Cursus Elektriciteit AC_2025_2026.pdf

# Basisbegrippen van wisselspanning en -stroom Dit onderwerp introduceert de fundamentele concepten van wisselspanning en wisselstroom, inclusief hun tijdsverloop, periode, frequentie, gemiddelde en effectieve waarden. ### 1.1 Wisselstroom Een wisselstroom is een elektrische stroom waarvan de richting van de stroomzin niet constant is, maar afwisselend verandert. Om de actuele stroomzin op een bepaald moment duidelijk te maken, wordt een referentiezin gedefinieerd. Als de werkelijke stroom in de richting van de referentiepijl vloeit, wordt de stroomwaarde als positief beschouwd; anders, als de stroom tegengesteld stroomt, wordt de waarde negatief [12](#page=12). Het tijdsverloop van een wisselstroom wordt weergegeven in een grafiek die de stroomsterkte en polariteit over tijd toont. De snijpunten met de tijdas worden nulpunten genoemd, momenten waarop de stroomwaarde nul is. Delen van de grafiek boven de tijdas duiden op een positieve stroomzin (in de richting van de referentiepijl), terwijl delen eronder een negatieve stroomzin (tegengesteld aan de referentiepijl) aangeven [12](#page=12). Verschillende standaardvormen van wisselstromen bestaan, zoals blokgolven, driehoekgolven, zaagtandgolven en sinusgolven, die herkenbare patronen in hun tijdsverloop vertonen. Wanneer er geen herhalend patroon is, spreekt men van een willekeurig veranderlijke stroom [13](#page=13). #### 1.1.1 Ogenblikkelijke waarde van de stroom i(t) De waarde van een wisselstroom op een specifiek moment wordt de ogenblikkelijke waarde genoemd en wordt aangeduid met $i(t)$ of kortweg $i$. Kleine letters in de notatie duiden op een veranderlijke waarde, terwijl hoofdletters duiden op een constante waarde [14](#page=14). > **Voorbeeld:** > In een grafiek worden specifieke ogenblikkelijke spanningswaarden weergegeven, bijvoorbeeld op tijdstippen $t=1\text{s}$ met $u = +3\text{V}$, op $t=2.5\text{s}$ met $u(2.5) = 0\text{V}$, en op $t=2.5\text{s}$ met $u(2.5) = -6\text{V}$ [15](#page=15) [1](#page=1). ### 1.2 Wisselspanning Wisselspanningen zijn spanningen die wisselstromen opwekken, waarbij de polariteit van de klemmen afwisselend omkeert. Net als bij wisselstroom is de definitie van een referentiepolariteit (spanningspijl) essentieel om de werkelijke polariteit op elk moment te kunnen specificeren. Een positieve spanning wordt geregistreerd wanneer de werkelijke polariteit overeenkomt met de referentiezin, en een negatieve waarde wanneer deze tegengesteld is [13](#page=13). Het tijdsverloop van een wisselspanning toont de grootte en polariteit van de spanning over tijd. Delen van de grafiek boven de tijdas duiden op een positieve spanning, terwijl delen eronder een negatieve spanning aangeven. De interpretatie van het tijdsverloop is enkel eenduidig wanneer een spanningspijl is gedefinieerd [14](#page=14). > **Tip:** > Een handige manier om een spanningsverloop voor te stellen, is door de klem waar de referentiepijl vertrekt als massa (0V) te beschouwen. De evolutie van de potentiaal van de andere klem wordt dan weergegeven door het tijdsverloop [14](#page=14). #### 1.2.1 Ogenblikkelijke waarde van de spanning u(t) De waarde van een wisselspanning op een specifiek moment wordt de ogenblikkelijke waarde genoemd en wordt aangeduid met $u(t)$ of kortweg $u$. Kleine letters in de notatie duiden op een veranderlijke waarde [14](#page=14). ### 1.3 Periode T[s Een spanning of stroom wordt als periodiek beschouwd als er een herkenbaar patroon in het tijdsverloop steeds terugkomt. Het kleinste herhalende segment wordt een periode genoemd. De tijd die nodig is om één periode te doorlopen, is de periodetijd, aangeduid met $T$ en gemeten in seconden [15](#page=15). > **Voorbeeld:** > In een grafiek van een wisselspanning is de periodetijd $T = 4.5\text{s}$ af te leiden uit het herhalende patroon [15](#page=15). Wanneer er geen herhalend patroon is, spreekt men van een willekeurig verlopende of aperiodieke wisselspanning of -stroom [16](#page=16). ### 1.4 Frequentie f[Hz De frequentie ($f$) van een wisselspanning of -stroom is het aantal perioden dat binnen één seconde plaatsvindt en wordt uitgedrukt in Hertz (Hz = 1/s). De relatie tussen frequentie en periodetijd is [16](#page=16): $$f = \frac{1}{T}$$ [16](#page=16). > **Voorbeeld:** > Als een periode $T = 10\text{ms}$ (of $0.01\text{s}$) duurt, dan is de frequentie $f = \frac{1}{0.01\text{s}} = 100\text{Hz}$. Dit betekent dat er 100 perioden van 10ms in één seconde plaatsvinden [16](#page=16). Praktische frequenties variëren, zoals 50 Hz of 60 Hz voor het wisselspanningsnet, 16 2/3 Hz en 25 Hz voor spoorwegen, 20 Hz tot 20 kHz voor geluidsweergave, en 100 kHz tot 10 GHz voor hoogfrequenttechniek [16](#page=16). ### 1.5 Gemiddelde stroom I$_g$[A De gemiddelde waarde van een wisselstroom ($I_g$) vertegenwoordigt de netto lading die per periode wordt verplaatst. Als evenveel lading in beide richtingen stroomt, is de gemiddelde waarde nul, wat duidt op geen netto verplaatsing van lading [16](#page=16). > **Voorbeeld:** > Bij een symmetrische zaagtandspanning stroomt in één periode evenveel lading heen ($Q+$) als terug ($Q-$), waardoor de gemiddelde stroom $I_g = 0$ is [16](#page=16). Bij een niet-symmetrische wisselstroom is er een netto ladingsverplaatsing per periode. De gemiddelde stroom is dan de netto lading ($Q_g$) gedeeld door de periode ($T$) [17](#page=17). $$I_g = \frac{Q_g}{T} = \frac{Q_+ - Q_-}{T}$$ [17](#page=17). De intrinsieke betekenis van de gemiddelde stroomwaarde is de waarde van een constante gelijkstroom die in dezelfde tijd evenveel netto lading zou verplaatsen als de wisselstroom. Grafisch kan de gemiddelde waarde bepaald worden door een horizontale lijn te zoeken die de oppervlakte boven de lijn gelijk maakt aan de oppervlakte eronder binnen één periode [17](#page=17) [18](#page=18). ### 1.6 Gemiddelde spanning U$_g$[V De gemiddelde waarde van een wisselspanning ($U_g$) heeft minder een directe, inzichtelijke betekenis dan de gemiddelde stroom en wordt meer als een wiskundig begrip beschouwd. De berekeningsmethode is echter analoog aan die voor de gemiddelde stroom [18](#page=18). ### 1.7 Stroom- en spanningssoorten Spanningen en stromen kunnen worden ingedeeld op basis van hun tijdsverloop [18](#page=18): * **Zuivere gelijkstroom en -spanning:** Constant in waarde en polariteit. De ogenblikkelijke waarde is gelijk aan de gemiddelde waarde ($i(t) = I = I_g$, $u(t) = U = U_g$) [18](#page=18). * **Veranderlijke gelijkstroom of -spanning:** De waarde verandert, maar de polariteit blijft constant. De gemiddelde waarde kan positief of negatief zijn [18](#page=18). * **Zuivere wisselstroom of -spanning:** De polariteit verandert en de gemiddelde waarde is nul ($I_g = 0$, $U_g = 0$). De oppervlakten boven en onder de tijdas zijn per periode gelijk [19](#page=19). * **Onzuivere wisselstroom of -spanning:** De polariteit verandert en de gemiddelde waarde is niet nul. De gemiddelde waarde kan positief of negatief zijn [19](#page=19). Deze stroomsoorten worden vaak veroorzaakt door overeenkomstige spanningssoorten [19](#page=19). ### 1.8 Topwaarde U$_t$[V, top-top waarde U$_{tt}$[V en amplitude U$_m$[V De maximale waarde of topwaarde van een veranderlijke stroom of spanning is de uiterste waarde die bereikt wordt. Deze worden aangeduid als $U_{t+}$ en $U_{t-}$ (of $I_{t+}$ en $I_{t-}$) voor de positieve en negatieve maximale waarden. Het verschil tussen de maximale en minimale waarde is de top-top waarde, $U_{tt}$ of $U_{pp}$ [19](#page=19). Bij een zuivere wisselspanning of -stroom zijn de maximale waarden in positieve en negatieve zin gelijk. In dit geval spreekt men van amplitude ($U_m$ en $I_m$) [20](#page=20). ### 1.9 De effectieve waarden U[V en I[A De effectieve waarden van een wisselspanning of -stroom ($U$ en $I$) vertegenwoordigen de waarde van een constante gelijkspanning of -stroom die in dezelfde weerstand hetzelfde gemiddelde vermogen ontwikkelt. Deze waarden zijn essentieel voor het gebruik van eenvoudige vermogensformules zoals $P = U \cdot I = \frac{U^2}{R} = I^2 \cdot R$. Topwaarden of gemiddelde waarden zijn hiervoor niet geschikt [20](#page=20). Effectieve waarden zijn in technische zin de belangrijkste parameters, vooral bij energiedistributie, en zijn de waarden waarmee men in de praktijk werkt, bijvoorbeeld 230V wisselspanning. Gewone volt- en ampèremeters geven voor sinusvormige wisselspanningen de effectieve waarde aan. Effectieve waarden worden ook wel RMS-waarden (Root Mean Square) genoemd en worden genoteerd als $U$, $I$, $U_{eff}$, $I_{eff}$, $U_{RMS}$ of $I_{RMS}$ [21](#page=21). --- # Sinusoïdale spanning en stroom Dit hoofdstuk behandelt de specifieke eigenschappen, de vectoriële voorstelling en de berekening van ogenblikkelijke waarden voor sinusvormige wisselspanningen en -stromen [22](#page=22). ### 2.1 Periode, frequentie, alternantie, amplitude en top-topwaarde Zuivere sinusvormige wisselspanningen en -stromen zijn de meest voorkomende en fundamentele in de elektrotechniek. De definities van periode, frequentie en alternantie, zoals besproken in hoofdstuk 1, gelden ook hier [22](#page=22). * **Alternantie:** Het positieve deel van een periode wordt de positieve alternantie genoemd, en het negatieve deel de negatieve alternantie. Beide duren even lang, namelijk een halve periode [22](#page=22). * **Amplitude ($U_m$, $I_m$):** Bij sinusvormige grootheden spreekt men van amplitude in plaats van topwaarde. Dit is altijd een positief getal [22](#page=22). * **Topwaarden:** Vanwege de symmetrie gelden de volgende relaties voor de topwaarden: * $U_{t+} = +U_m$ en $U_{t-} = -U_m$ [22](#page=22). * $I_{t+} = +I_m$ en $I_{t-} = -I_m$ [22](#page=22). * **Top-topwaarde ($U_{tt}$, $I_{tt}$):** De top-topwaarde is het verschil tussen de positieve en negatieve topwaarde: * $U_{tt} = 2 \cdot U_m$ [22](#page=22). * $I_{tt} = 2 \cdot I_m$ [22](#page=22). > **Tip:** De isolatie van apparatuur en leidingen moet berekend worden op basis van de topwaarden ($U_{t+}$ en $U_{t-}$), aangezien dit de maximale spanning is die ze te verduren krijgen [24](#page=24). #### Voorbeeld Een apparaat is aangesloten op een wisselspanning van 230V/50Hz [24](#page=24). * De amplitude van de spanning is $U_m = \sqrt{2} \cdot U = \sqrt{2} \cdot 230\text{V} \approx 325\text{V}$ [24](#page=24). * De positieve en negatieve topwaarden zijn dus $U_{t+} = +325\text{V}$ en $U_{t-} = -325\text{V}$ [24](#page=24). * De periode is $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50\text{Hz}} = 0.02\text{s} = 20\text{ms}$ [24](#page=24). * De top-topwaarde is $U_{tt} = 2 \cdot U_m = 2 \cdot 325\text{V} = 650\text{V}$ [24](#page=24). * De gemiddelde waarde over een halve periode is $U_g = \frac{2}{\pi} \cdot U_m = \frac{2}{\pi} \cdot 325\text{V} \approx 206.9\text{V}$ [24](#page=24). ### 2.2 Effectieve waarde $U$ van een zuivere sinus De effectieve waarde (RMS-waarde) van een spanning of stroom is de meest belangrijke parameter, omdat hiermee het vermogen in een weerstand berekend kan worden. Standaard volt- en ampèremeters geven voor sinusvormige wisselspanningen en -stromen steeds de effectieve waarde weer [23](#page=23). Het verband tussen de effectieve waarde ($U$ of $I$) en de amplitude ($U_m$ of $I_m$) van een sinusvormige spanning of stroom is: $$ U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot U_m $$ [23](#page=23). $$ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot I_m $$ [23](#page=23). Dit betekent dat de amplitude gelijk is aan: $$ U_m = \sqrt{2} \cdot U \approx 1.41 \cdot U $$ [23](#page=23). $$ I_m = \sqrt{2} \cdot I \approx 1.41 \cdot I $$ [23](#page=23). #### Voorbeeld Een stroom heeft een amplitude van 100A [24](#page=24). * De gemiddelde waarde over een halve periode is $I_g = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0.636 \cdot 100\text{A} = 63.6\text{A}$ [24](#page=24). * De effectieve waarde is $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{100\text{A}}{\sqrt{2}} \approx 70.7\text{A}$ [24](#page=24). ### 2.3 Gemiddelde waarde $U_g$ van een zuivere sinus De strikt wiskundige gemiddelde waarde van een zuiver