Les 9-samengevoegd.pdf

# Exponentiële functies Exponentiële functies beschrijven processen waarbij een hoeveelheid met een constante factor per tijdseenheid toeneemt of afneemt, met toepassingen variërend van bevolkingsgroei tot temperatuurafkoeling [3](#page=3). ### 1.1 De basisvorm van exponentiële functies De meest eenvoudige vorm van een exponentiële functie is: `y = b^x` [3](#page=3). Hierin is: - `$y$` de functiewaarde. - `$b$` het grondtal, een constante factor. - `$x$` de exponent, die meestal de tijd of een andere variabele voorstelt. #### 1.1.1 Gedrag van de functie afhankelijk van het grondtal Het gedrag van de exponentiële functie wordt sterk bepaald door de waarde van het grondtal `$b$`: * **Bij `$b > 1$`**: De functiewaarde neemt steeds verder toe naarmate `$x$` groter wordt. Dit beschrijft groeiende processen, zoals bevolkingsgroei [3](#page=3). > **Voorbeeld:** Als het aantal onkruidplantjes elke week verdubbelt, met een start van 3 plantjes op week 0, dan is de formule `$y = 3 \cdot 2^x$`, waarbij `$x$` het aantal weken is. Men kan ook niet-gehele waarden voor `$x$` gebruiken, zoals `$x = 2,5$` voor een half week [1](#page=1). * **Bij `$b < 1$`**: De functiewaarde nadert nul naarmate `$x$` groter wordt. Dit beschrijft afnemende processen, zoals het uitdoven van een effect of het afnemen van een hoeveelheid [3](#page=3). > **Voorbeeld:** Een hoeveelheid van 8,0 kilogram giftig gas neemt af in de atmosfeer. De resterende hoeveelheid `$A(kg)$` na `$t$` minuten wordt beschreven door de formule `$A(kg) = 8,0 \cdot (0,3)^{t/30}$` [2](#page=2). #### 1.1.2 Toepassingen van exponentiële functies Exponentiële functies worden gebruikt om diverse natuurlijke en menselijke fenomenen te modelleren: * **Bevolkingsgroei**: Processen die "explosief" groeien, ontwikkelen zich steeds sneller en sneller [11](#page=11). * **Temperatuurafname (afkoeling)**: De afname van temperatuur kan worden beschreven met een e-macht met een negatieve exponent, wat aangeeft dat het effect na verloop van tijd "uitdooft" [11](#page=11). > **Voorbeeld:** De temperatuur `$T$` van een object dat afkoelt in een omgeving met een constante temperatuur `Tomgeving` kan worden beschreven door de formule `$T = (T_1 – T_{omgeving}) \cdot e^{-t/20} + T_{omgeving}$`, waarbij `$T_1$` de begintemperatuur is en `$t$` de tijd in minuten [11](#page=11). * Voor `$t = 0$`, is de temperatuur gelijk aan de begintemperatuur `$T_1$`: `$T = (T_1 – T_{omgeving}) \cdot e^0 + T_{omgeving} = T_1$` [11](#page=11). * Voor `$t = \infty$` (in de limiet), nadert de temperatuur de omgevingstemperatuur: `$T = (T_1 – T_{omgeving}) \cdot e^{-\infty/20} + T_{omgeving} = (T_1 – T_{omgeving}) \cdot 0 + T_{omgeving} = T_{omgeving}$` [11](#page=11). > **Tip:** Een e-macht met een positieve exponent beschrijft een explosieve groei, terwijl een e-macht met een negatieve exponent een proces beschrijft dat uitdooft of afneemt [11](#page=11). --- # Het getal e en continue groei Dit onderdeel introduceert het getal $e$ als limiet in situaties van samengestelde rente en bespreekt continue groei en verval, met toepassingen zoals bevolkingsgroei en temperatuurafkoeling. ### 2.1 Samengestelde rente en de afleiding van het getal $e$ De groei van een kapitaal met samengestelde rente kan worden gemodelleerd. Als een startkapitaal $K_0$ wordt belegd tegen een jaarlijkse rentevoet $r$, en de rente wordt jaarlijks bijgeschreven, dan is het kapitaal na $a$ jaar gegeven door de formule: $$ K_{na \ a \ jaar} = K_0 (1 + r)^a $$ Wanneer de periode van rentebijschrijving wordt verkort tot $n$ tijdblokken per jaar, wordt de formule: $$ K_{na \ n \ tijdblokken} = K_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n $$ Wanneer het aantal tijdblokken $n$ oneindig groot wordt, oftewel de rente continu wordt bijgeschreven, wordt de factor $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n$ benaderd door een speciaal getal. Eerst wordt de situatie bekeken waarbij $r=1$ en $n$ zeer groot wordt. De waarde van $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ benadert dan een constante waarde van ongeveer 2,718.... Dit irrationele getal wordt aangeduid met $e$ [6](#page=6). Om dit te bewijzen, wordt de algemene formule herschreven: $$ \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n \cdot \frac{r}{r}} = \left(\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{\frac{n}{r}}\right)^r $$ Als we $n' = \frac{n}{r}$ definiëren, wordt dit $\left(\left(1 + \frac{1}{n'}\right)^{n'}\right)^r$. Aangezien $n'$ ook oneindig groot wordt als $n$ oneindig groot wordt, en $\left(1 + \frac{1}{n'}\right)^{n'}$ naar $e$ nadert, wordt de uitdrukking $e^r$ [7](#page=7). De formule voor het kapitaal na één jaar bij continu bijschrijven van rente wordt dan: $$ K_{na \ 1 \ jaar} = K_0 \cdot e^r $$ Dit contrasteert met stapsgewijze rentebijschrijving, waarbij de aangroei nog steeds evenredig is met het kapitaal, maar de groei zich in discrete stappen voordoet. Continue groei daarentegen, met een oneindig groot aantal tijdblokken, resulteert in de formule met het getal $e$ [8](#page=8). > **Tip:** Het getal $e$ is de basis van de natuurlijke logaritme en speelt een cruciale rol in de wiskunde en natuurwetenschappen, vooral bij het modelleren