HC1_LP_2025.pdf

# Concepten van kansen, universum en gebeurtenissen Dit onderdeel introduceert de fundamentele elementen van kansrekening: experimenten, het universum van mogelijke uitkomsten en de definitie van gebeurtenissen als specifieke deelverzamelingen van dit universum [4](#page=4). ### 1.1 Experimenten Een experiment is een proces dat wordt uitgevoerd om situaties te onderzoeken die aan het toeval onderhevig zijn. Voorbeelden van experimenten zijn [4](#page=4): * Het gooien van een dobbelsteen [4](#page=4). * Het gooien van twee dobbelstenen [4](#page=4). * Het tellen van het aantal patiënten met rugpijn bij een dokter op een dag [4](#page=4). * Het kiezen van een getal tussen 0 en 1 [4](#page=4). * Het meten van de bloeddruk van een patiënt [4](#page=4). ### 1.2 Het universum van uitkomsten Het universum, aangeduid met het symbool $\Omega$ (Omega), is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een gegeven experiment [4](#page=4). **Voorbeelden van universa:** * Bij het gooien van een dobbelsteen is het universum $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ [5](#page=5). * Bij het gooien van twee dobbelstenen is het universum $\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), \dots, (6,6) \}$ [5](#page=5). * Bij het tellen van patiënten met rugpijn op een dag is het universum $\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}$. Dit is een oneindige verzameling [5](#page=5). * Bij het kiezen van een getal tussen 0 en 1 is het universum $\Omega = $. Dit is een continu interval [1](#page=1) [5](#page=5). ### 1.3 Gebeurtenissen Een gebeurtenis, aangeduid met een hoofdletter zoals $A$, is een deelverzameling van het universum $\Omega$ waarin men geïnteresseerd is. Met andere woorden, een gebeurtenis bestaat uit één of meerdere specifieke uitkomsten van het experiment [5](#page=5). **Voorbeelden van gebeurtenissen:** * Bij het gooien van een dobbelsteen, de gebeurtenis $A$ "een even getal gooien" is $A = \{2, 4, 6 \}$ [5](#page=5). * Bij het gooien van twee dobbelstenen, de gebeurtenis $A$ "de som van de worpen is 12" is $A = \{(6,6) \}$ [5](#page=5). * Bij het tellen van patiënten met rugpijn, de gebeurtenis $A$ "5 of minder patiënten" is $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ [5](#page=5). * Bij het kiezen van een getal tussen 0 en 1, de gebeurtenis $A$ "kleiner dan een half" is $A = [0, 0.5[$ [5](#page=5). #### 1.3.1 De complementaire gebeurtenis Het complement van een gebeurtenis $A$, aangeduid met $A^c$ of $\Omega^c$, is de verzameling van alle uitkomsten in het universum $\Omega$ die **niet** tot gebeurtenis $A$ behoren. Formeel wordt dit geschreven als $A^c = \Omega \setminus A$ [6](#page=6). * Als een gebeurtenis $A$ het volledige universum omvat ($A = \Omega$), dan is het complement de lege verzameling: $A^c = \Omega^c = \emptyset$ [6](#page=6). > **Tip:** Denk aan het complement als "alles behalve A". Als $A$ is "een even getal gooien" met een dobbelsteen, dan is $A^c$ "een oneven getal gooien". #### 1.3.2 Doorsnede en vereniging van twee gebeurtenissen Gegeven twee gebeurtenissen, $A_1$ en $A_2$, binnen hetzelfde universum $\Omega$, kunnen we nieuwe gebeurtenissen construeren: * **Doorsnede ($A_1 \cap A_2$):** De doorsnede van $A_1$ en $A_2$ is de deelverzameling van uitkomsten waarbij **beide** gebeurtenissen tegelijkertijd optreden [7](#page=7). * **Voorbeeld:** Als $A_1$ "5 of minder rugpijnpatiënten" is en $A_2$ "minstens 3 en ten hoogste 8 rugpijnpatiënten", dan is de doorsnede $A_1 \cap A_2$ de gebeurtenis dat er precies 3, 4 of 5 patiënten zijn: $\{3, 