Hoofdstuk 9 Procenten.pdf

# Invoeren van het begrip procenten Dit deel behandelt de introductie van het concept procenten, inclusief het gebruik van visuele hulpmiddelen zoals het honderdveld, rekenblokken en stroken om leerlingen te helpen procenten te begrijpen en te visualiseren. ### 1.1 Informele kennis en conceptvorming Leerlingen hebben vaak al enige informele kennis van procenten voordat ze er formeel mee in aanraking komen. Ze kunnen kortingen van 50% en 25% interpreteren als respectievelijk $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{4}$ deel van het geheel [6](#page=6). #### 1.1.1 Het woord 'procent' Het woord 'cent' betekent letterlijk honderd, zoals in centimeter, centiliter en eurocent. 'Procent' betekent dan ook per honderd, zoveel op honderd. Het is cruciaal dat leerlingen dit correct verwoorden, bijvoorbeeld 10 procent als 10%. Dit kan gelezen worden als 10 voor elke 100, 10 per 100, 10 ten 100, 10 op 100, of 10 van de 100 [6](#page=6). #### 1.1.2 Activiteiten voor introductie Een goede lesopbouw kan beginnen met het aanbieden van een probleemsituatie om de informele kennis van leerlingen te peilen. Leerlingen kunnen gevraagd worden materiaal mee te brengen zoals folders, aanbiedingen of kledinglabels, waarop ze kunnen zoeken naar het woord 'procenten'. Via een onderwijsleergesprek kan vervolgens de begripsvorming worden opgebouwd door vragen te stellen over waar de teksten en aanbiedingen over gaan en wat er steeds terugkomt [6](#page=6). ### 1.2 Visualisatiehulpmiddelen voor procenten Handige hulpmiddelen om procenten te visualiseren zijn het honderdveld, rekenblokken (MAB-materiaal) en stroken [6](#page=6). #### 1.2.1 Het honderdveld Een honderdveld bestaat uit 100 vakjes en dient als een visueel model om procenten weer te geven. Als de context 'per honderd' is, leg je voor elk honderdeenheid vijf vakjes kleur, wat 5% voorstelt [6](#page=6). > **Tip:** Het visueel maken van procenten met het honderdveld helpt leerlingen om de abstracte hoeveelheid procent om te zetten naar een tastbaar deel van een geheel. #### 1.2.2 Rekenblokken / MAB-materiaal MAB-materiaal, zoals blokjes van 100, staven van 10 en losse eenheden, kan ook gebruikt worden om procenten te visualiseren. Voor 5% wordt bijvoorbeeld aangegeven dat er voor elke 100 eenheden er 5 gelegd moeten worden [6](#page=6). #### 1.2.3 Stroken Stroken kunnen worden gebruikt om delen van een geheel te representeren, die vervolgens kunnen worden gelabeld met percentages [6](#page=6). #### 1.2.4 Groepswerk en klassikale consolidatie Leerlingen kunnen in groepjes werken aan het visualiseren van verschillende percentages (zoals 0%, 5%, 10%, 20%, 25%, 50%) met behulp van de genoemde materialen. De leerkracht kan vervolgens de gekleurde velden en stroken aan het bord hangen. Op basis van het gekleurde deel kunnen leerlingen relaties leggen, bijvoorbeeld dat 5% één twintigste deel is, 10% één tiende deel, 20% één vijfde deel, 25% één vierde deel, 50% de helft, en 100% het geheel [7](#page=7). ### 1.3 Berekeningen met procenten #### 1.3.1 Het geheel is een veelvoud van 100 Wanneer het geheel een veelvoud van 100 is, zoals bij 5% van 300, kan dit met MAB-materiaal worden afgeleid. Als het geheel 300 is, moeten er vijftien eenheden worden gelegd, verhoudingsgewijs. Visueel betekent dit dat er drie honderdvelden worden gebruikt, en op elk honderdveld zijn vijf vakjes gekleurd, wat samen 15 is voor 300 [7](#page=7). Dit kan worden weergegeven in een standaard rekenschema: ```latex \begin{tabular}{|c|c|} \hline DEEL & GEHEEL \\ \hline & \\ \hline \end{tabular} ``` Dit schema biedt inzichtelijke ondersteuning, vooral voor rekenzwakke leerlingen. Er zijn meerdere oplossingswegen mogelijk [8](#page=8): 1. 