Cover
رياضيات اختبار.pdf
Summary
# إيجاد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية
يستعرض هذا الموضوع طرق حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية للزوايا المركبة أو المعروفة، مع التركيز على استخدام متطابقات الدوال المثلثية لتبسيط وحساب هذه القيم [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3).
### 1.1 استخدام متطابقات الدوال المثلثية
تعتمد إيجاد القيمة الدقيقة للدوال المثلثية للزوايا المعقدة غالبًا على تحليل هذه الزوايا إلى مجموع أو فرق زوايا معروفة، ثم تطبيق المتطابقات المثلثية المناسبة [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3).
#### 1.1.1 متطابقات المجموع والفرق
تمكننا متطابقات المجموع والفرق من إيجاد قيم الدوال المثلثية لزوايا لا تكون دائمًا من الزوايا الأساسية (مثل 30°, 45°, 60°) [1](#page=1) [2](#page=2).
* **مثال على استخدام متطابقات المجموع والفرق:**
لإيجاد القيمة الدقيقة لـ $\tan(15^\circ)$، يمكن استخدام إحدى الصيغ التالية [1](#page=1):
* $\tan(45^\circ - 30^\circ)$
* $\tan(60^\circ - 45^\circ)$
* $\tan(90^\circ - 75^\circ)$ (مع ملاحظة أن 75° يمكن إيجادها أيضاً)
#### 1.1.2 متطابقات الزاويتين (Double Angle Identities) ومتطابقات نصف الزاوية (Half-Angle Identities)
على الرغم من أن الأمثلة المباشرة في الصفحات المقدمة لا تركز على متطابقات الزاويتين أو نصف الزاوية، إلا أنها أدوات أساسية في هذا السياق لحساب قيم الدوال المثلثية لزوايا مشتقة من زوايا معروفة [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3).
### 1.2 أمثلة تطبيقية
يستعرض هذا القسم أمثلة توضح كيفية تطبيق المفاهيم السابقة لإيجاد قيم دقيقة [2](#page=2) [3](#page=3).
#### 1.2.1 إيجاد قيمة $\cos(90^\circ)$
السؤال المطروح هو أي تعبير يكافئ $\cos(60^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(30^\circ)$ [2](#page=2).
هذا التعبير يتبع متطابقة مجموع الزاويتين لجيب التمام:
$$ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $$
بتطبيق هذه المتطابقة حيث $A = 60^\circ$ و $B = 30^\circ$:
$$ \cos(60^\circ + 30^\circ) = \cos(90^\circ) $$
إذن، التعبير يكافئ $\cos(90^\circ)$ [2](#page=2).
#### 1.2.2 إيجاد القيمة الدقيقة لـ $\sin(75^\circ)$
المطلوب هو إيجاد القيمة الدقيقة لـ $\sin(75^\circ)$ [3](#page=3).
يمكن حساب هذه القيمة باستخدام متطابقة مجموع الزاويتين للجيب، حيث $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ [3](#page=3).
$$ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $$
بالتعويض:
$$ \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) $$
نحن نعلم القيم الدقيقة للزوايا 30° و 45°:
* $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
* $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
* $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
* $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
بتعويض هذه القيم:
$$ \sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) $$
$$ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} $$
$$ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$
وهذه هي القيمة الدقيقة المطلوبة، والتي تتوافق مع أحد الخيارات المعروضة (مع العلم أن أحد الخيارات المعروضة كان $\frac{\sqrt{6}+12}{4}$ وهو صيغة خاطئة).
> **Tip:** عند مواجهة حساب قيم الدوال المثلثية لزوايا غير شائعة، فكر دائمًا في تحليلها إلى مجموع أو فرق زوايا معروفة (مثل 30°, 45°, 60°, 90°) ثم طبق المتطابقات المناسبة.
> **Example:** لإيجاد القيمة الدقيقة لـ $\cos(15^\circ)$، يمكن استخدام $\cos(45^\circ - 30^\circ)$.
> $$ \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) $$
> $$ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$
> بالتالي، $\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
---
## Common mistakes to avoid
- Review all topics thoroughly before exams
- Pay attention to formulas and key definitions
- Practice with examples provided in each section
- Don't memorize without understanding the underlying concepts
Glossary
| المصطلح | التعريف |
|------|------------|
| دالة الظل (tan) | هي نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور لها في المثلث القائم الزاوية. |
| دالة جيب التمام (cos) | هي نسبة طول الضلع المجاور للزاوية إلى طول الوتر في المثلث القائم الزاوية. |
| دالة الجيب (sin) | هي نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر في المثلث القائم الزاوية. |
| الزوايا المركبة | هي زوايا تنتج عن جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة زوايا أخرى، وغالبًا ما تستخدم في المتطابقات المثلثية. |
| المتطابقات المثلثية | هي معادلات تربط بين الدوال المثلثية المختلفة، وتستخدم لتبسيط التعبيرات أو حل المعادلات المثلثية. |
| القيمة الدقيقة | هي القيمة التي يتم التعبير عنها بشكل رياضي تام دون تقريب، مثل استخدام الجذور أو الكسور. |
| `tan(A - B)` | متطابقة فرق زاويتين لدالة الظل، والتي تُعطى بالصيغة $\frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$. |
| `cos(A + B)` | متطابقة مجموع زاويتين لدالة جيب التمام، والتي تُعطى بالصيغة $\cos A \cos B - \sin A \sin B$. |
| `sin(A + B)` | متطابقة مجموع زاويتين لدالة الجيب، والتي تُعطى بالصيغة $\sin A \cos B + \cos A \sin B$. |