MI1 - Suites Numeriques de Reference - Corrige.pdf

# Introduction aux suites numériques Ce chapitre introduit la notion de suite numérique, ses modes de définition et les concepts de bornes et de variations. ### 1.1 Notion de suite numérique Une suite numérique est une application d'une partie de $\mathbb{N}$ (les entiers naturels) vers $\mathbb{R}$ (les nombres réels). Le terme $u(n)$ est noté $u_n$ et est appelé le $n$-ième terme ou terme général de la suite. Dans ce contexte, le terme "suite" sera utilisé à la place de "suite numérique" pour plus de concision [5](#page=5). Une suite est généralement notée sous la forme $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$ lorsque l'ensemble des indices $n$ est clair. Si l'indice commence à un rang $n_0$, on note $(u_n)_{n \geqslant n_0}$ [5](#page=5). #### 1.1.1 Modes de définition d'une suite Il existe deux principales manières de définir une suite : 1. **Formule explicite:** La suite est définie par une formule explicite de la forme $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction [6](#page=6). > **Example:** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 3n - 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est un exemple de suite définie par une formule explicite, où la fonction $f$ est $x \mapsto 3x - 1$ [6](#page=6). 2. **Relation de récurrence:** La suite est définie par une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$, accompagnée de la donnée d'un terme initial [6](#page=6). #### 1.1.2 Bornes d'une suite La définition de bornes permet de caractériser le comportement de croissance ou de décroissance d'une suite. * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **majorée** s'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n \leqslant M$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **minorée** s'il existe un nombre réel $m$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $m \leqslant u_n$ [6](#page=6). * Une suite est dite **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée [6](#page=6). > **Example:** La Figure 12.1 illustre des suites majorées et minorées [6](#page=6). ### 1.2 Variations d'une suite L'étude des variations d'une suite permet de décrire sa tendance d'évolution (croissance ou décroissance). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **croissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \geqslant u_n$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **strictement croissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} > u_n$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **décroissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} \leqslant u_n$ [6](#page=6). * Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite **strictement décroissante** si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} < u_n$ [6](#page=6). --- # Étude des variations et limites des suites Ce chapitre explore la croissance, la décroissance et la monotonicité des suites, ainsi que la formalisation rigoureuse des limites finies et infinies et la notion de convergence. ### 2.1 Variations d'une suite L'étude des variations d'une suite permet de comprendre comment ses termes évoluent. **Définition 2.1.1.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. On dit que cette suite est : * **majorée** si: $\exists M \in \mathbb{R}: \forall n \in \mathbb{N}, u_n \leqslant M$ [6](#page=6). * **minorée** si: $\exists m \in \mathbb{R}: \forall n \in \mathbb{N}, m \leqslant u_n$ [6](#page=6). * **bornée** si elle est majorée et minorée [6](#page=6). **Définition 2.1.2.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. On dit que cette suite est : * **croissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \geqslant u_n$ [6](#page=6). * **strictement croissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} > u_n$ [6](#page=6). * **décroissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \leqslant u_n$ [6](#page=6). * **strictement décroissante** si: $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} < u_n$ [6](#page=6). * **monotone** si elle est croissante ou décroissante [7](#page=7). * **strictement monotone** si elle est strictement croissante ou strictement décroissante [7](#page=7). > **Tip:** La méthode standard pour étudier les variations d'une suite est d'étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ [8](#page=8). **Exemple 2.1.3.** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2 + 3n + 2$ est strictement croissante. En effet, $u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 + 3(n+1) + 2 - (n^2 + 3n + 2) = 2n + 1$. Comme $n \in \mathbb{N}$, $2n+1 > 0$, donc $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ [7](#page=7). **Exemple 2.1.4.** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2 - 8n + 15$ n'est ni croissante ni décroissante. En effet, $u_0 = 15$, $u_1 = 8$ (donc $u_0 > u_1$), et $u_4 = -1$, $u_5 = 0$ (donc $u_4 < u_5$). Ceci prouve que la suite n'est pas monotone [7](#page=7). ### 2.2 Limite d'une suite La notion de limite formalise l'idée qu'une suite se stabilise autour d'une valeur lorsque son indice devient très grand. #### 2.2.1 Limite finie Intuitivement, une suite $(u_n)$ tend vers une limite finie $\ell$ si ses termes se rapprochent de plus en plus de $\ell$ à mesure que $n$ augmente. Formellement, cela signifie que pour toute tolérance $\varepsilon > 0$, il existe un rang $n_0$ à partir duquel tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]\ell - \varepsilon, \ell + \varepsilon[$. **Définition 2.2.1.1.** La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ a pour limite $\ell$ si : $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_0, |u_n - \ell| < \varepsilon $$ On dit aussi que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend (ou converge) vers $\ell$ et on note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ [8](#page=8). > **Tip:** Le rang $n_0$ dépend de $\varepsilon$. Plus $\varepsilon$ est petit, plus $n_0$ est potentiellement grand. Il n'est pas nécessaire de trouver le plus petit $n_0$, mais juste un qui satisfasse la condition [9](#page=9). **Exemple 2.2.1.2.** Considérons la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = \frac{n+1}{n}$. Intuitivement, pour $n$ grand, $u_n$ tend vers 1 [9](#page=9). Pour le prouver formellement, soit $\varepsilon > 0$. On cherche $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$, $|u_n - 1| < \varepsilon$. $$ \left|\frac{n+1}{n} - 1\right| < \varepsilon $$ $$ \left|\frac{n+1 - n}{n}\right| < \varepsilon $$ $$ \left|\frac{1}{n}\right| < \varepsilon $$ Comme $n > 0$, ceci équivaut à $\frac{1}{n} < \varepsilon$, soit $n > \frac{1}{\varepsilon}$. On peut choisir $n_0 = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil + 1$. Ainsi, pour tout $n \geqslant n_0$, on a $n > \frac{1}{\varepsilon}$, ce qui implique $|u_n - 1| < \varepsilon$. La suite converge donc vers 1 [10](#page=10). #### 2.2.2 Limite infinie Une suite peut également tendre vers l'infini, positif ou négatif. **Définition 2.2.2.1.** On dit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ si : $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_0, u_n > \varepsilon $$ Intuitivement, cela signifie que les valeurs de la suite deviennent arbitrairement grandes à mesure que $n$ augmente [11](#page=11). **Exemple 2.2.2.2.** Considérons la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = n^2$. Pour prouver qu'elle tend vers $+\infty$, soit $\varepsilon > 0$. On cherche $n_0$ tel que pour tout $n \geqslant n_0$, $n^2 > \varepsilon$ [11](#page=11). Ceci équivaut à $n > \sqrt{\varepsilon}$ (car $n > 0$). On peut choisir $n_0 = \lceil \sqrt{\varepsilon} \rceil + 1$. Ainsi, pour tout $n \geqslant n_0$, on a $n > \sqrt{\varepsilon}$, ce qui implique $n^2 > \varepsilon$. La suite $(u_n)$ tend donc vers $+\infty$ [12](#page=12). **Définition 2.2.2.3.** On dit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $-\infty$ si : $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_0, u_n < -\varepsilon $$ Intuitivement, cela signifie que les valeurs de la suite deviennent arbitrairement petites (grands négatifs) à mesure que $n$ augmente [12](#page=12). #### 2.2.3 Convergence d'une suite La convergence est une propriété fondamentale des suites. **Définition 2.2.3.1.** On dit qu'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est **convergente** si elle admet une limite finie. Dans le cas contraire, on dit que la suite est **divergente** [12](#page=12). **Exemple 2.2.3.2.** * La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ avec $u_n = \frac{n+1}{n}$ est convergente car sa limite est 1 [13](#page=13). * La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $v_n = n^2$ est divergente car sa limite est $+\infty$ [13](#page=13). * La suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $w_n = (-1)^n$ est divergente car elle n'a pas de limite (elle oscille entre -1 et 1) [13](#page=13). #### 2.2.4 Propriétés des limites Les propriétés des limites permettent de simplifier le calcul de limites. **Théorème 2.2.4.1 (Unicité de la Limite).