5% van 300 = $\frac{5}{100}$ van 300 = 15 [8](#page=8). 2. 5% van 300 = (300: 100) x 5 = 3 x 5 = 15 [8](#page=8). 3. 1% van 300 = 3. Dus 5% van 300 is dan 3 x 5 = 15 [8](#page=8). #### 1.3.2 Het geheel is kleiner dan 100 Bij een geheel dat kleiner is dan 100, zoals bij 4% van 50, kan met MAB-materiaal worden afgeleid dat als het geheel 50 is, je 2 eenheden moet leggen, verhoudingsgewijs. Omdat 4% betekent 4 voor elke 100, kleur je 4 vakjes op het honderdveld. Aangezien 50 de helft is van 100, kleurt men de helft van het aantal vakjes. Het honderdveld wordt hiervoor middendoor geknipt; twee vakjes komen bij de linkerhelft en twee bij de rechterhelft, waardoor leerlingen ontdekken dat er per 50 vakjes twee vakjes gekleurd zijn [8](#page=8). Het standaard rekenschema ziet er dan als volgt uit: ```latex \begin{tabular}{|c|c|} \hline DEEL & GEHEEL \\ \hline & \\ \hline \end{tabular} ``` De berekeningen zijn: 1. 4% van 50 = $\frac{4}{100}$ van 50 = 2 [9](#page=9). 2. 4% van 50 = (50: 100) x 4 = 0,5 x 4 = 2 [9](#page=9). 3. 1% van 50 = 0,5. 4% van 50 = 0,5 x 4 = 2 [9](#page=9). > **Belangrijk:** Men mag niet zomaar twee procentuele kortingen optellen. Een tweede korting (bijvoorbeeld 40%) wordt immers berekend van een ander bedrag dan de eerste korting (bijvoorbeeld 60%). Dit geldt alleen als het bedrag waarop de procenten worden berekend 100 euro is [9](#page=9). ### 1.4 Opdrachten Er worden oefeningen voorgesteld waarbij leerlingen moeten aangeven hoeveel er gekleurd is en zelf delen moeten inkleuren [9](#page=9). --- # Situaties waar procenten voorkomen Dit gedeelte beschrijft de verschillende contexten waarin procenten voorkomen, onderverdeeld in operator, verhouding, deel-geheel en veranderingen. ## 2 Situaties waar procenten voorkomen Procenten worden in diverse alledaagse en specifieke situaties gebruikt. De documentatie identificeert vier hoofdtypen situaties: procenten als operator, als uitdrukking van een verhouding, in deel-geheelrelaties, en in situaties van toename of afname [12](#page=12) [13](#page=13) [16](#page=16) [18](#page=18). ### 2.1 Procenten als operator Procenten als operator komen veel voor in dagelijkse contexten zoals kortingen, prijsverhogingen, omzetbelasting (BTW), of als een fractie van een groep [12](#page=12). * **Concept:** Een percentage wordt toegepast op een bepaald bedrag of aantal om een specifiek deel daarvan te berekenen. * **Visualisatiehulpmiddelen:** * Het honderdveld: Leerlingen kunnen vakjes inkleuren om het percentage te visualiseren. Dit kan per strook van tien gebeuren [13](#page=13). * Een strook verdeeld in 100 gelijke delen: Hierbij worden het aantal vakjes ingekleurd dat overeenkomt met het percentage [13](#page=13). * Verhoudingstabel: Kan gebruikt worden om het inzicht in de verhouding te verdiepen [13](#page=13). * Procentenstrook: Vergelijkbaar met een dubbele getallenlijn, waarbij een strook wordt gebruikt om het percentage te representeren [13](#page=13). * Dubbele getallenlijn: Visualiseert de relatie tussen het percentage en de bijbehorende waarde [14](#page=14). * **Berekening:** Het percentage wordt omgerekend naar een breuk of een decimaal getal en hiermee wordt het oorspronkelijke bedrag vermenigvuldigd. * Formule: $\text{Percentage} \times \text{Geheel} = \text{Deel}$ * Voorbeeld: 25% korting op een cd van 20 euro. * Omzetting: 25% is $\frac{25}{100}$ of $\frac{1}{4}$ of 0,25 [13](#page=13) [14](#page=14). * Berekening korting: $\frac{25}{100} \times 20 \text{ euro} = 5 \text{ euro}$ [14](#page=14). * Conclusie: De korting bedraagt 5 euro [14](#page=14). > **Tip:** Leg de nadruk op het 'geheel' (alle 100 vakjes of de totale waarde) bij het visualiseren [13](#page=13). ### 2.2 Verhouding Een gegeven percentage kan ook een verhouding uitdrukken, wat handig is om verschillende verhoudingen met elkaar te vergelijken [14](#page=14). * **Concept:** Vergelijken van prestaties of aantallen door deze om te zetten naar een standaard percentage (op 100). * **Voorbeeld:** Toon behaalde 20 op 25 voor Nederlands en 30 op 40 voor wiskunde. * Omzetting naar scores op 100: * Nederlands: $\frac{20}{25} \times 100 = 80$ wat neerkomt op 80% [15](#page=15). * Wiskunde: $\frac{30}{40} \times 100 = 75$ wat neerkomt op 75% [15](#page=15). * Conclusie: Toon scoorde het best voor Nederlands met 80% [15](#page=15). ### 2.3 Deel-geheel Een percentage beschrijft een deel-geheelrelatie, wat betekent dat het een fractie van een geheel vertegenwoordigt [16](#page=16). * **Contexten:** Mengsels, opiniepeilingen, slagingspercentages, bevolkingssamenstelling, gezinsuitgaven, kansen [16](#page=16). * **Grootheden:** Bij deze berekeningen zijn er drie belangrijke grootheden: 1. Het geheel 2. Het deel dat genomen werd 3. Het percentage * **Probleemtypen:** Als twee van de drie grootheden gegeven zijn, kan de derde berekend worden [16](#page=16). * **Situatie A (Percentage berekenen):** Het percentage is onbekend. * Voorbeeld: Wickmayer slaat 28 van de 35 eerste opslagen goed. Wat is haar percentage? * Aanpak: Net als bij het omzetten van verhoudingen naar percentages [16](#page=16). * **Situatie B (Deel berekenen):** Het deel is onbekend. * Voorbeeld: Hoeveel is 4% van 200 euro? * Aanpak: Procenten als operator gebruiken [16](#page=16). * Berekening: $0,04 \times 200 \text{ euro} = 8 \text{ euro}$. * **Situatie C (Geheel berekenen):** Het geheel (beginsituatie) is onbekend. * Voorbeeld: Een spel kostte 42 euro, wat 40% korting was op de normale prijs. Wat was de normale prijs? * Moeilijkheidsgraad: Hoger dan Situatie A en B [16](#page=16). * Hulpmiddelen: * Dubbel pijlenschema: Illustreert de relatie tussen deel, geheel en percentage met pijlen [17](#page=17). * Schema verkorte berekeningswijze: Een meer directe wiskundige aanpak [17](#page=17). ### 2.4 Geheel plus of min deel (Veranderingssituaties) Procenten worden hier gebruikt om veranderingen aan te duiden, zoals toename of afname [18](#page=18). * **Contexten:** Prijsverhogingen, prijsverlagingen, bevolkingsgroei, bevolkingsafname, rente [18](#page=18). * **Probleemtypen:** Drie soorten problemen kunnen hier voorkomen, vergelijkbaar met deel-geheel: * **Voorbeeld A (Percentage verandering berekenen):** De oorspronkelijke prijs en de nieuwe prijs zijn bekend, het percentage verandering is onbekend. * Voorbeeld: Een fiets kostte 500 euro, nu 420 euro. Hoeveel procent korting ging eraf? * Aanpak: Bereken het absolute verschil en zet dit om naar een percentage van de beginsituatie. * **Voorbeeld B (Eindsituatie berekenen na verandering):** De beginsituatie en de procentuele verandering zijn bekend, de eindsituatie is onbekend. * Voorbeeld: Een krant van 2,50 euro wordt 10% duurder. Hoeveel moet je nu betalen? * Aanpak: Bereken de toename en tel deze