Signalen_en_Systemen_Ch3_lesdocument_1-23.pdf

# Introductie tot LTI-systemen en het basisidee van transformatie Dit gedeelte introduceert systemen, met name lineaire tijdsinvariante (LTI) systemen, en hoe deze werken met excitatie en respons, waarbij het belang van de impulsrespons en het transformeren van signalen wordt benadrukt [16](#page=16) [5](#page=5). ### 1.1 Systemen en hun eigenschappen Een systeem wordt gedefinieerd als een mathematisch model van een fysisch proces dat het verband tussen in- en uitgang weergeeft. Dit betekent dat een systeem een ingangssignaal $x(t)$ transformeert naar een uitgangssignaal $y(t)$, wat wordt weergegeven als $y(t) = T\{x(t)\}$ [5](#page=5). Een systeem wordt beschouwd als **lineair** indien het voldoet aan de volgende twee principes [5](#page=5): * **Additiviteit (Superpositieprincipe):** Als een systeem input $x_1(t)$ produceert output $y_1(t)$ en input $x_2(t)$ produceert output $y_2(t)$, dan produceert de input $x_1(t) + x_2(t)$ de output $y_1(t) + y_2(t)$. * **Homogeniteit:** Als een systeem input $x(t)$ produceert output $y(t)$, dan produceert de input $a \cdot x(t)$ de output $a \cdot y(t)$ voor elke constante $a$. Een systeem is **tijdinvariant** als een tijdsverschuiving van het ingangssignaal resulteert in dezelfde tijdsverschuiving van het uitgangssignaal. Met andere woorden, als $T\{x(t)\} = y(t)$, dan geldt $T\{x(t - t_0)\} = y(t - t_0)$ voor elke tijdsverschuiving $t_0$ [5](#page=5). Een systeem dat zowel lineair als tijdinvariant is, wordt een **LTI-systeem** genoemd. De werking van een LTI-systeem kan worden gekenmerkt door zijn reactie op de impuls, ook wel de **impulsrespons** genoemd [6](#page=6) [7](#page=7). ### 1.2 De impulsrespons van LTI-systemen De impulsrespons, aangeduid met $h(t)$, is de uitgang van een LTI-systeem wanneer de ingang de Dirac-deltafunctie $\delta(t)$ is. Mathematisch wordt dit uitgedrukt als $h(t) = T\{\delta(t)\}$ [7](#page=7). Het verband tussen de ingang $x(t)$ en de uitgang $y(t)$ van een LTI-systeem kan worden beschreven door de convolutie-integraal: $$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau$$ Hierbij representeert $*$ de convolutie-operator. De convolutie van een ingangssignaal met de impulsrespons van het systeem geeft de uitgang van het systeem weer [7](#page=7). > **Tip:** Begrijpen van de impulsrespons is cruciaal omdat deze de intrinsieke eigenschappen van het LTI-systeem volledig karakteriseert. ### 1.3 Complexe exponentiëlen als eigenfuncties van LTI-systemen Een fundamenteel inzicht in LTI-systemen is dat complexe exponentiële functies van de vorm $x(t) = A \cdot e^{st}$ eigenfuncties zijn van deze systemen. Hierbij is $s$ een complexe variabele ($s = \sigma + j\omega$) en $A$ is een constante [10](#page=10) [11](#page=11) [9](#page=9). Wanneer een complexe exponentiële functie als ingangssignaal aan een LTI-systeem wordt aangeboden, is de uitgang ook een complexe exponentiële functie van dezelfde vorm, maar vermenigvuldigd met een constante factor die afhangt van $s$ en de impulsrespons van het systeem. Dit wordt uitgedrukt als $y(t) = A \cdot e^{st} \cdot \lambda$, waarbij $\lambda$ de eigenwaarde is [10](#page=10). De eigenwaarde $\lambda$ wordt bepaald door de Laplace-getransformeerde van de impulsrespons, $H(s)$, geëvalueerd op de waarde van $s$: $$\lambda = H(s) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-st} dt$$ Dit betekent dat voor een ingang $x(t) = A \cdot e^{st}$, de uitgang $y(t) = A \cdot e^{st} \cdot H(s)$ is [10](#page=10). ### 1.4 De transformatie van het tijdsdomein naar het s-domein Het basisidee om complexe exponentiëlen te gebruiken leidt tot het transformeren van signalen van het tijdsdomein naar het s-domein (ook wel het complexe frequentiedomein