Summary
# Inleidende begrippen en krachten
Inleidende begrippen en krachten behandelt de definitie van krachten, momenten en koppels, alsook de evenwichtsvergelijkingen voor vlakke en ruimtelijke stelsels, en de verschillende soorten inwendige krachten.
## 1. Basisbegrippen, definities en benamingen van krachten
Een kracht wordt gedefinieerd als de oorzaak van een wijziging in de toestand van rust of beweging van een lichaam, of van een vormverandering ervan. Een kracht is een grootheid met een grootte, richting en zin [7](#page=7).
### 1.1 Axioma's van de mechanica
* **Axioma 1:** De uitwendige uitwerking van een kracht op een star en onvervormbaar lichaam verandert niet als het aangrijpingspunt van de kracht volgens zijn werklijn wordt verplaatst. (fig. 1.2) [7](#page=7).
* **Axioma 2:** Twee uitwendige krachten F1 en F2 kunnen worden vervangen door een resultante kracht, bepaald door een parallellogramconstructie. (fig. 1.3) [7](#page=7).
### 1.2 Moment en koppel
* **Moment van een kracht:** Het moment van een kracht $F$ ten opzichte van een punt $P$ is gelijk aan het product van de kracht $F$ en de loodrechte afstand $a$ van $P$ tot de werklijn van de kracht. Er wordt een teken toegekend gebaseerd op de draairichting. (fig. 1.4) [7](#page=7).
$M = F \times a$
* **Koppel van krachten:** Twee even grote, evenwijdige, maar tegengesteld gerichte krachten vormen samen een koppel. (fig. 1.5) [7](#page=7).
* **Koppelvektor:** Een vector die loodrecht staat op het vlak van het koppel. De grootte ervan is gelijk aan het moment van het koppel, en de richting wordt bepaald door de rechterhandregel of de regel van de rechtse schroefdraad. (fig. 1.6) [7](#page=7).
### 1.3 Evenwichtsvergelijkingen
* **Evenwicht van een vlak stelsel:** Vereist drie vergelijkingen [7](#page=7):
1. De som van alle ontbondenen in de x-richting is nul: $\Sigma F_x = 0$.
2. De som van alle ontbondenen in de y-richting is nul: $\Sigma F_y = 0$.
3. De som van de momenten van alle krachten ten opzichte van een willekeurig gekozen punt in het vlak is nul: $\Sigma M_{\text{willekeurig punt}} = 0$.
> **Tip:** Het momentenevenwicht mag slechts in één punt worden uitgedrukt [7](#page=7).
* **Evenwicht in een ruimtelijk stelsel:** Vereist zes vergelijkingen [7](#page=7):
* $\Sigma F_x = 0$
* $\Sigma F_y = 0$
* $\Sigma F_z = 0$
* $\Sigma M_x = 0$
* $\Sigma M_y = 0$
* $\Sigma M_z = 0$
### 1.4 Statisch moment en zwaartepunt
* **Statisch moment van een oppervlak:** Het product van het oppervlak en de loodlijn uit het zwaartepunt van de figuur op een referentielijn [8](#page=8) [9](#page=9).
* $S_x = y_G \cdot A$ (statisch moment ten opzichte van de x-as) [9](#page=9).
* $S_y = x_G \cdot A$ (statisch moment ten opzichte van de y-as) [9](#page=9).
Het statisch moment van een oppervlak ten opzichte van een as doorheen het zwaartepunt is nul [9](#page=9).
* **Zwaartepunt van een vlakke figuur:** Bepaald met de momentenstelling voor oppervlakken: de som van de statische momenten van de delen van een figuur ten opzichte van een lijn is gelijk aan het statische moment van de gehele figuur ten opzichte van die lijn [9](#page=9).
* $S_x = \Sigma A_i y_i = y_G \cdot A = \int y \, dA$ [9](#page=9).
* $S_y = \Sigma A_i x_i = x_G \cdot A = \int x \, dA$ [9](#page=9).
* $A = \Sigma A_i$ [9](#page=9).
### 1.5 Soorten belastingen
* **Nuttige belasting:** Aangebrachte uitwendige belasting (puntlast, moment, homogene- en driehoeksbelasting, thermische belasting, hydrostatische druk, stuwdruk, etc.) [9](#page=9).
* **Toevallige belastingen:** Wind, regen, sneeuw, etc. [9](#page=9).
* **Mobiele belastingen:** Belastingen die niet altijd op de constructie inwerken, zoals personen of voertuigen [9](#page=9).
* **Eigengewicht van de constructie:** Het gewicht van de structuur zelf [9](#page=9).
* **Bindings- of reaktiekrachten:** Krachten uitgeoefend door steunpunten op de balk, gelijk en tegengesteld aan de krachten uitgeoefend door de balk op het steunpunt ("actie" = "reactie") [9](#page=9).
### 1.6 Soorten steunpunten
* **Roloplegging:** 1 onbekende. Laat verplaatsing toe in de richting van de rolbaan en hoekverdraaiing. De kracht is loodrecht op de rolbaan [11](#page=11).
* **Scharnier:** 2 onbekenden. Laat enkel hoekverdraaiing toe. De kracht is onbekend in grootte, zin en richting [11](#page=11).
* **Inklemming:** 3 onbekenden. Laat geen verplaatsing of rotatie toe. Onbekenden zijn kracht (grootte, zin, richting) en moment [11](#page=11).
### 1.7 Soorten structuren
* **Isostatische (statisch bepaalde) structuren:** 3 onbekende reactiekrachten. De constructie is onbeweeglijk en stabiel [11](#page=11).
* **Hyperstatische (statisch onbepaalde) structuren:** Meer dan 3 onbekende reactiekrachten. Meestal stabiel [11](#page=11).
* **Hypostatische (statisch onbepaalde) structuren:** Minder dan 3 onbekende reactiekrachten. Bevinden zich in een labiel evenwicht [11](#page=11).
## 2 Inwendige krachten en koppels
Materiaal bestaat uit moleculen met aantrekkingskrachten (cohesie). Uitwendige krachten veroorzaken vormveranderingen, waardoor de moleculaire afstanden wijzigen. Tegen deze afstandsveranderingen verzetten de moleculen zich, wat leidt tot inwendige krachten en koppels in het materiaal. Deze veroorzaken spanningen in het materiaal die kleiner moeten zijn dan de toelaatbare spanning [11](#page=11).
### 2.1 Bepaling van inwendige krachten
Om de inwendige krachten en koppels in een doorsnede $SS'$ te bepalen, wordt het lichaam door deze doorsnede gesneden. Vervolgens wordt geanalyseerd welke krachten en koppels door het ene deel op het andere moeten worden uitgeoefend om in evenwicht te blijven. Volgens het "actie = reactie"-principe zijn deze inwendige krachten en koppels even groot maar tegengesteld gericht [13](#page=13).
### 2.2 Soorten inwendige krachten en koppels
In deze cursus worden voornamelijk balkelementen bestudeerd waarbij de dwarsdoorsnede klein is ten opzichte van de lengte [13](#page=13).
* **Normaalkracht (N):** Kracht gericht volgens de lengterichting van de vezels (trek of druk) [13](#page=13).
* **Dwarskracht (D):** Kracht loodrecht op de richting van de vezels [13](#page=13).
* **Buigend moment (Mb):** Moment veroorzaakt door krachten die volgens de richting van de vezels werken [13](#page=13).
* **Wringend moment (Mw):** Moment veroorzaakt door krachten die loodrecht op de richting van de vezels werken [13](#page=13).
#### 2.2.1 Voorbeelden van inwendige krachten
* **Voorbeeld 1:** Een staaf belast met een trekkracht $F$ [14](#page=14) [15](#page=15).
* Balk 1: $N_x = F$, $D_y = 0$, $D_z = 0$, $M_{bz} = 0$, $M_{by} = 0$, $M_{wx} = 0$.
* Balk 2: $N_x = -F$, $D_y = 0$, $D_z = 0$, $M_{bz} = 0$, $M_{by} = 0$, $M_{wx} = 0$.
De normaalkracht is $N = F$ in beide balken.
* **Voorbeeld 2:** Een staaf belast op afschuiving en buiging. Beschouwing van het rechter deel [14](#page=14) [15](#page=15).
* Snede op afstand $x$ van de puntlast: $N_x = 0$, $D_y = +F$, $D_z = 0$, $M_{bz} = F \cdot x$, $M_{by} = 0$, $M_{wx} = 0$.
De ongunstigste belaste dwarsdoorsnede is in de inklemming met $M_{bz} = F \cdot l$.
* **Voorbeeld 3:** Een staaf belast op trek, afschuiving en buiging. Beschouwing van het rechter deel [14](#page=14) [15](#page=15).
* Snede op afstand $x$ van het rechter uiteinde: $N_x = -F_h$, $D_y = +F_v$, $D_z = 0$, $M_{bz} = F_v \cdot x$, $M_{by} = 0$, $M_{wx} = 0$.
De ongunstigste belaste dwarsdoorsnede is in de inklemming met $M_{bz} = F_v \cdot l$, gecombineerd met de dwarskracht en normaalkracht.
* **Voorbeeld 4:** Een complexere structuur met meerdere balken belast op wringing, buiging en afschuiving [16](#page=16) [17](#page=17).
* Staaf CE, dwarsdoorsnede in het midden van staaf $a$ (afstand tot snede $a/2$): $N_y = 0$, $D_x = -F$, $M_{bz} = -F \cdot a/2$, $M_{wx} = 0$.
* Staaf BC, dwarsdoorsnede in het midden van staaf $b$ (afstand tot snede $b/2$): $N_x = -F$, $D_y = 0$, $M_{bz} = -F \cdot a$, $M_{wx} = 0$.
* Staaf AB, dwarsdoorsnede in het midden van staaf $c$ (afstand tot snede $c/2$): $N_z = 0$, $D_x = -F$, $M_{by} = -F \cdot c/2$, $M_{wz} = -F \cdot a$.
## 3 Spanningen
De spanning in een punt van een lichaam is de inwendige kracht die werkt op de eenheid van de oppervlakte van de dwarsdoorsnede. Het ontstaan van spanningen is gerelateerd aan een wijziging in de onderlinge afstand van moleculen en dus aan een vormverandering [17](#page=17).
* **Gemiddelde spanning ($p$):** $\frac{F}{A}$, waarbij $F$ de totale kracht is en $A$ de totale oppervlakte van de dwarsdoorsnede [17](#page=17).
* **Spanning in een punt ($p$):** $\frac{dF}{dA}$, waarbij $dF$ een oneindig klein deel van de totale kracht $F$ is dat werkt op een oneindig klein oppervlakdeel $dA$ [17](#page=17).
Spanningen hebben dezelfde richting als de inwendige krachten [17](#page=17).
* **Normaalspanning ($\sigma$):** Spanning die loodrecht op het oppervlak staat waarop zij werkt [17](#page=17).
* **Schuifspanning ($\tau$):** Spanning die in het vlak van het oppervlak ligt waarop zij werkt [17](#page=17).
Een willekeurige spanning kan worden ontbonden in een normaal- en schuifspanning [17](#page=17).
---
# Buiging van balken
Dit deel van de cursus behandelt de buiging van balken, inclusief enkelvoudige en dubbele buiging, de buigingsformule, weerstandsmomenten en balken van één of twee materialen [19](#page=19).
### 2.1 Zuivere enkelvoudige buiging
Zuivere enkelvoudige buiging treedt op wanneer een balk, ingeklemd aan één uiteinde, enkel wordt belast door een moment op het andere uiteinde. Dit moment, voorgesteld als een koppelvektor, ligt in het vlak van de doorsnede en is gericht volgens een hoofdtraagheidsas. De doorsnede wordt op een willekeurige afstand $x$ doorgesneden om het spanningsverloop te bepalen dat nodig is voor evenwicht [19](#page=19) [21](#page=21).
### 2.2 Zuivere dubbele buiging
Zuivere dubbele buiging vindt plaats wanneer de koppelvektor in het vlak van de doorsnede niet is uitgelijnd met de hoofdtraagheidsassen. In dit geval wordt de koppelvektor ontbonden langs de hoofdtraagheidsassen, en het gecombineerde effect van beide momenten bepaalt de optredende spanningen in de balk. De formule hiervoor, die enkel geldt voor punten 1 en 2, is [21](#page=21):
$ \sigma_b = \frac{M_{bx}}{W_{xx}} + \frac{M_{by}}{W_{yy}} $ [21](#page=21).
### 2.3 Buiging en afschuiving
Wanneer een balk wordt belast door een puntlast, zoals een kracht $F$ in het midden van een balk, ondervindt deze zowel buiging als afschuiving. Het doorsnijden van de balk op een willekeurige plaats vereist de invoering van een dwarskracht (veroorzaakt afschuiving) en een moment (veroorzaakt buiging) om evenwicht te bewaren. Deze gevallen worden behandeld in de module "Buiging en afschuiving" [21](#page=21).
### 2.4 Keuze van het assenstelsel
Het referentieassenstelsel wordt gekozen in het zwaartepunt van de balkdoorsnede en valt samen met de hoofdtraagheidsassen (y- en z-as). Dit assenstelsel is orthogonaal en rechtsdraaiend. Voor enkelvoudige buiging zijn de belastingen altijd gericht volgens één van de hoofdtraagheidsassen, en de module beschouwt symmetrische doorsneden [21](#page=21).
### 2.5 Verloop van de normaalspanningen in balken van één materiaal
De vereenvoudigde buigingstheorie is gebaseerd op de hypothese van Bernouilli, die stelt dat een oorspronkelijk vlakke doorsnede vlak blijft na buiging. Daarnaast wordt aangenomen dat de Wet van Hooke geldig is. Dit vereist een homogeen en isotroop materiaal dat in het elastische gebied wordt belast [23](#page=23).
Voor een op buiging belaste balk, waaruit een element met lengte $dx$ wordt genomen, en met een koppelvektor langs een hoofdtraagheidsas, geldt:
$ \sigma_x = E \cdot \frac{y}{R} $ [23](#page=23).
Hierin is $R$ de kromtestraal van de neutrale vezel (de overgang tussen trek- en drukzone) en $y$ de afstand van de neutrale vezel tot de beschouwde vezel [23](#page=23).
De spanning volgens de x-richting is evenredig met de afstand tot de neutrale vezel. Ook geldt voor de spanningsverdeling:
$ \sigma_x = \frac{\sigma_{max}}{e} \cdot y $ [23](#page=23).
met $e$ de afstand van de neutrale vezel tot de verst gelegen vezel [23](#page=23).
### 2.6 Ligging van de neutrale vezel
De neutrale vezel (N.V.) is de overgang tussen trek en druk en ervaart geen krachten. Wiskundig wordt dit uitgedrukt als [23](#page=23) [25](#page=25):
$ \int_{A} \sigma_x \, dA = 0 $ [25](#page=25).