4, 5 \}$ [7](#page=7). * **Vereniging ($A_1 \cup A_2$):** De vereniging van $A_1$ en $A_2$ is de deelverzameling van uitkomsten waarbij **ten minste één** van de gebeurtenissen optreedt (dus $A_1$ of $A_2$ of beide) [7](#page=7). * **Voorbeeld:** Met dezelfde gebeurtenissen $A_1$ en $A_2$ als hierboven, is de vereniging $A_1 \cup A_2$ de gebeurtenis dat er 0 tot en met 8 patiënten zijn: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \}$ [7](#page=7). > **Tip:** Visualiseer de doorsnede als de overlappende delen van twee cirkels in een Venn-diagram, en de vereniging als het totale gebied dat door beide cirkels wordt bedekt. Het concept van gebeurtenissen als deelverzamelingen van het universum is cruciaal voor het definiëren en berekenen van kansen. $A \subset \Omega$ [6](#page=6). $A^c = \Omega \setminus A$ [6](#page=6). $A^c = \Omega^c = \emptyset$ [6](#page=6). Voorbeelden met diagrammen zijn te vinden op en [6](#page=6) [7](#page=7). --- # Het intuïtieve begrip en basiseigenschappen van kansen Dit deel verkent de intuïtieve betekenis van kans en de fundamentele regels die kansen beheersen. ### 2.1 Wat is een kans? Intuïtieve benaderingen De intuïtieve definitie van kans kan op verschillende manieren worden benaderd, gebaseerd op de aard van het experiment. #### 2.1.1 De klassieke benadering: verhouding van uitkomsten Bij experimenten waarbij alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn, kan de kans op een gebeurtenis worden berekend als de verhouding van het aantal gunstige uitkomsten tot het totale aantal mogelijke uitkomsten [10](#page=10). Beschouw het gooien van een dobbelsteen als een eenvoudig experiment met een uitkomstenuniversum $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Als we de kans willen weten om een getal te gooien dat deelbaar is door 3 (gebeurtenis A = {3, 6}), dan is het aantal gunstige uitkomsten 2 en het totale aantal mogelijke uitkomsten 6. De kans P(A) wordt dan berekend als [9](#page=9): $$P(A) = \frac{\text{aantal gunstige gevallen voor A}}{\text{aantal mogelijke gevallen}}$$ Voor A = {3, 6} geldt: $$P(A) = \frac{2}{6}$$ [10](#page=10). #### 2.1.2 De frequentistische benadering: limiet van relatieve frequentie Wanneer uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn, of wanneer het aantal mogelijke uitkomsten te groot is om direct te tellen, biedt de frequentistische benadering een alternatief. Hierbij wordt een experiment een groot aantal keren herhaald en wordt de kans benaderd door de relatieve frequentie waarmee een gebeurtenis zich voordoet [11](#page=11). Als een experiment met een dobbelsteen $n$ keer wordt herhaald en gebeurtenis A zich $n(A)$ keer voordoet, dan benadert de kans op A de volgende limiet: $$P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n}$$ [11](#page=11). Dit betekent dat naarmate het aantal herhalingen $n$ toeneemt, de verhouding $\frac{n(A)}{n}$ steeds dichter bij de werkelijke kans op gebeurtenis A komt [11](#page=11). > **Tip:** De klassieke benadering is nuttig voor theoretische berekeningen bij eerlijke kansmodellen, terwijl de frequentistische benadering meer praktisch is voor het schatten van kansen in reële situaties waar eerlijkheid niet gegarandeerd is. ### 2.2 Basiseigenschappen van kansen Kansen volgen specifieke wiskundige regels die hun gedrag bepalen. #### 2.2.1 De range van kansen De kans op elke gebeurtenis A, aangeduid als $P(A)$, ligt altijd tussen 0 en 1, inclusief deze grenzen [16](#page=16). * $P(A) = 0$ betekent dat de gebeurtenis onmogelijk is. Dit is bijvoorbeeld het geval bij het gooien van een