Samenvatting.docx

# Didactische krachtlijnen en het concrete-schematische-abstracte model ### Betekenisvolle situaties * Leren dat rekenkundige probleemstellingen uit het dagelijks leven kunnen worden omgezet in een rekenkundige formule en omgekeerd. * Meer betekenis wordt verkregen indien men omzet naar een levensecht voorbeeld, wat leidt tot inzicht in de bewerking. * Betekenisvolle situaties zijn relevant voor zowel makkelijke als complexe bewerkingen. * Het verband tussen wiskunde en de realiteit, waaruit wiskunde groeit en toepasbaar is, wordt "verwiskundigen" genoemd. * Verwiskundigen van een situatie kan wel leiden tot informatieverlies. * De relatie met de realiteit is nodig om een probleem juist op te lossen. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt de motivatie. * Leerlingen leren problemen analyseren door levensechte situaties te vertalen naar wiskundeproblemen (bv. hoe laat vertrekken om trein te halen?). * Leerlingen ontdekken het praktische en maatschappelijke nut van wiskunde. * Bieden inzicht voor het verwerven van wiskundige begrippen, zowel bij inoefenen, verwerking als evaluatie. ### Concreet – Schematisch – Abstract (CSA-model) #### Concrete fase * Aanschouwelijke voorstelling die herkenbaar is voor de leerling als hulpmiddel voor inzicht. * Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden en meerdere zintuigen aanspreken. * Voorbeelden: MAB-materiaal in positietabel, ongestructureerd en/of gestructureerd materiaal, natura-materiaal (knopen, lego, eieren). * Materiaal staat in plaats van andere werkelijkheid. * Concrete voorstellingen evolueren naar meer gestructureerde voorstellingen, waarbij uiterlijke kenmerken beperkt worden (bv. 1 bol staat voor 1 auto of bloem, niet het uiterlijk). * Nadruk op het hoeveelheidsaspect, niet op het uitzicht van het voorwerp. * Gestructureerd rekenmateriaal is ook concreet (bv. telraam, breukschijven). #### Schematische fase * Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces en inzicht. * Duidelijke verwijzing naar concreet materiaal met progressieve schematisering. * Voorbeelden: getallen in positietabel (ipv MAB), lijnen, tabellen, schema's, positietabel, honderdveld. * Het honderdveld toont patronen in rangorde (horizontaal eenheden, verticaal tientallen). * Kan leiden tot fouten bij het tellend rekenen (bv. niet herkennen van tellen met sprongen). #### Abstracte fase * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de leerling de betekenis moet kennen. * Geen concreet materiaal of schematische voorstelling meer nodig. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) toont een oefening op alle drie de niveaus. ### Aandachtspunten --- * Wiskundige problemen kunnen worden omgezet naar formules en vice versa, wat meer inzicht geeft. * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en tonen het praktisch nut van wiskunde. * Vertalen van levensechte situaties naar wiskundeproblemen helpt bij de analyse. * Wiskunde groeit uit de realiteit en is erin toepasbaar. * Gebruik van tastbaar, manipuleerbaar materiaal dat de werkelijkheid voorstelt. * Materiaal kan ongestructureerd (natura) of gestructureerd (bv. MAB-materiaal) zijn. * Focus op de hoeveelheid, niet zozeer op de uiterlijke kenmerken van het voorwerp. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, MAB-materiaal in een positietabel. * Voorstellen van de werkelijkheid via tekeningen, schema's en stappenplannen. * Duidelijke verwijzing naar de concrete fase met progressieve schematisering. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * Honderdveld toont structuren en rangorde, maar kan tegenintuïtief zijn (grotere hoeveelheid lager getal). * Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Triplecodemodel: oefening eerst concreet, dan schematisch, met de abstracte notatie erbij. * Consequente verwoording is cruciaal in alle fasen. ### Aandachtspunten CSA-model en Galperin * Leerkracht moet nagaan of leerlingen alle drie de niveaus begrijpen. * Differentiatie en remediëring zijn belangrijk voor leerlingen die moeite hebben. * Leerlingen moeten zelf initiatief nemen en zelfredzaamheid tonen. #### Handelingsniveaus van Galperin * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden onmiddellijk. * **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** Denkwerk is volledig intern. ### Inzichtelijke aanpak * Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen. * Meer vertrouwen in eigen redeneringsvermogen en mogelijkheid om terug te vallen op inzicht. * Nieuwe begrippen kaderen in de leerlijn en activeren voorkennis. ### Belang van correct wiskundig verwoorden ### Functies van getallen ### Talstelsels ### Getalverzamelingen ### Breuken ### Kommagetallen ### Procenten ### Veelvouden en delers ### Basisbegrippen en rekenmethodes ### Optellen en aftrekken ### Vermenigvuldigen en delen --- ### Concreet-schematisch-abstract (CSA) model * **Concrete fase**: * Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Aanschouwelijke voorstellingen die herkenbaar zijn voor leerlingen. * Diverse materialen zoals knopen, lego, eieren, voedsel kunnen gebruikt worden. * Materialen staan in plaats van de werkelijkheid. * Focus op het hoeveelheidsaspect, niet het uitzicht van het voorwerp. * Materiaal evolueert naar meer gestructureerde rekenmaterialen (bv. MAB-materiaal, telraam). * **Schematische fase**: * Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. * Afbeeldingen evolueren van werkelijkheid naar 'in plaats van' (kruisjes, bollen) naar gestructureerd rekenmateriaal. * Nadruk op structuur en rangorde in getallen (horizontaal en verticaal). * **Abstracte fase**: * Gebruik van symbolen, tekens en getallen. * Leerlingen moeten de betekenis van de symbolen kennen. * Oefeningen worden zonder concreet of schematisch materiaal uitgevoerd. * **Triple Code Model**: * Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met de abstracte notatie bij beide fasen getoond. * Consistente verwoording is cruciaal in alle drie de fasen. ### Aandachtspunten bij het CSA-model * Leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt. * Differentiëren en remediëren is essentieel. * Leerlingen moeten initiatief nemen en zelfredzaam zijn. ### Handelingsniveaus van Gal'perin * **Materieel handelen**: Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen. * **Perceptueel handelen**: Handelen enkel via waarneming, zonder manipulatie. ### Automatiseren – memoriseren ### Inductief werken --- ### Kernidee * De didactische krachtlijnen benadrukken het belang van betekenisvolle situaties en het verband tussen wiskunde en de realiteit. * Het concrete-schematische-abstracte (CSA) model is een leidraad voor het aanleren van wiskundige begrippen en vaardigheden. * De fases van het CSA-model ondersteunen een geleidelijke opbouw van inzicht, van tastbaar naar symbolisch. ### Belangrijke aspecten van betekenisvolle situaties * Wiskundige probleemstellingen kunnen worden omgezet naar formules en omgekeerd, wat leidt tot meer inzicht. * Leerlingen ontdekken het praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde. * Levensechte situaties helpen bij het analyseren van problemen en het vertalen naar wiskundige concepten. ### Concrete fase (CSA-model) * Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen met tastbare voorwerpen ter ondersteuning van inzicht. * Gebruik van ongestructureerd en/of gestructureerd materiaal dat de werkelijkheid (verv)angt. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, MAB-materiaal, telraam. * Nadruk ligt op het hoeveelheidsaspect, niet op het uiterlijke kenmerk van het voorwerp. ### Schematische fase (CSA-model) * Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen en het denkproces te ondersteunen. * Illustreert patronen in rangorde, zoals horizontale eenheden en verticale tientallen. ### Abstracte fase (CSA-model) * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis voor de leerling cruciaal is. * De oefening wordt voorgesteld zonder concreet materiaal of schematische voorstelling. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) wordt consequent toegepast bij het aanleren van bewerkingen. * De leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt. * Differentiëren en remediëren is essentieel, met aandacht voor de opbouw in materiaalkeuze. ### Handelingsniveaus van Galperin * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal en dit onmiddellijk verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen door waarneming, zonder direct manipuleren. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden hoe een oefening wordt opgelost. * **Mentaal handelen:** Het denkwerk vindt volledig plaats in het hoofd. ### Gebruik van verhoudingstabellen ### Getalverzamelingen en getalbegrip ### Kenmerken van deelbaarheid ### Rekenen: basisbegrippen en methodes --- * Het concrete-schematische-abstracte (CSA) model is een didactische krachtlijn die het leerproces van wiskundige begrippen begeleidt. * Dit model bevordert inzicht door leerlingen door opeenvolgende fases te laten doorlopen: van tastbare voorwerpen naar symbolen. ### Concrete fase * Leerlingen hanteren tastbare voorwerpen (natura of MAB-materiaal) die de werkelijkheid voorstellen. * Het accent ligt op het manipuleren en zintuiglijk waarnemen om het begrip te vatten. * Voorbeelden zijn knopen, LEGO, eieren of eten als concrete representatie. * Materiaal evolueert van ongestructureerd naar gestructureerd, waarbij de hoeveelheid belangrijker wordt dan het uiterlijk. ### Schematische fase * Leerlingen gebruiken tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. * Er is een duidelijke verwijzing naar het concrete, met een progressieve abstractie. * Voorbeelden zijn getallenlijnen, tabellen, positietabellen, honderdvelden en rekentabellen. * Focus ligt op de structuur en de opbouw van getallen. ### Abstracte fase * Leerlingen werken met symbolen, tekens en getallen, waarbij ze de betekenis moeten kennen. * Deze fase vindt plaats zonder concreet materiaal of expliciete schematische voorstelling. * Het triplecodemodel (concreet, schematisch, abstract) toont oefeningen in alle drie de fasen. ### Aandachtspunten en handelingsniveaus * De leerkracht moet nagaan of leerlingen alle drie de niveaus begrijpen en waar nodig differentiëren of remediëren. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) beschrijven de ontwikkeling van inzicht. * Inzichtelijke aanpak: leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de redenering. * Regelmatig herhalen, vooral bij abstracte begrippen, bevordert transfer en verankering. * Correct wiskundig verwoorden is cruciaal voor de brug tussen manipulatie en abstract werken. ### Getalbegrip en talstelsels * Functies van getallen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding) moeten met de juiste context worden aangeboden. * Het tientallig talstelsel wordt systematisch aangebracht met aandacht voor groepering per tien (MAB, positietabel). * Romeinse en twintigtallige (Maya's) talstelsels worden aangeboden als alternatieve systemen. * Natuurlijke, gehele (met negatieve getallen), rationale (breuken, kommagetallen) en reële getallen worden progressief aangeboden. * Breuken worden aangeboden via het CSA-model, beginnend met concrete situaties van eerlijk verdelen. * Belangrijke verschijningsvormen zijn breuk als resultaat van verdeling, operator, getal, verhouding en kans. * Gelijkwaardige breuken en breuken vereenvoudigen worden inzichtelijk aangeboden via het breukenmuur of strokenmodel. --- # Het breukbegrip en de verschillende verschijningsvormen ### Kernidee * Het breukbegrip is een fundamenteel concept in de wiskunde dat vaak een struikelblok vormt voor leerlingen. * Breuken vertegenwoordigen een deel van een geheel, wat een abstract begrip is dat niet altijd aansluit bij het natuurlijke getalbegrip. * Het begrijpen van breuken vereist een geleidelijke opbouw via het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract). ### Sleutelconcepten * **De breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** Een situatie waarin een verdeling leidt tot een breuk als uitkomst. * **Deel van 1 geheel:** Het geheel wordt opgedeeld in gelijke delen (bv. een pizza in 4 gelijke stukken, elk kind krijgt 1/4). * **Gelijkheid van oppervlakte:** Gelijkheid van delen is gebaseerd op oppervlakte, niet noodzakelijk op vorm. * **Discontinu materiaal:** Verdeling van aantallen (bv. 30 eieren verdelen onder 5 personen, elk krijgt 6 eieren of 1/5 deel). - **De breuk als deel van meer dan 1 geheel:** Wanneer het geheel zelf groter is dan één (bv. 3 pizza's verdelen onder 4 kinderen, elk kind krijgt 3/4 van een * Dit kan leiden tot onechte breuken. * **De breuk als operator:** De breuk bepaalt de verdeel- en neem-handeling. * Vereist vaste denkstappen: wat is het geheel, hoeveel gelijke delen zijn er (noemer), hoeveel delen neem je (teller). * **De breuk als getal:** Loskoppelen van de concrete situatie, resulterend in een rationaal getal. * De breukstreep is een deelteken ($\frac{a}{b}$ is $a \div b$). * Echte breuken resulteren in kommagetallen kleiner dan 1. * **De breuk als verhouding:** Vergelijking van een deel met het totaal, waarbij exacte getallen minder belangrijk zijn