Les_6_SPC_IKZ_25.pdf

# De normale verdeling en haar toepassingen De normale verdeling, ook wel Gaussverdeling genoemd, is een fundamentele continue kansverdeling die veel gebruikt wordt in statistiek en waarschijnlijkheidsrekening om natuurlijke fenomenen te modelleren [4](#page=4). ## 1. De normale verdeling en haar toepassingen ### 1.1 Theoretische benadering van de normale verdeling De normale verdeling wordt gekenmerkt door twee parameters: de verwachtingswaarde ($\mu$) en de standaardafwijking ($\sigma$). De kansdichtheid van deze verdeling wordt grafisch weergegeven door de Gausscurve [4](#page=4) [5](#page=5). **Kenmerken van de Gausscurve:** * De kansdichtheid is symmetrisch rond de verwachtingswaarde ($\mu$) [5](#page=5). * De curve is het hoogst bij het gemiddelde en neemt af naarmate de afstand tot het gemiddelde toeneemt, zonder ooit exact nul te worden [5](#page=5). * De verdeling loopt theoretisch van $-\infty$ tot $+\infty$ [5](#page=5). * De vorm van de verdeling wordt volledig bepaald door $\mu$ en $\sigma$ [5](#page=5). ### 1.2 De standaard normale verdeling Een speciale vorm van de normale verdeling is de **standaard normale verdeling**, waarbij de parameters vastliggen op: * Verwachtingswaarde ($\mu$ of $x$) = 0 [7](#page=7). * Standaardafwijking ($\sigma$ of $s$) = 1 [7](#page=7). De **excentriciteit ($u$)** is een maatstaf die aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een specifieke waarde ($X$) verwijderd is van het gemiddelde ($\mu$). Deze waarde wordt berekend met de formule [7](#page=7): $$u = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ of, met de gebruikte notatie in de oefeningen: $$u = \frac{X - \bar{x}}{s}$$ De $u$-waarde kan worden gebruikt om kansen te bepalen door deze te vergelijken met tabellen van de normale verdeling, die de oppervlakte onder de curve weergeven voor een gegeven $u$-waarde [7](#page=7). ### 1.3 Berekening van kansen met de standaardafwijking Om te bepalen welk percentage van de data binnen bepaalde grenzen valt, wordt de $u$-score berekend, waarna de bijbehorende oppervlakte (kans) uit een standaard normale verdelingstabel kan worden afgelezen. #### 1.3.1 Voorbeeld: Lengte van studenten **Oefening 1:** Gegeven is dat de gemiddelde lengte van studenten $\bar{x} = 180,7$ cm is en de standaardafwijking $s = 7,1$ cm [10](#page=10) [11](#page=11). 1. **Hoeveel procent is groter dan 186 cm?** * Bereken de $u$-score voor $X = 186$ cm: $$u = \frac{186 - 180,7}{7,1} = \frac{5,3}{7,1} \approx 0,746 \approx 0,75$$ * Zoek de corresponderende kans in de tabel. De tabel geeft de kans aan voor $u \le 0,75$. Als $f(u)$ de oppervlakte tot $u$ is, dan is $f(0,75) \approx 0,7734$ [13](#page=13). * De kans op een lengte groter dan 186 cm is $1 - f(u)$: $$1 - 0,7734 = 0,2264$$ Dit betekent dat 22,64% van de studenten groter is dan 186 cm [13](#page=13). 2. **Hoeveel procent is kleiner dan 165 cm?** * Bereken de $u$-score voor $X = 165$ cm: $$u = \frac{165 - 180,7}{7,1} = \frac{-15,7}{7,1} \approx -2,211$$ * Voor negatieve $u$-waarden leest men de kans af voor de positieve tegenhanger ($u'$) en gebruikt men de symmetrie van de verdeling. De tabel geeft de kans voor $u \le -2,211$ als $1 - f(u')$ waarbij $u'$ de positieve waarde is. Als $f(u')$ de oppervlakte tot $u'$ weergeeft, dan is $1 - f(u')$ de kans op $u < -u'$. De kans voor $u' \approx 2,21$ uit de tabel is $f(2,21) \approx 0,9864$ [14](#page=14). * De kans op een lengte kleiner dan 165 cm is direct af te lezen als de oppervlakte tot $u=-2,211$. De tabel geeft direct de kans voor $u \le -2,211$ als $1 - f(2,21)$ wanneer de tabel de oppervlakte vanaf het midden tot $u'$ weergeeft. Als de tabel de totale oppervlakte tot $u$ weergeeft, is de kans $0,0136$. $$1 - 0,9864 = 0,0136$$ Dit betekent dat 1,36% van de studenten kleiner is dan 165 cm [14](#page=14). 