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# Introduzione alle sommatorie e proprietà Questo argomento introduce il concetto di sommatoria, la sua notazione e le proprietà fondamentali, inclusi esempi di applicazione [1](#page=1). ### 1.1 Definizione di sommatoria La sommatoria è una notazione compatta utilizzata per esprimere la somma di una sequenza di termini [1](#page=1). #### 1.1.1 Notazione standard Dati $X_1, X_2, \dots, X_n$, la sommatoria è scritta come: $$ \sum_{i=1}^{n} X_i $$ Questa notazione si legge come "sommatoria di $X_i$ per $i$ che va da 1 a $n$" . Essa rappresenta la somma [1](#page=1): $$ X_1 + X_2 + \dots + X_n $$ #### 1.1.2 Notazione generale Più in generale, dati $n_0$ e $n_1$ tali che $n_0 \le n_1$ e $X_i \in \mathbb{R}$ per ogni $i$, la sommatoria è espressa come: $$ \sum_{i=n_0}^{n_1} X_i $$ Questa notazione indica la somma: $$ X_{n_0} + X_{n_0+1} + \dots + X_{n_1} $$ #### 1.1.3 Esempi di sommatoria * Calcolo di $\sum_{i=1}^{4} i$: $$ \sum_{i=1}^{4} i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $$ * Calcolo di $\sum_{i=0}^{2} x_i$: $$ \sum_{i=0}^{2} x_i = x_0 + x_1 + x_2 $$ * Calcolo di $\sum_{i=2}^{4} i$: $$ \sum_{i=2}^{4} i = 2 + 3 + 4 = 9 $$ * Calcolo di $\sum_{i=-1}^{1} (i-3)$: $$ \sum_{i=-1}^{1} (i-3) = (-1-3) + (0-3) + (1-3) = -4 + (-3) + (-2) = -9 $$ * Esempio con $n_0=1, n_1=2$ e $x_i = i$: $\sum_{i=1}^{2} i = 1 + 2 = 3$ [1](#page=1). * Esempio con $n_0=1, n_1=4$ e $x_i = i$: $\sum_{i=1}^{4} i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ [1](#page=1). * Esempio con $n_0=0, n_1=2$ e $x_i = i$: $\sum_{i=0}^{2} i = 0 + 1 + 2 = 3$ [1](#page=1). * Esempio con $n_0=0, n_1=2$ e $x_i = \frac{i}{2}$: $\sum_{i=0}^{2} \frac{i}{2} = \frac{0}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = 0 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ [1](#page=1). ### 1.2 Proprietà delle sommatorie Le sommatorie possiedono diverse proprietà fondamentali che semplificano i calcoli [2](#page=2). #### 1.2.1 Proprietà di linearità 1. **Moltiplicazione per uno scalare:** Se $c$ è una costante reale, allora: $$ \sum_{i=n_0}^{n_1} c x_i = c \sum_{i=n_0}^{n_1} x_i $$ 2. **Somma di termini:** La sommatoria di una somma è la somma delle sommatorie: $$ \sum_{i=n_0}^{n_1} (x_i + y_i) = \sum_{i=n_0}^{n_1} x_i + \sum_{i=n_0}^{n_1} y_i $$ #### 1.2.2 Proprietà di additività degli intervalli Dati $n_0 \le m \le n_1$: $$ \sum_{i=n_0}^{n_1} x_i = \sum_{i=n_0}^{m} x_i + \sum_{i=m+1}^{n_1} x_i $$ > **Tip:** Questa proprietà è utile per suddividere una sommatoria in intervalli più piccoli o per combinare sommatorie. * **Caso particolare (proprietà 3-bis):** Per $m = n_1-1$: $$ \sum_{i=n_0}^{n_1} x_i = \sum_{i=n_0}^{n_1-1} x_i + x_{n_1} $$ #### 1.2.3 Proprietà di traslazione dell'indice Se $m$ è un intero, si può traslare l'indice della sommatoria: $$ \sum_{i=n_0}^{n_1} x_i = \sum_{j=n_0+m}^{n_1+m} x_{j-m} $$ > **Osservazione:** La proprietà 4 può essere ottenuta con un cambio di indice. Ponendo $j = i+m$, si ha $i = j-m$. > Se $i=n_0$, allora $j=n_0+m$. > Se $i=n_1$, allora $j=n_1+m$. > Quindi: > $$ \sum_{i=n_0}^{n_1} x_i = \sum_{j=n_0+m}^{n_1+m} x_{j-m} $$ > [2](#page=2). ### 1.3 Principio di induzione Il principio di induzione matematica è uno strumento fondamentale