sinusoïdale spanning of stroom over een volledige periode is nul, omdat de oppervlakte van de positieve en negatieve alternantie gelijk zijn. Om deze reden wordt de gemiddelde waarde meestal berekend over een halve periode [23](#page=23). De formule voor de gemiddelde waarde over een halve periode is: $$ U_g = \frac{2}{\pi} \cdot U_m \approx 0.636 \cdot U_m $$ [23](#page=23). $$ I_g = \frac{2}{\pi} \cdot I_m \approx 0.636 \cdot I_m $$ [23](#page=23). ### 2.4 Herhaling: hoeken in graden en radialen In de wetenschap wordt de stand van een straal in een cirkel gemeten als een hoek $\alpha$ ten opzichte van de positieve horizontale as. Deze hoek wordt meestal uitgedrukt in graden of radialen, waarbij radialen de voorkeur genieten in de wetenschap [25](#page=25). De omrekeningsformules zijn: * Van radialen naar graden: $$ \alpha \text{ graden} = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx \alpha \cdot 57.296^\circ $$ [25](#page=25). * Van graden naar radialen: $$ \alpha \text{ radialen} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180} \approx \alpha \cdot 0.0175 \text{ rad} $$ [25](#page=25). ### 2.5 Vectoriële voorstelling Het tijdsverloop van een sinusvormige wisselspanning of -stroom kan gevisualiseerd worden met een vector (pijl) die met constante snelheid tegen klokwijzerzin draait. De lengte van de vector is gelijk aan de amplitude ($U_m$ of $I_m$), waardoor de pijlpunt een cirkel beschrijft met die straal. De snelheid waarmee de vector draait, correspondeert met de frequentie van de spanning [25](#page=25). * De vector draait in één periodetijd ($T$) een hoek van $360^\circ$ of $2\pi$ radialen [26](#page=26). * De hoeksnelheid ($\omega$) van een draaiende beweging wordt gegeven door $\omega = 2\pi f$ [rad/s [26](#page=26). * Na een tijd $t$ heeft de vector een hoekstand $\phi_t = \phi_0 + \omega \cdot t$ (in radialen) aangenomen. Meestal wordt de beginhoek $\phi_0 = 0$ rad gekozen [26](#page=26). * Het moment $t$ kan ook aangeduid worden door de fasehoek $\phi_t$, gemeten in elektrische graden [26](#page=26). De constructie van de sinusvorm verloopt als volgt: de doorlopen hoek wordt uitgezet op de horizontale as, en de verticale component van de draaiende vector geeft de ogenblikkelijke waarde weer op de verticale as [26](#page=26). #### Voorbeeld Een spanning heeft een periode $T = 0.01\text{s}$ [26](#page=26). * De frequentie is $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.01\text{s}} = 100\text{Hz}$ [26](#page=26). * De hoeksnelheid is $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 100 = 628.3\text{ rad/s}$ [26](#page=26). * Als $\phi_0 = 0^\circ$, dan is na $t = 2\text{ms}$ de hoekstand $\phi_t = \omega \cdot t = 628\text{ rad/s} \cdot 0.002\text{s} = 1.255\text{ rad}$, wat overeenkomt met $72^\circ$ [26](#page=26). ### 2.6 Belang van de vectoriële voorstelling Het kennen van de frequentie ($f$), amplitude ($U_m$ of $I_m$) en initiële fasehoek ($\phi_0$) is voldoende om de ogenblikkelijke waarde van een sinusoïdale wisselspanning of -stroom op elk moment te berekenen en de sinus te reconstrueren [27](#page=27). Een vereenvoudiging is dat een sinusoïdale wisselspanning of -stroom voorgesteld kan worden door een stilstaande vector onder de hoek die overeenkomt met de initiële fase ($\phi_0$), met een lengte gelijk aan de amplitude. De frequentie wordt erbij genoteerd [27](#page=27). #### Gebruik van de effectieve waarde voor de grootte van de vector Omdat de effectieve waarde in de elektrotechniek belangrijker is, wordt de lengte van de vector vaak gekozen om overeen te komen met de effectieve waarde in plaats van de amplitude. Het verband blijft $U_m = \sqrt{2} \cdot U$ en $I_m = \sqrt{2} \cdot I$ [27](#page=27). #### Voorbeeld Een spanning met amplitude $U_m = 500\text{V}$ en frequentie $f = 25\text{Hz}$, met een initiële fase $\phi_0 = 0^\circ$ [27](#page=27). * Effectieve waarde: $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} = \frac{500\text{V}}{\sqrt{2}} \approx 353.5\text{V}$ [27](#page=27). * Periode: $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{25\text{Hz}} = 0.04\text{s} = 40\text{ms}$ [27](#page=27). * Hoeksnelheid: $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 25\text{Hz} = 157.08\text{ rad/s}$ [27](#page=27). > **Opmerking:** > 1. De netspanning in Europa heeft standaard een frequentie van 50Hz. Indien geen twijfel mogelijk is, wordt de frequentie soms weggelaten en verondersteld als 50Hz [28](#page=28). > 2. Als $\phi_0 = 0^\circ$, start de sinus met een positieve alternantie vanuit de oorsprong [28](#page=28). ### 2.7 Berekenen van de ogenblikkelijke waarde $u_t$ Gegeven de amplitude ($U_m$), frequentie ($f$) en initiële fasehoek ($\phi_0$), kan de ogenblikkelijke waarde van de spanning op elk moment berekend worden [27](#page=27). De fasehoek $\phi_t$ op een willekeurig moment $t$ wordt berekend met de formule (gebruik makend van radialen): $$ \phi_t = \phi_0 + \omega \cdot t = \phi_0 + 2\pi \cdot f \cdot t $$ [29](#page=29). **Let op:** Als $\phi_0$ in graden is gegeven, moet deze eerst naar radialen worden omgezet. Het resultaat $\phi_t$ is ook in radialen [29](#page=29). De ogenblikkelijke waarde $u_t$ is de grootte van de verticale component van de vector met fasehoek $\phi_t$: $$ u_t = U_m \cdot \sin(\phi_t) = U_m \cdot \sin(\phi_0 + 2\pi \cdot f \cdot t) $$ [29](#page=29). > **Opmerking:** Bij berekeningen is het cruciaal om aandacht te besteden aan of hoeken in graden of radialen zijn gegeven, vooral bij het gebruik van een rekenmachine [29](#page=29). #### Oefening Het tijdsverloop van een spanning is gegeven met $T = 1\text{s}$, $U_m = 10\text{V}$ en $\phi_0 = 0^\circ$ [29](#page=29). * Frequentie: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1\text{s}} = 1\text{Hz}$ [29](#page=29). * Wiskundige uitdrukking: $u = U_m \cdot \sin(\phi_0 + 2\pi f \cdot t) = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot t)$ [29](#page=29). Ogenblikkelijke waarden op specifieke tijdstippen: * $u_1$ op $t = 0.15\text{s}$: $u_1 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.15) \approx 8.09\text{V}$ [29](#page=29). * $u_2$ op $t = 0.25\text{s}$: $u_2 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.25) = 10.0\text{V}$ [29](#page=29). * $u_3$ op $t = 0.50\text{s}$: $u_3 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.50) = 0.00\text{V}$ [29](#page=29). * $u_4$ op $t = 0.90\text{s}$: $u_4 = 10\text{V} \cdot \sin(2\pi \cdot 1 \cdot 0.90) \approx -5.88\text{V}$ [29](#page=29). ### 2.8 Oefeningen (Verwijzing naar de oefeningen in het document.) [30](#page=30). --- # Enkelvoudige AC-kringen en impedantie Dit hoofdstuk introduceert de concepten van impedantie en faseverschuivingen in enkelvoudige AC-kringen, met een focus op de gedragingen van ideale weerstanden, condensatoren en spoelen. ### 3.1 Wisselstroom en impedantie Wanneer een sinusoïdale wisselspanning op een verbruiker wordt aangesloten, zal er een sinusoïdale wisselstroom met dezelfde frequentie in de kring stromen. De tegenstand die de verbruiker aan deze stroom biedt, wordt aangeduid met de term impedantie, genoteerd als $Z$, en heeft als eenheid de Ohm. De impedantie wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de effectieve waarden van spanning ($U$) en stroom ($I$) [31](#page=31): $$Z = \frac{U}{I} [\Omega]$$ [31](#page=31). > **Voorbeeld:** Een TL-lamp opgenomen op 230V met een stroom van 2A heeft een impedantie van $Z = \frac{230V}{2A} = 115\Omega$ [31](#page=31). Het grafische symbool voor impedantie is hetzelfde als dat van een weerstand. Bij het tekenen van kringschema's wordt de conventie gevolgd dat bij bronnen de spanning- en stroomreferentiepijlen in dezelfde zin staan, en bij belastingen in tegengestelde zin [31](#page=31). ### 3.2 Faseverschuiving Naast de grootte van de impedantie is de faseverschuiving ($\phi$) tussen spanning en stroom cruciaal voor een volledige beschrijving van het gedrag van een AC-kring. Een faseverschuiving treedt op wanneer spanning en stroom niet synchroon verlopen. Dit kan grafisch worden weergegeven in een tijdsdiagram (verschoven toppen en nulpunten) of een vectordiagram (hoek tussen spannings- en stroomvector). De faseverschuiving wordt meestal uitgedrukt in elektrische graden [32](#page=32). Om de relatieve aard van "voor- en na-ijlen" te vermijden, wordt de stroomvector als referentie genomen. Een draaiing tegen de klok in (CCW) ten opzichte van de stroomvector naar de spanningsvector is een positieve hoekverdraaiing ($\phi > 0^\circ$), terwijl een draaiing met de klok mee (CW) een negatieve hoekverdraaiing is ($\phi < 0^\circ$) [33](#page=33). ### 3.3 Volledige bepaling van de impedantie De volledige impedantie ($Z^\rightarrow$) omvat zowel de grootte ($Z$) als de faseverschuiving ($\phi$). Deze wordt genoteerd als $Z^\rightarrow = Z \angle \phi^\circ$ [33](#page=33). > **Voorbeeld:** De impedantie van de TL-lamp wordt volledig beschreven als $Z^\rightarrow = 115\Omega \angle +45^\circ$ [33](#page=33). De notatie $Z$ verwijst enkel naar de getalwaarde in Ohm, terwijl $Z^\rightarrow$ de volledige informatie inclusief de faseverschuiving bevat [33](#page=33). ### 3.4 De drie ideale componenten In de elektrotechniek worden drie ideale componenten bestudeerd: de zuivere weerstand, de zuivere condensator en de zuivere spoel. Hoewel deze in de praktijk niet perfect bestaan, is hun studie essentieel [33](#page=33). #### 3.4.1 De zuivere of ideale weerstand Componenten zoals verwarmingsweerstanden en gloeilampen benaderen het gedrag van een ideale weerstand. Bij een zuivere weerstand is de impedantie gelijk aan de weerstandswaarde ($Z = R$) en verloopt de stroom volledig synchroon met de spanning, wat betekent dat de faseverschuiving nul is ($\phi = 0^\circ$). De impedantie is onafhankelijk van de frequentie [34](#page=34). De wet van Ohm is geldig voor zowel effectieve als ogenblikkelijke waarden bij een ideale weerstand [34](#page=34): $$R = \frac{U}{I} [\Omega \quad \text{en} \quad R = \frac{u_R}{i_R}$$ [34](#page=34). De volledige impedantie van een ideale weerstand wordt genoteerd als: $$Z_R = R \angle 0^\circ$$ [41](#page=41). #### 3.4.2 De zuivere of ideale condensator Condensatoren slaan elektrische lading op en geven deze snel weer af. De belangrijkste eigenschap is de capaciteit ($C$), uitgedrukt in Farad (F), hoewel praktijkwaarden vaak in microFarad ($\mu F$) liggen [35](#page=35). De impedantie ($Z_C$) van een ideale condensator, ook wel capacitieve reactantie ($X_C$) genoemd, is frequentieafhankelijk en wordt gegeven door: $$Z_C = X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} [\Omega]$$ [36](#page=36). Hierin is $\omega$ de hoekfrequentie, gelijk aan $2\pi f$. > **Voorbeeld:** Bij een frequentie van 50 Hz en een condensator van 1 $\mu F$, is de impedantie $Z_C = \frac{1}{2\pi \cdot 50 \cdot 1 \cdot 10^{-6}} \approx 3183\Omega$. Bij 100 Hz halveert de impedantie [36](#page=36). Een hogere frequentie resulteert in een lagere impedantie en dus een grotere stroom, en vice versa [36](#page=36). Bij een ideale condensator loopt de stroom 90° vooruit op de spanning ($\phi = -90^\circ$). Dit komt door het continue laden en ontladen van de condensatorplaten. Het is belangrijk om condensatoren altijd te ontladen voor het werken aan apparatuur, aangezien ze gevaarlijke spanningen kunnen bevatten [37](#page=37). De volledige impedantie van een ideale condensator wordt genoteerd als: $$Z_C^\rightarrow = X_C = \frac{1}{2\pi f C} \angle -90^\circ$$ [41](#page=41). #### 3.4.3 De zuivere of ideale spoel Spoelen wekken een magnetisch veld op wanneer er stroom doorheen loopt, wat essentieel is voor componenten zoals motoren en transformatoren. Energie wordt opgeslagen in dit magnetisch veld. De belangrijkste eigenschap is de zelfinductiecoëfficiënt ($L$), uitgedrukt in Henry (H), hoewel praktijkwaarden vaak in microHenry ($\mu H$) tot milliHenry ($mH$) liggen [38](#page=38). De impedantie ($Z_L$) van een ideale spoel, ook wel inductieve reactantie ($X_L$) genoemd, is frequentieafhankelijk en wordt gegeven door: $$Z_L = X_L = \omega L = 2\pi f L [\Omega]$$ [39](#page=39). > **Voorbeeld:** Voor