3. **Hoeveel procent heeft een lengte tussen 182 cm en 187 cm?** * Bereken de $u$-score voor $X = 182$ cm: $$u_1 = \frac{182 - 180,7}{7,1} = \frac{1,3}{7,1} \approx 0,183 \approx 0,18$$ * De kans op een lengte kleiner dan 182 cm (oppervlakte tot $u_1 = 0,18$) is $f(0,18) \approx 0,5714$ [15](#page=15). * Bereken de $u$-score voor $X = 187$ cm: $$u_2 = \frac{187 - 180,7}{7,1} = \frac{6,3}{7,1} \approx 0,887 \approx 0,89$$ * De kans op een lengte kleiner dan 187 cm (oppervlakte tot $u_2 = 0,89$) is $f(0,89) \approx 0,8133$ [16](#page=16). * De kans op een lengte tussen 182 cm en 187 cm is het verschil tussen de twee kansen: $$f(u_2) - f(u_1) = 0,8133 - 0,5714 = 0,2419$$ Dit betekent dat 24,19% van de studenten een lengte heeft tussen 182 cm en 187 cm [17](#page=17). #### 1.3.2 Voorbeeld: Vulgewicht van suikerzakjes **Oefening 2:** Een suikerfabrikant vult pakken suiker met een normale verdeling en een standaardafwijking van $s = 10$ gram. De eis is dat maximaal 5% van de pakken een gewicht lager dan 1000 gram mag hebben. Gevraagd wordt op welk gemiddeld vulgewicht ($\bar{x}$) de machine ingesteld moet worden [18](#page=18) [19](#page=19). * Gegeven is dat $P(X < 1000) = 0,05$ en $s = 10$ [19](#page=19). * We zoeken de $u$-waarde waarvoor $P(u < u) = 0,05$. In de standaard normale verdelingstabel vinden we dat de kans van 0,05 overeenkomt met een $u$-waarde van ongeveer $-1,64$ (dit is de waarde waarbij 5% van de oppervlakte links ervan ligt) [20](#page=20). $$u \approx -1,64$$ * Nu kunnen we de formule voor $u$ herschrijven om $\bar{x}$ te berekenen: $$u = \frac{X - \bar{x}}{s} \implies \bar{x} = X - (u \times s)$$ * Invullen van de waarden: $$\bar{x} = 1000 - (-1,64 \times 10)$$ $$\bar{x} = 1000 - (-16,4)$$ $$\bar{x} = 1016,4 \text{ gram}$$ * De vulmachine moet dus ingesteld worden op een gemiddeld vulgewicht van 1016,4 gram om aan de eis te voldoen [20](#page=20). #### 1.3.3 Voorbeeld: Levensduur van vrachtwagenbanden **Oefening 3:** Een transportbedrijf heeft 100 vrachtwagenbanden. De levensduur van een band is normaal verdeeld met een gemiddelde van $\mu = 120.000$ km en een standaardafwijking van $\sigma = 12.500$ km [26](#page=26). 1. **Hoeveel banden (%) mag men verwachten die niet langer dan 140.000 km zullen meegaan?** * Bereken de $u$-score voor $X = 140.000$ km: $$u = \frac{140.000 - 120.000}{12.500} = \frac{20.000}{12.500} = 1,6$$ * De kans op een levensduur kleiner dan 140.000 km is de oppervlakte tot $u = 1,6$. Met behulp van een tabel is deze kans $f(1,6) \approx 0,9452$. * Dit betekent dat 94,52% van de banden niet langer dan 140.000 km meegaat [26](#page=26). 2. **Hoeveel banden zal men moeten vervangen tussen 100.000 en 130.000 km?** * Bereken de $u$-score voor $X = 100.000$ km: $$u_1 = \frac{100.000 - 120.000}{12.500} = \frac{-20.000}{12.500} = -1,6$$ * De kans op een levensduur kleiner dan 100.000 km is de oppervlakte tot $u_1 = -1,6$. Dit is $1 - f(1,6) = 1 - 0,9452 = 0,0548$. * Bereken de $u$-score voor $X = 130.000$ km: $$u_2 = \frac{130.000 - 120.000}{12.500} = \frac{10.000}{12.500} = 0,8$$ * De kans op een levensduur kleiner dan 130.000 km is de oppervlakte tot $u_2 = 0,8$. Dit is $f(0,8) \approx 0,7881$. * De kans op een levensduur tussen 100.000 en 130.000 km is het verschil: $$f(u_2) - f(u_1) = 0,7881 - 0,0548 = 0,7333$$ * Bij 100 banden is dit $0,7333 \times 100 = 73,33$ banden. Men zal dus ongeveer 73 banden moeten vervangen in dit interval [26](#page=26). 3. **Na hoeveel km zal 12% van de banden versleten zijn?