bij de beginsituatie op. * **Voorbeeld C (Beginsituatie berekenen na verandering):** De eindsituatie en de procentuele verandering zijn bekend, de beginsituatie is onbekend. * Voorbeeld: Een auto kost 20500 euro inclusief 25% BTW. Hoeveel kostte de auto zonder BTW? * Moeilijkheidsgraad: Dit is vaak het moeilijkste type probleem binnen de veranderingssituaties [18](#page=18). > **Tip:** Veranderingssituaties zijn over het algemeen moeilijker te begrijpen dan deel-geheelsituaties. Het berekenen van de beginsituatie of het terugkeren naar de oorspronkelijke waarde is complexer dan het opsporen van het deel of het percentage. Houd hier rekening mee bij het didactisch opbouwen van de lesstof [18](#page=18). > **Voorbeeld:** Bij het oplossen van opeenvolgende kortingen mag je de percentages niet zomaar optellen. Een korting van 60% gevolgd door 40% is niet gelijk aan 100% korting, omdat de tweede korting berekend wordt over het reeds gereduceerde bedrag [18](#page=18). --- # Omzetten van procenten naar breuken en kommagetallen Het is cruciaal om de gelijkwaardigheid tussen procenten, breuken en kommagetallen te begrijpen en deze vlot te kunnen omzetten. Dit onderdeel richt zich op deze omzettingen en hoe deze concepten met elkaar verbonden zijn [10](#page=10). ### 3.1 Basisprincipes van procentuele omzettingen Procenten kunnen worden uitgedrukt als breuken met een noemer van 100, en vervolgens vereenvoudigd tot de eenvoudigste breuk. Deze breuken kunnen vervolgens worden omgezet naar kommagetallen [10](#page=10). ### 3.2 Voorbeeld: 60% omzetten Om de omzetting te illustreren, nemen we 60% als voorbeeld. Dit kan op de volgende manieren worden weergegeven [10](#page=10): * **Percentage:** 60% [10](#page=10). * **Breuk met noemer 100:** $\frac{60}{100}$ [10](#page=10). * **Breuk met noemer 10:** $\frac{6}{10}$ [10](#page=10). * **Eenvoudigste breuk:** $\frac{3}{5}$ [10](#page=10). * **Kommagetal:** 0,6 [10](#page=10). Dit proces toont aan hoe een percentage kan worden herleid tot verschillende equivalente vormen. ### 3.3 Belangrijke percentages als parate kennis Er zijn specifieke percentages die leerlingen als parate kennis zouden moeten beheersen. Het is nuttig om deze percentages te memoriseren, samen met hun breuk- en kommagetalvormen, om sneller te kunnen rekenen [10](#page=10). > **Tip:** Oefen regelmatig met het omzetten van verschillende percentages om vertrouwd te raken met de procedure. Gebruik hierbij zowel de methoden die direct een breuk met noemer 100 opleveren, als het vereenvoudigen naar de kleinste breuk. > **Voorbeeld:** Laten we 25% omzetten. > * Percentage: 25% > * Breuk met noemer 100: $\frac{25}{100}$ > * Eenvoudigste breuk: $\frac{1}{4}$ > * Kommagetal: 0,25 --- # Procentberekening met behulp van een zakrekenmachine Dit onderdeel behandelt hoe een zakrekenmachine (ZRM) gebruikt kan worden voor procentberekeningen, met een focus op het schatten van resultaten en het kritisch beoordelen van de uitkomsten [19](#page=19). ### Het belang van schatten en kritische controle Het doel is dat leerlingen niet blindelings vertrouwen op de zakrekenmachine, maar ook leren schatten en de verkregen resultaten kritisch controleren. Dit proces stimuleert een dieper begrip van procentberekeningen [19](#page=19). > **Tip:** Gebruik noteerstroken om leerlingen te helpen de stappen van de berekening op de zakrekenmachine te volgen en te begrijpen wat er op het display verschijnt [19](#page=19). ### Werkwijze met de zakrekenmachine De berekening van een percentage, bijvoorbeeld 10% van 200, kan als volgt worden uitgevoerd: 1. **Schatten:** Laat leerlingen eerst een schatting maken van het resultaat [19](#page=19). 