een spoel van 1 H bij 50 Hz is de impedantie $Z_L = 2\pi \cdot 50 \cdot 1 \approx 314,2\Omega$. Bij 100 Hz verdubbelt de impedantie [39](#page=39). Een hogere frequentie resulteert in een hogere impedantie en dus een kleinere stroom, en vice versa [39](#page=39). Bij een ideale spoel loopt de stroom 90° achter op de spanning ($\phi = +90^\circ$). Dit is het gevolg van het magnetiserend effect van de stroom [40](#page=40). De volledige impedantie van een ideale spoel wordt genoteerd als: $$Z_L = X_L = 2\pi f L \angle +90^\circ$$ [41](#page=41). ### 3.5 Willekeurige verbruiker In de praktijk vertonen belastingen een gedrag dat varieert tussen zuiver ohms, inductief en capacitief. De faseverschuiving ($\phi$) bij een werkelijke belasting ligt meestal tussen -90° en +90° [42](#page=42). * **Inductief gedrag:** Indien de faseverschuiving positief is ($\phi > 0^\circ$), gedraagt de verbruiker zich inductief. De spanning ijlt voor op de stroom. Een zuivere inductantie resulteert in een faseverschuiving van +90° [42](#page=42). * **Capacitief gedrag:** Indien de faseverschuiving negatief is ($\phi < 0^\circ$), gedraagt de verbruiker zich capacitief. De spanning ijlt na op de stroom. Een zuivere capaciteit resulteert in een faseverschuiving van -90° [42](#page=42). Meeste praktische belastingen vertonen een overwegend ohme of inductieve karakteristiek, met faseverschuivingen tussen 0° en 60°. Elektronische apparaten die de netspanning gelijkrichten, vertonen vaak capacitief gedrag [43](#page=43). ### 3.6 Samenvatting ideale componenten | Component | Impedantie | Faseverschuiving ($\phi$) | Notatie Volledige Impedantie | | :-------------- | :---------------------------------------- | :------------------------ | :--------------------------- | | Weerstand ($R$) | $Z = R$ | $0^\circ$ | $Z_R = R \angle 0^\circ$ | | Condensator ($C$) | $Z_C = X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ | $-90^\circ$ | $Z_C = X_C \angle -90^\circ$ | | Spoel ($L$) | $Z_L = X_L = 2\pi f L$ | $+90^\circ$ | $Z_L = X_L \angle +90^\circ$ | Een sinusoïdale spanning veroorzaakt een sinusoïdale stroom van dezelfde frequentie. De sterkte van de stroom hangt af van de grootte van de impedantie. De faseverschuiving is essentieel voor een volledige kennis van de impedantie. Het teken van de faseverschuiving wordt bepaald door de draairichting van de stroomvector naar de spanningsvector: CW is negatief, CCW is positief. De impedantie van een weerstand is frequentie-onafhankelijk, terwijl de reactantie van spoelen en condensatoren wel frequentieafhankelijk is [41](#page=41). --- # Wisselstroomvermogens Dit hoofdstuk introduceert en analyseert de verschillende soorten vermogens in wisselstroomcircuits: actief, reactief en schijnbaar, inclusief de relatie tussen deze vermogens middels de vermogendriehoek en de invloed van de faseverschuiving. ### 4.1 Ogenblikkelijk vermogen Het ogenblikkelijk vermogen $p$ in een wisselstroomcircuit op een bepaald tijdstip is het product van de ogenblikkelijke spanning $u$ en de ogenblikkelijke stroom $i$. Omdat deze waarden voortdurend veranderen, fluctueert ook het ogenblikkelijk vermogen [45](#page=45). $$ p = u \ast i \quad [\text{W}] $$ #### 4.1.1 Vermogenverloop bij een ideale weerstand ($\phi = 0^\circ$) Bij een ideale weerstand zijn spanning en stroom in fase. Het ogenblikkelijk vermogen $p_R$ is het product van de ogenblikkelijke spanning en stroom. De grafische weergave toont aan dat het vermogen steeds positief is, met pulsen die de dubbele frequentie hebben van de spanning en stroom [46](#page=46). * Het vermogen is nul wanneer spanning en stroom nul zijn [46](#page=46). * Het maximale vermogen treedt op wanneer de spanning en stroom maxima bereiken [46](#page=46). * De frequentie van het vermogensverloop is tweemaal de frequentie van spanning en stroom [46](#page=46). #### 4.1.2 Actief of gemiddeld vermogen $P$ Het actief vermogen $P$, ook wel gemiddeld vermogen genoemd, is het constante vermogen dat per periode dezelfde hoeveelheid energie overbrengt. Dit is het vermogen dat doorgaans wordt bedoeld wanneer gesproken wordt over vermogen in wisselstroomcircuits. Voor een ideale weerstand wordt het actief vermogen berekend als de helft van het maximale ogenblikkelijke vermogen, of het product van de effectieve waarden van spanning en stroom [46](#page=46) [47](#page=47). $$ P_R = \frac{P_{R_m}}{2} = \frac{U_{R_m} \ast I_{R_m}}{2} = U_R \ast I_R \quad [\text{W}] $$ $$ P_R = \frac{U_R^2}{R} = I_R^2 \ast R \quad [\text{W}] $$ **Voorbeeld:** Een gloeilamp op netspanning ontvangt pulsvormig vermogen, maar door de nagloeitijd wordt dit uitgevlakt tot een continu lichtvermogen. Bij traditionele TL-lampen is het lichtvermogen echter niet continu en bestaat uit snelle "flitsen" die als continu worden waargenomen, wat echter problemen kan geven bij bepaalde apparatuur [47](#page=47). #### 4.1.3 Vermogenverloop bij een ideale condensator ($\phi = -90^\circ$) Bij een ideale condensator ijlt de spanning $90^\circ$ na op de stroom. Het ogenblikkelijk vermogen $p_C$ wisselt tussen positief en negatief. Positief vermogen duidt op het laden van de condensator, terwijl negatief vermogen duidt op het ontladen en terugleveren van energie aan de bron. Wiskundig gezien heeft het vermogensverloop een dubbele frequentie (#page=48, [48](#page=48) [49](#page=49). Het gemiddelde vermogen $P_C$ van een ideale condensator is nul, omdat de opgeslagen energie volledig wordt teruggegeven aan de bron tijdens de volgende halve periode [49](#page=49). $$ P_C = 0 \, \text{W} $$ #### 4.1.4 Vermogenverloop bij een ideale spoel ($\phi = +90^\circ$) Bij een ideale spoel ijlt de spanning $90^\circ$ voor op de stroom. Net als bij de condensator wisselt het ogenblikkelijk vermogen $p_L$ tussen positief en negatief. Positief vermogen duidt op het opbouwen van een magnetisch veld in de spoel, terwijl negatief vermogen duidt op het afbouwen van het magnetisch veld en het teruggeven van opgeslagen energie aan de bron. Het vermogensverloop heeft een dubbele frequentie (#page=50, [50](#page=50) [51](#page=51). Het gemiddelde vermogen $P_L$ van een ideale spoel is nul, omdat de opgeslagen energie volledig wordt teruggegeven aan de bron tijdens de volgende halve periode [51](#page=51). $$ P_L = 0 \, \text{W} $$ #### 4.1.5 Vermogenverloop bij een willekeurige belasting $Z$ ($-90^\circ \le \phi \le +90^\circ$) Bij een willekeurige belasting met een faseverschuiving $\phi$ tussen $-90^\circ$ en $+90^\circ$, is er zowel positief als negatief ogenblikkelijk vermogen $p_Z$. Het vermogensverloop is nog steeds sinusoïdaal met een dubbele frequentie (#page=52,. Een deel van de energie wordt verbruikt en een deel wordt tijdelijk opgeslagen (in een condensator of spoel) en vervolgens teruggegeven aan de bron [52](#page=52) [53](#page=53). Het gemiddelde vermogen $P_Z$ is bij een willekeurige belasting niet nul. Het wordt berekend met de formule: $$ P_Z = U_Z \ast I_Z \ast \cos(\phi) \quad [\text{W}] $$ Hierbij is $\cos(\phi)$ de arbeidsfactor (AF) en geeft aan hoe efficiënt de spanning en stroom worden gebruikt om actief vermogen over te brengen [53](#page=53). * Ideale weerstand: $\phi = 0^\circ$, $\cos(\phi) = 1 \implies P_R = U_R \ast I_R$ [53](#page=53). * Ideale condensator: $\phi = -90^\circ$, $\cos(\phi) = 0 \implies P_C = 0 \, \text{W}$ [53](#page=53). * Ideale spoel: $\phi = +90^\circ$, $\cos(\phi) = 0 \implies P_L = 0 \, \text{W}$ [53](#page=53). ### 4.2 Schijnbaar $S$ [VA en reactief vermogen $Q$ [VAR Naast het actief vermogen $P$ worden in wisselstroomcircuits ook het schijnbaar vermogen $S$ en het reactief vermogen $Q$ gedefinieerd. Deze zijn essentieel voor het berekenen van elektrische installaties en het bepalen van verbruikstarieven. #### 4.2.1 Reactief vermogen $Q$ Het reactief vermogen $Q$ vertegenwoordigt de hoeveelheid energie die tijdelijk in de belasting wordt opgeslagen en later weer aan de bron wordt afgegeven. Het is de gemiddelde waarde van dit heen-en-weer pendelende vermogen. De eenheid is Volt-Ampère-Reactief (VAR) [54](#page=54). $$ Q_Z = U_Z \ast I_Z \ast \sin(\phi) \quad [\text{VAR}] $$ #### 4.2.2 Schijnbaar vermogen $S$ Het schijnbaar vermogen $S$ is het totaal gemiddeld vermogen dat de bron aan de belasting moet leveren, inclusief het actief en het heen-en-weer pendelende reactieve vermogen. Dit vermogen bepaalt de stroomsterkte door de bedrading en componenten van het distributiesysteem. De eenheid is Volt-Ampère (VA) [54](#page=54). $$ S_Z = U_Z \ast I_Z \quad [\text{VA}] $$ #### 4.2.3 Verband tussen $S$, $P$ en $Q$ De drie vermogens $S$, $P$ en $Q$ staan in een onderlinge relatie die beschreven wordt door de volgende formule: $$ S_Z^2 = P_Z^2 + Q_Z^2 $$ Dit verband kan visueel worden voorgesteld met de vermogendriehoek (#page=54, [54](#page=54) [60](#page=60). ### 4.3 Vermogen van ideale componenten #### 4.3.1 De ideale weerstand ($\phi = 0$) Voor een ideale weerstand is er geen reactief vermogen ($Q_R = 0$), omdat er geen energie wordt teruggestuurd naar de bron. Het schijnbaar vermogen is gelijk aan het actief vermogen [55](#page=55). $$ P_R = U_R \ast I_R \quad [\text{W}] $$ $$ Q_R = 0 \quad [\text{VAR}] $$ $$ S_R = U_R \ast I_R \quad [\text{VA}] $$ #### 4.3.2 De ideale condensator ($\phi = -90^\circ$) Bij een ideale condensator is er geen actief vermogen ($P_C = 0$), omdat alle energie wordt teruggegeven aan de bron. Het reactief vermogen is negatief en gelijk in grootte aan het schijnbaar vermogen [55](#page=55). $$ P_C = 0 \quad [\text{W}] $$ $$ Q_C = U_C \ast I_C \ast \sin(-90^\circ) = -U_C \ast I_C \quad [\text{VAR}] $$ $$ S_C = U_C \ast I_C \quad [\text{VA}] $$ Ook geldt: $$ Q_C = -\frac{U_C^2}{X_C} = -I_C^2 \ast X_C $$ #### 4.3.3 De ideale spoel ($\phi = +90^\circ$) Bij een ideale spoel is er geen actief vermogen ($P_L = 0$), omdat alle energie wordt teruggegeven aan de bron. Het reactief vermogen is positief en gelijk in grootte aan het schijnbaar vermogen [55](#page=55). $$ P_L = 0 \quad [\text{W}] $$ $$ Q_L = U_L \ast I_L \ast \sin(90^\circ) = +U_L \ast I_L \quad [\text{VAR}] $$ $$ S_L = U_L \ast I_L \quad [\text{VA}] $$ Ook geldt: $$ Q_L = \frac{U_L^2}{X_L} = I_L^2 \ast X_L $$ **Opmerking:** Het reactieve vermogen van een spoel is positief, terwijl dat van een condensator negatief is. Dit onderscheidt inductief van capacitief reactief vermogen [56](#page=56). ### 4.4 De stroomdriehoek en de vermogendriehoek Bij niet-ideale belastingen kan de stroomvector $I_Z$ worden ontbonden in een actief stroomdeel $I_P$ (in fase met de spanning) en een reactief stroomdeel $I_Q$ ($90^\circ$ verschoven ten opzichte van de spanning). Deze vormen de stroomdriehoek [59](#page=59). * $I_P = I_Z \ast \cos(\phi)$ * $I_Q = I_Z \ast \sin(\phi)$ * $I_Z^2 = I_P^2 + I_Q^2$ Door deze stroomcomponenten te vermenigvuldigen met de spanning, verkrijgen we de corresponderende vermogens: * $P_Z = U \ast I_P = U \ast I_Z \ast \cos(\phi)$ * $Q_Z = U \ast I_Q = U \ast I_Z \ast \sin(\phi)$ * $S_Z = U \ast I_Z$ Deze drie vermogens vormen de vermogendriehoek, waaruit de relaties $P_Z = S_Z \ast \cos(\phi)$, $Q_Z = S_Z \ast \sin(\phi)$ en $S_Z^2 = P_Z^2 + Q_Z^2$ kunnen worden afgeleid [60](#page=60). **Opmerkingen:** * Voor inductieve belastingen wijzen de stroom- en vermogendriehoeken naar beneden; voor capacitieve belastingen wijzen ze naar boven [60](#page=60). * Capacitief reactief vermogen ($Q_C$) is negatief, inductief reactief vermogen ($Q_L$) is positief [60](#page=60). ### 4.5 Optellen van vermogens bij meerdere parallelle verbruikers Wanneer er meerdere verbruikers parallel zijn aangesloten, mogen de individuele actieve vermogens $P$ en reactieve vermogens $Q$ worden opgeteld om het totale vermogen te vinden. Hierbij moeten de juiste tekens voor $Q$ worden gehanteerd. De schijnbare vermogens $S$ mogen niet zomaar worden opgeteld, maar kunnen berekend worden uit de totale $P$ en $Q$ [61](#page=61). $$ P_{\text{bron}} = P_1 + P_2 + P_3 + \dots $$ $$ Q_{\text{bron}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + \dots $$ $$ S_{\text{bron}} = \sqrt{P_{\text{bron}}^2 + Q_{\text{bron}}^2} = U_{\text{bron}} \ast I_{\text{bron}} $$ ### 