slides BMW Fysica D1H5 24-25.pdf

# Het moment van een kracht en het traagheidsmoment Dit onderdeel introduceert het concept van het krachtmoment als de oorzaak van rotatiebeweging en het traagheidsmoment als de maat voor de weerstand tegen deze rotatie. ### 1.1 Het moment van een kracht Het rotatie-effect van een kracht, gemeten als hoekversnelling, wordt bepaald door de grootte van de kracht en de afstand tussen de werklijn van die kracht en het draaipunt. Dit rotatie-effect wordt het krachtmoment genoemd [2](#page=2). #### 1.1.1 Definitie en eigenschappen van het krachtmoment Het moment van een kracht $\vec{\tau}$ met aangrijpingspunt, bepaald door de plaatsvector $\vec{r}$, is een vectoriële grootheid. De vector $\vec{\tau}$ staat loodrecht op het vlak dat door $\vec{r}$ en $\vec{F}$ wordt bepaald. De grootte van het moment wordt gegeven door $\tau = r F \sin\theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen $\vec{r}$ en $\vec{F}$. De zin van $\vec{\tau}$ wordt bepaald door de kurkentrekkerregel [3](#page=3). De dimensies van het krachtmoment zijn kracht maal afstand, en de eenheid is Newtonmeter (Nm) [3](#page=3). Wanneer we een x- en y-as in het vlak van $\vec{r}$ en $\vec{F}$ kiezen, kan de grootte van het krachtmoment ook worden uitgedrukt als het product van de kracht en de momentarm ($r_\perp$), de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht. Dus, $\tau = r_\perp F$ [5](#page=5). De vectoriële definitie van het krachtmoment is $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ [3](#page=3). Het symbool $\odot$ duidt op een vector loodrecht op het vlak van het papier, gericht naar de waarnemer toe, terwijl het symbool $\otimes$ een vector loodrecht op het vlak van het papier, gericht van de waarnemer af, aangeeft [5](#page=5). Het moment is nul als de kracht nul is, de afstand tot het draaipunt nul is, of als de kracht parallel aan de plaatsvector is ($\theta = 0^\circ$ of $\theta = 180^\circ$) [6](#page=6). #### 1.1.2 Toepassingen Een praktische toepassing is te zien bij het openen van een deur: als de afstand van het draaipunt tot het aangrijpingspunt van de kracht driemaal zo groot is ($r_A = 3r_B$), dan moet de kracht driemaal zo groot zijn ($F_B = 3F_A$) om hetzelfde rotatie-effect te verkrijgen [4](#page=4). ### 1.2 Het traagheidsmoment Bij een translatiebeweging is massa de maat voor inertie. Bij een rotatiebeweging is het traagheidsmoment, ook wel het rotationele traagheid genoemd, de maat voor de traagheid van een lichaam [7](#page=7). #### 1.2.1 De rotatie van een puntmassa rondom een vaste rotatieas Voor een puntmassa aan het uiteinde van een staaf die onder invloed van een kracht een cirkelvormige beweging maakt, wordt het krachtmoment dat verantwoordelijk is voor de hoekversnelling $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ gegeven. Volgens de tweede wet van Newton is $F = ma$. De tangentiële versnelling bij een cirkelbeweging is $a_T = R\alpha$, waarbij $\alpha$ de hoekversnelling is uitgedrukt in rad/s$^2$. De grootte van het krachtmoment is dan $\tau = rF = m R a_T = m R (R\alpha) = mR^2\alpha$ [8](#page=8). Hierin is $I = mR^2$ het traagheidsmoment van de puntmassa ten opzichte van de rotatieas. De relatie tussen krachtmoment en hoekversnelling wordt dan $\tau = I\alpha$ [8](#page=8). Voor een systeem van $n$ discrete puntmassa's rondom een vaste rotatie-as wordt het traagheidsmoment $I$ gegeven door de som van de individuele traagheidsmomenten: $$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$$ waarbij $m_i$ de massa is van de $i$-de puntmassa en $r_i$ de afstand tot de rotatie-as. Het totale krachtmoment op het systeem is dan $\sum \tau = I\alpha$ [9](#page=9). Het traagheidsmoment van een lichaam hangt af van de ruimtelijke verdeling van het systeem van puntmassa's ten opzichte van de rotatie-as [9](#page=9). #### 1.2.2 De rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as Bij de rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as, werkt een uitwendige kracht $\vec{F}$ op het lichaam met aangrijpingspunt P. Het krachtmoment is $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$. Alleen de component van het krachtmoment volgens de richting van de rotatie-as is van belang voor de hoekversnelling. Componenten van het krachtmoment die evenwijdig met de rotatie-as lopen, oefenen een torsiecomponent uit op de as en trachten deze te doen kantelen. De reactiekrachtmomenten die door lagers worden uitgeoefend, compenseren deze torsiecomponent, waardoor de as in positie blijft [10](#page=10). Het starre lichaam krijgt een ogenblikkelijke hoekversnelling $\alpha$ zodanig dat het product van deze hoekversnelling met het traagheidsmoment $I$ om de beschouwde rotatie-as gelijk is aan het krachtmoment $\tau$ uitgeoefend op het lichaam. Dit geldt ook bij meerdere krachten die in een vlak loodrecht op de rotatie-as werken: $\tau = \sum \tau_i = I\alpha$ [11](#page=11). Het traagheidsmoment $I$ van een lichaam om een as wordt algemeen berekend met de integraal: $$I = \int R^2 dm$$ waarbij $dm$ een infinitesimaal massadeeltje is en $R$ de afstand van dit deeltje tot de rotatie-as. Het traagheidsmoment hangt niet alleen af van de massa van het lichaam, maar ook van de ruimtelijke verdeling van de massa ten opzichte van de rotatie-as [11](#page=11). #### 1.2.3 Hoofdtraagheidsassen Hoofdtraagheidsassen van een lichaam, zoals het menselijk lichaam in anatomische houding, gaan door het massamiddelpunt en staan onderling loodrecht. Deze assen worden aangeduid als de longitudinale as ($H_z$), de transversale as ($H_y$) en de frontale of antero-posterior as ($H_x$). De hoofdtraagheidsmomenten voor het menselijk lichaam tonen dat $I_x$ en $I_y$ niet veel verschillen in grootte, terwijl $I_z$ beduidend kleiner is ($I_x \approx I_y \approx 14$ kg m$^2$, $I_z \approx 1$ kg m$^2$) [12](#page=12). #### 1.2.4 Berekening van traagheidsmomenten voor specifieke vormen Het traagheidsmoment van een homogene cilinder met massa $M$ en straal $R_{cil}$ om de cilinderas is $I = \frac{1}{2}MR_{cil}^2$. Een cilinder met een grotere diameter heeft een groter traagheidsmoment dan een cilinder met dezelfde massa maar een kleinere diameter [13](#page=13) [14](#page=14). Enkele belangrijke lichamen en hun traagheidsmomenten om specifieke assen zijn: * Ring met rotatieas loodrecht op het vlak van de ring: $I = MR_{ring}^2$ [15](#page=15). * Ring met rotatieas in het vlak van de ring: $I = \frac{1}{2}MR_{ring}^2$ [15](#page=15). * Volle cilinder met de as als rotatieas: $I = \frac{1}{2}MR_{cyl}^2$ [15](#page=15). * Volle cilinder met rotatieas loodrecht op de as van de cilinder, door het massamiddelpunt: $I = \frac{1}{4}MR_{cyl}^2 + \frac{1}{12}Mh^2$ [15](#page=15). * Dunwandige holle bol: $I = \frac{2}{3}MR_{bol}^2$ [16](#page=16). * Volle bol: $I = \frac{2}{5}MR_{bol}^2$ [16](#page=16). * Balk met rotatieas door het snijpunt van de diagonalen van een vlak: * As evenwijdig aan zijde $a$: $I = \frac{1}{12}M(b^2 + c^2)$ [16](#page=16). * As evenwijdig aan zijde $b$: $I = \frac{1}{12}M(a^2 + c^2)$ [16](#page=16). --- # De kinetische energie bij rotatie en rollende beweging, en het parallellas theorema Dit onderdeel behandelt de kinetische energie van roterende en rollende starre lichamen, inclusief het parallellas theorema voor het berekenen van traagheidsmomenten. ### 2.1 Kinetische energie bij rotatie Bij de beschouwing van een star lichaam in rotatie rond een vaste as in een inertieelassenstelsel, wordt het lichaam onderverdeeld in kleine massa-elementen $m_i$. Elk massa-element $m_i$ heeft een baansnelheid $v_i$. De totale kinetische energie van het roterende lichaam is de som van de kinetische energieën van alle individuele massa-elementen [24](#page=24). De relatie tussen de lineaire snelheid $v_i$ van een massa-element $m_i$ en de hoeksnelheid $\omega$ wordt gegeven door $v_i = r_i \omega$, waarbij $r_i$ de afstand is van $m_i$ tot de rotatieas. Door de limietovergang te maken waarbij het aantal massa-elementen $n$ naar oneindig gaat en de afmetingen van de elementen $m_i$ naar nul, kan de kinetische energie van het roterende lichaam worden uitgedrukt als [25](#page=25): $$K = \frac{1}{2} I \omega^2$$ [25](#page=25). Hierin is $I$ het traagheidsmoment van het starre lichaam om de betreffende rotatieas [25](#page=25). ### 2.2 Kinetische energie bij rollende beweging Een rollende beweging van een star lichaam, zoals een cilinder op een vlak oppervlak, kan op een bepaald ogenblik worden beschouwd als een rotatie om de contactas tussen het lichaam en het oppervlak. Deze contactas fungeert op dat moment als de ogenblikkelijke rotatieas. De beweging is equivalent aan een zuivere rotatie om deze contactas [26](#page=26). De kinetische energie van een rollend lichaam wordt gegeven door: $$K = \frac{1}{2} I_P \omega^2$$ [27](#page=27). waarbij $I_P$ het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van de contactas is. Met behulp van het parallellas theorema kan dit traagheidsmoment worden uitgedrukt als $I_P = I_{MM} + M R^2$, waarbij $I_{MM}$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de as door het massamiddelpunt evenwijdig aan de contactas, $M$ de massa van het lichaam is, en $R$ de straal van het lichaam is [27](#page=27). Door dit te substitueren in de formule voor kinetische energie: $$K = \frac{1}{2} (I_{MM} + M R^2) \omega^2$$ $$K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M R^2 \omega^2$$ [27](#page=27). Omdat de baansnelheid van het massamiddelpunt $v_{MM}$ gerelateerd is aan de hoeksnelheid door $v_{MM} = \omega R$, wordt de kinetische energie: $$K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ [27](#page=27). Dit betekent dat de kinetische energie van een rollend lichaam gelijk is aan de som van de kinetische energie van een zuivere rotatie om de as door het massamiddelpunt en de kinetische energie van een translatie van het massamiddelpunt. Rollen is dus een combinatie van rotatie rond het massamiddelpunt en translatie van het massamiddelpunt. Deze stelling kan worden gegeneraliseerd naar elke willekeurige beweging van een star lichaam [27](#page=27) [28](#page=28). ### 2.3 Het parallellas theorema (Regel van Steiner) Het parallellas theorema, ook bekend als de Regel van Steiner, is een methode om het traagheidsmoment van een star lichaam ten opzichte van een willekeurige as te berekenen, mits het traagheidsmoment ten opzichte van een as door het massamiddelpunt, die parallel loopt aan de willekeurige as, bekend is [21](#page=21). De stelling luidt: $$I_P = I_{MM} + M d^2$$ [21](#page=21). waarbij: * $I_P$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de willekeurige as die door punt $P$ gaat. * $I_{MM}$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de evenwijdige as door het massamiddelpunt ($MM$). * $M$ de totale massa van het lichaam is. * $d$ de afstand is tussen de twee parallelle assen. **Bewijs:** Beschouw een star lichaam opgebouwd uit massa-elementen $m_i$. Kies een assenstelsel $(O, x_1, y_1, z_1)$ met de oorsprong $O$ in het massamiddelpunt ($MM$) en de $z_1$-as evenwijdig aan de rotatieas. Kies een tweede assenstelsel $(P, x_2, y_2, z_2)$ met de oorsprong $P$ op de willekeurige rotatieas, waarbij de assen evenwijdig zijn aan de assen van het eerste stelsel. Laat de coördinaten van $P$ ten opzichte van $O$ in het $x_1,y_1$-vlak $(a, b)$ zijn. De afstand $d$ tussen de assen is dan $d^2 = a^2 + b^2$. Voor een massa-element $m_i$ met coördinaten $(x_{2i}, y_{2i})$ ten opzichte van de as door $P$, en $(x_{1i}, y_{1i})$ ten opzichte van de as door $O$, geldt $x_{2i} = x_{1i} - a$ en $y_{2i} = y_{1i} - b$. Het traagheidsmoment $I_P$ ten opzichte van de as door $P$ (loodrecht op het $x_2, y_2$-vlak) is: $$I_P = \sum_i m_i (x_{2i}^2 + y_{2i}^2)$$ $$I_P = \sum_i m_i ((x_{1i} - a)^2 + (y_{1i} - b)^2)$$ $$I_P = \sum_i m_i (x_{1i}^2 - 2ax_{1i} + a^2 + y_{1i}^2 - 2by_{1i} + b^2)$$ $$I_P = \sum_i m_i (x_{1i}^2 + y_{1i}^2) - 2a \sum_i m_i x_{1i} + a^2 \sum_i m_i - 2b \sum_i m_i y_{1i} + b^2 \sum_i m_i$$ Omdat $\sum_i m_i x_{1i} = M x_{MM,1}$ en $\sum_i m_i y_{1i} = M y_{MM,1}$, en $x_{MM,1}$ en $y_{MM,1}$ de coördinaten van het massamiddelpunt zijn ten opzichte van de assen door $O$, geldt voor een as door het massamiddelpunt dat $x_{MM,1}=0$ en $y_{MM,1}=0$. De term $\sum_i m_i (x_{1i}^2 + y_{1i}^2)$ is het traagheidsmoment $I_{MM}$ ten opzichte van de as door het massamiddelpunt. Verder is $\sum_i m_i = M$. $$I_P = I_{MM} - 2a + a^2 M - 2b + b^2 M$$ . $$I_P = I_{MM} + M(a^2 + b^2)$$ Omdat $d^2 = a^2 + b^2$, volgt: $$I_P = I_{MM} + M d^2$$ [22](#page=22). #### 2.3.1 Toepassing van het parallellas theorema **Voorbeeld:** Bepaal de grootte van het traagheidsmoment van het hoofd ten opzichte van de laatste cervicale wervel, waarbij het hoofd benaderd wordt door een bol met een massa van 5 kg en een straal van 8 cm (0,08 meter). Het traagheidsmoment van een bol ten opzichte van een as door het middelpunt is $I_{MM} = \frac{2}{5} M R^2$. De afstand van het middelpunt van de bol (zwaartepunt van het hoofd) tot de laatste cervicale halswervel is 25 cm (0,25 meter) [23](#page=23). * Traagheidsmoment van de bol om het middelpunt: $I_{MM} = \frac{2}{5} \times 5 \text{ kg} \times (0,08 \text{ m})^2 = 0,0128 \text{ kg m}^2$ [23](#page=23). * Toepassing van de Regel van Steiner: $I_P = I_{MM} + M d^2$ $I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 5 \text{ kg} \times (0,25 \text{ m})^2$ $I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 5 \text{ kg} \times 0,0625 \text{ m}^2$ $I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 0,3125 \text{ kg m}^2$ $I_P = 0,3253 \text{ kg m}^2$ [23](#page=23). ### 2.4 Kinetische energie bij een hellende beweging Beschouw de beweging van een cilinder die van een helling rolt. De initiële toestand is dat de cilinder in rust is ($v=0$, $\omega=0$). Na het beneden rollen van een helling met hoogte $h$, bezit de cilinder kinetische energie. Volgens de wet van behoud van mechanische energie, in