algemene_fysica_1_2020.pdf

# Vectorrekening Dit hoofdstuk introduceert de basisbegrippen van vectorrekening, essentieel voor het beschrijven van fysische grootheden die zowel richting als maatgetal hebben [4](#page=4). ### 1.1 Definities en eigenschappen van vectoren Fysische grootheden worden onderverdeeld in scalaire en vectoriële grootheden [4](#page=4). * **Scalair:** Volledig bepaald door een maatgetal (bv. massa, energie, temperatuur) [4](#page=4). * **Vectoriële grootheid:** Gekenmerkt door richting, zin en maatgetal (bv. snelheid, versnelling, kracht). Een vector kan worden voorgesteld als een gericht lijnstuk, bijvoorbeeld de vector $\\vec{AB}$ van oorsprong A naar eindpunt B. Het maatgetal van de vectoriële grootheid is de lengte van de vector [4](#page=4). **Eigenschappen van vectoren:** [4](#page=4). * **Gelijkheid:** Twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ zijn gelijk indien ze dezelfde richting, zin en grootte hebben ($\\vec{a} = \\vec{b}$) [4](#page=4). * **Tegengesteld:** Twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ zijn tegengesteld indien ze dezelfde richting en grootte hebben, maar een tegengestelde zin ($\\vec{a} = -\\vec{b}$ of $\\vec{b} = -\\vec{a}$) [4](#page=4). * **Eenheidsvector:** Een eenheidsvector $\\hat{e}\_x$ op een as $x$ is een vector op die as met een maatgetal van +1 [4](#page=4). #### 1.1.1 Vectoroptelling en -aftrekking De vectorsom $\\vec{a} + \\vec{b}$ wordt gevonden met de driehoeksmethode: plaats de oorsprong van $\\vec{b}$ aan het eindpunt van $\\vec{a}$; de vectorsom is de vector die de driehoek sluit. Het vectorverschil $\\vec{a} - \\vec{b}$ is de vectorsom van $\\vec{a}$ met de tegengestelde vector van $\\vec{b}$ ($\\vec{a} - \\vec{b} = \\vec{a} + (-\\vec{b})$) [5](#page=5). **Eigenschappen van vectorsom:** [5](#page=5). * **Commutativiteit:** $\\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a}$ [5](#page=5). * **Associativiteit:** $(\\vec{a} + \\vec{b}) + \\vec{c} = \\vec{a} + (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} + \\vec{b} + \\vec{c}$ [5](#page=5). #### 1.1.2 Product van een vector met een getal Het product $m\\vec{a}$ van een vector $\\vec{a}$ met een getal $m$ resulteert in een vector met dezelfde richting als $\\vec{a}$, maar met een lengte vermenigvuldigd met $m$. Indien $a$ de lengte van $\\vec{a}$ is en $\\hat{e}\_a$ de eenheidsvector in de richting van $\\vec{a}$, dan is $\\vec{a} = a\\hat{e}\_a$ [5](#page=5). **Eigenschap distributiviteit:** [5](#page=5). $m(\\vec{a} + \\vec{b}) = m\\vec{a} + m\\vec{b}$ [5](#page=5). #### 1.1.3 Componenten van een vector Een vector kan worden ontbonden in componenten, dit zijn vectoren waarvan de gegeven vector de som is. In een Cartesisch coördinatenstelsel (met assen Ox, Oy, Oz) kan een plaatsvector $\\vec{r}$ worden ontbonden in drie orthogonale componenten $\\vec{r}\_x$, $\\vec{r}\_y$, $\\vec{r}\_z$ langs de assen, mits deze niet evenwijdig zijn aan hetzelfde vlak [5](#page=5). De vector kan worden geschreven als: $\\vec{r} = \\vec{r}\_x + \\vec{r}\_y + \\vec{r}\_z$ [5](#page=5). Indien $x$, $y$, en $z$ de lengtes van deze componenten zijn en $\\hat{e}\_x$, $\\hat{e}\_y$, $\\hat{e}\_z$ de eenheidsvectoren langs de assen zijn, geldt: $\\vec{r} = x\\hat{e}\_x + y\\hat{e}\_y + z\\hat{e}\_z$ [6](#page=6). De getallen $(x,y,z)$ zijn de Cartesische coördinaten van het eindpunt P van de vector $\\vec{r}$ [6](#page=6). ### 1.2 Producten van vectoren #### 1.2.1 Scalair product Het scalair product van twee vectoren $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ wordt gedefinieerd als het product van hun normen vermenigvuldigd met de cosinus van de ingesloten hoek $\\theta$ [6](#page=6): $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}||\\vec{b}|\\cos \\theta$ [6](#page=6). $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab\\cos \\theta$ [6](#page=6). met $a = |\\vec{a}|$ en $b = |\\vec{b}|$ de groottes van de vectoren [6](#page=6). **Eigenschappen van het scalair product:** [7](#page=7). * **Commutativiteit:** $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\vec{b} \\cdot \\vec{a}$ [7](#page=7). * **Orthogonaliteit:** Als $\\vec{a} \\perp \\vec{b}$, dan $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0$ [7](#page=7). * **Parallelle dragers:** Als $\\vec{a} \\parallel \\vec{b}$, dan $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = ab$ indien ze dezelfde zin hebben, en $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = -ab$ indien ze tegengestelde zin hebben [7](#page=7). * **Distributiviteit:** $(\\vec{a} + \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = \\vec{a} \\cdot \\vec{c} + \\vec{b} \\cdot \\vec{c}$ [7](#page=7). * Uit de distributiviteit volgt: $(\\vec{a}\_1 + \\vec{a}\_2) \\cdot (\\vec{b}\_1 + \\vec{b}\_2) = \\vec{a}\_1 \\cdot \\vec{b}\_1 + \\vec{a}\_1 \\cdot \\vec{b}\_2 + \\vec{a}\_2 \\cdot \\vec{b}\_1 + \\vec{a}\_2 \\cdot \\vec{b}\_2$ [7](#page=7). Voor vectoren met Cartesische coördinaten $\\vec{a} = (a\_x, a\_y, a\_z)$ en $\\vec{b} = (b\_x, b\_y, b\_z)$ geldt: $\\vec{a} = a\_x \\hat{e}\_x + a\_y \\hat{e}\_y + a\_z \\hat{e}\_z$ [7](#page=7). $\\vec{b} = b\_x \\hat{e}\_x + b\_y \\hat{e}\_y + b\_z \\hat{e}\_z$ [7](#page=7). Het scalair product wordt dan: $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a\_x b\_x (\\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_x) + \\dots + a\_z b\_z (\\hat{e}\_z \\cdot \\hat{e}\_z) + \\dots$ [7](#page=7). Omdat de assen loodrecht staan, geldt: $\\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_x = \\hat{e}\_y \\cdot \\hat{e}\_y = \\hat{e}\_z \\cdot \\hat{e}\_z = 1$ en $\\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_y = \\hat{e}\_y \\cdot \\hat{e}\_z = \\hat{e}\_x \\cdot \\hat{e}\_z = 0$ [8](#page=8). Hieruit volgt de formule voor het scalair product in Cartesische coördinaten: $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a\_x b\_x + a\_y b\_y + a\_z b\_z$ [8](#page=8). #### 1.2.2 Vectorieel product Het vectorieel product $\\vec{a} \\times \\vec{b}$ is een vector die loodrecht staat op het vlak bepaald door $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$. De grootte ervan is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram op $\\vec{a}$ en $\\vec{b}$ gebouwd, $a b \\sin \\theta$ [8](#page=8). $|\\vec{a} \\times \\vec{b}| = ab \\sin \\theta$ [8](#page=8). **Eigenschappen van het vectorieel product:** [8](#page=8). * $\\vec{a} \\times \\vec{a} = \\vec{0}$ [8](#page=8). * Niet commutatief: $\\vec{a} \\times \\vec{b} = -\\vec{b} \\times \\vec{a}$ [8](#page=8). * Distributiviteit: $(\\vec{a} + \\vec{b}) \\times \\vec{c} = (\\vec{a} \\times \\vec{c}) + (\\vec{b} \\times \\vec{c})$ [8](#page=8). Voor een rechtsdraaiend assenstelsel geldt: $\\hat{e}\_x \\times \\hat{e}\_y = \\hat{e}\_z$ [8](#page=8). $\\hat{e}\_y \\times \\hat{e}\_z = \\hat{e}\_x$ [8](#page=8). $\\hat{e}\_z \\times \\hat{e}\_x = \\hat{e}\_y$ [8](#page=8). Met Cartesische coördinaten wordt het vectorieel product: $\\vec{a} \\times \\vec{b} = (a\_y b\_z - a\_z b\_y) \\hat{e}\_x + (a\_z b\_x - a\_x b\_z) \\hat{e}\_y + (a\_x b\_y - a\_y b\_x) \\hat{e}\_z$ [8](#page=8). Dit kan ook worden uitgedrukt als een determinant: $$ \\vec{a} \\times \\vec{b} = \\begin{vmatrix} \\hat{e}\_x & \\hat{e}\_y & \\hat{e}\_z \\ a\_x & a\_y & a\_z \\ b\_x & b\_y & b\_z \\end{vmatrix} $$ [9](#page=9). #### 1.2.3 Gemengd product Het gemengd product van drie vectoren $\\vec{a}$, $\\vec{b}$, en $\\vec{c}$ is het scalair product van één vector met het vectorieel product van de andere twee: $(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c}$ [9](#page=9). **Eigenschappen van het gemengd product:** [9](#page=9). * De absolute waarde van het gemengd product is het volume van het parallellepipedum geconstrueerd op de vectoren $\\vec{a}$, $\\vec{b}$, en $\\vec{c}$ [9](#page=9). * Het gemengd product is nul als twee van de vectoren evenwijdig zijn [9](#page=9). * Cyclische permutatie van de vectoren verandert het gemengd product niet: $(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = (\\vec{b} \\times \\vec{c}) \\cdot \\vec{a} = (\\vec{c} \\times \\vec{a}) \\cdot \\vec{b}$ [9](#page=9). In Cartesische coördinaten kan het gemengd product worden geschreven als: $(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = c\_x (a\_y b\_z - a\_z b\_y) + c\_y (a\_z b\_x - a\_x b\_z) + c\_z (a\_x b\_y - a\_y b\_x)$ [9](#page=9). Dit is gelijk aan de determinant: $$ (\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c} = \\begin{vmatrix} a\_x & a\_y & a\_z \\ b\_x & b\_y & b\_z \\ c\_x & c\_y & c\_z \\end{vmatrix} $$ [9](#page=9). ### 1.3 Moment van een vector Het moment van een vector $\\vec{u}$ met beginpunt A ten opzichte van een punt O wordt gedefinieerd als de vector $\\vec{MO}$, waarbij $\\vec{r}$ de plaatsvector van A ten opzichte van O is [9](#page=9). $\\vec{MO} = \\vec{r} \\times \\vec{u}$ [9](#page=9). Dit moment is onafhankelijk van de keuze van het beginpunt A op de drager van de vector [10](#page=10). ### 1.4 Afgeleide van een vector naar een scalaire veranderlijke Zij $\\vec{a}(t)$ een continue vectoriële functie van een scalaire veranderlijke $t$. Een aangroei $\\Delta t$ van $t$ correspondeert met een aangroei $\\Delta \\vec{a}$ van de vector $\\vec{a}$ [10](#page=10): $\\Delta \\vec{a} = \\vec{a}(t + \\Delta t) - \\vec{a}(t)$ [10](#page=10). De afgeleide $\\frac{d\\vec{a}}{dt}$ is de limiet van de verhouding $\\frac{\\Delta \\vec{a}}{\\Delta t}$ als $\\Delta t \\to 0$ [10](#page=10): $\\frac{d\\vec{a}}{dt} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\vec{a}}{\\Delta t} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\vec{a}(t + \\Delta t) - \\vec{a}(t)}{\\Delta t}$ [10](#page=10). In Cartesische componenten: $(\\frac{d\\vec{a}}{dt})\_x = \\frac{da\_x}{dt}$ [10](#page=10). $(\\frac{d\\vec{a}}{dt})\_y = \\frac{da\_y}{dt}$ [10](#page=10). $(\\frac{d\\vec{a}}{dt})\_z = \\frac{da\_z}{dt}$ [10](#page=10). **Regels voor vectoriële afleiding (analogon van scalaire afleiding):** [10](#page=10). * $\\frac{d}{dt}(\\vec{a} + \\vec{b} + \\vec{c}) = \\frac{d\\vec{a}}{dt} + \\frac{d\\vec{b}}{dt} + \\frac{d\\vec{c}}{dt}$ [10](#page=10). * $\\frac{d}{dt}(m\\vec{a}) = \\frac{dm}{dt}\\vec{a} + m\\frac{d\\vec{a}}{dt}$ [10](#page=10). * $\\frac{d}{dt}(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}) = \\frac{d\\vec{a}}{dt} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\frac{d\\vec{b}}{dt}$ [10](#page=10). * $\\frac{d}{dt}(\\vec{a} \\times \\vec{b}) = \\frac{d\\vec{a}}{dt} \\times \\vec{b} + \\vec{a} \\times \\frac{d\\vec{b}}{dt}$ [10](#page=10). * * * # Kinematica van het massapunt Dit hoofdstuk beschrijft de beweging van een deeltje zonder de oorzaken ervan te analyseren, en omvat rechtlijnige en kromlijnige bewegingen, snelheid, versnelling en speciale bewegingsvormen zoals harmonische en cirkelvormige bewegingen [11](#page=11). ### 2.1 Bewegingsvergelijking De kinematica bestudeert de beweging van een lichaam door eerst de beweging van een klein stoffelijk massapunt te analyseren. De positie van een deeltje wordt bepaald door zijn plaatsvector $\\mathbf{r}$ of de projecties ervan op de assen van een coördinatenstelsel. Wanneer het