dobbelsteen en het verkrijgen van een getal dat niet tussen 1 en 6 ligt ($A = \emptyset$) [16](#page=16). * $P(A) = 1$ betekent dat de gebeurtenis zeker is. Dit is het geval bij het gooien van een dobbelsteen en het verkrijgen van een getal tussen 1 en 6 ($A = \Omega$) [16](#page=16). Kansen kunnen ook worden uitgedrukt als percentages, variërend van 0% tot 100% [16](#page=16). #### 2.2.2 Optelregels voor kansen De manier waarop kansen worden opgeteld, hangt af van of de gebeurtenissen elkaar uitsluiten (disjunct zijn) of niet. ##### 2.2.2.1 Disjuncte gebeurtenissen Twee gebeurtenissen $A_1$ en $A_2$ zijn disjunct als ze niet tegelijkertijd kunnen plaatsvinden, wat betekent dat hun doorsnede leeg is ($A_1 \cap A_2 = \emptyset$). Voor disjuncte gebeurtenissen geldt de volgende optelregel [17](#page=17): $$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$$ [17](#page=17). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis $A_1$: een even aantal ogen gooien ($A_1 = \{2, 4, 6\}$) en gebeurtenis $A_2$: een 5 gooien ($A_2 = \{5\}$). Deze gebeurtenissen zijn disjunct. De kans om een even getal of een 5 te gooien is: $$P(A_1 \cup A_2) = P(\text{even of } 5) = P(\text{even}) + P = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$$ [17](#page=17) [5](#page=5). ##### 2.2.2.2 Niet-disjuncte gebeurtenissen Als gebeurtenissen $A_1$ en $A_2$ niet disjunct zijn, hebben ze een niet-lege doorsnede ($A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$), wat betekent dat ze wel tegelijkertijd kunnen plaatsvinden. De optelregel wordt dan uitgebreid met een aftrekterm voor de overlappende kans: $$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$$ [18](#page=18). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis $A_1$: een even aantal ogen gooien ($A_1 = \{2, 4, 6\}$) en gebeurtenis $A_2$: minder dan 3 ogen gooien ($A_2 = \{1, 2\}$). De doorsnede is $A_1 \cap A_2 = \{2\}$. De kans om een even getal of minder dan 3 te gooien is: $$P(A_1 \cup A_2) = P(\text{even of } < 3) = P(\text{even}) + P(<3) - P(\text{even en } <3)$$ $$P(A_1 \cup A_2) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}$$ [18](#page=18). #### 2.2.3 Monotoniciteit van kansen Als een gebeurtenis $A_1$ volledig is vervat in een andere gebeurtenis $A_2$ (genoteerd als $A_1 \subseteq A_2$), dan is de kans op $A_1$ kleiner dan of gelijk aan de kans op $A_2$ [19](#page=19). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis $A_1$: een 2 of een 6 gooien ($A_1 = \{2, 6\}$) en gebeurtenis $A_2$: een even aantal ogen gooien ($A_2 = \{2, 4, 6\}$). Hierbij geldt $A_1 \subseteq A_2$. $$P(A_1) = \frac{2}{6}$$ en $$P(A_2) = \frac{3}{6}$$ Duidelijk is dat $P(A_1) \le P(A_2)$ [19](#page=19). #### 2.2.4 De kans op het complement van een gebeurtenis Het complement van een gebeurtenis A, genoteerd als $A^c$, omvat alle uitkomsten in het universum $\Omega$ die niet in A zitten. De kans op het complement is gelijk aan 1 min de kans op de gebeurtenis zelf [20](#page=20). $$P(A^c) = 1 - P(A)$$ [20](#page=20). * **Voorbeeld:** Gooien met een dobbelsteen. Gebeurtenis A: een 1 of een 2 gooien ($A = \{1, 2\}$). Het complement $A^c$ is dan het gooien van een 3, 4, 5 of 6 ($A^c = \{3, 4, 5, 6\}$). $$P(A) = \frac{2}{6}$$ $$P(A^c) = \frac{4}{6} = 1 - \frac{2}{6} = 1 - P(A)$$ [20](#page=20). > **Tip:** Het concept van het complement is vaak handig om de kans op "iets anders dan" een bepaalde gebeurtenis te berekenen, wat soms eenvoudiger is dan direct de kans op die "iets anders dan" gebeurtenissen te berekenen. --- # Voorwaardelijke kans en de regel van Bayes Dit onderdeel