afwezigheid van wrijving, is de initiële potentiële energie gelijk aan de finale kinetische energie [29](#page=29): $$Mgh + K_{in} = K_{fin}$$ $$Mgh = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ [29](#page=29). Voor een cilinder geldt het traagheidsmoment om de as door het massamiddelpunt als $I_{MM} = \frac{1}{2} M R_{cyl}^2$, en de relatie tussen de hoeksnelheid en de translatiesnelheid van het massamiddelpunt is $\omega = \frac{v_{MM}}{R_{cyl}}$ [30](#page=30). Substitueren in de energiebehoudsvergelijking: $$Mgh = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} M R_{cyl}^2\right) \left(\frac{v_{MM}}{R_{cyl}}\right)^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ $$Mgh = \frac{1}{4} M R_{cyl}^2 \frac{v_{MM}^2}{R_{cyl}^2} + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ $$Mgh = \frac{1}{4} M v_{MM}^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ $$Mgh = \frac{3}{4} M v_{MM}^2$$ Hieruit volgt de translatiesnelheid van de cilinder: $$v_{MM}^2 = \frac{4}{3} gh$$ $$v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3} gh}$$ [30](#page=30). Dit is dezelfde snelheid als die verkregen zou worden via dynamische methoden zoals beschreven op pagina 19 en 20, namelijk $v_{MM} = \frac{4}{3}gh \implies v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ [20](#page=20) [30](#page=30). --- # Angulair moment en de wet van behoud van angulair moment Dit deel introduceert het angulair moment van een deeltje, een systeem van deeltjes en een star lichaam, evenals het verband met het krachtmoment en de wet van behoud van angulair moment met bijbehorende toepassingen. ### 3.1 Het angulair moment van een deeltje Het angulair moment, ook wel impulsmoment genoemd, is het rotatie-analogon van het lineair moment bij translatiebeweging. Voor een deeltje met massa $m$ op positie $\vec{r}$ ten opzichte van de oorsprong O, met lineair moment $\vec{p} = m\vec{v}$, wordt het angulair moment $\vec{l}$ gedefinieerd als het vectorieel product van de plaatsvector $\vec{r}$ en het lineair moment $\vec{p}$ [31](#page=31): $$ \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} $$ De grootte van het angulair moment kan worden uitgedrukt als $l = r p \sin\theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen $\vec{r}$ en $\vec{p}$. Als $\theta = 0^\circ$ of $\theta = 180^\circ$, dan is $\vec{l} = 0$. De richting van $\vec{l}$ wordt bepaald door de kurkentrekkerregel. De dimensies van angulair moment zijn massa maal lengte kwadraat per tijd ($[M L^2 T^{-1}]$), en de eenheid is kg m²/s [31](#page=31) [32](#page=32). Het verband tussen angulair moment en krachtmoment ($\vec{\tau}$) is analoog aan het verband tussen lineair moment en kracht. Door het angulair moment naar de tijd af te leiden, verkrijgt men [33](#page=33): $$ \frac{d\vec{l}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} $$ Aangezien $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ en $\vec{p} = m\vec{v}$, is de eerste term $\vec{v} \times m\vec{v} = 0$. Met de tweede wet van Newton, $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$, wordt dit: $$ \frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau} $$ Dit betekent dat de verandering van het angulair moment per tijdseenheid gelijk is aan het krachtmoment dat op het deeltje inwerkt [33](#page=33). #### 3.1.1 Toepassing: eenparig cirkelvormige beweging Bij een eenparig cirkelvormige beweging van een puntmassa $m$ om een vaste as, waarbij een centripetale kracht $\vec{F}_c$ werkt die loodrecht op