Counting Numeration

# Getalsystemen in de oudheid Dit deel behandelt historische getalsystemen, met een focus op de Egyptenaren en Romeinen, en introduceert de Romeinse cijfers met hun regels voor notatie en conversie [3](#page=3). ### 1.1 Inleiding tot getalsystemen Door de eeuwen heen zijn er diverse getalsystemen ontwikkeld, waarbij elke cultuur eigen methoden voor tellen, noteren en rekenen had. De oudste notaties maakten gebruik van eenvoudige streepjes, vergelijkbaar met hedendaags turven. Grote beschavingen zoals de Chinezen, Egyptenaren, Babyloniërs, Grieken, Romeinen en Maya's ontwikkelden geavanceerdere systemen dan simpelweg turven [3](#page=3). ### 1.2 De Egyptenaren (ca. 3000 – 300 v. Chr.) Het Egyptische getalsysteem gebruikte streepjes voor de hoeveelheden 1 tot 9 [4](#page=4). Voor tientallen, honderdtallen en hogere machten van tien werden specifieke symbolen gebruikt: * 10 * 100 * 1000 * 10.000 * 100.000 * 1.000.000 [4](#page=4). Er bestond geen symbool voor nul; "niets" werd niet genoteerd. Getallen werden van rechts naar links of van boven naar beneden geschreven, beginnend met de grootste waarden. De Egyptenaren konden met hun systeem getallen groter dan een miljoen weergeven door symbolen zo vaak als nodig te herhalen [4](#page=4). ### 1.3 De Romeinen (ca. 500 v. Chr tot 1300 n. Chr.) De Romeinse cijfers hadden een aanzienlijke impact op Europa en werden verspreid over het hele Romeinse Rijk. Sporen van dit systeem zijn vandaag de dag nog steeds zichtbaar [4](#page=4). De kernsymbolen en hun waarden zijn: * I: 1 * V: 5 * X: 10 * L: 50 * C: 100 * D: 500 * M: 1000 [4](#page=4). De Romeinen hadden geen symbool voor de waarde nul [4](#page=4). #### 1.3.1 Regels voor Romeinse cijfers De Romeinse cijfers volgen strikte regels: * **Optelling van gelijke cijfers:** Gelijke cijfers naast elkaar worden opgeteld. Eenzelfde cijfer mag maximaal driemaal achter elkaar worden geschreven [5](#page=5). * bv. III = 3 [5](#page=5). * bv. XX = 20 [5](#page=5). * **Optelling van kleinere cijfers rechts:** Kleinere cijfers die rechts van grotere worden geplaatst, worden opgeteld bij de grotere waarde [5](#page=5). * bv. VIII = 8 [5](#page=5). * bv. XXXVIII = 38 [5](#page=5). * **Aftrekking bij voorplaatsing:** Als een cijfer van lagere waarde direct voorafgaat aan een cijfer van hogere waarde, wordt de lagere waarde van de hogere afgetrokken. Dit geldt specifiek voor I, X en C wanneer ze links van een onmiddellijk grotere waarde of het dubbele daarvan staan [5](#page=5). * I mag enkel voor V of X staan: IV = 4, IX = 9 [5](#page=5). * X mag enkel voor L of C staan: XL = 40, XC = 90 [5](#page=5). * C mag enkel voor D of M staan: CD = 400, CM = 900 [5](#page=5). * **Efficiëntie in notatie:** Er moet zo veel mogelijk overgegaan worden naar het volgende symbool om herhaling te beperken [5](#page=5). * bv. VIIII is niet correct omdat eenzelfde symbool maximaal driemaal herhaald mag worden. VIV is ook incorrect; het correcte symbool is IX [5](#page=5) . * **Plaatsing bij aftrekking:** De af te trekken term wordt altijd geplaatst vóór het laatste cijfer van een herhaalde hogere term [5](#page=5). * bv. XXIX = 29 (en niet IXXX) [5](#page=5). #### 1.3.2 Oefeningen en werkwijze Om een getal in Romeinse cijfers te schrijven, volgt men deze stappen: 1. Ontleed het getal in een som van eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort [5](#page=5). 2. Zet elke term om in Romeinse cijfers, rekening houdend met de eerder genoemde regels [5](#page=5). 3. Schrijf de Romeinse cijfers achter elkaar, beginnend met de grootste waarde [5](#page=5). * bv. 3938 = 3000 + 900 + 30 + 8 = MMMCMXXXVIII [5](#page=5). **Oefening 1: Romeinse getallen omzetten naar Arabische cijfers** * MCMXVIII: 1918 [6](#page=6). * MDCCIV: 1704 [6](#page=6). * LXXIV: 74 [6](#page=6). * CCLXVI: 266 [6](#page=6). * MMDL: 2550 [6](#page=6). **Oefening 2: Arabische getallen omzetten naar Romeinse cijfers** * 18: XVIII [6](#page=6). * 46: XLVI [6](#page=6). * 1999: MCMXCIX [6](#page=6). * 449: CDXLIX [6](#page=6). * 87: LXXXVII [6](#page=6). * 1789: MDCCLXXXIX [6](#page=6). ### 1.4 De Indiërs en de Arabieren (ca. 2de eeuw voor Christus) De cijfers 1 tot 9 die wij hedendaags gebruiken, zijn waarschijnlijk van Indische oorsprong. Inscripties uit de tweede eeuw voor Christus vertonen gelijkenissen met onze huidige cijfers, en een evolutie is zichtbaar in de eeuwen daarna. Rond de achtste eeuw werden deze tekens in Bagdad aangetroffen en van daaruit naar Europa verspreid. In Zuid-Europa verschijnen deze cijfers aan het einde van de tiende en begin elfde eeuw, waarschijnlijk door handel met het Middellandse Zeegebied. Hoewel ze Hindo-Arabisch of Arabisch worden genoemd, speelden Arabieren voornamelijk een rol in de verspreiding ervan naar Europa, vanuit regio's als Afghanistan en Mesopotamië [6](#page=6). --- # Het decimaal of tiendelig talstelsel Het decimale of tiendelige talstelsel vormt de basis van ons getalsysteem, gekenmerkt door groepering per tien en plaatswaarde, wat leidt tot specifieke uitdagingen bij het aanleren van getallen boven de negen [7](#page=7). ### 3.1 Inleiding tot het decimaal talstelsel Ons getalsysteem, het decimale talstelsel, groepeert getallen per tien. De keuze om per tien te groeperen in plaats van per zes of acht is historisch bepaald, maar de belangrijkste eigenschap voor leerlingen is dat het een plaatswaardesysteem is. Het uitbreiden van de getallenrij vanaf tien veroorzaakt aanzienlijke moeilijkheden bij leerlingen, die voor volwassenen vaak onzichtbaar zijn door hun eigen vertrouwdheid met het systeem [7](#page=7). #### 3.1.1 Denkoefening in een ander talstelsel Om de complexiteit van het decimale stelsel te illustreren, wordt voorgesteld om te denken in een ander talstelsel, zoals een viertallig stelsel. In zo'n systeem worden symbolen als 0, 1, 2 en 3 gebruikt, en wordt er gegroepeerd per vier in plaats van per tien [7](#page=7). **Voorbeeld:** Drieëntwintig