M_V.pdf

# Methode van scheiding der variabelen voor Laplace's vergelijking ### Kernidee * De methode van scheiding der variabelen is een techniek om partiële differentiaalvergelijkingen, zoals Laplace's vergelijking, op te lossen door ze te ontbinden in eenvoudigere gewone differentiaalvergelijkingen. * Dit principe wordt toegepast in de context van de microscopische en macroscopische Maxwell-vergelijkingen. * De methode is bijzonder nuttig voor het oplossen van stationaire veldproblemen in specifieke coördinatensystemen. ### Sleutelbegrippen * **Microscopische velden (e, b):** Velden gedefinieerd door de Lorentz-krachtwet op geladen deeltjes [9](#page=9). * **Macroscopische velden (E, B):** Gemiddelde waarden van de microscopische velden, beschouwd als continue media [11](#page=11). * **Potentiëlen (A, V):** Scalaire (V) en vector (A) potentialen die de elektrische (E) en magnetische (B) velden representeren, met als doel de Maxwell-vergelijkingen te vereenvoudigen [17](#page=17). * Relatie: $B = \nabla \times A$ [17](#page=17). * Relatie: $E + \frac{\partial A}{\partial t} = -\nabla V$ [18](#page=18). * **Lorentz-ijkvoorwaarde:** Een voorwaarde die wordt opgelegd aan de potentialen ($ \nabla \cdot A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0 $) om de golfvergelijkingen voor V en A te scheiden [18](#page=18). * **Golfvergelijkingen:** * $ \nabla^2 A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} = -\mu_0 J_L $ [18](#page=18). * $ \nabla^2 V - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{\rho_L}{\epsilon_0} $ [18](#page=18). * **Stationaire velden (tijdsonafhankelijk):** Een benadering waarbij de tijdsafgeleiden in de golfvergelijkingen verwaarloosd kunnen worden, resulterend in de Laplace- of Poisson-vergelijkingen [18](#page=18). * $ \nabla^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho_L $ [19](#page=19). * $ \nabla^2 A = -\mu_0 J_L $ [19](#page=19). * **Multipoolontwikkeling:** Een methode om de potentiaal van een compacte ladingsverdeling te benaderen als een reeks termen die gerelateerd zijn aan de totale lading, dipoolmoment, etc. [21](#page=21). ### Sleutelfeiten * De microscopische Maxwell-vergelijkingen zijn: * $ \nabla \times e = -\frac{\partial b}{\partial t} $ [10](#page=10). * $ \nabla \cdot \epsilon_0 e = \eta $ [10](#page=10). * $ \nabla \times \frac{b}{\mu_0} = \frac{\partial \epsilon_0 e}{\partial t} + j $ [10](#page=10). * $ \nabla \cdot b = 0 $ [10](#page=10). * De macroscopische Maxwell-vergelijkingen zijn: * $ \nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t} $ [12](#page=12). * $ \nabla \cdot \epsilon_0 E = \rho_L $ [12](#page=12). * $ \nabla \times \frac{B}{\mu_0} = \frac{\partial \epsilon_0 E}{\partial t} + J_L $ [12](#page=12). ### Implicaties ### Oefening --- ## Magnetische multipoolmomenten ### Magnetisch moment van een stroomverdeling * De vectorpotentiaal van een compacte stroomverdeling kan uitgedrukt worden in termen van een reeksontwikkeling van de Green's functie [25](#page=25). * Voor een stationaire stroomverdeling (∇ · J = 0) is de eerste term in de potentiaalontwikkeling nul [25](#page=25). * De eerste significante term voor de vectorpotentiaal van een stationaire stroomverdeling is gerelateerd aan het magnetisch moment [26](#page=26). * Het magnetisch moment van een stroomverdeling wordt gedefinieerd als: - $$m = \frac{1}{2} \int \mathbf{r} \times \mathbf{J}(\mathbf{r}) dv$$ [26](#page=26) * $\mu_0 \mathbf{m}$ wordt vaak het magnetisch dipoolmoment genoemd [26](#page=26). * De vectorpotentiaal van een stationaire stroomverdeling is in eerste orde: - $$A = -\mu_0 \mathbf{m} \times \nabla G_3(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^3}$$ [26](#page=26) * Voor een discrete stroomverdeling wordt het magnetisch moment gegeven door: - $$m = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \mathbf{v}_i$$ [26](#page=26) * Het magnetisch (dipool)moment van een atoom is gerelateerd aan zijn draaimoment: - $$m = -\frac{e}{2m_e} L$$ [26](#page=26) * Hierin is $L$ het interne draaimoment van het atoom en $m_e$ de massa van het elektron [26](#page=26). * Kwantummechanica stelt dat het draaimoment gekwantiseerd is met $\hbar = h / (2\pi)$ als fundamentele eenheid [27](#page=27). * Magnetische momenten worden gemeten als veelvouden van het Bohr-magneton: - $$\mu_B = \frac{\hbar e}{2m_e} = 9 - 274 \times 10^{-24} J/T$$ [27](#page=27) * Naast het baanmoment ($L$) vertonen bouwstenen ook een spinmoment ($S$). Het totale draaimoment ($J$) resulteert in een magnetisch dipoolmoment: - $$m \approx -g_e \frac{e}{2m_e} J$$ [27](#page=27) - waarbij $g_e$ een waarde tussen 1 en 2 kan aannemen [27](#page=27) ### Veld van een elementaire magnetische dipool * Het prototype van een magnetische dipool is een kleine vlakke stroomkring [27](#page=27). * Het magnetisch moment van een vlakke kring met stroom $i$ en gerichte oppervlakte $a$ is: - $$m = ia$$ [27](#page=27) * Een elementaire magnetische dipool wordt verkregen door de stroom naar oneindig te laten gaan en de straal naar nul, terwijl het moment constant blijft [28](#page=28). * De vectorpotentiaal van een elementaire magnetische dipool is exact gelijk aan de eerste term van de reeksontwikkeling [28](#page=28). --- ## Elektrostatishe randvoorwaardenproblemen * Elektrostatische problemen worden opgelost door de continuïteit van de potentiaal en de sprongcondities voor de elektrische verplaatsing te respecteren aan grensvlakken. * De potentiaal voldoet aan de Laplace-vergelijking ($\nabla^2 V = 0$) in ladingsvrije gebieden en aan de Poisson-vergelijking ($\nabla^2 V = -\rho/\epsilon$) in gebieden met lading. ### Belangrijke feiten * Voor elk stationair elektrisch veld geldt $\nabla \times E = 0$ [49](#page=49). * Dit impliceert dat het elektrische veld uitgedrukt kan worden als $E = -\nabla V$ [49](#page=49). * De geleiders moeten $E=0$ hebben om te voorkomen dat $J \neq 0$ [49](#page=49). * Oppervlakken van geleiders zijn equipotentiaalvlakken [49](#page=49). * De ladingsdichtheid $\rho$ in diëlektrica moet worden opgegeven [49](#page=49). * Voor lineaire materialen geldt $D = \epsilon E$, waarbij $\epsilon$ een constante (tensor) is die plaatsafhankelijk kan zijn [50](#page=50). * De diëlektrische tensor is symmetrisch en positief definiet, wat betekent dat $E \cdot D = E \cdot \epsilon E \geq 0$ [50](#page=50). * In uniforme, lineaire en isotrope media reduceert de vergelijking tot de Poisson-vergelijking: $\nabla^2 V = -\rho/\epsilon$ [50](#page=50). * In ladingsvrije gebieden voldoet de potentiaal aan de Laplace-vergelijking: $\nabla^2 V = 0$ [50](#page=50). ### Belangrijke concepten * **Sprongcondities:** Aan scheidingsvlakken tussen verschillende diëlektrica gelden de volgende condities: * $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 = 0$ (continuïteit van de tangentiële component van E) [50](#page=50). * Dit is equivalent aan de continuïteit van de potentiaal ($V_1 = V_2$) [51](#page=51). * $n_1 \cdot D_1 + n_2 \cdot D_2 = \pi$ (Continuïteit van de normale component van D) [50](#page=50). * **Geleideroppervlakken:** * $n \times E = 0$ (Elektrisch veld staat loodrecht op geleideroppervlak) [51](#page=51). * $n \cdot D = -\epsilon \frac{\partial V}{\partial n} = \pi$ (Toelaat de bepaling van de oppervlakteladingsdichtheid) [51](#page=51). * **Eenduidigheidsstelling:** Een elektrostatisch probleem heeft een unieke oplossing als op de randen en geleiders: * Ofwel de potentiaal is vastgelegd. * Ofwel de totale lading is vastgelegd [52](#page=52). * **Beeldladingen:** Een methode om randvoorwaarden op geleidende vlakken te voldoen door fictieve ladingen te introduceren. * **Capaciteitscoëfficiënten:** Beschrijven de lineaire relatie tussen ladingen op geleiders en hun potentialen: $Q_i = \sum_j k_{ij} V_j$. Deze zijn symmetrisch: $C_{ij} = C_{ji}$ [55](#page=55). * De eenduidigheidsstelling verklaart de afschermende werking van holle geleiders [53](#page=53). * De methode van beeldladingen vereenvoudigt berekeningen voor specifieke geometrieën [53](#page=53). ### Voorbeeld --- ## Stationaire velden en magnetostatica ### Conductantiecoëfficiënten * Conductantiecoëfficiënten ($G_{ij}$) beschrijven de stroom ($I_i$) uitgedrukt in potentialen ($V_i$) voor lineaire, isotrope media [59](#page=59). * De formule is: $I_i = \sum_{j \neq i} G_{ij}(V_i - V_j) + G_{i\infty}V_i$ [59](#page=59). * Ze zijn niet-negatief en symmetrisch ($G_{ij} = G_{ji}$) [59](#page=59). * Een geleidend pad tussen twee geleiders is vereist voor een niet-nul conductantiecoëfficiënt [59](#page=59). ### Weerstand model * Een cilindrische weerstand met geleidbaarheid $\sigma$ en elektroden op de eindvlakken kan gemodelleerd worden [60](#page=60). * De conductantie voor een cilinder is $G = \sigma S / d$, waarbij $S$ de doorsnede-oppervlakte is [60](#page=60). * Dit resultaat geldt voor elke willekeurige doorsnede [60](#page=60). * De wet van Ohm relateert potentiaalverschil en stroom: $V_1 - V_2 = RI$ [60](#page=60). ### Ladingsdichtheid en elektrostische velden * Ladingsdichtheid kan achteraf bepaald worden met $\rho = \nabla \cdot D$ [61](#page=61). * In uniforme isotrope gebieden is $\rho = 0$, en ladingen bevinden zich op scheidingsvlakken [61](#page=61). * Velden buiten geleidende gebieden kunnen opgelost worden als een elektrostatisch probleem [61](#page=61). ### Eindige elementen methode (FEM) * FEM is een numerieke methode voor gedetailleerde oplossingen van praktische veldproblemen [61](#page=61). * Het lost de differentiaalvergelijking $-\nabla \cdot (\epsilon \nabla \phi) = \rho$ op met randvoorwaarden [61](#page=61). * **Zwakke formulering:** Vermenigvuldigt de vergelijking met een testfunctie $\psi$ en integreert over het gebied [62](#page=62). * Dit reduceert de orde van de afgeleiden, waardoor eenvoudige basisfuncties mogelijk zijn [62](#page=62). * De zwakke formulering resulteert in een lineair stelsel $A_{ij}c_j = B_i$ [63](#page=63). * De elementen van de matrix $A$ worden berekend met integralen zoals $\int_{\Omega} \epsilon \nabla \psi_i \cdot \nabla \psi_j \, dV$ [63](#page=63). ### Magnetostatica * Magnetostatica berekent magnetische velden en inductie uit stationaire stromen [65](#page=65). * Velden voldoen aan $\nabla \cdot B = 0$ en $\nabla \times H = J$ [65](#page=65). * Sprongcondities voor magnetische velden zijn: $n_1 \cdot B_1 + n_2 \cdot B_2 = 0$ en $n_1 \times H_1 + n_2 \times H_2 = K$ [65](#page=65). * De magnetische inductie kan worden afgeleid van een vectorpotentiaal: $B = \nabla \times A$ [65](#page=65). * Met de Coulomb-ijk is $\nabla \cdot A = 0$, en $A$ is continu aan scheidingsvlakken [65](#page=65). ### D Magnetostatica * Voor 2D-problemen met translatiesymmetrie geldt $\nabla^2_\perp A_z = -\mu J_z$ [67](#page=67). * Aan scheidingsvlakken geldt continuïteit van $A_z$: $A_{z1} = A_{z2}$ [67](#page=67). * De tweede continuïteitsvoorwaarde is: $\nu_1 \frac{\partial A_{z1}}{\partial n_1} + \nu_2 \frac{\partial A_{z2}}{\partial n_2} = -K_z$ [67](#page=67). ### Magnetische scalaire potentiaal ### Magnetische netwerken ### Inductiecoëfficiënten --- ## Quasi-stationaire velden ### Elektro-quasi-statica (EQS) * De elektro-quasi-statische benadering (EQS) wordt gebruikt wanneer de dimensies van een object klein zijn ten opzichte van de golflengte, waardoor de voortplanting van elektromagnetische storingen als ogenblikkelijk wordt beschouwd [78](#page=78). * In EQS wordt de tijdsafgeleide van de magnetische inductie in de wet van Faraday verwaarloosd [78](#page=78). * De wetten van elektrostatica blijven benaderend geldig: $\nabla \times E \approx 0$ en $E = -\nabla V$ [79](#page=79). * De bijbehorende sprongcondities zijn: $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 \approx 0$ en $n_1 \cdot D_1 + n_2 \cdot D_2 = \pi$ [80](#page=80). * De wet van behoud van lading is: $\nabla \cdot J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ [80](#page=80). * In geleiders geldt dat ladingsdichtheid $\rho = 0$ en lading enkel voorkomt als oppervlaktelading op grensvlakken [78](#page=78). * Voor een condensator geldt: $Q(t) = \pm CV(t)$ en $I(t) = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dV}{dt}$ [80](#page=80). * Dit kan worden voorgesteld door een "capaciteitsnetwerk" met gegeneraliseerde ladingen $Q_i(t) = \sum_{j \neq i} C_{ij}[V_i(t) - V_j(t)] + C_{i\infty}V_i(t)$ [80](#page=80). * De benadering is geldig zolang de afmetingen van de condensator klein zijn ten opzichte van de golflengte [81](#page=81). * Voor bewegende media in EQS geldt $J = \sigma E + v \rho$ [84](#page=84). * De tangentiële component van het elektrisch veld blijft continu aan een bewegend grensvlak: $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 \approx 0$ [86](#page=86). ### Magneto-quasi-statica (MQS) * De magneto-quasi-statische benadering (MQS) wordt gebruikt wanneer de tijdsafgeleide van de elektrische inductie in de wet van Ampère verwaarloosd wordt [86](#page=86). * De wetten van magnetostatica blijven benaderend geldig: $\nabla \times H \approx J$ en $\nabla \cdot B = 0$ [87](#page=87). * De bijbehorende sprongcondities zijn: $n_1 \times H_1 + n_2 \times H_2 \approx K$ en $n_1 \cdot B_1 + n_2 \cdot B_2 = 0$ [87](#page=87). * Ladingsophoping kan verwaarloosd worden: $\nabla \cdot J \approx 0$ en $n_1 \cdot J_1 + n_2 \cdot J_2 + \nabla_s \cdot K \approx 0$ [87](#page=87). * De wet van Faraday $\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$ moet wel meegenomen worden [87](#page=87). * Het elektrisch veld kan opgesplitst worden in een geïnduceerd veld $E_i = -\frac{\partial A}{\partial t}$ en een elektrostatisch veld $E_e = -\nabla V$ [88](#page=88). * Diffusie van het magnetisch veld in een geleider wordt beschreven door de diffusievergelijking: $\nabla^2 H = \sigma \mu \frac{\partial H}{\partial t}$ [92](#page=92). ### Ladingsrelaxatie * In een uniform, lineair medium met $\sigma$ en $\epsilon$, vervalt een ladingsdichtheid met de tijdconstante $\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}$ (relaxatietijd) [78](#page=78). * Voor goede geleiders is $\tau$ kort, dus lading is voornamelijk aan grensvlakken [78](#page=78). * Voor zeer slechte geleiders $(\sigma \approx 0)$ geldt $\nabla \cdot E = 0$ [78](#page=78). * In een weerstand kan de aanpassing van lading aan wisselende spanning worden voorgesteld door een parallelle condensator met tijdconstante $\tau = RC = \frac{\epsilon}{\sigma}$ [82](#page=82). --- ## Beweegbare media in het quasi-stationaire regime * Invoering van bewegende media in het Quasi-Stationair (MQS) regime, wat cruciaal is voor toepassingen zoals elektrische machines en magnetohydrodynamica [98](#page=98). * Focus op de transformatieformules en de daaruit voortvloeiende constitutieve vergelijkingen voor deze bewegende media [98](#page=98) [99](#page=99). * Opstellen van de integrale wet van Faraday voor bewegende kringen [99](#page=99). * Niet-relativistische transformatieformules voor MQS-systemen vereenvoudigen door D, P, en $\rho$ te verwaarlozen, wat leidt tot een significante transformatie van het elektrisch veld [98](#page=98) [99](#page=99). * De constitutieve vergelijking voor een bewegend magnetisch materiaal blijft onveranderd ten opzichte van een stilstaand materiaal [99](#page=99). * De constitutieve vergelijking voor een bewegende geleider is significant anders dan voor een stilstaande geleider [99](#page=99). * De algemene vorm van de integrale wet van Faraday voor een bewegende kring is $\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = -\oint_C (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$ [99](#page=99). * Voor een oppervlak dat vastgehecht is aan de materie, vereenvoudigt de wet van Faraday tot $-\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$ [99](#page=99). * Bewegende kringen in een MQS-systeem kunnen worden voorgesteld met een equivalent schema met weerstand en inductantie, waarbij tijdsafhankelijke inductiecoëfficiënten de bewegings-EMK vertegenwoordigen [100](#page=100). * De sprongconditie voor het elektrisch veld aan een bewegend grensvlak is $\mathbf{J}_n \cdot (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) = 0$ . * **Constitutieve vergelijkingen voor bewegende media:** Deze vergelijkingen beschrijven het gedrag van materialen onder invloed van elektromagnetische velden wanneer ze bewegen [99](#page=99). - **Integrale wet van Faraday voor bewegende kringen:** Een veralgemening van de wet van Faraday die rekening houdt met zowel de tijdsverandering van de magnetische flux als de beweging van de * **Transformatieformules:** Deze formules beschrijven hoe elektrische en magnetische grootheden veranderen wanneer men overstapt van het ene inertiële referentiekader naar het andere, met name in het MQS-regime [98](#page=98). * **Bewegings-EMK:** De elektromotorische kracht die wordt geïnduceerd als gevolg van de beweging van een geleider in een magnetisch veld [100](#page=100). * **Conjugaat-afgeleide:** Een afgeleide die rekening houdt met zowel de tijdsverandering als de beweging van het medium, cruciaal voor het beschrijven van gepolariseerde media . * Het begrip bewegende media is essentieel voor het correct analyseren van elektromagnetische verschijnselen in dynamische systemen zoals roterende machines [98](#page=98). * De aangepaste constitutieve vergelijkingen voor bewegende geleiders hebben directe gevolgen voor de analyse van MQS-systemen [99](#page=99). * De algemene vorm van de wet van Faraday maakt het mogelijk om EMK's te berekenen in complexere scenario's met bewegende circuits [99](#page=99). * Het model met de bewegings-EMK in inductieve circuits verklaart de werking van elektrische generatoren en motoren [100](#page=100). * De sprongcondities voor bewegende grensvlakken zijn cruciaal voor het bepalen van velden op de interfaces tussen verschillende media . - > **Voorbeeld:** Een vlakke strook met $n$ wikkelingen en stroom $I$ beweegt met snelheid $v$ in een magneetveld $B_0$ - Het magneetveld wordt opgewekt in de spleet van een magnetisch circuit - De totale flux gekoppeld met de bewegende kring wordt gegeven door $\Phi = n^2I\mu_0\frac{x_0}{\delta} + n_0nI_0\mu_0\frac{x_0}{\delta}$ - De EMK volgt hieruit via $\frac{d\Phi}{dt}$ [100](#page=100) --- ## Elektromagnetische koppeling en energiedichtheid - In deze sectie wordt de relatie tussen microscopische en macroscopische grootheden voor polarisatie en magnetisatie verder uitgediept, met de focus op de energiedichtheden en het principe van virtuele arbeid ### Cruciale concepten en definities - **Lorentz-veld ($E_{loc}$):** Het lokale elektrische veld in een medium wordt gegeven door $E_{loc} = E + \frac{P}{3\epsilon_0} + E_{kristal}$, waarbij $E$ het macroscopische veld is, $\frac{P}{3\epsilon_0}$ het gemiddelde veld van de gepolariseerde sfeer (Lorentz-veld) en $E_{kristal}$ * **Polarisatie-energie dichtheid ($w_P$):** De arbeid geleverd aan een verliesloos diëlektricum door het elektrische veld is een totale differentiaal: $E \cdot dP = dw_P$. Dit impliceert een eenduidig verband tussen $P$ en $E$ . * **Magnetisatie-energie dichtheid ($w_M$):** Analoog aan polarisatie, voor magnetische materialen: $-M \cdot dB = dw_M$ . * **Helmholtz vrije energie:** $w_P = P \cdot E - w'_P$ . * **Gibbs vrije energie:** $w'_P$ draagt bij aan de Gibbs vrije energie . * **Elektromagnetische energie dichtheid ($w_{EM}$):** Gedefinieerd als $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$ . * **Elektromagnetische energiestroom ($J_{EM}$):** Gedefinieerd als $J_{EM} = E \times H - v(P \cdot E) = S - v(P \cdot E)$ . ### Belangrijke relaties en formules * **Relatie tussen polarisatie en lokale veldsterkte:** Voor niet te grote velden is het geïnduceerde dipoolmoment evenredig met het lokale veld: $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$ . * **Polarisatie-energie dichtheid als functie van P en E:** * $w_P = \int E \cdot dP$ . * $w_P = P \cdot E - w'_P$ . * Voor lineaire materialen: $w_P = -\frac{1}{2}P \cdot E$ (impliciet objectieve grootheden) . * **Magnetisatie-energie dichtheid als functie van M en B:** * $w_M = -\int M \cdot dB$ . * $w_M = -M \cdot B + w'_M$ . * Voor lineaire materialen: $w_M = \frac{1}{2}M \cdot B$ (impliciet objectieve grootheden) . * **Energiebalans voor elektromagnetische energie:** $\frac{\partial w_{EM}}{\partial t} + \nabla \cdot J_{EM} = -g_E$ . * **Gereduceerde arbeid ($h_E$):** $h_E = J \cdot E + E \cdot \frac{d^*P}{dt} - M \cdot \frac{d^*B}{dt} + (PE - BM): d$ . * **Principle van virtuele arbeid (EQS systeem):** $\sum_j V_j dQ_j - (F_{Ei} \cdot dr_i + C_{Ei} \cdot d\theta_i) = dW_e$ . * **Principle van virtuele arbeid (MQS systeem):** $\sum_j I_j d\Phi_j - (F_{Ei} \cdot dr_i + C_{Ei} \cdot d\theta_i) = dW_m$ . * **Lorentz-veld en kristalveld:** $E_{loc} = E + \frac{P}{3\epsilon_0} + E_{kristal}$ . ### Implicaties en toepassingen * **Hysteris:** Bij hysteresis is er geen eenduidig verband tussen veld en polarisatie/magnetisatie; de geschiedenis speelt een rol . * **Energieverlies door hysteresis:** De verloren warmte is op een factor $\mu_0$ na gelijk aan de oppervlakte van de hysterisislus . * **Energieopslag:** De elektromagnetische energie wordt opgeslagen in het elektrische en magnetische veld, en in de polarisatie- en magnetisatie-energie van het materiaal . ### Tip --- ## Polarisatie in materialen: elektronische, ionaire en oriëntatiepolarisatie ### Elektronische polarisatie * Elektronische polarisatie ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de kern van een atoom, wat leidt