Syllabus.pdf

# Basisbegrippen uit de logica en verzamelingen Dit deel introduceert fundamentele concepten uit de logica, zoals proposities, kwantoren en implicaties, en behandelt basisbegrippen met betrekking tot verzamelingen, inclusief operaties zoals unie en doorsnede [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7). ### 1.1 Basisbegrippen uit de logica In de logica gebruiken we specifieke symbolen voor negatie ($\neg$), disjunctie ($\vee$), conjunctie ($\wedge$), implicatie ($\Rightarrow$) en equivalentie ($\Leftrightarrow$) [5](#page=5). * **Implicatie ($P \Rightarrow Q$)**: Deze uitspraak betekent "als $P$ waar is, dan is ook $Q$ waar" [5](#page=5). * $P$ wordt de *voldoende voorwaarde* voor $Q$ genoemd [5](#page=5). * $Q$ wordt de *noodzakelijke voorwaarde* voor $P$ genoemd [5](#page=5). * $P \Rightarrow Q$ is equivalent met $\neg P \vee Q$ [5](#page=5). * De negatie van $P \Rightarrow Q$ is $P \wedge \neg Q$ [5](#page=5). * De implicatie $P \Rightarrow Q$ is equivalent met haar *contrapositie* $\neg Q \Rightarrow \neg P$ [5](#page=5). * **Kwantoren**: * **Existentiële kwantor ($\exists$)**: $\exists x: P(x)$ drukt uit dat er een $x$ bestaat waarvoor de eigenschap $P(x)$ waar is [5](#page=5). * **Universele kwantor ($\forall$)**: $\forall x: P(x)$ drukt uit dat de eigenschap $P(x)$ waar is voor alle $x$ [5](#page=5). > **Voorbeeld 1.1.1** > 1. De formule $\forall x \in \mathbb{R}: x \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 0$ betekent dat voor elk reëel getal $x$ geldt: als $x$ positief is, dan is zijn kwadraat ook positief [5](#page=5). > 2. De formule $\forall y \geq 0 \exists x \in \mathbb{R}: x^2 = y$ betekent dat er voor elk positief reëel getal $y$ een reëel getal $x$ bestaat zodat $x^2 = y$ [5](#page=5). * **Negatie van kwantoren**: * De negatie van $\exists x: P(x)$ is $\forall x: \neg P(x)$. Dit drukt uit dat er geen enkele $x$ bestaat waarvoor $P(x)$ geldt [5](#page=5). * De negatie van $\forall x: P(x)$ is $\exists x: \neg P(x)$. Dit drukt uit dat er ten minste één $x$ bestaat waarvoor $P(x)$ niet geldt [5](#page=5). *Regel voor negatie van formules met kwantoren*: Vervang alle kwantoren $\exists$ door $\forall$ en omgekeerd, en sluit af met de negatie van de laatste (meest rechtse) deelformule [5](#page=5). > **Voorbeeld 1.1.2** > 1. De negatie van $\forall x \in \mathbb{R}: x \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 0$ is $\exists x \in \mathbb{R}: x \geq 0 \land x^2 < 0$ [5](#page=5). > 2. De negatie van $\forall y \geq 0 \exists x \in \mathbb{R}: x^2 = y$ is $\exists y \geq 0 \forall x \in \mathbb{R}: x^2 \neq y$ [6](#page=6). * **Stellingen bewijzen**: Een stelling bestaat uit *gegeven* (veronderstellingen) en een *te bewijzen* eigenschap. Een bewijs is een logische ketting van uitspraken die het te bewijzen afleidt uit het gegeven en eerder bewezen eigenschappen. Het symbool $\Box$ duidt het einde van een bewijs aan [6](#page=6). ### 1.2 Verzamelingen Een verzameling is een collectie van objecten, die we *elementen* noemen [6](#page=6). * $x \in A$ betekent dat object $x$ behoort tot verzameling $A$ [6](#page=6). * $x \notin A$ betekent dat object $x$ niet behoort tot verzameling $A$ [6](#page=6). * De *lege verzameling* is de verzameling die geen enkel element bevat, genoteerd als $\emptyset$ [6](#page=6). > **Opmerking 1.2.1** > De volgorde van elementen in een verzameling is niet van belang, dus $\{a,b,c\} = \{b,a,c\}$ [6](#page=6). * **Definiëren van verzamelingen**: * **Door opsomming**: Expliciet alle elementen worden opgesomd, ook voor oneindige verzamelingen [6](#page=6). > **Voorbeeld 1.2.2** > 1. Zij $V = \{a,b,c\}$. $V$ bestaat uit de elementen $a,b,c$ [6](#page=6). > 2. Zij $V = \{0,2,4,6,... \}$. $V$ is de verzameling van even natuurlijke getallen [6](#page=6). * **Door omschrijving**: Een verzameling $A$ en een eigenschap $P(x)$ bepalen de verzameling $\{x \in A \mid P(x)\}$, bestaande uit elementen $x$ uit $A$ die aan $P(x)$ voldoen [6](#page=6). > **Voorbeeld 1.2.3** > Zij $V = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ is even}\}$. $V$ is de verzameling van even natuurlijke getallen [6](#page=6). * **Deelverzameling**: Een verzameling $A$ is een deelverzameling van $B$ (genoteerd als $A \subseteq B$) als elk element van $A$ ook een element van $B$ is [6](#page=6). * **Verzamelingsoperaties**: * **Unie ($A \cup B$)**: De verzameling van elementen die tot $A$ of tot $B$ behoren. $A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$ [6](#page=6). * **Doorsnede ($A \cap B$)**: De verzameling van elementen die tot zowel $A$ als $B$ behoren. $A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$ [6](#page=6). * **Verschil ($A \setminus B$)**: De verzameling van elementen van $A$ die niet tot $B$ behoren. $A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}$ [7](#page=7). * **Cartesisch product ($A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$)**: De verzameling van koppels $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ waarbij $a_i \in A_i$ voor alle $i \in \{1, \dots, n\}$. $$A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i \text{ voor alle } i \in \{1, \dots, n\}\}$$ [7](#page=7). ### 1.3 Grieks alfabet Letters uit het Griekse alfabet worden veel gebruikt in de wiskunde. Hieronder volgt een overzicht van de kleine en hoofdletters met hun uitspraak [7](#page=7): | Kleine letter | Hoofdletter | Uitspraak | | :------------: | :----------: | :--------: | | $\alpha$ | $\text{A}$ | alfa | | $\beta$ | $\text{B}$ | bèta | | $\gamma$ | $\Gamma$ | gamma | | $\delta$ | $\Delta$ | delta | | $\varepsilon$ | $\text{E}$ | epsilon | | $\zeta$ | $\text{Z}$ | zèta | | $\eta$ | $\text{H}$ | èta | | $\theta$ | $\Theta$ | thèta | | $\iota$ | $\text{I}$ | jota | | $\kappa$ | $\text{K}$ | kappa | | $\lambda$ | $\Lambda$ | lambda | | $\mu$ | $\text{M}$ | mu | | $\nu$ | $\text{N}$ | nu | | $\xi$ | $\Xi$ | ksi | | $o$ | $\text{O}$ | omikron | | $\pi$ | $\Pi$ | pi | | $\rho$ | $\text{P}$ | ro | | $\sigma$ | $\Sigma$ | sigma | | $\tau$ | $\text{T}$ | tau | | $\upsilon$ | $\Upsilon$ | upsilon | | $\phi$ of $\varphi$ | $\Phi$ | phi | | $\chi$ | $\text{X}$ | chi | | $\psi$ | $\Psi$ | psi | | $\omega$ | $\Omega$ | omega | > **Tip**: Verwar de Griekse letter $\varepsilon$ niet met het symbool $\in$ ('element van'), en de Griekse letter $\delta$ niet met het symbool $\partial$ ('ronde d') [7](#page=7). --- # Eigenschappen van de reële getallen en limieten van rijen Dit hoofdstuk introduceert fundamentele eigenschappen van de reële getallen, waaronder begrensdheid, supremum en infimum, en definieert vervolgens de limiet van een rij, samen met de bijbehorende rekenregels en stellingen. ### 2.1 Eigenschappen van de reële getallen De verzamelingen van natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$), gehele getallen ($\mathbb{Z}$) en rationale getallen ($\mathbb{Q}$) worden gedefinieerd, samen met $\mathbb{N}^+ = \mathbb{N} \setminus \{0\}$ [9](#page=9). #### 2.1.1 Begrensdheid en suprema/infima * **Definitie 2.1.2: Begrensdheid** [10](#page=10). * Een **bovengrens** van $A \subseteq \mathbb{R}$ is een getal $b \in \mathbb{R}$ zodat $a \leq b$ voor alle $a \in A$. Een naar boven begrensde verzameling heeft een bovengrens. * Een **ondergrens** van $A \subseteq \mathbb{R}$ is een getal $b \in \mathbb{R}$ zodat $b \leq a$ voor alle $a \in A$. Een naar onder begrensde verzameling heeft een ondergrens. * Een verzameling is **begrensd** als ze zowel naar boven als onder begrensd is. * **Definitie 2.1.3: Maximum en minimum** [10](#page=10). * Het **maximum** ($\max A$) van $A \subseteq \mathbb{R}$ is een bovengrens van $A$ die tot $A$ behoort. * Het **minimum** ($\min A$) van $A \subseteq \mathbb{R}$ is een ondergrens van $A$ die tot $A$ behoort. * **Opmerking 2.1.4:** Maximum en minimum zijn uniek indien ze bestaan. Elke eindige verzameling heeft een minimum en een maximum [10](#page=10). * **Definitie 2.1.5: Supremum** [11](#page=11). * Het **supremum** ($\sup A$) van een naar boven begrensde verzameling $A \subseteq \mathbb{R}$ is het minimum van de verzameling van alle bovengrenzen van $A$. * $\sup A = \min \{b \in \mathbb{R} \mid b \text{ is een bovengrens van } A\}$. * **Voorbeeld 2.1.6:** $\sup \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\} = 0$ [11](#page=11). * **Opmerking 2.1.7:** Het supremum behoort niet noodzakelijk tot de verzameling zelf. Als $\sup A \in A$, dan is $\sup A = \max A$ [11](#page=11). * **Eigenschap 2.1.8: Supremumprincipe** [11](#page=11). * Elke niet-lege, naar boven begrensde verzameling $A \subseteq \mathbb{R}$ heeft een supremum. * Dit principe is een axioma. * **Stelling 2.1.10:** Voor elke $a \in \mathbb{R}$ bestaat er een $n \in \mathbb{N}$ zodat $n > a$ [11](#page=11). * **Gevolg 2.1.11:** Voor elk reëel getal $\varepsilon > 0$ bestaat er een $n \in \mathbb{N}^+$ met $\frac{1}{n} < \varepsilon$ [11](#page=11). * **Stelling 2.1.13: Karakterisatie van het supremum** [13](#page=13). * Zij $A \subseteq \mathbb{R}$ een niet-lege, naar boven begrensde verzameling. $M \in \mathbb{R}$ is het supremum van $A$ dan en slechts dan als: 1. $\forall a \in A : a \leq M$. (M is een bovengrens) 2. $\forall \varepsilon > 0 \exists a \in A : M - \varepsilon < a$. (M is de kleinste bovengrens) * **Definitie 2.1.14: Infimum** [12](#page=12). * Het **infimum** ($\inf A$) van een naar onder begrensde verzameling $A \subseteq \mathbb{R}$ is het maximum van de verzameling van alle ondergrenzen van $A$. * $\inf A = \max \{b \in \mathbb{R} \mid b \text{ is een ondergrens van } A\}$. * **Voorbeeld 2.1.15:** $\inf \{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\} = 1$ [12](#page=12). * **Opmerking 2.1.16:** Het infimum behoort niet noodzakelijk tot de verzameling zelf. Als $\inf A \in A$, dan is $\inf A = \min A$ [12](#page=12). * **Stelling 2.1.17: Infimumprincipe** [12](#page=12). * Elke niet-lege, naar onder begrensde verzameling $A \subseteq \mathbb{R}$ heeft een infimum. * Dit principe volgt uit het supremumprincipe door te werken met de verzameling $-A = \{-a \mid a \in A\}$. * **Stelling 2.1.18: Karakterisatie van het infimum** [13](#page=13). * Zij $A \subseteq \mathbb{R}$ een niet-lege, naar onder begrensde verzameling. $m \in \mathbb{R}$ is het infimum van $A$ dan en slechts dan als: 1. $\forall a \in A : a \geq m$. (m is een ondergrens) 2. $\forall \varepsilon > 0 \exists a \in A : m + \varepsilon > a$. (m is de grootste ondergrens) #### 2.1.2 Absolute waarde en intervallen * **Definitie 2.1.19: Absolute waarde** [13](#page=13). * $|x| = \begin{cases} x & \text{als } x \geq 0 \\ -x & \text{als } x \leq 0 \end{cases}$ * **Opmerking 2.1.20:** Een verzameling $A \subseteq \mathbb{R}$ is begrensd als en slechts als er een $M > 0$ bestaat zodat $|a| \leq M$ voor alle $a \in A$ [13](#page=13). * **Definitie 2.1.21: Intervallen** [13](#page=13). * Voor $a, b \in \mathbb{R}$ met $a < b$: * Open interval: $(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ * Gesloten interval: $[a,b = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ * Halfopen intervallen: $(a,b = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}$ en $[a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}$ * **Uitbreiding met oneindigheden:** $+\infty$ en $-\infty$ worden toegevoegd aan $\mathbb{R}$ [13](#page=13). * Regels: $-\infty < x < +\infty$ voor alle $x \in \mathbb{R}$ [13](#page=13). * $+\infty + x = +\infty$, $-\infty + x = -\infty$ [13](#page=13). * $x \cdot (\pm \infty) = \begin{cases} \pm \infty, & \text{als } x > 0 \\ \mp \infty, & \text{als } x < 0 \end{cases}$ [13](#page=13). * $(+\infty) + (-\infty)$ en $0 \cdot (\pm \infty)$ zijn ongedefinieerd [13](#page=13). * **Definitie 2.1.22: Oneigenlijke intervallen** [13](#page=13). * $(a,+\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}$ (open) * $[a,+\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}$ (gesloten) * $(-\infty,a) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < a\}$ (open) * $(-\infty,a = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq a\}$ (gesloten) * Deze intervallen zijn niet begrensd [13](#page=13). ### 2.2 De vectorruimte $\mathbb{R}^n$ * **Definitie 2.2.1: $\mathbb{R}^n$** [14](#page=14). * $\mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R}$ (n keer) * Elementen zijn geordende n-tallen $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$, vectoren genoemd. * Vectoroptelling: $\vec{x} + \vec{y} = (x_1+y_1, \dots, x_n+y_n)$ [14](#page=14). * Scalaire vermenigvuldiging: $\alpha\vec{x} = (\alpha x_1, \dots, \alpha x_n)$ voor $\alpha \in \mathbb{R}$ [14](#page=14). * Scalair product: $\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n = \sum_{i=1}^n x_iy_i$ [14](#page=14). * **Eigenschappen scalair product:** [14](#page=14). 