Hoofdstuk 4 Hoofdrekenen met natuurlijke getallen(1).pdf

# Begrippen en eigenschappen van de hoofdbewerkingen met natuurlijke getallen Dit onderwerp behandelt de definities, basisbegrippen en fundamentele eigenschappen van de vier hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) toegepast op natuurlijke getallen [4](#page=4). ### 1.1 Leerdoelen (vakdidactiek) * De relevante begrippen in verband met de vier basisbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) correct kunnen gebruiken [4](#page=4). * De eigenschappen van bewerkingen die in de lagere school aan bod komen, kunnen verwoorden en illustreren aan de hand van een gepast voorbeeld [4](#page=4). ### 1.2 Leerdoelen (eigen rekenvaardigheden) * Vlot hoofdrekenen met gebruik van de eigenschappen van bewerkingen, en hierbij de gebruikte tussenstappen correct noteren [4](#page=4). ### 1.3 Optellen #### 1.3.1 Basisbegrippen Optellen kan worden geïnterpreteerd als het samenvoegen van hoeveelheden of het erbij doen van getallen [5](#page=5). De optelling in de verzameling van de natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$) wordt symbolisch genoteerd als $a + b = c$ [5](#page=5). * $a$ en $b$ worden de termen genoemd [5](#page=5). * $c$ is het resultaat, de som [5](#page=5). * Het bewerkingsteken $+$ is het plusteken [5](#page=5). * $a + b$ wordt gelezen als "a plus b" [5](#page=5). > **Tip:** De volgorde van de getallen kan relevant zijn bij het verwoorden van een som, hoewel de uitkomst mathematisch gelijk blijft door de commutativiteit [5](#page=5). #### 1.3.2 Eigenschappen 1. **De optelling is inwendig in $\mathbb{N}$.** Dit betekent dat de som van twee natuurlijke getallen altijd opnieuw een natuurlijk getal is [5](#page=5). * Voorbeeld: $3 + 5 = 8$. Zowel $3$, $5$ als $8$ zijn natuurlijke getallen. 2. **Het natuurlijk getal 0 is het neutraal element van de optelling in $\mathbb{N}$.** De som van een natuurlijk getal $a$ en $0$, of $0$ en $a$, is steeds gelijk aan $a$ [5](#page=5). * Voorbeeld: $7 + 0 = 7$ en $0 + 7 = 7$. 3. **De optelling is commutatief in $\mathbb{N}$.** De som van twee natuurlijke getallen $a$ en $b$ blijft onveranderd wanneer de termen van plaats wisselen. Dit wordt in de basisschool vaak "van plaats wisselen" genoemd [6](#page=6). * Voorbeeld: $4 + 6 = 10$ en $6 + 4 = 10$. 4. **De optelling is associatief in $\mathbb{N}$.** Bij een optelling die uit drie termen bestaat, mogen de haakjes van plaats verwisseld worden. Dit wordt in de basisschool vaak "schakelen" genoemd [6](#page=6). * Voorbeeld: $(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$ en $2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$. #### 1.3.3 Elementaire optellingen Elementaire optellingen betreffen optellingen met termen kleiner dan of gelijk aan 10. Deze moeten leerlingen paraat hebben voor hoofdrekenen en cijferend rekenen [6](#page=6). ### 1.4 Aftrekken #### 1.4.1 Basisbegrippen Aftrekken kan betekenen: * **Wegnemen:** Het aantal overblijvende objecten na het verwijderen van een deel [6](#page=6). * **Vergelijken:** Het verschil in hoeveelheid tussen twee getallen [6](#page=6). De aftrekking in $\mathbb{N}$ wordt symbolisch genoteerd als $a - b = c$ [6](#page=6). * $a$ en $b$ zijn de termen [6](#page=6). * $a$ is het aftrektal [6](#page=6). * $b$ is de aftrekker [6](#page=6). * $c$ is het resultaat, het verschil [6](#page=6). * Het bewerkingsteken $-$ is het minteken [6](#page=6). * $a - b$ wordt gelezen als "a min b" [6](#page=6). #### 1.4.2 Eigenschappen 1. **De aftrekking is niet inwendig in $\mathbb{N}$.** Het verschil van twee natuurlijke getallen is niet altijd opnieuw een natuurlijk getal [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: $3 - 5 = -2$. $-2$ is geen natuurlijk getal. 2. **De aftrekking heeft geen neutraal element in $\mathbb{N}$.** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a - n = a$ en $n - a = a$ voor elk natuurlijk getal $a$ [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: Als we $n=0$ zouden nemen, geldt $a - 0 = a$, maar $0 - a = -a$, wat niet gelijk is aan $a$ (tenzij $a=0$). 3. **De aftrekking is niet commutatief in $\mathbb{N}$.** In een aftrekking mogen de termen niet zomaar van plaats verwisseld worden [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: $10 - 3 = 7$, maar $3 - 10 = -7$. 4. **De aftrekking is niet associatief in $\mathbb{N}$.** In een aftrekking met drie termen mogen de haakjes niet van plaats verwisseld worden [7](#page=7). * Tegenvoorbeeld: $(10 - 3) - 2 = 7 - 2 = 5$, maar $10 - (3 - 2) = 10 - 1 = 9$. #### 1.4.3 Elementaire aftrekkingen Elementaire aftrekkingen zijn aftrekkingen waarbij het aftrektal en de aftrekker niet groter zijn dan 20. Deze moeten leerlingen paraat hebben voor hoofdrekenen en cijferend rekenen [7](#page=7). ### 1.5 De vermenigvuldiging #### 1.5.1 Basisbegrippen Vermenigvuldigen betekent: * Een aantal keren dezelfde hoeveelheid nemen [8](#page=8). * Het combineren van verschillende keuzemogelijkheden [8](#page=8). De vermenigvuldiging in $\mathbb{N}$ wordt symbolisch genoteerd als $a \times b = c$ [8](#page=8). * $a$ en $b$ zijn de factoren [8](#page=8). * $a$ is de vermenigvuldiger [8](#page=8). * $b$ is het vermenigvuldigtal [8](#page=8). * $c$ is het resultaat, het product [8](#page=8). * Het bewerkingsteken $\times$ is het maalteken [8](#page=8). * $a \times b$ wordt gelezen als "a maal b" of "a keer b" [8](#page=8). #### 1.5.2 Eigenschappen 1. **De vermenigvuldiging is inwendig in $\mathbb{N}$.** Het product van twee natuurlijke getallen is altijd opnieuw een natuurlijk getal [8](#page=8). * Voorbeeld: $4 \times 6 = 24$. Zowel $4$, $6$ als $24$ zijn natuurlijke getallen. 2. **Het natuurlijk getal 1 is het neutraal element van de vermenigvuldiging in $\mathbb{N}$.