** Si une suite admet une limite, alors cette limite est unique [13](#page=13). **Théorème 2.2.4.2.** Toute suite croissante et majorée converge [13](#page=13). **Théorème 2.2.4.3.** Toute suite décroissante et minorée converge [13](#page=13). **Corollaire 2.2.4.4.** Toute suite monotone et bornée converge [13](#page=13). **Proposition 2.2.4.5.** Supposons que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\ell$ et que la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\ell'$. Nous obtenons : * Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, la suite $(\lambda u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et: $\lim_{n \to +\infty} (\lambda u_n) = \lambda \ell$ [13](#page=13). * La suite $(u_n + v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \ell + \ell'$ [13](#page=13). * La suite $(u_n \times v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge et $\lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \ell \times \ell'$ [13](#page=13). * Si $\ell \neq 0$, alors la suite $(\frac{1}{u_n})_{n \in \mathbb{N}}$ est définie au voisinage de $+\infty$ et converge vers $\frac{1}{\ell}$ [13](#page=13). **Proposition 2.2.4.6.** Supposons que $u_n \leqslant v_n$ pour tout $n$ suffisamment grand. Nous avons : * Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $(v_n)$ converge vers $\ell'$, alors $\ell \leqslant \ell'$ [13](#page=13). * Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(v_n)$ aussi [13](#page=13). * Si $(v_n)$ diverge vers $-\infty$, alors $(u_n)$ aussi [13](#page=13). --- # Familles importantes de suites numériques Voici un résumé détaillé des familles importantes de suites numériques, basé sur le contenu des pages 10 à 18 du document. ## 3 Familles importantes de suites numériques Ce chapitre explore les propriétés et le comportement des suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques et récurrentes, en se concentrant sur leurs définitions, leurs formules explicites et leurs limites. ### 3.1 Suites arithmétiques Une suite arithmétique est caractérisée par une différence constante entre deux termes consécutifs. #### 3.1.1 Définition et propriétés **Définition 12.26.** Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite arithmétique s'il existe un réel $r$ appelé raison tel que : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + r $$ **Proposition 12.27.** Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors : * $ \forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N}, u_n = u_p + (n - p) r $ * $ \forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0 + n r $ (formule explicite) [14](#page=14). **Proposition 12.28.** Pour toute suite arithmétique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $r$ : * Si $r > 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante [14](#page=14). * Si $r < 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante [14](#page=14). * Si $r = 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante [14](#page=14). **Proposition 12.29.** Pour toute suite arithmétique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $r$ : * Si $r > 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $ + \infty $ [15](#page=15). * Si $r < 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $ - \infty $ [15](#page=15). * Si $r = 0$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $u_0$ [15](#page=15). #### 3.1.2 Exemple > **Exemple 12.30.** Considérons les suites arithmétiques : > $u_{n+1} = u_n - 5$, avec $u_0 = 4$. > $v_{n+1} = v_n + 2$, avec $v_0 = -3$. > > Les formules explicites sont : > $u_n = -5n + 4$ [15](#page=15). > $v_n = 2n - 3$ [15](#page=15). > > La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et diverge vers $ - \infty $. > La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante et diverge vers $ + \infty $ [15](#page=15). ### 3.2 Suites géométriques Une suite géométrique est caractérisée par un rapport constant entre deux termes consécutifs. #### 3.2.1 Définition et propriétés **Définition 12.31.** Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite géométrique s'il existe un réel $q$ appelé raison tel que : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = q u_n $$ **Proposition 12.32.** Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q$, alors : * $ \forall n \in \mathbb{N}, \forall p \in \mathbb{N}, u_n = u_p q^{n-p} $ * $ \forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0 q^n $ (formule explicite) [15](#page=15). **Proposition 12.33.