Physics

# Methode van scheiding der variabelen voor Laplace's vergelijking ### Kernidee * De methode van scheiding der variabelen is een techniek om partiële differentiaalvergelijkingen, zoals Laplace's vergelijking, op te lossen door ze te ontbinden in eenvoudigere gewone differentiaalvergelijkingen. * Dit principe wordt toegepast in de context van de microscopische en macroscopische Maxwell-vergelijkingen. * De methode is bijzonder nuttig voor het oplossen van stationaire veldproblemen in specifieke coördinatensystemen. ### Sleutelbegrippen * **Microscopische velden (e, b):** Velden gedefinieerd door de Lorentz-krachtwet op geladen deeltjes [9](#page=9). * **Macroscopische velden (E, B):** Gemiddelde waarden van de microscopische velden, beschouwd als continue media [11](#page=11). * **Potentiëlen (A, V):** Scalaire (V) en vector (A) potentialen die de elektrische (E) en magnetische (B) velden representeren, met als doel de Maxwell-vergelijkingen te vereenvoudigen [17](#page=17). * Relatie: $B = \nabla \times A$ [17](#page=17). * Relatie: $E + \frac{\partial A}{\partial t} = -\nabla V$ [18](#page=18). * **Lorentz-ijkvoorwaarde:** Een voorwaarde die wordt opgelegd aan de potentialen ($ \nabla \cdot A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial V}{\partial t} = 0 $) om de golfvergelijkingen voor V en A te scheiden [18](#page=18). * **Golfvergelijkingen:** * $ \nabla^2 A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} = -\mu_0 J_L $ [18](#page=18). * $ \nabla^2 V - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{\rho_L}{\epsilon_0} $ [18](#page=18). * **Stationaire velden (tijdsonafhankelijk):** Een benadering waarbij de tijdsafgeleiden in de golfvergelijkingen verwaarloosd kunnen worden, resulterend in de Laplace- of Poisson-vergelijkingen [18](#page=18). * $ \nabla^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho_L $ [19](#page=19). * $ \nabla^2 A = -\mu_0 J_L $ [19](#page=19). * **Multipoolontwikkeling:** Een methode om de potentiaal van een compacte ladingsverdeling te benaderen als een reeks termen die gerelateerd zijn aan de totale lading, dipoolmoment, etc. [21](#page=21). ### Sleutelfeiten * De microscopische Maxwell-vergelijkingen zijn: * $ \nabla \times e = -\frac{\partial b}{\partial t} $ [10](#page=10). * $ \nabla \cdot \epsilon_0 e = \eta $ [10](#page=10). * $ \nabla \times \frac{b}{\mu_0} = \frac{\partial \epsilon_0 e}{\partial t} + j $ [10](#page=10). * $ \nabla \cdot b = 0 $ [10](#page=10). * De macroscopische Maxwell-vergelijkingen zijn: * $ \nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t} $ [12](#page=12). * $ \nabla \cdot \epsilon_0 E = \rho_L $ [12](#page=12). * $ \nabla \times \frac{B}{\mu_0} = \frac{\partial \epsilon_0 E}{\partial t} + J_L $ [12](#page=12). ### Implicaties ### Oefening --- ## Magnetische multipoolmomenten ### Magnetisch moment van een stroomverdeling * De vectorpotentiaal van een compacte stroomverdeling kan uitgedrukt worden in termen van een reeksontwikkeling van de Green's functie [25](#page=25). * Voor een stationaire stroomverdeling (∇ · J = 0) is de eerste term in de potentiaalontwikkeling nul [25](#page=25). * De eerste significante term voor de vectorpotentiaal van een stationaire stroomverdeling is gerelateerd aan het magnetisch moment [26](#page=26). * Het magnetisch moment van een stroomverdeling wordt gedefinieerd als: - $$m = \frac{1}{2} \int \mathbf{r} \times \mathbf{J}(\mathbf{r}) dv$$ [26](#page=26) * $\mu_0 \mathbf{m}$ wordt vaak het magnetisch dipoolmoment genoemd [26](#page=26). * De vectorpotentiaal van een stationaire stroomverdeling is in eerste orde: - $$A = -\mu_0 \mathbf{m} \times \nabla G_3(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^3}$$ [26](#page=26) * Voor een discrete stroomverdeling wordt het magnetisch moment gegeven door: - $$m = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \mathbf{v}_i$$ [26](#page=26) * Het magnetisch (dipool)moment van een atoom is gerelateerd aan zijn draaimoment: - $$m = -\frac{e}{2m_e} L$$ [26](#page=26) * Hierin is $L$ het interne draaimoment van het atoom en $m_e$ de massa van het elektron [26](#page=26). * Kwantummechanica stelt dat het draaimoment gekwantiseerd is met $\hbar = h / (2\pi)$ als fundamentele eenheid [27](#page=27). * Magnetische momenten worden gemeten als veelvouden van het Bohr-magneton: - $$\mu_B = \frac{\hbar e}{2m_e} = 9 - 274 \times 10^{-24} J/T$$ [27](#page=27) * Naast het baanmoment ($L$) vertonen bouwstenen ook een spinmoment ($S$). Het totale draaimoment ($J$) resulteert in een magnetisch dipoolmoment: - $$m \approx -g_e \frac{e}{2m_e} J$$ [27](#page=27) - waarbij $g_e$ een waarde tussen 1 en 2 kan aannemen [27](#page=27) ### Veld van een elementaire magnetische dipool * Het prototype van een magnetische dipool is een kleine vlakke stroomkring [27](#page=27). * Het magnetisch moment van een vlakke kring met stroom $i$ en gerichte oppervlakte $a$ is: - $$m = ia$$ [27](#page=27) * Een elementaire magnetische dipool wordt verkregen door de stroom naar oneindig te laten gaan en de straal naar nul, terwijl het moment constant blijft [28](#page=28). * De vectorpotentiaal van een elementaire magnetische dipool is exact gelijk aan de eerste term van de reeksontwikkeling [28](#page=28). --- ## Elektrostatishe randvoorwaardenproblemen * Elektrostatische problemen worden opgelost door de continuïteit van de potentiaal en de sprongcondities voor de elektrische verplaatsing te respecteren aan grensvlakken. * De potentiaal voldoet aan de Laplace-vergelijking ($\nabla^2 V = 0$) in ladingsvrije gebieden en aan de Poisson-vergelijking ($\nabla^2 V = -\rho/\epsilon$) in gebieden met lading. ### Belangrijke feiten * Voor elk stationair elektrisch veld geldt $\nabla \times E = 0$ [49](#page=49). * Dit impliceert dat het elektrische veld uitgedrukt kan worden als $E = -\nabla V$ [49](#page=49). * De geleiders moeten $E=0$ hebben om te voorkomen dat $J \neq 0$ [49](#page=49). * Oppervlakken van geleiders zijn equipotentiaalvlakken [49](#page=49). * De ladingsdichtheid $\rho$ in diëlektrica moet worden opgegeven [49](#page=49). * Voor lineaire materialen geldt $D = \epsilon E$, waarbij $\epsilon$ een constante (tensor) is die plaatsafhankelijk kan zijn [50](#page=50). * De diëlektrische tensor is symmetrisch en positief definiet, wat betekent dat $E \cdot D = E \cdot \epsilon E \geq 0$ [50](#page=50). * In uniforme, lineaire en isotrope media reduceert de vergelijking tot de Poisson-vergelijking: $\nabla^2 V = -\rho/\epsilon$ [50](#page=50). * In ladingsvrije gebieden voldoet de potentiaal aan de Laplace-vergelijking: $\nabla^2 V = 0$ [50](#page=50). ### Belangrijke concepten * **Sprongcondities:** Aan scheidingsvlakken tussen verschillende diëlektrica gelden de volgende condities: * $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 = 0$ (continuïteit van de tangentiële component van E) [50](#page=50). * Dit is equivalent aan de continuïteit van de potentiaal ($V_1 = V_2$) [51](#page=51). * $n_1 \cdot D_1 + n_2 \cdot D_2 = \pi$ (Continuïteit van de normale component van D) [50](#page=50). * **Geleideroppervlakken:** * $n \times E = 0$ (Elektrisch veld staat loodrecht op geleideroppervlak) [51](#page=51). * $n \cdot D = -\epsilon \frac{\partial V}{\partial n} = \pi$ (Toelaat de bepaling van de oppervlakteladingsdichtheid) [51](#page=51). * **Eenduidigheidsstelling:** Een elektrostatisch probleem heeft een unieke oplossing als op de randen en geleiders: * Ofwel de potentiaal is vastgelegd. * Ofwel de totale lading is vastgelegd [52](#page=52). * **Beeldladingen:** Een methode om randvoorwaarden op geleidende vlakken te voldoen door fictieve ladingen te introduceren. * **Capaciteitscoëfficiënten:** Beschrijven de lineaire relatie tussen ladingen op geleiders en hun potentialen: $Q_i = \sum_j k_{ij} V_j$. Deze zijn symmetrisch: $C_{ij} = C_{ji}$ [55](#page=55). * De eenduidigheidsstelling verklaart de afschermende werking van holle geleiders [53](#page=53). * De methode van beeldladingen vereenvoudigt berekeningen voor specifieke geometrieën [53](#page=53). ### Voorbeeld --- ## Stationaire velden en magnetostatica ### Conductantiecoëfficiënten * Conductantiecoëfficiënten ($G_{ij}$) beschrijven de stroom ($I_i$) uitgedrukt in potentialen ($V_i$) voor lineaire, isotrope media [59](#page=59). * De formule is: $I_i = \sum_{j \neq i} G_{ij}(V_i - V_j) + G_{i\infty}V_i$ [59](#page=59). * Ze zijn niet-negatief en symmetrisch ($G_{ij} = G_{ji}$) [59](#page=59). * Een geleidend pad tussen twee geleiders is vereist voor een niet-nul conductantiecoëfficiënt [59](#page=59). ### Weerstand model * Een cilindrische weerstand met geleidbaarheid $\sigma$ en elektroden op de eindvlakken kan gemodelleerd worden [60](#page=60). * De conductantie voor een cilinder is $G = \sigma S / d$, waarbij $S$ de doorsnede-oppervlakte is [60](#page=60). * Dit resultaat geldt voor elke willekeurige doorsnede [60](#page=60). * De wet van Ohm relateert potentiaalverschil en stroom: $V_1 - V_2 = RI$ [60](#page=60). ### Ladingsdichtheid en elektrostische velden * Ladingsdichtheid kan achteraf bepaald worden met $\rho = \nabla \cdot D$ [61](#page=61). * In uniforme isotrope gebieden is $\rho = 0$, en ladingen bevinden zich op scheidingsvlakken [61](#page=61). * Velden buiten geleidende gebieden kunnen opgelost worden als een elektrostatisch probleem [61](#page=61). ### Eindige elementen methode (FEM) * FEM is een numerieke methode voor gedetailleerde oplossingen van praktische veldproblemen [61](#page=61). * Het lost de differentiaalvergelijking $-\nabla \cdot (\epsilon \nabla \phi) = \rho$ op met randvoorwaarden [61](#page=61). * **Zwakke formulering:** Vermenigvuldigt de vergelijking met een testfunctie $\psi$ en integreert over het gebied [62](#page=62). * Dit reduceert de orde van de afgeleiden, waardoor eenvoudige basisfuncties mogelijk zijn [62](#page=62). * De zwakke formulering resulteert in een lineair stelsel $A_{ij}c_j = B_i$ [63](#page=63). * De elementen van de matrix $A$ worden berekend met integralen zoals $\int_{\Omega} \epsilon \nabla \psi_i \cdot \nabla \psi_j \, dV$ [63](#page=63). ### Magnetostatica * Magnetostatica berekent magnetische velden en inductie uit stationaire stromen [65](#page=65). * Velden voldoen aan $\nabla \cdot B = 0$ en $\nabla \times H = J$ [65](#page=65). * Sprongcondities voor magnetische velden zijn: $n_1 \cdot B_1 + n_2 \cdot B_2 = 0$ en $n_1 \times H_1 + n_2 \times H_2 = K$ [65](#page=65). * De magnetische inductie kan worden afgeleid van een vectorpotentiaal: $B = \nabla \times A$ [65](#page=65). * Met de Coulomb-ijk is $\nabla \cdot A = 0$, en $A$ is continu aan scheidingsvlakken [65](#page=65). ### D Magnetostatica * Voor 2D-problemen met translatiesymmetrie geldt $\nabla^2_\perp A_z = -\mu J_z$ [67](#page=67). * Aan scheidingsvlakken geldt continuïteit van $A_z$: $A_{z1} = A_{z2}$ [67](#page=67). * De tweede continuïteitsvoorwaarde is: $\nu_1 \frac{\partial A_{z1}}{\partial n_1} + \nu_2 \frac{\partial A_{z2}}{\partial n_2} = -K_z$ [67](#page=67). ### Magnetische scalaire potentiaal ### Magnetische netwerken ### Inductiecoëfficiënten --- ## Quasi-stationaire velden ### Elektro-quasi-statica (EQS) * De elektro-quasi-statische benadering (EQS) wordt gebruikt wanneer de dimensies van een object klein zijn ten opzichte van de golflengte, waardoor de voortplanting van elektromagnetische storingen als ogenblikkelijk wordt beschouwd [78](#page=78). * In EQS wordt de tijdsafgeleide van de magnetische inductie in de wet van Faraday verwaarloosd [78](#page=78). * De wetten van elektrostatica blijven benaderend geldig: $\nabla \times E \approx 0$ en $E = -\nabla V$ [79](#page=79). * De bijbehorende sprongcondities zijn: $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 \approx 0$ en $n_1 \cdot D_1 + n_2 \cdot D_2 = \pi$ [80](#page=80). * De wet van behoud van lading is: $\nabla \cdot J + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ [80](#page=80). * In geleiders geldt dat ladingsdichtheid $\rho = 0$ en lading enkel voorkomt als oppervlaktelading op grensvlakken [78](#page=78). * Voor een condensator geldt: $Q(t) = \pm CV(t)$ en $I(t) = \frac{dQ}{dt} = C \frac{dV}{dt}$ [80](#page=80). * Dit kan worden voorgesteld door een "capaciteitsnetwerk" met gegeneraliseerde ladingen $Q_i(t) = \sum_{j \neq i} C_{ij}[V_i(t) - V_j(t)] + C_{i\infty}V_i(t)$ [80](#page=80). * De benadering is geldig zolang de afmetingen van de condensator klein zijn ten opzichte van de golflengte [81](#page=81). * Voor bewegende media in EQS geldt $J = \sigma E + v \rho$ [84](#page=84). * De tangentiële component van het elektrisch veld blijft continu aan een bewegend grensvlak: $n_1 \times E_1 + n_2 \times E_2 \approx 0$ [86](#page=86). ### Magneto-quasi-statica (MQS) * De magneto-quasi-statische benadering (MQS) wordt gebruikt wanneer de tijdsafgeleide van de elektrische inductie in de wet van Ampère verwaarloosd wordt [86](#page=86). * De wetten van magnetostatica blijven benaderend geldig: $\nabla \times H \approx J$ en $\nabla \cdot B = 0$ [87](#page=87). * De bijbehorende sprongcondities zijn: $n_1 \times H_1 + n_2 \times H_2 \approx K$ en $n_1 \cdot B_1 + n_2 \cdot B_2 = 0$ [87](#page=87). * Ladingsophoping kan verwaarloosd worden: $\nabla \cdot J \approx 0$ en $n_1 \cdot J_1 + n_2 \cdot J_2 + \nabla_s \cdot K \approx 0$ [87](#page=87). * De wet van Faraday $\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$ moet wel meegenomen worden [87](#page=87). * Het elektrisch veld kan opgesplitst worden in een geïnduceerd veld $E_i = -\frac{\partial A}{\partial t}$ en een elektrostatisch veld $E_e = -\nabla V$ [88](#page=88). * Diffusie van het magnetisch veld in een geleider wordt beschreven door de diffusievergelijking: $\nabla^2 H = \sigma \mu \frac{\partial H}{\partial t}$ [92](#page=92). ### Ladingsrelaxatie * In een uniform, lineair medium met $\sigma$ en $\epsilon$, vervalt een ladingsdichtheid met de tijdconstante $\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}$ (relaxatietijd) [78](#page=78). * Voor goede geleiders is $\tau$ kort, dus lading is voornamelijk aan grensvlakken [78](#page=78). * Voor zeer slechte geleiders $(\sigma \approx 0)$ geldt $\nabla \cdot E = 0$ [78](#page=78). * In een weerstand kan de aanpassing van lading aan wisselende spanning worden voorgesteld door een parallelle condensator met tijdconstante $\tau = RC = \frac{\epsilon}{\sigma}$ [82](#page=82). --- ## Beweegbare media in het quasi-stationaire regime * Invoering van bewegende media in het Quasi-Stationair (MQS) regime, wat cruciaal is voor toepassingen zoals elektrische machines en magnetohydrodynamica [98](#page=98). * Focus op de transformatieformules en de daaruit voortvloeiende constitutieve vergelijkingen voor deze bewegende media [98](#page=98) [99](#page=99). * Opstellen van de integrale wet van Faraday voor bewegende kringen [99](#page=99). * Niet-relativistische transformatieformules voor MQS-systemen vereenvoudigen door D, P, en $\rho$ te verwaarlozen, wat leidt tot een significante transformatie van het elektrisch veld [98](#page=98) [99](#page=99). * De constitutieve vergelijking voor een bewegend magnetisch materiaal blijft onveranderd ten opzichte van een stilstaand materiaal [99](#page=99). * De constitutieve vergelijking voor een bewegende geleider is significant anders dan voor een stilstaande geleider [99](#page=99). * De algemene vorm van de integrale wet van Faraday voor een bewegende kring is $\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = -\oint_C (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$ [99](#page=99). * Voor een oppervlak dat vastgehecht is aan de materie, vereenvoudigt de wet van Faraday tot $-\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$ [99](#page=99). * Bewegende kringen in een MQS-systeem kunnen worden voorgesteld met een equivalent schema met weerstand en inductantie, waarbij tijdsafhankelijke inductiecoëfficiënten de bewegings-EMK vertegenwoordigen [100](#page=100). * De sprongconditie voor het elektrisch veld aan een bewegend grensvlak is $\mathbf{J}_n \cdot (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) = 0$ . * **Constitutieve vergelijkingen voor bewegende media:** Deze vergelijkingen beschrijven het gedrag van materialen onder invloed van elektromagnetische velden wanneer ze bewegen [99](#page=99). - **Integrale wet van Faraday voor bewegende kringen:** Een veralgemening van de wet van Faraday die rekening houdt met zowel de tijdsverandering van de magnetische flux als de beweging van de * **Transformatieformules:** Deze formules beschrijven hoe elektrische en magnetische grootheden veranderen wanneer men overstapt van het ene inertiële referentiekader naar het andere, met name in het MQS-regime [98](#page=98). * **Bewegings-EMK:** De elektromotorische kracht die wordt geïnduceerd als gevolg van de beweging van een geleider in een magnetisch veld [100](#page=100). * **Conjugaat-afgeleide:** Een afgeleide die rekening houdt met zowel de tijdsverandering als de beweging van het medium, cruciaal voor het beschrijven van gepolariseerde media . * Het begrip bewegende media is essentieel voor het correct analyseren van elektromagnetische verschijnselen in dynamische systemen zoals roterende machines [98](#page=98). * De aangepaste constitutieve vergelijkingen voor bewegende geleiders hebben directe gevolgen voor de analyse van MQS-systemen [99](#page=99). * De algemene vorm van de wet van Faraday maakt het mogelijk om EMK's te berekenen in complexere scenario's met bewegende circuits [99](#page=99). * Het model met de bewegings-EMK in inductieve circuits verklaart de werking van elektrische generatoren en motoren [100](#page=100). * De sprongcondities voor bewegende grensvlakken zijn cruciaal voor het bepalen van velden op de interfaces tussen verschillende media . - > **Voorbeeld:** Een vlakke strook met $n$ wikkelingen en stroom $I$ beweegt met snelheid $v$ in een magneetveld $B_0$ - Het magneetveld wordt opgewekt in de spleet van een magnetisch circuit - De totale flux gekoppeld met de bewegende kring wordt gegeven door $\Phi = n^2I\mu_0\frac{x_0}{\delta} + n_0nI_0\mu_0\frac{x_0}{\delta}$ - De EMK volgt hieruit via $\frac{d\Phi}{dt}$ [100](#page=100) --- ## Elektromagnetische koppeling en energiedichtheid - In deze sectie wordt de relatie tussen microscopische en macroscopische grootheden voor polarisatie en magnetisatie verder uitgediept, met de focus op de energiedichtheden en het principe van virtuele arbeid ### Cruciale concepten en definities - **Lorentz-veld ($E_{loc}$):** Het lokale elektrische veld in een medium wordt gegeven door $E_{loc} = E + \frac{P}{3\epsilon_0} + E_{kristal}$, waarbij $E$ het macroscopische veld is, $\frac{P}{3\epsilon_0}$ het gemiddelde veld van de gepolariseerde sfeer (Lorentz-veld) en $E_{kristal}$ * **Polarisatie-energie dichtheid ($w_P$):** De arbeid geleverd aan een verliesloos diëlektricum door het elektrische veld is een totale differentiaal: $E \cdot dP = dw_P$. Dit impliceert een eenduidig verband tussen $P$ en $E$ . * **Magnetisatie-energie dichtheid ($w_M$):** Analoog aan polarisatie, voor magnetische materialen: $-M \cdot dB = dw_M$ . * **Helmholtz vrije energie:** $w_P = P \cdot E - w'_P$ . * **Gibbs vrije energie:** $w'_P$ draagt bij aan de Gibbs vrije energie . * **Elektromagnetische energie dichtheid ($w_{EM}$):** Gedefinieerd als $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$ . * **Elektromagnetische energiestroom ($J_{EM}$):** Gedefinieerd als $J_{EM} = E \times H - v(P \cdot E) = S - v(P \cdot E)$ . ### Belangrijke relaties en formules * **Relatie tussen polarisatie en lokale veldsterkte:** Voor niet te grote velden is het geïnduceerde dipoolmoment evenredig met het lokale veld: $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$ . * **Polarisatie-energie dichtheid als functie van P en E:** * $w_P = \int E \cdot dP$ . * $w_P = P \cdot E - w'_P$ . * Voor lineaire materialen: $w_P = -\frac{1}{2}P \cdot E$ (impliciet objectieve grootheden) . * **Magnetisatie-energie dichtheid als functie van M en B:** * $w_M = -\int M \cdot dB$ . * $w_M = -M \cdot B + w'_M$ . * Voor lineaire materialen: $w_M = \frac{1}{2}M \cdot B$ (impliciet objectieve grootheden) . * **Energiebalans voor elektromagnetische energie:** $\frac{\partial w_{EM}}{\partial t} + \nabla \cdot J_{EM} = -g_E$ . * **Gereduceerde arbeid ($h_E$):** $h_E = J \cdot E + E \cdot \frac{d^*P}{dt} - M \cdot \frac{d^*B}{dt} + (PE - BM): d$ . * **Principle van virtuele arbeid (EQS systeem):** $\sum_j V_j dQ_j - (F_{Ei} \cdot dr_i + C_{Ei} \cdot d\theta_i) = dW_e$ . * **Principle van virtuele arbeid (MQS systeem):** $\sum_j I_j d\Phi_j - (F_{Ei} \cdot dr_i + C_{Ei} \cdot d\theta_i) = dW_m$ . * **Lorentz-veld en kristalveld:** $E_{loc} = E + \frac{P}{3\epsilon_0} + E_{kristal}$ . ### Implicaties en toepassingen * **Hysteris:** Bij hysteresis is er geen eenduidig verband tussen veld en polarisatie/magnetisatie; de geschiedenis speelt een rol . * **Energieverlies door hysteresis:** De verloren warmte is op een factor $\mu_0$ na gelijk aan de oppervlakte van de hysterisislus . * **Energieopslag:** De elektromagnetische energie wordt opgeslagen in het elektrische en magnetische veld, en in de polarisatie- en magnetisatie-energie van het materiaal . ### Tip --- ## Polarisatie in materialen: elektronische, ionaire en oriëntatiepolarisatie ### Elektronische polarisatie * Elektronische polarisatie ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de kern van een atoom, wat leidt tot een dipoolmoment `p_x = -Qx` . * Het klassieke model beschouwt atomen als een kern en een sferische elektronenwolk die onder invloed van een extern elektrisch veld verschuift . * De bewegingsvergelijking voor de elektronenwolk wordt gegeven door `d^2x/dt^2 + 2jδ dx/dt + ω_0^2 x = -e/m Eloc` . * De pulsatie `ω_0` is de natuurlijke pulsatie van de oscillator: `ω_0^2 = Ze^2 / (4πϵ0mR^3)` . * De complexe elektronische polariseerbaarheid `αe(ω)` is frequentieafhankelijk: `αe(ω) = (Ze^2/mϵ0) / (ω_0^2 - ω^2 + 2jδω)` . * De statische polariseerbaarheid `αe,s` (voor `ω ≪ ω0`) is `αe,s = Ze^2 / (mϵ0ω_0^2) = 4πR^3` . * Polarisatie-mechanismen hebben drie frequentiegebieden: laag frequent (`αe` constant), resonantiegebied (`ω ≈ ω0`, grote respons) en hoog frequent (`ω ≫ ω0`, `αe` nul) . * Resonantiefrequenties van elektronische polarisatie liggen in het UV-gebied, terwijl zichtbaar licht gebruik maakt van de statische polariseerbaarheid . * De brekingsindex van een materiaal wordt bepaald door de statische elektronische polariseerbaarheid . ### Ionaire polarisatie * Ionaire polarisatie treedt op in materialen met ionaire bindingen, waar positieve en negatieve ionen in het lokale veld tegengestelde krachten ondervinden . * Fononen zijn rooster trillingen, ingedeeld in akoestische en optische fononen, waarbij alleen optische fononen netto polarisatie geven . * Optische fononen komen voor in materialen met minstens twee atoomsoorten (bv. NaCl, niet Si) . * De bewegingsvergelijkingen voor een 1D kristal met twee atomen per eenheidscel worden gegeven door massa's `M1`, `M2` en krachten `K`, `K'` . * De gereduceerde massa `M` is: `M = M1M2 / (M1 + M2)` . * De resonantiefrequentie `ω'_0` voor ionaire polarisatie is: `ω'_0^2 = (K + K') / M` . * Ionaire polarisatie leidt tot resonanties in het IR-gebied . * De diëlektrische functie kan de vorm `ϵ(ω) = ϵ∞ + Σ_i (Δϵ_i ω^2_{0,i}) / (ω^2_{0,i} - ω^2 + 2jδ_iω)` aannemen . ### Oriëntatiepolarisatie * Oriëntatiepolarisatie treedt op in vloeistoffen of gassen met moleculen die een permanent dipoolmoment hebben . * Zonder extern veld zijn de dipoolmomenten willekeurig georiënteerd door thermische beweging . * Een extern veld oefent een koppel uit dat de dipoolmomenten probeert te aligneren met het veld . * De polarisatie is `P = Np⟨cos θ⟩`, waar `⟨cos θ⟩` de gemiddelde waarde is van `cos θ` . * De statistische verdeling volgt de Boltzmann-verdeling, met potentiële energie `U = -p · Eloc = -pEloc cos θ` . * De gemiddelde `⟨cos θ⟩` wordt gegeven door de Langevin-functie `L(x) = coth(x) - 1/x`, met `x = pEloc/kT` . * Voor kleine `x` wordt de polarisatie benaderd door `P ≈ Np^2 / (3kT) Eloc` . * De statische polariseerbaarheid is `αo,s = p^2 / (3ϵ0kT)` . ### Frequentieafhankelijkheid en verliezen ### Piëzo-elektriciteit, pyro-elektriciteit en ferro-elektriciteit --- ## Ferromagnetisme, antiferromagnetisme en ferrimagnetisme ### Wisselwerkingsinteractie * De wisselwerkingsinteractie verklaart de sterke neiging van permanente magnetische momenten om parallel te oriënteren in ferromagnetische materialen onder een bepaalde temperatuur (Curie-temperatuur) . * De energie van de interactie tussen twee spins $S_i$ en $S_j$ wordt gegeven door $U_{ij} = -2J_{ij}S_i \cdot S_j$ . * De uitwisselingsintegraal $J_{ij}$ wordt bepaald door de overlap van golffuncties en is een gevolg van elektrostatische Coulomb-interactie, rekening houdend met het Pauli-uitsluitingsprincipe . * Voor ferromagnetische materialen is $J_{ij}$ positief, wat de uitlijning van spins bevordert . * Het effect van de wisselwerkingsinteractie met naburige spins kan worden gemodelleerd als een intern magnetisch veld, het Weiss-moleculaire veld ($H_{mol}$) . * $H_{mol} = -\frac{2p\hbar J_l}{g\mu_B\mu_0}\langle S_j \rangle$ . * De magnetisatie $M$ in een ferromagneet kan worden beschreven met een aangepaste Brillouin-functie, rekening houdend met het moleculaire veld: $M = N g\mu_B S B_S(\frac{g\mu_BS}{kT\mu_0}(H + \lambda M))$ . * De Curie-temperatuur $T_C$ wordt bepaald door: $T_C = \lambda C = \frac{2p}{3k}\frac{J_l\hbar^2 S(S+1)}{g^2\mu_0\mu_B^2}$ . * Boven de Curie-temperatuur gedragen ferromagnetische materialen zich paramagnetisch volgens de Curie-Weiss wet: $\chi_m(T) = \frac{C}{T-T_C}$ . - Antiferromagnetisme treedt op wanneer naburige magnetische momenten de neiging hebben zich antiparallel op te stellen, wat resulteert in geen netto magnetisatie. De temperatuur waarbij deze ordening verdwijnt, is de Néel-temperatuur - Ferrimagnetisme ontstaat wanneer magnetische momenten van verschillende ionen in een materiaal niet allemaal parallel zijn, wat resulteert in een netto magnetisatie die kleiner is dan de som van alle momenten ### Anisotropie * Magnetokristallijne anisotropie ontstaat door spin-baan koppeling, waardoor spins voorkeursoriëntaties vertonen die afhangen van de kristalstructuur . * De anisotropie-energie is veel kleiner dan de wisselwerkingsenergie, maar bepaalt de richting van de magnetisatie . * Voor hexagonale kristallen wordt de uniaxiale anisotropie-energie beschreven door $W_u = K_{u1}(\sin\theta)^2 + K_{u2}(\sin\theta)^4$ . * Voor kubische kristallen wordt de anisotropie-energie beschreven door $W_c = K_1(\alpha_1^2\alpha_2^2 + \alpha_2^2\alpha_3^2 + \alpha_3^2\alpha_1^2) + K_2\alpha_1^2\alpha_2^2\alpha_3^2$ . * Superparamagnetisme treedt op bij kleine deeltjes (< 10 nm voor Fe) waarbij de thermische energie de anisotropie-energie kan overwinnen, waardoor het deeltje zich gedraagt als een paramagneet . ### Domeinstructuur en domeinmuren * Ferromagnetische materialen splitsen zich spontaan op in magnetische domeinen om magnetostatische energie te minimaliseren . * Binnen elk domein zijn de spins parallel georiënteerd, maar de magnetisaties van verschillende domeinen zijn niet noodzakelijk gealigneerd . * De magnetostatische energie van een magnetisch materiaal kan op verschillende manieren worden uitgedrukt, o.a. $W_{ms} = -\mu_0 \frac{V}{2} M \cdot H'$ . * Domeinmuren zijn overgangsgebieden tussen domeinen waar de magnetisatierichting geleidelijk verandert . * De energie van een domeinmuur bestaat uit een bijdrage van de wisselwerkingsenergie en de anisotropie-energie . * Vorm-anisotropie ontstaat door de vorm van het deeltje, wat leidt tot een demagnetisatieveld dat afhangt van de oriëntatie van de magnetisatie . ### Technische magnetisatie en hysteresis * Technische magnetisatie beschrijft het proces waarbij een netto magnetisatie ontstaat door het toepassen van een extern veld . * Processen zoals domeinmuurverplaatsing en rotatie van magnetisatie binnen domeinen dragen bij aan de magnetisatiecurve . * Hysteresis treedt op door irreversibele processen zoals het "pinning" van domeinmuren aan defecten, wat leidt tot de remanente magnetisatie ($M_r$) en het coërcitief veld ($H_c$) . --- ### Cartesiaanse coördinaten * Zoekt oplossingen van de vorm $V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)$ voor Laplace's vergelijking $\nabla^2V = 0$ . * Dit leidt tot drie afzonderlijke differentiaalvergelijkingen, elk gelijk aan een constante ($\pm c_1^2, \pm c_2^2, \pm c_3^2$) . * De vergelijkingen zijn: * $\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \pm c_1^2$ * $\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = \pm c_2^2$ * $\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = \pm c_3^2$ - met de restrictie $\pm c_1^2 \pm c_2^2 \pm c_3^2 = 0$ * Oplossingen kunnen lineaire, trigonometrische of hyperbolische functies zijn, of combinaties daarvan . * Voorbeelden: $X(x) = A\sin(c_1x) + B\cos(c_1x)$ of $X(x) = A\sinh(c_1x) + B\cosh(c_1x)$ . * Superpositie van gescheiden oplossingen blijft een oplossing voor Laplace's vergelijking . * Vereist begrensde gebieden (rechthoek of balk) en doorgaans één niet-homogene randvoorwaarde . * Niet-homogene randvoorwaarden worden vaak opgelost met Fourier-reeksen . - > **Voorbeeld:** Elektostatische potentiaal van een diëlectrisch blad tussen afwisselend geladen elektroden - > * Randvoorwaarden: $V(0,y) = V(a,y) = 0$ - > * Oplossingen in $x$-richting: $X_n(x) = \sin(n\pi x/a)$ - > * Oplossingen in $y$-richting: $Y_n(y) = A_n e^{-c_1y} + B_n e^{c_1y}$ (binnen) en $C_n e^{-c_1y}$ (buiten) - > * Continuïteitsvoorwaarden aan het grensvlak $y=d$ en de niet-homogene randvoorwaarde op $y=0$ worden gebruikt om coëfficiënten te bepalen ### Cilindercoördinaten * Laplace's vergelijking in cilindercoördinaten: $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial V}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ . * Gesc heiden oplossing: $V(r, \phi, z) = R(r)\Phi(\phi)Z(z)$ . * Voor problemen onafhankelijk van $z$ of lineair in $z$: * $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -c^2$ (met oplossingen $\sin(c\phi), \cos(c\phi)$) . * $\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dR}{dr}) = c^2$ (met oplossingen $r^{c}, r^{-c}$ of $\ln r$ voor $c=0$) . * Als de oplossing periodiek is in $\phi$, worden de waarden van $c$ beperkt tot gehele getallen $n$ . * Als de oplossing niet periodiek is in $\phi$ en randvoorwaarden op constante $r$ worden opgelegd: * $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = c^2$ (met oplossingen $\sinh(c\phi), \cosh(c\phi)$) . ### Sferische coördinaten --- * De methode van scheiding der variabelen wordt toegepast op oefeningen met Laplace's vergelijking in diverse coördinatenstelsels [185-202. * Oplossingen worden geconstrueerd uit superposities van afzonderlijke oplossingen die voldoen aan de homogene Laplace-vergelijking en de gegeven randvoorwaarden . ### Key facts * Randvoorwaarden op oneindig en in de oorsprong zijn cruciaal voor de unieke bepaling van oplossingen . * De niet-homogene randvoorwaarde kan de selectie van mogelijke oplossingen beperken . * In het geval van een homogene sfeer in een uniform elektrisch veld, wordt het potentiaal binnen de sfeer homogeen en ontstaat buiten de sfeer een dipoolveld . * De stroomlijnen worden aangetrokken of afgestoten van de sfeer afhankelijk van de relatieve geleidbaarheid van de sfeer en het omringende medium . * Er kan een ladingsdichtheid op het oppervlak van de sfeer verschijnen, bepaald door het verschil tussen de permittiviteiten en de geleidbaarheden . * Opgaven betreffen het berekenen van elektrostatische velden buiten weerstanden en in bolvormige configuraties . * Magnetische problemen met uniform gemagnetiseerde bollen en cilinders worden opgelost met behulp van scalaire potentialen . * Potentiaalverdelingen in cirkelvormige geometrieën met specifieke randvoorwaarden worden berekend . * De methode wordt toegepast op quasi-stationaire veldproblemen, zoals ladingsverdelingen in geleidende materialen over tijd . * De berekening van elektrische velden en ladingdichtheden wordt gedaan voor verschillende configuraties, zoals platen met een geladen vlak . * Electret microfoons en hun frequentiekarakteristieken worden geanalyseerd met behulp van deze methoden . * De impedantie van kringen kan worden bepaald door het toepassen van de wet van Faraday . * Magnetische velden in periodieke roosters en spoelen worden berekend, inclusief de afleiding van de vectorpotentiaal . * Directe berekening van krachten en energieën, zoals tussen dipolen en ladingen ten opzichte van geleidende vlakken of bollen, wordt behandeld . * Krachtverdelingen voor quasi-stationaire systemen en magnetische materialen worden onderzocht . * De flux van de Poynting vector kan worden gebruikt om de energiebalans van een systeem te analyseren . * Magnetische energie in magnetische structuren wordt berekend . ### Key concepts * **Scheiding der variabelen:** Een techniek om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door ze te reduceren tot een set gewone differentiaalvergelijkingen [185-202. * **Laplace's vergelijking:** $\nabla^2 V = 0$, de fundamentele vergelijking voor elektrostatische en magnetostatische potentialen in ladings- en stroomvrije gebieden . * **Randvoorwaarden:** Specifieke condities die het potentiaal of zijn afgeleiden op de grenzen van het domein definiëren . * **Superpositieprincipe:** De oplossing van de homogene Laplace-vergelijking is de som van individuele oplossingen . * **Magnetostatische scalaire potentiaal:** $U$, gebruikt in magnetische problemen waar de stromen ontbreken . * **Quasi-stationair regime:** Snelheid van verandering is langzaam genoeg zodat de vergelijkingen van Maxwell vereenvoudigd kunnen worden . ### Implications --- ### Voorbeelden van examenoefeningen - **Oefening A.10.1:** Een oneindig lang rechthoekig blad met breedte $d$ wordt aan twee zijden als geleider behandeld. Via een glijdend contact wordt een uitgangsspanning gemeten. De oplossing voor de uitgangsspanning - $$V(x, d) = \frac{4V_0}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} e^{-(2n+1)\frac{\pi x}{2d}}$$ * **Oefening A.10.2:** Bereken de elektrische weerstand van een geleidende plaat met afmetingen $a$, $b$ en hoek $\theta$. De weerstand $R$ wordt gegeven door: - $$R = \frac{\theta}{\sigma L} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ - **Oefening A.10.3:** Een oneindig lange rechthoekige magneet met magnetisatie $M$ langs de y-richting wordt geplaatst op afstand $a$ van een stroomvoerende draad met stroom $I$. De kracht per lengte-eenheid $Fx$ - $$F_x = \frac{\mu_0 M I}{\pi} \arctan\left(\frac{x_0 d}{x_0^2 + a^2 + da}\right)$$ - **Oefening A.10.4:** Een magnetische kring met een spie-vormig stuk dat kan draaien over hoek $\phi$. De kring wordt bekrachtigd door een spoel met stroom $i$ en $n$ windingen. De koppeldichtheid - $$\frac{dC}{d\phi} = \frac{1}{2} i^2 n^2 \mu_0 L \left( \frac{1}{(\beta - \alpha - \phi)^2} - \frac{1}{(\beta - \alpha + \phi)^2} \right) \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ * **Oefening A.10.5:** Twee cilindrische helften met tegengestelde magnetisatie $M$ en $-M$. Bereken het magnetisch veld $H$ binnen en buiten de cilinder met behulp van het Ampère-model en superpositie . * **Oefening A.10.6:** Bepaal de inductiecoëfficiënten van drie spoelen met $n$ windingen en gelijke luchtspleten. De magnetische permeabiliteit van de rest van de kring is oneindig. De inductiematrix $L$ is: - $$L_{ij} = \frac{n^2}{R} \begin{bmatrix} 2/3 & 1/3 & -1/3 \\ 1/3 & 2/3 & 1/3 \\ -1/3 & 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$$ * **Oefening A.10.7:** Bereken de kracht op het diëlektricum met lengte $L = L_1 + L_2$ middels de spanningen van Maxwell en de methode van virtuele arbeid. De kracht $Fx$ met virtuele arbeid is: - $$F_x = \frac{\epsilon - \epsilon_0}{2a} (V_2^2 - V_1^2)$$ - **Oefening A.10.8:** Een cilindrische holte wordt gevormd door twee ferromagnetische schalen. Op het binnenoppervlak vloeit een oppervlaktestroom $K(\phi) = K_0 f(\phi)$. Bereken het magnetisch veld in de holte en in het materiaal met - **Oefening A.10.9:** Beschouw de situatie van (A.10.8) met een sinusvormige oppervlaktestroom $K(\phi) = K_0 \sin \phi$. Bepaal de constanten $a$ en $b$ en bereken de kracht op het magnetische lichaam middels de spanningen van * **Oefening A.10.10:** Bereken de magnetische inductie langs de as van een cirkelvormige stroomkring. De inductie $Bz$ wordt gegeven door: - $$B_z = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$$ * **Oefening A.10.11:** Twee cilindrische elektroden met gemeenschappelijke as, waarvan één draaibaar is. Bepaal het koppel op de draaibare elektrode met aangelegde spanning $V$. Het koppel $|C|$ is: - $$|C| = \frac{1}{2} V^2 \epsilon_0 R \frac{R_2 - R_1}{R_1}$$ (onder de aanname $R_2 - R_1 \ll R_1$) ### Wiskundige hulpmiddelen * **Vectoren en tensoren:** De wiskunde bijlage (Hoofdstuk C) bevat essentiële definities en identiteiten voor vectorrekening in 3 dimensies, inclusief notaties en operatoren zoals gradiënt, divergentie en rotor . * **Coördinatenstelsels:** Cirkel- en bolcoördinaten worden gedefinieerd met bijbehorende formules voor gradiënt, divergentie, rotor en Laplace-operator . * **Tensorrekening:** Definitie van tensoren, symmetrische en antisymmetrische tensoren, en de Kronecker-delta worden geïntroduceerd . * **Vectoridentiteiten:** Diverse vectoridentiteiten, inclusief die met de nabla-operator, worden gepresenteerd ter vereenvoudiging van berekeningen . * **Polarisatie en axiale vectoren:** Elektrische velden gedragen zich als polaire vectoren, terwijl magnetische velden zich gedragen als axiale vectoren (pseudovectoren) . --- ## Transporttheorema's en convectieve afgeleiden * Transporttheorema's beschrijven de tijdsafgeleide van integraaluitdrukkingen over bewegende volumes, oppervlakken of lijnen. * De substantiële afgeleide volgt een bewegend waarnemer, terwijl de convectieve afgeleide een objectieve grootheid is die rekening houdt met de vervorming van het medium. ### Sleutelconcepten * **Substantiële afgeleide (materiële afgeleide):** Beschrijft de verandering van een grootheid zoals gezien door een waarnemer die meebeweegt met de materie. * Voor een scalaire veld $A$: $\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla A$ . * Voor een vectorveld $\mathbf{A}$: $\frac{d\mathbf{A}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} + \mathbf{w} \cdot \nabla \mathbf{A}$ . * **Tijdsafgeleide van volume-integralen:** * Voor een stilstaand volume $V$: $\frac{dI}{dt} = \int_V \frac{\partial A}{\partial t} dv$ . * Voor een vervormend volume $V$ met snelheidsveld $\mathbf{w}$: $\frac{d}{dt} \int_V A dv = \int_V \left( \frac{\partial A}{\partial t} + \nabla \cdot (A\mathbf{w}) \right) dv$ . * Equivalent: $\frac{d}{dt} \int_V A dv = \int_V \left( \frac{dA}{dt} + A \nabla \cdot \mathbf{w} \right) dv$ . * **Tijdsafgeleide van oppervlakte-integralen:** * $\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a} = \int_S \left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} + ( \nabla \cdot \mathbf{w} ) \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{w} \right) \cdot d\mathbf{a}$ . * Met $\nabla_S \cdot \mathbf{w}$ de oppervlakte divergentie: $\frac{d}{dt} \int_S A da = \int_S \left( \frac{dA}{dt} + A (\nabla_S \cdot \mathbf{w}) \right) da$ . * **Tijdsafgeleide van lijn-integralen:** * $\frac{d}{dt} \int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \int_C \left( \frac{d\mathbf{A}}{dt} + (\nabla \mathbf{w}) \cdot \mathbf{A} \right) \cdot d\mathbf{l}$ . * **Convectieve afgeleide:** Een objectieve grootheid die de verandering van een veld rekening houdend met de beweging en vervorming van het medium beschrijft. * Convectieve afgeleide van een scalar $A$: $\frac{d^\ast A}{dt} = \frac{dA}{dt} - \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{v}$ . * Convectieve afgeleide van een vector $\mathbf{A}$: $\frac{d^\# \mathbf{A}}{dt} = \frac{d\mathbf{A}}{dt} + \nabla \mathbf{v} \cdot \mathbf{A}$ . * **Snelheidsgradiënt-tensor:** $\nabla \mathbf{v}$ met componenten $(\nabla \mathbf{v})_{ij} = \frac{\partial v_j}{\partial x_i}$ . * Kan gesplitst worden in een symmetrisch deel (vervormingssnelheidstensor $d$) en een antisymmetrisch deel (rotatiesnelheid $\mathbf{w}$) . * Voor starre beweging: $d=0$ en $\nabla \mathbf{v} = \mathbf{w}$ . ### Toepassingen * **Massa-behoud:** $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$ voor een materie-volume, leidend tot $\frac{\partial \rho_m}{\partial t} + \nabla \cdot (\mathbf{v} \rho_m) = 0$ . * **Faraday's wet voor een bewegende kring:** $\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a} = -\oint_{\partial S} (\mathbf{E} + \mathbf{w} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$ . * **Flux door een spoel:** $\frac{d}{dt} \int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \frac{d\Phi}{dt}$ met $\Phi$ de flux gekoppeld met de spoel . --- # Magnetische dipoolmomenten en hun velden ### Kernidee * Magnetische dipoolmomenten beschrijven het gedrag van kleine, gesloten stroomlussen op grote afstand. * Ze zijn de magnetische analogen van elektrische dipoolmomenten en beschrijven de primaire bijdrage aan het magnetisch veld na de monopolaire term. ### Belangrijke feiten * Het magnetisch moment $m$ van een stroomverdeling wordt gedefinieerd als $m = \frac{1}{2} \int \mathbf{r} \times \mathbf{J}(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}v$ [26](#page=26). * Voor een discrete stroomverdeling (bv. een atoom) geldt $m = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \mathbf{v}_i = \frac{1}{2} \sum_i \mathbf{r}_i \times q_i \dot{\mathbf{r}}_i$ [26](#page=26). * Het magnetisch moment van een atoom is gerelateerd aan zijn impulsmoment $L$: $m = -\frac{e}{2m_e} L$ [26](#page=26). * Het Bohr-magneton $\mu_B$ is de fundamentele eenheid voor magnetische momenten: $\mu_B = \frac{\hbar e}{2m_e} = 9.274 \times 10^{-24} \, \text{J/T}$ [27](#page=27). * Magnetisatie $M$ is het gemiddelde magnetisch dipoolmoment per volume-eenheid: $M = nm$ [31](#page=31). ### Kernconcepten * **Magnetisch dipoolmoment:** De eerste-orde term in de multipooluitbreiding van het magnetisch potentieel van een stroomverdeling, vergelijkbaar met het elektrische dipoolmoment. * **Veld van een elementaire magnetische dipool:** Op grote afstand gedraagt een magnetische dipool zich als een puntbron van magnetisch veld. * **Vectorenergiemoment:** Het magnetisch dipoolmoment $\mathbf{m}$ is een vector die de sterkte en richting van de magnetische dipool aangeeft. * **Magnetische inductie B:** Het veld gegenereerd door een magnetische dipool. * **Vectorpotentiaal A:** Gerelateerd aan het magnetisch veld; voor een magnetische dipool is $A = -\frac{\mu_0}{4\pi} \mathbf{m} \times \nabla G_3(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^3}$ [27](#page=27). ### Implicaties * Elementaire magnetische dipolen (kleine, vlakke stroomlussen) zijn de basismodellen voor magnetische materialen. * De interactie van magnetische dipolen bepaalt de magnetische eigenschappen van materie. * Hogere orde multipoolmomenten (zoals quadrupoolmomenten) worden relevant bij hoge ladings-/stroomdichtheden of afwijkende geometrieën. * Magnetische dipoolmomenten worden gemeten als veelvouden van het Bohr-magneton, wat hun gekwantiseerde aard benadrukt. ### Voorbeeld * Het veld van een elementaire magnetische dipool op afstand $\mathbf{r}$ wordt gegeven door: - $$ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{3\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}}{r^3} $$ - waarbij $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$ [28](#page=28) ### Tip * Denk aan het magnetisch dipoolmoment als een kleine kompasnaald die een magnetisch veld genereert. --- # Maxwell's equations and material properties ### Core idea * Material properties describe how electromagnetic fields interact with matter [40](#page=40). * These properties are incorporated into Maxwell's equations via constitutive relations [40](#page=40). * Electromagnetic fields are relative and depend on the observer's reference frame [38](#page=38). ### Key facts * Current density in a moving frame is $J' = J - \rho V$ [38](#page=38). * Magnetization in a moving frame is $M' = M - P \times V$ [38](#page=38). * Electric field in a moving frame is $E' = E + V \times B$ [38](#page=38). * Maxwell's equations are invariant under Lorentz transformations, not Galilean transformations [39](#page=39). * The relative permittivity is $\epsilon_r = \epsilon / \epsilon_0$ [41](#page=41). * The magnetic permeability is $\mu = \mu_0 \mu_r$ [42](#page=42). * For conductors, current density is $J = \sigma E$, Ohm's law [44](#page=44). * The complex permittivity is $\epsilon = \epsilon' - j\epsilon''$ where $\epsilon'' > 0$ [45](#page=45). * The complex conductivity is $\sigma = \sigma' + j\sigma''$ [46](#page=46). ### Key concepts * **Constitutive relations:** Describe the properties of a medium by relating polarization (P) and magnetization (M) to macroscopic fields (E and H) [40](#page=40). * **Dielectrics:** Non-conducting media where polarization arises from electronic, ionic, or orientation mechanisms [40](#page=40). * **Electric susceptibility ($\chi_e$):** A measure of how easily a material is polarized by an electric field [41](#page=41). * **Magnetic susceptibility ($\chi_m$):** A measure of how easily a material is magnetized by a magnetic field [42](#page=42). * **Ferroelectricity:** Materials exhibiting spontaneous macroscopic polarization with hysteresis [41](#page=41). * **Ferromagnetism:** Materials with spontaneous macroscopic magnetization due to aligned magnetic dipoles, exhibiting hysteresis [43](#page=43). * **Frequency dependence:** Permittivity and susceptibility can be frequency-dependent, leading to complex values [45](#page=45). * **Loss tangent ($\tan \delta$):** Quantifies energy loss in dielectrics, $\tan \delta = \epsilon'' / \epsilon'$ [46](#page=46). ### Implications * Maxwell's equations in vacuum led to the development of special relativity [39](#page=39). * The permittivity and susceptibility tensors describe material anisotropy [41](#page=41). * Ferroelectric and ferromagnetic materials show non-linear and history-dependent behavior [page=43 [41](#page=41) [43](#page=43). * The distinction between dielectric and conductor behavior depends on the relative values of $\epsilon''$ and $\sigma''$ [46](#page=46). * Constitutive equations need adjustment for moving media by considering local inertial frames [47](#page=47). ### Common pitfalls --- # Stationary fields and their classification ### Kernidee * Stationaire veldproblemen kunnen worden ingedeeld in elektrostatica, stationaire stroomveldproblemen en magnetostatica [48](#page=48). * De klassen onderscheiden zich door de aanwezigheid van stroomdichtheid ($J$) en de te bepalen velden ($E$, $B$, $D$, $H$) [48](#page=48). ### Elektrostatica #### Kernconcepten * In elektrostatica geldt altijd $\nabla \times E = 0$ [49](#page=49). * Dit impliceert dat het elektrisch veld uitgeoefend kan worden door een scalaire potentiaal: $E = -\nabla V$ [49](#page=49). * De potentiaalverschillen worden gedefinieerd door lijnintegralen van het elektrisch veld [49](#page=49). * De potentiële energie van een lading $q$ is $qV$ [49](#page=49). * In geleiders moet $E=0$, wat betekent dat het geleidende oppervlak een equipotentiaalvlak is [49](#page=49). * Er moet voldaan worden aan de wet van Gauss: $\nabla \cdot D = \rho$ [49](#page=49). * Voor lineaire materialen geldt de constitutieve relatie $D = \epsilon E$ [50](#page=50). * Dit leidt tot de Poisson-vergelijking $\nabla \cdot[\epsilon \nabla V = -\rho$ [50](#page=50). * In uniforme, lineaire, isotrope en ladingsvrije media, vereenvoudigt dit tot de Laplace-vergelijking $\nabla^2 V = 0$ [50](#page=50). #### Randvoorwaarden * Aan scheidingsvlakken tussen diëlektrische materialen moeten sprongcondities voor de tangentiele componenten van $E$ en de normale componenten van $D$ voldaan worden [50](#page=50). * De continueïteit van het elektrisch veld over het grensvlak is equivalent aan de continuïteit van de potentiaal [50](#page=50). * Voor geleiders geldt $n \times E = 0$ en $n \cdot D = -\epsilon \frac{\partial V}{\partial n} = \pi$ [51](#page=51). #### Eenduidigheidsstelling * Een elektrostatisch probleem heeft een unieke oplossing als op de randen en geleiders: * ofwel de potentiaal is vastgelegd [52](#page=52), * ofwel de totale lading is vastgelegd [52](#page=52). * De afschermende werking van een holle geleider is verklaarbaar door deze stelling [53](#page=53). * De methode van beeldladingen kan worden gebruikt om veldpatronen in de buurt van geleiders te bepalen [53](#page=53). #### Capaciteitscoëfficiënten * Voor lineaire diëlektrische materialen zijn ladingen op geleiders lineaire functies van de potentialen: $Q_i = \sum_j k_{ij} V_j$ [55](#page=55). * De capaciteitscoëfficiënten $C_{ij}$ en $C_{i\infty}$ zijn symmetrisch: $C_{ij} = C_{ji}$ [55](#page=55). * $C_{ij}$ vertegenwoordigt het fractie van de lading op geleider $i$ die uitmondt op geleider $j$ [55](#page=55). * Capaciteitscoëfficiënten zijn altijd positief: $C_{ij} \ge 0$, $C_{i\infty} \ge 0$ [55](#page=55). * De capaciteit van een sfeer met straal $R$ is $C_{s\infty} = 4\pi \epsilon_0 R$ [56](#page=56). * Voor een vlakke condensator met oppervlakte $S$ en afstand $d$ is de capaciteit $C \approx \epsilon_r \epsilon_0 \frac{S}{d}$ [56](#page=56). ### Stationaire Stroomveldproblemen ### Magnetostatica --- # Magnetostatica en randvoorwaardenproblemen ### Kernidee * Magnetostatica bestudeert magnetische velden opgewekt door stationaire stromen en permanente magneten. * Randvoorwaardenproblemen bepalen deze velden rekening houdend met grensvlakken tussen verschillende materialen. ### Kernfeiten * De veldvergelijkingen voor magnetostatica zijn $\nabla \cdot B = 0$ en $\nabla \times H = J$ [65](#page=65). * Randvoorwaarden op grensvlakken omvatten continuïteit van de normale magnetische inductie en een sprong in de tangentiële magnetische veldsterkte door oppervlaktestromen [65](#page=65). * De magnetische inductie $B$ kan afgeleid worden van een vectorpotentiaal $A$ met $B = \nabla \times A$ [65](#page=65). * In uniforme lineaire materialen voldoet de vectorpotentiaal $A$ aan $\nabla^2 A = -\mu J$ onder de Coulomb-ijk [66](#page=66). * Voor 2D-problemen met translatiesymmetrie vereenvoudigt de vergelijking tot $\nabla^2_\perp A_z = -\mu J_z$ [67](#page=67). * Aan een scheidingsvlak is de vectorpotentiaal $A$ continu: $A_1 = A_2$ [65](#page=65). * Een perfecte geleider heeft een nul magnetisch veld binnenin, met stroom alleen op het oppervlak [65](#page=65). * In een stroömloze regio kan het magnetisch veld worden afgeleid van een scalaire potentiaal $U$ met $H = -\nabla U$, mits het gebied enkelvoudig samenhangend is [68](#page=68). * De magnetische flux $\phi$ door een oppervlak $S$ is gerelateerd aan de vectorpotentiaal $A$ via $\phi = \oint_{\partial S} A \cdot dl$ [65](#page=65). ### Kernconcepten * **Vectorpotentiaal ($A$)**: Een veld waarvan de rotor de magnetische inductie $B$ geeft; nuttig voor het oplossen van de veldvergelijkingen. * **Coulomb-ijk ($\nabla \cdot A = 0$)**: Een extra voorwaarde die de oplossing van de vectorpotentiaal vergelijking vereenvoudigt. * **Fluxfunctie ($A_z$)**: In 2D-problemen met alleen $z$-componenten, gedraagt $A_z$ zich als een fluxfunctie, waarbij het verschil in $A_z$ tussen twee lijnen de flux vertegenwoordigt. * **Zacht ferromagnetisch materiaal**: Materialen met een zeer hoge permeabiliteit ($\mu \gg 1$), waarvoor de tangentiële component van $H$ loodrecht op het oppervlak staat. * **Enkelvoudig samenhangend gebied**: Een gebied waarin elke gesloten kromme kan worden gereduceerd tot een punt zonder het gebied te verlaten. In dergelijke gebieden is $H$ afleidbaar van een scalaire potentiaal. * **Magnetisch netwerk**: Een analogie die magnetostatische problemen herleidt tot elektrische netwerkproblemen, waarbij magnetische flux overeenkomt met elektrische stroom. * **Reluctantie ($\Re$)**: Het magnetische equivalent van elektrische weerstand in magnetische netwerken. ### Implicaties * De continuïteit van de vectorpotentiaal $A$ over een scheidingsvlak vereenvoudigt randvoorwaardenproblemen [65](#page=65). * In stroömloze gebieden, door de torus-problematiek te omzeilen met een snede, kan de scalaire potentiaal $U$ met een sprong worden gedefinieerd [69](#page=69). * De magnetische flux is gerelateerd aan het verschil in de vectorpotentiaal, wat verklaart waarom $A_z$ een fluxfunctie wordt genoemd [67](#page=67). * De magnetische netwerk-analogie is nuttig voor het verkrijgen van benaderde oplossingen, maar niet voor exacte oplossingen [73](#page=73). * In perfecte geleiders wordt het magnetisch veld nul, en de stroom verdeelt zich zodanig dat dit wordt bereikt [65](#page=65). * Voor zacht ferromagnetisch materiaal met $\mu \rightarrow \infty$ geldt $\partial A_z / \partial n = 0$ [68](#page=68). ### Opmerkingen - > **Tip:** De scalaire magnetische potentiaal $U$ kan alleen worden gedefinieerd in enkelvoudig samenhangende gebieden --- # Elektro-quasi-statische benadering en toepassingen ### Kernidee * EQS benadering verwaarloost de door stromingsvelden opgewekte magnetische velden om elektrostatica wetten toe te passen op niet-stationaire problemen [79](#page=79). * Dit maakt het mogelijk om ladingsbehoud te combineren met elektrostatica principes voor veranderende, maar langzame, elektrische verschijnselen [79](#page=79). ### Kernfeiten * De benadering is geldig als de afmetingen van de componenten klein zijn ten opzichte van de golflengte [82](#page=82). * Voor een condensator leidt de benadering tot een relatie tussen spanning en de tweede tijdsafgeleide van de spanning [82](#page=82). * EQS vereenvoudigt de transformatieformules voor bewegende media door het magnetische veld te verwaarlozen [84](#page=84). * Convectiestroomdichtheid $\rho v$ verschijnt in de constitutieve vergelijkingen voor bewegende media [84](#page=84). * De tangentiale component van het elektrisch veld blijft continu aan een bewegend grensvlak in EQS [86](#page=86). * Het principe van ladingsbehoud, inclusief convectie, is essentieel voor de benadering [85](#page=85). ### Kernconcepten * **Capaciteitsnetwerk:** Generalisatie van de lading-spanningsrelatie voor meerdere geleiders en spanningen [80](#page=80). * **Ladingsrelaxatietijd:** Tijd die nodig is om ladingen te herverdelen in een medium, $\tau = \frac{\epsilon}{\sigma}$ [83](#page=83). * **EQS sprongcondities:** Vereenvoudigde Maxwell sprongcondities waarbij het magnetische veld verwaarloosd wordt [80](#page=80) [86](#page=86). * **Equivalent schema:** Gebruik van weerstanden en condensatoren om complexe problemen te modelleren, zoals in een niet-uniforme weerstand [83](#page=83). * **Transformatieformules (EQS):** Vereenvoudigde Lorentz-transformaties voor bewegende media zonder magnetische velden [84](#page=84). ### Implicaties * Maakt analyse mogelijk van dynamische elektrische systemen die te langzaam zijn voor elektromagnetische effecten [79](#page=79). * Verlicht de rol van oppervlaktelading op grensvlakken tussen verschillende media [82](#page=82) [83](#page=83). * Heeft toepassingen in elektrodynamica en microfluidica waar bewegende media een rol spelen [84](#page=84). * Vergemakkelijkt de analyse van condensatoren en weerstanden met ladingsdynamiek [80](#page=80) [83](#page=83). * De benadering is een goede start voor het begrijpen van meer complexe elektromagnetische fenomenen [79](#page=79). ### Veelvoorkomende valkuilen * Het verwaarlozen van de afmetingen ten opzichte van de golflengte kan leiden tot fouten [82](#page=82). * Het negeren van de convectiestroomdichtheid in bewegende media [84](#page=84). --- # Quasi-stationaire velden en het geïnduceerde elektrische veld ### Kernidee * Magneto-quasi-statica (MQS) beschouwt systemen met veranderlijke magnetische velden waarbij verandering in tijd te langzaam gaat voor verspreidings-effecten [87](#page=87). * MQS combineert vaak EQS-systemen waar magnetische inductie verwaarloosbaar is, met componenten die wel magnetische velden produceren [87](#page=87). ### Belangrijke feiten * In MQS blijven de wetten van magnetostatica (op elk ogenblik) geldig, met verwaarloosbare verschuivingsstromen: $\nabla \times \mathbf{H} \approx \mathbf{J}$ [87](#page=87). * De magnetische veldlijnen zijn continu en de sprongconditie voor $\mathbf{H}$ is: $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{H}_1 + \mathbf{n}_2 \times \mathbf{H}_2 \approx \mathbf{K}$ [87](#page=87). * Ladingsopstapeling wordt verwaarloosd in MQS: $\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{J}_1 + \mathbf{n}_2 \cdot \mathbf{J}_2 + \nabla_s \cdot \mathbf{K} \approx 0$ [87](#page=87). * Het elektrische veld $\mathbf{E}$ kan niet verwaarloosd worden door de aanwezigheid van geleiders en wisselende magnetische velden [87](#page=87). * De wet van Faraday is cruciaal in MQS: $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ [87](#page=87). * De tangentiële component van het elektrische veld is continu aan een niet-bewegend grensvlak: $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{E}_1 + \mathbf{n}_2 \times \mathbf{E}_2 = 0$ [87](#page=87). * Inductie-effecten treden op wanneer een wisselend magnetisch veld een elektrisch veld induceert [88](#page=88). * Voor een willekeurige gesloten kring is de lijnintegraal van $\mathbf{E}$ gelijk aan de verandering van de magnetische flux: $\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ [88](#page=88). ### Belangrijke concepten * **Geïnduceerd elektrisch veld ($\mathbf{E}_i$)**: Dit deel van het elektrische veld is gerelateerd aan de verandering van het magnetische veld en is niet conservatief ($\nabla \times \mathbf{E}_i \neq 0$) [89](#page=89). * **Elektrostatisch veld ($\mathbf{E}_e$)**: Dit deel van het elektrische veld is conservatief ($\nabla \times \mathbf{E}_e = 0$) en wordt veroorzaakt door ladingsverdelingen [89](#page=89). * De splitsing van het elektrische veld wordt gegeven door $\mathbf{E} = \mathbf{E}_i + \mathbf{E}_e$, met $\mathbf{E}_i = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ en $\mathbf{E}_e = -\nabla V$ [89](#page=89). * **Vectorpotentiaal ($\mathbf{A}$)**: Wordt gebruikt om het magnetische veld te beschrijven via $\nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}$ en $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ (Coulomb-ijk) [89](#page=89). * **Zelfinductie (L)**: De verhouding tussen de spanning over een spoel en de verandering van de stroom erdoor, $V_{eqs} = L \frac{dI}{dt}$ [88](#page=88). * Een veranderend magnetisch veld induceert een elektrisch veld [88](#page=88). ### Implicaties * Het elektrisch veld kan worden opgesplitst in een geïnduceerde en een elektrostatische bijdrage, wat de analyse vereenvoudigt [89](#page=89). * Indien het magnetische veld buiten een spoel nul is, kan het geïnduceerde elektrische veld daar nog steeds significant zijn [90](#page=90). * De spanningsval per winding in een spoel is gerelateerd aan de zelfinductie en de stroomverandering: $V_1 = \mu_0 \frac{\pi R^2}{s} \frac{dI}{dt} = L_n \frac{dI}{dt}$ [90](#page=90). * In een geleider, waar $\mathbf{E}=0$, is het elektrostatische veld gelijk aan het negatieve van het geïnduceerde veld: $\mathbf{E}_e = -\mathbf{E}_i$ [90](#page=90). * In het EQS-gebied is de spanningsverschil gemeten over een pad gelijk aan de elektrostatische spanning, bijna onafhankelijk van het geïnduceerde veld [91](#page=91). - > **Tip:** De relatie $\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} - \nabla V$ is fundamenteel voor het begrijpen van geïnduceerde elektrische velden in MQS-situaties - > **Tip:** Denk aan de "pizzadoos"-analogie om behoudswetten op bewegende grensvlakken te generaliseren [86](#page=86) --- # Diffusie van het magnetisch veld en skin-effect ### Kernidee * Geleidende media verzetten zich tegen het binnendringen van magnetische velden door geïnduceerde stromen [92](#page=92). * Dit fenomeen wordt beschreven door een diffusievergelijking voor het magnetisch veld [92](#page=92). ### Belangrijke feiten * De diffusievergelijking voor het magnetisch veld H in een uniform geleidend medium is $\nabla^2H = \sigma\mu \frac{\partial H}{\partial t}$ [92](#page=92). * In een niet-geleidend medium blijft deze vergelijking geldig, maar met een nul als rechterlid [92](#page=92). * Bij de grensvlakken tussen verschillende media moeten sprongcondities voldaan zijn [92](#page=92). * De tijdsevolutie van het magnetisch veld en de stroomdichtheid in een geleider is afhankelijk van de permeabiliteit ($\mu$), geleidbaarheid ($\sigma$), en de afmetingen van de geleider ($a$) [95](#page=95). * De grootste tijdconstante voor een geleider met een circulaire doorsnede is ongeveer $\tau = 0.068\mu\sigma a^2$ [95](#page=95). * In sinusvormig regime wordt de diffusievergelijking $\frac{d^2H_y}{dx^2} = j\omega\mu\sigma H_y$ [96](#page=96). ### Belangrijke concepten * **Skin-effect:** Het verschijnsel waarbij de stroomdichtheid in een geleider hoger wordt aan het oppervlak bij wisselstroom [96](#page=96). * **Indringdiepte ($\delta$):** Een karakteristieke lengte die aangeeft hoe diep een magnetisch veld doordringt in een geleider [96](#page=96). * De indringdiepte is gedefinieerd als $\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}$ [96](#page=96). * Hogere frequentie, grotere geleidbaarheid of permeabiliteit leiden tot een kleinere indringdiepte [96](#page=96). * Het magnetisch veld wordt bij hogere frequenties naar de buitenkant van de geleider gedrukt [96](#page=96). * In het sinusvormige regime wordt de oplossing voor het magnetisch veld gegeven door $H_y = \frac{K}{2} \frac{\sinh((1+j)x/\delta)}{\sinh((1+j)a/\delta)}$ [96](#page=96). * De stroomdichtheid in sinusvormig regime is $J_z = \frac{K}{2} \frac{1+j}{\delta} \frac{\cosh((1+j)x/\delta)}{\sinh((1+j)a/\delta)}$ [96](#page=96). * De impedantie van een coaxiale kabel hangt af van de frequentie en de geometrie [97](#page=97). ### Implicaties * Bij lage frequenties ($\delta \gg a$) is de stroom nagenoeg uniform verdeeld en is de impedantie voornamelijk resistief [97](#page=97). * Bij hoge frequenties ($\delta \ll a$) vloeit de stroom alleen aan het oppervlak van de binnengeleider en is de impedantie voornamelijk inductief [97](#page=97). * Het skin-effect is cruciaal voor het ontwerp van hoogfrequente geleiders en kabels [96](#page=96). * De berekening van de benodigde spanning om een stroomstap aan te drijven, kan worden gedaan met de wet van Faraday [95](#page=95). - > **Tip:** De oplossing in het tijdsdomein (staprespons) is complexer en hoeft niet gekend te zijn voor het examen; focus op de oplossing in het frequentiedomein [94](#page=94) - > **Voorbeeld:** Voor koper bedraagt de indringdiepte ongeveer 0 - 5 mm bij 20 kHz [96](#page=96) --- # Quasi-stationaire velden en bewegende media ### Kernidee * Studie van quasi-stationaire velden en de invloed van bewegende media op deze velden. * Belangrijk voor elektrische machines, magnetohydrodynamica en ferrofluïda. ### Belangrijke feiten * Impedantie van een coaxiale kabel hangt af van de frequentie en de doorsnede van de geleiders [97](#page=97). * Bij lage frequenties ($\delta \gg a$) is de impedantie deels resistief en deels inductief [97](#page=97). * Bij hoge frequenties ($\delta \ll a$) wordt de impedantie voornamelijk inductief [98](#page=98). * Niet-relativistische transformatieformules voor MQS-benadering vereenvoudigen door verwaarlozing van D, P, en $\rho$ [98](#page=98). * De constitutieve vergelijking voor een bewegend magnetisch materiaal blijft ongewijzigd ten opzichte van een stilstaand materiaal [99](#page=99). * De constitutieve vergelijking voor een bewegende geleider verschilt significant van die voor een stilstaande geleider [99](#page=99). * De algemene integraalwet van Faraday voor een bewegende kring is de tijdsafgeleide van de flux door een bewegend oppervlak [99](#page=99). * De fluxgekoppelde bewegende kring kan worden voorgesteld met een equivalent schema met weerstand en inductie [100](#page=100). * Sprongconditie voor bewegende grensvlakken vereist continuïteit van $E + v \times B$ normaal op het grensvlak . ### Belangrijke concepten * **Impedantie van coaxiale kabel:** Berekend met de relatie tussen spanning en stroom, rekening houdend met de huiddiepte $\delta$ [97](#page=97). * Formule bij lage frequenties: $Z \approx \frac{1}{2a\sigma} + j\omega\frac{\mu a}{6} + j\omega\mu_0\frac{b-a}{2}$ [98](#page=98). * Formule bij hoge frequenties: $Z \approx (1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{8\sigma}} + j\omega\mu_0\frac{b-a}{2}$ [98](#page=98). * **MQS-benadering transformatieformules:** Vereenvoudigde transformaties voor elektrische en magnetische velden in bewegende media [98](#page=98). * Elektrisch veld transformatie: $E' = E + V \times B$ [98](#page=98). * **Constitutieve vergelijkingen voor bewegende media:** * Geleider: $J = \sigma(E + v \times B)$ [99](#page=99). * Diëlektricum: $P = \epsilon_0\chi_e(E + v \times B)$ [99](#page=99). * **Bewegings-EMK:** De electromotorische kracht die ontstaat door de beweging van een kring in een magnetisch veld [100](#page=100). * **Fluxkoppeling bij bewegende kringen:** Totaal flux $\Phi$ is een som van fluxen door statische en bewegende kringen [100](#page=100). * Formule voor flux: $\Phi = n\mu_0\frac{x_0}{\delta}(nI + n_0I_0)$ [100](#page=100). * **Sprongconditie bij bewegende grensvlakken:** $J_n \times (E + v \times B) = 0$ . ### Implicaties * De frequentieafhankelijkheid van de impedantie bepaalt het gedrag van kabels bij verschillende frequenties [97](#page=97). * Bewegende media vereisen aangepaste constitutieve vergelijkingen voor correcte analyse [99](#page=99). --- # Elektromagnetische krachten en energiedynamiek ### Kernidee * Krachten op microscopische bouwstenen worden gesommeerd tot macroscopische krachten door middel van uitmiddeling . * De eerste wet van Newton voor een continuüm omvat volumekrachten en spanningstermen gerelateerd aan de divergentie van de spanningstensor . * De totale kracht op een lichaam wordt berekend door de elektromagnetische krachtdichtheid te integreren over een volume net buiten het lichaam . ### Belangrijke feiten * De microscopische kracht op een bouwsteen is $f_a(t) = \sum_i q_i(\vec{E}(\vec{r}_i, t) + \vec{v}_i \times \vec{B}(\vec{r}_i, t))$ . * Macroscopische krachtdichtheid wordt verkregen door de microscopische krachtdichtheid uit te middelen . * De wet van behoud van massa voor een volume dat met de materie meebeweegt: $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$ . * De eerste wet van Newton (impulsbehoud) voor een continuüm: $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m \vec{v} dv = \int_V \vec{f} dv + \int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{T} da$ . * Lokale differentiaalvorm van de eerste wet van Newton: $\rho_m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{f} + \nabla \cdot \vec{T}$ . * Voor een gas of vloeistof zonder wrijving geldt $\vec{T} = -p\vec{I}$, dus $\nabla \cdot \vec{T} = -\nabla p$ . * De totale resulterende elektromagnetische kracht op een lichaam kan worden berekend als $F_E = \int_V \vec{f}_E dv$, waarbij het volume net buiten het lichaam wordt gekozen . ### Belangrijke concepten * **Microscopische krachtdichtheid:** De som van krachten op alle ladingen binnen een bouwsteen . * **Macroscopische krachtdichtheid:** Het uitgemiddelde van de microscopische krachtdichtheid . * **Impulsbehoud:** De verandering van impuls binnen een volume is gelijk aan de som van externe krachten en contactkrachten . * **Spanningstensor (Cauchy):** Beschrijft de interne spanningen in een medium; de oppervlakte-integraal $\int_{\partial V} \vec{n} \cdot \vec{T} da$ representeert contactkrachten . * **Volumekrachtdichtheid ($\vec{f}$):** Krachten die werken op het volume van het medium, zoals elektromagnetische krachten . * **Externe veld:** Een veld veroorzaakt door microscopisch verwijderde ladingen, gedefinieerd als een macroscopisch veld (hoofdletter) . ### Implicaties * De uitmiddeling van microscopische krachten resulteert niet alleen in volumekrachten, maar ook in spanningstermen . * De opsplitsing in een volumekrachtdichtheid en een spanningsbijdrage is niet uniek; alleen de som heeft fysische betekenis . * De exacte krachtverdeling is nodig voor het berekenen van vervormingen van een lichaam . * Kracht op een vrije lading in een extern veld: $\vec{f}_q = q(\vec{E}(\vec{r}) + \vec{v} \times \vec{B}(\vec{r}))$ . * Kracht op een elektrische dipool in een quasi-statisch elektrisch veld: $\vec{f}_p = \vec{p} \cdot \nabla\vec{E}(\vec{r})$ . * Een elektrische dipool ondervindt alleen een kracht in een niet-uniform veld . - > **Tip:** De uitdrukking voor de elektromagnetische volumekrachtdichtheid moet idealiter vergezeld gaan van een bijpassende uitdrukking voor de spanningstensor - > **Voorbeeld:** De kracht op een elektrisch dipoolmoment $\vec{p}$ in een elektrisch veld $\vec{E}$ wordt gegeven door $\vec{f}_p = \vec{p} \cdot \nabla\vec{E}$ --- # Krachten en energie binnen elektromagnetische systemen ### Kernidee - De methode van virtuele arbeid is een krachtig hulpmiddel voor het berekenen van krachten en koppels in elektromagnetische systemen, met name door de relatie tussen energie en arbeid te benutten * Quasi-stationaire benaderingen maken het mogelijk om krachten en koppels te berekenen door kleine virtuele verplaatsingen of rotaties te beschouwen, waarbij de elektromagnetische velden als nagenoeg constant worden verondersteld . ### Belangrijke feiten * De Poynting-vector ($S = E \times H$) beschrijft de energiedichtheid die langs een oppervlak stroomt . * Elektromagnetische energiedichtheid ($w_{EM}$) is gedefinieerd als $\epsilon_0 E^2 / 2 + B^2 / (2\mu_0)$ . * De totale energie die een systeem binnenkomt wordt gedeeltelijk omgezet in arbeid en deels opgeslagen in de velden . * In een quasi-stationaire benadering zijn magnetische velden en hun bijdragen aan krachten en koppels vaak verwaarloosbaar klein in EQS-systemen . * Vergelijkbare overwegingen gelden voor MQS-systemen met betrekking tot elektrische velden . * De methode van virtuele arbeid vereist dat alle lichamen vast worden gehouden behalve één, dat een virtuele starre verplaatsing of rotatie ondergaat . * De arbeid geleverd aan materiële media kan worden opgesplitst in mechanische arbeid ($f_E \cdot v$ en $c_E \cdot \omega$) . * Joule-verliezen in geleiders worden vertegenwoordigd door de term $J \cdot E$ . * Hysteresis in diëlektrica en magnetische materialen vereist specifieke overwegingen voor de energiedichtheid . ### Belangrijke concepten * **EQS-systeem:** In een elektrostatisch systeem (EQS) benadert $E \approx E$, wat vereenvoudigingen in de energiebalans mogelijk maakt . * **Elektrische energie ($W_e$):** Dit is de energie opgeslagen in het systeem, inclusief het elektrische veld en de polarisatie-energie . * **Lineaire media:** Voor lineaire, reversibele media kan de elektrische energiedichtheid worden uitgedrukt als $w_e = \epsilon_0 E^2 / 2 + 1/2 P_{rev} \cdot E$ . * **Virtuele verplaatsing/rotatie:** Dit zijn hypothetische veranderingen in positie of oriëntatie die worden gebruikt om arbeid te berekenen . * **MQS-systeem:** In een magnetostatisch systeem (MQS) zijn de magnetische velden dominant, en de energiebalans omvat magnetische energie . * **Magnetische energie ($W_m$):** Dit is de energie opgeslagen in het magnetische veld en de magnetisatie-energie . * **Lineaire magnetische media:** Voor lineaire, reversibele magnetische media is de magnetische energiedichtheid $w_m = B^2 / (2\mu_0) - 1/2 M_{rev} \cdot B$ . ### Implicaties * De methode van virtuele arbeid kan worden gebruikt om krachten en koppels te berekenen, zelfs wanneer exacte veldoplossingen moeilijk te verkrijgen zijn . * Strooi-velden rondom diëlektrica of geleiders, die de directe krachtberekening bemoeilijken, kunnen bij de virtuele arbeid methode vaak worden genegeerd of benaderd . * De methode biedt een nauwkeurige schatting van de horizontale kracht op een zwevende geleider, zelfs met stroomvelden . * Het principe van virtuele arbeid is toepasbaar op zowel elektrische (EQS) als magnetische (MQS) systemen . ### Voorbeeld * De berekening van de kracht op een zwevende geleider in het veld van twee andere geleiders illustreert de toepassing van de virtuele arbeid methode . * Voor deze zwevende geleider wordt de kracht berekend met de formule $F_E \cdot dr = 1/2 V_a^2 dC$, wat afhangt van de verandering in capaciteit . * Een specifiek geometrisch voorbeeld met uniforme veldgebieden leidt tot een formule voor de horizontale kracht per eenheid van verplaatsing . --- # Polarisatie van diëlektrica ### Kernidee * Polarisatie in diëlektrica beschrijft het totale dipoolmoment per volume-eenheid ($P$), die afhankelijk is van het aangelegde elektrische veld ($E$) . * Materialen kunnen gepolariseerd worden door verschuiving van ladingen of heroriëntatie van dipolen . * Polarisatie kan onderverdeeld worden in elektronische, ionaire en oriëntatiepolarisatie . ### Belangrijke feiten * Para-elektrische materialen hebben geen macroscopische polarisatie in afwezigheid van een extern veld . * Elektronische polarisatie ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de kern . * Ionaire polarisatie treedt op in materialen met ionaire bindingen waar positieve en negatieve ionen in tegengestelde richting worden gedreven . * Oriëntatiepolarisatie treedt op in materialen met moleculen die een permanent dipoolmoment bezitten . * Voor kleine velden is het geïnduceerde dipoolmoment evenredig met het lokale veld: $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$ . * De polariseerbaarheid ($\alpha$) is een evenredigheidsconstante . ### Belangrijke concepten * **Lokaal veld ($E_{loc}$):** Het elektrische veld dat een atoom ervaart, opgewekt door alle andere ladingen. Het is niet gelijk aan het macroscopische veld $E$ . * **Lorentz-veld:** Het elektrische veld in het centrum van een uniform gepolariseerde bol, gelijk aan $-\frac{P}{3\epsilon_0}$ . * **Kristalveld ($E_{kristal}$):** Het veld opgewekt door naburige atomen in een kristalrooster. Voor kubische roosters is dit nul . * **Clausius-Mosotti relatie:** Verband tussen susceptibiliteit en massadichtheid: $\frac{\chi_e}{\chi_e + 3} = \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} = \frac{1}{3} \alpha N$ . * **Foton:** Een kwantum van elektromagnetische straling, essentieel voor elektronovergangen in het kwantummechanische model . * **Fanon:** Een rooster-trilling met een dispersiecurve $\omega(k)$. Optische fononen kunnen aanleiding geven tot polarisatie . * **Langevin-functie ($L(x)$):** Beschrijft de gemiddelde cosinus van de hoek tussen een dipool en een elektrisch veld bij oriëntatiepolarisatie . ### Implicaties * Materialen met grotere atoomnummers (meer elektronen, grotere atoomstraal) vertonen een grotere brekingsindex . * Alle materialen vertonen absorptie in het UV-gebied door elektronische polarisatie . * Vaste stoffen kunnen meerdere resonanties vertonen in het infraroodgebied door ionaire polarisatie . * Water absorbeert meer rood licht dan blauw licht door zijn infraroodabsorptie . ### Voorbeelden * **Elektronische polarisatie:** Klassiek model van een kern en een verschuifbare elektronenschil . * **Ionaire polarisatie:** 1D-kristal met twee atomen per eenheidscel, zoals NaCl . * **Oriëntatiepolarisatie:** Watermoleculen met een permanent dipoolmoment . ### Gevaren * Voor kleine velden is het lokale veld $E_{loc} \approx E$ . * Voor hoge frequenties kan de elektronenschil niet snel genoeg reageren, waardoor de polariseerbaarheid nul is . --- # Polarisatieverschijnselen en hun frequentieafhankelijkheid ### Kernidee * Polarisatieverschijnselen verklaren hoe materialen reageren op een extern elektrisch veld, wat leidt tot een herverdeling van ladingen. * De frequentie van het aangelegde veld bepaalt welk type polarisatie dominant is en beïnvloedt de permittiviteit en mogelijke energieverliezen. ### Polarisatiemechanismen en frequentiebereiken * **Elektronische polarisatie:** Elektronenwolken worden vervormd ten opzichte van de atoomkernen. Dominant bij zeer hoge frequenties (UV) . * Polariseerbaarheid neemt af naar nul boven de resonantiefrequentie . * Relatieve permittiviteit nadert 1 . * **Ionaire polarisatie:** Ionroosters worden verschoven ten opzichte van elkaar. * Kenmerkend voor het infraroodspectrum met absorptielijnen . * Resonantiefenomeen met een specifieke frequentie . * Voor watermoleculen treden dit op in het infrarood . * **Oriëntatiepolarisatie:** Permanente dipoolmomenten in moleculen proberen zich uit te lijnen met het veld. * Dominant in vloeistoffen en gassen met permanente dipolen . * Op lage frequenties (kHz, MHz, microgolf) treedt dit op . * In vloeistoffen: relaxatieproces met een relaxatietijd $\tau$ . * In gassen: resonantiestroom . * **Gassen:** * Atomen/moleculen zonder permanent dipoolmoment vertonen elektronische en ionaire polarisatie . * Oriëntatiepolarisatie in gassen gedraagt zich als een resonantieproces . * **Vloeistoffen:** * Moleculen met permanente dipolen vertonen oriëntatiepolarisatie (relaxatieproces) . * De relaxatietijd voor water is ongeveer 25 ps . * **Visueel spectrum:** Relatieve permittiviteit is redelijk constant en gelijk aan het kwadraat van de brekingsindex . * **Zeer lage frequenties (kHz, MHz):** Polarisatie en permittiviteit zijn weer grotendeels constant . ### Formules en relaties * **Permittiviteit met resonantie:** - $$ \epsilon(\omega) = \epsilon_\infty + \sum_i \frac{\Delta\epsilon_i \omega_{0,i}^2}{\omega_{0,i}^2 - \omega^2 + 2j\delta_i\omega} $$ * **Oriëntatiepolarisatie (statisch):** ### Implicaties ### Fenomenen in materialen ### Veelvoorkomende misvattingen --- # Magnetisatie: kwantummechanische oorsprong en macroscopische verschijnselen ### Kernidee * Magnetisatie is een kwantummechanisch verschijnsel; klassieke redenering is onvoldoende . * Verschillende materialen vertonen verschillende magnetische eigenschappen: diamagnetisch, paramagnetisch, ferromagnetisch, antiferromagnetisch en ferrimagnetisch . ### Kwantummechanische oorsprong van magnetische momenten * Elektronen bezitten een intrinsiek spinmoment ($s = 1/2$) en een baanmomenent ($l$), die magnetische momenten creëren . * Het elektronenspinmomenent is $m_{spin} = -g_e \mu_B \frac{\mathbf{s}}{\hbar}$ en het baanmomenent is $m_{orb} = -\mu_B \frac{\mathbf{l}}{\hbar}$ . * Het Bohr-magneton ($\mu_B$) is een fundamentele eenheid voor magnetische momenten: $\mu_B = 9.274 \times 10^{-24} J/T$ . * Pauli-uitsluitingsprincipe zorgt ervoor dat volledig gevulde schillen geen netto baan- of spinmomenent hebben . * Het totale magnetische moment in atomen/ionen is J = L + S, met een Landé-factor $g$ . * Kristalveldinteracties kunnen in vaste stoffen het netto magnetische moment onderdrukken, behalve in 3d, 4f en 5f schillen . ### Diamagnetisme * Ontstaat wanneer atomen geen permanent magnetisch moment hebben; externe velden induceren tegengestelde momenten . * Veroorzaakt door de precessiebeweging van baanmomenten in een extern magnetisch veld . * De geïnduceerde magnetisatie is tegengesteld aan het veld, wat resulteert in een negatieve susceptibiliteit $\chi_m$ . * Larmor-diamagnetisme beschrijft deze magnetisatie: $\mathbf{m} = -\mu_0 \frac{Ze^2}{6m_e} \langle r^2 \rangle \mathbf{H}$ . ### Paramagnetisme * Atomen hebben een permanent magnetisch moment, maar zijn willekeurig georiënteerd door thermische agitatie . * Bij aanleg van een extern veld richten de dipolen zich deels naar het veld . * De magnetisatie volgt de Curie-wet: $\chi_m = \frac{C}{T}$ (omgekeerd evenredig met temperatuur) . * Kwantummechanisch wordt de magnetisatie beschreven met de Brillouin-functie $B_J(x)$ . * Bij lage temperaturen en kleine velden, $\chi_m = \frac{N \mu_0 g^2 \mu_B^2 J(J+1)}{3kT}$ . ### Ferromagnetisme, Antiferromagnetisme en Ferrimagnetisme * Ferromagnetisme: permanente momenten richten zich parallel onder de Curie-temperatuur ($T_C$) . * Oorzaak: uitwisselingsinteractie ($U_{ij} = -2 J_{ij} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j$) tussen spins, gedreven door elektrostatische interactie en Pauli-principe . * Weiss-moleculair veld ($H_{mol} = \lambda M$) verklaart de sterke interne interactie die ferromagnetisme veroorzaakt . * Curie-Weiss-wet: $\chi_m(T) = \frac{C}{T - T_C}$ boven de Curie-temperatuur . * Antiferromagnetisme: naburige momenten richten zich antiparallel; netto magnetisatie is nul. Neel-temperatuur markeert het verdwijnen van ordening . * Ferrimagnetisme: verschillende magnetische ionen met antiparallelle en parallelle momenten, resulterend in netto magnetisatie (bv. magnetiet Fe$_3$O$_4$) . ### Anisotropie * Noodzakelijk om het gedrag van ferromagnetische materialen volledig te begrijpen . * Domeinen: ferromagnetische materialen delen zich op in domeinen met gealigneerde momenten, maar de domeinmagnetisaties zijn niet gealigneerd . --- # Magnetische ordering en anisotropie in ferromagnetische materialen ### Kernidee * Magnetische ordering in ferromagnetische materialen wordt veroorzaakt door de uitwisselingsinteractie tussen elektronenspins . * Anisotropie bepaalt de voorkeursrichting van de magnetisatie, wat cruciaal is voor het gedrag van ferromagneten. ### Kernfeiten * Ferromagnetisme treedt op onder de Curie-temperatuur, waarboven het materiaal zich paramagnetisch gedraagt . * De uitwisselingsinteractie $U_{ij} = -2J_{ij}\mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j$ drijft de parallelle oriëntatie van spins . * De uitwisselingsintegraal $J_{ij}$ wordt bepaald door de overlap van golffuncties en is positief voor ferromagneten . * Het Weiss moleculaire veld, $H_{\text{mol}} = \lambda M$, is een effectieve interne veldsterkte die voortkomt uit de uitwisselingsinteractie . * Antiferromagnetisme heeft anti-parallelle opstelling van spins en geen netto magnetisatie (bv. MnO) . * Ferrimagnetisme is een combinatie van parallelle en anti-parallelle spins, resulterend in een netto magnetisatie (bv. magnetiet Fe$_3$O$_4$) . * Ferromagnetische materialen delen zich spontaan op in magnetische domeinen . * Magnetokristallijne anisotropie ontstaat door spin-baan koppeling, die voorkeursrichtingen oplegt vanuit de kristalstructuur . * Anisotropie-energie is veel kleiner dan uitwisselingsenergie, maar bepaalt de richting van de magnetisatie . * Uniaxiale anisotropie wordt beschreven door $W_u = K_{u1}(\sin \theta)^2 + K_{u2}(\sin \theta)^4$ . * Kubische anisotropie wordt beschreven door $W_c = K_1(\alpha_1^2\alpha_2^2 + \alpha_2^2\alpha_3^2 + \alpha_3^2\alpha_1^2) + K_2\alpha_1^2\alpha_2^2\alpha_3^2$ . * Superparamagnetisme treedt op bij voldoende kleine deeltjes waarbij de anisotropie-energie thermisch overwonnen kan worden . ### Kernconcepten * **Curie-temperatuur ($T_C$):** De temperatuur waarboven de magnetische ordening in ferromagneten verdwijnt . * **Néel-temperatuur ($T_N$):** De temperatuur waarboven de magnetische ordening in antiferromagneten verdwijnt . * **Weiss moleculaire veld:** Een effectief intern veld dat voortkomt uit de uitwisselingsinteractie en de magnetisatie bepaalt . * **Anisotropie:** Het verschijnsel dat magnetische eigenschappen afhankelijk zijn van de richting in het materiaal . * **Gemakkelijke richting:** Een kristallografische richting waarin de magnetisatie zich bij voorkeur oriënteert . * **Domeinen:** Regio's in een ferromagneet waar de magnetisaties georiënteerd zijn, maar die onderling willekeurig georiënteerd kunnen zijn in afwezigheid van een extern veld . ### Implicaties * Boven de Curie-temperatuur gedragen ferromagneten zich paramagnetisch volgens de Curie-Weiss wet: $\chi_m = \frac{C}{T-T_C}$ . * Voor $T < T_C$ is er een spontane magnetisatie die numeriek bepaald moet worden . * De anisotropie-energie bepaalt de stabiliteit van magnetisatierichtingen en de drempel voor magnetisatieomkering . * Kleine deeltjes kunnen superparamagnetisch gedrag vertonen, vergelijkbaar met paramagnetisme, ondanks de aanwezigheid van anisotropie . * Het Stoner-Wohlfarth model beschrijft de magnetisatie van één-domein deeltjes met anisotropie in een extern veld . ### Voorbeelden --- # Oefeningen en opgaven over elektromagnetisme ### Directe methodes * Directe methodes worden gebruikt bij stationaire macroscopische ladings- of stroomverdelingen . * Velden kunnen berekend worden uit gegeven ladings- of stroomverdelingen met behulp van specifieke formules . * Magnetisatie (M) kan worden vervangen door magnetische ladingsdichtheid ($\rho^*_m$) en magnetische stroomdichtheid ($\pi^*_m$) in het Chu-model . * Voor 1D-problemen kunnen velden rechtstreeks berekend worden met de integraalwet van Gauss of Ampère . ### Voorbeelden van 1D-problemen #### Elektrisch veld van een ladingsvlak * Een ladingsvlak met dichtheid $\pi$ geeft een elektrisch veld $E(z) = \text{sgn}(z) \frac{\pi}{2\epsilon_0}$ . * De potentiaal hiervan is $V(z) = \frac{\pi}{\epsilon_0} G_1(z)$, met $G_1(z) = -|z|/2$ . #### Elektrisch veld van een lijnlading * Een lijnlading met dichtheid $q$ geeft een radiaal gericht elektrisch veld $E = \frac{q}{2\pi\epsilon_0} \frac{1}{r}$ . * De potentiaal is $V(r) = -\frac{q}{2\pi\epsilon_0} \ln(r)$ . #### Elektrisch veld van een puntlading * De potentiaal van een puntlading is $V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R}$ . * Het elektrische veld van een puntlading is $E = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2} \hat{R}$ . #### Magnetisch veld van een stroomvlak * Een stroomvlak met dichtheid $K = K\hat{z}$ in het vlak $x=0$ genereert een magnetisch veld $H = \text{sgn}(x) \frac{K}{2} \hat{y}$ . * De vectorpotentiaal hiervan is $A = -\mu_0 \frac{K}{2} |x|\hat{z}$ . #### Magnetisch veld van een lijnstroom * Een stroom $I$ volgens de z-as genereert een magnetisch veld $H = \frac{I}{2\pi r} \hat{\phi}$ . * De bijbehorende vectorpotentiaal is $A = -\mu_0 \frac{I}{2\pi} \ln(r) \hat{z}$ . ### Opgaven en toepassingen * Het berekenen van potentiaal en elektrisch veld op de as van een uniforme schijfvormige ladingsverdeling . * Onderzoeken van voorwaarden voor een equipotentiaal oppervlak bij ladingen nabij een bol . * Afleiden van de potentiaal van 3D- en 2D-dipolen . * Berekenen van ladingsdichtheid voor een electreet-microfoon model . * Bepalen van het elektrisch veld buiten een holle geleidende bol met ladingen erin . * Berekenen van magnetische veldsterkte en vectorpotentiaal voor een geleider met uniforme stroomverdeling . * Bepalen van het magnetisch veld en potentiaal in een holte met een excentrische stroomvoerende geleider . * Berekenen van het B-veld van een oppervlaktestroomdichtheid op een lijnstuk . * Bepalen van de vectorpotentiaal en H-veld van een cirkelvormige lijnstroom . * Berekenen van het elektrisch veld in het centrum van een homogeen gepolariseerde sfeer . * Berekenen van magnetische velden uit magnetische ladingsdichtheid of stroomdichtheid . --- # De scheiding der variabelen methode in verschillende coördinatenstelsels ### Core idea * De methode van scheiding der variabelen zoekt oplossingen voor de Laplace-vergelijking in de vorm van een product van functies, elk afhankelijk van één variabele . * Dit leidt tot een set van gewone differentiaalvergelijkingen, elk met een constante scheidingsfactor . * De algemene oplossing is een lineaire combinatie van deze gescheiden oplossingen om aan de randvoorwaarden te voldoen . * De methode is toepasbaar in Cartesiaanse, cilindrische en sferische coördinatenstelsels . ### Key facts * In Cartesiaanse coördinaten wordt de Laplace-vergelijking $\frac{\partial^2V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ beschouwd . * Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)$ . * Elk van de functies voldoet aan $\frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} = \pm c_1^2$, $\frac{1}{Y}\frac{d^2Y}{dy^2} = \pm c_2^2$, $\frac{1}{Z}\frac{d^2Z}{dz^2} = \pm c_3^2$, met $\sum \pm c_i^2 = 0$ . * Mogelijke oplossingen voor $X(x)$ zijn lineaire combinaties van $e^{\pm c_1x}$, $\sinh(c_1x)$, $\cosh(c_1x)$, $\sin(c_1x)$, $\cos(c_1x)$, of $x$ en $1$ . * De oplossingsgebieden moeten begrensd zijn door coördinaatvlakken (rechthoek of balk) . * Randvoorwaarden moeten op één na homogeen zijn; niet-homogene randvoorwaarden leiden tot Fourier-reeksen . * In cilindrische coördinaten is de Laplace-vergelijking: $\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2V}{\partial z^2} = 0$ . * Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(r, \phi, z) = R(r)\Phi(\phi)Z(z)$ . * Als $V$ onafhankelijk is van $z$, zijn de vergelijkingen voor $\Phi$ en $R$: $\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -c^2$ en $\frac{1}{R}\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) = c^2$ . * Oplossingen voor $\Phi(\phi)$ zijn $\sin(c\phi)$ en $\cos(c\phi)$ (periodiek, $c=n$), of $1$ en $\phi$ (niet-periodiek) . * Oplossingen voor $R(r)$ zijn $r^{\pm c}$ (voor $c \neq 0$) of $\ln r$ en $1$ (voor $c=0$) . * In sferische coördinaten is de Laplace-vergelijking: $\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{(r\sin\theta)^2}\frac{\partial^2V}{\partial\phi^2} + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\right) = 0$ . * Gescheiden oplossingen zijn van de vorm $V(r, \theta, \phi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)$ . * Voor periodieke oplossingen in $\phi$ en $\theta$, zijn de oplossingen $R(r) \sim r^n$ of $r^{-(n+1)}$, $\Phi(\phi) \sim \sin(m\phi), \cos(m\phi)$, en $\Theta(\theta) \sim P_n^m(\cos\theta)$ (geassocieerde Legendre-polynomen) . ### Key concepts * **Scheidingsconstanten:** De constanten $(\pm c_i^2)$ die ontstaan na het scheiden van de variabelen . * **Superpositieprincipe:** Omdat de Laplace-vergelijking lineair is, is een lineaire combinatie van gescheiden oplossingen ook een oplossing . * **Homogene randvoorwaarden:** Randvoorwaarden die nul zijn. Deze beperken de mogelijke scheidingsconstanten tot discrete waarden . * **Fourier-reeks:** Gebruikt om de coëfficiënten van de superpositie te bepalen door gebruik te maken van de niet-homogene randvoorwaarde . * **Orthogonaliteit:** De eigenschap van functies (zoals sinussen of Legendre-polynomen) die gebruikt wordt om Fourier-coëfficiënten te berekenen . * **Geassocieerde Legendre-polynomen:** Speciale functies die de oplossingen voor de hoekafhankelijke delen in sferische coördinaten vormen . ### Implications * De methode vereist dat het domein begrensd is door coördinaatvlakken (rechthoekig, cilindrisch, sferisch) . ### Example --- # Elektrostatische problemen en veldverdelingen ### Kernidee * Problemen met elektrostatische veldverdelingen kunnen worden opgelost door geschikte randvoorwaarden toe te passen op de potentiaal of het elektrische veld . * De oplossing van de Laplace- of Poisson-vergelijking bepaalt de potentiaal, waaruit vervolgens het elektrische veld en de ladingsverdelingen kunnen worden afgeleid . ### Belangrijke concepten * Randvoorwaarden bij $r \to \infty$ stellen vaak dat de potentiaal of het veld verdwijnt of een uniforme waarde aanneemt . * Randvoorwaarden in de oorsprong vereisen dat de potentiaal eindig blijft . * De potentiaal wordt uitgedrukt in een som van afzonderlijke oplossingen die voldoen aan de homogene vergelijking . * Niet-homogene randvoorwaarden worden gebruikt om specifieke oplossingen te selecteren en constanten te bepalen . * Binnen een geleidende sfeer heerst in het algemeen een homogeen veld, terwijl buiten de sfeer een dipoolveld ontstaat bovenop het aangelegde veld . * De stroomlijnen kunnen worden aangetrokken of afgestoten door de sfeer, afhankelijk van de geleidbaarheid van de sfeer ten opzichte van het medium . * Op het oppervlak van de sfeer kan een ladingsdichtheid verschijnen, bepaald door het verschil in permittiviteit en geleidbaarheid . * De ladingsdichtheid $\pi$ op een sfeeroppervlak is evenredig met de cosinus van de polaire hoek $\theta$ . * Het teken van de lading wordt bepaald door het verschil tussen $\frac{\sigma'}{\sigma}$ en $\frac{\epsilon'}{\epsilon}$ . ### Formules en definities * Potentiaal buiten de sfeer: $V_2(r, \theta) = -E_0 r \cos \theta + A \frac{\cos \theta}{r^2}$ . * Potentiaal binnen de sfeer: $V_1(r, \theta) = -E'_0 r \cos \theta$ . * Constante $A$: $A = R^3 E_0 \frac{\sigma' - \sigma}{\sigma' + 2\sigma}$ . * Ladingdichtheid op het sfeeroppervlak: $\pi(r=R, \theta) = -\epsilon \frac{\partial V_2}{\partial r}\Big|_{r=R} + \epsilon' \frac{\partial V_1}{\partial r}\Big|_{r=R} = \pi_0 \cos \theta$ . * Constante $\pi_0$: $\pi_0 = 3E_0 \frac{\epsilon\sigma' - \epsilon'\sigma}{\sigma' + 2\sigma}$ . ### Voorbeelden * Het elektrische veld buiten een weerstand in cartesiaanse coördinaten, met bepaling van ladingsdichtheid op de wand . * Het veld van een uniform gemagnetiseerde sfeer, waarbij de magnetische potentiaal wordt gebruikt . * De veldverdeling rond een oneindig lange cilindrische geleider in een ander geleidend medium, met schetsen van stroomlijnen voor verschillende geleidbaarheden . * Potentiaalverdeling binnen een circulaire cilindervormige geleider met een deel op potentiaal 1 en de rest op potentiaal 0 . * Het E- en H-veld tussen de geleiders van een coaxiale kabel met een geleidende binnenste geleider en een perfect geleidende buitenste geleider . * De potentiaal $V(r, \theta)$ en de normale component van het elektrische veld $E_r$ aan het buitenoppervlak van een sfeer met gegeven tangentiële component van het elektrisch veld . * Bepaling van de potentiaal $V(r, \varphi)$ binnen een cilinder, gegeven de tangentiële component $E_\varphi$ aan het binnenoppervlak . * Elektrisch veld en oppervlakteladingsdichtheid in een vat met rechthoekige doorsnede gevuld met een vloeistof en met schuine elektroden . --- # Berekening van krachtenverdelingen in verschillende systemen ### Kernidee * Krachtenverdelingen in diverse systemen worden berekend met behulp van specifieke formules en methoden, afhankelijk van het systeemtype (EQS of MQS) en materiaaleigenschappen . ### Belangrijke feiten * Voor quasi-stationaire systemen gelden de formules $T_{pol} = P E$ (EQS) en $T_{pol} = -BM + B \cdot MI$ (MQS) . * Ladenverdeling voor een EQS-systeem kan worden uitgedrukt in functie van $E$ . * Stroomverdeling voor een MQS-systeem kan worden uitgedrukt in functie van $B$ . * De singuliere Lorentz krachtticdheid $\hat{f}_L$ aan een vrij oppervlak van een ideaal zacht ferro-magnetisch materiaal ($\mu = \infty$) hangt af van het $H$-veld buiten en de magnetisatie $M_t$ . * De krachtticdheid $\hat{f}_E$ kan ook worden bepaald voor dit type materiaal . * De Poynting vector flux door een sfeer op grote afstand is gelijk aan $VI$, waar $V$ de spanning en $I$ de stroom is . * Magnetische energie van een uniform gemagnetiseerde sfeer kan berekend worden . * De virtuele arbeid methode kan worden toegepast op condensatoren met deeltjes diëlektrica . * De kracht op een beweegbaar blok magnetisch materiaal met een luchtspleet kan bepaald worden met virtuele arbeid . * De Poynting vector kan berekend worden voor geleidende structuren om energiebalansen te interpreteren . ### Belangrijke concepten * **Volumekrachtenverdeling ($T_{pol}$):** De kracht per volume-eenheid in een systeem . * **EQS-systeem:** Electrostatisch systeem, gericht op ladingsverdeling . * **MQS-systeem:** Magnetostatisch systeem, gericht op stroomverdeling . * **Lorentz krachtticdheid ($\hat{f}_L$):** Dichtheid van de Lorentz kracht in een medium . * **Magnetische energie:** Energie opgeslagen in een magnetisch veld . * **Virtuele arbeid methode:** Een methode om krachten te berekenen door een virtuele verplaatsing te overwegen . * **Poynting vector:** Geeft de richting en magnitude van de energiestroom per oppervlakte-eenheid weer . * **Ampèremodel:** Een benadering voor het berekenen van magnetische velden met oppervlaktestromen . ### Implicaties * De keuze tussen EQS en MQS formules hangt af van het type systeem (elektrisch of magnetisch) . * Het gedrag van diëlektrica in condensatoren kan worden geanalyseerd met de methode van virtuele arbeid . * Magnetische kringen met luchtspleten ondervinden aantrekkingskrachten die berekend kunnen worden . * De energiebalans in circuits, inclusief Joule-verliezen, kan geanalyseerd worden met de Poynting vector . * Verschillende methoden (bv. Maxwellspanningen vs. virtuele arbeid) kunnen leiden tot vergelijkbare maar potentieel verschillende resultaten voor krachten op diëlektrica . - > **Tip:** Controleer altijd de specifieke systeemconstanten en materiaaleigenschappen (zoals $\epsilon$, $\mu$) bij het toepassen van de formules --- # Vector calculus and tensor operations in physics ### Kernconcepten * Vectoren en hun operaties (scalair en vectorieel product) vormen de basis voor het beschrijven van fysische grootheden . * De nabla-operator $(\nabla)$ is een differentiaaloperator die gebruikt wordt voor gradiënt, divergentie en rotor . * Tensoren breiden het begrip vectoren uit; een rang 2 tensor heeft 9 componenten en kan worden gezien als een uitbreiding van vectoren . ### Belangrijke definities en notaties * Scalair product: $A \cdot B = A_i B_i$ (sommatie over herhaalde indices) . * Vectorieel product: $(A \times B)_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k$, met $\epsilon_{ijk}$ het Levi-Civita symbool . * Nabla-operator: $\nabla_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$ . * Gratiënt van een scalaire functie $f$: $(\nabla f)_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$ . * Divergentie van een vectorveld $A$: $\nabla \cdot A = \text{div } A = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$ . * Rotor van een vectorveld $A$: $(\nabla \times A)_i = \text{rot } A_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial A_k}{\partial x_j}$ . * Laplaciaan: $\nabla \cdot \nabla = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2_i}$ . * Tensor rang 2: Tij, met componenten $T_{ij}$ . * Eenheids-tensor $I$: $I_{ij} = \delta_{ij}$ (Kronecker-delta) . ### Belangrijke vectoridentiteiten * Scalar triple product: $A \cdot (B \times C) = B \cdot (C \times A) = C \cdot (A \times B)$ . * Vector triple product: $A \times (B \times C) = (A \cdot C)B - (A \cdot B)C$ . * Rotor van een gradiënt: $\nabla \times (\nabla f) = 0$ . * Divergentie van een rotor: $\nabla \cdot (\nabla \times A) = 0$ . * Rotor van een rotor: $\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^2 A$ . * Nabla op een product: $\nabla \cdot (fA) = f(\nabla \cdot A) + (\nabla f) \cdot A$ . * Nabla op een product: $\nabla \times (fA) = f(\nabla \times A) + (\nabla f) \times A$ . ### Tensoroperaties * Diade product: $T_{ij} = A_i B_j$, genoteerd als $T = AB$ . * Transponeren: $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$ . * Symmetrische tensor: $\tilde{T} = T$ . * Antisymmetrische tensor: $\tilde{T} = -T$ . * Scalair product met tensor: $(A \cdot T)_i = A_j T_{ji}$ en $(T \cdot A)_i = T_{ij} A_j$ . * Dubbel scalair product: $T: Q = T_{ij} Q_{ij}$ . ### Bijzondere coördinatenstelsels ### Toepassingen --- # Integralen en stellingen van Gauss en Stokes ### Kernidee * Vectorcalculus stellingen relateren integralen over een volume/oppervlak aan integralen over de rand ervan. * Gauss' stelling relateert een volume-integraal aan een oppervlakte-integraal. * Stokes' stelling relateert een oppervlakte-integraal aan een lijn-integraal. ### Belangrijke feiten * Voor een domein $V$ met rand $\partial V$ en naar buiten gerichte eenheidsnormaal $\mathbf{n}$: $\iiint_V \frac{\partial f}{\partial x_i} dV = \iint_{\partial V} f n_i dA$ . * Gauss' divergentiestelling: $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{A}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{A}) dA = \iint_{\partial V} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{a}$ . * Gauss' stelling voor scalaire functie: $\iiint_V (\nabla f) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} f) dA = \iint_{\partial V} f d\mathbf{a}$ . * Gauss' stelling voor rotatie: $\iiint_V (\nabla \times \mathbf{A}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \times \mathbf{A}) dA$ . * Gauss' stelling voor een tensor $\mathbf{T}$: $\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{T}) dV = \iint_{\partial V} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{T}) dA = \iint_{\partial V} \tilde{\mathbf{T}} \cdot d\mathbf{a}$ . * Stokes' stelling voor een oppervlak $S$ met randcurve $\partial S$: $\iint_S (\mathbf{n} \cdot \nabla \times \mathbf{A}) dA = \iint_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{a} = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$ . * Stokes' stelling voor een scalaire functie: $\iint_S (\mathbf{n} \times \nabla f) dA = \oint_{\partial S} f d\mathbf{l}$ . * Voor een 2D domein wordt Gauss' stelling: $\iint_S (\nabla \cdot \mathbf{A}) dA = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot \mathbf{b} dl$ . * $d\mathbf{a} = \mathbf{n} dA$, $d\mathbf{l}$ is een tangentiële vector aan de randcurve. ### Belangrijke concepten * Divergentietheorie: Linkt de flux uit een volume aan de divergentie binnenin. * Rotatietheorie: Linkt de circulatie rond een randcurve aan de rotatie op het oppervlak. * Distributies: Verbreding van het functiebegrip om singulariteiten zoals puntladingen te behandelen . * Oppervlaktedivergentie: $\nabla_S \cdot \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} - \mathbf{n} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mathbf{n}}$ . * De normaalvector $\mathbf{n}$ moet naar buiten gericht zijn voor Gauss' stelling. * De omloopzin van de randcurve moet gekoppeld zijn aan de normaalvector via de kurkentrekkerregel voor Stokes' stelling. ### Implicaties * Vereenvoudigt berekeningen door integralen over een hoger-dimensionaal gebied te transformeren naar een lager-dimensionaal gebied. * Essentieel voor veldentheorieën zoals elektromagnetisme en vloeistofdynamica. * Stellingen gelden ook voor domeinen die niet aan zeer restrictieve voorwaarden voldoen, mits distributies worden gebruikt . * Geldigheid van de stellingen vereist bepaalde voorwaarden aan de functie en het domein . ### Tips - > **Tip:** Visualiseer de stellingen: Denk aan water dat uit een vat stroomt (Gauss) versus de circulatie van een vloeistof rond een gat (Stokes) - > **Tip:** De notatie $d\mathbf{a}$ en $d\mathbf{l}$ zijn vectoriële differentiaal-elementen - Voor $d\mathbf{a}$ is dit de normaalvector maal het oppervlakte-element $dA$, en voor $d\mathbf{l}$ is dit de tangentiële vector maal het lengte-element $dl$ --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Quasi-stationair systeem | Een systeem waarbij de tijdsafhankelijke veranderingen langzaam genoeg verlopen om in elke instantie te kunnen spreken van een quasi-statische toestand, waarbij de effecten van traagheid verwaarloosbaar zijn. | | Volumekrachtenverdeling | De ruimtelijke verdeling van krachten die binnen een bepaald volume van een medium optreden, vaak veroorzaakt door externe velden of interne eigenschappen van het materiaal. | | Uniform isotroop lineair medium | Een materiaal dat in alle richtingen dezelfde fysische eigenschappen heeft (isotroop) en waarbij de respons lineair is met de aangelegde stimulus, zonder variatie in ruimte (uniform). | | Ladingsvrij systeem | Een systeem waarin de netto elektrische lading nul is, wat impliceert dat er geen netto elektrische ladingen aanwezig zijn die de elektrische velden veroorzaken. | | Stroomvrij systeem | Een systeem waarin de netto elektrische stroom nul is, wat betekent dat er geen netto beweging van ladingen plaatsvindt die een magnetisch veld zou kunnen genereren. | | Singuliere Lorentz-krachtdichtheid | De dichtheid van de Lorentz-kracht die optreedt op een vrij oppervlak van een materiaal, specifiek in situaties waar de magnetische permeabiliteit oneindig is, wat leidt tot een discontinuïteit in het magnetische veld. | | Ideaal zacht ferromagnetisch materiaal | Een magnetisch materiaal met een oneindig grote magnetische permeabiliteit ($\mu = \infty$), wat betekent dat het magnetische veld binnen het materiaal nul is en alle magnetische flux zich concentreert op het oppervlak. | | H-veld buiten het materiaal | Het magnetische veldintensiteit (H-veld) dat zich buiten de grenzen van een magnetisch materiaal bevindt, wat de externe magnetische omstandigheden beschrijft. | | Tangentiële componenten van de magnetisatie | De componenten van de magnetisatievector die parallel lopen aan het oppervlak van het materiaal, welke cruciaal zijn voor het bepalen van de krachten op het oppervlak. | | Magnetische energie | De energie die opgeslagen is in een magnetisch veld, gerelateerd aan de magnetische permeabiliteit van het medium en de sterkte van het magnetische veld. | | Vector van Poynting | Een vector die de richting en grootte van de energiestroom per oppervlakte-eenheid in een elektromagnetisch veld aangeeft. | | Joule-verliezen | Energieverlies in de vorm van warmte als gevolg van de elektrische weerstand wanneer stroom door een geleider vloeit. | | Tensor | Een wiskundige entiteit die een uitbreiding is van het begrip vector, gekenmerkt door een rang en een bepaald aantal componenten die transformeren volgens specifieke regels onder coördinatentransformaties. | | Rang van een tensor | Het aantal indices dat nodig is om een component van de tensor uniek te specificeren. Een tensor van rang 2 heeft bijvoorbeeld componenten $T_{ij}$. | | Diade | Een tensor van rang 2 die geconstrueerd wordt uit twee vectoren, waarbij de componenten worden gegeven door het product van de corresponderende componenten van de twee vectoren, $T_{ij} = A_i B_j$. Dit wordt ook wel een tensorproduct of uitwendig product genoemd. | | Getransponeerde tensor | Een tensor $\tilde{T}$ waarvan de componenten zijn verwisseld ten opzichte van de oorspronkelijke tensor $T$, zodanig dat $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$. | | Symmetrische tensor | Een tensor die gelijk is aan zijn getransponeerde, $\tilde{T} = T$, wat betekent dat $\tilde{T}_{ij} = T_{ij}$. | | Antisymmetrische tensor | Een tensor die gelijk is aan het negatief van zijn getransponeerde, $\tilde{T} = -T$, wat betekent dat $\tilde{T}_{ij} = -T_{ji}$. | | Eenheidstensor | Een speciale tensor, aangeduid met $I$, waarvan de componenten gelijk zijn aan de Kronecker-delta, $I_{ij} = \delta_{ij}$. | | Kronecker-delta | Een functie die 1 is als de indices gelijk zijn en 0 als de indices ongelijk zijn, gedefinieerd als $\delta_{ij} = 1$ voor $i=j$ en $\delta_{ij} = 0$ voor $i \neq j$. | | Dubbel scalair product van tensoren | Een operatie tussen twee tensoren van dezelfde rang, aangeduid met twee punten tussen de tensoren, waarbij gesommeerd wordt over de overeenkomstige indices, $T:Q = T_{ij}Q_{ij}$. | | Gradiënt van een vector | Het tensorproduct van de nabla-operator met een vectorveld, wat resulteert in een tensor van rang 2. De componenten zijn gegeven door $(\nabla A)_{ij} = \frac{\partial A_j}{\partial x_i}$. | | Divergentie van een tensorveld | Het scalaire product van de nabla-operator met een tensorveld, wat resulteert in een vectorveld. De componenten zijn gegeven door $(\nabla \cdot T)_i = \frac{\partial T_{ji}}{\partial x_j}$. | | Polaire vector | Een vector die transformeert zoals de positievector onder een ruimtelijke inversie, wat betekent dat de componenten van teken veranderen ($x \rightarrow -x$). | | Term | Definitie | | Gauss-wetten | Een reeks vergelijkingen die de relatie beschrijven tussen een integraal over een volume en een integraal over de rand van dat volume, met betrekking tot divergentie van vectorvelden of gradiënten van scalaire velden. | | Divergentie (∇ · A) | Een vectoroperator die de "uitstroom" van een vectorveld uit een infinitesimaal volume meet. Het wordt berekend als de som van de partiële afgeleiden van de componenten van het vectorveld naar de corresponderende coördinaten. | | Gradiënt (∇f) | Een vectoroperator die de richting en de maximale mate van verandering van een scalair veld aangeeft. Het is een vector waarvan de componenten de partiële afgeleiden van het scalaire veld zijn. | | Oppervlakte-integraal | Een integraal berekend over een oppervlak. In de context van de stellingen van Gauss en Stokes, wordt deze vaak gebruikt om de flux van een vectorveld door een oppervlak te berekenen. | | Volume-integraal | Een integraal berekend over een volume. In de context van de stellingen van Gauss en Stokes, wordt deze gebruikt om de divergentie van een vectorveld over een volume te integreren. | | Randkromme (∂S) | De grens van een oppervlak S. In de stelling van Stokes is dit de lijn die het oppervlak omsluit. | | Eenheidsnormaal (n) | Een vector met lengte één die loodrecht staat op een oppervlak. De richting van de normaal kan naar binnen of naar buiten gericht zijn, afhankelijk van de conventie. | | Stelling van Gauss | Een fundamentele stelling in de vectorcalculus die stelt dat de flux van een vectorveld door een gesloten oppervlak gelijk is aan de integraal van de divergentie van het veld over het volume dat door het oppervlak wordt omsloten. | | Stelling van Stokes | Een fundamentele stelling in de vectorcalculus die de relatie legt tussen de lijnintegraal van een vectorveld rond een gesloten kromme en de oppervlakte-integraal van de rotatie van dat veld over elk oppervlak dat door de kromme wordt begrensd. | | Rotatie (∇ × A) | Een vectoroperator die de "draaiing" of "werveling" van een vectorveld meet. Het wordt berekend met behulp van de kruisproduct van de nabla-operator en het vectorveld. | | Substantiele afgeleide | De totale verandering van een veld (scalair of vectorieel) die wordt waargenomen door een waarnemer die meebeweegt met een bepaald deeltje of medium. Het omvat zowel de lokale verandering als de verandering door de beweging van het deeltje. | | Quasi-stationaire velden | Een benadering voor tijdsafhankelijke elektromagnetische problemen waarbij de voortplanting van storingen als ogenblikkelijk wordt beschouwd, omdat de afmetingen van het studieobject klein zijn ten opzichte van de golflengte of de tijdsschaal van de storingen. | | Ladingsrelaxatie | Het proces waarbij een oorspronkelijk aanwezige ladingsdichtheid in een geleidend medium exponentieel afneemt in de tijd, volgens de vergelijking $ \rho(r, t) = \rho(r, 0)e^{-t/\tau} $, waarbij $ \tau = \epsilon/\sigma $ de relaxatietijd is. | | Relaxatietijd | De karakteristieke tijd $ \tau = \epsilon/\sigma $ die aangeeft hoe snel een ladingsdichtheid in een homogeen, lineair, isotroop en geleidend medium verdwijnt. | | Elektro-quasi-statica (EQS) | Een benadering waarbij de tijdsafgeleide van de magnetische inductie in de wet van Faraday wordt verwaarloosd, waardoor de wetten van de elektrostatica (benaderend) geldig blijven. | | Magneto-quasi-statica (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafgeleide van de elektrische inductie in de wet van Ampère wordt verwaarloosd. | | Doorschuivingsstroomdichtheid | De bijdrage $ \partial D / \partial t $ in de wet van Ampère, die een magnetisch veld opwekt op dezelfde manier als een vrije stroomdichtheid $ J $. | | Magnetische scalaire potentiaal | Een potentiaal $ U $ die wordt gebruikt om het magnetisch veld $ H $ te beschrijven in een stroomvrij gebied, waarbij $ H = -\nabla U $. Deze potentiaal kan echter discontinu zijn over sneden die het gebied enkelvoudig samenhangend maken. | | Enkelvoudig samenhangend gebied | Een gebied waarin elke gesloten kromme kan worden gereduceerd tot een punt zonder het gebied te verlaten. Gebieden die niet enkelvoudig samenhangend zijn, zoals een torus, vereisen sneden om de magnetische scalaire potentiaal te definiëren. | | Magnetisch netwerk | Een analogie die wordt gebruikt om magnetostatische problemen te herleiden tot een equivalent elektrisch netwerk, waarbij magnetische flux overeenkomt met elektrische stroom en magnetische weerstand (reluctantie) overeenkomt met elektrische weerstand. | | Reluctantie | De magnetische tegenhanger van elektrische weerstand in een magnetisch circuit, gedefinieerd als $ \Re \approx l/(\mu S) $ voor een homogeen materiaal met doorsnede $ S $ en lengte $ l $. | | Inductiecoëfficiënten | De evenredigheidscoëfficiënten $ L_{ij} $ die de magnetische flux $ \Phi_i $ gekoppeld aan kring $ C_i $ relateren aan de stromen $ I_j $ in de kringen, volgens $ \Phi_i = \sum_j L_{ij}I_j $. | | Zelfinductiecoëfficiënt | De inductiecoëfficiënt $ L_{ii} $ die de flux koppelt die wordt opgewekt door de stroom in een kring zelf, door diezelfde kring. | | Geïnduceerd elektrisch veld ($E_i$) | Het deel van het elektrische veld dat wordt opgewekt door een veranderende magnetische inductie, volgens de wet van Faraday ($\nabla \times E_i = -\partial B / \partial t$). | | Elektrostatisch veld ($E_e$) | Het deel van het elektrische veld dat wordt veroorzaakt door elektrische ladingen en waarvoor de kringintegraal nul is ($\nabla \times E_e = 0$). | | Veldverplaatsingsstroomdichtheid | De tijdsafgeleide van de elektrische verplaatsingsdichtheid, $\partial D / \partial t$, die in de MQS-benadering verwaarloosbaar is. | | Wet van Faraday | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die stelt dat een veranderend magnetisch veld een elektromotorische kracht (en dus een elektrisch veld) induceert in een gesloten kring. | | Veldlijnin tegraal | De integraal van een veld langs een gesloten kromme. Voor een elektrostatisch veld is deze integraal altijd nul, terwijl deze voor een geïnduceerd elektrisch veld niet nul is. | | V ectorpotentiaal ($A$) | Een vectorveld waarvan de krul gelijk is aan het magnetische veld ($B = \nabla \times A$). Het wordt gebruikt om het elektrische veld te beschrijven in de vorm $E = -\partial A / \partial t - \nabla V$. | | Zelfinductie ($L$) | Een eigenschap van een spoel die de verhouding aangeeft tussen de magnetische flux die door de spoel gaat en de stroom die de flux veroorzaakt. Het beschrijft de weerstand tegen verandering van de stroom. | | Oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$) | De hoeveelheid elektrische lading per oppervlakte-eenheid op een grensvlak. | | Sprongconditie | Een relatie die geldt voor de discontinuïteit van velden over een grensvlak, zoals de tangentiële componenten van het elektrische veld of de normale componenten van de magnetische inductie. | | Quasi-stationair (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafhankelijkheid van elektromagnetische velden wordt vereenvoudigd, met name door de verwaarlozing van bepaalde termen in de Maxwell-vergelijkingen, wat leidt tot vereenvoudigde transformatieformules voor velden in bewegende systemen. | | Impedantie (per eenheidslengte) | De verhouding van de spanning tot de stroom in een geleider of circuit, die de weerstand tegen de elektrische stroom weergeeft. In de context van coaxiale kabels is dit afhankelijk van de frequentie en de fysieke eigenschappen van de kabel. | | Huidige diepte (skin depth) | De diepte in een geleider waar de elektrische stroom afneemt tot ongeveer 37% van zijn waarde aan het oppervlak. Dit fenomeen is frequentieafhankelijk en beïnvloedt de stroomverdeling in geleiders bij hogere frequenties. | | Magnetohydrodynamica (MHD) | Een tak van de natuurkunde die de dynamica van geleidende vloeistoffen en plasma's bestudeert, waarbij de interactie tussen magnetische velden en de beweging van de vloeistof centraal staat. | | Ferrofluïdum | Een vloeistof die ferromagnetische deeltjes bevat en sterk wordt aangetrokken door magnetische velden, waardoor de vloeistof kan worden gemanipuleerd door externe magnetische krachten. | | Transformatieformules | Vergelijkingen die beschrijven hoe fysische grootheden, zoals elektrische en magnetische velden, veranderen wanneer men overgaat van het ene inertiaalstelsel naar het andere, met name in de context van bewegende media. | | Constitutieve vergelijkingen | Vergelijkingen die de relatie beschrijven tussen de verschillende elektromagnetische velden (zoals $\vec{D}$, $\vec{E}$, $\vec{B}$, $\vec{H}$) en de materiaaleigenschappen (zoals $\sigma$, $\chi_e$, $\chi_m$) in een medium. | | Integraalwet van Faraday | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die stelt dat een verandering in de magnetische flux door een gesloten kring een elektromotorische kracht (emk) induceert in die kring. De algemene vorm omvat ook de beweging van het oppervlak. | | Transporttheorema | Een wiskundig principe dat de tijdsafgeleide van een integraal van een vectorveld over een bewegend oppervlak relateert aan lokale tijdsafgeleiden en termen die verband houden met de beweging van het oppervlak zelf. | | Materie-oppervlak | Een oppervlak dat vastgehecht is aan de materie, wat betekent dat het oppervlak meebeweegt met het medium waarin het zich bevindt. | | Elektromotorische kracht (emk) | De spanning die wordt opgewekt door een elektrische bron of door inductie. In bewegende media kan de emk worden opgedeeld in een deel door tijdsveranderende stromen en een deel door beweging. | | Sprongcondities | Vergelijkingen die de continuïteit of discontinuïteit van elektromagnetische velden beschrijven aan grensvlakken tussen verschillende media, met name wanneer er ladingen of stromen aan het grensvlak aanwezig zijn. | | Lorentz-kracht | De kracht die een geladen deeltje ondervindt wanneer het zich verplaatst in een elektromagnetisch veld. Deze kracht is evenredig met de lading van het deeltje, de snelheid van het deeltje en de sterkte van het elektrische en magnetische veld. | | Microscopische krachtdichtheid | De som van de Lorentz-krachten op alle ladingen binnen een enkel bouwsteen van een materieel medium, op elk moment. Dit is een gedetailleerde weergave van de krachten op het meest fundamentele niveau. | | Macroscopische krachtdichtheid | De gemiddelde krachtdichtheid over een bepaald volume, verkregen door de microscopische krachtdichtheid uit te middelen. Dit geeft een overzicht van de krachten op een grotere schaal, waarbij het medium als continuüm wordt beschouwd. | | Behoud van massa | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale massa in een geïsoleerd systeem constant blijft, ongeacht de processen die binnen het systeem plaatsvinden. Dit principe wordt wiskundig uitgedrukt door de vergelijking $\frac{d}{dt} \int_V \rho_m dv = 0$. | | Impulswet (Eerste wet van Newton voor een continuüm) | De wet die de verandering van de impuls van een continuüm beschrijft, rekening houdend met externe krachten en interne spanningen. De lokale differentiële vorm is $\rho_m \frac{dv}{dt} = f + \nabla \cdot T$. | | Cauchy-spanningstensor (T) | Een wiskundige tensor die de interne spanningen binnen een continu medium beschrijft. De componenten van deze tensor geven de krachten weer die op een oppervlak binnen het medium worden uitgeoefend door de omliggende materie. | | Volumekrachtdichtheid (f) | De kracht per eenheid volume die op een continuüm werkt, exclusief de krachten die door oppervlaktecontact worden uitgeoefend. Dit kan bijvoorbeeld de zwaartekracht of een externe elektromagnetische kracht zijn. | | Spanningsterm ($\nabla \cdot T$) | De bijdrage aan de bewegingsvergelijking die voortkomt uit de gradiënt van de