$ \int_{A} y \, dA = 0 $ [25](#page=25).
Voor een balk van één materiaal valt de neutrale vezel samen met de as door het zwaartepunt van de doorsnede [25](#page=25).
### 2.7 De buigingsformule
Op een oneindig klein oppervlakje $dA$ werkt een kracht $dN = \sigma_x \cdot dA$. Deze kracht draagt bij aan het inwendig moment $dM$ [25](#page=25):
$ dM = y \cdot dN = y \cdot \sigma_x \cdot dA = E \cdot \frac{y}{R} \cdot y \cdot dA = E \cdot \frac{1}{R} \cdot y^2 \, dA $ [25](#page=25).
Het totale inwendig moment $M_b$ wordt verkregen door te integreren over de gehele doorsnede:
$ M_b = \int_{A} dM = \int_{A} E \cdot \frac{1}{R} \cdot y^2 \, dA = E \cdot \frac{1}{R} \cdot \int_{A} y^2 \, dA $ [25](#page=25).
Het integraal $ \int_{A} y^2 \, dA $ is het traagheidsmoment $I_{xx}$ ten opzichte van de neutrale as [25](#page=25).
Dus: $ M_b = E \cdot \frac{1}{R} \cdot I_{xx} $ wat leidt tot $R = \frac{E \cdot I_{xx}}{M_b}$ [25](#page=25).
Het product $E \cdot I_{xx}$ wordt de buigstijfheid genoemd en is een maat voor de weerstand tegen buiging. Hoe groter dit product, hoe beter de balk bestand is tegen buiging [27](#page=27).
De grootste spanningen treden op aan de boven- of onderkant van het profiel, op een afstand $e$ van de neutrale vezel:
$ \sigma_{max} = \frac{M_b \cdot e}{I_{xx}} $ [25](#page=25) [27](#page=27).
Het weerstandsmoment $W_{xx}$ wordt gedefinieerd als:
$ W_{xx} = \frac{I_{xx}}{e} $ [27](#page=27).
De algemene formule voor de uiterste vezel wordt dan:
$ \sigma_b = \frac{M_b}{W_{xx}} $ [27](#page=27).
Voor een willekeurige vezel geldt:
$ \sigma_b = \frac{M_b \cdot y}{I_{xx}} $ [27](#page=27).
Deze formules gelden onder de voorwaarden dat de belastingen gericht zijn volgens één hoofdtraagheidsas en dat de assen van het hoofdkoppel $C_{xy} = 0$ zijn [27](#page=27).
### 2.8 Bepalen van weerstandsmomenten
Belangrijk is dat weerstandsmomenten **niet** opgeteld mogen worden, in tegenstelling tot traagheidsmomenten. Voor het bepalen van het weerstandsmoment van een samengestelde doorsnede zijn de stappen [29](#page=29):
1. Zoek het zwaartepunt van de doorsnede [29](#page=29).
2. Teken de neutrale vezel (deze gaat door het zwaartepunt) [29](#page=29).
3. Bepaal het axiaal traagheidsmoment van de totale doorsnede ten opzichte van de neutrale vezel [29](#page=29).
4. Bepaal de afstand van de neutrale vezel tot de uiterste vezel ($e$) [29](#page=29).
5. Bereken $W_{xx} = \frac{I_{xx}}{e}$ [29](#page=29).
**Voorbeeld:** Bij een T-doorsnede moet eerst het zwaartepunt berekend worden om vervolgens het traagheidsmoment ten opzichte van de neutrale as te bepalen [29](#page=29).
### 2.9 Buiging van balken opgebouwd uit twee materialen
Balken opgebouwd uit twee materialen, zoals gewapend beton, vereisen een aangepaste aanpak vanwege de verschillende elasticiteitsmoduli van de materialen. Vaak is de elasticiteitsmodulus van staal ongeveer 15 maal groter dan die van beton ($E_{staal} = n \cdot E_{beton}$). Dit verschil leidt tot een sprong in het spanningsverloop op de scheidingslijn tussen de materialen [31](#page=31).
#### 2.9.1 Het verloop van de normaalspanningen
Door het verschil in $E$-modulus ontstaat een spanningsverschil tussen de vezels die direct boven en onder de scheidingslijn lopen. De spanning in het materiaal met de hogere $E$-modulus (staal) is $n$-maal groter dan die in het materiaal met de lagere $E$-modulus (beton) op gelijke afstand van de neutrale vezel [31](#page=31).
#### 2.9.2 Ligging van de neutrale vezel
De neutrale vezel is de overgang tussen trek en druk. Op deze vezels werken geen normaalkrachten bij zuivere buiging, wat leidt tot de voorwaarde $F_N = 0$ [31](#page=31).
$ \int_{A_I} \sigma_I \, dA_I + \int_{A_{II}} \sigma_{II} \, dA_{II} = 0 $ [31](#page=31).
Door de relatie tussen de spanningen en de $E$-moduli te substitueren, wordt de ligging van de neutrale vezel bepaald met behulp van het statisch moment van een "ideële" doorsnede. De neutrale vezel valt samen met de as door het zwaartepunt van deze ideële doorsnede [31](#page=31) [33](#page=33).
#### 2.9.3 De buigingsformule voor twee materialen
Het totale moment wordt samengesteld uit de bijdragen van alle krachten op elke vezel, vermenigvuldigd met hun afstand tot de neutrale vezel. Door de spanningen uit te drukken in termen van het ideële traagheidsmoment ($I_{ideel}$) en de afstand tot de neutrale vezel, krijgt men [33](#page=33):
$ M_b = E_{II} \cdot \left( \int_{A_{II}} y^2 \, dA_{II} + n \int_{A_I} y^2 \, dA_{I} \right) $ [33](#page=33).
$ M_b = E_{II} \cdot (I_{II} + n \cdot I_{I}) = E_{II} \cdot I_{ideel} $ [33](#page=33).
Hierin is $I_{ideel}$ het ideële traagheidsmoment van de ideële doorsnede ten opzichte van de neutrale lijn [33](#page=33).
De buigspanningen in zowel staal als beton voor willekeurige vezels worden berekend met:
$ \sigma_I = n \cdot \frac{M_b \cdot y_I}{I_{ideel}} $ (voor staal) [33](#page=33).
$ \sigma_{II} = \frac{M_b \cdot y_{II}}{I_{ideel}} $ (voor beton) [33](#page=33).
Voor de uiterste vezels gelden de maximale spanningen:
$ \sigma_{I,max} = n \cdot \frac{M_b \cdot e_I}{I_{ideel}} $
$ \sigma_{II,max} = \frac{M_b \cdot e_{II}}{I_{ideel}} $ [33](#page=33).
**Uitgewerkt voorbeeld:** Een voorbeeld met gewapend beton illustreert de berekening van de ligging van de neutrale vezel en de maximale buigspanningen in staal en beton bij een gegeven moment. Hierbij wordt het ideële traagheidsmoment berekend en de maximale afstanden tot de neutrale vezel bepaald om de kritische spanningen te vinden [35](#page=35).
---
# Buiging en afschuiving
Hier volgt een gedetailleerd studieoverzicht voor "Buiging en afschuiving", gebaseerd op de verstrekte documentatie, met een focus op de pagina's 37-75.
# 3 Buiging en afschuiving
Dit module behandelt de analyse van balken onder belasting, inclusief de relatie tussen belastingen, dwarskrachten en momenten, de resulterende vormveranderingen, en de aanpak van statisch onbepaalde constructies [37](#page=37).
## 3.1 Opstellen van de N-, D- en M-lijn
### 3.1.1 Inleiding
Het doel van het opstellen van de N-, D- en M-lijnen (Normaal-, Dwarskracht- en Momentenlijnen) is het bepalen van de plaats en grootte van de maximale inwendige krachten en koppels in een belaste constructie. Deze waarden zijn essentieel voor de sterkteberekeningen en de dimensionering van balken [39](#page=39).
### 3.1.2 Grafische en analytische voorstelling van de N-, D- en M-lijn
Voor elke dwarsdoorsnede van een balk wordt gezocht naar de grootte van de normaalkracht (N), dwarskracht (D) en het buigend moment (M). De functies die deze grootheden beschrijven in relatie tot de positie $x$ langs de balk worden de N-, D- en M-vergelijkingen genoemd. Grafisch worden deze uitgedrukt in de N-, D- en M-lijnen [41](#page=41).
#### 3.1.2.1 Tekenregels
Er bestaan twee tekenregels voor het opstellen van de vergelijkingen:
1. **Van links naar rechts:** Pijlen duiden de richting van de positieve inwendige krachten en koppels aan [39](#page=39) [41](#page=41).
2. **Van rechts naar links:** Een alternatieve methode die, indien correct toegepast, tot dezelfde resultaten leidt [39](#page=39).
Het is cruciaal om consistent één tekenregel te hanteren. In de verdere uitwerking wordt voornamelijk van links naar rechts gewerkt [41](#page=41).
#### 3.1.2.2 Gebieden
De constructie wordt onderverdeeld in gebieden. Een nieuw gebied begint telkens wanneer er een uitwendige kracht of moment op de constructie inwerkt. Binnen elk gebied wordt de $x$-variabele gebruikt om de inwendige krachten en momenten te beschrijven [41](#page=41).
**Analytische voorstelling:**
Voor een gebied $0 \le x \le 3m$:
$D = -6kN$ [41](#page=41).
$M = -6.x kNm$ [41](#page=41).
Voor een gebied $3 \le x \le 5m$:
$D = -6kN + 15kN$ [41](#page=41).
$M = -6.x kNm + 15(x-3)kNm$ [41](#page=41).
De notatie met puntjes (...) kan gebruikt worden om gebieden aan te geven, waarbij termen die buiten het geldende gebied vallen, niet in rekening worden gebracht [41](#page=41).
### 3.1.3 Uitwerking van een aantal basisgevallen
Hieronder worden enkele fundamentele gevallen besproken:
* **Basisgeval 1:** Balk met homogene belasting over de volledige lengte, ondersteund door een scharnier en een roloplegging [42](#page=42) [43](#page=43).
* Reactiekrachten: $R_A = R_B = \frac{q_1 \cdot l}{2}$ [43](#page=43).
* Vergelijkingen:
$D = -R_A + q \cdot x$ [43](#page=43).
$M = -R_A \cdot x + q \cdot \frac{x^2}{2}$ [43](#page=43).
* Maximale waarden: $D_{max} = \frac{q_1 \cdot l}{2}$, $M_{max} = \frac{q_1 \cdot l^2}{8}$ (bij $x = \frac{l}{2}$) [43](#page=43).
* **Basisgeval 2:** Balk met een puntlast aan het einde en een inklemming [42](#page=42) [43](#page=43).
* Reactiekrachten: $R_A = F$, $M_A = F \cdot l$ [43](#page=43).
* Vergelijkingen:
$D = -F$ [43](#page=43).
$M = M_A - F \cdot x$ [43](#page=43).
* Maximale waarden: $D_{max} = -F$, $M_{max} = F \cdot l$ (bij $x=0$) [43](#page=43).
* **Basisgeval 3:** Balk met homogene belasting over de volledige lengte en een inklemming aan één zijde [44](#page=44) [45](#page=45).
* Reactiekrachten: $R_A = q \cdot l$, $M_A = \frac{q \cdot l^2}{2}$ [45](#page=45).
* Vergelijkingen:
$D = -q \cdot l + q \cdot x$ [45](#page=45).
$M = M_A - q \cdot l \cdot x + q \cdot \frac{x^2}{2}$ [45](#page=45).
* Maximale waarden: $D_{max} = -q \cdot l$ (bij $x=0$), $M_{max} = -\frac{q \cdot l^2}{2}$ (bij $x=0$) [45](#page=45).
* **Basisgeval 4:** Balk met een moment aan het einde en een inklemming [44](#page=44) [45](#page=45).
* Reactiekrachten: $R_A = 0$, $M_A = M$ [45](#page=45).
* Vergelijkingen: $D = 0$, $M = +M$ [45](#page=45).
* **Basisgeval 5:** Balk belast met een buigend moment op een bepaalde afstand [44](#page=44) [45](#page=45).
* Reactiekrachten: $R_A = R_B = \frac{M}{L}$ [45](#page=45).
* Vergelijkingen: $D = +R_A$, $M = +R_A \cdot x - M$ [45](#page=45).
* Maximale waarden: $D_{max} = \frac{M}{L}$, $M_{max} = \frac{M}{5}$ [45](#page=45).
* **Basisgeval 6:** Balk met een driehoeksbelasting [46](#page=46) [47](#page=47).
* Reactiekrachten: $R_A = \frac{q_1 \cdot l}{6}$, $R_B = \frac{q_1 \cdot l}{3}$ [47](#page=47).
* Vergelijkingen: $D = -R_A + q \cdot \frac{x^2}{2 \cdot l}$, $M = -R_A \cdot x + \frac{q \cdot x^3}{6 \cdot l}$ [47](#page=47).
* Maximale waarden: $D_{max} = \frac{q_1}{3}$, $M_{max} = -\frac{q_1 \cdot l^2}{9 \sqrt{3}}$ (bij $x = \frac{l}{\sqrt{3}}$) [47](#page=47).
### 3.1.4 Verband tussen belasting q, D- en M-lijn
Voor een balk onder continue belasting $q(x)$ zonder puntlasten of momenten, gelden de volgende relaties:
* **Dwarskracht:** De afgeleide van de dwarskracht naar de positie $x$ is gelijk aan de belasting per lengte-eenheid:
$\frac{dD}{dx} = q(x)$ [49](#page=49).
Dit betekent dat de dwarskrachtenlijn de integratie is van de belastingslijn. De verandering in dwarskracht tussen twee doorsneden is gelijk aan de oppervlakte onder de belastingslijn in dat interval [49](#page=49).
* **Buigend moment:** De afgeleide van het buigend moment naar de positie $x$ is gelijk aan de dwarskracht in die doorsnede:
$\frac{dM}{dx} = D(x)$ [49](#page=49).
Dit betekent dat de momentenlijn de integratie is van de dwarskrachtenlijn. De verandering in moment tussen twee doorsneden is gelijk aan de oppervlakte onder de dwarskrachtenlijn in dat interval [49](#page=49).
**Belangrijk:** De maximale waarde van het buigend moment treedt op waar de dwarskracht gelijk is aan nul ($\frac{dM}{dx} = D = 0$) [49](#page=49).
#### 3.1.4.1 Voorbeeld
Voor een homogeen belaste balk met een roloplegging en een scharnieroplegging [50](#page=50) [51](#page=51):
* $D = -\frac{q \cdot l}{2} + q \cdot x$ [51](#page=51).
* $M = -\frac{q \cdot l}{2} \cdot x + q \cdot \frac{x^2}{2}$ [51](#page=51).
* De aangroei van dwarskracht tussen $x=0$ en $x=L/2$ is gelijk aan de oppervlakte onder de belastingslijn: $\Delta D = \int_{0}^{L/2} q \, dx = q \frac{l}{2}$ [51](#page=51).