4.6 Verbruikte energie Energieverbruik wordt berekend als vermogen maal tijd. In huishoudens wordt meestal enkel het actief verbruikte energie gemeten (kWh), terwijl in bedrijfsomgevingen ook het opgenomen reactieve energie (kVARh) wordt geregistreerd [62](#page=62). * Actief verbruikte energie: $W_P = P \ast t$ [62](#page=62). * Reactief verbruikte energie: $W_Q = Q \ast t$ [62](#page=62). --- # Parallel- en seriekringen Dit onderwerp behandelt de analyse van parallel- en seriekringen met weerstanden, spoelen en condensatoren, inclusief resonantie en de invloed van frequentie. ### 5.1 Inleiding Dit hoofdstuk behandelt het gedrag van parallelkringen opgebouwd uit ideale weerstanden, condensatoren en spoelen. Het doel is om voor elke schakeling een equivalente impedantie ($Z$) te bepalen en wiskundige verbanden op te stellen om het gedrag van de kring te voorspellen [63](#page=63). ### 5.2 Weerstanden in parallel Wanneer weerstanden parallel worden geschakeld aan een wisselspanningsbron ($U$), zijn de stromen door de individuele weerstanden ($I_1$, $I_2$, $I_3$) in fase met de spanning. De totale stroom ($I_t$) is de vectoriële som van de deelstromen. Omdat de fasen gelijk zijn, is de grootte de algebraïsche som [63](#page=63): $I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3}$ [63](#page=63). De equivalente weerstand ($R_v$) gedraagt zich zodanig dat deze dezelfde totale stroom levert als de parallelgroep [63](#page=63): $\frac{1}{R_v} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$ [63](#page=63). ### 5.3 Spoelen in parallel Bij drie ideale spoelen parallel geschakeld, lopen de stromen ($I_1$, $I_2$, $I_3$) 90° na op de spanning. De totale stroom is opnieuw de algebraïsche som van de deelstromen [64](#page=64): $I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{X_{L1}} + \frac{U}{X_{L2}} + \frac{U}{X_{L3}}$ [64](#page=64). De equivalente spoel heeft een vervangingsreactantie ($X_{Lv}$) die voldoet aan: $\frac{1}{X_{Lv}} = \frac{1}{X_{L1}} + \frac{1}{X_{L2}} + \frac{1}{X_{L3}}$ [64](#page=64). Omdat $X_L = \omega L = 2\pi fL$, geldt voor de equivalente zelfinductie ($L_v$): $\frac{1}{L_v} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$ [64](#page=64). ### 5.4 Condensatoren in parallel Bij drie ideale condensatoren parallel, lopen de stromen ($I_1$, $I_2$, $I_3$) 90° vooruit op de spanning. De totale stroom is de algebraïsche som van de deelstromen [65](#page=65): $I_t = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{U}{X_{C1}} + \frac{U}{X_{C2}} + \frac{U}{X_{C3}}$ [65](#page=65). De equivalente condensator heeft een vervangingsreactantie ($X_{Cv}$) die voldoet aan: $\frac{1}{X_{Cv}} = \frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{X_{C3}}$ [65](#page=65). Omdat $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi fC}$, geldt voor de equivalente capaciteit ($C_v$): $C_v = C_1 + C_2 + C_3$ [65](#page=65). ### 5.5 Weerstand en spoel in parallel Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$) en een spoel ($L$), zijn de stromen $I_R$ en $I_L$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met de spanning $U$, terwijl $I_L$ 90° na-ijlt op $U$. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som van $I_R$ en $I_L$ [66](#page=66): $I = \sqrt{I_R^2 + I_L^2}$ [66](#page=66). * **Stroomdriehoek**: Toont de relatie tussen $I$, $I_R$ en $I_L$. * $\sin(\phi) = \frac{I_L}{I}$ * $\cos(\phi) = \frac{I_R}{I}$ * $\tan(\phi) = \frac{I_L}{I_R}$ [66](#page=66). * **Admittantiedriehoek**: Verkregen door de stroomdriehoek te delen door de spanning $U$. De admittantie ($Y$) is de omgekeerde van de impedantie ($Z$), met eenheid Siemens (S). * $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L})^2}$ [67](#page=67). * $\sin(\phi) = \frac{Z}{X_L}$, $\cos(\phi) = \frac{Z}{R}$, $\tan(\phi) = \frac{R}{X_L}$ [67](#page=67). * Vectoriële optelling van admittanties: $\vec{Y} = \vec{G} + \vec{B}_L$, waar $G = \frac{1}{R}$ en $B_L = \frac{1}{X_L}$ [67](#page=67). * **Vermogendriehoek**: Verkregen door de stroomdriehoek te vermenigvuldigen met de spanning $U$. * Schijnbaar vermogen $S = U \cdot I$ [67](#page=67). * Actief vermogen $P = U \cdot I_R = U \cdot I \cdot \cos(\phi)$ [67](#page=67). * Reactief vermogen $Q = U \cdot I_L = U \cdot I \cdot \sin(\phi)$ [67](#page=67). * $S^2 = P^2 + Q^2$ [67](#page=67). * Vectoriële optelling van vermogens: $\vec{S} = \vec{P} + \vec{Q}$ [68](#page=68). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie neemt $X_L$ toe, $I_L$ daalt, terwijl $I_R$ gelijk blijft. De totale stroom neemt af en de kring gedraagt zich ohmser [68](#page=68). ### 5.6 Weerstand en condensator in parallel Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$) en een condensator ($C$), zijn de stromen $I_R$ en $I_C$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met de spanning $U$, terwijl $I_C$ 90° vooruitloopt op $U$. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som van $I_R$ en $I_C$ [69](#page=69): $I = \sqrt{I_R^2 + I_C^2}$ [69](#page=69). * **Stroomdriehoek**: Toont de relatie tussen $I$, $I_R$ en $I_C$. De fasehoek $\phi$ is negatief voor capacitieve belasting. * $\sin(-\phi) = \frac{I_C}{I}$ * $\cos(-\phi) = \frac{I_R}{I}$ * $\tan(-\phi) = \frac{I_C}{I_R}$ [69](#page=69). * **Admittantiedriehoek**: De admittanties zijn $G = \frac{1}{R}$ en $B_C = \frac{1}{X_C}$. * $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_C})^2}$ [70](#page=70). * $\sin(-\phi) = \frac{Z}{X_C}$, $\cos(-\phi) = \frac{Z}{R}$, $\tan(-\phi) = \frac{R}{X_C}$ [70](#page=70). * Vectoriële optelling van admittanties: $\vec{Y} = \vec{G} + \vec{B}_C$ [70](#page=70). * **Vermogendriehoek**: Identiek aan de spoel-weerstand combinatie, maar $Q$ is nu negatief voor capacitieve belasting [70](#page=70). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie daalt $X_C$, $I_C$ stijgt, terwijl $I_R$ gelijk blijft. De totale stroom neemt toe en de kring gedraagt zich capacitiever [71](#page=71). ### 5.7 Weerstand, spoel en condensator in parallel Bij een parallelle schakeling van een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$), zijn de stromen $I_R$, $I_L$ en $I_C$ gedesynchronsieerd. $I_R$ is in fase met $U$, $I_L$ na-ijlt 90°, en $I_C$ vooruitloopt 90°. De totale stroom ($I$) is de vectoriële som [72](#page=72): $I = \sqrt{I_R^2 + (I_L - I_C)^2}$ [73](#page=73). * **5.7.1 $I_C < I_L$: Inductief gedrag** * De totale blindstroom ($I_Q$) is inductief, $I_Q = I_L - I_C$ [72](#page=72). * De totale stroom ($I$) volgt de inductieve aard van de blindstroom [72](#page=72). * **5.7.2 $I_C = I_L$: Ohms gedrag (resonantie)** * De blindstroom is nul, $I_L = I_C$. * De totale stroom is gelijk aan de weerstandsstroom: $I = I_R = \frac{U}{R}$ [74](#page=74). * De faseverschuiving $\phi$ is 0°. * **Stroomopslingering**: De stromen door de spoel en condensator kunnen veel groter zijn dan de totale stroom, omdat ze reactief vermogen uitwisselen [74](#page=74). * **5.7.3 $I_C > I_L$: Capacitief gedrag** * De totale blindstroom ($I_Q$) is capacitief, $I_Q = I_C - I_L$ [75](#page=75). * De totale stroom ($I$) volgt de capacitieve aard van de blindstroom [75](#page=75). * **Admittantiedriehoek**: * Voor $I_C < I_L$: $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$ [73](#page=73). * Voor $I_C > I_L$: $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_C} - \frac{1}{X_L})^2}$ [75](#page=75). * **5.7.4 Resonantie- of eigenfrequentie**: * Resonantie treedt op wanneer $X_C = X_L$. * De resonantiefrequentie ($f_0$) wordt gegeven door: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [76](#page=76). * Bij $f < f_0$ is het gedrag inductief [76](#page=76). * Bij $f > f_0$ is het gedrag capacitief [76](#page=76). * Bij $f = f_0$ is het gedrag zuiver ohms [76](#page=76). * Bij resonantie is de totale impedantie maximaal en de totale stroom minimaal [77](#page=77). ### 6. Seriekringen In seriekringen is de stroom door alle componenten gelijk. De analyse start vanuit de stroom om de deelspanningen te bepalen en vervolgens de totale spanning [81](#page=81). ### 6.1 Weerstanden in serie Drie weerstanden in serie zorgen ervoor dat de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) in fase zijn met de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, die hier gelijk is aan de algebraïsche som [81](#page=81): $U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot R_1 + I \cdot R_2 + I \cdot R_3$ [81](#page=81). De equivalente weerstand ($R_v$) is de som van de individuele weerstanden: $R_v = R_1 + R_2 + R_3$ [81](#page=81). ### 6.2 Spoelen in serie Bij drie ideale spoelen in serie lopen de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) 90° vooruit op de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, wat neerkomt op de algebraïsche som [82](#page=82): $U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot X_{L1} + I \cdot X_{L2} + I \cdot X_{L3}$ [82](#page=82). De equivalente spoel heeft een vervangingsreactantie ($X_{Lv}$) die de som is van de individuele reactanties: $X_{Lv} = X_{L1} + X_{L2} + X_{L3}$ [82](#page=82). De equivalente zelfinductie ($L_v$) is eveneens de som: $L_v = L_1 + L_2 + L_3$ [82](#page=82). ### 6.3 Condensatoren in serie Bij drie ideale condensatoren in serie lopen de deelspanningen ($U_1, U_2, U_3$) 90° na op de stroom ($I$). De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van de deelspanningen, gelijk aan de algebraïsche som [83](#page=83): $U = U_1 + U_2 + U_3 = I \cdot X_{C1} + I \cdot X_{C2} + I \cdot X_{C3}$ [83](#page=83). De equivalente reactantie ($X_{Cv}$) wordt bepaald door: $\frac{1}{X_{Cv}} = \frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{X_{C3}}$ [83](#page=83). Voor de equivalente capaciteit ($C_v$) geldt: $\frac{1}{C_v} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ [83](#page=83). ### 6.4 Weerstand en spoel in serie Bij een seriekring met een weerstand ($R$) en een spoel ($L$), is de spanning over de weerstand ($U_R$) in fase met de stroom ($I$), terwijl de spanning over de spoel ($U_L$) 90° vooruitloopt op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van $U_R$ en $U_L$ [84](#page=84): $U = \sqrt{U_R^2 + U_L^2}$ [85](#page=85). * **Spanningsdriehoek**: Toont de relatie tussen $U$, $U_R$ en $U_L$. * $\sin(\phi) = \frac{U_L}{U}$ * $\cos(\phi) = \frac{U_R}{U}$ * $\tan(\phi) = \frac{U_L}{U_R}$ [85](#page=85). * **Impedantiedriehoek**: Verkregen door de spanningsdriehoek te delen door de stroom $I$. De impedantie ($Z$) is de omgekeerde van de admittantie, met eenheid Ohm ($\Omega$). * $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ [85](#page=85). * $\sin(\phi) = \frac{X_L}{Z}$, $\cos(\phi) = \frac{R}{Z}$, $\tan(\phi) = \frac{X_L}{R}$ [85](#page=85). * Vectoriële optelling van impedanties: $\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X}_L$ [85](#page=85). * **Vermogendriehoek**: Verkregen door de spanningsdriehoek te vermenigvuldigen met de stroom $I$. * $P = U_R \cdot I = U \cdot I \cdot \cos(\phi)$ [85](#page=85). * $Q = U_L \cdot I = U \cdot I \cdot \sin(\phi)$ [85](#page=85). * $S = U \cdot I$ [85](#page=85). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie neemt $X_L$ toe, $U_L$ neemt toe, en de totale impedantie stijgt. De kring wordt meer inductief [86](#page=86). ### 6.5 Weerstand en condensator in serie In een seriekring met een weerstand ($R$) en een condensator ($C$), is de spanning over de weerstand ($U_R$) in fase met de stroom ($I$), terwijl de spanning over de condensator ($U_C$) 90° na-ijlt op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som van $U_R$ en $U_C$ [87](#page=87): $U = \sqrt{U_R^2 + U_C^2}$ [87](#page=87). * **Spanningsdriehoek**: De fasehoek $\phi$ is negatief voor capacitieve belasting. * $\sin(-\phi) = \frac{U_C}{U}$ * $\cos(-\phi) = \frac{U_R}{U}$ * $\tan(-\phi) = \frac{U_C}{U_R}$ [87](#page=87). * **Impedantiedriehoek**: * $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ [88](#page=88). * $\sin(\phi) = \frac{X_C}{Z}$, $\cos(\phi) = \frac{R}{Z}$, $\tan(\phi) = \frac{X_C}{R}$ [88](#page=88). * Vectoriële optelling van impedanties: $\vec{Z} = \vec{R} + \vec{X}_C$ [88](#page=88). * **Vermogendriehoek**: Identiek aan de spoel-weerstand combinatie, maar $Q$ is negatief voor capacitieve belasting [88](#page=88). * **Invloed van frequentie**: Bij stijgende frequentie daalt $X_C$, $U_C$ daalt, en de totale impedantie daalt. De kring wordt minder capacitief [89](#page=89). ### 6.6 Weerstand, spoel en condensator in serie Bij een seriekring met een weerstand ($R$), spoel ($L$) en condensator ($C$), zijn de spanningen over de componenten gedesynchronsieerd. $U_R$ is in fase met $I$, $U_L$ vooruitloopt 90° op $I$, en $U_C$ na-ijlt 90° op $I$. De totale spanning ($U$) is de vectoriële som [89](#page=89): $U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}$ [90](#page=90). * **6.6.1 $U_C < U_L$: Inductief gedrag** * De totale reactieve spanningscomponent ($U_Q$) is inductief, $U_Q = U_L - U_C$ [90](#page=90). * De totale spanning ($U$) volgt de inductieve aard van de reactieve component [90](#page=90). * **6.6.2 $U_C = U_L$: Ohms gedrag (resonantie)** * De reactieve spanningscomponent is nul, $U_L = U_C$. * De totale spanning is gelijk aan de weerstandspanning: $U = U_R = I \cdot R$ [91](#page=91). * De faseverschuiving $\phi$ is 0°. * De impedantie is minimaal en gelijk aan $R$: $Z = R$ [91](#page=91). * **Spanningsopslingering**: De spanningen over de spoel en condensator kunnen veel groter zijn dan de bronspanning, omdat ze reactief vermogen uitwisselen. De kwaliteitsfactor ($Q$) geeft de mate van overspanning aan: $Q = \frac{U_L}{U_R}$ of $Q = \frac{U_C}{U_R}$ bij resonantie [92](#page=92). * **6.6.3 $U_C > U_L$: Capacitief gedrag** * De totale reactieve spanningscomponent ($U_Q$) is capacitief, $U_Q = U_C - U_L$ [93](#page=93). * De totale spanning ($U$) volgt de capacitieve aard van de reactieve component [93](#page=93). * **Impedantiedriehoek**: * Voor $U_C < U_L$: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ [91](#page=91). * Voor $U_C > U_L$: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ [93](#page=93). * **6.6.4 Resonantie- of eigenfrequentie**: * Resonantie treedt op wanneer $X_C = X_L$. Dit is dezelfde resonantiefrequentie als bij een parallelschakeling [94](#page=94). * De resonantiefrequentie ($f_0$) wordt gegeven door: $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ [94](#page=94). * Bij $f < f_0$ is het gedrag capacitief [94](#page=94). * Bij $f > f_0$ is het gedrag inductief [94](#page=94). * Bij $f = f_0$ is het gedrag zuiver ohms [94](#page=94). * Bij resonantie is de totale impedantie minimaal en de totale stroom maximaal [95](#page=95). --- # Verbeteren van de arbeidsfactor Dit hoofdstuk behandelt de methoden en berekeningen voor het verbeteren van de arbeidsfactor (AF) van inductieve belastingen door middel van compensatiecondensatoren. ### 6.1 Invloed van de cos(φ) op de stroomsterkte en arbeidsfactor Het primaire doel van een distributiesysteem is het overbrengen van actief vermogen ($P$). Dit brengt een bepaalde stroomsterkte met zich mee door distributiecomponenten zoals kabels en transformatoren, wat leidt tot spannings- en warmteverliezen ($P_d = I^2 \cdot R_d$ en $U_d = I \cdot R_d$). Het is daarom voordelig om de stroomsterkte zo laag mogelijk te houden [100](#page=100). De faseverschuiving ($φ$) tussen spanning en stroom, uitgedrukt als de cosinus van deze hoek ($cos(φ)$), is een cruciale factor hierin. Een vast schijnbaar vermogen ($S$) bij een gegeven spanning ($U$) resulteert in een constante stroomsterkte ($I = S/U$). Echter, een lagere $cos(φ)$ betekent dat een groter deel van deze stroom wordt gebruikt voor het slingeren van reactief vermogen ($Q$), waardoor het nuttig overgebracht actief vermogen ($P = S \cdot cos(φ)$) daalt. Dit vermindert de efficiëntie waarmee actief vermogen wordt geleverd [100](#page=100). Industriële systemen hebben vaak te maken met beperkingen, zoals de maximale stroomsterkte die een kabel mag voeren. Een hogere $cos(φ)$ maakt het mogelijk om met dezelfde installatie meer actief vermogen over te dragen, wat leidt tot een efficiënter gebruik van de componenten [100](#page=100) . #### 6.1.1 De arbeidsfactor (AF) De arbeidsfactor (AF) is gedefinieerd als de verhouding van actief vermogen ($P$) tot schijnbaar vermogen ($S$): $AF = \frac{P}{S} = cos(φ)$ . De AF ligt altijd tussen 0 en 1 . * Een zuiver ohmse belasting resulteert in de hoogste efficiëntie ($AF = 1$) . * Een zuiver inductieve of capacitieve belasting resulteert in de laagste efficiëntie ($AF = 0$) . **Opmerkingen:** 1. Bij monofasige installaties is de AF numeriek gelijk aan $cos(φ)$ . 2. Industriële klanten zijn vaak verplicht een minimale AF van 0,8 te handhaven om boetes te voorkomen . ### 6.2 Verbeteren van de AF De meeste industriële belastingen zijn inductief van aard. De arbeidsfactor hiervan kan worden verbeterd door compensatiecondensatoren parallel aan de belasting te plaatsen. Deze condensatoren leveren een capacitief reactief vermogen dat tegengesteld is aan het inductieve reactieve vermogen van de belasting, waardoor de totale faseverschuiving afneemt en de $cos(φ)$ toeneemt . #### 6.2.1 Situatie zonder compensatie Wanneer een verbruiker ($Z$) zonder compensatie is aangesloten, zijn de bronstroom ($I_1$), het schijnbaar vermogen ($S_1$), het actief vermogen ($P_1$), het reactief vermogen ($Q_1$) en de faseverschuiving ($φ_1$) identiek aan die van de verbruiker . $I_1 = I_Z$ . $S_1 = S_Z$ . $P_1 = P_Z$ . $Q_1 = Q_Z$ . Faseverschuiving $φ_1$ . #### 6.2.2 Situatie met compensatie Wanneer een compensatiecondensator ($C$) parallel aan de verbruiker wordt geplaatst, blijft de verbruiker dezelfde stroom ($I_Z$) en vermogens ($S_Z, P_Z, Q_Z$) opnemen, aangezien deze op dezelfde spanning blijft. Echter, de bron moet nu ook de stroom ($I_C$) en het reactief vermogen ($Q_C$) van de condensator leveren . De totale bronstroom ($I_2$) is de vectoriële som van de stroom door de verbruiker ($I_Z$) en de stroom door de condensator ($I_C$): $\vec{I_2} = \vec{I_Z} + \vec{I_C}$ . De extra stroom $I_C$ is 90° voorijlend op de spanning. Door de vectoriële optelling wordt de totale bronstroom $I_2$ kleiner dan $I_1$, en de faseverschuiving ($φ_2$) wordt kleiner dan $φ_1$ . Het principe hierachter is dat de condensator een reactief vermogen ($Q_C$) opneemt dat tegengesteld is aan het reactieve vermogen van de inductieve belasting ($Q_Z$). Hierdoor slingert er minder reactief vermogen tussen de bron en de belasting, wat de distributiecomponenten ontlast . ### 6.3 Bepalen van de benodigde capaciteit Het doel is om een bepaalde verbetering van de arbeidsfactor te realiseren. Hoewel volledige compensatie ($φ_2 = 0$, $AF = 1$) theoretisch mogelijk is, wordt in de praktijk vaak gecompenseerd tot een AF van 0,9 ($φ_2 = 25,84°$) om praktische redenen . De methode omvat: 1. Bepalen van het bestaande actief vermogen ($P_1$) en de bestaande AF ($AF_1$), vaak door meting . 2. Kiezen van een gewenste AF ($AF_2$) . 3. Berekenen van het benodigde reactieve vermogen ($Q_C$) en de daaruit voortvloeiende capaciteit ($C$) . #### 6.3.1 Voorbeeld: Vermogens zonder compensatie Een inductieve verbruiker op 230V/50Hz neemt een stroom van $I_1 = 2A$ op, met een gemeten vermogen van $P_1 = 276W$. * Schijnbaar vermogen: $S_1 = U \cdot I_1 = 230V \cdot 2A = 460VA$ . * Arbeidsfactor: $cos(φ_1) = P_1 / S_1 = 276W / 460VA = 0,6$ . * Faseverschuiving: $φ_1 = \arccos(0,6) = 53,13°$ . * Reactief vermogen: $Q_1 = P_1 \cdot \tan(φ_1) = 276W \cdot \tan(53,13°) \approx 276W \cdot 1,3333 \approx 368VAR$ . #### 6.3.2 Voorbeeld: Vermogens met compensatie Doel: verbeteren van AF tot 0,9. * Nieuwe faseverschuiving: $φ_2 = \arccos(0,9) = 25,84°$ . * Actief vermogen blijft gelijk: $P_2 = P_1 = 276W$, aangezien de condensator geen actief vermogen opneemt . * Nieuw reactief vermogen: $Q_2 = P_2 \cdot \tan(φ_2) = 276W \cdot \tan(25,84°) \approx 276W \cdot 0,484 \approx 133,7VAR$ . * Nieuw schijnbaar vermogen: $S_2 = P_2 / cos(φ_2) = 276W / 0,9 \approx 306,7VA$ . Het benodigde reactieve vermogen van de condensator ($Q_C$) wordt berekend als het verschil tussen het oorspronkelijke en het gewenste reactieve vermogen: $Q_C = Q_2 - Q_1 = 133,7VAR - 368VAR = -234,3VAR$ . #### 6.3.3 Voorbeeld: De capaciteit Het reactief vermogen van een condensator wordt gegeven door: $Q_C = -U^2 \cdot 2\pi f C$ . Hieruit volgt de benodigde capaciteit ($C$): $C = \frac{-Q_C}{U^2 \cdot 2\pi f} = \frac{234,3VAR}{230V^2 \cdot 2\pi \cdot 50Hz} \approx 1,41 \times 10^{-5} F = 14,1 \mu F$ . #### 6.3.4 Voorbeeld: Bronstroom zonder en met compensatie * Bronstroom zonder compensatie: $I_1 = 2A$ . * Bronstroom met compensatie: $I_2 = S_2 / U = 306,7VA / 230V \approx 1,338A$ . De actief componenten van de stroom ($I \cdot cos(φ)$) blijven gelijk, terwijl de reactieve componenten ($I \cdot sin(φ)$) en de totale stroom afnemen . #### 6.3.5 Conclusie van het voorbeeld De compensatiecondensator ontlast de distributiecomponenten met $I_1 - I_2 = 2A - 1,338A = 0,662A$ stroom. Dit vermindert de Joule-verliezen en creëert ruimte om meer actief vermogen te transporteren zonder de werking van de verbruiker te beïnvloeden . ### 6.4 Algemene formule Een algemene formule voor het berekenen van de benodigde capaciteit is: $C = \frac{P_Z \cdot (\tan(φ_1) - \tan(φ_2))}{U^2 \cdot 2\pi f}$ . **Opmerkingen:** 1. Volledige compensatie ($φ_2 = 0°$) is mogelijk en resulteert in de laagst mogelijke bronstroom voor die verbruiker, maar vereist een grotere capaciteit . 2. Overcompensatie (capaciteit groter dan nodig voor volledige compensatie) leidt tot een capacitief gedrag van de keten en een stijgende bronstroom . ### 6.5 Oefeningen Hieronder volgen enkele oefeningen om de principes van arbeidsfactorverbetering te oefenen: 1. Een inductief toestel neemt 6kVA op bij 110V/50Hz met een $cos(φ) = 0,8$. Bereken de capaciteit voor volledige compensatie ($cos(φ) = 1$) . 2. Voor een fluorescentielamp van 40W op 220V/50Hz wordt 4,5µF geadviseerd voor een $cos(φ) = 0,95$. Bepaal het reactief vermogen van de capaciteit en het schijnbaar vermogen en de $cos(φ)$ van de ongecompenseerde lamp . 3. Een wisselstroommotor van 20kW (rendement 85%) op 220V/50Hz heeft een $cos(φ) = 0,75$. Bereken de benodigde capaciteit voor volledige compensatie . 4. Een verbruiker neemt 80kW op bij een arbeidsfactor van 0,55 op 1000V/400Hz. Bereken de capaciteit om de AF te verbeteren tot 0,9 . 5. Een TL-lamp van 65W neemt 591mA op bij 230V/50Hz. Bereken de benodigde capaciteit en de bronstroom na compensatie voor: * a) $cos(φ) = 1$ . * b) $cos(φ) = 0,8$ . 6. Een oude monofasige motor op 230V/50Hz. DC-metingen aan de hoofdspoel op 10VDC gaven 5A, AC-metingen op 10VAC gaven 2A. * a. Bereken de stroom, $cos(φ)$ en het actieve vermogen van de spoel . * b. Bereken de benodigde capaciteit voor volledige compensatie . 