1. $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$ 2. $(\alpha\vec{x}) \cdot \vec{y} = \alpha(\vec{x} \cdot \vec{y})$ 3. $\vec{0} \cdot \vec{x} = 0$ 4. $(\vec{x} + \vec{y}) \cdot \vec{z} = \vec{x} \cdot \vec{z} + \vec{y} \cdot \vec{z}$ 5. $\vec{x} \neq \vec{0} \implies \vec{x} \cdot \vec{x} > 0$ * **Definitie 2.2.2: Norm (lengte)** [14](#page=14). * $\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$. * Afstand tussen $\vec{x}$ en $\vec{y}$ is $\|\vec{x} - \vec{y}\|$. * **Stelling 2.2.3: Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz** [15](#page=15). * Voor alle $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n$ geldt $|\vec{x} \cdot \vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|$. * **Stelling 2.2.4: Driehoeksongelijkheden** [15](#page=15). * Voor alle $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n$: 1. Driehoeksongelijkheid: $\|\vec{x} + \vec{y}\| \leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|$. 2. Omgekeerde driehoeksongelijkheid: $|\|\vec{x}\| - \|\vec{y}\|| \leq \|\vec{x} - \vec{y}\|$. * **Opmerking 2.2.5:** Voor $n=1$ komen deze overeen met de driehoeksongelijkheid voor absolute waarden: $|x+y| \leq |x|+|y|$ en $||x|-|y|| \leq |x-y|$ [15](#page=15). ### 2.3 De limiet van een rij #### 2.3.1 Definitie en eigenschappen van convergentie * **Definitie 3.1.1: Rij** [17](#page=17). * Een (reële) rij is een geordende lijst $(x_n)_{n \in \mathbb{N}^+} = (x_1, x_2, x_3, \dots)$ met $x_n \in \mathbb{R}$ voor alle $n \in \mathbb{N}^+$. $x_n$ is de n-de term, $n$ is de index. * De index kan ook starten vanaf een ander natuurlijk getal, bv. $n=0$ of $n=7$ [17](#page=17). * **Definitie 3.1.4: Convergentie naar een limiet** [17](#page=17). * Een rij $(x_n)$ convergeert naar $\ell \in \mathbb{R}$ als: $\forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N}^+ \forall n \in \mathbb{N}^+ : n > N \implies |x_n - \ell| < \varepsilon$. * Dit wordt genoteerd als $\lim_{n \to \infty} x_n = \ell$. * **Opmerking 3.1.5:** * De definitie kan geherformuleerd worden als: voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat er een $N \in \mathbb{N}^+$ zodat $|x_n - \ell| < \varepsilon$ voor alle $n > N$ [17](#page=17). * De ongelijkheid $|x_n - \ell| < \varepsilon$ is equivalent aan $\ell - \varepsilon < x_n < \ell + \varepsilon$ [17](#page=17). * Het vervangen van $|x_n - \ell| < \varepsilon$ door $|x_n - \ell| \leq \varepsilon$ of $n > N$ door $n \geq N$ verandert de betekenis niet [18](#page=18). * **Definitie 3.1.6: Divergentie naar oneindig** [18](#page=18). * Een rij $(x_n)$ divergeert naar $+\infty$ als $\forall L > 0 \exists N \in \mathbb{N}^+ \forall n \in \mathbb{N}^+ : n > N \implies x_n > L$. Genoteerd als $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$. * Een rij $(x_n)$ divergeert naar $-\infty$ als $\forall L > 0 \exists N \in \mathbb{N}^+ \forall n \in \mathbb{N}^+ : n > N \implies x_n < -L$. Genoteerd als $\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty$. * **Definitie 3.1.7: Convergente en divergente rijen** [18](#page=18). * Een rij is **convergent** als er een $\ell \in \mathbb{R}$ bestaat waarnaar de rij convergeert. * Een rij die niet convergent is, heet **divergent**. * Er zijn drie soorten divergente rijen: naar $+\infty$, naar $-\infty$, of een limiet die niet bestaat. * **Voorbeeld 3.1.8:** [18](#page=18). 1. $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{2n} = 0$. 2. $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$. 3. $\lim_{n \to \infty} -\sqrt{n} = -\infty$. 4. $\lim_{n \to \infty} (-1)^n$ bestaat niet. * **Opmerking 3.1.9:** Het weglaten van een eindig aantal begintermen beïnvloedt de convergentie of de waarde van de limiet niet [18](#page=18). * **Stelling 3.1.10: Uniciteit van de limiet** [18](#page=18). * De limiet van een convergente rij is uniek. #### 2.3.2 Begrensdheid van rijen * **Definitie 3.1.11: Begrensde rijen** [19](#page=19). * Een rij $(x_n)$ is naar boven begrensd als $\{x_n \mid n \in \mathbb{N}^+\}$ naar boven begrensd is. $\sup(x_n) = \sup\{x_n \mid n \in \mathbb{N}^+\}$. * Een rij $(x_n)$ is naar onder begrensd als $\{x_n \mid n \in \mathbb{N}^+\}$ naar onder begrensd is. $\inf(x_n) = \inf\{x_n \mid n \in \mathbb{N}^+\}$. * Een rij is begrensd als ze zowel naar boven als onder begrensd is. Dit is equivalent aan $\exists M > 0: |x_n| \leq M$ voor alle $n \in \mathbb{N}^+$ [19](#page=19). * **Stelling 3.1.12: Convergente rijen zijn begrensd** [19](#page=19). * Elke convergente rij is begrensd. * **Opmerking 3.1.13:** Omgekeerd is een begrensde rij niet noodzakelijk convergent (bv. $((-1)^n)$) [19](#page=19). #### 2.3.3 Rekenregels voor limieten * **Stelling 3.1.14: Rekenkundige operaties op limieten** [19](#page=19). * Zij $(x_n)$ en $(y_n)$ twee convergente rijen met $\lim_{n \to \infty} x_n = \ell_1$ en $\lim_{n \to \infty} y_n = \ell_2$. Dan geldt: 1. $\lim_{n \to \infty} |x_n| = |\ell_1|$ [20](#page=20). 2. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \ell_1 + \ell_2$ [20](#page=20). 3. $\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \ell_1 - \ell_2$ [20](#page=20). 4. $\lim_{n \to \infty} (x_n y_n) = \ell_1 \ell_2$ [20](#page=20). 5. Voor elke $\alpha \in \mathbb{R}$: $\lim_{n \to \infty} (\alpha x_n) = \alpha \ell_1$ [21](#page=21). 6. Als $\ell_1 \neq 0$: $\lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{x_n} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ [21](#page=21). * **Stelling 3.1.15: Sandwichregel (indruks- of insluitstelling)** [21](#page=21). * Zij $(x_n)$ en $(y_n)$ twee convergente rijen met $\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} y_n = \ell$. * Zij $(z_n)$ een rij zodanig dat $x_n \leq z_n \leq y_n$ voor alle $n \in \mathbb{N}^+$. * Dan geldt ook $\lim_{n \to \infty} z_n = \ell$. * **Stelling 3.1.16: Monotoniciteit van limieten** [22](#page=22). * Zij $(x_n)$ en $(y_n)$ twee convergente rijen met $\lim_{n \to \infty} x_n = \ell_1$ en $\lim_{n \to \infty} y_n = \ell_2$. * Als $x_n \leq y_n$ voor alle $n \in \mathbb{N}^+$, dan $\ell_1 \leq \ell_2$. * **Gevolg 3.1.17:** Als $(x_n)$ een convergente rij is met limiet $\ell$, en $x_n \in [a,b]$ voor alle $n \in \mathbb{N}^+$, dan geldt ook $\ell \in [a,b]$ [22](#page=22). * **Opmerking 3.1.18:** De stellingen 3.1.14 (punt 6), 3.1.15, 3.1.16 en 3.1.17 blijven geldig als de voorwaarden pas vanaf een zekere index voldaan zijn [22](#page=22). #### 2.3.4 Monotone en begrensde rijen, deelrijen * **Definitie 3.2.1: Monotone rijen** [23](#page=23). * Een rij $(x_n)$ is **stijgend** als $x_n \leq x_m$ voor alle $n < m$. * Een rij $(x_n)$ is **dalend** als $x_n \geq x_m$ voor alle $n < m$. * Een rij is **monotoon** als ze stijgend of dalend is. * **Stelling 3.2.2: Convergentie van stijgende rijen** [23](#page=23). * Zij $(x_n)$ een stijgende rij: * Als $(x_n)$ naar boven begrensd is, dan is $(x_n)$ convergent en $\lim_{n \to \infty} x_n = \sup(x_n)$. * Als $(x_n)$ niet naar boven begrensd is, dan divergeert $(x_n)$ naar $+\infty$. * **Stelling 3.2.3: Convergentie van dalende rijen** [23](#page=23). * Zij $(x_n)$ een dalende rij: * Als $(x_n)$ naar onder begrensd is, dan is $(x_n)$ convergent en $\lim_{n \to \infty} x_n = \inf(x_n)$. * Als $(x_n)$ niet naar onder begrensd is, dan divergeert $(x_n)$ naar $-\infty$. * **Definitie 3.2.4: Deelrij** [23](#page=23). * Een deelrij van $(x_n)_n$ is een rij van de vorm $(x_{n_k})_k$ waarbij $1 \leq n_1 < n_2 < n_3 < \dots$. * **Opmerking 3.2.5:** Voor een deelrij $(x_{n_k})_k$ geldt $n_k \geq k$ voor alle $k \in \mathbb{N}^+$ [23](#page=23). * **Stelling 3.2.6: Deelrij van een convergente rij** [24](#page=24). * Elke deelrij van een convergente rij is zelf convergent en heeft dezelfde limiet. * **Stelling 3.2.7: Elke rij heeft een monotone deelrij** [24](#page=24). * Elke rij $(x_n)$ heeft een monotone deelrij. Dit wordt bewezen door onderscheid te maken tussen gevallen met oneindig veel of eindig veel "topnummers" [24](#page=24). * **Stelling 3.2.8: Stelling van Bolzano-Weierstrass** [24](#page=24). * Elke begrensde rij heeft een convergente deelrij. * Dit volgt uit Stelling 3.2.7 (elke rij heeft een monotone deelrij) en Stelling 3.2.2/3.2.3 (monotone en begrensde rijen convergeren). * **Stelling 3.2.9: Kenmerk van Cauchy** [25](#page=25). * Een rij $(x_n)$ is convergent als en slechts als: $\forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N}^+ \forall n,m \in \mathbb{N}^+ : n,m > N \implies |x_n - x_m| < \varepsilon$. * Dit kenmerk karakteriseert convergentie zonder de limiet te specificeren. Het bewijs gebruikt de stelling van Bolzano-Weierstrass om aan te tonen dat de rij begrensd is, en dus een convergente deelrij heeft [25](#page=25). * **Opmerking 3.2.10:** Het kenmerk van Cauchy illustreert hoe de reële getallen de "gaten" in de rationale getallen opvullen [25](#page=25). --- # Limieten en continuïteit van functies Dit gedeelte introduceert het concept van limieten voor functies van één en meerdere veranderlijken, inclusief de rigoureuze definitie, rekenregels en de stelling van Bolzano-Weierstrass. Vervolgens wordt continuïteit in een punt en over een verzameling gedefinieerd en onderzocht. ## 3. Limieten en continuïteit van functies ### 3.1 Inleidende begrippen en definities: functies Een functie $f: X \to Y$ verbindt met elk element van een zekere deelverzameling van $X$ (het domein) een element uit $Y$ (het codomein). Het beeld van $x \in X$ onder $f$ is $f(x) \in Y$. Het domein van $f$, genoteerd als $D_f$, is de verzameling van alle $x \in X$ waarvoor $f(x)$ gedefinieerd is. Het beeld van $f$ is de verzameling $\{f(x) | x \in D_f\}$ [27](#page=27). De samenstelling van twee functies $f: X \to Y$ en $g: Y \to Z$ is $g \circ f: X \to Z$, gedefinieerd als $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Het domein van $g \circ f$ is $\{x \in D_f | f(x) \in D_g\}$ [27](#page=27). Een functie $f: X \to Y$ met domein $D$ is: * **Injectief** als voor elke $y \in Y$ ten hoogste één $x \in D$ bestaat zodanig dat $f(x) = y$ [28](#page=28). * **Surjectief** als voor elke $y \in Y$ een $x \in D$ bestaat waarvoor $f(x) = y$ [28](#page=28). * **Bijectief** als $f$ zowel injectief als surjectief is [28](#page=28). Een bijectieve functie $f: X \to Y$ heeft een inverse functie $f^{-1}: Y \to X$ zodanig dat $f \circ f^{-1}(y) = y$ voor alle $y \in Y$ en $f^{-1} \circ f(x) = x$ voor alle $x \in X$ [28](#page=28). Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is positief over een verzameling $V \subseteq D_f$ als $f(\vec{x}) \ge 0$ voor alle $\vec{x} \in V$. Voor functies $f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ met hetzelfde domein $D$ worden optelling, aftrekking, product, scalaire vermenigvuldiging en deling gedefinieerd punt per punt. Voor een functie $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ kunnen we deze schrijven in termen van componentfuncties $\vec{F} = (f_1, \dots, f_m)$ [28](#page=28). ### 3.2 Limieten van functies #### 3.2.1 Limieten voor functies $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ De limiet van $f(x)$ als $x$ nadert tot $a$ is $b$, genoteerd als $\lim_{x \to a} f(x) = b$, betekent intuïtief dat $f(x)$ willekeurig dicht bij $b$ ligt zodra $x$ maar willekeurig dicht bij $a$ gekozen wordt [29](#page=29). **Definitie 3.2.1 (Limiet van een functie van één variabele)** Zij $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ een functie met domein $D$ en $a \in \mathbb{R}$. Veronderstel dat er een $r > 0$ bestaat waarvoor $(a-r, a+r) \setminus \{a\} \subseteq D$. Dan is $b \in \mathbb{R}$ de limiet van $f$ als $x$ nadert tot $a$ indien: $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D \setminus \{a\}: |x - a| < \delta \implies |f(x) - b| < \varepsilon $$ Dit wordt genoteerd als $\lim_{x \to a} f(x) = b$ of $f(x) \to b$ als $x \to a$ [29](#page=29). #### 3.2.2 Limieten voor functies $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ Om de limiet voor functies van meerdere variabelen te definiëren, introduceren we begrippen als de open bal en de doorprikte open bal. **Definitie 3.2.2 (Open bal en doorprikte open bal)** 1. De open bal met middelpunt $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ en straal $r > 0$ is $B(\vec{a}, r) = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^n | \|\vec{x} - \vec{a}\| < r\}$ [29](#page=29). 