dan de vergelijking (bv. "1 op 3 bussen"). * **De breuk als kans:** De verhouding van het aantal gunstige mogelijkheden tot het totale aantal mogelijkheden. ### Belangrijke aandachtspunten * **CSA-model:** Concreet materiaal, schematische voorstellingen en abstracte notatie moeten consequent worden toegepast. * **Verhoudingstabel:** Een nuttig hulpmiddel om verhoudingen en percentages te visualiseren en te berekenen. * **Vakterminologie:** Het correct gebruiken en begrijpen van termen als breuk, teller, noemer, geheel. * **Misconcepties ("Natural number bias"):** Leerlingen passen eigenschappen van natuurlijke getallen toe op breuken, wat leidt tot fouten (bv. denken dat $\frac{1}{5} > \frac{1}{3}$ omdat 5 > 3). * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen, belangrijk voor vereenvoudiging en vergelijking. * **Vereenvoudiging van breuken:** Het vinden van de meest vereenvoudigde vorm door delers te zoeken. * **Vergelijken van breuken:** Vereist strategisch denken, vaak door ze gelijknamig te maken of te vergelijken met 1 geheel of de helft. ### Verschijningsvormen van breuken * **Als resultaat van een verdeelsituatie:** * Deel van 1 geheel (bv. $\frac{1}{4}$ pizza). --- * Breuken vertegenwoordigen een deel ten opzichte van een geheel. * Het correct plaatsen van breuken in de juiste context is cruciaal voor begrip. ### Belangrijke feiten * Breuken zijn vaak een struikelblok omdat ze niet natuurlijk aanvoelen als gehele getallen. * Het cijfergebruik bij breuken is hetzelfde als bij natuurlijke getallen, wat tot misconcepties kan leiden. * Het "natural number bias" treedt op wanneer leerlingen eigenschappen van natuurlijke getallen onterecht toepassen op breuken. * Het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract) is essentieel voor het aanleren van breuken. * De breukstreep kan horizontaal of schuin voorkomen; beide moeten herkend worden. * Breuken kunnen geherstructureerd worden (bv. 3 keer 1 kwart is driekwart). * Bij alle breukbewerkingen zijn dezelfde denkstappen nodig: deel ten opzichte van het geheel. ### Belangrijke concepten * **Breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** Situaties waarin een deling leidt tot een breuk. * **Deel van 1 geheel:** Geheel wordt verdeeld in gelijke delen (bv. pizza, strook). * **Deel van meer dan 1 geheel:** Meerdere gehelen worden verdeeld (bv. 3 pizza's voor 4 kinderen). * **Breuk als operator:** De breuk bepaalt de verdeelhandeling en het nemen van delen. * Lezen als "... van de ... gelijke delen van het geheel." * Handelen met continu en discontinu materiaal. * Vaste opeenvolging van denkstappen: Wat is het geheel? Hoeveel delen? Hoeveel is 1 deel? Hoeveel delen neem je? Hoeveel heb je totaal? * **Breuk als getal:** De breuk wordt losgekoppeld van de concrete situatie en wordt een rationaal getal. * Resultaat van een deling (teller = deeltal, noemer = deler). * Echte breuken leiden tot een kommagetal kleiner dan 1. * Aanduiden op een getallenas, uitgaande van de maateenheid 1 als geheel. * **Breuk als verhouding:** Vergelijking van deel tot totaal aantal, waarbij exacte getallen minder belangrijk zijn dan de verhouding. * Gebruik van verhoudingstabellen om deel en geheel te onderscheiden. * Voorbeelden: schaal, kans, verhouding in mengsels. * **Breuk als kans:** Verhouding van het aantal "gunstige mogelijkheden" tot het "totaal aantal mogelijkheden". * Moeilijk te relateren aan de realiteit bij kleine aantallen; benadert de breuk bij veel herhalingen. ### Implicaties ### Tip --- * Breuken zijn essentieel voor het begrijpen van verhoudingen en het kwantificeren van delen van een geheel. * Het begrijpen van breuken vereist een overgang van concrete situaties naar abstracte wiskundige notaties. * Het breukbegrip is een struikelblok voor veel leerlingen omdat breuken geen natuurlijke getallen zijn. * De componenten van een breuk zijn de teller (boven de breukstreep), de noemer (onder de breukstreep) en de breukstreep zelf. * Breuken kunnen worden voorgesteld als het resultaat van een verdeelsituatie, als operator, als getal, als verhouding, of als kans. * Bij het werken met breuken is het essentieel om consequent te verwijzen naar het geheel. * **Breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** * Situaties waarin een verdeling leidt tot een breuk. * Het geheel wordt verdeeld in gelijke delen. * Voorbeelden: een pizza verdelen onder kinderen, een hoeveelheid eieren verdelen. * Bij continu materiaal (bv. een strook) kunnen de delen willekeurig gelijk worden gemaakt. * Bij discontinu materiaal (bv. eieren) zijn de mogelijke verdelingen beperkter. * **Breuk als deel van meer dan 1 geheel:** * Situaties waarin de breuk een hoeveelheid vertegenwoordigt die groter is dan het geheel. * Voorbeeld: 3 pizza's verdelen onder 4 kinderen, wat leidt tot de breuk $\frac{3}{4}$ per kind. * Dit concept leidt tot onechte breuken. * **Breuk als operator:** * De breuk bepaalt de verdeelhandeling en het nemen van delen. * De breuk wordt gelezen als '... van de ... gelijke delen van het geheel'. * Vereist een vaste opeenvolging van denkstappen: bepalen van het geheel, bepalen van de noemer, bepalen van 1 deel, bepalen van de teller. * **Breuk als getal:** * De breuk wordt losgekoppeld van de concrete situatie en beschouwd als een rationaal getal. * De breukstreep kan worden gelezen als een deelteken. * Echte breuken resulteren in een decimaal getal kleiner dan 1. ### Veelvoorkomende valkuilen --- * Breuken vertegenwoordigen een deel ten opzichte van het geheel. * Het begrip breuk is een struikelblok voor leerlingen omdat het niet direct een natuurlijk getal is. * Er zijn verschillende verschijningsvormen van breuken die elk een specifieke interpretatie vereisen. ### Kernfeiten * Breuken hebben abstracte begrippen zoals deel, geheel, teller, noemer en breukstreep. * Het concept van het "geheel" is cruciaal voor het begrijpen van breuken. * Leerlingen vertonen vaak "natural number bias" waarbij ze breuken vergelijken op basis van hun natuurlijke getal eigenschappen. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het aanleren van breukbegrip. * De horizontale breukstreep is de standaardnotatie, hoewel de schuine breukstreep ook herkend moet worden. * Breuken kunnen worden voorgesteld als een deel van één geheel, een deel van meer dan één geheel, een operator, een getal, een verhouding, of een kans. * **De breuk als resultaat van een verdeelsituatie:** * Focus op het eerlijk verdelen van een geheel in gelijke delen. * Onderscheid tussen continu materiaal (pizza) en discontinu materiaal (eieren). * De teller en noemer worden geïntroduceerd na vele concrete en schematische voorstellingen. * Bij de verdeling van meerdere gehelen ontstaan onechte breuken. * **De breuk als operator:** * Oefeningen vereisen een vaste opeenvolging van denkstappen: wat is het geheel, in hoeveel delen is het verdeeld (noemer), hoeveel delen neem je (teller). * Kan toegepast worden op continue, discontinue hoeveelheden en getallen. * Onechte breuken worden ook als operator gebruikt. * **De breuk als getal:** * Losgekoppeld van de concrete situatie; een rationaal getal. * Equivalent aan een deling (teller gedeeld door noemer). * Kan worden voorgesteld op een getallenas. * Vereist beheersing van de breuk als operator. * **De breuk als verhouding:** ### Tip: Het belang van het geheel ### Tip: Verschillende modellen --- ## Breukbegrip en de verschillende verschijningsvormen * Breuken vormen een overgang van natuurlijke getallen naar rationele getallen. * Het breukbegrip is essentieel voor het begrijpen van verhoudingen en delen van een geheel. * Breuken kennen verschillende verschijningsvormen die een correcte interpretatie vereisen. * **Breuk als deel van 1 geheel:** Het geheel wordt opgedeeld in gelijke delen. * `½` betekent 1 van de 2 gelijke delen van een geheel. * Gelijkmatige verdeling is cruciaal, niet noodzakelijk gelijke vormen. * **Breuk als deel van meer dan 1 geheel:** Dit leidt tot onechte breuken of gemengde getallen. * `¾` kan betekenen 3 gedeeld door 4, waarbij 3 gehelen worden verdeeld. * Meerdere manieren van verdelen kunnen tot hetzelfde resultaat leiden. * **Breuk als operator:** De breuk bepaalt de verdeelhandeling. * De breuk bepaalt de verdeelhandeling en het aantal te nemen delen. * Dit vereist een vaste opeenvolging van denkstappen: geheel, noemer, teller. * **Breuk als getal:** Losgekoppeld van concrete situaties, een rationaal getal. * De breukstreep is een deelteken; de breuk is het resultaat van een deling. * Echte breuken (`< 1`) worden als kommagetal of op een getallenas voorgesteld. * **Breuk als verhouding:** Vergelijking van deel tot totaal, niet altijd exacte getallen. * Gebruikt in schaal, kansberekening, mengsels, en onderzoeksresultaten. * Verhoudingstabellen helpen bij het onderscheiden van delen en gehelen. * **Breuk als kans:** Verhouding van gunstige mogelijkheden tot het totaal aantal mogelijkheden. * Relatie tot realiteit wordt pas duidelijk na veel herhalingen (vb. dobbelsteenworpen). ### Soorten breuken * **Stambreuken:** Breuken met teller 1, de eerste breuksoort die leerlingen leren. * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken met dezelfde waarde, visueel te ontdekken met breukmaterialen. * Vereenvoudigen van breuken leidt tot de meest vereenvoudigde (onvereenvoudigbare) breuk. * **Ongelijknamige breuken:** Vereisen gelijknamig maken voor vergelijking en bewerkingen. * Vergelijken met behulp van ankerpunten (geheel, helft) of door gelijknamig te maken. ### Didactische aandachtspunten --- # Basisbewerkingen: optellen en aftrekken ### Kernidee * Betekenisvolle situaties maken rekenkundige problemen relevanter en verhogen de motivatie van leerlingen. * De overzetting van een realistische situatie naar een wiskundige formule en omgekeerd, versterkt het inzicht in de bewerking. ### Belangrijke feiten * Betekenisvolle situaties kunnen zowel eenvoudige als complexe bewerkingen ondersteunen. * De relatie met de realiteit is nodig om een probleem correct op te lossen en wiskundig inzicht te verwerven. * De leefwereld van leerlingen betrekken verhoogt hun motivatie en laat hen het nut van wiskunde ontdekken. * Het vertalen van levensechte situaties naar wiskundeproblemen helpt bij het analyseren van problemen. * Materiaal staat in plaats van een andere werkelijkheid en kan tastbaar en zintuiglijk worden ingezet. * Concrete voorstellingen evolueren naar meer gestructureerde voorstellingen die zich meer focussen op de hoeveelheid. * Abstracte fase maakt gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) wordt consequent toegepast bij het aanbrengen van bewerkingen. * Differentiatie en remediëring zijn cruciaal om ervoor te zorgen dat elke leerling de verschillende niveaus begrijpt. * Leerlingen moeten zelf initiatief nemen en zelfredzaamheid tonen bij het verwerven van begrip. * Het correct wiskundig verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen is fundamenteel. * Automatisatie van optellen en aftrekken tot 20 (later tot 100) en maal- en deeltafels is essentieel voor efficiënt rekenen. ### Belangrijke concepten * **Concreet niveau:** Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen met tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren. * **Schematisch niveau:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * **Abstract niveau:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis kent. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal, directe verwoording. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming, zonder fysieke manipulatie. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van de oplossingsmethode. * **Mentaal handelen:** Denkwerk volledig in het hoofd. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen in de redenering. ### Implicaties --- * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven omzetten naar wiskundige formules en vice versa om inzicht te verhogen. * De relatie tussen wiskunde en realiteit is cruciaal voor het begrijpen en oplossen van problemen. * Betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt motivatie en toont het nut van wiskunde. * **Verwiskundigen van een situatie:** Informatie kan verloren gaan bij het omzetten van een situatie naar een wiskundige voorstelling. * **Triplecodemodel (concreet – schematisch – abstract):** * **Concreet:** Tastbare voorwerpen, manipulatie, inzet van zintuigen (bv. MAB-materiaal, legoblokjes). Benadrukt hoeveelheidsaspect. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen (bv. getallenlijn, positietabel, honderdveld). Focus op gestructureerd rekenmateriaal. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Galperin's handelingsniveaus:** * Materieel handelen: Handelen met concreet materiaal en direct verwoorden. * Perceptueel handelen: Handelen via waarneming, kijken naar materialen of voorstellingen. * Verbaal handelen: Hardop verwoorden hoe de oefening is opgelost. * Mentaal handelen: Denkwerk volledig in het hoofd, zonder uitwendige verwoording. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen. * **Correct wiskundig verwoorden:** Cruciaal voor het begrijpen van oplossingsmethodes en begrippen, de brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * **Automatisering/Memoriseren:** Efficiëntie verhogen, maar steunt altijd op onderliggende inzichtelijke berekening. * **Leerlijn:** Altijd eerst inzichtelijk, gebruik van materiaal en schema's, verwoorden, tussenstappen noteren, veel oefenen. * **Inductief werken:** Van bijzondere voorbeelden naar algemene regels. * **Deductief werken:** Van de regel naar oefeningen (niet in lagere school). * **Functies van getallen:** Getal als hoeveelheid, rangorde, code, of verhouding (deel tot geheel). * **Talstelsels:** Tiendelig talstelsel (positioneel systeem), Romeins talstelsel (additief), twintigtallig stelsel (Maya's). * **Getalverzamelingen:** Natuurlijke getallen (N), gehele getallen (Z) (positieve natuurlijke getallen + negatieve getallen). * **Breuken:** Deel tot geheel, breuk als resultaat van verdeling, operator, getal, verhouding, of kans. * **Kommagetallen:** Deel van een geheel, verfijning van meetresultaten, koppeling aan geldrekenen. * **Procenten:** Verhouding ten opzichte van 100, verschillende verschijningsvormen (operator, verhouding, getal). ### Belangrijke aandachtspunten ### Tools en hulpmiddelen ### Oefenvormen en methodes --- * Wiskundige problemen kunnen worden omgezet van en naar realistische situaties om inzicht en betekenis te vergroten. * Het begrijpen van de relatie tussen wiskunde en de realiteit verhoogt de motivatie en het leerrendement. * De didactische krachtlijnen benadrukken het belang van betekenisvolle situaties om wiskundige concepten te leren. * De didactiek volgt het concreet – schematisch – abstract (CSA)-model. * **Materieel handelen:** leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden hun acties direct. * **Perceptueel handelen:** leerlingen handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** denkwerk gebeurt volledig intern, zonder verwoording of voorstelling. * Automatiseren van optellen, aftrekken tot 20 (en later tot 100), en maal- en deeltafels is essentieel. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel, als brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * Het doel is om leerlingen zelfredzaam te maken en hen de betekenis van begrippen te laten begrijpen. * **Verwiskundigen:** het proces van het omzetten van een realistische situatie naar een wiskundig probleem. * **CSA-model:** * **Concreet:** tastbare voorwerpen manipuleren, zintuigen gebruiken. * **Schematisch:** tekeningen, schema's, stappenplannen stellen de werkelijkheid voor. * **Abstract:** gebruik van symbolen, tekens en getallen. * **Triple-codemodel:** een oefening doorlopen in de concrete, schematische en abstracte fase. * **Handelingsniveaus van Galperin:** materieel handelen, perceptueel handelen, verbaal handelen, mentaal handelen. * **Inductief werken:** vertrekken van bijzondere voorbeelden naar een algemene regel. * **Deductief werken:** vertrekken van een regel naar specifieke oefeningen (minder gebruikt in lagere school). * **Functies van getallen:** getal als hoeveelheid, rangorde, code of verhouding. * **Talstelsels:** het tiendelig positional stelsel en andere systemen (bv. Romeins, twintigtallig). * **Breukbegrip:** deel ten opzichte van het geheel, als resultaat van een deling, als operator, als getal, als verhouding, als kans. * **Kommagetallen:** uitbreiding van het positional stelsel naar rechts van de eenheid. --- ### Kernconcepten - De betekenis van rekenkundige problemen uit het dagelijks leven vertalen naar wiskundige formules en omgekeerd verhoogt het inzicht. - Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt de motivatie en laat hen het praktische nut van wiskunde ontdekken. - Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model is essentieel voor het verwerven van wiskundig inzicht. ### Concreet fase - Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen met tastbare objecten die manipulatie en zintuiglijke betrokkenheid stimuleren. - Materiaal staat in plaats van de werkelijkheid, waarbij de hoeveelheid benadrukt wordt boven het uiterlijk van het voorwerp. - Voorbeelden: MAB-materiaal, legoblokjes, knopen. ### Schematische fase - Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. - Progressieve schematisering van concrete voorstellingen naar gestructureerd rekenmateriaal. - Voorbeelden: getallenlijn, positietabel, honderdveld. ### Abstracte fase - Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis ervan moet kennen. - Triple-codemodel: een oefening eerst concreet, dan schematisch en ten slotte abstract voorstellen met bijhorende notatie. ### Handelingsniveaus van Gal'perin - **Materieel handelen:** Leren door fysiek te handelen met concreet materiaal en dit onmiddellijk te verwoorden. - **Perceptueel handelen:** Leren door te waarnemen en te manipuleren via het kijken naar materiaal of voorstellingen. - **Verbaal handelen:** Leren door luidop te verwoorden hoe een oefening is opgelost. - **Mentaal handelen:** Denken vindt volledig intern plaats, zonder hoorbare verwoording of visuele voorstelling. ### Belang van correct wiskundig verwoorden - Het verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen is fundamenteel om de brug te slaan tussen manipuleren en werken zonder materiaal. - Systematisch hanteren van vaste verwoordingen helpt leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes en automatiseren. - Het correct invullen van woordbetekenissen en vakterminologie is cruciaal. ### Automatiseren en memoriseren - Optellen en aftrekken tot 20 (en later tot 100) en maal- en deeltafels moeten geautomatiseerd worden voor een kortere weg bij problemen. - Belangrijk om inzichtelijke berekeningen te behouden als ondersteuning bij geautomatiseerde bewerkingen. - Goede balans tussen oefenen op snelheid en op juistheid. ### Verhoudingstabellen - Een hulpmiddel om hoeveelheden en grootheden te vergelijken en ermee te rekenen. - Belangrijk om grootheden en eenheden te benoemen en de verhoudingstabel correct op te bouwen en te lezen. - Ondersteunt het inzicht in de betekenis van verhoudingen en helpt bij het verwoorden ervan. ### Functies van getallen - Getallen kunnen verschillende functies hebben (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding) en moeten in de juiste context geplaatst worden. ### Talstelsels ### Getalbegrip uitbreiden tot 100 ### Gehele getallen (Z) ### Rationele getallen (Breuken en kommagetallen) ### Procenten ### Veelvouden en delers ### Kenmerken van deelbaarheid ### Optellen en aftrekken ### Vermenigvuldigen en delen --- * Focus ligt op de overgang naar meer abstracte en systematische methodes voor optellen en aftrekken, met nadruk op inzicht en correcte wiskundige verwoording. * Het triple-codemodel (concreet-schematisch-abstract) blijft centraal bij het aanleren van bewerkingen. * **Differentiëring en remediëring:** Essentieel om te controleren of elke leerling de drie niveaus van het triple-codemodel begrijpt en om gerichte ondersteuning te bieden. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden hun oplossingsproces luidop. * **Mentaal handelen:** Het denkwerk gebeurt volledig intern zonder hoorbare verwoording. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen, wat leidt tot meer vertrouwen en zelfredzaamheid. * **Kaderen van nieuwe begrippen:** Nieuwe kennis plaatsen in de leerlijn, activeren van voorkennis en koppelen aan bestaande kennis bevordert verankering. * **Belang van correcte wiskundige verwoording:** * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Systematisch hanteren van vaste verwoordingen helpt bij het verwerven van oplossingsmethodes. * Vervanging van spreektaal door vaktaal, met controle op de juiste invulling van begrippen. * Fouten analyseren is een belangrijk leerproces. ### Kernfeiten * **Automatiseren:** Optellen en aftrekken tot 20 (later tot 100) en maal- en deeltafels moeten geautomatiseerd worden voor een efficiëntere aanpak van problemen. * **Leerlijn voor optellen en aftrekken:** Altijd eerst inzichtelijk aanleren met materiaal en schema's, tussenstappen noteren en terugvallen op inzichtelijke berekeningen bij problemen. * **Variatie in werkvormen:** Belangrijk om motivatie hoog te houden en een balans te vinden tussen snelheid en juistheid. * **Inductief werken:** Vertrekken vanuit concrete voorbeelden om patronen en wetmatigheden te ontdekken, om daarna tot een algemene regel te komen. * **Deductief werken:** Vertrekken van de regel en hierop oefeningen maken (minder geschikt voor lagere school). * **Inzicht bevorderen:** Regelmatig oefenen, tempo opdrijven om bewerkingen te automatiseren en antwoorden paraat te hebben. * Een sterke nadruk op het begrijpen van de **betekenisvolle situaties** achter de wiskundige bewerkingen. * De leerling moet in staat zijn om een situatie te **verwiskundigen** (omzetten naar een wiskundig probleem) en omgekeerd. * Het **leefwereld van de leerling** betrekken verhoogt de motivatie en het inzicht in het praktische nut van wiskunde. * Het **CSA-model** (Concreet – Schematisch – Abstract) biedt een duidelijke opbouw voor het verwerven van wiskundige begrippen. --- # Het aanbrengen en inoefenen van maaltafels ### Kernidee * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en het inzicht in wiskunde. * Het omzetten van dagelijkse problemen naar rekenkundige formules en omgekeerd verdiept het begrip van bewerkingen. * De leefwereld van leerlingen betrekken creëert relevantie en toont het praktische nut van wiskunde. ### Belangrijke feiten * Wiskundige denkprocessen omvatten de cyclus van het omzetten van de realiteit naar wiskunde (verwiskundigen) en omgekeerd. * Bij het verwiskundigen van een situatie kunnen essentiële informatie verloren gaan. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt hun motivatie. * Levenssituaties helpen leerlingen wiskundeproblemen te analyseren en het nut ervan te ontdekken. * Concrete, schematische en abstracte (CSA) fasen ondersteunen het leerproces van begrip tot inoefening. * **Tip:** Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) is essentieel bij het aanbrengen van nieuwe bewerkingen. ### Belangrijke concepten * **Concrete fase:** * Herkenbare, tastbare voorstellingen die manipulatie met zintuigen toelaten. * Voorbeelden: MAB-materiaal, ongestructureerd/gestructureerd materiaal, natuurlijke materialen. * Nadruk op hoeveelheidsaspect boven uiterlijke kenmerken. * **Schematische fase:** * Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * Progressieve schematisering: van afbeeldingen van de werkelijkheid naar afbeeldingen 'in plaats van' werkelijkheid (kruisjes, bollen). * Voorbeelden: getallenlijn, positietabel, honderdveld. * **Abstracte fase:** * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis ervan kennen. * Oefeningen zonder concreet materiaal of schematische voorstelling. * **Handelingsniveaus van Gal'perin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal en direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van het oplossingsproces. * **Mentaal handelen:** Volledig intern denkwerk zonder externe verwoording. ### Implicaties ### Aandachtspunten --- * Het aanleren van maaltafels verloopt in verschillende fasen: oriëntatie, reconstructie en automatisatie. * Inzicht in vermenigvuldigen en delen is cruciaal, niet enkel het memoriseren van tafels. * Het inoefenen van tafels kan op verschillende manieren om motivatie te behouden en diverse leerstijlen te ondersteunen. ### Kernfeiten * **Oriëntatiefase:** kennismaking met de begrippen vermenigvuldigen en delen, focus op inzicht en betekenis. * **Reconstructiefase:** tafels inzichtelijk opbouwen door gebruik van steunpunten en rekenstrategieën. * **Consolidatiefase:** oefenen om tot automatisatie te komen, gebruik van spelletjes en ICT. * **Uitbreidingsfase:** kennis van tafels uitbreiden naar grotere getallen en andere contexten (bv. breuken, niet-opgaande delingen). * Vermenigvuldigen wordt geïntroduceerd als herhaalde optelling, delen als verhoudingsdeling of verdelingsdeling. * De maaltafels moeten automatisch gekend zijn voor hoofdrekenen en cijferen. * Verhoudingsdeling is het aantal groepjes dat je kunt maken, verdelingsdeling is het bepalen hoe groot elk groepje is. * Bij vermenigvuldigen wordt het maalteken ($ \times $) gebruikt, bij delen het deelteken ($ \div $) of een breukstreep ($ / $). * De begrippen vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal en product (of deeltal, deler en quotiënt) worden aangeleerd. ### Kernconcepten * **Vermenigvuldigen:** herhaalde optelling, getal wordt herhaaldelijk bij zichzelf opgeteld. * Voorbeeld: $3 \times 6$ betekent 3 keer 6, of $6 + 6 + 6$. * **Delen:** * **Verhoudingsdeling:** hoe vaak past een getal in een ander getal (hoeveel groepjes). * Voorbeeld: $15 \div 3$ betekent hoe vaak past 3 in 15, of hoeveel groepjes van 3 kun je maken uit 15. * **Verdelingsdeling:** een hoeveelheid eerlijk verdelen onder een bepaald aantal. * Voorbeeld: $20 \div 5$ betekent 20 koekjes eerlijk verdelen onder 5 kinderen, hoeveel krijgt elk kind? * **Steunpunten en rekenstrategieën:** handige manieren om vermenigvuldigingen en delingen uit te rekenen zonder alles te memoriseren. * Voorbeeld: $7 \times 8$ kan uitgerekend worden als $(7 \times 5) + (7 \times 