Cursus_Rekentechnieken-Wiskunde.pdf

# Oplossen van eerste en tweedegraadsvergelijkingen Deze module behandelt de technieken voor het oplossen van eerste en tweedegraadsvergelijkingen, inclusief methoden voor de hand en met een grafisch rekentoestel [3](#page=3). ## 1.1 Eerste graadsvergelijkingen Een eerste graadsvergelijking is een vergelijking waarbij de hoogste macht van de onbekende $x$ gelijk is aan 1. Het oplossen ervan betekent het vinden van een waarde voor $x$ die de gelijkheid waar maakt. Het oplossen van vergelijkingen wordt vaak vergeleken met een weegschaal; bewerkingen moeten aan beide zijden van de gelijkheid worden uitgevoerd om de balans te behouden. Het doel is om termen met $x$ aan de ene kant en constante termen aan de andere kant te groeperen. Het teken $\Leftrightarrow$ wordt gebruikt om aan te geven dat twee vergelijkingen dezelfde oplossing hebben [4](#page=4). > **Tip:** Als er haakjes in de vergelijking voorkomen, werk deze dan eerst uit. Breng vervolgens alle termen met $x$ naar één kant en de constanten naar de andere kant. Pas daarna mag de factor bij $x$ worden weggedeeld [4](#page=4). Eerste graadsvergelijkingen kunnen één oplossing hebben, of geen enkele oplossing. Een strijdige vergelijking, die geen oplossing heeft, resulteert in een onware gelijkheid na het toepassen van bewerkingen, bijvoorbeeld $0 = -5$ [4](#page=4). ## 1.2 Oplossen van tweedegraadsvergelijkingen Een tweedegraadsvergelijking is van de algemene vorm $ax^2 + bx + c = 0$, waarbij de hoogste macht van de onbekende $x$ gelijk is aan 2 [5](#page=5). De oplossingsmethode omvat de volgende stappen [5](#page=5): 1. Breng de vergelijking naar de vorm $ax^2 + bx + c = 0$. 2. Bepaal de discriminant met de formule $D = b^2 - 4ac$. * Als $D < 0$, heeft de vergelijking geen reële oplossingen [5](#page=5). * Als $D > 0$, heeft de vergelijking twee oplossingen, gegeven door de formules: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$ * Als $D = 0$, heeft de vergelijking één oplossing, gegeven door: $$x = \frac{-b}{2a}$$ > **Tip:** Tweedegraadsvergelijkingen kunnen ook in een andere vorm voorkomen, bijvoorbeeld $x(x-1) = 2$. Breng deze eerst naar de standaardvorm $ax^2 + bx + c = 0$, wat hier leidt tot $x^2 - x - 2 = 0$ [5](#page=5). ## 1.3 Oplossen van n-de graadsvergelijkingen Een n-de graadsvergelijking heeft de algemene vorm $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$, waarbij $a_i$ constanten (coëfficiënten) zijn en $n$ de graad van de vergelijking is. Voor $n=1$ en $n=2$ komen we respectievelijk de eerste- en tweedegraadsvergelijkingen tegen [6](#page=6). De graad van een vergelijking bepaalt het maximale aantal oplossingen: een n-de graadsvergelijking kan maximaal $n$ oplossingen hebben. Het minimum aantal oplossingen wordt ook door de graad bepaald [6](#page=6): * Voor een even graad $n$ heeft de vergelijking minimaal 0 oplossingen [6](#page=6). * Voor een oneven graad $n$ heeft de vergelijking minimaal 1 oplossing [6](#page=6). Voor vergelijkingen met een graad hoger dan 2, wordt het gebruik van het grafisch rekentoestel (GRT) aangeraden [6](#page=6). > **Tip:** De oplossingen van een n-de graadsvergelijking $f(x) = 0$ zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van de functie $y = f(x)$ met de x-as (waar $y=0$) [6](#page=6). > **Tip:** Je mag de variabele $x$ nooit uit een vergelijking schrappen. Als je $x$ buiten haakjes haalt, is $x=0$ een mogelijke oplossing [6](#page=6). Sommige n-de graadsvergelijkingen kunnen worden herleid tot eerste- of tweedegraadsvergelijkingen. Bijvoorbeeld, door $x$ buiten haakjes te halen, kan een vergelijking zoals $x^3 - 2x^2 - x = 0$ worden opgesplitst in $x=0$ en de oplossingen van $x^2 - 2x - 1 = 0$ [6](#page=6). Andere vergelijkingen kunnen worden herleid door substitutie. Bijvoorbeeld, in de vergelijking $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$, kan de substitutie $Y = x^2$ leiden tot de tweedegraadsvergelijking $Y^2 - 3Y + 2 = 0$. Na het oplossen voor $Y$, kan $x$ worden gevonden uit $x^2 = Y$. Merk op dat $x^2$ niet negatief kan zijn, dus voor negatieve waarden van $Y$ zijn er geen reële oplossingen voor $x$ [7](#page=7). Verder kunnen sommige vergelijkingen, zoals $x^5 - 3x^4 + 2x = 0$, eerst worden vereenvoudigd door $x$ buiten haakjes te halen ($x(x^4 - 3x^3 + 2) = 0$), wat resulteert in $x=0$ als een oplossing, naast de oplossingen van de resterende vergelijking [7](#page=7). --- # Oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen Deze module introduceert methoden voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen, met een focus op zowel handmatige technieken als het gebruik van een grafisch rekentoestel, toegepast in diverse technische contexten. Het oplossen van stelsels is een fundamentele vaardigheid in veel technische vakgebieden, zoals stabiliteit, waar evenwichtsvergelijkingen vaak leiden tot stelsels van lineaire vergelijkingen [12](#page=12). ### 2.1 Stelsels van twee eerste-graadsvergelijkingen oplossen Een stelsel van twee eerstegraadsvergelijkingen met twee onbekenden wordt een 2x2 stelsel genoemd. Voor 2x2 stelsels wordt verwacht dat deze met de hand opgelost kunnen worden, terwijl voor grotere stelsels het gebruik van een grafisch rekentoestel (GRT) toegestaan is [12](#page=12). #### 2.1.1 Stelsels oplossen door lineair combineren (eliminatiemethode) Bij deze methode wordt door een handige combinatie van de twee vergelijkingen één van de onbekenden geëlimineerd. Dit wordt genoteerd door de factoren waarmee de vergelijkingen vermenigvuldigd moeten worden vóórdat ze opgeteld worden, achter een verticale lijn te plaatsen. De bovenste vergelijking wordt vervolgens vervangen door de resulterende som [12](#page=12) [13](#page=13). > **Tip:** 2x2 stelsels hebben niet altijd precies één oplossing [13](#page=13). * **Oneindig veel oplossingen:** Als alle onbekenden wegvallen en de resulterende vergelijking klopt (bijvoorbeeld $0 = 0$), dan zijn er oneindig veel oplossingen. In dit geval kan één onbekende uitgedrukt worden in functie van de andere [13](#page=13). * **Geen oplossingen:** Als alle onbekenden wegvallen en de resulterende vergelijking strijdig is (bijvoorbeeld $0 = 2$), dan heeft het stelsel geen enkele oplossing [13](#page=13). > **Voorbeeld 1:** Los het stelsel op: > $$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$ > Door de tweede vergelijking te vermenigvuldigen met 1 en deze op te tellen bij de eerste vergelijking, elimineer je $y$. Dit resulteert in $3x = 6$, dus $x=2$. Door deze waarde in de eerste vergelijking in te vullen, vind je $y=3$. De oplossing is dus $x=2, y=3$ [12](#page=12) [13](#page=13). > **Voorbeeld 2:** Los het stelsel op: > $$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ 2x + y = 5 \end{cases}$$ > Na het toepassen van de eliminatiemethode (bijvoorbeeld door de tweede vergelijking van de eerste af te trekken), verkrijg je $0 = -4$. Dit is een strijdige vergelijking, dus het stelsel heeft geen oplossingen [13](#page=13). > **Voorbeeld 3:** Los het stelsel op: > $$\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 2 \end{cases}$$ > Na het elimineren van $x$ (bijvoorbeeld door de eerste vergelijking met -2 te vermenigvuldigen en op te tellen bij de tweede), verkrijg je $0 = 0$. Dit duidt op oneindig veel oplossingen. We kunnen $y$ uitdrukken in functie van $x$: $y = 1 - x$ [13](#page=13). #### 2.1.2 Stelsels oplossen met de substitutiemethode Bij de substitutiemethode maak je een onbekende vrij uit één vergelijking en substitueer je deze uitdrukking in de andere vergelijking. Dit resulteert in een eerstegraadsvergelijking met één onbekende. Deze methode kan ook gebruikt worden voor niet-lineaire vergelijkingen [14](#page=14). > **Voorbeeld 4:** Los het stelsel op: > $$\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ x + 2y = 11 \end{cases}$$ > Uit de tweede vergelijking volgt $x = 11 - 2y$. Substitueer dit in de eerste vergelijking: $3(11 - 2y) - 2y = 7$. Dit leidt tot $33 - 6y - 2y = 7$, dus $33 - 8y = 7$. Hieruit volgt $8y = 26$, dus $y = \frac{26}{8} = \frac{13}{4}$. Substitueer dit terug in $x = 11 - 2y$ om $x$ te vinden [14](#page=14). > **Voorbeeld 5:** Los het stelsel op: > $$\begin{cases} \sin(x) + \cos(y) = 2 \\ 2\sin(x) - \cos(y) = 1 \end{cases}$$ > Dit stelsel kan opgelost worden met de substitutie- of eliminatiemethode, waarbij $\sin(x)$ en $\cos(y)$ als onbekenden worden beschouwd. De oplossingen zijn $\sin(x) = 1$ en $\cos(y) = 1$ [14](#page=14). > **Voorbeeld 6:** Los het stelsel op: > $$\begin{cases} \tan(\theta) + 5\sin(\alpha) = 5 \\ 5\tan(\theta) - 11\sin(\alpha) = -1 \end{cases}$$ > Met behulp van de substitutiemethode kunnen de waarden voor $\tan(\theta)$ en $\sin(\alpha)$ bepaald worden [14](#page=14). > **Studieaanwijzing:** Stelsels kunnen ook opgelost worden met een GRT [14](#page=14). ### 2.2 Stelsels van $n$ eerste-graadsvergelijkingen oplossen ($n > 2$) Voor stelsels met drie of meer lineaire vergelijkingen en onbekenden is het gebruik van een grafisch rekentoestel (GRT) essentieel. Technologie kan het rekenwerk overnemen, waardoor de kans op rekenfouten kleiner wordt, vooral bij stelsels met veel vergelijkingen en onbekenden [16](#page=16). > **Studieaanwijzing:** Op het examen mag je voor het oplossen van stelsels steeds je rekentoestel gebruiken. Raadpleeg de handleiding "Werken met het grafische rekentoestel" voor instructies [16](#page=16). > **Zelfstoets voorbeeld:** Gegeven het stelsel: > $$\begin{cases} 2x - y + 3z = 9 \\ x + 2y - z = 3 \\ 3x + y - 2z = 0 \end{cases}$$ > Dit stelsel dient opgelost te worden met het GRT [16](#page=16). ### 2.3 Toepassingen Het opstellen van stelsels komt in diverse technische vakken voor, zoals bij het bepalen van mengverhoudingen en het analyseren van constructies [17](#page=17) [18](#page=18). > **Voorbeeld 1 (Mengverhoudingen):** Bij het mengen van zanden (A, B, C) met specifieke fracties voor grove, midden en fijne deeltjes, om een gewenst mengzand (M) te bekomen, ontstaat een stelsel van vergelijkingen. De onbekenden zijn de hoeveelheden van zand A, B en C die gemengd moeten worden [17](#page=17). > **Voorbeeld 2 (Mechanica/Sterkteleer):** Bepaling van reactiekrachten en inwendige krachten in een vakwerkconstructie door het opstellen van momenten- en krachtenevenwichten in knooppunten. Dit leidt tot stelsels van lineaire vergelijkingen die gemodelleerd kunnen worden als een uitgebreide coëfficiëntenmatrix en opgelost met de Gauss-Jordan methode met behulp van een GRT [18](#page=18). ### Oefeningen module 2: Stelsels De oefeningen omvatten het oplossen van 2x2 stelsels met de hand en grotere stelsels met het GRT. Er wordt ook geoefend met de substitutiemethode en stelsels die voortkomen uit toepassingssituaties [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22). > **Studieaanwijzing:** De oplossingen van de oefeningen zijn beschikbaar aan het einde van de module. Raadpleeg de Toledo-handleiding "werken met het grafische rekentoestel" bij problemen met het GRT [19](#page=19). #### Reeks 1-3: Oplossen van diverse stelsels Deze reeksen bevatten stelsels van verschillende groottes, waarbij de keuze van de oplossingsmethode (handmatig voor 2x2, GRT voor grotere) wordt gespecificeerd. Reeks 3 focust specifiek op de substitutiemethode [19](#page=19) [20](#page=20). #### Reeks 4: Stelsels uit toepassingen Deze reeks biedt oefeningen waarbij stelsels worden opgesteld op basis van fysische en mechanische evenwichtsvergelijkingen, vaak met vermelding van eenheden zoals Newton (N) en meter (m) [21](#page=21) [22](#page=22). ### Vraagstukken Diverse vraagstukken worden gepresenteerd die het opstellen en oplossen van stelsels vereisen, variërend van prijsberekeningen in een snackbar tot productieplanning in een autofabriek en mengselsamenstellingen in de chemie [23](#page=23). * **Vraagstuk 1:** Bereken de kosten van producten en het wisselgeld in een snackbar [23](#page=23). * **Vraagstuk 2 & 3:** Bepaal de productieaantallen van verschillende automodellen op basis van benodigde manuren en beschikbare arbeidscapaciteit [23](#page=23). * **Vraagstuk 4:** Bereken het aantal te produceren loten van twee typen bouten om machines voltijds te benutten [23](#page=23). * **Vraagstuk 5:** Bepaal de productieaantallen van drie elektrische componenten om machines gedurende een werkdag voltijds te benutten [23](#page=23). * **Vraagstuk 6:** Bereken de benodigde hoeveelheden van twee betonmengsels om aan een specifieke bestelling te voldoen [23](#page=23). * **Vraagstuk 7:** Bepaal de hoeveelheden van drie soorten meststoffen die gemengd moeten worden om aan een bestelling met een specifiek stikstofgehalte te voldoen, rekening houdend met voorraadbeperkingen [23](#page=23). * **Vraagstuk 8:** Bereken de hoeveelheden van drie mengsels die een apotheker moet mengen om een medicijn met specifieke gehaltes aan vitaminen en water te verkrijgen [23](#page=23). --- # Goniometrie en toepassingen Hier is de studiegids voor Goniometrie en toepassingen, gebaseerd op de verstrekte documentatie (pagina 27-44). ## 3. Goniometrie en toepassingen Deze module introduceert de basisbegrippen van goniometrie, inclusief hoeken, eenheden, goniometrische getallen, formules en het oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen, met toepassingen in driehoeken [27](#page=27). ### 3.1 Hoeken en hun eenheden Hoeken kunnen worden uitgedrukt in graden (° of deg), radialen (rad) of 100-delige graden (gon of grad). Het is essentieel om vlot met alle eenheden te kunnen werken en deze om te kunnen zetten [28](#page=28). #### 3.1.1 Zestigdelige graden Een graad kan worden onderverdeeld in minuten (') en seconden ('') [28](#page=28). * 1 graad = 60 minuten ($1^\circ = 60'$) [28](#page=28). * 1 minuut = 60 seconden ($1' = 60''$) [28](#page=28). * Dus, 1 graad = 3600 seconden ($1^\circ = 3600''$) [28](#page=28). Decimale graden kunnen worden omgezet naar graden, minuten en seconden. Bijvoorbeeld, $42,21^\circ = 42^\circ + 0,21 \times 60' = 42^\circ 12,6' = 42^\circ 12' + 0,6 \times 60'' = 42^\circ 12'36''$. Grafische rekenmachines hebben functies voor deze omzettingen [28](#page=28). #### 3.1.2 Radialen De radiaal is gedefinieerd als de hoek waarbij de straal van een cirkel ($r$) wordt afgepast op de omtrek [28](#page=28). Gevolgen van deze definitie zijn: * De booglengte ($L$) opgespannen door een hoek $\alpha$ (in radialen) op een cirkel met straal $R$ is $L = \alpha R$ [28](#page=28). * Belangrijke omzettingen: $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ rad, $180^\circ = \pi$ rad, $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ rad, en $360^\circ = 2\pi$ rad [28](#page=28). > **Tip:** Voor de booglengteformule $L = \alpha R$ moet $\alpha$ altijd in radialen zijn. Hoeken worden vaak uitgedrukt in termen van $\pi$. Onthoud: $180^\circ = \pi$ rad [28](#page=28). #### 3.1.3 100-delige graden of gon (grad) Een hoek waarbij de benen in elkaars verlengde liggen, is 200 gon [29](#page=29). * 0,001 gon = 1 milligon (mgon) [29](#page=29). Gevolg van deze definitie zijn: * $90^\circ = 100$ gon [29](#page=29). * $180^\circ = 200$ gon [29](#page=29). * $270^\circ = 300$ gon [29](#page=29). * $360^\circ = 400$ gon [29](#page=29). > **Tip:** Onthoud: $180^\circ = 200$ gon [29](#page=29). #### 3.1.4 Omzettingen van de ene eenheid naar de andere ##### 3.1.4.1 Omzetting van graden naar radialen Gebruik de relatie $180^\circ = \pi$ rad [29](#page=29). * $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ rad [29](#page=29). * $x^\circ = x \cdot \frac{\pi}{180}$ rad [29](#page=29). *Voorbeeld:* $45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180}$ rad $= \frac{\pi}{4}$ rad [29](#page=29). *Voorbeeld:* $52^\circ 31'15'' = 52,5208^\circ = 52,5208 \cdot \frac{\pi}{180}$ rad $\approx 0,91$ rad [29](#page=29). ##### 3.1.4.2 Omzetting van radialen naar graden Gebruik de relatie $\pi$ rad $= 180^\circ$ [29](#page=29). * 1 rad $= \frac{180}{\pi}^\circ$ [29](#page=29). * $x$ rad $= x \cdot \frac{180}{\pi}^\circ$ [29](#page=29). *Voorbeeld:* $\frac{\pi}{4}$ rad $= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi}^\circ = 45^\circ$ [29](#page=29). *Voorbeeld:* $1,2$ rad $= 1,2 \cdot \frac{180}{\pi}^\circ \approx 68,755^\circ = 68^\circ 45'18''$ [29](#page=29). > **Tip:** Als een hoek zonder eenheid wordt vermeld, is de eenheid radiaal. Je GRT kan deze omzettingen uitvoeren [29](#page=29). ##### 3.1.4.3 Omzetting van graden naar gon Gebruik de relatie $180^\circ = 200$ gon [30](#page=30). * $1^\circ = \frac{200}{180}$ gon [30](#page=30). * $x^\circ = x \cdot \frac{200}{180}$ gon [30](#page=30). *Voorbeeld:* $45^\circ = 45 \cdot \frac{200}{180}$ gon $= 50$ gon [30](#page=30). *Voorbeeld:* $52^\circ 31'15'' = 52,5208^\circ = 52,5208 \cdot \frac{200}{180}$ gon $\approx 58,356$ gon $= 58$ gon $356$ mgon [30](#page=30). ##### 3.1.4.4 Omzetting van gon naar graden Gebruik de relatie $200$ gon $= 180^\circ$ [30](#page=30). * 1 gon $= \frac{180}{200}^\circ$ [30](#page=30). * $x$ gon $= x \cdot \frac{180}{200}^\circ$ [30](#page=30). *Voorbeeld:* $25$ gon $= 25 \cdot \frac{180}{200}^\circ = 22,5^\circ = 22^\circ 30'$ [30](#page=30). *Voorbeeld:* $52,312$ gon $= 52,312 \cdot \frac{180}{200}^\circ \approx 47,0889^\circ = 47^\circ 5'20''$ [30](#page=30). > **Tip:** De omzettingsfactor van gon naar graden is $\frac{180}{200}$, en van graden naar gon is $\frac{200}{180}$. De teller is het getal dat hoort bij de eenheid waarnaar je toe wilt [30](#page=30). ### 3.2 Goniometrische getallen van een hoek #### 3.2.1 De goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek worden de goniometrische getallen als volgt gedefinieerd voor een hoek $\alpha$ [32](#page=32): * Sinus van een hoek: $\sin \alpha = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}$ [32](#page=32). * Cosinus van een hoek: $\cos \alpha = \frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}$ [32](#page=32). * Tangens van een hoek: $\tan \alpha = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}$ [32](#page=32). * Cotangens van een hoek: $\cot \alpha = \frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{overstaande rechthoekszijde}}$ [32](#page=32). > **Tip:** Leer de formules met de begrippen "overstaande/aanliggende rechthoekszijde" en "schuine zijde". Vorm de formules ook om, bijvoorbeeld: aanliggende rechthoekszijde = schuine zijde $\cdot \cos \alpha$. Pas de modus van je rekenmachine aan de hoekeenheid aan [32](#page=32). #### 3.2.2 Goniometrische getallen en de goniometrische cirkel ##### 3.2.2.