceren tot standaardwaarden voor meetinstrumenten. Ze hebben een nauwkeurig bepaalde transformatieverhouding (geclassificeerd, bv. klasse 0,1%) . * **Spanningsmeettrafo (VMT):** Gaat hoge primaire spanningen (bv. $72.5$ kV) terugbrengen naar gestandaardiseerde secundaire spanningen (100V of 110V) . * **Stroommeettrafo (SMT):** De primaire wikkeling wordt doorlopen door de te meten stroom. De transformatieverhouding $k$ is zo gekozen dat de secundaire stroom bij nominale primaire stroom een standaardwaarde (5A of 1A) heeft. Bijvoorbeeld, een aanduiding van 1000A/5A betekent dat de maximale primaire stroom 1000A is en de secundaire stroom 200 maal lager is . * **Belangrijk:** De secundaire van een stroommeettrafo mag NOOIT open onderbroken worden als er een primaire stroom vloeit. Dit kan leiden tot kernverzadiging, oververhitting, en gevaarlijke hoge secundaire spanningen. Kortsluiten van de secundaire is wel toegestaan en zelfs aanbevolen . * **Stroomtang:** Een magnetische keten die geopend kan worden om over een geleider te plaatsen zonder deze los te maken. Handig voor snelle metingen, maar meestal minder nauwkeurig door luchtspleten. Stroomtangen voor DC werken op basis van het Hall-effect, niet transformatie . --- # Driefasige transformatoren Dit hoofdstuk behandelt de opbouw, schakelingen, transformatieverhoudingen en speciale typen driefasige transformatoren, inclusief het klokgetal . ### 10.1 Opbouw en schakelingen Een driefasige transformator is principieel opgebouwd uit een kern met drie benen, elk voorzien van zowel een primaire als een secundaire wikkeling. De zes wikkelingen hebben twaalf aansluitklemmen, gemarkeerd volgens het schema : | Been | Primair | Secundair | |------|----------|-----------| | U | 1U1/1U2 | 2U1/2U2 | | V | 1V1/1V2 | 2V1/2V2 | | W | 1W1/1W2 | 2W1/2W2 | Zowel de primaire als de secundaire spoelen moeten voor driefasig gebruik in ster (Y) of in driehoek (D) geschakeld worden. De primaire schakeling gedraagt zich als een driefasige belasting voor het net, en de secundaire schakeling als een driefasige bron. Er zijn vier hoofdschakelingen, gecodeerd met hoofdletters voor de primaire en kleine letters voor de secundaire schakeling : * **Yy:** Ster - Ster . * **Yd:** Ster - Driehoek . * **Dy:** Driehoek - Ster . * **Dd:** Driehoek - Driehoek . Vaak worden deze schakelingen tijdens de fabricage bedraad, waardoor niet alle zes klemmen beschikbaar zijn. Indien het sterpunt van een sterschakeling beschikbaar is, wordt dit aangegeven met een extra letter "n" in de code, zoals YNyn (beide sterpunten beschikbaar) of Yyn (enkel secundair sterpunt beschikbaar) . ### 10.2 Transformatieverhouding De transformatie van fasespanningen en fasestromen per been volgt de formule van de monofasige transformator, met een constante k-factor voor alle drie de benen . $$ \frac{U_{fp}}{U_{fs}} = \frac{I_{fs}}{I_{fp}} = \frac{N_p}{N_s} = k $$ . In driefasige systemen wordt echter doorgaans gewerkt met lijnspanningen ($U_L$). De transformatie van lijnspanningen ($U_{Lp}/U_{Ls}$) hangt af van de gekozen ster- of driehoekschakeling aan de primaire en secundaire zijde. Het berekenen van de juiste spanning- en stroomtransformatie is hierdoor complexer dan bij monofasige transformatoren . ### 10.3 Speciale typen transformatoren #### 10.3.1 De zigzagtrafo De zigzagtrafo is een speciale uitvoering die gebruikt wordt om een ongelijkmatige belasting aan de secundaire kant gelijkmatiger te verdelen naar de primaire kant. Elk been van de secundaire wikkeling bestaat uit twee identieke spoelen, wat resulteert in negen secundaire wikkelingen en achttien aansluitklemmen. De secundaire zijde wordt altijd in ster geschakeld, waarbij elke secundaire fase een serieschakeling is van twee secundaire spoelen van verschillende benen. Deze schakeling wordt aangeduid met de codering 'Yz', waarbij 'z' staat voor de zigzagschakeling . ### 10.4 Het klokgetal De faseverschuiving tussen de primaire en secundaire lijnspanningen kan, afhankelijk van de schakeling, verschillen. Om dit overzichtelijk weer te geven, worden schakelingen ingedeeld in schakelgroepen, die elk een specifieke faseverschuiving veroorzaken. De grootte van deze faseverschuiving wordt weergegeven door het klokgetal, dat wordt verkregen door de schakelcode (bv. Dy5). Het klokgetal vermenigvuldigd met 30 graden geeft de faseverschuiving in graden, waarbij dit aangeeft hoeveel de secundaire lijnspanning na-ijlt op de primaire lijnspanning. Bijvoorbeeld, een Dy5 trafo heeft een faseverschuiving van $5 \times 30° = 150°$. De naam 'klokgetal' komt van de analogie met de uren op een klok, waarbij elk uur overeenkomt met 30 graden . > **Tip:** Een extra faseverschuiving van 180° kan worden verkregen door bij bepaalde schakelingen (bv. Dy) de klemmen aan de primaire zijde om te wisselen (bv. van Dy5 naar Dy11) . ### 10.5 Praktische overwegingen * Bij het aansluiten van transformatoren, worden de primaire lijnen L1, L2, L3 aangesloten op 1U, 1V, 1W, en de secundaire lijnen L1, L2, L3 op 2U, 2V, 2W, respectievelijk . * Distributietransformatoren zijn vaak voorzien van aftakkingen waarmee het aantal windingen aan één zijde kan worden aangepast. Dit maakt het mogelijk de secundaire spanning te regelen met een bereik van ongeveer +10% tot -10%, om spanningsfluctuaties door wisselende belasting te compenseren. Bij hoogspanningstransformatoren gebeurt deze spanningsregeling meestal aan de hoogspanningszijde om kosten te besparen . * In berekeningen worden transformatorverliezen vaak verwaarloosd en wordt een voldoende belasting verondersteld, wat kan leiden tot lichte afwijkingen ten opzichte van werkelijke waarden . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Wisselstroom | Een elektrische stroom waarvan de richting en/of grootte periodiek verandert. | | Wisselspanning | Een elektrische spanning waarvan de polariteit en/of grootte periodiek verandert. | | Periode (T) | De tijd die nodig is om één volledige cyclus van een periodieke wisselstroom of -spanning te doorlopen. | | Frequentie (f) | Het aantal perioden dat per seconde voorkomt, uitgedrukt in Hertz (Hz). | | Ogenblikkelijke waarde | De waarde van een wisselstroom of -spanning op een specifiek moment in de tijd. | | Effectieve waarde (RMS) | De waarde van een gelijkstroom of -spanning die in een weerstand hetzelfde gemiddelde vermogen ontwikkelt als de wisselstroom of -spanning. | | Amplitude (Um, Im) | De maximale waarde die een sinusvormige wisselspanning of -stroom bereikt. | | Faseverschuiving (φ) | Het verschil in fase tussen een wisselspanning en een wisselstroom in een AC-circuit. | | Impedantie (Z) | De totale weerstand die een AC-circuit biedt aan de stroom, bestaande uit resistieve en reactieve componenten. | | Weerstand (R) | De component in een elektrisch circuit die zich verzet tegen de doorstroming van elektrische stroom en energie omzet in warmte. | | Reactantie (X) | De weerstand die spoelen (inductieve reactantie, XL) en condensatoren (capacitieve reactantie, XC) bieden aan wisselstromen, die frequentieafhankelijk is. | | Capacitantie (XC) | De weerstand van een condensator tegen de doorstroming van wisselstroom, uitgedrukt in ohm en omgekeerd evenredig met de frequentie en capaciteit. | | Inductantie (XL) | De weerstand van een spoel tegen de doorstroming van wisselstroom, uitgedrukt in ohm en recht evenredig met de frequentie en zelfinductiecoëfficiënt. | | Actief vermogen (P) | Het deel van het vermogen in een AC-circuit dat wordt omgezet in warmte of nuttige arbeid, uitgedrukt in Watt (W). | | Reactief vermogen (Q) | Het vermogen dat heen en weer pendelt tussen de bron en de componenten met zelfinductie of capaciteit, uitgedrukt in Volt-Ampère Reactief (VAR). | | Schijnbaar vermogen (S) | Het totale vermogen dat de bron levert aan een AC-circuit, de vectoriële som van actief en reactief vermogen, uitgedrukt in Volt-Ampère (VA). | | Arbeidsfactor (AF of cos φ) | De verhouding tussen actief vermogen en schijnbaar vermogen, die aangeeft hoe efficiënt de elektrische energie wordt gebruikt. | | Stroomsom (I) | De vectoriële som van alle deelstromen in een knooppunt of parallelcircuit. | | Spanningssom (U) | De vectoriële som van alle deelspanningen in een kring of serieschakeling. | | Admittantie (Y) | Het omgekeerde van impedantie, die de geleidbaarheid van een circuit aangeeft, uitgedrukt in Siemens (S). | | Vectoriële voorstelling | Een grafische weergave van wisselspanningen en -stromen als vectoren, waarbij de lengte de amplitude of effectieve waarde en de hoek de fase aangeeft. | | Sterschakeling (Y) | Een manier om drie wisselstroomspoelen aan te sluiten, waarbij de uiteinden van de spoelen met elkaar worden verbonden om een sterpunt te vormen. | | Driehoekschakeling (D of Δ) | Een manier om drie wisselstroomspoelen aan te sluiten, waarbij ze in een gesloten lus worden verbonden. | | Nulleider (N) | De retourgeleider in een vierdraads AC-systeem, die het circuit sluit voor belastingen aangesloten tussen een lijndraad en de nulleider. | | Lijnspanning (UL) | De spanning tussen twee lijndraden in een driefasensysteem. | | Fasespanning (Uf) | De spanning tussen een lijndraad en de nulleider (of het sterpunt) in een driefasensysteem. | | Resonantie | Een fenomeen waarbij de reactantie van een spoel gelijk is aan de reactantie van een condensator, wat resulteert in een minimale impedantie (serie) of maximale impedantie (parallel) en een faseverschuiving van nul. | | Transformator | Een elektrisch apparaat dat wisselspanning omzet naar een andere spanning door middel van elektromagnetische inductie. | | Primaire wikkeling | De wikkeling van een transformator die is aangesloten op de voedingsbron. | | Secundaire wikkeling | De wikkeling van een transformator waaruit de omgezette energie wordt onttrokken. | | Transformatieverhouding (k) | De verhouding tussen de spanningen of het aantal windingen van de primaire en secundaire wikkelingen van een transformator. | | Nullaststroom (I0) | De kleine stroom die door een transformator loopt wanneer deze niet belast is aan de secundaire zijde, voornamelijk benodigd voor magnetisering. | | IJzerverliezen (PFe) | De energie die verloren gaat als warmte in de kern van een transformator als gevolg van hysterese en wervelstromen. | | Koperverliezen (Pcu) | De energie die verloren gaat als warmte in de wikkelingen van een transformator als gevolg van de weerstand van de geleiders. | | Spaartrafo (Autotrafo) | Een transformator met slechts één wikkeling die zowel als primaire als secundaire dient, wat leidt tot een kostendaling maar geen galvanische scheiding. | | Meettransformator | Een transformator ontworpen voor het veilig en nauwkeurig meten van hoge spanningen of stromen door deze naar lagere, meetbare waarden te transformeren. | | Klokgetal | Een aanduiding voor de faseverschuiving tussen de primaire en secundaire lijnspanningen van een driefasige transformator, gerelateerd aan de schakelgroep. |

# Pulse code modulation and signal encoding This topic covers the fundamental principles of Pulse Code Modulation (PCM) for analog-to-digital conversion and explores various digital signal encoding techniques used in communication systems [2](#page=2). ### 1.1 Pulse Code Modulation (PCM) Pulse Code Modulation (PCM) is a method used in telephony systems for analog-to-digital (A/D) conversion of voice signals. It involves three primary stages: sampling, quantization, and encoding [2](#page=2). #### 1.1.1 Sampling Sampling is the process of taking discrete measurements of an analog signal at regular intervals. According to the Nyquist-Shannon sampling theorem, to accurately reconstruct a signal, the sampling rate must be at least twice the highest frequency component of the signal. For example, if a signal has a maximum frequency of 10 kHz, the sampling rate must be at least 20 kHz [2](#page=2). #### 1.1.2 Quantization Quantization is the process of approximating the sampled analog values to a finite number of discrete levels. This process introduces quantization error, which is the difference between the actual sampled value and its quantized representation [2](#page=2). * **Reducing quantization error:** To minimize quantization error, the number of quantization levels can be increased. This typically involves using more bits per sample [2](#page=2). > **Tip:** Increasing the number of bits per sample leads to a finer resolution in representing the analog signal, thus reducing the quantization error. However, it also directly increases the bit rate of the encoded signal. * **Impact on bit rate:** Using more bits per sample directly increases the bit rate of the PCM-encoded signal. If a signal is to be encoded with 7 bits, and the sampling rate is $f_s$, the bit rate $R$ is given by $R = n \times f_s$, where $n$ is the number of bits per sample. For instance, a signal with a maximum frequency of 10 kHz, sampled at 20 kHz and encoded with 7 bits per sample, would have a bit rate of $7 \times 20 \text{ kHz} = 140 \text{ kbps}$ [2](#page=2). #### 1.1.3 Encoding Encoding is the final step where the quantized samples are converted into a binary digital format. * **PCM encoding example:** To encode an audio signal with a frequency range of 0-10 kHz using 6-bit data segments, the signal must first be sampled at a rate of at least 20 kHz. Each sample is then quantized to one of $2^6 = 64$ levels. The resulting bit rate would be $6 \text{ bits/sample} \times 20 \text{ ksamples/sec} = 120 \text{ kbps}$. This is the minimum bit rate required to reconstruct the signal accurately [2](#page=2) [3](#page=3). * **Increasing frequency band:** To increase the frequency band of a PCM-encoded signal, the sampling rate must be increased in accordance with the Nyquist theorem. This, in turn, will increase the bit rate of the encoded signal [2](#page=2). ### 1.2 Signal Encoding Techniques Signal encoding techniques, also known as line coding, are used to represent digital data as electrical signals for transmission over a communication channel. These methods vary in their complexity, efficiency, and susceptibility to noise [3](#page=3). #### 1.2.1 Non-Return-to-Zero (NRZ) Non-Return-to-Zero (NRZ) is a simple encoding scheme where the signal level remains constant for the duration of a bit. There are two main types: * **NRZ-L (Level):** A logic '1' is represented by one voltage level, and a logic '0' by another. * **NRZ-I (Invert):** A transition in the signal indicates a logic '1', while no transition indicates a logic '0'. * **Encoding 10 zeros with NRZ:** If a sequence of ten zeros is to be encoded using NRZ, and assuming NRZ-L where '0' is represented by a low voltage and '1' by a high voltage, the signal would remain at the low voltage for the entire duration of the ten bits [3](#page=3). #### 1.2.2 Manchester Coding Manchester coding is a self-clocking encoding scheme where each bit period has a transition in the middle. A transition from low to high in the middle of the bit interval can represent a '0', and a transition from high to low can represent a '1' (or vice versa, depending on the convention). The presence of a transition in every bit period helps the receiver synchronize with the transmitter's clock. * **Encoding 10 zeros with Manchester:** For a sequence of ten zeros using Manchester coding, assuming a low-to-high transition represents '0', there would be a low-to-high transition in the middle of each bit period for all ten bits [3](#page=3). * **Decoding Manchester coded signals:** To decode a Manchester coded signal, one observes the transitions. A transition from low to high in the middle of a bit interval typically signifies a '0', while a transition from high to low signifies a '1'. The receiver synchronizes to these mid-bit transitions to determine the bit value [3](#page=3). ### 1.3 Bit Rate and Bit Duration The bit rate is the number of bits transmitted per second, usually measured in bits per second (bps), kilobits per second (kbps), or megabits per second (Mbps). The bit duration is the time it takes to transmit a single bit. They are inversely related: * **Bit Rate (R):** Measured in bits per second (bps). * **Bit Duration ($T_b$):** Measured in seconds (s). $$ R = \frac{1}{T_b} $$ $$ T_b = \frac{1}{R} $$ * **Calculating Bit Rate:** * If a bit lasts for 1 millisecond ($1 \times 10^{-3}$ s), the bit rate is $R = \frac{1}{1 \times 10^{-3} \text{ s}} = 1000 \text{ bps} = 1 \text{ kbps}$ [2](#page=2). * If a bit lasts for 2 microseconds ($2 \times 10^{-6}$ s), the bit rate is $R = \frac{1}{2 \times 10^{-6} \text{ s}} = 500,000 \text{ bps} = 500 \text{ kbps}$ or $0.5 \text{ Mbps}$ [2](#page=2). * **Calculating Bit Duration:** * For a bit rate of 100 kbps ($100 \times 10^3$ bps), the bit duration is $T_b = \frac{1}{100 \times 10^3 \text{ bps}} = 10 \times 10^{-6} \text{ s} = 10 \text{ microseconds}$ [2](#page=2). * For a bit rate of 2 Mbps ($2 \times 10^6$ bps), the bit duration is $T_b = \frac{1}{2 \times 10^6 \text{ bps}} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ s} = 0.5 \text{ microseconds}$ [2](#page=2). ### 1.4 Impact of Noise and Errors Noise and disturbances on a communication channel can corrupt the transmitted bits, leading to bit errors. The probability of a bit error is often denoted by $p$. * **Bit errors in a packet:** If a packet has $N$ bits and the bit error probability is $p$, the probability that a packet of $N$ bits does not arrive correctly due to bit errors can be approximated. For a packet of 1024 bits with a bit error probability of 0.005, the probability that at least one bit is in error is $1 - (1-p)^N = 1 - (1 - 0.005)^{1024}$. This value is very close to $1 - e^{-Np} = 1 - e^{-(1024 \times 0.005)} = 1 - e^{-5.12} \approx 0.994$. Therefore, it is highly probable that the packet will not arrive correctly [2](#page=2). * **Noise impact on different bit rates:** Noise can affect bit streams differently depending on the bit rate. At higher bit rates, the bit duration is shorter, meaning that a burst of noise lasting a certain duration will corrupt fewer bits compared to a lower bit rate signal with a longer bit duration [2](#page=2) [3](#page=3). * **Example:** If a link experiences a strong disturbance for two milliseconds ($2 \times 10^{-3}$ s): * At 10 kbps ($10 \times 10^3$ bps), the bit duration is $1/10^4 = 10^{-4}$ s. In 2 ms, $2 \times 10^{-3} \text{ s} / 10^{-4} \text{ s/bit} = 20$ bits can be affected [3](#page=3). * At 100 kbps ($100 \times 10^3$ bps), the bit duration is $1/10^5 = 10^{-5}$ s. In 2 ms, $2 \times 10^{-3} \text{ s} / 10^{-5} \text{ s/bit} = 200$ bits can be affected [3](#page=3). * At 1 Mbps ($1 \times 10^6$ bps), the bit duration is $1/10^6 = 10^{-6}$ s. In 2 ms, $2 \times 10^{-3} \text{ s} / 10^{-6} \text{ s/bit} = 2000$ bits can be affected [3](#page=3). > **Tip:** While higher bit rates are susceptible to corrupting more bits during a sustained noise event, the shorter bit duration means that individual bits are less likely to be affected by very short noise pulses compared to lower bit rate signals. ### 1.5 Amplitude Shift Keying (ASK) Amplitude Shift Keying (ASK) is a form of amplitude modulation where digital information is transmitted through the amplitude variations of a carrier signal. In ASK, discrete amplitude levels correspond to specific data symbols. For example, in a simple binary ASK system, one amplitude level represents a digital '1' and another amplitude level (often zero or a lower amplitude) represents a digital '0' [3](#page=3). --- # Digital communication errors and bit rates Digital communication errors introduce uncertainty into data transmission, impacting bit integrity, while bit rates define the speed of data transfer; understanding these concepts is crucial for reliable digital systems. ## 2 Digital communication errors and bit rates This section explores the fundamental concepts of digital communication errors, their relationship with noise, and the calculation of bit rates based on bit duration and vice versa. It also addresses how to quantify potential bit errors during interference. ### 2.1 Impact of noise on bit streams Noise, an undesirable disturbance in a communication channel, can corrupt digital data streams, leading to bit errors. When noise interferes with a signal, it can alter the intended values of bits, causing a '0' to be received as a '1' or vice versa. The susceptibility of a bit stream to noise is not uniform; bit streams transmitted at different bit rates can be affected differently. Higher bit rates mean that each bit is represented by a shorter duration signal pulse. Consequently, a shorter pulse is more vulnerable to corruption by noise within that brief interval compared to a longer pulse representing a bit at a lower bit rate. This means that for a given level of noise, a higher bit rate can potentially lead to a greater number of bit errors [2](#page=2). ### 2.2 Bit rates and bit durations The bit rate, often denoted as $R$, quantifies the speed at which data is transmitted, typically measured in bits per second (bps). Conversely, the bit duration, often denoted as $T_b$, represents the time interval each individual bit occupies in the data stream. These two parameters are inversely related: a higher bit rate implies a shorter bit duration, and a lower bit rate implies a longer bit duration [2](#page=2). The fundamental relationship between bit rate and bit duration can be expressed by the following equations: * **Calculating bit rate from bit duration:** If the duration of a single bit ($T_b$) is known, the bit rate ($R$) can be calculated as: $$R = \frac{1}{T_b}$$ * **Calculating bit duration from bit rate:** If the bit rate ($R$) is known, the duration of a single bit ($T_b$) can be calculated as: $$T_b = \frac{1}{R}$$ **Example:** * If a signal has a bit duration of 1 millisecond, its bit rate is calculated as: $T_b = 1 \text{ ms} = 1 \times 10^{-3} \text{ s}$ $R = \frac{1}{1 \times 10^{-3} \text{ s}} = 1000 \text{ bps} = 1 \text{ kbps}$ [2](#page=2). * If a signal has a bit duration of 2 microseconds, its bit rate is calculated as: $T_b = 2 \text{ µs} = 2 \times 10^{-6} \text{ s}$ $R = \frac{1}{2 \times 10^{-6} \text{ s}} = 500,000 \text{ bps} = 500 \text{ kbps}$ [2](#page=2). **Example:** * If a signal has a bit rate of 100 kilobits per second (kbps): $R = 100 \text{ kbps} = 100 \times 10^3 \text{ bps}$ $T_b = \frac{1}{100 \times 10^3 \text{ bps}} = 10 \times 10^{-6} \text{ s} = 10 \text{ µs}$ [2](#page=2). * If a signal has a bit rate of 2 megabits per second (Mbps): $R = 2 \text{ Mbps} = 2 \times 10^6 \text{ bps}$ $T_b = \frac{1}{2 \times 10^6 \text{ bps}} = 0.5 \times 10^{-6} \text{ s} = 0.5 \text{ µs}$ [2](#page=2). ### 2.3 Quantifying bit errors during interference When a data transmission experiences a significant interference over a specific duration, it can lead to a certain number of bits being corrupted. To determine the number of potentially erroneous bits, one needs to know the duration of the interference and the bit rate of the data stream. The total number of bits affected is the product of the interference duration and the bit rate [3](#page=3). The formula to calculate the number of potentially erroneous bits ($N_{erroneous}$) is: $$N_{erroneous} = \text{Interference Duration} \times \text{Bit Rate}$$ **Example:** Suppose a data transfer receives a strong interference for two milliseconds. * If the bit rate is 10 kilobits per second (kbps): Interference Duration $= 2 \text{ ms} = 2 \times 10^{-3} \text{ s}$ Bit Rate $= 10 \text{ kbps} = 10 \times 10^3 \text{ bps}$ $N_{erroneous} = (2 \times 10^{-3} \text{ s}) \times (10 \times 10^3 \text{ bps}) = 20 \text{ bits}$ [3](#page=3). * If the bit rate is 100 kilobits per second (kbps): Interference Duration $= 2 \text{ ms} = 2 \times 10^{-3} \text{ s}$ Bit Rate $= 100 \text{ kbps} = 100 \times 10^3 \text{ bps}$ $N_{erroneous} = (2 \times 10^{-3} \text{ s}) \times (100 \times 10^3 \text{ bps}) = 200 \text{ bits}$ [3](#page=3). * If the bit rate is 1 megabit per second (Mbps): Interference Duration $= 2 \text{ ms} = 2 \times 10^{-3} \text{ s}$ Bit Rate $= 1 \text{ Mbps} = 1 \times 10^6 \text{ bps}$ $N_{erroneous} = (2 \times 10^{-3} \text{ s}) \times (1 \times 10^6 \text{ bps}) = 2000 \text{ bits}$ [3](#page=3). > **Tip:** Notice how a higher bit rate leads to a significantly larger number of potentially erroneous bits within the same interference duration, highlighting the critical impact of noise on high-speed digital communications. --- # Amplitude shift keying modulation Amplitude shift keying (ASK) is a form of amplitude modulation utilized in digital communication systems [3](#page=3). ### 3.1 Concept of ASK ASK is a method where the amplitude of a carrier signal is varied to represent digital data. Each digital symbol (e.g., a 0 or a 1) is represented by a specific amplitude level of the carrier wave [3](#page=3). ### 3.2 Representation of Digital Data In a typical binary ASK system, two amplitude levels are used to represent the two binary digits: * **One amplitude level** (often a non-zero value) represents a digital '1'. * **Another amplitude level** (often zero amplitude, meaning no signal) represents a digital '0'. This variation in amplitude directly encodes the binary information onto the carrier signal. The carrier frequency and phase remain constant throughout the transmission. > **Tip:** The key characteristic of ASK is that the data is modulated by changing the *amplitude* of the carrier signal, while frequency and phase remain unchanged. --- ## Common mistakes to avoid - Review all topics thoroughly before exams - Pay attention to formulas and key definitions - Practice with examples provided in each section - Don't memorize without understanding the underlying concepts

| Term | Definition | |------|------------| | Pulse Code Modulation (PCM) | A method used in digital communication systems to digitally represent analog signals. It involves three main steps: sampling, quantization, and encoding, to convert an analog waveform into a sequence of binary digits. | | Sampling | The process of taking discrete measurements of an analog signal at regular intervals. This converts a continuous-time signal into a discrete-time signal, forming the first step in Pulse Code Modulation. | | Quantization | The process of approximating the sampled analog values to a finite set of discrete levels. This step introduces quantization error, which is the difference between the actual sampled value and its quantized representation. | | Encoding | The process of converting the quantized samples into a binary digital format, typically a bitstream, for transmission or storage. This is the final stage of Pulse Code Modulation. | | Quantization error | The difference between the original analog signal value and its quantized digital representation. Reducing quantization error can be achieved by increasing the number of quantization levels, which in turn increases the bit rate. | | Bit rate | The number of bits that are transmitted or processed per unit of time, usually measured in bits per second (bps). Increasing the frequency band or the number of bits per sample generally increases the bit rate. | | Frequency band | The range of frequencies occupied by a signal. Increasing the frequency band of a signal that is to be digitized implies that more information needs to be represented, often leading to higher sampling rates and thus higher bit rates. | | Bit error probability | The likelihood that a single bit transmitted over a communication channel will be flipped from its original value (0 to 1 or 1 to 0) due to noise or other disturbances. | | Bitstream | A sequence of bits representing digital data. The integrity of a bitstream can be compromised by bit errors. | | Interference | Unwanted disturbances that corrupt a signal during transmission. This can manifest as noise or transient errors that affect multiple bits. | | Bit duration | The amount of time a single bit occupies during transmission. It is inversely related to the bit rate; a shorter bit duration means a higher bit rate. | | NRZ (Non-Return-to-Zero) | A simple line coding technique where a binary 0 is represented by one voltage level and a binary 1 by another voltage level, without returning to zero voltage between bits. | | Manchester coding | A line coding scheme where each bit is represented by a transition in the middle of the bit period. For example, a 0 might be a low-to-high transition and a 1 a high-to-low transition, ensuring a transition in every bit period. | | Amplitude Modulation (AM) | A modulation technique where the amplitude of a carrier signal is varied in proportion to the message signal's instantaneous amplitude. In digital contexts, this is often referred to as Amplitude Shift Keying (ASK). | | Amplitude Shift Keying (ASK) | A type of amplitude modulation used in digital communication where the amplitude of a carrier signal is switched between different predefined levels to represent binary digits. | | Noise | Random fluctuations or unwanted disturbances that are superimposed on a signal. Noise can corrupt digital data, leading to bit errors. |

# Regelbare weerstanden en spanningsdeling Dit deel van het document behandelt regelbare weerstanden, zoals schuifweerstanden en potentiometers, en hun toepassing in spanningsdelerschakelingen, zowel onbelast als belast. ### 1.1 Regelbare weerstanden Weerstanden waarvan de weerstandswaarde kan worden aangepast, worden regelbare weerstanden of regelweerstanden genoemd. Door deze in serie te schakelen in een elektrische kring, is het mogelijk om de stroomsterkte en bijgevolg de spanningsverdeling te regelen [2](#page=2). #### 1.1.1 Schuifweerstanden Een schuifweerstand heeft typisch drie aansluitklemmen. De klemmen A en B vormen het begin- en eindpunt van de weerstand. Door de schuiver, ook wel loper genoemd (aangeduid met C), te bewegen, kan de weerstandswaarde continu worden aangepast tussen A en C, of tussen B en C [2](#page=2). #### 1.1.2 Potentiometer Een potentiometer is een type regelbare weerstand waarbij de loper roterend is uitgevoerd. Net als bij een schuifweerstand, wordt hierbij de weerstandswaarde continu geregeld door de positie van de loper aan te passen [3](#page=3). ### 1.2 Spanningsdeling: onbelast Een potentiometer kan worden gebruikt om een spanningsdeler te vormen. Hierbij worden alle drie de aansluitklemmen van de schuifweerstand gebruikt. Het doel is om een uitgangsspanning te verkrijgen die een fractie is van de ingangsspanning, waarbij deze uitgangsspanning regelbaar is afhankelijk van de positie van de loper [4](#page=4). #### 1.2.1 Principe van de onbelaste spanningsdeler De totale weerstand, aangeduid als $R$ (tussen klemmen A en B), wordt aangesloten op een ingangsspanning $U_{in}$. De loper, C, verdeelt de totale weerstand $R$ in twee deelweerstanden, $R_1$ en $R_2$. Aangezien dezelfde stroom $I$ door beide deelweerstanden vloeit, vormen $R_1$ en $R_2$ samen een spanningsdeler [5](#page=5). Volgens de wet van Ohm is de uitgangsspanning $U_{uit}$ gelijk aan het product van de deelweerstand $R_2$ en de stroom $I$ [5](#page=5): $U_{uit} = R_2 \cdot I$ [5](#page=5). De stroom $I$ die door de gehele weerstand loopt, wordt bepaald door de totale ingangsspanning $U_{in}$ gedeeld door de totale weerstand $R_1 + R_2$ [5](#page=5): $I = \frac{U_{in}}{R_1 + R_2}$ [5](#page=5). Door deze twee formules te combineren, verkrijgen we de formule voor de uitgangsspanning in een onbelaste spanningsdeler: $U_{uit} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot U_{in}$ [5](#page=5) [6](#page=6). #### 1.2.2 Gedrag en lineariteit van de onbelaste spanningsdeler De uitgangsspanning is regelbaar: wanneer de loper van B naar A beweegt, stijgt de spanning, en bij een beweging van A naar B zal de spanning dalen [6](#page=6). > **Tip:** De formule laat zien dat de uitgangsspanning $U_{uit}$ lineair varieert met de deelweerstand $R_2$, zolang de potentiometer niet belast wordt [6](#page=6). ### 1.3 Spanningsdeling: belast Wanneer de potentiometer aan de uitgang belast wordt, moet bij het berekenen van de uitgangsspanning rekening worden gehouden met de waarde van deze belasting, aangeduid als $R_3$ [7](#page=7). #### 1.3.1 Formules voor de belaste spanningsdeler De belasting $R_3$ wordt parallel geschakeld met de deelweerstand $R_2$. De effectieve weerstand van dit parallelle deel is $\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$. De totale weerstand in de kring wordt dan $R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$. De stroom $I$ die door de totale weerstand loopt, is [7](#page=7): $I = \frac{U_{in}}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}$ [7](#page=7). De uitgangsspanning $U_{uit}$ is dan de stroom $I$ vermenigvuldigd met de parallelweerstand: $U_{uit} = I \cdot \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$ [7](#page=7). Door de formules samen te voegen, verkrijgen we de volledige uitdrukking voor de uitgangsspanning bij een belaste potentiometer: $U_{uit} = \frac{\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}} \cdot U_{in}$ [7](#page=7) [8](#page=8). Dit kan ook geschreven worden als: $U_{uit} = U_{in} \cdot \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1(R_2 + R_3) + R_2 \cdot R_3}$ [8](#page=8). #### 1.3.2 Invloed van de belasting Bij belasting is de uitgangsspanning $U_{uit}$ lager dan in het onbelaste geval [8](#page=8). > **Tip:** Om ervoor te zorgen dat de uitgangsspanning slechts minimaal verandert door de belasting, moet de belastingsweerstand $R_3$ significant groter zijn dan de deelweerstand $R_2$ (d.w.z. $R_3 >> R_2$) [8](#page=8). > **Opmerking:** Het is belangrijker om de logica achter deze formules te begrijpen dan ze puur uit het hoofd te leren. De onderdelen van de formule representeren specifieke elektrische configuraties (serie, parallel) en de wet van Ohm [8](#page=8). --- # De brug van Wheatstone De brug van Wheatstone is een elektrische schakeling die voornamelijk wordt gebruikt voor het nauwkeurig meten van weerstandswaarden, door middel van het principe van evenwicht [9](#page=9). ### 2.1 Componenten en basisprincipes De brug van Wheatstone bestaat uit vier weerstanden die zodanig zijn geschakeld dat ze een gesloten keten vormen. Tussen twee punten van deze keten is een galvanometer aangesloten, en tussen de andere twee punten is een gelijkspanningsbron verbonden [12](#page=12) [9](#page=9). #### 2.1.1 De galvanometer Een galvanometer is een zeer gevoelige ampèremeter, ontworpen om extreem kleine stromen te detecteren, soms tot wel $10^{-9}$ A. De primaire functie is het vaststellen of er stroom vloeit, zonder noodzakelijkerwijs de exacte grootte ervan te hoeven meten. In de context van de Wheatstonebrug meet deze of er stroom loopt tussen de punten C en D [12](#page=12). #### 2.1.2 De nulmethode De nulmethode houdt in dat men de schakeling aanpast totdat er geen stroom meer door de galvanometer loopt. Op dit punt is de brug in evenwicht, ook wel een gebalanceerde brug genoemd. Dit evenwicht wordt bereikt door een specifieke weerstand, de referentieweerstand, nauwkeurig regelbaar te maken [10](#page=10) [11](#page=11). ### 2.2 Het principe van evenwicht De brug van Wheatstone wordt als "in evenwicht" beschouwd wanneer de stroom door de galvanometer, aangeduid als $I_5$, gelijk is aan nul. Dit impliceert dat er geen potentiaalverschil bestaat tussen de punten C en D [13](#page=13). Wanneer de brug in evenwicht is ($I_5 = 0$), gelden de volgende relaties: * $I_1 = I_3$ [13](#page=13). * $I_2 = I_4$ [13](#page=13). * Het potentiaalverschil tussen A en C is gelijk aan het potentiaalverschil tussen A en D ($U_{AC} = U_{AD}$) [13](#page=13). * Het potentiaalverschil tussen C en B is gelijk aan het potentiaalverschil tussen D en B ($U_{CB} = U_{DB}$) [13](#page=13). Dit leidt tot de volgende vergelijkingen: * $I_1 \cdot R_1 = I_2 \cdot R_2$ [13](#page=13). * $I_3 \cdot R_x = I_4 \cdot R_n$ [13](#page=13). Door de eerste twee vergelijkingen te combineren, kan de evenwichtsconditie worden uitgedrukt als een verhouding van weerstanden: $$ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4} $$ of equivalent [13](#page=13) [14](#page=14): $$ \frac{R_1}{R_3} = \frac{R_2}{R_4} $$ > **Tip:** De relatie $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$ is cruciaal voor het berekenen van onbekende weerstanden in een gebalanceerde Wheatstonebrug. Zorg ervoor dat je deze formule goed onthoudt. ### 2.3 Berekening van de onbekende weerstand Als drie van de vier weerstanden bekend zijn en de brug in evenwicht is, kan de waarde van de onbekende weerstand eenvoudig worden berekend. Met de eerder afgeleide evenwichtsconditie, herschreven voor de onbekende weerstand $R_x$ [11](#page=11): $$ R_x = R_n \cdot \frac{R_1}{R_2} $$ Hierbij is $R_1$, $R_2$ en $R_n$ de bekende weerstanden, en $R_x$ de te bepalen onbekende weerstand. De weerstand $R_n$ wordt ook wel de normaalweerstand of referentieweerstand genoemd en is nauwkeurig regelbaar om het evenwicht te bewerkstelligen [11](#page=11) [14](#page=14). > **Example:** Stel dat we een Wheatstonebrug hebben met $R_1 = 100\ \text{ohm}$, $R_2 = 200\ \text{ohm}$, en $R_n = 300\ \text{ohm}$. Om de brug in evenwicht te brengen met een onbekende weerstand $R_x$, stellen we $R_n$ in op $300\ \text{ohm}$ zodat de galvanometer nul aangeeft. De waarde van de onbekende weerstand wordt dan: > $$ R_x = R_n \cdot \frac{R_1}{R_2} = 300\ \text{ohm} \cdot \frac{100\ \text{ohm}}{200\ \text{ohm}} = 300\ \text{ohm} \cdot 0.5 = 150\ \text{ohm} $$ > [11](#page=11) [14](#page=14). --- # Oefeningen met weerstandstoepassingen Dit hoofdstuk biedt een reeks oefeningen die de toepassing van weerstanden, potentiometers en de brug van Wheatstone demonstreren, variërend van weerstandsberekeningen tot het analyseren van belaste schakelingen. ### 3.1 Oefeningen met potentiometers Deze sectie behandelt diverse problemen waarbij een spanningsbron is aangesloten op een potentiometer, met variërende instellingen van de loper om specifieke spanningen of weerstandswaarden te bepalen. #### 3.1.1 Oefening 1: Spanning verdelen met potentiometer Een D.C. spanningsbron van 24V wordt aangesloten op een potentiometer van 10k Ω (tussen de klemmen A en B). De loper wordt zodanig ingesteld dat er tussen W en B 3,5V wordt gemeten. We moeten de weerstandswaarde $R_{WB}$ bepalen [15](#page=15). De potentiometer gedraagt zich als een serieschakeling van twee weerstanden, $R_{AW}$ en $R_{WB}$, waarbij de totale weerstand $R_{AB} = 10k \Omega$. De spanning wordt verdeeld over deze twee weerstanden volgens de spanningsdelerformule [15](#page=15). De spanning over $R_{WB}$ is: $$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$ We weten $U_{AB} = 24V$ en $U_{WB} = 3,5V$. De totale weerstand $R_{AB} = 10k \Omega$ [15](#page=15). Om $R_{WB}$ te vinden, herschikken we de formule: $$ R_{WB} = R_{AB} \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$ $$ R_{WB} = 10k \Omega \times \frac{3,5V}{24V} $$ $$ R_{WB} \approx 1,458 k \Omega $$ De weerstandswaarde $R_{WB}$ bedraagt dus ongeveer 1,458 k Ω [15](#page=15). #### 3.1.2 Oefening 2: Potentiometer met ingestelde weerstandswaarde Een D.C. spanningsbron van 30V wordt aangesloten op dezelfde potentiometer van 10k Ω. De loper wordt zodanig ingesteld dat $R_{AW} = 7,5k \Omega$. We moeten de spanning meten tussen W en B ($U_{WB}$) [15](#page=15). De totale weerstand van de potentiometer is $R_{AB} = 10k \Omega$. Als $R_{AW} = 7,5k \Omega$, dan is de resterende weerstand $R_{WB} = R_{AB} - R_{AW} = 10k \Omega - 7,5k \Omega = 2,5k \Omega$ [15](#page=15). Met de spanningsdelerformule kunnen we $U_{WB}$ berekenen: $$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$ $$ U_{WB} = 30V \times \frac{2,5k \Omega}{10k \Omega} $$ $$ U_{WB} = 30V \times 0,25 $$ $$ U_{WB} = 7,5V $$ De gemeten spanning tussen W en B zal 7,5V zijn [15](#page=15). #### 3.1.3 Oefening 3: Gewenste spanning instellen met potentiometer In een schakeling met een ingangsspanning $U = 100V$ en een weerstand $R_{AW} = 15k \Omega$ willen we een uitgangsspanning $U_{WB} = 20V$ bekomen. We moeten de weerstandswaarde van $R_{WB}$ bepalen [16](#page=16). De spanningsdelerformule luidt: $$ U_{WB} = U_{AB} \times \frac{R_{WB}}{R_{AB}} $$ Hierbij is $U_{AB} = U = 100V$. De totale weerstand $R_{AB} = R_{AW} + R_{WB}$ [16](#page=16). We kunnen de formule herschikken om $R_{WB}$ te vinden: $$ R_{WB} = R_{AB} \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$ $$ R_{WB} = (R_{AW} + R_{WB}) \times \frac{U_{WB}}{U_{AB}} $$ Vul de bekende waarden in: $$ R_{WB} = (15k \Omega + R_{WB}) \times \frac{20V}{100V} $$ $$ R_{WB} = (15k \Omega + R_{WB}) \times 0,2 $$ $$ R_{WB} = 3k \Omega + 0,2 R_{WB} $$ Breng de termen met $R_{WB}$ naar één kant: $$ R_{WB} - 0,2 R_{WB} = 3k \Omega $$ $$ 0,8 R_{WB} = 3k \Omega $$ $$ R_{WB} = \frac{3k \Omega}{0,8} $$ $$ R_{WB} = 3,750 k \Omega $$ De benodigde weerstandswaarde voor $R_{WB}$ is 3,750 k Ω [16](#page=16). ### 3.2 Oefeningen met belaste schakelingen Deze sectie onderzoekt de impact van een belasting op de uitgangsspanning van een spanningsdeler, waarbij de oorspronkelijke onbelaste spanning wordt vergeleken met de gespannen spanning onder belasting. #### 3.2.1 Oefening 4: Onbelaste uitgangsspanning berekenen De ingangsspanning $V_{in}$ van een spanningsdeler bedraagt 45V. De weerstanden zijn $R_1 = 200 \Omega$ en $R_2 = 500 \Omega$. We moeten de onbelaste uitgangsspanning $V_{out}$ bepalen [17](#page=17). De uitgangsspanning wordt gemeten over $R_2$. Met de spanningsdelerformule: $$ V_{out} = V_{in} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} $$ $$ V_{out} = 45V \times \frac{500 \Omega}{200 \Omega + 500 \Omega} $$ $$ V_{out} = 45V \times \frac{500 \Omega}{700 \Omega} $$ $$ V_{out} = 45V \times \frac{5}{7} $$ $$ V_{out} \approx 32,14 V $$ De onbelaste uitgangsspanning is ongeveer 32,14 V [17](#page=17). #### 3.2.2 Oefening 5: Uitgangsspanning onder belasting berekenen De ingangsspanning $V_{in}$ is opnieuw 45V, met $R_1 = 200 \Omega$ en $R_2 = 500 \Omega$. Echter, nu wordt een belasting $R_L$ van 100 Ω aan de uitgang geplaatst. We moeten de spanning over de belasting $R_L$ bepalen [18](#page=18). Wanneer er een belasting wordt geplaatst, staat $R_L$ parallel aan $R_2$. De totale weerstand van dit parallelle gedeelte ($R_{2 || L}$) kan berekend worden met: $$ R_{2 || L} = \frac{R_2 \times R_L}{R_2 + R_L} $$ $$ R_{2 || L} = \frac{500 \Omega \times 100 \Omega}{500 \Omega + 100 \Omega} $$ $$ R_{2 || L} = \frac{50000 \Omega^2}{600 \Omega} $$ $$ R_{2 || L} = \frac{500}{6} \Omega = \frac{250}{3} \Omega \approx 83,33 \Omega $$ Nu kunnen we de uitgangsspanning (die nu over $R_{2 || L}$ staat) berekenen met de spanningsdelerformule, waarbij we de effectieve parallelle weerstand gebruiken: $$ V_{out\_belasted} = V_{in} \times \frac{R_{2 || L}}{R_1 + R_{2 || L}} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{\frac{250}{3} \Omega}{200 \Omega + \frac{250}{3} \Omega} $$ Om de breuk in de teller en noemer te vereenvoudigen: $$ R_1 + R_{2 || L} = 200 + \frac{250}{3} = \frac{600}{3} + \frac{250}{3} = \frac{850}{3} \Omega $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{\frac{250}{3} \Omega}{\frac{850}{3} \Omega} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{250}{850} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{25}{85} $$ $$ V_{out\_belasted} = 45V \times \frac{5}{17} $$ $$ V_{out\_belasted} \approx 13,235 V $$ De spanning over $R_L$ zal ongeveer 13,23 V bedragen [18](#page=18). > **Tip:** De belasting $R_L$ vermindert de uitgangsspanning aanzienlijk omdat het de effectieve weerstand in het onderste deel van de spanningsdeler verlaagt. ### 3.3 Oefeningen met de brug van Wheatstone Dit gedeelte introduceert een oefening met de brug van Wheatstone, een veelgebruikte schakeling voor het meten van weerstanden. #### 3.3.1 Oefening 6: Evenwicht van de brug van Wheatstone De oefening stelt de vraag of een gegeven brug van Wheatstone in evenwicht is. De spanningsbron heeft een waarde van 1,5V. De afbeelding van de brug is niet beschikbaar in de tekst, maar de algemene methode om evenwicht te bepalen is cruciaal [19](#page=19). Een brug van Wheatstone is in evenwicht wanneer de spanning over de diagonale galvanometer (of voltmeter) nul is. Dit gebeurt als de verhouding van de weerstanden aan de ene kant gelijk is aan de verhouding van de weerstanden aan de andere kant, met betrekking tot de twee benen van de brug [19](#page=19). Stel dat de brug vier weerstanden heeft: $R_A$, $R_B$, $R_C$, en $R_D$, en een spanningsbron $U$ aangesloten over de punten waar $R_A$ en $R_C$ samenkomen, en waar $R_B$ en $R_D$ samenkomen. De meter meet de spanning tussen de knooppunten van $R_A$/$R_B$ en $R_C$/$R_D$. De brug is in evenwicht indien: $$ \frac{R_A}{R_B} = \frac{R_C}{R_D} $$ of, equivalent, als: $$ R_A \times R_D = R_B \times R_C $$ Om te bepalen of de brug in evenwicht is, zouden we de waarden van de vier weerstanden moeten kennen en deze relaties moeten controleren. Als de relatie niet geldt, is de brug niet in evenwicht, wat betekent dat er een spanning over de meter zal staan. De aanwezigheid van een niet-nul spanning over de meetinstrument (in dit geval 1,5V) is een indicatie dat de brug niet in evenwicht is. Echter, de specifieke waarden van de weerstanden zijn nodig om het definitieve antwoord te geven [19](#page=19). > **Hoe merk je het op?** Als de brug in evenwicht is, is de spanning over het meetinstrument nul, wat betekent dat er geen stroom doorheen loopt. Als de brug niet in evenwicht is, zal er een meetbare spanning over het instrument staan [19](#page=19). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Gelijkstroom theorie | De fundamentele principes die de gedragingen van elektrische stromen beschrijven die slechts in één richting vloeien, zoals die in batterijen en gelijkrichters. | | Regelbare weerstand | Een elektrische component waarvan de weerstandswaarde kan worden aangepast, vaak gebruikt om stroomsterkte of spanningsniveaus te regelen. | | Schuifweerstand | Een type regelbare weerstand waarbij een schuifcontact over een weerstandselement beweegt om de weerstandswaarde te variëren. | | Potentiometer | Een regelbare weerstand met drie aansluitingen, waarbij de middelste aansluiting (loper) een deel van de totale weerstandswaarde selecteert, wat resulteert in een variabele spanning. | | Spanningsdeling | Het principe waarbij een spanning wordt verdeeld over meerdere weerstanden in serie, zodat de spanning over elk weerstandselement een fractie is van de totale ingangsspanning. | | Spanningsdeler | Een configuratie van weerstanden in serie die wordt gebruikt om een uitgangsspanning te creëren die lager is dan de ingangsspanning, vaak regelbaar met een loper. | | Belasting | De weerstand die is aangesloten op de uitgang van een schakeling, zoals een spanningsdeler, die de stroom beïnvloedt en daardoor de uitgangsspanning kan verlagen. | | Brug van Wheatstone | Een elektronische schakeling die wordt gebruikt om een onbekende weerstand te meten door deze in balans te brengen met bekende weerstanden. | | Galvanometer | Een uiterst gevoelige ampèremeter die wordt gebruikt om zeer kleine elektrische stromen te detecteren, vaak gebruikt om aan te geven of er stroom vloeit of niet. | | Nulmethode | Een meettechniek waarbij een parameter wordt aangepast totdat een indicator (zoals een galvanometer) nul aangeeft, wat duidt op een evenwichtstoestand. | | Gebalanceerde brug | De toestand van een brugschakeling, zoals de brug van Wheatstone, waarbij er geen stroom vloeit door het meetinstrument (bv. galvanometer), wat resulteert in een potentiaalverschil van nul tussen de twee middenpunten. | | Weerstandsverandering | Een variatie in de waarde van een weerstand, die kan worden veroorzaakt door factoren zoals temperatuur, rek of als onderdeel van een meetopstelling. | | Gelijkspanningsbron | Een bron die een constante elektrische spanning levert met een constante polariteit, zoals een batterij. | | Deelstroom | Een deel van de totale stroom die door een schakeling loopt, die ontstaat wanneer de hoofd stroom zich splitst over parallelle paden. | | Potentiaalverschil | Het verschil in elektrische potentiele energie tussen twee punten in een elektrisch veld, wat de drijvende kracht is voor de stroom. | | Weerstandswaarde | De mate van tegenwerking die een materiaal biedt aan de doorgang van elektrische stroom, uitgedrukt in ohm ($\Omega$). | | Referentieweerstand | Een nauwkeurig bekende weerstand die wordt gebruikt als basis voor het meten van andere weerstanden of om een schakeling in evenwicht te brengen. |

# Uitbreiding van het meetbereik van een ampèremeter met een shuntweerstand Dit onderwerp behandelt de methode om het meetbereik van een ampèremeter te vergroten door middel van een parallel geschakelde shuntweerstand. ### 1.1 De shuntweerstand #### 1.1.1 Definitie en functie Een shuntweerstand is een weerstand die parallel wordt geschakeld met een elektrisch instrument. Het doel van een shunt is om een deel van de stroom doelbewust af te leiden, waardoor een grotere totale stroom gemeten kan worden dan het oorspronkelijke meetbereik van het instrument toelaat. Het Engelse woord "shunt" betekent aftakking of zijspoor [2](#page=2) [4](#page=4). #### 1.1.2 De ampèremeter en het meetbereik Een ampèremeter is een instrument dat wordt gebruikt om stroomsterktes te meten. Ampèremeters worden in serie geschakeld in een stroomkring. Het meetbereik van een ampèremeter definieert de maximale stroomsterkte die het instrument veilig en nauwkeurig kan meten [3](#page=3). Wanneer de te meten stroom groter is dan het oorspronkelijke meetbereik van de ampèremeter, wordt een shuntweerstand parallel aan de ampèremeter geplaatst om het meetbereik te vergroten. Een deel van de stroom wordt dan door de shunt afgeleid [4](#page=4). ### 1.2 Rekenkundige voorbeelden en berekeningen #### 1.2.1 Basisberekening met een eenvoudige shunt Om het meetbereik van een ampèremeter uit te breiden, kan men de spanningsval over de ampèremeter en de shunt gelijkstellen. **Voorbeeld:** Een ampèremeter heeft een inwendige weerstand ($R_m$) van 5 Ohm en een meetbereik ($I_m$) van 2 milliampère. Het meetbereik moet worden uitgebreid tot 10 milliampère ($I$). Welke weerstandswaarde moet de shunt ($R_s$) hebben? De spanningsval over de ampèremeter is gelijk aan de spanningsval over de shunt: $U_s = U_m$ De spanningsval over de ampèremeter wordt berekend als: $U_m = I_m \cdot R_m$ $U_m = 2 \, \text{mA} \cdot 5 \, \Omega = 10 \, \text{mV}$ [5](#page=5). De stroom die door de shunt moet vloeien ($I_s$) is het verschil tussen de totale gewenste stroom en de maximale stroom die de ampèremeter kan meten: $I_s = I - I_m$ $I_s = 10 \, \text{mA} - 2 \, \text{mA} = 8 \, \text{mA}$ [5](#page=5). De weerstandswaarde van de shunt wordt vervolgens berekend met de wet van Ohm: $R_s = \frac{U_s}{I_s}$ $R_s = \frac{10 \, \text{mV}}{8 \, \text{mA}} = 1.25 \, \Omega$ [5](#page=5). **Interpretatie van het resultaat:** Als de totale te meten stroom 10 mA is, zal 2 mA door de ampèremeter vloeien en 8 mA door de shunt. Als de te meten stroom slechts 5 mA is, vloeit er 1 mA door de ampèremeter en 4 mA door de shunt [6](#page=6). #### 1.2.2 De constante verhouding (n) Bij een ingesteld meetbereik is de verhouding tussen de totale te meten stroom en de stroom door het meetinstrument constant. Deze verhouding wordt aangeduid met $n$ [6](#page=6). De formule voor $n$ is: $n = \frac{I}{I_m}$ [6](#page=6). Hierin is: * $I$: de maximale te meten stroom (nieuwe meetbereik) [6](#page=6). * $I_m$: het oorspronkelijke meetbereik van het meetinstrument [6](#page=6). Ook geldt dat de verhouding van de totale stroom tot de stroom door de shunt gelijk is aan de verhouding van de stroom door het meetinstrument tot de stroom door de shunt, mits deze verhoudingen consistent zijn met de stroomverdeling. De relatie tussen de stroom door de shunt ($I_s$) en de stroom door de ampèremeter ($I_m$) kan als volgt worden uitgedrukt: $I_s = I - I_m$ [7](#page=7). Met behulp van de constante verhouding $n = \frac{I}{I_m}$ kunnen we $I$ vervangen door $n \cdot I_m$: $I_s = (n \cdot I_m) - I_m = (n - 1) \cdot I_m$ [7](#page=7). Omdat de spanningsval over de shunt ($U_s$) gelijk is aan de spanningsval over de ampèremeter ($U_m$), geldt: $I_s \cdot R_s = I_m \cdot R_m$ [7](#page=7). Door $I_s = (n - 1) \cdot I_m$ te substitueren, krijgen we: $(n - 1) \cdot I_m \cdot R_s = I_m \cdot R_m$ Hieruit volgt de formule voor de shuntweerstand: $R_s = \frac{R_m}{n - 1}$ [7](#page=7). In het vorige voorbeeld was $n = \frac{10 \, \text{mA}}{2 \, \text{mA}} = 5$. Met deze formule wordt de shuntweerstand: $R_s = \frac{5 \, \Omega}{5 - 1} = \frac{5 \, \Omega}{4} = 1.25 \, \Omega$, wat overeenkomt met de eerdere berekening [7](#page=7). #### 1.2.3 Oefening uitbreiding meetbereik **Oefening:** Een mA-meter met een inwendige weerstand van 50 Ohm en een stroommeetbereik van 2 mA is voorzien van een shunt, zodat het nieuwe meetbereik 10 mA is geworden. Bereken deze shunt en bepaal de aanduiding op de 2 mA-schaal op het moment dat de te meten stroom 6 mA bedraagt. **Oplossing:** * Inwendige weerstand ampèremeter: $R_m = 50 \, \Omega$ [22](#page=22). * Oorspronkelijk meetbereik ampèremeter: $I_m = 2 \, \text{mA}$ [22](#page=22). * Nieuw meetbereik: $I = 10 \, \text{mA}$ [22](#page=22). Bereken de verhouding $n$: $n = \frac{I}{I_m} = \frac{10 \, \text{mA}}{2 \, \text{mA}} = 5$ Bereken de shuntweerstand ($R_s$): $R_s = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{50 \, \Omega}{5 - 1} = \frac{50 \, \Omega}{4} = 12.5 \, \Omega$ [22](#page=22). Nu moet de aanduiding op de 2 mA-schaal worden bepaald wanneer de te meten stroom 6 mA bedraagt. De ampèremeter zelf zal een deel van deze stroom meten, terwijl de rest door de shunt vloeit. De verhouding $n$ blijft constant voor het ingestelde meetbereik van 10 mA. De stroom die door de ampèremeter zal vloeien ($I_{m,werkelijk}$) wanneer de totale stroom 6 mA is, wordt berekend met de verhouding van het nieuwe meetbereik tot het oorspronkelijke: $\frac{I}{I_{m,werkelijk}} = n$ $I_{m,werkelijk} = \frac{I}{n} = \frac{6 \, \text{mA}}{5} = 1.2 \, \text{mA}$ De aanduiding op de 2 mA-schaal komt dus overeen met 1.2 mA wanneer de totale stroom 6 mA is [22](#page=22). > **Tip:** Begrijp dat de factor $n$ de uitbreidingsfactor van het meetbereik is. Een hogere $n$ betekent dat de shunt een groter deel van de stroom afleidt en dus een lagere weerstandswaarde heeft (omdat $R_s$ omgekeerd evenredig is met $n-1$). ### 1.3 De ampèremeter met universele shunt #### 1.3.1 Concept van een universele shunt Om een ampèremeter met verschillende meetbereiken te realiseren, wordt vaak gebruik gemaakt van een universele shunt. Een universele shunt is opgebouwd uit meerdere weerstanden die in serie worden geschakeld, waarbij de keuze van de serieschakeling bepaalt welk meetbereik actief is [8](#page=8). #### 1.3.2 Berekening van weerstandswaarden voor een universele shunt Stel dat een ampèremeter met een inwendige weerstand $R_m = 20 \, \Omega$ en een basismeetbereik van 5 mA is uitgerust met een universele shunt om meetbereiken van 10 mA, 20 mA en 50 mA te realiseren. De universele shunt bestaat uit drie weerstanden $R_1, R_2, R_3$ in serie, die telkens worden ingeschakeld [10](#page=10) [11](#page=11) [8](#page=8) [9](#page=9). We stellen een stelsel van vergelijkingen op om de waarden van $R_1, R_2, R_3$ te bepalen. De formule $R_s = \frac{R_m}{n - 1}$ is hierbij cruciaal. **Scenario 1: Meetbereik van 10 mA** * Totale stroom $I = 10 \, \text{mA}$ [9](#page=9). * Basis meetbereik $I_m = 5 \, \text{mA}$ [9](#page=9). * $n = \frac{10 \, \text{mA}}{5 \, \text{mA}} = 2$ [9](#page=9). * De shuntweerstand is de volledige serie van $R_1 + R_2 + R_3$. * $R_s = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{20 \, \Omega}{2 - 1} = 20 \, \Omega$ [9](#page=9). * Vergelijking 1: $R_1 + R_2 + R_3 = 20 \, \Omega$ **Scenario 2: Meetbereik van 20 mA** * Totale stroom $I = 20 \, \text{mA}$ [9](#page=9). * Basis meetbereik $I_m = 5 \, \text{mA}$ [9](#page=9). * $n = \frac{20 \, \text{mA}}{5 \, \text{mA}} = 4$ [9](#page=9). * De shuntweerstand bestaat nu uit $R_1 + R_2$. * $R_s = R_1 + R_2 = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{20 \, \Omega}{4 - 1} = \frac{20 \, \Omega}{3} \approx 6.67 \, \Omega$ [9](#page=9). * Vergelijking 2: $R_1 + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$ **Scenario 3: Meetbereik van 50 mA** * Totale stroom $I = 50 \, \text{mA}$ [10](#page=10). * Basis meetbereik $I_m = 5 \, \text{mA}$ [10](#page=10). * $n = \frac{50 \, \text{mA}}{5 \, \text{mA}} = 10$ [10](#page=10). * De shuntweerstand bestaat nu uit $R_1$. * $R_s = R_1 = \frac{R_m}{n - 1} = \frac{20 \, \Omega}{10 - 1} = \frac{20 \, \Omega}{9} \approx 2.22 \, \Omega$ [10](#page=10). * Vergelijking 3: $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega$ Nu lossen we het stelsel van vergelijkingen op: 1. $R_1 + R_2 + R_3 = 20 \, \Omega$ 2. $R_1 + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$ 3. $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega$ Vanaf vergelijking 3 hebben we de waarde van $R_1$: $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega \approx 2.22 \, \Omega$ Substitueer $R_1$ in vergelijking 2: $\frac{20}{9} \, \Omega + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$ $R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{60}{9} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{40}{9} \, \Omega \approx 4.44 \, \Omega$ Substitueer $R_1$ en $R_2$ in vergelijking 1: $\frac{20}{9} \, \Omega + \frac{40}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$ $\frac{60}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$ $R_3 = 20 \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{180}{9} \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{120}{9} \, \Omega = \frac{40}{3} \, \Omega \approx 13.33 \, \Omega$ **Correctie op de berekening in het document (pagina 11):** De berekening op pagina 11 voor het oplossen van het stelsel komt niet volledig overeen met de vergelijkingen zoals opgesteld in de voorgaande pagina's. Laten we de berekening opnieuw doen op basis van de vergelijkingen uit pagina 9 en 10. Gegeven vergelijkingen: 1. $R_1 + R_2 + R_3 = 20 \, \Omega$ [9](#page=9). 2. $R_1 + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$ (dit is de correcte waarde voor $R_s$ bij $n=4$) [9](#page=9). 3. $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega$ [10](#page=10). Uit vergelijking volgt direct [3](#page=3): $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega \approx 2.22 \, \Omega$ (De waarde 4 Ohm op pagina 11 lijkt een foutieve uitkomst te zijn van de berekening op die pagina zelf.) [11](#page=11). Vervang $R_1$ in vergelijking [2](#page=2): $\frac{20}{9} \, \Omega + R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega$ $R_2 = \frac{20}{3} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{60}{9} \, \Omega - \frac{20}{9} \, \Omega = \frac{40}{9} \, \Omega \approx 4.44 \, \Omega$ (De waarde 5.98 Ohm op pagina 11 lijkt een foutieve uitkomst te zijn.) [11](#page=11). Vervang $R_1$ en $R_2$ in vergelijking [1](#page=1): $\frac{20}{9} \, \Omega + \frac{40}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$ $\frac{60}{9} \, \Omega + R_3 = 20 \, \Omega$ $R_3 = 20 \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{180}{9} \, \Omega - \frac{60}{9} \, \Omega = \frac{120}{9} \, \Omega = \frac{40}{3} \, \Omega \approx 13.33 \, \Omega$ (De waarde 10.02 Ohm op pagina 11 lijkt een foutieve uitkomst te zijn.) [11](#page=11). **Correcte weerstandswaarden:** * $R_1 = \frac{20}{9} \, \Omega \approx 2.22 \, \Omega$ * $R_2 = \frac{40}{9} \, \Omega \approx 4.44 \, \Omega$ * $R_3 = \frac{40}{3} \, \Omega \approx 13.33 \, \Omega$ > **Tip:** Bij het berekenen van de weerstandswaarden voor een universele shunt is het essentieel om zorgvuldig de juiste combinatie van weerstanden te identificeren die de effectieve shuntweerstand vormen voor elk meetbereik. De formule $R_s = \frac{R_m}{n - 1}$ blijft de basis voor elke berekening. > **Example:** Een universele shunt is opgebouwd om een ampèremeter te gebruiken voor metingen van 1 mA, 10 mA en 100 mA. Als de inwendige weerstand van de ampèremeter $R_m = 50 \, \Omega$ is, dan kunnen de benodigde shuntweerstanden worden berekend door de $n$-waarden voor elk bereik te bepalen ($n_1 = \frac{1}{0.1} = 10$, $n_2 = \frac{10}{0.1} = 100$, $n_3 = \frac{100}{0.1} = 1000$). Vervolgens worden de totale shuntweerstanden voor elk bereik berekend, en daaruit de individuele weerstandswaarden in de schakeling bepaald. --- # Uitbreiding van het meetbereik van een voltmeter met een voorschakelweerstand Dit gedeelte behandelt de methode om het meetbereik van een voltmeter te vergroten door middel van een voorschakelweerstand en verkent het concept van een universele voorschakelweerstand met rekenvoorbeelden [12](#page=12) [13](#page=13). ### 2.1 De rol van de voorschakelweerstand Een voorschakelweerstand wordt gebruikt om een deel van de totale spanning in een elektrische schakeling op te vangen, waardoor de spanning over andere componenten beperkt wordt. Dit principe wordt toegepast om het meetbereik van een voltmeter uit te breiden wanneer een spanning gemeten moet worden die hoger is dan wat het instrument standaard aankan [12](#page=12) [13](#page=13). ### 2.2 Het principe van meetbereikuitbreiding Een voltmeter is een instrument dat parallel over de te meten spanning wordt geschakeld om potentiaalverschillen te meten. Het meetbereik van een voltmeter is de maximale spanning die het instrument nauwkeurig kan meten. Om een groter spanningsbereik te kunnen meten, wordt een voorschakelweerstand in serie met de voltmeter geschakeld. Hierdoor valt een deel van de te meten spanning over deze voorschakelweerstand [13](#page=13) [14](#page=14). ### 2.3 Rekenkundige voorbeelden en formules #### 2.3.1 Eenvoudig meetbereik uitbreiden Stel dat een voltmeter een inwendige weerstand heeft van $R_m = 10 \, k\Omega$ en een meetbereik van $U_m = 10 \, V$. Indien het meetbereik uitgebreid moet worden tot $U = 100 \, V$, kan de benodigde waarde van de voorschakelweerstand $R_v$ berekend worden [15](#page=15). Het spanningsverlies over de voorschakelweerstand bedraagt: $U_v = U - U_m = 100 \, V - 10 \, V = 90 \, V$ [15](#page=15). De stroom door de voorschakelweerstand is gelijk aan de stroom door de voltmeter ($I_v = I_m$). Met behulp van de wet van Ohm ($U = I \cdot R$) kan de voorschakelweerstand berekend worden [15](#page=15): $I_v = \frac{U_v}{R_v}$ en $I_m = \frac{U_m}{R_m}$ [15](#page=15). Aangezien $I_v = I_m$: $\frac{U_v}{R_v} = \frac{U_m}{R_m}$ [15](#page=15). Dus: $R_v = \frac{U_v \cdot R_m}{U_m} = \frac{90 \, V \cdot 10 \, k\Omega}{10 \, V} = 90 \, k\Omega$ [15](#page=15). #### 2.3.2 Constante spanningsverhouding en de factor $n$ Voor een bepaald meetbereik geldt dat de verhouding tussen de maximaal te meten spanning ($U$) en het oorspronkelijke meetbereik van de voltmeter ($U_m$) constant is. Deze verhouding wordt aangeduid met $n$ [16](#page=16): $n = \frac{U}{U_m}$ [16](#page=16). Hierin is: * $U$: maximaal te meten spanning (nieuw meetbereik) [16](#page=16). * $U_m$: oorspronkelijk meetbereik van het meetinstrument [16](#page=16). Het is ook mogelijk om de relatie tussen de voorschakelweerstand en de inwendige weerstand van de voltmeter uit te drukken met behulp van de factor $n$. Het spanningsverlies over de voorschakelweerstand kan ook geschreven worden als [17](#page=17): $U_v = U - U_m = (n \cdot U_m) - U_m = (n-1) \cdot U_m$ [17](#page=17). Omdat $U_v = I_v \cdot R_v$ en $U_m = I_m \cdot R_m$, en $I_v = I_m$: $R_v \cdot I_v = (n-1) \cdot R_m \cdot I_m$ [17](#page=17). Wanneer $I_v = I_m$, volgt hieruit: $R_v = (n-1) \cdot R_m$ [17](#page=17). In het voorgaande voorbeeld was $n = \frac{100 \, V}{10 \, V} = 10$. Het toepassen van de formule geeft dan $R_v = (10-1) \cdot 10 \, k\Omega = 9 \cdot 10 \, k\Omega = 90 \, k\Omega$, wat overeenkomt met de eerdere berekening [17](#page=17). > **Tip:** De factor $n$ is een handige manier om snel de benodigde vergroting van het meetbereik te bepalen. Het geeft aan hoe vaak het oorspronkelijke meetbereik vergroot wordt. ### 2.4 Voltmeter met universele shunt Een universele voorschakelweerstand is een meer geavanceerde configuratie die is samengesteld uit meerdere weerstanden in serie. Deze opstelling maakt het mogelijk om verschillende meetbereiken in te stellen met één instrument. Het aantal weerstanden in serie is gelijk aan het aantal verschillende meetbereiken dat het instrument kan bieden [18](#page=18). #### 2.4.1 Rekenvoorbeeld voor een universele voorschakelweerstand Gegeven: * Inwendige weerstand van de voltmeter: $R_m = 750 \, \Omega$ [18](#page=18). * Maximale stroom door de voltmeter: $I_m = 40 \, \mu A$ [18](#page=18). Eerst wordt de spanning bepaald die overeenkomt met het maximale meetbereik van de voltmeter zelf: $U_m = R_m \cdot I_m = 750 \, \Omega \cdot 40 \, \mu A = 30 \, mV$ [19](#page=19). De universele voorschakelweerstand bestaat uit weerstanden $R_1$, $R_2$, en $R_3$ in serie. Het opstellen van een stelsel van vergelijkingen met deze weerstanden als onbekenden is noodzakelijk om hun waarden te bepalen [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21). **1. Meetbereik van 100 mV:** * De factor $n$ voor dit bereik is $n = \frac{U}{U_m} = \frac{100 \, mV}{30 \, mV} = 3,333$ [19](#page=19). * De totale voorschakelweerstand ($R_v$) voor dit bereik is $R_v = (n-1) \cdot R_m = (3,333 - 1) \cdot 750 \, \Omega = 2,333 \cdot 750 \, \Omega \approx 1750 \, \Omega$ [19](#page=19). * Deze totale voorschakelweerstand bestaat uit $R_1$, dus $R_1 = 1750 \, \Omega$ [19](#page=19). **2. Meetbereik van 0,5 V (of 500 mV):** * De factor $n$ voor dit bereik is $n = \frac{U}{U_m} = \frac{500 \, mV}{30 \, mV} = 16,67$ [19](#page=19). * De totale voorschakelweerstand ($R_v$) voor dit bereik is $R_v = (n-1) \cdot R_m = (16,67 - 1) \cdot 750 \, \Omega = 15,67 \cdot 750 \, \Omega \approx 11752,5 \, \Omega$ [19](#page=19). * Deze totale voorschakelweerstand bestaat uit $R_1 + R_2$ [19](#page=19). * Dus, $R_2 = (R_1 + R_2) - R_1 = 11752,5 \, \Omega - 1750 \, \Omega = 10002,5 \, \Omega \approx 10 \, k\Omega$ [19](#page=19). **3. Meetbereik van 1 V (of 1000 mV):** * De factor $n$ voor dit bereik is $n = \frac{U}{U_m} = \frac{1000 \, mV}{30 \, mV} = 33,33$ [20](#page=20). * De totale voorschakelweerstand ($R_v$) voor dit bereik is $R_v = (n-1) \cdot R_m = (33,33 - 1) \cdot 750 \, \Omega = 32,33 \cdot 750 \, \Omega \approx 24250 \, \Omega$ [20](#page=20). * Deze totale voorschakelweerstand bestaat uit $R_1 + R_2 + R_3$ [20](#page=20). * Dus, $R_3 = (R_1 + R_2 + R_3) - (R_1 + R_2) = 24250 \, \Omega - 11752,5 \, \Omega = 12497,5 \, \Omega \approx 12,5 \, k\Omega$ [20](#page=20). **4. Meetbereik van 30 mV:** * Dit is het oorspronkelijke meetbereik van de voltmeter zelf, waarvoor geen extra voorschakelweerstand nodig is ($R_v = 0$). De spanning van 30 mV wordt volledig over de voltmeter gemeten [21](#page=21). > **Tip:** Bij het berekenen van de individuele weerstandswaarden in een universele voorschakelweerstand, is het cruciaal om stapsgewijs te werk te gaan, beginnend bij het kleinste extra meetbereik. Werk altijd van de kleinste naar de grootste weerstand om fouten te voorkomen. > **Example:** Een universele voltmeter kan bijvoorbeeld de volgende meetbereiken aanbieden: 30 mV, 100 mV, 500 mV, en 1 V. Om dit te realiseren, wordt de inwendige weerstand van de voltmeter gecombineerd met een reeks voorschakelweerstanden die op intelligente wijze worden geschakeld om de gewenste meetbereiken te creëren [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21). --- # Praktische aspecten van spanningsbronnen Dit onderwerp behandelt de eigenschappen van ideale en niet-ideale spanningsbronnen, inclusief de elektromotorische kracht, interne weerstand en spanningsverliezen, evenals configuraties voor serie- en parallelschakeling. ### 3.1 Elektromotorische kracht (emk) De elektromotorische kracht (emk), ook wel bronspanning of open klemspanning genoemd, is de "kracht" die het potentiaalverschil in een batterij in stand houdt. Dit concept werd voor het eerst geïntroduceerd door Volta bij het ontwerp van de eerste chemische batterij in 1795, die hij zag als een "onzichtbare mechanische kracht" die elektrische stroom deed vloeien. Emk kan worden opgewekt via verschillende principes, waaronder het fotovoltaïsche effect (zonnecel), elektrochemie (galvanisch element) en elektromagnetische inductie [23](#page=23). ### 3.2 Spanningsverliezen in stroombronnen Een niet-ideale spanningsbron bezit een inwendige weerstand ($R_{\text{in}}$). Deze inwendige weerstand veroorzaakt een spanningsverlies binnenin de bron zelf ($U_v$). De gemeten klemspanning ($U$) over de bron is daarom altijd lager dan de emk ($E$). De relatie wordt beschreven door [24](#page=24): $U = E - (I \cdot R_{\text{in}})$ [24](#page=24). Voor een volledig gesloten keten geldt de wet van Ohm: $E = U + U_v = I \cdot R + I \cdot R_{\text{in}} = I \cdot (R + R_{\text{in}})$ [24](#page=24). De stroom die vloeit, wordt gegeven door: $I = \frac{E}{R + R_{\text{in}}}$ [24](#page=24). #### 3.2.1 Nullast Bij nullast, wanneer de bron geen stroom levert ($I=0$), is de klemspanning gelijk aan de emk ($U=E$) [25](#page=25). #### 3.2.2 Kortsluiting Bij kortsluiting worden de klemmen van de bron verbonden met een geleider met een zeer lage weerstand, wat in theorie resulteert in een kortsluitstroom ($I_{\text{kort}}$). De klemspanning is hierbij 0V ($U=0$ V). De kortsluitstroom wordt gegeven door [25](#page=25): $I_{\text{kort}} = \frac{E}{R_{\text{in}}}$ [25](#page=25). Aangezien de inwendige weerstand ($R_{\text{in}}$) doorgaans klein is, kan de kortsluitstroom zeer groot worden, wat schadelijk kan zijn voor de bron [25](#page=25). ### 3.3 Serie schakelen van spanningsbronnen Bij serieschakeling wordt de negatieve klem van het ene element verbonden met de positieve klem van het volgende element. Deze methode wordt vaak toegepast met identieke elementen, hoewel dit niet strikt noodzakelijk is [26](#page=26). Indien $n$ het aantal in serie geschakelde elementen is en $E$ de emk per element, dan is de totale emk van de batterij: $E_{\text{totaal}} = n \cdot E$ [26](#page=26). Als $R_{\text{in}}$ de inwendige weerstand per element is, dan is de totale inwendige weerstand van de batterij: $R_{\text{in, totaal}} = n \cdot R_{\text{in}}$ [26](#page=26). Wanneer de batterij wordt aangesloten op een belastingsweerstand $R$, is de stroom: $I = \frac{n \cdot E}{R + n \cdot R_{\text{in}}}$ [27](#page=27). > **Tip:** Bij serieschakeling worden de spanningen van de afzonderlijke bronnen opgeteld, evenals hun inwendige weerstanden. ### 3.4 Parallel schakelen van spanningsbronnen Bij parallelschakeling worden alle positieve klemmen met elkaar verbonden en alle negatieve klemmen met elkaar verbonden. Cruciaal is dat de elementen hier identiek moeten zijn, met dezelfde inwendige weerstand en vooral dezelfde emk. De emk van de batterij is in dit geval gelijk aan de emk van één enkel element [28](#page=28): $E = E_1 = E_2 = E_3 = \dots$ [28](#page=28). Alle inwendige weerstanden staan parallel, dus de totale inwendige weerstand van de batterij is: $R_{\text{in, totaal}} = \frac{R_{\text{in}}}{n}$ [29](#page=29). waarbij $n$ het aantal parallel geschakelde elementen is. De stroom door de belasting ($R$) wordt gegeven door: $I = \frac{E}{R + \frac{R_{\text{in}}}{n}}$ [29](#page=29). De stroomsterkte per element is dan: $I_{\text{element}} = \frac{I}{n}$ [29](#page=29). > **Tip:** Bij parallelschakeling van identieke bronnen blijft de spanning gelijk, terwijl de totale stroomcapaciteit toeneemt en de totale inwendige weerstand afneemt. ### 3.5 Combinatie van serie- en parallelschakeling Het is mogelijk om spanningsbronnen zowel in serie als in parallel te schakelen, wat leidt tot complexere configuraties. Bij het berekenen van de totale inwendige vervangingsweerstand moet men de principes van zowel serie- als parallelschakeling toepassen op de verschillende groepen van bronnen [30](#page=30). ### 3.6 Aandachtspunten bij schakelen van bronnen #### 3.6.1 Batterijen in serie Het in serie plaatsen van batterijen met verschillende spanningen is theoretisch mogelijk, maar kan leiden tot problemen met capaciteitsverschillen, met name bij het laden en ontladen. Het is belangrijk dat alle batterijen in serie dezelfde capaciteit (in Ampère-uur, Ah) hebben. De batterij met de laagste capaciteit bepaalt de totale effectieve capaciteit en zal als eerste leeg zijn. Tevens dient men rekening te houden met het feit dat de spanning van een batterij afneemt naarmate deze ontlaadt [31](#page=31). #### 3.6.2 Batterijen in parallel Het parallel plaatsen van batterijen met verschillende spanningen is niet toegestaan en kan leiden tot gevaarlijke situaties, zoals interne stromen tussen de batterijen, overladen van zwakkere batterijen, en in extreme gevallen beschadiging, brand of explosie. Net als bij serieschakeling, is het cruciaal dat batterijen in parallel dezelfde spanning en ook dezelfde capaciteit hebben. Zoniet, zullen de spanningen niet gelijk blijven tijdens het ontladen of laden [32](#page=32). ### 3.7 Oefeningen Hieronder volgen enkele oefeningen ter consolidatie van de stof [33](#page=33) [34](#page=34). 1. Bereken voor elke kolom de ontbrekende waarden voor een niet-ideale spanningsbron [33](#page=33). * Oplossingen: 115 V; 10 A; 0,4 Ω; 4,5 V; 213 V; 5 A [33](#page=33). 2. Gegeven een spanningsbron met een open klemspanning van 10 V en een inwendige weerstand van 0,5 Ω. Bereken voor de volgende belastingsweerstanden (10 Ω, 100 Ω, 500 Ω, 1 kΩ) de stroom en de klemspanning [33](#page=33). * Oplossingen: * 10 Ω: 0,952 A; 9,52 V [33](#page=33). * 100 Ω: 0,0995 A; 9,95 V [33](#page=33). * 500 Ω: 0,0199 A; 9,99 V [33](#page=33). * 1 kΩ: 0,00999 A; 9,99 V [33](#page=33). 3. Een batterij bestaat uit zes in serie geschakelde elementen, elk met een open klemspanning van 1,5 V en een inwendige weerstand van 1 Ω. De belasting bedraagt 16 Ω. Bereken de stroomsterkte en de klemspanning van de batterij [33](#page=33). * Oplossingen: 0,409 A; 6,54 V [33](#page=33). 4. Hoeveel elementen, met elk een emk van 1,5 V en een inwendige weerstand van 0,5 Ω, moeten in parallel geschakeld worden om in een belastingsweerstand van 0,7 Ω een stroom van 2 A te verkrijgen [34](#page=34)? * Oplossing: 10 [34](#page=34). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Shunt weerstand | Een weerstand die parallel aan een meetinstrument, zoals een ampèremeter, wordt geschakeld om een deel van de stroom af te leiden en zo het meetbereik te vergroten. | | Ampèremeter | Een elektrisch instrument dat gebruikt wordt om de sterkte van elektrische stroom te meten. Een ampèremeter wordt altijd in serie in de stroomkring geschakeld. | | Meetbereik (Ampèremeter) | De maximale stroomsterkte die met een specifieke ampèremeter gemeten kan worden zonder het instrument te beschadigen. | | Spanningsval | Het potentiaalverschil dat optreedt over een component in een elektrische schakeling wanneer er stroom doorheen loopt, volgens de wet van Ohm. | | Universele shunt | Een combinatie van weerstanden die zo geschakeld zijn dat een ampèremeter met deze universele shunt verschillende meetbereiken kan aannemen door selectie van de weerstanden. | | Voltmeter | Een elektrisch meetinstrument dat dient voor het meten van elektrische spanningen of potentiaalverschillen. Een voltmeter wordt parallel over de te meten spanning aangesloten. | | Meetbereik (Voltmeter) | De maximale spanning die met een specifieke voltmeter gemeten kan worden zonder het instrument te beschadigen. | | Voorschakelweerstand | Een weerstand die in serie wordt geschakeld met een meetinstrument, zoals een voltmeter, om het meetbereik uit te breiden door een deel van de spanning op te vangen. | | Elektromotorische kracht (EMK) | De spanning die door een elektrische bron wordt opgewekt; het is de bronspanning of open klemspanning van bijvoorbeeld een batterij. | | Inwendige weerstand | De weerstand die een elektrische bron (zoals een batterij) zelf bezit, wat leidt tot een spanningsverlies binnenin de bron wanneer er stroom loopt. | | Klemspanning | De spanning die gemeten kan worden over de externe klemmen van een elektrische bron wanneer deze een stroom levert aan een belasting. | | Nullast | De situatie waarbij een elektrische bron geen stroom levert; in dit geval is de klemspanning gelijk aan de elektromotorische kracht van de bron. | | Kortsluiting | Een verbinding met zeer lage weerstand tussen twee punten met een potentiaalverschil, wat resulteert in een zeer grote stroomsterkte die de bron kan beschadigen. | | Serie schakeling | Een configuratie van componenten waarbij ze achtereenvolgens zijn aangesloten, zodat dezelfde stroom door elk component vloeit. | | Parallel schakeling | Een configuratie van componenten waarbij ze op dezelfde twee knooppunten zijn aangesloten, zodat de spanning over elk component gelijk is. |

# Wetten van Kirchhoff en hun toepassing De wetten van Kirchhoff bieden een systematische methode voor de analyse van elektrische netwerken, met name wanneer deze complexer worden dan eenvoudige gemengde schakelingen. Deze twee fundamentele wetten, de stroomwet en de spanningswet, maken het mogelijk om onbekende stromen en spanningen in een netwerk te bepalen [2](#page=2). ### 1.1 De eerste wet van Kirchhoff: stroomwet De stroomwet van Kirchhoff, ook wel de knooppuntwet genoemd, stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenstromen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Alternatief kan men stellen dat de algebraïsche som van alle stromen in een knooppunt nul is. Conventioneel worden stromen die een knooppunt benaderen als positief beschouwd, terwijl stromen die het knooppunt verlaten negatief worden genomen, of vice versa [3](#page=3). Wiskundig kan dit worden uitgedrukt als: $I_1 + I_2 + I_4 = I_3 + I_5$ [3](#page=3). Of, als de algebraïsche som nul is, met toevloeiende stromen positief en wegvloeiende stromen negatief: $I_1 + I_2 - I_3 + I_4 - I_5 = 0$ [3](#page=3). ### 1.2 De tweede wet van Kirchhoff: spanningswet De spanningswet van Kirchhoff, ook wel de maaswet genoemd, stelt dat in elke gesloten lus (maas) van een elektrisch netwerk, de som van de spanningen van de bronnen gelijk is aan de som van de spanningsvallen over de weerstanden. Een andere formulering is dat de algebraïsche som van alle spanningen rond een gesloten lus nul is [4](#page=4). Om deze wet toe te passen, wordt een specifieke werkwijze gevolgd: 1. De spanningsreferenties van de bronnen worden correct aangeduid, van de minpool naar de pluspool [5](#page=5). 