tot een dipoolmoment `p_x = -Qx` . * Het klassieke model beschouwt atomen als een kern en een sferische elektronenwolk die onder invloed van een extern elektrisch veld verschuift . * De bewegingsvergelijking voor de elektronenwolk wordt gegeven door `d^2x/dt^2 + 2jδ dx/dt + ω_0^2 x = -e/m Eloc` . * De pulsatie `ω_0` is de natuurlijke pulsatie van de oscillator: `ω_0^2 = Ze^2 / (4πϵ0mR^3)` . * De complexe elektronische polariseerbaarheid `αe(ω)` is frequentieafhankelijk: `αe(ω) = (Ze^2/mϵ0) / (ω_0^2 - ω^2 + 2jδω)` . * De statische polariseerbaarheid `αe,s` (voor `ω ≪ ω0`) is `αe,s = Ze^2 / (mϵ0ω_0^2) = 4πR^3` . * Polarisatie-mechanismen hebben drie frequentiegebieden: laag frequent (`αe` constant), resonantiegebied (`ω ≈ ω0`, grote respons) en hoog frequent (`ω ≫ ω0`, `αe` nul) . * Resonantiefrequenties van elektronische polarisatie liggen in het UV-gebied, terwijl zichtbaar licht gebruik maakt van de statische polariseerbaarheid . * De brekingsindex van een materiaal wordt bepaald door de statische elektronische polariseerbaarheid . ### Ionaire polarisatie * Ionaire polarisatie treedt op in materialen met ionaire bindingen, waar positieve en negatieve ionen in het lokale veld tegengestelde krachten ondervinden . * Fononen zijn rooster trillingen, ingedeeld in akoestische en optische fononen, waarbij alleen optische fononen netto polarisatie geven . * Optische fononen komen voor in materialen met minstens twee atoomsoorten (bv. NaCl, niet Si) . * De bewegingsvergelijkingen voor een 1D kristal met twee atomen per eenheidscel worden gegeven door massa's `M1`, `M2` en krachten `K`, `K'` . * De gereduceerde massa `M` is: `M = M1M2 / (M1 + M2)` . * De resonantiefrequentie `ω'_0` voor ionaire polarisatie is: `ω'_0^2 = (K + K') / M` . * Ionaire polarisatie leidt tot resonanties in het IR-gebied . * De diëlektrische functie kan de vorm `ϵ(ω) = ϵ∞ + Σ_i (Δϵ_i ω^2_{0,i}) / (ω^2_{0,i} - ω^2 + 2jδ_iω)` aannemen . ### Oriëntatiepolarisatie * Oriëntatiepolarisatie treedt op in vloeistoffen of gassen met moleculen die een permanent dipoolmoment hebben . * Zonder extern veld zijn de dipoolmomenten willekeurig georiënteerd door thermische beweging . * Een extern veld oefent een koppel uit dat de dipoolmomenten probeert te aligneren met het veld . * De polarisatie is `P = Np⟨cos θ⟩`, waar `⟨cos θ⟩` de gemiddelde waarde is van `cos θ` . * De statistische verdeling volgt de Boltzmann-verdeling, met potentiële energie `U = -p · Eloc = -pEloc cos θ` . * De gemiddelde `⟨cos θ⟩` wordt gegeven door de Langevin-functie `L(x) = coth(x) - 1/x`, met `x = pEloc/kT` . * Voor kleine `x` wordt de polarisatie benaderd door `P ≈ Np^2 / (3kT) Eloc` . * De statische polariseerbaarheid is `αo,s = p^2 / (3ϵ0kT)` . ### Frequentieafhankelijkheid en verliezen ### Piëzo-elektriciteit, pyro-elektriciteit en ferro-elektriciteit --- ## Ferromagnetisme, antiferromagnetisme en ferrimagnetisme ### Wisselwerkingsinteractie * De wisselwerkingsinteractie verklaart de sterke neiging van permanente magnetische momenten om parallel te oriënteren in ferromagnetische materialen onder een bepaalde temperatuur (Curie-temperatuur) . * De energie van de interactie tussen twee spins $S_i$ en $S_j$ wordt gegeven door $U_{ij} = -2J_{ij}S_i \cdot S_j$ . * De uitwisselingsintegraal $J_{ij}$ wordt bepaald door de overlap van golffuncties en is een gevolg van elektrostatische Coulomb-interactie, rekening houdend met het Pauli-uitsluitingsprincipe . * Voor ferromagnetische materialen is $J_{ij}$ positief, wat de uitlijning van spins bevordert . * Het effect van de wisselwerkingsinteractie met naburige spins kan worden gemodelleerd als een intern magnetisch veld, het Weiss-moleculaire veld ($H_{mol}$) . * $H_{mol} = -\frac{2p\hbar J_l}{g\mu_B\mu_0}\langle S_j \rangle$ . * De magnetisatie $M$ in een ferromagneet kan worden beschreven met een aangepaste Brillouin-functie, rekening houdend met het moleculaire veld: $M = N g\mu_B S B_S(\frac{g\mu_BS}{kT\mu_0}(H + \lambda M))$ . * De Curie-temperatuur $T_C$ wordt bepaald door: $T_C = \lambda C = \frac{2p}{3k}\frac{J_l\hbar^2 S(S+1)}{g^2\mu_0\mu_B^2}$ . * Boven de Curie-temperatuur gedragen ferromagnetische materialen zich paramagnetisch volgens de Curie-Weiss wet: $\chi_m(T) = \frac{C}{T-T_C}$ . - Antiferromagnetisme treedt op wanneer naburige magnetische momenten de neiging hebben zich antiparallel op te stellen, wat resulteert in geen netto magnetisatie. De temperatuur waarbij deze ordening verdwijnt, is de Néel-temperatuur - Ferrimagnetisme ontstaat wanneer magnetische momenten van verschillende ionen in een materiaal niet allemaal parallel zijn, wat resulteert in een netto magnetisatie die kleiner is dan de som van alle momenten ### Anisotropie * Magnetokristallijne anisotropie ontstaat door spin-baan koppeling, waardoor spins voorkeursoriëntaties vertonen die afhangen van de kristalstructuur . * De anisotropie-energie is veel kleiner dan de wisselwerkingsenergie, maar bepaalt de richting van de magnetisatie . * Voor hexagonale kristallen wordt de uniaxiale anisotropie-energie beschreven door $W_u = K_{u1}(\sin\theta)^2 + K_{u2}(\sin\theta)^4$ . * Voor kubische kristallen wordt de anisotropie-energie beschreven door $W_c = K_1(\alpha_1^2\alpha_2^2 + \alpha_2^2\alpha_3^2 + \alpha_3^2\alpha_1^2) + K_2\alpha_1^2\alpha_2^2\alpha_3^2$ . * Superparamagnetisme treedt op bij kleine deeltjes (< 10 nm voor Fe) waarbij de thermische energie de anisotropie-energie kan overwinnen, waardoor het deeltje zich gedraagt als een paramagneet . ### Domeinstructuur en domeinmuren * Ferromagnetische materialen splitsen zich spontaan op in magnetische domeinen om magnetostatische energie te minimaliseren . * Binnen elk domein zijn de spins parallel georiënteerd, maar de magnetisaties van verschillende domeinen zijn niet noodzakelijk gealigneerd . * De magnetostatische energie van een magnetisch materiaal kan op verschillende manieren worden uitgedrukt, o.a. $W_{ms} = -\mu_0 \frac{V}{2} M \cdot H'$ . * Domeinmuren zijn overgangsgebieden tussen domeinen waar de magnetisatierichting geleidelijk verandert . * De energie van een domeinmuur bestaat uit een bijdrage van de wisselwerkingsenergie en de anisotropie-energie . * Vorm-anisotropie ontstaat door de vorm van het deeltje, wat leidt tot een demagnetisatieveld dat afhangt van de oriëntatie van de magnetisatie . ### Technische magnetisatie en hysteresis * Technische magnetisatie beschrijft het proces waarbij een netto magnetisatie ontstaat door het toepassen van een extern veld . * Processen zoals domeinmuurverplaatsing en rotatie van magnetisatie binnen domeinen dragen bij aan de magnetisatiecurve . * Hysteresis treedt op door irreversibele processen zoals het "pinning" van domeinmuren aan defecten, wat leidt tot de remanente magnetisatie ($M_r$) en het coërcitief veld ($H_c$) . --- ### Cartesiaanse coördinaten * Zoekt oplossingen van de vorm $V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)$ voor Laplace's vergelijking $\nabla^2V = 0$ . * Dit leidt tot drie afzonderlijke differentiaalvergelijkingen, elk gelijk aan een constante ($\pm c_1^2, \pm c_2^2, \pm c_3^2$) . * De vergelijkingen zijn: * $\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \pm c_1^2$ * $\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = \pm c_2^2$ * $\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = \pm c_3^2$ - met de restrictie $\pm c_1^2 \pm c_2^2 \pm c_3^2 = 0$ * Oplossingen kunnen lineaire, trigonometrische of hyperbolische functies zijn, of combinaties daarvan . * Voorbeelden: $X(x) = A\sin(c_1x) + B\cos(c_1x)$ of $X(x) = A\sinh(c_1x) + B\cosh(c_1x)$ . * Superpositie van gescheiden oplossingen blijft een oplossing voor Laplace's vergelijking . * Vereist begrensde gebieden (rechthoek of balk) en doorgaans één niet-homogene randvoorwaarde . * Niet-homogene randvoorwaarden worden vaak opgelost met Fourier-reeksen . - > **Voorbeeld:** Elektostatische potentiaal van een diëlectrisch blad tussen afwisselend geladen elektroden - > * Randvoorwaarden: $V(0,y) = V(a,y) = 0$ - > * Oplossingen in $x$-richting: $X_n(x) = \sin(n\pi x/a)$ - > * Oplossingen in $y$-richting: $Y_n(y) = A_n e^{-c_1y} + B_n e^{c_1y}$ (binnen) en $C_n e^{-c_1y}$ (buiten) - > * Continuïteitsvoorwaarden aan het grensvlak $y=d$ en de niet-homogene randvoorwaarde op $y=0$ worden gebruikt om coëfficiënten te bepalen ### Cilindercoördinaten * Laplace's vergelijking in cilindercoördinaten: $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial V}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ . * Gesc heiden oplossing: $V(r, \phi, z) = R(r)\Phi(\phi)Z(z)$ . * Voor problemen onafhankelijk van $z$ of lineair in $z$: * $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -c^2$ (met oplossingen $\sin(c\phi), \cos(c\phi)$) . * $\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr}) = c^2$ (met oplossingen $r^{c}, r^{-c}$ of $\ln r$ voor $c=0$) . * Als de oplossing periodiek is in $\phi$, worden de waarden van $c$ beperkt tot gehele getallen $n$ . * Als de oplossing niet periodiek is in $\phi$ en randvoorwaarden op constante $r$ worden opgelegd: * $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = c^2$ (met oplossingen $\sinh(c\phi), \cosh(c\phi)$) . ### Sferische coördinaten --- * De methode van scheiding der variabelen wordt toegepast op oefeningen met Laplace's vergelijking in diverse coördinatenstelsels [185-202. * Oplossingen worden geconstrueerd uit superposities van afzonderlijke oplossingen die voldoen aan de homogene Laplace-vergelijking en de gegeven randvoorwaarden . ### Key facts * Randvoorwaarden op oneindig en in de oorsprong zijn cruciaal voor de unieke bepaling van oplossingen . * De niet-homogene randvoorwaarde kan de selectie van mogelijke oplossingen beperken . * In het geval van een homogene sfeer in een uniform elektrisch veld, wordt het potentiaal binnen de sfeer homogeen en ontstaat buiten de sfeer een dipoolveld . * De stroomlijnen worden aangetrokken of afgestoten van de sfeer afhankelijk van de relatieve geleidbaarheid van de sfeer en het omringende medium . * Er kan een ladingsdichtheid op het oppervlak van de sfeer verschijnen, bepaald door het verschil tussen de permittiviteiten en de geleidbaarheden . * Opgaven betreffen het berekenen van elektrostatische velden buiten weerstanden en in bolvormige configuraties . * Magnetische problemen met uniform gemagnetiseerde bollen en cilinders worden opgelost met behulp van scalaire potentialen . * Potentiaalverdelingen in cirkelvormige geometrieën met specifieke randvoorwaarden worden berekend . * De methode wordt toegepast op quasi-stationaire veldproblemen, zoals ladingsverdelingen in geleidende materialen over tijd . * De berekening van elektrische velden en ladingdichtheden wordt gedaan voor verschillende configuraties, zoals platen met een geladen vlak . * Electret microfoons en hun frequentiekarakteristieken worden geanalyseerd met behulp van deze methoden . * De impedantie van kringen kan worden bepaald door het toepassen van de wet van Faraday . * Magnetische velden in periodieke roosters en spoelen worden berekend, inclusief de afleiding van de vectorpotentiaal . * Directe berekening van krachten en energieën, zoals tussen dipolen en ladingen ten opzichte van geleidende vlakken of bollen, wordt behandeld . * Krachtverdelingen voor quasi-stationaire systemen en magnetische materialen worden onderzocht . * De flux van de Poynting vector kan worden gebruikt om de energiebalans van een systeem te analyseren . * Magnetische energie in magnetische structuren wordt berekend . ### Key concepts * **Scheiding der variabelen:** Een techniek om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door ze te reduceren tot een set gewone differentiaalvergelijkingen [185-202. * **Laplace's vergelijking:** $\nabla^2 V = 0$, de fundamentele vergelijking voor elektrostatische en magnetostatische potentialen in ladings- en stroomvrije gebieden . * **Randvoorwaarden:** Specifieke condities die het potentiaal of zijn afgeleiden op de grenzen van het domein definiëren . * **Superpositieprincipe:** De oplossing van de homogene Laplace-vergelijking is de som van individuele oplossingen . * **Magnetostatische scalaire potentiaal:** $U$, gebruikt in magnetische problemen waar de stromen ontbreken . * **Quasi-stationair regime:** Snelheid van verandering is langzaam genoeg zodat de vergelijkingen van Maxwell vereenvoudigd kunnen worden . ### Implications --- ### Voorbeelden van examenoefeningen - **Oefening A.10.1:** Een oneindig lang rechthoekig blad met breedte $d$ wordt aan twee zijden als geleider behandeld. Via een glijdend contact wordt een uitgangsspanning gemeten. De oplossing voor de uitgangsspanning - $$V(x, d) = \frac{4V_0}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} e^{-(2n+1)\frac{\pi x}{2d}}$$ * **Oefening A.10.2:** Bereken de elektrische weerstand van een geleidende plaat met afmetingen $a$, $b$ en hoek $\theta$. De weerstand $R$ wordt gegeven door: - $$R = \frac{\theta}{\sigma L} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ - **Oefening A.10.3:** Een oneindig lange rechthoekige magneet met magnetisatie $M$ langs de y-richting wordt geplaatst op afstand $a$ van een stroomvoerende draad met stroom $I$. De kracht per lengte-eenheid $Fx$ - $$F_x = \frac{\mu_0 M I}{\pi} \arctan\left(\frac{x_0 d}{x_0^2 + a^2 + da}\right)$$ - **Oefening A.10.4:** Een magnetische kring met een spie-vormig stuk dat kan draaien over hoek $\phi$. De kring wordt bekrachtigd door een spoel met stroom $i$ en $n$ windingen. De koppeldichtheid - $$\frac{dC}{d\phi} = \frac{1}{2} i^2 n^2 \mu_0 L \left( \frac{1}{(\beta - \alpha - \phi)^2} - \frac{1}{(\beta - \alpha + \phi)^2} \right) \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ * **Oefening A.10.5:** Twee cilindrische helften met tegengestelde magnetisatie $M$ en $-M$. Bereken het magnetisch veld $H$ binnen en buiten de cilinder met behulp van het Ampère-model en superpositie . * **Oefening A.10.6:** Bepaal de inductiecoëfficiënten van drie spoelen met $n$ windingen en gelijke luchtspleten. De magnetische permeabiliteit van de rest van de kring is oneindig. De inductiematrix $L$ is: - $$L_{ij} = \frac{n^2}{R} \begin{bmatrix} 2/3 & 1/3 & -1/3 \\ 1/3 & 2/3 & 1/3 \\ -1/3 & 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$$ * **Oefening A.10.7:** Bereken de kracht op het diëlektricum met lengte $L = L_1 + L_2$ middels de spanningen van Maxwell en de methode van virtuele arbeid. De kracht $Fx$ met virtuele arbeid is: - $$F_x = \frac{\epsilon - \epsilon_0}{2a} (V_2^2 - V_1^2)$$ - **Oefening A.10.8:** Een cilindrische holte wordt gevormd door twee ferromagnetische schalen. Op het binnenoppervlak vloeit een oppervlaktestroom $K(\phi) = K_0 f(\phi)$. Bereken het magnetisch veld in de holte en in het materiaal met - **Oefening A.10.9:** Beschouw de situatie van (A.10.8) met een sinusvormige oppervlaktestroom $K(\phi) = K_0 \sin \phi$. Bepaal de constanten $a$ en $b$ en bereken de kracht op het magnetische lichaam middels de spanningen van * **Oefening A.10.10:** Bereken de magnetische inductie langs de as van een cirkelvormige stroomkring. De inductie $Bz$ wordt gegeven door: - $$B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$$ * **Oefening A.10.11:** Twee cilindrische elektroden met gemeenschappelijke as, waarvan één draaibaar is. Bepaal het koppel op de draaibare elektrode met aangelegde spanning $V$. Het koppel $|C|$ is: - $$|C| = \frac{1}{2} V^2 \epsilon_0 R \frac{R_2 - R_1}{R_1}$$ (onder de aanname $R_2 - R_1 \ll R_1$) ### Wiskundige hulpmiddelen * **Vectoren en tensoren:** De wiskunde bijlage (Hoofdstuk C) bevat essentiële definities en identiteiten voor vectorrekening in 3 dimensies, inclusief notaties en operatoren zoals gradiënt, divergentie en rotor . * **Coördinatenstelsels:** Cirkel- en bolcoördinaten worden gedefinieerd met bijbehorende formules voor gradiënt, divergentie, rotor en Laplace-operator . * **Tensorrekening:** Definitie van tensoren, symmetrische en antisymmetrische tensoren, en de Kronecker-delta worden geïntroduceerd . * **Vectoridentiteiten:** Diverse vectoridentiteiten, inclusief die met de nabla-operator, worden gepresenteerd ter vereenvoudiging van berekeningen . * **Polarisatie en axiale vectoren:** Elektrische velden gedragen zich als polaire vectoren, terwijl magnetische velden zich gedragen als axiale vectoren (pseudovectoren) . --- ## Transporttheorema's en convectieve afgeleiden * Transporttheorema's beschrijven de tijdsafgeleide van integraaluitdrukkingen over bewegende volumes, oppervlakken of lijnen. * De substantiële afgeleide volgt een bewegend waarnemer, terwijl de convectieve afgeleide een objectieve grootheid is die rekening houdt met de vervorming van het medium. ### Sleutelconcepten * **Substantiële afgeleide (materiële afgeleide):** Beschrijft de verandering van een grootheid zoals gezien door een waarnemer die meebeweegt met de materie. * Voor een scalaire veld $A$: $\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla A$ . * Voor een vectorveld $\mathbf{A}$: $\frac{d\mathbf{A}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla \mathbf{A}$ . * **Tijdsafgeleide van volume-integralen:** * Voor een stilstaand volume $V$: $\frac{dI}{dt} = \int_V \frac{\partial A}{\partial t} dv$ . * Voor een vervormend volume $V$ met snelheidsveld $\mathbf{w}$: $\frac{d}{dt} \int_V A dv = \int_V \left( \frac{\partial A}{\partial t} + \nabla \cdot (A\mathbf{w}) \right) dv$ . * Equivalent: $\frac{d}{dt} \int_V A dv = \int_V \left( \frac{dA}{dt} + A \nabla \cdot \mathbf{w} \right) dv$ . * **Tijdsafgeleide van oppervlakte-integralen:** * $\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a} = \int_S \left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} + ( \nabla \cdot \mathbf{w} ) \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{w} \right) \cdot d\mathbf{a}$ . * Met $\nabla_S \cdot \mathbf{w}$ de oppervlakte divergentie: $\frac{d}{dt} \int_S A da = \int_S \left( \frac{dA}{dt} + A (\nabla_S \cdot \mathbf{w}) \right) da$ . * **Tijdsafgeleide van lijn-integralen:** * $\frac{d}{dt} \int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \int_C \left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} + (\nabla \mathbf{w}) \cdot \mathbf{A} \right) \cdot d\mathbf{l}$ . * **Convectieve afgeleide:** Een objectieve grootheid die de verandering van een veld rekening houdend met de beweging en vervorming van het medium beschrijft. * Convectieve afgeleide van een scalar $A$: $\frac{d^\ast A}{dt} = \frac{dA}{dt} - \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{v}$ . * Convectieve afgeleide van een vector $\mathbf{A}$: $\frac{d^\# \mathbf{A}}{dt} = \frac{d\mathbf{A}}{dt} + \nabla \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}$ . * **Snelheidsgradiënt-tensor:** $\nabla \mathbf{v}$ met componenten $(\nabla \mathbf{v})_{ij} = \frac{\partial v_j}{\partial x_i}$ . * Kan gesplitst worden in een symmetrisch deel (vervormingssnelheidstensor $d$) en een antisymmetrisch deel (rotatiesnelheid $\mathbf{w}$) . * Voor starre beweging: $d=0$ en $\nabla \mathbf{v} = \mathbf{w}$ . ### Toepassingen * **Massa-behoud:** $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$ voor een materie-volume, leidend tot $\frac{\partial \rho_m}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{v} \rho_m) = 0$ . * **Faraday's wet voor een bewegende kring:** $\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = -\oint_{\partial S} (\mathbf{E} + \mathbf{w} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$ . * **Flux door een spoel:** $\frac{d}{dt} \int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \frac{d\Phi}{dt}$ met $\Phi$ de flux gekoppeld met de spoel . --- # Magnetische dipoolmomenten en hun velden ### Kernidee * Magnetische dipoolmomenten beschrijven het gedrag van kleine, gesloten stroomlussen op grote afstand. * Ze zijn de magnetische analogen van elektrische dipoolmomenten en beschrijven de primaire bijdrage aan het magnetisch veld na de monopolaire term. ### Belangrijke feiten * Het magnetisch moment $m$ van een stroomverdeling wordt gedefinieerd als $m = \frac{1}{2} \int \mathbf{r} \times \mathbf{J}(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}v$ [26](#page=26). * Voor een discrete stroomverdeling (bv. een atoom) geldt $m = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \mathbf{v}_i = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \dot{\mathbf{r}}_i$ [26](#page=26). * Het magnetisch moment van een atoom is gerelateerd aan zijn impulsmoment $L$: $m = -\frac{e}{2m_e} L$ [26](#page=26). * Het Bohr-magneton $\mu_B$ is de fundamentele eenheid voor magnetische momenten: $\mu_B = \frac{\hbar e}{2m_e} = 9.274 \times 10^{-24} \, \text{J/T}$ [27](#page=27). * Magnetisatie $M$ is het gemiddelde magnetisch dipoolmoment per volume-eenheid: $M = nm$ [31](#page=31). ### Kernconcepten * **Magnetisch dipoolmoment:** De eerste-orde term in de multipooluitbreiding van het magnetisch potentieel van een stroomverdeling, vergelijkbaar met het elektrische dipoolmoment. * **Veld van een elementaire magnetische dipool:** Op grote afstand gedraagt een magnetische dipool zich als een puntbron van magnetisch veld. * **Vectorenergiemoment:** Het magnetisch dipoolmoment $\mathbf{m}$ is een vector die de sterkte en richting van de magnetische dipool aangeeft. * **Magnetische inductie B:** Het veld gegenereerd door een magnetische dipool. * **Vectorpotentiaal A:** Gerelateerd aan het magnetisch veld; voor een magnetische dipool is $A = -\frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{m} \times \nabla G_3(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^3}$ [27](#page=27). ### Implicaties * Elementaire magnetische dipolen (kleine, vlakke stroomlussen) zijn de basismodellen voor magnetische materialen. * De interactie van magnetische dipolen bepaalt de magnetische eigenschappen van materie. * Hogere orde multipoolmomenten (zoals quadrupoolmomenten) worden relevant bij hoge ladings-/stroomdichtheden of afwijkende geometrieën. * Magnetische dipoolmomenten worden gemeten als veelvouden van het Bohr-magneton, wat hun gekwantiseerde aard benadrukt. ### Voorbeeld * Het veld van een elementaire magnetische dipool op afstand $\mathbf{r}$ wordt gegeven door: - $$ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{3\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}}{r^3} $$ - waarbij $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ [28](#page=28) ### Tip * Denk aan het magnetisch dipoolmoment als een kleine kompasnaald die een magnetisch veld genereert. --- # Maxwell's equations and material properties ### Core idea * Material properties describe how electromagnetic fields interact with matter [40](#page=40). * These properties are incorporated into Maxwell's equations via constitutive relations [40](#page=40). * Electromagnetic fields are relative and depend on the observer's reference frame [38](#page=38). ### Key facts * Current density in a moving frame is $J' = J - \rho V$ [38](#page=38). * Magnetization in a moving frame is $M' = M - P \times V$ [38](#page=38). * Electric field in a moving frame is $E' = E + V \times B$ [38](#page=38). * Maxwell's equations are invariant under Lorentz transformations, not Galilean transformations [39](#page=39). * The relative permittivity is $\epsilon_r = \epsilon / \epsilon_0$ [41](#page=41). * The magnetic permeability is $\mu = \mu_0 \mu_r$ [42](#page=42). * For conductors, current density is $J = \sigma E$, Ohm's law [44](#page=44). * The complex permittivity is $\epsilon = \epsilon' - j\epsilon''$ where $\epsilon'' > 0$ [45](#page=45). * The complex conductivity is $\sigma = \sigma' + j\sigma''$ [46](#page=46). ### Key concepts * **Constitutive relations:** Describe the properties of a medium by relating polarization (P) and magnetization (M) to macroscopic fields (E and H) [40](#page=40). * **Dielectrics:** Non-conducting media where polarization arises from electronic, ionic, or orientation mechanisms [40](#page=40). * **Electric susceptibility ($\chi_e$):** A measure of how easily a material is polarized by an electric field [41](#page=41). * **Magnetic susceptibility ($\chi_m$):** A measure of how easily a material is magnetized by a magnetic field [42](#page=42). * **Ferroelectricity:** Materials exhibiting spontaneous macroscopic polarization with hysteresis [41](#page=41). * **Ferromagnetism:** Materials with spontaneous macroscopic magnetization due to aligned magnetic dipoles, exhibiting hysteresis [43](#page=43). * **Frequency dependence:** Permittivity and susceptibility can be frequency-dependent, leading to complex values [45](#page=45). * **Loss tangent ($\tan \delta$):** Quantifies energy loss in dielectrics, $\tan \delta = \epsilon'' / \epsilon'$ [46](#page=46). ### Implications * Maxwell's equations in vacuum led to the development of special relativity [39](#page=39). * The permittivity and susceptibility tensors describe material anisotropy [41](#page=41). * Ferroelectric and ferromagnetic materials show non-linear and history-dependent behavior [page=43 [41](#page=41) [43](#page=43). * The distinction between dielectric and conductor behavior depends on the relative values of $\epsilon''$ and $\sigma''$ [46](#page=46). * Constitutive equations need adjustment for moving media by considering local inertial frames [47](#page=47). ### Common pitfalls --- # Stationary fields and their classification ### Kernidee * Stationaire veldproblemen kunnen worden ingedeeld in elektrostatica, stationaire stroomveldproblemen en magnetostatica [48](#page=48). * De klassen onderscheiden zich door de aanwezigheid van stroomdichtheid ($J$) en de te bepalen velden ($E$, $B$, $D$, $H$) [48](#page=48). ### Elektrostatica #### Kernconcepten * In elektrostatica geldt altijd $\nabla \times E = 0$ [49](#page=49). * Dit impliceert dat het elektrisch veld uitgeoefend kan worden door een scalaire potentiaal: $E = -\nabla V$ [49](#page=49). * De potentiaalverschillen worden gedefinieerd door lijnintegralen van het elektrisch veld [49](#page=49). * De potentiële energie van een lading $q$ is $qV$ [49](#page=49). * In geleiders moet $E=0$, wat betekent dat het geleidende oppervlak een equipotentiaalvlak is [49](#page=49). * Er moet voldaan worden aan de wet van Gauss: $\nabla \cdot D = \rho$ [49](#page=49). * Voor lineaire materialen geldt de constitutieve relatie $D = \epsilon E$ [50](#page=50). * Dit leidt tot de Poisson-vergelijking $\nabla \cdot[\epsilon \nabla V = -\rho$ [50](#page=50). * In uniforme, lineaire, isotrope en ladingsvrije media, vereenvoudigt dit tot de Laplace-vergelijking $\nabla^2 V = 0$ [50](#page=50). #### Randvoorwaarden * Aan scheidingsvlakken tussen diëlektrische materialen moeten sprongcondities voor de tangentiele componenten van $E$ en de normale componenten van $D$ voldaan worden [50](#page=50). * De continueïteit van het elektrisch veld over het grensvlak is equivalent aan de continuïteit van de potentiaal [50](#page=50). * Voor geleiders geldt $n \times E = 0$ en $n \cdot D = -\epsilon \frac{\partial V}{\partial n} = \pi$ [51](#page=51). #### Eenduidigheidsstelling * Een elektrostatisch probleem heeft een unieke oplossing als op de randen en geleiders: * ofwel de potentiaal is vastgelegd [52](#page=52), * ofwel de totale lading is vastgelegd [52](#page=52). * De afschermende werking van een holle geleider is verklaarbaar door deze stelling [53](#page=53). * De methode van beeldladingen kan worden gebruikt om veldpatronen in de buurt van geleiders te bepalen [53](#page=53). #### Capaciteitscoëfficiënten * Voor lineaire diëlektrische materialen zijn ladingen op geleiders lineaire functies van de potentialen: $Q_i = \sum_j k_{ij} V_j$ [55](#page=55). * De capaciteitscoëfficiënten $C_{ij}$ en $C_{i\infty}$ zijn symmetrisch: $C_{ij} = C_{ji}$ [55](#page=55). * $C_{ij}$ vertegenwoordigt het fractie van de lading op geleider $i$ die uitmondt op geleider $j$ [55](#page=55). * Capaciteitscoëfficiënten zijn altijd positief: $C_{ij} \ge 0$, $C_{i\infty} \ge 0$ [55](#page=55). * De capaciteit van een sfeer met straal $R$ is $C_{s\infty} = 4\pi \epsilon_0 R$ [56](#page=56). * Voor een vlakke condensator met oppervlakte $S$ en afstand $d$ is de capaciteit $C \approx \epsilon_r \epsilon_0 \frac{S}{d}$ [56](#page=56). ### Stationaire Stroomveldproblemen ### Magnetostatica --- # Magnetostatica en randvoorwaardenproblemen ### Kernidee * Magnetostatica bestudeert magnetische velden opgewekt door stationaire stromen en permanente magneten. * Randvoorwaardenproblemen bepalen deze velden rekening houdend met grensvlakken tussen verschillende materialen. ### Kernfeiten * De veldvergelijkingen voor magnetostatica zijn $\nabla \cdot B = 0$ en $\nabla \times H = J$ [65](#page=65). * Randvoorwaarden op grensvlakken omvatten continuïteit van de normale magnetische inductie en een sprong in de tangentiële magnetische veldsterkte door oppervlaktestromen [65](#page=65). * De magnetische inductie $B$ kan afgeleid worden van een vectorpotentiaal $A$ met $B = \nabla \times A$ [65](#page=65). * In uniforme lineaire materialen voldoet de vectorpotentiaal $A$ aan $\nabla^2 A = -\mu J$ onder de Coulomb-ijk [66](#page=66). * Voor 2D-problemen met translatiesymmetrie vereenvoudigt de vergelijking tot $\nabla^2_\perp A_z = -\mu J_z$ [67](#page=67). * Aan een scheidingsvlak is de vectorpotentiaal $A$ continu: $A_1 = A_2$ [65](#page=65). * Een perfecte geleider heeft een nul magnetisch veld binnenin, met stroom alleen op het oppervlak [65](#page=65). * In een stroömloze regio kan het magnetisch veld worden afgeleid van een scalaire potentiaal $U$ met $H = -\nabla U$, mits het gebied enkelvoudig samenhangend is [68](#page=68). * De magnetische flux $\phi$ door een oppervlak $S$ is gerelateerd aan de vectorpotentiaal $A$ via $\phi = \oint_{\partial S} A \cdot dl$ [65](#page=65). ### Kernconcepten * **Vectorpotentiaal ($A$)**: Een veld waarvan de rotor de magnetische inductie $B$ geeft; nuttig voor het oplossen van de veldvergelijkingen. * **Coulomb-ijk ($\nabla \cdot A = 0$)**: Een extra voorwaarde die de oplossing van de vectorpotentiaal vergelijking vereenvoudigt. * **Fluxfunctie ($A_z$)**: In 2D-problemen met alleen $z$-componenten, gedraagt $A_z$ zich als een fluxfunctie, waarbij het verschil in $A_z$ tussen twee lijnen de flux vertegenwoordigt. * **Zacht ferromagnetisch materiaal**: Materialen met een zeer hoge permeabiliteit ($\mu \gg 1$), waarvoor de tangentiële component van $H$ loodrecht op het oppervlak staat. * **Enkelvoudig samenhangend gebied**: Een gebied waarin elke gesloten kromme kan worden gereduceerd tot een punt zonder het gebied te verlaten. In dergelijke gebieden is $H$ afleidbaar van een scalaire potentiaal. * **Magnetisch netwerk**: Een analogie die magnetostatische problemen herleidt tot elektrische netwerkproblemen, waarbij magnetische flux overeenkomt met elektrische stroom. * **Reluctantie ($\Re$)**: Het magnetische equivalent van elektrische weerstand in magnetische netwerken. ### Implicaties * De continuïteit van de vectorpotentiaal $A$ over een scheidingsvlak vereenvoudigt randvoorwaardenproblemen [65](#page=65). * In stroömloze gebieden, door de torus-problematiek te omzeilen met een snede, kan de scalaire potentiaal $U$ met een sprong worden gedefinieerd [69](#page=69). * De magnetische flux is gerelateerd aan het verschil in de vectorpotentiaal, wat verklaart waarom $A_z$ een fluxfunctie wordt genoemd [67](#page=67). * De magnetische netwerk-analogie is nuttig voor het verkrijgen van benaderde oplossingen, maar niet voor exacte oplossingen [73](#page=73). * In perfecte geleiders wordt het magnetisch veld nul, en de stroom verdeelt zich zodanig dat dit wordt bereikt [65](#page=65). * Voor zacht ferromagnetisch materiaal met $\mu \rightarrow \infty$ geldt $\partial A_z / \partial n = 0$ [68](#page=68). ### Opmerkingen - > **Tip:** De scalaire magnetische potentiaal $U$ kan alleen worden gedefinieerd in enkelvoudig samenhangende gebieden --- # Elektro-quasi-statische benadering en toepassingen ### Kernidee * EQS benadering verwaarloost de door stromingsvelden opgewekte magnetische velden om elektrostatica wetten toe te passen op niet-stationaire problemen [79](#page=79). * Dit maakt het mogelijk om ladingsbehoud te combineren met elektrostatica principes voor veranderende, maar langzame, elektrische verschijnselen [79](#page=79). ### Kernfeiten * De benadering is geldig als de afmetingen van de componenten klein zijn ten opzichte van de golflengte [82](#page=82). * Voor een condensator leidt de benadering tot een relatie tussen spanning en de tweede tijdsafgeleide van de spanning [82](#page=82). * EQS vereenvoudigt de transformatieformules voor bewegende media door het magnetische veld te verwaarlozen [84](#page=84). * Convectiestroomdichtheid $\rho v$ verschijnt in de constitutieve vergelijkingen voor bewegende media [84](#page=84). * De tangentiale component van het elektrisch veld blijft continu aan een bewegend grensvlak in EQS [86](#page=86). * Het principe van ladingsbehoud, inclusief convectie, is essentieel voor de benadering [85](#page=85). ### Kernconcepten * **Capaciteitsnetwerk:** Generalisatie van de lading-spanningsrelatie voor meerdere geleiders en spanningen [80](#page=80). * **Ladingsrelaxatietijd:** Tijd die nodig is om ladingen te herverdelen in een medium, $\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}$ [83](#page=83). * **EQS sprongcondities:** Vereenvoudigde Maxwell sprongcondities waarbij het magnetische veld verwaarloosd wordt [80](#page=80) [86](#page=86). * **Equivalent schema:** Gebruik van weerstanden en condensatoren om complexe problemen te modelleren, zoals in een niet-uniforme weerstand [83](#page=83). * **Transformatieformules (EQS):** Vereenvoudigde Lorentz-transformaties voor bewegende media zonder magnetische velden [84](#page=84). ### Implicaties * Maakt analyse mogelijk van dynamische elektrische systemen die te langzaam zijn voor elektromagnetische effecten [79](#page=79). * Verlicht de rol van oppervlaktelading op grensvlakken tussen verschillende media [82](#page=82) [83](#page=83). * Heeft toepassingen in elektrodynamica en microfluidica waar bewegende media een rol spelen [84](#page=84). * Vergemakkelijkt de analyse van condensatoren en weerstanden met ladingsdynamiek [80](#page=80) [83](#page=83). * De benadering is een goede start voor het begrijpen van meer complexe elektromagnetische fenomenen [79](#page=79). ### Veelvoorkomende valkuilen * Het verwaarlozen van de afmetingen ten opzichte van de golflengte kan leiden tot fouten [82](#page=82). * Het negeren van de convectiestroomdichtheid in bewegende media [84](#page=84). --- # Quasi-stationaire velden en het geïnduceerde elektrische veld ### Kernidee * Magneto-quasi-statica (MQS) beschouwt systemen met veranderlijke magnetische velden waarbij verandering in tijd te langzaam gaat voor verspreidings-effecten [87](#page=87). * MQS combineert vaak EQS-systemen waar magnetische inductie verwaarloosbaar is, met componenten die wel magnetische velden produceren [87](#page=87). ### Belangrijke feiten * In MQS blijven de wetten van magnetostatica (op elk ogenblik) geldig, met verwaarloosbare verschuivingsstromen: $\nabla \times \mathbf{H} \approx \mathbf{J}$ [87](#page=87). * De magnetische veldlijnen zijn continu en de sprongconditie voor $\mathbf{H}$ is: $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{H}_1 + \mathbf{n}_2 \times \mathbf{H}_2 \approx \mathbf{K}$ [87](#page=87). * Ladingsopstapeling wordt verwaarloosd in MQS: $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{J}_1 + \mathbf{n}_2 \cdot \mathbf{J}_2 + \nabla_s \cdot \mathbf{K} \approx 0$ [87](#page=87). * Het elektrische veld $\mathbf{E}$ kan niet verwaarloosd worden door de aanwezigheid van geleiders en wisselende magnetische velden [87](#page=87). * De wet van Faraday is cruciaal in MQS: $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ [87](#page=87). * De tangentiële component van het elektrische veld is continu aan een niet-bewegend grensvlak: $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{E}_1 + \mathbf{n}_2 \times \mathbf{E}_2 = 0$ [87](#page=87). * Inductie-effecten treden op wanneer een wisselend magnetisch veld een elektrisch veld induceert [88](#page=88). * Voor een willekeurige gesloten kring is de lijnintegraal van $\mathbf{E}$ gelijk aan de verandering van de magnetische flux: $\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ [88](#page=88). ### Belangrijke concepten * **Geïnduceerd elektrisch veld ($\mathbf{E}_i$)**: Dit deel van het elektrische veld is gerelateerd aan de verandering van het magnetische veld en is niet conservatief ($\nabla \times \mathbf{E}_i \neq 0$) [89](#page=89). * **Elektrostatisch veld ($\mathbf{E}_e$)**: Dit deel van het elektrische veld is conservatief ($\nabla \times \mathbf{E}_e = 0$) en wordt veroorzaakt door ladingsverdelingen [89](#page=89). * De splitsing van het elektrische veld wordt gegeven door $\mathbf{E} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_e$, met $\mathbf{E}_i = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ en $\mathbf{E}_e = -\nabla V$ [89](#page=89). * **Vectorpotentiaal ($\mathbf{A}$)**: Wordt gebruikt om het magnetische veld te beschrijven via $\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}$ en $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ (Coulomb-ijk) [89](#page=89). * **Zelfinductie (L)**: De verhouding tussen de spanning over een spoel en de verandering van de stroom erdoor, $V_{eqs} = L \frac{dI}{dt}$ [88](#page=88). * Een veranderend magnetisch veld induceert een elektrisch veld [88](#page=88). ### Implicaties * Het elektrisch veld kan worden opgesplitst in een geïnduceerde en een elektrostatische bijdrage, wat de analyse vereenvoudigt [89](#page=89). * Indien het magnetische veld buiten een spoel nul is, kan het geïnduceerde elektrische veld daar nog steeds significant zijn [90](#page=90). * De spanningsval per winding in een spoel is gerelateerd aan de zelfinductie en de stroomverandering: $V_1 = \mu_0 \frac{\pi R^2}{s} \frac{dI}{dt} = L_n \frac{dI}{dt}$ [90](#page=90). * In een geleider, waar $\mathbf{E}=0$, is het elektrostatische veld gelijk aan het negatieve van het geïnduceerde veld: $\mathbf{E}_e = -\mathbf{E}_i$ [90](#page=90). * In het EQS-gebied is de spanningsverschil gemeten over een pad gelijk aan de elektrostatische spanning, bijna onafhankelijk van het geïnduceerde veld [91](#page=91). - > **Tip:** De relatie $\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla V$ is fundamenteel voor het begrijpen van geïnduceerde elektrische velden in MQS-situaties - > **Tip:** Denk aan de "pizzadoos"-analogie om behoudswetten op bewegende grensvlakken te generaliseren [86](#page=86) --- # Diffusie van het magnetisch veld en skin-effect ### Kernidee * Geleidende media verzetten zich tegen het binnendringen van magnetische velden door geïnduceerde stromen [92](#page=92). * Dit fenomeen wordt beschreven door een diffusievergelijking voor het magnetisch veld [92](#page=92). ### Belangrijke feiten * De diffusievergelijking voor het magnetisch veld H in een uniform geleidend medium is $\nabla^2H = \sigma\mu \frac{\partial H}{\partial t}$ [92](#page=92). * In een niet-geleidend medium blijft deze vergelijking geldig, maar met een nul als rechterlid [92](#page=92). * Bij de grensvlakken tussen verschillende media moeten sprongcondities voldaan zijn [92](#page=92). * De tijdsevolutie van het magnetisch veld en de stroomdichtheid in een geleider is afhankelijk van de permeabiliteit ($\mu$), geleidbaarheid ($\sigma$), en de afmetingen van de geleider ($a$) [95](#page=95). * De grootste tijdconstante voor een geleider met een circulaire doorsnede is ongeveer $\tau = 0.068\mu\sigma a^2$ [95](#page=95). * In sinusvormig regime wordt de diffusievergelijking $\frac{d^2H_y}{dx^2} = j\omega\mu\sigma H_y$ [96](#page=96). ### Belangrijke concepten * **Skin-effect:** Het verschijnsel waarbij de stroomdichtheid in een geleider hoger wordt aan het oppervlak bij wisselstroom [96](#page=96). * **Indringdiepte ($\delta$):** Een karakteristieke lengte die aangeeft hoe diep een magnetisch veld doordringt in een geleider [96](#page=96). * De indringdiepte is gedefinieerd als $\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}$ [96](#page=96). * Hogere frequentie, grotere geleidbaarheid of permeabiliteit leiden tot een kleinere indringdiepte [96](#page=96). * Het magnetisch veld wordt bij hogere frequenties naar de buitenkant van de geleider gedrukt [96](#page=96). * In het sinusvormige regime wordt de oplossing voor het magnetisch veld gegeven door $H_y = \frac{K}{2} \frac{\sinh((1+j)x/\delta)}{\sinh((1+j)a/\delta)}$ [96](#page=96). * De stroomdichtheid in sinusvormig regime is $J_z = \frac{K}{2} \frac{1+j}{\delta} \frac{\cosh((1+j)x/\delta)}{\sinh((1+j)a/\delta)}$ [96](#page=96). * De impedantie van een coaxiale kabel hangt af van de frequentie en de geometrie [97](#page=97). ### Implicaties * Bij lage frequenties ($\delta \gg a$) is de stroom nagenoeg uniform verdeeld en is de impedantie voornamelijk resistief [97](#page=97). * Bij hoge frequenties ($\delta \ll a$) vloeit de stroom alleen aan het oppervlak van de binnengeleider en is de impedantie voornamelijk inductief [97](#page=97). * Het skin-effect is cruciaal voor het ontwerp van hoogfrequente geleiders en kabels [96](#page=96). * De berekening van de benodigde spanning om een stroomstap aan te drijven, kan worden gedaan met de wet van Faraday [95](#page=95). - > **Tip:** De oplossing in het tijdsdomein (staprespons) is complexer en hoeft niet gekend te zijn voor het examen; focus op de oplossing in het frequentiedomein [94](#page=94) - > **Voorbeeld:** Voor koper bedraagt de indringdiepte ongeveer 0 - 5 mm bij 20 kHz [96](#page=96) --- # Quasi-stationaire velden en bewegende media ### Kernidee * Studie van quasi-stationaire velden en de invloed van bewegende media op deze velden. * Belangrijk voor elektrische machines, magnetohydrodynamica en ferrofluïda. ### Belangrijke feiten * Impedantie van een coaxiale kabel hangt af van de frequentie en de doorsnede van de geleiders [97](#page=97). * Bij lage frequenties ($\delta \gg a$) is de impedantie deels resistief en deels inductief [97](#page=97). * Bij hoge frequenties ($\delta \ll a$) wordt de impedantie voornamelijk inductief [98](#page=98). * Niet-relativistische transformatieformules voor MQS-benadering vereenvoudigen door verwaarlozing van D, P, en $\rho$ [98](#page=98). * De constitutieve vergelijking voor een bewegend magnetisch materiaal blijft ongewijzigd ten opzichte van een stilstaand materiaal [99](#page=99). * De constitutieve vergelijking voor een bewegende geleider verschilt significant van die voor een stilstaande geleider [99](#page=99). * De algemene integraalwet van Faraday voor een bewegende kring is de tijdsafgeleide van de flux door een bewegend oppervlak [99](#page=99). * De fluxgekoppelde bewegende kring kan worden voorgesteld met een equivalent schema met weerstand en inductie [100](#page=100). * Sprongconditie