2. **Intypen:** Voer de berekening in op de zakrekenmachine. 3. **Resultaat:** Het display toont het uiteindelijke antwoord. Een typisch schema voor op het bord, zoals dat ook in werkboeken wordt gebruikt, ziet er als volgt uit: * **Ik toets in...** * `200 x 10 %` * **Ik zie...** * `200` * `200` * `10` * `20` Dit schema visualiseert de invoer en de verschillende waarden die tijdens de berekening op het display verschijnen [19](#page=19). ### Oefenen en bespreken Na de introductie van de methode, wordt aangeraden leerlingen individueel enkele oefeningen te laten maken. Vervolgens worden de schattingen en de uiteindelijke resultaten klassikaal besproken om het begrip te versterken en eventuele misvattingen te corrigeren [19](#page=19). ### Extra oefenmateriaal Voor aanvullende oefeningen en de bijbehorende correctiesleutel kan verwezen worden naar Toledo, in het specifieke hoofdstuk over percenten [19](#page=19). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Procent | Een procent (of percentage) is een honderdste deel van een geheel, uitgedrukt als een fractie van 100. Het wordt vaak gebruikt om verhoudingen, kortingen, toenames of afnames te beschrijven. | | Honderdveld | Een honderdveld is een visueel hulpmiddel, meestal een raster van 10x10 vakjes, dat gebruikt wordt om procenten te introduceren en te visualiseren, waarbij elk vakje 1% vertegenwoordigt. | | MAB-materiaal | MAB-materiaal (Materiaal voor Abstracte enconcrete Benadering) zijn bouwstenen, vaak kubussen of blokken, die gebruikt worden om wiskundige begrippen, waaronder procenten, concreet te maken voor leerlingen. | | Procentmeter | Een procentmeter is een hulpmiddel, vaak een elastiek met markeringen, dat gebruikt wordt om procenten af te lezen en inzicht te geven in procentuele verhoudingen op een lijn van 0% tot 100%. | | Operator | In de context van procenten fungeert een procent als een operator wanneer het wordt toegepast op een hoeveelheid om een deel van die hoeveelheid te berekenen, zoals bij kortingen of renteberekeningen. | | Verhouding | Een procent kan een verhouding uitdrukken, wat het vergelijken van verschillende hoeveelheden of scores mogelijk maakt door ze te standaardiseren naar een percentage. | | Deel-geheel | Dit verwijst naar een relatie waarbij een percentage een specifiek deel vertegenwoordigt van een groter geheel, zoals een fractie of een mengsel. | | Geheel plus of min deel | Dit type situatie beschrijft veranderingsprocessen, zoals prijsstijgingen of -dalingen, bevolkingsgroei of -afname, waarbij procenten de mate van toename of afname ten opzichte van een beginsituatie aangeven. | | Vakdidactiek | Vakdidactiek is de wetenschap van het onderwijzen van een specifiek vak, in dit geval wiskunde, en omvat de studie van de leerprocessen, lesmethoden en leerstrategieën die relevant zijn voor dat vak. | | Verhoudingstabel | Een verhoudingstabel is een grafische weergave die wordt gebruikt om relaties tussen verschillende grootheden te tonen en om berekeningen met verhoudingen, inclusief die met procenten, te vergemakkelijken. | | Dubbele getallenlijn | Een dubbele getallenlijn is een visueel hulpmiddel dat twee gerelateerde schalen naast elkaar toont, vaak gebruikt om procentuele verhoudingen en hun equivalenten, zoals breuken of decimale getallen, te illustreren. |