Wiskunde theorie.docx

# Basisbegrippen in de meetkunde Dit onderwerp introduceert de fundamentele bouwstenen van meetkundige concepten zoals punten, lijnen en hun eigenschappen. ### 1.1 Punten Een punt is een fundamenteel, abstract begrip in de meetkunde dat een specifieke plaats aanduidt. Hoewel het in de meetkunde geen afmetingen heeft (nuldimensionaal is), wordt het in de praktijk voorgesteld door een tekening. Punten worden altijd benoemd met een hoofdletter. ### 1.2 Lijnen Een lijn is een oneindige, eendimensionale verzameling van punten. Lijnen kunnen recht, gebogen (krom) of gebroken zijn. #### 1.2.1 Rechte lijnen Rechte lijnen kunnen begrensd of onbegrensd zijn. * **Rechte:** Een onbegrensde, rechte lijn. Een rechte wordt benoemd met een kleine letter of door twee punten die op de rechte liggen. De rechte AB wordt ook wel de drager van het lijnstuk [AB] genoemd. * **Lijnstuk:** Een begrensde rechte lijn, de kortste weg tussen twee grenspunten. Een lijnstuk wordt benoemd met de grenspunten tussen vierkante haakjes, zoals [AB]. * **Halfrechte (of halve rechte):** Een rechte die aan één kant begrensd is door een grenspunt en in één richting oneindig doorloopt. De benoeming gebeurt met het grenspunt en een ander punt, waarbij bij het grenspunt een vierkant haakje wordt geplaatst, zoals de halfrechte [AB. #### 1.2.2 Gebogen en gebroken lijnen * **Gebogen lijn:** Een lijn die niet recht is en een kromming vertoont. Deze kan open of gesloten zijn. * **Gebroken lijn:** Een lijn die bestaat uit een aaneenschakeling van lijnstukken. Deze kan ook open of gesloten zijn. Een open, onbegrensde gebroken lijn heeft aan de uiteinden twee halfrechten. Een open, begrensde gebroken lijn eindigt met twee lijnstukken. ### 1.3 Oppervlakken Een oppervlak is een oneindige, tweedimensionale verzameling van punten. Een oppervlak kan plat of gebogen zijn, en begrensd of onbegrensd. * **Vlak:** Een onbegrensd plat oppervlak. * **Vlakke figuur:** Een begrensd plat oppervlak. ### 1.4 Hoeken Een hoek is een deel van het vlak, begrensd door twee halfrechten (benen) met een gemeenschappelijk grenspunt (hoekpunt). * **Benoeming van hoeken:** * Met het hoekpunt en een punt op elk been, zoals hoek BÂC of hoek CÂB. * Met enkel het hoekpunt, zoals hoek Â. * **Grootte van een hoek:** Bepaald door de spreiding van de benen, niet door de lengte van de benen. * **Maateenheid:** De graad ($1^{\circ}$). * **Soorten hoeken (naargelang de grootte):** * **Nulhoek:** Beide benen vallen samen. Hoekgrootte $= 0^{\circ}$. * **Scherpe hoek:** Groter dan een nulhoek, kleiner dan een rechte hoek. $0^{\circ} < \text{hoekgrootte} < 90^{\circ}$. * **Rechte hoek:** De benen staan loodrecht op elkaar. Hoekgrootte $= 90^{\circ}$. * **Stompe hoek:** Groter dan een rechte hoek, kleiner dan een gestrekte hoek. $90^{\circ} < \text{hoekgrootte} < 180^{\circ}$. * **Gestrekte hoek:** De benen liggen in elkaars verlengde. Hoekgrootte $= 180^{\circ}$. * **Overstrekte hoek:** Groter dan een gestrekte hoek, kleiner dan een volle hoek. $180^{\circ} < \text{hoekgrootte} < 360^{\circ}$. * **Volle hoek:** De benen vallen na een omwenteling opnieuw samen. Hoekgrootte $= 360^{\circ}$. ### 1.5 Veelhoeken Een veelhoek is een vlakke figuur die uitsluitend begrensd wordt door een gesloten gebroken lijn (lijnstukken). * **Benoeming:** Door de hoekpunten in wijzerzin te noteren (bijvoorbeeld vierhoek ABCD). * **Hoekpunten:** De punten waar de zijden samenkomen (A, B, C, D). * **Opeenvolgende/aanliggende hoekpunten:** Hoekpunten die verbonden zijn door een zijde (A en B). * **Niet-opeenvolgende/niet-aanliggende/overstaande hoekpunten:** Hoekpunten die niet verbonden zijn door een zijde (A en C). * **Zijden:** De lijnstukken die de veelhoek begrenzen ([AB], [BC], [CD], [DA]). * **Opeenvolgende/aanliggende zijden:** Zijden die een hoekpunt gemeen hebben ([AB] en [BC]). * **Niet-opeenvolgende/niet-aanliggende/overstaande zijden:** Zijden die geen hoekpunt gemeen hebben ([AB] en [CD]). * **Hoeken:** De hoeken gevormd door de zijden (Â, ₿, Č, Ď). * **Opeenvolgende/aanliggende hoeken:** Hoekpunten die bij eenzelfde zijde horen (Â en ₿). * **Niet-opeenvolgende/niet-aanliggende/overstaande hoeken:** Hoekpunten die tegenover elkaar liggen (Â en Č). * **Indeling van veelhoeken:** * **Convexe veelhoeken:** Alle diagonalen vallen binnen de veelhoek. * **Concave (of niet-convexe) veelhoeken:** Minstens één diagonaal valt (gedeeltelijk) buiten de veelhoek. * **Naar aantal zijden/hoeken:** Driehoeken (3), vierhoeken (4), vijfhoeken (5), zeshoeken (6), etc. (meerhoeken). * **Driehoeken:** Een veelhoek met 3 zijden en 3 hoeken. * **Basis (b) en hoogte (h):** De hoogte is de loodrechte afstand van een hoekpunt tot de overstaande zijde (de basis). Elke zijde kan als basis beschouwd worden. * **Indeling volgens hoeken:** * **Scherphoekige driehoek:** Drie scherpe hoeken. * **Rechthoekige driehoek:** Eén rechte hoek en twee scherpe hoeken. * **Stomphoekige driehoek:** Eén stompe hoek en twee scherpe hoeken. * **Indeling volgens zijden:** * **Ongelijkbenige driehoek:** Drie zijden van verschillende lengte. * **Gelijkbenige driehoek:** Minstens twee gelijke zijden. De hoeken tegenover de gelijke zijden (basishoeken) zijn gelijk. * **Gelijkzijdige driehoek:** Drie gelijke zijden. Alle hoeken zijn gelijk (60°). * **Eigenschappen van driehoeken:** * De som van de hoeken in elke driehoek is $180^{\circ}$. * Elke driehoek heeft minstens 2 scherpe hoeken. * Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig. * **Vierhoeken:** Een veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Eigenschappen van zijden:** Overstaande zijden kunnen evenwijdig en/of even lang zijn. Aanliggende zijden kunnen even lang zijn. * **Eigenschappen van hoeken:** Overstaande hoeken kunnen even groot zijn. Aanliggende hoeken kunnen even groot zijn. Alle hoeken kunnen even groot zijn. * **Diagonalen:** Lijnstukken die twee niet-opeenvolgende hoekpunten verbinden. Een driehoek heeft geen diagonalen. Het aantal diagonalen in een veelhoek met n hoekpunten is $\frac{n \times (n - 3)}{2}$. * **Classificatie van vierhoeken (van meest specifiek naar algemeen):** * **Vierkant:** 4 gelijke zijden, 4 rechte hoeken. * **Rechthoek:** 4 rechte hoeken. * **Ruit:** 4 gelijke zijden. * **Parallellogram:** 2 paar evenwijdige zijden. * **Trapezium:** Minstens 1 paar evenwijdige zijden. * **Vierhoek:** 4 zijden en 4 hoeken. * **Eigenschappen van diagonalen:** Variëren per type vierhoek (delen elkaar middendoor, zijn even lang, staan loodrecht op elkaar). * **Meerhoeken:** Veelhoeken met meer dan 4 zijden. ### 1.6 Overige belangrijke begrippen * **Hoogtelijn:** Een rechte die door een hoekpunt gaat en loodrecht op de overstaande zijde (of het verlengde ervan) staat. Elke driehoek heeft 3 hoogtelijnen die elkaar snijden in het hoogtepunt. * **Middelloodlijn:** Een rechte die door het midden van een lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. De middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de omgeschreven cirkel. * **Zwaartelijn:** Een rechte die door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde gaat. De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in het zwaartepunt. * **Deellijn (bissectrice):** Een rechte die door het hoekpunt gaat en de hoek in twee gelijke delen verdeelt. De deellijnen van een driehoek snijden elkaar in het middelpunt van de ingeschreven cirkel. --- # Eigenschappen en classificatie van driehoeken Dit onderwerp behandelt de classificatie van driehoeken op basis van hun zijden en hoeken, inclusief hun specifieke eigenschappen. ## 2. Indeling van driehoeken Driehoeken kunnen worden ingedeeld op basis van de lengte van hun zijden en de grootte van hun hoeken. ### 2.1 Indeling volgens de lengte van de zijden * **Ongelijkbenige driehoek:** Een driehoek waarbij alle drie de zijden een verschillende lengte hebben. * **Gelijkbenige driehoek:** Een driehoek met minstens twee gelijke zijden. De hoeken tegenover de gelijke zijden worden basishoeken genoemd en zijn gelijk. De derde hoek wordt de tophoek genoemd. * **Gelijkzijdige driehoek:** Een driehoek met drie gelijke zijden. Een gelijkzijdige driehoek is altijd ook een gelijkbenige driehoek. ### 2.2 Indeling volgens de grootte van de hoeken * **Scherphoekige driehoek:** Een driehoek waarbij alle drie de hoeken scherp zijn (kleiner dan 90°). * **Rechthoekige driehoek:** Een driehoek met één rechte hoek (gelijk aan 90°) en dus twee scherpe hoeken. * **Stomphoekige driehoek:** Een driehoek met één stompe hoek (groter dan 90° en kleiner dan 180°) en dus twee scherpe hoeken. ### 2.3 Combinatie van indelingen De indelingen kunnen gecombineerd worden, bijvoorbeeld: * Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig. * Rechthoekige en stomphoekige driehoeken zijn ofwel ongelijkbenig ofwel gelijkbenig, maar nooit gelijkzijdig. * Scherphoekige driehoeken kunnen ongelijkbenig, gelijkbenig of gelijkzijdig zijn. ## 3 Eigenschappen van driehoeken Driehoeken bezitten een aantal fundamentele eigenschappen: * **De som van de hoeken in elke driehoek is gelijk aan 180° (een gestrekte hoek).** Dit kan worden aangetoond door een willekeurige driehoek uit te knippen, de hoekpunten af te scheuren en deze bij elkaar te leggen. De drie hoeken vormen samen een gestrekte hoek. Mathematisch kan dit worden weergegeven als: $$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $$ * **Elke driehoek heeft altijd ten minste 2 scherpe hoeken.** Dit volgt uit de regel dat de som van de hoeken 180° is en dat er maar één rechte of één stompe hoek per driehoek kan zijn. * **Een driehoek met meer dan 1 rechte hoek bestaat niet.** Als er twee rechte hoeken zouden zijn, zou de som van de hoeken al 180° zijn, waardoor de derde hoek 0° zou moeten zijn, wat geen driehoek vormt. * **Een driehoek met meer dan 1 stompe hoek bestaat niet.** Als er twee stompe hoeken zouden zijn, zou de som van de hoeken al meer dan 180° zijn. * **In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken (de hoeken tegenover de gelijke zijden) gelijk.** Dit kan worden aangetoond door de driehoek langs de symmetrieas te vouwen, waarbij de basishoeken elkaar volledig bedekken. > **Tip:** Het controleren van de hoekgroottes met een gradenboog kan deze eigenschap verduidelijken. * **In een gelijkzijdige driehoek zijn de 3 hoeken gelijk en meten elk 60°.