** * Dit betekent dat we de $X$-waarde zoeken waarvoor de kans op versleten zijn (minder kilometers dan $X$) gelijk is aan 0,12. We zoeken dus de $X$ waarvoor $P(X < X) = 0,12$. * We zoeken de $u$-waarde waarvoor $f(u) = 0,12$. In de tabel vinden we dat dit overeenkomt met $u \approx -1,176$ (aangezien 12% erg aan de lage kant van de verdeling ligt, verwachten we een negatieve $u$-waarde). * Nu gebruiken we de formule om $X$ te berekenen: $$u = \frac{X - \mu}{\sigma} \implies X = \mu + (u \times \sigma)$$ * Invullen van de waarden: $$X = 120.000 + (-1,176 \times 12.500)$$ $$X = 120.000 - 14.700$$ $$X = 105.300 \text{ km}$$ * Na ongeveer 105.300 km zal 12% van de banden versleten zijn [26](#page=26). > **Tip:** Bij het werken met normale verdelingstabellen is het cruciaal om te onthouden of de tabel de oppervlakte tot een bepaalde $u$-waarde weergeeft, of de oppervlakte tussen het gemiddelde en $u$. Dit bepaalt hoe je kansen berekent voor intervallen en voor waarden buiten het gemiddelde. > **Tip:** Rond $u$-waarden altijd af naar twee decimalen voor het opzoeken in standaardtabellen, tenzij anders gespecificeerd. Gebruik de meest accurate afgeronde waarde die in de tabel voorkomt. > **Tip:** Controleer altijd of je antwoord logisch is. Als je bijvoorbeeld vraagt naar het percentage boven het gemiddelde, verwacht dan ongeveer 50%. Als je vraagt naar het percentage ver van het gemiddelde, verwacht dan een kleine waarde. --- # Statistische procescontrole (SPC) Statistische procescontrole (SPC) omvat het gebruik van statistische methoden om processen te monitoren en te beheersen, met een specifieke focus op het interpreteren van werppatronen om zowel systematische als toevallige fouten te identificeren [2](#page=2). ### 2.1 Kernconcepten van SPC SPC is gebaseerd op het principe dat elk proces variatie kent, die kan worden opgedeeld in twee hoofdcategorieën: systematische fouten en toevallige fouten [21](#page=21). #### 2.1.1 Systematische fouten Systematische fouten vertegenwoordigen een consistente afwijking van de gewenste waarde. Ze zijn vaak het gevolg van een structureel probleem in het proces, zoals een verkeerd ingestelde machine of een consistente fout in de materiaallevering. In de context van het werppatroon (darts op een bord) wordt een systematische fout herkend wanneer het gemiddelde van de worpen buiten de tolerantiegrenzen valt. Als het gemiddelde samenvalt met het midden van de tolerantie, duidt dit op een optimale regeling met minimale systematische fouten. Wanneer het gemiddelde echter niet in de roos (het ideale punt) ligt, is er sprake van een systematische afwijking ten opzichte van de ideale waarde, zelfs als de spreiding klein is [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23). #### 2.1.2 Toevallige fouten Toevallige fouten zijn willekeurige, onvoorspelbare variaties binnen een proces. Ze worden vaak veroorzaakt door kleine, oncontroleerbare factoren die inherent zijn aan het proces. Een grote spreiding in de worpen duidt op een aanzienlijke invloed van toevallige fouten. Zelfs als er geen uitval is (alle producten binnen de tolerantiegrenzen vallen), kan een grote spreiding een reëel gevaar voor toekomstige uitval betekenen. Een kleine spreiding daarentegen, betekent dat het proces onder controle is met weinig tot geen invloed van toevallige fouten [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23). ### 2.2 Interpreteren van werppatronen De analyse van werppatronen, vaak visueel voorgesteld met behulp van controlekaarten (later te bespreken ), is cruciaal voor het begrijpen van de processtatus [35](#page=35). #### 2.2.1 Worp 1: Slecht geregeld proces * **Observatie:** De meeste darts vallen naast het bord. * **Interpretatie:** Het gemiddelde en de spreiding liggen buiten de bordgrenzen. Het gemiddelde ligt buiten de tolerantie, wat duidt op een systematische fout. De