revakicursus-samengevoegd.pdf

# Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideale veer en slinger ### Core idea * Mechanica bestudeert krachten en hun effecten, opgesplitst in statica (rust) en dynamica (beweging) [1](#page=1). * Dynamica kent kinematica (bewegingseigenschappen) en kinetica (oorzaken van beweging) [1](#page=1). * Beweging wordt geanalyseerd als lineair, angulair of algemeen [1](#page=1). ### Key facts * Beweging is relatief; een referentiestelsel is essentieel voor plaatsbepaling [4](#page=4). * Een vector is een grootheid met grootte, richting en zin; een scalair heeft enkel grootte [5](#page=5) [6](#page=6). * Vectorcomponenten zijn projecties op de assen van een coördinatenstelsel [6](#page=6). * De gemiddelde snelheid is de verplaatsing gedeeld door het tijdsinterval: $v_{gem} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$ [10](#page=10) [13](#page=13). * De ogenblikkelijke snelheid is de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd: $v = \frac{dr}{dt}$ [10](#page=10) [16](#page=16). * De versnelling is de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd: $a = \frac{dv}{dt}$ [11](#page=11) [18](#page=18). * De eenparig versnelde rechtlijnige beweging heeft een constante versnelling [21](#page=21). ### Key concepts * **Referentie-systeem:** Cruciaal voor het beschrijven van beweging [4](#page=4). * **Vectoren vs. Scalaren:** Verschil in definitie en rekenregels [5](#page=5) [6](#page=6). * **Snelheid:** Verplaatsing over tijd, kan gemiddeld of ogenblikkelijk zijn [10](#page=10) [13](#page=13). * **Versnelling:** Verandering van snelheid over tijd, kan gemiddeld of ogenblikkelijk zijn [11](#page=11) [18](#page=18). * **Hodograaf:** Fictieve baan van het snelheidspunt, nuttig voor het visualiseren van versnelling [12](#page=12). * **Eenparige rechtlijnige beweging:** Constante snelheid, nul versnelling [20](#page=20). * **Eenparig versnelde rechtlijnige beweging:** Constante versnelling [21](#page=21). ### Implications * Kinematische analyses beschrijven beweging zonder krachten, kinetische analyses betrekken krachten [1](#page=1). * De gemiddelde snelheid kan verschillen van de omgangstaal betekenis van "gemiddelde snelheid" (afgelegde weg) [14](#page=14). * In een (t,x)-grafiek is de gemiddelde snelheid de helling van de verbindingslijn, de ogenblikkelijke snelheid de helling van de raaklijn [17](#page=17). * In een (t,v)-grafiek is de versnelling de helling van de verbindingslijn of raaklijn [19](#page=19). * De projectielbeweging is een samenstelling van horizontale eenparige en verticale versnelde beweging [25](#page=25). - > **Tip:** Het begrijpen van het verschil tussen gemiddelde en ogenblikkelijke grootheden is essentieel voor correcte kinematische analyses - > **Tip:** Vectoren moeten altijd hun richting en zin behouden in berekeningen; scalaren kunnen direct gealgebreerd worden --- ## Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideale veer en slinger ### Fundamentele concepten * Mechanische energie is de som van kinetische energie (bewegingsenergie) en potentiële energie (energie van positie of toestand) [28](#page=28) [30](#page=30) [32](#page=32). * De wet van behoud van mechanische energie stelt dat de totale mechanische energie in een geïsoleerd systeem constant blijft, mits er geen externe, niet-conservatieve krachten werken [30](#page=30). ### Projectielbeweging met zwaartekracht * Een projectielbaan is symmetrisch parabolisch als de start- en landingshoogte gelijk zijn [28](#page=28) [32](#page=32). * De tijd van de opgaande beweging is gelijk aan de tijd van de neergaande beweging [28](#page=28). * De baanvergelijking is $y = (\tan \theta_0)x - \frac{g}{2(v_0 \cos \theta_0)^2}x^2$ [32](#page=32). * Een projectielbaan is asymmetrisch parabolisch als de start- en landingshoogte verschillen [29](#page=29) [32](#page=32). * De tijdsduur wordt beïnvloed door de verticale component van de beginsnelheid en de beginhoogte [30](#page=30). * Luchtweerstand, indien meegenomen, verkleint de reikwijdte en zorgt voor een optimale hoek kleiner dan 45 graden [30](#page=30). ### Rotaties en hoekkinematica * Hoekpositie $\theta$ wordt gedefinieerd door de booglengte $s$ gedeeld door de straal $r$ [33](#page=33). * Ogenblikkelijke hoeksnelheid $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ [34](#page=34). * Ogenblikkelijke hoekversnelling $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ [34](#page=34). * Lineaire snelheid $v_t = r\omega$ [36](#page=36). * Centripetale versnelling $a_n = r\omega^2$ [35](#page=35) [39](#page=39). * Tangentiële versnelling $a_t = r\alpha$ [36](#page=36) [39](#page=39). ### Krachten en Newton's wetten * De eerste wet van Newton (traagheidswet): $\sum \vec{F}_i = 0 \iff \vec{a} = 0$ [40](#page=40). * De tweede wet van Newton: $\sum \vec{F}_i = m\vec{a}$ [41](#page=41). * De derde wet van Newton (actie-reactie): $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ [42](#page=42). * Zwaartekracht (gewicht): $\vec{G} = m\vec{g}$ [43](#page=43). * Normaalkracht: de kracht loodrecht op een steunvlak [44](#page=44). * Spankracht: de kracht in een touw of kabel [45](#page=45). * Wrijvingskracht: statisch ($f_s \leq \mu_s N$) en kinetisch ($f_k = \mu_k N$) [47](#page=47). ### Elastische krachten * Een ideale veer volgt de wet van Hook: $F = -kx$, waarbij $k$ de veerconstante is [53](#page=53). * $k$ is uitgedrukt in N/m [53](#page=53). * Dit beschrijft een lineaire relatie tussen kracht en rek [53](#page=53). * In het menselijk lichaam en andere structuren kunnen de relaties tussen kracht en vervorming niet-lineair zijn [53](#page=53). --- ### Kernidee * De wet van behoud van mechanische energie stelt dat de totale mechanische energie (kinetische plus potentiële energie) constant blijft in een systeem waar alleen conservatieve krachten werken [76](#page=76). * Dit principe is toepasbaar op systemen zoals een ideale veer en een slinger, mits luchtweerstand en wrijving worden verwaarloosd. ### Kernfeiten * Wrijvingskrachten zijn niet-conservatief; de arbeid die ze verrichten is afhankelijk van de gevolgde weg en leidt tot energieverlies [73](#page=73). * Potentiële energie kan alleen gedefinieerd worden voor systemen met conservatieve krachten [75](#page=75). * De arbeid verricht door een conservatieve kracht is gelijk aan het verlies aan potentiële energie: $W_{AB} = -\Delta U$ [76](#page=76). * De totale arbeid op een object is gelijk aan de verandering in kinetische energie: $W_{totaal} = \Delta K$ [69](#page=69). * Voor conservatieve systemen is de totale mechanische energie $E = K + U$ constant [77](#page=77). ### Kernconcepten * **Conservatieve Krachten:** Krachten waarbij de arbeid tussen twee punten onafhankelijk is van de gevolgde weg, en de arbeid langs een gesloten cyclus nul is (bv. zwaartekracht, veerkracht) [72](#page=72). * **Niet-conservatieve Krachten:** Krachten waarbij de arbeid afhankelijk is van de gevolgde weg (bv. wrijvingskracht) [73](#page=73). * **Potentiële Energie ($U$):** Energie die een systeem bezit door de positie of toestand van zijn componenten; gerelateerd aan conservatieve krachten [73](#page=73). * Potentiële energie in een zwaartekrachtveld: $U = mgh$ [74](#page=74). * Potentiële energie van een veer: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ [77](#page=77). * **Kinetische Energie ($K$):** Energie van een object vanwege zijn beweging: $K = \frac{1}{2}mv^2$ [68](#page=68). * **Mechanische Energie ($E$):** De som van kinetische en potentiële energie: $E = K + U$ [77](#page=77). ### Toepassing op de ideale veer * Voor een ideaal systeem met een massa aan een veer op een wrijvingsloos horizontaal oppervlak is de kracht $F = -kx$ (Wet van Hooke) [77](#page=77). * De potentiële energie van de veer is $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$, waarbij de referentie $U =0$ is voor een ongespannen veer [77](#page=77). * Bij het loslaten van een uitgerekte veer ($x_m$) is de totale energie $E = K + U = 0 + \frac{1}{2}kx_m^2 = \frac{1}{2}kx_m^2$ [78](#page=78). * In de evenwichtspositie ($x=0$) is $E = K_{max} + 0 = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ [78](#page=78). * Gelijkstellen van energie geeft de maximale snelheid: $v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}}x_m$ [78](#page=78). ### Toepassing op de slinger * Voor kleine uitwijkhoeken $\theta$ (in radialen) is de terugroepende tangentiële kracht $F \approx -mg\theta$ [79](#page=79). * De booglengte is $x = l\theta$, dus de kracht kan geschreven worden als $F = -\frac{mg}{l}x$ [79](#page=79). * Dit is analoog aan de veerkracht met $k = \frac{mg}{l}$. * De maximale snelheid bij de evenwichtspositie wordt bepaald door behoud van mechanische energie: $\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgh_{max}$ [80](#page=80). * De maximale hoogte $h_{max}$ is gerelateerd aan de maximale uitwijking $x_m$ via $h_{max} = l(1-\cos\theta_m)$. Voor kleine hoeken is dit ongeveer $h_{max} \approx \frac{x_m^2}{2l}$ [79](#page=79). * Hieruit volgt $v_{max} = \sqrt{2gh_{max}} = \sqrt{2gl(1-\cos\theta_m)}$ [80](#page=80). --- ## Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideaal veer en slinger * De wet van behoud van mechanische energie is van toepassing op conservatieve systemen en stelt dat de totale mechanische energie ($E = K + U$) constant blijft [83](#page=83). * Voor niet-conservatieve systemen geldt de wet van behoud van totale energie, waarbij arbeid door niet-conservatieve krachten in rekening wordt gebracht ($ \Delta E_{totaal} = W_{niet-conservatief} $) [83](#page=83). ### Belangrijke begrippen en formules * **Arbeid door variabele kracht:** $ W = \int_a^b \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ [83](#page=83). * **Stelling van arbeid en energie:** $ W = \Delta K = K_f - K_i $ [83](#page=83). * Kinetische energie: $ K = \frac{1}{2}mv^2 $ [83](#page=83). * **Conservatieve kracht:** Arbeid is weg-onafhankelijk en arbeid over een gesloten cyclus is nul [83](#page=83). * **Potentiële energie ($U$):** Definieerbaar voor conservatieve krachten, bepaald op een constante na. $ U(r) - U(r_0) = -\int_{r_0}^r \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ [83](#page=83). * **Wet van behoud van mechanische energie:** $ E = K + U = \text{constant} $ (geldt voor conservatieve systemen) [83](#page=83). * **Wet van behoud van totale energie:** $ \Delta E_{totaal} = \Delta K + \Delta U = W_{\text{niet-conservatief}} $ [83](#page=83). * Voor wrijvingskrachten: $W_f < 0$ [83](#page=83). ### Toepassing in biomechanica (stappen vs. rennen) - **Stappen:** Kinetische en potentiële energie fluctueren uit fase; kinetische energie wordt omgezet in potentiële energie (snelheid neemt af) en vice versa. Potentiële energie is maximaal bij vol contact (gestrekt standbeen) * **Rennen:** Kinetische en potentiële energie fluctueren in fase; potentiële energie is minimaal bij vol contact (gebogen standbeen, veergedrag) [82](#page=82). ### Implicaties en nuances * De potentiële energie van het lichaamszwaartepunt bij rennen wordt beïnvloed door de 'veerwerking' van het been [82](#page=82). * De grondreactiekrachten bij gang/lopen/springen zijn uitwendig, maar hun relatie met $K$ en $U$ is complex omdat er geen duidelijke weg is waarover ze werken [84](#page=84). --- ## Kinetische energie bij gecombineerde translatie-rotatie beweging * Rollen wordt geanalyseerd als een combinatie van translatie van het massamiddelpunt en rotatie rond dit massamiddelpunt . * De kinetische energie van een rollend lichaam is de som van de zuivere rotatie-energie rond het massamiddelpunt en de translatie-kinetische energie van het massamiddelpunt . ### Sleutelconcepten * Kinetische energie van een roterend lichaam: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ . * Traagheidsmoment ($I$) is de inertieparameter voor rotatie . * Voor rollen zonder slippen is de snelheid van het massamiddelpunt gerelateerd aan de hoeksnelheid: $v = R\omega$ . * Kinetische energie bij rollen: $K_{rollen} = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ . * Traagheidsmoment van een cilinder om zijn as: $I_{MM, cil} = \frac{1}{2} MR^2$ . * Toepassing van mechanische energiebehoud op een rollende cilinder van hoogte $h$: $Mgh = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ . * Snelheid van een rollende cilinder: $v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ . ### Implicaties * Bij rollen is de translatiesnelheid lager dan bij glijden zonder rollen, omdat een deel van de potentiële energie omgezet wordt in rotatie-energie . * De dynamische analyse van rollende objecten kan via de wet van behoud van angulair moment worden uitgevoerd, wat leidt tot vergelijkbare resultaten als energiebeschouwingen . ### Voorbeeld * Berekening van de snelheid van een cilinder die van een helling rolt met behulp van