per dimostrare che una proprietà $P(n)$ è vera per tutti gli interi $n$ a partire da un certo valore iniziale $n_0$ [2](#page=2). **Teoria:** Sia $n_0 \in \mathbb{N}$. Sia $P(n)$ una proprietà ben definita per ogni $n \ge n_0$. Se si verificano le seguenti condizioni: 1. **Passo base:** $P(n_0)$ è vera. 2. **Passo induttivo:** Per ogni $k \ge n_0$, se $P(k)$ è vera (ipotesi induttiva), allora $P(k+1)$ è vera. Allora, $P(n)$ è vera per ogni intero $n \ge n_0$ [2](#page=2). --- # Principio di induzione matematica Il principio di induzione matematica è un potente strumento di dimostrazione utilizzato per provare la validità di affermazioni relative a tutti i numeri naturali a partire da un certo valore iniziale [3](#page=3). ### 2.1 Formulazione del principio Il principio di induzione matematica può essere enunciato come segue [3](#page=3): **Teorema:** Sia $n_0 \in \mathbb{N}$ e sia $P(n)$ una proprietà ben definita per ogni $n \ge n_0$. Supponiamo che valgano le seguenti due condizioni: 1. $P(n_0)$ è vera (base dell'induzione). 2. Per ogni $n \ge n_0$, se $P(n)$ è vera, allora $P(n+1)$ è vera (passo induttivo). Allora, la proprietà $P(n)$ è vera per ogni $n \in \mathbb{N}$ con $n \ge n_0$. #### 2.1.1 Dimostrazione del principio La dimostrazione del principio di induzione matematica si basa sulla proprietà ben fondata dell'insieme dei numeri naturali, ovvero che ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{N}$ ammette un elemento minimo [3](#page=3). Si procede per assurdo: assumiamo che la tesi sia falsa. Ciò significa che esiste almeno un numero naturale $s$, tale che $s \ge n_0$ e $P(s)$ è falsa. Consideriamo l'insieme $S = \{n \in \mathbb{N} \mid n \ge n_0 \text{ e } P(n) \text{ è falsa}\}$. Per l'assunzione fatta, $S$ è un sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{N}$ [3](#page=3). Poiché $\mathbb{N}$ è ben ordinato, anche $S$ ammette un elemento minimo, che chiamiamo $\hat{n}$ [3](#page=3). * Se $\hat{n} = n_0$, allora $P(n_0)$ sarebbe falsa, il che contraddice la prima ipotesi del principio di induzione ($P(n_0)$ è vera) [3](#page=3). * Se $\hat{n} > n_0$, allora $P(\hat{n})$ è falsa per definizione di $\hat{n}$. Poiché $\hat{n} > n_0$, allora anche $\hat{n}-1 \ge n_0$. Se $P(\hat{n}-1)$ fosse vera, allora per la seconda ipotesi del principio di induzione (il passo induttivo), $P(\hat{n}-1+1) = P(\hat{n})$ dovrebbe essere vera. Ma questo contraddice il fatto che $P(\hat{n})$ è falsa. Pertanto, $P(\hat{n}-1)$ deve essere falsa. Questo implica che $\hat{n}-1$ appartiene all'insieme $S$. Tuttavia, $\hat{n}-1 < \hat{n}$, il che contraddice il fatto che $\hat{n}$ è l'elemento minimo di $S$ [3](#page=3). Entrambi i casi portano a una contraddizione, quindi l'assunzione iniziale (che la tesi sia falsa) deve essere errata. Pertanto, $P(n)$ è vera per ogni $n \in \mathbb{N}$ con $n \ge n_0$ [3](#page=3). #### 2.1.2 Ipotesti induttiva L'affermazione "$P(n)$ è vera" nella seconda condizione del principio di induzione (per ogni $n \ge n_0$, se $P(n)$ è vera, allora $P(n+1)$ è vera) è chiamata **ipotesi induttiva**. Essa costituisce il presupposto su cui si basa la dimostrazione della validità dell'affermazione per il caso successivo [4](#page=4). ### 2.2 Esempi di applicazione #### 2.2.1 Esempio 1: Somma dei primi n numeri naturali Dimostrare per induzione che la somma dei primi $n$ numeri naturali è data da: $$ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$ per ogni $n \ge 1$ [3](#page=3). **Svolgimento:** Definiamo la proprietà $P(n)$ come: $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$. Il valore iniziale è $n_0 = 1$. 