CÁLCULO TEORÍA 5.pdf

# La diferencial de una función Este tema generaliza el concepto de derivada para funciones de varias variables, introduciendo la noción de diferenciabilidad y el plano tangente como aproximación local de la gráfica de la función [2](#page=2). ### 1.1 Motivación e introducción Para funciones de una variable, la existencia de la derivada en un punto implica continuidad en dicho punto, debido a que la gráfica de la función puede ser aproximada localmente por una recta tangente. Esta idea se extiende a funciones de varias variables, donde la aproximación local por una recta se generaliza a un plano tangente para funciones de dos variables [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.2 Función diferenciable. Plano tangente Para una función $f$ de dos variables, la existencia de derivadas parciales en un punto $(a, b)$ garantiza la posibilidad de aproximar localmente la gráfica por una recta en la dirección de los ejes coordenados. Sin embargo, para funciones de varias variables, esto no es suficiente. Se busca una aproximación local que independientemente de la dirección [3](#page=3). Para funciones de dos variables, el papel de la recta tangente lo desempeña un plano tangente. Si una función $f$ admite derivadas parciales en $(a, b)$, se puede definir un plano que pasa por el punto $(a, b, f(a, b))$ y contiene las rectas tangentes a las curvas de la gráfica de $f$ en la dirección de los ejes $x$ e $y$. Los vectores directores de estas rectas tangentes son $(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}(a,b))$ y $(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}(a,b))$ [3](#page=3). La ecuación de este plano puede obtenerse mediante la ecuación paramétrica vectorial: $$(x, y, z) = (a, b, f(a,b)) + \lambda (1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)) + \mu (0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$$ [3](#page=3). Alternativamente, utilizando la dependencia lineal de los vectores $(x-a, y-b, z-f(a,b))$, $(1, 0, \frac{\partial f}{\partial x}(a,b))$ y $(0, 1, \frac{\partial f}{\partial y}(a,b))$, se obtiene el determinante nulo: $$ \begin{vmatrix} x-a & y-b & z-f(a,b) \\ 1 & 0 & \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \\ 0 & 1 & \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \end{vmatrix} = 0 $$ [4](#page=4). Desarrollando este determinante, se llega a la ecuación del plano: $$ \frac{\partial f}{\partial x}(a, b) (x-a) - \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) + z - f(a,b) = 0 $$ [4](#page=4). Reordenando, se obtiene: $$ z = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) (x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) (y-b) $$ [4](#page=4). Esta ecuación se puede expresar de forma compacta usando el producto escalar del gradiente: $$ z = f(a,b) + \nabla f(a,b) \cdot (x-a, y-b) $$ [4](#page=4). ### 1.3 Definición de diferenciabilidad La existencia de derivadas parciales en un punto no garantiza la existencia del plano tangente, ya que una función puede tener derivadas parciales en un punto y ser discontinua en él. Si el plano tangente existe, debe ser el definido por las derivadas parciales, ya que contiene al menos dos rectas tangentes a curvas de la superficie [4](#page=4) [5](#page=5). **Definición 5.1** Una función de dos variables $f$ es diferenciable en $(a, b)$ si: $$ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(a+h,b+k) - f(a,b) - \nabla f(a,b) \cdot (h,k)}{||(h, k)||} = 0 $$ [5](#page=5). Este límite indica que el numerador tiende a cero más rápidamente que el denominador. La expresión $f(a, b) + \nabla f(a,b) \cdot (h,k)$ coincide con la $z$ del plano (5.1) si tomamos $(x, y) = (a+h, b+k)$. Por lo tanto, si el límite es cero, la gráfica de $f$ y el plano (5.1) se aproximan de forma más rápida en el punto $(a,b)$ que la distancia del vector al origen. A un plano con esta propiedad se le llama plano tangente [5](#page=5). **Ecuación del plano tangente:** $$ z = f(a, b) + \nabla f(a, b) \cdot (x -a, y -b) $$ [5](#page=5). **Definición 5.2** Una función de $n$ variables $f$ es diferenciable en $(a_1, \dots, a_n)$ si: $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1 + h_1, \dots, a_n + h_n) - f(a_1, \dots, a_n) - \nabla f(a_1, \dots, a_n) \cdot h}{||h||} = 0 $$ [6](#page=6). donde $h = (h_1, h_2, \dots, h_n)$. Para que una función sea diferenciable en un punto, es necesario que existan todas sus derivadas parciales en ese punto, ya que el gradiente $\nabla f$ está compuesto por ellas. La diferenciabilidad también implica continuidad, ya que la aproximación lineal local exige continuidad [7](#page=7). **Teorema 5.1** Si $f$ es diferenciable en un punto, entonces: * Admite derivadas parciales en ese punto [7](#page=7). * Es continua en ese punto [7](#page=7). > **Tip:** La continuidad y la existencia de derivadas parciales son condiciones necesarias pero no suficientes para la diferenciabilidad. #### 1.3.1 Ejemplo de no diferenciabilidad * **Función $f(x,y)$:** $$ f(x,y) = \begin{cases} xy+1, & x>0 \\ x-y, & x \le 0 \end{cases} $$ Esta función no es diferenciable en $(0,0)$ porque es discontinua en ese punto. Al acercarse por el semiplano $x>0$, el límite de $f(x,y)$ es 1, mientras que $f(0,0)=0$ [7](#page=7). * **Función $g(x,y) = x + |y|$** Esta función es continua en $(0,0)$ ($\lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+|y|) = 