** Soit $q$ un nombre réel : * Si $q > 1$, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $ + \infty $ [15](#page=15). * Si $q = 1$, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $1$ (la suite est constante) [15](#page=15). * Si $ -1 < q < 1 $, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$ [15](#page=15). * Si $ q \leqslant -1 $, alors $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge sans limite [16](#page=16). **Remarque 12.34.** Pour déterminer les variations et le comportement à l'infini d'une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de raison $q$, il faut utiliser le résultat précédent et prendre en compte la valeur et le signe de $u_0$ (formule explicite) [16](#page=16). #### 3.2.2 Somme des termes d'une suite géométrique **Proposition 12.36.** Si $q \neq 1$ : $$ \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{k=0}^{n} q^k = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} $$ > **Exemple 12.37.** Nous avons : > $ \sum_{k=0}^{10} 2^k = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{10} = \frac{1 - 2^{10+1}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2047 $ [16](#page=16). Ce résultat se généralise aux suites géométriques de raison différente de 1. **Proposition 12.38 (Somme des $k+1$ premiers termes).** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$. On a : $$ \sum_{n=0}^{k} u_n = u_0 \frac{1 - q^{k+1}}{1 - q} $$ **Proposition 12.39 (Sommes de termes consécutifs).** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$. On a : $$ \sum_{n=n_0}^{n_1} u_n = u_{n_0} \frac{1 - q^{n_1-n_0+1}}{1 - q} $$ #### 3.2.3 Exemple > **Exemple 12.35.** Considérons les suites : > $ u_{n+1} = -\frac{1}{2} u_n $, avec $u_0 = 4$. > $ v_{n+1} = 2 v_n $, avec $v_0 = -3$. > > Les formules explicites sont : > $ u_n = 4 \left(-\frac{1}{2}\right)^n $ [16](#page=16). > $ v_n = -3 \times 2^n $ [16](#page=16). > > La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'est ni croissante ni décroissante (elle change de signe constamment – elle est dite alternée) et converge vers $0$. > La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et diverge vers $ - \infty $ [16](#page=16). ### 3.3 Suites arithmético-géométriques Ces suites généralisent les suites arithmétiques et géométriques, impliquant une transformation affine. #### 3.3.1 Définition et propriétés **Définition 12.40.** Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite arithmético-géométrique s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = a u_n + b $$ **Remarque 12.41.** Lorsque $b=0$, la suite est géométrique (de raison $a$). Lorsque $a=1$, la suite est arithmétique (de raison $b$) [17](#page=17). **Proposition 12.42.** Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmético-géométrique définie par : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = a u_n + b \text{ avec } a \neq 1 $$ Posons $ \ell = \frac{b}{1-a} $ et considérons la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $$ \forall n \in \mathbb{N}, v_n = u_n - \ell $$ Alors, la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $a$ [17](#page=17). > **Exemple 12.43.** Considérons la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : > $ u_{n+1} = 3 u_n + 4 $ [17](#page=17). > Posons $ \ell = \frac{4}{1-3} = -2 $. La suite dont le terme général $v_n$ est : > $ v_n = u_n + 2 $ [17](#page=17). > est une suite géométrique de raison $3$. **Proposition 12.44.** Avec les notations de la proposition précédente, si la suite arithmético-géométrique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, alors sa limite est $ \ell $ [18](#page=18). **Remarque 12.45.** Ce résultat implique la recherche du point fixe de la transformation affine sous-jacente et sera généralisé dans l'étude des suites récurrentes [18](#page=18). ### 3.4 Suites récurrentes Ces suites sont définies par une relation de récurrence impliquant une fonction. #### 3.4.1 Définition **Définition 12.46.** On appelle suite récurrente toute suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle qu'il existe une fonction $f: I \to \mathbb{R}$, où l'intervalle $I$ est stable par $f$, vérifiant : $$ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n) $$ avec $u_0 \in I$ [18](#page=18). #### 3.4.2 Exemples > **Exemple 12.47.