2. De doorprikte open bal is $B(\vec{a}, r) \setminus \{\vec{a}\}$ [29](#page=29). **Definitie 3.2.3 (Limiet van een functie van meerdere variabelen)** Zij $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ een functie met domein $D$ en $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$. Veronderstel dat $D$ een doorprikte open bal met middelpunt $\vec{a}$ bevat. Dan is $b \in \mathbb{R}$ de limiet van $f$ als $\vec{x}$ nadert tot $\vec{a}$ indien: $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{x} \in D \setminus \{\vec{a}\}: \|\vec{x} - \vec{a}\| < \delta \implies |f(\vec{x}) - b| < \varepsilon $$ Dit wordt genoteerd als $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = b$ of $f(\vec{x}) \to b$ als $\vec{x} \to \vec{a}$ [29](#page=29). **Opmerkingen over limieten:** * Bij het bestuderen van limieten in $\vec{a}$, wordt verondersteld dat het domein van $f$ een doorprikte open bal rond $\vec{a}$ bevat [30](#page=30). * Het bestaan en de waarde van een limiet worden niet beïnvloed door het feit of $f$ gedefinieerd is in $\vec{a}$ en wat de waarde van $f(\vec{a})$ is [30](#page=30). * De definitie kan herschreven worden als $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{x} \in D: 0 < \|\vec{x} - \vec{a}\| < \delta \implies |f(\vec{x}) - b| < \varepsilon$. Dit is equivalent met $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{x} \in D \cap (B(\vec{a}, \delta) \setminus \{\vec{a}\}): |f(\vec{x}) - b| < \varepsilon$ [30](#page=30). * De ongelijkheden $|f(\vec{x}) - b| < \varepsilon$ en $\|\vec{x} - \vec{a}\| < \delta$ mogen vervangen worden door $\le \varepsilon$ en $\le \delta$ respectievelijk, zonder de betekenis te veranderen [30](#page=30). **Stelling 3.2.4 (Uniciteit van de limiet)** De limiet van een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ in een punt $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ is uniek, indien deze bestaat [30](#page=30). **Definitie 3.2.5 (Begrensdheid van een functie)** Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is begrensd over een verzameling $V \subseteq D_f$ als de verzameling $\{f(\vec{x}) | \vec{x} \in V\}$ begrensd is. Dit is equivalent met het bestaan van een $M > 0$ zodanig dat $|f(\vec{x})| \le M$ voor alle $\vec{x} \in V$ [31](#page=31). **Stelling 3.2.6 (Begrensdheid nabij een limietpunt)** Als een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ een limiet bezit in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$, dan bestaat er een doorprikte open bal rond $\vec{a}$ waarover $f$ begrensd is [31](#page=31). **Stelling 3.2.7 (Behoud van teken)** Zij $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = b$. 1. Als $b > 0$, dan bestaat er een doorprikte open bal rond $\vec{a}$ waarover $f$ strikt positief is [31](#page=31). 2. Als $b < 0$, dan bestaat er een doorprikte open bal rond $\vec{a}$ waarover $f$ strikt negatief is [31](#page=31). **Stelling 3.2.8 (Rekenregels voor limieten)** Zij $f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ twee functies met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = b_1$ en $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} g(\vec{x}) = b_2$. Dan geldt: 1. $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} |f(\vec{x})| = |b_1|$ [32](#page=32). 2. $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} (f(\vec{x}) + g(\vec{x})) = b_1 + b_2$ [32](#page=32). 3. $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} (f(\vec{x}) - g(\vec{x})) = b_1 - b_2$ [32](#page=32). 4. $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} (f(\vec{x}) g(\vec{x})) = b_1 b_2$ [32](#page=32). 5. Voor elke $\alpha \in \mathbb{R}$, $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} (\alpha f(\vec{x})) = \alpha b_1$ [32](#page=32). 6. Als $b_1 \ne 0$, dan $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \frac{g(\vec{x})}{f(\vec{x})} = \frac{b_2}{b_1}$ [32](#page=32). **Opmerking 3.2.9:** $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = 0$ is equivalent met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} |f(\vec{x})| = 0$ [32](#page=32). **Stelling 3.2.10 (Sandwichregel)** Zij $f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ functies met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = \lim_{\vec{x} \to \vec{a}} g(\vec{x}) = b$. Zij $h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ zodanig dat $f(\vec{x}) \le h(\vec{x}) \le g(\vec{x})$ voor alle $\vec{x}$ in een doorprikte open bal rond $\vec{a}$. Dan geldt $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} h(\vec{x}) = b$ [33](#page=33). **Stelling 3.2.11 (Vergelijking van limieten)** Zij $f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ met $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = b_1$ en $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} g(\vec{x}) = b_2$. Als $f(\vec{x}) \le g(\vec{x})$ voor alle $\vec{x}$ in een doorprikte open bal rond $\vec{a}$, dan is $b_1 \le b_2$ [33](#page=33). #### 3.2.3 Limieten voor functies $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ **Definitie 3.2.12 (Limiet van een vectorwaardige functie)** Zij $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ een functie met domein $D$ en $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$. Veronderstel dat $D$ een doorprikte open bal met middelpunt $\vec{a}$ bevat. Dan is $\vec{b} \in \mathbb{R}^m$ de limiet van $\vec{F}$ als $\vec{x}$ nadert tot $\vec{a}$ indien: $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{x} \in D \setminus \{\vec{a}\}: \|\vec{x} - \vec{a}\| < \delta \implies \|\vec{F}(\vec{x}) - \vec{b}\| < \varepsilon $$ Dit wordt genoteerd als $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \vec{F}(\vec{x}) = \vec{b}$ of $\vec{F}(\vec{x}) \to \vec{b}$ als $\vec{x} \to \vec{a}$ [33](#page=33). **Lemma 3.2.13 (Norm en componenten)** Zij $\vec{y} = (y_1, \dots, y_m) \in \mathbb{R}^m$. 1. Voor alle $i \in \{1, \dots, m\}$, $|y_i| \le \|\vec{y}\|$ [34](#page=34). 2. $\|\vec{y}\| \le \sqrt{m} \max_{i \in \{1, \dots, m\}} |y_i|$ [34](#page=34). **Stelling 3.2.14 (Relatie tussen limiet van vectorfunctie en componentfuncties)** Zij $\vec{F} = (f_1, \dots, f_m): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ een functie en $\vec{b} = (b_1, \dots, b_m) \in \mathbb{R}^m$. Dan geldt $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \vec{F}(\vec{x}) = \vec{b}$ als en slechts als $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f_i(\vec{x}) = b_i$ voor alle $i \in \{1, \dots, m\}$ [34](#page=34). #### 3.2.4 Varianten van limieten voor functies $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ **Definitie 3.2.15 (Linker- en rechterlimiet)** * De **rechterlimiet** van $f$ in $a$, genoteerd als $\lim_{x \to a^+} f(x) = b$, betekent: $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D: a < x < a + \delta \implies |f(x) - b| < \varepsilon$ [34](#page=34). * De **linkerlimiet** van $f$ in $a$, genoteerd als $\lim_{x \to a^-} f(x) = b$, betekent: $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D: a - \delta < x < a \implies |f(x) - b| < \varepsilon$ [35](#page=35). **Stelling 3.2.16 (Relatie limiet, linker- en rechterlimiet)** $\lim_{x \to a} f(x) = b$ als en slechts als $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = b$ [35](#page=35). **Stelling 3.2.17 (Behoud van teken voor linker- en rechterlimieten)** * Als $\lim_{x \to a^+} f(x) = b > 0$ (resp. $b < 0$), dan is $f$ strikt positief (resp. negatief) over een interval $(a, a+r)$ voor zekere $r > 0$ [35](#page=35). * Als $\lim_{x \to a^-} f(x) = b > 0$ (resp. $b < 0$), dan is $f$ strikt positief (resp. negatief) over een interval $(a-r, a)$ voor zekere $r > 0$ [35](#page=35). **Definitie 3.2.18 (Divergentie naar oneindig)** * $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ als $\forall L > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D \setminus \{a\}: |x - a| < \delta \implies f(x) > L$ [36](#page=36). * $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ als $\forall L > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in D \setminus \{a\}: |x - a| < \delta \implies f(x) < -L$ [36](#page=36). **Definitie 3.2.19 (Limiet op oneindig)** * $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ als $\forall \varepsilon > 0, \exists L > 0, \forall x \in D: x > L \implies |f(x) - b| < \varepsilon$ [36](#page=36). * $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ als $\forall \varepsilon > 0, \exists L > 0, \forall x \in D: x < -L \implies |f(x) - b| < \varepsilon$ [36](#page=36). ### 3.3 Continuïteit in een vast punt **Definitie 3.3.1 (Inwendig punt)** Een punt $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ is een inwendig punt van een verzameling $V \subseteq \mathbb{R}^n$ als er een open bal met middelpunt $\vec{a}$ bestaat die geheel in $V$ ligt [37](#page=37). **Definitie 3.3.2 (Continuïteit in een punt)** Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is continu in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ (een inwendig punt van $D_f$) indien $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} f(\vec{x}) = f(\vec{a})$ [37](#page=37). Dit is equivalent met: $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{x} \in D_f: \|\vec{x} - \vec{a}\| < \delta \implies |f(\vec{x}) - f(\vec{a})| < \varepsilon$ [37](#page=37). **Stelling 3.3.3 (Behoud van teken bij continuïteit)** Als $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ continu is in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$: 1. Als $f(\vec{a}) > 0$, dan is $f$ strikt positief in een open bal rond $\vec{a}$ [37](#page=37). 