3)$. * **Modellen voor oriëntatiefase:** * **Groepjesmodel:** gebruik van concrete materialen om groepjes te vormen. * **Rechthoekmodel:** gebruik van rijen en kolommen. * **Getallenlijn:** sprongen maken om tot het resultaat te komen. ### Tips --- * Het aanleren van maaltafels moet plaatsvinden na een solide basis in optellen en aftrekken tot en met 20. * Vermenigvuldigen en delen worden geïntroduceerd als nieuwe bewerkingen, die voortbouwen op optellen en aftrekken. * Het belang van inzichtelijke aanpak en geautomatiseerde kennis van de tafels wordt benadrukt. * **Oriëntatiefase:** Eerste kennismaking met de begrippen vermenigvuldigen en delen, met focus op de betekenis. * **(Her)constructiefase:** Tafels worden inzichtelijk opgebouwd, eerst door herhaalde optelling, later door rekenstrategieën. * **Automatiseringsfase:** Oefenen om tot geautomatiseerde kennis te komen, met aandacht voor welbevinden van de leerling. * **Uitbreidingsfase:** Toepassen van tafels in complexere contexten, zoals delen met rest en combinatorische opgaven. * Vermenigvuldigen wordt geïntroduceerd als een verkorte manier van optellen. * Delen wordt op twee manieren voorgesteld: verhoudingsdeling en verdelingsdeling. * **Vermenigvuldigen:** * Herhaalde optelling. * Contexten herkennen en wiskundige notatie toepassen (bv. $3 \times 6$ of 4 keer 6). * Begrippen: vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product. * **Verhoudingsdeling:** Hoeveel groepjes van een bepaald aantal je kunt maken. * **Verdelingsdeling:** Een hoeveelheid eerlijk verdelen in een gegeven aantal gelijke delen. * Begrippen: deeltal, deler, quotient. * **Modellen voor de oriëntatiefase:** * Groepjesmodel: Sluit nauw aan bij concreet materiaal. * Rechthoekmodel: Biedt meer structuur en visualiseert de commutatieve eigenschap. * Getallenlijn: Schematische voorstelling voor sprongsgewijs tellen. * **Rekenstrategieën:** Gebruik van steunpunten en verbanden om tafels te berekenen (bv. $9 \times 7$ via $10 \times 7 - 7$). * Een te hoog lestempo of te weinig oefening kan leiden tot problemen bij hoofdrekenen en cijferen. * Focus op welbevinden en motivatie van de leerling bij het aanleren van de tafels is cruciaal. * Het belang van het inzichtelijk aanleren van de betekenis van vermenigvuldigen en delen vóór automatisatie. --- * Inzichtelijk aanbrengen van vermenigvuldigen en delen via diverse modellen en contexten. * Automatiseren van tafels door een combinatie van strategieën en herhaling. * Relatie leggen tussen inzicht en het paraat kennen van de tafels. * Maaltafels worden automatisch gekend, met ondersteuning van tussenstappen en rekenstrategieën. * De leerlijn start met optellen en aftrekken tot 20, gevolgd door getalbereik tot 100. * Vermenigvuldigen en delen worden aangepakt na het verwerven van inzicht in optellen en aftrekken. * De oriëntatiefase legt de focus op het begrijpen van de begrippen vermenigvuldigen en delen. * De (re)constructiefase bouwt de tafels inzichtelijk op, met nadruk op het verkort uitrekenen. * De consolidatiefase richt zich op het oefenen van de tafels om tot automatisatie te komen. * De uitbreidingsfase omvat vermenigvuldigen en delen boven de basis tafels, strategieën zoals splitsen en verdelen, en niet-opgaande delingen. * **Oriëntatiefase:** * Kennismaking met de begrippen vermenigvuldigen en delen. * Inzicht in de betekenis door middel van levensechte situaties. * Omzetting van spreektaal naar abstracte wiskundige notatie. * Modellen zoals het groepjesmodel, rechthoekmodel en getallenlijn worden gebruikt. * **Modellen oriëntatiefase:** * **Groepjesmodel:** Vlotte koppeling met concreet materiaal, benadrukt deelbaarheid en vermenigvuldiging. * **Rechthoekmodel:** Meer structuur, visualiseert vermenigvuldiging door rijen en kolommen. * **Getallenlijn:** Loskoppeling van concreet materiaal, toont sprongsgewijs tellen. * **(Re)constructiefase:** * Inzichtelijke opbouw van de tafels. * Gebruik van rekenstrategieën en steunpunten om verkort uit te rekenen. * Automatiseren van tafels door herhaling en spelvormen. * **Vakterminologie:** * Vermenigvuldiger, vermenigvuldigtal, product. ### Tip --- * Het aanleren van maaltafels vereist een gefaseerde aanpak die begint met inzicht in de bewerking en eindigt met automatisatie. * De didactische krachtlijnen benadrukken het belang van betekenisvolle situaties, het driedimensionale model (concreet-schematisch-abstract) en de handelingsniveaus van Galperin. * **Verwiskundigen:** Het omzetten van een reële situatie naar een wiskundige formule en vice versa, om inzicht te vergroten. * **Concreet-schematisch-abstract (CSA)-model:** * **Concreet:** Gebruik van tastbaar materiaal (bv. MAB-materiaal, lego) dat gemanipuleerd kan worden. * **Schematisch:** Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen (bv. positietabel, getallenlijn). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal, direct verwoorden. * **Verbaal handelen:** Verwoorden van de oplossing, luidop denken. * **Mentaal handelen:** Denkwerk volledig in het hoofd, zonder externe ondersteuning. * **Inzichtelijke aanpak:** Begrijpen van de betekenis van een begrip en de deelhandelingen in de redenering. * **Automatiseren:** Het vlot en paraat kennen van bewerkingen zoals optellen/aftrekken tot 20 en de maaltafels. * **Inductief werken:** Van bijzondere naar algemene regels werken, vertrekkend vanuit concrete voorbeelden. ### Sleutelfeiten * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en het inzicht van leerlingen. * Het CSA-model moet consequent toegepast worden bij het aanbrengen van bewerkingen. * Differentiatie en remediëring zijn cruciaal om ervoor te zorgen dat elke leerling de drie niveaus begrijpt. * Het correct wiskundig verwoorden van begrippen en oplossingsmethodes is fundamenteel. * Automatisering van de maaltafels gebeurt best na een grondige inzichtelijke aanpak. * Het systematisch hanteren van vaste verwoordingen helpt leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes. * Het ontdekken van patronen en wetmatigheden door inductief te werken bevordert het begrip. * De leerlijn voor optellen en aftrekken bouwt geleidelijk op van concrete tot abstracte bewerkingen, met aandacht voor verschillende rekenmethodes. * Voor vermenigvuldigen en delen is een oriëntatiefase nodig om de begrippen inzichtelijk aan te brengen, gevolgd door een reconstructieve fase voor het inoefenen van de tafels. * De didactische aanpak van maaltafels moet rekening houden met verschillende leerstijlen en tempo's. ### Werkvormen en materialen ### Aandachtspunten bij aanbreng maaltafels --- # Eigenschappen van bewerkingen ### Kernidee * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven omzetten naar wiskundige formules en vice versa verhoogt het inzicht in bewerkingen. * De koppeling tussen wiskunde en de realiteit is essentieel voor zowel het begrip als de toepassing ervan. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen vergroot hun motivatie en laat hen het praktisch nut van wiskunde ontdekken. ### Sleutelbegrippen * **Verwiskundigen:** Het proces waarbij informatie uit een levenschte situatie wordt vertaald naar een wiskundig probleem, waarbij informatie verloren kan gaan. * **Concreet – Schematisch – Abstract (CSA-model):** Een didactisch model dat de opbouw van inzicht in leerinhouden beschrijft. * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstellingen met tastbare, manipuleerbare voorwerpen die zintuigen prikkelen. * Gebruik van natura-materiaal of materialen die de werkelijkheid vervangen (bv. knopen, lego). * Nadruk op hoeveelheidsaspect, minder op uiterlijke kenmerken. * Gestructureerd concreet materiaal (bv. MAB-materiaal, telraam). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * Progressieve schematisering met afbeeldingen uit de werkelijkheid, 'in plaats van' werkelijkheid (kruisjes, bollen), of gestructureerd rekenmateriaal. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de leerling de betekenis ervan kent. * **Handelingsniveaus van Galperin:** Focust op de rol van handelen en verwoorden bij het verwerven van inzicht. * **Materieel handelen:** Leren door te handelen met concreet materiaal en dit direct te verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming, waarbij materiaal (nog) gemanipuleerd wordt terwijl ernaar gekeken wordt. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig intern, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen, wat leidt tot meer vertrouwen en zelfredzaamheid. * **Correct wiskundig verwoorden:** Essentieel voor het overbruggen van de kloof tussen manipuleren en werken zonder materiaal, en het overschakelen van spreektaal naar vaktaal. ### Aandachtspunten * **Differentiatie en remediëring:** Essentieel om na te gaan of elke leerling de drie niveaus van het CSA-model begrijpt en om ondersteuning te bieden waar nodig. * **Zelfredzaamheid:** Stimuleren van leerlingen om zelf initiatief te nemen en hun eigen oplossingsmethoden te ontwikkelen. * **Herhaling:** Regelmatig herhalen, vooral bij abstracte begrippen, bevordert transfer. * **Opbouw in materiaalkeuze en handelingniveaus:** Zorg voor een duidelijke progressie in de gebruikte materialen en de handelingsniveaus. --- * De didactische krachtlijnen rond betekenisvolle situaties benadrukken de connectie tussen wiskunde en de realiteit. * Situaties uit het dagelijks leven vertalen naar wiskundige formules en omgekeerd verhoogt het inzicht en de motivatie van leerlingen. * De CSA-aanpak (concreet – schematisch – abstract) wordt toegepast om wiskundige begrippen te structureren. ### Kernconcepten * **Concreet-schematisch-abstract (CSA)-model**: * **Concrete fase**: Aanschouwelijke voorstellingen, tastbare objecten, manipulatiemateriaal (bv. MAB-materiaal, legoblokjes). Benadrukt de hoeveelheid. * **Schematische fase**: Tekeningen, schema's, stappenplannen, symbolische voorstellingen van materiaal (bv. kruisjes, bollen), getallenlijnen, positietafels. * **Abstracte fase**: Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Triplecodemodel**: Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met telkens de abstracte notatie erbij getoond. * **Handelingsniveaus van Galperin**: * **Materieel handelen**: Handelen met concreet materiaal en onmiddellijk verwoorden. * **Perceptueel handelen**: Handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen**: Luidop verwoorden hoe een oefening is opgelost. * **Mentaal handelen**: Denkwerk volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording. * **Inzichtelijke aanpak**: Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen in de redenering. * **Verhoudingstabellen**: Vergelijken van hoeveelheden tussen grootheden, bij recht of omgekeerd evenredige grootheden, groeipercentages en samengestelde grootheden. * **Functies van getallen**: Getallen kunnen verschillende functies hebben (bv. als hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Talstelsels**: * Het tientallig positionalstelsel (eenheden, tientallen, honderdtallen, etc.). * Kennismaking met andere talstelsels (bv. Romeins, twintigtallig). * **Getalbegrippen**: * Natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$): Tellen en hoeveelheden. * Gehele getallen ($\mathbb{Z}$): Positieve en negatieve getallen (bv. temperaturen). * Rationale getallen: Breuken en kommagetallen. * **Breuken**: * Begrip als deel van een geheel of deel van een hoeveelheid. ### Sleutelfeiten ### Implicaties --- * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven vertalen naar wiskundige formules en omgekeerd verhoogt het inzicht in bewerkingen. * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt motivatie en toont het praktisch nut van wiskunde. ### Concreet-schematisch-abstract (CSA) model #### Concrete fase * Aanschouwelijke, herkenbare voorstellingen die manipulatie en zintuiglijke input toelaten. * Voorbeelden: MAB-materiaal in positietabel, natura-materiaal (lego, eieren). * Nadruk op het hoeveelheidsaspect, minder op uiterlijk van het voorwerp. #### Schematische fase * Vertegenwoordiging van de werkelijkheid door tekeningen, schema's en stappenplannen. * Progressieve schematisering: afbeeldingen van de werkelijkheid, afbeeldingen 'in plaats van', gestructureerd rekenmateriaal. #### Abstracte fase * Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Geen concreet of schematisch materiaal meer nodig. ### Handelingsniveaus van Galperin #### Materieel handelen * Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen. #### Perceptueel handelen * Handelen enkel via waarneming; materialen of voorstellingen bekijken. #### Verbaal handelen * Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. #### Mentaal handelen * Denkwerk is volledig intern, zonder hoorbare verwoording of zichtbare voorstelling. ### Belang van correct wiskundig verwoorden * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Vaste verwoordingen helpen bij het verwerven van oplossingsmethoden en automatiseren. * Controleer of leerlingen de juiste invulling aan wiskundige termen geven. * Fouten leren vinden is een belangrijk leerproces dat verder brengt dan direct het juiste antwoord hebben. ### Automatiseren en memoriseren * Optellen en aftrekken tot 20, maal- en deeltafels. * Kortere weg geschreven over langere weg door automatisatie. * Steunen op onderliggende, inzichtelijke berekening bij problemen. ### Inductief en deductief werken #### Inductief werken * Van bijzondere voorbeelden naar algemene regels of principes. * Patronen en wetmatigheden ontdekken en formuleren. #### Deductief werken * Vertrekken van de regel en hierop oefeningen maken (niet in lagere school). ### Functies van getallen * Getal als hoeveelheid: classificeren, tellen (synchroon, resultatief), subitizing, conservatie van hoeveelheid. ### Talstelsels #### Tiendelig talstelsel #### Andere talstelsels ### Getallenverzamelingen ### Breuken ### Kommagetallen ### Procenten ### Veelvouden en delers #### Veelvouden #### Delers ### Kenmerken van deelbaarheid ### Basisbewerkingen #### Optellen en aftrekken #### Vermenigvuldigen en delen --- * Betekenisvolle situaties creëren inzicht in de betekenis van bewerkingen door het verband tussen de realiteit en wiskundige formules te leggen. * Het concrete-schematische-abstracte (CSA) model dient als leidraad voor het aanbrengen van nieuwe leerinhouden. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) bieden een structuur voor het verwerven van inzicht. ### Belangrijke feiten * Relatie met de realiteit is nodig om problemen juist op te lossen en verhoogt de motivatie van leerlingen. * Het CSA-model is een proces waarbij leerlingen van tastbare voorwerpen naar symbolen evolueren. * **Concreet:** Gebruik van manipuleerbaar materiaal, zoals MAB-materiaal of natuurlijke voorwerpen. * **Schematisch:** Voorstellingen met tekeningen, schema's, getallenlijnen en positietabellen. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis moeten kennen. * De leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt en kan uitleggen. * Regelmatig herhalen van begrippen en vaardigheden bevordert transfer. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel voor het overbruggen van de kloof tussen manipuleren en abstract werken. * Automatisatie van basisbewerkingen (optellen/aftrekken tot 20, maal-/deeltafels) is essentieel, maar steunt op inzichtelijke berekeningen. * Inductief werken (van bijzonder naar algemeen) helpt leerlingen patronen en wetmatigheden te ontdekken. ### Kernbegrippen * **Verwiskundigen:** Het omzetten van een realiteitssituatie naar een wiskundig probleem. * **CSA-model:** * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstelling met manipuleerbaar materiaal. * **Schematisch:** Representaties zoals tekeningen, schema's, lijnen, tabellen. * **Abstract:** Gebruik van symbolen en getallen. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel:** Handelen met concreet materiaal en directe verwoording. * **Perceptueel:** Handelen enkel via waarneming van materiaal of voorstellingen. * **Verbaal:** Luidop verwoorden van het denkproces. * **Mentaal:** Denkwerk volledig in het hoofd. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen. * **Automatiseren:** Snellere uitvoering van bewerkingen door oefening. --- * De link tussen wiskunde en de realiteit waaruit wiskunde groeit en toepasbaar is, wordt "verwiskundigen" genoemd. ### Kernfeiten * Het betrekken van de leefwereld van leerlingen verhoogt motivatie en vergroot hun inzicht. * Situaties uit het dagelijks leven helpen leerlingen het praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde te ontdekken. * Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model wordt gebruikt om wiskundige begrippen aan te brengen. * **Concreet stadium:** Aanschouwelijke voorstellingen met tastbare objecten die gemanipuleerd kunnen worden. * Voorbeelden: MAB-materiaal, telraam, Lego, natuurlijke materialen (eieren, eten). * **Schematisch stadium:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * **Abstract stadium:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis moet kennen. * **Triple-codemodel:** Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met de abstracte notatie zichtbaar in beide fasen. * De leerkracht moet nagaan of elke leerling de drie niveaus (concreet, schematisch, abstract) begrijpt. * Differentiëren en remediëren zijn essentieel bij het omgaan met leerlingen die moeite hebben met de opbouw. * Het belang van het correct wiskundig verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen wordt benadrukt. * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden onmiddellijk wat ze doen. * **Perceptueel handelen:** Leerlingen handelen enkel via waarneming van materiaal of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk vindt volledig in het hoofd plaats, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * De brug slaan tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Vaste verwoordingen helpen leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes en automatiseren. * Leerlingen schakelen over van spreektaal naar vaktaal. --- # Standaardmethodes voor optellen en aftrekken ### Kernidee * Betekenisvolle situaties uit het dagelijks leven omzetten naar wiskundige formules en omgekeerd om inzicht te vergroten. * De link tussen wiskunde en de realiteit (verwiskundigen) is essentieel voor probleemoplossing en motivatie. ### Belangrijke concepten * **Concreet-schematisch-abstract (CSA)-model:** * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstelling met tastbare materialen (bv. MAB-materiaal, telraam). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, stappenplannen, getallenlijnen, tabellen (bv. honderdveld). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, met begrip van hun betekenis. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming van materiaal/voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van de oplossing. * **Mentaal handelen:** Het denkwerk volledig in het hoofd uitvoeren. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van begrippen en deelhandelingen. * **Correct wiskundig verwoorden:** Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal; overschakelen van spreektaal naar vaktaal. * **Automatiseren en memoriseren:** Kortere weg door automatisatie, steunen op onderliggende inzichtelijke berekening. * **Inductief werken:** Van bijzondere voorbeelden naar algemene regels. * **Deductief werken:** Van de regel naar specifieke oefeningen (niet in lagere school). ### Sleutelprincipes * **Betekenisvolle situaties:** Vergroten inzicht en motivatie door de relevantie van wiskunde te tonen. * **Leefwereld van leerlingen:** Betrekken van hun leefwereld verhoogt motivatie en begrip. * **Consequente verwoording:** Drie fasen (concreet, schematisch, abstract) komen aan bod bij het aanbrengen van bewerkingen. * **Differentiëren en remediëren:** Nagaan of elke leerling de drie niveaus begrijpt en gepaste ondersteuning bieden. * **Opbouw in materiaalkeuze:** De leerling moet de opbouw in het gebruik van materialen begrijpen. * **Zelfredzaamheid:** Stimuleren dat leerlingen zelf initiatief nemen. * **Vaste verwoordingen:** Systematisch hanteren helpt leerlingen oplossingsmethodes te verwerven. * **Controleren van begrip:** Nagaan of leerlingen de juiste invulling geven aan woordgebruik door betekenis te vragen. * **Foutenanalyse:** Leren waar de fout zit is een belangrijk leerproces. ### Didactische hulpmiddelen en technieken --- * De focus ligt op het ontwikkelen van inzicht in optellen en aftrekken, met een geleidelijke opbouw van concreet naar abstract. * Betekenisvolle situaties en de leefwereld van leerlingen worden gebruikt om de motivatie en het begrip te verhogen. * Het triple-codemodel (concreet, schematisch, abstract) en de handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) zijn leidend in de didactische aanpak. ### Kernfeiten * Het betrekken van levensechte situaties helpt leerlingen het nut van wiskunde te ontdekken en te waarderen. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) wordt toegepast om nieuwe leerinhouden aan te brengen. * **Concreet:** Tastbare voorwerpen en manipuleerbaar materiaal (bv. MAB-materiaal, positietabel) staan centraal voor herkenbaarheid en zintuiglijke betrokkenheid. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, stappenplannen en gestructureerd rekenmateriaal (bv. getallenlijn, honderdveld) representeren de werkelijkheid en ondersteunen het denkproces. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis ervan moeten kennen. * De drie fasen van het triple-codemodel worden consequent toegepast bij het aanbrengen van bewerkingen, getalbegrip en breuken. * Leerlingen moeten de opbouw van het materiaal begrijpen en kunnen uitleggen om de leerstof te beheersen. * De handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) stimuleren inzichtelijk begrip door zelfstandig handelen en verwoorden. * Het belang van correct wiskundig verwoorden wordt benadrukt als brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * Automatiseren van optellen, aftrekken (tot 20, later tot 100) en maal-/deeltafels is een doel, maar steunt op onderliggend inzicht. * Inductief werken (van bijzonder naar algemeen) vanuit concrete voorbeelden helpt patronen en wetmatigheden te ontdekken. ### Sleutelconcepten * **Betekenisvolle situaties:** Wiskundige problemen vertalen naar herkenbare situaties uit het dagelijks leven om inzicht te vergroten en motivatie te verhogen. * **CSA-model:** Concreet, Schematisch, Abstract; de didactische route voor het aanbrengen van nieuwe wiskundige concepten. * **Handelingsniveaus van Galperin:** Materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen als opeenvolgende stappen naar inzicht. * **Verbaliseren:** Het hardop uitleggen van het denkproces en de oplossing is cruciaal voor het verwerven van begrip en zelfredzaamheid. * **Automatiseren:** Het vlot en zonder nadenken kunnen uitvoeren van basisbewerkingen, ondersteund door inzicht. * **Inductief werken:** Leren door patronen en regels te ontdekken vanuit concrete voorbeelden. * **Triple-codemodel:** Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract voorgesteld, met het bijhorende verbale en symbolische aspect. --- * Probleemstellingen uit het dagelijks leven kunnen worden omgezet naar wiskundige formules en vice versa, wat het inzicht in bewerkingen verdiept. * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en bieden inzicht bij zowel het aanleren als inoefenen van leerinhoud. * De relatie tussen wiskunde en de realiteit ("verwiskundigen") is cruciaal voor probleemoplossing. * **Concreet-schematisch-abstract (CSA-model):** * **Concreet:** Herkenbare, tastbare voorstellingen en manipuleerbaar materiaal (bv. MAB, eieren, lego). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid voorstellen (bv. getallenlijn, positietabel, honderdveld). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Triplecodemodel:** Een oefening wordt eerst concreet, dan schematisch voorgesteld, met de abstracte notatie erbij getoond. * **Handelingsniveaus van Gal'perin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal en dit direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming, zonder manipulatie. * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden hoe een oefening is opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk volledig in het hoofd uitvoeren. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en alle deelhandelingen. * **Automatiseren/Memoriseren:** Het doel is om bewerkingen vlot te kunnen uitvoeren door herhaling, zoals optellen/aftrekken tot 20 en maal-/deeltafels. * **Inductief werken:** Vertrekken van specifieke voorbeelden naar algemene regels of patronen. * **Verhoudingstabellen:** Vergelijken van hoeveelheden tussen grootheden en rekenen daarmee, essentieel voor breuken en procenten. * **Functies van getallen:** Getallen kunnen worden geplaatst in verschillende contexten (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Talstelsels:** Het tientallig stelsel als basis, met uitbreidingen naar Romeinse en soms twintigtallige systemen. * **Getallenverzamelingen:** Focus op natuurlijke getallen, gehele getallen (inclusief negatieve getallen), breuken en kommagetallen. * **Breuken:** Begrip als deel van een geheel, resultaat van deling, operator, getal, verhouding en kans. * **Kommagetallen:** De betekenis van de cijfers na de komma, met koppeling aan maten en geld. * **Procenten:** Relatieve getallen die een verhouding tot 100 weergeven, met verschillende toepassingen. * **Veelvouden en delers:** Kenmerken van getallen en hun onderlinge relaties. * **Kenmerken van deelbaarheid:** Technieken om de deelbaarheid door bepaalde getallen te bepalen zonder volledige deling. ### Concreet-schematisch-abstract (CSA) model ### Handelingsniveaus van Gal'perin ### Aanpak van bewerkingen (optellen en aftrekken) ### Vermenigvuldigen en Delen ### Breuken ### Kommagetallen ### Procenten ### Veelvouden en Delers ### Rekenen met Natuurlijke Getallen --- * Didactische methodes bevorderen betekenisvol leren van optellen en aftrekken door de koppeling met de realiteit. * Het CSA-model (Concreet, Schematisch, Abstract) vormt de basis voor het aanleren van rekenvaardigheden. * De handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) leiden tot inzichtelijke aanpak. ### Belangrijke feiten * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en