voor bewegende grensvlakken vereist continuïteit van $E + v \times B$ normaal op het grensvlak . ### Belangrijke concepten * **Impedantie van coaxiale kabel:** Berekend met de relatie tussen spanning en stroom, rekening houdend met de huiddiepte $\delta$ [97](#page=97). * Formule bij lage frequenties: $Z \approx \frac{1}{2a\sigma} + j\omega\frac{\mu a}{6} + j\omega\mu_0\frac{b-a}{2}$ [98](#page=98). * Formule bij hoge frequenties: $Z \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{8\sigma}} + j\omega\mu_0\frac{b-a}{2}$ [98](#page=98). * **MQS-benadering transformatieformules:** Vereenvoudigde transformaties voor elektrische en magnetische velden in bewegende media [98](#page=98). * Elektrisch veld transformatie: $E' = E + V \times B$ [98](#page=98). * **Constitutieve vergelijkingen voor bewegende media:** * Geleider: $J = \sigma(E + v \times B)$ [99](#page=99). * Diëlektricum: $P = \epsilon_0\chi_e(E + v \times B)$ [99](#page=99). * **Bewegings-EMK:** De electromotorische kracht die ontstaat door de beweging van een kring in een magnetisch veld [100](#page=100). * **Fluxkoppeling bij bewegende kringen:** Totaal flux $\Phi$ is een som van fluxen door statische en bewegende kringen [100](#page=100). * Formule voor flux: $\Phi = n\mu_0\frac{x_0}{\delta}(nI + n_0I_0)$ [100](#page=100). * **Sprongconditie bij bewegende grensvlakken:** $J_n \times (E + v \times B) = 0$ . ### Implicaties * De frequentieafhankelijkheid van de impedantie bepaalt het gedrag van kabels bij verschillende frequenties [97](#page=97). * Bewegende media vereisen aangepaste constitutieve vergelijkingen voor correcte analyse [99](#page=99). --- # Elektromagnetische krachten en energiedynamiek ### Kernidee * Krachten op microscopische bouwstenen worden gesommeerd tot macroscopische krachten door middel van uitmiddeling . * De eerste wet van Newton voor een continuüm omvat volumekrachten en spanningstermen gerelateerd aan de divergentie van de spanningstensor . * De totale kracht op een lichaam wordt berekend door de elektromagnetische krachtdichtheid te integreren over een volume net buiten het lichaam . ### Belangrijke feiten * De microscopische kracht op een bouwsteen is $f_a(t) = \sum_i q_i(\vec{E}(\vec{r}_i, t) + \vec{v}_i \times \vec{B}(\vec{r}_i, t))$ . * Macroscopische krachtdichtheid wordt verkregen door de microscopische krachtdichtheid uit te middelen . * De wet van behoud van massa voor een volume dat met de materie meebeweegt: $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$ . * De eerste wet van Newton (impulsbehoud) voor een continuüm: $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m \vec{v} dv = \int_V \vec{f} dv + \int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{T} da$ . * Lokale differentiaalvorm van de eerste wet van Newton: $\rho_m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{f} + \nabla \cdot \vec{T}$ . * Voor een gas of vloeistof zonder wrijving geldt $\vec{T} = -p\vec{I}$, dus $\nabla \cdot \vec{T} = -\nabla p$ . * De totale resulterende elektromagnetische kracht op een lichaam kan worden berekend als $F_E = \int_V \vec{f}_E dv$, waarbij het volume net buiten het lichaam wordt gekozen . ### Belangrijke concepten * **Microscopische krachtdichtheid:** De som van krachten op alle ladingen binnen een bouwsteen . * **Macroscopische krachtdichtheid:** Het uitgemiddelde van de microscopische krachtdichtheid . * **Impulsbehoud:** De verandering van impuls binnen een volume is gelijk aan de som van externe krachten en contactkrachten . * **Spanningstensor (Cauchy):** Beschrijft de interne spanningen in een medium; de oppervlakte-integraal $\int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{T} da$ representeert contactkrachten . * **Volumekrachtdichtheid ($\vec{f}$):** Krachten die werken op het volume van het medium, zoals elektromagnetische krachten . * **Externe veld:** Een veld veroorzaakt door microscopisch verwijderde ladingen, gedefinieerd als een macroscopisch veld (hoofdletter) . ### Implicaties * De uitmiddeling van microscopische krachten resulteert niet alleen in volumekrachten, maar ook in spanningstermen . * De opsplitsing in een volumekrachtdichtheid en een spanningsbijdrage is niet uniek; alleen de som heeft fysische betekenis . * De exacte krachtverdeling is nodig voor het berekenen van vervormingen van een lichaam . * Kracht op een vrije lading in een extern veld: $\vec{f}_q = q(\vec{E}(\vec{r}) + \vec{v} \times \vec{B}(\vec{r}))$ . * Kracht op een elektrische dipool in een quasi-statisch elektrisch veld: $\vec{f}_p = \vec{p} \cdot \nabla\vec{E}(\vec{r})$ . * Een elektrische dipool ondervindt alleen een kracht in een niet-uniform veld . - > **Tip:** De uitdrukking voor de elektromagnetische volumekrachtdichtheid moet idealiter vergezeld gaan van een bijpassende uitdrukking voor de spanningstensor - > **Voorbeeld:** De kracht op een elektrisch dipoolmoment $\vec{p}$ in een elektrisch veld $\vec{E}$ wordt gegeven door $\vec{f}_p = \vec{p} \cdot \nabla\vec{E}$ --- # Krachten en energie binnen elektromagnetische systemen ### Kernidee - De methode van virtuele arbeid is een krachtig hulpmiddel voor het berekenen van krachten en koppels in elektromagnetische systemen, met name door de relatie tussen energie en arbeid te benutten * Quasi-stationaire benaderingen maken het mogelijk om krachten en koppels te berekenen door kleine virtuele verplaatsingen of rotaties te beschouwen, waarbij de elektromagnetische velden als nagenoeg constant worden verondersteld . ### Belangrijke feiten * De Poynting-vector ($S = E \times H$) beschrijft de energiedichtheid die langs een oppervlak stroomt . * Elektromagnetische energiedichtheid ($w_{EM}$) is gedefinieerd als $\epsilon_0 E^2 / 2 + B^2 / (2\mu_0)$ . * De totale energie die een systeem binnenkomt wordt gedeeltelijk omgezet in arbeid en deels opgeslagen in de velden . * In een quasi-stationaire benadering zijn magnetische velden en hun bijdragen aan krachten en koppels vaak verwaarloosbaar klein in EQS-systemen . * Vergelijkbare overwegingen gelden voor MQS-systemen met betrekking tot elektrische velden . * De methode van virtuele arbeid vereist dat alle lichamen vast worden gehouden behalve één, dat een virtuele starre verplaatsing of rotatie ondergaat . * De arbeid geleverd aan materiële media kan worden opgesplitst in mechanische arbeid ($f_E \cdot v$ en $c_E \cdot \omega$) . * Joule-verliezen in geleiders worden vertegenwoordigd door de term $J \cdot E$ . * Hysteresis in diëlektrica en magnetische materialen vereist specifieke overwegingen voor de energiedichtheid . ### Belangrijke concepten * **EQS-systeem:** In een elektrostatisch systeem (EQS) benadert $E \approx E$, wat vereenvoudigingen in de energiebalans mogelijk maakt . * **Elektrische energie ($W_e$):** Dit is de energie opgeslagen in het systeem, inclusief het elektrische veld en de polarisatie-energie . * **Lineaire media:** Voor lineaire, reversibele media kan de elektrische energiedichtheid worden uitgedrukt als $w_e = \epsilon_0 E^2 / 2 + 1/2 P_{rev} \cdot E$ . * **Virtuele verplaatsing/rotatie:** Dit zijn hypothetische veranderingen in positie of oriëntatie die worden gebruikt om arbeid te berekenen . * **MQS-systeem:** In een magnetostatisch systeem (MQS) zijn de magnetische velden dominant, en de energiebalans omvat magnetische energie . * **Magnetische energie ($W_m$):** Dit is de energie opgeslagen in het magnetische veld en de magnetisatie-energie . * **Lineaire magnetische media:** Voor lineaire, reversibele magnetische media is de magnetische energiedichtheid $w_m = B^2 / (2\mu_0) - 1/2 M_{rev} \cdot B$ . ### Implicaties * De methode van virtuele arbeid kan worden gebruikt om krachten en koppels te berekenen, zelfs wanneer exacte veldoplossingen moeilijk te verkrijgen zijn . * Strooi-velden rondom diëlektrica of geleiders, die de directe krachtberekening bemoeilijken, kunnen bij de virtuele arbeid methode vaak worden genegeerd of benaderd . * De methode biedt een nauwkeurige schatting van de horizontale kracht op een zwevende geleider, zelfs met stroomvelden . * Het principe van virtuele arbeid is toepasbaar op zowel elektrische (EQS) als magnetische (MQS) systemen . ### Voorbeeld * De berekening van de kracht op een zwevende geleider in het veld van twee andere geleiders illustreert de toepassing van de virtuele arbeid methode . * Voor deze zwevende geleider wordt de kracht berekend met de formule $F_E \cdot dr = 1/2 V_a^2 dC$, wat afhangt van de verandering in capaciteit . * Een specifiek geometrisch voorbeeld met uniforme veldgebieden leidt tot een formule voor de horizontale kracht per eenheid van verplaatsing . --- # Polarisatie van diëlektrica ### Kernidee * Polarisatie in diëlektrica beschrijft het totale dipoolmoment per volume-eenheid ($P$), die afhankelijk is van het aangelegde elektrische veld ($E$) . * Materialen kunnen gepolariseerd worden door verschuiving van ladingen of heroriëntatie van dipolen . * Polarisatie kan onderverdeeld worden in elektronische, ionaire en oriëntatiepolarisatie . ### Belangrijke feiten * Para-elektrische materialen hebben geen macroscopische polarisatie in afwezigheid van een extern veld . * Elektronische polarisatie ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de kern . * Ionaire polarisatie treedt op in materialen met ionaire bindingen waar positieve en negatieve ionen in tegengestelde richting worden gedreven . * Oriëntatiepolarisatie treedt op in materialen met moleculen die een permanent dipoolmoment bezitten . * Voor kleine velden is het geïnduceerde dipoolmoment evenredig met het lokale veld: $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$ . * De polariseerbaarheid ($\alpha$) is een evenredigheidsconstante . ### Belangrijke concepten * **Lokaal veld ($E_{loc}$):** Het elektrische veld dat een atoom ervaart, opgewekt door alle andere ladingen. Het is niet gelijk aan het macroscopische veld $E$ . * **Lorentz-veld:** Het elektrische veld in het centrum van een uniform gepolariseerde bol, gelijk aan $-\frac{P}{3\epsilon_0}$ . * **Kristalveld ($E_{kristal}$):** Het veld opgewekt door naburige atomen in een kristalrooster. Voor kubische roosters is dit nul . * **Clausius-Mosotti relatie:** Verband tussen susceptibiliteit en massadichtheid: $\frac{\chi_e}{\chi_e + 3} = \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} = \frac{1}{3} \alpha N$ . * **Foton:** Een kwantum van elektromagnetische straling, essentieel voor elektronovergangen in het kwantummechanische model . * **Fanon:** Een rooster-trilling met een dispersiecurve $\omega(k)$. Optische fononen kunnen aanleiding geven tot polarisatie . * **Langevin-functie ($L(x)$):** Beschrijft de gemiddelde cosinus van de hoek tussen een dipool en een elektrisch veld bij oriëntatiepolarisatie . ### Implicaties * Materialen met grotere atoomnummers (meer elektronen, grotere atoomstraal) vertonen een grotere brekingsindex . * Alle materialen vertonen absorptie in het UV-gebied door elektronische polarisatie . * Vaste stoffen kunnen meerdere resonanties vertonen in het infraroodgebied door ionaire polarisatie . * Water absorbeert meer rood licht dan blauw licht door zijn infraroodabsorptie . ### Voorbeelden * **Elektronische polarisatie:** Klassiek model van een kern en een verschuifbare elektronenschil . * **Ionaire polarisatie:** 1D-kristal met twee atomen per eenheidscel, zoals NaCl . * **Oriëntatiepolarisatie:** Watermoleculen met een permanent dipoolmoment . ### Gevaren * Voor kleine velden is het lokale veld $E_{loc} \approx E$ . * Voor hoge frequenties kan de elektronenschil niet snel genoeg reageren, waardoor de polariseerbaarheid nul is . --- # Polarisatieverschijnselen en hun frequentieafhankelijkheid ### Kernidee * Polarisatieverschijnselen verklaren hoe materialen reageren op een extern elektrisch veld, wat leidt tot een herverdeling van ladingen. * De frequentie van het aangelegde veld bepaalt welk type polarisatie dominant is en beïnvloedt de permittiviteit en mogelijke energieverliezen. ### Polarisatiemechanismen en frequentiebereiken * **Elektronische polarisatie:** Elektronenwolken worden vervormd ten opzichte van de atoomkernen. Dominant bij zeer hoge frequenties (UV) . * Polariseerbaarheid neemt af naar nul boven de resonantiefrequentie . * Relatieve permittiviteit nadert 1 . * **Ionaire polarisatie:** Ionroosters worden verschoven ten opzichte van elkaar. * Kenmerkend voor het infraroodspectrum met absorptielijnen . * Resonantiefenomeen met een specifieke frequentie . * Voor watermoleculen treden dit op in het infrarood . * **Oriëntatiepolarisatie:** Permanente dipoolmomenten in moleculen proberen zich uit te lijnen met het veld. * Dominant in vloeistoffen en gassen met permanente dipolen . * Op lage frequenties (kHz, MHz, microgolf) treedt dit op . * In vloeistoffen: relaxatieproces met een relaxatietijd $\tau$ . * In gassen: resonantiestroom . * **Gassen:** * Atomen/moleculen zonder permanent dipoolmoment vertonen elektronische en ionaire polarisatie . * Oriëntatiepolarisatie in gassen gedraagt zich als een resonantieproces . * **Vloeistoffen:** * Moleculen met permanente dipolen vertonen oriëntatiepolarisatie (relaxatieproces) . * De relaxatietijd voor water is ongeveer 25 ps . * **Visueel spectrum:** Relatieve permittiviteit is redelijk constant en gelijk aan het kwadraat van de brekingsindex . * **Zeer lage frequenties (kHz, MHz):** Polarisatie en permittiviteit zijn weer grotendeels constant . ### Formules en relaties * **Permittiviteit met resonantie:** - $$ \epsilon(\omega) = \epsilon_\infty + \sum_i \frac{\Delta\epsilon_i \omega_{0,i}^2}{\omega_{0,i}^2 - \omega^2 + 2j\delta_i\omega} $$ * **Oriëntatiepolarisatie (statisch):** ### Implicaties ### Fenomenen in materialen ### Veelvoorkomende misvattingen --- # Magnetisatie: kwantummechanische oorsprong en macroscopische verschijnselen ### Kernidee * Magnetisatie is een kwantummechanisch verschijnsel; klassieke redenering is onvoldoende . * Verschillende materialen vertonen verschillende magnetische eigenschappen: diamagnetisch, paramagnetisch, ferromagnetisch, antiferromagnetisch en ferrimagnetisch . ### Kwantummechanische oorsprong van magnetische momenten * Elektronen bezitten een intrinsiek spinmoment ($s = 1/2$) en een baanmomenent ($l$), die magnetische momenten creëren . * Het elektronenspinmomenent is $m_{spin} = -g_e \mu_B \frac{\mathbf{s}}{\hbar}$ en het baanmomenent is $m_{orb} = -\mu_B \frac{\mathbf{l}}{\hbar}$ . * Het Bohr-magneton ($\mu_B$) is een fundamentele eenheid voor magnetische momenten: $\mu_B = 9.274 \times 10^{-24} J/T$ . * Pauli-uitsluitingsprincipe zorgt ervoor dat volledig gevulde schillen geen netto baan- of spinmomenent hebben . * Het totale magnetische moment in atomen/ionen is J = L + S, met een Landé-factor $g$ . * Kristalveldinteracties kunnen in vaste stoffen het netto magnetische moment onderdrukken, behalve in 3d, 4f en 5f schillen . ### Diamagnetisme * Ontstaat wanneer atomen geen permanent magnetisch moment hebben; externe velden induceren tegengestelde momenten . * Veroorzaakt door de precessiebeweging van baanmomenten in een extern magnetisch veld . * De geïnduceerde magnetisatie is tegengesteld aan het veld, wat resulteert in een negatieve susceptibiliteit $\chi_m$ . * Larmor-diamagnetisme beschrijft deze magnetisatie: $\mathbf{m} = -\mu_0 \frac{Ze^2}{6m_e} \langle r^2 \rangle \mathbf{H}$ . ### Paramagnetisme * Atomen hebben een permanent magnetisch moment, maar zijn willekeurig georiënteerd door thermische agitatie . * Bij aanleg van een extern veld richten de dipolen zich deels naar het veld . * De magnetisatie volgt de Curie-wet: $\chi_m = \frac{C}{T}$ (omgekeerd evenredig met temperatuur) . * Kwantummechanisch wordt de magnetisatie beschreven met de Brillouin-functie $B_J(x)$ . * Bij lage temperaturen en kleine velden, $\chi_m = \frac{N \mu_0 g^2 \mu_B^2 J(J+1)}{3kT}$ . ### Ferromagnetisme, Antiferromagnetisme en Ferrimagnetisme * Ferromagnetisme: permanente momenten richten zich parallel onder de Curie-temperatuur ($T_C$) . * Oorzaak: uitwisselingsinteractie ($U_{ij} = -2 J_{ij} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j$) tussen spins, gedreven door elektrostatische interactie en Pauli-principe . * Weiss-moleculair veld ($H_{mol} = \lambda M$) verklaart de sterke interne interactie die ferromagnetisme veroorzaakt . * Curie-Weiss-wet: $\chi_m(T) = \frac{C}{T - T_C}$ boven de Curie-temperatuur . * Antiferromagnetisme: naburige momenten richten zich antiparallel; netto magnetisatie is nul. Neel-temperatuur markeert het verdwijnen van ordening . * Ferrimagnetisme: verschillende magnetische ionen met antiparallelle en parallelle momenten, resulterend in netto magnetisatie (bv. magnetiet Fe$_3$O$_4$) . ### Anisotropie * Noodzakelijk om het gedrag van ferromagnetische materialen volledig te begrijpen . * Domeinen: ferromagnetische materialen delen zich op in domeinen met gealigneerde momenten, maar de domeinmagnetisaties zijn niet gealigneerd . --- # Magnetische ordering en anisotropie in ferromagnetische materialen ### Kernidee * Magnetische ordering in ferromagnetische materialen wordt veroorzaakt door de uitwisselingsinteractie tussen elektronenspins . * Anisotropie bepaalt de voorkeursrichting van de magnetisatie, wat cruciaal is voor het gedrag van ferromagneten. ### Kernfeiten * Ferromagnetisme treedt op onder de Curie-temperatuur, waarboven het materiaal zich paramagnetisch gedraagt . * De uitwisselingsinteractie $U_{ij} = -2J_{ij}\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j$ drijft de parallelle oriëntatie van spins . * De uitwisselingsintegraal $J_{ij}$ wordt bepaald door de overlap van golffuncties en is positief voor ferromagneten . * Het Weiss moleculaire veld, $H_{\text{mol}} = \lambda M$, is een effectieve interne veldsterkte die voortkomt uit de uitwisselingsinteractie . * Antiferromagnetisme heeft anti-parallelle opstelling van spins en geen netto magnetisatie (bv. MnO) . * Ferrimagnetisme is een combinatie van parallelle en anti-parallelle spins, resulterend in een netto magnetisatie (bv. magnetiet Fe$_3$O$_4$) . * Ferromagnetische materialen delen zich spontaan op in magnetische domeinen . * Magnetokristallijne anisotropie ontstaat door spin-baan koppeling, die voorkeursrichtingen oplegt vanuit de kristalstructuur . * Anisotropie-energie is veel kleiner dan uitwisselingsenergie, maar bepaalt de richting van de magnetisatie . * Uniaxiale anisotropie wordt beschreven door $W_u = K_{u1}(\sin \theta)^2 + K_{u2}(\sin \theta)^4$ . * Kubische anisotropie wordt beschreven door $W_c = K_1(\alpha_1^2\alpha_2^2 + \alpha_2^2\alpha_3^2 + \alpha_3^2\alpha_1^2) + K_2\alpha_1^2\alpha_2^2\alpha_3^2$ . * Superparamagnetisme treedt op bij voldoende kleine deeltjes waarbij de anisotropie-energie thermisch overwonnen kan worden . ### Kernconcepten * **Curie-temperatuur ($T_C$):** De temperatuur waarboven de magnetische ordening in ferromagneten verdwijnt . * **Néel-temperatuur ($T_N$):** De temperatuur waarboven de magnetische ordening in antiferromagneten verdwijnt . * **Weiss moleculaire veld:** Een effectief intern veld dat voortkomt uit de uitwisselingsinteractie en de magnetisatie bepaalt . * **Anisotropie:** Het verschijnsel dat magnetische eigenschappen afhankelijk zijn van de richting in het materiaal . * **Gemakkelijke richting:** Een kristallografische richting waarin de magnetisatie zich bij voorkeur oriënteert . * **Domeinen:** Regio's in een ferromagneet waar de magnetisaties georiënteerd zijn, maar die onderling willekeurig georiënteerd kunnen zijn in afwezigheid van een extern veld . ### Implicaties * Boven de Curie-temperatuur gedragen ferromagneten zich paramagnetisch volgens de Curie-Weiss wet: $\chi_m = \frac{C}{T-T_C}$ . * Voor $T < T_C$ is er een spontane magnetisatie die numeriek bepaald moet worden . * De anisotropie-energie bepaalt de stabiliteit van magnetisatierichtingen en de drempel voor magnetisatieomkering . * Kleine deeltjes kunnen superparamagnetisch gedrag vertonen, vergelijkbaar met paramagnetisme, ondanks de aanwezigheid van anisotropie . * Het Stoner-Wohlfarth model beschrijft de magnetisatie van één-domein deeltjes met anisotropie in een extern veld . ### Voorbeelden --- # Oefeningen en opgaven over elektromagnetisme ### Directe methodes * Directe methodes worden gebruikt bij stationaire macroscopische ladings- of stroomverdelingen . * Velden kunnen berekend worden uit gegeven ladings- of stroomverdelingen met behulp van specifieke formules . * Magnetisatie (M) kan worden vervangen door magnetische ladingsdichtheid ($\rho^*_m$) en magnetische stroomdichtheid ($\pi^*_m$) in het Chu-model . * Voor 1D-problemen kunnen velden rechtstreeks berekend worden met de integraalwet van Gauss of Ampère . ### Voorbeelden van 1D-problemen #### Elektrisch veld van een ladingsvlak * Een ladingsvlak met dichtheid $\pi$ geeft een elektrisch veld $E(z) = \text{sgn}(z) \frac{\pi}{2\epsilon_0}$ . * De potentiaal hiervan is $V(z) = \frac{\pi}{\epsilon_0} G_1(z)$, met $G_1(z) = -|z|/2$ . #### Elektrisch veld van een lijnlading * Een lijnlading met dichtheid $q$ geeft een radiaal gericht elektrisch veld $E = \frac{q}{2\pi\epsilon_0} \frac{1}{r}$ . * De potentiaal is $V(r) = -\frac{q}{2\pi\epsilon_0} \ln(r)$ . #### Elektrisch veld van een puntlading * De potentiaal van een puntlading is $V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R}$ . * Het elektrische veld van een puntlading is $E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2} \hat{R}$ . #### Magnetisch veld van een stroomvlak * Een stroomvlak