2. Als $f(\vec{a}) < 0$, dan is $f$ strikt negatief in een open bal rond $\vec{a}$ [37](#page=37). **Stelling 3.3.4 (Continuïteit van operaties)** Als $f, g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ continu zijn in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$, dan zijn $|f|$, $f+g$, $f-g$, $fg$, en $\alpha f$ (voor $\alpha \in \mathbb{R}$) continu in $\vec{a}$. Indien $g(\vec{a}) \ne 0$, is $f/g$ ook continu in $\vec{a}$ [37](#page=37). **Gevolg 3.3.5 (Continuïteit van polynomen)** Een polynoom $P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$ is continu in elk punt van $\mathbb{R}$ [38](#page=38). **Definitie 3.3.6 (Continuïteit van vectorwaardige functies in een punt)** Een functie $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is continu in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ (een inwendig punt van $D_{\vec{F}}$) indien $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \vec{F}(\vec{x}) = \vec{F}(\vec{a})$ [38](#page=38). **Stelling 3.3.7 (Continuïteit en componentfuncties)** Een functie $\vec{F} = (f_1, \dots, f_m): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is continu in $\vec{a}$ als en slechts als $f_i$ continu is in $\vec{a}$ voor alle $i \in \{1, \dots, m\}$ [38](#page=38). **Stelling 3.3.8 (Continuïteit van samengestelde functies)** Als $\vec{G}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ continu is in $\vec{b} \in \mathbb{R}^m$ en $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \vec{F}(\vec{x}) = \vec{b}$, dan is $\lim_{\vec{x} \to \vec{a}} \vec{G} \circ \vec{F}(\vec{x}) = \vec{G}(\vec{b})$ [38](#page=38). **Stelling 3.3.9 (Continuïteit van samengestelde functies)** Als $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ continu is in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ en $\vec{G}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ continu is in $\vec{F}(\vec{a})$, dan is de samenstelling $\vec{G} \circ \vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ continu in $\vec{a}$ [39](#page=39). **Definitie 3.3.10 (Rechts- en linkscontinuïteit voor $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$)** * $f$ is **rechtscontinu** in $a$ als $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ [39](#page=39). * $f$ is **linkscontinu** in $a$ als $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ [39](#page=39). **Stelling 3.3.11 (Continuïteit en links-/rechtscontinuïteit)** Een functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is continu in $a$ als en slechts als $f$ links- en rechtscontinu is in $a$ [40](#page=40). ### 3.4 Continuïteit over een verzameling **Definitie 3.4.1 (Continuïteit over een verzameling)** Een functie $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ is continu over een verzameling $V \subseteq D_{\vec{F}}$ als: $$ \forall \vec{x} \in V, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{t} \in V: \|\vec{t} - \vec{x}\| < \delta \implies \|\vec{F}(\vec{t}) - \vec{F}(\vec{x})\| < \varepsilon $$ Hierbij kan $\delta$ afhangen van $\varepsilon$ en $\vec{x}$ [40](#page=40). **Definitie 3.4.2 (Open verzameling)** Een verzameling $V \subseteq \mathbb{R}^n$ is open als elk punt in $V$ een inwendig punt van $V$ is [40](#page=40). **Stelling 3.4.3 (Continuïteit over een open verzameling)** Zij $V \subseteq \mathbb{R}^n$ een open verzameling en $\vec{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$. $\vec{F}$ is continu over $V$ als en slechts als $\vec{F}$ continu is in elk punt van $V$ [40](#page=40). **Stelling 3.4.4 (Continuïteit over een gesloten interval)** Een functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is continu over $[a,b]$ als en slechts als: 1. $f$ is continu in elk punt van $(a,b)$ [41](#page=41). 2. $f$ is rechtscontinu in $a$ [41](#page=41). 3. $f$ is linkscontinu in $b$ [41](#page=41). #### 3.4.1 Rijenkenmerk voor continuïteit **Stelling 3.4.5 (Rijenkenmerk voor continuïteit)** Een functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is continu in $a$ als en slechts als voor elke rij $(x_n)$ in $D_f$ met $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, geldt dat $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)$ [42](#page=42). **Stelling 3.4.6 (Rijenkenmerk voor links- en rechtscontinuïteit)** * $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is rechtscontinu in $a$ als en slechts als voor elke rij $(x_n)$ in $\{x \in D_f | x \ge a\}$ met $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, geldt $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)$ [42](#page=42). * $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is linkscontinu in $a$ als en slechts als voor elke rij $(x_n)$ in $\{x \in D_f | x \le a\}$ met $\lim_{n \to \infty} x_n = a$, geldt $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)$ [42](#page=42). **Gevolg 3.4.7:** Als $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continu is over $[a,b]$ en $(x_n)$ is een rij in $[a,b]$ met $\lim_{n \to \infty} x_n = \ell \in [a,b]$, dan geldt $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\ell)$ [43](#page=43). #### 3.4.2 De extremumstelling van Weierstrass **Stelling 3.4.8 (Extremumstelling van Weierstrass voor $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$)** Als $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continu is over een gesloten interval $[a,b]$, dan: 1. $f$ is begrensd over $[a,b]$ [43](#page=43). 2. $f$ bereikt een minimum en een maximum over $[a,b]$ [43](#page=43). **Opmerking 3.4.9:** Deze stelling geldt niet voor open intervallen, bijvoorbeeld $f(x) = 1/x$ is continu op $(0,1)$ maar niet begrensd [43](#page=43). #### 3.4.3 De tussenwaardestelling **Stelling 3.4.10 (Nulpunten van continue functies)** Als $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continu is over $[a,b]$ en $f(a)$ en $f(b)$ een verschillend teken hebben, dan bestaat er een $c \in (a,b)$ zodanig dat $f(c) = 0$ [44](#page=44). **Stelling 3.4.11 (Tussenwaardestelling voor $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$)** Als $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continu is over $[a,b]$, dan ligt elk getal tussen twee functiewaarden van $f$ over $[a,b]$ zelf ook als functiewaarde van $f$ over $[a,b]$. Dit betekent dat voor elke $y \in \mathbb{R}$ waarvoor er $x_1, x_2 \in [a,b]$ bestaan met $f(x_1) < y < f(x_2)$, er een $x \in [a,b]$ bestaat zodanig dat $f(x) = y$ [44](#page=44). **Opmerking 3.4.12:** * De tussenwaardestelling illustreert het intuïtieve idee dat de grafiek van een continue functie 'zonder de pen van het papier te heffen' getekend kan worden [45](#page=45). * De stelling kan gebruikt worden om het bestaan van wortels te bewijzen, bv. $\sqrt{2}$ [45](#page=45). * Er bestaat ook een versie voor open intervallen [45](#page=45). #### 3.4.4 Strikt stijgende en strikt dalende continue functies **Definitie 3.4.13 (Stijgende/dalende functies)** Een functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ met domein $D$ en $[a,b \subseteq D$ is: * **Stijgend** over $[a,b]$ als $\forall x_1, x_2 \in [a,b]$ met $x_1 < x_2$, geldt $f(x_1) \le f(x_2)$ [45](#page=45). * **Strikt stijgend** over $[a,b]$ als $\forall x_1, x_2 \in [a,b]$ met $x_1 < x_2$, geldt $f(x_1) < f(x_2)$ [45](#page=45). Analoge definities gelden voor dalend en strikt dalend [45](#page=45). **Stelling 3.4.14 (Injectiviteit en monotone functies)** Als $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continu is over $[a,b]$ en injectief is over $[a,b]$, dan is $f$ strikt stijgend of strikt dalend over $[a,b]$ [46](#page=46). **Stelling 3.4.15 (Inverse van monotone continue functies)** Als $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continu en strikt stijgend (resp. strikt dalend) is over $[a,b]$, met minimum $m$ en maximum $M$ op $[a,b]$, dan is de inverse functie $f^{-1}: [m,M \to [a,b]$ bijectief, continu en strikt stijgend (resp. strikt dalend) over $[m,M]$ [46](#page=46). #### 3.4.5 Uniforme continuïteit en de stelling van Heine **Definitie 3.4.16 (Uniforme continuïteit)** Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ met domein $D$ is uniform continu over $V \subseteq D$ als: $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall \vec{x}, \vec{t} \in V: \|\vec{t} - \vec{x}\| < \delta \implies |f(\vec{t}) - f(\vec{x})| < \varepsilon $$ Hierbij hangt $\delta$ alleen af van $\varepsilon$, niet van $\vec{x}$ en $\vec{t}$ [47](#page=47). Elke uniform continue functie is continu, maar het omgekeerde is niet altijd waar [47](#page=47). **Stelling 3.4.17 (Stelling van Heine voor $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$)** Als $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continu is over een gesloten interval $[a,b]$, dan is $f$ automatisch uniform continu over $[a,b]$ [47](#page=47). **Opmerking 3.4.18:** De stelling van Heine geldt niet voor open intervallen (bv. $f(x) = 1/x$ op $(0,1)$ is niet uniform continu) [48](#page=48). ### 3.5 Continue functies van meerdere variabelen In deze sectie worden de extremumstelling van Weierstrass, de tussenwaardestelling en de stelling van Heine veralgemeend naar functies $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ over gesloten en begrensde verzamelingen. **Definitie 3.5.1 (Randpunt en rand)** * Een punt $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ is een **randpunt** van een verzameling $V \subseteq \mathbb{R}^n$ als elke open bal rond $\vec{a}$ zowel punten in $V$ als punten buiten $V$ bevat [49](#page=49). * De **rand** van $V$, genoteerd als $\partial V$, is de verzameling van alle randpunten [49](#page=49). **Definitie 3.5.2 (Gesloten verzameling)** Een verzameling $V \subseteq \mathbb{R}^n$ is **gesloten** als elk randpunt van $V$ tot $V$ behoort ($\partial V \subseteq V$). Een gesloten bal $B(\vec{a}, R) = \{\vec{x} \in \mathbb{R}^n | \|\vec{x} - \vec{a}\| \le R\}$ is een voorbeeld van een gesloten verzameling [49](#page=49). **Definitie 3.5.3 (Begrensde verzameling)** Een verzameling $V \subseteq \mathbb{R}^n$ is **begrensd** als er een $M > 0$ bestaat zodanig dat $\|\vec{x}\| \le M$ voor alle $\vec{x} \in V$ [50](#page=50). **Stelling 3.5.4 (Extremumstelling van Weierstrass voor functies van meerdere variabelen)** Als $V \subseteq \mathbb{R}^n$ een gesloten en begrensde verzameling is en $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is continu over $V$, dan is $f$ begrensd over $V$ en bereikt $f$ een minimum en een maximum over $V$ [50](#page=50). **Stelling 3.5.5 (Stelling van Heine voor functies van meerdere variabelen)** Als $V \subseteq \mathbb{R}^n$ een gesloten en begrensde verzameling is en $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is continu over $V$, dan is $f$ uniform continu over $V$ [50](#page=50). **Definitie 3.5.6 (Lijnstuk en gebroken lijn)** * Het **gesloten lijnstuk** met beginpunt $\vec{a}$ en eindpunt $\vec{b}$ is $[\vec{a}, \vec{b}] = \{(1-t)\vec{a} + t\vec{b} | t \in \}$ [1](#page=1) [50](#page=50). * Een **gebroken lijn** is een unie van eindig veel gesloten lijnstukken, waarbij opeenvolgende lijnstukken aan elkaar grenzen [50](#page=50). **Definitie 3.5.7 (Open gebied)** Een verzameling $V \subseteq \mathbb{R}^n$ is een **open gebied** als $V$ open is en elk tweetal punten in $V$ verbonden kan worden door een gebroken lijn die volledig in $V$ ligt [50](#page=50). **Stelling 3.5.8 (Nulpunten in open gebieden)** Als $V \subseteq \mathbb{R}^n$ een open gebied is en $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is continu over $V$. Indien er twee punten $\vec{a}, \vec{b} \in V$ bestaan met $f(\vec{a})$ en $f(\vec{b})$ van verschillend teken, dan bestaat er een $\vec{c} \in V$ zodanig dat $f(\vec{c}) = 0$ [50](#page=50). **Stelling 3.5.9 (Tussenwaardestelling voor functies van meerdere variabelen)** Als $V \subseteq \mathbb{R}^n$ een open gebied is en $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is continu over $V$. Elk getal dat tussen twee functiewaarden van $f$ over $V$ ligt, is zelf een functiewaarde van $f$ over $V$. Dit betekent dat als er $\vec{x}_1, \vec{x}_2 \in V$ bestaan met $f(\vec{x}_1) < y < f(\vec{x}_2)$, dan bestaat er een $\vec{x} \in V$ zodanig dat $f(\vec{x}) = y$ [51](#page=51). --- # Afgeleidbaarheid in één veranderlijke en de regel van de l'Hôpital Dit hoofdstuk verkent de concepten van afgeleidbaarheid, de rekenregels voor afgeleiden, de middelwaardestelling, en de regel van l'Hôpital, evenals de formule van Taylor, en hoe het teken van de afgeleide het gedrag van functies beïnvloedt. ### 4.1 Afgeleiden van eerste orde #### 4.1.1 Definitie en interpretatie De afgeleide van een functie $f$ in een punt $a$ wordt gedefinieerd als de limiet van het differentiequotiënt: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ indien deze limiet bestaat. Dit punt $a$ moet een inwendig punt van het domein van $f$ zijn. Alternatieve notaties zijn $D f(a)$ en $\frac{d f}{d x}(a)$ [53](#page=53). **Meetkundige interpretatie:** De afgeleide $f'(a)$ is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $(a, f(a))$. De vergelijking van deze raaklijn is $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ [53](#page=53). **Fysische interpretatie:** Indien $f(t)$ de positie van een deeltje op tijdstip $t$ voorstelt, dan is $f'(a)$ de ogenblikkelijke snelheid van het deeltje op tijdstip $a$ [54](#page=54). Een functie $f$ is affleidbaar in $a$ als en slechts als er een $m \in \mathbb{R}$ en een functie $e: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bestaan zodanig dat voor alle $h \in \mathbb{R}$ met $a+h$ in het domein van $f$ geldt dat $f(a+h) = f(a) + mh + h e(h)$ en $\lim_{h \to 0} e(h) = 0$. In dat geval is $m = f'(a)$ [54](#page=54). Een functie $f$ is affleidbaar over een open verzameling $V$ als $f$ affleidbaar is in elk punt van $V$. De afgeleide functie $f'$ definieert een nieuwe functie $f': \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ [54](#page=54). #### 4.1.2 Eigenschappen van affleidbare functies * **Continuïteit:** Als een functie $f$ affleidbaar is in $a$, dan is $f$ ook continu in $a$ [55](#page=55). * **Gedrag rond een punt:** * Als $f'(a) > 0$, dan is $f(x) > f(a)$ voor $x$ net groter dan $a$, en $f(x) < f(a)$ voor $x$ net kleiner dan $a$ [55](#page=55). * Als $f'(a) < 0$, dan is $f(x) < f(a)$ voor $x$ net groter dan $a$, en $f(x) > f(a)$ voor $x$ net kleiner dan $a$ [55](#page=55). #### 4.1.3 Rekenregels voor affgeleiden Als $f$ en $g$ affleidbaar zijn in $a$: 1. **Somregel:** $(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)$ [55](#page=55). 