spreiding is groot, wat wijst op veel toevallige fouten [21](#page=21). * **Besluit:** Er is veel uitval, en het proces is slecht geregeld met een grote spreiding [21](#page=21). #### 2.2.2 Worp 2: Optimale regeling met grote spreiding * **Observatie:** Alle darts vallen binnen het bord. * **Interpretatie:** Het gemiddelde en de spreiding liggen binnen de bordgrenzen. Het gemiddelde valt samen met het midden van de tolerantie, wat duidt op optimale regeling en minimale systematische fouten. De spreiding is echter groot, wat wijst op aanzienlijke toevallige fouten [22](#page=22). * **Besluit:** Hoewel er geen uitval is, moeten toevallige fouten worden opgespoord, omdat er een reëel gevaar voor uitval bestaat [22](#page=22). #### 2.2.3 Worp 3: Kleine spreiding, systematische afwijking * **Observatie:** Alle darts vallen binnen het bord en dicht bij elkaar, maar het gemiddelde ligt niet in de roos. * **Interpretatie:** De spreiding is klein, wat aangeeft dat het proces onder controle is met weinig tot geen invloed van toevallige fouten. Het gemiddelde ligt echter niet in de roos, wat duidt op een systematische afwijking ten opzichte van de ideale waarde [23](#page=23). * **Besluit:** Het proces is niet optimaal geregeld, en producten wijken systematisch af van de ideale waarde [23](#page=23). #### 2.2.4 Worp 4: Volledig onder controle * **Observatie:** De meeste darts vallen in het bord en in de roos. * **Interpretatie:** Het gemiddelde en de spreiding liggen binnen de bordgrenzen. Het gemiddelde ligt op de ideale waarde, wat aangeeft dat het proces onder controle is. De spreiding is klein, wat duidt op weinig tot geen toevallige fouten [24](#page=24). * **Besluit:** Het proces is volledig onder controle. Het gemiddelde van de producten valt samen met de tolerantiemidden, en er zijn kleine afwijkingen [24](#page=24). ### 2.3 Praktische Toepassingen en Case Studies Het bepalen van de klanttevredenheid vereist de analyse van de productvariatie ten opzichte van de gestelde eisen [31](#page=31). #### 2.3.1 Eisen van de klant Een typische eis van de klant kan worden geformuleerd als een doelwaarde met een acceptabele tolerantie, bijvoorbeeld 500 ± 10 [25](#page=25). #### 2.3.2 Analyse van processen Bij de beoordeling van processen wordt gekeken naar het gemiddelde ($\bar{x}$) en de spreiding (vaak weergegeven door de standaardafwijking $s$) [25](#page=25). * **Oefening 6 Voorbeelden:** * **Proces A:** $\bar{x} = 503$ en $s = 2$ [25](#page=25). * **Proces B:** $\bar{x} = 501$ en $s = 4$ [25](#page=25). * **Proces C:** $\bar{x} = 508$ en $s = 2$ [25](#page=25). De volgende stappen bij de analyse van een casestudy zijn: 1. Bepaal de minimale en maximale waarden van de producten [31](#page=31). 2. Controleer op uitval en kwantificeer deze [31](#page=31). 3. Identificeer het betreffende proces en bepaal welke bijregeling nodig is [31](#page=31). #### 2.3.3 Evaluatie na bijregeling Na een bijregeling kan de status van het proces opnieuw worden geëvalueerd. Stel dat na bijregeling de resultaten zijn: $$ \bar{x} = 500 $$ $$ s = 3.64 $$ De vraag is of dit nu voldoende is en, zo niet, wat de volgende stappen zijn [33](#page=33). > **Tip:** Bij continue procesverbetering is het belangrijk om niet alleen de uitval te elimineren, maar ook de spreiding te minimaliseren om de algehele procesefficiëntie te optimaliseren. Dit kan leiden tot een overschakeling van 100% controle naar steekproefsgewijze controle met behulp van controlekaarten [35](#page=35). --- # Casestudy en praktijkvoorbeelden Dit deel van het document verkent concrete casestudies en oefeningen om de theoretische concepten van statistische procescontrole en normale verdelingen in de praktijk toe te passen en te analyseren [26](#page=26) [28](#page=28) [29](#page=29) [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34). ### 3.1 Casestudy 1: Vrachtwagenbanden Een transportbedrijf koopt 100 vrachtwagenbanden. De levensduur van een band is normaal verdeeld met een gemiddelde ($\mu$) van 120.000 km en een spreiding ($\sigma$) van 12.500 km [26](#page=26). #### 3.1.1 Berekeningen en analyses **Vraag 1: Hoeveel banden (%) mag men verwachten die niet langer dan 140.000 km zullen meegaan?