H5. Kostenminimering.pdf

# Kostenminimering op lange termijn Dit hoofdstuk behandelt de bepaling van het optimale productieniveau door producenten met als doel de winst te maximaliseren, wat neerkomt op het minimaliseren van de kosten voor een gegeven productieomvang. Er wordt ingegaan op zowel grafische als algebraïsche methoden, inclusief de rol van isokostencurves en isoquants, en de toepassing van Lagrange-multiplicatoren [2](#page=2) [4](#page=4) [5](#page=5) [6](#page=6). ### 1.1 De isokostencurve De kosten van een producent worden bepaald door de prijzen van de productiefactoren arbeid ($\ell$) en kapitaal ($r$) en de hoeveelheid die hij inzet. De totale kosten ($F$) kunnen worden uitgedrukt als: $$F = \ell L + rK$$ waarbij $L$ de hoeveelheid arbeid en $K$ de hoeveelheid kapitaal voorstelt. In een grafiek met $L$ op de horizontale as en $K$ op de verticale as, kan de relatie tussen $K$ en $L$ voor een gegeven kosteniveau $F$ worden weergegeven als een rechte lijn, de isokostenrechte [2](#page=2): $$K = \frac{F}{r} - \frac{\ell}{r} L$$ Deze rechte heeft een intercept op de $K$-as van $F/r$ en een snijpunt met de $L$-as van $F/\ell$. De richtingscoëfficiënt wordt gegeven door $-\ell/r$ [3](#page=3). #### 1.1.1 Verschuivingen van de isokostenrechte Verschillende factoren kunnen de positie van de isokostenrechte beïnvloeden: * Een stijging van het totale kostenbudget ($F$) leidt tot een opwaartse, parallelle verschuiving van de isokostenrechte [3](#page=3). * Een stijging van de prijs van kapitaal ($r$) resulteert in een neerwaartse wenteling van de isokostenrechte door het punt $(F/\ell, 0)$ op de $L$-as [3](#page=3). * Een stijging van de prijs van arbeid ($\ell$) leidt tot een neerwaartse wenteling van de isokostenrechte door het punt $(0, F/r)$ op de $K$-as [3](#page=3). ### 1.2 Kostenminimering voor een gegeven productieomvang Een producent die een specifieke productieomvang ($y$) wil realiseren tegen de laagst mogelijke kosten, zal de combinatie van productiefactoren ($L, K$) kiezen die op de isoquant voor productie $y$ ligt en zich op de laagst mogelijke isokostenrechte bevindt. Grafisch wordt dit weergegeven door de tangens van de isoquant ($Q(y)$) aan de isokostenrechte [4](#page=4) [5](#page=5) [8](#page=8). #### 1.2.1 Grafische bepaling van het optimum Het optimale punt ($E$) wordt bereikt wanneer de isoquant ($Q(y)$) de laagst mogelijke isokostenrechte raakt. In dit punt is de helling van de isoquant gelijk aan de helling van de isokostenrechte. De helling van de isoquant wordt bepaald door de marginale technische substitutievoet (MTS) tussen arbeid en kapitaal, $MSVL,K(L, K)$, die gelijk is aan de verhouding van de marginale productiviteiten van arbeid en kapitaal: $MPL/MPK$. De helling van de isokostenrechte is $-\ell/r$. Dus, in het optimum geldt [3](#page=3) [4](#page=4) [5](#page=5) [6](#page=6): $$MSVL,K(L^*, K^*) = \frac{\ell}{r}$$ waarbij $(L^*, K^*)$ de kostenminimerende combinatie van productiefactoren is die ook op de isoquant voor productie $y$ ligt: $y = f(L^*, K^*)$ [5](#page=5) [6](#page=6). #### 1.2.2 Algebraïsche bepaling van het optimum Algebraïsch kan kostenminimering voor een gegeven productieomvang worden geformuleerd als het volgende minimaliseringsprobleem: $$ \min_{L,K} \quad \ell L + rK $$ onder de voorwaarde dat $y = f(L, K)$. Dit kan worden opgelost met behulp van de Lagrange-methode. De Lagrange-functie is [5](#page=5): $$ \mathcal{L}(L, K, \lambda) = \ell L + rK + \lambda [y - f(L, K)] $$ waarbij $\lambda$ de