introduceert het concept van voorwaardelijke kans en de toepassing ervan met de regel van Bayes en de wet van de totale kans, met een focus op diagnostische toepassingen [21](#page=21). ### 3.1 Voorwaardelijke kans Voorwaardelijke kans, genoteerd als $P(A|B)$, vertegenwoordigt de kans op gebeurtenis A, gegeven dat gebeurtenis B reeds is opgetreden [28](#page=28). #### 3.1.1 Definitie van voorwaardelijke kans De definitie van voorwaardelijke kans luidt als volgt [28](#page=28): $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ waarbij $P(A \cap B)$ de kans is dat zowel gebeurtenis A als gebeurtenis B tegelijkertijd optreden, en dit geldt indien $P(B) > 0$ [28](#page=28). #### 3.1.2 Rekenregels voor kansen Door de definitie van voorwaardelijke kans om te vormen, kunnen we de volgende rekenregels voor kansen afleiden [29](#page=29): * $P(A \cap B) = P(A|B) P(B)$ * $P(A \cap B) = P(B|A) P(A)$ * $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ * $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ > **Tip:** Deze regels zijn fundamenteel voor het berekenen van kansen in complexere scenario's en vormen de basis voor de wet van de totale kans en de regel van Bayes. #### 3.1.3 Voorbeeld: Twee dobbelstenen Bij het gooien van twee dobbelstenen na elkaar is het universum $\Omega$ van alle mogelijke uitkomsten 36, en elke uitkomst heeft een kans van $\frac{1}{36}$ [22](#page=22). Beschouw de gebeurtenis A: de som van de ogen is 10. De kans hierop is $P(A) = \frac{3}{36}$ [24](#page=24). Beschouw de gebeurtenis B: de eerste dobbelsteen toont meer ogen dan de tweede. De kans hierop is $P(B) = \frac{15}{36}$ [26](#page=26). De voorwaardelijke kans $P(A|B)$, de kans dat de som van de ogen 10 is, gegeven dat de eerste dobbelsteen meer ogen toont dan de tweede, is $\frac{1}{15}$ [27](#page=27). ### 3.2 Wet van de totale kans De wet van de totale kans maakt het mogelijk de kans op een gebeurtenis te berekenen door deze te partitioneren op basis van een reeks disjuncte gebeurtenissen die het gehele universum omvatten. #### 3.2.1 Algemene formulering Indien $\Omega = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ en $A_i \cap A_j = \emptyset$ voor alle $i \neq j$, dan geldt voor elke gebeurtenis B [33](#page=33): $$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B|A_i)P(A_i)$$ #### 3.2.2 Voorbeeld: Mexicaanse griep vaccin Bij het testen van een vaccin voor de Mexicaanse griep bij kinderen en jongeren werden de volgende gegevens verzameld: * Kinderen van 0,5 tot 3 jaar (groep 1): 21% hoofdpijn ($P(H|g1) = 0.21$). * Kinderen van 3 tot 12 jaar (groep 2): 16% hoofdpijn ($P(H|g2) = 0.16$). * Jongeren van 12 tot 18 jaar (groep 3): 15% hoofdpijn ($P(H|g3) = 0.15$). De verdeling van de groepen in de onderzochte populatie is: * Groep 1: 12% ($P(g1) = 0.12$). * Groep 2: Onbekend uit de tekst, maar uit de rest van de informatie kan worden afgeleid dat $P(g2) = 1 - P(g1) - P(g3) = 1 - 0.12 - 0.40 = 0.48$. * Groep 3: 40% ($P(g3) = 0.40$). De kans op hoofdpijn bij een willekeurig kind/jongere is $P(H)$: $P(H) = P(H|g1)P(g1) + P(H|g2)P(g2) + P(H|g3)P(g3)$ [32](#page=32). $P(H) = (0.21 \times 0.12) + (0.16 \times 0.48) + (0.15 \times 0.40) = 0.0252 + 0.0768 + 0.06 = 0.162$ [32](#page=32). Dus, 16.2% van de kinderen/jongeren ervaart hoofdpijn [32](#page=32). De kans dat iemand die hoofdpijn kreeg, tussen 12 en 18 jaar oud is, is $P(g3|H)$. Dit wordt berekend met de regel van Bayes, die later in detail wordt besproken. > **Tip:** De groepen (kinderen/jongeren van verschillende leeftijden) vormen een partitie van het universum. De wet van