** Dit vereist het berekenen van de kans dat een band minder dan of gelijk aan 140.000 km meegaat. Dit kan worden gedaan door de Z-score te berekenen en de bijbehorende kans op te zoeken in een standaard normale verdelingstabel. De Z-score wordt berekend met de formule: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ [26](#page=26). Met $X = 140.000$ km, $\mu = 120.000$ km, en $\sigma = 12.500$ km: $Z = \frac{140.000 - 120.000}{12.500} = \frac{20.000}{12.500} = 1,6$ [26](#page=26). De kans $P(X \le 140.000)$ is gelijk aan $P(Z \le 1,6)$. Uit de tabel van de standaard normale verdeling is deze kans ongeveer 0,9452 [26](#page=26). Men mag verwachten dat ongeveer 94,52% van de banden niet langer dan 140.000 km meegaat [26](#page=26). **Vraag 2: Hoeveel banden zal men moeten vervangen tussen 100.000 en 130.000 km?** Dit vereist het berekenen van de kans dat een band tussen 100.000 en 130.000 km meegaat. Eerste Z-score voor 100.000 km: $Z_1 = \frac{100.000 - 120.000}{12.500} = \frac{-20.000}{12.500} = -1,6$ [26](#page=26). Tweede Z-score voor 130.000 km: $Z_2 = \frac{130.000 - 120.000}{12.500} = \frac{10.000}{12.500} = 0,8$ [26](#page=26). De kans $P(100.000 \le X \le 130.000)$ is gelijk aan $P(-1,6 \le Z \le 0,8)$. Dit wordt berekend als $P(Z \le 0,8) - P(Z \le -1,6)$. Uit de tabel van de standaard normale verdeling: $P(Z \le 0,8) \approx 0,7881$ en $P(Z \le -1,6) \approx 0,0548$ [26](#page=26). De kans is dus $0,7881 - 0,0548 = 0,7333$ [26](#page=26). Men mag verwachten dat ongeveer 73,33% van de banden tussen 100.000 en 130.000 km vervangen moet worden [26](#page=26). **Vraag 3: Na hoeveel km zal 12% van de banden versleten zijn?** Dit betekent dat we de waarde $X$ zoeken waarvoor $P(X \le X) = 0,12$. We zoeken dus de X-waarde die correspondeert met een kans van 0,12 in de standaard normale verdeling. We zoeken de Z-score waarvoor $P(Z \le Z) = 0,12$. Uit de tabel van de standaard normale verdeling is deze Z-score ongeveer -1,175 [26](#page=26). Nu gebruiken we de Z-score formule om X te berekenen: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. $-1,175 = \frac{X - 120.000}{12.500}$ [26](#page=26). $X = 120.000 + (-1,175 \times 12.500)$ [26](#page=26). $X = 120.000 - 14.687,5$ [26](#page=26). $X = 105.312,5$ km [26](#page=26). 12% van de banden zal versleten zijn na ongeveer 105.312,5 km [26](#page=26). > **Tip:** Bij het oplossen van dit soort problemen is het cruciaal om de Z-score correct te berekenen en de bijbehorende kansen uit de standaard normale verdelingstabel nauwkeurig af te lezen. ### 3.2 Casestudy 2: Procescontrole en Kwaliteitseisen Deze casestudy richt zich op de evaluatie van een productieproces ten opzichte van de eisen van een klant [31](#page=31) [33](#page=33). #### 3.2.1 Initiële procesevaluatie Het proces produceert voorwerpen met een bepaalde dimensie. De eerste stap is het bepalen van de minimale en maximale gemeten waarden en de spreiding van het proces [31](#page=31) [33](#page=33). Gegeven de metingen: Gemiddelde ($\bar{x}$) = 503,58 Spreiding (s) = 3,62 [30](#page=30). De berekening van het gemiddelde ($\bar{x}$) en de spreiding ($s$) wordt als volgt weergegeven: $$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $$ $$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$ [30](#page=30). #### 3.2.2 Voldoen aan klantvereisten De kernvragen in deze casestudy zijn: 1. Zijn de minimale en maximale waarden bepaald [31](#page=31) [33](#page=33)? 