met dichtheid $K = K\hat{z}$ in het vlak $x=0$ genereert een magnetisch veld $H = \text{sgn}(x) \frac{K}{2} \hat{y}$ . * De vectorpotentiaal hiervan is $A = -\mu_0 \frac{K}{2} |x|\hat{z}$ . #### Magnetisch veld van een lijnstroom * Een stroom $I$ volgens de z-as genereert een magnetisch veld $H = \frac{I}{2\pi r} \hat{\phi}$ . * De bijbehorende vectorpotentiaal is $A = -\mu_0 \frac{I}{2\pi} \ln(r) \hat{z}$ . ### Opgaven en toepassingen * Het berekenen van potentiaal en elektrisch veld op de as van een uniforme schijfvormige ladingsverdeling . * Onderzoeken van voorwaarden voor een equipotentiaal oppervlak bij ladingen nabij een bol . * Afleiden van de potentiaal van 3D- en 2D-dipolen . * Berekenen van ladingsdichtheid voor een electreet-microfoon model . * Bepalen van het elektrisch veld buiten een holle geleidende bol met ladingen erin . * Berekenen van magnetische veldsterkte en vectorpotentiaal voor een geleider met uniforme stroomverdeling . * Bepalen van het magnetisch veld en potentiaal in een holte met een excentrische stroomvoerende geleider . * Berekenen van het B-veld van een oppervlaktestroomdichtheid op een lijnstuk . * Bepalen van de vectorpotentiaal en H-veld van een cirkelvormige lijnstroom . * Berekenen van het elektrisch veld in het centrum van een homogeen gepolariseerde sfeer . * Berekenen van magnetische velden uit magnetische ladingsdichtheid of stroomdichtheid . --- # De scheiding der variabelen methode in verschillende coördinatenstelsels ### Core idea * De methode van scheiding der variabelen zoekt oplossingen voor de Laplace-vergelijking in de vorm van een product van functies, elk afhankelijk van één variabele . * Dit leidt tot een set van gewone differentiaalvergelijkingen, elk met een constante scheidingsfactor . * De algemene oplossing is een lineaire combinatie van deze gescheiden oplossingen om aan de randvoorwaarden te voldoen . * De methode is toepasbaar in Cartesiaanse, cilindrische en sferische coördinatenstelsels . ### Key facts * In Cartesiaanse coördinaten wordt de Laplace-vergelijking $\frac{\partial^2V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ beschouwd . * Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)$ . * Elk van de functies voldoet aan $\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \pm c_1^2$, $\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = \pm c_2^2$, $\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = \pm c_3^2$, met $\sum \pm c_i^2 = 0$ . * Mogelijke oplossingen voor $X(x)$ zijn lineaire combinaties van $e^{\pm c_1x}$, $\sinh(c_1x)$, $\cosh(c_1x)$, $\sin(c_1x)$, $\cos(c_1x)$, of $x$ en $1$ . * De oplossingsgebieden moeten begrensd zijn door coördinaatvlakken (rechthoek of balk) . * Randvoorwaarden moeten op één na homogeen zijn; niet-homogene randvoorwaarden leiden tot Fourier-reeksen . * In cilindrische coördinaten is de Laplace-vergelijking: $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ . * Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(r, \phi, z) = R(r)\Phi(\phi)Z(z)$ . * Als $V$ onafhankelijk is van $z$, zijn de vergelijkingen voor $\Phi$ en $R$: $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -c^2$ en $\frac{1}{R}\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) = c^2$ . * Oplossingen voor $\Phi(\phi)$ zijn $\sin(c\phi)$ en $\cos(c\phi)$ (periodiek, $c=n$), of $1$ en $\phi$ (niet-periodiek) . * Oplossingen voor $R(r)$ zijn $r^{\pm c}$ (voor $c \neq 0$) of $\ln r$ en $1$ (voor $c=0$) . * In sferische coördinaten is de Laplace-vergelijking: $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{(r\sin\theta)^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right) = 0$ . * Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(r, \theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$ . * Voor periodieke oplossingen in $\phi$ en $\theta$, zijn de oplossingen $R(r) \sim r^n$ of $r^{-(n+1)}$, $\Phi(\phi) \sim \sin(m\phi), \cos(m\phi)$, en $\Theta(\theta) \sim P_n^m(\cos\theta)$ (geassocieerde Legendre-polynomen) . ### Key concepts * **Scheidingsconstanten:** De constanten $(\pm c_i^2)$ die ontstaan na het scheiden van de variabelen . * **Superpositieprincipe:** Omdat de Laplace-vergelijking lineair is, is een lineaire combinatie van gescheiden oplossingen ook een oplossing . * **Homogene randvoorwaarden:** Randvoorwaarden die nul zijn. Deze beperken de mogelijke scheidingsconstanten tot discrete waarden . * **Fourier-reeks:** Gebruikt om de coëfficiënten van de superpositie te bepalen door gebruik te maken van de niet-homogene randvoorwaarde . * **Orthogonaliteit:** De eigenschap van functies (zoals sinussen of Legendre-polynomen) die gebruikt wordt om Fourier-coëfficiënten te berekenen . * **Geassocieerde Legendre-polynomen:** Speciale functies die de oplossingen voor de hoekafhankelijke delen in sferische coördinaten vormen . ### Implications * De methode vereist dat het domein begrensd is door coördinaatvlakken (rechthoekig, cilindrisch, sferisch) . ### Example --- # Elektrostatische problemen en veldverdelingen ### Kernidee * Problemen met elektrostatische veldverdelingen kunnen worden opgelost door geschikte randvoorwaarden toe te passen op de potentiaal of het elektrische veld . * De oplossing van de Laplace- of Poisson-vergelijking bepaalt de potentiaal, waaruit vervolgens het elektrische veld en de ladingsverdelingen kunnen worden afgeleid . ### Belangrijke concepten * Randvoorwaarden bij $r \to \infty$ stellen vaak dat de potentiaal of het veld verdwijnt of een uniforme waarde aanneemt . * Randvoorwaarden in de oorsprong vereisen dat de potentiaal eindig blijft . * De potentiaal wordt uitgedrukt in een som van afzonderlijke oplossingen die voldoen aan de homogene vergelijking . * Niet-homogene randvoorwaarden worden gebruikt om specifieke oplossingen te selecteren en constanten te bepalen . * Binnen een geleidende sfeer heerst in het algemeen een homogeen veld, terwijl buiten de sfeer een dipoolveld ontstaat bovenop het aangelegde veld . * De stroomlijnen kunnen worden aangetrokken of afgestoten door de sfeer, afhankelijk van de geleidbaarheid van de sfeer ten opzichte van het medium . * Op het oppervlak van de sfeer kan een ladingsdichtheid verschijnen, bepaald door het verschil in permittiviteit en geleidbaarheid . * De ladingsdichtheid $\pi$ op een sfeeroppervlak is evenredig met de cosinus van de polaire hoek $\theta$ . * Het teken van de lading wordt bepaald door het verschil tussen $\frac{\sigma'}{\sigma}$ en $\frac{\epsilon'}{\epsilon}$ . ### Formules en definities * Potentiaal buiten de sfeer: $V_2(r, \theta) = -E_0 r \cos \theta + A \frac{\cos \theta}{r^2}$ . * Potentiaal binnen de sfeer: $V_1(r, \theta) = -E'_0 r \cos \theta$ . * Constante $A$: $A = R^3 E_0 \frac{\sigma' - \sigma}{\sigma' + 2\sigma}$ . * Ladingdichtheid op het sfeeroppervlak: $\pi(r=R, \theta) = -\epsilon \frac{\partial V_2}{\partial r}\Big|_{r=R} + \epsilon' \frac{\partial V_1}{\partial r}\Big|_{r=R} = \pi_0 \cos \theta$ . * Constante $\pi_0$: $\pi_0 = 3E_0 \frac{\epsilon\sigma' - \epsilon'\sigma}{\sigma' + 2\sigma}$ . ### Voorbeelden * Het elektrische veld buiten een weerstand in cartesiaanse coördinaten, met bepaling van ladingsdichtheid op de wand . * Het veld van een uniform gemagnetiseerde sfeer, waarbij de magnetische potentiaal wordt gebruikt . * De veldverdeling rond een oneindig lange cilindrische geleider in een ander geleidend medium, met schetsen van stroomlijnen voor verschillende geleidbaarheden . * Potentiaalverdeling binnen een circulaire cilindervormige geleider met een deel op potentiaal 1 en de rest op potentiaal 0 . * Het E- en H-veld tussen de geleiders van een coaxiale kabel met een geleidende binnenste geleider en een perfect geleidende buitenste geleider . * De potentiaal $V(r, \theta)$ en de normale component van het elektrische veld $E_r$ aan het buitenoppervlak van een sfeer met gegeven tangentiële component van het elektrisch veld . * Bepaling van de potentiaal $V(r, \varphi)$ binnen een cilinder, gegeven de tangentiële component $E_\varphi$ aan het binnenoppervlak . * Elektrisch veld en oppervlakteladingsdichtheid in een vat met rechthoekige doorsnede gevuld met een vloeistof en met schuine elektroden . --- # Berekening van krachtenverdelingen in verschillende systemen ### Kernidee * Krachtenverdelingen in diverse systemen worden berekend met behulp van specifieke formules en methoden, afhankelijk van het systeemtype (EQS of MQS) en materiaaleigenschappen . ### Belangrijke feiten * Voor quasi-stationaire systemen gelden de formules $T_{pol} = P E$ (EQS) en $T_{pol} = -BM + B \cdot MI$ (MQS) . * Ladenverdeling voor een EQS-systeem kan worden uitgedrukt in functie van $E$ . * Stroomverdeling voor een MQS-systeem kan worden uitgedrukt in functie van $B$ . * De singuliere Lorentz krachtticdheid $\hat{f}_L$ aan een vrij oppervlak van een ideaal zacht ferro-magnetisch materiaal ($\mu = \infty$) hangt af van het $H$-veld buiten en de magnetisatie $M_t$ . * De krachtticdheid $\hat{f}_E$ kan ook worden bepaald voor dit type materiaal . * De Poynting vector flux door een sfeer op grote afstand is gelijk aan $VI$, waar $V$ de spanning en $I$ de stroom is . * Magnetische energie van een uniform gemagnetiseerde sfeer kan berekend worden . * De virtuele arbeid methode kan worden toegepast op condensatoren met deeltjes diëlektrica . * De kracht op een beweegbaar blok magnetisch materiaal met een luchtspleet kan bepaald worden met virtuele arbeid . * De Poynting vector kan berekend worden voor geleidende structuren om energiebalansen te interpreteren . ### Belangrijke concepten * **Volumekrachtenverdeling ($T_{pol}$):** De kracht per volume-eenheid in een systeem . * **EQS-systeem:** Electrostatisch systeem, gericht op ladingsverdeling . * **MQS-systeem:** Magnetostatisch systeem, gericht op stroomverdeling . * **Lorentz krachtticdheid ($\hat{f}_L$):** Dichtheid van de Lorentz kracht in een medium . * **Magnetische energie:** Energie opgeslagen in een magnetisch veld . * **Virtuele arbeid methode:** Een methode om krachten te berekenen door een virtuele verplaatsing te overwegen . * **Poynting vector:** Geeft de richting en magnitude van de energiestroom per oppervlakte-eenheid weer . * **Ampèremodel:** Een benadering voor het berekenen van magnetische velden met oppervlaktestromen . ### Implicaties * De keuze tussen EQS en MQS formules hangt af van het type systeem (elektrisch of magnetisch) . * Het gedrag van diëlektrica in condensatoren kan worden geanalyseerd met de methode van virtuele arbeid . * Magnetische kringen met luchtspleten ondervinden aantrekkingskrachten die berekend kunnen worden . * De energiebalans in circuits, inclusief Joule-verliezen, kan geanalyseerd worden met de Poynting vector . * Verschillende methoden (bv. Maxwellspanningen vs. virtuele arbeid) kunnen leiden tot vergelijkbare maar potentieel verschillende resultaten voor krachten op diëlektrica . - > **Tip:** Controleer altijd de specifieke systeemconstanten en materiaaleigenschappen (zoals $\epsilon$, $\mu$) bij het toepassen van de formules --- # Vector calculus and tensor operations in physics ### Kernconcepten * Vectoren en hun operaties (scalair en vectorieel product) vormen de basis voor het beschrijven van fysische grootheden . * De nabla-operator $(\nabla)$ is een differentiaaloperator die gebruikt wordt voor gradiënt, divergentie en rotor . * Tensoren breiden het begrip vectoren uit; een rang 2 tensor heeft 9 componenten en kan worden gezien als een uitbreiding van vectoren . ### Belangrijke definities en notaties * Scalair product: $A \cdot B = A_i B_i$ (sommatie over herhaalde indices) . * Vectorieel product: $(A \times B)_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k$, met $\epsilon_{ijk}$ het Levi-Civita symbool . * Nabla-operator: $\nabla_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$ . * Gratiënt van een scalaire functie $f$: $(\nabla f)_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$ . * Divergentie van een vectorveld $A$: $\nabla \cdot A = \text{div } A = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$ . * Rotor van een vectorveld $A$: $(\nabla \times A)_i = \text{rot } A_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial A_k}{\partial x_j}$ . * Laplaciaan: $\nabla \cdot \nabla = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2_i}$ . * Tensor rang 2: Tij, met componenten $T_{ij}$ . * Eenheids-tensor $I$: $I_{ij} = \delta_{ij}$ (Kronecker-delta) . ### Belangrijke vectoridentiteiten * Scalar triple product: $A \cdot (B \times C) = B \cdot (C \times A) = C \cdot (A \times B)$ . * Vector triple product: $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ . * Rotor van een gradiënt: $\nabla \times (\nabla f) = 0$ . * Divergentie van een rotor: $\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$ . * Rotor van een rotor: $\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^2 A$ . * Nabla op een product: $\nabla \cdot (fA) = f(\nabla \cdot A) + (\nabla f) \cdot A$ . * Nabla op een product: $\nabla \times (fA) = f(\nabla \times A) + (\nabla f) \times A$ . ### Tensoroperaties * Diade product: $T_{ij} = A_i B_j$, genoteerd als $T = AB$ . * Transponeren: $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$ . * Symmetrische tensor: $\tilde{T} = T$ . * Antisymmetrische tensor: $\tilde{T} = -T$ . * Scalair product met tensor: $(A \cdot T)_i = A_j T_{ji}$ en $(T \cdot A)_i = T_{ij} A_j$ . * Dubbel scalair product: $T: Q = T_{ij} Q_{ij}$ . ### Bijzondere coördinatenstelsels ### Toepassingen --- # Integralen en stellingen van Gauss en Stokes ### Kernidee * Vectorcalculus stellingen relateren integralen over een volume/oppervlak aan integralen over de rand ervan. * Gauss' stelling relateert een volume-integraal aan een oppervlakte-integraal. * Stokes' stelling relateert een oppervlakte-integraal aan een lijn-integraal. ### Belangrijke feiten * Voor een domein $V$ met rand $\partial V$ en naar buiten gerichte eenheidsnormaal $\mathbf{n}$: $\iiint_V \frac{\partial f}{\partial x_i} dV = \iint_{\partial V} f n_i dA$ . * Gauss' divergentiestelling: $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{A}) dA = \iint_{\partial V} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a}$ . * Gauss' stelling voor scalaire functie: $\iiint_V (\nabla f) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} f) dA = \iint_{\partial V} f d\mathbf{a}$ . * Gauss' stelling voor rotatie: $\iiint_V (\nabla \times \mathbf{A}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \times \mathbf{A}) dA$ . * Gauss' stelling voor een tensor $\mathbf{T}$: $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{T}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{T}) dA = \iint_{\partial V} \tilde{\mathbf{T}} \cdot d\mathbf{a}$ . * Stokes' stelling voor een oppervlak $S$ met randcurve $\partial S$: $\iint_S (\mathbf{n} \cdot \nabla \times \mathbf{A}) dA = \iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$ . * Stokes' stelling voor een scalaire functie: $\iint_S (\mathbf{n} \times \nabla f) dA = \oint_{\partial S} f d\mathbf{l}$ . * Voor een 2D domein wordt Gauss' stelling: $\iint_S (\nabla \cdot \mathbf{A}) dA = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{b} dl$ . * $d\mathbf{a} = \mathbf{n} dA$, $d\mathbf{l}$ is een tangentiële vector aan de randcurve. ### Belangrijke concepten * Divergentietheorie: Linkt de flux uit een volume aan de divergentie binnenin. * Rotatietheorie: Linkt de circulatie rond een randcurve aan de rotatie op het oppervlak. * Distributies: Verbreding van het functiebegrip om singulariteiten zoals puntladingen te behandelen . * Oppervlaktedivergentie: $\nabla_S \cdot \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} - \mathbf{n} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mathbf{n}}$ . * De normaalvector $\mathbf{n}$ moet naar buiten gericht zijn voor Gauss' stelling. * De omloopzin van de randcurve moet gekoppeld zijn aan de normaalvector via de kurkentrekkerregel voor Stokes' stelling. ### Implicaties * Vereenvoudigt berekeningen door integralen over een hoger-dimensionaal gebied te transformeren naar een lager-dimensionaal gebied. * Essentieel voor veldentheorieën zoals elektromagnetisme en vloeistofdynamica. * Stellingen gelden ook voor domeinen die niet aan zeer restrictieve voorwaarden voldoen, mits distributies worden gebruikt . * Geldigheid van de stellingen vereist bepaalde voorwaarden aan de functie en het domein . ### Tips - > **Tip:** Visualiseer de stellingen: Denk aan water dat uit een vat stroomt (Gauss) versus de circulatie van een vloeistof rond een gat (Stokes) - > **Tip:** De notatie $d\mathbf{a}$ en $d\mathbf{l}$ zijn vectoriële differentiaal-elementen - Voor $d\mathbf{a}$ is dit de normaalvector maal het oppervlakte-element $dA$, en voor $d\mathbf{l}$ is dit de tangentiële vector maal het lengte-element $dl$ --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Quasi-stationair systeem | Een systeem waarbij de tijdsafhankelijke veranderingen langzaam genoeg verlopen om in elke instantie te kunnen spreken van een quasi-statische toestand, waarbij de effecten van traagheid verwaarloosbaar zijn. | | Volumekrachtenverdeling | De ruimtelijke verdeling van krachten die binnen een bepaald volume van een medium optreden, vaak veroorzaakt door externe velden of interne eigenschappen van het materiaal. | | Uniform isotroop lineair medium | Een materiaal dat in alle richtingen dezelfde fysische eigenschappen heeft (isotroop) en waarbij de respons lineair is met de aangelegde stimulus, zonder variatie in ruimte (uniform). | | Ladingsvrij systeem | Een systeem waarin de netto elektrische lading nul is, wat impliceert dat er geen netto elektrische ladingen aanwezig zijn die de elektrische velden veroorzaken. | | Stroomvrij systeem | Een systeem waarin de netto elektrische stroom nul is, wat betekent dat er geen netto beweging van ladingen plaatsvindt die een magnetisch veld zou kunnen genereren. | | Singuliere Lorentz-krachtdichtheid | De dichtheid van de Lorentz-kracht die optreedt op een vrij oppervlak van een materiaal, specifiek in situaties waar de magnetische permeabiliteit oneindig is, wat leidt tot een discontinuïteit in het magnetische veld. | | Ideaal zacht ferromagnetisch materiaal | Een magnetisch materiaal met een oneindig grote magnetische permeabiliteit ($\mu = \infty$), wat betekent dat het magnetische veld binnen het materiaal nul is en alle magnetische flux zich concentreert op het oppervlak. | | H-veld buiten het materiaal | Het magnetische veldintensiteit (H-veld) dat zich buiten de grenzen van een magnetisch materiaal bevindt, wat de externe magnetische omstandigheden beschrijft. | | Tangentiële componenten van de magnetisatie | De componenten van de magnetisatievector die parallel lopen aan het oppervlak van het materiaal, welke cruciaal zijn voor het bepalen van de krachten op het oppervlak. | | Magnetische energie | De energie die opgeslagen is in een magnetisch veld, gerelateerd aan de magnetische permeabiliteit van het medium en de sterkte van het magnetische veld. | | Vector van Poynting | Een vector die de richting en grootte van de energiestroom per oppervlakte-eenheid in een elektromagnetisch veld aangeeft. | | Joule-verliezen | Energieverlies in de vorm van warmte als gevolg van de elektrische weerstand wanneer stroom door een geleider vloeit. | | Tensor | Een wiskundige entiteit die een uitbreiding is van het begrip vector, gekenmerkt door een rang en een bepaald aantal componenten die transformeren volgens specifieke regels onder coördinatentransformaties. | | Rang van een tensor | Het aantal indices dat nodig is om een component van de tensor uniek te specificeren. Een tensor van rang 2 heeft bijvoorbeeld componenten $T_{ij}$. | | Diade | Een tensor van rang 2 die geconstrueerd wordt uit twee vectoren, waarbij de componenten worden gegeven door het product van de corresponderende componenten van de twee vectoren, $T_{ij} = A_i B_j$. Dit wordt ook wel een tensorproduct of uitwendig product genoemd. | | Getransponeerde tensor | Een tensor $\tilde{T}$ waarvan de componenten zijn verwisseld ten opzichte van de oorspronkelijke tensor $T$, zodanig dat $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$. | | Symmetrische tensor | Een tensor die gelijk is aan zijn getransponeerde, $\tilde{T} = T$, wat betekent dat $\tilde{T}_{ij} = T_{ij}$. | | Antisymmetrische tensor | Een tensor die gelijk is aan het negatief van zijn getransponeerde, $\tilde{T} = -T$, wat betekent dat $\tilde{T}_{ij} = -T_{ji}$. | | Eenheidstensor | Een speciale tensor, aangeduid met $I$, waarvan de componenten gelijk zijn aan de Kronecker-delta, $I_{ij} = \delta_{ij}$. | | Kronecker-delta | Een functie die 1 is als de indices gelijk zijn en 0 als de indices ongelijk zijn, gedefinieerd als $\delta_{ij} = 1$ voor $i=j$ en $\delta_{ij} = 0$ voor $i \neq j$. | | Dubbel scalair product van tensoren | Een operatie tussen twee tensoren van dezelfde rang, aangeduid met twee punten tussen de tensoren, waarbij gesommeerd wordt over de overeenkomstige indices, $T:Q = T_{ij}Q_{ij}$. | | Gradiënt van een vector | Het tensorproduct van de nabla-operator met een vectorveld, wat resulteert in een tensor van rang 2. De componenten zijn gegeven door $(\nabla A)_{ij} = \frac{\partial A_j}{\partial x_i}$. | | Divergentie van een tensorveld | Het scalaire product van de nabla-operator met een tensorveld, wat resulteert in een vectorveld. De componenten zijn gegeven door $(\nabla \cdot T)_i = \frac{\partial T_{ji}}{\partial x_j}$. | | Polaire vector | Een vector die transformeert zoals de positievector onder een ruimtelijke inversie, wat betekent dat de componenten van teken veranderen ($x \rightarrow -x$). | | Term | Definitie | | Gauss-wetten | Een reeks vergelijkingen die de relatie beschrijven tussen een integraal over een volume en een integraal over de rand van dat volume, met betrekking tot divergentie van vectorvelden of gradiënten van scalaire velden. | | Divergentie (∇ · A) | Een vectoroperator die de "uitstroom" van een vectorveld uit een infinitesimaal volume meet. Het wordt berekend als de som van de partiële afgeleiden van de componenten van het vectorveld naar de corresponderende coördinaten. | | Gradiënt (∇f) | Een vectoroperator die de richting en de maximale mate van verandering van een scalair veld aangeeft. Het is een vector waarvan de componenten de partiële afgeleiden van het scalaire veld zijn. | | Oppervlakte-integraal | Een integraal berekend over een oppervlak. In de context van de stellingen van Gauss en Stokes, wordt deze vaak gebruikt om de flux van een vectorveld door een oppervlak te berekenen. | | Volume-integraal | Een integraal berekend over een volume. In de context van de stellingen van Gauss en Stokes, wordt deze gebruikt om de divergentie van een vectorveld over een volume te integreren. | | Randkromme (∂S) | De grens van een oppervlak S. In de stelling van Stokes is dit de lijn die het oppervlak omsluit. | | Eenheidsnormaal (n) | Een vector met lengte één die loodrecht staat op een oppervlak. De richting van de normaal kan naar binnen of naar buiten gericht zijn, afhankelijk van de conventie. | | Stelling van Gauss | Een fundamentele stelling in de vectorcalculus die stelt dat de flux van een vectorveld door een gesloten oppervlak gelijk is aan de integraal van de divergentie van het veld over het volume dat door het oppervlak wordt omsloten. | | Stelling van Stokes | Een fundamentele stelling in de vectorcalculus die de relatie legt tussen de lijnintegraal van een vectorveld rond een gesloten kromme en de oppervlakte-integraal van de rotatie van dat veld over elk oppervlak dat door de kromme wordt begrensd. | | Rotatie (∇ × A) | Een vectoroperator die de "draaiing" of "werveling" van een vectorveld meet. Het wordt berekend met behulp van de kruisproduct van de nabla-operator en het vectorveld. | | Substantiele afgeleide | De totale verandering van een veld (scalair of vectorieel) die wordt waargenomen door een waarnemer die meebeweegt met een bepaald deeltje of medium. Het omvat zowel de lokale verandering als de verandering door de beweging van het deeltje. | | Quasi-stationaire velden | Een benadering voor tijdsafhankelijke elektromagnetische problemen waarbij de voortplanting van storingen als ogenblikkelijk wordt beschouwd, omdat de afmetingen van het studieobject klein zijn ten opzichte van de golflengte of de tijdsschaal van de storingen. | | Ladingsrelaxatie | Het proces waarbij een oorspronkelijk aanwezige ladingsdichtheid in een geleidend medium exponentieel afneemt in de tijd, volgens de vergelijking $ \rho(r, t) = \rho(r, 0)e^{-t/\tau} $, waarbij $ \tau = \epsilon/\sigma $ de relaxatietijd is. | | Relaxatietijd | De karakteristieke tijd $ \tau = \epsilon/\sigma $ die aangeeft hoe snel een ladingsdichtheid in een homogeen, lineair, isotroop en geleidend medium verdwijnt. | | Elektro-quasi-statica (EQS) | Een benadering waarbij de tijdsafgeleide van de magnetische inductie in de wet van Faraday wordt verwaarloosd, waardoor de wetten van de elektrostatica (benaderend) geldig blijven. | | Magneto-quasi-statica (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafgeleide van de elektrische inductie in de wet van Ampère wordt verwaarloosd. | | Doorschuivingsstroomdichtheid | De bijdrage $ \partial D / \partial t $ in de wet van Ampère, die een magnetisch veld opwekt op dezelfde manier als een vrije stroomdichtheid $ J $. | | Magnetische scalaire potentiaal | Een potentiaal $ U $ die wordt gebruikt om het magnetisch veld $ H $ te beschrijven in een stroomvrij gebied, waarbij $ H = -\nabla U $. Deze potentiaal kan echter discontinu zijn over sneden die het gebied enkelvoudig samenhangend maken. | | Enkelvoudig samenhangend gebied | Een gebied waarin elke gesloten kromme kan worden gereduceerd tot een punt zonder het gebied te verlaten. Gebieden die niet enkelvoudig samenhangend zijn, zoals een torus, vereisen sneden om de magnetische scalaire potentiaal te definiëren. | | Magnetisch netwerk | Een analogie die wordt gebruikt om magnetostatische problemen te herleiden tot een equivalent elektrisch netwerk, waarbij magnetische flux overeenkomt met elektrische stroom en magnetische weerstand (reluctantie) overeenkomt met elektrische weerstand. | | Reluctantie | De magnetische tegenhanger van elektrische weerstand in een magnetisch circuit, gedefinieerd als $ \Re \approx l/(\mu S) $ voor een homogeen materiaal met doorsnede $ S $ en lengte $ l $. | | Inductiecoëfficiënten | De evenredigheidscoëfficiënten $ L_{ij} $ die de magnetische flux $ \Phi_i $ gekoppeld aan kring $ C_i $ relateren aan de stromen $ I_j $ in de kringen, volgens $ \Phi_i = \sum_j L_{ij}I_j $. | | Zelfinductiecoëfficiënt | De inductiecoëfficiënt $ L_{ii} $ die de flux koppelt die wordt opgewekt door de stroom in een kring zelf, door diezelfde kring. | | Geïnduceerd elektrisch veld ($E_i$) | Het deel van het elektrische veld dat wordt opgewekt door een veranderende magnetische inductie, volgens de wet van Faraday ($\nabla \times E_i = -\partial B / \partial t$). | | Elektrostatisch veld ($E_e$) | Het deel van het elektrische veld dat wordt veroorzaakt door elektrische ladingen en waarvoor de kringintegraal nul is ($\nabla \times E_e = 0$). | | Veldverplaatsingsstroomdichtheid | De tijdsafgeleide van de elektrische verplaatsingsdichtheid, $\partial D / \partial t$, die in de MQS-benadering verwaarloosbaar is. | | Wet van Faraday | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die stelt dat een veranderend magnetisch veld een elektromotorische kracht (en dus een elektrisch veld) induceert in een gesloten kring. | | Veldlijnin tegraal | De integraal van een veld langs een gesloten kromme. Voor een elektrostatisch veld is deze integraal altijd nul, terwijl deze voor een geïnduceerd elektrisch veld niet nul is. | | V ectorpotentiaal ($A$) | Een vectorveld waarvan de krul gelijk is aan het magnetische veld ($B = \nabla \times A$). Het wordt gebruikt om het elektrische veld te beschrijven in de vorm $E = -\partial A / \partial t - \nabla V$. | | Zelfinductie ($L$) | Een eigenschap van een spoel die de verhouding aangeeft tussen de magnetische flux die door de spoel gaat en de stroom die de flux veroorzaakt. Het beschrijft de weerstand tegen verandering van de stroom. | | Oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$) | De hoeveelheid elektrische lading per oppervlakte-eenheid op een grensvlak. | | Sprongconditie | Een relatie die geldt voor de discontinuïteit van velden over een grensvlak, zoals de tangentiële componenten van het elektrische veld of de normale componenten van de magnetische inductie. | | Quasi-stationair (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafhankelijkheid van elektromagnetische velden wordt vereenvoudigd, met name door de verwaarlozing van bepaalde termen in de Maxwell-vergelijkingen, wat leidt tot vereenvoudigde transformatieformules voor velden in bewegende systemen. | | Impedantie (per eenheidslengte) | De verhouding van de spanning tot de stroom in een geleider of circuit, die de weerstand tegen de elektrische stroom weergeeft. In de context van coaxiale kabels is dit afhankelijk van de frequentie en de fysieke eigenschappen van de kabel. | | Huidige diepte (skin depth) | De diepte in een geleider waar de elektrische stroom afneemt tot ongeveer 37% van zijn waarde aan het oppervlak. Dit fenomeen is frequentieafhankelijk en beïnvloedt de stroomverdeling in geleiders bij hogere frequenties. | | Magnetohydrodynamica (MHD) | Een tak van de natuurkunde die de dynamica van geleidende vloeistoffen en plasma's bestudeert, waarbij de interactie tussen magnetische velden en de beweging van de vloeistof centraal staat. | | Ferrofluïdum | Een vloeistof die ferromagnetische deeltjes bevat en sterk wordt aangetrokken door magnetische velden, waardoor de vloeistof kan worden gemanipuleerd door externe magnetische krachten. | | Transformatieformules | Vergelijkingen die beschrijven hoe fysische grootheden, zoals elektrische en magnetische velden, veranderen wanneer men overgaat van het ene inertiaalstelsel naar het andere, met name in de context van bewegende media. | | Constitutieve vergelijkingen | Vergelijkingen die de relatie beschrijven tussen de verschillende elektromagnetische velden (zoals $\vec{D}$, $\vec{E}$, $\vec{B}$, $\vec{H}$) en de materiaaleigenschappen (zoals $\sigma$, $\chi_e$, $\chi_m$) in een medium. | | Integraalwet van Faraday | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die stelt dat een verandering in de magnetische flux door een gesloten kring een elektromotorische kracht (emk) induceert in die kring. De algemene vorm omvat ook de beweging van het oppervlak. | | Transporttheorema | Een wiskundig principe dat de tijdsafgeleide van een integraal van een vectorveld over een bewegend oppervlak relateert aan lokale tijdsafgeleiden en termen die verband houden met de beweging van het oppervlak zelf. | | Materie-oppervlak | Een oppervlak dat vastgehecht is aan de materie, wat betekent dat het oppervlak meebeweegt met het medium waarin het zich bevindt. | | Elektromotorische kracht (emk) | De spanning die wordt opgewekt door een elektrische bron of door inductie. In bewegende media kan de emk worden opgedeeld in een deel door tijdsveranderende stromen en een deel door beweging. | | Sprongcondities | Vergelijkingen die de continuïteit of discontinuïteit van elektromagnetische velden beschrijven aan grensvlakken tussen verschillende media, met name wanneer er ladingen of stromen aan het grensvlak aanwezig zijn. | | Lorentz-kracht | De kracht die een geladen deeltje ondervindt wanneer het zich verplaatst in een elektromagnetisch veld. Deze kracht is evenredig met de lading van het deeltje, de snelheid van het deeltje en de sterkte van het elektrische en magnetische veld. | | Microscopische krachtdichtheid | De som van de Lorentz-krachten op alle ladingen binnen een enkel bouwsteen van een materieel medium, op elk moment. Dit is een gedetailleerde weergave van de krachten op het meest fundamentele niveau. | | Macroscopische krachtdichtheid | De gemiddelde krachtdichtheid over een bepaald volume, verkregen door de microscopische krachtdichtheid uit te middelen. Dit geeft een overzicht van de krachten op een grotere schaal, waarbij het medium als continuüm wordt beschouwd. | | Behoud van massa | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale massa in een geïsoleerd systeem constant blijft, ongeacht de processen die binnen het systeem plaatsvinden. Dit principe wordt wiskundig uitgedrukt door de vergelijking $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$. | | Impulswet (Eerste wet van Newton voor een continuüm) | De wet die de verandering van de impuls van een continuüm beschrijft, rekening houdend met externe krachten en interne spanningen. De lokale differentiële vorm is $\rho_m \frac{dv}{dt} = f + \nabla \cdot T$. | | Cauchy-spanningstensor (T) | Een wiskundige tensor die de interne spanningen binnen een continu medium beschrijft. De componenten van deze tensor geven de krachten weer die op een oppervlak binnen het medium worden uitgeoefend door de omliggende materie. | | Volumekrachtdichtheid (f) | De kracht per eenheid volume die op een continuüm werkt, exclusief de krachten die door oppervlaktecontact worden uitgeoefend. Dit kan bijvoorbeeld de zwaartekracht of een externe elektromagnetische kracht zijn. | | Spanningsterm ($\nabla \cdot T$) | De bijdrage aan de bewegingsvergelijking die voortkomt uit de gradiënt van de spanningstensor. Deze term beschrijft de effecten van interne krachten die worden overgedragen via contact tussen naburige delen van het medium. | | Elektrisch dipoolmoment (p) | Een maat voor de scheiding van positieve en negatieve ladingen binnen een systeem. Het is een vector die de sterkte en richting van de polarisatie van een object aangeeft. | | Magnetisch dipoolmoment (m) | Een maat voor de magnetische sterkte van een object, vergelijkbaar met hoe het elektrische dipoolmoment de elektrische polarisatie beschrijft. Het is gerelateerd aan de stroomlussen of intrinsieke magnetische eigenschappen van de deeltjes. | | Kracht op een elektrisch dipool in een extern veld | De kracht die een elektrisch dipool ondervindt in een niet-uniform elektrisch veld. Deze kracht is evenredig met het dipoolmoment en de gradiënt van het elektrische veld, en is gericht naar gebieden met een hogere veldsterkte. | | Langevin functie | Een wiskundige functie die de gemiddelde magnetisatie van een paramagnetisch materiaal beschrijft als functie van de aangelegde magnetische veldsterkte en temperatuur. | | Lokaal veld | Het magnetische veld dat een magnetisch moment ervaart binnen een materiaal, rekening houdend met de bijdrage van de omringende magnetische momenten. | | Supergeleiders | Materialen die bij zeer lage temperaturen hun elektrische weerstand verliezen en zich gedragen als ideale diamagneten, waarbij ze magnetische velden volledig uitstoten (Meissner-effect). | | Uitwisselingsinteractie | Een kwantummechanisch effect dat de interactie tussen elektronen in naburige atomen beschrijft, en dat de oorzaak is van magnetische ordering zoals ferromagnetisme. | | Curie temperatuur | De temperatuur boven welke een ferromagnetisch materiaal zijn magnetische eigenschappen verliest en zich gedraagt als een paramagneet. | | Weiss moleculair veld | Een fictief, intern magnetisch veld dat wordt verondersteld te bestaan binnen een ferromagnetisch materiaal, als gevolg van de uitwisselingsinteractie tussen magnetische momenten. | | Saturatiemagnetisatie | De maximale magnetisatie die een materiaal kan bereiken wanneer alle magnetische momenten volledig parallel aan elkaar zijn georiënteerd. | | Brillouin functie | Een wiskundige functie die de gemiddelde magnetisatie van een paramagnetisch materiaal beschrijft, afhankelijk van de spin van de atomen en de verhouding van magnetische energie tot thermische energie. | | Curie-Weiss wet | Een wet die het gedrag van ferromagnetische materialen boven de Curie temperatuur beschrijft, waarbij de magnetische susceptibiliteit omgekeerd evenredig is met het verschil tussen de temperatuur en de Curie temperatuur. | | Antiferromagnetisme | Een magnetische ordering waarbij de magnetische momenten van naburige atomen antiparallel aan elkaar georiënteerd zijn, wat resulteert in een netto magnetisatie van nul. | | Néel temperatuur | De temperatuur boven welke een antiferromagnetisch materiaal zijn magnetische ordering verliest en zich gedraagt als een paramagneet. | | Ferrimagnetisme | Een magnetische ordering waarbij de magnetische momenten van verschillende soorten atomen antiparallel aan elkaar georiënteerd zijn, maar met ongelijke groottes, wat resulteert in een netto magnetisatie. | | Magnetostatische energie | De energie die geassocieerd wordt met de magnetische interactie tussen magnetische dipolen binnen een ferromagnetisch materiaal. Deze energie wordt geminimaliseerd door de vorming van domeinen. | | Wisselwerkingsenergie (uitwisselingsenergie) | Een sterke, lokale interactie tussen naburige spins in een ferromagnetisch materiaal die probeert deze spins parallel te oriënteren. | | Anisotropie-energie | De energie die gerelateerd is aan de voorkeursrichtingen van magnetisatie in een kristal, veroorzaakt door de kristalstructuur. | | Domein | Een regio binnen een ferromagnetisch materiaal waarin de magnetisatie uniform is en georiënteerd is langs een gemakkelijke richting. | | Domeinmuur | Het overgangsgebied tussen twee aangrenzende magnetische domeinen, waarin de magnetisatie geleidelijk verandert van de ene richting naar de andere. | | Domeinmuur energie | De totale energie die geassocieerd wordt met een domeinmuur, bestaande uit de bijdragen van de wisselwerkingsenergie en de anisotropie-energie. | | Bloch-muur | Een type domeinmuur waarbij de magnetisatie uniform draait in het vlak van de muur, zonder toename van de magnetostatische energie. | | Technisch magnetisatie | Het proces waarbij een ferromagnetisch materiaal magnetiseert onder invloed van een extern magnetisch veld, bestaande uit reversibele en irreversibele processen zoals domeinmuurverplaatsing en rotatie van magnetisatie. | | Initiële magnetisatiekromme (maagdelijke kromme) | De magnetisatiecurve die wordt verkregen wanneer een ferromagnetisch materiaal voor het eerst wordt gemagnetiseerd vanaf nul magnetisatie. | | Domeinmuurverplaatsing | Het proces waarbij de grenzen tussen magnetische domeinen verschuiven als reactie op een extern magnetisch veld, wat leidt tot een netto magnetisatie. | | Barkhausen sprongen | Waarneembare, irreversibele sprongen in de magnetisatie die optreden tijdens domeinmuurverplaatsing, veroorzaakt door het loskomen van verankerde domeinmuren. | | Scalair product (inwendig product) | Het scalaire product van twee vectoren wordt weergegeven met een punt en is gelijk aan de som van de producten van hun corresponderende componenten. Voor vectoren A en B geldt: $A \cdot B = A_i B_i$, waarbij impliciet wordt gesommeerd over herhaalde indices. | | Vectorieel product (kruisproduct) | Het vectoriële product van twee vectoren kan worden uitgedrukt met behulp van het permutatiesymbool $\epsilon_{ijk}$. De i-de component van het vectoriële product van A en B is $ (A \times B)_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k $. | | Permutatiesymbool ($\epsilon_{ijk}$) | Dit symbool, ook wel het Levi-Civita symbool genoemd, is 1 voor een even permutatie van (1,2,3), -1 voor een oneven permutatie, en 0 als ten minste twee indices gelijk zijn. Het wordt gebruikt bij de definitie van het vectoriële product. | | Nabla-operator ($\nabla$) | Een differentiaaloperator die kan worden behandeld als een vector. De i-de component is gedefinieerd als $\nabla_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$. Het wordt gebruikt om de gradiënt, divergentie en rotor van velden te definiëren. | | Gradiënt ($\nabla f$ of grad f) | De gradiënt van een scalaire functie f is een vectorveld waarvan de i-de component gelijk is aan de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat: $(\nabla f)_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$. | | Divergentie ($\nabla \cdot A$ of div A) | De divergentie van een vectorveld A is een scalair veld dat wordt verkregen door het scalaire product van de nabla-operator met het vectorveld: $\nabla \cdot A = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$. | | Rotor ($\nabla \times A$ of rot A) | De rotor van een vectorveld A is een vectorveld dat wordt verkregen door het vectoriële product van de nabla-operator met het vectorveld: $(\nabla \times A)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial A_k}{\partial x_j}$. | | Laplaciaan ($\nabla^2$ of $\nabla \cdot \nabla$) | De Laplaciaan is een tweede-orde differentiaaloperator die wordt verkregen door het scalaire product van de nabla-operator met zichzelf: $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$. | | Tensor van rang 2 | Een uitbreiding van het vectorbegrip, gekenmerkt door negen componenten in cartesiaanse coördinaten, aangeduid als $T_{ij}$. Een voorbeeld is de diad, gevormd door het uitwendig product van twee vectoren. | | Diad (AB) | Een tensor die wordt geconstrueerd uit twee vectoren A en B, waarbij de componenten worden gegeven door $T_{ij} = A_i B_j$. Dit wordt ook wel een tensorproduct of uitwendig product genoemd. | | Getransponeerde tensor ($\tilde{T}$) | De getransponeerde van een tensor T wordt verkregen door de indices te verwisselen: $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$. | | Materiaal-afgeleide | Een specifieke vorm van de substantiele afgeleide die de verandering van een grootheid beschrijft vanuit het perspectief van een meebewegende waarnemer die de materie volgt. | | Materie-volume | Een volume dat meebeweegt met de materie, in tegenstelling tot een ruimte-volume dat stilstaat. | | Ruimte-volume | Een volume dat niet beweegt, waarover geïntegreerd wordt in een vast referentiekader. | | Transporttheorema voor integraalveranderingen | Een reeks wiskundige stellingen die de tijdsafgeleide van integraalveranderingen beschrijven, rekening houdend met de beweging en vervorming van het integratiegebied. | | Convectieve afgeleide | Een objectieve grootheid die de verandering van een vector beschrijft vanuit het perspectief van een meebewegende waarnemer die de rotatie van het medium volgt, en die ook de bijdrage van vervorming bevat. | | Flux-integraal | Een integraal die de netto stroom van een grootheid door een oppervlak beschrijft, waarbij rekening wordt gehouden met de beweging van het oppervlak. | | Wet van behoud van massa | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale massa in een gesloten systeem constant blijft, wat wiskundig wordt uitgedrukt met behulp van de substantiele afgeleide van de massadichtheid. | | Divergentie van een veld | Een maat voor de "uitstroom" van een vectorveld uit een infinitesimaal volume, wat aangeeft hoe snel het veld zich vanuit dat punt verspreidt. | | Rotatie van