1. **Base dell'induzione ($P $):** [1](#page=1). Dobbiamo verificare se $P $ è vera [1](#page=1): $$ \sum_{i=1}^{1} i = 1 $$ E il lato destro della formula per $n=1$ è: $$ \frac{1(1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1 $$ Quindi, $P $ è vera [1](#page=1) [4](#page=4). 2. **Passo induttivo:** Supponiamo che $P(k)$ sia vera per un generico $k \ge 1$ (ipotesi induttiva). Cioè, assumiamo che: $$ \sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2} $$ Dobbiamo dimostrare che $P(k+1)$ è vera, cioè che: $$ \sum_{i=1}^{k+1} i = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$ Partiamo dal lato sinistro di $P(k+1)$: $$ \sum_{i=1}^{k+1} i = \left(\sum_{i=1}^{k} i\right) + (k+1) $$ Applicando l'ipotesi induttiva $\left(\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}\right)$: $$ = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) $$ Mettiamo in evidenza $(k+1)$: $$ = (k+1) \left(\frac{k}{2} + 1\right) $$ $$ = (k+1) \left(\frac{k+2}{2}\right) $$ $$ = \frac{(k+1)(k+2)}{2} $$ Questo è esattamente il lato destro di $P(k+1)$. Pertanto, il passo induttivo è verificato [4](#page=4). Poiché entrambe le condizioni sono verificate, per il principio di induzione matematica, la formula $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ è vera per ogni $n \ge 1$ [4](#page=4). #### 2.2.2 Esempio 2: Somma di una progressione geometrica Dimostrare per induzione che vale la seguente formula per la somma di una progressione geometrica con primo termine $a$ e ragione $r \ne 1$: $$ \sum_{i=0}^{n} ar^i = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r} $$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ ($n \ge 0$), con $a \in \mathbb{R}$, $r \in \mathbb{R}$, $r \ne 1$ [5](#page=5). **Svolgimento:** Per semplicità nell'esempio fornito, consideriamo il caso $a=1$ e $r=2$, ottenendo la formula: $$ \sum_{i=0}^{n} 2^i = \frac{1-2^{n+1}}{1-2} $$ La proprietà $P(n)$ è: $\sum_{i=0}^{n} 2^i = \frac{1-2^{n+1}}{1-2}$. Il valore iniziale è $n_0 = 0$. 1. **Base dell'induzione ($P $):** . Verifichiamo $P $ : $$ \sum_{i=0}^{0} 2^i = 2^0 = 1 $$ Il lato destro della formula per $n=0$ è: $$ \frac{1-2^{0+1}}{1-2} = \frac{1-2^1}{1-2} = \frac{1-2}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1 $$ Quindi, $P $ è vera [5](#page=5). 2. **Passo induttivo:** Supponiamo che $P(k)$ sia vera per un generico $k \ge 0$ (ipotesi induttiva). Cioè, assumiamo che: $$ \sum_{i=0}^{k} 2^i = \frac{1-2^{k+1}}{1-2} $$ Dobbiamo dimostrare che $P(k+1)$ è vera, cioè che: $$ \sum_{i=0}^{k+1} 2^i = \frac{1-2^{(k+1)+1}}{1-2} = \frac{1-2^{k+2}}{1-2} $$ Partiamo dal lato sinistro di $P(k+1)$: $$ \sum_{i=0}^{k+1} 2^i = \left(\sum_{i=0}^{k} 2^i\right) + 2^{k+1} $$ Applicando l'ipotesi induttiva $\left(\sum_{i=0}^{k} 2^i = \frac{1-2^{k+1}}{1-2}\right)$: $$ = \frac{1-2^{k+1}}{1-2} + 2^{k+1} $$ Per sommare, troviamo un denominatore comune, che è $1-2$: $$ = \frac{1-2^{k+1}}{1-2} + \frac{2^{k+1}(1-2)}{1-2} $$ $$ = \frac{1-2^{k+1} + 2^{k+1} - 2^{k+1} \cdot 2}{1-2} $$ $$ = \frac{1 - 2^{k+1} + 2^{k+1} - 2^{k+2}}{1-2} $$ $$ = \frac{1 - 2^{k+2}}{1-2} $$ Questo è il lato destro di $P(k+1)$. Pertanto, il passo induttivo è verificato [5](#page=5). Poiché le condizioni 1 e 2 sono soddisfatte, il principio di induzione assicura che la formula vale per ogni $n \ge 0$ [5](#page=5). > **Tip:** Quando si applica il principio di induzione, è fondamentale definire chiaramente la proprietà $P(n)$ e identificare correttamente il valore iniziale $n_0$. > **Tip:** Durante il passo induttivo, ricordarsi di utilizzare esplicitamente l'ipotesi induttiva per semplificare l'espressione. Non si può dimostrare $P(n+1)$ assumendo che sia già vera. --- # Progressioni geometriche e applicazioni finanziarie Questo argomento esplora il concetto di progressione geometrica e illustra la sua applicazione nel calcolo di accumulazioni e ammortamenti di debiti in contesti finanziari [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7). ### 3.1 Progressioni geometriche Una progressione geometrica è una successione di numeri in cui ciascun termine, dopo il primo, si ottiene moltiplicando il termine precedente per una costante diversa da zero, detta ragione [5](#page=5). La formula generale per la somma dei primi $n+1$ termini di una progressione geometrica con primo termine $a$ e ragione $r$ è data da: $$ S_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} ar^i $$ Se $r \neq 1$, la somma è: $$ S_{n+1} = a \frac{1-r^{n+1}}{1-r} $$ [5](#page=5). #### 3.1.1 Dimostrazione per induzione La validità della formula per la somma di una progressione geometrica può essere dimostrata per induzione [5](#page=5). * **Passo base (n=0):** Verificare che la formula sia vera per $n=0$. $$ \sum_{i=0}^{0} ar^i = ar^0 = a $$ Usando la formula: $$ a \frac{1-r^{0+1}}{1-r} = a \frac{1-r}{1-r} = a $$ L'ipotesi è verificata per $n=0$ [5](#page=5). * **Passo induttivo:** Assumere che la formula sia vera per un generico $n=k$, ovvero $\sum_{i=0}^{k} ar^i = a \frac{1-r^{k+1}}{1-r}$. Dimostrare che è vera anche per $n=k+1$. $$ \sum_{i=0}^{k+1} ar^i = \left(\sum_{i=0}^{k} ar^i\right) + ar^{k+1} $$ Applicando l'ipotesi induttiva: $$ = a \frac{1-r^{k+1}}{1-r} + ar^{k+1} $$ $$ = a \frac{1-r^{k+1} + r^{k+1}(1-r)}{1-r} $$ $$ = a \frac{1-r^{k+1} + r^{k+1} - r^{k+2}}{1-r} $$ $$ = a \frac{1-r^{k+2}}{1-r} $$ La formula è verificata per $n=k+1$ [5](#page=5). #### 3.1.2 Osservazioni sulla progressione geometrica Si osservano alcune proprietà e casi particolari della formula [6](#page=6): * Se $a=1$ e $r=2$, la somma è $\sum_{i=0}^{n} 2^i = \frac{1-2^{n+1}}{1-2} = 2^{n+1}-1$ [6](#page=6). * Per $n=1$, la progressione è $a + ar$. La formula diventa $a \frac{1-r^2}{1-r} = a(1+r)$, che corrisponde a $a+ar$ [6](#page=6). * Per $n=2$, la progressione è $a + ar + ar^2$. La formula diventa $a \frac{1-r^3}{1-r} = a(1+r+r^2)$, che corrisponde a $a+ar+ar^2$. Questo illustra la relazione con i prodotti notevoli, come $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$ e $(A-B)(A^2+AB+B^2) = A^3-B^3$ [6](#page=6). ### 3.2 Applicazioni finanziarie Le progressioni geometriche sono fondamentali per modellare operazioni finanziarie come