van continue processen. ### 2.2 Toepassingen van het getal $e$ bij continue groei en verval Het getal $e$, verheven tot een bepaalde macht, is te vinden in functies waarbij een grootheid gelijkmatig en continu verandert, met een verandering die evenredig is aan de grootheid zelf [9](#page=9). #### 2.2.1 Bevolkingsgroei Een klassiek voorbeeld van continue groei is de aangroei van de wereldbevolking. De verandering in de bevolking ($Δz$) is evenredig met de reeds aanwezige bevolking ($z$). Dit kan worden gemodelleerd met een functie van de vorm $z = z_0 e^{kt}$, waarbij $z_0$ het beginpopulatie is en $k$ de groeisnelheid. Een specifiek voorbeeld is de functie: $$ W = 800 \cdot e^{t/130} $$ Hierbij is $W$ de bevolking in miljoenen en $t$ het aantal jaren na 1750 [9](#page=9). > **Voorbeeld:** Een populatie groeit exponentieel met een groeisnelheid van 2% per jaar. Na 10 jaar, met continue groei, zal de populatie vermenigvuldigd zijn met $e^{0.02 \cdot 10} = e^{0.2} \approx 1.221$. Dus, als de startpopulatie 1000 is, zal deze na 10 jaar ongeveer 1221 bedragen. #### 2.2.2 Temperatuurafkoeling Een ander voorbeeld van een proces dat gemodelleerd kan worden met het getal $e$ is de afkoeling van een voorwerp. Wanneer een heet voorwerp in een koudere omgeving wordt geplaatst, daalt de temperatuur ervan. De snelheid van temperatuurdaling is evenredig met het temperatuurverschil tussen het voorwerp en de omgeving (en daarmee ook met de temperatuur van het voorwerp zelf, zolang het temperatuurverschil constant is) [10](#page=10). De warmteafgifte van het voorwerp aan de omgeving is evenredig met het temperatuurverschil. Dit verschil is aanvankelijk groot en wordt kleiner naarmate het voorwerp afkoelt en de temperatuur van het voorwerp de omgevingstemperatuur nadert. Dit leidt tot een exponentiële afname van het temperatuurverschil met de tijd, wat wordt beschreven met een functie die het getal $e$ bevat. De temperatuur $T(t)$ van het voorwerp op tijdstip $t$ kan vaak worden uitgedrukt als [10](#page=10): $$ T(t) = T_{omgeving} + (T_0 - T_{omgeving}) e^{-kt} $$ Hierbij is $T_{omgeving}$ de temperatuur van de omgeving, $T_0$ de initiële temperatuur van het voorwerp, en $k$ een constante die afhangt van de eigenschappen van het voorwerp en de omgeving [10](#page=10). > **Tip:** Bij problemen met continue groei of verval, waarbij de veranderingssnelheid evenredig is met de huidige hoeveelheid, is de kans groot dat het getal $e$ en de exponentiële functie $e^{kt}$ een rol spelen in de oplossing. --- # Goniometrische en sinusoidale functies Dit onderwerp verkent de basisfuncties sinus en cosinus, de amplitude, periode en faseverschuiving, en hun toepassing in het beschrijven van cyclische verschijnselen zoals trillingen en golven. ### 3.1 Basisfuncties sinus en cosinus De basisfuncties die cyclische verschijnselen beschrijven zijn de sinus- en cosinusfunctie. De algemene vorm van deze functies, afhankelijk van de tijd, is [17](#page=17): $y = \sin(t)$ $y = \cos(t)$ Deze functies hebben een bereik tussen -1 en +1 [17](#page=17). ### 3.2 Amplitude In veel toepassingen variëren de functiewaarden niet tussen -1 en +1, maar tussen een minimum- en maximumwaarde. Dit wordt beschreven door de amplitude ($A$). De functiewaarde $y$ varieert dan tussen $-A$ en $+A$ [17](#page=17). $y = A \sin(t)$ $y = A \cos(t)$ De amplitude $A$ heeft dezelfde eenheid als de functiewaarde $y$ [17](#page=17). ### 3.3 Periode en hoekfrequentie #### 3.3.1 Periode De sinus- en cosinusfuncties zijn periodiek. Dit betekent dat na een bepaalde tijd, de functiewaarde zich herhaalt. Voor de basisfuncties $\sin(t)$ en $\cos(t)$ is deze periode $2\pi$ seconden [18](#page=18). $A \sin(t_1) = A \sin(t_1 + 2\pi)$ De periode van de functie $A \sin(t)$ is $T = 2\pi$ seconden [18](#page=18). #### 3.3.2 Integreren van de periode Om een andere periode $T$ in de functie te verwerken, wordt de tijd vermenigvuldigd met een factor binnen het sinus- of cosinusargument: $y = A \sin(\omega t)$ Op een tijdstip $t_1 + T$ heeft de functie dezelfde waarde als op tijdstip $t_1$: $A \sin(\omega (t_1 + T)) = A \sin(\omega t_1)$ $A \sin(\omega t_1 + \omega T) = A \sin(\omega t_1)$ Aangezien de sinuswaarden gelijk zijn als de hoek met $2\pi$ toeneemt, volgt hieruit: $\omega T = 2\pi$ Hieruit kunnen de volgende relaties worden afgeleid: $T = \frac{2\pi}{\omega}$ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ De waarde $\omega$ (de hoekfrequentie) is groter naarmate de periode $T$ korter is. De eenheid van $\omega$ is rad/s [19](#page=19). > **Tip:** Een kortere periode betekent een hogere frequentie (meer cycli per tijdseenheid), wat overeenkomt met een hogere $\omega$. ### 3.4 Toepassing: Sinusoidale functies Sinusoidale functies worden gebruikt om cyclische verschijnselen zoals trillingen en golven te beschrijven. #### 3.4.1 Voorbeeld: Trillende massa Beschouw een trillende massa met een maximale afstand tussen de uiterste verplaatsingen van 3 cm. Er worden 40 doorgangen door de evenwichtspositie gemeten in 58 seconden [20](#page=20). 1. **Amplitude bepalen:** De amplitude is de helft van de afstand tussen de uitersten, dus de afstand van de evenwichtspositie tot een uiterste. In dit geval is de amplitude $A = 3 \text{ cm} / 2 = 1,5 \text{ cm}$ [20](#page=20). 