Lagrange-multiplicator is. De eerste-orde voorwaarden zijn [6](#page=6): $$ \begin{cases} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = \ell - \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = r - \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = y - f(L, K) = 0 \end{cases} $$ Dit leidt tot de volgende condities: $$ \begin{cases} \ell = \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} \\ r = \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} \\ y = f(L, K) \end{cases} $$ Door de eerste vergelijking te delen door de tweede, verkrijgen we wederom de conditie dat de marginale technische substitutievoet gelijk is aan de relatieve prijsverhouding van de productiefactoren: $$ \frac{\ell}{r} = \frac{\frac{\partial f(L,K)}{\partial L}}{\frac{\partial f(L,K)}{\partial K}} = MSVL,K(L^*, K^*) $$ en de voorwaarde dat de productiefunctie voor de gekozen $L^*$ en $K^*$ gelijk is aan de gewenste output $y$. De oplossing van dit systeem geeft de kostenminimerende vraag naar arbeid $L^*(\ell, r, y)$ en kapitaal $K^*(\ell, r, y)$ [6](#page=6) [7](#page=7). ### 1.3 Classificatie van productiefactoren Productiefactoren kunnen worden geclassificeerd op basis van hoe hun vraag verandert met de productieomvang en met veranderingen in hun eigen prijs of die van andere factoren. #### 1.3.1 Soorten productiefactoren op basis van het outputeffect * **Inferieur:** Een productiefactor is inferieur als de vraag ernaar afneemt wanneer de productieomvang ($y$) stijgt [7](#page=7). * **Normaal:** Een productiefactor is normaal als de vraag ernaar stijgt wanneer de productieomvang ($y$) stijgt [7](#page=7). * **Noodzakelijk:** Een normale productiefactor is noodzakelijk als de elasticiteit van de vraag naar de productiefactor met betrekking tot $y$ kleiner is dan 1 [7](#page=7). * **Superieur:** Een normale productiefactor is superieur als de elasticiteit van de vraag naar de productiefactor met betrekking tot $y$ groter is dan 1 [7](#page=7). #### 1.3.2 Soorten productiefactoren op basis van het prijseffect * **Substituten:** Twee productiefactoren zijn substituten als een prijsstijging van de ene leidt tot een stijging van de kostenminimerende vraag naar de andere [8](#page=8). * **Complementen:** Twee productiefactoren zijn complementen als een prijsstijging van de ene leidt tot een daling van de kostenminimerende vraag naar de andere [8](#page=8). Het is aangetoond dat kleine prijseffecten tussen productiefactoren symmetrisch zijn, wat betekent dat de classificatie als substituten of complementen goed gedefinieerd is [8](#page=8). > **Tip:** Bij slechts twee productiefactoren zijn deze noodzakelijkerwijs substituten. Bij meer dan twee productiefactoren kunnen ze zowel complementen als substituten zijn [9](#page=9). #### 1.3.3 Illustratie van prijseffecten Een daling in de relatieve prijs van arbeid (bijvoorbeeld $\ell/r$ daalt) maakt arbeid relatief goedkoper. Dit leidt tot een beweging langs de isoquant naar een punt met meer arbeid en minder kapitaal, zoals de verschuiving van punt $E$ naar $D$ in de figuur. Dit illustreert dat arbeid en kapitaal in dit scenario substituten zijn [12](#page=12) [16](#page=16) [8](#page=8). ### 1.4 Economische interpretatie van de Lagrange-multiplicator De Lagrange-multiplicator ($\lambda$) uit het kostenminimeringsprobleem heeft een belangrijke economische interpretatie: het is gelijk aan de marginale kost (MK) van de producent. De totale kosten functie in het optimum is $TK^*(y) = \ell L^*(y) + rK^*(y)$. Door de eerste-orde