Probability Statistics

# Introductie tot statistische toetsen voor het verband tussen twee variabelen Dit deel introduceert het algemene stramien voor het toetsen van hypothesen bij het onderzoeken van verbanden tussen twee variabelen, met een focus op de parametrische Pearson correlatietoets. ## 1. Introductie tot statistische toetsen voor het verband tussen twee variabelen ### 1.1 Het stramien voor het toetsen van hypothesen Het toetsen van hypothesen bij het onderzoeken van verbanden tussen twee variabelen volgt een gestructureerd stramien: 1. **Toetsingssituatie:** Identificeer de gegevens in de vraag, de concrete toetsingssituatie en het type onderzoeksvraag. 2. **Voorwaarden:** Controleer of de statistische voorwaarden voor de gekozen toets vervuld zijn. 3. **Hypothesen:** Formuleer de nulhypothese ($H_0$) en de alternatieve hypothese ($H_1$) specifiek voor de toets. 4. **Toetsingsgrootheid:** Bereken de waarde van de toetsingsgrootheid en identificeer de bijbehorende kansverdeling. 5. **Beslissingsregel:** Bepaal of $H_0$ verworpen wordt op basis van overschrijdingskansen of kritieke waarden. 6. **Effectgrootte:** Beoordeel de importantie van het gevonden effect. 7. **Rapporteren:** Vermeld de resultaten op een correcte en gestructureerde manier. ### 1.2 Parametrische Pearson correlatietoets De Pearson correlatietoets wordt gebruikt om het lineaire verband tussen twee interval- of ratio-variabelen te onderzoeken. #### 1.2.1 Toetsingssituatie en voorbeeld De Pearson correlatietoets wordt ingezet wanneer men een verband wil onderzoeken tussen twee continue variabelen, waarbij beide variabelen normaal verdeeld zijn in de populatie. **Voorbeeld:** Een onderzoeker wil weten of er een verband bestaat tussen de slaapkwaliteit van studenten tijdens de examenperiode en de mate van rust/kalmte die studenten ervaren. Er wordt aangenomen dat beide variabelen normaal verdeeld zijn in de populatie. #### 1.2.2 Hypothesen * $H_0$: Er bestaat geen lineair verband tussen de twee variabelen in de populatie ($\rho = 0$). * $H_1$: Er bestaat wel een lineair verband tussen de twee variabelen in de populatie ($\rho \neq 0$). #### 1.2.3 Toetsingsgrootheid De toetsingsgrootheid voor de Pearson correlatietoets is de correlatiecoëfficiënt ($r$). Deze wordt getransformeerd naar een $t$-verdeling met $N-2$ vrijheidsgraden, waarbij $N$ het aantal paren is. De formule voor de correlatiecoëfficiënt is: $$r = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{N}(y_i - \bar{y})^2}}$$ De $t$-toetsingsgrootheid wordt berekend als: $$t = r \sqrt{\frac{N-2}{1-r^2}}$$ #### 1.2.4 Beslissingsregel De nulhypothese ($H_0$) wordt verworpen als de berekende toetsingsgrootheid ($t_{berekend}$) groter is dan de kritieke waarde ($t_{kritiek}$) bij een tweezijdige toetsing, of als de $p$-waarde kleiner is dan het significantieniveau ($\alpha$). **Voorbeeld interpretatie:** Als de berekende $t$-waarde van 12.16 groter is dan de kritieke waarde van 3.182 (bij een bepaald aantal vrijheidsgraden), wordt de nulhypothese verworpen. Dit suggereert een significant verband tussen de variabelen. #### 1.2.5 Effectgrootte Bij de Pearson correlatietoets dient geen bijkomende berekening voor de effectgrootte gemaakt te worden. De correlatiecoëfficiënt ($r$) zelf wordt gebruikt als maat voor de effectgrootte. * Een $r$ van .99 wordt als een groot verband beschouwd. #### 1.2.6 Rapporteren De resultaten worden gerapporteerd met de correlatiecoëfficiënt, de $p$-waarde, en het aantal waarnemingen. **Voorbeeld rapportage:** "Om het verband na te gaan tussen de slaapkwaliteit en de mate van rust/kalmte van studenten tijdens de examenperiode, werd een Pearson correlatie berekend. Hieruit bleek dat het verband tussen beide variabelen groot was, en significant verschillend van nul ($r=.99$, $p<.05$, $N=5$)." #### 1.2.7 SPSS Output Bij het interpreteren van SPSS output voor een Pearson correlatietoets, let men op de correlatiecoëfficiënt en de significantiewaarde ($p$). **Voorbeeld interpretatie SPSS:** Een correlatie van .44 met een $p$-waarde kleiner dan .001 geeft aan dat er een significant verband is tussen de twee variabelen. #### 1.2.8 Extra oefening **Onderzoeksvraag:** Is er een verband tussen de uitslag op een wiskundetoets en op het examen statistiek? Beide variabelen zijn normaal verdeeld. * **Stap 3: Hypothesen:** * $H_0$: Er is geen lineair verband tussen de scores op de wiskundetoets en het statistiekexamen ($\rho = 0$). * $H_1$: Er is een lineair verband tussen de scores op de wiskundetoets en het statistiekexamen ($\rho \neq 0$). * **Stap 4: Toetsingsgrootheid:** * De correlatiecoëfficiënt wordt berekend. * De toetsingsgrootheid volgt een $t$-verdeling met $N-2$ vrijheidsgraden. Voor $N=7$, zijn de vrijheidsgraden $7-2=5$. * **Stap 5: Beslissingsregel:** * Bij tweezijdige toetsing en een gegeven significantieniveau, wordt een kritieke waarde vergeleken met de berekende $t$-waarde. * Als de berekende waarde (bv. 13.03) groter is dan de kritieke waarde (bv. 2.571), wordt $H_0$ verworpen. * **Stap 6: Effectgrootte:** * De correlatiecoëfficiënt ($r$) zelf dient als effectgrootte. * **Stap 7: Rapporteren:** * "Om het verband na te gaan tussen de score op een wiskundetoets en de eindscore voor het vak statistiek, werd een Pearson correlatie berekend. Hieruit bleek dat het verband tussen beide variabelen groot was, en significant verschillend van nul ($r=.98$, $p<.05$, $N=7$)." ### 1.3 Non-parametrische rangcorrelatie van Spearman De rangcorrelatie van Spearman wordt gebruikt wanneer de voorwaarden voor parametrische toetsen geschonden zijn, zoals bij variabelen op ordinaal niveau, of wanneer de variabelen niet normaal verdeeld zijn. #### 1.3.1 Toetsingssituatie en voorbeeld Deze toets wordt gebruikt bij variabelen die minstens op ordinaal niveau gemeten zijn, of wanneer de normaliteitsvoorwaarde voor de Pearson correlatie niet voldaan is. **Voorbeeld:** Een onderzoeker wil het verband nagaan tussen het gebruik van sociale media en het zelfbeeld bij jongeren. Beide variabelen zijn gemeten op een Likert-schaal (ordinaal niveau). #### 1.3.2 Voorwaarden De belangrijkste voorwaarde is dat de variabelen minstens op ordinaal niveau gemeten zijn. #### 1.3.3 Hypothesen * $H_0$: Er bestaat geen monotoon verband tussen de twee variabelen in de populatie. * $H_1$: Er bestaat wel een monotoon verband tussen de twee variabelen in de populatie. #### 1.3.4 Toetsingsgrootheid De toetsingsgrootheid wordt berekend op basis van de rangordes van de observaties. De berekening kan leiden tot een $t$-score, die dan getoetst wordt tegen een $t$-verdeling met $N-2$ vrijheidsgraden. #### 1.3.5 Beslissingsregels De nulhypothese wordt verworpen als de berekende toetsingsgrootheid buiten het betrouwbaarheidsinterval valt of als de $p$-waarde kleiner is dan het significantieniveau ($\alpha$). **Voorbeeld interpretatie:** Als een $t$-score van -3.53 wordt verkregen en dit kleiner is dan de kritieke waarde van -2.776 (bij 4 vrijheidsgraden en $\alpha=.05$ tweezijdig), wordt de nulhypothese verworpen. #### 1.3.6 Effectgrootte Net als bij de Pearson correlatie, kan de Spearman correlatiecoëfficiënt ($r$) gebruikt worden als maat voor de effectgrootte. #### 1.3.7 Rapporteren De rapportage volgt een vergelijkbaar patroon als bij de Pearson correlatie, met vermelding van de Spearman correlatiecoëfficiënt, $p$-waarde en steekproefgrootte. **Voorbeeld rapportage:** "Om het verband na te gaan tussen het gebruik van sociale media en zelfbeeld bij jongeren, werd een Spearman correlatie berekend. Hieruit bleek dat het verband tussen beide variabelen groot was, en significant verschillend van nul ($r = -,87$, $p<,05$, $N=6$)." #### 1.3.8 Extra oefening **Onderzoeksvraag:** Wat is het verband tussen intelligentie en leiderschap bij kinderen? * **Stap 1: Toetsingssituatie:** Voorwaarden voor parametrische toetsen zijn geschonden, dus een non-parametrische toets is aangewezen. * **Stap 2: Voorwaarden:** Variabelen zijn minstens van ordinaal niveau. * **Stap 3: Hypothesen:** * $H_0$: Er is geen monotoon verband tussen intelligentie en leiderschap. * $H_1$: Er is een monotoon verband tussen intelligentie en leiderschap. * **Stap 4: Toetsingsgrootheid:** De rangordes van de variabelen worden berekend en gebruikt om de correlatiecoëfficiënt te bepalen. De kansverdeling is een $t$-verdeling met $N-2$ vrijheidsgraden. * **Stap 5: Beslissingsregel:** De berekende toetsingsgrootheid wordt vergeleken met de kritieke waarde. Als 2.25 niet groter is dan 2.306 (kritieke waarde), wordt $H_0$ *niet* verworpen. * **Stap 6: Effectgrootte:** De correlatiecoëfficiënt dient als effectgrootte. * **Stap 7: Rapporteren:** "Om na te gaan of er een verband bestaat tussen leiderschap en intelligentie, werd een Spearman correlatie berekend. Echter bleek dit verband niet significant verschillend van nul ($r = 0,62$, $p>,05$, $N=10$)." ### 1.4 Non-parametrische chikwadraat voor kruistabellen De chikwadraattoets voor kruistabellen wordt gebruikt om het verband tussen twee nominale variabelen te onderzoeken. #### 1.4.1 Toetsingssituatie en voorbeeld Deze toets vergelijkt de geobserveerde frequenties in een kruistabel met de verwachte frequenties, om te bepalen of er een statistisch significant verband is tussen twee nominale variabelen. **Voorbeeld:** Men wil weten of er een betekenisvol verband bestaat tussen politieke voorkeur en de mening over het opleggen van een milieubelasting. Dit wordt onderzocht bij 85 mensen. #### 1.4.2 Voorwaarden * De variabelen zijn nominaal. * De analyse is gebaseerd op frequenties, niet op percentages. * Niet geschikt voor herhaalde metingen. * De categorieën van de variabelen zijn wederzijds exclusief. * De verwachte frequenties in de kruistabel mogen niet te klein zijn (maximaal 20% met een verwachte frequentie kleiner dan 5, en geen enkele verwachte frequentie kleiner dan 1). #### 1.4.3 Hypothesen * $H_0$: De twee nominale variabelen zijn onafhankelijk (er is geen verband). * $H_1$: De twee nominale variabelen zijn afhankelijk (er is wel een verband). * Dit is altijd een tweezijdige toets. #### 1.4.4 Toetsingsgrootheid De toetsingsgrootheid is de chikwadraat ($\chi^2$) waarde, die berekend wordt op basis van de geobserveerde ($f_o$) en verwachte ($f_e$) frequenties: $$ \chi^2 = \sum \frac{(f_o - f_e)^2}{f_e} $$ De kansverdeling is een $\chi^2$-verdeling met een specifiek aantal vrijheidsgraden, afhankelijk van de dimensies van de kruistabel ($df = (rijen-1)(kolommen-1)$). **Voorbeeld berekening verwachte frequentie ($f_e$):** $$f_e = \frac{\text{Som van rij} \times \text{Som van kolom}}{\text{Totaal aantal observaties}}$$ #### 1.4.5 Beslissingsregels De nulhypothese wordt verworpen als de berekende $\chi^2$-waarde groter is dan de kritieke $\chi^2$-waarde bij een gegeven significantieniveau en aantal vrijheidsgraden, of als de $p$-waarde kleiner is dan $\alpha$. #### 1.4.6 Effectgrootte De effectgrootte kan op verschillende manieren berekend worden, zoals de contingentiecoëfficiënt, $\phi$-coëfficiënt of Cramérs V. Cramérs V wordt vaak als meest aangewezen beschouwd. * **Richtlijnen voor Cramérs V:** * $r < 0.10$: triviaal * $0.10 \leq r < 0.30$: klein * $0.30 \leq r < 0.50$: medium * $r \geq 0.50$: sterk #### 1.4.7 Rapporteren De rapportage omvat de $\chi^2$-waarde, het aantal vrijheidsgraden, de $p$-waarde en de berekende effectgrootte (bv. Cramérs V). **Voorbeeld rapportage:** "Het verband tussen de variabelen mening over milieubelasting en politieke voorkeur werd nagegaan aan de hand van een chikwadraattoets. Deze wees uit dat beide variabelen statistisch afhankelijk zijn ($\chi^2(4)=21,86$, $p<,001$). Het verband bleek matig te zijn (Cramérs V = .36)." #### 1.4.8 Extra oefening **Onderzoeksvraag:** Is er een verband tussen de wijze waarop vragenlijsten worden afgenomen en het al of niet willen meedoen met de enquête? * **Stap 1: Toetsingssituatie:** Twee nominale variabelen, dus een kruistabel met frequenties. * **Stap 2: Voorwaarden:** Categorieën sluiten elkaar uit. Verwachte frequenties niet te laag (minder dan 20% met $f_e < 5$ en geen enkele $f_e < 1$). * **Stap 3: Hypothesen:** * $H_0$: De wijze van afname en de deelnamebereidheid zijn onafhankelijk. * $H_1$: De wijze van afname en de deelnamebereidheid zijn afhankelijk. * **Stap 4: Toetsingsgrootheid:** De $\chi^2$-toetsingsgrootheid wordt berekend met de formule $\chi^2 = \sum \frac{(f_o - f_e)^2}{f_e}$. * **Stap 5: Beslissingsregel:** De berekende $\chi^2$-waarde wordt vergeleken met de kritieke waarde. Als aan de voorwaarden is voldaan (0% van de cellen met $f_e < 5$ en minimum $f_e > 1$). * **Stap 6: Effectgrootte:** Cramérs V wordt gebruikt als universeel geschikte maat. * **Stap 7: Rapporteren:** "Om na te gaan of er een verband bestaat tussen de wijze waarop vragenlijsten worden afgenomen en het al of niet willen meedoen met de enquête werd een $\chi^2$-toets uitgevoerd, die uitwees dat er inderdaad een eerder zwak verband is tussen beide variabelen ($\chi^2 = 12.01$, $p = .002$, V = .16)." ### 1.5 Hoe kies je de juiste toets? De keuze voor de juiste statistische toets hangt af van meerdere factoren: * **Onderzoeksvraag:** Wat wil je precies weten (verschil, verband)? * **Variabelen:** Wat zijn de afhankelijke en onafhankelijke variabelen? * **Meetniveau van de variabelen:** Nominaal, ordinaal, interval/ratio? * **Aantal populaties:** Één, twee, of meer dan twee? * **Onafhankelijke of afhankelijke steekproeven:** Zijn de metingen onafhankelijk van elkaar (verschillende personen) of afhankelijk (dezelfde personen gemeten onder verschillende condities)? * **Parametrisch of non-parametrisch:** Zijn de voorwaarden voor parametrische toetsen (o.a. normaliteit, interval/ratio niveau) voldaan? * **Eenzijdig of tweezijdig toetsen:** Is er een specifieke verwachting over de richting van het effect? **Overzicht van getoetste technieken:** | Situatie | Parametrisch (P) | Non-parametrisch (NP) | | :----------------------------- | :--------------------------------------------- | :-------------------------------------- | | **1 populatie** | $z$-toets / $t$-toets voor één gemiddelde | Chi-kwadraattoets voor frequenties | | **2 onafhankelijke populaties** | $t$-toets voor twee onafhankelijke steekproeven | Wilcoxon rank-sum test | | **2 afhankelijke populaties** | $t$-toets voor twee afhankelijke steekproeven | Wilcoxon signed-rank test | | **>2 onafhankelijke populaties** | One-way ANOVA (variantieanalyse) | Kruskal-Wallis toets (niet in dit document) | | **Verband tussen 2 variabelen** | Pearson correlatietoets | Spearman rangcorrelatie, Chi-kwadraat | **Parametrische toetsen** zijn geschikter wanneer de afhankelijke variabele minstens op intervalniveau gemeten is en normaal verdeeld is in de populatie. **Non-parametrische toetsen** worden gebruikt wanneer de afhankelijke variabele van lager meetniveau is (nominaal of ordinaal) of niet normaal verdeeld is. --- # Non-parametrische toetsen voor verbanden en categorische variabelen Hieronder volgt een samenvatting van de non-parametrische toetsen voor verbanden en categorische variabelen, bedoeld als studiemateriaal voor je examen. ## 2. Non-parametrische toetsen voor verbanden en categorische variabelen Dit deel behandelt non-parametrische methoden om verbanden tussen variabelen te onderzoeken, specifiek de rangcorrelatie van Spearman en de chikwadraattoets voor kruistabellen. ### 2.1 Rangcorrelatie van Spearman De rangcorrelatie van Spearman is een non-parametrische toets die wordt gebruikt om de sterkte en richting van het verband tussen twee ordinale variabelen te meten, of wanneer de voorwaarden voor parametrische toetsen (zoals Pearson's r) geschonden zijn, bijvoorbeeld bij niet-normaal verdeelde interval/ratio variabelen of ordinale variabelen. #### 2.1.1 Toetsingssituatie De toetsingssituatie is gericht op het onderzoeken van een verband tussen twee variabelen die minimaal van ordinaal niveau zijn. Dit is met name nuttig wanneer de data niet voldoet aan de aannames van normaliteit die vereist zijn voor parametrische correlatietoetsen. #### 2.1.2 Voorwaarden De belangrijkste voorwaarde voor het toepassen van de Spearman rangcorrelatie is dat beide variabelen van minimaal ordinaal niveau zijn. Er zijn verder geen strenge aannames over de verdeling van de data. #### 2.1.3 Hypothesen * **Nulhypothese ($H_0$):** Er is geen verband (correlatie) tussen de twee variabelen in de populatie. De rangcorrelatiecoëfficiënt is gelijk aan nul ($\rho_s = 0$). * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** Er is wel een verband (correlatie) tussen de twee variabelen in de populatie. Dit kan eenzijdig (bijvoorbeeld $\rho_s > 0$ of $\rho_s < 0$) of tweezijdig ($\rho_s \neq 0$) geformuleerd worden, afhankelijk van de onderzoeksvraag. #### 2.1.4 Toetsingsgrootheid De rangcorrelatiecoëfficiënt van Spearman, aangeduid als $r_s$, wordt berekend op basis van de rangen van de geobserveerde data. De formule voor $r_s$ is: $$ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} $$ waarbij: * $d_i$ het verschil is tussen de rangen van de observaties voor persoon $i$. * $n$ het aantal paren van observaties is. Voor kleine steekproeven wordt de toetsingsgrootheid vergeleken met een t-verdeling met $n-2$ vrijheidsgraden. Voor grotere steekproeven kan een z-toets gebruikt worden. #### 2.1.5 Beslissingsregel De nulhypothese wordt verworpen als de berekende toetsingsgrootheid (bijvoorbeeld een t-waarde) groter is in absolute waarde dan de kritieke waarde uit de t-tabel (met $n-2$ vrijheidsgraden) voor een gegeven significantieniveau ($\alpha$), of als de overschrijdingskans (p-waarde) kleiner is dan $\alpha$. #### 2.1.6 Effectgrootte De correlatiecoëfficiënt zelf, $r_s$, fungeert als maat voor de effectgrootte. Hierdoor is geen aparte berekening van de effectgrootte nodig. Een hogere absolute waarde van $r_s$ indiceert een sterkere relatie. #### 2.1.7 Rapporteren Bij het rapporteren van de resultaten van een Spearman rangcorrelatie worden de volgende elementen vermeld: het type toets, de richting van het verband (positief of negatief), de sterkte van het verband (de $r_s$ waarde), de significantie (p-waarde) en de steekproefgrootte ($n$). Bijvoorbeeld: "Om het verband na te gaan tussen het gebruik van sociale media en zelfbeeld bij jongeren, werd een Spearman correlatie berekend. Hieruit bleek dat het verband tussen beide variabelen groot was, en significant verschillend van nul ($r_s = -0.87$, $p < 0.05$, $n=6$)." ### 2.2 Chikwadraattoets voor kruistabellen De chikwadraattoets voor kruistabellen is een non-parametrische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee categorische variabelen (nominaal of ordinaal). De toets vergelijkt de geobserveerde frequenties in een kruistabel met de verwachte frequenties onder de aanname van onafhankelijkheid. #### 2.2.1 Toetsingssituatie De toetsingssituatie betreft het onderzoeken of twee categorische variabelen afhankelijk van elkaar zijn. Dit wordt gedaan door de geobserveerde frequentieverdelingen van de ene variabele binnen de categorieën van de andere variabele te analyseren. #### 2.2.2 Voorwaarden De voorwaarden voor de chikwadraattoets zijn: * De variabelen moeten minimaal van nominaal niveau zijn. * De gegevens moeten op frequentieniveau worden geanalyseerd, niet op percentages. * De categorieën van de variabelen moeten elkaar wederzijds uitsluiten en alle observaties moeten in een categorie passen. * De verwachte frequenties ($F_e$) in de cellen van de kruistabel mogen niet te klein zijn. Een veelgebruikte vuistregel is dat maximaal 20% van de cellen een verwachte frequentie kleiner dan 5 mag hebben, en geen enkele cel mag een verwachte frequentie kleiner dan 1 hebben. #### 2.2.3 Hypothesen * **Nulhypothese ($H_0$):** De twee variabelen zijn onafhankelijk. Er is geen verband tussen de variabelen in de populatie. * **Alternatieve hypothese ($H_1$):** De twee variabelen zijn afhankelijk. Er is wel een verband tussen de variabelen in de populatie. De chikwadraattoets is altijd tweezijdig. #### 2.2.4 Toetsingsgrootheid De toetsingsgrootheid is de chikwadraat ($\chi^2$) statistiek, die als volgt wordt berekend: $$ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(F_{o,i} - F_{e,i})^2}{F_{e,i}} $$ waarbij: * $F_{o,i}$ de geobserveerde frequentie is in cel $i$. * $F_{e,i}$ de verwachte frequentie is in cel $i$, berekend onder de aanname van onafhankelijkheid. * $k$ het totale aantal cellen in de kruistabel is. De verwachte frequentie ($F_e$) voor een specifieke cel wordt berekend als: $$ F_e = \frac{(\text{rijtotaal}) \times (\text{kolomtotaal})}{\text{totaal aantal observaties}} $$ De chikwadraatstatistiek volgt een chikwadraatverdeling met vrijheidsgraden gelijk aan $(a-1)(b-1)$, waarbij $a$ en $b$ het aantal categorieën zijn van de respectievelijke variabelen. #### 2.2.5 Beslissingsregel De nulhypothese wordt verworpen als de berekende $\chi^2$ waarde groter is dan de kritieke $\chi^2$ waarde uit de chikwadraattabel (met de berekende vrijheidsgraden en het gekozen significantieniveau $\alpha$), of als de p-waarde kleiner is dan $\alpha$. #### 2.2.6 Effectgrootte Voor de chikwadraattoets zijn er verschillende maten voor effectgrootte, zoals de contingentiecoëfficiënt, de $\phi$-coëfficiënt, en Cramér's V. Cramér's V wordt vaak als de meest geschikte maat beschouwd, vooral bij kruistabellen groter dan 2x2. Cramér's V wordt berekend als: $$ V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(k-1)}} $$ waarbij: * $\chi^2$ de berekende chikwadraatwaarde is. * $n$ het totale aantal observaties is. * $k$ het aantal categorieën is van de variabele met het kleinste aantal categorieën. Interpretatie van Cramér's V: * $V < 0.10$: triviaal effect * $0.10 \leq V < 0.30$: klein effect * $0.30 \leq V < 0.50$: medium effect * $V \geq 0.50$: sterk effect #### 2.2.7 Rapporteren Bij het rapporteren van de resultaten van een chikwadraattoets worden de volgende elementen vermeld: het type toets, de vrijheidsgraden, de $\chi^2$ waarde, de p-waarde, de effectgrootte (bijvoorbeeld Cramér's V) en de steekproefgrootte ($n$). Bijvoorbeeld: "Het verband tussen de variabelen mening over milieubelasting en politieke voorkeur werd nagegaan aan de hand van een chikwadraattoets. Deze wees uit dat beide variabelen statistisch afhankelijk zijn, $\chi^2(4)=21.86$, $p < 0.001$. Het verband bleek matig te zijn, Cramér's V $= 0.36$." --- # Hoe de juiste statistische toets te kiezen en examenvoorbereiding Hier is een gedetailleerde samenvatting voor het onderwerp "Hoe de juiste statistische toets te kiezen en examenvoorbereiding", gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 3. Hoe de juiste statistische toets te kiezen en examenvoorbereiding Dit deel biedt een systematisch overzicht van statistische toetsen, presenteert een stappenplan voor de correcte selectie van een toets, en bereidt studenten voor op examens door middel van theorievragen en toepassingsvoorbeelden. ### 3.1 Overzicht van statistische toetsen De keuze voor een statistische toets hangt af van de specifieke onderzoeksvraag en het meetniveau van de variabelen. Er wordt onderscheid gemaakt tussen parametrische en non-parametrische toetsen. #### 3.1.1 Parametrische toetsen Parametrische toetsen worden gebruikt wanneer de afhankelijke variabele minstens op intervalniveau gemeten is én de data in de populatie normaal verdeeld zijn. * **Pearson correlatietoets:** Onderzoekt het lineaire verband tussen twee variabelen van interval- of rationiveau. * **t-toetsen:** Worden gebruikt om gemiddelden te vergelijken. * **One-sample t-test:** Vergelijkt het gemiddelde van één steekproef met een bekende populatiewaarde. * **t-toets voor twee onafhankelijke steekproeven:** Vergelijkt de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen (bv. verschillende afdelingen). * **t-toets voor twee afhankelijke steekproeven (paired samples t-test):** Vergelijkt de gemiddelden van twee metingen bij dezelfde groep personen (bv. voor en na een interventie). * **One-way ANOVA (variantieanalyse):** Vergelijkt de gemiddelden van meer dan twee onafhankelijke groepen. #### 3.1.2 Non-parametrische toetsen Non-parametrische toetsen worden toegepast wanneer de data op nominaal of ordinaal niveau gemeten zijn, of wanneer de aanname van normaliteit voor parametrische toetsen geschonden is. * **Spearman rangcorrelatietoets:** Onderzoekt het verband tussen twee variabelen die minstens op ordinaal niveau gemeten zijn. * **Chikwadraattoets voor kruistabellen (χ²-toets):** Onderzoekt het verband tussen twee nominale variabelen aan de hand van frequentieverdelingen in een kruistabel. * **Wilcoxon rank-sum test:** Vergelijkt de verdelingen van twee onafhankelijke groepen op ordinaal niveau. * **Wilcoxon signed-rank test:** Vergelijkt de verdelingen van twee afhankelijke metingen op ordinaal niveau. #### 3.1.3 Toetsen voor het verband tussen twee variabelen Dit betreft specifiek toetsen die kijken naar de relatie tussen twee variabelen. * **Pearson correlatietoets:** Voor interval/ratio variabelen. * **Spearman rangcorrelatietoets:** Voor ordinale variabelen. * **Chikwadraattoets voor kruistabellen:** Voor nominale variabelen. ### 3.2 Stappenplan voor het kiezen van de juiste toets Het selecteren van de juiste statistische toets vereist een systematische aanpak. 1. **Begrijp de onderzoeksvraag:** Wat wil de onderzoeker precies weten? Gaat het om een verschil, een verband, of een voorspelling? 2. **Identificeer de variabelen:** Wat zijn de afhankelijke variabelen (AV) en de onafhankelijke variabelen (OV)? 3. **Bepaal het meetniveau van de variabelen:** Is de variabele nominaal, ordinaal, interval of ratio? 4. **Bepaal het aantal populaties/groepen:** Worden één, twee of meer dan twee populaties vergeleken? 5. **Identificeer of de steekproeven afhankelijk of onafhankelijk zijn:** Zijn de metingen afkomstig van dezelfde personen of van verschillende, ongerelateerde groepen? 6. **Kies tussen parametrisch en non-parametrisch:** Zijn de voorwaarden voor parametrische toetsen (interval/ratio niveau, normaliteit) voldaan? Zo niet, kies dan voor een non-parametrische toets. 7. **Bepaal of de toets eenzijdig of tweezijdig is:** Is er een specifieke richting van het verwachte effect, of wordt er alleen gekeken of er *een* verschil is? #### 3.2.1 Stramien voor het uitvoeren van een toets Voor elke statistische toets wordt een standaard procedure gevolgd: 1. **Toetsingssituatie:** Beschrijf de context, het type onderzoeksvraag en de gegevens. 2. **Voorwaarden:** Controleer of aan de statistische voorwaarden voor de gekozen toets wordt voldaan. 3. **Hypothesen:** Formuleer de nulhypothese ($H_0$) en de alternatieve hypothese ($H_1$). 4. **Toetsingsgrootheid:** Bereken de waarde van de toetsingsgrootheid en identificeer de bijbehorende kansverdeling. * *Formule voorbeeld Pearson correlatietoets:* De toetsingsgrootheid volgt een $t$-verdeling met $df = N - 2$ vrijheidsgraden, waar $N$ het aantal paren observaties is. 5. **Beslissingsregel:** Verwerp $H_0$ op basis van de overschrijdingskans ($p$-waarde) of kritieke waarden. * *Tip:* Bij tweezijdige toetsing wordt de kritieke waarde uit de tabel gehaald op basis van de gevraagde $\alpha$ en het aantal vrijheidsgraden. Als de berekende toetsingsgrootheid groter is dan de positieve kritieke waarde (of kleiner dan de negatieve kritieke waarde), wordt $H_0$ verworpen. 6. **Effectgrootte:** Kwantificeer de omvang van het gevonden effect. Dit geeft aan hoe belangrijk het gevonden resultaat is, los van de statistische significantie. * *Effectgrootte bij correlatietoetsen:* De correlatiecoëfficiënt ($r$) zelf dient vaak als effectgrootte. * *Effectgrootte bij chikwadraattoets:* Kan worden berekend met de chi-kwadraat statistiek, maar ook met maten als Cramér's V. Cramér's V wordt vaak gebruikt en geïnterpreteerd als: $r < .10$ (triviaal), $.10 - .30$ (klein), $.30 - .50$ (medium), $>.50$ (sterk). 7. **Rapporteren:** Beschrijf de resultaten op een gestandaardiseerde en duidelijke manier, inclusief de toets, de significantie, de effectgrootte en de steekproefgrootte. #### 3.2.2 Voorbeelden van toetsen en hun toepassing ##### Pearson correlatietoets * **Onderzoeksvraag:** Bestaat er een verband tussen de slaapkwaliteit van studenten tijdens de examenperiode en de mate van rust/kalmte die studenten ervaren? * **Voorwaarden:** Variabelen zijn interval/ratio niveau en normaal verdeeld in de populatie. * **Hypothesen:** * $H_0$: Er is geen lineair verband tussen slaapkwaliteit en ervaren rust/kalmte ($ρ = 0$). * $H_1$: Er is een lineair verband tussen slaapkwaliteit en ervaren rust/kalmte ($ρ \neq 0$). * **Toetsingsgrootheid:** $t$-verdeling met $df = N - 2$. * **Effectgrootte:** De correlatiecoëfficiënt ($r$). * **Rapportage:** "Om het verband na te gaan tussen de slaapkwaliteit en de mate van rust/kalmte van studenten tijdens de examenperiode, werd een Pearson correlatie berekend. Hieruit bleek dat het verband tussen beide variabelen groot was, en significant verschillend van nul ($r=.99$, $p<.05$, $N=5$)." ##### Rangcorrelatie van Spearman * **Toetsingssituatie:** Geschikt wanneer parametrische voorwaarden geschonden zijn (bv. variabelen op ordinaal niveau) of wanneer de variabelen niet normaal verdeeld zijn. * **Voorwaarden:** Minimaal ordinaal meetniveau. * **Hypothesen:** * $H_0$: Er is geen verband tussen de rangen van de variabelen. * $H_1$: Er is wel een verband tussen de rangen van de variabelen. * **Toetsingsgrootheid:** De berekening leidt tot een $t$-score, die wordt vergeleken met een kritieke waarde uit de $t$-tabel met $N-2$ vrijheidsgraden. * **Effectgrootte:** De correlatiecoëfficiënt ($r$) kan gebruikt worden. * **Rapportage:** "Om het verband na te gaan tussen het gebruik van sociale media en zelfbeeld bij jongeren, werd een Spearman correlatie berekend. Hieruit bleek dat het verband tussen beide variabelen groot was, en significant verschillend van nul ($r = -,87$, $p<,05$, $N=6$)." ##### Chikwadraat voor kruistabellen (χ²-toets) * **Toetsingssituatie:** Onderzoekt het verband tussen twee nominale variabelen door de geobserveerde frequenties te vergelijken met de verwachte frequenties onder de nulhypothese van onafhankelijkheid. * **Voorwaarden:** * Nominale variabelen. * Geen herhaalde metingen. * Mutueel exclusieve categorieën. * Verwachte frequenties ($f_e$) in de kruistabel mogen niet te klein zijn: maximaal 20% van de cellen mag een $f_e < 5$ hebben, en geen enkele cel mag een $f_e < 1$ hebben. * **Hypothesen:** * $H_0$: De variabelen zijn onafhankelijk; er is geen verband. * $H_1$: De variabelen zijn afhankelijk; er is een verband. * **Toetsingsgrootheid:** De $\chi^2$-statistiek, met $df = (aantal\;rijen - 1) \times (aantal\;kolommen - 1)$. * **Effectgrootte:** Diverse maten zoals de contigentiecoëfficiënt, $\phi$-coëfficiënt of Cramér's V. Cramér's V wordt als meest aangewezen beschouwd. * **Rapportage:** "Het verband tussen de variabelen mening over milieubelasting en politieke voorkeur werd nagegaan aan de hand van een chikwadraattoets. Deze wees uit dat beide variabelen statistisch afhankelijk zijn, $\chi^2(4)=21,86$, $p<,001$. Het verband bleek matig te zijn, Cramér’s V = .36." ### 3.3 Hoe de juiste toets te kiezen: een beslissingsboom De keuze voor een toets kan worden gevisualiseerd met een reeks vragen: 1. **Wat is de onderzoeksvraag?** * Verschil in gemiddelden? -> Ga naar vraag 2. * Verband tussen variabelen? -> Ga naar vraag 3. 2. **Verschil in gemiddelden:** * Aantal groepen? * 1 groep: One-sample t-test / z-toets. * 2 groepen: * Onafhankelijke steekproeven: Independent t-test (parametrisch) of Wilcoxon rank-sum test (non-parametrisch). * Afhankelijke steekproeven: Paired t-test (parametrisch) of Wilcoxon signed-rank test (non-parametrisch). * Meer dan 2 groepen: One-way ANOVA (parametrisch). 3. **Verband tussen variabelen:** * Meetniveau van variabelen? * Interval/Ratio: Pearson correlatie. * Ordinaal: Spearman correlatie. * Nominaal: Chikwadraattoets voor kruistabellen. #### 3.3.1 Parametrisch versus Non-parametrisch * **Parametrisch:** Gebruik wanneer de afhankelijke variabele minstens intervalniveau heeft en de data normaal verdeeld zijn in de populatie. * **Non-parametrisch:** Gebruik wanneer de afhankelijke variabele op ordinaal niveau is, of wanneer de normaliteitsassumptie van parametrische toetsen geschonden is. #### 3.3.2 Eenzijdig versus Tweezijdig toetsen * **Tweezijdig toetsen:** Wordt gebruikt wanneer er geen specifieke verwachting is over de richting van het effect (bv. "is er een verschil?"). Dit is de standaardkeuze bij gebrek aan eerdere kennis. * **Eenzijdig toetsen:** Wordt gebruikt wanneer er een duidelijke theoretische verwachting is over de richting van het effect (bv. "is groep A *hoger* dan groep B?"). Dit leidt tot meer statistische power als de richting correct is voorspeld. > **Tip:** Bij twijfel of gebrek aan eerdere onderzoekingen over de richting van een effect, kies altijd voor tweezijdig toetsen om geen mogelijke verbanden (positief of negatief) te missen. ### 3.4 Examenvoorbereiding en voorbeeldvragen De examenvoorbereiding richt zich op zowel theoretische kennis als de praktische toepassing van statistische toetsen. #### 3.4.1 Typen examenvragen * **Theorievragen:** Vragen die het begrip van concepten toetsen, zoals de fasen van de empirische cyclus, de betekenis van significantie en effectgrootte, of de keuze tussen een- en tweezijdig toetsen. * **Toepassingsvragen:** Vragen waarbij een specifieke onderzoekssituatie wordt geschetst en de student de juiste toets moet selecteren, hypothesen moet formuleren, berekeningen moet uitvoeren, resultaten moet interpreteren en rapporteren. #### 3.4.2 Belangrijke concepten voor het examen * **Significantie:** Geeft aan of een gevonden effect waarschijnlijk niet op toeval berust. Een $p$-waarde kleiner dan of gelijk aan $\alpha$ (meestal .05) leidt tot het verwerpen van de nulhypothese. * **Effectgrootte:** Kwantificeert de omvang en betekenisvolheid van een gevonden effect. Het is een aanvulling op significantie en geeft inzicht in de robuustheid van het resultaat in de populatie. * **Type I en Type II fouten:** * **Type I fout (vals positief):** De nulhypothese wordt verworpen terwijl deze in werkelijkheid waar is. De kans hierop is gelijk aan $\alpha$. * **Type II fout (vals negatief):** De nulhypothese wordt niet verworpen terwijl deze in werkelijkheid onjuist is. De kans hierop wordt aangeduid met $\beta$. * **Empirische cyclus:** Het proces van onderzoek, bestaande uit observatie, inductie, deductie, toetsing en evaluatie. #### 3.4.3 Voorbeeld van een toepassingsvraag (ANOVA) **Situatie:** Een onderzoeker wil nagaan of er een verschil is in het beoordelingscijfer dat aan memes wordt gegeven, afhankelijk van welk vak studenten volgen (PW1, GPW, STAT2). Er zijn 45 studenten, met 15 studenten per vak. **Hypothesen:** * $H_0$: Er is geen significant verschil in het beoordelingscijfer van memes tussen de vakken. * $H_1$: Er is minstens één significant verschil tussen de beoordelingscijfers van de memes tussen de vakken. **Gegeven waarden:** * Gemiddelde groep PW1: 7,54 * Gemiddelde groep GPW: 7,46 * Gemiddelde groep STAT2: 8,38 * Totaal gemiddelde: 7,79 * Sum of Squares (within-groups): 380,1705 * $\alpha = .05$ **Te berekenen:** * Sum of Squares (between-groups) * Vrijheidsgraden (between-groups en within-groups) * Mean Sum of Squares (between-groups en within-groups) * Toetsingsgrootheid ($F$-waarde) * Kritieke waarde * Conclusie en rapportage **Uitwerking (voorbeeld met berekende waarden):** * $SS_{between} = (7.54-7.79)^2 \times 15 + (7.46-7.79)^2 \times 15 + (8.38-7.79)^2 \times 15 \approx 27.07$ * $df_{between} = 3 - 1 = 2$ * $df_{within} = 45 - 3 = 42$ * $MS_{between} = SS_{between} / df_{between} \approx 27.07 / 2 \approx 13.535$ * $MS_{within} = SS_{within} / df_{within} \approx 380.1705 / 42 \approx 9.052$ * $F = MS_{between} / MS_{within} \approx 13.535 / 9.052 \approx 1.49$ * Kritieke waarde $F$ voor $df_1=2$, $df_2=42$, $\alpha=.05$ is ongeveer 3.23. * **Conclusie:** Aangezien de berekende $F$-waarde (1.49) kleiner is dan de kritieke waarde (3.23), wordt de nulhypothese niet verworpen. Er is geen statistisch significant verschil in beoordelingscijfers voor memes tussen de vakken. > **Tip:** Oefen met het correct rapporteren van resultaten. Dit omvat het vermelden van de toets, de vrijheidsgraden (indien van toepassing), de toetsingsgrootheid, de $p$-waarde, en de effectgrootte. Bij een significant resultaat in ANOVA is het belangrijk te vermelden dat er minstens één significant verschil is en dat post-hoc toetsen nodig zijn om specifieke groepsverschillen te identificeren. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Pearson correlatietoets | Een statistische toets die wordt gebruikt om de sterkte en richting van het lineaire verband tussen twee interval- of rationiveau variabelen te meten. Het resultaat is de Pearson correlatiecoëfficiënt (r). | | Spearman correlatietoets | Een non-parametrische statistische toets die wordt gebruikt om de sterkte en richting van het monotone verband tussen twee geordende (ordinale) variabelen te meten. Het resultaat is de Spearman rangcorrelatiecoëfficiënt (rho). | | Chikwadraat toets voor kruistabellen | Een non-parametrische statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee nominale variabelen, georganiseerd in een kruistabel. | | Toetsingssituatie | De specifieke context of onderzoeksvraag waarin een statistische toets wordt toegepast, inclusief de aard van de variabelen en het onderzoeksdoel (bijvoorbeeld het toetsen van een verband of een verschil). | | Voorwaarden | De statistische aannames die voldaan moeten zijn om een specifieke statistische toets correct en betrouwbaar te kunnen toepassen. Schending van voorwaarden kan leiden tot ongeldige resultaten. | | Hypothesen (H0 en H1) | Hypothesen zijn stellingen over de populatie die worden getoetst met statistische methoden. H0 (nulhypothese) stelt meestal geen effect of geen verband, terwijl H1 (alternatieve hypothese) wel een effect of verband stelt. | | Toetsingsgrootheid | Een waarde die wordt berekend uit de steekproefgegevens en die wordt gebruikt om de nulhypothese te toetsen. De verdeling van deze grootheid onder de nulhypothese is bekend. | | Kansverdeling | Een wiskundige functie die de waarschijnlijkheid beschrijft van het verkrijgen van verschillende uitkomsten in een willekeurig experiment of variabele. Bekende verdelingen zijn de t-verdeling, de chikwadraatverdeling en de F-verdeling. | | Beslissingsregel | Een regel die bepaalt of de nulhypothese wordt verworpen of niet verworpen, gebaseerd op de waarde van de toetsingsgrootheid en een vooraf bepaald significantieniveau (alfa), of op basis van de overschrijdingskans (p-waarde). | | Kritieke waarde | De grenswaarde in een kansverdeling die wordt gebruikt om de beslissingsregel te formuleren. Als de toetsingsgrootheid groter (of kleiner, afhankelijk van de toets) is dan de kritieke waarde, wordt de nulhypothese verworpen. | | Overschrijdingskans (p-waarde) | De kans om een steekproefresultaat te verkrijgen dat minstens zo extreem is als het waargenomen resultaat, aangenomen dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde (typisch <= .05) leidt tot het verwerpen van de nulhypothese. | | Effectgrootte | Een maat die aangeeft hoe groot het waargenomen effect of verband is, onafhankelijk van de steekproefgrootte. Het kwantificeert de praktische significantie van een resultaat. | | Rapporteren | Het correct en volledig presenteren van de resultaten van een statistische analyse, inclusief de toetsingsgrootheid, de overschrijdingskans, de effectgrootte en de conclusie in de context van de onderzoeksvraag. | | Nominale variabele | Een categorische variabele waarbij de categorieën geen inherente volgorde hebben (bijvoorbeeld geslacht, politieke voorkeur). | | Ordinale variabele | Een categorische variabele waarbij de categorieën een inherente volgorde hebben, maar de afstanden tussen de categorieën niet noodzakelijkerwijs gelijk zijn (bijvoorbeeld Likert-schaal, rangorde). | | Intervalvariabele | Een variabele waarbij de afstanden tussen opeenvolgende waarden gelijk zijn, maar er geen absoluut nulpunt is (bijvoorbeeld temperatuur in Celsius). | | Ratiovariabele | Een variabele waarbij de afstanden tussen opeenvolgende waarden gelijk zijn en er een absoluut nulpunt is, waardoor verhoudingen zinvol zijn (bijvoorbeeld lengte, gewicht). | | Parametrische toets | Een statistische toets die aannames doet over de parameters van de populatie waaruit de steekproef is getrokken, met name over de vorm van de verdeling (vaak normaalverdeling). | | Non-parametrische toets | Een statistische toets die minder strenge aannames doet over de populatieparameters en de verdeling van de gegevens, waardoor ze geschikt zijn voor ordinale en nominale data of wanneer de aannames van parametrische toetsen niet voldaan zijn. | | Onafhankelijke steekproeven | Steekproeven waarbij de observaties in de ene steekproef geen invloed hebben op de observaties in de andere steekproef. De groepen zijn dus van elkaar gescheiden. | | Afhankelijke steekproeven | Steekproeven waarbij de observaties binnen de steekproef gerelateerd zijn, bijvoorbeeld door herhaalde metingen bij dezelfde personen of door matching van paren (paired samples). | | Variantieanalyse (ANOVA) | Een statistische methode die wordt gebruikt om de gemiddelden van drie of meer groepen te vergelijken door de totale variantie in de gegevens op te splitsen in variantie tussen groepen en variantie binnen groepen. | | TYPE-I fout | De fout die gemaakt wordt wanneer de nulhypothese ten onrechte wordt verworpen. De kans hierop is gelijk aan het significantieniveau (alfa). | | TYPE-II fout | De fout die gemaakt wordt wanneer de nulhypothese ten onrechte niet wordt verworpen, terwijl deze in werkelijkheid onwaar is. De kans hierop wordt aangeduid met bèta ($\beta$). | | Empirische cyclus | Een proces in wetenschappelijk onderzoek dat bestaat uit observatie, inductie, deductie, toetsing en evaluatie, bedoeld om kennis te vergaren en theorieën te ontwikkelen of te verfijnen. |

# Soorten data en centrale maten Dit onderwerp introduceert de verschillende typen numerieke en categorische data, samen met fundamentele statistische maten zoals gemiddelde, mediaan en modus, en het concept van uitschieters. ### 1.1 Soorten data Data kan worden ingedeeld in numerieke en categorische typen, elk met specifieke subcategorieën die hun kenmerken en toepassingen bepalen [1](#page=1). #### 1.1.1 Numerieke data Numerieke data zijn gegevens die uitgedrukt worden in getallen [1](#page=1). ##### 1.1.1.1 Continue numerieke data Continue numerieke data, ook wel kwantitatieve data genoemd, omvatten getallen die elke mogelijke waarde binnen een bepaald bereik kunnen aannemen. Deze data ontstaan vaak door metingen [1](#page=1). **Voorbeelden:** * Lengte en afstand (bv. de lengte van een persoon, de afstand van een wandeling) [1](#page=1). * Tijd (bv. reistijd, looptijd van een marathon) [1](#page=1). * Temperatuur (vloeiend stijgend of dalend) [1](#page=1). ##### 1.1.1.2 Discrete numerieke data Discrete numerieke data bestaan uit afzonderlijke, telbare waarden. Deze data worden verkregen door te tellen en kunnen niet zinvol worden opgesplitst in kleinere eenheden. Hoewel vaak gehele getallen, kunnen discrete waarden ook losse decimale getallen omvatten, zoals schoenmaten (bv. 38, 38.5, 39) [1](#page=1). **Voorbeelden:** * Aantal personen (bv. leerlingen in een klas, klanten in een winkel) [1](#page=1). * Beoordelingen op een schaal (bv. 1 tot 5 sterren) [1](#page=1). * Sportuitslagen (bv. aantal doelpunten) [1](#page=1). #### 1.1.2 Categorische data Categorische data zijn gegevens die uit categorieën bestaan [1](#page=1). ##### 1.1.2.1 Nominale categorische data Nominale categorische data bestaan uit categorieën zonder een inherente rangorde of volgorde. Deze categorieën kunnen niet logisch van "hoog naar laag" of "belangrijk naar onbelangrijk" worden gesorteerd, en er kan niet mee worden gerekend. De modus is de enige zinvolle centrummaat voor nominale data [1](#page=1). **Voorbeelden:** * Land van herkomst (bv. België, Frankrijk, Duitsland) [1](#page=1). * Kleur (bv. oogkleur) [1](#page=1). * Geslacht (bv. man, vrouw, non-binair) [1](#page=1). ##### 1.1.2.2 Ordinale categorische data Ordinale categorische data bestaan uit categorieën met een natuurlijke en logische rangorde. Hoewel de volgorde duidelijk is (bv. categorie A is "hoger" dan categorie B), zijn de intervallen tussen de categorieën niet noodzakelijk vast of meetbaar [2](#page=2). **Voorbeelden:** * Lidmaatschapsniveaus (bv. "Standard" < "Silver" < "Gold") [2](#page=2). * Klanttevredenheid (bv. schalen van "Zeer ontevreden" tot "Zeer tevreden") [2](#page=2). * Opleidingsniveau (bv. basisonderwijs < middelbare school < bachelor < master) [2](#page=2). ### 1.2 Centrale maten Centrale maten zijn statistische methoden om het "centrum" of de typische waarde van een dataset te beschrijven [2](#page=2). #### 1.2.1 Gemiddelde (Mean) Het gemiddelde is de som van alle elementen in een dataset, gedeeld door het totale aantal elementen [2](#page=2). $$ \text{Gemiddelde} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$ #### 1.2.2 Mediaan De mediaan is de middelste waarde in een reeks getallen die van klein naar groot (of groot naar klein) is gesorteerd. Als er een even aantal waarden is, is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste waarden [2](#page=2). **Waarom de mediaan gebruiken?** * **Minder gevoelig voor uitschieters:** De mediaan wordt nauwelijks beïnvloed door extreem hoge of lage waarden die het gemiddelde zouden kunnen vertekenen [2](#page=2). * **Ideaal voor scheve data:** Wanneer de data niet symmetrisch verdeeld is, zoals bij inkomens, geeft de mediaan een beter beeld van de typische waarde [2](#page=2). > **Voorbeeld:** Bij inkomens als zal het gemiddelde hoog uitvallen door de 300, terwijl de mediaan beter aangeeft wat de meeste mensen verdienen [2](#page=2) . * **Efficiëntie:** De mediaan is relatief eenvoudig te berekenen als de data eenmaal gesorteerd is [2](#page=2). #### 1.2.3 Modus (Mode) De modus is de waarde die het meest frequent voorkomt in een dataset. Het geeft de meest voorkomende of "populairste" observatie weer [3](#page=3). **Kenmerken van de modus:** * **Meest voorkomende waarde:** In een dataset over het aantal benen van mensen is de modus 2, omdat de meeste mensen twee benen hebben [3](#page=3). * **Verschil met de mediaan:** De modus kijkt naar de frequentie, terwijl de mediaan naar de middelste positie in een gesorteerde reeks kijkt [3](#page=3). * **Meerdere modi:** Een dataset kan geen modus hebben (alle waarden komen één keer voor), één modus hebben (unimodaal), of meerdere modi hebben (bv. bimodaal als twee waarden even vaak voorkomen) [3](#page=3). **Waarom de modus gebruiken?** * **Toepasbaar op categorische data:** Dit is de enige centrummaat die gebruikt kan worden voor kwalitatieve (categorische) gegevens. Je kunt geen gemiddelde berekenen van categorieën zoals "Land" of "Kleur" [3](#page=3). > **Voorbeeld:** Als "België" het meest voorkomt in een dataset van landen van herkomst, dan is "België" de modus [3](#page=3). ### 1.3 Uitschieters (Outliers) Uitschieters zijn datapunten die significant verschillen van de rest van de gegevens in een dataset [2](#page=2). **Oorzaken van uitschieters:** * **Meetfouten:** Verkeerde eenheden of metingen (bv. centimeters in plaats van meters) [3](#page=3). * **Menselijke fouten:** Typfouten bij data-invoer [3](#page=3). **Impact op statistiek:** * **Gemiddelde:** Het gemiddelde is zeer gevoelig voor uitschieters; een enkele extreme waarde kan het gemiddelde sterk beïnvloeden [3](#page=3). * **Mediaan:** De mediaan is robuuster en minder gevoelig voor uitschieters, omdat deze zich richt op de middelste positie [3](#page=3). --- # Spreidingsmaten en visualisatie van data Dit gedeelte behandelt methoden voor het meten van de spreiding van data, waaronder kwartielen, de InterQuartile Range (IQR) en boxplots, en introduceert de concepten van populatie en steekproef. ### 2.1 Kwartielen en de InterQuartile Range (IQR) Kwartielen zijn belangrijke spreidingsmaten die helpen bij het begrijpen van de verdeling van data. #### 2.1.1 Definitie van Kwartielen * **Q1 (Eerste Kwartiel / 25e percentiel)**: Dit is de middelste waarde van de onderste helft van de data. Het geeft aan dat 25% van de waarden in de dataset onder dit punt ligt [4](#page=4). * **Q3 (Derde Kwartiel / 75e percentiel)**: Dit is de middelste waarde van de bovenste helft van de data. Het geeft aan dat 75% van de waarden in de dataset onder dit punt ligt (en dus 25% erboven) [4](#page=4). #### 2.1.2 Belang van Kwartielen Samen met de mediaan (die feitelijk Q2 is), worden kwartielen gebruikt om de InterQuartile Range (IQR) te berekenen [4](#page=4). * **IQR = Q3 - Q1**: Dit vertegenwoordigt de hoogte van de "box" in een boxplot [4](#page=4). * **Spreiding**: De IQR bevat de middelste 50% van je data [4](#page=4). * **Outliers**: De kwartielen worden gebruikt om de "whiskers" (snorharen) te bepalen; alles wat verder dan 1,5 keer de IQR van de box afligt, wordt gezien als een outlier [4](#page=4). ### 2.2 Boxplots Een boxplot is een grafische weergave die de spreiding en verdeling van een dataset visualiseert. #### 2.2.1 Opbouw van een Boxplot Een boxplot bestaat uit een rechthoek (de "box") met twee lijnen die eraan vastzitten (de "whiskers" of snorharen) [5](#page=5). * **De Box**: De onderkant van de box wordt gevormd door Q1 (het 25e percentiel) en de bovenkant door Q3 (het 75e percentiel). De hoogte van deze box bevat de middelste 50% van alle data, ook wel de InterQuartile Range (IQR) genoemd [5](#page=5). * **De Mediaan**: Een dikke lijn binnenin de box geeft de mediaan aan, de middelste waarde van de dataset [5](#page=5). * **De Whiskers**: Deze lijnen strekken zich uit vanaf de box naar de hoogste en laagste waarden in de dataset. Ze zijn echter begrensd en gaan tot maximaal 1,5 keer de hoogte van de box (1,5 x IQR) [5](#page=5). * **Outliers**: Datapunten die verder liggen dan de whiskers worden weergegeven als losse puntjes of cirkeltjes, wat duidt op uitschieters in de data [5](#page=5). #### 2.2.2 Voordelen van Boxplots Boxplots zijn essentieel om de "essence" van een grote hoeveelheid data in één beeld te vangen [5](#page=5). 1. **Vorm van de data**: Direct zichtbaar of data symmetrisch verdeeld is of een "skew" (scheefheid) vertoont naar links of rechts [5](#page=5). 2. **Vergelijken van groepen**: Meerdere boxplots kunnen naast elkaar worden geplaatst om bijvoorbeeld de leeftijd van verschillende groepen te vergelijken [5](#page=5). 3. **Spreiding**: Een grotere box indiceert meer variatie in de middelste helft van de data [5](#page=5). ### 2.3 Populatie en Steekproef In data-analyse is het onderscheid tussen een populatie en een steekproef fundamenteel. #### 2.3.1 Definitie * **Populatie**: Dit omvat alle datapunten of individuen waar je geïnteresseerd in bent, zoals de gehele Belgische bevolking of alle studenten Informatica [5](#page=5). * **Steekproef (Sample)**: Dit is een subset of een kleiner deel van de populatie. In data-analyse wordt vrijwel altijd met steekproeven gewerkt [5](#page=5). #### 2.3.2 Waarom Steekproeven Gebruiken? Het meten van de hele populatie is vaak onhaalbaar vanwege beperkingen in tijd, kosten en toegang [6](#page=6). #### 2.3.3 Representativiteit en Bias Het doel van een steekproef is om kenmerken van de populatie te schatten, waardoor representativiteit cruciaal is [6](#page=6). * De steekproef moet een redelijke afspiegeling zijn van de populatie om betrouwbare conclusies te kunnen trekken [6](#page=6). * Biased sampling (vertekende steekproeftrekking) moet vermeden worden. Een voorbeeld is het bevragen van jongeren over coderen enkel onder IT-studenten, wat de steekproef niet representatief maakt voor álle jongeren [6](#page=6). ### 2.4 Spreidingsmaten Spreidingsmaten zijn statistische waarden die aangeven hoe verspreid of gevarieerd datapunten in een dataset zijn. Ze zijn essentieel voor het beoordelen van de consistentie, betrouwbaarheid of het risico van data [6](#page=6). #### 2.4.1 Mean Absolute Deviation (MAD) De MAD is het gemiddelde van de absolute verschillen tussen elk datapunt en het gemiddelde van de dataset [6](#page=6). * **Kenmerk**: Gemakkelijker te berekenen en te interpreteren dan andere maten [6](#page=6). * **Nadeel**: Legt minder nadruk op uitschieters (outliers) [6](#page=6). * **Formule**: De formule voor MAD wordt hier niet expliciet weergegeven in de brontekst. > **Tip:** Spreidingsmaten bieden inzicht in de variabiliteit van data, wat cruciaal is voor diverse toepassingen zoals financiële analyses of kwaliteitscontrole in productieprocessen [6](#page=6). --- # Geavanceerde statistische concepten en modellen Dit deel van de studiehandleiding behandelt geavanceerde statistische concepten, meetinstrumenten voor spreiding, de principes van supervised learning en belangrijke wiskundige modellen. ## 3 Geavanceerde statistische concepten en modellen Dit hoofdstuk verdiept zich in diverse statistische eigenschappen zoals scheefheid en kurtosis, correlatie en introduceert fundamentele principes van supervised learning met bijbehorende algoritmen zoals KNN, decision trees en regressie. ### 3.1 Spreidingsmaten en verdelingsvormen De basis van het begrijpen van data ligt in het kwantificeren van de spreiding en de vorm van de verdeling. #### 3.1.1 Spreidingsmaten Naast het gemiddelde zijn er verschillende maten om de spreiding van data te kwantificeren, elk met hun eigen kenmerken en toepassingen. * **Variantie (Variance)**: De variantie is het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde. Door afwijkingen te kwadrateren, worden grotere afwijkingen zwaarder bestraft. Een nadeel is dat de eenheden in het kwadraat zijn (bijvoorbeeld "vierkante euro's"), wat de directe interpretatie bemoeilijkt [7](#page=7) [8](#page=8). * **Standaarddeviatie (Standard Deviation)**: Dit is de vierkantswortel van de variantie. Het is de meest gebruikte spreidingsmaat in de praktijk. Een belangrijk voordeel is dat de waarde in dezelfde eenheid als de oorspronkelijke data staat, wat de interpretatie vergemakkelijkt [7](#page=7) [8](#page=8). * **Mean Absolute Deviation (MAD)**: De MAD is het gemiddelde van de absolute verschillen tussen elk datapunt en het gemiddelde. Het is intuïtief te interpreteren en omdat er niet wordt gekwadrateerd, legt deze maat minder nadruk op uitschieters dan de andere maten [7](#page=7). #### 3.1.2 Scheefheid (Skewness) Skewness is een statistische maatstaf die de mate van asymmetrie in een kansverdeling beschrijft [8](#page=8). * **Positieve skew (Right-skewed)**: De staart aan de rechterkant van de grafiek is langer. De meeste waarden zijn geconcentreerd aan de linkerkant, met enkele hoge uitschieters die de rechterstaart uitrekken. Meestal is het gemiddelde hier groter dan de mediaan [8](#page=8). * **Negatieve skew (Left-skewed)**: De staart aan de linkerkant van de grafiek is langer. De meeste waarden bevinden zich aan de rechterkant, met enkele zeer lage uitschieters die de linkerstaart veroorzaken. Hier is het gemiddelde meestal kleiner dan de mediaan [8](#page=8). * **Symmetrische verdeling**: De linker- en rechterkant zijn elkaars spiegelbeeld. Er is geen significante staart aan één specifieke zijde. Bij een perfect symmetrische verdeling vallen het gemiddelde, de mediaan en de modus samen [8](#page=8). Skewness helpt bij het identificeren van outliers [8](#page=8). #### 3.1.3 Kurtosis Kurtosis is een statistische maatstaf die de "tailedness" (de dikte van de staarten) of de scherpte van de piek van een verdeling meet [9](#page=9). * **Leptokurtisch (Hoge kurtosis)**: Een scherpere piek en dikkere staarten. Dit betekent dat een groot deel van de variantie wordt veroorzaakt door extreme uitschieters en de kans op waarden ver van het gemiddelde groter is dan bij een normale verdeling [9](#page=9). * **Platykurtisch (Lage kurtosis)**: Een plattere verdeling met dunnere staarten. Extreme waarden of uitschieters komen minder vaak voor [9](#page=9). * **Mesokurtisch**: Komt overeen met een normale verdeling en dient als standaard voor vergelijking [9](#page=9). ### 3.2 Correlatie en data-preparatie Correlatie is essentieel voor het begrijpen van relaties tussen variabelen, terwijl data-preparatie de basis legt voor modellering. #### 3.2.1 Correlatie Correlatie is een statistische maatstaf die de relatie tussen twee verschillende variabelen beschrijft [9](#page=9). * **De Correlatiecoëfficiënt (r)**: * $r = 1$: Perfecte positieve correlatie, waarbij beide variabelen proportioneel in dezelfde richting bewegen [9](#page=9). * $r = -1$: Perfecte negatieve correlatie, waarbij variabelen in tegenovergestelde richting bewegen [9](#page=9). * $r = 0$: Geen lineair verband tussen de variabelen [9](#page=9). **Belangrijke Nuances bij Correlatie:** * **Correlatie is geen Causatie (Correlation ≠ Causation)**: Alleen omdat twee variabelen samen bewegen, betekent dit niet dat de ene de andere veroorzaakt. Een derde, ongeziene factor kan de oorzaak zijn [10](#page=10). * **Spurious Correlations (Schijincorrelaties)**: Correlaties die puur toevallig lijken te bestaan of worden veroorzaakt door een ongeziene factor, zonder logisch verband. De kans hierop neemt toe in grote datasets [10](#page=10). #### 3.2.2 Data-preparatie Data-preparatie is cruciaal om ruwe data geschikt te maken voor analyse en modellering. * **One-hot encoding**: Een techniek om categorische variabelen om te zetten naar een numeriek formaat door voor elke unieke categorie een nieuwe, binaire kolom aan te maken (1 als de observatie tot die categorie behoort, 0 anders). Dit wordt beschouwd als een onderdeel van Data Cleansing [10](#page=10). * **Soorten missing values**: * **Missing Completely at Random (MCAR)**: Het ontbreken van data is volledig willekeurig en ongerelateerd aan andere data [10](#page=10). * **Missing at Random (MAR)**: Het ontbreken is gerelateerd aan andere geobserveerde data, maar niet aan de ontbrekende waarde zelf [11](#page=11). * **Missing Not at Random (MNAR)**: De reden voor het ontbreken is direct gerelateerd aan de waarde die ontbreekt [11](#page=11). * **Strategieën voor het afhandelen van ontbrekende data**: 1. **Negeren of Verwijderen**: Volledige rijen of waarden overslaan [11](#page=11). 