* De aangroei van het moment tussen $x=0$ en $x=L/2$ is gelijk aan de oppervlakte onder de dwarskrachtenlijn: $\Delta M = \int_{0}^{L/2} (-\frac{q \cdot l}{2} + q \cdot x) \, dx = -\frac{q l^2}{8}$ [51](#page=51).
* Het maximale moment treedt op waar $D=0$, wat bij $x = \frac{l}{2}$ is, met $M_{max} = -\frac{q l^2}{8}$ [51](#page=51).
### 3.1.5 Oefeningen op het bepalen van profielkeuzes aan de hand van de D- en M-lijn
De D- en M-lijnen zijn cruciaal voor het bepalen van het benodigde weerstandsmoment ($W_{xx}$) van een profiel. Dit gebeurt op basis van de sterkte-eis, waarbij de optredende spanning ($\sigma_b$) kleiner moet zijn dan de toelaatbare spanning ($\sigma_{toelaatbaar}$) [53](#page=53).
* Formule: $\sigma_b = \frac{M_{max}}{W_{xx}} \le \sigma_{toelaatbaar}$ [53](#page=53).
* Hieruit volgt de eis voor het weerstandsmoment: $W_{xx} \ge \frac{M_{max}}{\sigma_{toelaatbaar}}$ [53](#page=53).
**Voorbeeld:** Een balk van 6m met een driehoeksbelasting en een puntlast vereist een weerstandsmoment van $W_{xx} \ge 33 cm^3$ bij een toelaatbare spanning van $120 N/mm^2$ en een maximaal moment van $4.08 kNm$ [53](#page=53).
### 3.1.6 Indirecte belasting
Bij indirecte belasting draagt een systeem van balken (bv. I-profielen en U-profielen) een betonnen plaat. De belasting op de bovenste profielen wordt eerst berekend, waarna de reactiekrachten van deze bovenste profielen de puntlasten vormen op de onderste profielen [54](#page=54) [55](#page=55) [56](#page=56) [57](#page=57).
* **Voorbeeld (Bovenste I-profiel):** Een betonnen plaat van $7 kN/m^2$ gedragen door U- en I-profielen van 3m lengte [54](#page=54).
* Belasting per lopende meter: $q = 7 \cdot 1.5m = 10.5 kN/m$ [55](#page=55).
* Maximale moment: $M_{max} = \frac{q \cdot l^2}{8} = \frac{10.5 \cdot 3^2}{8} = 11.8 kNm$ [55](#page=55).
* Vereist weerstandsmoment: $W_{xx} \ge \frac{11.8 kNm}{140 N/mm^2} = 84.4 cm^3$ [55](#page=55).
* Het I-10 profiel met $W_{xx} = 96 cm^3$ voldoet [55](#page=55).
* Eigengewicht van het profiel moet worden meegerekend [55](#page=55) [56](#page=56).
* **Voorbeeld (Onderste I-ligger):** De reactiekrachten van de bovenste balken vormen puntlasten op de onderste balken [57](#page=57).
* Met een maximaal moment van $108 kNm$ en een toelaatbare spanning van $140 N/mm^2$, vereist dit $W_{xx} \ge 774 cm^3$ [57](#page=57).
* Het I-24 profiel met $W_{xx} = 974 cm^3$ voldoet [57](#page=57).
## 3.2 Vormverandering
De vervorming van een balk wordt bepaald door de buigstijfheid $E \cdot I$. De doorzakking mag een bepaalde limiet niet overschrijden, bijvoorbeeld $f \le \frac{L}{600}$ [59](#page=59).
### 3.2.1 Opstellen van de differentiaalvergelijking van de elastische lijn
Beschouw een infinitesimaal balkdeel met lengte $dx$. De relatie tussen de kromming ($\frac{1}{R}$) en de momentenlijn is:
$\frac{1}{R} = \frac{M}{E \cdot I}$ [59](#page=59).
Voor kleine doorzakkingen geldt:
$\frac{1}{R} \approx \frac{d^2y}{dx^2}$ [59](#page=59).
Hieruit volgt de differentiaalvergelijking van de elastische lijn (doorzakkingslijn):
$E \cdot I \cdot y'' = M(x)$ [59](#page=59).
* Eerste integratie geeft de hellingslijn ($y'$) [59](#page=59).
* Tweede integratie geeft de doorzakkingslijn ($y$) [59](#page=59).
### 3.2.2 Bespreking van de 3 basisgevallen
Deze basisgevallen illustreren hoe de integratieconstanten bepaald worden met behulp van randvoorwaarden.
* **Basisgeval 1:** Balk ingeklemd aan één zijde, moment aan de andere zijde [60](#page=60) [61](#page=61).
* Randvoorwaarden bij de inklemming ($x=0$): $y = 0$ en $y' = 0$ [61](#page=61).
* Maximale doorzakking: $f = \frac{M \cdot l^2}{2EI}$ [61](#page=61).
* Maximale hellingshoek: $\phi = \frac{M \cdot l}{EI}$ [61](#page=61).
* **Basisgeval 2:** Balk ingeklemd aan één zijde, puntlast aan de andere zijde [60](#page=60) [61](#page=61) [62](#page=62).
* Randvoorwaarden bij de inklemming ($x=0$): $y = 0$ en $y' = 0$ [62](#page=62).
* Maximale doorzakking: $f = \frac{F \cdot l^3}{3EI}$ [62](#page=62).
* Maximale hellingshoek: $\phi = \frac{F \cdot l^2}{2EI}$ [62](#page=62).
* **Basisgeval 3:** Balk ingeklemd aan één zijde, homogene belasting over de volledige lengte [62](#page=62) [63](#page=63).
* Randvoorwaarden bij de inklemming ($x=0$): $y = 0$ en $y' = 0$ [63](#page=63).
* Maximale doorzakking: $f = \frac{q \cdot l^4}{8EI}$ [63](#page=63).
* Maximale hellingshoek: $\phi = \frac{q \cdot l^3}{6EI}$ [63](#page=63).
### 3.2.3 Draai-effect
Het draai-effect treedt op wanneer een belasting niet op het zwaartepunt van de doorsnede aangrijpt, wat leidt tot een extra rotatie en doorzakking [64](#page=64) [65](#page=65).
* **Voorbeeld (integratiemethode):** Een ingeklemde balk met een puntlast op afstand $2l$ van de inklemming [65](#page=65).
* De doorzakking op het uiteinde $(x=3l)$ is $\frac{14 \cdot F \cdot l^3}{3EI}$ [65](#page=65).
* **Voorbeeld (Formules van Myosotis):** Deze formules versnellen de berekening door gebruik te maken van de bekende doorzakkingen en hellingen op plaatsen waar belastingen aangrijpen. De totale doorzakking is de som van de directe doorzakking en de doorzakking door het draai-effect [65](#page=65).
### 3.2.4 Balk op twee steunpunten
* **Geval:** Balk met lengte $2l$, puntlast $F$ in het midden [66](#page=66) [67](#page=67).
* **Integratiemethode:** Randvoorwaarden bij de steunpunten ($x=0, y=0$ en $x=2l, y=0$) [67](#page=67).
* Maximale doorzakking treedt op waar de hellingslijn $y'=0$ is. Dit is bij $x=l$ [67](#page=67).
* $y_{max} = \frac{F \cdot l^3}{6EI}$ [67](#page=67).
* **Formules van Myosotis:** Door de balk op de plaats van maximale doorzakking als ingeklemd te beschouwen, kan de maximale doorzakking efficiënt berekend worden [67](#page=67).
#### 3.2.4.1 Oefening
Een balk met twee steunpunten, belast met een homogene belasting en een puntlast, vereist het bepalen van de doorzakking via de integratiemethode [68](#page=68) [69](#page=69).
* Randvoorwaarden: $y =0$, $y(L)=0$ [69](#page=69).
* De plaats van de maximale doorzakking wordt gevonden door de hellingslijn ($Ely'$) gelijk aan nul te stellen [69](#page=69).
* Voor het gegeven voorbeeld: $E=210.000 N/mm^2$, $I=50.10^4 mm^4$. De maximale doorzakking treedt op bij $x = 3.05m$ en is $y_{max} = 5.395 mm$ [69](#page=69).
## 3.3 Statisch onbepaalde gevallen
### 3.3.1 Bepalen van de graad van hyperstaticiteit
De graad van hyperstaticiteit is het aantal extra ondersteuningen of krachten dat nodig is om de constructie statisch bepaald te maken. Dit kan verwijzen naar de technieken uit de module "Trek en druk", pagina 20 [71](#page=71).
### 3.3.2 Oplossen van hyperstatische gevallen
Hyperstatische constructies worden opgelost door de extra onbekende reacties (krachten of momenten) te introduceren en deze te bepalen met behulp van vervormingsvoorwaarden.
#### 3.3.2.1 Voorbeeld 1
Een stalen balk is aan één zijde ingeklemd en ondersteund door een roloplegging aan de andere zijde [70](#page=70) [71](#page=71) [73](#page=73).
* **Onbekenden:** In dit eenmaal hyperstatische geval zijn er 3 onbekenden: $M_A$, $R_{Ay}$, en $R_{By}$ [71](#page=71).
* **Evenwichtsvergelijkingen:**
1. $\sum F_y = 0 \implies R_{Ay} + R_{By} = 10kN$ [71](#page=71).
2. $\sum M_A = 0 \implies M_A - 10kN \cdot 3m + 3m \cdot R_{By} = 0$ [71](#page=71).
* **Integratiemethode:** De doorzakkingslijn wordt tweemaal geïntegreerd uit de momentenlijn, met randvoorwaarden $y =0$, $y' =0$, en $y(3m)=0$ [71](#page=71).
* Het oplossen van het stelsel van vergelijkingen leidt tot: $R_{Ay} = 8.52kN$, $M_A = 5.5kNm$, $R_{By} = 1.48kN$ [73](#page=73).
* **Formules van Myosotis:** De roloplegging wordt verwijderd en vervangen door de onbekende reactiekracht $R_{By}$. De doorzakking op punt B door de uitwendige belasting moet gelijk zijn aan de doorzakking veroorzaakt door $R_{By}$ [71](#page=71).
* $f(10kN) = \frac{10 \cdot 3^3}{3EI} + \frac{10 \cdot 3^2 \cdot 3}{2EI}$ [71](#page=71).
* $f(R_{By}) = \frac{R_{By} \cdot 3^3}{3EI}$ [71](#page=71).
* Gelijkstellen geeft $R_{By}$ en, samen met de evenwichtsvergelijkingen, dezelfde reactiekrachten [71](#page=71) [73](#page=73).
* **Profielbepaling:**
* **Sterkte-eis:** $\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_{xx}} \le \sigma_{toelaatbaar}$. Met $M_{max} = 5.5 kNm$ en $\sigma_{toelaatbaar} = 140 N/mm^2$, vereist dit $W_{xx} \ge 39.3 cm^3$. I-profiel nr. 12 voldoet [73](#page=73).
* **Vervormingseis:** De maximale doorzakking $f_{max}$ mag $\frac{L}{600}$ niet overschrijden. Voor $L=3m$, is $f_{max} \le 5mm$. De minimale inertie $(I_{min})$ wordt berekend: $I_{min} = \frac{1.605 \cdot 10^{12} Nmm^3}{210000 N/mm^2 \cdot 5mm} = 153 \cdot 10^4 mm^4$. I-profiel nr. 10 voldoet [73](#page=73).
* **Besluit:** I-profiel nr. 12 is de uiteindelijke keuze [73](#page=73).
#### 3.3.2.2 Voorbeeld 2
Een balk van 7m, homogeen belast en met twee puntlasten, wordt op drie plaatsen ondersteund [74](#page=74) [75](#page=75).
* **Evenwichtsvergelijkingen:**
1. $\sum F_y = 0 \implies R_{Ay} + R_{By} + R_{Cy} = 40kN$ [75](#page=75).
2. $\sum M_A = 0 \implies 3m \cdot R_{By} + 7m \cdot R_{Cy} = 3.5m \cdot 35kN + 2kNm + 15kNm$ [75](#page=75).
* **Integratiemethode:** Opstellen van de M-lijn, tweemaal integreren tot de doorzakkingslijn. Randvoorwaarden: $y =0$, $y(3m)=0$, $y(7m)=0$ [75](#page=75).
* **Formules van Myosotis:** Door de asymmetrische belasting wordt punt B beschouwd als ingeklemd. De doorzakkingen van A en C worden uitgedrukt in functie van de onbekende reacties $R_{Ay}$ en $R_{Cy}$, rekening houdend met de onbekende hellingshoek in B. De relatie $4 \cdot y_A + 3 \cdot y_C = 0$ wordt gebruikt om het stelsel op te lossen [75](#page=75).
---
# Traagheidsgrootheden
Dit onderwerp behandelt de berekening en toepassing van traagheidsmomenten en traagheidsproducten, met speciale aandacht voor het bepalen van hoofdtraagheidsmomenten met behulp van de cirkel van Mohr .
### 4.1 Axiaal traagheidsmoment
Het axiaal traagheidsmoment (ook wel oppervlaktetraagheidsmoment genoemd) van een oppervlak ten opzichte van een as is een maat voor de weerstand van dat oppervlak tegen buiging rond die as .
#### 4.1.1 Definitie
Het axiaal traagheidsmoment van een oppervlak $A$ ten opzichte van een as $x$ of $y$ wordt gedefinieerd als de integraal van het kwadraat van de afstand van een infinitesimaal oppervlakte-element $dA$ tot die as, over het gehele oppervlak:
$$I_x = \int_A y^2 dA$$ .
$$I_y = \int_A x^2 dA$$ .
**Eigenschappen:**
* Het axiaal traagheidsmoment is altijd positief .
* Voor een samengestelde doorsnede is het axiale traagheidsmoment de som van de traagheidsmomenten van de afzonderlijke delen .
* Wanneer de as door het zwaartepunt van de doorsnede gaat, spreekt men van een "eigentraagheidsmoment" .
#### 4.1.2 Axiale traagheidsmomenten van eenvoudige oppervlakken
* **Rechthoek:** Voor een rechthoek met breedte $b$ en hoogte $h$, met de $x$- en $y$-as door het zwaartepunt:
$$I_x = \frac{bh^3}{12}$$ .
$$I_y = \frac{hb^3}{12}$$ .
* **Driehoek:** Voor een driehoek met basis $b$ en hoogte $h$, met de $x$-as langs de basis:
$$I_x = \frac{bh^3}{36}$$ .
* **Cirkel:** Voor een cirkel met straal $R$, met een as door het middelpunt:
$$I_x = I_y = \frac{\pi R^4}{4} = \frac{\pi d^4}{64}$$ .
* **Halve Cirkel:** Voor een halve cirkel met straal $R$, met de as langs de diameter:
$$I_x = I_y = \frac{\pi R^4}{8}$$ .