spanningstensor. Deze term beschrijft de effecten van interne krachten die worden overgedragen via contact tussen naburige delen van het medium. | | Elektrisch dipoolmoment (p) | Een maat voor de scheiding van positieve en negatieve ladingen binnen een systeem. Het is een vector die de sterkte en richting van de polarisatie van een object aangeeft. | | Magnetisch dipoolmoment (m) | Een maat voor de magnetische sterkte van een object, vergelijkbaar met hoe het elektrische dipoolmoment de elektrische polarisatie beschrijft. Het is gerelateerd aan de stroomlussen of intrinsieke magnetische eigenschappen van de deeltjes. | | Kracht op een elektrisch dipool in een extern veld | De kracht die een elektrisch dipool ondervindt in een niet-uniform elektrisch veld. Deze kracht is evenredig met het dipoolmoment en de gradiënt van het elektrische veld, en is gericht naar gebieden met een hogere veldsterkte. | | Langevin functie | Een wiskundige functie die de gemiddelde magnetisatie van een paramagnetisch materiaal beschrijft als functie van de aangelegde magnetische veldsterkte en temperatuur. | | Lokaal veld | Het magnetische veld dat een magnetisch moment ervaart binnen een materiaal, rekening houdend met de bijdrage van de omringende magnetische momenten. | | Supergeleiders | Materialen die bij zeer lage temperaturen hun elektrische weerstand verliezen en zich gedragen als ideale diamagneten, waarbij ze magnetische velden volledig uitstoten (Meissner-effect). | | Uitwisselingsinteractie | Een kwantummechanisch effect dat de interactie tussen elektronen in naburige atomen beschrijft, en dat de oorzaak is van magnetische ordering zoals ferromagnetisme. | | Curie temperatuur | De temperatuur boven welke een ferromagnetisch materiaal zijn magnetische eigenschappen verliest en zich gedraagt als een paramagneet. | | Weiss moleculair veld | Een fictief, intern magnetisch veld dat wordt verondersteld te bestaan binnen een ferromagnetisch materiaal, als gevolg van de uitwisselingsinteractie tussen magnetische momenten. | | Saturatiemagnetisatie | De maximale magnetisatie die een materiaal kan bereiken wanneer alle magnetische momenten volledig parallel aan elkaar zijn georiënteerd. | | Brillouin functie | Een wiskundige functie die de gemiddelde magnetisatie van een paramagnetisch materiaal beschrijft, afhankelijk van de spin van de atomen en de verhouding van magnetische energie tot thermische energie. | | Curie-Weiss wet | Een wet die het gedrag van ferromagnetische materialen boven de Curie temperatuur beschrijft, waarbij de magnetische susceptibiliteit omgekeerd evenredig is met het verschil tussen de temperatuur en de Curie temperatuur. | | Antiferromagnetisme | Een magnetische ordering waarbij de magnetische momenten van naburige atomen antiparallel aan elkaar georiënteerd zijn, wat resulteert in een netto magnetisatie van nul. | | Néel temperatuur | De temperatuur boven welke een antiferromagnetisch materiaal zijn magnetische ordering verliest en zich gedraagt als een paramagneet. | | Ferrimagnetisme | Een magnetische ordering waarbij de magnetische momenten van verschillende soorten atomen antiparallel aan elkaar georiënteerd zijn, maar met ongelijke groottes, wat resulteert in een netto magnetisatie. | | Magnetostatische energie | De energie die geassocieerd wordt met de magnetische interactie tussen magnetische dipolen binnen een ferromagnetisch materiaal. Deze energie wordt geminimaliseerd door de vorming van domeinen. | | Wisselwerkingsenergie (uitwisselingsenergie) | Een sterke, lokale interactie tussen naburige spins in een ferromagnetisch materiaal die probeert deze spins parallel te oriënteren. | | Anisotropie-energie | De energie die gerelateerd is aan de voorkeursrichtingen van magnetisatie in een kristal, veroorzaakt door de kristalstructuur. | | Domein | Een regio binnen een ferromagnetisch materiaal waarin de magnetisatie uniform is en georiënteerd is langs een gemakkelijke richting. | | Domeinmuur | Het overgangsgebied tussen twee aangrenzende magnetische domeinen, waarin de magnetisatie geleidelijk verandert van de ene richting naar de andere. | | Domeinmuur energie | De totale energie die geassocieerd wordt met een domeinmuur, bestaande uit de bijdragen van de wisselwerkingsenergie en de anisotropie-energie. | | Bloch-muur | Een type domeinmuur waarbij de magnetisatie uniform draait in het vlak van de muur, zonder toename van de magnetostatische energie. | | Technisch magnetisatie | Het proces waarbij een ferromagnetisch materiaal magnetiseert onder invloed van een extern magnetisch veld, bestaande uit reversibele en irreversibele processen zoals domeinmuurverplaatsing en rotatie van magnetisatie. | | Initiële magnetisatiekromme (maagdelijke kromme) | De magnetisatiecurve die wordt verkregen wanneer een ferromagnetisch materiaal voor het eerst wordt gemagnetiseerd vanaf nul magnetisatie. | | Domeinmuurverplaatsing | Het proces waarbij de grenzen tussen magnetische domeinen verschuiven als reactie op een extern magnetisch veld, wat leidt tot een netto magnetisatie. | | Barkhausen sprongen | Waarneembare, irreversibele sprongen in de magnetisatie die optreden tijdens domeinmuurverplaatsing, veroorzaakt door het loskomen van verankerde domeinmuren. | | Scalair product (inwendig product) | Het scalaire product van twee vectoren wordt weergegeven met een punt en is gelijk aan de som van de producten van hun corresponderende componenten. Voor vectoren A en B geldt: $A \cdot B = A_i B_i$, waarbij impliciet wordt gesommeerd over herhaalde indices. | | Vectorieel product (kruisproduct) | Het vectoriële product van twee vectoren kan worden uitgedrukt met behulp van het permutatiesymbool $\epsilon_{ijk}$. De i-de component van het vectoriële product van A en B is $ (A \times B)_i = \epsilon_{ijk} A_j B_k $. | | Permutatiesymbool ($\epsilon_{ijk}$) | Dit symbool, ook wel het Levi-Civita symbool genoemd, is 1 voor een even permutatie van (1,2,3), -1 voor een oneven permutatie, en 0 als ten minste twee indices gelijk zijn. Het wordt gebruikt bij de definitie van het vectoriële product. | | Nabla-operator ($\nabla$) | Een differentiaaloperator die kan worden behandeld als een vector. De i-de component is gedefinieerd als $\nabla_i = \frac{\partial}{\partial x_i}$. Het wordt gebruikt om de gradiënt, divergentie en rotor van velden te definiëren. | | Gradiënt ($\nabla f$ of grad f) | De gradiënt van een scalaire functie f is een vectorveld waarvan de i-de component gelijk is aan de partiële afgeleide van f naar de i-de coördinaat: $(\nabla f)_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$. | | Divergentie ($\nabla \cdot A$ of div A) | De divergentie van een vectorveld A is een scalair veld dat wordt verkregen door het scalaire product van de nabla-operator met het vectorveld: $\nabla \cdot A = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}$. | | Rotor ($\nabla \times A$ of rot A) | De rotor van een vectorveld A is een vectorveld dat wordt verkregen door het vectoriële product van de nabla-operator met het vectorveld: $(\nabla \times A)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial A_k}{\partial x_j}$. | | Laplaciaan ($\nabla^2$ of $\nabla \cdot \nabla$) | De Laplaciaan is een tweede-orde differentiaaloperator die wordt verkregen door het scalaire product van de nabla-operator met zichzelf: $\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$. | | Tensor van rang 2 | Een uitbreiding van het vectorbegrip, gekenmerkt door negen componenten in cartesiaanse coördinaten, aangeduid als $T_{ij}$. Een voorbeeld is de diad, gevormd door het uitwendig product van twee vectoren. | | Diad (AB) | Een tensor die wordt geconstrueerd uit twee vectoren A en B, waarbij de componenten worden gegeven door $T_{ij} = A_i B_j$. Dit wordt ook wel een tensorproduct of uitwendig product genoemd. | | Getransponeerde tensor ($\tilde{T}$) | De getransponeerde van een tensor T wordt verkregen door de indices te verwisselen: $\tilde{T}_{ij} = T_{ji}$. | | Materiaal-afgeleide | Een specifieke vorm van de substantiele afgeleide die de verandering van een grootheid beschrijft vanuit het perspectief van een meebewegende waarnemer die de materie volgt. | | Materie-volume | Een volume dat meebeweegt met de materie, in tegenstelling tot een ruimte-volume dat stilstaat. | | Ruimte-volume | Een volume dat niet beweegt, waarover geïntegreerd wordt in een vast referentiekader. | | Transporttheorema voor integraalveranderingen | Een reeks wiskundige stellingen die de tijdsafgeleide van integraalveranderingen beschrijven, rekening houdend met de beweging en vervorming van het integratiegebied. | | Convectieve afgeleide | Een objectieve grootheid die de verandering van een vector beschrijft vanuit het perspectief van een meebewegende waarnemer die de rotatie van het medium volgt, en die ook de bijdrage van vervorming bevat. | | Flux-integraal | Een integraal die de netto stroom van een grootheid door een oppervlak beschrijft, waarbij rekening wordt gehouden met de beweging van het oppervlak. | | Wet van behoud van massa | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale massa in een gesloten systeem constant blijft, wat wiskundig wordt uitgedrukt met behulp van de substantiele afgeleide van de massadichtheid. | | Divergentie van een veld | Een maat voor de "uitstroom" van een vectorveld uit een infinitesimaal volume, wat aangeeft hoe snel het veld zich vanuit dat punt verspreidt. | | Rotatie van een veld | Een maat voor de "werveling" van een vectorveld, wat aangeeft hoe sterk het veld rond een punt roteert. | | Capaciteitscoëfficiënten | Coëfficiënten die de relatie beschrijven tussen ladingen op geleiders en de aangelegde spanningen, waarbij de invloed van oneindig ver weg gelegen ladingen wordt verwaarloosd. | | Oppervlaktelading | Elektrische lading die zich concentreert op het oppervlak van een geleider, in plaats van verdeeld te zijn over het gehele volume. | | Doorstromingsstroomdichtheid | De verandering van de elektrische verplaatsingsveldsterkte ($D$) in de tijd, die een rol speelt in de wet van Ampère en de continuïteit van het veld in diëlektrica waarborgt. | | Ladingsbehoud | Het principe dat de totale elektrische lading in een geïsoleerd systeem constant blijft; de netto verandering van lading in een volume is gelijk aan de netto stroom die door het oppervlak van dat volume stroomt. | | Capaciteitsnetwerk | Een model dat de elektrische eigenschappen van een systeem, zoals een condensator, voorstelt als een netwerk van onderling verbonden capaciteiten. | | Magnetisch veld | Een veld dat wordt gecreëerd door bewegende elektrische ladingen (stromen) of door intrinsieke magnetische eigenschappen van materialen. | | Magnetische inductie | De magnetische veldsterkte ($B$) die wordt opgewekt door stromen of veranderende elektrische velden. | | Wet van Ampère | Een wet die het verband legt tussen een magnetisch veld en de elektrische stroom die het veroorzaakt, inclusief de bijdrage van veranderende elektrische verplaatsingsvelden. | | Ladingsrelaxatietijd | De tijd die nodig is voor een overtollige lading in een geleidend medium om zich te verspreiden en te neutraliseren, bepaald door de verhouding tussen de permittiviteit ($\epsilon$) en de geleidbaarheid ($\sigma$) van het materiaal. | | Permittiviteit | Een maat voor hoe gemakkelijk een diëlektricum gepolariseerd kan worden in reactie op een aangelegd elektrisch veld. Het beschrijft de capaciteit van een materiaal om elektrische energie op te slaan. | | Polarisatie | Het proces waarbij de positieve en negatieve ladingen binnen een atoom, molecuul of materiaal zich scheiden onder invloed van een extern elektrisch veld, wat resulteert in een netto dipoolmoment. | | Ionische polarisatie | Polarisatie die optreedt als gevolg van de relatieve verschuiving van positieve en negatieve ionen binnen een kristalrooster of molecuul onder invloed van een elektrisch veld. | | Elektronische polarisatie | Polarisatie die ontstaat door de vervorming van de elektronenwolk rond een atoomkern onder invloed van een extern elektrisch veld, waardoor een geïnduceerd dipoolmoment ontstaat. | | Oriëntatiepolarisatie | Polarisatie die optreedt in materialen met permanente dipoolmomenten, waarbij deze dipolen zich proberen uit te lijnen met een aangelegd elektrisch veld, ondanks thermische beweging. | | Dipoolmoment | Een vectorgrootheid die de scheiding van positieve en negatieve ladingen in een systeem kwantificeert. Het is een maat voor de polariteit van een molecuul of atoom. | | Langevin-functie | Een wiskundige functie, aangeduid met $L(x)$, die de gemiddelde cosinus van de hoek tussen permanente dipoolmomenten en een extern elektrisch veld beschrijft, rekening houdend met thermische effecten. | | Clausius-Mosotti relatie | Een vergelijking die het verband legt tussen de macroscopische diëlektrische constante van een materiaal en de microscopische polariseerbaarheid van de individuele moleculen of atomen. | | Absorptielijn | Een specifieke frequentie (of golflengte) waarbij een materiaal energie absorbeert, vaak geassocieerd met resonantieverschijnselen in moleculen of atomen. | | Dopplerverbreding | Het verbreden van spectrale lijnen als gevolg van de Dopplerverschuiving van de frequentie van de geëmitteerde of geabsorbeerde straling door de willekeurige thermische beweging van de deeltjes. | | Diëlektrische constante | Een dimensieloze grootheid die aangeeft hoeveel een diëlektricum de capaciteit van een condensator verhoogt vergeleken met een vacuüm. Het is gerelateerd aan de permittiviteit van het materiaal. | | Potentiaal | Een scalaire grootheid die de energie per eenheid van lading op een bepaalde locatie in een elektrisch veld aangeeft. Het verschil in potentiaal tussen twee punten definieert het elektrische potentiaalverschil of de spanning. | | Randvoorwaarden | Condities die worden opgelegd aan de oplossing van een differentiaalvergelijking op de grenzen van het beschouwde domein. Deze voorwaarden zijn essentieel om een unieke oplossing te verkrijgen voor elektrostatische problemen. | | Homogeen veld | Een elektrisch veld waarbij de veldsterkte en richting constant zijn over het gehele beschouwde gebied. Dit betekent dat de kracht op een testlading overal gelijk is. | | Dipoolveld | Het elektrische veld dat wordt gegenereerd door een dipool, bestaande uit twee gelijke en tegengestelde ladingen gescheiden door een kleine afstand. De veldlijnen van een dipoolveld zijn karakteristiek gekromd. | | Evenredigheidsconstante | Een constante die de relatie tussen twee evenredige grootheden bepaalt. In de context van elektrostatica worden deze constanten vaak afgeleid uit de randvoorwaarden van het probleem. | | Stroomdichtheid | Een vectorgrootheid die de hoeveelheid lading weergeeft die per tijdseenheid door een eenheidsoppervlak stroomt. Het is een maat voor de intensiteit en richting van de elektrische stroom. | | Veldsterkte | De magnitude van het elektrische veld op een bepaald punt, wat de kracht per eenheid van lading aangeeft. Het wordt vaak aangeduid met de letter $E$. | | Ladingsdichtheid | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid van volume, oppervlakte of lengte. Oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$) is specifiek de lading per eenheid van oppervlakte. | | Scalaire magnetische potentiaal | Een scalaire functie die wordt gebruikt om het magnetische veld te beschrijven in gebieden waar geen stromen aanwezig zijn. Het is analoog aan de elektrische potentiaal. | | Geleidbaarheid | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal elektrische stroom geleidt. Een hoge geleidbaarheid betekent dat ladingen gemakkelijk kunnen bewegen. | | Equipotentiaallijnen | Lijnen in een elektrisch veld die alle punten met hetzelfde elektrische potentiaal met elkaar verbinden. Ze staan loodrecht op de elektrische veldlijnen. | | J-lijnen | Lijnen die de richting van de stroomdichtheid aangeven in een geleidend medium. Ze volgen de paden van de elektrische stroom. | | Magnetisch dipoolmoment | Het magnetisch dipoolmoment ($m$) is een maat voor de magnetische sterkte van een stroomverdeling of een deeltje. Het wordt gedefinieerd als de helft van het integraal van het kruisproduct van de positievector en de stroomdichtheid over het volume. | | Veld van een elementaire magnetische dipool | Het magnetische veld van een elementaire magnetische dipool wordt beschreven door een formule die afhangt van het magnetisch dipoolmoment en de positie. Dit veld is analoog aan het elektrische veld van een elementaire elektrische dipool. | | Veldlijnen | Veldlijnen zijn lijnen die de richting van een veld (elektrisch of magnetisch) aangeven. De dichtheid van de veldlijnen is evenredig met de sterkte van het veld. | | Equipotentialen | Equipotentialen zijn lijnen of oppervlakken waarop het potentiaal (elektrisch of magnetisch) constant is. Ze staan loodrecht op de veldlijnen. | | Vectorpotentiaal | De vectorpotentiaal ($A$) is een vectorveld dat gerelateerd is aan de magnetische inductie ($B$) door de relatie $B = \nabla \times A$. Het is nuttig voor het oplossen van magnetostatische problemen. | | Spinmoment | Het spinmoment is een intrinsiek magnetisch moment van deeltjes zoals elektronen, dat voortkomt uit hun spin. Dit draagt bij aan het totale magnetisch dipoolmoment van een atoom. | | Bohr-magneton | Het Bohr-magneton ($\mu_B$) is de fundamentele eenheid van magnetisch dipoolmoment voor elektronen, gerelateerd aan de constante van Planck en de massa en lading van het elektron. | | Macroscopische magnetisatie | De macroscopische magnetisatie ($M$) beschrijft het gemiddelde magnetisch dipoolmoment per volume-eenheid in een materiaal. Het is een macroscopische grootheid die het collectieve magnetische gedrag van het materiaal weergeeft. | | Magnetische polariseerbaarheid | Magnetische polariseerbaarheid is de mate waarin een materiaal magnetisch gepolariseerd kan worden door een extern magnetisch veld. Materialen met een hoge magnetische polariseerbaarheid worden magnetische materialen genoemd. | | Oppervlaktestroomdichtheid | De oppervlaktestroomdichtheid ($K_m$) treedt op aan grensvlakken waar de magnetisatie een discontinuïteit vertoont. Het beschrijft de stroom die langs het grensvlak vloeit. | | Stroomdichtheid ($J$) | De hoeveelheid elektrische lading die per tijdseenheid door een eenheidsoppervlak stroomt. In het Ch-formalisme wordt de stroomdichtheid gerelateerd aan de beweging van materie. | | Magnetisatie ($M$) | Een vectorgrootheid die de gemiddelde magnetische dipoolmomenten per volume-eenheid in een materiaal beschrijft. Het is een relatieve grootheid die afhankelijk is van het referentiekader. | | Inertiaalstelsel | Een referentiekader waarin een object zonder externe krachten stil blijft staan of met constante snelheid beweegt. De wetten van Maxwell worden verondersteld geldig te zijn in elk inertiaalstelsel. | | Ether | Een hypothetisch absoluut medium dat de gehele ruimte zou vullen en waarin elektromagnetische golven zich voortplanten met de lichtsnelheid. Dit concept werd verworpen door de relativiteitstheorie. | | Galilei-transformatie | Een set transformatieformules die de coördinaten van ruimte en tijd tussen twee inertiaalstelsels met constante relatieve snelheid verbinden. Deze transformaties zijn niet compatibel met de relativistische aard van Maxwell's vergelijkingen. | | Lorentz-transformatie | Een set transformatieformules die de coördinaten van ruimte en tijd tussen twee inertiaalstelsels verbinden, rekening houdend met de lichtsnelheid. Deze transformaties zorgen ervoor dat Maxwell's vergelijkingen invariant blijven. | | Diëlektricum | Een niet-geleidend materiaal waarin vrije ladingen nauwelijks bewegen. Polarisatie kan in diëlektrica ontstaan door elektronische, ionaire of oriëntatie-effecten. | | Elektrische susceptibiliteit ($\chi_e$) | Een dimensieloze grootheid die de mate van polarisatie van een diëlektricum onder invloed van een extern elektrisch veld beschrijft. Voor isotrope lineaire materialen is dit een scalair, anders een tensor. | | Diëlektrische constante ($\epsilon$) | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe goed een materiaal een elektrisch veld kan opslaan. Het is gerelateerd aan de elektrische susceptibiliteit en de permittiviteit van het vacuüm. | | Relatieve permittiviteit ($\epsilon_r$) | De verhouding tussen de diëlektrische constante van een materiaal en de permittiviteit van het vacuüm. Het geeft aan hoe de permittiviteit van het materiaal afwijkt van die van het vacuüm. | | Ferro-elektrisch materiaal | Een materiaal dat in de afwezigheid van een extern veld een macroscopische spontane polarisatie vertoont. Het verband tussen polarisatie en elektrisch veld is niet eenduidig en vertoont hysteresis. | | Diffusievergelijking | Een differentiaalvergelijking die de verspreiding van een grootheid, zoals het magnetisch veld, in een medium beschrijft, vaak met een tijdsafhankelijke term die diffusie vertegenwoordigt. | | Skin-effect (huid-effect) | Het verschijnsel waarbij de stroomdichtheid in een geleider bij hogere frequenties geconcentreerd wordt aan het oppervlak van de geleider, waardoor de effectieve doorsnede voor stroomafname afneemt. | | Indringdiepte (skin depth) | Een karakteristieke lengte die aangeeft hoe diep een wisselstroom of elektromagnetisch veld doordringt in een geleider. Het is de afstand waarover de amplitude van het veld tot $1/e$ (ongeveer 37%) van zijn waarde aan het oppervlak is afgenomen. | | Quasi-stationaire benadering (MQS) | Een benadering waarbij de tijdsafhankelijke veranderingen in elektromagnetische velden langzaam genoeg zijn om de verplaatsingsstroom te verwaarlozen ten opzichte van de geleidingsstroom. | | Symmetrievoorwaarde | Een voorwaarde die wordt opgelegd aan een oplossing van een differentiaalvergelijking, gebaseerd op de symmetrie van het probleem, om de oplossing te vereenvoudigen of te bepalen. | | Stapantwoording | De respons van een systeem op een plotselinge verandering in de input, zoals het aanzetten van een stroom op tijdstip nul. | | Sinusregime | Een toestand waarin de wisselende grootheden (zoals spanning en stroom) sinusvormig variëren in de tijd, wat vaak wordt geanalyseerd met behulp van complexe getallen. | | Impedantie | De totale weerstand tegen wisselstroom in een circuit, die zowel de weerstand als de reactantie (inductieve en capacitieve weerstand) omvat. | | Poynting vector | De Poynting vector, aangeduid met $S$, beschrijft de richting en grootte van de energiestroom per oppervlakte-eenheid in een elektromagnetisch veld. Het wordt gedefinieerd als het kruisproduct van de elektrische veldsterkte $E$ en de magnetische veldsterkte $H$: $S = E \times H$. | | Elektromagnetische energiedichtheid | De elektromagnetische energiedichtheid, aangeduid met $w_{EM}$, vertegenwoordigt de hoeveelheid elektromagnetische energie die per volume-eenheid is opgeslagen in een bepaald gebied. Het is de som van de energiedichtheid van het elektrische veld en het magnetische veld: $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2 + \frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0}$. | | Virtuele arbeid | Het principe van virtuele arbeid stelt dat de mechanische arbeid die verricht wordt door de krachten in een systeem bij een infinitesimale, hypothetische verplaatsing (virtuele verplaatsing) gelijk is aan de verandering in de opgeslagen energie van het systeem. Deze methode vereist minder nauwkeurige veldberekeningen dan directe krachtberekeningen. | | Polarisatie-energie | Polarisatie-energie is de energie die is opgeslagen in een diëlektricum als gevolg van de polarisatie van het materiaal onder invloed van een extern elektrisch veld. Voor een reversibel en lineair materiaal wordt dit deel van de energiedichtheid gegeven door $\frac{1}{2}P_{rev} \cdot E$. | | Magnetisatie-energie | Magnetisatie-energie is de energie die is opgeslagen in een magnetisch materiaal als gevolg van de magnetisatie ervan onder invloed van een extern magnetisch veld. Voor reversibele en lineaire materialen wordt dit deel van de energiedichtheid gegeven door $-\frac{1}{2}M_{rev} \cdot B$. | | EQS-systeem | Een EQS-systeem (Elektrostatisch, Quasi-Stationair) is een benadering waarbij de magnetische velden als verwaarloosbaar klein worden beschouwd ten opzichte van de elektrische velden. Dit is geldig wanneer de snelheden van de bewegende ladingen en de verandering van de velden in de tijd klein zijn. | | MQS-systeem | Een MQS-systeem (Magnetostatisch, Quasi-Stationair) is een benadering waarbij de elektrische velden als verwaarloosbaar klein worden beschouwd ten opzichte van de magnetische velden. Dit is geldig wanneer de snelheden van de bewegende ladingen en de verandering van de velden in de tijd klein zijn. | | Magnetische flux | Magnetische flux, aangeduid met $\Phi$, is een maat voor de hoeveelheid magnetisch veld die door een bepaald oppervlak stroomt. In MQS-systemen wordt de verandering in magnetische flux, $d\Phi_j$, gebruikt om de door externe bronnen geleverde energie te kwantificeren. | | Stationaire macroscopische ladings- of stroomverdeling | Een situatie waarbij de verdeling van elektrische ladingen of stromen in de ruimte constant is in de tijd en op een schaal die groter is dan microscopische effecten. | | Magnetische ladingsdichtheid ($\rho^*_m$) | Een concept dat wordt gebruikt in het Chui-model om magnetisatie te vervangen door een effectieve ladingsdichtheid, analoog aan elektrische ladingsdichtheid, om magnetische velden te berekenen. | | Magnetische stroomdichtheid ($\pi^*_m$) | Een concept dat wordt gebruikt in het Chui-model, gerelateerd aan de magnetische ladingsdichtheid, om magnetische velden te berekenen op een manier die analoog is aan elektrische velden. | | Integraalwet van Gauss | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die het verband legt tussen de elektrische flux door een gesloten oppervlak en de netto elektrische lading binnen dat oppervlak. | | Integraalwet van Ampère | Een fundamentele wet in de elektromagnetisme die het verband legt tussen de magnetische veldsterkte rond een gesloten lus en de elektrische stroom die door die lus gaat. | | Ladingsvlak | Een oppervlak waarop elektrische lading is verdeeld, vaak met een uniforme oppervlakteladingsdichtheid ($\pi$). | | Lijnlading | Een oneindige lijn waarop elektrische lading is verdeeld, gekenmerkt door een lineaire ladingsdichtheid ($q$). | | Puntlading | Een infinitesimaal kleine lading die zich op een enkel punt in de ruimte bevindt, gekenmerkt door de lading ($q$). | | Stroomvlak | Een oneindig vlak waarin een uniforme elektrische stroomdichtheid ($K$) aanwezig is, die een magnetisch veld opwekt. | | Lijnstroom | Een oneindige lijn die een elektrische stroom ($I$) geleidt, wat resulteert in een cirkelvormig magnetisch veld rond de lijn. | | Equipotentiale oppervlakken | Oppervlakken waarop het elektrische potentiaal overal gelijk is. Veldlijnen staan loodrecht op equipotentiale oppervlakken. | | Stationair veld | Een veld dat niet verandert in de tijd. Dit omvat zowel elektrostatische als magnetostatische velden, evenals stationaire stroomvelden. | | Lorentz-ladingsdichtheid ($\rho_L$) | Een macroscopische bronterm die de effectieve ladingsdichtheid weergeeft, rekening houdend met zowel vrije ladingen als bijdragen van polarisatie. | | Stromingsdichtheid ($\mathbf{J}$) | De netto stroom van lading per eenheid van oppervlakte per tijdseenheid. In stationaire stroomproblemen is deze dichtheid constant in de tijd. | | Minkowski-formulering | Een formulering van elektromagnetische velden die de velden $\mathbf{D}$ en $\mathbf{H}$ introduceert naast $\mathbf{E}$ en $\mathbf{B}$, om materialen zoals diëlektrica en magnetische materialen te beschrijven. | | Elektrostatisch probleem | Een stationair veldprobleem waarbij de stroomdichtheid $\mathbf{J}$ overal nul is. Hierbij is de focus op het elektrisch veld dat wordt opgewekt door stilstaande ladingen. | | Stationair stroomveldprobleem | Een stationair veldprobleem waarbij de stroomdichtheid $\mathbf{J}$ niet overal nul is. Dit probleem omvat de bepaling van de stroomverdeling. | | Magnetostatisch probleem | Een stationair veldprobleem dat volgt op een stationair stroomveldprobleem, waarbij het magnetisch veld wordt bepaald door de reeds bekende stroomdichtheid. | | Elektrisch veld ($\mathbf{E}$) | Een vectorveld dat de kracht beschrijft die wordt uitgeoefend op een positieve testlading. In elektrostatica is het een conservatief veld. | | Scalaire potentiaal ($V$) | Een scalaire functie waarvan het negatieve gradiënt het elektrisch veld oplevert ($\mathbf{E} = -\nabla V$). Dit is alleen geldig in gebieden waar $\nabla \times \mathbf{E} = 0$. | | Potentiële energie | De energie die een lading bezit vanwege zijn positie in een elektrisch veld. Deze is gelijk aan het product van de lading en de scalaire potentiaal ($qV$). | | Diëlektrisch materiaal | Een isolerend materiaal dat gepolariseerd kan worden door een extern elektrisch veld. De eigenschappen worden beschreven door de permittiviteit $\epsilon$. | | Magnetostatica | Het vakgebied dat zich bezighoudt met het berekenen van het magnetisch veld en de magnetische inductie, opgewekt door gegeven stationaire stromen en eventueel permanente magneten. | | Magnetische inductie ($B$) | Een vectorveld dat de sterkte en richting van het magnetische veld beschrijft, opgewekt door stromen en magneten. Het voldoet aan de vergelijking $\nabla \cdot B = 0$. | | Magnetisch veld ($H$) | Een vectorveld dat de magnetische eigenschappen van een medium beschrijft, gerelateerd aan de magnetische inductie via een constitutieve wet, zoals $B = \mu H$ voor lineaire materialen. | | Vectorpotentiaal ($A$) | Een vectorveld waarvan de krul gelijk is aan de magnetische inductie ($B = \nabla \times A$). Het wordt gebruikt om magnetostatische problemen op te lossen, vaak met de aanvullende Coulomb-ijkvoorwaarde $\nabla \cdot A = 0$. | | Constitutieve wet | Een relatie die het magnetisch veld ($H$) koppelt aan de magnetische inductie ($B$), zoals $B = \mu H$ voor lineaire materialen, waarbij $\mu$ de permeabiliteit van het materiaal is. | | Magnetische flux ($\phi$) | De totale hoeveelheid magnetische inductie die door een oppervlak stroomt. Het kan worden berekend met behulp van de vectorpotentiaal via $\phi = \oint_{\partial S} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$. | | Perfecte geleider | Een ideaal materiaal met oneindige geleidbaarheid waarin het magnetisch veld binnenin nul is en stromen zich alleen op het oppervlak bevinden. In de magnetostatica gedraagt een supergeleider zich als een perfecte geleider. | | Reluctiviteit ($\nu$) | De inverse van de permeabiliteit ($\nu = 1/\mu$), gebruikt in de constitutieve relatie $H = \nu B$. | | Laplace-vergelijking | Een partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde die voorkomt in veel fysische problemen, waaronder magnetostatica in uniforme lineaire isotrope media, zoals $\nabla^2 A_z = -\mu J_z$ of $\nabla^2 U = 0$. | | Fluxfunctie | De component van de vectorpotentiaal ($A_z$) in 2D-problemen met translatiesymmetrie, die de magnetische flux door een oppervlak vertegenwoordigt. | | Zacht ferromagnetisch materiaal | Een materiaal met een zeer hoge permeabiliteit ($\mu \gg 1$), waardoor het magnetisch veld ($H$) erin verwaarloosbaar is. | | Stationair stro om v eldprobleem | Een probleem waarbij een elektrische stroom door geleidende media vloeit tussen geleiders (elektroden) met een potentiaalverschil. De geleidbaarheid van de elektroden is doorgaans veel groter dan die van de overige geleiders, waardoor ze als perfecte geleiders (σ = ∞) kunnen worden beschouwd. | | Wet van behoud van lading | Een fundamentele natuurwet die stelt dat de totale lading in een geïsoleerd systeem constant blijft. In de context van stationaire stromen wordt dit uitgedrukt als ∇ · J = 0, wat betekent dat er geen netto lading ophoping of afname is in een bepaald volume. | | Constitutieve vergelijking voor een geleider | Een relatie die het verband beschrijft tussen de stroomdichtheid (J) en het elektrische veld (E) in een geleidend materiaal, gegeven door J = σE, waarbij σ de geleidbaarheid van het materiaal is. | | Éénduidigheidsstelling | Een wiskundig principe dat garandeert dat een fysisch probleem onder specifieke randvoorwaarden een unieke oplossing heeft. Deze stelling is ook van toepassing op stationaire stroomdichtheidsproblemen. | | Neumann-conditie | Een type randvoorwaarde dat wordt toegepast op de grenzen van een domein in een differentiaalvergelijking. Voor een vrij oppervlak, een scheidingsvlak tussen een geleider en een niet-geleidend medium, is dit de conditie ∂V/∂n = 0, wat aangeeft dat de normale afgeleide van de potentiaal nul is. | | Conductantiecoëfficiënten | Coëfficiënten die, in analogie met capaciteitscoëfficiënten in de elektrostatica, de relatie beschrijven tussen de stromen (Ii) en de potentiaalverschillen (Vi - Vj) tussen geleiders in een stationair stroomveldprobleem, uitgedrukt als Ii = Σj≠i Gij(Vi - Vj) + Gi∞Vi. | | Weerstand | Een passief elektronisch component dat de stroom beperkt. In de context van stationaire stroomvelden wordt een klassieke weerstand gemodelleerd als een cilindervormig medium met geleidbaarheid σ en perfect geleidende elektroden op de eindvlakken. | | Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektriciteit die het verband beschrijft tussen spanning (V), stroom (I) en weerstand (R) in een geleider, geformuleerd als V = IR. | | Eindige elementen methode (FEM) | Een krachtige numerieke methode voor het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen. Het verdeelt een complex domein in kleinere, eenvoudigere "eindige elementen" (zoals driehoeken) en benadert de oplossing binnen elk element. | | Zwakke formulering | Een alternatieve formulering van een differentiaalvergelijking die de orde van de afgeleiden vermindert, waardoor de wiskundige analyse en numerieke oplossing vereenvoudigd worden. Dit is essentieel voor de eindige elementen methode. | | Variationeel probleem | Een formulering van een fysisch probleem waarbij men een functionaal zoekt die stationair is (of een minimum bereikt). Dit is een alternatieve methode om de oplossing van de oorspronkelijke differentiaalvergelijking te vinden. | | Doorstroomdichtheid | De dichtheid van de elektrische verplaatsingsstroom, aangeduid met $\frac{\partial D}{\partial t}$, die optreedt in een diëlektricum wanneer het elektrische veld verandert. Deze term is cruciaal in de Maxwell-vergelijkingen en speelt een rol bij het begrijpen van elektromagnetische golfvoortplanting. | | Oppervlaktestroom | Een stroom die zich langs een oppervlak voortplant, vaak aangeduid met $K$. Dit kan bijvoorbeeld een stroom zijn die wordt geïnduceerd op het oppervlak van een geleider als gevolg van veranderende magnetische velden. | | Oppervlakte-ladingsdichtheid | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid van oppervlakte die zich op een oppervlak bevindt, aangeduid met $\pi$. Deze lading kan ontstaan door het scheiden van ladingen aan grensvlakken tussen verschillende materialen of door inductie. | | Conductiestroom | De stroom die wordt veroorzaakt door de beweging van vrije ladingsdragers in een geleidend materiaal onder invloed van een elektrisch veld, beschreven door de wet van Ohm ($J = \sigma E$). | | Convectiestroom | Een stroom die wordt veroorzaakt door de beweging van geladen deeltjes als een bulkbeweging, vaak geassocieerd met bewegende media. De dichtheid van deze stroom is $\rho v$. | | Inductie-effecten | Fenomenen waarbij een veranderend magnetisch veld een elektrisch veld induceert, wat leidt tot stromen en spanningen. Dit is de basis van zelfinductie en wederzijdse inductie. | | Polarisatie (P) | De totale dipoolmoment per eenheid van volume in een diëlektricum. Dit is een constitutieve eigenschap die het verband beschrijft tussen het aangelegde elektrische veld en de reactie van het materiaal. | | Para-elektrisch | Een materiaal waarbij de macroscopische polarisatie nul is in afwezigheid van een extern elektrisch veld. Dit kan komen doordat de bouwstenen zelf geen dipoolmoment hebben of doordat bestaande dipoolmomenten willekeurig georiënteerd zijn. | | Elektronishe polarisatie | Polarisatie die ontstaat door de verschuiving van de elektronenwolk ten opzichte van de atoomkern onder invloed van een extern elektrisch veld. Dit induceert een dipoolmoment in het atoom. | | Ionair polarisatie | Polarisatie die optreedt in materialen met (gedeeltelijk) ionaire bindingen, waarbij positieve en negatieve ionen in tegengestelde zin worden verplaatst door het lokale elektrische veld, wat leidt tot een netto dipoolmoment. | | Oriëntatie polarisatie | Polarisatie die ontstaat in materialen die moleculen met een permanent dipoolmoment bevatten. Zonder extern veld zijn deze dipolen willekeurig georiënteerd, maar onder invloed van een veld richten ze zich deels naar het veld. | | Lokaal veld (Eloc) | Het elektrische veld dat een specifiek atoom of molecuul in een diëlektricum ondervindt. Dit veld is niet gelijk aan het macroscopische veld E, maar houdt rekening met de invloed van naburige ladingen en de polarisatie van het materiaal zelf. | | Polarisatievermogen ($\alpha$) | De evenredigheidsconstante die het verband beschrijft tussen het geïnduceerde dipoolmoment van een atoom en het lokale elektrische veld, uitgedrukt als $p = \alpha \epsilon_0 E_{loc}$. | | Lorentz-veld | De term in de berekening van het lokale veld die het elektrische veld vertegenwoordigt dat wordt gegenereerd door de gemiddelde macroscopische polarisatie binnen een denkbeeldige sfeer rond het beschouwde atoom. Dit veld is gelijk aan $-\frac{P}{3\epsilon_0}$. | | Kristalveld ($E_{kristal}$) | Het elektrische veld dat wordt opgewekt door de naburige atomen binnen de microscopische omgeving van het beschouwde atoom. Dit veld is afhankelijk van de kristalstructuur en kan nul zijn voor kubische roosters of willekeurig verdeelde atomen. | | Susceptibiliteit ($\chi_e$) | Een dimensieloze grootheid die de mate aangeeft waarin een materiaal gepolariseerd kan worden door een extern elektrisch veld. Het relateert de macroscopische polarisatie P aan het macroscopische elektrische veld E via $P = \chi_e \epsilon_0 E$. | | Clausius-Mosotti betrekking | Een vergelijking die het verband legt tussen de elektrische susceptibiliteit ($\chi_e$) van een materiaal en de polariseerbaarheid ($\alpha$) van de individuele atomen of moleculen, rekening houdend met de atoomdichtheid (N). | | Fonon | Een kwantum van een rooster-trilling in een kristal. Fononen kunnen worden ingedeeld in akoestische en optische fononen, afhankelijk van hun dispersiecurve en de fase van de trillende atomen. | | Bohr magneton | Een fundamentele natuurkundige constante die de grootte van het magnetisch dipoolmoment van een elektron als gevolg van zijn spin of baanbeweging beschrijft. Het wordt aangeduid met $\mu_B$ en heeft een waarde van ongeveer $9.274 \times 10^{-24} \text{ J/T}$. | | Curie-temperatuur ($T_C$) | De kritische temperatuur boven welke een ferromagnetisch materiaal zijn magnetische eigenschappen verliest en zich paramagnetisch gedraagt. Beneden deze temperatuur treedt een faseovergang op naar een meer geordende magnetische staat. | | Diamagnetisme | Een magnetisch verschijnsel waarbij een materiaal een zwak magnetisch veld opwekt dat tegengesteld is aan een aangelegd extern magnetisch veld. Dit effect treedt op in alle materialen, maar is vaak zwakker dan andere magnetische effecten. | | Elektrostrictie | De vervorming van een materiaal onder invloed van een aangelegd elektrisch veld, waarbij de vervorming kwadratisch afhankelijk is van de veldsterkte. Dit fenomeen treedt op in alle materialen. | | Ferromagnetisme | Een type magnetisme waarbij de magnetische dipoolmomenten van de atomen in een materiaal een sterke neiging hebben om parallel aan elkaar te oriënteren, zelfs in afwezigheid van een extern magnetisch veld, beneden een bepaalde temperatuur (de Curie-temperatuur). | | Kristalveld | Een benadering die de interactie tussen elektronen in een vaste stof beschrijft, waarbij de invloed van de omringende atomen en hun ladingen wordt gemodelleerd als een potentiaal. Dit kan leiden tot het onderdrukken van het baanmomen t van elektronen. | | Magnetisatie | De netto magnetische dipoolmoment per volume-eenheid van een materiaal. Het is een maat voor de mate waarin een materiaal magnetisch is. | | Magnetische susceptibiliteit ($\chi_m$) | Een dimensieloze grootheid die aangeeft hoe sterk een materiaal magnetiseert in reactie op een aangelegd magnetisch veld. Een positieve susceptibiliteit duidt op paramagnetisme of ferromagnetisme, terwijl een negatieve susceptibiliteit duidt op diamagnetisme. | | Néel-temperatuur ($T_N$) | De kritische temperatuur boven welke een antiferromagnetisch materiaal zijn magnetische ordening verliest. Beneden deze temperatuur stellen de magnetische momenten zich antiparallel aan elkaar op. | | Paramagnetisme | Een type magnetisme waarbij de magnetische dipoolmomenten van de atomen in een materiaal een neiging hebben om zich parallel aan een aangelegd extern magnetisch veld te oriënteren. Bij afwezigheid van een veld zijn deze momenten willekeurig georiënteerd door thermische agitatie. | | Scheiding der variabelen methode | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door de vergelijking te herschrijven als een product van functies, elk afhankelijk van slechts één variabele. Dit reduceert de partiële differentiaalvergelijking tot een reeks gewone differentiaalvergelijkingen. | | Cartesiaanse coördinaten | Een coördinatensysteem dat wordt gedefinieerd door drie loodrechte assen (x, y, z), waarbij de positie van een punt wordt bepaald door de afstanden langs deze assen. | | Gesc heiden oplossing | Een oplossing van een partiële differentiaalvergelijking die kan worden uitgedrukt als een product van functies, waarbij elke functie afhangt van slechts één van de onafhankelijke variabelen. | | Constante van scheiding | De constante waaraan elke term in de gescheiden vergelijkingen gelijk wordt gesteld bij het toepassen van de scheiding der variabelen methode. Deze constanten bepalen de aard van de oplossingen (lineair, trigonometrisch, hyperbolisch). | | Lineaire combinatie | Een som van functies, waarbij elke functie wordt vermenigvuldigd met een constante coëfficiënt. Dit wordt gebruikt om algemene oplossingen te vormen uit basisoplossingen. | | Superpositie | Het principe dat, vanwege de lineariteit van de Laplace-vergelijking, de som van twee of meer oplossingen ook een oplossing is. Dit wordt gebruikt om te voldoen aan de randvoorwaarden. | | Homogene randvoorwaarden | Randvoorwaarden waarbij de waarde van de functie of zijn afgeleide nul is op de grens. | | Niet-homogene randvoorwaarden | Randvoorwaarden waarbij de waarde van de functie of zijn afgeleide niet nul is op de grens. | | Fourier-reeks | Een representatie van een periodieke functie als een oneindige som van sinussen en cosinussen. Dit wordt gebruikt om de niet-homogene randvoorwaarden te ontbinden in componenten die overeenkomen met de gescheiden oplossingen. | | Orthogonaliteit | Een eigenschap van functies waarbij het inproduct van twee verschillende functies nul is. Dit wordt gebruikt om de coëfficiënten van een Fourier-reeks te bepalen. | | Magnetische kring | Een gesloten pad dat de magnetische flux volgt, vergelijkbaar met een elektrische kring voor stroom. | | Inductiecoëfficiënt | Een maat voor de mate waarin een veranderende stroom in een spoel een spanning in zichzelf of in een nabijgelegen spoel induceert. | | Permeabiliteit | Een materiaaleigenschap die aangeeft hoe gemakkelijk een magnetisch veld door het materiaal kan worden opgewekt. Een oneindige permeabiliteit (µ = ∞) duidt op een perfect magnetisch geleidend materiaal. | | Magnetisatie (M) | Een vectorgrootheid die de magnetische dipoolmomentdichtheid van een materiaal beschrijft. | | Magnetische flux (Φ) | De totale hoeveelheid magnetisch veld die door een bepaald oppervlak gaat. | | Reluctantie (R) | De magnetische weerstand van een magnetische kring, analoog aan elektrische weerstand. | | Zelfinductie (L) | Het fenomeen waarbij een verandering in de stroom door een spoel een tegengestelde spanning in dezelfde spoel induceert. | | Quasi-stationair veldprobleem | Een probleem waarbij de tijdsafhankelijkheid van de elektromagnetische velden langzaam genoeg is om de velden op elk moment als stationair te kunnen beschouwen. | | Ladingsdichtheid (ρ) | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid volume. | | Oppervlakte-ladingsdichtheid (π) | De hoeveelheid elektrische lading per eenheid oppervlakte. | | Stromingsdichtheid (J) | De hoeveelheid elektrische stroom die per eenheid oppervlakte door een geleider vloeit. | | Potentiaalverschil (V) | Het verschil in elektrisch potentieel tussen twee punten, wat de drijvende kracht is voor elektrische stroom. | | Elektromagnetische krachttijdichtheid | De kracht per volume-eenheid die wordt uitgeoefend door elektromagnetische velden op materie. Dit omvat bijdragen van zowel vrije ladingen als dipolen in het medium. | | Kracht op de bouwstenen van een medium in een extern veld | De kracht die wordt uitgeoefend op de microscopische componenten (ladingen, dipolen) van een medium door externe elektromagnetische velden, die langzaam variëren over het volume van de bouwsteen. | | Kracht op een elektrische dipool | De kracht die wordt uitgeoefend op een elektrische dipool in een niet-uniform elektrisch veld, wat resulteert in een beweging naar gebieden met een hogere veldsterkte. De formule is $f_p = p \cdot \nabla E(r)$. | | Kracht op een magnetische dipool | De kracht die wordt uitgeoefend op een magnetische dipool in een niet-uniform magnetisch veld. De formule is $f_m = \nabla B \cdot m$. | | Macroscopische krachttijdichtheid in een medium | De gemiddelde kracht per volume-eenheid in een medium, verkregen door de microscopische krachten te middelen over de bouwstenen. Dit omvat bijdragen van zowel externe velden als interne polarisatie en magnetisatie. | | Lorentz-krachtdichtheid | De macroscopische krachtdichtheid die specifiek voortkomt uit de interactie van vrije ladingen en stromen met de macroscopische elektromagnetische velden. Het wordt gegeven door $f_L = \rho_L E + J_L \times B$. | | Spanningen van Maxwell | Een tensor die de krachten beschrijft die door elektromagnetische velden op een medium worden uitgeoefend. Het integreert de oppervlaktekrachten om de totale kracht op een lichaam te bepalen. De tensor is gedefinieerd als $T_M = \epsilon_0 E E + \frac{1}{\mu_0} B B - \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0})I$. | | Elektromagnetisch koppel | Het draaimoment dat wordt uitgeoefend op een medium door elektromagnetische velden. Dit koppel probeert de elektrische en magnetische dipolen van het medium uit te lijnen met de externe velden. De dichtheid van dit koppel is $c_E = P \times E + M \times B$. | | Polarisatie-energie dichtheid | De energie die is opgeslagen in een diëlektrisch medium als gevolg van de polarisatie door een elektrisch veld. Voor een lineair materiaal is dit $w_P = \frac{1}{2} P \cdot E$. | | Magnetisatie-energie dichtheid | De energie die is opgeslagen in een magnetisch materiaal als gevolg van de magnetisatie door een magnetisch veld. Voor een lineair materiaal is dit $w_M = -\frac{1}{2} M \cdot B$. | | Elektromagnetische energie dichtheid | De totale energie per volume-eenheid die is opgeslagen in de elektrische en magnetische velden. Dit is $w_{EM} = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$. | | Elektrisch veld ($e$ of $E$) | Een vectorveld dat de elektrische kracht beschrijft die op een geladen deeltje wordt uitgeoefend. Microscopische velden worden aangeduid met kleine letters, macroscopische velden met hoofdletters. | | Magnetische inductie ($b$ of $B$) | Een vectorveld dat de magnetische kracht beschrijft die op een bewegend geladen deeltje wordt uitgeoefend. Microscopische velden worden aangeduid met kleine letters, macroscopische velden met hoofdletters. | | Krachtwet van Lorentz | De fundamentele wet die de kracht op een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld beschrijft, gegeven door $f_k = q_k(\mathbf{e}(\mathbf{r}_k, t) + \mathbf{v}_k \times \mathbf{b}(\mathbf{r}_k, t))$. | | Microscopische velden | De velden die de elektromagnetische interactie op deeltjesniveau beschrijven, direct afgeleid van de krachtwet van Lorentz. | | Macroscopische velden | De gemiddelde waarden van de microscopische velden over een klein volume, die de velden beschrijven op een schaal die relevant is voor praktische toepassingen. | | Permittiviteit van de vrije ruimte ($\epsilon_0$) | Een fundamentele constante die de mate beschrijft waarin een elektrisch veld kan worden opgewekt in een vacuüm. | | Permeabiliteit van de vrije ruimte ($\mu_0$) | Een fundamentele constante die de mate beschrijft waarin een magnetisch veld kan worden opgewekt in een vacuüm. | | Ladingsdichtheid ($\eta$ of $\rho_L$) | De hoeveelheid elektrische lading per volume-eenheid. Microscopische ladingsdichtheid wordt aangeduid met $\eta$, macroscopische met $\rho_L$. | | Stromdichtheid ($j$ of $J_L$) | De hoeveelheid elektrische stroom per oppervlakte-eenheid. Microscopische stromdichtheid wordt aangeduid met $j$, macroscopische met $J_L$. | | Elektrische wet van Gauss | Een van de Maxwell-vergelijkingen die stelt dat de divergentie van het elektrische veld evenredig is met de ladingsdichtheid. In differentiële vorm: $\nabla \cdot \epsilon_0 \mathbf{E} = \rho_L$. | | Laplace's vergelijking | Een tweede-orde lineaire partiële differentiaalvergelijking van de vorm $\nabla^2 V = 0$, die een breed scala aan fysische fenomenen beschrijft, zoals stationaire temperatuurverdelingen, elektrostatische potentialen en de magnetische potentiaal in gebieden zonder stromen. | | Scheiding der variabelen | Een wiskundige techniek die wordt gebruikt om partiële differentiaalvergelijkingen op te lossen door de oplossing te schrijven als een product van functies, waarbij elke functie slechts afhangt van één van de onafhankelijke variabelen. Dit reduceert de partiële differentiaalvergelijking tot een reeks gewone differentiaalvergelijkingen. | | Scalaire potentiaal | Een scalaire functie $V$ die wordt gebruikt om het elektrische veld te beschrijven via de relatie $E = -\nabla V$. Dit is mogelijk omdat het elektrische veld in de elektrostatica irrationeel is ($\nabla \times E = 0$). | | Homogene differentiaalvergelijking | Een differentiaalvergelijking waarbij de termen die de onafhankelijke variabelen bevatten, lineair zijn en de vergelijking gelijk is aan nul. Laplace's vergelijking $\nabla^2 V = 0$ is een voorbeeld van een homogene partiële differentiaalvergelijking. | | Eigenfuncties en eigenwaarden | In de context van de scheiding der variabelen, wanneer de gewone differentiaalvergelijkingen worden opgelost, ontstaan er oplossingen die afhangen van de randvoorwaarden. Deze oplossingen worden vaak eigenfuncties genoemd, en de bijbehorende constanten zijn de eigenwaarden. | | Superpositiebeginsel | Een principe dat stelt dat voor lineaire vergelijkingen, de oplossing van een probleem met meerdere bronnen de som is van de oplossingen van de afzonderlijke problemen met elk van de bronnen afzonderlijk. Dit principe is cruciaal voor het oplossen van Laplace's vergelijking met complexe bronverdelingen. | | Gr eense functie | Een fundamentele oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking, die wordt gebruikt om de oplossing voor een algemene bronverdeling te construeren via een integraal. Voor Laplace's vergelijking in 3D is de Gr eense functie $G_3(r) = \frac{1}{4\pi r}$. | | Gauss-stelling | Een stelling uit de vectorcalculus die een relatie legt tussen de flux van een vectorveld door een gesloten oppervlak en de divergentie van het veld binnen dat oppervlak. Deze stelling wordt gebruikt om de integraalvorm van de wet van Gauss af te leiden. | | Stokes-stelling | Een stelling uit de vectorcalculus die een relatie legt tussen de lijnintegraal van een vectorveld langs een gesloten kromme en de flux van de rotor van het veld door een oppervlak dat door die kromme wordt begrensd. Deze stelling wordt gebruikt om de integraalvorm van de wet van Faraday en Ampère af te leiden. |

# De drie wetten van Newton Dit onderwerp behandelt de drie bewegingswetten van Newton, met voorbeelden uit de praktijk en oefeningen om deze wetten te illustreren. ## 1. De drie wetten van Newton De drie bewegingswetten van Newton beschrijven de relatie tussen een voorwerp en de krachten die erop werken, en hoe deze krachten beweging beïnvloeden. ### 1.1 De eerste wet van Newton: traagheid De eerste wet van Newton, ook wel de wet van de traagheid genoemd, stelt dat een voorwerp in rust blijft of met een constante snelheid blijft bewegen, zolang er geen resulterende kracht op werkt. * **Uitleg:** Een voorwerp heeft de neiging om in zijn huidige staat van beweging te blijven. Om een voorwerp in beweging te zetten, te versnellen of te vertragen, is een netto-kracht vereist. * **Formulering:** Als de som van de krachten die op een voorwerp werken nul is, is dat voorwerp in rust of beweegt het zich met constante snelheid voort. * **Praktijkvoorbeelden:** * **Touwtrekken:** Als twee groepen even hard aan een touw trekken, blijft het touw stilstaan omdat de krachten elkaar opheffen (resulterende kracht is nul). * **Skateboarden:** Een skateboarder die plotseling stopt, zal niet direct stil staan vanwege de traagheid; er is een remweg nodig om de beweging te stoppen. * **Fietsen:** Om op een horizontale weg met constante snelheid te fietsen, moet er continu getrapt worden om de wrijvingskrachten tegen te gaan. De voorwaartse kracht van het trappen compenseert dan de remmende krachten, waardoor de resulterende kracht nul is. #### 1.1.1 Beweging met constante snelheid Een beweging met constante snelheid kan worden weergegeven in grafieken. * **v,t-diagram (snelheid-tijd):** Een horizontale, rechte lijn geeft een constante snelheid weer. * **s,t-diagram (afstand-tijd):** Een schuine, rechte lijn die door de oorsprong gaat, geeft een constante snelheid weer. Hoe schuiner de lijn, hoe groter de snelheid. ### 1.2 De tweede wet van Newton: versnelling De tweede wet van Newton beschrijft hoe een resulterende kracht een versnelling veroorzaakt. * **Uitleg:** Als er een netto-kracht op een voorwerp werkt, zal dit voorwerp een versnelling ondergaan in de richting van die kracht. De grootte van de versnelling hangt af van de massa van het voorwerp. * **Formulering:** Als er op een voorwerp een resulterende kracht werkt die ongelijk is aan nul, ondervindt het voorwerp een versnelling die dezelfde richting heeft als de resulterende kracht. * **Relatie met massa:** Bij een gelijkblijvende kracht zal een voorwerp met een grotere massa een lagere versnelling ondervinden. Om dezelfde versnelling te bereiken bij voorwerpen met verschillende massa's, is bij het zwaardere voorwerp meer kracht nodig. * **Formule:** De tweede wet van Newton kan worden uitgedrukt als: $$ \vec{F}_{resulterend} = m \cdot \vec{a} $$ Waarbij: * $\vec{F}_{resulterend}$ de resulterende kracht is (in Newton, N). * $m$ de massa van het voorwerp is (in kilogram, kg). * $\vec{a}$ de versnelling is (in meter per seconde kwadraat, $\text{m/s}^2$). #### 1.2.1 Versnelde beweging Een versnelde beweging is een beweging waarbij de snelheid van richting of grootte verandert. * **v,t-diagram:** Een schuine, rechte lijn die door de oorsprong gaat, geeft een constante versnelling weer. Een oplopende lijn betekent een snelheidsverhoging, een aflopende lijn betekent een vertraging. * **s,t-diagram:** Een kromme lijn die door de oorsprong gaat, geeft een versnelde beweging weer. Hoe steiler de lijn wordt, hoe hoger de snelheid en dus hoe groter de versnelling. ### 1.3 De derde wet van Newton: actie en reactie De derde wet van Newton stelt dat krachten altijd in paren voorkomen: als een voorwerp een kracht uitoefent op een ander voorwerp, oefent het tweede voorwerp een even grote, maar tegengestelde kracht uit. * **Uitleg:** Krachten kunnen nooit alleen voorkomen. Elke actiekracht heeft een gelijktijdige en even grote reactiekracht die in de tegenovergestelde richting werkt. Deze krachten werken echter altijd op verschillende voorwerpen en heffen elkaar daarom niet op. * **Formulering:** Als voorwerp A een actiekracht uitoefent op voorwerp B, oefent B gelijktijdig een even grote, maar tegengesteld gerichte reactiekracht op A uit. * **Alternatieve formulering:** Actiekracht = - Reactiekracht. * **Belangrijke kanttekening:** De actie- en reactiekracht treden gelijktijdig op en zijn niet het gevolg van elkaar in de zin dat de ene eerst komt en de andere dan volgt. Er is sprake van een wisselwerking. * **Praktijkvoorbeelden:** * **Raketlancering:** De raketmotor oefent een kracht uit op de uitgestoten gassen (actie). De gassen oefenen een gelijke, tegengestelde kracht uit op de raket, waardoor deze vooruit wordt geduwd (reactie). * **Kogel afschieten:** De kracht die de kogel vooruitschiet, is de actie. Het geweer ondervindt een terugslag door de reactiekracht. * **Veer indrukken:** De kracht die je uitoefent om een veer in te drukken, is de actie. De veer oefent een even grote, tegengestelde kracht uit op je hand (reactie). * **Tuinslang:** Het water dat uit de slang spuit door de waterdruk (actie) oefent een tegengestelde kracht uit op de slang (reactie), waardoor deze kan gaan rondslingeren. * **Springen uit een boot:** Je zet je af tegen de boot (actiekracht). De boot duwt tegelijkertijd terug op jou (reactiekracht). Jij beweegt naar de kant, de boot beweegt van de kant af. #### 1.3.1 Toepassingen en misconcepten * **Misconcept:** Een reactiekracht is het gevolg van een actiekracht en treedt pas later op. * **Correctie:** Actie- en reactiekracht treden gelijktijdig op en veroorzaken elkaar wederzijds. * **Misconcept:** Actie- en reactiekracht heffen elkaar op omdat ze even groot en tegengesteld zijn. * **Correctie:** Krachten heffen elkaar alleen op als ze op hetzelfde voorwerp werken. Actie- en reactiekracht werken altijd op verschillende voorwerpen. ### 1.4 Doe-opdracht: Newton op het schoolplein Deze opdracht stimuleert het begrijpen van de wetten van Newton door middel van praktische experimenten met materialen zoals skateboards en touwen. #### 1.4.1 Eerste wet van Newton (traagheid) * **Touwtrekken met gelijke krachten:** Het touw beweegt niet, wat aangeeft dat de resulterende kracht nul is. * **Skateboarden: stoppen:** Skateboarders stoppen niet onmiddellijk vanwege de traagheid. #### 1.4.2 Tweede wet van Newton (versnelling) * **Touwtrekken met winnaar:** Het winnende team levert de meeste kracht. Het touw beweegt en versnelt in de richting van het winnende team, wat een gevolg is van de resulterende kracht. * **Skateboarden: een duwtje in de rug:** Het skateboard met één kind zal een grotere versnelling ondervinden dan het skateboard met twee kinderen, bij dezelfde duwkracht, omdat de massa kleiner is. #### 1.4.3 Derde wet van Newton (actie en reactie) * **Skateboarden: wie duwt wie?** Wanneer kinderen op skateboards elkaar duwen, voelen ze beiden een kracht en bewegen ze van elkaar af. Dit illustreert de actie-reactiekracht. * **Balspel: stuiterkracht:** De bal oefent een neerwaartse kracht uit op de grond (actie), en de grond oefent een gelijke, opwaartse kracht uit op de bal (reactie), waardoor de bal weer omhoog stuitert. De bal die met meer kracht gestuiterd wordt, ervaart een grotere reactiekracht.
