1. Vormleer (2).pdf

# Inleiding tot vlakke figuren Dit studiewijzergedeelte biedt een gedetailleerd overzicht van vlakke figuren, hun definities, eigenschappen en classificaties, essentieel voor het begrip van geometrie. ## 1. Vlakke figuren ### 1.1 Definitie en basisconcepten Een vlakke figuur is een plat oppervlak dat begrensd wordt door een gesloten lijn. Deze lijn kan zowel gebogen als recht zijn, of een combinatie van beide [10](#page=10). ### 1.2 Classificatie van vlakke figuren Vlakke figuren kunnen worden onderverdeeld in twee hoofdcategorieën: veelhoeken en niet-veelhoeken [12](#page=12). #### 1.2.1 Veelhoeken Een veelhoek is een vlakke figuur die uitsluitend begrensd wordt door een gesloten, gebroken lijn (rechte lijnstukken). Veelhoeken worden benoemd op basis van het aantal zijden en hoeken dat ze bezitten [12](#page=12) [15](#page=15). ##### 1.2.1.1 Basisbegrippen en definities gerelateerd aan veelhoeken * **Punt:** Een exacte locatie in de ruimte zonder afmeting [4](#page=4). * **Halfrechte:** Een deel van een rechte met één beginpunt, dat zich in één richting oneindig voortzet [4](#page=4). * **Rechte:** Een oneindig lange, doorlopende lijn zonder begin of einde [4](#page=4). * **Lijnstuk:** Een deel van een rechte met twee eindpunten [4](#page=4). * **Breedte en lengte:** Afmetingen die de omvang van een figuur beschrijven [4](#page=4). * **Hoek:** Gevormd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk beginpunt (hoekpunt); kan scherp, recht, stomp of overstaand zijn [4](#page=4). * **Zijde:** De lijnstukken die een veelhoek vormen [4](#page=4). * **Diagonaal:** Een lijnstuk dat twee niet-aangrenzende hoekpunten van een veelhoek verbindt [4](#page=4). ##### 1.2.1.2 Soorten veelhoeken De documentatie vermeldt diverse soorten veelhoeken, waaronder: * **Driehoeken:** Veelhoeken met drie zijden en drie hoeken [18](#page=18). * **Indeling naar hoeken:** * **Rechthoekige driehoek:** Bevat één rechte hoek [21](#page=21). * **Stomphoekige driehoek:** Bevat één stompe hoek [21](#page=21). * **Scherphoekige driehoek:** Bevat drie scherpe hoeken [4](#page=4). * **Indeling naar zijden:** * **Gelijkzijdige driehoek:** Alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn gelijk (60°) (#page=4, 24) [24](#page=24) [4](#page=4). * **Gelijkbenige driehoek:** Twee zijden zijn even lang, wat resulteert in twee gelijke basishoeken (#page=4, 24) [24](#page=24) [4](#page=4). * **Ongelijkbenige driehoek:** Geen zijden zijn even lang en geen hoeken zijn even groot (#page=5, 24) [24](#page=24) [5](#page=5). * **Vierhoeken:** Veelhoeken met vier zijden en vier hoeken [4](#page=4). * **Algemene vierhoek:** Een veelhoek met vier zijden en vier hoeken [61](#page=61). * **Trapezium:** Een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden. Een gelijkbenig trapezium heeft gelijke diagonalen [77](#page=77) [96](#page=96). * **Parallellogram:** Een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden [96](#page=96). * Kenmerken: overstaande zijden zijn even lang en evenwijdig, overstaande hoeken zijn even groot, aanliggende hoeken zijn supplementair, diagonalen halveren elkaar (#page=36, 57, 58, 78). Parallellogrammen die geen rechthoek zijn, hebben nooit gelijke diagonalen [36](#page=36) [57](#page=57) [58](#page=58) [77](#page=77) [78](#page=78). * **Rechthoek:** Een vierhoek met vier rechte hoeken en twee paar evenwijdige zijden (#page=4, 96) [4](#page=4) [96](#page=96). * Kenmerken: alle hoeken zijn recht, overstaande zijden zijn even lang en evenwijdig, diagonalen zijn even lang en halveren elkaar (#page=41, 53, 77, 78) [41](#page=41) [53](#page=53) [77](#page=77) [78](#page=78). * **Ruit:** Een vierhoek met vier gelijke zijden en twee paar evenwijdige zijden (#page=4, 96) [4](#page=4) [96](#page=96). * Kenmerken: alle zijden zijn even lang, overstaande hoeken zijn even groot, aanliggende hoeken zijn supplementair, diagonalen halveren elkaar loodrecht, diagonalen delen de hoeken middendoor (#page=36, 55, 56, 79). Ruiten die geen rechthoek zijn, hebben nooit gelijke diagonalen [36](#page=36) [55](#page=55) [56](#page=56) [77](#page=77) [79](#page=79). * **Vierkant:** Een vierhoek met vier gelijke zijden en vier rechte hoeken (#page=4, 41, 96). Het vierkant is een speciaal geval van zowel de rechthoek als de ruit [35](#page=35) [41](#page=41) [4](#page=4) [96](#page=96). * Kenmerken: alle zijden zijn even lang, alle hoeken zijn recht, overstaande zijden zijn evenwijdig, overstaande hoeken zijn even groot, aanliggende hoeken zijn supplementair, diagonalen zijn even lang, halveren elkaar loodrecht en delen de hoeken middendoor (#page=42, 44, 45, 46, 47, 77, 78, 79) [42](#page=42) [44](#page=44) [45](#page=45) [46](#page=46) [47](#page=47) [77](#page=77) [78](#page=78) [79](#page=79). * **Vijfhoek, Zeshoek, (regelmatige) Veelhoek:** Veelhoeken met respectievelijk vijf, zes of meer zijden. Een veelhoek met een oneindig aantal zijden wordt ook wel een veelhoek genoemd [4](#page=4) [81](#page=81). ##### 1.2.1.3 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn. Een regelmatige n-hoek kan worden opgedeeld in n gelijke driehoeken [82](#page=82) [83](#page=83). ##### 1.2.1.4 Eigenschappen van veelhoeken * **Som van hoeken:** De som van de hoeken van een vierhoek is gelijk aan 360 graden (een volle hoek) [64](#page=64). * **Relatie zijden en hoeken:** In een driehoek liggen tegenover gelijke zijden, gelijke hoeken. Dit principe geldt ook voor andere veelhoeken waar symmetrie aanwezig is [34](#page=34). #### 1.2.2 Niet-veelhoeken Een niet-veelhoek is een vlakke figuur die begrensd wordt door minstens één gebogen lijn. De cirkel is het belangrijkste voorbeeld dat in de documentatie wordt behandeld [12](#page=12) [85](#page=85). ##### 1.2.2.1 De cirkel * **Definitie en eigenschappen:** Een cirkel is een vlakke figuur waarbij alle punten op de omtrek even ver van het middelpunt liggen [92](#page=92). * **Terminologie:** * **Middelpunt:** Het centrale punt van de cirkel [88](#page=88). * **Middellijn/Diameter:** Een lijnstuk dat door het middelpunt gaat en de cirkel op twee punten snijdt; de lengte is tweemaal de straal [89](#page=89). * **Straal:** Een lijnstuk van het middelpunt naar een punt op de cirkelomtrek; de lengte is de helft van de diameter [89](#page=89). * **Middellijn:** (vermoedelijk een synoniem voor diameter) [94](#page=94). * **Koorde:** Een lijnstuk dat twee punten op de cirkelomtrek verbindt [94](#page=94). * **Apothema:** (Niet nader gedefinieerd in de verstrekte tekst) [94](#page=94). ### 1.3 Leerdoelen en classificatie op basis van eigenschappen De documentatie geeft aan dat leerlingen eigenschappen moeten kunnen vaststellen, formuleren en gebruiken om vlakke figuren te classificeren (#page=4, 5). Dit omvat het sorteren van figuren op basis van hun