0 = g(0,0)$). Sin embargo, no es diferenciable en $(0,0)$ porque la derivada parcial con respecto a $y$ no existe en ese punto. El límite para calcular $\frac{\partial g}{\partial y}(0,0)$ difiere si se acerca por la derecha o por la izquierda (-1) [1](#page=1) [7](#page=7). ### 1.4 Condición suficiente de diferenciabilidad Una condición importante para garantizar la diferenciabilidad y la existencia del plano tangente se basa en la continuidad de las derivadas parciales. **Condición suficiente de diferenciabilidad:** Si una función de $n$ variables $f$ admite derivadas parciales cerca de $(a_1, \dots, a_n)$ y estas derivadas parciales son continuas en $(a_1, \dots, a_n)$, entonces $f$ es diferenciable en $(a_1, \dots, a_n)$ [8](#page=8). Se considera una función **regular** si es continua y tiene derivadas parciales continuas [8](#page=8). #### 1.4.1 Ejemplo de diferenciabilidad * **Función $f(x,y) = \sin(\frac{1}{x^2+y^2})$** Esta función es una composición de una función racional y una función trigonométrica. Por lo tanto, admite derivadas parciales en todo su dominio ($\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$), y estas derivadas parciales son continuas en su dominio. Según la condición suficiente, $f$ es diferenciable en cualquier punto de su dominio. No se puede hablar de su diferenciabilidad en $(0,0)$ por no pertenecer este punto a su dominio [8](#page=8). ### 1.5 La diferencial de una función Para funciones de $n$ variables, la aproximación lineal se generaliza. Para $n=2$, la aproximación lineal es un plano. Para $n>2$, la aproximación lineal es un espacio tangente de dimensión $n$ [8](#page=8). La ecuación del espacio tangente a la gráfica de una función diferenciable $f$ de $n$ variables en el punto $(a_1, \dots, a_n)$ es: $$ x_{n+1} = f(a_1, \dots, a_n) + \nabla f(a_1, \dots, a_n) \cdot (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n) $$ [9](#page=9). **Definición 5.3** La **diferencial** de una función diferenciable $f$ en un punto $(a_1, \dots, a_n)$, denotada como $Df(a_1, \dots, a_n)$, es la aplicación lineal que define la ecuación (5.3) [9](#page=9). Para una función de dos variables $f$ diferenciable en $(a, b)$: $$ Df(a,b)(x,y) = \nabla f(a,b) \cdot (x,y) $$ [9](#page=9). Para una función de $n$ variables $f$ diferenciable en $(a_1, \dots, a_n)$: $$ Df(a_1, \dots, a_n)(x_1, \dots, x_n) = \nabla f(a_1, \dots, a_n) \cdot (x_1, \dots, x_n) $$ [9](#page=9). Por lo tanto, la matriz asociada a la aplicación lineal que define la diferencial es el gradiente de la función [9](#page=9). #### 1.5.1 Ejemplo de cálculo de la diferencial * **Calcular la diferencial en el punto (1, 2) de $f(x, y) = x^2 + y$.** La función es polinómica, por lo que tiene derivadas parciales continuas en todo su dominio y es diferenciable en todos los puntos de $\mathbb{R}^2$ [9](#page=9). Necesitamos calcular las derivadas parciales en $(1,2)$: $\frac{\partial f}{\partial x}(1,2) = 2x |_{(1,2)} = 2 = 2$ [1](#page=1). $\frac{\partial f}{\partial y}(1,2) = 1 |_{(1,2)} = 1$ El gradiente en $(1,2)$ es $\nabla f(1,2) = (2,1)$. La diferencial en $(1,2)$ es: $Df(1,2)(x,y) = \nabla f(1,2) \cdot (x,y) = (2,1) \cdot (x,y) = 2x + y$ [9](#page=9). **Definición 5.4** Si una función es diferenciable en todos los puntos de un subconjunto $A$ de su dominio, se dice que es diferenciable en $A$ [9](#page=9). --- # Regla de la cadena y teorema del valor medio Este tema extiende la regla de la cadena a funciones de varias variables, introduce el teorema del valor medio generalizado, y discute sus aplicaciones, junto con los conceptos de segmento y conjuntos convexos. ### 2.1 Regla de la cadena La regla de la cadena se refiere a cómo se comporta la diferenciabilidad bajo la composición de funciones, permitiendo calcular derivadas o gradientes de funciones compuestas a partir de las derivadas o gradientes de las funciones que las componen [12](#page=12) [14](#page=14). #### 2.1.1 Propiedades de las funciones diferenciables Las funciones constantes son diferenciables y su diferencial es la aplicación lineal nula. Las sumas, productos y productos por escalares de funciones diferenciables también son diferenciables, siguiendo reglas análogas a las de una sola variable [10](#page=10) [11](#page=11): * $D(f + g)(\bar{a}) = Df(\bar{a}) + Dg(\bar{a})$ [10](#page=10). * $D(cf)(\bar{a}) = cDf(\bar{a})$ [10](#page=10). * $D(f \cdot g)(\bar{a}) = Df(\bar{a})g(\bar{a}) + f(\bar{a})Dg(\bar{a})$ [10](#page=10). El cociente $f/g$ de funciones diferenciables es diferenciable si $g(\bar{a}) \neq 0$ y se cumple: $$D(f/g)(\bar{a}) = \frac{Df(\bar{a})g(\bar{a}) - f(\bar{a})Dg(\bar{a})}{(g(\bar{a}))^2}$$ > **Tip:** Estas reglas son fundamentales para el desarrollo teórico en el que intervienen funciones arbitrarias, aunque a veces el cálculo directo del gradiente sea más sencillo [11](#page=11). #### 2.1.2 Cálculo de derivadas de funciones compuestas El cálculo de las derivadas parciales para una composición de funciones se puede visualizar mediante diagramas de dependencia. * **Composición de una función de dos variables con funciones de una variable:** Para $f(g(t), h(t))$, la derivada con respecto a $t$ es: $$\frac{df}{dt}(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(g(t), h(t)) g'(t) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(t), h(t)) h'(t)$$ donde $x$ e $y$ son variables mudas que representan las variables de $f$. > **Example:** Calcular la derivada con respecto a $t$ de $f(e^t, 1+t^2)$ donde $f(x, y) = \sqrt{x} + 2y$. > Aquí, $g(t) = e^t$ y $h(t) = 1+t^2$. Las derivadas parciales de $f$ son $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 2$. Las derivadas de $g$ y $h$ son $g'(t) = e^t$ y $h'(t) = 2t$. > Aplicando la fórmula: > $\frac{df}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{e^t}} (e^t) + 2 (2t) = \frac{e^t}{2e^{t/2}} + 4t = \frac{1}{2}e^{t/2} + 4t$. > En el punto $(e^t, 1+t^2)$: $\frac{df}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{e^t+2(1+t^2)}} e^t + 2(2t) = \frac{e^t}{2\sqrt{e^t+2(1+t^2)}} + 4t$. El ejemplo del documento aplica la fórmula directamente sin calcular explícitamente las variables mudas [13](#page=13). * **Composición de una función de dos variables con funciones de dos variables:** Para $f(g(u, v), h(u, v))$, las derivadas parciales son: $$\frac{\partial f}{\partial u}(g(u, v), h(u, v)) = \frac{\partial f}{\partial x}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial g}{\partial u}(u, v) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial h}{\partial u}(u, v)$$ $$\frac{\partial f}{\partial v}(g(u, v), h(u, v)) = \frac{\partial f}{\partial x}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial g}{\partial v}(u, v) + \frac{\partial f}{\partial y}(g(u, v), h(u, v)) \frac{\partial h}{\partial v}(u, v)$$ #### 2.1.3 Regla de la cadena generalizada La regla de la cadena se extiende a funciones $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ y $g_1, \dots, g_m: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciables. Si $f$ es diferenciable en $(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a}))$ y $g_i$ son diferenciables en $\bar{a} \in \mathbb{R}^n$, entonces la composición $F(\bar{a}) = f(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a}))$ es diferenciable en $\bar{a}$, y su gradiente se calcula como: $$\nabla(f(g_1, \dots, g_m))(\bar{a}) = \nabla f(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a})) \begin{pmatrix} \nabla g_1(\bar{a}) \\ \vdots \\ \nabla g_m(\bar{a}) \end{pmatrix}$$ Esto puede expresarse como: $$\nabla(f(g_1, \dots, g_m))(\bar{a}) = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i}(g_1(\bar{a}), \dots, g_m(\bar{a})) \nabla g_i(\bar{a})$$ > **Tip:** El gradiente de la composición es un producto matricial donde la primera matriz es el gradiente de $f$ y la segunda matriz contiene los gradientes de las funciones $g_i$ como filas. Si $n=m=1$, esta regla se reduce a la derivada de una función de una variable [14](#page=14) [16](#page=16). > **Example:** Calcular la derivada con respecto a $x$ de $f(x, h(x))$, donde $g(x)=x$. > Aplicando la regla de la cadena: > $\frac{d}{dx} f(x, h(x)) = \nabla f(x, h(x)) \cdot (1, h'(x))$ > $\frac{d}{dx} f(x, h(x)) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, h(x)) \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}(x, h(x)) \cdot h'(x)$ > Para $f(x, y) = xy^2$ y $h(x) = e^x$: > $\nabla f(x, y) = (y^2, 2xy)$. Así, $\nabla f(x, h(x)) = ((e^x)^2, 2x e^x) = (e^{2x}, 2xe^x)$. > $h'(x) = e^x$. > $\frac{d}{dx} f(x, e^x) = (e^{2x}) \cdot 1 + (2xe^x) \cdot e^x = e^{2x} + 2xe^{2x} = (2x+1)e^{2x}$ [15](#page=15). > **Example:** Calcular el gradiente en $(0,0)$ de $f(g(u,v), h(u,v))$ para $f(x,y) = 2x+2y$, $g(u,v) = uv$, $h(u,v) = \sin u + 3$. > $\nabla f(x, y) = (2,2)$. > $\nabla g(u,v) = (v, u)$. > $\nabla h(u,v) = (\cos u, 0)$. > $g(0,0) = 0$, $h(0,0) = \sin + 3 = 3$ . > $\nabla(f(g,h))(0,0) = \nabla f(g(0,0), h(0,0)) \begin{pmatrix} \nabla g(0,0) \\ \nabla h(0,0) \end{pmatrix}$ > $\nabla(f(g,h))(0,0) = (2,2) \begin{pmatrix} (0,0) \\ (\cos 0, 0) \end{pmatrix} = (2,2) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ > $\nabla(f(g,h))(0,0) = (2 \cdot 0 + 2 \cdot 1, 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0) = (2,0)$ [15](#page=15). ### 2.2 Teorema del valor medio Este teorema generaliza el teorema del valor medio para funciones de una variable a funciones de varias variables, requiriendo el concepto de segmento y conjunto convexo. #### 2.2.1 Segmento y conjuntos convexos * **Segmento:** El segmento que une dos puntos $\bar{a} = (a_1, \dots, a_n)$ y $\bar{b} = (b_1, \dots, b_n)$ en $\mathbb{R}^n$ es el conjunto de puntos $\bar{x}$ de la forma: $$\bar{x} = (1-\lambda)\bar{a} + \lambda\bar{b}, \quad \lambda \in $$ [1](#page=1). En $\mathbb{R}^2$, esto describe la línea recta que conecta los dos puntos [17](#page=17). * **Conjunto convexo:** Un subconjunto $D \subseteq \mathbb{R}^n$ es convexo si para cualquier par de puntos en $D$, el segmento que los une está completamente contenido en $D$ [17](#page=17). * Ejemplos de conjuntos convexos: discos, bolas, rectas, planos. * Ejemplos de conjuntos no convexos: una circunferencia (el borde de un disco) [17](#page=17). > **Example:** Una región que es un círculo completo es un conjunto convexo. Si tomas dos puntos cualesquiera dentro del círculo, la línea recta que los une permanecerá completamente dentro del círculo. Una región con una hendidura o un agujero en el medio no sería un conjunto convexo si pudieras seleccionar dos puntos de tal manera que el segmento que los une pase por el área vacía. #### 2.2.2 Teorema del valor medio generalizado Sea $f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función