--- # Licht en kleur Hier is een gedetailleerd studieoverzicht van het onderwerp "Licht en kleur". ## 5.5 Licht en kleur Dit gedeelte verkent de aard van licht, de kleuren van de regenboog, de effecten van weerkaatsing en absorptie, en hoe we kleuren waarnemen. ### 5.5.1 Lichtbronnen * **Definitie:** Alle voorwerpen die zelf licht produceren, worden lichtbronnen genoemd. * **Natuurlijke lichtbronnen:** * De zon is de belangrijkste natuurlijke lichtbron. * Sterren produceren ook zelf licht, maar staan te ver weg om de aarde significant te verlichten. * Vulkanische uitbarstingen produceren licht, maar zijn niet praktisch bruikbaar. * **Kunstmatige lichtbronnen:** * Oude bronnen door verbranding: houtvuur, kaars, gaslamp. * Moderne bronnen op elektriciteit: * **Gloeilamp:** Een gloeidraad wordt heet door elektrische stroom en gaat gloeien. * **Halogeenlamp:** Een verbeterde versie van de gloeilamp met een langere levensduur. * **TL-buizen en spaarlampen:** Gebruiken fluorescentie; gassen in de buis lichten op door elektrische stroom. * **LED-lampen (Light Emitting Diode):** Halfgeleiders die licht uitstralen bij elektrische stroom. Ze zijn energiezuinig, duurzaam en klein. De kleur van het licht hangt af van het materiaal en de "sprong" van de deeltjes. * **Indirecte lichtbronnen:** Voorwerpen die zelf geen licht produceren, maar licht weerkaatsen. * Voorbeelden: de maan (weerkaatst zonlicht), spiegels, bioscoopschermen, regenbogen, gloei-in-het-donker stickers. ### 5.5.2 Wat is licht? * **Voortplanting:** Licht beweegt zich voort als een golfbeweging, net als geluid, maar heeft geen materie nodig om zich te verplaatsen (kan door vacuüm). * **Snelheid:** Licht reist met een enorme snelheid van $300.000$ km/s, veel sneller dan geluid ($343$ m/s in lucht). * **Lichtstralen:** Licht beweegt zich voort in rechte lijnen. * **Interactie met voorwerpen:** Wanneer lichtstralen een voorwerp tegenkomen, kunnen ze: * **Weerkaatst worden (reflectie):** Het licht wordt teruggekaatst. * **Geabsorbeerd worden:** Het licht wordt opgenomen door het voorwerp. * **Doorgelaten worden:** Het licht gaat door het voorwerp heen. * **Doorzichtig, doorschijnend en ondoorschijnend:** * **Doorzichtig:** Laat bijna al het licht door (bv. glas). * **Doorschijnend:** Laat wel enig licht door, maar niet alles (bv. een dunne zomerjurk). * **Ondoorzichtig:** Laat geen licht door. * **Schaduw:** Ontstaat achter ondoorschijnende voorwerpen omdat licht zich rechtlijnig voortbeweegt en niet om het voorwerp heen buigt. * **Kernschaduw:** Het donkerste deel waar al het licht wordt tegengehouden. * **Bijschaduw:** Een lichter deel rond de kernschaduw waar nog enig licht doorheen komt. ### 5.5.3 Weerkaatsing en absorptie van licht * **Waarneming van voorwerpen:** De meeste voorwerpen geven zelf geen licht, maar worden gezien doordat ze licht weerkaatsen (reflecteren). Het weerkaatste licht bereikt ons oog. * **Kleur van voorwerpen:** Voorwerpen krijgen hun kleur doordat ze bepaalde kleuren van het invallende licht absorberen en andere kleuren weerkaatsen. * Een groene plant absorbeert alle kleuren behalve groen, dat wordt weerkaatst. * Een wit voorwerp weerkaatst alle kleuren even sterk. * Een zwart voorwerp absorbeert al het licht. * **Gladde versus ruwe oppervlakken:** * **Spiegelend (glad) oppervlak:** Licht wordt onder dezelfde hoek weerkaatst als waarmee het invalt (invalshoek = hoek van terugkaatsing). * **Ruw oppervlak:** Lichtstralen worden in meerdere richtingen verstrooid, waardoor de bundel minder helder is. * **Dopplereffect bij licht:** (Niet direct in dit deel, maar gerelateerd aan golven) * **Lichtsterkte en absorptie:** Gladde en witte oppervlakken weerkaatsen meer licht dan ruwe en donkere oppervlakken. Dit is waarom lichte kleding op warme dagen prettiger is. * **Gezichtsbedrog door breking:** Lichtstralen veranderen van richting wanneer ze van de ene doorzichtige stof naar de andere gaan (bv. van water naar lucht). Dit kan leiden tot visuele vertekeningen, zoals een muntstuk dat op een andere plaats lijkt te liggen. ### 5.5.4 Breking van licht * **Definitie:** Het verschijnsel waarbij lichtstralen van richting veranderen wanneer ze van de ene doorzichtige stof naar de andere gaan. * **Oorzaak:** Licht heeft in verschillende stoffen een andere snelheid. In stoffen met een hogere dichtheid (zoals water of glas) is de lichtsnelheid lager dan in lucht. * **Lenzen:** De werking van lenzen is gebaseerd op lichtbreking. * **Bolle lenzen:** Breken lichtstralen naar elkaar toe en bundelen ze in een brandpunt. Ze kunnen beelden vergroten (bv. vergrootglas). * **Holle lenzen:** Spreiden lichtstralen uit. Ze kunnen beelden verkleinen. * **Oogcorrectie:** * **Verziendheid:** Het brandpunt ligt achter het netvlies. Gecorrigeerd met bolle lenzen. * **Bijziendheid:** Het brandpunt ligt vóór het netvlies. Gecorrigeerd met holle lenzen. ### 5.5.5 De kleuren van de regenboog * **Wit licht:** Zonlicht, dat wij als wit ervaren, bestaat uit een spectrum van verschillende kleuren. * **Ontstaan regenboog:** Ontstaat doordat regendruppels het zonlicht breken. Elke kleur wordt anders gebroken: rood het minst, violet het meest. * **Kleurenvolgorde:** Altijd rood, oranje, geel, groen, blauw, indigo, violet. * **Prisma:** Een driehoekige lens die wit licht kan opsplitsen in de regenboogkleuren door breking. * **Infrarood en ultraviolet:** Vallen net buiten het zichtbare kleurenspectrum. Sommige insecten (bv. honingbijen) kunnen ultraviolet waarnemen, andere dieren (bv. slangen) infrarood. ### 5.5.6 Kleuren zien * **Primaire lichtkleuren:** Rood, blauw en groen. Dit komt overeen met de lichtgevoelige kegeltjes in ons netvlies. * **Mengen van lichtkleuren:** * **Wit licht:** Ontstaat door het mengen van gelijke delen rood, blauw en groen licht. * **Secundaire lichtkleuren:** * Geel (rood + groen) * Cyaan (blauw + groen) * Magenta (rood + blauw) * **Primair kleuren van verf:** Geel, magenta en cyaan (CMY-model). Deze kleuren zijn de primaire kleuren voor drukwerk en printers. Elke primaire verfkleur absorbeert één primaire lichtkleur en weerkaatst de andere twee. * **Waarneming van andere kleuren:** Andere kleuren worden waargenomen doordat ze meerdere typen kegeltjes tegelijk beïnvloeden, waardoor de hersenen een signaal van een mengkleur ontvangen. ### Doe-opdrachten en Vragen * **Lichtkleuren mengen:** Onderzoek hoe rood, groen en blauw licht gemengd kunnen worden om andere kleuren te creëren. * **Een regenboog maken:** Ontdek hoe je een regenboog kunt creëren met water, een spiegel en zonlicht, of met een plantensproeier. * **Mengen van primaire lichtkleuren:** Begrijpen waarom het mengen van rode, groene en blauwe verf geen wit oplevert, terwijl het mengen van rood, groen en blauw licht wel wit licht produceert. * **Weerkaatsing en absorptie van licht:** Onderzoek hoe verschillende oppervlakken licht weerkaatsen of absorberen met behulp van een spiegel, wit en zwart karton. * **Gezichtsbedrog:** Ervaar hoe lichtbreking kan leiden tot visuele illusies, zoals een muntstuk dat lijkt te zweven of een rietje dat breekt in water. * **Licht en schaduw:** Begrijp hoe licht zich rechtlijnig voortbeweegt en schaduwen vormt, en hoe de vorm en afstand van een voorwerp de schaduw beïnvloeden. * **Schimmenspel:** Pas de eigenschap van licht dat het zich rechtlijnig voortbeweegt toe om een schimmenspel te creëren. * **De kleuren van de regenboog:** Teken hoe lenzen lichtstralen breken en verken de volgorde van kleuren in een regenboog. --- **Tip:** Het is cruciaal om het verschil te onthouden tussen het mengen van licht (additieve kleurmenging, met rood, groen, blauw als primaire kleuren) en het mengen van verf/pigmenten (subtractieve kleurmenging, met cyaan, magenta, geel als primaire kleuren). Dit concept is fundamenteel voor het begrijpen van kleurwaarneming en toepassing in bijvoorbeeld schermen en drukwerk. --- # Elektriciteit Hier is een gedetailleerde studiehandleiding over Elektriciteit, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 3. Elektriciteit Dit onderwerp verkent de fundamentele principes van elektriciteit, van statische lading tot de toepassing ervan in huiselijke stroomkringen. ### 3.1 Statische elektriciteit Statische elektriciteit ontstaat wanneer geladen deeltjes min of meer vastzitten in een materiaal. Dit verschijnsel treedt op wanneer twee voorwerpen tegen elkaar wrijven, waarbij het ene voorwerp geladen deeltjes overneemt van het andere, waardoor beide materialen een (tegengestelde) elektrische lading krijgen. Omdat de geladen deeltjes niet wegstromen, blijft het materiaal gedurende langere tijd geladen. > **Tip:** De "statische" aard van deze elektriciteit betekent dat de ladingen stilstaand zijn, in tegenstelling tot elektrische stroom. Statische elektriciteit kan zich manifesteren door aantrekking en afstoting, wat lijkt op magnetisme maar een ander verschijnsel is. Wanneer de aantrekkingskracht tussen een positief en negatief geladen voorwerp te groot wordt, kunnen elektronen in één keer terugspringen naar het positief geladen voorwerp. Dit veroorzaakt een kortdurende elektrische ontlading, vaak gepaard gaand met licht- en geluidsverschijnselen. Een voorbeeld hiervan is de knetterende geluid bij het uittrekken van een nylon trui. **Voorbeelden van statische elektriciteit:** * **Papiersnippers aantrekken:** Door een plastic kam met je trui te wrijven, krijgt deze een elektrische lading. Als je de geladen kam vervolgens bij papiersnippers houdt, worden deze aangetrokken. Dit komt doordat de geladen kam ladingsscheiding in de neutrale snippers veroorzaakt. Na verloop van tijd kunnen de snippers een deel van de lading overnemen en afgestoten worden. * **Waterstraal afbuigen:** Een geladen kam kan ook een waterstraal afbuigen. De negatieve lading van de kam stoot negatief geladen deeltjes in het water af en trekt positief geladen deeltjes aan, waardoor de straal buigt. * **Bliksem:** Een grootschalig voorbeeld van ontlading is bliksem, waarbij ijskristallen en waterdruppels in onweerswolken door wrijving elektrisch geladen worden en de lading zich ontlaadt. **Belangrijke concepten:** * **Lading:** Atomen bestaan uit positief geladen kernen en negatief geladen elektronen. Een neutraal atoom heeft gelijke aantallen positieve en negatieve ladingen. * **Ladingsscheiding:** Wanneer een geladen voorwerp in de buurt komt van een neutraal voorwerp, kunnen de ladingen binnen het neutrale voorwerp zich herschikken. ### 3.2 Elektrische stroom In tegenstelling tot statische elektriciteit, waar ladingen stilstaand zijn, is bij **dynamische elektriciteit** de elektrische lading voortdurend in beweging. Dit geleiden van elektrische ladingen, **elektronen** genaamd, door geleidend materiaal vormt **elektrische stroom**. **Kenmerken van elektrische stroom:** * **Geleiding:** Om een elektrische stroom te laten lopen, is materiaal nodig dat de elektrische lading goed kan geleiden. Metalen zijn over het algemeen goede geleiders omdat hun atomen elektronen hebben die makkelijk losraken. * **Stroomkring:** Een elektrische stroom vereist een gesloten pad, een **stroomkring**. Deze bestaat uit een **spanningsbron** (zoals een batterij of accu) die zorgt voor de energie, geleidend materiaal (zoals koperdraad) en een **energiegebruiker** (zoals een lampje). * **Spanningsbron:** Een spanningsbron heeft een **pluspool** (tekort aan elektronen) en een **minpool** (overschot aan elektronen). Dit verschil in lading drijft de elektronen aan. * **Model van elektronenstroom:** De beweging van elektronen kan vergeleken worden met knikkers in een gesloten buis. Als je één knikker duwt, bewegen alle knikkers door de buis. De batterij levert de energie die de elektronen voortbeweegt. Een lege batterij levert onvoldoende energie om de elektronen te laten stromen. * **Stroomrichting:** Algemeen wordt de richting van de elektrische stroom aangegeven als gaande van de pluspool naar de minpool. In werkelijkheid stromen de elektronen echter van de minpool naar de pluspool. **Alternatieven voor elektrische apparaten:** Voordat elektriciteit algemeen beschikbaar was, werden veel handelingen verricht met mechanische middelen, zoals de handmatige aandrijving van machines, het gebruik van vuur voor warmte en licht, en handmatig transport. Hedendaagse alternatieven voor elektrische apparaten variëren sterk, van het gebruik van wind- of waterkracht voor mechanische taken tot het gebruik van gas voor verwarming en koken. **Voordelen van elektrische apparaten:** * **Efficiëntie:** Elektriciteit kan efficiënt worden omgezet in andere energievormen zoals licht, warmte, beweging en geluid. * **Gemak:** Elektrische apparaten bieden vaak een hoog niveau van gebruiksgemak en automatiseren taken. * **Veelzijdigheid:** Elektriciteit kan worden gebruikt voor een breed scala aan toepassingen, van verlichting en verwarming tot communicatie en transport. ### 3.3 Stroomkringen Een **stroomkring** is essentieel voor het laten lopen van elektrische stroom. Het bestaat uit een spanningsbron, geleidend materiaal en een energiegebruiker. **Componenten van een stroomkring:** * **Spanningsbron:** Levert de energie om de elektronen te laten bewegen (bijvoorbeeld een batterij). * **Geleidend materiaal:** Vormt het pad waar de elektronen doorheen stromen (bijvoorbeeld koperdraad). * **Energiegebruiker:** Een apparaat dat elektrische energie omzet in een andere vorm (bijvoorbeeld een lampje). * **Schakelaar:** Maakt het mogelijk om de stroomkring bewust te onderbreken (sluiten) of te openen (openen), waardoor het licht aan of uit gaat. **Serieschakeling:** Bij een **serieschakeling** zijn de energiegebruikers (bijvoorbeeld lampjes) achter elkaar geschakeld in één lus, verbonden met de spanningsbron. * Als één component in een serieschakeling defect raakt of wordt losgedraaid, wordt de stroomkring onderbroken en werkt geen enkel onderdeel meer. * Meerdere lampjes in serie branden minder fel dan een enkel lampje, omdat de totale weerstand toeneemt en de stroomsterkte afneemt. **Parallelschakeling:** Bij een **parallelschakeling** splitst de stroomkring zich in twee of meer lussen, waarbij elke energiegebruiker afzonderlijk is verbonden met de spanningsbron. * Als één component in een parallelschakeling losgedraaid wordt, blijft het andere component (meestal) werken. * Elk apparaat in een parallelschakeling krijgt de volledige spanning van de bron. De totale stroomsterkte die de batterij moet leveren, neemt echter toe met elk extra apparaat. * De elektrische bedrading in huizen en op fietsen is vaak een voorbeeld van een parallelschakeling. **De wet van Ohm:** De wet van Ohm beschrijft het verband tussen spanning, stroomsterkte en weerstand. * **Spanning ($U$)**: De potentiaalverschil dat de elektronen voortstuwt, gemeten in volt (V). * **Stroomsterkte ($I$)**: De hoeveelheid lading die per tijdseenheid door de stroomdraad gaat, gemeten in ampère (A). * **Weerstand ($R$)**: De mate waarin een materiaal de stroom van elektronen tegenwerkt, gemeten in ohm ($\Omega$). De formule luidt: $$U = I \times R$$ Dit betekent dat bij een hogere spanning en lagere weerstand, de stroomsterkte groter zal zijn. ### 3.4 Geleiding, isolatie en weerstand Materialen kunnen worden ingedeeld op basis van hun vermogen om elektrische stroom te geleiden. * **Geleiders:** Materialen die elektrische stroom goed doorlaten, zoals koper. Ze bieden weinig weerstand tegen de stroom. * **Isolatoren:** Materialen die elektrische stroom slecht of helemaal niet doorlaten, zoals plastic of rubber. Ze bieden hoge weerstand. **Eigenschappen van geleiders en isolatoren:** * **Koperdraad:** Vaak gebruikt in stroomdraden vanwege de goede geleidbaarheid en lage weerstand. * **Isolatielaag:** Koperdraad is meestal omhuld met een plastic laag om kortsluiting te voorkomen en veiligheid te garanderen. * **Dikte van de draad:** Een dunne stroomdraad heeft een grotere weerstand dan een dikke draad van hetzelfde materiaal, omdat de elektronen meer botsingen ondervinden. Dit kan leiden tot warmteontwikkeling. * **Gloeidraad in gloeilampen:** Bestaat uit een metaaldraad met een hoog smeltpunt en is omgeven door een zuurstofvrije glazen bol om doorbranden te voorkomen. ### 3.5 Elektriciteit in huis Het elektriciteitsnetwerk in een huis voorziet apparaten van energie. * **Energiemeter (kilowattuurmeter):** Meet het totale energieverbruik van een huishouden. De eenheid van energie is kilowattuur (kWh). $$Energieverbruik = Vermogen \times Tijd$$ Het **vermogen** ($P$) van een apparaat geeft aan hoeveel energie het per tijdseenheid verbruikt en wordt gemeten in watt (W). $$P = U \times I$$ * **Groepen en zekeringen:** Het elektriciteitsnetwerk is verdeeld in groepen om overbelasting en oververhitting van draden te voorkomen. **Zekeringen** (vroeger 'stoppen') onderbreken de stroomkring bij te hoge stroomsterkte om schade of brand te voorkomen. Moderne zekeringen werken met een schakelaar die omklapt. * **Aarddraad en aardlekschakelaar:** Apparaten met een metalen omhulsel hebben vaak een aarddraad (groen-gele isolatie) om kortsluiting via het lichaam te voorkomen. De **aardlekschakelaar** controleert of de stroom die het huis in gaat gelijk is aan de stroom die terugkomt. Een verschil kan duiden op stroom die weglekt (bijvoorbeeld via een persoon) en onderbreekt de stroomkring om gevaarlijke schokken te voorkomen. ### 3.6 Experimenteren met elektriciteit Bij het experimenteren met elektriciteit is voorzichtigheid geboden. * **Zwakstroom:** Batterijen leveren zwakstroom (lage spanning) en zijn over het algemeen veilig om mee te experimenteren. * **Netspanning:** Stopcontacten leveren een veel hogere spanning (230 V) en kunnen gevaarlijk zijn, leidend tot brandwonden of zelfs hartstilstand. Het lichaam geleidt stroom goed. * **Oplaadbare batterijen:** Minder belastend voor het milieu dan wegwerpbatterijen. Ze kunnen echter sneller kapotgaan bij kortsluiting. * **Voltmeter:** Kan gebruikt worden om te meten of een batterij nog 'vol' is. **Belangrijke concepten uit de inleiding:** * **Statische elektriciteit:** Geladen deeltjes zijn min of meer vast in het materiaal. * **Elektrische stroom:** Een gerichte beweging van geladen deeltjes (elektronen) door geleidend materiaal, die beheersbaar en nuttig is. * **Serie- en parallelschakelingen:** Verschillende manieren om energiegebruikers in een stroomkring te verbinden, met invloed op de stroomsterkte en het gedrag van de apparaten. * **Wet van Ohm:** Beschrijft het verband tussen spanning, stroomsterkte en weerstand. * **Energieverbruik:** Berekend met de formule energieverbruik = vermogen x tijd (in kilowattuur). * **Veiligheid:** Onderscheid tussen zwakstroom (batterijen) en netspanning (stopcontacten). Dit overzicht biedt een grondige basis voor het begrijpen van elektriciteit, van de basisprincipes tot de praktische toepassingen in huis. --- # Geluid Natuurkundige verschijnselen beschrijven de wereld om ons heen. Dit hoofdstuk focust op de oorsprong, verplaatsing en eigenschappen van geluid, met aandacht voor sterkte, toonhoogte en weerkaatsing. ## 4. Geluid Geluid is een natuurkundig verschijnsel dat ontstaat door trillingen en zich voortplant via golven door materie. De eigenschappen van geluid, zoals sterkte, toonhoogte en klankkleur, worden bepaald door de geluidsbron en de manier waarop het geluid wordt geproduceerd. Geluid kan ook weerkaatst of geabsorbeerd worden, wat leidt tot echo's of geluiddemping. ### 4.1 Wat is geluid? Geluid ontstaat doordat een geluidsbron trillingen veroorzaakt. Deze trillingen planten zich voort door een medium, zoals lucht, vloeistoffen of vaste stoffen, in de vorm van drukgolven. Deze drukgolven worden door onze oren waargenomen als geluid. Hoewel we de trillingen niet altijd direct kunnen zien, kunnen we ze soms voelen (bijvoorbeeld door een hand tegen een luidspreker te houden) of demonstreren met behulp van experimenten, zoals dansende suikerkorrels op een gespannen membraan dat door een geluidsbron in trilling wordt gebracht. De sterkte van de geluidstrillingen bepaalt hoe hard het geluid klinkt. > **Tip:** Het aantal trillingen per seconde (frequentie) bepaalt de toonhoogte van het geluid, terwijl de amplitude van de trilling de geluidssterkte bepaalt. ### 4.2 Verplaatsing van geluid Geluid verplaatst zich als drukgolven door een medium. Dit proces kan vergeleken worden met golfbewegingen in water. Wanneer een geluidsbron trilt, brengt deze de omringende luchtmoleculen in beweging, die op hun beurt weer de naastgelegen moleculen in beweging zetten. Deze golfbeweging plant zich voort, waarbij de intensiteit van het geluid afneemt naarmate de afstand tot de bron groter wordt. Voor de verplaatsing van geluid is altijd materie nodig. Geluid kan zich verplaatsen door lucht, vloeistoffen en vaste stoffen. In vaste stoffen en vloeistoffen plant geluid zich vaak sneller voort dan in lucht, omdat de deeltjes dichter op elkaar zitten. De snelheid van geluid in een bepaalde stof is constant bij een bepaalde temperatuur. #### 4.2.1 Geluidssnelheid en temperatuur De snelheid van geluid is hoger bij hogere temperaturen. Dit komt doordat bij hogere temperaturen de moleculen sneller bewegen en elkaar sneller kunnen 'botsen', waardoor de trillingen sneller worden doorgegeven. #### 4.2.2 Geluid in vaste stoffen en vloeistoffen In water plant geluid zich bijvoorbeeld sneller voort dan in lucht. Dit stelt dieren zoals dolfijnen en walvissen in staat om over grote afstanden met elkaar te communiceren. #### 4.2.3 De blikjestelefoon Een klassiek voorbeeld van geluidsoverdracht via een vaste stof is de blikjestelefoon. Twee blikjes verbonden met een gespannen touw kunnen geluidstrillingen doorgeven, waardoor fluisteringen hoorbaar worden aan de andere kant. Dit toont aan dat geluid zich door vaste materialen kan voortplanten. ### 4.3 Geluiden verschillen Geluiden verschillen in geluidssterkte, toonhoogte en klankkleur. #### 4.3.1 Geluidssterkte De geluidssterkte wordt bepaald door de amplitude van de trillingen. Een grotere amplitude resulteert in een harder geluid. Bij muziekinstrumenten kan de geluidssterkte worden geregeld door bijvoorbeeld harder of zachter te slaan, te blazen of te strijken. De geluidssterkte wordt gemeten in decibel (dB). Te harde geluiden kunnen leiden tot gehoorbeschadiging. > **Tip:** Een verhoging van 10 dB betekent een verdubbeling van de geluidsintensiteit. #### 4.3.2 Toonhoogte De toonhoogte wordt bepaald door de frequentie van de trillingen, oftewel het aantal trillingen per seconde (gemeten in Hertz - Hz). Een hogere frequentie resulteert in een hogere toon. Bij muziekinstrumenten kan de toonhoogte worden beïnvloed door factoren zoals de lengte, dikte en spanning van een snaar (bij snaarinstrumenten) of de lengte van de luchtkolom (bij blaasinstrumenten). Mensen kunnen frequenties horen tussen ongeveer 20 Hz en 20.000 Hz. Geluiden boven de 20.000 Hz worden ultrasoon genoemd. #### 4.3.3 Klankkleur De klankkleur, ook wel timbre genoemd, is wat een geluid uniek maakt en ervoor zorgt dat je een viool kunt onderscheiden van een saxofoon, zelfs als ze dezelfde noot met hetzelfde volume spelen. Dit komt doordat geluidsbronnen meestal een combinatie van een grondtoon en boventonen produceren. De verhouding van deze boventonen bepaalt de specifieke klankkleur van een instrument. #### 4.3.4 Het Doppler-effect Het Doppler-effect treedt op wanneer de geluidsbron beweegt ten opzichte van de waarnemer. Als een geluidsbron dichterbij komt, worden de geluidsgolven samengeperst, waardoor de toon hoger klinkt. Als de bron zich verwijdert, worden de golven uitgerekt en klinkt de toon lager. Dit is duidelijk hoorbaar bij een passerende ambulance met loeiende sirene. ### 4.4 Weerkaatsing van geluid Wanneer geluid een voorwerp tegenkomt, kan het worden doorgelaten, geabsorbeerd of weerkaatst. #### 4.4.1 Geluidsabsorptie en -weerkaatsing Zachte materialen met een onregelmatig oppervlak, zoals gordijnen en tapijt, absorberen geluid en hebben een dempende werking. Gladde en harde oppervlakken, zoals muren in een badkamer, weerkaatsen geluid. #### 4.4.2 Echo's Geluidsweerkaatsingen worden echo's genoemd. In lege ruimtes met harde muren kun je de echo van je eigen stem horen. #### 4.4.3 Echolocatie Sommige dieren, zoals vleermuizen en dolfijnen, gebruiken echolocatie om hun omgeving waar te nemen. Ze zenden geluiden uit en interpreteren de echo's om de afstand en locatie van objecten of prooien te bepalen. #### 4.4.4 Toepassingen van geluidsweerkaatsing Mensen hebben geluidsweerkaatsing toegepast in technologieën zoals sonar (voor navigatie en detectie op zee) en medische echografie (voor het maken van beelden van het inwendige van het lichaam, zoals een foetus). --- # Magnetisme Dit onderwerp verkent de aard van magnetisme, de werking van magneten, magnetische velden en de relatie tussen magnetisme en elektriciteit. ## 5.1 Wat is magnetisme? Magnetisme is een natuurkundig fenomeen dat wordt veroorzaakt door bewegende elektrische ladingen. Natuurlijke magneten, zoals magnetiet, werden al lang geleden ontdekt en hadden praktische toepassingen, zoals in vroege kompassen. Een magneet heeft altijd twee polen: een noordpool en een zuidpool. ### Gelijke en ongelijke polen * Gelijke polen (noord-noord of zuid-zuid) stoten elkaar af. * Ongelijke polen (noord-zuid) trekken elkaar aan. De aarde zelf gedraagt zich als een grote magneet met een magnetisch veld. De magnetische noordpool van de aarde bevindt zich in de buurt van de geografische zuidpool, en vice versa. Dit verklaart waarom een vrij draaibare magneet altijd in een bepaalde richting wijst (richting de aardmagnetische polen). > **Tip:** Een zelfgemaakt kompas kan je helpen de werking van magnetische velden te visualiseren. ### 5.1.1 Aantrekking en afstoting van magneten Magneten trekken specifieke metalen aan: ijzer, nikkel en kobalt. Deze materialen worden ferromagnetisch genoemd. Andere metalen, zoals aluminium, worden niet magnetisch aangetrokken. Voorwerpen die van ferromagnetisch materiaal zijn gemaakt, kunnen tijdelijk magnetisch worden gemaakt door een magneet er meermalen in dezelfde richting langs te strijken. ### 5.1.2 De werking van een magneet Een gewoon stuk ijzer bevat talloze kleine magnetische gebieden, elk met een eigen noord- en zuidpool. Normaal gesproken zijn deze gebieden willekeurig georiënteerd, waardoor hun magnetische effecten elkaar opheffen. Wanneer deze gebieden zich in dezelfde richting oriënteren, wordt het ijzer magnetisch. * **Magnetisatie:** Door een magneet herhaaldelijk in één richting langs een ferromagnetisch materiaal te strijken, kunnen de interne magnetische gebieden zich richten, waardoor het materiaal magnetisch wordt. * **Verlies van magnetisme:** Mechanische impact (zoals slaan op een magneet) of verhitting kan de oriëntatie van deze magnetische gebieden verstoren, waardoor de magneet zijn magnetische kracht verliest. > **Voorbeeld:** Een ijzeren spijker kan magnetisch worden gemaakt door er een magneet langs te strijken. Als je de spijker echter verhit, verliest hij zijn magnetisme weer. ### 5.1.3 Magneetvelden Rond elke magneet bevindt zich een magnetisch veld, een gebied waarin de magnetische kracht merkbaar is. De kracht van dit veld is het sterkst bij de polen van de magneet en neemt af met de afstand. * **Visualisatie:** Magnetische velden kunnen zichtbaar worden gemaakt door ijzervijlsel op een stuk karton te strooien boven een magneet. De ijzervijlseldeeltjes oriënteren zich langs de magnetische veldlijnen. * **Doordringend vermogen:** Magnetische velden kunnen door materialen zoals karton en plastic heen werken. > **Tip:** Gebruik een transparant materiaal zoals plastic om de magneet nog zichtbaar te houden tijdens het visualiseren van het magneetveld met ijzervijlsel. ## 5.2 Magnetisme en elektriciteit Er is een fundamenteel verband tussen magnetisme en elektriciteit. ### Elektrische stroom wekt magnetisme op Wanneer er elektrische stroom door een geleider loopt, wordt er een magnetisch veld rondom die geleider opgewekt. Dit principe ligt ten grondslag aan de werking van elektromagneten. * **Elektromagneet:** Een spoel van geleidende draad waar stroom doorheen loopt, gedraagt zich als een magneet. Deze elektromagneet werkt alleen wanneer er stroom vloeit en kan dus aan- en uitgezet worden. Elektromagneten worden gebruikt in toepassingen zoals kranen bij schroothopen voor het verplaatsen van metaal. * **Permanent magnetisme:** Door een ferromagnetisch materiaal bloot te stellen aan een zeer sterk elektromagnetisch veld, kan het permanent magnetisch worden gemaakt. > **Voorbeeld:** Een fietsdynamo maakt gebruik van het principe dat bewegende magneten elektriciteit opwekken. Het draaiende magneetveld in de dynamo induceert een elektrische stroom in een spoel, die vervolgens de fietslamp voedt. ### Magnetisme wekt elektriciteit op Het omgekeerde is ook waar: bewegende magneten kunnen elektrische stroom opwekken. Dit principe wordt toegepast in generatoren, die op grote schaal worden gebruikt in elektriciteitscentrales. * **Fietsdynamo:** Het draaien van een magneet ten opzichte van een draadspoel genereert een elektrische stroom. * **Generatoren:** In elektriciteitscentrales zorgen turbines ervoor dat grote magneten ronddraaien in spoelen, wat resulteert in de opwekking van elektriciteit. > **Tip:** Kinderen kunnen de relatie tussen elektriciteit en magnetisme onderzoeken door te experimenteren met een eenvoudige elektromagneet, waarbij ze zien dat de spijker magnetische eigenschappen krijgt wanneer er stroom door de draadspoel loopt. --- # Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen Hier is een samenvatting van het onderwerp "Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen" voor je studiehandleiding: ## 6 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen Dit gedeelte behandelt de verschillende verschijningsvormen van stoffen, de invloed van temperatuur en druk op deze vormen, en de specifieke eigenschappen van water en lucht. ### 5.1 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen #### 5.1.1 Verschijningsvormen Stoffen kunnen voorkomen in drie verschillende toestanden: vast, vloeibaar en gasvormig. Deze toestanden worden bepaald door het gedrag van de moleculen waaruit de stof is opgebouwd. * **Vaste stof:** De moleculen bewegen nauwelijks en trekken elkaar sterk aan, waardoor ze dicht bij elkaar blijven. Vaste stoffen zijn hierdoor hard en hebben een vaste vorm. Voorbeelden zijn ijsklontjes die hun vorm behouden, ongeacht de vorm van het vat. * **Vloeistof:** De moleculen bewegen in alle richtingen en zitten minder dicht op elkaar dan in vaste stoffen. De aantrekkingskracht tussen moleculen is zwakker, waardoor vloeistoffen geen vaste vorm hebben en de vorm van het vat aannemen waarin ze zich bevinden. Water is een voorbeeld. * **Gas:** De moleculen bewegen vrij en snel, met grote onderlinge afstanden en zonder aantrekkingskracht. Gassen vullen de hele ruimte waarin ze zich bevinden. Lucht is een voorbeeld. Water is een unieke stof omdat het in de natuur voorkomt in alle drie de verschijningsvormen: vast (ijs), vloeibaar (water) en gasvormig (waterdamp). #### 5.1.2 De invloed van warmte op de verschijningsvorm van een stof Temperatuurverhoging beïnvloedt het gedrag van moleculen en dus de verschijningsvorm van een stof. Dit proces kan worden geïllustreerd met een hoepel op het schoolplein, waarbij kinderen de moleculen voorstellen. * **Verwarmen:** Wanneer de temperatuur stijgt, bewegen de moleculen sneller en komen ze verder uit elkaar te liggen, waardoor de dichtheid van de stof afneemt. * **Smelten:** Bij een zuivere vaste stof smelt deze bij een specifieke temperatuur (smeltpunt) en wordt vloeibaar. Het smeltpunt van water (ijs) is $0^\circ$C bij normale luchtdruk. Onzuiverheden kunnen het smeltpunt verlagen. * **Verdampen/Koken:** Vloeistoffen kunnen bij verschillende temperaturen verdampen. Het kookpunt is de temperatuur waarbij de vloeistof overgaat in gasvorm. Bij water is dit $100^\circ$C bij normale luchtdruk. De luchtdruk beïnvloedt het kookpunt: hogere luchtdruk verhoogt het kookpunt, lagere luchtdruk verlaagt het. * **Sublimatie:** Sommige stoffen gaan rechtstreeks van de vaste naar de gasvormige toestand, zonder de vloeibare fase te doorlopen. Dit proces heet sublimatie (of vervluchtigen). Een voorbeeld is het ruiken van chocola of het ontstaan van rijp. * **Afkoelen:** Wanneer de temperatuur daalt, bewegen de moleculen langzamer en komen ze dichter bij elkaar. * **Condenseren:** Gassen kunnen overgaan in de vloeibare vorm wanneer ze afkoelen. Dit is condensatie, zoals zichtbaar bij het ademen tegen een koude spiegel. * **Stollen/Vriezen:** Vloeistoffen stollen bij een specifieke temperatuur (stollingspunt of vriespunt) en worden vast. **Dichtheid en temperatuur:** Over het algemeen wordt een stof lichter per volume-eenheid als deze opwarmt, omdat de moleculen verder uit elkaar gaan liggen. Bij afkoeling wordt een stof compacter en dus zwaarder per volume-eenheid. **Uitzondering water:** Water gedraagt zich anders. IJs (vaste vorm) heeft een lagere dichtheid dan vloeibaar water, waardoor het blijft drijven. Dit is belangrijk voor waterleven in bevroren omstandigheden, maar kan leiden tot barsten van waterleidingen door uitzetting bij bevriezing. #### 5.1.3 Eigenschappen van water Water is essentieel voor het leven en heeft bijzondere eigenschappen: * **Water als oplosmiddel:** Water is een veelzijdig oplosmiddel waarin veel stoffen kunnen oplossen. Dit is cruciaal voor biologische processen zoals transport in bloed en plantensappen. * **Oplossing:** Een mengsel waarin stoffen volledig zijn opgelost, zoals suikerwater. Oplossingen zijn helder en doorzichtig. * **Suspensie:** Een mengsel van een vaste stof en een vloeistof waarbij de vaste stof niet is opgelost en zweeft in kleine korreltjes, zoals modderwater. Suspensies zijn troebel en ondoorzichtig en kunnen ontmengen (bezinken). * **Emulsie:** Een mengsel van twee normaal gesproken niet-mengbare vloeistoffen, zoals water en vet. Een emulgator zorgt ervoor dat de vloeistoffen toch vermengd blijven, zoals in melk of mayonaise. * **Opwaartse kracht van water:** Objecten in water ondervinden een opwaartse kracht. Deze kracht zorgt ervoor dat zware voorwerpen, zoals schepen, kunnen drijven. Volgens de wet van Archimedes is de opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van het door het voorwerp verplaatste water. Drijvende voorwerpen hebben een lagere dichtheid dan water, of de vorm zorgt voor een grotere opwaartse kracht die de zwaartekracht compenseert. * **Oppervlaktespanning van water:** Watermoleculen trekken elkaar sterk aan. De aantrekkingskracht op de moleculen aan het wateroppervlak is naar binnen en opzij gericht, wat de oppervlaktespanning veroorzaakt. Dit geeft waterdruppels hun vorm en stelt sommige waterinsecten in staat om op het water te lopen. Zeep verstoort de oppervlaktespanning. #### 5.1.4 Eigenschappen van lucht * **Aanwezigheid van lucht:** Hoewel onzichtbaar, ruikt en tastbaar, is lucht overal aanwezig. Het neemt ruimte in en oefent druk uit. * **Luchtdruk:** Lucht oefent druk uit in alle richtingen. Deze druk voelen we niet direct omdat ons lichaam deze compenseert. De luchtdruk kan worden aangetoond door bijvoorbeeld een omgekeerd glas met water, waarbij de luchtdruk het water tegenhoudt. Lucht kan worden samengeperst, wat tegendruk creëert, zoals bij het opblazen van een ballon in een fles. * **Temperatuur en lucht:** Afkoeling van lucht leidt tot verhoogde dichtheid en dus tot een hogere luchtdruk in een afgesloten ruimte. Opwarming leidt tot uitzetting en lagere druk. Dit principe wordt gebruikt bij heteluchtballonnen. ### Scheiden van mengsels Mengsels (oplossingen, suspensies, emulsies) kunnen worden gescheiden met behulp van technieken die gebruikmaken van de verschillende eigenschappen van de bestanddelen: * **Filtreren:** Scheiden van een suspensie op basis van deeltjesgrootte (bv. zand uit water). * **Bezinken/Centrifugeren:** Scheiden op basis van dichtheid. * **Indampen:** Scheiden van een oplossing door het oplosmiddel te laten verdampen (bv. zout uit zeewater). * **Destillatie:** Scheiden op basis van kookpunt, waarbij de verdampte vloeistof wordt opgevangen na condensatie. --- **Tip:** Begrijp de moleculaire basis achter de toestandsveranderingen. Visualiseer de beweging en aantrekking van moleculen bij verwarmen, afkoelen en drukveranderingen. **Tip:** Wanneer je de eigenschappen van water bestudeert, denk dan aan de praktische implicaties ervan in het dagelijks leven en in de biologie. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Newton | Een natuurkundige wet die het verband tussen kracht en beweging beschrijft in drie wetten. | | Actiekracht | De kracht die een voorwerp uitoefent op een ander voorwerp. | | Reactiekracht | De gelijktijdige, even grote en tegengesteld gerichte kracht die een ander voorwerp uitoefent op het eerste voorwerp. | | Versnelling | De verandering van snelheid per tijdseenheid, gemeten in meters per seconde kwadraat ($m/s^2$). | | v,t-diagram | Een grafiek die de snelheid van een voorwerp weergeeft als functie van de tijd. | | s,t-diagram | Een grafiek die de afgelegde afstand van een voorwerp weergeeft als functie van de tijd. | | Resulterende kracht | De netto kracht die op een voorwerp werkt, samengesteld uit alle afzonderlijke krachten. | | Massa | De hoeveelheid materie in een voorwerp, uitgedrukt in kilogram (kg). | | Traagheid | De neiging van een voorwerp om weerstand te bieden aan veranderingen in zijn bewegingstoestand. | | Veerkracht | De kracht die een vervormd object uitoefent om terug te keren naar zijn oorspronkelijke vorm. | | Wrijvingskracht | De kracht die de beweging tussen twee oppervlakken tegenwerkt. | | Rolweerstandskracht | De weerstand die wordt ondervonden bij het rollen van een voorwerp over een oppervlak. | | Luchtweerstandskracht | De weerstand die een voorwerp ondervindt wanneer het door de lucht beweegt. | | Normaalkracht | De kracht die een ondersteunend vlak uitoefent, loodrecht op het oppervlak. | | Spankracht | De kracht die wordt uitgeoefend door een gespannen touw of kabel. | | Lichtbron | Een voorwerp dat zelf licht produceert. | | Lichtstraal | Een rechte lijn die de richting van het licht aangeeft. | | Weerkaatsing (Reflectie) | Het terugkaatsen van licht of geluid door een oppervlak. | | Absorptie | Het opnemen van licht of geluid door een materiaal. | | Breking | Het veranderen van richting van lichtstralen wanneer ze van het ene medium naar het andere gaan. | | Lens | Een transparant object dat lichtstralen kan bundelen of spreiden, vaak gemaakt van glas of kunststof. | | Primair lichtkleur | Een van de basiskleuren (rood, groen, blauw) die, wanneer gemengd, alle andere kleuren kunnen creëren. | | Secundair lichtkleur | Een kleur die ontstaat door het mengen van twee primaire lichtkleuren (geel, cyaan, magenta). | | Geluid | Een trilling die zich door een medium (zoals lucht) voortplant en door het oor wordt waargenomen. | | Frequentie | Het aantal trillingen per seconde van een geluidsbron, uitgedrukt in hertz (Hz), bepalend voor de toonhoogte. | | Decibel (dB) | Een eenheid om de geluidssterkte te meten. | | Doppler effect | De verandering in frequentie van een golf wanneer de bron of de waarnemer beweegt. | | Elektriciteit | Een vorm van energie die wordt veroorzaakt door de beweging van geladen deeltjes. | | Stroomkring | Een gesloten pad waarbinnen elektrische lading kan stromen. | | Spanning (Volt) | Het potentiaalverschil tussen twee punten in een elektrische schakeling, dat de drijvende kracht voor de stroom levert. | | Stroomsterkte (Ampère) | De hoeveelheid elektrische lading die per seconde door een geleider stroomt. | | Weerstand (Ohm) | De mate waarin een materiaal de doorgang van elektrische stroom belemmert. | | Serie-schakeling | Een schakeling waarbij componenten achter elkaar zijn verbonden, zodat de stroom door elk component loopt. | | Parallel-schakeling | Een schakeling waarbij componenten naast elkaar zijn verbonden, zodat de stroom zich splitst en door elk component loopt. | | Magnetisme | Een natuurkundig verschijnsel dat wordt veroorzaakt door magnetische velden en krachten. | | Magneetveld | Het gebied rond een magneet waarbinnen magnetische krachten werkzaam zijn. | | Noordpool | De pool van een magneet die naar de geografische noordpool van de aarde wijst. | | Zuidpool | De pool van een magneet die naar de geografische zuidpool van de aarde wijst. | | Ferromagnetisch | Materialen (zoals ijzer, nikkel, kobalt) die sterk worden aangetrokken door magneten en magnetisch gemaakt kunnen worden. | | Elektromagneet | Een magneet die wordt gecreëerd door een elektrische stroom door een draadspoel te laten lopen. | | Molecuul | Het kleinste deeltje van een stof dat alle eigenschappen van die stof behoudt. | | Aggregatietoestand | De verschillende vormen waarin een stof kan voorkomen: vast, vloeibaar of gasvormig. | | Smeltpunt | De temperatuur waarbij een vaste stof overgaat in vloeibare vorm. | | Kookpunt | De temperatuur waarbij een vloeistof overgaat in gasvorm. | | Condensatie | Het proces waarbij een gas overgaat in vloeibare vorm. | | Desublimatie | Het proces waarbij een gas direct overgaat in vaste vorm zonder de vloeibare fase te doorlopen. | | Dichtheid | De massa per volume-eenheid van een stof. | | Oplosmiddel | Een vloeistof waarin een stof kan worden opgelost. | | Oplossing | Een homogeen mengsel van een opgeloste stof in een oplosmiddel. | | Suspensie | Een heterogeen mengsel van een vaste stof die niet is opgelost in een vloeistof. | | Emulsie | Een mengsel van twee vloeistoffen die normaal gesproken niet mengbaar zijn. | | Filtreren | Een scheidingstechniek om een vaste stof van een vloeistof te scheiden op basis van deeltjesgrootte. | | Indampen | Een scheidingstechniek waarbij een opgeloste stof wordt gescheiden door het oplosmiddel te laten verdampen. | | Destillatie | Een scheidingstechniek gebaseerd op het verschil in kookpunt van componenten in een mengsel. | | Opwaartse kracht | De kracht die door een vloeistof of gas wordt uitgeoefend op een ondergedompeld voorwerp, tegengesteld aan de zwaartekracht. | | Oppervlaktespanning | Het effect dat de moleculen aan het oppervlak van een vloeistof elkaar sterk aantrekken, waardoor het oppervlak zich gedraagt als een dun elastisch membraan. | | Luchtdruk | De druk die wordt uitgeoefend door de atmosfeer van de aarde. |

# Application of physics in other fields This unit explores the extensive applications of physics across various scientific disciplines and technological advancements, highlighting its fundamental role in chemistry, biology, astronomy, geology, engineering, medicine, and defense. ### 1.1 Physics and other sciences Physics is a foundational science that significantly influences and underpins many other scientific disciplines. The understanding of fundamental physical laws is crucial for advancements in various fields [5](#page=5). #### 1.1.1 Relation of Physics with chemistry Physics and chemistry share common ground when examining matter composed of electrons and nuclei. Fundamental laws governing matter's behavior are applicable to both fields, as both are concerned with matter and its interaction with energy. Concepts in atomic and subatomic particle physics are essential for understanding covalent bonding, molecule formation, and the energetic favorability of chemical bonds. Physics principles related to heat energy help chemists predict reaction feasibility and equilibrium compositions, bridging macroscopic properties with molecular behavior. Spectroscopy, a key tool in both physics and chemistry, studies the interaction between matter and electromagnetic radiation and is vital for understanding atomic and molecular structures. Ultimately, the study of matter and electricity in physics is fundamental to understanding chemical concepts such as atomic structure, molecular structure, X-ray diffraction, radioactivity, and chemical bonding [5](#page=5) [6](#page=6). #### 1.1.2 Relation of Physics and biology Physics provides essential principles for understanding biological processes, from the mechanics of human motion to the fluid dynamics of blood flow [7](#page=7). * **Newtonian mechanics** explains the motion and equilibrium of living systems. It helps understand how animals move, why certain animals are faster than others, and the principles of stability based on the center of mass and base of support (#page=6, 7) [6](#page=6) [7](#page=7). * **Fluid flow physics** (viscosity, continuity equation, turbulent flow) is critical for understanding blood circulation and blood pressure in multicellular organisms [7](#page=7). * **Sound wave physics** explains sound production in humans. Vibrating vocal folds generate sound waves during exhalation, which propagate to the ear and are interpreted by the brain (#page=7, 8) [7](#page=7) [8](#page=8). * **Electrical physics** is fundamental to understanding life processes involving electrical phenomena, such as nerve signal transmission and muscle control. Neurons transmit information as electrical pulses. Sharks, for example, use specialized electro-sensitive organs to detect weak electric fields [8](#page=8). * **Optical physics** is crucial as light, particularly from the sun, is vital for life. Photosynthesis in plants utilizes light energy, and animal eyes use light as their primary source of information about their surroundings. Optics also encompasses microscopes, telescopes, and lasers, all with significant applications in life sciences [8](#page=8). > **Tip:** Understanding how athletes move or why an earthworm locomotes without limbs are excellent examples of Newtonian mechanics and fluid dynamics applied to biology, respectively. ### 1.2 Relation of Physics and Astronomy Astrophysics, the study of celestial objects, heavily relies on physics principles to understand the universe [9](#page=9). * **Newton's laws of motion and gravitation** are used to describe the motion of celestial bodies like planets around the sun and moons around planets. Concepts of centripetal and centrifugal forces explain orbital mechanics [9](#page=9). * **Electromagnetic wave physics** is crucial for astronomers to gather information about distant objects. Telescopes detect various parts of the electromagnetic spectrum (radio, infrared, optical) (#page=9, 10. The apparent brightness of an object is related to its distance by the inverse square law: $apparent\ brightness \propto \frac{true\ brightness}{distance^2}$. Astronomers also use the light-year as a unit of distance [10](#page=10) [9](#page=9). * **Atomic physics** is vital for understanding the composition, temperature, and motion of astronomical objects. Light emitted or absorbed by celestial bodies arises from atomic transitions, where electrons move between energy orbits, emitting or absorbing photons (#page=10, 11). Studying these spectral lines provides detailed information about stellar composition and temperature [10](#page=10) [11](#page=11). > **Example:** Astronomers use the red-shift of light from distant galaxies, a phenomenon explained by the Doppler effect on electromagnetic waves, to determine their recession velocity and thus infer the expansion of the universe. ### 1.3 Relation of Physics with Geology Geology, a branch of Earth science, studies the solid and liquid matter of the Earth and the processes affecting it. Understanding geological processes requires knowledge of various physics concepts [11](#page=11): * **Force, optics, atomic structure, electromagnetic radiation, heat and heat flow, electricity and magnetism, stress and strain, waves (including sound waves), and fluid flow** are all applied in geology [12](#page=12). * These physics concepts are used to study the electrical properties, density, magnetization, radioactivity, and elasticity of rocks and minerals. Geologists use wave propagation to study subterranean structures without excavation [12](#page=12). ### 1.4 Physics and Engineering Physics provides the fundamental knowledge upon which various branches of engineering are built. Engineering disciplines like civil, mechanical, and electrical engineering are governed by physical laws, making an understanding of physics essential for solving complex engineering problems (#page=12, 13 [12](#page=12) [13](#page=13). * **Civil Engineering** uses physics principles like forces, fluid pressure, and gravity for designing and constructing structures such as skyscrapers, roads, bridges, and dams [13](#page=13). * **Mechanical Engineering** applies concepts from mechanics, dynamics, thermodynamics, forces, and stresses to create mechanical systems like engines, vehicles, and robotics [13](#page=13). * **Electrical Engineering** involves designing electrical circuits, motors, and communication systems, requiring knowledge of electromagnetism, mechanics, and thermodynamics to convert electrical energy into other forms [14](#page=14). * **Chemical Engineering** relies on the laws of physical chemistry and physics, including molecular physics and thermodynamics, to design processes for refining raw materials and producing chemicals (#page=14, 15 [14](#page=14) [15](#page=15). #### Technology generating new physics There is a reciprocal relationship between physics and technology. While physics enables technological advancements, technology also drives the development of new physics discoveries. Modern scientific experiments often depend on advanced technology, and technologies like X-ray discovery have significantly contributed to physics research, including the study of atomic structure [15](#page=15). > **Tip:** The development of the synchrotron, a technology born from particle accelerators, has revolutionized many areas of physics and chemistry by providing intense beams of X-rays for various experimental studies. ### 1.5 Medical physics Medical physics applies physics principles to diagnose and treat medical conditions. The discovery of X-rays by Wilhelm Conrad Roentgen in 1895 marked the beginning of this interdisciplinary field [16](#page=16). * **Medical Imaging** uses various technologies to view the human body. Techniques include electromagnetic methods (optical, X-ray, MRI, thermography), acoustic methods (ultrasound), and chemical and electrical methods [16](#page=16). * **Magnetic Resonance Imaging (MRI)**: MRI utilizes the principle of magnetic resonance, where atomic nuclei (specifically protons in water molecules) absorb and emit electromagnetic radiation in the presence of magnetic fields (#page=16, 17). Protons in a magnetic field align and, when pulsed with radio waves, flip. As they return to their aligned state, they release energy, which is detected and processed into detailed images of soft tissues [16](#page=16) [17](#page=17). * **X-Ray Computerized Tomography (CT Scan)**: X-ray imaging works by measuring the differential absorption of X-rays as they pass through tissues of varying densities. CT scans use rotating X-ray machines and detectors to create cross-sectional images (tomograms) of the body, providing more detail than conventional X-rays [17](#page=17) [18](#page=18). * **Ultrasound**: Ultrasound uses sound waves with frequencies above 20 KHz (typically 3.5-10 MHz). These waves penetrate tissues and are reflected, scattered, and absorbed. The reflected waves are detected and used to create images. Tissues reflect ultrasound differently, resulting in images with varying echogenicity: anechoic (black, fluid-filled), hypoechoic (dark gray, fewer echoes), and hyperechoic (light gray, many echoes) (#page=18, 19) [18](#page=18) [19](#page=19). * **Stethoscopes** are a familiar clinical use of sound to analyze body sounds like heartbeats and lung sounds [18](#page=18). * **Radiation Therapy**: High-energy photons (X-rays, gamma rays) and particles from radioactive nuclei can damage biological molecules and are used therapeutically to treat cancer (#page=19, 20). Radioactive materials can be implanted near tumors, or external beams of radiation can be directed at cancerous growths, with careful control to minimize damage to healthy tissues [19](#page=19) [20](#page=20). > **Example:** MRI can distinguish between different types of brain tissue (gray matter, white matter, blood) because the protons in each tissue type release slightly different amounts of energy after being excited by radio waves. ### 1.6 Physics and Defense Technology Modern defense forces extensively utilize advancements in physics, including optics, electromagnetism, atomic and nuclear physics, and materials science [20](#page=20). * **Radar Technology**: RADAR (Radio Detection And Ranging) uses electromagnetic signals to detect and track objects. It calculates the range (R) of a target by measuring the time (t) it takes for a signal to travel to the target and back, using the formula $R = \frac{ct}{2}$, where c is the speed of light. Radar is crucial for military applications like air defense, target detection, and weapon guidance, as well as civilian uses like air traffic control and weather observation [21](#page=21). * **Missiles**: Missiles are propelled weapons that deliver explosive payloads with accuracy. Their flight can be governed by Newtonian mechanics (ballistic missiles) or controlled by thrust adjustments (cruise missiles). They comprise complex electronic, digital, and mechanical subsystems for guidance, stabilization, propulsion, and target tracking [22](#page=22). * **Infrared (IR) Wave Detection for Night Vision**: Human eyes are sensitive to visible light, but infrared radiation, just outside this range, can be detected by specialized devices. All objects emit infrared light proportional to their temperature. Infrared vision systems, such as night vision goggles, use thermal emissions to identify objects that are not visible in low light conditions. They create images based on temperature differences, often displaying them in green for optimal human visual perception [23](#page=23). > **Tip:** The principle behind radar is similar to how we perceive distance with our eyes: we estimate how long it takes for something to "return" our "signal" (light reflecting off it). ### 1.7 Physics in Communication Communication technologies, essential in modern life, rely heavily on physics principles, particularly electromagnetic theory [24](#page=24). * **Communication Systems**: Communication involves transferring information, classified as wired or wireless. Wireless systems use radio waves, microwaves, and infrared waves, while wired systems use wires and optical fibers [24](#page=24). * **Physics Concepts**: Understanding electromagnetic theory is crucial for radio waves, microwaves, and infrared waves used in wireless and fiber optic communication. Concepts like electricity and magnetism, electrical circuits, wave phenomena (reflection, diffraction, refraction, interference), and energy transformations are also vital [24](#page=24). --- # Two-dimensional motion Two-dimensional motion describes the movement of objects along a plane, encompassing scenarios beyond simple straight-line paths, and it is governed by fundamental principles of kinematics and dynamics [28](#page=28). ### 2.1 Projectile motion Projectile motion refers to the movement of an object that is in flight after being thrown or projected, and it is subject only to the acceleration due to gravity. Key examples include a kicked football, a fired bullet, or a thrown javelin. For analysis, two assumptions are made: the free-fall acceleration due to gravity ($g$) is constant and directed downwards, and air resistance is negligible. Under these assumptions, the path of a projectile, known as its trajectory, is a parabola. The horizontal and vertical components of a projectile's motion are independent and can be analyzed separately using time as the common variable [29](#page=29) [30](#page=30). #### 2.1.1 Horizontal projection In horizontal projection, an object is launched horizontally from a certain height. Its initial vertical velocity is zero, and it possesses only an initial horizontal velocity [30](#page=30). * **Horizontal motion:** The horizontal acceleration is zero, so the initial horizontal velocity ($v_{0x}$) remains constant throughout the flight. The final horizontal velocity ($v_x$) is given by [30](#page=30): $v_x = v_{0x}$ [30](#page=30). The horizontal distance ($\Delta x$) traveled at time $t$ is: $\Delta x = v_{0x} t$ [30](#page=30). * **Vertical motion:** This is a constant accelerated motion with acceleration $g = -9.8 \, \text{m/s}^2$. The kinematic equations for constant accelerated motion apply [31](#page=31): $v_y = v_{0y} + gt$ [31](#page=31). Since $v_{0y} = 0$ for horizontal projection: $v_y = gt$ [31](#page=31). The vertical displacement ($\Delta y$) is: $\Delta y = v_{0y} t + \frac{1}{2} gt^2$ [31](#page=31). With $v_{0y} = 0$: $\Delta y = \frac{1}{2} gt^2$ [31](#page=31). * **Time of Flight:** The time taken for the projectile to hit the ground. From the vertical displacement equation: $t = \sqrt{\frac{2\Delta y}{g}}$ [32](#page=32). Note that $\Delta y$ and $g$ are considered negative for downward motion [32](#page=32). * **Range (R):** The maximum horizontal distance traveled by the projectile. It is calculated using the time of flight: $R = v_{0x} t$ [32](#page=32). Substituting the time of flight: $R = v_{0x} \sqrt{\frac{2\Delta y}{g}}$ [32](#page=32). > **Example 2.1:** A rifle is aimed horizontally at a target 30m away. The bullet hits 2 cm below the aiming point. > (a) Time of flight: $\Delta y = \frac{1}{2} gt^2 \implies -0.02 \, \text{m} = \frac{1}{2} (-10 \, \text{m/s}^2) t^2 \implies t \approx 0.06 \, \text{s}$ [32](#page=32). > (b) Initial velocity: $v_{0x} = \frac{\Delta x}{t} = \frac{30 \, \text{m}}{0.06 \, \text{s}} = 500 \, \text{m/s}$ [33](#page=33). > **Example 2.2:** An airplane flying at 100 m/s horizontally drops a food package from 300m. > (a) Time to reach the ground: $\Delta y = \frac{1}{2} gt^2 \implies -300 \, \text{m} = \frac{1}{2} (-10 \, \text{m/s}^2) t^2 \implies t \approx 7.74 \, \text{s}$ [33](#page=33). > (b) Distance from the car driver: $\Delta x = v_{0x} t = 100 \, \text{m/s} \times 7.74 \, \text{s} = 774 \, \text{m}$ [33](#page=33). #### 2.1.2 Inclined projectile motion In inclined projectile motion, an object is projected with an initial velocity $v_0$ at an angle $\theta$ with the horizontal. The initial velocity can be resolved into horizontal ($v_{0x}$) and vertical ($v_{0y}$) components [35](#page=35): $v_{0x} = v_0 \cos\theta$ [36](#page=36). $v_{0y} = v_0 \sin\theta$ [36](#page=36). * **Horizontal motion:** The velocity remains constant ($v_x = v_0 \cos\theta$) because there is no horizontal acceleration. The horizontal displacement at time $t$ is [35](#page=35): $\Delta x = v_0 \cos\theta \, t$ [36](#page=36). * **Vertical motion:** The vertical velocity changes with time due to gravity ($g = -9.8 \, \text{m/s}^2$). The vertical velocity at time $t$ is [35](#page=35): $v_y = v_0 \sin\theta + gt$ [36](#page=36). The vertical displacement at time $t$ is: $\Delta y = v_0 \sin\theta \, t + \frac{1}{2} gt^2$ [36](#page=36). * **Time to reach maximum height:** At the maximum height, the vertical component of velocity ($v_y$) is zero [35](#page=35). $0 = v_0 \sin\theta + gt \implies t_{\text{max height}} = \frac{v_0 \sin\theta}{g}$ [36](#page=36). * **Time of Flight:** The total time the projectile is in the air. If the launch and landing points are at the same horizontal level ($\Delta y = 0$): $0 = v_0 \sin\theta \, t + \frac{1}{2} gt^2$ [37](#page=37). $t_{\text{total}} = \frac{2v_0 \sin\theta}{g}$ [37](#page=37). This formula is not valid if the landing elevation differs from the launch elevation [37](#page=37). * **Horizontal Range (R):** The maximum horizontal distance traveled when the launch and landing points are at the same horizontal level. $R = v_0 \cos\theta \, t_{\text{total}} = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ [38](#page=38). The range is maximum when $\theta = 45^\circ$. The same range is achieved for launch angles that sum to $90^\circ$ [38](#page=38). * **Maximum Height (H):** The maximum vertical displacement. $H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}$ [39](#page=39). * **Relation between Range and Maximum Height:** For a projectile launched and landing at the same level: $\frac{H}{R} = \frac{\sin\theta}{4\cos\theta} \implies H = \frac{R \tan\theta}{4}$ [39](#page=39). > **Example 2.3:** A football is kicked at $37^\circ$ with an initial velocity of 40 m/s. > (a) Maximum height: $H = \frac{(40 \, \text{m/s})^2 \sin^2(37^\circ)}{2 \times 10 \, \text{m/s}^2} \approx 28.8 \, \text{m}$ [39](#page=39). > (b) Horizontal range: $R = \frac{(40 \, \text{m/s})^2 \sin(2 \times 37^\circ)}{10 \, \text{m/s}^2} \approx 153.8 \, \text{m}$ [40](#page=40). > **Example 2.4:** A ball is thrown with a speed of 25 m/s at an angle of $53^\circ$ towards a wall 24m away. > (a) Time to reach the wall: $t = \frac{\Delta x}{v_0 \cos\theta} = \frac{24 \, \text{m}}{25 \, \text{m/s} \times \cos(53^\circ)} \approx 1.6 \, \text{s}$ [41](#page=41). > (b) Height above release point: $\Delta y = v_0 \sin\theta \, t + \frac{1}{2} gt^2 = (25 \, \text{m/s}) \sin(53^\circ) (1.6 \, \text{s}) + \frac{1}{2} (-10 \, \text{m/s}^2) (1.6 \, \text{s})^2 \approx 19.2 \, \text{m}$ [41](#page=41). > (c) Velocity components at impact: $v_x = v_0 \cos\theta = 25 \, \text{m/s} \times 0.6 = 15 \, \text{m/s}$; $v_y = v_0 \sin\theta + gt = (25 \, \text{m/s}) \sin(53^\circ) + (-10 \, \text{m/s}^2) (1.6 \, \text{s}) \approx 10 \, \text{m/s}$ [41](#page=41). ### 2.2 Rotational motion Rotational motion describes the movement of a rigid body where all its particles move in circular paths around a fixed axis with a common angular velocity. A rigid body has a perfectly defined and unchanging shape [42](#page=42) [43](#page=43). * **Angular Displacement ($\Delta\theta$):** The change in angular position, measured in radians or degrees. The relationship between arc length ($s$), radius ($r$), and angular displacement ($\theta$) is [43](#page=43): $s = r \theta$ [43](#page=43). Angular displacement is defined as: $\Delta\theta = \theta_f - \theta_0$ [43](#page=43). * **Angular Velocity ($\omega$):** The rate of change of angular displacement. The average angular velocity ($\omega_{\text{av}}$) is: $\omega_{\text{av}} = \frac{\Delta\theta}{\Delta t}$ [44](#page=44). Units are radians per second (rad/s) [44](#page=44). * **Angular Acceleration ($\alpha$):** The rate of change of angular velocity. The average angular acceleration ($\alpha_{\text{av}}$) is: $\alpha_{\text{av}} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ [44](#page=44). Units are radians per second squared (rad/s$^2$) [44](#page=44). Angular velocity and acceleration are vector quantities, with directions along the axis of rotation, determined by the right-hand rule [44](#page=44). #### 2.2.1 Equations of motion for uniform angular acceleration For constant angular acceleration, the kinematic equations for rotational motion are analogous to those for linear motion: * $\omega_f = \omega_o + \alpha \Delta t$ [45](#page=45). * $\Delta\theta = \omega_o \Delta t + \frac{1}{2} \alpha \Delta t^2$ [45](#page=45). * $\omega_f^2 = \omega_o^2 + 2\alpha \Delta\theta$ [45](#page=45). > **Example 2.5:** A wheel's angular speed changes from 30 rad/s to 50 rad/s in 2 seconds. > Average angular acceleration: $\alpha_{\text{av}} = \frac{50 \, \text{rad/s} - 30 \, \text{rad/s}}{2 \, \text{s}} = 10 \, \text{rad/s}^2$ [46](#page=46). > **Example 2.6:** A wheel with initial angular velocity 10 rad/s accelerates at 2.5 rad/s$^2$. > (a) Revolutions in 30 s: $\Delta\theta = (10 \, \text{rad/s})(30 \, \text{s}) + \frac{1}{2} (2.5 \, \text{rad/s}^2)(30 \, \text{s})^2 = 1425 \, \text{rad} \approx 226.9 \, \text{rev}$ [47](#page=47). > (b) Angular speed at t = 20 s: $\omega_f = 10 \, \text{rad/s} + (2.5 \, \text{rad/s}^2)(20 \, \text{s}) = 60 \, \text{rad/s}$ [47](#page=47). #### 2.2.2 Relationship between angular and translational quantities For a point on a rotating rigid object at a distance $r$ from the axis of rotation: * **Tangential speed (v):** $v = \omega r$ [50](#page=50). * **Tangential acceleration ($a_t$):** $a_t = \alpha r$ [50](#page=50). > **Example 2.8:** A wheel of radius 20 cm accelerates from rest to 15 rev/s in 30 s. > Angular acceleration: $\alpha = \frac{15 \, \text{rev/s} - 0}{30 \, \text{s}} = 0.5 \, \text{rev/s}^2 = \pi \, \text{rad/s}^2$ [48](#page=48). > Tangential acceleration: $a_t = \alpha r = (\pi \, \text{rad/s}^2)(0.2 \, \text{m}) \approx 0.6 \, \text{m/s}^2$ [48](#page=48). > **Example 2.9:** A car accelerates from 20 m/s to 24 m/s in 5 s. The wheels have a radius of 40 cm. > Tangential acceleration: $a_t = \frac{24 \, \text{m/s} - 20 \, \text{m/s}}{5 \, \text{s}} = 0.8 \, \text{m/s}^2$ [49](#page=49). > Angular acceleration: $\alpha = \frac{a_t}{r} = \frac{0.8 \, \text{m/s}^2}{0.4 \, \text{m}} = 2 \, \text{rad/s}^2$ [49](#page=49). ### 2.3 Rotational dynamics Rotational dynamics deals with the causes of rotational motion. * **Torque ($\tau$):** The rotational effect of a force. It causes angular acceleration. The magnitude of torque is given by [53](#page=53): $\tau = r F \sin\theta$ [53](#page=53). where $r$ is the distance from the axis of rotation to the point of force application, and $\theta$ is the angle between $r$ and $F$. Torque is a vector quantity with SI unit Nm [53](#page=53). * **Moment of Inertia (I):** A measure of an object's resistance to changes in its angular velocity. For a single point mass $m$ at a distance $r$ from the axis of rotation: $I = mr^2$ [54](#page=54). For a system of particles, the total moment of inertia is the sum of individual moments of inertia: $I = \sum m_i r_i^2$ [54](#page=54). The SI unit of moment of inertia is kgm$^2$ [54](#page=54). * **Torque and angular acceleration:** The relationship is analogous to Newton's second law ($F=ma$): $\tau_{\text{net}} = I \alpha$ [55](#page=55). > **Example 2.15:** Three forces act on a body pivoted at O. $F_1 = 10 \, \text{N}$ at $8.0 \, \text{m}$ (120$^\circ$), $F_2 = 16 \, \text{N}$ at $4.0 \, \text{m}$ (150$^\circ$), and $F_3 = 19 \, \text{N}$ at $3.0 \, \text{m}$ (45$^\circ$). > Net torque about O: $\tau_{\text{net}} = -r_1 F_1 \sin(120^\circ) + r_2 F_2 \sin(150^\circ) + r_3 F_3 \sin(45^\circ)$ > $\tau_{\text{net}} \approx -69.3 \, \text{Nm} + 32 \, \text{Nm} + 40.3 \, \text{Nm} \approx 3 \, \text{Nm}$ (counterclockwise) [54](#page=54). > **Example 2.16:** Three particles with masses 4 kg, 2 kg, and 3 kg are connected by rods along the y-axis and rotate about the x-axis. > Moment of inertia about the x-axis: $I = (4 \, \text{kg})(3 \, \text{m})^2 + (2 \, \text{kg})(-2 \, \text{m})^2 + (3 \, \text{kg})(-4 \, \text{m})^2 = 164 \, \text{kgm}^2$ [55](#page=55). > **Example 2.17:** A torque of 36 Nm applied to a wheel results in an angular acceleration of 24 rad/s$^2$. > Rotational inertia: $I = \frac{\tau}{a} = \frac{36 \, \text{Nm}}{24 \, \text{rad/s}^2} = 1.5 \, \text{kgm}^2$ [55](#page=55). ### 2.4 Planetary motion and Kepler's Laws Kepler's laws describe the motion of planets orbiting the Sun [57](#page=57). * **Kepler's First Law (Law of Ellipses):** The orbit of a planet about the Sun is an ellipse with the Sun at one focus [58](#page=58). * **Kepler's Second Law (Law of Equal Areas):** An imaginary line drawn from the Sun to a planet sweeps out equal areas in equal time intervals. This means a planet moves fastest when closest to the Sun (perihelion) and slowest when furthest (aphelion) [58](#page=58). * **Kepler's Third Law (Law of Harmonies):** The ratio of the square of a planet's orbital period ($T$) to the cube of its average orbital radius ($R$) is constant for all planets orbiting the same central body: $\frac{T^2}{R^3} = K$ [59](#page=59). The constant $K$ is independent of the planet's mass [59](#page=59). > **Example 2.19:** Earth's orbital period is 365 days, and its mean distance from the Sun is $1.495 \times 10^8 \, \text{km}$. Pluto's mean distance is $5.896 \times 10^9 \, \text{km}$. > Pluto's orbital period: $\frac{T_E^2}{R_E^3} = \frac{T_P^2}{R_P^3} \implies T_P = T_E \sqrt{\frac{R_P^3}{R_E^3}} \approx 9.0 \times 10^4 \, \text{days}$ [60](#page=60). > **Example 2.20:** Saturn is 9 times farther from the Sun than Earth. > Saturn's year in terms of Earth years: $\frac{T_E^2}{R_E^3} = \frac{T_S^2}{R_S^3} \implies T_S = T_E \sqrt{\left(\frac{R_S}{R_E}\right)^3} = (1 \, \text{year}) \sqrt{9^3} = 27 \, \text{years}$ [60](#page=60). ### 2.5 Newton’s law of Universal Gravitation Newton's law of universal gravitation describes the attractive force between any two masses in the universe. * **Gravitational Force ($F_g$):** The force of attraction between two masses is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between their centers: $F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ [62](#page=62). where $G$ is the universal gravitational constant, approximately $6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2$. The force is always attractive and directed along the line joining the two masses [62](#page=62). * **Gravitational acceleration ($g$):** This law also explains the acceleration due to gravity at Earth's surface. By equating $F_g = mg$ with Newton's law of gravitation: $mg = G \frac{M_E m}{r_E^2} \implies g = G \frac{M_E}{r_E^2}$ [63](#page=63). The calculated value of $g$ using Earth's mass ($M_E$) and radius ($r_E$) is approximately $9.8 \, \text{m/s}^2$ [63](#page=63). * **Centripetal Force:** The gravitational force provides the centripetal force necessary to keep planets in orbit. For a planet of mass $m_p$ orbiting the Sun of mass $M_s$ at radius $r$ with speed $v$: $F_c = \frac{m_p v^2}{r} = G \frac{M_s m_p}{r^2}$ [64](#page=64). This leads to the orbital speed $v = \sqrt{\frac{GM_s}{r}}$. Using $v = \frac{2\pi r}{T}$, we can derive Kepler's third law [64](#page=64): $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM_s} = K$ [64](#page=64). > **Example 2.21:** Calculate the force of attraction between a 10 kg mass and a 100 kg mass that are 1 meter apart. > $F_g = (6.67 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2) \frac{(10 \, \text{kg})(100 \, \text{kg})}{(1 \, \text{m})^2} = 6.67 \times 10^{-8} \, \text{N}$ [62](#page=62). > **Example 2.22:** Calculate the gravitational force on a 60.0 kg person at Earth's surface. > $F_g = (6.673 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2) \frac{(5.97 \times 10^{24} \, \text{kg})(60 \, \text{kg})}{(6.38 \times 10^6 \, \text{m})^2} \approx 584 \, \text{N}$ [63](#page=63). --- # Fluid mechanics Fluid mechanics is the study of the behavior of fluids at rest and in motion [70](#page=70). ### 3.1 Fluid statics Fluid statics deals with fluids at rest, which can be either gaseous or liquid. When a fluid is at rest, there is no relative motion between adjacent fluid layers, meaning no shear stresses exist. The primary stress considered in fluid statics is normal stress, known as pressure, which varies due to the fluid's weight. Fluid statics is significant in gravity fields, with force relations involving gravitational acceleration ($g$). Forces exerted by a fluid at rest on a surface are normal to the surface because there are no shear forces parallel to it [73](#page=73). #### 3.1.1 Properties of solids, liquids, and gases * **Solids:** Atoms are in close contact, held by strong forces that allow vibration but prevent position changes. They resist all types of stress and compression due to their fixed lattice structure [71](#page=71). * **Liquids:** Molecules are in close contact but can slide over each other. Intermolecular forces are weaker than in solids but stronger than in gases. Liquids deform easily under stress and do not return to their original shape due to free-moving molecules. Liquids maintain their volume but take the shape of their container [71](#page=71) [72](#page=72). * **Gases:** Atoms are widely separated, with weak intermolecular forces except during collisions. Gases flow easily and are compressible due to the large space and weak forces between atoms. Gases expand to fill the entire available space of their container [71](#page=71) [72](#page=72). > **Tip:** Activity 3.1 demonstrates the compressibility difference between gases and liquids using syringes [72](#page=72). #### 3.1.2 Pressure in fluid Pressure is defined as a normal force exerted by a fluid (or solid) per unit area. It is calculated as $P = \frac{F}{A}$, where $F$ is the force magnitude and $A$ is the contact area. Pressure is a scalar quantity [74](#page=74). * **Units of Pressure:** * SI unit: newtons per square meter (N/m²), also known as pascal (Pa) [74](#page=74). * Other units: millimeter mercury (mmHg), torr, atmosphere (atm), pounds per square inch (psi) [74](#page=74). * Conversions: 1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 101.3 kPa = 14.7 psi [75](#page=75). > **Example:** A woman's weight exerts pressure on the floor through her shoe. Calculating this pressure and converting it to other units demonstrates the relationship between force, area, and pressure. Example 3.1 calculates pressure exerted by a shoe. Example 3.3 shows how nail tips exert tremendous pressure due to a large force over a small area [75](#page=75) [76](#page=76). #### 3.1.3 Pressure in gases Pressure in gases is formed by the constant bombardment of gas particles colliding with solid surfaces. Each collision exerts an impulsive force, and the collective effect of a huge number of particles colliding at a constant rate results in an approximately constant force and thus pressure. Increasing the number of gas particles in a container increases the collision rate and the outward force, causing expansion [76](#page=76) [77](#page=77). * **Absolute Pressure ($P_{abs}$):** The actual pressure at a given position, measured relative to absolute vacuum (zero pressure) [77](#page=77). * **Gauge Pressure ($P_{gauge}$):** The difference between absolute pressure and local atmospheric pressure. Pressure gauges are often calibrated to read zero in the atmosphere. $P_{gauge} = P_{abs} - P_{atm}$ [77](#page=77) [78](#page=78). * **Vacuum Pressure ($P_{vac}$):** Pressures below atmospheric pressure are sometimes called vacuum pressures. Vacuum gauges indicate the difference between atmospheric pressure and absolute pressure. $P_{vac} = P_{atm} - P_{abs}$ [77](#page=77) [78](#page=78). > **Tip:** Understanding the relationship between absolute, gauge, and vacuum pressure is crucial for many fluid mechanics problems. Figure 3.7 illustrates these relationships. Example 3.4 demonstrates calculating absolute pressure using vacuum and atmospheric pressure [77](#page=77) [78](#page=78) [79](#page=79). #### 3.1.4 Density Density ($\rho$) is defined as mass ($m$) per unit volume ($V$) [80](#page=80): $$ \rho = \frac{m}{V} \quad (3.5) $$ The SI unit for density is kg/m³. Density is crucial for determining if an object sinks or floats and directly affects fluid pressure [79](#page=79) [80](#page=80). * **Gases:** Density is generally proportional to pressure and inversely proportional to temperature [80](#page=80). * **Liquids and Solids:** Density variation with pressure is usually negligible as they are essentially incompressible [80](#page=80). **Table 3.1: Densities of some common substances** (Selected entries) [81](#page=81). | Substance | $\rho$ (kg/m³) | Substance | $\rho$ (kg/m³) | | :------------- | :--------------- | :-------- | :------------- | | Air | $1.29 \times 10^3$ | Iron | $7.86 \times 10^3$ | | Aluminum | $2.70 \times 10^3$ | Lead | $11.3 \times 10^3$ | | Fresh water | $1.00 \times 10^3$ | Mercury | $13.6 \times 10^3$ | | Sea water | $1.03 \times 10^3$ | Gold | $19.3 \times 10^3$ | > **Tip:** Density helps identify material composition and phase. Example 3.6 calculates the density of a person [80](#page=80). #### 3.1.5 Specific gravity Specific gravity (SG), or relative density, is the ratio of the density of a substance to the density of a standard substance (usually water at 4°C, where $\rho_{H_2O} = 1000$ kg/m³) [81](#page=81): $$ SG = \frac{\rho}{\rho_{H_2O}} $$ Specific gravity is a dimensionless quantity. Substances with SG less than 1 are less dense than water and will float on it [81](#page=81) [82](#page=82). > **Tip:** The ideal-gas equation of state relates density and pressure for gases: $P = \rho \frac{R}{M} T$. Example 3.7 calculates the density, specific gravity, and mass of air in a room [82](#page=82). ### 3.2 Properties of pressure in fluids This section explores how pressure behaves in fluids, including Pascal's law, pressure variations with depth, and pressure-measuring devices [84](#page=84). #### 3.2.1 Pascal's law Pascal's law states that a change in pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every point within the fluid and to the walls of the container. This means an increase in pressure at one location causes a uniform pressure increase throughout the fluid [85](#page=85). * **Microscopic explanation:** When pressure is applied to a surface, fluid molecules near that surface collide more frequently with their neighbors, propagating the increased pressure throughout the fluid [85](#page=85). > **Tip:** Activity 3.3 demonstrates how pressure is exerted in all directions in a liquid. Activity 3.4 shows pressure transmission in connected syringes [84](#page=84) [86](#page=86). #### 3.2.2 Hydraulic lift Hydraulic lifts are practical applications of Pascal's law that convert small forces into larger ones. They work by applying a force ($F_1$) to a small piston with area ($A_1$), creating pressure ($P_1 = \frac{F_1}{A_1}$). This pressure is transmitted equally to a larger piston with area ($A_2$), resulting in a larger upward force ($F_2 = P_1 A_2$) [86](#page=86): $$ F_2 = \frac{A_2}{A_1} F_1 \quad (3.8) $$ This force multiplication allows for lifting heavy objects like cars [87](#page=87). > **Tip:** While hydraulic systems multiply force, the work done remains the same: $F_1 d_1 = F_2 d_2$. Example 3.8 illustrates the force multiplication in a hydraulic lift [87](#page=87) [88](#page=88). #### 3.2.3 Variation of pressure with depth In a fluid at rest with uniform density ($\rho$), the pressure ($P$) at a depth ($h$) below a point where the pressure is ($P_0$) is given by: $$ P = P_0 + \rho g h \quad (3.9) $$ where $g$ is the acceleration due to gravity. If the fluid is open to the atmosphere, $P_0$ is the atmospheric pressure ($P_{atm}$) [89](#page=89). * Pressure is the same at all points with the same depth, regardless of the container's shape [90](#page=90). * For gases, this equation is applicable as long as density changes are small over the depth [90](#page=90). > **Tip:** Activity 3.5 demonstrates how the distance water shoots from a bottle varies with the height of the water level, illustrating pressure dependence on depth. Activity 3.6 shows liquid pressure is independent of container shape. Example 3.9 calculates the force on an area at a certain depth in the ocean [89](#page=89) [90](#page=90). #### 3.2.4 Atmospheric pressure Atmospheric pressure is the pressure exerted by the weight of the air above a given location. It decreases with increasing altitude due to two main factors [91](#page=91): 1. **Density:** Gas molecules are denser near the Earth's surface, leading to more collisions and higher pressure [92](#page=92). 