#### 4.1.3 Traagheidsstraal
De traagheidsstraal ($i$) is gedefinieerd als de vierkantswortel van het traagheidsmoment gedeeld door de oppervlakte $A$. Het geeft een equivalente afstand aan waarvan het kwadraat vermenigvuldigd met de oppervlakte het traagheidsmoment oplevert.
$$i_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}}$$ .
$$i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}}$$ .
### 4.2 Polair traagheidsmoment
Het polair traagheidsmoment is een maat voor de weerstand tegen torsie .
#### 4.2.1 Definitie
Het polair traagheidsmoment van een oppervlak $A$ ten opzichte van een punt $P$ (vaak de oorsprong van het coördinatensysteem) wordt gedefinieerd als de integraal van het kwadraat van de afstand ($p$) van een infinitesimaal oppervlakte-element $dA$ tot dat punt, over het gehele oppervlak:
$$I_p = \int_A p^2 dA$$ .
Aangezien $p^2 = x^2 + y^2$, geldt de relatie:
$$I_p = I_x + I_y$$ .
#### 4.2.2 Polair traagheidsmoment van eenvoudige oppervlakken
* **Cirkel:** Voor een cirkel met straal $R$, met de oorsprong in het middelpunt:
$$I_p = \frac{\pi R^4}{2}$$ .
* **Ring:** Voor een ring met buitenstraal $R$ en binnenstraal $r$:
$$I_p = \frac{\pi (R^4 - r^4)}{2}$$ .
### 4.3 Verschuivingsformule voor axiaal traagheidsmoment
Deze formule maakt het mogelijk om het traagheidsmoment ten opzichte van een nieuwe as te berekenen, die parallel loopt aan de oorspronkelijke as, maar verschoven is .
Gegeven de traagheidsmomenten $I_x$ en $I_y$ ten opzichte van assen door de oorsprong $O$, en een nieuw assenstelsel $(x', y')$ met oorsprong $O'$ op afstand $a$ (in $x$-richting) en $b$ (in $y$-richting) van $O$. De nieuwe traagheidsmomenten $I'_{x'}$ en $I'_{y'}$ zijn:
$$I'_{x'} = I_x + b^2 A$$ .
$$I'_{y'} = I_y + a^2 A$$ .
Waarbij $A$ de totale oppervlakte is.
**Tip:** Het traagheidsmoment is het kleinst wanneer de as door het zwaartepunt van de figuur gaat .
**Voorbeeld:** Voor een rechthoek $b \times h$, met de $x$-as door het zwaartepunt, is $I_x = \frac{bh^3}{12}$. Als deze as verschoven wordt over een afstand $y_0$, wordt het nieuwe traagheidsmoment $I'_x = I_x + A y_0^2 = \frac{bh^3}{12} + bh \cdot y_0^2$ .
### 4.4 Traagheidsmomenten van samengestelde doorsneden
Bij samengestelde doorsneden worden de traagheidsmomenten van de afzonderlijke delen berekend en vervolgens opgeteld. Indien de assen niet door het zwaartepunt van elk deel gaan, wordt de verschuivingsformule toegepast .
**Voorbeeld:** Voor een I-profiel worden de traagheidsmomenten van de twee flenzen en de lijf apart berekend en opgeteld, rekening houdend met de afstand van de zwaartepunten van deze delen tot de globale zwaartepuntassen .
### 4.5 Traagheidsprodukt
Het traagheidsprodukt is een grootheid die aangeeft in hoeverre de doorsnede niet symmetrisch is ten opzichte van de gekozen $x$- en $y$-assen .
#### 4.5.1 Definitie
Het traagheidsprodukt van een oppervlak $A$ ten opzichte van een assenstelsel $(x,y)$ wordt gedefinieerd als de integraal van het product van de afstanden tot de assen, over het gehele oppervlak:
$$C_{xy} = \int_A xy \, dA$$ .
**Eigenschappen:**
* Het traagheidsprodukt kan positief, negatief of nul zijn .
* Voor een samengestelde doorsnede is het traagheidsprodukt de som van de traagheidsproducten van de delen .
* Als de $x$- of $y$-as een symmetrie-as is, is het traagheidsprodukt nul .
#### 4.5.2 Traagheidsproducten van eenvoudige oppervlakken
* **Rechthoek:** Voor een rechthoek $b \times h$ met de oorsprong in een hoek:
$$C_{xy} = \frac{b^2 h^2}{4}$$ .
* **Rechthoekige driehoek:** Voor een driehoek met basis $b$ en hoogte $h$, met de oorsprong in de rechte hoek:
$$C_{xy} = \frac{b^2 h^2}{24}$$ .
### 4.6 Verschuivingsformule voor traagheidsprodukt
Deze formule maakt het mogelijk om het traagheidsprodukt ten opzichte van een nieuw assenstelsel te berekenen, dat parallel loopt aan het oorspronkelijke assenstelsel .
Gegeven het traagheidsprodukt $C_{xy}$ ten opzichte van assen $(x,y)$ door de oorsprong $O$, en een nieuw assenstelsel $(x', y')$ met oorsprong $O'$ op afstand $a$ (in $x$-richting) en $b$ (in $y$-richting) van $O$. Het nieuwe traagheidsprodukt $C'_{x'y'}$ is:
$$C'_{x'y'} = C_{xy} + a b A$$ .
Waarbij $A$ de totale oppervlakte is.
**Tip:** Als de oorsprong $O$ samenvalt met het zwaartepunt van de figuur, dan zijn de zwaartepuntscoördinaten $x_z = 0$ en $y_z = 0$, en de formule wordt $C'_{x'y'} = C_{xy} + a b A$ .
### 4.7 Verdraaiingsformule voor axiale traagheidsmomenten
Deze formules maken het mogelijk om de traagheidsmomenten in een nieuw assenstelsel te berekenen, dat ten opzichte van het oorspronkelijke assenstelsel een hoek $\alpha$ maakt .
Gegeven de traagheidsmomenten $I_x, I_y$ en het traagheidsprodukt $C_{xy}$ in het $(x,y)$ assenstelsel. De traagheidsmomenten $I'_{x'}$ en $I'_{y'}$ in een assenstelsel $(x', y')$ dat een hoek $\alpha$ maakt met $(x,y)$ zijn:
$$I'_{x'} = \frac{I_x + I_y}{2} + \frac{I_x - I_y}{2} \cos(2\alpha) - C_{xy} \sin(2\alpha)$$ .
$$I'_{y'} = \frac{I_x + I_y}{2} - \frac{I_x - I_y}{2} \cos(2\alpha) + C_{xy} \sin(2\alpha)$$ .
De algemene formule voor het traagheidsmoment $I$ in een as die een hoek $\alpha$ maakt met de $x$-as is:
$$I(\alpha) = \frac{I_x + I_y}{2} + \frac{I_x - I_y}{2} \cos(2\alpha) - C_{xy} \sin(2\alpha)$$ .
### 4.8 Hoofdtraagheidsmomenten
De hoofdtraagheidsmomenten zijn de maximale en minimale axiale traagheidsmomenten van een doorsnede. Deze treden op langs de assen waarvoor het traagheidsprodukt nul is .
Om de richting van de hoofdtraagheidsassen te vinden, worden de hoofd-traagheidsmomenten geëxtraheerd uit de afgeleide van de verdraaiingsformule:
$$\tan(2\alpha_{extr}) = \frac{-2C_{xy}}{I_x - I_y}$$ .
De grootte van de hoofdtraagheidsmomenten $I_{max}$ en $I_{min}$ wordt berekend met:
$$I_{extr} = \frac{I_x + I_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + C_{xy}^2}$$ .
Dit kan ook geschreven worden als:
$$I_{extr} = \frac{I_x + I_y}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{(I_x - I_y)^2 + 4C_{xy}^2}$$ .
* De assen waarvoor deze momenten optreden, worden de **hoofdtraagheidsassen** genoemd .
* Als de assen door het zwaartepunt gaan, spreekt men van **centrale hoofdtraagheidsassen** .
**Tip:** De hoofdassen zijn de assen waar het traagheidsprodukt nul is .
### 4.9 Verdraaiingsformule voor traagheidsprodukt
Deze formule maakt het mogelijk om het traagheidsprodukt in een nieuw assenstelsel te berekenen, dat ten opzichte van het oorspronkelijke assenstelsel een hoek $\alpha$ maakt .
Gegeven de traagheidsmomenten $I_x, I_y$ en het traagheidsprodukt $C_{xy}$ in het $(x,y)$ assenstelsel. Het traagheidsprodukt $C'_{x'y'}$ in een assenstelsel $(x', y')$ dat een hoek $\alpha$ maakt met $(x,y)$ is:
$$C'_{x'y'} = \frac{I_x - I_y}{2} \sin(2\alpha) + C_{xy} \cos(2\alpha)$$ .
**Besluit:** Met de hoofdtraagheidsmomenten corresponderen traagheidsproducten van nul, en omgekeerd. Symmetrieassen zijn hoofdtraagheidsassen .
### 4.10 Cirkel van Mohr
De cirkel van Mohr is een grafische methode om de traagheidsmomenten en het traagheidsprodukt voor elke willekeurige oriëntatie van de assen te bepalen, uitgaande van de gegevens in één assenstelsel .
**Constructie:**
1. Teken een assenstelsel met de horizontale as voor $I$ en de verticale as voor $C$ .
2. Markeer de punten $S(I_x, C_{xy})$ en $T(I_y, -C_{xy})$ op de $I$-as (of $C$-as, afhankelijk van de conventie) .
3. Het middelpunt $M$ van de cirkel ligt halverwege $S$ en $T$. De coördinaten van $M$ zijn $\left(\frac{I_x + I_y}{2}, 0\right)$ .
4. De straal $r$ van de cirkel is de afstand van $M$ tot $S$ (of $T$). $r = \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + C_{xy}^2}$ .
5. De punten waar de cirkel de $I$-as snijdt, stellen de hoofdtraagheidsmomenten $I_{max}$ en $I_{min}$ voor .
6. De hoek tussen de lijn $MS$ en de $I$-as, vermenigvuldigd met 2, geeft de hoek van de hoofdtraagheidsassen .
**Bewijs:** Elk punt $B(I_B, C_B)$ op de cirkel bepaalt de traagheidsmomenten en het traagheidsprodukt voor een as die een hoek $2\alpha$ maakt met de referentieas, waarbij $\alpha$ de hoek van de hoofdtraagheidsassen is .
$$I_B = \frac{I_x + I_y}{2} + r \cos(2\alpha + 2\theta) = \frac{I_x + I_y}{2} + \frac{I_x - I_y}{2} \cos(2\alpha) - C_{xy} \sin(2\alpha)$$ .
$$C_B = r \sin(2\alpha + 2\theta) = \frac{I_x - I_y}{2} \sin(2\alpha) + C_{xy} \cos(2\alpha)$$ .
**Voorbeeld:** Voor een rechthoek met $I_x = \frac{bh^3}{3}$, $I_y = \frac{hb^3}{12}$ en $C_{xy} = \frac{b^2 h^2}{4}$, kan met de cirkel van Mohr de grootte en ligging van de hoofdtraagheidsmomenten grafisch worden bepaald .
### 4.11 Berekeningsvoorbeelden
Het bepalen van de centrale hoofdtraagheidsmomenten en hun ligging voor samengestelde doorsneden vereist vaak het opsplitsen van de doorsnede in eenvoudigere delen, het bepalen van hun zwaartepunten, en het toepassen van de verschuivings- en verdraaiingsformules, eventueel in combinatie met de cirkel van Mohr .
**Werkwijze:**
1. Verdeel de doorsnede in onderdelen .
2. Bepaal het zwaartepunt van de gehele doorsnede .
3. Bereken de eigentraagheidsmomenten ($I_{z,x}, I_{z,y}$) en het traagheidsprodukt ($C_{z,xy}$) van elk deel ten opzichte van hun eigen zwaartepuntassen .
4. Pas de verschuivingsformule toe om de traagheidsmomenten en traagheidsproducten van elk deel ten opzichte van de centrale assen van de gehele doorsnede te berekenen .
5. Tel de traagheidsmomenten en traagheidsproducten van de delen op om de totale traagheidsgrootheden ($I_x, I_y, C_{xy}$) voor de samengestelde doorsnede te verkrijgen .
6. Gebruik de verdraaiingsformules of de cirkel van Mohr om de hoofdtraagheidsmomenten ($I_{max}, I_{min}$) en de ligging van de hoofdtraagheidsassen te bepalen .
**Voorbeeld 1 (hoekprofiel):** Een hoekprofiel wordt opgesplitst in twee rechthoeken. Het zwaartepunt wordt berekend, vervolgens de traagheidsmomenten ($I_x, I_y$) en het traagheidsprodukt ($C_{xy}$) ten opzichte van de centrale assen. Daarna worden de hoofdtraagheidsmomenten en hun ligging analytisch en grafisch bepaald .
**Voorbeeld 2 (samengesteld profiel):** Een samengesteld profiel bestaande uit een U-profiel en een hoekprofiel wordt opgesplitst. De zwaartepuntscoördinaten, traagheidsmomenten en het traagheidsprodukt worden berekend voor de gehele doorsnede. Vervolgens worden de hoofdtraagheidsmomenten en hun ligging bepaald met behulp van de formules en de cirkel van Mohr .
---
# Trek en druk
Hier is de studiehandleiding voor het onderwerp "Trek en druk", gebaseerd op de verstrekte documentatie.
## 5. Trek en druk
Dit gedeelte behandelt de fundamentele concepten van spanning en rek in materialen, de berekening van trek- en drukspanningen, de invloed van temperatuur en eigengewicht, en de analyse van meer complexe belastingssituaties zoals die in samengestelde materialen en hyperstatische constructies.
### 5.1 Het spanning-rek diagram
Het spanning-rek diagram toont het gedrag van een materiaal onder toenemende trekkracht. Een trekproef wordt uitgevoerd met een gestandaardiseerde proefstaaf .
* **Rek (ε)**: De relatieve verlenging van een staaf, gedefinieerd als de verandering in lengte (Δl) gedeeld door de oorspronkelijke lengte (l) .
$ \epsilon = \frac{\Delta l}{l} $ .
* **Wet van Hooke**: Binnen het elastische gebied is de spanning ($\sigma$) recht evenredig met de rek ($\epsilon$), beschreven door de elasticiteitsmodulus (E) .
$ \sigma = E \cdot \epsilon $ .
Hieruit volgt: $ \Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot E} $ .
Belangrijke punten in het spanning-rek diagram zijn:
* **Evenredigheidsgrens ($\sigma_p$)**: Het punt waar de relatie tussen spanning en rek niet langer lineair is .
* **Elasticiteitsgrens ($\sigma_e$)**: De spanning waarboven permanente vervorming optreedt .