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel is een cirkel met straal 1, gecentreerd op de oorsprong van een assenstelsel. Een hoek $\alpha$ wordt gevormd door de positieve X-as en een lijn die de cirkel snijdt in punt P [32](#page=32). Het punt P op de cirkel heeft coördinaten $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ [33](#page=33). * De tangens van de hoek is de coördinaat op de verticale raaklijn in $(1,0)$ die de verlengde schuine zijde snijdt [33](#page=33). * De cotangens van de hoek is de coördinaat op de horizontale raaklijn in $(0,1)$ die de verlengde schuine zijde snijdt [33](#page=33). Hoeken worden positief beschouwd als ze tegen de wijzers van de klok in draaien vanaf de positieve X-as [33](#page=33). De bereiken van de goniometrische functies zijn: * $-1 \le \cos \alpha \le 1$ [33](#page=33). * $-1 \le \sin \alpha \le 1$ [33](#page=33). * $\cot \alpha$ kan elke reële waarde aannemen [33](#page=33). * $\tan \alpha$ kan elke reële waarde aannemen [33](#page=33). De assen verdelen de cirkel in vier kwadranten, genummerd I tot IV [33](#page=33). * Een hoek in het tweede kwadrant (bv. $114,2^\circ$) heeft een positieve sinus, negatieve cosinus, negatieve tangens en negatieve cotangens [34](#page=34). > **Tip:** > * Bij een cosinuswaarde op de X-as horen de hoeken $\alpha$ en $-\alpha$ [34](#page=34). > * Bij een sinuswaarde op de Y-as horen de hoeken $\alpha$ en $180^\circ - \alpha$ [34](#page=34). > * Bij een tangenswaarde op de tangensas horen de hoeken $\alpha$ en $180^\circ + \alpha$ [34](#page=34). > * $\cos(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \cos \alpha$ en $\sin(\alpha + k \cdot 360^\circ) = \sin \alpha$ voor elk geheel getal $k$ [34](#page=34). > * $\tan(\alpha + k \cdot 180^\circ) = \tan \alpha$ en $\cot(\alpha + k \cdot 180^\circ) = \cot \alpha$ voor elk geheel getal $k$ [34](#page=34). ##### 3.2.2.2 Formules afgeleid uit de goniometrische cirkel De goniometrische cirkel maakt het mogelijk om snel formules te onthouden: * $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ [34](#page=34). * $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ [34](#page=34). Algemene formules gerelateerd aan de cirkel: * $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ [34](#page=34). * $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ [34](#page=34). * $\tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$ [34](#page=34). * $\cot(90^\circ - \alpha) = \tan \alpha$ [34](#page=34). * $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$ [34](#page=34). * $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$ [34](#page=34). * $\tan(90^\circ + \alpha) = -\cot \alpha$ [34](#page=34). * $\cot(90^\circ + \alpha) = -\tan \alpha$ [34](#page=34). * $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ [34](#page=34). * $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ [34](#page=34). * $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha$ [34](#page=34). * $\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha$ [34](#page=34). * $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$ [34](#page=34). * $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$ [34](#page=34). * $\tan(180^\circ + \alpha) = \tan \alpha$ [34](#page=34). * $\cot(180^\circ + \alpha) = \cot \alpha$ [34](#page=34). #### 3.2.3 Formules De volgende formules moeten gekend zijn: **Grondformule en afgeleide formules:** * $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ [35](#page=35). * $\frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha$ [35](#page=35). * $\frac{1}{\sin \alpha} = \csc \alpha$ [35](#page=35). * $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ [35](#page=35). * $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$ [35](#page=35). * $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ [35](#page=35). * $1 + \cot^2 \alpha = \csc^2 \alpha$ [35](#page=35). **Som en verschilformules:** * $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ [35](#page=35). * $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ [35](#page=35). * $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ [35](#page=35). * $\cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}$ [35](#page=35). **Formules voor de dubbele hoek:** * $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ [35](#page=35). * $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ [35](#page=35). * $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha$ [35](#page=35). * $\cos(2\alpha) = 2 \cos^2 \alpha - 1$ [35](#page=35). * $\tan(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ [35](#page=35). **De t-formules:** * $\sin \alpha = \frac{2t}{1+t^2}$ [35](#page=35). * $\cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ [35](#page=35). * $\tan \alpha = \frac{2t}{1-t^2}$ [35](#page=35). met $t = \tan(\frac{\alpha}{2})$ [35](#page=35). **Formules van Simpson:** * $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ [36](#page=36). * $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ [36](#page=36). * $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ [36](#page=36). * $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ [36](#page=36). **Omgekeerde formules van Simpson:** * $2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = \cos A + \cos B$ [36](#page=36). * $2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = \sin A + \sin B$ [36](#page=36). * $-2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) = \cos A - \cos B$ [36](#page=36). > **Tip:** $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$. Je GRT heeft meestal geen directe cotangensknop [36](#page=36). ### 3.3 Oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen Bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen, zoals $\sin \alpha = a$, $\cos \alpha = a$, of $\tan \alpha = a$, zoeken we de hoek $\alpha$ gegeven de waarde $a$. Hiervoor gebruiken we de inverse functies (bv. $\text{Bgcos}$, $\text{Bgsin}$, $\text{Bgtan}$) [37](#page=37). #### 3.3.1 Vergelijkingen van de vorm $\cos \alpha = a$ De algemene oplossing voor $\cos \alpha = a$ is [37](#page=37): $\alpha = \text{Bgcos}(a) + k \cdot 360^\circ$ of $\alpha = -\text{Bgcos}(a) + k \cdot 360^\circ$, waarbij $k$ een geheel getal is [37](#page=37). *Voorbeeld:* Voor $\cos \alpha = 0,567$, is $\alpha = \text{Bgcos}(0,567) + k \cdot 360^\circ \approx 55^\circ 27'31'' + k \cdot 360^\circ$ of $\alpha = -55^\circ 27'31'' + k \cdot 360^\circ$ [37](#page=37). > **Tip:** Houd er rekening mee dat er bij een cosinuswaarde twee hoeken horen: $\alpha$ en $-\alpha$ (binnen een periode van $360^\circ$) [37](#page=37). #### 3.3.2 Vergelijkingen van de vorm $\sin \alpha = a$ De algemene oplossing voor $\sin \alpha = a$ is [38](#page=38): $\alpha = \text{Bgsin}(a) + k \cdot 360^\circ$ of $\alpha = 180^\circ - \text{Bgsin}(a) + k \cdot 360^\circ$, waarbij $k$ een geheel getal is [38](#page=38). *Voorbeeld:* Voor $\sin \alpha = 0,343$, is $\alpha = \text{Bgsin}(0,343) + k \cdot 360^\circ \approx 20^\circ 3'35'' + k \cdot 360^\circ$ of $\alpha = 180^\circ - 20^\circ 3'35'' + k \cdot 360^\circ = 159^\circ 56'24'' + k \cdot 360^\circ$ [38](#page=38). > **Tip:** Houd er rekening mee dat er bij een sinuswaarde twee hoeken horen: $\alpha$ en $180^\circ - \alpha$ (binnen een periode van $360^\circ$) [38](#page=38). #### 3.3.3 Vergelijkingen van de vorm $\tan \alpha = a$ De algemene oplossing voor $\tan \alpha = a$ is [39](#page=39): $\alpha = \text{Bgtan}(a) + k \cdot 180^\circ$, waarbij $k$ een geheel getal is [39](#page=39). *Voorbeeld:* Voor $\tan \alpha = 2,343$, is $\alpha = \text{Bgtan}(2,343) + k \cdot 180^\circ \approx 66^\circ 53'13'' + k \cdot 180^\circ$. De oplossingen tussen $0^\circ$ en $360^\circ$ zijn $66^\circ 53'13''$ en $66^\circ 53'13'' + 180^\circ = 246^\circ 53'13''$ [39](#page=39). > **Tip:** Houd er rekening mee dat er bij een tangenswaarde oplossingen zijn met een periode van $180^\circ$. De notatie $\tan^{-1}(x)$, $\text{invtan}(x)$, $\text{Bgtan}(x)$ of $\text{Arctg}(x)$ wordt gebruikt voor de inverse tangensfunctie [39](#page=39). * $\text{Bgcos}(x) = \text{Arccos}(x) = \text{Acos}(x) = \text{invcos}(x)$ [39](#page=39). * $\text{Bgsin}(x) = \text{Arcsin}(x) = \text{Asin}(x) = \text{invsin}(x)$ [39](#page=39). * $\text{Bgtg}(x) = \text{Arctg}(x) = \text{Atan}(x) = \text{invtan}(x)$ [39](#page=39). * $\text{Bgcotg}(x) = \text{Arccotg}(x) = \text{Acot}(x) = \text{invcotg}(x)$ [39](#page=39). #### 3.3.4 Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen * **Voorbeeld 1:** Bepaal $\theta$ in zestigdelige graden voor $\cos \theta = 0,450$ [40](#page=40). $\theta = \text{Bgcos}(0,450) + k \cdot 360^\circ \approx 63,2636^\circ + k \cdot 360^\circ$ of $\theta = -63,2636^\circ + k \cdot 360^\circ$. In graden, minuten, seconden: $\theta = 63^\circ 15'49'' + k \cdot 360^\circ$ of $\theta = -63^\circ 15'49'' + k \cdot 360^\circ$ [44](#page=44). * **Voorbeeld 2:** Bepaal $\alpha$ in gon voor $\sin \alpha = 0,132$ [40](#page=40). $\alpha = \text{Bgsin}(0,132) + k \cdot 400$ gon $\approx 8,4$ gon $+ k \cdot 400$ gon. Of $\alpha = 180^\circ - \text{Bgsin}(0,132) + k \cdot 360^\circ$, wat omgerekend wordt naar gon: $200$ gon $- 8,4$ gon $+ k \cdot 400$ gon $= 191,6$ gon $+ k \cdot 400$ gon [44](#page=44). * **Voorbeeld 3:** Bepaal $x$ in radialen voor $\tan(x) = 1$ [40](#page=40). Uit het hoofd: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. De algemene oplossing is $x = \frac{\pi}{4} + k \pi$ [40](#page=40). --- # Driehoeken en hun eigenschappen Deze module behandelt de berekening van zijden en hoeken in zowel rechthoekige als willekeurige driehoeken met behulp van goniometrische formules en de stelling van Pythagoras. ### 4.1 Rechthoekige driehoeken Rechthoekige driehoeken zijn driehoeken met één rechte hoek van 90°. Het oplossen van deze driehoeken houdt in dat men, uitgaande van enkele zijden en/of hoeken, de resterende zijden en hoeken bepaalt [47](#page=47). #### 4.1.1 Formules Voor het oplossen van rechthoekige driehoeken worden de volgende formules gebruikt: * **Stelling van Pythagoras**: In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde [47](#page=47). $$A^2 + B^2 = C^2$$ waarbij $A$ en $B$ de rechthoekszijden zijn en $C$ de schuine zijde [47](#page=47). * **Som van de hoeken**: De som van de hoeken