een veld | Een maat voor de "werveling" van een vectorveld, wat aangeeft hoe sterk het veld rond een punt roteert. | | Capaciteitscoëfficiënten | Coëfficiënten die de relatie beschrijven tussen ladingen op geleiders en de aangelegde spanningen, waarbij de invloed van oneindig ver weg gelegen ladingen wordt verwaarloosd. | | Oppervlaktelading | Elektrische lading die zich concentreert op het oppervlak van een geleider, in plaats van verdeeld te zijn over het gehele volume. | | Doorstromingsstroomdichtheid | De verandering van de elektrische verplaatsingsveldsterkte ($D$) in de tijd, die een rol speelt in de wet van Ampère en de continuïteit van het veld in diëlektrica waarborgt. | | Ladingsbehoud | Het principe dat de totale elektrische lading in een geïsoleerd systeem constant blijft; de netto verandering van lading in een volume is gelijk aan de netto stroom die door het oppervlak van dat volume stroomt. | | Capaciteitsnetwerk | Een model dat de elektrische eigenschappen van een systeem, zoals een condensator, voorstelt als een netwerk van onderling verbonden capaciteiten. | | Magnetisch veld | Een veld dat wordt gecreëerd door bewegende elektrische ladingen (stromen) of door intrinsieke magnetische eigenschappen van materialen. | | Magnetische inductie | De magnetische veldsterkte ($B$) die wordt opgewekt door stromen of veranderende elektrische velden. | | Wet van Ampère | Een wet die het verband legt tussen een magnetisch veld en de elektrische stroom die het veroorzaakt, inclusief de bijdrage van veranderende elektrische verplaatsingsvelden. | | Ladingsrelaxatietijd | De tijd die nodig is voor een overtollige lading in een geleidend medium om zich te verspreiden en te neutraliseren, bepaald door de verhouding tussen de permittiviteit ($\epsilon$) en de geleidbaarheid ($\sigma$) van het materiaal. | | Permittiviteit | Een maat voor hoe gemakkelijk een diëlektricum gepolariseerd kan worden in reactie op een aangelegd elektrisch veld. Het beschrijft de capaciteit van een materiaal om elektrische energie op te slaan. | | Polarisatie | Het proces waarbij de positieve en negatieve ladingen binnen een atoom, molecuul of materiaal zich scheiden onder invloed van een extern elektrisch veld, wat resulteert in een netto dipoolmoment. | | Ionische polarisatie | Polarisatie die optreedt als gevolg van de relatieve verschuiving van positieve en negatieve ionen binnen een kristalrooster of molecuul onder invloed van een elektrisch veld. | | Elektronische polarisatie | Polarisatie die ontstaat door de vervorming van de elektronenwolk rond een atoomkern onder invloed van een extern elektrisch veld, waardoor een geïnduceerd dipoolmoment ontstaat. | | Oriëntatiepolarisatie | Polarisatie die optreedt in materialen met permanente dipoolmomenten, waarbij deze dipolen zich proberen uit te lijnen met een aangelegd elektrisch veld, ondanks thermische beweging. | | Dipoolmoment | Een vectorgrootheid die de scheiding van positieve en negatieve ladingen in een systeem kwantificeert. Het is een maat voor de polariteit van een molecuul of atoom. | | Langevin-functie | Een wiskundige functie, aangeduid met $L(x)$, die de gemiddelde cosinus van de hoek tussen permanente dipoolmomenten en een extern elektrisch veld beschrijft, rekening houdend met thermische effecten. | | Clausius-Mosotti relatie | Een vergelijking die het verband legt tussen de macroscopische diëlektrische constante van een materiaal en de microscopische polariseerbaarheid van de individuele moleculen of atomen. | | Absorptielijn | Een specifieke frequentie (of golflengte) waarbij een materiaal energie absorbeert, vaak geassocieerd met resonantieverschijnselen in moleculen of atomen. | | Dopplerverbreding | Het verbreden van spectrale lijnen als gevolg van de Dopplerverschuiving van de frequentie van de geëmitteerde of geabsorbeerde straling door de willekeurige thermische beweging van de deeltjes. | | Diëlektrische constante | Een dimensieloze grootheid die aangeeft hoeveel een diëlektricum de capaciteit van een condensator verhoogt vergeleken met een vacuüm. Het is gerelateerd aan de permittiviteit van het materiaal. | | Potentiaal | Een scalaire grootheid die de energie per eenheid van lading op een bepaalde locatie in een elektrisch veld aangeeft. Het verschil in potentiaal tussen twee punten definieert het elektrische potentiaalverschil of de spanning. | | Randvoorwaarden | Condities die worden opgelegd aan de oplossing van een differentiaalvergelijking op de grenzen van het beschouwde domein. Deze voorwaarden zijn essentieel om een unieke oplossing te verkrijgen voor elektrostatische problemen. | | Homogeen veld | Een elektrisch veld waarbij de veldsterkte en richting constant zijn over het gehele beschouwde gebied. Dit betekent dat de kracht op een testlading overal gelijk is. | | Dipoolveld | Het elektrische veld dat wordt gegenereerd door een dipool, bestaande uit twee gelijke en tegengestelde ladingen gescheiden door een kleine afstand. De veldlijnen van een dipoolveld zijn karakteristiek gekromd. | | Evenredigheidsconstante | Een constante die de relatie tussen twee evenredige grootheden bepaalt. In de context van elektrostatica worden deze constanten vaak afgeleid uit de randvoorwaarden van het probleem. | | Stroomdichtheid | Een vectorgrootheid die de hoeveelheid lading weergeeft die per tijdseenheid door een eenheidsoppervlak stroomt. Het is een maat voor de intensiteit en richting van de elektrische stroom. | | Veldsterkte | De magnitude van het elektrische veld op een bepaald punt, wat de kracht per eenheid van lading aangeeft. Het wordt vaak aangeduid met de letter $E$. | | Ladingsdichtheid | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid van volume, oppervlakte of lengte. Oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$) is specifiek de lading per eenheid van oppervlakte. | | Scalaire magnetische potentiaal | Een scalaire functie die wordt gebruikt om het magnetische veld te beschrijven in gebieden waar geen stromen aanwezig zijn. Het is analoog aan de elektrische potentiaal. | | Geleidbaarheid | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal elektrische stroom geleidt. Een hoge geleidbaarheid betekent dat ladingen gemakkelijk kunnen bewegen. | | Equipotentiaallijnen | Lijnen in een elektrisch veld die alle punten met hetzelfde elektrische potentiaal met elkaar verbinden. Ze staan loodrecht op de elektrische veldlijnen. | | J-lijnen | Lijnen die de richting van de stroomdichtheid aangeven in een geleidend medium. Ze volgen de paden van de elektrische stroom. | | Magnetisch dipoolmoment | Het magnetisch dipoolmoment ($m$) is een maat voor de magnetische sterkte van een stroomverdeling of een deeltje. Het wordt gedefinieerd als de helft van het integraal van het kruisproduct van de positievector en de stroomdichtheid over het volume. | | Veld van een elementaire magnetische dipool | Het magnetische veld van een elementaire magnetische dipool wordt beschreven door een formule die afhangt van het magnetisch dipoolmoment en de positie. Dit veld is analoog aan het elektrische veld van een elementaire elektrische dipool. | | Veldlijnen | Veldlijnen zijn lijnen die de richting van een veld (elektrisch of magnetisch) aangeven. De dichtheid van de veldlijnen is evenredig met de sterkte van het veld. | | Equipotentialen | Equipotentialen zijn lijnen of oppervlakken waarop het potentiaal (elektrisch of magnetisch) constant is. Ze staan loodrecht op de veldlijnen. | | Vectorpotentiaal | De vectorpotentiaal ($A$) is een vectorveld dat gerelateerd is aan de magnetische inductie ($B$) door de relatie $B = \nabla \times A$. Het is nuttig voor het oplossen van magnetostatische problemen. | | Spinmoment | Het spinmoment is een intrinsiek magnetisch moment van deeltjes zoals elektronen, dat voortkomt uit hun spin. Dit draagt bij aan het totale magnetisch dipoolmoment van een atoom. | | Bohr-magneton | Het Bohr-magneton ($\mu_B$) is de fundamentele eenheid van magnetisch dipoolmoment voor elektronen, gerelateerd aan de constante van Planck en de massa en lading van het elektron. | | Macroscopische magnetisatie | De macroscopische magnetisatie ($M$) beschrijft het gemiddelde magnetisch dipoolmoment per volume-eenheid in een materiaal. Het is een macroscopische grootheid die het collectieve magnetische gedrag van het materiaal weergeeft. | | Magnetische polariseerbaarheid | Magnetische polariseerbaarheid is de mate waarin een materiaal magnetisch gepolariseerd kan worden door een extern magnetisch veld. Materialen met een hoge magnetische polariseerbaarheid worden magnetische materialen genoemd. | | Oppervlaktestroomdichtheid | De oppervlaktestroomdichtheid ($K_m$) treedt op aan grensvlakken waar de magnetisatie een discontinuïteit vertoont. Het beschrijft de stroom die langs het grensvlak vloeit. | | Stroomdichtheid ($J$) | De hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een eenheidsoppervlak stroomt. In het Ch-formalisme wordt de stroomdichtheid gerelateerd aan de beweging van materie. | | Magnetisatie ($M$) | Een vectorgrootheid die de gemiddelde magnetische dipoolmomenten per volume-eenheid in een materiaal beschrijft. Het is een relatieve grootheid die afhankelijk is van het referentiekader. | | Inertiaalstelsel | Een referentiekader waarin een object zonder externe krachten stil blijft staan of met constante snelheid beweegt. De wetten van Maxwell worden verondersteld geldig te zijn in elk inertiaalstelsel. | | Ether | Een hypothetisch absoluut medium dat de gehele ruimte zou vullen en waarin elektromagnetische golven zich voortplanten met de lichtsnelheid. Dit concept werd verworpen door de relativiteitstheorie. | | Galilei-transformatie | Een set transformatieformules die de coördinaten van ruimte en tijd tussen twee inertiaalstelsels met constante relatieve snelheid verbinden. Deze transformaties zijn niet compatibel met de relativistische aard van Maxwell's vergelijkingen. | | Lorentz-transformatie | Een set transformatieformules die de coördinaten van ruimte en tijd tussen twee inertiaalstelsels verbinden, rekening houdend met de lichtsnelheid. Deze transformaties zorgen ervoor dat Maxwell's vergelijkingen invariant blijven. | | Diëlektricum | Een niet-geleidend materiaal waarin vrije ladingen nauwelijks bewegen. Polarisatie kan in diëlektrica ontstaan door elektronische, ionaire of oriëntatie-effecten. | | Elektrische susceptibiliteit ($\chi_e$) | Een dimensieloze grootheid die de mate van polarisatie van een diëlektricum onder invloed van een extern elektrisch veld beschrijft. Voor isotrope lineaire materialen is dit een scalair, anders een tensor. | | Diëlektrische constante ($\epsilon$) | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal een elektrisch veld kan opslaan. Het is gerelateerd aan de elektrische susceptibiliteit en de permittiviteit van het vacuüm. | | Relatieve permittiviteit ($\epsilon_r$) | De verhouding tussen de diëlektrische constante van een materiaal en de permittiviteit van het vacuüm. Het geeft aan hoe de permittiviteit van het materiaal afwijkt van die van het vacuüm. | | Ferro-elektrisch materiaal | Een materiaal dat in de afwezigheid van een extern veld een macroscopische spontane polarisatie vertoont. Het verband tussen polarisatie en elektrisch veld is niet eenduidig en vertoont hysteresis. | | Diffusievergelijking | Een differentiaalvergelijking die de verspreiding van een grootheid, zoals het magnetisch veld, in een medium beschrijft, vaak met een tijdsafhankelijke term die diffusie vertegenwoordigt. | | Skin-effect (huid-effect) | Het verschijnsel waarbij de stroomdichtheid in een geleider bij hogere frequenties geconcentreerd wordt aan het oppervlak van de geleider, waardoor de effectieve doorsnede voor stroomafname afneemt. | | Indringdiepte (skin depth) | Een karakteristieke lengte die aangeeft hoe diep een wisselstroom of elektromagnetisch veld doordringt in een geleider. Het is de afstand waarover de amplitude van het veld tot $1/e$ (ongeveer 37%) van zijn waarde aan het oppervlak is afgenomen. | | Quasi-stationaire benadering (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafhankelijke veranderingen in elektromagnetische velden langzaam genoeg zijn om de verplaatsingsstroom te verwaarlozen ten opzichte van de geleidingsstroom. | | Symmetrievoorwaarde | Een voorwaarde die wordt opgelegd aan een oplossing van een differentiaalvergelijking, gebaseerd op de symmetrie van het probleem, om de oplossing te vereenvoudigen of te bepalen. | | Stapantwoording | De respons van een systeem op een plotselinge verandering in de input, zoals het aanzetten van een stroom op tijdstip nul. | | Sinusregime | Een toestand waarin de wisselende grootheden (zoals spanning en stroom) sinusvormig variëren in de tijd, wat vaak wordt geanalyseerd met behulp van complexe getallen. | | Impedantie | De totale weerstand tegen wisselstroom in een circuit, die zowel de weerstand als de reactantie (inductieve en capacitieve weerstand) omvat. | | Poynting vector | De Poynting vector, aangeduid met $S$, beschrijft de richting en grootte van de energiestroom per oppervlakte-eenheid in een elektromagnetisch veld. Het wordt gedefinieerd als het kruisproduct van de elektrische veldsterkte $E$ en de magnetische veldsterkte $H$: $S = E \times H$. | | Elektromagnetische energiedichtheid | De elektromagnetische energiedichtheid, aangeduid met $w_{EM}$, vertegenwoordigt de hoeveelheid elektromagnetische energie die per volume-eenheid is opgeslagen in een bepaald gebied. Het is de som van de energiedichtheid van het elektrische veld en het magnetische veld: $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2 + \frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0}$. | | Virtuele arbeid | Het principe van virtuele arbeid stelt dat de mechanische arbeid die verricht wordt door de krachten in een systeem bij een infinitesimale, hypothetische verplaatsing (virtuele verplaatsing) gelijk is aan de verandering in de opgeslagen energie van het systeem. Deze methode vereist minder nauwkeurige veldberekeningen dan directe krachtberekeningen. | | Polarisatie-energie | Polarisatie-energie is de energie die is opgeslagen in een diëlektricum als gevolg van de polarisatie van het materiaal onder invloed van een extern elektrisch veld. Voor een reversibel en lineair materiaal wordt dit deel van de energiedichtheid gegeven door $\frac{1}{2}P_{rev} \cdot E$. | | Magnetisatie-energie | Magnetisatie-energie is de energie die is opgeslagen in een magnetisch materiaal als gevolg van de magnetisatie ervan onder invloed van een extern magnetisch veld. Voor reversibele en lineaire materialen wordt dit deel van de energiedichtheid gegeven door $-\frac{1}{2}M_{rev} \cdot B$. | | EQS-systeem | Een EQS-systeem (Elektrostatisch, Quasi-Stationair) is een benadering waarbij de magnetische velden als verwaarloosbaar klein worden beschouwd ten opzichte van de elektrische velden. Dit is geldig wanneer de snelheden van de bewegende ladingen en de verandering van de velden in de tijd klein zijn. | | MQS-systeem | Een MQS-systeem (Magnetostatisch, Quasi-Stationair) is een benadering waarbij de elektrische velden als verwaarloosbaar klein worden beschouwd ten opzichte van de magnetische velden. Dit is geldig wanneer de snelheden van de bewegende ladingen en de verandering van de velden in de tijd klein zijn. | | Magnetische flux | Magnetische flux, aangeduid met $\Phi$, is een maat voor de hoeveelheid magnetisch veld die door een bepaald oppervlak stroomt. In MQS-systemen wordt de verandering in magnetische flux, $d\Phi_j$, gebruikt om de door externe bronnen geleverde energie te kwantificeren. | | Stationaire macroscopische ladings- of stroomverdeling | Een situatie waarbij de verdeling van elektrische ladingen of stromen in de ruimte constant is in de tijd en op een schaal die groter is dan microscopische effecten. | | Magnetische ladingsdichtheid ($\rho^*_m$) | Een concept dat wordt gebruikt in het Chui-model om magnetisatie te vervangen door een effectieve ladingsdichtheid, analoog aan elektrische ladingsdichtheid, om magnetische velden te berekenen. | | Magnetische stroomdichtheid ($\pi^*_m$) | Een concept dat wordt gebruikt in het Chui-model, gerelateerd aan de magnetische ladingsdichtheid, om magnetische velden te berekenen op een manier die analoog is aan elektrische velden. | | Integraalwet van Gauss | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die het verband legt tussen de elektrische flux door een gesloten oppervlak en de netto elektrische lading binnen dat oppervlak. | | Integraalwet van Ampère | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die het verband legt tussen de magnetische veldsterkte rond een gesloten lus en de elektrische stroom die door die lus gaat. | | Ladingsvlak | Een oppervlak waarop elektrische lading is verdeeld, vaak met een uniforme oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$). | | Lijnlading | Een oneindige lijn waarop elektrische lading is verdeeld, gekenmerkt door een lineaire ladingsdichtheid ($q$). | | Puntlading | Een infinitesimaal kleine lading die zich op een enkel punt in de ruimte bevindt, gekenmerkt door de lading ($q$). | | Stroomvlak | Een oneindig vlak waarin een uniforme elektrische stroomdichtheid ($K$) aanwezig is, die een magnetisch veld opwekt. | | Lijnstroom | Een oneindige lijn die een elektrische stroom ($I$) geleidt, wat resulteert in een cirkelvormig magnetisch veld rond de lijn. | | Equipotentiale oppervlakken | Oppervlakken waarop het elektrische potentiaal overal gelijk is. Veldlijnen staan loodrecht op equipotentiale oppervlakken. | | Stationair veld | Een veld dat niet verandert in de tijd. Dit omvat zowel elektrostatische als magnetostatische velden, evenals stationaire stroomvelden. | | Lorentz-ladingsdichtheid ($\rho_L$) | Een macroscopische bronterm die de effectieve ladingsdichtheid weergeeft, rekening houdend met zowel vrije ladingen als bijdragen van polarisatie. | | Stromingsdichtheid ($\mathbf{J}$) | De netto stroom van lading per eenheid van oppervlakte per tijdseenheid. In stationaire stroomproblemen is deze dichtheid constant in de tijd. | | Minkowski-formulering | Een formulering van elektromagnetische velden die de velden $\mathbf{D}$ en $\mathbf{H}$ introduceert naast $\mathbf{E}$ en $\mathbf{B}$, om materialen zoals diëlektrica en magnetische materialen te beschrijven. | | Elektrostatisch probleem | Een stationair veldprobleem waarbij de stroomdichtheid $\mathbf{J}$ overal nul is. Hierbij is de focus op het elektrisch veld dat wordt opgewekt door stilstaande ladingen. | | Stationair stroomveldprobleem | Een stationair veldprobleem waarbij de stroomdichtheid $\mathbf{J}$ niet overal nul is. Dit probleem omvat de bepaling van de stroomverdeling. | | Magnetostatisch probleem | Een stationair veldprobleem dat volgt op een stationair stroomveldprobleem, waarbij het magnetisch veld wordt bepaald door de reeds bekende stroomdichtheid. | | Elektrisch veld ($\mathbf{E}$) | Een vectorveld dat de kracht beschrijft die wordt uitgeoefend op een positieve testlading. In elektrostatica is het een conservatief veld. | | Scalaire potentiaal ($V$) | Een scalaire functie waarvan het negatieve gradiënt het elektrisch veld oplevert ($\mathbf{E} = -\nabla V$). Dit is alleen geldig in gebieden waar $\nabla \times \mathbf{E} = 0$. | | Potentiële energie | De energie die een lading bezit vanwege zijn positie in een elektrisch veld. Deze is gelijk aan het product van de lading en de scalaire potentiaal ($qV$). | | Diëlektrisch materiaal | Een isolerend materiaal dat gepolariseerd kan worden door een extern elektrisch veld. De eigenschappen worden beschreven door de permittiviteit $\epsilon$. | | Magnetostatica | Het vakgebied dat zich bezighoudt met het berekenen van het magnetisch veld en de magnetische inductie, opgewekt door gegeven stationaire stromen en eventueel permanente magneten. | | Magnetische inductie ($B$) | Een vectorveld dat de sterkte en richting van het magnetische veld beschrijft, opgewekt door stromen en magneten. Het voldoet aan de vergelijking $\nabla \cdot B = 0$. | | Magnetisch veld ($H$) | Een vectorveld dat de magnetische eigenschappen van een medium beschrijft, gerelateerd aan de magnetische inductie via een constitutieve wet, zoals $B = \mu H$ voor lineaire materialen. | | Vectorpotentiaal ($A$) | Een vectorveld waarvan de krul gelijk is aan de magnetische inductie ($B = \nabla \times A$). Het wordt gebruikt om magnetostatische problemen op te lossen, vaak met de aanvullende Coulomb-ijkvoorwaarde $\nabla \cdot A = 0$. | | Constitutieve wet | Een relatie die het magnetisch veld ($H$) koppelt aan de magnetische inductie ($B$), zoals $B = \mu H$ voor lineaire materialen, waarbij $\mu$ de permeabiliteit van het materiaal is. | | Magnetische flux ($\phi$) | De totale hoeveelheid magnetische inductie die door een oppervlak stroomt. Het kan worden berekend met behulp van de vectorpotentiaal via $\phi = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$. | | Perfecte geleider | Een ideaal materiaal met oneindige geleidbaarheid waarin het magnetisch veld binnenin nul is en stromen zich alleen op het oppervlak bevinden. In de magnetostatica gedraagt een supergeleider zich als een perfecte geleider. | | Reluctiviteit ($\nu$) | De inverse van de permeabiliteit ($\nu = 1/\mu$), gebruikt in de constitutieve relatie $H = \nu B$. | | Laplace-vergelijking | Een partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde die voorkomt in veel fysische problemen, waaronder