2. **Productregel:** $(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$ [56](#page=56). 3. **Constante maal functie:** $(\alpha f)'(a) = \alpha f'(a)$ voor elke $\alpha \in \mathbb{R}$ [56](#page=56). 4. **Quotiëntregel:** Als $g(a) \neq 0$, dan $(\frac{f}{g})'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}$ [56](#page=56). Een belangrijk voorbeeld is de afgeleide van een machtsfunctie: $(x^n)' = nx^{n-1}$ voor $n \in \mathbb{N}^+$ [56](#page=56). #### 4.1.4 Kettingregel Als $f$ affleidbaar is in $a$ en $g$ affleidbaar is in $f(a)$, dan is de samengestelde functie $g \circ f$ affleidbaar in $a$ en geldt: $$(g \circ f)'(a) = g'(f(a)) f'(a)$$ [57](#page=57). #### 4.1.5 Afgeleide van de inverse functie Als $f: [x_0, x_1 \to [y_0, y_1]$ continu en bijectief is, affleidbaar in $a \in (x_0, x_1)$ is en $f'(a) \neq 0$, dan is $f^{-1}$ affleidbaar in $f(a)$ en geldt: $$(f^{-1})'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}$$ [57](#page=57). #### 4.1.6 Afgeleiden van elementaire functies Een lijst van veelgebruikte afgeleiden omvat: * $(\sin x)' = \cos x$ [58](#page=58). * $(\cos x)' = -\sin x$ [58](#page=58). * $(\arcsin y)' = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ voor $y \in (-1,1)$ [58](#page=58). * $(\arccos y)' = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ voor $y \in (-1,1)$ [58](#page=58). * $(\arctan y)' = \frac{1}{1+y^2}$ [58](#page=58). * $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ voor $x > 0$ [58](#page=58). * $(\exp x)' = \exp x$ [58](#page=58). * $(a^x)' = a^x \ln a$ voor $a \in \mathbb{R}, a>0$ [58](#page=58). * $(x^a)' = ax^{a-1}$ voor $a \in \mathbb{R}$ [58](#page=58). ### 4.2 Hogere-orde afgeleiden Indien de afgeleide functie $f'$ zelf affleidbaar is over een open verzameling $V$, dan noemen we de afgeleide van $f'$ de tweede afgeleide van $f$, genoteerd als $f''$ of $\frac{d^2 f}{dx^2}$. Dit proces kan herhaald worden om de $n$-de afgeleide, $f^{(n)}$ of $\frac{d^n f}{dx^n}$, te definiëren. Een functie is $n$-keer affleidbaar over $V$ als $f^{(n)}$ bestaat over $V$. Een functie is $n$-keer continu affleidbaar over $V$ als $f^{(n)}$ bestaat en continu is over $V$. De nulde-orde afgeleide is de functie zelf: $f^{ } = f$ [59](#page=59). ### 4.3 De middelwaardestelling #### 4.3.1 Extremum voorwaarden * Een functie $f$ bereikt een lokaal maximum in $a$ als $f(x) \leq f(a)$ voor $x$ in een omgeving van $a$ [59](#page=59). * Een functie $f$ bereikt een lokaal minimum in $a$ als $f(x) \geq f(a)$ voor $x$ in een omgeving van $a$ [59](#page=59). **Noodzakelijke voorwaarde voor een extremum:** Als een affleidbare functie $f$ een extremum bereikt in $a$, dan geldt $f'(a) = 0$. Let op: $f'(a)=0$ impliceert niet noodzakelijk een extremum (bv. $f(x)=x^3$ in $a=0$) [60](#page=60). #### 4.3.2 Stelling van Rolle Als een functie $f$ continu is op $[a,b]$, affleidbaar is op $(a,b)$, en $f(a) = f(b)$, dan bestaat er een $\xi \in (a,b)$ zodanig dat $f'(\xi) = 0$ [60](#page=60). #### 4.3.3 Middelwaardestelling Als een functie $f$ continu is op $[a,b]$ en affleidbaar is op $(a,b)$, dan bestaat er een $\xi \in (a,b)$ zodanig dat: $$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)$$ [60](#page=60). Meetkundig betekent dit dat er een punt $\xi$ op $(a,b)$ bestaat waar de raaklijn van $f$ evenwijdig is met de rechte door $(a, f(a))$ en $(b, f(b))$ [61](#page=61). #### 4.3.4 Verband tussen afgeleide en functieverloop * $f$ is constant over $(a,b)$ $\iff$ $f'(x) = 0$ voor alle $x \in (a,b)$ [61](#page=61). * $f$ is stijgend over $(a,b)$ $\iff$ $f'(x) \geq 0$ voor alle $x \in (a,b)$ [61](#page=61). * $f$ is dalend over $(a,b)$ $\iff$ $f'(x) \leq 0$ voor alle $x \in (a,b)$ [61](#page=61). * Als $f'(x) > 0$ voor alle $x \in (a,b)$, dan is $f$ strikt stijgend over $(a,b)$ [62](#page=62). * Als $f'(x) < 0$ voor alle $x \in (a,b)$, dan is $f$ strikt dalend over $(a,b)$ [62](#page=62). #### 4.3.5 Voldoende voorwaarden voor een extremum * **Eerste afgeleide test:** Als $f$ continu is in $a$ en affleidbaar in de buurt van $a$ (behalve mogelijk in $a$ zelf): * Als $f'(x)$ van teken wisselt van positief naar negatief bij $a$, heeft $f$ een maximum in $a$ [62](#page=62). * Als $f'(x)$ van teken wisselt van negatief naar positief bij $a$, heeft $f$ een minimum in $a$ [62](#page=62). * **Tweede afgeleide test:** Als $f$ affleidbaar is in $a$, $f'(a)=0$, en $f''(a)$ bestaat: * Als $f''(a) < 0$, heeft $f$ een maximum in $a$ [63](#page=63). * Als $f''(a) > 0$, heeft $f$ een minimum in $a$ [63](#page=63). ### 4.4 De regel van de l’Hôpital De regel van l'Hôpital wordt gebruikt om limieten van de onbepaalde vormen $\frac{0}{0}$ en $\frac{\infty}{\infty}$ te berekenen. #### 4.4.1 Vergeneralizede middelwaardestelling Als $f$ en $g$ continu zijn op $[a,b]$, affleidbaar op $(a,b)$, en $g'(x) \neq 0$ voor alle $x \in (a,b)$, dan bestaat er een $\xi \in (a,b)$ zodanig dat: $$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$ [63](#page=63). #### 4.4.2 Regel van l’Hôpital voor $\frac{0}{0}$ Als $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$, $f$ en $g$ affleidbaar zijn in de buurt van $a$ (behalve mogelijk in $a$), $g'(x) \neq 0$ in die buurt, en $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ bestaat, dan: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ [64](#page=64). * **Voorbeeld:** $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1$ [64](#page=64). #### 4.4.3 Regel van l’Hôpital voor $\frac{\infty}{\infty}$ Als $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ en $\lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty$, $f$ en $g$ affleidbaar zijn in de buurt van $a$ (behalve mogelijk in $a$), $g'(x) \neq 0$ in die buurt, en $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ bestaat, dan: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ [65](#page=65). Analoge regels gelden voor linker-/rechterlimieten en voor limieten naar $\pm \infty$ [65](#page=65). De regel van l'Hôpital kan ook worden toegepast op andere onbepaalde vormen (zoals $0 \cdot \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty - \infty$) door de uitdrukking om te vormen naar een $\frac{0}{0}$ of $\frac{\infty}{\infty}$ vorm [66](#page=66). * **Voorbeeld:** $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}$ [66](#page=66). * **Voorbeeld van $0 \cdot \infty$:** $\lim_{x \to 0^+} x^x = \exp(\lim_{x \to 0^+} x \ln x) = \exp(\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}) = \exp = 1$ [66](#page=66). ### 4.5 De formule van Taylor De formule van Taylor benadert een functie $f$ door een veelterm. #### 4.5.1 Formule van Taylor met restterm van Lagrange Als $f$ $(n+1)$-keer affleidbaar is over een open interval $I$ dat $a$ bevat, dan bestaat er voor elke $x \in I$ een $\xi_x$ tussen $a$ en $x$ zodanig dat: $$f(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i + \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ [67](#page=67). De term $\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i$ is de Taylorveelterm van orde $n$ van $f$ in $a$. De laatste term is de restterm van Lagrange [68](#page=68). #### 4.5.2 Formule van Taylor met restterm van Liouville Als $f$ $n$-keer continu affleidbaar is over een open interval $I$ dat $a$ bevat, dan bestaat er een functie $\lambda: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zodanig dat voor alle $x \in I$: $$f(x) = \sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i + \lambda(x)(x-a)^n$$ en $\lim_{x \to a} \lambda(x) = 0$. Hierbij is $\lambda(x)(x-a)^n$ de restterm van Liouville [69](#page=69). De restterm $r_n(x) = f(x) - P_n(x)$ (waarbij $P_n(x)$ de Taylorveelterm is) geeft aan hoe goed de Taylorveelterm de functie benadert. Stelling 5.5.4 laat zien dat $r_n(x)$ sneller naar nul gaat dan $(x-a)^n$ als $x \to a$, omdat $\lambda(x) \to 0$ [69](#page=69). --- # Integratie in één veranderlijke en oneigenlijke integralen Hier is een gedetailleerde studiehandleiding voor het onderwerp "Integratie in één veranderlijke en oneigenlijke integralen", gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 5. Integratie in één veranderlijke en oneigenlijke integralen Dit hoofdstuk introduceert de Riemannintegraal via ondersommen en bovensommen, bespreekt de eigenschappen van integralen en de hoofdstellingen van de integraalrekening, en sluit af met een analyse van oneigenlijke integralen van de eerste en tweede soort, inclusief hun convergentiecriteria. ### 5.1 De bepaalde integraal #### 5.1.1 Partities en deelpunten Een partitie $P$ van een interval $(a,b)$ is een geordende reeks punten: $P = (a = x_0, x_1, \dots, x_{n-1}, x_n = b)$ waarbij $a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$. De punten $x_i$ worden de deelpunten van de partitie genoemd. De lengte van het subinterval $(x_{i-1}, x_i)$ wordt genoteerd als $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ [71](#page=71). #### 5.1.2 Ondersommen en bovensommen Voor een functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ die begrensd is op $(a,b)$ en een partitie $P = (a = x_0, x_1, \dots, x_n = b)$ van $[a,b]$, definiëren we: - $m_i(f) = \inf\{f(x) \mid x \in (x_{i-1}, x_i)\}$ (het infimum van $f$ op het $i$-de subinterval) [71](#page=71). - $M_i(f) = \sup\{f(x) \mid x \in (x_{i-1}, x_i)\}$ (het supremum van $f$ op het $i$-de subinterval) [71](#page=71). De ondersom $s_P(f)$ en de bovensom $S_P(f)$ van $f$ met betrekking tot partitie $P$ worden gedefinieerd als: $$s_P(f) = \sum_{i=1}^{n} m_i(f)\Delta x_i$$ [72](#page=72). $$S_P(f) = \sum_{i=1}^{n} M_i(f)\Delta x_i$$ [72](#page=72). Als $f(x) \geq 0$ voor alle $x \in [a,b]$, benaderen $s_P(f)$ en $S_P(f)$ de oppervlakte onder de graiek van $f$. $s_P(f)$ is een onderbenadering, terwijl $S_P(f)$ een bovenbenadering is [72](#page=72). #### 5.1.3 Eigenschappen van ondersommen en bovensommen - Voor elke partitie $P$ geldt $s_P(f) \leq S_P(f)$ [72](#page=72). - Als partitie $Q$ een verfijning is van partitie $P$ (d.w.z. $P \subseteq Q$), dan geldt $s_P(f) \leq s_Q(f)$ en $S_Q(f) \leq S_P(f)$ [73](#page=73). - Voor willekeurige partities $P$ en $Q$ geldt $s_P(f) \leq S_Q(f)$ [73](#page=73). #### 5.1.4 Onderintegraal en bovenintegraal - De onderintegraal van $f$ over $(a,b)$ is $\overline{\int_a^b} f = \sup\{s_P(f) \mid P \text{ is een partitie van } (a,b)\}$ [74](#page=74). - De bovenintegraal van $f$ over $(a,b)$ is $\underline{\int_a^b} f = \inf\{S_P(f) \mid P \text{ is een partitie van } (a,b)\}$ [74](#page=74). - Voor elke begrensde functie $f$ geldt $\underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f$ [74](#page=74). #### 5.1.5 Integreerbaarheid (Riemann) Een functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ die begrensd is over $(a,b)$ is integreerbaar over $(a,b)$ als de onderintegraal gelijk is aan de bovenintegraal: $$\overline{\int_a^b} f = \underline{\int_a^b} f$$ [75](#page=75). Deze gemeenschappelijke waarde wordt de bepaalde integraal van $f$ over $(a,b)$ genoemd en genoteerd als $\int_a^b f$. Als $f(x) \geq 0$ en integreerbaar is, representeert de integraal de oppervlakte onder de graiek van $f$ [75](#page=75). Definities gerelateerd aan de integraal: - $\int_b^a f = -\int_a^b f$ [75](#page=75). - $\int_a^a f = 0$ [75](#page=75). - De notatie $\int_a^b f(x)dx$ wordt ook gebruikt, waarbij $x$ een spookveranderlijke is [75](#page=75). **Voorbeeld 75**: De constante functie $f(x) = h$ is integreerbaar en $\int_a^b h \, dx = h(b-a)$. De Dirichlet-functie (1 voor rationale getallen, 0 voor irrationale getallen) is niet integreerbaar, omdat $s_P(f) = 0$ en $S_P(f) = b-a$ voor elke partitie $P$ [75](#page=75). #### 5.1.6 Kenmerk van Darboux Een functie $f$ is integreerbaar over $(a,b)$ als en slechts als voor elke $\varepsilon > 0$ er een partitie $P$ van $(a,b)$ bestaat zodanig dat $S_P(f) - s_P(f) < \varepsilon$ [76](#page=76). #### 5.1.7 Riemannsommen Een Riemannsom wordt gedefinieerd als $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x_i$, waarbij $x_i^* \in (x_{i-1}, x_i)$. Als $f$ integreerbaar is, convergeren de Riemannsommen naar de integraal naarmate de partitie fijner wordt, ongeacht de keuze van $x_i^*$ [76](#page=76) [77](#page=77). ### 5.2 Eigenschappen van de integraal #### 5.2.1 Lineariteit Als $f$ en $g$ integreerbaar zijn over $(a,b)$: 1. $f+g$ is integreerbaar over $(a,b)$ en $\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g$ [78](#page=78). 