** Het product van 1 en elk natuurlijk getal $a$, of van $a$ en 1, is steeds gelijk aan $a$ [8](#page=8). * Voorbeeld: $9 \times 1 = 9$ en $1 \times 9 = 9$. 3. **De vermenigvuldiging is commutatief in $\mathbb{N}$.** Het product van twee natuurlijke getallen $a$ en $b$ blijft onveranderd wanneer de factoren van plaats wisselen [8](#page=8). * Voorbeeld: $5 \times 7 = 35$ en $7 \times 5 = 35$. 4. **De vermenigvuldiging is associatief in $\mathbb{N}$.** Bij een vermenigvuldiging die uit drie factoren bestaat, mogen de haakjes van plaats verwisseld worden [9](#page=9). * Voorbeeld: $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ en $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$. 5. **Het natuurlijk getal 0 is het opslorpend element van de vermenigvuldiging in $\mathbb{N}$.** Het product van 0 en elk natuurlijk getal $a$, of van $a$ en 0, is steeds gelijk aan 0 [9](#page=9). * Voorbeeld: $12 \times 0 = 0$ en $0 \times 12 = 0$. 6. **De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in $\mathbb{N}$.** Dit betekent dat $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ en $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$. In de lagere school wordt dit "splitsen en verdelen" genoemd [9](#page=9). * Voorbeeld: $3 \times (4 + 2) = 3 \times 6 = 18$. En $(3 \times 4) + (3 \times 2) = 12 + 6 = 18$. #### 1.5.3 Elementaire vermenigvuldigingen Elementaire vermenigvuldigingen zijn vermenigvuldigingen waarbij de vermenigvuldiger en het vermenigvuldigtal niet groter zijn dan 10. Dit zijn de bekende maaltafels [9](#page=9). ### 1.6 De deling #### 1.6.1 Basisbegrippen Delen betekent: * Een hoeveelheid in gelijke delen verdelen [9](#page=9). * Groepjes van een bepaald aantal maken binnen een totale hoeveelheid [9](#page=9). De deling in $\mathbb{N}$ wordt symbolisch genoteerd als $a: b = c$ [9](#page=9). * $a$ is het deeltal [9](#page=9). * $b$ is de deler [9](#page=9). * $c$ is het resultaat, het quotiënt [9](#page=9). * Het bewerkingsteken $:$ is het deelteken [9](#page=9). * $a: b$ wordt gelezen als "a gedeeld door b" [9](#page=9). #### 1.6.2 Eigenschappen 1. **De deling van twee natuurlijke getallen is niet inwendig in $\mathbb{N}$.** Het quotiënt van twee natuurlijke getallen is niet altijd opnieuw een natuurlijk getal [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $7 : 2 = 3,5$. $3,5$ is geen natuurlijk getal. 2. **De deling heeft geen neutraal element in $\mathbb{N}$.** Er bestaat geen natuurlijk getal $n$ zodat $a: n = a$ en $n: a = a$ voor elk natuurlijk getal $a$ [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: Als we $n=1$ zouden nemen, geldt $a : 1 = a$, maar $1 : a$ is alleen gelijk aan $a$ als $a=1$. 3. **De deling is niet commutatief in $\mathbb{N}$.** In een deling mogen de termen niet zomaar van plaats verwisseld worden [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $12 : 4 = 3$, maar $4 : 12 = \frac{1}{3}$. 4. **De deling is niet associatief in $\mathbb{N}$.** In een deling met drie factoren mogen de haakjes niet van plaats verwisseld worden [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $(24 : 6) : 2 = 4 : 2 = 2$, maar $24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8$. 5. **Men mag niet delen door 0.** [10](#page=10). 6. **De deling is rechtsdistributief t.o.v. de optelling in $\mathbb{N}$.** Voor zover de quotiënten bestaan, mag het deeltal worden geschreven als een som, en mogen de twee termen apart gedeeld worden [10](#page=10). * Voorbeeld: $154 : 7 = (140 + 14) : 7 = (140 : 7) + (14 : 7) = 20 + 2 = 22$. 7. **De deling is niet linksdistributief t.o.v. de optelling in $\mathbb{N}$.** De deler mag nooit als een som worden opgesplitst om vervolgens door beide termen afzonderlijk te delen [10](#page=10). * Tegenvoorbeeld: $24 : (2 + 6) = 24 : 8 = 3$. Dit is niet gelijk aan $(24 : 2) + (24 : 6) = 12 + 4 = 16$. 8. **De deling is rechtsdistributief t.o.v. de aftrekking in $\mathbb{N}$.** Voor zover de quotiënten bestaan, mag het deeltal worden geschreven als een verschil, en mogen de twee termen apart gedeeld worden [11](#page=11). * Voorbeeld: $126 : 7 = (140 - 14) : 7 = (140 : 7) - (14 : 7) = 20 - 2 = 18$. 9. **De deling is niet linksdistributief t.o.v. de aftrekking in $\mathbb{N}$.** De deler mag nooit als een verschil worden geschreven om vervolgens door beide termen afzonderlijk te delen [11](#page=11). * Tegenvoorbeeld: $24 : (6 - 2) = 24 : 4 = 6$. Dit is niet gelijk aan $(24 : 6) - (24 : 2) = 4 - 12 = -8$. #### 1.6.3 Elementaire delingen Elementaire delingen betreffen deelsommen die leerlingen paraat moeten hebben voor hoofdrekenen en cijferend rekenen, zoals de bekende deeltafels [11](#page=11). ### 1.7 Volgorde van de bewerkingen De standaard volgorde voor het uitvoeren van bewerkingen is als volgt [11](#page=11): 1. Bewerkingen tussen haakjes [11](#page=11). 2. Vermenigvuldigingen en delingen (van links naar rechts, aangezien ze evenwaardig zijn) [11](#page=11). 