genoemd). Dit wordt mogelijk gemaakt doordat elk willekeurig signaal $x(t)$ kan worden voorgesteld als een (oneindige) som van complexe exponentiëlen van de vorm $A(s)e^{st}$, waarbij $s$ een complexe variabele is en $\omega$ varieert van $-\infty$ tot $+\infty$ [12](#page=12) [13](#page=13) [14](#page=14) [16](#page=16). Formeel kan een signaal $x(t)$ worden geschreven als: $$x(t) \approx \sum A(s) e^{st}$$ Als we een dergelijk signaal als ingang aan een LTI-systeem geven, wordt de uitgang: $$y(t) = T\{x(t)\} \approx \sum T\{A(s)e^{st}\}$$ Omdat $e^{st}$ een eigenfunctie is, geldt: $$y(t) \approx \sum A(s) H(s) e^{st}$$ Deze transformatie biedt aanzienlijke voordelen [16](#page=16): * **Vereenvoudiging van bewerkingen:** Complexe bewerkingen in het tijdsdomein, zoals convolutie, differentiatie en integratie, worden omgezet in eenvoudigere algebraïsche bewerkingen in het s-domein [16](#page=16). * **Oplossen van differentiaalvergelijkingen:** Moeilijke complexe differentiaalvergelijkingen die de systemen beschrijven, worden omgezet in algebraïsche vergelijkingen in het s-domein, wat hun oplossing aanzienlijk vereenvoudigt [16](#page=16). > **Voorbeeld:** Convolutie in het tijdsdomein ($y(t) = x(t) * h(t)$) wordt in het s-domein een simpel product van de getransformeerde signalen ($Y(s) = X(s) \cdot H(s)$) [15](#page=15). De transformatie van het tijdsdomein naar het s-domein maakt het analyseren en ontwerpen van LTI-systemen veel efficiënter [16](#page=16). --- # De Laplace-transformatie en de inverse transformatie De Laplace-transformatie is een krachtig wiskundig hulpmiddel dat continue-tijd signalen omzet van het tijdsdomein naar het s-domein, en de inverse transformatie maakt het mogelijk om terug te keren naar het tijdsdomein [17](#page=17) [20](#page=20). ### 3.2.1 De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is gedefinieerd als een lineaire operator die een continu-tijd signaal $x(t)$ transformeert naar een functie $X(s)$ in het s-domein. Dit betekent dat we overgaan van een functie van tijd ($t$) naar een functie van een complexe variabele ($s$) [17](#page=17). #### 3.2.1.1 Wiskundige definitie De Laplace-transformatie van een signaal $x(t)$ wordt wiskundig uitgedrukt als een oneigenlijke integraal: $$X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$ [17](#page=17) [18](#page=18) [19](#page=19). Hierin is $s$ een complexe variabele, die geschreven kan worden als $s = \sigma + j\omega$, waarbij $\sigma$ het reële deel en $\omega$ het imaginaire deel van $s$ voorstelt [17](#page=17). #### 3.2.1.2 Het s-domein De complexe variabele $s$ kan worden voorgesteld als een punt in een complex vlak. In dit vlak stelt de horizontale as (abscis) de reële waarde van $s$ ($\sigma$) voor, en de verticale as (ordinaat) de imaginaire waarde van $s$ ($j\omega$) [18](#page=18). > **Tip:** Het begrijpen van het complexe s-vlak is cruciaal voor het analyseren van systemen met Laplace-transformaties, omdat de convergentie van de integraal afhangt van de locatie van $s$. ### 3.2.2 De inverse Laplace-transformatie De inverse Laplace-transformatie is eveneens een lineaire operator die een functie $X(s)$ in het s-domein terug transformeert naar het oorspronkelijke tijdsdomein signaal $x(t)$ [20](#page=20). #### 3.2.2.1 Wiskundige definitie De inverse Laplace-transformatie wordt gedefinieerd met behulp van een integraal in het complexe vlak: $$x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma_0 - j\infty}^{\sigma_0 + j\infty} X(s) e^{st} ds$$ [20](#page=20) [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23). Hierbij is $\sigma_0$ de reële waarde die bepaalt over welke lijn in het complexe vlak er geïntegreerd wordt. De integratie vindt plaats langs een verticale lijn in het complexe