2. **Imputeren (Vervangen)**: Vervangen door 0, het gemiddelde, de mediaan, de modus, of een voorspelde waarde [11](#page=11). 3. **Markeren en Onderzoeken**: De waarde markeren als "missend" en patronen in het ontbreken onderzoeken [11](#page=11). ### 3.3 Supervised Learning Supervised learning-algoritmen leren van gelabelde data om voorspellingen te doen. #### 3.3.1 Classificatie vs. Regressie * **Classificatie (Classification)**: Het doel is om een categorie of label toe te kennen aan een nieuwe observatie (discrete output). Voorbeelden zijn churn prediction, fraudedetectie en beeldherkenning [12](#page=12). * **Regressie (Regression)**: Het doel is om een numerieke waarde of continu getal te voorspellen (numerieke output). Voorbeelden zijn prijsvoorspelling, verkoopvolumes en voorraadbeheer [12](#page=12). #### 3.3.2 K-Nearest Neighbors (KNN) KNN is een algoritme dat zowel voor classificatie als regressie kan worden gebruikt en wordt een "Lazy Learner" genoemd omdat het model tijdens de trainingsfase niets doet [12](#page=12). * **Hoe het werkt**: 1. Nieuwe data invoeren [13](#page=13). 2. Zoek de K meest gelijkende datapunten (buren) in de bestaande dataset [13](#page=13). 3. Voorspel: * Classificatie: Meerderheidsstemming onder de K buren [13](#page=13). * Regressie: Gemiddelde van de waarden van de K buren [13](#page=13). * **De rol van K**: Bepaalt het aantal buren dat geraadpleegd wordt [13](#page=13). * **Het meten van gelijkenis (Afstanden)**: * Euclidean distance: Voor continue numerieke variabelen [13](#page=13). * Manhattan distance: Voor data in een rasterstructuur [13](#page=13). * Hamming distance: Voor binaire variabelen [13](#page=13). * **Distance-weighted KNN**: Geeft meer gewicht aan dichterbij gelegen buren [13](#page=13). #### 3.3.3 Decision trees Een decision tree verdeelt data in steeds kleinere subgroepen op basis van kenmerken [13](#page=13). * **Structuur**: Bestaat uit een Root Node, Internal Nodes en Leaf Nodes [14](#page=14). * **Hoe de boom wordt gebouwd (Splitting)**: Gebruikt metrieken zoals Entropy, Information Gain en Gini Index om de data zo "puur" mogelijk te splitsen [14](#page=14). * **Belangrijke kenmerken**: Geen lussen en toepasbaar voor zowel classificatie als regressie [14](#page=14). #### 3.3.4 Random Forest Een geavanceerd algoritme dat de voorspellingen van meerdere decision trees combineert voor nauwkeurigere resultaten, gebaseerd op het principe van "Wisdom of the Crowd". Het introduceert diversiteit door willekeurige subsets van data en kenmerken te gebruiken [14](#page=14) [15](#page=15). * **Voorspellingen maken**: Via Majority Voting (classificatie) of middeling (regressie) [15](#page=15). #### 3.3.5 Lineaire regressie Lineaire regressie voorspelt een numerieke, continue waarde op basis van één of meerdere onafhankelijke variabelen [15](#page=15). * **Typen**: * **Enkelvoudige lineaire regressie**: Gebruikt één voorspellende variabele ($X$) om $y$ te bepalen. De formule is $y = \beta_0 + \beta_1x$ [15](#page=15) [16](#page=16). * **Meervoudige lineaire regressie**: Gebruikt een set van meerdere voorspellende variabelen ($X_1, X_2,..., X_p$) om $y$ te voorspellen. De formule wordt uitgebreid naar [15](#page=15): $$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \dots + \beta_px_p + \epsilon$$ [15](#page=15) [16](#page=16). * **Belangrijke concepten**: * **Coëfficiënten ($\beta$)**: Vertegenwoordigen de helling en de invloed van elke variabele op de voorspelling. $\beta_0$ is het intercept [16](#page=16). * **Ruis ($\epsilon$)**: De afwijking die niet door de variabelen verklaard kan worden [16](#page=16). * **Regressielijn**: Een lijn die zo wordt getrokken dat de totale fout tussen de werkelijke datapunten en de lijn minimaal is [16](#page=16). * **Lineaire vs. Niet-Lineaire Regressie**: Een rechte lijn werkt bij lineaire relaties, maar bij curven is een polynomial model (niet-lineaire regressie) nodig. Een voorbeeld van een polynomial model is $y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_1^2$ [16](#page=16). > **Tip:** Visualiseer je data met een scatter plot om te bepalen of lineaire of niet-lineaire regressie het meest geschikt is. #### 3.3.6 Logistic Regression Logistische regressie voorspelt de waarschijnlijkheid dat een waarneming tot een specifieke categorie behoort, meestal voor binaire classificatie [17](#page=17). * **Hoe het werkt**: Gebruikt een wiskundige vergelijking die begint met een lineaire formule en vervolgens de uitkomst door de Sigmoid-functie haalt, wat resulteert in een S-curve tussen 0 en 1 [17](#page=17). * **Threshold (Drempelwaarde)**: Wordt ingesteld (meestal 0,5) om een definitieve keuze te maken tussen twee klassen. De drempelwaarde kan worden aangepast om specifieke fouten te vermijden [18](#page=18). * **Regularisatie**: Technieken zoals Lasso en Ridge regressie worden gebruikt om te voorkomen dat het model te complex wordt of te veel op onbelangrijke variabelen vertrouwt [18](#page=18). ### 3.4 Statistische verdelingen en significantie Het begrijpen van statistische verdelingen en het concept van statistische significantie is cruciaal voor data-analyse. #### 3.4.1 Statistische Verdelingen Statistische verdelingen geven weer hoe datapunten over verschillende waarden verspreid zijn [18](#page=18). * **Continue Verdelingen**: Gebruikt voor data die elke waarde binnen een bereik kan aannemen [18](#page=18). * **Normale Verdeling (Bell Curve)**: Symmetrisch rond het gemiddelde. De 68-95-99.7 Regel beschrijft de spreiding rond het gemiddelde [19](#page=19). * **Student-t Verdeling**: Lijkt op de normale verdeling maar met dikkere staarten, gebruikt bij kleine steekproeven of onbekende standaarddeviatie [19](#page=19). * **Exponentiële Verdeling**: Beschrijft vaak de tijd tussen gebeurtenissen [19](#page=19). * **Discrete Verdelingen**: Gebruikt voor telbare waarden [19](#page=19). * **Uniforme Verdeling**: Elke mogelijke uitkomst heeft een gelijke kans [19](#page=19). * **Poisson Verdeling**: Meet het aantal gebeurtenissen in een vast tijdsinterval [19](#page=19). * **Bernoulli Verdeling**: Voor een enkel experiment met twee mogelijke uitkomsten [19](#page=19). * **Binomiale Verdeling**: Beschrijft het aantal successen in een reeks van onafhankelijke Bernoulli-experimenten [19](#page=19). #### 3.4.2 Statistical Significance Statistische significantie geeft aan hoe waarschijnlijk het is dat een gevonden resultaat op toeval berust [19](#page=19). * **De Nulhypothese ($H_0$)**: Het uitgangspunt dat er geen effect of verschil is [19](#page=19). * **De P-waarde (P-value)**: De waarschijnlijkheid om de geobserveerde data (of extremer) te vinden als de nulhypothese waar is [20](#page=20). * Lage p-waarde (< 0,05): Resultaat is statistisch significant; nulhypothese kan worden verworpen [20](#page=20). * Hoge p-waarde (> 0,05): Resultaat is niet statistisch significant; nulhypothese kan niet worden verworpen [20](#page=20). * **Statistische vs. Praktische Significantie**: Statistische significantie geeft aan dat er een effect is, terwijl praktische significantie aangeeft of dit effect in de echte wereld belangrijk is [20](#page=20). * **Valkuilen**: Steekproefgrootte en p-hacking kunnen leiden tot misleidende resultaten [20](#page=20). --- # Model evaluatie en validatie Dit onderdeel behandelt de methoden en metrieken die gebruikt worden om de prestaties van machine learning modellen te beoordelen en te valideren, met specifieke aandacht voor classificatie- en regressiemodellen. ### 4.1 De Data Science Workflow en de rol van evaluatie De Data Science Workflow is een gestructureerd proces voor het ontwikkelen en inzetten van data science projecten, waarbij de CRISP-DM methode centraal staat. Deze methode omvat de volgende fasen: Business Understanding, Data Understanding, Data Preparation, Modeling, Evaluation en Deployment. De Evaluation fase is cruciaal om te beoordelen of het ontwikkelde model de oorspronkelijke bedrijfsdoelstellingen behaalt en of er geen belangrijke zakelijke aspecten over het hoofd zijn gezien. Het proces is iteratief; inzichten uit de evaluatiefase kunnen leiden tot terugkeer naar eerdere fasen [21](#page=21) [22](#page=22). ### 4.2 Prestatie-evaluatie van classificatiemodellen De prestaties van classificatiemodellen worden gemeten aan de hand van hoe goed ze nieuwe data correct kunnen labelen. Omdat simpele "percentage correct"-scores misleidend kunnen zijn, worden diverse metrieken gebruikt voor een compleet beeld [22](#page=22). #### 4.2.1 De confusion matrix De basis voor classificatiemetrieken is de confusion matrix, die werkelijke waarden vergelijkt met voorspelde waarden. De componenten zijn [22](#page=22): * **True Positive (TP):** Model voorspelde "Ja" en het was inderdaad "Ja". * **True Negative (TN):** Model voorspelde "Nee" en het was inderdaad "Nee". * **False Positive (FP):** Model voorspelde "Ja", maar het was eigenlijk "Nee" (Type I fout). * **False Negative (FN):** Model voorspelde "Nee", maar het was eigenlijk "Ja" (Type II fout). #### 4.2.2 Belangrijke classificatiemetrieken Op basis van de confusion matrix kunnen de volgende scores worden berekend [23](#page=23): * **Accuracy (Nauwkeurigheid):** Het percentage correcte voorspellingen van het totaal. Dit is minder betrouwbaar bij ongebalanceerde datasets [23](#page=23). * **Precision (Precisie):** Hoeveel van de positieve voorspellingen waren werkelijk positief. Cruciaal wanneer de kosten van een False Positive hoog zijn (bijv. onterechte fraudeaanklacht) [23](#page=23). * **Recall (Sensitivity):** Hoeveel van de werkelijke positieve gevallen het model heeft gevonden. Essentieel wanneer de kosten van een False Negative hoog zijn (bijv. het missen van een kankergeval) [23](#page=23). * **F1-Score:** Het harmonisch gemiddelde van Precision en Recall, nuttig voor het vinden van een balans, vooral bij scheve datasets [23](#page=23). ##### 4.2.2.1 Sensitivity versus Specificity (medisch perspectief) * **Sensitivity (Recall):** Meet hoe goed een test patiënten met de ziekte correct identificeert. Het is het percentage werkelijk zieke mensen dat een positief testresultaat krijgt. Hoge sensitivity minimaliseert False Negatives en is cruciaal bij gevaarlijke ziektes [23](#page=23). * **Specificity:** Meet hoe goed een test mensen zonder de ziekte correct identificeert. Het is het percentage gezonde mensen dat een negatief testresultaat krijgt. Hoge specificity minimaliseert False Positives en is belangrijk wanneer vervolgbehandelingen riskant of duur zijn [23](#page=23). ##### 4.2.2.2 Recall versus Precision (machine learning perspectief) * **Precision:** Beantwoordt de vraag: "Van alle gevallen die het model als positief voorspelde, hoeveel waren er werkelijk positief?" Het focust op de nauwkeurigheid van positieve voorspellingen en is belangrijk bij hoge kosten van een False Positive, zoals bij spamfilters [24](#page=24). * **Recall:** Beantwoordt de vraag: "Van alle werkelijke positieve gevallen, hoeveel heeft het model correct geïdentificeerd?" Het focust op het vermogen om alle relevante gevallen te vinden en is cruciaal bij hoge kosten van een False Negative, zoals bij kankeronderzoek [24](#page=24). #### 4.2.3 Van regressie naar classificatie Regressiemodellen kunnen voor classificatie worden gebruikt door een drempelwaarde (threshold) in te stellen op de voorspelde waarschijnlijkheid. Het aanpassen van deze drempelwaarde beïnvloedt de balans tussen Accuracy, Recall en Precision van het model [25](#page=25). #### 4.2.4 Lift Curve Een Lift Curve evalueert hoe effectief een model is in het identificeren van "meest waarschijnlijke kandidaten" vergeleken met een willekeurige selectie [25](#page=25). * **Concept:** Het meet hoeveel meer "successen" (bijv. kopers) men vindt door de top X% kandidaten te selecteren op basis van de modelvoorspelling, ten opzichte van het gemiddelde succespercentage in de gehele dataset [25](#page=25). * **Berekening:** De liftwaarde is de ratio van het succespercentage in een gesegmenteerd deel van de data (bijv. top 14%) gedeeld door het gemiddelde succespercentage over de gehele dataset [25](#page=25). > **Voorbeeld:** Als de dataset een gemiddeld succespercentage van 64% heeft en een segment van de top 2 personen (14% van de data) toont 100% succes, dan is de lift $1 / 0,64 = 1,56$ [25](#page=25). * **Interpretatie:** * Lift > 1: Het model is effectief [26](#page=26). * Lift = 1: Het model presteert niet beter dan willekeurig gokken [26](#page=26). * In een grafiek neemt de lift meestal af naarmate meer data wordt toegevoegd, stabiliserend naar 1 voor de gehele dataset [26](#page=26). ### 4.3 Prestatie-evaluatie van regressiemodellen Bij regressiemodellen, die continue waarden voorspellen, wordt de "correctheid" gemeten aan de hand van de residuals (fouten): het verschil tussen de werkelijke waarde ($y_i$) en de voorspelde waarde ($\hat{y}_i$) [24](#page=24). #### 4.3.1 Belangrijkste regressiemetrieken De totale kwaliteit van een regressiemodel wordt beoordeeld met de volgende statistieken [24](#page=24): * **Mean Absolute Error (MAE):** Het gemiddelde van alle absolute fouten. Geeft de gemiddelde foutgrootte aan in de eenheid van de data [24](#page=24). * **Mean Squared Error (MSE):** Het gemiddelde van de gekwadrateerde fouten. Bestraft grote uitschieters zwaarder [24](#page=24). * **Mean Absolute Percentage Error (MAPE):** De gemiddelde fout uitgedrukt als een percentage van de werkelijke waarde [24](#page=24). * **Total Sum of Squared Errors:** De som van alle gekwadrateerde fouten [24](#page=24). ### 4.4 Modelvalidatie Modelvalidatie is essentieel om te bepalen of de output van een model een acceptabele weergave is van de realiteit, en of het goed presteert op zowel bekende als onbekende data. Het doel is om de aansluiting bij de businessvraag te controleren [26](#page=26). #### 4.4.1 Soorten validiteit Er worden drie typen validiteit onderscheiden op basis van de gebruikte data [26](#page=26): * **Apparent Validity:** Getest op de eigen steekproef (training set) [26](#page=26). * **Internal Validity:** Getest op de eigen populatie (validation set) [26](#page=26). * **External Validity:** Getest op een andere populatie (test set) [26](#page=26). #### 4.4.2 Validatietechnieken Om de betrouwbaarheid te waarborgen en overfitting te voorkomen, worden specifieke methoden gebruikt voor data-splitsing en modeltesten [26](#page=26). ##### 4.4.2.1 Data Splitting De dataset wordt verdeeld in drie onafhankelijke sets [26](#page=26): * **Training set:** Gebruikt om het model te bouwen [26](#page=26). * **Validation set:** Gebruikt om het model te tunen (bv. hyperparameters aanpassen) en modellen te vergelijken [26](#page=26). * **Test set:** Wordt uitsluitend gebruikt voor de finale evaluatie van het gekozen model [26](#page=26). ##### 4.4.2.2 Cross Validation (K-Fold) Dit is een robuustere methode waarbij de data herhaaldelijk wordt gesplitst [26](#page=26). 1. De data wordt eerst gesplitst in een training- en testset [26](#page=26). 2. De trainingset wordt verdeeld in $k$ subsets [27](#page=27). 3. Telkens wordt één subset gebruikt voor validatie, en de overige $k-1$ subsets voor training [27](#page=27). 4. Dit proces wordt $k$ keer herhaald, zodat elke subset één keer als validatieset fungeert [27](#page=27). 5. Het beste model wordt gekozen op basis van deze resultaten en vervolgens geëvalueerd op de originele testset [27](#page=27). ##### 4.4.2.3 Leave One Out (LOO) Dit is een extreme vorm van Cross Validation waarbij $k$ gelijk is aan het aantal datapunten in de dataset. Telkens wordt één datapunt weggelaten voor validatie, terwijl op alle andere datapunten getraind wordt [27](#page=27). #### 4.4.3 Belang van validatie Zonder goede validatie bestaat het risico op overfitting: het model leert de ruis in de trainingsdata in plaats van echte patronen, wat leidt tot falen op nieuwe data [27](#page=27). > **Tip:** Modelvalidatie is cruciaal om te garanderen dat een model niet alleen goed presteert op de data waarmee het getraind is, maar ook generaliseert naar nieuwe, ongeziene data. Dit voorkomt teleurstellingen bij de uiteindelijke inzet van het model. --- # Unsupervised learning en speciale algoritmen Dit deel behandelt technieken voor unsupervised learning, waaronder clustering en associatieregels, evenals recommender systems en de onderliggende matrixfactorisatie methoden. ### 5.1 Unsupervised learning: toepassingen en principes Unsupervised learning is een breed veld binnen machine learning waarbij algoritmen patronen in data ontdekken zonder dat er vooraf gedefinieerde labels of uitkomsten zijn. De belangrijkste toepassingen omvatten [27](#page=27): * **Clustering (Data Partitionering):** Het groeperen van objecten die op elkaar lijken binnen één cluster, maar verschillen van objecten in andere clusters. Dit is nuttig in marketing (doelgroepen identificeren), verzekeringen (risicoprofielen groeperen), stadsplanning en gezondheidszorg (kankercellen classificeren) [27](#page=27). * **Datacompressie en Visualisatie:** Het verkleinen van datahoeveelheden met behoud van essentie, of het omzetten van hoog-dimensionale data naar een visueel formaat (zoals met PCA of t-SNE) om patronen te herkennen [27](#page=27). * **Detectie van Afwijkingen (Anomaly Detection):** Het opsporen van datapunten die significant afwijken van de rest (novelty detection), cruciaal in cybersecurity voor het herkennen van ongebruikelijke netwerkpatronen [27](#page=27). * **Voorbereiding voor andere modellen (Preprocessing):** Clustering kan dienen als een tussenstap om data te vereenvoudigen of kenmerken te extraheren voor supervised learning modellen, of voor dichtheidsschatting [27](#page=27). #### 5.1.1 Clustering Clustering is een vorm van unsupervised learning die data groepeert zonder vooraf bekende labels. Het doel is om structuur te vinden door objecten in clusters te verdelen, met de kernmerken van een goede clustering [28](#page=28): * **Hoge intra-klasse gelijkenis:** Objecten binnen hetzelfde cluster moeten sterk op elkaar lijken [28](#page=28). * **Lage inter-klasse gelijkenis:** Objecten in verschillende clusters moeten duidelijk van elkaar verschillen [28](#page=28). Belangrijke concepten binnen clustering zijn: * **Afstandsmaten:** Gebruikt om de gelijkenis tussen objecten te bepalen, zoals de Euclidische, Manhattan of Pearson correlation afstand [28](#page=28). * **Types toewijzing:** * **Hard clustering:** Elk item behoort tot precies één cluster [28](#page=28). * **Soft clustering:** Elk item heeft een waarschijnlijkheid om tot bepaalde clusters te behoren [29](#page=29). * **Overlapping clustering:** Een item kan in meerdere clusters tegelijk zitten [29](#page=29). Er zijn twee hoofdbenaderingen in clustering: 1. **Hiërarchische clustering:** Bouwt een boomstructuur van clusters (een dendrogram), ofwel van onderaf (agglomerative) of van bovenaf (divisive) [29](#page=29). 2. **Partitionele clustering:** Verdeelt de data direct in een specifiek aantal ($k$) groepen, zoals bij het K-means algoritme [29](#page=29). De kwaliteit van een clustering is vaak afhankelijk van de toepassing en kan subjectief zijn, omdat er geen eenduidige "juiste" clustering bestaat [29](#page=29). ##### 5.1.1.1 Afstanden en gelijkenissen Afstandsmaten zijn cruciaal voor clustering om de afstand tussen individuele instanties, een cluster en een instantie, of tussen clusters onderling te bepalen. Veelgebruikte formules voor de afstand tussen twee punten $x$ en $y$ zijn [30](#page=30): * **Euclidean distance:** De rechtstreekse afstand tussen twee punten. * **Manhattan distance:** De som van de absolute verschillen tussen de coördinaten ('taxi-afstand'). * **Pearson correlation distance:** Een maatstaf voor de correlatie tussen variabelen. ##### 5.1.1.2 Hiërarchische clustering Hiërarchische clustering bouwt een hiërarchie van clusters op in de vorm van een dendrogram. De twee benaderingen zijn [30](#page=30): * **Agglomerative (Bottom-up):** Elk datapunt start als een eigen cluster. Clusters worden stapsgewijs samengevoegd op basis van gelijkenis, tot alles in één groot cluster zit [31](#page=31). * **Divisive (Top-down):** Begint met één groot cluster en splitst dit herhaaldelijk op in kleinere groepen [31](#page=31). De afstanden tussen clusters worden berekend met verschillende **linkage** types: * **Single Link:** De afstand tussen de twee dichtstbijzijnde punten van de clusters [31](#page=31). * Voordelen: Kan langgerekte clusters identificeren, computationeel efficiënt [31](#page=31). * Nadelen: Gevoelig voor ruis/uitbijters, kan "chaining" (onterechte verbinding) veroorzaken [31](#page=31). * **Complete Link:** De afstand tussen de twee verste punten van de clusters [31](#page=31). * Voordelen: Produceert compacte clusters, minder gevoelig voor ruis [31](#page=31). * Nadelen: Gevoelig voor uitbijters, kan grote clusters onterecht breken [32](#page=32). * **Average Link:** De gemiddelde afstand tussen alle paren van punten in de clusters [32](#page=32). * Voordelen: Goede balans tussen compactheid en het voorkomen van ketenvorming [32](#page=32). * Nadelen: Computationeel duurder [32](#page=32). * **Centroid Link:** De afstand tussen de middelpunten (gemiddelden) van de clusters [32](#page=32). * Voordelen: Werkt goed bij bolvormige clusters, intuïtieve aanpak [32](#page=32). * Nadelen: Gevoelig voor uitbijters, kan leiden tot niet-intuïtieve splitsingen [32](#page=32). ##### 5.1.1.3 Partitionele clustering algoritmen Partitionele algoritmen verdelen een dataset van $n$ objecten in $k$ clusters, waarbij een bepaald criterium wordt geoptimaliseerd. Omdat het vinden van de globale optimale oplossing (door alle mogelijke verdelingen te controleren) vaak onmogelijk is, worden heuristische methoden zoals k-means en k-medoids gebruikt [32](#page=32). De belangrijkste verschillen tussen k-means en k-medoids zijn: * **K-means:** Elk cluster wordt vertegenwoordigd door het gemiddelde (centroid) van de objecten in dat cluster. Dit centroid hoeft geen bestaand datapunt te zijn [33](#page=33). * **K-medoids (PAM):** Elk cluster wordt vertegenwoordigd door een medoïde, wat een daadwerkelijk, centraal gelegen object binnen het cluster is [33](#page=33). Het **K-means Algoritme** volgt deze stappen: 1. **Initialisatie:** Selecteer willekeurig $k$ initiële middelpunten (centroids) [33](#page=33). 2. **Toewijzing:** Wijs elk datapunt toe aan het dichtstbijzijnde middelpunt op basis van de Euclidische afstand [33](#page=33). 3. **Update:** Bereken de middelpunten opnieuw als het gemiddelde van alle datapunten die aan dat cluster zijn toegewezen [33](#page=33). 4. **Iteratie:** Herhaal de toewijzing en update totdat de middelpunten niet meer veranderen of een maximum aantal iteraties is bereikt [33](#page=33). **Sterktes en zwaktes van K-means:** * **Sterktes:** Efficiënt, eenvoudig te implementeren, kan herstart worden voor betere lokale optima [33](#page=33). * **Zwaktes:** Vereist voorafgaande specificatie van $k$, gevoelig voor ruis en uitbijters, kan geen niet-bolvormige clusters vinden [33](#page=33). Partitionele clustering kenmerkt zich door disjuncte clusters met een platte structuur. Belangrijke vraagstukken zijn het bepalen van het aantal clusters ($k$) en de representatie van die clusters. Een partitionele clustering kan ook gegenereerd worden door een hiërarchische boom op een bepaald niveau door te snijden [34](#page=34). #### 5.1.2 Clustering toepassingen Clustering kent diverse toepassingen in verschillende domeinen: * **Veiligheid en Wetenschap:** * Cybersecurity: Groeperen van patronen in netwerkverkeer voor detectie van cyberaanvallen [34](#page=34). * Kankeronderzoek: Clusteren van kankercellen op basis van genexpressie om effectieve behandelingen te bepalen [34](#page=34). * Seismologie: Clusteren van aardbevings-epicentra langs breuklijnen [34](#page=34). * Landgebruik: Identificeren van gebieden met vergelijkbaar landgebruik uit aardobservatiedata [34](#page=34). * **Verzekeringen:** Groeperen van polishouders met een vergelijkbaar (hoog) claimrisico of gemiddeld hoge claimkosten [27](#page=27) [34](#page=34). ### 5.2 Associatieregels Associatieregels zijn een techniek binnen unsupervised learning om "If-Then"-relaties tussen items te ontdekken die vaak samen voorkomen in transacties [35](#page=35). **Basisbegrippen:** * **Transactie:** Een lijst met items die samen voorkomen (bv. een kassabon, een webpagina, een zin) [35](#page=35). * **Itemset:** Een verzameling van één of meer items. Een $k$-itemset bevat $k$ items [35](#page=35). * **Co-occurrence:** Regels tonen aan dat items samen voorkomen, maar impliceren geen causaliteit [35](#page=35). #### 5.2.1 Het Apriori Algoritme Het Apriori algoritme is een stapsgewijze methode om alle frequente itemsets te vinden (itemsets die vaker voorkomen dan een ingestelde **Support Threshold**) [35](#page=35): 1. Vind alle frequente 1-itemsets door elk item te tellen [35](#page=35). 2. Genereer kandidaat-itemsets door frequente 1-itemsets te combineren tot potentiële 2-itemsets [35](#page=35). 3. Elimineer kandidaat-itemsets die onder de drempelwaarde vallen [35](#page=35). 4. Herhaal door frequente itemsets te combineren tot grotere groepen (bv. 3-itemsets) totdat er geen nieuwe meer zijn [35](#page=35). **Toepassingen:** * **Retail:** Market Basket Analysis om producten te identificeren die vaak samen worden gekocht voor promoties of winkelindeling (bv. bier en luiers) [36](#page=36). * **Sociale Media:** Identificeren van woorden die vaak samen voorkomen in posts (bv. "Hypotheek" en "Recessie") [36](#page=36). * **Plagiaatdetectie:** Controleren van gedeelde zinnen tussen documenten [36](#page=36). ### 5.3 Recommender Systems Recommender Systems zijn ontworpen om de beste suggesties voor items (producten, diensten) te geven aan specifieke gebruikers, gebaseerd op een user/item matrix met beoordelingen of interacties [36](#page=36). **Basisconcepten:** * **Items:** Duizenden producten, films, nummers, etc. [36](#page=36). * **Users:** Vaak miljoenen gebruikers [36](#page=36). * **Feedback:** Kan expliciet zijn (ratings) of impliciet (klikken, aankopen) [36](#page=36). * **Sparsity:** De user/item matrix is in de praktijk vaak "sparse" (leeg), omdat gebruikers slechts een fractie van alle items beoordelen [36](#page=36). #### 5.3.1 Typen Recommender Systems Er zijn twee hoofdvormen van filtering, vaak gecombineerd: 1. **Content-Based Filtering:** * **Werking:** Adviseert items die lijken op wat de gebruiker eerder leuk vond, door itemkenmerken (genre, trefwoorden) te analyseren en gelijkenis te berekenen met vectoren van items en gebruikersprofielen (bv. via cosine similarity) [36](#page=36). * Voordeel: Geen grote groep gebruikers nodig [36](#page=36). * Nadeel: Kan leiden tot een "echo chamber" (te beperkte focus) en heeft moeite met het bieden van variatie [36](#page=36). 2. **Collaborative Filtering:** * **Werking:** Baseert zich op het gedrag van vergelijkbare gebruikers in plaats van op de inhoud van het item [36](#page=36). * **User-based CF:** Zoekt gebruikers met vergelijkbare ratingpatronen en raadt items aan die zij leuk vonden [37](#page=37). * **Item-based CF:** Zoekt naar items die vaak samen door dezelfde mensen gewaardeerd worden [37](#page=37). * **Matrix Factorization:** Een geavanceerde techniek die "latente (verborgen) eigenschappen" van gebruikers en items leert om scores te voorspellen [37](#page=37). * **Voordelen:** Vangt complexe, verborgen smaken op; bevordert ontdekking & serendipiteit; vereist geen item-metadata [37](#page=37). * **Nadelen:** Vereist veel interactiedata; last van de "Cold Start" (nieuwe gebruikers/items); problemen met sparse matrices [37](#page=37). **Vergelijking: User-based vs. Item-based:** * **User-based:** Werkt het best bij veel overlappende interacties, maar is rekenkundig duurder omdat gebruikersprofielen sneller veranderen [37](#page=37). * **Item-based:** Vaak geprefereerd in grote systemen omdat itemrelaties stabieler zijn dan de smaak van gebruikers [37](#page=37). #### 5.3.2 Matrix Factorization Matrix Factorization (matrixfactorisatie) is een geavanceerde techniek binnen Collaborative Filtering om een grote, vaak lege user/item matrix te ontbinden in twee kleinere, compacte matrices die verborgen voorkeuren en kenmerken blootleggen [38](#page=38). * **Het basisconcept (ontbinding):** Een matrix $R$ met gebruikers en items wordt opgedeeld in: * **User Latent Matrix ($U$):** Bevat vectoren die beschrijven wat een gebruiker leuk vindt (latente kenmerken) [38](#page=38). * **Item Latent Matrix ($V$):** Bevat vectoren die beschrijven welke eigenschappen een item heeft (latente kenmerken) [38](#page=38). * **Latente Features:** Dit zijn verborgen kenmerken die het algoritme zelf ontdekt uit de data, zonder expliciete benoeming. Ze kunnen abstract zijn of interpreteerbaar (bv. genre, akoestisch niveau) [38](#page=38). **Voordelen van Matrix Factorization:** * **Omgang met Sparsity:** Kan accurate voorspellingen doen zelfs bij zeer lege tabellen [38](#page=38). * **Ontdekking van patronen:** Vindt complexe verbanden tussen gebruikers die verder gaan dan simpele overeenkomsten [38](#page=38). * **Efficiëntie:** Comprimeert interacties naar een beperkt aantal factoren, wat opslag en berekening versnelt [38](#page=38). #### 5.3.3 Cold Start Probleem Het cold start probleem doet zich voor wanneer er onvoldoende data is om betrouwbare aanbevelingen te doen: 1. **New User Cold Start:** Nieuwe gebruikers hebben nog geen interactiegeschiedenis, waardoor personalisatie onmogelijk is. Vaak wordt gevraagd om direct interesses te kiezen [39](#page=39). 2. **New Item Cold Start:** Nieuwe items hebben nog geen gebruikersinteracties, waardoor ze moeilijk worden aanbevolen door Collaborative Filtering. Content-Based Filtering presteert hier vaak beter [39](#page=39). 3. **System Cold Start:** Een nieuw platform met een beperkte gebruikersgroep en catalogus heeft simpelweg niet genoeg data voor betrouwbare modellen [39](#page=39). #### 5.3.4 Ethische overwegingen bij Recommender Systems * **Echo Chambers & Filter Bubbles:** Algoritmes isoleren gebruikers in hun eigen bubbel door content te tonen die ze al leuk vinden, wat kan leiden tot beperkte blootstelling aan diverse standpunten, versterkte vooroordelen, polarisatie en misinformatie [39](#page=39). * **Popularity Bias:** Algoritmes promoten al populaire content, waardoor nieuwe, niche of minder bekende makers minder ontdekt worden [40](#page=40). * **Manipulatie & Verkeerde Incentives:** Platforms optimaliseren vaak voor betrokkenheid of advertentie-inkomsten in plaats van het welzijn van de gebruiker, wat gedragsbeïnvloeding en democratische risico's met zich meebrengt [40](#page=40). * **Data & Eerlijkheid (Fairness):** Grootschalige dataverzameling brengt privacyrisico's met zich mee. Bestaande ongelijkheden in trainingsdata kunnen leiden tot algoritmische bias en onterechte uitkomsten voor bepaalde groepen [40](#page=40). --- # Model complexiteit, bias-variance trade-off en neurale netwerken Dit onderwerp verkent de uitdagingen van modelcomplexiteit, de impact van de bias-variance trade-off en de structuur en toepassingen van neurale netwerken. ## 6. Model complexiteit, bias-variance trade-off en neurale netwerken ### 6.1 Beperkingen van eenvoudige modellen Eenvoudige modellen, zoals lineaire regressie, lopen tegen beperkingen aan wanneer de realiteit complexer is dan de aannames van het model. #### 6.1.1 De vloek van dimensionaliteit (Curse of Dimensionality) Naarmate het aantal kenmerken (dimensies) in een dataset toeneemt, ontstaan er specifieke problemen [41](#page=41): * De dataruimte neemt exponentieel toe, waardoor de data "ijler" wordt [41](#page=41). * Het concept van "afstand" verliest zijn betekenis, omdat punten in hoog-dimensionale ruimtes op gelijke afstanden van elkaar komen te liggen [41](#page=41). * Algoritmen die afhankelijk zijn van afstandsberekeningen, zoals k-Nearest Neighbors (KNN), functioneren hierdoor minder goed [41](#page=41). #### 6.1.2 Lineariteit versus complexiteit Eenvoudige modellen zijn vaak beperkt in het weergeven van niet-lineaire relaties [41](#page=41). * Lineaire regressie gaat uit van een lineaire relatie, terwijl de werkelijkheid zelden uit rechte lijnen bestaat [41](#page=41). * Bij niet-lineaire data vereisen oplossingen zoals 'binning' of handmatige keuzes van functievormen veel menselijke input en voorkennis [41](#page=41). * Zonder deze aanpassingen missen eenvoudige modellen de flexibiliteit om complexe patronen automatisch te herkennen [41](#page=41). ### 6.2 Naar meer complexe modellen Om niet-lineariteit aan te pakken en complexere vormen te modelleren, worden technieken zoals polynomiale features en Support Vector Machines (SVMs) gebruikt [41](#page=41). #### 6.2.1 Polynomiale Features Het toevoegen van machten van originele kenmerken (bijv. $x^2$ of $x^3$) kan bochten en interacties in data modelleren, waardoor lineaire modellen niet-lineaire relaties kunnen vastleggen. Dit helpt bij het modelleren van U-vormige of S-vormige curven [41](#page=41) [44](#page=44). #### 6.2.2 Support Vector Machines (SVMs) SVMs gebruiken de "Kernel Trick" om data naar een hoger-dimensionale ruimte te mappen, waardoor complexe scheidingsvlakken mogelijk worden. Dit stelt SVMs in staat om niet-lineair scheidbare data toch te classificeren door middel van een niet-lineaire grens in de oorspronkelijke ruimte [41](#page=41) [45](#page=45). #### 6.2.3 Regulering (Regularization) Meer modelkracht brengt een verhoogd risico op overfitting met zich mee. Regulering pakt dit aan door een straf-term toe te voegen aan de verliesfunctie, waardoor het model minder gevoelig wordt voor ruis [41](#page=41) [42](#page=42) [45](#page=45). * **LASSO (L1):** Kan coëfficiënten tot exact nul reduceren, wat leidt tot automatische feature selectie. De straf is de absolute waarde van de coëfficiënten [42](#page=42) [45](#page=45). * **Ridge (L2):** Verkleint coëfficiënten richting nul, maar behoudt alle kenmerken in het model. De straf is het kwadraat van de coëfficiënten [42](#page=42) [45](#page=45). * **Elastic Net:** Een combinatie van LASSO en Ridge die vaak beter presteert dan de individuele technieken door feature selectie en krimp te combineren [42](#page=42) [45](#page=45). ### 6.3 De bias-variance trade-off Bij het ontwikkelen van modellen is het essentieel om de juiste balans te vinden tussen bias en variantie om overfitting en underfitting te voorkomen [42](#page=42). #### 6.3.1 Bias (Vooringenomenheid) * **Definitie:** De fout die ontstaat door te simpele aannames van een model over een complex probleem [42](#page=42). * **Kenmerk:** Een hoge bias leidt tot underfitting, waarbij het model de onderliggende patronen in de data niet kan leren [42](#page=42) [43](#page=43). * **Voorbeeld:** Een lineair model toepassen op data met een duidelijke niet-lineaire trend [42](#page=42). #### 6.3.2 Variance (Variantie) * **Definitie:** De fout die ontstaat door de gevoeligheid van een model voor kleine fluctuaties of ruis in de trainingsdata [42](#page=42). * **Kenmerk:** Een hoge variantie leidt tot overfitting, waarbij het model de ruis in de data leert in plaats van de onderliggende patronen [42](#page=42) [43](#page=43). * **Voorbeeld:** Een beslissingsboom met onbeperkte diepte die perfect presteert op trainingsdata, maar faalt op nieuwe data [42](#page=42). #### 6.3.3 Overfitting en Underfitting * **Underfitting (High Bias):** Het model is te simpel om de data te leren, resulterend in hoge fouten op zowel trainings- als testdata [43](#page=43). * **Overfitting (High Variance):** Het model is te complex en leert de ruis in de trainingsdata, wat leidt tot een lage fout op trainingsdata maar een hoge fout op testdata, waardoor het slecht generaliseert [43](#page=43). > **Tip:** Het vinden van de "sweet spot" is cruciaal; naarmate modellen complexer worden, nemen de bias af, maar de variance toe [42](#page=42). ### 6.4 Parametrische versus non-parametrische modellen #### 6.4.1 Parametrische Modellen * **Kenmerken:** Gaan uit van een specifieke datavorm en worden gedefinieerd door een vast aantal parameters, ongeacht de hoeveelheid data. Ze zijn data-efficiënt en interpreteerbaar, maar inflexibel en kunnen een hoge bias hebben bij foute initiële aannames [43](#page=43). * **Voorbeelden:** Lineaire Regressie, Logistische Regressie, Naive Bayes [43](#page=43). #### 6.4.2 Non-Parametrische Modellen * **Kenmerken:** Passen hun complexiteit aan op basis van de data, met een variabele complexiteit die kan groeien met de dataset. Ze zijn flexibel en nauwkeurig, maar rekenkundig duurder en lopen een groter risico op overfitting (hoge variantie) [44](#page=44). * **Voorbeelden:** k-NN, Beslissingsbomen, SVM (met RBF-kernel), Neurale Netwerken [44](#page=44). ### 6.5 Feature Engineering en Regularisatie #### 6.5.1 Feature Engineering Het proces waarbij domeinkennis wordt gebruikt om ruwe data te transformeren tot een format dat het probleem beter representeert voor het model. Technieken omvatten het creëren van polynomiale features en interactietermen, waarbij nieuwe kenmerken worden gemaakt door machten van bestaande kenmerken of door variabelen met elkaar te vermenigvuldigen [44](#page=44). #### 6.5.2 Regularisatie Voorkomt overfitting door een straf-term toe te voegen aan de verliesfunctie [45](#page=45). | Techniek | Type straf (Penalty) | Effect op het model | | :----------- | :-------------------------- | :----------------------------------------------------------------------------------- | | LASSO (L1) | Absolute waarde van coëfficiënten | Kan coëfficiënten tot exact nul reduceren, wat resulteert in automatische feature selectie. | [45](#page=45). | Ridge (L2) | Kwadraat van coëfficiënten | Verkleint coëfficiënten richting nul, maar behoudt alle kenmerken in het model. | [45](#page=45). | Elastic Net | Combinatie van L1 en L2 | Meestal effectiever dan de afzonderlijke technieken door feature selectie en krimp te combineren. | [45](#page=45). ### 6.6 Neurale Netwerken Neurale netwerken zijn algoritmen geïnspireerd op het menselijk brein, ingezet voor diverse taken zoals classificatie en regressie [48](#page=48). #### 6.6.1 Componenten van een neuraal netwerk * **Neurons (nodes):** De fundamentele eenheden [48](#page=48). * **Lagen (Layers):** Input layer, hidden layers, en output layer [48](#page=48). * **Weights (Gewichten):** Bepalen de invloed van een input op de output [48](#page=48). * **Biases:** Extra waarden om voorspellingen te verschuiven [48](#page=48). #### 6.6.2 Berekening in een neuron 1. **Weighted Sum:** De som van gewichten vermenigvuldigd met inputwaarden, plus de bias ($(\sum w_i x_i) + b$) [48](#page=48). 2. **Activation Function:** Een functie die bepaalt of en hoe een neuron activeert, en non-lineariteit introduceert [48](#page=48). #### 6.6.3 Activatie-functies * **ReLU (Rectified Linear Unit):** Gebruikt in hidden layers. Output is de input bij positieve waarden, anders 0 [48](#page=48). * **Sigmoid:** Gebruikt voor binaire classificatie. Zet input om naar een waarde tussen 0 en 1 [48](#page=48). * **Softmax:** Gebruikt voor multiclass classificatie. Zet scores om in kansen die samen 1 vormen [48](#page=48). * **Geen activatie:** Gebruikt voor regressie om continue waarden zonder bereiksbeperking te voorspellen [48](#page=48). #### 6.6.4 Forward en Backward Propagation * **Forward Propagation:** Data reist van de input layer door de hidden layers naar de output layer om een voorspelling te doen. De berekende fout wordt vergeleken met de werkelijke output [49](#page=49). * **Backward Propagation:** De berekende error wordt terug door het netwerk gestuurd. Gradiënten worden berekend voor elk gewicht om de bijdrage aan de fout te bepalen, en gewichten worden aangepast via Gradient Descent om de fout te verkleinen [49](#page=49). #### 6.6.5 Epochs en batching De dataset wordt opgedeeld om de rekenkracht te beheren: * **Batch:** Een subset van de data die door het netwerk gaat voordat parameters worden bijgewerkt [50](#page=50). * **Epoch:** Eén volledige iteratie over de gehele dataset [50](#page=50). * **Iteratie:** De uitvoering van één batch [50](#page=50). #### 6.6.6 Parameters versus Hyperparameters * **Parameters:** Interne waarden (gewichten, biases) die het model zelfstandig leert tijdens training [50](#page=50). * **Hyperparameters:** Externe instellingen (learning rate, aantal lagen, batch size, epochs) die vooraf door de mens worden gekozen en het leerproces bepalen [50](#page=50). #### 6.6.7 Basistypen neurale netwerken * **Feedforward Neural Networks (FNN):** Eenvoudige netwerken met informatie die in één richting stroomt van input naar output. Geschikt voor eenvoudige, laag-dimensionale problemen, maar kunnen gevoelig zijn voor overfitting [51](#page=51). * **Convolutional Neural Networks (CNN):** Gespecialiseerd in raster-achtige data (afbeeldingen). Gebruiken convolution layers voor lokale patroonextractie en pooling om dimensionaliteit te verminderen. Uitstekend voor beeld- en videoverwerking [51](#page=51). * **Recurrent Neural Networks (RNN):** Ontworpen voor sequentiële data (tekst, spraak). Bevatten lussen die informatie over tijd behouden via een hidden state, wat ze effectief maakt voor taken waarbij context cruciaal is. Ze kunnen echter moeite hebben met lange sequenties door het vanishing gradient problem [51](#page=51). #### 6.6.8 Voordelen en nadelen van neurale netwerken * **Voordelen:** Modelleren complexe relaties, hoge flexibiliteit, schaalbaarheid, automatische feature extraction (vooral bij CNNs) [52](#page=52). * **Nadelen:** Vereisen grote hoeveelheden data, computationeel duur, black-box model (minder interpreteerbaar), gevoelig voor overfitting [52](#page=52). #### 6.6.9 Wanneer neurale netwerken te gebruiken * Complexe patroonherkenning (afbeeldingen, spraak, tekst) [52](#page=52). * Grote datasets [52](#page=52). * Hoog-dimensionale data [52](#page=52). * Niet-lineaire relaties [52](#page=52). * Sequentiële of temporele data (met RNNs) [53](#page=53). * Creatieve taken (genereren van data) [53](#page=53). #### 6.6.10 Wanneer neurale netwerken NIET te gebruiken * Kleine datasets [53](#page=53). * Behoefte aan interpreteerbaarheid [53](#page=53). * Eenvoudige problemen ("overkill") [53](#page=53). * Beperkte computationele middelen [53](#page=53). * Real-time applicaties waar snelle respons vereist is [53](#page=53). ### 6.7 Generatieve modellering Generatieve modellen richten zich op het begrijpen van de volledige datadistributie om nieuwe, realistische data te kunnen genereren [53](#page=53) [54](#page=54). #### 6.7.1 Variational Autoencoders (VAE) Compressen data naar een lagere dimensie (encoder) en reconstrueren deze (decoder), waardoor een "latent space" ontstaat waaruit nieuwe samples gegenereerd kunnen worden [54](#page=54). #### 6.7.2 Transformers Gebruiken een attention mechanism om te kijken naar alle woorden in een zin tegelijk en te bepalen welke relevant zijn voor elkaar. Ze verwerken sequenties parallel, wat ze schaalbaar maakt [54](#page=54) [55](#page=55). #### 6.7.3 Foundation Models (zoals ChatGPT) Grote generatieve modellen, vaak gebaseerd op de Transformer-architectuur, die verfijnd zijn met menselijke feedback om veiligere en natuurlijkere antwoorden te genereren [54](#page=54). ### 6.8 Taalmodellering (Language Modeling) Taalmodellering transformeert menselijke taal naar een computer-leesbaar formaat, met behoud van betekenis [55](#page=55). #### 6.8.1 Van statische naar semantische representaties * **Bag-of-Words:** Telt simpelweg woorden, negeert context en semantiek [55](#page=55). * **Word2vec:** Gebruikt neurale netwerken om woorden semantische representaties (embeddings) te geven, waarbij vergelijkbare woorden gelijkaardige waarden krijgen [55](#page=55). * **Complexe Embeddings:** Moderne modellen gebruiken veel-dimensionale vectoren voor diepere semantische relaties [55](#page=55). #### 6.8.2 Contextueel begrip met RNNs en Attention * **RNNs:** Goed voor sequenties, maar hebben moeite met lange afhankelijkheden [55](#page=55). * **Attention-mechanisme:** Verbetert RNNs door het model te laten focussen op relevante delen van de invoerreeks [55](#page=55). #### 6.8.3 Transformers en LLMs Transformer-architectuur (geïntroduceerd in 2017) maakt parallelle verwerking en self-attention mogelijk, wat leidt tot schaalbare modellen zoals Large Language Models (LLMs) [55](#page=55). * **Encoder (bv. BERT):** Leert taalrepresentaties door woorden te voorspellen (representation learning) [56](#page=56). * **Decoder (bv. GPT):** Gericht op generatief leren door het volgende token te voorspellen (generative modeling) [56](#page=56). #### 6.8.4 Representation Learning vs. Generative Learning * **Representation Learning (Encoder-focus):** Converteert ruwe data naar een compacte, betekenisvolle vorm in een latent space, met behoud van kernkenmerken en negeren van ruis [56](#page=56). * **Generative Learning (Decoder-focus):** Gebruikt geleerde representaties om nieuwe data te creëren, door te samplen uit de latent space of het volgende element in een reeks te voorspellen [56](#page=56). #### 6.8.5 Kerncomponenten van een LLM Een LLM verwerkt tekst van ruwe invoer naar uitvoer via: 1. **Tokenizer:** Splitst invoertekst op in tokens (woorden/subwoorden), die worden omgezet in numerieke embeddings [57](#page=57). 2. **Stack van Transformer Blocks:** Het "brein" van het model, bestaande uit self-attention (contextuele relevantie) en feedforward netwerken (patroonherkenning) [57](#page=57). 3. **Language Modeling (LM) Head:** Vertaalt de uitvoer van transformer-blokken naar een waarschijnlijkheidsverdeling om het volgende token te kiezen [57](#page=57). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Continue numerieke data | Continue numerieke data (of kwantitatieve data) verwijst naar getallen die elke mogelijke waarde kunnen aannemen binnen een bepaald bereik, zoals lengte, afstand of tijd. | | Discrete numerieke data | Discrete numerieke data zijn gegevens die bestaan uit afzonderlijke, telbare waarden die niet deelbaar zijn in zinvolle kleinere eenheden, zoals het aantal personen of sportuitslagen. | | Nominale categorische data | Nominale categorische data zijn gegevens die bestaan uit categorieën zonder inherente rangorde of volgorde, zoals land van herkomst, kleur of geslacht. | | Ordinale categorische data | Ordinale categorische data zijn gegevens die bestaan uit categorieën met een natuurlijke en logische rangorde, maar zonder vaste intervallen tussen de categorieën, zoals lidmaatschapsniveaus of opleidingsniveaus. | | Gemiddelde (Mean) | Het gemiddelde is de som van alle elementen in een dataset gedeeld door het totaal aantal elementen. | | Mediaan | De mediaan is de middelste waarde in een reeks getallen die van klein naar groot (of groot naar klein) is gesorteerd, en is minder gevoelig voor uitschieters dan het gemiddelde. | | Outliers (Uitschieters) | Outliers zijn datapunten die significant verschillen van de rest van de gegevens in een dataset en kunnen veroorzaakt worden door meetfouten of menselijke fouten. | | Modus (Mode) | De modus is de waarde die het meest frequent voorkomt in een dataset en is de enige centrummaat die toepasbaar is op categorische data. | | Kwartielen (Q1, Q3) | Q1 (Eerste Kwartiel) is de middelste waarde van de onderste helft van de data (25e percentiel), en Q3 (Derde Kwartiel) is de middelste waarde van de bovenste helft van de data (75e percentiel). | | InterQuartile Range (IQR) | De IQR is het verschil tussen Q3 en Q1 ($IQR = Q3 - Q1$) en vertegenwoordigt de spreiding van de middelste 50% van de data. | | Box plot (Snorredoos) | Een box plot is een visuele weergave die de spreiding en verdeling van een dataset weergeeft met behulp van een rechthoek (box), mediaanlijn en snorharen (whiskers). | | Populatie | De populatie omvat alle datapunten of individuen waar je geïnteresseerd in bent in een onderzoek. | | Steekproef (Sample) | Een steekproef is een subset of een kleiner deel van de populatie dat wordt onderzocht om kenmerken van de grotere populatie te schatten. | | Representativiteit | Representativiteit verwijst naar de mate waarin een steekproef een redelijke afspiegeling is van de populatie, wat cruciaal is voor betrouwbare conclusies. | | Biased sampling (Vertekende steekproeftrekking) | Vertekende steekproeftrekking treedt op wanneer de selectiemethode voor de steekproef ervoor zorgt dat deze niet representatief is voor de populatie. | | Measures of spread (Spreidingsmaten) | Spreidingsmaten zijn statistische waarden die aangeven hoe verspreid of gevarieerd de datapunten in een dataset zijn, zoals MAD, variantie en standaarddeviatie. | | Mean Absolute Deviation (MAD) | De MAD is het gemiddelde van de absolute verschillen tussen elk datapunt en het gemiddelde van de dataset. | | Variantie (Variance) | De variantie is het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen van het gemiddelde, waarbij grotere afwijkingen zwaarder worden "bestraft". | | Standaarddeviatie (Standard Deviation) | De standaarddeviatie is de vierkantswortel van de variantie en is de meest gebruikte spreidingsmaat omdat de waarde in dezelfde eenheid als de oorspronkelijke data staat. | | Skewness (Scheefheid) | Skewness is een statistische maatstaf die de mate van asymmetrie in een kansverdeling beschrijft, onderscheidend tussen positieve (rechts), negatieve (links) en symmetrische verdelingen. | | Kurtosis | Kurtosis is een statistische maatstaf die de "tailedness" (de dikte van de staarten) of de scherpte van de piek van een verdeling meet, onderscheidend tussen leptokurtisch (scherpe piek, dikke staarten), platykurtisch (platte piek, dunne staarten) en mesokurtisch (normale verdeling). | | Correlatie | Correlatie is een statistische maatstaf die de lineaire relatie tussen twee verschillende variabelen beschrijft, uitgedrukt door de correlatiecoëfficiënt (r). | | Correlatie ≠ Causation | Een belangrijke waarschuwing dat correlatie tussen twee variabelen niet impliceert dat de ene variabele de andere veroorzaakt; er kan een derde factor spelen. | | Spurious Correlations (Schijincorrelaties) | Schijincorrelaties zijn toevallige verbanden tussen variabelen die geen logische relatie hebben en kunnen ontstaan door een ongeziene factor of simpelweg door toeval in grote datasets. | | One-hot encoding | One-hot encoding is een techniek om categorische variabelen om te zetten naar een numeriek formaat door voor elke unieke categorie een aparte binaire kolom aan te maken. | | Missing Completely at Random (MCAR) | MCAR betekent dat de kans dat een waarde ontbreekt volledig willekeurig is en ongerelateerd aan andere data in de set. | | Missing at Random (MAR) | MAR betekent dat het ontbreken van data gerelateerd is aan andere geobserveerde data, maar niet aan de ontbrekende waarde zelf. | | Missing Not at Random (MNAR) | MNAR betekent dat de reden waarom data ontbreekt direct gerelateerd is aan de waarde die ontbreekt. | | Imputeren | Imputeren is het proces van het vervangen van ontbrekende waarden in een dataset door geschatte waarden, zoals het gemiddelde, de mediaan of een voorspelde waarde. | | Supervised Learning | Supervised learning is een type machine learning waarbij het model leert van gelabelde data om voorspellingen te doen op nieuwe, ongeziene data. | | Classificatie (Classification) | Classificatie is een supervised learning taak waarbij het doel is om een categorie of label toe te kennen aan een nieuwe observatie, met discrete waarden als output. | | Regressie (Regression) | Regressie is een supervised learning taak waarbij het doel is om een numerieke waarde of een continu getal te voorspellen, met continue getallen als output. | | K-Nearest Neighbors (KNN) | KNN is een supervised learning algoritme dat, voor zowel classificatie als regressie, voorspellingen doet op basis van de K meest gelijkende datapunten in de trainingsset. | | Euclidean distance | Euclidische afstand is een metriek die de "vogelvlucht"-afstand tussen twee punten in een continue numerieke ruimte berekent. | | Manhattan distance | Manhattan distance berekent de afstand als de som van de absolute verschillen tussen de coördinaten van twee punten, vergelijkbaar met de afstand die een taxi zou afleggen in een rasterstructuur. | | Hamming distance | Hamming distance meet het aantal posities waarop twee binaire variabelen verschillen. | | Decision trees (Beslissingsbomen) | Een decision tree is een supervised learning algoritme dat data opdeelt in steeds kleinere subgroepen op basis van specifieke kenmerken om zo tot een voorspelling te komen. | | Root Node (Wortel) | De root node is het startpunt van een beslissingsboom waar de eerste splitsing plaatsvindt. | | Internal Nodes (Interne knopen) | Interne knopen zijn tussenliggende stappen in een beslissingsboom waar de data verder wordt gesplitst. | | Leaf Nodes (Bladeren) | Leaf nodes zijn de eindpunten van een beslissingsboom die het uiteindelijke resultaat bevatten. | | Entropy | Entropy is een metriek die de mate van wanorde of mix in een groep datapunten meet; een waarde van 0 betekent een volledig pure groep. | | Information Gain | Information gain meet de afname in entropie na een bepaalde splitsing in een beslissingsboom, waarbij de splitsing met de hoogste gain wordt gekozen. | | Gini Index | Gini index meet de waarschijnlijkheid dat een willekeurig gekozen item fout geclassificeerd wordt; een waarde van 0 betekent een perfect pure groep. | | Random Forest | Random Forest is een ensemble learning methode die de voorspellingen van meerdere individuele beslissingsbomen combineert om nauwkeurigere en robuustere resultaten te behalen. | | Lineaire regressie | Lineaire regressie is een supervised learning algoritme dat een lineaire relatie tussen variabelen probeert te modelleren om een continue waarde te voorspellen. | | Enkelvoudige lineaire regressie | Enkelvoudige lineaire regressie gebruikt slechts één voorspellende variabele ($X$) om de waarde van $y$ te bepalen, met de formule $y = \beta_0 + \beta_1x$. | | Meervoudige lineaire regressie | Meervoudige lineaire regressie gebruikt een set van meerdere voorspellende variabelen ($X_1, X_2, ..., X_p$) om $y$ te voorspellen, met de formule $y = \beta_0 + \beta_1x_1 + ... + \beta_px_p + \epsilon$. | | Coëfficiënten ($\beta$) | Coëfficiënten representeren de helling en geven aan hoe sterk elke variabele de voorspelling beïnvloedt; $\beta_0$ is het snijpunt. | | Ruis ($\epsilon$) | Ruis staat voor de "error" of "noise" in de data; de afwijking die niet door de variabelen verklaard kan worden. | | Niet-lineaire Regressie (Polynomial Model) | Een niet-lineair regressiemodel, zoals een polynomial model, buigt de lijn om datapunten beter te volgen, bijvoorbeeld met de formule $y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_1^2$. | | Logistische Regressie | Logistische regressie is een supervised learning algoritme dat de waarschijnlijkheid voorspelt dat een waarneming tot een specifieke (meestal binaire) categorie behoort, resulterend in een S-curve. | | Sigmoid Functie | De sigmoid-functie (of logistische functie) buigt een lineaire uitkomst om naar een karakteristieke S-vorm, waardoor de waarden tussen 0 en 1 vallen, ideaal voor kansberekeningen. | | Threshold (Drempelwaarde) | Een drempelwaarde is een ingestelde grens (meestal 0,5) die wordt gebruikt om een definitieve keuze te maken tussen twee klassen op basis van een voorspelde kans. | | Regularisatie | Regularisatie is een techniek die wordt toegepast om te voorkomen dat een model te complex wordt of te veel vertrouwt op onbelangrijke variabelen door een straf toe te voegen. | | Lasso Regressie (L1) | Lasso regressie kan onbelangrijke variabelen volledig verwijderen door hun coëfficiënten naar nul te dwingen, wat helpt bij feature selectie. | | Ridge Regressie (L2) | Ridge regressie maakt de invloed van minder belangrijke variabelen heel klein, maar verwijdert ze niet volledig. | | Statistical Distributions (Statistische Verdelingen) | Statistische verdelingen zijn weergaven die laten zien hoe datapunten over verschillende waarden verspreid zijn, zoals de normale verdeling, Student-t verdeling of Poisson verdeling. | | Normale Verdeling (Bell Curve) | De normale verdeling is een symmetrische verdeling waarbij data geclusterd is rond het gemiddelde; 68% van de data ligt binnen één standaarddeviatie. | | Student-t Verdeling | De student-t verdeling lijkt op de normale verdeling maar heeft dikkere staarten en wordt gebruikt bij kleine steekproeven of onbekende standaarddeviatie. | | Exponentiële Verdeling | De exponentiële verdeling beschrijft vaak de tijd tussen gebeurtenissen, zoals de levensduur van een product. | | Uniforme Verdeling | Bij een uniforme verdeling heeft elke mogelijke uitkomst een gelijke kans, zoals bij het gooien van een eerlijke dobbelsteen. | | Poisson Verdeling | De Poisson verdeling meet het aantal gebeurtenissen in een vast tijdsinterval met een constante gemiddelde snelheid en onafhankelijke gebeurtenissen. | | Bernoulli Verdeling | De Bernoulli verdeling is de eenvoudigste verdeling voor een enkel experiment met twee mogelijke uitkomsten (binair), zoals muntgooien. | | Binomiale Verdeling | De binomiale verdeling