in een driehoek is 180°. Voor een rechthoekige driehoek geldt dat de som van de twee scherpe hoeken 90° is [47](#page=47). $$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$ Voor een rechthoekige driehoek met $\gamma = 90°$: $$\alpha + \beta = 90°$$ * **Goniometrische getallen**: Voor een hoek $\alpha$ in een rechthoekige driehoek geldt [47](#page=47): * Sinus: $\sin \alpha = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}} = \frac{A}{C}$ [47](#page=47). * Cosinus: $\cos \alpha = \frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}} = \frac{B}{C}$ [47](#page=47). * Tangens: $\tan \alpha = \frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}} = \frac{A}{B}$ [47](#page=47). * Cotangens: $\cot \alpha = \frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{overstaande rechthoekszijde}} = \frac{B}{A}$ [47](#page=47). > **Tip:** Zorg ervoor dat uw rekenmachine ingesteld staat op de juiste hoekeenheid (graden of gon) [54](#page=54). #### 4.1.2 Voorbeelden * **Voorbeeld 1**: Het bepalen van de ontbrekende zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek, gegeven één schuine zijde en één rechthoekszijde [48](#page=48). Gegeven: $C = 8,3$, $B = 5,0$. Gevraagd: $\alpha$, $\beta$, $A$. Oplossing: Men gebruikt de cosinusregel om $\alpha$ te vinden: $\cos \alpha = \frac{B}{C} = \frac{5,0}{8,3}$. Dit geeft $\alpha \approx 52°57'$ [48](#page=48). Vervolgens wordt $\beta$ berekend: $\beta = 90° - \alpha = 90° - 52°57' = 37°3'$ [48](#page=48). De zijde $A$ wordt berekend met de stelling van Pythagoras: $A^2 = C^2 - B^2 = 8,3^2 - 5,0^2 = 68,89 - 25 = 43,89$, dus $A = \sqrt{43,89} \approx 6,6$ [48](#page=48). Antwoord: $\alpha = 52°57'$, $\beta = 37°3'$, $A = 6,6$ [48](#page=48). * **Voorbeeld 2**: Een ladder van 4,5m staat tegen een muur en maakt een hoek van 58°23' met de grond. Bereken de afstand tussen de muur en de voet van de ladder ($x$) en de hoogte waarop de ladder tegen de muur steunt ($y$) [48](#page=48). Gegeven: schuine zijde $r = 4,5$m, hoek $\alpha = 58°23'$. Gevraagd: $x$ (aanliggende rechthoekszijde), $y$ (overstaande rechthoekszijde). Oplossing: $x = r \cos \alpha = 4,5 \cos(58°23') \approx 2,36$m [48](#page=48). $y = r \sin \alpha = 4,5 \sin(58°23') \approx 3,83$m [48](#page=48). Antwoord: $x = 2,36$m en $y = 3,83$m [48](#page=48). * **Voorbeeld 3**: Een kracht heeft een component van 7,0N en de loodrechte component is 3,2N. Bepaal de grootte van de kracht en de hoek met de 3,2N component [49](#page=49). Gegeven: $F_x = 3,2$N, $F_y = 7,0$N. Gevraagd: $F$ (resulterende kracht), $\alpha$ (hoek met $F_x$). Oplossing: De hoek $\alpha$ wordt berekend met de tangens: $\tan \alpha = \frac{F_y}{F_x} = \frac{7,0}{3,2} \approx 2,1875$. Dit geeft $\alpha \approx 65°26'$ [49](#page=49). De grootte van de kracht $F$ wordt berekend met de stelling van Pythagoras: $F^2 = F_x^2 + F_y^2 = 3,2^2 + 7,0^2 = 10,24 + 49 = 59,24$. Dus $F = \sqrt{59,24} \approx 7,7$N [49](#page=49). Antwoord: De grootte van de kracht is 7,7N. De hoek met de 3,2N-component is 65°26' [49](#page=49). * **Voorbeeld 4**: Bepaal de grootte en hoek van de resultante van drie krachten [49](#page=49). Gegeven: Kracht 1: 1000N, 0° Kracht 2: 1500N, 165° Kracht 3: 2000N, 220° Gevraagd: Grootte en hoek van de resultante ($R$). Oplossing: De krachten worden ontbonden in x- en y-componenten: $F_{1x} = 1000$, $F_{1y} = 0$ [50](#page=50). $F_{2x} = 1500 \cos(165°) \approx -1449$N, $F_{2y} = 1500 \sin(165°) \approx 388$N [50](#page=50). $F_{3x} = 2000 \cos(220°) \approx -1532$N, $F_{3y} = 2000 \sin(220°) \approx -1286$N [50](#page=50). De som van de componenten geeft de resultantecomponenten: $R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} \approx 1000 - 1449 - 1532 = -1981$N [50](#page=50). $R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} \approx 0 + 388 - 1286 = -898$N [50](#page=50). De grootte van de resultante wordt berekend met Pythagoras: $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-1981)^2 + (-898)^2} \approx \sqrt{3924361 + 806404} = \sqrt{4730765} \approx 2175$N [50](#page=50). De hoek met de x-as wordt berekend met de tangens: $\tan \alpha = \frac{R_y}{R_x} = \frac{-898}{-1981} \approx 0,4533$. Dit geeft een referentiehoek van ongeveer 24,38°. Aangezien beide componenten negatief zijn, ligt de resultante in het derde kwadrant, dus $\alpha = 180° + 24,38° = 204,38°$ [50](#page=50). Antwoord: De grootte van de resultante is 2175N. De hoek met de positieve x-as is 204°23'6" [50](#page=50). > **Studeeraanwijzing**: Bij het samenstellen van krachten kun je de x- en y-componenten achter elkaar afpassen om de componenten van de resultante te vinden. Wees alert op de tekens van de componenten, die de richting aangeven [50](#page=50). ### 4.2 Willekeurige driehoeken Willekeurige driehoeken omvatten alle driehoeken, inclusief rechthoekige. De formules voor willekeurige driehoeken kunnen ook op rechthoekige driehoeken worden toegepast, terwijl de formules voor rechthoekige driehoeken specifiek zijn [51](#page=51). #### 4.2.1 Formules Voor een willekeurige driehoek, waarbij drie van de zes elementen (zijden en hoeken) bekend zijn, kunnen de overige elementen berekend worden met de volgende formules: * **Cosinusregel**: $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$ Deze formules kunnen ook worden herschreven om een hoek te vinden: $$\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$ * **Sinusregel**: $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$ * **Som van de hoeken**: De som van de drie hoeken binnen een driehoek is 180° [51](#page=51). $$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$ #### 4.2.2 Voorbeelden * **Voorbeeld 1**: Gegeven twee zijden ($A=5$cm, $B=9$cm) en de ingesloten hoek ($\gamma=45°42'$). Bereken de overige elementen [51](#page=51). Gevraagd: $C$, $\alpha$, $\beta$. Oplossing: Met de cosinusregel wordt zijde $c$ berekend: $c^2 = A^2 + B^2 - 2AB \cos \gamma = 5^2 + 9^2 - 2 \cos(45°42') = 25 + 81 - 90 \cos(45°42') = 106 - 90(0,6979) = 106 - 62,81 = 43,19$. Dus $c = \sqrt{43,19} \approx 6,57$cm [51](#page=51) [5](#page=5) [9](#page=9). Met de sinusregel wordt hoek $\alpha$ berekend: $\sin \alpha = \frac{A \sin \gamma}{c} = \frac{5 \sin(45°42')}{6,57} = \frac{5(0,7156)}{6,57} \approx 0,542$. Dit geeft $\alpha \approx 32°52'$ [51](#page=51). Hoek $\beta$ wordt berekend met de som van de hoeken: $\beta = 180° - \gamma - \alpha = 180° - 45°42' - 32°52' = 101°26'$ [51](#page=51). Antwoord: $c=6,6$cm, $\alpha=33°3'$56'', $\beta=101°14'$4''. (Let op: de getallen in de tekst en de berekening in de oorspronkelijke pagina verschillen enigszins) [51](#page=51). * **Voorbeeld 2**: Gegeven twee hoeken (27,78 gon en 57,78 gon) en de zijde tegenover één van de hoeken (4cm). Bereken de overige elementen [51](#page=51). Gegeven: $\beta = 27,78$ gon, $\gamma = 57,78$ gon, $b = 4$cm. Gevraagd: $\alpha$, $B$, $C$, $A$. Oplossing: De derde hoek is $\alpha = 200$gon - $\beta$ - $\gamma = 200 - 27,78 - 57,78 = 114,44$ gon [52](#page=52). Met de sinusregel worden zijden $C$ en $A$ berekend: $\frac{A}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies A = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{4 \sin(114,44 \text{ gon})}{\sin(27,78 \text{ gon})} \approx \frac{4(0,970)}{0,464} \approx 8,36$cm [52](#page=52). $\frac{C}{\sin \gamma} = \frac{b}{\sin \beta} \implies C = \frac{b \sin \gamma}{\sin \beta} = \frac{4 \sin(57,78 \text{ gon})}{\sin(27,78 \text{ gon})} \approx \frac{4(0,845)}{0,464} \approx 7,28$cm [52](#page=52). Antwoord: $A = 9,2$cm, $C = 7,4$cm, $\alpha = 114,44$ gon. (Opmerking: de tekst in de paragraaf vermeldt andere waarden dan de berekening) [52](#page=52). * **Voorbeeld 3**: Gegeven twee zijden ($A=5$cm, $B=10$cm) en de hoek tegenover één zijde ($a=45°$). Zoek de overige elementen [52](#page=52). Gevraagd: $b$, $C$, $c$. Oplossing: Met de sinusregel: $\frac{\sin b}{B} = \frac{\sin a}{A} \implies \sin b = \frac{B \sin a}{A} = \frac{10 \sin(45°)}{5} = \frac{10(0,707)}{5} = 1,414$ [52](#page=52). Aangezien de sinuswaarde groter is dan 1, is er geen oplossing mogelijk met deze gegevens. Een schets toont aan waarom [52](#page=52). * **Voorbeeld 4**: Gegeven twee zijden ($A=2,8$cm, $B=4,5$cm) en de hoek tegenover één zijde ($a=30°$). Bereken de ontbrekende zijden en hoeken [52](#page=52). Gevraagd: $C$, $b$, $c$. Oplossing: Met de sinusregel: $\sin b = \frac{B \sin a}{A} = \frac{4,5 \sin(30°)}{2,8} = \frac{4,5(0,5)}{2,8} \approx 0,8036$ [52](#page=52). Dit geeft twee mogelijke waarden voor hoek $b$: $b_1 \approx 53°28'21''$ en $b_2 = 180° - b_1 \approx 126°31'39''$ [52](#page=52). Voor elke waarde van $b$ wordt hoek $c$ berekend: Als $b_1 \approx 53°28'21''$: $c_1 = 180° - (30° + 53°28'21'') = 96°31'39''$ [52](#page=52). Als $b_2 \approx 126°31'39''$: $c_2 = 180° - (30° + 126°31'39'') = 23°28'21''$ [52](#page=52). De bijbehorende zijde $C$ wordt berekend met de sinusregel: Voor $c_1$: $C_1 = \frac{A \sin c_1}{\sin a} = \frac{2,8 \sin(96°31'39'')}{\sin(30°)} \approx \frac{2,8(0,9938)}{0,5} \approx 5,56$cm [52](#page=52). Voor $c_2$: $C_2 = \frac{A \sin c_2}{\sin a} = \frac{2,8 \sin(23°28'21'')}{\sin(30°)} \approx \frac{2,8(0,3987)}{0,5} \approx 2,23$cm [52](#page=52). Antwoord: Er zijn twee mogelijke oplossingen voor de driehoek [52](#page=52). > **Studeeraanwijzing**: Bij het berekenen van een hoek met de sinusregel kunnen er twee oplossingen zijn: $\alpha$ en $180° - \alpha$. De hoek tegenover de langste zijde is de stompe hoek. Een schets kan hierbij helpen. Soms is het mogelijk om twee verschillende driehoeken te construeren met dezelfde gegevens [52](#page=52) [53](#page=53). * **Voorbeeld 5**: Toon aan dat de grootte van de resultante ($R$) van twee krachten ($F_1$, $F_2$) met tussenliggende hoek $\alpha$ gelijk is aan $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos \alpha}$ [53](#page=53). Oplossing: De resultantekrachten kunnen worden voorgesteld als een zijde van een willekeurige driehoek met zijden $F_1$, $F_2$ en $R$. De hoek tegenover $R$ is $180° - \alpha$ [53](#page=53). Door de cosinusregel toe te passen op deze driehoek: $R^2 = F_1^2 + F_2^2 - 2F_1 F_2 \cos(180° - \alpha)$ [53](#page=53). Omdat $\cos(180° - \alpha) = -\cos \alpha$, wordt de formule: $R^2 = F_1^2 + F_2^2 - 2F_1 F_2 (-\cos \alpha) = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos \alpha$ [53](#page=53). Dus, $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos \alpha}$ [53](#page=53). > **Studeeraanwijzing**: Deze formule is handig voor het samenstellen van twee krachten. Voor drie of meer krachten is de methode met x- en y-componenten uit de sectie over rechthoekige driehoeken efficiënter [53](#page=53). ### 4.3 Oefeningen Module 4 biedt een reeks oefeningen voor zowel rechthoekige als willekeurige driehoeken, variërend van het berekenen van zijden en hoeken tot het oplossen van toepassingsproblemen [54](#page=54) [55](#page=55) [56](#page=56) [57](#page=57). > **Studeeraanwijzing**: Controleer of uw rekentoestel in de juiste modus staat (graden of gon) bij het maken van de oefeningen. De oplossingen van de oefeningen zijn achteraan de reeks te vinden [54](#page=54). --- # Rechten en cirkels in het vlak Dit document behandelt de coördinatenstelsels, vergelijkingen van rechten en cirkels, hun onderlinge ligging, afstanden en raaklijnen, met toepassingen in de topografie en weg- en waterbouw. ## 5. Rechten en cirkels in het vlak ### 5.1 Coördinatenstelsels #### 5.1.1 Rechthoekige coördinaten Een rechthoekig coördinatensysteem bestaat uit twee loodrechte assen, de x-as en de y-as, die elkaar snijden in de oorsprong (O). Elk punt in het vlak kan uniek worden bepaald door een geordend paar getallen $(x, y)$, de rechthoekige coördinaten, waarbij $x$ de afstand op de x-as en $y$ de afstand op de y-as voorstelt. De assen verdelen het vlak in vier kwadranten [62](#page=62). ##### 5.1.1.1 Wiskundige rechthoekige coördinaten Dit systeem werkt met een georthonormeerd assenkruis waarbij de x-as horizontaal naar rechts en de y-as verticaal naar boven is georiënteerd [62](#page=62). ##### 5.1.1.2 Rechthoekige coördinaten uit weg- en waterbouw en topografie Hierbij wordt de oorsprong vaak gekozen in een bekend triangulatiepunt. De y-as wijst naar het noorden en de x-as naar het oosten, loodrecht op de y-as. Het doel is vaak om alle punten van een ontwerp positieve coördinaten te geven [62](#page=62). #### 5.1.2 Poolcoördinaten Een punt wordt bepaald door de afstand tot een pool (r) en een hoek ($\theta$ of $\beta$) [63](#page=63). ##### 5.1.2.1 Wiskundige poolcoördinaten Er wordt een horizontale, georiënteerde halfrechte gebruikt als poolas met de pool als beginpunt. Een punt wordt genoteerd als $(r, \theta)$, waarbij $\theta$ positief is in tegenwijzerszin [63](#page=63). De overgangsformules zijn: Van poolcoördinaten naar rechthoekige coördinaten: $$ x = r \cos(\theta) $$ $$ y = r \sin(\theta) $$ Van rechthoekige coördinaten naar poolcoördinaten: $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$ $$ \tan(\theta) = \frac{y}{x} \quad (\text{kwadrant controleren}) $$ ##### 5.1.2.2 Poolcoördinaten in topografie en weg- en waterbouw In de topografie is de poolas een verticale, georiënteerde halfrechte. Een punt wordt bepaald door de afstand $r$ en de kaarthoek $\beta$. De hoek $\beta$ is positief in wijzerszin en ligt tussen de verticale poolas en de verbindingsrechte van pool en punt [64](#page=64). De overgangsformules zijn: Van poolcoördinaten naar rechthoekige coördinaten: $$ x = r \sin(\beta) $$ $$ y = r \cos(\beta) $$ Van rechthoekige coördinaten naar poolcoördinaten: $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$ $$ \tan(\beta) = \frac{x}{y} \quad (\text{kwadrant controleren}) $$ In de weg- en waterbouw wordt de kaarthoek gedefinieerd als de hoek tussen de rechte en de richting van de Y-as, positief in tegenwijzerszin, beginnend vanaf de rechte. Deze wordt meestal uitgedrukt in gon [64](#page=64). > **Tip:** Let op de verschillende oriëntaties van de kaarthoek in topografie (wijzerszin) en weg- en waterbouw (tegenwijzerszin). Bij het berekenen van de kaarthoek met $\tan(\beta) = x/y$ zijn er twee mogelijke hoeken; controleer op de tekening welke correct is [64](#page=64). #### 5.1.3 Verschuiven en draaien van assenstelsels Het is mogelijk om assenstelsels te verschuiven en te draaien om zo coördinaten van punten in een nieuw systeem te bepalen [66](#page=66). Als de oorsprong verschuift van O naar O'(x₀, y₀), dan zijn de nieuwe coördinaten $(x', y')$ gerelateerd aan de oude coördinaten $(x, y)$ door: $$ x' = x - x_0 $$ $$ y' = y - y_0 $$ #### 5.1.4 Afstand tussen twee punten De afstand tussen twee punten $P_1(x_1, y_1)$ en $P_2(x_2, y_2)$ wordt berekend met de afstandsformule: $$ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$ #### 5.1.5 Midden van twee punten Het midden $M$ van een lijnstuk met eindpunten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$ heeft de coördinaten: $$ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) $$ ### 5.2 Rechten #### 5.2.1 Rechten en vergelijkingen Een rechte in het vlak kan worden voorgesteld door de vergelijking $y = mx + p$ of $ax + by + c = 0$ [69](#page=69). In de vorm $y = mx + p$: * $m$ is de richtingscoëfficiënt (rico) en bepaalt de helling van de rechte [69](#page=69). * $m > 0$: stijgende rechte. * $m < 0$: dalende rechte. * Hoe groter $|m|$, hoe steiler de rechte. * $m = 0$: horizontale rechte. * De hellingshoek $\alpha$ kan worden berekend met $m = \tan(\alpha)$ [69](#page=69). * $p$ is het y-snijpunt, d.w.z. de rechte snijdt de y-as in het punt $(0, p)$ [69](#page=69). * De kaarthoek $\beta$ is gerelateerd aan de hellingshoek $\alpha$ door $\beta = 90^\circ - \alpha$ [69](#page=69). In de vorm $ax + by + c = 0$, kan de richtingscoëfficiënt worden gevonden door de vergelijking te herschrijven naar $y = mx + p$: $$ y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} $$ Dus, $m = -\frac{a}{b}$. Het snijpunt met de y-as is dan $(0, -\frac{c}{b})$ [70](#page=70). #### 5.2.2 Tekenen van rechten als de vergelijking gegeven is Om een rechte te tekenen, zijn twee niet-samenvallende punten voldoende. Deze punten kunnen worden gevonden door twee verschillende x-waarden in te vullen en de bijbehorende y-waarden te berekenen, of door het snijpunt met de y-as $(0,p)$ en het snijpunt met de x-as $(y=0)$ te vinden [70](#page=70). #### 5.2.3 Opstellen van de vergelijking van een rechte ##### 5.2.3.1 Als een punt en de richtingscoëfficiënt gegeven zijn De vergelijking van een rechte door punt $(x_1, y_1)$ met rico $m$ is: $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$ ##### 5.2.3.2 Als twee punten gegeven zijn Gegeven twee punten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$, is de richtingscoëfficiënt $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. De vergelijking wordt dan opgesteld met de punt-richting-vorm [71](#page=71): $$ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) $$ #### 5.2.4 Speciale rechten ##### 5.2.4.1 Rechte door de oorsprong De vergelijking is van de vorm $y = mx$ [72](#page=72). ##### 5.2.4.2 Rechte evenwijdig met de y-as (verticale rechten) De vergelijking is van de vorm $x = k$. De richtingscoëfficiënt is oneindig. De y-as is de rechte $x = 0$ [72](#page=72). ##### 5.2.4.3 Rechte evenwijdig met de x-as (horizontale rechten) De vergelijking is van de vorm $y = k$. De richtingscoëfficiënt is nul. De x-as is de rechte $y = 0$. De kaarthoek van een horizontale rechte is 100 gon [72](#page=72). #### 5.2.5 Onderlinge ligging van rechten ##### 5.2.5.1 Evenwijdige rechten Twee rechten met vergelijkingen $y = m_1x + p_1$ en $y = m_2x + p_2$ zijn evenwijdig als $m_1 = m_2$. Als $p_1 \neq p_2$, zijn ze niet samenvallend [73](#page=73). ##### 5.2.5.2 Loodrechte stand Twee rechten met richtingscoëfficiënten $m_1$ en $m_2$ staan loodrecht op elkaar als $m_1 \cdot m_2 = -1$ [73](#page=73). ##### 5.2.5.3 Snijdende rechten Twee rechten die niet evenwijdig zijn, snijden elkaar in één punt. Dit snijpunt kan worden bepaald door het stelsel van hun vergelijkingen op te lossen [73](#page=73). De hoek $\gamma$ tussen twee rechten met hellingshoeken $\alpha$ en $\beta$ is: $$ \gamma = \arctan\left(\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right) $$ #### 5.2.6 Nog enkele begrippen ##### 5.2.6.1 Afstand tussen een punt en een rechte De afstand van een punt $P_0(x_0, y_0)$ tot een rechte $ax + by + c = 0$ wordt gegeven door: $$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$ > **Tip:** De vergelijking van de rechte moet in de vorm $ax+by+c=0$ zijn voor deze formule. De afstand is altijd positief [75](#page=75). ##### 5.2.6.2 Lijnstuk Een lijnstuk is een gedeelte van een rechte begrensd door een begin- en een eindpunt [75](#page=75). ##### 5.2.6.3 Middelloodlijn De middelloodlijn van een lijnstuk staat loodrecht op het lijnstuk en snijdt het in het midden [75](#page=75). ### 5.3 Cirkels #### 5.3.1 Definitie Een cirkel is de verzameling van alle punten die op een gelijke afstand (de straal $R$) liggen van een vast middelpunt $M$ [79](#page=79). #### 5.3.2 Vergelijkingen van de cirkel ##### 5.3.2.1 Eerste vorm De vergelijking van een cirkel met middelpunt $(x_0, y_0)$ en straal $R$ is: $$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 $$ Als het middelpunt de oorsprong $(0,0)$ is, wordt de vergelijking: $$ x^2 + y^2 = R^2 $$ ##### 5.3.2.2 Tweede vorm Na het uitwerken van de haakjes in de eerste vorm ontstaat de algemene vergelijking van een cirkel: $$ x^2 + y^2 + px + qy + t = 0 $$ Hieruit kan het middelpunt worden afgeleid als $(-p/2, -q/2)$ en de straal als $R = \sqrt{(p/2)^2 + (q/2)^2 - t}$. Let op dat de oorspronkelijke vergelijking deze vorm heeft na het delen door de coëfficiënt van $x^2$ en $y^2$ als deze niet 1 zijn [79](#page=79) [90](#page=90). #### 5.3.3 Opstellen van de vergelijking van de cirkel ##### 5.3.3.1 Straal en middelpunt zijn gegeven Gebruik de eerste vorm van de vergelijking: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ [80](#page=80). ##### 5.3.3.2 Drie punten zijn gegeven Als drie niet-collineaire punten gegeven zijn, kunnen hun coördinaten worden ingevuld in de algemene vorm $x^2 + y^2 + px + qy + t = 0$ om een stelsel van drie vergelijkingen te vormen met $p, q, t$ als onbekenden. Na het oplossen van dit stelsel is de vergelijking van de cirkel bekend [80](#page=80). #### 5.3.4 Begrippen met betrekking tot de cirkel ##### 5.3.4.1 Omtrek en oppervlakte van de cirkel * Omtrek: $O = 2\pi R = \pi d$ [81](#page=81). * Oppervlakte: $A = \pi R^2 = \frac{1}{4}\pi d^2$ [81](#page=81). ##### 5.3.4.2 Middelpuntshoek en omtrekshoek * Een middelpuntshoek heeft het middelpunt van de cirkel als hoekpunt [81](#page=81). * Een omtrekshoek heeft een punt op de cirkelomtrek als hoekpunt [81](#page=81). * Eigenschappen: * Een omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat [81](#page=81). * Een omtrekshoek op een halve cirkel is recht (90 graden) [81](#page=81). * Omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk [81](#page=81). ##### 5.3.4.3 Koorde, boog en pijl * **Koorde:** Lijnstuk dat twee punten op de cirkel verbindt. Lengte: $2R\sin(\theta/2)$, waarbij $\theta$ de middelpuntshoek is [81](#page=81). * **Boog:** Gedeelte van de cirkelomtrek tussen twee punten. Lengte: $R\theta$ (met $\theta$ in radialen) [81](#page=81). * **Pijl:** Lijnstuk loodrecht op het midden van de koorde, dat het midden van de koorde verbindt met het dichtstbijzijnde punt op de cirkel. Lengte: $R - R\cos(\theta/2)$ [81](#page=81). ##### 5.3.4.4 Raaklijn aan een cirkel Een raaklijn is een rechte die de cirkel in precies één punt (het raakpunt) snijdt. De raaklijn staat loodrecht op de diameter door het raakpunt. Vanuit een punt buiten de cirkel kunnen twee raaklijnen aan de cirkel worden getrokken, en de afstanden van dit punt tot de raakpunten zijn gelijk [82](#page=82). ##### 5.3.4.5 Cirkelsector en cirkelsegment * **Cirkelsector:** Deel van een cirkel begrensd door een boog en de benen van de corresponderende middelpuntshoek. Oppervlakte: $A = \frac{1}{2}r^2\alpha$ (met $\alpha$ in radialen) [82](#page=82) [83](#page=83). * **Cirkelsegment:** Deel van een cirkel begrensd door een boog en de bijbehorende koorde. Oppervlakte: $A = \frac{1}{2}r^2(\alpha - \sin(\alpha))$ (met $\alpha$ in radialen) [83](#page=83). #### 5.3.5 Gemeenschappelijke punten van een cirkel en een rechte De gemeenschappelijke punten worden gevonden door het stelsel van de vergelijkingen van de cirkel en de rechte op te lossen. Dit leidt meestal tot een tweedegraadsvergelijking [83](#page=83). * Als de discriminant $D > 0$, zijn er twee snijpunten. * Als $D = 0$, is er één snijpunt (de rechte is een raaklijn). * Als $D < 0$, zijn er geen snijpunten. #### 5.3.6 Raaklijn aan een cirkel door een gegeven punt Dit kan worden opgelost door eerst het raakpunt te bepalen en vervolgens de vergelijking van de rechte door het gegeven punt en het raakpunt op te stellen [85](#page=85). #### 5.3.7 Raaklijn aan een cirkel evenwijdig met een gegeven rechte Om de raaklijnen te bepalen die evenwijdig zijn met een gegeven rechte, wordt de richting van de rechte gebruikt. De raaklijnen zullen dezelfde richtingscoëfficiënt hebben als de gegeven rechte. Het raakpunt wordt vervolgens bepaald [86](#page=86). --- # Exponentiële en logaritmische functies Hieronder volgt een gedetailleerd studiegidsgedeelte over exponentiële en logaritmische functies, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 6. Exponentiële en logaritmische functies Deze module behandelt de fundamenten van exponentiële en logaritmische functies, inclusief hun definities, eigenschappen, grafische representaties en toepassingen bij het oplossen van vergelijkingen en het werken met logaritmische schaalverdelingen. ### 6.1 De exponentiële functie #### 6.1.1 Definities en grafieken Een exponentiële functie heeft de algemene vorm $y = a^x$, waarbij $a$ een strikt positief getal is dat niet gelijk is aan 1. Twee veelvoorkomende specifieke exponentiële functies zijn $y = 10^x$ en $y = e^x$, waarbij $e \approx 2.718$ [95](#page=95). * **Snijpunt met de y-as:** De grafiek snijdt de y-as altijd bij $y=1$, aangezien $a^0 = 1$ [95](#page=95). * **Gedrag van de functie:** * Als $a > 1$, is de functie stijgend. Hoe groter $a$, hoe sneller de functie stijgt [95](#page=95). * Als $0 < a < 1$, is de functie dalend. Hoe kleiner $a$, hoe sneller de functie daalt [95](#page=95). * **Domein:** Het domein van de functie is $\mathbb{R}$ (alle reële getallen) [95](#page=95). * **Beeld:** Het beeld van de functie is $\mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$ (alle strikt positieve getallen) [95](#page=95). * **Asymptoten:** * Voor $a > 1$ nadert de grafiek de x-as (horizontale asymptoot $y=0$) naarmate $x$ naar $-\infty$ gaat, zonder deze ooit te raken [95](#page=95). * Voor $0 < a < 1$ nadert de grafiek de x-as (horizontale asymptoot $y=0$) naarmate $x$ naar $+\infty$ gaat, zonder deze ooit te raken [95](#page=95). #### 6.1.2 Eigenschappen van machten In de uitdrukking $a^m$ wordt $a$ het grondtal genoemd en $m$ de exponent. De fundamentele rekenregels voor machten zijn [96](#page=96): * $a^1 = a$ [96](#page=96). * $a^0 = 1$ [96](#page=96). * $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$ (met $a \neq 0$) [96](#page=96). * $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ (machtsregel) [96](#page=96). * $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (productregel) [96](#page=96). * $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (quotiëntregel) [96](#page=96). * $(ab)^n = a^n b^n$ [96](#page=96). > **Tip:** Het is cruciaal om deze 11 formules uit het hoofd te leren [96](#page=96). #### 6.1.3 De veralgemeende exponentiële functies Veralgemeende exponentiële functies omvatten transformaties van de basisvorm $y = a^x$: * **Vorm $y = b \cdot a^x$:** * Deze functie wordt verkregen door de grafiek van $y = a^x$ verticaal uit te rekken of in te krimpen met een factor $b$. * Als $|b| > 1$, is er sprake van een uitrekking. * Als $0 < |b| < 1$, is er sprake van een inkrimping. * De grafiek gaat door het punt $(0, b)$ [97](#page=97). * Als $b$ negatief is, wordt de functie gespiegeld ten opzichte van de x-as [97](#page=97). * **Vorm $y = b \cdot a^x + c$:** * Deze functie wordt verkregen door de grafiek van $y = b \cdot a^x$ verticaal te verschuiven over een afstand $c$. * Als $c > 0$, is er een verschuiving naar boven. * Als $c < 0$, is er een verschuiving naar beneden. * De functie heeft een horizontale asymptoot op de lijn $y=c$ [97](#page=97). #### 6.1.4 Toepassingen van exponentiële functies Exponentiële functies zijn essentieel voor het beschrijven van diverse natuurlijke en technologische processen. Veel voorkomende toepassingen zijn [98](#page=98): * **Opladen van een condensator:** Beschreven door $U = U_0(1 - e^{-t/\tau}) + c$. Als de condensator niet is opgeladen bij $t=0$, dan is $c=0$. De spanning benadert de waarde $U_0$ (de asymptoot) naarmate $t$ groot wordt [98](#page=98). * **Ontladen van een condensator:** Beschreven door $U = U_0 e^{-t/\tau}$. Als de condensator bij $t=0$ volledig is opgeladen tot $U_0$, dan nadert de spanning 0V (de asymptoot) naarmate $t$ groot wordt [99](#page=99). * **Opwarmen/Afkoelen:** Beschreven door $T = T_{eind} + (T_{begin} - T_{eind})e^{-kt}$. De functie heeft de vorm $y = b \cdot a^x + c$, waarbij $c$ de eindtemperatuur is (de asymptoot) [99](#page=99). > **Tip:** Om het functievoorschrift te bepalen, vul je gegeven punten in de algemene vorm in en los je de resulterende vergelijkingen op [100](#page=100). > **Voorbeeld:** Bepaal het functievoorschrift van $y = b \cdot a^x + c$ als de grafiek door $(0,4)$ en $(1,2)$ gaat en de horizontale asymptoot $y=0$ is. > > Hier is $c=0$. De vorm is $y = b \cdot a^x$. > Invullen van de punten: > $(0,4) \Rightarrow 4 = b \cdot a^0 \Rightarrow b=4$. > $(1,2) \Rightarrow 2 = 4 \cdot a^1 \Rightarrow a = 2/4 = 0.5$. > Het functievoorschrift is $y = 4 \cdot 0.5^x$ [100](#page=100). > **Voorbeeld:** Bepaal het functievoorschrift van $y = b \cdot a^x + c$ als de horizontale asymptoot $y=17$ is en de grafiek door $(-1, -3)$ en $(2, 14.5)$ gaat. > > Hier is $c=17$. De vorm is $y = b \cdot a^x + 17$. > Invullen van de punten: > $(-1, -3) \Rightarrow -3 = b \cdot a^{-1} + 17 \Rightarrow b \cdot a^{-1} = -20$ [1](#page=1). > $(2, 14.5) \Rightarrow 14.5 = b \cdot a^2 + 17 \Rightarrow b \cdot a^2 = -2.5$ [2](#page=2). > Uit volgt $b = -20a$. Substitueren in [1](#page=1) [2](#page=2): > $-20a \cdot a^2 = -2.5 \Rightarrow -20a^3 = -2.5 \Rightarrow a^3 = 0.125 \Rightarrow a = 0.5$. > Invullen van $a=0.5$ in $b = -20a$ geeft $b = -20 \cdot 0.5 = -10$. > Het functievoorschrift is $y = -10 \cdot 0.5^x + 17$ [100](#page=100). ### 6.2 De logaritmische functie #### 6.2.1 Definities en