s-vlak [21](#page=21). #### 3.2.2.2 Interpretatie van de inverse transformatie $x(t)$ kan worden opgevat als een oneindige som van complex exponentiële termen met een vaste $\sigma$ en een variabele $\omega$. Het gewicht van elke complexe exponentiële term is gerelateerd aan $X(s)$ [22](#page=22). > **Tip:** Twee complex geconjugeerde punten in het s-vlak vertegenwoordigen samen een sinusvormige component met een exponentieel veranderende amplitude. Hoe dichter deze punten bij de $j\omega$-as liggen, hoe langzamer de amplitude van het signaal verandert [23](#page=23). > **Voorbeeld:** De transformatie maakt het mogelijk om differentiaalvergelijkingen in het tijdsdomein om te zetten naar algebraïsche vergelijkingen in het s-domein, wat de analyse en oplossing van lineaire tijdsinvariante systemen aanzienlijk vereenvoudigt [17](#page=17). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Systeem | Een wiskundig model dat het verband tussen de input en output van een fysisch proces beschrijft, waarbij het systeem de input transformeert naar de output. | | Lineair Tijdsinvariant (LTI) systeem | Een systeem dat voldoet aan de principes van additiviteit, homogeniteit (lineariteit) en tijdsinvariantie, wat betekent dat de respons van het systeem niet verandert als het ingangssignaal wordt verschoven in de tijd. | | Impulsrespons | Het antwoord van een LTI-systeem op een Dirac-delta-functie als input. De impulsrespons, vaak aangeduid met $h(t)$, bepaalt volledig het gedrag van het systeem en maakt het mogelijk de output voor elke willekeurige input te berekenen via convolutie. | | Convolutie | Een wiskundige bewerking die de output van een LTI-systeem definieert als reactie op een inputsignaal. Het wordt uitgedrukt als een integraal die het ingangssignaal en de impulsrespons van het systeem combineert: $y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t - \tau)d\tau$. | | Complexe exponentiële | Een signaal van de vorm $A \cdot e^{st}$, waarbij $s$ een complexe variabele is ($s = \sigma + j\omega$). Deze signalen zijn eigenschappen van LTI-systemen, wat betekent dat als de input een complexe exponentiële is, de output ook een complexe exponentiële is, maar met een geschaalde amplitude. | | Eigenfunctie | Een functie die, wanneer toegepast als input op een lineaire operator, een output oplevert die een veelvoud is van de oorspronkelijke functie. Voor LTI-systemen zijn complexe exponentiële signalen eigenfuncties. | | Eigenwaarde | De factor waarmee een eigenfunctie wordt vermenigvuldigd wanneer deze wordt toegepast op een lineaire operator. Voor LTI-systemen is de eigenwaarde, aangeduid met $\lambda$ of $H(s)$, gelijk aan de Laplace-transformatie van de impulsrespons $h(t)$. | | s-domein | Het domein waar een signaal wordt voorgesteld na transformatie van het tijdsdomein met behulp van de Laplace-transformatie. In dit domein worden operaties zoals convolutie omgezet in algebraïsche vermenigvuldigingen. | | Laplace-transformatie | Een integrale transformatie die een functie van de tijd $x(t)$ omzet naar een functie van een complexe variabele $s$, $X(s)$. De definitie is $X(s) = \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}dt$. | | Complexe variabele s | Een complexe getal van de vorm $s = \sigma + j\omega$, waar $\sigma$ het reële deel is (gerelateerd aan de demping of groei van een signaal) en $\omega$ het imaginaire deel is (gerelateerd aan de frequentie van het signaal). | | Inverse Laplace-transformatie | Een integrale transformatie die een functie van de complexe variabele $s$, $X(s)$, terug omzet naar een functie van de tijd, $x(t)$. De definitie is $x(t) = \mathcal{L}^{-1}\{X(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma_0 - j\infty}^{\sigma_0 + j\infty} X(s)e^{st}ds$. |