beschrijft het aantal successen in een vaste reeks van onafhankelijke Bernoulli-experimenten. | | Statistical Significance (Statistische Significantie) | Statistische significantie geeft aan hoe waarschijnlijk het is dat een gevonden resultaat op toeval berust in plaats van een echt effect. | | Nulhypothese ($H_0$) | De nulhypothese is het uitgangspunt dat er geen effect of geen verschil is in een test. | | P-waarde (P-value) | De p-waarde is de waarschijnlijkheid dat de geobserveerde data (of extremer) wordt gevonden als de nulhypothese waar zou zijn; een lage p-waarde (< 0,05) duidt op significantie. | | Praktische Significantie | Praktische significantie beoordeelt of een statistisch significant effect groot genoeg is om in de echte wereld belangrijk te zijn. | | Data Science Workflow | De Data Science Workflow is een gestructureerd proces dat data scientists volgen, vaak gemodelleerd naar CRISP-DM, om van ruwe data naar een gevalideerd model te komen. | | CRISP-DM | CRISP-DM (Cross Industry Standard Process for Data Mining) is een gestructureerd procesmodel voor data mining en data science projecten, bestaande uit Business Understanding, Data Understanding, Data Preparation, Modeling, Evaluation en Deployment. | | Confusion Matrix | Een confusion matrix is een tabel die de werkelijke waarden vergelijkt met de voorspelde waarden van een classificatiemodel, met termen als True Positive (TP), True Negative (TN), False Positive (FP) en False Negative (FN). | | Accuracy (Nauwkeurigheid) | Accuracy is het percentage van de totale voorspellingen dat correct was, maar minder betrouwbaar bij ongebalanceerde datasets. | | Precision (Precisie) | Precision meet hoeveel van de positieve voorspellingen werkelijk positief waren en is belangrijk wanneer de kosten van een False Positive hoog zijn. | | Recall (Sensitivity) | Recall meet hoeveel van de werkelijke positieve gevallen het model heeft gevonden en is cruciaal wanneer de kosten van een False Negative hoog zijn. | | F1-Score | De F1-score is het harmonisch gemiddelde van Precision en Recall, gebruikt voor een balans tussen beide bij scheve datasets. | | Specificity | Specificity meet hoe goed een test is in het correct identificeren van mensen die de ziekte niet hebben; het percentage gezonde mensen dat een negatief testresultaat krijgt. | | Residuals (Fouten) | Residuals zijn de verschillen tussen de werkelijke waarde ($y_i$) en de voorspelde waarde ($\hat{y}_i$) in regressiemodellen. | | Mean Absolute Error (MAE) | MAE is het gemiddelde van alle absolute fouten in een regressiemodel en geeft de gemiddelde fout in de eenheid van de data aan. | | Mean Squared Error (MSE) | MSE is het gemiddelde van de gekwadrateerde fouten in een regressiemodel, waarbij grote uitschieters zwaarder worden bestraft. | | Mean Absolute Percentage Error (MAPE) | MAPE is de gemiddelde fout uitgedrukt als een percentage van de werkelijke waarde. | | Lift Curve | Een Lift Curve is een evaluatiemethode die meet hoeveel beter een model presteert in het identificeren van de "meest waarschijnlijke kandidaten" vergeleken met een willekeurige selectie. | | Model Validatie | Modelvalidatie is een cruciale fase in de Data Science Workflow die bepaalt of de output van een model een acceptabele weergave is van de echte wereld en of het goed presteert op nieuwe data. | | Apparent Validity | Apparent validity verwijst naar de prestaties van een model getest op de eigen trainingset. | | Internal Validity | Internal validity verwijst naar de prestaties van een model getest op de eigen populatie of validation set. | | External Validity | External validity verwijst naar de prestaties van een model getest op een andere populatie of test set. | | Data Splitting | Data splitting is een techniek waarbij de dataset wordt verdeeld in training-, validation- en testsets voor modelbouw en evaluatie. | | Cross Validation (K-Fold) | Cross-validation is een robuuste validatiemethode waarbij de data herhaaldelijk wordt gesplitst en getraind/getest om overfitting te voorkomen. | | Leave One Out (LOO) | LOO is een extreme vorm van cross-validation waarbij telkens één datapunt voor validatie wordt gebruikt en de rest voor training. | | Unsupervised Learning | Unsupervised learning is een type machine learning waarbij het model leert van ongelabelde data om patronen en structuren te ontdekken. | | Clustering | Clustering is een unsupervised learning techniek waarbij data in groepen (clusters) wordt verdeeld op basis van gelijkenis, zonder vooraf gedefinieerde labels. | | Datacompressie en Visualisatie | Unsupervised learning technieken zoals PCA en t-SNE worden gebruikt om grote datasets te comprimeren en te visualiseren voor patroonherkenning. | | Detectie van Afwijkingen (Anomaly Detection) | Anomaly detection is het opsporen van datapunten die significant afwijken van de rest, wat nuttig is in cybersecurity en fraudeopsporing. | | Association Rules (Associatieregels) | Associatieregels zijn technieken binnen unsupervised learning die "If-Then"-relaties vinden tussen items die vaak samen voorkomen in transacties. | | Transactie | Een transactie is een lijst met items die samen voorkomen, zoals een aankoop op een kassabon of een bezochte webpagina. | | Itemset | Een itemset is een verzameling van één of meer items die samen voorkomen. | | Co-occurrence | Co-occurrence geeft aan dat items samen voorkomen, maar impliceert geen causaliteit. | | Apriori Algoritme | Het Apriori algoritme is een stapsgewijze aanpak om alle frequente itemsets te vinden die vaker voorkomen dan een ingestelde drempelwaarde (Support Threshold). | | Recommender Systems | Recommender systems zijn systemen die aanbevelingen doen voor specifieke gebruikers op basis van hun gedrag of voorkeuren en die van vergelijkbare gebruikers. | | User/item matrix | Een user/item matrix is een tabel waarin gebruikers en items worden weergegeven met hun interacties of beoordelingen, vaak "sparse" (ijdel) in de praktijk. | | Content-Based Filtering | Content-based filtering beveelt items aan die lijken op wat de gebruiker in het verleden leuk vond, gebaseerd op itemkenmerken. | | Collaborative Filtering | Collaborative filtering baseert zich op het gedrag van andere, vergelijkbare gebruikers om aanbevelingen te doen. | | User-based CF | User-based CF zoekt gebruikers met vergelijkbare ratingpatronen en raadt items aan die zij leuk vonden. | | Item-based CF | Item-based CF zoekt naar items die vaak samen door dezelfde mensen gewaardeerd worden. | | Matrix Factorization | Matrix factorization is een geavanceerde techniek binnen collaborative filtering om een grote, sparse user/item matrix te ontbinden in kleinere matrices die verborgen voorkeuren en itemkenmerken blootleggen. | | Latent Features | Latent features zijn verborgen kenmerken die een algoritme zelf ontdekt uit de data, zonder dat ze expliciet zijn benoemd. | | Cold Start Problem | Het cold start problem treedt op bij recommender systems wanneer er te weinig data is over nieuwe gebruikers of nieuwe items om effectieve aanbevelingen te doen. | | Echo Chambers & Filter Bubbles | Echo chambers en filter bubbles zijn risico's waarbij algoritmes gebruikers isoleren in hun eigen bubbel van gelijkgestemde meningen, wat blootstelling aan diverse standpunten kan beperken. | | Popularity Bias | Popularity bias treedt op wanneer algoritmes de neiging hebben om reeds populaire content te promoten, wat het moeilijker maakt voor nieuwe of niche content om ontdekt te worden. | | Manipulatie & Verkeerde Incentives | Dit verwijst naar het conflict tussen wat goed is voor de gebruiker en wat goed is voor het platform, waarbij platforms content optimaliseren voor betrokkenheid of winst, wat de autonomie van de gebruiker kan onderdrukken. | | Data & Eerlijkheid (Fairness) | Dit betreft privacyrisico's door grootschalige dataverzameling en mogelijke algoritmische bias die bestaande ongelijkheden in de maatschappij weerspiegelt en versterkt. | | Curse of Dimensionality (Vloek van Dimensionaliteit) | De vloek van dimensionaliteit treedt op wanneer het aantal kenmerken in een dataset toeneemt, waardoor de data schaarser wordt en afstandsberekeningen minder betekenisvol worden. | | Lineariteit versus complexiteit | Eenvoudige modellen, zoals lineaire regressie, zijn beperkt in het weergeven van complexe realiteit en vereisen vaak menselijke input om niet-lineaire patronen te modelleren. | | Polynomiale Features | Polynomiale features voegen machten van originele kenmerken toe (bijv. $x^2$) om bochten en interacties te modelleren. | | Support Vector Machines (SVMs) | SVMs zijn krachtige machine learning-modellen, primair voor classificatie, die de optimale scheidingslijn (hyperplane) tussen klassen vinden met maximale marge. | | Kernel Trick | De Kernel Trick stelt SVMs in staat om niet-lineair scheidbare data te classificeren door de data naar een hogere dimensie te mappen waar lineaire scheiding wel mogelijk is. | | Ensemble Methods | Ensemble methods combineren de voorspellingen van meerdere individuele modellen om de flexibiliteit te behouden en de variantie te verminderen. | | Bagging (Bootstrap Aggregating) | Bagging vermindert variantie door meerdere variaties van de trainingsdata te maken en modellen parallel te trainen, met Random Forest als voorbeeld. | | Boosting | Boosting is een sequentiële techniek die zich richt op het verminderen van zowel bias als variantie door modellen te trainen op de fouten van vorige modellen. | | Stacking | Stacking combineert de sterktes van verschillende soorten modellen door een overkoepelend meta-model te trainen op de resultaten van individuele learners. | | Gradient Descent | Gradient descent is een optimalisatie-algoritme dat iteratief stappen neemt in de richting van de steilste daling van een verliesfunctie om het minimum te vinden. | | Loss function (Verliesfunctie) | De verliesfunctie meet de fouten van een model; het doel is om het minimum van deze functie te vinden. | | Learning Rate (Leersnelheid) | De learning rate bepaalt de grootte van de stappen die worden genomen tijdens gradient descent; te kleine stappen zijn langzaam, te grote stappen kunnen het minimum missen. | | Neural Networks (Neurale Netwerken) | Neurale netwerken zijn algoritmen geïnspireerd op het menselijk brein, gebruikt voor diverse taken zoals classificatie, regressie en patroonherkenning. | | Neurons (nodes) | Neurons zijn de fundamentele eenheden van een neuraal netwerk. | | Layers (Lagen) | Een neuraal netwerk bestaat uit input, hidden en output lagen. | | Weights (Gewichten) | Weights zijn getallen die aan verbindingen zijn gekoppeld en bepalen de invloed van een input op de output. | | Biases | Biases zijn extra waarden die worden toegevoegd om voorspellingen te helpen verschuiven. | | Activation Function (Activatiefunctie) | Activatiefuncties introduceren non-lineariteit, waardoor het netwerk complexe patronen kan leren. | | ReLU | ReLU (Rectified Linear Unit) is een activatiefunctie die output gelijk is aan input bij positieve waarden, anders 0, veel gebruikt in hidden layers. | | Sigmoid | Sigmoid is een activatiefunctie die input omzet naar een waarde tussen 0 en 1, gebruikt in binaire classificatie. | | Softmax | Softmax is een activatiefunctie die scores omzet in kansen die samen 1 vormen, gebruikt in multiclass classificatie. | | Forward Propagation (Voorwaartse verspreiding) | Forward propagation is het proces waarbij data door het netwerk reist van input naar output om een voorspelling te doen. | | Backward Propagation (Terugwaartse verspreiding) | Backward propagation is het proces waarbij de berekende fout wordt teruggestuurd door het netwerk om gewichten aan te passen met behulp van gradient descent. | | Epochs | Een epoch vertegenwoordigt één volledige iteratie over de gehele trainingsdataset. | | Batch | Een batch is een subset van de data die door het netwerk gaat voordat de parameters worden bijgewerkt. | | Iteration | Een iteratie is de uitvoering van één batch. | | Parameters | Parameters zijn de interne waarden die het model zelfstandig leert tijdens het trainingsproces, zoals weights en biases. | | Hyperparameters | Hyperparameters zijn instellingen die voorafgaand aan de training door de mens worden gekozen, zoals learning rate en netwerkarchitectuur. | | Feedforward Neural Networks (FNN) | FNN's zijn de eenvoudigste neurale netwerken waarbij informatie in één richting beweegt van input naar output. | | Convolutional Neural Networks (CNN) | CNN's zijn gespecialiseerd in raster-achtige data, zoals afbeeldingen, en gebruiken convolution layers om lokale patronen te extraheren. | | Recurrent Neural Networks (RNN) | RNN's zijn ontworpen voor sequentiële data, zoals tekst en tijdreeksen, en bevatten lussen om informatie over tijd te behouden. | | Black-box model | Een black-box model is een model waarvan de interne werking en beslissingen moeilijk te interpreteren zijn. | | Generative modeling | Generatieve modellering richt zich op het begrijpen van de volledige datadistributie om nieuwe samples te kunnen genereren die lijken op de originele dataset. | | Variational Autoencoders (VAE) | VAEs zijn generatieve modellen die data comprimeren naar een latent space en deze vervolgens weer reconstrueren om nieuwe data te genereren. | | Transformers | Transformers zijn een type neuraal netwerk dat een attention mechanism gebruikt om alle woorden in een zin tegelijk te bekijken en relevante context te bepalen, zeer schaalbaar voor grote datasets. | | Foundation Models | Foundation models zijn grote, generatieve AI-modellen gebaseerd op de Transformer-architectuur, zoals ChatGPT, die getraind zijn op enorme hoeveelheden data. | | Language modeling | Language modeling richt zich op het omzetten van menselijke taal naar een formaat dat een computer kan verwerken, met behoud van context en semantiek. | | Bag-of-Words | Bag-of-words is een vroege methode om zinnen om te zetten in numerieke vectoren door simpelweg woorden te tellen, zonder rekening te houden met context of semantiek. | | Word2vec | Word2vec is een methode die woorden een semantische representatie geeft door woorden die vaak nabij elkaar staan gelijkaardige numerieke waarden (embeddings) toe te kennen. | | Attention-mechanisme | Het attention-mechanisme dwingt een model om zich te concentreren op de relevante delen van een invoerreeks, wat helpt bij het begrijpen van context. | | Encoder | Een encoder is een deel van een neuraal netwerk dat ruwe data omzet naar een compacte, betekenisvolle representatie in een latent space. | | Decoder | Een decoder is een deel van een neuraal netwerk dat een representatie uit de latent space omzet naar bruikbare data. | | Representation Learning | Representation learning focust op het omzetten van ruwe data naar een betekenisvolle, compacte vorm in een latent space, waarbij de belangrijkste kenmerken behouden blijven. | | Generative Learning | Generative learning gebruikt geleerde representaties om nieuwe data-punten te creëren die lijken op de originele dataset. | | Large Language Models (LLM) | LLMs zijn moderne taalmodellen, gebaseerd op de Transformer-architectuur, die tekst verwerken van ruwe invoer naar gegenereerde uitvoer met behulp van tokenizers, transformer blocks en een language modeling head. | | Tokenizer | Een tokenizer is de eerste stap in een LLM waarbij invoertekst wordt opgesplitst in tokens (woorden of subwoorden) die vervolgens worden omgezet in numerieke embeddings. | | Transformer Blocks | Transformer blocks zijn de kerncomponenten van een LLM, bestaande uit self-attention en feedforward neural networks, die de data verwerken om patronen en verbanden te vinden. | | Language Modeling (LM) Head | De LM Head is de laatste laag van een LLM die de uitvoer van de transformer blocks vertaalt naar een waarschijnlijkheidsverdeling over het vocabulaire om het volgende token te kiezen. |

# Types of research and variables This section outlines the fundamental types of research designs and the classification of variables crucial for scientific inquiry. ## 1. Types of research and variables ### 1.1 Research designs Medical and epidemiological research can be broadly categorized into observational and experimental studies [1](#page=1). #### 1.1.1 Observational research In observational research, researchers observe participants and collect measurements without actively influencing them. The goal is to identify relationships between different measurements [1](#page=1). * **Case-control study:** This design compares a group with a specific condition or disease (cases) to a similar group without the condition (controls). The comparison focuses on potential causes, making it inherently retrospective as the causes of a condition are typically in the past [1](#page=1). * **Cohort study:** A cohort refers to a group of patients being observed. Cohort studies can be classified based on their timeframe [1](#page=1): * **Retrospective:** Looking back in time [1](#page=1). * **Transversal/Cross-sectional:** Data collected during the research period [2](#page=2). * **Prospective:** Looking into the future [1](#page=1). #### 1.1.2 Experimental research In experimental research, participants are influenced by an intervention, and the aim is to measure the effect of this intervention. These studies are always prospective cohort studies. Typically, participants are divided into two groups: one receiving the intervention and a control group that does not [1](#page=1). > **Tip:** Applied statistics involves analyzing data to answer a scientific question. Data are observations where variables are measured. Researchers often use a sample from a target population to make inferences about that population [1](#page=1). ### 1.2 Variables Variables are characteristics of a population that can vary [1](#page=1). #### 1.2.1 Outcome variable The outcome variable is the primary variable the researcher aims to make a statement about. It is also known as the dependent variable, and researchers seek to predict or explain it. Outcome variables are usually continuous or dichotomous [2](#page=2). #### 1.2.2 Independent variables Independent variables are all other variables in a study, serving as determinants, explanatory variables, predictors, or covariates [2](#page=2). #### 1.2.3 Categorical variables Categorical variables have a limited number of distinct outcomes [2](#page=2). * **Nominal:** Categories are not ordered. Examples include blood type or occupation [2](#page=2). * **Ordinal:** Categories are ordered based on a degree or rank. An example is asking about the extent of depressive feelings on a scale from "low" to "high" [2](#page=2). * **Dichotomous:** Variables with only two possible outcomes [2](#page=2). * **Dummy coding:** A form of dichotomous variable where categories are coded as 1 or 0, for instance, coding gender [2](#page=2). #### 1.2.4 Numerical variables Numerical variables are those that can be used in calculations [2](#page=2). * **Discrete:** These variables take on whole numbers. An example is the number of times a person visited the doctor in a year [2](#page=2). * **Continuous:** These variables can theoretically take on an infinite number of values within a range. Examples include weight and height [2](#page=2). * **Interval scale:** The distance between any two points is the same. Weight in kilograms is an example [2](#page=2). * **Ratio scale:** These scales have a true, natural zero point, indicating the absence of the measured quantity. For example, 0 kilograms represents the absence of weight, whereas 0 degrees Celsius does not represent the absence of temperature [2](#page=2). ### 1.3 Types of statistics Statistics are broadly divided into two main types: * **Descriptive statistics:** This is the initial phase of research, focusing on summarizing data clearly through graphical or numerical representations without exploring relationships between variables. It directly answers the research question [2](#page=2). * **Explanatory/Inferential statistics:** This second stage involves estimating effects or relationships, testing hypotheses, and assessing the reliability of research findings. It includes formulating research questions and testing hypotheses [2](#page=2). --- # Descriptive statistics: data representation and summary measures Descriptive statistics are used to summarize and visualize data through graphical and numerical representations, providing an overview of the dataset without analyzing relationships between variables [2](#page=2) [3](#page=3). ### 2.1 Graphical data representation Graphical representations help visualize data distribution and patterns [3](#page=3). * **Bar chart (staafdiagram):** Used for categorical variables [3](#page=3). * **Clustered/segmented bar chart (geclusterd/gesegmenteerd staafdiagram):** Useful for comparing two categorical variables graphically [3](#page=3). * **Pie chart (taartdiagram):** Suitable for dichotomous or categorical variables, often used in presentations rather than scientific articles [3](#page=3). * **Histogram:** Essential for continuous variables, providing insight into the variable's distribution within the dataset. It is the first step when analyzing continuous variables [3](#page=3). * **Stem-and-leaf plot (tak-en-blad diagram):** Used for continuous variables, particularly with small sample sizes, functioning as a sideways histogram [3](#page=3). * **Scatter plot (puntenwolk/scatterplot):** Visualizes the relationship between two continuous variables, with one plotted on the x-axis and the other on the y-axis, where each point represents an observation [3](#page=3). * **Frequency table (frequentietabel):** The initial step for categorical variables, capable of incorporating missing values [3](#page=3). * **Box-and-whisker plot (box-plot):** Used for continuous variables, displaying a vertical line from minimum to maximum, a box representing the interquartile range with a line for the median, and is a combination of graphical and numerical representation [3](#page=3). > **Tip:** Histograms are a crucial first step for understanding the distribution of continuous variables [3](#page=3). ### 2.2 Numerical data representation Numerical representations summarize data using frequencies and central tendency measures [3](#page=3). #### 2.2.1 Frequency tables Frequency tables numerically display research data for dichotomous or categorical variables, showing both counts and percentages. The "valid percentage" excludes missing values [3](#page=3). > **Tip:** Frequency tables are not informative for continuous variables due to the large number of potential values, each occurring infrequently. For continuous variables, summary measures like the average are preferred [3](#page=3). #### 2.2.2 Central tendency measures (centrummaten) These measures indicate the typical value in a dataset [3](#page=3). * **Mode (modus):** The most frequent value in a dataset; it can also be used for categorical variables but is often not very informative [3](#page=3) [4](#page=4). * **Arithmetic mean (rekenkundig gemiddelde):** Calculated by summing all values and dividing by the total number of values. It is only a good indicator for normally distributed variables. The formula is [3](#page=3) [4](#page=4): $$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$ where $\bar{x}$ is the arithmetic mean [3](#page=3) [4](#page=4). * **Median (mediaan):** The middle value when all observations are ordered; it is based on percentile points with 50% of results above and 50% below. The difference between the median and the mean depends on the symmetry of the distribution. It is calculated by ordering all observations into percentile points (P50 = middle value) [3](#page=3) [4](#page=4). * **Geometric mean (geometrisch gemiddelde):** Used for non-normally distributed (right-skewed) variables by taking the natural logarithm of each value. This transformation results in new variables that lose their original units. To return to the original units, the inverse of the logarithm is applied to the calculated geometric mean [4](#page=4). > **Tip:** After transforming a variable (e.g., with a logarithm) to achieve a normal distribution, always check the histogram to confirm the normality and then derive the central tendency measure from this transformed distribution [4](#page=4). #### 2.2.3 Dispersion measures (spreidingsmaten) These measures describe how spread out the results are [3](#page=3). * **Variance (variantie):** Represents the average of the squared differences from the mean. It is used for normally distributed variables. Values are squared to prevent positive and negative differences from canceling each other out, which would result in a sum of zero. The formula is [3](#page=3) [4](#page=4): $$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} $$ where $s^2$ is the variance, $x_i$ are the individual values, $\bar{x}$ is the arithmetic mean, and $n$ is the number of observations [3](#page=3) [4](#page=4). * **Standard deviation (standaarddeviatie):** The square root of the variance. It represents the average distance of each value from the arithmetic mean and is used for normally distributed variables. The formula is [3](#page=3) [4](#page=4): $$ s_d = \sqrt{s^2} $$ where $s_d$ is the standard deviation [3](#page=3) [4](#page=4). * **Range (range):** The difference between the minimum and maximum values in a dataset [3](#page=3). * **Interquartile range (interkwartiel-range):** Represents the middle 50% of observations, specifically the range between the 25th and 75th percentiles (P25, P75) [3](#page=3). ### 2.3 Normal distribution (normale verdeling) A normal distribution is characterized by a symmetric spread of variables around the mean, with no outliers, meaning the mean equals the median [4](#page=4). * Approximately 95% of values in a normal distribution lie within the mean $\pm$ 2 times the standard deviation [4](#page=4). * To check if a variable is normally distributed, one can verify if 95% of observations fall between the mean and 2 times the standard deviation [4](#page=4). > **Tip:** A three-step process can help determine if a variable is normally distributed: > 1. Examine the histogram for symmetry. > 2. Compare the mean and median (they should be approximately equal). > 3. Compare the mean and standard deviation (this step is only applicable for continuous variables that can only take positive values) [4](#page=4). --- # Inferential statistics: hypothesis testing and estimation Inferential statistics allows us to make generalizations about a population based on data from a sample, quantifying uncertainty through hypothesis testing and confidence intervals [5](#page=5). ### 3.1 Principles of inferential statistics Inferential statistics aims to answer the question of how generalizable a research result is to the entire target population of patients. This involves making inferences from a sample to the population [5](#page=5). * **Parameters:** These are characteristics of the entire population, which are generally unknown [5](#page=5). * **Sample statistics:** These are measurements obtained from a sample, used to estimate population parameters [5](#page=5). * **Point estimation:** This is a single statistic derived from sample results, serving as an estimate of the population situation [5](#page=5). To test hypotheses, researchers start with research questions pertaining to a target population [5](#page=5). * **Null hypothesis ($H_0$):** This hypothesis posits no effect in the target population and is the opposite of what researchers aim to demonstrate. It represents the starting assumption that is tested against the data [5](#page=5). * **Alternative hypothesis ($H_a$):** This hypothesis is considered if $H_0$ is false. It is what researchers aim to show, and it is accepted only when there is sufficient evidence against $H_0$ [5](#page=5). Data collected from a sample yield a research result, and inferential statistics addresses how generalizable these results are to the population, accounting for **sampling error**, which is a margin of uncertainty. This uncertainty is quantified through testing and estimation [5](#page=5). ### 3.2 Quantifying uncertainty: hypothesis testing and estimation #### 3.2.1 Hypothesis testing Hypothesis testing involves probability calculations to determine the likelihood of obtaining a specific result if the null hypothesis were true. This process helps decide if a difference is statistically significant [5](#page=5). * **P-value (overschrijdingskans):** This is the probability of observing a test statistic as extreme as, or more extreme than, the one calculated from the sample, assuming the null hypothesis is true. A smaller p-value indicates less compatibility with the null hypothesis [5](#page=5) [6](#page=6) [7](#page=7). The general steps in hypothesis testing are: 1. Define the null hypothesis ($H_0$) and the alternative hypothesis ($H_a$) [6](#page=6). 2. Collect relevant data from the sample [6](#page=6). 3. Calculate the test statistic and compare it to the null hypothesis. The test statistic quantifies how far the test result deviates from $H_0$; a larger value provides more evidence against $H_0$ [6](#page=6). 4. Compare the test statistic with a known probability distribution to derive a p-value [6](#page=6). 5. Interpret the p-value and the results [6](#page=6). Results pertaining to the entire population are often represented with Greek letters, such as $\mu$ for the population mean and $\sigma$ for the population standard deviation [6](#page=6). #### 3.2.2 Probability distributions for continuous variables Probability distributions are used to interpret test statistics. For continuous variables, these distributions graphically represent the relationship between possible test statistic values and their probabilities [6](#page=6) [7](#page=7). * The x-axis of the distribution graph shows all possible values of the test statistic, with the null hypothesis typically centered [7](#page=7). * The p-value is the probability of obtaining the observed result or results even further from the null hypothesis, assuming $H_0$ is true. This corresponds to the area under the curve beyond the calculated test statistic [7](#page=7). ##### 3.2.2.1 Z-distribution (standard normal distribution) The z-distribution is the standard normal probability distribution used for continuous outcome variables when testing sample means [6](#page=6) [7](#page=7). * **Test statistic z:** This value indicates the evidence against the null hypothesis; a larger absolute value of z provides more evidence against $H_0$ [7](#page=7). $$z = \frac{O - E}{\sigma \sqrt{n/}} \quad \text{or} \quad z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma \sqrt{n/}}$$ Where: * $O$ is the observed value in the sample [7](#page=7). * $E$ is the expected value under the null hypothesis, often 0 if no effect is anticipated [7](#page=7). * $\sigma \sqrt{n/}$ represents the uncertainty or standard error of the mean [7](#page=7). * $\bar{x} - \mu_0$ is the difference between the sample mean and the hypothesized population mean [7](#page=7). Key characteristics of the standard normal distribution include: * A mean of 0 and a standard deviation of 1 [7](#page=7). * An x-axis range from negative infinity to positive infinity [7](#page=7). * A y-axis representing probability density; the probability of an exact value is 0 [7](#page=7). * A total area under the curve of 1 or 100% [7](#page=7). **Significance level ($\alpha$)**: Typically set at 5% (0.05). If the p-value is less than $\alpha$, the null hypothesis can be rejected in favor of the alternative hypothesis, indicating a statistically significant result [7](#page=7). > **Tip:** A low p-value suggests that the observed research result is unlikely under the null hypothesis, making $H_0$ improbable. However, a non-significant result does not necessarily mean there is no effect; the effect might be too small or the sample size too insufficient to detect it reliably [7](#page=7). **Errors in Hypothesis Testing**: * **Type I error (fout van de eerste orde):** Rejecting the null hypothesis when it is actually true. The probability of a type I error is equal to the significance level ($\alpha$), typically 5% [7](#page=7). * **Type II error (fout van de tweede orde):** Failing to reject the null hypothesis when it is false. The probability of a type II error is denoted by $\beta$. Statistical power, which is $1-\beta$, depends on sample size [8](#page=8). ##### 3.2.2.2 One-sided vs. two-sided testing * **One-sided testing:** Hypotheses are formulated in a specific direction (e.g., testing for a positive effect) [8](#page=8). * **Two-sided testing:** Hypotheses are not directional (e.g., testing for any effect, positive or negative). In two-sided testing, the p-value is doubled because the rejection region is split between both tails of the distribution. By default, two-sided testing is generally preferred when there is no prior knowledge to suggest a specific direction of effect [8](#page=8). #### 3.2.3 Estimation with confidence intervals Estimation involves quantifying the uncertainty around a sample statistic by calculating a **confidence interval (CI)**. A CI provides a range of plausible values for the population parameter [5](#page=5) [8](#page=8). * **Confidence level:** For a 5% significance level ($\alpha$), a 95% confidence interval is typically used. This means there is a 95% certainty that the true population value lies within the calculated interval [8](#page=8). * **95% Confidence Interval Formula:** $$95\% \text{ CI} = \mu \pm 1.96 \times \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \quad \text{or} \quad 95\% \text{ CI} = \bar{x} \pm 1.96 \times \left(\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right)$$ Where: * $\mu$ or $\bar{x}$ is the population mean or sample mean, respectively [8](#page=8). * $1.96$ is the critical z-value corresponding to a 2-sided 5% p-value. The probability of a standard normal variable falling between -1.96 and 1.96 is 95% [8](#page=8). * $\sigma/\sqrt{n}$ or $s_d/\sqrt{n}$ is the standard error of the mean, representing the uncertainty [8](#page=8). * **Point estimate:** This is the observed value from the sample, around which the CI is calculated [8](#page=8). * Confidence intervals can also be calculated for other confidence levels, such as 90% or 99% [8](#page=8). > **Comparison of Testing and Estimation:** Hypothesis testing is a qualitative approach that determines if a result is significant or not (an "all or nothing" approach requiring critical interpretation). Estimation is a quantitative approach that provides information about the magnitude of an effect. When a result is not significant, the exact p-value should still be reported. "Borderline significance" is often considered for p-values between 0.05 and 0.10 [8](#page=8). ### 3.3 Sampling error and statistical significance * **Sampling error:** This is the inherent variability that arises because we are using a sample to represent a population. It leads to uncertainty in our estimates and test results [5](#page=5). * **Standard error of the mean (SEM):** This quantifies the precision or reliability of the research result. It is influenced by sample size ($n$) and the spread (standard deviation, $sd$) of observations in the sample. A smaller sample size or wider spread leads to greater uncertainty and a larger SEM [6](#page=6). $$SEM = \frac{sd}{\sqrt{n}}$$ * **Statistical significance:** A result is considered statistically significant if it is unlikely to have occurred by chance alone if the null hypothesis were true. This is typically determined by comparing the p-value to a pre-determined significance level ($\alpha$) [5](#page=5) [7](#page=7). ### 3.4 Central Limit Theorem and T-distribution #### 3.4.1 Central limit theorem The Central Limit Theorem (CLT) states that for a sufficiently large sample size, the distribution of sample means will approximate a normal distribution, regardless of the original distribution of the variable in the population. This principle underlies the use of the z-distribution for large samples [8](#page=8). > **Example:** If you repeatedly draw samples and calculate their means, the distribution of these means will tend towards normality as the sample size increases, even if the original data is skewed [8](#page=8). #### 3.4.2 T-distribution vs. Z-distribution The **t-distribution** is a probability distribution similar to the standard normal (z) distribution but is generally wider and its shape depends on the **degrees of freedom (df)**, which are related to the sample size ($df = n-1$) [8](#page=8). * **Use of t-distribution:** The t-distribution is used when the population standard deviation ($\sigma$) is unknown, which is common in practice. It is particularly useful for small sample sizes [9](#page=9). * **Relationship to z-distribution:** As the sample size (and thus degrees of freedom) increases, the t-distribution increasingly approximates the z-distribution [9](#page=9). $$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \quad \text{vs.} \quad t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s_d / \sqrt{n}}$$ Where $s_d$ is the sample standard deviation [9](#page=9). * **Convention:** It is often recommended to use the t-distribution for hypothesis testing and confidence intervals, regardless of sample size, as it provides a more conservative estimate for smaller samples and becomes virtually identical to the z-distribution for larger samples [9](#page=9). * **Critical values:** The critical value used in calculations (e.g., 1.96 for a 95% CI with z-distribution) needs to be adjusted for the t-distribution and can be found in t-distribution tables or generated by software. These t-values are typically larger than their z-distribution counterparts because the t-distribution has heavier tails [9](#page=9). $$95\% \text{ CI} = \bar{x} \pm t_{(1-\alpha/2); (n-1) df} \times \frac{s_d}{\sqrt{n}}$$ ### 3.5 Analysis of continuous outcome variables #### 3.5.1 Comparing two measurements of continuous variables in the same persons This involves comparing two measurements from the same individuals, known as paired observations within one group. The goal is to quantify the uncertainty in generalizing the findings from the sample to the target population. Sample size and the spread of individual results (captured by the standard error of the mean) are crucial for calculating confidence intervals [9](#page=9). * **Paired t-test:** This test is used to test the mean difference between repeated measurements in paired data. The "pairing" means individual difference scores are the outcome variables, and they are not independent. Paired t-tests are parametric tests with certain assumptions [9](#page=9). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\mu_{\Delta} = 0$, meaning there is no difference between the measurements, or the average difference is zero [9](#page=9). * **Assumption:** The outcome variable (the difference) should be approximately normally distributed. The t-distribution is used to derive the test statistic and 95% confidence interval for the mean difference, and critical values are obtained from t-tables or statistical software [9](#page=9). --- # Analysis of continuous and dichotomous outcome variables This section details statistical methods for analyzing continuous and dichotomous outcome variables, covering tests for comparing groups, assessing relationships, and building predictive models. ### 4.1 Comparing two measurements of continuous variables in the same individuals This involves comparing two measurements from the same individuals, essentially analyzing paired observations within a single group. The primary goal is to quantify the uncertainty in generalizing research findings from the sample to the target population, with sample size and the variability of individual results (reflected in the standard error of the mean) being crucial for calculating confidence intervals [9](#page=9). #### 4.1.1 Paired t-test The paired t-test is used to test the mean difference between repeated measurements. In this test, individual difference scores serve as the outcome variables, and these are not independent of each other. As a parametric test, it has specific assumptions, including the normality of the differences. The test utilizes a t-distribution for the test statistic and to construct a 95% confidence interval, seeking an alternative to the 1.96 value from the standard normal distribution [9](#page=9). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\mu_{\Delta} = 0$, indicating no difference between the measurements or an average difference of zero [9](#page=9). * **Test Statistic Formula:** $$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s_d / \sqrt{n}}$$ where $\bar{x}$ is the mean difference, $\mu_0$ is the hypothesized mean difference $s_d$ is the standard deviation of the differences, and $n$ is the sample size [10](#page=10). * **Interpretation:** The t-value indicates how the sample mean difference ($\bar{x}$) compares to the null hypothesis ($\mu_0$), considering the uncertainty ($s_d / \sqrt{n}$). The p-value associated with the t-value determines statistical significance (e.g., $p < 0.001$ indicates a highly significant difference). The p-value is typically two-tailed [10](#page=10). * **Degrees of Freedom ($df$):** $n - 1$ [10](#page=10). * **Confidence Interval Estimation:** $$95\% BI = \bar{x} \pm t_{(1-\alpha/2);(n-1) df} \times \frac{s_d}{\sqrt{n}}$$ This interval estimates the population mean difference with 95% confidence [10](#page=10). * **Tip:** Testing addresses whether a difference is statistically significant, while estimation quantifies the magnitude of the difference [10](#page=10). #### 4.1.2 One-sample t-test This test compares the mean of a single group to a known or theoretical standard value ($\mu_0$). It is also a parametric test with the assumption of normality of the data [10](#page=10). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\mu = \mu_0$ (the group mean equals the standard value) or $\mu_{\Delta} = 0$ (the mean difference equals zero) [10](#page=10). * **Test and Estimation:** Similar formulas and interpretations as the paired t-test are used, but $\mu_0$ represents the standard value. A significant difference is indicated if 0 is not within the 95% confidence interval of the mean difference [10](#page=10) [11](#page=11). ### 4.2 Continuous variables – two independent groups This involves comparing the means of two independent groups [11](#page=11). #### 4.2.1 Independent samples t-test This test assesses the difference between the means of two independent groups, subject to specific assumptions [11](#page=11). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\mu_1 = \mu_2$ or $\mu_1 - \mu_2 = 0$ (the means of the two groups are equal) [11](#page=11). * **Assumptions:** Both outcome variables must be normally distributed, and homoscedasticity (equal variances) is required. Homoscedasticity can be checked using Levene's test or an F-test [11](#page=11). * **Test Statistic Formula (assuming equal variances):** $$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2 - 0}{s_P \times \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$$ where $s_P$ is the pooled standard deviation calculated as: $$s_P = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{(n_1-1 + n_2-1)}}$$ $s_1$ and $s_2$ are the standard deviations of group 1 and group 2, respectively [11](#page=11). * **Degrees of Freedom ($df$):** $(n_1 + n_2) - 2$ [11](#page=11). * **Confidence Interval Estimation:** $$95\% BI = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{(1-\alpha/2);(n_1+n_2-2) df} \times s_P \times \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$$ A significant difference is indicated if 0 is not within the interval [12](#page=12). * **Levene's test for equality of variances:** This test checks for equal variances between groups. A non-significant result (p > 0.05) indicates equal variances, leading to the use of the upper output in the t-test for equality of means. A significant result requires the use of Welch's adjustment, often automatically performed by statistical software [12](#page=12). #### 4.2.2 ANOVA (Analysis of Variance) ANOVA is used to compare means when there are three or more independent groups [12](#page=12). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \dots$ (all group means are equal in the population) [12](#page=12). * **Test Statistic:** The F-test, following an F-distribution, is used. The F-statistic is the ratio of between-group variance to within-group variance: $$F = \frac{\text{between-group variance}}{\text{within-group variance}}$$ * **Assumptions:** All groups must be normally distributed, and homoscedasticity is required [12](#page=12). * **Interpretation:** A larger F-value indicates greater evidence against the null hypothesis [12](#page=12). * **Post-hoc tests:** If ANOVA indicates a significant difference, post-hoc tests (like pairwise t-tests) are conducted to identify which specific groups differ. These require corrections for multiple testing to control the Type I error rate, leading to higher p-values compared to uncorrected tests [13](#page=13). ### 4.3 Comparing a skewed continuous variable When dealing with skewed continuous variables, two approaches are common: transformation or non-parametric tests. #### 4.3.1 Transformation For right-skewed data, a natural logarithm transformation can normalize the distribution. Tests (t-tests or ANOVA) are then performed on the transformed data, and the results are back-transformed to the original scale for interpretation. The geometric mean can be calculated from the transformed data [13](#page=13): $$\text{geometric mean} = e^{\text{mean}(\ln(x_i))}$$ #### 4.3.2 Non-parametric tests These tests are based on ranks and are less powerful than parametric tests but do not require normality assumptions. They typically provide p-values but not effect size estimates [13](#page=13). * **Mann-Whitney U test:** Compares two independent groups using ranks [13](#page=13). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $Ranksom_1 = Ranksom_2$ (the distributions are the same) [13](#page=13). * **Wilcoxon signed-rank test:** Compares paired observations within one group using ranks. It tests if the median difference is zero, implying an equal number of positive and negative changes [13](#page=13). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $Sum \, ranks > 0 = Sum \, ranks < 0$ (median difference = 0) [13](#page=13). * **Sign test:** Compares one group to a standard value, assessing if the median is equal to a standard value [13](#page=13). * **Kruskal-Wallis test:** Compares three or more independent groups using ranks [13](#page=13). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $Ranksom_1 = Ranksom_2 = Ranksom_3 = \dots$ (the distributions are the same) [14](#page=14). #### 4.3.3 Correlation Correlation quantifies the linear association between two continuous variables [14](#page=14). * **Pearson Correlation Coefficient ($r$):** Measures the linear association between two normally distributed continuous variables without outliers [14](#page=14). $$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$$ where $n$ is the sample size, $x_i$ and $y_i$ are individual values, and $\bar{x}$ and $\bar{y}$ are the means. The coefficient ranges from -1 to 1, with values closer to 1 or -1 indicating a stronger linear relationship [14](#page=14). * **Coefficient of Determination ($r^2$):** Represents the proportion of variance in one variable that is explained by the linear relationship with the other variable. Adjusted $r^2$ accounts for potential overestimation in larger models [14](#page=14). * **Assumptions:** Two continuous variables, approximate normality, absence of outliers, and a linear relationship [14](#page=14). * **Spearman's rank correlation coefficient ($\rho$):** A non-parametric alternative to Pearson's r, used for ordinal or skewed continuous variables, or when the relationship is non-linear. It calculates the correlation between the ranks of the variables [15](#page=15). #### 4.3.4 Linear regression Linear regression models the relationship between a dependent continuous outcome variable (Y) and one or more independent predictor variables (X) [15](#page=15). * **Simple Linear Regression:** $$Y = b_0 + b_1X$$ where $b_0$ is the intercept (expected value of Y when X=0) and $b_1$ is the slope or regression coefficient (expected change in Y for a one-unit increase in X) [15](#page=15). * **Calculation of Coefficients:** $$b_1 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}$$ $$b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}$$ * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\beta_1 = 0$ (there is no linear relationship between X and Y in the population) [16](#page=16). * **Standardized Regression Coefficient (Beta, $\beta$):** Expresses X and Y in standard deviation units, allowing for comparison of predictor strengths in multiple regression. It is equivalent to the Pearson correlation coefficient when there is only one predictor [16](#page=16). * **Coefficient of Determination ($R^2$):** Similar to $r^2$, it indicates the proportion of variance in Y explained by the model. Adjusted $R^2$ is preferred for multiple regression to avoid overestimation [16](#page=16). * **Dummy Variables:** Used for categorical or dichotomous predictors. For a dichotomous predictor (e.g., male=1, female=0), $b_0$ represents the expected Y for the reference group (female), and $b_1$ represents the difference in expected Y between the groups. For categorical predictors with $k$ categories, $k-1$ dummy variables are created [16](#page=16). * **Assumptions:** Independent observations, linear relationship between predictors and outcome (checked visually or by categorizing predictors), normality of residuals, and homoscedasticity of residuals [17](#page=17). * **Multiple Linear Regression:** Extends simple linear regression to include multiple predictors ($X_1, X_2, \dots, X_k$). $$y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + \dots + b_k x_k$$ This model assesses the independent effect of each predictor while holding others constant (covariates). It shares the same assumptions as simple linear regression [17](#page=17). #### 4.3.5 Association Models vs. Prediction Models * **Association Models:** Aim to clarify the relationship with a central determinant by accounting for confounding and effect modification [17](#page=17). * **Confounding:** A variable that distorts the relationship between the predictor and outcome. A change of approximately 10% in the regression coefficient after adjusting for a potential confounder suggests confounding [18](#page=18). * **Effect Modification (Interaction):** The effect of the predictor on the outcome differs across levels of another variable. Tested by including an interaction term ($X*C$) in the model. A p-value < 0.10 for the interaction term suggests effect modification. If interaction is present, the main effect needs to be stratified [18](#page=18). * **Prediction Models:** Aim to predict the outcome variable as accurately as possible using a set of predictors. Procedures like backward or forward selection can be used to build the model [18](#page=18). ### 5. Analysis of dichotomous outcome variables For dichotomous outcome variables, the distinction between parametric and non-parametric tests is less relevant as these variables are inherently non-parametric [18](#page=18). #### 5.1 Comparing one group #### 5.1.1 Comparing two measurements within one group This involves comparing paired observations, often in cross-over trials with short-term interventions [19](#page=19). * **McNemar's test:** Tests for a difference in proportions between paired measurements [19](#page=19). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\pi_{\Delta} = 0$ (proportion of difference is zero) [19](#page=19). #### 5.1.2 Comparing a measurement with a standard value * **Z-test for proportion:** Tests the difference between a sample proportion and a standard population proportion [19](#page=19). * **Null Hypothesis ($H_0$):** $\Pi = \Pi_0$ or $\Pi_{\Delta} = 0$ [19](#page=19). * **Test Statistic Formula:** $$z = \frac{p - \pi_0}{SE(p)_{H_0}}$$ where $p$ is the sample proportion, $\pi_0$ is the standard proportion, and $SE(p)_{H_0} = \sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}$ [19](#page=19). * **Assumptions:** For the z-distribution, $np$ and $n(1-p)$ should both be greater than 5 [19](#page=19). * **Confidence Interval Estimation:** $$95\% BI = P \pm z_{(1 - \alpha/2)} \times SE(p)$$ where $SE(p) = \sqrt{\frac{p(1-P)}{n}}$. The 95% confidence interval for the proportion is calculated, and the standard value ($\pi_0$) is checked for inclusion [19](#page=19). #### 5.2 Comparing two groups This involves comparing proportions between two independent groups and assessing the association between two dichotomous variables, typically presented in a 2x2 contingency table [20](#page=20). * **Chi-squared test ($\chi^2$):** Tests for an association between two dichotomous variables based on observed (O) and expected (E) counts in each cell of the contingency table [20](#page=20). $$\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$$ where $E = (\text{Row Total}) \times (\text{Column Total}) / \text{Grand Total}$ [20](#page=20). * **Degrees of Freedom ($df$):** $(a-1) \times (b-1)$, where $a$ and $b$ are the number of rows and columns, respectively [20](#page=20). * **Assumptions:** The expected count (E) in at least 80% of cells should be greater than 5, and all E should be greater than 1. Larger sample sizes improve the approximation [20](#page=20). * **Fisher's exact test:** Calculates the exact p-value, serving as an alternative to the chi-squared test, especially for small sample sizes [20](#page=20). * **Continuity correction:** Another alternative for 2x2 tables, improving the approximation of the chi-squared distribution [20](#page=20). #### 5.2.1 95% Confidence Interval for Risk Difference and Relative Risk While the chi-squared test indicates overall association, effect measures and their confidence intervals quantify the magnitude of the effect [20](#page=20). * **Confidence Interval for Difference in Proportions:** $$95\% BI = P_1 - P_2 \pm z_{(1-\alpha/2)} \times SE(P_1 - P_2)$$ where $SE(P_1 - P_2) = \sqrt{\frac{P_1(1-P_1)}{n_1} + \frac{P_2(1-P_2)}{n_2}}$. Assumptions include $np$ and $n(1-p)$ being greater than 5 in both groups [21](#page=21). #### 5.3 Comparing more than two groups This involves comparing proportions across three or more independent groups, typically using an RxK contingency table [21](#page=21). * **Chi-squared test:** Used to test the overall association between categorical variables in RxK tables. The formula and assumptions are similar to the 2x2 case, but Fisher's exact test and continuity corrections are not applicable for RxK tables [21](#page=21). * **Trend test:** A linear-by-linear association test can be performed for ordinal variables, with 1 degree of freedom [21](#page=21). * **Post-hoc analysis:** For an overall significant chi-squared result, categories can be regrouped, split into multiple 2x2 tables, or a logistic regression model can be employed [21](#page=21). #### 5.4 Odds Ratio as an effect measure in 2x2 tables The odds ratio (OR) is an effect measure, particularly for case-control or retrospective studies, representing the relative odds of an outcome [21](#page=21). * **Odds:** $$Odds = \frac{P(y=1)}{1 - P(y=1)}$$ where $P(y=1)$ is the probability of the outcome [21](#page=21). * **Odds Ratio Formula:** $$OR = \frac{a \times d}{b \times c} = \frac{(a/c)}{(b/d)}$$ where $a, b, c, d$ are the cell counts in a 2x2 table. The OR is also commonly used in prospective studies and logistic regression but can overestimate the relative risk [22](#page=22). #### 5.5 Analyzing relationships with a dichotomous outcome variable and diverse other variables: Logistic Regression Analysis Logistic regression is used when the outcome variable is dichotomous, transforming it to allow for a linear regression-like analysis [22](#page=22). * **Logistic Regression with a Dichotomous Determinant:** The natural logarithm of the odds is used: $$\ln\left(\frac{P(y_{dichotomous})}{1 - P(y_{dichotomous})}\right) = b_0 + b_1x_1 + \dots$$ * **Interpretation of Regression Coefficient:** $\text{EXP}(b_1)$ represents the odds ratio for the predictor. $\text{EXP}(\beta_1) = \frac{odds(y=1, \text{exposed})}{odds(y=1, \text{unexposed})}$. A null hypothesis of $\text{EXP}(\beta_1)=1$ suggests no difference in odds between groups [22](#page=22). * **Maximum Likelihood:** A method for estimating regression coefficients, aiming to maximize the probability of observing the data given the model parameters. The -2 Log Likelihood statistic is used for model comparison; a lower value indicates a better fit. The Likelihood Ratio Test compares nested models based on the difference in -2 Log Likelihood values, following a chi-squared distribution with degrees of freedom equal to the difference in the number of parameters [22](#page=22) [23](#page=23). * **Logistic Regression with a Categorical Determinant:** Categorical predictors with more than two categories are typically treated as dummy variables [23](#page=23). * **Logistic Regression with a Continuous Determinant:** The odds ratio for a one-unit increase in the continuous variable can be exponentiated and adjusted for clinical relevance. The 95% confidence interval for the adjusted OR is calculated by multiplying the standard error by $x$ [23](#page=23). #### 5.6 Checking for linearity in logistic regression The assumption of linearity means the odds ratio is constant regardless of the predictor's value. This can be tested by categorizing the continuous predictor and performing a logistic regression with the categorical variable. If a linear trend is observed in the regression coefficients of the categories, the continuous variable can be maintained; otherwise, the categorical analysis is retained [23](#page=23). #### 5.7 Confounding and Effect Modification in Logistic Regression These concepts are investigated using stratified analyses or by incorporating interaction terms and covariates into the logistic regression model, similar to linear regression [23](#page=23) [24](#page=24) [25](#page=25). ### 6. Analysis of survival data Survival analysis focuses on the time until an event occurs, not just whether it occurs. It is typically studied prospectively [23](#page=23). * **Kaplan-Meier survival curve:** A graphical representation of survival over time, calculating cumulative survival probabilities at different time points [23](#page=23). * **Log-rank test:** Compares two or more survival curves by comparing observed and expected cases at each time point. The null hypothesis is that the curves overlap. It follows a chi-squared distribution with $df =$ (number of groups - 1) and only provides a p-value [24](#page=24). * **Cox Regression Analysis:** Relates survival data to determinants. It transforms the outcome to allow for a linear regression-like analysis using the natural logarithm of the hazard [24](#page=24). $$\ln(\text{hazard}(y)) = \ln[h_{t0}] + b_1x_1 + b_2x_2 + \dots$$ * **Dichotomous Determinant:** $\text{EXP}(B)$ represents the hazard ratio (HR). $H_0: \text{EXP}(B_1) = 1$ indicates no difference in hazard [24](#page=24). * **Categorical Determinant:** Dummy coding is used to compare groups against a reference category [24](#page=24). * **Continuous Determinant:** The hazard ratio for a one-unit increase is calculated. Linearity assumption can be tested by categorizing the continuous predictor [24](#page=24). * **Proportional Hazards Assumption:** The hazard ratio must be constant over time, checked using Kaplan-Meier curves [24](#page=24). * **Model Comparison:** The -2 Log Likelihood method is used to compare models, with the difference in values following a chi-squared distribution [24](#page=24). ### 7. Multiple regression analysis This section reiterates multiple regression, focusing on predicting a dichotomous outcome variable using a set of covariates. The principles of association and prediction models, including confounding and effect modification, are applied, similar to linear regression models. The Hosmer-Lemeshow test is a goodness-of-fit test for logistic regression models, aiming for a non-significant p-value to indicate a good fit [25](#page=25). --- # Advanced statistical concepts and reliability This section explores advanced statistical techniques for analyzing relationships between variables, modeling outcomes, and assessing the trustworthiness of measurement tools. ### 5.1 Regression models Regression analysis models the relationship between a dependent variable and one or more independent variables [17](#page=17). #### 5.1.1 Assumptions of linear regression For linear regression, several assumptions must be met for the results to be valid [17](#page=17): * **Independent observations:** Data points should not be paired or clustered (e.g., within a school or class) [17](#page=17). * **Linear relationship:** For continuous predictors, there must be a linear association with the outcome variable. This can be visually assessed with a scatterplot or by categorizing the predictor and examining trends [17](#page=17). * **Normality of residuals:** The errors in the model should be normally distributed, which is often true if the outcome variable itself is normally distributed. A histogram of residuals can check this, and log transformations might be used for skewed distributions [17](#page=17). * **Homoscedasticity:** The variance of the residuals should be constant across all predicted values of the outcome variable. An extra plot (residual plot) can help assess this [17](#page=17). #### 5.1.2 Simple linear regression with continuous predictors When analyzing continuous variables, the presence of a linear relationship between the outcome and the predictor is examined. If no linear relationship is found, the continuous variable may be categorized (e.g., into quartiles) and analyzed using dummy variables within a linear regression model [17](#page=17). #### 5.1.3 Multiple linear regression Multiple linear regression examines the relationship between multiple independent (predictor) variables ($X$) and a continuous outcome variable ($Y$). The model is represented as: $$y = b_0 + b_1x_1 + b_2x_2 + \dots + b_k x_k$$ where $X$ values are covariates. This analysis assesses how covariates relate to the outcome variable in combination. It shares the same assumptions as simple linear regression. When measuring independent effects, confounders are held constant [17](#page=17). #### 5.1.4 Prediction models Prediction models aim to forecast the dependent variable as accurately as possible using a set of potential determinants [17](#page=17). * **Backward selection:** This method begins with a comprehensive model including all potential determinants. Variables contributing least (highest p-value, e.g., >0.10) are iteratively removed [18](#page=18). * **Forward selection:** This approach starts by identifying the single best predictor (lowest p-value) and then sequentially adds other predictors until no new variables improve the model significantly, typically using a p-value threshold (e.g., 0.10) [18](#page=18). The quality of a prediction model is evaluated by how well it predicts the outcome variable, often indicated by the proportion of variance explained [18](#page=18). ### 5.2 Association models Association models aim to isolate and clarify the relationship with a central determinant by accounting for other variables [17](#page=17). #### 5.2.1 Confounding Confounding occurs when an observed relationship between a predictor ($X$) and an outcome ($Y$) is partially or fully explained by a third variable that is associated with both $X$ and $Y$. It is investigated by comparing regression coefficients before and after adjusting for or including the potential confounding variable in the model. A change of approximately 10% in the regression coefficient is often considered indicative of confounding [17](#page=17) [18](#page=18). #### 5.2.2 Effect modification (Interaction) Effect modification, or interaction, means the effect of a predictor ($X$) on an outcome ($Y$) differs across levels of another variable (the effect modifier). This is tested by including an interaction term ($X \ast C$) in the model alongside the main effects. A p-value for the interaction term below 0.10 is often used as a cut-off to detect potential interaction. If interaction is present, the main effect should be analyzed in stratified subgroups. Continuous variables involved in effect modification should be dichotomized (e.g., by median) [18](#page=18). #### 5.2.3 Building association models To refine the estimation of the relationship between a continuous variable and a central determinant, association models adjust for confounders and examine effect modification. These models start with the crude (unadjusted) relationship. When stratifying, sample size considerations for subgroups are important. Confounders can be tested individually, simultaneously, or through stepwise selection. When interpreting effect estimates, other determinants in the model are kept constant [18](#page=18). ### 5.3 Logistic regression analysis Logistic regression is used for dichotomous outcome variables. The relationship between predictors and the log odds of the outcome is modeled [23](#page=23): $$\ln\left(\frac{P(y_{\text{dichotomous}})}{1 - P(y_{\text{dichotomous}})}\right) = b_0 + b_1x_1 + \dots + b_k x_k$$ This is a statistical model with covariates and partial regression coefficients, allowing for the testing of independent effects while holding confounders constant [25](#page=25). #### 5.3.1 Categorical determinants in logistic regression Categorical variables with more than two categories should be analyzed as dummy variables. A significant chi-square indicates a difference between categories, while linearity should be assessed using dummy variables if the chi-square is not significant [23](#page=23). #### 5.3.2 Continuous determinants in logistic regression The odds ratio (OR) for a one-unit increase in a continuous variable can be converted to an OR for a specific number of units ($x$) for better interpretation: $$OR_{x \text{ units}} = \exp[x \times b_1 \text{ unit}]$$ The 95% confidence interval for this adjusted OR is calculated by multiplying the standard error by $x$ or by using the formula $OR_{x \text{ units}} = (OR_{1 \text{ unit}})^x$ [23](#page=23). #### 5.3.3 Checking for linearity in logistic regression The assumption of a linear relationship for continuous predictors in logistic regression is checked by categorizing the predictor (e.g., into tertiles or quartiles) and performing a logistic regression with the categorical variable. If linearity is not observed, the analysis with the categorical variable is retained; otherwise, the continuous variable can be used. Trends in regression coefficients of the categorized variable can indicate linearity [23](#page=23). #### 5.3.4 Confounding and effect modification in logistic regression Confounding and effect modification are investigated using stratified analyses or logistic regression models. Confounding is identified by comparing regression coefficients before and after adjustment (a change of about 10% is a common cut-off). Effect modification is tested via an interaction term, with a p-value <0.10 often used to detect it. If interaction is present, stratification is necessary. Stepwise adjustment methods can be used to build models, deciding sequentially whether to include potential confounders. Model comparison using the -2 Log Likelihood statistic, following a chi-square distribution with degrees of freedom equal to the difference in parameters, can determine if removing a variable leads to a significant change [23](#page=23) [25](#page=25). #### 5.3.5 Prediction models in logistic regression The quality of a multiple logistic regression model is assessed similarly to the proportion of explained variance in linear regression. The Hosmer-Lemeshow test is a goodness-of-fit test that compares predicted versus observed outcomes. A non-significant p-value (indicating the model fits well) is desired [25](#page=25). ### 5.4 Survival analysis Survival analysis focuses on the time until an event occurs, rather than just whether it occurs. It is typically investigated through prospective cohort studies. Examples include studies of mortality, morbidity, or recovery [23](#page=23). #### 5.4.1 Kaplan-Meier survival curve The Kaplan-Meier curve graphically represents survival over time, calculating the probability of survival at each follow-up interval, conditional on surviving up to that point [23](#page=23). #### 5.4.2 Log-rank test The log-rank test compares survival curves between two or more groups by comparing observed cases at each time point with expected cases under the null hypothesis of no difference between curves. It follows a chi-square distribution with df = (number of groups – 1). This test provides a p-value but no effect measure [24](#page=24). #### 5.4.3 Cox regression analysis Cox regression models the relationship between survival time and predictors. The natural logarithm of the hazard is transformed to allow for a linear regression-like analysis: $$\ln(\text{hazard}(y)) = \ln[h_{t0}] + b_1x_1 + b_2x_2 + \dots$$ where $y$ is the dichotomous outcome, $\ln[h_{t0}]$ is the baseline hazard, and $b_1$, $b_2$ are regression coefficients for independent variables $x_1$, $x_2$ [24](#page=24). * **Dichotomous determinant:** The hazard ratio (HR) is calculated as $EXP(B_1)$. An HR > 1 indicates an increased risk. The intercept is not reported as it's a time-dependent function [24](#page=24). * **Categorical determinant:** Dummy coding is used to compare hazard ratios for different categories against a reference group [24](#page=24). * **Continuous determinant:** The hazard ratio represents the risk for a one-unit increase in the determinant. Linearity is assumed and can be tested by categorizing the variable and observing the trend in EXP(B) values. Confounding is identified by a 10% change in the regression coefficient after adding a confounder. Effect modification is assessed by examining if variables like sex alter the effect, requiring stratification [24](#page=24). A critical assumption in Cox regression is **proportional hazards**, meaning the hazard ratio remains constant over time, which can be checked by plotting survival curves [24](#page=24). ### 5.5 Sample size calculations Sample size calculations estimate the number of participants needed to detect a specific expected effect with a certain statistical power [25](#page=25). * **Alpha ($\alpha$):** The significance level, typically set at 0.05 for rejecting the null hypothesis [25](#page=25). * **Statistical power ($1-\beta$):** The probability of correctly rejecting a false null hypothesis, with a minimum of 80% generally recommended [25](#page=25). * **Effect size and dispersion:** The magnitude of the expected effect and its variability, often estimated from literature or pilot studies. Sample size is calculated using formulas, software, or online tools [25](#page=25). ### 5.6 Advanced considerations in statistical analysis #### 5.6.1 Assessing normality of continuous variables Normality of continuous variables can be assessed visually through histograms and QQ-plots, by comparing the mean and median, or by comparing the mean and standard deviation. Formal indicators include skewness and kurtosis (values between -1 and 1 suggest approximate normality). Hypothesis tests like the Kolmogorov-Smirnov and Shapiro-Wilks tests can detect deviations from normality, though they are sensitive to sample size [26](#page=26). #### 5.6.2 Multicollinearity Multicollinearity is a problem in regression models where predictor variables are highly correlated, making it difficult to assess their independent effects. It can be checked using Pearson correlations between continuous variables (a cut-off of 0.60 is often used) or chi-square tests for categorical variables. If multicollinearity exists, one of the correlated variables must be removed [26](#page=26). #### 5.6.3 Other statistical techniques * **Chi-square test:** Used with $r \times k$ contingency tables to test the overall association between categorical variables [26](#page=26). * **Two-way ANOVA:** Compares a continuous outcome variable across two categorical variables [26](#page=26). * **Repeated measures:** Analyzes repeated measurements of a continuous outcome, often using paired t-tests for more than two measurements [26](#page=26). * **Multilevel analysis:** Used for analyzing clustered data [26](#page=26). ### 5.7 Reliability of measurement instruments Reliability assesses the consistency and dependability of a measurement tool [26](#page=26). #### 5.7.1 Kappa statistic Kappa ($\kappa$) measures agreement for categorical variables. It is calculated as: $$ \kappa = \frac{\bar{p} - \hat{p}}{1 - \hat{p}} $$ where $\bar{p}$ is the observed proportion of agreement and $\hat{p}$ is the expected proportion of agreement by chance. A kappa value between 0.4 and 0.7 is considered acceptable, while values >0.7 or >0.75 indicate good agreement [26](#page=26) [27](#page=27). #### 5.7.2 Agreement for continuous variables The Pearson correlation coefficient or the Intraclass Correlation Coefficient (ICC) measures agreement between continuous variables. The ICC is better suited for assessing test-retest or inter-rater reliability as it accounts for systematic deviations, which Pearson correlation may miss. For instance, a consistent difference of 2 units across all measurements would not be detected by Pearson correlation but would be by ICC [27](#page=27). #### 5.7.3 Types of reliability * **Validity:** The agreement with a criterion measure [26](#page=26). * **Test-retest reliability:** Consistency of results when a measurement is repeated over time [26](#page=26). * **Inter-rater or intra-rater reliability:** Consistency of measurements made by different raters or the same rater on different occasions [26](#page=26). --- ## Common mistakes to avoid - Review all topics thoroughly before exams - Pay attention to formulas and key definitions - Practice with examples provided in each section - Don't memorize without understanding the underlying concepts

| Term | Definition | |------|------------| | Observational research | A type of study where researchers observe subjects and measure variables of interest without assigning treatments or interventions. The relationships between variables are then studied. | | Experimental research | A type of study where researchers manipulate one or more variables (interventions) and measure their effect on an outcome variable, while controlling for other factors. Participants are actively influenced. | | Case-control study | A retrospective observational study where individuals with a specific outcome or disease (cases) are compared to individuals without the outcome (controls) to identify potential causes or risk factors. | | Cohort study | An observational study where a group of individuals (a cohort) is followed over time to observe the incidence of outcomes or diseases, often comparing outcomes between exposed and unexposed groups. | | Cross-sectional study | An observational study where data are collected at a single point in time from a population or sample, providing a snapshot of prevalence and associations. | | Outcome variable (dependent variable) | The variable that is measured or observed and is hypothesized to be affected by the independent variable(s). It is the primary focus of the research question. | | Independent variable (predictor, determinant) | A variable that is manipulated or observed to assess its effect on the outcome variable. It is used to explain or predict changes in the dependent variable. | | Categorical variable | A variable that can take on a limited, and usually fixed, number of possible values, typically representing distinct categories or groups. | | Nominal variable | A type of categorical variable where the categories have no intrinsic order or ranking. Examples include blood type or gender. | | Ordinal variable | A type of categorical variable where the categories have a natural order or ranking, but the intervals between categories are not necessarily equal or quantifiable. | | Dichotomous variable | A categorical variable with only two possible values, often coded as 0 and 1 (e.g., yes/no, present/absent). | | Dummy coding | A method of representing a categorical variable with k categories as k-1 binary (0 or 1) dummy variables, allowing their inclusion in regression models. | | Numerical variable (quantitative variable) | A variable that can be measured and expressed as a number, allowing for arithmetic operations. | | Discrete variable | A numerical variable that can only take on a finite number of values, typically whole numbers, often resulting from counting (e.g., number of doctor visits). | | Continuous variable | A numerical variable that can theoretically take on any value within a given range, often resulting from measurement (e.g., weight, height). | | Interval scale | A scale of measurement where the intervals between values are equal and meaningful, but there is no true zero point (e.g., Celsius temperature). | | Ratio scale | A scale of measurement where the intervals between values are equal and meaningful, and there is a true, absolute zero point (e.g., height, weight, age). | | Descriptive statistics | Methods used to summarize and describe the main features of a dataset, including measures of central tendency, dispersion, and frequency distributions, often presented graphically or numerically. | | Inferential statistics | Methods used to draw conclusions and make generalizations about a population based on sample data, including hypothesis testing and estimation of population parameters. | | Frequency table | A table that displays the frequency (count) and often the proportion or percentage of observations falling into each category or value of a variable. | | Bar chart (bar graph) | A graphical representation of categorical data where rectangular bars of equal width represent each category, and the height of the bar is proportional to the frequency or proportion of data in that category. | | Histogram | A graphical representation of the distribution of numerical data, where bars represent the frequency of data within specified intervals or bins. It is used to visualize the shape of a distribution. | | Scatterplot | A graphical representation used to display the relationship between two numerical variables. Each point on the plot represents an observation with its values for both variables. | | Box-and-whisker plot (box plot) | A graphical method for displaying the distribution of numerical data through quartiles. It shows the median, interquartile range, and potential outliers. | | Mean ($ \bar{x} $) | The arithmetic average of a set of numbers, calculated by summing all values and dividing by the number of values ($ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} $). | | Median | The middle value in a dataset when the data are ordered from least to greatest. If there is an even number of observations, it is the average of the two middle values. | | Mode | The value that appears most frequently in a dataset. It can be used for both numerical and categorical data. | | Variance ($ s^2 $) | A measure of the dispersion or spread of a dataset, calculated as the average of the squared differences from the mean ($ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} $). | | Standard deviation ($ sd $ or $ s $) | A measure of the dispersion or spread of a dataset around the mean, calculated as the square root of the variance ($ sd = \sqrt{s^2} $). | | Range | The difference between the maximum and minimum values in a dataset. | | Interquartile range (IQR) | The difference between the third quartile (75th percentile) and the first quartile (25th percentile) of a dataset, representing the spread of the middle 50% of the data. | | Normal distribution | A symmetrical, bell-shaped probability distribution characterized by its mean and standard deviation. Many statistical methods assume data follows a normal distribution. | | Skewed distribution | A distribution where the data are not symmetrical around the mean. A right-skewed distribution has a long tail to the right (mean > median), and a left-skewed distribution has a long tail to the left (mean < median). | | Null hypothesis ($ H_0 $) | A statement that there is no significant difference or relationship between variables or groups in a population. It is the hypothesis that researchers aim to disprove. | | Alternative hypothesis ($ H_a $) | A statement that contradicts the null hypothesis, suggesting that there is a significant difference or relationship between variables or groups. | | P-value (probability value) | The probability of obtaining observed results (or more extreme results) if the null hypothesis were true. A low p-value (typically < 0.05) indicates evidence against the null hypothesis. | | Statistical significance | A result that is unlikely to have occurred by random chance alone, typically determined by a p-value falling below a predetermined significance level (alpha). | | Confidence interval (CI) | A range of values that is likely to contain the true population parameter with a certain degree of confidence (e.g., 95% confidence interval). | | Standard error of the mean (SEM) | A measure of the variability of sample means around the population mean. It quantifies the precision of the sample mean as an estimate of the population mean ($ SEM = \frac{sd}{\sqrt{n}} $). | | Test statistic | A value calculated from sample data that measures how far the sample result deviates from the null hypothesis. It is used to determine the p-value. | | Probability distribution | A mathematical function that describes the probabilities of different possible outcomes for a random variable (e.g., normal distribution, t-distribution, chi-squared distribution). | | Z-distribution (standard normal distribution) | A normal distribution with a mean of 0 and a standard deviation of 1, used for hypothesis testing and confidence intervals when the population standard deviation is known or the sample size is large. | | T-distribution | A probability distribution similar to the normal distribution but with heavier tails, used for hypothesis testing and confidence intervals when the population standard deviation is unknown and the sample size is small. It depends on degrees of freedom. | | Degrees of freedom (df) | A parameter in statistical distributions that reflects the number of independent pieces of information available to estimate a parameter. It often relates to sample size. | | Paired t-test | A statistical test used to compare the means of two related groups or measurements from the same individuals (e.g., before and after an intervention). | | One-sample t-test | A statistical test used to compare the mean of a single sample to a known or hypothesized population mean. | | Independent samples t-test | A statistical test used to compare the means of two independent groups. | | Homoscedasticity | The assumption that the variances of different groups are approximately equal. This is a condition for some statistical tests, like the independent samples t-test and ANOVA. | | Levene's test | A statistical test used to assess the equality of variances between two or more groups. | | ANOVA (Analysis of Variance) | A statistical test used to compare the means of three or more independent groups. It partitions the total variance into variance between groups and variance within groups. | | F-statistic | The test statistic used in ANOVA, calculated as the ratio of between-group variance to within-group variance. | | Post-hoc tests | Follow-up statistical tests performed after a significant ANOVA result to determine which specific group means differ from each other. | | Non-parametric tests | Statistical tests that do not assume the data follows a specific distribution (e.g., normal distribution). They are often used with ordinal data or when assumptions of parametric tests are violated. | | Mann-Whitney U test | A non-parametric test used to compare two independent groups. It is an alternative to the independent samples t-test. | | Wilcoxon signed-rank test | A non-parametric test used to compare two related samples or paired observations. It is an alternative to the paired t-test. | | Sign test | A non-parametric test used to compare the median of a single group to a hypothesized value or to compare paired data. | | Kruskal-Wallis test | A non-parametric test used to compare three or more independent groups. It is an alternative to ANOVA. | | Correlation | A statistical measure that describes the strength and direction of the linear relationship between two continuous variables. | | Pearson correlation coefficient (r) | A measure of the linear association between two continuous variables, ranging from -1 (perfect negative correlation) to +1 (perfect positive correlation), with 0 indicating no linear correlation. | | Coefficient of determination ($ r^2 $) | The proportion of the variance in the dependent variable that is predictable from the independent variable(s). It indicates the strength of the linear relationship. | | Spearman's rank correlation coefficient | A non-parametric measure of the strength and direction of the monotonic relationship between two ranked variables. | | Linear regression | A statistical technique used to model the linear relationship between a dependent variable and one or more independent variables. | | Simple linear regression | A regression model with one independent variable. | | Multiple linear regression | A regression model with two or more independent variables. | | Regression coefficient (slope, b) | In linear regression, the coefficient that indicates the expected change in the dependent variable for a one-unit increase in the independent variable. | | Intercept (constant, a or $ b_0 $) | In linear regression, the value of the dependent variable when all independent variables are zero. | | Adjusted R-squared | A modified version of R-squared that adjusts for the number of predictors in the model, providing a more accurate measure of model fit, especially in multiple regression. | | Dummy variable | A binary variable (0 or 1) used to represent categories of a categorical predictor in regression analysis. | | Logistic regression | A statistical technique used to model the probability of a dichotomous outcome variable as a function of one or more predictor variables. | | Odds ratio (OR) | A measure of the strength of association between an exposure and an outcome. It is the ratio of the odds of the outcome occurring in one group to the odds of it occurring in another group. | | Maximum Likelihood Estimation (MLE) | A method of estimating the parameters of a statistical model by finding the parameter values that maximize the likelihood function, which represents the probability of observing the data given the parameters. | | -2 Log Likelihood | A measure used in logistic regression to assess the goodness of fit of a model. Lower values indicate a better fit. | | Likelihood ratio test | A statistical test used to compare the fit of two nested models, typically by comparing their -2 Log Likelihood values. | | Survival analysis | A set of statistical methods for analyzing the time until an event of interest occurs, such as death, disease recurrence, or recovery. | | Kaplan-Meier curve | A graphical method for estimating and displaying the survival function from lifetime data. It shows the probability of survival over time. | | Log-rank test | A statistical test used to compare the survival distributions of two or more groups. It tests the null hypothesis that the survival curves are identical. | | Cox proportional hazards model (Cox regression) | A semi-parametric statistical model used in survival analysis to investigate the effect of predictor variables on the hazard rate of an event occurring. | | Hazard ratio (HR) | In Cox regression, the exponentiated regression coefficient ($ exp(B) $), representing the relative risk of the event occurring in one group compared to another, assuming other predictors are constant. | | Confounding | A bias that occurs when an observed association between an exposure and an outcome is distorted by the presence of a third variable (confounder) that is associated with both the exposure and the outcome. | | Effect modification (interaction) | A situation where the effect of an exposure on an outcome differs across levels of another variable (the effect modifier). The relationship between the exposure and outcome is not uniform. | | Stepwise selection | A procedure for building regression models by adding or removing predictor variables based on statistical criteria (e.g., p-values) to find the best-fitting model. | | Hosmer-Lemeshow test | A goodness-of-fit test for logistic regression models, which assesses whether the observed event rates match the predicted event rates across deciles of risk. | | Statistical power (1-β) | The probability of correctly rejecting a false null hypothesis. A power of 80% means there is an 80% chance of detecting a true effect if it exists. | | Skewness | A measure of the asymmetry of a probability distribution. Positive skewness indicates a tail extending to the right, while negative skewness indicates a tail extending to the left. | | Kurtosis | A measure of the "tailedness" or "peakedness" of a probability distribution. High kurtosis means heavier tails and a sharper peak, while low kurtosis means lighter tails and a flatter peak. | | QQ-plot (Quantile-Quantile plot) | A graphical tool used to assess whether a dataset follows a particular theoretical distribution, such as the normal distribution. | | Multicollinearity | A phenomenon in multiple regression where two or more predictor variables are highly linearly related to each other, making it difficult to estimate the independent effect of each predictor. | | Kappa statistic (Cohen's Kappa) | A measure of inter-rater or inter-observer agreement for categorical items. It accounts for the possibility of agreement occurring by chance. | | Validity | The extent to which a measurement tool measures what it is intended to measure. | | Test-retest reliability | The consistency of results when a test or measurement is administered to the same individuals on two or more occasions under similar conditions. | | Inter-rater reliability | The degree of agreement between two or more independent raters or observers who are evaluating the same phenomenon. | | Intra-class correlation coefficient (ICC) | A statistical measure used to assess the reliability or consistency of measurements, especially when dealing with continuous data and multiple raters or occasions. |

# Inleiding tot statistiek en soorten statistiek Dit onderwerp introduceert statistiek als een kennismethode en verklaart het belang ervan voor empirisch onderzoek, waarbij drie hoofdcategorieën – beschrijvende, inferentiële en verklarende statistiek – worden besproken [1](#page=1). ### 1.1 Wat is statistiek? Statistiek is een wetenschappelijke discipline die dient als kennismethode om de wereld beter te kennen en te begrijpen. Het wordt met name veelvuldig gebruikt bij empirisch onderzoek [1](#page=1). ### 1.2 Waarom statistiek? Statistiek is essentieel om beweringen te staven, aangezien beweringen op zichzelf onvoldoende zijn. Empirische data en gegevens zijn nodig om beweringen te onderbouwen. Onderzoeksmethoden zijn gericht op het verzamelen van data volgens de regels van de kunst, terwijl statistiek gericht is op het analyseren van deze data volgens dezelfde regels. Voor empirisch onderzoek dat antwoorden zoekt op een vraagstelling, zijn zowel onderzoeksmethoden als statistiek vereist [1](#page=1). ### 1.3 Drie soorten statistiek Er worden drie hoofdcategorieën van statistiek onderscheiden: beschrijvende statistiek, inferentiële statistiek en verklarende statistiek [1](#page=1). #### 1.3.1 Beschrijvende statistiek Beschrijvende statistiek heeft tot doel de wereld in cijfers weer te geven. Cijfers tonen precieze hoeveelheden. Deze statistiek herleidt grote hoeveelheden gegevens tot samenvattende maten, zoals het gemiddelde. Grafische technieken worden hierbij vaak ingezet om de gegevens te ordenen en te synthetiseren [1](#page=1). > **Tip:** Beschrijvende statistiek helpt om een complex geheel aan data behapbaar te maken door middel van samenvattingen en visualisaties. #### 1.3.2 Inferentiële statistiek Inferentiële statistiek is een methode om met een beperkt aantal gegevens uitspraken te doen over een breder geheel, een volledige populatie. Dit proces staat bekend als extrapolatie. Het maakt het mogelijk om uitspraken te doen over de volledige bevolking op basis van een toevalsstreekproef uit die bevolking, zoals bij de veiligheidsmonitor. Belangrijke aspecten zijn de veralgemeenbaarheid van steekproefresultaten en het maken van voorspellingen op basis van een steekproef [2](#page=2). > **Example:** Stel dat uit een steekproef van 1000 Nederlanders blijkt dat 70% tevreden is met het openbaar vervoer. Inferentiële statistiek kan worden gebruikt om te schatten hoeveel procent van *alle* Nederlanders tevreden is, met een bepaalde mate van zekerheid [2](#page=2). #### 1.3.3 Verklarende statistiek Verklarende statistiek richt zich op het verklaren van verschillen en samenhangen. Regressietechnieken, zoals bivariate regressie, worden hiervoor toegepast [2](#page=2). ### 1.4 Misleidende statistiek Het is mogelijk dat uitkomsten van onderzoek gemanipuleerd worden gedurende verschillende fasen, namelijk bij het verzamelen van gegevens, de presentatie van uitkomsten, en het omschrijven van conclusies [2](#page=2). > **Tip:** Wees kritisch bij het interpreteren van statistische resultaten en let op mogelijke manipulaties in de presentatie of interpretatie [2](#page=2). ### 1.5 Variabelen verkennen en visualiseren in sociale wetenschappen Sociale wetenschappers streven ernaar kennis te genereren over de sociale werkelijkheid. Deze kennis wordt verkregen door middel van sociaalwetenschappelijk onderzoek en dataverzameling. Om onderzoeksresultaten op een overzichtelijke en korte manier weer te geven, worden vaak getallen, tabellen en grafieken gebruikt. Het samenvattend beschrijven van de kenmerken van een groep onderzoekseenheden, de onderzoekspopulatie, is hierbij cruciaal [2](#page=2). --- # Variabelen, meetniveaus en visualisatie Dit deel van de studiehandleiding behandelt de fundamentele concepten van onderzoekseenheden en variabelen, de verschillende meetniveaus die de keuze van statistische analyses bepalen, en de visualisatie van gegevens door middel van frequentieverdelingen en grafische voorstellingen. ### 2.1 Kernbegrippen en terminologie * **Onderzoekseenheid:** Een element uit de te onderzoeken populatie, bijvoorbeeld een schaap in een populatie schapen [3](#page=3). * **Populatie:** Alle eenheden van een welomschreven groep die je wilt onderzoeken. De omvang en het type populatie kunnen sterk variëren en moeten duidelijk omschreven zijn [3](#page=3). * **Variabele:** Een kenmerk van onderzoekseenheden waarin onderzoekers geïnteresseerd zijn. Variabelen kunnen numerieke waarden hebben (zoals leeftijd) of niet-numerieke waarden (zoals geslacht) [3](#page=3). * **Datamatrix/Dataset:** Een tabel waarin onderzoekseenheden in de rijen en variabelen in de kolommen staan. De waarden bevinden zich in de cellen [3](#page=3). * **Steekproef:** Een deel van de populatie dat wordt onderzocht, vaak omdat het onmogelijk is de volledige populatie te onderzoeken [3](#page=3). * **Parameters:** Kengetallen die de verdeling van een kenmerk in een populatie weergeven [3](#page=3). * **Steekproefstatistieken/Schatter:** Statistische kengetallen van een steekproef die als schatting voor populatieparameters dienen, zoals het gemiddelde [3](#page=3). * **Statistische reeks:** Een reeks waarnemingen, bijvoorbeeld kijkgedrag van verschillende personen [3](#page=3). * **Tijdsreeks:** Een reeks waarnemingen over tijd, waarbij het moment van waarneming cruciaal is voor interpretatie, zoals de evolutie van Facebookgebruik door de tijd [3](#page=3). * **Dimensie van een reeks:** Het aantal variabelen dat gelijktijdig wordt waargenomen, wat unidimensionaal, tweedimensionaal of multidimensionaal kan zijn [3](#page=3). **Criteria voor een representatieve steekproef:** * De steekproef moet dezelfde karakteristieken hebben als de populatie die zij vertegenwoordigt (representativiteit) [3](#page=3). * Voor veel statistische technieken is een eenvoudige aselecte toevalssteekproef vereist, waarbij elke onderzoekseenheid een gelijke kans heeft om geselecteerd te worden [3](#page=3). **Systematische steekproeffouten:** * **Selectiebias:** De manier van selecteren van respondenten leidt tot een vertekend beeld [4](#page=4). * **Non-respons bias:** Deelnemers die weigeren deel te nemen, verschillen systematisch van de respondenten [4](#page=4). * **Item non-respons bias:** Respondent heeft op specifieke vragen geen antwoord gegeven [4](#page=4). ### 2.2 Variabelen en meetniveaus * **Operationaliseren:** Het meetbaar maken van variabelen door middel van een of meerdere vragen. Dit is cruciaal voor het onderzoek en wordt vaak gebaseerd op eerder onderzoek of theorie [4](#page=4). **Classificatie van variabelen:** * **Kwalitatief (categorisch):** Variabelen waarvan de waarden categorieën vertegenwoordigen zonder verdere wiskundige betekenis [4](#page=4). * **Kwantitatief (metrisch):** Variabelen waarvan de waarden een wiskundige betekenis hebben [4](#page=4). **Vier meetniveaus (meetschalen):** De manier waarop een variabele wordt gemeten, bepaalt het meetniveau en daarmee welke statistische analyses mogelijk zijn [5](#page=5). 1. **Nominaal meetniveau:** * Kenmerk: Classificatie (indeling in groepen) [5](#page=5). * Numerieke waarden dienen enkel voor naamgeving en hebben geen wiskundige waarde [5](#page=5). * Voorbeelden: Migratie-achtergrond, religieuze strekking, woonplaats, politieke voorkeur, geslacht [5](#page=5). 2. **Ordinaal meetniveau:** * Kenmerken: Classificatie plus rangordening [5](#page=5). * De ordenbaarheid van waarden weerspiegelt een bestaande ordening van het kenmerk [5](#page=5). * De volgorde is duidelijk, maar de intervallen tussen de waarden zijn niet noodzakelijk even groot of wiskundig interpreteerbaar [5](#page=5). * Voorbeelden: Opleidingsniveau, veelgebruikte 5-puntenschalen (bv. eens, neutraal, oneens) [5](#page=5). 3. **Interval meetniveau:** * Kenmerken: Classificatie, rangorde plus een meeteenheid [5](#page=5). * Gelijke verschillen tussen waarden weerspiegelen gelijke verschillen in intensiteit van het kenmerk [5](#page=5). * Toepasbaar op kwantitatieve variabelen [5](#page=5). * Het nulpunt is arbitrair en duidt niet op de afwezigheid van het kenmerk [5](#page=5). * Verschillen tussen waarden zijn berekenbaar en betekenisvol (bv. 20 jaar verschil tussen 1970 en 1990) [5](#page=5). * Verhoudingen zijn niet betekenisvol (bv. 1990/1970 heeft geen duidelijke interpretatie) [5](#page=5). * Voorbeelden: Temperatuur in Celsius, geboortejaar [5](#page=5). 4. **Ratio meetniveau:** * Kenmerken: Classificatie, rangorde, meeteenheid plus een absoluut nulpunt [6](#page=6). * Een absoluut nulpunt betekent de volledige afwezigheid van het gemeten kenmerk [6](#page=6). * Negatieve waarden komen niet voor bij ratio variabelen [6](#page=6). * Zowel verschillen als verhoudingen tussen waarden zijn betekenisvol [6](#page=6). * Voorbeelden: Lengte, gewicht, aantal kinderen [6](#page=6). * Verschil: Iemand met 4 kinderen heeft 2 kinderen meer dan iemand met 2 kinderen [6](#page=6). * Verhouding: Iemand met 4 kinderen heeft dubbel zoveel kinderen als iemand met 2 kinderen [6](#page=6). **Voordelen van kwantitatieve variabelen:** * Eenduidiger dan kwalitatieve waarden [6](#page=6). * Gemakkelijker te verwerken en bieden meer analysemogelijkheden [6](#page=6). **Kwantitatieve variabelen: discreet en continu:** * **Discreet:** Variabelen die enkel gehele getallen kunnen aannemen, vaak het resultaat van een telling of classificatie. Bijvoorbeeld het aantal auto's per gezin [6](#page=6). * **Continu:** Variabelen die alle mogelijke waarden binnen een bepaald bereik kunnen aannemen. Bijvoorbeeld lichaamslengte of snelheid [6](#page=6). **Tip:** Het bepalen van het meetniveau van een variabele is cruciaal. Sommige variabelen hebben een inherent meetniveau (bv. geslacht), terwijl voor andere het meetniveau afhangt van de operationalisatie. Dit bepaalt welke statistische technieken toegepast kunnen worden. Bewerkingen die toegelaten zijn voor een bepaald meetniveau mogen worden toegepast op hogere meetniveaus, maar niet op lagere [6](#page=6). ### 2.3 Frequentieverdelingen en grafische voorstellingen Elementaire technieken omvatten het weergeven van frequenties in tabellen, grafische methodes en samenvattende numerieke getallen [7](#page=7). * **Frequentieverdeling:** Geeft voor elke waarde of categorie van een variabele aan hoe vaak deze voorkomt (in absolute of relatieve aantallen) [7](#page=7). * **Frequentietabel:** Een tabel die de waargenomen frequenties weergeeft [7](#page=7). * Absolute frequentie ($F_i$): Het aantal keren dat een specifieke waarde ($x_i$) werd waargenomen. De som van de absolute frequenties is gelijk aan de steekproefomvang ($n$) [7](#page=7). **Functies van een frequentietabel:** * Kwaliteitscontrole van gegevens [7](#page=7). * Basis voor verdere analyses [7](#page=7). * Grondslag voor grafische voorstellingen [7](#page=7). **Grafische voorstellingen:** Visualiseren de frequentieverdeling en zijn essentieel voor bevattelijke rapportering, leesbaarheid en duidelijkheid. Ze helpen ook bij het opsporen van uitschieters en anomalieën tijdens de data-exploratie [7](#page=7). #### 2.3.1 Grafieken voor nominale en ordinale schalen **Bij nominale schalen:** * **Staafdiagram:** * Elke waarde wordt gerepresenteerd door een rechthoek waarvan de hoogte evenredig is met de frequentie [8](#page=8). * Rechthoeken zijn even breed en worden best gescheiden [8](#page=8). * De volgorde van de staven is willekeurig, maar alfabetische ordening kan de leesbaarheid bevorderen [8](#page=8). * Duidelijke titels en labels zijn belangrijk [8](#page=8). * Horizontale staafdiagrammen kunnen handig zijn bij veel categorieën [8](#page=8). * **Cirkeldiagram (taartdiagram):** * Elke waarde wordt voorgesteld door een cirkelsector waarvan de oppervlakte evenredig is met de frequentie [8](#page=8). * Benadrukt de verhouding van elke groep tot het geheel [8](#page=8). * Vereist dat alle categorieën van de populatie zijn opgenomen [8](#page=8). * **Pictogram:** * Gebruikt symbolen waarvan de grootte of het aantal evenredig is met de frequentie [8](#page=8). * Vaak gebruikt om statistieken aantrekkelijker te maken, maar kan de leesbaarheid verminderen [8](#page=8). **Bij ordinale schalen:** Naast staafdiagrammen, cirkeldiagrammen en pictogrammen (zoals bij nominale schalen) zijn deze geschikt: * **Cumulatieve frequentiefunctie (cumulatieve frequentiegrafiek):** * Grafische weergave van de absolute of relatieve cumulatieve frequenties [9](#page=9). * De cumulatieve frequentie voor een waarde is de som van de frequenties van die waarde en alle voorgaande waarden [11](#page=11). * Is een trapfunctie bij ordinale variabelen. Hoge sprongen wijzen op hoge frequenties [9](#page=9). * Zinvol om te berekenen vanaf ordinaal meetniveau [11](#page=11). **Opmerkingen bij nominale en ordinale schalen:** * Getallen kunnen gebruikt worden om nominale of ordinale variabelen te representeren (bv. Vlaanderen = 1, Wallonië = 2) [9](#page=9). * Bij ordinale variabelen kan een getal een ordeningsbetekenis krijgen (bv. 1 = zeer onaangenaam, 5 = zeer aangenaam) [9](#page=9). * Dezelfde gegevens kunnen op verschillende meetniveaus worden weergegeven (bv. inkomensgegevens als interval/ratio of als ordinaal) [9](#page=9). #### 2.3.2 Grafieken voor interval- en ratio schalen Het is belangrijk om onderscheid te maken tussen niet in klassen gegroepeerde en in klassen gegroepeerde gegevens. **Niet in klassen gegroepeerde gegevens (interval en ratio):** * De x-as (abcis) heeft een meeteenheid, en verschillen tussen waarden zijn betekenisvol [9](#page=9). * **Staafdiagram:** De balken worden op de x-as op de juiste afstand geplaatst, hoogte is evenredig met frequentie [10](#page=10). * **Histogram:** * Benadrukt continuïteit door de aangrenzende balken [10](#page=10). * De oppervlakte van de balken is evenredig met de absolute of relatieve frequentie in het interval [10](#page=10). * **Frequentiepolygoon (lijndiagram):** * De toppen van de staafjes in een staafdiagram of histogram worden rechtlijnig verbonden [10](#page=10). * Oppervlakten onder de functie krijgen betekenis [10](#page=10). * **Cumulatieve frequentiefunctie:** * Voor discrete variabelen is dit een trapfunctie [10](#page=10). * Voor continue gegevens kan deze worden weergegeven als een vloeiende curve [11](#page=11). **In klassen gegroepeerde gegevens (interval en ratio):** * Wordt gebruikt wanneer het aantal waargenomen waarden te groot is voor een overzichtelijke presentatie [10](#page=10). * **Klassengrenzen:** Moeten exhaustief (elke waarneming kan aan een klasse worden toegewezen) en wederzijds exclusief (geen overlappende klassen) zijn [10](#page=10). * **Klassengroepering:** Te veel klassen leiden tot onoverzichtelijkheid, te weinig tot informatieverlies [10](#page=10). * **Grafische weergave van klassen:** Kan gebeuren via het klassenmidden, het gemiddelde van de exacte klassengrenzen [10](#page=10). **Specifieke grafieken voor gegroepeerde gegevens:** * **Histogram:** * Intervallen worden bepaald door de klassen [11](#page=11). * De oppervlakte van de rechthoeken (klassen van verschillende lengte) is recht evenredig met de frequentie [11](#page=11). * De vorm kan symmetrisch of scheef zijn (links- of rechts-scheef) [11](#page=11). * **Populatiepiramide:** In essentie een histogram voor frequentieverdelingen, vaak gebruikt voor leeftijd en geslacht [11](#page=11). * **Frequentieveelhoek:** De klassenmiddens op de hoogte van de toppen van de rechthoeken in het histogram worden rechtlijnig verbonden [11](#page=11). * **Diagram cumulatieve frequentie:** Gaat uit van de hypothese dat waarnemingen homogeen verdeeld zijn binnen elke klasse [11](#page=11). **Frequentieverdelingen op ordinale schalen:** * De frequentietabel wordt opgesteld zoals bij nominale variabelen, maar de volgorde van de waarden is gebaseerd op de ordening van de variabele [11](#page=11). * **Cumulatieve frequenties:** Vanaf ordinaal niveau is het zinvol om cumulatieve frequenties te berekenen, zowel absoluut ($K(x_i)$) als relatief ($k(x_i)$) [11](#page=11). --- # Univariate statistische maten Hier is een gedetailleerde studiehandleiding over "Univariate statistische maten". ## 3. Univariate statistische maten Univariate statistische maten bieden een wiskundige samenvatting van de geobserveerde frequentieverdeling van gegevens, waarbij ze kengetallen gebruiken om de ligging, spreiding en vorm van de data te beschrijven [13](#page=13). ### 3.1. Maten van ligging of positie Maten van ligging (ook wel positie- of centrummaten genoemd) geven de centrale tendens van een dataset weer [14](#page=14). #### 3.1.1. Centrummaten Centrummaten beschrijven het "midden" van een dataset [14](#page=14). * **Modus ($X_0$)**: De modus is de waargenomen waarde met de hoogste frequentie. Bij gegroepeerde gegevens is de modus het klassenmidden van de klasse met de hoogste frequentie [14](#page=14). * **Voordelen**: Makkelijk te bepalen, bruikbaar voor alle meetschalen (vanaf nominaal) [14](#page=14). * **Nadelen**: Niet noodzakelijk uniek, houdt geen rekening met andere waarden, moeilijk mathematisch te hanteren [14](#page=14). * **Mediaan**: De mediaan is de waarde die alle waarnemingen in twee gelijke delen verdeelt, zodat evenveel waarnemingen kleiner of gelijk aan de mediaan zijn als groter of gelijk. Vereist minstens een ordinale meetschaal. Bij een even aantal waarnemingen wordt de mediaan berekend als het gemiddelde van de twee middelste waarden (lineaire interpolatie) [14](#page=14) [15](#page=15). * **Voordelen**: Uniek, minder gevoelig voor extreme waarden (outliers) dan het gemiddelde, enkel afhankelijk van de orde [15](#page=15). * **Nadelen**: Niet alle waarden worden in rekening gebracht, moeilijk mathematisch te hanteren, niet voor nominale variabelen [15](#page=15). * **Rekenkundig gemiddelde ($\bar{x}$)**: De som van alle waarnemingen gedeeld door het aantal waarnemingen. Kan berekend worden op basis van brutogegevens of gegroepeerde gegevens (waarbij $x_i$ staat voor klassenmiddens). Vereist minstens een intervalmeetschaal [15](#page=15). * **Voordelen**: Alle waarden worden gebruikt, uniek, mathematisch gebruiksvriendelijk en geschikt voor vergelijking van groepen [15](#page=15). * **Nadelen**: Gevoelig voor extreme waarden, niet voor nominale of ordinale variabelen [15](#page=15). > **Tip**: Centrummaten geven niet altijd een visueel midden weer en kunnen, zeker bij heterogene verdelingen, een onvolledige weerspiegeling van de realiteit zijn [20](#page=20). #### 3.1.2. Kwantielen Kwantielen verdelen geordende gegevens in een specifiek aantal gelijke delen en vereisen minstens een ordinale meetschaal [17](#page=17). * **Q-kwantiel**: De waarde van een variabele die waarnemingen zodanig verdeelt dat een proportie $q$ van de waarnemingen kleiner of gelijk is aan het kwantiel, en een proportie $(1-q)$ groter of gelijk is [17](#page=17). * **Kwartielen**: Verdelen geordende gegevens in 4 gelijke delen [17](#page=17). * **Decielen**: Verdelen geordende gegevens in 10 gelijke delen [17](#page=17). * **Percentielen**: Verdelen geordende gegevens in 100 gelijke delen [17](#page=17). #### 3.1.3. Momenten Momenten vormen een algemene klasse van statistische maten die de verhouding van een verdeling tot een bepaald punt samenvatten. Ze zijn gebaseerd op de waarde van elke waarneming ten opzichte van een constante $c$ [18](#page=18). * **Momenten rond de oorsprong (gewone momenten)**: Hierbij is de constante $c = 0$ [18](#page=18). $$ \mu_m' = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i^m}{N} $$ * **Momenten rond de constante**: Hierbij is de constante $c$ een willekeurige constante [18](#page=18). * **Momenten rond het gemiddelde (centrale momenten)**: Hierbij is de constante $c = \bar{x}$. De formule is [18](#page=18): $$ \mu_m = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^m}{N} $$ ### 3.2. Maten van spreiding Maten van spreiding kwantificeren de diversiteit of de mate van concentratie van gegevens rond een centrummaat [20](#page=20). > **Tip**: Spreidingsmaten zijn essentieel omdat centrummaten, vooral bij heterogene verdelingen, een onvoldoende beeld geven van de werkelijkheid [20](#page=20). * **Regels voor spreiding**: * Als alle waarnemingen gelijk zijn, is de spreidingsmaat nul [20](#page=20). * Hoe meer de waarnemingen gespreid zijn, hoe groter de spreidingsmaat [20](#page=20). #### 3.2.1. Soorten spreidingsmaten * **Variatiebreedte (Range, V)**: Het verschil tussen de grootste en de kleinste waargenomen waarde [21](#page=21). * Voor brutogegevens: $V = x_{max} - x_{min}$ [21](#page=21). * Voor gegroepeerde gegevens: $V =$ bovengrens hoogste klasse $-$ ondergrens laagste klasse [21](#page=21). * **Nadeel**: Zeer gevoelig voor extreme waarden [21](#page=21). * **Interkwartielafstand (IQR)**: Het verschil tussen het derde kwartiel ($K_3$ of $Q_3$) en het eerste kwartiel ($K_1$ of $Q_1$) [21](#page=21). $$ IQR = K_3 - K_1 $$ Deze maat geeft aan tussen welke waarden de middelste 50% van de waarnemingen vallen en is relatief ongevoelig voor extreme scores [21](#page=21). * **Interdecielafstand**: Het verschil tussen het negende deciel ($D_9$) en het eerste deciel ($D_1$). Het geeft aan tussen welke waarden de middelste 80% van de waarnemingen vallen [22](#page=22). * **Gemiddelde absolute afwijking**: De gemiddelde waarde van de absolute verschillen tussen elke waarneming en een bepaald punt (meestal het gemiddelde) [22](#page=22). $$ \frac{\sum_{i=1}^{N} |x_i - c|}{N} $$ * **Variantie ($s^2$)**: De som van de gekwadrateerde afwijkingen van het rekenkundig gemiddelde, gedeeld door het aantal waarnemingen (of $N-1$ voor een steekproef, hoewel dit document hoofdzakelijk de populatievariantie ($N$) presenteert) (#page=23, 24) [23](#page=23) [24](#page=24). * Formule (populatie): $$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N} $$ * **Kenmerken**: Altijd positief of nul, geeft meer gewicht aan grote verschillen [24](#page=24). * **Nadeel**: Kwadratische maat, moeilijk te interpreteren [24](#page=24). * **Standaardafwijking ($s$ of $\sigma$)**: De vierkantswortel van de variantie [24](#page=24). * Formule (populatie): $$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}{N}} $$ * **Voordelen**: Houdt rekening met alle waarden, meest gebruikt, uitgedrukt in dezelfde meeteenheid als de waarnemingen, waardoor het eenvoudig te interpreteren is [24](#page=24). * **Nadeel**: Zegt niets over de relatieve spreiding ten opzichte van de uitkomst zelf [24](#page=24). * **Variatiecoëfficiënt (VC)**: De ratio van de standaardafwijking op het gemiddelde [25](#page=25). $$ VC = \frac{s}{\bar{x}} $$ * **Voordelen**: Relatieve spreidingsmaat, onafhankelijk van de meeteenheid (dimensieloos), geschikt voor het vergelijken van de spreiding van verschillende groepen [25](#page=25). #### 3.2.2. Toepassingen van spreidingsmaten * **Oppervlakte onder de normale verdeling (Empirische Regel)**: Voor een normale, symmetrische en klokvormige verdeling geldt: * Ongeveer 68% van de waarnemingen ligt tussen $\mu - \sigma$ en $\mu + \sigma$ [26](#page=26). * Ongeveer 95% (meer nauwkeurig 98%) van de waarnemingen ligt tussen $\mu - 1.96\sigma$ en $\mu + 1.96\sigma$ [26](#page=26). * Ongeveer 99.7% van de waarnemingen ligt tussen $\mu - 3\sigma$ en $\mu + 3\sigma$ [26](#page=26). * **Gestandaardiseerde scores (Z-scores)**: Een score ($z_i$) die aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een waarneming boven of onder het gemiddelde ligt [26](#page=26). $$ z_i = \frac{x_i - \bar{x}}{s} $$ * **Kenmerken**: Gemiddelde van 0 en standaardafwijking van 1 [26](#page=26). * **Voordeel**: Dimensieloos, waardoor verschillende verdelingen vergeleken kunnen worden [26](#page=26). ### 3.3. Maten van vorm Maten van vorm beschrijven de contour van een verdeling, met name de symmetrie en afplatting [27](#page=27). #### 3.3.1. Symmetrie Symmetrie meet de mate van evenwicht van een verdeling rond een centraal punt [27](#page=27). * **Symmetrische verdeling**: Gelijke aantallen waarden groter en kleiner dan het gemiddelde; modus = mediaan = gemiddelde [27](#page=27). * **Positieve (rechtsscheve) asymmetrie**: Langere staart aan de rechterkant; de meeste massa links van het gemiddelde; doorgaans geldt: modus < mediaan < gemiddelde [27](#page=27). * **Negatieve (linksscheve) asymmetrie**: Langere staart aan de linkerkant; de meeste massa rechts van het gemiddelde; doorgaans geldt: modus > mediaan > gemiddelde [27](#page=27). #### 3.3.2. Maten voor symmetrie * **Empirische coëfficiënt van Pearson (S)**: Gebaseerd op het verschil tussen het gemiddelde en de modus ten opzichte van de mediaan [28](#page=28). $$ S = \frac{\text{gemiddelde} - \text{modus}}{s} $$ * $S = 0$: Symmetrisch. * $S > 0$: Positieve (linkse) asymmetrie. * $S < 0$: Negatieve (rechtse) asymmetrie [28](#page=28). * **Coëfficiënt van Yule en Kendall (Y)**: Vergelijkt de afstand van de kwartielen tot de mediaan [28](#page=28). $$ Y = \frac{(Q_3 - \text{Mediaan}) - (\text{Mediaan} - Q_1)}{Q_3 - Q_1} = \frac{Q_3 + Q_1 - 2 \cdot \text{Mediaan}}{Q_3 - Q_1} $$ * $Y = 0$: Symmetrie. * $Y > 0$: Positieve (linkse) asymmetrie. * $Y < 0$: Negatieve (rechtse) asymmetrie [28](#page=28). * **Oneven centrale momenten**: Alle oneven centrale momenten geven een indicatie van de symmetrie ten opzichte van het gemiddelde [28](#page=28). * Voor een symmetrische verdeling zijn alle oneven centrale momenten gelijk aan 0 [29](#page=29). * Voor brutowaarnemingen (m=3): $$ g_3 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^3}{N} $$ * **Coëfficiënt van Fisher ($g_1$)**: Gebaseerd op het derde centrale moment [29](#page=29). $$ g_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3} $$ * $g_1 = 0$: Waarschijnlijk symmetrisch. * $g_1 > 0$: Positieve (linkse) asymmetrie. * $g_1 < 0$: Negatieve (rechtse) asymmetrie [29](#page=29). * **Voordeel**: Dimensieloos, maakt vergelijking van symmetrie tussen variabelen mogelijk [29](#page=29). * **Coëfficiënt van Pearson ($b_1$)**: Gebaseerd op de coëfficiënt van Fisher [29](#page=29). $$ b_1 = g_1^2 $$ * $b_1 = 0$: Symmetrisch. * $b_1 > 0$: Asymmetrisch (geeft geen richting aan) [29](#page=29). #### 3.3.3. Afplatting (Kurtosis) Kurtosis meet de spitsheid of afplatting van een verdeling rond het gemiddelde, vergeleken met een Gauss-curve [30](#page=30). * **Coëfficiënt van Pearson ($b_2$)**: Gebaseerd op het vierde centrale moment [30](#page=30). $$ b_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} $$ * $b_2 = 3$: Mesokurtisch (normaal of Gauss-verdeling). * $b_2 > 3$: Lepokurtisch (meer gepiekt). * $b_2 < 3$: Platykurtisch (minder gepiekt, platter) [30](#page=30). * **Coëfficiënt van Fisher ($g_2$)**: Een aangepaste kurtosis-coëfficiënt [30](#page=30). $$ g_2 = b_2 - 3 $$ * $g_2 = 0$: Mesokurtisch. * $g_2 > 0$: Lepokurtisch. * $g_2 < 0$: Platykurtisch [30](#page=30). --- # Verbanden tussen variabelen Dit deel behandelt methoden om de samenhang tussen variabelen te onderzoeken, afhankelijk van hun meetniveau, met specifieke aandacht voor categorische en metrische variabelen [31](#page=31). ### 4.1. Inleiding tot verbanden tussen variabelen Het onderzoeken van de samenhang tussen variabelen is een kernactiviteit in de sociale wetenschappen, waarbij theoretische veronderstellingen empirisch worden getoetst. De keuze van de analysemethode hangt af van het meetniveau van de betrokken variabelen. Een belangrijke onderscheiding wordt gemaakt tussen **associatie** (samenhang tussen categorische variabelen) en **correlatie** (lineaire samenhang tussen numerieke variabelen). Causale verbanden vereisen meer dan enkel een statistische samenhang; er moet een theoretische reden zijn, verandering in de ene variabele moet de andere teweegbrengen, en alternatieve hypotheses moeten worden geëlimineerd [31](#page=31) [32](#page=32). ### 4.2. Samenhang tussen 2 categorische variabelen #### 4.2.1. Kruistabellen en de analyse van samenhang Kruistabellen worden gebruikt om de samenhang tussen twee categorische variabelen te onderzoeken. Bij het analyseren van een kruistabel wordt vaak een onderscheid gemaakt tussen een afhankelijke (te verklaren) variabele (Y, meestal in de rijen) en een onafhankelijke (verklarende) variabele (X, meestal in de kolommen) [33](#page=33). * **Marginale verdelingen**: Dit zijn de verdelingen van elke variabele afzonderlijk, zonder rekening te houden met de andere variabele. Rijtotalen tonen de frequentie van elke waarde van de rijvariabele, en kolomtotalen tonen de frequentie van elke waarde van de kolomvariabele [33](#page=33). * **Conditionele verdelingen**: Dit is de verdeling van een variabele binnen een specifieke categorie van de andere variabele [33](#page=33). Er is sprake van **statistische onafhankelijkheid** tussen twee variabelen wanneer de relatieve conditionele verdelingen van de ene variabele niet verschillen binnen de categorieën van de andere variabele. Als de relatieve conditionele verdeling van Y hetzelfde is binnen de categorieën van X, dan helpt kennis van X niet om Y te voorspellen [34](#page=34) [36](#page=36). #### 4.2.2. Berekenen van percentages en het inschatten van de sterkte van het verband Om de aard en richting van het verband te beschrijven, worden relatieve conditionele verdelingen berekend, meestal via kolompercentages voor de afhankelijke variabele Y (#page=33, 34) [33](#page=33) [34](#page=34). * **Kolompercentage**: Dit wordt berekend als `cel frequentie / kolomtotaal * 100`. Deze worden vergeleken binnen dezelfde rij [34](#page=34). * **Rijpercentage**: Dit wordt berekend als `cel frequentie / rijtotaal * 100`. Deze worden vergeleken binnen dezelfde kolom [34](#page=34). De percentages worden altijd vergeleken dwars op de richting waarin werd gepercenteerd. Een grote spreiding in percentages duidt op een sterk verband, terwijl een kleine spreiding wijst op een zwak verband. Nadelen van deze methode zijn dat het omstandig kan zijn bij grote tabellen, dat het verband niet veralgemeenbaar is naar de populatie zonder significantietoets, en dat het geen synthetische index van samenhang biedt [34](#page=34). #### 4.2.3. Veralgemeenbaarheid naar de populatie: Significantietoetsen Om te bepalen of een waargenomen verband in de steekproef ook in de populatie aanwezig is, worden significantietoetsen gebruikt. Een significantietoets bestaat uit vijf stappen [34](#page=34) [35](#page=35): 1. **Assumpties**: * De data zijn verkregen via een toevalssteekproef [35](#page=35). * Er zijn twee categorische variabelen betrokken [35](#page=35). * Het verwachte aantal in elke cel is minstens 5 [35](#page=35). 