7. Een klassieke TL-verlichting met een gasontladingslamp in serie met een ballast (spoel) en een lamp die als ohmse weerstand kan worden voorgesteld na ontsteking. * a. Bereken de stroom en de faseverschuiving uit het equivalent schema ($L=700mH, R_L=12\Omega, U=230V/50Hz, R_{lamp}=38\Omega$) . * b. Bereken de benodigde capaciteit en de nieuwe bronstroom bij volledige compensatie . * c. Bereken de benodigde capaciteit en de nieuwe bronstroom bij compensatie tot een AF = 0,9 . --- # Driefasige netten en belastingen Driefasige netten vormen de ruggengraat van industriële energievoorziening, waarbij ze superieure efficiëntie en de mogelijkheid tot het aandrijven van krachtige motoren bieden ten opzichte van monofasige systemen . ### 7.1. Opbouw van een driefasig net Een driefasig netwerk wordt gegenereerd door drie afzonderlijke monofasige bronnen, die doorgaans deel uitmaken van een transformator of generator. Deze bronnen produceren sinusvormige wisselspanningen die elk een fase vertegenwoordigen: aangeduid als de U-, V-, en W-fase. De spanningen in deze spoelen zijn identiek in grootte en frequentie (typisch 50 Hz in Europa) maar zijn 120° in tijd verschoven ten opzichte van elkaar, wat resulteert in een driefasig systeem . #### 7.1.1. Schakelmogelijkheden van de bronnen De drie spoelen van de bron kunnen op twee fundamentele manieren met elkaar worden verbonden: * **Ster (Y) schakeling:** Hierbij worden de ene klem van elke spoel (bijvoorbeeld U2, V2, W2) met elkaar verbonden om een "sterpunt" te vormen . * **Driehoek (D of Δ) schakeling:** Hierbij worden de spoelen aan de uiteinden met elkaar verbonden in een gesloten circuit . #### 7.1.2. Het vierdraadsnet (sterschakeling) Bij een sterschakeling van de bron worden de spoelen zodanig verbonden dat er een neutraalpunt ontstaat. Dit resulteert in een vierdraadsnetwerk met drie lijndraden (L1, L2, L3) en een nulleider (N). De lijndraden dragen de spanningen L1 (bruin), L2 (zwart), en L3 (grijs), terwijl de nulleider blauw is. In industriële omgevingen kunnen de lijndraden ook allemaal zwart zijn en worden ze onderscheiden door nummering . ##### 7.1.2.1. Spanningen in een vierdraadsnet In een vierdraadsnet zijn twee soorten spanningen beschikbaar: * **Fasespanningen (Uf):** Dit zijn de spanningen opgewekt door de individuele spoelen van de bron. Ze zijn meetbaar tussen een lijndraad en de nulleider (bijv. UL1-N). De drie fasespanningen (Uf1, Uf2, Uf3) zijn gelijk in grootte en 120° van elkaar verschoven . $$ U_f = U_{f1} = U_{f2} = U_{f3} $$ * **Lijnspanningen (UL):** Dit zijn de spanningen aanwezig tussen elk paar lijndraden (bijv. UL12, UL23, UL31). De lijnspanningen zijn ook gelijk in grootte en 120° van elkaar verschoven, maar zijn hoger dan de fasespanningen . Het verband tussen de lijnspanning en de fasespanning in een stersysteem is: $$ U_L = \sqrt{3} \times U_f $$ . In België komen courant de volgende fase- en lijnspanningen voor: * Oudere netten: 130/230V . * Geharmoniseerde netten: 230/400V . * Industriële omgevingen: 400/690V . #### 7.1.3. Spanningsaanduiding op installaties De kenmerkende spanning van een driefasig net wordt doorgaans aangeduid met de lijnspanning UL. Een aanduiding zoals "3x400V+N" betekent een lijnspanning van 400V en de aanwezigheid van een nulleider, wat impliceert dat ook de fasespanning van 230V beschikbaar is. Een alternatieve aanduiding kan "3N400V" zijn . | Aanduiding | Lijnspanning UL | Fasespanning Uf | Alternatieve aanduiding | | :--------- | :-------------- | :-------------- | :------------------------ | | 3x230V+N | 230V | 130V | 3N230V | | 3x400V+N | 400V | 230V | 3N400V | | 3x690V+N | 690V | 400V | 3N690V | In het labo is een vierdraadsnet van 3x400V+N aanwezig . #### 7.1.4. Het driedraadsnet (driehoekschakeling) Bij een driehoekschakeling van de bron worden de drie spoelen aan hun uiteinden met elkaar verbonden, wat resulteert in een driedraadsnetwerk zonder nulleider. Dit type net wordt in distributienetten vermeden vanwege belangrijke nadelen. De spanningsaanduiding is bijvoorbeeld "3x230V", wat aangeeft dat de lijnspanning 230V is en er geen nulleider aanwezig is . ### 7.2. Driefasige belastingen Een driefasige belasting bestaat uit drie monofasige belastingen (impedanties Z1, Z2, Z3), die elk een fase van de belasting vormen. Deze fasen moeten ook in ster of driehoek geschakeld worden voor aansluiting op een driefasig net . #### 7.2.1. Aansluitingen van belastingen Er zijn drie mogelijke manieren om belastingen aan te sluiten: * **Driedraadsaansluiting:** De belasting wordt aangesloten zonder gebruik te maken van de nulleider N. Dit kan zowel in ster (Y) als in driehoek (D) . * **Vierdraadsaansluiting:** Dit is enkel mogelijk op een vierdraadsnet met de belasting in ster geschakeld. De nulleider N van het net wordt verbonden met het sterpunt van de belasting . #### 7.2.2. Gelijkmatige en ongelijkmatige belasting Een belangrijk onderscheid bij driefasige belastingen is: * **Gelijkmatige (symmetrische) belasting:** De drie afzonderlijke belastingen zijn identiek, zowel in grootte (ohm) als in faseverschuiving tussen spanning en stroom. Driefasige motoren en industriële ovens vormen typisch een gelijkmatige belasting . $$ Z_1 = Z_2 = Z_3 $$ * **Ongelijkmatige (asymmetrische) belasting:** De drie afzonderlijke belastingen zijn niet identiek, bijvoorbeeld lampen van verschillend vermogen of belastingen met verschillende faseverschuivingen . #### 7.2.3. Voorbeelden van belastingaansluitingen * **Net met UL = 230V, belasting in driehoek:** Elke fase van de belasting wordt aangesloten op een lijnspanning UL van 230V. Dit is geschikt voor een driefasige oven die op 230V werkt. De nulleider N wordt niet gebruikt . * **Net met UL = 400V, ongelijkmatige belasting in ster met N:** De belasting wordt vierdraads in ster aangesloten. Elke fase van de belasting krijgt de fasespanning van het net (Uf net = 230V). Dit vereist een 3x400V+N net . * **Net met UL = 400V, gelijkmatige belasting in ster:** Als de belasting gelijkmatig is, loopt er geen stroom door de nulleider. De nulleider hoeft niet aangesloten te worden, en het sterpunt van de belasting wordt een virtueel nulpunt. Aansluiting kan driedraads op 3x400V of 3x400V+N (N niet aangesloten) . > **Tip:** Driefasige elektrische motoren zijn bij uitstek gelijkmatige belastingen. Ze worden daarom vaak driedraads aangesloten, ook al is een nulleider beschikbaar. Het aansluiten van de nulleider kan echter zorgen voor stabielere fasespanningen aan de belasting . #### 7.2.4. Omschakelbare en niet-omschakelbare belastingen * **Omschakelbare belasting:** De zes klemmen van de drie deel-impedanties zijn beschikbaar, waardoor de schakeling (Y of Δ) zelf gekozen kan worden. Deze belastingen hebben vaak een dubbele spanningsaanduiding, bijvoorbeeld 230/400V. Een driefasige motor is een typisch voorbeeld . * **Niet-omschakelbare belasting:** De fabrikant heeft de schakeling al bepaald, en er wordt slechts één spanning opgegeven. Als er vier klemmen beschikbaar zijn (L1, L2, L3, N), is de belasting in ster geschakeld en wordt deze meestal vierdraads aangesloten. Bij slechts drie klemmen kan de belasting in ster of driehoek geschakeld zijn . ### 7.3. Berekeningen op driefasige netten en belastingen De berekeningen in driefasige netten maken gebruik van de bestaande elektrische wetmatigheden, waarbij rekening wordt gehouden met de vectoriële aard van spanningen en stromen . #### 7.3.1. Stromen * **Lijnstromen (IL1, IL2, IL3):** Stromen in de lijndraden L1, L2, L3 . * **Nulstroom of terugvoerstroom (IN):** Stroom in de nulleider N . * **Fasestromen (If1, If2, If3):** Stromen in de drie fasen van de belasting . #### 7.3.2. Belasting in driehoek * **Spanningen:** De fasespanning van de belasting is gelijk aan de lijnspanning van het net ($U_{f_{\text{belasting}}} = U_L$). Als er een nulleider aanwezig is, zal de stroom hierin nul zijn ($I_N = 0$) . * **Stromen:** De verbanden tussen lijn- en fasestromen worden gegeven door de knoopwet van Kirchhoff, vectorieel uitgeschreven: $$ I_{L1} = I_{f1} - I_{f3} $$ $$ I_{L2} = I_{f2} - I_{f1} $$ $$ I_{L3} = I_{f3} - I_{f2} $$ Voor een gelijkmatige belasting geldt: $$ I_L = \sqrt{3} \cdot I_f $$ . #### 7.3.3. Belasting in ster met N aangesloten * **Spanningen:** De fasespanning van de belasting is gelijk aan de fasespanning van het net ($U_{f_{\text{belasting}}} = U_{f_{\text{net}}}$), en de fasespanning van het net is de lijnspanning van het net gedeeld door $\sqrt{3}$ ($U_{f_{\text{net}}} = \frac{U_{L_{\text{net}}}}{\sqrt{3}}$) . * **Stromen:** De fasestromen zijn identiek aan de overeenkomstige lijnstromen ($I_{f1} = I_{L1}$, etc.). De nulstroom is de vectoriële som van de lijnstromen : $$ I_N = I_{L1} + I_{L2} + I_{L3} $$ . #### 7.3.4. Belasting in ster zonder N aangesloten Dit is enkel van toepassing bij gelijkmatige belastingen. De nulleiderstroom ($I_N$) is nul, waardoor de nulleider weggelaten kan worden zonder de fasestromen en fasespanningen van de belasting te beïnvloeden. Het sterpunt van de belasting wordt een virtueel nulpunt . #### 7.3.5. Nulleiderbreuk bij sterschakeling Indien bij een ongelijkmatige belasting de nulleider wordt onderbroken, zal de vectoriële som van de lijnstromen nul moeten zijn. Dit leidt tot veranderingen in de spanningen over de fasen van de belasting, waarbij de impedanties met hogere waarden lagere spanningen en die met lagere waarden hogere spanningen zullen ervaren. Dit kan leiden tot schade aan de verbruiker en wordt een "nulpuntverschuiving" genoemd . ### 7.4. Meerdere belastingen aansluiten op driefasige installaties Op driefasige installaties worden zowel monofasige als driefasige belastingen aangesloten . #### 7.4.1. Vierdraadsnet 3x400V+N * **Monofasige verbruikers:** Hebben meestal een werkspanning van 230V en worden aangesloten tussen een lijndraad en de nulleider . * **Driefasige verbruikers:** Moeten geschikt zijn voor een lijnspanning van 400V en worden aangesloten op de drie lijndraden . **Verdelen van monofasige belastingen:** Om een zo gelijkmatig mogelijke belasting te creëren, worden monofasige verbruikers verdeeld over de verschillende lijndraden, wat de nulleiderstroom minimaliseert . **Nulleiderbreuk:** Bij een nulleiderbreuk in een vierdraadsnet kunnen de fasespanningen van de belastingen sterk variëren, wat kan leiden tot overspanning en defecten aan de apparatuur . #### 7.4.2. Driedraadsnet Beschikbare driedraadsnetten hebben meestal een lijnspanning van 230V. Monofasige verbruikers worden aangesloten tussen twee lijndraden, en driefasige verbruikers moeten geschikt zijn voor 230V lijnspanning. Het is aangewezen om monofasige belastingen zo gelijkmatig mogelijk te verdelen . --- # Driefasige vermogens en arbeidsfactor Dit hoofdstuk analyseert de berekening van vermogens in driefasige systemen, de vereenvoudigingen bij symmetrische belastingen en de methoden voor het verbeteren van de arbeidsfactor. ## 8. Driefasige vermogens en arbeidsfactor ### 8.1 Inleiding tot driefasige vermogens Het berekenen van driefasige vermogens is cruciaal voor het ontwerpen van distributiesystemen en installaties, zoals het bepalen van de benodigde kabelsecties. Tevens is het essentieel voor facturering, herstelling en onderhoud dat deze vermogens gemeten kunnen worden . ### 8.2 Vermogensberekening in driefasige systemen Een driefasig systeem kan worden beschouwd als drie afzonderlijke monofasige systemen. De totale vermogens zijn de som van de vermogens van deze afzonderlijke fasen. De formules voor het berekenen van de schijnbare, actieve en reactieve vermogens per fase zijn : * Schijnbare vermogen per fase ($S$): $S = U_f \cdot I_f$ . * Actief vermogen per fase ($P$): $P = U_f \cdot I_f \cdot \cos(\phi)$ . * Reactief vermogen per fase ($Q$): $Q = U_f \cdot I_f \cdot \sin(\phi)$ . De totale vermogens worden verkregen door deze waarden per fase op te tellen: * Totaal schijnbaar vermogen ($S_{tot}$): $S_{tot} = S_1 + S_2 + S_3$ . * Totaal actief vermogen ($P_{tot}$): $P_{tot} = P_1 + P_2 + P_3$ . * Totaal reactief vermogen ($Q_{tot}$): $Q_{tot} = Q_1 + Q_2 + Q_3$ . Hierbij geldt dat de fasespanningen ($U_f$) gelijk zijn ($U_{f1} = U_{f2} = U_{f3} = U_f$), maar de stromen ($I_f$) en faseverschuivingen ($\phi$) kunnen verschillen . ### 8.3 Vereenvoudigingen voor symmetrische belastingen Bij een symmetrische belasting worden alle drie de fasen identiek belast, wat betekent dat de stromen ($I_f$), faseverschuivingen ($\phi$) en vermogens gelijk zijn voor elke fase. Hierdoor kunnen de totale vermogens worden berekend door het vermogen van één fase te vermenigvuldigen met drie : * $S_{tot} = 3 \cdot S_1 = 3 \cdot S_2 = 3 \cdot S_3$ . * $P_{tot} = 3 \cdot P_1 = 3 \cdot P_2 = 3 \cdot P_3$ . * $Q_{tot} = 3 \cdot Q_1 = 3 \cdot Q_2 = 3 \cdot Q_3$ . #### 8.3.1 Vereenvoudiging voor sterschakeling Voor een sterschakeling geldt de relatie $U_f = U_L / \sqrt{3}$ en $I_L = I_f$. Door dit in de algemene vermogensformules in te vullen, verkrijgen we voor symmetrische belastingen: * $S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$ . * $P_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos(\phi)$ . * $Q_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin(\phi)$ . #### 8.3.2 Vereenvoudiging voor driehoekschakeling Voor een driehoekschakeling met symmetrische belasting geldt $U_f = U_L$ en $I_f = I_L / \sqrt{3}$. Net als bij de sterschakeling leiden deze relaties tot dezelfde vereenvoudigde formules voor de totale vermogens: * $S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$ . * $P_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos(\phi)$ . * $Q_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin(\phi)$ . **Betekenis:** Voor een gelijkmatige belasting kunnen de driefasige vermogens berekend worden met dezelfde formules, gebruikmakend van de lijngrootheden ($U_L$ en $I_L$), ongeacht of de belasting in ster of driehoek is geschakeld . **Belangrijke opmerking:** De relatie $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ die geldt voor monofasige netten, is strikt theoretisch niet geldig voor asymmetrische driefasige belastingen ($S_{tot} \neq \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}$). In de praktijk wordt deze formule echter wel gebruikt voor het bepalen van een benadering van het totale schijnbare vermogen van een installatie, waarbij de fout kleiner wordt naarmate de belasting meer gelijkmatig is . ### 8.4 Bepalen van de arbeidsfactor (AF) De arbeidsfactor (AF) geeft de efficiëntie van het gebruik van het elektriciteitsnet aan en wordt gedefinieerd als: $AF = \frac{P}{S}$ . Voor monofasige netten is de arbeidsfactor gelijk aan $\cos(\phi)$. Bij driefasige netten, met potentieel drie verschillende faseverschuivingen, is men in de praktijk geïnteresseerd in een globale beoordeling van de efficiëntie van de totale installatie. Daarom wordt voor driefasige netten de arbeidsfactor berekend als de verhouding van het totale actieve vermogen tot het totale schijnbare vermogen : $AF = \frac{P_{tot}}{S_{tot}}$ . Alleen bij symmetrische belastingen is deze waarde gelijk aan de cosinus van de faseverschuiving ($\cos(\phi)$) . ### 8.5 Verbeteren van de arbeidsfactor Het verbeteren van de arbeidsfactor gebeurt op dezelfde manier als bij monofasige netten, voornamelijk door het toevoegen van compensatiecondensatoren, omdat de meeste verbruikers inductief van aard zijn. Deze condensatoren worden parallel aan de belasting of installatie geschakeld, zowel in ster- als in driehoekschakeling . * De benodigde capaciteit voor compensatie hangt af van de schakeling . * De totale benodigde capaciteit is drie keer lager bij een driehoekschakeling vergeleken met een sterschakeling . * Hoewel de werkspanning hoger is bij een driehoekschakeling (wat duurdere condensatoren vereist), is de kostprijs vaak lager door de kleinere benodigde capaciteit voor dezelfde compensatie . * Daarom wordt in de praktijk de driehoekschakeling van compensatiecondensatoren het meest toegepast . ### 8.6 Oefeningen Oefeningen gerelateerd aan het berekenen van vermogens, stromen, en arbeidsfactoren voor zowel symmetrische als asymmetrische belastingen, en in zowel ster- als driehoekschakelingen, worden behandeld om de theoretische concepten toe te passen . ### 8.7 Meten van vermogens Voor het meten van schijnbare, actieve en reactieve vermogens bestaan gespecialiseerde apparaten. De complexiteit van de meetopstelling hangt af van het type net (vier- of d raads) en de aard van de belasting (symmetrisch of asymmetrisch) . #### 8.7.1 Meten van actief vermogen ($P$) Er zijn verschillende gevallen te onderscheiden voor het meten van actief vermogen: * **Met nulleider en asymmetrische belasting:** Omdat de fasen ongelijk belast zijn, moeten de drie vermogens afzonderlijk worden gemeten met drie wattmeters. De formules zijn : $P_1 = U_f \cdot I_{L1} \cdot \cos(\phi_1)$ $P_2 = U_f \cdot I_{L2} \cdot \cos(\phi_2)$ $P_3 = U_f \cdot I_{L3} \cdot \cos(\phi_3)$ $P_{tot} = P_1 + P_2 + P_3$ . * **Met nulleider en symmetrische belasting:** Omdat de fasen identiek belast zijn, volstaat een meting in één fase, waarbij het totale vermogen drie keer het gemeten vermogen is: $P_{tot} = 3 \cdot P_1$ . * **Zonder nulleider en symmetrische belasting:** Een specifieke driefasige wattmeter voor symmetrische belastingen kan gebruikt worden. Deze meter meet het vermogen in één fase, wat direct het totale vermogen aangeeft, ook zonder nulleider . **Foute schakeling:** Het lijkt mogelijk om de lijnspanning te gebruiken en de meetwaarde met $\sqrt{3}$ te vermenigvuldigen voor symmetrische belastingen, maar dit is een foute redenering . --- # Monofasige transformatoren Dit hoofdstuk behandelt de opbouw, werking, nullast- en kortsluitproeven, nominale waarden en speciale uitvoeringen van monofasige transformatoren . ### 9.1 Inleiding Een transformator is een statisch toestel dat elektrische wisselstroomenergie omzet van een bepaalde spannings- en stroomwaarde naar een andere spanning- en stroomwaarde, met behoud van frequentie. Ze worden gebruikt voor zowel kleine vermogens (bv. voedingen van elektronische apparatuur) als voor middelgrote en grote vermogens (bv. energietransport) . ### 9.2 Opbouw en schemasymbool De basisopbouw van een transformator bestaat uit een magnetische kern, meestal vervaardigd uit gelamineerde ijzerblikplaten, waarop twee elektrische wikkelingen zijn aangebracht: de primaire en de secundaire wikkeling. De wikkeling waaraan de energie wordt toegevoerd, is de primaire met spanningsbron $U_1$ en $N_1$ windingen. De wikkeling waaruit de energie wordt afgenomen, is de secundaire met de opgewekte spanning $U_2$ en $N_2$ windingen, waarop een belasting kan worden aangesloten. Het grafische symbool varieert tussen bedradingsschema's en ééndraadschema's . ### 9.3 Principewerking De werking berust op elektromagnetische inductie. Een wisselspanning $U_1$ aan de primaire wikkeling veroorzaakt een wisselstroom $I_1$, die een wisselende magnetische flux $\phi$ in de kern opwekt. Deze flux induceert een wisselspanning $U_2$ in de secundaire wikkeling. Als een belasting wordt aangesloten, vloeit er een secundaire stroom $I_2$. Alle grootheden (spanningen, stromen, flux) wisselen sinusvormig en vereisen vectoriële analyse . * **Belangrijk:** Een transformator werkt uitsluitend met wisselspanning (AC), niet met gelijkspanning (DC). Bij DC ontstaat er geen wisselende flux, waardoor geen spanning wordt opgewekt in de secundaire, en er kunnen te hoge stromen ontstaan in de primaire . ### 9.4 Gedrag bij nullast Bij nullast is de secundaire wikkeling onbelast ($I_2=0$). De transformator gedraagt zich dan als een spoel met grote zelfinductie. De primaire stroom $I_1$ wordt de nullaststroom $I_0$ genoemd, die klein is en nagenoeg 90° na-ijlt op de primaire spanning $U_1$, mede door de draadweerstand en kernverliezen . De wikkelverhouding wordt gedefinieerd als $N_1/N_2$. De transformatieverhouding $k$ is $U_1/U_2$. Bij nullast zijn deze verhoudingen vrijwel gelijk : $$ k = \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} $$ Als spanningsverliezen worden verwaarloosd, geldt: $$ U_2 = \frac{U_1}{k} $$ Afhankelijk van de waarde van $k$, onderscheiden we: * $k > 1$ ($N_1 > N_2 \implies U_1 > U_2$): Spanningsverlagende transformator . * $k < 1$ ($N_1 < N_2 \implies U_1 < U_2$): Spanningsverhogende transformator . * $k = 1$ ($N_1 = N_2 \implies U_1 = U_2$): Scheidingstransformator . De geïnduceerde EMK per winding is gelijk voor primaire en secundaire. Omkering van aansluitingen op een wikkeling resulteert in een faseverschuiving van 180°, aangeduid met stippen op schema's . ### 9.5 Gedrag bij belasting Bij belasting met impedantie $Z$ ontstaat een secundaire stroom $I_2$, waarvan de faseverschuiving ten opzichte van $U_2$ afhangt van de aard van $Z$ . $$ I_2 = \frac{U_2}{Z} $$ Naarmate $I_2$ toeneemt, neemt ook $I_1$ toe. Bij voldoende belasting, waarbij de nullaststroom $I_0$ verwaarloosbaar is ten opzichte van $I_1$, geldt de volgende stroomtransformatieverhouding: $$ \frac{I_2}{I_1} = k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2} $$ Dit betekent dat als de spanning aan de secundaire met een factor $k$ lager is, de stroom daar $k$ keer hoger is vergeleken met de primaire . Bij voldoende belasting geldt voor de schijnbare vermogens dat $S_1 = S_2$: $$ S_1 = U_1 \cdot I_1 = U_2 \cdot I_2 = S_2 $$ Het geleverde schijnbaar vermogen aan de belasting $S_2$ wordt dus door het net als $S_1$ geleverd. In de praktijk is $S_1$ iets hoger dan $S_2$ door magnetisering van de kern en energieverliezen . De faseverschuiving $\phi_1$ aan de primaire is bij voldoende belasting nagenoeg gelijk aan $\phi_2$ aan de secundaire . ### 9.6 Spanningsverliezen Spanningsverliezen treden op door: 1. **Draadweerstanden ($R_1, R_2$):** De primaire stroom $I_1$ veroorzaakt een spanningsval $I_1 \cdot R_1$, waardoor de geïnduceerde EMK $E_1$ lager is dan $U_1$. Bij nullast zijn deze verliezen verwaarloosbaar . 2. **Lekflux:** Een deel van het magnetische veld ontsnapt aan de kern, wat leidt tot extra spanningsverliezen . ### 9.7 Nominale waarden * **Nominale spanningen ($U_{1n}, U_{2n}$):** $U_{1n}$ is de spanning waarvoor de transformator ontworpen is (vaak 230V). $U_{2n}$ is de spanning die de transformator bij vollast aan de klemmen levert, ondanks spanningsverliezen. De spanning bij nullast is hoger dan $U_{2n}$ . * **Nominaal schijnbaar vermogen ($S_n$):** Dit is het maximale vermogen dat continu kan worden overgedragen. Het wordt beperkt door de maximale toegestane stromen ($I_{1n}, I_{2n}$) in de wikkelingen om oververhitting door Jouleverliezen te voorkomen. De nominale stromen kunnen berekend worden uit $S_n$ : $$ S_n = S_{1n} = U_{1n} \cdot I_{1n} = U_{2n} \cdot I_{2n} = S_{2n} $$ waarbij $k = U_{1n}/U_{2n} = I_{2n}/I_{1n}$ . **Voorbeeld:** Een transformator met $U_{1n} = 230$V, $U_{2n} = 50$V, en $S_n = 2300$VA heeft: * Transformatieverhouding: $k = 230 \text{V} / 50 \text{V} = 4.6$ . * Nominale primaire stroom: $I_{1n} = S_n / U_{1n} = 2300 \text{VA} / 230 \text{V} = 10 \text{A}$ . * Nominale secundaire stroom: $I_{2n} = S_n / U_{2n} = 2300 \text{VA} / 50 \text{V} = 46 \text{A}$ . ### 9.8 Oefeningen * Een transformator met $3$kVA, $400$V/$230$V. Bereken $k$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ . * Een transformator met $2$MVA, $24$kV/$3.2$kV. Bereken $k$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ . * Een transformator met $k=25$, $U_{1n} = 6000$V, $I_{1n} = 1$A. Bereken $U_{2n}$, $S_n$, $I_{2n}$ . * Een transformator met $10$kVA, $U_{2n} = 400$V, $k=5$. Bereken $U_{1n}$, $I_{1n}$, $I_{2n}$ . ### 9.9 De nullastproef De nullastproef dient om het gedrag van de transformator bij geen belasting te bepalen. De primaire wordt aangesloten op $U_{1n}$ en de secundaire is open. De gemeten transformatieverhouding $k = U_1/U_2$ is hierbij nagenoeg gelijk aan de wikkelverhouding $N_1/N_2$ . Het gemeten vermogen $P_0$ bij nullast zijn voornamelijk de ijzerverliezen ($P_{Fe}$), veroorzaakt door magnetische hysteresis en wervelstromen in de kern, omdat de nullaststroom $I_0$ en de draadweerstand $R_1$ klein zijn. De faseverschuiving $\phi_0$ tussen $U_1$ en $I_0$ is bijna 90° . $$ \cos\phi_0 = \frac{P_0}{U_1 \cdot I_0} $$ Het nullastvermogen kan worden opgesplitst in een actief vermogen $P_0$ (door de actieve stroomcomponent $I_v$) en een reactief vermogen $Q_0$ (door de magnetiserende stroomcomponent $I_m$): $$ P_0 = U_1 \cdot I_v = U_1 \cdot I_0 \cdot \cos\phi_0 $$ $$ Q_0 = U_1 \cdot I_m = U_1 \cdot I_0 \cdot \sin\phi_0 $$ Het elektrisch model van de transformator bij nullast bestaat uit een weerstand $R_v$ (voor $P_0$) en een spoel met inductie $X_m$ (voor $Q_0$) : $$ P_0 = \frac{U_1^2}{R_v} \implies R_v = \frac{U_1}{I_v} = \frac{U_1^2}{P_0} $$ $$ Q_0 = \frac{U_1^2}{X_m} \implies X_m = \frac{U_1}{I_m} = \frac{U_1^2}{Q_0} $$ ### 9.10 De kortsluitproef Bij de kortsluitproef wordt de secundaire wikkeling kortgesloten en wordt de primaire aangesloten op een sterk verlaagde spanning, de kortsluitspanning $U_k$. Deze spanning wordt zo geregeld dat de nominale stromen $I_{1n}$ en $I_{2n}$ vloeien. De kortsluitspanning is typisch slechts 6% tot 8% van de nominale primaire spanning . $$ U_k (\%) = \frac{U_k}{U_{1n}} \cdot 100\% $$ De Wattmeter meet de koperverliezen ($P_{cu}$) bij nominale stromen, omdat de ijzerverliezen bij de lage kortsluitspanning verwaarloosbaar zijn: $$ P_{cu, nom} = I_{1n}^2 \cdot R_1 + I_{2n}^2 \cdot R_2 $$ ### 9.11 Serie schakelen Serie schakelen van secundaire wikkelingen met verschillende nominale waarden kan leiden tot andere secundaire spanningen (bv. som of verschil). De maximale leverbare stroom wordt beperkt door de wikkeling met de dunste draad . Trafo's met