elementen in het viertallige stelsel zouden worden genoteerd met behulp van zestientallen, viertallen en eenheden. Het getal 23 zou in het viertallige stelsel genoteerd worden als 113, wat betekent 1 zestiental, 1 viertal en 3 eenheden ($1 \times 4^2 + 1 \times 4^1 + 3 \times 4^0 = 16 + 4 + 3 = 23$) [7](#page=7). De computerwereld werkt bijvoorbeeld met een tweetallig talstelsel (binair) omdat een elementair deeltje slechts twee waarden kan aannemen: 0 of 1 [8](#page=8). > **Tip:** Dezelfde hoeveelheid kan op verschillende manieren genoteerd worden, afhankelijk van het gekozen grondtal [8](#page=8). ### 3.2 Aanbrengen van de structuur van getallen die uit twee of meer cijfers bestaan Veel leerlingen hebben een globale, maar fragmentarische voorstelling van getallen tot honderd. De confrontatie met getallen groter dan negen, en met name de overgang naar tweecijferige getallen, stelt leerlingen voor drie duidelijke problemen die vaak onderschat worden. Het aanbrengen van het getal "10" als een natuurlijk vervolg op "9" is een veelvoorkomende oorzaak van leerproblemen. Het is cruciaal dat leerlingen de afspraak rond plaatswaarde begrijpen: eenheden worden rechts genoteerd en tientallen links [9](#page=9). #### 3.2.1 Kn eprintlnen bij tweecijferige getallen Leerlingen moeten de volgende knelpunten onder de knie krijgen bij het noteren en rekenen met hoeveelheden groter dan negen [9](#page=9): * **Hoeveelheidsprobleem:** Leerlingen moeten een goed zicht hebben op de concrete aantallen die tweecijferige getallen aanduiden [9](#page=9). * **Groeperingsprobleem:** Leerlingen moeten per tien kunnen groeperen en begrijpen waarom dit nodig is [9](#page=9). * **Notatieprobleem:** Leerlingen moeten de regels voor het noteren van tweecijferige getallen in het tiendelige positionele stelsel kennen en toepassen. Ze moeten begrijpen hoe het aantal groepjes van tien en het aantal losse eenheden genoteerd wordt. De overgang naar de notatie van het getal 10 (een 1 gevolgd door een 0) en de betekenis van de "1" moet begrepen worden [10](#page=10) [9](#page=9). * **Leesprobleem:** Leerlingen moeten de regels voor het lezen van tweecijferige getallen kennen en toepassen [10](#page=10). Het is zinvol om in het eerste leerjaar tot twintig te werken voor bewerkingen, maar om inzicht te krijgen in de getalstructuur is het duidelijker om met getallen tot negentienennegentig te werken. Dit om een te enge voorstelling van de afspraken in het decimale stelsel te voorkomen [10](#page=10). #### 3.2.2 Uitbreiden van de telrij tot 100 Een belangrijke bouwsteen voor rekenen tot honderd is het inzicht in de systematiek van de telrij: eenheden komen terug en na '9' verspringt het tiental (bv. 21, 22,..., 29, 30, 31). Hoewel veel kinderen bij aanvang van het tweede leerjaar al een globale voorstelling van de getallenrij tot honderd hebben door contact met paginanummers, huisnummers en geldbriefjes, is deze voorkennis vaak nog fragmentarisch [10](#page=10). #### 3.2.3 Structurerend tellen Voordat leerlingen per tien kunnen groeperen, moeten ze vertrouwd raken met structurerend tellen. Dit houdt in dat men structuur aanbrengt in een grote groep om deze efficiënter te tellen, wat een vorm van verkort tellen is. Kinderen leren getallen onderscheiden door elementen te groeperen [10](#page=10) [11](#page=11). **Voorbeeld:** Als een kind een grote, willekeurig geordende groep voorwerpen moet tellen, moet het zijn tellen organiseren. Dit kan variëren van het één voor één opnemen en opzij schuiven van objecten tot het groeperen van voorwerpen in gelijke groepjes (per twee, per drie, etc.) [11](#page=11). > **Voorbeeld:** Bij het tellen van blokjes in een bouwwerk, raakten kinderen in de war door dubbel te tellen. Een kind kwam met het idee om de blokjes in een lange dubbele rij te leggen en ze zo per twee te tellen, wat resulteerde in een correct aantal van zestien [11](#page=11). Op schematisch niveau kunnen leerlingen bijvoorbeeld twee A4-bladen met ongestructureerde hoeveelheden (bv. 120 en 123 sterren) krijgen om te bepalen waar de meeste sterren staan. Oplossingen zoals turven of omcirkelen van gelijke groepjes (per vier, per vijf of per tien) zijn goed, mits de hoeveelheden benoemd worden en het aantal groepjes en losse elementen vergeleken wordt [12](#page=12). Ook vanuit de kinderen zelf kan gestart worden. Concreet: laat leerlingen in klasrijen staan en groeperen per twee, wat resulteert in twaalf groepjes van twee kinderen. Vervolgens kunnen ze 2 aan 2 samen komen, wat leidt tot zes groepjes van vier kinderen. Het is nuttig de groepjes af te bakenen en te laten verwoorden hoeveel groepjes van 2, 4, etc. we bekomen. Op schematisch niveau kunnen kruisjes gebruikt worden om deze groepering te visualiseren [12](#page=12). #### 3.2.4 Groeperen per tien Leerlingen moeten voldoende ervaring opdoen met groeperen, waarbij de nadruk ligt op de handeling zelf, het verwoorden van de handeling en het resultaat. Hoewel er per twee, drie, vier, etc. gegroepeerd kan worden, is groeperen per tien essentieel. Hiervoor is het noodzakelijk te werken met hoeveelheden tot en met negentienennegentig, zodat leerlingen ervaring opdoen met meerdere groepjes van tien en de notatie "10" begrijpen [13](#page=13). **Voorbeeld:** Het verhaal van Bart die zijn knikkers telt, dient als context. In plaats van telkens opnieuw knikker per knikker te tellen, maakt hij groepjes van tien knikkers en bewaart deze in zakjes, met de losse knikkers apart. Dit leidt tot het uitdrukken van het aantal in zakjes van tien en losse knikkers [13](#page=13). Op concreet niveau met 24 knikkers: leerlingen stoppen knikkers in zakjes van 10. Ze verwoorden: 2 zakjes, elk met 10 knikkers, en 4 losse knikkers. In totaal dus 2 zakjes van 10 en 4 losse knikkers [13](#page=13). Leerlingen oefenen met het structureren per tien met concreet en gestructureerd materiaal, waarbij zowel de handeling als het verwoorden