voorwaarden te gebruiken en te differentiëren naar $y$, kan worden aangetoond dat $\lambda^* = MK^*(y)$ [10](#page=10) [9](#page=9). ### 1.5 Voorbeeld: Kostenminimering bij Cobb-Douglas technologie Voor een Cobb-Douglas productiefunctie van de vorm $y = aL^\alpha K^\beta$, kan de kostenminimerende vraag naar arbeid en kapitaal expliciet worden afgeleid [10](#page=10). De Lagrange-functie is: $$ \mathcal{L}(L, K, \lambda) = \ell L + rK + \lambda [y - aL^\alpha K^\beta $$ De eerste-orde voorwaarden leiden tot: $$ \frac{\ell}{r} = \frac{\alpha}{\beta} \frac{K}{L} $$ Hieruit volgt de relatie tussen $K$ en $L$: $K = \frac{\beta \ell}{\alpha r} L$ [11](#page=11). Door dit te substitueren in de productiefunctie, kunnen de kostenminimerende vraagfuncties voor $L$ en $K$ worden gevonden: $$ L^*(\ell, r, y) = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \left(\frac{\beta \ell}{\alpha r}\right)^{-\frac{\beta}{\alpha+\beta}} $$ $$ K^*(\ell, r, y) = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \left(\frac{\alpha r}{\beta \ell}\right)^{-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} $$ Deze functies tonen de comparatief statische eigenschappen aan: * Een hogere prijs van arbeid ($\ell$) verlaagt de vraag naar arbeid en verhoogt de vraag naar kapitaal (substituten) [12](#page=12). * Een hogere prijs van kapitaal ($r$) verhoogt de vraag naar arbeid en verlaagt de vraag naar kapitaal (substituten) [12](#page=12). * Een hogere productieomvang ($y$) verhoogt de vraag naar zowel arbeid als kapitaal (beide zijn normale productiefactoren) [12](#page=12). De classificatie als noodzakelijk of superieur hangt af van de som van de exponenten $(\alpha + \beta)$ [12](#page=12). ### 1.6 Verschuivingen van het evenwicht Verschuivingen in het kostenminimerende evenwicht kunnen worden veroorzaakt door veranderingen in de productieomvang, technologie, of de prijzen van productiefactoren. #### 1.6.1 Veranderingen in productieomvang: het expansiepad Het lange termijn expansiepad (LTE) van een producent verbindt de kostenminimerende combinaties van productiefactoren voor verschillende productieomvangniveaus. Langs het LTE geldt de conditie $MSVL,K(L, K) = \ell/r$. Voor een Cobb-Douglas technologie is het LTE een rechte lijn door de oorsprong in de $L$-$K$-ruimte [13](#page=13) [14](#page=14). #### 1.6.2 Veranderingen in technologie Technologische veranderingen (TV) beïnvloeden de productiefunctie. Ze kunnen worden geclassificeerd als: * **Arbeidsbesparend:** Verhoogt de kapitaalsintensiteit ($K/L$). Bij een Cobb-Douglas technologie resulteert dit in een stijging van $\beta/\alpha$, wat een daling van $MSVL,K$ tot gevolg heeft [15](#page=15) [16](#page=16). * **Kapitaalbesparend:** Verlaagt de kapitaalsintensiteit ($K/L$). Bij een Cobb-Douglas technologie resulteert dit in een daling van $\beta/\alpha$, wat een stijging van $MSVL,K$ tot gevolg heeft [15](#page=15) [16](#page=16). * **Neutraal:** Verandert de kapitaals- of arbeidsintensiteit niet. Bij neutrale TV veranderen de isoquanten niet, enkel de productieniveaus die ermee geassocieerd worden, waardoor de productie aan lagere kosten kan worden gerealiseerd [15](#page=15) [18](#page=18). Technologische veranderingen kunnen leiden tot een rotatie van de isoquanten. Arbeidsbesparende technologie maakt de isoquanten vlakker (minder steil), terwijl kapitaalbesparende technologie ze steiler maakt. Dit beïnvloedt de helling van het lange termijn expansiepad [16](#page=16) [17](#page=17). #### 1.6.3 Veranderingen in prijzen