de totale kans laat ons toe de totale kans op hoofdpijn te berekenen door de kansen binnen elke groep te middelen, gewogen naar de grootte van elke groep. ### 3.3 Regel van Bayes De regel van Bayes is een krachtige methode om de kans van een gebeurtenis te actualiseren wanneer nieuwe informatie beschikbaar komt. Het stelt ons in staat om "omgekeerde" conditionele kansen te berekenen. #### 3.3.1 Algemene formulering Als $\Omega = A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$ met $A_i \cap A_j = \emptyset$ voor alle $i \neq j$, en B is een gebeurtenis met $P(B) > 0$, dan geldt voor $i = 1, 2, \dots, n$ [35](#page=35): $$P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i) P(A_i)}{\sum_{k=1}^{n} P(B|A_k) P(A_k)}$$ De noemer is de wet van de totale kans voor gebeurtenis B [35](#page=35). #### 3.3.2 Voorbeeld: Mexicaanse griep vaccin (vervolg) Om de kans te berekenen dat iemand die hoofdpijn kreeg, tussen 12 en 18 jaar oud is ($P(g3|H)$): $$P(g3|H) = \frac{P(H|g3) P(g3)}{P(H)}$$ [34](#page=34). $$P(g3|H) = \frac{0.15 \times 0.40}{0.162} = \frac{0.06}{0.162} \approx 0.3704$$ [34](#page=34). Dus, ongeveer 37.04% van de mensen die hoofdpijn kregen, behoort tot de groep van 12 tot 18 jaar [34](#page=34). #### 3.3.3 Toepassing: diagnostiek De regel van Bayes is cruciaal bij het evalueren van medische tests. We willen niet alleen de sensitiviteit ($P(T+|Z+)$) en specificiteit ($P(T-|Z-)$) van een test weten, maar ook de voorspellende waarde van een positieve test ($P(Z+|T+)$) en een negatieve test ($P(Z-|T-)$) [36](#page=36) [37](#page=37). De voorspellende waarden kunnen worden berekend met de regel van Bayes en de wet van de totale kans [38](#page=38): * **Voorspellende waarde van een positieve test:** $$P(Z+|T+) = \frac{P(T+|Z+) P(Z+)}{P(T+)} = \frac{P(T+|Z+) P(Z+)}{P(T+|Z+) P(Z+) + P(T+|Z−) P(Z−)}$$ [38](#page=38). * **Voorspellende waarde van een negatieve test:** $$P(Z−|T−) = \frac{P(T−|Z−) P(Z−)}{P(T−)} = \frac{P(T−|Z−) P(Z−)}{P(T−|Z−) P(Z−) + P(T−|Z+) P(Z+)}$$ [38](#page=38). Hierbij zijn: * $P(T+|Z+)$: Sensitiviteit van de test [36](#page=36). * $P(T−|Z−)$: Specificiteit van de test [36](#page=36). * $P(Z+)$: Prevalentie van de ziekte in de populatie [38](#page=38). * $P(Z−) = 1 - P(Z+)$ [38](#page=38). * $P(T−|Z+) = 1 - P(T+|Z+)$ [38](#page=38). * $P(T+|Z−) = 1 - P(T−|Z−)$ [38](#page=38). ##### 3.3.3.1 Voorbeeld: ELISA test voor HIV Gegeven: * Sensitiviteit: 99.7% ($P(T+|Z+) = 0.997$). * Specificiteit: 98.5% ($P(T-|Z-) = 0.985$). Voor België: * Prevalentie: 0.2% ($P(Z+) = 0.002$). * $P(Z-) = 1 - 0.002 = 0.998$. * $P(T+|Z−) = 1 - P(T−|Z−) = 1 - 0.985 = 0.015$. * $P(T−|Z+) = 1 - P(T+|Z+) = 1 - 0.997 = 0.003$. Voorspellende waarde positieve test in België: $$P(Z+|T+) = \frac{0.997 \times 0.002}{0.997 \times 0.002 + 0.015 \times 0.998} \approx 0.1175$$ [39](#page=39). Voorspellende waarde negatieve test in België: $$P(Z−|T−) = \frac{0.985 \times 0.998}{0.985 \times 0.998 + 0.003 \times 0.002} \approx 0.99999$$ [39](#page=39). Voor Zambia: * Prevalentie: 15.2% ($P(Z+) = 0.152$). * $P(Z-) = 1 - 0.152 = 0.848$. Voorspellende waarde positieve test in Zambia: $$P(Z+|T+) = \frac{0.997 \times 0.152}{0.997 \times 0.152 + 0.015 \times 0.848} \approx 0.9226$$ [39](#page=39). Voorspellende waarde negatieve test in Zambia: $$P(Z−|T−) = \frac{0.985 \times 0.848}{0.985 \times 0.848 + 0.003 \times 0.152} \approx 0.9995$$ [39](#page=39). > **Tip:** De prevalentie van een ziekte in een populatie heeft een significant effect op de voorspellende waarde van een diagnostische test. In populaties met een lage prevalentie kan een