Signalen_en_Systemen_Ch3_lesdocument_67-115.pdf

# De inverse Laplace-transformatie De inverse Laplace-transformatie stelt ons in staat om signalen vanuit het s-domein terug te reconstrueren naar het tijdsdomein [1](#page=1) [2](#page=2). ### 1.1 Methoden voor inverse transformatie Er worden drie primaire methoden besproken voor het uitvoeren van de inverse Laplace-transformatie [1](#page=1). #### 1.1.1 De integrale formule Een fundamentele methode is het evalueren van een lijnintegraal in het complexe s-vlak. Gegeven een functie $X(s)$ met een Region of Convergence (ROC) $\sigma_1 < Re(s) < \sigma_2$, kan het oorspronkelijke signaal $x(t)$ worden gereconstrueerd met de formule [1](#page=1): $$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma_0 - j\infty}^{\sigma_0 + j\infty} X(s) e^{st} ds$$ waarbij $\sigma_0$ een waarde is zodanig dat $\sigma_1 < \sigma_0 < \sigma_2$ [1](#page=1). #### 1.1.2 Gebruik van tabellen van Laplace-transformatie-paren Een praktischere benadering is het benutten van reeds bekende Laplace-transformatie-paren. Als $X(s)$ kan worden uitgedrukt als een som van functies waarvan de Laplace-transformatie bekend is, kan de inverse transformatie ook via lineariteit worden toegepast [1](#page=1). $$X(s) = X_1(s) + \dots + X_n(s)$$ waarbij de inverse transformatie dan is: $$x(t) = x_1(t) + \dots + x_n(t)$$ #### 1.1.3 De methode van partieelbreuken Wanneer $X(s)$ een rationale functie is, kan deze worden opgesplitst in partieelbreuken om de inverse transformatie te vergemaklijken. Deze methode kent twee hoofdgevallen: eigenlijke breuken en oneigenlijke breuken [2](#page=2) [8](#page=8). ##### 1.1.3.1 Eigenlijke of echte breuken Bij een eigenlijke breuk is de graad van de teller kleiner dan de graad van de noemer [2](#page=2). * **Enkelvoudige polen:** Als alle polen van $X(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$ enkelvoudig zijn, kan $X(s)$ worden geschreven als een som van termen van de vorm $\frac{c_k}{s - p_k}$. De coëfficiënten $c_k$ kunnen worden bepaald met de "methode van de onbekende coëfficiënten" of met de volgende formule [2](#page=2): $$c_k = (s - p_k)X(s) \Big|_{s=p_k}$$ [2](#page=2) [3](#page=3). **Voorbeeld:** > Gegeven is $X(s) = \frac{2s + 4}{s^2 + 4s + 3}$ met $Re(s) > -1$ [2](#page=2) [3](#page=3). > We kunnen dit herschrijven als: > $$X(s) = \frac{2s + 4}{(s + 1)(s + 3)}$$ [3](#page=3). > De partieelbreukopslag is: > $$X(s) = \frac{c_1}{s + 1} + \frac{c_2}{s + 3}$$ [3](#page=3) [4](#page=4). > Door de coëfficiënten te berekenen, vinden we: > $$X(s) = \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{s + 3}$$ [4](#page=4). > De inverse transformatie is dan: > $$x(t) = e^{-t} + e^{-3t}$$ voor $t \ge 0$ [4](#page=4). * **Meervoudige polen:** Als $X(s)$ meervoudige polen bevat, worden er extra termen van de vorm $\frac{\lambda_i}{(s - p_i)^k}$ toegevoegd aan de partieelbreukopslag, tot aan de orde $r$ van de meervoudige pool. De algemene vorm voor een meervoudige pool $p_i$ van orde $r$ is [4](#page=4) [5](#page=5): $$\frac{\lambda_1}{s - p_i} + \frac{\lambda_2}{(s - p_i)^2} + \dots + \frac{\lambda_r}{(s - p_i)^r}$$ [5](#page=5). De coëfficiënten $\lambda_{r-k}$ kunnen worden bepaald met de "methode van de onbekende coëfficiënten" of via de volgende algemene formule voor $\lambda_{r-k}$: $$\lambda_{r-k} = \frac{1}{k!