** Voici des suites récurrentes : > $ u_{n+1} = u_n^2 $, avec $u_0 = -8$ [18](#page=18). > $ v_{n+1} = \exp(v_n) $, avec $v_0 = 0$ [18](#page=18). > > Pour la suite de gauche, on a $I = \mathbb{R}$ et $f$ est la fonction carrée. Pour la suite de droite, on peut prendre $I = \mathbb{R}^+$ et $f$ est la fonction exponentielle [18](#page=18). --- # Exercices et éléments de correction sur les suites Voici une synthèse détaillée des exercices et éléments de correction sur les suites, basée sur le contenu des pages 15 à 36 du document. ## 4 Exercices et éléments de correction sur les suites Ce chapitre propose des exercices d'application pour étudier les variations, le comportement à l'infini, les limites, et appliquer les formules relatives aux différentes familles de suites, accompagnés d'éléments de correction [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19) [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22) [29](#page=29) [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34) [35](#page=35) [36](#page=36). ### 4.1 Étude des variations et comportement à l'infini Les exercices de cette section visent à appliquer les méthodes d'étude des suites pour déterminer leur monotonie et leur limite éventuelle [19](#page=19). #### 4.1.1 Exercice 12.1 : Étude de variations et comportement à l'infini Cet exercice propose d'étudier plusieurs suites en utilisant différentes méthodes [19](#page=19). * **Cas 1: $u_n = 5 - (n+2)^2$** [29](#page=29). * Pour étudier les variations, on calcule la différence $u_{n+1} - u_n$. * $u_{n+1} - u_n = (5 - (n+1+2)^2) - (5 - (n+2)^2) = (n+2)^2 - (n+3)^2$. * Comme la fonction carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, $(n+2)^2 < (n+3)^2$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante [29](#page=29). * Pour le comportement à l'infini, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} (5 - (n+2)^2) = -\infty$. La suite diverge vers $-\infty$ [29](#page=29). * **Cas 2: $u_n = \frac{e^{2n}}{5n+2}$** [29](#page=29). * La suite peut être réécrite sous la forme $u_n = \frac{1}{5^2} \times \left(\frac{e^2}{5}\right)^n$. * Il s'agit d'une suite géométrique de raison $q = \frac{e^2}{5}$ et de premier terme $u_0 = \frac{1}{25}$ [29](#page=29). * Comme $e^2 > 5$, la raison $q$ est strictement supérieure à 1 ($q \approx \frac{7.389}{5} \approx 1.478$). * Le premier terme est strictement positif. Donc, la suite $(u_n)$ est strictement croissante et diverge vers $+\infty$ [29](#page=29). * **Cas 3: $u_n = 1 - \frac{2}{n+3}$** [29](#page=29). * La fonction $n \mapsto \frac{2}{n+3}$ tend vers 0 en décroissant strictement lorsque $n$ augmente [29](#page=29). * Par conséquent, $1 - \frac{2}{n+3}$ est strictement croissante. * La suite $(u_n)$ est strictement croissante et converge vers 1 [29](#page=29). * **Cas 4: $u_n = e^n - n$** [29](#page=29) [30](#page=30). * On étudie la fonction associée $f(x) = e^x - x$ sur $\mathbb{R}^+$ [30](#page=30). * La dérivée est $f'(x) = e^x - 1$. * Le tableau de variations de $f$ montre que $f'(x) > 0$ pour $x > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. * De plus, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. * Ces propriétés appliquées à la suite $(u_n)$ impliquent qu'elle est strictement croissante et diverge vers $+\infty$ [30](#page=30). #### 4.1.2 Exercice 12.2 : Modélisation de situations par des suites Cet exercice modélise deux scénarios de diffusion d'informations à l'aide de suites arithmétiques et géométriques [19](#page=19) [20](#page=20) [30](#page=30) [31](#page=31). * **Situation 1: Réception des élèves** [19](#page=19) [30](#page=30). * Le responsable reçoit 2 élèves le premier jour, puis 5 les jours suivants. Soit $u_n$ le nombre d'élèves reçus à la fin du jour $n$ (pour $n \ge 1$) [19](#page=19). * **Nature de la suite:** Pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$, on ajoute 5. C'est une suite arithmétique de raison $r=5$ et de premier terme $u_1 = 2$ [30](#page=30). * **Formule explicite :** Pour $n \ge 1$, $u_n = u_1 + (n-1)r = 2 + (n-1)5 = 5n - 3$. * *Correction:* L'énoncé indique $u_n$ le nombre d'élèves reçus à la fin du jour $n$. Pour le jour 1, 2 élèves. Pour le jour 2, $2+5=7$ élèves. Donc $u_1=2$, $u_2=7$. * La formule $u_n = 5(n-1)+2$ pour $n \ge 1$ donne $u_1 = 5 +2=2$ et $u_2 = 5 +2=7$. La formule est correcte [1](#page=1) [30](#page=30). * **Journées nécessaires :** On cherche le plus petit entier $n_0$ tel que $u_{n_0} \ge 60$. * $5(n_0 - 1) + 2 \ge 60 \implies 5(n_0 - 1) \ge 58 \implies n_0 - 1 \ge \frac{58}{5} = 11.6$. * $n_0 \ge 12.6$. Donc $n_0 = 13$ journées [30](#page=30) [31](#page=31). * **Situation 