positieve testuitslag zelfs bij een zeer nauwkeurige test, nog steeds een relatief lage kans op de daadwerkelijke ziekte betekenen. --- # Onafhankelijkheid van gebeurtenissen en introductie tot toevalsvariabelen Dit deel behandelt het concept van onafhankelijkheid tussen gebeurtenissen en definieert toevalsvariabelen als meetbare uitkomsten die afhankelijk zijn van toeval. ### 4.1 Onafhankelijkheid van gebeurtenissen Onafhankelijkheid van gebeurtenissen in de kansrekening houdt in dat de uitkomst van de ene gebeurtenis geen invloed heeft op de waarschijnlijkheid van de andere gebeurtenis [42](#page=42). #### 4.1.1 Definitie van onafhankelijkheid Twee gebeurtenissen, A1 en A2, worden als onafhankelijk beschouwd als aan een van de volgende equivalente voorwaarden is voldaan [42](#page=42): * De conditionele kans van A1 gegeven A2 is gelijk aan de kans van A1: $P(A1 | A2) = P(A1)$ [42](#page=42). * De kans op de doorsnede van A1 en A2 is gelijk aan het product van hun individuele kansen: $P(A1 \cap A2) = P(A1)P(A2)$ [42](#page=42). * De conditionele kans van A2 gegeven A1 is gelijk aan de kans van A2: $P(A2 | A1) = P(A2)$ [42](#page=42). #### 4.1.2 Illustratie van afhankelijkheid Als de kans op het optreden van een gebeurtenis significant verschilt tussen verschillende groepen, duidt dit op afhankelijkheid. Bijvoorbeeld, als de kans op hoofdpijn na vaccinatie varieert per leeftijdsgroep (0.21 voor groep 1, 0.16 voor groep 2, en 0.15 voor groep 3), is het hebben van hoofdpijn afhankelijk van de leeftijdsgroep [41](#page=41). > **Tip:** De formule $P(A1 \cap A2) = P(A1)P(A2)$ is een krachtige definitie van onafhankelijkheid, omdat deze direct de kans op het gelijktijdig optreden van twee gebeurtenissen koppelt aan hun individuele kansen. ### 4.2 Introductie tot toevalsvariabelen Een toevalsvariabele, ook wel een stochastische variabele genoemd, is een meetbare grootheid waarvan de uitkomst afhankelijk is van toeval en die zich voordoet met een specifieke waarschijnlijkheid [45](#page=45). #### 4.2.1 Notatie en concept Toevalsvariabelen worden meestal aangeduid met hoofdletters, zoals $X$ [45](#page=45). #### 4.2.2 Voorbeelden van toevalsvariabelen * **Experiment:** Willekeurig 100 personen uit een groep kiezen. **Toevalsvariabele $X$:** Het aantal personen met rugpijn in de gekozen groep [46](#page=46). **Voorbeelden van kansen:** $P(X \le 40)$, $P(50 < X < 60)$ [47](#page=47). * **Experiment:** Willekeurig een pasgeboren kind kiezen. **Toevalsvariabele $X$:** De lengte van het kind bij geboorte [46](#page=46). **Voorbeelden van kansen:** $P(X > Q3)$, $P(48 < X \le 50)$ [46](#page=46) [47](#page=47). * **Experiment:** Eén worp met een dobbelsteen. **Toevalsvariabele $X$:** De uitkomst van de worp [47](#page=47). **Voorbeelden van kansen:** $P(X = 6)$, $P(X > 3)$, $P(2 \le X \le 4)$ [47](#page=47). * **Experiment:** Willekeurig een getal kiezen uit het interval [1](#page=1). **Toevalsvariabele $X$:** Het gekozen getal [47](#page=47). **Voorbeelden van kansen:** $P(\frac{1}{4} \le X \le \frac{3}{4})$ [47](#page=47). #### 4.2.3 Classificatie van toevalsvariabelen Toevalsvariabelen kunnen worden onderverdeeld in twee hoofdcategorieën [47](#page=47): * **Discreet:** Variabelen die telbare waarden kunnen aannemen. Dit zijn vaak gehele getallen. * **Continu:** Variabelen die elke waarde binnen een bepaald interval kunnen aannemen. > **Tip:** Begrijpen of een toevalsvariabele discreet of continu is, is cruciaal voor het kiezen van de juiste analysemethoden en het berekenen van kansen. Continue variabelen vereisen vaak integratie om