Student - Hoorcollege 10 - Toetsen voor het verband tussen 2 variabelen.pptx

# De Pearson correlatietoets Dit deel van de cursus behandelt de Pearson correlatietoets, een statistische methode om het lineaire verband tussen twee intervalvariabelen te onderzoeken. ### 1.1 Inleiding tot de Pearson correlatietoets De Pearson correlatietoets wordt gebruikt om de sterkte en richting van een lineair verband tussen twee variabelen te kwantificeren, die beide van minimaal intervalniveau moeten zijn. De correlatiecoëfficiënt, aangeduid met $r$, varieert tussen -1 en +1. Een waarde van +1 duidt op een perfect positief lineair verband, -1 op een perfect negatief lineair verband, en 0 op afwezigheid van een lineair verband. Naast het meten van de sterkte en richting van het verband, dient de Pearson correlatiecoëfficiënt ook als maat voor de effectgrootte. In deze context wordt echter ook het toetsen van de significantie van deze correlatie behandeld. ### 1.2 Stappenplan voor het toetsen met de Pearson correlatietoets Het toetsen van een verband met de Pearson correlatietoets volgt een gestandaardiseerd stappenplan: #### 1.2.1 Toetsingssituatie Dit omvat het identificeren van de gegevens in de onderzoeksvraag, het definiëren van de concrete toetsingssituatie en het bepalen van het type onderzoeksvraag waarvoor de toets geschikt is. De Pearson correlatietoets is specifiek bedoeld voor het onderzoeken van het verband tussen twee interval- of ratio-variabelen. #### 1.2.2 Voorwaarden Voor het correct toepassen van de Pearson correlatietoets moeten de volgende statistische voorwaarden vervuld zijn: * De te onderzoeken variabelen moeten van interval- of ratio meetniveau zijn. * De scores op beide variabelen moeten (ongeveer) normaal verdeeld zijn in de populatie. * Er mag geen sprake zijn van extreme uitschieters (outliers). #### 1.2.3 Hypothesen Bij het opstellen van de hypothesen voor de Pearson correlatietoets, wordt meestal onderscheid gemaakt tussen een eenzijdige en een tweezijdige toets. * **Tweezijdige toets:** Dit wordt gebruikt wanneer men alleen wil weten of er een significant verband is, zonder specifieke richting aan te nemen. * Nulhypothese ($H_0$): Er is geen lineair verband tussen de twee variabelen in de populatie ($\rho = 0$). * Alternatieve hypothese ($H_1$): Er is wel een lineair verband tussen de twee variabelen in de populatie ($\rho \neq 0$). * **Eenzijdige toets:** Dit wordt gebruikt wanneer men een specifieke richting van het verband verwacht (positief of negatief). * Nulhypothese ($H_0$): Het verband is niet sterker/zwakker dan nul in de verwachte richting ($\rho \le 0$ of $\rho \ge 0$). * Alternatieve hypothese ($H_1$): Het verband is wel sterker/zwakker dan nul in de verwachte richting ($\rho > 0$ of $\rho < 0$). De $\rho$ (rho) vertegenwoordigt de populatiecorrelatiecoëfficiënt. #### 1.2.4 Toetsingsgrootheid De toetsingsgrootheid voor de Pearson correlatietoets is gebaseerd op de berekende correlatiecoëfficiënt ($r$) in de steekproef. Deze toetsingsgrootheid volgt een t-verdeling met vrijheidsgraden ($df$) gelijk aan $N-2$, waarbij $N$ het aantal paren observaties is. De formule om de t-waarde te berekenen is: $$t = r \sqrt{\frac{N-2}{1-r^2}}$$ #### 1.2.5 Beslissingsregel De beslissing om de nulhypothese te verwerpen of niet, kan genomen worden op basis van twee methoden: * **Overschrijdingskansen (p-waarde):** Als de berekende p-waarde kleiner is dan het vooraf bepaalde significantieniveau ($\alpha$), wordt de nulhypothese verworpen. * **Kritieke waarden:** De berekende waarde van de toetsingsgrootheid wordt vergeleken met de kritieke waarde(n) uit de t-verdeling voor het gekozen significantieniveau en de vrijheidsgraden. Als de berekende waarde buiten het acceptatiegebied