2. Bij elke weerstand wordt een willekeurige stroomzin gekozen [5](#page=5). 3. In de maas wordt een positieve omgangszin gekozen, die willekeurig bepaald wordt (met de klok mee of tegen de klok in). De wijzerzin wordt hierbij als positief beschouwd [5](#page=5). 4. Spanningsbronnen worden als positief beschouwd als hun polariteit overeenkomt met de positieve omgangszin. Stromen door weerstanden worden als positief beschouwd als hun zin overeenkomt met de positieve omgangszin [5](#page=5). De wiskundige uitdrukking voor de spanningswet, rekening houdend met de gekozen zin, is: $E_1 + E_2 - E_3 = R_1 \cdot I_1 - R_4 \cdot I_4 - R_2 \cdot I_2 + R_3 \cdot I_3$ [4](#page=4) [5](#page=5). Hierbij vertegenwoordigen $E$ de spanningen van de bronnen en $R \cdot I$ de spanningsvallen over de weerstanden, waarbij de tekens afhangen van de gekozen stromen- en omgangszinnen [4](#page=4) [5](#page=5). ### 1.3 Toepassing en analyse van netwerken Om alle stromen of spanningen in een netwerk te bepalen met behulp van de wetten van Kirchhoff, is het aantal onafhankelijke vergelijkingen gelijk aan het aantal onbekende stromen. In de praktijk past men eerst zoveel mogelijk de stroomwet toe op knooppunten om onafhankelijke vergelijkingen te verkrijgen. Vervolgens wordt de spanningswet gebruikt voor de resterende onbekenden om het systeem van vergelijkingen te completeren [6](#page=6). Het oplossen van dit systeem van $n$ vergelijkingen met $n$ onbekenden levert de gewenste waarden op [6](#page=6). > **Tip:** Als bij de berekening een negatieve stroomwaarde wordt verkregen, betekent dit dat de oorspronkelijk gekozen stroomzin voor die tak omgekeerd moest worden [6](#page=6). ### 1.4 Kirchhoff voorbeeld 1 Gegeven een netwerk met de volgende componenten: * $E_1 = 16$V [7](#page=7). * $E_2 = 12$V [7](#page=7). * $R_1 = 1.8 \Omega$ [7](#page=7). * $R_2 = 4 \Omega$ [7](#page=7). * $R_3 = 0.65 \Omega$ [7](#page=7). Het doel is om de stromen door iedere weerstand te berekenen [7](#page=7). #### 1.4.1 Oplossing via stroom- en spanningswet Na het voorbereidende werk, waarbij stroom- en omgangszinnen worden aangeduid, worden de wetten van Kirchhoff toegepast [8](#page=8). **Stroomwet in punt A en B:** In punt A geldt: $I_2 = I_1 + I_3$ [1](#page=1) [8](#page=8). In punt B geldt: $I_1 + I_3 = I_2$ [8](#page=8). Dit toont aan dat de vergelijkingen afhankelijk zijn en slechts één bruikbare stroomwetvergelijking resulteert [8](#page=8). **Spanningswet voor de kringen:** Voor de eerste kring: $E_1 = R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2$ [2](#page=2) [8](#page=8). Voor de tweede kring: $-E_2 = -R_2 \cdot I_2 - R_3 \cdot I_3$ [3](#page=3) [8](#page=8). Dit resulteert in een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden: 1. $I_1 - I_2 + I_3 = 0$ [8](#page=8) [9](#page=9). 2. $1.8 \cdot I_1 + 4 \cdot I_2 = 16$ [8](#page=8) [9](#page=9). 3. $-4 \cdot I_2 - 0.65 \cdot I_3 = -12$ [8](#page=8) [9](#page=9). Het oplossen van dit stelsel, bijvoorbeeld met behulp van matrices of substitutie, leidt tot de waarden van de stromen [9](#page=9). #### 1.4.2 Oplossingsmogelijkheid 1 (Matrixmethode) Het stelsel kan in matrixvorm worden gezet en opgelost. Door rijoperaties op de matrix toe te passen, kunnen de onbekende stromen bepaald worden. Een voorbeeld van de stappen om de matrix te vereenvoudigen [11](#page=11): De initiële matrix kan er als volgt uitzien (voor de vergelijkingen $1.8 I_1 + 4 I_2 + 0 I_3 = 16$, $0 I_1 - 4 I_2 - 0.65 I_3 = -12$, $I_1 - I_2 + I_3 = 0$): $$ \begin{pmatrix} 1.8 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & -0.65 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -12 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Door rijoperaties kan de matrix worden gereduceerd tot een trapvorm, wat leidt tot: $1.89 \cdot I_3 = 0.96 \implies I_3 = 0.51$ A [11](#page=11). Vervolgens kan $I_2$ berekend worden: $-4 I_2 - 0.65 \cdot 0.51 = -12 \implies -4 I_2 - 0.33 = -12 \implies I_2 = 2.92$ A [11](#page=11). Ten slotte wordt $I_1$ berekend: $I_1 - 2.92 + 0.51 = 0 \implies I_1 = 2.41$ A [11](#page=11). #### 1.4.3 Oplossingsmogelijkheid 2 (Substitutie) Een alternatieve methode is het oplossen door substitutie. Hierbij worden vergelijkingen herrangschikt om variabelen uit te drukken in termen van andere variabelen [12](#page=12). Vanaf $I_1 - I_2 + I_3 = 0$ en $1.8 I_1 + 4 I_2 = 16$, kunnen we uitdrukkingen afleiden [12](#page=12). Uit $1.8 I_1 + 4 I_2 = 16$ volgt $4 I_2 = 16 - 1.8 I_1$, dus $I_2 = 4 - 0.45 I_1$ [12](#page=12) [2](#page=2). Gebruikmakend van de derde vergelijking: $-4 I_2 - 0.65 I_3 = -12$ [12](#page=12). Door substitutie van $I_3 = I_2 - I_1$ en de uitdrukking voor $I_2$, kan $I_1$ berekend worden [12](#page=12). Na substitutie en vereenvoudiging: $2.74525 I_1 = 6.6 \implies I_1 = 2.40$ A [12](#page=12). Vervolgens: $I_2 = 4 - 0.45 \cdot 2.40 = 2.92$ A [12](#page=12). En ten slotte: $I_3 = I_2 - I_1 = 2.92 - 2.40 = 0.52$ A [12](#page=12). ### 1.5 Kirchhoff voorbeeld 2 Gegeven een netwerk met: * $E_1 = 30$V [13](#page=13). * $E_2 = 20$V [13](#page=13). * $E_3 = 6$V [13](#page=13). * $R_1 = 21 \Omega$ [13](#page=13). * $R_2 = 1 \Omega$ [13](#page=13). * $R_3 = 3 \Omega$ [13](#page=13). Het doel is om de stroom door iedere weerstand te berekenen [13](#page=13). > **Tip:** Voor dit voorbeeld wordt geadviseerd om de positieve omgangszin telkens in wijzerzin te kiezen. De stroomzin door $R_1$ en $R_3$ wordt van links naar rechts gekozen, en de stroomzin door $R_2$ van rechts naar links [13](#page=13). De drie onafhankelijke vergelijkingen die uit de wetten van Kirchhoff voortkomen zijn [14](#page=14): 1. $E_1 + E_2 = R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2$ [14](#page=14). 2. $-E_2 - E_3 = -I_2 \cdot R_2 - I_3 \cdot R_3$ [14](#page=14). 3. $I_1 + I_3 = I_2$ [14](#page=14). De resultaten van de berekeningen, eventueel geverifieerd met software zoals Multisim, kunnen de stromen door elke weerstand verschaffen [15](#page=15). --- # Superpositie methode voor het berekenen van netwerken De superpositiemethode is een techniek om elektrische netwerken met meerdere bronnen te analyseren door elke bron afzonderlijk te beschouwen en de resultaten achteraf algebraïsch op te tellen [16](#page=16). ### 2.1 Principe van de superpositiemethode Wanneer een elektrisch netwerk meer dan één spannings- of stroombron bevat, kan de superpositie methode worden toegepast. Het kernprincipe is dat de bijdrage van elke bron aan de totale stroom of spanning in een bepaald deel van het netwerk afzonderlijk wordt berekend. Hierbij wordt telkens slechts één bron actief beschouwd, terwijl alle andere bronnen worden geneutraliseerd en vervangen door hun interne weerstand [16](#page=16). #### 2.1.1 Het neutraliseren van bronnen * **Spanningsbronnen:** Een actieve spanningsbron wordt vervangen door een kortgesloten kring (0 Ohm weerstand) wanneer deze buiten beschouwing wordt gelaten [17](#page=17). * **Stroombronnen:** Een actieve stroombron wordt vervangen door een open kring (oneindige weerstand) wanneer deze buiten beschouwing wordt gelaten [22](#page=22). * **Interne weerstanden:** Indien de bronnen interne weerstanden hebben, worden deze behouden en meegenomen in de berekeningen van de betreffende deelcircuits [16](#page=16). #### 2.1.2 Stappenplan voor de superpositie methode 1. **Selecteer een bron:** Kies één bron die actief zal zijn in het netwerk. 2. **Neutraliseer andere bronnen:** Vervang alle andere spanningsbronnen door kortgesloten kringen en alle andere stroombronnen door open kringen. Houd rekening met eventuele interne weerstanden van de bronnen [17](#page=17). 3. **Bereken deelresultaten:** Analyseer het resulterende netwerk (met slechts één actieve bron) en bereken de gewenste stromen of spanningen. 4. **Herhaal voor elke bron:** Herhaal stap 1 t/m 3 voor elke andere bron in het oorspronkelijke netwerk. 5. **Tel deelresultaten op:** Tel algebraïsch (rekening houdend met de richting) alle berekende deelstromen of -spanningen op om de totale stromen of spanningen in het oorspronkelijke netwerk te verkrijgen [16](#page=16). > **Tip:** Het correct bepalen van de richting van de deelstromen is cruciaal voor een accurate algebraïsche optelling aan het einde. ### 2.2 Voorbeeld van de superpositie methode Gegeven een netwerk met de volgende componenten: * $E_1 = 16\text{V}$ * $E_2 = 12\text{V}$ * $R_1 = 2\Omega$ * $R_2 = 0,8\Omega$ * $R = 4\Omega$ Gevraagd is de stroom door elke weerstand te berekenen met behulp van de superpositiemethode [17](#page=17). #### 2.2.1 Deelberekening met bron $E_1$ actief Wanneer $E_1$ actief is, wordt $E_2$ kortgesloten. De weerstand $R_2$ staat parallel aan $R$, en deze combinatie staat in serie met $R_1$ [17](#page=17). * De totale weerstand van de parallelle tak ($R_{2R}$): $$R_{2R} = \frac{R_2 \cdot R}{R_2 + R} = \frac{0,8\Omega \cdot 4\Omega}{0,8\Omega + 4\Omega} = \frac{3,2}{4,8}\Omega = 0,67\Omega$$ [18](#page=18). * De totale weerstand van het netwerk ($R_{v\text{totaal}}$): $$R_{v\text{totaal}} = R_1 + R_{2R} = 2\Omega + 0,67\Omega = 2,67\Omega$$ [18](#page=18). * De stroom geleverd door $E_1$ ($I'_1$): $$I'_1 = \frac{E_1}{R_{v\text{totaal}}} = \frac{16\text{V}}{2,67\Omega} = 6,00\text{A}$$ [18](#page=18). * De spanning over de parallelle tak ($U_{R2R}$): $$U_{R2R} = R_{2R} \cdot I'_1 = 0,67\Omega \cdot 6,00\text{A} = 4,02\text{V}$$ [18](#page=18). * De stroom door weerstand $R$ ($I'_R$): $$I'_R = \frac{U_{R2R}}{R} = \frac{4,02\text{V}}{4\Omega} = 1\text{A}$$ [18](#page=18). * De stroom door weerstand $R_2$ ($I'_2$): $$I'_2 = \frac{U_{R2R}}{R_2} = \frac{4,02\text{V}}{0,8\Omega} = 5,03\text{A}$$ [18](#page=18). #### 2.2.2 Deelberekening met bron $E_2$ actief Wanneer $E_2$ actief is, wordt $E_1$ kortgesloten. De weerstand $R_1$ staat parallel aan $R$, en deze combinatie staat in serie met $R_2$ [19](#page=19). * De totale weerstand van de parallelle tak ($R_{1R}$): $$R_{1R} = \frac{R_1 \cdot R}{R_1 + R} = \frac{2\Omega \cdot 4\Omega}{2\Omega + 4\Omega} = \frac{8}{6}\Omega = 1,33\Omega$$ [19](#page=19). * De totale weerstand van het netwerk ($R_{v\text{totaal}}$): $$R_{v\text{totaal}} = R_2 + R_{1R} = 0,8\Omega + 1,33\Omega = 2,13\Omega$$ [19](#page=19). * De stroom geleverd door $E_2$ ($I''_2$): $$I''_2 = \frac{E_2}{R_{v\text{totaal}}} = \frac{12\text{V}}{2,13\Omega} = 5,63\text{A}$$ [19](#page=19). * De spanning over de parallelle tak ($U_{R1R}$): $$U_{R1R} = R_{1R} \cdot I''_2 = 1,33\Omega \cdot 5,63\text{A} = 7,49\text{V}$$ [19](#page=19). * De stroom door weerstand $R$ ($I''_R$): $$I''_R = \frac{U_{R1R}}{R} = \frac{7,49\text{V}}{4\Omega} = 1,87\text{A}$$ [19](#page=19). * De stroom door weerstand $R_1$ ($I''_1$): $$I''_1 = \frac{U_{R1R}}{R_1} = \frac{7,49\text{V}}{2\Omega} = 3,75\text{A}$$ [19](#page=19). #### 2.2.3 Totale stromen Deelstromen worden algebraïsch opgeteld om de totale stromen te verkrijgen. De richting van de deelstromen vanuit de bronnen moet hierbij correct worden toegepast [16](#page=16). * Totale stroom door $R_1$ ($I_1$): $I_1 = I'_1 + I''_1 = 6,00\text{A} + 3,75\text{A} = 9,75\text{A}$ (De richtingen in het voorbeeld document wijken af van de som. Volgens het document is de stroom 2.25A, wat impliceert dat een van de deelstromen tegengesteld is gericht. De berekening hier is een directe optelling van de berekende deelstromen.) [20](#page=20). Correctie op basis van het document: $I_1 = 6,00\text{A} - 3,75\text{A} = 2,25\text{A}$ (aannemende dat de deelstroom $I''_1$ een tegengestelde richting heeft t.o.v. $I'_1$ in het referentiepunt) [20](#page=20). * Totale stroom door $R_2$ ($I_2$): $I_2 = I'_2 + I''_2 = 5,03\text{A} - 5,63\text{A} = -0,60\text{A}$ (De deelstroom $I''_2$ is groter en gericht in tegenovergestelde richting) [20](#page=20). Correctie op basis van het document: $I_2 = 5,03\text{A} - 5,63\text{A} = -0,60\text{A}$ (aannemende dat de deelstroom $I''_2$ een tegengestelde richting heeft t.o.v. $I'_2$ in het referentiepunt) [20](#page=20). Het document geeft aan dat de totale stroom 0,6A is, wat impliceert dat de richting van $I_2$ tegengesteld is aan de som van $I'_2$ en $I''_2$, of dat de richting van $I''_2$ in het document tegengesteld is aan de richting van $I'_2$. Volgens de berekeningen is de meest waarschijnlijke interpretatie: $I_2 = 5,03\text{A} \text{ (richting 1)} + (-5,63\text{A}) \text{ (richting 2)} = -0,60\text{A}$. De totale stroom is dan 0,60A in de tegengestelde richting van de eerste deelstroom [20](#page=20). * Totale stroom door $R$ ($I$): $I = I'_R + I''_R = 1\text{A} + 1,87\text{A} = 2,87\text{A}$ [20](#page=20). > **Tip:** Let goed op de aangenomen stromingsrichtingen. Als een berekende totale stroom negatief uitvalt, betekent dit dat de werkelijke stroom in de tegenovergestelde richting vloeit dan aanvankelijk aangenomen. ### 2.3 Extra oefeningen #### 2.3.1 Opgave 1 Gegeven: * $E_1 = 25\text{V}$ * $E_2 = 50\text{V}$ * $R_1 = 20\Omega$ * $R_2 = 40\Omega$ * $R_3 = 20\Omega$ * $R_4 = 20\Omega$ * $R = 50\Omega$ Gevraagd: Bereken de stroom door iedere weerstand [21](#page=21). Oplossing: 0,8 A; 0,23 A; 1,53 A; 0,97 A; 0,57 A [21](#page=21). #### 2.3.2 Opgave 2 Gegeven: * $I = 2\text{A}$ (stroombron) * $E = 4\text{V}$ * $R_1 = 2\Omega$ * $R_2 = 0,5\Omega$ * $R_3 = 10\Omega$ Gevraagd: Bereken de stroom door iedere weerstand [22](#page=22). Oplossing: 2 A; 1,52 A; 0,48 A [22](#page=22). --- # Ster-driehoek transformatie De ster-driehoek transformatie is een techniek om complexe elektrische schakelingen te vereenvoudigen door configuraties van drie weerstanden, die ofwel een ster- of een driehoekvorming creëren, om te zetten naar een equivalente configuratie, zodat de schakeling verder gereduceerd kan worden tot eenvoudige serie- en parallelschakelingen. Dit is essentieel wanneer directe vereenvoudiging via serieschakelingen en parallelschakelingen niet mogelijk is [23](#page=23) [24](#page=24). ### 3.1 Het nut van de ster-driehoek transformatie Bij het analyseren van elektrische netwerken is het doel vaak het vinden van de vervangingsweerstand van de gehele schakeling. In gemengde schakelingen worden eerst serieschakelingen opgelost en vervolgens parallelschakelingen. Echter, er zijn situaties waarin deze aanpak vastloopt, met name wanneer er groepen weerstanden voorkomen die in een ster- of driehoekconfiguratie zijn geschakeld. De ster-driehoek transformatie biedt hier een oplossing door een dergelijke configuratie om te zetten naar een equivalente vorm, waardoor de schakeling herleidbaar wordt tot enkel serie- en parallelschakelingen [23](#page=23) [24](#page=24). ### 3.2 Omzetting van driehoek naar ster Om een driehoekschakeling bestaande uit weerstanden $R_{ab}$, $R_{ac}$, en $R_{bc}$ te vervangen door een equivalente sterschakeling met weerstanden $R_a$, $R_b$, en $R_c$ tussen dezelfde knooppunten (a, b, c), worden de volgende formules gebruikt. De formules zelf hoeven niet van buiten geleerd te worden, maar zijn te vinden op het formuleblad [25](#page=25) [26](#page=26). De equivalente weerstanden van de sterschakeling worden berekend als: $$R_a = \frac{R_{ab} \cdot R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$ $$R_b = \frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$ $$R_c = \frac{R_{ac} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$$ **Voorbeeld 1: Driehoek naar ster** [28](#page=28). Gegeven een driehoekschakeling met weerstanden: * $R_1 = 5 \Omega$ * $R_2 = 10 \Omega$ * $R_3 = 20 \Omega$ Hierbij is $R_1$ de weerstand tussen de knooppunten a en b ($R_{ab}$), $R_2$ tussen a en c ($R_{ac}$), en $R_3$ tussen b en c ($R_{bc}$). Echter, de notatie in het voorbeeld ($R_1, R_2, R_3$) wordt geïnterpreteerd als de drie weerstanden in de driehoek. We relateren deze aan de algemene formules: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_2$, $R_{bc} = R_3$ [28](#page=28). * $R_a = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{5 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28). * $R_b = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{5 \Omega \cdot 10 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28). * $R_c = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28). Hierbij wordt de notatie voor de weerstanden in het voorbeeld waarschijnlijk geïnterpreteerd als volgt: $R_{ab}=R_3$, $R_{ac}=R_2$, $R_{bc}=R_1$. Laten we dit corrigeren met de correcte koppeling van de gegeven waarden aan de algemene formule, uitgaande van de typische vertex-notatie: $R_{ab} = R_1$, $R_{bc} = R_2$, $R_{ca} = R_3$. Correcte berekening met de verstrekte waarden ($R_1 = 5 \Omega$, $R_2 = 10 \Omega$, $R_3 = 20 \Omega$) en de logische toewijzing aan de zijden van de driehoek: * Aanname: $R_{ab} = 5 \Omega$, $R_{bc} = 10 \Omega$, $R_{ca} = 20 \Omega$. * $R_a = \frac{R_{ab} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{5 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28). * $R_b = \frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{5 \Omega \cdot 10 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28). * $R_c = \frac{R_{bc} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{5 \Omega + 10 \Omega + 20 \Omega} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28). Dit komt overeen met de uitkomst in het document, wat suggereert dat $R_1$, $R_2$, en $R_3$ in het voorbeeld respectievelijk $R_{ab}$, $R_{bc}$, en $R_{ac}$ (of een permutatie daarvan) vertegenwoordigen in de berekening van de sterpunten. De verstrekte berekeningen impliceren dat de weerstanden in het document gekoppeld zijn als: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_3$, $R_{bc} = R_2$. Hierbij: * $R_a$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'a' (dus tegengesteld aan de $R_{bc}$ weerstand) [25](#page=25). * $R_b$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'b' (dus tegengesteld aan de $R_{ac}$ weerstand) [25](#page=25). * $R_c$ is de sterweerstand verbonden met knooppunt 'c' (dus tegengesteld aan de $R_{ab}$ weerstand) [25](#page=25). Om de berekeningen in het document te repliceren: * $R_a$ (verbonden aan knooppunt a) = $\frac{R_{ab} \cdot R_{ac}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$ * $R_b$ (verbonden aan knooppunt b) = $\frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$ * $R_c$ (verbonden aan knooppunt c) = $\frac{R_{ac} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{ac} + R_{bc}}$ Met $R_1=5 \Omega, R_2=10 \Omega, R_3=20 \Omega$. De berekening in het document lijkt de weerstanden te hebben toegewezen als: $R_{ab} = R_1$, $R_{ac} = R_3$, $R_{bc} = R_2$. Dan: * $R_a = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{5 \cdot 20}{5 + 20 + 10} = \frac{100}{35} \approx 2.86 \Omega$ [28](#page=28). * $R_b = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{5 \cdot 10}{5 + 20 + 10} = \frac{50}{35} \approx 1.43 \Omega$ [28](#page=28). * $R_c = \frac{R_3 \cdot R_2}{R_1 + R_3 + R_2} = \frac{20 \cdot 10}{5 + 20 + 10} = \frac{200}{35} \approx 5.71 \Omega$ [28](#page=28). ### 3.3 Omzetting van ster naar driehoek Om een sterschakeling met weerstanden $R_a$, $R_b$, en $R_c$ te vervangen door een equivalente driehoekschakeling met weerstanden $R_{ab}$, $R_{bc}$, en $R_{ca}$ tussen dezelfde knooppunten (a, b, c), worden de volgende formules toegepast. Deze formules hoeven niet van buiten geleerd te worden [27](#page=27). De equivalente weerstanden van de driehoekschakeling worden berekend als: $$R_{ab} = R_a + R_b + \frac{R_a \cdot R_b}{R_c}$$ $$R_{bc} = R_b + R_c + \frac{R_b \cdot R_c}{R_a}$$ $$R_{ca} = R_c + R_a + \frac{R_c \cdot R_a}{R_b}$$ > **Tip:** Let op de notatie in de formules. $R_{ab}$ is de weerstand tussen knooppunt a en b. De sterweerstanden die de andere twee knooppunten (c in dit geval) verbinden, delen de som van de twee direct aan $R_{ab}$ verbonden sterweerstanden. **Voorbeeld 2: Ster naar driehoek** [29](#page=29). Gegeven een sterschakeling met weerstanden: * $R_1 = 25 \Omega$ * $R_2 = 15 \Omega$ * $R_3 = 40 \Omega$ Hierbij zijn $R_1$, $R_2$, en $R_3$ de weerstanden van de ster. We koppelen deze aan de algemene notatie: $R_a = R_1$, $R_b = R_2$, $R_c = R_3$. * $R_{ab} = R_a + R_b + \frac{R_a \cdot R_b}{R_c} = 25 \Omega + 15 \Omega + \frac{25 \Omega \cdot 15 \Omega}{40 \Omega} = 40 + \frac{375}{40} = 40 + 9.375 = 49.375 \Omega$ [29](#page=29). * $R_{bc} = R_b + R_c + \frac{R_b \cdot R_c}{R_a} = 15 \Omega + 40 \Omega + \frac{15 \Omega \cdot 40 \Omega}{25 \Omega} = 55 + \frac{600}{25} = 55 + 24 = 79 \Omega$ [29](#page=29). * $R_{ca} = R_c + R_a + \frac{R_c \cdot R_a}{R_b} = 40 \Omega + 25 \Omega + \frac{40 \Omega \cdot 25 \Omega}{15 \Omega} = 65 + \frac{1000}{15} = 65 + 66.666... \approx 131.67 \Omega$ [29](#page=29). De berekeningen in het document wijzen op een andere toewijzing van $R_1, R_2, R_3$ aan $R_a, R_b, R_c$. De formule in het document is: $R_{ab} = \frac{R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3}{R_3}$ Dit is een alternatieve (en correcte) formulering voor de omzetting van ster naar driehoek, namelijk: $R_{ab} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_c}$ En analoog voor $R_{bc}$ en $R_{ca}$. Laten we de berekeningen in het document volgen met $R_1=25 \Omega, R_2=15 \Omega, R_3=40 \Omega$. De teller is $R_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3 = 25 \cdot 15 + 15 \cdot 40 + 25 \cdot 40 = 375 + 600 + 1000 = 1975$. * $R_{ab} = \frac{1975}{R_3} = \frac{1975}{40} = 49.375 \Omega$ [29](#page=29). * $R_{bc} = \frac{1975}{R_2} = \frac{1975}{15} = 131.666... \Omega$ [29](#page=29). * $R_{ac} = \frac{1975}{R_1} = \frac{1975}{25} = 79 \Omega$ [29](#page=29). De berekeningen in het document zijn dus correct, mits de toewijzing $R_a = R_1$, $R_b = R_2$, $R_c = R_3$ is, en de formules voor de driehoekweerstanden worden berekend met de som van de twee gerelateerde sterweerstanden gedeeld door de derde sterweerstand. ### 3.4 Complexe voorbeelden met ster-driehoek transformatie **Oefening 3: Gemengde schakeling met driehoek** [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32). Gegeven een schakeling met een bron van 100 volt diverse weerstanden, waarbij een driehoekschakeling aanwezig is. Het doel is de totale stroom $I$ te berekenen die door de bron wordt geleverd [30](#page=30) [32](#page=32). **Oplossing met stappen:** 1. **Identificeer een vereenvoudigbare parallelle schakeling binnen de driehoek:** De twee middelste weerstanden (15 $\Omega$ en 5 $\Omega$) staan parallel geschakeld. Deze worden vervangen door één vervangingsweerstand $R_v$ [31](#page=31). $$R_v = \frac{15 \Omega \cdot 5 \Omega}{15 \Omega + 5 \Omega} = \frac{75}{20} = 3.75 \Omega$$ [31](#page=31). 2. **Transformeer de driehoek naar een ster:** Nu kan de driehoek tussen de knooppunten A, B, C worden vervangen door een ster. De weerstanden in de oorspronkelijke driehoek zijn 10 $\Omega$, 20 $\Omega$, en $R_v = 3.75 \Omega$. Laten we aannemen dat de weerstanden in de driehoek $R_{AB}=10 \Omega$, $R_{AC}=20 \Omega$, en $R_{BC}=3.75 \Omega$ zijn. De sterweerstanden $R_a$ (bij knooppunt A), $R_b$ (bij knooppunt B), en $R_c$ (bij knooppunt C) worden berekend met de formules uit sectie 3.2. * $R_a = \frac{R_{AB} \cdot R_{AC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{10 \Omega \cdot 20 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{200}{33.75} \approx 5.93 \Omega$ [31](#page=31). * $R_b = \frac{R_{AB} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{10 \Omega \cdot 3.75 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{37.5}{33.75} \approx 1.11 \Omega$ [31](#page=31). * $R_c = \frac{R_{AC} \cdot R_{BC}}{R_{AB} + R_{AC} + R_{BC}} = \frac{20 \Omega \cdot 3.75 \Omega}{10 \Omega + 20 \Omega + 3.75 \Omega} = \frac{75}{33.75} \approx 2.22 \Omega$ [31](#page=31). 3. **Vereenvoudig de resterende schakeling:** Na de transformatie staan er weerstanden in serie en parallel. * De weerstand van 10 $\Omega$ staat nu in serie met de sterweerstand $R_b$ (1.11 $\Omega$). Deze gecombineerde weerstand noemen we $R_1$. $R_1 = 1.11 \Omega + 10 \Omega = 11.11 \Omega$ [32](#page=32). * De weerstand van 30 $\Omega$ staat nu in serie met de sterweerstand $R_c$ (2.22 $\Omega$). Deze gecombineerde weerstand noemen we $R_2$. $R_2 = 2.22 \Omega + 30 \Omega = 32.22 \Omega$ [32](#page=32). 4. **Bereken de parallelle weerstand:** $R_1$ en $R_2$ staan parallel ten opzichte van elkaar. Deze worden samengevoegd tot $R_3$. $$R_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{11.11 \Omega \cdot 32.22 \Omega}{11.11 \Omega + 32.22 \Omega} = \frac{357.8542}{43.33} \approx 8.26 \Omega$$ [32](#page=32). 5. **Bereken de totale vervangingsweerstand:** $R_3$ staat in serie met de sterweerstand $R_a$ (5.93 $\Omega$). Dit geeft de totale vervangingsweerstand $R_{totaal}$. $R_{totaal} = R_a + R_3 = 5.93 \Omega + 8.26 \Omega = 14.19 \Omega$ [32](#page=32). 6. **Bereken de totale stroom:** Met de totale vervangingsweerstand en de bronspanning kan de totale stroom $I$ worden berekend. $I = \frac{V_{bron}}{R_{totaal}} = \frac{100 \text{ volt}}{14.19 \Omega} \approx 7.05 \text{ A}$ [32](#page=32). --- # Maasstroommethode voor netwerkanalyse De maasstroommethode is een techniek die wordt gebruikt om de stromen in elektrische netwerken te bepalen door de spanningswet van Kirchhoff toe te passen op de mazen van het netwerk [33](#page=33). ### 4.1 Introductie tot de Maasstroommethode De kern van de maasstroommethode ligt in het identificeren van gesloten kringen, mazen genoemd, binnen een elektrisch netwerk, zonder daarbij knooppunten te doorkruisen. Elk netwerk met $N$ onafhankelijke mazen zal resulteren in $N$ maasstromen, die willekeurig gekozen worden qua richting. Deze methode wordt toegepast door de tweede wet van Kirchhoff, ook wel de spanningswet genoemd, op elke maas toe te passen. Dit resulteert in een stelsel van $N$ vergelijkingen met $N$ onbekenden, wat de basis vormt voor het oplossen van de netwerkstromen. De werkelijke stroom door een specifieke weerstand wordt vervolgens berekend als de algebraïsche som van de maasstromen die door die weerstand vloeien [33](#page=33). ### 4.2 Toepassing van de Maasstroommethode Om de maasstroommethode correct toe te passen, worden de volgende stappen gevolgd [35](#page=35): 1. **Spanningswet van Kirchhoff:** De som van alle spanningen binnen een gesloten maas is gelijk aan nul [35](#page=35). 2. **Bronspanningen aanduiden:** De polariteit van de spanningsbronnen moet correct worden aangegeven, van de negatieve naar de positieve pool [35](#page=35). 3. **Maasstromen kiezen:** Een willekeurige stroomzin wordt gekozen voor elke maasstroom ($I_1, I_2,..., I_N$). Deze zin kan willekeurig zijn, bijvoorbeeld met de klok mee of tegen de klok in [33](#page=33) [35](#page=35). 4. **Omgangszin kiezen:** Een positieve omgangszin wordt gekozen voor elke maas. Deze keuze is ook willekeurig (wijzerzin of tegenwijzerzin) [35](#page=35). 5. **Spanningen en stromen positief definiëren:** Spanningsreferenties van bronnen worden als positief beschouwd als ze dezelfde zin hebben als de gekozen positieve omgangszin. Stromen door weerstanden worden eveneens als positief beschouwd als ze dezelfde zin hebben als de positieve omgangszin [35](#page=35). De methode is voltooid wanneer de spanningen over alle weerstanden in het netwerk worden bepaald door een maasstroom [33](#page=33). #### 4.2.1 Voorbeeld van de Maasstroommethode **Gegeven:** Een elektrisch netwerk met de volgende componenten en waarden [34](#page=34): * $E_1 = 50$V * $E_2 = 40$V * $R_1 = 6 \Omega$ * $R_2 = 18 \Omega$ * $R_3 = 5 \Omega$ * $R_4 = 4 \Omega$ * $R_5 = 4 \Omega$ **Gevraagd:** Bepaal de stroom door elke weerstand met behulp van de maasstroommethode [34](#page=34). **Oplossing:** We passen de tweede wet van Kirchhoff toe op de drie mazen in het netwerk, waarbij we maasstromen $I_1$, $I_2$ en $I_3$ introduceren [33](#page=33). **Vergelijkingen opstellen:** 1. **Maas 1:** Door de toepassing van de spanningswet van Kirchhoff op de eerste maas, waarbij we een bepaalde omgangszin kiezen, krijgen we de volgende vergelijking: $E_1 = I_1 \cdot R_3 + I_1 \cdot R_1 - I_2 \cdot R_3$ [36](#page=36). $50 = I_1 \cdot (5 \Omega + 6 \Omega) - I_2 \cdot 5 \Omega$ [36](#page=36). $50 = 11 I_1 - 5 I_2$ [37](#page=37). 2. **Maas 2:** Voor de tweede maas, rekening houdend met de stromen door de gemeenschappelijke weerstanden, geldt: $-E_2 = I_2 \cdot R_5 + I_2 \cdot R_3 + I_2 \cdot R_2 - I_1 \cdot R_3 - I_3 \cdot R_5$ [36](#page=36). $-40 = I_2 \cdot (4 \Omega + 5 \Omega + 18 \Omega) - I_1 \cdot 5 \Omega - I_3 \cdot 4 \Omega$ [36](#page=36). $-40 = 27 I_2 - 5 I_1 - 4 I_3$ [37](#page=37). 3. **Maas 3:** Voor de derde maas, met een specifieke omgangszin: $E_2 = I_3 \cdot R_4 + I_3 \cdot R_5 - I_2 \cdot R_5$ [36](#page=36). $40 = I_3 \cdot (4 \Omega + 4 \Omega) - I_2 \cdot 4 \Omega$ [36](#page=36). $40 = 8 I_3 - 4 I_2$ [37](#page=37). **Oplossen van het stelsel:** We herschrijven de vergelijkingen om ze gemakkelijker op te lossen. Uit vergelijking 1: $50 = 11 I_1 - 5 I_2 \implies 50 + 5 I_2 = 11 I_1 \implies I_1 = \frac{50 + 5 I_2}{11} \approx 4,55 + 0,45 I_2$ [37](#page=37). Uit vergelijking 3: $40 = 8 I_3 - 4 I_2 \implies 40 + 4 I_2 = 8 I_3 \implies I_3 = \frac{40 + 4 I_2}{8} = 5 + 0,5 I_2$ [37](#page=37). Nu substitueren we de uitdrukkingen voor $I_1$ en $I_3$ in vergelijking 2: $-40 = 27 I_2 - 5 I_1 - 4 I_3$ [37](#page=37). $-40 = 27 I_2 - 5 (4,55 + 0,45 I_2) - 4 (5 + 0,5 I_2)$ [37](#page=37). $-40 = 27 I_2 - 22,75 - 2,25 I_2 - 20 - 2 I_2$ [37](#page=37). $-40 = (27 - 2,25 - 2) I_2 - 22,75 - 20$ [37](#page=37). $-40 = 22,75 I_2 - 42,75$ [37](#page=37). $42,75 - 40 = 22,75 I_2$ [37](#page=37). $2,75 = 22,75 I_2$ [37](#page=37). $I_2 = \frac{2,75}{22,75} \approx 0,12$ A [37](#page=37). Nu we $I_2$ kennen, kunnen we $I_1$ en $I_3$ berekenen: $I_1 = 4,55 + 0,45 I_2 = 4,55 + 0,45 \cdot 0,12 = 4,55 + 0,054 \approx 4,6$ A [37](#page=37). $I_3 = 5 + 0,5 I_2 = 5 + 0,5 \cdot 0,12 = 5 + 0,06 = 5,06$ A [37](#page=37). **Resultaten:** De berekende maasstromen zijn: * $I_1 = 4,6$ A [37](#page=37). * $I_2 = 0,12$ A [37](#page=37). * $I_3 = 5,06$ A [37](#page=37). **Berekening van de werkelijke stromen door de weerstanden:** * **$R_1$:** De stroom door $R_1$ is gelijk aan $I_1$ [38](#page=38). $I_{R1} = I_1 = 4,6$ A [38](#page=38). * **$R_2$:** De stroom door $R_2$ is gelijk aan $I_2$ [38](#page=38). $I_{R2} = I_2 = 0,12$ A [38](#page=38). * **$R_3$:** De stroom door $R_3$ is de algebraïsche som van $I_1$ en $I_2$ (afhankelijk van de gekozen zin). In dit geval is de stroom $I_1 - I_2$. $I_{R3} = I_1 - I_2 = 4,6$ A $- 0,12$ A $= 4,48$ A [38](#page=38). * **$R_4$:** De stroom door $R_4$ is gelijk aan $I_3$ [38](#page=38). $I_{R4} = I_3 = 5,06$ A [38](#page=38). * **$R_5$:** De stroom door $R_5$ is de algebraïsche som van $I_3$ en $I_2$. In dit geval is de stroom $I_3 - I_2$. $I_{R5} = I_3 - I_2 = 5,06$ A $- 0,12$ A $= 4,49$ A [38](#page=38). > **Tip:** Controleer bij het toepassen van de spanningswet van Kirchhoff altijd zorgvuldig de zin van de stromen en spanningen ten opzichte van de gekozen omgangszin in de maas. Een kleine fout hierin kan leiden tot incorrecte resultaten. > **Example:** De maasstroommethode is bijzonder nuttig voor complexe netwerken met meerdere lussen waar het toepassen van de stroomwet van Kirchhoff op knooppunten snel onoverzichtelijk kan worden. Door het aantal onbekenden te koppelen aan het aantal mazen, reduceert deze methode de complexiteit van de berekening aanzienlijk. --- # Theorema van Thévenin en Norton Deze sectie behandelt de methoden om complexe elektrische netwerken te vereenvoudigen tot equivalente schakelingen met behulp van de theorema's van Thévenin en Norton [39](#page=39). ### 5.15 Theorema van Thévenin Het theorema van Thévenin stelt dat elk lineair elektrisch netwerk, bekeken tussen twee punten, vervangen kan worden door een eenvoudigere equivalente schakeling. Deze vervangschakeling, het Thévenin-equivalent, bestaat uit een spanningsbron en een weerstand in serie [39](#page=39) [40](#page=40). #### 5.15.1 Het Thévenin-equivalent Het Thévenin-equivalent wordt gekarakteriseerd door twee parameters: * **Thévenin-spanning ($U_{Th}$)**: Het potentiaalverschil tussen de open klemmen van het oorspronkelijke netwerk [40](#page=40). * **Thévenin-weerstand ($R_{Th}$)**: De weerstand die gemeten zou worden tussen de open klemmen na het uitschakelen van alle interne bronnen [40](#page=40). #### 5.15.2 Methode van Thévenin Om het Thévenin-equivalent te bepalen, worden de volgende stappen gevolgd: 1. **Bepalen van de Thévenin-spanning ($U_{Th}$)**: * Identificeer de twee klemmen (bijvoorbeeld 'a' en 'b') waartussen het netwerk geanalyseerd wordt [41](#page=41). * Verwijder de belasting (indien aanwezig) tussen deze klemmen, waardoor de klemmen open komen te staan [41](#page=41). * Bereken het potentiaalverschil tussen deze open klemmen. Als er spanningsbronnen aanwezig zijn, kan dit vaak gedaan worden met behulp van wetten zoals de wet van Ohm of Kirchhoff's wetten. Als de klemmen open staan, vloeit er geen stroom door de takken die direct aan de klemmen zijn verbonden [42](#page=42). * Voorbeeld: Als een spanningsbron $E$ in serie staat met weerstanden $R_1$ en $R_3$, en de klemmen 'a' en 'b' staan parallel over $R_3$, dan is de stroom $I = \frac{E}{R_1 + R_3}$ en de Thévenin-spanning is $U_{Th} = U_{ab} = I \cdot R_3 = \frac{E}{R_1 + R_3} \cdot R_3$ [42](#page=42). 2. **Bepalen van de Thévenin-weerstand ($R_{Th}$)**: * Schakel alle spanningsbronnen in het oorspronkelijke netwerk kort (vervang ze door een draad) en alle stroombronnen open (verwijder ze) [43](#page=43). * Bereken de equivalente weerstand die gezien wordt vanuit de open klemmen 'a' en 'b'. Dit is de weerstand die een ohmmeter zou meten [43](#page=43). * Voorbeeld: Als $R_1$ en $R_3$ parallel staan, en dit parallele netwerk staat dan in serie met $R_2$, dan is de Thévenin-weerstand $R_{Th} = (\frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3}) + R_2$ [43](#page=43). 3. **Het Thévenin-equivalent opstellen**: * Het equivalente circuit bestaat uit de berekende Thévenin-spanning $U_{Th}$ in serie met de berekende Thévenin-weerstand $R_{Th}$ [44](#page=44). * Dit equivalente netwerk gedraagt zich qua stroom en spanning op de klemmen 'a' en 'b' identiek aan het oorspronkelijke, complexere netwerk [44](#page=44). > **Tip:** Het opstellen van het Thévenin-equivalent kan zeer tijdbesparend zijn wanneer de stroom of spanning over verschillende belastingen berekend moet worden, omdat de $U_{Th}$ en $R_{Th}$ constant blijven en enkel de belasting $R_L$ verandert. #### 5.15.3 Voorbeeld van Thévenin Beschouw een netwerk met een spanningsbron $E$ van 20 volt, $R_1 = 200 \Omega$, $R_3 = 800 \Omega$ in serie, en $R_2 = 240 \Omega$ parallel aan $R_3$. De klemmen 'a' en 'b' bevinden zich aan weerszijden van $R_3$. We willen dit netwerk vervangen door een Thévenin-equivalent [42](#page=42) [43](#page=43). 1. **$U_{Th}$**: Klemmen 'a' en 'b' open. Geen stroom door $R_2$. De totale stroom is $I = \frac{E}{R_1 + R_3} = \frac{20V}{200\Omega + 800\Omega} = \frac{20}{1000}A = 0,02A$. De spanning over $R_3$ is $U_{Th} = U_{ab} = I \cdot R_3 = 0,02A \cdot 800\Omega = 16V$ [42](#page=42). 2. **$R_{Th}$**: Spanningsbron $E$ kortgesloten. $R_1$ en $R_3$ staan parallel. Hun vervangingsweerstand is $R_{1||3} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{200\Omega \cdot 800\Omega}{200\Omega + 800\Omega} = \frac{160000}{1000}\Omega = 160\Omega$. Deze staat in serie met $R_2$. Dus $R_{Th} = R_{1||3} + R_2 = 160\Omega + 240\Omega = 400\Omega$ [43](#page=43). 3. **Thévenin-equivalent**: Een spanningsbron van $16V$ in serie met een weerstand van $400\Omega$. ### 5.17 Theorema van Norton Net als Thévenin laat het theorema van Norton toe om elk lineair elektrisch netwerk te vervangen door een equivalent netwerk. Dit Norton-equivalent bestaat uit een ideale stroombron en een inwendige weerstand parallel geschakeld [45](#page=45). #### 5.17.1 Het Norton-equivalent Het Norton-equivalent wordt bepaald door: * **Nortonstroom ($I_N$)**: De waarde van de stroom die door de stroombron wordt geleverd. Dit is gelijk aan de kortsluitstroom tussen de twee analysenpunten [45](#page=45) [46](#page=46). * **Nortonweerstand ($R_N$)**: De inwendige weerstand van de stroombron die parallel staat met de stroombron [45](#page=45). #### 5.17.2 Methode van Norton De stappen om het Norton-equivalent te bepalen zijn vergelijkbaar met die van Thévenin: 1. **Bepalen van de Nortonstroom ($I_N$)**: * Identificeer de twee klemmen (bijvoorbeeld 'a' en 'b') [46](#page=46). * Kortsluit de klemmen 'a' en 'b' [46](#page=46). * Bereken de stroom die door deze kortsluiting vloeit. Dit is de Nortonstroom $I_N$ [46](#page=46). * Voorbeeld: Voor een netwerk met bron $E$, en weerstanden $R_1$, $R_2$, $R_3$, waarbij de kortsluiting tussen 'a' en 'b' parallel staat aan $R_3$. Eerst wordt de totale stroom $I_{totaal} = \frac{E}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}}$ berekend. Vervolgens wordt de stroom door de kortsluiting (parallel aan $R_3$) berekend met de stroomdelerregel, waarbij $R_2$ de weerstand is die de stroom verdeelt met de kortsluiting (effectief $0 \Omega$ weerstand). De stroom door de kortsluiting is dan $I_N = I_{totaal} \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_2}$ [46](#page=46). 2. **Bepalen van de Nortonweerstand ($R_N$)**: * Schakel alle bronnen uit (spanningsbronnen kortsluiten, stroombronnen openlaten) [47](#page=47). * Bereken de equivalente weerstand gezien vanuit de klemmen 'a' en 'b' [47](#page=47). * Belangrijk: De Nortonweerstand $R_N$ is identiek gelijk aan de Thévenin-weerstand $R_{Th}$. Dezelfde methode voor het berekenen van $R_{Th}$ kan hier gebruikt worden [47](#page=47). 3. **Het Norton-equivalent opstellen**: * Het equivalente circuit bestaat uit de berekende Nortonstroom $I_N$ parallel geschakeld met de berekende Nortonweerstand $R_N$ [48](#page=48). * Als een belasting $R_L$ wordt aangesloten tussen de klemmen 'a' en 'b', kan de stroom door $R_L$ berekend worden met de stroomdelerregel: $I = I_N \cdot \frac{R_N}{R_N + R_L}$ [48](#page=48). #### 5.17.3 Relatie tussen Thévenin en Norton Er bestaat een directe relatie tussen het Thévenin-equivalent en het Norton-equivalent: * De Thévenin-weerstand is gelijk aan de Nortonweerstand: $R_{Th} = R_N$ [47](#page=47). * De Thévenin-spanning is gerelateerd aan de Nortonstroom via de Thévenin-weerstand: $U_{Th} = I_N \cdot R_{Th}$ (of $I_N = \frac{U_{Th}}{R_{Th}}$) [48](#page=48). > **Tip:** Als je één van de equivalenten hebt berekend, kun je het andere equivalent direct afleiden door deze relaties te gebruiken. Dit bespaart rekenwerk. #### 5.17.4 Voorbeeld van Norton Beschouw een netwerk met een spanningsbron $E$ van 60 volt, $R_1 = 50 k\Omega$, $R_3 = 20 k\Omega$, en $R_2 = 20 k\Omega$. De klemmen 'a' en 'b' bevinden zich aan weerszijden van $R_3$. We willen dit netwerk vervangen door een Norton-equivalent. 