2. **Hypothesen**: * **Nulhypothese ($H_0$)**: Er bestaat geen verband tussen de variabelen (alle waargenomen verbanden zijn toeval) [35](#page=35). * **Alternatieve hypothese ($H_1$)**: Er is wel een verband tussen de variabelen [35](#page=35). 3. **Toetsstatistiek (Chi-kwadraat)**: * De **chi-kwadraat ($\chi^2$)** statistiek meet de discrepantie tussen de geobserveerde celfrequenties en de verwachte celfrequenties onder de nulhypothese (statistische onafhankelijkheid) (#page=35, 36) [35](#page=35) [36](#page=36). * Formule voor chi-kwadraat: $$ \chi^2 = \sum_{i} \sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} $$ waarbij $O_{ij}$ de geobserveerde frequentie is in cel (i,j) en $E_{ij}$ de verwachte frequentie is in cel (i,j) (#page=35, 36) [35](#page=35) [36](#page=36). * **Kenmerken van de chi-kwadraatverdeling**: * Is altijd positief [36](#page=36). * De vorm hangt af van het aantal vrijheidsgraden ($df$) [36](#page=36). * Een hogere chi-kwadraatwaarde duidt op een grotere discrepantie en dus een sterker verband, wat de nulhypothese minder plausibel maakt [36](#page=36). 4. **P-waarde (overschrijdingskans)**: * De p-waarde is de kans om de waargenomen of extremere resultaten te verkrijgen, gegeven dat de nulhypothese waar is [36](#page=36). * Als de p-waarde kleiner is dan het gekozen significantieniveau (bv. 0,05), wordt de nulhypothese verworpen [36](#page=36). 5. **Conclusie**: * De resultaten worden geïnterpreteerd in het licht van de oorspronkelijke vraagstelling, waarbij de p-waarde centraal staat [37](#page=37). * **Vrijheidsgraden ($df$)**: Voor een $r \times c$ kruistabel met gegeven marginale totalen, zijn er $(r-1) \times (c-1)$ vrijheidsgraden [36](#page=36). #### 4.2.4. Associatiematen: de sterkte van het verband Associatiematen kwantificeren de sterkte van de samenhang tussen variabelen. Ze zijn conventioneel begrensd tussen 0 en 1 voor nominale variabelen, en tussen -1 en +1 voor ordinale variabelen [37](#page=37). * **+1**: Perfecte positieve samenhang [37](#page=37). * **0**: Afwezigheid van statistische samenhang [37](#page=37). * **-1**: Perfecte negatieve samenhang [37](#page=37). De keuze van de associatiemaat hangt af van het meetniveau van de variabelen [37](#page=37). ##### 4.2.4.1. Associatiematen voor nominale variabelen * **Phi-kwadraat ($\phi^2$) en Phi ($\phi$)**: * Phi is gebaseerd op de chi-kwadraat statistiek [37](#page=37). * Het is een symmetrische associatiemaat [37](#page=37). * De waarde 0 betekent statistische onafhankelijkheid [37](#page=37). * In een $2 \times 2$ tabel kan Phi maximaal 1 bereiken. In algemene $r \times c$ tabellen kan de waarde groter dan 1 worden, wat de interpretatie bemoeilijkt [37](#page=37) [38](#page=38). * **Cramer's V**: * Is een symmetrische associatiemaat, gebaseerd op chi-kwadraat [38](#page=38). * De formule is: $V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}$, waarbij $N$ het totale aantal observaties is en $\min(r-1, c-1)$ het kleinste aantal van (rijen-1) en (kolommen-1) [38](#page=38). * De waarde varieert tussen 0 en 1, waarbij 0 onafhankelijkheid aangeeft en 1 een perfect verband [38](#page=38). | Waarde Cramer's V | Interpretatie | | :---------------- | :------------------------ | | 0 – 0,10 | Zeer zwak of geen verband | | 0,11 – 0,30 | Zwak verband | | 0,31 – 0,50 | Redelijk verband | | 0,51 – 0,80 | Sterk verband | | 0,81 – 0,99 | Zeer sterk verband | | 1 | Perfect verband | ##### 4.2.4.2. Associatiematen voor ordinale variabelen Voor ordinale variabelen kan de richting van het verband worden bepaald, wat resulteert in associatiematen die variëren van -1 tot +1 [38](#page=38). * **Concordante en discordante paren**: * **Concordant paar (C)**: Twee onderzoekseenheden scoren op beide variabelen hoger (of lager) dan elkaar [39](#page=39). * **Discordant paar (D)**: Twee onderzoekseenheden scoren op de ene variabele hoger en op de andere lager dan elkaar [39](#page=39). * **Gamma ($\gamma$)**: * Een symmetrische associatiemaat voor ordinale variabelen, gebaseerd op concordante en discordante paren [39](#page=39). * Formule: $\gamma = \frac{C - D}{C + D}$ [39](#page=39). * De waarde varieert van -1 tot +1; een grotere absolute waarde betekent een sterkere associatie [39](#page=39). * **Kendall's Tau-b ($\tau_b$)**: * Een symmetrische associatiemaat die de overeenkomst in rangorde tussen twee variabelen meet [39](#page=39). * Het evalueert of de rangorde van respondenten voor variabele X overeenkomt met hun rangorde voor variabele Y [39](#page=39). * Formules zijn complex en houden rekening met zowel concordante, discordante als geknoopte paren (#page=39, 40) [39](#page=39) [40](#page=40). * **Somers' d**: * Lijkt op Gamma, maar is geschikt voor **asymmetrische** relaties [40](#page=40). * Houdt rekening met paren die 'geknoopt' zijn op de afhankelijke variabele [40](#page=40). * Formule: $d = \frac{C - D}{C + D + T_y}$, waarbij $T_y$ het aantal geknoopte paren op de afhankelijke variabele is [40](#page=40). * **Spearman's Rho ($\rho$)**: * Een rangcorrelatiecoëfficiënt die de correlatie tussen rangnummers meet (#page=40, 45) [40](#page=40) [45](#page=45). * Het is een symmetrische maat die gebaseerd is op de verschillen in rangorde van de waarden (#page=40, 45) [40](#page=40) [45](#page=45). * Het wordt berekend alsof de variabelen metrisch zijn, maar dan op de rangwaarden van de ordinale variabelen [45](#page=45). * Waarde varieert van -1 tot +1 [45](#page=45). ### 4.3. Verbanden tussen metrische variabelen (interval en ratio) #### 4.3.1. Spreidingsdiagram (scatterplot) Een spreidingsdiagram is een grafische weergave die de samenhang tussen twee metrische variabelen visualiseert door de waarden van onderzoekseenheden als punten weer te geven (#page=40, 43) [40](#page=40) [43](#page=43). * **Asymmetrische relatie**: De onafhankelijke variabele (X) staat op de horizontale as en de afhankelijke variabele (Y) op de verticale as [40](#page=40). * **Doel**: Overzicht geven van de trend (lineair, curvilineair, clusters, geen patroon), richting (positief, negatief, geen) en sterkte van het verband (#page=40, 43) [40](#page=40) [43](#page=43). Er kan sprake zijn van: * **Analytische afhankelijkheid**: De waarde van de ene variabele kan exact worden bepaald door de andere (#page=41, 42) [41](#page=41) [42](#page=42). * **Stochastische afhankelijkheid**: Een schatting van de ene variabele is mogelijk op basis van de andere, maar geen exacte relatie (#page=41, 42) [41](#page=41) [42](#page=42). * **Stochastische onafhankelijkheid**: Kennis van de ene variabele helpt niet bij het voorspellen van de andere (#page=41, 42) [41](#page=41) [42](#page=42). #### 4.3.2. Covariantie De covariantie is een maat voor de lineaire samenhang tussen twee variabelen van interval- of ratiomeetniveau (#page=43, 44). Het meet in welke mate de waarden van twee variabelen bij respondenten samenhangen [43](#page=43) [44](#page=44). * Formule: $$ \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) $$ waarbij $x_i$ en $y_i$ de waarden zijn van de variabelen, en $\bar{x}$ en $\bar{y}$ de gemiddelden [43](#page=43). * **Interpretatie**: * Positieve covariantie: positieve samenhang [44](#page=44). * Covariantie = 0: lineaire onafhankelijkheid [44](#page=44). * Negatieve covariantie: negatieve samenhang [44](#page=44). * **Nadeel**: De covariantie heeft geen vaste boven- of ondergrens en is gevoelig voor de meeteenheid van de variabelen [44](#page=44). #### 4.3.3. Correlatie (Pearson's correlatiecoëfficiënt) Pearson's correlatiecoëfficiënt ($r$) is een gestandaardiseerde maat voor de lineaire samenhang tussen twee metrische variabelen. Het is een symmetrische maat, ongevoelig voor meeteenheden [44](#page=44). * Formule: $$ r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{s_x s_y} $$ waarbij $s_x$ en $s_y$ de standaardafwijkingen van respectievelijk X en Y zijn [44](#page=44). * **Kenmerken**: * De waarde ligt altijd tussen -1 en +1 [44](#page=44). * Hoe dichter de waarde bij -1 of +1 ligt, hoe sterker de lineaire samenhang [44](#page=44). * $r=0$ betekent lineaire onafhankelijkheid, maar er kan nog steeds een sterke niet-lineaire samenhang zijn [44](#page=44). * Correlatie is niet robuust en gevoelig voor outliers [44](#page=44). * **Interpretatie van de sterkte van de correlatie**: | Waarde $r$ | Interpretatie | | :---------------------- | :-------------------------------- | | $r = 1$ | Perfecte positieve lineaire afhankelijkheid | | $0,7 < r < 1$ | Sterke positieve lineaire afhankelijkheid | | $0,3 < r < 0,7$ | Matige positieve lineaire afhankelijkheid | | $0 < r < 0,3$ | Zwakke positieve lineaire afhankelijkheid | | $r = 0$ | Lineaire onafhankelijkheid | | $-0,3 < r < 0$ | Zwakke negatieve lineaire onafhankelijkheid | | $-0,7 < r < -0,3$ | Matige negatieve lineaire onafhankelijkheid | | $-1 < r < -0,7$ | Sterke negatieve lineaire afhankelijkheid | | $r = -1$ | Perfecte negatieve lineaire afhankelijkheid | #### 4.3.4. Regressieanalyse Regressieanalyse wordt gebruikt om de relatie tussen een afhankelijke variabele (Y) en één of meer onafhankelijke variabelen (X) te modelleren, waarbij het onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke variabele cruciaal is. Het doel is het verklaren van variantie in de afhankelijke variabele en het voorspellen van waarden. In de klassieke vorm zijn beide variabelen van interval- of ratiomeetniveau [46](#page=46). * **Model van de regressieanalyse**: * De vergelijking van een regressierechte is: $$ \hat{y} = a + bx $$ waarbij $\hat{y}$ de voorspelde waarde van Y is, $a$ het intercept (snijpunt met de y-as), en $b$ de hellingscoëfficiënt (slope) [47](#page=47). * **Residuen**: * Een residu is het verschil tussen de geobserveerde waarde ($y_i$) en de voorspelde waarde ($\hat{y}_i$) op de regressierechte [48](#page=48). * Formule voor een residu ($e_i$): $$ e_i = y_i - \hat{y}_i $$ * Positieve residuen duiden op onderschatting, negatieve op overschatting, en residuen van 0 op perfecte voorspelling [48](#page=48). * **Kleinste Kwadratenmethode (OLS)**: * Deze methode minimaliseert de som van de gekwadrateerde residuen (Sum of Squared Errors - SSE) om de regressierechte te vinden die het beste bij de data past [49](#page=49). * $$ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{N} (y_i - \hat{y}_i)^2 $$ * Dit leidt tot de volgende formules voor $a$ en $b$: $$ b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = r \frac{s_y}{s_x} $$ $$ a = \bar{y} - b\bar{x} $$ waarbij $r$ de Pearson correlatiecoëfficiënt is, $s_y$ en $s_x$ de standaardafwijkingen, en $\bar{y}$ en $\bar{x}$ de gemiddelden zijn (#page=49, 50) [49](#page=49) [50](#page=50). * **Sterkte van het verband in regressieanalyse**: * **Correlatiecoëfficiënt ($r$)**: Geeft de richting en sterkte van de *lineaire* associatie aan. De correlatie heeft hetzelfde teken als de slope $b$ [50](#page=50). * **$R$-kwadraat ($R^2$)**: * Ook wel de **determinatiecoëfficiënt** genoemd [51](#page=51). * Geeft aan welk deel van de variantie in de afhankelijke variabele (Y) verklaard wordt door de onafhankelijke variabele (X). Het is de proportie reductie in totale fout door Y te voorspellen obv de regressielijn in plaats van obv het gemiddelde van Y [51](#page=51). * Formule: $$ R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} $$ waarbij SST de totale kwadratensom is (totale variabiliteit in Y) en SSR de verklaarde kwadratensom (door de regressie) is (#page=50, 51) [50](#page=50) [51](#page=51). * $R^2 = 0$ betekent dat X geen variantie in Y verklaart [51](#page=51). * $R^2 = 1$ betekent dat alle punten op de regressierechte liggen en Y perfect wordt voorspeld door X [51](#page=51). * Een correlatie van 0,9 impliceert een $R^2$ van $0,9^2 = 0,81$, wat betekent dat 81% van de variantie in Y verklaard wordt door X [51](#page=51). * $1 - R^2$ geeft de proportie variantie in Y die *niet* verklaard wordt door X [51](#page=51). --- # Tijdsreeksanalyse Tijdsreeksanalyse onderzoekt de evolutie van een variabele in de tijd door middel van chronologisch geordende gegevens [52](#page=52). ### 6.1. Inleiding tot tijdsreeksen #### 6.1.1. Wat is een tijdsreeks? Een tijdsreeks is een opeenvolging van chronologisch geordende kwantitatieve gegevens, gemeten met een vast tijdsinterval (bv. jaar, maand, dag, uur). Het is een tweedimensionale waargenomen reeks waarbij één variabele de tijd is. De frequentie van elk punt $(t_i, y_i)$ is één, en deze frequenties spelen geen verdere rol in de analyse [52](#page=52). #### 6.1.2. Verschil met een gewone tweedimensionale reeks Het fundamentele verschil ligt in het belang van de volgorde van de waarden van variabele $y$. Bij een tijdsreeks is de chronologische ordening cruciaal voor het analyseren van de evolutie. Bij een gewone tweedimensionale verdeling is de volgorde van waarnemingen irrelevant. Tijd is een bijzondere variabele: het is een vast gegeven dat niet door andere variabelen wordt beïnvloed, en is daarom altijd de onafhankelijke variabele in de analyse. Statistische parameters zoals variantie en momenten zijn bij tijd niet gedefinieerd. De uniforme frequentie van waarnemingen vereenvoudigt berekeningen aanzienlijk [52](#page=52). #### 6.1.3. Toepassingsgebieden Tijdsreeksen hebben een zeer breed toepassingsgebied met specifieke analysemethoden, waaronder economie (evolutie van werkloosheid, schulden), demografie (bevolkingsevolutie), epidemiologie (sterfte, griepepidemieën), geschiedenis (migratie), social media-gebruik en criminaliteit. Een expliciete tijdsgebonden dimensie is essentieel. Tijdsreeksanalyse onderzoekt de relatie tussen tijd en een bepaalde variabele [52](#page=52) [53](#page=53). #### 6.1.4. Belangrijke vragen bij het bekijken van een tijdsreeks Bij het analyseren van een tijdsreeks zijn de volgende vragen van belang [53](#page=53): * Is er een trend? (gemiddelde toename of afname over tijd) * Is er seizoensgebondenheid? (regelmatige pieken en dalen afhankelijk van tijd van het jaar, maand of dag) * Zijn er outliers? (waarden die significant afwijken) * Is er een lange termijnscyclus buiten de seizoensgebondenheid? * Is de variantie constant over tijd, of verandert de spreiding? * Zijn er plotselinge veranderingen in het niveau of de spreiding? #### 6.1.5. Tijdsreeksanalyse als ontleding Tijdsreeksanalyse behelst het ontleden van tijdsreeksen in hun samenstellende delen, zoals trends, schommelingen en onregelmatige of toevallige kortetermijnveranderingen. Om de evolutie van variabelen in de tijd te meten, worden technieken als lineaire trends, voortschrijdende gemiddelden en foutenpercentages toegepast. Ook groei, groeivoeten en de constructie van trends vallen hieronder [53](#page=53). ### 6.2. Groei en groeivoeten Er zijn drie soorten indicatoren voor groei [54](#page=54): * Gemiddelde groei * Groeivoet * Gemiddelde groeivoet De groeivoet wordt berekend als de relatieve groei ten opzichte van de beginjaren [54](#page=54). ### 6.3. Lineaire trend #### 6.3.1. Constructie van een lineaire trend Hoewel een relatie niet altijd lineair hoeft te zijn, wordt de constructie van een lineaire trend vaak gemodelleerd met behulp van (enkelvoudige) lineaire regressieanalyse, waarbij tijd fungeert als de onafhankelijke variabele. De parameters $a$ en $b$ van de lineaire regressievergelijking $y = a + bx$ worden gekozen om de som van de gekwadrateerde afwijkingen tussen de geobserveerde en verwachte waarden te minimaliseren [54](#page=54). $$ \sum_{i=1}^{n} (y_i - (a + bx_i))^2 \text{ geminimaliseerd} $$ Een lineaire trendlijn wordt verkregen via een bivariate regressieanalyse met tijd als onafhankelijke variabele [54](#page=54). > **Tip:** Een nadeel van simpelweg kijken naar begin- en eindwaarden is dat dit geen volledig beeld geeft van de trend. Regressieanalyse biedt een meer robuuste methode [54](#page=54). #### 6.3.2. Voordelen van lineaire trends Met een lineaire trend kunnen we extrapoleren naar de toekomst en interpoleren voor ontbrekende waarden [55](#page=55). #### 6.3.3. Nadelen en opmerkingen bij lineaire trends * **Veronderstelling van lineariteit:** Een lineaire trend gaat uit van een lineaire evolutie. Niet-lineaire ontwikkelingen vereisen andere methoden (bv. logaritmische, exponentiële functies) [55](#page=55). * **Rudimentaire vorm:** Het gebruik van een lineair model voor geobserveerde waarden is een basale vorm van tijdsreeksanalyse [55](#page=55). * **Verwarring met seizoenseffecten:** Bij korte tijdsreeksen bestaat het gevaar om de trend te verwarren met seizoenseffecten of kortetermijnschommelingen [55](#page=55). * **Autocorrelatie:** Opeenvolgende waarnemingen in de tijd zijn geen onafhankelijke waarnemingen (autocorrelatie). Dit kan leiden tot het ten onrechte interpreteren van toevalsfluctuaties als significante trends [55](#page=55). > **Voorbeeld:** Een bedrijf dat de verkoopprijs van zijn product analyseert, kan een lineaire trend gebruiken om te voorspellen hoe de prijs zich in de komende maanden zal ontwikkelen, ervan uitgaande dat de prijs lineair stijgt of daalt [54](#page=54) [55](#page=55). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Statistiek | Een wetenschappelijke discipline die dient als kennismethode om de wereld beter te kennen en te begrijpen, vaak toegepast in empirisch onderzoek voor data-analyse. | | Empirie | Gegevens en informatie verzameld uit waarnemingen en experimenten, die dienen als basis voor wetenschappelijke beweringen en theorieën. | | Onderzoeksmethoden | Procedures en technieken die worden gebruikt om data te verzamelen volgens vastgestelde wetenschappelijke regels en principes. | | Beschrijvende statistiek | Een tak van statistiek die zich bezighoudt met het samenvatten en presenteren van gegevens uit een steekproef of populatie met behulp van cijfers, tabellen en grafieken. | | Inferentiële statistiek | Een tak van statistiek die methoden gebruikt om uitspraken te doen over een populatie op basis van gegevens uit een steekproef, inclusief extrapolatie en generalisatie van resultaten. | | Verklarende statistiek | Een tak van statistiek die zich richt op het verklaren van relaties en samenhangen tussen variabelen, vaak met behulp van regressietechnieken. | | Populatie | De volledige groep van een welomschreven entiteiten die het onderwerp vormen van een statistisch onderzoek. | | Onderzoekseenheid | Een individueel element of lid van de onderzochte populatie dat de basis vormt voor de verzameling van gegevens. | | Variabele | Een kenmerk of eigenschap van onderzoekseenheden dat kan variëren en gemeten of waargenomen wordt in een onderzoek. | | Datamatrix / Dataset | Een gestructureerde verzameling van gegevens waarin onderzoekseenheden in rijen en variabelen in kolommen zijn georganiseerd, met de waarden in de cellen. | | Steekproef | Een deelverzameling van een populatie die wordt geselecteerd om representatieve informatie te verzamelen en conclusies te trekken over de gehele populatie. | | Parameters | Kengetallen die de verdeling van een kenmerk in een gehele populatie beschrijven. | | Steekproefstatistieken | Kengetallen die de verdeling van een kenmerk in een steekproef beschrijven; ze worden vaak gebruikt als schatters voor populatieparameters. | | Schatter / Statistische maat | Een numerieke samenvatting van een steekproef die wordt gebruikt om een eigenschap van de populatie te schatten. | | Tijdsreeks | Een opeenvolging van kwantitatieve gegevens die in de tijd geordend zijn met regelmatige, vaste intervallen. | | Dimensie van een reeks | Het aantal variabelen dat gelijktijdig wordt waargenomen of bestudeerd in een dataset, variërend van unidimensionaal tot multidimensionaal. | | Representativiteit | Het kenmerk van een steekproef dat deze dezelfde karakteristieken heeft als de populatie die het vertegenwoordigt. | | Selectiebias | Een systematische vertekening in onderzoeksresultaten die ontstaat door de manier waarop respondenten of eenheden worden geselecteerd voor de steekproef. | | Non-respons bias | Een vertekening die optreedt wanneer de personen die weigeren deel te nemen aan een onderzoek systematisch verschillen van de deelnemers. | | Item non-respons bias | Een type bias waarbij respondenten bepaalde specifieke vragen (items) in een enquête niet beantwoorden, wat de resultaten kan beïnvloeden. | | Operationaliseren | Het proces van het meetbaar maken van abstracte concepten of variabelen door ze te vertalen naar concrete vragen of indicatoren in een onderzoek. | | Kwalitatieve variabele | Een variabele waarvan de waarden categorieën vertegenwoordigen zonder inherente wiskundige betekenis. | | Kwantitatieve variabele | Een variabele waarvan de waarden een numerieke waarde hebben met wiskundige betekenis, en die meetbaar is. | | Meetniveau / Meetschaal | De schaal waarop een variabele wordt gemeten, die bepaalt welke statistische bewerkingen mogelijk zijn (nominaal, ordinaal, interval, ratio). | | Nominaal meetniveau | Het laagste meetniveau waarbij waarden categorisch zijn en enkel dienen voor classificatie zonder rangorde of numerieke betekenis. | | Ordinaal meetniveau | Een meetniveau waarbij variabelen niet alleen geclassificeerd kunnen worden, maar ook gerangschikt volgens een bepaalde volgorde, zonder dat de intervallen tussen de waarden noodzakelijk gelijk zijn. | | Interval meetniveau | Een meetniveau waarbij variabelen een rangorde hebben en de verschillen tussen waarden betekenisvol zijn door een vaste meeteenheid, maar waar een absoluut nulpunt ontbreekt. | | Ratio meetniveau | Het hoogste meetniveau, waarbij variabelen een rangorde, een vaste meeteenheid en een absoluut nulpunt hebben, wat betekent dat verhoudingen tussen waarden betekenisvol zijn. | | Discreet variabel | Een kwantitatieve variabele die alleen gehele getallen kan aannemen, vaak als resultaat van een telling. | | Continu variabel | Een kwantitatieve variabele die elke waarde binnen een bepaald bereik kan aannemen, vaak gemeten op een schaal. | | Frequentieverdeling | Een overzicht dat voor elke waarde of categorie van een variabele aangeeft hoe vaak deze voorkomt in een dataset, uitgedrukt in absolute of relatieve aantallen. | | Frequentietabel | Een tabel waarin de frequentieverdeling van een variabele wordt weergegeven, met waarden of categorieën en hun corresponderende aantallen. | | Absolute frequentie | Het aantal keren dat een specifieke waarde van een variabele voorkomt in een dataset. | | Relatieve frequentie | De proportie of het percentage van de absolute frequentie ten opzichte van het totaal aantal waarnemingen. | | Staafdiagram | Een grafische weergave waarbij de frequentie van categorieën wordt weergegeven door rechthoeken van gelijke breedte, waarvan de hoogte evenredig is met de frequentie. | | Cirkeldiagram / Taartdiagram | Een grafische weergave die een geheel in sectoren verdeelt, waarbij de grootte van elke sector recht evenredig is met de frequentie of proportie van de betreffende categorie. | | Pictogram | Een grafische weergave die symbolen gebruikt om frequenties weer te geven, waarbij de grootte of het aantal van de symbolen de frequentie vertegenwoordigt. | | Cumulatieve frequentiefunctie | Een grafische weergave of tabel die de som van de frequenties tot en met een bepaalde waarde of categorie toont. | | Maten van ligging / Centrummaten | Statistische maten die het centrale punt of de typische waarde van een dataset beschrijven, zoals modus, mediaan en gemiddelde. | | Modus | De waarde die het vaakst voorkomt in een dataset; de meest voorkomende categorie of score. | | Mediaan | De middelste waarde in een gesorteerde dataset; de waarde die de dataset in twee gelijke helften verdeelt. | | Rekenkundig gemiddelde | De som van alle waarden in een dataset gedeeld door het aantal waarden; de meest gebruikte centrummaat. | | Kwantielen | Waarden die een gesorteerde dataset verdelen in een specifiek aantal gelijke delen (bv. kwartielen verdelen in 4, decielen in 10, percentielen in 100). | | Kwartielen | Waarden die een gesorteerde dataset verdelen in vier gelijke delen; Q1 (25e percentiel), Q2 (mediaan, 50e percentiel) en Q3 (75e percentiel). | | Decielen | Waarden die een gesorteerde dataset verdelen in tien gelijke delen. | | Percentielen | Waarden die een gesorteerde dataset verdelen in honderd gelijke delen. | | Momenten | Een algemene klasse van statistische maten die de vorm, spreiding en locatie van een verdeling beschrijven door de relatie van de data tot een centraal punt te analyseren. | | Centrale momenten | Momenten berekend ten opzichte van het rekenkundig gemiddelde van de verdeling. | | Maten van spreiding | Statistische maten die de mate van variatie of diversiteit in een dataset beschrijven, zoals variatiebreedte, variantie en standaardafwijking. | | Variatiebreedte / Range | Het verschil tussen de hoogste en de laagste waarde in een dataset; een eenvoudige maat voor spreiding. | | Interkwartielafstand (IQR) | Het verschil tussen het derde kwartiel (Q3) en het eerste kwartiel (Q1); een maat voor de spreiding van de middelste 50% van de data. | | Gemiddelde absolute afwijking | Het gemiddelde van de absolute verschillen tussen elke datapunten en het gemiddelde; minder gevoelig voor uitschieters dan de variantie. | | Variantie | De gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde; een maat voor de spreiding van data rond het gemiddelde. | | Standaardafwijking | De vierkantswortel van de variantie; een maat voor de spreiding van data uitgedrukt in dezelfde eenheden als de oorspronkelijke data. | | Variatiecoëfficiënt | De ratio van de standaardafwijking tot het gemiddelde; een relatieve spreidingsmaat die dimensieloos is en gebruikt kan worden voor vergelijkingen tussen groepen met verschillende eenheden. | | Normaalverdeling / Gauss-curve | Een symmetrische, klokvormige verdeling die veel voorkomt in de natuur en sociale wetenschappen, gekenmerkt door specifieke eigenschappen van de gemiddelde, standaardafwijking en oppervlakte onder de curve. | | Empirische regel | Een vuistregel die stelt dat voor een normaalverdeling ongeveer 68% van de data binnen één standaardafwijking van het gemiddelde ligt, 95% binnen twee, en 99.7% binnen drie. | | Gestandaardiseerde scores / Z-score | Een score die aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een individuele datapunten boven of onder het gemiddelde ligt; deze scores zijn dimensieloos en maken vergelijking tussen verschillende datasets mogelijk. | | Standaardnormaalverdeling | Een specifieke normaalverdeling met een gemiddelde van 0 en een standaardafwijking van 1. | | Maten van vorm | Statistische maten die de vorm van een verdeling beschrijven, met name symmetrie (scheefheid) en afplatting (kurtosis). | | Symmetrie (scheefheid) | De mate waarin een verdeling gelijkmatig is verdeeld rond het centrum; een symmetrische verdeling heeft geen staart aan één kant. | | Positieve asymmetrie / Rechtsscheef | Een verdeling die uitbreidt naar rechts met een langere staart aan de rechterkant, wat impliceert dat de meeste waarden kleiner zijn dan het gemiddelde. | | Negatieve asymmetrie / Linksscheef | Een verdeling die uitbreidt naar links met een langere staart aan de linkerkant, wat impliceert dat de meeste waarden groter zijn dan het gemiddelde. | | Kurtosis (afplatting) | Een maat die de spitsheid of platheid van een verdeling beschrijft ten opzichte van een normale verdeling. | | Lepokurtisch | Een verdeling die spitser is dan de normale verdeling (hoge kurtosis). | | Mesokurtisch | Een verdeling die dezelfde spitsheid heeft als de normale verdeling (kurtosis gelijk aan 3 voor Pearson's coefficient). | | Platykurtisch | Een verdeling die platter is dan de normale verdeling (lage kurtosis). | | Associatie (samenhang) | Het verband of de relatie tussen twee of meer variabelen. | | Correlatie | Een statistische maat die de sterkte en richting van de lineaire samenhang tussen twee kwantitatieve variabelen beschrijft. | | Tweedimensionale frequentietabel / Kruistabel | Een tabel die de frequentieverdeling van twee categorische variabelen weergeeft, waarbij de cellen de gecombineerde frequenties van categorieën bevatten. | | Rangcorrelatiecoëfficiënt | Een maat voor de samenhang tussen twee geordende variabelen, zoals Spearman's rho of Kendall's tau, die gebaseerd is op de rangschikking van de data. | | Scatterplot | Een grafische weergave van de relatie tussen twee kwantitatieve variabelen, waarbij elk datapunt wordt weergegeven als een punt in een tweedimensionaal assenstelsel. | | Covariantie | Een maat die aangeeft in hoeverre twee kwantitatieve variabelen samen variëren; een positieve covariantie duidt op een positieve relatie, een negatieve op een negatieve relatie. | | Regressieanalyse | Een statistische techniek die wordt gebruikt om de relatie tussen een afhankelijke variabele en een of meer onafhankelijke variabelen te modelleren, met als doel voorspellingen te doen. | | Causale samenhang | Een verband tussen twee variabelen waarbij een verandering in de ene variabele direct een verandering in de andere veroorzaakt. | | Onafhankelijke variabele | De variabele waarvan men aanneemt dat deze een effect heeft op of invloed uitoefent op de afhankelijke variabele; vaak de verklarende variabele (X). | | Afhankelijke variabele | De variabele waarvan men aanneemt dat deze wordt beïnvloed door de onafhankelijke variabele; vaak de te verklaren variabele (Y). | | Conditionele verdeling | De verdeling van een variabele gegeven de waarde van een andere variabele. | | Onafhankelijkheid | Een statistische relatie waarbij de waarde van de ene variabele geen invloed heeft op de waarden van de andere variabele. | | Significantietoets | Een statistische procedure om te bepalen of waargenomen verschillen of relaties in een steekproef waarschijnlijk ook in de populatie bestaan, of dat ze door toeval zijn ontstaan. | | Nulhypothese (H0) | De hypothese die stelt dat er geen significant verband of verschil is tussen de onderzochte variabelen of groepen. | | Alternatieve hypothese (H1) | De hypothese die stelt dat er wel een significant verband of verschil is tussen de onderzochte variabelen of groepen. | | Toetsstatistiek | Een statistische maat die wordt berekend uit de steekproefgegevens en wordt gebruikt om de nulhypothese te toetsen. | | Chi-kwadraat (χ²) | Een toetsstatistiek die wordt gebruikt om de samenhang tussen categorische variabelen te toetsen door de waargenomen frequenties te vergelijken met de verwachte frequenties. | | Vrijheidsgraden | Het aantal onafhankelijke waarden dat kan variëren in een statistische berekening; beïnvloedt de vorm van waarschijnlijkheidsverdelingen zoals de chi-kwadraatverdeling. | | P-waarde (overschrijdingskans) | De waarschijnlijkheid om een toetsstatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de waargenomen toetsstatistiek, ervan uitgaande dat de nulhypothese waar is. | | Associatiemaat | Een statistische maat die de sterkte en soms de richting van de samenhang tussen variabelen kwantificeert. | | Phi-kwadraat (Φ²) | Een associatiemaat voor nominale variabelen, afgeleid van de chi-kwadraat statistic, die de sterkte van het verband in een kruistabel aangeeft. | | Cramer's V | Een symmetrische associatiemaat voor nominale variabelen die de sterkte van het verband tussen twee categorische variabelen weergeeft, genormaliseerd tot een bereik van 0 tot 1. | | Gamma (γ) | Een symmetrische associatiemaat voor ordinale variabelen die de sterkte van de samenhang meet door concordante en discordante paren te vergelijken. | | Kendall's tau (τ) | Een rangcorrelatiecoëfficiënt die de sterkte en richting van de monotone samenhang tussen twee ordinale variabelen meet. | | Somers' d | Een assymmetrische associatiemaat voor ordinale variabelen, die de sterkte en richting van de samenhang meet, rekening houdend met geknoopte paren. | | Spearmans rho (ρ) | Een rangcorrelatiecoëfficiënt die de sterkte en richting van de monotone samenhang tussen twee ordinale variabelen meet, berekend op basis van rangnummers. | | Pearson's correlatiecoëfficiënt (r) | Een maat voor de sterkte en richting van de lineaire samenhang tussen twee interval- of ratio-variabelen, variërend van -1 tot +1. | | Regressierechte | Een lijn die de beste lineaire benadering geeft van de relatie tussen twee variabelen in een scatterplot, gebruikt voor voorspellingen. | | Residu | Het verschil tussen de geobserveerde waarde van de afhankelijke variabele en de waarde die wordt voorspeld door de regressielijn. | | Kleinste kwadratenmethode (OLS - Ordinary Least Squares) | Een methode om de parameters van een regressiemodel te schatten door de som van de gekwadrateerde residuen te minimaliseren. | | R-kwadraat (R²) | Een maat die aangeeft welk proportie van de variantie in de afhankelijke variabele wordt verklaard door de onafhankelijke variabele(n) in een regressiemodel. | | Totaal kwadratensom (SST) | De totale variantie in de afhankelijke variabele, gemeten als de som van de gekwadrateerde afwijkingen van het gemiddelde. | | Verklaarde kwadratensom (SSR) | De variantie in de afhankelijke variabele die wordt verklaard door het regressiemodel. | | Ongeregreerde kwadratensom (SSE) | De variantie in de afhankelijke variabele die niet wordt verklaard door het regressiemodel (de som van de gekwadrateerde residuen). | | Tijdsreeksanalyse | Een statistische methode voor het analyseren van geordende gegevens in de tijd om trends, seizoensgebondenheid en andere patronen te identificeren. | | Trend | De algemene richting (stijgend, dalend of stabiel) van gegevens in een tijdsreeks over een langere periode. | | Seizoensgebondenheid | Regelmatige, voorspelbare schommelingen in een tijdsreeks die optreden binnen een specifieke tijdsperiode (bv. per jaar, kwartaal, maand). | | Groeivoet | De relatieve toename of afname van een variabele over een bepaalde periode, vaak uitgedrukt als een percentage. | | Lineaire trend | Een trend in een tijdsreeks die kan worden weergegeven door een rechte lijn, vaak berekend met lineaire regressie. |

# Introductie tot statistiek Statistiek dient als een essentiële kennismethode om de wereld te begrijpen door middel van empirisch onderzoek, waarbij gegevens worden verzameld, geanalyseerd en gepresenteerd [2](#page=2). ### 1.1 Wat is statistiek? Statistiek fungeert als een instrument binnen het empirisch onderzoek, gericht op het observeren en analyseren van gegevens en verdelingen om de wereld beter te kennen en te begrijpen. Het proces van empirisch onderzoek omvat typisch vier stappen: de probleemstelling, het onderzoeksontwerp en de dataverzameling, de data-analyse, en de rapportage [2](#page=2). ### 1.2 Soorten statistiek Er wordt een onderscheid gemaakt tussen beschrijvende statistiek en inferentiële statistiek: #### 1.2.1 Beschrijvende statistiek Beschrijvende statistiek, ook wel deductieve statistiek genoemd, heeft als doel om een grote hoeveelheid informatie en de kenmerken daarvan op een duidelijke en efficiënte manier samen te vatten en te ordenen. Dit kan worden bereikt door middel van samenvattende maten, zoals percentages, mediaan, kwantielen, gemiddelden, standaardafwijkingen en correlatiecoëfficiënten, evenals grafische weergaven [2](#page=2). * **Doel:** Ordenen en synthetiseren van grote hoeveelheden gegevens [2](#page=2). * **Voorbeelden:** Samenhang- en verschilvragen, analyse van 12.000 enquêtes, gegevens van de Veiligheidsmonitor, verkiezingsonderzoeken, of gezondheidsenquêtes [2](#page=2). #### 1.2.2 Inferentiële statistiek Inferentiële statistiek, ook wel inductieve statistiek genoemd, maakt het mogelijk om met een beperkt aantal gegevens uitspraken te doen over een breder geheel, oftewel een volledige populatie. Deze vorm van statistiek is gericht op het verklaren van verschillen en samenhangen. Technieken zoals regressieanalyse (bivariate, multivariate, logistische regressie) en survival analyse vallen hieronder [2](#page=2). * **Doel:** Uitspraken doen over een volledige bevolking op basis van een toevalssteekproef [2](#page=2). * **Voorbeelden:** Belgische lonen in 2018 [2](#page=2). > **Tip:** Beschrijvende statistiek vat de data samen die je hebt, terwijl inferentiële statistiek deze data gebruikt om conclusies te trekken over een grotere groep dan je direct hebt onderzocht. ### 1.3 Misleiding door statistiek Statistieken kunnen misleidend zijn wanneer de uitkomsten van een onderzoek worden gemanipuleerd. Dit kan op verschillende manieren gebeuren [3](#page=3): 1. **Verzamelen van gegevens:** Dit omvat het hanteren van een te klein aantal onderzochte personen of het formuleren van slechte vragen [3](#page=3). 2. **Presentatie van de gegevens:** Manipulatie kan plaatsvinden door bijvoorbeeld een deel van een grafiek weg te laten of de schaal te veranderen [3](#page=3). 3. **Het omschrijven van de conclusies:** De manier waarop de resultaten worden gerapporteerd, kan ook leiden tot misleiding [3](#page=3). > **Tip:** Wees altijd kritisch op de manier waarop statistische resultaten worden gepresenteerd en vraag je af of er mogelijke manieren zijn waarop de data gemanipuleerd zouden kunnen zijn. ### 1.4 Oorsprong van de statistiek De oorsprong van de statistiek ligt in het midden van de 18e eeuw, toen er behoefte ontstond aan informatie over naties ten behoeve van staatsboekhoudkunde en systematische verzameling van demografische en economische data door overheden voor fiscale en militaire doeleinden. In de loop van de 19e eeuw nam de hoeveelheid verzamelde gegevens toe, evenals de aandacht voor data-analyse en -presentatie. Adolphe Quetelet (1796-1874), geboren in Gent en werkzaam in Brussel, wordt gezien als een sleutelfiguur in de ontwikkeling van de statistiek [3](#page=3). --- # Variabelen verkennen en visualiseren Dit deel van de cursus behandelt de fundamentele concepten van onderzoekspopulaties, onderzoekseenheden en variabelen, evenals de verschillende meetniveaus en methoden voor het visualiseren van frequentieverdelingen [4](#page=4) [6](#page=6) [8](#page=8). ### 2.1 Terminologie en kernbegrippen Om statistische analyses te kunnen uitvoeren, is een duidelijk begrip van de terminologie essentieel [4](#page=4). #### 2.1.1 Onderzoekspopulatie en onderzoekseenheid * **Onderzoekspopulatie**: Dit is de volledige groep eenheden die een onderzoeker wil bestuderen. Vaak is het onmogelijk om de gehele populatie te onderzoeken, waardoor er gebruik wordt gemaakt van steekproeven [4](#page=4). * **Onderzoekseenheid**: Een individueel element binnen de bestudeerde populatie, zoals een persoon, een dier, een gebouw, of een land [4](#page=4). #### 2.1.2 Variabelen * **Variabele**: Een kenmerk van onderzoekseenheden waarin de onderzoeker geïnteresseerd is. Variabelen kunnen numerieke waarden aannemen (zoals leeftijd) of niet-numerieke waarden (zoals geslacht) [4](#page=4). * **Datamatrix/dataset**: Een gestructureerde weergave van onderzoeksgegevens waarbij rijen onderzoekseenheden (cases) vertegenwoordigen, kolommen variabelen, en cellen de specifieke waarden van die variabelen voor een gegeven eenheid [4](#page=4). #### 2.1.3 Steekproeven en fouten * **Steekproef (Sample)**: Een representatief deel van de onderzoekspopulatie dat daadwerkelijk wordt onderzocht [4](#page=4). * **Parameters**: Kengetallen die de verdeling van een kenmerk in de *populatie* beschrijven. Voorbeelden zijn de populatiegemiddelde ($\mu$) en de populatiestandaardafwijking ($\sigma$) [4](#page=4). * **Steekproefstatistieken**: Statistische kengetallen van een *steekproef* die als schatters voor populatieparameters dienen. Voorbeelden zijn de steekproefgemiddelde ($\bar{x}$) en de steekproefstandaardafwijking ($s$) [4](#page=4). > **Tip**: Onthoud het onderscheid: parameters voor populaties, statistieken voor steekproeven [4](#page=4). * **Steekproeffouten**: Systematische fouten die kunnen optreden bij het trekken van een steekproef, zoals selectiebias (oneerlijke selectiemethode) en non-respons bias (deelnemers die weigeren mee te werken of specifieke vragen niet beantwoorden) [5](#page=5). #### 2.1.4 Soorten reeksen * **Statistische reeks**: Een reeks waarnemingen van kenmerken, bijvoorbeeld het kijkgedrag van verschillende personen [5](#page=5). * **Tijdreeks**: Een reeks waarnemingen die in de tijd worden verzameld, waarbij het tijdstip cruciaal is voor interpretatie [5](#page=5). * **Dimensie van een reeks**: Het aantal variabelen dat wordt bestudeerd. Dit kan unidimensionaal (1 variabele), tweedimensionaal (2 variabelen), of multidimensionaal (meer dan 2 variabelen) zijn [5](#page=5). ### 2.2 Meetniveaus van variabelen Het meetniveau van een variabele bepaalt welke statistische analyses mogelijk zijn. Variabelen kunnen kwalitatief (categorisch) of kwantitatief (metrisch) zijn [6](#page=6). #### 2.2.1 De vier meetniveaus Er zijn vier hoofdmeetniveaus, oplopend in complexiteit en informatieve waarde: 1. **Nominaal meetniveau**: * **Eigenschappen**: Classificatie. Waarden hebben geen logische volgorde en missen wiskundige betekenis [6](#page=6). * **Voorbeelden**: Geslacht, woonplaats, politieke partijvoorkeur [6](#page=6). 2. **Ordinaal meetniveau**: * **Eigenschappen**: Classificatie en rangorde. Waarden zijn logisch te ordenen, maar missen wiskundige betekenis voor de afstanden tussen de waarden [6](#page=6). * **Voorbeelden**: Opleidingsniveau (lager onderwijs, middelbaar onderwijs, hoger onderwijs), rangen (brons, zilver, goud), en antwoordschalen in opiniepeilingen (eens, oneens) [6](#page=6). 3. **Interval meetniveau**: * **Eigenschappen**: Classificatie, rangorde, en een vaste meeteenheid. Waarden zijn ordenbaar en hebben een vaste meeteenheid, waardoor de afstanden tussen waarden betekenis hebben en constant zijn [6](#page=6). * **Kenmerk**: Er is geen natuurlijk of absoluut nulpunt. Een temperatuur van 0 graden Celsius betekent bijvoorbeeld niet de afwezigheid van warmte [6](#page=6). * **Voorbeelden**: Temperatuur (in Celsius of Fahrenheit), geboortejaar [6](#page=6). 4. **Ratio meetniveau**: * **Eigenschappen**: Classificatie, rangorde, vaste meeteenheid, en een absoluut nulpunt. Dit is het hoogste meetniveau, waarbij alle kenmerken van de lagere niveaus aanwezig zijn, plus een betekenisvol nulpunt dat de afwezigheid van de variabele aangeeft [7](#page=7). * **Voorbeelden**: Gewicht, lengte, leeftijd, inkomen, aantal vrienden op sociale media [7](#page=7). > **Tip**: Denk aan de initialen **N O I R** om de meetniveaus in de juiste volgorde te onthouden: **N**ominaal, **O**rdinaal, **I**nterval, **R**atio [6](#page=6). #### 2.2.2 Soorten variabelen binnen meetniveaus * **Dichotome variabelen**: Categorische variabelen met slechts twee categorieën (bv. man/vrouw, ja/nee) [7](#page=7). * **Polytome variabelen**: Categorische variabelen met meer dan twee categorieën [7](#page=7). * **Dummy variabelen**: Categorische variabelen (vaak nominaal) die worden gecodeerd met 0 en 1 om ze geschikt te maken voor bepaalde analyses [7](#page=7). * **Discrete variabelen**: Variabelen die alleen gehele getallen kunnen aannemen en geen kommagetallen [7](#page=7). * **Continue variabelen**: Variabelen die elke waarde binnen een bepaald bereik kunnen aannemen, inclusief kommagetallen [7](#page=7). #### 2.2.3 Belang van kwantitatieve variabelen Kwantitatieve variabelen bieden voordelen zoals eenduidigheid, efficiëntere verwerking door computers, en meer analyse-mogelijkheden, waaronder het uitdrukken van relaties als algebraïsche functies [7](#page=7). #### 2.2.4 Bepalen van meetniveaus Sommige variabelen hebben een vast meetniveau (bv. geslacht), terwijl voor andere het meetniveau afhankelijk is van de manier waarop ze worden opgemeten, wat de keuze van statistische technieken beïnvloedt [7](#page=7). ### 2.3 Frequentieverdelingen en grafische voorstellingen Om grote hoeveelheden data overzichtelijk te maken, worden frequentieverdelingen en grafische methoden gebruikt [8](#page=8). #### 2.3.1 Frequentieverdelingen * **Frequentieverdeling**: Geeft voor elke waarde of categorie van een variabele aan hoe vaak deze voorkomt, uitgedrukt in absolute of relatieve aantallen [8](#page=8). * **Frequentietabel**: Een tabel die de frequentieverdeling weergeeft. Dit is essentieel voor kwaliteitscontrole, verdere bewerkingen en als basis voor grafische voorstellingen [8](#page=8). * **Notaties**: * $N$: De steekproefgrootte of het effectief van de steekproef [8](#page=8). * $x_i$: De $i$-de waargenomen waarde [8](#page=8). * $f_i$: De absolute frequentie, d.w.z. het aantal keren dat een specifieke waarde voorkomt. De som van alle absolute frequenties is gelijk aan $N$ [8](#page=8). * $f_i'$: De relatieve frequentie, berekend door de absolute frequentie te delen door de steekproefomvang [8](#page=8). #### 2.3.2 Visuele weergave van frequentieverdelingen Grafische voorstellingen helpen bij het rapporteren en verkennen van data, maken resultaten beter leesbaar en helpen bij het identificeren van uitschieters of anomalieën [9](#page=9). > **Tip**: Een goede grafische voorstelling heeft een informatieve titel en duidelijke benoeming van de assen [9](#page=9). #### 2.3.3 Grafische methoden per meetniveau * **Nominale variabelen**: * **Staafdiagram**: Elke categorie wordt voorgesteld door een rechthoek; de hoogte correspondeert met de frequentie. De rechthoeken zijn even breed en best gescheiden [9](#page=9). * **Taartdiagram/cirkeldiagram**: Representeert de proporties van categorieën als sectoren van een cirkel. De totale oppervlakte is 360 graden [9](#page=9). * **Pictogram**: Gebruikt symbolen om frequenties weer te geven; de grootte of het aantal symbolen is evenredig met de frequentie. Wordt soms gebruikt voor opmaak maar kan leesbaarheid verminderen [9](#page=9). * **Ordinale variabelen**: * **Staafdiagram**: Vergelijkbaar met dat voor nominale variabelen, maar de volgorde van de staven volgt de logische rangorde van de categorieën. De abscis (X-as) is gericht maar zonder meeteenheid [9](#page=9). * **Cumulatief frequentiediagram**: Toont de cumulatieve frequentie voor elke waarde, resulterend in een trapfunctie. Het is zinvol om cumulatieve frequenties te berekenen vanaf ordinaal niveau [10](#page=10) [9](#page=9). * **Interval- en Ratiovariabelen**: * **Niet in klassen gegroepeerde gegevens**: * **Staafdiagram**: Staven staan los van elkaar, de X-as heeft een meeteenheid [9](#page=9). * **Histogram**: Balken sluiten op elkaar aan; de oppervlakte van elke balk is evenredig met de absolute (of relatieve) frequentie in het interval. De X-as heeft een meeteenheid en oppervlakten onder de grafiek krijgen betekenis [9](#page=9). * **Frequentiepolygoon**: Verkregen door de toppen van de histogramstaven rechtlijnig te verbinden. De X-as is gericht en heeft een meeteenheid [9](#page=9). * **Cumulatieve frequentiefunctie**: Een trapfunctie waarbij de X-as gericht is en een meeteenheid heeft [10](#page=10). * **In klassen gegroepeerde gegevens**: * **Frequentietabel**: Klassen worden gebruikt wanneer er te veel waarden zijn om overzichtelijk weer te geven. Klassen moeten uitputtend en wederzijds exclusief zijn [11](#page=11). * **Histogram**: De oppervlakte van de rechthoeken is evenredig met de frequentie in de klasse [10](#page=10). * **Populatiepyramide**: Een specifiek type histogram voor leeftijdsverdelingen, opgesplitst naar geslacht [10](#page=10). * **Frequentieveelhoek**: Verkregen door de klassenmiddens van opeenvolgende klassen rechtlijnig te verbinden [10](#page=10). * **Diagram cumulatieve frequentie**: Toont de cumulatieve frequenties, resulterend in een trapfunctie [10](#page=10). #### 2.3.4 Klassenindeling Goede klassen voldoen aan de regels van uitputtendheid en wederzijdse exclusiviteit, hebben een passend aantal klassen, en zijn bij voorkeur afgebakend met gehele getallen. Het klassenmidden, berekend als (ondergrens + bovengrens) / 2, wordt gebruikt om klassen grafisch weer te geven [11](#page=11) [12](#page=12). #### 2.3.5 Waarom datavisualisatie? Datavisualisatie is cruciaal omdat het zorgt voor hoge informatiedichtheid, aantrekkelijkheid, en maakt de data makkelijker te verwerken voor het menselijk brein. Drie sleutelkenmerken van goede datavisualisatie zijn: Clear (duidelijk), Correct (correct), en Beautiful (aantrekkelijk) [11](#page=11). --- # Statistische maten van ligging, spreiding en vorm Dit onderwerp behandelt de fundamentele statistische maten die worden gebruikt om univariate gegevens te samenvatten en te karakteriseren, inclusief maten van ligging, spreiding en vorm. ## 3 Statistische maten van ligging, spreiding en vorm Statistische maten zijn essentieel om de informatie in ruwe waarnemingen samen te vatten wanneer frequentietabellen en grafieken onvoldoende zijn. Ze worden gebruikt om kenmerkende waarden te bepalen: parameters voor een populatie en statistieken voor een steekproef. Er zijn drie hoofdcategorieën: maten van ligging, maten van spreiding en maten van vorm [13](#page=13). ### 3.1 Maten van ligging Maten van ligging helpen om de waargenomen verdeling op de x-as te situeren en liggen altijd tussen de kleinste en grootste waargenomen waarde. De keuze van de maat hangt af van het meetniveau van de verdeling en inhoudelijke criteria [14](#page=14). #### 3.1.1 Centrummaten Centrummaten geven een typische waarde van de verdeling weer [14](#page=14). * **Modus ($X_0$)**: De waargenomen waarde van de variabele met de hoogste frequentie [14](#page=14). * Kan vanaf nominaal meetniveau worden gebruikt [14](#page=14). * **Voordelen**: Makkelijk te bepalen, bruikbaar voor alle meetschalen [15](#page=15). * **Nadelen**: Niet uniek (bimodale, trimodale verdelingen), houdt geen rekening met andere waarden, wiskundig lastig te hanteren [15](#page=15). * Bij gegroepeerde gegevens is de modus het klassenmidden van de klasse met de hoogste frequentie [14](#page=14). * **Mediaan**: De waarde van de variabele die alle geordende waarnemingen in twee gelijke delen opdeelt [15](#page=15). * Vanaf ordinaal meetniveau te gebruiken [15](#page=15). * Voor een even aantal waarnemingen is de mediaan het gemiddelde van de twee middelste waarden (lineaire interpolatie) [15](#page=15). * Bij gegroepeerde gegevens wordt de mediaan bepaald met lineaire interpolatie onder de homogeniteitshypothese [15](#page=15). * **Voordelen**: Uniek, minder gevoelig voor extreme waarden (outliers), bruikbaar vanaf ordinaal meetniveau [16](#page=16). * **Nadelen**: Alleen afhankelijk van de orde (nadeel voor hogere meetschalen), niet alle waarden worden gebruikt, wiskundig lastig, niet voor nominale variabelen [16](#page=16). * **Rekenkundig gemiddelde ($\bar{x}$)**: De som van alle waarnemingen gedeeld door het effectief (aantal waarnemingen) [16](#page=16). * Formule voor brutowaarnemingen: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ [16](#page=16). * Formule voor gegroepeerde gegevens: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i f_i}{N}$ [16](#page=16). * **Voordelen**: Alle waarden worden gebruikt, uniek, wiskundig handig, meest courante centrummaat voor interval- en ratioveranderlijken [16](#page=16). * **Nadelen**: Gevoelig voor extreme scores, niet voor nominale of ordinale variabelen [16](#page=16). #### 3.1.2 Kwantielen Kwantielen verdelen geordende gegevens in een bepaald aantal gelijke delen en zijn bruikbaar vanaf het ordinale meetniveau [17](#page=17). * **Kwartielen ($K_1, K_2, K_3$)**: Verdelen geordende gegevens in 4 gelijke delen. $K_1$ (eerste kwartiel) is de waarde waaronder 25% van de waarnemingen valt, $K_2$ is de mediaan, en $K_3$ (derde kwartiel) is de waarde waaronder 75% van de waarnemingen valt [17](#page=17). * Formules voor kwartielen zijn afhankelijk van brutowaarnemingen of gegroepeerde gegevens [17](#page=17). * **Decielen**: Verdelen geordende gegevens in 10 gelijke delen. Formules zijn beschikbaar voor brutowaarnemingen en gegroepeerde gegevens [17](#page=17). * **Percentielen**: Verdelen geordende gegevens in 100 gelijke delen. Formules zijn beschikbaar voor brutowaarnemingen en gegroepeerde gegevens [17](#page=17). #### 3.1.3 Momenten Momenten vormen een algemene klasse van statistische maten die samenvatten hoe een verdeling zich verhoudt tot een bepaald punt, en die een verdeling uniek kunnen vastleggen. Ze zijn gebaseerd op de waarde van elke waarneming ten opzichte van een constante waarde ($c$) [18](#page=18). * **Momenten rond de oorsprong ($c=0$)**: Hierbij is de constante 0 [18](#page=18). * **Momenten rond een constante ($c=c$)**: Een algemene vorm [18](#page=18). * **Momenten rond het gemiddelde ($c=\bar{x}$)**: De meest relevante voor maten van ligging, spreiding en vorm [18](#page=18) [19](#page=19). ### 3.2 Maten van spreiding Maten van spreiding geven de mate van diversiteit of concentratie rond een centrummaat aan. Ze zijn cruciaal voor het vergelijken van groepen [20](#page=20). * **Spreidingsbreedte (Range, $V$)**: Het verschil tussen de grootste en kleinste waargenomen waarde [21](#page=21). * Voor gegroepeerde gegevens: verschil tussen bovengrens van de hoogste klasse en ondergrens van de laagste klasse [21](#page=21). * **Nadeel**: Zeer gevoelig voor extreme waarden [21](#page=21). * **Interkwantielen**: * **Interkwartielafstand ($IQR$)**: Het verschil tussen het derde en eerste kwartiel ($K_3 - K_1$). Geeft de spreiding van de middelste 50% van de waarnemingen aan en is relatief ongevoelig voor extreme scores [21](#page=21). * **Interdecielafstand**: Geeft aan tussen welke waarden de middelste 80% van de waarnemingen vallen [22](#page=22). * **Boxplot**: Een grafische weergave die de variatiebreedte, interkwartielafstand en mediaan combineert, samen met de minimum- en maximumwaarden, en eventuele uitschieters [21](#page=21). * **Gemiddelde absolute afwijking**: Het gemiddelde van de absolute verschillen tussen elke waarneming en het gemiddelde [22](#page=22). * Formule voor brutowaarnemingen: $GAA = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$ [22](#page=22). * Formule voor gegroepeerde waarnemingen: $GAA = \frac{\sum_{i=1}^{k} |x_i - \bar{x}| f_i}{N}$ [22](#page=22). * **Variantie ($s^2$)**: De gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het rekenkundig gemiddelde [22](#page=22). * Formule: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$ (voor steekproef) of $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{N}$ (voor populatie) [23](#page=23). * **Nadeel**: Gekwadrateerde maat, moeilijk te interpreteren [23](#page=23). * **Standaardafwijking ($s$)**: De vierkantswortel uit de variantie [23](#page=23). * Formule: $s = \sqrt{s^2}$ [23](#page=23). * **Voordelen**: Rekening houdend met alle waarden, meest gebruikte kengetal voor spreiding, uitgedrukt in dezelfde meeteenheid als de waarnemingen [24](#page=24). * **Nadeel**: De absolute waarde zegt weinig over de relatieve spreiding [24](#page=24). * **Variatiecoëfficiënt ($VC$)**: De ratio van de standaardafwijking op het gemiddelde [24](#page=24). * Formule: $VC = \frac{s}{\bar{x}}$ [24](#page=24). * **Voordeel**: Relatieve spreidingsmaat, onafhankelijk van de meeteenheid, maakt vergelijking van spreiding tussen verschillende groepen mogelijk [24](#page=24). * **De even centrale momenten**: Deze kunnen ook als spreidingsmaat worden beschouwd [20](#page=20). ### 3.3 Maten van vorm Maten van vorm beschrijven kenmerken zoals symmetrie en afplatting van een verdeling [26](#page=26). #### 3.3.1 Symmetrie Symmetrie wordt gemeten door scheefheid (skewness) [26](#page=26). * **Symmetrische verdeling**: Evenveel waarden groter dan het gemiddelde als kleiner. Modus = mediaan = gemiddelde [27](#page=27). * **Positieve (rechtsscheve) asymmetrie**: Verdeling met een uitbreiding naar rechts, langere staart aan de rechterkant. Modus < mediaan < gemiddelde [27](#page=27). * **Negatieve (linksscheve) asymmetrie**: Verdeling met een uitbreiding naar links, langere staart aan de linkerkant. Modus > mediaan > gemiddelde [27](#page=27). **Matige van symmetrie**: * **Empirische coëfficiënt van Pearson ($S$)**: Gebaseerd op het verschil tussen gemiddelde en modus, gedeeld door de standaardafwijking [27](#page=27). * Formule: $S = \frac{\bar{x} - X_0}{s}$ [27](#page=27). * **Coëfficiënt van Yule en Kendall**: Gebaseerd op kwartielen [28](#page=28). * Formule: $Q = \frac{K_3 - K_1}{K_3 + K_1}$ [28](#page=28). * **Oneven centrale momenten**: Alle oneven centrale momenten geven een indicatie van symmetrie ten opzichte van het rekenkundig gemiddelde. Voor een symmetrische verdeling zijn deze gelijk aan 0 [28](#page=28). * **Coëfficiënt van Fisher (derde centrale moment)**: Wordt vaak gebruikt als maat voor symmetrie [28](#page=28). * Formule: $\gamma_1 = \frac{\mu_3}{s^3}$ [28](#page=28). * Is dimensieloos, waardoor symmetrie van verschillende variabelen vergeleken kan worden [28](#page=28). * **Coëfficiënt van Pearson**: Gebaseerd op de coëfficiënt van Fisher, ook dimensieloos [29](#page=29). * Formule: $b_1 = \gamma_1^2$ [29](#page=29). #### 3.3.2 Afplatting Afplatting wordt gemeten door kurtosis [26](#page=26). * **Kurtosis**: Beschrijft hoe spits of plat een verdeling is ten opzichte van de normale (Gauss) curve [29](#page=29). * Er zijn verschillende coëfficiënten, waaronder die van Pearson en Fisher [29](#page=29) [30](#page=30). * **Coëfficiënt van Pearson**: Vaak gerelateerd aan het vierde centrale moment gedeeld door de vierde macht van de standaardafwijking [30](#page=30). * **Coëfficiënt van Fisher**: Vaak de coëfficiënt van Pearson minus 3 [30](#page=30). ### 3.4 De normale verdeling De normale verdeling is een klokvormige, symmetrische verdeling waarbij gemiddelde, mediaan en modus samenvallen. Ze speelt een cruciale rol in de inferentiële statistiek [24](#page=24) [25](#page=25). * **Empirische regel**: * Ongeveer 68% van de waarnemingen ligt binnen het gemiddelde $\pm$ 1 standaardafwijking [25](#page=25). * Ongeveer 95% van de waarnemingen ligt binnen het gemiddelde $\pm$ 1.96 standaardafwijking [25](#page=25). * Ongeveer 99.7% van de waarnemingen ligt binnen het gemiddelde $\pm$ 3 standaardafwijkingen [25](#page=25). * **Gestandaardiseerde scores (z-scores)**: Worden gebruikt om waarnemingen te vergelijken op verschillende schalen [25](#page=25). ### 3.5 Toepassingen in Excel Excel biedt functies om deze statistische maten te berekenen. Belangrijke functies omvatten `=max()`, `=som()`, `=abs()`, en `=wortel()`. De berekening van centrum- en spreidingsmaten in Excel vereist vaak het aanmaken van tussenkolommen zoals $K(x_i)$, $x_if_i$, $|x_i - \bar{x}|f_i$, $(x_i - \bar{x})^2f_i$, enz.. Ook maten van vorm, zoals het derde en vierde moment, kunnen worden berekend met behulp van specifieke kolommen en sommaties [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32). --- # Statistische analyses met SPSS Dit onderwerp behandelt de praktische toepassing van statistische analyses met behulp van SPSS, waaronder datamanipulatie, selectie van cases en tweedimensionale analyses zoals kruistabellen. ### 4.1 Werkomgeving en datamanipulatie in spss SPSS (Statistical Package for the Social Sciences) is een softwarepakket dat wordt gebruikt voor het beheren en verwerken van kwantitatieve gegevens [33](#page=33). #### 4.1.1 Begrippen en vensters in spss **Belangrijke begrippen in SPSS:** * **Name**: De naam van de variabele [33](#page=33). * **Type**: Het soort variabele, zoals numeriek (getal), string (tekst) of datum [33](#page=33). * **Width**: Hoe breed de variabele is in termen van het aantal karakters of cijfers [33](#page=33). * **Decimals**: Het aantal decimalen dat wordt weergegeven [33](#page=33). * **Label**: Een bredere beschrijving van de variabelenaam [33](#page=33). * **Values**: Hieraan kunnen tekstlabels worden toegekend aan verschillende categorieën van een categorische variabele [33](#page=33). * **Missing**: Hier worden user missing waarden gedefinieerd [33](#page=33). **SPSS heeft drie basisvensters:** 1. **Data Editor**: Voor het beheren van de dataset (bestandsformaat.SAV) [33](#page=33). 