} \frac{d^k}{ds^k} \left[ (s - p_i)^r X(s) \right \Big|_{s=p_i}$$ [5](#page=5). **Voorbeeld:** > Gegeven is $X(s) = \frac{s^2 + 2s + 5}{(s + 3)(s + 5)^2}$ met $Re(s) > -3$ [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7). > De partieelbreukopslag is: > $$X(s) = \frac{C_1}{s + 3} + \frac{\lambda_1}{s + 5} + \frac{\lambda_2}{(s + 5)^2}$$ [6](#page=6) [7](#page=7). > Na berekening van de coëfficiënten vinden we: > $$X(s) = \frac{2}{s + 3} - \frac{1}{s + 5} - \frac{10}{(s + 5)^2}$$ [7](#page=7). > De inverse transformatie is dan: > $$x(t) = 2e^{-3t} - e^{-5t} - 10te^{-5t}$$ voor $t \ge 0$ [7](#page=7). ##### 1.1.3.2 Oneigenlijke of onechte breuken Als de graad van de teller ($m$) groter of gelijk is aan de graad van de noemer ($n$) in $X(s) = \frac{N(s)}{D(s)}$, is de breuk oneigenlijk. In dit geval wordt $X(s)$ eerst gesplitst in een polynoom deel $Q(s)$ en een eigenlijke breuk $\frac{R(s)}{D(s)}$ door middel van polynoomdeling [8](#page=8). $$X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = Q(s) + \frac{R(s)}{D(s)}$$ waarbij $Q(s)$ een polynoom is met graad $m-n$, en $\frac{R(s)}{D(s)}$ een eigenlijke breuk is met graad van $R(s)$ kleiner dan graad van $D(s)$ [8](#page=8). **Voorbeeld:** > Gegeven is $X(s) = \frac{s^3 + 2s^2 + 6s}{s(s+3)}$ met $Re(s) > 0$ [8](#page=8) [9](#page=9). > Na polynoomdeling verkrijgen we: > $$X(s) = s - 1 + \frac{3s + 6}{s(s+3)}$$ [9](#page=9). > Het deel $\frac{3s + 6}{s(s+3)}$ is een eigenlijke breuk en kan verder worden opgesplitst in partieelbreuken. De inverse transformatie van $s-1$ is $\delta'(t) - \delta(t)$ (met de Dirac-delta functie en zijn afgeleide). > **Tip:** Bij het toepassen van de methode van partieelbreuken is het cruciaal om de aard van de polen (enkelvoudig of meervoudig) correct te identificeren om de juiste vorm van de partieelbreukopslag te hanteren [4](#page=4) [5](#page=5). --- # De systeemfunctie en karakterisatie van LTI-systemen Dit deel introduceert de systeemfunctie (ook wel transferfunctie genoemd) en hoe deze gebruikt kan worden om lineaire tijdsinvariante (LTI) systemen te karakteriseren, inclusief de relatie met causaliteit en stabiliteit [10](#page=10). ### 2.1 De systeemfunctie De systeemfunctie, ook wel transferfunctie of overdrachtsfunctie genoemd, is een concept dat de relatie tussen de input en output van een LTI-systeem beschrijft. In het tijdsdomein wordt deze relatie weergegeven door convolutie: $y(t) = x(t) * h(t)$, waarbij $h(t)$ de impulsrespons van het systeem is [10](#page=10). In het s-domein (Laplace-transformatie) wordt deze relatie een eenvoudige vermenigvuldiging: $Y(s) = X(s) H(s)$, waarbij $H(s)$ de systeemfunctie is. Dit leidt tot de definitie van de systeemfunctie als de verhouding van de Laplace-getransformeerde output tot de Laplace-getransformeerde input, onder de aanname dat de initiële condities nul zijn [10](#page=10): $$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$ [10](#page=10) [13](#page=13). De systeemfunctie $H(s)$ is een rationale functie die uitgedrukt kan worden als een breuk van polynomen in $s$: $$H(s) = \frac{b_M s^M + b_{M-1} s^{M-1} + \dots + b_1 s + b_0}{a_N s^N + a_{N-1} s^{N-1} + \dots + a_1 s + a_0}$$ [13](#page=13). Deze functie heeft $M$ nullen (de waarden van $s$ waarvoor $H(s) = 0$) en $N$ polen (de waarden van $s$ waarvoor $H(s)$ oneindig wordt). Het convergentiegebied (ROC - Region of Convergence) van $H(s)$ moet afgeleid worden uit extra systeemvereisten zoals causaliteit [13](#page=13). > **Tip:** De systeemfunctie $H(s)$ biedt een krachtige manier om de eigenschappen van LTI-systemen te analyseren in het s-domein, wat vaak eenvoudiger is dan in het tijdsdomein. ### 2.2 Karakterisatie van LTI-systemen met de systeemfunctie De systeemfunctie $H(s)$ kan gebruikt worden om belangrijke eigenschappen