1. **$I_N$**: Kortsluiting tussen 'a' en 'b'. De weerstand $R_2$ en de kortsluiting staan parallel aan $R_3$. We moeten de stroom door de kortsluiting berekenen. De totale weerstand in het netwerk is $R_{totaal} = R_1 + \frac{R_2 \cdot 0}{R_2 + 0} = R_1 = 50 k\Omega$. De totale stroom uit de bron is $I_{totaal} = \frac{E}{R_1} = \frac{60V}{50 k\Omega} = 1,2 mA$. Met de stroomdelerregel, de stroom door de kortsluiting (die een weerstand van $0\Omega$ heeft) is $I_N = I_{totaal} \cdot \frac{R_3}{R_3 + R_2}$ indien de kortsluiting parallel staat aan $R_3$. Echter, in het specifieke voorbeeld wordt de formule $I_N = \frac{E}{R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}} \cdot \frac{R_3}{R_3+R_2}$ gebruikt, wat impliceert dat de kortsluiting parallel staat aan $R_3$. Dit leidt tot $I_N = \frac{60V}{50 k\Omega + \frac{20 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{20 k\Omega + 20 k\Omega}} \cdot \frac{20 k\Omega}{20 k\Omega + 20 k\Omega} = \frac{60V}{50 k\Omega + 10 k\Omega} \cdot \frac{20 k\Omega}{40 k\Omega} = \frac{60V}{60 k\Omega} \cdot 0,5 = 1 mA \cdot 0,5 = 0,5 mA$ [46](#page=46). 2. **$R_N$**: Bron $E$ kortsluiten. $R_1$ en $R_2$ staan parallel. Dit parallele netwerk staat in serie met $R_3$. $R_N = R_3 + \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 20 k\Omega + \frac{50 k\Omega \cdot 20 k\Omega}{50 k\Omega + 20 k\Omega} = 20 k\Omega + \frac{1000}{70} k\Omega \approx 20 k\Omega + 14,29 k\Omega = 34,29 k\Omega$ [47](#page=47). 3. **Norton-equivalent**: Een stroombron van $0,5 mA$ parallel geschakeld met een weerstand van $34,29 k\Omega$. ### 5.19 Oefeningen Deze sectie bevat diverse oefeningen die betrekking hebben op het toepassen van de theorema's van Thévenin en Norton, evenals andere methoden voor netwerkanalyse, zoals superpositie en de maasstroommethode. Specifieke voorbeelden zijn het berekenen van stromen met de methode van Thévenin [49](#page=49) [50](#page=50) [51](#page=51) [52](#page=52) [53](#page=53). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Knooppunt | Een punt in een elektrisch netwerk waar twee of meer geleiders samenkomen. Dit is een essentieel concept bij de toepassing van de wetten van Kirchhoff. | | Stroomwet van Kirchhoff (Eerste wet) | Stelt dat de som van de elektrische stromen die een knooppunt binnenkomen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Dit principe is gebaseerd op het behoud van lading. | | Spanningswet van Kirchhoff (Tweede wet) | Stelt dat de som van de spanningsverschillen over alle componenten in een gesloten kring gelijk is aan de som van de spanningen van de bronnen in die kring. Dit principe is gebaseerd op het behoud van energie. | | Maas | Een gesloten pad of kring in een elektrisch netwerk dat geen andere gesloten paden of knooppunten bevat. De maasstroommethode analyseert het netwerk door stromen toe te kennen aan elke maas. | | Maasstroom | Een hypothetische stroom die door een maas in een elektrisch netwerk vloeit. De werkelijke stroom door een component is de algebraïsche som van de maasstromen die erdoorheen lopen. | | Superpositie methode | Een analysemethode voor lineaire elektrische netwerken met meerdere bronnen. Hierbij wordt elke bron afzonderlijk beschouwd om de bijdrage aan de totale stroom of spanning te bepalen, waarna deze bijdragen algebraïsch worden opgeteld. | | Ster-driehoek transformatie | Een techniek om bepaalde configuraties van weerstanden in een elektrisch netwerk te vereenvoudigen. Een sterschakeling (Y) kan worden omgezet in een driehoekschakeling (Δ), en vice versa, om het netwerk te reduceren tot serie- en parallelschakelingen. | | Vervangweerstand | De totale weerstand van een complex netwerk die gelijk is aan de weerstand van een enkele weerstand die dezelfde stroom zou laten lopen bij dezelfde aangelegde spanning. Dit is essentieel voor het vereenvoudigen van schakelingen. | | Thévenin-equivalent | Een methode om een lineair tweepoortnetwerk te vervangen door een equivalente schakeling die bestaat uit een enkele spanningsbron ($V_{Th}$) en een in serie geschakelde weerstand ($R_{Th}$). Dit vereenvoudigt de analyse van complexe netwerken. | | Thévenin-spanning ($V_{Th}$) | De open-klemspanning gemeten over de twee punten van het netwerk dat wordt vervangen door het Thévenin-equivalent. Het is het spanningsverschil wanneer er geen externe belasting is aangesloten. | | Thévenin-weerstand ($R_{Th}$) | De equivalente weerstand van het netwerk gemeten tussen de twee punten, nadat alle interne spanningsbronnen kortgesloten en stroombronnen opengelaten zijn. | | Norton-equivalent | Een methode om een lineair tweepoortnetwerk te vervangen door een equivalente schakeling die bestaat uit een enkele stroombron ($I_N$) en een parallel geschakelde weerstand ($R_N$). De Nortonstroom ($I_N$) is gelijk aan de kortsluitstroom van de twee punten. | | Nortonstroom ($I_N$) | De stroom die vloeit wanneer de twee klemmen van het netwerk worden kortgesloten. Dit is de stroomwaarde van de Nortonstroombron in het Norton-equivalent. | | Nortonweerstand ($R_N$) | De equivalente weerstand van het netwerk gemeten tussen de twee punten, nadat alle interne spanningsbronnen kortgesloten en stroombronnen opengelaten zijn. Deze is identiek aan de Thévenin-weerstand ($R_{Th}$). |

# Complexe notatie voor wisselstroomberekeningen ## 1.1 Waarom de complexe notatie? Wisselstroomgrootheden kunnen als vectoren of fasoren worden voorgesteld, wat vectoriële verrekening mogelijk maakt. Hoewel deze vectoriële voorstelling duidelijk is, kan deze omslachtig zijn vanwege de noodzaak tot grafische representatie. De complexe notatie biedt een efficiëntere methode voor snellere berekeningen, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van wisselstroomgrootheden [2](#page=2). ## 1.2 Het complexe vlak Een vector, zoals een fasor die een elektrische grootheid zoals spanning ($U$) of stroom ($I$) voorstelt, kan worden weergegeven in een vlak. Dit vlak kent twee assen [3](#page=3): * De X-as wordt de reële as genoemd [3](#page=3). * De Y-as wordt de imaginaire as of de j-as genoemd [3](#page=3). Een vector in dit vlak bestaat uit een reëel deel ($x$) en een imaginair deel ($y$). Om het reële en imaginaire deel te onderscheiden, wordt de $j$-operator ingevoerd. Een complex getal wordt in cartesiaanse vorm geschreven als [3](#page=3): $$ \vec{A} = x + j \cdot y $$ [3](#page=3). ## 1.3 Kenmerken van de j-operator De $j$-operator staat voor een draaiing van 90 graden in de positieve zin (tegenwijzerzin). Elke draaiing van 90 graden tegenwijzerzin betekent vermenigvuldiging met $j$, terwijl elke draaiing van 90 graden wijzerzin betekent delen door $j$ of vermenigvuldigen met $1/j$. De belangrijkste kenmerken van de $j$-operator zijn [4](#page=4): * $j^2 = -1$ [4](#page=4). * $j^3 = -j$ [4](#page=4). * $j^4 = 1$ [4](#page=4). * $j^5 = j$ [4](#page=4). ## 1.4 Complexe voorstelling van vectoren Complexe getallen kunnen op verschillende manieren worden geschreven: ### 1.4.1 Cartesiaanse schrijfwijze (rechthoekige vorm) Een complex getal wordt aangeduid met een hoofdletter met een streepje erboven, bijvoorbeeld $\vec{A}$. In het cartesiaanse assenstelsel bestaat het complexe getal uit een reëel getal $a$ en een imaginair getal $b$ [5](#page=5): $$ \vec{A} = a + j \cdot b $$ * De **modulus** ($A$) is de grootte van de vector in absolute waarde: $$ A = \sqrt{a^2 + b^2} $$ [5](#page=5). * Het **argument** ($\alpha$) is de hoek die de vector maakt met de positieve reële as. De tangens van de hoek $\alpha$ is de verhouding van het imaginaire en het reële deel, rekening houdend met de tekens van beide grootheden [5](#page=5): $$ \tan \alpha = \frac{b}{a} $$ [5](#page=5). > **Voorbeeld:** Vector $\vec{A}_1 = 5 + j \cdot 3$. De modulus is $A = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34} \approx 5.83$. Het argument is $\alpha = \arctan(3/5) \approx 30.96^\circ$ [6](#page=6). ### 1.4.2 Polaire schrijfwijze (poolcoördinaten) In een poolcoördinatenstelsel wordt een punt bepaald door een afstand (modulus) en een hoek (argument). De complexe notatie is [7](#page=7): $$ \vec{A} = A \angle \alpha $$ * Een positieve hoek wordt gemeten vanaf de positieve reële as in tegenwijzerzin [7](#page=7). * Een negatieve hoek wordt gemeten vanaf de positieve reële as in wijzerzin [7](#page=7). ### 1.4.3 Trigoniometrische schrijfwijze Wanneer de componenten $a$ en $b$ worden uitgedrukt als functie van de poolcoördinaten $A$ en $\alpha$, kan een complex getal geschreven worden als: $$ \vec{A} = A \cdot \cos \alpha + j \cdot A \sin \alpha = A (\cos \alpha + j \sin \alpha) $$ [8](#page=8). Hierbij is $A \cdot \cos \alpha$ het reële deel en $j \cdot A \sin \alpha$ het imaginaire deel [8](#page=8). ## 1.5 Bewerkingen met complexe getallen ### 1.5.1 Het toegevoegde van een complex getal Het toegevoegde van een complex getal wordt gebruikt om de noemer van een breuk reëel te maken door teller en noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegde van de noemer [9](#page=9). * In cartesiaanse vorm: Als $\vec{A} = a + j \cdot b$, dan is het toegevoegde $\overline{\vec{A}} = a - j \cdot b$. Het product van een complex getal met zijn toegevoegde is een reëel getal [9](#page=9): $$ (a + j \cdot b) \cdot (a - j \cdot b) = a^2 + b^2 $$ [9](#page=9). * In polaire vorm: Als $\vec{A} = A \angle \alpha$, dan is het toegevoegde $\overline{\vec{A}} = A \angle -\alpha$ [9](#page=9). * In trigoniometrische vorm: Als $\vec{A} = A (\cos \alpha + j \sin \alpha)$, dan is het toegevoegde $\overline{\vec{A}} = A (\cos \alpha - j \sin \alpha)$ [9](#page=9). ### 1.5.2 Som en verschil van complexe getallen Voor optellingen en aftrekkingen van complexe getallen is het het best om de cartesiaanse vorm te gebruiken [10](#page=10). * **Optellen:** Tel de reële delen bij elkaar op en de imaginaire delen bij elkaar op [10](#page=10). > **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 4 + j \cdot 3$ en $\vec{A}_2 = 3 + j \cdot 6$. > $\vec{A}_{totaal} = (4 + j \cdot 3) + (3 + j \cdot 6) = (4 + 3) + j \cdot (3 + 6) = 7 + j \cdot 9$. > Modulus: $A_{totaal} = \sqrt{7^2 + 9^2} = \sqrt{49 + 81} = \sqrt{130} \approx 11.40$. > Argument: $\tan \alpha = \frac{9}{7} \approx 1.286 \implies \alpha \approx 52.13^\circ$. > Dus $\vec{A}_{totaal} = 11.40 \angle 52.13^\circ$ [10](#page=10). * **Aftrekken:** Trek de reële delen van elkaar af en de imaginaire delen van elkaar af [11](#page=11). > **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 4 + j \cdot 3$ en $\vec{A}_2 = 3 + j \cdot 6$. > $\vec{A}_{totaal} = (4 + j \cdot 3) - (3 + j \cdot 6) = (4 - 3) + j \cdot (3 - 6) = 1 - j \cdot 3$. > Modulus: $A_{totaal} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16$. > Argument: $\tan \alpha = \frac{-3}{1} = -3 \implies \alpha \approx -71.57^\circ$. > Dus $\vec{A}_{totaal} = 3.16 \angle -71.57^\circ$ [11](#page=11). ### 1.5.3 Product en quotiënt van complexe getallen Voor vermenigvuldigingen en delingen van complexe getallen is het het best om de polaire vorm te gebruiken [12](#page=12). * **Vermenigvuldiging:** De modulus van het resultaat is het product van de modulussen, en het argument van het resultaat is de som van de argumenten [12](#page=12). > **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 6 \angle 30^\circ$ en $\vec{A}_2 = 9 \angle 60^\circ$. > $\vec{A}_{totaal} = (6 \cdot 9) \angle (30^\circ + 60^\circ) = 54 \angle 90^\circ$. > Reëel deel: $54 \cdot \cos 90^\circ = 0$. > Imaginair deel: $j \cdot 54 \cdot \sin 90^\circ = j \cdot 54$. > Dus $\vec{A}_{totaal} = j \cdot 54$ [13](#page=13). * **Deling:** De modulus van het resultaat is het quotiënt van de modulussen, en het argument van het resultaat is het verschil van de argumenten [12](#page=12). > **Voorbeeld:** $\vec{A}_1 = 6 \angle 30^\circ$ en $\vec{A}_2 = 9 \angle 60^\circ$. > $\vec{A}_{totaal} = (6 / 9) \angle (30^\circ - 60^\circ) = 0.67 \angle -30^\circ$. > Reëel deel: $0.67 \cdot \cos (-30^\circ) \approx 0.58$. > Imaginair deel: $j \cdot 0.67 \cdot \sin (-30^\circ) \approx -j \cdot 0.335$. > Dus $\vec{A}_{totaal} \approx 0.58 - j \cdot 0.335$ [13](#page=13). Het is mogelijk om product en quotiënt te berekenen in cartesiaanse vorm, maar dit is wiskundig complexer [13](#page=13). ## 1.6 Oefeningen en toepassingen Het omzetten tussen cartesiaanse en polaire vorm is een belangrijke vaardigheid. Complexe getallen worden ook gebruikt om de resultante van meerdere spanningen te bepalen, waarbij de faseverschuivingen in acht worden genomen [14](#page=14) [15](#page=15). > **Tip:** Voor sommen en verschillen is de cartesiaanse vorm het meest handig. Voor producten en quotiënten is de polaire vorm aan te raden [10](#page=10) [12](#page=12). > **Voorbeeld van omzetting:** > Om $5.39 \angle 21.8^\circ$ om te zetten naar cartesiaanse vorm: > Reëel deel: $5.39 \cdot \cos(21.8^\circ) \approx 5.00$ > Imaginair deel: $j \cdot 5.39 \cdot \sin(21.8^\circ) \approx j \cdot 2.00$ > Dus, $5.39 \angle 21.8^\circ \approx 5 + j \cdot 2$ [14](#page=14). --- # Historische context van wisselstroom versus gelijkstroom Deze sectie behandelt de historische concurrentie tussen gelijkstroom (DC) en wisselstroom (AC) tijdens de 'War of the Currents', met de focus op Thomas Edison en George Westinghouse met Nikola Tesla, en de redenen achter de uiteindelijke dominantie van wisselstroom. ### 2.1 De 'War of the Currents' De periode tussen 1880 en 1890 werd gekenmerkt door de 'War of the Currents'. Deze strijd ging tussen twee dominante figuren en hun respectievelijke elektriciteitssystemen: Thomas Edison met zijn gelijkstroom (DC) en George Westinghouse, die gesteund werd door Nikola Tesla, met zijn wisselstroom (AC) [16](#page=16). #### 2.1.1 Thomas Edison en het gelijkstroomsysteem Thomas Edison (1847–1931) was instrumenteel in de ontwikkeling en commercialisatie van de gloeilamp. Zijn elektriciteitsnetwerk was gebaseerd op gelijkstroom, een keuze die hij volhield [17](#page=17). **Redenen voor Edison's keuze voor gelijkstroom:** * **Commercialisatie:** Het was een logische keuze voor de commercialisatie van zijn gehele systeem, inclusief ontwikkeling, distributie en verlichting op 110 volt [17](#page=17). * **Gebrek aan noodzaak voor AC:** Er was destijds geen duidelijke noodzaak voor wisselstroom; verlichting kon perfect via gelijkstroom worden gerealiseerd [17](#page=17). * **Eerste elektromotoren:** De eerste elektromotoren waren gelijkstroommotoren [17](#page=17). * **Opslag in batterijen:** Gelijkstroom kon gemakkelijk worden opgeslagen in batterijen, die ook als DC-bron konden dienen en back-up boden bij stroomonderbrekingen [17](#page=17). * **Parallelle opstelling generatoren:** Gelijkstroomgeneratoren (dynamo's) konden eenvoudig parallel worden geschakeld om aan een hogere vraag te voldoen [17](#page=17). * **Wetenschappelijk bewijs en manipulatie:** Er was wetenschappelijk bewijs dat wisselstroom op hetzelfde voltage gevaarlijker was dan gelijkstroom. Edison misbruikte dit om zijn eigen DC-net te promoten [17](#page=17). * **Gepatenteerde meter:** Edison had een eigen gepatenteerde energiemeter die uitsluitend met gelijkstroom werkte [17](#page=17). **DC-opwekking en distributie door Edison:** * **Opwekking:** Gelijkstroom werd opgewekt met behulp van een gelijkstroomgenerator of dynamo [18](#page=18). * **Distributienet:** Het Pearl Street Station in Manhattan, operationeel sinds september 1882, was een belangrijk demonstratieproject van Edison's concept. Dit station, eigendom van de Edison Illuminating Company en geleid door Edison zelf, had als doel aan te tonen dat zijn systeem werkte voor commerciële en particuliere afnemers. Elke dynamo leverde 100 kilowatt (kW) met een constante spanning van 110 volt (V). Bij de start had het station 85 klanten en 400 lampen; na een jaar waren dit 513 klanten en 10.000 lampen [19](#page=19). **Public Relations en veiligheid:** Edison's concurrenten bouwden bovengrondse AC-netwerken, wat soms tot dodelijke ongevallen leidde. Edison maakte handig gebruik van deze incidenten om zijn eigen DC-systeem te promoten en creëerde een publieke perceptie dat AC extreem gevaarlijk was, in tegenstelling tot zijn veiligere, ondergrondse DC-net [20](#page=20). ### 2.2 George Westinghouse, Nikola Tesla en het wisslstroomsysteem George Westinghouse, met de cruciale bijdrage van Nikola Tesla, ontwikkelde en promootte het wisselstroomsysteem [16](#page=16). **AC-opwekking en standaardisatie:** * **Niagara Falls:** De Niagara Falls waterkrachtcentrale, gebouwd in 1895, was een gezamenlijk project van George Westinghouse en Nikola Tesla, en maakte gebruik van Tesla's AC-generatoren [21](#page=21). * **Frequentiekeuzes:** Eind 19e eeuw varieerden toegepaste frequenties tussen 16 Hz en 133 Hz [21](#page=21). * **Standaardisatie op 60 Hz:** De Westinghouse Electric Company besloot in 1890 te standaardiseren op 60 Hz. Deze frequentie was gunstig vanwege [21](#page=21): * De recent uitgevonden AC-motor van Tesla [21](#page=21). * Een aanvaardbare frequentie voor vlambooglampen, met beperkte flikkering [21](#page=21). * Het was een compromis dat rekening hield met technische haalbaarheid (zoals toerentallen) en economische rendabiliteit (het beperken van flikkering en energieverliezen) [21](#page=21). * **Europese standaard:** In Europa werd 50 Hz gestandaardiseerd [21](#page=21). ### 2.3 Waarom wisselstroom de overhand kreeg Uiteindelijk behaalde wisselstroom de overhand boven gelijkstroom om verschillende belangrijke redenen: * **Uitvinding van de transformator:** De uitvinding van de transformator in 1883 was cruciaal. Hiermee kon wisselspanning efficiënt worden getransformeerd naar hogere spanningen voor transport over lange afstanden, wat resulteerde in aanzienlijk minder verliezen [22](#page=22). * **Praktisch bruikbare AC-motor:** Nikola Tesla's uitvinding van een praktisch bruikbare AC-motor in 1888 was een sleutelcomponent [22](#page=22). * **Beperkingen van DC-technologie:** Eind 19e en begin 20e eeuw ontbrak het aan de vermogenselektronica die nodig was om DC-spanningen te verhogen. Dit in tegenstelling tot de huidige stand van de techniek [22](#page=22). > **Tip:** Het vermogen om spanningen met wisselstroom te transformeren was de meest doorslaggevende factor voor de dominantie van AC, omdat dit efficiënt transport over grote afstanden mogelijk maakte, iets wat met DC niet haalbaar was zonder enorme verliezen [22](#page=22). > **Voorbeeld:** Stel dat energie geleverd moet worden over 100 kilometer. Met gelijkstroom bij lage spanning zouden de verliezen enorm zijn. Met wisselstroom kon de spanning met behulp van een transformator worden verhoogd naar bijvoorbeeld 100.000 V voor transport, en vervolgens weer worden verlaagd met transformatoren dichtbij de eindgebruiker tot een veilige 110 V of 230 V [22](#page=22). --- # Voor- en nadelen van wisselstroom en de huidige status van gelijkstroomnetten Dit gedeelte belicht de voordelen en nadelen van wisselstroom (AC) voor opwekking, distributie en verbruik, en verkent de hedendaagse toepassingen en voordelen van gelijkstroomnetten (HVDC). ### 3.1 Voordelen van wisselstroom #### 3.1.1 Opwekking Wisselstroomgeneratoren (AC-generatoren) hebben voordelen ten opzichte van gelijkstroomgeneratoren (DC-generatoren of dynamo's). Een DC-generator vereist een extra commutator en koolstofborstels om de stroom gelijk te richten, wat slijtagegevoelig is en de maximaal op te wekken spanning beperkt door vonkvorming. AC-generatoren gebruiken daarentegen sleepringen, wat zowel in ontwerp als in onderhoud voordeliger is [23](#page=23). #### 3.1.2 Distributie Een cruciaal voordeel van wisselspanning (AC) voor distributie is de eenvoud waarmee deze kan worden geschakeld. Gelijkstromen (DC) veroorzaken langdurigere vonken bij schakelaars en relais, wat speciale maatregelen vereist. Bovendien kunnen wisselspanningen eenvoudig worden opgewaardeerd naar zeer hoge spanningen, zoals 70kV, 220kV of 380kV, met behulp van transformatoren, en vervolgens weer worden getransformeerd naar lagere spanningen voor verbruikers. Transformatoren zijn wisselstroommachines die weinig onderhoud vergen. Het opwaarts transformeren naar hoge spanningen maakt het mogelijk de stroom te beperken, wat de vermogensverliezen in de leidingen minimaliseert. Deze verliezen worden beschreven door de formule $P = U \cdot I = \frac{U^2}{R} = I^2 \cdot R$. Hoewel moderne vermogenselektronica ook hoge gelijkspanningen kan bereiken met vergelijkbare voordelen, was dit in de historische context van de 19e eeuw niet beschikbaar [24](#page=24). #### 3.1.3 Verbruikers Motoren die op wisselstroom werken, bieden doorgaans voordelen op het gebied van werking, minder onderhoud en bedrijfszekerheid. De efficiënte en eenvoudig ontworpen AC-motor van Tesla was een belangrijke doorbraak voor wisselstroom [25](#page=25). ### 3.2 Nadelen van wisselstroom Een belangrijk nadeel van wisselstroom is dat de isolatie van de leidingen bestand moet zijn tegen de piekwaarde (amplitude) van de spanning. Bovendien vereisen veel eindverbruikers, zoals DC-motoren en elektronische apparaten, dat de wisselspanning eerst wordt gelijkgericht met behulp van een gelijkrichter [25](#page=25). ### 3.3 Verschillende netfrequenties Wereldwijd bestaan er twee veelvoorkomende netfrequenties: 60 Hz in Noord- en Centraal-Amerika en delen van Japan, en 50 Hz in de rest van de wereld. De effectieve spanning varieert ook, met 110/127V in Noord- en Centraal-Amerika, vergeleken met 220V/240V elders [26](#page=26). Verschillende netfrequenties hebben implicaties voor: * **Rendement van generatoren:** Een 50 Hz frequentie vereist dat een eenvoudige synchrone wisselstroomgenerator met één poolpaar op 3000 toeren per minuut draait, terwijl 60 Hz overeenkomt met 3600 toeren per minuut. Verschillende toerentallen bij de omzetting van mechanische naar elektrische energie kunnen leiden tot variaties in rendement [26](#page=26). * **Omvang van transformatoren:** De gekozen netfrequentie beïnvloedt de grootte van transformatoren [26](#page=26). * **Leidingverliezen:** Capacitieve en inductieve verliezen tijdens het transport van elektriciteit zijn frequentie-afhankelijk [26](#page=26). ### 3.4 Gelijkstroomnetten (DC-netten) Met de vooruitgang in vermogenselektronica is de situatie ten opzichte van de 19e eeuw veranderd, waardoor AC efficiënt naar DC en vice versa kan worden omgezet. Voor energietransport kan een hoge DC-spanning voordeliger zijn dan AC, met name omdat het skineffect bij AC (waarbij de stroomdichtheid aan de buitenkant van een geleider groter is, zij het beperkt bij lage frequenties) wordt vermeden. Het nadeel van DC-netten is echter dat het verhogen of verlagen van de spanning moeilijker en duurder is, omdat een gelijkrichter en een wisselrichter (invertor) nodig zijn [27](#page=27). #### 3.4.1 Technische uitdagingen en voordelen De technische uitdagingen liggen in het ontwerpen van gelijkrichters en wisselrichters die zeer hoge spanningen aankunnen. Hoewel dit tegenwoordig mogelijk is, blijft het kostbaar. Deze hoge investeringskosten kunnen echter worden terugverdiend bij grote afstanden en hoog te transporteren vermogens, zoals enkele duizenden megawatt (MW) [28](#page=28). Voor dezelfde leidingverliezen is bij een DC-net minder koper of aluminium nodig, wat pas bij langere afstanden rendabel wordt. Lange lijnen (> 500 km) en onderzeese verbindingen maken tegenwoordig standaard gebruik van HVDC (High Voltage Direct Current) [28](#page=28). ### 3.5 Toepassingen van gelijkstroomnetten DC-netten bieden mogelijkheden voor het koppelen van twee AC-netten. Dit is met name nuttig voor het verbinden van netten met verschillende frequenties, zoals in Japan waar zowel 50 Hz als 60 Hz netten bestaan die met elkaar gekoppeld kunnen worden. Ook kunnen twee AC-netten van 50 Hz die niet noodzakelijk gesynchroniseerd zijn, via een DC-net worden verbonden. Een concreet voorbeeld van zo'n toepassing is de BritNed kabel, die Groot-Brittannië met het Europese vasteland verbindt [29](#page=29). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Complexe notatie | Een wiskundige methode om wisselstroomgrootheden voor te stellen als complexe getallen, bestaande uit een reëel en een imaginair deel, wat berekeningen vereenvoudigt. | | Fasor | Een vector die een sinusvormige grootheid, zoals spanning of stroom, voorstelt in een complex vlak, met een bepaalde lengte (modulus) en hoek (argument). | | Complex vlak | Een tweedimensionaal vlak waarin complexe getallen worden weergegeven, met de horizontale as als de reële as en de verticale as als de imaginaire (j-) as. | | J-operator | Een wiskundige operator die een rotatie van 90 graden in de positieve (tegenwijzerzin) richting voorstelt in het complexe vlak; `j² = -1`. | | Cartesiaanse schrijfwijze | De weergave van een complex getal in de vorm `a + jb`, waarbij `a` het reële deel is en `b` het imaginaire deel, analoog aan coördinaten in een Cartesisch assenstelsel. | | Modulus | De absolute waarde of lengte van een vector of complex getal, die de grootte van de voorstelde wisselstroomgrootheid aangeeft. Wordt berekend met de stelling van Pythagoras: `$A = \sqrt{a^2 + b^2}$`. | | Argument | De hoek die een vector of complex getal maakt met de positieve reële as in het complexe vlak, meestal uitgedrukt in graden of radialen. Wordt berekend met de arctangens van de verhouding van het imaginaire deel tot het reële deel: `$\alpha = \text{arctg}(b/a)$`. | | Polaire schrijfwijze | De weergave van een complex getal door middel van zijn modulus (afstand tot de oorsprong) en zijn argument (hoek ten opzichte van de positieve reële as, vaak genoteerd als `A ∟ α`). | | Trigoniometrische schrijfwijze | De weergave van een complex getal in de vorm `A(cos α + j sin α)`, waarbij `A` de modulus is en `α` het argument, waarbij de reële en imaginaire componenten expliciet worden uitgedrukt. | | Toegevoegde van een complex getal | Een complex getal met hetzelfde reële deel, maar een tegengesteld imaginair deel. Het wordt genoteerd met een streepje erboven of een sterretje. Voor `a + jb` is het toegevoegde `a - jb`. | | Wisselstroom (AC) | Elektrische stroom die periodiek van richting en grootte verandert, meestal in een sinusvormige golf. | | Gelijkstroom (DC) | Elektrische stroom die continu in één richting vloeit, met een constante spanning. | | Transformator | Een elektrisch apparaat dat wisselspanning omzet naar een hogere of lagere wisselspanning, essentieel voor efficiënt transport van wisselstroom over lange afstanden. | | Frequentie | Het aantal volledige cycli van een wisselstroomgolf dat per seconde plaatsvindt, gemeten in Hertz (Hz). | | Commutator (Koommutator) | Een onderdeel van een gelijkstroomgenerator dat de richting van de stroom in de spoelen omkeert om een constante gelijkstroom te produceren aan de uitgang. | | Sleepring | Een onderdeel van een wisselstroomgenerator dat continue elektrische verbindingen mogelijk maakt met de roterende spoelen, zonder de stroomrichting om te keren. | | Skineffect | Een verschijnsel waarbij wisselstroom de neiging heeft om zich te concentreren aan het oppervlak (huid) van een geleider, waardoor de effectieve weerstand toeneemt met hogere frequenties. | | HVDC (High Voltage Direct Current) | Een systeem voor het transport van elektriciteit met zeer hoge gelijkspanning, dat efficiënt is voor lange afstanden en onderzeese verbindingen vanwege lagere verliezen in vergelijking met AC bij vergelijkbare spanningen. | | Wisselrichter (Inverter) | Een elektronisch apparaat dat gelijkstroom (DC) omzet naar wisselstroom (AC). | | Gelijkrichter | Een elektronisch apparaat dat wisselstroom (AC) omzet naar gelijkstroom (DC). |

# Inleidende begrippen over elektrische stromen en spanningen Dit onderwerp introduceert de fundamentele soorten elektrische stromen, namelijk gelijkstroom en wisselstroom, en hun eigenschappen [2](#page=2) [3](#page=3) [4](#page=4) [5](#page=5). ### 1.1 Soorten elektrische stromen en spanningen #### 1.1.1 Gelijkstroom (DC - Direct Current) Gelijkstroom wordt gekenmerkt doordat de zin van de stroom in de tijd constant blijft, typisch van de positieve naar de negatieve pool. Hoewel de zin constant is, kan de waarde van de gelijkstroom variëren. Er worden verschillende soorten gelijkstromen onderscheiden [2](#page=2) [3](#page=3): * **Constante gelijkstroom**: De waarde van de stroom blijft onveranderd in de tijd. De stroomsterkte is op elk moment gelijk [2](#page=2). * **Veranderlijke gelijkstroom**: De zin van de stroom blijft gelijk, maar de stroomsterkte verandert voortdurend. Een voorbeeld hiervan is de stroom die door een microfoon wordt opgewekt [2](#page=2) [3](#page=3). * **Periodieke gelijkstroom of pulserende stroomsterkte**: De waarden van de stroomsterkte herhalen zich op identieke wijze over vaste tijdsintervallen [3](#page=3). #### 1.1.2 Wisselende stroom (AC - Alternating Current) Een wisselende stroom verandert voortdurend van zowel zin als waarde in functie van de tijd. Deze stroom vertoont geen specifieke wetmatigheid of periodieke herhaling [4](#page=4). #### 1.1.3 Wisselstroom (AC - Alternating Current) Een wisselstroom is specifiek een stroom die periodiek van zin en waarde verandert. Een belangrijk kenmerk van wisselstroom is dat de gemiddelde waarde over één volledige periode gelijk is aan nul. Dit geldt in het bijzonder voor industriële wisselstroom [5](#page=5). --- # Benamingen en berekeningen in wisselstroom Dit gedeelte van de studiehandleiding vat de belangrijkste termen en berekeningen met betrekking tot wisselstroom samen, inclusief de periode, frequentie, cirkelfrequentie, ogenblikkelijke waarde, amplitude, gemiddelde waarde en effectieve waarde. ## 2. Benamingen en berekeningen in wisselstroom Wisselstroom (AC) kenmerkt zich door periodieke variaties in zowel grootte als richting. Om deze variaties te beschrijven en te analyseren, worden diverse specifieke termen en formules gehanteerd. ### 2.1 Periode (T) De periode is de tijdsduur die nodig is voor één volledige cyclus van de wisselstroom of wisselspanning. Het is de tijd die verstrijkt tussen twee opeenvolgende momenten waarop de waarde van de wisselgrootheid dezelfde is en in dezelfde zin varieert [8](#page=8). * **Voorstelling en eenheid:** `T` (seconden, s) [8](#page=8). * **Voorbeeld:** De periodeduur van de netspanning in veel landen is `T = 1/50` s, wat neerkomt op 0,02 seconden [8](#page=8). * **Relatie tot hoek:** Eén periode komt overeen met een hoek van 360 graden of `2\pi` radialen [8](#page=8). ### 2.2 Frequentie (f) De frequentie is het aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt [9](#page=9). * **Voorstelling en eenheid:** `f` (Hertz, Hz) [9](#page=9). * **Voorbeeld:** De netspanning heeft een frequentie van 50 Hz. Draadloze communicatie tussen thermostaten en ontvangers maakt gebruik van een frequentiebereik van 868 MHz [9](#page=9). ### 2.3 Verband tussen periode en frequentie Er is een omgekeerd evenredig verband tussen de periode en de frequentie [10](#page=10): $$f = \frac{1}{T}$$ Hz [10](#page=10). $$T = \frac{1}{f}$$ s [10](#page=10). ### 2.4 De cirkelfrequentie of hoeksnelheid (ω) De cirkelfrequentie, ook wel hoeksnelheid genoemd, geeft aan hoeveel radialen er per seconde worden doorlopen [11](#page=11). * **Voorstelling:** `\omega` (Griekse letter Omega) [11](#page=11). * **Formule:** $$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$ [11](#page=11). * **Relatie met frequentie:** Dit leidt tot de formule `\omega = 2 \pi f`. Hieruit volgt ook weer `T = \frac{1}{f}` [11](#page=11). * **Opmerking:** De hoeksnelheid kan ook in graden worden uitgedrukt, maar dit vereist een correcte omrekening [11](#page=11). ### 2.5 De ogenblikkelijke waarde (u, i) De ogenbliklijke waarde is de waarde van de spanning of stroom op een specifiek tijdstip [12](#page=12). * **Voorstelling:** `e`, `u` (spanning) of `i` (stroom) [12](#page=12). * **Formule:** Voor een sinusvormige wisselgrootheid geldt: $$ u = U_m \cdot \sin(\omega \cdot t) $$ [12](#page=12). $$ i = I_m \cdot \sin(\omega \cdot t) $$ [12](#page=12). Hierin is `U_m` de maximale waarde van de spanning en `I_m` de maximale waarde van de stroom. De formule drukt de waarde uit als functie van de tijd `t`. ### 2.6 De maximumwaarde, topwaarde of amplitude (U_m, I_m) De amplitude is de hoogste waarde die de spanning of stroom bereikt gedurende één periode [13](#page=13). * **Voorstelling:** `U_m` of `\hat{U}` voor spanning, `I_m` of `\hat{I}` voor stroom [13](#page=13). ### 2.7 De gemiddelde waarde De gemiddelde waarde van een wisselende stroom of spanning kan op verschillende manieren worden gedefinieerd en berekend. * **Gemiddelde waarde van een willekeurige wisselende stroom over één periode:** Deze waarde kan worden berekend met behulp van integralen. Het gearceerde oppervlak onder de curve vertegenwoordigt de verplaatste lading `Q`. Door deze oppervlakte te integreren over de betreffende tijdsperiode, kan een gemiddelde stroomwaarde (`I_{av}` of `I_{gem}`) worden bepaald. Het doel is om een gelijkstroom te vinden die over dezelfde tijdsperiode dezelfde lading verplaatst [14](#page=14). > **Tip:** De gemiddelde waarde is conceptueel de gelijkstroom die gedurende een bepaalde tijd dezelfde totale hoeveelheid lading verplaatst als de wisselstroom in diezelfde tijd. * **Gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom over een volledige periode (T):** De gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom of wisselspanning over een volledige periode is altijd nul. Dit komt doordat de positieve en negatieve delen van de sinus elkaar precies opheffen [15](#page=15). * **Gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom over een halve periode (T/2):** In de praktijk wordt de gemiddelde waarde van een sinusvormige wisselstroom of -spanning vaak berekend over een halve periode [16](#page=16). * **Voorstelling:** `I_{av}` of `I_{gem}` (stroom), `U_{av}` of `U_{gem}` (spanning) [16](#page=16). * **Formule:** $$ I_{av} = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0,6366 \cdot I_m $$ [16](#page=16). $$ U_{av} = \frac{2}{\pi} \cdot U_m \approx 0,6366 \cdot U_m $$ [16](#page=16). ### 2.8 De effectieve waarde of middelbare waarde (I_eff, U_eff) De effectieve waarde (ook wel RMS-waarde genoemd) van een sinusvormige stroom is de waarde van een gelijkstroom die gedurende dezelfde periode en in dezelfde weerstand dezelfde hoeveelheid warmte zou ontwikkelen. RMS staat voor "Root Mean Square" [17](#page=17). * **Voorstelling:** `I_{eff}` of `U_{eff}` (stroom en spanning), `I_{RMS}` of `U_{RMS}` [17](#page=17). * **Formule:** $$ I_{eff} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $$ [17](#page=17). $$ U_{eff} = \frac{U_m}{\sqrt{2}} $$ [17](#page=17). * **Toepassing:** Multimeters tonen de effectieve waarde wanneer ze in de AC-stand staan [17](#page=17). ### 2.9 Topfactor en vormfactor van sinusoïdale spanningen en stromen Deze factoren worden gebruikt om de vorm van een wisselspannings- of stroomgolf te karakteriseren ten opzichte van een sinusvorm. #### 2.9.1 Topfactor (k_top) De topfactor is de verhouding tussen de maximale waarde (amplitude) en de effectieve waarde van een sinusvormige spanning of stroom [18](#page=18). * **Voorstelling:** `k_top` [18](#page=18). * **Formule:** $$ k_{top} = \frac{U_m}{U_{eff}} = \frac{I_m}{I_{eff}} $$ [18](#page=18). Voor een sinusvormige golf geldt: $$ k_{top} = \frac{U_m}{U_m / \sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41 $$ [18](#page=18). #### 2.9.2 Vormfactor (k_vorm) De vormfactor is de verhouding tussen de effectieve waarde en de gemiddelde waarde van een sinusvormige spanning of stroom [19](#page=19). * **Voorstelling:** `k_vorm` [19](#page=19). * **Formule:** $$ k_{vorm} = \frac{U_{eff}}{U_{av}} = \frac{I_{eff}}{I_{av}} $$ [19](#page=19). Voor een sinusvormige golf geldt: $$ k_{vorm} = \frac{I_m / \sqrt{2}}{(2/\pi) \cdot I_m} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1,11 $$ [19](#page=19). ### 2.10 Oefeningen Hieronder staan enkele oefeningen die helpen bij het toepassen van de geleerde concepten [20](#page=20). 1. Een wisselstroom heeft als wiskundige uitdrukking van de momentele waarde: $i = 12 \, \text{A} \cdot \sin(314 \cdot t)$ rad. Bepaal de frequentie, de momentele waarde na een tijd van 0,01 s en de gemiddelde stroom over een halve periode [20](#page=20). * **Oplossing:** 50 Hz; 0,02 A; 7,64 A [20](#page=20). 2. Een ohmse weerstand van 20 Ω is aangesloten op een sinusoïdale spanning waarvan de amplitude 65 V bedraagt. Bereken de erin verplaatste hoeveelheid elektriciteit Q in een tijdsinterval van 6 minuten [20](#page=20). * **Oplossing:** 828 C [20](#page=20). 3. Bepaal de effectieve waarde van de sinusoïdale stroom met als wiskundige uitdrukking voor de momentele waarde: $i = 15 \, \text{A} \cdot \sin(628 \cdot t)$ rad [20](#page=20). * **Oplossing:** 10,61 A [20](#page=20). 4. Een sinusoïdale stroom met een maximumwaarde van 9 A vloeit in een ohmse weerstand van 120 Ω gedurende een tijd van 30 minuten. Bereken de ontwikkelde hoeveelheid warmte-energie (maximum en effectief) in joules [20](#page=20). * **Oplossing:** 17,496 MJ; 8,737 MJ [20](#page=20). 5. Een sinusoïdale spanning heeft als uitdrukking: $u = 340 \, \text{V} \cdot \sin(377 \cdot t)$ rad. Bepaal de frequentie, de amplitude, de effectieve waarde van deze spanning en de gemiddelde spanning over een halve periode [20](#page=20). * **Oplossing:** 60 Hz; 340 V; 240,42 V; 216,45 V [20](#page=20). 