** Dit volgt uit de eigenschap dat alle zijden gelijk zijn, waardoor alle hoeken gelijk zijn. Aangezien de som van de hoeken 180° is, is elke hoek $180^\circ / 3 = 60^\circ$. ## 4 Hoogtelijn, Middelloodlijn en Zwaartelijn In elke driehoek kunnen specifieke lijnen worden getekend die belangrijke eigenschappen hebben: * **Hoogtelijn:** Een rechte die door een hoekpunt gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde (of het verlengde daarvan). Elke driehoek heeft 3 hoogtelijnen, die elkaar snijden in het **hoogtepunt**. Het hoogtepunt kan buiten de driehoek vallen bij stomphoekige driehoeken. * **Middelloodlijn:** Een rechte die door het midden van een zijde gaat en er loodrecht op staat. Elke driehoek heeft 3 middelloodlijnen, die elkaar snijden in het **middelpunt van de omgeschreven cirkel**. Dit middelpunt is het centrum van een cirkel die door alle drie de hoekpunten van de driehoek gaat. * **Zwaartelijn:** Een rechte die door een hoekpunt gaat en door het midden van de overstaande zijde. Elke driehoek heeft 3 zwaartelijnen, die elkaar snijden in het **zwaartepunt**. Dit punt is het evenwichtspunt van de driehoek. * **Deelijn (Bissectrice):** Een rechte die door een hoekpunt gaat en de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Elke driehoek heeft 3 deellijnen, die elkaar snijden in het **middelpunt van de ingeschreven cirkel**. Dit middelpunt is het centrum van een cirkel die alle drie de zijden van de driehoek raakt. * **Rechte van Euler:** Deze rechte bevat het zwaartepunt, het hoogtepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek. ## 5 Tekenen en construeren van driehoeken ### 5.1 Tekenen volgens de hoeken * **Scherphoekige driehoek:** Begin met het tekenen van een scherpe hoek. Teken vervolgens de derde zijde, zorg ervoor dat de overige twee hoeken ook scherp zijn en controleer dit met een gradenboog. * **Rechthoekige driehoek:** Begin met het tekenen van een rechte hoek. Teken vervolgens de derde zijde; de overige twee hoeken zullen scherp zijn. * **Stomphoekige driehoek:** Begin met het tekenen van een stompe hoek. Teken vervolgens de derde zijde; de overige twee hoeken zullen scherp zijn. ### 5.2 Tekenen/construeren volgens de zijden * **Gelijkbenige driehoek:** * **Met de geodriehoek:** Teken een basis. Teken op het midden van de basis een loodlijn. Duid op deze loodlijn het punt aan dat de gewenste afstand (voor de gelijke zijden) heeft tot de uiteinden van de basis. * **Met de passer:** Teken een basis. Teken met de passer cirkelbogen vanuit de uiteinden van de basis met de gewenste straal voor de gelijke zijden. De snijpunten van de cirkelbogen zijn de derde hoekpunten. * **Gelijkzijdige driehoek:** * **Met de geodriehoek:** Teken een basis. Duid op het midden van de basis een loodlijn aan. Duid op deze loodlijn het punt aan dat op de gewenste zijdelengte ligt van de uiteinden van de basis. * **Met de passer:** Teken een basis. Teken met de passer cirkelbogen vanuit de uiteinden van de basis met de gewenste zijdelengte als straal. De snijpunten van de cirkelbogen zijn de derde hoekpunten. * **Op basis van de hoekgrootte:** Teken een basis. Teken vanuit de uiteinden van de basis hoeken van 60°. Het snijpunt van deze zijden vormt het derde hoekpunt. * **Ongelijkbenige driehoek:** Teken één zijde. Gebruik de passer om vanuit de uiteinden van deze zijde cirkelbogen te tekenen met de lengtes van de andere twee zijden als straal. De snijpunten van de cirkelbogen vormen het derde hoekpunt. Zorg ervoor dat de gekozen zijdelengtes voldoen aan de driehoeksongelijkheid (de som van twee zijden moet groter zijn dan de derde zijde). --- ## Samenvatting van driehoekseigenschappen | Type driehoek (zijden) | Gelijke zijden | Gelijke hoeken | Overige eigenschappen | | :-------------------------- | :------------------ | :------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | Ongelijkbenig | Geen 2 gelijk | Geen 2 gelijk | De som van de hoeken is $180^\circ$. | | Gelijkbenig | Minimaal 2 gelijk | De hoeken tegenover de gelijke zijden (basishoeken) zijn gelijk. Er zijn minstens 2 scherpe hoeken. | De som van de hoeken is $180^\circ$. | | Gelijkzijdig | Alle 3 gelijk | Alle 3 hoeken zijn gelijk (elk $60^\circ$). Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig. | De som van de hoeken is $180^\circ$. | | **Type driehoek (hoeken)** | Gelijke zijden | Gelijke hoeken | **Eigenschappen:**
- Elke driehoek heeft minstens 2 scherpe hoeken.
- De som van de hoeken is $180^\circ$.
- Gelijkzijdige driehoeken zijn altijd scherphoekig.
- De zijden tegenover gelijke hoeken zijn ook gelijk. | | Scherphoekig | Kan zijn: | Alle 3 scherp ($< 90^\circ$) | Kan ongelijkbenig, gelijkbenig of gelijkzijdig zijn. | | Rechthoekig | Kan zijn: | 1 rechte hoek ($= 90^\circ$), 2 scherpe hoeken | Kan ongelijkbenig of gelijkbenig zijn, maar nooit gelijkzijdig. | | Stomphoekig | Kan zijn: | 1 stompe hoek ($> 90^\circ$ en $< 180^\circ$), 2 scherpe hoeken | Kan ongelijkbenig of gelijkbenig zijn, maar nooit gelijkzijdig. | --- # Eigenschappen en classificatie van vierhoeken Dit hoofdstuk verkent de diverse soorten vierhoeken, hun definities, eigenschappen van zijden, hoeken en diagonalen, en hoe ze van elkaar verschillen. ## 3.1 Basisbegrippen ### 3.1.1 Punten, lijnen, oppervlakken * **Punt:** Een punt duidt een plaats aan en heeft geen afmetingen. Punten worden benoemd met een hoofdletter. * **Lijn:** Een oneindige, eendimensionale aaneenschakeling van punten. Lijnen kunnen recht, gebogen of gebroken zijn. * **Rechte:** Een onbegrensde rechte lijn. Een rechte wordt benoemd met een kleine letter of met twee punten op de rechte. * **Lijnstuk:** Een begrensde rechte lijn, de kortste weg tussen twee punten. Een lijnstuk wordt benoemd met de grenspunten tussen vierkante haakjes. * **Halfrechte:** Een rechte die aan één kant begrensd is, met één grenspunt en oneindig doorlopend in één richting. Benaming met het grenspunt en een ander punt, waarbij het grenspunt tussen vierkante haakjes staat. * **Gebogen lijn:** Kan open of gesloten zijn. * **Gebroken lijn:** Een aaneenschakeling van lijnstukken, kan open of gesloten zijn. * **Oppervlak:** Een oneindige, tweedimensionale aaneenschakeling van punten. Kan plat of gebogen zijn, begrensd of onbegrensd. * **Vlak:** Een onbegrensd plat oppervlak. * **Vlakke figuur:** Een begrensd plat oppervlak. ### 3.1.2 Hoeken Een hoek is een deel van het vlak, begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk hoekpunt (het hoekpunt). De halfrechten zijn de benen van de hoek. * **Benoeming:** Met het hoekpunt en een willekeurig punt op elk been, of enkel met het hoekpunt. * **Grootte:** Bepaald door de spreiding van de benen, niet door de lengte van de benen. Maateenheid is de graad ($^\circ$). * **Indeling naar grootte:** * **Nulhoek:** Benen vallen samen, grootte $0^\circ$. * **Scherpe hoek:** Groter dan een nulhoek, kleiner dan een rechte hoek ($0^\circ < \text{hoekgrootte} < 90^\circ$). * **Rechte hoek:** Benen staan loodrecht op elkaar, grootte $90^\circ$. * **Stompe hoek:** Groter dan een rechte hoek, kleiner dan een gestrekte hoek ($90^\circ < \text{hoekgrootte} < 180^\circ$). * **Gestrekte hoek:** Benen liggen in elkaars verlengde, grootte $180^\circ$. * **Overstrekte hoek:** Groter dan een gestrekte hoek, kleiner dan een volle hoek ($180^\circ < \text{hoekgrootte} < 360^\circ$). * **Volle hoek:** Benen vallen na omwenteling samen, grootte $360^\circ$. ### 3.1.3 Diagonalen Een diagonaal is een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten in een veelhoek verbindt. Driehoeken hebben geen diagonalen. Het aantal diagonalen in een veelhoek kan berekend worden met de formule: $$ \text{Aantal diagonalen} = \frac{\text{aantal hoekpunten} \times (\text{aantal hoekpunten} - 3)}{2} $$ In een vierhoek verbinden diagonalen de overstaande hoekpunten. Diagonalen kunnen buiten de figuur vallen, wat wijst op een concave veelhoek. ### 3.1.4 Hoogtelijn Een hoogtelijn is een rechte door een hoekpunt die loodrecht staat op de overstaande zijde (of de drager ervan). Elke driehoek heeft drie hoogtelijnen die elkaar snijden in het hoogtepunt. Het hoogtepunt kan buiten de driehoek vallen. ### 3.1.5 Middelloodlijn Een middelloodlijn van een lijnstuk is een rechte die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. Elke driehoek heeft drie middelloodlijnen die elkaar snijden in het middelpunt van de omgeschreven cirkel. ### 3.1.6 Zwaartelijn Een zwaartelijn is een rechte die door een hoekpunt gaat en door het midden van de overstaande zijde. Elke driehoek heeft drie zwaartelijnen die elkaar snijden in het zwaartepunt. ### 3.1.7 Deellijn of bissectrice Een deellijn (bissectrice) van een hoek is een rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Elke driehoek heeft drie deellijnen die elkaar snijden in het middelpunt van de ingeschreven cirkel. ## 3.2 Vormleer ### 3.2.1 Vlakke figuren Een vlakke figuur is een vlak oppervlak begrensd door een gesloten lijn (gebroken, gebogen of combinatie). Vlakke figuren kunnen worden onderverdeeld in veelhoeken (uitsluitend begrensd door gebroken lijnen) en niet-veelhoeken (minstens één gebogen lijn). #### Veelhoeken Een veelhoek is een vlakke figuur uitsluitend begrensd door rechte lijnen (lijnstukken). * **Benaming:** Door de hoekpunten in volgorde te noteren. * **Convexe veelhoek:** Alle diagonalen vallen binnen de veelhoek. * **Concave veelhoek (niet-convexe):** Minstens één diagonaal valt buiten de veelhoek. ##### Driehoeken Een veelhoek met 3 zijden en 3 hoeken. * **Indeling naar hoeken:** * **Scherphoekige driehoek:** 3 scherpe hoeken. * **Rechthoekige driehoek:** 1 rechte hoek (en 2 scherpe hoeken). * **Stomphoekige driehoek:** 1 stompe hoek (en 2 scherpe hoeken). * **Indeling naar zijden:** * **Ongelijkbenige driehoek:** 3 zijden van verschillende lengte. * **Gelijkbenige driehoek:** Minstens 2 gelijke zijden. De hoeken tegenover de gelijke zijden (basishoeken) zijn gelijk. * **Gelijkzijdige driehoek:** 3 gelijke zijden. Alle hoeken zijn gelijk aan $60^\circ$. Een gelijkzijdige driehoek is ook steeds gelijkbenig en scherphoekig. * **Eigenschappen van driehoeken:** * De som van de hoeken in elke driehoek is $180^\circ$. * Elke driehoek heeft minstens 2 scherpe hoeken. * Een driehoek kan niet meer dan 1 rechte of 1 stompe hoek hebben. * Tegenover gelijke zijden liggen gelijke hoeken. ##### Vierhoeken Een veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Algemene eigenschappen:** * De som van de hoeken is $360^\circ$. * Overstaande zijden zijn evenwijdig en even lang. * Overstaande hoeken zijn even groot. * **Classificatie van vierhoeken:** * **Vierkant:** * Zijden: 4 gelijke zijden, overstaande zijden evenwijdig en even lang, aanliggende zijden even lang. * Hoeken: 4 gelijke (rechte) hoeken. * Diagonalen: Halveren elkaar middendoor, zijn even lang en staan loodrecht op elkaar. * **Rechthoek:** * Zijden: Overstaande zijden evenwijdig en even lang. * Hoeken: 4 gelijke (rechte) hoeken. * Diagonalen: Halveren elkaar middendoor en zijn even lang. * **Ruit:** * Zijden: 4 gelijke zijden, overstaande zijden evenwijdig. * Hoeken: Overstaande hoeken zijn even groot. * Diagonalen: Halveren elkaar middendoor en staan loodrecht op elkaar. * **Parallellogram:** * Zijden: 2 paar evenwijdige zijden, overstaande zijden even lang. * Hoeken: Overstaande hoeken zijn even groot. Aanliggende hoeken zijn supplementair (som is $180^\circ$). * Diagonalen: Halveren elkaar middendoor. * **Trapezium:** * Zijden: Minstens 1 paar evenwijdige zijden. * **Gelijkbenig trapezium:** Niet-evenwijdige zijden zijn even lang; aanliggende hoeken bij dezelfde basis zijn even groot. Diagonalen zijn even lang. * **Rechthoekig trapezium:** Minstens één rechte hoek; aanliggende hoeken bij een niet-evenwijdige zijde zijn recht. * **Vlieger:** * Zijden: 2 paar gelijke aanliggende zijden. * Hoeken: Eén paar overstaande hoeken is gelijk. * Diagonalen: Delen elkaar niet middendoor, staan loodrecht op elkaar. De ene diagonaal deelt de andere middendoor. * **Willekeurige vierhoek:** Voldoet aan de basisdefinitie van een vierhoek zonder de specifieke eigenschappen van de bovengenoemde vierhoeken. * **Inclusierelaties:** Een vierhoek met meer eigenschappen is ook een vierhoek met minder eigenschappen (bv. een vierkant is ook een rechthoek, een ruit en een parallellogram). #### Meerhoeken Veelhoeken met meer dan vier zijden en hoeken (vijfhoeken, zeshoeken, etc.). De som van de hoeken van een $n$-hoek is $(n-2) \times 180^\circ$. * **Regelmatige veelhoek:** Alle zijden zijn even lang én alle hoeken zijn even groot. ### 3.2.2 Ruimtefiguren Een ruimtefiguur (lichaam) is een deel van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak. Kan plat of gebogen zijn. * **Veelvlakken:** Uitsluitend begrensd door platte oppervlakken (veelhoeken). * **Vlakken:** De begrenzende veelhoeken. * **Ribben:** Gemeenschappelijke zijden van twee zijvlakken. * **Hoekpunten:** Gemeenschappelijke punten van drie of meer zijvlakken. * **Indeling naar aantal zijvlakken:** Viervlak (4 zijvlakken), vijfvlak (5 zijvlakken), zesvlak (6 zijvlakken), etc. Veelhoeken hebben niet noodzakelijk evenveel zijvlakken als hoekpunten (enkel bij viervlakken). * **Zesvlakken:** * **Uitsluitend begrensd door vierhoeken:** * **Parallelepipedum:** Begrensd door parallellogrammen. Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig en congruent. Heeft 3 groepen van 4 evenwijdige en even lange ribben. * **Balk:** Begrensd door rechthoeken. Heeft 3 groepen van 4 evenwijdige en even lange ribben. Overstaande zijvlakken zijn evenwijdig en congruent. Elke balk is een recht prisma. * **Kubus:** Begrensd door vierkanten. Alle zijvlakken zijn congruent. Alle ribben zijn even lang. Elke kubus is ook een balk en een regelmatig prisma. * **Andere zesvlakken:** Kunnen ook driehoeken als zijvlakken hebben. * **Piramides:** 1 veelhoek als grondvlak en driehoeken als opstaande zijvlakken die samenkomen in één top. Aantal zijvlakken = aantal zijden van grondvlak + 1. Aantal hoekpunten = aantal zijvlakken. * **Rechte piramide:** Het grondvlak is een regelmatige veelhoek en de opstaande ribben zijn even lang. * **Scheve piramide:** Voldoet niet aan de definitie van een rechte piramide. * **Prisma's:** Minstens 2 evenwijdige zijvlakken (grond- en bovenvlak, congruente veelhoeken) en opstaande ribben die onderling evenwijdig zijn. Opstaande zijvlakken zijn parallellogrammen. * **Rechte prisma's:** Opstaande ribben staan loodrecht op het grondvlak. Opstaande zijvlakken zijn rechthoeken. Elke balk is een recht prisma. * **Regelmatige prisma's:** Rechte prisma's met regelmatige veelhoeken als grond- en bovenvlak. Opstaande zijvlakken zijn congruente veelhoeken. Elke kubus is een regelmatig prisma. * **Niet-veelhoeken:** Begrensd door minstens 1 gebogen oppervlak. * **Omwentelingslichamen:** Ontstaan door een vlakke figuur rond een as te wentelen. * **Cilinder:** Ontstaat uit een rechthoek. * **Kegel:** Ontstaat uit een rechthoekige driehoek. * **Bol:** Ontstaat uit een halve cirkel. * **Cirkel:** Een specifieke niet-veelhoek, alle punten op de omtrek liggen even ver van het middelpunt. ## 3.3 Meetkundige relaties ### 3.3.1 Evenwijdigheid en loodrechte stand * **Snijdende rechten:** Hebben juist één punt gemeenschappelijk. * **Evenwijdige rechten:** Lopen steeds even ver van elkaar, vallen samen of hebben geen enkel punt gemeenschappelijk (en liggen in hetzelfde vlak). * **Loodrechte rechten:** Snijdende rechten die een rechte hoek vormen ($90^\circ$). ### 3.3.2 Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren:** Hebben dezelfde vorm, maar de afmetingen zijn volgens dezelfde verhouding vergroot of verkleind. De verhouding van overeenkomstige zijden is gelijk en de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. * **Congruente figuren:** Zijn gelijkvormig én even groot. Ze bedekken elkaar volledig. ### 3.3.3 Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling:** Een transformatie waarbij elk punt van een figuur wordt afgebeeld op een punt zodanig dat de spiegelas de loodrechte bissectrice is van het lijnstuk dat een punt en zijn spiegelbeeld verbindt. * **Eigenschappen:** Dezelfde vorm en grootte, gelijke afstanden tot de spiegelas, loodrechte verbindingslijn tussen punt en spiegelbeeld, andere oriëntatie. * **Symmetrie:** Een spiegeling die de figuur in twee identieke helften verdeelt (de ene helft is het spiegelbeeld van de andere). * **Symmetrieas:** De spiegelas die de symmetrie veroorzaakt. Een vierkant heeft 4 symmetrieassen (middelloodlijnen en diagonalen), een rechthoek 2 (middelloodlijnen), een ruit 2 (diagonalen), een gelijkbenige driehoek 1 (middelloodlijn van de basis), een gelijkzijdige driehoek 3, een cirkel oneindig veel (middellijnen). ## 3.4 Ruimtelijke oriëntatie ### 3.4.1 Positie en richting Begrippen zoals links, rechts, voor, achter, boven, onder, naast, tussen, die de plaats of beweging in de ruimte aanduiden. Deze begrippen kunnen afhankelijk of onafhankelijk zijn van de waarnemer. ### Pictogrammen Niet-taalgebonden aanwijzingen voor een plaats of richting, vaak geboden of verboden. ### Coördinaten * **Vakcoördinaten:** Gebruikt om een vak in een rooster aan te duiden (letter voor de horizontale as, cijfer voor de verticale as). * **Puntcoördinaten:** Gebruikt om een punt in een assenstelsel aan te duiden met (x, y) coördinaten. ### 3.4.2 Kijklijnen en schaduwen * **Kijklijnen:** Denkbeeldige rechte lijnen vanuit de ogen van een waarnemer naar een object. Ze visualiseren wat zichtbaar is. * **Schaduwen:** Ontstaan wanneer licht op een ondoorzichtig voorwerp valt en geprojecteerd wordt op een oppervlak. De vorm en grootte van de schaduw hangen af van de lichtbron, het voorwerp en de afstand ertussen. * **Schaduw gevormd door een lamp:** Centrale projectie, vorm afhankelijk van de stand van de lamp. * **Schaduw gevormd door de zon:** Evenwijdige projectie, schaduwrichting hangt af van de positie van de zon. ### 3.4.3 Aanzichten en plattegronden * **Aanzichten:** Tweedimensionale weergaven van een bouwsel vanuit verschillende standpunten (voor-, achter-, linkerzij-, rechterzij-, bovenaanzicht). * **Plattegrond/Grondplan:** Bovenaanzicht van een bouwsel met hoogtegetallen in elk vakje om de hoogte van de blokken aan te geven. --- # Ruimtefiguren en hun ontwikkelingen Dit onderwerp introduceert de basisbegrippen van meetkunde, waaronder punten, lijnen, vlakke figuren, hoeken, en de classificatie en eigenschappen van veelhoeken en ruimtefiguren, met een focus op de ontwikkeling van deze figuren. ## 4. Ruimtefiguren en hun ontwikkelingen ### 4.1 Basisbegrippen: punten, lijnen en oppervlakken #### 4.1.1 Punten Een punt is een fundamenteel, abstract begrip in de meetkunde dat een plaats aanduidt. Meetkundige punten hebben geen afmetingen en worden met een hoofdletter benoemd (bv. Punt A). Een getekend punt is slechts een voorstelling ervan. #### 4.1.2 Lijnen Een lijn is een oneindige, eendimensionale opeenvolging van punten. Lijnen kunnen recht, gebogen (krom) of gebroken zijn. * **Rechte:** Een oneindige, onbegrensde rechte lijn. Een rechte benoem je met een kleine letter of met twee punten op de rechte (bv. rechte a of rechte AB). * **Lijnstuk:** Een begrensde rechte lijn, het kortste pad tussen twee punten. Een lijnstuk wordt benoemd met de grenspunten tussen vierkante haakjes (bv. [AB]). De rechte AB is de drager van het lijnstuk [AB]. * **Halfrechte:** Een lijn die aan één kant begrensd is, beginnend bij een grenspunt en oneindig doorlopend in één richting. Benoeming gebeurt met het grenspunt en een ander punt op de halfrechte, waarbij het vierkante haakje bij het grenspunt staat (bv. [AB). #### 4.1.3 Oppervlakken Een oppervlak is een oneindige, tweedimensionale opeenvolging van punten. Oppervlakken kunnen plat of gebogen zijn, en begrensd of onbegrensd. * **Vlak:** Een oneindig plat oppervlak. * **Vlakke figuur:** Een begrensd plat oppervlak. Vlakke figuren worden ingedeeld in veelhoeken (begrensd door rechte lijnstukken) en niet-veelhoeken (met minstens één gebogen lijn). ### 4.2 Vormleer #### 4.2.1 Vlakke figuren ##### 4.2.1.1 Veelhoeken Een veelhoek is een vlakke figuur die uitsluitend begrensd is door een gesloten gebroken lijn. Veelhoeken worden benoemd door hun hoekpunten in wijzerzin te noteren (bv. veelhoek ABCDE). * **Hoekpunten:** Punten waar zijden samenkomen (bv. A, B, C, D, E). * **Zijden:** Lijnstukken die de veelhoek begrenzen (bv. [AB], [BC]). * **Hoeken:** De ruimte tussen twee opeenvolgende zijden (bv. Â, B). * **Soorten veelhoeken:** * **Convexe veelhoeken:** Alle diagonalen vallen binnen de veelhoek. * **Concave (niet-convexe) veelhoeken:** Minstens één diagonaal valt deels buiten de veelhoek. * **Indeling naar aantal zijden/hoeken:** * **Driehoek:** 3 zijden en 3 hoeken. * **Vierhoek:** 4 zijden en 4 hoeken. * **Meerhoek:** Vijfhoeken, zeshoeken, etc. ##### 4.2.1.1.1 Driehoeken Een driehoek is een veelhoek met 3 zijden en 3 hoeken. * **Basis (b) en hoogte (h):** Elke zijde kan als basis beschouwd worden, waarbij de hoogte de loodrechte afstand is tot het tegenoverliggende hoekpunt. * **Indeling:** * **Naar hoeken:** * Scherphoekige driehoek: 3 scherpe hoeken. * Rechthoekige driehoek: 1 rechte hoek. * Stomphoekige driehoek: 1 stompe hoek. * **Naar zijden:** * Ongelijkbenige driehoek: 3 zijden met verschillende lengtes. * Gelijkbenige driehoek: Minstens 2 gelijke zijden. De hoeken tegenover de gelijke zijden (basishoeken) zijn gelijk. * Gelijkzijdige driehoek: 3 gelijke zijden. Alle hoeken zijn gelijk (60°). Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig. * **Eigenschappen:** * De som van de hoeken in elke driehoek is $180^\circ$. * Elke driehoek heeft minstens 2 scherpe hoeken. * Een gelijkzijdige driehoek is steeds scherphoekig. * In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk. ##### 4.2.1.1.2 Vierhoeken Een vierhoek is een veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Terminologie:** Overstaande hoekpunten/zijden/hoeken, aanliggende hoekpunten/zijden/hoeken. * **Eigenschappen van zijden:** Overstaande zijden zijn evenwijdig en even lang. * **Eigenschappen van hoeken:** Overstaande hoeken zijn even groot; aanliggende hoeken zijn supplementair ($180^\circ$). * **Classificatie (van specifiek naar algemeen):** * **Vierkant:** 4 gelijke zijden, 4 rechte hoeken. Overstaande zijden zijn evenwijdig. Overstaande hoeken zijn gelijk. Aanliggende hoeken zijn gelijk. Diagonalen delen elkaar middendoor, zijn even lang en staan loodrecht op elkaar. * **Rechthoek:** 4 rechte hoeken. Overstaande zijden zijn evenwijdig en even lang. Overstaande hoeken zijn gelijk. Diagonalen delen elkaar middendoor en zijn even lang. * **Ruit:** 4 gelijke zijden. Overstaande zijden zijn evenwijdig. Overstaande hoeken zijn gelijk. Diagonalen delen elkaar middendoor en staan loodrecht op elkaar. * **Parallellogram:** 2 paar evenwijdige zijden. Overstaande zijden zijn even lang. Overstaande hoeken zijn even groot. Aanliggende hoeken zijn supplementair ($180^\circ$). Diagonalen delen elkaar middendoor. * **Trapezium:** Minstens 1 paar evenwijdige zijden. * Rechthoekig trapezium: heeft 2 rechte hoeken. * Gelijkbenig trapezium: de niet-evenwijdige zijden zijn even lang, en de aanliggende hoeken bij de evenwijdige zijden zijn gelijk. * **Vierhoek:** Een veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Eigenschappen van diagonalen:** Hun eigenschappen (even lang, elkaar halverend, loodrecht staand) variëren per type vierhoek. ##### 4.2.1.2 Niet-veelhoeken Vlakke figuren die minstens één gebogen lijn bevatten. De cirkel is de meest bekende niet-veelhoek in het lager onderwijs. * **Cirkel:** Begrensd door een gesloten gebogen lijn. * **Middelpunt:** Het punt waar alle vouwlijnen van een cirkel doorheen gaan. * **Straal (r):** De afstand van het middelpunt tot een punt op de cirkel. * **Diameter (d):** Een lijnstuk door het middelpunt met eindpunten op de cirkel; $d = 2r$. De diameter is de langste koorde in een cirkel. #### 4.2.2 Ruimtefiguren Een ruimtefiguur (of lichaam) is een deel van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak. Dit oppervlak kan plat, gebogen of een combinatie van beide zijn. Ruimtefiguren worden ingedeeld in veelvlakken (uitsluitend begrensd door veelhoeken) en niet-veelvlakken (met minstens één gebogen oppervlak). ##### 4.2.2.1 Veelvlakken Ruimtefiguren die uitsluitend begrensd zijn door veelhoeken. * **Definities:** * **Zijvlak:** Elk begrenzend veelvlak. * **Ribbe:** Gemeenschappelijke zijde van twee zijvlakken. * **Hoekpunt:** Gemeenschappelijk punt van drie of meer zijvlakken. * **Indeling naar aantal zijvlakken:** Viervlakken (bv. piramide met driehoekig grondvlak), vijfvlakken (bv. piramide met vierkant grondvlak), zesvlakken, etc. * **Formule van Euler:** $aantal\;hoekpunten + aantal\;zijvlakken - aantal\;ribben = 2$ * **Zesvlakken uitsluitend begrensd door vierhoeken:** * **Parallellepipedum:** Begrensd door parallellogrammen. Heeft 6 zijvlakken, 8 hoekpunten, 12 ribben. Overstaande zijvlakken zijn congruent en evenwijdig. Heeft 3 groepen van 4 evenwijdige en even lange ribben. * **Balk:** Begrensd door rechthoeken. Een speciaal geval van een parallellepipedum. Heeft 6 zijvlakken (3 paar congruente rechthoeken), 8 hoekpunten, 12 ribben. Heeft 3 groepen van 4 evenwijdige en even lange ribben. * **Kubus:** Begrensd door vierkanten. Een speciaal geval van een balk. Heeft 6 congruente vierkante zijvlakken, 8 hoekpunten, 12 ribben. Alle ribben zijn even lang. Heeft 3 groepen van 4 evenwijdige ribben. * **Prisma:** Veelvlakken met minstens 2 evenwijdige zijvlakken (grond- en bovenvlak). De opstaande ribben zijn onderling evenwijdig. * **Rechte prisma:** Opstaande ribben staan loodrecht op het grondvlak. De opstaande zijvlakken zijn rechthoeken. Elke balk is een recht prisma. * **Regelmatige prisma:** Een recht prisma met regelmatige veelhoeken als grond- en bovenvlak. De opstaande zijvlakken zijn congruente veelhoeken. Elke kubus is een regelmatig prisma. * **Piramide:** Veelvlakken met één veelhoek als grondvlak en driehoeken als opstaande zijvlakken die samenkomen in één punt (de top). Het aantal hoekpunten is gelijk aan het aantal zijvlakken. * **Regelmatige piramide:** Grondvlak is een regelmatige veelhoek en de opstaande ribben zijn even lang. De opstaande zijvlakken zijn congruente driehoeken. ##### 4.2.2.2 Niet-veelvlakken Ruimtefiguren die minstens één gebogen oppervlak bevatten. * **Omwentelingslichamen:** Ontstaan door een vlakke figuur om een as te wentelen. * **Cilinder:** Ontstaat door wenteling van een rechthoek om een zijde of symmetrieas. * **Kegel:** Ontstaat door wenteling van een rechthoekige of gelijkbenige driehoek om een rechthoekszijde of symmetrieas. * **Bol:** Ontstaat door wenteling van een halve cirkel om de middellijn. #### 4.2.3 Ontwikkelingen van ruimtefiguren Een ontwikkeling (of ontvouwing) is de vlakke voorstelling van de zijvlakken van een ruimtefiguur, losgesneden en plat uitgevouwen. * **Kubus:** De ontwikkeling bestaat uit 6 congruente vierkanten. Er zijn 11 verschillende mogelijke ontwikkelingen. * **Balk:** De ontwikkeling bestaat uit 3 paren congruente rechthoeken. Er zijn meerdere mogelijke ontwikkelingen. * **Piramide:** De ontwikkeling bestaat uit het grondvlak (een veelhoek) en de opstaande driehoeken. * **Cilinder:** De ontwikkeling bestaat uit twee cirkels (grond- en bovenvlak) en een rechthoek of parallellogram (de mantel). ### 4.3 Meetkundige Relaties Dit deel van de leerstof beschrijft relaties tussen punten, lijnen en figuren, zowel in het vlak als in de ruimte. #### 4.3.1 Evenwijdigheid en loodrechte stand * **Snijdende rechten:** Rechten die precies één punt gemeenschappelijk hebben. * **Evenwijdige rechten:** Rechten die samenvallen of geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en in hetzelfde vlak liggen. Notatie: $a \parallel b$. * **Loodrechte rechten:** Snijdende rechten die een rechte hoek vormen. Notatie: $a \perp b$. #### 4.3.2 Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren:** Figuren met dezelfde vorm, waarbij alle afmetingen volgens dezelfde verhouding vergroot of verkleind zijn. De verhouding van overeenkomstige zijden is gelijk en de overeenkomstige hoeken zijn gelijk. * **Congruente figuren:** Figuren die niet alleen dezelfde vorm, maar ook dezelfde grootte hebben. Ze zijn identiek en bedekken elkaar volledig. Elke congruente figuur is gelijkvormig, maar niet elke gelijkvormige figuur is congruent. #### 4.3.3 Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling:** Een transformatie waarbij elk punt van een figuur wordt afgebeeld op zijn spiegelbeeld ten opzichte van een spiegelas. Eigenschappen: dezelfde vorm en grootte, gelijke afstand tot de spiegelas, loodrechte verbindingslijn van punt en spiegelbeeld op de spiegelas, omgekeerde oriëntatie. * **Symmetrieas:** Een spiegelas die een figuur in twee congruente helften verdeelt, waarbij de ene helft het spiegelbeeld is van de andere. ### 4.4 Ruimtelijke Oriëntatie #### 4.4.1 Positie en richting Het gebruik van termen om posities en bewegingen in de ruimte te beschrijven (bv. links, rechts, boven, onder). De ontwikkeling verloopt van een egocentrisch standpunt naar een perspectief van een ander. #### 4.4.2 Pictogrammen Niet-talige, getekende aanwijzingen voor plaatsen of richtingen, vaak met internationale betekenis, die geboden of verboden kunnen aangeven. #### 4.4.3 Coördinaten Manieren om posities te beschrijven. * **Vakcoördinaten:** Gebruik van letters en cijfers om vakjes in een rooster aan te duiden (bv. E3). Vaak gebruikt in kaarten en spellen. * **Puntcoördinaten:** Gebruik van getallen op assen (x-as, y-as) om precieze posities aan te duiden (bv. P(3,4)). #### 4.4.4 Kijklijnen en schaduwen * **Kijklijnen:** Denkbeeldige rechte lijnen vanuit de waarnemer naar de objecten die waargenomen kunnen worden. Niet-onderbroken kijklijnen geven aan dat iets zichtbaar is. * **Schaduwen:** Ontstaan wanneer lichtstralen op een ondoorzichtig voorwerp vallen en worden geprojecteerd op een oppervlak. De vorm en grootte van de schaduw worden bepaald door de lichtbron, het voorwerp en de afstand. * **Lichtbronnen:** Nabije lichtbronnen (bv. lamp) zorgen voor centrale projectie, waarbij de schaduw vervormd kan zijn. De zon zorgt voor een evenwijdige projectie. * **Schaduwgebruik:** Kan helpen bij het bepalen van hoogtes door middel van gelijkvormige driehoeken (stelling van Thales). #### 4.4.5 Aanzichten en plattegronden Driedimensionale bouw-sels worden voorgesteld in tweedimensionale aanzichten (voor-, achter-, zij-, boven-aanzicht) en plattegronden (met hoogtegetallen voor bouw-sels). ### 4.5 Toepassingen Dit onderdeel behandelt diverse toepassingen van meetkundige concepten in de praktijk. * **Formules voor omtrek, oppervlakte en volume:** * **Omtrek:** De lengte van de begrenzing van een vlakke figuur. * **Oppervlakte:** De grootte van een vlak figuur. Formules voor rechthoek, vierkant, parallellogram, ruit, trapezium en cirkel. * **Volume:** De hoeveelheid ruimte die een ruimtefiguur inneemt. Formules voor balk, kubus en cilinder. * **Schaal:** De verhouding tussen een afstand op een afbeelding en de werkelijke afstand. Kan uitgedrukt worden als breuk of lijnschaal. * **Snelheid:** Een samengestelde grootheid die de verhouding tussen afgelegde afstand en tijdseenheid weergeeft ($snelheid = \frac{afstand}{tijd}$). * **Massadichtheid (Soortelijk gewicht):** De verhouding van massa tot volume van een stof. Bepaalt of een stof zinkt, zweeft of drijft in een medium. * **Debiet:** De verhouding tussen inhoud en tijd. * **Bevolkingsdichtheid:** De verhouding tussen het aantal inwoners en de oppervlakte van een gebied. * **Bruto, Netto, Tarra:** Begrippen gerelateerd aan gewicht, vaak toegepast op verpakkingen en ladingen. Dit studiemateriaal biedt een gedetailleerd overzicht van de basisbegrippen en eigenschappen van vlakke en ruimtefiguren, essentieel voor een grondig begrip van meetkunde. --- # Meetkundige relaties en toepassingen Dit onderwerp behandelt meetkundige relaties zoals evenwijdigheid en loodrechte stand, gelijkvormigheid en congruentie, en de toepassingen ervan in onder andere schaduwen, aanzichten en coördinaten. ## 5 Meetkundige relaties en toepassingen ### 5.1 Basisbegrippen #### 5.1.1 Punten, lijnen en oppervlakken * **Punt:** Een abstract grondbegrip in de meetkunde dat een plaats aanduidt. Het heeft geen afmetingen (nuldimensionaal). Een getekend punt is slechts een voorstelling. Punten krijgen een hoofdletter als naam. * **Lijn:** Een oneindige, eendimensionale aaneenschakeling van punten. Lijnen kunnen recht, gebogen of gebroken zijn. * **Rechte:** Een onbegrensde, rechte lijn. Wordt benoemd met een kleine letter of met twee punten erop. * **Lijnstuk:** Een begrensde rechte lijn, de kortste weg tussen twee punten. Benoemd met vierkante haakjes rond de grenspunten, bv. $[AB]$. De rechte AB is de drager van het lijnstuk $[AB]$. * **Halfrechte:** Een rechte die aan één kant begrensd is door een grenspunt en in één richting oneindig doorloopt. Benoemd met een vierkant haakje bij het grenspunt, bv. de halfrechte $[AB$. * **Gebogen lijn:** Kan open of gesloten zijn. * **Gebroken lijn:** Een aaneenschakeling van lijnstukken, kan open of gesloten zijn. Een open, onbegrensde gebroken lijn heeft aan beide uiteinden een halfrechte. * **Oppervlak:** Een oneindige, tweedimensionale aaneenschakeling van punten. Kan plat of gebogen zijn, begrensd of onbegrensd. * **Vlak:** Een onbegrensd plat oppervlak. * **Vlakke figuur:** Een begrensd plat oppervlak. #### 5.1.2 Hoeken * **Definitie:** Een deel van het vlak begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt (hoekpunt). De halfrechten zijn de benen van de hoek. * **Benoeming:** * Met het hoekpunt en een willekeurig punt op elk been, bv. hoek $B\hat{A}C$ of $C\hat{A}B$. * Enkel met het hoekpunt, bv. hoek $\hat{A}$. * **Grootte:** Bepaald door de spreiding van de benen, niet door de lengte ervan. Maateenheid: graad ($^\circ$). * **Soorten hoeken:** * **Nulhoek:** Benen vallen samen. Hoekgrootte $= 0^\circ$. * **Scherpe hoek:** $0^\circ <$ hoekgrootte $< 90^\circ$. * **Rechte hoek:** Benen