2. Is er sprake van uitval (stukken die buiten de specificaties vallen)? Zo ja, hoeveel [31](#page=31) [33](#page=33)? 3. Welk type proces wordt hier geanalyseerd en is bijregeling nodig [31](#page=31) [33](#page=33)? #### 3.2.3 Evaluatie na bijregeling Na een mogelijke bijregeling zijn de proceskenmerken veranderd [33](#page=33). Nieuwe metingen: Nieuw gemiddelde ($\bar{x}$) = 500 Nieuwe spreiding (s) = 3,64 [33](#page=33). De vraag is nu: 4. Is dit voldoende (voldoet het aan de klanteisen)? Zo niet, wat zijn de volgende stappen [33](#page=33)? > **Tip:** Het vergelijken van de procesgemiddelde en spreiding met de klantspecificaties (min en max waarden) is cruciaal om uitval te identificeren en de procesprestatie te beoordelen. ### 3.3 Casestudy 3: Fabricage met specificaties Dit is een oefening waarbij objecten worden gefabriceerd met een specifieke afmeting [34](#page=34). #### 3.3.1 Specificaties en initiële metingen Het proces produceert objecten met een specificatie van 500 ± 10. Dit betekent dat de gewenste waarde 500 is, met een tolerantie van 10 eenheden naar boven en naar beneden. De toegestane limieten zijn dus 490 (min) en 510 (max) [34](#page=34). De eerste metingen geven: Gemiddelde ($\bar{x}$) = 503,5 Standaarddeviatie ($\sigma$) = 4 [34](#page=34). #### 3.3.2 Analyse van uitval en procesverbetering **Vraag 1-3: Hoe groot is het grootste/kleinste individu, is er uitval en hoeveel procent uitval mag men verwachten?** We gaan ervan uit dat de metingen ook normaal verdeeld zijn rond het gemiddelde. * **Grootste individu:** Het grootste individu zal ruwweg $\bar{x} + 3\sigma$ zijn, wat 503,5 + 3*4 = 515 is. Echter, we moeten rekening houden met de definitie van de spreiding die gebruikt wordt (populatie $\sigma$ of steekproef $s$). Als we $\sigma=4$ als populatie standaaarddeviatie beschouwen, dan is 503,5 + 3*4 = 515. Als we de gemeten spreiding als steekproef beschouwen ($s=4$), dan is de schatting met de empirische regel (68-95-99.7) nog steeds een goede benadering. Voor een exact antwoord met de normale verdeling, kijken we naar de Z-score voor de grenzen. * **Kleinste individu:** Het kleinste individu zal ruwweg $\bar{x} - 3\sigma$ zijn, wat 503,5 - 3*4 = 491,5 is. Om de uitval te berekenen, vergelijken we de specificaties (490-510) met de procesresultaten. We berekenen de Z-scores voor de specificatiegrenzen: Z-score voor de ondergrens: $Z_{onder} = \frac{490 - 503,5}{4} = \frac{-13,5}{4} = -3,375$ [34](#page=34) . Z-score voor de bovengrens: $Z_{boven} = \frac{510 - 503,5}{4} = \frac{6,5}{4} = 1,625$ [34](#page=34) . * **Uitval:** * Uitval onder de ondergrens: $P(Z \le -3,375)$. Dit is een zeer kleine kans, nagenoeg 0%. * Uitval boven de bovengrens: $P(Z \ge 1,625) = 1 - P(Z \le 1,625)$. Uit een Z-tabel is $P(Z \le 1,625) \approx 0,9479$. Dus, $1 - 0,9479 = 0,0521$ [34](#page=34). * Totale uitval: ongeveer 5,21% [34](#page=34). **Vraag 4: Wat gaan we in eerste instantie doen om de uitval te verkleinen?** Om uitval te verkleinen, kunnen we proberen het proces te centreren rond de doelwaarde en de spreiding te reduceren. Een eerste stap zou kunnen zijn om het gemiddelde bij te stellen . **Vraag 5: Hoeveel % uitval mogen we nu nog verwachten (na bijregeling naar 500)?