2. **Depth of Atmosphere:** The atmospheric depth is greatest at sea level and decreases with altitude, meaning more air presses down from above at lower elevations [92](#page=92). Atmospheric pressure at sea level is approximately 101.325 kPa and decreases significantly at higher altitudes [92](#page=92). > **Tip:** Reduced atmospheric pressure at high altitudes affects cooking times, boiling points, and oxygen availability. Activity 3.7 and 3.8 explore pressure changes related to cooling and sealed containers [92](#page=92). #### 3.2.5 Measuring pressure Several instruments are used to measure pressure: * **Barometer:** Measures atmospheric pressure. A mercury barometer works on the principle that atmospheric pressure supports a column of mercury. The atmospheric pressure ($P_{atm}$) is given by $P_{atm} = \rho g h$ [93](#page=93). * Standard atmosphere (atm): Defined as the pressure exerted by a column of mercury 760 mm high at 0°C [94](#page=94). * Units: mmHg and torr are also used, with 1 atm = 760 torr [94](#page=94). > **Tip:** The length or cross-sectional area of the tube does not affect the height of the fluid column in a barometer (provided capillary effects are negligible). Example 3.10 calculates atmospheric pressure from a barometric reading. Exercise 3.5 explores barometric readings and the height of an oil column in a barometer [93](#page=93) [94](#page=94). * **Manometer:** Measures the pressure of a gas trapped in a container [94](#page=94). * **Closed-end manometer:** Measures gas pressure directly. $P_{gas} = \rho g h$ [95](#page=95). * **Open-end manometer:** Has one arm open to the atmosphere. The difference in liquid levels corresponds to the pressure difference between the gas and the atmosphere [95](#page=95). * $P_{gas} = P_{atm} + \rho g h$ (if the mercury level is higher above the gas-connected arm) * $P_{gas} = P_{atm} - \rho g h$ (if the mercury level is higher above the open arm) > **Tip:** The cross-sectional area of the manometer tube does not affect the differential height ($h$). Example 3.11 calculates absolute pressure using an open manometer [95](#page=95). ### 3.3 Archimedes principle Archimedes' principle deals with the buoyant force exerted by a fluid on an immersed object [96](#page=96). #### 3.3.1 Buoyant force The upward force exerted by a fluid on any immersed object is called the buoyant force ($F_B$). This force arises because pressure increases with depth, so the upward force on the bottom of an object is greater than the downward force on its top [96](#page=96). * **Archimedes' Principle:** The buoyant force on an object equals the weight of the fluid it displaces [97](#page=97). $$ F_B = W_{fluid \: displaced} $$ $$ F_B = \rho_{fluid} g V_{displaced} \quad (3.12) $$ $$ F_B = M_{displaced} g \quad (3.13) $$ > **Tip:** Activity 3.9 explores buoyancy with an egg in salt water and measuring buoyant force [99](#page=99). #### 3.3.2 Totally submerged objects For a totally submerged object, the volume of displaced fluid ($V_{displaced}$) equals the object's volume ($V_{obj}$). The net force on the object is $F_B - F_g = (\rho_{fluid} - \rho_{obj}) g V_{obj}$ [97](#page=97). * If $\rho_{obj} < \rho_{fluid}$, the object floats upwards [97](#page=97). * If $\rho_{obj} > \rho_{fluid}$, the object sinks [97](#page=97). * If $\rho_{obj} = \rho_{fluid}$, the object remains suspended [97](#page=97). #### 3.3.3 Floating objects When an object floats, it is partially submerged. The buoyant force balances the object's weight ($F_g = M_{obj} g = \rho_{obj} g V_{obj}$) [98](#page=98): $$ F_B = \rho_{fluid} g V_{displaced} $$ Equating buoyant force and weight: $$ \rho_{fluid} g V_{displaced} = \rho_{obj} g V_{obj} $$ $$ \frac{V_{displaced}}{V_{obj}} = \frac{\rho_{obj}}{\rho_{fluid}} \quad (3.14) $$ This means the fraction of the object's volume submerged is equal to the ratio of its density to the fluid's density [98](#page=98). > **Tip:** This principle explains why icebergs float with a large portion submerged. Example 3.12 calculates the submerged fraction of an iceberg. Example 3.13 calculates the buoyant force on submerged steel and the maximum buoyant force for a boat hull. Example 3.14 determines the density of an ancient coin using apparent mass loss in water [100](#page=100) [98](#page=98). ### 3.4 Fluid flow Fluid flow occurs due to pressure differences, with fluid moving from higher to lower pressure regions . #### 3.4.1 Types of fluid flow * **Steady (Laminar) Flow:** Each fluid particle follows a smooth path, and paths of different particles do not cross. Fluid particles arriving at a point have the same velocity. This occurs at low velocities and in small diameter pipes . * **Turbulent Flow:** Irregular flow characterized by whirlpool-like regions where adjacent layers cross and move randomly. This occurs at high velocities and in larger diameter pipes . > **Tip:** Viscosity is the internal friction in a fluid that causes kinetic energy to be transformed into internal energy during flow. Streamlines represent the path of a fluid particle in steady flow, with velocity tangent to the streamline . #### 3.4.2 Flow rate and equation of continuity * **Flow Rate ($Q$):** The volume of fluid passing a location through an area per unit time . $$ Q = \frac{V}{t} \quad (3.15) $$ The SI unit for flow rate is m³/s . * **Equation of Continuity:** For an incompressible fluid, the flow rate is constant throughout a pipe of varying cross-sectional area . $$ Q_1 = Q_2 $$ $$ A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad (3.16) $$ where $A$ is the cross-sectional area and $v$ is the average fluid speed . > **Tip:** This equation relates the cross-sectional area and average speed of incompressible fluid flow. Example 3.15 calculates the volume of blood pumped by the heart over a lifetime. Example 3.16 calculates water speed in a hose and nozzle using the equation of continuity. Discussion 3.5 and 3.6 relate fluid flow to everyday experiences like hoses and paper flying upwards when blown across . #### 3.4.3 Bernoulli's principle Bernoulli's principle states that the pressure exerted by a moving fluid decreases as the speed of the fluid increases. This principle has applications in understanding phenomena like snoring and the lift on airplane wings . ### 3.5 Safety and high pressure High pressure is defined as pressure significantly greater than 1 atmosphere (often greater than 50 atm). High-pressure systems have numerous applications but also pose significant safety risks if not managed properly . #### 3.5.1 Applications of high-pressure systems High pressure is utilized in: * Kitchen appliances (high-pressure cookers) . * Fuel sources (gas cylinders containing LPG) . * Laboratory and medical uses (compressed gas cylinders) . * Vehicle inflation (bicycle and car tires) . * Cleaning equipment (high-pressure washers) . * Scientific research (studying material properties) . * Food preservation (pascalization) . #### 3.5.2 Components of high-pressure equipment High-pressure equipment may include: * High-pressure compressors (or pumps) . * High-pressure piping (fittings, seals, tubing, valves) . * High-pressure vessels . * Safety accessories (safety valves, bursting discs) . * High-pressure instrumentation (for measurement and control) . #### 3.5.3 Safety measures for high-pressure systems Failure of pressure systems can cause serious injury and damage due to blast impact, flying debris, or released liquids/gases. Common causes of risks include damaged equipment, poor maintenance, operator error, and incorrect installation . * **High Pressure Gas Cylinders:** Should be kept upright, in ventilated areas, protected from impact, away from flammable materials, and knobs should be turned off after use . * **High Pressure Washers:** Require safety glasses, enclosed shoes, gloves, and ear protection. Never point the washer at people or pets, and always turn off the machine before disconnecting hoses . > **Tip:** Always follow manufacturer instructions and proper safety protocols when operating high-pressure equipment . --- # Electromagnetism Electromagnetism unifies the phenomena of electricity and magnetism, describing how they interact and influence each other. ## 4 Electromagnetism Electromagnetism is a fundamental force in nature that describes the interaction between electrically charged particles and magnetic fields, leading to phenomena like electromagnetic fields and the operation of devices such as electromagnets . ### 4.1 Magnets and magnetic fields A magnet generates a magnetic field, which is the region around the magnet where magnetic forces are exerted. Magnetic poles are the parts of a magnet that exert the strongest force; every magnet has a north (N) and a south (S) pole. Like poles repel, and opposite poles attract. Unlike electric charges, magnetic poles cannot be isolated; they always exist in pairs . There are two main types of magnets: * **Permanent magnets:** These materials generate their magnetic field from their internal structure and retain their magnetism for extended periods . * **Electromagnets:** These are typically coils of wire that produce a magnetic field when an electric current flows through them and lose their magnetism when the current is switched off. An iron core can be used to increase the strength of an electromagnet . The Earth itself possesses a magnetic field, behaving like a giant bar magnet, with its magnetic poles roughly aligned with the geographic poles . A magnetic field is the region around a magnet or a moving electric charge where magnetic forces act. It is a vector quantity, and its direction is indicated by where a compass needle would point . **Differences between electric and magnetic fields:** * **Units:** The SI unit for electric field is Newton/coulomb, while for magnetic field, it is Tesla (T) . * **Source:** Electric fields are produced by electric charges, while magnetic fields are produced by dipoles (north and south poles) . * **Field Lines:** Electric field lines originate from positive charges and terminate on negative charges. Magnetic field lines, however, do not have distinct starting or ending points and form closed loops . ### 4.2 Magnetic field lines Magnetic field lines are imaginary lines used to visualize magnetic fields. Their density indicates the field's magnitude. When iron filings are sprinkled around a magnet, they align themselves along these lines, revealing the magnetic field pattern . **Properties of magnetic field lines:** * They indicate both the direction (tangent to the line) and magnitude (density) of the magnetic field at any point . * Magnetic field lines never cross, ensuring a unique field at each point . * They form continuous, closed loops without beginnings or ends, emerging from the north pole and merging into the south pole, and continuing internally from south to north . Figure 4.6 illustrates a comparison between magnetic and electric field lines . ### 4.3 Current and magnetism An electric current flowing through a conductor produces a magnetic field. This principle is fundamental to the operation of electromagnets. The presence of this magnetic field can be demonstrated by observing the deflection of a compass needle placed near a current-carrying wire. When the current is switched off, the magnetic field disappears because it is generated by the movement of electric charges . **Ampere's law** states that the magnetic field around an electric current is proportional to the current, and the total field is the vector sum of the fields produced by each segment of the current . #### Magnetic field created by a long straight current-carrying wire For a long straight wire, the magnitude of the magnetic field ($B$) is given by: $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ . where: * $\mu_0$ is the permeability of free space ($4\pi \times 10^{-7} \text{ T}\cdot\text{m/A}$) . * $I$ is the current in the wire . * $r$ is the shortest distance from the wire . The SI unit for magnetic field is the Tesla (T). A non-SI unit, the gauss (G), is also used, with $1 \text{ T} = 10^4 \text{ G}$ . **Characteristics of the magnetic field around a straight wire:** * The field lines form a circular pattern around the wire . * The magnetic field strength increases with increasing current . * The field is stronger closer to the wire and weaker further away . * Reversing the direction of the current reverses the direction of the magnetic field . The direction of the magnetic field around a straight current-carrying wire is determined by **Fleming's Right Hand Rule**. If you grip the wire with your right hand such that your thumb points in the direction of the current, your fingers curl in the direction of the magnetic field lines . **Activity 4.1:** This activity guides students to build a simple electromagnet and observe the magnetic effects of current . **Example 4.1:** Calculates the current in a wire producing a magnetic field twice the strength of Earth's magnetic field at a specific distance . Amperes's law is crucial in the manufacturing of various electrical machines like motors, generators, and transformers . **Table 4.1:** Lists approximate magnitudes of magnetic fields from various sources . An electromagnet is a temporary magnet created by electric current, widely used in devices like electric bells, motors, generators, and MRI machines . **Magnetic Relays:** These are magnetically activated switches. A reed relay uses two nickel-iron blades that attract and close a circuit when a magnetic field is applied . **Electric Bell:** The operation of an electric bell relies on an electromagnet that repeatedly attracts and releases a hammer to strike the bell . **DC Electric Motor:** Electric motors operate on the principle that a current-carrying loop placed in a magnetic field experiences a torque, causing it to rotate continuously . ### 4.4 Electromagnetic induction Electromagnetic induction is the process where a changing magnetic field induces an electromotive force (emf) and, consequently, an electric current in a conductor. Michael Faraday's experiments in 1831 demonstrated that a changing magnetic field could generate electricity, leading to the invention of the dynamo (generator) . **Activity 4.2:** This activity demonstrates electromagnetic induction by moving a magnet near a coil connected to a galvanometer, observing deflections that indicate induced current. The magnitude of the induced voltage is proportional to the speed of movement between the coil and the magnetic field . #### Magnetic flux Magnetic flux ($\Phi_B$) is a measure of the total magnetic field lines passing through a given area. For a flat surface area $A$ in a uniform magnetic field $B$, it is calculated as : $$\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$$ . where $\theta$ is the angle between the magnetic field vector ($\vec{B}$) and the area vector ($\vec{A}$) . **Example 4.2:** Calculates the magnetic flux through a square loop positioned at an angle to a magnetic field . ### 4.5 Faraday's law of electromagnetic induction Faraday's experiments revealed that induced current is produced when there is relative motion between a coil and a magnet, and the direction of the current depends on the pole of the magnet and the direction of motion . **Faraday's laws of electromagnetic induction:** 1. **Faraday's Law:** The magnitude of the induced electromotive force (emf, $\varepsilon$) in a closed coil is directly proportional to the rate of change of magnetic flux ($\Delta\Phi_B$) through the coil over a time interval ($\Delta t$) . $$\varepsilon = -\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}$$ . For a coil with $N$ turns, the total induced emf is: $$\varepsilon = -N \frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}$$ . The induced emf can be increased by increasing the number of turns ($N$), or by changing the magnetic field strength ($B$), area ($A$), or the angle ($\theta$) . **Example 4.3:** Determines the induced emf and current in a square loop as the magnetic field decreases over time . 2. **Lenz's Law:** This law states that an induced current always flows in a direction that opposes the change in magnetic flux that produced it. This principle is derived from the conservation of energy and is reflected by the negative sign in Faraday's law . **Figure 4.15:** Illustrates how Lenz's Law dictates the direction of induced current based on the approaching pole of a magnet . ### 4.6 Transformers A transformer is an electrical device that transfers electrical energy from one circuit to another through electromagnetic induction. It is used to increase ('step up') or decrease ('step down') voltage levels between circuits without changing the frequency . A transformer consists of two coils (primary and secondary) wound on a common core, often made of iron. The alternating current in the primary coil creates a changing magnetic flux that induces an emf in the secondary coil via mutual induction . The ratio of the number of turns in the primary coil ($N_p$) to the number of turns in the secondary coil ($N_s$) determines the voltage transformation: $$\frac{N_p}{N_s} = \frac{V_p}{V_s} = \text{Turns Ratio}$$ . where $V_p$ and $V_s$ are the primary and secondary voltages, respectively . Transformers can be highly efficient, often reaching 98% . $$\text{efficiency}, \eta = \frac{\text{output power}}{\text{input power}} \times 100\%$$ . **Example 4.4:** Calculates the output voltage of a transformer given the number of turns and input voltage . Transformers are essential in household appliances like phone chargers, laptop power supplies, and microwaves, stepping down high voltages from the power grid to safe levels for electronic devices or stepping them up for specific functions . ### 4.7 Application and safety Electromagnetism and electromagnetic induction have numerous daily applications. Computer hard drives, graphics tablets, and credit card readers utilize principles of magnetism and induction . **Applications of magnets in real life:** * Electric bells . * Generators and electric motors . * Navigation (compasses) . * Separation of magnetic and non-magnetic materials . * Medical treatments for pain . **Electric, Magnetic, and Electromagnetic Field Safety:** These fields are classified as non-ionizing radiation. Safety guidelines differ from ionizing radiation . **Safety tips for using electromagnets:** 1. Define the type and characteristics of the plates to be lifted . 2. Check for potential environmental hazards, such as active body implants that can be affected by electromagnetic fields . 3. Perform regular overhauls and checks of the electromagnet and lifting system before use . 4. Select the electromagnet that is most suitable for the specific project's requirements . --- # Basics of electronics This unit introduces fundamental concepts in electronics, covering semiconductors, diodes, transistors, integrated circuits, and logic gates, along with their applications . ### 5.1 Semiconductors Semiconductors are materials with conductivity between conductors and insulators, playing a crucial role in modern electronic components . #### 5.1.1 Conductors, Insulators, and Semiconductors * **Conductors:** Materials that allow electricity to flow through them, possessing free electrons that facilitate current flow. Metals are good conductors . * **Insulators:** Materials that do not allow electricity to pass through them, as their electrons are tightly bound to the atom. Examples include plastic, wood, glass, and rubber . * **Semiconductors:** Materials with conductivity between conductors and insulators. They can be pure elements like silicon (Si) or germanium (Ge), or compounds like gallium arsenide . * At absolute zero temperatures, semiconductors act as insulators . * At higher temperatures, conduction occurs as electrons break free from covalent bonds and move freely . #### 5.1.2 Semiconductor Lattice Structure Semiconductors like Silicon (Si) have atoms bonded in a regular, periodic structure . * Each atom is surrounded by eight electrons, typically involved in covalent bonds . * A **covalent bond** involves two atoms sharing a pair of electrons. Each atom forms four covalent bonds with surrounding atoms . * **Hole:** An electric charge carrier with a positive charge, equal in magnitude but opposite in polarity to an electron. It represents the absence of an electron in a specific location within the atomic lattice. Holes are key charge carriers responsible for current in semiconductors . #### 5.1.3 Types of Semiconductors Semiconductors are classified into intrinsic and extrinsic types . ##### 5.1.3.1 Intrinsic Semiconductor * Composed of only one type of material, such as pure silicon or germanium . * Also known as undoped semiconductors, as no impurities have been added to alter carrier concentrations . ##### 5.1.3.2 Extrinsic Semiconductor * Created by adding controlled amounts of impurities (dopants) to pure semiconductors to significantly improve conductivity . * **Doping:** The process of adding impurities to a pure semiconductor crystal to enhance its conductivity . * The goal of doping is to create an excess (surplus) or deficiency of electrons . * Extrinsic semiconductors are further classified into N-type and P-type . ###### 5.1.3.2.1 N-Type Semiconductor * Created by adding an element with more valence electrons than the intrinsic semiconductor, typically from Group V of the periodic table (e.g., antimony, arsenic, bismuth, phosphorus) . * These elements have five valence electrons, one more than Group IV elements like silicon . * Conduction primarily occurs through electron flow . * **Majority charge carriers:** Electrons . * **Minority charge carriers:** Holes . * Dopant atoms that donate free electrons are called **donor atoms** . * For example, silicon doped with arsenic (As). The fifth valence electron of As is free to move for conduction . ###### 5.1.3.2.2 P-Type Semiconductor * Created by adding a Group III element (e.g., aluminum, boron, gallium, indium) to a pure semiconductor . * These elements have three valence electrons, creating a deficiency of electrons in the covalent bonds . * This deficiency creates a **hole**, which acts as a positive charge carrier . * **Majority charge carriers:** Holes . * **Minority charge carriers:** Electrons . * Dopant atoms that accept electrons are called **acceptor atoms** . * For example, silicon doped with boron. Boron needs one more electron to complete its covalent bond, thus creating a hole . ### 5.2 Diodes and their functions A diode is a two-terminal electronic component that allows current to flow in only one direction . #### 5.2.1 P-N Junction Diode * Formed by joining an n-type semiconductor with a p-type semiconductor . * **Symbol:** An arrow pointing from anode (p-side) to cathode (n-side), indicating the direction of conventional current flow . * **Formation:** When joined, electrons from the n-region diffuse to the p-region and combine with holes, leaving positive ions in the n-region and negative ions in the p-region . * **Depletion Region:** A narrow region near the junction with very few mobile charge carriers (electrons and holes) . * **Barrier Potential:** An electric field created by the ions in the depletion region that opposes further diffusion . * For silicon, the barrier potential is approximately 0.7V . * For germanium, the barrier potential is approximately 0.3V . #### 5.2.2 Biasing of P-N Junction Diode Applying a DC voltage to a diode is called biasing . ##### 5.2.2.1 Forward Bias * **Connection:** The positive terminal of the battery is connected to the p-type semiconductor (anode), and the negative terminal to the n-type semiconductor (cathode) . * **Effect:** Electrons and holes move towards the junction, repelled by the battery terminals. This decreases the width of the depletion region and reduces the potential barrier . * **Conduction:** The diode conducts electricity, and current increases with increasing battery voltage . ##### 5.2.2.2 Reverse Bias * **Connection:** The negative terminal of the battery is connected to the p-type semiconductor (anode), and the positive terminal to the n-type semiconductor (cathode) . * **Effect:** Holes in the p-type material are pulled away from the junction, and electrons in the n-type material are also pulled away from the junction. This increases the width of the depletion region and the potential barrier . * **Conduction:** High resistance to charge carrier flow results in no significant current flow through the junction . * **Breakdown Voltage:** At a sufficiently high reverse bias voltage, current increases very rapidly . #### 5.2.3 Current-Voltage Characteristics * **Forward Bias:** Current increases slowly and non-linearly. Once the external voltage exceeds the barrier voltage, the diode behaves like a conductor, and the current rises sharply . * **Reverse Bias:** A small current (leakage current) flows due to minority carriers. Beyond the breakdown voltage, a sharp increase in reverse current occurs . #### 5.2.4 Practical Uses of Diodes * **Rectification:** Converting alternating current (AC) to direct current (DC) . * **Light Emitting Diodes (LED):** Emit light when current flows in the forward direction due to electron-hole recombination releasing energy as photons . * **Photodiode:** Converts photons (light) into an electrical current when light is absorbed in the depletion region, creating electron-hole pairs . * **Logic Gates:** Can be combined with other components to form AND and OR logic gates (diode logic) . * **Over-voltage Protection:** Diodes can shut down a converter in response to overvoltage conditions to protect sensitive devices . ### 5.3 Rectification Rectification is the process of converting AC voltage into unidirectional (DC) voltage using a rectifier circuit . #### 5.3.1 Half-wave Rectifier * Allows only one half-cycle of an AC waveform to pass, blocking the other . * Consists of a diode and a load resistor in series . * During the positive half-cycle, the diode is forward-biased, and current flows through the load . * During the negative half-cycle, the diode is reverse-biased, and no current flows . * Output is a pulsating DC signal . #### 5.3.2 Full-wave Rectifier * Utilizes all half-cycles of the AC input to produce a DC output, overcoming the inefficiency of half-wave rectification . * A common configuration is the bridge rectifier, requiring four diodes . * **Working Principle:** During the positive half-cycle, two diodes conduct, passing current through the load. During the negative half-cycle, the other two diodes conduct, ensuring current flows through the load in the same direction . * Output is a pulsating DC signal with a higher frequency than the half-wave rectifier . #### 5.3.3 Diodes and Capacitors in Rectifiers * Capacitors are used in rectifier circuits to smooth the output voltage fluctuations . * A capacitor charges during the peak voltage and discharges to supply current to the load as the voltage falls, smoothing the waveform . ### 5.4 Transistors and their application Transistors are essential components used for amplification or switching in electronic circuits . #### 5.4.1 Types of Transistors * **Bipolar Junction Transistors (BJT):** Operate based on the flow of both electrons and holes . * **Field-Effect Transistors (FET):** Operate based on the control of an electric field. This section focuses on BJTs . #### 5.4.2 Bipolar Junction Transistors (BJT) * A three-terminal, two-junction device used to control electron flow . * By varying voltage at the terminals, current can be controlled . * **Construction:** Consists of three alternately doped semiconductor regions: * **NPN Transistor:** A p-type layer sandwiched between two n-type layers . * **PNP Transistor:** An n-type layer sandwiched between two p-type layers . * **Regions:** * **Emitter (E):** Supplies charge carriers (heavily doped) . * **Collector (C):** Collects charge carriers (moderately doped) . * **Base (B):** The thin middle section that controls current flow (lightly doped and very thin) . * **Symbol:** The arrow on the emitter indicates the direction of conventional current flow. For NPN, the arrow points outward; for PNP, it points inward . #### 5.4.3 Basic Transistor Operation (NPN Example) * **Biasing:** For proper operation, the emitter-base junction is forward-biased, and the collector-base junction is reverse-biased . * Emitter-base junction: Forward-biased (e.g., emitter to negative, base to positive in NPN) . * Collector-base junction: Reverse-biased (e.g., collector to positive, base to positive but more positive than the base in NPN) . * **Operation:** Electrons are emitted from the emitter, cross the forward-biased junction, and most of them are attracted to the collector due to the reverse bias. A small number of electrons combine with holes in the base, forming the base current . * **Current Relationship:** The emitter current is the sum of the base current and the collector current . $$I_E = I_B + I_C$$ (5.1) . #### 5.4.4 PNP Transistor Operation * Works similarly to NPN, but the majority charge carriers are holes . * Biasing is reversed: Emitter-base junction forward-biased (emitter to positive, base to negative), and collector-base junction reverse-biased (collector to negative) . #### 5.4.5 Transistor Configurations Three configurations allow a transistor to be used in a circuit, with one terminal common to both input and output signals : * **Common Collector:** Input signal applied between base and collector; output taken between emitter and collector. Provides good current gain . * **Common Base:** Input signal applied to the emitter; output taken from the collector. The base is common. Provides good voltage and power gain . * **Common Emitter:** Input signal applied between base and emitter; output taken between collector and emitter. Provides voltage, current, and power gain . * **Current Gain (β):** The ratio of collector current to base current . $$\beta = \frac{I_C}{I_B}$$ . * **Example 5.1:** A transistor with $\beta = 250$ and $I_B = 20$ µA has a collector current $I_C = \beta I_B = 250 \times 20 \, \mu\text{A} = 5$ mA . #### 5.4.6 Output Characteristics of Common Emitter * Describes the relationship between collector current ($I_C$) and collector-emitter voltage ($V_{CE}$) for a constant base current ($I_B$) . * Typically, a small change in base current ($I_B$) results in a much larger change in collector current ($I_C$), indicating amplification . ### 5.5 Integrated Circuits Integrated Circuits (ICs), or chips, are miniaturized electronic circuits fabricated on a single semiconductor substrate . #### 5.5.1 Importance and Advantages * Revolutionized electronics, enabling smaller, more powerful, and more affordable devices . * **Advantages:** * Small size and light weight . * Low power consumption . * High speed due to reduced electron travel time . * Increased reliability due to permanent internal connections and pre-testing . * Economical to produce, reducing manufacturing costs . * Provide new and better solutions to complex problems . #### 5.5.2 Components of an IC * An IC typically consists of diodes, transistors, resistors, and capacitors fabricated on a silicon chip . * Resistors and capacitors occupy more space than diodes and transistors in an IC . #### 5.5.3 Disadvantages of ICs * Cannot handle large amounts of current or voltage, as high current generates heat and high voltage can break down insulation . * Cannot be repaired; if faulty, they must be replaced . ### 5.6 Logic gates and logic circuits Logic gates are fundamental building blocks of digital electronics, performing logical operations on digital signals . #### 5.6.1 Digital and Analog Signals * **Analog Signal:** A continuous signal whose voltage or current varies smoothly over time . * **Digital Signal:** A signal that represents data as a sequence of discrete values. In most digital circuits, it has two possible values: a high state (represented by '1') and a low state (represented by '0') . * **Binary Signal/Logic Signal:** A digital signal with two distinct voltage levels . #### 5.6.2 Positive and Negative Logic * **Positive Logic:** '1' represents a high voltage (On, True), and '0' represents a low voltage (Off, False) . * **Negative Logic:** '0' represents a high voltage (On, True), and '1' represents a low voltage (Off, False) . #### 5.6.3 Basic Logic Gates Logic gates are digital circuits that process input signals according to specific logical rules (Boolean expressions) to produce an output . * **Boolean Expressions:** Mathematical representations of logic gate operations. * Addition (+) represents OR. $y = A + B$ . * Multiplication (.) represents AND. $y = A \cdot B$ . * Bar (-) represents NOT. $y = \overline{A}$ . ##### 5.6.3.1 OR Gate * **Function:** The output is '1' if at least one of its inputs is '1' . * **Boolean Expression:** $y = A + B$ . * **Analogy:** Two parallel switches controlling a lamp. The lamp is ON if either switch is closed . * **Truth Table:** | A | B | Y | |---|---|---| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | * **Application:** Used in circuits where an action should occur if any of multiple conditions are met (e.g., corridor lights controlled by switches at both ends) . ##### 5.6.3.2 AND Gate * **Function:** The output is '1' if and only if all of its inputs are '1' . * **Boolean Expression:** $y = A \cdot B$ . * **Analogy:** Two switches in series controlling a lamp. The lamp is ON only if both switches are closed . * **Truth Table:** | A | B | Y | |---|---|---| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | * **Application:** Used in circuits where an action requires multiple conditions to be met simultaneously (e.g., an airplane display lighting up only if both toilets are occupied) . ##### 5.6.3.3 NOT Gate (Inverter) * **Function:** Inverts or complements the input. The output is the opposite of the input . * **Boolean Expression:** $y = \overline{A}$ . * **Analogy:** A single switch controlling a lamp. If the switch is open the lamp is ON; if the switch is closed the lamp is OFF [1](#page=1). * **Truth Table:** | A | Y | |---|---| | 0 | 1 | | 1 | 0 | * **Application:** Used to reverse a logic state (e.g., to turn on a water pipe when soil is dry, given a sensor output that is '0' for dry soil) . #### 5.6.4 Universal Logic Gates * **NAND Gate:** Combination of an AND gate and a NOT gate . * **Boolean Expression:** $Y = \overline{A \cdot B}$ . * **Function:** Output is '0' only when all inputs are '1' . * **Truth Table:** | A | B | Y | |---|---|---| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | * **NOR Gate:** Combination of an OR gate and a NOT gate . * **Boolean Expression:** $Y = \overline{A + B}$ . * **Function:** Output is '1' only when all inputs are '0' . * **Truth Table:** | A | B | Y | |---|---|---| | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 0 | ### 5.7 Application of Electronics Electronics has permeated numerous sectors, simplifying tasks and enabling advanced technologies . * **Aerospace Industry:** Space shuttles, satellites, aircraft systems (measurements, power management) . * **Medical:** Diagnostic equipment (MRI, CT, X-ray), robotic surgery, patient monitoring . * **Automobile:** Engine control units (ECUs), infotainment systems, safety features, driver assistance . * **Utility Systems:** High voltage DC transmission, smart grids, renewable energy integration (solar, wind) . * **Commercial:** Advertising displays, climate control, office equipment, uninterruptible power supplies (UPS) . * **Agriculture:** Crop monitoring sensors, soil analysis, automated irrigation systems . * **Communication:** Acquisition, processing, storage, and transmission of information . * **Industrial:** Industrial furnaces, robotics, control systems in manufacturing, welding . * **Residential:** Home appliances (air conditioners, computers, mobile phones), entertainment systems . * **Military:** Unmanned aerial vehicles (UAVs), drones, targeting systems, surveillance equipment (night vision, infrared detectors) . --- ## Common mistakes to avoid - Review all topics thoroughly before exams - Pay attention to formulas and key definitions - Practice with examples provided in each section - Don't memorize without understanding the underlying concepts

| Term | Definition | |------|------------| | Physics | The branch of science concerned with the nature and properties of matter and energy, and the fundamental forces that govern its behavior. | | Spectroscopy | The study of the interaction between matter and electromagnetic radiation as a function of the wavelength or frequency of the radiation. | | Newtonian mechanics | A description of motion that uses Newton’s laws of motion and gravity to describe how objects move and interact. | | Fluid flow | The movement of a liquid or gas. | | Viscosity | A measure of a fluid's resistance to flow; thicker fluids are more viscous. | | Laminar flow | A type of fluid flow where fluid particles move in smooth, parallel layers without crossing each other. | | Turbulent flow | A type of fluid flow characterized by irregular, chaotic motion with eddies and swirls. | | Equation of continuity | A principle stating that for an incompressible fluid flowing through a pipe, the flow rate is constant at all points, meaning the product of cross-sectional area and velocity is constant. | | Bernoulli’s principle | A principle stating that the pressure of a moving fluid decreases as its speed increases. | | Pascal’s law | A principle stating that a change in pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every point of the fluid and to the walls of the container. | | Archimedes’ principle | A principle stating that the buoyant force on an object submerged in a fluid is equal to the weight of the fluid displaced by the object. | | Buoyant force | The upward force exerted by a fluid on any immersed object. | | Density | The mass of a substance per unit volume. | | Pressure | Force exerted per unit area. | | Manometer | A device used to measure the pressure of a gas or liquid. | | Barometer | A device used to measure atmospheric pressure. | | Electromagnetic induction | The process by which a changing magnetic field induces an electromotive force (and thus a current) in a conductor. | | Magnetic flux | A measure of the total magnetic field lines passing through a given area. | | Transformer | An electrical device that transfers electrical energy from one circuit to another through electromagnetic induction, typically to change voltage levels. | | Semiconductor | A material with electrical conductivity between that of a conductor and an insulator. | | Doping | The process of adding impurities to a semiconductor material to alter its electrical conductivity. | | P-N junction | The interface formed when a P-type semiconductor is joined with an N-type semiconductor, forming the basis of diodes and transistors. | | Diode | A semiconductor device that allows current to flow in only one direction. | | Rectification | The process of converting alternating current (AC) into direct current (DC). | | Transistor | A semiconductor device with three terminals used to amplify or switch electronic signals. | | Integrated circuit (IC) | A small chip containing a complex electronic circuit made up of interconnected semiconductor devices. | | Logic gate | A fundamental building block of digital electronic circuits that performs a basic logical operation (e.g., AND, OR, NOT). | | Digital signal | A signal that represents data as a sequence of discrete values, typically high or low voltage levels. | | Analog signal | A continuous signal that represents information as a varying voltage or current. |

# Sources de radioactivité et leur classification Ce sujet explore les origines diverses de la radioactivité, tant naturelle qu'artificielle, ainsi que les méthodes de classification des rayonnements associés. ### 1.1 Radioactivité naturelle La radioactivité naturelle provient de sources présentes dans l'environnement depuis la formation de la Terre, ainsi que de l'activité cosmique. Elle se divise en plusieurs catégories principales [1](#page=1): #### 1.1.1 Rayonnement cosmique Le rayonnement cosmique est une composante de la radioactivité naturelle qui provient de l'espace. Il est généralement classé en deux origines [1](#page=1): * **Rayonnement cosmique galactique:** Majoritairement constitué de protons et de noyaux atomiques venant de l'espace lointain. L'intensité de ce rayonnement augmente avec l'altitude; elle double environ tous les 500 mètres [1](#page=1). * **Rayonnement solaire:** Émis par le soleil, il est particulièrement actif lors d'éruptions solaires et est composé du "vent solaire", principalement des protons [1](#page=1). #### 1.1.2 Rayonnement tellurique Le rayonnement tellurique est émis par des radionucléides présents dans la croûte terrestre. Ces éléments radioactifs, tels que l'uranium et le thorium, varient selon la nature du sol [1](#page=1). * **Variations géographiques:** Les régions avec des massifs granitiques, comme la Corse, les Alpes ou le Massif Central, présentent une exposition au rayonnement tellurique plus élevée, environ 90 à 100 fois supérieure à celle d'un habitant en métropole [1](#page=1). * **Le Radon:** Le radon est un gaz radioactif produit par la désintégration du radium. C'est un émetteur gamma qui contribue significativement à l'exposition au rayonnement tellurique. L'exposition au radon peut varier en fonction de la géologie locale et des caractéristiques chimiques de l'eau [1](#page=1). #### 1.1.3 Radioactivité de l'eau L'eau, en traversant différentes couches géologiques, peut dissoudre des éléments radioactifs, augmentant ainsi sa propre radioactivité, notamment les eaux minérales [1](#page=1). #### 1.1.4 Radioactivité du corps humain Le corps humain contient naturellement des radionucléides, avec une activité moyenne d'environ 120 Becquerels par kilogramme (Bq/kg). Cette radioactivité interne provient principalement de l'ingestion d'aliments et d'eau contenant des éléments radioactifs, ainsi que de la présence de radionucléides dans les os [1](#page=1). > **Tip:** L'alimentation quotidienne contribue de manière significative à la radioactivité interne du corps humain [1](#page=1). ### 1.2 Radioactivité artificielle La radioactivité artificielle résulte d'activités humaines. Ses origines principales sont [2](#page=2): * **Rejets réglementés:** Les rejets contrôlés d'installations nucléaires (INB - Installations Nucléaires de Base) et de services médicaux [2](#page=2). * **Retombées d'essais nucléaires:** Les essais d'armes nucléaires réalisés entre 1945 et 1980 ont dispersé des radionucléides dans l'atmosphère [2](#page=2). * **Accidents nucléaires:** Des événements comme l'accident de Tchernobyl en 1986 ont entraîné des retombées radioactives importantes [2](#page=2). > **Example:** Les retombées de l'accident de Tchernobyl ont laissé une empreinte durable dans l'environnement et ont contribué au "bruit de fond" de la radioactivité artificielle en France, notamment via la présence de Césium 137 et de Strontium 90. Le Césium 137 (demi-vie de 30 ans) contribue à l'exposition externe, tandis que le Strontium 90 est absorbé en interne par l'organisme [2](#page=2). ### 1.3 Historique des découvertes liées aux rayonnements * **1895:** Wilhelm Röntgen découvre les rayons X, ce qui lui vaudra le prix Nobel de physique en 1901 [2](#page=2). * **1896:** Henri Becquerel découvre la radioactivité naturelle, recevant le prix Nobel de physique en 1903 [2](#page=2). * **1898:** Pierre et Marie Curie découvrent le radium et le polonium, marquant une étape clé dans la compréhension de la radioactivité. Ils ont été récompensés par des prix Nobel en physique et en chimie [2](#page=2). * **1902:** Première utilisation thérapeutique de la radioactivité (radio-curiethérapie) [2](#page=2). * **1927:** Découverte des effets mutagènes des rayonnements ionisants [2](#page=2). * **Après la Seconde Guerre mondiale:** Utilisation massive de la radiologie et des applications nucléaires dans divers domaines, y compris en médecine [2](#page=2). > **Tip:** La période post-Seconde Guerre mondiale a vu une explosion des applications des rayonnements ionisants dans le domaine médical et industriel [2](#page=2). Les événements majeurs incluent : * **1945:** Bombardements d'Hiroshima et Nagasaki [3](#page=3). * **1986:** Accident de Tchernobyl [3](#page=3). * **2011:** Accident de Fukushima [3](#page=3). Ces événements ont souligné l'importance de la radioprotection dans des domaines variés tels que la mammographie, la scintigraphie, la TEP (Tomographie par Émission de Positrons), la radiothérapie, le scanner (TDM), et l'imagerie médicale conventionnelle [3](#page=3). ### 1.4 Classification des sources de rayonnement Les sources de rayonnement sont classées selon leur condition d'utilisation et leur potentiel de dispersion : #### 1.4.1 Sources scellées Une source scellée est une source dont la structure ou les conditions d'utilisation empêchent la dispersion de matière radioactive dans l'environnement lors d'une utilisation normale. Des exemples incluent les générateurs de rayons X (tubes, scanner) et les sources radioactives utilisées dans des dispositifs de mesure comme les activimètres. Le rayonnement émis par ces sources peut être direct ou diffusé [3](#page=3). #### 1.4.2 Sources non scellées Une source non scellée est une source dont la présentation ou les conditions normales d'emploi ne permettent pas d'empêcher la dispersion de substances radioactives dans l'environnement. Les radiopharmaceutiques administrés aux patients en médecine nucléaire en sont un exemple typique [3](#page=3). ### 1.5 Grandeurs, unités et indicateurs de dose La mesure de la radioactivité et de ses effets repose sur un système de grandeurs et d'unités spécifiques : * **Becquerel (Bq):** Unité de mesure de l'activité d'une source radioactive. Elle représente le nombre de désintégrations par seconde [3](#page=3). * **Gray (Gy):** Unité de dose absorbée. Elle mesure l'énergie du rayonnement déposée par unité de masse (1 Gy = 1 joule par kilogramme). Elle est pertinente pour les effets déterministes [3](#page=3). * **Sievert (Sv):** Unité de dose équivalente ou efficace. Elle prend en compte la dangerosité relative des différents types de rayonnements et la radiosensibilité des tissus pour évaluer le risque, notamment stochastique [3](#page=3). * **Curie (Ci):** Ancienne unité d'activité, moins utilisée aujourd'hui. 1 Ci est égal à 3,7 x 10^10 Bq, soit 37 Gigabecquerels (GBq) [3](#page=3). * **Temps de demi-vie (T):** Durée nécessaire pour que la moitié d'une quantité de matière radioactive se désintègre naturellement [3](#page=3). > **Tip:** Il est crucial de distinguer la dose absorbée (Gray) de la dose équivalente ou efficace (Sievert) car cette dernière prend en compte le risque radiologique pour la santé [3](#page=3). --- # Grandesurs, unités et indicateurs de dose en radioprotection Cette section détaille les grandeurs radiologiques fondamentales, leurs unités de mesure, et les indicateurs de dose spécifiques utilisés en radioprotection, tels que le produit dose surface (PDS) et l'indice de dose par coupe (CDTI). ### 2.1 Grandeurs et unités de mesure de la radioactivité La radioactivité se réfère à la désintégration spontanée d'un noyau atomique, entraînant l'émission de rayonnements. Pour quantifier cette activité, plusieurs grandeurs et unités sont employées. #### 2.1.1 L'activité L'activité d'une source radioactive représente le nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps [3](#page=3). * **Becquerel (Bq)**: L'unité SI de l'activité. Un Becquerel correspond à une désintégration par seconde [3](#page=3). * **Curie (Ci)**: Une ancienne unité d'activité. La conversion est la suivante: $1 \text{ Ci} = 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq} = 37 \text{ GBq}$ [3](#page=3). #### 2.1.2 L'énergie des rayonnements L'énergie apportée par les rayonnements est une grandeur fondamentale. * **Joule (J)** : L'unité SI de l'énergie. En radioprotection, elle est utilisée pour exprimer l'énergie des rayonnements absorbés. #### 2.1.3 La dose absorbée La dose absorbée quantifie l'énergie des rayonnements ionisants absorbée par unité de masse de matière. * **Gray (Gy)**: L'unité SI de la dose absorbée. Un Gray correspond à un Joule d'énergie absorbé par kilogramme de matière ($1 \text{ Gy} = 1 \text{ J/kg}$) [4](#page=4). * **Exemple**: Une dose de $5 \text{ Gy}$ pour un corps de $80 \text{ kg}$ représente une énergie totale de $5 \text{ Gy} \times 80 \text{ kg} = 400 \text{ J}$ absorbée [4](#page=4). #### 2.1.4 La dose équivalente La dose équivalente prend en compte la nocivité des différents types de rayonnements, qui ne sont pas tous égaux en termes de dommages biologiques. Elle est calculée en pondérant la dose absorbée par des facteurs de qualité propres à chaque type de rayonnement. * **Sievert (Sv)** : L'unité SI de la dose équivalente. * **Formule**: La dose équivalente ($H$) est calculée par la formule: $H = w_R \times D$ où $D$ est la dose absorbée et $w_R$ est le facteur de qualité du rayonnement [4](#page=4). #### 2.1.5 La dose efficace La dose efficace prend en compte la radiosensibilité des différents tissus et organes irradiés. Elle est calculée en pondérant les doses équivalentes reçues par chaque organe par des facteurs de pondération tissulaire ($w_T$). * **Sievert (Sv)** : L'unité SI de la dose efficace. * **Formule**: La dose efficace ($E$) est calculée par la formule: $E = \sum_T w_T \times H_T$ où $H_T$ est la dose équivalente reçue par le tissu ou l'organe $T$, et $w_T$ est le facteur de pondération tissulaire pour cet organe [4](#page=4). > **Tip** : Les facteurs de qualité des rayonnements ($w_R$) et les facteurs de pondération tissulaire ($w_T$) sont essentiels pour évaluer le risque radiologique global, car ils permettent de comparer l'impact de différentes expositions aux rayonnements sur la santé. * **Exemple de calcul de dose équivalente et efficace** : * Une irradiation de $1 \text{ mGy}$ en rayons $X$ (avec $w_R=1$) conduit à une dose équivalente de $H = 1 \text{ mGy} \times 1 = 1 \text{ mSv}$ [4](#page=4). * Une irradiation de $1 \text{ Gy}$ en alpha (avec $w_R=20$) conduit à une dose équivalente de $H = 1 \text{ Gy} \times 20 = 20 \text{ Sv}$ [4](#page=4). * Une exposition de $1 \text{ mGy}$ en rayons $X$ et $1 \text{ mGy}$ en particules alpha, si elles touchent le même organe, aurait une dose équivalente de $(1 \text{ mGy} \times 1) + (1 \text{ mGy} \times 20) = 21 \text{ mSv}$ [4](#page=4). * Pour une exposition de $95 \text{ mGy}$ en photons gamma sur la thyroïde, la vessie, les gonades et les seins, avec des facteurs de pondération tissulaire de $w_T(\text{thyroïde}) = 0.05$, $w_T(\text{vessie}) = 0.05$, $w_T(\text{gonades}) = 0.2$, $w_T(\text{seins}) = 0.05$, la dose efficace $E$ serait calculée comme suit (en considérant $w_R=1$ pour les photons gamma) : $H = 95 \text{ mGy} \times 1 = 95 \text{ mSv}$ [4](#page=4). $E = (95 \text{ mSv} \times 0.05) + (95 \text{ mSv} \times 0.05) + (95 \text{ mSv} \times 0.2) + (95 \text{ mSv} \times 0.05) = 4.75 + 4.75 + 19 + 4.75 = 33.25 \text{ mSv}$ [4](#page=4). *(Note: L'exemple dans le document original semble calculer une dose équivalente de 25 mSv puis appliquer les facteurs tissulaires, ce qui conduit à 8.75 mSv. L'interprétation ici est basée sur l'énoncé des facteurs tissulaires et une dose donnée.)* > **Tip** : Il est crucial de distinguer la dose absorbée (énergie déposée) de la dose équivalente (nocivité biologique du rayonnement) et de la dose efficace (risque global pour la santé en considérant les organes affectés). ### 2.2 Le débit de dose Le débit de dose est une mesure de la dose reçue par unité de temps. Il permet d'évaluer la rapidité avec laquelle une dose est accumulée. * **Unités**: Le débit de dose absorbée s'exprime en Gray par seconde ($ \text{Gy/s} $), et le débit de dose équivalente en Sievert par heure ($ \text{Sv/h} $) [5](#page=5). * **Dépendance à la distance**: Le débit de dose diminue avec le carré de la distance par rapport à la source radioactive, selon la loi de l'inverse carré: $DD_1 \times d_1^2 = DD_2 \times d_2^2$ où $DD$ est le débit de dose et $d$ est la distance [5](#page=5). ### 2.3 Indicateurs de dose en imagerie médicale En imagerie médicale, des indicateurs spécifiques sont utilisés pour quantifier et contrôler l'exposition des patients aux rayonnements. #### 2.3.1 Produit Dose Surface (PDS) Le Produit Dose Surface (PDS) est une grandeur qui représente la quantité totale de rayonnement envoyée sur une surface donnée lors d'un examen radiographique. * **Unités**: Il est généralement exprimé en Gray centimètre carré ($ \text{Gy} \cdot \text{cm}^2 $), avec des multiples comme centiGray centimètre carré ($ \text{cGy} \cdot \text{cm}^2 $) ou milliGray centimètre carré ($ \text{mGy} \cdot \text{cm}^2 $) [5](#page=5). * $1 \text{ Gy} \cdot \text{cm}^2 = 100 \text{ cGy} \cdot \text{cm}^2 = 1000 \text{ mGy} \cdot \text{cm}^2$ [5](#page=5). * **Obtention** : Le PDS est souvent obtenu directement sur le pupitre de commande de l'appareil de radiographie grâce à deux types de dispositifs : * **Mesure directe**: Utilisation d'une chambre d'ionisation [5](#page=5). * **Calcul par logiciel**: Estimation par le système de l'appareil [5](#page=5). * **Avantages et Utilisation** : * Le PDS est indépendant de la distance au patient [5](#page=5). * Il permet de calculer la dose efficace et la dose à l'entrée du patient [5](#page=5). * Connaître le PDS revient à avoir une forme de "dosimétrie à la peau" du patient [5](#page=5). * Il est utilisé pour estimer la dose efficace ($E$) en utilisant une constante ($K$) spécifique à l'examen: $E = \text{PDS} \times K$ [5](#page=5). * Il permet également de calculer la dose d'entrée ($D_e$) [5](#page=5). * La comparaison de la dose d'entrée avec les valeurs de référence (NRD - Niveaux de Référence) permet d'évaluer si l'exposition est dans les normes [5](#page=5). > **Tip** : Le PDS est un outil précieux pour la standardisation des expositions en radiographie, aidant à optimiser les paramètres techniques pour une qualité d'image suffisante tout en minimisant la dose délivrée. #### 2.3.2 Indice de Dose par Coupe (CDTI) L'Indice de Dose par Coupe (CDTI - Computed Tomography Dose Index) est une mesure de la dose délivrée par une acquisition en tomodensitométrie (scanner). Il est particulièrement pertinent pour évaluer l'exposition dans les examens scannographiques. * **Définition**: Le CDTI représente la dose absorbée dans une coupe de patient, incluant également la contribution des rayonnements diffusés provenant des coupes adjacentes [5](#page=5). * **Utilisation** : * Il est utilisé pour calculer la dose efficace totale lors d'un examen de scanner [5](#page=5). * Il permet de comparer la dose délivrée entre différents scanners ou protocoles d'acquisition. * Le Produit Dose Longueur (PDL) est une grandeur liée au CDTI et sert aussi à estimer la dose efficace [5](#page=5). > **Example** : En tomodensitométrie, si un protocole spécifique génère un CDTI élevé, cela suggère une exposition radiologique importante pour cette coupe. Les radiologues et physiciens médicaux utilisent ces valeurs pour ajuster les paramètres d'acquisition afin de réduire la dose tout en conservant la qualité diagnostique de l'image. * **Divers** : * Les matériaux comme le plomb ($ \text{Pb} $), le plexiglas ($ \text{plexiglas} $) et le papier ($ \text{papier} $) sont mentionnés dans le contexte de la radioprotection, probablement en relation avec leurs propriétés d'atténuation des rayonnements [4](#page=4). * Les sources scellées et non scellées sont distinguées en fonction de leur capacité à disperser la matière radioactive en utilisation normale. Les générateurs de rayons $X$ sont des exemples de sources non scellées (en termes de produit) [3](#page=3). ### 2.4 Types de sources de rayonnements Les sources de rayonnements utilisées en médecine nucléaire et en radiologie peuvent être classifiées. * **Sources scellées**: Structures ou conditions qui empêchent la dispersion de matière radioactive en utilisation normale. Un exemple est un activimètre [3](#page=3). * **Sources non scellées**: La présentation et les conditions normales d'emploi ne permettent pas d'empêcher la dispersion de la substance radioactive. Les radiopharmaceutiques administrés aux patients sont des exemples de sources non scellées [3](#page=3). Il existe une distinction entre l'exposition aux rayonnements ionisants (IRR) pour les rayons $X$ et les rayonnements (AR) pour les particules alpha, avec des facteurs de qualité ($w_R$) différents ($w_R$ pour les RX est généralement $1$, et $w_R$ pour les particules alpha est $20$) [4](#page=4). --- # Concepts fondamentaux de la radioactivité Ce thème aborde les principes essentiels de la radioactivité, de la nature des atomes instables à la décroissance radioactive. ### 3.1 Définition et manifestations de la radioactivité La radioactivité se manifeste par un atome instable qui cherche à retrouver sa stabilité. La grandeur principale associée à ce phénomène est l'activité [6](#page=6). ### 3.2 La grandeur de l'activité L'activité ($A$) est une mesure du nombre de désintégrations par unité de temps. Elle se mesure en Becquerel (Bq). Une unité historique, le Curie (Ci), est également mentionnée, avec la relation $1 \text{ Ci} = 3,7 \times 10^{10} \text{ Bq}$. Par exemple, $3,7 \times 10^{10} \text{ Bq}$ équivaut à 37 gigabecquerels (GBq) [6](#page=6). ### 3.3 Différents types d'émissions Les noyaux lourds instables peuvent émettre différentes particules pour retrouver leur stabilité : * Émission de particules alpha ($\alpha$), qui sont des noyaux d'hélium ($^4_2\text{He}$) [6](#page=6). * Émission de particules bêta moins ($\beta^-$), qui correspondent à des électrons [6](#page=6). * Émission de particules bêta plus ($\beta^+$), qui correspondent à des positrons [6](#page=6). * Transition isomérique (IT), où un noyau excité libère de l'énergie sous forme de photons sans changer sa composition nucléaire [6](#page=6). ### 3.4 Période radioactive et décroissance radioactive #### 3.4.1 Période radioactive ($T_{1/2}$) La période radioactive, également appelée demi-vie ($T_{1/2}$), représente le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux d'une substance radioactive se désintègre [7](#page=7). **Exemple de calcul basé sur la période radioactive :** Si une source émet 1000 MBq à 8h, alors qu'il reste 500 MBq au bout de 6h, 250 MBq au bout de 12h, et 125 MBq au bout de 18h [6](#page=6). La formule générale pour calculer l'activité ($A$) à un instant donné est : $$ A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} $$ où $A_0$ est l'activité initiale et $t$ est le temps écoulé [7](#page=7). Une autre formulation de la loi de décroissance radioactive est : $$ A = A_0 e^{-\lambda t} $$ où $\lambda$ est la constante radioactive. La relation entre $\lambda$ et $T_{1/2}$ est $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ ] [7](#page=7). **Exemple d'application :** Si une substance a une activité initiale de 25 GBq et une période radioactive de 110 minutes, quelle est l'activité disponible après 2h30 (soit 150 minutes) ? Ici, $A_0 = 25 \text{ GBq}$, $T_{1/2} = 110 \text{ min}$, et $t = 150 \text{ min}$. $$ A = 25 \text{ GBq} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{150 \text{ min}}{110 \text{ min}}} = 25 \times (0,5)^{1,3636} \approx 9,71 \text{ GBq} $$ L'activité disponible à 8h, lors de l'utilisation du flacon, serait d'environ 9,71 GBq [7](#page=7). #### 3.4.2 Période biologique et période effective * **Période biologique ($T_b$):** C'est le temps nécessaire à l'organisme pour éliminer naturellement la moitié de l'activité absorbée [7](#page=7). * **Période effective ($T_e$):** C'est le temps nécessaire pour que la moitié de l'activité présente dans un organisme diminue. Elle est calculée par la relation [7](#page=7): $$ \frac{1}{T_e} = \frac{1}{T_{1/2}} + \frac{1}{T_b} $$ ] [7](#page=7). > **Tip:** Comprendre la différence entre la période radioactive (liée à la nature intrinsèque de l'isotope) et la période biologique (liée à l'élimination par l'organisme) est crucial pour évaluer la durée d'exposition réelle aux rayonnements. #### 3.4.3 Décroissance radioactive La décroissance radioactive décrit le processus par lequel l'activité d'un échantillon radioactif diminue au fil du temps selon une loi exponentielle. Cette diminution est caractérisée par la période radioactive de l'isotope [6](#page=6) [7](#page=7). **Exemple de calcul de l'activité restante :** Si on a 1000 Bq à un instant $t=0$, après 28 heures, quelle est l'activité ? Supposons une période radioactive $T_{1/2}$ non spécifiée ici, mais si $28$ heures correspondent à $n$ périodes, alors l'activité sera $A_0 / 2^n$. Dans l'exemple du document, pour 1000 Bq, après 28h, l'activité restante est de 56,33 MBq, ce qui implique une période radioactive d'environ 14 heures [6](#page=6). Si l'on souhaite connaître l'activité à 14h, avec une période radioactive de 28h et une activité initiale de 1000 Bq, alors $t/T_{1/2} = 14/28 = 0,5$. L'activité serait $1000 \times (1/2)^{0,5} \approx 707$ Bq. L'exemple du document semble utiliser une période de 28h pour calculer une activité à 14h, mais le résultat donné (250 MBq) correspondrait plutôt à 2 périodes de 14h, ou à une activité initiale plus élevée. Le calcul pour 1000 Bq à 28h donnant 56,33 MBq suggère que 28h représente un peu plus de 3 périodes. Si $T_{1/2} \approx 9$ heures, alors après 28h ($28/9 \approx 3,11$), $1000 \times (0,5)^{3,11} \approx 116$ Bq. L'exemple est légèrement ambigu. Cependant, pour une question simple : si 1000 Bq décroît sur 28h pour arriver à 56,33 MBq, et si l'on veut savoir l'activité à 14h, cela représente une demi-période si $T_{1/2}=28$h. Dans l'exemple : "Si 1000Bg 28h Quelle est l'activité = 14h? 250MBq demain 9h? 25h A= , A= 296 1000 56,33MBq" Il semble que 28h soit le temps total pour une certaine décroissance et non la période. Si l'on reprend l'exemple du Fluor: 25 GBq au départ, $T_{1/2} = 110$ min. Activité disponible à 8h (2h30 = 150 min plus tard) est calculée à 9,71 GBq. Cela confirme l'application de la formule de décroissance radioactive [7](#page=7). > **Tip:** L'activité d'une source radioactive diminue continuellement mais la vitesse de cette diminution est constante pour un isotope donné, définie par sa période radioactive. --- ## Erreurs courantes à éviter - Révisez tous les sujets en profondeur avant les examens - Portez attention aux formules et définitions clés - Pratiquez avec les exemples fournis dans chaque section - Ne mémorisez pas sans comprendre les concepts sous-jacents

| Term | Definition | |------|------------| | Radioactivité naturelle | Phénomène de désintégration spontanée de noyaux atomiques instables présents dans l'environnement, provenant de sources cosmiques ou telluriques. | | Radioactivité artificielle | Radioactivité induite par des activités humaines, telles que les rejets réglementés des installations nucléaires, les essais d'armes nucléaires ou les retombées d'accidents nucléaires. | | Rayonnement cosmique | Radiation d'origine extraterrestre, composée de particules chargées et de photons, dont l'intensité augmente avec l'altitude. | | Rayonnement tellurique | Rayonnement émis par des radionucléides présents dans la croûte terrestre, comme l'uranium et le thorium, dont l'intensité varie selon la composition géologique des sols. | | Dose absorbée | Quantité d'énergie de rayonnement déposée par unité de masse dans un matériau, mesurée en Gray (Gy). Elle rend compte de la quantité d'énergie reçue par un tissu. | | Dose équivalente | Dose absorbée pondérée par un facteur de qualité qui tient compte de la nocivité relative des différents types de rayonnements ionisants. Elle est mesurée en Sievert (Sv). | | Dose efficace | Somme des doses équivalentes reçues par différents organes et tissus, pondérée par des facteurs de pondération tissulaire qui reflètent leur radiosensibilité respective. Elle est mesurée en Sievert (Sv) et représente le risque global pour la santé. | | Période radioactive (T) | Temps nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d'un échantillon se désintègrent spontanément. C'est une constante caractéristique de chaque radionucléide. | | Débit de dose | Mesure de la dose absorbée par unité de temps. Il peut être exprimé en Gy/s pour la dose absorbée ou en Sv/h pour la dose équivalente, indiquant la rapidité à laquelle une dose est reçue. | | Produit Dose Surface (PDS) | Indice utilisé en radiographie, représentant la quantité totale de rayonnement envoyée sur une surface donnée. Il est exprimé en Gy.cm² et aide à évaluer la dose reçue par le patient. |