2. Voor elke $\alpha \in \mathbb{R}$, is $\alpha f$ integreerbaar over $(a,b)$ en $\int_a^b (\alpha f) = \alpha \int_a^b f$ [78](#page=78). #### 5.2.2 Monotoniciteit - Als $f(x) \geq 0$ voor alle $x \in (a,b)$ en $f$ is integreerbaar over $(a,b)$, dan is $\int_a^b f \geq 0$ [79](#page=79). - Als $f(x) \leq g(x)$ voor alle $x \in (a,b)$ en $f, g$ zijn integreerbaar over $(a,b)$, dan is $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ [79](#page=79). #### 5.2.3 Additiviteit van het interval - Als $f$ integreerbaar is over $(a,b)$ en $(c,d) \subseteq (a,b)$, dan is $f$ ook integreerbaar over $(c,d)$ [79](#page=79). - Voor $a < c < b$, is $f$ integreerbaar over $(a,b)$ als en slechts als $f$ integreerbaar is over $(a,c)$ en $(c,b)$. In dit geval geldt $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$. Deze formule geldt ook voor andere ordeningen van $a, b, c$ [80](#page=80). #### 5.2.4 Driehoeksongelijkheid voor integralen Als $f$ integreerbaar is over $(a,b)$, dan is $|f|$ ook integreerbaar over $(a,b)$ en geldt: $$ \left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f| $$ [82](#page=82). #### 5.2.5 Continuïteit van een integraal met veranderlijke bovengrens Als $f$ integreerbaar is over $(a,b)$, dan is de functie $F(x) = \int_c^x f$ (met $c \in [a,b]$ vast) continu over $[a,b]$ [82](#page=82). #### 5.2.6 Integreerbaarheid van continue functies Elke functie $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ die continu is over $[a,b]$ is ook integreerbaar over $(a,b)$ [83](#page=83). #### 5.2.7 Stuksgewijze continue functies Een functie $f$ is stuksgewijs continu over $[a,b]$ als $[a,b]$ opgesplitst kan worden in een eindig aantal subintervallen $(x_{i-1}, x_i)$ waarop $f$ continu is en eindige limieten heeft aan de grenzen. Stuksgewijs continue functies zijn integreerbaar, en de integraal kan worden berekend door de integralen over de subintervallen op te tellen. De waarde van de integraal is onafhankelijk van de functiewaarden in de discontinuïteitspunten [83](#page=83) [84](#page=84). #### 5.2.8 Middelwaardestelling voor integralen Als $f$ continu is over $[a,b]$, dan bestaat er een $\xi \in [a,b]$ zodanig dat $\int_a^b f = f(\xi)(b-a)$. Dit betekent dat de integraal gelijk is aan de functiewaarde op een bepaald punt vermenigvuldigd met de lengte van het interval [84](#page=84). De gemiddelde waarde van een continue functie $f$ over $[a,b]$ is $\frac{1}{b-a} \int_a^b f$. De middelwaardestelling stelt dat deze gemiddelde waarde gelijk is aan $f(\xi)$ voor een zekere $\xi \in [a,b]$ [85](#page=85). ### 5.3 De hoofdstellingen van de integraalrekening #### 5.3.1 Eerste hoofdstelling (afgeleide van een integraal met veranderlijke bovengrens) Als $f$ continu is over $(a,b)$, dan is de functie $F(x) = \int_c^x f$ differentieerbaar over $(a,b)$ en $F'(x) = f(x)$ [85](#page=85). Als $f$ continu is over $[a,b]$, dan is $F(x) = \int_c^x f$ continu differentieerbaar over $[a,b]$ en $F'(x) = f(x)$ [86](#page=86). #### 5.3.2 Tweede hoofdstelling (integraal van een afgeleide) Als $f$ continu differentieerbaar is over $[a,b]$, dan is: $$ \int_a^b f'(x) dx = [f(x)]_a^b = f(b) - f(a) $$ [86](#page=86). #### 5.3.3 Primitieve functie Een functie $g$ is een primitieve van $f$ over $[a,b]$ als $g$ continu differentieerbaar is over $[a,b]$ en $g'(x) = f(x)$ voor alle $x \in (a,b)$. Alle primitieven van een functie $f$ verschillen slechts door een constante [87](#page=87). #### 5.3.4 Alternatieve formulering van de tweede hoofdstelling Als $g$ een primitieve is van $f$ over $[a,b]$, dan geldt: $$ \int_a^b f(x) dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $$ [87](#page=87). Dit geeft een methode om bepaalde integralen te berekenen door een primitieve te vinden. **Voorbeeld 88**: $\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}$ [88](#page=88). #### 5.3.5 Tabel van primitieve functies | Functie | Primitieve | | :---------------- | :-------------------------------------------- | | $x^a$ ($a \neq -1$) | $\frac{x^{a+1}}{a+1}$ | | $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | | $e^x$ | $e^x$ | | $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a}$ | | $\sin x$ | $-\cos x$ | | $\cos x$ | $\sin x$ | | $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x$ | | $\frac{1}{1-x^2}$ | $\operatorname{artanh} x$ ($|x|<1$) | | $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ | $\operatorname{arsinh} x$ | | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x$ ($|x|<1$) | | $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ | $\operatorname{arcosh} x$ ($|x|>1$) | ### 5.4 Partiële integratie en substitutie #### 5.4.1 Partiële integratie Als $f$ en $g$ continu differentieerbaar zijn over $[a,b]$: $$ \int_a^b f(x) g'(x) dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx $$ [89](#page=89). #### 5.4.2 Substitutieregel (grensovergangstransformatie) Als $\varphi$ continu differentieerbaar is over $[a,b]$ en $f$ continu is over het beeldinterval $\varphi([a,b])$: $$ \int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t) dt $$ [89](#page=89). Hierbij is $t = \varphi(x)$ de substitutie en $dt = \varphi'(x)dx$. ### 5.5 Oneigenlijke integralen #### 5.5.1 Oneigenlijke integralen van de eerste soort (onbegrensde integratie-intervallen) Deze betreffen integralen met limieten van $+\infty$ of $-\infty$. - **Definitie**: - $\int_a^{+\infty} f = \lim_{M \to +\infty} \int_a^M f$ [91](#page=91). - $\int_a^{-\infty} f = \lim_{M \to -\infty} \int_a^M f$ [91](#page=91). - **Convergentie**: Een oneigenlijke integraal is convergent als de limiet bestaat. Anders divergeert deze [91](#page=91). - **Integraal over R**: $\int_{-\infty}^{+\infty} f$ is convergent als zowel $\int_{-\infty}^0 f$ als $\int_0^{+\infty} f$ convergent zijn. Dan geldt $\int_{-\infty}^{+\infty} f = \int_{-\infty}^0 f + \int_0^{+\infty} f$ [92](#page=92). - Opmerking: $\int_{-\infty}^{+\infty} f = \lim_{M \to +\infty} \int_{-M}^M f$ geldt alleen als de integraal over $\mathbb{R}$ convergent is [92](#page=92). **Belangrijke voorbeelden en criteria**: - $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ convergeert voor $\alpha > 1$ en divergeert voor $\alpha \leq 1$ (met $a>0$) [93](#page=93). - **Majorantenregel**: Als $0 \leq f(x) \leq C g(x)$ voor $x \geq b$ en $\int_a^{+\infty} g$ convergeert, dan convergeert $\int_a^{+\infty} f$ [93](#page=93). - **Quotiëntregel**: Als $f, g > 0$ en $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in [0, +\infty)$: - Als $L > 0$, dan convergeert $\int_a^{+\infty} f \Leftrightarrow \int_a^{+\infty} g$ convergeert [94](#page=94). - Als $L = 0$, dan $\int_a^{+\infty} g$ convergeert $\Rightarrow \int_a^{+\infty} f$ convergeert [94](#page=94). - **Stelling 7.1.10**: Voor een positieve functie $f$: 1. Als $\lim_{x\to+\infty} x^\alpha f(x) = L \in [0, +\infty)$ voor $\alpha > 1$, dan convergeert $\int_a^{+\infty} f$ [95](#page=95). 2. Als $\lim_{x\to+\infty} x^\alpha f(x) = L \in (0, +\infty]$ voor $0 < \alpha \leq 1$, dan divergeert $\int_a^{+\infty} f$ naar $+\infty$ [95](#page=95). #### 5.5.2 Oneigenlijke integralen van de tweede soort (functies met discontinuïteiten) Deze betreffen integralen over een interval $(a,b)$ waar de integrand $f$ mogelijk onbegrensd is. - **Definitie**: - Als $f$ integreerbaar is over $(c,b)$ voor alle $c \in (a,b)$: $\int_a^b f = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f$ [95](#page=95). - Als $f$ integreerbaar is over $(a,c)$ voor alle $c \in (a,b)$: $\int_a^b f = \lim_{c \to b^-} \int_a^c f$ [96](#page=96). - **Consistentie**: Als $f$ 'gewoon' integreerbaar is over $(a,b)$, dan zijn de limieten gelijk aan de gebruikelijke integraal [96](#page=96). **Belangrijke voorbeelden en criteria**: - $\int_a^b \frac{1}{(x-a)^\beta} dx$ en $\int_a^b \frac{1}{(b-x)^\beta} dx$ convergeren voor $\beta < 1$ en divergeren voor $\beta \geq 1$ [97](#page=97). - **Majorantenregel**: Analoog aan de eerste soort, maar voor integralen naar $a^+$ of $b^-$ [97](#page=97). - **Quotiëntregel**: Analoog aan de eerste soort, maar voor limieten naar $a^+$ of $b^-$ [97](#page=97). - **Stelling 7.2.9**: Voor een positieve functie $f$: 1. Als $\lim_{x\to a^+} (x-a)^\beta f(x) = L \in [0, +\infty)$ voor $0 < \beta < 1$, dan convergeert $\int_a^b f$ [98](#page=98). 2. Als $\lim_{x\to a^+} (x-a)^\beta f(x) = L \in (0, +\infty]$ voor $\beta \geq 1$, dan divergeert $\int_a^b f$ naar $+\infty$ [98](#page=98). - **Stelling 7.2.11**: Analoge criteria gelden voor limieten naar $b^-$. 1. Als $\lim_{x\to b^-} (b-x)^\beta f(x) = L \in [0, +\infty)$ voor $0 < \beta < 1$, dan convergeert $\int_a^b f$ [99](#page=99). 2. Als $\lim_{x\to b^-} (b-x)^\beta f(x) = L \in (0, +\infty]$ voor $\beta \geq 1$, dan divergeert $\int_a^b f$ naar $+\infty$ [99](#page=99). **Voorbeeld 98**: Voor $p>0$ convergeert $\int_0^1 x^{p-1}e^{-x} dx$. #### 5.5.3 Combinaties van oneigenlijke integralen - $\int_a^{+\infty} f$ is convergent als er een $c > a$ bestaat zodat $\int_a^c f$ en $\int_c^{+\infty} f$ beide convergent zijn. Deze definitie is onafhankelijk van de keuze van $c$ [99](#page=99). - Analoge definities gelden voor $\int_a^{-\infty} f$ en integralen die oneigenlijk zijn aan beide zijden. ### 5.6 De gammafunctie #### 5.6.1 Definitie De gammafunctie is gedefinieerd als: $$ \Gamma(p) = \int_0^{+\infty} x^{p-1}e^{-x} dx, \quad p > 0 $$ [100](#page=100). Deze integraal is convergent voor alle $p > 0$ [99](#page=99). #### 5.6.2 Recursierelatie Voor $p > 1$: $$ \Gamma(p) = (p-1)\Gamma(p-1) $$ [100](#page=100). Dit reduceert de berekening van $\Gamma(p)$ tot de berekening van $\Gamma(q)$ voor $0 < q \leq 1$. #### 5.6.3 Relatie met faculteit Voor elk positief geheel getal $n \in \mathbb{N}^+$ geldt: $$ \Gamma(n) = (n-1)! $$ . Dit volgt uit $\Gamma = 1$ [1](#page=1). --- # Aflidbaarheid en continuïteit in meerdere veranderlijken Dit deel introduceert de concepten van partiële afgeleiden, richtingsafgeleiden, gradiënten, en afleidbaarheid voor functies van meerdere variabelen, evenals de Jacobiaanse matrix, de kettingregel, de stelling van Taylor en de classificatie van extreme waarden met de Hessiaanse matrix. ### 6.1 Grafische voorstellingen van functies Functies $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ kunnen grafisch worden voorgesteld. De grafiek van een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is de verzameling $\{( \vec{x}, f(\vec{x}) ) | \vec{x} \in D \} \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$. Voor functies $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ is dit een 2-dimensionaal oppervlak in $\mathbb{R}^3$. Voor functies $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ is de grafiek een 3-dimensionaal oppervlak in $\mathbb{R}^4$, wat niet direct te tekenen is . Hoogtelijnen (of niveaukrommen) van $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ zijn de verzamelingen $\{(x,y) \in D | f(x,y) = c\}$ voor een