2. **Periode bepalen:** Een nuldoorgang gebeurt tweemaal per periode. Met 40 doorgangen zijn er dus $40 / 2 = 20$ periodes. De periode $T$ is dan $58 \text{ s} / 20 = 2,9 \text{ s}$ [20](#page=20). 3. **Hoekfrequentie berekenen:** $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2,9 \text{ s}} \approx 2,17 \text{ rad/s}$ [20](#page=20). 4. **Functie opstellen:** De functie die deze beweging weergeeft is $y = A \sin(\omega t) = 1,5 \sin(2,17 t)$ cm [20](#page=20). Het verloop van de sinus- en cosinusfunctie is gelijkaardig; het starttijdstip bepaalt welk van de twee het meest geschikt is [20](#page=20). ### 3.5 Algemene formule van een sinusoidale functie De algemene formule voor een sinusoidale functie, die zowel de amplitude, de periode (via $\omega$) als de faseverschuiving (via $\phi$) kan beschrijven, is: $y = A \sin(\omega t + \phi)$ Hierbij is: * $A$ de amplitude [17](#page=17). * $\omega$ de hoekfrequentie, gerelateerd aan de periode $T$ door $\omega = \frac{2\pi}{T}$ [19](#page=19). * $\phi$ de faseverschuiving (in radialen), die het starttijdstip van de golf of trilling bepaalt [21](#page=21). De standaard sinusfunctie ($y = \sin(t)$) heeft $\phi = 0$ [21](#page=21). De standaard cosinusfunctie ($y = \cos(t)$) kan worden geschreven als $y = \sin(t + \frac{\pi}{2})$ [21](#page=21). Een alternatieve weergave is $y = \sin(t - \frac{\pi}{2})$, wat dan weer overeenkomt met $y = -\cos(t)$ [21](#page=21). Dus voor $y = A \sin(\omega t + \phi)$: * Een sinusfunctie heeft $\phi = 0$ [21](#page=21). * Een cosinusfunctie heeft $\phi = -\frac{\pi}{2}$ (of $\phi = \frac{\pi}{2}$ afhankelijk van de definitie, maar in de context van dit document is $\phi = \frac{\pi}{2}$ als we $y=\cos(t) = \sin(t+\frac{\pi}{2})$ nemen, of $\phi = -\frac{\pi}{2}$ als we $y=\cos(t) = \sin(t-\frac{\pi}{2})$ vergelijken met de standaard sinus functie met $\phi=0$ als referentie) [21](#page=21). #### 3.5.1 Faseverschuiving berekenen Als de beginsituatie van een beweging (uitwijking op $t=0$) bekend is, kan de faseverschuiving $\phi$ berekend worden [22](#page=22). > **Voorbeeld: Faseverschuiving berekenen** > > Bij de trillende massa uit het vorige voorbeeld ($y = 1,5 \sin(2,17 t)$ cm) is op het begintijdstip $t=0$ de uitwijking $y = -0,8$ cm, en de massa wijkt nog verder uit naar beneden [22](#page=22). > > De functie wordt algemeen: $y = 1,5 \sin(2,17 t + \phi)$ [22](#page=22). > > Invullen van de beginconditie: > $-0,8 = 1,5 \sin(2,17 \cdot 0 + \phi)$ > $-0,8 = 1,5 \sin(\phi)$ > > Hieruit volgt: $\sin(\phi) = \frac{-0,8}{1,5}$ > $\phi = \arcsin\left(\frac{-0,8}{1,5}\right)$ > > Een rekenapparaat geeft $\phi \approx -0,5625$ radialen [23](#page=23). > > Echter, dit verloop voldoet niet aan de vereiste dat de uitwijking na $t=0$ eerst nog verder toeneemt (naar beneden gaat). De hoekwaarde $-0,5625$ radialen ligt in het vierde kwadrant. De corresponderende hoek in het derde kwadrant, die ook voldoet aan $\sin(\phi) = -0,8/1,5$, is $\phi = \pi - (-0,5625) = \pi + 0,5625 \approx 3,704$ radialen (of rekenkundig: $-0,5625 - \pi = -3,704$ rad, wat met een verschuiving van $2\pi$ ook tot een correcte fase leidt). Echter, een correcte berekening om de juiste hoek te vinden is vaak gebaseerd op $\pi - \arcsin(\text{waarde})$ voor het tweede kwadrant en $\pi + \arcsin(\text{waarde})$ voor het derde kwadrant, of specifieke kwadrantregels [24](#page=24). > > Correcte berekening voor de hoek in het derde kwadrant: $\phi = \pi + \arcsin(0,8/1,5) \approx 3,1416 + 0,9851 \approx 4,1267$ radialen, of gebruikmakend van de negatieve waarde: $\phi = -\pi - \arcsin(0,8/1,5) \approx -3,1416 - 0,9851 \approx -4,1267$ radialen. > > Laten we uitgaan van de opgave die expliciet een oplossing geeft van 3,704 rad. Dit duidt op een mogelijke interpretatie waarbij de oorspronkelijke berekening van $\phi = -0,5625$ rad (vierde kwadrant) correct is, maar dat de beweging *beginnend* op dat punt de richting naar beneden aangeeft. De vereiste dat "de massa nog verder uitwijkt naar beneden" impliceert dat de beginsnelheid negatief is. In dit geval is de hoek in het derde kwadrant nodig. De correcte hoek is dan $\phi = -0,5625 - \pi \approx -3,704$ radialen, of equivalente hoek: $3,704$ radialen. > > De gezochte functie is dus: $y = 1,5 \sin(2,17 t + 3,704)$ cm [24](#page=24). > > Het verloop van deze functie voldoet aan de vereisten [24](#page=24). ### 3.6 Oefeningen #### 3.6.1 Oefening 18: Golven Geef de functie die de vorm van golven op het water beschrijft, met een afstand tussen twee toppen van 2,1 meter en een maximaal hoogteverschil van 0,45 meter [26](#page=26). * **Amplitude ($A$):** Maximale hoogteverschil is de afstand tussen de toppen en dalen, dus de amplitude is de helft hiervan: $A = 0,45 \text{ m} / 2 = 0,225 \text{ m}$. * **Periode ($T$):** De afstand tussen twee toppen is gelijk aan de periode van de golf: $T = 2,1 \text{ m}$. * **Hoekfrequentie ($\omega$):** $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2,1} \text{ rad/m}$. (Hier wordt de afstand als 'tijd' beschouwd, dus de eenheid van $\omega$ is rad/m). * **Functie:** $y(x) = 0,225 \sin\left(\frac{2\pi}{2,1} x\right)$, waarbij $x$ de horizontale afstand is. (Geen