Probability Statistics

# Introductie tot univariate data-analyse en steekproeftypes Dit gedeelte introduceert de basisprincipes van univariate data-analyse en maakt onderscheid tussen ongepaarde en gepaarde steekproeven met psychologische voorbeelden. ### 1.1 Basisprincipes van univariate data-analyse Univariate data-analyse richt zich op het analyseren van één variabele tegelijk. De centrale vraag is vaak of er een significant verschil is tussen groepen op basis van deze ene variabele. ### 1.2 Soorten steekproeven Bij het analyseren van data is het cruciaal om het type steekproef te herkennen, aangezien dit de keuze van de statistische toets beïnvloedt. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen twee hoofdtypes: ongepaarde en gepaarde steekproeven. #### 1.2.1 Ongepaarde steekproeven Ongepaarde steekproeven, ook wel niet-gepaarde, niet-gekoppelde of onafhankelijke steekproeven genoemd, komen voort uit een *between subjects design*. Dit betekent dat de metingen worden gedaan bij verschillende, onafhankelijke groepen subjecten. * **Kenmerk:** De subjecten in de ene groep zijn op geen enkele wijze gerelateerd aan de subjecten in de andere groep. * **Voorbeeld uit de psychologie:** Sara onderzoekt of mannen gemiddeld meer kinderen willen dan vrouwen. Ze vraagt aan 10 mannen en 10 vrouwen, die willekeurig zijn aangesproken op verschillende openbare plaatsen, hoeveel kinderen ze graag zouden willen. De mannen en vrouwen vormen twee onafhankelijke groepen. #### 1.2.2 Gepaarde steekproeven Gepaarde steekproeven, ook wel gekoppelde, gekoppelde of afhankelijke steekproeven genoemd, komen voort uit een *within subjects design* of een design waarbij paren van subjecten worden gevormd. Dit betekent dat de metingen worden gedaan bij dezelfde subjecten (herhaaldelijk) of bij subjecten die op een specifieke manier aan elkaar gekoppeld zijn. * **Kenmerk:** Er is een direct verband of afhankelijkheid tussen de metingen binnen een paar of tussen herhaalde metingen bij dezelfde persoon. * **Voorbeeld uit de psychologie:** Bart onderzoekt het effect van hypnose op het kortetermijngeheugen (KTG). Hij laat een groep mensen woorden opzeggen onder hypnose en vergelijkt dit met een controlegroep die dezelfde taak uitvoert zonder hypnose. Hierbij worden twee onafhankelijke groepen vergeleken, wat in dit specifieke voorbeeld van Bart een ongepaarde steekproef betreft (twee aparte groepen). Een beter voorbeeld van een *gepaarde steekproef* binnen de psychologie zou zijn: "Leerlingen sneller na het nemen van EPO?". Hierbij worden twee metingen gedaan bij dezelfde groep leerlingen: één meting vóór de EPO-toediening en één meting ná de EPO-toediening. De metingen vóór en ná EPO zijn gekoppeld aan dezelfde leerling. Een ander voorbeeld is wanneer men het effect van een bepaalde therapie onderzoekt. De scores vóór de therapie en de scores ná de therapie van dezelfde patiënten worden dan vergeleken. ### 1.3 De ongepaarde t-toets De ongepaarde t-toets is een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verschil is in gemiddelden tussen twee onafhankelijke groepen. * **Toetsstatistiek:** De toetsstatistiek van de ongepaarde t-toets is een verschilstatistiek, die het verschil tussen de groepsgemiddelden relateert aan de spreiding binnen de groepen. * **Varianties:** In de praktijk worden twee soorten 2-steekproeven t-toetsen gebruikt, afhankelijk van de spreiding (varianties) in de groepen: * **Gelijke varianties:** Wanneer de varianties in de twee populaties als gelijk worden beschouwd, wordt een *gepoolde standaardafwijking* gebruikt. Dit is een gewogen gemiddelde van de steekproefvarianties. * **Ongelijke varianties:** Wanneer de varianties in de twee populaties als ongelijk worden beschouwd, wordt de ongepoolde steekproefstandaardafwijking gebruikt. Dit wordt ook wel de conservatievere optie genoemd, omdat deze robuuster is bij ongelijke varianties. * **Controle van gelijke varianties:** De controle op gelijke varianties kan doorgaans enkel via statistische software worden uitgevoerd, bijvoorbeeld met een Levene's test. Handmatig is dit complex. * **Voorwaarden (ongepaarde t-toets):** * De populaties waaruit de steekproeven zijn getrokken, zijn normaal verdeeld. * De varianties in de twee populaties zijn gelijk (voor de ongepoolde variant) of ongelijk (voor de ongepoolde variant, de conservatievere keuze). * De metingen zijn onafhankelijk van elkaar. * De steekproefgrootte is voldoende groot ($n \geq 30$ per groep), of de verdeling van de verschilscores is normaal verdeeld (dit geldt strikt genomen voor de gepaarde t-toets, maar wordt soms als vuistregel genoemd). > **Tip:** Bij twijfel over de varianties of als software niet beschikbaar is, kies je bij voorkeur voor de t-toets die de ongepoolde steekproefstandaardafwijking gebruikt. Dit is de meer conservatieve en robuustere aanpak. #### 1.3.1 Voorbeeld oefening 1: Kinderwens Sara vroeg zich af of mannen meer kinderen willen dan vrouwen. Ze verzamelde data van 10 mannen en 10 vrouwen. De vraag is of het gemiddeld aantal gewenste kinderen significant verschilt tussen mannen en vrouwen, met een significantieniveau $\alpha = 5\%$. Er wordt aangenomen dat de voorwaarden voor de betreffende toets voldaan zijn. Aangezien de mannen en vrouwen willekeurig zijn geselecteerd en uit verschillende groepen komen, betreft dit een ongepaarde steekproef. #### 1.3.2 Voorbeeld oefening 2: Kortetermijngeheugen en hypnose Bart onderzoekt het effect van hypnose op het kortetermijngeheugen (KTG). Een groep mensen wordt onder hypnose getest en vergeleken met een controlegroep die niet onder hypnose is. De vraag is of mensen onder hypnose significant meer woorden kunnen onthouden dan mensen zonder hypnose, met $\alpha = 5\%$. Er wordt aangenomen dat de data uit normaal verdeelde populaties komen. De twee groepen (hypnose en controle) zijn onafhankelijk, dus dit is een ongepaarde steekproef. #### 1.3.3 Voorbeeld oefening 3: Aandacht en slaaptekort Een studie onderzoekt of slaaptekort de aandacht van volwassenen vermindert. Twee willekeurige steekproeven van 30 volwassenen nemen een aandachtstest af. De ene groep (testgroep) krijgt 4 uur slaap, de andere groep (controlegroep) krijgt 8 uur slaap. De resultaten worden vergeleken. De twee groepen zijn onafhankelijk, wat wijst op een ongepaarde steekproef. ### 1.4 Gepaarde t-toets versus ongepaarde t-toets De keuze tussen een gepaarde en een ongepaarde t-toets hangt af van het onderzoeksdesign en de aard van de verzamelde data. * **Gepaarde t-toets:** * Wordt gebruikt wanneer de metingen gekoppeld zijn, bijvoorbeeld herhaalde metingen bij dezelfde personen (pre-test/post-test design) of metingen bij gematchte paren. * **Voorwaarden:** De verschilscores tussen de gepaarde metingen zijn normaal verdeeld, of de steekproefgrootte is voldoende groot ($n \geq 30$). De variantie van de populatie van verschilscores is onbekend. * **Ongepaarde t-toets:** * Wordt gebruikt wanneer de metingen onafhankelijk zijn tussen twee groepen. * **Voorwaarden:** De populaties waaruit de steekproeven zijn getrokken zijn normaal verdeeld. De varianties in de populaties kunnen gelijk of ongelijk zijn, met bijbehorende varianten van de toets. > **Tip:** Een gepaarde t-toets is krachtiger (heeft meer power) dan een ongepaarde t-toets wanneer de data daadwerkelijk gepaard zijn, omdat het de variantie die door individuele verschillen tussen subjecten wordt veroorzaakt, elimineert. Gebruik het gepaarde design alleen wanneer het gepast is voor de onderzoeksvraag en het design. --- # De ongepaarde t-toets: formulering en toepassing Dit topic introduceert de ongepaarde t-toets, een statistische methode om de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen te vergelijken, inclusief de formulering van de toetsstatistiek en de toepassing ervan in diverse praktijkscenario's, met speciale aandacht voor variantiehomogeniteit. ### 2.1 Algemene concepten en toetsstatistiek De ongepaarde t-toets wordt gebruikt wanneer men de gemiddelden van twee populaties wil vergelijken, die gesampled zijn uit twee onafhankelijke groepen. Dit is typisch voor een "between-subjects" design, waarbij verschillende individuen aan verschillende condities worden blootgesteld of tot verschillende categorieën behoren. Een voorbeeld hiervan is de vraag of mannen sneller lopen dan vrouwen, waarbij mannen en vrouwen onafhankelijke groepen zijn. De toetsstatistiek van de ongepaarde t-toets is een verschilstatistiek die het verschil tussen de steekproefgemiddelden relateert aan de spreiding binnen de groepen. #### 2.1.1 De ongepaarde t-toets statistiek Wanneer er twee normaal verdeelde populaties met verschillende varianties worden vergeleken, maakt men gebruik van de ongepaarde t-toets. De kern van de toetsstatistiek is het verschil tussen de steekproefgemiddelden: $$ T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} $$ Waarbij: * $\bar{X}_1$ en $\bar{X}_2$ de gemiddelden van de twee steekproeven zijn. * $s_1^2$ en $s_2^2$ de varianties van de twee steekproeven zijn. * $n_1$ en $n_2$ de groottes van de twee steekproeven zijn. #### 2.1.2 Schatters voor standaardafwijking en variantiehomogeniteit Bij de ongepaarde t-toets is de schatting van de standaardafwijking cruciaal. Er zijn twee belangrijke benaderingen, afhankelijk van de aanname over de varianties in de populaties: 1. **Gepoolde variantie (aanname van gelijke varianties):** Als men aanneemt dat de varianties in beide populaties gelijk zijn (${\sigma_1^2 = \sigma_2^2}$), kan een gepoolde variantieschatting worden gebruikt. Deze schatting is een gewogen gemiddelde van de steekproefvarianties. Bij het gebruik van de gepoolde variantie verliest men twee vrijheidsgraden. De t-toetsstatistiek met gepoolde variantie wordt gegeven door: $$ T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} $$ Waarbij de gepoolde variantie $s_p^2$ als volgt wordt berekend: $$ s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} $$ Het aantal vrijheidsgraden voor deze toets is $df = n_1 + n_2 - 2$. 2. **Ongepoolde variantie (geen aanname van gelijke varianties):** Als er geen aanname wordt gedaan over gelijke varianties, gebruikt men de ongepoolde variantieschatting, wat overeenkomt met de algemene formule voor $T$ zoals hierboven weergegeven. Dit is de meest conservatieve aanpak wanneer er twijfel is over variantiehomogeniteit. Het aantal vrijheidsgraden wordt hierbij benaderd met de Welch-Satterthwaite vergelijking, wat resulteert in een niet-geheel getal aan vrijheidsgraden. > **Tip:** In de praktijk is het controleren van gelijke varianties vaak lastig en wordt het aangeraden om, zeker bij twijfel, de t-toets te gebruiken die de ongepoolde standaardafwijking hanteert. Dit is de meer conservatieve en robuustere methode. Softwarepakketten kunnen variantiehomogeniteit testen, bijvoorbeeld met een Levene's test. ### 2.2 Toepassingen en voorbeelden De ongepaarde t-toets is een veelgebruikte methode in diverse onderzoeksgebieden. #### 2.2.1 Oefening 1: Kinderwens bij mannen en vrouwen **Context:** Sara onderzoekt of mannen meer kinderen willen dan vrouwen. Ze verzamelt data van 10 mannen en 10 vrouwen. **Vraag:** Willen mannen gemiddeld significant meer kinderen dan vrouwen, bij een significantieniveau ${\alpha = 5\%}$? **Assumpties:** De voorwaarden voor de toets zijn voldaan. **Aanpak:** Dit scenario vereist een ongepaarde t-toets, omdat de groepen (mannen en vrouwen) onafhankelijk zijn en er geen paren gevormd worden. Men zou de toets uitvoeren met de verkregen steekproefgemiddelden en -varianties, en de p-waarde vergelijken met ${\alpha = 5\%}$. #### 2.2.2 Oefening 2: Hypnose en kortetermijngeheugen **Context:** Bart onderzoekt het effect van hypnose op het kortetermijngeheugen (KTG). Hij laat een groep mensen onder hypnose 12 woorden onthouden, en een controlegroep dezelfde taak zonder hypnose. **Vraag:** Onthouden mensen onder hypnose gemiddeld significant meer woorden dan mensen zonder hypnose, bij ${\alpha = 5\%}$? **Assumpties:** De data komen uit normaal verdeelde populaties. **Aanpak:** Dit is een klassiek voorbeeld voor een ongepaarde t-toets. De twee groepen (hypnose vs. controle) zijn onafhankelijk. De toetsstatistiek wordt berekend op basis van de gemiddelde aantallen correct opgesomde woorden en hun spreiding in beide groepen. De conclusie wordt getrokken op basis van de overschrijdingskans (p-waarde). #### 2.2.3 Oefening 3: Slaaptekort en aandacht **Context:** Een studie onderzoekt of slaaptekort de aandacht van volwassenen vermindert. Twee groepen van 30 volwassenen (elk) nemen een aandachtstest (CPT). De ene groep krijgt slaapdeprivatie (4 uur slaap), de andere krijgt voldoende slaap (8 uur). In de controlegroep haalden slechts 26 personen de 8 uur slaap voor een geldige meting. **Vraag:** Vermindert slaaptekort de aandacht van volwassenen significant? **Aanpak:** Hier wordt een ongepaarde t-toets gebruikt om de gemiddelde scores op de CPT te vergelijken tussen de slaapgedepriveerde groep en de controlegroep. De groepen zijn onafhankelijk. De steekproefgroottes zijn $n_1 = 30$ (testgroep) en $n_2 = 26$ (controlegroep), waarbij de effectieve grootte van de controlegroep wordt gebruikt. Men zou de toetsstatistiek berekenen en de p-waarde interpreteren in relatie tot het gekozen significantieniveau ${\alpha}$. ### 2.3 Vergelijking met de gepaarde t-toets De ongepaarde t-toets is te onderscheiden van de gepaarde t-toets. De gepaarde t-toets wordt gebruikt voor "within-subjects" designs, waarbij metingen herhaald worden bij dezelfde individuen of bij sterk gekoppelde paren. **Voorwaarden voor de gepaarde t-toets:** * De populatie van verschilscores is normaal verdeeld, of de steekproefgrootte is voldoende groot ($n \ge 30$). * De standaarddeviatie van de populatie ($\sigma$) is onbekend (net als bij de ongepaarde t-toets). **Voorwaarden voor de ongepaarde t-toets:** * De twee populaties zijn normaal verdeeld. * De varianties in de twee populaties zijn onbekend. * De steekproeven zijn onafhankelijk. Het betrouwbaarheidsinterval kan voor beide toetsen worden berekend, maar de onderliggende berekeningen en interpretatie verschillen vanwege de structuur van de data (gepaard vs. ongepaard). --- # Voorwaarden en vergelijking van t-toetsen Dit deel bespreekt de voorwaarden voor het uitvoeren van de gepaarde en ongepaarde t-toets en vergelijkt deze twee toetsen met betrekking tot hun toepassingen en criteria. ## 3.1 Verschillen tussen steekproeven: gepaard versus