l'accumulazione di capitali (investimenti) e l'ammortamento di debiti [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7). #### 3.2.1 Accumulazione di capitali Quando si effettuano investimenti periodici, il capitale accumulato alla fine di un certo periodo può essere calcolato utilizzando la formula della progressione geometrica [6](#page=6). > **Esempio:** Se si investono 50 euro ogni anno a partire dal 1.1.2026 con un rendimento annuo del 3%, si desidera calcolare l'ammontare accumulato al 1.1.2029 [6](#page=6). > > * **1.1.2026:** Capitale investito = 50 euro. > * **1.1.2027:** Capitale = $50 \times (1.03) + 50$. (Il primo investimento è maturato del 3%, il secondo è appena stato versato) [6](#page=6). > * **1.1.2028:** Capitale = $[50 \times (1.03) + 50 \times (1.03) + 50 = 50 \times (1.03)^2 + 50 \times (1.03) + 50$ [6](#page=6). > * **1.1.2029:** Capitale = $50 \times (1.03)^3 + 50 \times (1.03)^2 + 50 \times (1.03) + 50$ [6](#page=6). > > Questo ammontare può essere scritto come una somma di una progressione geometrica: > $$ \sum_{i=0}^{3} 50 \times (1.03)^i $$ > Applicando la formula della progressione geometrica con $a=50$, $r=1.03$ e $n=3$: > $$ 50 \frac{1-(1.03)^{3+1}}{1-1.03} = 50 \frac{1-(1.03)^4}{1-1.03} $$ > Questo calcolo porta all'ammontare totale accumulato [7](#page=7). #### 3.2.2 Ammortamento di debiti Analogamente, il calcolo delle rate fisse per estinguere un debito, comprensivo degli interessi maturati, si basa sul medesimo principio [7](#page=7). > **Esempio:** Se una banca presta 50 euro il 1.1.2026 con un tasso d'interesse annuo del 4% sul debito residuo, si vuole determinare la rata fissa annuale ($x$) necessaria per estinguere il debito al 1.1.2029 [7](#page=7). > > * **1.1.2026:** Debito iniziale = 50 euro. > * **1.1.2027:** Debito residuo = $50 \times (1.04) - x$. (Il debito iniziale aumenta del 4%, viene poi pagata la rata $x$) [7](#page=7). > * **1.1.2028:** Debito residuo = $[50 \times (1.04) - x \times (1.04) - x = 50 \times (1.04)^2 - x(1.04) - x$ [7](#page=7). > * **1.1.2029:** Debito residuo = $[50 \times (1.04)^2 - x(1.04) - x \times (1.04) - x = 50 \times (1.04)^3 - x(1.04)^2 - x(1.04) - x$ [7](#page=7). > > Affinché il debito sia estinto, il debito residuo al 1.1.2029 deve essere zero: > $$ 50 \times (1.04)^3 - x \sum_{i=0}^{2} (1.04)^i = 0 $$ > Utilizzando la formula della progressione geometrica per la somma $\sum_{i=0}^{2} (1.04)^i$ con $a=1$, $r=1.04$ e $n=2$: > $$ \sum_{i=0}^{2} (1.04)^i = 1 \times \frac{1-(1.04)^{2+1}}{1-1.04} = \frac{1-(1.04)^3}{1-1.04} $$ > Imponendo il debito residuo a zero: > $$ 50 \times (1.04)^3 = x \frac{1-(1.04)^3}{1-1.04} $$ > Da questa equazione si può ricavare il valore della rata $x$ [7](#page=7). > **Tip:** È cruciale prestare attenzione alla definizione del periodo di riferimento e alla corretta applicazione della formula della progressione geometrica sia per il montante che per l'ammortamento, tenendo conto del numero di termini ($n+1$) e del fattore di capitalizzazione ($r$) [6](#page=6) [7](#page=7). --- # Fattoriali e coefficienti binomiali Questa sezione introduce le definizioni di fattoriali e coefficienti binomiali, analizzandone le proprietà fondamentali e la formula del binomio di Newton. ### 4.1 Fattoriali #### 4.1.1 Definizione di fattoriale Per ogni numero intero non negativo $n$, il fattoriale, denotato con $n!