faseverschuiving gespecificeerd, dus standaard sinusfunctie). #### 3.6.2 Oefening 19: Trilling Een trilling heeft een frequentie van 300 Hz en een afstand tussen de uitersten van 2,4 cm. Op tijdstip $t=0$ is de uitwijking naar boven 0,8 cm, waarbij de trilling terugkeert naar de evenwichtspositie. Schets de trilling en geef de functie [26](#page=26). * **Amplitude ($A$):** $A = 2,4 \text{ cm} / 2 = 1,2 \text{ cm}$. * **Frequentie ($f$):** $f = 300 \text{ Hz}$. De periode is $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{300} \text{ s}$. * **Hoekfrequentie ($\omega$):** $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 300 = 600\pi \text{ rad/s}$. * **Faseverschuiving ($\phi$):** Op $t=0$ is $y=0,8$ cm en de trilling beweegt naar de evenwichtspositie (dus de uitwijking neemt af). De algemene functie is $y(t) = 1,2 \sin(600\pi t + \phi)$. Op $t=0$: $0,8 = 1,2 \sin(\phi) \Rightarrow \sin(\phi) = \frac{0,8}{1,2} = \frac{2}{3}$. Hieruit volgt dat $\phi$ in het eerste of tweede kwadrant kan liggen. Omdat de trilling terugkeert naar de evenwichtspositie (dus de uitwijking neemt af na $t=0$), moet de snelheid op $t=0$ negatief zijn. $v(t) = \frac{dy}{dt} = 1,2 \cdot 600\pi \cos(600\pi t + \phi)$. Op $t=0$: $v = 1,2 \cdot 600\pi \cos(\phi) < 0$ . Omdat $\cos(\phi)$ negatief moet zijn, ligt $\phi$ in het tweede kwadrant. $\phi = \pi - \arcsin(2/3) \approx 3,1416 - 0,7297 \approx 2,4119$ radialen. * **Functie:** $y(t) = 1,2 \sin(600\pi t + 2,4119)$ cm. #### 3.6.3 Oefening 22: Getijdenwerking Geef een functie die de diepte van de Schelde in de haven van Antwerpen kan berekenen door het uur in te vullen, gebaseerd op de gegeven metingen [27](#page=27). De metingen tonen een cyclisch patroon (getijden). We hebben een reeks diepte-metingen over een tijdsspanne. Gegeven: metingen om de driekwartier, beginuur 8.00 uur. Totaal aantal metingen = 21. Tijd tussen metingen = 0,75 uur. Totale gemeten tijdsspanne = $(21-1) \times 0,75 \text{ uur} = 20 \times 0,75 = 15 \text{ uur}$. Einduur = 8.00 uur + 15 uur = 23.00 uur. De laatste meting is om 23.15 uur. 1. **Amplitude ($A$):** We zoeken het minimum en maximum uit de data. Minimum diepte: 12,5 m. Maximum diepte: 17,5 m. Amplitude $A = \frac{17,5 \text{ m} - 12,5 \text{ m}}{2} = \frac{5 \text{ m}}{2} = 2,5 \text{ m}$. 2. **Evenwichtsstand (gemiddelde diepte):** De gemiddelde diepte (evenwichtsstand) is het midden tussen min en max: $y_{\text{evenwicht}} = \frac{17,5 \text{ m} + 12,5 \text{ m}}{2} = \frac{30 \text{ m}}{2} = 15 \text{ m}$. 3. **Periode ($T$):** Dit is het meest complexe deel en vereist identificatie van de getijdencyclus. Typisch is een getijdencyclus ongeveer 12,5 uur (halfgetij). Laten we proberen de periode te schatten uit de gegevens. De reeks begint met toenemende diepte (8:00 -> 17.4m, 8:45 -> 16.9m, etc. lijkt dalend, hier is een fout in de aanname of data). Laten we de data correct interpreteren: 8:00: 17.4 8:45: 16.9 9:30: 16.2 10:15: 15.4 11:00: 14.4 11:45: 13.6 12:30: 12.9 13:15: 12.6 14:00: 12.5 (minimum) 14:45: 12.9 15:30: 13.5 16:15: 14.3 17:00: 15.3 17:45: 16.1 18:30: 16.9 19:15: 17.3 20:00: 17.5 (maximum) 20:45: 17.3 21:30: 16.8 22:15: 16.0 23:00: 15.1 De periode van hoogwater tot hoogwater (of laagwater tot laagwater) is ongeveer 12 uur en 30 minuten (12,5 uur). Laten we dit als uitgangspunt nemen. $T = 12,5 \text{ uur}$. 4. **Hoekfrequentie ($\omega$):** $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{12,5 \text{ uur}} \approx 0,5026 \text{ rad/uur}$. 5. **Faseverschuiving ($\phi$):** We kunnen kiezen voor een cosinusfunctie (wat vaak logischer is voor getijden, beginnend bij een maximum) of een sinusfunctie. Laten we een cosinusfunctie gebruiken, $y(t) = A \cos(\omega t + \phi) + y_{\text{evenwicht}}$. Het maximum treedt op rond 20:00 uur. Als we 20:00 uur als $t=0$ kiezen, dan is de fase 0. Maar we moeten het uur invullen als tijd $t$. Laten we 8:00 uur als $t=0$ nemen. De maximale diepte van 17,5 m wordt gemeten om 20:00 uur. Dit is $20:00 - 8:00 = 12$ uur na het begin. Dus op $t=12$ uur is de diepte maximaal. $y = 17,5$ [12](#page=12). $17,5 = 2,5 \cos(0,5026 \times 12 + \phi) + 15$ $2,5 = 2,5 \cos(6,0312 + \phi)$ $1 = \cos(6,0312 + \phi)$ Dit betekent dat $6,0312 + \phi = 2\pi k$ voor een geheel getal $k$. Laten we de periode iets preciezer nemen, bijvoorbeeld $T=12.42$ uur (typische halfgetijde periode). $\omega = \frac{2\pi}{12.42} \approx 0.5059$ rad/uur. Het maximum is rond 20:00 uur, wat 12 uur na 8:00 uur is. Als we een cosinusfunctie gebruiken zonder faseverschuiving (dus $\phi=0$), dan zou het maximum op $t=0$ moeten vallen. Dit is niet het geval. Laten we de functie als $y(t) = A \cos(\omega (t - t_{\text{max}})) + y_{\text{evenwicht}}$ schrijven, waarbij $t_{\text{max}}$ het tijdstip is van een maximum. $t_{\text{max}}$ is rond 20:00 uur, wat 12 uur na 8:00 uur is. Dus $t_{\text{max}} = 12$ uur. $y(t) = 2,5 \cos(0,5026 (t - 12)) + 15$. Laten we dit controleren met de beginwaarde: Op $t=0$ (8:00 uur): $y = 2,5 \cos(0,5026 \times (-12)) + 15 = 2,5 \cos(-6,0312) + 15 \approx 2,5 \times 0,9239 + 15 \approx 2,31 + 15 = 17,31$ m . Dit komt redelijk overeen met de gemeten 17,4 m. Laten we controleren rond het minimum (14:00 uur, $t=6$ uur). $y = 2,5 \cos(0,5026 (6 - 12)) + 15 = 2,5 \cos(0,5026 \times (-6)) + 15 = 2,5 \cos(-3,0156) + 15 \approx 2,5 \times (-0,999) + 15 \approx -2,4975 + 15 = 12,5025$ m [6](#page=6). Dit komt zeer goed overeen met de gemeten 12,5 m. De functie is dus: $y(t) = 2,5 \cos\left(\frac{2\pi}{12,5} (t - 12)\right) + 15$ waarbij $t$ het aantal uren is sinds 8:00 uur. De eenheid van de diepte is meters. > **Tip:** Bij het modelleren van getijden is het vaak handiger om een cosinusfunctie te gebruiken, omdat getijden typisch beginnen met een hoog- of laagwaterstand (maximum of minimum). De faseverschuiving kan dan worden uitgedrukt als een verschuiving van dit maximum/minimum. --- # Vergelijkingen en functies Dit deel behandelt diverse soorten functies, waaronder rationale, veelterm-, lineaire, kwadratische en hogere-graadsfuncties, samen met methoden om vergelijkingen op te lossen [15](#page=15). ### 4.1 Soorten functies #### 4.1.1 Veeltermfuncties Veeltermfuncties hebben de algemene vorm $y = f(x) = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \dots + A_2 x^2 + A_1 x + A_0$. Hierbij moeten de machten van $x$ gehele getallen zijn [33](#page=33). #### 4.1.2 Lineaire functie De algemene vorm van een lineaire functie is $y = ax + b$ [34](#page=34). * De parameter $b$ vertegenwoordigt de functiewaarde $y$ wanneer $x = 0$ [34](#page=34). * De parameter $a$ is de helling of richtingscoëfficiënt. Een grotere absolute waarde van $a$ resulteert in een grotere helling [34](#page=34). * Een positieve $a$-waarde geeft aan dat de functiewaarde $y$ stijgt bij toenemende $x$-waarden [35](#page=35). * Een negatieve $a$-waarde geeft een dalend verloop aan [35](#page=35). ##### 4.1.2.1 Constante functie De constante functie is een speciaal geval van de lineaire functie waarbij $a = 0$, wat resulteert in $y = b$ [36](#page=36). ##### 4.1.2.2 Bepalen van een rechte * **Rechte op basis van 1 punt en de richtingscoëfficiënt:** Deze methode maakt gebruik van een gegeven punt $(x_1, y_1)$ en de richtingscoëfficiënt $a$ om de vergelijking van de rechte te bepalen [37](#page=37). * **Rechte door 2 punten:** Om een rechte te bepalen die door twee gegeven punten $(x_1, y_1)$ en $(x_2, y_2)$ gaat, wordt eerst de richtingscoëfficiënt berekend: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Vervolgens kan met één van de punten en de richtingscoëfficiënt de vergelijking van de rechte worden opgesteld [38](#page=38). #### 4.1.3 Kwadratische functie De algemene vorm van een kwadratische functie is $y = ax^2 + bx + c$. De grafiek van een kwadratische functie is een parabool [40](#page=40). * De parabool is symmetrisch ten opzichte van een verticale rechte, de symmetrie-as, met de vergelijking $x = -\frac{b}{2a}$ [40](#page=40). > **Voorbeeld:** De beweging van een voorwerp in vrije val kan worden beschreven met kwadratische functies. De valweg neemt kwadratisch toe met de tijd ($s = \frac{1}{2} \cdot \text{valversnelling} \cdot t^2$), terwijl de snelheid lineair toeneemt met de tijd ($v = \text{valversnelling} \cdot t$) [41](#page=41). #### 4.1.4 Rationale functies Een rationale functie heeft de algemene vorm $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$, waarbij $P(x)$ en $Q(x)$ veeltermfuncties zijn en $Q(x) \neq 0$. Het eenvoudigste voorbeeld is $y = \frac{a}{x}$, wat een hyperbool voorstelt en waarvoor geldt dat $x \neq 0$ [16](#page=16). #### 4.1.5 Hogere graadsfuncties Hogere-graadsfuncties zijn functies waarbij de hoogste macht van de variabele $x$ groter is dan 2 [15](#page=15). ### 4.2 Vergelijkingen Vergelijkingen worden gebruikt om onbekende waarden te vinden die aan specifieke voorwaarden voldoen [42](#page=42) [43](#page=43). #### 4.2.1 Vergelijkingen met een veelterm ##### 4.2.1.1 Eerste-graadsvergelijking De algemene vorm van een eerste-graadsvergelijking is $ax + b = 0$ [44](#page=44). * De oplossing is $x = -\frac{b}{a}$ [44](#page=44). * Grafisch kan de oplossing worden weergegeven als het snijpunt van de functie $y = ax + b$ met de x-as. Het tekenverloop van de functie kan ook worden weergegeven in een schema [44](#page=44). > **Oefening:** Een vloerder meet de omtrek van een rechthoekige kamer op 22 meter. De lengte is één meter langer dan de breedte. Wat zijn de afmetingen [45](#page=45)? > **Oefening:** De toegangsprijs voor een tentoonstelling is 2,00 euro per kind en 4,75 euro per volwassene. Er zijn zes volwassenen minder dan kinderen. De totale kost bedraagt 93,00 euro. Hoeveel kinderen zijn er [45](#page=45)? ##### 4.2.1.2 Tweede-graadsvergelijking De algemene vorm van een tweede-graadsvergelijking is $ax^2 + bx + c = 0$ [46](#page=46). * De oplossingen (wortels) worden gegeven door de kwadratische formule: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ [46](#page=46). * De discriminant $D$ is gelijk aan $b^2 - 4ac$ [46](#page=46). * Als $D < 0$, zijn er geen reële oplossingen en ligt de parabool volledig boven of onder de x-as [46](#page=46). * Als $D > 0$, zijn er twee verschillende reële oplossingen [46](#page=46). * Als $D = 0$, is er één reële oplossing (een dubbele wortel), waarbij de parabool de x-as raakt met de top [46](#page=46). > **Oefening:** Een rechthoek heeft een omtrek van 20 meter. De lengte en breedte verhouden zich volgens de gulden