van productiefactoren Veranderingen in de prijzen van productiefactoren ($\ell$ of $r$) leiden tot een verschuiving van het kostenminimerende punt langs de gegeven isoquanten, zoals beschreven in sectie 1.3.2 en geïllustreerd in sectie 1.3.3 [18](#page=18). --- # Verschuivingen van het evenwicht Dit onderdeel analyseert hoe veranderingen in externe factoren het kostenminimerende evenwicht van een producent beïnvloeden, met specifieke aandacht voor de impact op de vraag naar productiefactoren en het expansiepad van de onderneming [13](#page=13). ### 2.1 Veranderingen in productieomvang Veranderingen in de productieomvang, aangeduid met $\Delta y$, leiden tot veranderingen in de kostenminimerende vraag naar productiefactoren [13](#page=13). #### 2.1.1 Het lange termijn expansiepad (LTE) Het lange termijn expansiepad (LTE) van een producent verbindt de kostenminimerende combinaties van de productiefactoren arbeid ($L$) en kapitaal ($K$) voor verschillende productieomvangniveaus in de $L \times K$-ruimte. Dit pad wordt bepaald door de vergelijking waarin de technische substitutieverhouding gelijk is aan de prijsratio van de productiefactoren [13](#page=13): $$ \text{MSVL,K}(L, K) = \frac{\text{MPL}}{\text{MPK}} = \frac{\ell}{r} $$ waarbij $\text{MPL}$ de marginale productiviteit van arbeid is en $\text{MPK}$ de marginale productiviteit van kapitaal [14](#page=14). ##### 2.1.1.1 Lange termijn expansiepad voor Cobb-Douglas technologie Voor een Cobb-Douglas productiefunctie van de vorm $y = f(L, K) = aL^\alpha K^\beta$ is het lange termijn expansiepad een rechte lijn door de oorsprong. De marginale technische substitutieverhouding voor deze technologie is [14](#page=14): $$ \text{MSVL,K}(L, K) = \frac{\alpha}{\beta} \frac{K}{L} $$ Omdat $\frac{\ell}{r}$ constant is voor een gegeven prijsratio, volgt hieruit dat de kapitaalsintensiteit $\frac{K}{L}$ constant is in het optimum voor een Cobb-Douglas technologie [14](#page=14). > **Tip:** Het lange termijn expansiepad visualiseert hoe de optimale inzet van productiefactoren verandert wanneer de onderneming haar productievolume aanpast, ervan uitgaande dat alle factoren variabel zijn. ### 2.2 Veranderingen in technologie Technologische veranderingen (TV) beïnvloeden de productiefunctie en daarmee de efficiëntie van productie. Er worden drie soorten technologische veranderingen onderscheiden [15](#page=15): 1. **Arbeidsbesparend:** De TV verhoogt de kapitaalsintensiteit (verlaagt de arbeidsintensiteit) [15](#page=15). 2. **Kapitaalbesparend:** De TV verlaagt de kapitaalsintensiteit (verhoogt de arbeidsintensiteit) [15](#page=15). 3. **Neutraal:** De TV verandert de kapitaals- of arbeidsintensiteit niet [15](#page=15). Voor een Cobb-Douglas technologie $y = aL^\alpha K^\beta$, wordt de kapitaalsintensiteit in het optimum gegeven door $\frac{K}{L} = \frac{\beta}{\alpha} \frac{\ell}{r}$. Een technologische verandering wordt als volgt geclassificeerd [15](#page=15): * Arbeidsbesparend $\iff \frac{\beta}{\alpha}$ stijgt [15](#page=15). * Kapitaalbesparend $\iff \frac{\beta}{\alpha}$ daalt [15](#page=15). * Neutraal $\iff \frac{\beta}{\alpha}$ constant blijft [15](#page=15). #### 2.2.1 Impact op de marginale technische substitutieverhouding Technologische veranderingen hebben een directe invloed op de marginale technische substitutieverhouding (MSVL,K) [16](#page=16). * Arbeidsbesparende TV: $\frac{\beta}{\alpha}$ stijgt, wat impliceert dat $\frac{\alpha}{\beta}$ daalt. Hierdoor daalt de MSVL,K op elk punt $(L, K)$. De