* **Vloeigrens ($\sigma_v$)**: Het punt waar de rek toeneemt zonder significante spanningstoename, of zelfs met afnemende spanning (bij zacht staal) .
* **Treksterkte ($\sigma_{Bt}$ of $R_m$)**: De maximale spanning die het materiaal kan weerstaan voordat insnoering begint .
* **Breukrek ($\delta$)**: De totale verlenging na breuk als percentage van de oorspronkelijke lengte .
**Elasticiteitsmodulus (E)** is een materiaalconstante die aangeeft welke spanning nodig is voor een rek van $\epsilon = 1$. Voorbeelden van E-waarden zijn :
* Staal: $210.000 \, \text{N/mm}^2$ .
* Hout: $10.000 \, \text{N/mm}^2$ .
* Koper: $130.000 \, \text{N/mm}^2$ .
* Aluminium: $70.000 \, \text{N/mm}^2$ .
* Gietijzer: $100.000 \, \text{N/mm}^2$ .
* Lood: $16.000 \, \text{N/mm}^2$ .
> **Tip**: Bij het berekenen van verlengingen onder belasting, denk eraan dat de rek recht evenredig is met de aangebrachte kracht en de lengte, en omgekeerd evenredig met de doorsnede en de elasticiteitsmodulus.
### 5.2 Toelaatbare spanningen
Toelaatbare spanningen zijn essentieel om te voorkomen dat een constructie bezwijkt door scheuren, blijvende vervorming of breuk. In deze cursus wordt uitgegaan van het evenredigheidsgebied waar de Wet van Hooke geldig is .
* **Toelaatbare spanning ($\sigma_{toelaatbaar}$)**: Een fractie van de breuksterkte ($\sigma_{Bt}$) of vloeigrens ($\sigma_v$) van een materiaal. Deze fractie wordt bepaald door de veiligheidscoëfficiënt (v) .
$ \sigma_{toelaatbaar} = \frac{\sigma_v \text{ of } \sigma_{Bt}}{v} $ .
De veiligheidscoëfficiënt (v) moet groter zijn dan een minimale waarde die afhangt van de verhouding tussen vloeigrens en proportionaliteitsgrens. Typische waarden voor v liggen tussen 3 en 10 .
Het is cruciaal dat de werkelijk optredende spanningen in de constructie kleiner of gelijk zijn aan de toelaatbare spanningen:
* Trek: $ \sigma_{optredend} \le \sigma_{toelaatbaar, trek} $ .
* Druk: $ \sigma_{optredend} \le \sigma_{toelaatbaar, druk} $ .
* Schuif: $ \tau_{optredend} \le \tau_{toelaatbaar, schuif} $ .
De breuksterkte en dus de toelaatbare spanningen worden beïnvloed door:
* **Aard van het materiaal**: Verschillende materialen hebben inherent verschillende sterkte-eigenschappen .
* **Wijze van belasten**:
* **Statische belasting**: Kracht wordt geleidelijk en eenmalig toegepast (bv. kolommen, funderingen). Toelaatbare spanningen zijn hier het hoogst .
* **Schokkende belasting**: Kracht wordt herhaaldelijk toegepast in dezelfde zin, met volledige ontlasting ertussen (bv. hefkabels). Toelaatbare spanningen zijn ongeveer 2/3 van statische belasting .
* **Wisselende belasting**: Kracht wisselt herhaaldelijk van zin (bv. drijfstang). Toelaatbare spanningen zijn slechts ongeveer 1/3 van statische belasting .
> **Tip**: Dynamische belastingen (schokkend en wisselend) leiden tot vermoeiing van het materiaal, waardoor constructiedelen bij lagere spanningen kunnen bezwijken dan bij statische belasting .
### 5.3 Trek- en drukspanningen
Sterkteleer biedt de methoden om de afmetingen van constructiedelen te berekenen zodat ze bestand zijn tegen krachten met minimaal materiaalverbruik. Dit kan zowel voor ontwerpberekeningen (afmetingen bepalen) als controleberekeningen (capaciteit van bestaande delen vaststellen). Naast sterkte kan ook vervorming een eis zijn .
Voor een rechte, homogene staaf onder axiale trekkracht F, wordt de normaalspanning ($\sigma$) in een doorsnede A gedefinieerd als:
$ \sigma = \frac{F}{A} $ .
* **Trekspanning ($\sigma_t$)**: Ontstaat wanneer de kracht de staaf uitrekt .
* **Drukspanning ($\sigma_d$)**: Ontstaat wanneer de kracht de staaf samendrukt .
**Soorten vraagstukken:**
* **Ontwerpberekening**: Bepalen van de minimale afmetingen van een belast stuk. Hierbij wordt uitgegaan van $ \sigma_{optredend} = \sigma_{toelaatbaar} $.
$ A_{min} \ge \frac{F}{\sigma_{toelaatbaar}} $ .
* **Controleberekening**: Bepalen van de optredende spanning in een stuk met gekende afmetingen en belasting. De voorwaarde is $ \sigma_{optredend} \le \sigma_{toelaatbaar} $ .
* **Maximale belasting bepalen**: Voor een bestaand constructiestuk.
$ F_{max} = \sigma_{toelaatbaar} \cdot A $ .
### 5.4 Spanningen in een willekeurige doorsnede
Wanneer een staaf onder axiale belasting F wordt belast, en men beschouwt een willekeurige doorsnede die een hoek $\alpha$ maakt met de normaaldoorsnede, dan kan de inwendige kracht F ontbonden worden in een normaalkracht Q loodrecht op de doorsnede en een schuifkracht S langs de doorsnede .
Laat A de oppervlakte van de normaaldoorsnede zijn. De oppervlakte van de schuine doorsnede is $ A' = \frac{A}{\cos \alpha} $ .
* **Normaalspanning ($\sigma_\alpha$)**: Veroorzaakt door Q.
$ Q = F \cos \alpha $ .
$ \sigma_\alpha = \frac{Q}{A'} = \frac{F \cos \alpha}{A / \cos \alpha} = \frac{F}{\_A} \cos^2 \alpha $ .
Deze is maximaal als $ \cos^2 \alpha = 1 $, dus $\alpha = 0^\circ$ (normaaldoorsnede), $ \sigma_{max} = \frac{F}{A} $. En nul als $ \cos^2 \alpha = 0 $, dus $\alpha = 90^\circ$ (langse doorsnede) .
* **Schuifspanning ($\tau_\alpha$)**: Veroorzaakt door S.
$ S = F \sin \alpha $ .
$ \tau_\alpha = \frac{S}{A'} = \frac{F \sin \alpha}{A / \cos \alpha} = \frac{F}{\_A} \sin \alpha \cos \alpha = \frac{F}{2A} \sin(2\alpha) $ .
Deze is maximaal als $ \sin(2\alpha) = 1 $, dus $\alpha = 45^\circ$, waarbij $ \tau_{max} = \frac{F}{2A} $. En nul als $ \sin(2\alpha) = 0 $, dus $\alpha = 0^\circ$ of $\alpha = 90^\circ$ .
> **Tip**: De maximale normaalspanning treedt op in de doorsnede loodrecht op de staafas, terwijl de maximale schuifspanning optreedt in doorsneden onder een hoek van 45° ten opzichte van de staafas.
### 5.5 Spanning rekeninghoudend met het eigengewicht
Bij constructies in de bouw kan het eigengewicht van de materialen een aanzienlijke belasting vormen die niet verwaarloosd mag worden .
#### 5.5.1 Profielen met constante doorsnede en veranderende kracht
Voor een kolom met constante doorsnede A, soortelijk gewicht $\gamma$ en lengte l, belast met een drukkracht F, zal de kracht in een willekeurige doorsnede op afstand x van het vrije uiteinde gelijk zijn aan F plus het gewicht van het deel erboven. Het gewicht G van de kolom is $ G = \gamma \cdot A \cdot l $ .
De kracht in een doorsnede op afstand x van het vrije einde is: $ F_x = F + \frac{x}{l} G $ .
De drukspanning in die doorsnede is:
$ \sigma_x = \frac{F_x}{A} = \frac{F}{A} + \frac{G}{A} \frac{x}{l} $ .
$ \sigma_x = \frac{F}{A} + \gamma x $ .
De spanning is maximaal in de onderste doorsnede ($x=l$):
$ \sigma_{x=l} = \frac{F}{A} + \frac{G}{A} = \frac{F+G}{A} $ .
**Verkoring met eigengewicht:**
De totale verkorting ($\Delta l_{tot}$) is de som van de verkorting door de externe kracht F ($\Delta l_1$) en de verkorting door het eigengewicht ($\Delta l_2$) .
$ \Delta l_1 = \frac{F \cdot l}{A \cdot E} $ .
De verkorting door het eigengewicht is afhankelijk van de positie in de kolom. De gemiddelde kracht die op de staaf werkt, rekening houdend met eigengewicht, is $ \frac{F + G}{2} $ .
De totale verkorting wordt dan:
$ \Delta l = \frac{F}{AE}l + \frac{Gl}{2AE} = \frac{l}{AE} (F + \frac{G}{2}) $ .
De totale rek is:
$ \epsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{F + G/2}{AE} $ .
> **Tip**: Houd rekening met het eigengewicht van structurele elementen, vooral bij lange, zware constructies.
#### 5.5.2 Profielen van gelijke weerstand tegen trek en druk
Profielen met gelijke weerstand zijn ontworpen om in elke doorsnede dezelfde toelaatbare spanning te hebben, ongeacht de hoogte of lengte, om materiaal te besparen. Dit resulteert in een exponentiële vorm van het profiel .
De formule voor een dergelijk profiel is:
$ A(x) = A_0 e^{-\frac{\gamma \cdot x}{F}} $ .
Waarin $A_0$ de oppervlakte is op $x=0$.
### 5.6 Centrische trek of druk o.i.v. temperatuursvariaties
Temperatuurveranderingen kunnen aanzienlijke spanningen veroorzaken als de uitzetting of inkrimping van een materiaal wordt beperkt .
#### 5.6.1 Enkelvoudig materiaal
Als een staaf met lengte l, lineaire uitzettingscoëfficiënt $\alpha$, wordt ingeklemd tussen twee vaste punten en de temperatuur verandert met $\Delta t$, dan is de potentiële lengteverandering $\Delta l_1 = l \cdot \alpha \cdot \Delta t$. Als deze verandering niet kan plaatsvinden, ontstaat een spanning .
De optredende spanning is:
$ \sigma = E \cdot \alpha \cdot \Delta t $ .
* Als $\Delta t > 0$ (temperatuurstijging), ontstaat een drukspanning.
* Als $\Delta t < 0$ (temperatuurdaling), ontstaat een trekspanning.
> **Voorbeeld**: Stootvoegen in treinrails zijn nodig om de uitzetting bij hogere temperaturen op te vangen. Zonder deze ruimte zou er een aanzienlijke drukspanning ontstaan in de rails .
#### 5.6.2 Samengesteld materiaal
Bij samengestelde stukken van verschillende materialen die aan temperatuurverandering onderhevig zijn, kunnen interne spanningen ontstaan als de uitzettingscoëfficiënten verschillen .
Voor twee materialen met oppervlakten $A_1, A_2$ en elasticiteitsmoduli $E_1, E_2$, en uitzettingscoëfficiënten $\alpha_1, \alpha_2$, onder invloed van een temperatuurverandering $\Delta t$:
De door temperatuur veroorzaakte kracht X in het ene materiaal (en de tegengestelde trekkracht in het andere) kan berekend worden uit de gelijkheid van de lengteveranderingen:
$ \Delta l_1 = l \cdot \alpha_1 \cdot \Delta t + \frac{X}{A_1 E_1} $ .
$ \Delta l_2 = l \cdot \alpha_2 \cdot \Delta t - \frac{X}{A_2 E_2} $ .
Stel $ \Delta l_1 = \Delta l_2 $, dan:
$ X = (\alpha_2 - \alpha_1) \cdot \Delta t \cdot \frac{1}{\frac{1}{A_1 E_1} + \frac{1}{A_2 E_2}} $ .
Als de samenstelling niet symmetrisch is, kan kromtrekken optreden .
### 5.7 Staven uit tweeerlei materialen - Gewapend beton
Wanneer een staaf uit verschillende materialen bestaat, worden de spanningen berekend onder de aanname dat de doorsneden vlak blijven ($\epsilon = \text{constant}$). De totale kracht F wordt verdeeld over de verschillende materialen .
Voor twee materialen I en II met oppervlakten $A_I, A_{II}$ en elasticiteitsmoduli $E_I, E_{II}$, en $n = \frac{E_{II}}{E_I}$:
De totale ideale doorsnede is $A_{ideaal} = A_I + n A_{II}$ .
De spanningen worden dan:
$ \sigma_I = \frac{F}{A_I + n A_{II}} $ .
$ \sigma_{II} = \frac{n F}{A_I + n A_{II}} $ .
Bij gewapend beton is materiaal I staal en materiaal II beton, met $n \approx 15$. Praktisch wordt de totale oppervlakte van de kolom gebruikt in plaats van de beton-oppervlakte .
$ \sigma_{\text{beton}} = \frac{F}{A_{tot} + n A_{\text{staal}}} $ .
$ \sigma_{\text{staal}} = \frac{n F}{A_{tot} + n A_{\text{staal}}} $ .
### 5.8 Voorgespannen stukken
Voorspanning wordt toegepast in samengestelde stukken om de toelaatbare spanningen in beide materialen tegelijkertijd te bereiken bij maximale belasting. Dit optimaliseert het materiaalgebruik .
Het doel is de ideale voorspankracht X te bepalen, zodanig dat bij maximale uitwendige belasting N, in beide materialen de toelaatbare spanningen ($\sigma_{toelaatbaar, 1}$ en $\sigma_{toelaatbaar, 2}$) worden bereikt .
De resulterende spanningen in de materialen onder een uitwendige trekkracht N zijn:
$ \sigma_1 = \frac{N - X}{A_1} \cdot \frac{E_1 A_1}{E_1 A_1 + E_2 A_2} $ .
$ \sigma_2 = \frac{N - X}{A_2} \cdot \frac{E_2 A_2}{E_1 A_1 + E_2 A_2} $ .
(Let op: de formules op pagina 173 lijken de verdeling van de kracht N te beschrijven, niet de spanningen direct. De hier gegeven formules zijn gebaseerd op de principes van spanningstoename door externe belasting op een reeds voorgespannen systeem.)
De ideale voorspankracht X wordt zo gekozen dat:
$ \sigma_1 = \sigma_{toelaatbaar, 1} $ en $ \sigma_2 = \sigma_{toelaatbaar, 2} $ .
Dit leidt tot de ideale voorspankracht:
$ X = \frac{\sigma_{toelaatbaar, 1} A_1 \cdot E_1 A_1 + \sigma_{toelaatbaar, 2} A_2 \cdot E_2 A_2}{E_1 A_1 + E_2 A_2} $
Of, voor een specifieke keuze van voorspankracht op één materiaal:
$ X = \sigma_{toelaatbaar, 1} \cdot A_1 $ (dit is een vereenvoudiging voor een fictief geval) .