** Als we aannemen dat na bijregeling het gemiddelde 500 is en de spreiding ($\sigma$) ongewijzigd blijft dan zijn de Z-scores voor de specificaties (490-510) [4](#page=4): Z-score voor de ondergrens: $Z_{onder} = \frac{490 - 500}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$ [34](#page=34) . Z-score voor de bovengrens: $Z_{boven} = \frac{510 - 500}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$ [34](#page=34) . * **Uitval:** * Uitval onder de ondergrens: $P(Z \le -2,5)$. Dit is ongeveer 0,0062 [34](#page=34). * Uitval boven de bovengrens: $P(Z \ge 2,5) = 1 - P(Z \le 2,5)$. Dit is ongeveer $1 - 0,9938 = 0,0062$ [34](#page=34). * Totale uitval: $0,0062 + 0,0062 = 0,0124$, ofwel 1,24% [34](#page=34). **Vraag 6: Wat kunnen we doen om de klant tevreden te stellen?** Om de klant tevreden te stellen, kan men de volgende strategieën overwegen: * Verdere procesoptimalisatie om de spreiding te reduceren. * Bespreken van de klanteisen en mogelijk onderhandelen over toleranties indien haalbaar. * Inspectie en selectie van producten (hoewel 100% controle duur kan zijn). **Vraag 7: Veronderstel dat de klant akkoord is met volgende voorwaarden: geen enkel stuk onder de 490, bovengrens vrij. Hoe realiseren wij dit? Hoeveel % van de productie is nu boven 500? Bepaal de maximumwaarde die $\sigma$ mag hebben om juist geen uitval te hebben?** * **Realiseren van de eis:** Om geen enkel stuk onder de 490 te hebben, moet het gemiddelde ($\bar{x}$) zodanig gekozen worden dat zelfs met de bestaande spreiding, de ondergrens van 490 niet wordt overschreden. Als we de $\sigma$ gelijk houden aan 4, dan moet het gemiddelde gelijk zijn aan of groter zijn dan 490. Omdat de klant geen bovengrens stelt, hoeven we daar geen rekening mee te houden. Om er zeker van te zijn dat er geen uitval is onder 490, moet de ondergrens van de specificatie minstens 3 tot 4 standaarddeviaties boven het gemiddelde liggen, of het gemiddelde moet ruim boven de 490 liggen . Als we uitgaan van de oorspronkelijke $\sigma = 4$: Om geen uitval te hebben onder 490, moet $\bar{x} \ge 490$. Als we $\bar{x} = 500$ aanhouden, dan ligt de ondergrens $500 - 3 \times 4 = 488$. Dit betekent dat er nog steeds uitval is. Om geen uitval te hebben, moet de ondergrens van het proces (die $\bar{x} - 3\sigma$ is) groter zijn dan of gelijk aan 490. $\bar{x} - 3\sigma \ge 490$ [34](#page=34). Als we $\bar{x} = 500$ behouden, dan $500 - 3\sigma \ge 490 \implies 10 \ge 3\sigma \implies \sigma \le \frac{10}{3} \approx 3,33$ [34](#page=34). Als de spreiding echter 4 blijft en de klant eist dat geen enkel stuk onder de 490 is, dan moet het gemiddelde dusdanig worden bijgesteld dat dit gegarandeerd is. De z-score voor 490 moet negatief genoeg zijn. Om **absoluut geen uitval** te garanderen, moet men idealiter op $\bar{x} = 490$ en $\sigma = 0$ zitten, wat niet realistisch is. Met $\bar{x} = 503,5$ en $\sigma = 4$: $Z_{490} = \frac{490 - 503,5}{4} = -3,375$. De kans op uitval is heel klein. Met $\bar{x} = 500$ en $\sigma = 4$: $Z_{490} = \frac{490 - 500}{4} = -2,5$. De kans op uitval is 0,62%. Om de eis "geen enkel stuk onder de 490" te realiseren, is het cruciaal dat het procesgemiddelde zodanig is dat, rekening houdend met de spreiding, de ondergrens van 490 niet wordt overschreden. Als we de huidige spreiding $\sigma = 4$ aanhouden, dan moet het gemiddelde ten minste $\bar{x} \ge 490 + 3 \times 4 = 502$ zijn om een zeer lage kans op uitval te hebben, of idealiter $\bar{x} \ge 490$ zelf indien de specificatie de effectieve ondergrens is. Gezien de oorspronkelijke $\bar{x} = 503,5$, is deze eis waarschijnlijk al ruimschoots voldaan. Als we het proces naar $\bar{x}=500$ hebben bijgesteld, dan moet $\sigma \le 10/3$ zijn om geen uitval te hebben onder 490. * **Hoeveel % van de productie is nu boven 500?** Als het gemiddelde nu 500 is en de spreiding $\sigma = 4$, dan is 50% van de productie boven 500, aangezien 500 de centrale waarde is [34](#page=34). * **Bepaal de maximumwaarde die $\sigma$ mag hebben om juist geen uitval te hebben?