isoquanten worden vlakker [16](#page=16) [17](#page=17). * Kapitaalbesparende TV: $\frac{\beta}{\alpha}$ daalt, wat impliceert dat $\frac{\alpha}{\beta}$ stijgt. Hierdoor stijgt de MSVL,K op elk punt $(L, K)$. De isoquanten worden steiler [16](#page=16) [17](#page=17). Bij een arbeidsbesparende TV wentelt het lange termijn expansiepad in de richting van de kapitaalas (K-as), wat resulteert in een hogere kapitaalsintensiteit ($K/L \uparrow$). Bij een kapitaalbesparende TV wentelt het lange termijn expansiepad in de richting van de arbeid as (L-as), wat resulteert in een lagere kapitaalsintensiteit ($K/L \downarrow$) [17](#page=17). #### 2.2.2 Neutrale technische verandering Bij een neutrale technische verandering verandert de verhouding $\frac{\alpha}{\beta}$ niet. Dit betekent dat de MSVL,K op elk punt $(L, K)$ niet verandert, en bijgevolg veranderen de isoquanten zelf niet. De productieniveaus die met elke isoquant corresponderen, veranderen wel. Als het productieniveau stijgt, is de TV efficiënt, wat betekent dat de oude productie nu op een lagere isoquant (en dus tegen lagere kosten) gerealiseerd kan worden. Het lange termijn expansiepad blijft ongewijzigd bij neutrale technische veranderingen [18](#page=18). > **Tip:** Visualiseer technologische veranderingen als een "verschuiving" van de isoquanten. Bij arbeidsbesparende technologie "verschuiven" de isoquanten zodanig dat meer kapitaal per eenheid arbeid kan worden ingezet voor hetzelfde productieniveau. ### 2.3 Veranderingen in prijzen van productiefactoren Veranderingen in de prijzen van productiefactoren, $\ell$ en $r$, beïnvloeden de kostenminimerende vraag naar productiefactoren, die wordt gegeven door $L(\ell, r, y)$ en $K(\ell, r, y)$. De effecten van deze veranderingen werden reeds behandeld in sectie 5.2.2 [18](#page=18). > **Tip:** Houd er rekening mee dat zowel productieniveaus, technologie als de prijzen van productiefactoren het evenwicht van de producent kunnen verstoren en verschuiven. --- # Kosten op korte en lange termijn Dit hoofdstuk introduceert het onderscheid tussen kosten op korte en lange termijn, met aandacht voor de afleiding van verschillende kostencurves, hun relaties, en de concepten van expansiepaden en de planningcurve [19](#page=19). ### 3.1 Kosten op korte termijn Op korte termijn is minstens één productiefactor constant, meestal kapitaal ($K = \bar{K}$). De productiehoeveelheid ($y$) wordt aangepast door variabele factoren, zoals arbeid ($L$) [19](#page=19). #### 3.1.1 Soorten kosten op korte termijn De totale kosten op korte termijn ($TKK$) worden opgesplitst in vaste kosten ($FK$) en variabele kosten ($VK$) [21](#page=21). * **Vaste kosten ($FK$):** Kosten die onafhankelijk zijn van het outputniveau. Op korte termijn is dit meestal de kosten van kapitaal: $FK(r, \bar{K}) = r\bar{K}$. Grafisch is dit een horizontale lijn [21](#page=21) [22](#page=22). * **Variabele kosten ($VK$):** Kosten die variëren met het outputniveau. Dit zijn de kosten van de variabele productiefactoren: $VK(l, y, \bar{K}) = lL(y, \bar{K})$, waarbij $L(y, \bar{K})$ de minimale hoeveelheid arbeid is om output $y$ te produceren met gegeven kapitaal $\bar{K}$. De vorm van de $VK(y)$-curve wordt bepaald door de productiefunctie [21](#page=21) [23](#page=23). * **Totale kosten ($TK$):** De som van vaste en variabele kosten. $TKK(l, r, y, \bar{K}) = VK(l, y, \bar{K}) + FK(r, \bar{K})$ [21](#page=21) [24](#page=24). Daarnaast worden gemiddelde en marginale kosten onderscheiden: * **Gemiddelde vaste kosten ($GFK$):** $GFK(y) = FK / y$. Deze curve is dalend naarmate de output toeneemt [24](#page=24) [25](#page=25). * **Gemiddelde variabele kosten ($GVK$):** $GVK(y) = VK(y) / y$. Deze curve bereikt een minimum bij een outputniveau $y_B$ [25](#page=25). * **Gemiddelde totale kosten ($GTK$):** $GTK(y) = TK(y) / y = GVK(y) + GFK(y)$. Deze curve bereikt een minimum bij een outputniveau $y_{B'}$ [22](#page=22) [25](#page=25). * **Marginale kosten ($MK$):** De extra kosten voor het produceren van één extra eenheid output. Op korte termijn zijn de marginale totale kosten gelijk aan de marginale variabele kosten, omdat de marginale vaste kosten nul zijn: $MK(y) = \frac{\partial TKK}{\partial y} = \frac{\partial VK}{\partial y}$. De $MK(y)$-curve bereikt een minimum bij een outputniveau $y_A$ [21](#page=21) [26](#page=26). #### 3.1.2 Relaties tussen soorten kosten op korte termijn De relaties tussen de verschillende kostencurves zijn cruciaal: * De $MK(y)$-curve snijdt de $GVK(y)$-curve in haar minimum [27](#page=27). * De $MK(y)$-curve snijdt de $GTK(y)$-curve in haar minimum [29](#page=29). * Het minimum van de $GTK(y)$-curve wordt bereikt bij een hoger outputniveau dan het minimum van de $GVK(y)$-curve [30](#page=30). * De $MK(y)$-curve heeft dezelfde vorm als de $GVK(y)$-curve (dalend, stijgend, of U-vormig), afhankelijk van de productiviteit van arbeid [31](#page=31). * De $GVK(y)$-curve is dalend (stijgend) als de gemiddelde productiviteit van arbeid ($GPL(L)$) stijgend (dalend) is [32](#page=32). > **Tip:** De relatie tussen kosten en productiviteit is fundamenteel. Een hogere marginale productiviteit van arbeid (MPL) leidt tot lagere variabele kosten per eenheid output. **Voorbeelden van kostencurves:** * **Cobb-Douglas technologie:** De gemiddelde variabele kosten ($GVK(y)$) kunnen convex of concaaf zijn, afhankelijk van de exponenten in de productiefunctie. De marginale kosten ($MK(y)$) liggen altijd boven de $GVK(y)$ indien $\alpha < 1$ [33](#page=33) [34](#page=34) [36](#page=36). * **Lineaire technologie:** Kostenfuncties zijn lineair, met constante gemiddelde variabele en marginale kosten [37](#page=37) [38](#page=38). * **Panvormig verloop van $GVK(y)$:** Dit komt vaak voor in de praktijk en kan te maken hebben met onzekerheid en risicoavers gedrag van producenten, of met de keuze tussen verschillende technologieën [39](#page=39) [40](#page=40). ### 3.2 Kosten op lange termijn Op lange termijn kunnen alle productiefactoren worden aangepast. Dit betekent dat kapitaal ($K$) niet langer vast is ($K$ kan variëren). Het doel van de onderneming is om voor elke outputniveau de laagst mogelijke kosten te realiseren door de optimale combinatie van productiefactoren te kiezen [41](#page=41). #### 3.2.1 Afleiding van het lange termijn expansiepad Het **lange termijn expansiepad** verbindt de kostenminimerende combinaties van productiefactoren voor verschillende outputniveaus op de lange termijn. Het wordt bepaald door de tangenspunten van de isokostenlijnen met de isoquanten [43](#page=43). * Op lange termijn zijn de kosten altijd lager of gelijk aan de kosten op korte termijn [20](#page=20) [48](#page=48). * De onderneming past haar kapitaalvoorraad aan om de kosten te minimaliseren voor een gegeven outputniveau [42](#page=42) [47](#page=47). * Elke aanpassing van kapitaal brengt de onderneming op een nieuw kortetermijn expansiepad, totdat de optimale kapitaalhoeveelheid is bereikt [48](#page=48). **Voorbeeld van lange termijn expansiepad:** * Voor de Cobb-Douglas