continua y con derivadas parciales continuas en $D$. Si el segmento que une dos puntos $\bar{a}$ y $\bar{b}$ de $D$ está contenido en $D$, entonces existe un punto $\bar{c}$ en ese segmento tal que: $$f(\bar{a}) - f(\bar{b}) = \nabla f(\bar{c}) \cdot (\bar{a} - \bar{b})$$ #### 2.2.3 Aplicaciones del teorema del valor medio Este teorema permite obtener resultados similares a los de funciones de una variable sobre el crecimiento y decrecimiento de una función. * Si en un conjunto convexo $A$, las componentes del gradiente de $f$ son estrictamente positivas, entonces $f(\bar{a}) > f(\bar{b})$ si $a_i > b_i$ para todo $i$. Esto implica que $f$ crece al moverse en la dirección de un vector del primer cuadrante [18](#page=18). * Si en un conjunto convexo $A$, las componentes del gradiente de $f$ son estrictamente negativas, entonces $f(\bar{a}) < f(\bar{b})$ si $a_i > b_i$ para todo $i$. Esto implica que $f$ decrece al moverse en la dirección de un vector del primer cuadrante [18](#page=18). > **Example:** La función $f(x,y) = x^3 + y^3$ tiene gradiente $\nabla f(x, y) = (3x^2, 3y^2)$. En cualquier punto donde $xy \neq 0$ (es decir, fuera de los ejes), ambas componentes del gradiente son estrictamente positivas. Por lo tanto, en un conjunto convexo (como $\mathbb{R}^2$ excluyendo los ejes), la función crece si aumentan ambas componentes de las variables, siguiendo la dirección de un vector del primer cuadrante [19](#page=19). --- # Teorema de la función implícita y derivación implícita Este apartado introduce el teorema de la función implícita, que establece las condiciones bajo las cuales una ecuación implícita puede ser resuelta explícitamente para una variable, y presenta la técnica de derivación implícita para calcular derivadas sin necesidad de despejar la función [20](#page=20). ### 3.1. Motivación y concepto de ecuación implícita Una ecuación de dos variables, como $x^2 + y^2 = 1$, describe una relación entre ellas. Cuando una de las variables se expresa directamente en términos de la otra, como $y = \sqrt{1-x^2}$, se tiene una ecuación explícita. En contraste, una ecuación de la forma $f(x_1, \ldots, x_n) = 0$ se denomina ecuación implícita, ya que no siempre permite despejar una variable explícitamente [20](#page=20) [21](#page=21). El objetivo principal es determinar cuándo es posible pasar de una forma implícita a una explícita y, adicionalmente, obtener información sobre la derivada de la función resultante [21](#page=21). > **Tip:** Pasar de una ecuación explícita a una implícita es sencillo, por ejemplo, $y = x^2$ se puede escribir como $f(x,y) = x^2 - y = 0$ [21](#page=21). ### 3.2. Teorema de la función implícita El teorema de la función implícita proporciona las condiciones necesarias para garantizar la existencia de una solución explícita y su derivabilidad. #### 3.2.1. Para funciones de dos variables Sea $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ una función continua con derivadas parciales continuas en un abierto $D$. Si $(a,b) \in D$ es un punto tal que $f(a,b) = 0$ y la derivada parcial de $f$ respecto a $y$ en $(a,b)$ no es cero, es decir, $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$ entonces [22](#page=22): * Existen intervalos abiertos $U$ (conteniendo a $a$) y $V$ (conteniendo a $b$) tales que para cada $x \in U$, existe una única función $g: U \to V$ que satisface $f(x, g(x)) = 0$ [22](#page=22). * Se cumple que $b = g(a)$ [22](#page=22). * La función $g$ es continua y tiene derivada continua [22](#page=22). * La derivada de $g$ se puede calcular mediante la fórmula: $$ \frac{dg}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$ para todo $x \in U$ y $y \in V$ [22](#page=22). Si en lugar de $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$, se cumple $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \neq 0$, entonces se puede despejar $x$ en función de $y$ [22](#page=22). > **Example:** Para la circunferencia $f(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$, las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$. Podemos despejar $y$ en función de $x$ donde $\frac{\partial f}{\partial y} = 2y \neq 0$, es decir, $y \neq 0$. En puntos como $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $y$ se puede despejar como $y = \sqrt{1-x^2}$. Sin embargo, en $(1,0)$, donde $y=0$, no podemos despejar $y$, pero sí podemos despejar $x$ ya que $\frac{\partial f}{\partial x}(1,0) = 2 = 2 \neq 0$ [1](#page=1) [22](#page=22) [23](#page=23). #### 3.2.2. Derivación implícita Una consecuencia directa del teorema de la función implícita es la posibilidad de calcular derivadas sin conocer la expresión explícita de la función. Si la ecuación $f(x,y) = 0$ define implícitamente a $y$ como una función de $x$, denotada por $y(x)$, entonces podemos derivar la ecuación $f(x, y(x)) = 0$ respecto a $x$ usando la regla de la cadena: $$ \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 $$ Dado que $\frac{dx}{dx} = 1$ y que $f(x, y(x)) = 0$, su derivada también es cero. Esto nos lleva a la fórmula de derivación implícita: $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$ Este proceso es conocido como **derivación implícita**. Si las condiciones son adecuadas, se pueden calcular derivadas de orden superior de manera sucesiva [23](#page=23) [25](#page=25). > **Example:** Consideremos el Folium de