staan loodrecht op elkaar. Hoekgrootte $= 90^\circ$. * **Stompe hoek:** $90^\circ <$ hoekgrootte $< 180^\circ$. * **Gestrekte hoek:** Benen liggen in elkaars verlengde. Hoekgrootte $= 180^\circ$. * **Overstrekte hoek:** $180^\circ <$ hoekgrootte $< 360^\circ$. * **Volle hoek:** Benen vallen na omwenteling samen. Hoekgrootte $= 360^\circ$. #### 5.1.3 Diagonalen * **Definitie:** Een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten in een veelhoek met elkaar verbindt. * Een driehoek heeft geen diagonalen. * In een vierhoek verbinden diagonalen overstaande hoekpunten. * **Formule aantal diagonalen in een veelhoek:** $$ \text{Aantal diagonalen} = \frac{\text{aantal hoekpunten} \times (\text{aantal hoekpunten} - 3)}{2} $$ * **Concave veelhoek:** Veelhoek waarbij minstens één diagonaal (deels) buiten de figuur valt. * **Convexe veelhoek:** Veelhoek waarbij alle diagonalen binnen de figuur vallen. #### 5.1.4 Hoogtelijn * **Definitie:** Een rechte die door een hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht op de overstaande zijde (of het verlengde ervan) staat. * Elke driehoek heeft 3 hoogtelijnen. Ze snijden elkaar altijd in één punt: het hoogtepunt. * Het hoogtepunt kan buiten de driehoek vallen (bv. bij stomphoekige driehoeken). * Hoogtelijnen kunnen ook in andere veelhoeken getekend worden. #### 5.1.5 Middelloodlijn * **Definitie:** Een rechte die door het midden van een lijnstuk gaat én er loodrecht op staat. * Elke driehoek heeft 3 middelloodlijnen. Ze snijden elkaar altijd in één punt: het middelpunt van de omgeschreven cirkel. * Het middelpunt kan buiten de driehoek vallen. #### 5.1.6 Zwaartelijn * **Definitie:** Een rechte die door een hoekpunt van een veelhoek en door het midden van de overstaande zijde gaat. * Elke driehoek heeft 3 zwaartelijnen. Ze snijden elkaar altijd in één punt: het zwaartepunt. * Het zwaartepunt valt steeds binnen de driehoek. #### 5.1.7 Deellijn of bissectrice * **Definitie:** Een rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. * Elke driehoek heeft 3 deellijnen. Ze snijden elkaar altijd in één punt: het middelpunt van de ingeschreven cirkel. #### 5.1.8 Veelhoeken * **Definitie:** Een vlakke figuur, uitsluitend begrensd door een gesloten gebroken lijn (lijnstukken). * **Benoeming:** Door de hoekpunten te noteren (bv. veelhoek ABCDE). * **Onderdelen:** Hoekpunten, zijden, hoeken. * **Indeling:** * **Convex vs. Concave:** Gebaseerd op de ligging van de diagonalen. * **Volgens aantal zijden/hoeken:** Driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, zeshoeken, etc. (meerhoeken). * **Driehoek:** Veelhoek met 3 zijden en 3 hoeken. * **Indeling naar hoeken:** Scherphoekige, rechthoekige, stomphoekige. * **Indeling naar zijden:** Ongelijkbenige, gelijkbenige, gelijkzijdige. * **Eigenschappen:** * Som van de hoeken $= 180^\circ$. * Elke driehoek heeft minstens 2 scherpe hoeken. * Gelijkzijdige driehoeken zijn altijd scherphoekig (alle hoeken $60^\circ$). * In gelijkbenige driehoeken zijn de basishoeken (tegenover de gelijke zijden) gelijk. * **Vierhoek:** Veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Onderdelen:** Hoekpunten, zijden, hoeken (overstaand, aanliggend). * **Eigenschappen:** Som van de hoeken $= 360^\circ$. * **Classificatie (van meest specifiek naar algemeen):** * **Vierkant:** 4 gelijke zijden, 4 rechte hoeken. * **Rechthoek:** 4 rechte hoeken. * **Ruit:** 4 gelijke zijden. * **Parallellogram:** 2 paar evenwijdige zijden. * **Trapezium:** Minstens 1 paar evenwijdige zijden. * **Vierhoek:** 4 zijden en 4 hoeken. * **Eigenschappen van diagonalen** (controleer met geodriehoek): * **Vierkant:** Halveren elkaar, zijn even lang, staan loodrecht op elkaar. * **Rechthoek:** Halveren elkaar, zijn even lang. * **Ruit:** Halveren elkaar, staan loodrecht op elkaar. * **Parallellogram:** Halveren elkaar. * **Gelijkbenig trapezium:** Zijn even lang. * **Trapezium (geen parallellogram):** Delen elkaar niet middendoor, zijn niet even lang, staan niet loodrecht op elkaar. * **(Willekeurige) vierhoek:** Delen elkaar zelden middendoor, zijn zelden even lang, staan zelden loodrecht op elkaar. * **Meerhoeken:** Veelhoeken met meer dan 4 zijden (vijfhoeken, zeshoeken, etc.). * **Regelmatige veelhoek:** Veelhoek met alle zijden even lang én alle hoeken even groot. #### 5.1.9 Ruimtefiguren * **Definitie:** Een deel van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak (plat, gebogen of combinatie). * **Indeling:** * **Veelvlakken:** Uitsluitend begrensd door platte oppervlakken (veelhoeken). * **Indeling volgens aantal zijvlakken:** Viervlak, vijfvlak, zesvlak, etc. * **Eigenschappen:** Verband tussen hoekpunten ($H$), zijvlakken ($Z$) en ribben ($R$) via de **formule van Euler:** $H + Z - R = 2$. * **Speciale zesvlakken (begrensd door vierhoeken):** * **Parallellepipedum:** Begrensd door parallellogrammen. * **Balk:** Begrensd door rechthoeken. * **Kubus:** Begrensd door vierkanten. * **Indeling volgens eigenschappen:** * **Prisma:** Minstens 2 evenwijdige zijvlakken (grond- en bovenvlak), opstaande ribben onderling evenwijdig. Opstaande zijvlakken zijn parallellogrammen. * **Recht prisma:** Opstaande ribben staan loodrecht op grondvlak (opstaande zijvlakken zijn rechthoeken). Balken, kubussen zijn rechte prisma's. * **Regelmatig prisma:** Recht prisma met regelmatige veelhoeken als grond- en bovenvlak. Opstaande zijvlakken zijn congruente veelhoeken. Kubussen zijn regelmatige prisma's. * **Piramide:** 1 veelhoek als grondvlak, andere zijvlakken zijn driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt (top). Aantal hoekpunten = aantal zijvlakken. * **Regelmatige piramide:** Grondvlak is regelmatige veelhoek, opstaande ribben zijn even lang (opstaande zijvlakken zijn congruente driehoeken). * **Niet-veelvlakken:** Begrensd door minstens 1 gebogen oppervlak. * **Omwentelingslichamen:** Ontstaan door wenteling van een vlakke figuur om een as. * **Cilinder:** Ontstaat door wenteling van een rechthoek om een zijde of symmetrie-as. * **Kegel:** Ontstaat door wenteling van een rechthoekige driehoek om een rechthoekszijde of een gelijkbenige driehoek om de symmetrieas. * **Bol:** Ontstaat door wenteling van een halve cirkel om de middellijn. #### 5.1.10 Ontwikkelingen van ruimtefiguren * **Definitie:** De vlakke voorstelling van een ruimtefiguur die ontstaat door de zijvlakken open te knippen en plat te strijken. * Voor elke ruimtefiguur zijn er verschillende mogelijke ontwikkelingen. * Bij het onderzoeken van ontwikkelingen is het belangrijk om de oorspronkelijke vorm te kunnen reconstrueren. ### 5.2 Meetkundige relaties #### 5.2.1 Evenwijdigheid en loodrechte stand * **Snijdende rechten:** Hebben precies één punt gemeenschappelijk. Benoeming: $a \# b$ of $a \cap b = \{S\}$ (met $S$ het snijpunt). * **Evenwijdige rechten:** Liggen in hetzelfde vlak, hebben geen enkel punt gemeenschappelijk of vallen samen. Benoeming: $a // b$. * Constructie: Leg de tekenzijde van de geodriehoek op één rechte, verschuif tot aan het punt, teken de nieuwe rechte langs de hulplijn. * **Loodrechte rechten:** Snijdende rechten die een rechte hoek ($90^\circ$) vormen. Benoeming: $a \perp b$. * Constructie: Gebruik de rechte hoek van de geodriehoek of de loodlijn op de tekenzijde. #### 5.2.2 Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren:** Figuren die een verkleining of vergroting van elkaar zijn; ze behouden dezelfde vorm, maar de afmetingen worden volgens dezelfde verhouding vergroot of verkleind. * **Voorwaarden:** 1. De verhouding van de lengtes van de overeenkomstige zijden is gelijk. 2. De grootte van de overeenkomstige hoeken is gelijk. * Alle vierkanten, alle cirkels, alle gelijkzijdige driehoeken en alle regelmatige veelhoeken zijn gelijkvormig. * Bij het tekenen op schaal is sprake van gelijkvormigheid. * **Congruente figuren:** Figuren die gelijkvormig zijn én dezelfde grootte hebben; ze zijn identiek en bedekken elkaar volledig. * Alle congruente figuren zijn gelijkvormig, maar niet alle gelijkvormige figuren zijn congruent. #### 5.2.3 Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling:** Een transformatie waarbij een figuur een spiegelbeeld krijgt ten opzichte van een spiegelas. * **Eigenschappen:** * De figuur en het spiegelbeeld hebben dezelfde vorm en grootte. * De figuur en het spiegelbeeld liggen even ver van de spiegelas. * De verbindingslijn van een punt met zijn spiegelbeeld staat loodrecht op de spiegelas. * De oriëntatie van de figuur en zijn spiegelbeeld verandert (bv. links wordt rechts). * **Symmetrie:** Een speciale spiegeling waarbij de spiegelas (symmetrieas) de figuur in twee gelijke delen verdeelt, waarvan het ene het spiegelbeeld is van het andere. * **Symmetrieassen:** * Vierkant: 4 (middelloodlijnen en diagonalen). * Rechthoek (geen ruit): 2 (middelloodlijnen). * Ruit (geen rechthoek): 2 (diagonalen). * Parallellogram (geen ruit/rechthoek): Geen. * Gelijkbenig trapezium: 1 (middelloodlijn van de basis). * Gelijkbenige driehoek: 1 (middelloodlijn van de basis). * Gelijkzijdige driehoek: 3 (middelloodlijnen van de zijden). * Cirkel: Oneindig veel (middellijnen). #### 5.2.4 Positie en richting (ruimtelijke oriëntatie) * **Begrippen:** Links, rechts, boven, onder, tussen, voor, achter, dichtbij, ver, etc. * **Ontwikkeling:** Vanuit het eigen standpunt, naar personen/voorwerpen toe, vanuit het standpunt van een ander. * **Pictogrammen:** Niet-taalgebonden aanwijzingen voor plaats of richting, vaak met internationale betekenis. Kunnen geboden of verboden aanduiden. #### 5.2.5 Coördinaten * **Vakcoördinaten:** Gebruikt in roosters, bv. op kaarten of bij spellen als zeeslag. Aanduiding bestaat uit een letter (horizontaal) en een cijfer (verticaal), bv. E3. * **Puntcoördinaten (Assenstelsel):** Gebruikt om een positie nauwkeuriger te beschrijven met behulp van een x-as en een y-as. Punten worden aangeduid met $(x, y)$, waarbij $x$ de horizontale en $y$ de verticale afstand tot de oorsprong ($O$) is. #### 5.2.6 Kijklijnen * **Definitie:** Denkbeeldige rechte lijnen vanuit de ogen van een waarnemer naar een waargenomen punt. * Een voorwerp is zichtbaar als er een ononderbroken kijklijn van de waarnemer naar het voorwerp kan getekend worden. * Obstakels (muren) onderbreken kijklijnen. Doorzichtige materialen (glas) laten kijklijnen door. * **Gezichtsveld:** Het gebied dat bepaald wordt door de kijklijnen vanuit de ogen. De hoek van de kijklijnen bepaalt de gezichtshoek. #### 5.2.7 Schaduwen * **Ontstaan:** Schaduw ontstaat wanneer licht op een ondoorzichtig voorwerp valt en de lichtstralen geabsorbeerd, teruggekaatst of opgeslorpt worden, zodat achter het voorwerp geen licht meer valt. * **Definitie:** De projectie van een figuur of voorwerp op een oppervlak, wanneer het zich tussen de lichtbron en het scherm bevindt. * **Soorten schaduwen (afhankelijk van lichtbron):** * **Lamp (nabije lichtbron):** Centrale projectie. Lichtstralen zijn divergerend. De schaduw is het grootst als het voorwerp dicht bij de lichtbron staat of als de lichtbron laag staat. * **Zon (verre lichtbron):** Parallelle projectie. Lichtstralen zijn vrijwel evenwijdig. Schaduwen hebben