2: Information des élèves** [20](#page=20) [31](#page=31). * Au départ, 3 dirigeants ($v_0 = 3$). Chaque jour, chaque élève au courant parle à deux nouveaux élèves. Soit $v_n$ le nombre d'élèves au courant à la fin du jour $n$ [20](#page=20). * **Nature de la suite:** Pour passer de $v_n$ à $v_{n+1}$, le nombre d'élèves au courant est multiplié par 3 (les anciens + 2 nouveaux par ancien). Le raisonnement exact est: au jour $n$, il y a $v_n$ élèves au courant. Ces $v_n$ élèves informent $2 v_n$ nouveaux élèves. Donc $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. C'est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $v_0 = 3$ [31](#page=31). * **Formule explicite :** $v_n = v_0 q^n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$. * *Correction:* L'énoncé précise que "chacun des trois représentants parle à deux nouveaux élèves le premier jour puis, les jours suivants, chacun des élèves au courant ... parle à deux nouveaux élèves". * Jour 0: $v_0 = 3$. * Jour 1: Les 3 dirigeants parlent à 2 nouveaux chacun, donc 6 nouveaux. $v_1 = 3 + 6 = 9$. * Jour 2: Les 9 élèves au courant parlent à 2 nouveaux chacun, donc 18 nouveaux. $v_2 = 9 + 18 = 27$. * Il semble que la relation de récurrence soit $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. Le premier terme est $v_0=3$. La formule explicite est donc $v_n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$ [31](#page=31). * **Journées nécessaires :** On cherche le plus petit entier $n_0$ tel que $v_{n_0} \ge 60$. * $3^{n_0+1} \ge 60$. * Si $n_0 = 3$, $3^{3+1} = 3^4 = 81 \ge 60$. * Si $n_0 = 2$, $3^{2+1} = 3^3 = 27 < 60$. * Donc $n_0 = 3$ journées [31](#page=31). * *Correction des éléments de correction:* L'élément de correction indique $v_n = 3 \times 2^n$ ce qui correspondrait à $v_{n+1} = 2v_n$. L'énoncé suggère $v_{n+1} = 3v_n$. Il y a une divergence ici. Si on suit l'énoncé qui dit "chacun... parle à deux nouveaux élèves", cela signifie que le nombre de nouveaux élèves informés est le double du nombre d'élèves déjà informés. Donc si $v_n$ élèves sont informés au jour $n$, alors $2v_n$ nouveaux élèves sont informés au jour $n+1$. La relation de récurrence est $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. L'élément de correction semble erroné pour cette partie. En utilisant $v_n = 3 \times 2^n$ comme indiqué dans la correction: $3 \times 2^{n_0} \ge 60 \implies 2^{n_0} \ge 20$. $2^4=16$, $2^5=32$. Donc $n_0 = 5$ journées. L'interprétation de "parle à deux nouveaux élèves" est ambiguë. Si cela signifie que le nombre d'élèves au courant double à chaque étape, c'est $v_{n+1}=2v_n$. Si cela signifie que chaque élève au courant en informe 2 *nouveaux*, alors $v_{n+1} = v_n + 2v_n = 3v_n$. L'élément de correction semble pencher pour la seconde interprétation, mais utilise une formule géométrique de raison 2, ce qui est contradictoire. En considérant la correction comme juste ($v_n = 3 \times 2^n$), la limite est 5 [31](#page=31). #### 4.1.3 Exercice 12.3 : Limites de suites combinées Cet exercice étudie les limites de suites formées par des combinaisons linéaires ou des quotients de suites géométriques [20](#page=20) [31](#page=31). * **Suites $u_n$ et $v_n$** [20](#page=20) [31](#page=31). * $u_n = 0.5^n / 7$. C'est une suite géométrique de raison $q = 0.5$ et de premier terme $u_0 = 1/7$. Comme $-1 < 0.5 < 1$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ [31](#page=31). * $v_n = -2 \times (4/3)^n$. C'est une suite géométrique de raison $q = 4/3$ et de premier terme $v_0 = -2$. Comme $4/3 > 1$ et le premier terme est négatif, $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$ [31](#page=31). * **Suites $w_n = u_n - 3v_n$ et $t_n = u_n / v_n$** [20](#page=20) [31](#page=31). * **Suite $w_n$:** $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$. Donc, $\lim_{n \to +\infty} (-3v_n) = +\infty$. Par addition, $\lim_{n \to +\infty} w_n = 0 + (+\infty) = +\infty$ [31](#page=31). * **Suite $t_n$:** $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$. Par quotient, $\lim_{n \to +\infty} t_n = \frac{0}{-\infty} = 0$ [31](#page=31). ### 4.2 Étude des suites arithmético-géométriques Ces exercices appliquent la méthode de transformation en suite géométrique pour étudier les suites arithmético-géométriques [20](#page=20) [21](#page=21) [32](#page=32) [33](#page=33). #### 4.2.1 Exercice 12.4 : Démonstration des propriétés des suites arithmético-géométriques Cet exercice vise à retrouver les résultats du