van LTI-systemen te bepalen, zoals causaliteit en stabiliteit [10](#page=10) [11](#page=11). #### 2.2.1 Causaliteit Een systeem is causaal als de output $y(t_0)$ op een bepaald tijdstip alleen afhangt van de input voor tijden $t \le t_0$. Voor een causaal LTI-systeem geldt dat de impulsrespons $h(t) = 0$ voor alle $t < 0$. De bijbehorende ROC van de systeemfunctie $H(s)$ moet van de vorm $\text{Re}(s) > \sigma_{\max}$ zijn [11](#page=11). #### 2.2.2 Stabiliteit Een systeem is stabiel (BIBO - Bounded Input, Bounded Output) als een eindige input resulteert in een eindige output. Dit is equivalent aan het vereiste dat de impulsresponsie van het systeem absoluut integreerbaar is [11](#page=11): $$ \int_{-\infty}^{\infty} |h(\tau)| d\tau < \infty $$ [11](#page=11). Voor de stabiliteit van een LTI-systeem moet het convergentiegebied (ROC) van de systeemfunctie $H(s)$ de imaginaire as (jω-as) bevatten [11](#page=11). #### 2.2.3 Causaliteit en Stabiliteit tezamen Een systeem dat zowel stabiel als causaal is, heeft een ROC van de vorm $\text{Re}(s) > \sigma_{\max}$, waarbij $\sigma_{\max} < 0$. Dit betekent dat alle polen van de systeemfunctie in het linkerhalfvlak liggen [12](#page=12). ### 2.3 Systeemfunctie van LTI-systemen beschreven door lineaire DV-vergelijkingen met constante coëfficiënten Dynamische LTI-systemen in continue tijd worden vaak beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. De algemene vorm van zo'n vergelijking is: $$ a_N \frac{d^N y(t)}{dt^N} + \dots + a_1 \frac{dy(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_M \frac{d^M x(t)}{dt^M} + \dots + b_1 \frac{dx(t)}{dt} + b_0 x(t) $$ [12](#page=12) [13](#page=13). Hierin representeren de termen aan de linkerkant de respons en haar afgeleiden, en de termen aan de rechterkant de excitatie en haar afgeleiden. Door de Laplace-transformatie toe te passen op deze vergelijking (met nul initiële condities), kan de systeemfunctie $H(s)$ worden afgeleid als de verhouding van de getransformeerde output aan de getransformeerde input [12](#page=12) [13](#page=13): $$H(s) = \frac{b_M s^M + \dots + b_1 s + b_0}{a_N s^N + \dots + a_1 s + a_0}$$ [12](#page=12) [13](#page=13). > **Voorbeeld:** Beschouw het causale LTI-systeem gedefinieerd door de differentiaalvergelijking: > $ \frac{dy(t)}{dt} + 4y(t) = 2x(t) $ [14](#page=14). > > 1. **Systeemfunctie:** Door de Laplace-transformatie toe te passen, krijgen we $sY(s) + 4Y(s) = 2X(s)$. Dus, $H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{2}{s+4}$. Het ROC voor dit causale systeem is $\text{Re}(s) > -4$ [14](#page=14). > 2. **Impulsrespons:** De inverse Laplace-transformatie van $H(s)$ geeft de impulsresponsie: $h(t) = 2e^{-4t}u(t)$ [14](#page=14). > 3. **Stapantwoord:** De input is $x(t) = u(t)$, dus $X(s) = \frac{1}{s}$. De output in het s-domein is $Y(s) = H(s)X(s) = \frac{2}{s+4} \cdot \frac{1}{s}$. Door partiële breuksplitsing kan de inverse Laplace-transformatie worden gevonden om het stapantwoord te verkrijgen. ### 2.4 Interconnectie van systemen De systeemfunctie maakt het ook mogelijk om de totale systeemfunctie van gecombineerde systemen te bepalen [15](#page=15) [16](#page=16). #### 2.4.1 Gecascadeerde systemen Bij systemen die in serie geschakeld zijn (gecasadeerd), is de totale systeemfunctie het product van de individuele systeemfuncties: $$H_{\text{totaal}}(s) = H_1(s) H_2(s) \dots H_n(s)$$ [15](#page=15). #### 2.4.2 Parallelle systemen Bij systemen die parallel geschakeld zijn, wordt de totale systeemfunctie verkregen door de individuele systeemfuncties op te tellen: $$H_{\text{totaal}}(s) = H_1(s) + H_2(s) + \dots + H_n(s)$$ [15](#page=15). #### 2.4.3 Systeem met feedback Voor een systeem met feedback, zoals weergegeven in figuur met een controller $C(s)$, een systeem $H(s)$ en een sensor $\beta(s)$, kan de systeemfunctie worden afgeleid. Als de forward path systeemfunctie $F(s)$ en de feedback path systeemfunctie $B(s)$ worden gedefinieerd, dan is de systeemfunctie van het totale feedback systeem [16](#page=16): $$H_{\text{feedback}}(s) = \frac{F(s)}{1 + F(s)B(s)}$$ [16](#page=16). > **Tip:** Bij feedback systemen is het belangrijk om de verschillende paden correct te identificeren om de algemene systeemfunctie nauwkeurig te kunnen berekenen. --- # De unilaterale Laplace-transformatie Deze sectie introduceert de unilaterale Laplace-transformatie, legt de definitie en basiseigenschappen uit, benadrukt de verschillen met de bilaterale transformatie, en past deze toe op het analyseren van elektrische circuits. ### 3.1 Definitie De unilaterale (of eenzijdige) Laplace-transformatie van een functie $x(t)$ wordt gedefinieerd als: $$X_u(s) = \mathcal{L}_u\{x(t)\} = \int_{0^{-}}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$ [ ](#page=17) [17](#page=17). In tegenstelling tot de bilaterale Laplace-transformatie, die integreert van $-\infty$ tot $\infty$: $$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$ [ ](#page=17) [17](#page=17). De unilaterale transformatie heeft een integratieondergrens van $0^{-}$, wat essentieel is om de Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ en haar afgeleiden toe te laten. Ze negeert $x(t)$ voor alle $t < 0$ [17](#page=17). Als $x(t)$ een rechtshandig signaal is, gedefinieerd als $x(t)u(t)$ (waarbij $u(t)$ de Heaviside step-functie is), dan is de unilaterale Laplace-transformatie gelijk aan de bilaterale. Wanneer $x(t)$ echter niet gelijk is aan $x(t)u(t)$, zullen de twee transformaties verschillen. Voor rechtshandige functies is het convergentiegebied (ROC) van de unilaterale transformatie Re(s) > $\sigma_{max}$ [17](#page=17). ### 3.2 Basiseigenschappen De meeste eigenschappen en Laplace-paren van de unilaterale transformatie zijn dezelfde als die voor rechtshandige functies. De cruciale verschillen treden op bij de differentiatie en integratie in het tijdsdomein [18](#page=18). #### 3.2.1 Differentiatie in het tijdsdomein Bij differentiatie in het tijdsdomein introduceert de unilaterale Laplace-transformatie een extra term die gerelateerd is aan de beginwaarde van de functie op $t=0^{-}$ [18](#page=18). | Functie in t-domein | Bilaterale Laplace-transformatie | Unilaterale Laplace-transformatie | | :------------------ | :------------------------------- | :-------------------------------- | | $x(t)$ | $X(s)$ | $X_u(s)$ | | $\frac{dx(t)}{dt}$ | $sX(s)$ | $sX_u(s) - x(0^{-})$ | [ ](#page=18) [18](#page=18). #### 3.2.2 Integratie in het tijdsdomein Bij integratie introduceert de unilaterale transformatie een term die gerelateerd is aan de integraal van de functie vanaf $0^{-}$ tot $t$, gedeeld door $s$ [18](#page=18). | Functie in t-domein | Bilaterale Laplace-transformatie | Unilaterale Laplace-transformatie | | :------------------------------- | :------------------------------- | :-------------------------------- | | $x(t)$ | $X(s)$ | $X_u(s)$ | | $\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau$ | $\frac{1}{s}X(s)$ | $\frac{1}{s}X_u(s) - \frac{1}{s}\int_{-\infty}^{0^{-}} x(\tau) d\tau$ | | $\int_{0^{-}}^{t} x(\tau) d\tau$ | | $\frac{1}{s}X_u(s)$ | [ ](#page=18) [18](#page=18). **Voorbeeld:** Beschouw de spanning