de rotatieas staat, kan het krachtmoment ten opzichte van een punt O op de rotatieas als volgt worden berekend [36](#page=36): $$ \vec{\tau}_c = \vec{r} \times \vec{F}_c $$ De grootte is $|\vec{\tau}_c| = F_c r \cos\theta$, waarbij $r$ de afstand tot de rotatieas is en $\theta$ de hoek tussen $\vec{r}$ en de rotatieas [36](#page=36). Het angulair moment $\vec{l}$ van de puntmassa kan worden ontbonden in een component langs de rotatieas ($\vec{l}_{\text{as}}$) en een component loodrecht op de rotatieas ($\vec{l}_{\perp}$). De component langs de rotatieas is constant [37](#page=37): $$ l_{\text{as}} = m v R = m R^2 \omega $$ waar $R$ de afstand tot de rotatieas is en $\omega$ de hoeksnelheid. De component loodrecht op de rotatieas beschrijft een cirkelvormige beweging en is afhankelijk van de keuze van O [38](#page=38) [39](#page=39). Het verband tussen de verandering van het angulair moment en het krachtmoment wordt ook hier bevestigd [40](#page=40). ### 3.2 Het angulair moment van een systeem van deeltjes Het totale angulair moment $\vec{L}$ van een systeem van deeltjes ten opzichte van een vast punt O is de som van de angulaire momenten van de individuele deeltjes: $$ \vec{L} = \sum_{i=1}^n \vec{l}_i $$ . De verandering van het totale angulair moment per tijdseenheid is gelijk aan de som van de uitwendige krachtmomenten op het systeem [41](#page=41): $$ \frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_{i=1}^n \vec{\tau}_{\text{uitw, } i} $$ . De krachtmomenten die door inwendige krachten worden veroorzaakt, heffen elkaar paarsgewijs op [42](#page=42). #### 3.2.1 Toepassing op specifieke systemen * **Systeem van twee gelijke puntmassa's verbonden door een staaf:** Als de massa's $m_1=m_2=m$ op gelijke afstand $R$ van de rotatieas roteren, is het totale angulair moment langs de rotatieas $L_{\text{as}} = 2mR^2\omega$. Als er geen uitwendige krachten zijn, is $dL/dt = 0$ en is $\vec{L}$ constant [44](#page=44) [45](#page=45). * **Meer-deeltjes systeem bij rotatie om een symmetrieas:** Voor rotatie rond een symmetrieas door het massamiddelpunt geldt dat het angulair moment $\vec{L}$ langs deze as gericht is en de grootte $L = \omega \sum_{i=1}^n m_i R_i^2$ heeft, wat kan worden geschreven als $L = I\omega$. Hierbij is $I$ het traagheidsmoment van het systeem ten opzichte van de rotatieas [47](#page=47). ### 3.3 Het angulair moment van een star lichaam Voor een onvervormbaar lichaam dat roteert om een vaste as in een inertieelassenstelsel, wordt het totale angulair moment $\vec{L}$ verkregen door integratie over de massa-elementen $dm$: $$ \vec{L} = \int \vec{r} \times d\vec{v} $$ . Als het lichaam roteert om een symmetrieas door het massamiddelpunt met hoeksnelheid $\omega$, dan is het angulair moment langs deze as [48](#page=48): $$ L = \omega \int R^2 dm = I \omega $$ . De waarde van $L$ is onafhankelijk van de keuze van de oorsprong O [49](#page=49). ### 3.4 Wet van behoud van angulair moment De wet van behoud van angulair moment stelt dat indien het resulterende krachtmoment om een vast punt of een as door het massamiddelpunt gelijk aan nul is, het totale vectoriële angulair moment van het systeem constant blijft [50](#page=50). $$ \text{Indien } \sum \vec{\tau}_{\text{uitw}} = 0, \text{ dan is } \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \text{ en } \vec{L} = \text{constant} $$ . Voor een star lichaam dat roteert om een vaste as geldt $L = I\omega$. Als $\sum \vec{\tau}_{\text{uitw}} = 0$, dan is $I\omega = \text{constant}$ [50](#page=50) [51](#page=51). #### 3.4.1 Toepassingen * **Pirouette en kunstschaatsen:** Bij een pirouette kan de rotatiesnelheid worden verhoogd door de armen en benen dichter bij het lichaam te brengen. Dit verkleint het traagheidsmoment $I$, en volgens de wet van behoud van angulair moment ($I_1\omega_1 = I_2\omega_2$) neemt de hoeksnelheid $\omega$ toe [53](#page=53) [54](#page=54). * **Salto:** Bij het uitvoeren van een salto roteert het lichaam rond een horizontale hoofdtraagheidsas. Door de benen in te trekken tijdens de sprong, wordt het traagheidsmoment $I$ verkleind, waardoor de hoeksnelheid $\omega$ toeneemt en een rotatie van 360° mogelijk wordt [55](#page=55). * **Rotatiebeweging van de kat:** Een kat kan zich tijdens een val, met initieel nul angulair moment, oriënteren om op haar poten te landen. Dit wordt bereikt door de relatieve beweging van de lichaamsdelen om het traagheidsmoment te veranderen, waardoor de hoeksnelheid van verschillende delen tijdelijk verandert, maar het totale angulair moment nul blijft [56](#page=56) [57](#page=57) [58](#page=58). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Moment van een kracht (krachtmoment) | Een vectoriële grootheid die de neiging van een kracht beschrijft om een voorwerp rond een draaipunt te laten roteren. De grootte wordt bepaald door het product van de kracht en de loodrechte afstand tot het draaipunt (momentarm), en de richting staat loodrecht op het vlak van de kracht en de plaatsvector, bepaald door de kurkentrekkerregel. | | Traagheidsmoment | De maat voor de weerstand van een lichaam tegen verandering van zijn rotatiesnelheid. Het hangt af van de massa van het lichaam en hoe deze massa verdeeld is ten opzichte van de rotatie-as. | | Regel van Steiner (Parallele-as theorema) | Een stelling die stelt dat het traagheidsmoment van een star lichaam ten opzichte van een as gelijk is aan het traagheidsmoment ten opzichte van een parallelle as door het massamiddelpunt, plus het product van de massa van het lichaam en het kwadraat van de afstand tussen de twee assen. | | Kinetische rotatie energie | De energie die een lichaam bezit vanwege zijn rotatiebeweging rond een as. Het is gelijk aan de helft van het product van het traagheidsmoment en het kwadraat van de hoeksnelheid. | | Angulair moment (Impulsmoment) | Een vectoriële grootheid die de rotatie-equivalentie is van lineair momentum. Voor een deeltje is het gedefinieerd als het kruisproduct van de plaatsvector en het lineaire momentum. | | Wet van behoud van angulair moment | Een fundamentele natuurkundewet die stelt dat het totale angulair moment van een systeem constant blijft als er geen extern netto krachtmoment op het systeem werkt. | | Momentarm | De loodrechte afstand van de werklijn van een kracht tot het draaipunt. Dit is een cruciale factor bij het berekenen van de grootte van het krachtmoment. | | Hoofdtraagheidsassen | Drie onderling loodrechte assen die door het massamiddelpunt van een lichaam gaan en zodanig georiënteerd zijn dat de producten van de traagheid nul zijn. Rotatie rond een hoofdtraagheidsas is stabieler. | | Star lichaam | Een ideaal lichaam waarbij de afstand tussen twee willekeurige punten constant blijft, ongeacht de uitgeoefende krachten. In werkelijkheid zijn lichamen enigszins vervormbaar. | | Centripetale kracht | Een kracht die een voorwerp naar het middelpunt van een cirkelvormige baan trekt. Zonder deze kracht zou het voorwerp langs een raaklijn wegschieten. |