van belang zijn. Zowel 'ronde getallen' (zonder overschot) als hoeveelheden met losse eenheden komen aan bod. Op schematisch niveau kunnen leerlingen ook per tien groeperen [14](#page=14). > **Belangrijk:** Het handelen en het verwoorden zijn cruciaal. De vragen zijn analoog aan de concrete fase [14](#page=14). Op abstract niveau wordt pas overgestapt als het groeperen als handeling voldoende beheerst is [14](#page=14). Met gestructureerd materiaal zoals MAB-blokjes: 35 blokjes worden gegroepeerd in 3 groepjes van 10 en 5 losse blokjes. Het inwisselen van 10 blokjes voor een staafje (een tiental) wordt geïntroduceerd. Dit leidt tot 3 staafjes (tientallen) en 5 losse blokjes (eenheden) [14](#page=14) [15](#page=15). In de schematische fase kan magnetisch MAB-materiaal gebruikt worden, waarbij de leerkracht aan het bord werkt terwijl leerlingen concreet aan de slag zijn [15](#page=15). #### 3.2.5 Noteren en lezen van tweecijferige getallen (abstract niveau) Pas nadat het groeperen en verwoorden op concreet en schematisch niveau vlot verlopen, wordt overgegaan tot de notatie van dit groeperen op abstract niveau. Hierbij wordt de afspraak gemaakt dat eenheden rechts en tientallen links genoteerd worden, aanvankelijk in een tabel [15](#page=15). **Voorbeeld:** Bart's 24 knikkers worden genoteerd als: Aantal zakjes van 10 knikkers | Aantal losse knikkers -----------------------------|---------------------- 2 | 4 Dezelfde vragen uit de concrete en schematische fase komen hier terug. Het getal 35 wordt genoteerd als [16](#page=16): 3 (staafjes van 10) | 5 (losse blokjes) Het verwoorden is analoog aan de concrete fase: 3 staafjes van 10 en 5 losse blokjes. Later wordt de notatie abstracter, waarbij benadrukt wordt dat voor getallen groter dan 9 geen nieuwe cijfersymbolen worden ingevoerd, maar de reeds gekende symbolen op een andere plaats gezet worden, wat het plaatswaardesysteem vormt [16](#page=16). Ook het lezen van getallen krijgt aandacht. Eerst worden ronde tientallen geleerd (twintig, dertig, etc.), gekoppeld aan twee, drie, etc. tientallen, met aandacht voor naamgevingsuitzonderingen (dertig, twintig, veertig, tachtig). Daarna leren kinderen tweecijferige getallen met tientallen en eenheden juist benoemen en lezen, waarbij het verschil tussen noteren (links naar rechts, eerst tientallen dan eenheden) en lezen (rechts naar links) benadrukt wordt. Speciale aandacht gaat naar uitzonderingen als elf, twaalf, dertien, veertien [17](#page=17). Afhankelijk van het leerjaar wordt de getallenrij beperkt: tot twintig voor het eerste leerjaar, tot honderd voor het tweede, en tot duizend voor het derde leerjaar [17](#page=17). #### 3.2.6 Materialen en leermiddelen voor getallen met twee of meer cijfers Verschillende materialen ondersteunen het leren van getallen met twee of meer cijfers: * **Concreet materiaal:** * MAB-materiaal (Multibase Arithmetic Blocks) [17](#page=17). * Een (lus)abacus [17](#page=17). > **Opdracht:** Vergelijk het MAB-materiaal en de lusabacus. Wat zijn de voordelen en nadelen van beide [17](#page=17)? * **Leermiddelen in de schematische en abstracte fase:** * **Getallenlijn en getallenas:** Een getallenlijn of varianten ervan (hokjesgetallenlijn, kralenketting) is handig voor het inoefenen van de getallenrij tot honderd. De focus ligt op structurering in stukken van tien en het aanduiden van de tientallen om een mentaal beeld te vormen van de getallenlijn en getalposities. Leerlingen moeten kunnen antwoorden op vragen als "Welk tiental komt na...?" of "Welk tiental ligt tussen... en...?". Daarna wordt de verkenning van getallen tussen de tientallen gestart, waarbij de zuivere tientallen als referentiepunten dienen. Het situeren van getallen op een getallenas vereist inzicht in de tiendelige structuur. Via analogie leren kinderen getallen plaatsen, bijvoorbeeld 48 tussen 40 en 50, dicht bij 50. Men kan ook leren dat 39 sneller bereikt wordt door vanuit 40 één stap terug te doen. Het ineens aanbieden van de hele getallenrij tot honderd is vaak interessanter dan het deel per deel aanbieden, omdat kinderen zo meer zelf ontdekken en tot veralgemeningen komen [18](#page=18). * **Honderdveld:** Het honderdveld ondersteunt inzicht in de opbouw van getallen, het springen in de telrij met sprongen van tien, en relaties tussen getallen. Jacob Heer stelde ongeveer 150 jaar geleden voor om de 100 getallen in tien rijen van tien te presenteren, wat resulteerde in een '10 x 10'-veld [19](#page=19). > **Voorbeeld:** Het honderdveld toont getallen van 1 tot 100 in een rooster van 10 bij 10 [20](#page=20). Met deze ruimtelijke ordening kunnen leerlingen getallen vlug overzien en structureren, wat de verinnerlijking en mentale voorstelling bevordert. Het honderdveld combineert het volgorde-aspect (rangorde) met het hoeveelheidsaspect (hoeveelheidsgetal). Het maakt het verband tussen plaats en grootte van getallen duidelijk en stimuleert het werken met kleine en grote sprongen van tien. Bij tiensprongen belandt men altijd in dezelfde kolom. De hoeveelheidsstructuur van het honderdveld sluit aan bij de decimale getalstructuur (bv. 96 = 90 + 6), maar ook andere splitsingen komen duidelijk naar voren [19](#page=19) [20](#page=20). > **Tip:** Na de introductiefase dient het honderdveld steeds meer als mentaal beeld [20](#page=20). Activiteiten met het honderdveld omvatten: * Tellen, terugtellen en situeren van zuivere tientallen [21](#page=21). * Horizontaal delen van het honderdveld om te zien waar de scheiding valt (bv. tot 50 boven, 51 tot 100 onder) [21](#page=21). * Leren van de decimale structuur door horizontale lijnen te volgen (bv. na 20 komt 21 tot 30; 36 is 3 rijen van 10 en 6 losse) [21](#page=21). * Lezen van getallen op het veld [21](#page=21). * Het vinden en aanwijzen van getallen op het honderdveld [21](#page=21). * Vragen naar getallen die ervoor/erna komen, of getallen onder/boven een bepaald getal [21](#page=21). * Aanwijzen