op hetzelfde tijdstip en plaats dezelfde richting. De schaduw draait van west naar oost. Hoe lager de zon staat, hoe langer de schaduw. * **Toepassing:** Hoogte van voorwerpen bepalen door schaduwlengtes te meten (stelling van Thales, gelijkvormige driehoeken). De verhouding tussen voorwerphoogte en schaduwlengte is constant bij zelfde lichtbron en tijdstip. #### 5.2.8 Aanzichten en plattegronden * **Aanzichten:** Tweedimensionale voorstellingen van een bouwsel vanuit verschillende standpunten (boven, voor, achter, links, rechts). * Vooraanzicht vs. achteraanzicht zijn spiegelbeelden. * Linkerzijaanzicht vs. rechterzijaanzicht zijn spiegelbeelden. * **Plattegrond:** De tweedimensionale weergave van het bovenaanzicht. * **Grondplan:** Een plattegrond van een blokkenbouwsel met hoogtegetallen in elk vakje, die aangeven hoeveel blokken er op elkaar staan. Hiermee kan het totale aantal blokken berekend worden. ### 5.3 Toepassingen Dit hoofdstuk bevat didactische benaderingen en toepassingen van de eerder besproken meetkundige concepten, waaronder: * **Vormleer:** Classificatie van vlakke figuren en ruimtefiguren op basis van hun eigenschappen (zijden, hoeken, diagonalen). * **Constructies:** Het tekenen van figuren met specifieke eigenschappen (bv. vierhoeken met loodrechte diagonalen die elkaar halveren). * **Uitspraken beoordelen:** Het correct toepassen van 'altijd', 'soms', 'nooit' bij meetkundige stellingen. * **Figuren identificeren:** Een figuur herkennen op basis van een reeks vragen met ja/nee antwoorden. * **Meetkundige relaties:** Onderzoeken van evenwijdigheid, loodrechte stand, gelijkvormigheid, congruentie, spiegeling en symmetrie. * **Ruimtelijke oriëntatie:** Positie en richting beschrijven, werken met pictogrammen en coördinaten (vak- en puntcoördinaten). * **Kijklijnen en schaduwen:** Visualiseren wat zichtbaar is vanuit een bepaald punt, en het gedrag van lichtstralen en schaduwen onderzoeken. * **Aanzichten en plattegronden:** Het herkennen, tekenen en reconstrueren van bouwsels op basis van hun tweedimensionale voorstellingen. #### 5.3.1 Lijnen en hoeken * **Lijnstukken:** Worden voorgesteld door gespannen touwtjes. Het concept van de drager van een lijnstuk (de rechte) wordt geïntroduceerd. * **Hoeken:** Worden verkend door de ruimte tussen de benen te visualiseren, te vergelijken met een rechte hoek (via vouwen of de geodriehoek), en te classificeren als scherp, recht, stomp of overstrekt. #### 5.3.2 Driehoeken * **Indeling naar hoeken:** Scherphoekige, rechthoekige, stomphoekige (elke driehoek heeft minstens twee scherpe hoeken). * **Indeling naar zijden:** Ongelijkbenige, gelijkbenige, gelijkzijdige. * **Eigenschappen:** * Som van de hoeken is $180^\circ$. * Tegenover gelijke zijden liggen gelijke hoeken. * Gelijkzijdige driehoeken zijn steeds scherphoekig. #### 5.3.3 Vierhoeken * **Indeling:** Volgens eigenschappen van zijden en hoeken, leidend tot classificatie van specifiek naar algemeen: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram, trapezium, vierhoek. * **Eigenschappen van zijden en hoeken:** Systematisch onderzocht door vouwen, meten en passen. * **Eigenschappen van diagonalen:** Onderzocht voor verschillende vierhoekstypes (even lang, halveren elkaar, staan loodrecht). #### 5.3.4 Regelmatige veelhoeken * **Definitie:** Veelhoeken met alle zijden even lang en alle hoeken even groot. * Kan opgedeeld worden in congruente driehoeken die samenkomen in het middelpunt, waarbij de som van de hoeken rond het middelpunt altijd $360^\circ$ is. #### 5.3.5 Niet-veelhoeken * **Definitie:** Vlakke figuren met minstens één gebogen lijn. * **Cirkel:** Centraal in deze categorie. Belangrijke onderdelen zijn middelpunt, straal en diameter. De diameter is dubbel zo lang als de straal. De relatie tussen omtrek en diameter ($\pi$) wordt ontdekt. #### 5.3.6 Ruimtefiguren * **Definitie:** Deel van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak (plat, gebogen of combinatie). * **Indeling:** * **Veelvlakken:** Begrensd door veelhoeken. Indeling naar aantal zijvlakken (viervlak, zesvlak, etc.). Speciale aandacht voor kubus (zesvlak met vierkanten) en balk (zesvlak met rechthoeken). * **Niet-veelvlakken:** Begrensd door minstens 1 gebogen oppervlak (bv. bol, cilinder, kegel). #### 5.3.7 Ontwikkelingen van ruimtefiguren * De vlakke voorstelling van een ruimtefiguur door het openknippen en platstrijken van de zijvlakken. Belangrijk om te weten dat er meerdere mogelijke ontwikkelingen bestaan voor één figuur. ### 5.4 Meten en Metend Rekenen (gerelateerd) Hoewel dit hoofdstuk voornamelijk gericht is op meetkundige relaties, raken de didactische uitwerkingen aan meetconcepten: * **Lengtematen:** Gebruik van natuurlijke en standaardmaateenheden (meter, decimeter, centimeter). Nadruk op schatten, meten, en herleidingen. * **Oppervlaktematen:** Kwalitatief en kwantitatief vergelijken van oppervlaktes, gebruik van natuurlijke (bv. post-its) en standaardmaateenheden (cm$^2$, dm$^2$, m$^2$). Relatie tussen maatgetal en maateenheid. Formules voor oppervlaktes van rechthoek, vierkant, parallellogram, driehoek, ruit en cirkel worden afgeleid. * **Volumematen en Inhoudsmaten:** Kwalitatief en kwantitatief vergelijken van volumes (ruimte ingenomen) en inhouden (wat erin kan). Standaardeenheden dm$^3$ en liter, en hun relatie ($1$ L $= 1$ dm$^3$). Formules voor volume balk ($l \times b \times h$), kubus ($z^3$) en cilinder ($\pi r^2 h$). * **Tijd:** Kloklezen (analoog, digitaal, relatieve en absolute leeswijze). * **Gemiddelde en Mediaan:** Als centrummaten om gegevens samen te vatten. Dit deel van het onderwerp legt een sterke nadruk op de didactiek en de manier waarop deze concepten aan leerlingen worden aangeboden, vaak via exploratie en concrete materialen. --- # Meten en metend rekenen: basisbegrippen en eenheden Meten is een handeling waarbij de grootte van een eigenschap van iets met een getal wordt aangegeven, terwijl metend rekenen het verder gebruiken en interpreteren van deze meetresultaten omvat. ### 6.1 Grootheden en eenheden Grootheden zijn meetbare eigenschappen zoals lengte, inhoud, gewicht, oppervlakte, volume, temperatuur en tijd. Om deze grootheden uit te drukken, gebruiken we eenheden. Metricatie is het proces waarbij het traditionele eenheidsstelsel wordt vervangen door het metrieke stelsel, zoals het SI-stelsel. #### 6.1.1 Soorten metingen * **Verhoudingsmeting**: Hierbij respecteert de meting de verhoudingen tussen de uitkomsten. Nul is een absolute ondergrens en negatieve waarden bestaan niet. Lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en tijdsduur zijn voorbeelden. Als een stokje twee keer zo lang is, is het maatgetal ook twee keer zo groot. * **Intervalmeting**: Hierbij hebben de verhoudingen tussen de uitkomsten geen directe betekenis; het verschil tussen de uitkomsten is wel relevant. Nul is geen absolute ondergrens en negatieve waarden bestaan. Temperatuur en kalendertijd zijn voorbeelden. Als het gisteren 10 graden Celsius was en vandaag 20 graden Celsius, is het vandaag 10 graden warmer, maar niet twee keer zo warm. #### 6.1.2 Meetinstrumenten Voor het meten worden diverse instrumenten gebruikt, afhankelijk van de te meten grootheid en de gewenste nauwkeurigheid. Voorbeelden zijn een weegschaal, rolmeter, schuifpasser, geodriehoek, gradenboog en stopwatch. #### 6.1.3 Referentiematen (IJzeren maten) Referentiematen, ook wel ijzeren maten genoemd, zijn bekende voorwerpen of situaties die helpen bij het schatten en voorstellen van maten. Ze dienen als ankerpunten voor het maatgevoel. * **Lengtematen**: * 1 kilometer (km): afstand die je op een kwartier kunt wandelen, lengte van een voetbalveld * 1 hectometer (hm): 100 meter * 1 decameter (dam): 10 meter * 1 meter (m): lengte van een staaf (MAB), breedte van een dvd-doosje, afstand tussen oogleden * 1 decimeter (dm): breedte van een vingernagel van je duim * 1 centimeter (cm): breedte van een blokje van MAB-materiaal * 1 millimeter (mm): dikte van een muntstuk van 10 cent * **Oppervlaktematen**: * 1 vierkante kilometer (km²): * 1 vierkante hectometer (hm²): 10.000 m² * 1 vierkante decameter (dam²): 100 m² * 1 vierkante meter (m²): oppervlakte van het zijbord, helft van de oppervlakte van een deur * 1 vierkante decimeter (dm²): oppervlakte van je handpalm, een bierviltje * 1 vierkante centimeter (cm²): oppervlakte van je vingernagel * **Landmaten**: hectare (ha), are (a), centiare (ca) voor oppervlaktes van grond; 1 ca = 1 m²; 1 a = 100 m²; 1 ha = 100 a = 10.000 m². * **Volumematen/Inhoudsmaten**: * 1 kubieke meter (m³): volume van een vaatwasmachine * 1 kubieke decimeter (dm³): volume van een melkpak, inhoud van een grote emmer (gelijk aan 1 liter) * 1 kubieke centimeter (cm³): volume van een kleine dobbelsteen, een MAB-blokje (gelijk aan 1 milliliter (ml)) * **Gewichts-/Massamataten**: * 1 ton: 1.000 kg * 1 kilogram (kg): gewicht van een personenauto, een stier * 1 decagram (dag): 100 g * 1 gram (g): gewicht van een suikerklontje, een pakje koffie * 1 decigram (dg): 10 g * 1 centigram (cg): 1 g * 1 milligram (mg): gewicht van 2 suikerklontjes * **Tijdseenheden**: * 1 uur (u of h): duur van de speeltijd 's ochtends, tijd om 1 km te stappen * 1 minuut (min): duur van een helft van een voetbalmatch (45 minuten) * 1 seconde (s): tijd nodig om schoenen aan te doen en te knopen * 1 etmaal/dag = 24 uur * 1 week = 7 dagen * 1 maand = 30 of 31 dagen (februari 28/29) * 1 jaar = 12 maanden = 52 weken = 365/366 dagen * 1 eeuw = 100 jaar #### 6.1.4 Herleiden Herleiden tussen maateenheden gebeurt best in een zinvolle context en met inzicht. Dit kan via redenering, een verhoudingstabel of een herleidingstabel. Het metriek stelsel is tiendelig voor lengte, gewicht en inhoud, honderddelig voor oppervlakte en duizenddelig voor volume. Tijd en hoeken gebruiken een zestigdelig stelsel. ### 6.2 Meetkundige begrippen #### 6.2.1 Punten, lijnen en oppervlakken * **Punt**: Duidt een plaats aan, is nuldimensionaal en heeft geen afmetingen. Een getekend punt is een voorstelling. Punten krijgen een hoofdletter als naam. * **Lijn**: Oneindige, eendimensionale aaneenschakeling van punten. Kan recht, gebogen of gebroken zijn. * **Rechte**: Oneindig, onbegrensd en recht. Benoemd met een kleine letter of twee punten op de rechte. * **Lijnstuk**: Begrensd deel van een rechte, de kortste weg tussen twee punten. Benoemd met de twee grenspunten tussen vierkante haakjes. * **Halfrechte (halve rechte)**: Begrensd aan één kant, heeft één grenspunt en loopt in één richting oneindig door. Benoemd met het grenspunt en een ander punt op de halfrechte, met een vierkant haakje bij het grenspunt. * **Gebogen lijn**: Kan open of gesloten zijn. * **Gebroken lijn**: Aaneenschakeling van lijnstukken, kan open of gesloten zijn. * **Oppervlak**: Oneindige, tweedimensionale aaneenschakeling van punten. Kan plat of gebogen zijn, begrensd of onbegrensd. * **Vlak**: Onbegrensd plat oppervlak. * **Vlakke figuur**: Begrensd plat oppervlak. #### 6.2.2 Hoeken Een hoek is een deel van het vlak, begrensd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt (hoekpunt). De halfrechten zijn