technologie is het lange termijn expansiepad: $K = \frac{\beta l}{\alpha r} L$ [45](#page=45). #### 3.2.2 Grafische afleiding van de lange termijn kostencurve De lange termijn kostencurves worden afgeleid uit het lange termijn expansiepad [49](#page=49). * De totale kosten op lange termijn ($TKL(l, r, y)$) worden berekend door de optimale hoeveelheden arbeid en kapitaal te vermenigvuldigen met hun respectievelijke prijzen en deze op te tellen: $TKL(l, r, y) = lL^*(l, r, y) + rK^*(l, r, y)$ [46](#page=46). > **Tip:** De lange termijn kosten zijn altijd lager dan of gelijk aan de korte termijn kosten voor dezelfde output, tenzij het korte en lange termijn expansiepad samenvallen voor die output [48](#page=48). #### 3.2.3 De planningcurve De **planningcurve** (ook wel de lange termijn gemiddelde totale kosten, $GTKL(y)$ genoemd) geeft de minimale gemiddelde kosten weer bij verschillende schaalgroottes [57](#page=57) [58](#page=58). * De planningcurve is de **enveloppe (omhullende curve)** van de korte termijn gemiddelde totale kostencurves ($GTKK(y)$) [57](#page=57) [59](#page=59). * De raakpunten tussen de $GTKK(y)$-curves en de $GTKL(y)$-curve corresponderen met de outputniveaus waar de korte en lange termijn kosten samenvallen [56](#page=56) [57](#page=57). **Verband met schaalopbrengsten:** Het verloop van de planningcurve wordt sterk beïnvloed door schaalopbrengsten [60](#page=60): * **Toenemende schaalopbrengsten:** Leiden tot een dalende planningcurve (schaalvoordelen) [61](#page=61) [63](#page=63). * **Constante schaalopbrengsten:** Leiden tot een horizontale planningcurve (geen schaalvoordelen of -nadelen) [61](#page=61) [63](#page=63). * **Afnemende schaalopbrengsten:** Leiden tot een stijgende planningcurve (schaalnadelen) [61](#page=61) [63](#page=63). > **Tip:** Schaalvoordelen ontstaan door efficiënties op grotere schaal (specialisatie, automatisering), terwijl schaalnadelen voortkomen uit complexiteit, bureaucratie en communicatieproblemen [62](#page=62). #### 3.2.4 Verschuivingen van de planningcurve De planningcurve kan verschuiven als gevolg van veranderingen in de factorprijzen [64](#page=64). * Volgens het **Lemma van Shephard** geldt voor een kostenminimerende producent op lange termijn dat de afgeleide van de totale lange termijn kosten naar een factorprijs gelijk is aan de optimale hoeveelheid van die factor: $\frac{\partial TKL(l, r, y)}{\partial l} = L^*$ en $\frac{\partial TKL(l, r, y)}{\partial r} = K^*$ [64](#page=64) [65](#page=65). * Als productiefactoren duurder worden, verschuift de planningcurve doorgaans opwaarts. Het exacte effect (stijging, daling of gelijkblijven van de optimale schaal) hangt af van de aard van de factor (inferieur, normaal, superieur) [66](#page=66). **Voorbeeld van planningcurve:** * Voor de Cobb-Douglas technologie is de relatie tussen de lange termijn gemiddelde totale kosten ($GTKL$) en de marginale lange termijn kosten ($MKL$) direct gerelateerd aan de schaalelasticiteit ($\alpha + \beta$): $GTKL = MKL \cdot (\alpha + \beta)$. Dit bevestigt de link tussen schaalopbrengsten en het verloop van de planningcurve [67](#page=67) [68](#page=68). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Isokostencurve | Een curve die alle combinaties van twee productiefactoren weergeeft die tegen dezelfde totale kosten kunnen worden aangeschaft. De curve heeft een negatieve helling die gelijk is aan de negatieve relatieve prijs van de productiefactoren. | | Isokostenrechte | De grafische weergave van een isokostencurve, weergegeven als een rechte lijn in een assenstelsel met de hoeveelheden van twee productiefactoren op de assen. De helling wordt bepaald door de relatieve prijzen van de productiefactoren. | | Isoquant | Een curve die alle combinaties van twee productiefactoren weergeeft die dezelfde hoeveelheid output produceren. De helling van de isoquant is de marginale technische substitutieverhouding (MTSV). | | Kostenminimering | Het proces waarbij een producent probeert de output te produceren tegen de laagst mogelijke kosten, gegeven een specifieke productiefunctie en de prijzen van de productiefactoren. | | Lagrange-multiplicator | Een variabele die wordt gebruikt in het Lagrange-optimalisatieprobleem om de beperking (in dit geval, het productieniveau) mee te nemen. De waarde van de Lagrange-multiplicator is gelijk aan de marginale kost van de producent. | | Marginale technische substitutieverhouding (MTSV) | De mate waarin de ene productiefactor door een andere kan worden vervangen zonder de output te veranderen. Dit wordt gemeten door de verhouding van de marginale productiviteiten van de twee productiefactoren. | | Productiefunctie | Een wiskundige relatie die aangeeft hoeveel output kan worden geproduceerd met gegeven hoeveelheden van productiefactoren. | | Expansiepad | Een lijn die de kostenminimerende combinaties van productiefactoren voor verschillende productieniveaus verbindt. Op lange termijn is dit het lange termijn expansiepad, op korte termijn het korte termijn expansiepad. | | Cobb-Douglas technologie | Een veelgebruikte vorm van de productiefunctie die wordt gekenmerkt door constante schaalelasticiteiten en substitueerbare productiefactoren. | | Vaste kosten | Kosten die onafhankelijk zijn van het productieniveau op korte termijn. Deze kosten moeten worden gemaakt, zelfs als de productie nul is. | | Variabele kosten | Kosten die variëren met het productieniveau op korte termijn. Ze worden nul als de productie nul is. | | Gemiddelde vaste kosten (GFK) | De totale vaste kosten gedeeld door de outputhoeveelheid. Deze nemen af naarmate de output toeneemt. | | Gemiddelde variabele kosten (GVK) | De totale variabele kosten gedeeld door de outputhoeveelheid. Deze kunnen eerst dalen en daarna stijgen. | | Gemiddelde totale kosten (GTK) | De totale kosten gedeeld door de outputhoeveelheid, of de som van de gemiddelde vaste en gemiddelde variabele kosten. | | Marginale kost (MK) | De extra kost die wordt gemaakt voor de productie van één extra eenheid output. Dit is de afgeleide van de totale kost naar output. | | Planningcurve | De lange termijn gemiddelde kostencurve, die aangeeft hoe de gemiddelde kosten variëren met de productieomvang wanneer alle productiefactoren flexibel zijn. Het is de omhullende curve van de korte termijn gemiddelde kostencurven. | | Schaalopbrengsten | Een economisch concept dat beschrijft wat er gebeurt met de output wanneer alle productiefactoren proportioneel worden verhoogd. Dit kan toenemend, constant of afnemend zijn. | | Schaalvoordelen (Economies of scale) | Situatie waarin de gemiddelde kosten dalen naarmate de productieomvang toeneemt. | | Schaalnadelen (Diseconomies of scale) | Situatie waarin de gemiddelde kosten stijgen naarmate de productieomvang toeneemt. | | Lemma van Shephard | Een economisch theorema dat stelt dat de kostenminimerende vraag naar een productiefactor op lange termijn gelijk is aan de partiële afgeleide van de lange termijn totale kostfunctie met betrekking tot de prijs van die productiefactor. |