** Voor de eis "geen enkel stuk onder de 490" met een bovengrens die vrij is, moeten we de ondergrens van het proces (meestal $\bar{x} - 3\sigma$) gelijkstellen aan of groter maken dan 490. Als we aannemen dat het gemiddelde op 500 wordt gehouden, dan: $500 - 3\sigma \ge 490$ [34](#page=34). $10 \ge 3\sigma$ [34](#page=34). $\sigma \le \frac{10}{3} \approx 3,33$ [34](#page=34). De maximumwaarde die $\sigma$ mag hebben om juist geen uitval te hebben (met het gemiddelde op 500) is ongeveer 3,33 [34](#page=34). ### 3.4 Volgende stappen in procescontrole Het document verwijst naar de volgende les die zal ingaan op steekproeftheorie en controlekaarten. Dit suggereert een overschakeling van 100% controle naar steekproefsgewijze controle om efficiëntie te verhogen en toch processtabiliteit te waarborgen [35](#page=35). > **Tip:** Casestudies en oefeningen zijn essentieel om de theoretische kennis over statistische procescontrole en normale verdelingen te verstevigen. Ze tonen aan hoe deze concepten worden toegepast om real-world productieproblemen op te lossen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Gaussverdeling | Een continue kansverdeling die wordt gekenmerkt door een symmetrische klokvormige curve, gedefinieerd door een verwachtingswaarde ($\mu$) en een standaardafwijking ($\sigma$). De verdeling loopt theoretisch van $-\infty$ tot $+\infty$. | | Verwachtingswaarde ($\mu$) | Het gemiddelde van een kansverdeling, dat het centrum van de verdeling aangeeft. In de context van de normale verdeling is dit het punt waar de curve symmetrisch omheen is gebogen. | | Standaardafwijking ($\sigma$) | Een maat voor de spreiding of variabiliteit van een dataset rond het gemiddelde. Een grotere standaardafwijking duidt op een grotere spreiding van de gegevens. | | Kansdichtheid | De hoogte van de curve van een kansverdelingsfunctie op een bepaald punt, die de relatieve waarschijnlijkheid van dat punt aangeeft. | | Gausscurve | Een andere naam voor de curve die de normale verdeling voorstelt, herkenbaar aan zijn symmetrische, klokvormige uiterlijk. | | Standaard normaal verdeling | Een speciale vorm van de normale verdeling waarbij de verwachtingswaarde ($\mu$) gelijk is aan 0 en de standaardafwijking ($\sigma$) gelijk is aan 1. | | Excentriciteit (u) | Een gestandaardiseerde waarde die aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een bepaalde datapunkt verwijderd is van het gemiddelde. Het wordt berekend als $u = (X - \mu) / \sigma$. | | Systematische fout | Een fout die consistent optreedt in een proces, wat resulteert in een afwijking van de werkelijke waarde naar een bepaalde kant. Dit leidt vaak tot een gemiddelde dat buiten de tolerantiegrenzen valt. | | Toevallige fouten | Variaties die optreden als gevolg van onvoorspelbare factoren in een proces, wat leidt tot spreiding in de meetresultaten. Grote spreiding duidt op veel toevallige fouten. | | Uitval | Producten of resultaten die buiten de gespecificeerde tolerantiegrenzen vallen en daardoor als onbruikbaar worden beschouwd. | | Steekproeftheorie | Een tak van statistiek die zich bezighoudt met het trekken van conclusies over een populatie op basis van een representatieve steekproef van die populatie. | | Controlekaarten | Grafische hulpmiddelen die worden gebruikt in statistische procescontrole om de stabiliteit en variabiliteit van een proces over tijd te volgen. | | Integrale kwaliteitszorg | Een managementfilosofie die zich richt op het continu verbeteren van alle aspecten van een organisatie om te voldoen aan de eisen van de klant. | | SPC (Statistical Process Control) | Een methode om processen te monitoren en te controleren met behulp van statistische technieken, om de kwaliteit te verbeteren en afval te verminderen. |