constante $c \in \mathbb{R}$. Voor functies $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ worden de verzamelingen $\{(x,y,z) \in D | f(x,y,z) = c\}$ niveau-oppervlakken genoemd . Vectorwaardige functies van één veranderlijke, zoals $\vec{r}: I \to \mathbb{R}^m$, parametriseren krommen in $\mathbb{R}^m$ . ### 6.2 Partiële afgeleiden en richtingsafgeleiden Een functie $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is partieel afleidbaar naar de $i$-de veranderlijke in een punt $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ als de limiet $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_i + h, \dots, a_n) - f(a_1, \dots, a_i, \dots, a_n)}{h} $$ bestaat. Deze limiet wordt genoteerd als $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec{a})$ . De gradiënt van $f$ in $\vec{a}$ is de vector $\vec{\nabla}f(\vec{a}) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\vec{a}), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\vec{a})\right) \in \mathbb{R}^n$ . De richtingsafgeleide van $f$ volgens een eenheidsvector $\vec{u} \in \mathbb{R}^n$ in het punt $\vec{a}$ is de limiet $$ D_{\vec{u}}f(\vec{a}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\vec{a} + h\vec{u}) - f(\vec{a})}{h} $$ indien deze bestaat. Deze geeft aan hoe snel de functiewaarden van $f$ veranderen als $\vec{x}$ vanuit $\vec{a}$ in de richting van $\vec{u}$ varieert . ### 6.3 Afleidbaarheid Een functie $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is afleidbaar in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ als er een vector $\vec{m} \in \mathbb{R}^n$ en een functie $e : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bestaan zodanig dat voor alle $\vec{h} \in \mathbb{R}^n$ met $\vec{a} + \vec{h}$ in het domein geldt: $$ f(\vec{a} + \vec{h}) = f(\vec{a}) + \vec{m} \cdot \vec{h} + \| \vec{h} \| e(\vec{h}) \quad \text{en} \quad \lim_{\vec{h} \to \vec{0}} e(\vec{h}) = 0 $$ . Een functie $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is afleidbaar in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ als en slechts als: 1. $f$ is partieel afleidbaar naar de $i$-de veranderlijke in $\vec{a}$ voor alle $i \in \{1, \dots, n\}$. 2. $\lim_{\vec{h} \to \vec{0}} \frac{f(\vec{a} + \vec{h}) - f(\vec{a}) - \vec{\nabla}f(\vec{a}) \cdot \vec{h}}{\| \vec{h} \| } = 0$ . Indien afleidbaar, is $\vec{m} = \vec{\nabla}f(\vec{a})$ . De affiene afbeelding $L(\vec{x}) = f(\vec{a}) + \vec{\nabla}f(\vec{a}) \cdot (\vec{x} - \vec{a})$ benadert $f$ in de buurt van $\vec{a}$. De grafiek van $L$ is de raakruimte aan de grafiek van $f$ . Als $f$ afleidbaar is in $\vec{a}$, dan is de richtingsafgeleide $D_{\vec{u}}f(\vec{a}) = \vec{\nabla}f(\vec{a}) \cdot \vec{u}$ voor elke eenheidsvector $\vec{u}$. De gradiënt $\vec{\nabla}f(\vec{a})$ wijst in de richting waarin de functiewaarden van $f$ het snelst stijgen . Een afleidbare functie is continu. Echter, een functie kan partieel afleidbaar zijn zonder afleidbaar te zijn . **Stelling 8.3.7 (Voldoende voorwaarde voor afleidbaarheid):** Als de partiële afgeleiden van $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bestaan en continu zijn in $\vec{a}$, dan is $f$ afleidbaar in $\vec{a}$. Een functie die continu afleidbaar is, is dus afleidbaar . ### 6.3.1 Afleidbaarheid van vectorwaardige functies Voor een functie $\vec{F} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, afleidbaar in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$, bestaan er een matrix $M \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ en een functie $\vec{e} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ zodanig dat: $$ \vec{F}(\vec{a} + \vec{h}) = \vec{F}(\vec{a}) + M(\vec{h}) + \| \vec{h} \| \vec{e}(\vec{h}) \quad \text{en} \quad \lim_{\vec{h} \to \vec{0}} \vec{e}(\vec{h}) = \vec{0} $$ . De **Jacobiaanse matrix** (of totale afgeleide) van $\vec{F} = (f_1, \dots, f_m)$ in $\vec{a}$ is: $$ D\vec{F}(\vec{a}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\vec{a}) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(\vec{a}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\vec{a}) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(\vec{a}) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(\vec{a}) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(\vec{a}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\vec{a}) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(\vec{a}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\vec{a}) \end{pmatrix} \in M_{m,n}(\mathbb{R}) $$ . De $i$-de rij van de Jacobiaanse matrix is de gradiënt van $f_i$. Voor $m=1$ is de Jacobiaanse matrix gelijk aan de gradiënt. De determinant van de Jacobiaanse matrix voor $m=n$ is de Jacobiaanse determinant . $\vec{F}$ is afleidbaar in $\vec{a}$ als en slechts als alle componentfuncties $f_i$ afleidbaar zijn in $\vec{a}$. Dan is $M = D\vec{F}(\vec{a})$ . Voor $\vec{r}: R \to \mathbb{R}^m$, is de afgeleide $D\vec{r}(a) = \vec{r}'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\vec{r}(a+h) - \vec{r}(a)}{h}$. De grafiek van $\vec{r}$ wordt in $\vec{r}(a)$ benaderd door een rechte met richtingsvector $\vec{r}'(a)$ (de raaklijn) . **Stelling 8.3.17 (Kettingregel):** Als $\vec{F} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ afleidbaar is in $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$ en $\vec{G} : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p$ afleidbaar is in $\vec{F}(\vec{a})$, dan is de samenstelling $\vec{G} \circ \vec{F} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ afleidbaar in $\vec{a}$ en geldt: $$ D(\vec{G} \circ \vec{F})(\vec{a}) = D\vec{G}(\vec{F}(\vec{a})) D\vec{F}(\vec{a}) $$ . Dit is het matrixproduct van de Jacobiaanse matrices . Voor $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ en $\vec{r}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, geldt $(f \circ \vec{r})'(t) = \vec{\nabla}f(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t)$. Als $\vec{r}(t) = (x_1(t), \dots, x_n(t))$, dan : $$ \frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{dx_i}{dt} $$ . **Stelling 8.3.19:** Een afleidbare functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ is constant over een open gebied $V \subseteq \mathbb{R}^n$ als en slechts als $\vec{\nabla}f(\vec{x}) = \vec{0}$ voor alle $\vec{x} \in V$ . ### 6.4 Partiële afgeleiden van hogere orde Partiële afgeleiden van orde twee worden verkregen door de eerste partiële afgeleiden nogmaals partieel te differentiëren: $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)$ . **Stelling 8.4.2 (Schwarz's theorema):** Als $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ continue partiële afgeleiden van orde twee heeft over een open gebied $V$, dan geldt $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ voor alle $i, j$ . ### 6.5 De formule van Taylor De formule van Taylor voor functies $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ rond een punt $\vec{a} = (a_1, a_2)$ met een restterm van Lagrange is: $$ f(a_1+h_1, a_2+h_2) = \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!} \left(h_1 \frac{\partial}{\partial x} + h_2 \frac{\partial}{\partial y}\right)^{(i)} f(a_1, a_2) + \frac{1}{(n+1)!} \left(h_1 \frac{\partial}{\partial x} + h_2 \frac{\partial}{\partial y}\right)^{(n+1)} f(\xi_1, \xi_2) $$ waarbij $\vec{\xi} = (\xi_1, \xi_2)$ op het lijnstuk $[ \vec{a}, \vec{a} + \vec{h} ]$ ligt en $\vec{h} = (h_1, h_2)$. De term $\left(h_1 \frac{\partial}{\partial x} + h_2 \frac{\partial}{\partial y}\right)^{(i)} f$ representeert het $i$-de orde differentiaal van $f$ . ### 6.6 Extreme waarden Een functie $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ bereikt een lokaal extremum in $\vec{a}$ als $f(\vec{x}) \leq f(\vec{a})$ (maximum) of $f(\vec{x}) \geq f(\vec{a})$ (minimum) voor alle $\vec{x}$ in een omgeving van $\vec{a}$ . **Stelling 8.6.2 (Nodige voorwaarde voor extremum):** Als $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ afleidbaar is in $\vec{a}$ en daar een extremum bereikt, dan is $\vec{\nabla}f(\vec{a}) = \vec{0}$. Een punt waarvoor $\vec{\nabla}f(\vec{a}) = \vec{0}$ geldt, wordt een stationair punt genoemd . Voor functies $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, kan de aard van een stationair punt $\vec{a}$ worden bepaald met behulp van de tweede afgeleiden: Laat $r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\vec{a})$, $s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(\vec{a})$, en $t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\vec{a})$. **Stelling 8.6.4 (Tweede-orde test voor extremum):** Als $\vec{a}$ een stationair punt is, dan: 1. Als $s^2 - rt > 0$, bereikt $f$ geen extremum in $\vec{a}$. 2. Als $s^2 - rt < 0$ en $r < 0$, bereikt $f$ een maximum in $\vec{a}$. 3. Als $s^2 - rt < 0$ en $r > 0$, bereikt $f$ een minimum in $\vec{a}$. . Geval $s^2 - rt = 0$ is onbeslist . De **Hessiaanse matrix** van $f$ in $\vec{a}$ is: $$ H_f(\vec{a}) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(\vec{a}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(\vec{a}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}(\vec{a}) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(\vec{a}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(\vec{a}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}(\vec{a}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1}(\vec{a}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2}(\vec{a}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(\vec{a}) \end{pmatrix} $$ . De Hessiaanse matrix is symmetrisch . **Stelling 8.6.6 (Classificatie met eigenwaarden):** Als $\vec{a}$ een stationair punt is van $f$, en $H_f(\vec{a})$ heeft eigenwaarden $\lambda_1, \dots, \lambda_n$: 1. Als $H_f(\vec{a})$ een strikt positieve en een strikt negatieve eigenwaarde heeft, bereikt $f$ geen extremum in $\vec{a}$. 2. Als $H_f(\vec{a})$ enkel strikt negatieve eigenwaarden heeft, bereikt $f$ een maximum in $\vec{a}$. 3. Als $H_f(\vec{a})$ enkel strikt positieve eigenwaarden heeft, bereikt $f$ een minimum in $\vec{a}$. . --- # Impliciete functies en Lagrange-multiplicatoren Dit hoofdstuk introduceert de stelling van de impliciete functies, die het bestaan van impliciet gedefinieerde functies garandeert, en de methode van Lagrange-multiplicatoren voor het vinden van extreme waarden onder nevenvoorwaarden . ### 7.1 De stelling van de impliciete functies De stelling van de impliciete functies biedt een manier om het bestaan en de eigenschappen van functies te garanderen die impliciet worden gedefinieerd door een vergelijking, zonder dat deze expliciet hoeven te worden uitgedrukt . #### 7.1.1 Impliciet gedefinieerde functies in het vlak Beschouw een vergelijking van de vorm $f(x,y) = 0$. De verzameling punten $(x,y)$ die aan deze vergelijking voldoen, vormt een kromme $C$. Soms kan deze vergelijking worden opgelost om $y$ als een functie van $x$ te verkrijgen, $y(x)$, zodanig dat $f(x, y(x)) = 0$. Deze functie $y(x)$ wordt impliciet bepaald door de vergelijking . > **Tip:** Het is niet altijd mogelijk om $y(x)$ expliciet uit te drukken in termen van elementaire functies, zelfs als $f(x,y)$ een eenvoudig voorschrift heeft, zoals in het geval van $\sin(y) = xy$ . #### 7.1.2 Impliciet differentiëren Als we aannemen dat er een impliciet bepaalde functie $y(x)$ bestaat die voldoet aan $f(x, y(x)) = 0$ en dat $f$ en $y$ differentieerbaar zijn, dan kunnen we de kettingregel toepassen op $f(x, y(x)) = 0$: $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y(x)) + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y(x)) y'(x) = 0 $$ . Als $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y(x)) \neq 0$, kunnen we $y'(x)$ uitdrukken als: $$ y'(x) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x, y(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x, y(x))} $$ . Voor een punt $(a,b)$ waarvoor $f(a,b) = 0$ en $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$, is de afgeleide van de impliciete functie in $a$ gelijk aan: $$ y'(a) = - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)}{\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)} $$ . Met deze afgeleide kan de raaklijn aan de kromme $C$ in het punt $(a,b)$ worden bepaald met de vergelijking: $$ y = b - \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)}{\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)} (x - a) $$ . Dit proces wordt de methode van impliciet differentiëren genoemd . #### 7.1.3 Stelling van de impliciete functies in het vlak **Stelling 9.1.4 (Stelling van de impliciete functies in het vlak)** . Zij $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ en $(a,b) \in \mathbb{R}^2$. Als $f$ continu differentieerbaar is over een open bal met middelpunt $(a,b)$, $f(a,b) = 0$, en $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) \neq 0$, dan: 1. Bestaan er $\delta > 0$ en $\varepsilon > 0$ zodanig dat voor elke $x \in (a - \delta, a + \delta)$ er een unieke $y(x) \in (b - \varepsilon, b + \varepsilon)$ bestaat met $f(x, y(x)) = 0$. 