over een condensator $v_c(t)$ in een RC-circuit met een ingangsspanning $v_s(t)$ [19](#page=19). De differentiaalvergelijking is: $$ \frac{dv_c}{dt} + \frac{1}{RC}v_c(t) = \frac{1}{RC}v_s(t) $$ [ ](#page=19) [19](#page=19). Wanneer de ingangsspanning op $t=0$ wordt ingeschakeld en constant is gelijk aan $V_{in}$, en de condensator initieel is opgeladen tot $V_0$ Volt: De Laplace-getransformeerde vergelijking wordt: $$ sV_{c,u}(s) - v_c(0^{-}) + \frac{1}{RC}V_{c,u}(s) = \frac{1}{RC}V_{in} $$ [ ](#page=21) [21](#page=21). Met $v_c(0^{-}) = V_0$ en $v_s(t) = V_{in}u(t)$, wordt de uitkomst in het s-domein: $$ V_{c,u}(s) = \frac{V_0}{s + \frac{1}{RC}} + \frac{V_{in}}{RC \cdot s(s + \frac{1}{RC})} $$ [ ](#page=20) [20](#page=20). Na partiële breuksplitsing en inverse transformatie, verkrijgen we $v_c(t)$: $$ v_c(t) = V_{in}u(t) + (V_0 - V_{in})e^{-\frac{1}{RC}t}u(t) $$ [ ](#page=20) [20](#page=20). > **Tip:** Let op de notatie $v_c(0^{-})$ die de waarde net voor $t=0$ aangeeft, essentieel voor de unilaterale transformatie. ### 3.3 Systeemfunctie Voor een lineair tijdinvariant (LTI) systeem, wordt de relatie tussen de uitgang $Y(s)$ en ingang $X(s)$ in het s-domein gegeven door de systeemfunctie $H(s)$: $$ Y_u(s) = X_u(s) \cdot H(s) $$ [ ](#page=21) [21](#page=21). De systeemfunctie, ook wel transferfunctie of overdrachtsfunctie genoemd, is gedefinieerd als de verhouding van de uitgangstransformatie tot de ingangstransformatie: $$ H(s) = \frac{Y_u(s)}{X_u(s)} $$ [ ](#page=21) [21](#page=21). > **Opm.:** Bij de unilaterale Laplace-transformatie wordt $H(s)$ gedefinieerd wanneer alle beginvoorwaarden gelijk zijn aan nul [21](#page=21). ### 3.4 Laplace circuitequivalent De unilaterale Laplace-transformatie maakt het mogelijk om elektrische circuits te analyseren door de differentiaalvergelijkingen te vervangen door algebraïsche vergelijkingen in het s-domein. Dit resulteert in een "Laplace circuitequivalent", waarbij bronnen en componenten worden getransformeerd naar hun s-domein equivalenten [22](#page=22). #### 3.4.1 Transformatie van signaalbronnen * **Spanningsbron:** Een spanningsbron $v(t)$ in het t-domein wordt een spanningsbron $V(s)$ in het s-domein [22](#page=22). * **Stroombron:** Een stroombron $i(t)$ in het t-domein wordt een stroombron $I(s)$ in het s-domein [22](#page=22). #### 3.4.2 Transformatie van componenten * **Weerstand:** Een weerstand $R$ heeft dezelfde waarde $R$ in zowel het t-domein als het s-domein, met de relatie $V(s) = R \cdot I(s)$ [23](#page=23). * **Spoel:** Een spoel met inductie $L$ wordt in het s-domein een impedantie van $sL$. De spanningsrelatie is $V(s) = sL \cdot I(s) - L i(0^{-})$. Hierbij is $i(0^{-})$ de beginstroom door de spoel, wat de 'beginvoorwaarde' vertegenwoordigt [23](#page=23). * **Condensator:** Een condensator met capaciteit $C$ wordt in het s-domein een impedantie van $\frac{1}{sC}$. De spanningsrelatie is $V(s) = \frac{1}{sC} \cdot I(s) + \frac{v(0^{-})}{s}$. Hierbij is $v(0^{-})$ de beginspanning over de condensator, wat de 'beginvoorwaarde' vertegenwoordigt [24](#page=24). #### 3.4.3 Wetten in het s-domein De Wetten van Kirchhoff gelden ook in het s-domein: * **Spanningswet van Kirchhoff:** De som van de spanningen over een gesloten lus is nul: $\sum V_n(s) = 0$ [24](#page=24). * **Stroomwet van Kirchhoff:** De som van de stromen die een knooppunt binnenkomen is gelijk aan de som van de stromen die het knooppunt verlaten: $\sum I_{in}(s) = \sum I_{uit}(s)$ [24](#page=24). Door deze transformaties kan een elektrisch circuit worden geanalyseerd door simpelweg de analoge circuitcomponenten in het s-domein te gebruiken, vergelijkbaar met hoe weerstanden, spanningsbronnen en stroombronnen worden behandeld. Dit maakt de analyse van complexe circuits, met name met betrekking tot de respons op initiële condities, aanzienlijk vereenvoudigd [22](#page=22). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Inverse Laplace-transformatie | De inverse Laplace-transformatie is een lineaire operator die een functie van het s-domein terug transformeert naar het tijdsdomein. Het stelt ons in staat om een signaal $x(t)$ te reconstrueren uit zijn Laplace-getransformeerde vorm $X(s)$. | | S-vlak | Het complexe vlak waarin de Laplace-transformatie van een signaal wordt weergegeven, met de reële as ($\sigma$) en de imaginaire as ($j\omega$). Lijnintegralen in dit vlak worden gebruikt voor de inversie. | | Region of Convergence (ROC) | Het gebied in het s-vlak waarvoor de Laplace-transformatie van een signaal convergeert. De ROC is essentieel voor het bepalen van de uniciteit van de inverse transformatie en voor het karakteriseren van systeem eigenschappen. | | Partieelbreuksplitsing | Een wiskundige techniek om een rationale functie te ontbinden in een som van eenvoudigere breuken. Dit wordt vaak gebruikt bij de inverse Laplace-transformatie om complexe uitdrukkingen te vereenvoudigen. | | Pool | Een waarde van $s$ waarvoor de noemer van een rationale functie gelijk is aan nul, waardoor de functie naar oneindig gaat. Polenniveaus (enkelvoudig, meervoudig) bepalen de vorm van de termen in de partieelbreuksplitsing. | | Systeemfunctie (Transferfunctie) | De verhouding van de Laplace-transformatie van de output $Y(s)$ tot de Laplace-transformatie van de input $X(s)$ van een lineair tijdinvariant (LTI) systeem, aangenomen dat alle beginvoorwaarden nul zijn. Het karakteriseert de dynamische eigenschappen van het systeem. | | Causaliteit | Een systeem is causaal als de output op een bepaald tijdstip alleen afhangt van de input op dat tijdstip of op eerdere tijdstippen. Voor LTI-systemen correleert dit met de ROC van de systeemfunctie. | | Stabiliteit (BIBO) | Een systeem is BIBO-stabiel (Bounded Input – Bounded Output) als een begrensde input altijd resulteert in een begrensde output. Voor LTI-systemen betekent dit dat de ROC van de systeemfunctie de j$\omega$-as moet bevatten. | | Impulsresponsie | De output van een systeem wanneer de input een Dirac-deltafunctie ($\delta(t)$) is. De Laplace-transformatie van de impulsresponsie is gelijk aan de systeemfunctie $H(s)$. | | Unilaterale Laplace-transformatie | Een variant van de Laplace-transformatie waarbij de integratie begint bij $t=0$. Deze transformatie is vooral nuttig voor het analyseren van systemen met beginvoorwaarden en voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen. | | Beginvoorwaarde | De waarde van een signaal of zijn afgeleiden op $t=0$. Bij de unilaterale Laplace-transformatie worden beginvoorwaarden expliciet meegenomen in de analyse van differentiaalvergelijkingen. | | Laplace circuitequivalent | Een methode om elektrische circuits in het s-domein te analyseren door componenten en bronnen te vervangen door hun Laplace-equivalente impedanties of transformaties, waardoor circuitanalyse vergelijkbaar wordt met analyse in het tijdsdomein. | | Impedantie | In het s-domein is impedantie de verhouding van de Laplace-transformatie van de spanning over een component tot de Laplace-transformatie van de stroom erdoorheen. Voor weerstanden, spoelen en condensatoren zijn dit $R$, $sL$ en $1/(sC)$ respectievelijk. |