3. Optellingen en aftrekkingen (van links naar rechts, aangezien ze evenwaardig zijn) [11](#page=11). > **Voorbeeld:** $4 \times 15 + 2 \times (7 + 3) - 5 \times 3 + 60 : 12$ > $= 60 + 2 \times 10 - 15 + 5$ > $= 60 + 20 - 15 + 5$ > $= 80 - 15 + 5$ > $= 65 + 5$ > $= 70$ ### 1.8 Noteren van tussenstappen Hoofdrekenen kan ondersteund worden met pen en papier, waarbij het noteren van tussenstappen essentieel is voor duidelijkheid en correctheid. Het gelijkheidsteken moet hierbij altijd correct gebruikt worden [12](#page=12). > **Foutieve notatie:** $45 \times 19 = 45 \times 20 = 900 - 45 = 855$ > (Dit is fout omdat $45 \times 19 \neq 45 \times 20$) > > **Correcte notatie:** $45 \times 19 = (45 \times 20) - 45 = 900 - 45 = 855$ > (De haakjes mogen eventueel weggelaten worden.) --- # Standaard- en flexibele methoden voor hoofdrekenen met natuurlijke getallen Dit deel onderzoekt de twee benaderingen voor hoofdrekenen: gestandaardiseerde methoden met vaste procedures en flexibele methoden die aangepast zijn aan de getallen, inclusief de voordelen en risico's van beide benaderingen voor leerlingen [13](#page=13). ### 2.1 Leerdoelen #### 2.1.1 Vakdidactiek * Het verschil uitleggen tussen gestandaardiseerd en flexibel hoofdrekenen [13](#page=13). * Van een oplossingsmethode kunnen zeggen of het om een standaard- of flexibele methode gaat [13](#page=13). #### 2.1.2 Eigen rekenvaardigheden * Hoofdrekenoefeningen met natuurlijke getallen kunnen oplossen volgens een standaard- en flexibele methode [13](#page=13). ### 2.2 Flexibel en gestandaardiseerd hoofdrekenen Er wordt een onderscheid gemaakt tussen gestandaardiseerd en flexibel hoofdrekenen in de rekendidactiek [14](#page=14). #### 2.2.1 Gestandaardiseerd hoofdrekenen Gestandaardiseerd hoofdrekenen omvat het oplossen van een bepaald type oefening volgens een vaste rekenprocedure, onafhankelijk van de getallen waarmee gerekend wordt [14](#page=14). ##### 2.2.1.1 Standaardmethodes voor optellen en aftrekken De standaardmethode voor optellen en aftrekken houdt in dat de eerste term 'heel gelaten' wordt en de tweede term wordt gesplitst in tientallen en eenheden, die vervolgens achtereenvolgens bij de eerste term worden opgeteld of ervan worden afgetrokken [14](#page=14). * **Zonder overschrijding:** * Vb. 1: $36 + 12 = 36 + 10 + 2 = 46 + 2 = 48$ [14](#page=14). * Vb. 2: $75 – 23 = 75 – 20 – 3 = 55 – 3 = 52$ [14](#page=14). * **Met overschrijding:** * Vb. 3: $36 + 28 = 36 + 4 + 4 + 20 = 40 + 4 + 20 = 64$ [14](#page=14). * Vb. 4: $36 – 18 = 36 – 6 – 2 – 10 = 30 – 2 – 10 = 28 - 10 = 18$ [14](#page=14). ##### 2.2.1.2 Standaardmethode voor vermenigvuldigen De standaardmethode voor vermenigvuldigen bestaat uit splitsen en verdelen [14](#page=14). Vb.: $4 \times 213 = (4 \times 200) + (4 \times 10) + (4 \times 3) = 800 + 40 + 12$ [14](#page=14). ##### 2.2.1.3 Standaardprocedure voor delen De standaardprocedure voor delen bestaat erin het deeltal te splitsen in twee getallen die gemakkelijk gedeeld kunnen worden [14](#page=14). Vb.: $78: 6 = (60: 6) + (18: 6)$ [14](#page=14). #### 2.2.2 Flexibele methodes Flexibel hoofdrekenen kent geen vaste, uniforme methode, maar een opgave- of getalspecifieke aanpak, waarbij de oplossingsmethode afhangt van de structuur van de getallen of hun combinaties en bewerkingen [14](#page=14). ##### 2.2.2.1 Optellen en aftrekken * **Van plaats wisselen (commutativiteit):** De volgorde van de termen bij optellen mag gewisseld worden zonder dat de som verandert [15](#page=15). * $5 + 13 = 13 + 5$ [15](#page=15). * **Schakelen (associativiteit):** Bij optellen mag de groepering van termen worden gewijzigd zonder dat de som verandert [15](#page=15). * $34 + 75 + 25 = 34 + (75 + 25) = 34 + 100 = 134$ [15](#page=15). * **Werken met mooie getallen (compenseren):** Deze werkwijzen zijn een toepassing op de ‘optellingswip’ en ‘aftrekkingshalter’ [15](#page=15). * Bij optellen: De som van twee getallen verandert niet als bij één term een getal wordt opgeteld en datzelfde getal van de andere term wordt afgetrokken [15](#page=15). * $365 + 297 = 365 + 300 - 3 = 665 - 3 = 662$ [15](#page=15). * Bij aftrekken: Het verschil van twee getallen verandert niet als bij beide termen hetzelfde getal wordt opgeteld of ervan wordt afgetrokken [15](#page=15). * $365 - 297 = 365 - 300 + 3 = 65 + 3 = 68$ [15](#page=15). ##### 2.2.2.2 Vermenigvuldigen en delen * **Van plaats wisselen bij vermenigvuldigen:** De volgorde van de factoren mag gewisseld worden [15](#page=15). * Vb.: $160 \times 2 = 2 \times 160$ [15](#page=15). * **Schakelen bij vermenigvuldigen:** Bij vermenigvuldigen mag de groepering van factoren worden gewijzigd [15](#page=15). * Vb.: $3 \times 125 \times 8 = 3 \times (125 \times 8) = 3 \times 1000 = 3000$ [15](#page=15). * **Een factor schrijven als een product:** Een vermenigvuldiging kan makkelijker uit te rekenen zijn door een factor op te splitsen in een product [16](#page=16). * Vb.: $25 \times 32 = 25 \times 4 \times 8 = 100 \times 8 = 800$ [16](#page=16). * **Vermenigvuldigen naar analogie met de maaltafels:** Gebruik maken van het principe dat $a \times (b \times 10) = (a \times b) \times 10$ [16](#page=16). * Vb.: $5 \times 300 = 5 \times 3 \text{H} = 15 \text{H} = 1500$ [16](#page=16). * Vb.: $30 \times 20 = 3 \times (10 \times 20) = 3 \times 200 = 600$ [16](#page=16). * **Werken met ‘mooie’ getallen (compenseren) bij vermenigvuldigen en delen:** * Vb. vermenigvuldigen: $99 \times 16 = (100 - 1) \times 16 = (100 \times 16) – (1 \times 16) = 1600 – 16 = 1584$ [16](#page=16). * Vb. delen: $1470: 15 = (1500: 15) – (30: 15) = 100 – 2 = 98$ [16](#page=16). * **Deler schrijven als een product:** Een deling is soms makkelijker uit te rekenen als de deler wordt opgesplitst in een product [16](#page=16). * Vb.: $3336: 6 = (3336: 3): 2 = 1112: 2 = 556$ [16](#page=16). * **Delen naar analogie met de deeltafels:** Gebruik maken van het principe dat $(a \times 10): b = (a:b) \times 10$ [16](#page=16). * $150: 3 = 15\text{T}:3 = 5\text{T} = 50$ [16](#page=16). * $420: 70 = 42\text{T}: 7\text{T} = 6$ [16](#page=16). * of $420: 70 = (420: 10): 7 = 6$ [16](#page=16). * **Toepassing van de ‘vermenigvuldigingswip’ en ‘delingshalter’:** * Het product van twee getallen verandert niet als de ene factor wordt vermenigvuldigd met een getal en de andere factor wordt gedeeld door datzelfde getal [17](#page=17). * Het quotiënt van twee getallen verandert niet als het deeltal en de deler worden vermenigvuldigd met of gedeeld door hetzelfde getal [17](#page=17). * **Andere rekenvoordelen:** * $\text{. } \times 