snede ($\frac{\text{lengte}}{\text{breedte}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$). Wat zijn de afmetingen van de rechthoek [47](#page=47)? ##### 4.2.1.3 Hogere-graadsvergelijkingen De algemene vorm van een hogere-graadsvergelijking is $A(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$ [48](#page=48). * Er zijn geen algemene formules voor het oplossen van hogere-graadsvergelijkingen [48](#page=48). * De **regel van Horner** kan worden gebruikt om na te gaan of een waarde $x_1$ een oplossing is. Als $x_1$ een oplossing is, is de rest bij deling van $A(x)$ door $(x - x_1)$ nul [48](#page=48). $A(x) = Q(x) \cdot (x - x_1) + \text{rest}$ Als de rest nul is, dan is $A(x_1) = 0$, wat betekent dat $x_1$ een wortel is [48](#page=48). * De veelterm $A(x)$ kan worden herschreven als $A(x) = Q(x) \cdot (x - x_1)$, waarbij $Q(x)$ een veelterm is van graad $n-1$. De nulpunten van $Q(x)$ kunnen vervolgens worden gezocht [48](#page=48). * Uiteindelijk kan een veelterm worden ontbonden in factoren: $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_n (x - x_1)(x - x_2)(x^2 + bx + c) \dots$ [48](#page=48). > **Tip:** Een veelterm van graad $n$ kan voortkomen uit de $n$-de macht van $(x + a)$ of $(x - a)$. $(x + a)^n$ en $(x - a)^n$ hebben elk één nulpunt respectievelijk $x = -a$ en $x = a$ [50](#page=50). #### 4.2.2 Stelsels van vergelijkingen Een stelsel van vergelijkingen omvat meerdere vergelijkingen met meerdere onbekenden. Een oplossing is een set waarden voor de onbekenden die tegelijkertijd aan alle vergelijkingen voldoet. In dit deel worden voornamelijk lineaire vergelijkingen behandeld [51](#page=51). ##### 4.2.2.1 Oplossingsmethoden Voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen zijn er meerdere methoden, waaronder: * **Substitutiemethode:** Hierbij wordt een variabele uit één vergelijking geïsoleerd en gesubstitueerd in de andere vergelijking(en) [51](#page=51). * **Eliminatiemethode:** Bij deze methode worden de vergelijkingen zodanig vermenigvuldigd dat bij optelling of aftrekking van de vergelijkingen één van de onbekenden wegvalt (geëlimineerd wordt) [51](#page=51). > **Oefeningen:** Er worden oefeningen aangeboden met betrekking tot het oplossen van vergelijkingen en stelsels [52](#page=52). --- # Meetkunde en oppervlaktes Dit onderwerp behandelt de berekening van oppervlaktes van diverse meetkundige figuren en introduceert het concept van de inhoud van ruimtefiguren [66](#page=66) [76](#page=76). ### 5.1 Oppervlaktes van vlakke figuren #### 5.1.1 De basisformule voor oppervlakte De basisformule voor oppervlakte is gebaseerd op de oppervlakte van een rechthoek, gedefinieerd als basis maal hoogte. Oppervlakte wordt uitgedrukt in oppervlakte-eenheden [66](#page=66). #### 5.1.2 Oppervlakte van een driehoek Een rechthoekige driehoek ontstaat door een rechthoek diagonaal te halveren. De formule voor de oppervlakte van een driehoek is [66](#page=66): $$ \text{Oppervlakte} = \frac{\text{Basis} \times \text{Hoogte}}{2} $$ Deze formule is ook geldig voor niet-rechthoekige driehoeken. Een driehoek beslaat de helft van de oppervlakte van een rechthoek met dezelfde basis en hoogte [66](#page=66). #### 5.1.3 Oppervlakte van een parallellogram De oppervlakte van een parallellogram wordt berekend met de formule: $$ \text{Oppervlakte} = \text{Basis} \times \text{Hoogte} $$ [67](#page=67). #### 5.1.4 Oppervlakte van een trapezium Voor een trapezium wordt als 'basis' de gemiddelde breedte gebruikt, bepaald door de som van de twee parallelle zijden gedeeld door twee. De formule is: $$ \text{Oppervlakte} = \left( \frac{b + B}{2} \right) \times \text{Hoogte} $$ waarbij $b$ en $B$ de lengtes van de parallelle zijden zijn en Hoogte de loodrechte afstand tussen deze zijden [67](#page=67). #### 5.1.5 Oppervlakte van een cirkel De oppervlakte van een cirkel wordt afgeleid door de cirkel op te delen in kleine driehoekjes. De oppervlakte van één zo'n driehoekje wordt benaderd als de booglengte $\delta R$ vermenigvuldigd met de straal $R$, gedeeld door 2: $\frac{\delta R \times R}{2}$. De totale oppervlakte van de cirkel wordt dan [68](#page=68): $$ \text{Oppervlakte} = \pi R^2 $$ Hierbij is $R$ de straal van de cirkel. Een controle toont aan dat $2R^2 < \pi R^2 < 4R^2$ [68](#page=68). > **Tip:** De formule $\pi R^2$ is essentieel voor veel cirkelgerelateerde berekeningen. #### 5.1.6 Oppervlakte van een ellips De oppervlakte van een ellips met assen $2a$ en $2b$ wordt gegeven door de formule: $$ \text{Oppervlakte} = \pi a b $$ Als $2a = 2b$ (dus $a = b = R$), reduceert deze formule tot de oppervlakte van een cirkel, $\pi R^2$ [69](#page=69). #### 5.1.7 Berekening van deeloppervlaktes (voorbeeld) Bij complexe vormen, zoals een as met een spiegleuf, kan de dwarsdoorsnede berekend worden door het op te splitsen in eenvoudigere deeloppervlaktes. Dit kan bijvoorbeeld resulteren in de berekening van de oppervlakte van een cirkelsector [70](#page=70) [71](#page=71). Voorbeeld: De hoek $\beta$ in een driehoek kan berekend worden met de sinus: $\beta = \arcsin(\frac{1}{3}) \approx 19,47^\circ$. De hoogte van deze driehoek is $H = R \cos \beta = 3 \cos(19,47^\circ) \approx 2,828$ cm. Een cirkelsector met een middelpuntshoek $2\beta = 38,94^\circ$ heeft een oppervlakte van [71](#page=71): $$ \text{Oppervlakte cirkelsector} = \frac{2\beta}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{38,94^\circ}{360^\circ} \pi ^2 \approx 3,058 \pi \text{ cm}^2 $$ [3](#page=3). [71](#page=71). #### 5.1.8 Oppervlakte van een bol De oppervlakte van een bol wordt gegeven door de formule: $$ \text{Oppervlakte} = 4 \pi R^2 $$ waarbij $R$ de straal van de bol is. Een manier om dit te onthouden is door te visualiseren dat deze oppervlakte gelijk is aan die van een rechthoek die om de bol heen wordt gevouwen, met een hoogte gelijk aan de diameter van de bol ($2R$) en een breedte gelijk aan de omtrek van de bol ($2\pi R$), wat resulteert in $2R \times 2\pi R = 4\pi R^2$ [72](#page=72). ### 5.2 Inhoud van ruimtefiguren #### 5.2.1 Inhoud van prisma's en cilinders Voor ruimtefiguren met een uniforme doorsnede, waarbij de zijlijnen loodrecht op het basis- en bovenvlak lopen (prisma's, balken, kubussen, cilinders), is de inhoud gelijk aan het basisoppervlak vermenigvuldigd met de hoogte: $$ \text{Inhoud} = \text{Basisoppervlak} \times \text{Hoogte} = A \times H $$ . Deze formule geldt ook als het basisoppervlak niet loodrecht op het manteloppervlak staat, waarbij $H$ de loodrechte afstand tussen het boven- en ondervlak is [76](#page=76). #### 5.2.2 Inhoud van puntvormig uitlopende figuren (kegels en piramides) Voor figuren die uitlopen naar een punt, zoals kegels en piramides, is de inhoud een derde van het product van het basisoppervlak en de hoogte: $$ \text{Inhoud} = \frac{\text{Basisoppervlak} \times \text{Hoogte}}{3} = \frac{A \times H}{3} $$ . Hierbij is $H$ de loodrechte afstand van het toppunt tot het basisoppervlak. Voor een kegel geldt specifiek [77](#page=77): $$ \text{Inhoud kegel} = \frac{\pi R^2 \times H}{3} $$ [77](#page=77). #### 5.2.3 Inhoud van een bol De inhoud van een bol met straal $R$ wordt gegeven door de formule: $$ \text{Inhoud} = \frac{4}{3} \pi R^3 $$ [78](#page=78). --- # Transformaties van grafieken Dit onderdeel beschrijft hoe grafieken van functies kunnen worden verschoven, uitgerekt, samengedrukt of gespiegeld, met specifieke voorbeelden voor parabolen en exponentiële functies. ### 6.1 Verschuiven van een grafiek Grafieken kunnen zowel in de y-richting als in de x-richting worden verschoven. #### 6.1.1 Verschuiving in de y-richting Een verschuiving van de grafiek van $y = f(x)$ over een afstand $c$ in de positieve y-richting wordt beschreven door de vergelijking $y = f(x) + c$ of $y - c = f(x)$. Dit betekent dat voor elke x-waarde de functiewaarde met $c$ wordt verhoogd. Om de grafiek over een afstand $c$ in de positieve zin te verschuiven langs de y-as, wordt de functiewaarde $y$ met $c$ verminderd . #### 6.1.2 Verschuiving in de x-richting Voor een verschuiving in de x-richting geldt de algemene vorm $y = f(x - c)$ . > **Voorbeeld:** Het verschuiven van een hyperbool over een afstand van 3 eenheden . ### 6.2 Rekken en samendrukken van een grafiek #### 6.2.1 Rekken/samendrukken in de y-richting Als een grafiek van $y = f(x)$ wordt vermenigvuldigd met een constante $a$, wordt deze in de y-richting vermenigvuldigd met $a$. De vergelijking wordt $y = a \cdot f(x)$. Als $|a| > 1$, wordt de grafiek uitgerekt; als $0 < |a| < 1$, wordt de grafiek samengedrukt . #### 6.2.2 Rekken/samendrukken in de x-richting Als het argument van een functie wordt vermenigvuldigd met een constante $a$, wordt de grafiek in de x-richting gerekt of samengedrukt. De vergelijking wordt $y = f(ax)$ . * Als $a > 1$, wordt de grafiek samengedrukt ten opzichte van de y-as. * Als $0 < a < 1$, wordt de grafiek uitgerekt ten opzichte van de y-as. > **Voorbeeld:** Een cirkel transformeren . ### 6.3 Spiegelen van een grafiek #### 6.3.1 Spiegelen in de y-as Een spiegeling van de grafiek van $y = f(x)$ in de y-as wordt verkregen door de x te vervangen door $-x$. De nieuwe vergelijking is $y = f(-x)$ . #### 6.3.2 Spiegelen in de x-as Een spiegeling van de grafiek van $y = f(x)$ in de x-as wordt verkregen door de gehele functie te vermenigvuldigen met $-1$. De nieuwe vergelijking is $y = -f(x)$ . ### 6.4 Combinaties van transformaties: voorbeeld valparabool De opbouw van de functie voor een valparabool illustreert de combinatie van meerdere transformaties. 1. **Begin met de eenvoudigste vorm:** De basisvorm voor een bolle parabool is $y = -x^2$ . 2. **Verschuiving in de y-richting:** Om de parabool 9 eenheden naar boven te verschuiven, wordt de vergelijking $y - 9 = -x^2$ of $y = -x^2 + 9$ . 3. **Rekken/samendrukken in de x-richting:** De symmetrie-as van de huidige parabool snijdt de x-as op $-3$ en $3$. Als de werkelijke valparabool de x-as snijdt op $-6$ en $6$, moeten de x-waarden worden aangepast. Dit gebeurt door de x-waarden in de functie te delen door 2, wat leidt tot de vorm $y = - (\frac{x}{2})^2 + 9$ . 