van 10 meer of 10 minder dan een gegeven getal, wat laat ontdekken dat een sprong naar beneden (boven) 10 meer (minder) is [21](#page=21). * Het bedekken en raden van getallen/rijen [21](#page=21). * Zoeken van getallen op een leeg honderdveld door eerst tiensprongen en dan losse hokjes te tellen [21](#page=21). * Het vinden van de 'buren' van een getal [21](#page=21). De ruimtelijke ordening op het honderdveld stelt leerlingen in staat om zonder concreet materiaal belangrijke structureringen van getallen tot honderd te zien [21](#page=21). > **Opmerking:** Hoewel het honderdveld een nuttig hulpmiddel kan zijn, ondervinden sommige leerlingen juist moeilijkheden ermee. Het moet gezien worden als een mogelijk hulpmiddel, niet als doel op zich [22](#page=22). * **Educatieve software voor getallenkennis:** Spelletjes zoals "plofsommen" op www.rekenweb.nl bieden speelse inoefening op het plaatsen van getallen op een getallenas [22](#page=22). --- # Oefeningen en getallenverzamelingen Deze sectie biedt oefeningen op getallenkennis en definieert de verschillende getallenverzamelingen (natuurlijke, gehele, rationale en reële getallen) samen met hun eigenschappen. ### 3.1 Oefeningen op getallenkennis Hier worden diverse oefeningen aangeboden om de getallenkennis te testen. Indien problemen optreden, wordt aangeraden de structuur en opbouw van getallen na te kijken en bijkomende oefeningen uit het oefenpakket te raadplegen [23](#page=23). #### 3.1.1 Voorbeelden van oefeningen * Hoeveel honderdtallen moet je tenminste bij 63 824 voegen om de duizendtallen met 1 te vermeerderen [23](#page=23)? * Het natuurlijk getal één miljoen en één bevat nullen [23](#page=23). * Welk getal ligt het dichtst bij 2,98? (Antwoorden: a. 3,12, b. 2,9, c. 2,895, d. 3,001) [23](#page=23). * In het getal 26,256 verhoudt de 6 vòòr de komma zich tot de 6 na de komma als: (Antwoorden: a. 1/1000, b. 100/1, c. 1/100, d. 1000/1, e. 1000/1000) [23](#page=23). ### 3.2 Getallenverzamelingen #### 3.2.1 De natuurlijke getallen De natuurlijke getallen vormen de eenvoudigste soort getallen in het decimaal talstelsel [24](#page=24). Symbool: $\mathbb{N}$ [24](#page=24). In deze verzameling zijn de optelling en de vermenigvuldiging altijd gedefinieerd en inwendig, wat betekent dat de uitkomst van deze bewerkingen met twee natuurlijke getallen opnieuw een natuurlijk getal is [24](#page=24). > **Tip:** De verzameling van de natuurlijke getallen wordt uitgebreid om de aftrekking overal te kunnen definiëren [24](#page=24). #### 3.2.2 De gehele getallen Symbool: $\mathbb{Z}$ [24](#page=24). In de verzameling van de gehele getallen zijn de optelling, de vermenigvuldiging en de aftrekking altijd gedefinieerd en inwendig [24](#page=24). Belangrijke deelverzamelingen van de gehele getallen zijn: * De positieve gehele getallen: $\mathbb{Z}^+$ [24](#page=24). * De negatieve gehele getallen: $\mathbb{Z}^-$ [24](#page=24). > **Tip:** De verzameling van de gehele getallen wordt uitgebreid om de deling overal uitvoerbaar te maken [24](#page=24). #### 3.2.3 De rationale getallen Symbool: $\mathbb{Q}$ [24](#page=24). Een rationaal getal kan genoteerd worden als een breuk of als een decimaal getal [24](#page=24). Voorbeeld: $\frac{3}{4} = 0,75$ [24](#page=24). Elk rationaal getal heeft ofwel een begrensde decimale schrijfwijze, ofwel een onbegrensde, repeterende decimale schrijfwijze [25](#page=25). Voorbeelden: * Begrensde decimale schrijfwijze: 5,12 [25](#page=25). * Onbegrensde, repeterende decimale schrijfwijze: $0,\overline{3}1$ [25](#page=25). Een rationaal getal is dus een getal dat als een breuk geschreven kan worden [25](#page=25). In de verzameling van de rationale getallen zijn de optelling, de vermenigvuldiging, de aftrekking en de deling altijd gedefinieerd en inwendig [25](#page=25). > **Tip:** De enige bewerking die niet altijd mogelijk is in de rationale getallen is het nemen van een (vierkants)wortel [25](#page=25). #### 3.2.4 De reële getallen Symbool: $\mathbb{R}$ [25](#page=25). In de verzameling van de reële getallen zijn de optelling, de vermenigvuldiging, de aftrekking, de deling en de worteltrekking uit positieve getallen altijd gedefinieerd en inwendig [25](#page=25). De reële getallen kunnen worden onderverdeeld in: * De rationale getallen (zie hoger) [25](#page=25). * De irrationale getallen: alle reële getallen die niet als een breuk te schrijven zijn [25](#page=25). #### 3.2.5 Toepassing Stel de voorgaande getallenverzamelingen voor met behulp van Venn-diagrammen (verzamelingenleer) en plaats een paar geschikte getallen in elk gebied [25](#page=25). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Plaatswaardesysteem | Een systeem waarbij de waarde van een cijfer wordt bepaald door de positie die het inneemt binnen een getal, wat essentieel is voor het noteren van getallen in ons decimale stelsel. | | Decimaal talstelsel | Een getalsysteem met grondtal 10, waarbij getallen worden weergegeven met tien verschillende cijfers (0-9) en de waarde van een cijfer afhangt van zijn positie. | | Romeinse cijfers | Een getalsysteem uit de oudheid dat gebruik maakt van symbolen zoals I, V, X, L, C, D en M om getallen weer te geven, met specifieke regels voor optelling en aftrekking. | | Getalsysteem | Een methode om getallen te noteren en weer te geven met behulp van een reeks symbolen en regels, zoals het decimale of het Romeinse getalsysteem. | | Groeperen per tien | Het proces waarbij elementen systematisch worden samengevoegd in groepen van tien, wat een fundamentele stap is in het begrijpen van het decimale talstelsel en plaatswaarde. | | Natuurlijke getallen | De verzameling van positieve gehele getallen (1, 2, 3, ...) die gebruikt worden voor het tellen en die de basis vormen van veel wiskundige concepten. | | Gehele getallen | De verzameling van natuurlijke getallen, hun tegenovergestelden (negatieve getallen) en nul (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). | | Rationale