eigenschappen en het classificeren van algemeen naar specifiek [4](#page=4) [5](#page=5) [9](#page=9). ### 1.4 Tekenen van vlakke figuren Het tekenen van vlakke figuren met behulp van meetinstrumenten zoals een lat, passer en ruitjespapier is een belangrijk leerdoel. Dit omvat het construeren van figuren op basis van gegeven eigenschappen (#page=5, 29, 30, 31, 32) [29](#page=29) [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32) [4](#page=4) [5](#page=5). ### 1.5 Onderzoek en formulering van definities Een sleutelvaardigheid is het inductief opbouwen van definities door het onderzoeken van kenmerkende eigenschappen van figuren (#page=11, 42). Dit proces helpt bij het vormen van een dieper begrip van de geometrische concepten [11](#page=11) [42](#page=42) [5](#page=5). --- # Classificatie en eigenschappen van veelhoeken Dit deel van de studiegids behandelt de classificatie van veelhoeken, met specifieke aandacht voor driehoeken en vierhoeken, en analyseert hun geometrische eigenschappen [17](#page=17) [4](#page=4) [5](#page=5). ## 2. Veelhoeken: Een Overzicht Veelhoeken zijn vlakke figuren die begrensd worden door een gesloten keten van lijnstukken. De eigenschappen van deze figuren worden geanalyseerd door hun zijden, hoeken en diagonalen te bestuderen [18](#page=18) [36](#page=36). ### 2.1 Driehoeken Een driehoek is een veelhoek met drie zijden en drie hoeken [18](#page=18). #### 2.1.1 Classificatie van driehoeken Driehoeken kunnen worden geclassificeerd op basis van hun hoeken of hun zijden [21](#page=21) [24](#page=24). **Classificatie op basis van hoeken:** * **Scherphoekige driehoek:** Alle drie de hoeken zijn scherp (< 90°). Een gelijkzijdige driehoek is altijd een scherphoekige driehoek [21](#page=21) [34](#page=34). * **Rechthoekige driehoek:** Bevat één rechte hoek (90°) en twee scherpe hoeken. Een driehoek kan niet meer dan één rechte hoek hebben [21](#page=21) [34](#page=34). * **Stomphoekige driehoek:** Bevat één stompe hoek (> 90°) en twee scherpe hoeken. Een driehoek kan niet meer dan één stompe hoek hebben [21](#page=21) [34](#page=34). **Classificatie op basis van zijden:** * **Gelijkzijdige driehoek:** Alle drie de zijden zijn even lang. In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken ook gelijk, elk metend 60° [24](#page=24) [34](#page=34). * **Gelijkbenige driehoek:** Heeft twee zijden die even lang zijn. Tegenover gelijke zijden liggen ook gelijke hoeken [24](#page=24) [34](#page=34). * **Ongelijkbenige driehoek:** Alle drie de zijden hebben een verschillende lengte [24](#page=24). #### 2.1.2 Eigenschappen van driehoeken * De som van de hoeken in een driehoek is altijd gelijk aan een gestrekte hoek, oftewel 180° [34](#page=34). * In elke driehoek liggen tegenover gelijke zijden, ook gelijke hoeken [34](#page=34). > **Tip:** Bij het classificeren van driehoeken is het belangrijk om te beseffen dat rechthoekige en stomphoekige driehoeken zowel ongelijkbenig als gelijkbenig kunnen zijn [34](#page=34). ### 2.2 Vierhoeken Een vierhoek is een veelhoek met vier zijden en vier hoeken. De classificatie van vierhoeken kan plaatsvinden van de meest specifieke vorm (zoals een vierkant) naar de meest algemene (een willekeurige vierhoek), of andersom [35](#page=35) [61](#page=61). #### 2.2.1 Classificatie van vierhoeken Vierhoeken worden geclassificeerd op basis van de eigenschappen van hun zijden en hoeken [36](#page=36). * **Vierkant:** Een vierhoek met 4 gelijke zijden en 4 rechte hoeken [41](#page=41) [46](#page=46). * Kenmerkende eigenschappen: 4 gelijke zijden, 4 rechte hoeken, overstaande zijden zijn evenwijdig [45](#page=45) [47](#page=47). * Vouwen op de diagonalen en middelloodlijnen resulteren in vouwen die samenvallen [44](#page=44) [45](#page=45) [46](#page=46) [47](#page=47). * De diagonalen zijn even lang, halveren elkaar en staan loodrecht op elkaar [77](#page=77) [78](#page=78) [79](#page=79). * **Rechthoek:** Een vierhoek met 4 rechte hoeken [53](#page=53). * Kenmerkende eigenschappen: Overstaande zijden zijn even lang en evenwijdig. Alle hoeken zijn recht [53](#page=53) [54](#page=54). * De diagonalen zijn even lang en halveren elkaar. De diagonalen staan niet loodrecht op elkaar, tenzij het een vierkant is [77](#page=77) [78](#page=78) [79](#page=79). * **Ruit:** Een vierhoek met 4 gelijke zijden [55](#page=55). * Kenmerkende eigenschappen: 4 gelijke zijden, overstaande hoeken zijn gelijk, overstaande zijden zijn evenwijdig [55](#page=55) [56](#page=56). * De diagonalen halveren elkaar loodrecht maar zijn niet even lang (tenzij het een vierkant is) [77](#page=77) [78](#page=78) [79](#page=79). * **Parallellogram:** Een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden [96](#page=96). * Kenmerkende eigenschappen: Overstaande zijden zijn even lang en evenwijdig. Overstaande hoeken zijn gelijk [57](#page=57) [58](#page=58). * De diagonalen halveren elkaar maar zijn niet even lang en staan niet loodrecht op elkaar (tenzij het een ruit of vierkant is) [77](#page=77) [78](#page=78) [79](#page=79). * **Trapezium:** Een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden [96](#page=96). * **Gelijkbenig trapezium:** Heeft gelijke diagonalen [77](#page=77). * **Willekeurige vierhoek:** Een vierhoek zonder specifieke eigenschappen zoals evenwijdige zijden of gelijke hoeken [61](#page=61) [96](#page=96). * De som van de hoeken in een willekeurige vierhoek is 360° [64](#page=64). #### 2.2.2 Eigenschappen van vierhoeken De eigenschappen van vierhoeken kunnen systematisch worden onderzocht door de zijden en hoeken te analyseren [36](#page=36). **Eigenschappen van zijden:** * Overstaande zijden zijn even lang [36](#page=36). * Aanliggende zijden zijn even lang [36](#page=36). * Alle zijden zijn even lang [36](#page=36). * Overstaande zijden zijn evenwijdig [36](#page=36). **Eigenschappen van hoeken:** * Overstaande hoeken zijn even groot [36](#page=36). * Aanliggende hoeken zijn even groot [36](#page=36). * Alle hoeken zijn even groot (rechte hoeken) [36](#page=36). **Eigenschappen van diagonalen:** * **Gelijkheid van diagonalen:** Sommige vierhoeken met niet-evenwijdige zijden hebben even lange diagonalen. Gelijkbenige trapezia en alle rechthoeken (inclusief vierkanten) hebben gelijke diagonalen. Parallellogrammen die geen rechthoeken zijn, en ruiten die geen vierkanten zijn, hebben nooit gelijke diagonalen [77](#page=77). * **Elkaar halverende diagonalen:** Alle parallellogrammen (inclusief rechthoeken, ruiten en vierkanten) hebben elkaar halverende diagonalen [78](#page=78). * **Loodrechte stand van diagonalen:** Sommige willekeurige vierhoeken, gelijkbenige trapezia en alle ruiten (inclusief vierkanten) hebben loodrechte diagonalen. Parallellogrammen die geen ruiten zijn, en rechthoeken die geen ruiten zijn, hebben nooit loodrechte diagonalen [79](#page=79). > **Opmerking:** De classificatie van vierhoeken kan worden gezien als een hiërarchie, waarbij meer specifieke vormen (zoals een vierkant) voldoen aan de eigenschappen van meer algemene vormen (zoals een parallellogram) [96](#page=96). ### 2.3 Meerhoeken Meerhoeken zijn veelhoeken met meer dan vier zijden [81](#page=81). #### 2.3.1 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarbij alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn [82](#page=82). * Om regelmatige veelhoeken te construeren, werkt men vaak omgekeerd. Bijvoorbeeld, om een regelmatige zeshoek te tekenen, verdeelt men 360° door 6, wat resulteert in 60° voor elke hoek [83](#page=83). * Een regelmatige n-hoek kan worden onderverdeeld in n gelijke driehoeken [83](#page=83). > **Voorbeeld:** Een vierkant is een regelmatige vierhoek, een gelijkzijdige driehoek is een regelmatige driekhoek. --- # Introductie tot ruimtefiguren Dit onderdeel introduceert het concept van ruimtefiguren, hun definities, classificaties en de ontwikkeling van deze concepten. ### 3.1 Definitie en Classificatie van Ruimtefiguren Ruimtefiguren worden gedefinieerd als delen van de ruimte die begrensd worden door een gesloten oppervlak . #### 3.1.1 Veelvlakken Veelvlakken zijn ruimtefiguren die uitsluitend begrensd zijn door platte oppervlakken . ##### 3.1.1.1 Indeling van Veelvlakken Veelvlakken kunnen worden ingedeeld op basis van hun aantal zijvlakken : * **Viervlak:** Een veelvlak met 4 zijvlakken en 4 hoekpunten. Elk viervlak is een piramide. In viervlakken is het aantal zijvlakken altijd gelijk aan het aantal hoekpunten . * **Vijfvlak:** Een veelvlak met 5 zijvlakken . * **Zesvlak:** Een veelvlak met 6 zijvlakken. Een zesvlak dat uitsluitend begrensd is door vierhoeken heeft 6 zijvlakken, 8 hoekpunten en 12 ribben. Zesvlakken vormen een belangrijke groep in het basisonderwijs vanwege hun link met vierhoeken in vlakke meetkunde . * **Meer-vlakken:** Veelvlakken met meer dan zes zijvlakken worden ook besproken . ##### 3.1.1.2 Eigenschappen van Veelvlakken Veelvlakken hebben specifieke eigenschappen met betrekking tot hun zijvlakken, ribben en hoekpunten. De Euler-formule $V - E + F = 2$ geldt voor veelvlakken, waarbij $V$ het aantal hoekpunten, $E$ het aantal ribben en $F$ het aantal zijvlakken voorstelt . > **Tip:** De Euler-formule is een krachtig hulpmiddel om de relatie tussen de verschillende onderdelen van een veelvlak te begrijpen. ##### 3.1.1.3 Specifieke Veelvlakken * **Parallellepipedum:** Een zesvlak dat uitsluitend begrensd is door parallellogrammen. Alle zijvlakken zijn parallellogrammen en overstaande zijvlakken zijn evenwijdig en congruent. Er zijn 12 ribben, verdeeld in 3 groepen van 4 evenwijdige en even lange ribben. Er zijn 8 hoekpunten. (Dit is geen leerstof in het lagere school curriculum) . * **Balk:** Een zesvlak dat uitsluitend begrensd is door rechthoeken. Alle zijvlakken zijn rechthoeken en overstaande zijvlakken zijn evenwijdig en congruent. Een balk heeft 12 ribben, verdeeld in 3 groepen van 4 evenwijdige en even lange ribben, en 8 hoekpunten. Elke balk is een recht prisma . * **Kubus:** Een zesvlak dat uitsluitend begrensd wordt door vierkanten. Alle zijvlakken zijn congruente vierkanten en overstaande zijvlakken zijn evenwijdig. Een kubus heeft 12 ribben van gelijke lengte, verdeeld in 3 groepen van 4 evenwijdige ribben, en 8 hoekpunten. Elke