4. **Verschuiving in de x-richting:** Om het vertrekpunt op $(0,0)$ te krijgen, moet er 6 eenheden naar links worden verschoven. Dit betekent dat $x$ wordt vervangen door $(x+6)$ in de oorspronkelijke formule, of equivalent, door een verschuiving van de transformatie naar de vorm $y = - (\frac{x-0}{2})^2 + 9$. Om het startpunt op $(0,0)$ te krijgen, wordt een verschuiving in de x-richting over een afstand van 6 toegepast op de variabele $x$. De resulterende functie, rekening houdend met de vorm $y = - (\frac{x}{2})^2 + 9$. De precieze transformatie voor het startpunt op $(0,0)$ wordt bereikt door de functie aan te passen met $x$ vervangen door $(x+6)$ in de context van de samendrukking . ### 6.5 Transformaties van exponentiële functies Exponentiële functies, zoals $y = e^t$, kunnen ook worden onderworpen aan de eerder besproken transformaties . * **Verschuiving in y-richting:** $y = e^t + c$. * **Verschuiving in t-richting:** $y = e^{t-c}$. * **Rekken/samendrukken in t-richting:** $y = e^{at}$. * **Spiegelen in de y-as (t-as):** $y = e^{-t}$. * **Spiegelen in de x-as (y-as):** $y = -e^t$. Combinaties van deze transformaties zijn ook mogelijk. > **Tip:** Analyseer de transformaties stap voor stap. Identificeer eerst de basisvorm van de functie en pas vervolgens elke transformatie afzonderlijk toe, waarbij de volgorde van de transformaties van belang kan zijn (bijvoorbeeld, vermenigvuldigingen en delingen worden doorgaans vóór verschuivingen toegepast). > **Voorbeeld:** Een exponentiële groeifunctie kan worden verschoven, uitgerekt langs de tijd-as, of de hoogte van de groei kan worden aangepast. Bijvoorbeeld, de formule $N(t) = N_0 e^{kt}$ kan worden getransformeerd naar $N(t) = A e^{k(t-t_0)} + B$, wat een initiële hoeveelheid $A$, een groeisnelheid $k$, een tijdsvertraging $t_0$ en een basisniveau $B$ vertegenwoordigt. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Exponentiële functie | Een functie van de vorm $y = b^x$, waarbij $b$ een constante groter dan nul is en ongelijk aan één. Bij $b > 1$ neemt de functiewaarde toe met toenemende $x$, en bij $0 < b < 1$ neemt deze af naar nul. | | Getal e | Een irrationaal getal, benaderd als 2,718..., dat een belangrijke rol speelt in natuurlijke groei- en vervalprocessen, en is gedefinieerd als de limiet van $(1 + 1/n)^n$ als $n$ naar oneindig gaat. | | Amplitude | De maximale afwijking van een functie van nul in een cyclus, zoals bij sinus- of cosinusfuncties. Het vertegenwoordigt de 'hoogte' van de golf vanaf de evenwichtslijn. | | Periode | De tijdsduur of afstand die nodig is om één volledige cyclus van een periodieke functie te voltooien, zoals een golf of een trilling. Dit wordt vaak aangeduid met de letter $T$. | | Goniometrische functies | Functies die betrekking hebben op de hoeken van een driehoek, zoals sinus, cosinus en tangens. Ze worden gebruikt om cyclische verschijnselen te modelleren. | | Sinusoïdale functie | Een functie die kan worden uitgedrukt in termen van sinus of cosinus, kenmerkend voor periodieke verschijnselen zoals golven en trillingen, vaak in de vorm $A \sin(\omega t + \phi)$. | | Veeltermfunctie | Een functie die bestaat uit een som van termen, waarbij elke term een constante vermenigvuldigd met een niet-negatieve gehele macht van de variabele is, zoals $y = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$. | | Lineaire functie | Een veeltermfunctie van de eerste graad, met de algemene vorm $y = ax + b$. De grafiek hiervan is een rechte lijn met richtingscoëfficiënt $a$ en y-snijpunt $b$. | | Kwadratische functie | Een veeltermfunctie van de tweede graad, met de algemene vorm $y = ax^2 + bx + c$. De grafiek hiervan is een parabool. | | Rationale functie | Een functie die kan worden uitgedrukt als de verhouding van twee veeltermfuncties, $y = P(x) / Q(x)$, waarbij $Q(x)$ niet de nulpolynoom is. | | Discriminant | Het deel onder het wortelteken in de kwadratische formule, $D = b^2 - 4ac$. De waarde van de discriminant bepaalt het aantal reële oplossingen van een kwadratische vergelijking. | | Stelsel van vergelijkingen | Een verzameling van twee of meer vergelijkingen met meerdere onbekenden, waarbij een oplossing een set waarden voor de onbekenden is die aan alle vergelijkingen tegelijk voldoet. | | Oppervlakte | De maat van de tweedimensionale ruimte die door een figuur wordt ingenomen, gemeten in vierkante eenheden. | | Inhoud | De maat van de driedimensionale ruimte die door een object wordt ingenomen, gemeten in kubieke eenheden. | | Transformaties | Bewerkingen die de grafiek van een functie wijzigen, zoals verschuiven, uitrekken, samendrukken of spiegelen, vaak beschreven door aanpassingen aan de functieformule. | | Parameter | Een variabele die wordt gebruikt om een reeks van gerelateerde functies of een reeks geometrische vormen te definiëren, vaak als een derde variabele in een parametrische voorstelling zoals $x = f_1(t)$ en $y = f_2(t)$. | | Logaritme | De inverse bewerking van exponentiatie; de logaritme met grondtal $a$ van een getal $b$ is de exponent waartoe $a$ moet worden verheven om $b$ te verkrijgen, genoteerd als $\log_a b$. | | Goniometrie | De tak van wiskunde die zich bezighoudt met de relaties tussen de hoeken en zijden van driehoeken, met name rechthoekige driehoeken, en de eigenschappen van goniometrische functies. | | Stelling van Pythagoras | Een fundamentele stelling in de Euclidische meetkunde die stelt dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de lengte van de schuine zijde ($c$) gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengtes van de twee rechthoekszijden ($a$ en $b$), uitgedrukt als $a^2 + b^2 = c^2$. |