deeltje beweegt, veranderen deze positiebepalende grootheden met de tijd [11](#page=11). De bewegingsvergelijking drukt de plaatsvector uit als functie van de tijd: $$ \\mathbf{r} = \\mathbf{r}(t) $$ [2.1](#page=11) Projectie op de assen leidt tot de scalaire bewegingsvergelijkingen: $$ \\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \\end{cases} $$ [2.2](#page=11) Een beweging langs een rechte lijn wordt rechtlijnige beweging genoemd, terwijl een beweging langs een kromme kromlijnige beweging is. De analytische vergelijking van de baan wordt verkregen door eliminatie van de parameter $t$ uit de bewegingsvergelijkingen [11](#page=11). ### 2.2 Rechtlijnige beweging #### 2.2.1 Snelheid Voor een deeltje dat zich op de x-as beweegt, is de bewegingsvergelijking $x = x(t)$. De gemiddelde snelheid $\\langle v \\rangle$ in een tijdsinterval $\[t\_0, t\]$ wordt gedefinieerd als de verplaatsing $\\Delta x$ gedeeld door de tijdsduur $\\Delta t$ [12](#page=12): $$ \\langle v \\rangle = \\frac{\\Delta x}{\\Delta t} $$ [2.4](#page=12) Deze gemiddelde snelheid wordt voorgesteld door de helling van de koorde in een $(t, x)$\-graaf. Een eenparige beweging heeft een constante gemiddelde snelheid, onafhankelijk van het tijdsinterval. Voor een veranderlijke beweging wordt de ogenblikkelijke snelheid $v$ ingevoerd, gedefinieerd als de limiet van de gemiddelde snelheid wanneer $\\Delta t$ naar nul gaat [12](#page=12): $$ v = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta x}{\\Delta t} = \\frac{dx}{dt} $$ [2.5](#page=12) De ogenbliklijke snelheid is de afgeleide van de plaatscoördinaat naar de tijd en wordt voorgesteld door de helling van de raaklijn in het betreffende punt van de $(t, x)$\-kromme. Als de snelheid een functie van de tijd is, $v = v(t)$, wordt dit voorgesteld in een $(t, v)$\-graaf. De verplaatsing in een tijdsinterval is de oppervlakte onder de $v(t)$\-kromme [12](#page=12) [13](#page=13). Voor een eenparige beweging met beginvoorwaarde ($x = x\_0$ bij $t=0$): $$ x - x\_0 = \\int\_{0}^{t} v(t) dt $$ [2.7](#page=13)$$ x = x\_0 + vt $$ [2.8](#page=13) De ogenblikkelijke snelheid heeft een teken: positief als de bewegingsrichting samenvalt met de positieve x-as, negatief als deze tegengesteld is [13](#page=13). #### 2.2.2 Versnelling De gemiddelde versnelling $\\langle a \\rangle$ in een tijdsinterval $\[t\_0, t\]$ is de verhouding van de snelheidsverandering $\\Delta v$ tot de tijdsduur $\\Delta t$: $$ \\langle a \\rangle = \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} $$ [2.9](#page=14) Dit wordt voorgesteld door de helling van de koorde in een $(t, v)$\-graaf. Een eenparig veranderlijke beweging heeft een constante gemiddelde versnelling. De ogenbliklijke versnelling $a$ is de limiet van de gemiddelde versnelling wanneer $\\Delta t$ naar nul gaat [14](#page=14): $$ a = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta v}{\\Delta t} = \\frac{dv}{dt} = \\dot{v} $$ [2.10](#page=14)$$ a = \\frac{dv}{dt} = \\frac{d^2 x}{dt^2} $$ [2.11](#page=14)$$ a = \\dot{v} = \\ddot{x} $$ [2.12](#page=14) De ogenbliklijke versnelling is de afgeleide van de snelheid naar de tijd en wordt voorgesteld door de helling van de raaklijn in de $(t, v)$\-kromme. De versnelling is een functie van de tijd, $a = a(t)$ [14](#page=14). De snelheid wordt bepaald door integratie van de versnelling en de beginvoorwaarde ($v = v\_0$ bij $t=t\_0$): $$ dv = a dt $$ [2.14](#page=15)$$ v - v\_0 = \\int\_{t\_0}^{t} a(t) dt $$ [2.16](#page=15) De snelheidsverandering is de oppervlakte onder de $a(t)$\-kromme. Voor een eenparig veranderlijke beweging met beginvoorwaarden ($x = x\_0$ en $v = v\_0$ bij $t=0$) [15](#page=15): $$ v = v\_0 + a\_0 t $$ [2.17](#page=15)$$ x = x\_0 + v\_0 t + \\frac{1}{2} a\_0 t^2 $$ [2.19](#page=15) ### 2.3 Kromlijnige beweging #### 2.3.1 Vectorsnelheid Bij kromlijnige beweging worden plaats, snelheid en versnelling vectorieel voorgesteld. De plaats wordt bepaald door de plaatsvector $\\mathbf{r}(t)$. De gemiddelde vectorsnelheid $\\langle \\mathbf{v} \\rangle$ in een tijdsinterval $\\Delta t$ is de verplaatsing $\\Delta \\mathbf{r}$ gedeeld door $\\Delta t$ [16](#page=16): $$ \\langle \\mathbf{v} \\rangle = \\frac{\\Delta \\mathbf{r}}{\\Delta t} $$ [2.21](#page=16) De ogenblikkelijke vectorsnelheid $\\mathbf{v}$ is de limiet van de gemiddelde vectorsnelheid wanneer $\\Delta t \\to 0$: $$ \\mathbf{v} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\mathbf{r}}{\\Delta t} = \\frac{d\\mathbf{r}}{dt} $$ [2.22](#page=17) De snelheid is gericht langs de raaklijn aan de baan in de zin van de beweging. De plaatsvector kan bepaald worden door integratie van de vectorsnelheid en de beginvoorwaarde ($\\mathbf{r} = \\mathbf{r}\_0$ bij $t=t\_0$) [17](#page=17). Projectie op een Cartesisch coördinatenstelsel levert de componenten van de snelheid: $$ \\begin{cases} v\_x = \\frac{dx}{dt} \\ v\_y = \\frac{dy}{dt} \\ v\_z = \\frac{dz}{dt} \\end{cases} $$ [2.27](#page=17) De grootte van de snelheid is: $$ |\\mathbf{v}| = v = \\sqrt{v\_x^2 + v\_y^2 + v\_z^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{dz}{dt}\\right)^2} $$ [2.28](#page=17) De baansnelheid $v$ is de grootte van de snelheidsvector en wordt gedefinieerd als $v = \\frac{ds}{dt}$, waarbij $s$ de booglengte is [18](#page=18). > **Belangrijke opmerking:** De elementaire aangroei van de plaatsvector $dr$ is niet gelijk aan de grootte $|\\mathrm{d}\\mathbf{r}|$. Het is dus fout te schrijven $v = \\frac{dr}{dt}$ [18](#page=18). #### 2.3.2 Vectorversnelling De ogenblikkelijke vectorversnelling $\\mathbf{a}$ wordt gedefinieerd als: $$ \\mathbf{a} = \\lim\_{\\Delta t \\to 0} \\frac{\\Delta \\mathbf{v}}{\\Delta t} = \\frac{d\\mathbf{v}}{dt} = \\frac{d^2 \\mathbf{r}}{dt^2} $$ [2.31](#page=18) De versnelling is in het algemeen niet gericht langs de raaklijn aan de baan. De vectorsnelheid kan bepaald worden uit de vectorversnelling en de beginvoorwaarde ($\\mathbf{v} = \\mathbf{v}\_0$ bij $t=t\_0$) [18](#page=18): $$ \\mathbf{v} - \\mathbf{v}\_0 = \\int{t\_0}^{t} \\mathbf{a}(t) dt $$ [2.33](#page=18) Voor een beweging met constante vectorversnelling $\\mathbf{a} = \\mathbf{a}\_0$ en beginvoorwaarden $\\mathbf{r} = \\mathbf{r}\_0$ en $\\mathbf{v} = \\mathbf{v}\_0$ bij $t=0$: $$ \\mathbf{v} = \\mathbf{v}\_0 + \\mathbf{a}\_0 t $$ [2.35](#page=19)$$ \\mathbf{r} = \\mathbf{r}\_0 + \\mathbf{v}\_0 t + \\frac{1}{2} \\mathbf{a}\_0 t^2 $$ [2.36](#page=19) ### 2.4 Vlakke beweging #### 2.4.1 Normale en tangentiële componenten van de versnelling De vectorversnelling $\\mathbf{a}$ kan ontbonden worden in een tangentiële component $a\_t$ (langs de raaklijn) en een normale component $a\_n$ (loodrecht op de raaklijn) [19](#page=19): $$ \\mathbf{a} = a\_t \\mathbf{e}\_t + a\_n \\mathbf{e}\_n $$ [2.37](#page=19) Met $s(t)$ als booglengte, geldt: $$ v = \\frac{ds}{dt} \\mathbf{e}\_t $$ [2.38a](#page=19)$$ \\mathbf{a} = \\frac{d^2s}{dt^2} \\mathbf{e}\_t + \\frac{ds}{dt} \\frac{d\\phi}{dt} \\mathbf{e}\_n $$ [2.39](#page=20) Hieruit volgen de componenten: $$ a\_t = \\frac{d^2s}{dt^2} = \\frac{dv}{dt} $$ [2.40a](#page=20), [2.43](#page=21)$$ a\_n = \\frac{ds}{dt} \\frac{d\\phi}{dt} $$ [2.40b](#page=20) Met de kromtestraal $\\rho$, gedefinieerd als $\\rho = \\frac{ds}{d\\phi}$ wordt de normale versnelling [20](#page=20): $$ a\_n = v^2 \\rho $$ [2.44](#page=21) De totale versnelling is dan: $$ \\mathbf{a} = \\sqrt{\\left(\\frac{dv}{dt}\\right)^2 + \\left(\\frac{v^2}{\\rho}\\right)^2} $$ [2.45](#page=21) De tangentiële component veroorzaakt een snelheidsverandering, terwijl de normale component een richtingsverandering van de snelheidsvector veroorzaakt [21](#page=21). #### 2.4.2 Snelheidscomponenten in poolcoördinaten In poolcoördinaten $(r, \\phi)$, met plaatsvector $\\mathbf{r} = r \\mathbf{e}\_r$, wordt de vectorsnelheid ontbonden in een radiale component $v\_r$ en een angulaire component $v\\phi$: $$ \\mathbf{v} = \\frac{dr}{dt} \\mathbf{e}\_r + r \\frac{d\\phi}{dt} \\mathbf{e}\\phi $$ [2.48](#page=22) De componenten zijn: $$ v\_r = \\frac{dr}{dt} $$ [2.49a](#page=22)$$ v\_\\phi = r \\frac{d\\phi}{dt} $$ [2.49b](#page=22) De grootte van de snelheid is: $$ v^2 = \\left(\\frac{dr}{dt}\\right)^2 + r^2 \\left(\\frac{d\\phi}{dt}\\right)^2 $$ [2.50](#page=22) De radiale component is gerelateerd aan de verandering van de voerstraal, de angulaire component aan de verandering van de richting van de voerstraal [22](#page=22). #### 2.4.3 Versnellingscomponenten in poolcoördinaten De vectorversnelling in poolcoördinaten is: $$ \\mathbf{a} = \\left(\\frac{d^2r}{dt^2} - r \\left(\\frac{d\\phi}{dt}\\right)^2\\right) \\mathbf{e}\_r + \\left(2\\frac{dr}{dt}\\frac{d\\phi}{dt} + r \\frac{d^2\\phi}{dt^2}\\right) \\mathbf{e}\\phi $$ [2.54](#page=23) De componenten zijn: $$ a\_r = \\frac{d^2r}{dt^2} - r \\left(\\frac{d\\phi}{dt}\\right)^2 $$ [2.55a](#page=23)$$ a\_\\phi = 2\\frac{dr}{dt}\\frac{d\\phi}{dt} + r \\frac{d^2\\phi}{dt^2} $$ [2.55b](#page=23) De totale versnelling is: $$ a = \\sqrt{a\_r^2 + a\_\\phi^2} $$ [2.55c](#page=23) Er geldt ook: $$ a\_r = \\frac{dv\_r}{dt}, \\quad a\_\\phi = \\frac{dv\_\\phi}{dt} $$ [2.56](#page=23) (Dit is een vereenvoudiging, $a\_\\phi$ is niet direct $dv\_\\phi/dt$ vanwege de veranderende basisvectoren.) ### 2.5 De cirkelvormige beweging Voor een deeltje op een cirkel met straal $R$, wordt de positie bepaald door booglengte $s(t)$ of hoek $\\phi(t)$, met $s = R\\phi$. De snelheid is gericht volgens de raaklijn [23](#page=23): $$ v = \\frac{ds}{dt} = R\\frac{d\\phi}{dt} = R\\omega $$ [2.58](#page=23) Hier is $\\omega = \\frac{d\\phi}{dt}$ de hoeksnelheid in radialen per tijdseenheid [23](#page=23). De versnellingscomponenten zijn: $$ a\_r = -a\_n = -\\frac{v^2}{R} = -R\\omega^2 $$ [2.59a, 2.59b](#page=24)$$ a\_\\phi = a\_t = \\frac{dv}{dt} = R\\frac{d\\omega}{dt} $$ [2.59c, 2.59d](#page=24) De totale versnelling is: $$ a = R \\sqrt{\\left(\\frac{d\\omega}{dt}\\right)^2 + \\omega^4} $$ [2.59e](#page=24) De waarde van $a\_r$ is negatief, wat betekent dat de normale component van de versnelling naar het middelpunt gericht is [24](#page=24). Een eenparige cirkelvormige beweging heeft een constante snelheid, dus constante hoeksnelheid ($\\omega = \\omega\_0$) [24](#page=24). De periode $T\_0$ is de tijd voor één omloop, en de frequentie $\\nu\_0$ is het aantal omlopen per tijdseenheid. Er gelden de relaties [24](#page=24): $$ T\_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega\_0} $$ [2.60a](#page=25)$$ \\nu\_0 = \\frac{1}{T\_0} $$ [2.60b](#page=25)$$ \\omega\_0 = 2\\pi \\nu\_0 $$ [2.60c](#page=25) De versnelling bij een eenparige cirkelvormige beweging is middelpuntzoekend gericht met grootte: $$ a = \\omega\_0^2 R = \\frac{v\_0^2}{R} $$ [2.61](#page=25) ### 2.6 Draaivector $\\omega$ De ogenblikkelijke cirkelvormige beweging kan voorgesteld worden door een draaivector $\\boldsymbol{\\omega}$, met grootte $\\omega$ en gelegen op de rotatieas. De zin is deze van een rechtse schroef die meedraait in de zin van de beweging. De snelheid wordt gegeven door [25](#page=25): $$ \\mathbf{v} = \\boldsymbol{\\omega} \\times \\mathbf{r} $$ [2.62](#page=25) Hierbij is $\\mathbf{r}$ de plaatsvector vanuit het middelpunt van de cirkel [25](#page=25). ### 2.7 Harmonische beweging De projectie van een eenparig cirkelvormige beweging op een as door het middelpunt van de cirkel wordt een lineaire harmonische beweging genoemd. De beweging kan beschreven worden door [26](#page=26): $$ x = A \\sin(\\omega t - \\phi) = A \\sin\\left(\\frac{2\\pi}{T} t - \\phi\\right) = A \\sin(2\\pi \\nu t - \\phi) $$ [2.65](#page=26) Hierbij is $x$ de elongatie, $A$ de amplitude, $\\omega$ de pulsatie, $T$ de periode, $\\nu$ de frequentie en $\\phi$ de fasehoek [27](#page=27). De snelheid en versnelling van de harmonische beweging zijn: $$ v = \\frac{dx}{dt} = A\\omega \\cos(\\omega t - \\phi) $$ [2.66](#page=27)$$ a = \\frac{d^2x}{dt^2} = -A\\omega^2 \\sin(\\omega t - \\phi) = -\\omega^2 x $$ [2.67](#page=27) De grootte van de snelheid en versnelling van de harmonische beweging zijn de projecties van de snelheid en versnelling van de eenparig cirkelvormige beweging [27](#page=27). ### 2.8 Samenstelling van harmonische bewegingen Als een deeltje onderworpen is aan twee harmonische bewegingen, is de plaatsvector de vectoriële som van de uitwijkingen [28](#page=28). #### 2.8.1 Samenstelling van twee harmonische bewegingen met dezelfde trillingsrichting en periode Voor twee bewegingen op de x-as met pulsatie $\\omega$: $$ x\_1 = A\_1 \\sin(\\omega t - \\phi\_1) $$$$ x\_2 = A\_2 \\sin(\\omega t - \\phi\_2) $$ [2.68](#page=28) De samengestelde beweging is ook een harmonische beweging met dezelfde pulsatie $\\omega$: $$ x = A \\sin(\\omega t - \\phi) $$ [2.71](#page=28) De amplitude $A$ en fasehoek $\\phi$ worden bepaald door: $$ A^2 = A\_1^2 + A\_2^2 + 2A\_1 A\_2 \\cos(\\phi\_1 - \\phi\_2) $$ [2.72a](#page=28)$$ \\tan \\phi = \\frac{A\_1 \\sin \\phi\_1 + A\_2 \\sin \\phi\_2}{A\_1 \\cos \\phi\_1 + A\_2 \\cos \\phi\_2} $$ [2.72b](#page=28) De constructie van Fresnel kan gebruikt worden om $A$ en $\\phi$ grafisch te bepalen [28](#page=28). #### 2.8.2 Zwevingen Wanneer twee trillingen met nagenoeg dezelfde frequentie $\\nu\_1 = \\nu - \\varepsilon/2$ en $\\nu\_2 = \\nu + \\varepsilon/2$ worden samengesteld, treedt zweving op. De resulterende beweging $x = A \\sin(2\\pi \\nu t - \\Phi)$ heeft een amplitude $A$ die periodiek verandert tussen $A\_{max} = |A\_1 + A\_2|$ en $A\_{min} = |A\_1 - A\_2|$ [29](#page=29) [30](#page=30). De zwevingsfrequentie is gelijk aan $\\varepsilon = |\\nu\_2 - \\nu\_1|$. De pseudo-frequentie $\\nu$ is het rekenkundig gemiddelde van de frequenties [30](#page=30): $$ \\nu = \\frac{\\nu\_1 + \\nu\_2}{2} $$ [2.80](#page=30) #### 2.8.3 De elliptische trilling De samenstelling van twee harmonische bewegingen met dezelfde pulsatie $\\omega$ maar loodrechte trillingsrichtingen en faseverschil $\\Delta\\phi$ leidt tot een elliptische baan. De vergelijking van de ellips is [31](#page=31): $$ \\frac{x^2}{A\_1^2} + \\frac{y^2}{A\_2^2} - \\frac{2xy}{A\_1 A\_2} \\cos(\\phi\_1 - \\phi\_2) = \\sin^2(\\phi\_1 - \\phi\_2) $$ [2.87](#page=31) Bijzondere gevallen: * $\\Delta\\phi = 0$: een rechte lijn [32](#page=32). * $\\Delta\\phi = \\pi/2$: een ellips, die een cirkel wordt als $A\_1 = A\_2$ [33](#page=33). * $\\Delta\\phi = \\pi$: een rechte lijn [33](#page=33). * $\\Delta\\phi = 3\\pi/2$: een ellips, tegenovergesteld aan $\\Delta\\phi = \\pi/2$ [33](#page=33). ### 2.9 Relatief karakter van de beweging De beschrijving van beweging, baan, snelheid en versnelling is afhankelijk van het gekozen referentiestelsel [34](#page=34). #### 2.9.1 Relatie tussen absolute, relatieve en meesleepsnelheid Voor een deeltje in een bewegend referentiestelsel $S$ ten opzichte van een stilstaand stelsel $S'$, geldt: $$ \\mathbf{v}\_a = \\mathbf{v}\_m + \\mathbf{v}\_r $$ [2.98](#page=35) Hierin is $\\mathbf{v}\_a$ de absolute snelheid, $\\mathbf{v}\_m$ de meesleepsnelheid, en $\\mathbf{v}\_r$ de relatieve snelheid. De meesleepsnelheid is: $$ \\mathbf{v}\_m = \\mathbf{v}{m0} + (\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times \\mathbf{r}) $$ [2.102](#page=35) Met $\\mathbf{v}\_{m0}$ de snelheid van de oorsprong van $S$, en $\\boldsymbol{\\omega}\_m$ de meesleepdraaivector [35](#page=35). #### 2.9.2 Relatie tussen absolute, relatieve en meesleepversnelling: de Coriolisversnelling De absolute versnelling $\\mathbf{a}\_a$ is gerelateerd aan de meesleepversnelling $\\mathbf{a}\_m$ en de relatieve versnelling $\\mathbf{a}\_r$ door: $$ \\mathbf{a}\_a = \\mathbf{a}\_m + \\mathbf{a}\_r + \\mathbf{a}\_C $$ [2.106](#page=37) De Coriolisversnelling $\\mathbf{a}\_C$ is gedefinieerd als: $$ \\mathbf{a}\_C = 2(\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times \\mathbf{v}\_r) $$ [2.109](#page=37) De Coriolisversnelling verdwijnt als $\\mathbf{v}\_r = 0$, $\\boldsymbol{\\omega}\_m = 0$, of als $\\boldsymbol{\\omega}\_m$ parallel is aan $\\mathbf{v}\_r$ [37](#page=37). De meesleepversnelling is: $$ \\mathbf{a}\_m = \\mathbf{a}{m0} + (\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times (\\boldsymbol{\\omega}\_m \\times \\mathbf{r})) + \\left(\\frac{d\\boldsymbol{\\omega}\_m}{dt} \\times \\mathbf{r}\\right) $$ [2.113](#page=38) > **Belangrijke opmerking:** Voor snelheden dicht bij de lichtsnelheid is de speciale relativiteitstheorie vereist voor de samenstellingswet van snelheden [38](#page=38). ### 2.10 Dopplereffect De waargenomen frequentie van een trilling hangt af van de snelheid van de bron en/of de waarnemer [39](#page=39). 