$, è definito come: * $n! = 1$ se $n=0$ [7](#page=7). * $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$ se $n > 0$ [7](#page=7). #### 4.1.2 Proprietà del fattoriale Una proprietà immediata del fattoriale è la seguente relazione ricorsiva: $n! = n \times (n-1)!$ per $n > 0$ [8](#page=8). #### 4.1.3 Esempi di fattoriali * $0! = 1$ [8](#page=8). * $1! = 1$ [8](#page=8). * $2! = 2 \times 1 = 2$ [8](#page=8). * $3! = 3 \times 2 \times 1 = 3 \times 2! = 3 \times 2 = 6$ [8](#page=8). * $4! = 4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ [8](#page=8). * $5! = 5 \times 4! = 5 \times 24 = 120$ [8](#page=8). ### 4.2 Coefficienti binomiali #### 4.2.1 Definizione di coefficiente binomiale Dati due numeri interi $n$ e $k$ tali che $n \ge k \ge 0$, il coefficiente binomiale, letto come "n su k" o "n scegli k", è definito come: $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ Questo rappresenta il numero di modi per scegliere $k$ elementi da un insieme di $n$ elementi distinti, senza considerare l'ordine [8](#page=8). #### 4.2.2 Proprietà dei coefficienti binomiali Siano $n, k$ interi con $n \ge k \ge 0$. Valgono le seguenti proprietà: 1. **Valori agli estremi:** $$ \binom{n}{0} = 1 $$ $$ \binom{n}{n} = 1 $$ Queste proprietà derivano direttamente dalla definizione e dal fatto che $0! = 1$ [8](#page=8). 2. **Simmetria:** $$ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $$ Questa proprietà è evidente sostituendo $k$ con $n-k$ nel denominatore: $k!(n-k)! = (n-k)!(n-(n-k))! = (n-k)!k!$ [8](#page=8). > **Tip:** La proprietà di simmetria può semplificare i calcoli, poiché $\binom{n}{k}$ è uguale a $\binom{n}{n-k}$. Ad esempio, calcolare $\binom{10}{7}$ è equivalente a calcolare $\binom{10}{3}$, che spesso è più veloce. 3. **Relazione di Pascal:** $$ \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k} $$ Questa identità è fondamentale e permette di costruire il triangolo di Tartaglia (o Pascal). La sua dimostrazione si basa sull'uso della definizione dei coefficienti binomiali e sulle proprietà dei fattoriali [8](#page=8). > **Tip:** La relazione di Pascal può essere dimostrata per induzione o manipolando algebricamente la definizione. Una dimostrazione combinatoria, pensando a come contare un sottoinsieme di dimensione $k$ da un insieme di $n+1$ elementi, può essere molto intuitiva. 4. **Formula per il calcolo diretto (derivata dalla definizione):** Per $k > 0$, possiamo scrivere: $$ \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} $$ Questa formula è utile quando $k$ è significativamente più piccolo di $n$, evitando di calcolare fattoriali molto grandi per $n!$ e $(n-k)!$ [8](#page=8). ### 4.3 La formula del binomio di Newton La formula del binomio di Newton fornisce uno sviluppo in serie per la potenza di un binomio $(a+b)^n$. Essa stabilisce che: $$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$ dove $n$ è un intero non negativo, e $a, b$ sono numeri reali con $a \ne 0$ e $b \ne 0$ [9](#page=9). Questa formula può essere riscritta come: $$ (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n $$ #### 4.3.1 Dimostrazione della formula del binomio di Newton