kansen over een bereik te bepalen. --- # Discrete en continue kansverdelingen Dit onderwerp introduceert de concepten van discrete en continue kansverdelingen, inclusief hun definities, eigenschappen en hoe kansen berekend worden voor beide typen. ### 5.1 Discrete kansverdelingen Een discrete toevalsvariabele $X$ kan verschillende, telbare waarden aannemen. De kansverdeling van een discrete toevalsvariabele geeft voor elke mogelijke waarde $k$ van $X$, de bijbehorende kans $P(X=k)$ weer [48](#page=48). #### 5.1.1 Voorwaarden voor een discrete kansverdeling Een discrete kansverdeling moet voldoen aan twee cruciale voorwaarden [48](#page=48): 1. De afzonderlijke kansen voor elke mogelijke waarde van de toevalsvariabele moeten liggen tussen 0 en 1, inclusief de grenzen: $0 \leq P(X = k) \leq 1$ [48](#page=48). 2. De som van alle afzonderlijke kansen voor alle mogelijke waarden van $X$ moet gelijk zijn aan 1: $\sum_{k} P(X=k) = 1$ [48](#page=48). #### 5.1.2 Notatie en representatie Discrete kansverdelingen worden vaak weergegeven in een tabel [48](#page=48). > **Voorbeeld:** Het gooien van twee dobbelstenen [49](#page=49). > Laat $X$ de som zijn van de ogen van de twee dobbelstenen. De mogelijke waarden voor $X$ zijn 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, en 12 [49](#page=49). > De bijbehorende kansen worden weergegeven in de volgende tabel: > > | $k$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | > | :------------ | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | > | $P(X=k)$ | 1/36 | 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 | 1/36 | > > De som van deze kansen is: > $$ \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1 $$ [49](#page=49). > **Voorbeeld:** Het gooien van een correct muntstuk [50](#page=50). > Het universum $\Omega$ is {kop, munt}. Laten we een discrete toevalsvariabele $X$ definiëren waarbij $X=1$ bij kop en $X=0$ bij munt [50](#page=50). > De mogelijke waarden voor $X$ zijn 0 en 1 [50](#page=50). > De kansverdeling is: > > | $k$ | 0 | 1 | > | :------- | :-- | :-- | > | $P(X=k)$ | 0.5 | 0.5 | > > Dit volgt uit de definitie van een correct muntstuk, waarbij: > $$ P(X=0) = P(\text{munt}) = \frac{1}{2} $$ > $$ P(X=1) = P(\text{kop}) = \frac{1}{2} $$ [50](#page=50). ### 5.2 Continue kansverdelingen Een continue toevalsvariabele $X$ kan elke waarde aannemen binnen een bepaald interval $[x_{min}, x_{max}]$, of zelfs in het gehele interval $]-\infty, +\infty[$ [51](#page=51). #### 5.2.1 De nul-kans voor unieke uitkomsten Bij continue toevalsvariabelen is de kans dat $X$ *exact* een specifieke waarde $k$ aanneemt gelijk aan nul: $P(X=k) = 0$. Dit komt omdat er oneindig veel mogelijke waarden zijn binnen een interval, waardoor de kans op elk individueel punt oneindig klein wordt [53](#page=53). > **Tip:** Dit is een fundamenteel verschil met discrete kansverdelingen. Bij discrete variabelen is $P(X=k)$ zinvol en kan deze groter zijn dan nul, terwijl dit bij continue variabelen niet het geval is. #### 5.2.2 Kansen op deelintervallen In plaats van de kans op een exacte waarde te berekenen, berekenen we bij continue kansverdelingen de kans op een bepaald deelinterval [53](#page=53). > **Voorbeeld:** Kies willekeurig een getal tussen 0 en 1 [53](#page=53). > Als we de kans willen berekenen dat een willekeurig gekozen getal $X$ tussen 0.5 en 0.75 ligt, dan is dit een kans op een interval. > $$ P(0.5 \leq X \leq 0.75) = \frac{0.75 - 0.5}{1 - 0} = \frac{0.25}{1} = 0.25 $$ > In het document wordt dit vereenvoudigd weergegeven als $P(0.5 \leq X \leq 0.75) = \frac{1}{4}$ [53](#page=53). #### 