Bij maximale belasting kan de som van de krachten in beide materialen worden berekend:
$ N_{max} = \sigma_{toelaatbaar, 1} A_1 + \sigma_{toelaatbaar, 2} A_2 $ .
> **Voorbeeld**: Voorgespannen betonnen bruggen gebruiken stalen kabels om het beton onder druk te zetten, zodat het beton niet op trek belast wordt, zelfs niet bij maximale belasting .
### 5.9 Dwarscontractiemodulus - Relatieve volumeverandering
#### 5.9.1 Dwarscontractiemodulus
Wanneer een materiaal in lengterichting wordt uitgerekt, krimpt de dwarsdoorsnede, en omgekeerd. Dit fenomeen heet dwarscontractie. De verhouding van de relatieve dwarsrek ($\epsilon'$) tot de relatieve lengterek ($\epsilon$) is de constante van Poisson ($v$) .
$ v = -\frac{\epsilon'}{\epsilon} $ .
De dwarscontractiemodulus ($m$) is gerelateerd aan de constante van Poisson:
$ m = \frac{1}{v} $ .
Of: $ \epsilon' = -\frac{\epsilon}{m} $ .
Voorbeelden:
* Staal: $m \approx 3.5 - 3.6$ .
* Beton: $m \approx 5.5 - 12$ .
#### 5.9.2 Relatieve volumeverandering
De relatieve volumeverandering ($\epsilon_v$) van een lichaam onder spanning, met spanningen $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ in de drie loodrechte richtingen, wordt gegeven door:
$ \epsilon_v = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z $ .
$ \epsilon_v = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{E} (1 - 2\nu) $ .
Of, uitgedrukt met de dwarscontractiemodulus:
$ \epsilon_v = \frac{\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z}{E} \left(1 - \frac{2}{m}\right) $ .
Voor alzijdig trek of druk ($\sigma_x = \sigma_y = \sigma_z = \sigma$):
$ \epsilon_v = 3 \frac{\sigma}{E} (1 - 2\nu) = \frac{3\sigma}{E} \left(1 - \frac{2}{m}\right) $ .
Voor volumevermeerdering bij alzijdig trek geldt dat $m > 2$ .
> **Tip**: De constante van Poisson en de dwarscontractiemodulus zijn materiaalconstanten die essentieel zijn voor het berekenen van de volumeverandering onder belasting.
### 5.10 Hyperstatische belastingsgevallen in centrische druk of trek
Hyperstatische (of statisch onbepaalde) systemen zijn constructies waarbij het aantal onbekende reacties groter is dan het aantal evenwichtsvergelijkingen uit de statica. Om deze op te lossen, zijn bijkomende 'elasticiteitsvergelijkingen' nodig die gebaseerd zijn op de vervormingen van het systeem .
Als een systeem $n$ reacties meer heeft dan evenwichtsvergelijkingen, is het $n$-voudig hyperstatisch .
**Voorbeeld 1**: Een staaf ingeklemd aan beide zijden met een axiale kracht F in het midden.
Het systeem is 1-voudig hyperstatisch. De elasticiteitsvergelijking is dat de verkorting van het ene deel gelijk is aan de verlenging van het andere deel .
$ \Delta l_{AC} = \Delta l_{BC} $
Dit leidt tot reacties $ R_A = \frac{2}{3}F $ en $ R_B = \frac{1}{3}F $. De maximale spanning is $ \sigma_{max} = \frac{2F}{3A} $ .
**Voorbeeld 2**: Drie ophangstaven belast door kracht F.
Dit is een 1-voudig hyperstatisch geval. De evenwichtsvergelijkingen zijn $ \Sigma F_y = 0 $ en $ \Sigma F_x = 0 $. De elasticiteitsvergelijking is gebaseerd op de relatie tussen de verlengingen van de staven: $ \Delta l_1 = \Delta l_2 \cos \alpha $. Hieruit volgen de krachten in de staven als functie van F en $\alpha$ .
**Voorbeeld 3**: Twee staven in elkaars verlengde, belast met kracht F in het middenpunt C.
Dit is een 1-voudig hyperstatisch geval. De evenwichtsvergelijking is $ F - 2N \sin \beta = 0 $. De elasticiteitsvergelijking relateert de doorbuiging van C aan de krachten in de staven en de geometrie. Voor kleine hoeken $\beta$, $F \approx 2N\beta$ .
> **Tip**: Bij hyperstatische problemen is het cruciaal om zowel de evenwichtscondities als de compatibiliteitscondities (vervormingen) correct op te stellen.
---
# Afschuiving
Deze module behandelt schuifspanningen, de wet van wederkerigheid der schuifspanningen, het verband tussen materiaalconstanten, en zuivere afschuivingsproblemen .
### 6.1 Schuifspanningen en vormverandering
#### 6.1.1 Schuifspanning
Schuifspanning ontstaat wanneer een materiaal wordt onderworpen aan krachten die loodrecht op de vezels staan. In een horizontale balk, aan één zijde ingeklemd en belast met een verticale kracht $F$, wordt deze kracht een schuifkracht of dwarskracht genoemd. Op de beschouwde doorsnede $AB$ treedt zowel buiging als schuifspanning op .
Zuivere afschuiving treedt op wanneer een stuk onderworpen is aan twee gelijke, tegengesteld gerichte krachten $F$ die elk langs één zijde van de normaaldoorsnede zijn toegepast. Dit is relevant bij wringing en benaderingen bij klink- en boutverbindingen .
Indien de kracht $F$ zich gelijkmatig over een oppervlak $A$ verdeelt, is de gemiddelde schuifspanning $\tau = \frac{F}{A}$. Om breuk te voorkomen, moet de schuifkracht niet groter zijn dan de schuifsterkte $T_B$. Schuifspanningen zijn dwarsspanningen, aangezien ze in het vlak van de belaste doorsnede liggen, in tegenstelling tot normaalspanningen (trek- en drukspanningen) die loodrecht op de doorsnede staan .
De schuifspanning die in het materiaal aanwezig is op het moment dat afschuiving begint en de schuifkracht haar maximum bereikt, wordt de schuifsterkte of schuifvastheid $T_B$ genoemd. De schuifvastheid is moeilijk nauwkeurig te bepalen, daarom wordt de toelaatbare schuifspanning $\tau$ herleid uit de toelaatbare treksterkte van het materiaal, met een richtwaarde van $\tau \approx \frac{1}{2} \sigma_t$ .
> **Tip:** Schuifspanningen $\tau$ werken in het vlak van de doorsnede, terwijl normaalspanningen $\sigma$ er loodrecht op staan.
#### 6.1.2 Vormverandering
Onder invloed van een afschuifkracht zal een doorsnede verschuiven ten opzichte van een andere. Als de afschuifkracht niet te groot is, is de schuifspanning evenredig met de hoekverandering $\gamma$. Dit leidt tot een formule die analoog is aan de Wet van Hooke voor trekproeven ($\sigma = E \cdot \epsilon$) .
Voor een afschuifproef geldt de relatie:
$$ \tau = G \cdot \gamma $$
waarbij $G$ de glijdingsmodulus is, een materiaalkonstante. $Y$ is de hoekverandering, waarbij $\gamma = \frac{\Delta y}{l}$ (en analoog voor $\epsilon = \frac{\Delta l}{l}$) .
De hoekverandering is dus rechtstreeks evenredig met de schuifspanning:
$$ \gamma = \frac{\tau}{G} $$ .
> **Memoregels:**
> - Trekproef: $\sigma = E \cdot \epsilon$
> - Afschuifproef: $\tau = G \cdot \gamma$
### 6.2 Wet van de wederkerigheid der schuifspanningen
De wet van de wederkerigheid der schuifspanningen stelt dat de componenten van de schuifspanningen in twee elkaar loodrechte snijdende, oneindig kleine vlakjes, loodrecht op de snijlijn van die vlakjes, even groot zijn en ofwel naar de snijlijn toe gericht zijn, ofwel ervan af .
**Bewijs:**
Beschouw een oneindig kleine kubus in evenwicht. Vanuit het principe van momentenevenwicht rond een lijn $AB$ (die door de snijpunten van de diagonalen van het voor- en achtervlak loopt) kan de wet worden afgeleid. De momenten van de normaalkrachten en de schuifkrachten op de voor- en achtervlakken, evenals het eigen gewicht van de kubus, worden verwaarloosd of zijn nul .
Voor de overige krachten ($S_1, S_1', S_2, S_2'$) die op de zijvlakken werken, wordt de momentenvergelijking opgesteld. Met substitutie van $S_1' = S_1 + dS_1$ en $S_2' = S_2 + dS_2$, en het verwaarlozen van producten van oneindig kleine grootheden (principe van Leibniz), wordt de volgende relatie verkregen :
$$ S_2 dx = S_1 dy $$
Door de schuifkrachten te definiëren als $S_1 = \tau_1 dx dz$ en $S_2 = \tau_2 dy dz$, waarbij $\tau_1$ en $\tau_2$ de schuifspanningen zijn, volgt:
$$ \tau_1 = \tau_2 $$ .
> **Tip:** De wet van de wederkerigheid is cruciaal voor het begrip van de interne spanningsverdeling in materialen.
### 6.3 Verband tussen de materiaalconstanten G, E en $\mu$
Beschouw een vierkante doorsnede $ABCD$ in een op trek belaste staaf. De diagonaal $AC$ ligt langs de trekkracht, terwijl $BD$ er loodrecht op staat. Door de trekkracht vervormt het vierkant tot een ruit $A_1B_1C_1D_1$ .
De nieuwe lengtes van de diagonalen worden gegeven door:
$A_1C_1 = d(1+\epsilon)$
$B_1D_1 = d(1-\mu \epsilon)$ .
De zijden $AB$ en $AD$ maken een hoek van 45° met de lengte-as van de staaf. Op deze lijnen bereikt de schuifspanning haar maximale waarde :
$$ \tau_{max} = \frac{F}{2A} \sin(2 \times 45^\circ) = \frac{F}{2A} $$ .
Deze schuifspanning veroorzaakt een hoekverandering $\gamma$. De oorspronkelijke hoek $\angle BAD$ van 90° verandert in $90^\circ - \gamma$ .
De tangens van de halve hoek $B_1A_1D_1$ kan worden uitgedrukt als:
$$ \tan(45^\circ - \frac{\gamma}{2}) = \frac{B_1D_1/2}{A_1C_1/2} = \frac{B_1D_1}{A_1C_1} = \frac{d(1-\mu\epsilon)}{d(1+\epsilon)} \approx (1-\mu\epsilon)(1-\epsilon) \approx 1 - (\mu+1)\epsilon $$ .
Voor kleine hoeken geldt ook:
$$ \tan(45^\circ - \frac{\gamma}{2}) \approx 1 - \frac{\gamma}{2} $$ .
Door deze twee uitdrukkingen gelijk te stellen en rekening te houden met het principe van Leibniz en de relatie $\tau = G \gamma$ en $\sigma = E \epsilon$, waarbij $\tau_{max} = \frac{1}{2} \sigma_{max}$, kan het verband worden afgeleid:
$$ \frac{E}{G} = 2(1 + \mu) $$ .
**Voorbeeld:**
Voor staal met $\mu = 3.5$ en $E = 210.000 \text{ N/mm}^2$, volgt $G = 81.700 \text{ N/mm}^2$ .
> **Tip:** Dit verband is essentieel voor het correct bepalen van materiaaleigenschappen en het analyseren van complexe spanningssituaties.
### 6.4 Voorbeelden
#### 6.4.1 Voorbeeld 1: Ponsen van gaten
In plaatstaal met een dikte $s = 8 \text{ mm}$ moeten vier gaten met een diameter $d = 17 \text{ mm}$ worden geponst. De schuifsterkte van het materiaal is $T_B = 300 \text{ N/mm}^2$. De benodigde kracht $F$ wordt berekend met de formule $F \ge T_B \cdot A$, waarbij $A$ het totale afschuifoppervlak is ($4 \times \pi \cdot d \cdot s$) .
$F \ge 300 \text{ N/mm}^2 \cdot 4 \cdot \pi \cdot 17 \text{ mm} \cdot 8 \text{ mm} = 512.700 \text{ N} = 512.7 \text{ kN}$ .
#### 6.4.2 Voorbeeld 2: Diameter van een gat
Voor het ponsen van een gat in een heet stalen plaat met dikte $s = 20 \text{ mm}$, met een beschikbare kracht van $180 \text{ kN}$ en een schuifsterkte van $T_B = 90 \text{ N/mm}^2$, wordt de maximale diameter $d$ berekend. De formule is $d \le \frac{F}{T_B \cdot \pi \cdot s}$ .
$d \le \frac{180.000 \text{ N}}{90 \text{ N/mm}^2 \cdot \pi \cdot 20 \text{ mm}} = 3.18 \text{ mm}$ .
#### 6.4.3 Voorbeeld 3: Boutsterkte
Een bout ondervindt een trekkracht $F = 65 \text{ kN}$. De toelaatbare trekspanning is $\sigma_{toelaatbaar} = 120 \text{ N/mm}^2$ .
1. **Diameter van de boutsteel:** De diameter $d$ wordt berekend met $\sigma_{toelaatbaar} = \frac{F}{A} = \frac{4F}{\pi d^2}$ .
$d^2 \ge \frac{4F}{\pi \sigma_{toelaatbaar}} = \frac{4 \cdot 65.000 \text{ N}}{\pi \cdot 120 \text{ N/mm}^2} \approx 687.5 \text{ mm}^2$
$d \ge \sqrt{687.5} \approx 26.3 \text{ mm}$ .
2. **Hoogte van de boutkop:** De hoogte $h$ wordt berekend op basis van schuifspanning in de boutkop, met een factor van 0.8 voor de effectieve schuifdoorsnede .
$\tau_{toelaatbaar} = \frac{F}{2 \pi r \cdot 0.8 h}$
Hier wordt aangenomen dat de schuifsterkte gerelateerd is aan de trekspanning, maar de exacte formule wordt niet volledig uitgewerkt in het document voor deze specifieke berekening. Echter, de oplossing toont:
$h = \frac{F}{2 \pi r \cdot 0.8 \sigma_{toelaatbaar}}$ (impliciete aanname van een relatie tussen trek- en schuifsterkte)
Met $r = d/2 = 13.15 \text{ mm}$:
$h = \frac{65.000 \text{ N}}{2 \cdot \pi \cdot 13.15 \text{ mm} \cdot 0.8 \cdot 120 \text{ N/mm}^2} \approx 8 \text{ mm}$ .
---
# Wringing
Deze module behandelt de schuifspanningen ten gevolge van wringende momenten, het verband daartussen, de wringingshoek en de dimensionering van schroefveren, specifiek voor homogene ronde staven .