cours sur les suites arithmético-géométriques [20](#page=20) [32](#page=32) [33](#page=33). * **Cas particulier: $a=1$** [20](#page=20) [32](#page=32). * La suite est de la forme $u_{n+1} = u_n + b$. C'est une suite arithmétique de raison $b$ [32](#page=32). * L'expression explicite est $u_n = u_0 + nb$ [32](#page=32). * La limite dépend de $b$ : * Si $b < 0$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ [32](#page=32). * Si $b = 0$, la suite est constante, $\lim_{n \to +\infty} u_n = u_0$ [32](#page=32). * Si $b > 0$, $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ [32](#page=32). * **Cas général: $a \ne 1$** [21](#page=21) [32](#page=32) [33](#page=33). * La suite est définie par $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \ne 1$ [20](#page=20). * **Point fixe:** L'équation $f(x) = x$, où $f(x) = ax+b$, admet une unique solution $\omega = \frac{b}{1-a}$ (car $a \ne 1$) [32](#page=32). * **Suite auxiliaire:** On pose $v_n = u_n - \omega$ [21](#page=21). * On montre que $v_{n+1} = u_{n+1} - \omega = (a u_n + b) - (a \omega + b) = a(u_n - \omega) = a v_n$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $a$ [33](#page=33). * **Formule explicite :** $v_n = a^n v_0 = a^n (u_0 - \omega) = a^n \left(u_0 - \frac{b}{1-a}\right)$. * Donc, $u_n = v_n + \omega = a^n \left(u_0 - \frac{b}{1-a}\right) + \frac{b}{1-a}$ [33](#page=33). * **Convergence:** Si $|a| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$. Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$. La suite $(u_n)$ converge vers $\omega = \frac{b}{1-a}$ [33](#page=33). #### 4.2.2 Exercice 12.7 : Étude d'une suite récurrente via une suite géométrique auxiliaire Cet exercice utilise une suite géométrique auxiliaire pour étudier une suite récurrente plus complexe [22](#page=22) [35](#page=35) [36](#page=36). * **Suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{6u_n}{1+u_n}$** [22](#page=22) [35](#page=35). * **Bornes:** On démontre par récurrence que $0 < u_n \le 5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ [35](#page=35). * Initialisation : $0 < u_0 = 1 \le 5$. Vrai. * Hérédité : Supposons $0 < u_n \le 5$. Alors $1 < 1+u_n \le 6$ et $0 < 6u_n \le 30$. * $u_{n+1} = \frac{6u_n}{1+u_n} > 0$. * $u_{n+1} - 5 = \frac{6u_n}{1+u_n} - 5 = \frac{6u_n - 5(1+u_n)}{1+u_n} = \frac{u_n - 5}{1+u_n}$. Comme $u_n \le 5$ et $1+u_n > 0$, $u_{n+1} - 5 \le 0$, donc $u_{n+1} \le 5$. La propriété est héréditaire [35](#page=35). * **Suite auxiliaire $(v_n)$:** On définit $v_n = \frac{1 - 5}{u_n}$ [22](#page=22) [35](#page=35). * **Nature de $(v_n)$ :** $v_{n+1} = \frac{1 - 5}{u_{n+1}} = \frac{1 - 5}{\frac{6u_n}{1+u_n}} = \frac{1+u_n - 5}{6u_n} = \frac{u_n - 5}{6u_n} = \frac{1}{6} \left(1 - \frac{5}{u_n}\right) = \frac{1}{6} v_n$. * La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1/6$ et de premier terme $v_0 = \frac{1 - 5}{u_0} = \frac{1 - 5}{1} = -4$ [35](#page=35). * **Formule explicite :** * $v_n = v_0 q^n = -4 \left(\frac{1}{6}\right)^n$ [35](#page=35). * On tire $u_n$ de la définition de $v_n$: $v_n = 1 - \frac{5}{u_n} \implies \frac{5}{u_n} = 1 - v_n \implies u_n = \frac{5}{1 - v_n}$. * $u_n = \frac{5}{1 - (-4(1/6)^n)} = \frac{5}{1 + 4(1/6)^n}$ [36](#page=36). * **Limite de $(u_n)$ :** Comme $|1/6| < 1$, $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$. * Par conséquent, $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5}{1 - 0} = 5$ [36](#page=36). ### 4.3 Exercices variés sur les suites D'autres exercices abordent différentes facettes de l'étude des suites. #### 4.3.1 Exercice 12.5 : Suite convergente ou divergente Cet exercice analyse une suite récurrente quadratique [21](#page=21) [33](#page=33) [34](#page=34). * **Suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n^2 + u_n$** [21](#page=21). * **Monotonie:** $u_{n+1} - u_n = u_n^2$. Comme $u_0=1>0$, et la suite sera croissante, $u_n>0$ pour tout $n$. Donc $u_{n+1}-u_n = u_n^2 \ge 0$. La suite est croissante [33](#page=33). * **Limite potentielle:** Si $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$, alors $\ell = \ell^2 + \ell$, ce qui implique $\ell^2 = 0$, donc $\ell = 0$ [33](#page=33). * **Divergence vers $+\infty$ :** Raisonnons par l'absurde. Si $(u_n)$ ne diverge pas vers $+\infty$, comme elle est croissante, elle converge vers une limite $\ell$. D'après le point précédent, $\ell=0$. * Cependant, $u_0=1 > 0$. Comme la suite est croissante, $u_n \ge u_0 = 1$ pour tout $n$. * Ceci contredit $\ell=0$. Donc l'hypothèse de convergence