5 = (\text{. } \times 10): 2$ (analoog voor delen door 5) [17](#page=17). * $\text{. } \times 50 = (\text{. } \times 100): 2$ (analoog voor delen door 50) [17](#page=17). * $\text{. } \times 25 = (\text{. } \times 100): 4$ (analoog voor delen door 25) [17](#page=17). * $\text{. } \times 125 = (\text{. } \times 1000): 8$ (analoog voor delen door 125) [17](#page=17). #### 2.2.3 Kanttekeningen bij flexibele methodes Flexibel rekenen vraagt een inzichtelijke en probleemgerichte aanpak, waarbij de leerling voldoende inzicht heeft in de bewerking en de structuur van de getallen. Het laat ook ruimte voor verschillen tussen leerlingen, waarbij elk kind een eigen, voor hem meest handige, aanpak mag vinden [17](#page=17). **Risico's van overbeklemtoning:** Als de opgavespecifieke aanpakken te sterk worden benadrukt vanaf het begin, kunnen zwakkere leerlingen het overzicht verliezen, wat kan leiden tot verwarring en fouten [17](#page=17). **Balans tussen standaard en flexibel:** * In de eerste en tweede leerjaren wordt veel aandacht besteed aan gestandaardiseerd rekenen [17](#page=17). * Flexibel hoofdrekenen komt het best aan bod als de algemene standaardrekenmechanismen adequaat worden gebruikt, aangezien gestandaardiseerde berekeningen en parate kennis fungeren als kapstokken voor gevarieerde rekenwijzen [18](#page=18). * Het is nuttig om leerlingen soms een bepaalde methode te laten toepassen om een aantal methodes goed te leren beheersen [18](#page=18). * Op termijn is het de bedoeling dat leerlingen zelf een geschikte keuze maken uit gekende rekenmethodes [18](#page=18). * De taak van de leerkracht is om leerlingen verschillende mogelijkheden te laten ontdekken, te bespreken en te vergelijken op hun efficiëntie, zodat zij een verantwoorde keuze kunnen maken [18](#page=18). > **Tip:** Om een flexibele methode zoals $56 + 40 – 2$ toe te passen, moet een leerling eerst $56 + 40$ en $96 – 2$ paraat hebben of op een standaardmanier kunnen oplossen [18](#page=18). ### 2.3 Oefeningen #### Oefening 1 Welke oplossingswijze is fout? [19](#page=19). #### Oefening 2 Zijn deze oefeningen correct opgelost? Verbeter indien nodig [19](#page=19). a. $15 \times 35 = (10 \times 30) + (5 \times 5) = 300 + 25 = 325$ [19](#page=19). b. $5460: 15 = 5460: 10 = 546$, $5460: 5 = 1092$, $1092 – 546 = 546$ [19](#page=19). c. $5460: 15 = ((5000: 5) + (400: 5) + (60: 5)): 10 = (1000 + 80 + 12):10 = 19,2$ [19](#page=19). d. $1920: 15 = (1920: 10) +((1920: 10) \times 2) = 192 + 192 \times 2 = 192 + 384 = 576$ [19](#page=19). #### Oefening 3 (MD) Reken handig uit. Vermeld telkens je tussenstappen op een correcte manier [19](#page=19). a. $7357 – 3529 =$ [19](#page=19). b. $200\,000 – 946 =$ [19](#page=19). c. $54 \times 98 =$ [20](#page=20). d. $1360 \times 25 =$ [20](#page=20). e. $7500: 50 =$ [20](#page=20). f. $315: 15 =$ [20](#page=20). g. $41\,503 – 1499 =$ [20](#page=20). h. $26 \times 15 =$ [20](#page=20). i. $176: 16 =$ [20](#page=20). j. $24 \times 125 =$ [20](#page=20). --- # Optellen en aftrekken met natuurlijke getallen Hieronder volgt een uitgebreide studiegids over het optellen en aftrekken van natuurlijke getallen, gericht op het classificeren van oefeningstypes en het aanbrengen van concepten tot en boven twintig, zowel met als zonder overschrijding van tientallen. ## 3. Optellen en aftrekken met natuurlijke getallen Dit onderwerp behandelt de verschillende types optellingen en aftrekkingen met natuurlijke getallen, waarbij wordt ingegaan op hoe deze te classificeren en didactisch aan te brengen bij leerlingen, met specifieke aandacht voor berekeningen tot en boven twintig, en het concept van tientaloverschrijding [21](#page=21). ### 3.1 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek Na het bestuderen van dit onderwerp, ben je in staat om: * Alle mogelijke types optellingen en aftrekkingen met getallen tot twee cijfers te rubriceren in een overzicht [21](#page=21). * De oplossingswijze voor elk type oefening aan te brengen, voortbouwend op de voorkennis van leerlingen [21](#page=21). ### 3.2 Aandachtspunten bij optellen en aftrekken Optellen en aftrekken met getallen tot honderd worden vaak gelijktijdig aangeboden. Zowel bewerkingen met als zonder tientaloverschrijding worden globaal op hetzelfde moment geïntroduceerd. Initiële oefeningen omvatten geen tientaloverschrijdingen, waarna er snel wordt overgeschakeld naar een mix van opgaven. Dit biedt leerlingen maximale training in het beslissen over de benodigde tussenstappen. Bij elke opgave moeten leerlingen beslissingen nemen over de handeling (optellen of aftrekken) en de noodzaak van tussenstappen (tientaloverschrijding). Het is cruciaal om de uitgangshoeveelheid intact te houden om problemen bij aftrekkingen met overschrijding te voorkomen [21](#page=21) [22](#page=22). > **Tip:** Fouten bij aftrekken met overschrijding kunnen ontstaan doordat leerlingen onbewust het grootste getal vooraan plaatsen, omdat ze de bewerking van een kleiner getal van een groter getal (bijvoorbeeld 2 – 7) nog niet beheersen [22](#page=22). ### 3.3 Types oefeningen Oefeningen met getallen van twee cijfers kunnen worden ingedeeld op basis van het aantal cijfers in de operand en de operand, en of er al dan niet sprake is van tientaloverschrijding [23](#page=23). | Categorie | Zonder overschrijding | Met overschrijding | | :------------------------ | :-------------------- | :----------------- | | **Tot 20** | | | | Tiental +/- Eenheid (TE+/-E) | (bv. 12 + 5) | (bv. 8 + 5) | | Eenheid + Eenheid (E+E) | | | | Tiental - Eenheid (TE-E) | (bv. 19 - 3) | (bv. 13 - 6) | | Tiental +/- Eenheid (TE+/-E) | | | | Tiental +/- Tiental (T+/-T) | | | | Tiental +/- Tiental (TE+/-T) | (bv. 16 - 12) | | | Tiental +/- Tiental (TE+/-TE) | | | | **Boven 20** | | | | Tiental +/- Tiental (T+/-T) | (bv. 50 + 20) | | | Tiental +/- Tiental (TE+/-T) | (bv. 72 - 30) | | | Tiental +/- Eenheid (TE+/-E) | (bv. 32 + 5) | (bv. 38 + 7) | | Tiental +/- Tiental (TE+/-TE) | (bv. 45 + 23) | (bv. 67 + 25) | Een "oefening met overschrijding" verwijst naar een optelling of aftrekking waarbij het proces van het samenvoegen of afnemen van de eenheden leidt tot een verandering van het tiental, oftewel het "over de tien gaan" [23](#page=23). ### 3.4 Optellen en aftrekken tot 20 #### 3.4.1 Optellen en aftrekken tot 20 zonder overschrijding **Type TE+/- E:** Bij deze opgaven, zoals $10 + 4$, $12 + 5$, $19 – 3$, kunnen leerlingen steunen op automatismen van berekeningen tot 10. De tiengroep blijft hierbij intact en de bewerking raakt enkel de eenheden [24](#page=24). **Type TE - TE:** Bij aftrekkingen van dit type, zoals $16 – 12$, moet de aftrekker gesplitst worden in tientallen en eenheden. Het is onjuist om eerst de eenheden van het aftrektal in één keer weg te halen [24](#page=24). > **Voorbeeld (correcte aanpak voor 16 – 12):** > $16 – 12 = (16 – 10) – 2 = 4$ [24](#page=24). #### 3.4.2 Optellen en aftrekken tot 20 met overschrijding Dit type oefening introduceert het mechanisme van aanvullen of afhalen tot het tiental, ook wel de "brug over tien" genoemd [25](#page=25). Bij optellingen met overschrijding, zoals $8 + 5$, wordt het eerste getal aangevuld tot 10, waarbij het tweede getal wordt gesplitst in 2 en 3 [25](#page=25) [5](#page=5) [8](#page=8). Bij aftrekkingen zoals $13 – 6$ wordt eerst het getalbeeld 3 weggenomen en vervolgens nog eens drie van de tien [25](#page=25). > **Tip:** De "brug over tien" kan een lastige techniek zijn voor veel kinderen. Het is daarom effectief om te werken met diverse materialen en rekenverhalen met een duidelijke 10-structuur te gebruiken om het concept realistischer te maken [25](#page=25). > **Voorbeeld 1 (optelling): 7 + 8 = ...** > **Probleemstelling:** Aan de feestzaal zijn 2 parkings van 10 plaatsen. Op de eerste parking staan al 7 auto's. Er komen nog 8 auto's bij. De parkingwachter wil dat eerst de eerste parking volstaat. Hoeveel auto's staan er nu geparkeerd [25](#page=25)? > * **Concreet:** We vullen eerst aan tot 10. Hiervoor hebben we 3 auto's nodig. De overige 5 auto's gaan naar de tweede parking. Totaal: $10 + 5 = 15$ auto's [25](#page=25). > * **Schematisch:** > $7 + 8 = 7 + 3 + 5$ [26](#page=26). > * **Abstract:** > $7 + 8 = (7 + 3) + 5 = 10 + 5 = 15$ [26](#page=26). > De splitsingen van getallen kleiner dan 10 moeten goed gekend zijn [26](#page=26). > **Voorbeeld 2 (aftrekking): 17 - 8 = ...** > We hebben 17 blokken (10 in een doos, 7 los). We willen er 8 wegnemen. Eerst de 7 losse blokken. Dan nog 1 blok uit de doos [26](#page=26). > * **Schematisch/Abstract:** > $17 - 8 = (17 - 7) - 1 = 10 - 1 = 9$ [26](#page=26). > (Hierbij wordt de 8 gesplitst in 7 en 1.) [26](#page=26). Fouten bij het optellen en aftrekken met overschrijding kunnen variëren en duiden vaak op een onvoldoende begrip van de splitsingen van getallen of een verkeerde toepassing van de "brug over tien" methode [27](#page=27) [28](#page=28). ### 3.5 Optellen en aftrekken boven 20 #### 3.5.1 Optellen en aftrekken boven 20 zonder overschrijding Het rekenen boven 20 bouwt voort op de mechanismen die zijn geleerd voor het rekenen tot 20 [29](#page=29). **Type T+/- T:** Deze oefeningen betreffen bewerkingen met zuivere tientallen, zoals $50 + 20$ en $80 – 30$. Deze zijn relatief eenvoudig en vertonen analogie met het optellen van eenheden tot tien, maar dan met tientallen. Vaak worden deze opgaven gememoriseerd als rekencollecties [29](#page=29). **Type TE+/- T:** Hierbij is de opteller of aftrekker een zuiver tiental, zoals $72 – 30$ en $45 + 30$. Deze opgaven kunnen initieel worden ondersteund met sprongen op het honderdveld binnen dezelfde kolom. De splitsmethode $(72 – 30 = (70 – 30) + 2)$ biedt hier geen significant voordeel [31](#page=31). > **Voorbeeld (Type TE+/- T):** > $72 – 30$. Als leerlingen $70 – 20$ kennen, is de stap naar $72 – 20$ klein [31](#page=31). **Type TE+/- E:** Deze bewerkingen vallen binnen de tientallen, zoals $32 + 5$ en $65 – 2$. Ze zijn analoog aan bewerkingen tussen tien en twintig en kunnen worden gepresenteerd in analogiereeksen (bv. $12 + 3$, $22 + 3$). Indien leerlingen problemen hebben, is het belangrijk na te gaan of ze analoge opgaven tot twintig kunnen oplossen, of ze de plaatswaarde begrijpen en of ze geen moeite hebben met het lezen en noteren van getallen met twee cijfers [32](#page=32). > **Voorbeeld (Type TE+/- E):** > $32 + 5$. Dit is vergelijkbaar met $12 + 5$ [32](#page=32). **Type TE+/- TE:** Dit zijn de meest uitdagende opgaven waarbij zowel het optel- of aftrektal als de opteller of aftrekker uit tientallen en eenheden bestaan. Hiervoor zijn tussenstappen nodig, die genoteerd kunnen worden met de "lange notatie" [33](#page=33). > **Voorbeelden (Type TE+/- TE):** > * Optelling: $45 + 23 = 45 + 3 + 20 = 68$ of $45 + 20 + 3 = 68$ [33](#page=33). > * Aftrekking: $75 – 32 = 75 – 2 – 30 = 73 – 30 = 43$ of $75 – 30 – 2 = 45 – 2 = 43$ [33](#page=33). #### 3.5.2 Optellen en aftrekken boven de 20, met overschrijding **Type TE+/- E:** Oefeningen zoals $38 + 7$ en $54 – 7$ kunnen worden opgelost met dezelfde regel als bij berekeningen tot 20: aanvullen of afhalen tot tien [35](#page=35). > **Voorbeelden (Type TE+/- E met overschrijding):** > * $38 + 7 = 38 + 2 + 5 = 45$ [35](#page=35). > * $54 – 7 = 54 – 4 – 3 = 47$ [35](#page=35). **Type TE+/- TE:** Bij dit type oefening, zoals $67 + 25$ en $37 – 19$, splitst men eerst de opteller of aftrekker in tientallen en eenheden. De tientallen worden vervolgens bij de oorspronkelijke