1. **Bron beweegt, waarnemer in rust:**$$ \\nu = \\nu\_0 \\left(\\frac{1}{1 - v/c}\\right) $$ [2.117](#page=39) (bron nadert) $$ \\nu = \\nu\_0 \\left(\\frac{1}{1 + v/c}\\right) $$ [2.118](#page=39) (bron verwijdert) 2. **Waarnemer beweegt, bron in rust:**$$ \\nu = \\nu\_0 \\left(1 + \\frac{u}{c}\\right) $$ [2.120](#page=40) (waarnemer nadert) $$ \\nu = \\nu\_0 \\left(1 - \\frac{u}{c}\\right) $$ [2.121](#page=40) (waarnemer verwijdert) 3. **Bron en waarnemer bewegen:**$$ \\nu = \\nu\_0 \\frac{1 + u/c}{1 - v/c} $$ [2.122](#page=40) Voor kleine snelheden ($u \\ll c$ en $v \\ll c$): $$ \\nu \\approx \\nu\_0 \\left(1 + \\frac{w}{c}\\right) $$ [2.123](#page=40) waarbij $w$ de relatieve snelheid van de waarnemer t.o.v. de bron is (positief bij nadering) [40](#page=40). * * * # Dynamica en behoudswetten Dynamica en behoudswetten vormen de kern van de klassieke mechanica, waarbij de wetten van Newton en behoudswetten de beweging van objecten beschrijven. ## 3\. Dynamica en behoudswetten Dit hoofdstuk introduceert de fundamentele principes van de dynamica, waaronder de wetten van Newton en de bijbehorende concepten zoals kracht en massa, evenals de cruciale behoudswetten van impuls en impulsmoment [42](#page=42). ### 3.1 De wetten van Newton De wetten van Newton vormen de basis voor het begrijpen van hoe krachten de beweging van objecten beïnvloeden. #### 3.1.1 Het beginsel van Galileo en de eerste wet van Newton Het beginsel van Galileo, overgenomen door Newton als zijn eerste wet, stelt dat een lichaam zonder uitwendige krachten in rust blijft of een eenparige, rechtlijnige beweging beschrijft. Dit impliceert dat elke versnelling het gevolg is van een kracht en maakt het mogelijk krachten te vergelijken via de veroorzaakte versnelling, wat gemeten kan worden met een dynamometer [43](#page=43). #### 3.1.2 Het begrip massa en de tweede wet van Newton De tweede wet van Newton relateert kracht, massa en versnelling. Het stelt dat de resulterende kracht ($K$) op een lichaam gelijk is aan het product van zijn massa ($m$) en versnelling ($a$): $$K = ma$$ [43](#page=43). Dit kan ook geschreven worden als: $$a = \\frac{K}{m}$$ [43](#page=43). De versnelling is dus recht evenredig met de resulterende kracht en omgekeerd evenredig met de massa. De massa ($m$) is een scalaire, altijd positieve grootheid. De wet kan ook worden uitgedrukt in termen van impuls ($p = mv$) [43](#page=43): $$K = \\frac{dp}{dt}$$ [43](#page=43). In Cartesische coördinaten luidt de tweede wet van Newton: $$\\begin{cases} K\_x = m \\frac{d^2x}{dt^2} \\ K\_y = m \\frac{d^2y}{dt^2} \\ K\_z = m \\frac{d^2z}{dt^2} \\end{cases}$$ [44](#page=44). equivalent aan: $$\\begin{cases} K\_x = \\frac{dp\_x}{dt} \\ K\_y = \\frac{dp\_y}{dt} \\ K\_z = \\frac{dp\_z}{dt} \\end{cases}$$ [44](#page=44). waarbij $p\_x = mv\_x$, $p\_y = mv\_y$, en $p\_z = mv\_z$ [44](#page=44). #### 3.1.3 De derde wet van Newton De derde wet van Newton, ook wel de wet van actie en reactie genoemd, stelt dat wanneer lichaam A een kracht uitoefent op lichaam B, lichaam B een even grote, maar tegengesteld gerichte kracht uitoefent op lichaam A: $$K\_{AB} = -K\_{BA}$$ [44](#page=44). Dit impliceert dat geïsoleerde krachten niet bestaan [44](#page=44). #### 3.1.4 Eenheden van massa en kracht De SI-eenheid van kracht, de newton (N), is gedefinieerd als de kracht die een massa van één kilogram een versnelling van 1 m/s² geeft [45](#page=45). $$\[K = N = \[m \\times a = \\text{kg} \\times \\text{m/s}^2$$ [45](#page=45). #### 3.1.5 Massa en gewicht Het gewicht ($G$) van een lichaam is de kracht die de aarde erop uitoefent door zwaartekracht, en wordt uitgedrukt in newtons. Het is een vectoriële grootheid, in tegenstelling tot massa, wat een scalaire eigenschap is. Voor een lichaam met massa $m$ in een gravitatieveld met versnelling $g$ geldt [45](#page=45): $$G = mg$$ [46](#page=46). De massa is een intrinsieke eigenschap (traagheidsmassa), terwijl het gewicht afhankelijk is van de lokale zwaartekrachtversnelling $g$. Massa's kunnen worden vergeleken met behulp van hun gewichten [46](#page=46): $$\\frac{m\_1}{m\_2} = \\frac{G\_1}{G\_2}$$ [46](#page=46). waarbij $G\_1$ en $G\_2$ op dezelfde locatie gemeten worden. De massa kan dan worden uitgedrukt als: $$m = \\frac{G}{G\_E} m\_E$$ [46](#page=46). waarbij $m\_E$ de eenheidsmassa is en $G\_E$ het gewicht daarvan, beide gemeten op dezelfde locatie. #### 3.1.6 Discussie van de wetten van Newton De toepassing van de wetten van Newton vereist aandacht voor het referentiestelsel. In niet-Galileaanse (versnelde) referentiestelsels kunnen schijnkrachten optreden, zoals de middelpuntvliedende kracht. De eerste wet van Newton geldt strikt voor traagheidsreferentiestelsels (ook wel Galileaanse of inertiële referentiestelsels genoemd), dit zijn stelsels die niet aan een versnelling onderhevig zijn. Een laboratorium op aarde is een benadering van een traagheidsstelsel, tenzij verschijnselen die direct door de aardrotatie worden veroorzaakt bestudeerd worden [47](#page=47). ### 3.2 Behoudswetten Behoudswetten zijn fundamenteel in de natuurkunde en stellen dat bepaalde grootheden constant blijven in een geïsoleerd systeem. #### 3.2.1 Wet van behoud van hoeveelheid van beweging Voor een geïsoleerd systeem (waarin geen uitwendige krachten werken) blijft de totale hoeveelheid van beweging (impuls) constant. Dit volgt uit de derde wet van Newton. Voor twee deeltjes met massa's $m\_1$ en $m\_2$ en snelheden $v\_1$ en $v\_2$, die na een botsing snelheden $v'\_1$ en $v'\_2$ hebben, geldt [48](#page=48): $$m\_1v\_1 + m\_2v\_2 = m\_1v'\_1 + m\_2v'\_2$$ [48](#page=48). Het massamiddelpunt van het systeem beweegt eenparig rechtlijnig [48](#page=48). #### 3.2.2 Wet van behoud van impulsmomenten Het impulsmoment ($L\_O$) van een massa $m$ met snelheid $v$ ten opzichte van