de benen van de hoek. De grootte van een hoek wordt bepaald door de spreiding van de benen, niet door de lengte van de benen. Eenheden zijn graden (°). * **Nulhoek**: Benen vallen samen; hoekgrootte = 0°. * **Scherpe hoek**: 0° < hoekgrootte < 90°. * **Rechte hoek**: Benen staan loodrecht op elkaar; hoekgrootte = 90°. * **Stompe hoek**: 90° < hoekgrootte < 180°. * **Gestrekte hoek**: Benen liggen in elkaars verlengde; hoekgrootte = 180°. * **Overstrekte hoek**: 180° < hoekgrootte < 360°. * **Volle hoek**: Benen vallen na omwenteling samen; hoekgrootte = 360°. #### 6.2.3 Veelhoeken Een veelhoek is een vlakke figuur, uitsluitend begrensd door een gesloten gebroken lijn (lijnstukken). * **Benaming**: Volgens het aantal hoekpunten en zijden (driehoek, vierhoek, vijfhoek, etc.). * **Indeling**: * **Convex**: Alle diagonalen vallen binnen de veelhoek. * **Concaaf (niet-convex)**: Minstens één diagonaal valt (deels) buiten de veelhoek. * **Driehoek**: Veelhoek met 3 zijden en 3 hoeken. * **Indeling naar hoeken**: Scherphoekige (3 scherpe hoeken), rechthoekige (1 rechte hoek, 2 scherpe hoeken), stomphoekige (1 stompe hoek, 2 scherpe hoeken). * **Indeling naar zijden**: Ongelijkbenige (3 ongelijke zijden), gelijkbenige (minstens 2 gelijke zijden), gelijkzijdige (3 gelijke zijden). * **Eigenschappen**: Som van de hoeken = 180°; altijd minstens 2 scherpe hoeken; nooit meer dan 1 rechte of stompe hoek. In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk. In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60°. * **Vierhoek**: Veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Eigenschappen**: Som van de hoeken = 360°. * **Classificatie (van meest specifiek naar algemeen)**: * **Vierkant**: 4 gelijke zijden, 4 rechte hoeken. * **Rechthoek**: 4 rechte hoeken (overstaande zijden zijn evenwijdig en gelijk). * **Ruit**: 4 gelijke zijden (overstaande zijden zijn evenwijdig, overstaande hoeken zijn gelijk). * **Parallellogram**: 2 paar evenwijdige zijden (overstaande zijden zijn gelijk, overstaande hoeken zijn gelijk). * **Trapezium**: Minstens 1 paar evenwijdige zijden. * **Vierhoek**: Veelhoek met 4 zijden en 4 hoeken. * **Eigenschappen diagonalen**: Variëren per type vierhoek (bv. elkaar halveren, even lang, loodrecht). * **Meerhoeken**: Veelhoeken met meer dan 4 zijden. * **Regelmatige veelhoek**: Alle zijden zijn even lang en alle hoeken zijn even groot. #### 6.2.4 Ruimtefiguren Een ruimtefiguur (lichaam) is een deel van de ruimte, begrensd door een gesloten oppervlak (plat, gebogen of een combinatie). * **Indeling**: * **Veelvlakken**: Uitsluitend begrensd door veelhoeken. * **Indeling naar aantal zijvlakken**: Viervlak, vijfvlak, zesvlak, etc. * **Zesvlakken uitsluitend begrensd door vierhoeken**: * **Parallellepipedum**: Begrensd door parallellogrammen. * **Balk**: Begrensd door rechthoeken. * **Kubus**: Begrensd door vierkanten (speciaal geval van balk). * **Prisma**: Minstens 2 evenwijdige zijvlakken (grond- en bovenvlak) met onderling evenwijdige opstaande ribben. * **Piramide**: 1 veelhoek als grondvlak en driehoeken als opstaande zijvlakken die samenkomen in één punt (de top). * **Niet-veelvlakken**: Begrensd door minstens 1 gebogen oppervlak. * **Omwentelingslichamen**: Cilinder, kegel, bol. * **Formule van Euler**: Voor elk veelvlak geldt: aantal hoekpunten + aantal zijvlakken - aantal ribben = 2. #### 6.2.5 Diagonalen, hoogtelijnen, middelloodlijnen, zwaartelijnen, deellijnen * **Diagonaal**: Lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten in een veelhoek verbindt. * **Hoogtelijn**: Rechte door een hoekpunt, loodrecht op de overstaande zijde (of de drager ervan). * **Middelloodlijn**: Rechte door het midden van een lijnstuk, er loodrecht op staand. * **Zwaartelijn**: Rechte door een hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde. * **Deellijn (bissectrice)**: Rechte door het hoekpunt die de hoek in twee gelijke delen verdeelt. ### 6.3 Meetkundige relaties #### 6.3.1 Evenwijdigheid en loodrechte stand * **Snijdende rechten**: Lopen elkaar in één punt tegen. * **Evenwijdige rechten**: Lopen elkaar nooit tegen en liggen in hetzelfde vlak, of vallen samen. * **Kruisende rechten**: Lopen elkaar nooit tegen en liggen niet in hetzelfde vlak. * **Loodrechte rechten**: Snijdende rechten die een rechte hoek vormen. #### 6.3.2 Gelijkvormigheid en congruentie * **Gelijkvormige figuren**: Hebben dezelfde vorm (verhouding van zijden is gelijk, hoeken zijn gelijk), maar niet noodzakelijk dezelfde grootte (verkleining of vergroting). * **Congruente figuren**: Hebben dezelfde vorm én dezelfde grootte; ze zijn identiek en bedekken elkaar volledig. #### 6.3.3 Spiegeling en symmetrie * **Spiegeling**: Een transformatie waarbij een punt of figuur wordt omgezet in een spiegelbeeld ten opzichte van een spiegelas. * **Eigenschappen**: Vorm en grootte blijven gelijk; punten liggen even ver van de spiegelas; verbindingslijn van punt en spiegelbeeld staat loodrecht op de spiegelas; oriëntatie verandert. * **Symmetrie**: Een figuur heeft symmetrie als er een spiegelas (symmetrieas) bestaat die de figuur in twee congruente helften verdeelt. #### 6.3.4 Ruimtelijke oriëntatie: positie en richting * **Topologische begrippen**: Positie- en richtingsbegrippen die onafhankelijk zijn van de eigen positie (bv. binnen, buiten). * **Objectgebonden begrippen**: Positie- en richtingsbegrippen die afhankelijk zijn van de eigen positie (bv. dichtbij, links van). * **Pictogrammen**: Niet-taalgebonden aanwijzingen voor plaats of richting, vaak met internationale betekenis. * **Coördinaten**: * **Vakcoördinaten**: Gebruikt om posities in een rooster aan te duiden met een letter (horizontaal) en een cijfer (verticaal). * **Puntcoördinaten**: Gebruikt om posities nauwkeuriger aan te duiden met (x, y) waarden ten opzichte van een assenstelsel. #### 6.3.5 Kijklijnen en schaduwen * **Kijklijn (viseerlijn)**: Een denkbeeldige rechte lijn vanuit de plaats waar men kijkt naar het punt waarnaar men kijkt. Een voorwerp is zichtbaar als de kijklijn ononderbroken is. * **Schaduw**: Ontstaat als licht op een ondoorzichtig voorwerp valt. De schaduw is een projectie van het voorwerp op een oppervlak. * **Vorm**: Kan congruent, gelijkvormig of vervormd zijn, afhankelijk van de lichtbron en de positie van het voorwerp. * **Richting**: Wijst steeds weg van de lichtbron. * **Grootte**: Bepaald door de afstand tussen de lichtbron en het voorwerp. #### 6.3.6 Aanzichten en plattegronden * **Aanzichten**: Tweedimensionale voorstellingen van een bouwsel vanuit verschillende standpunten (boven, voor, achter, links, rechts). * **Plattegrond**: Tweedimensionale weergave van een bouwsel gezien van bovenaf. * **Grondplan**: Plattegrond met hoogtegetallen in elk vakje, die aangeeft uit hoeveel blokken een bouwsel bestaat. ### 6.4 Formules #### 6.4.1 Omtrek De omtrek van een vlakke figuur is de lengte van de lijn waardoor de figuur begrensd is. * **Veelhoeken**: Som van de lengtes van de zijden. * Vierkant: $4 \times z$ (waarbij $z$ de zijde is) * Rechthoek: $2 \times (l + b)$ (waarbij $l$ de lengte en $b$ de breedte is) * Ruit: $4 \times z$ * Trapezium: Som van de lengtes van de zijden. * **Cirkel**: * $Omtrek = \pi \times d$ of $Omtrek = 2 \times \pi \times r$ (waarbij $d$ de diameter, $r$ de straal is en $\pi \approx 3.14$) #### 6.4.2 Oppervlakte De oppervlakte geeft aan hoe groot een oppervlak is. * **Vlakke figuren**: * Rechthoek: $b \times h$ (basis $\times$ hoogte) of $l \times b$ (lengte $\times$ breedte) * Vierkant: $z \times z$ of $z^2$ (waarbij $z$ de zijde is) * Parallellogram: $b \times h$ * Driehoek: $\frac{1}{2} \times b \times h$ * Ruit: $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ (waarbij $d_1$ en $d_2$ de diagonalen zijn) * Trapezium: $\frac{1}{2} \times (B + b) \times h$ (waarbij $B$ de grote basis, $b$ de kleine basis en $h$ de hoogte is) * Cirkel: $\pi \times r^2$ * **Ruimtefiguren**: * Balk: $2 \times (l \times b) + 2 \times (b \times h) + 2 \times (l \times h)$ * Balk met vierkant grondvlak: $4 \times (z \times h) + 2 \times (z \times z)$ * Kubus: $6 \times z^2$ * Cilinder: $(2 \times \pi \times r \times h) + (2 \times \pi \times r^2)$ (oppervlakte mantel + 2x oppervlakte grondvlak) #### 6.4.3 Volume Het volume geeft aan hoeveel ruimte een ruimtefiguur inneemt. * **Balk**: $l \times b \times h$ * **Kubus**: $z \times z \times z$ of $z^3$ * **Cilinder**: $\pi \times r^2 \times h$ (oppervlakte grondvlak $\times$ hoogte) #### 6.4.4 Samengestelde groothden * **Schaal**: Verhouding tussen afstanden op een afbeelding en afstanden in de werkelijkheid. * $Schaal = \frac{getekende \ afstand}{werkelijke \ afstand}$ * **Snelheid**: Verhouding tussen afgelegde afstand en tijdseenheid. * $Snelheid = \frac{afstand}{tijd}$ * **Massadichtheid (soortelijk gewicht)**: Verhouding van massa ten opzichte van volume. * $Dichtheid = \frac{massa}{volume}$ * **Debiet**: Verhouding tussen inhoud en tijd. * $Debiet = \frac{inhoud}{tijd}$ * **Bevolkingsdichtheid**: Verhouding tussen aantal inwoners en oppervlakte. * $Bevolkingsdichtheid = \frac{aantal \ inwoners}{oppervlakte}$ #### 6.4.5 Gemiddelde Het gemiddelde is de som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden. * $Gemiddelde = \frac{som \ van \ de \ delen}{aantal \ delen}$ ### 6.5 Didactische aspecten * **Leerlijn meten**: Kwalitatieve fase (vergelijken zonder getallen) -> Kwantitatieve fase (met natuurlijke maateenheden -> met standaardmaateenheden). * **Conservatiebegrip**: Inzicht dat bepaalde handelingen de grootte van iets niet veranderen. * **Maatgevoel**: Het vermogen om maten goed voor te stellen en zinvolle schattingen te maken met behulp van referentiematen. * **Vaktaal**: Correct gebruik van termen zoals maat, maatgetal, maateenheid, wezenlijke en niet-wezenlijke aspecten, grootheid, eenheid. * **Variatie**: Gebruik van diverse materialen, visuele voorstellingen en contexten bij het aanbrengen van begrippen. * **Inzichtelijk werken**: Herleidingen en formules ontdekken door manipulatie en exploratie, niet enkel door trucjes. * **Vormleer**: Classificeren en definiëren van vlakke figuren en ruimtefiguren op basis van hun eigenschappen. * **Constructies**: Tekenen en construeren van figuren met specifieke eigenschappen. * **Logisch redeneren**: Beoordelen van uitspraken (altijd, soms, nooit) en identificeren van figuren op basis van gegevens. * **Kloklezen**: Ontwikkelen van vaardigheid in het lezen van zowel analoge als digitale klokken, met aandacht voor absolute en relatieve leeswijzen. * **Schatten en meten**: Laten ervaren van de noodzaak van nauwkeurigheid en het belang van geschikte meetinstrumenten en maateenheden. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |---|---| | Punt | Een abstract geometrisch grondbegrip dat een plaats aanduidt zonder afmetingen. | | Lijn | Een oneindige, eendimensionale aaneenschakeling van punten die recht, gebogen of gebroken kan zijn. | | Rechte | Een onbegrensde, eendimensionale rechte lijn die oneindig doorloopt in twee richtingen. | | Lijnstuk | Een begrensd deel van een rechte lijn, gedefinieerd door twee eindpunten. | | Halfrechte | Een deel van een rechte dat begrensd is aan één kant door een grenspunt en slechts in één richting oneindig doorloopt. | | Gebogen lijn | Een lijn die een kromme vorm heeft en niet uit rechte lijnstukken bestaat. | | Gebroken lijn | Een lijn die bestaat uit een aaneenschakeling van lijnstukken. | | Hoek | Een figuur gevormd door twee halfrechten met een gemeenschappelijk grenspunt (hoekpunt), die de spreiding van deze halfrechten aangeeft. | | Graad | De standaardmaateenheid voor hoekgrootte, waarbij een rechte hoek 90° is en een gestrekte hoek 180°. | | Scherpe hoek | Een hoek met een grootte tussen 0° en 90°. | | Rechte hoek | Een hoek met een grootte van precies 90°. | | Stompe hoek | Een hoek met een grootte tussen 90° en 180°. | | Gestrekte hoek | Een hoek met een grootte van precies 180°. | | Overstrekte hoek | Een hoek met een grootte tussen 180° en 360°. | | Volle hoek | Een hoek met een grootte van precies 360°, waarbij de benen samenvallen na een volledige omwenteling. | | Veelhoek | Een vlakke figuur die uitsluitend begrensd wordt door een gesloten gebroken lijn (lijnstukken). | | Driehoek | Een veelhoek met precies 3 zijden en 3 hoeken. | | Gelijkbenige driehoek | Een driehoek met minstens twee gelijke zijden, wat resulteert in twee gelijke basishoeken. | | Gelijkzijdige driehoek | Een driehoek met drie gelijke zijden, wat impliceert dat alle drie de hoeken gelijk zijn aan 60°. | | Rechthoekige driehoek | Een driehoek met één rechte hoek. | | Scherphoekige driehoek | Een driehoek waarbij alle drie de hoeken scherp zijn. | | Stomphoekige driehoek | Een driehoek met één stompe hoek. | | Vierhoek | Een veelhoek met precies 4 zijden en 4 hoeken. | | Vierkant | Een vierhoek met 4 gelijke zijden en 4 gelijke (rechte) hoeken. | | Rechthoek | Een vierhoek met 4 gelijke (rechte) hoeken. | | Ruit | Een vierhoek met 4 gelijke zijden. | | Parallellogram | Een vierhoek met 2 paar evenwijdige zijden. | | Trapezium | Een vierhoek met minstens 1 paar evenwijdige zijden. | | Diagonaal | Een lijnstuk dat twee niet-opeenvolgende hoekpunten in een veelhoek met elkaar verbindt. | | Hoogtelijn | Een rechte die door een hoekpunt van een driehoek gaat en loodrecht staat op de overstaande zijde of het verlengde daarvan. | | Middelloodlijn | Een rechte die door het midden van een lijnstuk gaat en er loodrecht op staat. | | Zwaartelijn | Een rechte die door een hoekpunt van een veelhoek en door het midden van de overstaande zijde gaat. | | Deellijn (bissectrice) | Een rechte door het hoekpunt die een hoek in twee gelijke delen verdeelt. | | Regelmatige veelhoek | Een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn. | | Symmetrieas | Een rechte spiegelas die een figuur in twee gelijke delen verdeelt, waarbij de ene helft het spiegelbeeld is van de andere. | | Spiegeling | Een meetkundige transformatie waarbij een punt of figuur wordt omgezet in een spiegelbeeld ten opzichte van een spiegelas. | | Kijklijn | Een denkbeeldige rechte lijn vanuit de positie van een waarnemer naar een punt dat bekeken wordt. | | Schaduw | De projectie van een voorwerp op een oppervlak wanneer lichtstralen door dat voorwerp worden geblokkeerd. | | Pictogram | Een niet-taalgebonden, getekende aanwijzing voor een plaats of richting. | | Coördinaten | Getallen die de positie van een punt op een platte vlak of in de ruimte aangeven. | | Vakcoördinaten | Een systeem van coördinaten waarbij posities worden aangeduid met een letter (horizontaal) en een cijfer (verticaal), vaak gebruikt in roosters of kaarten. | | Puntcoördinaten | Een systeem waarbij posities worden aangegeven door een geordend paar getallen (x, y) ten opzichte van een assenstelsel. | | Massa | De hoeveelheid materie waaruit een voorwerp bestaat. | | Gewicht | De kracht waarmee de aarde een voorwerp aantrekt. | | Meten | De handeling waarbij de grootte van een eigenschap wordt aangegeven met een getal en een maateenheid. | | Metend rekenen | Het gebruiken en interpreteren van meetresultaten. | | Grootheid | Een eigenschap die gemeten kan worden, zoals lengte, inhoud, gewicht, temperatuur. | | Eenheid | De maateenheid waarin een grootheid wordt uitgedrukt, zoals meter, kilogram, liter. | | Maatgetal | Het numerieke resultaat van een meting. | | Maateenheid | De standaard of natuurlijke eenheid waarin een grootheid wordt uitgedrukt. | | Referentiematen | Bekende maten die gebruikt worden als ankerpunten voor schattingen. | | IJzeren maten | Synoniem voor referentiematen. | | Intervalmeting | Een meetmethode waarbij het verschil tussen twee toestanden de eenheid bepaalt, zoals bij temperatuur. Nul is hierbij geen absolute ondergrens. | | Verhoudingsmeting | Een meetmethode waarbij de verhoudingen tussen metingen behouden blijven, zoals bij lengte of gewicht. Nul is hierbij een absolute ondergrens. | | Metricatie | Het proces van het vervangen van traditionele eenheidssystemen door het metrieke stelsel (SI-stelsel). | | Lengtematen | Maateenheden die gebruikt worden om afstand te meten, zoals meter, decimeter, centimeter. | | Oppervlaktematen | Maateenheden die gebruikt worden om de grootte van een oppervlak aan te geven, zoals vierkante meter, vierkante decimeter. | | Landmaten | Specifieke oppervlaktematen zoals are en hectare, gebruikt voor grondoppervlakten. | | Volumematen | Maateenheden die aangeven hoeveel ruimte een lichaam inneemt, zoals kubieke meter, kubieke decimeter. | | Inhoudsmaten | Maateenheden die aangeven hoeveel 'stof' een ruimtefiguur kan bevatten, zoals liter, deciliter, centiliter. | | Gewicht/Massa | De hoeveelheid materie van een voorwerp, vaak synoniem gebruikt in het lager onderwijs. | | Tijdseenheden | Maateenheden voor het meten van tijdsduur of tijdstip, zoals seconde, minuut, uur. | | Kloklezen | Het bepalen en lezen van het tijdstip op zowel analoge als digitale klokken. | | Absolute leeswijze (klok) | Het letterlijk lezen van het uur gevolgd door het aantal minuten, zoals op een digitale klok. | | Relatieve leeswijze (klok) | Het lezen van de tijd met het uur of halfuur als referentiepunt, met termen als 'voor' en 'over'. | | Hoekgrootte | De maat van de spreiding tussen de benen van een hoek, uitgedrukt in graden (°). | | Gemiddelde | De som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden, een centrummaat. | | Mediaan | De middelste waarde in een geordende reeks gegevens; als er een even aantal waarden is, is het het gemiddelde van de twee middelste waarden. | | Modus | De waarde die het vaakst voorkomt in een reeks gegevens. | | Omtrek | De lengte van de lijn die een vlakke figuur begrensd. | | Oppervlakte | De maat van de grootte van een vlak figuur. | | Volume | De hoeveelheid ruimte die een ruimtefiguur inneemt. | | Samengestelde grootheden | Grootheden die zijn samengesteld uit andere grootheden, zoals snelheid (afstand per tijd). | | Schaal | De verhouding tussen een afstand op een afbeelding en de corresponderende afstand in werkelijkheid. | | Debiet | De verhouding tussen inhoud (volume) en tijd, die aangeeft hoeveel inhoud per tijdseenheid passeert. | | Bevolkingsdichtheid | De verhouding tussen het aantal inwoners en de oppervlakte van een bepaald gebied. | | Bruto, Netto, Tarra | Begrippen gerelateerd aan gewicht: bruto (totaal gewicht), netto (gewicht van het product zelf), tarra (gewicht van de verpakking). | | Conservatiebegrip | Het inzicht dat bepaalde handelingen de lengte, oppervlakte, het aantal, etc. van iets niet veranderen. | | Vlakke figuren | Delen van een vlak begrensd door een gesloten lijn (recht of gebogen). | | Veelhoeken | Vlakke figuren die uitsluitend begrensd worden door rechte lijnen (lijnstukken). | | Niet-veelhoeken | Vlakke figuren die begrensd worden door minstens één gebogen lijn. | | Cirkel | Een niet-veelhoek waarvan de grenslijn een gebogen lijn is waarbij alle punten op de omtrek even ver van het middelpunt liggen. | | Ruimtefiguren (lichamen) | Delen van de ruimte begrensd door een gesloten oppervlak. | | Veelvlakken | Ruimtefiguren die uitsluitend begrensd worden door platte oppervlakken (veelhoeken). | | Niet-veelvlakken | Ruimtefiguren die begrensd worden door minstens één gebogen oppervlak. | | Hoekpunt | Een punt waar drie of meer zijvlakken van een veelvlak samenkomen. | | Ribbe | Een gemeenschappelijke zijde van twee zijvlakken van een veelvlak. | | Zijvlak | Elk van de begrenzende veelhoeken van een veelvlak. | | Kubus | Een zesvlak dat uitsluitend begrensd is door zes congruente vierkanten. | | Balk | Een zesvlak dat uitsluitend begrensd is door rechthoeken. | | Prisma | Een veelvlak met minstens twee evenwijdige zijvlakken (grond- en bovenvlak) en opstaande zijvlakken die parallellogrammen zijn. | | Piramide | Een veelvlak met één veelhoek als grondvlak en driehoeken als opstaande zijvlakken die samenkomen in één punt (de top). | | Omwentelingslichamen | Ruimtefiguren die ontstaan door het wentelen van een vlakke figuur om een as. | | Cilinder | Een omwentelingslichaam ontstaan door de wenteling van een rechthoek om een van de zijden. | | Kegel | Een omwentelingslichaam ontstaan door de wenteling van een rechthoekige driehoek om een van de rechthoekszijden. | | Bol | Een omwentelingslichaam ontstaan door de wenteling van een halve cirkel om de middellijn. | | Ontvouwing (Ontwikkeling) | Een platte voorstelling van de zijvlakken van een ruimtefiguur, die samengevoegd kunnen worden tot die ruimtefiguur. | | Evenwijdige rechten | Rechten die samenvallen of geen enkel punt gemeenschappelijk hebben en in hetzelfde vlak liggen. | | Snijdende rechten | Rechten die precies één punt gemeenschappelijk hebben. | | Loodrechte rechten | Snijdende rechten die een rechte hoek (90°) vormen. | | Gelijkvormige figuren | Figuren die dezelfde vorm behouden, maar waarvan de afmetingen volgens dezelfde verhouding vergroot of verkleind werden. | | Congruentie | De eigenschap dat twee figuren dezelfde vorm en grootte hebben; ze bedekken elkaar volledig. | | Spiegeling | Een transformatie waarbij een punt of figuur een spiegelbeeld krijgt ten opzichte van een spiegelas. | | Spiegelbeeld | Het beeld van een figuur na spiegeling ten opzichte van een spiegelas. | | Spiegelas | De lijn waarrond een spiegeling plaatsvindt. | | Symmetrie | Een eigenschap van een figuur waarbij deze in twee gelijke delen verdeeld kan worden door een symmetrieas. | | Massadichtheid (Soortelijk gewicht) | De verhouding tussen de massa en het volume van een stof. | | Vlak | Een oneindige, tweedimensionale verzameling van punten die plat is. | | Oppervlak | Een deel van het vlak dat begrensd kan zijn door lijnen of gebogen lijnen. | | Regelmatige veelhoeken | Veelhoeken waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot zijn. | | Plattegrond (Grondplan) | Een tweedimensionale voorstelling van de bovenzijde van een bouwsel, vaak met hoogtegetallen in elk vakje. | | Aanzichten | Tweedimensionale voorstellingen van een bouwsel gezien vanuit verschillende standpunten (voor, achter, links, rechts, boven). | | Rechte van Euler | Een rechte lijn in een driehoek die het zwaartepunt, het hoogtepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel bevat. |