som opgeteld of ervan afgetrokken, waarna de eenheden worden verwerkt [35](#page=35). > **Voorbeelden (Type TE+/- TE met overschrijding):** > * $67 + 25 = 67 + 20 + 5 = 87 + 5 = 92$ of $67 + 5 + 20 = 72 + 20 = 92$ [35](#page=35). > * $37 – 19 = 37 – 10 – 9 = 27 – 9 = 18$ of $37 – 9 – 10 = 28 – 10 = 18$ [35](#page=35). --- # Vermenigvuldigen Dit hoofdstuk behandelt het inzichtelijk aanleren van vermenigvuldigingstafels in het basisonderwijs, met focus op de verschillende didactische fasen, de symbolisering van de bewerking en strategieën voor inoefening en automatisering. ### 4.1 Leerdoelen m.b.t. vakdidactiek Het is belangrijk dat studenten inzicht verwerven in hoe een maaltafel inzichtelijk kan worden aangeboden op de lagere school, met specifieke aandacht voor de ontwikkeling van rekenstrategieën [37](#page=37). ### 4.2 Voortaak De voortaak 4, uitgevoerd in 20 minuten door de individuele student, omvat het grondig doornemen van secties 4.3 en 4.4. Daarna volgt het aanbrengen van het begrip 'het dubbel van' op concreet, schematisch en abstract niveau, het schrijven van rekenverhalen voor $4 \times 5$ en $5 \times 4$, het tekenen van schematische voorstellingen voor deze verhalen, het afleiden van de betekenis van vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal hieruit, en het opzoeken van informatie over vermenigvuldigings- en deeltafels in het leerplan van de stageschool [37](#page=37). ### 4.3 De beginsituatie Bij het aanleren van vermenigvuldigen wordt aangesloten bij de informele kennis van leerlingen. Kinderen kennen het woord 'keer' en worden geconfronteerd met oefeningen die dit begrip vereisen. Voorbeelden hiervan zijn: "Klop drie keer op de tafel", "Draai vijf keer rond", en "Neem zes keer een potlood uit de doos". Tevens zijn veel kinderen bekend met het begrip 'dubbel', dat aangeleerd wordt op concreet, schematisch en abstract niveau [37](#page=37) [38](#page=38). ### 4.4 Inzicht in de betekenis van de vermenigvuldiging #### 4.4.1 Handelen op concreet niveau In de concrete fase van vermenigvuldigen ligt de nadruk op handelen en het verwoorden van handelingen, eerder dan op het bepalen van de uitkomst. Het meest gebruikte model is dat van groepjes met een gelijk aantal voorwerpen. Vlaamse rekenmethodes brengen vaak elke maaltafel afzonderlijk aan, maar het is niet noodzakelijk of wenselijk om een tafel volledig te memoriseren alvorens een nieuwe aan te leren. Leerlingen leggen situaties met concreet materiaal of gestructureerd materiaal. Bij manipulatie van concreet materiaal is het cruciaal om het onderscheid in betekenis tussen vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal te respecteren. De vermenigvuldiger geeft het aantal keren dat iets genomen wordt (het aantal groepjes), terwijl het vermenigvuldigtal het aantal voorwerpen per groepje aanduidt [38](#page=38). > **Voorbeeld:** > "drie keer vier" ($3 \times 4$) betekent drie groepjes van vier, terwijl "vier keer drie" ($4 \times 3$) vier groepjes van drie betekent [39](#page=39). Het is wenselijk om bij het aanbrengen van een nieuwe tafel een concrete context te gebruiken die specifiek aansluit bij die tafel, zoals speculaaskoekjes per twee, schoenen per kind, stoelpoten per stoel, eierdoosjes met zes eieren, of spinnen met acht poten [39](#page=39). #### 4.4.2 Vermenigvuldigingen voorstellen op schematisch niveau Op schematisch niveau kunnen vermenigvuldigingssituaties worden voorgesteld door groepjes en de elementen per groepje te tekenen, gebruikmakend van afbeeldingen uit de leefwereld of van gestructureerd materiaal [39](#page=39). #### 4.4.3 Bepalen van het resultaat van een vermenigvuldiging Zelfs zonder formele berekening kunnen kinderen de uitkomst van een vermenigvuldiging vinden door het te zien als een herhaalde optelling [39](#page=39). > **Voorbeeld 1:** > Als je aan 4 leerlingen telkens 2 stiften geeft, vraag je: "Aan hoeveel kinderen heb ik stiften gegeven?", "Heb ik aan ieder kind evenveel stiften gegeven?", "Hoeveel stiften heb ik aan ieder gegeven?". De conclusie is: 4 kinderen met elk 2 stiften, wat neerkomt op $2 + 2 + 2 + 2 = 8$ stiften, of "4 keer 2 stiften is acht stiften" [39](#page=39). > **Voorbeeld 2:** > Geen concreet voorbeeld gegeven, maar wordt de link met herhaalde optelling getoond [40](#page=40). #### 4.4.4 Aanbrengen van het symbool ‘x’ Om de lange notatie van herhaalde optellingen te vermijden, wordt het woord 'keer' vervangen door het symbool '$\times$' [40](#page=40). > **Voorbeeld:** > $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$ wordt $5$ keer $2$ is $10$, en uiteindelijk $5 \times 2 = 10$ [40](#page=40). Het is belangrijk om de aandacht te vestigen op de volgorde van de factoren in de vermenigvuldiging, door regelmatig rekenverhalen aan te bieden waarin de vermenigvuldiger na het vermenigvuldigtal komt [40](#page=40). > **Voorbeeld:** > In een week zijn er vijf schooldagen. We moeten nog drie weken naar school. Hoeveel dagen moeten we nog naar school? Dit is $3 \times 5$ en niet $5 \times 3$ [41](#page=41). #### 4.4.5 Inoefenen en automatiseren van de vermenigvuldigingstafels Hoewel het belang van het paraat hebben van de tafels erkend wordt, pleit men ervoor om in het tweede leerjaar de nadruk niet te zwaar te leggen op het indrillen, vanwege mogelijke negatieve gevoelens, ineffectiviteit voor zwakke leerlingen, en een gebrekkig inzicht dat flexibel toepassen belemmert. Er wordt gepleit voor een aanpak waarbij leerlingen strategieën leren om op basis van bekende tafels andere tafels te vinden. Door het veelvuldig toepassen van deze strategieën zal de parate kennis vanzelf verbeteren [41](#page=41). Opdrachten omvatten het bekijken van een videofragment over rekenstrategieën en het kritisch bespreken