6. Een wisselstroom voltmeter duidt een spanning aan van 120 V. Bereken de momentele waarde van de spanning 6 milliseconden nadat de spanning nul was. De frequentie is 50 Hz [20](#page=20). * **Oplossing:** 161,40 V [20](#page=20). --- # Faseverschuivingen en vectordiagrammen in wisselstroom Dit onderwerp introduceert het concept van faseverschuivingen tussen wisselstroomgrootheden, de representatie hiervan met vectordiagrammen, en de begrippen voorijlen en naijlen, samen met oefeningen om deze concepten toe te passen. ### 3.1 Vectordiagram * Traditionele grafische weergaven van sinusvormige grootheden worden onoverzichtelijk bij een groot aantal lijnen [21](#page=21). * De vectoriële voorstelling, waarbij wisselstroomgrootheden worden voorgesteld door draaiende vectoren (fazoren) in een vectordiagram, is ontwikkeld om dit probleem op te lossen [21](#page=21). * In plaats van de maximumwaarde wordt voor de lengte van de vectoren in een vectordiagram de effectieve waarde gebruikt. De rotatiesnelheid is constant $\omega$ [21](#page=21). ### 3.2 In fase * Twee wisselstroomgrootheden zijn in fase als ze op dezelfde momenten de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen [22](#page=22). * Ze hebben uiteraard ook dezelfde frequentie [22](#page=22). ### 3.3 Faseverschuiving of faseverschil * Wanneer twee wisselstroomgrootheden, ondanks dezelfde frequentie, niet gelijktijdig de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen, is er sprake van een faseverschil of faseverschuiving [23](#page=23). * Dit faseverschil wordt aangeduid met de Griekse letter $\phi$ [23](#page=23). * De hoek kan worden uitgedrukt in radialen of graden, of in tijd als de frequentie bekend is [23](#page=23). #### 3.3.1 Conventies voor fasehoeken * De fasehoek wordt standaard genomen tussen 0° en 180°. Formeel: $0^\circ \le |\phi| \le 180^\circ$ [24](#page=24). * De positieve X-as dient als referentie [24](#page=24). * Een positieve hoek betekent een rotatie tegen de klok in ten opzichte van de referentie [24](#page=24). * Een negatieve hoek betekent een rotatie met de klok mee ten opzichte van de referentie [24](#page=24). #### 3.3.2 Omrekenen van fasehoeken * Het is mogelijk om fasehoeken om te rekenen naar equivalenten binnen het bereik van -180° tot +180°. * Een faseverschuiving van +270° is equivalent aan -90° [25](#page=25). * Een faseverschuiving van -225° is equivalent aan +135° [25](#page=25). ### 3.4 Voorijlen en naijlen * **Voorijlen:** Als de stroom zijn positieve maximum eerder bereikt dan de spanning, dan zegt men dat de stroom voorijlt op de spanning, of dat de spanning nàijlt op de stroom [26](#page=26). * Wiskundige uitdrukking: * $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$ * $i = I_m \cdot \sin(\omega t + \phi)$ met $\phi > 0$ [26](#page=26). * **Naijlen:** Als de stroom zijn positieve maximum later bereikt dan de spanning, dan zegt men dat de stroom nàijlt op de spanning, of dat de spanning voorijlt op de stroom [26](#page=26). * Wiskundige uitdrukking: * $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$ * $i = I_m \cdot \sin(\omega t - \phi)$ met $\phi > 0$ [26](#page=26). #### 3.4.1 Speciale faseverschuivingen * Indien $\phi = 0^\circ$, zijn de grootheden in fase [27](#page=27). * Indien $\phi = 90^\circ$, zijn de grootheden in kwadratuur [27](#page=27). * Indien $\phi = 180^\circ$, zijn de grootheden in tegenfase of oppositie [27](#page=27). #### 3.4.2 Vectoriële samenstelling en cosinusregel * Bij een vectoriële samenstelling van vectoren kan de resulterende vector grafisch met een bepaalde schaal worden bepaald. De wiskundige berekening met de cosinusregel is nauwkeuriger [28](#page=28). * De cosinusregel voor de resulterende stroomsterkte $I$ van twee stromen $I_1$ en $I_2$ met een fasehoek $\phi$ tussen hen is: $$I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 + 2 I_1 I_2 \cos(\phi)}$$ [28](#page=28). * Aangezien $\cos(\alpha) = -\cos(\phi)$ wanneer $\alpha$ de hoek is tussen de vectoren in een diagram waar de fasehoek $\phi$ wordt gebruikt in de formules, wordt de formule vaak geschreven als: $$I = \sqrt{I_1^2 + I_2^2 - 2 I_1 I_2 \cos(\phi)}$$ [28](#page=28). * **Tip:** Let goed op het teken in de cosinusregel, afhankelijk van hoe de fasehoek wordt gedefinieerd in relatie tot de vectoriële sommatie. Vaak wordt de cosinusregel voor het optellen van vectoren gebruikt, waarbij de cosinus van de hoek *tussen* de vectoren wordt ingevuld. Als de formules voor spanning en stroom respectievelijk $U_m \sin(\omega t)$ en $I_m \sin(\omega t - \phi)$ zijn, dan is de fasehoek *tussen* de spanning en stroom $\phi$. Voor de vectoriële som is de hoek dan $180^\circ - \phi$ of $\phi$ afhankelijk van de specifieke opstelling. De formule hier gegeven met $-\cos(\phi)$ impliceert dat $\phi$ de fasehoek is tussen de twee grootheden zelf, en dat de cosinusregel voor vectoroptelling wordt toegepast op een diagram waarbij de hoek anders georiënteerd is. Het is cruciaal om de context van de cosinusregel die je gebruikt te begrijpen. * Om een vector af te trekken, telt men de vector met een tegengesteld teken op [28](#page=28). * Voor de samenstelling van meer dan twee vectoren wordt de cosinusregel herhaaldelijk toegepast. Grafisch worden alle vectoren getekend met hun juiste richting, zin en grootte, waarbij het beginpunt van de ene vector samenvalt met het eindpunt van de voorgaande [28](#page=28). * **Tip:** De cosinusregel en sinusregel voor vectoriële samenstelling worden vaak verstrekt op het examen. Zorg dat je weet hoe je ze correct toepast [29](#page=29). ### 3.5 Oefeningen 1. Een wisselstroom ijlt $T/6$ seconden voor op een wisselspanning. Bereken het faseverschil in seconden, graden en radialen als de frequentie 50Hz is. * Oplossing: 3,3 ms; 60°; 1,047 rad [30](#page=30). 2. Een stroomsterkte met een effectieve waarde van 20A ijlt 45° na op een spanning met een effectieve waarde van 100V. Geef de wiskundige uitdrukking van de stroomsterkte en de spanning. Bereken de waarde van de stroom bij $t=5s$ als $f=50Hz$. * Oplossing: $i = I_m \cdot \sin(\omega t - 45^\circ)$; $u = U_m \cdot \sin(\omega t)$; -20 A [30](#page=30). 3. Een stroomsterkte met een amplitude van 25A ijlt 40° na op een spanning met een amplitude van 150V. Bereken de momentane waarde van de stroomsterkte op het ogenblik dat de spanning haar amplitude bereikt. * Oplossing: 19,15 A [30](#page=30). 4. Een sinusoïdale stroom met een amplitude van 16A ijlt 60° na op een sinusoïdale spanning met een amplitude van 310V. Bereken de momentane waarde van de stroom en van de spanning op het tijdstip dat op $T/12$ rechts voorbij de nuldoorgang van de spanning ligt. * Oplossing: -8 A; 155 V [30](#page=30). 5. Een sinusoïdale stroom, met een effectieve waarde van 12,5A, ijlt na op een sinusïdale spanning. Op het tijdstip waarop de momentane waarde van de spanning positief maximaal is, bereikt de stroom een ogenblikkelijke waarde van 10A. Bereken de faseverschuiving. * Oplossing: 55,55° [30](#page=30). 6. Twee wisselspanningen van 30V en 50V staan in serie en zijn onderling 30° verschoven. Bereken de waarde van de resulterende spanning. * Oplossing: 77,45 V [30](#page=30). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Gelijkstroom | Een elektrische stroom waarbij de richting constant blijft in de tijd. De waarde kan wel variëren. | | Constante gelijkstroom | Een gelijkstroom waarvan de waarde onveranderlijk is over de tijd; deze blijft op elk moment even groot. | | Veranderlijke gelijkstroom | Een gelijkstroom die weliswaar dezelfde richting behoudt, maar waarvan de stroomsterkte voortdurend verandert. | | Periodieke gelijkstroom | Een wisselende gelijkstroom waarvan het verloop van de stroomsterkte zich op vaste tijdsintervallen op identieke wijze herhaalt. | | Wisselende stroom | Een elektrische stroom die voortdurend zowel van richting als van waarde verandert in de tijd, zonder duidelijke wetmatigheid of periodieke herhaling. | | Wisselstroom | Een elektrische stroom die periodiek van richting en waarde verandert. De gemiddelde waarde over één periode is nul. | | Sinusvormige wisselspanning | Een wisselspanning waarvan de waarde in de tijd een sinusvormig verloop volgt, beschreven door de functie $u = U_m \cdot \sin(\omega \cdot t)$. | | Periode (T) | De tijdsduur tussen twee opeenvolgende momenten waarop een wisselstroom of wisselspanning dezelfde waarde aanneemt in dezelfde richting. De eenheid is seconde (s). | | Frequentie (f) | Het aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt. De eenheid is Hertz (Hz). | | Cirkelfrequentie (ω) | Ook wel hoeksnelheid genoemd, dit is het aantal radialen dat per seconde wordt doorlopen. Het verband met de frequentie is $\omega = 2\pi f$. | | Ogenblikkelijke waarde | De waarde van een wisselspanning of -stroom op een specifiek moment in de tijd. Wordt aangeduid met kleine letters zoals $u$ of $i$. | | Maximumwaarde (amplitude) | De hoogste waarde die een wisselspanning of -stroom bereikt binnen één periode. Wordt aangeduid met grote letters met een index m, zoals $U_m$ of $I_m$. | | Gemiddelde waarde | De gemiddelde waarde van een wisselstroom of -spanning over een bepaalde tijdsperiode, berekend met integralen. Voor een sinusvormige wisselstroom over een volledige periode is deze 0. | | Effectieve waarde (RMS) | De waarde van een gelijkstroom die dezelfde hoeveelheid warmte ontwikkelt als een wisselstroom in dezelfde weerstand gedurende dezelfde periode. Wordt ook wel middelbare waarde of RMS-waarde genoemd (Root Mean Square). | | Topfactor | De verhouding tussen de maximumwaarde (amplitude) en de effectieve waarde van een sinusoïdale spanning of stroom. Voor een sinusvorm is dit $\sqrt{2} \approx 1,41$. | | Vormfactor | De verhouding tussen de effectieve waarde en de gemiddelde waarde van een sinusoïdale spanning of stroom. Voor een sinusvorm is dit ongeveer 1,11. | | Vectordiagram (fazoren) | Een grafische methode om sinusoïdale wisselstroomgrootheden voor te stellen met behulp van draaiende vectoren (fazoren), waarbij de lengte van de vector meestal de effectieve waarde voorstelt. | | In fase | Twee wisselstroomgrootheden zijn in fase als ze op hetzelfde moment de nulwaarde en hun gelijknamige topwaarden doorlopen en dezelfde frequentie hebben. | | Faseverschuiving (ϕ) | Het verschil in fase tussen twee wisselstroomgrootheden met dezelfde frequentie, die niet gelijktijdig hun nul- en topwaarden doorlopen. Wordt uitgedrukt in graden of radialen. | | Voorijlen | Situatie waarbij de stroom een positief maximum eerder bereikt dan de spanning; de stroom 'loopt voor' op de spanning. | | Naijlen | Situatie waarbij de stroom een positief maximum later bereikt dan de spanning; de stroom 'loopt achter' op de spanning. |

# Samengestelde wisselstroomketens in serieschakeling Dit deel behandelt de analyse van wisselstroomketens met weerstanden, spoelen en condensatoren in serieschakeling, inclusief berekeningen van stroomsterkte, impedantie, spanningsvallen en faseverschuivingen [10](#page=10) [2](#page=2) [6](#page=6). ### 1.1 Keten met R en L in serie Een niet-ideale spoel kan beschouwd worden als een ideale spoel met zelfinductie $L$ in serie met een ohmse weerstand $R$. Bij aansluiting op een sinusvormige spanning $U$ ontstaat een sinusvormige wisselstroom $I$ die de spanning met een hoek $\phi$ zal naijlen, wat duidt op een inductieve keten [2](#page=2). #### 1.1.1 Spanningsvallen De stroom $I$ veroorzaakt de volgende spanningsvallen: * **Ohmse spanningsval** over de weerstand $R$: $U_R$, welke in fase is met de stroom $I$ [2](#page=2). $U_R = I \cdot R$ [2](#page=2). * **Inductieve spanningsval** over de spoel $L$: $U_L$, welke 90° voorijlend is op de stroom $I$ [2](#page=2). $U_L = I \cdot X_L = I \cdot \omega \cdot L$ [2](#page=2). #### 1.1.2 Vectordiagram en berekening van stroomsterkte Bij de analyse van serieschakelingen wordt het vectordiagram opgesteld met de stroom $I$ als referentiegrootheid, aangezien deze voor alle componenten gelijk is. De totale spanning $U$ wordt gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras toegepast op de spanningsdriehoek [3](#page=3): $U^2 = U_R^2 + U_L^2$ [4](#page=4). Na substitutie van de spanningsvallen: $U^2 = (I \cdot R)^2 + (I \cdot X_L)^2 = I^2 \cdot (R^2 + X_L^2)$ [4](#page=4). Hieruit kan de stroomsterkte $I$ worden afgeleid: $I = \frac{U}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ [4](#page=4). #### 1.1.3 Impedantie en impedantiedriehoek De impedantie $Z$ van de keten is de totale weerstand tegen de wisselstroom en wordt gedefinieerd als: $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ [4](#page=4) [5](#page=5). Door de spanningsdriehoek te delen door de stroom $I$, ontstaat de impedantiedriehoek. Hierin gelden de volgende relaties [5](#page=5): * $Z^2 = R^2 + X_L^2$ [5](#page=5). * $\sin \phi = \frac{U_L}{U} = \frac{X_L}{Z}$ [5](#page=5). * $\cos \phi = \frac{U_R}{U} = \frac{R}{Z}$ [5](#page=5). * $\tan \phi = \frac{U_L}{U_R} = \frac{X_L}{R}$ [5](#page=5). > **Tip:** De hoek $\phi$ geeft de faseverschuiving tussen de spanning $U$ en de stroom $I$ aan. Een positieve hoek duidt op een inductieve keten waarbij de stroom naijlt op de spanning. ### 1.2 Keten met R en C in serie Wanneer een condensator $C$ in serie staat met een weerstand $R$ en wordt aangesloten op een sinusvormige spanning $U$, ontstaat een wisselstroom $I$ die de spanning met een hoek $\phi$ zal voorijlen. Dit kenmerkt een capacitieve keten [6](#page=6). #### 1.2.1 Spanningsvallen De spanningsvallen zijn: * **Ohmse spanningsval** over de weerstand $R$: $U_R$, in fase met de stroom $I$ [6](#page=6). $U_R = I \cdot R$ [6](#page=6). * **Capacitieve spanningsval** over de condensator $C$: $U_C$, welke 90° naijlend is op de stroom $I$ [6](#page=6). $U_C = I \cdot X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}$ [6](#page=6). #### 1.2.2 Vectordiagram en berekening van stroomsterkte Net als bij de R-L keten, is de stroom $I$ de referentiegrootheid in het vectordiagram. De totale spanning $U$ wordt berekend met de stelling van Pythagoras [7](#page=7): $U^2 = U_R^2 + U_C^2$ [8](#page=8). Hieruit volgt de formule voor de stroomsterkte $I$: $I = \frac{U}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ [8](#page=8). #### 1.2.3 Impedantie en impedantiedriehoek De impedantie $Z$ voor een R-C serieschakeling is: $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ [8](#page=8) [9](#page=9). De impedantiedriehoek leidt tot de volgende relaties: * $Z^2 = R^2 + X_C^2$ [9](#page=9). * $\sin \phi = \frac{U_C}{U} = \frac{X_C}{Z}$ [9](#page=9). * $\cos \phi = \frac{U_R}{U} = \frac{R}{Z}$ [9](#page=9). * $\tan \phi = \frac{U_C}{U_R} = \frac{X_C}{R}$ [9](#page=9). > **Tip:** In een capacitieve keten zal de stroom $I$ de spanning $U$ voorijlen. De faseverschuiving $\phi$ zal, door de aanwezigheid van de weerstand $R$, altijd kleiner zijn dan 90°. ### 1.3 Keten met R, L en C in serie In een serieschakeling met een weerstand $R$, een spoel $L$ en een condensator $C$, wordt de totale spanning $U$ verdeeld over deze componenten. De stroom $I$ is gelijk voor alle componenten [10](#page=10). #### 1.3.1 Spanningsvallen De spanningsvallen zijn: * $U_R = I \cdot R$ (in fase met $I$) [10](#page=10). * $U_L = I \cdot X_L = I \cdot \omega \cdot L$ (90° voorijlend op $I$) [10](#page=10). * $U_C = I \cdot X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}$ (90° naijlend op $I$) [10](#page=10). #### 1.3.2 Vectordiagram en berekening van stroomsterkte Het vectordiagram toont dat de inductieve spanning $U_L$ en de capacitieve spanning $U_C$ tegengesteld gericht zijn. De totale spanning $U$ wordt berekend met de stelling van Pythagoras, rekening houdend met het verschil tussen $U_L$ en $U_C$ [11](#page=11): $U^2 = U_R^2 + (U_L - U_C)^2$ [12](#page=12). Na substitutie en vereenvoudiging, wordt de stroomsterkte $I$ als volgt berekend: $I = \frac{U}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ [12](#page=12). #### 1.3.3 Impedantie en impedantiedriehoek De impedantie $Z$ van een RLC-serieschakeling is: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ [12](#page=12) [13](#page=13). De impedantiedriehoek geeft de volgende relaties: * $Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$ [13](#page=13). * $\sin \phi = \frac{U_L - U_C}{U} = \frac{X_L - X_C}{Z}$ [13](#page=13). * $\cos \phi = \frac{U_R}{U} = \frac{R}{Z}$ [13](#page=13). * $\tan \phi = \frac{U_L - U_C}{U_R} = \frac{X_L - X_C}{R}$ [13](#page=13). #### 1.3.4 Gedrag van de keten Het gedrag van de keten hangt af van het verschil tussen de inductieve en capacitieve reactantie ($X_L$ en $X_C$): * Als $X_L > X_C$: $\tan \phi > 0$, de keten is inductief, en de stroom $I$ **naijlt** op de spanning $U$ [13](#page=13). * Als $X_L < X_C$: $\tan \phi < 0$, de keten is capacitief, en de stroom $I$ **voorijlt** op de spanning $U$ [13](#page=13). * Als $X_L = X_C$: $\tan \phi = 0$, de keten is ohms, de stroom $I$ is **in fase** met de spanning $U$. Dit fenomeen wordt **serieresonantie** genoemd [13](#page=13). ### 1.4 Serieresonantie Serieresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie [14](#page=14): $X_L = X_C$ [14](#page=14). #### 1.4.1 Resonantiefrequentie De resonantiefrequentie $\omega_0$ (in radialen per seconde) en $f_0$ (in Hertz) worden als volgt berekend: $\omega_0 \cdot L = \frac{1}{\omega_0 \cdot C}$ [14](#page=14). $\omega_0^2 = \frac{1}{L \cdot C}$ [14](#page=14). $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}$ [14](#page=14). $\omega_0 = 2 \cdot \pi \cdot f_0$ [14](#page=14). $f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}$ [14](#page=14). #### 1.4.2 Kenmerken bij resonantie Bij resonantie geldt: * De impedantie $Z$ is minimaal en gelijk aan de ohmse weerstand $R$: $Z = R$ [14](#page=14). * De stroomsterkte $I$ bereikt een maximumwaarde: $I_{max} = \frac{U}{R}$ [14](#page=14). * De RLC-keten gedraagt zich als een selectiefilter; het laat stromen met de resonantiefrequentie $f_0$ door, terwijl andere frequenties worden gedempt. De selectiviteit wordt groter naarmate de kromme rond de resonantiefrequentie steiler verloopt, wat bereikt wordt met een kleinere serieweerstand $R$ [15](#page=15). * Bij resonantie staat de aangelegde spanning over de weerstand $R$. De spanningen over de spoel en de condensator heffen elkaar op, maar hun individuele absolute waarden kunnen hoger zijn dan de bronspanning (overspanning). Dit effect wordt groter naarmate $R$ kleiner is [15](#page=15). ### 1.5 Oefeningen Oefeningen met betrekking tot R-L, R-C, en R-L-C serieschakelingen, inclusief berekeningen van impedantie, stroomsterkte, spanningsvallen, faseverschuivingen en resonantiefrequenties [16](#page=16). * **Voorbeeld 1**: Een spoel met $R=60 \Omega$, $L=254,6 \, \text{mH}$, aangelegde spanning $U=120 \, \text{V}$ en frequentie $f=50 \, \text{Hz}$. Bereken $Z$, $I$, $U_R$, $U_L$ en $\phi$ [16](#page=16). * **Voorbeeld 2**: Een spoel met $R=80 \Omega$, $L=0,2 \, \text{H}$, $U=150 \, \text{V}$ en $f=120 \, \text{Hz}$. Bereken $I$, $Z$ en $\phi$ [16](#page=16). * **Voorbeeld 3**: Een condensator met $C=31,96 \, \mu\text{F}$, $R=164 \, \Omega$, $U=110 \, \text{V}$ en $f=60 \, \text{Hz}$. Bereken $Z$, $I$, $U_R$, $U_C$ en $\phi$ [16](#page=16). * **Voorbeeld 4**: Een condensator met $C=2 \, \mu\text{F}$, $R=1300 \, \Omega$, $U=220 \, \text{V}$ en $f=50 \, \text{Hz}$. Bereken $I$, $Z$ en $\phi$ [16](#page=16). * **Voorbeeld 5**: Een condensator met $C=1 \, \mu\text{F}$, $R=5 \, \text{k}\Omega$, $U=130 \, \text{V}$ en $I=20 \, \text{mA}$. Bereken de frequentie $f$ [16](#page=16). * **Voorbeeld 6**: Een spoel met $L=0,14 \, \text{H}$, condensator met $C=8 \, \mu\text{F}$, $R=10 \, \Omega$, $U=220 \, \text{V}$ en $f=50 \, \text{Hz}$. Bereken $Z$, $I$, $\phi$, $U_R$, $U_L$, $U_C$ en de resonantiefrequentie $f_0$ [16](#page=16). --- # Samengestelde wisselstroomketens in parallelschakeling Dit deel behandelt de analyse van samengestelde wisselstroomketens waarin weerstanden, spoelen en condensatoren parallel geschakeld zijn, met focus op stromen, impedantie en faseverschuivingen. ## 2 Samengestelde wisselstroomketens – parallelschakeling In parallelschakelingen is de aangelegde spanning $U$ over elke component gelijk. De totale stroom $I$ is de vectoriële som van de individuele takstromen [17](#page=17). ### 2.1 Keten met R en L in parallel In een parallelschakeling van een weerstand ($R$) en een spoel ($L$) is de spanning $U$ over beide componenten gelijk. De stroom door de weerstand, $I_R$, is in fase met de spanning $U$. De stroom door de spoel, $I_L$, loopt 90 graden achter op de spanning $U$ [17](#page=17). De formules voor de takstromen zijn: * Stroom door weerstand: $I_R = \frac{U}{R}$ [17](#page=17). * Stroom door spoel: $I_L = \frac{U}{X_L}$ waarbij $X_L = \omega L$ de inductieve reactantie is [17](#page=17). De totale stroom $I$ wordt berekend met de stroomdriehoek, gebaseerd op de gemeenschappelijke spanning $U$. De relatie tussen de stromen is [18](#page=18): $$I^2 = I_R^2 + I_L^2$$ [19](#page=19). Door de formules voor $I_R$ en $I_L$ te substitueren, verkrijgen we de totale stroom $I$: $$I = U \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_L^2}}$$ [19](#page=19). De impedantie $Z$ van de keten kan vervolgens worden afgeleid: $$Z = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_L^2}}}$$ [19](#page=19). > **Tip:** Bij parallelschakelingen is het vectordiagram opgesteld vanuit de gemeenschappelijke spanning $U$. De verkregen driehoek van stromen wordt de stroomdriehoek genoemd. Een RL-parallelketen vertoont een inductief gedrag, wat betekent dat de totale stroom $I$ achterloopt op de bronspanning $U$ [18](#page=18). De admittantiedriehoek wordt verkregen door de zijden van de stroomdriehoek te delen door de spanning $U$. De admittantie $Y$ is het omgekeerde van de impedantie $Z$, en de susceptantie $B_L$ is gerelateerd aan de inductieve reactantie: * $Y_R = \frac{1}{R}$ (conductantie) [20](#page=20). * $Y_L = \frac{1}{X_L}$ (inductieve susceptantie) [20](#page=20). De faseverschuivingshoek $\phi$ kan worden berekend met: $$\tan \phi = \frac{I_L}{I_R} = \frac{1/R}{1/X_L} = \frac{X_L}{R}$$ [20](#page=20). ### 2.2 Keten met R en C in parallel Bij een parallelschakeling van een weerstand ($R$) en een condensator ($C$) is de spanning $U$ over beide componenten gelijk. De stroom door de weerstand, $I_R$, is in fase met de spanning $U$. De stroom door de condensator, $I_C$, loopt 90 graden voor op de spanning $U$ [21](#page=21). De formules voor de takstromen zijn: * Stroom door weerstand: $I_R = \frac{U}{R}$ [21](#page=21). * Stroom door condensator: $I_C = \frac{U}{X_C}$ waarbij $X_C = \frac{1}{\omega C}$ de capacitieve reactantie is [21](#page=21). De totale stroom $I$ wordt berekend met de stroomdriehoek. De relatie tussen de stromen is [22](#page=22): $$I^2 = I_R^2 + I_C^2$$ [23](#page=23). De totale stroom $I$ wordt dan: $$I = U \cdot \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_C^2}}$$ [23](#page=23). De impedantie $Z$ van de keten is: $$Z = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{X_C^2}}}$$ [23](#page=23). > **Tip:** Een RC-parallelketen vertoont een capacitief gedrag, wat betekent dat de totale stroom $I$ voorloopt op de bronspanning $U$ [22](#page=22). De admittantiedriehoek wordt gevormd door de stromen te delen door $U$. De capacitieve susceptantie is: * $Y_C = \frac{1}{X_C}$ (capacitieve susceptantie) [24](#page=24). De faseverschuivingshoek $\phi$ wordt berekend met: $$\tan \phi = \frac{I_C}{I_R} = \frac{1/R}{1/X_C} = \frac{X_C}{R}$$ [24](#page=24). ### 2.3 Keten met R, L en C in parallel In een parallelschakeling van een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$) is de spanning $U$ over alle componenten gelijk. De stromen door de individuele componenten zijn [25](#page=25): * Stroom door weerstand: $I_R = \frac{U}{R}$ [25](#page=25). * Stroom door spoel: $I_L = \frac{U}{X_L}$ [25](#page=25). * Stroom door condensator: $I_C = \frac{U}{X_C}$ [25](#page=25). De totale stroom $I$ is de vectoriële som van deze stromen, weergegeven in de stroomdriehoek. Aangezien $I_L$ en $I_C$ tegengesteld zijn, is de relatie [26](#page=26): $$I^2 = I_R^2 + (I_L - I_C)^2$$ [27](#page=27). De impedantie $Z$ van de keten kan worden afgeleid uit de admittantiedriehoek, verkregen door de stromen te delen door $U$: $$(\frac{1}{Z})^2 = (\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2$$ [28](#page=28). $$Z = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}}$$ [28](#page=28). De faseverschuivingshoek $\phi$ wordt bepaald door: $$\tan \phi = \frac{I_L - I_C}{I_R} = \frac{\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C}}{\frac{1}{R}}$$ [28](#page=28). #### 2.3.1 Soorten belastingen De aard van de belasting in een RLC-parallelketen hangt af van de relatieve groottes van de inductieve en capacitieve susceptanties ($B_L = \frac{1}{X_L}$ en $B_C = \frac{1}{X_C}$): * Als $B_L < B_C$ (of $I_L < I_C$), is de keten **capacitief** [29](#page=29). * Als $B_L > B_C$ (of $I_L > I_C$), is de keten **inductief** [29](#page=29). * Als $B_L = B_C$ (of $I_L = I_C$), is de keten **zuiver ohms**. Dit is het geval van parallelresonantie [29](#page=29). #### 2.3.2 Parallelresonantie Parallelresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie ($X_L = X_C$). Bij resonantie is de totale impedantie $Z$ maximaal en gelijk aan de weerstand $R$, waardoor de totale stroom $I$ minimaal wordt en in fase is met de spanning $U$ [29](#page=29) [30](#page=30). De resonantiefrequentie $f_0$ wordt berekend met de formule: $$X_L = X_C$$ [30](#page=30). $$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$$ [30](#page=30). $$\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$$ [30](#page=30). $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$ [30](#page=30). Aangezien $\omega_0 = 2 \pi f_0$, is de resonantiefrequentie: $$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$$ [30](#page=30). > **Vergelijking met serieresonantie:** De formule voor de resonantiefrequentie is identiek aan die voor serieresonantie. Echter, bij serieresonantie wordt de impedantie minimaal en de stroom maximaal, terwijl bij parallelresonantie de impedantie maximaal is en de stroom minimaal [30](#page=30). ### 2.4 Oefeningen Enkele voorbeelden van berekeningen voor parallelschakelingen met R, L en C: 1. Een parallelkring met $R = 100 \text{ Ω}$ en $L = 0,6 \text{ H}$, aangesloten op $120 \text{ V}$ bij $50 \text{ Hz}$ [31](#page=31). 2. Een parallelschakeling van $C = 6 \text{ µF}$ en $R = 80 \text{ Ω}$, met een spanning van $220 \text{ V}$ bij $50 \text{ Hz}$ [31](#page=31). 3. Een parallelkring met $R = 200 \text{ Ω}$, $L = 0,405 \text{ H}$, $C = 25 \text{ µF}$ onder een spanning van $240 \text{ V}$ met variabele frequentie. Berekening van de resonantiefrequentie en de stromen bij verschillende frequenties [31](#page=31). 4. Een parallelschakeling van $L = 80 \text{ mH}$, $R = 12 \text{ Ω}$ en $C = 200 \text{ µF}$, aangesloten op $200 \text{ V}$ bij $120 \text{ Hz}$ [31](#page=31). --- # Resonantie in wisselstroomketens Resonantie in wisselstroomketens treedt op wanneer de inductieve en capacitieve reactanties elkaar opheffen, wat leidt tot specifieke gedragingen van de impedantie en stroomsterkte in zowel series als parallel geschakelde RLC-ketens [13](#page=13) [29](#page=29). ### 3.1 Serieresonantie #### 3.1.1 De impedantiedriehoek in een RLC-serieschakeling In een RLC-serieschakeling kan de impedantie worden gevisualiseerd met de impedantiedriehoek. Door de zijden van de spanningsdriehoek te delen door de stroom, verkrijgen we de impedantiedriehoek. De relaties tussen impedantie, weerstand, reactanties en fasehoek ($\phi$) zijn als volgt [13](#page=13): * Impedantie ($Z$): $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ [13](#page=13). * Fasehoek ($\phi$): $\sin \phi = \frac{X_L - X_C}{Z}$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ [13](#page=13). Afhankelijk van de verhouding tussen de inductieve reactantie ($X_L$) en de capacitieve reactantie ($X_C$), kan de keten inductief, capacitief of ohms gedragen [13](#page=13): * Inductief: $X_L > X_C$. De fasehoek $\phi$ is positief en de stroom ijlt na op de spanning [13](#page=13). * Capacitief: $X_L < X_C$. De fasehoek $\phi$ is negatief en de stroom ijlt voor op de spanning [13](#page=13). * Ohms: $X_L = X_C$. De fasehoek $\phi$ is nul, de stroom is in fase met de spanning, en de keten is in resonantie. Dit specifieke geval wordt serieresonantie genoemd [13](#page=13). #### 3.1.2 De resonantiefrequentie en gevolgen bij serieresonantie Serieresonantie treedt op wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie [14](#page=14): $$X_L = X_C$$ Dit leidt tot de volgende formules voor de hoekfrequentie ($\omega_0$) en de frequentie ($f_0$) bij resonantie: $$ \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} $$ $$ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} $$ $$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$ Aangezien $\omega_0 = 2 \pi f_0$, wordt de resonantiefrequentie: $$ f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $$ Bij resonantie wordt de impedantie van de keten minimaal en gelijk aan de ohmse weerstand ($Z = R$). Hierdoor bereikt de stroomsterkte een maximumwaarde, beperkt door alleen de weerstand $R$ [14](#page=14): $$ I_{max} = \frac{U}{R} $$ Een RLC-keten in serieresonantie fungeert als een selectiefunctie die een specifieke frequentie ($f_0$) doorlaat terwijl andere frequenties significant worden gedempt door een hogere weerstand. Hoe steiler de stroom-frequentiecurve verloopt rond $f_0$, hoe groter de selectiviteit van de keten. In het ideale geval zou de keten slechts één frequentie doorlaten. De kleinste serieweerstand resulteert in de grootste selectiviteit [15](#page=15). > **Tip:** Bij serieresonantie staat de volledige aangelegde spanning over de ohmse weerstand. Echter, de spanningen over de spoel en de condensator, die in tegenfase zijn, heffen elkaar niet op maar kunnen afzonderlijk hoger zijn dan de bronspanning. Dit fenomeen wordt overspanning genoemd en neemt toe naarmate de ohmse weerstand kleiner wordt [15](#page=15). ### 3.2 Parallelresonantie #### 3.2.1 Gedrag van een RLC-parallelschakeling In een parallel geschakelde RLC-keten kan de keten inductief, capacitief of ohms gedragen, afhankelijk van de verhouding tussen de inductieve ($X_L$) en capacitieve ($X_C$) reactanties [29](#page=29): * Inductief: $X_L < X_C$ [29](#page=29). * Capacitief: $X_L > X_C$ [29](#page=29). * Zuiver ohms: $X_L = X_C$. De keten gedraagt zich als zuiver ohms en de stroom is in fase met de toegepaste spanning. Dit is parallelresonantie [29](#page=29). #### 3.2.2 De resonantiefrequentie en gevolgen bij parallelresonantie Parallelresonantie treedt op onder dezelfde voorwaarde als serieresonantie, namelijk wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie [30](#page=30): $$X_L = X_C$$ Dit leidt tot dezelfde formules voor de hoekfrequentie ($\omega_0$) en de frequentie ($f_0$) bij resonantie: $$ \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} $$ $$ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} $$ $$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$ En dus voor de resonantiefrequentie: $$ f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $$ #### 3.2.3 Vergelijking tussen serie- en parallelresonantie De formule voor het berekenen van de resonantiefrequentie is identiek voor zowel serieresonantie als parallelresonantie. Het cruciale verschil ligt in het gedrag van de impedantie en de stroomsterkte bij de resonantiefrequentie $f_0$ [30](#page=30): * **Serieresonantie**: De impedantie ($Z$) wordt minimaal, waardoor de stroomsterkte een maximum bereikt [30](#page=30). * **Parallelresonantie**: De impedantie ($Z$) wordt maximaal, waardoor de stroomsterkte een minimum bereikt [30](#page=30). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Wisselstroom | Een elektrische stroom waarvan de richting en grootte periodiek verandert, meestal in een sinusvormige manier. | | Spoel (Inductor) | Een elektronisch component dat energie opslaat in een magnetisch veld wanneer er een elektrische stroom doorheen loopt. Het wordt gekarakteriseerd door zijn zelfinductiecoëfficiënt L. | | Zelfinductie (L) | Het vermogen van een elektrische geleider om een elektromotorische kracht (spanning) te induceren als reactie op een verandering in de elektrische stroom die erdoorheen loopt. | | Ohmse weerstand (R) | De weerstand van een materiaal tegen de doorgang van elektrische stroom, waarbij energie wordt omgezet in warmte. | | Condensator (Capacitor) | Een elektronisch component dat elektrische energie opslaat in een elektrisch veld. Het wordt gekarakteriseerd door zijn capaciteit C. | | Capaciteit (C) | Het vermogen van een geleider of systeem om elektrische lading op te slaan, gerelateerd aan de spanning die nodig is om die lading op te bouwen. | | Capacitieve reactantie (X_C) | De weerstand die een condensator biedt tegen de doorgang van wisselstroom. Deze is omgekeerd evenredig met de frequentie en de capaciteit. | | Inductieve reactantie (X_L) | De weerstand die een spoel biedt tegen de doorgang van wisselstroom. Deze is recht evenredig met de frequentie en de zelfinductie. | | Impedantie (Z) | De totale effectieve weerstand van een wisselstroomketen, bestaande uit ohmse weerstand, inductieve reactantie en capacitieve reactantie. | | Faseverschuiving (ϕ) | Het tijdsverschil tussen de golfvormen van spanning en stroom in een wisselstroomketen, uitgedrukt in graden of radialen. | | Vectordiagram | Een grafische weergave die de spanningen en stromen in een wisselstroomketen en hun relatieve faseposities toont. | | Spanningdriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de totale spanning en de spanningsvallen over de componenten in een serieschakeling weergeeft. | | Stromendriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de totale stroom en de stromen door de componenten in een parallelschakeling weergeeft. | | Impedantiedriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de impedantie en de componenten van de impedantie (weerstand en reactanties) in een wisselstroomketen weergeeft. | | Admittantiedriehoek | Een driehoek die de relaties tussen de admittantie en de componenten van de admittantie (conductantie en susceptantie) in een wisselstroomketen weergeeft. | | Resonantie | Een fenomeen dat optreedt in wisselstroomketens wanneer de inductieve reactantie gelijk is aan de capacitieve reactantie, wat leidt tot specifieke gedragingen zoals minimale of maximale impedantie en stroom. | | Resonantiefrequentie (f₀) | De specifieke frequentie waarbij resonantie optreedt in een wisselstroomketen met een spoel en een condensator. | | Serieresonantie | Resonantie die optreedt in een serieschakeling van een spoel en een condensator, resulterend in minimale impedantie en maximale stroom. | | Parallelresonantie | Resonantie die optreedt in een parallelschakeling van een spoel en een condensator, resulterend in maximale impedantie en minimale stroom. |

# Basisprincipes van elektriciteit Dit hoofdstuk introduceert het SI-stelsel, essentiële eenheden en prefixen, en de fundamentele elektrische concepten van stroom, spanning en weerstand. ## 1. Het SI-stelsel en eenheden Het SI-stelsel (Système International d'Unités) is een internationaal gestandaardiseerd metrisch systeem dat zorgt voor uniformiteit in de weergave van grootheden en eenheden. Dit bevordert de internationale uitwisseling van gegevens en is de wettelijke standaard in de EU [4](#page=4). ### 1.1 Basiseenheden van het SI-stelsel Er zijn zeven onderling onafhankelijke basiseenheden in het SI-stelsel [4](#page=4): * **Lengte:** Meter (m) * **Massa:** Kilogram (kg) * **Tijd:** Seconde (s) * **Elektrische stroom:** Ampère (A) * **Absolute temperatuur:** Kelvin (K) * **Hoeveelheid stof:** Mol (mol) * **Lichtsterkte:** Candela (cd) ### 1.2 SI-prefixen (vermenigvuldigingsfactoren) Prefixen kunnen aan SI-eenheden worden toegevoegd om veelvouden of delen ervan aan te geven. Deze prefixen variëren van $10^{24}$ (yotta) tot $10^{-24}$ (yocto) [5](#page=5). | Prefix | Symbool | Naam | Decimaal | | :----- | :------ | :--------------- | :------------------------------------------ | | Y | yotta | quadriljoen | $1.000.000.000.000.000.000.000.000$ | | Z | zetta | triljard | $1.000.000.000.000.000.000.000$ | | E | exa | triljoen | $1.000.000.000.000.000.000$ | | P | peta | biljard | $1.000.000.000.000.000$ | | T | tera | biljoen | $1.000.000.000.000$ | | G | giga | miljard | $1.000.000.000$ | | M | mega | miljoen | $1.000.000$ | | k | kilo | duizend | $1.000$ | | h | hecto | honderd | $100$ | | da | deca | tien | $10$ | | d | deci | een tiende | $0,1$ | | c | centi | een honderdste | $0,01$ | | m | milli | een duizendste | $0,001$ | | µ | micro | een miljoenste | $0,000.001$ | | n | nano | een miljardste | $0,000.000.001$ | | p | pico | een biljoenste | $0,000.000.000.001$ | | f | femto | een biljardste | $0,000.000.000.000.001$ | | a | atto | een triljoenste | $0,000.000.000.000.000.001$ | | z | zepto | een triljardste | $0,000.000.000.000.000.000.001$ | | y | yocto | een quadriljoenste | $0,000.000.000.000.000.000.000.001$ | > **Voorbeeld:** 1 km (kilometer) = 1000 m (meter) [5](#page=5). #### 1.2.1 Oefeningen met SI-prefixen Deze oefeningen vereisen de omzetting van getallen naar de meest passende SI-prefix met eenheid [6](#page=6). * $10000$ g = $10$ kg [6](#page=6). * $0,05$ m = $5$ cm [6](#page=6). * $230$ K = $230$ K (geen prefix nodig voor deze waarde) [6](#page=6). * $3000$ cd = $3$ kilo cd [6](#page=6). * $60$ s = $1$ min [6](#page=6). * $6.000.000$ A = $6$ MA (Mega-ampère) [6](#page=6). ## 2. Elektrische stroom Elektrische stroom is de vrije beweging van elektronen die optreedt wanneer ze zich buiten de atoomkern bevinden [7](#page=7). ### 2.1 Wat is stroom? Stroom wordt gedefinieerd als de hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een bepaald punt of oppervlak stroomt [8](#page=8). * **Conventionele stroomzin:** Van positief (+) naar negatief (-) [7](#page=7). * **Elektronenstroomzin:** Van negatief (-) naar positief (+) [7](#page=7). De wiskundige formule voor stroom is: $$ I = \frac{Q}{t} $$ Waarbij: * $I$ = stroom [A of Ampère [8](#page=8). * $Q$ = elektrische lading [C of Coulomb [8](#page=8). * $t$ = tijd [s of seconden [8](#page=8). Deze formule kan worden vergeleken met het debiet van water, waarbij de hoeveelheid water die per tijdseenheid passeert, analoog is aan de elektrische lading die per tijdseenheid stroomt [8](#page=8). Energie kan aan elektronen worden toegevoegd via bijvoorbeeld een batterij, stopcontact of zonnepaneelinstallatie (PV) [8](#page=8). ### 2.2 Effecten van stroom Elektrische stroom kan diverse effecten veroorzaken: * **Thermisch effect:** Wordt gebruikt in elektrische verwarming [9](#page=9). * **Chemisch effect:** Zoals elektrolyse, bijvoorbeeld voor galvaniseren [9](#page=9). * **Magnetisch effect:** Gebruikt bij afvalscheiding [9](#page=9). * **Mechanisch effect:** Via magnetisme in elektromotoren [9](#page=9). * **Visueel (licht) effect:** Zoals in TL-lampen (fluorescentielampen) [9](#page=9). * **Fysiologisch effect:** Kan leiden tot elektrocutie [9](#page=9). ## 3. Elektrische spanning Elektrische spanning, ook wel potentiaalverschil genoemd, is het potentiaalverschil tussen twee punten. Een elektrische bron, zoals een batterij, heeft een negatieve klem met een lager potentiaal dan de positieve klem. Spanning wordt uitgedrukt in Volt [V en heeft als symbool $U$ [10](#page=10). Een analogie voor spanning is de hoogte waarop water zich bevindt; hoe hoger het water, hoe groter het potentiaalverschil en dus de potentiële energie die het kan afgeven [10](#page=10). ### 3.1 Soorten spanningsbronnen Er zijn verschillende typen spanningsbronnen: * **Gelijkspanningsbron:** Levert een constante spanning in één richting (symbool en voorbeeld aanwezig in de documentatie) [11](#page=11). * **Regelbare gelijkspanningsbron:** Staat toe de gelijkspanning aan te passen (symbool en voorbeeld aanwezig in de documentatie) [11](#page=11). * **Wisselspanningsbron:** Levert een spanning die periodiek van richting en grootte verandert (symbool en voorbeeld aanwezig in de documentatie) [11](#page=11). ### 3.2 Ontstaan van elektrische energie/spanning Elektrische spanning kan op diverse manieren ontstaan: * Piëzo-elektrisch effect [12](#page=12). * Thermo-elektriciteit (temperatuurverschil) [12](#page=12). * Foto-elektrisch effect (licht) [12](#page=12). * Galvanische elektriciteit (chemische reacties) [12](#page=12). * Omzetting van mechanische/magnetische energie naar elektrische energie [12](#page=12). ## 4. Elektrische weerstand Elektrische weerstand is de mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom belemmert. De eenheid van weerstand is Ohm ($\Omega$). Het symbool voor weerstand is $R$ [13](#page=13). ### 4.1 Geleiding Het omgekeerde van weerstand is geleiding ($G$), uitgedrukt in Siemens (S) [13](#page=13): $$ G = \frac{1}{R} $$ > **Tip:** Het symbool $\Omega$ staat voor de Griekse hoofdletter Omega. De eenheid S staat voor Siemens [13](#page=13). ### 4.2 Oefeningen met weerstanden Oefeningen omvatten het berekenen van weerstandswaarden op basis van kleurencodes op weerstanden, inclusief toleranties [14](#page=14) [15](#page=15). > **Voorbeeld van weerstandsberekening:** Een weerstand met 4 banden van $500 \Omega$ met $5\%$ tolerantie [14](#page=14). ### 4.3 Weerstand van een geleider (Wet van Pouillet) De weerstand van een geleider hangt af van het materiaal, de lengte en de doorsnede. Dit wordt beschreven door de wet van Pouillet [16](#page=16): $$ R = \rho \frac{l}{A} $$ Waarbij: * $R$ = weerstand van het materiaal/de geleider [$\Omega$] [16](#page=16). * $\rho$ (rho) = de soortelijke weerstand [$\Omega$.m [16](#page=16). * $l$ = de totale lengte van de geleider [m [16](#page=16). * $A$ = de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de geleider [m² [16](#page=16). > **Tip:** De Griekse kleine letter $\rho$ staat voor soortelijke weerstand [16](#page=16). #### 4.3.1 Oefening met de wet van Pouillet Bereken de weerstand van een kabel met de volgende gegevens: $\rho = 1,72 \times 10^{-8} \Omega.m$, lengte $l = 10$ m (5m heen en 5m terug) en een oppervlakte $A = 1,5$ mm² [16](#page=16) [17](#page=17). Eerst converteren we de oppervlakte naar vierkante meters: $1,5$ mm² = $1,5 \times 10^{-6}$ m² [17](#page=17). De berekening van de weerstand is: $$ R = (1,72 \times 10^{-8} \Omega.m) \frac{10 \text{ m}}{1,5 \times 10^{-6} \text{ m}^2} \approx 0,115 \Omega $$ Dit komt overeen met $115$ m$\Omega$ [17](#page=17). > **Tip:** De "2" in de lengte ($l$) kan betekenen dat de kabel heen en terug wordt gebruikt [17](#page=17). ## 5. Samenvatting basisgrootheden en de Wet van Ohm De Wet van Ohm legt het verband tussen spanning ($U$), stroom ($I$) en weerstand ($R$) [18](#page=18). | Grootheid | Symbool | Eenheid | Symbool | | :------------- | :------ | :------ | :------ | | Spanning | $U$ | Volt | V | | Stroom | $I$ | Ampère | A | | Weerstand | $R$ | Ohm | $\Omega$ | De Wet van Ohm kan als volgt worden uitgedrukt: $$ I = \frac{U}{R} $$ of $$ U = I \times R $$ of $$ R = \frac{U}{I} $$ #### 5.1 Oefening met de Wet van Ohm Bereken de stroom ($I$) in een kring met een spanning ($U$) van $5$ V en een totale weerstand ($R$) van $5 \Omega$ plus de weerstand van de geleider ($0,115 \Omega$) [18](#page=18): $$ I = \frac{5 \text{ V}}{5 \Omega + 0,115 \Omega} = \frac{5 \text{ V}}{5,115 \Omega} \approx 0,978 \text{ A} $$ Dit komt neer op $978$ mA [18](#page=18). --- # Elektrisch vermogen, energie en rendement Dit onderwerp behandelt de fundamentele concepten van elektrisch vermogen, de berekening van elektrische energie en het begrip rendement, met praktische toepassingen en voorbeelden. ### 2.1 Elektrisch vermogen Elektrisch vermogen ($P$) is de hoeveelheid energie die per tijdseenheid door een elektrisch apparaat wordt verbruikt of geleverd. Het kan worden ontwikkeld in een verbruiker, zoals een elektrische motor, of geleverd door een bron, zoals een DC-bron [19](#page=19) [60](#page=60). * **Grootheid:** $P$ * **Eenheid:** Watt (W) [19](#page=19) [60](#page=60). * **Formules:** * $P = U \cdot I$ [19](#page=19) [61](#page=61). * $P = I^2 \cdot R$ [19](#page=19). * $P = \frac{U^2}{R}$ [19](#page=19). Een typisch kenplaatje op een motor bevat informatie over het elektrische vermogen dat het apparaat nodig heeft om correct te functioneren [60](#page=60). Het vermogen kan ook uitgedrukt worden in Joules per seconde (J/s), wat equivalent is aan Watt. $1$ paardekracht (PK) is gelijk aan $736$ W [60](#page=60) [61](#page=61). > **Tip:** Houd er rekening mee dat het vermogen van een apparaat vaak een vast gegeven is voor correct gebruik [60](#page=60). ### 2.2 Elektrische energie Elektrische energie ($W$ of $E$) is de hoeveelheid elektrische arbeid die wordt verricht wanneer elektrische energie wordt omgezet in een andere vorm van energie, wat resulteert in arbeid [20](#page=20) [61](#page=61). * **Grootheid:** $W$ of $E$ * **Eenheid:** Joule (J) [20](#page=20) [61](#page=61). * **Formules:** * $W = U \cdot I \cdot t = P \cdot t$ [20](#page=20) [61](#page=61). * Met de wet van Ohm: $W = I^2 \cdot R \cdot t$ [20](#page=20). * Met de wet van Ohm: $W = \frac{U^2}{R} \cdot t$ [20](#page=20). Elektrische arbeid houdt dus rekening met het vermogen van een installatie gedurende een bepaalde tijd [20](#page=20). #### 2.2.1 Energie in kilowattuur Elektrische energie kan ook worden uitgedrukt in kilowattuur (kWh) [62](#page=62). * **Formule:** $E = P \cdot t$ * $E$: Energie in kilowattuur (kWh) * $P$: Elektrisch vermogen in kilowatt (kW) * $t$: Tijd in uren (h) Een samenvatting van de energie-eenheden: | Eenheid | Vermogen ($P$) | Energie ($E$) | Tijd ($t$) | | :---------- | :------------- | :------------ | :--------- | | Systeem SI | Watt (W) of J/s | Joule (J) | seconde (s) | | Praktisch | Kilowatt (kW) | Kilowattuur (kWh) | uur (h) | #### 2.2.2 Energie en zwaartekracht De hoeveelheid energie die nodig is om de zwaartekracht te overwinnen, wordt berekend met de volgende vergelijking [63](#page=63): * $E = m \cdot g \cdot h$ * $E$: Zwaarte-energie in Joule (J) * $m$: Massa in kilogram (kg) * $g$: Gravitatieconstante ($9,81 \, \text{m/s}^2$) * $h$: Hoogte in meter (m) Het vermogen kan dan worden berekend door de energie te delen door de benodigde tijd [63](#page=63). > **Example:** Bereken het gemiddelde vermogen dat Wout van Aert trapte tijdens een klim, gegeven zijn gewicht, het gewicht van de fiets, en de klimgegevens. Dit vereist de berekening van de zwaarte-energie en de tijd die nodig was voor de klim, om vervolgens het vermogen te bepalen ($P = E/t$). Houd er rekening mee dat in dergelijke berekeningen rolweerstand, aerodynamica en andere verliezen vaak buiten beschouwing worden gelaten [64](#page=64). ### 2.3 Rendement Rendement ($\eta^*$) is een vergelijking van het nuttige vermogen ten opzichte van het totaal toegevoerde vermogen, of de nuttige energie ten opzichte van de totaal toegevoerde energie [21](#page=21). * **Grootheid:** $\eta^*$ (Griekse kleine letter Eta) * **Eenheid:** Dimensieloos [21](#page=21). * **Formule:** $\eta = \frac{P_{\text{nuttig}}}{P_{\text{toegevoegd}}} = \frac{W_{\text{nuttig}}}{W_{\text{toegevoegd}}}$ [21](#page=21). * **Procentueel:** $\eta \times 100\%$ #### 2.3.1 Verlies van energie en rendement Veel apparaten, zoals gloeilampen, hebben een zeer slecht rendement omdat een groot deel van de toegevoerde energie wordt omgezet in warmte in plaats van nuttig licht. Dit heeft geleid tot verboden op het gebruik van gloeilampen en halogeenlampen [22](#page=22) [23](#page=23). ### 2.4 Oefeningen en toepassingen De documentatie bevat diverse oefeningen die de toepassing van formules voor vermogen, energie en rendement illustreren. * **Wet van Pouillet en Ohm:** Oefeningen omvatten het berekenen van de kabelweerstand en het toepassen van de wet van Ohm [24](#page=24). * **Vermogen en arbeid/energie:** * Berekening van de stroomsterkte door een strijkijzer van 1000 W bij 220 V, en de weerstand van het verwarmingselement [66](#page=66). * Bepaling van de stroom, opgenomen vermogen en weerstand van een gloeilamp in serie met een voorschakelweerstand [66](#page=66). * Berekening van de intensiteit van de stroom, weerstand, en kostprijs van een elektrische verwarmingsradiator [67](#page=67). * Analyse van drie parallel geschakelde weerstanden met verschillende vermogens en stromen om totale weerstand, stromen en vermogen te bepalen [67](#page=67). * Berekening van de ontwikkelde energie in een verbruiker bij een gegeven spanning, stroom en tijd [68](#page=68). * Berekening van stroomsterkte, spanning, elektromotorische spanning, nuttig vermogen en nuttige energie voor een elektrische oven, rekening houdend met interne generatorweerstand en energiegeleiderweerstand [68](#page=68). > **Tip:** Voor het oplossen van circuits met meerdere componenten, is het nuttig om de stroom door elke component, de spanning over elke component, en de schema's te tekenen en te labelen met $U$ en $I$ [65](#page=65). #### 2.4.1 Voorbeelden uit de oefeningen **Oefening 1:** Een gloeilamp van 5 W, ontworpen voor 12 V, moet worden aangesloten op een 30 V bron. Bereken de benodigde voorschakelweerstand en de stroom door de lamp [65](#page=65). * Eerst berekenen we de weerstand van de lamp met $P = U^2/R$. * Vervolgens berekenen we de benodigde stroom door de lamp bij zijn nominale vermogen en spanning. * Met de wet van Ohm kunnen we de totale weerstand in het circuit bepalen om die stroom te realiseren bij 30 V. * De voorschakelweerstand is dan het verschil tussen de totale berekende weerstand en de weerstand van de lamp. **Oefening 6:** Een elektrische verwarmingsradiator van 2 kW is 3 uur en 20 minuten aangesloten op 240 V. Bereken de stroomsterkte en de weerstand. Bepaal ook de kostprijs op basis van 0,53 euro/kWh [67](#page=67). * Tijd omrekenen naar uren: 3 uur + 20/60 uur = 3,33 uur. * Stroomsterkte berekenen met $P = U \cdot I$. * Weerstand berekenen met $P = U^2/R$ of $U = I \cdot R$. * Energieverbruik in kWh berekenen: $E = P_{\text{kW}} \cdot t_{\text{h}}$. * Kostprijs berekenen: Energieverbruik (kWh) $\times$ prijs per kWh. --- # Netwerk analyse met Kirchoff's wetten Kirchhoff's wetten vormen de basis voor het analyseren van elektrische netwerken door stromen en spanningen te relateren aan de componenten van het netwerk, wat essentieel is voor het oplossen van complexe circuits . ### 3.1 Elektrische bronnen: spanning en stroom Voordat we dieper ingaan op de wetten van Kirchhoff, is het belangrijk het onderscheid te kennen tussen een spanningsbron en een stroombron. * **Spanningsbron:** Levert een nagenoeg constante spanning. De geleverde stroom varieert afhankelijk van de belasting, volgens de wet van Ohm. Voorbeelden zijn een batterij van 6V of een stopcontact van 230V . * **Stroombron:** Levert een nagenoeg constante stroom. De geleverde spanning varieert afhankelijk van de belasting, volgens de wet van Ohm . ### 3.2 De eerste wet van Kirchhoff: stroomwet De eerste wet van Kirchhoff, ook wel de stroomwet genoemd, stelt dat de som van de stromen die een knooppunt binnenstromen gelijk is aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. Dit kan ook geformuleerd worden als dat de algebraïsche som van de stromen in een vertakkingspunt gelijk is aan nul, waarbij toekomende stromen positief en weglopende stromen negatief worden gerekend . Mathematisch kan dit worden uitgedrukt als: $$ \sum I_{in} = \sum I_{uit} $$ of $$ \sum I = 0 $$ . ### 3.3 De tweede wet van Kirchhoff: spanningswet De tweede wet van Kirchhoff, ook wel de spanningswet genoemd, stelt dat de som van de potentiaalverschillen (spanningen) over de verschillende elementen in een gesloten kring (lus) gelijk is aan nul. In een gesloten elektrische kring is de algebraïsche som van de elektromotorische spanningen gelijk aan de algebraïsche som van de producten van de stroomsterkten en de bijbehorende weerstand . Dit kan worden geformuleerd als: $$ \sum E = \sum I \cdot R $$ . of algemener, de som van alle potentiaalverschillen in een gesloten lus is nul: $$ \sum E + \sum U = 0 $$ . Bij het toepassen van de spanningswet in een lus is het cruciaal om de richting van de stroom en de omloopzin consistent te hanteren: * **Stroomrichting over een weerstand volgens de omloopzin:** De potentiaalverandering is $-IR$ . * **Stroomrichting over een weerstand tegen de omloopzin:** De potentiaalverandering is $+IR$ . * **Potentiaalverschil over een spanningsbron van min naar plus (volgens de omloopzin):** De potentiaalverandering is $+U$ . * **Potentiaalverschil over een spanningsbron van plus naar min (volgens de omloopzin):** De potentiaalverandering is $-U$ . ### 3.4 Combinatie van de wetten van Kirchhoff De eerste en tweede wet van Kirchhoff laten toe om onbekende stromen en spanningen in elektrische netwerken te bepalen. Een systematische aanpak is essentieel voor het correct opstellen en oplossen van de vergelijkingen . #### 3.4.1 Werkwijze voor netwerkanalyse 1. **Knooppunten identificeren:** Duid alle knooppunten in het netwerk aan . 2. **Stromen benoemen en richting aangeven:** Benoem alle stromen en geef voor elke tak de richting van de stroom weer met een pijltje. Kies een willekeurige richting als deze niet voorspelbaar is; een negatief resultaat zal dan aangeven dat de werkelijke stroom in de tegenovergestelde richting vloeit . 3. **Vergelijkingen opstellen:** Stel een aantal onafhankelijke vergelijkingen op gelijk aan het aantal onbekenden (stromen). * **Eerste wet (KCL):** Pas de stroomwet toe in elk knooppunt. Het aantal onafhankelijke KCL-vergelijkingen is gelijk aan het aantal knooppunten min één ($n-1$). De tekens van de stromen worden bepaald door de gekozen richtingen . * **Tweede wet (KVL):** Pas de spanningswet toe in elke onafhankelijke lus. Het aantal onafhankelijke KVL-vergelijkingen is gelijk aan het aantal takken minus het aantal knooppunten min één ($T - (K-1)$). Kies in elke lus een omloopzin en bepaal de potentiaalverschillen over de elementen zoals beschreven in sectie 3.3 . 4. **Stelsel oplossen:** Los het verkregen stelsel van lineaire vergelijkingen op om de onbekende stromen te vinden . #### 3.4.2 Voorbeelden van vergelijking opstelling > **Voorbeeld 1:** . > Netwerk met 2 knopen (A, B) en 3 takken. > * KCL in knoop A: $-I_1 - I_2 + I_3 = 0$ . > * KVL in Lus 1: $-1 k\Omega \cdot I_1 + 10V - 4 k\Omega \cdot I_1 + 5 k\Omega \cdot I_2 + 5V = 0$ . > * KVL in Lus 2: $-5V - 5 k\Omega \cdot I_2 - 3.5 k\Omega \cdot I_3 = 0$ . > **Voorbeeld 2:** . > De principes van het opstellen van vergelijkingen blijven gelijk, ook voor complexere netwerken . > **Tip:** Vergeet bij het opstellen van de vergelijkingen de interne weerstanden ($R_i$) van spanningsbronnen niet, indien deze gespecificeerd zijn . ### 3.5 Oplossen van de vergelijkingen Zodra de vergelijkingen zijn opgesteld, kunnen deze worden opgelost met diverse methoden, zoals substitutie, eliminatie, matrixvermenigvuldiging of het gebruik van de rij-gereduceerde trapvorm (RREF). #### 3.5.1 Oplossing via substitutie Deze methode is met name geschikt voor kleinere netwerken waarbij een van de vergelijkingen eenvoudig kan worden herschreven om een variabele uit te drukken in termen van andere, waarna deze substitutie in de overige vergelijkingen wordt uitgevoerd . #### 3.5.2 Oplossing met matrices Voor grotere netwerken biedt het werken met matrices een efficiëntere en systematische aanpak. Het stelsel van lineaire vergelijkingen kan worden weergegeven in de vorm $A = B \cdot I$, waarbij $I$ de kolommatrix van de stromen is, $B$ de matrix van de weerstanden en overige coëfficiënten, en $A$ de kolommatrix van de bronspanningen . Om de stromen $I$ te vinden, wordt de inverse van matrix $B$ ($B^{-1}$) berekend en vermenigvuldigd met matrix $A$: $$ I = B^{-1} \cdot A $$ . Dit proces kan worden uitgevoerd met grafische rekenmachines zoals de Texas Instruments (TI) Inspire en TI-84 Plus . #### 3.5.3 Oplossing met rij-gereduceerde trapvorm (RREF) Een andere krachtige matrixmethode is het gebruik van de rij-gereduceerde trapvorm (Row Reduced Echelon Form - RREF). Hierbij wordt een augmented matrix gecreëerd met evenveel rijen als onbekenden en één kolom meer dan het aantal onbekenden (de kolom met de constante termen van de vergelijkingen) . De RREF van deze augmented matrix, vaak berekend met behulp van grafische rekenmachines, levert direct de waarden van de onbekende stromen op in de laatste kolom . > **Werkwijze voor RREF op rekenmachine (algemeen):** > 1. Definieer de augmented matrix die de coëfficiënten van het stelsel vergelijkingen bevat . > 2. Voer de matrix in de rekenmachine in. > 3. Gebruik de RREF-functie van de rekenmachine. > 4. De laatste kolom van de resulterende matrix geeft de waarden van de stromen $I_1, I_2, I_3, \dots$ . ### 3.6 Oefeningen met matrices Diverse oefeningen illustreren de toepassing van matrixmethoden voor het oplossen van netwerken met Kirchhoff's wetten . > **Voorbeeld Oefening 1:** . > Bereken de stromen. Oplossing: $I_1 = 529$ mA, $I_2 = 509$ mA, $I_3 = -19$ mA. > > **Voorbeeld Oefening 2:** . > Bereken de stromen $I_1$, $I_2$ en $I_3$. Oplossing: $I_1 = 20.13$ A, $I_2 = -6.269$ A, $I_3 = 13.861$ A. --- # Wisselspanning en wisselstroom Dit onderwerp verdiept zich in de aard van wisselspanning en wisselstroom, waarbij essentiële concepten, circuitanalyse met diverse componenten en de bijbehorende berekeningen worden uiteengezet. ## 4.1 Basisconcepten van wisselspanning en wisselstroom Een gelijkstroom (DC - Direct Current) heeft een constante stroomrichting en is het gevolg van gelijkspanning, zoals deze door batterijen of DC-bronnen wordt geleverd. Een wisselstroom (AC - Alternating Current) daarentegen, is een stroom die voortdurend verandert van waarde en van zin op een willekeurige manier. Wisselstroom is het gevolg van wisselspanning en wordt gegenereerd door bijvoorbeeld stopcontacten of generatoren [69](#page=69) [70](#page=70). ### 4.1.1 Periode en frequentie Periode ($T$) en frequentie ($f$) zijn belangrijke begrippen die voornamelijk bij periodieke of repetitieve AC-signalen worden toegepast. De frequentie is het aantal cycli per seconde en wordt uitgedrukt in Hertz (Hz), terwijl de periode de tijd is voor één volledige cyclus, uitgedrukt in seconden (s). De relatie tussen deze twee is [72](#page=72): $$f = \frac{1}{T}$$ Opdracht: Bereken de frequentie van de netspanning met een periode van 20 ms [72](#page=72). ### 4.1.2 Gemiddelde waarde De gemiddelde waarde van een willekeurig veranderlijke stroom in een bepaald tijdsinterval is het rekenkundig gemiddelde van de momentane waarden in dat interval. Een wisselstroom of -spanning is periodiek en heeft een gemiddelde waarde van nul over één periode, wat impliceert dat de positieve en negatieve gebieden onder de curve gelijk zijn [73](#page=73). > **Tip:** De grafische weergave van een wisselspanning met een gemiddelde waarde van nul toont symmetrie rond de tijdas, waarbij de oppervlaktes boven en onder de as gelijk zijn [73](#page=73). ### 4.1.3 De ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale spanning Een sinusoïdale spanning is een wisselspanning waarvan de momentane waarde wordt beschreven door een constante waarde (de amplitude) vermenigvuldigd met een sinusfunctie. De algemene formule is [74](#page=74): $$u(t) = \hat{U} \sin(\omega t)$$ Waarbij: * $\hat{U}$ de amplitude (maximale waarde) in volt [V is [74](#page=74). * $\omega$ de cirkelfrequentie is, gerelateerd aan de frequentie ($f$) door $\omega = 2\pi f$ [74](#page=74). * $\pi$ ongeveer 3,141592 is [74](#page=74). **Voorbeeld:** Bereken de spanning $u$ op verschillende tijdstippen (5 ms, 10 ms, 15 ms, 20 ms) voor een sinusoïdale spanning met een amplitude $\hat{U} = 325$ V en een frequentie $f = 50$ Hz. Zorg ervoor dat de rekenmachine is ingesteld op radialen [75](#page=75). ### 4.1.4 De effectieve (RMS) waarde De effectieve waarde van een sinusoïdale stroom, ook wel de Root Mean Square (RMS) waarde genoemd, is de waarde die een constante gelijkstroom zou moeten hebben om in dezelfde weerstand en tijdsruimte dezelfde hoeveelheid warmte te ontwikkelen. Voor een sinusvormig signaal geldt de volgende relatie tussen de effectieve waarde ($U_{\text{eff}}$) en de amplitude ($\hat{U}$) [76](#page=76): $$U_{\text{eff}} = \frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$$ Wanneer er in de praktijk over een AC-spanning of -stroom wordt gesproken, wordt doorgaans de effectieve waarde bedoeld, tenzij anders aangegeven [76](#page=76). ## 4.2 Schema's en afspraken bij AC-circuits ### 4.2.1 AC-schema opstellen Bij het opstellen van AC-schema's worden geen plus- en minpolen getekend zoals bij DC-bronnen, omdat de positieve en negatieve polen continu wisselen. De overige tekenregels blijven geldig. Berekeningen voor serieschakelingen en parallelschakelingen blijven gelijk aan die van DC-circuits [77](#page=77). ### 4.2.2 Afspraken bij oefeningen op AC De standaardafspraken bij het uitvoeren van oefeningen met AC zijn: * Alle opgegeven spannings- en stroomwaarden zijn effectieve waarden, tenzij anders gespecificeerd [78](#page=78). * Het AC-signaal is altijd sinusvormig, tenzij anders aangegeven [78](#page=78). ### 4.2.3 Voorbeelden van oefeningen Verschillende oefeningen illustreren de toepassing van deze concepten in serieschakelingen van weerstanden, waarbij stromen, spanningen en weerstandswaarden worden berekend [79-81](#page=79-81). Er worden ook complexere netwerken met meerdere componenten geanalyseerd (#page=80, 81) [80](#page=80) [81](#page=81). ## 4.3 Elektromagnetisme en inductie ### 4.3.1 Magnetisme opgewekt in een geleider Een stroomvoerende geleider wekt een magnetisch veld ($\vec{B}$) op rond de geleider. De sterkte van dit magnetisme is afhankelijk van de stroomsterkte ($I$). De richting van het magneetveld kan bepaald worden met de kurkentrekkerregel of de rechterhandregel [82](#page=82). > **Tip:** In schema's wordt een punt vaak gebruikt om aan te geven dat de stroom uit het blad komt, en een kruis om aan te geven dat de stroom in het blad gaat [82](#page=82). ### 4.3.2 Induceren van een spanning in een geleider Er wordt een spanning opgewekt in een geleider wanneer een magneet met een bepaalde snelheid langs de geleider beweegt. Dit fenomeen staat bekend als elektromagnetische inductie. De geïnduceerde spanning ($e$) kan worden berekend met de formule [83](#page=83): $$e = B \cdot l \cdot v$$ Waarbij: * $e$ de opgewekte/geïnduceerde spanning in volt [V is [83](#page=83). * $B$ de magnetische fluxdichtheid in Tesla [T is [83](#page=83). * $l$ de lengte van de geleider is [83](#page=83). * $v$ de snelheid is waarmee de magneet en de geleider elkaar kruisen [83](#page=83). ### 4.3.3 Induceren van een sinusoïdale spanning in een geleider Wanneer geleiders roteren tussen magneten, wordt een sinusvormige spanning verkregen. Dit is een van de redenen waarom AC wordt gebruikt voor het elektriciteitsnet. Voor een sinusvorm geldt de formule [84](#page=84): $$e(t) = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\omega t)$$ De rechterhandregel kan gebruikt worden om de stroomrichting te bepalen [84](#page=84). ### 4.3.4 Opwekkingsvormen van elektriciteit Om de geleiders in een magnetisch veld te laten roteren en spanning op te wekken, is een aandrijfbron nodig. Voorbeelden hiervan zijn windturbines, waterkrachtcentrales, kerncentrales en dynamo's [85](#page=85). ## 4.4 Componenten in AC-circuits ### 4.4.1 Faseverschuiving Het is mogelijk dat op tijdstip $t=0$ zowel de spanning als de stroom, of slechts één van beide, niet gelijk zijn aan nul. In dat geval zeggen we dat de grootheden niet in fase zijn en een faseverschil hebben. Het faseverschil wordt uitgedrukt als een hoek ($\phi$), die typisch tussen -90° en +90° ligt . ### 4.4.2 Weerstand (R) Een elektrische weerstand is de mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom verhindert en wordt uitgedrukt in Ohm [$\Omega$. De waarde van een weerstand is constant. Een weerstand gedraagt zich gelijk in AC en DC circuits en veroorzaakt geen faseverschil; spanning en stroom verlopen simultaan . ### 4.4.3 Spoel (L) Een spoel is een geleidende draad die rond een vorm is gewikkeld, met als symbool $L$ en eenheid Henry [H. Bij DC gedraagt een spoel zich als een gewone geleider met een kleine weerstand (te berekenen met de wet van Pouillet). Bij AC gedraagt een spoel zich anders . * **Gedrag bij AC:** Bij aansluiting op een AC-bron zal de stroom na-ijlen op de spanning. Bij een perfecte spoel (zonder Ohmse weerstand) is het faseverschil $\phi = 90^\circ$. Bij een realistische spoel (met serieweerstand) ligt $\phi$ tussen $0^\circ$ en $90^\circ$. Een ezelsbruggetje is LUI: Spoel ($L$), spanning ($U$) eerst, stroom ($I$) als tweede . ### 4.4.4 Condensator (C) Een condensator bestaat uit twee geleiders (platen) met een groot oppervlak die elektrische lading kunnen opslaan. De grootheid is $C$ en de eenheid is Farad [F. De condensatorwaarde wordt standaard uitgedrukt in picofarad ($10^{-12}$). Bij DC gedraagt een condensator zich als een open kring (open schakelaar) die één keer oplaadt bij de eerste aansluiting. Bij AC gedraagt een condensator zich anders . * **Gedrag bij AC:** Bij aansluiting op een AC-bron zal de stroom voor-ijlen op de spanning. Bij een perfecte condensator (zonder Ohmse weerstand) is het faseverschil $\phi = -90^\circ$. Bij een realistische condensator (met parallelle weerstand) ligt $\phi$ tussen $0^\circ$ en $-90^\circ$. Een ezelsbruggetje is CIU: Condensator ($C$), stroom ($I$) eerst, spanning ($U$) als tweede . ### 4.4.5 Samenvatting elektrische componenten | Grootheid | Weerstand (R) | Spoel (L) | Condensator (C) | | :------------------ | :---------------- | :---------------------------- | :----------------------------- | | Eenheid | Ohm [$\Omega$] | Henry [H | Farad [F | | Symbool | R | L | C | | Visualisatie | (zie document) | (zie document) | (zie document) | | Gedrag DC | Weerstand | Weerstand, lage R | Open schakelaar | | Faseverschuiving bij AC? | Nee | Ja, stroom ijlt na op spanning | Ja, spanning ijlt na op stroom | | Faseverschuiving in graden [°] | $0^\circ$ | $0^\circ$ tot $90^\circ$ | $0^\circ$ tot $-90^\circ$ | ## 4.5 Complex rekenen met AC: Reactantie en impedantie ### 4.5.1 Reactantie Omdat condensatoren en spoelen bij AC niet alleen een zuivere Ohmse weerstand hebben, moet rekening worden gehouden met een imaginair deel: de reactantie . * **Spoel:** XL, gemeten in $\Omega$. * **Condensator:** XC, gemeten in $\Omega$. ### 4.5.2 Impedantie (Z) De totale weerstand van een spoel of condensator, de impedantie ($Z$), kan worden berekend met de stelling van Pythagoras. De impedantie omvat zowel het reële deel (de Ohmse weerstand $R$) als het imaginaire deel (de reactantie $X$) (#page=183, 184). Voor een weerstand is er geen reactantie, dus de impedantie is gelijk aan de weerstand. Bij AC-netwerken met spoelen en condensatoren moet altijd met de impedantie worden gerekend . $$Z = R + jX$$ (waarbij $j$ het imaginaire getal is, $\sqrt{-1}$). ### 4.5.3 Fasor diagram Een fasordiagram geeft voor een component de sinusvormige functie weer, met de amplitude, hoekfrequentie ($\omega$) en fase ($\phi$). Een fasor is opgebouwd uit een reëel deel, een imaginair deel en de totale impedantie . #### 4.5.3.1 Fasor weerstand Bij een weerstand is de faseverschuiving tussen spanning en stroom $0^\circ$. De impedantie $Z$ is hierbij gelijk aan de Ohmse weerstand $R$, aangezien er geen imaginair deel is . #### 4.5.3.2 Fasor spoel De faseverschuiving tussen spanning en stroom bij een spoel ligt tussen $0^\circ$ en $+90^\circ$, waarbij de spanning voor-ijlt op de stroom ($U$ ijlt voor op $I$). De impedantie $Z$ is afhankelijk van $R$ en de inductieve reactantie $X_L$ : $$X_L = 2\pi f L = \omega L$$ $$Z = R + jX_L$$ #### 4.5.3.3 Fasor condensator De faseverschuiving tussen spanning en stroom bij een condensator ligt tussen $0^\circ$ en $-90^\circ$, waarbij de stroom voor-ijlt op de spanning ($I$ ijlt voor op $U$). De impedantie $Z$ is afhankelijk van $R$ en de capacitieve reactantie $X_C$ : $$X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{\omega C}$$ $$Z = R - jX_C$$ ### 4.5.4 Faseverschuiving en goniometrische relaties De faseverschuiving ($\phi$) tussen spanning en stroom kan worden bepaald met behulp van goniometrische functies, gebaseerd op de impedantie driehoek: * $\sin(\phi) = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde (X)}}{\text{schuine zijde (Z)}}$ * $\cos(\phi) = \frac{\text{aanliggende rechthoekszijde (R)}}{\text{schuine zijde (Z)}}$ * $\tan(\phi) = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde (X)}}{\text{aanliggende rechthoekszijde (R)}}$ ## 4.6 Vermogens bij AC ### 4.6.1 Arbeidsfactor (cos $\phi$) De cosinus van de faseverschuiving ($\cos \phi$) wordt vaak de "arbeidsfactor" genoemd (#page=190, 191). Het geeft het reële aandeel van het vermogen weer ten opzichte van het totale vermogen. Bij een zuiver resistieve belasting is $\phi = 0^\circ$, dus $\cos \phi = 1$, en het actieve vermogen ($P$) is gelijk aan $U \cdot I$ . ### 4.6.2 Vermogenssoorten bij AC Bij inductieve of capacitieve belastingen is de faseverschuiving niet nul, en moet rekening worden gehouden met $\cos \phi$: * **Actief vermogen (P):** Het werkelijk geleverde vermogen, gemeten in Watt [W. $P = U \cdot I \cdot \cos \phi$ . * **Reactief vermogen (Q):** Het vermogen dat nodig is voor het creëren van magnetische of elektrische velden, gemeten in Volt-Ampère reactief [VAr. $Q = U \cdot I \cdot \sin \phi$ . * **Schijnbaar vermogen (S):** Het product van de effectieve spanning en stroom, gemeten in Volt-Ampère [VA. $S = U \cdot I$ . De relatie tussen deze vermogens kan worden weergegeven in de vermogensdriehoek. $\cos \phi = \frac{P}{S}$ . ### 4.6.3 Belang van de arbeidsfactor Distributiemaatschappijen leggen beperkingen op voor de minimale arbeidsfactor omdat, zelfs als het schijnbare vermogen ($S$) wordt opgewekt, slechts een deel daarvan (het actieve vermogen $P$) daadwerkelijk wordt gebruikt en betaald. Een lage arbeidsfactor betekent een inefficiënt gebruik van de energieoverdrachtcapaciteit . ### 4.6.4 Oefeningen Diverse oefeningen behandelen de berekening van stroom, impedantie, faseverschuiving en vermogens ($P$, $Q$, $S$) voor circuits met spoelen, condensatoren en weerstanden (#page=189, 194) . --- # Normen, richtlijnen en CE-markering Dit onderdeel verklaart de rol van Europese richtlijnen en normen, en het belang van de CE-markering voor productconformiteit en handel binnen de EU [86](#page=86). ### 5.1 Europese richtlijnen Een Europese richtlijn is een bindend besluit van de Europese Unie dat regels bevat voor lidstaten. Lidstaten zijn verplicht om de richtlijn uit te voeren, maar mogen zelf beslissen op welke manier ze de uitvoering aanpakken en de inhoud in hun eigen wetgeving implementeren. Dit kan bijvoorbeeld via een Koninklijk Besluit in België. Europese richtlijnen zijn gratis te raadplegen via eur-lex.europa.eu [86](#page=86) [88](#page=88). ### 5.2 Normen Een norm is geen wet en dus niet verplicht. Normen bieden praktische en technische invulling over hoe aan een richtlijn kan worden voldaan. Een geharmoniseerde norm is een Europese norm die aangeeft hoe aan een richtlijn kan worden voldaan en is enkel geldig binnen Europa. Hoewel het gebruik van een geharmoniseerde norm niet verplicht is, biedt het wel maximale juridische dekking. (Belgische) normen zijn tegen betaling verkrijgbaar via nbn.be [87](#page=87). #### 5.2.1 Organisaties die normen opstellen Verschillende organisaties stellen normen op: * **Comité Européen de Normalisation (CEN)**: Opgericht in 1961 door nationale standaardiseringscomités in de Europese Economische Gemeenschap en de Europese Vrijhandelsassociatie. De normen van het CEN staan bekend als Europese normen (EN) [89](#page=89). * **International Organization for Standardization (ISO)**: Een internationale organisatie die normen vastlegt. Het is een samenwerkingsverband van nationale standaardisatieorganisaties in 156 landen wereldwijd [89](#page=89). * **International Electrotechnical Commission (IEC)**: Gevestigd in Genève, Zwitserland, ontwikkelt algemene internationale normen voor de veiligheid van elektrische componenten en apparatuur wereldwijd [90](#page=90). * **Bureau voor Normalisatie (NBN)**: In België heeft het Belgisch Instituut voor Normalisatie (BIN) in 2003 plaatsgemaakt voor het NBN [90](#page=90). #### 5.2.2 Zelf normen opzoeken als VIVES-student Als VIVES-student kunnen normen worden opgezocht via de Limo-database van de bibliotheek: 1. Surf naar https://limo.libis.be/index.html#/VIVES [91](#page=91). 2. Klik op ‘VIVES’ [91](#page=91). 3. Meld je aan [91](#page=91). 4. Klik op ‘Databanken’ [91](#page=91). 5. Typ ‘NBN’ in het zoekvenster en druk op Enter [91](#page=91). 6. Klik op ‘MyNBN Normendatabank – Leeszaal’ [91](#page=91). 7. Klik opnieuw op ‘MyNBN Normendatabank: leeszaal’ [91](#page=91). 8. Kies ‘Associatie KU Leuven’ [91](#page=91). 9. Nu kunnen normen worden opgezocht [91](#page=91). **Voorbeeldopdracht 1**: Zoek een norm die iets weergeeft over 'implantaten' en zoek de kostprijs ervan op [92](#page=92). **Voorbeeldopdracht 2**: Zoek de norm NBN EN ISO 9999 op en beantwoord de volgende vragen [92](#page=92): 1. Welk onderwerp behandelt deze norm? 2. Van welk jaar dateert deze norm? 3. Hoeveel uitgaven zijn er al geweest van deze norm? 4. Probeer deze op te slaan. Lukt het? **Voorbeeldopdracht 3**: Open de norm NBN EN ISO 9999 en beantwoord [93](#page=93): 1. Wat willen de codes/getallen in deze norm zeggen? 2. Zoek een code die de 'assistieve producten voor sporters' behandelt. ### 5.3 CE-markering #### 5.3.1 Definitie en doel De CE-markering, te vinden op veel producten, geeft aan dat het product voldoet aan de daarvoor geldende regels binnen de Europese Economische Ruimte. CE staat voor Conformité Européenne. Het doel van de CE-markering is het mogelijk maken van vrije handel binnen de EU en het garanderen van de veiligheid van producten [94](#page=94). #### 5.3.2 Verantwoordelijkheid van de fabrikant De fabrikant van een toestel brengt zelf de CE-markering aan en verklaart hiermee dat het toestel conform is aan alle relevante EU-richtlijnen. Als er een ongeluk gebeurt met het toestel, wordt gekeken of aan de eisen is voldaan. Indien niet, is de fabrikant verantwoordelijk; indien wel, is de gebruiker (die een fout maakte) verantwoordelijk. De fabrikant draagt de volle verantwoordelijkheid voor de verklaring die hij aflegt [95](#page=95). #### 5.3.3 Aangemelde instantie (Notified Body) Omdat CE-markering een belangrijk onderdeel is binnen het ontwerp van een zorg- of sporttechnologisch toestel, en het soms specialistisch werk is om te weten of een machine conform de machinerichtlijn is opgebouwd, kan een 'notified body' of aangemelde instantie worden ingeschakeld. Een notified body is een door de overheid aangewezen keurings- of testinstituut dat producten test. Bij sommige machines, zoals medische apparatuur, is het inschakelen van een notified body verplicht. Vinçotte is een voorbeeld van een notified body in België [96](#page=96). #### 5.3.4 Procedure om een CE-markering te bemachtigen De stappen om een CE-markering te verkrijgen zijn: 1. Onderzoek aan welke EU-eisen uw product moet voldoen [97](#page=97). 2. Controleer of uw product aan de specifieke eisen voldoet [97](#page=97). 3. Ga na of uw product getest moet worden door een aangemelde instantie [97](#page=97). 4. Test uw product [97](#page=97). 5. Stel het technisch dossier samen [97](#page=97). 6. Breng de CE-markering aan en stel een verklaring van overeenstemming op [97](#page=97). Alle informatie over CE-markering is te vinden op europa.eu [97](#page=97). #### 5.3.5 Wijzigingen aan een product met CE-markering Bij aanpassingen aan een sporttechnologisch toestel kan de CE-markering vervallen. Een fundamentele wijziging vereist specifieke acties. Bij een wijziging moet worden nagegaan wat de consequenties zijn voor de conformiteit en wie er verantwoordelijk is na de wijziging [98](#page=98). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | SI-stelsel | Het internationale stelsel van eenheden, een metrisch systeem dat uniformiteit biedt voor het weergeven van grootheden en eenheden, wat internationale gegevensuitwisseling vergemakkelijkt. | | Grootheid | Een meetbare eigenschap van een fenomeen, materie of straal; de zeven onafhankelijke basiseenheden van het SI-stelsel omvatten lengte, massa, tijd, elektrische stroom, absolute temperatuur, hoeveelheid stof en lichtsterkte. | | Eenheid | Een gestandaardiseerde maat waarmee grootheden worden vergeleken; de SI-basiseenheden hebben specifieke namen en symbolen. | | Prefix | Een symbool dat vóór een eenheid wordt geplaatst om aan te geven dat het om veelvouden of delen van die eenheid gaat, zoals kilo (k) voor duizend of milli (m) voor een duizendste. | | Elektrische stroom | De beweging van vrije elektronen die zich door een materiaal kunnen verplaatsen, wat leidt tot een elektrische lading die zich verplaatst; wordt gemeten in ampère (A). | | Elektrische lading | Een fundamentele eigenschap van materie die elektrische verschijnselen veroorzaakt; gemeten in Coulomb (C). | | Coulomb | De SI-eenheid van elektrische lading, gelijk aan de lading die wordt getransporteerd door een stroom van één ampère gedurende één seconde. | | Elektrische spanning | Het potentiaalverschil tussen twee punten in een elektrisch circuit, dat de kracht levert om elektrische ladingen te laten bewegen; gemeten in Volt (V). | | Volt | De SI-eenheid van elektrische spanning, gelijk aan het potentiaalverschil dat een elektrische stroom van één ampère genereert in een weerstand van één ohm. | | Elektrische weerstand | De mate waarin een materiaal de doorstroming van elektrische stroom belemmert; gemeten in Ohm (Ω). | | Ohm | De SI-eenheid van elektrische weerstand, gelijk aan de weerstand die een potentiaalverschil van één volt overbrugt wanneer een stroom van één ampère erdoorheen vloeit. | | Geleiding | Het omgekeerde van weerstand, wat aangeeft hoe gemakkelijk elektriciteit door een materiaal kan vloeien; gemeten in Siemens (S). | | Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektrotechniek die de relatie tussen spanning (U), stroom (I) en weerstand (R) beschrijft: $U = I \cdot R$. | | Elektrisch vermogen | De snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd; gemeten in Watt (W). | | Watt | De SI-eenheid van vermogen, gelijk aan één joule per seconde. | | Elektrische energie | De totale hoeveelheid arbeid die door elektrische stroom wordt geleverd of verbruikt; gemeten in Joules (J) of kilowattuur (kWh). | | Joules | De SI-eenheid van energie, gelijk aan de hoeveelheid arbeid verricht wanneer een kracht van één Newton een object verplaatst over een afstand van één meter. | | Rendement | De verhouding tussen het nuttige vermogen dat wordt geleverd of verbruikt en het totale toegevoerde vermogen, uitgedrukt als een percentage. | | Serieschakeling | Een schakeling waarbij componenten na elkaar zijn verbonden, zodat de stroom door elk component hetzelfde is. | | Parallelschakeling | Een schakeling waarbij componenten naast elkaar zijn verbonden, zodat de spanning over elk component hetzelfde is en de totale stroom wordt verdeeld. | | Gemengd netwerk | Een elektrisch netwerk dat zowel serieschakelingen als parallelschakelingen van componenten bevat. | | Niet-ideale spanningsbron | Een spanningsbron die, in tegenstelling tot een ideale bron, een interne weerstand heeft die leidt tot een spanningsval wanneer er stroom vloeit. | | Multimeter | Een elektronisch meetinstrument dat verschillende elektrische grootheden kan meten, zoals spanning, stroom en weerstand. | | Continuïteitstester | Een functie van een multimeter die aangeeft of er een elektrische verbinding bestaat tussen twee punten. | | Doorgangstester | Zie Continuïteitstester. | | Wisselspanning (AC) | Elektrische spanning die periodiek van richting en grootte verandert, meestal in een sinusvorm. | | Wisselstroom (AC) | Elektrische stroom die periodiek van richting en grootte verandert, meestal in een sinusvorm. | | Gelijkspanning (DC) | Elektrische spanning die een constante stroomrichting heeft. | | Gelijkstroom (DC) | Elektrische stroom die een constante stroomrichting heeft. | | Periode | De tijd die nodig is voor één volledige cyclus van een periodiek signaal, zoals een wisselspanning of -stroom. | | Frequentie | Het aantal perioden dat per seconde optreedt in een periodiek signaal; gemeten in Hertz (Hz). | | Gemiddelde waarde | Het rekenkundig gemiddelde van de momentele waarden van een periodiek signaal over één periode. | | Sinusoïdale spanning | Een wisselspanning waarvan de momentele waarde kan worden beschreven door een sinusfunctie van de tijd. | | Amplitude | De maximale waarde van een sinusvormige spanning of stroom. | | Cirkelfrequentie | De hoekfrequentie van een sinusvormige grootheid, gerelateerd aan de frequentie door de formule $\omega = 2\pi f$. | | Effectieve (RMS) waarde | De waarde van een gelijkstroom of -spanning die dezelfde warmteontwikkeling zou veroorzaken als de betreffende wisselstroom of -spanning in dezelfde weerstand. | | RMS (Root Mean Square) | Een wiskundige bewerking om de effectieve waarde van een wisselstroom of -spanning te berekenen. | | Faseverschuiving | Het verschil in tijd of positie tussen twee periodieke signalen die dezelfde frequentie hebben. | | Spoel (inductie) | Een elektrische component bestaande uit een geleidende draad gewikkeld rond een kern, die magnetische velden kan opslaan en zich verzet tegen veranderingen in stroom. | | Henry | De SI-eenheid van inductie, de eigenschap van een spoel om een spanning te genereren als reactie op een veranderende stroom. | | Condensator | Een elektrisch component dat elektrische lading opslaat in een elektrisch veld, bestaande uit twee geleidende platen gescheiden door een diëlektricum. | | Farad | De SI-eenheid van capaciteit, de eigenschap van een condensator om elektrische lading op te slaan. | | Reactantie | De oppositie die een spoel of condensator biedt aan de doorstroming van wisselstroom; gemeten in Ohm. | | Impedantie | De totale weerstand tegen wisselstroom in een circuit, rekening houdend met zowel ohmse weerstand als reactantie; gemeten in Ohm. | | Fasor | Een vectorrepresentatie die de amplitude en fase van een sinusvormig signaal weergeeft. | | Fasor diagram | Een grafische weergave van fasoren, die de relaties tussen spanningen en stromen in een AC-circuit toont. | | Arbeidsfactor (cos φ) | De verhouding tussen het actieve vermogen en het schijnbare vermogen in een AC-circuit; geeft aan hoeveel van het geleverde vermogen daadwerkelijk nuttig werk verricht. | | Actief vermogen (P) | Het vermogen dat daadwerkelijk wordt omgezet in nuttig werk, zoals warmte of licht. | | Reactief vermogen (Q) | Het vermogen dat wordt opgeslagen en weer vrijgegeven door spoelen en condensatoren in een AC-circuit. | | Schijnbaar vermogen (S) | Het product van de effectieve spanning en stroom in een AC-circuit, de totale geleverde kracht. | | Wetten van Kirchoff | Twee fundamentele wetten die de stroom en spanningen in elektrische netwerken beschrijven: de stroomwet (KCL) en de spanningswet (KVL). | | Stroomwet van Kirchoff (KCL) | De som van de stromen die een knooppunt binnenkomen is gelijk aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten. | | Spanningswet van Kirchoff (KVL) | De som van de potentiële stijgingen in een gesloten lus is gelijk aan de som van de potentiële dalingen. | | Thévenin | Een theorema dat een complex lineair elektrisch netwerk kan vereenvoudigen tot een equivalente schakeling met één spanningsbron en één serieweerstand. | | Norton | Een theorema dat een complex lineair elektrisch netwerk kan vereenvoudigen tot een equivalente schakeling met één stroombron en één parallelle weerstand. | | Superpositie | Een methode om complexe netwerken te analyseren door de bijdrage van elke individuele bron afzonderlijk te berekenen en deze vervolgens op te tellen. | | Significante cijfers | Cijfers die de nauwkeurigheid van een meting of berekening aangeven. | | Afronden | Het proces van het vereenvoudigen van een getal door decimalen te verwijderen, waarbij het getal het dichtst bij de oorspronkelijke waarde blijft. | | Wetenschappelijke notatie | Een manier om zeer grote of zeer kleine getallen weer te geven met behulp van machten van tien, wat compactheid en duidelijkheid bevordert. | | CE-markering | Een productmarkering die aangeeft dat een product voldoet aan de geldende Europese richtlijnen en normen op het gebied van veiligheid, gezondheid en milieu. | | Richtlijn | Een bindend besluit van de Europese Unie dat regels bevat voor lidstaten, die verplicht zijn de richtlijn uit te voeren op hun eigen manier. | | Norm | Een document dat technische specificaties of richtlijnen bevat voor hoe aan een richtlijn kan worden voldaan; kan verplicht of vrijwillig zijn. | | Geharmoniseerde norm | Een Europese norm die de methode aangeeft om aan een EU-richtlijn te voldoen. | | Aangemelde instantie (Notified Body) | Een door de overheid aangewezen keurings- of testinstituut dat producten test om te bepalen of ze voldoen aan de EU-vereisten. |

# Basiselementen van elektronica en elektrische circuits Dit onderdeel behandelt de fundamentele bouwstenen van elektronica, vanaf de microscopische structuur van atomen en moleculen tot macroscopische concepten zoals lading, stroom, spanning, vermogen en weerstand, inclusief de analyse van circuits met behulp van de wetten van Ohm en Kirchhoff [1](#page=1). ### 1.1 Atoom, molecuul en elektrische lading * **Atoom:** De kleinste eenheid van een chemisch element die de eigenschappen van dat element behoudt. Het bestaat uit een kern (protonen en neutronen) en elektronen in banen daaromheen [1](#page=1). * **Molecuul:** Een groep van twee of meer atomen gebonden door chemische bindingen [1](#page=1). * **Elektrische lading:** Een fundamentele eigenschap van materie die krachten tussen geladen deeltjes veroorzaakt. Protonen zijn positief geladen, elektronen negatief. Neutrale objecten hebben een gelijke hoeveelheid positieve en negatieve lading [1](#page=1). ### 1.2 Elektrische stroom Elektrische stroom is de beweging van elektrische ladingen, meestal veroorzaakt door elektronen in geleiders [1](#page=1). * **Definitie:** Stroomsterkte ($I$) is de hoeveelheid lading die per tijdseenheid door een dwarsdoorsnede van een geleider vloeit [1](#page=1). * **Eenheid:** Ampère (A) ] [1](#page=1). * $1 \, \text{A} = 1 \, \frac{\text{Coulomb}}{\text{seconde}}$ [1](#page=1). * **Tip:** Denk aan stroom als water dat door een pijp stroomt; de stroomsterkte is de hoeveelheid water per seconde [1](#page=1). ### 1.3 Elektrische spanning Elektrische spanning, ook wel potentiaalverschil genoemd, is de "drang" van ladingen om van een hoger potentiaal naar een lager potentiaal te bewegen om neutraliteit te bereiken [2](#page=2). * **Definitie:** Spanning ($U$ of $V$) is het verschil in elektrisch potentiaal tussen twee punten [2](#page=2). * **Eenheid:** Volt (V) ] [2](#page=2). * $1 \, \text{V} = 1 \, \frac{\text{Joule}}{\text{Coulomb}}$ [2](#page=2). * **Tip:** Vergelijk spanning met de hoogte van een waterreservoir; een hoger reservoir heeft meer potentiële energie [2](#page=2). ### 1.4 Vermogen Elektrisch vermogen is de snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd [2](#page=2). * **Definitie:** Vermogen ($P$) is het product van spanning en stroomsterkte [2](#page=2). * **Formule:** $P = U \times I$ [2](#page=2). * **Eenheid:** Watt (W) ] [2](#page=2). * $1 \, \text{W} = 1 \, \frac{\text{Joule}}{\text{seconde}}$ [2](#page=2). * **Arbeid (Energie):** Vaak uitgedrukt in Joule (J) of kilowattuur (kWh) [2](#page=2). ### 1.5 Weerstand Weerstand ($R$) is de eigenschap van een materiaal om de doorstroming van elektrische stroom te belemmeren [2](#page=2). * **Definitie:** Weerstand ($R$) is de verhouding tussen spanning ($U$) en stroomsterkte ($I$) [2](#page=2). * **Formule (Wet van Ohm):** * $R = \frac{U}{I}$ [2](#page=2). * $U = I \times R$ [2](#page=2). * $I = \frac{U}{R}$ [2](#page=2). * **Eenheid:** Ohm ($\Omega$) [2](#page=2). #### 1.5.1 Factoren die weerstand beïnvloeden De weerstand van een geleider wordt beïnvloed door: * **Lengte ($L$):** Hoe langer de geleider, hoe hoger de weerstand [2](#page=2). * **Doorsnede-oppervlakte ($A$):** Hoe groter de doorsnede, hoe lager de weerstand [2](#page=2). * **Soortelijke weerstand ($\rho$):** Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed het materiaal stroom geleidt [2](#page=2). #### 1.5.2 Wet van Pouillet De wet van Pouillet relateert de weerstand van een draad aan zijn fysische eigenschappen [2](#page=2): $$R = \rho \frac{L}{A}$$ Waar: * $R$ = weerstand in Ohm ($\Omega$) [3](#page=3). * $\rho$ = soortelijke weerstand in Ohm-meter ($\Omega \cdot \text{m}$) [3](#page=3). * $L$ = lengte in meters (m) [3](#page=3). * $A$ = doorsnede-oppervlakte in vierkante meters ($\text{m}^2$) [3](#page=3). **Voorbeeld:** Een aluminium kabel van 45 meter lang met een dwarsdoorsnede van 25 $\text{mm}^2$ (wat neerkomt op $25 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$) en een soortelijke weerstand van aluminium van ongeveer $2,8 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}$ heeft een weerstand van ongeveer [3](#page=3): $$R = (2,8 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}) \times \frac{45 \, \text{m}}{25 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \approx 0,0504 \, \Omega$$ [3](#page=3). > **Tip:** Zorg ervoor dat alle eenheden consistent zijn, met name voor lengte en oppervlakte, voordat je de Wet van Pouillet toepast. Vaak moeten $\text{mm}^2$ omgezet worden naar $\text{m}^2$ door te vermenigvuldigen met $10^{-6}$ [9](#page=9). ### 1.6 Weerstanden in serie en parallel #### 1.6.1 Weerstanden in serie Bij seriegeschakelde weerstanden zijn ze achter elkaar geplaatst. De stroom is overal gelijk, en de totale weerstand is de som van de individuele weerstanden [3](#page=3). * **Formule:** $R_{\text{totaal}} = R_1 + R_2 + R_3 + \dots$ of algemeen $\sum_{i=1}^{n} R_i$ [10](#page=10) [3](#page=3). * **Voorbeeld:** Drie in serie geschakelde weerstanden van 5 $\Omega$, 10 $\Omega$ en 15 $\Omega$ met een stroom van 2 A. * Totale weerstand: $R_{\text{totaal}} = 5 \, \Omega + 10 \, \Omega + 15 \, \Omega = 30 \, \Omega$ [4](#page=4). * Spanning over de bron: $U_{\text{bron}} = I \times R_{\text{totaal}} = 2 \, \text{A} \times 30 \, \Omega = 60 \, \text{V}$. Een voltmeter aangesloten over de bron zou 60 V aangeven [4](#page=4). #### 1.6.2 Weerstanden in parallel Bij parallelgeschakelde weerstanden zijn ze naast elkaar geplaatst. De spanning over elke weerstand is gelijk, en de stroom splitst zich op [3](#page=3). * **Formule:** Het omgekeerde van de totale weerstand is gelijk aan de som van de omgekeerden van de individuele weerstanden [3](#page=3): $$\frac{1}{R_{\text{totaal}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$$ of algemeen $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i}$ [10](#page=10) [3](#page=3). * **Voor twee weerstanden:** Een vereenvoudigde formule is: $$R_{\text{totaal}} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$$ [10](#page=10). * **Voorbeeld:** Drie weerstanden van 2,0 $\Omega$, 4,0 $\Omega$ en 8,0 $\Omega$ parallel geschakeld op 8,0 V. * Vervangingsweerstand: $$\frac{1}{R_{\text{totaal}}} = \frac{1}{2,0 \, \Omega} + \frac{1}{4,0 \, \Omega} + \frac{1}{8,0 \, \Omega} = 0,5 \, \text{S} + 0,25 \, \text{S} + 0,125 \, \text{S} = 0,875 \, \text{S}$$ (S staat voor Siemens, de eenheid van geleidbaarheid) [10](#page=10) [3](#page=3). $$R_{\text{totaal}} \approx \frac{1}{0,875 \, \text{S}} \approx 1,14 \, \Omega$$ [10](#page=10) [3](#page=3). * Totale stroomsterkte: $I_{\text{totaal}} = \frac{U}{R_{\text{totaal}}} \approx \frac{8,0 \, \text{V}}{1,14 \, \Omega} \approx 7,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3). * Stroomsterkte door elke weerstand: * $I_1 = \frac{8,0 \, \text{V}}{2,0 \, \Omega} = 4,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3). * $I_2 = \frac{8,0 \, \text{V}}{4,0 \, \Omega} = 2,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3). * $I_3 = \frac{8,0 \, \text{V}}{8,0 \, \Omega} = 1,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3). * Controle: $4,0 \, \text{A} + 2,0 \, \text{A} + 1,0 \, \text{A} = 7,0 \, \text{A}$ [10](#page=10) [3](#page=3). * Totale vermogen: $P_{\text{totaal}} = U \times I_{\text{totaal}} = 8,0 \, \text{V} \times 7,0 \, \text{A} = 56 \, \text{W}$ [10](#page=10) [3](#page=3). > **Tip:** Voor een parallelschakeling geldt altijd dat de vervangingsweerstand kleiner is dan de kleinste individuele weerstand [10](#page=10). ### 1.7 Wetten van Kirchhoff De wetten van Kirchhoff zijn fundamentele regels voor het analyseren van elektrische circuits [4](#page=4). #### 1.7.1 Eerste wet van Kirchhoff (Stromenwet of Knopenwet) De som van alle stromen die een knooppunt (waar meerdere draden samenkomen) binnenkomen, is gelijk aan de som van alle stromen die het knooppunt verlaten. Dit is gebaseerd op het behoud van lading [4](#page=4). * **Formule:** $\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{uit}}$ ] of $\sum I_{\text{knooppunt}} = 0$ [13](#page=13) [4](#page=4). * **Voorbeeld:** Als 4,0 A en 2,0 A een knooppunt binnenkomen, en 1,0 A verlaat het, dan moet $4,0 \, \text{A} + 2,0 \, \text{A} - 1,0 \, \text{A} = 5,0 \, \text{A}$ het knooppunt verlaten [4](#page=4). * **Tip:** Beschouw stromen die een knooppunt binnenkomen als positief en stromen die het verlaten als negatief (of andersom, mits consequent) [13](#page=13). #### 1.7.2 Tweede wet van Kirchhoff (Spanningswet of Maschenwet) De som van alle spanningsvallen in een gesloten kring (maas) is gelijk aan de som van de bronspanningen in die kring. Dit is gebaseerd op het behoud van energie [4](#page=4). * **Formule:** $\sum U_{\text{bronnen}} = \sum U_{\text{vallen}}$ ] of $\sum U_{\text{maas}} = 0$ [13](#page=13) [4](#page=4). * **Voorbeeld:** In een gesloten kring met één spanningsbron en drie weerstanden in serie, is de som van de spanningen over de weerstanden gelijk aan de bronspanning [4](#page=4). * **Tip:** Loop een lus met de klok mee (of tegen de klok in) en ken een teken toe aan elke spanning: positief voor een spanningsbron in de richting van de lus, negatief voor een spanningsval over een weerstand in de richting van de lus [13](#page=13). ### 1.8 Oefeningen #### 1.8.1 Oefening 1 (Serie schakeling) Drie in serie geschakelde weerstanden van 5 $\Omega$, 10 $\Omega$ en 15 $\Omega$ worden doorlopen met een stroomsterkte van 2 A. Welke waarde duidt een voltmeter, over de bron geschakeld, aan [14](#page=14) [4](#page=4)? * **Berekening:** * Totale weerstand: $R_{\text{totaal}} = 5 \, \Omega + 10 \, \Omega + 15 \, \Omega = 30 \, \Omega$ [14](#page=14) [4](#page=4). * Spanning van de bron: $U_{\text{bron}} = I \times R_{\text{totaal}} = 2 \, \text{A} \times 30 \, \Omega = 60 \, \text{V}$ [14](#page=14) [4](#page=4). * **Antwoord:** De V-meter duidt 60 V aan [4](#page=4). #### 1.8.2 Oefening 2 (Serieschakeling met spoel) Een weerstand van 5 $\Omega$ is in serie geschakeld met een spoeltje van koperdraad dat 57 m draad van 0,3 $\text{mm}^2$ doorsnede bevat. De schakeling is aangesloten op een accumulator van 12 V. Bereken de stroomsterkte die de keten opneemt. (Soortelijke weerstand koper $\rho \approx 1,7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}$; doorsnede $A = 0,3 \, \text{mm}^2$) [14](#page=14) [5](#page=5). * **Berekening:** * Omrekening doorsnede: $A = 0,3 \, \text{mm}^2 = 0,3 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$ [5](#page=5). * Weerstand van de spoel: $R_{\text{spoel}} = \rho \frac{L}{A} = (1,7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}) \times \frac{57 \, \text{m}}{0,3 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \approx 3,23 \, \Omega$. (Correctie op pagina 14: $\approx 3.192 \, \Omega$) [14](#page=14) [5](#page=5). * Totale weerstand: $R_{\text{totaal}} = R_{\text{weerstand}} + R_{\text{spoel}} = 5 \, \Omega + 3,23 \, \Omega = 8,23 \, \Omega$. (Correctie op pagina 14: $8.192 \, \Omega$) [14](#page=14) [5](#page=5). * Stroomsterkte: $I = \frac{U}{R_{\text{totaal}}} \approx \frac{12 \, \text{V}}{8,23 \, \Omega} \approx 1,46 \, \text{A}$. (Correctie op pagina 14: $\approx 1.465 \, \text{A}$) [14](#page=14) [5](#page=5). #### 1.8.3 Oefening 3 (Parallel schakeling) Drie weerstanden, respectievelijk 2,0 $\Omega$, 4,0 $\Omega$ en 8,0 $\Omega$, zijn parallel geschakeld op een spanning van 8,0 V. Bereken de vervangingsweerstand, de totale stroomsterkte en de stroomsterkte door elke weerstand. Welk vermogen wordt er in totaal ontwikkeld [15](#page=15) [5](#page=5)? * **Berekening:** * Vervangingsweerstand: $\frac{1}{R_{\text{totaal}}} = \frac{1}{2,0 \, \Omega} + \frac{1}{4,0 \, \Omega} + \frac{1}{8,0 \, \Omega} = 0,5 \, \text{S} + 0,25 \, \text{S} + 0,125 \, \text{S} = 0,875 \, \text{S}$ [15](#page=15) [5](#page=5). * $R_{\text{totaal}} \approx \frac{1}{0,875 \, \text{S}} \approx 1,14 \, \Omega$ [15](#page=15) [5](#page=5). * Totale stroomsterkte: $I_{\text{totaal}} = \frac{U}{R_{\text{totaal}}} \approx \frac{8,0 \, \text{V}}{1,14 \, \Omega} \approx 7,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5). * Stroomsterkte door elke weerstand: * $I_1 = \frac{8,0 \, \text{V}}{2,0 \, \Omega} = 4,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5). * $I_2 = \frac{8,0 \, \text{V}}{4,0 \, \Omega} = 2,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5). * $I_3 = \frac{8,0 \, \text{V}}{8,0 \, \Omega} = 1,0 \, \text{A}$ [15](#page=15) [5](#page=5). * Totaal vermogen: $P_{\text{totaal}} = U \times I_{\text{totaal}} = 8,0 \, \text{V} \times 7,0 \, \text{A} = 56 \, \text{W}$ [15](#page=15) [5](#page=5). #### 1.8.4 Oefening 4 (Complexe schakeling) Deze oefeningen (pagina's 5-8, 11-16) bevatten complexe schakelingen waarvoor een schematische weergave essentieel is voor een correcte oplossing. Vaak zijn er inconsistenties tussen de gegeven waarden en de berekende waarden op basis van de opgegeven componenten, wat duidt op mogelijke fouten in de bron of de noodzaak van een precies schema. De principes van serieschakelingen, parallelschakelingen, de Wet van Ohm en de wetten van Kirchhoff worden toegepast om de vervangingsweerstand, deelstromen en deelspanningen te berekenen [11](#page=11) [15](#page=15) [16](#page=16) [6](#page=6) [8](#page=8). > **Tip:** Bij complexe schakelingen is het nuttig om de schakeling op te splitsen in eenvoudigere series en parallelle delen en deze stapsgewijs te vereenvoudigen. Teken altijd een schematische weergave van de schakeling [8](#page=8). --- # Magnetisme en elektromagnetisme Dit onderdeel verkent de fundamentele principes van magnetisme, inclusief natuurlijke en kunstmatige magneten, en hun relatie met elektronica, met een focus op magnetische velden, de Lorentzkracht en elektromagnetische inductie [18](#page=18). ### 2.1 Magnetisme: basisconcepten Magnetisme is een fundamenteel natuurkundig verschijnsel dat voortkomt uit bewegende elektrische ladingen en resulteert in de vorming van magnetische velden. Deze velden oefenen krachten uit op andere magnetische materialen en bewegende ladingen [18](#page=18). #### 2.1.1 Vormen van magneten Magneten kunnen worden onderverdeeld in twee hoofdtypen: * **Natuurlijke magneten:** Materialen die van nature magnetische eigenschappen vertonen, zoals magnetiet [18](#page=18). * **Kunstmatige magneten:** Gemaakt door materialen magnetisch te maken via blootstelling aan een extern magnetisch veld. Deze zijn verder onder te verdelen in [18](#page=18): * **Permanente magneten:** Behouden hun magnetisme langdurig na verwijdering van het externe veld [18](#page=18). * **Niet-permanente magneten (elektromagneten):** Magnetisch alleen wanneer er een elektrische stroom doorheen loopt; hun sterkte is afhankelijk van de stroomsterkte [18](#page=18). ### 2.2 Elektromagnetisme Elektromagnetisme bestudeert de relatie tussen elektriciteit en magnetisme en is cruciaal voor het begrijpen van veel elektronische componenten [18](#page=18). #### 2.2.1 Magnetische velden rond geleiders Een elektrische stroom door een geleider genereert een magnetisch veld eromheen. De richting van dit veld kan bepaald worden met de rechterhandregel [18](#page=18). * **Rechte geleider:** Genereert een cirkelvormig magnetisch veld [18](#page=18). * **Spoelen (windingen/solenoïdes):** Meerdere windingen van draad versterken het magnetische veld aanzienlijk door de combinatieve effecten van individuele windingen [19](#page=19). * **Spoel met kern:** Het plaatsen van een magnetisch geleidend materiaal, zoals ijzer, in de kern versterkt het magnetische veld verder, wat essentieel is voor elektromagneten [19](#page=19). #### 2.2.2 De Lorentzkracht De Lorentzkracht is de kracht uitgeoefend op een geladen deeltje dat beweegt in een magnetisch veld. Het is een fundamenteel concept voor de werking van elektromotoren [19](#page=19). De kracht is evenredig met de lading ($q$), snelheid ($v$) en de sterkte van het magnetisch veld ($B$). De formule luidt [19](#page=19) [21](#page=21): $$ \vec{F}_L = q (\vec{v} \times \vec{B}) $$ [21](#page=21). Hierin staat $\times$ voor het uitwendig product (kruisproduct) [21](#page=21). * **Richting:** De richting van de Lorentzkracht wordt bepaald door de rechterhandregel. Voor een positieve lading ($q > 0$) wijst de kracht in de richting van $\vec{v} \times \vec{B}$. Voor een negatieve lading ($q < 0$) is de richting tegengesteld [19](#page=19) [22](#page=22). * **Gevolgen:** De Lorentzkracht staat altijd loodrecht op de bewegingsrichting en verricht geen arbeid, waardoor de kinetische energie en snelheid van het deeltje constant blijven. Wel kan de richting van de beweging veranderen, wat resulteert in circulaire of helicale banen [22](#page=22). * **Toepassingen:** Elektrische motoren, lineaire motoren, massaspectrometers en deeltjesversnellers [22](#page=22). > **Tip:** Begrijp de rechterhandregel goed, want deze is essentieel voor het bepalen van de richting van krachten in elektromagnetische systemen [22](#page=22). #### 2.2.3 Elektromagnetische inductie Inductie, of elektromagnetische inductie, is het verschijnsel waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrische spanning induceert in een geleider. Dit is het omgekeerde principe van elektromagnetisme en is cruciaal voor generatoren en transformatoren [19](#page=19) [22](#page=22). * **Beweging en fluxverandering:** Inductie treedt op wanneer een geleider beweegt in een magnetisch veld, of wanneer een magnetisch veld verandert rond een stilstaande geleider. Dit gebeurt wanneer de magnetische flux ($\Phi_B$) door een lus van een geleider verandert. Magnetische flux meet de hoeveelheid magnetisch veld die door een oppervlak gaat [19](#page=19) [22](#page=22) [24](#page=24). * **De wet van Faraday:** De geïnduceerde spanning ($V_{inductie}$) is evenredig met de snelheid van de fluxverandering. Volgens de wet van Faraday [19](#page=19) [24](#page=24): $$ V_{inductie} = -\frac{d\Phi_B}{dt} $$ [20](#page=20) [23](#page=23) [24](#page=24). De geïnduceerde spanning ($V_{inductie}$) wordt uitgedrukt in volt, de magnetische flux ($\Phi_B$) in weber (Wb), en de tijd ($t$) in seconden. Het minteken geeft de richting van de geïnduceerde stroom aan volgens de wet van Lenz, die stelt dat de geïnduceerde stroom de oorzaak van de fluxverandering tegenwerkt [23](#page=23) [24](#page=24). * **Gemiddelde geïnduceerde spanning:** Voor een fluxverandering over een tijdsduur $\Delta t$: $$ V_{inductie} \approx -\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} $$ [24](#page=24). * **Spoel met N windingen:** De totale geïnduceerde spanning in een spoel met $N$ windingen is: $$ V_{inductie} = -N \frac{d\Phi_B}{dt} $$ [24](#page=24). * **Inductie door beweging:** Een geleider die beweegt met snelheid $v$ loodrecht door een uniform magnetisch veld $B$, met een lengte $L$ in het veld, induceert een spanning van: $$ V_{inductie} = BLv $$ [25](#page=25). * **Toepassingen:** Generatoren (zetten mechanische om in elektrische energie) transformatoren (verhogen of verlagen van wisselspanningen) en diverse sensoren (zoals nabijheidssensoren en snelheidsmeters) [19](#page=19) [23](#page=23). > **Tip:** Denk bij de wet van Lenz aan een 'tegengestelde reactie'. Als de magnetische flux toeneemt, probeert de geïnduceerde stroom deze toename te verminderen door een magnetisch veld te creëren dat tegengesteld is aan het externe veld [25](#page=25). ### 2.3 Oefeningen en toepassingen De principes van magnetisme en elektromagnetisme vinden brede toepassing in de praktijk [20](#page=20). #### 2.3.1 Oefening 1: Bewegingsrichting Een typische quizvraag test het begrip van de bewegingsrichting van een geleider in een magnetisch veld, die bepaald wordt door de Lorentzkracht en de rechterhandregel. Mogelijke antwoorden zijn "Achter" en "Voor" [20](#page=20) [27](#page=27). #### 2.3.2 Oefening 2: Transformatoren Vragen over de spanning en stroom na een transformator, gegeven de primaire spanning en de weerstand aan de secundaire kant, vereisen kennis van transformatorverhoudingen en de wet van Ohm ($V=IR$) [20](#page=20) [27](#page=27). Voor een transformator met $N_p$ windingen in de primaire spoel en $N_s$ windingen in de secundaire spoel, geldt de relatie tussen spanningen ($V_p, V_s$) en windingen: $$ \frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} $$ [20](#page=20) [23](#page=23) [25](#page=25). De stroomverhouding is omgekeerd evenredig: $$ \frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p} $$ [27](#page=27). In een ideale transformator blijft het vermogen ($P=V \times I$) behouden. Als de spanning stijgt, daalt de stroom, en omgekeerd [26](#page=26): $$ V_s I_s = V_p I_p $$ [26](#page=26). Mogelijke antwoorden voor spanning en stroom kunnen zijn: 230V – 2,3A, 115V – 0,15A, 460V – 0,46A [20](#page=20) [27](#page=27). > **Tip:** De verhouding tussen het aantal windingen van de primaire spoel ($N_p$) en de secundaire spoel ($N_s$) is gelijk aan de verhouding van de spanningen: $\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$. De stroomverhouding is omgekeerd evenredig met de spanningsverhouding: $\frac{I_p}{I_s} = \frac{N_s}{N_p} = \frac{V_s}{V_p}$. De wet van Ohm ($V=IR$) kan worden gebruikt om de stroom te berekenen die door de secundaire weerstand loopt [27](#page=27). #### 2.3.3 Oefening 3: Toepassingsprincipe Deze oefening test het herkennen van het onderliggende principe van een specifieke toepassing, met keuzes zoals "Vermogen", "Inductie" of "Lurentzkracht". Veel toepassingen, zoals motoren en generatoren, maken gebruik van inductie of de Lorentzkracht [20](#page=20) [27](#page=27) [28](#page=28). > **Tip:** Het identificeren van het onderliggende principe van een toepassing, waarbij de keuze tussen inductie en de Lorentzkracht cruciaal is afhankelijk van de context, is hierbij belangrijk [28](#page=28). --- # Elektronische componenten en hun toepassingen Hier is een gedetailleerde studiehandleiding over elektronische componenten en hun toepassingen, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 3 Elektronische componenten en hun toepassingen Dit hoofdstuk introduceert fundamentele elektronische componenten, hun eigenschappen en toepassingen, variërend van passieve componenten zoals weerstanden en condensatoren tot actieve componenten zoals diodes en transistors [30](#page=30). ### 3.1 Passieve componenten #### 3.1.1 Weerstanden Weerstanden zijn componenten die de doorstroming van elektrische stroom beperken. De belangrijkste eigenschap is de weerstandswaarde, gemeten in ohm ($\Omega$) [30](#page=30). ##### Weerstandskleurcodes De waarde van een weerstand wordt vaak aangegeven met een reeks gekleurde banden. Deze banden vertegenwoordigen cijfers, vermenigvuldigingsfactoren en toleranties [30](#page=30). * **Tolerantie:** Geeft de maximale afwijking van de nominale weerstandswaarde aan [30](#page=30). > **Tip:** Het leren en toepassen van de weerstandskleurcode is een essentiële vaardigheid voor iedereen die met elektronica werkt [30](#page=30). ##### Voorbeelden van kleurcodes en waarden * Grijs, Rood, Rood, Goud: 8,2 k$\Omega$ met een tolerantie van 5% [30](#page=30). * Geel, Paars, Rood (4 banden): 470 $\Omega$ met een tolerantie van 2% [35](#page=35). * Geel, Paars, Zwart, Zilver, Rood (5 banden): 1,8 M$\Omega$ met een tolerantie van 2% [35](#page=35). #### 3.1.2 Lichtafhankelijke weerstand (LDR) Een LDR, ook wel fotoweerstand genoemd, is een component waarvan de weerstandswaarde afhankelijk is van de hoeveelheid invallend licht. Meer licht betekent een lagere weerstand [30](#page=30). > **Tip:** LDR's worden gebruikt in schakelingen die reageren op lichtintensiteit, zoals automatische straatverlichting of lichtsensoren [30](#page=30). ##### Oefening met LDR * Bij 10 Lumen (1 Ftc) is de weerstand van de LDR ongeveer 10 k$\Omega$, wat resulteert in een spanning van 2,5V over de LDR in een typische spanningsdelerconfiguratie [31](#page=31) [36](#page=36). * Bij 1000 Lumen (100 Ftc) is de weerstand van de LDR ongeveer 0,6 k$\Omega$, met een spanning van 0,28V over de LDR [31](#page=31) [36](#page=36). #### 3.1.3 Thermistor Een thermistor is een weerstand waarvan de weerstandswaarde sterk temperatuurafhankelijk is [31](#page=31). * **PTC (Positive Temperature Coefficient):** De weerstand neemt toe met toenemende temperatuur [31](#page=31) [36](#page=36). * **NTC (Negative Temperature Coefficient):** De weerstand neemt af met toenemende temperatuur [31](#page=31) [36](#page=36). ##### Oefening met thermistor Beschouw een circuit met een 15V voedingsbron, een stroommeter (interne weerstand 3 $\Omega$) en een instelbare weerstand van 17 $\Omega$. Een thermistor heeft een nominale waarde van 4 k$\Omega$ bij een bepaalde temperatuur. * Bij 77°F (25°C) is de thermistor weerstand 4 k$\Omega$. De totale weerstand is $17\Omega + 3\Omega + 4000\Omega = 4020\Omega$. De gemeten stroom is $\frac{15V}{4020\Omega} \approx 3,73$ mA [31](#page=31) [36](#page=36). * Bij 150°F (65,5°C) is de thermistor weerstand 950 $\Omega$. De totale weerstand is $17\Omega + 3\Omega + 950\Omega = 970\Omega$. De gemeten stroom is $\frac{15V}{970\Omega} \approx 15,46$ mA [31](#page=31) [36](#page=36). #### 3.1.4 Potentiometer Een potentiometer is een variabele weerstand die werkt als een spanningsdeler. Het heeft drie aansluitingen: twee eindpunten van een weerstandselement en een beweegbaar contact (wiper) [31](#page=31) [37](#page=37). ##### Toepassingen van potentiometers * **Draaiknoppen:** Vaak gebruikt in audioapparatuur (mengpanelen, autoradio's), meestal logaritmisch afgesteld [32](#page=32) [41](#page=41). * **Schuifknoppen (faders):** Gebruikt in mengpanelen voor volumeregeling, doorgaans lineair [32](#page=32) [41](#page=41). * **Positiebepaling:** Meten van bijvoorbeeld de gaspedaalpositie in een auto, waarbij de uitvoerspanning lineair correleert met de positie [32](#page=32) [41](#page=41). #### 3.1.5 Condensator Een condensator is een passief elektronisch component dat elektrische energie opslaat in een elektrisch veld, bestaande uit twee geleidende platen gescheiden door een diëlektricum. De capaciteit, gemeten in Farad (F), bepaalt de hoeveelheid opgeslagen lading bij een bepaalde spanning [32](#page=32). ##### Toepassingen van condensatoren Condensatoren worden veel gebruikt in filtercircuits [32](#page=32) [41](#page=41): * **RC low-pass filter:** Laat lage frequenties door en verzwakt hoge frequenties [32](#page=32) [41](#page=41). * **CR high-pass filter:** Laat hoge frequenties door en verzwakt lage frequenties [32](#page=32) [41](#page=41). * **Band-pass filter:** Laat een specifiek frequentiebereik door [32](#page=32) [41](#page=41). > **Tip:** Condensatoren worden ook gebruikt voor energieopslag (zoals in cameraflitsers) en timing in elektronische circuits [32](#page=32). ### 3.2 Halfgeleiders Halfgeleiders zijn materialen met een elektrische geleidbaarheid tussen die van geleiders en isolatoren. Hun geleidbaarheid kan gemanipuleerd worden door doping [32](#page=32) [44](#page=44). * **N-type halfgeleider:** Gemaakt door te dopen met atomen met vijf valentie-elektronen, wat resulteert in een overschot aan vrije elektronen als ladingsdragers. Elektronen zijn de meerderheidsladingsdragers, gaten de minderheidsladingsdragers [32](#page=32) [44](#page=44) [45](#page=45). * **P-type halfgeleider:** Gemaakt door te dopen met atomen met drie valentie-elektronen, wat "gaten" creëert die als positieve ladingsdragers fungeren. Gaten zijn de meerderheidsladingsdragers, elektronen de minderheidsladingsdragers [32](#page=32) [44](#page=44) [45](#page=45). ### 3.3 Actieve componenten #### 3.3.1 Diode Een diode is een halfgeleidercomponent die elektrische stroom voornamelijk in één richting toelaat. Het bestaat uit een PN-overgang [33](#page=33) [41](#page=41) [45](#page=45). * **Anode:** De P-zijde van de diode [33](#page=33). * **Kathode:** De N-zijde van de diode [33](#page=33). De diode geleidt stroom in doorlaatrichting (positieve spanning op anode t.o.v. kathode) en blokkeert stroom in sperrichting (negatieve spanning op anode t.o.v. kathode) [33](#page=33) [45](#page=45). ##### Toepassingen van diodes Diodes worden gebruikt in diverse schakelingen [33](#page=33) [41](#page=41) [45](#page=45): * **Enkelzijdige gelijkrichter:** Converteert wisselspanning naar pulserende gelijkspanning [33](#page=33) [41](#page=41) [42](#page=42). * **Enkelzijdige gelijkrichter met afvlakking:** Gebruikt een condensator om de pulserende gelijkspanning gladder te maken [33](#page=33) [41](#page=41) [42](#page=42). * **Dubbelzijdige gelijkrichter:** Converteert beide helften van de wisselspanning naar positieve pulsen [33](#page=33) [41](#page=41). * **Bruggelijkrichter met afvlakking:** Een configuratie van vier diodes die AC omzet naar een stabielere gelijkspanning [33](#page=33) [41](#page=41) [42](#page=42). #### 3.3.2 LED (Light Emitting Diode) Een LED is een type diode dat licht uitzendt wanneer er stroom in doorlaatrichting doorheen loopt. De kleur van het licht hangt af van het gebruikte halfgeleidermateriaal [33](#page=33) [37](#page=37) [42](#page=42). > **Tip:** Bij het aansluiten van een LED is een voorschakelweerstand cruciaal om de stroom te beperken en doorbranden te voorkomen [33](#page=33) [37](#page=37). ##### Oefening met LED Bereken de voedingsspanning voor een blauwe LED met een drempelspanning van 3,3V en een gewenste stroom van 25 mA, met een voorschakelweerstand van 1 k$\Omega$ [33](#page=33) [37](#page=37) [42](#page=42). * Spanning over de weerstand ($V_R$): $I \times R = 0,025 A \times 1000 \Omega = 2,5V$ [37](#page=37) [42](#page=42). * Voedingsspanning ($V_{voeding}$): $V_{LED\_drempel} + V_R = 3,3V + 2,5V = 5,8V$ [37](#page=37) [42](#page=42). * Kleurcode van de 1 k$\Omega$ weerstand (met 5% tolerantie): Bruin Zwart Rood (x100), Goud ($\pm$5%) [1](#page=1) [34](#page=34) [37](#page=37). #### 3.3.3 Transistor Een transistor is een halfgeleidercomponent die gebruikt wordt om elektronische signalen te versterken of te schakelen. Het heeft meestal drie aansluitingen: basis (B), collector (C) en emitter (E). De werking kan worden begrepen als twee diodes die rug-aan-rug zijn geschakeld [34](#page=34) [37](#page=37) [43](#page=43) [46](#page=46). * **Bipolaire Junction Transistor (BJT):** Bestaat uit twee PN-overgangen. Er zijn NPN en PNP types [46](#page=46). * **NPN:** P-laag tussen twee N-lagen. Gestuurd door positieve spanning/stroom op de basis t.o.v. de emitter [46](#page=46). * **PNP:** N-laag tussen twee P-lagen. Gestuurd door negatieve spanning/stroom op de basis t.o.v. de emitter [46](#page=46). * De relatie tussen collectorstroom ($I_C$) en basisstroom ($I_B$) wordt bepaald door de versterkingsfactor ($\beta$ of $h_{FE}$): $I_C = \beta \times I_B$ [47](#page=47). * De totale emitterstroom ($I_E$) is de som van de collector- en basisstromen: $I_E = I_C + I_B$ [47](#page=47). * Voor siliciumtransistors wordt vaak aangenomen dat de basis-emitterspanning ($U_{BE}$) ongeveer 0,7V is in de actieve regio [47](#page=47). * **Veldeffecttransistor (FET):** Gebruikt een elektrisch veld om de geleidbaarheid van een kanaal te regelen. Types zijn JFETs en MOSFETs. MOSFETs zijn wijdverbreid; aansluitingen zijn Gate (G), Drain (D) en Source (S) [47](#page=47). ##### Oefeningen met transistors Er zijn diverse oefeningen gegeven met transistors, waarbij verschillende parameters zoals weerstanden, spanningen, stromen en versterkingsfactoren worden berekend. Deze oefeningen illustreren de berekening van basisstromen, collectorstromen, emitterstromen en spanningen op diverse knooppunten, afhankelijk van de configuratie (bijvoorbeeld spanningsdeler, emittervolger). Het is cruciaal om eerst de werkingsmodus van de transistor (onderbroken, verzadigd, actief) te bepalen [34](#page=34) [38](#page=38) [42](#page=42) [43](#page=43) [47](#page=47). ### 3.4 Overige sensoren en componenten Naast de fundamentele componenten worden ook andere relevante componenten kort besproken [35](#page=35) [44](#page=44): * **IR Sensor:** Detecteert infraroodstraling [35](#page=35). * **PIR Sensor:** Passieve infraroodsensor, gebruikt voor bewegingsdetectie [35](#page=35). * **Ultrasoon:** Componenten die ultrasone geluidsgolven gebruiken voor detectie of meting (bv. afstandssensoren) [35](#page=35). * **Digitale temperatuursensor:** Meet temperatuur en geeft deze digitaal door [35](#page=35). * **ADC (Analog-to-Digital Converter):** Converteert analoge signalen naar digitale waarden [35](#page=35) [44](#page=44). * **DAC (Digital-to-Analog Converter):** Converteert digitale waarden naar analoge signalen [35](#page=35) [44](#page=44). * **Stepper Motor:** Een elektromotor die in discrete stappen roteert, nauwkeurig controleerbaar voor positionering [35](#page=35) [44](#page=44). --- # Dataflow en protocollen in embedded systemen Dit onderwerp behandelt de kernconcepten van dataflow binnen embedded systemen, inclusief API's, JSON en verschillende technologieën voor data-uitwisseling, evenals protocollen zoals seriële (UART, I²C, SPI, CAN) en parallelle protocollen, en de techniek van Pulsbreedtemodulatie (PWM). ### 4.1 Dataflow in embedded systemen Dataflow in embedded systemen verwijst naar de manier waarop data wordt verplaatst, verwerkt en uitgewisseld tussen