meerdere secundaire aftakkingen kunnen worden gezien als een serieschakeling van deelspoelen, waardoor diverse spanningen verkrijgbaar zijn. Een middenaftakking (center tap) biedt spanningen ten opzichte van deze aftakking . ### 9.12 Diverse uitvoeringen en speciale transformatoren #### 9.12.1 De spaartrafo of autotrafo Een autotransformator heeft één enkele wikkeling met een aftakking, wat kosten en gewicht bespaart. Er is echter geen galvanische scheiding tussen primair en secundair circuit, wat een veiligheidsrisico kan vormen . * **Spanningsverlagende uitvoering:** Werkt als een spanningsdeler. $$ U_2 = \frac{N_2}{N_1} \cdot U_1 $$ waarbij $N_1$ het totale aantal windingen is en $N_2$ het aantal windingen van de aftakking . * **Spanningsverhogende uitvoering:** Een extra spoel wordt in serie geschakeld met de primaire. $$ U_2 = \frac{N_1 + N_2}{N_1} \cdot U_1 $$ waarbij $N_1$ de primaire winding is en $N_2$ de extra spoel . * **Regeltrafo (variac):** Heeft een verschuifbaar contact om de secundaire spanning traploos te regelen . #### 9.12.2 Meettransformatoren Meettransformatoren worden gebruikt om hoge spanningen en stromen veilig te meten, door ze te reduceren tot standaardwaarden voor meetinstrumenten. Ze hebben een nauwkeurig bepaalde transformatieverhouding (geclassificeerd, bv. klasse 0,1%) . * **Spanningsmeettrafo (VMT):** Gaat hoge primaire spanningen (bv. $72.5$ kV) terugbrengen naar gestandaardiseerde secundaire spanningen (100V of 110V) . * **Stroommeettrafo (SMT):** De primaire wikkeling wordt doorlopen door de te meten stroom. De transformatieverhouding $k$ is zo gekozen dat de secundaire stroom bij nominale primaire stroom een standaardwaarde (5A of 1A) heeft. Bijvoorbeeld, een aanduiding van 1000A/5A betekent dat de maximale primaire stroom 1000A is en de secundaire stroom 200 maal lager is . * **Belangrijk:** De secundaire van een stroommeettrafo mag NOOIT open onderbroken worden als er een primaire stroom vloeit. Dit kan leiden tot kernverzadiging, oververhitting, en gevaarlijke hoge secundaire spanningen. Kortsluiten van de secundaire is wel toegestaan en zelfs aanbevolen . * **Stroomtang:** Een magnetische keten die geopend kan worden om over een geleider te plaatsen zonder deze los te maken. Handig voor snelle metingen, maar meestal minder nauwkeurig door luchtspleten. Stroomtangen voor DC werken op basis van het Hall-effect, niet transformatie . --- # Driefasige transformatoren Dit hoofdstuk behandelt de opbouw, schakelingen, transformatieverhoudingen en speciale typen driefasige transformatoren, inclusief het klokgetal . ### 10.1 Opbouw en schakelingen Een driefasige transformator is principieel opgebouwd uit een kern met drie benen, elk voorzien van zowel een primaire als een secundaire wikkeling. De zes wikkelingen hebben twaalf aansluitklemmen, gemarkeerd volgens het schema : | Been | Primair | Secundair | |------|----------|-----------| | U | 1U1/1U2 | 2U1/2U2 | | V | 1V1/1V2 | 2V1/2V2 | | W | 1W1/1W2 | 2W1/2W2 | Zowel de primaire als de secundaire spoelen moeten voor driefasig gebruik in ster (Y) of in driehoek (D) geschakeld worden. De primaire schakeling gedraagt zich als een driefasige belasting voor het net, en de secundaire schakeling als een driefasige bron. Er zijn vier hoofdschakelingen, gecodeerd met hoofdletters voor de primaire en kleine letters voor de secundaire schakeling : * **Yy:** Ster - Ster . * **Yd:** Ster - Driehoek . * **Dy:** Driehoek - Ster . * **Dd:** Driehoek - Driehoek . Vaak worden deze schakelingen tijdens de fabricage bedraad, waardoor niet alle zes klemmen beschikbaar zijn. Indien het sterpunt van een sterschakeling beschikbaar is, wordt dit aangegeven met een extra letter "n" in de code, zoals YNyn (beide sterpunten beschikbaar) of Yyn (enkel secundair sterpunt beschikbaar) . ### 10.2 Transformatieverhouding De transformatie van fasespanningen en fasestromen per been volgt de formule van de monofasige transformator, met een constante k-factor voor alle drie de benen . $$ \frac{U_{fp}}{U_{fs}} = \frac{I_{fs}}{I_{fp}} = \frac{N_p}{N_s} = k $$ . In driefasige systemen wordt echter doorgaans gewerkt met lijnspanningen ($U_L$). De transformatie van lijnspanningen ($U_{Lp}/U_{Ls}$) hangt af van de gekozen ster- of driehoekschakeling aan de primaire en secundaire zijde. Het berekenen van de juiste spanning- en stroomtransformatie is hierdoor complexer dan bij monofasige transformatoren . ### 10.3 Speciale typen transformatoren #### 10.3.1 De zigzagtrafo De zigzagtrafo is een speciale uitvoering die gebruikt wordt om een ongelijkmatige belasting aan de secundaire kant gelijkmatiger te verdelen naar de primaire kant. Elk been van de secundaire wikkeling bestaat uit twee identieke spoelen, wat resulteert in negen secundaire wikkelingen en achttien aansluitklemmen. De secundaire zijde wordt altijd in ster geschakeld, waarbij elke secundaire fase een serieschakeling is van twee secundaire spoelen van verschillende benen. Deze schakeling wordt aangeduid met de codering 'Yz', waarbij 'z' staat voor de zigzagschakeling . ### 10.4 Het klokgetal De faseverschuiving tussen de primaire en secundaire lijnspanningen kan, afhankelijk van de schakeling, verschillen. Om dit overzichtelijk weer te geven, worden schakelingen ingedeeld in schakelgroepen, die elk een specifieke faseverschuiving veroorzaken. De grootte van deze faseverschuiving wordt weergegeven door het klokgetal, dat wordt verkregen door de schakelcode (bv. Dy5). Het klokgetal vermenigvuldigd met 30 graden geeft de faseverschuiving in graden, waarbij dit aangeeft hoeveel de secundaire lijnspanning na-ijlt op de primaire lijnspanning. Bijvoorbeeld, een Dy5 trafo heeft een faseverschuiving van $5 \times 30° = 150°$. De naam 'klokgetal' komt van de analogie met de uren op een klok, waarbij elk uur overeenkomt met 30 graden . > **Tip:** Een extra faseverschuiving van 180° kan worden verkregen door bij bepaalde schakelingen (bv. Dy) de klemmen aan de primaire zijde om te wisselen (bv. van Dy5 naar Dy11) . ### 10.5 Praktische overwegingen * Bij het aansluiten van transformatoren, worden de primaire lijnen L1, L2, L3 aangesloten op 1U, 1V, 1W, en de secundaire lijnen L1, L2, L3 op 2U, 2V, 2W, respectievelijk . * Distributietransformatoren zijn vaak voorzien van aftakkingen waarmee het aantal windingen aan één zijde kan worden aangepast. Dit maakt het mogelijk de secundaire spanning te regelen met een bereik van ongeveer +10% tot -10%, om spanningsfluctuaties door wisselende belasting te compenseren. Bij hoogspanningstransformatoren gebeurt deze spanningsregeling meestal aan de hoogspanningszijde om kosten te besparen . * In berekeningen worden transformatorverliezen vaak verwaarloosd en wordt een voldoende belasting verondersteld, wat kan leiden tot lichte afwijkingen ten opzichte van werkelijke waarden . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Wisselstroom | Een elektrische stroom waarvan de richting en/of grootte periodiek verandert. | | Wisselspanning | Een elektrische spanning waarvan de polariteit en/of grootte periodiek verandert. | | Periode (T) | De tijd die nodig is om één volledige cyclus van een periodieke wisselstroom of -spanning te doorlopen. | | Frequentie (f) | Het aantal perioden dat per seconde voorkomt, uitgedrukt in Hertz (Hz). | | Ogenblikkelijke waarde | De waarde van een wisselstroom of -spanning op een specifiek moment in de tijd. | | Effectieve waarde (RMS) | De waarde van een gelijkstroom of -spanning die in een weerstand hetzelfde gemiddelde vermogen ontwikkelt als de wisselstroom of -spanning. | | Amplitude (Um, Im) | De maximale waarde die een sinusvormige wisselspanning of -stroom bereikt. | | Faseverschuiving (φ) | Het verschil in fase tussen een wisselspanning en een wisselstroom in een AC-circuit. | | Impedantie (Z) | De totale weerstand die een AC-circuit biedt aan de stroom, bestaande uit resistieve en reactieve componenten. | | Weerstand (R) | De component in een elektrisch circuit die zich verzet tegen de doorstroming van elektrische stroom en energie omzet in warmte. | | Reactantie (X) | De weerstand die spoelen (inductieve reactantie, XL) en condensatoren (capacitieve reactantie, XC) bieden aan wisselstromen, die frequentieafhankelijk is. | | Capacitantie (XC) | De weerstand van een condensator tegen de doorstroming van wisselstroom, uitgedrukt in ohm en omgekeerd evenredig met de frequentie en capaciteit. | | Inductantie (XL) | De weerstand van een spoel tegen de doorstroming van wisselstroom, uitgedrukt in ohm en recht evenredig met de frequentie en zelfinductiecoëfficiënt. | | Actief vermogen (P) | Het deel van het vermogen in een AC-circuit dat wordt omgezet in warmte of nuttige arbeid, uitgedrukt in Watt (W). | | Reactief vermogen (Q) | Het vermogen dat heen en weer pendelt tussen de bron en de componenten met zelfinductie of capaciteit, uitgedrukt in Volt-Ampère Reactief (VAR). | | Schijnbaar vermogen (S) | Het totale vermogen dat de bron levert aan een AC-circuit, de vectoriële som van actief en reactief vermogen, uitgedrukt in Volt-Ampère (VA). | | Arbeidsfactor (AF of cos φ) | De verhouding tussen actief vermogen en schijnbaar vermogen, die aangeeft hoe efficiënt de elektrische energie wordt gebruikt. | | Stroomsom (I) | De vectoriële som van alle deelstromen in een knooppunt of parallelcircuit. | | Spanningssom (U) | De vectoriële som van alle deelspanningen in een kring of serieschakeling. | | Admittantie (Y) | Het omgekeerde van impedantie, die de geleidbaarheid van een circuit aangeeft, uitgedrukt in Siemens (S). | | Vectoriële voorstelling | Een grafische weergave van wisselspanningen en -stromen als vectoren, waarbij de lengte de amplitude of effectieve waarde en de hoek de fase aangeeft. | | Sterschakeling (Y) | Een manier om drie wisselstroomspoelen aan te sluiten, waarbij de uiteinden van de spoelen met elkaar worden verbonden om een sterpunt te vormen. | | Driehoekschakeling (D of Δ) | Een manier om drie wisselstroomspoelen aan te sluiten, waarbij ze in een gesloten lus worden verbonden. | | Nulleider (N) | De retourgeleider in een vierdraads AC-systeem, die het circuit sluit voor belastingen aangesloten tussen een lijndraad en de nulleider. | | Lijnspanning (UL) | De spanning tussen twee lijndraden in een driefasensysteem. | | Fasespanning (Uf) | De spanning tussen een lijndraad en de nulleider (of het sterpunt) in een driefasensysteem. | | Resonantie | Een fenomeen waarbij de reactantie van een spoel gelijk is aan de reactantie van een condensator, wat resulteert in een minimale impedantie (serie) of maximale impedantie (parallel) en een faseverschuiving van nul. | | Transformator | Een elektrisch apparaat dat wisselspanning omzet naar een andere spanning door middel van elektromagnetische inductie. | | Primaire wikkeling | De wikkeling van een transformator die is aangesloten op de voedingsbron. | | Secundaire wikkeling | De wikkeling van een transformator waaruit de omgezette energie wordt onttrokken. | | Transformatieverhouding (k) | De verhouding tussen de spanningen of het aantal windingen van de primaire en secundaire wikkelingen van een transformator. | | Nullaststroom (I0) | De kleine stroom die door een transformator loopt wanneer deze niet belast is aan de secundaire zijde, voornamelijk benodigd voor magnetisering. | | IJzerverliezen (PFe) | De energie die verloren gaat als warmte in de kern van een transformator als gevolg van hysterese en wervelstromen. | | Koperverliezen (Pcu) | De energie die verloren gaat als warmte in de wikkelingen van een transformator als gevolg van de weerstand van de geleiders. | | Spaartrafo (Autotrafo) | Een transformator met slechts één wikkeling die zowel als primaire als secundaire dient, wat leidt tot een kostendaling maar geen galvanische scheiding. | | Meettransformator | Een transformator ontworpen voor het veilig en nauwkeurig meten van hoge spanningen of stromen door deze naar lagere, meetbare waarden te transformeren. | | Klokgetal | Een aanduiding voor de faseverschuiving tussen de primaire en secundaire lijnspanningen van een driefasige transformator, gerelateerd aan de schakelgroep. |