getallen | Getallen die als een breuk $p/q$ kunnen worden geschreven, waarbij $p$ een geheel getal is en $q$ een natuurlijk getal, en die een begrensde of repeterende decimale schrijfwijze hebben. | | Reële getallen | De verzameling van alle rationale en irrationale getallen, die de volledige getallenlijn op een continue manier vertegenwoordigen. | | MAB-materiaal | Een leermiddel (Multibase Arithmetic Blocks) bestaande uit blokjes, staafjes en platen die de eenheden, tientallen en honderdtallen van het decimale stelsel representeren, bedoeld voor concreet rekenonderwijs. | | Honderdveld | Een visueel hulpmiddel dat getallen van 1 tot 100 in een raster van 10 bij 10 organiseert, om de structuur, de volgorde en de hoeveelheid van getallen te bevorderen. | | Vakdidactiek | De studie van de methoden en principes van het onderwijzen van een specifiek vak, in dit geval wiskunde, met de focus op het effectief overbrengen van concepten aan leerlingen. |

# Fundamentele vaardigheden voor het bepalen van hoeveelheden Dit onderwerp behandelt de initiële rekenkundige vaardigheden die cruciaal zijn voor het begrijpen en bepalen van hoeveelheden, met een focus op het gevoelsmatig inschatten van aantallen en het direct herkennen van kleine hoeveelheden (subiteren), en benadrukt het belang ervan voor de verdere ontwikkeling van rekenvaardigheid. ### 1.1 Gevoel voor hoeveelheid Het gevoelsmatig inschatten van hoeveelheid stelt een persoon in staat om aantallen die groter zijn dan vijf benaderend te schatten, zonder te tellen. Deze vaardigheid is aangeboren, maar kan gestimuleerd worden. Er bestaan grote verschillen tussen individuen in dit gevoelsmatig vermogen. Kinderen die reeds als baby's hierop hoog scoren, tonen op latere leeftijd een beter inzicht in getallen. **Stimuleren van gevoel voor hoeveelheid:** * Gebruik benaderende wiskundige termen zoals: *weinig, veel, heel weinig, heel veel, meer, een beetje meer, veel meer, minder, een beetje minder, veel minder*. * Moedig kinderen aan om grotere hoeveelheden grof te vergelijken. * Voorzie concrete materialen waarmee kinderen kunnen handelen om hoeveelheden te ervaren. > **Tip:** Het consequent gebruiken van een rijke wiskundetaal bij dagelijkse situaties helpt kinderen om een beter gevoel voor hoeveelheid te ontwikkelen. ### 1.2 Subiteren Subiteren is de vaardigheid om een klein aantal objecten (vijf of minder) snel en exact te bepalen, zonder daadwerkelijk te tellen. Dit betekent het direct 'subiet' zien hoeveel er van iets is. **Ontwikkeling van subiteren:** * **Baby's:** Merken verschillen in kleine aantallen op, zonder deze te benoemen. * **Peuters (vanaf ca. 2 jaar):** Beginnen kleine hoeveelheden op het zicht te benoemen, zoals 'één', 'twee', 'niets', 'geen'. * **3-4 jarigen:** Kunnen vaak 'drie' en 'vier' subiteren. * **4 jarigen:** Kunnen doorgaans 'vijf' subiteren. * **Oudere kleuters:** Kunnen ook grotere aantallen dan vijf in één oogopslag herkennen door middel van structureren. **Minimumdoel subiteren:** Kleuters kunnen (on)gestructureerde aantallen tot en met vijf herkennen zonder te tellen. **Stimuleren van subiteren:** * Maak kleuters vertrouwd met ruimtelijke structuren zoals dominobeelden, dobbelsteenbeelden of de vijfstructuur. Dit maakt het herkennen op zicht gemakkelijker. Dit kan met echte materialen en later met afbeeldingen. * Gebruik kleine telwoorden in dagelijkse situaties: *Hoeveel? Eén, twee, drie, vier, vijf, geen.* * Toon waardering voor het correct subiteren met complimenten als: *goed gezien!* * Organiseer flitsspelletjes: presenteer korte tijd kleine hoeveelheden objecten en laat kinderen benoemen hoeveel ze gezien hebben. Dit kan met doeken, dozen, handen of flitskaarten. * Bouw het aantal flitsen geleidelijk op, beginnend met één of twee objecten en uitbreidend naar drie, vier en vijf, mits het voorgaande aantal beheerst wordt. * Gebruik voor flitsspelletjes sobere materialen zonder overlappende objecten. > **Voorbeeld:** Bij een flitsspel met twee dobbelstenen, waarbij de stippen een dobbelsteenpatroon vormen (bv. twee keer drie stippen op een lijn), kunnen kinderen dit waarschijnlijk sneller herkennen dan wanneer de stippen willekeurig verspreid zijn. **Ontwikkelingslijn subiteren:** * **3-4 jarigen:** Subiteren tot vier. * **4 jarigen:** Subiteren tot vijf. * **Oudere kleuters:** Kunnen via structureren ook grotere aantallen dan vijf in één oogopslag herkennen. Dit kan door getalbeelden te gebruiken, waarbij echte materialen gestructureerd worden of door afbeeldingen te gebruiken. **Praktische toepassingen voor jongste kleuters:** * **Materiaal:** Gebruik diverse prulletjes (schelpen, noten, kurken, knopen), potjes, doosjes, bordjes om hoeveelheden te organiseren. * **Oefenen met:** * Grof vergelijken: *veel, weinig*. * Subiteren tot drie. * Gebruik van wiskundetaal: *niets, één, twee, drie, een beetje, weinig, veel, veel meer, een beetje minder*. * **Instructie:** Werk stap voor stap in de kring: eerst voordoen, dan samen doen, daarna alleen laten doen. Gebruik liedjes om grof vergelijken te leren. Een piepspelletje kan helpen bij het inoefenen van 'één, twee, geen'. * Integreer materialen en wiskundetaal in hoeken en bij het meespelen. ### 1.3 Spontane aandacht voor hoeveelheden Naast de aangeboren en te stimuleren vaardigheden, is ook de spontane aandacht die kinderen voor hoeveelheden hebben relevant. Het is belangrijk om situaties te creëren die deze aandacht uitlokken. Door te observeren welke kinderen spontaan aandacht hebben voor hoeveelheden en welke minder, kan effectiever ingezet worden op het stimuleren van deze aandacht. > **Voorbeeld:** Een taak waarbij kinderen drie beren moeten plaatsen, kan de aandacht voor de hoeveelheid 'drie' uitlokken bij kinderen die hier nog geen spontane aandacht voor tonen. --- # Ontwikkeling van het gevoel voor hoeveelheid Hier volgt een gedetailleerde samenvatting over de ontwikkeling van het