van de aanpak van de jongen en het meisje. Het spel "Kikker II" op het rekenweb leert leerlingen strategieën toe te passen voor maaloefeningen [41](#page=41). #### 4.4.6 Vermenigvuldigingen buiten de vermenigvuldigingstafels Wanneer leerlingen de vermenigvuldigingstafels geautomatiseerd hebben en handige rekenstrategieën beheersen, kunnen deze dienen als basis voor vermenigvuldigingen buiten de tafels [43](#page=43). > **Voorbeelden:** > * $10 \times 23$: Omdat $10 \times 23 = 23 \times 10$, zijn dit 23 tientallen, dus 230 [43](#page=43). > * $2 \times 30$: Via $2 \times 3$ en dan $\times 10$ [43](#page=43). > * $40 \times 14$: Via $40 \times 10$ en $40 \times 4$ [43](#page=43). > * $8 \times 23$: Door herhaald te verdubbelen: $23 \to 46 \to 92 \to 184$, of via $(8 \times 20) + (8 \times 3)$ [43](#page=43). > * $34 \times 19$: Gelijk aan $19 \times 34 = (20 \times 34) - (1 \times 34) = 680 - 34 = 646$, waarbij $20 \times 34$ berekend wordt via $2 \times 34$ [43](#page=43). > * $12 \times 970$: Kan berekend worden via $(10 \times 970) + (2 \times 970)$, of $(12 \times 900) + (12 \times 70)$, of $(12 \times 1000) - (12 \times 30)$, of $(3 \times 970) \times 4$, of $6 \times 1940$ [43](#page=43). --- # Delen ### 5.1 Inleiding Net als optelling en aftrekking elkaars inverse bewerkingen zijn, vormen vermenigvuldiging en deling ook een paar. Hoewel ze nauw verwant zijn, worden ze in deze tekst apart behandeld voor een duidelijke structuur, hoewel sommige methodes de twee al snel met elkaar vermengen [44](#page=44). ### 5.2 Beginsituatie Kinderen beschikken over informele kennis over delen, vaak beginnend met het begrip 'helft'. Concrete opdrachten waarbij kinderen helften van discontinue grootheden moeten nemen, staan centraal, waarbij handelen en verwoorden belangrijk zijn. De relatie tussen 'helft' en 'dubbel' kan hierbij reeds aan bod komen [44](#page=44). ### 5.3 Aanbrengen van de deling #### 5.3.1 De verdelingsdeling en de verhoudingsdeling Het is cruciaal om onderscheid te maken tussen de verdelingsdeling en de verhoudingsdeling, die beide kunnen voortvloeien uit dezelfde abstracte opgave zoals $6 \div 2 = 3$ [45](#page=45). * **Verdelingsdeling:** * **Probleemstelling:** Ik heb 6 bloemen die ik wil verdelen over 2 vazen. Hoeveel bloemen zitten in elke vaas [45](#page=45)? * **Gegeven:** Het totaal aantal elementen en het aantal groepjes dat gemaakt moet worden [45](#page=45). * **Gevraagd:** Het aantal elementen per groepje [45](#page=45). * **Aanverwante vermenigvuldiging:** $2 \times 3 = 6$ [45](#page=45). * **Schematische voorstelling:** Wordt visueel weergegeven [45](#page=45). * **Verhoudingsdeling:** * **Probleemstelling:** Ik heb 6 bloemen en wil 2 bloemen per vaas zetten. Hoeveel vazen heb ik nodig [45](#page=45)? * **Gegeven:** Het totaal aantal elementen en het aantal elementen in een groepje [45](#page=45). * **Gevraagd:** Het aantal groepjes [45](#page=45). * **Aanverwante vermenigvuldiging:** $3 \times 2 = 6$ [45](#page=45). * **Schematische voorstelling:** Wordt visueel weergegeven [45](#page=45). #### 5.3.2 Delen op concreet en schematisch niveau In de praktijk komen zowel verhoudings- als verdelingscontexten voor. Veel rekenmethodes starten echter met de verdelingsdeling vanwege de eenvoudiger inzichtelijke aanbreng. Aanvankelijk ligt de klemtoon op het handelen en verwoorden van de nieuwe rekenhandeling. Hierbij worden delingen met en zonder rest behandeld, wat overeenkomt met de dagelijkse realiteit van leerlingen. Andere methodes introduceren deling direct als de omgekeerde bewerking van vermenigvuldiging, waarbij verhoudingsdeling contexten geschikter zijn. Rekenverhalen moeten divers zijn en ook situaties omvatten waarin verdelen niet direct voor de hand ligt, zoals het omrekenen van dagen naar weken [45](#page=45) [46](#page=46). > **Voorbeeld 1 (Verdelingsdeling):** Tien bloemen verdelen over twee vazen, met de vraag hoeveel bloemen er per vaas komen. Leerlingen verwoorden de handeling en de resultaten, waarna de situatie schematisch wordt genoteerd: 10 gelijk verdeeld onder 2 is 5 [46](#page=46). > **Voorbeeld 2 (Verhoudingsdeling):** Tien bloemen en de vraag hoeveel vazen nodig zijn als er 2 bloemen per vaas komen. Leerlingen verwoorden de handeling en de resultaten, waarna de situatie schematisch wordt genoteerd: 10 in groepen van 2 is 5 [47](#page=47). #### 5.3.3 Aanbrengen van het symbool ‘:’ De woorden 'gedeeld door' worden verkort met het symbool ':' [47](#page=47). > **Voorbeeld:** 8 gedeeld door 2 wordt genoteerd als $8: 2$ [47](#page=47). #### 5.3.4 Bepalen van de uitkomst van een deling Na het handelen, verwoorden en noteren, wordt de overgang gemaakt naar herhaalde aftrekking om inzicht te krijgen in het bepalen van de uitkomst van een deling [48](#page=48). > **Voorbeeld:** 14 gommen verdelen over 3 banken. Via herhaaldelijk aftrekken wordt vastgesteld dat elke bank 4 gommen krijgt en er een rest van 2 overblijft. De herhaalde aftrekking wordt als volgt genoteerd [48](#page=48): > > $14 – 3 = 11$ > $11 – 3 = 8$ > $8 – 3 = 5$ > $5 – 3 = 2$ > > Dit betekent dat er 4 keer 3 gommen verdeeld konden worden, met een rest van 2 gommen. De uitkomst is dus 4 met rest 2 [48](#page=48). > > Herhaalde aftrekking is echter omslachtig. Men zoekt daarom snel naar verkorte manieren. De uitdeelcontext sluit aan bij vermenigvuldiging, zoals $3 \times 4$ gommen die werden uitgedeeld. Delingen worden daarom geleerd in relatie tot elementair vermenigvuldigen [49](#page=49). > **Voorbeeld:** Een deling zoals $45 \div 7$ kan worden opgelost door het tafelproduct $42$ te herkennen en het reststukje opzij te zetten. Leerlingen in het tweede leerjaar moeten inzien dat delingstafels worden afgeleid van vermenigvuldigingstafels; parate