valt (d.w.z. kleiner is dan de negatieve kritieke waarde of groter dan de positieve kritieke waarde bij een tweezijdige toets), wordt de nulhypothese verworpen. #### 1.2.6 Effectgrootte De Pearson correlatiecoëfficiënt ($r$) zelf dient als de maat voor de effectgrootte bij deze toets. Deze geeft de sterkte en richting van het lineaire verband aan. > **Tip:** Hoewel de correlatiecoëfficiënt een effectgrootte aangeeft, is het belangrijk om ook de significantie te rapporteren om te bepalen of het gevonden effect waarschijnlijk op toeval berust. #### 1.2.7 Rapporteren Bij het rapporteren van de resultaten van een Pearson correlatietoets, worden de volgende elementen opgenomen: * De naam van de toets (Pearson correlatie). * De berekende correlatiecoëfficiënt ($r$), inclusief de richting. * De p-waarde (overschrijdingskans). * Het aantal deelnemers ($N$). * Indien van toepassing, de vrijheidsgraden ($df$). **Voorbeeld van rapportage:** "Er werd een Pearson correlatie berekend om het verband tussen X en Y na te gaan. De resultaten toonden een matig positief en significant verband aan ($r = .44, p < .001, N = 110$)." ### 1.3 Determinatiecoëfficiënt ($R^2$) De determinatiecoëfficiënt ($R^2$), die berekend wordt door de Pearson correlatiecoëfficiënt te kwadrateren ($R^2 = r^2$), geeft aan welk percentage van de variantie in de ene variabele verklaard wordt door de variantie in de andere variabele. > **Belangrijk:** De determinatiecoëfficiënt suggereert geen oorzakelijk verband. Causaliteit kan immers in twee richtingen lopen, of er kan een derde variabele zijn die het verband tussen X en Y verklaart. ### 1.4 Partiële correlatie De partiële correlatie onderzoekt het verband tussen twee variabelen nadat er gecontroleerd is voor het effect van één of meerdere andere variabelen. Dit helpt om de unieke bijdrage van een specifieke variabele aan het verband te isoleren. **Voorbeeld:** Onderzoeken of subjectieve affectie tegenover statistiek de examenscores beïnvloedt, *nadat er gecorrigeerd is voor intelligentie (IQ)*. De partiële correlatie zal hierdoor waarschijnlijk lager uitvallen dan de bivariate correlatie. ### 1.5 Voorbeeld van de Pearson correlatietoets **Onderzoeksvraag:** Bestaat er een verband tussen studenten die plezier beleven aan statistiek en hun eindscore? * **Variabelen:** Plezier in statistiek (interval), Eindscore statistiek (interval). * **Resultaten:** Een correlatie van $r = .44$ werd gevonden, wat duidt op een matig positief verband. Deze correlatie was significant ($p < .001, N = 110$). * **Rapportage:** "De correlatie tussen het resultaat op statistiek en de score op de affectietest is gelijk aan .44. De toets is significant (p<.001)." * **Met partiële correlatie:** "Nadat gecorrigeerd werd op IQ daalde deze correlatie tot $r=.37, p<.001, N=110$." ### 1.6 SPSS-voorbeeld Een klinisch psycholoog onderzoekt het verband tussen depressie en sociale vermijding bij zestigplussers. * **Steekproefgrootte:** $N = 56$. * **Resultaten:** Een negatieve correlatie van $r = -.049$ werd vastgesteld. Deze correlatie was echter niet significant ($p > .05$). * **Conclusie:** Er is geen statistisch significant lineair verband tussen depressie en sociale vermijding in deze populatie van zestigplussers. --- **NB:** De informatie over de Spearman correlatietoets en de chikwadraat toets voor kruistabellen, hoewel aanwezig in de bron, valt buiten het specifieke onderwerp van de Pearson correlatietoets en wordt hier daarom niet gedetailleerd beschreven. De kern van dit document focust puur op de Pearson correlatietoets zoals gevraagd. --- # De rangcorrelatie van Spearman Deze sectie behandelt de Spearman rangcorrelatietoets, een non-parametrische toets die gebruikt wordt om het verband