5.2.3 De dichtheidsfunctie Formeel wordt de kansverdeling van een continue toevalsvariabele $X$ gekarakteriseerd door een dichtheidsfunctie, aangeduid met $f(x)$ [54](#page=54). > **Voorwaarden voor een dichtheidsfunctie $f(x)$:** > 1. $f(x) \geq 0$ voor alle $x$. De dichtheidsfunctie kan geen negatieve waarden aannemen [54](#page=54). > 2. De integraal van de dichtheidsfunctie over het gehele domein is gelijk aan 1: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$. Dit vertegenwoordigt de totale kans, die altijd 1 moet zijn [54](#page=54). #### 5.2.4 Kansen berekenen met de dichtheidsfunctie De kans dat een continue toevalsvariabele $X$ een waarde aanneemt tussen $x_0$ en $x_1$ wordt berekend door de integraal van de dichtheidsfunctie over dat interval: $$ P(x_0 \leq X \leq x_1) = \int_{x_0}^{x_1} f(x) dx $$ [54](#page=54). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Experiment | Een proces of procedure waarvan de uitkomst niet zeker is en die aan het toeval onderhevig is, uitgevoerd om situaties te onderzoeken. | | Universum (Ω) | De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een experiment. | | Gebeurtenis (A) | Een deelverzameling van het universum, die een specifiek resultaat of een reeks resultaten van een experiment vertegenwoordigt waarin men geïnteresseerd is. | | Complement van een gebeurtenis (Ac) | De verzameling van alle uitkomsten in het universum die niet tot gebeurtenis A behoren. Dit wordt genoteerd als $A^c$ of $\Omega \setminus A$. | | Doorsnede van gebeurtenissen (A ∩ B) | De verzameling van uitkomsten die zowel tot gebeurtenis A als tot gebeurtenis B behoren. | | Vereniging van gebeurtenissen (A U B) | De verzameling van uitkomsten die tot gebeurtenis A, of tot gebeurtenis B, of tot beide behoren. | | Kans (P(A)) | Een numerieke waarde tussen 0 en 1 die de waarschijnlijkheid aangeeft dat een bepaalde gebeurtenis A zich voordoet. | | Kans van een gebeurtenis (Frequentistische benadering) | De limiet van de relatieve frequentie van het optreden van een gebeurtenis wanneer een experiment een oneindig aantal keren wordt herhaald. Genoteerd als $P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n}$. | | Disjuncte gebeurtenissen | Gebeurtenissen die geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben; hun doorsnede is de lege verzameling (∅). | | Voorwaardelijke kans (P(A|B)) | De kans dat gebeurtenis A optreedt, gegeven dat gebeurtenis B reeds is opgetreden. Gedefinieerd als $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, mits $P(B) > 0$. | | Onafhankelijke gebeurtenissen | Twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als het optreden van de ene gebeurtenis geen invloed heeft op de kans van de andere. Dit is equivalent aan $P(A|B) = P(A)$ of $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. | | Toevalsvariabele (X) | Een variabele waarvan de waarde een numerieke uitkomst is van een willekeurig verschijnsel of experiment. | | Discrete toevalsvariabele | Een toevalsvariabele die een aftelbaar aantal waarden kan aannemen, vaak gehele getallen. | | Continue toevalsvariabele | Een toevalsvariabele die elke waarde binnen een bepaald interval kan aannemen. | | Kansverdeling | Een functie die de kans specificeert die een toevalsvariabele toekent aan elke mogelijke waarde die deze kan aannemen. | | Dichtheidsfunctie f(x) | Een functie die de relatieve waarschijnlijkheid beschrijft van een continue toevalsvariabele op elk gegeven punt. De integraal van de dichtheidsfunctie over een interval geeft de kans dat de variabele binnen dat interval valt. |