2. De functie $y : (a - \delta, a + \delta) \to \mathbb{R}$, $x \mapsto y(x)$, is continu differentieerbaar. > **Opmerking 9.1.5:** > * $y(a) = b$ volgt uit de uniciteit . > * Geometrisch betekent dit dat de grafiek van $y(x)$ samenvalt met de kromme gedefinieerd door $f(x,y)=0$ in een rechthoek rond $(a,b)$ . > * Door $f(x, y(x)) = 0$ tweemaal te differentiëren, kunnen we $y''(a)$ berekenen, wat een betere benadering van de kromme oplevert dan de raaklijn . #### 7.1.4 Veralgemening naar $n+m$ variabelen Beschouw een stelsel van $m$ vergelijkingen in $n+m$ variabelen: $$ \begin{cases} f_1(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m) = 0 \\ \vdots \\ f_m(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m) = 0 \end{cases} $$ . Dit kan vectorieel worden geschreven als $\vec{F}(\vec{x}, \vec{y}) = \vec{0}$, waarbij $\vec{F} = (f_1, \dots, f_m): \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}^m$, $\vec{x} = (x_1, \dots, x_n)$ en $\vec{y} = (y_1, \dots, y_m)$ . De Jacobiaanse determinant van de functie $\vec{y} \mapsto \vec{F}(\vec{x}, \vec{y})$ voor een vaste $\vec{x}$ is: $$ \frac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(y_1, \dots, y_m)}(\vec{x}, \vec{y}) = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m} \end{pmatrix} $$ . **Stelling 9.1.6 (Stelling van de impliciete functies)** . Zij $\vec{F} : \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}^m$ continu differentieerbaar over een open bal met middelpunt $(\vec{a}, \vec{b}) \in \mathbb{R}^{n+m}$. Als $\vec{F}(\vec{a}, \vec{b}) = \vec{0}$ en $\frac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(y_1, \dots, y_m)}(\vec{a}, \vec{b}) \neq 0$, dan: 1. Bestaan er $\delta > 0$ en $\varepsilon > 0$ zodanig dat voor elke $\vec{x} \in B(\vec{a}, \delta)$ er een unieke $\vec{y}(\vec{x}) \in B(\vec{b}, \varepsilon)$ bestaat met $\vec{F}(\vec{x}, \vec{y}(\vec{x})) = \vec{0}$. 2. De functie $\vec{y} : B(\vec{a}, \delta) \to \mathbb{R}^m$, $\vec{x} \mapsto \vec{y}(\vec{x})$, is continu differentieerbaar. Om de partiële afgeleiden van $\vec{y}(\vec{x})$ te bepalen, differentiëren we $\vec{F}(\vec{x}, \vec{y}(\vec{x})) = \vec{0}$ partieel naar $x_i$ met behulp van de kettingregel: $$ \frac{\partial f_k}{\partial x_i}(\vec{x}, \vec{y}(\vec{x})) + \sum_{j=1}^m \frac{\partial f_k}{\partial y_j}(\vec{x}, \vec{y}(\vec{x})) \frac{\partial y_j}{\partial x_i}(\vec{x}) = 0 \quad \text{voor } k=1, \dots, m $$ . Dit resulteert in een lineair stelsel in $\frac{\partial y_j}{\partial x_i}(\vec{x})$, waarvan de determinant de Jacobiaanse determinant $\frac{\partial(f_1, \dots, f_m)}{\partial(y_1, \dots, y_m)}(\vec{x}, \vec{y}(\vec{x}))$ is . #### 7.1.5 Meetkundige interpretatie van de gradiënt **Stelling 9.1.8 (Gradiënt en hoogtelijn in $\mathbb{R}^2$)** . Zij $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ continu differentieerbaar over een open bal met middelpunt $\vec{a} = (a_1, a_2) \in \mathbb{R}^2$. Zij $f(x,y) = c$ de hoogtelijn van $f$ door $\vec{a}$, dus $f(a_1, a_2) = c$. Als $\nabla f(\vec{a}) \neq \vec{0}$, dan staat $\nabla f(\vec{a})$ loodrecht op de hoogtelijn $f(x,y) = c$ in $\vec{a}$. De vergelijking van de raaklijn aan de hoogtelijn $f(x,y)=c$ in $\vec{a}$ is dus: $$ \frac{\partial f}{\partial x}(a_1, a_2) (x - a_1) + \frac{\partial f}{\partial y}(a_1, a_2) (y - a_2) = 0 $$ . **Stelling 9.1.9 (Gradiënt en niveau-oppervlak in $\mathbb{R}^n$)** . Zij $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ continu differentieerbaar over een open bal met middelpunt $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$. Zij $f(\vec{x}) = c$ het niveau-oppervlak van $f$ door $\vec{a}$, dus $f(\vec{a}) = c$. Als $\nabla f(\vec{a}) \neq \vec{0}$, dan staat $\nabla f(\vec{a})$ loodrecht op het niveau-oppervlak $f(\vec{x}) = c$ in $\vec{a}$. De vergelijking van de raakruimte in $\vec{a}$ aan het niveau-oppervlak $f(\vec{x})=c$ wordt gegeven door: $$ \nabla f(\vec{a}) \cdot (\vec{x} - \vec{a}) = 0 $$ . > **Opmerking 9.1.10:** De gradiënt wijst in de richting van de grootste stijging van de functie $f$. De niveau-oppervlakken zijn loodrecht op deze richting . ### 7.2 Extreme waarden met nevenvoorwaarden: Lagrange-multiplicatoren Deze methode wordt gebruikt om de maximale en minimale waarden van een functie $f$ te vinden onder de restrictie dat de punten moeten voldoen aan een nevenvoorwaarde, uitgedrukt als een vergelijking $g(x,y) = 0$ . #### 7.2.1 De methode voor twee variabelen **Deïnitie 9.2.1** . Een functie $f(x,y)$ bereikt een lokaal maximum (of minimum) onder de nevenvoorwaarde $g(x,y) = 0$ in een punt $\vec{a} = (a_1, a_2)$ als $g(a_1, a_2) = 0$ en voor punten $(x,y)$ dichtbij $\vec{a}$ die voldoen aan $g(x,y) = 0$, geldt $f(x,y) \leq f(a_1, a_2)$ (of $f(x,y) \geq f(a_1, a_2)$). **Stelling 9.2.3** . Als $f$ en $g$ continu differentieerbaar zijn en $\nabla g(\vec{a}) \neq \vec{0}$, en $f$ bereikt een extremum onder $g(x,y)=0$ in $\vec{a}$, dan staat $\nabla f(\vec{a})$ loodrecht op de hoogtelijn $g(x,y)=0$ in $\vec{a}$. **Stelling 9.2.4 (Noodzakelijke voorwaarde voor een extremum met nevenvoorwaarden)** . Zij $f$ en $g$ continu differentieerbaar over een open bal met middelpunt $\vec{a} = (a_1, a_2)$. Veronderstel dat $\nabla g(\vec{a}) \neq \vec{0}$. Als $f$ een extremum onder de nevenvoorwaarde $g(x,y)=0$ bereikt in $\vec{a}$, dan bestaat er een getal $\lambda \in \mathbb{R}$ zodanig dat: $$ \nabla f(\vec{a}) = \lambda \nabla g(\vec{a}) $$ . Het getal $\lambda$ wordt een Lagrange-multiplicator genoemd. Om extrema te vinden, zoeken we punten $(x,y)$ die voldoen aan : $$ \begin{cases} g(x,y) = 0 \\ \exists \lambda \in \mathbb{R} : \nabla f(x,y) = \lambda \nabla g(x,y) \end{cases} $$ . Een handige manier om dit stelsel te formuleren, is door de hulpfunctie $f^*(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ te beschouwen. De punten $(x,y)$ waar $f$ mogelijk een extremum bereikt, zijn de projecties op het $xy$-vlak van de stationaire punten $(\frac{\partial f^*}{\partial x}, \frac{\partial f^*}{\partial y}, \frac{\partial f^*}{\partial \lambda}) = (0,0,0)$. Dit stelsel is : $$ \begin{cases} \frac{\partial f^*}{\partial x}(x,y,\lambda) = 0 \\ \frac{\partial f^*}{\partial y}(x,y,\lambda) = 0 \\ \frac{\partial f^*}{\partial \lambda}(x,y,\lambda) = 0 \end{cases} $$ . #### 7.2.2 Vergelijking met Lagrange-multiplicatoren in $\mathbb{R}^n$ **Stelling 9.2.8 (Noodzakelijke voorwaarde voor een extremum met nevenvoorwaarden in $\mathbb{R}^n$)** . Zij $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ en $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ continu differentieerbaar over een open bal met middelpunt $\vec{a} \in \mathbb{R}^n$. Veronderstel dat $\nabla g(\vec{a}) \neq \vec{0}$. Als $f$ een extremum onder de nevenvoorwaarde $g(\vec{x})=0$ bereikt in $\vec{a}$, dan bestaat er een getal $\lambda \in \mathbb{R}$ zodanig dat: $$ \nabla f(\vec{a}) = \lambda \nabla g(\vec{a}) $$ . Om extrema te vinden, zoeken we punten $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$ die voldoen aan: $$ \begin{cases} g(\vec{x}) = 0 \\ \exists \lambda \in \mathbb{R} : \nabla f(\vec{x}) = \lambda \nabla g(\vec{x}) \end{cases} $$ . Net als in het tweedimensionale geval, kan de hulpfunctie $f^*(\vec{x}, \lambda) = f(\vec{x}) - \lambda g(\vec{x})$ worden gebruikt. De oplossing bestaat uit het vinden van stationaire punten van $f^*$ . $$ \begin{cases} \frac{\partial f^*}{\partial x_1}(\vec{x},\lambda) = 0 \\ \vdots \\ \frac{\partial f^*}{\partial x_n}(\vec{x},\lambda) = 0 \\ \frac{\partial f^*}{\partial \lambda}(\vec{x},\lambda) = 0 \end{cases} $$ . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Implicatie | Een logische verbinding tussen twee proposities P en Q, genoteerd als P ⇒ Q, die waar is tenzij P waar is en Q onwaar is. | | Kwantor | Een symbool dat aangeeft over welke elementen van een verzameling een uitspraak gaat, zoals de universele kwantor (∀ voor alle) en de existentiële kwantor (∃ er bestaat). | | Verzameling | Een collectie van welomschreven objecten, die de elementen van de verzameling worden genoemd. | | Deelverzameling | Een verzameling A is een deelverzameling van B indien elk element van A ook een element van B is. Genoteerd als A ⊆ B. | | Unie | De vereniging van twee verzamelingen A en B, genoteerd als A ∪ B, is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren. | | Doorsnede | De doorsnede van twee verzamelingen A en B, genoteerd als A ∩ B, is de verzameling van alle elementen die tot zowel A als B behoren. | | Supremum | De kleinste bovengrens van een niet-lege, naar boven begrensde verzameling A ⊆ R. Genoteerd als sup A. | | Infimum | De grootste ondergrens van een niet-lege, naar onder begrensde verzameling A ⊆ R. Genoteerd als inf A. | | Rij | Een geordende lijst van getallen, genoteerd als (xn)n∈N+ = (x1, x2, x3, ...). | | Convergente rij | Een rij (xn) die een limiet ℓ ∈ R heeft, zodanig dat voor elke ε > 0 er een N ∈ N+ bestaat zodat |xn - ℓ| < ε voor alle n > N. | | Limiet van een functie | Voor een functie f : Rn → R en een punt ⃗a ∈ Rn, is b ∈ R de limiet als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodat |f(⃗x) - b| < ε voor alle ⃗x in het domein met 0 < ∥⃗x - ⃗a∥ < δ. | | Continuïteit | Een functie f is continu in een punt ⃗a indien de limiet van f in ⃗a gelijk is aan de functiewaarde in ⃗a, d.w.z. lim⃗x→⃗a f(⃗x) = f(⃗a). | | Afgeleide | De limiet van het differentiequotiënt van een functie f in een punt a, genoteerd als f'(a) = limh→0 (f(a+h) - f(a))/h. | | Partiële afgeleide | De afgeleide van een functie van meerdere variabelen met betrekking tot één variabele, terwijl de andere variabelen constant worden gehouden. Genoteerd als ∂f/∂xi. | | Gradiënt | Een vector van de partiële afgeleiden van een functie van meerdere variabelen, genoteerd als ∇f. Geeft de richting van de grootste stijging van de functie aan. | | Raaklijn | De lijn die de grafiek van een functie in een punt het beste benadert. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is gelijk aan de afgeleide in dat punt. | | Raakvlak | Het vlak dat de grafiek van een functie van twee veranderlijken in een punt het beste benadert. | | Integraal | De Riemannintegraal is de limiet van de Riemannsommen en vertegenwoordigt de oppervlakte onder de grafiek van een functie. Genoteerd als ∫ b a f(x) dx. | | Oneigenlijke integraal | Een integraal waarbij de integratiegrenzen oneindig zijn of waarbij de integrand onbegrensd is in het integratie-interval. | | Gammafunctie | Een functie gedefinieerd door de integraal Γ(p) = ∫+∞0 xp-1e-x dx voor p > 0. Het is een veralgemening van de faculteit. | | Hessiaanse matrix | De matrix van de tweede orde partiële afgeleiden van een functie van meerdere veranderlijken. Wordt gebruikt bij het classificeren van extreme waarden. | | Impliciete functie | Een functie die niet expliciet is gedefinieerd, maar die voldoet aan een vergelijking die meerdere variabelen betrekt. | | Lagrange-multiplicatoren | Een methode om extreme waarden van een functie te vinden onder nevenvoorwaarden, door gebruik te maken van een extra variabele (de Lagrange-multiplicator) die de gradiënten van de functies aan elkaar koppelt. |