kubus is een balk een recht prisma en een regelmatig prisma . * **Prisma:** Een veelvlak met ten minste 2 evenwijdige zijvlakken, waarvan de opstaande ribben onderling evenwijdig zijn. Elk parallellepipedum, elke balk en elke kubus zijn prisma's . * Eigenschappen van een prisma: het aantal opstaande zijvlakken is gelijk aan het aantal zijden van het grondvlak, grond- en bovenvlak zijn congruente veelhoeken, alle opstaande zijvlakken zijn parallellogrammen, en alle opstaande ribben zijn even lang . * Indeling van prisma's: op basis van het aantal zijden van het grondvlak (bv. driezijdig prisma, vierzijdig prisma) . * **Recht prisma:** Een prisma waarvan de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan. Elke balk en elke kubus zijn rechte prisma's. Eigenschappen: opstaande zijvlakken zijn rechthoeken, opstaande ribben zijn even lang . * **Regelmatig prisma:** Een recht prisma waarvan het grond- en bovenvlak regelmatige veelhoeken zijn. Elke kubus is een regelmatig prisma. Eigenschappen: grond- en bovenvlak zijn congruente regelmatige veelhoeken, opstaande zijvlakken zijn congruente rechthoeken, opstaande ribben zijn even lang . * **Piramide:** Een veelvlak waarvan één zijvlak een willekeurige veelhoek is (het grondvlak) en alle andere zijvlakken driehoeken zijn die samenkomen in een gemeenschappelijk hoekpunt (de top) . * Eigenschappen van een piramide: er zijn steeds evenveel hoekpunten als zijvlakken. Het aantal opstaande zijvlakken is gelijk aan het aantal zijden van het grondvlak . * Indeling van piramides: naar het aantal zijden van het grondvlak (bv. driezijdige piramide, vierzijdige piramide) . * **Rechte piramide:** Een piramide waarvan de top loodrecht boven het zwaartepunt van het grondvlak ligt. Een bijkomende eigenschap is dat alle opstaande ribben even lang zijn, waardoor alle zijvlakken gelijkbenige driehoeken zijn . * **Regelmatige piramide:** Een rechte piramide waarvan het grondvlak een regelmatige veelhoek is. Een bijkomende eigenschap is dat alle opstaande zijvlakken congruente (gelijkbenige) driehoeken zijn. Een alternatieve definitie stelt dat een regelmatige piramide een rechte piramide is waarvan het grondvlak een regelmatige veelhoek is én waarvan alle opstaande ribben even lang zijn . ##### 3.1.1.4 Relatie tussen Veelvlakken Elk figuur met meer eigenschappen is ook een figuur met minder eigenschappen. Een kubus is bijvoorbeeld ook een balk omdat een kubus voldoet aan de definitie van een balk . #### 3.1.2 Niet-Veelvlakken Niet-veelvlakken zijn ruimtefiguren die niet uitsluitend begrensd zijn door platte oppervlakken. Ze worden verder onderverdeeld in omwentelingslichamen . * **Omwentelingslichamen:** * **Cilinder:** Kan een mantel hebben die een rechthoek is (bij een recht openknippen) of een parallellogram (bij een ‘scheef’ openknippen) . * **Kegel:** . * **Bol:** . #### 3.1.3 Bewegingseigenschappen Ruimtefiguren kunnen worden geclassificeerd op basis van hun vermogen om te rollen of te schuiven : * **Enkel schuiven:** Figuren met enkel platte oppervlakken . * **Rollen:** Figuren met enkel gebogen oppervlakken . * **Rollen en schuiven:** Figuren met zowel gebogen als platte oppervlakken . ### 3.2 Ontwikkeling van Ruimtefiguren De ontwikkeling van ruimtefiguren omvat het proces van het ‘openvouwen’ van de figuur naar een tweedimensionale vorm, de ontvouwing genoemd . #### 3.2.1 Didactische Aanpak voor Ontwikkeling Een mogelijke didactische aanpak omvat de volgende stappen : 1. Meebrengen van echte voorwerpen (bv. verpakkingen). 