tussen twee ordinale variabelen of variabelen die niet normaal verdeeld zijn te onderzoeken. ### 2.1 Toetsingssituatie De Spearman rangcorrelatietoets wordt ingezet wanneer de voorwaarden voor parametrische toetsen, zoals de Pearson correlatietoets, niet voldaan zijn. Dit is met name het geval bij: * **Ordinale variabelen:** Wanneer de variabelen gemeten zijn op ten minste een ordinaal niveau. * **Niet-normaal verdeelde variabelen:** Zelfs als variabelen interval of ratio zijn, maar de aanname van normaliteit geschonden is. Het doel is het onderzoeken van de richting en sterkte van het verband tussen twee dergelijke variabelen. ### 2.2 Voorwaarden De Spearman rangcorrelatietoets heeft weinig strikte voorwaarden: * De data moet minimaal van **nominaal niveau** zijn, maar bij voorkeur **ordinaal**. * Er is geen aanname over de verdeling van de data (zoals normaliteit). ### 2.3 Hypothesen Net als bij andere toetsen, wordt er gewerkt met nul- en alternatieve hypothesen: * **Nulhypothese ($H_0$):** Er is geen verband (correlatie is nul) tussen de rangordes van de twee variabelen in de populatie. $H_0: \rho_s = 0$ * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** Er is wel een verband (correlatie is niet nul) tussen de rangordes van de twee variabelen in de populatie. Dit kan eenzijdig zijn (bijvoorbeeld een positief verband, $H_1: \rho_s > 0$, of een negatief verband, $H_1: \rho_s < 0$) of tweezijdig ($H_1: \rho_s \neq 0$). De keuze voor een een- of tweezijdige toets hangt af van de onderzoeksvraag. ### 2.4 Toetsingsgrootheid De berekening van de toetsingsgrootheid voor de Spearman rangcorrelatietoets is gebaseerd op de rangordes van de data. De formule voor de Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt ($r_s$) is: $$ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} $$ waarbij: * $d_i$ het verschil is tussen de rangordes van de twee variabelen voor observatie $i$. * $n$ het aantal paren observaties is. De berekening houdt in dat de ruwe scores eerst worden omgezet naar rangordes. Bij gelijke scores (ties) wordt het gemiddelde van de betreffende rangordes toegekend. Voor kleinere steekproeven ($n < 30$), kan de toetsingsgrootheid worden getoetst met een $t$-verdeling met $n-2$ vrijheidsgraden. De $t$-waarde wordt berekend als: $$ t = r_s \sqrt{\frac{n-2}{1-r_s^2}} $$ Voor grotere steekproeven ($n \geq 30$) kan de toetsingsgrootheid benaderd worden met de $z$-verdeling, waarbij de $z$-score gelijk is aan de $r_s$-waarde. ### 2.5 Beslissingsregel De beslissingsregel is gebaseerd op het vergelijken van de berekende toetsingsgrootheid met een kritieke waarde uit de betreffende kansverdeling (t-verdeling of z-verdeling) bij een bepaald significantieniveau ($\alpha$), of op het vergelijken van de $p$-waarde met $\alpha$. * Als de toetsingsgrootheid de kritieke waarde overschrijdt (in de richting van de alternatieve hypothese) of als de $p$-waarde kleiner is dan $\alpha$, wordt de nulhypothese verworpen. Dit betekent dat er een statistisch significante correlatie is. * Als de toetsingsgrootheid niet de kritieke waarde overschrijdt of als de $p$-waarde groter is dan $\alpha$, wordt de nulhypothese niet verworpen. Er is dan onvoldoende bewijs voor een significant verband. ### 2.6 Effectgrootte De correlatiecoëfficiënt zelf, $r_s$, dient als maat voor de effectgrootte. De interpretatie van de sterkte van het verband is vergelijkbaar met die van de Pearson correlatie: * Een waarde dicht bij 0 duidt op een zwak verband. * Een waarde dicht bij 1 (positief of negatief) duidt op een sterk verband. Er is geen aparte berekening voor de effectgrootte nodig, aangezien de $r_s$-waarde deze functie al vervult. ### 2.7 Rapporteren Bij het rapporteren van de resultaten van een Spearman