energietheorie . * Berekening van de snelheid van een rollende cilinder met dynamische methoden (krachtmoment en Newton's tweede wet) . --- ### Invloed van de patella op de kniefunctie * De patella functioneert primair als een katrol, waardoor de kracht van de quadriceps van richting verandert . * De patella vergroot de hoek tussen de quadriceps en de tibia, wat leidt tot een groter draaimoment . * Een grotere hoek van de patella vergroot de roterende component van de spierkracht ten opzichte van de stabiliserende component . * **Voorbeeld:** Een patella vergroot de roterende component van de quadricepskracht en vermindert de compressie op het kniegewricht . * Met patella: $F_{spier} = 1330$ N, $F_{stabiliserend} = 1060$ N . * Zonder patella: $F_{spier} = 2740$ N, $F_{stabiliserend} = 2620$ N . ### Evenwicht van parallelle krachten in biomechanica * **Voorbeeld 1:** Een persoon in evenwicht met zwaartekracht en normaalkracht . * Bij verandering van houding zijn er vier krachten: normaalkracht, zwaartekracht vrije been, zwaartekracht standbeen, zwaartekracht bovenlichaam . * Evenwicht rond het zwaartepunt: $x_1 W_{fl} + x_2 W_{sl} + x_3 W_{ub} = 0$ (relatief aan een punt) . * **Voorbeeld 2:** Kracht van de biceps en reactiekracht in het ellebooggewricht bij horizontale onderarm . * Translatie evenwicht: $F_r + F_{sp} - W = 0$ . * Rotatie evenwicht rond draaipunt O: $a F_{sp} - b W = 0$ . * **Voorbeeld:** $a=4$ cm, $b=15$ cm, $W=20$ N $\implies F_{sp} = 75$ N, $F_r = -55$ N . * Een negatieve reactiekracht duidt op een neerwaartse gerichtheid . ### Krachten in het heupgewricht bij steunen op één been * Om in evenwicht te blijven moet het zwaartepunt verticaal boven het steunpunt geplaatst worden . * Een deelsysteem (voet, onderbeen, dijbeen) wordt gebruikt om krachten te bepalen . * Belangrijke krachten: normaalkracht grond, zwaartekracht steunbeen, spierkracht abductors, reactiekracht heupgewricht . * **Voorbeeld:** Een persoon van 890 N steunt op één been . * $F_{sp}$ (abductors) maakt een hoek van 71° met horizontaal . * $N = 890$ N, $W_b = 138$ N . * Evenwichtsvergelijkingen worden opgesteld met krachten en momentarmen . * Resultaat: Heupkop draagt een kracht van 2075 N onder een hoek van 78° met horizontaal, neerwaarts gericht . ### Krachten bij vooroverbuigen van de romp * Erector spinae spieren werken de zwaartekracht tegen om de romp rechtop te houden . * Grotere voorwaartse buiging vereist grotere spierkracht . * **Voorbeeld:** Romp gebogen 45° met verticale richting, persoon weegt 890 N . ### Opmerkingen over lage rugpijn --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Term | Definitie | | Mechanica | De studie van krachten en hun effecten op lichamen, onderverdeeld in statica (lichamen in rust) en dynamica (lichamen in beweging). | | Biomechanica | De toepassing van mechanische principes op biologische systemen, zoals de beweging van mens en dier. | | Statica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met lichamen in rust of in evenwicht onder invloed van krachten. | | Dynamica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met de studie van bewegende lichamen. | | Kinematica | De studie van de eigenschappen van beweging, zonder rekening te houden met de oorzaken ervan; beschrijft de geometrische aspecten van beweging. | | Kinetica | De studie van de krachten die beweging veroorzaken; houdt rekening met de effecten van krachten en krachtmomenten. | | Lineaire beweging (Translatie) | Beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde afstand afleggen in dezelfde tijd en richting. | | Angulaire beweging (Rotatie) | Beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde hoek bewegen in een bepaald tijdsinterval, rond een rotatie-as. | | Algemene beweging | Een beweging waarbij translatie en rotatie simultaan optreden. | | Referentiestelsel | Een gekozen systeem (bijvoorbeeld een assenstelsel) ten opzichte waarvan de plaats en beweging van een object worden beschreven; beweging is relatief ten opzichte van een referentiestelsel. | | Plaatsvector | Een vector die de positie van een punt ten opzichte van een oorsprong aangeeft, voorgesteld door een pijl. | | Verplaatsingsvector | Een vector die de verandering in positie van een punt van een beginpunt naar een eindpunt beschrijft. |