een punt $O$ wordt gedefinieerd als: $$L\_O = r \\times p = r \\times mv$$ [49](#page=49). Het moment van de kracht $K$ om $O$ is $M\_O = r \\times K$. Het verband tussen moment en impulsmoment is: $$M\_O = \\frac{dL\_O}{dt}$$ [49](#page=49). Voor een centraalkracht geldt $M\_O = 0$, wat leidt tot behoud van impulsmoment ($L\_O = \\text{constant}$) [49](#page=49). Er is een duidelijke analogie tussen de wetten voor kracht en impuls, en moment en impulsmoment: * $K = \\frac{dp}{dt}$ | $M\_O = \\frac{dL\_O}{dt}$ * $p = \\text{Cte}$ als $K = 0$ | $L\_O = \\text{Cte}$ als $M\_O = 0$ [49](#page=49). ### 3.3 Het begrip “pseudokracht” Pseudokrachten (of schijnkrachten) zijn krachten die verschijnen in niet-Galileaanse referentiestelsels en niet veroorzaakt worden door andere lichamen. In zo'n systeem wordt de wet van Newton aangepast door de toevoeging van een pseudokracht ($K\_O$): $$K + K\_O = ma$$ [50](#page=50). waarbij $K$ de werkelijke kracht is, $m$ de massa, $a$ de versnelling in het niet-Galileaanse stelsel, en $K\_O = -ma\_O$ de pseudokracht is, met $a\_O$ de versnelling van het niet-Galileaanse stelsel. Voorbeelden zijn de middelpuntvliedende en de Corioliskracht (#page=50, 51) [50](#page=50) [51](#page=51). ### 3.4 Fundamentele hypothesen aangaande de ruimte De klassieke mechanica steunt op twee fundamentele hypotheses over de ruimte: 1. **Euclidische ruimte**: De postulaten van de Euclidische meetkunde zijn geldig [51](#page=51). 2. **Isotrope ruimte**: De massa van een lichaam is onafhankelijk van de richting van de kracht of versnelling [51](#page=51). ### 3.5 Toepassing van de wetten van Newton De wetten van Newton kunnen worden toegepast op diverse fysische scenario's, zoals een blok op een tafel een versnellingsmeter een sferische slinger een mathematische slinger (#page=55, 56), en een verticaal vallende regendruppel [52](#page=52) [53](#page=53) [54](#page=54) [55](#page=55) [56](#page=56) [57](#page=57). #### 3.5.1 Een blok op een tafel Een systeem met twee blokken verbonden door een draad over een katrol illustreert hoe de tweede wet van Newton kan worden gebruikt om versnelling en spanning te berekenen (#page=52, 53) [52](#page=52) [53](#page=53). #### 3.5.2 De versnellingsmeter Een versnellingsmeter, bestaande uit een massa aan een draad in een versnelde wagen, gebruikt de afwijking van de draad om de horizontale versnelling te meten. Voor een waarnemer binnen de wagen lijkt de massa in evenwicht door de introductie van een schijnkracht [53](#page=53) [54](#page=54). #### 3.5.3 De sferische slinger Bij een sferische slinger beschrijft de massa een cirkelbaan. De zwaartekracht en de spankracht resulteren in een centripetale kracht. De periode van de cirkelvormige beweging wordt gegeven door $T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{L \\cos \\theta}{g}}$ [54](#page=54). #### 3.5.4 De mathematische slinger Voor een mathematische slinger geldt de bewegingsvergelijking: $$\\frac{d^2\\theta}{dt^2} + \\frac{g}{l} \\sin \\theta = 0$$ (#page=55, 56) [55](#page=55) [56](#page=56). Voor kleine uitwijkingen ($\\sin \\theta \\approx \\theta$) wordt dit een harmonische oscillator met periode $T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{l}{g}}$ [56](#page=56). #### 3.5.5 Verticaal vallende regendruppel De beweging van een vallende regendruppel onder invloed van zwaartekracht en een wrijvingskracht evenredig met de snelheid ($mk \\frac{dx}{dt}$) wordt beschreven door een differentiaalvergelijking. De snelheid van de druppel convergeert naar een eindsnelheid ($v\_e = g/k$) [57](#page=57) [58](#page=58). ### 3.6 Arbeid en vermogen Arbeid en vermogen zijn concepten die de energieoverdracht meten. #### 3.6.1 Arbeid Arbeid ($A$) verricht door een constante kracht ($K$) tijdens een verplaatsing ($s$) is het scalair product: $$A = K \\cdot s = Ks \\cos \\phi$$ [58](#page=58). Arbeid is positief als de verplaatsing in de richting van de kracht is, negatief als het tegengesteld is, en nul als de kracht loodrecht op de verplaatsing staat. Voor een veranderlijke kracht langs een kromlijnige baan wordt arbeid berekend via een lijnintegraal [58](#page=58): $$A = \\int\_A^B ds \\cdot K$$ [59](#page=59). De eenheid van arbeid is de joule (J) [59](#page=59). #### 3.6.2 Vermogen Vermogen ($P$) is de arbeid verricht per tijdseenheid: $$P = \\frac{dA}{dt}$$ [60](#page=60). De eenheid van vermogen is de watt (W). Voor een constante kracht geldt ook: $$P = K \\cdot v$$ [60](#page=60). #### 3.6.3 Toepassingen van arbeid en vermogen * **Arbeid verricht door een veer**: De arbeid verricht door een veer met kracht $K = -kx$ bij een uitwijking $x\_0$ is $A = -\\frac{1}{2}kx\_0^2$ [60](#page=60). * **Arbeid bij isotherme expansie van gas**: De arbeid verricht door een ideaal gas bij expansie van $V\_1$ naar $V\_2$ is $A = \\int\_{V\_1}^{V\_2} p dV$. Bij een isotherm proces geldt $A = nRT \\ln\\left(\\frac{V\_2}{V\_1}\\right)$ [61](#page=61). #### 3.6.4 Conservatief krachtveld Een krachtveld is conservatief als de verrichte arbeid tussen twee punten onafhankelijk is van de gevolgde weg. In een conservatief krachtveld is de arbeid langs een gesloten weg nul [61](#page=61): $$\\oint ds \\cdot K = 0$$ [62](#page=62). ### 3.7 Energie Energie is het vermogen om arbeid te verrichten. Mechanische energie omvat kinetische en potentiële energie. #### 3.7.1 Kinetische energie Kinetische energie ($T$) is de energie geassocieerd met beweging. De arbeid verricht door een kracht is gelijk aan de verandering in kinetische energie: $$A\_{1 \\to 2} = T\_2 - T\_1$$ [63](#page=63). De grootte van kinetische