2. **Output venster**: Voor het weergeven van de resultaten van analyses (bestandsformaat.SPV) [33](#page=33). 3. **Syntax editor**: Voor het schrijven en opslaan van commando's (bestandsformaat.SPS) [33](#page=33). #### 4.1.2 Data prepareren en invoeren Voor data-invoer is een **codeboek** essentieel, waarin wordt vastgelegd hoe de data is gecodeerd. Het codeboek wordt verschillend ingevuld afhankelijk van het type vraag: gesloten, halfgesloten of open vragen [34](#page=34). * **Gesloten vragen** (numeriek): De antwoorden zijn direct de waarden, geen aparte coderingsfase nodig (bv. leeftijd) [34](#page=34). * **Halfgesloten vragen**: Vereisen specifieke codering van de antwoordopties [35](#page=35). **Missing values** zijn waarden die niet zijn ingevuld. Er zijn twee soorten: 1. **System missing values**: Ontstaan wanneer een respondent een vraag niet heeft beantwoord of als de vraag niet relevant was [36](#page=36). 2. **User missing values**: Waarden die de gebruiker zelf als ontbrekend heeft gecodeerd [36](#page=36). **Manuele data-invoer:** 1. Maak een duidelijk codeboek [36](#page=36). 2. Ga naar `File` > `New` > `Data` [36](#page=36). 3. Gebruik de `Data View` om gegevens in te voeren [36](#page=36). 4. Documenteer de variabelen (label, decimalen, values) in de `Variable View` [36](#page=36). 5. Bij `Values` klik op de drie puntjes om waarden en labels in te stellen [36](#page=36). **Importeren van databestanden:** * **Excel (.xls of.xlsx)**: Ga naar `File` > `Import Data` > `Excel` [37](#page=37). * **Tekstbestanden (.txt,.csv of.dat)**: Ga naar `File` > `Import Data` > `CSV Data…` en volg de instructies [37](#page=37). #### 4.1.3 Datamanipulatie Datamanipulatie omvat wijzigingen aanbrengen aan bestaande variabelen in de dataset [38](#page=38). ##### 4.1.3.1 Compute Met de `COMPUTE`-functie kunnen nieuwe variabelen worden aangemaakt op basis van bewerkingen of berekeningen met één of meerdere bestaande variabelen. Dit is nuttig om bijvoorbeeld meerdere items die hetzelfde concept meten, samen te voegen tot een samengestelde score [39](#page=39) [40](#page=40). **Hoe te gebruiken:** 1. Ga naar `Transform` > `Compute Variable` [40](#page=40). 2. Geef een naam op voor de nieuwe variabele in het `Target Variable`-veld. Variabelenamen mogen geen spaties bevatten en niet met een cijfer beginnen [40](#page=40). 3. Voer de bewerking uit in het `Numeric Expression`-veld [41](#page=41). 4. Klik op `OK`. De nieuwe variabele verschijnt onderaan de `Variable View` [41](#page=41). In het `Compute`-venster kunnen ook specifiekere bewerkingen worden uitgevoerd met behulp van 'function groups' en 'Functions and Special Variables'. Voorbeelden hiervan zijn [42](#page=42): * **Arithmetic functions**: Zoals `ABS` voor de absolute waarde [42](#page=42). * **Date Arithmetic**: Functies zoals `Datediff` voor het berekenen van tijdsverschillen tussen datums [42](#page=42). * **Concatenate**: Om tekstvariabelen samen te voegen (bv. voornaam en familienaam). Hierbij is het belangrijk om in `Type & Label…` 'String' te selecteren met voldoende 'width' [42](#page=42) [43](#page=43). ##### 4.1.3.2 Recode `Recode` wordt gebruikt om één bestaande variabele om te zetten naar een nieuwe variabele door enkel de codering aan te passen. Dit kan bijvoorbeeld zijn om 'man' te coderen als 1 en 'vrouw' als 0 [39](#page=39). **Eerste manier (Recode into different variables):** 1. Ga naar `Transform` > `Recode into Different Variables` [40](#page=40). 2. Selecteer de variabele die je wilt hercoderen [40](#page=40). 3. Geef een naam op voor de `Output Variable` [40](#page=40). 4. Klik op `Change` [40](#page=40). 5. Klik op `Old and New Values` [40](#page=40). 6. Definieer de oude en nieuwe waarden. Druk op `Add` na elke definitie [40](#page=40). 7. Klik op `Continue` [40](#page=40). 8. Documenteer de nieuwe variabele (labels, value labels, missing labels) in de `Variable View` [40](#page=40). 9. Controleer de hercodering met een kruistabel (`Analyze` > `Descriptive Statistics` > `Crosstabs`), waarbij de oude variabele in `Row` en de nieuwe in `Column` wordt geplaatst [40](#page=40). **Tweede manier (voor continue naar categorische variabele):** 1. Ga naar `Transform` > `Recode into Different Variables` [41](#page=41). 2. Selecteer de continue variabele [41](#page=41). 3. Geef een naam op voor de `Output Variable` [41](#page=41). 4. Klik op `Change` [41](#page=41). 5. Klik op `Old and New Values` [41](#page=41). 6. Specificeer de ranges en ken de nieuwe categorische waarde toe. Bijvoorbeeld, de laagste waarde tot een bepaald punt wordt categorie 1. Gebruik `Range` voor tussenliggende waarden en `Highest` voor de hoogste waarden [41](#page=41). 7. Voor missing values, selecteer `System or user missing` en ken `System missing` toe als new value [41](#page=41). 8. Klik op `Continue` en `OK` [41](#page=41). 9. Documenteer de nieuwe variabele in de `Variable View` (bv. decimalen, labels) [41](#page=41). 10. Controleer de hercodering met een kruistabel (`Analyze` > `Descriptive Statistics` > `Crosstabs`), met de oude variabele in `Row` en de nieuwe in `Column` [41](#page=41). #### 4.1.4 Select cases `Select Cases` maakt het mogelijk om tijdelijk een specifieke groep respondenten (cases) te selecteren voor verdere analyses. Dit is handig als je bijvoorbeeld analyses wilt uitvoeren op een specifieke subgroep, zoals alleen mannen [43](#page=43). **Hoe te selecteren:** 1. Ga naar `Data` > `Select Cases` [44](#page=44). 2. Kies de optie `If condition is satisfied` [44](#page=44). 3. Klik op `If` en voer de gewenste formule in [44](#page=44). 4. Klik op `Continue` en `OK` [44](#page=44). 5. In de `Data View` zie je dat niet-geselecteerde cases zijn doorgestreept [44](#page=44). **Belangrijk:** Na de analyse moet de selectie verwijderd worden om te voorkomen dat SPSS verdere analyses toepast op de gefilterde dataset. Dit doe je door bij `Select Cases` de optie `All cases` te selecteren [44](#page=44). **Methoden voor selectie:** * **Random samples of cases**: Selecteert een willekeurige steekproef [44](#page=44). * **Based on time or case range**: Selecteert cases op basis van hun positie in de dataset [44](#page=44). * **Use filter variable**: Gebruikt een reeds bestaande variabele als filter [44](#page=44). **Operators voor voorwaarden:** * Logische operatoren: `AND` (`&`), `OR` (`|`), `NOT` [44](#page=44). * Vergelijkingsoperatoren: `GE` (`>=`), `GT` (`>`), `LE` (`<=`), `LT` (`<`), `EQ` (`=`), `NE` (`<>`) [45](#page=45). * Functies: `missing(variabele)`, `not missing(variabele)` [45](#page=45). **Output-opties:** * **Filter out unselected cases**: Geselecteerde cases worden gedeactiveerd, maar blijven behouden. Dit is de meest gebruikelijke en veilige optie [45](#page=45). * **Copy selected cases to a new dataset**: Exporteert de selectie als een nieuwe dataset [46](#page=46). * **Delete unselected case**: Verwijder niet-geselecteerde cases definitief. Dit is de minst aanbevolen optie omdat het destructief is [46](#page=46). > **Tip:** Gebruik voldoende haakjes bij het formuleren van voorwaarden om zeker te zijn dat SPSS de juiste bewerking uitvoert [46](#page=46). ### 4.2 Tweedimensionale analyses met spss Tweedimensionale analyses, met name kruistabellen, zijn essentieel voor het onderzoeken van de relatie tussen twee categorische variabelen [46](#page=46). #### 4.2.1 Kruistabellen maken en interpreteren Een kruistabel toont de frequentieverdeling van twee categorische variabelen [46](#page=46). **Hoe te maken:** 1. Ga naar `Analyze` > `Descriptive Statistics` > `Crosstabs` [46](#page=46). 2. Plaats de ene variabele in `Row` en de andere in `Column` [46](#page=46). 3. Klik op `OK` om de kruistabel te genereren [46](#page=46). **Interpretatie van de output:** * De eerste tabel geeft het aantal **valid** en **missing cases** weer. Alleen cases met geldige scores voor beide variabelen worden opgenomen [47](#page=47). * De tweede tabel toont de absolute celfrequenties. Dit is vaak niet voldoende voor interpretatie; men heeft ook percentages en significantietesten nodig [47](#page=47). **Meer gedetailleerde kruistabellen:** 1. Genereer de kruistabel opnieuw [47](#page=47). 2. Klik op `Statistics` en selecteer gewenste statistieken zoals `Chi-square` of `Phi and Cramer's V` [47](#page=47). 3. Klik op `Cell Display` om extra opties te kiezen: * `Expected`: De verwachte waarde onder de nulhypothese (geen verband) [47](#page=47). * `Unstandardized residual`: Het verschil tussen de `observed` en `expected` count [47](#page=47). * Rij-, kolom- en totaalpercentages kunnen ook worden aangevraagd [47](#page=47). #### 4.2.2 Controleren voor een derde variabele Om te onderzoeken of verbanden geen schijnverbanden zijn, kan gecontroleerd worden voor een derde (categorische) variabele. Dit is een eerste stap naar multivariate analyse [47](#page=47). **Hoe te controleren voor een derde variabele:** 1. Ga naar `Analyze` > `Descriptive Statistics` > `Crosstabs` [48](#page=48). 2. Selecteer de variabelen voor `Row` en `Column` [48](#page=48). 3. Voeg de derde controlevariabele toe in het `Layer 1` of `Layer 2` veld [48](#page=48). 4. Pas de gewenste bewerkingen toe in `Cell Display` of `Statistics` [48](#page=48). **Interpretatie van de output met 3 variabelen:** De tabellen worden opgesplitst per waarde van de controlevariabele (bv. per geslacht), plus een 'Total' groep. Hierdoor worden feitelijk meerdere kruistabellen getoond, elk met eigen significantietoetsen en `Symmetric Measures`. Men kan zo nagaan of het verband tussen de eerste twee variabelen standhoudt na controle voor de derde variabele. De `Chi-square` waarden en p-waarden geven aan of het verband veralgemeend kan worden naar de populatie. `Cramer's V` meet de sterkte van het verband [51](#page=51). #### 4.2.3 Kruistabel: rij, kolom en totaal percentages Het gebruik van rij-, kolom- en totaalpercentages in kruistabellen geeft meer inzicht in hoe variabelen zich tot elkaar verhouden [50](#page=50). #### 4.2.4 Statistieken van samenhang opvragen SPSS biedt twee mogelijkheden om statistieken van samenhang op te vragen. Dit omvat typisch metingen zoals Chi-kwadraat, Phi en Cramer's V, die de sterkte en significantie van associaties tussen categorische variabelen kwantificeren [47](#page=47) [53](#page=53). --- # Verbanden tussen variabelen Dit deel verkent de analyse van samenhang tussen verschillende soorten variabelen, inclusief de interpretatie van kruistabellen, associatiematen, correlatie en regressieanalyse [55](#page=55). ### 5.1 Wat is samenhang? Samenhang tussen variabelen betekent dat de variabelen samen variëren, wat resulteert in een betere voorspelbaarheid van de ene variabele, gegeven de andere. Dit concept is cruciaal voor theorievorming in de humane wetenschappen en wordt empirisch getoetst in sociaalwetenschappelijk onderzoek. De manier waarop samenhang wordt onderzocht, hangt af van het meetniveau van de betrokken variabelen [55](#page=55). * **Associatie:** Samenhang tussen twee categorische variabelen (nominaal of ordinaal) [55](#page=55). * **Correlatie:** Lineaire samenhang tussen twee numerieke variabelen [55](#page=55). Courante probleemstellingen in sociaalwetenschappelijk onderzoek betreffen vaak variabelen van verschillende meetniveaus. Gevorderde analysetechnieken zijn uitbreidingen van bivariate analyses [56](#page=56). #### 5.1.1 Samenhang en causaliteit Een centrale vraag in kwantitatief onderzoek is of er een causale samenhang bestaat tussen twee variabelen (X en Y). Causale samenhang is niet gelijk aan statistische samenhang. Bij een statistisch verband veranderen de kenmerken samen, terwijl een oorzakelijk verband vereist dat een verandering in X altijd een verandering in Y teweegbrengt, waarbij Y afhankelijk is van X [56](#page=56). Drie causaliteitsvoorwaarden zijn: 1. Ze veranderen altijd samen [56](#page=56). 2. Er is een tijdsverband [56](#page=56). 3. Alternatieve hypothesen worden geëlimineerd [56](#page=56). De analyse van samenhang in een kruistabel heeft drie doelstellingen [56](#page=56): 1. Beschrijven van de aard en richting van het verband in de onderzochte steekproef (via rij- en kolompercentages) [56](#page=56). 2. Veralgemeenbaarheid van de samenhang in de steekproef naar de populatie (via chi-kwadraattoets) [56](#page=56). 3. Bepalen van de sterkte van de samenhang (via associatiematen) [56](#page=56). ### 5.2 Samenhang tussen twee categorische variabelen Het analyseren van samenhang tussen twee categorische variabelen omvat de volgende stappen [57](#page=57): 1. Opstellen van een kruistabel [57](#page=57). 2. Vaststellen of er een asymmetrische relatie is, waarbij een afhankelijke variabele (Y, in rijen) en een onafhankelijke variabele (X, in kolommen) worden geïdentificeerd [57](#page=57). 3. Vergelijken van de relatieve verdeling van Y voor de categorieën van X, wat de relatieve conditionele verdeling vormt [57](#page=57). * **Rijtotalen (marginale verdeling van Y):** De som van de absolute frequenties per rij. De som van de rijtotalen is gelijk aan het totale aantal waarnemingen (N) [57](#page=57). * **Kolomtotalen (marginale verdeling van X):** De som van de absolute frequenties per kolom. De som van de kolomtotalen is gelijk aan N [57](#page=57). * **Conditionele verdeling van Y (gegeven X):** De verdeling van de rijvariabele Y voor een specifieke categorie van de kolomvariabele X [57](#page=57). * **Conditionele verdeling van X (gegeven Y):** De verdeling van de kolomvariabele X voor een specifieke categorie van de rijvariabele Y [57](#page=57). #### 5.2.1 Onafhankelijkheid en conditionele verdelingen Er is sprake van onafhankelijkheid tussen twee variabelen wanneer de relatieve conditionele verdeling van de afhankelijke variabele (Y) niet verschilt binnen de categorieën van de onafhankelijke variabele (X) [58](#page=58). * **Asymmetrische relatie:** Conventioneel staat de afhankelijke variabele Y in de rijen en de onafhankelijke variabele X in de kolommen. Percentages worden berekend in de richting van de onafhankelijke variabele [58](#page=58). * **Kolompercentages:** Berekening: `(celfrequentie / kolomtotaal) * 100`. Deze worden gebruikt om de relatieve verdeling van Y te vergelijken tussen categorieën van X [58](#page=58). * **Rijpercentages:** Berekening: `(celfrequentie / rijtotaal) * 100`. Deze worden gebruikt om de relatieve verdeling van X te vergelijken tussen categorieën van Y [58](#page=58). **Tip:** Rij- en kolompercentages moeten altijd dwars op de richting worden vergeleken waarin ze zijn berekend. Het vergelijken van kolompercentages kan een indicatie geven van de sterkte van het verband, maar strikt genomen beschrijft het alleen de aard en richting. Hoe verder de relatieve verdelingen uit elkaar liggen, hoe sterker het verband [58](#page=58). #### 5.2.2 Toeval of samenhang: significantietoetsen Soms kunnen verbanden het gevolg zijn van toeval. Significatietoetsen helpen om dit te beoordelen. Een significatietoets bestaat uit vijf stappen [59](#page=59): 1. **Assumpties:** Data verkregen via toevalssteekproef, twee categorische variabelen, verwachte aantal per cel is minstens 5 [59](#page=59). 2. **Hypothesen:** De nulhypothese (H0) stelt dat er geen significant verband bestaat en dat waargenomen verbanden louter toeval zijn [59](#page=59). 3. **Toetsstatistiek (Chi-kwadraat):** Vergelijkt geobserveerde celfrequenties met verwachte celfrequenties (bij afwezigheid van een statistisch verband) [59](#page=59). * Verwachte celfrequentie ($E_{ij}$) bij statistische onafhankelijkheid wordt berekend op basis van marginalen [59](#page=59). * De formule voor chi-kwadraat ($\chi^2$) is: $$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$ waarbij $O_{ij}$ de geobserveerde frequentie is en $E_{ij}$ de verwachte frequentie in cel (i,j) [60](#page=60). * Een hogere $\chi^2$-waarde duidt op een grotere discrepantie, een sterker verband en een grotere onwaarschijnlijkheid van de nulhypothese [60](#page=60). 4. **P-waarde:** De kans om een $\chi^2$-waarde te verkrijgen die minstens zo extreem is als de waargenomen waarde, gegeven dat de nulhypothese waar is [60](#page=60). * **Vrijheidsgraden ($\nu$):** Bepalen de vorm van de $\chi^2$-verdeling. Voor een $r \times c$ kruistabel is dit $\nu = (r-1)(c-1)$. Een $2 \times 2$ tabel heeft 1 vrijheidsgraad [60](#page=60) [61](#page=61). * Als de p-waarde kleiner is dan het gekozen significantieniveau (bv. 0.05), wordt de nulhypothese verworpen [60](#page=60). 5. **Conclusie:** Rapporteert de p-waarde en interpreteert de resultaten in het licht van de vraagstelling [61](#page=61). ### 5.3 Associatiematen voor categorische variabelen Associatiematen kwantificeren de sterkte van de samenhang tussen variabelen en maken het mogelijk om verbanden te vergelijken. Ze zijn conventioneel begrensd tussen 0 en 1 voor nominale kenmerken, en tussen -1 en +1 vanaf ordinaal niveau [62](#page=62). * **Symmetrische associatiematen:** Geen onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke variabelen [62](#page=62). * **Asymmetrische associatiematen:** Maken onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke variabelen [62](#page=62). #### 5.3.1 Associatiematen voor nominale variabelen * **Phi ($\phi$):** Gebaseerd op de chi-kwadraat, een symmetrische associatiemaat. Voor een $2 \times 2$ tabel [62](#page=62): $$\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{N}}$$ * **Cramer's V:** Een symmetrische associatiemaat, gebaseerd op chi-kwadraat. De formule is [63](#page=63): $$V = \sqrt{\frac{\chi^2}{N \cdot \min(r-1, c-1)}}$$ waarbij $r$ het aantal rijen en $c$ het aantal kolommen is. De maximumwaarde is 1 [63](#page=63). #### 5.3.2 Associatiematen voor ordinale variabelen Voor ordinale variabelen kan ook via een kruistabel iets over de richting van het verband gezegd worden, dankzij de rangordening [63](#page=63). * **Gamma ($\gamma$):** Een symmetrische associatiemaat die varieert van -1 tot +1. Grote absolute waarden weerspiegelen een sterke associatie [63](#page=63) [64](#page=64). $$\gamma = \frac{C - D}{C + D}$$ waarbij C het aantal concordante paren is (paren waarbij de ene eenheid op beide variabelen hoger of lager scoort dan de andere) en D het aantal discordante paren is (paren waarbij de ene eenheid op de ene variabele hoger en op de andere lager scoort dan de andere) [64](#page=64). * **Kendall's tau-b ($\tau_b$):** Een rangcorrelatiecoëfficiënt die nagaat of de rangorde van respondenten voor kenmerk X overeenkomt met hun rangorde voor kenmerk Y. Gelijk aan 0 bij onafhankelijkheid, +1 bij perfecte positieve afhankelijkheid, en -1 bij perfecte negatieve afhankelijkheid [64](#page=64) [65](#page=65). * **Sommer'd:** Lijkt op gamma, maar is geschikt voor asymmetrische verbanden en houdt rekening met geknoopte paren op de afhankelijke variabele (paren met dezelfde waarde op de afhankelijke variabele) [65](#page=65). $$Sommer'd = \frac{C - D}{C + D + T_Y}$$ waarbij $T_Y$ het aantal geknoopte paren op de afhankelijke variabele is [66](#page=66). * **Spearman's rho ($\rho$):** Een rangcorrelatiecoëfficiënt die de correlatie tussen rangnummers meet. Het is een symmetrische maat gebaseerd op de verschillen in rangorde [66](#page=66). ### 5.4 Verbanden tussen metrische variabelen #### 5.4.1 Spreidingsdiagram (Scatterplot) Een spreidingsdiagram is een grafische weergave die de samenhang of correlatie tussen twee kwantitatieve variabelen zichtbaar maakt. Het is een puntenwolk gebaseerd op de waarden van onderzoekseenheden voor twee variabelen [66](#page=66) [67](#page=67). * **Asymmetrische relatie:** Onafhankelijke variabele op de X-as, afhankelijke op de Y-as [67](#page=67). * **Symmetrische relatie:** De as-indeling maakt niet uit [67](#page=67). Het doel van een spreidingsdiagram is het geven van een overzicht van de trend, richting en sterkte van het verband [67](#page=67): 1. **Trend:** Lineair, curvilineair, clusters of geen patroon [68](#page=68). 2. **Richting:** Positief, negatief, of geen [68](#page=68). * **Positief verband:** Hoge waarden van X gaan samen met hoge waarden van Y, en lage waarden van X met lage waarden van Y [69](#page=69). * **Negatief verband:** Hoge waarden van de ene variabele gaan samen met lage waarden van de andere variabele [69](#page=69). 3. **Sterkte:** Hoe geconcentreerd de punten zijn rond de trendlijn [69](#page=69). #### 5.4.2 Covariantie Covariantie is een associatiemaat voor interval- en ratiomeetniveau die aangeeft in welke mate de waarden voor twee variabelen bij een groep respondenten samenhangen of covariëren [69](#page=69). Formule: $$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n}$$ of met gebruik van de steekproefvariantie: $$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n-1}$$ * **Interpretatie:** Een positieve covariantie duidt op een positieve samenhang, nul op lineaire onafhankelijkheid, en een negatieve op een negatieve samenhang [70](#page=70). * **Nadelen:** De covariantie heeft geen vaste bovengrens of ondergrens en is gevoelig voor veranderingen in meeteenheden [70](#page=70). #### 5.4.3 Pearson's correlatiecoëfficiënt (r) Pearson's correlatiecoëfficiënt is een gestandaardiseerde maat voor de lineaire samenhang tussen twee interval- of ratiovariabelen [70](#page=70). Formule: $$r = \frac{Cov(X, Y)}{s_x s_y} = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}}$$ waarbij $s_x$ en $s_y$ de standaardafwijkingen van X en Y zijn [70](#page=70). * **Interpretatie:** * Positieve $r$: positief verband [71](#page=71). * Negatieve $r$: negatief verband [71](#page=71). * $r$ dicht bij +1 of -1: sterk lineair verband [71](#page=71). * $r$ dicht bij 0: zwak lineair verband [71](#page=71). **Tip:** Een correlatiecoëfficiënt van 0 betekent niet noodzakelijk geen verband; het kan duiden op een niet-lineair verband of op de aanwezigheid van outliers [71](#page=71). #### 5.4.4 Rangcorrelatiecoëfficiënt Rangcorrelatiecoëfficiënten zijn geschikt voor het analyseren van samenhang tussen ordinale variabelen, omdat ze ongevoelig zijn voor de specifieke waarden zolang de intrinsieke ordening wordt gerespecteerd [72](#page=72). * **Spearman's rangcorrelatiecoëfficiënt ($\rho$):** Berekend op de rangnummers van de variabelen, vergelijkbaar met Pearson's correlatiecoëfficiënt [72](#page=72). Formule: $$\rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2-1)}$$ waarbij $d_i$ het verschil is tussen de rangordes van een observatie en $n$ het aantal observaties [72](#page=72). Resultaten variëren van -1 (perfecte negatieve samenhang) tot +1 (perfecte positieve samenhang) [72](#page=72). ### 5.5 Regressieanalyse Regressieanalyse wordt gebruikt om de relatie tussen een afhankelijke variabele (Y) en een of meer onafhankelijke variabelen (X) te modelleren en te voorspellen [73](#page=73). #### 5.5.1 Het bivariate regressiemodel 1. **Identificeren van variabelen:** Afhankelijke variabele Y, onafhankelijke variabele X [73](#page=73). 2. **Grafische weergave:** Een spreidingsdiagram toont de relatie tussen Y en X [73](#page=73). 3. **Lineaire regressie:** Het verklaren en voorspellen van Y op basis van X [73](#page=73). Het model van een regressierechte wordt beschreven door: $$E(y) = a + bx$$ of voor de voorspelde waarde: $$\hat{y} = a + bx$$ waarbij: * $a$ (intercept): de voorspelde/verwachte waarde van Y als X=0 [73](#page=73). * $b$ (richtingscoëfficiënt/slope): de verwachte verandering in Y wanneer X met één eenheid toeneemt [73](#page=73). #### 5.5.2 Residuelen Residuelen ($\epsilon_i$) representeren het verschil tussen de geobserveerde waarde van Y ($y_i$) en de voorspelde waarde van Y ($\hat{y}_i$) [75](#page=75). $$\epsilon_i = y_i - \hat{y}_i$$ * **Positief residu:** De geobserveerde waarde is hoger dan voorspeld (onderschatting) [75](#page=75). * **Residu gelijk aan 0:** De geobserveerde waarde kon exact worden voorspeld [75](#page=75). * **Negatief residu:** De geobserveerde waarde is lager dan voorspeld (overschatting) [75](#page=75). Residuelen weerspiegelen de informatie over Y die niet verklaard wordt door X [75](#page=75). #### 5.5.3 Kleinste kwadratenmethode De kleinste kwadratenmethode wordt gebruikt om de regressierechte te schatten door de som van de gekwadrateerde residuelen (voorspellingsfouten) te minimaliseren [76](#page=76). #### 5.5.4 Verband correlatie en regressie * **Correlatie (r):** Beschrijft de sterkte van een lineaire associatie, heeft hetzelfde teken als de slope ($b$) en ligt tussen -1 en +1 [77](#page=77). * **$R^2$ (Determinatiecoëfficiënt):** Geeft aan hoe goed de voorspellingen van Y ($\hat{y}$) de geobserveerde Y-waarden benaderen en hoe goed het model de variatie in Y kan verklaren. Het is de proportionele reductie in fout [78](#page=78): $$R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = \frac{SSR}{SST}$$ waarbij SST de totale som van kwadraten is, SSE de som van gekwadrateerde fouten (residuelen), en SSR de som van kwadraten verklaard door de regressie [78](#page=78). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Beschrijvende statistiek | Een tak van statistiek die zich richt op het organiseren, samenvatten en presenteren van gegevens op een duidelijke en efficiënte manier, vaak met behulp van maten zoals percentages, gemiddelden en standaardafwijkingen, alsook grafieken. | | Inferentiële statistiek | Een tak van statistiek die methoden gebruikt om uitspraken te doen over een volledige populatie op basis van een beperkt aantal gegevens verkregen uit een steekproef. Dit omvat technieken zoals regressieanalyse om verschillen en samenhangen te verklaren. | | Onderzoekspopulatie | De volledige groep van eenheden (mensen, objecten, etc.) die de onderzoeker wenst te bestuderen en waarover uitspraken gedaan moeten worden. | | Onderzoekseenheid | Een individueel element of subject binnen de onderzoekspopulatie waarover gegevens worden verzameld en geanalyseerd. | | Variabele | Een kenmerk van onderzoekseenheden dat in waarde kan variëren, zoals leeftijd, geslacht of inkomen. Waarden kunnen numeriek zijn of categorisch. | | Datamatrix/dataset | Een tabelvormige structuur waarin onderzoeksgegevens zijn georganiseerd, waarbij rijen onderzoekseenheden voorstellen en kolommen de variabelen die gemeten zijn. | | Steekproef | Een representatief deel van de onderzoekspopulatie dat wordt onderzocht, omdat het onderzoeken van de gehele populatie vaak onmogelijk of onpraktisch is. | | Parameter | Een kengetal dat een kenmerk van de gehele populatie beschrijft, bijvoorbeeld het populatiegemiddelde ($\mu$) of de populatiestandaardafwijking ($\sigma$). | | Steekproefstatistiek | Een kengetal dat een kenmerk van een steekproef beschrijft en dient als schatter voor een populatieparameter, bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde ($\bar{x}$) of de steekproefstandaardafwijking ($s$). | | Meetniveau | De manier waarop een variabele wordt gemeten, wat bepaalt welke statistische analyses mogelijk zijn. De vier belangrijkste meetniveaus zijn nominaal, ordinaal, interval en ratio. | | Nominale variabele | Een categorische variabele waarbij de waarden geen inherente volgorde of wiskundige betekenis hebben, enkel dienen ter classificatie (bv. geslacht, politieke partij). | | Ordinale variabele | Een categorische variabele waarbij de waarden wel een logische volgorde hebben (rangorde), maar de verschillen tussen de waarden niet per se gelijk zijn (bv. opleidingsniveau, rangen in een wedstrijd). | | Intervalvariabele | Een kwantitatieve variabele met een vaste meeteenheid en rangorde, maar zonder een absoluut nulpunt. De verschillen tussen waarden zijn betekenisvol (bv. temperatuur in Celsius, geboortejaar). | | Ratiovariabele | Een kwantitatieve variabele met een vaste meeteenheid, rangorde en een absoluut nulpunt. Alle wiskundige bewerkingen zijn mogelijk (bv. gewicht, aantal vrienden). | | Dichotome variabele | Een categorische variabele die slechts twee mogelijke waarden of categorieën heeft (bv. ja/nee, man/vrouw). | | Discrete variabele | Een kwantitatieve variabele die alleen gehele getallen kan aannemen, zonder tussenliggende kommagetallen (bv. aantal kinderen per gezin). | | Continue variabele | Een kwantitatieve variabele die in principe elke waarde binnen een bepaald bereik kan aannemen, inclusief kommagetallen (bv. lengte, snelheid). | | Frequentieverdeling | Een weergave die aangeeft hoe vaak elke waarde of categorie van een variabele voorkomt in een dataset, uitgedrukt in absolute of relatieve aantallen. | | Absolute frequentie | Het aantal keren dat een specifieke waarde of categorie van een variabele voorkomt in een dataset. | | Relatieve frequentie | De absolute frequentie gedeeld door de totale steekproefgrootte, wat de proportie van die waarde of categorie weergeeft. | | Staafdiagram | Een grafische weergave voor categorische of discrete variabelen, waarbij de hoogte van rechthoeken de frequentie van elke categorie of waarde voorstelt. | | Histogram | Een grafische weergave voor continue variabelen of gegroepeerde discrete variabelen, waarbij aangrenzende rechthoeken de frequentie van waarden binnen specifieke intervallen weergeven. | | Modus | De waarde of categorie van een variabele die het vaakst voorkomt in een dataset; kan vanaf nominaal meetniveau worden bepaald. | | Mediaan | De middelste waarde in een geordende dataset; de waarde die de geobserveerde gegevens in twee gelijke helften verdeelt; kan vanaf ordinaal meetniveau worden bepaald. | | Rekenkundig gemiddelde | De som van alle waarden in een dataset gedeeld door het aantal waarden; een centrummaat die het meest geschikt is voor interval- en ratiovariabelen. | | Kwartielen | Waarden die een geordende dataset verdelen in vier gelijke delen; Q1 (25%), Q2 (mediaan, 50%), en Q3 (75%). | | Decielen | Waarden die een geordende dataset verdelen in tien gelijke delen. | | Percentielen | Waarden die een geordende dataset verdelen in honderd gelijke delen. | | Spreidingsbreedte (Range) | Het verschil tussen de grootste en de kleinste waargenomen waarde in een dataset; een simpele maat van spreiding, maar gevoelig voor uitschieters. | | Interkwartielafstand (IQR) | Het verschil tussen het derde kwartiel (Q3) en het eerste kwartiel (Q1); geeft de spreiding van de middelste 50% van de gegevens weer en is robuust tegen uitschieters. | | Variantie | De gemiddelde gekwadrateerde afwijking van de waarden ten opzichte van het gemiddelde; een maat voor spreiding die eenheden kwadrateert. | | Standaardafwijking | De vierkantswortel uit de variantie; een veelgebruikte spreidingsmaat die uitgedrukt is in dezelfde eenheden als de oorspronkelijke variabele. | | Variatiecoëfficiënt | De ratio van de standaardafwijking tot het gemiddelde; een relatieve spreidingsmaat die nuttig is voor het vergelijken van de spreiding van groepen met verschillende gemiddelden. | | Normale verdeling (Gauss-curve) | Een symmetrische, klokvormige kansverdeling die veel voorkomt in de natuur en sociale wetenschappen. Het gemiddelde, de mediaan en de modus vallen samen in het midden. | | Scheefheid (Skewness) | Een maat voor de asymmetrie van een verdeling; positieve scheefheid betekent een lange staart aan de rechterkant, negatieve scheefheid een lange staart aan de linkerkant. | | Afplatting (Kurtosis) | Een maat voor de "spitsheid" of "platheid" van de staarten van een kansverdeling in vergelijking met een normale verdeling. | | Associatie | De mate van samenhang tussen twee categorische variabelen (nominaal of ordinaal). | | Correlatie | De mate van lineaire samenhang tussen twee kwantitatieve variabelen (interval of ratio). | | Kruistabel | Een tabel die de frequentieverdelingen van twee categorische variabelen weergeeft, waardoor de relatie tussen deze variabelen gevisualiseerd en geanalyseerd kan worden. | | Chi-kwadraattoets | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of er een significant verband bestaat tussen twee categorische variabelen door de geobserveerde frequenties te vergelijken met de verwachte frequenties onder de nulhypothese van onafhankelijkheid. | | Vrijheidsgraden | Het aantal waarden in een statistische berekening dat vrij kan variëren; in een kruistabel bepaald door het aantal rijen en kolommen (r-1)*(c-1). | | P-waarde | De kans om een resultaat te observeren dat minstens zo extreem is als het gevonden resultaat, onder aanname dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde leidt tot verwerping van de nulhypothese. | | Phi-coëfficiënt ($\phi$) | Een associatiemaat voor twee nominale variabelen, afgeleid van de chi-kwadraatstatistiek, die de sterkte van het verband aangeeft tussen 0 en 1. | | Cramer's V | Een generalisatie van de phi-coëfficiënt voor grotere kruistabellen (meer dan 2x2); een symmetrische associatiemaat die de sterkte van het verband tussen twee categorische variabelen aangeeft op een schaal van 0 tot 1. | | Gamma | Een associatiemaat voor ordinale variabelen die de concordante en discordante paren analyseert; de waarde varieert van -1 tot +1. | | Kendall's tau ($\tau$) | Een rangcorrelatiecoëfficiënt die de mate van overeenkomst in rangorde tussen twee geordende variabelen meet; waarde varieert van -1 tot +1. | | Spearman's rho ($\rho$) | Een rangcorrelatiecoëfficiënt die de sterkte van de lineaire relatie tussen de rangordes van twee variabelen meet; lijkt op de Pearson-correlatie maar wordt berekend op rangnummers. | | Spreidingsdiagram (Scatterplot) | Een grafische weergave die de relatie tussen twee kwantitatieve variabelen toont door punten weer te geven op basis van hun gezamenlijke waarden. | | Covariantie | Een maat die de gezamenlijke variatie van twee variabelen aangeeft; een positieve covariantie duidt op een positieve relatie, een negatieve op een negatieve relatie. De schaal is niet gestandaardiseerd. | | Pearson's correlatiecoëfficiënt ($r$) | Een gestandaardiseerde maat voor de lineaire samenhang tussen twee kwantitatieve variabelen, variërend van -1 (perfect negatief) tot +1 (perfect positief), waarbij 0 onafhankelijkheid aangeeft. | | Regressieanalyse | Een statistische methode die wordt gebruikt om de relatie tussen een afhankelijke variabele en een of meer onafhankelijke variabelen te modelleren en voorspellingen te doen. | | Intercept ($a$ of $b_0$) | De verwachte waarde van de afhankelijke variabele wanneer de onafhankelijke variabele gelijk is aan nul; het snijpunt van de regressielijn met de Y-as. | | Richtingscoëfficiënt (Slope, $b$) | Geeft de verwachte verandering in de afhankelijke variabele aan voor elke eenheidstoename van de onafhankelijke variabele. | | Residu | Het verschil tussen de geobserveerde waarde van de afhankelijke variabele en de door het regressiemodel voorspelde waarde; geeft de onverklaarde variatie aan. | | Kleinste kwadratenmethode | Een methode om de coëfficiënten van een regressielijn te schatten door de som van de gekwadrateerde residuen (voorspellingsfouten) te minimaliseren. | | $R^2$ (Determinatiecoëfficiënt) | Geeft het proportionele deel van de variatie in de afhankelijke variabele aan dat verklaard wordt door de variatie in de onafhankelijke variabele(n) in het regressiemodel. | | Tijdreeks | Een reeks kwantitatieve gegevens geordend in chronologische volgorde met een vast tijdsinterval, waarbij de volgorde van de data van fundamenteel belang is voor de analyse. | | Trend | Een algemene, langetermijnrichting (stijgend of dalend) in een tijdreeks. | | Seizoensgebondenheid | Regelmatige, cyclische patronen in een tijdreeks die zich herhalen binnen een bepaalde periode (bv. dag, week, maand, jaar). | | Voortschrijdend gemiddelde | Een techniek om trends in tijdreeksen te identificeren door het gemiddelde van opeenvolgende datapunten over een bepaalde periode te berekenen. |

# Basisprincipes van factoranalyse Factoranalyse is een techniek die wordt gebruikt om het aantal variabelen te reduceren tot een beheersbaarder aantal factoren, met als doel onderliggende constructies in de data te identificeren en te interpreteren [4](#page=4). ### 1.1 Introductie tot factoranalyse Factoranalyse is een statistische methode die wordt toegepast om de complexiteit van datasets te verminderen door de relaties tussen een reeks geobserveerde variabelen te analyseren en deze te groeperen in een kleiner aantal latente variabelen, ook wel factoren genoemd. Dit proces staat bekend als datareductie. Het helpt bij het identificeren van onderliggende constructies of concepten die ten grondslag liggen aan de geobserveerde variabelen [4](#page=4). ### 1.2 Doel van factoranalyse De primaire doelen van factoranalyse zijn tweeledig: * **Datareductie:** Het reduceren van een groot aantal variabelen tot een kleiner, beter hanteerbaar aantal factoren. Dit vereenvoudigt de analyse en presentatie van de gegevens [4](#page=4). * **Substantiële interpretatie:** Het identificeren en benoemen van de onderliggende constructies (factoren) die de geobserveerde variabelen vertegenwoordigen. Dit maakt het gemakkelijker om de betekenis van de gegevens te begrijpen [4](#page=4). ### 1.3 Vereisten voor factoranalyse Factoranalyse vereist een zekere mate van correlatie (gerelateerdheid) tussen de variabelen die worden geanalyseerd. Als variabelen geen significante lineaire relatie vertonen, is factoranalyse minder geschikt [5](#page=5). > **Tip:** De aanwezigheid van correlaties tussen variabelen is cruciaal. Als alle variabelen onafhankelijk zijn, kan factoranalyse geen zinvolle factoren identificeren. ### 1.4 Voorbeeld: Best Buy consumentenonderzoek Best Buy identificeerde negen verschillende attributen van hun winkels en service die de winkelkeuze van consumenten beïnvloeden. De onderzoeksvraag was of consumenten evalueren in meer algemene, brede termen die samengesteld zijn uit deze negen specifieke attributen. Als dit het geval is, kan Best Buy deze bredere dimensies gebruiken voor planning en actie. Factoranalyse helpt bij het identificeren van deze brede dimensies, of factoren, uit de gegevens van gedetailleerde consumentenevaluaties [6](#page=6). #### 1.4.1 Geëvalueerde attributen De negen attributen die in het Best Buy onderzoek werden geëvalueerd, waren [7](#page=7): * A1 Prijsniveau * A2 Winkelpersoneel * A3 Retourbeleid * A4 Productbeschikbaarheid * A5 Productkwaliteit * A6 Assortimentdiepte * A7 Assortimentbreedte * A8 Service in de winkel * A9 Winkelatmosfeer Deze attributen werden beoordeeld op een schaal van "Zeer Slecht" tot "Zeer Goed" [1](#page=1) [7](#page=7). #### 1.4.2 Correlatiematrix De resultaten van de enquêtes van 100 respondenten werden geanalyseerd met behulp van een correlatiematrix. Een correlatiecoëfficiënt is een getal tussen -1 en 1 dat de mate meet waarin twee variabelen lineair gerelateerd zijn. Een veelgebruikte drempelwaarde voor een significante correlatie is groter dan 0.3 [8](#page=8). De initiële correlatiematrix toont de relaties tussen de negen attributen. Voorbeeld van de correlatiematrix [8](#page=8): | Attribuut | A1 Prijs Niveau | A2 Personeel | A3 Retour | A4 Beschikbaarheid | A5 Kwaliteit | A6 Diepte | A7 Breedte | A8 In-store Service | A9 Atmosfeer | | :---------------------- | :-------------- | :----------- | :-------- | :----------------- | :----------- | :-------- | :--------- | :------------------ | :----------- | | A1 Prijs Niveau | 1 | 0.43 | 0.3 | 0.47 | 0.77 | 0.28 | 0.35 | 0.24 | 0.37 | | A2 Winkelpersoneel | 0.43 | 1 | 0.77 | 0.5 | 0.41 | 0.45 | 0.49 | 0.72 | 0.74 | | A3 Retourbeleid | 0.3 | 0.77 | 1 | 0.43 | 0.31 | 0.42 | 0.47 | 0.73 | 0.77 | | A4 Productbeschikbaarheid | 0.47 | 0.5 | 0.43 | 1 | 0.47 | 0.71 | 0.72 | 0.43 | 0.48 | | A5 Productkwaliteit | 0.77 | 0.41 | 0.31 | 0.47 | 1 | 0.33 | 0.38 | 0.24 | 0.33 | | A6 Assortimentdiepte | 0.28 | 0.45 | 0.42 | 0.71 | 0.33 | 1 | 0.72 | 0.31 | 0.43 | | A7 Assortimentbreedte | 0.35 | 0.49 | 0.47 | 0.72 | 0.38 | 0.72 | 1 | 0.44 | 0.46 | | A8 Service in de winkel | 0.24 | 0.72 | 0.73 | 0.43 | 0.24 | 0.31 | 0.44 | 1 | 0.71 | | A9 Winkelatmosfeer | 0.37 | 0.74 | 0.77 | 0.48 | 0.33 | 0.43 | 0.46 | 0.71 | 1 | > **Tip:** Het reorganiseren van de correlatiematrix kan helpen om groepen variabelen met hoge onderlinge correlaties visueel te identificeren. Dit is een voorbereidende stap om de factoren te herkennen [9](#page=9). Na reorganisatie kunnen de attributen als volgt gegroepeerd worden op basis van hoge correlaties: * **In-store Experience:** A3 (Retourbeleid), A8 (Service in de winkel), A9 (Winkelatmosfeer), A2 (Winkelpersoneel) [10](#page=10). * **Product Offerings:** A6 (Assortimentdiepte), A7 (Assortimentbreedte), A4 (Productbeschikbaarheid) [10](#page=10). * **Value:** A1 (Prijsniveau), A5 (Productkwaliteit) [10](#page=10). #### 1.4.3 Labeling van de factoren Op basis van de gegroepeerde variabelen met hoge correlaties, worden de geïdentificeerde factoren gelabeld [10](#page=10): * **In-store Experience:** Deze factor vertegenwoordigt de consumentenervaring binnen de winkel, inclusief service, personeel, sfeer en beleid. * **Product Offerings:** Deze factor heeft betrekking op het assortiment en de beschikbaarheid van producten. * **Value:** Deze factor verwijst naar de perceptie van de prijs en kwaliteit van de producten. ### 1.5 Output van factoranalyse De output van een factoranalyse omvat doorgaans twee belangrijke componenten [11](#page=11): * **Factor loadings:** Dit zijn de gewichten die aangeven hoe elke onderliggende factor elke specifieke attribuut vertegenwoordigt. Ze meten de correlatie tussen een factor en een attribuut en helpen bij het benoemen van de factoren. Hoge factor loadings tussen een factor en een groep attributen suggereren dat die factor deze attributen sterk beïnvloedt of vertegenwoordigt [11](#page=11). * **Factor scores:** Dit zijn de afgeleide beoordelingen van de respondenten voor de onderliggende factoren. Ze vertegenwoordigen de positie van een respondent op de geïdentificeerde factor (bijvoorbeeld een "In-store Experience" score) [11](#page=11). Een factor score kan worden berekend als een lineaire combinatie van de geobserveerde variabelen: $$F = b_1X_1 + b_2X_2 + b_3X_3 + \dots$$ [11](#page=11). Hierbij zijn $F$ de factor score, $X_i$ de geobserveerde variabelen, en $b_i$ de factor loadings (gewichten). > **Voorbeeld:** Als "In-store Experience" een factor is met hoge loadings op "Winkelpersoneel", "Service in de winkel", "Winkelatmosfeer" en "Retourbeleid", dan zal een respondent die positieve scores heeft op deze attributen, ook een hoge factor score hebben voor "In-store Experience". --- # Toepassing van factoranalyse op tandpastaconsumptie Deze sectie beschrijft de toepassing van factoranalyse om klantattitudes ten opzichte van tandpasta te onderzoeken, gebruikmakend van een dataset met 30 respondenten. De analyse richt zich op het identificeren van onderliggende factoren die de consumptie van tandpasta beïnvloeden [12](#page=12) [13](#page=13) [14](#page=14). ### 2.1 Data en variabelen De dataset bevat beoordelingen van 30 respondenten op een schaal van 1 tot 7 (1 = sterk oneens, 7 = sterk eens) met betrekking tot zes uitspraken over tandpasta [12](#page=12): 1. Het belang van het kopen van een tandpasta die gaatjes voorkomt. 2. Voorkeur voor een tandpasta die tanden glanzend maakt. 3. De noodzaak van een tandpasta die tandvlees versterkt. 4. Voorkeur voor een tandpasta die de adem verfrist. 5. Preventie van tandbederf is geen belangrijk voordeel van een tandpasta (dit is een omgekeerde vraagstelling). 6. De belangrijkste overweging bij de aankoop van een tandpasta is aantrekkelijke tanden. ### 2.2 Voorbereiding van de factoranalyse Voordat de factoranalyse kan worden uitgevoerd, is het belangrijk om te controleren of de data geschikt is. Twee cruciale tests hiervoor zijn de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) steekproefsgrootte-adequaatheidstest en de Bartlett's Sphericity Test [15](#page=15). #### 2.2.1 Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) steekproefsgrootte-adequaatheidstest De KMO-maat beoordeelt de mate van correlatie tussen variabelen ten opzichte van de mate van partiële correlatie. Een waarde groter dan 0.6 wordt als acceptabel beschouwd [15](#page=15). #### 2.2.2 Bartlett's Sphericity Test Deze test toetst of de correlatiematrix van de variabelen significant verschilt van een identiteitsmatrix. Een significante uitkomst (p <.05) suggereert dat er voldoende correlatie tussen de variabelen is om factoranalyse toe te passen [15](#page=15). #### 2.2.3 Communaliteiten De communaliteiten geven aan welk deel van de variantie in de items (variabelen) verklaard wordt door de extracted factoren. Een communaliteit van een variabele is de som van alle loadings van die variabele op alle getrokken factoren. Waarden groter dan 0.45 worden doorgaans als wenselijk beschouwd [16](#page=16). ### 2.3 Selectie van het aantal factoren Het bepalen van het optimale aantal factoren is een cruciale stap in de factoranalyse. Dit kan worden gedaan door middel van verschillende criteria, waaronder de scree plot en de eigenwaarden [17](#page=17) [18](#page=18). #### 2.3.1 Interpretatie van de verklaarde variantie De analyse toonde aan dat de top twee factoren 82% van de totale variantie in de data verklaren. Er is weinig winst te behalen door een derde factor toe te voegen, aangezien dit slechts een marginale toename in verklaarde variantie zou opleveren [17](#page=17). #### 2.3.2 Scree plot De scree plot is een grafiek die de eigenwaarden van de factoren weergeeft. Een "elleboog" (elbow) in de plot, waar de helling significant afvlakt, geeft het optimale aantal factoren aan. In dit geval suggereert de scree plot een tweefactorenoplossing [18](#page=18). #### 2.3.3 Eigenwaarden Een andere vuistregel voor het selecteren van het aantal factoren is om alleen factoren te behouden met een eigenwaarde groter dan 1.0. De scree plot toonde aan dat er slechts twee eigenwaarden boven deze drempel waren, wat verder de tweefactorenoplossing ondersteunt [18](#page=18). > **Tip:** De KMO-test, Bartlett's test, de scree plot en eigenwaarden zijn allemaal belangrijke tools om de geschiktheid van de data voor factoranalyse en het optimale aantal factoren te bepalen. Gebruik ze in combinatie voor een robuuste beslissing. ### 2.4 Interpretatie van de factoren Na het bepalen van het aantal factoren, wordt de oplossing geïnterpreteerd aan de hand van de factor loadings. De loadings geven aan hoe sterk een variabele correleert met een specifieke factor [20](#page=20). #### 2.4.1 Identificatie van factor 1 Factor 1 werd geïnterpreteerd als "Gezondheidsvoordelen". Dit duidt op attitudes die gericht zijn op de preventieve en gezondheidsgerelateerde aspecten van tandpasta, zoals het voorkomen van gaatjes en tandbederf [12](#page=12) [21](#page=21). #### 2.4.2 Identificatie van factor 2 Factor 2 werd geïnterpreteerd als "Sociale Voordelen". Dit verwijst naar de aspecten van tandpasta die te maken hebben met sociale interactie en aantrekkelijkheid, zoals glanzende tanden en frisse adem [12](#page=12) [21](#page=21). > **Voorbeeld:** Een respondent die sterk aangaf dat het belangrijk is dat tandpasta gaatjes voorkomt (uiting 1) en dat preventie van tandbederf een belangrijk voordeel is (uiting 5, omgekeerd), zou hoog scoren op Factor 1 (Gezondheidsvoordelen). Een respondent die de nadruk legde op glanzende tanden (uiting 2) en frisse adem (uiting 4), zou daarentegen hoger scoren op Factor 2 (Sociale Voordelen). De bespreking van Cronbach's alpha wordt verwezen naar specifieke oefeningen [21](#page=21). --- # Oefeningen en toepassingen Dit gedeelte van de stof benadrukt het belang van het toepassen van de geleerde concepten door middel van oefeningen en opdrachten, met een directe verwijzing naar Werkcollege 1. Het is bedoeld als een overgang om de theoretische kennis in de praktijk te brengen [22](#page=22). ### 3.1 De rol van oefeningen Oefeningen en opdrachten dienen als een cruciale stap om de behandelde theorie te consolideren en te verdiepen. Ze bieden de gelegenheid om de geleerde principes toe te passen op concrete vraagstukken, waardoor een beter begrip en retentie wordt bevorderd [22](#page=22). ### 3.2 Verwijzing naar Werkcollege 1 Specifiek wordt verwezen naar Werkcollege 1 als het platform waar deze oefeningen en toepassingen zullen plaatsvinden. Dit suggereert dat de inhoud van Werkcollege 1 nauw aansluit bij de voorgaande theoretische modules en bedoeld is om de studenten actief te betrekken bij de materie [22](#page=22). > **Tip:** Beschouw de oefeningen in Werkcollege 1 als een toetssteen voor je begrip. Pak ze serieus aan en probeer ze zo zelfstandig mogelijk te maken voordat je hulp zoekt. ### 3.3 Doel van de toepassingen Het uiteindelijke doel van deze oefeningen en toepassingen is om studenten voor te bereiden op real-world scenario's of verdere academische uitdagingen waar de opgedane kennis van pas komt. Door actief te oefenen, worden niet alleen de kennis, maar ook de vaardigheden ontwikkeld die nodig zijn om de stof effectief toe te passen [22](#page=22). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Factoranalyse | Een statistische techniek die wordt gebruikt om een grote set variabelen te reduceren tot een kleiner aantal onderliggende factoren. Het doel is om patronen en relaties tussen variabelen te identificeren en complexe gegevens te vereenvoudigen voor betere interpretatie. | | Datareductie | Het proces waarbij het aantal variabelen in een dataset wordt verminderd om de gegevens hanteerbaarder te maken en de analyse te vergemakkelijken. Factoranalyse is een veelgebruikte methode voor datareductie. | | Correlatiecoëfficiënt | Een statistische maat die de sterkte en richting van de lineaire relatie tussen twee variabelen aangeeft. De waarde ligt tussen -1 en 1, waarbij waarden dichter bij 1 of -1 een sterkere relatie duiden. | | Factor loadings | Gewichten die aangeven hoe sterk elke oorspronkelijke variabele bijdraagt aan een bepaalde factor. Deze loadings helpen bij het benoemen en interpreteren van de onderliggende factoren die uit de analyse naar voren komen. | | Factor scores | Inschattingen van de respondenten hun scores op de onderliggende factoren. Deze scores kunnen worden gebruikt voor verdere analyses of om groepen respondenten te identificeren op basis van hun factorprofielen. | | Communaliteiten | Een maatstaf die aangeeft welk deel van de variantie in een specifieke variabele wordt verklaard door de gezamenlijke factoren in de factoroplossing. Een hoge communaliteit suggereert dat de factoroplossing de variabele goed representeert. | | Scree plot | Een grafiek die de eigenwaarden van de factoren weergeeft, gerangschikt van hoog naar laag. Het helpt bij het bepalen van het optimale aantal factoren door te zoeken naar een "elleboog" of een duidelijke daling in de plot. | | KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) | Een statistische test die de geschiktheid van de gegevens voor factoranalyse beoordeelt. Een waarde groter dan 0.6 wordt over het algemeen beschouwd als acceptabel voor factoranalyse. | | Bartlett's Sphericity Test | Een statistische test die wordt gebruikt om te bepalen of de correlatiematrix significant afwijkt van een identiteitsmatrix. Een significante p-waarde (meestal < 0.05) suggereert dat de variabelen gecorreleerd zijn en dat factoranalyse geschikt is. | | Eigenwaarde | Een maatstaf die de hoeveelheid variantie in de variabelen vertegenwoordigt die door een specifieke factor wordt verklaard. Factoren met eigenwaarden groter dan 1 worden doorgaans behouden in de analyse. |

# Verschiltoetsen en de keuze van de juiste test Dit gedeelte behandelt de principes en het schema voor het selecteren van de juiste statistische verschiltoets, gebaseerd op de kenmerken van de data en onderzoeksvraag, met de nadruk op de rol van hypothesen en meetniveaus [2](#page=2). ### 1.1 Het formuleren van hypothesen en de selectievragen Voordat men de juiste verschiltoets kan selecteren, is het cruciaal om te starten met het formuleren van de hypothesen. Vervolgens worden drie kernvragen beantwoord die de basis vormen voor de keuze van de test [2](#page=2) [6](#page=6) [7](#page=7) [9](#page=9): 1. **Het aantal subgroepen (steekproeven) dat je gaat vergelijken?** [2](#page=2) [6](#page=6) [7](#page=7). 2. **De afhankelijkheid van de subgroepen?** [2](#page=2) [7](#page=7). 3. **Het meetniveau van de variabele(n) die je gaat testen?** [2](#page=2) [8](#page=8). ### 1.2 De drie selectievragen in detail #### 1.2.1 Het aantal subgroepen De eerste vraag betreft het aantal groepen dat vergeleken wordt. Dit kan variëren van één groep (one-sample tests) tot meerdere groepen [6](#page=6) [7](#page=7). * **Voorbeelden:** * Het vergelijken van één advertentie uit drie, om te bepalen welke de langste focus op de merknaam heeft [6](#page=6). * Het vergelijken van de voorkeur voor een product tussen zes verschillende klantsegmenten [7](#page=7). #### 1.2.2 De afhankelijkheid van de subgroepen De tweede vraag richt zich op de afhankelijkheid tussen de subgroepen. Dit onderscheidt of de metingen binnen dezelfde personen (afhankelijk/paired) of binnen verschillende personen (onafhankelijk/independent) plaatsvinden [2](#page=2) [7](#page=7). * **Afhankelijke subgroepen:** Metingen worden herhaald bij dezelfde personen. * **Voorbeeld:** Het onderzoeken van merkbekendheid vóór en na een campagne bij dezelfde personen [6](#page=6) [7](#page=7). * **Onafhankelijke subgroepen:** Metingen worden gedaan bij verschillende, niet-gerelateerde groepen personen. * **Voorbeeld:** Het vergelijken van het winkelgedrag tussen klanten die in een winkel met muziek en klanten die in een vergelijkbare winkel zonder muziek winkelden [7](#page=7). #### 1.2.3 Het meetniveau van de variabele De derde vraag betreft het meetniveau van de variabele die getest wordt. Dit is van cruciaal belang omdat verschillende statistische toetsen geschikt zijn voor verschillende meetniveaus [2](#page=2) [8](#page=8). * **Nominaal meetniveau:** Variabelen met categorieën zonder inherente volgorde. * **Voorbeelden van variabelen:** Voorkeur voor een kleur voor een auto (groen, wit, geel, blauw); voorkeur voor muziek (ja/nee); geslacht [8](#page=8). * **Toepasselijke tests (indicatief):** Binomial, Chi-kwadraat ($X^2$), McNemar [2](#page=2) [3](#page=3). * **Ordinaal meetniveau:** Variabelen met categorieën die een logische volgorde hebben, maar de afstanden tussen de categorieën zijn niet uniform. * **Voorbeelden van variabelen:** Mate van overeenstemming met een stelling (sterk oneens tot sterk eens); opleidingsniveau (basisschool, middelbare school, universitair) [8](#page=8). * **Toepasselijke tests (indicatief):** Afhankelijk van het aantal groepen en afhankelijkheid kunnen hier ook non-parametrische varianten van t-tests of ANOVA gebruikt worden, hoewel dit niet expliciet uitgewerkt wordt op de gegeven pagina's. * **Interval/Ratio meetniveau:** Variabelen waarbij de afstanden tussen de waarden betekenisvol zijn en er een vast nulpunt is (ratio) of niet (interval). * **Voorbeelden van variabelen:** Aantal alcoholische drankjes per week; jaarlijks huishoudinkomen; lengte, gewicht, temperatuur [8](#page=8). * **Toepasselijke tests (indicatief):** One-sample t-test, Independent t-test, Paired t-test, ANOVA [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.3 Het schema voor verschiltoetsen Een schema biedt een visueel overzicht om de juiste test te selecteren op basis van de eerdergenoemde vragen. Het schema begint bij de hypothesen en de drie selectievragen om tot de geschikte toets te komen [2](#page=2) [3](#page=3) [9](#page=9). > **Tip:** De volgorde van het beantwoorden van de vragen is belangrijk. Begin met het formuleren van de hypothesen, beantwoord daarna de drie selectievragen om zo systematisch tot de juiste test te komen [2](#page=2) [6](#page=6) [7](#page=7) [9](#page=9). #### 1.3.1 Indicatief schema (gebaseerd op de documentatie) Het schema op pagina 3 toont een mogelijke indeling van tests op basis van meetniveau en de afhankelijkheid/aantal groepen. Hoewel niet elk scenario volledig uitgewerkt is, kan het dienen als leidraad: * **Nominaal:** Binomial, $X^2$, McNemar [2](#page=2) [3](#page=3). * **Andere meetniveaus (Interval/Ratio):** * One-Sample t-test [2](#page=2) [3](#page=3). * Paired t-test (afhankelijke groepen) [2](#page=2) [3](#page=3). * Independent t-test (onafhankelijke groepen, twee groepen) [2](#page=2) [3](#page=3). * ANOVA (meer dan twee groepen) [2](#page=2). * Repeated ANOVA (afhankelijke groepen, meer dan twee metingen) [2](#page=2). ### 1.4 Overige concepten #### 1.4.1 Level of Significance en p-waarde De **Level of Significance** (alfa, $\alpha$) is een drempelwaarde die bepaalt hoe waarschijnlijk het moet zijn dat een resultaat door toeval is ontstaan, gegeven de nulhypothese [4](#page=4). De **p-waarde** is de waarschijnlijkheid om een steekproefstatistiek te observeren die minstens zo extreem is als de gevonden statistiek, ervan uitgaande dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde (typisch $\le \alpha$) leidt tot het verwerpen van de nulhypothese [4](#page=4). > **Tip:** Zorg ervoor dat je de definitie van de p-waarde en de relatie met de Level of Significance goed begrijpt, aangezien dit fundamenteel is voor hypothesetoetsing [4](#page=4). --- # Toepassing van verschiltoetsen op de Auto-Online dataset Dit gedeelte demonstreert de toepassing van verschillende statistische tests op de AutoOnline.sav dataset door middel van concrete onderzoeksvragen en de bijbehorende hypothesen [10](#page=10) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16). ### 2.1 Beschrijving van de Auto-Online dataset De Auto-Online dataset is afkomstig van een website waar autobezichtigers informatie over auto's kunnen vinden en auto's kunnen kopen. De dataset bevat enquêtegegevens van websitebezoekers die allemaal een auto hebben gekocht, waarvan sommigen via de website en anderen via een reguliere dealer. De dataset telt 1400 respondenten en is opgeslagen in het SPSS-formaat `AutoOnline.sav` [10](#page=10). ### 2.2 Onderzoeksvragen en hypothesen Hieronder worden verschillende onderzoeksvragen besproken die met behulp van verschiltoetsen op de Auto-Online dataset onderzocht kunnen worden, inclusief de bijbehorende nul- en alternatieve hypothesen. #### 2.2.1 Vragen over één steekproef ##### 2.2.1.1 Vraag 1: Veiligheid van online aankopen De eerste onderzoeksvraag betreft het gemiddelde van de item "Ik vind het kopen van spullen van het internet veilig" (variabele = `safeweb`). Er wordt onderzocht of het gemiddelde significant verschilt van het midden van de schaal, dat op 5 punten wordt aangenomen [11](#page=11). * **Nulhypothese ($H_0$)**: Het gemiddelde van de variabele `safeweb` is gelijk aan 5. * **Alternatieve hypothese ($H_a$)**: Het gemiddelde van de variabele `safeweb` is niet gelijk aan 5. ##### 2.2.1.2 Vraag 2: Aandeel autokopen via Auto-Online De tweede onderzoeksvraag onderzoekt of het aandeel mensen dat een auto koopt via de Auto-Online website (variabele = `didbuy`) significant verschilt van 25% [12](#page=12). * **Nulhypothese ($H_0$)**: Het aandeel kopers via de Auto-Online website is gelijk aan 0.25. * **Alternatieve hypothese ($H_a$)**: Het aandeel kopers via de Auto-Online website is niet gelijk aan 0.25. ##### 2.2.1.3 Vraag 3: Verschil tussen actuele en stickerprijs De derde vraag richt zich op de variabele `actual` en `sticker` en onderzoekt of de actuele prijs significant verschilt van de stickerprijs [15](#page=15). * **Nulhypothese ($H_0$)**: De actuele prijs is gelijk aan de stickerprijs. * **Alternatieve hypothese ($H_a$)**: De actuele prijs is niet gelijk aan de stickerprijs. #### 2.2.2 Vragen over twee steekproeven ##### 2.2.2.1 Vraag 4: Prijsverschil tussen web- en dealerkopers Deze vraag onderzoekt of webshoppers een significant ander bedrag betalen voor auto's dan dealershoppers, gebruikmakend van de variabelen `didbuy` en `actual`. Hierbij wordt een onafhankelijke t-toets toegepast om de gemiddelden van twee groepen te vergelijken [13](#page=13). * **Nulhypothese ($H_0$)**: Het gemiddelde bedrag dat door webshoppers wordt betaald, is gelijk aan het gemiddelde bedrag dat door dealershoppers wordt betaald. * **Alternatieve hypothese ($H_a$)**: Het gemiddelde bedrag dat door webshoppers wordt betaald, is niet gelijk aan het gemiddelde bedrag dat door dealershoppers wordt betaald. ##### 2.2.2.2 Vraag 5: Aankoopkanaal per geslacht De vijfde vraag vergelijkt het aandeel mannen dat via de website koopt ten opzichte van de dealer (variabele `didbuy`) met het aandeel vrouwen dat op dezelfde manier koopt. Dit betreft een vergelijking van proporties tussen twee onafhankelijke groepen [14](#page=14). * **Nulhypothese ($H_0$)**: Het aandeel mannen dat via de website koopt, is gelijk aan het aandeel vrouwen dat via de website koopt. * **Alternatieve hypothese ($H_a$)**: Het aandeel mannen dat via de website koopt, is niet gelijk aan het aandeel vrouwen dat via de website koopt. ##### 2.2.2.3 Vraag 6: Bronnen van informatie over AutoOnline De laatste vraag onderzoekt of significant meer mensen AutoOnline hebben gevonden via een zoekmachine (variabele `sengine`) dan via een vriend (variabele `friend`). Dit is een vergelijking van proporties tussen twee onafhankelijke bronnen [16](#page=16). * **Nulhypothese ($H_0$)**: Het aandeel mensen dat AutoOnline via een zoekmachine vond, is gelijk aan het aandeel mensen dat het via een vriend vond. * **Alternatieve hypothese ($H_a$)**: Het aandeel mensen dat AutoOnline via een zoekmachine vond, is groter dan het aandeel mensen dat het via een vriend vond. > **Tip:** Bij het uitvoeren van deze tests in SPSS is het cruciaal om de juiste test te selecteren op basis van het type variabele (continu of categorisch) en het aantal groepen dat vergeleken wordt (één of twee steekproeven). Zorg er altijd voor dat de variabelen correct zijn gecodeerd voor de analyse [10](#page=10) [11](#page=11) [12](#page=12) [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16). --- # Inleiding tot marktonderzoek en statistische toetsen Deze sectie biedt een inleiding tot het concept van verschiltoetsen binnen de context van marktonderzoek, met specifieke aandacht voor proporties en gemiddelden, en hun relevantie voor werkcollege 2 [1](#page=1). ### 3.1 Verschiltoetsen: een overzicht Verschiltoetsen zijn statistische methoden die worden gebruikt om te bepalen of de waargenomen verschillen tussen groepen of metingen significant zijn, of dat ze waarschijnlijk het gevolg zijn van willekeurige variatie (toeval). In marktonderzoek helpen deze toetsen beslissingen te onderbouwen door te beoordelen of marketinginterventies een meetbaar effect hebben gehad, of dat er significant verschil is tussen verschillende klantsegmenten [1](#page=1). ### 3.2 Toepassingen in marktonderzoek Voor werkcollege 2 zijn met name toetsen met betrekking tot proporties en gemiddelden relevant. Deze toetsen stellen ons in staat om te onderzoeken [1](#page=1): * Of de proportie van een bepaalde uitkomst (bijvoorbeeld de conversieratio van een advertentie) significant verschilt tussen twee groepen (bijvoorbeeld verschillende advertentiecampagnes) [1](#page=1). * Of het gemiddelde van een meting (bijvoorbeeld klanttevredenheidsscores) significant verschilt tussen populaties of condities [1](#page=1). Deze analyses zijn cruciaal voor het evalueren van de effectiviteit van marketingstrategieën en het identificeren van kansen voor verbetering [1](#page=1). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Verschiltoetsen | Statistische methoden die worden gebruikt om te bepalen of er een significant verschil is tussen twee of meer groepen of steekproeven, gebaseerd op specifieke criteria zoals gemiddelden of proporties. | | Nulhypothese | Een statistische aanname die stelt dat er geen significant verschil of verband bestaat tussen de geobserveerde groepen of variabelen, en die getoetst wordt om deze aanname te weerleggen. | | Alternatieve hypothese | Een statistische aanname die het tegenovergestelde beweert van de nulhypothese; deze hypothese wordt aangenomen als de nulhypothese voldoende wordt weerlegd door de data-analyse. | | Meetniveau | De classificatie van de aard van de gegevens die worden verzameld, zoals nominaal, ordinaal, interval of ratio, wat bepalend is voor de keuze van geschikte statistische analyses. | | Steekproefstatistiek | Een kenmerk of maatstaf berekend uit een steekproef van data, die wordt gebruikt om conclusies te trekken over de populatie waaruit de steekproef is getrokken. | | P-waarde | De waarschijnlijkheid om een steekproefresultaat te verkrijgen dat minstens zo extreem is als het geobserveerde resultaat, ervan uitgaande dat de nulhypothese waar is; een lage p-waarde (< 0.05) leidt doorgaans tot verwerping van de nulhypothese. | | Significantieniveau (alfa) | De drempelwaarde (vaak 0.05 of 5%) die wordt gebruikt om te beslissen of een statistisch resultaat als significant wordt beschouwd; als de p-waarde kleiner is dan dit niveau, wordt de nulhypothese verworpen. | | Afhankelijkheid van subgroepen | De mate waarin de observaties binnen de verschillende subgroepen van elkaar afhankelijk zijn; dit is cruciaal bij de keuze tussen gepaarde en onafhankelijke steekproeftoetsen. | | Nominaal meetniveau | Een meetniveau waarbij gegevens categorisch zijn zonder inherente volgorde of rangorde, zoals verschillende kleuren of soorten. | | t-toets | Een statistische toets die wordt gebruikt om het verschil tussen de gemiddelden van twee groepen te vergelijken, ervan uitgaande dat de data normaal verdeeld zijn. | | Anova (Variantieanalyse) | Een statistische methode die wordt gebruikt om de gemiddelden van drie of meer groepen te vergelijken door de variantie binnen en tussen de groepen te analyseren. | | Chi-kwadraat ($X^2$) toets | Een statistische toets die wordt gebruikt om het verband tussen twee categorische variabelen te onderzoeken of om te testen of de geobserveerde frequenties in categorieën afwijken van de verwachte frequenties. |

# Verschiltoetsen en hun toepassing Het kiezen van de juiste statistische toets hangt af van het meetniveau van de variabelen, het aantal te vergelijken subgroepen en de afhankelijkheid van deze groepen [2](#page=2). ### 1.1 De basisprincipes voor het kiezen van een verschiltoets Voordat men een specifieke toets selecteert, is het cruciaal om eerst de hypothesen te formuleren. De keuze van de toets wordt vervolgens bepaald door drie kernvragen [2](#page=2): 1. **Het aantal subgroepen (steekproeven) dat je gaat vergelijken?** Dit varieert van één tot meerdere groepen [2](#page=2). 2. **De afhankelijkheid van de subgroepen?** Dit kan gaan om onafhankelijke groepen of afhankelijke (gepaarde) groepen [2](#page=2). 3. **Het meetniveau van de variabele die je gaat testen?** Dit kan nominaal, ordinaal of interval/ratio zijn [3](#page=3). ### 1.2 Overzicht van veelgebruikte verschiltoetsen Het schema voor verschiltoetsen illustreert de relatie tussen deze factoren en de geschikte toetsen. Hieronder volgt een gedetailleerde beschrijving van enkele veelgebruikte toetsen [3](#page=3): #### 1.2.1 Binomiale toets en Chi-kwadraat toetsen * **Binomiale toets:** Deze toets wordt gebruikt voor nominale variabelen wanneer er slechts twee uitkomsten mogelijk zijn en er één steekproef wordt geanalyseerd [2](#page=2) [3](#page=3). * **Chi-kwadraat toetsen (X²):** * **One-Sample Chi-kwadraat toets:** Wordt gebruikt voor nominale variabelen om te toetsen of de waargenomen frequentieverdeling overeenkomt met een verwachte verdeling bij één steekproef [2](#page=2) [3](#page=3). * **Crosstabs/Chi-kwadraat toets:** Deze toets, vaak in combinatie met "crosstabs" (kruistabellen), wordt gebruikt om de relatie tussen twee categorische variabelen (nominaal of ordinaal) te onderzoeken, waarbij de groepen onafhankelijk zijn [2](#page=2) [3](#page=3). * **McNemar toets:** Deze toets is specifiek voor nominale variabelen en wordt toegepast bij afhankelijke (gepaarde) steekproeven om veranderingen te analyseren, bijvoorbeeld voor en na een interventie [2](#page=2) [3](#page=3). #### 1.2.2 t-testen t-testen worden doorgaans gebruikt voor variabelen op interval- of ratio-niveau. * **One-Sample t-toets:** Deze toets vergelijkt het gemiddelde van een enkele steekproef met een bekende of hypothetische populatiegemiddelde. De formule voor de t-statistiek is [2](#page=2) [3](#page=3): $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} $$ waarbij $\bar{x}$ het steekproefgemiddelde is, $\mu_0$ het hypothetische populatiegemiddelde, $s$ de standaarddeviatie van de steekproef, en $n$ de steekproefgrootte [2](#page=2) [3](#page=3). * **Independent Samples t-toets:** Deze toets wordt gebruikt om de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen te vergelijken, waarbij de variabele van interval- of ratio-niveau is. De formule voor de t-statistiek (met gelijke varianties aangenomen) is [2](#page=2) [3](#page=3): $$ t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{s_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} $$ waarbij $\bar{x}_1$ en $\bar{x}_2$ de gemiddelden van de twee groepen zijn, $\mu_1 - \mu_2$ het verschil tussen de populatiegemiddelden onder de nulhypothese, $s_p^2$ de gepoolde variantie, en $n_1$ en $n_2$ de groepsgroottes [2](#page=2) [3](#page=3). * **Paired Samples t-toets:** Deze toets wordt gebruikt om de gemiddelden van twee gerelateerde of gepaarde metingen te vergelijken (bv. voor en na een behandeling bij dezelfde personen). Het test het gemiddelde van de verschillen tussen de gepaarde observaties. De formule voor de t-statistiek is [2](#page=2) [3](#page=3): $$ t = \frac{\bar{d} - \mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} $$ waarbij $\bar{d}$ het gemiddelde verschil is, $\mu_d$ het hypothetische populatiegemiddelde verschil onder de nulhypothese, $s_d$ de standaarddeviatie van de verschillen, en $n$ het aantal paren [2](#page=2) [3](#page=3). ### 1.3 Verdere overwegingen voor complexere analyses * **ANOVA (Analysis of Variance):** Wordt gebruikt wanneer er meer dan twee groepen worden vergeleken. Er is een **Independent ANOVA** voor onafhankelijke groepen en een **Repeated Measures ANOVA** voor afhankelijke (herhaalde metingen) groepen [2](#page=2) [3](#page=3). > **Tip:** Het is essentieel om eerst de aard van je data (meetniveau) en de structuur van je steekproeven (aantal en afhankelijkheid) te bepalen voordat je de juiste statistische toets kiest. Dit voorkomt foutieve conclusies. --- # Correlatieanalyse Correlatieanalyse onderzoekt de sterkte en richting van de lineaire relatie tussen twee variabelen [8](#page=8). ### 2.1 Correlatie als maatstaf voor associatie Correlatie meet de mate van associatie tussen variabelen. Het wordt uitgedrukt met de correlatiecoëfficiënt, aangeduid als $r$ voor een steekproef en $\rho$ (rho) voor de populatie [9](#page=9). ### 2.2 De correlatiecoëfficiënt De correlatiecoëfficiënt ($r$) is een gestandaardiseerde maat die aangeeft hoe sterk twee variabelen lineair met elkaar samenhangen. De formule voor de steekproefcorrelatiecoëfficiënt is: $r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}$ [9](#page=9). Waarbij: * $x_i$ en $y_i$ de individuele observaties zijn van de twee variabelen [9](#page=9). * $\bar{x}$ en $\bar{y}$ het gemiddelde zijn van de observaties voor respectievelijk variabele $X$ en variabele $Y$ [9](#page=9). * $n$ het aantal observaties is [9](#page=9). Voor populaties wordt deze berekend met de covariantie gedeeld door het product van de standaarddeviaties van de twee variabelen: $\text{Corr}(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{SD}(X)\text{SD}(Y)}$ [9](#page=9). ### 2.3 Interpretatie van de correlatiecoëfficiënt De waarde van de correlatiecoëfficiënt ($r$) ligt altijd tussen -1 en 1 [9](#page=9). * **$r = 1$**: Dit duidt op een perfecte positieve lineaire relatie. Als de ene variabele toeneemt, neemt de andere variabele evenredig toe [9](#page=9). * **$r = -1$**: Dit duidt op een perfecte negatieve lineaire relatie. Als de ene variabele toeneemt, neemt de andere variabele evenredig af [9](#page=9). * **$r = 0$**: Dit duidt op geen lineaire relatie tussen de twee variabelen [9](#page=9). * **Waarden tussen 0 en 1**: Duiding op een positieve lineaire relatie met variërende sterkte. Hoe dichter bij 1, hoe sterker de relatie [9](#page=9). * **Waarden tussen -1 en 0**: Duiding op een negatieve lineaire relatie met variërende sterkte. Hoe dichter bij -1, hoe sterker de relatie [9](#page=9). > **Tip:** Een correlatiecoëfficiënt van 0.5 duidt bijvoorbeeld op een matige positieve lineaire relatie, terwijl 0.9 een sterke positieve lineaire relatie aangeeft [9](#page=9). ### 2.4 Correlatie versus causaliteit Het is cruciaal om te onthouden dat correlatie geen causaliteit impliceert. Een sterke correlatie tussen twee variabelen betekent niet noodzakelijk dat de ene variabele de oorzaak is van de andere. Er kunnen andere factoren (lurking variables) in het spel zijn die beide variabelen beïnvloeden, of de relatie kan toeval zijn [13](#page=13) [8](#page=8). > **Tip:** Stel dat er een sterke positieve correlatie wordt gevonden tussen het aantal verkochte ijsjes en het aantal verdrinkingen. Dit betekent niet dat ijs eten verdrinkingen veroorzaakt. Beide variabelen worden waarschijnlijk beïnvloed door een derde variabele: hogere temperaturen (zomer) [13](#page=13). ### 2.5 Toepassing van correlatieanalyse Correlatieanalyse wordt gebruikt om de sterkte en richting van de relatie tussen variabelen te kwantificeren, wat kan helpen bij het maken van voorspellingen [8](#page=8). #### 2.5.1 Voorbeeld: Auto-online Een onderzoeksvraag zou kunnen zijn: "Vinden klanten die vaker online winkelen de website behulpzamer?" Hierbij zou 'hoeoft' (hoe vaak online gewinkeld wordt) de onafhankelijke variabele (X) kunnen zijn en 'helpful' (hoe behulpzaam de website gevonden wordt) de afhankelijke variabele (Y) [10](#page=10) [8](#page=8). Om deze vraag te onderzoeken, kan een hypothesetest worden uitgevoerd. De nulhypothese stelt dat er geen correlatie is ($r=0$), en de alternatieve hypothese stelt dat er wel een correlatie is ($r \neq 0$). Het idee is om de correlatiecoëfficiënt van de steekproef te berekenen en vervolgens te evalueren hoe waarschijnlijk het is om zo'n waarde te vinden als de nulhypothese waar is [11](#page=11). #### 2.5.2 Hypothesetesten voor correlatie De procedure voor het testen van de nulhypothese dat de populatiecorrelatie gelijk is aan nul ($H_0: \rho = 0$) is vergelijkbaar met andere hypothesetesten. Er wordt een steekproefcorrelatiecoëfficiënt ($r$) berekend. Vervolgens wordt de waarschijnlijkheid (p-waarde) bepaald van het observeren van een steekproefcorrelatie die minstens zo extreem is als de gevonden $r$, onder de aanname dat de nulhypothese waar is. Als deze p-waarde kleiner is dan het vooraf bepaalde significantieniveau (vaak 0.05), wordt de nulhypothese verworpen en concludeert men dat er statistisch significant bewijs is voor een lineaire relatie tussen de twee variabelen [11](#page=11). --- # Lineaire regressieanalyse Lineaire regressieanalyse wordt gebruikt om relaties tussen variabelen te kwantificeren en voorspellingen te doen [14](#page=14). ### 2.1 Introductie tot regressieanalyse Regressieanalyse is een veelgebruikte techniek in marketingonderzoek om associaties tussen variabelen te detecteren, voorspellingen te doen en de impact van marketingvariabelen op verkoop te analyseren. Het helpt ook bij het analyseren van uitkomsten uit experimenten, zoals interventies of promoties [15](#page=15). ### 2.2 Simpele lineaire regressie Simpele lineaire regressie modelleert de relatie tussen twee variabelen met een rechte lijn. De algemene vorm van de vergelijking is $Y = a + bX$ waarbij $a$ de intercept is en $b$ de helling (slope). De intercept is de verwachte waarde van $Y$ wanneer $X$ gelijk is aan nul. De helling $b$ geeft aan hoeveel $Y$ naar verwachting verandert wanneer $X$ met één eenheid toeneemt. De kern van de analyse ligt vaak in het testen van de waarde van de helling $b$ [16](#page=16) [17](#page=17). #### 2.2.1 Inferentie op regressiecoëfficiënten Een cruciale vraag bij regressieanalyse is of er een significante relatie bestaat tussen $X$ en $Y$. Dit wordt getoetst met hypothesetesten. De nulhypothese ($H_0$) stelt dat de populatiehelling $\beta$ gelijk is aan nul ($\beta = 0$), wat impliceert dat er geen lineaire relatie is. De alternatieve hypothese ($H_1$) stelt dat $\beta$ niet gelijk is aan nul ($\beta \neq 0$) [18](#page=18). De t-statistiek wordt berekend als de geschatte parameter min de hypothetische waarde (meestal 0) gedeeld door de standaarddeviatie van de geschatte parameter [18](#page=18): $$t\text{-stat} = \frac{\text{geschatte parameter} - 0}{\text{SD(geschatte parameter)}}$$ Als de t-statistiek buiten een bepaald kritisch gebied valt (vaak $\pm 1.96$ voor een 95% betrouwbaarheidsinterval), wordt de nulhypothese verworpen ten gunste van de alternatieve hypothese. Dit suggereert dat er een statistisch significante lineaire relatie bestaat tussen $X$ en $Y$ [18](#page=18). #### 2.2.2 Voorspelling en residuen Het doel van regressieanalyse is ook om de waarde van $Y$ te voorspellen op basis van $X$, aangeduid als $\hat{Y}$. De waargenomen waarde van $Y$ en de voorspelde waarde $\hat{Y}$ zijn echter zelden gelijk. Het verschil tussen de waargenomen waarde en de voorspelde waarde wordt het predictiefout of residu genoemd [19](#page=19). De vergelijking voor een voorspelling is: $$\hat{Y} = a + bX$$ En de volledige regressievergelijking, inclusief de foutterm $\epsilon$, is: $$Y = a + bX + \epsilon$$ Het residu wordt berekend als: $$Residu = Y - \hat{Y}$$ #### 2.2.3 Toepassing: Verkoopvoorspelling Regressieanalyse kan worden gebruikt om toekomstige verkopen te voorspellen op basis van prijsstrategieën. Een voorbeeld betreft het herontwerpen van een prijsstrategie met behulp van verkoopresponsmodellen, waarbij data van wekelijkse winkelgegevens worden verzameld, inclusief verkoopvolumes, prijzen en promotie-informatie. Management is geïnteresseerd in het begrijpen van de impact van prijsstrategieën op de verkoop [20](#page=20) [21](#page=21). > **Voorbeeld:** Data van wekelijkse winkelgegevens tonen verkoop van sinaasappelsap (in honderden kratten) en de prijs van Minute Maid. Management wil de relatie tussen prijs en verkoop analyseren om de prijsstrategie te optimaliseren [21](#page=21) [22](#page=22). Een scatterplot van verkoop en prijs kan visueel de relatie weergeven [23](#page=23). #### 2.2.4 Een lineair verkoopsmodel Om de variatie in verkopen als functie van de prijs te verklaren, kan een lineair model worden aangenomen. De vergelijking wordt dan [24](#page=24): $$S = \alpha + \beta P + \epsilon$$ Hierbij is $S$ de verkoop, $P$ de prijs, $\alpha$ de intercept, $\beta$ de helling, en $\epsilon$ de willekeurige foutcomponent. Het doel is om de waarden van $\alpha$ en $\beta$ te schatten die het beste passen bij de geobserveerde data [24](#page=24). > **Tip:** Softwarepakketten zoals SPSS kunnen helpen bij het uitvoeren van regressieanalyses. Bij het invoeren van de data moet u de afhankelijke variabele (bijvoorbeeld verkoop) en de onafhankelijke variabele (bijvoorbeeld prijs) specificeren [25](#page=25). ##### 2.2.4.1 SPSS Regressie Output De output van een regressieanalyse in SPSS bevat cruciale informatie. De tabel toont de geschatte coëfficiënten ($a$ en $b$, of $\alpha$ en $\beta$), hun standaardfouten (die de onzekerheid rond de schattingen aangeven), de t-statistiek, en de p-waarde. De hypothesetest in de t-statistische kolom test standaard of de coëfficiënten gelijk zijn aan nul [26](#page=26). Voor het model $S = \alpha + \beta P + \epsilon$, zou de output er bijvoorbeeld als volgt uit kunnen zien: $$\hat{S} = 1092.774 - 377.088 P$$ In dit voorbeeld is de geschatte intercept $\hat{\alpha} = 1092.774$ en de geschatte helling $\hat{\beta} = -377.088$. Dit suggereert dat voor elke eenheidstoename in prijs $P$, de verwachte verkoop $S$ met ongeveer $377.088$ eenheden afneemt. De interpretatie van de output, met name de t-statistiek en p-waarde, is essentieel om de significantie van deze relatie te beoordelen [26](#page=26) [27](#page=27). --- # Dummyvariabelen en meervoudige regressie Dit deel bespreekt het gebruik van dummyvariabelen voor categorische variabelen in regressiemodellen en introduceert meervoudige regressie om meerdere onafhankelijke variabelen tegelijkertijd te analyseren [28](#page=28). ### 4.1 Dummyvariabelen in regressiemodellen Categorische variabelen, die geen numerieke waarden hebben maar uit discrete categorieën bestaan (zoals geslacht of kwartalen), kunnen worden opgenomen in regressiemodellen door middel van dummyvariabelen. Een dummyvariabele is een variabele die twee mogelijke uitkomsten heeft: 1 als de observatie tot de categorie van interesse behoort, en 0 anders. Dit maakt het mogelijk om de invloed van deze categorische factoren op de afhankelijke variabele te kwantificeren [29](#page=29). #### 4.1.1 Opzetten van dummyvariabelen voor meerdere categorieën Wanneer een variabele meer dan twee niveaus heeft, zoals de vier kwartalen van een jaar, kan een reeks dummyvariabelen worden gecreëerd. Een gangbare methode is om één dummyvariabele minder dan het aantal categorieën te gebruiken, waarbij één categorie wordt weggelaten als de referentiecategorie [29](#page=29) [30](#page=30). > **Voorbeeld:** Voor een variabele "Kwartier" met vier categorieën (Kwartier 1, Kwartier 2, Kwartier 3, Kwartier 4), kunnen we drie dummyvariabelen definiëren: Q1, Q2 en Q3. > > | Observatie | Kwartier | Q1 | Q2 | Q3 | > | :-------- | :------- | :- | :- | :- | > | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | > | 2 | 2 | 0 | 1 | 0 | > | 3 | 3 | 0 | 0 | 1 | > | 4 | 4 | 0 | 0 | 0 | > | 5 | 1 | 1 | 0 | 0 | > | 6 | 2 | 0 | 1 | 0 | > | 7 | 3 | 0 | 0 | 1 | > > In dit voorbeeld is Kwartier 4 de referentiecategorie. Als alle dummyvariabelen (Q1, Q2, Q3) 0 zijn, impliceert dit dat de observatie tot Kwartier 4 behoort [30](#page=30). Alternatief voor ANOVA kan regressie met dummycodes worden gebruikt om de effecten van categorische variabelen te analyseren [29](#page=29). ### 4.2 Goodness of fit (R-kwadraat) De "goodness of fit" van een regressiemodel, en in het bijzonder het R-kwadraat ($R^2$), meet het proportionele deel van de variatie in de afhankelijke variabele (Y) dat wordt verklaard door de onafhankelijke variabele(n) (X) in het regressiemodel [31](#page=31). * Als de fit perfect is, is de fout altijd nul, wat resulteert in een $R^2$ van 1 [31](#page=31). * Als X de variatie in Y helemaal niet helpt verklaren, is $R^2$ 0 [31](#page=31). * De formule voor $R^2$ is: $$R^2 = \frac{\text{Variatie verklaard door de X's}}{\text{Variatie van de Y's}} = \frac{\text{Variation}(a + bX)}{\text{Variation}(Y)}$$ * De waarde van $R^2$ ligt altijd tussen 0 en 1, dus $0 \le R^2 \le 1$ [31](#page=31). > **Voorbeeld:** In een eerder model werd de verkoopprijs van Minute Maid als onafhankelijke variabele gebruikt om de verkoop van Minute Maid te verklaren. Het regressiemodel was $\hat{Y} = 1092.774 – 377.088 X$, wat kan worden geïnterpreteerd als `Verkoop = 1093 + (-377 × Prijs)`. Dit model verklaart een deel van de variatie in de verkoop, en de $R^2$ zou de proportie van die variatie aangeven [31](#page=31) [32](#page=32). ### 4.3 Meervoudige regressie Meervoudige regressie breidt het concept van enkelvoudige regressie uit door het mogelijk te maken meerdere onafhankelijke variabelen tegelijkertijd in het model op te nemen. Dit is nuttig wanneer een afhankelijke variabele wordt beïnvloed door meer dan één factor [33](#page=33) [34](#page=34). > **Voorbeeld:** Om de verkoopprijs van Minute Maid beter te modelleren, kan rekening worden gehouden met het gedrag van concurrenten. Een meervoudig regressiemodel kan de volgende vorm aannemen [33](#page=33): > > $$S_t = \alpha + \beta_1 P_{\text{mm}} + \beta_2 P_{\text{tp}} + \beta_3 P_{\text{tr}} + \beta_4 P_{\text{sb}} + \epsilon_t$$ > > Dit model verklaart de verkoop ($S_t$) als functie van de prijs van Minute Maid ($P_{\text{mm}}$), de prijs van "TP" ($P_{\text{tp}}$), de prijs van "TR" ($P_{\text{tr}}$), en de prijs van "SB" ($P_{\text{sb}}$), samen met een intercept ($\alpha$) en een foutterm ($\epsilon_t$) [35](#page=35). > > Een specifieke regressieuitkomst voor dit model zou kunnen zijn: > `Verkoop = 289 + (-479 × MMprijs) + (131 × TPprijs) + (175 × TRprijs) + (144 × SBprijs)` [35](#page=35). Het uitvoeren van meervoudige regressie vereist de naleving van specifieke assumpties. Een "groot verschil tussen theorie en praktijk" wordt benadrukt, wat aangeeft dat de toepassing in de praktijk complex kan zijn [36](#page=36). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Correlatie | Een statistische maat die de lineaire relatie tussen twee variabelen beschrijft. De correlatiecoëfficiënt varieert tussen -1 en 1, waarbij 1 perfecte positieve lineaire correlatie aangeeft, -1 perfecte negatieve lineaire correlatie, en 0 geen lineaire correlatie. | | Regressieanalyse | Een statistische methode die wordt gebruikt om de relatie tussen een afhankelijke variabele en een of meer onafhankelijke variabelen te modelleren en te analyseren, met als doel voorspellingen te doen en de invloed van de onafhankelijke variabelen te kwantificeren. | | Afhankelijke variabele | De variabele die wordt voorspeld of verklaard in een regressieanalyse. Deze wordt vaak aangeduid met Y of als de responsvariabele. | | Onafhankelijke variabele | Een variabele die wordt gebruikt om de afhankelijke variabele te voorspellen of te verklaren in een regressieanalyse. Deze wordt vaak aangeduid met X of als de verklarende variabele. | | Causaliteit | Het concept dat aangeeft dat een verandering in één variabele direct een verandering in een andere variabele veroorzaakt. Correlatie impliceert niet noodzakelijkerwijs causaliteit. | | Nullhypothese | Een stelling die wordt getoetst in statistische inferentie. Bij correlatie en regressie is de nullhypothese vaak dat er geen relatie of verband bestaat tussen de variabelen (bijv. $r=0$ of $\beta=0$). | | Alternatieve hypothese | De hypothese die wordt aangenomen als de nullhypothese verworpen wordt. Bij correlatie en regressie is dit vaak dat er wel een relatie of verband bestaat tussen de variabelen (bijv. $r \neq 0$ of $\beta \neq 0$). | | Intercept (a) | In een lineaire regressievergelijking is de intercept de verwachte waarde van de afhankelijke variabele wanneer alle onafhankelijke variabelen gelijk zijn aan nul. | | Helling (b of $\beta$) | De helling in een lineaire regressievergelijking geeft de verwachte verandering in de afhankelijke variabele aan voor elke eenheidstoename in de betreffende onafhankelijke variabele, uitgaande van constante waarden voor andere onafhankelijke variabelen. | | Residu | Het verschil tussen de waargenomen waarde van de afhankelijke variabele en de voorspelde waarde van de afhankelijke variabele door het regressiemodel. Het representeert de onverklaarde variatie. | | Dummyvariabele | Een categorische variabele die is omgezet in een numerieke variabele met twee waarden (meestal 0 en 1) om de aanwezigheid of afwezigheid van een bepaalde categorie te representeren in een regressieanalyse. | | R-kwadraat ($R^2$) | Een maat voor de 'goodness of fit' van een regressiemodel. Het vertegenwoordigt het aandeel van de totale variatie in de afhankelijke variabele dat wordt verklaard door de onafhankelijke variabele(n) in het model. De waarde varieert tussen 0 en 1. | | Meervoudige regressie | Een regressiemodel dat meer dan één onafhankelijke variabele gebruikt om de afhankelijke variabele te voorspellen of te verklaren. |

# Inleiding tot statistiek en studieverloop Deze studiehandleiding biedt een overzicht van de cursus Statistiek III, inclusief de cursusinhoud, beoordelingscriteria en organisatorische informatie, voortbouwend op eerdere delen van de reeks. ### 1.1 Voorkennis: Statistiek I en II De cursus bouwt voort op de concepten uit eerdere statistiekcursussen: * **Statistiek I: Meetschalen en beschrijvende statistiek** * Ordeningstechnieken (tabellen en figuren). * Reductietechnieken (statistische grootheden: positie, spreiding, vorm). * Associatietechnieken (spreidingsdiagrammen, contingentietabellen, correlatie). * **Statistiek II: Kansrekening en inferentiële statistiek** * Kansrekening: de studie van toeval. * Steekproevenverdelingen (Sampling distributions). * Inleiding tot inferentie: betrouwbaarheidsintervallen, overschrijdingskansen, significantietoetsen. * Inductieve technieken: schatten (betrouwbaarheidsintervallen) van populatiekenmerken op basis van steekproeven. ### 1.2 Steekproevenverdelingen van het steekproefgemiddelde Dit concept is cruciaal voor inferentiële statistiek, omdat het ons toestaat uitspraken te doen over de populatie op basis van een steekproef. * **Definitie en eigenschappen:** * De steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde beschrijft de verdeling van de gemiddelden van alle mogelijke steekproeven van een bepaalde grootte ($n$) getrokken uit een populatie. * **Verwachting:** De verwachte waarde van de steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde is gelijk aan het populatiegemiddelde ($\\mu$). $$ E(\\bar{X}) = \\mu $$ * **Standaarddeviatie (Standaardfout):** De standaarddeviatie van de steekproevenverdeling, ook wel de standaardfout van het gemiddelde genoemd, is kleiner dan de populatiestandaarddeviatie ($\\sigma$). $$ SE = \\sigma\_{\\bar{X}} = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} $$ Dit betekent dat de steekproevenverdeling minder gespreid is dan de populatieverdeling. * **Centrale Limietstelling:** * **Voor normaal verdeelde populaties:** Als de populatie normaal verdeeld is met gemiddelde $\\mu$ en standaardafwijking $\\sigma$, dan is de steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde ($\\bar{X}$) ook normaal verdeeld met gemiddelde $\\mu$ en standaarddeviatie $\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$, ongeacht de steekproefgrootte ($n$). $$ \\text{Indien } X \\sim N(\\mu, \\sigma^2) \\text{, dan } \\bar{X} \\sim N\\left(\\mu, \\frac{\\sigma^2}{n}\\right) $$ * **Voor willekeurig verdeelde populaties:** Als de populatie willekeurig verdeeld is met gemiddelde $\\mu$ en standaardafwijking $\\sigma$, en de steekproefgrootte ($n$) voldoende groot is (vuistregel: $n \\geq 30$), dan benadert de steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde ($\\bar{X}$) een normaalverdeling met gemiddelde $\\mu$ en standaarddeviatie $\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$. $$ \\text{Indien } n \\text{ groot genoeg is, dan } \\bar{X} \\approx N\\left(\\mu, \\frac{\\sigma^2}{n}\\right) $$ ### 1.3 Betrouwbaarheidsintervallen Een betrouwbaarheidsinterval (BI) is een geschat interval rond een steekproefstatistiek (zoals het steekproefgemiddelde) dat waarschijnlijk de corresponderende populatieparameter (zoals het populatiegemiddelde) bevat. * **Concept:** Een BI geeft een bereik aan waarbinnen we met een bepaalde waarschijnlijkheid (het betrouwbaarheidsniveau) de ware populatiewaarde verwachten te vinden. Het helpt om de onzekerheid rond de schatting te kwantificeren. * **Relatie met steekproevenverdeling:** De breedte van het betrouwbaarheidsinterval wordt beïnvloed door de standaardfout van het gemiddelde ($\\sigma\_{\\bar{X}}$), die afhangt van de populatiestandaardafwijking ($\\sigma$) en de steekproefgrootte ($n$). * **Grotere steekproef ($n$):** Leidt tot een kleinere standaardfout en dus een smaller (precieser) betrouwbaarheidsinterval. * **Grotere spreiding in de populatie ($\\sigma$):** Leidt tot een grotere standaardfout en dus een breder (minder precies) betrouwbaarheidsinterval. * **Voorbeeld (SAT scores):** Een betrouwbaarheidsinterval van 95% voor de SAT math scores kan bijvoorbeeld tussen 461 - 9 en 461 + 9 punten liggen. Dit betekent dat we met 95% betrouwbaarheid kunnen zeggen dat het populatiegemiddelde van de SAT math scores tussen 452 en 470 ligt. De breedte van dit interval ($2 \\times 9 = 18$ punten) is gebaseerd op de 68-95-99.7-regel, waarbij 95% van de steekproefgemiddelden niet verder dan ongeveer twee standaardfouten ($\\text{2} \\times SE$) van het populatiegemiddelde ($\\mu$) verwijderd ligt. ### 1.4 Hypothesetoetsing: Z-toets voor onafhankelijke steekproeven Hypothesetoetsing is een methode om te bepalen of er voldoende bewijs is in een steekproef om een bewering over een populatie te ondersteunen of te verwerpen. * **Doel:** Het vergelijken van gemiddelden van twee onafhankelijke populaties. * Bijvoorbeeld: het vergelijken van de gemiddelde SAT scores tussen "gewone" studenten en "slimmeriken". * **Nulhypothese ($H\_0$):** Stelt dat er geen verschil is tussen de populatieparameters (bv. $\\mu\_1 = \\mu\_2$ of $\\mu\_1 - \\mu\_2 = 0$). * **Alternatieve hypothese ($H\_a$):** Stelt dat er wel een verschil is (bv. $\\mu\_1 \\neq \\mu\_2$, $\\mu\_1 < \\mu\_2$, of $\\mu\_1 > \\mu\_2$). * **Z-toets:** Gebruikt de z-verdeling om de waarschijnlijkheid te beoordelen dat een waargenomen verschil in steekproefgemiddelden te wijten is aan toeval, gegeven de nulhypothese. De toetsingsgrootheid is de z-score. $$ z = \\frac{(\\bar{x}\_1 - \\bar{x}\_2) - (\\mu\_1 - \\mu\_2)\_0}{\\sqrt{\\frac{\\sigma\_1^2}{n\_1} + \\frac{\\sigma\_2^2}{n\_2}}} $$ Hierbij is $(\\mu\_1 - \\mu\_2)\_0$ het verschil onder de nulhypothese (meestal 0). * **Significante resultaten:** Als de berekende z-waarde leidt tot een p-waarde die kleiner is dan het vooraf bepaalde significantieniveau ($\\alpha$), wordt de nulhypothese verworpen. Dit suggereert dat het waargenomen verschil waarschijnlijk niet door toeval wordt veroorzaakt. * **Voorbeeld:** Een z-score van 8.72 met een p-waarde kleiner dan 0.001 ($p < .001$) suggereert een significant verschil tussen de gemiddelde scores van "gewone" studenten en "slimmeriken", waarbij de "gewone" studenten significant lagere scores behalen. #### 1.5.1 Significantietoets in 4 stappen 1. **Formuleer de nul- en de alternatieve hypothesen ($H\_0$ en $H\_a$).** 2. **Bepaal de waarde van de toetsingsgrootheid** (bv. de z-score). 3. **Bepaal de overschrijdingskans (p-waarde) voor de toetsingsgrootheid** (theoretisch of via resampling). 4. **Formuleer de conclusie** in APA-stijl. ### 1.5 Onderscheidingsvermogen (Power) Het onderscheidingsvermogen, of de power van een toets, is de kans dat de toets de nulhypothese correct verwerpt wanneer de alternatieve hypothese waar is. Het is de kans om een werkelijk effect te detecteren. * **Definitie:**$$ \\text{Power} = 1 - \\beta $$ waarbij $\\beta$ de kans is op een Type II-fout (het niet verwerpen van $H\_0$ terwijl $H\_a$ waar is). * **Fouten bij hypothesetoetsing:** * **Type I-fout ($\\alpha$):** Ten onrechte $H\_0$ verwerpen terwijl $H\_0$ waar is. Dit is gelijk aan het significantieniveau van de toets. * **Type II-fout ($\\beta$):** $H\_0$ niet verwerpen terwijl $H\_a$ waar is. * **Factoren die het onderscheidingsvermogen beïnvloeden:** * **Effectgrootte:** Hoe groter het werkelijke verschil tussen de populatieparameters (onder $H\_a$), hoe groter het onderscheidingsvermogen. * **Steekproefgrootte ($n$):** Een grotere steekproefgrootte verhoogt het onderscheidingsvermogen. * **Significantieniveau ($\\alpha$):** Een hogere $\\alpha$ verhoogt het onderscheidingsvermogen, maar verhoogt ook de kans op een Type I-fout. * **Spreiding in de populatie ($\\sigma$):** Een kleinere spreiding verhoogt het onderscheidingsvermogen. * **Illustratie (Brildragersproef):** * De populatie van niet-brildragers heeft een gemiddelde afwijking van 0 cm met een standaardafwijking van 0.5 cm ($N(0, 0.5)$). * De onderzoeker vermoedt dat brildragers een systematische fout maken van + 2 millimeter (0.2 cm), wat een gemiddelde afwijking zou geven van 0.3 cm ($N(0.3, 0.5)$). * Brildragers worden uitgesloten als hun gemiddelde afwijking in een steekproef van 35 personen significant groter is dan een kritieke waarde (bepaald door $\\alpha$). * De kritieke waarde voor het gemiddelde steekproefgemiddelde bij een $\\alpha$ van bijvoorbeeld 0.05 (voor een eenzijdige toets) is ongeveer 0.1386 cm. * Als de ware gemiddelde afwijking van brildragers 0.3 cm is, dan is de kans dat een steekproefgemiddelde deze kritieke waarde overschrijdt (en de nulhypothese dus verworpen wordt) het onderscheidingsvermogen. $$ P(\\bar{X} > 0.1386 | \\mu = 0.3) $$ Dit kan berekend worden met een z-toets onder de alternatieve hypothese: $$ z = \\frac{0.1386 - 0.3}{0.5 / \\sqrt{35}} \\approx -1.91 $$ Het onderscheidingsvermogen is dan $P(Z > -1.91) \\approx 0.9719$. * Dit betekent dat als de werkelijke gemiddelde afwijking van brildragers 0.3 cm is, de toets in ongeveer 97% van de gevallen correct zal detecteren dat brildragers een afwijkend gedrag vertonen. #### 1.5.1 Visualisatie van fouten en onderscheidingsvermogen De relatie tussen de nulhypothese ($H\_0$, blauwe curve) en de alternatieve hypothese ($H\_a$, rode curve) wordt visueel voorgesteld: * **Overlap:** Een grotere overlap tussen de verdelingen van $H\_0$ en $H\_a$ duidt op een kleinere effectgrootte en dus een lager onderscheidingsvermogen (meer kans op Type II-fouten). * **Significantieniveau ($\\alpha$):** Een kleiner $\\alpha$ verplaatst de kritieke waarde naar rechts, wat leidt tot een grotere kans op Type II-fouten ($\\beta$) en dus een lager onderscheidingsvermogen ($1-\\beta$). Een groter $\\alpha$ verhoogt het onderscheidingsvermogen, maar ook de kans op een Type I-fout. * **Steekproefgrootte ($n$) en spreiding ($\\sigma$):** Een grotere $n$ en kleinere $\\sigma$ verkleinen de standaardfout, waardoor de verdelingen van $H\_0$ en $H\_a$ minder overlappen en het onderscheidingsvermogen toeneemt. ### 1.6 Beslissingsfouten Bij het toepassen van statistische toetsen kunnen twee soorten fouten worden gemaakt: * **Type I-fout:** Het onterecht verwerpen van de nulhypothese ($H\_0$), ook wel een "vals positief" genoemd. De kans hierop is gelijk aan het significantieniveau ($\\alpha$). * **Type II-fout:** Het onterecht niet verwerpen van de nulhypothese ($H\_0$), ook wel een "vals negatief" genoemd. De kans hierop is $\\beta$. De consequenties van deze fouten moeten worden afgewogen bij het kiezen van het significantieniveau $\\alpha$. ### 1.7 Samenvatting van de belangrijkste concepten * **Steekproevenverdelingen:** Beschrijven de variabiliteit van steekproefstatistieken. De Centrale Limietstelling is essentieel voor de normaliteit van deze verdelingen. * **Betrouwbaarheidsintervallen:** Bieden een bereik voor populatieparameters met een gespecificeerd betrouwbaarheidsniveau. * **Hypothesetoetsing:** Een gestructureerde methode om conclusies te trekken over populaties op basis van steekproefgegevens, met aandacht voor de kans op fouten (Type I en Type II). * **Onderscheidingsvermogen (Power):** De kans om een werkelijk effect te detecteren, cruciaal voor het ontwerpen van studies met voldoende sensitiviteit. Deze elementen vormen de basis voor het begrijpen en toepassen van statistische inferentie. * * * # Steekproevenverdelingen en betrouwbaarheidsintervallen Steekproevenverdelingen en betrouwbaarheidsintervallen vormen de kern van inferentiële statistiek door inzicht te geven in de relatie tussen steekproefkenmerken en populatieparameters. ## 2 Steekproevenverdelingen en betrouwbaarheidsintervallen ### 2.1 Steekproevenverdelingen Een steekproevenverdeling beschrijft de verdeling van een statistiek (zoals het steekproefgemiddelde) die verkregen is uit alle mogelijke steekproeven van een specifieke grootte, getrokken uit een populatie. #### 2.1.1 Verwachting en standaarddeviatie van steekproefgemiddelden Wanneer we herhaaldelijk enkelvoudige aselecte steekproeven (SRS) van grootte $n$ trekken uit een populatie met gemiddelde $\\mu$ en standaardafwijking $\\sigma$, geldt het volgende voor de steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde $\\bar{X}$: * De verwachting (het gemiddelde) van de steekproevenverdeling is gelijk aan het populatiegemiddelde: $$ E(\\bar{X}) = \\mu $$ * De standaarddeviatie van de steekproevenverdeling, ook wel de standaardfout (SE) genoemd, is kleiner dan de populatiestandaardafwijking en wordt kleiner naarmate de steekproefgrootte toeneemt: $$ SE(\\bar{X}) = \\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}} $$ #### 2.1.2 Steekproevenverdeling van een steekproefgemiddelde De steekproevenverdeling van een steekproefgemiddelde is gecentreerd rond het populatiegemiddelde $\\mu$ en is minder gespreid dan de populatieverdeling. #### 2.1.3 Centrale limietstelling De centrale limietstelling (CLT) is fundamenteel voor het begrijpen van steekproevenverdelingen: * **Als de populatie normaal verdeeld is:** De steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde $\\bar{X}$ is ook normaal verdeeld, ongeacht de steekproefgrootte $n$. * **Als de populatie willekeurig verdeeld is:** De steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde $\\bar{X}$ benadert een normale verdeling naarmate de steekproefgrootte $n$ groot genoeg is. Een veelgebruikte vuistregel is $n \\ge 30$. > **Tip:** De CLT is cruciaal omdat het ons toestaat om de normale verdeling te gebruiken voor inferentie, zelfs als we de vorm van de oorspronkelijke populatieverdeling niet kennen. #### 2.1.4 Illustratie met de Scholastic Aptitude Test (SAT) De SAT-wiskunde sectie dient als een illustratief voorbeeld. Stel dat de populatiegemiddelde SAT-score $\\mu$ gelijk is aan 500. Als we herhaaldelijk steekproeven trekken, zullen de steekproefgemiddelden rond de 500 gecentreerd zijn, met een spreiding die afhangt van de standaardfout. De 68-95-99.7-regel kan worden toegepast op de steekproevenverdeling; dit impliceert dat 95% van de steekproefgemiddelden niet verder dan ongeveer twee standaardfouten van het populatiegemiddelde $\\mu$ ligt. ### 2.2 Betrouwbaarheidsintervallen Een betrouwbaarheidsinterval (BI) is een reeks waarden die, met een bepaalde mate van waarschijnlijkheid, het werkelijke populatieparameter bevat. Het wordt geconstrueerd rondom een steekproefstatistiek. #### 2.2.1 Constructie en interpretatie van een betrouwbaarheidsinterval Een betrouwbaarheidsinterval wordt opgebouwd rond een steekproefgemiddelde $\\bar{X}$ en wordt bepaald door de volgende componenten: * **Steekproefgemiddelde ($\\bar{X}$):** De puntschatting van het populatiegemiddelde. * **Standaardfout (SE):** De standaardafwijking van de steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde ($\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$). * **Betrouwbaarheidsniveau (bv. 95%):** Dit is de kans dat een herhaaldelijk getrokken interval het werkelijke populatieparameter zal bevatten. Dit niveau wordt bepaald door een $\\alpha$\-waarde (significantieniveau), waarbij $\\alpha = 1 - \\text{betrouwbaarheidsniveau}$. Een algemene formule voor een betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde $\\mu$ is: $$ \\bar{X} \\pm \\text{kritieke waarde} \\times SE(\\bar{X}) $$ De kritieke waarde wordt bepaald door het gekozen betrouwbaarheidsniveau en de verdeling (vaak de normale verdeling of de t-verdeling). **Voorbeeld SAT:** Als een steekproefgemiddelde SAT-score $\\bar{X}$ wordt gevonden en de standaardfout bekend is, kunnen we een betrouwbaarheidsinterval construeren. Als we bijvoorbeeld een 95% betrouwbaarheidsinterval berekenen rond een steekproefgemiddelde van 461, en de halve breedte van dit interval is 9 punten, dan ligt het populatiegemiddelde van de SAT-scores met 95% betrouwbaarheid tussen $461 - 9 = 452$ en $461 + 9 = 470$. #### 2.2.2 Invloed van steekproefgrootte op het betrouwbaarheidsinterval * **Grotere steekproefgrootte ($n$):** Leidt tot een kleinere standaardfout ($\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$). Hierdoor wordt het betrouwbaarheidsinterval smaller, wat resulteert in een preciezere schatting van het populatiegemiddelde. * **Kleinere steekproefgrootte ($n$):** Leidt tot een grotere standaardfout, waardoor het betrouwbaarheidsinterval breder wordt. #### 2.2.3 Invloed van de $\\alpha$\-waarde op het betrouwbaarheidsinterval * **Hoger betrouwbaarheidsniveau (lagere $\\alpha$):** Vereist een grotere kritieke waarde, wat resulteert in een breder betrouwbaarheidsinterval. Dit betekent dat we meer zekerheid hebben dat het interval de populatieparameter bevat, maar de schatting is minder precies. * **Lager betrouwbaarheidsniveau (hogere $\\alpha$):** Vereist een kleinere kritieke waarde, wat resulteert in een smaller betrouwbaarheidsinterval. De schatting is preciezer, maar met minder zekerheid. #### 2.2.4 Gebruik van de normale verdeling in betrouwbaarheidsintervallen Wanneer de populatiestandaardafwijking $\\sigma$ bekend is of de steekproefgrootte groot is ($n \\ge 30$), kan de z-verdeling (standaard normale verdeling) worden gebruikt om de kritieke waarden te bepalen. De breedte van het interval wordt bepaald door de z-score die overeenkomt met het gewenste betrouwbaarheidsniveau, vermenigvuldigd met de standaardfout. #### 2.2.5 Betrouwbaarheidsinterval en populatiegemiddelde Het betrouwbaarheidsinterval biedt een bereik van waarden waarin we redelijkerwijs verwachten dat het ware populatiegemiddelde ($\\mu$) zich bevindt, gegeven de steekproefdata. Het is een schatting gebaseerd op de beschikbare informatie, met een specifieke kans op correctheid. ### 2.3 Onderscheidingsvermogen en fouten in hypothesetoetsing Hoewel dit deels betrekking heeft op hypothesetoetsing, is de conceptuele link met steekproevenverdelingen en betrouwbaarheidsintervallen significant. Fouten in hypothesetoetsing vloeien voort uit de inherente onzekerheid bij het infereren van een populatie op basis van een steekproef. #### 2.3.1 Soorten fouten Er zijn twee hoofdtypes van fouten bij hypothesetoetsing: * **Type I-fout ( $\\alpha$ ):** Het onterecht verwerpen van de nulhypothese ($H\_0$) wanneer deze waar is. De kans op deze fout is gelijk aan het significantieniveau $\\alpha$ dat voor de toets is gekozen. * **Type II-fout ( $\\beta$ ):** Het onterecht niet verwerpen van de nulhypothese ($H\_0$) wanneer de alternatieve hypothese ($H\_a$) waar is. Dit wordt ook wel een 'vals negatief' genoemd. #### 2.3.2 Onderscheidingsvermogen (Power) Het onderscheidingsvermogen, ook wel 'power' genoemd, is de kans dat een hypothesetoets de nulhypothese ($H\_0$) correct verwerpt wanneer de alternatieve hypothese ($H\_a$) waar is. Het is gelijk aan $1 - \\beta$. * **Hoger onderscheidingsvermogen:** Een grotere kans om een werkelijk effect of verschil te detecteren wanneer dit aanwezig is. * **Verhogen van het onderscheidingsvermogen:** Dit kan worden bereikt door: * De steekproefgrootte $n$ te verhogen. * De effectgrootte te vergroten (het verschil tussen de hypothesen). * Het significantieniveau $\\alpha$ te verhogen (wat echter de kans op een Type I-fout vergroot). #### 2.3.3 Relatie tussen $\\alpha$ en onderscheidingsvermogen Er is een afweging tussen het risico op een Type I-fout ($\\alpha$) en het onderscheidingsvermogen ($1-\\beta$). Een kleinere $\\alpha$ (meer conservatief) verhoogt de kans op een Type II-fout ($\\beta$) en verlaagt het onderscheidingsvermogen. Een grotere $\\alpha$ verlaagt de kans op een Type II-fout en verhoogt het onderscheidingsvermogen, maar vergroot het risico op een Type I-fout. #### 2.3.4 Invloed van steekproefgrootte en standaardafwijking op onderscheidingsvermogen * **Steekproefgrootte ($n$):** Een grotere $n$ verkleint de standaardfout, waardoor de steekproevenverdelingen onder $H\_0$ en $H\_a$ verder uit elkaar komen te liggen. Dit vergroot het onderscheidingsvermogen. * **Standaardafwijking ($\\sigma$):** Een kleinere $\\sigma$ leidt tot smallere steekproevenverdelingen, waardoor de scheiding tussen de verdelingen onder $H\_0$ en $H\_a$ toeneemt en het onderscheidingsvermogen wordt vergroot. > **Tip:** Bij het plannen van onderzoek is het belangrijk om het onderscheidingsvermogen te overwegen om ervoor te zorgen dat het onderzoek in staat is om relevante effecten te detecteren als deze aanwezig zijn. * * * # Hypothesetoetsing en foutenanalyse Hypothesetoetsing is een statistische methode om te bepalen of er voldoende bewijs is om een specifieke claim (hypothese) over een populatie te verwerpen of te behouden, gebaseerd op steekproefgegevens. ## 3\. Hypothesetoetsing en foutenanalyse ### 3.1 Introductie tot hypothesetoetsing Hypothesetoetsing is een procedure waarbij op basis van steekproefgegevens een beslissing wordt genomen over een uitspraak (hypothese) die gedaan is over de populatie. Het is een kernonderdeel van inferentiële statistiek en helpt ons om conclusies te trekken over populaties op basis van beperkte informatie uit steekproeven. ### 3.2 De z-toets voor onafhankelijke steekproeven De z-toets voor onafhankelijke steekproeven wordt gebruikt om de gemiddelden van twee verschillende populaties te vergelijken. Dit is met name relevant wanneer we willen weten of er een significant verschil is tussen de gemiddelde scores van twee groepen. #### 3.2.1 Formuleren van hypothesen Bij hypothesetoetsing is het cruciaal om duidelijke nulhypothesen ($H\_0$) en alternatieve hypothesen ($H\_a$) te formuleren. * **Nulhypothese ($H\_0$):** Stelt dat er geen effect of verschil is. Bij het vergelijken van twee gemiddelden stelt de nulhypothese vaak dat de gemiddelden van de twee populaties gelijk zijn, of dat het verschil tussen hen nul of kleiner dan of gelijk aan nul is. * Voorbeeld: $H\_0: \\mu\_1 - \\mu\_2 \\leq 0$ (Het gemiddelde van populatie 1 is niet groter dan het gemiddelde van populatie 2). * **Alternatieve hypothese ($H\_a$):** Stelt dat er wel een effect of verschil is. Dit is de hypothese die we proberen te bewijzen. * Voorbeeld: $H\_a: \\mu\_1 - \\mu\_2 > 0$ (Het gemiddelde van populatie 1 is groter dan het gemiddelde van populatie 2). #### 3.2.2 Berekening van toetsingsgrootheden De toetsingsgrootheid is een waarde die berekend wordt uit de steekproefgegevens en die aangeeft hoe ver de steekproefresultaten afwijken van wat verwacht zou worden onder de nulhypothese. Voor de z-toets voor onafhankelijke steekproeven wordt de z-score berekend. De formule voor de z-score bij het vergelijken van twee gemiddelden is: $$ Z = \\frac{(\\bar{x}\_1 - \\bar{x}\_2) - (\\mu\_1 - \\mu\_2)\_0}{\\sqrt{\\frac{\\sigma\_1^2}{n\_1} + \\frac{\\sigma\_2^2}{n\_2}}} $$ waarbij: * $\\bar{x}\_1$ en $\\bar{x}\_2$ de steekproefgemiddelden zijn van de twee groepen. * $(\\mu\_1 - \\mu\_2)\_0$ het verschil tussen de populatiegemiddelden onder de nulhypothese is (vaak 0). * $\\sigma\_1$ en $\\sigma\_2$ de populatiestandaardafwijkingen zijn. * $n\_1$ en $n\_2$ de steekproefgroottes zijn. Indien de populatiestandaardafwijkingen ($\\sigma\_1, \\sigma\_2$) onbekend zijn, worden deze vaak geschat met de steekproefstandaardafwijkingen ($s\_1, s\_2$). Als de steekproeven groot genoeg zijn ($n \\ge 30$), kan de z-toets nog steeds als benadering worden gebruikt. > **Tip:** De grootte van de steekproef ($n$) speelt een cruciale rol. Een grotere steekproef leidt tot een kleinere standaardfout van het gemiddelde ($\\frac{\\sigma}{\\sqrt{n}}$), wat de toetsingsgrootheid gevoeliger maakt voor verschillen en de kans op het verwerpen van een valse nulhypothese vergroot. ### 3.3 Significantietoets in 4 stappen Een significatietoets volgt doorgaans een gestructureerd proces: 1. **Formuleer de nul- en de alternatieve hypothesen.