het inzicht, zowel voor makkelijke als complexe bewerkingen. * Het verwiskundigen van situaties transformeert realiteit naar wiskundige formules en omgekeerd. * Het concrete stadium maakt gebruik van tastbare voorwerpen en zintuigen. * Het schematische stadium gebruikt tekeningen, schema's en symbolen die de werkelijkheid voorstellen. * Het abstracte stadium werkt met symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel biedt een oefening eerst concreet, dan schematisch en ten slotte abstract aan. * Automatiseren van bewerkingen (tot 20, later tot 100, en tafels) versnelt het rekenproces. * Inductief werken, van concrete voorbeelden naar algemene regels, bevordert inzicht. * Deductief werken (van regel naar oefening) wordt in de lagere school vermeden. * Verhoudingstabellen worden gebruikt om hoeveelheden in verschillende grootheden te vergelijken. * Getallen hebben verschillende functies: hoeveelheid, rangorde, code, en verhouding. * Het tiendelige talstelsel is een positioneel systeem gebaseerd op groeperen per tien. * Andere talstelsels zoals het Romeinse (additief) en Maya (positioneel, twintigtallig) worden kort aangestipt. * Het leren van natuurlijke en gehele getallen (inclusief negatieve getallen via context) vormt de basis. * Breuken, kommagetallen en percentages worden als rationele getallen behandeld. ### Kernconcepten * **CSA-model**: * **Concreet**: Manipuleren van tastbare objecten (bv. MAB-materiaal, knopen, lego). * **Schematisch**: Gebruik van tekeningen, schema's, getallenlijnen, tabellen (bv. positietabel, honderdveld). * **Abstract**: Gebruik van symbolen, getallen en formules. * **Handelingsniveaus van Galperin**: * **Materieel handelen**: Handelen met concreet materiaal, direct verwoorden. * **Perceptueel handelen**: Handelen via waarneming van materialen of voorstellingen. ### Implicaties ### Veelvoorkomende valkuilen --- ### Inzicht in bewerkingen door betekenisvolle situaties * Rekenkundige probleemstellingen uit het dagelijks leven kunnen worden omgezet in rekenkundige formules en omgekeerd. * Het omzetten naar een levensecht voorbeeld verhoogt de betekenis van een bewerking. * Levenswereld van leerlingen betrekken verhoogt motivatie en biedt inzicht. * Leerlingen ontdekken praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde. * Realistische situaties helpen bij het verwerven van wiskundig begrip en bij verwerking. ### Concrete, schematische en abstracte fasen (CSA-model) * **Concrete fase:** * Aanschouwelijke, herkenbare voorstelling als hulpmiddel voor begrip of oplossingsmethoden. * Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, eten; MAB-materiaal in positietabel. * Ongestructureerd of gestructureerd materiaal, materialen staan in plaats van de werkelijkheid. * Nadruk op hoeveelheidsaspect, niet op uiterlijk van het voorwerp. * **Schematische fase:** * Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. * Duidelijke verwijzing naar de concrete fase met progressieve schematisering. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. * Getallen in positietabel benadrukken structuur en opbouw van getallen. * **Abstracte fase:** * Gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij leerlingen de betekenis moeten kennen. * Triplecodemodel: oefening eerst concreet, dan schematisch, en de abstracte notatie tonen bij beide. * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen. * **Perceptueel handelen:** Leerlingen handelen enkel via waarneming (kijken) naar materialen of voorstellingen. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. ### Belang van correct wiskundig verwoorden * Het verwoorden van oplossingsmethodes en begrippen is fundamenteel. * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. ### Automatisatie - Memoriseren ### Bewerkingen: optellen en aftrekken ### Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen --- # Gebruik van de rekenmachine in het onderwijs ### Kernidee * De rekenmachine is een didactisch hulpmiddel dat kan bijdragen aan betekenisvol wiskundeonderwijs. * Het gebruik van de rekenmachine moet aansluiten bij de drie fasen van het concreet-schematisch-abstract (CSA) model. * De rekenmachine ondersteunt het leerproces door leerlingen te laten focussen op analyse, inzicht en redeneren, in plaats van op louter computationele vaardigheden. ### Belangrijke feiten * Betekenisvolle situaties, waarin wiskunde gekoppeld wordt aan de leefwereld, verhogen de motivatie en het inzicht. * Het vertalen van realistische situaties naar wiskundige problemen (verwiskundigen) helpt leerlingen het nut van wiskunde te ontdekken. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het opbouwen van wiskundig begrip. * De concrete fase omvat tastbare voorwerpen en manipulatie, zoals MAB-materiaal. * De schematische fase maakt gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen, zoals getallenlijnen en tabellen. * De abstracte fase omvat het gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal handelen) bieden een structuur voor de opbouw van inzicht. * Correct wiskundig verwoorden is cruciaal voor het overbruggen van het gat tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Automatiseren van bewerkingen, zoals optellen en aftrekken tot 20 en maal- en deeltafels, verkort de weg naar complexere problemen. * Inductief werken, van bijzondere naar algemene regels, helpt leerlingen patronen en wetmatigheden te ontdekken. * Deductief werken, van de regel naar specifieke oefeningen, is minder geschikt voor de lagere school. ### Kernconcepten * **Verhoudingstabellen**: Hulpmiddel bij het vergelijken van grootheden en het berekenen van toenames of afnames. * **Functies van getallen**: Getallen kunnen verschillende rollen vervullen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Talstelsels**: Het tiendelig getalstelsel met zijn positiewaarde is de basis. Andere talstelsels (Romeins, Maya) verrijken het begrip. * **Getalverzamelingen**: Natuurlijke getallen, gehele getallen (inclusief negatieve getallen). * **Breuken**: Deel van een geheel, waarbij de breuk als resultaat van deling, operator, getal, verhouding of kans beschouwd kan worden. * **Kommagetallen**: Uitbreiding van het tiendelig talstelsel met cijfers na de komma, gekoppeld aan euro's, meetresultaten en breuken. * **Procenten**: Een specifieke verhouding ten opzichte van 100, die als operator, verhouding of getal kan functioneren. * **Veelvouden en delers**: Basisbegrippen voor het begrijpen van getallen en hun onderlinge relaties. * **Priemgetallen**: Natuurlijke getallen groter dan 1 die slechts twee delers hebben: 1 en zichzelf. * **Deelbaarheidskenmerken**: Hulpmiddelen om snel te bepalen of een getal deelbaar is door een ander getal. * **Berekeningswijzen**: Hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen en rekenen met de rekenmachine, elk met eigen doelen en toepassingen. ### Implicaties --- * Betekenisvolle wiskundige situaties creëren door de leefwereld van leerlingen te betrekken. * Leerlingen de praktische en maatschappelijke relevantie van wiskunde laten ontdekken. * Inzicht vergroten door te vertrekken van concrete situaties naar schematische en abstracte voorstellingen (CSA-model). * Betekenisvolle situaties verhogen de motivatie en bieden inzicht in bewerkingen. * Het omzetten van realiteit naar wiskunde (verwiskundigen) is essentieel, maar kan informatieverlies opleveren. * De concrete fase gebruikt tastbare voorwerpen en zintuigen om inzicht te verwerven. * Schematische voorstellingen gebruiken tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid representeren. * Abstracte fase omvat het gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel (concreet-schematisch-abstract) moet consistent worden toegepast bij het aanbrengen van bewerkingen. * Handelingsniveaus van Galperin (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) tonen de opbouw van begrip. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel voor de brug tussen manipuleren en werken zonder materiaal. * Automatiseren van bewerkingen (optellen, aftrekken, tafels) is nodig voor efficiënt rekenen. * Inductief werken (van bijzonder naar algemeen) helpt patronen en wetmatigheden te ontdekken. ### Belangrijke concepten * **Verwiskundigen:** Het proces van het vertalen van een reële situatie naar een wiskundige formulering. * **CSA-model:** Concreet, Schematisch, Abstract - een didactisch model voor het aanleren van wiskundige begrippen. * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstellingen, tastbare objecten (bv. MAB-materiaal, knopen). * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, lijnen, tabellen die de werkelijkheid voorstellen (bv. getallenlijn, honderdveld). * **Abstract:** Gebruik van symbolen, getallen en tekens met gekende betekenis. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** Handelen met concreet materiaal, direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** Handelen via waarneming (kijken naar materiaal). * **Verbaal handelen:** Luidop verwoorden van het denkproces. * **Mentaal handelen:** Volledig intern denkproces, zonder zichtbare verwoording. * **Inzichtelijke aanpak:** Leerlingen begrijpen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen in de redenering. * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken met dezelfde waarde maar verschillende tellers en noemers (bv. $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$). ### Gevolgen en implicaties ### Tip --- * De rekenmachine is een hulpmiddel dat kan bijdragen aan betekenisvol wiskundeonderwijs. * Het correcte gebruik van de rekenmachine vereist inzicht in de onderliggende wiskundige concepten. ### Kernfeiten * Betekenisvolle situaties verbinden dagelijkse problemen met wiskundige formules, wat inzicht vergroot. * De leefwereld van leerlingen betrekken verhoogt motivatie en toont het nut van wiskunde. * Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model biedt een didactisch kader voor leerinhouden. * Abstracte begrippen moeten gekoppeld worden aan hun betekenis. * Handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) beschrijven de opbouw van inzicht. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel voor het overbruggen van manipulatie en abstract werken. * Automatiseren van bewerkingen biedt een kortere weg maar moet steunen op inzicht. * Inductief werken (van specifiek naar algemeen) is essentieel, deductief werken is voor latere leerjaren. * Verhoudingstabellen helpen bij het vergelijken van grootheden en het berekenen van relaties. * Getallen hebben verschillende functies: hoeveelheid, rangorde, code, verhouding. * Het tientallig positiestelsel is de basis voor getalbegrip. * Negatieve getallen worden geïntroduceerd via contexten zoals temperatuur. * Breuken vereisen een goed begrip van verhoudingen (deel tot geheel). * Kommagetallen worden aangebracht via geldrekenen en maatgetallen. * Procenten worden begrepen als een verhouding ten opzichte van 100. * Veelvouden en delers zijn basisbegrippen voor bewerkingen en vereenvoudiging. * Kenmerken van deelbaarheid versnellen het rekenwerk. * Verschillende rekenmethodes (hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen, rekenmachine) hebben elk hun plaats. * Hoofdrekenen focust op flexibele en inzichtelijke methodes. * Cijferen is een standaardalgoritme voor systematische berekeningen. * Schattend rekenen vereist inzicht in afronden en bewerkingskennis. * De rekenmachine dient als controlemiddel en voor complexe opgaven. * Optellen en aftrekken worden aangebracht via handelingscontexten (veranderings-, deel-geheel-, vergelijkingssituaties). ### Voorbeelden --- * De rekenmachine dient als hulpmiddel en niet als vervanging van het rekenproces. * Integratie van de rekenmachine vereist een duidelijke didactische visie en specifieke leerdoelen. * De rekenmachine kan ingezet worden voor betekenisvolle situaties, analyse en verwerking van data. * **Functies van getallen:** * Getal als hoeveelheid (effectief tellen, één-op-éénrelatie). * Getal als rangorde (seriëren, volgorde). * Getal als code (identificatie, geen rangorde). * Getal als verhouding (deel ten opzichte van het geheel, breuken, procenten). * **Talstelsels:** * Tiendelig talstelsel: positionaliteit, groeperen per tien, MAB-materiaal, positietabel. * Andere talstelsels (Romeins, twintigtallig Maya's) voor vergelijkend inzicht. * **Breuken:** * Begrip: deel van een geheel, deel van meer dan één geheel, operator, getal, verhouding, kans. * CSA-model: concreet (vouwen, verdelen), schematisch (stroken, honderdveld), abstract (notatie). * Verschijningsvormen: resultaat van verdeling, operator, getal, verhouding, kans. * Gelijkwaardige breuken: visueel en via de hoofdeigenschap (teller en noemer vermenigvuldigen/delen met hetzelfde getal). * Vereenvoudigen: tot een onvereenvoudigbare breuk. * Vergelijken: gelijknamige breuken, gelijke tellers, verschillende tellers/noemers. * **Kommagetallen:** * Begrip: uitbreiding tiendelig stelsel, plaatswaarde na de komma. * Correct lezen en noteren (bv. "zeven komma twee" of "zevenentwintig honderdsten"). * Positietabel met tienden, honderdsten, duizendsten. * Verband met geldwaarden en meten. * **Procenten:** * Betekenis: "per honderd", verhouding tot 100. --- * De rekenmachine wordt ingezet als didactisch hulpmiddel om leerlingen te ondersteunen bij het verwerven van wiskundige concepten en vaardigheden. * Het doel is niet het vervangen van inzicht, maar het faciliteren van het leerproces door de rekenmachine in te zetten op de juiste momenten en met de juiste didactische intentie. * De rekenmachine kan helpen bij het verkennen van patronen, het uitvoeren van complexe berekeningen en het stimuleren van onderzoekend leren. * **Verhoging van motivatie:** Betekenisvolle situaties, waarbij de rekenmachine kan worden ingezet, verhogen de motivatie van leerlingen door het nut van wiskunde te tonen. * **Verkenning van patronen:** De rekenmachine maakt het mogelijk om snel veel berekeningen uit te voeren, wat helpt bij het ontdekken van patronen en verbanden. * **Ondersteuning bij complexe berekeningen:** Bij ingewikkelde berekeningen kan de rekenmachine een uitkomst bieden, waardoor leerlingen zich kunnen focussen op het wiskundig denkproces in plaats van op de rekenhandeling zelf. * **Differentiatie:** De rekenmachine kan een middel zijn om te differentiëren, waarbij leerlingen op hun eigen tempo en niveau kunnen werken. * **Toepassing van het CSA-model:** De rekenmachine kan gebruikt worden in de abstracte fase van het CSA-model, nadat het concept eerst concreet en schematisch is aangereikt. * **Verwiskundigen:** Het proces waarbij een real-world situatie wordt omgezet naar een wiskundige formule of probleemstelling. De rekenmachine kan hierbij een rol spelen bij het verkennen van de mogelijkheden. * **Didactische krachtlijnen:** Richtlijnen voor het effectief inzetten van leermiddelen, waaronder de rekenmachine, om leerlingen tot leren te laten komen. * **Handelingsniveaus van Galperin:** Een model dat de opbouw van wiskundig begrip beschrijft, van materieel handelen tot mentaal handelen. De rekenmachine kan op verschillende niveaus worden ingezet. * **Triplecodemodel:** Een didactisch model waarbij een oefening eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract wordt aangeboden. De rekenmachine past vooral in de abstracte fase. * **Inzichtelijke aanpak:** Het leerproces waarbij leerlingen de betekenis van een begrip zelf begrijpen en de redenering kunnen volgen. De rekenmachine moet dit inzicht ondersteunen, niet vervangen. * **Vakdidactische keuzes:** Leerkrachten moeten weloverwogen keuzes maken over wanneer en hoe de rekenmachine wordt ingezet, rekening houdend met de leerdoelen. * **Training van leerkrachten:** Leerkrachten hebben training nodig om de rekenmachine effectief en didactisch verantwoord in te zetten. * **Voorbereiding op vervolgonderwijs:** Het correcte gebruik van de rekenmachine op school bereidt leerlingen voor op het gebruik ervan in vervolgonderwijs en het werkveld. * **Balans tussen strategieën:** Het is cruciaal om een balans te vinden tussen het aanleren van rekenstrategieën, het automatiseren van bewerkingen en het inzetten van de rekenmachine. * **Risico op misbruik:** Zonder duidelijke richtlijnen en begeleiding kan de rekenmachine leiden tot oppervlakkig leren of het omzeilen van het leerproces. --- * Betekenisvolle situaties bevorderen wiskundig inzicht door de link met de realiteit te leggen. * Het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model biedt een gestructureerde aanpak voor het verwerven van wiskundige begrippen. * Betekenisvolle situaties motiveren leerlingen en tonen het praktisch nut van wiskunde. * Het vertalen van realistische situaties naar wiskundeproblemen en omgekeerd, verhoogt het inzicht in bewerkingen. * De concrete fase maakt gebruik van tastbare materialen die gemanipuleerd kunnen worden. * Schematische voorstellingen omvatten tekeningen, schema's en stappenplannen die de werkelijkheid representeren. * Abstracte fase maakt gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. * Het triple-codemodel houdt in dat een oefening eerst concreet, dan schematisch en ten slotte abstract wordt voorgesteld. * De leerkracht moet nagaan of leerlingen de drie niveaus begrijpen en hen ondersteunen waar nodig. * Het Galperin-model onderscheidt vier handelingsniveaus: materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen. * Inzichtelijke aanpak bevordert vertrouwen in eigen redeneringsvermogen en transfer. * Correct wiskundig verwoorden is cruciaal voor de brug tussen manipuleren en abstract werken. * Automatisatie van bewerkingen (optellen/aftrekken tot 20, maal- en deeltafels) maakt een kortere weg mogelijk. * Inductief werken vertrekt van specifieke voorbeelden om tot algemene regels te komen. * Verhoudingstabellen worden gebruikt om hoeveelheden in verschillende grootheden te vergelijken en te berekenen. * Getallen kunnen verschillende functies hebben: als hoeveelheid, rangorde, code of verhouding. * Het tientallig talstelsel is een positiestelsel waarbij groeperen per tien centraal staat. * Romeinse en Maya-talstelsels zijn alternatieve systemen met specifieke kenmerken. * Getallenverzamelingen zoals natuurlijke en gehele getallen worden behandeld, inclusief negatieve getallen. * Breuken vertegenwoordigen een deel ten opzichte van het geheel en vereisen een solide breukbegrip. * Kommagetallen breiden het plaatswaardesysteem uit naar rechts van de komma. * Procenten vertegenwoordigen een verhouding ten opzichte van 100 en komen in verschillende verschijningsvormen voor. * Veelvouden en delers vormen de basis voor concepten als kgv en ggd. * Kenmerken van deelbaarheid vereenvoudigen het bepalen van deelbaarheid door specifieke getallen. * Verschillende rekenmethodes (hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen, rekenmachine) moeten beheerst worden en de juiste keuze moet gemaakt kunnen worden. --- # Rekenen met natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken ### Kernconcepten * Betekenisvolle situaties helpen leerlingen de relatie tussen wiskunde en de realiteit te begrijpen. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het verwerven van inzicht in wiskundige begrippen. * Handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) ondersteunen de ontwikkeling van wiskundig begrip. ### Concrete fase * Aanschouwelijke, tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden, bieden inzicht. * Voorbeelden: MAB-materiaal, legoblokjes, eieren. * Materiaal staat in plaats van de werkelijkheid; het benadrukt de hoeveelheid, niet het uiterlijk. ### Schematische fase * Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. * Progressieve schematisering: van afbeeldingen van de werkelijkheid naar afbeeldingen die "in plaats van" de werkelijkheid staan (kruisjes, bollen). * Gestructureerd rekenmateriaal zoals telramen en breukschijven worden hier gebruikt. * Voorbeelden: getallenlijn, tabellen, positietabel, honderdveld. ### Abstracte fase * Gebruik van symbolen, tekens en getallen; leerlingen moeten de betekenis kennen. * Het triplecodemodel (concreet, schematisch, abstract) wordt consequent toegepast. * Belangrijk is de consistente verwoording van de drie fasen bij het aanbrengen van een bewerking. ### Aandachtspunten didactiek * Leerkracht moet nagaan of leerlingen alle drie de niveaus begrijpen. * Differentiëren en remediëren zijn cruciaal. * Leerlingen moeten zelf initiatief nemen en zelfredzaamheid tonen. ### Handelingsniveaus van Galperin * **Materieel handelen**: Direct handelen met concreet materiaal en onmiddellijk verwoorden wat men doet. * **Perceptueel handelen**: Handelen enkel via waarneming; materiaal of voorstellingen bekijken. * **Verbaal handelen**: Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen**: Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording. ### Belang van correct wiskundig verwoorden * Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal. * Vaste verwoordingen helpen leerlingen om oplossingsmethodes te verwerven. * Leerlingen schakelen over van spreektaal naar vaktaal. * Vragen naar de betekenis van gebruikte begrippen is essentieel. ### Automatiseren en memoriseren * Optellen en aftrekken tot 20 (en later tot 100), en maal- en deeltafels moeten geautomatiseerd worden. ### Inductief en deductief werken ### Talstelsels ### Getalbegrip en functies van getallen ### Gehele getallen (Z) ### Rationele getallen (Breuken en kommagetallen) ### Procenten ### Veelvouden en delers ### Basisbewerkingen (Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) --- ### Kernidee * Betekenisvolle situaties helpen leerlingen wiskundige problemen te analyseren en het nut van wiskunde te ontdekken. * Het CSA-model (concreet, schematisch, abstract) is essentieel voor het verwerven van inzicht. * Correct wiskundig verwoorden is fundamenteel om de brug tussen manipulatie en abstractie te slaan. ### Kernfeiten * **Concreet:** Gebruik tastbare voorwerpen en manipuleerbaar materiaal om begrip te vergroten. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces. * **Abstract:** Gebruik symbolen, tekens en getallen, waarbij de leerling de betekenis ervan kent. * **Triplecodemodel:** Een oefening doorloopt eerst de concrete, dan de schematische, en tenslotte de abstracte fase. * **Handelingsniveaus (Galperin):** Materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen bevorderen inzicht. * **Getallen:** Kunnen een hoeveelheid, rangorde, code of verhouding voorstellen. * **Talstelsels:** Het tiendelig positiestelsel is de basis, maar ook andere stelsels zoals het Romeinse en Maya-stelsel komen aan bod. * **Breuken:** Verkennen de breuk als deel van een geheel, operator, getal, verhouding of kans. * **Kommagetallen:** Verkennen de betekenis van de komma als scheiding tussen eenheden en tienden/honderdsten, en de koppeling met geldwaarden. * **Procenten:** Begrijpen procenten als een verhouding tot 100, met toepassingen als operator, verhouding en getal. * **Veelvouden en delers:** Systematisch noteren, kenmerken ontdekken en toepassen in situaties zoals het kleinste gemeenschappelijke veelvoud (kgv) en grootste gemeenschappelijke deler (ggd). * **Deelbaarheidskenmerken:** Vereenvoudigen het controleren van deelbaarheid zonder volledige delingen uit te voeren. * **Berekeningswijzen:** Hoofdrekenen, cijferen, schattend rekenen en rekenmachinegebruik worden aangeleerd. * **Verwiskundigen:** Het omzetten van een situatie naar een wiskundige voorstelling. * **Getalbegrip:** Het begrijpen van de verschillende functies van getallen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Breukbegrip:** Het concept van een deel van een geheel en de verschillende verschijningsvormen van breuken. * **Kommagetal:** Een getal met een decimale komma, dat een preciezere weergave mogelijk maakt. * **Percentage:** Een specifieke vorm van verhouding, uitgedrukt per honderd. * **Veelvouden:** Getallen die ontstaan door vermenigvuldiging met een natuurlijk getal. * **Delers:** Getallen waardoor een ander getal deelbaar is. * **Gelijkwaardige breuken:** Breuken die dezelfde waarde vertegenwoordigen. * **Vereenvoudigen van breuken:** Het vinden van de meest eenvoudige vorm van een breuk. ### Implicaties ### Tips ### Voorbeelden --- ### Kernideeën - Betekenisvolle situaties helpen om wiskundige problemen te begrijpen en de relatie met de realiteit te zien. - Het CSA-model (Concreet – Schematisch – Abstract) wordt gebruikt om leerinhouden aan te brengen. - Verschillende functies van getallen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding) moeten worden herkend en begrepen. - Het tiendelige talstelsel en andere talstelsels (zoals het Romeinse) worden onderzocht. - Getalbegrip wordt uitgebreid naar gehele getallen (inclusief negatieve getallen). - Breuken, kommagetallen en procenten worden ingevoerd als uitbreidingen van het getalbegrip. #### Het concreet-schematisch-abstract model (CSA) - **Concreet:** Gebruik van tastbare voorwerpen om begrip te bevorderen. - Ongestructureerd en gestructureerd materiaal (bv. Lego, MAB-materiaal). - Materiaal staat in plaats van de werkelijkheid, focus op hoeveelheid. - **Schematisch:** Gebruik van tekeningen, schema's en stappenplannen om de werkelijkheid voor te stellen. - Cijfers in een positietabel. - Getallenlijn, tabellen, honderdveld. - Abstractere voorstellingen waarbij uiterlijke kenmerken beperkt worden. - **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij leerlingen de betekenis kennen. - Concentratie op de wiskundige notatie. - **Tip:** Zorg dat leerlingen de overgang tussen de drie niveaus begrijpen. #### Handelingsniveaus van Galperin - **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct. - **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming, zonder manipulatie. - **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. - **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder externe verwoording. - **Tip:** Een inzichtelijke aanpak betekent dat leerlingen de betekenis van het begrip en de deelhandelingen snappen. #### Functies van getallen - **Getal als hoeveelheid:** Abstract aspect van tellen, 1-op-1 relatie met voorwerpen. - Synchroon tellen: tellen en aanwijzen/kijken naar voorwerpen. - Resultatief tellen: koppelen geteld aantal aan de hoeveelheid. - Besef van behoud van hoeveelheid (conservatie). #### Talstelsels #### Gehele getallen (inclusief negatieve getallen) #### Breuken #### Kommagetallen #### Procenten #### Veelvouden en delers #### Bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) --- ### Betekenisvolle situaties en het CSA-model * **Kernidee:** Wiskundige problemen uit het dagelijks leven omzetten naar formules en omgekeerd verhoogt inzicht en motivatie. * **Doel:** Leerlingen het praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde laten ontdekken. * **Concreet – Schematisch – Abstract (CSA) model:** * **Concreet:** Aanschouwelijke, manipuleerbare voorwerpen die de werkelijkheid zo herkenbaar mogelijk voorstellen. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's, getallenlijnen, tabellen die de werkelijkheid voorstellen en het denkproces ondersteunen. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de betekenis gekend moet zijn. ### Handelingsniveaus van Gal'perin * **Materieel handelen:** Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden onmiddellijk wat ze doen. * **Perceptueel handelen:** Handelen enkel via waarneming (kijken naar materialen of voorstellingen). * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig intern, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. ### Betekenis van getallen * **Getal als hoeveelheid:** Abstract aspect waarbij het getal de hoeveelheid vertegenwoordigt (resultatief tellen, subitizing, conservatie). * **Getal als rangorde:** Ordenen volgens criteria (serieel tellen, rangtelwoorden). * **Getal als code:** Identificerende functie zonder wiskundige betekenis (bv. busnummer). * **Getal als verhouding:** Deel ten opzichte van het geheel (breuken, procenten). * **Getal als maatgetal:** Een eenheid ontbreekt soms. * **Tiendelig talstelsel:** Positiesysteem waarbij groepering per tien essentieel is. * MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks) ondersteunt dit, met benamingen zoals eenheid, tiental, honderdtal. * Positietabel helpt bij het voorstellen van het tientallig stelsel. * **Andere talstelsels:** * **Romeins talstelsel:** Additief systeem met extra regels. * **Twintigtallig stelsel (Maya's):** Additief en positioneel systeem. ### Getallenverzamelingen * **Natuurlijke getallen ($\mathbb{N}$):** Gekoppeld aan tellen en hoeveelheden. * **Gehele getallen ($\mathbb{Z}$):** Natuurlijke getallen inclusief negatieve getallen, aangebracht via concrete situaties zoals temperatuur. * **Rationale getallen:** Breuken en kommagetallen. ### Breuken * **Breukbegrip:** Verhouding deel tot geheel; cruciaal om de 'natural number bias' te doorbreken. ### Kommagetallen ### Bewerkingen --- ### Concreet, schematisch en abstract (CSA-model) * **Concreet:** Aanschouwelijke voorstelling die zo herkenbaar mogelijk is voor de leerling als hulpmiddel voor inzicht. Gebruik van tastbare voorwerpen die gemanipuleerd kunnen worden. * Materiaal dat de werkelijkheid vervangt, zoals bollen die één auto voorstellen. * Voorbeelden: knopen, lego, eieren, eten. * **Schematisch:** Tekeningen, schema's en stappenplannen stellen de werkelijkheid voor en ondersteunen het denkproces en inzicht. Duidelijke verwijzing naar concreet materiaal. * Getallen in een positietabel in plaats van MAB-materiaal. * **Abstract:** Gebruik van symbolen, tekens en getallen waarbij de leerling de betekenis kent. * Triplecodemodel: een oefening eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract voorstellen. * **Perceptueel handelen:** Leren via waarneming van materialen of voorstellingen, die gemanipuleerd kunnen worden terwijl ernaar gekeken wordt. * **Verbaal handelen:** Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening oplossen. * **Mentaal handelen:** Denkwerk gebeurt volledig in het hoofd, zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * Oplossingsmethodes en begrippen verwoorden is van fundamenteel belang. * Vaste verwoordingen systematisch hanteren helpt leerlingen bij het verwerven van oplossingsmethodes. * Controleer of leerlingen de juiste invulling aan een woord geven door naar de betekenis te vragen. * **Veelvouden:** Getallen die je verkrijgt door een natuurlijk getal te vermenigvuldigen met een ander natuurlijk getal. * Elk getal is een veelvoud van zichzelf. * Alle veelvouden van 0 zijn 0. * **Delers:** Getallen waardoor een ander getal deelbaar is zonder rest. * Elk getal heeft minstens 1 en zichzelf als deler (onechte delers). * **Grootste gemeenschappelijke deler (GGD):** De grootste deler die twee of meer getallen gemeenschappelijk hebben. * Belangrijk bij het vereenvoudigen van breuken. * **Kleinste gemeenschappelijke veelvoud (KGV):** Het kleinste veelvoud dat twee of meer getallen gemeenschappelijk hebben. * Belangrijk bij het gelijknamig maken van breuken. --- * Betekenisvolle situaties linken wiskunde aan de realiteit, wat leidt tot beter begrip en hogere motivatie bij leerlingen. * Het leerproces verloopt via het concreet-schematisch-abstract (CSA)-model, waarbij abstractie geleidelijk wordt opgebouwd. * Galperin's handelingsniveaus (materieel, perceptueel, verbaal, mentaal) ondersteunen de ontwikkeling van inzicht. ### Belangrijke feiten * **Verkunnigen van situaties:** dagelijkse problemen omzetten in wiskundige formules en omgekeerd om betekenis te geven. * **Concreet:** gebruik van tastbare materialen die gemanipuleerd kunnen worden. * **Schematisch:** voorstellingen met tekeningen, schema's, stappenplannen en gestructureerd rekenmateriaal. * **Abstract:** gebruik van symbolen, tekens en getallen, waarbij de betekenis gekend moet zijn. * **Triple Code Model:** een oefening eerst concreet, dan schematisch en abstract voorstellen, met consistente verwoording op elk niveau. * **Handelingsniveaus van Galperin:** * **Materieel handelen:** handelen met concreet materiaal en dit direct verwoorden. * **Perceptueel handelen:** handelen via waarneming, zonder direct te manipuleren. * **Verbaal handelen:** luidop verwoorden hoe een oefening wordt opgelost. * **Mentaal handelen:** denken zonder hoorbare verwoording of voorstelling. * **Inzichtelijke aanpak:** leerlingen begrijpen de betekenis van begrippen en deelhandelingen. * **Correct wiskundig verwoorden:** fundamenteel voor begrip en transfer; brug tussen manipulatie en abstract werken. * **Automatiseren:** sneller en efficiënter rekenen door memoriseren van bewerkingen (optellen/aftrekken tot 20/100, maal- en deeltafels). * **Inductief werken:** van specifieke voorbeelden naar algemene regels. * **Deductief werken:** van een regel naar specifieke oefeningen (niet in lagere school). ### Belangrijke concepten * **Verhoudingstabellen:** vergelijken van hoeveelheden in verschillende grootheden, recht of omgekeerd evenredige grootheden berekenen. * Belangrijk om grootheden en eenheden te benoemen. * Herleidingen kunnen in de tabel genoteerd worden. * **Functies van getallen:** getallen kunnen verschillende rollen vervullen (hoeveelheid, rangorde, code, verhouding). * **Getal als hoeveelheid:** tellen, hoeveelheidsaspect, conservatie, reversibel denken. * **Getal als rangorde:** seriëren, telrij, rangtelwoorden. * **Getal als code:** identificatie zonder wiskundige betekenis. ### Tip ### Voorbeeld --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Betekenisvolle situaties | Contexten uit het dagelijks leven die gebruikt worden om wiskundige concepten te illustreren en te verbinden met de realiteit van leerlingen, wat leidt tot meer inzicht en motivatie. | | Verwiskundigen | Het proces van het vertalen van een situatie uit de werkelijkheid naar een wiskundig probleem of model, waarbij informatie verloren kan gaan. | | Concreet – schematisch – abstract (CSA-model) | Een didactisch model dat de opbouw van begrip in drie fasen beschrijft: eerst via tastbare voorwerpen, dan via tekeningen of schema's, en ten slotte via symbolen en getallen. | | Concrete fase | De initiële fase van het leerproces waarbij leerlingen leren met tastbare voorwerpen die ze kunnen manipuleren om wiskundige concepten te begrijpen. | | Schematische fase | De fase waarin de werkelijkheid wordt voorgesteld door middel van tekeningen, schema's en stappenplannen, wat het denkproces en inzicht ondersteunt. | | Abstracte fase | De fase waarin leerlingen werken met symbolen, tekens en getallen, zonder direct gebruik te maken van concreet materiaal of schematische voorstellingen. | | Handelingsniveaus van Galperin | Een model dat vier niveaus van handelen beschrijft: materieel, perceptueel, verbaal en mentaal handelen, om de ontwikkeling van inzicht te ondersteunen. | | Materieel handelen | Leerlingen handelen met concreet materiaal en verwoorden direct wat ze doen, waarbij ze de voorwerpen manipuleren. | | Perceptueel handelen | Leerlingen handelen enkel via waarneming, waarbij ze materialen of voorstellingen bekijken en eventueel manipuleren terwijl ze ernaar kijken. | | Verbaal handelen | Leerlingen verwoorden luidop hoe ze een oefening hebben opgelost, wat hun denkproces ondersteunt. | | Mentaal handelen | Het denkwerk vindt volledig in het hoofd plaats, zonder hoorbare verwoording of externe voorstelling. | | Inzichtelijke aanpak | Een benadering waarbij leerlingen de betekenis van een wiskundig begrip zelf begrijpen en alle deelhandelingen in de redenering snappen. | | Automatiseren – Memoriseren | Het proces waarbij wiskundige feiten en procedures, zoals de uitkomsten van maaltafels, zo goed worden geoefend dat ze zonder veel nadenken paraat zijn, wat een kortere weg biedt dan de langere, inzichtelijke berekening. | | Inductief werken | Een leermethode waarbij men vertrekt van specifieke voorbeelden en patronen om tot een algemene regel of begrip te komen, wat nuttig is bij het ontdekken van de structuur en wetmatigheden in maaltafels. | | Verhoudingstabel | Een tabel die wordt gebruikt om hoeveelheden in verschillende grootheden te vergelijken en ermee te rekenen, wat kan helpen bij het begrijpen van de relaties binnen maaltafels en de toepassing ervan in diverse contexten. | | Tiendelig talstelsel | Het getalsysteem dat gebaseerd is op groeperingen van tien, waarbij de positie van een cijfer de waarde bepaalt. Dit systeem vormt de basis voor het begrijpen van getallen en bewerkingen, inclusief maaltafels. | | MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocs) | Gestructureerd rekenmateriaal dat bestaat uit blokjes, staafjes en platen om eenheden, tientallen en honderdtallen voor te stellen, en dat gebruikt kan worden om het tiendelige talstelsel en bewerkingen zoals vermenigvuldigen te illustreren. | | Concreet | De fase waarin leerlingen leren met tastbare voorwerpen en aanschouwelijke voorstellingen die herkenbaar zijn voor hun leefwereld, om zo inzicht te verwerven in wiskundige begrippen. | | Schematisch | De fase waarin werkelijkheid wordt voorgesteld door middel van tekeningen, schema's en stappenplannen, waarbij de nadruk ligt op de essentiële kenmerken en hoeveelheidsaspecten. | | Abstract | De fase waarin leerlingen werken met symbolen, tekens en getallen, zonder directe ondersteuning van concreet materiaal of schematische voorstellingen, maar met begrip van de betekenis. | | Term | Definitie | | Concreet-schematisch-abstract (CSA-model) | Een didactisch model dat de leerontwikkeling beschrijft in drie fasen: de concrete fase (gebruik van tastbare voorwerpen), de schematische fase (gebruik van tekeningen en schema's) en de abstracte fase (gebruik van symbolen en getallen). | | Automatiseren | Het proces waarbij wiskundige bewerkingen en feiten zo geoefend worden dat ze zonder nadenken paraat zijn, wat een snellere en efficiëntere probleemoplossing mogelijk maakt. | | Triplecodemodel | Een didactische aanpak waarbij eenzelfde oefening of concept eerst concreet, dan schematisch en tenslotte abstract wordt voorgesteld, met de bijbehorende symbolische notatie in elke fase. | | Deductief werken | Een leermethode waarbij men vertrekt vanuit een algemene regel of principe en deze toepast op specifieke oefeningen; dit wordt in de lagere school minder toegepast. | | CSA-model (Concreet-Schematisch-Abstract) | Een didactisch model dat de ontwikkeling van wiskundig begrip beschrijft, beginnend met tastbare voorwerpen (concreet), via tekeningen en schema's (schematisch), naar symbolen en getallen (abstract). | | Concreet materiaal | Tastbare voorwerpen die leerlingen kunnen manipuleren om wiskundige concepten te verkennen, waarbij meerdere zintuigen worden aangesproken om inzicht te bevorderen. | | Correct wiskundig verwoorden | Het fundamenteel belang van het nauwkeurig en consequent gebruiken van wiskundige terminologie om de brug te slaan tussen manipulatie met materiaal en abstracte concepten. | | Concreet-schematisch-abstract (CSA) model | Een didactisch model dat leertrajecten opdeelt in drie fasen: de concrete fase met tastbaar materiaal, de schematische fase met tekeningen en schema's, en de abstracte fase met symbolen en getallen. Dit model bevordert een dieper wiskundig begrip. | | Functies van getallen | De verschillende rollen die getallen kunnen spelen, zoals het aanduiden van een hoeveelheid, een rangorde, een code of een verhouding. Het correct plaatsen van getallen in de juiste context is essentieel voor begrip. |