ongepaard Bij het analyseren van gegevens met t-toetsen is het cruciaal om onderscheid te maken tussen het type steekproef dat is gebruikt. Dit onderscheid bepaalt welke specifieke t-toets het meest geschikt is voor de analyse. ### 3.1.1 Ongepaarde steekproeven (between subjects design) Ongepaarde, of onafhankelijke, steekproeven worden verzameld wanneer de observaties binnen de ene groep geen systematische relatie hebben met de observaties binnen de andere groep. Dit design staat ook bekend als een "between subjects" design, wat betekent dat verschillende proefpersonen worden toegewezen aan verschillende condities of groepen. * **Kenmerken:** * Niet-gepaarde steekproeven. * Niet-gekoppelde steekproeven. * Onafhankelijke steekproeven. * **Voorbeeldcontext:** * De vraag of mannen sneller lopen dan vrouwen. Hier worden de prestaties van een groep mannen vergeleken met de prestaties van een groep vrouwen, waarbij elke deelnemer slechts aan één groep behoort. ### 3.1.2 Gepaarde steekproeven (within subjects design) Gepaarde, of afhankelijke, steekproeven worden gebruikt wanneer de observaties systematisch aan elkaar gekoppeld zijn. Dit gebeurt typisch binnen een "within subjects" design, waarbij dezelfde proefpersonen meerdere metingen ondergaan, of wanneer proefpersonen gematcht worden op relevante kenmerken. * **Kenmerken:** * Gepaarde steekproeven. * Gekoppelde steekproeven. * Afhankelijke steekproeven. * **Voorbeeldcontext:** * De vraag of leerlingen sneller zijn na het nemen van EPO. Hierbij worden twee metingen verricht bij dezelfde groep leerlingen: één meting vóór het nemen van EPO en één meting na het nemen van EPO. ## 3.2 De ongepaarde t-toets De ongepaarde t-toets, ook wel de "two sample t-test" genoemd, wordt gebruikt om het gemiddelde verschil tussen twee onafhankelijke groepen te onderzoeken. De toetsstatistiek is hierbij een verschilstatistiek. ### 3.2.1 Toepassingen en toetsstatistiek In de praktijk worden twee varianten van de 2-steekproeven t-toets gebruikt, afhankelijk van de variantie binnen de groepen: * **Gepoolde standaardafwijking:** Deze aanpak gaat uit van gelijke varianties in beide populaties. * **Ongepoolde standaardafwijking:** Deze aanpak is conservatiever en wordt gebruikt wanneer de varianties in de populaties mogelijk verschillen. > **Tip:** De controle van gelijke varianties wordt vaak gedaan met een Levene's test. In de praktijk, omdat handmatige controle complex kan zijn, kiest men vaak voor de conservatievere benadering van de t-toets die de ongepoolde steekproefstandaardafwijking gebruikt. ### 3.2.2 Voorwaarden voor de ongepaarde t-toets Om de ongepaarde t-toets correct toe te passen, moeten aan de volgende voorwaarden worden voldaan: * **Onafhankelijkheid van de steekproeven:** De metingen in de ene groep mogen geen invloed hebben op de metingen in de andere groep. * **Normaal verdeelde populaties:** De verdeling van de populaties waaruit de steekproeven zijn getrokken, moet (bij benadering) normaal zijn. Als de steekproefgrootte groot is (meestal $n \ge 30$), is de t-toets redelijk robuust tegen schendingen van deze aanname vanwege de centrale limietstelling. * **Gelijke varianties (optioneel, afhankelijk van de variant van de toets):** Hoewel er varianten van de ongepaarde t-toets zijn die met ongelijke varianties om kunnen gaan (zoals Welch's t-test), wordt er soms een assumptie van gelijke varianties gemaakt. ## 3.3 De gepaarde t-toets De gepaarde t-toets wordt gebruikt om het gemiddelde verschil tussen twee gerelateerde metingen te analyseren. Dit kan bijvoorbeeld gaan om metingen vóór en na een interventie bij dezelfde personen, of metingen van gematchte paren. ### 3.3.1 Toepassingen en toetsstatistiek Bij de gepaarde t-toets wordt het gemiddelde van de *verschillen* tussen de gepaarde observaties geanalyseerd. ### 3.3.2 Voorwaarden voor de gepaarde t-toets De belangrijkste voorwaarden voor het uitvoeren van de gepaarde t-toets zijn: * **Gepaarde observaties:** De data moeten bestaan uit paren van metingen die systematisch aan elkaar gekoppeld zijn. * **Normaal verdeelde verschilscores:** De verschillen tussen de gepaarde observaties moeten normaal verdeeld zijn. Net als bij de ongepaarde t-toets, zorgt een voldoende grote steekproef (bijvoorbeeld $n \ge 30$ paren) voor robuustheid tegen schendingen van deze aanname. * **Onbekende populatievariantie:** De populatievariantie van de verschilscores is onbekend. ## 3.4 Vergelijking van gepaarde en ongepaarde t-toetsen De keuze tussen de gepaarde en ongepaarde t-toets hangt direct af van het onderzoeksdesign en de aard van de verzamelde data. | Kenmerk | Gepaarde t-toets | Ongepaarde t-toets | | :-------------------- | :-------------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------- | | **Steekproef type** | Gepaarde/afhankelijke steekproeven | Ongepaarde/onafhankelijke steekproeven | | **Design** | Within subjects (herhaalde metingen bij dezelfde subjecten) of matched pairs | Between subjects (verschillende subjecten in elke groep) | | **Focus van analyse** | Gemiddelde van de verschilscores | Verschil tussen de groepsgemiddelden | | **Voorwaarden** | Verschilscores zijn normaal verdeeld; $n \ge 30$ of normaal verdeeld | Populaties zijn normaal verdeeld; $n \ge 30$ of normaal verdeeld; varianties gelijk (afhankelijk van de variant) | ### 3.4.1 Betrouwbaarheidsinterval Zowel de gepaarde als de ongepaarde t-toets kunnen worden gebruikt om betrouwbaarheidsintervallen te construeren voor het gemiddelde verschil tussen twee groepen of twee metingen. * Voor de **gepaarde t-toets** wordt het betrouwbaarheidsinterval berekend voor het gemiddelde verschilscore ($\mu_d$). * Voor de **ongepaarde t-toets** wordt het betrouwbaarheidsinterval berekend voor het verschil tussen de populatiegemiddelden ($\mu_1 - \mu_2$). ### 3.4.2 Voorbeelden **Voorbeeld 1: Ongepaarde t-toets** Sara onderzoekt of mannen gemiddeld meer kinderen willen dan vrouwen. Ze verzamelt data van 10 mannen en 10 vrouwen, die willekeurig zijn geselecteerd. Dit is een klassiek voorbeeld van een ongepaarde steekproef, omdat de groep mannen onafhankelijk is van de groep vrouwen. De ongepaarde t-toets zou hier geschikt zijn om te bepalen of er een significant verschil is in het gemiddeld gewenst aantal kinderen tussen mannen en vrouwen. **Voorbeeld 2: Gepaarde t-toets versus Ongepaarde t-toets** Bart onderzoekt het effect van hypnose op kortetermijngeheugen. Hij heeft twee groepen: een hypnose groep en een controlegroep. Dit is een voorbeeld van een **ongepaarde t-toets** omdat de proefpersonen in de hypnose groep verschillen van de proefpersonen in de controlegroep. Als Bart echter dezelfde groep proefpersonen twee keer had getest: eerst zonder hypnose (basismeting) en vervolgens met hypnose, dan zou dit een **gepaarde t-toets** vereisen omdat de metingen afkomstig zijn van dezelfde individuen. **Voorbeeld 3: Gepaarde t-toets** Een studie onderzoekt of slaaptekort de aandacht beïnvloedt. Twee groepen van 30 volwassenen worden vergeleken. Eén groep is slaapgedepriveerd (4 uur slaap), de andere groep heeft 8 uur slaap gehad (controlegroep). Dit is een voorbeeld van een **ongepaarde t-toets**, omdat de proefpersonen in de slaapgedepriveerde groep verschillen van de proefpersonen in de controlegroep. De metingen (CPT-scores) zijn onafhankelijk tussen de groepen. > **Tip:** Het belangrijkste criterium bij de keuze is of de data uit onafhankelijke groepen komen (ongepaard) of dat er een systematische relatie is tussen de metingen binnen groepen of tussen paren van subjecten (gepaard). --- # Praktische oefeningen en case studies Dit gedeelte bevat diverse oefeningen en case studies die de toepassing van de besproken statistische methoden illustreren, zoals de ongepaarde t-toets in verschillende onderzoeksscenario's. ## 4.1 De ongepaarde t-toets: concept en toepassing De ongepaarde t-toets, ook wel de two-sample t-test genoemd, is een statistische methode die wordt gebruikt om het verschil tussen de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen te toetsen. Dit type toets is van toepassing wanneer de gegevens afkomstig zijn van "between subjects" designs, waarbij elke deelnemer slechts aan één conditie of groep deelneemt. ### 4.1.1 Soorten steekproeven Het onderscheid tussen gepaarde en ongepaarde steekproeven is cruciaal voor de keuze van de juiste statistische toets: * **Ongepaarde (onafhankelijke) steekproeven:** Deze worden gebruikt in "between subjects" designs. Er is geen logische koppeling tussen de metingen in de ene groep en de metingen in de andere groep. Voorbeelden zijn: * Verschillen in snelheid tussen mannen en vrouwen. * Vergelijking van testresultaten tussen een interventiegroep en een controlegroep. * **Gepaarde (afhankelijke) steekproeven:** Deze worden gebruikt in "within subjects" designs. De metingen zijn aan elkaar gekoppeld, vaak door herhaalde metingen bij dezelfde personen (bv. voor en na een interventie) of door het matchen van deelnemers op bepaalde kenmerken. Voorbeelden zijn: * Vergelijking van prestaties van leerlingen voor en na het gebruik van EPO. * Het meten van reactietijden van dezelfde personen onder verschillende condities. ### 4.1.2 De toetsstatistiek van de ongepaarde t-toets De ongepaarde t-toets berekent een verschilstatistiek die het verschil tussen de groepsgemiddelden relateert aan de spreiding binnen de groepen. #### 4.1.2.1 Variaties op de ongepaarde t-toets In de praktijk zijn er twee varianten van de 2-steekproeven t-toets, afhankelijk van de spreiding (varianties) in de groepen: 1. **Gepoolde t-toets:** Deze variant wordt gebruikt wanneer de varianties in de twee populaties als gelijk worden beschouwd. De standaardafwijkingen worden dan gepoold (gewogen gemiddelde) wat leidt tot een verlies van twee vrijheidsgraden. 2. **Ongepoolde t-toets (ook wel Welch's t-toets):** Deze variant wordt gebruikt wanneer de varianties in de twee populaties als ongelijk worden beschouwd. Dit is de conservatievere optie en wordt aangeraden wanneer de controle van gelijke varianties (bv. via een Levene's test) niet met zekerheid kan worden vastgesteld, of wanneer software de ongepoolde steekproefstandaardafwijking gebruikt. #### 4.1.2.2 Voorwaarden voor de ongepaarde t-toets De ongepaarde t-toets kent de volgende voorwaarden: * **Onafhankelijke steekproeven:** De groepen moeten onafhankelijk zijn van elkaar. * **Normaal verdeelde populaties:** De populaties waaruit de steekproeven getrokken zijn, dienen normaal verdeeld te zijn. Dit is vooral belangrijk bij kleine steekproeven. Bij grote steekproeven ($n \geq 30$) is de t-toets robuust tegen schendingen van deze aanname (Centrale Limietstelling). * **Gelijke varianties (homoscedasticiteit):** Voor de gepoolde t-toets moet worden aangenomen dat de populatievarianties gelijk zijn. Als deze aanname niet voldaan is, wordt de ongepoolde t-toets gebruikt. De controle hiervan gebeurt idealiter via een statistische test zoals de Levene's test. #### 4.1.2.3 Betrouwbaarheidsinterval Naast de p-waarde kan een betrouwbaarheidsinterval voor het verschil tussen de groepsgemiddelden worden berekend. Dit interval geeft een reeks van plausibele waarden voor het werkelijke verschil tussen de populatiegemiddelden. Als dit interval de nul niet bevat, is het verschil significant op het gekozen significantieniveau. ### 4.1.3 Oefeningen en Case Studies Hieronder worden enkele praktijkvoorbeelden besproken die de toepassing van de ongepaarde t-toets illustreren. #### 4.1.3.1 Oefening 1: Kinderwens bij mannen en vrouwen **Context:** Sara onderzoekt of mannen gemiddeld meer kinderen willen dan vrouwen. Ze heeft gegevens verzameld van 10 mannen en 10 vrouwen die willekeurig zijn aangesproken. **Vraag:** Is het gemiddelde aantal gewenste kinderen significant hoger bij mannen dan bij vrouwen, met een significantieniveau $\alpha = 5\%$? Er wordt aangenomen dat de voorwaarden voor de ongepaarde t-toets voldaan zijn. #### 4.1.3.2 Oefening 2: Hypnose en kortetermijngeheugen **Context:** Bart onderzoekt het effect van hypnose op het kortetermijngeheugen (KTG). Een groep mensen onder hypnose krijgt 12 woorden voorgelezen, terwijl een controlegroep dezelfde taak zonder hypnose uitvoert. Het aantal correct opgesomde woorden wordt genoteerd. De vraag is of hypnose leidt tot significant meer onthouden woorden. Significantieniveau $\alpha=5\%$. Er wordt aangenomen dat de data uit normaal verdeelde populaties komen. **Methode:** De conclusie moet getrokken worden via de overschrijdingskans (p-waarde). #### 4.1.3.3 Oefening 3: Slaaptekort en aandacht **Context:** Een studie onderzoekt of slaaptekort de aandacht van volwassenen vermindert. Twee willekeurige steekproeven van 30 volwassenen (18-35 jaar) worden vergeleken. De ene groep krijgt 4 uur slaap (testgroep), de andere groep 8 uur slaap (controlegroep). De Continuous Performance Test (CPT) meet de aandachtscapaciteit; hogere scores duiden op betere aandacht. Van de controlegroep haalden 26 personen de 8 uur slaap voor een geldige meting. **Aannames:** De data komen uit normaal verdeelde populaties. **Tip:** Bij het uitvoeren van de t-toets is het belangrijk om eerst de data te inspecteren op uitschieters en de normaliteitsaanname te controleren, met name bij kleinere steekproeven. Indien deze aannames geschonden worden, kan een non-parametrisch alternatief zoals de Mann-Whitney U-toets overwogen worden. Controleer ook de aanname van gelijke varianties. Indien deze sterk afwijkt, gebruik dan de ongepoolde t-toets. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Univariate data-analyse | Een statistische methode die wordt gebruikt om één variabele tegelijk te onderzoeken en te beschrijven, vaak met behulp van samenvattende statistieken en grafieken. | | Ongepaarde steekproef (Unpaired samples) | Een type steekproef waarbij de observaties in de ene groep onafhankelijk zijn van de observaties in de andere groep; de groepen worden daarom vergeleken zonder directe koppeling. | | Gepaarde steekproef (Paired samples) | Een type steekproef waarbij de observaties in de ene groep direct gekoppeld zijn aan de observaties in de andere groep, bijvoorbeeld door herhaalde metingen bij dezelfde personen. | | Between subjects design | Een onderzoeksopzet waarbij verschillende groepen deelnemers worden blootgesteld aan verschillende condities of behandelingen, waarbij elke deelnemer slechts aan één conditie wordt toegewezen. | | Within subjects design | Een onderzoeksopzet waarbij dezelfde deelnemers meerdere metingen ondergaan onder verschillende condities, wat leidt tot gepaarde observaties. | | T-toets | Een inferentiële statistische toets die wordt gebruikt om het gemiddelde van twee groepen te vergelijken, voornamelijk wanneer de populatievariantie onbekend is en de steekproef klein. | | Ongepaarde t-toets (Two sample t-test) | Een t-toets die wordt gebruikt om de gemiddelden van twee onafhankelijke, ongepaarde groepen te vergelijken, ervan uitgaande dat de data normaal verdeeld zijn. | | Gepaarde t-toets | Een t-toets die wordt gebruikt om de gemiddelden van twee gerelateerde (gepaarde) groepen te vergelijken, vaak gebruikt bij herhaalde metingen of bij matched pairs. | | Toetsstatistiek | Een waarde berekend uit steekproefgegevens die wordt gebruikt om de nulhypothese te beoordelen; deze waarde wordt vergeleken met een kritische waarde of gebruikt om een p-waarde te berekenen. | | Spreiding in groepen | De mate waarin de gegevenspunten binnen een groep variëren of uit elkaar liggen, vaak gemeten door standaardafwijking of variantie. | | Schatter voor standaardafwijking | Een statistische maat die wordt gebruikt om de standaardafwijking van een populatie te schatten op basis van een steekproef; de gepoolde of ongepoolde variant wordt gebruikt afhankelijk van de aannames over varianties. | | Gepaarde standaardafwijking (Pooled standard deviation) | Een gewogen gemiddelde van de varianties van twee groepen, gebruikt in de ongepaarde t-toets wanneer wordt aangenomen dat de populatievarianties gelijk zijn; dit leidt tot een verlies van vrijheidsgraden. | | Levene’s test | Een statistische test die wordt gebruikt om de homogeniteit van varianties te controleren tussen verschillende groepen, wat een belangrijke aanname is voor sommige statistische toetsen zoals de ongepaarde t-toets. | | Twee normaalverdeelde populaties | Een aanname voor de t-toets die stelt dat de gegevens binnen de te vergelijken populaties een normale verdeling volgen. | | Verschillende varianties | Een situatie waarin de spreiding (variantie) van de gegevens in de te vergelijken populaties significant verschilt. | | Betrouwbaarheidsinterval | Een bereik van waarden dat waarschijnlijk de populatieparameter (zoals het gemiddelde) bevat, berekend uit de steekproefgegevens; het geeft de precisie van de schatting aan. | | Overschrijdingskans (p-waarde) | De kans om een teststatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de waargenomen waarde, ervan uitgaande dat de nulhypothese waar is. Een kleine p-waarde (meestal < 0.05) leidt tot verwerping van de nulhypothese. | | Kortetermijngeheugen (KTG) | Een cognitief systeem dat verantwoordelijk is voor het tijdelijk vasthouden en manipuleren van informatie gedurende een korte periode. | | Magische nummer 7 plus/min 2 | Een uitspraak van George Miller die suggereert dat het kortetermijngeheugen doorgaans 7 items kan bevatten, met een variatie van plus of min 2. | | Hypnose | Een staat van verhoogde suggestibiliteit en focus, vaak gekenmerkt door verminderd perifere bewustzijn en verhoogde respons op suggesties. | | Controlegroep | Een groep deelnemers in een experiment die geen actieve behandeling of interventie ontvangt, gebruikt als basislijn voor vergelijking met de experimentele groep. | | Aandacht | Een cognitief proces dat betrokken is bij het selecteren van specifieke informatie uit de omgeving en het negeren van afleidende prikkels. | | Slaaptekort | Een ontoereikende hoeveelheid slaap, die negatieve gevolgen kan hebben voor fysieke en cognitieve functies. | | Continuous Performance Test (CPT) | Een gestandaardiseerde neuropsychologische test die wordt gebruikt om aandacht en impulsiviteit te meten door reactietijden en nauwkeurigheid te beoordelen bij het detecteren van specifieke stimuli. | | Aandachtscapaciteit | Het vermogen van een individu om zich te concentreren op een taak en relevante informatie te verwerken gedurende een bepaalde periode. |

# Binomiale verdeling en steekproefproporties Dit deel behandelt de binomiale verdeling, de voorwaarden waaraan voldaan moet worden om deze te gebruiken, en de concepten rond steekproevenverdelingen van steekproefproporties. ### 1.1 De binomiale verdeling Een binomiale situatie ontstaat wanneer een toevalsproces meerdere keren wordt herhaald en we registreren hoe vaak een specifieke uitkomst ("succes") voorkomt. Om van een binomiale situatie te kunnen spreken, moet aan vier voorwaarden worden voldaan [4](#page=4): * **Binair:** De mogelijke uitkomsten van elke poging zijn beperkt tot twee categorieën: "succes" en "mislukking" [4](#page=4). * **Onafhankelijk:** Het resultaat van een vorige poging mag het resultaat van volgende pogingen niet beïnvloeden of voorspelbaarder maken [4](#page=4). * **Aantal pogingen:** Het totale aantal pogingen, aangeduid met $n$, moet vooraf vastliggen [4](#page=4). * **Succeskans:** De kans op "succes", aangeduid met $p$, moet voor elke poging constant blijven. Dit impliceert dat de bemonstering met teruglegging gebeurt [4](#page=4). #### 1.1.1 Variabelen en notatie Bij een binomiale verdeling wordt de populatieproportie van "successen" aangeduid met $p$ of $\pi$. De kans op een mislukking is dan $q = 1 - p$ [5](#page=5). ### 1.2 Steekproevenverdeling van steekproefproporties Een steekproefproportie, aangeduid met $\hat{p}$, is een schatting van de populatieproportie $p$ gebaseerd op een steekproef. De steekproevenverdeling van $\hat{p}$ beschrijft de verdeling van deze steekproefproporties als we herhaaldelijk steekproeven van grootte $n$ uit de populatie zouden trekken [5](#page=5). #### 1.2.1 Benadering van de steekproevenverdeling Voor grote steekproeven kan de steekproevenverdeling van $\hat{p}$ worden benaderd door een normale verdeling. De belangrijkste kenmerken van deze benaderde normale verdeling zijn [5](#page=5): * **Gemiddelde van de steekproefproporties:** Het gemiddelde van de steekproefproporties, ook wel de verwachte waarde van $\hat{p}$ genoemd, is gelijk aan de populatieproportie $p$. Dit kan worden uitgedrukt als $E(\hat{p}) = p$ [5](#page=5). * **Standaardfout van de steekproefproportie:** De standaardafwijking van de steekproevenverdeling van $\hat{p}$, ook wel de standaardfout van $\hat{p}$ genoemd, geeft de spreiding van de steekproefproporties rond het populatiegemiddelde weer. Deze wordt berekend met de formule [5](#page=5): $$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{pq}{n}}$$ Hierbij is $p$ de populatieproportie van successen, $q = 1-p$ de populatieproportie van mislukkingen, en $n$ de steekproefgrootte [5](#page=5). De figuur op pagina 5 illustreert de steekproevenverdeling van $\hat{p}$ als een normale curve, waarbij de horizontale as de mogelijke waarden van $\hat{p}$ weergeeft en de verticale as de dichtheid van deze waarden. De curve is gecentreerd rond de populatieproportie $p$ [5](#page=5). > **Tip:** De normaliteitsbenadering van de binomiale verdeling, en dus ook van de steekproefproporties, is een krachtig hulpmiddel om waarschijnlijkheden te berekenen zonder de volledige binomiale kansformule te hoeven toepassen, mits de steekproefgrootte voldoende groot is. Controleer altijd de voorwaarden voor deze benadering (vaak $np \ge 10$ en $nq \ge 10$). --- # Eén-steekproef proportietests en betrouwbaarheidsintervallen Dit onderwerp behandelt het toetsen van hypothesen over proporties in een enkele populatie en het construeren van betrouwbaarheidsintervallen voor deze proporties. ### 2.1 Eén-steekproef proportietest Een één-steekproef proportietest wordt gebruikt om te bepalen of de proportie van een bepaald kenmerk in een populatie significant verschilt van een vooraf bepaalde waarde [6](#page=6). #### 2.1.1 Hypotheses Bij deze tests worden de volgende hypothesen geformuleerd [6](#page=6): * **Nulhypothese ($H_0$):** $p = p_0$, waarbij $p_0$ de hypothetische populatieproportie is. * **Alternatieve hypothese ($H_A$):** Dit kan een eenzijdige test zijn ($p < p_0$ of $p > p_0$) of een tweezijdige test ($p \neq p_0$) [6](#page=6). #### 2.1.2 Teststatistiek De teststatistiek voor een één-steekproef proportietest wordt berekend met de volgende formule [6](#page=6): $$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}}$$ Waarbij: * $\hat{p}$ de steekproefproportie is [6](#page=6). * $p_0$ de hypothetische populatieproportie onder de nulhypothese is [6](#page=6). * $q_0 = 1 - p_0$ de hypothetische proportie van "niet-successen" is [6](#page=6). * $n$ de steekproefgrootte is [6](#page=6). #### 2.1.3 Voorwaarden voor de test Om de teststatistiek te mogen gebruiken, moet aan de volgende voorwaarden worden voldaan [6](#page=6) [9](#page=9): * Het aantal successen in de steekproef ($X$) moet minstens 10 zijn, en het aantal niet-successen ($n-X$) moet ook minstens 10 zijn. Dit geldt zowel voor de steekproef als, bij een hypothesetoets, voor het hypothetische aantal successen en niet-successen onder de nulhypothese [6](#page=6). * Een alternatieve formulering van deze voorwaarde, met name voor hypothesetoetsen, is dat $n p_0 \geq 10$ en $n q_0 \geq 10$ [6](#page=6). * Voor betrouwbaarheidsintervallen (BI) geldt de voorwaarde dat $n \hat{p} \geq 10$ en $n \hat{q} \geq 10$, waarbij $\hat{q} = 1 - \hat{p}$ [6](#page=6) [9](#page=9). > **Tip:** Deze voorwaarden zorgen ervoor dat de steekproevenverdeling van de steekproefproportie voldoende benaderd kan worden door een normaalverdeling, wat cruciaal is voor de geldigheid van de $z$-test [7](#page=7) [8](#page=8). #### 2.1.4 Illustratief voorbeeld van voorwaarden Stel een fabrikant beweert dat minstens 80% van hun producten aan de kwaliteitsnorm voldoet ($p_0 = 0.80$). Een controleur wil dit toetsen. Er wordt een steekproef genomen waarin 75% van de producten aan de norm voldoet ($\hat{p} = 0.75$). Om te bepalen hoeveel producten er minimaal in de steekproef moeten zitten zodat de steekproevenverdeling de normaalverdeling benadert, gebruiken we de voorwaarde $n p_0 \geq 10$ en $n q_0 \geq 10$. Met $p_0 = 0.80$ en $q_0 = 0.20$, krijgen we $n \times 0.80 \geq 10$ en $n \times 0.20 \geq 10$. De kleinste $n$ die hieraan voldoet, is 50 producten [8](#page=8). > **Example:** Als $p_0 = 0.5$ en $n=20$, dan is $n p_0 = 20 \times 0.5 = 10$ en $n q_0 = 20 \times 0.5 = 10$. De voorwaarden zijn dan net voldaan. Als $n=19$, dan zou $n p_0 = 9.5$ zijn, en de voorwaarden niet voldaan zijn [8](#page=8). ### 2.2 Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie Een betrouwbaarheidsinterval (BI) biedt een reeks waarden waarbinnen de ware populatieproportie met een bepaalde mate van zekerheid wordt verwacht te liggen [9](#page=9). #### 2.2.1 Constructie van het betrouwbaarheidsinterval Een betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie wordt geconstrueerd met de volgende formule [9](#page=9): $$ \hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \hat{q}}{n}} $$ Waarbij: * $\hat{p}$ de steekproefproportie is [9](#page=9). * $\hat{q} = 1 - \hat{p}$ de steekproefproportie van niet-successen is [9](#page=9). * $n$ de steekproefgrootte is [9](#page=9). * $z^*$ de kritieke waarde is die afhangt van het gewenste betrouwbaarheidsniveau (C). Een betrouwbaarheidsniveau van C = 90% (of 0.90) wordt als voorwaarde genoemd [9](#page=9). #### 2.2.2 Voorwaarden voor het betrouwbaarheidsinterval Voor het construeren van een betrouwbaarheidsinterval voor een proportie, moeten de volgende voorwaarden voldaan zijn [9](#page=9): * Het gewenste betrouwbaarheidsniveau (C) moet 90% of hoger zijn. * Het aantal successen ($X$) in de steekproef moet minstens 10 zijn, en het aantal niet-successen ($n-X$) moet ook minstens 10 zijn [6](#page=6) [9](#page=9). * Een alternatieve formulering hiervan is dat $n \hat{p} \geq 10$ en $n \hat{q} \geq 10$ [6](#page=6) [9](#page=9). > **Tip:** Hoe hoger het betrouwbaarheidsniveau, hoe breder het interval, omdat er meer zekerheid vereist is. De kritieke waarde $z^*$ neemt toe met het betrouwbaarheidsniveau. --- # Twee-steekproeven proportietests en betrouwbaarheidsintervallen Dit hoofdstuk behandelt de analyse van proporties tussen twee onafhankelijke groepen, inclusief de scenario's met gelijke en ongelijke varianties [12](#page=12). ### 3.1 Vergelijking van proporties tussen twee groepen De kern van tweek-steekproeven proportietests is het vergelijken van de proportie van een bepaalde uitkomst in twee afzonderlijke, onafhankelijke populaties. Dit kan worden gedaan door middel van hypothesetests en het construeren van betrouwbaarheidsintervallen. De keuze van de juiste test hangt af van de aannames over de varianties van de populaties [12](#page=12). #### 3.1.1 Aanname van gelijke varianties Wanneer de nulhypothese ($H_0$) stelt dat de proporties gelijk zijn ($p_1 = p_2$ of $p_1 - p_2 = 0$), kan men theoretisch aannemen dat de varianties gelijk zijn ($s_1 = s_2$). In dit scenario wordt voor de berekening van de steekproefvariantie een gepoolde steekproefproportie gebruikt [12](#page=12). ##### 3.1.1.1 Hypothesetests met gelijke varianties De nulhypothese ($H_0$) kan geformuleerd worden als $p_1 = p_2$, $p_1 - p_2 = 0$, $p_2 = p_1$ of $p_2 - p_1 = 0$. De alternatieve hypothese ($H_A$) kan eenzijdig zijn ($p_1 > p_2$, $p_1 < p_2$) of tweezijdig ($p_1 \neq p_2$) [13](#page=13). De voorwaarden voor deze test zijn: * $n_1 \hat{p} \geq 10$ en $n_1 (1 - \hat{p}) \geq 10$ [13](#page=13). * $n_2 \hat{p} \geq 10$ en $n_2 (1 - \hat{p}) \geq 10$ [13](#page=13). De toetsstatistiek voor het verschil tussen twee proporties, met de aanname van gelijke varianties, wordt gegeven door: $$ z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} $$ waarbij $\hat{p}$ de gepoolde proportie is, berekend als: $$ \hat{p} = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2} $$ en $X_1, X_2$ de aantallen successen zijn in de respectievelijke steekproeven [13](#page=13). > **Tip:** Bij de aanname van gelijke varianties wordt geen onderscheid gemaakt tussen gepaarde en ongepaarde steekproeven [13](#page=13). ##### 3.1.1.2 Betrouwbaarheidsinterval met gelijke varianties Het betrouwbaarheidsinterval voor het verschil tussen twee proporties, met de aanname van gelijke varianties, wordt berekend met de volgende formule: $$ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^{\ast} \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})} $$ waarbij $z^{\ast}$ de kritieke waarde is die overeenkomt met het gewenste betrouwbaarheidsniveau. De voorwaarden voor de geldigheid van dit interval zijn dezelfde als voor de hypothesetest [15](#page=15): * $n_1 \hat{p} \geq 10$ en $n_1 (1 - \hat{p}) \geq 10$ [15](#page=15). * $n_2 \hat{p} \geq 10$ en $n_2 (1 - \hat{p}) \geq 10$ [15](#page=15). #### 3.1.2 Aanname van ongelijke varianties Wanneer de aanname van gelijke varianties niet gemaakt kan worden, dient de formule voor de standaardfout van de toetsstatistiek aangepast te worden [12](#page=12). ##### 3.1.2.1 Hypothesetests met ongelijke varianties Bij ongelijke varianties wordt de nulhypothese ($H_0$) geformuleerd als $p_1 - p_2 = (p_1 - p_2)_0$, waarbij $(p_1 - p_2)_0$ de gespecificeerde waarde van het verschil onder $H_0$ is (meestal nul). De alternatieve hypothese kan eenzijdig ($p_1 - p_2 > (p_1 - p_2)_0$ of $p_1 - p_2 < (p_1 - p_2)_0$) of tweezijdig ($p_1 - p_2 \neq (p_1 - p_2)_0$) zijn [14](#page=14). De voorwaarden voor deze test zijn: * $n_1 \hat{p}_1 \geq 10$, $n_1 (1 - \hat{p}_1) \geq 10$, $n_2 \hat{p}_2 \geq 10$, en $n_2 (1 - \hat{p}_2) \geq 10$ [14](#page=14). * Of $n_1 \hat{p}_1 \geq 5$, $n_1 (1 - \hat{p}_1) \geq 5$, $n_2 \hat{p}_2 \geq 5$, en $n_2 (1 - \hat{p}_2) \geq 5$ [14](#page=14). De toetsstatistiek voor het verschil tussen twee proporties, met de aanname van ongelijke varianties, wordt gegeven door: $$ z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)_0}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}} $$ Hierbij zijn $\hat{p}_1$ en $\hat{p}_2$ de afzonderlijke steekproefproporties [12](#page=12) [14](#page=14). > **Tip:** Ook hier wordt geen onderscheid gemaakt tussen gepaarde en ongepaarde steekproeven [14](#page=14). ##### 3.1.2.2 Betrouwbaarheidsinterval met ongelijke varianties Het betrouwbaarheidsinterval voor het verschil tussen twee proporties, met de aanname van ongelijke varianties, wordt berekend als: $$ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^{\ast} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} $$ waarbij $z^{\ast}$ de kritieke waarde is voor het gewenste betrouwbaarheidsniveau. De voorwaarden voor de geldigheid van dit interval zijn identiek aan die voor de hypothesetest bij ongelijke varianties [15](#page=15): * $n_1 \hat{p}_1 \geq 10$, $n_1 (1 - \hat{p}_1) \geq 10$, $n_2 \hat{p}_2 \geq 10$, en $n_2 (1 - \hat{p}_2) \geq 10$ [15](#page=15). * Of $n_1 \hat{p}_1 \geq 5$, $n_1 (1 - \hat{p}_1) \geq 5$, $n_2 \hat{p}_2 \geq 5$, en $n_2 (1 - \hat{p}_2) \geq 5$ [15](#page=15). > **Voorbeeld:** Voor een 90% betrouwbaarheidsinterval wordt een $z^{\ast}$ waarde van 1.645 gebruikt [15](#page=15). #### 3.1.3 Algemene overwegingen voor proportietests Bij het uitvoeren van proportietests is het cruciaal om de juiste aannames te maken met betrekking tot de varianties. Het niet correct toepassen van deze aannames kan leiden tot incorrecte conclusies. De voorwaarden voor de geldigheid van de tests en betrouwbaarheidsintervallen, met name de minimale aantallen waarnemingen, moeten altijd worden gecontroleerd. > **Tip:** Bij het interpreteren van de resultaten van tweek-steekproeven proportietests, is het belangrijk om de context van de studie en de steekproefgrootte in acht te nemen. Kleine steekproeven kunnen leiden tot minder betrouwbare resultaten. --- # Oefeningen en toepassingen van proportietests Deze sectie behandelt de toepassing van statistische methoden, specifiek proportietests, op concrete vraagstukken uit diverse domeinen, inclusief het uitvoeren van significantietests en het opstellen van betrouwbaarheidsintervallen voor proporties. ### 4.1 Oefening 1: Kwaliteitscontrole van aardappelen Een producent van chips moet bepalen of een lading aardappelen moet worden teruggestuurd op basis van een contractuele eis dat niet meer dan 8% van de aardappelen beschadigd mag zijn [10](#page=10). * **Probleemstelling:** Test of de proportie beschadigde aardappelen in een partij groter is dan 8%. * **Gegeven:** * Acceptatiecriterium: Beschadigde aardappelen ≤ 8% * Steekproefgrootte: $n = 500$ aardappelen [10](#page=10). * Aantal beschadigde aardappelen in steekproef: $x = 47$ [10](#page=10). * Significantieniveau: $\alpha = 1\%$ [10](#page=10). * **Analyse:** * De steekproefproportie van beschadigde aardappelen is $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{47}{500} = 0.094$ [10](#page=10). * De nulhypothese ($H_0$) stelt dat de ware proportie beschadigde aardappelen gelijk is aan of kleiner is dan 8% ($p \le 0.08$) [10](#page=10). * De alternatieve hypothese ($H_1$) stelt dat de ware proportie beschadigde aardappelen groter is dan 8% ($p > 0.08$) [10](#page=10). * Er dient een eenzijdige toets te worden uitgevoerd. * De toetsingsgrootheid (z-score) kan worden berekend met de formule: $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$ [10](#page=10). * Hierbij is $p_0 = 0.08$ de hypothetische proportie onder $H_0$ [10](#page=10). * **Conclusie:** Op basis van de significantietoets zal worden bepaald of de lading moet worden teruggestuurd. ### 4.2 Oefening 2: Politieke verkiezingsuitslag Na het tellen van een deel van de stemmen in Leuven wordt de voorlopige uitslag geanalyseerd om de uiteindelijke resultaten te schatten [11](#page=11). * **Probleemstelling:** 1. Geef een intervalschatting voor het totale aantal stemmen dat de partij van de burgemeester zal behalen, met een betrouwbaarheidsniveau van 95% [11](#page=11). 2. Beargumenteer of de steekproef representatief is [11](#page=11). * **Gegeven:** * Totaal aantal stemmen: 35 000 [11](#page=11). * Getelde stemmen: 2000 [11](#page=11). * Percentage stemmen voor partij burgemeester (in getelde stemmen): 55% [11](#page=11). * Betrouwbaarheidsniveau: 95% [11](#page=11). * **Analyse (gedeelte 1 - intervalschatting):** * De steekproefproportie voor de partij van de burgemeester is $\hat{p} = 0.55$ [11](#page=11). * De steekproefgrootte is $n = 2000$ [11](#page=11). * Het betrouwbaarheidsinterval voor een proportie wordt berekend met: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ [11](#page=11). * Voor een betrouwbaarheidsniveau van 95% is $z_{\alpha/2} = 1.96$ [11](#page=11). * Het interval voor de proportie stemmen wordt berekend. * Dit proportie-interval wordt vervolgens vermenigvuldigd met het totale aantal stemmen (35 000) om het interval voor het aantal stemmen te verkrijgen [11](#page=11). * **Analyse (gedeelte 2 - representativiteit):** * Representativiteit hangt af van de steekproefmethode (is deze willekeurig en representatief voor de gehele populatie van 35 000 stemmers?) [11](#page=11). * Het feit dat 2000 van de 35 000 stemmen (ongeveer 5.7%) zijn geteld, kan worden beoordeeld in relatie tot de verwachte variabiliteit en de gewenste precisie van de schatting [11](#page=11). ### 4.3 Oefening 3: Effectiviteit van medicatie tegen migraine Een neurologieteam onderzoekt de effectiviteit van een nieuwe medicatie tegen migraine door patiënten willekeurig toe te wijzen aan een testgroep of een placebogroep [16](#page=16). * **Probleemstelling:** Zijn er in verhouding minder mensen met migraine aanvallen in de testgroep dan in de placebogroep? Significantieniveau $\alpha = 5\%$ [16](#page=16). * **Gegeven:** * Testgroep: $n_1 = 35$ patiënten [16](#page=16). * Testgroep met afgenomen aanvallen: $x_1 = 21$ [16](#page=16). * Placebogroep: $n_2 = 20$ patiënten [16](#page=16). * Placebogroep met afgenomen aanvallen: $x_2 = 10$ [16](#page=16). * Significantieniveau: $\alpha = 5\%$ [16](#page=16). * **Analyse:** * Dit is een vergelijking van twee proporties uit twee onafhankelijke steekproeven. * Steekproefproportie testgroep: $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{21}{35} = 0.60$ [16](#page=16). * Steekproefproportie placebogroep: $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{10}{20} = 0.50$ [16](#page=16). * Nulhypothese ($H_0$): De proportie patiënten met afgenomen aanvallen is gelijk in beide groepen ($p_1 = p_2$) [16](#page=16). * Alternatieve hypothese ($H_1$): De proportie patiënten met afgenomen aanvallen is kleiner in de testgroep dan in de placebogroep ($p_1 < p_2$). Dit is een eenzijdige toets [16](#page=16). * De gecombineerde proportie $\hat{p}_{pooled}$ wordt berekend om de standaardfout te schatten onder $H_0$: $\hat{p}_{pooled} = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$ [16](#page=16). * De toetsingsgrootheid (z-score) voor het verschil tussen twee proporties is: $Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_{pooled}(1-\hat{p}_{pooled})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$ [16](#page=16). * **Conclusie:** De berekende Z-waarde wordt vergeleken met de kritieke waarde voor $\alpha = 5\%$ om te bepalen of het nieuwe medicijn een significant grotere afname van migraineaanvallen veroorzaakt. ### 4.4 Oefening 4: Tevredenheid van werknemers in internationale filialen Een internationaal bedrijf vergelijkt de tevredenheid van werknemers in België en Spanje. Er wordt onderzocht of het percentage tevreden werknemers lager is in Spanje dan in België [17](#page=17). * **Probleemstelling:** Zijn er in verhouding minder tevreden werknemers in Spanje dan in België? Significantieniveau $\alpha = 1\%$ [17](#page=17). * **Gegeven:** * België: $n_{BE} = 100$ werknemers bevraagd, $x_{BE} = 51$ tevreden [17](#page=17). * Spanje: $n_{ES} = 60$ werknemers bevraagd, $x_{ES,ontevreden} = 33$. Hieruit volgt dat $x_{ES} = 60 - 33 = 27$ tevreden werknemers [17](#page=17). * Significantieniveau: $\alpha = 1\%$ [17](#page=17). * **Analyse:** * Dit betreft wederom een vergelijking van twee proporties uit twee onafhankelijke steekproeven. * Steekproefproportie tevredenheid België: $\hat{p}_{BE} = \frac{51}{100} = 0.51$ [17](#page=17). * Steekproefproportie tevredenheid Spanje: $\hat{p}_{ES} = \frac{27}{60} = 0.45$ [17](#page=17). * Nulhypothese ($H_0$): De proportie tevreden werknemers is gelijk in beide filialen ($p_{BE} = p_{ES}$) [17](#page=17). * Alternatieve hypothese ($H_1$): De proportie tevreden werknemers is kleiner in Spanje dan in België ($p_{ES} < p_{BE}$). Dit is een eenzijdige toets [17](#page=17). * De gecombineerde proportie $\hat{p}_{pooled}$ wordt berekend: $\hat{p}_{pooled} = \frac{x_{BE} + x_{ES}}{n_{BE} + n_{ES}} = \frac{51 + 27}{100 + 60}$ [17](#page=17). * De toetsingsgrootheid (z-score) voor het verschil tussen twee proporties is: $Z = \frac{\hat{p}_{ES} - \hat{p}_{BE}}{\sqrt{\hat{p}_{pooled}(1-\hat{p}_{pooled})(\frac{1}{n_{BE}} + \frac{1}{n_{ES}})}}$ [17](#page=17). * **Conclusie:** De resulterende Z-waarde wordt getoetst tegen de kritieke waarde voor $\alpha = 1\%$ om te oordelen of er statistisch significant minder tevreden werknemers zijn in Spanje. ### 4.5 Oefening 5: Effectiviteit van antidepressivum Een farmaceutisch bedrijf evalueert de effectiviteit van een nieuw antidepressivum ten opzichte van het standaard medicijn, en test een specifieke marketingclaim [18](#page=18). * **Probleemstelling:** a) Is het nieuwe medicijn effectiever dan het standaard medicijn? ($\alpha = 5\%$) [18](#page=18). b) Is er voldoende bewijs voor de claim dat het nieuwe medicijn minstens 15 procentpunten effectiever is? ($\alpha = 5\%$) [18](#page=18). * **Gegeven:** * Nieuw medicijn: $n_{nieuw} = 120$ patiënten, $x_{nieuw} = 79$ met significante verbetering [18](#page=18). * Standaard medicijn: $n_{std} = 110$ patiënten, $x_{std} = 54$ met significante verbetering [18](#page=18). * Significantieniveau: $\alpha = 5\%$ [18](#page=18). * **Analyse (deel a):** * Vergelijking van twee proporties uit twee onafhankelijke groepen. * Steekproefproportie verbetering nieuw medicijn: $\hat{p}_{nieuw} = \frac{79}{120} \approx 0.6583$ [18](#page=18). * Steekproefproportie verbetering standaard medicijn: $\hat{p}_{std} = \frac{54}{110} \approx 0.4909$ [18](#page=18). * Nulhypothese ($H_0$): Het nieuwe medicijn is niet effectiever dan het standaard medicijn ($p_{nieuw} \le p_{std}$) [18](#page=18). * Alternatieve hypothese ($H_1$): Het nieuwe medicijn is effectiever dan het standaard medicijn ($p_{nieuw} > p_{std}$). Dit is een eenzijdige toets [18](#page=18). * Berekening van $\hat{p}_{pooled} = \frac{79 + 54}{120 + 110}$ [18](#page=18). * Toetsingsgrootheid: $Z = \frac{\hat{p}_{nieuw} - \hat{p}_{std}}{\sqrt{\hat{p}_{pooled}(1-\hat{p}_{pooled})(\frac{1}{n_{nieuw}} + \frac{1}{n_{std}})}}$ [18](#page=18). * **Analyse (deel b):** * Deze deelvraag onderzoekt een specifiek verschil in proporties. * Nulhypothese ($H_0$): Het verschil in effectiviteit is kleiner dan 15 procentpunten ($p_{nieuw} - p_{std} \le 0.15$) [18](#page=18). * Alternatieve hypothese ($H_1$): Het verschil in effectiviteit is minstens 15 procentpunten ($p_{nieuw} - p_{std} > 0.15$). Dit is een eenzijdige toets [18](#page=18). * De toetsingsgrootheid wordt berekend met: $Z = \frac{(\hat{p}_{nieuw} - \hat{p}_{std}) - (p_{nieuw,0} - p_{std,0})}{\sqrt{\frac{p_{nieuw}(1-p_{nieuw})}{n_{nieuw}} + \frac{p_{std}(1-p_{std})}{n_{std}}}}$. Voor de berekening onder $H_0$ wordt het verschil van 0.15 gebruikt als $(p_{nieuw,0} - p_{std,0})$. Echter, bij het toetsen van een specifiek verschil is het vaak handiger om de standaardfout te schatten met de bekende proporties (indien mogelijk) of de gepoolde schatting, afhankelijk van de precieze statistische methode. Een directere methode is om de toetsingsgrootheid te construeren rond het hypothetische verschil van 0.15: $Z = \frac{(\hat{p}_{nieuw} - \hat{p}_{std}) - 0.15}{\sqrt{\frac{\hat{p}_{nieuw}(1-\hat{p}_{nieuw})}{n_{nieuw}} + \frac{\hat{p}_{std}(1-\hat{p}_{std})}{n_{std}}}}$. Hierbij worden de eigen steekproefproporties gebruikt voor de schatting van de variantie [18](#page=18). * **Conclusie:** Beide delen vereisen het vergelijken van de berekende Z-waarden met de kritieke Z-waarde voor $\alpha = 5\%$ om conclusies te trekken over de effectiviteit en de marketingclaim. > **Tip:** Bij het toetsen van twee proporties is het cruciaal om te bepalen of de steekproeven onafhankelijk zijn en of de toets eenzijdig of tweezijdig is, gebaseerd op de vraagstelling. > **Tip:** Zorg bij het berekenen van de gecombineerde proportie ($\hat{p}_{pooled}$) dat deze alleen wordt gebruikt wanneer de nulhypothese stelt dat de proporties gelijk zijn. Bij het toetsen van een specifiek verschil (zoals 15 procentpunten) worden de individuele steekproefproporties vaak gebruikt om de variantie te schatten voor een nauwkeurigere toetsing. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Binomiale verdeling | Een kansverdeling die de kans op een bepaald aantal successen beschrijft in een vast aantal onafhankelijke experimenten (pogingen), waarbij elke poging slechts twee mogelijke uitkomsten heeft (succes of mislukking) met een constante succeskans. | | Steekproefproportie | De fractie van de observaties in een steekproef die een bepaalde eigenschap vertonen; wordt vaak gebruikt als schatting van de populatieproportie. | | Nulhypothese ($H_0$) | Een stelling die wordt verondersteld waar te zijn totdat bewijs het tegendeel aantoont; in proportietests stelt deze vaak dat er geen verschil is tussen populatieproporties of dat een populatieproportie een specifieke waarde heeft. | | Alternatieve hypothese ($H_A$) | Een stelling die wordt voorgesteld als alternatief voor de nulhypothese; deze stelt meestal dat er een verschil is of dat een parameter groter of kleiner is dan gespecificeerd in de nulhypothese. | | Betrouwbaarheidsinterval | Een reeks waarden die waarschijnlijk de ware populatieparameter bevat, berekend op basis van steekproefgegevens, met een gespecificeerd betrouwbaarheidsniveau. | | Steekproevenverdeling | De verdeling van de statistiek berekend uit alle mogelijke steekproeven van dezelfde grootte, getrokken uit dezelfde populatie. | | Variantie | Een maat voor de spreiding van een set getallen; het is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van elk getal van het gemiddelde van die set. | | Twee-steekproeven proportietest | Een statistische test die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verschil is tussen de proporties van twee verschillende populaties. | | Gepoolde steekproefproportie | Een gewogen gemiddelde van de steekproefproporties van twee groepen, gebruikt in een twee-steekproeven proportietest wanneer de nulhypothese gelijke proporties veronderstelt. | | Significantieniveau ($\alpha$) | De kans op het verwerpen van de nulhypothese wanneer deze feitelijk waar is (type I fout); vaak ingesteld op 0.05 of 0.01. |

# Inleiding tot non-parametrische testen Dit deel introduceert de Wilcoxon testen als alternatieven voor de t-test wanneer de voorwaarden voor de t-test niet voldaan zijn, met specifieke aandacht voor de Mann Whitney U test en de Wilcoxon rangtekentest. ### 1.1 Wilcoxon testen als alternatieven voor de t-test Non-parametrische testen, zoals de Wilcoxon testen, bieden een uitkomst wanneer de aannames van parametrische testen, zoals de t-test, niet voldaan zijn. Dit is met name relevant bij data die niet normaal verdeeld zijn of wanneer de data nominaal of ordinaal is en niet voldoet aan de interval/ratio voorwaarden van de t-test. ### 1.2 De Mann Whitney U test (Wilcoxon rangsomtest) #### 1.2.1 Toepassingsgebied en voorwaarden De Mann Whitney U test (ook bekend als de Wilcoxon rangsomtest) wordt gebruikt om het verschil te toetsen tussen twee onafhankelijke (ongepaarde) groepen. * **Voorwaarden:** * De data moet minstens van ordinaal niveau zijn. * Er moeten twee onafhankelijke (ongepaarde) steekproeven zijn. * Voor een betrouwbare toetsing wordt vaak een minimale steekproefgrootte van $n_1 \ge 10$ en $n_2 \ge 10$ gehanteerd. #### 1.2.2 Hypothesen De nulhypothese ($H_0$) stelt dat er geen verschil is in de medianen tussen de twee groepen, terwijl de alternatieve hypothese ($H_A$) stelt dat er een verschil is. * $H_0$: $Mdn_x - Mdn_y = 0$ * $H_A$: $Mdn_x - Mdn_y > 0$ (éénzijdige toets) of $Mdn_x - Mdn_y \ne 0$ (tweezijdige toets) #### 1.2.3 Berekening van de toetsingsgrootheid De berekening van de toetsingsgrootheid omvat het rangschikken van alle observaties uit beide groepen samen. Bij gelijke waarden (ex aequo's) wordt het gemiddelde van de rangen toegekend. > **Tip:** Bij ex aequo's die zich over groepen heen voordoen, moet in principe een correctie op de standaardfout van de z-statistiek worden uitgevoerd. Softwarepakketten voeren deze correctie doorgaans automatisch uit. #### 1.2.4 Voorbeeld van toepassing Professor Theuns onderzoekt de motivatie van studenten. Acht studenten schrijven een opstel, waarbij vier studenten hun onderwerp mogen kiezen en vier een onderwerp toegewezen krijgen. De motivatiescores (op een schaal van 0 tot 30) worden vergeleken. * **Gegevens:** Motivatie scores zijn ordinaal, er zijn 2 ongepaarde steekproeven (zelfgekozen vs. opgelegd onderwerp). * **Geschikte toets:** Wilcoxon rangsomtest (Mann Whitney U test) omdat de voorwaarden (ordinaal niveau, 2 ongepaarde steekproeven) voldaan zijn en $n_1=4, n_2=4$, hoewel dit lager is dan de aanbevolen $n \ge 10$. In de context van de oefening worden de voorwaarden als ok beschouwd. * **Hypothesen:** $H_0$: $Mdn_{zelfgekozen} - Mdn_{opgelegd} = 0$, $H_A$: $Mdn_{zelfgekozen} - Mdn_{opgelegd} > 0$. ### 1.3 De Wilcoxon rangtekentest #### 1.3.1 Toepassingsgebied en voorwaarden De Wilcoxon rangtekentest wordt gebruikt om het verschil te toetsen tussen twee gerelateerde (gepaarde) metingen uit één steekproef. Dit is bijvoorbeeld het geval bij metingen voor en na een interventie bij dezelfde personen. * **Voorwaarden:** * De data moet minstens van ordinaal niveau zijn. * Er is sprake van één steekproef die tweemaal gemeten is (oftewel, 2 gepaarde steekproeven). * Een voorwaarde voor de exacte toets is dat de verdeling van de verschilscores symmetrisch is rond nul. Wanneer de verschilscores niet normaal verdeeld zijn, maar wel de symmetrie aanname geldt, kan de Wilcoxon rangtekentest gebruikt worden. * Voor de benaderende z-toets wordt een minimale steekproefgrootte van $n \ge 10$ gehanteerd. Het aantal paren met een verschilscore groter dan nul, $N^*$, wordt berekend als $N^* = n - \#\text{paren met verschilscore 0}$. > **Tip:** Een specifieke voorwaarde die soms wordt gesteld voor de *exacte* Wilcoxon rangtekentest is dat er geen enkel interval tussen twee opeenvolgende waarden groter mag zijn dan de som van twee andere opeenvolgende intervallen. Echter, voor de benaderende z-toets met grotere steekproeven is dit minder strikt. #### 1.3.2 Voorbeeld van toepassing Professor Isaac onderzoekt angst bij studenten. De hartslag per minuut van zestien studenten wordt gemeten in rust en na het bekijken van een videofragment van een slang. De verschilscores zijn niet normaal verdeeld. * **Gegevens:** Hartslagen per minuut zijn van ratio niveau, er is één steekproef tweemaal gemeten (voor en na video). De verschilscores zijn niet normaal verdeeld. * **Geschikte toets:** Omdat de verschilscores niet normaal verdeeld zijn en de data gepaard is, is de Wilcoxon rangtekentest de meest aangewezen non-parametrische test. De gepaarde t-test is niet geschikt. * **Voorwaarden:** $n=16$, dus $N^* = 16 - 1 = 15$ (ervan uitgaande dat één paar een verschilscore van 0 had). Aangezien $N^*=15 \ge 10$, zijn de voorwaarden voor de benaderende z-toets voldaan. * **Hypothesen:** $H_0$: De mediane hartslag voor het videofragment = De mediane hartslag na het videofragment, $H_A$: De mediane hartslag na het videofragment > De mediane hartslag voor het videofragment. ### 1.4 Belangrijke overwegingen Bij het gebruik van non-parametrische testen, zoals de Mann Whitney U test en de Wilcoxon rangtekentest, is het cruciaal om de specifieke voorwaarden van elke test te controleren en te begrijpen hoe verschillende softwarepakketten de resultaten rapporteren, aangezien er variaties in output kunnen voorkomen. De keuze tussen de twee hangt af van of de steekproeven gepaard of ongepaard zijn. --- # Toepassing van de Wilcoxon rangsomtest (Mann Whitney U test) Deze sectie illustreert de toepassing van de Wilcoxon rangsomtest, ook wel bekend als de Mann Whitney U test, op een praktisch voorbeeld met motivatiescores van studenten, waarbij de voorwaarden en hypothesen worden uiteengezet. ### 2.1 De Wilcoxon rangsomtest en de Mann Whitney U test De Wilcoxon rangsomtest (ook Mann Whitney U test genoemd) is een niet-parametrische toets die gebruikt kan worden wanneer de voorwaarden voor de t-test niet voldaan zijn. #### 2.1.1 Toepassingsgebied * **Voorwaarden:** * De data moeten van ordinaal niveau zijn. * Er moeten twee onafhankelijke (ongepaarde) steekproeven zijn. * **Alternatief voor de t-test:** Beide testen kunnen worden gebruikt voor data die niet voldoen aan de voorwaarden van de t-test (zoals normaliteit). * **Software rapportage:** Verschillende softwarepakketten rapporteren deze testen op uiteenlopende manieren. * **Steekproefgrootte:** De voorwaarden voor deze test zijn doorgaans dat de steekproefgroottes van beide groepen voldoende groot zijn, bijvoorbeeld $n_1 \ge 10$ en $n_2 \ge 10$. #### 2.1.2 Voorbeeld: Motivatie van studenten Een professor doet onderzoek naar de motivatie van studenten. Acht studenten worden gevraagd een opstel te schrijven. Vier studenten mogen hun onderwerp zelf kiezen (groep X) en vier studenten krijgen een onderwerp toegewezen (groep Y). Na het inleveren van het opstel worden de motivatiescores gemeten op een schaal van 0 (niet gemotiveerd) tot 30 (uitermate gemotiveerd). **Vraag:** Zijn de motivatiescores van studenten met een zelfgekozen onderwerp significant hoger dan die van studenten met een opgelegd onderwerp, met een significantieniveau $\alpha = 5\%$? **Stap 1: Bepalen van de meest aangewezen toets** * **Type variabele:** Motivatie scores zijn ordinaal. * **Aantal steekproeven:** Er zijn twee onafhankelijke steekproeven (zelfgekozen onderwerp vs. opgelegd onderwerp). * **Conclusie:** De Wilcoxon rangsomtest (Mann Whitney U test) is de meest geschikte toets. * **Voorwaarden:** Aangenomen dat de voorwaarden, zoals $n_1 \ge 10$ en $n_2 \ge 10$, voldaan zijn voor de opgave. **Stap 2: Opstellen van de hypothesen** De nulhypothese ($H_0$) stelt dat er geen verschil is tussen de medianen van de twee groepen, terwijl de alternatieve hypothese ($H_A$) stelt dat de mediaan van groep X significant hoger is dan die van groep Y. * $H_0$: $Mdn_X - Mdn_Y = 0$ * $H_A$: $Mdn_X - Mdn_Y > 0$ **Stap 3: Berekenen van de toetsingsgrootheid** Dit omvat het rangschikken van alle observaties gezamenlijk en vervolgens het berekenen van de som van de rangen voor elke groep. Er zijn verschillende methoden om de toetsingsgrootheid te berekenen, waarbij softwarepakketten dit vaak automatiseren. * **Omgang met ex aequo's (gelijke waarden):** Bij gelijke waarden worden de gemiddelde rangen voor deze waarden toegekend. Indien er ex aequo's optreden tussen de groepen, zou dit in principe een correctie op de standaardfout van de z-statistiek vereisen, maar dit wordt bij handmatige uitwerking vaak weggelaten. > **Tip:** Bij de handmatige berekening is het essentieel om nauwkeurig de rangen toe te kennen en de som van de rangen voor elke groep correct te bepalen. ### 2.2 Vergelijking met andere Wilcoxon testen De tekst noemt ook de **Wilcoxon tekentest** (ook wel rangtekentest genoemd) als een gerelateerde, maar distincte, niet-parametrische toets. #### 2.2.1 De Wilcoxon tekentest * **Voorwaarden:** * De data moeten van ordinaal niveau zijn. * Er is één steekproef die tweemaal gemeten wordt (gepaarde steekproeven). Dit is van toepassing bij situaties zoals een "voor en na" meting. * Een specifieke voorwaarde met betrekking tot intervallen: geen enkel interval tussen twee opeenvolgende waarden mag groter zijn dan de som van twee andere opeenvolgende intervallen. Bijvoorbeeld, een reeks met waarden 1, 2, 3, 5 is oké, maar 1, 2, 3, 6 is dat niet, omdat de som van de intervallen $(2-1) + (3-2) = 2$ niet gelijk is aan $(6-3) = 3$. * De steekproefgrootte moet voldoende zijn, doorgaans $n \ge 10$. * **Toepassing:** De tekentest wordt gebruikt wanneer de verschilscores van gepaarde metingen niet normaal verdeeld zijn en men een niet-parametrisch alternatief zoekt voor de gepaarde t-test. #### 2.2.2 Oefening met de Wilcoxon tekentest (Professor Isaac) Een voorbeeld betreft het meten van de hartslag van studenten voor en na het bekijken van een videofragment met een slang. De verschilscores zijn niet normaal verdeeld. Met 16 studenten, en één paar met een verschilscore van 0, wordt de effective steekproefgrootte $n^* = 16 - 1 = 15$. Aangezien $n^* \ge 10$, is de Wilcoxon tekentest geschikt. Dit illustreert hoe de tekentest wordt toegepast op gepaarde data wanneer aan de voorwaarden voldaan is. --- # Wilcoxon rangtekentest bij gepaarde steekproeven De Wilcoxon rangtekentest bij gepaarde steekproeven is een non-parametrische toets die wordt gebruikt om te onderzoeken of er een significant verschil is tussen twee gerelateerde metingen, vaak uitgevoerd op dezelfde proefpersonen onder verschillende omstandigheden of op verschillende tijdstippen. Deze test is met name geschikt wanneer de verschilscores niet normaal verdeeld zijn, wat een voorwaarde is voor de gepaarde t-toets. ### 3.1 Toepassingsgebied en voorwaarden De Wilcoxon rangtekentest voor gepaarde steekproeven wordt toegepast in de volgende situaties: * **Niveau van meting:** De data moeten op ten minste ordinaal niveau gemeten zijn. * **Steekproefstructuur:** Er is sprake van één steekproef die tweemaal is gemeten (oftewel, twee gepaarde steekproeven). Dit betekent dat de metingen van de ene groep direct gekoppeld zijn aan de metingen van de andere groep (bijvoorbeeld metingen bij dezelfde persoon voor en na een interventie). * **Distributie van verschilscores:** De verschilscores tussen de gepaarde metingen mogen niet normaal verdeeld zijn. * **Steekproefgrootte:** De effectieve steekproefgrootte ($n^*$) moet minimaal 10 zijn. De effectieve steekproefgrootte wordt berekend als de totale steekproefgrootte min het aantal paren met een verschilscore van nul. > **Tip:** Deze test is een uitstekend alternatief voor de gepaarde t-toets wanneer de aanname van normaliteit van de verschilscores geschonden wordt. Het document noemt ook een specifieke voorwaarde met betrekking tot de intervallen tussen opeenvolgende waarden op de ordinale schaal, maar dit lijkt meer gerelateerd aan de rangsomtest dan aan de rangtekentest zelf, en de nadruk ligt op de gepaarde metingen. ### 3.2 Hypothesen Voor de Wilcoxon rangtekentest bij gepaarde steekproeven worden de volgende hypothesen opgesteld: * **Nulhypothese ($H_0$):** Er is geen verschil tussen de medianen van de twee gerelateerde metingen. Dit kan formeel worden uitgedrukt als: $H_0: \text{Mdn}_{\text{verschil}} = 0$ of, equivalent: $H_0: \text{Mdn}_X = \text{Mdn}_Y$ waarbij $X$ en $Y$ de twee metingen van de gepaarde steekproef representeren. * **Alternatieve hypothese ($H_A$):** Er is een verschil tussen de medianen van de twee gerelateerde metingen. Afhankelijk van de onderzoeksvraag kan dit een eenzijdige of tweezijdige hypothese zijn: * Eenzijdig (groter): $H_A: \text{Mdn}_{\text{verschil}} > 0$ (oftewel, $\text{Mdn}_X > \text{Mdn}_Y$) * Eenzijdig (kleiner): $H_A: \text{Mdn}_{\text{verschil}} < 0$ (oftewel, $\text{Mdn}_X < \text{Mdn}_Y$) * Tweezijdig: $H_A: \text{Mdn}_{\text{verschil}} \neq 0$ (oftewel, $\text{Mdn}_X \neq \text{Mdn}_Y$) ### 3.3 Berekening van de toetsingsgrootheid De berekening van de toetsingsgrootheid in de Wilcoxon rangtekentest bij gepaarde steekproeven omvat de volgende stappen: 1. **Bereken de verschilscores:** Voor elk paar metingen wordt het verschil berekend: $d_i = X_i - Y_i$. 