Descartes, $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy = 0$. Las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x$. Para poder escribir $y$ en función de $x$, se requiere $\frac{\partial f}{\partial y} \neq 0$, es decir, $3y^2 - 3x \neq 0$, o $x \neq y^2$. La derivada de $y$ respecto a $x$ es: > > $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 - 3y}{3y^2 - 3x} = \frac{y - x^2}{y^2 - x} $$ > > Para calcular la segunda derivada, se deriva implícitamente la ecuación $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} - 3y - 3x\frac{dy}{dx} = 0$ [25](#page=25). #### 3.2.3. Aplicaciones a curvas de nivel El teorema de la función implícita y la derivación implícita son útiles para calcular la pendiente de las curvas de nivel de una función $z = f(x,y)$. Para una curva de nivel $f(x,y) = k$, la pendiente de la recta tangente viene dada por: $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}} $$ Esto significa que la pendiente es el negativo del cociente de las componentes del gradiente $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$ en ese punto [26](#page=26). > **Example:** Para la función $f(x,y) = x^2 + 3xy - y^2$, consideramos la curva de nivel que pasa por el punto $(1,0)$. Como $f(1,0) = 1^2 + 3 - 0^2 = 1$, la curva de nivel es $x^2 + 3xy - y^2 = 1$. Las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 3x - 2y$. En el punto $(1,0)$, ambas derivadas parciales son distintas de cero. La pendiente de la recta tangente en $(1,0)$ es [1](#page=1): > > $$ \frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,0)} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)}{\frac{\partial f}{\partial y}(1,0)} = -\frac{2 + 3 }{3 - 2 } = -\frac{2}{3} $$ [1](#page=1). > > Si bien la fórmula general da $-\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}$, el ejemplo en la página usa $\frac{-(\partial f/\partial x)}{\partial f/\partial y}$ que es $-\frac{2x+3y}{3x-2y}$, y evaluado en (1,0) da $-\frac{2}{3}$. Sin embargo, la derivación implícita directa en el ejemplo resulta en $\frac{dy}{dx} = \frac{3x-2y}{2x+3y}$, que evaluado en $(1,0)$ es $\frac{3}{2}$. La confusión parece estar en la aplicación de la fórmula. La fórmula correcta derivada del teorema es $\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}$. Si calculamos implícitamente $2x + 3y + 3x\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = 0$, entonces $\frac{dy}{dx}(3x-2y) = -(2x+3y)$, lo que resulta en $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+3y}{3x-2y}$. Evaluado en $(1,0)$, esto es $-\frac{2}{3}$. El ejemplo en la página parece tener un error de signo o en la aplicación de la fórmula. Revisando, la fórmula presentada en es $\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ (en forma de cociente de derivadas parciales), pero luego en el ejemplo calcula $\frac{3x-2y}{2x+3y}$. Si usamos la fórmula del teorema: $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+3y}{3x-2y}$. En el punto (1,0): $\frac{dy}{dx} = -\frac{2 +3 }{3 -2 } = -\frac{2}{3}$. El ejemplo proporciona $\frac{3}{2}$ como resultado, que es el inverso del negativo. Asumiendo que la intención es la aplicación correcta del teorema, el resultado debería ser -2/3 [1](#page=1) [26](#page=26). #### 3.2.4. Para funciones de varias variables El teorema de la función implícita se generaliza a funciones de $n+1$ variables. Sea $f: D \subset \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}$ una función con derivadas parciales continuas en un abierto $D$. Si $(a_1, \ldots, a_n, b) \in D$ es un punto tal que $f(a_1, \ldots, a_n, b) = 0$ y $\frac{\partial f}{\partial z}(a_1, \ldots, a_n, b) \neq 0$, entonces: * Existen un entorno $U$ de $(a_1, \ldots, a_n)$ y un intervalo abierto $V$ de $b$ tales que existe una única función $g: U \to V$ con derivadas parciales continuas, satisfaciendo $f(x_1, \ldots, x_n, g(x_1, \ldots, x_n)) = 0$ para todo $(x_1, \ldots, x_n) \in U$ [27](#page=27). * La derivada parcial de $z = g(x_1, \ldots, x_n)$ respecto a $x_j$ se calcula como: $$ \frac{\partial z}{\partial x_j} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x_j}}{\frac{\partial f}{\partial z}} $$ para todo $(x_1, \ldots, x_n) \in U$ y $z \in V$ [27](#page=27). Por comodidad, se suele tomar la última variable ($z$) como la que se expresa en función de las otras, pero el resultado es válido para cualquier variable [27](#page=27). > **Example:** Para la ecuación $x^2 - xy + 3z^2 = 3$, definimos $f(x,y,z) = x^2 - xy + 3z^2 - 3$. Las derivadas parciales son $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y$, $\frac{\partial f}{\partial y} = -x$, y $\frac{\partial f}{\partial z} = 6z$. En el punto $(0,1,1)$, $f(0,1,1) = 0$ y $\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,1) = 6 = 6 \neq 0$. Por lo tanto, $z$ puede expresarse como una función de $x$ e $y$, $z = g(x,y)$, cerca de $(0,1)$. Las derivadas parciales de $z$ en $(0,1)$ son [1](#page=1): > > $$ \frac{\partial z}{\partial x}(0,1) = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,1,1)}{\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,1)} = -\frac{2 - 1}{6} = -\frac{-1}{6} = \frac{1}{6} $$ . > > $$ \frac{\partial z}{\partial y}(0,1) = -\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,1,1)}{\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,1)} = -\frac{- }{6} = 0 $$ . > > En este caso, se puede despejar $z$ explícitamente como $z = \sqrt{\frac{3 - x^2 + xy}{3}}$. El cálculo de las derivadas parciales de $z$ usando la fórmula implícita se verifica con el despeje explícito [28](#page=28). --- # Valores extremos y optimización condicional Este tema aborda la identificación y clasificación de los valores máximos y mínimos de funciones de varias variables, tanto absolutos como relativos, y presenta el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización bajo restricciones. ### 4.1 Extremos absolutos y relativos #### 4.1.1 Definiciones de extremos Se definen los extremos absolutos y relativos de una función $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ [29](#page=29) [30](#page=30). * **Máximo absoluto:** Un punto $(a_1, \dots, a_n) \in D$ es un máximo absoluto si $f(x_1, \dots, x_n) \leq f(a_1, \dots, a_n)$ para todo $(x_1, \dots, x_n) \in D$ [29](#page=29). * **Mínimo absoluto:** Un punto $(a_1, \dots, a_n) \in D$ es un mínimo absoluto si $f(x_1, \dots, x_n) \geq f(a_1, \dots, a_n)$ para todo $(x_1, \dots, x_n) \in D$ [29](#page=29). * Los máximos y mínimos absolutos se denominan **extremos absolutos** [29](#page=29). * **Máximo relativo:** Un punto $(a, b)$ es un máximo relativo si existe un disco abierto $A$ tal que $f(x, y) \leq f(a, b)$ para todo $(x, y) \in A \cap D$ [30](#page=30). * **Mínimo relativo:** Un punto $(a, b)$ es un mínimo relativo si existe un disco abierto $A$ tal que $f(x, y) \geq f(a, b)$ para todo $(x, y) \in A \cap D$ [30](#page=30). * Los máximos y mínimos relativos se denominan **extremos relativos** [30](#page=30). Si las desigualdades en las definiciones son estrictas, se habla de extremos absolutos o relativos estrictos [29](#page=29) [30](#page=30). > **Tip:** Es útil visualizar la gráfica de la función para comprender intuitivamente los extremos absolutos y relativos. Los extremos absolutos son los puntos más altos y más bajos en todo el dominio, mientras que los extremos relativos son los puntos más altos o más bajos en su vecindad inmediata. ##### 4.1.1.1 Ejemplo de extremos La función $f(x, y) = x^2 + y^2$ alcanza un mínimo absoluto en $(0, 0)$ porque $f(x, y) \geq 0$ para todo $(x, y)$ y $f(0,0)=0$. Este mínimo es estricto ya que para $(x,y) \neq (0,0)$, $f(x,y) > 0$. La función no alcanza un máximo absoluto, ya que para cualquier valor $t$, se puede encontrar un punto $(a,b)$ tal que $f(a,b) \geq t$ [29](#page=29). ##### 4.1.1.2 Ejemplo de extremos relativos La función $f(x, y) = 15(x^3 + xy^4)e^{-(x^2+y^2)}$ alcanza tres máximos relativos (uno de ellos absoluto) y tres mínimos relativos (uno de ellos absoluto) en el dominio considerado [31](#page=31). #### 4.1.2 Puntos críticos Los puntos críticos son candidatos para la localización de extremos relativos. * **Definición de punto crítico:** Una función regular $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tiene un punto crítico en $(a, b)$ si sus derivadas parciales se anulan en ese punto: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = 0$ y $\frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 0$. Esto es equivalente a $\nabla f(a, b) = \mathbf{0}$ [32](#page=32). * Para funciones $f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, los puntos críticos son aquellos donde $\nabla f(a_1, \dots, a_n) = \mathbf{0}$ [32](#page=32). * Si una función no es regular, los puntos críticos son aquellos donde la función no está definida o no es diferenciable [32](#page=32). > **Tip:** Encontrar puntos críticos implica resolver un sistema de ecuaciones, que no siempre es lineal y puede requerir ingenio e intuición. ##### 4.1.2.1 Ejemplo de puntos críticos Para $f(x,y) = (x^2 + 2y^2)e^{1-(x^2+y^2)}$, los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales, lo que lleva a las soluciones $(0,0), (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)$ [32](#page=32). Para $f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$, los puntos críticos en $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$ son aquellos en los que $x=0$ o $y=0$, es decir, cualquier punto en los ejes coordenados [33](#page=33). #### 4.1.3 Condición necesaria y suficiente de extremo relativo * **Condición necesaria de extremo relativo:** Si una función diferenciable $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ alcanza un extremo relativo en $(a, b) \in D$ (abierto), entonces $\nabla f(a, b) = \mathbf{0}$ [34](#page=34). * **Punto de ensilladura (o punto de silla):** Un punto crítico que no es un extremo relativo se denomina punto de ensilladura. Geométricamente, la gráfica de la función cerca de este punto se asemeja a una silla de montar [35](#page=35). * **Condición suficiente de extremo:** Supongamos que $f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tiene un punto crítico en $(a, b)$. Sea $H_f(a,b)$ la matriz Hessiana en $(a,b)$, y $d = \det(H_f(a,b))$. Si $r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)$: * Si $d > 0$ y $r > 0$: $f$ alcanza un **mínimo relativo** en $(a, b)$ [36](#page=36). * Si $d > 0$ y $r < 0$: $f$ alcanza un **máximo relativo** en $(a, b)$ [36](#page=36). * Si $d < 0$: $f$ tiene un **punto de silla** en $(a, b)$ [36](#page=36). * Si $d = 0$: el caso es dudoso [36](#page=36). > **Tip:** La matriz Hessiana $H_f(a,b) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a, b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & s \\ u & t \end{pmatrix}$ proporciona información crucial sobre la naturaleza de los puntos críticos [36](#page=36). ##### 4.1.3.1 Ejemplo de clasificación de puntos críticos Para $f(x,y) = (x^2 + 2y^2)e^{-(x^2+y^2)}$, se analizan los puntos críticos encontrados previamente: * En $(0,0)$: $d = 8e^2 > 0$ y $r = 2e > 0$, por lo tanto, hay un **mínimo relativo** [37](#page=37). * En $(1,0)$ y $(-1,0)$: $d = -8 < 0$, por lo tanto, son **puntos de silla** [38](#page=38). * En $(0,1)$ y $(0,-1)$: $d = 16 > 0$ y $r = -2 < 0$, por lo tanto, hay **máximos relativos** [38](#page=38). #### 4.1.4 Teorema de los valores extremos * **Teorema de los valores extremos:** Si una función continua $f$ está definida en un subconjunto $S \subset \mathbb{R}^n$ cerrado y acotado, entonces $f$ alcanza el máximo y el mínimo absolutos en $S$. Estos extremos se alcanzan en la frontera de $S$ o en un punto crítico de $f$ en el interior de $S$ [38](#page=38). > **Procedimiento para encontrar extremos absolutos:** > 1. Hallar los puntos críticos de $f$ en el interior de $S$. > 2. Hallar los posibles puntos de extremos absolutos en la frontera de $S$. > 3. Calcular el valor de $f$ en todos los puntos determinados en los pasos anteriores. El valor mayor (menor) corresponde al máximo (mínimo) absoluto [38](#page=38). ##### 4.1.4.1 Ejemplo de aplicación del teorema Para $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ en $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1\}$: * Punto crítico interior: $(0,0)$, donde $f(0,0)=0$ (mínimo absoluto) [39](#page=39). * Frontera ($x^2+y^2=1$): se analizan los puntos $(0, \pm 1)$ con $f=2$ (máximos absolutos) y $(\pm 1, 0)$ con $f=1$ [40](#page=40). El máximo absoluto de $f$ en $S$ se alcanza en $(0,1)$ y $(0,-1)$, y el mínimo absoluto en $(1,0)$ y $(-1,0)$ [40](#page=40). ### 4.2 Optimización condicional: Método de los multiplicadores de Lagrange #### 4.2.1 Motivación Frecuentemente, se busca optimizar una función sujeta a ciertas restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una herramienta fundamental para resolver este tipo de problemas de optimización condicional, especialmente cuando no es posible despejar una variable en función de otra de forma sencilla [39](#page=39) [41](#page=41). #### 4.2.2 Teorema de Lagrange * **Teorema de Lagrange (para dos variables):** Sean $f$ y $g$ funciones continuas y con derivadas parciales continuas. Si $f$ tiene un extremo relativo en $(a, b)$ sobre la curva $g(x, y) = 0$, y $\nabla g(a, b) \neq \mathbf{0}$, entonces existe un número $\lambda$ tal que $\nabla f(a, b) = \lambda \nabla g(a, b)$ [42](#page=42). * El número $\lambda$ se denomina **multiplicador de Lagrange** [42](#page=42). * La función auxiliar $F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$ tiene un punto crítico en $(a, b, \lambda)$ [42](#page=42). > **Interpretación geométrica:** En el punto de extremo condicionado, las curvas de nivel de $f$ y la curva de restricción $g(x,y)=0$ son tangentes. Esto implica que sus gradientes son paralelos, es decir, $\nabla f = \lambda \nabla g$ [43](#page=43). * **Teorema de Lagrange (general):** Para $f, g: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, si $f$ tiene un extremo relativo en $(a_1, \dots, a_n)$ sobre $g(x_1, \dots, x_n) = 0$ y $\nabla g(a_1, \dots, a_n) \neq \mathbf{0}$, entonces existe $\lambda$ tal que $\nabla f(a_1, \dots, a_n) = \lambda \nabla g(a_1, \dots, a_n)$ [44](#page=44). #### 4.2.3 Método de los multiplicadores de Lagrange con una condición Para calcular los extremos de $f(x, y)$ sujeto a $g(x, y) = 0$: 1. Definir la función auxiliar $F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y)$. 2. Resolver el sistema $\nabla F(x, y, \lambda) = (\mathbf{0}, \mathbf{0}, 0)$, es decir, igualar a cero todas las derivadas parciales de $F$. Esto localiza los puntos críticos de $F$. 3. Si el conjunto definido por $g(x, y) = 0$ es cerrado y acotado, calcular el valor de $f(x, y)$ en los puntos críticos de $F$. El valor mayor (menor) de $f$ corresponde al máximo (mínimo) absoluto [44](#page=44). 4. Si $g(x, y) = 0$ permite expresar $y$ como función implícita de $x$, $y = h(x)$, se puede estudiar el extremo de $f(x, h(x))$ [44](#page=44). ##### 4.2.3.1 Ejemplo de multiplicadores de Lagrange Calcular los extremos de $f(x, y) = x^2 + 2y^2$ en $C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1\}$: * Función auxiliar: $F(x, y, \lambda) = x^2 + 2y^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 1)$. * Sistema de ecuaciones: * $\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + 2\lambda x = 2x(1+\lambda) = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial y} = 4y + 2\lambda y = 2y(2+\lambda) = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 1 = 0$ * Soluciones: * Si $\lambda = -1$, entonces $2x = 0$ (cualquier $x$) y $2y = 0 \implies y=0$. Con $x^2+y^2=1$, obtenemos $(\pm 1, 0)$, con $\lambda = -1$ [1](#page=1). * Si $\lambda = -2$, entonces $2x(-1) = 0 \implies x=0$ y $2y = 0$ (cualquier $y$). Con $x^2+y^2=1$, obtenemos $(0, \pm 1)$, con $\lambda = -2$ . * Los puntos críticos son $(\pm 1, 0)$ y $(0, \pm 1)$. Comparando los valores de $f$: $f(\pm 1, 0) = 1$ y $f(0, \pm 1) = 2$. Por lo tanto, el máximo es 2 y el mínimo es 1 [45](#page=45). ##### 4.2.3.2 Ejemplo de optimización de producto Encontrar dos números positivos cuya suma sea 9 y su producto