# Berekening van spierkrachten en gewrichtsreacties in biomechanische systemen ### Kernidee * Kinematica beschrijft de geometrische eigenschappen van beweging zonder de oorzakelijke krachten te beschouwen [1](#page=1). * Beweging is relatief en vereist een gekozen referentiestelsel [4](#page=4). * Verschillende bewegingstypen zijn lineair, angulair en algemeen (combinatie van beide) [1](#page=1). ### Sleutelbegrippen * **Referentiesysteem:** Een kader (oorsprong en assen) om plaats en beweging te meten [4](#page=4). * **Plaatsvector ($\vec{r}$):** Een vector die de positie van een punt ten opzichte van een oorsprong aangeeft [5](#page=5). * **Verplaatsingsvector ($\Delta\vec{r}$):** Vector die de verandering van positie van een punt tussen twee tijdstippen beschrijft [5](#page=5). * **Baan:** De opeenvolging van punten die een lichaam tijdens de beweging doorloopt [5](#page=5). * **Scalaire grootheid:** Een getal met eenheid (grootte), bijv. lengte, massa [5](#page=5). * **Vectoriële grootheid:** Een grootheid met grootte, richting en zin, bijv. verplaatsing [6](#page=6). - Voldoet niet aan gewone algebraïsche rekenregels [6](#page=6). ### Componenten van een vector * **Componenten:** Projecties van een vector op de assen van een coördinatenstelsel (georiënteerde lijnstukken) [6](#page=6). * **Eenheidsvector:** Vector met grootte één, langs een coördinatenas (bv. $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$) [6](#page=6) [7](#page=7). * **Tweedimensionaal:** $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j}$, met $a_x = a \cos \phi$ en $a_y = a \sin \phi$ [6](#page=6). * **Driedimensionaal:** $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$, met $a^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$ [7](#page=7). ### Vectorbewerkingen * **Som/verschil:** Grafisch (kop-staart methode) of analytisch via componenten [7](#page=7). * **Scalair product ($\vec{a} \cdot \vec{b}$):** Resultaat is scalair; $\vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \phi$ [8](#page=8). - Geometrische interpretatie: projectie van de ene vector op de andere, vermenigvuldigd met de grootte van die andere vector [8](#page=8). - Analytisch: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$ [9](#page=9). - Eigenschappen: commutatief, distributief [9](#page=9). * **Vectorproduct ($\vec{a} \times \vec{b}$):** Resultaat is een vector $\vec{c}$ [9](#page=9). - Grootte: $c = ab \sin \phi$ [9](#page=9). - Richting: loodrecht op het vlak van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ (regel van de kurkentrekker) [9](#page=9). - Analytisch: complexe uitwerking via componenten [10](#page=10). - Eigenschappen: niet commutatief [10](#page=10). ### Snelheid en Versnelling #### Snelheid * **Gemiddelde snelheid ($\langle \vec{v} \rangle$):** Verplaatsing per tijdseenheid ($\Delta\vec{r} / \Delta t$) [10](#page=10) [13](#page=13) [14](#page=14). #### Versnelling ### Eéndimensionale beweging ### Tweedimensionale beweging met constante versnelling --- ## Projectielbeweging en lineaire kinetica ### Projectielbeweging * **Symmetrische parabool:** Baan met gelijke tijdsduur om opwaartse en neerwaartse helft [28](#page=28). * Maximale hoogte bereikt op t\_top = t\_neer [28](#page=28). * Tijdsduur: $T = \frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$ [28](#page=28). * Reikwijdte: $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta_0)}{g}$ [28](#page=28). * Maximale reikwijdte bij $\theta_0 = 45^\circ$ [29](#page=29). * **Asymmetrische parabool:** Baan waarbij start- en landingshoogte verschillen [29](#page=29). * Typerend voor kogelstoten of duiken (verhoogde beginhoogte) [30](#page=30). * Tijdsduur beïnvloed door verticale beginsnelheid en/of beginhoogte [30](#page=30). * Reikwijdte: $R = \frac{v_0 \cos \theta_0}{g} (\frac{v_0 \sin \theta_0}{2} + \sqrt{(\frac{v_0 \sin \theta_0}{2})^2 + 2gh})$ [30](#page=30). * **Luchtweerstand:** Verwaarlozing kan tot onjuiste hoeken voor maximale dracht leiden; maximale dracht bij < 45° en scherpere terugkeerhoek [30](#page=30). ### Lineaire kinetica basisbegrippen * **Kinetica:** Studie van beweging en de oorzaken ervan (kracht, massa) [40](#page=40). * **Massa:** Traagheidsfactor, evenredigheidsfactor tussen kracht en versnelling [40](#page=40). ### Wetten van Newton * **Eerste wet (Traagheidswet):** Lichaam blijft in rust of eenparige rechtlijnige beweging tenzij externe kracht werkt [40](#page=40). * $\sum \vec{F}_i = \vec{0} \iff \vec{a} = \vec{0}$ [40](#page=40). * **Tweede wet (Kracht en versnelling):** $\sum \vec{F}_i = m\vec{a}$ [41](#page=41). * Krachten zijn vectoren; samenstelling volgens vectorregels [41](#page=41). * Eenheid van kracht: Newton (N); 1 N = 1 kg·m/s² [41](#page=41). * Massa is scalair, in kg [41](#page=41). * **Derde wet (Actie en reactie):** $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ [42](#page=42). * Actie- en reactiekrachten werken op verschillende lichamen [42](#page=42). * **Inertial stelsels:** Wetten van Newton geldig in stelsels in rust of eenparig rechtlijnig bewegend [42](#page=42). ### Belangrijke krachten * **Zwaartekracht (Gewicht):** $\vec{W} = m\vec{g}$ [43](#page=43). * $g$ afhankelijk van hoogte en breedtegraad [43](#page=43). * Gewicht is kracht (vector), massa is inertiemaat (scalair) [43](#page=43). * **Normaalkracht:** Contactkracht loodrecht op steunvlak [44](#page=44). --- ## Berekening van spierkrachten en gewrichtsreacties in biomechanische systemen ### Liftkracht * Liftkracht staat loodrecht op de drag-kracht en de bewegingsrichting [55](#page=55). * Deze kracht ontstaat door een asymmetrische fluïdumstroom, wat een drukverschil creëert [55](#page=55). * De formule voor liftkracht is $F_{lift} = C_l \frac{1}{2} \rho A v^2$ [55](#page=55). * $C_l$ is de experimenteel bepaalde liftcoëfficiënt, afhankelijk van vorm en stromingspatroon [55](#page=55). * Niet-gestroomlijnde lichamen hebben hogere $C_d$ en $C_l$ waarden [55](#page=55). * De oriëntatie van een lichaam t.o.v. de stromingslijnen beïnvloedt de $C_l$ en $C_d$ waarden [55](#page=55). * Bij zwemmen kan de handoriëntatie lift creëren voor voorwaartse beweging [55](#page=55). * Het Magnus-effect beschrijft de afbuiging van een bal door spin, gebaseerd op drukverschil [56](#page=56). * Golfspelers gebruiken backspin om de bal hoger te laten vliegen en een grotere afstand af te leggen [56](#page=56). ### Pseudokrachten * Pseudokrachten worden geïntroduceerd in niet-inertiële referentiestelsels om de wetten van Newton te kunnen toepassen [56](#page=56). * Een bekend voorbeeld is de centrifugaalkracht [56](#page=56). * Deze cursus vermijdt het gebruik van fictieve krachten om verwarring te voorkomen [57](#page=57). ### Algemene werkwijze voor problemen in mechanica * Definieer een "free body diagram" (FBD) dat het lichaam en de uitwendige krachten voorstelt [57](#page=57). * Kies een geschikt inertieel referentiestelsel [58](#page=58). * Pas de wetten van Newton toe in vectorvorm [58](#page=58). * Ontbind de vectoren in componentvergelijkingen (twee voor 2D-beweging) [58](#page=58). * Los de vergelijkingen op en let op eenheden [58](#page=58). * Controleer de waarschijnlijkheid van het antwoord met gezond verstand [58](#page=58). * Kinematische vergelijkingen kunnen aanvullende informatie leveren [58](#page=58). ### Voorbeeld: Auto in een vlakke bocht * De zijdelingse statische wrijvingskracht zorgt voor de benodigde centripetale kracht [58](#page=58). * Maximale snelheid wordt bepaald door $f_{s,max} = \mu_s N$ [59](#page=59). * Voor een vlakke bocht geldt: $v_{max} = \sqrt{\mu_s g r}$ [59](#page=59). * Voor een hellende bocht kan de hellingshoek ($\theta$) de wrijvingskracht overbodig maken [59](#page=59). * Verband voor hellende bocht zonder wrijving: $\tan(\theta) = \frac{v^2}{gr}$ [59](#page=59). ### Voorbeeld: Dynamica van het hellend vlak * De beweging op een hellend vlak met wrijving is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging [60](#page=60). --- ### Lineair moment en impuls * Het lineair moment ($p$) van een deeltje is het product van massa ($m$) en snelheid ($v$): $p = mv$ [90](#page=90). * De afgeleide van het lineair moment naar de tijd is gelijk aan de netto uitwendige kracht: $\frac{dp}{dt} = F_{\text{uitwendig, i}}$ [90](#page=90) [91](#page=91). * Het totale lineaire moment van een systeem van deeltjes is het product van de totale massa ($M$) en de snelheid van het massamiddelpunt ($v_{\text{mm}}$): $P = Mv_{\text{mm}}$ [90](#page=90). * De afgeleide van het totale lineaire moment naar de tijd is gelijk aan de som van de uitwendige krachten: $\frac{dP}{dt} = \sum F_{\text{uitwendig, i}}$ [91](#page=91). * **Wet van behoud van lineair moment:** Als de som van uitwendige krachten op een systeem nul is, blijft het lineaire moment van het systeem constant [91](#page=91). * **Impuls van een kracht ($J$):** De verandering van het lineair moment van een lichaam door een stootkracht is gelijk aan de impuls van die kracht: $J = \Delta p = \int_{t_i}^{t_f} F \, dt$ [92](#page=92). * De impuls is een vector met de richting van de stootkracht, en de grootte is de oppervlakte onder de $F(t)$-curve [93](#page=93). ### Botsingen * Botsingen zijn gebeurtenissen met plotse veranderingen in beweging door grote, kortdurende krachten (stootkrachten) [91](#page=91) [92](#page=92). * **Behoud van lineair moment bij botsingen:** Bij afwezigheid van uitwendige krachten blijft het totale lineaire moment van botsende lichamen behouden, zelfs als kinetische energie niet behouden blijft [93](#page=93). * **Classificatie van botsingen:** * Elastische botsingen: kinetische energie blijft behouden [94](#page=94). * Niet-elastische botsingen: kinetische energie gaat verloren (bv. warmte, vervorming) [94](#page=94) [96](#page=96). * Volkomen inelastische botsingen: botsende lichamen bewegen na de botsing als één geheel [94](#page=94) [96](#page=96). * **Eéndimensionale elastische botsing:** De relatieve verwijderingssnelheid na de botsing is gelijk aan de relatieve naderingssnelheid voor de botsing [95](#page=95). * **Eéndimensionale volkomen inelastische botsing:** De gemeenschappelijke eindsnelheid ($v_f$) wordt bepaald door behoud van lineair moment: $v_f = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2}$ [96](#page=96). * Bij twee- en driedimensionale botsingen blijft het lineair moment behouden in elke componentrichting [97](#page=97). ### Toepassingen van impuls-moment theorie * **Val op de heup:** Berekening van stootkracht bij een val door de verandering in lineair moment gedurende de contacttijd [98](#page=98). * **Krachtplatform:** Meet stootkrachten tijdens activiteiten; oppervlakte onder de kracht-tijd-curve geeft impuls. De massa van de atleet kan worden afgeleid uit deze metingen [99](#page=99). * Hoogte van een sprong kan berekend worden met behoud van mechanische energie [100](#page=100). ### Angulaire kinetica: Krachtmoment en traagheidsmoment * **Krachtmoment ($\tau$):** Een maat voor het rotatie-effect van een kracht. Gedefinieerd als het vectorieel product van de plaatsvector ($r$) en de kracht ($F$): $\tau = r \times F$ . * De grootte van het krachtmoment is $\tau = r F \sin \theta$, waarbij $r_{\perp} = r \sin \theta$ de momentarm is . * **Rotationele traagheid / Traagheidsmoment ($I$):** De weerstand van een lichaam tegen hoekversnelling. Voor een puntmassa is $I = mR^2$ . * Voor een systeem van puntmassa's is $I = \sum m_i R_i^2$ . * Voor een continue massaverdeling is $I = \int R^2 \, dm$ . * **Rotationele tweede wet van Newton:** $\sum \tau_{\text{uitwendig}} = I \alpha$, waarbij $\alpha$ de hoekversnelling is . --- ### Kinetische rotatie-energie * Kinetische energie van een roterend lichaam om een vaste as: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ . * $I$ is het traagheidsmoment om de rotatie-as, $\omega$ is de hoeksnelheid . * Massa $m$ is de inertieparameter voor translatie; traagheidsmoment $I$ is de inertieparameter voor rotatie . ### Kinetische energie bij gecombineerde translatie-rotatie (rollen) * Kinetische energie van een rollend lichaam: $K = \frac{1}{2} I_p \omega^2$, waarbij $I_p$ het traagheidsmoment t.o.v. de contact-as is . * Traagheidsmoment t.o.v. contact-as ($I_p$) met behulp van de stelling van Steiner: $I_p = I_{MM} + M R^2$ . * Totale kinetische energie bij rollen: $K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ . * Kinetische energie is de som van rotatie-energie rond het massamiddelpunt (MM) en translatie-energie van het MM . * Toepassing: rollende cilinder van helling met hoogte $h$. Snelheid $v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ . * Bij rollen wordt potentiële energie omgezet in zowel rotatie- als translatie-kinetische energie, waardoor translatiesnelheid lager is dan bij glijden . ### Angulair moment (impulsmoment) * Angulair moment $\vec{l}$ van een puntmassa t.o.v. punt O: $\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$, met $\vec{p} = m\vec{v}$ . * Grootte van $\vec{l}$: $l = r p \sin \theta = r_{\perp} p$ . * Dimensies van $\vec{l}$: massa $\times$ lengte$^2$ / tijd. Eenheid: kg m$^2$/s . * Verband tussen angulair moment en krachtmoment: $\frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{\tau}$ . * Voor een systeem van deeltjes: $\frac{d\vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau}_{uitw,i}$ . * Dit geldt ook voor rotatie om het massamiddelpunt: $\frac{d\vec{L}_{MM}}{dt} = \sum \vec{\tau}_{MM}$ . * Angulair moment van een star lichaam om een vaste as: $L_{as} = I_{as} \omega$ . * Voor een symmetrie-as door MM: $\vec{L} = I \vec{\omega}$ . * Dynamische bewegingsvergelijking voor rotatie: $\sum \tau_{as} = I_{as} \alpha$ . * Dit is analoog aan de tweede wet van Newton ($F=ma$) voor translatie . * Voorbeeld turner: $L_s = I_s \omega_s + mr^2 \omega_{MM}$. Totale $L = \sum L_s$ . ### Wet van behoud van angulair moment * Als $\sum \vec{\tau}_{uitw,i} = 0$, dan is $\vec{L} = \text{constant}$ . * Voor rotatie om een vaste as: als $\sum \tau_{uitw,i} = 0$, dan $I \omega = \text{constant}$ . * Toepassingen: pirouette (ballet/kunstSchaatsen), achterwaartse duikfiguur . ### Bewegingsanalyse van onderdelen (bv. knie-extensie) * Berekening netto krachtmoment, patella pees spanning en kniegewricht reactiekracht . * Netto krachtmoment t.o.v. kniegewricht: $\tau = I \alpha$ . ### Gebruik van een steunstok ### Statica van het menselijk lichaam --- ### Invloed van de patella op de werking van de quadriceps * De patella fungeert als een katrol, waardoor de kracht van de quadriceps van richting verandert . * De patella vergroot de hoek waaronder de quadriceps met het bot (tibia) gehecht is . * De kracht van de quadriceps op de tibia heeft een component loodrecht en een component tangentiëel aan de tibia-as . * De normale (loodrechte) component roteert de tibia, de tangentiële (evenwijdige) component veroorzaakt compressie op het tibiofemoraal gewricht . * Een grotere hoek tussen de spierkracht en de tibia-as, mogelijk gemaakt door de patella, verhoogt het rotatie-effect en vermindert de compressiekracht op het gewricht . - > **Voorbeeld:** Bij een kniestrekoefening met een belasting van 50 Nm en een hefboomsarm van 6,25 cm: - > * Met patella (hoek 37°): Quadricepskracht = 1330 N, Stabiliserende component = 1060 N - > * Zonder patella (hoek 17°): Quadricepskracht = 2740 N, Stabiliserende component = 2620 N - > * De afwezigheid van een patella vereist een tweemaal zo grote spierkracht en een 2,5 keer zo grote gewrichtsbelasting ### Parallel krachtensysteem: Voorbeelden * Een persoon staat in evenwicht onder invloed van zwaartekracht en normaalkracht . * Bij verandering van positie kunnen meerdere zwaartekrachten (lichaamsdelen) en normaalkrachten optreden . * Voor evenwicht van rotatie rond een punt G2 geldt $\sum x_i W_i = 0$ . #### Bicepskracht en elleboogreactie * Het model voor de voorarm in horizontale positie beschouwt de bicepskracht ($F_{sp}$), het gewicht van de voorarm ($W$), en de reactiekracht in het ellebooggewricht ($F_r$) . * Aangenomen wordt dat de bicepskracht en het gewicht verticaal zijn, wat resulteert in een verticale reactiekracht in het gewricht . * Translatie-evenwicht in y-richting: $\sum F_y = F_r - F_{sp} + W = 0$ . * Rotatie-evenwicht rond ellebooggewricht O: $\sum \tau_O = a F_{sp} - b W = 0$ . * Met $a=4$ cm, $b=15$ cm, $W=20$ N: $F_{sp} = 75$ N, $F_r = -55$ N . * Een negatieve $F_r$ geeft een neerwaarts gerichte reactiekracht aan . ### Ontbinden van krachten in horizontale en verticale componenten #### Heupgewrichtreactie bij steunen op één been * Bij steunen op één been moet het zwaartepunt verticaal boven het steunpunt worden gebracht . * Een deelsysteem van voet, onderbeen en dijbeen wordt geanalyseerd, met krachten van heupgewricht ($F_r$) en abductoren ($F_{sp}$) . * De abductorenkracht ($F_{sp}$) maakt een hoek van 71° met de horizontale . * Evenwichtsvergelijkingen voor de heupgewrichtkracht ($F_{rx}, F_{ry}$): * $\sum F_x = F_{rx} + F_{sp} \cos(71^\circ) + N = 0$ . * $\sum F_y = F_{ry} + F_{sp} \sin(71^\circ) - W_b = 0$ . * $\sum \tau_O = -0.07 \cdot W_b + 0.0 \cdot N + 0.071 \cdot F_{sp} = 0$ (draaipunt in trochanter major) . #### Kracht erector spinae en heupreactie bij vooroverbuiging #### Invloed van een last op de erector spinae en heupreactie --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Mechanica | De studie van krachten en hun effecten op lichamen, zowel in rust als in beweging. | | Biomechanica | De toepassing van mechanische principes op biologische systemen, zoals mens en dier, om beweging en rust te analyseren. | | Statica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met lichamen in rust of in evenwicht, onder invloed van inwerkende krachten. | | Dynamica | Het onderdeel van de mechanica dat de studie van bewegende lichamen omvat. | | Kinematica | De studie van de eigenschappen van beweging, zonder rekening te houden met de oorzaken van die beweging; het beschrijft de geometrische aspecten van beweging. | | Kinetica | De studie van de krachten die verantwoordelijk zijn voor beweging, inclusief factoren zoals zwaartekracht en spierkracht. | | Lineaire beweging (Translatie) | Een beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde afstand afleggen in dezelfde tijd en richting. | | Angulaire beweging (Rotatie) | Een beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde hoek doorlopen in een bepaald tijdsinterval, rond een rotatie-as. | | Algemene beweging | Een beweging die zowel translatie als rotatie tegelijkertijd omvat. | | Referentiestelsel | Een gekozen systeem van assen en een oorsprong, ten opzichte waarvan de plaats, snelheid en versnelling van een object worden bepaald. | | Plaatsvector | Een vector die de positie van een punt ten opzichte van een oorsprong aangeeft, voorgesteld door een pijl. | | Verplaatsingsvector | Een vector die de verandering in positie van een punt van een beginpunt naar een eindpunt beschrijft. |

# Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideale veer en slinger ### Core idea * Mechanica bestudeert krachten en hun effecten, opgesplitst in statica (rust) en dynamica (beweging) [1](#page=1). * Dynamica kent kinematica (bewegingseigenschappen) en kinetica (oorzaken van beweging) [1](#page=1). * Beweging wordt geanalyseerd als lineair, angulair of algemeen [1](#page=1). ### Key facts * Beweging is relatief; een referentiestelsel is essentieel voor plaatsbepaling [4](#page=4). * Een vector is een grootheid met grootte, richting en zin; een scalair heeft enkel grootte [5](#page=5) [6](#page=6). * Vectorcomponenten zijn projecties op de assen van een coördinatenstelsel [6](#page=6). * De gemiddelde snelheid is de verplaatsing gedeeld door het tijdsinterval: $v_{gem} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$ [10](#page=10) [13](#page=13). * De ogenblikkelijke snelheid is de afgeleide van de plaatsvector naar de tijd: $v = \frac{dr}{dt}$ [10](#page=10) [16](#page=16). * De versnelling is de afgeleide van de snelheidsvector naar de tijd: $a = \frac{dv}{dt}$ [11](#page=11) [18](#page=18). * De eenparig versnelde rechtlijnige beweging heeft een constante versnelling [21](#page=21). ### Key concepts * **Referentie-systeem:** Cruciaal voor het beschrijven van beweging [4](#page=4). * **Vectoren vs. Scalaren:** Verschil in definitie en rekenregels [5](#page=5) [6](#page=6). * **Snelheid:** Verplaatsing over tijd, kan gemiddeld of ogenblikkelijk zijn [10](#page=10) [13](#page=13). * **Versnelling:** Verandering van snelheid over tijd, kan gemiddeld of ogenblikkelijk zijn [11](#page=11) [18](#page=18). * **Hodograaf:** Fictieve baan van het snelheidspunt, nuttig voor het visualiseren van versnelling [12](#page=12). * **Eenparige rechtlijnige beweging:** Constante snelheid, nul versnelling [20](#page=20). * **Eenparig versnelde rechtlijnige beweging:** Constante versnelling [21](#page=21). ### Implications * Kinematische analyses beschrijven beweging zonder krachten, kinetische analyses betrekken krachten [1](#page=1). * De gemiddelde snelheid kan verschillen van de omgangstaal betekenis van "gemiddelde snelheid" (afgelegde weg) [14](#page=14). * In een (t,x)-grafiek is de gemiddelde snelheid de helling van de verbindingslijn, de ogenblikkelijke snelheid de helling van de raaklijn [17](#page=17). * In een (t,v)-grafiek is de versnelling de helling van de verbindingslijn of raaklijn [19](#page=19). * De projectielbeweging is een samenstelling van horizontale eenparige en verticale versnelde beweging [25](#page=25). - > **Tip:** Het begrijpen van het verschil tussen gemiddelde en ogenblikkelijke grootheden is essentieel voor correcte kinematische analyses - > **Tip:** Vectoren moeten altijd hun richting en zin behouden in berekeningen; scalaren kunnen direct gealgebreerd worden --- ## Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideale veer en slinger ### Fundamentele concepten * Mechanische energie is de som van kinetische energie (bewegingsenergie) en potentiële energie (energie van positie of toestand) [28](#page=28) [30](#page=30) [32](#page=32). * De wet van behoud van mechanische energie stelt dat de totale mechanische energie in een geïsoleerd systeem constant blijft, mits er geen externe, niet-conservatieve krachten werken [30](#page=30). ### Projectielbeweging met zwaartekracht * Een projectielbaan is symmetrisch parabolisch als de start- en landingshoogte gelijk zijn [28](#page=28) [32](#page=32). * De tijd van de opgaande beweging is gelijk aan de tijd van de neergaande beweging [28](#page=28). * De baanvergelijking is $y = (\tan \theta_0)x - \frac{g}{2(v_0 \cos \theta_0)^2}x^2$ [32](#page=32). * Een projectielbaan is asymmetrisch parabolisch als de start- en landingshoogte verschillen [29](#page=29) [32](#page=32). * De tijdsduur wordt beïnvloed door de verticale component van de beginsnelheid en de beginhoogte [30](#page=30). * Luchtweerstand, indien meegenomen, verkleint de reikwijdte en zorgt voor een optimale hoek kleiner dan 45 graden [30](#page=30). ### Rotaties en hoekkinematica * Hoekpositie $\theta$ wordt gedefinieerd door de booglengte $s$ gedeeld door de straal $r$ [33](#page=33). * Ogenblikkelijke hoeksnelheid $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ [34](#page=34). * Ogenblikkelijke hoekversnelling $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}$ [34](#page=34). * Lineaire snelheid $v_t = r\omega$ [36](#page=36). * Centripetale versnelling $a_n = r\omega^2$ [35](#page=35) [39](#page=39). * Tangentiële versnelling $a_t = r\alpha$ [36](#page=36) [39](#page=39). ### Krachten en Newton's wetten * De eerste wet van Newton (traagheidswet): $\sum \vec{F}_i = 0 \iff \vec{a} = 0$ [40](#page=40). * De tweede wet van Newton: $\sum \vec{F}_i = m\vec{a}$ [41](#page=41). * De derde wet van Newton (actie-reactie): $\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$ [42](#page=42). * Zwaartekracht (gewicht): $\vec{G} = m\vec{g}$ [43](#page=43). * Normaalkracht: de kracht loodrecht op een steunvlak [44](#page=44). * Spankracht: de kracht in een touw of kabel [45](#page=45). * Wrijvingskracht: statisch ($f_s \leq \mu_s N$) en kinetisch ($f_k = \mu_k N$) [47](#page=47). ### Elastische krachten * Een ideale veer volgt de wet van Hook: $F = -kx$, waarbij $k$ de veerconstante is [53](#page=53). * $k$ is uitgedrukt in N/m [53](#page=53). * Dit beschrijft een lineaire relatie tussen kracht en rek [53](#page=53). * In het menselijk lichaam en andere structuren kunnen de relaties tussen kracht en vervorming niet-lineair zijn [53](#page=53). --- ### Kernidee * De wet van behoud van mechanische energie stelt dat de totale mechanische energie (kinetische plus potentiële energie) constant blijft in een systeem waar alleen conservatieve krachten werken [76](#page=76). * Dit principe is toepasbaar op systemen zoals een ideale veer en een slinger, mits luchtweerstand en wrijving worden verwaarloosd. ### Kernfeiten * Wrijvingskrachten zijn niet-conservatief; de arbeid die ze verrichten is afhankelijk van de gevolgde weg en leidt tot energieverlies [73](#page=73). * Potentiële energie kan alleen gedefinieerd worden voor systemen met conservatieve krachten [75](#page=75). * De arbeid verricht door een conservatieve kracht is gelijk aan het verlies aan potentiële energie: $W_{AB} = -\Delta U$ [76](#page=76). * De totale arbeid op een object is gelijk aan de verandering in kinetische energie: $W_{totaal} = \Delta K$ [69](#page=69). * Voor conservatieve systemen is de totale mechanische energie $E = K + U$ constant [77](#page=77). ### Kernconcepten * **Conservatieve Krachten:** Krachten waarbij de arbeid tussen twee punten onafhankelijk is van de gevolgde weg, en de arbeid langs een gesloten cyclus nul is (bv. zwaartekracht, veerkracht) [72](#page=72). * **Niet-conservatieve Krachten:** Krachten waarbij de arbeid afhankelijk is van de gevolgde weg (bv. wrijvingskracht) [73](#page=73). * **Potentiële Energie ($U$):** Energie die een systeem bezit door de positie of toestand van zijn componenten; gerelateerd aan conservatieve krachten [73](#page=73). * Potentiële energie in een zwaartekrachtveld: $U = mgh$ [74](#page=74). * Potentiële energie van een veer: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ [77](#page=77). * **Kinetische Energie ($K$):** Energie van een object vanwege zijn beweging: $K = \frac{1}{2}mv^2$ [68](#page=68). * **Mechanische Energie ($E$):** De som van kinetische en potentiële energie: $E = K + U$ [77](#page=77). ### Toepassing op de ideale veer * Voor een ideaal systeem met een massa aan een veer op een wrijvingsloos horizontaal oppervlak is de kracht $F = -kx$ (Wet van Hooke) [77](#page=77). * De potentiële energie van de veer is $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$, waarbij de referentie $U =0$ is voor een ongespannen veer [77](#page=77). * Bij het loslaten van een uitgerekte veer ($x_m$) is de totale energie $E = K + U = 0 + \frac{1}{2}kx_m^2 = \frac{1}{2}kx_m^2$ [78](#page=78). * In de evenwichtspositie ($x=0$) is $E = K_{max} + 0 = \frac{1}{2}mv_{max}^2$ [78](#page=78). * Gelijkstellen van energie geeft de maximale snelheid: $v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}}x_m$ [78](#page=78). ### Toepassing op de slinger * Voor kleine uitwijkhoeken $\theta$ (in radialen) is de terugroepende tangentiële kracht $F \approx -mg\theta$ [79](#page=79). * De booglengte is $x = l\theta$, dus de kracht kan geschreven worden als $F = -\frac{mg}{l}x$ [79](#page=79). * Dit is analoog aan de veerkracht met $k = \frac{mg}{l}$. * De maximale snelheid bij de evenwichtspositie wordt bepaald door behoud van mechanische energie: $\frac{1}{2}mv_{max}^2 = mgh_{max}$ [80](#page=80). * De maximale hoogte $h_{max}$ is gerelateerd aan de maximale uitwijking $x_m$ via $h_{max} = l(1-\cos\theta_m)$. Voor kleine hoeken is dit ongeveer $h_{max} \approx \frac{x_m^2}{2l}$ [79](#page=79). * Hieruit volgt $v_{max} = \sqrt{2gh_{max}} = \sqrt{2gl(1-\cos\theta_m)}$ [80](#page=80). --- ## Toepassing van de wet van behoud van mechanische energie op een ideaal veer en slinger * De wet van behoud van mechanische energie is van toepassing op conservatieve systemen en stelt dat de totale mechanische energie ($E = K + U$) constant blijft [83](#page=83). * Voor niet-conservatieve systemen geldt de wet van behoud van totale energie, waarbij arbeid door niet-conservatieve krachten in rekening wordt gebracht ($ \Delta E_{totaal} = W_{niet-conservatief} $) [83](#page=83). ### Belangrijke begrippen en formules * **Arbeid door variabele kracht:** $ W = \int_a^b \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ [83](#page=83). * **Stelling van arbeid en energie:** $ W = \Delta K = K_f - K_i $ [83](#page=83). * Kinetische energie: $ K = \frac{1}{2}mv^2 $ [83](#page=83). * **Conservatieve kracht:** Arbeid is weg-onafhankelijk en arbeid over een gesloten cyclus is nul [83](#page=83). * **Potentiële energie ($U$):** Definieerbaar voor conservatieve krachten, bepaald op een constante na. $ U(r) - U(r_0) = -\int_{r_0}^r \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ [83](#page=83). * **Wet van behoud van mechanische energie:** $ E = K + U = \text{constant} $ (geldt voor conservatieve systemen) [83](#page=83). * **Wet van behoud van totale energie:** $ \Delta E_{totaal} = \Delta K + \Delta U = W_{\text{niet-conservatief}} $ [83](#page=83). * Voor wrijvingskrachten: $W_f < 0$ [83](#page=83). ### Toepassing in biomechanica (stappen vs. rennen) - **Stappen:** Kinetische en potentiële energie fluctueren uit fase; kinetische energie wordt omgezet in potentiële energie (snelheid neemt af) en vice versa. Potentiële energie is maximaal bij vol contact (gestrekt standbeen) * **Rennen:** Kinetische en potentiële energie fluctueren in fase; potentiële energie is minimaal bij vol contact (gebogen standbeen, veergedrag) [82](#page=82). ### Implicaties en nuances * De potentiële energie van het lichaamszwaartepunt bij rennen wordt beïnvloed door de 'veerwerking' van het been [82](#page=82). * De grondreactiekrachten bij gang/lopen/springen zijn uitwendig, maar hun relatie met $K$ en $U$ is complex omdat er geen duidelijke weg is waarover ze werken [84](#page=84). --- ## Kinetische energie bij gecombineerde translatie-rotatie beweging * Rollen wordt geanalyseerd als een combinatie van translatie van het massamiddelpunt en rotatie rond dit massamiddelpunt . * De kinetische energie van een rollend lichaam is de som van de zuivere rotatie-energie rond het massamiddelpunt en de translatie-kinetische energie van het massamiddelpunt . ### Sleutelconcepten * Kinetische energie van een roterend lichaam: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ . * Traagheidsmoment ($I$) is de inertieparameter voor rotatie . * Voor rollen zonder slippen is de snelheid van het massamiddelpunt gerelateerd aan de hoeksnelheid: $v = R\omega$ . * Kinetische energie bij rollen: $K_{rollen} = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ . * Traagheidsmoment van een cilinder om zijn as: $I_{MM, cil} = \frac{1}{2} MR^2$ . * Toepassing van mechanische energiebehoud op een rollende cilinder van hoogte $h$: $Mgh = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$ . * Snelheid van een rollende cilinder: $v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ . ### Implicaties * Bij rollen is de translatiesnelheid lager dan bij glijden zonder rollen, omdat een deel van de potentiële energie omgezet wordt in rotatie-energie . * De dynamische analyse van rollende objecten kan via de wet van behoud van angulair moment worden uitgevoerd, wat leidt tot vergelijkbare resultaten als energiebeschouwingen . ### Voorbeeld * Berekening van de snelheid van een cilinder die van een helling rolt met behulp van energietheorie . * Berekening van de snelheid van een rollende cilinder met dynamische methoden (krachtmoment en Newton's tweede wet) . --- ### Invloed van de patella op de kniefunctie * De patella functioneert primair als een katrol, waardoor de kracht van de quadriceps van richting verandert . * De patella vergroot de hoek tussen de quadriceps en de tibia, wat leidt tot een groter draaimoment . * Een grotere hoek van de patella vergroot de roterende component van de spierkracht ten opzichte van de stabiliserende component . * **Voorbeeld:** Een patella vergroot de roterende component van de quadricepskracht en vermindert de compressie op het kniegewricht . * Met patella: $F_{spier} = 1330$ N, $F_{stabiliserend} = 1060$ N . * Zonder patella: $F_{spier} = 2740$ N, $F_{stabiliserend} = 2620$ N . ### Evenwicht van parallelle krachten in biomechanica * **Voorbeeld 1:** Een persoon in evenwicht met zwaartekracht en normaalkracht . * Bij verandering van houding zijn er vier krachten: normaalkracht, zwaartekracht vrije been, zwaartekracht standbeen, zwaartekracht bovenlichaam . * Evenwicht rond het zwaartepunt: $x_1 W_{fl} + x_2 W_{sl} + x_3 W_{ub} = 0$ (relatief aan een punt) . * **Voorbeeld 2:** Kracht van de biceps en reactiekracht in het ellebooggewricht bij horizontale onderarm . * Translatie evenwicht: $F_r + F_{sp} - W = 0$ . * Rotatie evenwicht rond draaipunt O: $a F_{sp} - b W = 0$ . * **Voorbeeld:** $a=4$ cm, $b=15$ cm, $W=20$ N $\implies F_{sp} = 75$ N, $F_r = -55$ N . * Een negatieve reactiekracht duidt op een neerwaartse gerichtheid . ### Krachten in het heupgewricht bij steunen op één been * Om in evenwicht te blijven moet het zwaartepunt verticaal boven het steunpunt geplaatst worden . * Een deelsysteem (voet, onderbeen, dijbeen) wordt gebruikt om krachten te bepalen . * Belangrijke krachten: normaalkracht grond, zwaartekracht steunbeen, spierkracht abductors, reactiekracht heupgewricht . * **Voorbeeld:** Een persoon van 890 N steunt op één been . * $F_{sp}$ (abductors) maakt een hoek van 71° met horizontaal . * $N = 890$ N, $W_b = 138$ N . * Evenwichtsvergelijkingen worden opgesteld met krachten en momentarmen . * Resultaat: Heupkop draagt een kracht van 2075 N onder een hoek van 78° met horizontaal, neerwaarts gericht . ### Krachten bij vooroverbuigen van de romp * Erector spinae spieren werken de zwaartekracht tegen om de romp rechtop te houden . * Grotere voorwaartse buiging vereist grotere spierkracht . * **Voorbeeld:** Romp gebogen 45° met verticale richting, persoon weegt 890 N . ### Opmerkingen over lage rugpijn --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Term | Definitie | | Mechanica | De studie van krachten en hun effecten op lichamen, onderverdeeld in statica (lichamen in rust) en dynamica (lichamen in beweging). | | Biomechanica | De toepassing van mechanische principes op biologische systemen, zoals de beweging van mens en dier. | | Statica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met lichamen in rust of in evenwicht onder invloed van krachten. | | Dynamica | Het onderdeel van de mechanica dat zich bezighoudt met de studie van bewegende lichamen. | | Kinematica | De studie van de eigenschappen van beweging, zonder rekening te houden met de oorzaken ervan; beschrijft de geometrische aspecten van beweging. | | Kinetica | De studie van de krachten die beweging veroorzaken; houdt rekening met de effecten van krachten en krachtmomenten. | | Lineaire beweging (Translatie) | Beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde afstand afleggen in dezelfde tijd en richting. | | Angulaire beweging (Rotatie) | Beweging waarbij alle delen van een lichaam dezelfde hoek bewegen in een bepaald tijdsinterval, rond een rotatie-as. | | Algemene beweging | Een beweging waarbij translatie en rotatie simultaan optreden. | | Referentiestelsel | Een gekozen systeem (bijvoorbeeld een assenstelsel) ten opzichte waarvan de plaats en beweging van een object worden beschreven; beweging is relatief ten opzichte van een referentiestelsel. | | Plaatsvector | Een vector die de positie van een punt ten opzichte van een oorsprong aangeeft, voorgesteld door een pijl. | | Verplaatsingsvector | Een vector die de verandering in positie van een punt van een beginpunt naar een eindpunt beschrijft. |

# warmtetransport door convectie, straling en de wetten die dit beschrijven Warmtetransport beschrijft de overdracht van interne energie van het ene systeem naar het andere, en dit kan gebeuren via geleiding, convectie en straling. Dit document focust op warmtetransport door convectie en straling, inclusief de bijbehorende wetten en principes [47](#page=47). ### 1.1 Warmtetransport door geleiding (conductie) Geleiding treedt op wanneer twee systemen in fysiek contact worden gebracht, en een temperatuurverschil de warmtestroom onderhoudt. Als de temperaturen gelijk zijn, valt de warmtestroom weg. De drijvende factor is het temperatuurverschil [47](#page=47). #### 1.1.1 Warmtegeleiding door een wand De hoeveelheid warmte $Q$ die door een wand stroomt, is recht evenredig met het temperatuurverschil $\Delta T$, het oppervlak $A$ van de wand, en de tijd $\Delta t$. Het is omgekeerd evenredig met de dikte $\delta$ van de wand en is afhankelijk van het materiaal. De formule hiervoor is [47](#page=47): $Q = \lambda \cdot \frac{A \cdot \Delta T \cdot \Delta t}{\delta}$ [47](#page=47). Waarbij $\lambda$ de warmtegeleidingscoëfficiënt is, uitgedrukt in $\frac{J}{m \cdot K \cdot s}$ of $\frac{W}{m \cdot K}$ [47](#page=47). #### 1.1.2 Wet van Fourier De Wet van Fourier beschrijft de warmtestroom $\Phi$ door een wand: $\Phi = \lambda \cdot \frac{A \cdot \Delta T}{\delta}$ [48](#page=48). Hoe groter $\lambda$, hoe groter de warmtestroom per seconde. In de wand daalt de temperatuur lineair van $T_1$ naar $T_2$ [48](#page=48). #### 1.1.3 Warmtegeleiding door een gelaagde wand Voor wanden die uit meerdere lagen bestaan, is de totale temperatuurverandering de som van de temperatuurverschillen per laag. Als $\Phi_i$ de warmtestroom door laag $i$ is met dikte $\delta_i$, warmtegeleidingscoëfficiënt $\lambda_i$, en temperatuurverschil $(T_{i+1} - T_i)$ [48](#page=48): $(T_{i+1} - T_i) = \frac{\delta_i \cdot \Phi_i}{\lambda_i \cdot A}$ [48](#page=48). De totale temperatuurverandering over de gehele wand $\Delta T$ is: $\Delta T = \left( \frac{\delta_3}{\lambda_3} + \frac{\delta_2}{\lambda_2} + \frac{\delta_1}{\lambda_1} \right) \cdot \frac{\Phi}{A}$ [48](#page=48). ### 1.2 Warmtetransport door convectie Convectie is de verplaatsing van materie die warmtetransport veroorzaakt. Materie op een hogere temperatuur wordt verplaatst naar een zone op een lagere temperatuur, wat samen met de materiestroom een warmtestroom creëert. Convectie kan optreden in gassen en vloeistoffen, maar niet in vaste stoffen. Er wordt onderscheid gemaakt tussen vrije convectie en gedwongen convectie [48](#page=48). #### 1.2.1 Vrije convectie Vrije convectie ontstaat wanneer een deel van een fluïdum wordt opgewarmd of afgekoeld, waardoor dichtheidsverschillen ontstaan die leiden tot beweging van het fluïdum. Een voorbeeld is het opwarmen van water in een pan, waarbij warm water stijgt en kouder water zakt. De warmtestroom door convectie is evenredig met het temperatuurverschil tussen de wand en het fluïdum ($\Delta T$) en de grootte van het contactoppervlak ($A$) [49](#page=49). De warmtestroom $\Phi$ wordt gegeven door: $\Phi = \alpha \cdot A \cdot \Delta T$ [49](#page=49). Waarbij $\alpha$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt is [49](#page=49). ### 1.3 Warmtetransport door straling Straling is een vorm van warmtetransport die geen fysiek contact tussen systemen vereist. Voorbeelden zijn de zon die warmte naar de aarde straalt. Een voorwerp dat straling uitzendt, verliest energie. Wanneer elektromagnetische straling een voorwerp raakt, wordt een deel geabsorbeerd en de rest verstrooid of gereflecteerd. De absorptie hangt af van het oppervlak van het voorwerp. Hoe meer straling wordt geabsorbeerd, hoe meer de temperatuur stijgt [49](#page=49). * Een zwart lichaam absorbeert alle invallende straling [49](#page=49). * Een wit lichaam absorbeert geen straling [49](#page=49). * Een grijs lichaam absorbeert en verstrooit een deel van de straling [49](#page=49). De intensiteit van de uitgezonden straling is afhankelijk van de temperatuur en het oppervlak van het voorwerp, niet van het materiaal. Een groter lichaam zendt meer straling uit, en een hogere temperatuur leidt tot een felere gloed en hogere intensiteit [49](#page=49). #### 1.3.1 Wet van Stefan-Boltzmann De Wet van Stefan-Boltzmann beschrijft het vermogen dat door een zwart lichaam per tijdseenheid wordt uitgestraald. Dit vermogen is recht evenredig met het oppervlak $A$ en de vierde macht van de absolute temperatuur $T$ [50](#page=50). $\Phi = \sigma \cdot A \cdot T^4$ [50](#page=50). Waarbij $\sigma$ de constante van Stefan-Boltzmann is [50](#page=50). #### 1.3.2 Wet van Wien De Wet van Wien stelt dat de golflengte waarbij de uitgezonden straling maximaal is, omgekeerd evenredig is met de absolute temperatuur van het zwarte lichaam [50](#page=50). $\lambda_{max} = \frac{b}{T}$ [50](#page=50). Waarbij $b$ de constante van Wien is ($b = 2.8977 \times 10^{-3} K \cdot m$). Elk lichaam zendt straling uit, maar pas bij hoge temperaturen wordt zichtbaar licht uitgezonden. Naarmate de temperatuur stijgt, wordt $\lambda_{max}$ kleiner en verschuift de straling van infrarood naar zichtbaar licht [50](#page=50). #### 1.3.3 Opwarming en afkoeling door straling * **Opwarming:** Indien een voorwerp meer straling ontvangt dan het uitstraalt, is er een positieve energiebalans en warmt het voorwerp op [51](#page=51). * **Afkoeling:** Indien een voorwerp minder straling ontvangt dan het uitstraalt, is er een negatieve energiebalans en koelt het voorwerp af [51](#page=51). * **Thermisch evenwicht:** Indien de ontvangen straling gelijk is aan de uitgestraalde straling, is de netto-energiebalans nul, en warmt het lichaam niet op of koelt het niet af. De temperatuur van een lichaam streeft naar een evenwichtstemperatuur waarbij de geabsorbeerde energie gelijk is aan de uitgestraalde energie [51](#page=51). #### 1.3.4 Emissiecoëfficiënt De emissiecoëfficiënt ($e$) is de verhouding tussen de uitgestraalde straling door een lichaam en de straling die een zwart lichaam zou uitstralen bij dezelfde temperatuur [51](#page=51). $e = \frac{\text{energie uitgezonden door lichaam bij temperatuur } T}{\text{energie uitgezonden door zwart lichaam bij temperatuur } T}$ [51](#page=51). Voor een zwart voorwerp is $e=1$. Voor elk ander voorwerp geldt $0 \leq e \leq 1$. De energie uitgestraald door een niet-zwart lichaam is [51](#page=51): $\Phi = e \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4$ [51](#page=51). #### 1.3.5 Thermografie Thermografie maakt gebruik van het meten van de hoeveelheid uitgezonden straling, vaak met infrarood thermografiecamera's, om de temperatuur van objecten te bepalen. Blauwe kleuren duiden op lagere temperaturen en rode kleuren op hogere temperaturen [51](#page=51). --- # gaswetten en hun toestandsveranderingen Gassen zijn samendrukbare stoffen zonder eigen volume, waarbij moleculen veel bewegen. De gaswetten beschrijven de relatie tussen druk, volume en temperatuur van gassen, en worden onderverdeeld in toestandsveranderingen waarbij één van deze variabelen constant blijft [53](#page=53). ### 2.1 Algemene kenmerken van gassen * Gassen hebben geen eigen volume en nemen de volledige beschikbare ruimte in beslag [53](#page=53). * De moleculen van gassen zijn zeer beweeglijk [53](#page=53). * Gassen zijn samendrukbaar [53](#page=53). * Toestandsveranderingen kunnen optreden in systemen met constant volume of met een veranderbaar volume, zoals een zuigersysteem [53](#page=53). ### 2.2 De wet van Boyle-Mariotte (isotherme toestandsverandering) De wet van Boyle-Mariotte beschrijft de toestandsverandering van een gas bij een **constante temperatuur** [53](#page=53). * Bij constante temperatuur is de druk van een gas omgekeerd evenredig met het volume [53](#page=53). * Dit kan worden uitgedrukt als: $p \sim \frac{1}{v}$ of $p \ast V = \text{constante}$ [53](#page=53). * In een gesloten systeem geldt: $p_1 \ast V_1 = p_2 \ast V_2$ [53](#page=53). * De grafiek van druk tegen volume bij constante temperatuur is een hyperbool [53](#page=53). * Wanneer het volume van een gas wordt samengedrukt (daalt) bij constante temperatuur, stijgt de druk [53](#page=53). > **Tip:** De wet van Boyle-Mariotte is van toepassing wanneer de temperatuur van een gas niet verandert tijdens de proces. ### 2.3 De wet van Regnault (isochore toestandsverandering) De wet van Regnault, ook bekend als de isochore toestandsverandering, beschrijft de relatie tussen druk en temperatuur bij een **constant volume** [54](#page=54). * Bij constant volume is de druk van een gas recht evenredig met de absolute temperatuur [54](#page=54). * Dit kan worden uitgedrukt als: $p \sim T$ of $\frac{p}{T} = \text{constante}$ [54](#page=54). * In een gesloten systeem geldt: $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ of $p_1 \ast T_1 = p_2 \ast T_2$ [54](#page=54). * Als de temperatuur van een gas in een gesloten vat toeneemt, zal ook de druk toenemen [54](#page=54). * De grafiek van druk in functie van temperatuur bij constant volume is een rechte lijn [54](#page=54). * De druk in een gas kan niet negatief zijn. De temperatuur waarbij de druk nul zou zijn, is de laagst mogelijke temperatuur, ook wel het absolute nulpunt genoemd [54](#page=54). * Dit nulpunt bevindt zich op -273,15 graden Celsius of 0 Kelvin en is onafhankelijk van het type gas of het aantal moleculen [54](#page=54). ### 2.4 De wet van Charles (isobare toestandsverandering) De wet van Charles, ook bekend als de wet van Gay-Lussac, beschrijft de toestandsverandering van een gas bij een **constante druk** (isobare toestandsverandering) [55](#page=55). * Bij constante druk is het volume dat een gas inneemt, recht evenredig met de absolute temperatuur van dit gas [55](#page=55). * Dit kan worden uitgedrukt als: $V \sim T$ of $\frac{V}{T} = \text{constante}$ [55](#page=55). * In een gesloten systeem geldt: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ of $V_1 \ast T_1 = V_2 \ast T_2$ [55](#page=55). * Als een gas in een cilinder met een verplaatsbare zuiger wordt opgewarmd bij constante druk, zal het volume toenemen [55](#page=55). * De grafiek van volume in functie van temperatuur bij constante druk is een rechte lijn [55](#page=55). * Theoretisch zou een gas geen volume innemen bij een temperatuur van -273,15 graden Celsius of 0 Kelvin [55](#page=55). ### 2.5 De ideale gaswet De eerder besproken gaswetten gelden primair voor ijle gassen, dat wil zeggen gassen met een lage dichtheid en een beperkt aantal moleculen. Dit zijn zogenaamde ideale gassen [56](#page=56). #### 2.5.1 Kenmerken van ideale gassen Een ideaal gas wordt gekenmerkt door de volgende aannames [56](#page=56): * De moleculen bewegen vrij en chaotisch [56](#page=56). * Elke molecuul kan als een punt worden beschouwd; het heeft geen eigen volume [56](#page=56). * Er zijn geen onderlinge krachten tussen de moleculen [56](#page=56). * Botsingen tussen moleculen onderling en met de wanden zijn volkomen elastisch. Zowel de kinetische energie ($E_{\text{kin}}$) als het impuls ($mv$) blijven behouden bij deze botsingen [56](#page=56). Door de voorgaande gaswetten te combineren, ontstaat de algemene ideale gaswet [56](#page=56): $$ \frac{pV}{T} = c $$ * Het aantal moleculen in een stof wordt uitgedrukt in mol. Eén mol bevat evenveel moleculen als er atomen zijn in 12 gram koolstof, dit is de constante van Avogadro: $6.022 \ast 10^{23}$ [56](#page=56). * De normtoestand van een gas is bij een druk $P_0 = 101325$ Pascal en een temperatuur $T_0 = 273.15$ Kelvin (0 graden Celsius) [56](#page=56). * Bij deze normtoestand neemt een ideaal gas een volume van $22.414$ liter in, ongeacht het type gas [56](#page=56). Voor een ideaal gas geldt de volgende vergelijking [56](#page=56): $$ pV = nRT $$ Waarin: * $p$ de druk is. * $V$ het volume is. * $n$ het aantal mol is. * $R$ de universele gasconstante is. * $T$ de absolute temperatuur is. De waarde van de universele gasconstante $R$ kan worden berekend met de normtoestand [56](#page=56): $$ R = \frac{p_0 V_0}{n T_0} = \frac{101325 \text{ Pa} \ast 22.414 \ast 10^{-3} \text{ m}^3}{1 \text{ mol} \ast 273.15 \text{ K}} \approx 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol} \ast \text{K}} $$ De ideale gaswet kan dus ook worden geschreven als [56](#page=56): $$ pV = n \ast 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol} \ast \text{K}} \ast T $$ --- # Aggregatietoestanden, latente warmte en faseovergangen Dit hoofdstuk behandelt de verschillende toestanden waarin zuivere stoffen kunnen voorkomen, de energie die gemoeid is met overgangen tussen deze toestanden (latente warmte) en de relatie tussen temperatuur, druk en faseovergangen. ### 3.1 Temperaturen en thermische uitzetting #### 3.1.1 Temperatuurschalen Temperatuur wordt gemeten in verschillende schalen: * **Graden Celsius (°C):** Hierbij smeltwater heeft een temperatuur van 0°C en kokend water een temperatuur van 100°C [37](#page=37). * **Graden Fahrenheit (°F):** De referentietemperatuur voor ijs met ammoniumchloride is 0°F, terwijl lichaamstemperatuur rond de 96°F ligt. Water bevriest bij 32°F en kookt bij 212°F. De relatie tussen Celsius en Fahrenheit is [37](#page=37): * 0°C = 32°F * 100°C = 212°F * **Graden Kelvin (K):** Deze schaal is gerelateerd aan het absolute nulpunt, wat overeenkomt met -273,15°C, het punt waarop een gas theoretisch geen volume meer zou hebben. Smeltend ijs heeft een temperatuur van 273,15 K. Een temperatuurverhoging van 1°C komt overeen met een verhoging van 1 K [37](#page=37). * Voorbeeld: $27\text{°C} = 27 + 273,15\text{ K} = 300,15\text{ K}$ [37](#page=37). #### 3.1.2 Thermische uitzetting Bij temperatuurstijging zetten materialen uit. * **Lineaire uitzetting:** Voor een langwerpig voorwerp geldt: $$ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T $$ waarbij: * $\Delta l$ de lengteverandering is. * $l_0$ de beginlengte is. * $\alpha$ de lineaire uitzettingscoëfficiënt is (een materiaalconstante, uitgedrukt in mm/°C) [37](#page=37). De totale lengte $l$ wordt gegeven door: $$ l = l_0 (1 + \alpha \cdot \Delta T) $$ * **Volume uitzetting:** De volumeverandering wordt beschreven door: $$ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T $$ waarbij: * $\Delta V$ de volumeverandering is. * $V_0$ het beginvolume is. * $\gamma$ de kubieke uitzettingscoëfficiënt is (een materiaalconstante, uitgedrukt in mm³/°C) [37](#page=37). Het totale volume $V$ wordt gegeven door: $$ V = V_0 (1 + \gamma \cdot \Delta T) $$ #### 3.1.3 Verband tussen lineaire en kubieke uitzetting Voor een kubus met zijde $l_0$ en volume $V_0 = l_0^3$, leidt een temperatuurstijging $\Delta T$ tot: $$ V = l^3 = (l_0 (1 + \alpha \cdot \Delta T))^3 = V_0 (1 + \alpha \cdot \Delta T)^3 $$ Uitwerking van de derde macht en verwaarlozing van hogere orde termen ($\alpha^2$, $\alpha^3$) geeft: $$ V \approx V_0 (1 + 3\alpha \cdot \Delta T) $$ Hieruit volgt dat $\gamma \approx 3\alpha$ [38](#page=38). ### 3.2 Soortelijke warmte De hoeveelheid warmte $Q$ die nodig is om de temperatuur van een massa $m$ met $\Delta T$ te verhogen, wordt gegeven door: $$ Q = c \cdot m \cdot \Delta T $$ waarbij $c$ de soortelijke warmte van het materiaal is. De soortelijke warmte is de hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kg van een stof 1°C in temperatuur te laten stijgen. Eenheden zijn vaak cal/(g·°C) of cal/(g·K) [38](#page=38). #### 3.2.1 Bepaling van soortelijke warmte met een calorimeter Een calorimeter meet de soortelijke warmte van een stof. De warmtecapaciteit van de calorimeter, $w_{cal}$, wordt bepaald. Wanneer water van temperatuur $T_w$ met massa $m_w$ wordt gemengd met de calorimeter (temperatuur $T_{cal}$) tot een eindtemperatuur $T_e$, geldt dat de warmte die het water afgeeft gelijk is aan de warmte die de calorimeter opneemt: $$ Q_{water} = c_w \cdot m_w \cdot (T_w - T_e) $$ $$ Q_{calorimeter} = w_{cal} \cdot (T_e - T_{cal}) $$ Waarbij $c_w$ de soortelijke warmte van water is (vaak 1 cal/(°C) of 1 cal/(K)) [39](#page=39). De warmtecapaciteit van de calorimeter wordt dan: $$ w_{cal} = c_w \cdot m_w \cdot \frac{T_w - T_e}{T_e - T_{cal}} $$ Om de soortelijke warmte $c_s$ van een stof met massa $m_s$ en temperatuur $T_s$ te bepalen, wordt deze stof aan het water-calorimeter-systeem (beide in thermisch evenwicht op temperatuur $T_b$) toegevoegd tot een eindtemperatuur $T_e$: $$ Q_{afgestaan \ door \ stof} = c_s \cdot m_s \cdot (T_s - T_e) $$ $$ Q_{opgenomen \ door \ systeem} = (c_w \cdot m_w + w_{cal}) \cdot (T_e - T_b) $$ De soortelijke warmte van de stof is dan: $$ c_s = \frac{(c_w \cdot m_w + w_{cal})}{m_s} \cdot \frac{T_e - T_b}{T_s - T_e} $$ [39](#page=39). ### 3.3 Aggregatietoestanden en latente warmte Zuivere stoffen kunnen in drie fasen voorkomen: vast, vloeibaar en gasvormig [40](#page=40). #### 3.3.1 Temperatuursverloop bij faseovergangen Bij het verwarmen van een stof die van aggregatietoestand verandert, stijgt eerst de temperatuur binnen één fase. Tijdens een faseovergang (smelten of koken) blijft de temperatuur constant totdat de hele stof is overgegaan naar de nieuwe fase. Het kost meer tijd om water te verdampen dan om ijs te smelten, deels omdat de soortelijke warmte van water groter is dan die van ijs [40](#page=40). * **Latente smeltwarmte ($L_s$):** De warmte die nodig is om 1 kg vaste stof te smelten tot vloeistof bij constante temperatuur is de soortelijke smeltwarmte. $$ Q = L_s \cdot m $$ [40](#page=40). * **Latente verdampingswarmte ($L_v$):** De warmte die nodig is om 1 kg vloeistof te verdampen tot gas bij constante temperatuur en druk is de soortelijke verdampingswarmte. $$ Q = L_v \cdot m $$ [41](#page=41). #### 3.3.2 Verdampen en condenseren Verdamping vindt plaats wanneer moleculen aan het oppervlak van een vloeistof voldoende energie hebben om in gasvorm te gaan. Dit proces wordt beïnvloed door temperatuur, verdampingsoppervlak en druk [41](#page=41). * **Verzadigingsdruk:** Dit is de druk waarbij het aantal moleculen dat van vloeistof naar gas gaat, gelijk is aan het aantal moleculen dat van gas naar vloeistof gaat (condensatie). Er ontstaat een dynamisch evenwicht met verzadigde damp boven de vloeistof. De verzadigingsdruk is afhankelijk van de temperatuur, maar niet van het volume van de container [41](#page=41). * **Koken:** Een vloeistof kookt wanneer de verzadigingsdruk gelijk is aan de uitwendige druk. De kooktemperatuur is dus afhankelijk van de uitwendige druk: hogere druk leidt tot hogere kooktemperatuur en vice versa [42](#page=42). #### 3.3.3 Relatieve vochtigheid De relatieve vochtigheid geeft aan hoeveel waterdamp zich in de lucht bevindt ten opzichte van de maximale hoeveelheid die de lucht bij die temperatuur kan bevatten: $$ \text{Relatieve vochtigheid} = \frac{\text{waterdampdruk}}{\text{verzadigingsdruk}} \times 100\% $$ [42](#page=42). Te hoge relatieve vochtigheid kan de warmteregulatie van het lichaam belemmeren, terwijl te lage vochtigheid leidt tot uitdroging van slijmvliezen. Warmer weer verhoogt de verzadigingsdruk, wat bij gelijke waterdampdruk leidt tot een lagere relatieve vochtigheid, en omgekeerd voor kouder weer [42](#page=42). ### 3.4 Fasediagrammen Een fasediagram toont de relatie tussen temperatuur, druk en de fase van een zuivere stof [43](#page=43). * **Fasegebieden:** De diagrammen tonen gebieden voor vaste, vloeibare en gasvormige fasen [43](#page=43). * **Lijnen:** * **Smeltlijn:** Geeft de overgang van vast naar vloeibaar aan [43](#page=43). * **Kooklijn:** Geeft de overgang van vloeibaar naar gas aan [43](#page=43). * **Sublimatielijn:** Geeft de overgang van vast naar gas aan [45](#page=45). * **Tripelpunt:** Het punt waar alle drie de lijnen elkaar snijden; bij deze specifieke temperatuur en druk kunnen alle drie de fasen tegelijkertijd bestaan [45](#page=45). * **Kritisch punt ($T_c$, $p_c$):** Boven deze temperatuur en druk onderscheidt men geen vloeistof en gas meer; de stof is een superkritische vloeistof [44](#page=44). #### 3.4.1 Uitzondering: Water Water is een uitzondering omdat de smeltlijn naar links helt. Dit betekent dat bij hogere druk de smelttemperatuur van ijs daalt. Water kan ook direct van vaste naar gasvormige fase gaan (sublimeren) in vacuüm [44](#page=44). ### 3.5 Inwendige energie en warmte-equivalentie Mechanische energie kan worden omgezet in inwendige energie, wat resulteert in een temperatuurstijging. Joule toonde met een experiment met een schoepenrad in water aan dat de mechanische energie die in het water werd gestoken, gelijkstond aan de toename in inwendige energie (gemeten als temperatuurstijging). Dit leidde tot de vaststelling dat 1 calorie gelijk is aan 4,184 joule [45](#page=45). --- # Hydrodynamica: stromingen, continuïteitsvergelijking en de vergelijking van Bernoulli Dit onderwerp behandelt de principes van stromingsleer, de continuïteitsvergelijking en de vergelijking van Bernoulli, essentieel voor het begrijpen van vloeistof- en gasbewegingen. ### 4.1 Stromingen Stromingen worden onderscheiden op basis van hun karakteristieken, met name de mate van orde en energieverlies. #### 4.1.1 Laminaire stroming Bij een laminaire stroming stroomt het fluïdum in parallelle lagen over elkaar, waarbij alle deeltjes dezelfde bewegingsrichting hebben als de algehele stroom. De deeltjes volgen vloeiende trajecten die bekend staan als stroomlijnen. Dit type stroming treedt op bij relatief lage stroomsnelheden [10](#page=10). #### 4.1.2 Turbulente stroming Turbulente stroming kenmerkt zich door deeltjes die in tegengestelde richting van de hoofd stroom bewegen en de vorming van draaikolken. Deze draaikolken leiden tot significant energieverlies en gaan gepaard met sterke inwendige wrijvingen. Dit type stroming komt voor bij hogere stroomsnelheden [10](#page=10). #### 4.1.3 Stationaire stromingen Een stroming wordt als stationair beschouwd wanneer de snelheid in elk punt van de ruimte constant is in de tijd. Dit betekent dat de stromingspatroon niet verandert [10](#page=10). ### 4.2 Continuïteitsvergelijking De continuïteitsvergelijking is gebaseerd op het principe van massabehoud en wordt vaak toegepast op een stroombuis, gedefinieerd als een bundel van laminaire stroomlijnen [10](#page=10). #### 4.2.1 Massadebiet Het massadebiet is de massa fluïdum die per tijdseenheid door een dwarsdoorsnede stroomt. Als we kijken naar een volume $V_1$ dat in een tijdsspanne $\Delta t$ door oppervlakte $A_1$ stroomt, dan is $V_1 = A_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t$, waarbij $v_1$ de snelheid is. De massa $m_1$ is dan $m_1 = \rho_1 \cdot V_1 = \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t$ ] [10](#page=10). Het massadebiet door oppervlak $A_1$ wordt gegeven door: $$ \text{Massadebiet}_{A_1} = \frac{m_1}{\Delta t} = \frac{\rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t}{\Delta t} = \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 $$ Volgens de continuïteitsvergelijking is het massadebiet aan de ingang gelijk aan het massadebiet aan de uitgang. Dit impliceert dat voor elke dwarsdoorsnede het product van de oppervlakte en de snelheid constant is [10](#page=10): $$ A \cdot v = \text{Constant} $$ Dit betekent dat hoe kleiner de buis, hoe sneller het fluïdum zal stromen, maar de hoeveelheid die eruit komt, is gelijk aan die van een grotere buis die langzamer stroomt [10](#page=10). ### 4.3 Vergelijking van Bernoulli De vergelijking van Bernoulli drukt het behoud van energie uit voor een stromend fluïdum. Het beschouwt de arbeid die nodig is om het fluïdum te verplaatsen, de kinetische energie en de potentiële energie. De som van deze drie componenten is constant [11](#page=11). #### 4.3.1 Energiecomponenten * **Arbeid:** $W = p \cdot \Delta V$, waarbij $p$ de druk en $\Delta V$ het verplaatste volume is [11](#page=11). * **Kinetische energie:** $E_k = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \Delta V \cdot v^2$, waarbij $\rho$ de dichtheid en $v$ de snelheid is [11](#page=11). * **Potentiële energie:** $E_{pot} = \rho \cdot \Delta V \cdot g \cdot h$, waarbij $g$ de zwaartekrachtversnelling en $h$ de hoogte is [11](#page=11). #### 4.3.2 De vergelijking van Bernoulli De algemene vorm van de vergelijking van Bernoulli stelt dat de som van de druk, de kinetische energiedichtheid en de potentiële energiedichtheid constant is: $$ p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{Constant} $$ Voor twee verschillende punten in de stroming kan dit worden geschreven als: $$ p_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2 $$ #### 4.3.3 Toepassingen van de vergelijking van Bernoulli * **Vliegtuigvleugel:** De bolle vorm aan de bovenzijde van een vliegtuigvleugel zorgt ervoor dat de lucht aan de bovenkant sneller stroomt dan aan de onderkant. Volgens Bernoulli's principe leidt de hogere snelheid tot een lagere druk aan de bovenkant, wat resulteert in een netto opwaartse kracht die de vleugel omhoog duwt [11](#page=11). * **Waterstraalpomp / Luchtaanzuigers bubbelbaden:** In vernauwde secties van een buis versnelt het fluïdum, wat resulteert in een drukvermindering. Deze onderdruk maakt het mogelijk om lucht, gas of vloeistof aan te zuigen [11](#page=11). #### 4.3.4 Wet van Torricelli De wet van Torricelli beschrijft de snelheid waarmee een vloeistof uit een opening aan de onderkant van een vat stroomt. Als we de vergelijking van Bernoulli toepassen op een vat met een kleine opening onderaan, en we verwaarlozen de snelheid van het vloeistofoppervlak ($v_1$) ten opzichte van de uitstroomsnelheid ($v_2$), krijgen we [11](#page=11): $$ v = \sqrt{2gh} $$ waarbij $h$ de hoogte van de vloeistofkolom boven de opening is. #### 4.3.5 Venturibuis Een venturibuis is een vernauwing in een horizontale buis die wordt gebruikt om de snelheid van een fluïdum te meten door een drukverschil te meten. De snelheid kan worden berekend met de formule [12](#page=12): $$ v = A_2 \cdot \sqrt{\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho (A_1^2 - A_2^2)}} $$ waarbij $A_1$ en $A_2$ de oppervlaktes zijn van de brede en vernauwde secties, $p_1$ en $p_2$ de overeenkomstige drukken, en $\rho$ de dichtheid van het fluïdum. ### 4.4 Viscositeit Viscositeit is een maat voor de interne wrijving bij stroming van een fluïdum. De eenheid van viscositeit is Pa·s of $\frac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}^2}$ ] [12](#page=12). Een model met twee platen met een laag vloeistof ertussen illustreert dit principe: wanneer de bovenste plaat wordt geduwd, beweegt deze door de vloeistof [12](#page=12). * **Afschuifsnelheid:** De snelheid van de bovenste plaat [12](#page=12). * **Snelheidsgradiënt:** De verhouding van de snelheid tot de afstand tussen de platen ($\frac{v}{d}$) . Deze gradiënt hangt af van de kracht op de plaat en het contactoppervlakte [12](#page=12). * **Afschuifspanning ($\tau$):** De kracht per oppervlakte-eenheid ($F/A$) is recht evenredig met de snelheidsgradiënt en het contactoppervlakte. De relatie is [12](#page=12): $$ \frac{F}{A} = \tau = \eta \cdot \frac{v}{d} $$ waarbij $\eta$ de viscositeit is. Een hogere viscositeit vereist een grotere kracht om de plaat te verschuiven [12](#page=12). De snelheidsgradiënt is recht evenredig met de afschuifspanning en heeft als eenheid 1/s [12](#page=12). ### 4.5 Vergelijking van Poiseuille De vergelijking van Poiseuille wordt gebruikt om het debiet van een vloeistof door een buis te berekenen, rekening houdend met viscositeit en drukverschil [13](#page=13). * Een kleine afname van de diameter kan leiden tot een groot verlies in debiet [13](#page=13). * Een groter drukverschil $\Delta p$ resulteert in een hogere stroomsnelheid en dus een groter volumestroom ($Q$) ] [13](#page=13). * Een grotere viscositeit $\eta$ leidt tot meer wrijving en een langzamere stroming [13](#page=13). De vergelijking voor het volumestroom ($Q$) is: $$ Q = \frac{\pi r^4}{8\eta} \cdot \frac{\Delta p}{l} $$ waarbij: * $r$ de straal van de binnenkant van de buis is [13](#page=13). * $l$ de lengte van de buis is [13](#page=13). * $\eta$ de viscositeit van de vloeistof is [13](#page=13). * $\Delta p = p_1 - p_2$ het drukverschil over de lengte van de buis is [13](#page=13). De term $\frac{\Delta p}{l}$ wordt de drukgradiënt genoemd [13](#page=13). --- # Gaswetten Gaswetten beschrijven de relatie tussen druk, volume en temperatuur van gassen, met specifieke wetten voor toestandsveranderingen onder verschillende constante omstandigheden [53](#page=53). ### 12.1 Wat zijn gassen? Gassen kenmerken zich door het ontbreken van een eigen volume, waardoor ze de volledige beschikbare ruimte innemen. De moleculen in gassen zijn zeer beweeglijk en gassen zijn samendrukbaar. Er wordt onderscheid gemaakt tussen systemen waar het volume van het gas wel of niet kan veranderen, waarbij een zuigersysteem een manier is om het volume te wijzigen [53](#page=53). ### 12.2 De wetten van Boyle-Mariotte, Regnault en Charles #### 12.2.1 Wet van Boyle-Mariotte De wet van Boyle-Mariotte beschrijft de toestandsverandering van een gas bij een constante temperatuur, ook wel een isotherme toestandsverandering genoemd. Bij constante temperatuur is de druk van een gas omgekeerd evenredig met het volume [53](#page=53). Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als: $p \sim \frac{1}{v}$ of $p \ast V = \text{constante}$ [53](#page=53). In een gesloten systeem geldt: $p_1 \ast V_1 = p_2 \ast V_2$ [53](#page=53). De grafiek van druk ten opzichte van volume is een hyperbool. Wanneer het volume daalt (samendrukking) en de temperatuur gelijk blijft, stijgt de druk [53](#page=53). #### 12.2.2 Wet van Regnault De wet van Regnault (ook bekend als Gay-Lussac bij constant volume) beschrijft de toestandsverandering van een gas bij een constant volume, een isochore toestandsverandering. Bij constant volume is de druk van een gas recht evenredig met de absolute temperatuur [54](#page=54). Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als: $p \sim T$ of $\frac{p}{T} = \text{constante}$ [54](#page=54). In een gesloten systeem geldt: $\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$ of $p_1 \ast T_1 = p_2 \ast T_2$ [54](#page=54). Als de temperatuur van een gas in een gesloten vat toeneemt, zal ook de druk toenemen. De grafiek van druk in functie van temperatuur bij constant volume is een rechte lijn. De druk in een gas kan niet negatief zijn. De temperatuur waarbij de druk nul zou zijn, is de laagst mogelijke temperatuur en is het snijpunt van de rechte met de horizontale temperatuur-as. Dit snijpunt is onafhankelijk van de aard van het gas of het aantal gasmoleculen en ligt op -273,15°C of 0 K [54](#page=54). #### 12.2.3 Wet van Charles (Wet van Gay-Lussac) De wet van Charles (ook bekend als Gay-Lussac bij constante druk) beschrijft de toestandsverandering van een gas bij een constante druk, een isobare toestandsverandering. Bij constante druk is het volume dat een gas inneemt recht evenredig met de absolute temperatuur [55](#page=55). Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als: $V \sim T$ of $\frac{V}{T} = \text{constante}$ [55](#page=55). In een gesloten systeem geldt: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ of $V_1 \ast T_1 = V_2 \ast T_2$ [55](#page=55). Als men een gas in een cilinder met een verplaatsbare zuiger opwarmt, zal het volume toenemen. De grafiek van volume ten opzichte van temperatuur bij constante druk is een rechte lijn. Een ideaal gas zou geen volume innemen bij een temperatuur van -273,15°C of 0 K [55](#page=55). ### 12.3 De ideale gaswet De eerder besproken gaswetten zijn van toepassing op ijle gassen, dat wil zeggen gassen met een lage dichtheid of wanneer er niet te veel gasmoleculen aanwezig zijn. Een ideaal gas kenmerkt zich door [56](#page=56): * Moleculen die vrij en chaotisch bewegen [56](#page=56). * Moleculen die als punten kunnen worden beschouwd (eigenvolume van moleculen is verwaarloosbaar) [56](#page=56). * Het ontbreken van onderlinge krachten tussen de moleculen [56](#page=56). * Volkomen elastische botsingen tussen moleculen onderling en tussen moleculen en de wanden, waarbij zowel de kinetische energie als het impuls behouden blijven [56](#page=56). Door de voorgaande wetten te combineren, komt men tot de algemene ideale gaswet: $\frac{pV}{T} = c$ [56](#page=56). Het aantal moleculen in een stof wordt uitgedrukt in mol. Eén mol bevat evenveel moleculen als er atomen zijn in 12 gram koolstof, wat overeenkomt met 6,022 * 10$^{23}$ moleculen (de constante van Avogadro) [56](#page=56). De normtoestand van een gas is bij een druk $P_0$ van 101325 Pa en een temperatuur $T_0$ van 273,15 K (0°C). In normtoestand neemt een gas een volume in van 22,414 liter, wat geldig is voor elk type gas [56](#page=56). Voor een ideaal gas geldt de ideale gaswet: $PV = n \ast R \ast T$ [56](#page=56). Waarin $n$ het aantal mol is en $R$ een constante is die de universele gasconstante wordt genoemd. De waarde van de universele gasconstante kan berekend worden [56](#page=56): $R = \frac{PV}{nT} = \frac{101325 \text{ Pa} \ast 22.414 \ast 10^{-3} \text{ m}^3}{1 \text{ mol} \ast 273.15 \text{ K}} = 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol} \ast \text{K}}$ [56](#page=56). De ideale gaswet luidt dus: $PV = n \ast R \ast T$, met $R = 8.314 \frac{\text{J}}{\text{mol} \ast \text{K}}$ [56](#page=56). > **Tip:** De ideale gaswet is een fundamentele vergelijking die de relatie tussen druk, volume, temperatuur en de hoeveelheid gas beschrijft. Zorg dat je de eenheden en de constanten correct toepast. ### 12.4 Fasediagram druk ifv temperatuur en het volume van een ideaal gas De druk in een gas is hoger naarmate de temperatuur hoger is en naarmate het volume kleiner is [57](#page=57). ### 12.5 Soortelijke warmte van een ideaal gas Een gas heeft geen vast volume en neemt de grootst mogelijke ruimte in. Bij gassen onderscheiden we twee soorten soortelijke warmte [57](#page=57): * Soortelijke warmte bij constant volume ($C_v$) [57](#page=57). * Soortelijke warmte bij constante druk ($C_p$) [57](#page=57). $C_v$ is kleiner dan $C_p$. Bij $C_v$ wordt alle toegevoegde warmte gebruikt om de interne energie te verhogen, waardoor er minder warmte nodig is om een temperatuurstijging van 1°C te verkrijgen [57](#page=57). ### 12.6 Toestandsveranderingen Een gas kan van de ene toestand (P, V en T) overgaan naar een andere toestand (P', V' en T'). Dit kan door compressie, afkoeling, enzovoort. Er worden vier toestandsveranderingen onderscheiden [58](#page=58): * Isochore toestandsverandering * Isobare toestandsverandering * Isotherme toestandsverandering * Adiabatische toestandsverandering #### 12.6.1 Isochore toestandsverandering Dit is een toestandsverandering waarbij het volume niet verandert. Deze wet is gerelateerd aan Guy-Lussac. Als het volume van een ideaal gas constant is, is de druk recht evenredig met de absolute temperatuur ($p \sim T$). De arbeid geleverd of opgenomen is nul ($W = p \ast \Delta V = 0$) omdat er geen volumeverandering is. Als een gas opwarmt in een gesloten vat, zal de druk toenemen [58](#page=58). #### 12.6.2 Isobare toestandsverandering Dit is een toestandsverandering waarbij de druk constant blijft. Deze wet is gerelateerd aan Charles. Als de druk van een ideaal gas constant blijft, is het volume recht evenredig met de absolute temperatuur ($V \sim T$). De arbeid die geleverd of opgenomen wordt is $W = p \ast \Delta V$. Als men een gas bij constante druk opwarmt, neemt het een groter volume in; het gas expandeert [58](#page=58). #### 12.6.3 Isotherme toestandsverandering Dit is een toestandsverandering waarbij de temperatuur constant blijft. Deze wet is gerelateerd aan Boyle-Mariotte. Als de temperatuur van een ideaal gas constant blijft, is de druk omgekeerd evenredig met het volume ($p \sim \frac{1}{V}$). De arbeid kan worden voorgesteld als de oppervlakte onder de kromme op een $p(V)$-diagram. Aangezien $p = \frac{nRT}{V}$ en $T$ constant is, is de arbeid [58](#page=58): $W = p \ast \Delta V = nRT \ast \frac{\Delta V}{V}$ [58](#page=58). De arbeid is dan: $W = nRT \ast \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)$ [58](#page=58). > **Voorbeeld:** Bij het langzaam comprimeren van een gas in een afgesloten cilinder met een zuiger, waarbij de temperatuur constant gehouden wordt door warmteafgifte aan de omgeving, is de arbeid die geleverd wordt aan het gas te berekenen met deze formule. #### 12.6.4 Adiabatische toestandsverandering Dit is een toestandsverandering waarbij geen warmte wordt uitgewisseld met de omgeving. Dit gebeurt door het systeem thermisch te isoleren of door het proces zeer snel te laten verlopen. Voorbeelden zijn pompen, turbines en compressoren. Het snel samendrukken van lucht in een fietspomp is een voorbeeld [59](#page=59). Aangezien er geen warmte wordt uitgewisseld, zal de arbeid de interne energie van het gas veranderen. Als er arbeid op het gas wordt geleverd, leidt dit tot een toename van de interne energie van het gas [59](#page=59). De relatie tussen druk en volume is: $p \ast V^\gamma = \text{constante}$ of $p_1 \ast V_1^\gamma = p_2 \ast V_2^\gamma$ [59](#page=59). Hierin is $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$. Aangezien $C_p > C_v$, is $\gamma > 1$. Dit staat bekend als de eerste wet van Poisson [59](#page=59). De relatie tussen temperatuur en volume is: $T \ast V^{\gamma-1} = \text{constante}$ of $T_1 \ast V_1^{\gamma-1} = T_2 \ast V_2^{\gamma-1}$ [59](#page=59). Omdat $\gamma > 1$, is een adiabatische kromme steiler dan een isotherme kromme op een $p(V)$-diagram. Bij adiabatische expansie daalt de druk sterker dan bij een isotherme expansie. Dit wordt de tweede wet van Poisson genoemd [59](#page=59). > **Tip:** De adiabatische toestandsverandering is cruciaal voor het begrijpen van processen zoals de werking van verbrandingsmotoren en de compressie van gassen. Houd de relatie tussen druk, volume en temperatuur goed bij. --- # Temperatuurmeting en temperatuurschalen Dit onderwerp behandelt de principes achter temperatuurmeting, de verschillende temperatuurschalen en gerelateerde concepten zoals thermische uitzetting en warmteoverdracht. ### 6.1 Thermische evenwicht en de nulde wet van de thermodynamica Temperatuur is een maat voor de warmte-inhoud van een systeem. Wanneer twee systemen in thermisch contact komen en er geen netto warmtestroom plaatsvindt, zijn ze in thermisch evenwicht. De nulde wet van de thermodynamica stelt dat als twee systemen elk in thermisch evenwicht zijn met een derde systeem, ze ook in thermisch evenwicht met elkaar zijn. Dit principe vormt de basis voor temperatuurmeting met thermometers [35](#page=35). ### 6.2 Principes van temperatuurmeting Temperatuurmeting maakt gebruik van eigenschappen van materie die variëren met temperatuur. Verschillende soorten thermometers maken hier gebruik van: * **Vloeistofthermometer**: Deze thermometers zijn gebaseerd op de thermische uitzetting van een vloeistof (meestal kwik) in een reservoir en een smalle buis. Wanneer de temperatuur stijgt, zet de vloeistof uit en stijgt het niveau in de buis; bij daling krimpt de vloeistof en daalt het niveau. Een nadeel is het beperkte meetbereik door kook- en vriespunten van de vloeistof [35](#page=35). * **Gasthermometer**: Hierbij wordt de temperatuur bepaald door de druk van een gas in een reservoir. Door een niveauverschil tussen twee armen van een manometer te meten, kan de temperatuur worden afgeleid. Dit type thermometer is onafhankelijk van het soort gas [36](#page=36). * **Bimetaalthermometer**: Deze thermometer maakt gebruik van twee verschillende metalen strips die aan elkaar zijn bevestigd. Omdat de metalen een verschillende uitzettingscoëfficiënt hebben, buigt de strip bij temperatuurverandering, wat een wijzer kan aansturen [36](#page=36). * **Thermistor**: Dit is een halfgeleider waarvan de elektrische weerstand sterk afhankelijk is van de temperatuur. Thermistoren hebben een groot meetbereik en kunnen zowel een positieve temperatuurcoëfficiënt (PTC) als een negatieve temperatuurcoëfficiënt (NTC) hebben [36](#page=36). * **Contactloze temperatuurmeting**: Deze methode meet de infrarode straling die door een voorwerp wordt uitgezonden, waarvan de frequentie afhankelijk is van de temperatuur [36](#page=36). ### 6.3 Temperatuurschalen Verschillende schalen worden gebruikt om temperaturen aan te geven: * **Graden Celsius (°C)**: Gebaseerd op de smelt- en kookpunten van water bij standaard atmosferische druk. Smeltwater heeft een waarde van 0 °C en kokend water 100 °C [37](#page=37). * **Graden Fahrenheit (°F)**: Een historische schaal met referentiepunten zoals het vriespunt van water (32 °F) en lichaamstemperatuur. De relatie met Celsius is [37](#page=37): * 0 °C = 32 °F * 100 °C = 212 °F * **Kelvin (K)**: De absolute temperatuurschaal, waarbij 0 K het absolute nulpunt is (-273,15 °C), de temperatuur waarbij deeltjes geen kinetische energie meer hebben. Een verandering van 1 K is gelijk aan een verandering van 1 °C [37](#page=37). * Conversie van Celsius naar Kelvin: $T(\text{K}) = T(^\circ\text{C}) + 273.15$ [37](#page=37). * Voorbeeld: 27 °C is gelijk aan $27 + 273.15 = 300.15$ K [37](#page=37). ### 6.4 Thermische uitzetting Thermische uitzetting is het fenomeen waarbij materie uitzet bij temperatuurstijging en krimpt bij temperatuurdaling. * **Lineaire uitzetting**: Voor een langwerpig voorwerp wordt de lengteverandering ($\Delta l$) gegeven door: $$ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T $$ waarbij $l_0$ de beginlengte is en $\alpha$ de lineaire uitzettingscoëfficiënt van het materiaal. De totale lengte $l$ na uitzetting is [37](#page=37): $$ l = l_0 (1 + \alpha \Delta T) $$ * **Volumetrische uitzetting**: De volumeverandering ($\Delta V$) van een voorwerp wordt gegeven door: $$ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T $$ waarbij $V_0$ het beginvolume is en $\gamma$ de kubieke uitzettingscoëfficiënt van het materiaal. De totale volume $V$ na uitzetting is [37](#page=37): $$ V = V_0 (1 + \gamma \Delta T) $$ * **Verband tussen $\alpha$ en $\gamma$**: Voor isotrope materialen is de kubieke uitzettingscoëfficiënt ongeveer drie keer de lineaire uitzettingscoëfficiënt: $$ \gamma \approx 3\alpha $$ Dit volgt uit de uitzetting van een kubus waarbij elke zijde uitzet met $l = l_0(1 + \alpha \Delta T)$, wat leidt tot $V = V_0(1 + 3\alpha \Delta T + \dots)$. De hogere orde termen worden verwaarloosd voor kleine $\Delta T$ [38](#page=38). * **Speciaal gedrag van water**: Water gedraagt zich atypisch tussen 0 °C en 4 °C, waar het krimpt bij opwarming in plaats van uitzet. Dit heeft belangrijke gevolgen voor het leven in waterige ecosystemen [44](#page=44). ### 6.5 Soortelijke warmte Soortelijke warmte ($c$) is de hoeveelheid warmte die nodig is om de temperatuur van 1 kilogram van een stof met 1 graad Celsius (of Kelvin) te verhogen. De relatie tussen toegevoegde warmte ($Q$), massa ($m$), soortelijke warmte ($c$) en temperatuurverandering ($\Delta T$) is [38](#page=38): $$ Q = c \cdot m \cdot \Delta T $$ De eenheid van soortelijke warmte is vaak joule per kilogram per Kelvin (J/kg·K) of calorie per gram per graad Celsius (cal/g·°C) [38](#page=38). * **Bepaling van soortelijke warmte met een calorimeter**: Een calorimeter wordt gebruikt om de soortelijke warmte van een stof te meten. Hierbij wordt de warmte-uitwisseling tussen de calorimeter, water en de te meten stof geanalyseerd [39](#page=39). * De warmtecapaciteit van de calorimeter ($w_{cal}$) wordt bepaald door de warmte-uitwisseling tussen water en de calorimeter te meten: $$ w_{cal} = c_w \cdot m_w \cdot \frac{T_w - T_e}{T_e - T_{cal}} $$ waarbij $c_w$ de soortelijke warmte van water is (ca. 1 cal/g·°C of 1 cal/g·K), $m_w$ de massa water, $T_w$ de temperatuur van het water, $T_{cal}$ de temperatuur van de calorimeter en $T_e$ de eindtemperatuur [39](#page=39). * De soortelijke warmte ($c_s$) van een stof wordt berekend met: $$ c_s = \frac{(c_w \cdot m_w + w_{cal}) \cdot (T_e - T_b)}{m_s \cdot (T_s - T_e)} $$ waarbij $m_s$ de massa van de stof is, $T_s$ de temperatuur van de stof en $T_b$ de temperatuur van het water en de calorimeter vóór het toevoegen van de stof [39](#page=39). ### 6.6 Aggregatietoestanden en latente warmte Zuivere stoffen kunnen voorkomen in vaste, vloeibare en gasvormige fasen. Overgangen tussen deze fasen vereisen energie-uitwisseling, bekend als latente warmte [40](#page=40). * **Latente smeltwarmte ($L_s$)**: De hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kg van een vaste stof bij het smeltpunt om te zetten in vloeistof [40](#page=40). $$ Q = L_s \cdot m $$ * **Latente verdampingswarmte ($L_v$)**: De hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kg van een vloeistof bij het kookpunt om te zetten in gas [41](#page=41). $$ Q = L_v \cdot m $$ Deze waarden zijn constant bij een gegeven druk en temperatuur. ### 6.7 Faseovergangen en druk De temperatuur waarbij een faseovergang plaatsvindt, zoals koken of smelten, is afhankelijk van de uitwendige druk [41](#page=41). * **Verdampen en condenseren**: Wanneer een vloeistof in een gesloten vat verdampt, neemt de druk van de damp toe totdat een dynamisch evenwicht is bereikt, de zogenaamde verzadigingsdruk. De verzadigingsdruk is een functie van de temperatuur [41](#page=41). * **Koken**: Een vloeistof kookt wanneer de verzadigingsdruk gelijk is aan de uitwendige druk. Een hogere uitwendige druk leidt tot een hogere kooktemperatuur (bv. snelkookpan), en een lagere druk tot een lagere kooktemperatuur (bv. koken op grote hoogte of in vacuüm) [42](#page=42). * **Fasediagrammen**: Een fasediagram toont de verschillende fasen van een stof als functie van temperatuur en druk. Belangrijke lijnen in een fasediagram zijn [43](#page=43): * **Smeltlijn**: Grens tussen vaste en vloeibare fase. * **Kooklijn**: Grens tussen vloeibare en gasfase. * **Sublimatielijn**: Grens tussen vaste en gasfase. * **Tripelpunt**: Het unieke punt waar alle drie de fasen in evenwicht zijn [45](#page=45). * **Kritisch punt**: Boven dit punt is er geen onderscheid meer tussen vloeistof en gas; men spreekt van een superkritische vloeistof [44](#page=44). ### 6.8 Warmteoverdracht Warmteoverdracht is de interne energie die van een systeem met hogere temperatuur naar een systeem met lagere temperatuur wordt overgedragen. Er zijn drie hoofdwegen voor warmteoverdracht [47](#page=47): * **Geleiding (Conductie)**: Warmteoverdracht door direct contact tussen deeltjes. Dit treedt op in vaste stoffen, vloeistoffen en gassen. De hoeveelheid warmte ($Q$) die per tijdseenheid ($\Delta t$) door een wand stroomt is beschreven door de Wet van Fourier [47](#page=47): $$ \Phi = \lambda \cdot \frac{A \cdot \Delta T}{\delta} $$ waarbij $\lambda$ de warmtegeleidingscoëfficiënt is, $A$ het oppervlak, $\Delta T$ het temperatuurverschil en $\delta$ de dikte van de wand (#page=47, 48). Voor gelaagde wanden wordt de totale weerstand bepaald door de som van de weerstanden van de individuele lagen [47](#page=47) [48](#page=48). * **Convectie**: Warmteoverdracht door de beweging van materie (vloeistoffen of gassen). Warmere, minder dichte materie stijgt en neemt warmte mee naar koelere gebieden [48](#page=48). * **Vrije convectie**: Gedreven door dichtheidsverschillen als gevolg van temperatuurverschillen (bv. opwarming van water in een pan) [49](#page=49). * **Gedwongen convectie**: Gedreven door externe middelen zoals ventilatoren of pompen. De warmtestroom ($\Phi$) door convectie is: $$ \Phi = \alpha \cdot A \cdot \Delta T $$ waarbij $\alpha$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt is [49](#page=49). * **Straling**: Warmteoverdracht door elektromagnetische golven, zonder direct contact. De zon straalt warmte uit die de aarde opwarmt. De intensiteit van de uitgezonden straling is afhankelijk van de temperatuur en het oppervlak van het voorwerp [49](#page=49). * **Zwart lichaam**: Een ideaal lichaam dat alle invallende straling absorbeert [49](#page=49). * **Wet van Stefan-Boltzmann**: Beschrijft het vermogen ($\Phi$) uitgestraald door een zwart lichaam: $$ \Phi = \sigma \cdot A \cdot T^4 $$ waarbij $\sigma$ de constante van Stefan-Boltzmann is en $T$ de absolute temperatuur [50](#page=50). * **Emissiviteit ($e$)**: De verhouding tussen de door een lichaam uitgestraalde energie en de door een zwart lichaam uitgestraalde energie bij dezelfde temperatuur. Voor een niet-zwart lichaam geldt: $$ \Phi = e \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4 $$ waarbij $0 \le e \le 1$ [51](#page=51). * **Wet van Wien**: Relateert de golflengte van maximale straling ($\lambda_{max}$) aan de absolute temperatuur ($T$) van een zwart lichaam: $$ \lambda_{max} = \frac{b}{T} $$ waarbij $b$ de constante van Wien is [50](#page=50). * **Energiebalans**: Een voorwerp warmt op als de ontvangen straling groter is dan de uitgestraalde straling. Het koelt af als de uitgestraalde straling groter is dan de ontvangen straling. Thermisch evenwicht wordt bereikt wanneer ontvangen en uitgestraalde straling gelijk zijn. Thermografie maakt gebruik van infrarode straling om de temperatuur van objecten zichtbaar te maken [51](#page=51). --- # Trillingen en harmonische bewegingen Dit hoofdstuk behandelt de principes van trillingen en harmonische bewegingen, de bijbehorende wiskundige beschrijvingen, energievormen, en specifieke toepassingen zoals gedempte, gedwongen en samengestelde trillingen, de mathematische slinger, en lopende en staande golven. ### 7.1 Trillingen en de wet van Hooke Een trilling is een heen en weergaande beweging, zoals die van een veer of een dobber op het water. Bij het bestuderen van trillingen wordt het statische gedrag van een massa aan een veer onderzocht. De uitrekking van een veer is recht evenredig met de uitgeoefende kracht, beschreven door de Wet van Hooke [14](#page=14): $F = k \cdot \Delta y$ [14](#page=14). Hierbij is $F$ de kracht, $k$ de veerconstante (ook wel evenredigheidsconstante genoemd, uitgedrukt in N/m) die afhankelijk is van de veer zelf, en $\Delta y$ de uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand. Een hogere veerconstante betekent dat er meer kracht nodig is om de veer uit te rekken [14](#page=14). De bewegingsvergelijking voor een massa aan een veer, gebaseerd op de tweede wet van Newton, is: $m \cdot a = -k \cdot y$ [14](#page=14). Hierin is $m$ de massa, $a$ de versnelling, $k$ de veerconstante, en $y$ de positie. Het minteken geeft aan dat de veerkracht tegengesteld gericht is aan de uitwijking; als de positie $y$ negatief is, is de kracht positief (en dus naar boven gericht) [14](#page=14). ### 7.2 Beschrijving van harmonische bewegingen De op- en neergaande beweging van een trilling kan worden beschreven met een sinusfunctie: $y = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$ [14](#page=14). * $A$ is de **amplitude**, de maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand, die altijd positief is [14](#page=14). * $\omega$ is de **pulsatie** of hoekfrequentie. * $\varphi_0$ is de **beginfase**, die afhangt van het startpunt van de trilbeweging [15](#page=15). * $y$ is de **uitwijking** of elongatie ten opzichte van de evenwichtsstand [14](#page=14). Een sinusfunctie varieert tussen -1 en +1, terwijl de uitwijking $y$ varieert tussen $-A$ en $+A$ [15](#page=15). De relatie tussen de pulsatie $\omega$ en de periode $T$ (de tijd voor één volledige trilling) is: $\omega = \frac{2\pi}{T}$ [15](#page=15). De frequentie $f$ is het omgekeerde van de periode: $f = \frac{1}{T}$ [15](#page=15). Hieruit volgt ook: $\omega = 2\pi f$ [15](#page=15). De periode $T$ en pulsatie $\omega$ zijn onafhankelijk van de amplitude $A$. Experimenteel kan worden aangetoond dat het kwadraat van de periode $T$ evenredig is met de massa $m$ en omgekeerd evenredig is met de veerconstante $k$ [15](#page=15): $T^2 \sim m$ en $T^2 \sim \frac{1}{k}$ [15](#page=15). Dit leidt tot de volgende relaties voor de pulsatie en periode van een massa aan een veer: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ [15](#page=15). $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ [15](#page=15). Een beweging beschreven door $y = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$ wordt een **harmonische beweging** genoemd [15](#page=15). #### 7.2.1 Krachten en snelheid in harmonische beweging * **Kracht:** De kracht is maximaal in de uiterste punten (keerpunten) van de beweging en nul in de evenwichtspositie. Hoe groter de uitwijking $y$, hoe groter de kracht [16](#page=16). * **Snelheid:** De snelheid is nul in de keerpunten en maximaal als de massa door de evenwichtspositie gaat. De snelheid varieert harmonisch en kan worden beschreven als: $v = v_{max} \cdot \cos(\omega t + \varphi_0)$ [16](#page=16). Hierin is $v_{max}$ de maximale snelheid. ### 7.3 Energie in een harmonische trilling Een uitgerekte of ingedrukte veer bezit potentiële energie ($E_{pot}$), terwijl een bewegende massa kinetische energie ($E_{kin}$) bezit. * **Potentiële energie:** $E_{pot} = \frac{1}{2} k (\Delta y)^2$ [16](#page=16). * **Kinetische energie:** $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2$ [16](#page=16). De totale energie ($E_{tot}$) van het systeem is de som van de potentiële en kinetische energie en blijft constant bij een ideale (niet-gedempte) trilling: $E_{pot} + E_{kin} = E_{tot}$ [16](#page=16). $\frac{1}{2} k y^2 + \frac{1}{2} m v^2 = E_{tot}$ [16](#page=16). #### 7.3.1 Energie in de keerpunten en evenwichtspositie * **Keerpunten:** In de keerpunten is de uitwijking gelijk aan de amplitude ($y = A$). Hier is de potentiële energie maximaal en de kinetische energie nul. Dus, $E_{tot} = E_{pot, max}$. $E_{tot} = \frac{1}{2} k A^2$ [16](#page=16). Deze totale energie kan ook worden uitgedrukt als $E_{tot} = 2\pi^2 m A^2 f^2$ [16](#page=16). * **Evenwichtspositie:** In de evenwichtspositie ($y=0$) is de potentiële energie nul en de snelheid maximaal ($v=v_{max}$). Hier is de kinetische energie maximaal en gelijk aan de totale energie. Dus, $E_{tot} = E_{kin, max}$. $\frac{1}{2} m v_{max}^2 = E_{tot}$ [17](#page=17). Hieruit kan de maximale snelheid worden afgeleid: $v_{max}^2 = \frac{k}{m} A^2$ [17](#page=17). $v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m}} A = \omega A$ [17](#page=17). ### 7.4 Gedempte trillingen Een gedempte trilling houdt rekening met wrijvingskrachten ($F_w$). De bewegingsvergelijking wordt dan: $F_v + F_w = -ky - \mu v = ma$ [17](#page=17). Hierbij is $\mu$ een dempingscoëfficiënt. De algemene oplossing voor de bewegingsvergelijking is van de vorm: $y = A \cdot e^{-\gamma t} \cdot \sin(\omega_1 t + \varphi_0)$ [17](#page=17). Hierin is $\gamma = \frac{\mu}{2m}$. Een grotere demping $\mu$ leidt tot een grotere $\gamma$. De pulsatie $\omega_1$ van de gedempte trilling is kleiner dan de pulsatie van de ongedempte trilling, en neemt toe naarmate de demping groter wordt. De functie bestaat uit een harmonische beweging ($\sin(\omega_1 t + \varphi_0)$) waarvan de amplitude exponentieel afneemt ($A \cdot e^{-\gamma t}$) [17](#page=17). ### 7.5 Gedwongen trillingen en resonantie Een gedwongen trilling treedt op wanneer een systeem wordt onderworpen aan een externe, periodieke drijvende kracht, vaak van de vorm $F = F_0 \sin(\omega t)$. De bewegingsvergelijking wordt dan [18](#page=18): $ma = -kx - \mu v + F_{drive}(t)$ [18](#page=18). Na enige tijd zal het systeem trillen met dezelfde pulsatie als de drijvende kracht: $y = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$ [18](#page=18). De amplitude $A$ van deze gedwongen trilling is evenredig met de amplitude $F_0$ van de drijvende kracht en neemt af met toenemende demping $\mu$. De formule voor de amplitude is [18](#page=18): $A = \frac{F_0}{m \sqrt{(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + (\frac{\mu}{m}\omega)^2}}$ [18](#page=18). Hierin is $\omega_0$ de eigenpulsatie van het systeem. **Resonantie** treedt op wanneer de drijvende pulsatie $\omega$ dicht bij de ongedempte eigenpulsatie $\omega_0$ van het systeem ligt. De amplitude van de trilling wordt dan significant groter, wat betekent dat de drijvende kracht efficiënt wordt overgedragen op het systeem. Resonantie vindt plaats wanneer $\omega = \omega_0$ [18](#page=18). De eigenfrequentie van een veersysteem is: $f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ [18](#page=18). ### 7.6 De mathematische slinger Een mathematische slinger is een ideaal geval van een slinger met een touw zonder massa dat niet kan uitrekken. De terugroepende kracht op de massa is evenredig aan de uitwijking, wat resulteert in een harmonische beweging. De kracht die de beweging veroorzaakt is de tangentiële component van de gravitatiekracht ($F_g = mg$): $F_T = F_g \sin(\theta) = mg \sin(\theta)$ [19](#page=19) [22](#page=22). Voor kleine uitslagen ($\theta$), waarbij $\sin(\theta) \approx \theta$ (uitgedrukt in radialen), wordt de kracht: $F_T = -mg\theta$ [22](#page=22). De booglengte $s$ is gerelateerd aan de hoek $\theta$ door $s = l \theta$, waarbij $l$ de lengte van de slinger is. Hiermee wordt de kracht uitgedrukt in termen van de booglengte [19](#page=19) [22](#page=22): $F_T = -\frac{mg}{l} s$ [19](#page=19) [22](#page=22). Dit is in de vorm $F = -k's$, met een effectieve veerconstante $k' = \frac{mg}{l}$ [19](#page=19) [22](#page=22). De beweging kan worden beschreven als: $s = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$ [19](#page=19) [22](#page=22). met een pulsatie $\omega$: $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ [19](#page=19) [22](#page=22). De periode $T$ van een mathematische slinger is: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ [19](#page=19) [22](#page=22). ### 7.7 Samengestelde trillingen #### 7.7.1 Loodrechte trillingen Bij twee trillingen loodrecht op elkaar, beweegt het eindpunt een figuur in de ruimte die bekend staat als een Lissajousfiguur. De complexiteit van deze figuren hangt af van de verhouding van de frequenties van de twee trillingen [20](#page=20). #### 7.7.2 Trillingen met dezelfde trilrichting Wanneer twee trillingen dezelfde trilrichting hebben, is de resulterende beweging de som van de individuele trillingen: $y_r = y_1 + y_2 = A_1 \sin(\omega_1 t + \varphi_1) + A_2 \sin(\omega_2 t + \varphi_2)$ [21](#page=21). Deze resulterende beweging is niet noodzakelijk een harmonische beweging [21](#page=21). Indien de trillingen dezelfde periode (en dus dezelfde pulsatie $\omega$) hebben, is de resulterende beweging wel een harmonische trilling met een nieuwe amplitude $A_r$ en beginfase $\varphi_r$: $y_r = A_r \sin(\omega t + \varphi_r)$ [21](#page=21). De beginfase $\varphi_r$ kan bepaald worden met: $\tan(\varphi_r) = \frac{A_1 \sin(\varphi_1) + A_2 \sin(\varphi_2)}{A_1 \cos(\varphi_1) + A_2 \cos(\varphi_2)}$ [21](#page=21). De resulterende amplitude $A_r$ kan worden berekend met de wet van de cosinus (door fasoren vectorieel op te tellen): $A_r^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ [21](#page=21). ### 7.8 Lopende golven Een golf is een verstoring die zich door een medium verplaatst. De uitwijking $y$ van een punt op een medium dat een golf ondergaat, kan worden beschreven als een functie van positie $x$ en tijd $t$. Voor een algemene verstoring die zich met snelheid $v$ voortplant [23](#page=23): $y = f(t - \frac{x}{v})$ [23](#page=23). Als de verstoring periodiek is, spreken we van periodieke golven. Een periodieke golf kan worden beschreven door: $y = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)$ [23](#page=23). * $A$ is de amplitude [23](#page=23). * $\lambda$ is de **golflengte**, de afstand tussen twee opeenvolgende toppen of dalen van de golf [23](#page=23). * $T$ is de periode [23](#page=23). De relatie tussen golflengte, snelheid en periode is: $\lambda = v \cdot T$ [23](#page=23). De uitwijking van een punt op het medium voor een lopende golf wordt gegeven door: $y = A \cdot \sin(\omega(t - \frac{x}{v}) + \varphi_0)$ [23](#page=23). Dit beschrijft een **rechtslopende golf**. De pulsatie $\omega$ is gerelateerd aan de periode $T$ door $\omega = \frac{2\pi}{T}$ [23](#page=23). Het **golfgetal** $k$ wordt gedefinieerd als: $k = \frac{\omega}{v} = \frac{2\pi}{\lambda}$ [23](#page=23). De vergelijking voor een rechtslopende golf kan herschreven worden als: $y = A \cdot \sin(\omega t - kx + \varphi_0)$ [24](#page=24). Voor een **linkslopende golf** wordt $x$ vervangen door $-x$: $y = A \cdot \sin(\omega t + kx + \varphi_0)$ [24](#page=24). #### 7.8.1 Soorten golven * **Transversale golf:** De trillingsrichting staat loodrecht op de voortplantingsrichting van de golf (bv. golf op een touw) [24](#page=24). * **Longitudinale golf:** De trillingsrichting is gelijk aan de voortplantingsrichting van de golf (bv. geluidsgolven) [24](#page=24). #### 7.8.2 Het principe van Huygens Volgens het principe van Huygens kan elk punt van een golffront worden beschouwd als een nieuwe puntvormige trillingsbron. Dit principe verklaart fenomenen als breking, buiging en reflectie [25](#page=25). * **Gereflecteerde golven:** De invalshoek is gelijk aan de uitgangshoek [25](#page=25). * **Gebroken golven:** Golven veranderen van snelheid wanneer ze van het ene medium naar het andere gaan [25](#page=25). * **Gebogen golven (Diffractie):** Golven buigen om obstakels heen, waarbij de buiging sterker is bij kleinere openingen [26](#page=26). #### 7.8.3 Energietransport door golven Een golf transporteert energie. De energie van een trilling is gegeven door $E = 2\pi^2 m A^2 f^2$ [26](#page=26). * Bij een golf die zich in één richting voortplant, is de amplitude overal gelijk en verplaatst de energie zich ook in die richting [26](#page=26). * Bij cirkelvormige voortplanting neemt de amplitude af met de afstand tot de bron ($A \sim \sqrt{r}$) [26](#page=26). * Bij sferische voortplanting (in 3D) neemt de amplitude ook af met de afstand tot de bron ($A \sim \frac{1}{r}$) [26](#page=26). #### 7.8.4 Interferentie van golven Interferentie treedt op wanneer twee of meer golven zich in hetzelfde gebied voortplanten. Het **superpositiebeginsel** stelt dat de resulterende uitwijking de som is van de individuele uitwijkingen [27](#page=27). * **Constructieve interferentie:** De golven versterken elkaar optimaal, wat gebeurt als de golffronten in fase zijn [27](#page=27). Dit treedt op als het verschil in afgelegde weg gelijk is aan een geheel aantal golflengtes: $d_2 - d_1 = n\lambda$, waarbij $n$ een geheel getal is [28](#page=28). * **Destructieve interferentie:** De golven zwakken elkaar af of heffen elkaar volledig op, wat gebeurt als de golffronten in tegenfase zijn [27](#page=27). Dit treedt op als het verschil in afgelegde weg een oneven veelvoud van een halve golflengte is: $d_2 - d_1 = (2n+1)\frac{\lambda}{2}$, waarbij $n$ een geheel getal is [28](#page=28). Voor twee golven met dezelfde frequentie en beginfase kan de resulterende uitwijking worden beschreven als: $y_p = A' \sin(\omega t - \varphi_0)$ [27](#page=27). met een resulterende amplitude die afhankelijk is van de positie: $A' = 2A \cos(k \frac{d_2-d_1}{2})$ [27](#page=27). ### 7.9 Staande golven Staande golven ontstaan wanneer golven met dezelfde amplitude en frequentie elkaar ontmoeten, meestal door reflectie aan de grenzen van een medium. In een begrensd medium (zoals een snaar, metalen plaat of geluid in een buis) bewegen golven heen en weer en worden ze gereflecteerd, waarbij soms een fasesprong van $\pi$ optreedt. De resulterende trilling is de superpositie van de heen- en weggolven [28](#page=28) [29](#page=29). Voor een snaar van lengte $L$ die aan beide uiteinden vastzit, zijn alleen golven mogelijk waarbij de lengte een veelvoud is van een halve golflengte: $L = n \frac{\lambda}{2}$ [29](#page=29). Hierin is $n$ een natuurlijk getal ($n=1, 2, 3, ...$). Deze vergelijking bepaalt de mogelijke frequenties die in het systeem kunnen optreden, de zogenaamde boventonen of harmonischen: $f = \frac{n v}{2L}$ [29](#page=29). De laagste frequentie ($n=1$) is de grondfrequentie. De golf bij de $n$-de harmonische is: $y_p = 2A \sin(kx) \cdot \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ [29](#page=29). #### 7.9.1 Knopen en buiken * **Knopen:** Punten waar de amplitude nul is en die niet bewegen. Dit gebeurt wanneer $\sin(kx) = 0$, oftewel: $kx = m\pi$, met $m \in \mathbb{N}$ [30](#page=30). Hieruit volgt: $x = m \frac{\lambda}{2} = \frac{m}{n} L$ voor de $n$-de harmonische [30](#page=30). * **Buiken:** Punten met maximale amplitudes. Dit gebeurt wanneer $|\sin(kx)| = 1$, oftewel: $kx = (2m+1)\frac{\pi}{2}$ [30](#page=30). De buiken liggen tussen de knopen [30](#page=30). ### 7.10 Geluid en elektromagnetische golven #### 7.10.1 Elektromagnetische golven Elektromagnetische golven ontstaan door de beweging van geladen deeltjes. Een versnelde lading veroorzaakt een veranderend elektrisch veld, wat weer een veranderend magnetisch veld opwekt, en vice versa. Deze onderling afhankelijke, veranderende velden planten zich voort als golven [31](#page=31). * Elektromagnetische golven zijn transversaal [31](#page=31). * Het elektrische veld ($\vec{E}$) en het magnetische veld ($\vec{B}$) staan loodrecht op elkaar en op de voortplantingsrichting [31](#page=31). * In vacuüm planten alle elektromagnetische golven zich voort met de lichtsnelheid $c$: $c \approx 300000$ km/s [31](#page=31). De relatie tussen snelheid, golflengte ($\lambda$) en frequentie ($f$) is: $c = \lambda \cdot f$ [31](#page=31). #### 7.10.2 Interferentie en diffractie van licht Licht, als een vorm van elektromagnetische straling, vertoont ook interferentie en diffractie [33](#page=33). * **Interferentie:** Wanneer lichtgolven elkaar ontmoeten, kunnen ze elkaar versterken (constructief) of opheffen (destructief). Dit is het duidelijkst bij coherente lichtbronnen, zoals lasers. Het verschil in weglengte is hierbij cruciaal [33](#page=33): * Constructieve interferentie: $2d \cos(\alpha) = n\lambda$ * Destructieve interferentie: $2d \cos(\alpha) = (2n+1)\frac{\lambda}{2}$ Hierin is $d$ de dikte van de laag, $\alpha$ de kijkhoek, en $\lambda$ de golflengte van het licht [33](#page=33). * **Diffractie (buiging):** Licht buigt om obstakels of door smalle spleten. Dit leidt tot een diffractiepatroon, zoals een centrale heldere vlek met daarnaast minder heldere vlekken. Hoe smaller de spleet, hoe verder de vlekken uit elkaar liggen. Bij twee spleten treedt ook interferentie op, wat leidt tot een interferentiepatroon [33](#page=33). #### 7.10.3 Het foto-elektrisch effect Licht dat op een metaaloppervlak valt, kan elektronen vrijmaken, wat een elektrische stroom veroorzaakt. Dit effect wordt gebruikt in zonnepanelen en digitale fototoestellen [34](#page=34). * De intensiteit van het licht bepaalt de sterkte van de stroom [34](#page=34). * Licht met een lage frequentie genereert echter geen stroom, omdat de energie van de fotonen te laag is om een elektron vrij te maken. Een minimale energie is nodig om een elektron te bevrijden [34](#page=34). * De energie van een foton is evenredig met zijn frequentie: $E = h \cdot \nu$ [34](#page=34). Hierin is $h$ de constante van Planck ($h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ J·s) en $\nu$ is de frequentie. Fotonen van blauw licht hebben bijvoorbeeld hogere energie dan fotonen van rood licht [34](#page=34). #### 7.10.4 Duaal karakter van licht Licht bezit zowel golf- als deeltjeskarakteristieken, wat wordt aangeduid als het duale karakter van licht [34](#page=34). --- # Interferentie en diffractie van licht, foto-elektrisch effect en het duale karakter van licht Dit onderwerp verkent fundamentele optische verschijnselen zoals interferentie en diffractie, de interactie van licht met materie in het foto-elektrisch effect, en de intrigerende dualiteit van licht als zowel golf als deeltje. ### 8.1 Interferentie en diffractie van licht Licht kan, net als andere golven, verschijnselen van interferentie en diffractie vertonen [33](#page=33). #### 8.1.1 Interferentie van licht Interferentie treedt op wanneer twee of meer golven zich in hetzelfde gebied bevinden en hun storingen elkaar optellen of afzwakken [27](#page=27). * **Superpositiebeginsel:** De resulterende uitwijking op een bepaald punt is de som van de individuele uitwijkingen van de overlappende golven [27](#page=27). * **Constructieve interferentie:** Treedt op wanneer de golven elkaar versterken. Dit gebeurt wanneer het verschil in afgelegde weg een geheel aantal golflengtes is [27](#page=27) [28](#page=28): $d_2 - d_1 = n\lambda$, waarbij $n$ een geheel getal is [28](#page=28). * **Destructieve interferentie:** Treedt op wanneer de golven elkaar afzwakken of volledig opheffen. Dit gebeurt wanneer het verschil in afgelegde weg een oneven veelvoud van een halve golflengte is [27](#page=27) [28](#page=28): $d_2 - d_1 = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$, waarbij $n$ een geheel getal is [28](#page=28). * **Coherente lichtbronnen:** Interferentie van licht is duidelijk waarneembaar bij coherente lichtbronnen, zoals lasers, omdat deze golven in fase zijn [33](#page=33). * **Incoherente lichtbronnen:** De meeste natuurlijke lichtbronnen zijn incoherent, wat betekent dat de fase van de lichtgolven verschillend is. Hierdoor is interferentie zelden waarneembaar [33](#page=33). Bij interferentie van licht op een olielaag op water is het verschil in weglengte gelijk aan $2d\cos(\alpha)$, waarbij $d$ de dikte van de olielaag is en $\alpha$ de hoek van observatie [33](#page=33). #### 8.1.2 Diffractie van licht Diffractie, of buiging, treedt op wanneer licht om een obstakel heen buigt of door een smalle opening gaat [25](#page=25) [33](#page=33). * **Buiging door een smalle spleet:** Wanneer een laserstraal op een smalle spleet valt, ontstaat een diffractiepatroon met een centrale heldere lichtvlek, geflankeerd door minder heldere lichtvlekken. Hoe smaller de spleet, hoe verder de lichtvlekken uit elkaar liggen [33](#page=33). * **Buiging door twee spleten (Experiment van Young):** Wanneer een laserstraal op twee spleten valt, ontstaat een interferentiepatroon. Er verschijnen donkere zones (destructieve interferentie), maar als men één spleet afdekt, blijkt er toch licht te vallen in deze zones, wat aantoont dat het de interactie van de golven van beide spleten is die de donkere zones veroorzaakt [33](#page=33). ### 8.2 Foto-elektrisch effect Het foto-elektrisch effect beschrijft het fenomeen waarbij licht dat op een metaaloppervlak valt, elektronen uit het metaal kan vrijmaken, wat resulteert in een elektrische stroom [34](#page=34). * **Intensiteit en stroom:** Een hogere intensiteit van het invallende licht leidt tot een sterkere elektrische stroom [34](#page=34). * **Frequentie en stroom:** Licht met een lage frequentie genereert echter geen stroom, ongeacht de intensiteit [34](#page=34). * **Fotonen:** Licht kan worden beschouwd als een bundel deeltjes, fotonen genaamd [34](#page=34). * **Energie van fotonen:** Fotonen van licht met een lage frequentie hebben een lage energie. Om een elektron uit het metaal vrij te maken, is een minimale energie nodig, de zogenaamde uittree-energie. Als de energie van een invallend foton te laag is, kan het geen elektron vrijmaken [34](#page=34). * **Energie-frequentie relatie:** De energie $E$ van een foton is direct evenredig met de frequentie $v$ van het licht, volgens de formule van Planck: $E = h \cdot v$ waarbij $h$ de constante van Planck is ($h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$) [34](#page=34). * **Voorbeelden:** Fotonen van blauw licht hebben meer energie dan fotonen van rood licht, en röntgenfotonen hebben nog meer energie, wat verklaart waarom röntgenstraling materie kan doordringen [34](#page=34). * **Toepassingen:** Zonnepanelen en digitale fototoestellen maken gebruik van het foto-elektrisch effect [34](#page=34). ### 8.3 Het duale karakter van licht Licht vertoont een dualistisch karakter, wat betekent dat het zowel eigenschappen van een golf als van een deeltje bezit. Deze dualiteit is een fundamenteel concept in de natuurkunde en heeft geleid tot veel discussie onder natuurkundigen [34](#page=34). * **Golvende natuur:** Licht kan interferentie en diffractie vertonen, wat typische golfverschijnselen zijn [25](#page=25) [27](#page=27) [33](#page=33). * **Deeltjeskarakter:** Het foto-elektrisch effect toont aan dat licht ook uit discrete energiepakketjes (fotonen) bestaat, die als deeltjes interageren met materie [34](#page=34). Deze dubbele aard van licht is essentieel voor het begrijpen van een breed scala aan optische fenomenen. --- ## 8 Interferentie en diffractie van licht, foto-elektrisch effect en het duale karakter van licht Dit onderwerp verkent de golf- en deeltjesaspecten van licht, met aandacht voor interferentie, diffractie, het foto-elektrisch effect en de implicaties daarvan voor ons begrip van licht. Interferentie en diffractie zijn fundamentele golfverschijnselen die de aard van licht als golf aantonen. #### 8.1.1 Interferentie Interferentie treedt op wanneer twee of meer golven elkaar ontmoeten en de resulterende amplitude de som is van de individuele amplitudes. * **Constructieve interferentie:** Treedt op wanneer de golven in fase zijn, wat resulteert in een grotere amplitude en een versterkt signaal [35](#page=35). * **Destructieve interferentie:** Treedt op wanneer de golven uit fase zijn, wat resulteert in een kleinere amplitude en een verzwakt of opgeheven signaal [35](#page=35). #### 8.1.2 Diffractie Diffractie is het buigen van golven wanneer ze een obstakel passeren of door een opening gaan. * Dit fenomeen verklaart waarom licht zich niet altijd in rechte lijnen verspreidt, vooral niet wanneer het door smalle spleten gaat [35](#page=35). * Het verschijnsel van diffractie werd experimenteel aangetoond met behulp van een enkele spleet of een rooster, waarbij patronen van lichte en donkere banden werden waargenomen als gevolg van interferentie van de gediffracteerde golven [35](#page=35). ### 8.2 Het foto-elektrisch effect Het foto-elektrisch effect is het fenomeen waarbij elektronen worden uitgestoten uit een materiaal wanneer licht erop valt. #### 8.2.1 Kernconcepten * Dit effect kon niet worden verklaard met de klassieke golf-theorie van licht, die voorspelde dat de energie van de uitgestoten elektronen afhankelijk zou zijn van de intensiteit van het invallende licht [35](#page=35). * Albert Einstein verklaarde het foto-elektrisch effect door aan te nemen dat licht bestaat uit discrete energiepakketjes, fotonen genaamd [35](#page=35). * De energie van een foton is evenredig met de frequentie van het licht: $E = hf$, waarbij $h$ de constante van Planck is en $f$ de frequentie [35](#page=35). * Voor elektronenemissie moet de energie van een foton groter zijn dan of gelijk zijn aan de functiewerking (arbeid die nodig is om een elektron uit het materiaal te verwijderen) [35](#page=35). * Als $hf > W$, waarbij $W$ de functiewerking is, dan worden elektronen uitgestoten. De kinetische energie van de uitgestoten elektronen wordt gegeven door: $E_{kin} = hf - W$ [35](#page=35). * De intensiteit van het licht bepaalt het aantal uitgestoten elektronen, niet hun energie [35](#page=35). Het duale karakter van licht stelt dat licht zowel eigenschappen van golven als van deeltjes kan vertonen. #### 8.3.1 Golfkarakter * Fenomenen zoals interferentie en diffractie tonen duidelijk het golfkarakter van licht aan [35](#page=35). #### 8.3.2 Deeltjeskarakter * Het foto-elektrisch effect toont het deeltjeskarakter van licht aan, waarbij licht zich gedraagt als een stroom van fotonen [35](#page=35). #### 8.3.3 Implicaties * Dit dualisme is een fundamenteel concept in de kwantummechanica en heeft geleid tot een dieper begrip van de interactie tussen licht en materie [35](#page=35). * De vergelijking $E=hf$ is cruciaal voor het begrijpen van deze dualiteit [35](#page=35). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Warmtetransfer (Warmteoverdracht) | De overdracht van interne energie van het ene systeem naar het andere, specifiek in de vorm van warmte. Dit kan gebeuren via geleiding, convectie of straling, en deze processen kunnen gelijktijdig optreden. | | Geleiding (Conductie) | Een vorm van warmtetransport die plaatsvindt wanneer twee systemen in fysiek contact met elkaar worden gebracht. De warmtestroom wordt onderhouden door een temperatuurverschil tussen de systemen. | | Wet van Fourier | Beschrijft de warmtestroom door een wand en stelt dat de warmtestroom ($\Phi$) recht evenredig is met het oppervlak ($A$), het temperatuurverschil ($\Delta T$) en de warmtegeleidingscoëfficiënt ($\lambda$), en omgekeerd evenredig met de dikte ($\delta$) van de wand. De formule is $\Phi = \lambda \cdot \frac{A \cdot \Delta T}{\delta}$. | | Convectie | Een vorm van warmtetransport waarbij materie zich verplaatst en zo warmte meeneemt van een zone met hoge temperatuur naar een zone met lage temperatuur. Dit proces vindt plaats in gassen en vloeistoffen. | | Vrije Convectie | Convectie die optreedt als gevolg van dichtheidsverschillen in een fluïdum, veroorzaakt door temperatuurverschillen. Een opgewarmd deel van het fluïdum wordt lichter en stijgt, waardoor warmte wordt getransporteerd. | | Gedwongen Convectie | Convectie die wordt veroorzaakt door externe krachten, zoals een ventilator of pomp, die de circulatie van het fluïdum bevorderen en zo warmtetransport stimuleren. | | Warmteoverdrachtscoëfficiënt ($\alpha$) | Een factor die de efficiëntie van warmteoverdracht door convectie beschrijft. De warmtestroom ($\Phi$) wordt gegeven door $\Phi = \alpha \cdot A \cdot \Delta T$, waarbij $A$ het contactoppervlak is en $\Delta T$ het temperatuurverschil. | | Straling | Een vorm van warmtetransport die geen fysiek contact tussen systemen vereist. Energie wordt overgedragen in de vorm van elektromagnetische golven, zoals licht en infraroodstraling. | | Zwart Lichaam | Een ideaal object dat alle invallende elektromagnetische straling absorbeert, zonder iets te reflecteren of door te laten. Het is ook een perfecte emitter van straling. | | Wet van Stefan-Boltzmann | Stelt dat het vermogen dat door een zwart lichaam per tijdseenheid wordt uitgestraald, recht evenredig is met het oppervlak ($A$) en de vierde macht van de absolute temperatuur ($T$). De formule is $\Phi = \sigma \cdot A \cdot T^4$, waarbij $\sigma$ de Stefan-Boltzmann constante is. | | Wet van Wien | Beschrijft de relatie tussen de golflengte waarbij de uitgezonden straling van een zwart lichaam maximaal is ($\lambda_{max}$) en de absolute temperatuur ($T$) van dat lichaam. De formule is $\lambda_{max} = \frac{b}{T}$, waarbij $b$ de constante van Wien is. | | Emissiviteit ($e$) | De verhouding tussen de door een lichaam uitgezonden straling bij een bepaalde temperatuur en de straling die een zwart lichaam bij dezelfde temperatuur zou uitzenden. Een emissiviteit van 1 betekent dat het lichaam zich gedraagt als een zwart lichaam; waarden tussen 0 en 1 geven aan dat het minder straling uitzendt. | | Term | Definitie | | Isotherme toestandsverandering | Een proces waarbij de temperatuur van een gas constant blijft. Bij een isotherme toestandsverandering is de druk van een gas omgekeerd evenredig met het volume, wat wiskundig wordt uitgedrukt als $p \ast V = \text{constant}$. | | Ischore toestandsverandering | Een proces waarbij het volume van een gas constant blijft. Bij een ischore toestandsverandering is de druk van een gas recht evenredig met de absolute temperatuur, wat wiskundig wordt uitgedrukt als $p/T = \text{constant}$. | | Isobare toestandsverandering | Een proces waarbij de druk van een gas constant blijft. Bij een isobare toestandsverandering is het volume van een gas recht evenredig met de absolute temperatuur, wat wiskundig wordt uitgedrukt als $V/T = \text{constant}$. | | Ideale gassen | Gassen die voldoen aan specifieke voorwaarden: moleculen bewegen vrij en chaotisch, moleculen hebben geen eigen volume, er zijn geen onderlinge krachten tussen moleculen, en alle botsingen zijn volkomen elastisch. | | Ideale gaswet | Een algemene gaswet die de relatie tussen druk ($p$), volume ($V$), temperatuur ($T$) en het aantal mol ($n$) van een ideaal gas beschrijft. De wet wordt uitgedrukt als $pV = nRT$, waarbij $R$ de universele gasconstante is. | | Constante van Avogadro | Een fundamentele natuurkundige constante die het aantal deeltjes (zoals atomen of moleculen) in één mol van een stof aangeeft. Deze waarde is ongeveer $6,022 \times 10^{23}$ deeltjes per mol. | | Universele gasconstante ($R$) | Een fysische constante die voorkomt in de ideale gaswet. De waarde van $R$ is ongeveer $8,314 \, \text{J}/(\text{mol} \cdot \text{K})$ en relateert energie, temperatuur en het aantal deeltjes in een gas. | | Normtoestand van een gas | De standaardcondities waaronder de eigenschappen van een gas worden gespecificeerd. Dit omvat een druk van $101325 \, \text{Pa}$ en een temperatuur van $273,15 \, \text{K}$ ($0^\circ\text{C}$). | | Temperatuurschalen | Manieren om temperatuur te meten en uit te drukken, zoals Celsius, Fahrenheit en Kelvin, elk met hun eigen referentiepunten en eenheden. | | Graden Celsius | Een temperatuurschaal waarbij het smeltpunt van water 0°C is en het kookpunt 100°C. | | Graden Fahrenheit | Een temperatuurschaal waarbij het vriespunt van water 32°F is en het kookpunt 212°F. | | Graden Kelvin | Een absolute temperatuurschaal waarbij 0 K het absolute nulpunt is (-273,15 °C), en een toename van 1K gelijk is aan een toename van 1°C. | | Thermische uitzetting | Het verschijnsel waarbij stoffen in volume toenemen wanneer hun temperatuur stijgt, en krimpen wanneer hun temperatuur daalt. | | Lineaire uitzettingcoëfficiënt ($\alpha$) | Een materiaalconstante die aangeeft hoeveel de lengte van een voorwerp verandert per graad temperatuurstijging, per meter oorspronkelijke lengte. De formule is $\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T$. | | Kubieke uitzettingcoëfficiënt ($\gamma$) | Een materiaalconstante die aangeeft hoeveel het volume van een voorwerp verandert per graad temperatuurstijging, per kubieke meter oorspronkelijk volume. De formule is $\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T$. | | Soortelijke warmte ($c$) | De hoeveelheid warmte die nodig is om de temperatuur van 1 kilogram van een stof met 1 graad Celsius (of Kelvin) te verhogen. De formule is $Q = c \cdot m \cdot \Delta T$. | | Calorimeter | Een apparaat dat wordt gebruikt om de soortelijke warmte van stoffen te meten door de warmteoverdracht te isoleren en te kwantificeren. | | Aggregatietoestanden | De verschillende vormen waarin materie kan voorkomen, zoals vast, vloeibaar en gasvormig, afhankelijk van temperatuur en druk. | | Latente smeltwarmte ($L_s$) | De hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kilogram van een vaste stof bij het smeltpunt volledig om te zetten in een vloeistof, zonder temperatuurverandering. De formule is $Q = L_s \cdot m$. | | Latente verdampingswarmte ($L_v$) | De hoeveelheid warmte die nodig is om 1 kilogram van een vloeistof bij het kookpunt volledig om te zetten in een gas, zonder temperatuurverandering. De formule is $Q = L_v \cdot m$. | | Fluïdum | Gassen en stoffen die zich aanpassen aan de vorm van het vat waarin ze zich bevinden, in tegenstelling tot vaste stoffen die een eigen vorm hebben. | | Druk | De kracht die per oppervlakte-eenheid wordt uitgeoefend, berekend als $p = \frac{F}{A}$. In een vloeistof neemt de druk toe met de diepte volgens $p = \rho \cdot g \cdot h$. | | Wet van Pascal | Stelt dat een uitwendige druk die op een vloeistof wordt uitgeoefend, zich onverminderd in elke richting voortplant. De druk op diepte $h$ is $p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h$. | | Wet van Archimedes | Elk voorwerp in een fluïdum ondervindt een opwaartse stuwkracht die gelijk is aan het gewicht van het verplaatste fluïdum. De stuwkracht wordt gegeven door $F_{stuw} = \rho_{vl} \cdot g \cdot V$. | | Laminaire stroming | Een stromingspatroon waarbij het fluïdum in parallelle lagen over elkaar stroomt, met deeltjes die een vloeiend, stroomlijnachtig traject volgen, kenmerkend voor lage snelheden. | | Turbulente stroming | Een stromingspatroon gekenmerkt door willekeurige bewegingen van deeltjes, draaikolken en sterke inwendige wrijvingen, wat voorkomt bij hoge stroomsnelheden. | | Stationaire stroming | Een stroming waarbij de snelheid in elk punt van de ruimte constant is in de tijd, wat betekent dat de stroming zelf niet verandert. | | Stroombuis | Een bundel van laminaire stroomlijnen die de weg van het fluïdum in een bepaalde richting aangeeft. | | Massadebiet | De massa fluïdum die per tijdseenheid door een dwarsdoorsnede stroomt, berekend als $\rho \cdot A \cdot v$. | | Continuïteitsvergelijking | Stelt dat het massadebiet constant is door elke dwarsdoorsnede van een stroombuis, wat leidt tot de relatie $A \cdot v = \text{Constant}$ voor het volumedebiet. | | Vergelijking van Bernoulli | Drukt het behoud van energie uit in een stromend fluïdum en stelt dat de som van drukenergie, kinetische energie en potentiële energie per volume-eenheid constant is: $p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{Constant}$. | | Wet van Torricelli | Een speciaal geval van de vergelijking van Bernoulli voor een vloeistof die uit een opening aan de onderkant van een vat stroomt, waarbij de uitstroomsnelheid $v = \sqrt{2gh}$ is, onder aanname van een verwaarloosbare snelheid aan het bovenoppervlak. | | Gas | Een aggregatietoestand waarbij de deeltjes geen eigen volume hebben, de volledige ruimte innemen, zeer beweeglijk zijn en samendrukbaar zijn. | | Wet van Boyle-Mariotte | Beschrijft de relatie tussen druk en volume van een gas bij constante temperatuur. De druk is omgekeerd evenredig met het volume ($p \sim \frac{1}{V}$ of $p \ast V = \text{constant}$). | | Wet van Regnault | Beschrijft de relatie tussen druk en temperatuur van een gas bij constant volume. De druk is recht evenredig met de absolute temperatuur ($p \sim T$ of $\frac{p}{T} = \text{constant}$). | | Isochore toestandsverandering | Een proces waarbij het volume van een gas constant blijft tijdens een toestandsverandering. | | Wet van Charles (Wet van Gay-Lussac) | Beschrijft de relatie tussen volume en temperatuur van een gas bij constante druk. Het volume is recht evenredig met de absolute temperatuur ($V \sim T$ of $\frac{V}{T} = \text{constant}$). | | Normtoestand | De standaardcondities voor een gas, gedefinieerd als een druk van 101325 Pa en een temperatuur van 273.15 K (0°C). | | Constructieve interferentie | Een fenomeen waarbij golven elkaar versterken, wat resulteert in een grotere amplitude. Dit treedt op wanneer het verschil in weglengte tussen twee golven een geheel aantal golflengtes bedraagt, uitgedrukt als $d_2 - d_1 = n\lambda$, waarbij $n$ een geheel getal is. | | Destructieve interferentie | Een fenomeen waarbij golven elkaar opheffen, wat resulteert in een kleinere of nul amplitude. Dit treedt op wanneer het verschil in weglengte tussen twee golven een half-geheel aantal golflengtes bedraagt, uitgedrukt als $d_2 - d_1 = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$, waarbij $n$ een geheel getal is. | | Staande golven | Golven die ontstaan door de superpositie van twee identieke golven die in tegengestelde richting bewegen, vaak gereflecteerd aan de uiteinden van een medium. Deze golven hebben knopen (punten met nul amplitude) en buiken (punten met maximale amplitude). | | Knopen | Punten in een staande golf waar de amplitude nul is, wat betekent dat de deeltjes van het medium op deze locaties niet trillen. De positie van knopen wordt bepaald door $kx = m\pi$, waarbij $k$ de golfgetal is en $m$ een geheel getal. | | Buiken | Punten in een staande golf waar de amplitude maximaal is, wat betekent dat de deeltjes van het medium op deze locaties met de grootste uitslag trillen. De buiken bevinden zich halverwege de knopen. | | Thermisch evenwicht | Een toestand waarin twee of meer systemen die met elkaar in contact staan, dezelfde temperatuur hebben. Er vindt dan geen netto warmtestroom meer plaats tussen de systemen. | | Nulde hoofdwet van de thermodynamica | Stelt dat als twee systemen elk in thermisch evenwicht zijn met een derde systeem, zij dan ook in thermisch evenwicht met elkaar zijn. Dit principe ligt ten grondslag aan temperatuurmeting met thermometers. | | Thermometer | Een instrument dat wordt gebruikt om de temperatuur van een systeem te meten. Het werkt door gebruik te maken van een eigenschap van een medium (zoals volume of druk) die lineair verandert met de temperatuur. | | Thermistor | Een type weerstandsthermometer waarvan de elektrische weerstand sterk afhankelijk is van de temperatuur. Thermistoren kunnen een breed meetbereik hebben en worden ingedeeld in PTC (positieve temperatuurcoëfficiënt) en NTC (negatieve temperatuurcoëfficiënt) types. | | Graden Celsius (°C) | Een temperatuurschaal waarbij het smeltpunt van water op 0°C en het kookpunt op 100°C is gedefinieerd bij standaard atmosferische druk. | | Graden Fahrenheit (°F) | Een temperatuurschaal waarbij het smeltpunt van water op 32°F en het kookpunt op 212°F is gedefinieerd. | | Trilling | Een heen en weer gaande beweging, zoals die van een veer of een dobber op het water. | | Veerconstante ($k$) | De evenredigheidsconstante in de Wet van Hooke ($F = k \ast \Delta y$), die aangeeft hoe stijf een veer is. Een hogere veerconstante betekent dat er meer kracht nodig is om de veer uit te rekken. | | Bewegingsvergelijking | De vergelijking die de beweging van een systeem beschrijft, zoals $m \ast a = -k \ast y$ voor een massa aan een veer, waarbij $m$ de massa is, $a$ de versnelling, $k$ de veerconstante en $y$ de positie. | | Amplitude ($A$) | De maximale uitwijking van een trillend voorwerp ten opzichte van de evenwichtsstand. Deze waarde is altijd positief. | | Pulsatie ($\omega$) | Een maat voor hoe snel een trilling oscilleert, gerelateerd aan de frequentie en periode. Het wordt uitgedrukt in radialen per seconde. | | Beginfase ($\phi_0$) | De fase van een trilling op het tijdstip $t=0$, die aangeeft waar de beweging begint op de cyclus. | | Uitwijking (Elongatie, $y$) | De afstand van een trillend voorwerp tot de evenwichtsstand op een bepaald tijdstip. | | Periode ($T$) | De tijd die nodig is voor één volledige trilling. Het is de omgekeerde waarde van de frequentie. | | Frequentie ($f$) | Het aantal trillingen per seconde. Het is de omgekeerde waarde van de periode. | | Harmonische beweging | Een beweging die beschreven kan worden door een sinus- of cosinusfunctie, zoals $y = A \ast \sin(\omega t + \phi_0)$. Dit is een fundamenteel type trilling. | | Potentiële energie ($E_{pot}$) | De energie die is opgeslagen in een uitgerekt of samengedrukt elastisch voorwerp, gegeven door $E_{pot} = \frac{1}{2} k \ast (\Delta y)^2$. | | Kinetische energie ($E_{kin}$) | De energie die een bewegend voorwerp bezit, gegeven door $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2$. | | Interferentie van licht | Het verschijnsel waarbij twee of meer lichtgolven elkaar ontmoeten en de resulterende amplitude op bepaalde punten wordt versterkt (constructieve interferentie) of verzwakt (destructieve interferentie), afhankelijk van hun faseverschil. | | Diffractie van licht | Het buigen van lichtgolven rond obstakels of door smalle openingen, waardoor het licht zich ook achter het obstakel of de opening verspreidt. Dit effect is duidelijker zichtbaar wanneer de grootte van het obstakel of de opening vergelijkbaar is met de golflengte van het licht. | | Diffractiepatroon | Het patroon van heldere en donkere vlekken dat ontstaat wanneer licht door een smalle spleet of langs een obstakel gaat, als gevolg van diffractie. | | Foto-elektrisch effect | Het verschijnsel waarbij elektronen worden vrijgemaakt uit een metaaloppervlak wanneer dit wordt bestraald met licht van voldoende hoge frequentie. De energie van het licht wordt overgedragen aan de elektronen, waardoor ze de benodigde energie krijgen om het metaal te verlaten. | | Foton | Een elementair deeltje dat de kwantum van elektromagnetische straling vertegenwoordigt. De energie van een foton is direct evenredig met de frequentie van de straling, volgens de formule $E = h \nu$, waarbij $h$ de constante van Planck is. | | Constante van Planck ($h$) | Een fundamentele natuurkundige constante die de relatie tussen de energie van een foton en zijn frequentie beschrijft. De waarde is ongeveer $6,626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$. | | Duaal karakter van licht | Het concept dat licht zowel eigenschappen van golven als van deeltjes vertoont. Afhankelijk van het experiment kan licht zich gedragen als een golf (bij interferentie en diffractie) of als een stroom van deeltjes (fotonen, bij het foto-elektrische effect). | | Coherente lichtbronnen | Lichtbronnen die licht uitzenden met een constante faseverhouding tussen de golven. Lasers zijn een voorbeeld van coherente lichtbronnen, wat essentieel is voor het waarnemen van duidelijke interferentiepatronen. | | Incoherente lichtbronnen | Lichtbronnen waarbij de faseverhouding tussen de uitgezonden golven willekeurig en voortdurend verandert. De meeste alledaagse lichtbronnen, zoals gloeilampen, zijn incoherent, wat interferentie-effecten bemoeilijkt. | | Golflengte van licht ($\lambda$) | De afstand tussen twee opeenvolgende overeenkomstige punten op een lichtgolf, zoals twee toppen of twee dalen. De golflengte bepaalt mede de kleur van zichtbaar licht en de mate van diffractie. |

# Het moment van een kracht en het traagheidsmoment Dit onderdeel introduceert het concept van het krachtmoment als de oorzaak van rotatiebeweging en het traagheidsmoment als de maat voor de weerstand tegen deze rotatie. ### 1.1 Het moment van een kracht Het rotatie-effect van een kracht, gemeten als hoekversnelling, wordt bepaald door de grootte van de kracht en de afstand tussen de werklijn van die kracht en het draaipunt. Dit rotatie-effect wordt het krachtmoment genoemd [2](#page=2). #### 1.1.1 Definitie en eigenschappen van het krachtmoment Het moment van een kracht $\vec{\tau}$ met aangrijpingspunt, bepaald door de plaatsvector $\vec{r}$, is een vectoriële grootheid. De vector $\vec{\tau}$ staat loodrecht op het vlak dat door $\vec{r}$ en $\vec{F}$ wordt bepaald. De grootte van het moment wordt gegeven door $\tau = r F \sin\theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen $\vec{r}$ en $\vec{F}$. De zin van $\vec{\tau}$ wordt bepaald door de kurkentrekkerregel [3](#page=3). De dimensies van het krachtmoment zijn kracht maal afstand, en de eenheid is Newtonmeter (Nm) [3](#page=3). Wanneer we een x- en y-as in het vlak van $\vec{r}$ en $\vec{F}$ kiezen, kan de grootte van het krachtmoment ook worden uitgedrukt als het product van de kracht en de momentarm ($r_\perp$), de loodrechte afstand van het draaipunt tot de werklijn van de kracht. Dus, $\tau = r_\perp F$ [5](#page=5). De vectoriële definitie van het krachtmoment is $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ [3](#page=3). Het symbool $\odot$ duidt op een vector loodrecht op het vlak van het papier, gericht naar de waarnemer toe, terwijl het symbool $\otimes$ een vector loodrecht op het vlak van het papier, gericht van de waarnemer af, aangeeft [5](#page=5). Het moment is nul als de kracht nul is, de afstand tot het draaipunt nul is, of als de kracht parallel aan de plaatsvector is ($\theta = 0^\circ$ of $\theta = 180^\circ$) [6](#page=6). #### 1.1.2 Toepassingen Een praktische toepassing is te zien bij het openen van een deur: als de afstand van het draaipunt tot het aangrijpingspunt van de kracht driemaal zo groot is ($r_A = 3r_B$), dan moet de kracht driemaal zo groot zijn ($F_B = 3F_A$) om hetzelfde rotatie-effect te verkrijgen [4](#page=4). ### 1.2 Het traagheidsmoment Bij een translatiebeweging is massa de maat voor inertie. Bij een rotatiebeweging is het traagheidsmoment, ook wel het rotationele traagheid genoemd, de maat voor de traagheid van een lichaam [7](#page=7). #### 1.2.1 De rotatie van een puntmassa rondom een vaste rotatieas Voor een puntmassa aan het uiteinde van een staaf die onder invloed van een kracht een cirkelvormige beweging maakt, wordt het krachtmoment dat verantwoordelijk is voor de hoekversnelling $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ gegeven. Volgens de tweede wet van Newton is $F = ma$. De tangentiële versnelling bij een cirkelbeweging is $a_T = R\alpha$, waarbij $\alpha$ de hoekversnelling is uitgedrukt in rad/s$^2$. De grootte van het krachtmoment is dan $\tau = rF = m R a_T = m R (R\alpha) = mR^2\alpha$ [8](#page=8). Hierin is $I = mR^2$ het traagheidsmoment van de puntmassa ten opzichte van de rotatieas. De relatie tussen krachtmoment en hoekversnelling wordt dan $\tau = I\alpha$ [8](#page=8). Voor een systeem van $n$ discrete puntmassa's rondom een vaste rotatie-as wordt het traagheidsmoment $I$ gegeven door de som van de individuele traagheidsmomenten: $$I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$$ waarbij $m_i$ de massa is van de $i$-de puntmassa en $r_i$ de afstand tot de rotatie-as. Het totale krachtmoment op het systeem is dan $\sum \tau = I\alpha$ [9](#page=9). Het traagheidsmoment van een lichaam hangt af van de ruimtelijke verdeling van het systeem van puntmassa's ten opzichte van de rotatie-as [9](#page=9). #### 1.2.2 De rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as Bij de rotatie van een onvervormbaar lichaam om een vaste as, werkt een uitwendige kracht $\vec{F}$ op het lichaam met aangrijpingspunt P. Het krachtmoment is $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$. Alleen de component van het krachtmoment volgens de richting van de rotatie-as is van belang voor de hoekversnelling. Componenten van het krachtmoment die evenwijdig met de rotatie-as lopen, oefenen een torsiecomponent uit op de as en trachten deze te doen kantelen. De reactiekrachtmomenten die door lagers worden uitgeoefend, compenseren deze torsiecomponent, waardoor de as in positie blijft [10](#page=10). Het starre lichaam krijgt een ogenblikkelijke hoekversnelling $\alpha$ zodanig dat het product van deze hoekversnelling met het traagheidsmoment $I$ om de beschouwde rotatie-as gelijk is aan het krachtmoment $\tau$ uitgeoefend op het lichaam. Dit geldt ook bij meerdere krachten die in een vlak loodrecht op de rotatie-as werken: $\tau = \sum \tau_i = I\alpha$ [11](#page=11). Het traagheidsmoment $I$ van een lichaam om een as wordt algemeen berekend met de integraal: $$I = \int R^2 dm$$ waarbij $dm$ een infinitesimaal massadeeltje is en $R$ de afstand van dit deeltje tot de rotatie-as. Het traagheidsmoment hangt niet alleen af van de massa van het lichaam, maar ook van de ruimtelijke verdeling van de massa ten opzichte van de rotatie-as [11](#page=11). #### 1.2.3 Hoofdtraagheidsassen Hoofdtraagheidsassen van een lichaam, zoals het menselijk lichaam in anatomische houding, gaan door het massamiddelpunt en staan onderling loodrecht. Deze assen worden aangeduid als de longitudinale as ($H_z$), de transversale as ($H_y$) en de frontale of antero-posterior as ($H_x$). De hoofdtraagheidsmomenten voor het menselijk lichaam tonen dat $I_x$ en $I_y$ niet veel verschillen in grootte, terwijl $I_z$ beduidend kleiner is ($I_x \approx I_y \approx 14$ kg m$^2$, $I_z \approx 1$ kg m$^2$) [12](#page=12). #### 1.2.4 Berekening van traagheidsmomenten voor specifieke vormen Het traagheidsmoment van een homogene cilinder met massa $M$ en straal $R_{cil}$ om de cilinderas is $I = \frac{1}{2}MR_{cil}^2$. Een cilinder met een grotere diameter heeft een groter traagheidsmoment dan een cilinder met dezelfde massa maar een kleinere diameter [13](#page=13) [14](#page=14). Enkele belangrijke lichamen en hun traagheidsmomenten om specifieke assen zijn: * Ring met rotatieas loodrecht op het vlak van de ring: $I = MR_{ring}^2$ [15](#page=15). * Ring met rotatieas in het vlak van de ring: $I = \frac{1}{2}MR_{ring}^2$ [15](#page=15). * Volle cilinder met de as als rotatieas: $I = \frac{1}{2}MR_{cyl}^2$ [15](#page=15). * Volle cilinder met rotatieas loodrecht op de as van de cilinder, door het