### 7.1 Inleiding tot wringing
Wringing treedt op wanneer een koppelmoment wordt uitgeoefend op een staaf, loodrecht op de as van de staaf. Voor een homogene ronde staaf, ingeklemd aan één uiteinde en belast met een koppelvektor $M_w$ aan het andere uiteinde, geldt dat de wringende momenten aan beide uiteinden tegengesteld gericht en even groot zijn voor evenwicht. Dit fenomeen wordt zuivere wringing genoemd, waarbij er geen dwarskracht, normaalkracht of buigend moment optreedt. Het gevolg van het wringend moment is een verdraaiing van de doorsneden, die volgens de Wet van Hooke evenredig is met het toegepaste moment, de lengte van de staaf en omgekeerd evenredig met het polaire traagheidsmoment en de glijdingsmodulus van het materiaal .
De uitdrukking voor de wringingshoek $\theta$ is:
$$ \theta = \frac{M_w \cdot a}{G \cdot I_p} $$
waarbij $a$ de lengte van de staaf is, $G$ de glijdingsmodulus en $I_p$ het polair traagheidsmoment van de doorsnede .
### 7.2 Schuifspanningen ten gevolge van het wringend moment $M_w$
Bij zuivere wringing op een ronde staaf treden schuifspanningen op die ervoor zorgen dat vlakjes verschuiven. Aangenomen wordt dat doorsneden vlak blijven en radii recht blijven na vervorming. Het bovenvlak draait over een hoek $\theta$ ten opzichte van het ingeklemde ondervlak. De schuifspanningen zijn recht evenredig met de afstand $\rho$ tot het middelpunt van de doorsnede .
De relatie tussen de schuifspanning $\tau_\rho$ op een afstand $\rho$ van het middelpunt en de hoekverdraaiing $\gamma$ is:
$$ \tau_\rho = G \cdot \gamma $$
en aangezien $\gamma = \frac{\rho \cdot \theta}{a}$, volgt hieruit:
$$ \tau_\rho = G \cdot \theta \cdot \frac{\rho}{a} $$
waarbij $\tau_\rho$ de spanning is in een punt op afstand $\rho$ van het middelpunt als gevolg van het wringend moment $M_w$ .
De oneindig kleine dwarskracht $dD$ die werkt op een oneindig klein oppervlak $dA$ op afstand $\rho$ is:
$$ dD = \tau_\rho \cdot dA $$
De totale dwarskracht over de doorsnede wordt verkregen door integratie:
$$ D = \int_A \tau_\rho dA = G \cdot \theta \cdot \int_A \rho dA $$
Het integraal $\int_A \rho dA$ is het statisch moment van de doorsnede ten opzichte van de neutrale vezel. Aangezien de neutrale vezel door het middelpunt gaat en het statisch moment rondom het middelpunt nul is, is de som van alle dwarskrachtjes die door het wringend moment worden veroorzaakt nul .
### 7.3 Verband tussen $\tau$ en $M_w$
Voor een willekeurig punt op afstand $\rho$ van de neutrale vezel, genereert de kracht $dD$ een oneindig klein wringend moment $dM_w$ ten opzichte van het middelpunt:
$$ dM_w = \rho \cdot dD = \rho \cdot \tau_\rho \cdot dA $$
Door de relatie voor $\tau_\rho$ in te vullen, krijgen we:
$$ dM_w = G \cdot \theta \cdot \rho^2 \cdot dA $$
Het totale wringend moment $M_w$ is de som van al deze oneindig kleine momenten:
$$ M_w = \int_A dM_w = G \cdot \theta \cdot \int_A \rho^2 dA $$
Het integraal $\int_A \rho^2 dA$ is het polaire traagheidsmoment $I_p$ van de doorsnede. Voor een cirkelvormige doorsnede geldt $I_p = \frac{\pi}{2} R^4$ of $I_p = I_x + I_y$ .
Hieruit volgt de relatie:
$$ M_w = G \cdot \theta \cdot I_p $$
Dit kan worden herschreven als:
$$ G \cdot \theta = \frac{M_w}{I_p} $$
Combineren we dit met de uitdrukking voor $\tau_\rho$, dan krijgen we:
$$ \tau_\rho = \frac{M_w \cdot \rho}{I_p} $$
De maximale wringspanning $\tau_{max}$ treedt op aan de buitenste vezel (waar $\rho = R$):
$$ \tau_{max} = \frac{M_w \cdot R}{I_p} $$
Het weerstandsbiedend moment tegen wringing, $W_w$, wordt gedefinieerd als:
$$ W_w = \frac{I_p}{R} $$
Hiermee wordt de maximale wringspanning:
$$ \tau_{max} = \frac{M_w}{W_w} $$
Voor andere vezels op afstand $\rho$ van de neutrale vezel geldt de algemene uitdrukking:
$$ \tau_\rho = \frac{M_w \cdot \rho}{I_p} $$
of
$$ \tau_\rho = \tau_{max} \cdot \frac{\rho}{R} $$
> **Tip:** Het weerstandsbiedend moment $W_w$ is afhankelijk van de doorsnedevorm. Voor massieve ronde staven, dunwandige buizen en dikwandige buizen zijn specifieke formules voor $W_w$ afgeleid .
### 7.4 Wringingshoek $\theta$
De wringingshoek $\theta$ voor de gehele staaf van lengte $a$ kan worden uitgedrukt als:
$$ \theta = \frac{M_w \cdot a}{G \cdot I_p} $$
Hierin staat $\theta/a$ voor de hoekverandering per lengte-eenheid, en $G \cdot I_p$ staat voor de wringingsstijfheid, analoog aan de buigstijfheid .
### 7.5 Voorbeelden
#### 7.5.1 Bepalen van weerstandsmomenten $W_w$
* **Massieve ronde as:**
$$ W_w = \frac{\pi}{2} R^3 = \frac{\pi}{16} D^3 $$
waarbij $D$ de diameter is .
* **Dunwandige buis:** Aangenomen dat de dikte $t$ klein is ten opzichte van de straal $R$, en schuifspanningen gelijkmatig over de dikte verdeeld zijn. Dit volgt de wet van BREDT.
$$ W_w = 2 \cdot A \cdot t = 2 \cdot \pi R \cdot t $$
Hierbij is $A$ het ingesloten oppervlak door de gemiddelde straal en $t$ de dikte .
* **Dikwandige buis:**
$$ W_w = \frac{\pi}{2} \frac{R_b^4 - R_i^4}{R_b} $$
waarbij $R_b$ de buitenstraal is en $R_i$ de binnenstraal .
#### 7.5.2 Statisch onbepaald geval bij wringing
Bij statisch onbepaalde problemen met wringing (bv. een staaf ingeklemd aan beide uiteinden met variërende diameters) zijn meerdere evenwichtsvergelijkingen en compatibiliteitsvergelijkingen (hoekverdraaiingen) nodig om de reactiemomenten en interne momenten te bepalen. De totale hoekverdraaiing in het systeem moet nul zijn bij een inklemming .
#### 7.5.3 Schroefveren
Schroefveren zijn ontworpen om grote vervormingen op te nemen onder invloed van wringende momenten, vergelijkbaar met bladveren die buigende momenten opnemen .
* **Sterkte-eis:** De minimale diameter van de draad van de schroefveer ($d = 2r$) wordt bepaald door de optredende spanning gelijk te stellen aan de toelaatbare spanning $\tau_{toelaatbaar}$.
$$ M_w = F \cdot R = \tau_{max} \cdot W_w $$
met $W_w = \frac{\pi}{16} d^3$ voor een ronde draad. Dit leidt tot:
$$ d = \sqrt {\frac{16 \cdot M_w \cdot R}{\pi \cdot \tau_{toelaatbaar}}} $$ [3](#page=3).
* **Vervormingseis:** De afstandsverandering tussen de aangrijpingspunten van de krachten, zodat de windingen elkaar niet raken. Beschouw een stukje van lengte $ds$ van de veerwikkeling. De wringingshoek $d\theta$ is:
$$ d\theta = \frac{M_w \cdot ds}{G \cdot I_p} $$
waarbij $I_p = \frac{\pi}{2} r^4$ voor de ronde draad. De verplaatsing $dv$ van een punt op afstand $R$ van het centrum van de winding is:
$$ dv = R \cdot d\theta = \frac{M_w \cdot R \cdot ds}{G \cdot I_p} $$
Per volledige winding met omtrek $2\pi R$ is de verplaatsing:
$$ v = \frac{M_w \cdot R}{G \cdot I_p} \cdot 2\pi R $$
De totale afstandsverandering $f$ voor $n$ windingen is:
$$ f = n \cdot v = n \cdot \frac{M_w \cdot R^2 \cdot 2\pi}{G \cdot \frac{\pi}{2} r^4} = n \cdot \frac{4 \pi M_w R^2}{G \pi r^4} = n \cdot \frac{4 M_w R^2}{G r^4} $$
> **Tip:** Bij de dimensionering van schroefveren moeten zowel de sterkte-eis (om breuk te voorkomen) als de vervormingseis (om contact tussen windingen te vermijden) in acht worden genomen .
---
# Spanningstoestanden en grensspanningshypotheses
Deze module behandelt de concepten van lijn-, vlak- en ruimtespanningstoestanden, de hypothese van Coulomb en Huber-Hencky voor het bepalen van grensspanningen, en de analyse van samengestelde belastingsgevallen .
### 8.1 Spanningstoestanden
#### 8.1.1 Lijnspanningstoestand
Een lijnspanningstoestand treedt op wanneer op een punt in een materiaal slechts één normaalspanning werkt, parallel aan de lengteas van een balk onder trekbelasting .
* **Definitie:** In een lijnspanningstoestand werken er op een punt slechts normaalspanningen in één richting. Als een balk op trek wordt belast en loodrecht op de kracht wordt doorgesneden, heerst er enkel een normaalspanning $\sigma$ in het doorsnedevlak .
* **Cirkel van Mohr:** De cirkel van Mohr kan worden gebruikt om voor elke hoek $\alpha$ de bijbehorende normaalspanning ($\sigma_\alpha$) en afschuifspanning ($\tau_\alpha$) te bepalen. De constructie start met de normaalspanning op de $\sigma$-as; de straal van de cirkel is de helft van deze spanning .
* $\sigma_\alpha = \sigma \cdot \cos^2 \alpha$ .
* $\tau_\alpha = \sigma \cdot \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sigma}{2} \sin(2\alpha)$ .
* **Hoofdspanning:** De stand van de kubus waarbij enkel normaalspanningen optreden, wordt de hoofdspanningstoestand genoemd. In een zuivere trekproef is dit de oorspronkelijke doorsnede waar $\alpha=0$ .
> **Voorbeeld:** Bij een lijnspanningstoestand met $\sigma = 175$ N/mm², de spanningstoestand voor $\alpha = 35^\circ$ kan worden bepaald met de cirkel van Mohr. Hieruit volgen $\sigma_{35^\circ} = 117$ N/mm² en $\tau_{35^\circ} = 82$ N/mm² .
#### 8.1.2 Vlakspanningstoestand
Een vlakspanningstoestand ontstaat wanneer een punt in een materiaal wordt belast door normaalspanningen in twee loodrechte richtingen en schuifspanningen in het vlak van die richtingen .
* **Definitie:** Op een punt werken normaalspanningen $\sigma_x$ en $\sigma_y$ en schuifspanning $\tau_{xy}$. De dikte van het punt wordt als oneindig klein beschouwd, waardoor voor- en achtervlak spanningsloos zijn .
* **Relaties tussen spanningen:** Door evenwichtsvergelijkingen op te stellen voor een gedraaid element, worden de spanningen in een andere oriëntatie verkregen:
* $\sigma_\alpha = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\alpha) - \tau_{xy} \sin(2\alpha)$ .
* $\tau_\alpha = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\alpha) + \tau_{xy} \cos(2\alpha)$ .
* **Hoofdspanningen:** De hoofdspanningen ($\sigma_{max}$, $\sigma_{min}$) treden op wanneer de schuifspanning nul is ($\tau_\alpha = 0$). Dit wordt bereikt voor een bepaalde hoek $\alpha$ waarvoor geldt:
* $\tan(2\alpha) = \frac{-2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$ .
* **Cirkel van Mohr:** Net als bij de lijnspanningstoestand kan de cirkel van Mohr gebruikt worden om de hoofdspanningen en maximale schuifspanningen grafisch te bepalen. De constructie begint met het uitzetten van $\sigma_x$ en $\sigma_y$ op de $\sigma$-as en de bijbehorende schuifspanning $\tau_{xy}$ .
* De hoofdspanningen worden gegeven door:
* $\sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}$ .
* $\sigma_{min} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}$ .
* De maximale schuifspanning is:
* $\tau_{max} = \frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}$ .
> **Tip:** Bij het construeren van de cirkel van Mohr voor vlakspanning wordt een "richtingencentrum" (R.C.) gebruikt, dat het snijpunt is van de normalen op de $x$- en $y$-vlakjes. Dit punt ligt op de cirkel .
> **Voorbeeld:** Gegeven $\sigma_x = 30$ N/mm², $\sigma_y = -5$ N/mm² (druk), en $\tau_{xy} = 20$ N/mm². Hieruit kunnen de hoofdspanningen $\sigma_{max}$ en $\sigma_{min}$ en de maximale schuifspanning $\tau_{max}$ berekend worden .
#### 8.1.3 Ruimtespanningstoestand
Een ruimtespanningstoestand treedt op wanneer een punt in een materiaal wordt belast door normaalspanningen en schuifspanningen op alle drie de loodrechte vlakken .
* **Definitie:** Op elk vlakje van een kubusje werken één normaalspanning en twee schuifspanningen. Tegenoverliggende vlakjes hebben gelijke en tegengesteld gerichte spanningen voor evenwicht .
* **Hoofdspanningen:** Er bestaat een specifieke oriëntatie van de kubus waarbij op de vlakjes alleen normaalspanningen werken. Dit zijn de hoofdspanningen $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ .
### 8.2 Grensspanningshypotheses
Grensspanningshypotheses worden gebruikt om de gevaarlijkheid van een complexe spanningstoestand (vlak- of ruimtespanning) te vergelijken met een eenvoudige spanningstoestand (lijnspanning, zoals bij een trekproef), om te bepalen of materiaalbezwaar optreedt. Het doel is om een equivalente normaalspanning ($\sigma_i$) te vinden die in een lijnspanningstoestand dezelfde mate van bezwijking veroorzaakt .
#### 8.2.1 Hypothese van Coulomb (Maximale Schuifspanninghypothese)
Deze hypothese stelt dat materiaalbezwaar optreedt wanneer de maximale schuifspanning in de vlakspanningstoestand gelijk wordt aan de maximale schuifspanning in een lijnspanningstoestand die leidt tot materiaalbezwaar .