rangcorrelatietoets worden de volgende elementen opgenomen: * De gebruikte toets: Spearman rangcorrelatietoets. * De correlatiecoëfficiënt: $r_s$. * De $p$-waarde: $p$-waarde. * Het aantal paren observaties: $N$. * Indien relevant, de $t$-waarde en de vrijheidsgraden. **Voorbeeld van rapportage:** "Om het verband tussen het examenresultaat en de affectie tegenover statistiek na te gaan, werd een Spearman rangcorrelatietoets uitgevoerd. Er werd een positief, maar zwak verband gevonden ($r_s = .15, p=.31, N=62$). Dit verband was niet statistisch significant." **Tip:** Bij het rapporteren is het belangrijk om zowel de richting als de sterkte van het verband te vermelden, evenals de significantie ervan. --- # De chikwadraat toets voor kruistabellen Dit deel van de studieleidraad focust op de chikwadraat toets voor kruistabellen, een non-parametrische toets die gebruikt wordt om het verband tussen twee nominale variabelen te onderzoeken. ### 3.1 Inleiding en toetsingssituatie De chikwadraat toets voor kruistabellen wordt aangewend wanneer men het verband tussen twee nominale variabelen wil onderzoeken. Het is een non-parametrische toets, wat betekent dat er geen specifieke verdelingseisen aan de data worden gesteld, behalve dat de variabelen van nominaal niveau zijn en dat er uitsluitend met frequenties wordt gewerkt. Deze toets is een uitbreiding van de chikwadraattoets voor frequenties die in Statistiek I werd behandeld, waarbij destijds de frequentieverdeling in een steekproef werd vergeleken met een theoretische populatieverdeling. Nu gaat het om het vergelijken van de frequentieverdelingen van twee nominale variabelen binnen een kruistabel om te bepalen of deze variabelen significant met elkaar samenhangen. **Toetsingssituatie:** Bij deze toets is de onderzoeksvraag gericht op het bestaan van een verband tussen twee categorische variabelen. Voorbeelden hiervan zijn: * Is er een verband tussen de studierichting van studenten en hun succes (geslaagd/niet-geslaagd) in een bepaalde cursus? * Vertonen studenten uit verschillende studierichtingen een evenredig succespercentage in de cursus statistiek? De kern is het onderzoeken of de frequenties van observaties in de cellen van een kruistabel significant afwijken van wat men zou verwachten als er geen verband zou bestaan tussen de twee variabelen. ### 3.2 Voorwaarden Voor een correcte toepassing van de chikwadraat toets voor kruistabellen, dient aan de volgende voorwaarden te worden voldaan: 1. **Meetniveau:** De variabelen moeten nominaal zijn. 2. **Meetmethode:** Er wordt gewerkt met absolute frequenties (counts), niet met percentages. 3. **Onafhankelijkheid:** De metingen mogen niet herhaald zijn (geen herhaalde metingen bij dezelfde participanten). 4. **Mutueel exclusieve categorieën:** De categorieën van beide variabelen moeten elkaar wederzijds uitsluiten. 5. **Verwachte frequenties:** De verwachte frequenties in de cellen van de kruistabel mogen niet te klein zijn. Specifiek geldt: * Niet meer dan 20% van de cellen mag een verwachte frequentie kleiner dan 5 hebben. * Geen enkele cel mag een verwachte frequentie kleiner dan 1 hebben. ### 3.3 Hypothesen Bij de chikwadraat toets voor kruistabellen worden de volgende nulhypothese ($H_0$) en alternatieve hypothese ($H_1$) geformuleerd: * **Nulhypothese ($H_0$):** Er bestaat geen verband tussen de twee nominale variabelen. De variabelen zijn statistisch onafhankelijk. * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** Er bestaat wel een verband tussen de twee nominale variabelen. De variabelen zijn statistisch afhankelijk. Het is belangrijk op te merken dat de chikwadraat toets voornamelijk aangeeft óf er een verband is, maar niet welke specifieke categorieën of cellen in de