grafieken De logaritmische functie heeft de algemene vorm $y = \log_a(x)$, waarbij $a$ een strikt positief getal is dat niet gelijk is aan 1. Deze functie is de inverse van de exponentiële functie met hetzelfde grondtal . * **Inverse functies:** * $y = \ln(x)$ is de natuurlijke logaritme, de inverse van $y = e^x$ . * $y = \log(x)$ is de logaritme met grondtal 10, de inverse van $y = 10^x$ . * **Domein:** Het domein van de logaritmische functie is $\mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$ (alle strikt positieve getallen) . * **Snijpunten:** * De grafiek snijdt de y-as nooit . * De grafiek snijdt de x-as in het punt $(1, 0)$ . * **Gedrag van de functie:** * Als $a > 1$, is de functie stijgend. De functie stijgt het snelst naarmate $a$ kleiner wordt . * Als $0 < a < 1$, is de functie dalend. De functie daalt het snelst naarmate $a$ groter wordt . * **Asymptoten:** * Voor $a > 1$ nadert de grafiek de y-as (verticale asymptoot $x=0$) naarmate $x$ naar $0$ langs de positieve kant gaat, waarbij $y$ naar $-\infty$ gaat . * Voor $0 < a < 1$ nadert de grafiek de y-as (verticale asymptoot $x=0$) naarmate $x$ naar $0$ langs de positieve kant gaat, waarbij $y$ naar $+\infty$ gaat . #### 6.2.2 Eigenschappen van logaritmen Logaritmische en exponentiële functies met hetzelfde grondtal zijn elkaars inverse . * **Inverse relatie:** $y = \log_a(x) \iff x = a^y$ . * **Bijzondere waarden:** * $\log_a(a) = 1$ . * $\log_a = 0$ [1](#page=1). * **Rekenregels:** * $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$ . * $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$ . * $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$ . > **Let op:** Er bestaat geen eigenschap voor $\log_a(x \pm y)$ . > **Tip:** Om $\log_a(x)$ te vinden, stel je de vraag: "Tot welke macht moet ik $a$ verheffen om $x$ te krijgen?" . > **Tip:** Om $\log_a(x)$ met een rekenmachine te berekenen, gebruik je de eigenschap $\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$, waarbij $b$ bijvoorbeeld $e$ (natuurlijke logaritme, `ln`) of $10$ (tiendelige logaritme, `log`) is . ### 6.3 Oplossen van vergelijkingen #### 6.3.1 Oplossen van exponentiële vergelijkingen Om een exponentiële vergelijking op te lossen waarbij de onbekende in de exponent staat, wordt een gestandaardiseerde aanpak gevolgd . **Stappenplan voor het oplossen van exponentiële vergelijkingen:** 1. **Stap 1: Standaardvorm:** Breng de vergelijking naar de standaardvorm $a^x = c$ of $b \cdot a^x = c$ . 2. **Stap 2: Logaritme toepassen:** Pas op beide leden van de vergelijking een geschikte logaritmische functie toe. De keuze van de logaritme (grondtal) hangt af van het grondtal in de exponentiële uitdrukking. Als de vergelijking $e^{\dots} = \dots$ bevat, gebruik je de natuurlijke logaritme ($\ln$). Als de vergelijking $10^{\dots} = \dots$ bevat, gebruik je de tiendelige logaritme ($\log$) . 3. **Stap 3: Oplossen en controleren:** Los de resulterende vergelijking op voor de onbekende en controleer de oplossing(en) . > **Tip:** Let goed op de eenheden in opgaven en wees bewust van mogelijke afrondingsverschillen bij de controle . > **Voorbeeld:** Los de vergelijking $3(1 - 10^{-0.5x}) = 2$ op naar $x$ . > > 1. **Stap 1 (Standaardvorm):** > $1 - 10^{-0.5x} = \frac{2}{3}$ > $10^{-0.5x} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ > 2. **Stap 2 (Logaritme toepassen):** Gebruik logaritme met grondtal 10 (log). > $\log(10^{-0.5x}) = \log(\frac{1}{3})$ > $-0.5x = \log(\frac{1}{3})$ > $x = \frac{\log(\frac{1}{3})}{-0.5}$ > $x \approx \frac{-0.4771}{-0.5} \approx 0.954$ > 3. **Stap 3 (Controle):** Controleer met de oorspronkelijke vergelijking. > **Voorbeeld:** Bereken op welk tijdstip de temperatuur 16°C is, gegeven de formule $T = 8 + 14e^{-0.0444t}$ . > > 1. **Stap 1 (Standaardvorm):** > $16 = 8 + 14e^{-0.0444t}$ > $8 = 14e^{-0.0444t}$ > $e^{-0.0444t} = \frac{8}{14}$ > 2. **Stap 2 (Logaritme toepassen):** Gebruik de natuurlijke logaritme (ln) omdat het grondtal $e$ is. > $\ln(e^{-0.0444t}) = \ln(\frac{8}{14})$ > $-0.0444t = \ln(\frac{8}{14})$ > $t = \frac{\ln(\frac{8}{14})}{-0.0444} \approx \frac{-0.5596}{-0.0444} \approx 12.6$ seconden. > 3. **Stap 3 (Controle):** $8 + 14e^{-0.0444 \cdot 12.6} \approx 16$. #### 6.3.2 Oplossen van logaritmische vergelijkingen Hoewel er geen expliciet stappenplan voor logaritmische vergelijkingen wordt gegeven in de paginareferenties, volgt dit doorgaans een omgekeerd proces van het oplossen van exponentiële vergelijkingen: breng de vergelijking naar de vorm $\log_a(x) = c$ en transformeer deze naar de exponentiële vorm $x = a^c$. Zorg er altijd voor dat de argumenten van de logaritmen positief zijn. ### 6.4 Werken met logaritmische schaalverdeling Logaritmische schaalverdelingen worden gebruikt in grafieken waar het bereik van de assen zeer groot is, om afstanden tussen metingen die dicht bij elkaar liggen zichtbaar te maken . #### 6.4.1 Principe In plaats van de directe waarde op een as te zetten, wordt de logaritme van de waarde of de waarde zelf op een logaritmische schaal gezet. Dit maakt het mogelijk om zowel zeer grote als zeer kleine waarden op dezelfde grafiek te visualiseren en te onderscheiden . #### 6.4.2 Aflezing op de lijn Bij een logaritmische schaalverdeling op een as, vertegenwoordigen de lijnen machten van het grondtal van de logaritme (meestal 10). Bijvoorbeeld, als de schaal begint bij 1, dan zijn de lijnen typisch 1, 2, 3,..., 10, 20, 30,..., 100, 200, etc.. Een schaalfactor kan eventueel worden toegepast . #### 6.4.3 Bepalen van de waarde van een punt dat niet op een lijn valt Als een punt tussen twee lijnen valt, moet de waarde ervan berekend worden met behulp van interpolatie. Dit gebeurt door de afstand tussen de twee bekende lijnen en de afstand van de lijn tot het punt te meten, en dit te relateren aan het verschil in de logaritmes van de waarden van de lijnen . > **Voorbeeld:** Bepaal de waarde $x$ van een punt dat tussen de lijnen 20 en 30 valt, waarbij de afstand tussen 20 en 30 1.5 cm is, en het punt op 0.9 cm van de lijn 20 ligt . > > Men veronderstelt dat de schaal logaritmisch is: > $1.5 \, \text{cm} \quad \leftrightarrow \quad \log - \log $ [20](#page=20) [30](#page=30). > $0.9 \, \text{cm} \quad \leftrightarrow \quad \log(x) - \log $ [20](#page=20). > > Met behulp van verhoudingen kan de waarde van $\log(x)$ worden berekend: > $\log(x) - \log = 0.9 \, \text{cm} \cdot \frac{\log - \log }{1.5 \, \text{cm}}$ [20](#page=20) [30](#page=30). > $\log(x) = \log + 0.9 \cdot \frac{\log - \log }{1.5}$ [20](#page=20) [30](#page=30). > $\log(x) \approx 1.3010 + 0.9 \cdot \frac{1.4771 - 1.3010}{1.5} \approx 1.3010 + 0.9 \cdot \frac{0.1761}{1.5} \approx 1.3010 + 0.1057 \approx 1.4067$ > $x = 10^{1.4067} \approx 25.5$. > De berekening in het document is: $1.5 \, \text{cm} \quad \leftrightarrow \quad \log -\log $ [20](#page=20) [30](#page=30). > $0.9 \, \text{cm} \quad \leftrightarrow \quad \log(x)-\log $ [20](#page=20). > $\log(x) - \log = 0.9 \cdot \frac{\log - \log }{1.5}$ [20](#page=20) [30](#page=30). > $\log(x) = \log + 0.9 \cdot \frac{\log - \log }{1.5}$ [20](#page=20) [30](#page=30). > $\log(x) = 1.30103 + 0.9 \cdot (\frac{1.47712 - 1.30103}{1.5}) \approx 1.30103 + 0.9 \cdot 0.1174 \approx 1.30103 + 0.10566 \approx 1.40669$ > $x = 10^{1.40669} \approx 25.5$. De documentatie zelf geeft een andere berekening die tot 25.5 leidt . #### 6.4.4 Uitzetten van een punt op een grafiek niet op de lijn Het uitzetten van een punt dat niet op een lijn valt, vereist ook rekenwerk, vergelijkbaar met het bepalen van de waarde . > **Voorbeeld:** Zet 250 uit op logaritmisch papier, waarbij de afstand tussen de lijnen 200 en 300 1.55 cm is . > > $1.55 \, \text{cm} \quad \leftrightarrow \quad \log - \log $ . > We zoeken de afstand voor $\log - \log $ . > Afstand = $0.85 \, \text{cm} \cdot \frac{\log - \log }{1.55 \, \text{cm}}$ . > $\log - \log = 0.85 \cdot \frac{\log - \log }{1.55}$ . > $\log = \log + 0.85 \cdot \frac{\log - \log }{1.55}$ . > $\log \approx 2.30103 + 0.85 \cdot \frac{2.47712 - 2.30103}{1.55} \approx 2.30103 + 0.85 \cdot \frac{0.17609}{1.55} \approx 2.30103 + 0.85 \cdot 0.1136 \approx 2.30103 + 0.09656 \approx 2.39759$ . > $250 = 10^{2.39759}$ . ### 6.5 Interpoleren Interpoleren is het bepalen van een waarde tussen twee bekende datapunten. #### 6.5.1 Lineair interpoleren Bij lineair interpoleren wordt aangenomen dat de punten op een grafiek verbonden zijn door rechte lijnen. De gezochte waarde wordt berekend op basis van de verhouding tussen de afstanden . > **Voorbeeld:** Bepaal de diameter van een zeef waar 50% van de hoeveelheid zand blijft liggen, gegeven dat bij 0.589 mm de zeefrest 43.47% is en bij 0.417 mm de zeefrest 54.22% is . > > Verschil in diameter: $0.417 - 0.589 = -0.172 \, \text{mm}$ > Verschil in zeefrest: $54.22 - 43.47 = 10.75 \, \%$ > > Een toename van 1% in zeefrest komt overeen met een afname van $\frac{0.172}{10.75} \approx 0.016 \, \text{mm}$ in diameter. > Om van 43.47% naar 50% te gaan is een toename van $6.53 \, \%$. > De bijbehorende diameterverandering is $6.53 \cdot (-0.016) \approx -0.104 \, \text{mm}$. > De gevraagde diameter is $0.589 + (-0.104) = 0.485 \, \text{mm}$. #### 6.5.2 Logaritmisch interpoleren Logaritmisch interpoleren wordt gebruikt als de grafiek op een logaritmische schaalverdeling een rechte lijn vertoont. De berekening is vergelijkbaar met lineair interpoleren, maar dan met de logaritmes van de waarden . > **Voorbeeld:** Bepaal de diameter van de zeef waar 50% van de hoeveelheid zand blijft liggen, met behulp van logaritmische interpolatie . > > Gegeven: > Diameter (mm) | log(Diameter) | Zeefrest (%) > ------------- | ------------- | ----------- > 0.589 | -0.22988 | 43.47 > 0.417 | -0.37986 | 54.22 > > Verschil in log(diameter): $-0.37986 - (-0.22988) = -0.14998$ > Verschil in zeefrest: $54.22 - 43.47 = 10.75 \, \%$ > > Een toename van 1% in zeefrest komt overeen met een afname van $\frac{-0.14998}{10.75} \approx -0.01395$ in log(diameter). > Voor een toename van 6.53% in zeefrest is de verandering in log(diameter): $6.53 \cdot (-0.01395) \approx -0.0911$. > De log(diameter) voor 50% is: $-0.22988 + (-0.0911) = -0.32098$. > Om de diameter te vinden, nemen we de inverse logaritme (met grondtal 10): $10^{-0.32098} \approx 0.478 \, \text{mm}$. --- # Ruimtemeetkunde Deze module behandelt het berekenen van oppervlakten en inhoud van standaard en samengestelde 3D-objecten, met toepassingen in de bouwnijverheid, zoals grondverzet, bouwfysica en stabiliteitsberekeningen . ### 7.1 Overzicht van oppervlakte van vlakke figuren en inhoud van ruimtelijke lichamen De oppervlakte van veel voorkomende basisfiguren is essentieel voor verdere berekeningen . #### 7.1.1 Oppervlakte van vlakke figuren Enkele belangrijke formules voor de oppervlakte van vlakke figuren zijn: * Rechthoek: $A = b \cdot l$ . * Vierkant: $A = z \cdot z = z^2$ . * Driehoek: $A = \frac{b \cdot h}{2}$ . * Cirkel: $A = \pi \cdot r^2$ . * Trapezium: $A = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2}$ . * Cirkelsector: $A = \frac{\alpha}{2\pi} \pi \cdot r^2 = \frac{\alpha}{2} \cdot r^2$ . > **Tip:** Voor de oppervlakte van een cirkelsector vermenigvuldig je de totale oppervlakte van de cirkel met de verhouding van de hoek $\alpha$ (in radialen) op hoek $2\pi$ . #### 7.1.2 Inhoud en oppervlakte van ruimtelijke lichamen De inhoud van ruimtelijke figuren is vaak gebaseerd op de oppervlakte van de basis vermenigvuldigd met de hoogte. Voor complexere figuren kunnen formules verder afgeleid zijn of kunnen figuren worden opgesplitst in deelfiguren om berekeningen te vereenvoudigen . Hieronder enkele formules voor veelgebruikte ruimtelijke lichamen: * **Kubus** * Inhoud: $I = z^3$ . * Oppervlakte: $A = 6 \cdot z^2$ . * **Piramide (met vierkante basis)** * Inhoud: $I = \frac{1}{3} A_{grondvlak} \cdot h$ . * Oppervlakte: $A = b^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} b \cdot s = b^2 + 2 \cdot b \cdot s$ . * Hierbij is $b$ de zijde van de vierkante basis en $s$ de zijde van de driehoekige zijvlakken. * **Balk** * Inhoud: $I = b \cdot l \cdot h$ . * Oppervlakte: $A = 2 \cdot l \cdot h + 2 \cdot b \cdot h + 2 \cdot l \cdot b$ . * **Cilinder** * Inhoud: $I = \pi \cdot r^2 \cdot h$ . * Oppervlakte: $A = 2\pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$ . * **Kegel** * Inhoud: $I = \frac{1}{3} A_{grondvlak} \cdot h = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h$ . * **Bol** * Inhoud: $I = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ . * Oppervlakte: $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$ . ### 7.2 Basis oefeningen op het berekenen van oppervlakte en inhoud Deze sectie bevat praktische oefeningen om de toepassing van de formules te oefenen . #### 7.2.1 Oefening 1 Bereken de buitenmanteloppervlakte en het volume van een bungalow met een gegeven grondplan en een hoogte van 3,5 meter . #### 7.2.2 Oefening 2 Een loods heeft een gekromd dak in de vorm van een cirkeldeel. De breedte is 7 meter, de lengte 11 meter en de nokhoogte 3,5 meter. Vraagstellingen betreffen de lengte van de dakplaat (DC) en de benodigde hoeveelheid gevelbekleding (exclusief dakplaten), alsook de inhoud van de opslagplaats (#page=133, page=134) . #### 7.2.3 Oefening 3 Bereken de compactheid ($C = V/A$) van twee rijen woningen met identieke afmetingen (breedte 6m, diepte 12m, goothoogte 5m), maar met verschillende zadeldaken (helling 40°). De ene rij heeft een zadeldak evenwijdig met de voorgevel, de andere dwars erop . #### 7.2.4 Oefening 4 Een olietank heeft de vorm van een cilinder met een hoogte van 6 meter en een straal van 1,5 meter. Bereken tot welke hoogte $h$ de olie reikt als er nog 20000 liter olie in de tank aanwezig is . ### 7.3 Gevorderde oefeningen op het berekenen van oppervlakte en inhoud Deze sectie bevat complexere oefeningen waarbij geometrische analyse en toepassing van formules vereist zijn . #### 7.3.1 Oefening 5 Bereken de benodigde vierkante meters golfplaten voor de buitenwand van een woning die vervaardigd is uit een oude graansilo. De oorspronkelijke silo heeft een diameter van 5 meter en een wanddikte van 0,3 meter, en is 15 meter hoog. Er zijn openingen voor een raam en een deur in de wand (1m breed aan de binnenzijde) en een uitsparing van 15 vierkante meter aan de buitenzijde. Isolatie van 10 cm dik wordt aangebracht rondom de silo . #### 7.3.2 Oefening 6 Bereken de hoeveelheid af te voeren grond voor een sloot. Er worden twee scenario's gevraagd: één met een rechthoekig profiel en één met een trapeziumvormig profiel, volgens de gegeven figuur . #### 7.3.3 Oefening 7 Een uitkijktoren met een houten frame en een afdak wordt beschreven. De afmetingen van rechthoeken (ABCD, KLMN, PORS) en de lengtes van de palen (AK, BL, CM, DN = 450 cm; KP, LO, MR, NS = 150 cm) worden gegeven. Vraagstellingen betreffen het tekenen van de opstaande palen in bovenaanzicht en het berekenen van de lengte van de ladder van AB naar KI . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Eerstegraadsvergelijking | Een vergelijking waarbij de hoogste macht van de onbekende gelijk is aan 1. De algemene vorm is $ax + b = 0$, met $a \neq 0$. | | Tweedegraadsvergelijking | Een vergelijking waarbij de hoogste macht van de onbekende gelijk is aan 2. De algemene vorm is $ax^2 + bx + c = 0$, met $a \neq 0$. | | Discriminant | Een waarde die berekend wordt uit de coëfficiënten van een tweedegraadsvergelijking ($ax^2 + bx + c = 0$) met de formule $D = b^2 - 4ac$. De waarde van de discriminant bepaalt het aantal reële oplossingen van de vergelijking. | | Stelsel van vergelijkingen | Een verzameling van twee of meer vergelijkingen met dezelfde onbekenden. Het oplossen van een stelsel betekent het vinden van de waarden voor de onbekenden die aan alle vergelijkingen tegelijk voldoen. | | Lineair combineren (eliminatiemethode) | Een methode om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen door de vergelijkingen zodanig met constanten te vermenigvuldigen dat bij optelling of aftrekking één van de onbekenden verdwijnt. | | Substitutiemethode | Een methode om stelsels van vergelijkingen op te lossen door een variabele uit één vergelijking vrij te maken en deze vervolgens in de andere vergelijking te substitueren. | | Goniometrie | Het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de relaties tussen de hoeken en zijden van driehoeken, en met de goniometrische functies zoals sinus, cosinus en tangens. | | Radiaal | Een eenheid van hoeken, gedefinieerd als de hoek die overeenkomt met een booglengte gelijk aan de straal van de cirkel. 1 radiaal is ongeveer 57,3 graden. | | Goniometrische cirkel | Een eenheidscirkel waarop goniometrische functies worden gevisualiseerd. Punten op de cirkel worden bepaald door de cosinus (x-coördinaat) en de sinus (y-coördinaat) van een hoek. | | Richtingscoëfficiënt (rico) | In een lineaire functie van de vorm $y = mx + p$, is $m$ de richtingscoëfficiënt. Deze geeft de helling van de lijn aan en wordt berekend als de verandering in $y$ gedeeld door de verandering in $x$. | | Kaarthoek | Een hoek die wordt gebruikt in topografie en weg- en waterbouw, gedefinieerd ten opzichte van een poolas (vaak de noordrichting), met een specifieke positieve zin. | | Poolcoördinaten | Een coördinatensysteem waarin een punt in het vlak wordt bepaald door zijn afstand tot een vast punt (de pool) en de hoek ten opzichte van een vaste richting (de poolas). | | Exponentiële functie | Een functie van de vorm $y = ax$, waarbij $a$ een positief getal ongelijk aan 1 is. Deze functies worden gekenmerkt door een constante groeifactor of vervalfactor. | | Logaritmische functie | Een functie van de vorm $y = \log_a(x)$, die de inverse is van de exponentiële functie $y = a^x$. Het grondtal $a$ moet positief en ongelijk aan 1 zijn. | | Interpoleren | Het proces van het schatten van een waarde tussen twee bekende datapunten. Lineaire interpolatie veronderstelt een rechte lijn tussen de punten, terwijl logaritmische interpolatie een logaritmische relatie aanneemt. | | Ruimtemeetkunde | Het onderdeel van de meetkunde dat zich bezighoudt met de eigenschappen en berekeningen van driedimensionale objecten zoals kubussen, cilinders, kegels en bollen. | | Oppervlakte | De grootte van het tweedimensionale gebied dat door een gesloten figuur wordt ingenomen. | | Inhoud (Volume) | De grootte van de driedimensionale ruimte die door een object wordt ingenomen. | | Cilinder | Een driedimensionaal object met twee parallelle cirkelvormige bases die met elkaar verbonden zijn door een gebogen oppervlak. | | Kegel | Een driedimensionaal object met een cirkelvormige basis en een puntige top (apex), waarbij het oppervlak gevormd wordt door lijnstukken die de apex verbinden met de omtrek van de basis. | | Bol | Een perfect rond driedimensionaal object waarin alle punten op het oppervlak zich op gelijke afstand (de straal) van het middelpunt bevinden. | | Piramide | Een driedimensionaal object met een veelhoekige basis en driehoekige zijvlakken die samenkomen in een gemeenschappelijk punt (de apex). | | Kubus | Een driedimensionaal object met zes gelijke vierkante zijvlakken. | | Balk | Een driedimensionaal object met zes rechthoekige zijvlakken. |