* **Principe:** Materiaal zal bezwijken indien de hoekverandering ($\gamma$) ten gevolge van afschuiving te groot wordt. De maximale schuifspanning bepaalt deze hoekverandering .
* **Vlakspanningstoestand:** De maximale schuifspanning is:
* $T_{max,v} = \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2}$ .
* **Lijnspanningstoestand:** De maximale schuifspanning is:
* $T_{max,l} = \frac{\sigma}{2}$ .
* **Voorwaarde voor bezwijking:** Om "even gevaarlijk" te zijn, moet gelden:
* $T_{max,v} = T_{max,l}$
* $\frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2} \le \sigma_{toelaatbaar}$
* De equivalente ideële spanning is $\sigma_i = \sigma_{max} - \sigma_{min}$ .
#### 8.2.2 Hypothese van Huber-Hencky (Von Mises)
Deze hypothese, ook bekend als de Von Mises-hypothese, stelt dat materiaalbezwaar optreedt wanneer de gedaanteveranderingsarbeid (vervormingsenergie) onder een bepaalde waarde blijft, specifiek voor het materiaal .
* **Principe:** De totale vervormingsarbeid ($a_{tot}$) kan worden opgesplitst in volumeveranderingsarbeid ($a_{vol}$) en gedaanteveranderingsarbeid ($a_{ged}$). De hypothese focust op de gedaanteveranderingsarbeid .
* **Vlakspanningstoestand:** De gedaanteveranderingsarbeid ($a_{ged}$) voor een vlakspanningstoestand wordt uitgedrukt als:
* $a_{ged} = \frac{1+\nu}{6E} \cdot \frac{1}{2}[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]$ .
* Voor vlakspanning met hoofdspanningen $\sigma_{max}$, $\sigma_{min}$ en $\sigma_3=0$:
* $a_{ged} = \frac{1+\nu}{6E} (\sigma_{max}^2 + \sigma_{min}^2 - \sigma_{max}\sigma_{min})$ .
* **Lijnspanningstoestand:** De gedaanteveranderingsarbeid voor een zuivere trekspanning $\sigma_i$ is:
* $a_{ged} = \frac{1+\nu}{6E} \cdot 2\sigma_i^2$ .
* **Voorwaarde voor bezwijking:** De gedaanteveranderingsarbeiden moeten gelijk zijn voor "even gevaarlijke" spanningstoestanden:
* $\sigma_i^2 = \frac{1}{2}[(\sigma_{max} - \sigma_{min})^2 + (\sigma_{min} - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_{max})^2]$ (algemeen) .
* Voor vlakspanning ($\sigma_3=0$):
* $\sigma_i = \sqrt{\sigma_{max}^2 + \sigma_{min}^2 - \sigma_{max}\sigma_{min}}$ .
> **Tip:** De hypothese van Huber-Hencky is breder toepasbaar dan die van Coulomb, vooral voor ductiele materialen .
### 8.3 Samengestelde belastingsgevallen
In de praktijk treden vaak combinaties van belastingen op die leiden tot complexe spanningstoestanden. Deze kunnen worden geanalyseerd door de individuele spanningen te bepalen en deze vervolgens te combineren met behulp van de grensspanningshypotheses .
* **Buiging en afschuiving:** Een veelvoorkomende combinatie waarbij zowel buigende momenten als dwarskrachten optreden. De hoofdspanningen kunnen analytisch of grafisch via de cirkel van Mohr bepaald worden .
* **Zuivere afschuiving:** Belasting waarbij enkel schuifspanningen optreden .
* **Wringing en buiging:** Combinatie van torsie en buiging, waarbij de meest belaste punten op de rand van de doorsnede komen te liggen .
* **Buiging en trek:** De optredende spanning is de som van de normaalspanning door buiging en de trekspanning .
* $\sigma_{ideel} = \sigma_N = \frac{M_{max}}{W_b} + \frac{N}{A}$ .
* **Buiging, trek en afschuiving:** Een complexe combinatie van de voorgaande belastingen .
* **Afschuiving en trek:** Belasting op bijvoorbeeld bouten, waarbij zowel trek- als schuifspanningen optreden. De meest belaste bout is diegene die zich het verst van het draaipunt bevindt .
> **Tip:** Bij samengestelde belastingsgevallen is het cruciaal om eerst de afzonderlijke spanningen te bepalen voor het meest kritieke punt, en daarna de gecombineerde spanning te evalueren met behulp van de geldende grensspanningshypothese .
---
## Veelgemaakte fouten om te vermijden
- Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens
- Let op formules en belangrijke definities
- Oefen met de voorbeelden in elke sectie
- Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen
Glossary
| Term | Definition |
|------|------------|
| Kracht | Een grootheid die een verandering in de toestand van rust of beweging van een lichaam veroorzaakt, of een vormverandering van een lichaam. Een kracht heeft grootte, richting en zin. |
| Moment | Het produkt van een kracht en de loodrechte afstand van een punt tot de werklijn van de kracht. Het moment wordt gebruikt om de draaiende werking van een kracht aan te duiden. |
| Koppel van krachten | Twee even grote, evenwijdige, maar tegengesteld gerichte krachten die samen een draaiend effect veroorzaken zonder resulterende kracht. |
| Koppelvektor | Een vector die loodrecht staat op het vlak van een koppel, waarvan de grootte gelijk is aan het moment van het koppel en de richting wordt bepaald door de rechterhandregel. |
| Evenwicht in een vlak stelsel | De voorwaarde dat de som van alle ontbondenen in de x-richting nul is, de som van alle ontbondenen in de y-richting nul is, en de som van de momenten van alle krachten ten opzichte van één willekeurig gekozen punt in het vlak nul is. |
| Evenwicht in een ruimtelijk stelsel | De voorwaarde dat de som van de componenten van de krachten in de x-, y- en z-richtingen nul is, en de som van de momenten ten opzichte van de x-, y- en z-assen nul is. |
| Statisch moment van een oppervlak | Het produkt van het oppervlak van een figuur en de loodlijn uit het zwaartepunt van de figuur op een gegeven lijn, in het vlak van de figuur gelegen. |
| Zwaartepunt | Het punt waar de zwaartekracht van een voorwerp aangrijpt. Voor vlakke figuren wordt het zwaartepunt bepaald aan de hand van de momentenstelling voor oppervlakken. |
| Soorten belastingen | In de sterkteleer worden belastingen onderverdeeld in nuttige belasting, toevallige belastingen, mobiele belastingen, en het eigengewicht van de constructie. Nuttige belasting kan thermisch, hydrostatisch of stuwdruk zijn. |
| Soorten steunpunten | Opleggingen zoals roloplegging, scharnier en inklemming, die de mate van vrijheid van een constructiedeel beperken en een corresponderend aantal onbekende reactiekrachten hebben. |
| Isostatische structuren | Structuren waarbij het aantal onbekende reactiekrachten gelijk is aan het aantal evenwichtsvergelijkingen, waardoor ze statisch bepaald zijn. |
| Hyperstatische structuren | Structuren waarbij het aantal onbekende reactiekrachten groter is dan het aantal evenwichtsvergelijkingen, waardoor ze statisch onbepaald zijn. |
| Hypostatische structuren | Structuren waarbij het aantal onbekende reactiekrachten kleiner is dan het aantal evenwichtsvergelijkingen, wat leidt tot een labiel evenwicht. |
| Inwendige krachten en koppels | Krachten en koppels die optreden binnen het materiaal van een constructiedeel als reactie op uitwendige belastingen, als gevolg van de onderlinge aantrekkingskracht tussen moleculen. |
| Normaalkracht (N) | Een inwendige kracht die loodrecht staat op de dwarsdoorsnede van een constructiedeel, veroorzaakt door trek of druk. |
| Dwarskracht (D) | Een inwendige kracht die parallel loopt aan de dwarsdoorsnede van een constructiedeel, veroorzaakt door afschuiving. |
| Buigend moment (Mb) | Een inwendig moment dat optreedt als gevolg van buiging, veroorzaakt door een kracht loodrecht op de lengte-as of een moment. |
| Wringend moment (Mw) | Een inwendig moment dat optreedt als gevolg van wringing, veroorzaakt door een koppel dat om de lengte-as van een constructiedeel werkt. |
| Spanning (σ, τ) | De inwendige kracht die op de eenheid van oppervlakte van de dwarsdoorsnede werkt. Normaalspanning (σ) staat loodrecht op het oppervlak, terwijl schuifspanning (τ) in het vlak van het oppervlak ligt. |
| Elastische grens | De spanning waarbij het materiaal nog volledig elastisch vervormt, wat betekent dat de vervorming verdwijnt na het wegnemen van de belasting. |
| Vloeigrens (σv) | De spanning waarbij het materiaal blijvend begint te vervormen zonder verdere toename van de spanning. |
| Treksterkte (σBt) | De maximale spanning die een materiaal kan weerstaan voordat het breekt. |
| Veiligheidscoëfficiënt (v) | De factor waarmee de treksterkte of vloeigrens wordt gedeeld om de toelaatbare spanning te bepalen, om een veiligheidsmarge in te bouwen. |
| Buiging | Het fenomeen waarbij een balk onder invloed van een moment buigt, wat leidt tot normaalspanningen in de dwarsdoorsnede. |
| Neutrale vezel | De vezel in de dwarsdoorsnede van een balk die tijdens het buigen geen spanning ondervindt en de overgang vormt tussen de zone onder trek en de zone onder druk. |
| Buigingsformule | De formule die de relatie legt tussen het buigend moment, de afstand tot de neutrale vezel, het traagheidsmoment en de optredende normaalspanning (σ = My/I). |
| Weerstandsmoment (W) | Een geometrische eigenschap van de dwarsdoorsnede die de weerstand tegen buiging of wringing bepaalt (W = I/y). |
| Buigstijfheid (EI) | Het produkt van de elasticiteitsmodulus (E) en het traagheidsmoment (I), dat de weerstand van een balk tegen buiging aangeeft. |
| Scheve buiging | Buiging waarbij het buigingsvlak niet samenvalt met een hoofdtraagheidsas van de doorsnede, wat leidt tot spanningen in meerdere richtingen en een kromming die niet in het buigingsvlak ligt. |
| Traagheidsmoment (I) | Een maat voor de weerstand van een doorsnede tegen rotatie rond een as, bepaald door de verdeling van het oppervlak ten opzichte van die as. |
| Polair traagheidsmoment (Ip) | Het traagheidsmoment van een oppervlak ten opzichte van een punt, gelijk aan de som van de producten van de oppervlakte-elementen en het kwadraat van hun afstand tot dat punt. Het is ook de som van de axiale traagheidsmomenten om twee loodrechte assen door dat punt. |
| Verschuivingsformule (stelling van Steiner) | Een formule die het traagheidsmoment van een oppervlak ten opzichte van een as bepaalt, uitgaande van het traagheidsmoment ten opzichte van een parallelle as door het zwaartepunt (I' = I + Ad²). |
| Traagheidsprodukt (Cxy) | Een maat voor de asymmetrie van een oppervlak ten opzichte van twee loodrechte assen. Het is de som van de producten van de oppervlakte-elementen en hun afstanden tot de assen. |
| Hoofdtraagheidsassen | De assen ten opzichte waarvan de traagheidsmomenten maximaal of minimaal zijn, en het traagheidsprodukt nul is. |
| Cirkel van Mohr | Een grafische methode om spanningstoestanden en traagheidsmomenten te transformeren en te analyseren, waarbij spanningen en traagheidsmomenten worden weergegeven als punten op een cirkel. |
| Schuifspanning (τ) | Een spanning die optreedt wanneer krachten parallel aan het oppervlak van een doorsnede werken, wat leidt tot afschuiving. |
| Glijdingsmodulus (G) | Een materiaaleigenschap die de weerstand van een materiaal tegen schuifvervorming aangeeft (relatie tussen schuifspanning en schuifrek). |
| Wet van de wederkerigheid der schuifspanningen | Een principe dat stelt dat de schuifspanningen op twee loodrecht op elkaar staande vlakken, die aan elkaar grenzen, gelijk en tegengesteld gericht zijn. |
| Wringing | Het fenomeen waarbij een staaf onder invloed van een wringend moment wordt verdraaid, wat leidt tot schuifspanningen in de dwarsdoorsnede. |
| Wringingshoek (θ) | De hoekverdraaiing per lengte-eenheid van een staaf die aan wringing is onderworpen. |
| Wringingsstijfheid (GIp) | Het produkt van de glijdingsmodulus (G) en het polair traagheidsmoment (Ip), dat de weerstand van een staaf tegen wringing aangeeft. |
| Schroefveer | Een mechanisch element dat ontworpen is om grote vervormingen te ondergaan om wringende of buigende momenten op te vangen, vaak gebruikt in ophangingen. |
| Spanningstoestand | De toestand van spanningen die op een punt in een lichaam inwerken, beschreven door de normaalspanningen en schuifspanningen op de vlakken door dat punt. |
| Lijnspanningstoestand | Een spanningstoestand waarbij alleen normaalspanningen optreden in de richting van de belasting. |
| Vlakspanningstoestand | Een spanningstoestand waarbij op de vlakken die door een punt gaan, zowel normaal- als schuifspanningen optreden. |
| Ruimtespanningstoestand | Een spanningstoestand waarbij op de vlakken die door een punt gaan, normaalspanningen en twee schuifspanningen optreden. |
| Grensspanningshypothese | Een criterium om te bepalen wanneer een materiaal bezwijkt onder een samengestelde spanningstoestand, door deze te vergelijken met een equivalente spanning in een zuivere trek- of drukproef. |
| Hypothese van Coulomb | Een grensspanningshypothese die stelt dat een materiaal bezwijkt wanneer de schuifspanning een bepaalde waarde bereikt, gerelateerd aan de treksterkte. |
| Hypothese van Huber-Hencky (Von Mises) | Een grensspanningshypothese die stelt dat een materiaal bezwijkt wanneer de gedaanteveranderingsarbeid een bepaalde waarde overschrijdt, specifiek voor het materiaal. |
| Ideële spanning (σi) | Een equivalente spanning in een lijnspanningstoestand die dezelfde gevaren (bezδώking) veroorzaakt als een gegeven samengestelde spanningstoestand. |
| Hyperstatisch geval | Een belastingsgeval waarbij het aantal onbekende reacties groter is dan het aantal evenwichtsvergelijkingen, waardoor aanvullende elasticiteitsvergelijkingen nodig zijn voor de oplossing. |
| Dwarscontractie | Het verschijnsel waarbij een materiaal in dwarsrichting samentrekt wanneer het in lengterichting wordt uitgerekt, en omgekeerd. |
| Constante van Poisson (ν) | De verhouding van de relatieve dwarsvervorming tot de relatieve lengtevervorming onder zuivere trek- of drukspanning. |
| Relatieve volumeverandering | De verhouding van de volumeverandering van een materiaal tot zijn oorspronkelijk volume, bepaald door de optredende spanningen in drie loodrechte richtingen. |