massamiddelpunt: $I = \frac{1}{4}MR_{cyl}^2 + \frac{1}{12}Mh^2$ [15](#page=15). * Dunwandige holle bol: $I = \frac{2}{3}MR_{bol}^2$ [16](#page=16). * Volle bol: $I = \frac{2}{5}MR_{bol}^2$ [16](#page=16). * Balk met rotatieas door het snijpunt van de diagonalen van een vlak: * As evenwijdig aan zijde $a$: $I = \frac{1}{12}M(b^2 + c^2)$ [16](#page=16). * As evenwijdig aan zijde $b$: $I = \frac{1}{12}M(a^2 + c^2)$ [16](#page=16). --- # De kinetische energie bij rotatie en rollende beweging, en het parallellas theorema Dit onderdeel behandelt de kinetische energie van roterende en rollende starre lichamen, inclusief het parallellas theorema voor het berekenen van traagheidsmomenten. ### 2.1 Kinetische energie bij rotatie Bij de beschouwing van een star lichaam in rotatie rond een vaste as in een inertieelassenstelsel, wordt het lichaam onderverdeeld in kleine massa-elementen $m_i$. Elk massa-element $m_i$ heeft een baansnelheid $v_i$. De totale kinetische energie van het roterende lichaam is de som van de kinetische energieën van alle individuele massa-elementen [24](#page=24). De relatie tussen de lineaire snelheid $v_i$ van een massa-element $m_i$ en de hoeksnelheid $\omega$ wordt gegeven door $v_i = r_i \omega$, waarbij $r_i$ de afstand is van $m_i$ tot de rotatieas. Door de limietovergang te maken waarbij het aantal massa-elementen $n$ naar oneindig gaat en de afmetingen van de elementen $m_i$ naar nul, kan de kinetische energie van het roterende lichaam worden uitgedrukt als [25](#page=25): $$K = \frac{1}{2} I \omega^2$$ [25](#page=25). Hierin is $I$ het traagheidsmoment van het starre lichaam om de betreffende rotatieas [25](#page=25). ### 2.2 Kinetische energie bij rollende beweging Een rollende beweging van een star lichaam, zoals een cilinder op een vlak oppervlak, kan op een bepaald ogenblik worden beschouwd als een rotatie om de contactas tussen het lichaam en het oppervlak. Deze contactas fungeert op dat moment als de ogenblikkelijke rotatieas. De beweging is equivalent aan een zuivere rotatie om deze contactas [26](#page=26). De kinetische energie van een rollend lichaam wordt gegeven door: $$K = \frac{1}{2} I_P \omega^2$$ [27](#page=27). waarbij $I_P$ het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van de contactas is. Met behulp van het parallellas theorema kan dit traagheidsmoment worden uitgedrukt als $I_P = I_{MM} + M R^2$, waarbij $I_{MM}$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de as door het massamiddelpunt evenwijdig aan de contactas, $M$ de massa van het lichaam is, en $R$ de straal van het lichaam is [27](#page=27). Door dit te substitueren in de formule voor kinetische energie: $$K = \frac{1}{2} (I_{MM} + M R^2) \omega^2$$ $$K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M R^2 \omega^2$$ [27](#page=27). Omdat de baansnelheid van het massamiddelpunt $v_{MM}$ gerelateerd is aan de hoeksnelheid door $v_{MM} = \omega R$, wordt de kinetische energie: $$K = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ [27](#page=27). Dit betekent dat de kinetische energie van een rollend lichaam gelijk is aan de som van de kinetische energie van een zuivere rotatie om de as door het massamiddelpunt en de kinetische energie van een translatie van het massamiddelpunt. Rollen is dus een combinatie van rotatie rond het massamiddelpunt en translatie van het massamiddelpunt. Deze stelling kan worden gegeneraliseerd naar elke willekeurige beweging van een star lichaam [27](#page=27) [28](#page=28). ### 2.3 Het parallellas theorema (Regel van Steiner) Het parallellas theorema, ook bekend als de Regel van Steiner, is een methode om het traagheidsmoment van een star lichaam ten opzichte van een willekeurige as te berekenen, mits het traagheidsmoment ten opzichte van een as door het massamiddelpunt, die parallel loopt aan de willekeurige as, bekend is [21](#page=21). De stelling luidt: $$I_P = I_{MM} + M d^2$$ [21](#page=21). waarbij: * $I_P$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de willekeurige as die door punt $P$ gaat. * $I_{MM}$ het traagheidsmoment is ten opzichte van de evenwijdige as door het massamiddelpunt ($MM$). * $M$ de totale massa van het lichaam is. * $d$ de afstand is tussen de twee parallelle assen. **Bewijs:** Beschouw een star lichaam opgebouwd uit massa-elementen $m_i$. Kies een assenstelsel $(O, x_1, y_1, z_1)$ met de oorsprong $O$ in het massamiddelpunt ($MM$) en de $z_1$-as evenwijdig aan de rotatieas. Kies een tweede assenstelsel $(P, x_2, y_2, z_2)$ met de oorsprong $P$ op de willekeurige rotatieas, waarbij de assen evenwijdig zijn aan de assen van het eerste stelsel. Laat de coördinaten van $P$ ten opzichte van $O$ in het $x_1,y_1$-vlak $(a, b)$ zijn. De afstand $d$ tussen de assen is dan $d^2 = a^2 + b^2$. Voor een massa-element $m_i$ met coördinaten $(x_{2i}, y_{2i})$ ten opzichte van de as door $P$, en $(x_{1i}, y_{1i})$ ten opzichte van de as door $O$, geldt $x_{2i} = x_{1i} - a$ en $y_{2i} = y_{1i} - b$. Het traagheidsmoment $I_P$ ten opzichte van de as door $P$ (loodrecht op het $x_2, y_2$-vlak) is: $$I_P = \sum_i m_i (x_{2i}^2 + y_{2i}^2)$$ $$I_P = \sum_i m_i ((x_{1i} - a)^2 + (y_{1i} - b)^2)$$ $$I_P = \sum_i m_i (x_{1i}^2 - 2ax_{1i} + a^2 + y_{1i}^2 - 2by_{1i} + b^2)$$ $$I_P = \sum_i m_i (x_{1i}^2 + y_{1i}^2) - 2a \sum_i m_i x_{1i} + a^2 \sum_i m_i - 2b \sum_i m_i y_{1i} + b^2 \sum_i m_i$$ Omdat $\sum_i m_i x_{1i} = M x_{MM,1}$ en $\sum_i m_i y_{1i} = M y_{MM,1}$, en $x_{MM,1}$ en $y_{MM,1}$ de coördinaten van het massamiddelpunt zijn ten opzichte van de assen door $O$, geldt voor een as door het massamiddelpunt dat $x_{MM,1}=0$ en $y_{MM,1}=0$. De term $\sum_i m_i (x_{1i}^2 + y_{1i}^2)$ is het traagheidsmoment $I_{MM}$ ten opzichte van de as door het massamiddelpunt. Verder is $\sum_i m_i = M$. $$I_P = I_{MM} - 2a + a^2 M - 2b + b^2 M$$ . $$I_P = I_{MM} + M(a^2 + b^2)$$ Omdat $d^2 = a^2 + b^2$, volgt: $$I_P = I_{MM} + M d^2$$ [22](#page=22). #### 2.3.1 Toepassing van het parallellas theorema **Voorbeeld:** Bepaal de grootte van het traagheidsmoment van het hoofd ten opzichte van de laatste cervicale wervel, waarbij het hoofd benaderd wordt door een bol met een massa van 5 kg en een straal van 8 cm (0,08 meter). Het traagheidsmoment van een bol ten opzichte van een as door het middelpunt is $I_{MM} = \frac{2}{5} M R^2$. De afstand van het middelpunt van de bol (zwaartepunt van het hoofd) tot de laatste cervicale halswervel is 25 cm (0,25 meter) [23](#page=23). * Traagheidsmoment van de bol om het middelpunt: $I_{MM} = \frac{2}{5} \times 5 \text{ kg} \times (0,08 \text{ m})^2 = 0,0128 \text{ kg m}^2$ [23](#page=23). * Toepassing van de Regel van Steiner: $I_P = I_{MM} + M d^2$ $I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 5 \text{ kg} \times (0,25 \text{ m})^2$ $I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 5 \text{ kg} \times 0,0625 \text{ m}^2$ $I_P = 0,0128 \text{ kg m}^2 + 0,3125 \text{ kg m}^2$ $I_P = 0,3253 \text{ kg m}^2$ [23](#page=23). ### 2.4 Kinetische energie bij een hellende beweging Beschouw de beweging van een cilinder die van een helling rolt. De initiële toestand is dat de cilinder in rust is ($v=0$, $\omega=0$). Na het beneden rollen van een helling met hoogte $h$, bezit de cilinder kinetische energie. Volgens de wet van behoud van mechanische energie, in afwezigheid van wrijving, is de initiële potentiële energie gelijk aan de finale kinetische energie [29](#page=29): $$Mgh + K_{in} = K_{fin}$$ $$Mgh = \frac{1}{2} I_{MM} \omega^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ [29](#page=29). Voor een cilinder geldt het traagheidsmoment om de as door het massamiddelpunt als $I_{MM} = \frac{1}{2} M R_{cyl}^2$, en de relatie tussen de hoeksnelheid en de translatiesnelheid van het massamiddelpunt is $\omega = \frac{v_{MM}}{R_{cyl}}$ [30](#page=30). Substitueren in de energiebehoudsvergelijking: $$Mgh = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} M R_{cyl}^2\right) \left(\frac{v_{MM}}{R_{cyl}}\right)^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ $$Mgh = \frac{1}{4} M R_{cyl}^2 \frac{v_{MM}^2}{R_{cyl}^2} + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ $$Mgh = \frac{1}{4} M v_{MM}^2 + \frac{1}{2} M v_{MM}^2$$ $$Mgh = \frac{3}{4} M v_{MM}^2$$ Hieruit volgt de translatiesnelheid van de cilinder: $$v_{MM}^2 = \frac{4}{3} gh$$ $$v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3} gh}$$ [30](#page=30). Dit is dezelfde snelheid als die verkregen zou worden via dynamische methoden zoals beschreven op pagina 19 en 20, namelijk $v_{MM} = \frac{4}{3}gh \implies v_{MM} = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$ [20](#page=20) [30](#page=30). --- # Angulair moment en de wet van behoud van angulair moment Dit deel introduceert het angulair moment van een deeltje, een systeem van deeltjes en een star lichaam, evenals het verband met het krachtmoment en de wet van behoud van angulair moment met bijbehorende toepassingen. ### 3.1 Het angulair moment van een deeltje Het angulair moment, ook wel impulsmoment genoemd, is het rotatie-analogon van het lineair moment bij translatiebeweging. Voor een deeltje met massa $m$ op positie $\vec{r}$ ten opzichte van de oorsprong O, met lineair moment $\vec{p} = m\vec{v}$, wordt het angulair moment $\vec{l}$ gedefinieerd als het vectorieel product van de plaatsvector $\vec{r}$ en het lineair moment $\vec{p}$ [31](#page=31): $$ \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} $$ De grootte van het angulair moment kan worden uitgedrukt als $l = r p \sin\theta$, waarbij $\theta$ de hoek is tussen $\vec{r}$ en $\vec{p}$. Als $\theta = 0^\circ$ of $\theta = 180^\circ$, dan is $\vec{l} = 0$. De richting van $\vec{l}$ wordt bepaald door de kurkentrekkerregel. De dimensies van angulair moment zijn massa maal lengte kwadraat per tijd ($[M L^2 T^{-1}]$), en de eenheid is kg m²/s [31](#page=31) [32](#page=32). Het verband tussen angulair moment en krachtmoment ($\vec{\tau}$) is analoog aan het verband tussen lineair moment en kracht. Door het angulair moment naar de tijd af te leiden, verkrijgt men [33](#page=33): $$ \frac{d\vec{l}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d\vec{p}}{dt} $$ Aangezien $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ en $\vec{p} = m\vec{v}$, is de eerste term $\vec{v} \times m\vec{v} = 0$. Met de tweede wet van Newton, $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$, wordt dit: $$ \frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau} $$ Dit betekent dat de verandering van het angulair moment per tijdseenheid gelijk is aan het krachtmoment dat op het deeltje inwerkt [33](#page=33). #### 3.1.1 Toepassing: eenparig cirkelvormige beweging Bij een eenparig cirkelvormige beweging van een puntmassa $m$ om een vaste as, waarbij een centripetale kracht $\vec{F}_c$ werkt die loodrecht op de rotatieas staat, kan het krachtmoment ten opzichte van een punt O op de rotatieas als volgt worden berekend [36](#page=36): $$ \vec{\tau}_c = \vec{r} \times \vec{F}_c $$ De grootte is $|\vec{\tau}_c| = F_c r \cos\theta$, waarbij $r$ de afstand tot de rotatieas is en $\theta$ de hoek tussen $\vec{r}$ en de rotatieas [36](#page=36). Het angulair moment $\vec{l}$ van de puntmassa kan worden ontbonden in een component langs de rotatieas ($\vec{l}_{\text{as}}$) en een component loodrecht op de rotatieas ($\vec{l}_{\perp}$). De component langs de rotatieas is constant [37](#page=37): $$ l_{\text{as}} = m v R = m R^2 \omega $$ waar $R$ de afstand tot de rotatieas is en $\omega$ de hoeksnelheid. De component loodrecht op de rotatieas beschrijft een cirkelvormige beweging en is afhankelijk van de keuze van O [38](#page=38) [39](#page=39). Het verband tussen de verandering van het angulair moment en het krachtmoment wordt ook hier bevestigd [40](#page=40). ### 3.2 Het angulair moment van een systeem van deeltjes Het totale angulair moment $\vec{L}$ van een systeem van deeltjes ten opzichte van een vast punt O is de som van de angulaire momenten van de individuele deeltjes: $$ \vec{L} = \sum_{i=1}^n \vec{l}_i $$ . De verandering van het totale angulair moment per tijdseenheid is gelijk aan de som van de uitwendige krachtmomenten op het systeem [41](#page=41): $$ \frac{d\vec{L}}{dt} = \sum_{i=1}^n \vec{\tau}_{\text{uitw, } i} $$ . De krachtmomenten die door inwendige krachten worden veroorzaakt, heffen elkaar paarsgewijs op [42](#page=42). #### 3.2.1 Toepassing op specifieke systemen * **Systeem van twee gelijke puntmassa's verbonden door een staaf:** Als de massa's $m_1=m_2=m$ op gelijke afstand $R$ van de rotatieas roteren, is het totale angulair moment langs de rotatieas $L_{\text{as}} = 2mR^2\omega$. Als er geen uitwendige krachten zijn, is $dL/dt = 0$ en is $\vec{L}$ constant [44](#page=44) [45](#page=45). * **Meer-deeltjes systeem bij rotatie om een symmetrieas:** Voor rotatie rond een symmetrieas door het massamiddelpunt geldt dat het angulair moment $\vec{L}$ langs deze as gericht is en de grootte $L = \omega \sum_{i=1}^n m_i R_i^2$ heeft, wat kan worden geschreven als $L = I\omega$. Hierbij is $I$ het traagheidsmoment van het systeem ten opzichte van de rotatieas [47](#page=47). ### 3.3 Het angulair moment van een star lichaam Voor een onvervormbaar lichaam dat roteert om een vaste as in een inertieelassenstelsel, wordt het totale angulair moment $\vec{L}$ verkregen door integratie over de massa-elementen $dm$: $$ \vec{L} = \int \vec{r} \times d\vec{v} $$ . Als het lichaam roteert om een symmetrieas door het massamiddelpunt met hoeksnelheid $\omega$, dan is het angulair moment langs deze as [48](#page=48): $$ L = \omega \int R^2 dm = I \omega $$ . De waarde van $L$ is onafhankelijk van de keuze van de oorsprong O [49](#page=49). ### 3.4 Wet van behoud van angulair moment De wet van behoud van angulair moment stelt dat indien het resulterende krachtmoment om een vast punt of een as door het massamiddelpunt gelijk aan nul is, het totale vectoriële angulair moment van het systeem constant blijft [50](#page=50). $$ \text{Indien } \sum \vec{\tau}_{\text{uitw}} = 0, \text{ dan is } \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \text{ en } \vec{L} = \text{constant} $$ . Voor een star lichaam dat roteert om een vaste as geldt $L = I\omega$. Als $\sum \vec{\tau}_{\text{uitw}} = 0$, dan is $I\omega = \text{constant}$ [50](#page=50) [51](#page=51). #### 3.4.1 Toepassingen * **Pirouette en kunstschaatsen:** Bij een pirouette kan de rotatiesnelheid worden verhoogd door de armen en benen dichter bij het lichaam te brengen. Dit verkleint het traagheidsmoment $I$, en volgens de wet van behoud van angulair moment ($I_1\omega_1 = I_2\omega_2$) neemt de hoeksnelheid $\omega$ toe [53](#page=53) [54](#page=54). * **Salto:** Bij het uitvoeren van een salto roteert het lichaam rond een horizontale hoofdtraagheidsas. Door de benen in te trekken tijdens de sprong, wordt het traagheidsmoment $I$ verkleind, waardoor de hoeksnelheid $\omega$ toeneemt en een rotatie van 360° mogelijk wordt [55](#page=55). * **Rotatiebeweging van de kat:** Een kat kan zich tijdens een val, met initieel nul angulair moment, oriënteren om op haar poten te landen. Dit wordt bereikt door de relatieve beweging van de lichaamsdelen om het traagheidsmoment te veranderen, waardoor de hoeksnelheid van verschillende delen tijdelijk verandert, maar het totale angulair moment nul blijft [56](#page=56) [57](#page=57) [58](#page=58). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Moment van een kracht (krachtmoment) | Een vectoriële grootheid die de neiging van een kracht beschrijft om een voorwerp rond een draaipunt te laten roteren. De grootte wordt bepaald door het product van de kracht en de loodrechte afstand tot het draaipunt (momentarm), en de richting staat loodrecht op het vlak van de kracht en de plaatsvector, bepaald door de kurkentrekkerregel. | | Traagheidsmoment | De maat voor de weerstand van een lichaam tegen verandering van zijn rotatiesnelheid. Het hangt af van de massa van het lichaam en hoe deze massa verdeeld is ten opzichte van de rotatie-as. | | Regel van Steiner (Parallele-as theorema) | Een stelling die stelt dat het traagheidsmoment van een star lichaam ten opzichte van een as gelijk is aan het traagheidsmoment ten opzichte van een parallelle as door het massamiddelpunt, plus het product van de massa van het lichaam en het kwadraat van de afstand tussen de twee assen. | | Kinetische rotatie energie | De energie die een lichaam bezit vanwege zijn rotatiebeweging rond een as. Het is gelijk aan de helft van het product van het traagheidsmoment en het kwadraat van de hoeksnelheid. | | Angulair moment (Impulsmoment) | Een vectoriële grootheid die de rotatie-equivalentie is van lineair momentum. Voor een deeltje is het gedefinieerd als het kruisproduct van de plaatsvector en het lineaire momentum. | | Wet van behoud van angulair moment | Een fundamentele natuurkundewet die stelt dat het totale angulair moment van een systeem constant blijft als er geen extern netto krachtmoment op het systeem werkt. | | Momentarm | De loodrechte afstand van de werklijn van een kracht tot het draaipunt. Dit is een cruciale factor bij het berekenen van de grootte van het krachtmoment. | | Hoofdtraagheidsassen | Drie onderling loodrechte assen die door het massamiddelpunt van een lichaam gaan en zodanig georiënteerd zijn dat de producten van de traagheid nul zijn. Rotatie rond een hoofdtraagheidsas is stabieler. | | Star lichaam | Een ideaal lichaam waarbij de afstand tussen twee willekeurige punten constant blijft, ongeacht de uitgeoefende krachten. In werkelijkheid zijn lichamen enigszins vervormbaar. | | Centripetale kracht | Een kracht die een voorwerp naar het middelpunt van een cirkelvormige baan trekt. Zonder deze kracht zou het voorwerp langs een raaklijn wegschieten. |

# Het menselijk lichaam en gezondheid Hier is een gedetailleerde samenvatting over het menselijk lichaam en gezondheid, gebaseerd op de verstrekte documentatie. ## 1. Het menselijk lichaam en gezondheid Dit hoofdstuk behandelt de systemen en functies van het menselijk lichaam, hoe we waarnemen, ons lichaam stevigheid en beweging geeft, en de processen van spijsvertering, bloedsomloop, ademhaling, afweer en voortplanting, aangevuld met aspecten van gezond gedrag en voeding. ### 1.1 Waarnemen #### 1.1.1 Zintuigen om te overleven Zintuigen zijn cruciaal voor overleving doordat ze ons in staat stellen voedsel, water, gevaar en partners waar te nemen. Ze spelen ook een rol in non-verbale communicatie, zoals het herkennen van emoties. #### 1.1.2 De samenwerking tussen zintuigen, hersenen en spieren * **Zintuigen** functioneren als 'ontvangers' die reageren op prikkels (licht, geluid, etc.) en berichten naar de hersenen sturen via **zenuwen**. * De **hersenen** interpreteren deze boodschappen, geven er betekenis aan door vergelijking met opgeslagen informatie, en sturen commando's naar **spieren** voor gedrag. * De communicatie verloopt via **zenuwen**, die elektrische signalen doorgeven, vergelijkbaar met stroomdraden maar dan veel zwakker. * **Reflexen** zijn automatische, snelle reacties die 'kortgesloten' worden via het ruggenmerg, zonder eerst de hersenen te bereiken. Voorbeelden zijn de kniepeesreflex en hoestreflex. * De hersenen **filteren** binnenkomende informatie om overprikkeling te voorkomen. Een hersenschudding kan dit filter verstoren. #### 1.1.3 De belangrijkste zintuigen Het menselijk lichaam beschikt over meer dan de traditionele 'vijf zintuigen'. Het gevoel omvat bijvoorbeeld tast-, warmte-, koude- en pijnzintuigen. * **Orgaan:** Een deel van het lichaam met één of meerdere functies, bestaande uit verschillende weefsels (bv. de huid, het oog). * **Oog:** * Licht komt binnen via de **pupil**, waarvan de grootte door spiertjes wordt aangepast (pupilreflex). * Beelden worden **omgekeerd** op het **netvlies** geprojecteerd en door de hersenen geïnterpreteerd. * De **lens** buigt licht af en bundelt het. * **Staafjes** (gevoelig voor lichtsterkte, geen kleur) en **kegeltjes** (gevoelig voor kleur) in het netvlies registreren de prikkels. De gele vlek heeft een hoge concentratie kegeltjes. * **Stereoscopisch zicht** (diepte zien) ontstaat door informatie van twee ogen te combineren. * **Gehoor- en evenwichtsorgaan:** * **Gehoororgaan:** Bestaat uit het uitwendige oor (oorschelp, gehoorgang, trommelvlies), middenoor (trommelholte met gehoorbeentjes: hamer, aambeeld, stijgbeugel) en binnenoor (slakkenhuis met zintuigcellen). Trillingen worden versterkt en omgezet in elektrische signalen naar de hersenen. De buis van Eustachius reguleert luchtdruk. * **Evenwichtsorgaan:** Bestaat uit drie halfcirkelvormige kanalen die de stand in de ruimte waarnemen. Beweging van het hoofd brengt vloeistof en steentjes in beweging, wat signalen naar de hersenen stuurt voor houdingscorrectie. * **Smaakzintuigen:** Gevoelig voor opgeloste stoffen. Er zijn vijf basissmaken: zoet, zout, zuur, bitter en umami ('hartig'). Smaak en reuk hangen nauw samen. * **Reukzintuig:** Gevoelig voor vluchtige stoffen hoog in de neusgangen. * **Tastzintuigen:** Kleine orgaantjes onder de huid die reageren op drukverandering, vaak geconcentreerd op gevoelige plekken zoals vingertoppen. ### 1.2 Stevigheid en beweging #### 1.2.1 De draagbalken van je lichaam Het skelet biedt stevigheid en ondersteuning: * **Wervelkolom:** S-vormig om het zwaartepunt boven het bekken te houden. * **Schoudergordel, bekken:** Verbinding met de ledematen. * **Pijpbeenderen:** Dikker en steviger aan de uiteinden (veel beenbalkjes) en dunner in het midden. Dit ontwerp balanceert stevigheid met gewicht. * **Beenderen:** Bestaan aan de buitenkant uit beenmateriaal en centraal uit beenmerg, dat belangrijk is voor been- en bloedcelvorming. #### 1.2.2 Bescherming van vitale organen * **Ribbenkast:** Beschermt hart en longen en kan meebewegen met de ademhaling. * **Schedel:** Beschermt de hersenen met een vloeistoflaagje als schokdemper. De aangezichtsschedel beschermt zintuigen. * **Wervelkolom:** Beschermt het ruggenmerg. #### 1.2.3 Beweging van je armen en benen * **Ledematen:** Verbonden met de wervelkolom via de schouderbladen (armen) en het bekken (benen). Bestaan uit pijpbeenderen. * **Gewrichten:** Verbindingen tussen botten die beweging mogelijk maken. * **Scharniergewricht:** Beweging in één richting (elleboog, knie, vingerkootjes). * **Kogelgewricht:** Beweging in alle richtingen (schouder, heup). * **Zadelgewricht:** Beweging in twee richtingen (duim). * **Skeletspieren (dwarsgestreepte spieren):** Bevestigd aan botten via pezen, zorgen voor beweging door samen te trekken (korter en dikker worden). * **Antagonisten:** Spierkoppels die tegengestelde bewegingen uitvoeren (bv. biceps en triceps). * **Willekeurige spieren:** Onder invloed van de wil. * **Gladde/onwillekeurige spieren:** Werken automatisch (bloedvaten, spijsverteringskanaal). #### 1.2.4 Vergelijking met het skelet van andere zoogdieren Het bouwplan van het menselijk skelet vertoont grote overeenkomsten met dat van andere zoogdieren (wervelkolom, schedel, ribbenkast, vier ledematen met een pijpbeen in het bovenbeen en twee in het onderbeen). ### 1.3 Spijsvertering en voeding #### 1.3.1 Spijsvertering Het proces waarbij voedsel wordt afgebroken tot opneembare voedingsstoffen. Vijf fasen: 1. **Kleinmaken van voedsel (mechanische spijsvertering):** Kauwen met tanden en kiezen (snijtanden, hoektanden, kiezen). 2. **Splitsen van voedsel (chemische/enzymatische spijsvertering):** **Enzymen** breken koolhydraten, eiwitten en vetten af tot hun bouwstenen (glucose, aminozuren, glycerol/vetzuren). * **Speekselklieren:** Enzymen voor koolhydraatvertering. * **Maag:** Eiwitsplitsende enzymen. * **Alvleesklier en dunne darm:** Enzymen voor koolhydraten, eiwitten en vetten. * **Gal:** Geproduceerd in de lever, opgeslagen in de galblaas, emulgeert vetten. 3. **Verteren van vezels (bacteriële spijsvertering):** In de dikke darm door darmflora. 4. **Opname voedingsstoffen:** In de dunne darm via darmvlokken in het bloed. In de dikke darm wordt water onttrokken. 5. **Uitscheiden van onverteerbare resten:** Ontlasting. #### 1.3.2 Voedingsstoffen * **Bouwstoffen:** Voor groei, onderhoud, herstel (water, eiwitten, mineralen zoals calcium, ijzer, fluoride). * **Brandstoffen:** Leveren energie door verbranding (koolhydraten, vetten, eiwitten). Energiebalans is cruciaal. * **Beschermende stoffen:** Vitamines (essentieel voor lichaamsprocessen) en mineralen. * **Ballaststoffen:** Voedingsvezels die de darmperistaltiek stimuleren en schadelijke stoffen afvoeren. #### 1.3.3 Voeding en gezondheid Een gezond voedingspatroon is belangrijk om welvaartsziekten te voorkomen. Factoren als roken, beweging en stress spelen ook een rol. * **Overgewicht:** Verstoorde energiebalans (energiegebruik > energieverbruik). * **Hart- en vaatziekten:** Veroorzaakt door aderverkalking (atherosclerose) door hoog cholesterol. * **Cariës (gaatjes) en tanderosie:** Veroorzaakt door zuren uit voeding en dranken. * **Hoge bloeddruk:** Kan mede door te veel zoutgebruik. * **Diabetes (suikerziekte):** Problemen met regulatie van de bloedsuikerspiegel door insulinetekort of ongevoeligheid ervoor. * **Lever- en alvleesklieraandoeningen:** Vaak door overmatig alcoholgebruik. #### 1.3.4 Schijf van vijf Een model van het Voedingscentrum om aan te geven welke voedingsmiddelen in welke hoeveelheden dagelijks gegeten moeten worden voor een compleet voedingspatroon. ### 1.4 Ademhaling en bloedsomloop #### 1.4.1 Het ademhalingsstelsel Lucht komt via neus/mond in de luchtpijp, bronchiën en longblaasjes waar gasuitwisseling plaatsvindt. Inademen gebeurt door vergroting van de borstholte (tussenribspieren en middenrif). #### 1.4.2 Het bloedvatenstelsel * **Transport:** Vervoert zuurstof, koolstofdioxide, voedingsstoffen, afvalstoffen, antistoffen en hormonen. * **Bloed:** Bestaat uit rode bloedcellen (zuurstoftransport via hemoglobine), witte bloedcellen (afweer), bloedplaatjes (stolling) en plasma. * **Hart:** Pomp die bloed door het lichaam stuurt. * **Bloedvaten:** Slagaders (van het hart af), aders (naar het hart toe) en haarvaten (fijn netwerk voor uitwisseling). * **Temperatuurregulatie:** Bloed verspreidt warmte en helpt bij afkoeling door verwijding van bloedvaten bij de huid. #### 1.4.3 Vereende krachten (dubbele bloedsomloop) Het hart heeft twee circuits: 1. **Longcirculatie:** Rechterharthelft pompt zuurstofarm bloed naar de longen voor gasuitwisseling. 2. **Lichaamscirculatie:** Linkerharthelft pompt zuurstofrijk bloed naar de rest van het lichaam. #### 1.4.4 Inspanning en rust Bij inspanning neemt de ademhaling en hartslag toe om meer zuurstof te leveren. Adrenaline wordt vrijgegeven bij levensbedreigende situaties, wat hartslag en ademhaling versnelt en glucoseafgifte stimuleert voor 'vechten of vluchten'. ### 1.5 Afweer en gezondheid #### 1.5.1 Afweersysteem (immuunsysteem) Beschermt tegen ziekteverwekkers en bouwt een geheugen op. * **1e verdedigingslinie (fysieke/chemische barrière):** Huid, slijmvliezen, oorsmeer, tranen, speeksel, slijm bevatten antimicrobiële stoffen. * **2e verdedigingslinie (algemene afweer):** Gespecialiseerde witte bloedcellen (fagocyten) die lichaamsvreemde stoffen opeten. * **3e verdedigingslinie (specifieke afweer):** * **T-cellen:** Vernietigen geïnfecteerde lichaamscellen. * **B-cellen:** Maken **antistoffen** aan die ziekteverwekkers neutraliseren. * **Geheugencellen:** Zorgen voor snellere reactie bij herbesmetting. * **Lymfestelsel:** Organen zoals thymus, beenmerg (productie witte bloedcellen), lymfeklieren, milt, amandelen en plaques van Peyer spelen een rol in de afweer en transport van lichaamsvreemde stoffen. #### 1.5.2 Ziekte * **Infectieziekten:** Meeste ziekten; veroorzaakt door virussen of bacteriën. * **Virusinfecties:** Moeten door het lichaam zelf overwonnen worden; geen medicijnen. * **Bacteriële infecties:** Behandelbaar met antibiotica. * **Koorts:** Een nuttige reactie van het lichaam om infecties te bestrijden. #### 1.5.3 Vaccinatie Injectie van een dode of verzwakte ziekteverwekker om het afweersysteem een 'geheugen' te geven en immuun te worden. #### 1.5.4 Allergie Het afweersysteem reageert overmatig op onschadelijke stoffen (allergenen). Kan leiden tot anafylactische shock door histamineproductie. ### 1.6 Voortplanting en seksualiteit #### 1.6.1 Voortplanting * **Functie zaadblaasjes en prostaat:** Produceren vocht dat zaadcellen verdunt, in beweging brengt en voedt. * **Eicel:** Levensduur circa 1 dag na ovulatie. * **Zaadcel:** Levensduur 2-3 dagen in het lichaam van de vrouw. * **Bevruchting:** Vindt plaats in de eileider. De periode waarin bevruchting mogelijk is, is ongeveer 4 dagen (eicel + zaadcel levensduur). * **Zwangerschap:** Na bevruchting nestelt de bevruchte eicel zich in de baarmoederwand. Moeder en kind hebben gescheiden bloedcirculaties, uitgewisseld via de placenta en navelstreng. * **Soa's (Seksueel Overdraagbare Aandoeningen):** Zoals chlamydia en HIV. Veilig vrijen met condooms is essentieel. * **Spiraaltje:** Voorkomt innesteling van een bevruchte eicel. #### 1.6.2 Seksuele ontwikkeling De seksuele ontwikkeling verloopt in verschillende fasen van peuterleeftijd tot adolescentie, met veranderende aandacht voor genderidentiteit, lichaam, gevoelens en relaties. #### 1.6.3 Erfelijkheid * **DNA en chromosomen:** Bevatten genetische informatie. Mensen hebben 23 paar chromosomen (XX voor vrouw, XY voor man). * **Genen:** Stukjes DNA die overerfelijke eigenschappen bepalen. * **Dominant en recessief:** Genen kunnen overheersen of recessief zijn. * **Genotype vs. Fenotype:** Genotype is de genetische informatie; fenotype is de uiterlijke verschijning/eigenschap, beïnvloed door genen en milieu. * **Celdeling:** * **Mitose:** Celdeling voor groei en herstel, produceert identieke cellen. * **Meiose:** Celdeling voor geslachtscellen, halveert het aantal chromosomen en zorgt voor genetische variatie. --- ### 1.7 Schimmels en paddenstoelen (Relevant voor deels het lichaam en voeding) #### 1.7.1 Het schimmelrijk * Schimmels behoren tot een apart rijk, verschillend van planten. * Er zijn eencellige (gist) en meercellige soorten. * Meercellige schimmels bestaan uit draden en leven verborgen in hun voedselbron. * Paddenstoelen zijn vruchtlichamen van schimmels. Ze kunnen eetbaar of giftig zijn. * Indeling van paddenstoelen op basis van sporenvorming: plaatjeszwammen, buisjeszwammen, stuifzwammen. #### 1.7.2 De voedingswijze van schimmels * Schimmels bevatten geen bladgroen en kunnen hun voedsel niet zelf maken. * **Parasieten:** halen voedsel uit levende organismen (bv. meeldauw). * **Mycelium/zwamvlok:** Netwerk van schimmeldraden. * **Symbiose:** Sommige schimmels leven samen met planten, waarbij ze wederzijds voedingstoffen uitwisselen. #### 1.7.3 De levenscyclus van een paddenstoel * Een paddenstoel is een vruchtlichaam dat zorgt voor de verspreiding van sporen. * De schimmel zelf leeft verder onder de grond of in een gastheer. * Vorming van een paddenstoel vereist versmelting van schimmeldraden, uitgroei tot een bolletje, en ontwikkeling van het vruchtlichaam. * Sporen worden verspreid en kunnen onder gunstige omstandigheden een nieuw mycelium vormen. * **Heksenkring:** Ontstaat wanneer het mycelium zich ringvormig uitbreidt en afsterft in het centrum. --- ### 1.8 Gezond gedrag en voeding (Vervolg) #### 1.8.1 Schijf van vijf Een voorlichtingsmodel voor gezonde voeding, waarbij voedingsmiddelen zijn verdeeld over vijf productgroepen. Dagelijks eten uit alle groepen wordt aanbevolen, met variatie in grootte van de vakken als indicatie voor de hoeveelheid. * **Groenten en fruit:** Leverancier van vitamines, mineralen en vezels. * **Koolhydraatleveranciers:** Belangrijk deel van koolhydraten. * **Eiwitleveranciers:** Belangrijke bron van eiwitten. * **Vocht:** Essentieel, advies is 1,5 liter per dag. * **Vetleveranciers:** Bron van vetten. --- Deze samenvatting biedt een diepgaand overzicht van de kernconcepten met betrekking tot het menselijk lichaam, waarneming, beweging, voeding, gezondheid en de bijbehorende systemen, zoals beschreven in de verstrekte documentatie. --- # Natuurkundige verschijnselen en techniek Dit gedeelte verkent diverse natuurkundige fenomenen zoals materie, magnetisme, elektriciteit, geluid en licht, en gaat in op de principes van techniek, constructies, materialen, energieomzetting en communicatietechnologie. ### 5.1 Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen #### 5.1.1 Verschijningsvormen Elke stof bestaat uit moleculen, de kleinste deeltjes met behoud van eigenschappen. Het gedrag van deze moleculen bepaalt de verschijningsvorm van een stof. * **Vaste stof:** Moleculen bewegen weinig en trekken elkaar sterk aan, waardoor ze dicht bij elkaar blijven. Vaste stoffen zijn hard en vormvast. * **Vloeistof:** Moleculen bewegen in alle richtingen, zitten minder dicht op elkaar en trekken elkaar minder sterk aan. Vloeistoffen hebben geen eigen vaste vorm. * **Gas:** Moleculen bewegen snel en onafhankelijk van elkaar met grote onderlinge afstanden. Gassen hebben geen vaste vorm of volume. Deze verschijningsvormen worden ook wel aggregatietoestanden genoemd: vast, vloeibaar en gasvormig. #### 5.1.2 De invloed van warmte op de verschijningsvorm van een stof Veranderingen in temperatuur en druk beïnvloeden het gedrag van moleculen en daarmee de verschijningsvorm van een stof. * **Van koud naar warm:** * **Smeltpunt:** De temperatuur waarbij een zuivere vaste stof bij normale luchtdruk vloeibaar wordt. * **Verdamping:** Het proces waarbij deeltjes van een vloeistof ontsnappen naar de gasvormige toestand. Vluchtige stoffen verdampen bij relatief lage temperaturen. * **Kookpunt:** De temperatuur waarbij alle vloeistof overgaat in gasvorm. Luchtdruk beïnvloedt het kookpunt; hogere druk verhoogt het kookpunt. * **Sublimatie:** Het rechtstreeks overgaan van een vaste stof naar de gasvorm, zonder vloeibaar te worden. * **Van warm naar koud:** * **Condensatie:** Het overgaan van gas naar vloeistof, doordat de moleculen langzamer gaan bewegen en dichter bij elkaar komen. * **Stolling/ Bevriezing:** Moleculen nemen een vaste plaats in en vormen een stevige structuur. * **Desublimatie:** Het rechtstreeks overgaan van gas naar vaste vorm. * **Temperatuur en gewicht:** Afgekoelde stoffen worden over het algemeen compacter en daardoor zwaarder per volume-eenheid. Water is hierop een uitzondering: ijs drijft op water doordat de moleculaire structuur van ijs meer lege ruimte bevat. #### 5.1.3 Eigenschappen van water Water is essentieel voor het leven op aarde en heeft unieke eigenschappen: * **Water als oplosmiddel:** Water lost veel stoffen op, wat cruciaal is voor biologische processen in bloed en plantensappen. * **Oplossing:** Een helder, doorzichtig mengsel (bv. suikerwater). * **Suspensie:** Een troebel, ondoorzichtig mengsel van een vaste stof in een vloeistof (bv. modderwater). * **Emulsie:** Een mengsel van twee vloeistoffen die normaal niet goed mengbaar zijn, met behulp van een emulgator (bv. melk, mayonaise). * **Scheiden van een mengsel:** Technieken zoals filteren, bezinken/centrifugeren en indampen/destillatie worden gebruikt om mengsels te scheiden op basis van deeltjesgrootte, dichtheid of kookpunt. * **De opwaartse kracht van water:** (Niet gedetailleerd uitgewerkt in de tekst, maar genoemd als eigenschap). * **De oppervlaktespanning van water:** De aantrekkingskracht tussen watermoleculen aan het oppervlak, die zorgt voor een ronde druppelvorm. Zeep verlaagt de oppervlaktespanning. #### 5.1.4 Eigenschappen van lucht Lucht is een gas dat druk uitoefent. * **Aanwezigheid van lucht:** Lucht bestaat uit snel bewegende moleculen die alle kanten op gaan. * **Luchtdruk:** Kan zichtbaar gemaakt worden door lucht samen te persen (bv. een ballon in een fles). Een zuignap illustreert de kracht van luchtdruk door onderdruk te creëren. * **Afkoeling:** Bij afkoeling bewegen luchtmoleculen langzamer en komen dichter bij elkaar, wat resulteert in een lagere luchtdruk. ### 5.2 Magnetisme #### 5.2.1 Wat is magnetisme? Magnetisme is de aantrekking of afstoting tussen magnetische objecten. Magnetiet is een natuurlijk magnetisch gesteente. Een vrij draaibare magneet wijst altijd naar het noorden (noordpool) en het zuiden (zuidpool). De magnetische polen van de aarde bevinden zich nabij de geografische polen, maar met tegengestelde polariteit (de noordpool van een magneet wordt aangetrokken door de magnetische zuidpool nabij de geografische noordpool van de aarde). #### 5.2.2 De werking van een magneet Magnetische materialen bevatten kleine magnetische gebiedjes (minimagneetjes). Als deze gebiedjes dezelfde kant op wijzen, wordt het materiaal magnetisch. Hameren of verhitten kan een magneet zijn magnetisme doen verliezen door de oriëntatie van deze gebiedjes te verstoren. Ferromagnetische metalen zoals ijzer, nikkel en kobalt worden aangetrokken door magneten. #### 5.2.3 Magneetvelden (Dit concept wordt genoemd maar niet verder uitgewerkt in de tekst). #### 5.2.4 Magnetisme en elektriciteit Er is een verband tussen elektriciteit en magnetisme: * **Elektrische stroom wekt magnetisme op:** Een elektrische stroom genereert een elektromagnetisch veld rond een stroomdraad. Dit principe wordt gebruikt in elektromagnets. * **Beweging wekt elektriciteit op:** Magnetisme kan elektriciteit opwekken wanneer een magneet en een draadspoel ten opzichte van elkaar bewegen. Dit principe ligt ten grondslag aan de werking van fietsdynamo's en generatoren. ### 5.3 Elektriciteit #### 5.3.1 Statische elektriciteit Statische elektriciteit ontstaat wanneer twee voorwerpen tegen elkaar wrijven, waardoor geladen deeltjes (elektronen) worden uitgewisseld. De lading blijft stilstaand. Een ontlading kan gepaard gaan met licht en geluid, zoals bij bliksem. * **Atomen:** Bestaan uit positieve kernen en negatieve elektronen. Een neutraal atoom heeft gelijke aantallen positieve en negatieve ladingen. Elektronen kunnen uitgewisseld worden, wat leidt tot lading. #### 5.3.2 Elektrische stroom Dynamische elektriciteit is een gerichte beweging van elektrische ladingen. Dit maakt elektriciteit beheersbaar en nuttig. Elektrische energie kan worden omgezet in warmte, licht, beweging en geluid. * **Geleiding:** Materialen met vrij bewegende elektronen (zoals metalen) geleiden elektrische lading goed. * **Stroomkring:** Een gesloten circuit is nodig voor het transport van elektrische stroom. Een spanningsbron (batterij, accu) levert de energie die nodig is om elektronen te laten bewegen, vanuit de pluspool naar de minpool. #### 5.3.3 Stroomkringen Een stroomkring bestaat uit een spanningsbron, een geleidend materiaal (draad) en een energiegebruiker. Een schakelaar kan de stroomkring onderbreken of sluiten. #### 5.3.4 Geleiding, isolatie en weerstand * **Geleiders:** Materialen die elektrische lading goed geleiden en weinig weerstand bieden (bv. koper). * **Isolatoren:** Materialen die elektrische lading nauwelijks doorlaten en een grote weerstand hebben (bv. plastic). * **Weerstand:** De mate waarin materiaal de doorstroming van elektronen belemmert. Een dunne draad heeft een grotere weerstand dan een dikke draad. De dikte van een draad is afgestemd op de verwachte stroomsterkte om oververhitting te voorkomen. #### 5.3.5 Serie- en parallelschakelingen * **Serieschakeling:** Onderdelen zijn achter elkaar geschakeld. Als één onderdeel defect is, onderbreekt dit de hele kring (bv. kerstboomverlichting). De lampjes branden minder fel door de gezamenlijke weerstand. * **Parallelschakeling:** Onderdelen zijn onafhankelijk van elkaar op de spanningsbron aangesloten (bv. elektrische bedrading in huizen). **Wet van Ohm:** Beschrijft het verband tussen spanning ($U$), stroomsterkte ($I$) en weerstand ($R$). $$U = I \cdot R$$ * **Spanning ($U$):** De potentiaalverschil dat de beweging van ladingen aandrijft, gemeten in volt (V). * **Stroomsterkte ($I$):** De hoeveelheid lading die per tijdseenheid door een draad gaat, gemeten in ampère (A). * **Weerstand ($R$):** De mate van tegenwerking van de stroom, gemeten in ohm ($\Omega$). #### 5.3.6 Elektriciteit in huis * **Energiemeter (kilowattuurmeter):** Meet het energieverbruik in kilowattuur (kWh). Vermogen ($P$) wordt uitgedrukt in watt (W) of kilowatt (kW). De omgezette energie is vermogen maal tijd. $$E = P \cdot t$$ $$P = U \cdot I$$ * **Elektriciteitsnetwerk:** Verdeeld in groepen om overbelasting te voorkomen. * **Zekeringen:** Beveiligen tegen kortsluiting en overbelasting door de stroomkring te onderbreken bij te hoge stroomsterkte. * **Aarddraad en aardlekschakelaar:** Een extra beveiliging (groengele draad) die de stroom naar aarde leidt bij kortsluiting, om schokken te voorkomen. Een aardlekschakelaar detecteert stroomlekken. ### 5.4 Geluid #### 5.4.1 Wat is geluid? Geluid ontstaat door trillingen van een geluidsbron. Deze trillingen verplaatsen zich als golven door een medium (lucht, vloeistof, vaste stof). #### 5.4.2 Verplaatsing van geluid Geluidstrillingen planten zich voort als drukgolven. De energietrillingen nemen af met de afstand tot de bron. Geluidssnelheid is constant in een bepaald medium bij een constante temperatuur (in lucht ca. 343 m/s bij kamertemperatuur). Geluid plant zich sneller voort in vloeistoffen en vaste stoffen dan in lucht. #### 5.4.3 Geluiden verschillen Geluiden verschillen in: * **Geluidssterkte:** Bepaald door de uitwijking van de trilling en de drukgolf. Gemeten in decibel (dB). Geluiden boven 120 dB kunnen gehoorbeschadiging veroorzaken. * **Toonhoogte:** Bepaald door de frequentie (aantal trillingen per seconde) van de geluidsbron, gemeten in hertz (Hz). * **Ultrasoon:** Geluid met een frequentie boven de menselijke hoordrempel (boven 20.000 Hz). * **Dopplereffect:** De verandering van toonhoogte van een geluid afhankelijk van de beweging van de bron ten opzichte van de waarnemer. * **Klankkleur:** Het unieke golfpatroon dat wordt geproduceerd door de combinatie van een grondtoon en boventonen, wat elk geluid herkenbaar maakt. * **Resonantie:** Het meetrillen van objecten met een geluidsbron. #### 5.4.4 Weerkaatsing van geluid Geluid kan worden doorgelaten, geabsorbeerd of weerkaatst. * **Absorptie:** Zachte, onregelmatige oppervlakken absorberen geluid (geluiddempend). * **Reflectie:** Gladde, harde oppervlakken weerkaatsen geluid (echo, galm). Dit principe wordt gebruikt in echolocatie (vleermuizen, dolfijnen) en sonar. ### 5.5 Licht en kleur #### 5.5.1 Lichtbronnen Lichtbronnen produceren zelf licht. Veel objecten weerkaatsen echter licht. * **Natuurlijke lichtbronnen:** Zon, sterren. * **Kunstmatige lichtbronnen:** Houtvuur, kaars, gaslamp, tl-buizen, gloeilampen. #### 5.5.2 Wat is licht? Licht is een golfbeweging die zich voortplant in een rechte lijn en zich door een vacuüm kan verplaatsen. * **Lichtsnelheid:** 300.000 km/s. * **Transparantie:** * **Doorzichtig:** Laat al het licht door. * **Doorschijnend:** Laat gedeeltelijk licht door. * **Ondoorzichtig:** Laat geen licht door. * **Schaduw:** Ontstaat achter een ondoorzichtig voorwerp door de afwezigheid van licht (kernschaduw en bijschaduw). #### 5.5.3 Weerkaatsing en absorptie van licht Voorwerpen worden zichtbaar doordat ze licht weerkaatsen. De hoeveelheid weerkaatst of geabsorbeerd licht hangt af van het oppervlak. * Gladde, witte oppervlakken weerkaatsen meer licht dan ruwe, donkere oppervlakken. Donkere oppervlakken absorberen meer licht. #### 5.5.4 Breking van licht Licht verandert van richting wanneer het van de ene stof naar de andere gaat (lichtbreking), doordat de lichtsnelheid in verschillende stoffen anders is. Lenzen maken gebruik van dit principe. * **Bolle lenzen:** Bundelen lichtstralen en kunnen beelden vergroten. * **Holle lenzen:** Spreiden lichtstralen uit en maken beelden kleiner. * **Oogafwijkingen:** Verziendheid wordt gecorrigeerd met bolle lenzen; bijziendheid met holle lenzen. #### 5.5.5 De kleuren van de regenboog Wit licht bestaat uit verschillende kleuren. Regendruppels breken zonlicht, waardoor de kleuren van de regenboog zichtbaar worden (rood minst gebroken, violet meest). Dit vormt het zichtbare kleurenspectrum. #### 5.5.6 Kleuren zien * **Primaire lichtkleuren:** Rood, blauw, groen. Deze beïnvloeden de kegeltjes in het netvlies. * **Kleur van voorwerpen:** Wordt bepaald door de kleuren die worden geabsorbeerd en weerkaatst. Een groen voorwerp absorbeert alle kleuren behalve groen, dat wordt weerkaatst. * **Primaire verfkleuren:** Geel, magenta, cyaan. ### 5.6 Kracht #### 5.6.1 Wat is kracht? Kracht is een natuurkundige grootheid die een voorwerp kan vervormen of een snelheidsverandering kan geven (grootte of richting). Kracht is een vectorgrootheid: het heeft grootte, richting en een aangrijpingspunt. De eenheid van kracht is newton (N). #### 5.6.2 Soorten krachten * **Contactkrachten:** Vereisen direct contact (bv. spierkracht). * **Veldkrachten:** Werken op afstand (bv. zwaartekracht, magnetische kracht). * **Zwaartekracht:** Aantrekkingskracht van de aarde (ca. 9,8 N/kg in Nederland). * **Normaalkracht:** Kracht die een ondersteunend vlak uitoefent, loodrecht op het vlak. * **Spankracht:** Kracht in een gespannen touw of kabel. * **Veerkracht:** Kracht die een veer uitoefent bij vervorming, tegengesteld aan de vervorming. * **Wrijvings- en weerstandskrachten:** Tegenwerkende krachten bij beweging (bv. schuifwrijving, rolweerstand, luchtweerstand). * **Druk:** Kracht per oppervlakte-eenheid ($p = \frac{F}{A}$). Grote oppervlakken verdelen de druk, waardoor deze lager is. #### 5.6.3 Krachten tekenen Meerdere krachten op een voorwerp kunnen worden samengevat in één **resulterende kracht**. Krachten worden weergegeven als pijlen met een bepaalde lengte (grootte) en richting. #### 5.6.4 Kracht en beweging * **Eerste wet van Newton (traagheidswet):** Een voorwerp blijft in rust of met constante snelheid bewegen, tenzij er een resulterende kracht op werkt. * **Tweede wet van Newton:** De versnelling van een voorwerp is recht evenredig met de resulterende kracht en omgekeerd evenredig met de massa ($a = \frac{F_{res}}{m}$). $$F_{res} = m \cdot a$$ * **Derde wet van Newton (actie = reactie):** Krachten treden altijd op in paren; als voorwerp A een kracht uitoefent op voorwerp B, oefent B een even grote, tegengestelde kracht uit op A. Deze krachten werken op verschillende voorwerpen en heffen elkaar dus niet op. ### 6 Technische inzichten #### 6.1 Wat is techniek? Techniek omvat het maken en onderzoeken van producten en systemen met specifieke functies. Belangrijke technische gebieden zijn: * **Constructies:** Stevige en stabiele structuren (gebouwen, bruggen). * **Transport:** Verplaatsing van mensen, materialen en energie met vervoersmiddelen en infrastructuur. * **Productie:** Omzetten van ruwe materialen in bruikbare producten. * **Communicatie:** Overbrengen van informatie, zowel tussen mensen als tussen apparaten. Essentiële technische inzichten omvatten materiaalkeuze, verbindingen, vormen, energieomzetting, bewegingsprincipes en geautomatiseerde systemen met sensoren. #### 6.2 Constructies #### 6.2.1 Een stevig huis Stevigheid en stabiliteit van constructies zijn cruciaal en hangen af van materiaal, verbindingen en toegepaste vormen. #### 6.2.2 Materialen Materialen zijn de bestanddelen van een product. Er is onderscheid tussen natuurlijke en kunstmatige materialen. De materiaalkeuze wordt bepaald door de functie en de eigenschappen van het materiaal (bv. stijfheid, sterkte). Nieuwe materialen met betere eigenschappen worden ontwikkeld door combinaties (bv. gewapend beton, legeringen). #### 6.2.3 Verbindingen * **Materiaalverbindingen:** Gebruiken los materiaal om onderdelen te bevestigen (bv. solderen, metselen). Vaak star en permanent. * **Vormverbindingen:** Gebruiken de vorm van onderdelen om ze te verbinden (bv. legpuzzel, LEGO). Vaak los-vast en star. * **Voorwerpverbindingen:** Gebruiken een voorwerp als verbinding (bv. nietjes, veters). Kunnen permanent of los-vast zijn. * **Beweeglijke verbindingen:** Laten beweging toe tussen onderdelen (bv. as, scharnier). #### 6.2.4 Vormen De vorm van een constructie beïnvloedt de stevigheid: * **Driehoeken:** Zeer stevig door de verdeling van druk- en trekkrachten. * **Vierhoeken:** Beweeglijk, kunnen verstevigd worden met diagonalen (waardoor driehoeken ontstaan). * **Bogen:** Vangen drukkrachten goed op en verdelen krachten gelijkmatig. * **Piramides:** Stabiel door een brede basis en smalle top. * **Profielen:** Materiaalbesparend en toch stevig (bv. een holle buis). ### 6.3 Energieomzetting #### 6.3.1 Wat is energie? Energie is nodig om arbeid te verrichten. Energie wordt niet verbruikt, maar omgezet in andere vormen. * **Chemische energie:** Energie opgeslagen in brandstoffen. * **Potentiële energie:** Energie die een voorwerp bezit door zijn positie (bv. hoogte). Wordt omgezet in bewegingsenergie bij vallen. * Bij elke energieomzetting gaat energie verloren als onbruikbare warmte (wrijvingswarmte). #### 6.3.2 Energiebronnen Energiebronnen leveren de energie die nodig is voor apparaten en organismen. * **Hernieuwbare/Duurzame energiebronnen:** Zonlicht, windkracht, waterkracht. * **Niet-duurzame energiebronnen:** Fossiele brandstoffen (steenkool, aardolie, aardgas), kernenergie. * **Elektriciteit:** Kan gemakkelijk worden omgezet in andere energievormen en over lange afstanden worden getransporteerd. * **Problemen met fossiele brandstoffen:** Opraakbaarheid, milieuvervuiling (CO2-uitstoot, zure regen). * **Problemen met kernenergie:** Gevaarlijk kernafval. * **Oplossingen:** Energiebesparing, efficiëntere apparaten, gebruik van duurzame bronnen zoals zonnepanelen (PV-panelen). #### 6.3.3 Energieomzetting * **Warmte:** Omzetting van elektrische, chemische of bewegingsenergie in warmte. * **Licht:** Omzetting van elektrische, chemische of bewegingsenergie in licht. * **Beweging:** Omzetting van elektrische, chemische of bewegingsenergie in beweging. * **Elektriciteit opwekken:** Bewegingsenergie (van turbines in elektriciteitscentrales) wordt omgezet in elektrische energie door generatoren. ### 6.4 Bewegings- en overbrengingsprincipes #### 6.4.1 Overbrengingen Bewegingsenergie wordt via diverse onderdelen (hefbomen, katrollen, tandwielen) overgebracht om specifieke bewegingen te creëren. * **Rechtlijnige beweging (translatie)** * **Ronddraaiende beweging (rotatie)** #### 6.4.2 Van een rechtlijnige naar een rechtlijnige beweging * **Hefbomen:** Gebruikt om met minder kracht een groter gewicht te verplaatsen of weerstand te overwinnen. Er zijn drie typen hefbomen, onderscheiden door de plaats van het draaipunt, de kracht en de weerstand. #### 6.4.3 Van een ronddraaiende naar een ronddraaiende beweging * **Tandwielen:** Zorgen voor de overbrenging van rotatiebewegingen. Dit kan direct (tandwielen direct in elkaar) of indirect (via een ketting, riem of snaar). #### 6.4.4 Van een ronddraaiende naar een rechtlijnige beweging Mechanismen zoals schroefdraad (bv. raampje van een auto, kurkentrekker) zetten rotatie om in translatie. #### 6.4.5 Van een rechtlijnige naar een ronddraaiende beweging Omgekeerde principes van 6.4.4, waarbij een rechtlijnige beweging een rotatie veroorzaakt (bv. windmolens, watermolens, slingeruurwerk). ### 6.5 Informatie- en communicatietechnologie #### 6.5.1 Telecommunicatie Communicatie over grote afstanden, met behulp van signalen (stroom, licht, elektromagnetische straling) via kabels of de ether. * **Telegraaf:** Gebruikt elektrische pulsen om te communiceren via punten en strepen. * **Telefoon:** Zet geluid om in elektrische signalen en vice versa. * **Radio:** Gebruikt radiogolven om informatie over te brengen. * **Televisie:** Zendt beeld en geluid uit via radiogolven, kabels of satellieten. * **Internet:** Wereldwijd netwerk van computers dat communicatie mogelijk maakt. Modems vertalen signalen tussen telefoon/kabel en computertaal. #### 6.5.2 De computer Computers werken digitaal (met 0 en 1) en verwerken informatie met behulp van chips die miljoenen transistors bevatten. * **Chips:** Kleine siliciumschijfjes met transistors die functioneren als schakelaars. * **Bits en bytes:** De kleinste eenheid van digitale informatie is een bit (0 of 1). Een byte bestaat uit 8 bits. #### 6.5.3 Apparaten met een ingebouwde computer (embedded systems) Apparaten met ingebouwde computers kunnen reageren op hun omgeving. Ze bestaan uit sensoren (waarneming), een communicatiegedeelte, een processor (informatieverwerking) en een actuator (uitvoering van taken). ### 7 Weersverschijnselen en hemellichamen #### 7.1 Weersverschijnselen Het weer is de toestand van de atmosfeer op een bepaalde plaats en tijd. De troposfeer is de laag waar het weer zich afspeelt. * **Temperatuur:** Beïnvloed door zonnestand, bewolking en wateroppervlakken. * **Luchtdruk:** Verschillen in luchtdruk (hogedruk- en lagedrukgebieden) veroorzaken wind. Isobaaren verbinden punten met gelijke luchtdruk. * Lagedrukgebieden: Opgaande luchtbewegingen, wolkenvorming, neerslag. * Hogedrukgebieden: Neergaande luchtbewegingen, heldere luchten. * **Wind:** Luchtverplaatsing van hoge naar lage luchtdruk. * **Bewolking:** Bestaat uit waterdruppels of ijskristallen. Ontstaat door opstijgende warme, vochtige lucht die afkoelt en condenseert rond stofdeeltjes. * **Neerslag:** Ontstaat meestal bij fronten (koufronten, warmtefronten) waar warme en koude lucht samenkomen. Kan voorkomen als regen, sneeuw, hagel of ijzel. * **Regenboog:** Ontstaat door breking van zonlicht in regendruppels. * **Onweer:** Veroorzaakt door elektrische ontladingen (bliksem) tussen wolken of tussen wolk en aarde, gevolgd door de geluidsgolf van de donder. * **Weersvoorspelling:** Gebruikt weersatellieten om veranderingen in wolkenformaties te analyseren. #### 7.2 Hemellichamen en natuurverschijnselen De bewegingen van de zon, aarde en maan vormen de basis voor onze tijdrekening en kalender. * **Dag en nacht:** Veroorzaakt door de rotatie van de aarde om haar as. * **Weken, maanden en jaren:** Gebaseerd op de banen van de maan (maancyclus) en de aarde om de zon (zonnejaar). Schrikkeljaren corrigeren de fractionele dagen in het zonnejaar. * **Seizoenen:** Veroorzaakt door de gekantelde stand van de aardas ten opzichte van de zon. * **Eb en vloed:** Veroorzaakt door de aantrekkingskracht van de maan op de aarde, wat vloedbergen creëert. * **Zons- en maansverduistering:** Treden op wanneer de maan tussen de aarde en de zon staat (zonsverduistering) of wanneer de aarde tussen de maan en de zon staat (maansverduistering). * **De acht planeten:** * **Aardse planeten (klein, rotsachtig/metaal):** Mercurius, Venus, Aarde, Mars. * **Reuzenplaneten (gasvormig):** Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus. * **Sterren en sterrenbeelden:** De sterrenhemel, ons zonnestelsel, de Melkweg. Sterrenkaarten helpen bij het oriënteren. Sterrenbeelden zijn groepen sterren die patronen vormen. --- # Weersverschijnselen en hemellichamen Dit onderwerp behandelt de oorzaken en kenmerken van weersverschijnselen zoals temperatuur, luchtdruk en neerslag, alsook hemellichamen, tijdrekening, seizoenen en kosmische verschijnselen zoals eclipsen. ## 3. Weersverschijnselen en hemellichamen ### 3.1 Weersverschijnselen Het weer is de toestand van de atmosfeer op een bepaalde plaats en tijd, die grote invloed heeft op ons leven en diverse economische sectoren. De atmosfeer, het gasvormige omhulsel van de aarde, bestaat uit verschillende lagen, waarvan de troposfeer (tot 10-15 kilometer boven de aarde) de laag is waar het weer zich afspeelt. Energie van de zon en de rotatie van de aarde houden de lucht en het water voortdurend in beweging, wat leidt tot weerveranderingen en de mogelijkheid tot weersvoorspelling. #### 3.1.1 Temperatuur De temperatuur wordt beïnvloed door zonnestraling die het aardoppervlak en de oceanen verwarmt. De hoogte van de zon boven de horizon (afhankelijk van dag en seizoen) en de aanwezigheid van bewolking (die warmtestraling tegenhoudt) zijn bepalende factoren. De oceanen spelen een regulerende rol; door verdamping van oppervlaktewater wordt de temperatuurstijging boven zee gematigd vergeleken met land. Woestijnen hebben geen water om de temperatuur te matigen, wat kan leiden tot extreme hitte. #### 3.1.2 Luchtdruk Luchtdrukverschillen zijn de oorzaak van wind. Hoge luchtdrukgebieden (aangegeven met 'H' op weerkaarten) kenmerken zich door neerwaartse luchtbewegingen en leiden vaak tot mooi weer, terwijl lagedrukgebieden ('L' of depressies) opwaartse luchtbewegingen hebben en geassocieerd worden met slecht weer en neerslag. Lucht stroomt van hoge naar lage drukgebieden, wat wind veroorzaakt. Isobare lijnen op weerkaarten verbinden punten met gelijke luchtdruk. In lagedrukgebieden stijgt warme lucht, koelt af, condenseert tot wolken en veroorzaakt neerslag. Hogedrukgebieden daarentegen voorkomen wolkenvorming en zorgen voor een heldere hemel. Luchtdruk heeft geen directe relatie met temperatuur; een hogedrukgebied kan in Nederland in de zomer tot hoge temperaturen leiden en in de winter tot lage temperaturen. #### 3.1.3 Wind Wind is de verplaatsing van lucht als gevolg van luchtdrukverschillen. In Nederland waait de wind vaak uit het zuidwesten, wat vochtige lucht van zee meebrengt en bijdraagt aan een zeeklimaat met natte zomers en winters. #### 3.1.4 Bewolking Wolken bestaan uit kleine water- of ijsdruppels die zweven. Ze ontstaan door opstijgende warme lucht die afkoelt en condenseert rond stof- of rookdeeltjes. Bewolking beïnvloedt de hoeveelheid zonlicht en warmte die de aarde bereikt en kan leiden tot regen, sneeuw of hagel. De drie basistypen wolken zijn cumulus (stapelwolken), stratus (laaghangende bewolking) en cirrus (sluierwolken). Mist en nevel zijn wolken die zich op of nabij de grond bevinden. #### 3.1.5 Neerslag Neerslag in gematigde gebieden ontstaat meestal bij fronten, waar warme en koude luchtmassa's elkaar ontmoeten. Bij een koufront schuift koude lucht snel onder warme lucht, wat leidt tot hoge buienwolken en mogelijk onweer. Bij een warmtefront schuift warme lucht langzaam over koude lucht, wat eerst hogere, dan lagere wolken en langdurige regen kan veroorzaken. De meeste neerslag begint als sneeuw en smelt tot regen of natte sneeuw als de temperatuur boven het vriespunt is. Hagel ontstaat door sterke op- en neerwaartse luchtstromingen in buienwolken. IJzel vormt zich wanneer regendruppels op een bevroren oppervlak neerkomen en direct bevriezen. Een regenboog ontstaat wanneer zonlicht door regendruppels wordt gebroken, waarbij de verschillende kleuren van het spectrum zichtbaar worden. Onweer wordt veroorzaakt door elektrische ladingen in buienwolken. Wrijving tussen ijskristallen en wolkendruppels creëert een spanningsverschil, wat leidt tot bliksemontladingen en de bijbehorende donderslag. #### 3.1.6 Weersvoorspelling Weersvoorspellingen worden gemaakt met behulp van weersatellieten die wolkenformaties en hun veranderingen in de tijd vastleggen. ### 3.2 Hemellichamen en natuurverschijnselen #### 3.2.1 De basis voor onze tijdrekening en kalender De bewegingen van hemellichamen zoals de zon, aarde en maan vormen de basis voor onze tijdrekening en kalender. De zon is de belangrijkste energiebron. Dag en nacht worden veroorzaakt door de rotatie van de aarde om haar as. Weken zijn van oorsprong gebaseerd op de zeven zichtbare hemellichamen. Maanden zijn gebaseerd op de maansomloop (ongeveer 29,5 dagen), en jaren op de omloop van de aarde om de zon (ongeveer 365,25 dagen). Het schrikkeljaar compenseert de extra 0,25 dag per jaar. #### 3.2.2 Seizoenen De seizoenen worden veroorzaakt door de axiale kanteling van de aarde (ongeveer 23,5 graden) ten opzichte van haar baan rond de zon. Deze kanteling zorgt ervoor dat gedurende een deel van het jaar een halfrond meer direct zonlicht ontvangt dan het andere. #### 3.2.3 Eb en vloed Eb en vloed, de dagelijkse wisseling van de waterstand van de zee, worden voornamelijk veroorzaakt door de aantrekkingskracht van de maan. Dit creëert twee 'vloedbergen' op aarde: één aan de kant van de maan en één aan de tegenovergestelde zijde. De rotatie van de aarde zorgt ervoor dat we deze vloedbergen als eb en vloed ervaren. #### 3.2.4 Zons- en maansverduistering Een zonsverduistering treedt op wanneer de maan tussen de aarde en de zon staat en het zonlicht blokkeert. Een maansverduistering vindt plaats wanneer de aarde tussen de zon en de maan staat, waardoor de zon haar licht niet op de maan kan laten schijnen. #### 3.2.5 De acht planeten Ons zonnestelsel telt acht planeten, onderverdeeld in de vier aardse planeten (Mercurius, Venus, Aarde, Mars) en de vier gasreuzen (Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus). * **Mercurius:** De planeet het dichtst bij de zon, met extreme temperatuurvariaties en geen atmosfeer. * **Venus:** Zeer helder door een dik wolkendek van zwavelzuur en een extreem broeikaseffect. * **Aarde:** Onze planeet, met water, een gematigde temperatuur en een dampkring, essentieel voor leven. * **Mars:** De 'rode planeet', mogelijk met ondergrondse micro-organismen en sporen van voormalig water. * **Jupiter:** De grootste planeet, een gasbol met een turbulente atmosfeer en een grote rode vlek (storm). * **Saturnus:** Bekend om zijn duidelijke ringen, eveneens een gasbol met een lage dichtheid. * **Uranus:** Uniek door zijn rotatie op zijn flank, ontdekt met een telescoop. * **Neptunus:** Een gasreus met stormpatronen en een blauwe kleur door methaangas. Ons zonnestelsel maakt deel uit van het Melkwegstelsel, een sterrenstelsel met miljarden sterren. #### 3.2.6 Kijken naar de sterren en planeten Een planetarium projecteert de sterrenhemel en planetenbewegingen op een koepel, waardoor de sterrenhemel als een halve bol boven ons wordt weergegeven. De sterrenhemel lijkt te draaien rond de Poolster, die in het verlengde van de aardas ligt. Sterrenkaarten helpen bij het oriënteren aan de hemel. #### 3.2.7 Sterrenbeelden Sterrenbeelden zijn patronen van sterren die aan de hemel lijken te staan. Bekende voorbeelden zijn de Grote Beer en sterrenbeelden rond de Poolster die altijd zichtbaar zijn aan de noordelijke hemel. Hun namen zijn vaak ontleend aan mythologische verhalen. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Schimmelrijk | Een biologische classificatie die organismen omvat zoals gisten en meercellige schimmels. Deze organismen verschillen structureel en qua levenswijze van planten en dieren. | | Mycelium (zwamvlok) | Een uitgebreid netwerk van schimmeldraden dat zich onder de grond of binnen een gastheer bevindt, essentieel voor de voeding en voortplanting van de schimmel. | | Symbiose | Een samenlevingsvorm tussen twee verschillende soorten organismen waarbij beide soorten voordeel ondervinden van de interactie, bijvoorbeeld door uitwisseling van voedingsstoffen. | | Zintuigen | Gespecialiseerde organen of cellen die reageren op prikkels uit de omgeving, zoals licht, geluid, druk of temperatuur, en deze omzetten in signalen voor het zenuwstelsel. | | Reflex | Een automatische, onwillekeurige reactie van het lichaam op een specifieke prikkel, die vaak via het ruggenmerg wordt verwerkt om snel te kunnen reageren. | | Skelet | Het stelsel van botten in het lichaam dat zorgt voor stevigheid, bescherming van organen en aanhechting van spieren, waardoor beweging mogelijk is. | | Gewrichten | De verbindingen tussen botten die beweging mogelijk maken. Er zijn verschillende typen gewrichten, zoals scharniergewrichten en kogelgewrichten, elk met specifieke bewegingsmogelijkheden. | | Spijsverteringsstelsel | Het systeem in het lichaam dat verantwoordelijk is voor het afbreken van voedsel tot opneembare voedingsstoffen en het uitscheiden van onverteerbare resten. | | Enzymen | Biologische katalysatoren, meestal eiwitten, die chemische reacties in het lichaam versnellen, zoals de afbraak van voedselbestanddelen tot kleinere moleculen. | | Voedingsstoffen | Essentiële stoffen die het lichaam nodig heeft voor groei, onderhoud en energie. Deze worden ingedeeld in bouwstoffen, brandstoffen, beschermende stoffen en ballaststoffen. | | Ademhalingsstelsel | Het systeem dat zorgt voor de opname van zuurstof en de afgifte van koolstofdioxide door middel van de longen en luchtwegen. | | Bloedvatenstelsel | Het transportsysteem van het lichaam, bestaande uit hart, bloedvaten en bloed, dat zuurstof, voedingsstoffen, hormonen en afvalstoffen door het hele lichaam transporteert. | | Afweersysteem (immuunsysteem) | Het complexe netwerk van cellen, weefsels en organen dat het lichaam beschermt tegen ziekteverwekkers en schadelijke stoffen. | | Vaccinatie | Een medische procedure waarbij een verzwakte, dode of gedeactiveerde vorm van een ziekteverwekker wordt ingebracht om het immuunsysteem te stimuleren en immuniteit op te bouwen. | | Erfelijkheid | Het proces waarbij eigenschappen van ouders worden doorgegeven aan hun nakomelingen via genetisch materiaal (DNA) dat is opgeslagen in chromosomen. | | Molecuul | Het kleinste deeltje van een stof dat nog alle eigenschappen van die stof bezit. Moleculen zijn opgebouwd uit atomen en hun gedrag bepaalt de verschijningsvorm van de stof. | | Aggregatietoestanden | De verschillende vormen waarin een stof kan voorkomen, zoals vast, vloeibaar en gasvormig, afhankelijk van temperatuur en druk. | | Kookpunt | De temperatuur waarbij een vloeistof overgaat in gasvormige toestand bij een bepaalde druk. | | Oppervlaktespanning | Een verschijnsel waarbij de oppervlakte van een vloeistof zich gedraagt als een dun, elastisch vel door de aantrekkingskracht tussen de moleculen aan het oppervlak. | | Luchtdruk | De druk die de atmosfeer uitoefent op het aardoppervlak en alles wat zich daar bevindt, veroorzaakt door het gewicht van de luchtmoleculen. | | Magnetisme | Een natuurkundig fenomeen dat te maken heeft met aantrekkende en afstotende krachten tussen magneten en magnetiseerbare materialen, veroorzaakt door magnetische velden. | | Elektriciteit | Een vorm van energie die wordt veroorzaakt door de beweging van geladen deeltjes, met name elektronen. Het kan statisch zijn (stilstaand) of dynamisch (stroom). | | Stroomkring | Een gesloten pad waarlangs elektrische lading kan stromen, bestaande uit een spanningsbron, geleidende draden en een energieverbruiker. | | Wet van Ohm | Een fundamentele wet in de elektriciteit die de relatie beschrijft tussen spanning ($V$), stroomsterkte ($I$) en weerstand ($R$) in een elektrische schakeling: $V = I \times R$. | | Geluid | Trillingen die zich voortplanten door een medium (zoals lucht, water of vaste stoffen) en die door het oor kunnen worden waargenomen als toon, klankkleur en geluidssterkte. | | Frequentie (toonhoogte) | Het aantal trillingen van een geluidsbron per seconde, uitgedrukt in hertz (Hz). Een hogere frequentie resulteert in een hogere toon. | | Doppler effect | Een verschijnsel waarbij de waargenomen frequentie van een golf (zoals geluid of licht) verandert als gevolg van de relatieve beweging tussen de bron en de waarnemer. | | Licht | Elektromagnetische straling die door het menselijk oog waarneembaar is. Licht beweegt zich voort als golven en kan worden weerkaatst, geabsorbeerd of gebroken. | | Kleurenspectrum | Het bereik van zichtbare kleuren die ontstaan wanneer wit licht wordt gesplitst, zoals in een regenboog. De kleuren zijn geordend op basis van hun golflengte. | | Kracht | Een interactie die de bewegingstoestand of vorm van een voorwerp kan veranderen. Krachten worden gekenmerkt door grootte, richting en aangrijpingspunt. | | Zwaartekracht | De universele aantrekkingskracht tussen alle objecten met massa. Op aarde zorgt deze kracht ervoor dat objecten naar het middelpunt van de aarde worden getrokken. | | Newton's wetten van beweging | Drie fundamentele wetten die de relatie beschrijven tussen de beweging van een voorwerp en de krachten die erop werken. Ze verklaren traagheid, versnelling en actie-reactie. | | Techniek | Het toepassen van wetenschappelijke kennis en vaardigheden om problemen op te lossen en producten of processen te ontwerpen, te bouwen en te gebruiken. | | Energieomzetting | Het proces waarbij energie van de ene vorm wordt omgezet in een andere vorm, zoals chemische energie in warmte of elektrische energie in beweging. | | Duurzame energiebronnen | Energiebronnen die zichzelf aanvullen op een tijdschaal die relevant is voor menselijk gebruik, zoals zonlicht, wind en waterkracht, in tegenstelling tot fossiele brandstoffen. | | Weersverschijnselen | Natuurlijke fenomenen die de toestand van de atmosfeer op een bepaalde plaats en tijd beschrijven, zoals temperatuur, luchtdruk, wind en neerslag. | | Atmosfeer | Het gasvormige omhulsel dat een planeet omringt, bestaande uit verschillende lagen, waarvan de troposfeer de laag is waar het weer plaatsvindt. | | Hemellichamen | Natuurlijke objecten in de ruimte, zoals sterren, planeten, manen en asteroïden, die deel uitmaken van het universum. | | Zonnestelsel | Een systeem bestaande uit een ster (de zon) en alle hemellichamen die in een baan om die ster draaien, inclusief planeten, manen, planetoïden en kometen. | | Seizoenen | Periodes in het jaar die worden gekenmerkt door specifieke weersomstandigheden en daglengtes, veroorzaakt door de gekantelde as van de aarde ten opzichte van de zon. | | Eb en vloed (getijden) | De periodieke stijging en daling van de waterstand in oceanen en zeeën, voornamelijk veroorzaakt door de zwaartekracht van de maan en de zon. | | Zonsverduistering | Een astronomisch fenomeen waarbij de maan tussen de aarde en de zon komt te staan, waardoor het zonlicht (gedeeltelijk of geheel) wordt geblokkeerd. | | Maansverduistering | Een astronomisch fenomeen waarbij de aarde tussen de zon en de maan komt te staan, waardoor het zonlicht (gedeeltelijk of geheel) de maan niet bereikt. | | Planeten | Grote hemellichamen die in een baan om een ster draaien, voldoende massa hebben om door hun eigen zwaartekracht een ronde vorm te krijgen, en hun baan hebben ‘schoongeveegd’ van andere objecten. | | Sterrenbeeld | Een groep sterren aan de nachtelijke hemel die, vanuit de aarde gezien, een herkenbaar patroon vormen en vaak vernoemd zijn naar mythologische figuren of objecten. |