2. **Negeer paren met een verschilscore van nul:** Deze paren dragen niet bij aan de analyse. 3. **Rangschik de absolute waarden van de verschilscores:** Rangschik de absolute waarden van de niet-nul verschilscores van klein naar groot. 4. **Ken rangen toe:** * Geef de kleinste absolute verschilscore de rang 1, de volgende de rang 2, enzovoort. * **Behandeling van ex aequo's (gelijke waarden):** Indien er gelijke absolute verschilscores zijn, krijgen deze de gemiddelde rang toegekend die ze zouden hebben ingenomen als ze net van elkaar verschilden. Bijvoorbeeld, als de derde en vierde kleinste absolute verschillen gelijk zijn, krijgen ze beide de rang $(3+4)/2 = 3.5$. 5. **Bepaal de som van de positieve rangen en de som van de negatieve rangen:** * Ken de oorspronkelijke tekens (positief of negatief) toe aan de rangen die overeenkomen met de verschilscores. * Bereken de som van de rangen met positieve verschilscores ($W^+$). * Bereken de som van de rangen met negatieve verschilscores ($W^-$). 6. **Bepaal de toetsingsgrootheid:** De toetsingsgrootheid is meestal de kleinste van de twee sommen van rangen, $W = \min(W^+, W^-)$. Echter, in sommige softwarepakketten wordt de som van de positieve rangen ($W^+$) als toetsingsgrootheid gebruikt, waarbij de alternatieve hypothese dan aangepast wordt op basis van de richting van het verwachte verschil. > **Tip:** De som van alle rangen ($n^*(n^*+1)/2$) moet gelijk zijn aan de som van de positieve en negatieve rangen ($W^+ + W^-$). Dit is een goede controle op de berekeningen. **Behandeling van ex aequo's tussen groepen:** Het document vermeldt dat bij ex aequo's tussen groepen (in de context van de rangsomtest, maar principieel ook relevant voor de rangtekentest bij de toekenning van rangen aan verschillen) een correctie op de standaardfout van de z-statistiek nodig is. Dit wordt echter doorgaans door statistische software uitgevoerd en niet handmatig. ### 3.4 Voorbeeld: Hartslag bij angst Professor Isaac onderzoekt angst. Zestien studenten nemen deel. De hartslag per minuut wordt gemeten in rust en opnieuw na het bekijken van een videofragment van een aanvallende slang. De verschilscores zijn niet normaal verdeeld. De vraag is of de hartslag na het videofragment significant hoger is dan ervoor, met een significantieniveau $\alpha = 5\%$. * **Data:** Gepaarde metingen (hartslag voor en na video). * **Aantal studenten:** $n=16$. * **Voorwaarde verschilscores niet normaal:** Voldoen we aan. * **Gepaarde t-test:** Niet geschikt vanwege niet-normaal verdeelde verschilscores en een steekproefgrootte ($n=16 < 30$). * **Geschikte toets:** Wilcoxon rangtekentest bij gepaarde steekproeven. * **Effectieve steekproefgrootte ($n^*$):** Als één student een verschilscore van 0 had, dan zou $n^* = 16 - 1 = 15$. De voorwaarde $n^* \geq 10$ is voldaan. **Hypothesen:** * $H_0: \text{Mdn}_{\text{verschil}} = 0$ (hartslag na = hartslag voor) * $H_A: \text{Mdn}_{\text{verschil}} > 0$ (hartslag na > hartslag voor) De verdere uitwerking zou de berekening van de verschilscores, rangschikking, toekenning van rangen en de sommatie van de rangen omvatten om de toetsingsgrootheid te bepalen en deze te vergelijken met een kritische waarde uit de Wilcoxon-tabel of een z-waarde uit de normale verdeling voor grote steekproeven. --- # Verschil tussen examenprestaties Dit onderdeel onderzoekt of er een significant verschil bestaat in examenprestaties tussen dezelfde studenten op twee verschillende vakken, waarbij de normaliteitsvoorwaarden voor t-testen niet voldaan zijn. ### 4.1 Situatiebeschrijving en probleemstelling Oefening 4 behandelt een situatie waarin de examenprestaties van dezelfde studenten op twee verschillende vakken, Statistiek (X) en Algemene Psychologie (Y), met elkaar worden vergeleken. De kernvraag is of er een significant verschil bestaat tussen deze twee prestatieniveaus. Er wordt expliciet gesteld dat de verschillen tussen de scores niet normaal verdeeld zijn, wat betekent dat een parametrische toets zoals de gepaarde t-test niet de meest geschikte methode is. In plaats daarvan wordt er gekeken naar een non-parametrische alternatieve toets. ### 4.2 Keuze van de toets Gezien de voorwaarden: * De metingen komen van dezelfde studenten (dus gepaarde/afhankelijke steekproeven). * De verschilscores voldoen niet aan de normaliteitsvoorwaarde. Is de **Wilcoxon rangtekentest** de meest aangewezen non-parametrische toets. Deze test is geschikt voor het vergelijken van twee afhankelijke metingen wanneer de verschillen niet normaal verdeeld zijn, mits de data minimaal van ordinaal niveau zijn. ### 4.3 Hypothesen formuleren Voor de Wilcoxon rangtekentest worden de hypothesen geformuleerd rond de mediaan van de verschilscores. * **Nulhypothese ($H_0$)**: Er is geen verschil in de mediaan van de scores tussen de twee vakken. Dit kan geformuleerd worden als $Mdn_X - Mdn_Y = 0$ of $Mdn_{verschil} = 0$. * **Alternatieve hypothese ($H_A$)**: Er is wel een verschil in de mediaan van de scores tussen de twee vakken. Dit kan zowel een tweezijdige hypothese zijn ($Mdn_X \neq Mdn_Y$ of $Mdn_{verschil} \neq 0$) als een eenzijdige hypothese, afhankelijk van de specifieke onderzoeksvraag. In dit specifieke geval wordt gevraagd om na te gaan *of er een significant verschil is*, wat impliceert dat de alternatieve hypothese tweezijdig is. Voor dit voorbeeld, met een significantieniveau ($\alpha$) van 1% (0.01): * $H_0$: $Mdn_X - Mdn_Y = 0$ * $H_A$: $Mdn_X - Mdn_Y \neq 0$ ### 4.4 Toetsingsgrootheid berekenen De Wilcoxon rangtekentest werkt door de absolute verschillen tussen de gepaarde scores te rangschikken. Vervolgens worden de rangen van de positieve en negatieve verschillen apart gesommeerd. De toetsingsgrootheid is doorgaans de kleinste van deze twee sommen (W). **Stappen voor berekening (handmatig):** 1. **Bereken de verschilscores**: Voor elk paar scores ($X_i, Y_i$), bereken het verschil $D_i = X_i - Y_i$. 2. **Negeer nulverschillen**: Studenten met een verschilscore van 0 worden uit de analyse verwijderd. Het aantal resterende paren is $N^*$. 3. **Rangschik absolute verschillen**: Neem de absolute waarden van de niet-nul verschilscores ($|D_i|$). Rangschik deze van klein naar groot. 4. **Wijs rangen toe**: Geef aan elke $|D_i|$ de rang die overeenkomt met zijn positie in de gesorteerde lijst. * **Ex aequo's (gelijke waarden)**: Bij gelijke absolute verschillen wordt het gemiddelde van de betrokken rangen toegekend aan alle gelijke waarden. 5. **Scheid rangen**: Wijs de oorspronkelijke rangen toe aan de positieve en negatieve verschilscores. * Som van de rangen van de positieve verschillen ($W^+$). * Som van de rangen van de negatieve verschillen ($W^-$). 6. **Bepaal de toetsingsgrootheid (W)**: De toetsingsgrootheid $W$ is de kleinste van $W^+$ en $W^-$. **Tip:** Softwarepakketten voeren deze berekening efficiënt uit. Bij handmatige berekeningen is het cruciaal om zorgvuldig te werk te gaan, vooral bij ex aequo's. ### 4.5 Beslissingsregel en conclusie De berekende toetsingsgrootheid $W$ wordt vergeleken met een kritische waarde uit de Wilcoxon-tabel, of er wordt een p-waarde berekend. * **Kritische waarde methode**: Als $W$ kleiner is dan of gelijk is aan de kritische waarde voor de gegeven $N^*$ en $\alpha$, wordt de nulhypothese verworpen. * **P-waarde methode**: Als de p-waarde kleiner is dan $\alpha$ (in dit geval 0.01), wordt de nulhypothese verworpen. **Conclusie:** Als $H_0$ wordt verworpen, concludeert men dat er een statistisch significant verschil is in examenprestaties tussen de twee vakken op het gekozen significantieniveau. De richting van het verschil kan worden afgeleid uit de gemiddelde rangen van de positieve en negatieve verschillen. Indien $H_0$ niet verworpen wordt, is er onvoldoende bewijs om te concluderen dat er een significant verschil bestaat. ### 4.6 Voorwaarden voor de Wilcoxon rangtekentest * **Afhankelijke steekproeven**: De metingen moeten van dezelfde eenheden komen (bv. dezelfde studenten, dezelfde patiënten). * **Ordinaal niveau of hoger**: De data moeten minstens ordinaal meetbaar zijn. * **Verschilscores niet normaal verdeeld**: Dit is de reden waarom de Wilcoxon test verkozen wordt boven de gepaarde t-test. * **Steekproefgrootte**: Hoewel de test theoretisch op kleine steekproeven kan worden toegepast, wordt een minimale steekproefgrootte van $N^* \ge 10$ vaak als wenselijk beschouwd voor betrouwbare resultaten, vooral bij het gebruik van z-approximaties voor grotere steekproeven. Voor de normale benadering geldt $N^* \ge 20$. **Tip:** Controleer altijd of de data minimaal ordinaal zijn en of de metingen werkelijk gepaard zijn. De afwezigheid van normaliteit in de verschilscores is een sleutelcriterium. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Univariate data-analyse | Een statistische analyse die zich richt op één variabele tegelijk om de kenmerken ervan te beschrijven en te samenvatten. | | Rangsomtest | Een non-parametrische statistische test die gebruikt wordt om de verschillen tussen twee onafhankelijke groepen te vergelijken door de rangordes van de data te analyseren. | | Mann Whitney U test | Een non-parametrische toets die gelijkwaardig is aan de Wilcoxon rangsomtest en gebruikt wordt om te bepalen of twee onafhankelijke groepen significant van elkaar verschillen op een ordinale variabele. | | Wilcoxon rangtekentest | Een non-parametrische toets voor gepaarde metingen, gebruikt om te beoordelen of er een significant verschil is tussen twee gerelateerde metingen van dezelfde proefpersoon of een gematcht paar. | | Ordinaal niveau | Een meetniveau waarbij de data geordend kan worden, maar de afstanden tussen de waarden niet noodzakelijk gelijk zijn. | | Steekproef | Een representatief deel van een populatie dat wordt geselecteerd voor onderzoek, om conclusies te kunnen trekken over de gehele populatie. | | Gepaarde steekproeven | Twee sets metingen die aan elkaar gerelateerd zijn, meestal afkomstig van dezelfde proefpersonen onder verschillende omstandigheden of op verschillende tijdstippen. | | Ongepaarde steekproeven | Twee sets metingen die onafhankelijk van elkaar zijn, afkomstig van verschillende groepen proefpersonen. | | T-test | Een parametrische statistische test die gebruikt wordt om het verschil tussen de gemiddelden van twee groepen te vergelijken, ervan uitgaande dat de data normaal verdeeld zijn. | | Motivatie | De drijfveer of redenen die leiden tot bepaald gedrag, in dit geval de mate van gemotiveerdheid van studenten. | | Motivatie score | Een numerieke waarde die de mate van motivatie weergeeft, gemeten op een specifieke schaal. | | Hypothese | Een voorlopige aanname of stelling die getoetst moet worden met statistische methoden. | | H0 (Nulhypothese) | De hypothese die stelt dat er geen significant verschil of verband is tussen de populatieparameters. | | HA (Alternatieve hypothese) | De hypothese die stelt dat er wel een significant verschil of verband is, en die geaccepteerd wordt als de nulhypothese verworpen wordt. | | Mdn (Mediaan) | De middelste waarde in een geordende dataset; de waarde die de dataset in twee gelijke helften verdeelt. | | Toetsingsgrootheid | Een waarde berekend uit steekproefgegevens die gebruikt wordt om een statistische toets uit te voeren en een beslissing te nemen over de nulhypothese. | | Ex aequo | Betekent gelijke rangen in de data, wat voorkomt wanneer meerdere waarnemingen dezelfde waarde hebben. | | Standaardfout | Een maat voor de spreiding van steekproefstatistieken rond de populatieparameter; een indicator van de precisie van een schatting. | | Woo(n)st | Een term die wordt gebruikt om de woonomgeving of het huis aan te duiden. | | Properheid | De mate van netheid en hygiëne van een woonomgeving. | | Hartslag per minuut | Het aantal keer dat het hart klopt binnen een periode van zestig seconden. | | Verschilscore | Het resultaat van het aftrekken van de ene meting van een andere, vaak gebruikt bij gepaarde metingen om de verandering te kwantificeren. | | Ratio meetniveau | Het hoogste meetniveau, waarbij de data geordend kunnen worden, de afstanden gelijk zijn en er een absoluut nulpunt bestaat, waardoor verhoudingen betekenisvol zijn. |

# Introductie tot de chi-kwadraatverdeling en toepassingen Deze sectie introduceert de chi-kwadraatverdeling, haar kenmerken, en haar algemene toepassingen in hypothesetesten, met specifieke aandacht voor de toets voor onafhankelijkheid en de toets voor goedheid van fit. ### 1.1 De chi-kwadraatverdeling De chi-kwadraatverdeling ($ \chi^2 $) is een continue kansverdeling die voornamelijk wordt gebruikt in hypothesetesten, met name bij het vergelijken van frequentieverdelingen. #### 1.1.1 Kenmerken van de chi-kwadraatverdeling * **Vrijheidsgraden ($df$)**: Dit is een cruciale parameter die de vorm van de verdeling bepaalt. Hoe meer vrijheidsgraden, hoe meer de chi-kwadraatverdeling naar rechts verschuift en symmetrischer wordt. * **Scheefheid**: Chi-kwadraatverdelingen zijn van nature asymmetrisch. Ze hebben een lange staart aan de rechterkant. Deze scheefheid neemt af naarmate het aantal vrijheidsgraden toeneemt. * **Kansen**: Kanswaarden onder de chi-kwadraatverdeling worden doorgaans afgelezen uit gespecialiseerde software of statistische tabellen. #### 1.1.2 Toepassingen van de chi-kwadraatverdeling De chi-kwadraatverdeling is van toepassing in hypothesetesten waarbij twee of meer frequentieverdelingen worden vergeleken. Twee veelvoorkomende toepassingen zijn: 1. **Chi-kwadraat toets voor onafhankelijkheid**: Deze toets onderzoekt of er een significant verband bestaat tussen twee variabelen. Minstens één van de variabelen moet gemeten zijn op nominaal niveau. 