** Dit is de eerste stap om de te toetsen vraag duidelijk te definiëren. 2. **Bepaal de waarde van de toetsingsgrootheid.** Bereken de z-score (of een andere relevante toetsingsgrootheid) op basis van de steekproefgegevens. 3. **Bepaal de overschrijdingskans (p-waarde) voor de toetsingsgrootheid.** De p-waarde is de kans om een steekproefresultaat te verkrijgen dat minstens zo extreem is als het waargenomen resultaat, ervan uitgaande dat de nulhypothese waar is. Dit kan theoretisch worden berekend (bv. met behulp van de standaardnormaalverdeling) of via resamplingmethoden. 4. **Formuleer de conclusie in APA-stijl.** Op basis van de p-waarde en een vooraf bepaald significantieniveau ($\\alpha$) wordt een beslissing genomen om de nulhypothese te verwerpen of niet te verwerpen. #### 3.3.1 Conclusie formuleren in APA-stijl Een conclusie in APA-stijl vermeldt doorgaans de gevonden toetsingsgrootheid, de p-waarde en de interpretatie in de context van het onderzoek. * **Voorbeeld:** "Gewone studenten behalen gemiddeld (gem = 461) significant lagere scores dan slimmeriken (gem = 500), $z = 8.72$, $p < .001$." ### 3.4 Foutenanalyse: Type I en Type II fouten Bij hypothesetoetsing is er altijd een kans op het maken van fouten. Er zijn twee soorten fouten te onderscheiden: * **Type I fout (valspositief):** Dit is het onterecht verwerpen van de nulhypothese ($H\_0$) terwijl deze eigenlijk waar is. De kans op een Type I fout is gelijk aan het significantieniveau ($\\alpha$) van de toets. * Consequenties: Je concludeert dat er een effect is, terwijl dat er in werkelijkheid niet is. * **Type II fout (valsnegatief):** Dit is het onterecht niet verwerpen van de nulhypothese ($H\_0$) terwijl deze eigenlijk onjuist is (dus de alternatieve hypothese $H\_a$ is waar). De kans op een Type II fout wordt aangeduid met $\\beta$. * Consequenties: Je concludeert dat er geen effect is, terwijl dat er in werkelijkheid wel is. #### 3.4.1 Onderscheidingsvermogen (Power) Het **onderscheidingsvermogen** (power) van een toets is de kans dat de toets de nulhypothese correct verwerpt wanneer deze onjuist is. Het is gelijk aan $1 - \\beta$. Een hogere power betekent een grotere kans om een werkelijk bestaand effect te detecteren. * **Berekening van het onderscheidingsvermogen:** 1. Bepaal de kritieke waarde van de toetsingsgrootheid onder de nulhypothese ($H\_0$) voor een gegeven significantieniveau ($\\alpha$). 2. Bereken de z-score van deze kritieke waarde onder de alternatieve hypothese ($H\_a$). 3. Het onderscheidingsvermogen is de kans om een toetsingsgrootheid te verkrijgen die groter is dan de kritieke waarde, onder aanname van de alternatieve hypothese. > **Tip:** Het onderscheidingsvermogen kan worden vergroot door: > > * Het significantieniveau ($\\alpha$) te verhogen (maar dit verhoogt ook de kans op een Type I fout). > > * De steekproefgrootte ($n$) te vergroten. > > * De effectgrootte (het werkelijke verschil tussen de populatieparameters) te vergroten. > > * De populatiespreiding ($\\sigma$) te verkleinen. > #### 3.4.2 Invloed van $\\alpha$ en steekproefgrootte op fouten * **Verhogen van $\\alpha$:** Verhoogt de kans op een Type I fout, maar verlaagt de kans op een Type II fout (en vergroot dus het onderscheidingsvermogen). * **Vergroten van de steekproefgrootte ($n$):** Verkleint zowel de kans op een Type I fout (indien de $\\alpha$ constant wordt gehouden) als de kans op een Type II fout, waardoor het onderscheidingsvermogen toeneemt. #### 3.4.3 Illustratie met een voorbeeld: Onderscheidingsvermogen Stel, we onderzoeken de gemiddelde afwijking in een aandachtsproef bij brildragers. De populatie van niet-brildragers heeft een normale verdeling met gemiddelde $\\mu = 0$ en standaardafwijking $\\sigma = 0.5$ cm. De nulhypothese is dat brildragers geen systematische fout maken ($H\_0: \\mu\_{brildragers} = 0$). De alternatieve hypothese is dat brildragers een positieve afwijking hebben ($H\_a: \\mu\_{brildragers} > 0$). We nemen een steekproef van $n=35$ brildragers. * Als de werkelijke gemiddelde afwijking van brildragers $\\mu = 0.3$ cm zou zijn, en we stellen het significantieniveau op $\\alpha = 0.05$ (zodat de kritieke z-waarde $1.64$ is bij een eenzijdige toets), dan kunnen we het onderscheidingsvermogen berekenen. * De standaardfout van het gemiddelde voor de steekproefgrootte $n=35$ is $\\sigma\_{\\bar{x}} = \\frac{0.5}{\\sqrt{35}} \\approx 0.0845$. * De kritieke waarde voor het steekproefgemiddelde is $\\bar{x}\_{kritiek} = z{\\alpha} \\times \\sigma\_{\\bar{x}} = 1.64 \\times 0.0845 \\approx 0.1386$ cm. * Om het onderscheidingsvermogen te berekenen, kijken we naar de kans dat het steekproefgemiddelde groter is dan deze kritieke waarde, \_ervan uitgaande dat de werkelijke gemiddelde afwijking 0.3 cm is. * We berekenen de z-score van de kritieke waarde 0.1386 onder de alternatieve hypothese: $$ z\_{H\_a} = \\frac{\\bar{x}\_{kritiek} - \\mu{H\_a}}{\\sigma\_{\\bar{x}}} = \\frac{0.1386 - 0.3}{0.0845} \\approx -1.91 $$ * De kans op een z-score groter dan -1.91 is $P(Z > -1.91) \\approx 0.9719$. * Dit betekent dat, als de werkelijke gemiddelde afwijking van brildragers 0.3 cm is, de toets in ongeveer 97.19% van de gevallen significant zal zijn (en $H\_0$ correct verworpen zal worden). Dit is het onderscheidingsvermogen (power) van de toets onder deze specifieke alternatieve hypothese. Dit illustreert hoe een groter verschil tussen de nulhypothese en de alternatieve hypothese, gecombineerd met een voldoende grote steekproef, leidt tot een hoog onderscheidingsvermogen. * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Meetscalaten | Een meetscala definieert de eigenschappen van numerieke gegevens, variërend van nominale (categorieën zonder rangorde) tot ratio (met een absoluut nulpunt). Ze bepalen welke statistische bewerkingen zinvol zijn. | | Beschrijvende Statistiek | Een tak van de statistiek die zich bezighoudt met het samenvatten, organiseren en presenteren van gegevens op een zinvolle manier, vaak met behulp van tabellen, grafieken en samenvattende maten zoals gemiddelde en standaardafwijking. | | Ordeningstechnieken | Methoden om gegevens te structureren en te presenteren, zoals het maken van tabellen en het visualiseren van gegevens in figuren, om patronen en verdelingen te onthullen. | | Reductietechnieken | Statistische methoden die grote datasets samenvatten tot enkele belangrijke kenmerken of maten, zoals centrale tendens (positie), spreiding en vorm van de verdeling. | | Associatietechnieken | Statistische methoden die de relatie tussen twee of meer variabelen onderzoeken, bijvoorbeeld door middel van spreidingsdiagrammen, contingentietabellen en correlatiecoëfficiënten. | | Kansrekening | De wiskundige studie van toeval en onzekerheid, die de basis vormt voor inferentiële statistiek door de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen te kwantificeren. | | Steekproevenverdelingen | Een kansverdeling van een statistiek (zoals het steekproefgemiddelde) die wordt verkregen door herhaaldelijk steekproeven van een bepaalde grootte uit een populatie te trekken. | | Inferentiële statistiek | Een tak van de statistiek die conclusies trekt over een populatie op basis van gegevens uit een steekproef, met behulp van technieken zoals schatten en hypothesetoetsen. | | Betrouwbaarheidsinterval | Een reeks waarden die naar verwachting een populatieparameter bevat, met een gespecificeerd betrouwbaarheidsniveau (bijvoorbeeld 95%). Het geeft een bereik aan waarin de werkelijke waarde waarschijnlijk ligt. | | Overschrijdingskans | De waarschijnlijkheid dat een toetsingsgrootheid een waarde aanneemt die extremer is dan de waargenomen waarde, gegeven dat de nulhypothese waar is. Dit wordt ook wel de p-waarde genoemd. | | Significantietoetsen | Statistische procedures die worden gebruikt om te bepalen of de resultaten van een studie voldoende bewijs leveren om de nulhypothese te verwerpen ten gunste van een alternatieve hypothese. | | Populatie | De volledige verzameling van individuen, objecten of gebeurtenissen waarin men geïnteresseerd is voor een studie. | | Steekproefgemiddelde | Het gemiddelde van de waarden in een steekproef, gebruikt als schatter voor het populatiegemiddelde. | | Verwachting (van steekproefgemiddelden) | Het gemiddelde van alle mogelijke steekproefgemiddelden, dat gelijk is aan het populatiegemiddelde. | | Standaarddeviatie (van steekproefgemiddelden) | De standaardafwijking van de steekproevenverdeling van het steekproefgemiddelde, ook wel de standaardfout van het gemiddelde genoemd. | | Centrale Limietstelling | Een fundamentele stelling in de kansrekening die stelt dat de verdeling van steekproefgemiddelden van voldoende grote steekproeven, ongeacht de oorspronkelijke populatieverdeling, bij benadering normaal verdeeld is. | | Enkelvoudige Aselecte Steekproef (SRS) | Een steekproefmethode waarbij elk individu in de populatie een gelijke kans heeft om geselecteerd te worden, en elke mogelijke combinatie van individuen van dezelfde grootte ook een gelijke kans heeft. | | µ | Symbool voor het populatiegemiddelde. | |  | Symbool voor de populatiestandaardafwijking. | | BI (Betrouwbaarheidsinterval) | Afkorting voor Betrouwbaarheidsinterval. | | SP (Steekproef) | Afkorting voor Steekproef. | | SAT (Scholastic Aptitude Test) | Een gestandaardiseerde test die wordt gebruikt voor toelating tot universiteiten in de Verenigde Staten, vaak als voorbeeld in statistische lessen. | | Hypothesetoets | Een statistische procedure om te evalueren of er voldoende bewijs is in een steekproef om de nulhypothese te verwerpen. | | z-toets | Een statistische toets die wordt gebruikt om te bepalen of twee populatiegemiddelden significant van elkaar verschillen, wanneer de populatiestandaardafwijkingen bekend zijn of de steekproefgrootte groot is. | | Nulhypothese (H0) | Een bewering over een populatieparameter die wordt aangenomen als waar totdat er voldoende bewijs is om deze te verwerpen. Het stelt vaak dat er geen effect, geen verschil of geen relatie is. | | Alternatieve hypothese (Ha) | Een bewering die het tegendeel stelt van de nulhypothese. Het stelt dat er wel een effect, verschil of relatie is. | | z-score | Een gestandaardiseerde score die aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een bepaald datapunt verwijderd is van het gemiddelde van de verdeling. | | p-waarde | De kans om een toetsingsgrootheid te observeren die minstens zo extreem is als de waargenomen toetsingsgrootheid, aannemende dat de nulhypothese waar is. | | Onderscheidingsvermogen (Power) | De kans dat een statistische toets de nulhypothese correct verwerpt wanneer de alternatieve hypothese waar is. Het is gelijk aan 1-β (beta), waarbij β de kans op een Type II fout is. | | Type I fout (alfa) | Het ten onrechte verwerpen van de nulhypothese wanneer deze waar is. Het significantieniveau van de test (α) is de kans op een Type I fout. | | Type II fout (beta) | Het niet verwerpen van de nulhypothese wanneer deze vals is. De kans op een Type II fout wordt aangeduid met β. | | Significantieniveau (α) | Het vooraf bepaalde waarschijnlijkheidsniveau dat wordt gebruikt om te beslissen of een resultaat statistisch significant is. Het vertegenwoordigt de maximale kans op een Type I fout die men bereid is te accepteren. | | Kritieke waarde | De grenswaarde in een steekproevenverdeling die wordt gebruikt om te beslissen of de nulhypothese wordt verworpen. Het is de grens die het significantieniveau (α) afbakent. | | µ0 | De waarde van het populatiegemiddelde onder de nulhypothese. | | µA | De waarde van het populatiegemiddelde onder de alternatieve hypothese. | | Effectgrootte | Een maat die de omvang van het verschil of de relatie tussen variabelen kwantificeert, onafhankelijk van de steekproefgrootte. |

# Inferentie over de verwachting van één populatie met een geschatte standaardafwijking Hieronder vind je een gedetailleerd overzicht van inferentie over de verwachting van één populatie met een geschatte standaardafwijking, opgesteld als een studiehandleiding voor examens. ## 1. Inferentie over de verwachting van één populatie met een geschatte standaardafwijking Dit onderdeel behandelt statistische inferentie voor het populatiegemiddelde wanneer de populatiestandaardafwijking onbekend is, waarbij de t-verdeling centraal staat. ### 1.1 De t-verdeling Wanneer de populatiestandaardafwijking ($\sigma$) onbekend is en geschat wordt met de steekproefstandaardafwijking ($s$), wordt de steekproevenverdeling van het gemiddelde niet langer beschreven door de standaardnormaalverdeling, maar door de t-verdeling. * **Kenmerken van de t-verdeling:** * Symmetrisch rond nul. * Een enkele top bij $0$. * Dikkere staarten dan de standaardnormaalverdeling. Dit betekent dat er meer kans is op extreme waarden in vergelijking met de $z$-verdeling. * **Vrijheidsgraden (degrees of freedom, $df$):** * De vorm van de t-verdeling hangt af van het aantal vrijheidsgraden. Voor inferentie over de verwachting van één populatie is het aantal vrijheidsgraden gelijk aan $df = n - 1$, waarbij $n$ de steekproefgrootte is. * Naarmate het aantal vrijheidsgraden toeneemt, benadert de t-verdeling de standaardnormaalverdeling. * **Kritieke waarden ($t^\ast$):** * Kritieke waarden voor de t-verdeling, afhankelijk van het aantal vrijheidsgraden en het gewenste betrouwbaarheidsniveau, worden opgezocht in Tabel D (vaak te vinden in appendices van statistiekhandboeken). > **Tip:** De dikkere staarten van de t-verdeling corrigeren voor de extra onzekerheid die ontstaat door het schatten van $\sigma$ met $s$. Dit leidt tot bredere betrouwbaarheidsintervallen en een grotere kans op het niet verwerpen van de nulhypothese (minder onderscheidingsvermogen) vergeleken met een $z$-test met bekende $\sigma$. ### 1.2 1-steekproef t-betrouwbaarheidsinterval Het betrouwbaarheidsinterval (BI) voor de populatieverwachting $\mu$, wanneer $\sigma$ onbekend is, volgt een vergelijkbare logica als bij een bekende $\sigma$, maar maakt gebruik van de t-verdeling. * **Formule voor het betrouwbaarheidsinterval:** $$ \text{Steekproefgemiddelde} \pm t^\ast \times \frac{s}{\sqrt{n}} $$ waarbij: * $\bar{x}$ het steekproefgemiddelde is. * $t^\ast$ de kritieke t-waarde is voor het gewenste betrouwbaarheidsniveau en $df = n - 1$. * $s$ de steekproefstandaardafwijking is. * $n$ de steekproefgrootte is. * **Voorwaarden voor het toepassen van het 1-steekproef t-betrouwbaarheidsinterval:** 1. **Random:** De data moeten afkomstig zijn uit een toevallige (enkelvoudige aselecte) steekproef. 2. **Normaal verdeeld:** * Als de steekproefgrootte groot is ($n \ge 30$), is de t-procedure redelijk robuust voor afwijkingen van normaliteit. * Voor kleine steekproeven ($n < 30$) moet de populatie redelijkerwijs als normaal verdeeld worden beschouwd. Dit kan worden beoordeeld met behulp van histogrammen, boxplots of normale kwantiel-kwantiel plots (Q-Q plots) van de steekproefdata. 3. **Onafhankelijk:** De waarnemingen binnen de steekproef moeten onafhankelijk zijn. Bij steekproeftrekking zonder teruglegging uit een eindige populatie, geldt de vuistregel dat de populatiegrootte minstens 20 keer de steekproefgrootte moet zijn ($N \ge 20n$). > **Voorbeeld:** Kwaliteitscontrole van beeldschermen. Een steekproef van 20 schermen wordt genomen. De gemiddelde spanning is 306.32 mV en de standaardafwijking is 36.21 mV. We willen een 90% betrouwbaarheidsinterval. > * $n = 20$, dus $df = 19$. > * Voor een 90% BI en $df=19$, is $t^\ast = 1.729$. > * Het interval is: $306.32 \pm 1.729 \times \frac{36.21}{\sqrt{20}} = 306.32 \pm 1.729 \times 8.10 \approx 306.32 \pm 13.99$. > * Het 90% betrouwbaarheidsinterval is $[292.33, 320.31]$ mV. We zijn 90% zeker dat de ware gemiddelde spanning van de geproduceerde schermen op die dag tussen 292.33 en 320.31 mV ligt. ### 1.3 1-steekproef t-toets (One-Sample t Test) De 1-steekproef t-toets wordt gebruikt om te toetsen of het populatiegemiddelde $\mu$ gelijk is aan een specifieke hypothetische waarde $\mu_0$. * **Hypothesen:** * Nulhypothese ($H_0$): $\mu = \mu_0$ * Alternatieve hypothese ($H_a$): $\mu \neq \mu_0$ (tweezijdig), $\mu > \mu_0$ (eenzijdig rechts), of $\mu < \mu_0$ (eenzijdig links). * **Toetsingsgrootheid:** $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$ waarbij: * $\bar{x}$ het steekproefgemiddelde is. * $\mu_0$ de hypothetische populatiewaarde is. * $s$ de steekproefstandaardafwijking is. * $n$ de steekproefgrootte is. * **P-waarde:** * De p-waarde is de kans om een toetsingsgrootheid te bekomen die minstens zo extreem is als de berekende waarde, onder de aanname dat $H_0$ waar is. Dit wordt bepaald met de t-verdeling met $df = n - 1$. * Bij grote steekproeven levert de t-toets een goede benadering, zelfs als de populatie niet exact normaal verdeeld is. * **Voorwaarden voor de 1-steekproef t-toets:** * Dezelfde als voor het 1-steekproef t-betrouwbaarheidsinterval: Random, Normaal verdeeld (of grote steekproef), en Onafhankelijk. > **Voorbeeld:** Meting van opgeloste zuurstof (DO) in een rivier. 15 waterstalen worden genomen met een gemiddelde DO van 4.771 mg/l en een standaardafwijking van 0.940 mg/l. Milieuactivisten beweren dat het water "onleefbaar" is, wat betekent dat de gemiddelde DO lager is dan 5 mg/l. We toetsen dit met $\alpha = 0.05$. > * $H_0: \mu = 5$ mg/l > * $H_a: \mu < 5$ mg/l > * $n = 15$, dus $df = 14$. > * De toetsingsgrootheid is $t = \frac{4.771 - 5}{0.940 / \sqrt{15}} = \frac{-0.229}{0.2426} \approx -0.944$. > * De p-waarde voor $t = -0.944$ met $df = 14$ (eenzijdig links) ligt tussen 0.15 en 0.20. > * Omdat $p > \alpha$ (0.15-0.20 > 0.05), verwerpen we $H_0$ niet. Er is onvoldoende bewijs dat het water onleefbaar is. * **Rapporteren van toetsresultaten (APA-stijl):** Bij het rapporteren van de resultaten van een t-toets worden doorgaans de volgende elementen vermeld: * Beschrijvende maten (gemiddelde, standaardafwijking). * De toetsingsgrootheid en de waarde daarvan. * De vrijheidsgraden tussen haakjes direct achter de naam van de toetsingsgrootheid (bv. $t(14)$). * De p-waarde. Als deze kleiner is dan 0.001, wordt deze gerapporteerd als $p < 0.001$. Als de toets niet significant is en de p-waarde niet bekend is, wordt "n.s." (niet significant) vermeld. * Indien relevant, het betrouwbaarheidsinterval. * Indien de toets eenzijdig is, wordt dit vermeld. * Effectgrootte (bv. Cohen's $d$) kan ook worden gerapporteerd. > **Voorbeeld rapportage:** Het zuurstofgehalte in de onderzochte stalen ($M = 4.771$ mg/l, $SD = 0.940$ mg/l) was niet significant lager dan de drempelwaarde van 5 mg/l vereist voor levende organismen ($t(14) = -0.944$, $p > 0.05$). De hypothese dat het water gezond is, kan bijgevolg niet weerlegd worden. ### 1.4 Robuustheid van t-procedures Statistische procedures worden als robuust beschouwd als hun betrouwbaarheidsintervallen of p-waarden niet significant veranderen bij lichte overtredingen van de voorwaarden. * **Robuustheid van 1-steekproef t-procedures:** * De voorwaarde van random steekproeftrekking is cruciaal. * De normaliteitsvereiste is minder kritisch voor grotere steekproeven ($n \ge 30$). * Voor kleinere steekproeven ($n < 15$) is normaliteit belangrijker. Als de data sterk scheef zijn of uitschieters bevatten, zijn t-procedures minder geschikt. * Voor tussenliggende steekproefgroottes ($15 \le n < 30$) kunnen t-procedures nog steeds worden toegepast, tenzij er sprake is van duidelijke scheefheid of uitschieters. ### 1.5 Onderscheidingsvermogen (Power) van de t-test Het onderscheidingsvermogen (power) van een t-test is de kans dat de nulhypothese correct verworpen wordt wanneer de alternatieve hypothese waar is. * Het berekenen van het onderscheidingsvermogen vereist kennis van de steekproefgrootte, het significantieniveau, de verwachte standaardafwijking, en de grootte van het effect dat men wil detecteren. * Het is wenselijk om het onderscheidingsvermogen te maximaliseren, vaak door de steekproefgrootte te verhogen. Een groter te verwachten effect vereist een kleinere steekproef om een voldoende onderscheidingsvermogen te behalen. * Bij het plannen van een studie wordt vaak het onderscheidingsvermogen berekend om de benodigde steekproefgrootte te bepalen. ### 1.6 Inferentie voor niet-normaal verdeelde populaties Wanneer de populatieverdeling duidelijk niet normaal is en de steekproefgrootte klein, zijn er alternatieven voor de t-toets: * **Data transformeren:** Logaritmische of andere transformaties kunnen de data dichter bij normaliteit brengen, waardoor t-procedures op de getransformeerde data toepasbaar worden. De interpretatie van resultaten op getransformeerde schaal kan echter complex zijn. * **Niet-parametrische toetsen:** Deze toetsen stellen geen specifieke eisen aan de populatieverdeling en toetsen vaak hypothesen over de mediaan in plaats van het gemiddelde. Voor gekoppelde data is de **tekentoets (sign test)** een voorbeeld. > **Voorbeeld (Tekentoets voor gekoppelde data):** Bij het vergelijken van agressieve incidenten rond volle maan versus andere dagen, wordt voor elke persoon berekend of er meer incidenten waren op volle maan dagen (+) of op andere dagen (-). Het aantal personen met meer incidenten rond volle maan (X) wordt vergeleken met een Binomiaalverdeling $B(n, 0.5)$. Als $H_0$ stelt dat de mediaan van het verschil nul is (dus 50% kans op een positief verschil), kan de significantie worden bepaald. Hoewel de tekentoets minder onderscheidingsvermogen heeft dan de t-toets, is deze geschikt voor sterk scheve data. --- # Vergelijken van verwachtingen van twee populaties Hier is een gedetailleerd studieonderdeel over het vergelijken van verwachtingen van twee populaties. ## 2. Vergelijken van twee verwachtingen Dit gedeelte richt zich op het vergelijken van populatiegemiddelden tussen twee groepen, met aandacht voor zowel gekoppelde data als onafhankelijke steekproeven, waarbij t-toetsen centraal staan. ### 2.1 De t-verdeling: een alternatief voor de z-verdeling Wanneer de populatiestandaardafwijking ($\sigma$) onbekend is en geschat moet worden met de steekproefstandaardafwijking ($s$), maakt men gebruik van de student t-verdeling. Deze verdeling, ontwikkeld door William Sealy Gosset, lijkt conceptueel op de standaard normaalverdeling, maar heeft dikkere staarten. Dit betekent dat extreme waarden waarschijnlijker zijn dan bij een z-verdeling, wat de kans op het onterecht verwerpen van de nulhypothese (Type I fout) vergroot. #### 2.1.1 Eigenschappen van de t-verdeling * **Symmetrisch:** De t-verdeling is symmetrisch rond 0. * **Eén top:** De verdeling heeft één top bij 0. * **Dikkere staarten:** In vergelijking met de standaard normaalverdeling zijn de staarten van de t-verdeling "dikker", wat de hogere kans op extreme waarden weerspiegelt. * **Vrijheidsgraden (df):** De exacte vorm van de t-verdeling wordt bepaald door het aantal vrijheidsgraden ($df$). Bij het schatten van de populatieverwachting met een steekproef van grootte $n$, is het aantal vrijheidsgraden $df = n-1$. Naarmate het aantal vrijheidsgraden toeneemt, benadert de t-verdeling de standaard normaalverdeling. > **Tip:** Kritieke waarden ($t^*$) voor de t-verdeling bij verschillende vrijheidsgraden en betrouwbaarheidsniveaus zijn te vinden in Tabel D in het handboek (p. 705). ### 2.2 Inferentie over de verwachting van één populatie met onbekende $\sigma$ #### 2.2.1 1-steekproef t-betrouwbaarheidsinterval Het berekenen van een betrouwbaarheidsinterval voor de populatieverwachting ($\mu$) wanneer $\sigma$ onbekend is, volgt dezelfde logica als bij een bekende $\sigma$. Het enige verschil is dat de z-verdeling wordt vervangen door de t-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden. Het interval wordt berekend als: $$ \bar{x} \pm t^{\ast} \frac{s}{\sqrt{n}} $$ waarbij: * $\bar{x}$ het steekproefgemiddelde is. * $t^*$ de kritieke t-waarde is voor het gewenste betrouwbaarheidsniveau en $n-1$ vrijheidsgraden. * $s$ de steekproefstandaardafwijking is. * $n$ de steekproefgrootte is. **Voorwaarden voor een 1-steekproef t-betrouwbaarheidsinterval:** * **Random:** De data komen van een toevallige (enkelvoudige aselecte) steekproef. * **Normaal verdeeld:** Als de steekproefgrootte klein is ($n < 30$), moet de populatie redelijkerwijs als normaal verdeeld worden beschouwd. Dit kan worden beoordeeld met behulp van histogrammen, boxplots of Q-Q plots van de steekproefdata. De t-procedures zijn robuust, wat betekent dat ze redelijk accuraat blijven, zelfs bij lichte afwijkingen van normaliteit, zeker bij grotere steekproeven. * **Onafhankelijk:** De observaties binnen de steekproef moeten onafhankelijk zijn. Bij steekproeftrekking zonder teruglegging is de vuistregel dat de populatie minstens 20 keer zo groot moet zijn als de steekproef ($N \geq 20n$). > **Voorbeeld (Kwaliteitscontrole beeldschermen):** > Voor een steekproef van 20 schermen met een gemiddelde van 306.32 mV en een standaardafwijking van 36.21 mV, en met $df=19$, is de $t^*$ voor een 90% betrouwbaarheidsinterval 1.729. > Het 90% BI is: $306.32 \pm 1.729 \times \frac{36.21}{\sqrt{20}}$, wat resulteert in het interval $[292.32, 320.32]$ mV. Dit betekent dat men voor 90% zeker is dat het ware gemiddelde van de productie op die dag binnen dit interval ligt. #### 2.2.2 1-steekproef t-toets (One-Sample t Test) De 1-steekproef t-toets wordt gebruikt om te toetsen of het populatiegemiddelde ($\mu$) gelijk is aan een specifieke nulhypothesewaarde ($\mu_0$). **Nulhypothese ($H_0$):** $\mu = \mu_0$ **Alternatieve hypothese ($H_a$):** $\mu < \mu_0$, $\mu > \mu_0$, of $\mu \neq \mu_0$. De toetsingsgrootheid wordt berekend als: $$ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$ De p-waarde is de kans om een toetsingsgrootheid te bekomen die minstens even extreem is als de berekende waarde, onder de aanname dat $H_0$ waar is, voor een t-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden. **Voorwaarden voor een 1-steekproef t-toets:** Dezelfde voorwaarden als voor het betrouwbaarheidsinterval zijn van toepassing: Random, Normaal verdeeld (of grote steekproef) en Onafhankelijk. > **Voorbeeld (Opgeloste zuurstof in waterloop):** > Men wil toetsen of het zuurstofgehalte ($\mu$) lager is dan 5 mg/l ($H_a: \mu < 5$) met $\alpha = 0.05$. > Gegeven 15 waterstalen met $\bar{x} = 4.771$ mg/l en $s = 0.940$ mg/l. > De toetsingsgrootheid is: $t = \frac{4.771 - 5}{0.940 / \sqrt{15}} \approx -0.944$. > Met $df = 15 - 1 = 14$, ligt de p-waarde tussen 0.15 en 0.20. > Omdat $p > \alpha$ (0.15-0.20 > 0.05), wordt $H_0$ niet verworpen. Er is onvoldoende bewijs dat het water onleefbaar is. **Rapporteren van toetsresultaten (APA-stijl):** Resultaten worden gerapporteerd met de toetsingsgrootheid, vrijheidsgraden, p-waarde, en indien relevant, het betrouwbaarheidsinterval en effectgrootte. Bijvoorbeeld: "Het zuurstofgehalte in de onderzochte stalen ($M = 4,771$ mg/l, $SD = 0,940$ mg/l) was niet significant lager dan de drempelwaarde van 5 mg/l vereist voor levende organismen ($t(14) = -0,944$, $p > 0,05$). " ### 2.3 Vergelijken van twee verwachtingen Het vergelijken van populatiegemiddelden tussen twee groepen kan op twee manieren gebeuren: met gekoppelde (paired) data of met onafhankelijke steekproeven. #### 2.3.1 Twee-steekproeven t-toets voor gekoppelde paren Gekoppelde data ontstaan wanneer observaties binnen groepen systematisch aan elkaar gerelateerd zijn. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn bij metingen vóór en na een interventie bij dezelfde personen, of bij het vergelijken van paren (bv. identieke tweelingen). Gekoppelde t-toetsen zijn een speciaal geval van de 1-steekproef t-toets, waarbij de analyse gericht is op de verschilscores ($d_i = x_{i1} - x_{i2}$) tussen de paren. **Nulhypothese ($H_0$):** De gemiddelde verschilscore in de populatie is nul ($\mu_d = 0$). **Alternatieve hypothese ($H_a$):** De gemiddelde verschilscore is niet nul ($\mu_d \neq 0$), groter dan nul ($\mu_d > 0$), of kleiner dan nul ($\mu_d < 0$). De toetsingsgrootheid is: $$ t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} $$ waarbij: * $\bar{d}$ het gemiddelde is van de verschilscores. * $s_d$ de standaardafwijking is van de verschilscores. * $n$ het aantal paren is. * De vrijheidsgraden zijn $df = n-1$. **Voorwaarden voor een t-toets voor gekoppelde paren:** * **Random:** De paren zijn op een adequate manier verkregen (hoewel pure randomisatie niet altijd mogelijk is, zoals bij bepaalde observationele studies). * **Normaal verdeeld:** De populatie van verschilscores is normaal verdeeld, of de steekproefgrootte is voldoende groot ($n \geq 15$ met enige scheefheid/uitschieters, of $n \geq 30$ zelfs bij sterkere scheefheid). * **Onafhankelijk:** De paren zijn onafhankelijk van elkaar. > **Voorbeeld (Agressief gedrag en volle maan):** > Men onderzoekt agressief gedrag bij 15 demente bejaarden gedurende 3 dagen rond volle maan en 3 andere dagen. > Gegeven de verschilscores (volle maan - andere dagen), met $n=15$, $\bar{d} = 2.432667$ en $s_d = 1.46032$. > De toetsingsgrootheid is: $t = \frac{2.432667}{1.46032 / \sqrt{15}} \approx 6.45$. > Met $df = 15-1 = 14$, is de p-waarde $p < 0.001$. > $H_0$ wordt verworpen: Agressie komt significant vaker voor rond volle maan. #### 2.3.2 Twee-steekproeven t-toets voor onafhankelijke steekproeven Deze toets wordt gebruikt om de gemiddelden van twee onafhankelijke populaties te vergelijken. **Nulhypothese ($H_0$):** $\mu_1 = \mu_2$ (of $\mu_1 - \mu_2 = 0$). **Alternatieve hypothese ($H_a$):** $\mu_1 \neq \mu_2$, $\mu_1 > \mu_2$, of $\mu_1 < \mu_2$. De toetsingsgrootheid ($t$) hangt af van de aanname over de populatievarianties: **1. Gepoelde (Pooled) 2-steekproeven t-toets (Aanname van gelijke varianties: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$)** Als de populatievarianties gelijk worden verondersteld, wordt een gepoolde schatter voor de variantie gebruikt. $$ s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} $$ De toetsingsgrootheid is: $$ t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} $$ met $df = n_1 + n_2 - 2$ vrijheidsgraden. **2. t-toets voor ongelijke varianties (Welch's t-test)** Deze toets is veiliger omdat ze geen gelijke varianties veronderstelt. De toetsingsgrootheid is: $$ t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} $$ Het aantal vrijheidsgraden wordt berekend met een complexe formule (de Welch-Satterthwaite vergelijking), maar wordt vaak conservatief ingeschat als het minimum van $n_1-1$ en $n_2-1$, of berekend door statistische software. Dit geeft een benaderde t-verdeling. **Voorwaarden voor een 2-steekproeven t-toets voor onafhankelijke steekproeven:** * **Random:** Beide steekproeven moeten toevallig zijn getrokken uit hun respectieve populaties. * **Normaal verdeeld:** Beide populaties (waaruit de steekproeven zijn getrokken) zijn normaal verdeeld, of de steekproefgroottes zijn voldoende groot ($n_1, n_2 \geq 15$ met enige scheefheid/uitschieters, of $n_1, n_2 \geq 30$ zelfs bij sterkere scheefheid). De t-procedures zijn robuuster bij ongelijke varianties, vooral als de steekproefgroottes ongeveer gelijk zijn. * **Onafhankelijk:** De observaties binnen elke steekproef zijn onafhankelijk, en de twee steekproeven zijn onafhankelijk van elkaar. Bij steekproeftrekking zonder teruglegging geldt de $N \geq 20n$ regel voor elke populatie. > **Voorbeeld (Calcium op bloeddruk):** > Een experiment vergelijkt de daling in systolische bloeddruk (BD) na 12 weken tussen een calciumsupplementgroep ($n_1=10$, $\bar{x}_1 = 5.273$ mmHg) en een placebogroep ($n_2=11$, $\bar{x}_2 = -0.727$ mmHg). De nulhypothese is $\mu_1 - \mu_2 = 0$. > De berekende t-waarde (met software, Welch's test) is $t \approx 1.90$. Met $df \approx 18.7$, is de p-waarde (tweezijdig) $p \approx 0.073$. > Omdat $p > \alpha$ (0.073 > 0.05), wordt $H_0$ niet verworpen. Er is onvoldoende bewijs dat calcium een grotere bloeddrukverlagende werking heeft dan placebo. > **Voorbeeld (Nieuwe leesmethode):** > Vergelijking van leesprestaties na 12 weken tussen een groep met een nieuwe leesmethode ($n_1=21$, $\bar{x}_1 = 51.48$, $s_1 = 11.01$) en een controlegroep ($n_2=23$, $\bar{x}_2 = 41.52$, $s_2 = 17.15$). De alternatieve hypothese is $\mu_1 > \mu_2$. > Met behulp van statistische software (bv. met Welch's t-test) wordt een t-waarde van $t \approx 2.31$ gevonden met $df \approx 37.86$. De eenzijdige p-waarde is $p \approx 0.013$. > Omdat $p < \alpha$ (0.013 < 0.05), wordt $H_0$ verworpen. De kinderen die de nieuwe leesmethode volgden, behaalden significant hogere scores op de leestest. #### 2.3.3 2-steekproeven betrouwbaarheidsinterval voor het verschil tussen gemiddelden Dit interval geeft een reeks plausibele waarden voor het werkelijke verschil tussen de populatiegemiddelden ($\mu_1 - \mu_2$). Het wordt berekend met formules die vergelijkbaar zijn met die voor het betrouwbaarheidsinterval van de 1-steekproef t-toets, maar dan gebruikmakend van de steekproefgemiddelden, steekproefstandaardafwijkingen en de t-verdeling met het juiste aantal vrijheidsgraden (conservatief geschat of berekend door software). > **Voorbeeld (Leesmethode - BI):** > Voor het leesmethode-voorbeeld, met behulp van statistische software, wordt een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in gemiddelde scores berekend als $[1.23, 18.68]$. Dit betekent dat men voor 95% zeker is dat het ware verschil in leesprestaties tussen de twee methoden ergens tussen 1.23 en 18.68 punten ligt. ### 2.4 Robuustheid van t-procedures Statistische procedures worden als robuust beschouwd als hun betrouwbaarheidsintervallen of p-waarden niet sterk veranderen wanneer de voorwaarden van de procedure licht worden geschonden. * **Voorwaarden:** De eis van een aselecte steekproef is belangrijker dan de normaliteitsvereiste, vooral bij kleine steekproeven. * **Grote steekproeven ($n \geq 30-40$):** t-procedures kunnen worden gebruikt, zelfs als de verdelingen duidelijk scheef zijn. * **Kleine tot middelgrote steekproeven ($15 \leq n < 30$):** t-procedures zijn redelijk robuust, tenzij er uitschieters zijn of de verdeling sterk scheef is. * **Zeer kleine steekproeven ($n < 15$):** t-procedures moeten alleen worden gebruikt als de data nagenoeg normaal verdeeld zijn. Bij duidelijke scheefheid of uitschieters is het gebruik van t-procedures af te raden. * **2-steekproeven t-procedures:** Zijn over het algemeen robuuster dan 1-steekproef t-methoden, vooral wanneer de verdelingen niet symmetrisch zijn maar wel vergelijkbaar scheef lopen. ### 2.5 Onderscheidingsvermogen (Power) van de t-test Het onderscheidingsvermogen (power) van een toets is de kans dat de nulhypothese wordt verworpen wanneer de alternatieve hypothese waar is. * **Power van de 1-steekproef t-test:** De berekening lijkt op die voor de z-test, waarbij het overschatten van $\sigma$ beter is dan onderschatten bij het plannen van een studie om te voorkomen dat een bestaand effect gemist wordt. * **Power van de 2-steekproeven t-test:** De principes zijn vergelijkbaar, maar de berekeningen zijn complexer (bv. met behulp van de noncentral t-distributie of software zoals G*Power). Goede planning van een studie, inclusief powerberekeningen, verhoogt de kans om een significant verschil te detecteren indien dit aanwezig is. > **Voorbeeld (Power leesmethode):** > Bij een studieplanning met een gewenst detecteerbaar verschil van 4 punten en een geschatte standaardafwijking, kan met G*Power een power van ongeveer 72% worden berekend voor een specifiek aantal deelnemers. ### 2.6 Inferentie voor niet-normaal verdeelde populaties Wanneer de populatieverdeling duidelijk niet normaal is en de steekproefgrootte klein, zijn er alternatieven: * **Data transformeren:** Soms kunnen transformaties (bv. logaritmische transformatie) de data dichter bij normaliteit brengen, waardoor t-procedures op de getransformeerde data adequaat kunnen zijn. Interpretatie op de oorspronkelijke schaal kan echter lastig zijn. * **Niet-parametrische toetsen:** Deze verdelingsvrije toetsen stellen minder eisen aan de populatieverdeling. Ze toetsen vaak hypothesen over de mediaan in plaats van het gemiddelde. * **Tekentoets voor gekoppelde data:** Dit is een voorbeeld van een niet-parametrische toets voor gekoppelde data. Het telt het aantal paren met een positief verschil. De p-waarde wordt berekend op basis van de binomiale verdeling $B(n, 0.5)$. Het nadeel is dat de tekentoets een kleiner onderscheidingsvermogen heeft dan de t-toets voor gekoppelde paren. ### 2.7 Inferentie voor populatiespreiding Naast gemiddelden kunnen ook de spreidingen (varianties of standaardafwijkingen) van twee populaties worden vergeleken met de F-toets voor gelijkheid van spreidingen. Deze toets is echter niet robuust voor afwijkingen van de normaliteitsassumptie. De F-verdeling is rechts scheef en de toetsingsgrootheid is de verhouding van de steekproefvarianties. Waarden van F die sterk afwijken van 1 geven evidentie tegen de nulhypothese van gelijke spreidingen. --- # Extra onderwerpen betreffende de vergelijking van verdelingen Dit deel behandelt aanvullende methoden voor het vergelijken van verdelingen, waaronder de robuustheid van t-procedures, inferentie voor populatiespreidingen met de F-toets, en niet-parametrische toetsen zoals de tekentoets. ## 3 Extra onderwerpen betreffende de vergelijking van verdelingen ### 3.1 De t-verdeling en t-procedures Tot nu toe werd voornamelijk de z-toets gebruikt, die gebaseerd is op het standaardiseren van gemiddelde waarden ten opzichte van de populatiestandaardafwijking ($\sigma$). Echter, in de praktijk is $\sigma$ vaak onbekend en moet deze geschat worden met de steekproefstandaardafwijking ($s$). #### 3.1.1 De t-verdelingen Wanneer de populatiestandaardafwijking $\sigma$ onbekend is en wordt geschat door de steekproefstandaardafwijking $s$, volgt de steekproevenverdeling van het gemiddelde geen standaard normaalverdeling meer, maar een t-verdeling. Deze verdeling, ontwikkeld door William Sealy Gosset (pseudoniem Student), heeft de volgende kenmerken: * **Symmetrisch** met een top op 0. * **Dikkere staarten** dan de standaard normaalverdeling, wat betekent dat extreme waarden waarschijnlijker zijn. Dit compenseert voor de extra onzekerheid door het schatten van $\sigma$. * De precieze vorm van de t-verdeling hangt af van het aantal **vrijheidsgraden** (degrees of freedom, df), wat doorgaans gelijk is aan $n-1$ voor een enkelvoudige steekproef. Naarmate het aantal vrijheidsgraden toeneemt, benadert de t-verdeling steeds meer de standaard normaalverdeling. Kritieke waarden ($t^{\ast}$) voor t-verdelingen kunnen worden opgezocht in tabel D. > **Tip:** De dikkere staarten van de t-verdeling betekenen dat de z-toets (die uitgaat van een bekende $\sigma$) conservatiever is dan de t-toets. Om een nulhypothese te verwerpen met een z-toets, zijn grotere afwijkingen nodig dan bij een t-toets. #### 3.1.2 Robuustheid van t-procedures Statistische procedures worden als robuust beschouwd wanneer hun resultaten (betrouwbaarheidsintervallen of p-waarden) niet significant veranderen bij overtreding van de voorwaarden waaraan ze moeten voldoen. * **Voorwaarden voor t-procedures:** * **Random:** De data komen uit een toevallige (enkelvoudige aselecte) steekproef. * **Normaal verdeeld:** De populatie waaruit de steekproef is getrokken, is normaal verdeeld. Voor kleine steekproeven ($n < 15$) is deze voorwaarde belangrijker. Bij grotere steekproeven ($n \ge 30-40$) is de t-procedure robuust tegen scheve verdelingen. Bij steekproefgroottes tussen 15 en 30 is normaliteit belangrijk, tenzij er uitschieters zijn of de verdeling sterk scheef is. * **Onafhankelijk:** De observaties binnen een steekproef zijn onafhankelijk, en bij vergelijking van twee groepen zijn de groepen zelf ook onafhankelijk (tenzij het gaat om gekoppelde data). Voor steekproeven zonder teruglegging geldt de vuistregel $N \ge 20n$ (populatiegrootte is minstens 20 keer de steekproefgrootte). * **Robuustheid van 2-steekproeven t-procedures:** Deze procedures zijn over het algemeen robuuster dan 1-steekproef methoden, vooral wanneer de verdelingen van beide groepen vergelijkbaar scheef zijn. * Bij een totale steekproefgrootte $< 15$: Gebruik t-procedures alleen bij nagenoeg normale data. Vermijd bij sterke scheefheid of uitschieters. * Bij een totale steekproefgrootte $\ge 15$: t-procedures kunnen gebruikt worden, tenzij er uitschieters zijn of de verdeling sterk scheef is. * Bij grote steekproeven: t-procedures zijn ook toepasbaar bij sterk scheve verdelingen. #### 3.1.3 1-steekproef t-betrouwbaarheidsinterval en t-toets * **1-steekproef t-betrouwbaarheidsinterval voor $\mu$ (onbekende $\sigma$)**: Het interval wordt berekend als: $$\bar{x} \pm t^{\ast} \frac{s}{\sqrt{n}}$$ waarbij $t^{\ast}$ de kritieke waarde is uit de t-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden die overeenkomt met het gewenste betrouwbaarheidsniveau. > **Example:** Voor een 90% betrouwbaarheidsinterval bij $n=20$ deelnemers ($df=19$), wordt $t^{\ast}$ opgezocht voor 90% betrouwbaarheidsniveau (enkelzijdige p = 0.05). Uit Tabel D is dit $t^{\ast} = 1.729$. * **1-steekproef t-toets voor $\mu$**: Om de nulhypothese $H_0: \mu = \mu_0$ te toetsen, wordt de toetsingsgrootheid berekend: $$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$ Deze toetsingsgrootheid wordt getoetst tegen een t-verdeling met $n-1$ vrijheidsgraden. De p-waarde geeft de kans weer om een toetsingsgrootheid te verkrijgen die minstens zo extreem is als de berekende waarde, onder de aanname dat $H_0$ waar is. > **Example:** Bij de analyse van opgeloste zuurstof (DO) in een rivier (n=15), wordt $H_0: \mu = 5$ (mg/l) getoetst tegen $H_a: \mu < 5$ met $\alpha = 0.05$. Na berekening van de toetsingsgrootheid ($t = -0.944$) en het bepalen van de p-waarde (tussen 0.15 en 0.20), wordt $H_0$ niet verworpen omdat $p > \alpha$. Er is onvoldoende bewijs dat het water onleefbaar is. #### 3.1.4 t-toets voor gekoppelde paren Deze toets wordt gebruikt om het verschil tussen twee metingen op dezelfde individuen of op duidelijk vergelijkbare paren te analyseren. Het is een speciaal geval van de 1-steekproef t-toets toegepast op de verschilscores: $d_i = x_{i1} - x_{i2}$. * **Hypothese:** $H_0: \mu_d = 0$ (de mediaan van de verschilscores is nul) of $H_0: \mu_d = \mu_{d0}$. * **Toetsingsgrootheid:** $$t = \frac{\bar{d} - \mu_{d0}}{s_d/\sqrt{n}}$$ waarbij $\bar{d}$ het gemiddelde van de verschilscores is, $s_d$ de standaardafwijking van de verschilscores, en $n$ het aantal paren. De vrijheidsgraden zijn $n-1$. * **Vereisten:** De populatie van verschilscores is normaal verdeeld, of de steekproef is groot. De steekproef moet een enkelvoudige aselecte steekproef zijn. > **Example:** Onderzoek naar agressief gedrag bij dementen, metingen rond volle maan versus andere dagen (n=15). Verschilscores werden berekend. De t-toets voor gekoppelde paren toonde een significant grotere agressie rond volle maan ($t(14) = 6.45, p < 0.001$). #### 3.1.5 t-toets voor twee onafhankelijke steekproeven Deze toets vergelijkt de gemiddelden van twee onafhankelijke groepen. * **Hypothese:** $H_0: \mu_1 = \mu_2$ (of $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta_0$). * **Zonder bekende $\sigma$ (meest voorkomend):** De toetsingsgrootheid is: $$t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - \delta_0}{s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$$ waarbij $s_p$ de gepoolde standaardafwijking is (indien gelijke varianties worden aangenomen). * **Gepoelde t-test (gelijke varianties aangenomen):** De gepoolde variantie $\sigma^2_p$ wordt geschat als: $$\sigma^2_p = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$ De t-statistiek is dan exact t-verdeeld met $n_1 + n_2 - 2$ vrijheidsgraden. * **Ongelijke varianties (Welch's t-test):** Wanneer varianties niet gelijk zijn, wordt een conservatieve schatting van de vrijheidsgraden gebruikt: $df = \min(n_1 - 1, n_2 - 1)$. De exacte berekening van de vrijheidsgraden is complex en wordt vaak door software uitgevoerd. Deze methode is veiliger omdat het de aanname van gelijke varianties vermijdt. * **Met bekende $\sigma$:** De z-test wordt gebruikt: $$z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - \delta_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$$ Indien $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$, vereenvoudigt dit tot: $$z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - \delta_0}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$$ * **Vereisten:** Beide populaties zijn normaal verdeeld, of de steekproeven zijn voldoende groot. De steekproeven zijn onafhankelijk en aselect. > **Example:** Vergelijking van lichaamslengte tussen jongens en meisjes. De t-toets voor onafhankelijke steekproeven met een conservatieve schatting van df gaf aan dat jongens significant groter waren dan meisjes. > **Example:** Effect van calcium supplement op bloeddrukdaling bij gezonde zwarte mannen (calcium vs. placebo). De 2-steekproeven t-toets voor het verschil in bloeddrukdaling (met een conservatieve df) was niet significant bij $\alpha = 0.05$, wat suggereert dat calcium geen significant sterker effect heeft dan een placebo. #### 3.1.6 Betrouwbaarheidsinterval voor het verschil tussen twee gemiddelden ($\mu_1 - \mu_2$) Dit interval wordt berekend op basis van de resultaten van de 2-steekproeven t-toets. * **Met gelijke varianties (pooled):** $$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^{\ast} s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$$ met $df = n_1 + n_2 - 2$. * **Met ongelijke varianties (Welch):** $$(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^{\ast} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$$ met $df$ bepaald door de Welch-Satterthwaite vergelijking (of software). > **Example:** Een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in leestoetsen tussen een nieuwe leesmethode en een controle groep was [1.23; 18.68]. Dit betekent dat men met 95% zekerheid kan zeggen dat het ware verschil in gemiddelde scores tussen de groepen binnen dit interval ligt. #### 3.1.7 Onderscheidingsvermogen (Power) van t-testen * **Onderscheidingsvermogen van de 1-steekproef t-test:** De kans om de nulhypothese te verwerpen wanneer de alternatieve hypothese waar is. Exacte berekening is complex en vereist de noncentral t-verdeling; vaak wordt een benadering gebruikt met de z-verdeling (als $\sigma$ als "bekend" wordt beschouwd). Bij het schatten van $\sigma$ is het beter deze te overschatten om niet te weinig data te hebben. * **Onderscheidingsvermogen van de 2-steekproeven t-test:** De kans om de nulhypothese $H_0: \mu_1 = \mu_2$ te verwerpen wanneer een specifiek alternatief verschil waar is. Berekeningen worden typisch uitgevoerd met gespecialiseerde software (bv. G*power). Dit vereist informatie over de standaardafwijkingen (uit een pilotstudie of literatuur) en een gedefinieerd relevant verschil. Goede planning van een studie, inclusief powerberekening, verhoogt de kans om een bestaand effect statistisch significant aan te tonen. > **Example:** Berekening van het onderscheidingsvermogen voor een leesmethode-onderzoek met een pilotstudie die een verschil van 4 punten suggereert. Met een bepaalde steekproefgrootte is de kans op een significante toets ongeveer 72%. > **Example:** Het bepalen van de benodigde steekproefgrootte om een verschil van 1 agressief incident per dag te detecteren rond volle maan, met een onderscheidingsvermogen van 89%. ### 3.2 Inferentie voor populatiespreiding #### 3.2.1 De F-toets voor gelijkheid van spreidingen Deze toets vergelijkt de standaarddeviaties ($\sigma_1, \sigma_2$) van twee populaties op basis van de standaarddeviaties van twee steekproeven ($s_1, s_2$). * **Hypothese:** $H_0: \sigma^2_1 = \sigma^2_2$ (of $H_0: \sigma_1 = \sigma_2$). * **Toetsingsgrootheid:** De F-statistiek, die de verhouding van de varianties is: $$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$$ Hierbij wordt meestal de grootste variantie in de teller geplaatst. * **Verdeling:** De F-statistiek volgt, onder $H_0$, een F-verdeling met $df_1 = n_1 - 1$ en $df_2 = n_2 - 1$ vrijheidsgraden. * **Kenmerken F-verdeling:** De F-verdeling is rechts scheef en kan geen negatieve waarden aannemen. Waarden van F die sterk afwijken van 1 geven bewijs tegen de nulhypothese van gelijke spreidingen. * **Vereisten:** De populaties worden verondersteld normaal verdeeld te zijn. Deze procedure is niet erg robuust tegen afwijkingen van de normaliteitsvoorwaarde. * **Kritieke waarden:** Kritieke waarden voor de F-verdeling kunnen worden opgezocht in Tabel E voor verschillende overschrijdingskansen. > **Tip:** De F-toets voor gelijkheid van varianties is gevoelig voor niet-normaliteit. Het wordt daarom vaak als minder betrouwbaar beschouwd dan de t-testen voor gemiddelden, tenzij aan de normaliteitsvoorwaarde is voldaan. ### 3.3 Niet-parametrische toetsen Niet-parametrische toetsen, ook wel verdelingsvrije toetsen genoemd, vereisen geen specifieke aannames over de vorm van de populatieverdeling (zoals normaliteit). Ze zijn nuttig wanneer de data duidelijk niet normaal verdeeld zijn en de steekproef klein is. Vaak toetsen deze methoden hypothesen over de mediaan in plaats van het gemiddelde. #### 3.3.1 De tekentoets voor gekoppelde data Deze toets is een niet-parametrisch alternatief voor de t-toets voor gekoppelde paren. * **Toepassing:** Wordt gebruikt bij gekoppelde data waarbij de verschilscores duidelijk niet normaal verdeeld zijn of wanneer de steekproefgrootte klein is en de data sterk scheef zijn. * **Procedure:** 1. Bereken de verschilscores ($d_i$) voor elk paar. 2. Negeer paren met een verschil van 0. 3. Tel het aantal positieve verschilscores (dit is de toetsingsgrootheid $X$). 4. De nulhypothese is $H_0: p = 1/2$ (de kans op een positief verschil is 1/2), wat equivalent is aan $H_0: \mu_d = 0$. * **Verdeling:** De p-waarden voor $X$ zijn gebaseerd op de binomiale verdeling $B(n, 1/2)$, waarbij $n$ het aantal overgebleven paren is. * **Nadeel:** De tekentoets heeft doorgaans een kleiner onderscheidingsvermogen (power) dan de t-toets voor gekoppelde paren wanneer aan diens voorwaarden is voldaan. > **Example:** Onderzoek naar agressief gedrag bij dementen. Met behulp van de tekentoets werd geconcludeerd dat significant meer dan de helft van de bejaarden vaker agressief gedrag vertoonde rond volle maan ($X \ge 14$, $p < 0.001$). Dit suggereert dat de mediaan van de verschilscores significant groter is dan nul. #### 3.3.2 Data transformeren Een alternatief voor niet-parametrische toetsen, met name bij scheve verdelingen, is het transformeren van de data om deze dichter bij normaliteit te brengen. Een veelgebruikte transformatie is de logaritmische transformatie. * **Voordeel:** Inferentieprocedures (zoals t-testen) kunnen dan accuraat worden toegepast op de getransformeerde data, zelfs bij relatief kleine steekproeven. * **Nadeel:** Betrouwbaarheidsintervallen die op de getransformeerde schaal worden bepaald, zijn niet direct interpreteerbaar op de oorspronkelijke schaal. > **Tip:** Bij sterk scheve verdelingen en kleine steekproeven, overweeg eerst het transformeren van de data voordat je niet-parametrische toetsen overweegt. Evalueer wel altijd of de transformatie de data voldoende genormaliseerd heeft. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | t-verdeling | Een continue waarschijnlijkheidsverdeling die lijkt op de normaalverdeling, maar met dikkere staarten en een vorm die afhangt van het aantal vrijheidsgraden. Wordt gebruikt bij statistische inferentie wanneer de populatiestandaardafwijking onbekend is. | | Vrijheidsgraden (df) | Een parameter die de vorm van de t-verdeling bepaalt. Voor een t-toets met één steekproef is dit typisch $n-1$, waarbij $n$ de steekproefgrootte is. | | Standaardfout | De standaardafwijking van de steekproevenverdeling van een statistiek, zoals het steekproefgemiddelde. Het kwantificeert de variabiliteit die verwacht kan worden als gevolg van willekeurige steekproeftrekking. | | Betrouwbaarheidsinterval | Een reeks waarden die, met een bepaalde waarschijnlijkheid, de werkelijke populatiewaarde bevat. Het geeft een bereik van plausibele waarden voor een populatieparameter. | | p-waarde | De waarschijnlijkheid om een toetsingsgrootheid te verkrijgen die minstens zo extreem is als de waargenomen waarde, ervan uitgaande dat de nulhypothese waar is. Een lage p-waarde suggereert bewijs tegen de nulhypothese. | | Nulhypothese (H0) | Een stelling over een populatieparameter die wordt getoetst. Het is de standaardhypothese die wordt verondersteld waar te zijn totdat er voldoende bewijs is om deze te verwerpen. | | Alternatieve hypothese (Ha) | Een stelling die de nulhypothese tegenspreekt. Het vertegenwoordigt de conclusie die men hoopt te vinden als de nulhypothese wordt verworpen. | | Robuustheid | De mate waarin een statistische procedure ongevoelig is voor schendingen van de onderliggende aannames, zoals normaliteit. Robuuste methoden geven betrouwbare resultaten, zelfs als de aannames niet perfect worden voldaan. | | Gekoppelde (paired) data | Data waarbij metingen uit twee groepen of condities systematisch aan elkaar gerelateerd zijn. Dit gebeurt bijvoorbeeld wanneer dezelfde proefpersoon herhaaldelijk wordt gemeten of wanneer paren van vergelijkbare individuen worden gebruikt. | | Onafhankelijke steekproeven | Data waarbij de metingen in de ene groep geen invloed hebben op de metingen in de andere groep. De individuen in de ene steekproef worden willekeurig geselecteerd, onafhankelijk van de individuen in de andere steekproef. | | Niet-parametrische toetsen | Statistische toetsen die geen aannames maken over de specifieke verdeling van de populatie, in tegenstelling tot parametrische toetsen zoals de t-toets die normaliteit vereisen. | | Tekentoets | Een niet-parametrische toets voor gekoppelde data die de tekens van de verschilscores analyseert om te bepalen of de mediaan van de verschillen significant afwijkt van nul. | | F-toets | Een statistische toets die wordt gebruikt om de gelijkheid van varianties tussen twee of meer populaties te vergelijken. | | Steekproevenverdeling | De waarschijnlijkheidsverdeling van een steekproefstatistiek (bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde) berekend uit alle mogelijke steekproeven van een bepaalde grootte uit een populatie. |