2. Identificeren en benoemen van de figuren, gebruikmakend van voorkennis. 3. Openvouwen van de dozen door flapjes los te maken om een vlakke figuur te verkrijgen. 4. Bespreken van de ‘extra flapjes’ en hun functie. 5. Verwijderen van de extra flapjes, met de voorwaarde dat de doos nog steeds gevouwen kan worden en dat alle zijvlakken met minstens één ribbe verbonden blijven. 6. Het resultaat van het openvouwen wordt de ‘ontvouwing’ of ‘ont-vouwing’ genoemd. 7. Onderzoeken van de ontvouwing: welke vormen zijn herkenbaar, zijn er verschillende mogelijke ontvouwingen voor dezelfde figuur, etc. . #### 3.2.2 Specifieke Ontwikkelingen * **Kubus:** Er zijn 11 mogelijke verschillende ontvouwingen van een kubus . * **Balk:** De ontwikkeling van een balk wordt besproken, met de opmerking om de ‘vierkante’ balk pas later te behandelen . * **Piramide:** De ontwikkeling van piramides wordt besproken, met de opmerking dat het grondvlak niet noodzakelijk in het midden van de hoogte hoeft te liggen . * **Cilinder:** De ontwikkeling van de mantel van een cilinder wordt behandeld . ### 3.3 Leerlijnen en Doelen * **4e leerjaar:** * Eigenschappen kennen als uitspraken die waar zijn voor alle elementen van een verzameling . * Begrippen zoals kubus, balk, cilinder, kegel, bol, piramide kennen . * Ruimtefiguren kunnen benoemen . * **6e leerjaar:** * Definities kennen als uitspraken die bepalen welke elementen tot een verzameling behoren . * Begrippen en wiskundige notaties kennen zoals ongelijkbenige driehoek, (on)regelmatige veelhoek, oppervlak, zijvlak, grondvlak, ontvouwing, ribbe, gebogen oppervlak, veelvlak . * Meetkundige objecten classificeren met behulp van verzamelingen (met gebruik van 'en', 'of', 'niet') . * De juiste ontvouwing(en) selecteren uit verschillende varianten voor een kubus, balk en cilinder . ### 3.4 Didactische Principes voor het Onderwijzen van Ruimtefiguren * Opbouwen van definities stap voor stap, steunend op de definities van vlakke figuren . * Aansluiten bij de leefwereld van de leerlingen . * Gebruiken van echte voorwerpen, bij voorkeur verpakkingen . * Zorgen voor voldoende variatie in figuren en voorbeelden . * Het doel van dia's is om de boodschap te ondersteunen en het publiek te helpen de uitleg te begrijpen, niet om de spreker te helpen zijn verhaal te onthouden . * Afwisseling in presentaties door voldoende beeldmateriaal te gebruiken . * Gebruik maken van titelslides om hoofdstukken aan te geven . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Vlakke figuur | Een vlakke figuur is een tweedimensionaal figuur dat volledig in een plat vlak kan worden getekend, begrensd door lijnen of krommen. | | Veelhoek | Een vlakke figuur die uitsluitend begrensd is door een gesloten gebroken lijn, bestaande uit lijnstukken. | | Vierhoek | Een veelhoek met precies vier zijden en vier hoeken. | | Driehoek | Een veelhoek met precies drie zijden en drie hoeken. | | Zijde | Een lijnstuk dat een deel van de begrenzing van een veelhoek vormt. | | Hoek | Het punt waar twee lijnstukken samenkomen, met de ruimte ertussen. | | Loodrechte hoek | Een hoek die exact 90 graden meet. | | Scherpe hoek | Een hoek die kleiner is dan 90 graden. | | Stompe hoek | Een hoek die groter is dan 90 graden maar kleiner dan 180 graden. | | Diagonaal | Een lijnstuk dat twee niet-aangrenzende hoekpunten van een veelhoek verbindt. | | Parallelle zijden | Twee zijden van een veelhoek die nooit snijden, ongeacht hoe ver ze worden verlengd. | | Congruente zijden | Zijden die exact dezelfde lengte hebben. | | Congruente hoeken | Hoeken die exact dezelfde grootte hebben. | | Regelmatige veelhoek | Een veelhoek waarbij alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn. | | Niet-veelhoek | Een vlakke figuur die begrensd is door minstens één gebogen lijn. | | Cirkel | Een vlakke figuur die bestaat uit alle punten die op een vaste afstand van een centraal punt liggen. | | Middelpunt (van een cirkel) | Het centrale punt van een cirkel, van waaruit alle punten op de omtrek even ver af liggen. | | Straal (van een cirkel) | Een lijnstuk dat loopt van het middelpunt van een cirkel naar een punt op de omtrek. | | Diameter | Een lijnstuk dat door het middelpunt van een cirkel gaat en twee punten op de omtrek met elkaar verbindt; het is tweemaal de lengte van de straal. | | Ruimtefiguur | Een driedimensionaal object dat een deel van de ruimte inneemt en begrensd wordt door oppervlakken. | | Veelvlak | Een ruimtefiguur dat uitsluitend begrensd is door platte oppervlakken (zijvlakken). | | Zijvlak | Een plat vlak dat een deel van de begrenzing van een veelvlak vormt. | | Ribbe | Het lijnstuk waar twee zijvlakken van een veelvlak elkaar ontmoeten. | | Hoekpunt | Het punt waar drie of meer ribben van een veelvlak samenkomen. | | Kubus | Een zesvlak waarvan alle zes zijvlakken vierkanten zijn; alle ribben zijn even lang. | | Balk | Een zesvlak waarvan alle zes zijvlakken rechthoeken zijn; overstaande zijvlakken zijn congruent. | | Prisma | Een veelvlak met ten minste twee evenwijdige en congruente veelhoeken als grond- en bovenvlak, en parallellogrammen als opstaande zijvlakken. | | Recht prisma | Een prisma waarbij de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan; de opstaande zijvlakken zijn rechthoeken. | | Regelmatig prisma | Een recht prisma waarvan het grond- en bovenvlak regelmatige veelhoeken zijn. | | Piramide | Een veelvlak met een veelhoek als grondvlak en driehoekige zijvlakken die samenkomen in één punt, de top. | | Rechte piramide | Een piramide waarvan de top loodrecht boven het zwaartepunt van het grondvlak ligt. | | Regelmatige piramide | Een rechte piramide waarvan het grondvlak een regelmatige veelhoek is en alle opstaande ribben even lang zijn. | | Cilinder | Een omwentelingslichaam met twee parallelle, congruente cirkelvormige vlakken aan de uiteinden en een gebogen oppervlak ertussen. | | Kegel | Een omwentelingslichaam met een cirkelvormig grondvlak en een gebogen oppervlak dat uitloopt in een punt, de top. | | Bol | Een ruimtefiguur waarbij alle punten op het oppervlak exact dezelfde afstand hebben tot een centraal punt. | | Omwentelingslichaam | Een ruimtefiguur dat ontstaat door een vlakke figuur rond een as te laten wentelen. | | Ontvouwing (van een ruimtefiguur) | Een platte weergave van alle zijvlakken van een ruimtefiguur die aan elkaar vastzitten, zodat het figuur gevouwen kan worden. | | Meetkunde | Het wiskundige vakgebied dat zich bezighoudt met de eigenschappen van punten, lijnen, vlakken, ruimtefiguren en de relaties daartussen. | | Vormleer | Het onderdeel van de meetkunde dat zich richt op de studie van vormen, hun eigenschappen en classificatie. |