2. **Chi-kwadraat toets voor goedheid van fit (goodness of fit)**: Deze toets evalueert of de waargenomen verdeling van een variabele, gemeten op nominaal niveau, significant afwijkt van een theoretische of verwachte verdeling. > **Voorbeeld:** Testen of het aantal mannen en vrouwen in een populatie gelijk is, of nagaan of een bepaalde fractie van de populatie linkshandig is. > > > **Voorbeeld:** Nagaan of de verdeling van studenten per "trimester" (6/9 nieuwe studenten, 2/9 bissers, 1/9 trissers) overeenkomt met een theoretische verdeling. ### 1.2 Voorwaarden voor de chi-kwadraat toetsen Voor zowel de toets voor goedheid van fit als de toets voor onafhankelijkheid gelden specifieke voorwaarden met betrekking tot de verwachte frequenties: * **Verwachte frequenties**: Niet meer dan 20% van de verwachte frequenties in de cellen mogen kleiner zijn dan 5. * **Specifieke voorwaarde voor $df = 1$**: Indien het aantal vrijheidsgraden gelijk is aan 1, moet elke verwachte celfrequentie minimaal 5 zijn. * **Geen nul-frequenties**: Geen enkele verwachte frequentie mag nul zijn. Een nulverwachte frequentie zou impliceren dat een bepaalde categorie volledig niet wordt gebruikt, wat de analyse van die categorie zinloos maakt. ### 1.3 Oefeningen en Toepassingsvoorbeelden #### 1.3.1 Oefening 1: Chi-kwadraat aanpassingstoets Jolien kweekt dahlia's en beweert dat ze deze zo heeft gekruist dat een verwachte verdeling van 65% oranje, 25% witte en 10% roze bloemen ontstaat. De vraag is of de daadwerkelijk gevonden verdeling van bloemsoorten significant afwijkt van deze verwachte verdeling, met een significantieniveau $ \alpha = 1\% $. #### 1.3.2 Oefening 2: Chi-kwadraat afhankelijkheidstoets De opinie van de actieve bevolking over werknemersparticipatie wordt onderzocht. Een steekproef van 500 personen uit België wordt ondervraagd, onderverdeeld in 300 arbeiders, 150 bedienden en 50 werkgevers. Van de totale groep is 36% tegen participatie. Driekwart van de bedienden is voorstander. Het aantal arbeiders dat tegenstemt is dubbel zo groot als het aantal werkgevers dat tegenstemt. De vraag is of er een verband bestaat tussen de arbeidscategorie en de opinie ten aanzien van werknemersparticipatie, met een significantieniveau $ \alpha = 5\% $. > **Tip:** Bij het berekenen van verwachte frequenties voor de afhankelijkheidstoets, gaat men uit van de aanname van onafhankelijkheid. De verwachte frequentie in een cel is dan het product van de marginale kansen van die rij en kolom, vermenigvuldigd met het totaal aantal observaties. > > Bijvoorbeeld, de kans op een persoon die ziek is EN jong is, onder aanname van onafhankelijkheid, wordt berekend als de kans op ziek zijn maal de kans op jong zijn, vermenigvuldigd met het totale aantal mensen. > $$ P(\text{ziek en jong}) = P(\text{ziek}) \times P(\text{jong}) \times \text{totaal aantal mensen} $$ --- # Soorten chi-kwadraattoetsen en hun voorwaarden Deze sectie behandelt de twee hoofdtypen chi-kwadraattoetsen: de afhankelijkheidstoets, die de relatie tussen variabelen onderzoekt, en de aanpassingstoets, die afwijkingen van verwachte verdelingen evalueert, evenals de voorwaarden waaraan voldaan moet worden voor het correct toepassen van deze toetsen. ### 2.1 Inleiding tot chi-kwadraattoetsen Chi-kwadraattoetsen worden vaak gebruikt in hypothesetesten om twee of meer frequentieverdelingen te vergelijken. Ze zijn met name nuttig bij het analyseren van nominale variabelen. De chi-kwadraatverdeling zelf wordt gekenmerkt door zijn asymmetrische vorm, met een langere staart aan de rechterkant. Naarmate het aantal vrijheidsgraden ($df$) toeneemt, wordt de verdeling symmetrischer en verschuift deze naar rechts. Kansberekeningen worden doorgaans uitgevoerd met behulp van software of specifieke tabellen. ### 2.2 Chi-kwadraat afhankelijkheidstoets De chi-kwadraat afhankelijkheidstoets (ook wel onafhankelijkheidstoets genoemd) wordt toegepast om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee variabelen. Cruciaal is dat ten minste één van de variabelen op nominaal niveau gemeten moet zijn. Deze toets evalueert of de waargenomen frequenties in een kruistabel significant afwijken van de frequenties die we zouden verwachten als de variabelen onafhankelijk van elkaar zouden zijn. #### 2.2.1 Voorwaarden voor de afhankelijkheidstoets Om de chi-kwadraat afhankelijkheidstoets correct toe te passen, moeten de volgende voorwaarden vervuld zijn: * **Verwachte frequenties:** Niet meer dan 20% van de verwachte celfrequenties mag kleiner zijn dan 5. * **Speciaal geval voor df = 1:** Als het aantal vrijheidsgraden gelijk is aan 1, moet elke verwachte celfrequentie minimaal 5 zijn. * **Geen nul-frequenties:** Geen enkele verwachte frequentie mag nul zijn. Een nul verwachte frequentie impliceert dat een hele categorie niet wordt gebruikt, wat de analyse van die categorie zinloos maakt. > **Tip:** Het begrijpen van de vrijheidsgraden is essentieel. Voor de afhankelijkheidstoets wordt dit berekend als $df = (aantal \ rows - 1) \times (aantal \ columns - 1)$, waarbij 'rows' en 'columns' verwijzen naar het aantal categorieën van de betreffende variabelen in de kruistabel. #### 2.2.2 Voorbeeld van de afhankelijkheidstoets Stel, we willen onderzoeken of er een verband is tussen de arbeidscategorie (arbeider, bediende, werkgever) en de mening over werknemersparticipatie (voor, tegen). We verzamelen gegevens van 500 personen. We observeren de aantallen in elke categorie en hun mening, en berekenen de verwachte aantallen onder de nulhypothese van onafhankelijkheid. Vervolgens vergelijken we de waargenomen met de verwachte frequenties met behulp van de chi-kwadraattoets. ### 2.3 Chi-kwadraat aanpassingstoets (goodness of fit) De chi-kwadraat aanpassingstoets, ook wel toets voor goedheid van fit genoemd, wordt gebruikt om na te gaan of de verdeling van een enkele variabele, gemeten op nominaal niveau, significant afwijkt van een theoretische of verwachte verdeling. Deze toets vergelijkt de waargenomen frequenties van de categorieën van de variabele met de frequenties die verwacht worden op basis van een vooraf gespecificeerde theoretische verdeling. #### 2.3.1 Voorwaarden voor de aanpassingstoets Net als bij de afhankelijkheidstoets zijn er specifieke voorwaarden voor de aanpassingstoets: * **Verwachte frequenties:** Niet meer dan 20% van de verwachte frequenties mag kleiner zijn dan 5. * **Speciaal geval voor df = 1:** Als het aantal vrijheidsgraden gelijk is aan 1, moet elke verwachte celfrequentie minimaal 5 zijn. * **Geen nul-frequenties:** Geen enkele verwachte frequentie mag nul zijn. > **Tip:** Voor de aanpassingstoets is het aantal vrijheidsgraden gelijk aan het aantal categorieën van de variabele min 1 ($df = aantal \ categorieën - 1$). #### 2.3.2 Voorbeeld van de aanpassingstoets Een teler beweert dat bij het kruisen van dahlia's de verwachte verdeling 65% oranje, 25% witte en 10% roze bloemen is. Om dit te toetsen, telt men het aantal bloemen van elke kleur in een steekproef en vergelijkt de waargenomen verdeling met de verwachte verdeling met behulp van de chi-kwadraat aanpassingstoets. De formule voor de chi-kwadraat statistiek ($X^2$) voor beide toetsen is: $$ X^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ waarbij: * $O_i$ staat voor de waargenomen frequentie in categorie $i$. * $E_i$ staat voor de verwachte frequentie in categorie $i$. * $k$ staat voor het aantal categorieën. --- # Praktische oefeningen met chi-kwadraattoetsen Deze sectie bevat twee oefeningen die illustreren hoe de chi-kwadraat aanpassingstoets en de chi-kwadraat afhankelijkheidstoets worden toegepast op concrete datasets om hypothesen te toetsen. ### 3.1 De chi-kwadraat verdelings / aanpassingstoets Deze toets gaat na of de waargenomen verdeling van een variabele, gemeten op nominaal niveau, significant afwijkt van een theoretische verdeling. Voorbeelden hiervan zijn het toetsen of er evenveel mannen als vrouwen zijn, of dat 10% van de populatie linkshandig is en 90% rechtshandig. Een ander voorbeeld is het controleren of de verdeling van studenten over verschillende groepen (bijvoorbeeld 6/9 nieuwe studenten, 2/9 bissers, 1/9 trissers) overeenkomt met een theoretische verwachting. #### 3.1.1 Voorwaarden voor de chi-kwadraat aanpassingstoets Om deze toets correct toe te passen, moeten aan de volgende voorwaarden voldaan worden: * Niet meer dan 20% van de verwachte frequenties mag kleiner zijn dan 5. * Indien het aantal vrijheidsgraden ($df$) gelijk is aan 1, dan moet elke verwachte celfrequentie groter of gelijk zijn aan 5. * Geen enkele verwachte frequentie mag nul zijn. Een nulverwachting zou betekenen dat een volledige categorie niet wordt gebruikt, wat de zinvolheid van de opname in het onderzoek ondermijnt. #### 3.1.2 Oefening 1: Dahlia's **Vraag:** Jolien kweekt dahlia's en beweert dat ze de bloemen zodanig heeft gekruist dat men 65% oranje, 25% witte en 10% roze dahlia's kan verwachten. Ga na of de verdeling van de bloemsoorten die zij vindt in haar bloembedden significant afwijkt van de verwachte verdeling op basis van haar kruising, met een significantieniveau van $\alpha = 1\%$. **Conceptuele Uitwerking:** Deze oefening past de chi-kwadraat aanpassingstoets toe. We vergelijken de waargenomen frequenties van oranje, witte en roze dahlia's met de theoretisch verwachte frequenties op basis van de opgegeven percentages. #### 3.1.3 Berekening van de teststatistiek voor de aanpassingstoets De chi-kwadraat teststatistiek ($X^2$) wordt berekend met de volgende formule: $$X^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$ waarbij: * $O_i$ de waargenomen frequentie is in categorie $i$. * $E_i$ de verwachte frequentie is in categorie $i$. * $k$ het aantal categorieën is. #### 3.1.4 Vrijheidsgraden ($df$) Voor de aanpassingstoets is het aantal vrijheidsgraden gelijk aan het aantal categorieën min 1: $df = k - 1$ ### 3.2 De chi-kwadraat afhankelijkheidstoets Deze toets onderzoekt of er een significant verband bestaat tussen twee variabelen, waarbij minstens één van de variabelen op nominaal niveau is gemeten. De toets gaat na of de twee variabelen onafhankelijk van elkaar zijn, of dat er een afhankelijkheid tussen bestaat. #### 3.2.1 Voorwaarden voor de chi-kwadraat afhankelijkheidstoets De voorwaarden voor de chi-kwadraat afhankelijkheidstoets zijn identiek aan die voor de aanpassingstoets: * Niet meer dan 20% van de verwachte frequenties mag kleiner zijn dan 5. * Indien het aantal vrijheidsgraden ($df$) gelijk is aan 1, dan moet elke verwachte celfrequentie groter of gelijk zijn aan 5. * Geen enkele verwachte frequentie mag nul zijn. #### 3.2.2 Oefening 2: Werknemersparticipatie **Vraag:** Je wenst de opinie te kennen van de actieve bevolking over werknemersparticipatie (werknemers delen mee in de winst en hebben ook een beperkte beslissingsmacht). Je hebt een Simple Random Sample (SRS) van 500 personen uit België ondervraagd, waarvan 300 arbeiders, 150 bedienden en 50 werkgevers. Uit het onderzoek blijkt dat 36% van de ondervraagden tegen participatie waren. Echter, 3/5 van de bedienden waren voorstanders. Het aantal arbeiders dat tegenstemde was dubbel zo groot als het aantal werkgevers dat tegenstemde. Bestaat er een verband tussen de arbeidscategorie en de opinie ten opzichte van werknemersparticipatie (significantieniveau $\alpha = 5\%$)? **Conceptuele Uitwerking:** Deze oefening vereist de toepassing van de chi-kwadraat afhankelijkheidstoets. We moeten bepalen of er een statistisch significant verband is tussen de categorie van arbeid (arbeider, bediende, werkgever) en de mening over werknemersparticipatie (voor of tegen). We zullen een kruistabel moeten opstellen met waargenomen frequenties en vervolgens de verwachte frequenties berekenen onder de aanname van onafhankelijkheid. #### 3.2.3 Berekening van de verwachte frequenties bij afhankelijkheid Onder de nulhypothese van onafhankelijkheid, wordt de verwachte frequentie voor elke cel in de kruistabel berekend als: $$E_{ij} = \frac{(\text{rijtotaal}_i) \times (\text{colomtotaal}_j)}{\text{totaal aantal observaties}}$$ waarbij: * $E_{ij}$ de verwachte frequentie is voor de cel in rij $i$ en kolom $j$. * $\text{rijtotaal}_i$ is het totaal van de waargenomen frequenties in rij $i$. * $\text{colomtotaal}_j$ is het totaal van de waargenomen frequenties in kolom $j$. #### 3.2.4 Vrijheidsgraden ($df$) Voor de afhankelijkheidstoets zijn de vrijheidsgraden gelijk aan: $df = (\text{aantal rijen} - 1) \times (\text{aantal kolommen} - 1)$ > **Tip:** Bij het opstellen van de kruistabel is het cruciaal om eerst alle gegeven informatie zorgvuldig te verwerken om de waargenomen frequenties correct te bepalen, voordat de verwachte frequenties worden berekend. #### 3.2.5 De chi-kwadraat teststatistiek voor afhankelijkheid De berekening van de chi-kwadraat teststatistiek is identiek aan die van de aanpassingstoets, maar wordt toegepast op de waargenomen en verwachte frequenties in de kruistabel: $$X^2 = \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$ waarbij: * $O_{ij}$ de waargenomen frequentie is in cel $(i, j)$. * $E_{ij}$ de verwachte frequentie is in cel $(i, j)$. * $r$ het aantal rijen is. * $c$ het aantal kolommen is. > **Belangrijk:** De kans dat iemand ziek is vermenigvuldigd met de kans dat iemand jong is, staat onder de aanname van onafhankelijkheid gelijk aan de kans op ziek *en* jong, gedeeld door het totaal aantal mensen. Bij de afhankelijkheidstoets gaat het om het controleren van deze onafhankelijkheid. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Chi-kwadraatverdeling | Een continue kansverdeling die wordt gebruikt in statistische inferentie, met name bij hypothesetesten en betrouwbaarheidsintervallen voor variantie. Deze verdeling is rechtsscheef en wordt bepaald door één parameter: de vrijheidsgraden. | | Vrijheidsgraden (df) | Het aantal onafhankelijke waarden dat vrij kan variëren in een statistische analyse. In de context van de chi-kwadraatverdeling beïnvloeden de vrijheidsgraden de vorm en de ligging van de verdeling. Hoe meer vrijheidsgraden, hoe symmetrischer de verdeling wordt. | | Scheefheid | Een maatstaf voor de asymmetrie van een kansverdeling. Chi-kwadraatverdelingen vertonen positieve scheefheid (rechtsscheef), wat betekent dat de staart aan de rechterkant langer is dan aan de linkerkant. Deze scheefheid neemt af naarmate de vrijheidsgraden toenemen. | | Onafhankelijkheidstoets | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee categorische variabelen. De toets evalueert of de verdeling van de ene variabele afhangt van de waarden van de andere variabele. | | Goedheid van fit (Goodness of fit) | Een statistische toets die nagaat hoe goed de geobserveerde data passen bij een verwachte theoretische verdeling. Het bepaalt of de waargenomen frequenties significant afwijken van de frequenties die men zou verwachten op basis van een hypothetisch model. | | Nominaal niveau | Een meetniveau waarbij data worden gecategoriseerd zonder inherente volgorde of rangschikking. Voorbeelden zijn haarkleur, geslacht of politieke voorkeur. Veel chi-kwadraattoetsen zijn geschikt voor variabelen op nominaal niveau. | | Verwachte frequentie | Het aantal observaties dat men zou verwachten in een bepaalde categorie of cel, onder de aanname dat de nulhypothese waar is. Dit wordt berekend op basis van marginale totalen en de totale steekproefgrootte. | | Significant verband | Een relatie tussen variabelen die waarschijnlijk niet het gevolg is van toeval. Statistische toetsen, zoals de chi-kwadraattoets, worden gebruikt om te beoordelen of een waargenomen verband significant genoeg is om de nulhypothese te verwerpen. |

# Pearson correlatiecoëfficiënt De Pearson correlatiecoëfficiënt is een maat voor de lineaire samenhang tussen twee variabelen op intervalniveau of hoger [4](#page=4). ### 1.1 De Pearson correlatiecoëfficiënt (r) De Pearson correlatiecoëfficiënt, vaak aangeduid met de letter $r$, kwantificeert de sterkte en richting van de lineaire relatie tussen twee continue variabelen [4](#page=4). #### 1.1.1 Formule De formule voor de Pearson correlatiecoëfficiënt ($r$) wordt gegeven door: $$ r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}} $$ of alternatief: $$ r = \frac{n \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - (\sum_{i=1}^{n} x_i)(\sum_{i=1}^{n} y_i)}{\sqrt{n \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\sum_{i=1}^{n} x_i)^2} \sqrt{n \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - (\sum_{i=1}^{n} y_i)^2}} $$ Hierbij staat: - $n$ voor het aantal waarnemingen [4](#page=4). - $x_i$ en $y_i$ voor de individuele waarden van de variabelen $x$ en $y$ [4](#page=4). - $\bar{x}$ en $\bar{y}$ voor het gemiddelde van de variabelen $x$ en $y$ [4](#page=4). #### 1.1.2 Interpretatie van de effectgrootte De waarde van $r$ ligt altijd tussen -1 en 1 [4](#page=4). * Een waarde van $r = 1$ indiceert een perfecte positieve lineaire samenhang [4](#page=4). * Een waarde van $r = -1$ indiceert een perfecte negatieve lineaire samenhang [4](#page=4). * Een waarde van $r = 0$ indiceert de afwezigheid van een lineair verband tussen de twee variabelen [4](#page=4). De interpretatie van de sterkte van het effect, gebaseerd op de absolute waarde van $r$, is als volgt [4](#page=4): * $0 < |r| < 0.30$: Weinig effect * $0.30 \le |r| < 0.70$: Matig effect * $|r| \ge 0.70$: Sterk effect > **Tip:** De Pearson correlatiecoëfficiënt meet enkel lineaire verbanden. Een lage correlatie sluit dus niet uit dat er een niet-lineair verband bestaat. ### 1.2 Toetsingsgrootheid t-toets voor correlatie Om te toetsen of de geobserveerde correlatie in de steekproef significant is en dus kan worden gegeneraliseerd naar de populatie, wordt vaak een t-toets gebruikt [5](#page=5). #### 1.2.1 Nulhypothese en alternatieve hypothese De nulhypothese ($H_0$) stelt dat er geen correlatie is in de populatie ($\rho = 0$), waarbij $\rho$ de populatiecorrelatie vertegenwoordigt. De alternatieve hypothese ($H_a$) kan eenzijdig of tweezijdig zijn [5](#page=5): * Tweezijdige toets: $\rho \neq 0$ [5](#page=5). * Eenzijdige toetsen: $\rho > 0$ of $\rho < 0$ [5](#page=5). #### 1.2.2 Voorwaarden voor de t-toets Voor het correct toepassen van de t-toets voor correlatie, moeten de volgende voorwaarden voldaan zijn [5](#page=5): * De twee variabelen moeten gemeten zijn op intervalniveau of hoger [5](#page=5). * De data moeten bivariaat normaal verdeeld zijn, of de steekproefomvang ($n$) moet groter zijn dan 25 [5](#page=5). ### 1.3 Voorbeeld **Oefening 3: Vossen- en konijnenpopulaties** [6](#page=6). Natuurpunt wil nagaan of er een verband is tussen vossenpopulaties en konijnenpopulaties in Belgische natuurgebieden (met een significantieniveau $\alpha = 5\%$). In een willekeurige steekproef van natuurgebieden werd het aantal konijnen en vossen per hectare geteld [6](#page=6). | Konijnenpopulatie (per hectare) | Vossenpopulatie (per hectare) | | :------------------------------ | :---------------------------- | | 148 | 34 | | 147 | 19 | | 147 | 33 | | 145 | 30 | | 132 | 17 | | 138 | 24 | | 132 | 30 | | 126 | 13 | | 127 | 16 | Om het verband te analyseren, zou men eerst de Pearson correlatiecoëfficiënt berekenen op basis van deze data. Vervolgens kan een t-toets worden uitgevoerd om de significantie van deze correlatie te beoordelen, mits aan de voorwaarden is voldaan. --- # Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt De Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt meet de sterkte en richting van een monotone samenhang tussen twee variabelen door gebruik te maken van hun rangordes [7](#page=7). ### 1.1 Concept en doel De Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt, vaak aangeduid met de Griekse letter $\rho$ (rho), is een non-parametrische maat die wordt gebruikt om de mate van overeenkomst in rangorde tussen twee variabelen te kwantificeren. In plaats van de ruwe data zelf te gebruiken, wordt deze methode toegepast op de rangen die aan de data zijn toegekend. Dit maakt het een geschikte tool om de monotone samenhang te beoordelen, wat betekent dat we kijken of de ene variabele de neiging heeft toe te nemen (of af te nemen) wanneer de andere variabele toeneemt, zonder dat dit noodzakelijkerwijs een lineair verband hoeft te zijn [7](#page=7). ### 1.2 Hypothesen Bij het toetsen met de Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt worden de volgende hypothesen opgesteld: * **Nulhypothese ($H_0$)**: Er is geen verband tussen de twee variabelen. Dit wordt wiskundig uitgedrukt als $\rho = 0$ [9](#page=9). * **Alternatieve hypothesen ($H_a$)**: Er is wel een verband tussen de twee variabelen. Afhankelijk van de specifieke onderzoeksvraag, kunnen dit de volgende vormen aannemen: * $\rho \neq 0$: Er is een verband (tweezijdige toets) [9](#page=9). * $\rho > 0$: Er is een positief verband (eenzijdige toets) [9](#page=9). * $\rho < 0$: Er is een negatief verband (eenzijdige toets) [9](#page=9). ### 1.3 Toepassing en voorbeeld De Spearman rangcorrelatie kan worden toegepast om de samenhang tussen twee variabelen te onderzoeken, vooral wanneer de data niet voldoen aan de aannames voor parametrische correlatietests zoals de Pearson correlatiecoëfficiënt. Een typisch scenario is het onderzoeken van de relatie tussen subjectieve metingen of wanneer de variabelen ordinaal geschaald zijn [7](#page=7). > **Voorbeeld:** Een onderzoeker wil nagaan of er een verband bestaat tussen de mate van ervaren stress en de beoordeling van slaapkwaliteit. De data kunnen er als volgt uitzien: > > | Ervaren stress (VAS-schaal) | Beoordeling slaapkwaliteit | > | :--------------------------- | :------------------------ | > | 3,2 | Goed | > | 5,9 | Zeer goed | > | 8,4 | Middelmatig | > | 4,7 | Zeer slecht | > | 12,7 | Slecht | > > Met behulp van de Spearman rangcorrelatie kan worden onderzocht of de uitspraak "Hoe meer stress iemand ervaart, hoe slechter hun slaapkwaliteit" bevestigd kan worden, uitgaande dat de voorwaarden voor de test voldaan zijn [10](#page=10). ### 1.4 Formules en berekening (algemeen) De berekening van de Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt is gebaseerd op de rangordes van de geobserveerde waarden voor elke variabele. De precieze formule en de stappen voor het berekenen van de rangen, en vervolgens de coëfficiënt zelf, zijn gedetailleerd in het formularium. Belangrijk is dat bij gelijke rangen (tied ranks) een correctie wordt toegepast in de berekening. De waarde van $\rho$ ligt altijd tussen -1 en +1, waarbij +1 perfecte positieve monotone samenhang aangeeft, -1 perfecte negatieve monotone samenhang, en 0 geen monotone samenhang [7](#page=7) [8](#page=8). --- # Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt De Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt is een statistische maat die de sterkte en richting van de associatie tussen twee gerangschikte variabelen kwantificeert [11](#page=11). ### 3.1 Concept en berekening De Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt, vaak aangeduid met de Griekse letter $\tau$ (tau), meet de mate waarin de rangschikking van paren van observaties overeenkomt. Het is een niet-parametrische methode, wat betekent dat het geen aannames doet over de onderliggende verdeling van de data. De berekening van $\tau$ is gebaseerd op het aantal concordante en discordante paren in de data [11](#page=11) [13](#page=13). #### 3.1.1 Concordante en discordante paren * **Concordant paar**: Een paar observaties $(x_i, y_i)$ en $(x_j, y_j)$ is concordant als de rangschikking van de $x$-waarden overeenkomt met de rangschikking van de $y$-waarden. Dit betekent dat als $x_i < x_j$, dan ook $y_i < y_j$, of als $x_i > x_j$, dan ook $y_i > y_j$ [13](#page=13). * **Discordant paar**: Een paar observaties $(x_i, y_i)$ en $(x_j, y_j)$ is discordant als de rangschikking van de $x$-waarden tegengesteld is aan de rangschikking van de $y$-waarden. Dit betekent dat als $x_i < x_j$, dan $y_i > y_j$, of als $x_i > x_j$, dan $y_i < y_j$ [13](#page=13). De formule voor de Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt is: $$ \tau = \frac{C - D}{\frac{n(n-1)}{2}} $$ waarbij: * $C$ het aantal concordante paren is [13](#page=13). * $D$ het aantal discordante paren is [13](#page=13). * $n$ het aantal observatieparen is [13](#page=13). Het maximum aantal mogelijke paren is $\frac{n(n-1)}{2}$ [13](#page=13). #### 3.1.2 Interpretatie van $\tau$ De waarde van $\tau$ varieert tussen -1 en +1 [11](#page=11). * $\tau = +1$: Perfecte positieve rangcorrelatie. De rangschikkingen zijn identiek. * $\tau = -1$: Perfecte negatieve rangcorrelatie. De rangschikkingen zijn omgekeerd. * $\tau = 0$: Geen rangcorrelatie. Er is geen lineair verband tussen de rangschikkingen. > **Tip:** Een hogere absolute waarde van $\tau$ duidt op een sterkere associatie tussen de twee variabelen. ### 3.2 Hypothesetesten De Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt kan gebruikt worden om hypothesen te testen over de associatie tussen twee variabelen [13](#page=13). #### 3.2.1 Nulhypothese en alternatieve hypothesen * **Nulhypothese ($H_0$)**: Er is geen verband tussen de twee gerangschikte variabelen ($\tau = 0$) [13](#page=13). * **Alternatieve hypothesen ($H_a$)**: * Er is een verband tussen de twee gerangschikte variabelen ($\tau \neq 0$). Dit is een tweezijdige test [13](#page=13). * Er is een positief verband tussen de twee gerangschikte variabelen ($\tau > 0$). Dit is een eenzijdige test [13](#page=13). * Er is een negatief verband tussen de twee gerangschikte variabelen ($\tau < 0$). Dit is een eenzijdige test [13](#page=13). ### 3.3 Toepassing en voorbeeld De Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt is nuttig wanneer men de relatie tussen twee ordinale variabelen wil onderzoeken, of wanneer de assumpties voor andere correlatiematen (zoals Pearson's $r$) niet voldaan zijn [11](#page=11). #### 3.3.1 Oefening 8 **Vraag:** Kan, op basis van de onderstaande data, de uitspraak “Hoe meer stress iemand ervaart, hoe slechter hun slaapkwaliteit” bevestigd worden? Er mag van uitgegaan worden dat de voorwaarden voldaan zijn voor de te uitvoeren test. **Data:** | Ervaren stress (gemeten via VAS-schaal) | Beoordeling slaapkwaliteit | | :------------------------------------- | :------------------------- | | 3,2 | Goed | | 5,9 | Zeer goed | | 8,4 | Middelmatig | | 4,7 | Zeer slecht | | 12,7 | Slecht | Om deze vraag te beantwoorden, zouden we de data eerst moeten rangschikken voor zowel "Ervaren stress" als "Beoordeling slaapkwaliteit". Vervolgens zouden we het aantal concordante en discordante paren tellen om $\tau$ te berekenen en de resultaten toetsen aan de alternatieve hypothese dat er een negatief verband is ($\tau < 0$) [14](#page=14). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Pearson correlatiecoëfficiënt | Een statistische maat die de sterkte en richting van de lineaire relatie tussen twee continue variabelen kwantificeert. De waarde varieert van -1 (perfect negatieve correlatie) tot 1 (perfect positieve correlatie), waarbij 0 geen lineaire correlatie aangeeft. | | Effectgrootte | Een kwantificering van de grootte van een effect of verband tussen variabelen. Bij de Pearson correlatiecoëfficiënt wordt de waarde van 'r' geïnterpreteerd als effectgrootte, waarbij 0 < .30 als weinig effect, .30 < .70 als matig effect en > .70 als sterk effect wordt beschouwd. | | Nulhypothese | In statistische toetsing is dit de hypothese die stelt dat er geen effect, verschil of verband is tussen de bestudeerde populaties of variabelen. Bij correlatietoetsen is de nulhypothese vaak dat de populatiecorrelatie gelijk is aan nul ($\rho=0$ of $H_0: \rho = 0$). | | Alternatieve hypothese | De hypothese die het tegendeel beweert van de nulhypothese. Als de nulhypothese wordt verworpen, wordt de alternatieve hypothese aangenomen. Dit kan eenzijdig ($\rho > 0$ of $\rho < 0$) of tweezijdig ($\rho \neq 0$) zijn. | | Bivariaat normaal verdeeld | Een aanname bij bepaalde statistische analyses, waaronder de Pearson correlatietoets, waarbij de gezamenlijke verdeling van twee variabelen een bivariate normale verdeling volgt. | | Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt | Een non-parametrische maat die de sterkte en richting van de monotone relatie tussen twee variabelen test. In plaats van de ruwe data worden de rangen van de data gebruikt, wat deze methode geschikt maakt voor niet-lineaire verbanden of data die niet normaal verdeeld is. | | Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt | Een non-parametrische maat die de sterkte van de overeenkomst tussen twee rangordes meet. Het telt het aantal concordante en discordante paren in de data. Het wordt vaak gebruikt bij kleine steekproeven of wanneer er veel gelijke waarden zijn. | | Concordante paren | Paren van observaties waarbij de rangorde van beide variabelen in dezelfde richting gaat (bijvoorbeeld, als X stijgt, stijgt Y ook). | | Discordante paren | Paren van observaties waarbij de rangorde van de variabelen in tegengestelde richting gaat (bijvoorbeeld, als X stijgt, daalt Y). | | $\tau$ (Kendall's tau) | De Kendall rangcorrelatiecoëfficiënt, die de mate van associatie tussen twee rangordes weergeeft. De formule is $\tau = \frac{C - D}{n(n-1)/2}$, waarbij C het aantal concordante paren is, D het aantal discordante paren, en n het aantal observaties. |