gevoel voor hoeveelheid, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 2. Ontwikkeling van het gevoel voor hoeveelheid Dit gedeelte verkent het aangeboren vermogen om aantallen groter dan vijf te schatten zonder te tellen, de rol van wiskundige taal, en het belang van het stimuleren van dit vermogen. ### 2.1 Gevoel voor hoeveelheid Het "gevoel voor hoeveelheid" is het aangeboren vermogen om aantallen, met name die groter dan vijf, benaderend te schatten zonder daadwerkelijk te tellen. Dit vaardigheidsgebied is nauw verbonden met latere rekenvaardigheid en is daarom een belangrijk focuspunt in de ontwikkeling van jonge kinderen. Hoewel het een aangeboren eigenschap is, kan het gevoel voor hoeveelheid gestimuleerd en verbeterd worden. Er zijn aanzienlijke interindividuele verschillen tussen kinderen in hun ontwikkeling van dit gevoel. Onderzoek suggereert dat baby's die hoog scoren op "gevoel voor hoeveelheid" op latere leeftijd, rond 3,5 jaar, een beter inzicht in getallen vertonen. #### 2.1.1 Stimuleren van het gevoel voor hoeveelheid Om het gevoel voor hoeveelheid te stimuleren, is het essentieel om kinderen bloot te stellen aan benaderende wiskundige taal. Dit nodigt hen uit om grotere hoeveelheden grof te vergelijken. **Benaderende termen:** * Weinig, veel * Heel weinig, heel veel * Meer, een beetje meer, veel meer * Minder, een beetje minder, veel minder * Ongeveer evenveel * Het meest, het minst Daarnaast is het van belang om kinderen te voorzien van concrete hoeveelheden om mee te handelen, zodat ze deze concepten kunnen ervaren en vergelijken. ### 2.2 Subiteren Subiteren is de vaardigheid om een klein aantal objecten (vijf of minder) snel en exact te herkennen zonder te tellen. Dit staat in contrast met het proces van tellen, waarbij elk object afzonderlijk wordt benoemd. Het is het vermogen om 'subiet' (onmiddellijk) te zien hoeveel het er zijn. #### 2.2.1 Ontwikkeling van subiteren * **Baby's:** Kunnen verschillen opmerken in kleine aantallen, zonder deze te benoemen. * **Peuters (rond 2 jaar):** Beginnen kleine hoeveelheden op zicht te benoemen zodra ze de eerste telwoorden kennen, zoals 'één', 'twee', 'niets' en 'geen'. * **3-4 jaar:** Kunnen tot 'drie' en 'vier' subiteren. * **4 jaar:** Kunnen tot 'vijf' subiteren. **Minimumdoel voor kleuters:** Het minimale doel is dat kleuters (on)gestructureerde aantallen tot en met vijf zonder te tellen kunnen herkennen (subiteren). #### 2.2.2 Het faciliteren van subiteren Het herkennen van aantallen op zicht wordt gemakkelijker gemaakt door kinderen vertrouwd te maken met ruimtelijke structuren. Dit kan worden bereikt door middel van: * **Dominos- of dobbelsteenbeelden:** Het herkennen van patronen zoals die op dobbelstenen of dominokaarten voorkomen. * **Kwadraatbeelden:** Patronen georganiseerd in een vierkante structuur. * **Vijfstructuren:** Patronen georganiseerd rondom het getal vijf (bijvoorbeeld de vijf op een dobbelsteen). Deze structuren kunnen eerst met echte materialen en vervolgens met afbeeldingen worden aangeboden. #### 2.2.3 Stimuleren van subiteren Verschillende methoden kunnen worden toegepast om subiteren te stimuleren: * **Gebruik van kleine telwoorden:** Integreer telwoorden zoals 'één', 'twee', 'drie', 'vier', 'vijf', en 'geen' in dagelijkse situaties. * **Waardering tonen:** Benoem en complimenteer kinderen wanneer ze correct subiteren (bijvoorbeeld: "goed gezien!"). * **Flitsspelletjes:** Bied korte perioden een kleine hoeveelheid objecten aan en laat kinderen aangeven hoeveel ze hebben gezien. Dit kan met fysieke objecten, handgebaren, of flitskaarten. Het aantal kan geleidelijk worden opgehoogd: beginnend met 'één', 'twee', 'geen' voor peuters, en dan uitbreidend naar 'drie', 'vier', en 'vijf' naarmate de beheersing toeneemt. Gebruik hierbij sobere, niet-overlappende materialen. * **Vertrouwd maken met structuren:** Gebruik bijvoorbeeld dominobeelden, dobbelsteenbeelden, vijfstructuren en kwadraatbeelden, eerst met echte materialen en daarna met afbeeldingen. #### 2.2.4 Ontwikkelingslijn van subiteren * **3-4 jarigen:** Kunnen doorgaans subiteren tot vier. * **4 jarigen:** Kunnen doorgaans subiteren tot vijf. * **Oudere kleuters:** Kunnen soms ook grotere aantallen dan vijf in één oogopslag herkennen, vaak door middel van structurering en het samenvoegen van bekende patronen (getalbeelden). Het is belangrijk om kinderen te vragen hoe ze tot een bepaald aantal kwamen om hun strategieën te achterhalen en te verwoorden. ### 2.3 Spontane aandacht voor hoeveelheden Naast het aangeboren gevoel voor hoeveelheid en de vaardigheid van subiteren, is er ook de 'spontane aandacht voor hoeveelheden'. Dit verwijst naar de mate waarin kinderen uit zichzelf aandacht besteden aan de hoeveelheden om hen heen. Creëer situaties die deze aandacht uitlokken, bijvoorbeeld door het tonen van specifieke aantallen objecten in spelletjes of verhalen. #### 2.3.1 Praktische toepassing bij jonge kleuters Voor de jongste kleuters kan men zich richten op: * **Grof vergelijken:** Gebruik maken van termen als 'veel' en 'weinig'. * **Subiteren tot drie:** Oefenen met het herkennen van hoeveelheden tot drie. * **Wiskundige taal:** Introduceer termen als 'niets', 'één', 'twee', 'drie', 'een beetje', 'weinig', 'veel', 'veel meer', en 'een beetje minder'. Door middel van expliciete instructie, te beginnen met voordoen, dan samen doen, en uiteindelijk zelf doen, kunnen deze vaardigheden worden aangeleerd. Het gebruik van liedjes kan helpen bij het grof vergelijken. Materialen zoals 'prulletjesmateriaal' (schelpen, noten, kurken, knopen) in potjes, doosjes en zakjes kunnen het oefenen van deze concepten bevorderen. > **Tip:** Het is cruciaal om de wiskundige taal consequent te verwoorden bij het werken met materialen, zowel in hoeken als tijdens spelmomenten. #### 2.3.2 Impulsen voor gericht werken met materiaal Bij het inzetten van materiaal is het belangrijk om gerichte impulsen te geven om