verschillende componenten, sensoren, actuatoren en externe systemen. Een efficiënte dataflow is cruciaal voor de functionaliteit en prestaties van embedded systemen [50](#page=50). #### 4.1.1 Basiscomponenten van dataflow ##### 4.1.1.1 API (Application Programming Interface) Een API is een set regels en protocollen die definieert hoe verschillende softwarecomponenten met elkaar kunnen communiceren. In de context van dataflow in embedded systemen maakt een API het mogelijk voor een embedded device om data op te vragen van een externe dienst of om data naar een externe dienst te sturen [50](#page=50). > **Voorbeeld:** Een embedded systeem dat temperatuurgegevens verzamelt, kan een API gebruiken om deze gegevens naar een cloudplatform te sturen voor analyse en visualisatie. Een voorbeeld URL voor data-uitwisseling via een webgebaseerde API is `https://catfact.ninja/fact` [50](#page=50). ##### 4.1.1.2 JSON (JavaScript Object Notation) JSON is een lichtgewicht data-uitwisselingsformaat dat gemakkelijk te lezen en te schrijven is voor mensen, en gemakkelijk te parsen en te genereren voor machines. Het wordt veel gebruikt voor het verzenden van data tussen een server en een webapplicatie, maar ook in embedded systemen voor communicatie. JSON gebruikt een structuur van sleutel-waardeparen [50](#page=50). > **Voorbeeld:** > ```json > { > "temperatuur": 25.5, > "eenheid": "Celsius", > "tijdstempel": "2023-10-27T10:00:00Z" > } > ``` > [50](#page=50). ##### 4.1.1.3 MQTT (Message Queuing Telemetry Transport) MQTT is een lichtgewicht berichtenprotokol dat is ontworpen voor apparaten met beperkte bronnen en onbetrouwbare netwerken. Het is zeer geschikt voor machine-to-machine (M2M) en Internet of Things (IoT) communicatie. MQTT werkt op basis van een publish/subscribe model [51](#page=51). ##### 4.1.1.4 Node-RED Node-RED is een op flow-based programmering gebaseerde tool die is ontworpen om eenvoudig verschillende hardwareapparaten, API's en online services met elkaar te verbinden. Het biedt een browsergebaseerde editor waarmee je visueel flows kunt bouwen door nodes te verbinden [51](#page=51). ##### 4.1.1.5 Node.js Node.js is een JavaScript runtime-omgeving die het mogelijk maakt om JavaScript-code buiten de browser uit te voeren. Het is populair voor het bouwen van schaalbare netwerkapplicaties, inclusief server-side logica voor dataflow en API-integratie [51](#page=51). #### 4.1.2 Technologieën voor data-uitwisseling en visualisatie Verschillende technologieën kunnen worden ingezet voor het verzamelen, opslaan en visualiseren van data die via dataflow in embedded systemen wordt verkregen [51](#page=51). * **Grafana & Prometheus:** Grafana is een open-source analyse- en visualisatieplatform. Prometheus is een open-source monitoring- en alertingtool die vaak samen met Grafana wordt gebruikt. Prometheus verzamelt metrische gegevens, en Grafana visualiseert deze in dashboards [51](#page=51) [53](#page=53). * **InfluxDB:** Dit is een open-source time-series database, geoptimaliseerd voor het opslaan en opvragen van tijdgebonden data [51](#page=51) [54](#page=54). * **Adafruit IO / Arduino Cloud:** Dit zijn cloudplatforms ontworpen voor het verbinden van hardware met het internet, die API's voor data-uitwisseling en dashboards voor visualisatie bieden [51](#page=51) [54](#page=54). * **Thingspeak:** Een IoT-analyseplatform voor het verzamelen, visualiseren en analyseren van data van IoT-apparaten, met integratie voor Matlab [51](#page=51) [54](#page=54). * **Thingsboard:** Een geavanceerd open-source IoT platform voor dataverzameling, -verwerking, -visualisatie en -beheer van IoT-apparaten, met uitgebreide API-functionaliteit [51](#page=51) [54](#page=54). #### 4.1.3 Besluitvorming en overwegingen bij dataflow architectuur Bij het ontwerpen van een dataflow-architectuur voor embedded systemen is het belangrijk om verschillende factoren in overweging te nemen. Een goed plan van eisen is essentieel [52](#page=52) [55](#page=55) [56](#page=56). Belangrijke overwegingen zijn: * **Beveiliging:** Hoe wordt de data beschermd tegen ongeautoriseerde toegang, manipulatie en verlies [52](#page=52) [57](#page=57)? * **API-integratie:** Welke API's zijn nodig en hoe worden deze geïmplementeerd [52](#page=52) [55](#page=55)? * **Visualisatie:** Welke informatie moet worden getoond en aan wie [52](#page=52) [57](#page=57)? * **Datahoeveelheid (Datavolume):** Hoeveel data wordt er gegenereerd en hoe wordt deze efficiënt verwerkt? Dit heeft een significante impact op de keuze van technologieën en schaalbaarheid [52](#page=52) [57](#page=57). * **Tijdsensitiviteit:** Hoe belangrijk is de real-time verwerking van data? Tijdsgevoelige data vereist minimale vertraging [52](#page=52) [57](#page=57). * **Plan van eisen:** Dit document specificeert de functionele en niet-functionele vereisten, zoals doel, data bronnen/bestemmingen, prestaties, schaalbaarheid, beveiliging, visualisatie, en budgettaire/resourcebeperkingen [57](#page=57) [58](#page=58). > **Tip:** Het kiezen van de juiste combinatie van technologieën hangt sterk af van de specifieke toepassing en de vereisten van het embedded systeem. Zonder een helder plan van eisen is het ontwerpen van een effectieve dataflow architectuur een gok [51](#page=51) [58](#page=58). > **Voorbeeld:** Voor een systeem dat temperatuurdata van sensoren verzamelt en visualiseert, kan het plan van eisen specificeren dat de data elke minuut moet worden bijgewerkt (tijdsgevoeligheid), dat de data versleuteld moet worden verzonden (beveiliging), en dat de data in een Grafana dashboard getoond moet worden (visualisatie) [58](#page=58). ### 4.2 Protocollen in embedded systemen Protocollen zijn fundamentele regels en afspraken die worden gebruikt om de communicatie tussen verschillende componenten, apparaten of systemen te standaardiseren. Ze zijn essentieel voor betrouwbare en efficiënte gegevensoverdracht [61](#page=61). #### 4.2.1 Classificatie van protocollen Protocollen kunnen op verschillende manieren worden geclassificeerd [61](#page=61). * **Serieel versus parallelle protocollen:** * **Seriële protocollen:** Data wordt bit voor bit over één datalijn verzonden, wat minder draden vereist. Voorbeelden: UART, I²C, SPI [61](#page=61). * **Parallelle protocollen:** Data wordt tegelijkertijd over meerdere datalijnen verzonden, wat hogere datasnelheden mogelijk maakt maar meer draden en gevoeliger is voor timingproblemen [61](#page=61). * **Synchrone versus asynchrone protocollen:** * **Synchrone protocollen:** Gebruiken een gemeenschappelijk kloksignaal voor precieze timing en hoge datasnelheden. Voorbeelden: SPI, I²C (deels) [61](#page=61). * **Asynchrone protocollen:** Hebben geen gedeelde klok. Data wordt in pakketten met start- en stopbits verzonden. Voorbeeld: UART [61](#page=61). * **Simplex versus duplex protocollen:** * **Simplex:** Communicatie in slechts één richting [62](#page=62). * **Half-duplex:** Communicatie in beide richtingen, maar niet tegelijkertijd [62](#page=62). * **Full-duplex:** Communicatie in beide richtingen tegelijkertijd [62](#page=62). * **Bus versus no-bus protocollen:** * **Bus protocollen:** Meerdere apparaten delen dezelfde communicatiebus. Voorbeelden: I²C, CAN [62](#page=62). * **No-bus protocollen:** Communicatie vindt punt-tot-punt plaats [62](#page=62). #### 4.2.2 Veelvoorkomende protocollen in embedded systemen ##### 4.2.2.1 UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter) UART is een veelgebruikt asynchroon serieel communicatieprotocol. Het verzendt data bit voor bit, met start-, data-, optionele pariteits- en stopbits. Er is geen externe klok nodig. Bekende standaarden zijn RS-232 en RS-485 [62](#page=62) [64](#page=64). > **Tip:** Asynchrone protocollen zoals UART vereisen dat de zender en ontvanger vooraf zijn ingesteld op dezelfde baudrate [64](#page=64). ##### 4.2.2.2 I²C (Inter Integrated Circuit) I²C is een synchroon, multi-master, multi-slave serieel communicatieprotocol voor communicatie op printplaten of over korte afstanden. Het vereist slechts twee lijnen: SDA (Serial Data) en SCL (Serial Clock). Apparaten worden geïdentificeerd door een uniek adres [62](#page=62). ##### 4.2.2.3 SPI (Serial Peripheral Interface) SPI is een synchroon, full-duplex, serieel communicatieprotocol, ontworpen voor korteafstandscommunicatie tussen microcontrollers en randapparatuur. Het maakt gebruik van vier lijnen: MOSI, MISO, SCLK en SS. De master genereert de klok en regelt de communicatie [63](#page=63) [64](#page=64). > **Tip:** SPI is een synchroon protocol waarbij de kloklijn (SCK) de timing bepaalt, wat het over het algemeen sneller maakt dan asynchrone protocollen zoals UART [65](#page=65). ##### 4.2.2.4 CAN (Controller Area Network) CAN is een robuust serieel communicatieprotocol, oorspronkelijk ontworpen voor automotive toepassingen, maar ook veel gebruikt in industriële automatisering. Het is een multi-master busprotocol dat bekend staat om zijn fouttolerantie en efficiënte berichtprioritering. Het is ontworpen voor omgevingen met veel elektromagnetische storingen [63](#page=63) [65](#page=65). #### 4.2.3 Pulsbreedtemodulatie (PWM) PWM is geen communicatieprotocol in de strikte zin, maar een techniek om met een digitaal signaal analoge waarden te simuleren. Het wordt veel gebruikt voor het aansturen van actuatoren zoals motoren en servos, en voor het regelen van de helderheid van displays [63](#page=63) [65](#page=65). ##### 4.2.3.1 Basisprincipes van PWM PWM is een digitale techniek om een analoog resultaat te verkrijgen door een signaal snel in- en uit te schakelen. De **duty cycle** (verhouding tussen aan-tijd en totale periode) bepaalt de gemiddelde waarde [68](#page=68). * **Periode ($T$):** De totale duur van één cyclus [68](#page=68). * **Pulsbreedte ($t_{on}$):** De duur dat het signaal hoog is binnen één periode [68](#page=68). * **Duty Cycle ($D$):** De verhouding tussen de pulsbreedte en de periode: $D = \frac{t_{on}}{T}$ [68](#page=68). De gemiddelde spanning ($V_{avg}$) die aan een belasting wordt geleverd, is direct evenredig met de duty cycle en de maximale spanning ($V_{max}$): $V_{avg} = D \times V_{max}$ [68](#page=68). ##### 4.2.3.2 Genereren van een PWM-signaal PWM-signalen worden doorgaans gegenereerd met microcontrollers of speciale PWM-controllers door timers en vergelijkingsregisters te gebruiken [68](#page=68). > **Tip:** De **frequentie** van het PWM-signaal ($f = 1/T$) is belangrijk voor vloeiende controle, maar hogere frequenties kunnen leiden tot hogere schakelverliezen [69](#page=69). ##### 4.2.3.3 Toepassingen van PWM * **Regeling van motoren:** Snelheidsregeling van DC-motoren door de gemiddelde spanning aan te passen via de duty cycle [69](#page=69). > **Example:** Bij een duty cycle van 50% ontvangt de motor gemiddeld de helft van de voedingsspanning, waardoor hij op ongeveer de helft van zijn maximale snelheid draait [69](#page=69). * **Dimmen van LED's:** Regelen van helderheid door de tijd dat de LED brandt te variëren [69](#page=69). * **Stroomvoorziening en energieconversie:** Efficiënte regeling van uitgangsspanning in bijvoorbeeld DC-DC converters [69](#page=69). * **Servo-aansturing (specifiek de SG90 servo):** Servo-motoren gebruiken PWM om hun positie te bepalen. Hier is het niet de duty cycle zelf die de controleert, maar de **absolute pulsbreedte** binnen een vaste periode [69](#page=69) [70](#page=70). * Een typische SG90 servo werkt met een periodetijd ($T$) van ongeveer 20 ms, wat overeenkomt met een frequentie van 50 Hz [70](#page=70). * De neutrale positie (90 graden) wordt bereikt met een pulsbreedte ($t_{on}$) van ongeveer 1.5 ms [70](#page=70). * De minimale hoek (0 graden) wordt bereikt met een pulsbreedte van ongeveer 1 ms [70](#page=70). * De maximale hoek (180 graden) wordt bereikt met een pulsbreedte van ongeveer 2 ms [70](#page=70). > **Example:** Om een SG90 servo naar 45 graden te sturen, zou een pulsbreedte nodig zijn die tussen 1 ms en 1.5 ms ligt, afhankelijk van de specifieke servo en kalibratie. Een pulsbreedte van 1.25 ms zou de servo naar een positie tussen 0 en 90 graden sturen [70](#page=70). > **Tip:** Het nauwkeurig genereren van deze specifieke pulsbreedtes is cruciaal voor correcte servo-aansturing [70](#page=70). ### 4.3 Controller Area Network (CAN) protocol CAN is een berichtgebaseerd, robuust serieel communicatieprotocol, ontworpen om elektronische besturingseenheden (ECU's) met elkaar te verbinden zonder een host-computer [65](#page=65) [66](#page=66). #### 4.3.1 Kernconcepten van CAN * **Berichtgebaseerd:** Data wordt gerouteerd op basis van de inhoud (de Identifier) van het bericht, niet de locatie van de ontvanger [66](#page=66). * **Multi-master:** Elke node op het netwerk kan zelfstandig berichten verzenden zodra de bus vrij is [65](#page=65) [66](#page=66). * **Busstructuur:** Gebruikt een differentiële busstructuur (CAN High, CAN Low) voor ruisonderdrukking en lange communicatieafstanden [66](#page=66). * **Prioriteit en arbitratie:** Heeft een mechanisme voor conflictbeslechting (arbitratie) gebaseerd op de prioriteit van de berichten (lagere ID = hogere prioriteit) [66](#page=66). * **Robuustheid:** Ontworpen voor omgevingen met veel elektromagnetische storingen [65](#page=65) [66](#page=66). #### 4.3.2 CAN-berichtenstructuur Een CAN-bericht bestaat uit diverse velden, waaronder: Start of Frame (SOF), Arbitration Field (met Identifier - ID), Control Field (DLC), Data Field, CRC Field (foutdetectie), ACK Field (acknowledgement) en End of Frame (EOF) [66](#page=66). #### 4.3.3 Arbitratieproces Het arbitratieproces vindt plaats op basis van het Arbitration Field (ID) wanneer meerdere nodes tegelijkertijd willen zenden. Dit is een Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection and Arbitration (CSMA/CD+A) proces. Nodes met een lagere Identifier winnen de arbitratie [66](#page=66) [67](#page=67). > **Tip:** Het arbitratieproces is een sleutelkenmerk van CAN dat zorgt voor efficiënte en betrouwbare datacommunicatie, zelfs onder zware belasting [67](#page=67). #### 4.3.4 Foutdetectie en -afhandeling CAN is ontworpen om fouten vroegtijdig te detecteren en te rapporteren met mechanismen zoals CRC, Bit Monitoring, en een Acknowledge Slot. Bij detectie van een fout wordt een 'Error Frame' verzonden [67](#page=67). #### 4.3.5 CAN-standaarden en varianten * Standard CAN (CAN 2.0A): 11-bit identifiers [67](#page=67). * Extended CAN (CAN 2.0B): 29-bit identifiers [67](#page=67). * CAN FD (Flexible Data-Rate): Hogere datasnelheden en grotere databulks [67](#page=67). #### 4.3.6 Toepassingen van CAN Automotive, Industriële Automatisering, Medische Apparatuur, Ruimtevaart [68](#page=68). #### 4.3.7 Vergelijking met andere protocollen CAN onderscheidt zich van SPI en I²C door zijn broadcast-architectuur, robuuste foutafhandeling en gedistribueerde arbitratie, wat het zeer geschikt maakt voor systemen waar betrouwbaarheid essentieel is. SPI is doorgaans sneller voor punt-naar-punt, terwijl I²C geschikt is voor kortafstand, laag-snelheid communicatie [68](#page=68). --- # Microcontrollers, microprocessors en aanverwante concepten Dit gedeelte introduceert en vergelijkt verschillende soorten embedded devices, met een focus op microcontrollers en microprocessors, en hun respectievelijke functies, besturingssystemen, en aanverwante concepten zoals GPIO-pinnen, logic levels, spanningsniveaus en de rol van pull-up/pull-down weerstanden. ## 5. Microcontrollers, microprocessors en aanverwante concepten ### 5.1 Inleiding tot embedded devices Embedded devices zijn computersystemen die zijn ontworpen voor specifieke taken binnen een groter mechanisch of elektronisch systeem. Binnen deze categorie onderscheiden we hoofdzakelijk microcontrollers en microprocessors, die verschillende mogelijkheden en toepassingen bieden [72](#page=72). ### 5.2 Microcontrollers Een microcontroller is een compacte computer op een enkele chip die is ontworpen om specifieke, beperkte taken uit te voeren [72](#page=72). #### 5.2.1 Functies en programmering Microcontrollers hebben doorgaans een beperkt aantal functies en worden vaak aangestuurd via firmware, wat betekent dat de software direct in de hardware is ingebouwd en niet zomaar gewijzigd kan worden. Ze worden doorgaans geprogrammeerd in lagere-niveau talen zoals C/C++ [72](#page=72). #### 5.2.2 Voorbeelden van microcontrollers * **Arduino:** Een populaire microcontroller-familie die vaak wordt gebruikt door hobbyisten en in educatieve projecten. De programmering gebeurt meestal via de Arduino IDE [72](#page=72). * **Micro:Bit:** Een kleine, programmeerbare microcontroller speciaal ontworpen voor educatieve doeleinden. Het kan worden geprogrammeerd met behulp van een webgebaseerde editor in talen zoals MicroPython, JavaScript en Python [72](#page=72). * **Raspberry Pi Pico (WH):** Deze microcontroller is gebaseerd op de RP2040 chip en biedt een krachtig platform voor diverse projecten [72](#page=72). ### 5.3 Microprocessors Een microprocessor is het centrale verwerkingsonderdeel van een computer, ontworpen om een breed scala aan taken uit te voeren en te functioneren als de 'hersenen' van een systeem [72](#page=72). #### 5.3.1 Functies en besturingssystemen In tegenstelling tot microcontrollers, die beperkt zijn in hun functionaliteit, kunnen microprocessors vrijwel alle functies van een computer uitvoeren. Ze zijn flexibeler en kunnen complexere berekeningen en operaties verwerken. Architecturen zoals RISC (Reduced Instruction Set Computing), CISC (Complex Instruction Set Computing) en ARM zijn typische microprocessor-architecturen. Microprocessors draaien doorgaans een volledig besturingssysteem (Full OS), zoals Linux, waardoor ze zeer veelzijdig zijn [73](#page=73). #### 5.3.2 Voorbeelden van microprocessors * **Raspberry Pi:** Een populaire reeks single-board computers die gebruikmaken van microprocessors. Ze zijn ontworpen om te draaien met een volledig besturingssysteem en worden vaak geprogrammeerd in talen zoals Python [73](#page=73). ### 5.4 Vergelijking: Microcontrollers vs. Microprocessors | Kenmerk | Microcontroller | Microprocessor | | :----------------- | :---------------------------------------------- | :------------------------------------------------- | | Functie | Specifieke, beperkte taken | Breed scala aan taken, algemene berekeningen | | Complexiteit | Eenvoudiger, minder componenten | Complexer, meer componenten | | Besturingssysteem | Geen of eenvoudig RTOS (Real-Time Operating System) | Volledig besturingssysteem (bv. Linux) | | Programmering | Firmware, C/C++, directe hardware-interactie | Hogere-niveau talen, applicatieontwikkeling | | Krachtverbruik | Over het algemeen lager | Over het algemeen hoger | | Kosten | Over het algemeen lager | Over het algemeen hoger | | Voorbeelden | Arduino, Micro:Bit, Raspberry Pi Pico | Raspberry Pi | ### 5.5 Voeding en stroomvoorziening De stroomvoorziening voor embedded devices varieert, maar algemene methoden omvatten adapters, USB en batterijen [74](#page=74) [76](#page=76). #### 5.5.1 Adapter en USB voor grotere borden Raspberry Pi en Arduino (grote borden) worden doorgaans gevoed via een adapter. USB is ook een veelgebruikte methode voor energievoorziening, vooral voor apparaten die ook data-uitwisseling via USB ondersteunen [74](#page=74) [76](#page=76). #### 5.5.2 USB voor kleinere borden en microcontrollers Arduino (kleine bordjes), Micro:Bit en Raspberry Pi Pico kunnen via USB (5V) worden gevoed. Dit garandeert een gestandaardiseerde en eenvoudige manier van aansluiten, vaak met een voedingsspanning van 5V [74](#page=74) [76](#page=76). #### 5.5.3 Batterijvoeding Alle apparaten kunnen op de een of andere manier worden gevoed met een batterij. Dit is met name nuttig voor draagbare of autonome embedded systemen [74](#page=74) [76](#page=76). > **Tip:** Bij het gebruik van batterijen is het cruciaal om op de juiste voedingsspanning te letten om schade aan het apparaat te voorkomen. Controleer altijd de specificaties van je embedded device om de correcte voedingsspanning voor batterijvoeding te bepalen [74](#page=74) [76](#page=76). ### 5.6 GPIO (General Purpose Input/Output) Pins GPIO-pinnen zijn essentiële connectoren op deze boards waarmee de microcontroller of microprocessor kan interageren met de buitenwereld. Ze kunnen worden geconfigureerd als input of output om signalen te lezen of te sturen [76](#page=76) [78](#page=78). * **Micro:Bit:** Heeft specifieke GPIO-pinnen die gedetailleerd worden beschreven op de micro:bit hardware-pagina's [76](#page=76). * **Raspberry Pi:** Maakt gebruik van een standaard GPIO-header voor verbindingen [76](#page=76). * **Arduino:** Biedt een reeks digitale en analoge GPIO-pinnen [76](#page=76). GPIO-pinnen zijn de multifunctionele connectoren op microcontrollers die gebruikt kunnen worden om signalen te verzenden of te ontvangen. Ze bieden een directe interface tussen de microcontroller en de buitenwereld, waardoor de microcontroller kan interageren met sensoren, actuatoren en andere elektronische componenten [78](#page=78). ### 5.7 Logic Levels: TTL vs. CMOS en Spanningsniveaus Het begrijpen van logic levels is cruciaal bij het verbinden van verschillende elektronische componenten. Logische niveaus definiëren de spanningsbereiken die corresponderen met de digitale waarden 'hoog' (logische 1) en 'laag' (logische 0). Twee veelvoorkomende standaarden zijn TTL en CMOS [74](#page=74) [79](#page=79). #### 5.7.1 TTL (Transistor-Transistor Logic) TTL-logica werkt traditioneel met een voedingsspanning van 5V [74](#page=74) [79](#page=79). * **Logische 'laag':** Een spanning tussen 0V en ongeveer 0,8V [74](#page=74) [79](#page=79). * **Logische 'hoog':** Een spanning tussen ongeveer 2,0V en 5V [74](#page=74) [79](#page=79). TTL-circuits hebben doorgaans een hogere stroomconsumptie in vergelijking met CMOS [79](#page=79). #### 5.7.2 CMOS (Complementary Metal-Oxide-Semiconductor) CMOS-technologie is energiezuiniger dan TTL en wordt tegenwoordig veel vaker gebruikt. CMOS-logica kan werken met verschillende voedingsspanningen, waaronder 3.3V of 5V. De specifieke spanningsbereiken variëren, maar over het algemeen geldt [74](#page=74) [79](#page=79): * **5V CMOS:** * Logische 'hoog': typisch > 3.5V [74](#page=74). * Logische 'laag': typisch < 1.5V [74](#page=74). * **3.3V CMOS:** * Logische 'hoog': typisch > 2.0V [74](#page=74). * Logische 'laag': typisch < 1.0V [74](#page=74). Laag (logische 0): Een spanning dicht bij 0V [79](#page=79). Hoog (logische 1): Een spanning dicht bij de voedingsspanning [79](#page=79). > **Tip:** Het is belangrijk om de logic levels van de te verbinden apparaten te controleren om compatibiliteit te waarborgen. Een verkeerde spanning kan leiden tot onbetrouwbare metingen of zelfs schade aan de componenten [74](#page=74). #### 5.7.3 Verschillen tussen 5V en 3.3V systemen Het belangrijkste verschil tussen 5V en 3.3V systemen is de maximale spanningsniveau die wordt gebruikt voor logische 'hoog' [79](#page=79). * **5V systemen:** Gebruiken een logische 'hoog' tot 5V. Dit biedt een grotere ruimmarge en kan beter compatibel zijn met oudere componenten. Echter, ze verbruiken over het algemeen meer stroom [79](#page=79). * **3.3V systemen:** Gebruiken een logische 'hoog' tot 3.3V. Deze systemen zijn energiezuiniger en worden steeds vaker toegepast, met name in mobiele en batterijgevoede apparaten [79](#page=79). Het mengen van componenten die ontworpen zijn voor verschillende logische spanningsniveaus kan leiden tot problemen. Een 5V-uitgang die een 3.3V-ingang aanstuurt, kan de 3.3V-component beschadigen als de 5V te hoog is voor de specifieke component. Omgekeerd kan een 3.3V-uitgang mogelijk niet hoog genoeg zijn om een 5V-ingang correct als 'hoog' te detecteren [79](#page=79). > **Tip:** Raadpleeg altijd de datasheets van de componenten om de exacte spanningsvereisten en toleranties te kennen wanneer je systemen met verschillende logische niveaus combineert [80](#page=80). ### 5.8 Logic Level Shifting Wanneer apparaten met verschillende logic levels met elkaar worden verbonden, is een logic level shifter nodig. Dit proces zorgt ervoor dat de signalen van het ene niveau worden omgezet naar het niveau dat compatibel is met het andere apparaat [75](#page=75) [80](#page=80). #### 5.8.1 5V naar 3.3V niveauverschuiving Om een signaal van een 5V-systeem naar een 3.3V-systeem te sturen, moet de 5V-spanning worden "verlaagd" naar een niveau dat de 3.3V-ingang correct als hoog herkent. Dit kan worden bereikt met [80](#page=80): * **Weerstandsdelers:** Twee weerstanden kunnen een spanningsdeler vormen om de spanning te reduceren. De verhouding van de weerstanden bepaalt de uitgangsspanning. De formule voor de uitgangsspanning ($V_{uit}$) van een spanningsdeler is [80](#page=80): $$V_{uit} = V_{in} \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$$ Waarbij $V_{in}$ de ingangsspanning is, $R_1$ de weerstand tussen de uitgang en de massa is, en $R_2$ de weerstand tussen de ingang en de uitgang is [80](#page=80). * **Logische niveauverschuiver IC's:** Gespecialiseerde geïntegreerde schakelingen bieden een robuuste en betrouwbare oplossing voor niveauverschuiving [80](#page=80). #### 5.8.2 3.3V naar 5V niveauverschuiving Om een signaal van een 3.3V-systeem naar een 5V-systeem te sturen, moet de 3.3V-spanning worden "verhoogd" naar een niveau dat de 5V-ingang correct als hoog herkent. Dit is vaak iets complexer omdat een 3.3V-signaal mogelijk niet hoog genoeg is om een 5V-ingang te triggeren. Methoden omvatten [80](#page=80): * **Transistor-gebaseerde schakelingen:** Een NPN of N-kanaal MOSFET transistor kan worden gebruikt met een pull-up weerstand naar de 5V-voeding [80](#page=80). * **Specifieke niveauverschuiver IC's:** Er zijn IC's die speciaal ontworpen zijn voor 3.3V naar 5V conversie [80](#page=80). > **Example:** Stel dat je een Micro:Bit (3.3V) een relais wilt laten aansturen dat een 5V-signaal verwacht. Je kunt dan een 3.3V naar 5V niveauverschuiver gebruiken om ervoor te zorgen dat de Micro:Bit het relais correct kan activeren [80](#page=80). ### 5.9 Actief Hoog / Laag en Pull-up / Pull-down Weerstanden De manier waarop digitale ingangen worden geïnterpreteerd en hoe zwevende ingangen worden voorkomen, wordt bepaald door de concepten van actief hoog/laag en de toepassing van pull-up en pull-down weerstanden [77](#page=77) [78](#page=78). #### 5.9.1 Actief Hoog en Actief Laag Een digitaal signaal kan op twee manieren 'actief' zijn [75](#page=75) [81](#page=81): * **Actief hoog:** Het signaal wordt als 'actief' of 'waar' beschouwd wanneer de spanning logisch hoog is (bijvoorbeeld 5V of 3.3V) [75](#page=75) [81](#page=81). * **Actief laag:** Het signaal wordt als 'actief' of 'waar' beschouwd wanneer de spanning logisch laag is (bijvoorbeeld 0V) [75](#page=75) [81](#page=81). Dit concept is belangrijk bij het ontwerpen van circuits en het interpreteren van datasheets, vooral bij besturing van actuatoren zoals relais of LED's [81](#page=81). > **Example:** Een LED die 'actief hoog' is, zal aangaan wanneer er een hoge spanning op wordt gezet. Een knop die 'actief laag' is, kan een microcontroller activeren wanneer de knop wordt ingedrukt en de pin naar massa wordt getrokken [81](#page=81). #### 5.9.2 Pull-up en Pull-down Weerstanden GPIO-pinnen hebben de neiging om 'zwevend' te zijn wanneer ze niet actief worden aangestuurd of wanneer ze niet zijn aangesloten op een signaalbron. Dit betekent dat de spanningswaarde van de pin ongedefinieerd is, wat kan leiden tot onvoorspelbaar gedrag. Pull-up en pull-down weerstanden worden gebruikt om dit probleem op te lossen [75](#page=75) [77](#page=77) [81](#page=81). ##### 5.9.2.1 Pull-up weerstanden Een pull-up weerstand verbindt de GPIO-pin via een weerstand met de positieve voedingsspanning (Vcc) [75](#page=75) [81](#page=81). * Wanneer de pin niet wordt aangestuurd, wordt de pin door de pull-up weerstand naar de hoge logische staat getrokken [81](#page=81). * Wanneer een extern apparaat (zoals een knop) de pin naar massa (ground) trekt, wordt de pin laag, wat de actieve status kan aangeven. Dit wordt vaak gebruikt bij 'actief lage' schakelingen [81](#page=81). De weerstandswaarde moet groot genoeg zijn om de stroom die door de pin wordt opgenomen te minimaliseren, maar klein genoeg om de pin effectief naar de hoge spanning te trekken. Typische waarden liggen tussen 1 k$\Omega$ en 100 k$\Omega$. Bij een 3.3V systeem met een maximale stroom van 20 $\mu$A kan een weerstand van bijvoorbeeld 100 k$\Omega$ worden gebruikt [81](#page=81): $$R_{pull-up} = \frac{V_{cc}}{I_{max}} = \frac{3.3V}{20\mu A} = 165k\Omega$$ Een standaardwaarde van 100 k$\Omega$ is dan ruim voldoende [81](#page=81). ##### 5.9.2.2 Pull-down weerstanden Een pull-down weerstand verbindt de GPIO-pin via een weerstand met de massa (ground) [75](#page=75) [81](#page=81). * Wanneer de pin niet wordt aangestuurd, wordt de pin door de pull-down weerstand naar de lage logische staat getrokken [81](#page=81). * Wanneer een extern apparaat de pin naar de positieve voedingsspanning trekt, wordt de pin hoog, wat de actieve status kan aangeven. Dit wordt vaak gebruikt bij 'actief hoge' schakelingen [81](#page=81). Net als bij pull-up weerstanden, is de weerstandswaarde cruciaal. Voor een 3.3V systeem en een maximale stroom van 20 $\mu$A: $$R_{pull-down} = \frac{V_{cc}}{I_{max}} = \frac{3.3V}{20\mu A} = 165k\Omega$$ Ook hier is een standaardwaarde van 100 k$\Omega$ geschikt [82](#page=82). ##### 5.9.2.3 Interne pull-up/pull-down weerstanden Veel microcontrollers, waaronder die op de Micro:Bit, hebben ingebouwde (interne) pull-up en pull-down weerstanden die via software geconfigureerd kunnen worden. Dit elimineert de noodzaak voor externe componenten en vereenvoudigt het circuitontwerp [82](#page=82). > **Tip:** Gebruik interne pull-up/pull-down weerstanden waar mogelijk om componenten en bedrading te besparen. Controleer de microcontroller datasheet om te zien of deze functionaliteit beschikbaar is en hoe deze te configureren is [82](#page=82). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Atoom | De kleinste eenheid van een chemisch element die nog de eigenschappen van dat element bezit, bestaande uit een kern (protonen en neutronen) en elektronen. | | Molecuul | Een groep van twee of meer atomen die door chemische bindingen bij elkaar worden gehouden. | | Elektrische lading | Een fundamentele eigenschap van materie die bepaalt hoe deeltjes met elkaar interageren via elektrische krachten; protonen zijn positief geladen, elektronen negatief. | | Elektrische stroom | De beweging van elektrische ladingen, meestal elektronen in geleiders, gemeten in Ampère (A). | | Spanning (potentiaalverschil) | Het verschil in elektrisch potentiaal tussen twee punten, dat de 'drang' van ladingen om zich te verplaatsen aandrijft, gemeten in Volt (V). | | Vermogen | De snelheid waarmee elektrische energie wordt verbruikt of geleverd, berekend als het product van spanning en stroomsterkte, gemeten in Watt (W). | | Weerstand | De eigenschap van een materiaal om de doorstroming van elektrische stroom te belemmeren, gemeten in Ohm ( ). | | Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektriciteit die de relatie tussen spanning ( ), stroomsterkte ( ) en weerstand ( ) beschrijft: . | | Wetten van Kirchhoff | Fundamentele wetten voor circuitanalyse: de stromenwet (som van stromen in een knooppunt is nul) en de spanningswet (som van spanningen in een gesloten kring is nul). | | Magnetisme | Een natuurlijk fenomeen veroorzaakt door bewegende elektrische ladingen, leidend tot magnetische velden en krachten. | | Elektromagnetisme | Het vakgebied dat de relatie tussen elektriciteit en magnetisme bestudeert, cruciaal voor veel elektronische componenten. | | Lorentzkracht | De kracht die wordt uitgeoefend op een geladen deeltje dat beweegt in een magnetisch veld, essentieel voor de werking van elektromotoren. | | Elektromagnetische inductie | Het fenomeen waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrische spanning induceert in een geleider, zoals in generatoren en transformatoren. | | Weerstandskleurcode | Een systeem van gekleurde banden op weerstanden die de waarde, tolerantie en soms de temperatuurcoëfficiënt aangeven. | | Lichtafhankelijke weerstand (LDR) | Een component waarvan de weerstandswaarde verandert met de hoeveelheid invallend licht; hoe meer licht, hoe lager de weerstand. | | Thermistor | Een weerstand waarvan de weerstandswaarde sterk afhankelijk is van de temperatuur; er zijn PTC (weerstand neemt toe met temperatuur) en NTC (weerstand neemt af met temperatuur) typen. | | Potentiometer | Een variabele weerstand met drie aansluitingen die werkt als een spanningsdeler, gebruikt voor instelbare waarden zoals volume. | | Condensator | Een passief elektronisch component dat elektrische energie opslaat in een elektrisch veld, bestaande uit twee geleidende platen gescheiden door een diëlektricum. | | Halfgeleider | Een materiaal met een elektrische geleidbaarheid tussen die van een geleider en een isolator, waarvan de eigenschappen kunnen worden gemanipuleerd door doping. | | N-type halfgeleider | Een halfgeleider gedoteerd met atomen die vijf valentie-elektronen hebben, wat resulteert in een overschot aan vrije elektronen als ladingsdragers. | | P-type halfgeleider | Een halfgeleider gedoteerd met atomen die drie valentie-elektronen hebben, wat resulteert in "gaten" (afwezigheid van een elektron) als positieve ladingsdragers. | | Diode | Een halfgeleidercomponent die elektrische stroom voornamelijk in één richting toelaat, gevormd door een PN-overgang. | | LED (Light Emitting Diode) | Een type diode dat licht uitzendt wanneer er stroom in doorlaatrichting doorheen loopt, waarbij de kleur afhangt van het gebruikte halfgeleidermateriaal. | | Transistor | Een halfgeleidercomponent gebruikt voor het versterken of schakelen van elektronische signalen, meestal met drie aansluitingen (basis, collector, emitter). | | API (Application Programming Interface) | Een set regels en protocollen die definieert hoe verschillende softwarecomponenten met elkaar kunnen communiceren. | | JSON (JavaScript Object Notation) | Een lichtgewicht data-uitwisselingsformaat dat gemakkelijk te lezen en te schrijven is voor mensen, en gemakkelijk te parsen en te genereren voor machines, gebruikt in sleutel-waardeparen. | | MQTT (Message Queuing Telemetry Transport) | Een lichtgewicht berichtenprotokol ontworpen voor apparaten met beperkte bronnen en onbetrouwbare netwerken, veel gebruikt in IoT-communicatie via een publish/subscribe model. | | Node-RED | Een op flow-gebaseerde programmering gebaseerde tool die hardwareapparaten, API's en online services met elkaar verbindt via een visuele editor. | | Node.js | Een JavaScript runtime-omgeving die het mogelijk maakt om JavaScript-code buiten de browser uit te voeren, populair voor netwerkapplicaties en server-side logica. | | Prometheus | Een open-source systeem voor monitoring en alerting dat metriekgegevens verzamelt en opslaat, vaak gebruikt in combinatie met Grafana. | | Grafana | Een populair open-source analyse- en visualisatieplatform dat data uit verschillende bronnen, zoals Prometheus, visualiseert in dashboards. | | InfluxDB | Een open-source time-series database (TSDB) geoptimaliseerd voor het opslaan en opvragen van tijdgebonden data, essentieel voor het monitoren van sensoren. | | CAN (Controller Area Network) | Een robuust serieel communicatieprotocol, oorspronkelijk ontworpen voor automotive toepassingen, dat bekend staat om zijn fouttolerantie en efficiënte berichtprioritering. | | PWM (Pulse Width Modulation) | Een techniek die wordt gebruikt om een analoog resultaat te verkrijgen door snel in- en uitschakelen van een digitaal signaal, waardoor de gemiddelde spanning of het vermogen wordt geregeld. | | Microcontroller | Een compacte computer op een enkele chip, ontworpen voor specifieke, beperkte taken, vaak met ingebouwde firmware en geprogrammeerd in lagere-niveau talen. | | Microprocessor | Het centrale verwerkingsonderdeel van een computer, ontworpen om een breed scala aan taken uit te voeren, flexibeler dan microcontrollers en draait doorgaans een volledig besturingssysteem. | | GPIO (General Purpose Input/Output) | Multifunctionele connectoren op microcontrollers/microprocessors die interactie met de buitenwereld mogelijk maken door te fungeren als input of output. | | TTL (Transistor-Transistor Logic) | Een oudere logica-technologie die werkt met een voedingsspanning van ongeveer 5V, met specifieke spanningsbereiken voor logische 'hoog' en 'laag'. | | CMOS (Complementary Metal-Oxide-Semiconductor) | Een modernere, energiezuinigere logica-technologie die op verschillende spanningsniveaus kan werken (bv. 3,3V of 5V), met een hogere efficiëntie dan TTL. | | Logic Level Shifting | Het proces van het omzetten van signalen van het ene logische spanningsniveau naar het andere om compatibiliteit te waarborgen tussen verschillende apparaten. | | Actief Hoog | Een digitaal signaal dat als 'actief' of 'waar' wordt beschouwd wanneer het een hoge logische waarde heeft (bijvoorbeeld 5V of 3,3V). | | Actief Laag | Een digitaal signaal dat als 'actief' of 'waar' wordt beschouwd wanneer het een lage logische waarde heeft (bijvoorbeeld 0V). | | Pull-up weerstand | Een weerstand die een input pin verbindt met de positieve voedingsspanning, waardoor de pin standaard naar een logische 'hoog' wordt getrokken om zweven te voorkomen. | | Pull-down weerstand | Een weerstand die een input pin verbindt met massa (ground), waardoor de pin standaard naar een logische 'laag' wordt getrokken om zweven te voorkomen. | | Protocollen | Fundamentele regels en afspraken die worden gebruikt om de communicatie tussen verschillende componenten, apparaten of systemen te standaardiseren en te waarborgen. | | Seriële protocollen | Protocollen waarbij data bit voor bit over één datalijn wordt verzonden, wat minder draden vereist. Voorbeelden zijn UART, I²C en SPI. | | Parallelle protocollen | Protocollen waarbij data tegelijkertijd over meerdere datalijnen wordt verzonden, wat hogere datasnelheden mogelijk maakt maar meer bedrading vereist. | | Synchrone protocollen | Protocollen die zenden en ontvangen data met behulp van een gemeenschappelijke kloksignaal voor precieze timing. | | Asynchrone protocollen | Protocollen waarbij zenden en ontvangen apparaten geen gedeelde klok hebben; data wordt verzonden in pakketten met start- en stopbits. | | UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter) | Een veelgebruikt serieel, asynchroon communicatieprotocol voor bit-voor-bit dataoverdracht, vaak gebruikt voor langere afstanden of ruisgevoelige omgevingen. | | I²C (Inter Integrated Circuit) | Een synchroon, multi-master, multi-slave serieel communicatieprotocol voor korte afstanden met slechts twee lijnen: SDA en SCL. | | SPI (Serial Peripheral Interface) | Een synchroon, full-duplex, serieel communicatieprotocol voor korte afstanden, gebruikmakend van vier lijnen (MOSI, MISO, SCLK, SS) voor snelle master-slave communicatie. |