Le dimostrazioni per le proprietà 1, 2 e 5 dei coefficienti binomiali si basano direttamente sulla loro definizione [9](#page=9). La dimostrazione completa della formula del binomio di Newton viene solitamente effettuata per induzione matematica [9](#page=9). > **Tip:** La formula del binomio di Newton è estremamente utile per espandere potenze di espressioni binarie senza dover eseguire moltiplicazioni ripetute. I coefficienti binomiali fungono da coefficienti di ogni termine nell'espansione. #### 4.3.2 Esempio di applicazione della formula del binomio di Newton Consideriamo l'espansione di $(a+b)^3$: Utilizzando la formula con $n=3$: $$ (a+b)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} a^{3-k} b^k $$ Calcoliamo i coefficienti binomiali necessari: * $\binom{3}{0} = 1$ * $\binom{3}{1} = 3$ * $\binom{3}{2} = 3$ * $\binom{3}{3} = 1$ Sostituendo questi valori nell'espansione: $$ (a+b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3 $$ $$ (a+b)^3 = 1 \cdot a^3 \cdot 1 + 3 \cdot a^2 \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^2 + 1 \cdot 1 \cdot b^3 $$ $$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ --- ## Errori comuni da evitare - Rivedete tutti gli argomenti accuratamente prima degli esami - Prestate attenzione alle formule e definizioni chiave - Praticate con gli esempi forniti in ogni sezione - Non memorizzate senza comprendere i concetti sottostanti

| Termine | Definizione | |------|------------| | Sommatoria | La sommatoria, indicata con il simbolo greco Sigma ($\Sigma$), è una notazione matematica utilizzata per rappresentare la somma di una sequenza di numeri o termini. | | Principio di induzione | Un metodo di dimostrazione matematica utilizzato per provare che una proprietà P(n) è vera per tutti i numeri interi naturali a partire da un certo valore iniziale $n_0$. | | Ipotesi induttiva | Nel principio di induzione, è l'assunzione che la proprietà P(n) sia vera per un generico intero $n \geq n_0$. | | Passo induttivo | Nel principio di induzione, è la dimostrazione che, se P(n) è vera (ipotesi induttiva), allora anche P(n+1) è vera. | | Progressione geometrica | Una successione di numeri in cui ogni termine, dopo il primo, si ottiene moltiplicando il termine precedente per una costante fissa chiamata ragione. | | Ragione (di una progressione geometrica) | La costante fissa per cui si moltiplica ogni termine per ottenere il successivo in una progressione geometrica. | | Capitale | La somma di denaro iniziale investita o presa in prestito. | | Rendita | Un pagamento periodico, spesso utilizzato in contesti finanziari come investimenti o mutui. | | Fattoriale | Per un numero intero non negativo $n$, il fattoriale (indicato con $n!$) è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a $n$. Per definizione, $0! = 1$. | | Coefficiente binomiale | Indicato con $\binom{n}{k}$, rappresenta il numero di modi per scegliere $k$ elementi da un insieme di $n$ elementi senza riguardo all'ordine. Si calcola come $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. | | Binomio di Newton | Una formula che esprime la potenza $n$-esima di un binomio $(a+b)$ come somma di termini, ciascuno dei quali è un coefficiente binomiale moltiplicato per potenze di $a$ e $b$. |