kruistabel significant van elkaar verschillen. ### 3.4 Toetsingsgrootheid De toetsingsgrootheid die berekend wordt, is de chikwadraat ($\chi^2$) statistiek. Deze statistiek meet het verschil tussen de geobserveerde frequenties in de kruistabel en de frequenties die verwacht zouden worden als de nulhypothese waar zou zijn. De formule voor de chikwadraat toetsingsgrootheid is: $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ Waarbij: * $O_i$ staat voor de geobserveerde frequentie in cel $i$. * $E_i$ staat voor de verwachte frequentie in cel $i$. * $k$ is het totale aantal cellen in de kruistabel. De verwachte frequentie ($E_i$) voor elke cel wordt berekend met de volgende formule: $$ E_{ij} = \frac{(\text{rijtotaal}_i) \times (\text{kolomtotaal}_j)}{\text{totaal aantal observaties}} $$ Waarbij $E_{ij}$ de verwachte frequentie is in rij $i$ en kolom $j$. De chikwadraat toetsingsgrootheid volgt bij benadering een $\chi^2$-verdeling. Het aantal vrijheidsgraden ($df$) voor deze verdeling wordt berekend met de volgende formule: $$ df = (aantal \ rijen - 1) \times (aantal \ kolommen - 1) $$ ### 3.5 Beslissingsregel Om te beslissen of de nulhypothese ($H_0$) verworpen wordt, wordt de berekende $\chi^2$-waarde vergeleken met een kritieke waarde uit de $\chi^2$-verdeling voor een bepaald significantieniveau ($\alpha$) en het berekende aantal vrijheidsgraden. Alternatief kan de overschrijdingskans (p-waarde) worden gebruikt: * **Via kritieke waarden:** Als de berekende $\chi^2$-waarde groter is dan de kritieke waarde, wordt $H_0$ verworpen. * **Via overschrijdingskansen (p-waarde):** Als de p-waarde kleiner is dan het gekozen significantieniveau ($\alpha$), wordt $H_0$ verworpen. Dit betekent dat het gevonden verband statistisch significant is. SPSS output toont vaak direct de p-waarde, wat de besluitvorming vergemakkelijkt. ### 3.6 Effectgrootte De effectgrootte kwantificeert de sterkte van het verband tussen de twee nominale variabelen, onafhankelijk van de steekproefgrootte. Voor de chikwadraat toets kunnen verschillende maten voor effectgrootte worden berekend, zoals de contingentiecoëfficiënt, de $\phi$-coëfficiënt, en Cramér's $V$. * **Cramér's V** wordt algemeen beschouwd als de meest geschikte maat in de meeste scenario's, vooral bij tabellen groter dan 2x2. De formule voor Cramér's V is: $$ V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \times \min(df_rijen, df_kolommen)}} $$ Waarbij $N$ het totale aantal observaties is en $\min(df_{rijen}, df_{kolommen})$ het minimum is van het aantal vrijheidsgraden voor rijen en kolommen. Interpretatie van Cramér's $V$: * $< 0.10$: triviaal effect * $0.10 - 0.30$: klein effect * $0.30 - 0.50$: medium effect * $> 0.50$: sterk effect ### 3.7 Rapporteren Bij het rapporteren van de resultaten van een chikwadraat toets voor kruistabellen, worden de volgende elementen vermeld: 1. De gebruikte toets (chikwadraat toets voor kruistabellen). 2. De variabelen die onderzocht zijn. 3. De waarde van de toetsingsgrootheid ($\chi^2$) en het aantal vrijheidsgraden ($df$). 4. De p-waarde (overschrijdingskans). 5. De berekende effectgrootte (bv. Cramér's $V$). 6. Een interpretatie van de resultaten in de context van de onderzoeksvraag. **Voorbeeld van rapportage:** Het verband tussen de variabelen studierichting en examenresultaat (geslaagd/niet-geslaagd) werd onderzocht met behulp van een chikwadraat toets. Deze toets wees uit dat de twee variabelen statistisch onafhankelijk zijn, $\chi^2(2) = 1.88$, $p = .39$. De effectgrootte, gemeten met Cramér's $V$, was $V = .15$, wat duidt op een eerder zwak verband. > **Tip:** De chikwadraat toets is vooral nuttig voor exploratief onderzoek of wanneer men werkt met nominale variabelen. Voor meer diepgaande