aan specifieke doelen te werken, zoals subiteren tot drie, het ontwikkelen van het gevoel voor hoeveelheid, en het aanleren van bijbehorende wiskundige taal. --- # Stimuleren van subiteren bij jonge kinderen Dit deel focust op de vaardigheid om kleine aantallen objecten (tot vijf) snel en exact te herkennen zonder te tellen, en hoe deze vaardigheid bij jonge kinderen gestimuleerd kan worden. ### 3.1 Gevoel voor hoeveelheid Gevoel voor hoeveelheid is de vaardigheid om aantallen groter dan vijf benaderend, dus niet exact, te schatten zonder te tellen. Deze vaardigheid is aangeboren, maar sterk stimuleerbaar en hangt samen met latere rekenvaardigheid. Er zijn grote interindividuele verschillen tussen kinderen in dit aangeboren gevoel voor hoeveelheid. Kinderen die als baby's hoog scoren op dit gebied, vertonen op 3,5-jarige leeftijd een beter inzicht in getallen. #### 3.1.1 Stimuleren van gevoel voor hoeveelheid Om het gevoel voor hoeveelheid te stimuleren, wordt geadviseerd om benaderende termen te gebruiken en kinderen uit te nodigen om grotere hoeveelheden grof te vergelijken. * **Wiskundetaal:** * weinig, veel, heel weinig, heel veel, meer, een beetje meer, veel meer, minder, een beetje minder, veel minder. * veel, weinig, meer, minder, ongeveer evenveel, het meest, het minst. Het is belangrijk om kinderen te voorzien van materialen waarmee ze hoeveelheden kunnen handelen. ### 3.2 Subiteren Subiteren is de vaardigheid om een klein aantal objecten, doorgaans tot vijf, snel en exact te bepalen zonder te tellen. Het woord 'subiet' betekent 'onmiddellijk' of 'in één oogopslag'. Dit onderscheidt zich van tellen, waarbij elk object afzonderlijk wordt benoemd. #### 3.2.1 Ontwikkeling van subiteren De ontwikkeling van subiteren verloopt stapsgewijs: * **Baby's:** merken verschillen op in kleine aantallen, nog zonder dit te benoemen. * **Daarna (vanaf ongeveer 2 jaar):** kinderen beginnen kleine hoeveelheden op het zicht te benoemen zodra ze de eerste telwoorden kennen. * Eerst: 'één', 'twee', 'niets', 'geen'. * Vervolgens: 'drie', 'vier' (rond 3-4 jaar). * Tenslotte: 'vijf' (rond 4 jaar). Het minimumdoel voor kleuters is om ongestructureerde aantallen tot en met vijf te herkennen zonder te tellen. Dit wordt gemakkelijker wanneer kinderen vertrouwd raken met ruimtelijke structuren. #### 3.2.2 Ruimtelijke structuren ter bevordering van subiteren Het herkennen van getalbeelden, gebaseerd op specifieke ruimtelijke structuren, vergemakkelijkt het subiteren. * **Dominobeeld of dobbelsteenbeeld:** Objecten die georganiseerd zijn zoals op een domino of dobbelsteen. * **Kwadraatbeeld:** Objecten geplaatst in een vierkante opstelling. * **Vijfstructuur:** Objecten gerangschikt volgens de vijfpuntenstructuur van een dobbelsteen. Deze structuren kunnen eerst met echte materialen en vervolgens met afbeeldingen worden aangeboden. #### 3.2.3 Methoden om subiteren te stimuleren Diverse methoden kunnen worden ingezet om het subiteren te stimuleren: * **Gebruik van kleine telwoorden:** Integreer telwoorden zoals 'één', 'twee', 'drie', 'vier', 'vijf', en 'geen' in dagelijkse situaties. * **Waardering tonen:** Geef positieve feedback zoals "goed gezien!" wanneer een kind succesvol subiteert. * **Flitsspelletjes:** * Presenteer korte momenten kleine hoeveelheden objecten en laat kinderen benoemen hoeveel ze hebben gezien. * Dit kan door een doek of doos kort omhoog te doen, een hand even te openen, of met speciale flitskaarten. * Begin met hoeveelheden van één, twee, en eventueel drie (voor peuters), en breid dit geleidelijk uit naar vier en vijf indien beheerst. * Gebruik sobere, niet-overlappende materialen en bied de hoeveelheden kort aan. > **Tip:** Bij flitsspelletjes is het belangrijk om de hoeveelheden geleidelijk op te bouwen en pas een volgend aantal te introduceren als het voorgaande beheerst wordt. #### 3.2.4 Ontwikkelingslijn subiteren * **3-4-jarigen:** kunnen doorgaans subiteren tot vier. * **4-jarigen:** kunnen subiteren tot vijf. * **Oudere kleuters:** kunnen, door het gebruik van structureren en getalbeelden, ook grotere aantallen dan vijf in één oogopslag herkennen. Dit gebeurt door de strategie van samenvoegen. Het is cruciaal om kinderen te vragen hoe ze tot een bepaald aantal kwamen en hen hun strategie te laten verwoorden. #### 3.2.5 Praktijkvoorbeelden met jonge kleuters Voor de jongste kleuters kunnen de volgende activiteiten worden ingezet: * **Materiaal:** Gebruik 'prulletjesmateriaal' zoals schelpen, noten, kurken, knopen. Zorg ook voor potjes, doosjes en bordjes om materialen te verzamelen. * **Oefeningen:** * Grof vergelijken: 'veel', 'weinig'. * Subiteren tot drie. * Gebruik van wiskundetaal: 'niets', 'één', 'twee', 'drie', 'een beetje', 'weinig', 'veel', 'veel meer', 'een beetje minder'. * **Begeleiding:** Start met expliciete instructie in de kring, waarbij eerst wordt voorgedaan, daarna samen wordt gedaan, en ten slotte de kinderen het zelfstandig uitvoeren. Dit geldt zowel voor grof vergelijken als voor subiteren. > **Voorbeeld:** Een liedje kan helpen om grof vergelijken aan te leren. Een piepspelletje met één, twee, en geen kan gebruikt worden om subiteren te oefenen. Materialen zoals prulletjes, potjes, doosjes, zakjes en schaaltjes kunnen in hoekjes worden geplaatst en tijdens het spelen worden gebruikt, waarbij de wiskundetaal continu wordt verwoord. ### 3.3 Spontane aandacht voor hoeveelheden Vanaf pagina 75 wordt de spontane aandacht voor hoeveelheden bij kinderen besproken. Het is belangrijk om te observeren welke kinderen van nature aandacht hebben voor hoeveelheden en welke minder. Actief worden er situaties gecreëerd die de aandacht voor hoeveelheden uitlokken, bijvoorbeeld door te werken met drie beren. --- # Spontane aandacht voor hoeveelheden Dit topic onderzoekt hoe de aandacht van kinderen voor aantallen gestimuleerd kan worden door het creëren van specifieke situaties. ### 3.1 Het belang van spontane aandacht