sea máximo: * Maximizar $f(x, y) = xy$ sujeto a $x+y-9=0$, con $x \geq 0, y \geq 0$. * Función auxiliar: $F(x, y, \lambda) = xy + \lambda(x+y-9)$. * Sistema de ecuaciones: * $\frac{\partial F}{\partial x} = y + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial y} = x + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x+y-9 = 0$ * Solución: $x=y=\frac{9}{2}$ y $\lambda = -\frac{9}{2}$. En el punto $(\frac{9}{2}, \frac{9}{2})$, el producto es $f(\frac{9}{2}, \frac{9}{2}) = \frac{81}{4}$. En los extremos del segmento de restricción, $(9,0)$ y $(0,9)$, el producto es 0. Por lo tanto, el producto máximo es $\frac{81}{4}$ para $x=y=\frac{9}{2}$ [46](#page=46). ##### 4.2.3.3 Ejemplo de optimización de producto de tres números Encontrar tres números positivos cuya suma sea 9 y su producto sea máximo: * Maximizar $f(x, y, z) = xyz$ sujeto a $x+y+z-9=0$, con $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$. * Función auxiliar: $F(x,y,z,\lambda) = xyz + \lambda(x+y+z-9)$. * Sistema de derivadas parciales: * $\frac{\partial F}{\partial x} = yz + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial y} = xz + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial z} = xy + \lambda = 0$ * $\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x+y+z-9 = 0$ * Soluciones: * Para $\lambda = 0$, las soluciones son $(9,0,0)$ y sus permutaciones, donde $f=0$. * Para $\lambda \neq 0$, se deduce $x=y=z$. Sustituyendo en la restricción: $3x=9 \implies x=3$. El punto crítico es $(3,3,3)$, con $\lambda=-9$. * El valor de la función es $f(3,3,3) = 27$. El producto máximo es 27 y los números son $x=y=z=3$ [47](#page=47). --- ## Errores comunes a evitar - Revise todos los temas a fondo antes de los exámenes - Preste atención a las fórmulas y definiciones clave - Practique con los ejemplos proporcionados en cada sección - No memorice sin entender los conceptos subyacentes

| Término | Definición | |---|---| | Diferencial | La diferencial de una función en un punto es una aplicación lineal que generaliza la idea de la derivada para funciones de varias variables, permitiendo aproximar linealmente la función cerca de dicho punto. | | Derivada parcial | La tasa de cambio instantánea de una función de varias variables con respecto a una de sus variables, manteniendo las demás constantes. | | Gradiente | Un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de una función en un punto dado. Indica la dirección de máximo crecimiento de la función. | | Plano tangente | El plano que mejor aproxima localmente la gráfica de una función de dos variables diferenciable en un punto. Su ecuación se relaciona con el gradiente de la función en ese punto. | | Función diferenciable | Una función de varias variables que admite una aproximación lineal en un punto, es decir, la diferencia entre el valor real de la función y su aproximación lineal es negligible en comparación con la distancia al punto. | | Regla de la cadena | Un teorema que permite calcular la derivada de una función compuesta. Para funciones de varias variables, relaciona las derivadas parciales de la función compuesta con las derivadas parciales de las funciones que la componen. | | Teorema del valor medio | Generalización del teorema del valor medio para funciones de varias variables, que relaciona la diferencia de valor de la función entre dos puntos con el gradiente y el vector que une dichos puntos. | | Conjunto convexo | Un subconjunto de un espacio vectorial en el cual el segmento que une dos puntos cualesquiera del conjunto está completamente contenido dentro del mismo conjunto. | | Teorema de la función implícita | Establece condiciones bajo las cuales una ecuación implícita define una o más variables como funciones explícitas de las otras. Permite calcular las derivadas de estas funciones implícitas. | | Derivación implícita | Un método para calcular la derivada de una función definida implícitamente por una ecuación, sin necesidad de despejar explícitamente la variable dependiente. | | Extremos absolutos | El valor máximo o mínimo que una función alcanza en todo su dominio. | | Extremos relativos | El valor máximo o mínimo que una función alcanza en una vecindad de un punto específico de su dominio. | | Puntos críticos | Puntos de una función donde el gradiente se anula o no está definido. Son candidatos a ser extremos relativos. | | Matriz Hessiana | La matriz cuadrada de segundas derivadas parciales de una función. Se utiliza para clasificar los puntos críticos como máximos, mínimos o puntos de silla. | | Teorema de los valores extremos | Establece que una función continua definida en un conjunto cerrado y acotado alcanza sus extremos absolutos dentro de ese conjunto, ya sea en puntos críticos o en la frontera. | | Extremos condicionados | Problemas de optimización donde se buscan los valores extremos de una función sujeta a una o varias restricciones. | | Multiplicadores de Lagrange | Un método para encontrar los extremos condicionados de una función. Se introduce una nueva función auxiliar y se igualan a cero sus derivadas parciales y las de la función de restricción. | | Curva de nivel | Una curva en el plano donde una función de dos variables toma un valor constante. | | Paraboloide hiperbólico | Una superficie tridimensional que es el gráfico de una función cuadrática de dos variables con un punto de silla. |