analyses, vooral bij het vermoeden van complexere verbanden, is het vaak wenselijk om te werken met variabelen van een hoger meetniveau. > **Aanvullende bemerking:** Als de chikwadraat toets resulteert in een statistisch significant verband (dus $H_0$ wordt verworpen), geeft dit nog geen uitsluitsel over *welke* specifieke cellen in de kruistabel significant van elkaar verschillen. Er is geen standaardprocedure voor post-hoc toetsing zoals bij ANOVA. Daarom is deze toets primair geschikt voor exploratief onderzoek. Het is cruciaal te onthouden dat een gevonden verband (associatie) nog geen oorzaak-gevolg relatie impliceert. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Pearson correlatietoets | Een statistische toets die gebruikt wordt om de sterkte en richting van het lineaire verband tussen twee continue variabelen te meten. | | Spearman rangcorrelatietoets | Een non-parametrische toets die het verband tussen twee ordinale variabelen of twee variabelen die niet normaal verdeeld zijn, meet door de rangordes van de observaties te vergelijken. | | Chikwadraat toets voor kruistabellen | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee categorische (nominale) variabelen door de geobserveerde frequenties in een kruistabel te vergelijken met de verwachte frequenties onder de nulhypothese van onafhankelijkheid. | | Toetsingsgrootheid | Een waarde die berekend wordt uit steekproefgegevens en die gebruikt wordt om de nulhypothese te toetsen. De kansverdeling van de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese is bekend. | | Nulhypothese (H0) | Een stelling over een populatieparameter of de relatie tussen variabelen die verondersteld wordt waar te zijn, tenzij er voldoende bewijs is om deze te verwerpen. | | Alternatieve hypothese (H1) | Een stelling die het tegenovergestelde beweert van de nulhypothese en die wordt aangenomen als de nulhypothese wordt verworpen. | | Significantie | De mate waarin een resultaat onwaarschijnlijk is onder de nulhypothese. Een significant resultaat suggereert dat de nulhypothese verworpen kan worden. | | Overchrijdingskans (p-waarde) | De waarschijnlijkheid om een toetsingsgrootheid te verkrijgen die extreem is, of extremer, dan de waargenomen toetsingsgrootheid, aannemende dat de nulhypothese waar is. | | Kritieke waarde | De grens waarde van de toetsingsgrootheid waarboven (of waaronder) de nulhypothese wordt verworpen. | | Effectgrootte | Een maat voor de omvang van een effect, onafhankelijk van de steekproefgrootte. Het geeft aan hoe sterk het verband of verschil is. | | Determinatiecoëfficiënt (R²) | De proportie van de variantie in de afhankelijke variabele die verklaard wordt door de variantie in de onafhankelijke variabele. | | Partiële correlatie | Een correlatiecoëfficiënt die het verband tussen twee variabelen meet nadat er is gecontroleerd voor het effect van één of meer andere variabelen. | | Cramers V | Een maat voor effectgrootte bij de chikwadraat toets voor kruistabellen, die de sterkte van het verband tussen twee nominale variabelen aangeeft. | | Nominale variabele | Een categorische variabele waarbij de categorieën geen natuurlijke volgorde hebben. | | Ordinale variabele | Een categorische variabele waarbij de categorieën een natuurlijke volgorde hebben, maar de afstanden tussen de categorieën niet noodzakelijk gelijk zijn. | | Intervalvariabele | Een continue variabele waarbij de afstanden tussen opeenvolgende waarden gelijk zijn, maar er geen absoluut nulpunt is. | | Ratio variabele | Een continue variabele waarbij de afstanden tussen opeenvolgende waarden gelijk zijn en er wel een absoluut nulpunt is. | | Vrijheidsgraden (df) | Het aantal waarden dat vrij kan variëren in een berekening van een statistische toets. |