magnetostatica in uniforme lineaire isotrope media, zoals $\nabla^2 A_z = -\mu J_z$ of $\nabla^2 U = 0$. | | Fluxfunctie | De component van de vectorpotentiaal ($A_z$) in 2D-problemen met translatiesymmetrie, die de magnetische flux door een oppervlak vertegenwoordigt. | | Zacht ferromagnetisch materiaal | Een materiaal met een zeer hoge permeabiliteit ($\mu \gg 1$), waardoor het magnetisch veld ($H$) erin verwaarloosbaar is. | | Stationair stro om v eldprobleem | Een probleem waarbij een elektrische stroom door geleidende media vloeit tussen geleiders (elektroden) met een potentiaalverschil. De geleidbaarheid van de elektroden is doorgaans veel groter dan die van de overige geleiders, waardoor ze als perfecte geleiders (σ = ∞) kunnen worden beschouwd. | | Wet van behoud van lading | Een fundamentele natuurwet die stelt dat de totale lading in een geïsoleerd systeem constant blijft. In de context van stationaire stromen wordt dit uitgedrukt als ∇ · J = 0, wat betekent dat er geen netto lading ophoping of afname is in een bepaald volume. | | Constitutieve vergelijking voor een geleider | Een relatie die het verband beschrijft tussen de stroomdichtheid (J) en het elektrische veld (E) in een geleidend materiaal, gegeven door J = σE, waarbij σ de geleidbaarheid van het materiaal is. | | Éénduidigheidsstelling | Een wiskundig principe dat garandeert dat een fysisch probleem onder specifieke randvoorwaarden een unieke oplossing heeft. Deze stelling is ook van toepassing op stationaire stroomdichtheidsproblemen. | | Neumann-conditie | Een type randvoorwaarde dat wordt toegepast op de grenzen van een domein in een differentiaalvergelijking. Voor een vrij oppervlak, een scheidingsvlak tussen een geleider en een niet-geleidend medium, is dit de conditie ∂V/∂n = 0, wat aangeeft dat de normale afgeleide van de potentiaal nul is. | | Conductantiecoëfficiënten | Coëfficiënten die, in analogie met capaciteitscoëfficiënten in de elektrostatica, de relatie beschrijven tussen de stromen (Ii) en de potentiaalverschillen (Vi - Vj) tussen geleiders in een stationair stroomveldprobleem, uitgedrukt als Ii = Σj≠i Gij(Vi - Vj) + Gi∞Vi. | | Weerstand | Een passief elektronisch component dat de stroom beperkt. In de context van stationaire stroomvelden wordt een klassieke weerstand gemodelleerd als een cilindervormig medium met geleidbaarheid σ en perfect geleidende elektroden op de eindvlakken. | | Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektriciteit die het verband beschrijft tussen spanning (V), stroom (I) en weerstand (R) in een geleider, geformuleerd als V = IR. | | Eindige elementen methode (FEM) | Een krachtige numerieke methode voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen. Het verdeelt een complex domein in kleinere, eenvoudigere "eindige elementen" (zoals driehoeken) en benadert de oplossing binnen elk element. | | Zwakke formulering | Een alternatieve formulering van een differentiaalvergelijking die de orde van de afgeleiden vermindert, waardoor de wiskundige analyse en numerieke oplossing vereenvoudigd worden. Dit is essentieel voor de eindige elementen methode. | | Variationeel probleem | Een formulering van een fysisch probleem waarbij men een functionaal zoekt die stationair is (of een minimum bereikt). Dit is een alternatieve methode om de oplossing van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking te vinden. | | Doorstroomdichtheid | De dichtheid van de elektrische verplaatsingsstroom, aangeduid met $\frac{\partial D}{\partial t}$, die optreedt in een diëlektricum wanneer het elektrische veld verandert. Deze term is cruciaal in de Maxwell-vergelijkingen en speelt een rol bij het begrijpen van elektromagnetische golfvoortplanting. | | Oppervlaktestroom | Een stroom die zich langs een oppervlak voortplant, vaak aangeduid met $K$. Dit kan bijvoorbeeld een stroom zijn die wordt geïnduceerd op het oppervlak van een geleider als gevolg van veranderende magnetische velden. | | Oppervlakte-ladingsdichtheid | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid van oppervlakte die zich op een oppervlak bevindt, aangeduid met $\pi$. Deze lading kan ontstaan door het scheiden van ladingen aan grensvlakken tussen verschillende materialen of door inductie. | | Conductiestroom | De stroom die wordt veroorzaakt door de beweging van vrije ladingsdragers in een geleidend materiaal onder invloed van een elektrisch veld, beschreven door de wet van Ohm ($J = \sigma E$). | | Convectiestroom | Een stroom die wordt veroorzaakt door de beweging van geladen deeltjes als een bulkbeweging, vaak geassocieerd met bewegende media. De dichtheid van deze stroom is $\rho v$. | | Inductie-effecten | Fenomenen waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrisch veld induceert, wat leidt tot stromen en spanningen. Dit is de basis van zelfinductie en wederzijdse inductie. | | Polarisatie (P) | De totale dipoolmoment per eenheid van volume in een diëlektricum. Dit is een constitutieve eigenschap die het verband beschrijft tussen het aangelegde elektrische veld en de reactie van het materiaal. | | Para-elektrisch | Een materiaal waarbij de macroscopische polarisatie nul is in afwezigheid van een extern elektrisch veld. Dit kan komen doordat de bouwstenen zelf geen dipoolmoment hebben of doordat bestaande dipoolmomenten willekeurig georiënteerd zijn. | | Elektronishe polarisatie | Polarisatie die ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de atoomkern onder invloed van een extern elektrisch veld. Dit induceert een dipoolmoment in het atoom. | | Ionair polarisatie | Polarisatie die optreedt in materialen met (gedeeltelijk) ionaire bindingen, waarbij positieve en negatieve ionen in tegengestelde zin worden verplaatst door het lokale elektrische veld, wat leidt tot een netto dipoolmoment. | | Oriëntatie polarisatie | Polarisatie die ontstaat in materialen die moleculen met een permanent dipoolmoment bevatten. Zonder extern veld zijn deze dipolen willekeurig georiënteerd, maar onder invloed van een veld richten ze zich deels naar het veld. | | Lokaal veld (Eloc) | Het elektrische veld dat een specifiek atoom of molecuul in een diëlektricum ondervindt. Dit veld is niet gelijk aan het macroscopische veld E, maar houdt rekening met de invloed van naburige ladingen en de polarisatie van het materiaal zelf. | | Polarisatievermogen ($\alpha$) | De evenredigheidsconstante die het verband beschrijft tussen het geïnduceerde dipoolmoment van een atoom en het lokale elektrische veld, uitgedrukt als $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$. | | Lorentz-veld | De term in de berekening van het lokale veld die het elektrische veld vertegenwoordigt dat wordt gegenereerd door de gemiddelde macroscopische polarisatie binnen een denkbeeldige sfeer rond het beschouwde atoom. Dit veld is gelijk aan $-\frac{P}{3\epsilon_0}$. | | Kristalveld ($E_{kristal}$) | Het elektrische veld dat wordt opgewekt door de naburige atomen binnen de microscopische omgeving van het beschouwde atoom. Dit veld is afhankelijk van de kristalstructuur en kan nul zijn voor kubische roosters of willekeurig verdeelde atomen. | | Susceptibiliteit ($\chi_e$) | Een dimensieloze grootheid die de mate aangeeft waarin een materiaal gepolariseerd kan worden door een extern elektrisch veld. Het relateert de macroscopische polarisatie P aan het macroscopische elektrische veld E via $P = \chi_e \epsilon_0 E$. | | Clausius-Mosotti betrekking | Een vergelijking die het verband legt tussen de elektrische susceptibiliteit ($\chi_e$) van een materiaal en de polariseerbaarheid ($\alpha$) van de individuele atomen of moleculen, rekening houdend met de atoomdichtheid (N). | | Fonon | Een kwantum van een rooster-trilling in een kristal. Fononen kunnen worden ingedeeld in akoestische en optische fononen, afhankelijk van hun dispersiecurve en de fase van de trillende atomen. | | Bohr magneton | Een fundamentele natuurkundige constante die de grootte van het magnetisch dipoolmoment van een elektron als gevolg van zijn spin of baanbeweging beschrijft. Het wordt aangeduid met $\mu_B$ en heeft een waarde van ongeveer $9.274 \times 10^{-24} \text{ J/T}$. | | Curie-temperatuur ($T_C$) | De kritische temperatuur boven welke een ferromagnetisch materiaal zijn magnetische eigenschappen verliest en zich paramagnetisch gedraagt. Beneden deze temperatuur treedt een faseovergang op naar een meer geordende magnetische staat. | | Diamagnetisme | Een magnetisch verschijnsel waarbij een materiaal een zwak magnetisch veld opwekt dat tegengesteld is aan een aangelegd extern magnetisch veld. Dit effect treedt op in alle materialen, maar is vaak zwakker dan andere magnetische effecten. | | Elektrostrictie | De vervorming van een materiaal onder invloed van een aangelegd elektrisch veld, waarbij de vervorming kwadratisch afhankelijk is van de veldsterkte. Dit fenomeen treedt op in alle materialen. | | Ferromagnetisme | Een type magnetisme waarbij de magnetische dipoolmomenten van de atomen in een materiaal een sterke neiging hebben om parallel aan elkaar te oriënteren, zelfs in afwezigheid van een extern magnetisch veld, beneden een bepaalde temperatuur (de Curie-temperatuur). | | Kristalveld | Een benadering die de interactie tussen elektronen in een vaste stof beschrijft, waarbij de invloed van de omringende atomen en hun ladingen wordt gemodelleerd als een potentiaal. Dit kan leiden tot het onderdrukken van het baanmomen t van elektronen. | | Magnetisatie | De netto magnetische dipoolmoment per volume-eenheid van een materiaal. Het is een maat voor de mate waarin een materiaal magnetisch is. | | Magnetische susceptibiliteit ($\chi_m$) | Een dimensieloze grootheid die aangeeft hoe sterk een materiaal magnetiseert in reactie op een aangelegd magnetisch veld. Een positieve susceptibiliteit duidt op paramagnetisme of ferromagnetisme, terwijl een negatieve susceptibiliteit duidt op diamagnetisme. | | Néel-temperatuur ($T_N$) | De kritische temperatuur boven welke een antiferromagnetisch materiaal zijn magnetische ordening verliest. Beneden deze temperatuur stellen de magnetische momenten zich antiparallel aan elkaar op. | | Paramagnetisme | Een type magnetisme waarbij de magnetische dipoolmomenten van de atomen in een materiaal een neiging hebben om zich parallel aan een aangelegd extern magnetisch veld te oriënteren. Bij afwezigheid van een veld zijn deze momenten willekeurig georiënteerd door thermische agitatie. | | Scheiding der variabelen methode | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door de vergelijking te herschrijven als een product van functies, elk afhankelijk van slechts één variabele. Dit reduceert de partiële differentiaalvergelijking tot een reeks gewone differentiaalvergelijkingen. | | Cartesiaanse coördinaten | Een coördinatensysteem dat wordt gedefinieerd door drie loodrechte assen (x, y, z), waarbij de positie van een punt wordt bepaald door de afstanden langs deze assen. | | Gesc heiden oplossing | Een oplossing van een partiële differentiaalvergelijking die kan worden uitgedrukt als een product van functies, waarbij elke functie afhangt van slechts één van de onafhankelijke variabelen. | | Constante van scheiding | De constante waaraan elke term in de gescheiden vergelijkingen gelijk wordt gesteld bij het toepassen van de scheiding der variabelen methode. Deze constanten bepalen de aard van de oplossingen (lineair, trigonometrisch, hyperbolisch). | | Lineaire combinatie | Een som van functies, waarbij elke functie wordt vermenigvuldigd met een constante coëfficiënt. Dit wordt gebruikt om algemene oplossingen te vormen uit basisoplossingen. | | Superpositie | Het principe dat, vanwege de lineariteit van de Laplace-vergelijking, de som van twee of meer oplossingen ook een oplossing is. Dit wordt gebruikt om te voldoen aan de randvoorwaarden. | | Homogene randvoorwaarden | Randvoorwaarden waarbij de waarde van de functie of zijn afgeleide nul is op de grens. | | Niet-homogene randvoorwaarden | Randvoorwaarden waarbij de waarde van de functie of zijn afgeleide niet nul is op de grens. | | Fourier-reeks | Een representatie van een periodieke functie als een oneindige som van sinussen en cosinussen. Dit wordt gebruikt om de niet-homogene randvoorwaarden te ontbinden in componenten die overeenkomen met de gescheiden oplossingen. | | Orthogonaliteit | Een eigenschap van functies waarbij het inproduct van twee verschillende functies nul is. Dit wordt gebruikt om de coëfficiënten van een Fourier-reeks te bepalen. | | Magnetische kring | Een gesloten pad dat de magnetische flux volgt, vergelijkbaar met een elektrische kring voor stroom. | | Inductiecoëfficiënt | Een maat voor de mate waarin een veranderende stroom in een spoel een spanning in zichzelf of in een nabijgelegen spoel induceert. | | Permeabiliteit | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe gemakkelijk een magnetisch veld door het materiaal kan worden opgewekt. Een oneindige permeabiliteit (µ = ∞) duidt op een perfect magnetisch geleidend materiaal. | | Magnetisatie (M) | Een vectorgrootheid die de magnetische dipoolmomentdichtheid van een materiaal beschrijft. | | Magnetische flux (Φ) | De totale hoeveelheid magnetisch veld die door een bepaald oppervlak gaat. | | Reluctantie (R) | De magnetische weerstand van een magnetische kring, analoog aan elektrische weerstand. | | Zelfinductie (L) | Het fenomeen waarbij een verandering in de stroom door een spoel een tegengestelde spanning in dezelfde spoel induceert. | | Quasi-stationair veldprobleem | Een probleem waarbij de tijdsafhankelijkheid van de elektromagnetische velden langzaam genoeg is om de velden op elk moment als stationair te kunnen beschouwen. | | Ladingsdichtheid (ρ) | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid volume. | | Oppervlakte-ladingsdichtheid (π) | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid oppervlakte. | | Stromingsdichtheid (J) | De hoeveelheid elektrische stroom die per eenheid oppervlakte door een geleider vloeit. | | Potentiaalverschil (V) | Het verschil in elektrisch potentieel tussen twee punten, wat de drijvende kracht is voor elektrische stroom. | | Elektromagnetische krachttijdichtheid | De kracht per volume-eenheid die wordt uitgeoefend door elektromagnetische velden op materie. Dit omvat bijdragen van zowel vrije ladingen als dipolen in het medium. | | Kracht op de bouwstenen van een medium in een extern veld | De kracht die wordt uitgeoefend op de microscopische componenten (ladingen, dipolen) van een medium door externe elektromagnetische velden, die langzaam variëren over het volume van de bouwsteen. | | Kracht op een elektrische dipool | De kracht die wordt uitgeoefend op een elektrische dipool in een niet-uniform elektrisch veld, wat resulteert in een beweging naar gebieden met een hogere veldsterkte. De formule is $f_p = p \cdot \nabla E(r)$. | | Kracht op een magnetische dipool | De kracht die wordt uitgeoefend op een magnetische dipool in een niet-uniform magnetisch veld. De formule is $f_m = \nabla B \cdot m$. | | Macroscopische krachttijdichtheid in een medium | De gemiddelde kracht per volume-eenheid in een medium, verkregen door de microscopische krachten te middelen over de bouwstenen. Dit omvat bijdragen van zowel externe velden als interne polarisatie en magnetisatie. | | Lorentz-krachtdichtheid | De macroscopische krachtdichtheid die specifiek voortkomt uit de interactie van vrije ladingen en stromen met de macroscopische elektromagnetische velden. Het wordt gegeven door $f_L = \rho_L E + J_L \times B$. | | Spanningen van Maxwell | Een tensor die de krachten beschrijft die door elektromagnetische velden op een medium worden uitgeoefend. Het integreert de oppervlaktekrachten om de totale kracht op een lichaam te bepalen. De tensor is gedefinieerd als $T_M = \epsilon_0 E E + \frac{1}{\mu_0} B B - \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0})I$. | | Elektromagnetisch koppel | Het draaimoment dat wordt uitgeoefend op een medium door elektromagnetische velden. Dit koppel probeert de elektrische en magnetische dipolen van het medium uit te lijnen met de externe velden. De dichtheid van dit koppel is $c_E = P \times E + M \times B$. | | Polarisatie-energie dichtheid | De energie die is opgeslagen in een diëlektrisch medium als gevolg van de polarisatie door een elektrisch veld. Voor een lineair materiaal is dit $w_P = \frac{1}{2} P \cdot E$. | | Magnetisatie-energie dichtheid | De energie die is opgeslagen in een magnetisch materiaal als gevolg van de magnetisatie door een magnetisch veld. Voor een lineair materiaal is dit $w_M = -\frac{1}{2} M \cdot B$. | | Elektromagnetische energie dichtheid | De totale energie per volume-eenheid die is opgeslagen in de elektrische en magnetische velden. Dit is $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$. | | Elektrisch veld ($e$ of $E$) | Een vectorveld dat de elektrische kracht beschrijft die op een geladen deeltje wordt uitgeoefend. Microscopische velden worden aangeduid met kleine letters, macroscopische velden met hoofdletters. | | Magnetische inductie ($b$ of $B$) | Een vectorveld dat de magnetische kracht beschrijft die op een bewegend geladen deeltje wordt uitgeoefend. Microscopische velden worden aangeduid met kleine letters, macroscopische velden met hoofdletters. | | Krachtwet van Lorentz | De fundamentele wet die de kracht op een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld beschrijft, gegeven door $f_k = q_k(\mathbf{e}(\mathbf{r}_k, t) + \mathbf{v}_k \times \mathbf{b}(\mathbf{r}_k, t))$. | | Microscopische velden | De velden die de elektromagnetische interactie op deeltjesniveau beschrijven, direct afgeleid van de krachtwet van Lorentz. | | Macroscopische velden | De gemiddelde waarden van de microscopische velden over een klein volume, die de velden beschrijven op een schaal die relevant is voor praktische toepassingen. | | Permittiviteit van de vrije ruimte ($\epsilon_0$) | Een fundamentele constante die de mate beschrijft waarin een elektrisch veld kan worden opgewekt in een vacuüm. | | Permeabiliteit van de vrije ruimte ($\mu_0$) | Een fundamentele constante die de mate beschrijft waarin een magnetisch veld kan worden opgewekt in een vacuüm. | | Ladingsdichtheid ($\eta$ of $\rho_L$) | De hoeveelheid elektrische lading per volume-eenheid. Microscopische ladingsdichtheid wordt aangeduid met $\eta$, macroscopische met $\rho_L$. | | Stromdichtheid ($j$ of $J_L$) | De hoeveelheid elektrische stroom per oppervlakte-eenheid. Microscopische stromdichtheid wordt aangeduid met $j$, macroscopische met $J_L$. | | Elektrische wet van Gauss | Een van de Maxwell-vergelijkingen die stelt dat de divergentie van het elektrische veld evenredig is met de ladingsdichtheid. In differentiële vorm: $\nabla \cdot \epsilon_0 \mathbf{E} = \rho_L$. | | Laplace's vergelijking | Een tweede-orde lineaire partiële differentiaalvergelijking van de vorm $\nabla^2 V = 0$, die een breed scala aan fysische fenomenen beschrijft, zoals stationaire temperatuurverdelingen, elektrostatische potentialen en de magnetische potentiaal in gebieden zonder stromen. | | Scheiding der variabelen | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door de oplossing te schrijven als een product van functies, waarbij elke functie slechts afhangt van één van de onafhankelijke variabelen. Dit reduceert de partiële differentiaalvergelijking tot een reeks gewone differentiaalvergelijkingen. | | Scalaire potentiaal | Een scalaire functie $V$ die wordt gebruikt om het elektrische veld te beschrijven via de relatie $E = -\nabla V$. Dit is mogelijk omdat het elektrische veld in de elektrostatica irrationeel is ($\nabla \times E = 0$). | | Homogene differentiaalvergelijking | Een differentiaalvergelijking waarbij de termen die de onafhankelijke variabelen bevatten, lineair zijn en de vergelijking gelijk is aan nul. Laplace's vergelijking $\nabla^2 V = 0$ is een voorbeeld van een homogene partiële differentiaalvergelijking. | | Eigenfuncties en eigenwaarden | In de context van de scheiding der variabelen, wanneer de gewone differentiaalvergelijkingen worden opgelost, ontstaan er oplossingen die afhangen van de randvoorwaarden. Deze oplossingen worden vaak eigenfuncties genoemd, en de bijbehorende constanten zijn de eigenwaarden. | | Superpositiebeginsel | Een principe dat stelt dat voor lineaire vergelijkingen, de oplossing van een probleem met meerdere bronnen de som is van de oplossingen van de afzonderlijke problemen met elk van de bronnen afzonderlijk. Dit principe is cruciaal voor het oplossen van Laplace's vergelijking met complexe bronverdelingen. | | Gr eense functie | Een fundamentele oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking, die wordt gebruikt om de oplossing voor een algemene bronverdeling te construeren via een integraal. Voor Laplace's vergelijking in 3D is de Gr eense functie $G_3(r) = \frac{1}{4\pi r}$. | | Gauss-stelling | Een stelling uit de vectorcalculus die een relatie legt tussen de flux van een vectorveld door een gesloten oppervlak en de divergentie van het veld binnen dat oppervlak. Deze stelling wordt gebruikt om de integraalvorm van de wet van Gauss af te leiden. | | Stokes-stelling | Een stelling uit de vectorcalculus die een relatie legt tussen de lijnintegraal van een vectorveld langs een gesloten kromme en de flux van de rotor van het veld door een oppervlak dat door die kromme wordt begrensd. Deze stelling wordt gebruikt om de integraalvorm van de wet van Faraday en Ampère af te leiden. |