kennis van delingstafels tot en met 10 is leerstof voor het derde leerjaar [49](#page=49). ### 5.4 Delingen met getallen buiten de delingstafels Wanneer leerlingen vermenigvuldigingstafels geautomatiseerd hebben en effectieve rekenstrategieën beheersen, kan deze kennis dienen als basis voor delingen buiten de standaardtafels. De delingen uit de delingstafels fungeren hierbij als 'kapstokken'. Leerlingen moeten flexibel de meest doelmatige oplossingsmethode kunnen kiezen op basis van inzicht in getalstructuur en de eigenschappen van deling. Ze moeten deze delingen correct kunnen uitvoeren, verwoorden en noteren [50](#page=50). > **Voorbeelden van strategieën voor delingen buiten de delingstafels:** > > * $60 \div 4$ via $40 \div 4$ en $20 \div 4$ [50](#page=50). > * $560 \div 8$ via $56 \div 8$ [50](#page=50). > * $960 \div 8$ via $800 \div 8$ en $160 \div 8$ [50](#page=50). > * $24000 \div 48 = (24000 \div 24) \div 2$ [50](#page=50). > * $24800 \div 16$ via $12400 \div 8$ of $6200 \div 4$ [50](#page=50). > > **Tip:** Bij deze delingen worden de getallen meestal niet gesplitst volgens de tiendelige getalstructuur (tientallen en eenheden), maar op een andere manier geherstructureerd [50](#page=50). ### 5.5 Nataak #### 5.5.1 Nataak 1 * **Werkvorm:** Groepswerk per drie [51](#page=51). * **Geplande werktijd:** 90 minuten [51](#page=51). * **Opdrachten:** Vergelijk de aanbreng van de maal- en deeltafel in drie verschillende handleidingen (Wiskanjers, Wiskidz, zWISo). Onderzoek wat voorafgaat aan de introductie van de eerste maaltafel, de verschillen in de volgorde van aanbreng (afwisselend vs. eerst alle maaltafels), via welke deling de deeltafels worden aangebracht, hoe de link tussen vermenigvuldiging en deling wordt gelegd, welke methode aandacht besteedt aan vermenigvuldigingsstrategieën en hoe maal- en deeltafels speels kunnen worden ingeoefend [51](#page=51). #### 5.5.2 Nataak 2: Facultatief * **Werkvorm:** Per drie [51](#page=51). * **Geplande werktijd:** 2 uur [51](#page=51). * **Opdrachten:** Zoek een rekenspel voor het inoefenen van hoofdrekenen met natuurlijke getallen (gebruik spelotheek, zoek thuis, of ontwerp zelf). Specificeer voor welk leerjaar het spel geschikt is en welke leerdoelen het realiseert. Presenteer het spel kort aan klasgenoten en neem een ontwerp van het spel mee [51](#page=51). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Natuurlijke getallen | De verzameling van de positieve gehele getallen inclusief nul, gebruikt voor het tellen en ordenen van objecten. | | Hoofdbewerkingen | De vier elementaire rekenkundige operaties: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. | | Termen | De getallen die bij optelling of aftrekking bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken worden. | | Som | Het resultaat van een optelling. | | Aftrektal | Het getal waarvan een ander getal wordt afgetrokken. | | Aftrekker | Het getal dat van een ander getal wordt afgetrokken. | | Verschil | Het resultaat van een aftrekking. | | Factoren | De getallen die bij vermenigvuldiging met elkaar vermenigvuldigd worden. | | Product | Het resultaat van een vermenigvuldiging. | | Deeltal | Het getal dat gedeeld wordt. | | Deler | Het getal waardoor het deeltal gedeeld wordt. | | Quotiënt | Het resultaat van een deling. | | Inwendig | Een bewerking is inwendig in een verzameling als de uitkomst van de bewerking altijd binnen diezelfde verzameling valt. | | Neutraal element | Een element dat bij een bewerking met een ander element geen verandering teweegbrengt in dat element. Voor optelling is dit 0, voor vermenigvuldiging is dit 1. | | Commutatief | Een bewerking is commutatief als de volgorde van de operanden de uitkomst niet verandert (bv. a + b = b + a). | | Associatief | Een bewerking is associatief als de groepering van de operanden de uitkomst niet verandert (bv. (a + b) + c = a + (b + c)). | | Opslorpend element | Een element dat bij een bewerking met een ander element altijd resulteert in dat opslorpende element. Voor vermenigvuldiging is dit 0. | | Distributief | Een bewerking is distributief ten opzichte van een andere bewerking als het toepassen van de ene bewerking op de andere de uitkomst niet verandert (bv. a × (b + c) = (a × b) + (a × c)). | | Elementaire optellingen/aftrekkingen/vermenigvuldigingen/delingen | Basisrekenoefeningen die leerlingen paraat moeten kennen om complexere berekeningen te kunnen uitvoeren. | | Gestandaardiseerd hoofdrekenen | Het oplossen van een bepaald type oefening volgens een vaste, uniforme rekenprocedure, onafhankelijk van de specifieke getallen. | | Flexibel hoofdrekenen | Een opgave- of getalspecifieke aanpak voor hoofdrekenen, waarbij de methode wordt aangepast aan de structuur van de getallen. | | Brug over tien | Een techniek bij optellen en aftrekken waarbij een getal wordt aangevuld tot het volgende tiental, wat het rekenen vereenvoudigt. | | Verdelingsdeling | Een deling waarbij een hoeveelheid gelijk verdeeld wordt over een bepaald aantal groepen, en het aantal elementen per groep wordt gevraagd. | | Verhoudingsdeling | Een deling waarbij een hoeveelheid wordt opgedeeld in groepen van een bepaald aantal elementen, en het aantal groepen wordt gevraagd. | | Herhaalde optelling | Het optellen van een getal bij zichzelf meerdere keren, wat equivalent is aan vermenigvuldiging. | | Herhaalde aftrekking | Het herhaaldelijk aftrekken van een bepaald getal, wat equivalent is aan deling. | | Rekenverhaal | Een tekstuele opdracht die een rekenkundige situatie beschrijft, bedoeld om inzicht te geven in de toepassing van wiskundige concepten. | | Begripsvorming | Het proces van het ontwikkelen van een diepgaand begrip van wiskundige concepten en hun onderlinge relaties. |