est fausse. La suite diverge vers $+\infty$ [33](#page=33) [34](#page=34). #### 4.3.2 Exercice 12.6 : Conjecture et preuve par récurrence Cet exercice combine la formulation d'une conjecture sur une formule explicite et sa démonstration par récurrence [21](#page=21) [34](#page=34). * **Suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$** [21](#page=21). * **Calcul des premiers termes et conjecture :** * $u_0 = 1$ * $u_1 = u_0 + 2 + 3 = 1 + 3 = 4$ . * $u_2 = u_1 + 2 + 3 = 4 + 2 + 3 = 9$ [1](#page=1). * $u_3 = u_2 + 2 + 3 = 9 + 4 + 3 = 16$ [2](#page=2). * $u_4 = u_3 + 2 + 3 = 16 + 6 + 3 = 25$ [3](#page=3). * $u_5 = u_4 + 2 + 3 = 25 + 8 + 3 = 36$ [4](#page=4). * On observe que $u_n = (n+1)^2$ pour $n \in \{0, 1, \dots, 5\}$ [34](#page=34). * **Preuve par récurrence :** Soit $P(n)$ la propriété $u_n = (n+1)^2$. * **Initialisation:** $P $ est vraie car $u_0 = 1 = (0+1)^2$ [34](#page=34). * **Hérédité :** Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n \ge 0$, c'est-à-dire $u_n = (n+1)^2$. Montrons que $P(n+1)$ est vraie : * $u_{n+1} = u_n + 2n + 3$ (hypothèse de récurrence) * $u_{n+1} = (n+1)^2 + 2n + 3$ * $u_{n+1} = (n^2 + 2n + 1) + 2n + 3$ * $u_{n+1} = n^2 + 4n + 4$ * $u_{n+1} = (n+2)^2 = ((n+1)+1)^2$. * Donc $P(n+1)$ est vraie [34](#page=34). * **Conclusion:** Par le principe de récurrence, $u_n = (n+1)^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ [34](#page=34). --- ## Erreurs courantes à éviter - Révisez tous les sujets en profondeur avant les examens - Portez attention aux formules et définitions clés - Pratiquez avec les exemples fournis dans chaque section - Ne mémorisez pas sans comprendre les concepts sous-jacents

| Term | Definition | |------|------------| | Suite numérique | Une application u : N → R, où u(n) est noté u_n et est appelé le n-ième terme de la suite. | | Suite majorée | Une suite (u_n) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout n ∈ N, u_n ⩽ M. | | Suite minorée | Une suite (u_n) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout n ∈ N, m ⩽ u_n. | | Suite bornée | Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. | | Suite croissante | Une suite (u_n) est croissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} ⩾ u_n. | | Suite strictement croissante | Une suite (u_n) est strictement croissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} > u_n. | | Suite décroissante | Une suite (u_n) est décroissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} ⩽ u_n. | | Suite strictement décroissante | Une suite (u_n) est strictement décroissante si pour tout n ∈ N, u_{n+1} < u_n. | | Suite monotone | Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. | | Limite finie | Une suite (u_n) a pour limite ℓ si pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n_0 tel que pour tout n ⩾ n_0, on ait |u_n - ℓ| < ε. | | Limite infinie | Une suite (u_n) tend vers +∞ si pour tout ε > 0, il existe un entier naturel n_0 tel que pour tout n ⩾ n_0, on ait u_n > ε. De manière analogue, elle tend vers -∞ si pour tout ε > 0, il existe n_0 tel que pour tout n ⩾ n_0, u_n < -ε. | | Suite convergente | Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie. | | Suite divergente | Une suite est dite divergente si elle n'est pas convergente, c'est-à-dire si elle tend vers une limite infinie ou si elle n'a pas de limite. | | Suite arithmétique | Une suite (u_n) est arithmétique s'il existe un réel r (raison) tel que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = u_n + r. | | Suite géométrique | Une suite (u_n) est géométrique s'il existe un réel q (raison) tel que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = q * u_n. | | Suite arithmético-géométrique | Une suite (u_n) est arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = a * u_n + b. | | Suite récurrente | Une suite (u_n) est récurrente s'il existe une fonction f et un intervalle I stable par f tels que pour tout n ∈ N, u_{n+1} = f(u_n) et u_0 ∈ I. | | Raison d'une suite arithmétique | La constante r ajoutée à un terme pour obtenir le terme suivant dans une suite arithmétique. | | Raison d'une suite géométrique | Le facteur q par lequel on multiplie un terme pour obtenir le terme suivant dans une suite géométrique. | | Point fixe d'une fonction affine | La valeur x telle que f(x) = x, où f(x) = ax + b. Ce point fixe est ω = b / (1 - a) lorsque a ≠ 1. | | Somme des premiers termes d'une suite géométrique | La formule 1 + q + q^2 + ... + q^n = (1 - q^{n+1}) / (1 - q) pour q ≠ 1. |