voor hoeveelheden Spontane aandacht voor hoeveelheden verwijst naar de mate waarin kinderen uit zichzelf interesse tonen in aantallen in hun omgeving. Het observeren van welke kinderen in een klas spontaan aandacht hebben voor hoeveelheden, en welke kinderen dit minder of niet hebben, is de eerste stap. Vervolgens is het cruciaal om situaties te creëren die deze aandacht actief uitlokken. ### 3.2 Creëren van situaties die aandacht voor hoeveelheden uitlokken Het doel is om kinderen actief te betrekken bij het concept van hoeveelheden. Dit kan door middel van uitdagende en betekenisvolle situaties. #### 3.2.1 Praktische voorbeelden voor de klas Er worden verschillende concrete voorbeelden gegeven om spontane aandacht voor hoeveelheden te stimuleren: * **Gebruik van getalsymboliek in context:** * **Drie beren:** Een situatie met 'drie beren' kan kinderen aanzetten om na te denken over het aantal. Dit kan leiden tot vragen zoals 'hoeveel beren?', 'hoeveel beren zijn er nu?', of 'zijn er meer beren dan poppen?'. * **Benaderende vergelijkingen en wiskundetaal:** * **Grof vergelijken:** Kinderen worden uitgenodigd om grotere hoeveelheden grof te vergelijken met behulp van benaderende termen. * **Wiskundetaal:** Het gebruik van specifieke wiskundige termen is essentieel. Voorbeelden zijn: * "Weinig, veel, heel weinig, heel veel, meer, een beetje meer, veel meer, minder, een beetje minder, veel minder." * "Veel, weinig, meer, minder, ongeveer evenveel, het meest, het minst." * **Oefenen met kleine telwoorden:** * **Dagelijkse situaties:** Het inzetten van kleine telwoorden (één, twee, drie, vier, vijf, geen) in alledaagse contexten helpt kinderen om zich deze getallen eigen te maken. * **Piepspelletjes:** Korte spelletjes waarbij een klein aantal objecten getoond wordt, gevolgd door een vraag als "Hoeveel zag je er?". Dit kan variëren van 'geen, één, twee' voor peuters, tot 'drie', 'vier', en 'vijf' naarmate de beheersing toeneemt. * **Materiaal en spel:** * **Prulletjesmateriaal:** Het gebruik van materiaal zoals schelpen, noten, kurken of knopen, gecombineerd met potjes, doosjes en bordjes, stimuleert het bij elkaar brengen en vergelijken van hoeveelheden. * **Expliciete instructie:** Een gestructureerde aanpak in de kring, beginnend met voordoen, dan samen doen, en ten slotte zelfstandig uitvoeren, is effectief. Dit geldt zowel voor het vergelijken van 'veel-weinig' als voor het leren van het getal 'één, twee, geen'. * **Wiskundetaal verwoorden:** Het verwoorden van de wiskundetaal bij het gebruik van materiaal in hoeken en tijdens het spelen is cruciaal voor begrip. #### 3.2.2 Ontwikkelingslijnen en doelen * **Minimumdoel:** Kleuters dienen in staat te zijn om (on)gestructureerde aantallen tot en met 5 te herkennen zonder te tellen (subiteren). * **Ontwikkeling subiteren:** * Baby's merken verschillen in kleine aantallen, zonder deze te benoemen. * Peuters beginnen kleine hoeveelheden op het zicht te benoemen (één, twee, niets, geen), vaak rond de leeftijd van 2 jaar. * Met 3-4 jaar kunnen ze drie en vier benoemen. * Met 4 jaar kunnen ze vijf benoemen. * **Stimuleren van subiteren:** * **Ruimtelijke structuren:** Kinderen vertrouwd maken met ruimtelijke structuren, zoals domino- of dobbelsteenbeelden, kwadraatbeelden en de vijfstructuur, maakt visueel herkennen gemakkelijker. Dit kan eerst met echte materialen en daarna met afbeeldingen. * **Flitsspelletjes:** Korte momenten van blootstelling aan kleine hoeveelheden (één, twee, geen, dan oplopend naar drie, vier, vijf) gevolgd door het benoemen van het aantal. De materialen moeten sober en niet overlappend zijn. * **Ontwikkelingslijn:** * 3-4 jarigen: subiteren tot 4. * 4 jarigen: subiteren tot 5. * Oudste kleuters: ook grotere aantallen dan vijf snel herkennen door middel van structureren (getalbeelden, echte materialen, afbeeldingen) en samenvoegen. Het verwoorden van de strategie die men gebruikt om een aantal te herkennen, is belangrijk. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Gevoel voor hoeveelheid | Het aangeboren vermogen om aantallen die groter zijn dan vijf, op een benaderende manier te schatten zonder te tellen. Dit vermogen is stimuleerbaar en een goede basis voor latere rekenvaardigheid. | | Subiteren | De vaardigheid om een klein aantal objecten, meestal vijf of minder, direct en exact te herkennen zonder de noodzaak om te tellen. Dit gebeurt "in een oogopslag". | | Stimuleerbaar | Een eigenschap die aangeeft dat iets, hoewel aangeboren, wel bevorderd en versterkt kan worden door oefening en gerichte interventie. | | Benaderende termen | Woorden en zinnen die gebruikt worden om hoeveelheden grof te beschrijven, zoals "weinig", "veel", "meer", "minder", "ongeveer evenveel". Deze termen helpen bij het ontwikkelen van een gevoel voor omvang. | | Wiskundetaal | Specifieke terminologie die gebruikt wordt om wiskundige concepten en relaties te beschrijven. Dit omvat termen voor hoeveelheid, vergelijking en ruimtelijke relaties. | | Spontane aandacht | De natuurlijke neiging van een kind om zelfstandig interesse te tonen en zich te richten op wiskundige concepten, zoals het herkennen van aantallen in de omgeving. | | Getalbeelden | Visuele representaties van getallen, vaak gebaseerd op structuren zoals domino's, dobbelstenen of de vijfstructuur. Deze beelden helpen bij het snel herkennen van hoeveelheden. | | Structureren | Het organiseren van objecten of getalbeelden op een systematische manier om het herkennen van hoeveelheden te vergemakkelijken, bijvoorbeeld door het gebruik van patronen. | | Flitsspelletjes | Een educatieve spelvorm waarbij kleine aantallen objecten gedurende een zeer korte tijd worden getoond, waarna het kind het aantal moet benoemen. Dit traint het subiteren. | | Minimumdoel | Een vastgestelde standaard of verwachting voor wat kinderen aan het einde van een bepaalde leefase of periode zouden moeten kunnen op het gebied van rekenvaardigheid. |