energie is afhankelijk van het referentiestelsel [63](#page=63). #### 3.7.2 Potentiële energie in een conservatief krachtveld Potentiële energie ($V$) is de energie die geassocieerd is met de positie of vorm van een object in een conservatief krachtveld. De verandering in potentiële energie is tegengesteld aan de arbeid verricht door het krachtveld: $$dA = -dV$$ [63](#page=63). Voor een conservatief krachtveld geldt $K = -\\nabla V$ [64](#page=64). * **Zwaarteveld**: $V = mgh$ [65](#page=65). * **Coulombveld**: $V = -C \\frac{1}{r}$ [65](#page=65). #### 3.7.3 Wet van behoud van mechanische energie In een conservatief krachtveld is de som van kinetische en potentiële energie constant (mechanische energie $H = T + V$): $$T\_1 + V\_1 = T\_2 + V\_2$$ [66](#page=66). Deze wet geldt niet als er niet-conservatieve krachten (zoals wrijving) optreden, waarbij mechanische energie wordt omgezet in andere vormen zoals warmte [66](#page=66). #### 3.7.4 Toepassingen van de wet van behoud van mechanische energie * **Kogel in cirkelvormige geul**: De snelheid in punt B is $v = \\sqrt{2gR}$ [67](#page=67). * **Mathematische slinger**: De arbeid om de slinger uit de evenwichtstand te brengen is $A = mgl(1 - \\cos \\theta)$ [68](#page=68). * **Harmonische beweging**: De totale mechanische energie is $H = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}kx^2$. De beweging wordt beschreven door $x(t) = A \\sin(\\omega t + \\theta\_0)$, met $\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}$ [68](#page=68). ### 3.8 Algemene gravitatiewet van Newton De algemene gravitatiewet van Newton beschrijft de aantrekkingskracht tussen twee puntmassa's. #### 3.8.1 Wetten van Kepler De drie wetten van Kepler beschrijven empirisch de beweging van planeten rond de zon: 1. **Baanellips**: De baan van een planeet is een ellips met de zon in een brandpunt [69](#page=69). 2. **Perkenwet**: Gelijke tijdsintervallen beschrijven gelijke oppervlakten. Dit impliceert behoud van impulsmoment [69](#page=69). 3. **Derde wet**: De verhouding van het kwadraat van de omlooptijd ($T$) tot de derde macht van de halve lange as ($a$) van de baan is constant ($T^2/a^3 = \\text{Cte}$) [70](#page=70). #### 3.8.2 Gravitatiewet van Newton De aantrekkingskracht ($K$) tussen twee puntmassa's ($m\_1$, $m\_2$) op afstand $r$ is: $$K = \\gamma \\frac{m\_1m\_2}{r^2}$$ [71](#page=71). waarbij $\\gamma$ de gravitatieconstante is. De kracht is centraal gericht en evenredig met de product van de massa's en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. #### 3.8.3 Toepassingen van de gravitatiewet * **Aantrekkingskracht van een homogene massieve bol**: Een homogene bol trekt een uitwendige puntmassa aan alsof de gehele massa geconcentreerd is in het middelpunt (#page=72, 73, 74, 75). Voor een puntmassa binnen de bol is de kracht evenredig met de afstand tot het middelpunt [72](#page=72) [73](#page=73) [74](#page=74) [75](#page=75) [76](#page=76). * **Geofysische aspecten**: De zwaarteversnelling ($g$) op het aardoppervlak kan worden gerelateerd aan de gravitatieconstante en de massa en straal van de aarde. De variatie van $g$ met hoogte en breedteligging wordt beïnvloed door de rotatie van de aarde (#page=77, 79, 80, 81) [77](#page=77) [79](#page=79) [80](#page=80) [81](#page=81). * **Beweging van zon-planeet-satelliet systemen**: De beweging wordt correct beschreven door rekening te houden met de wederzijdse aantrekking, wat leidt tot de concepten van het massamiddelpunt en de gereduceerde massa (#page=84, 85) [84](#page=84) [85](#page=85). * **Ontsnappingssnelheid**: De minimale snelheid die nodig is om aan de zwaartekracht te ontsnappen vanuit een afstand $r$ is $v\_s = \\sqrt{\\frac{2\\gamma M}{r}}$ [86](#page=86). * **Atoommodel van Bohr**: De Coulombkracht tussen een elektron en een proton beschrijft de beweging van elektronen rond de kern, met gekwantiseerde energieniveaus en impulsmomenten (#page=87, 88, 89) [87](#page=87) [88](#page=88) [89](#page=89). * * * # Hydrostatica en hydrodynamica Dit deel behandelt de evenwichtstoestanden van fluïda (hydrostatica) en de stroming van fluïda (hydrodynamica) [93](#page=93). ### 4.1 Hydrostatica: fluïda in evenwicht Hydrostatica is de leer van fluïda in evenwicht. Fluïda omvatten vloeistoffen en gassen, onderscheiden van vaste stoffen door hun vloeiende eigenschappen. Gassen zijn gemakkelijker samendrukbaar dan vloeistoffen, die slechts geringe volumeveranderingen ondergaan onder druk. Voor dit deel worden vloeistoffen als onsamendrukbaar beschouwd [93](#page=93). #### 4.1.1 Definities * **Dichtheid ($\\rho$)**: De hoeveelheid massa per volume-eenheid. $$ \\rho = \\frac{m}{V} $$ of $$ \\rho = \\frac{dm}{dV} $$ [4.1](#page=93) De dichtheid kan worden bepaald met een pycnometer, areometer of de balans van Mohr [93](#page=93). * **Druk ($p$)**: De normale component van de krachten per oppervlakte-eenheid op een wand. $$ p = \\frac{K\_n}{S} $$ of $$ p = \\frac{dK\_n}{dS} $$ [4.2](#page=93) De SI-eenheid van druk is de pascal (Pa), waarbij 1 pascal = 1 newton/m² [93](#page=93). #### 4.1.2 Druk in een fluïdum als functie van de diepte ##### 4.1.2.1 Een vloeistof in het zwaarteveld Voor een vloeistof in evenwicht is elk volume-element in evenwicht. De som van alle krachten moet nul zijn en loodrecht op het oppervlak staan om versnelling of rotatie te voorkomen [93](#page=93). Beschouw een balk met doorsnede $S$ en hoogte $dz$. De horizontale krachten heffen elkaar op door symmetrie. Als $p$ de druk op het bovenvlak en $p + dp$ de druk op het benedenvlak is, geldt voor het volume-element de evenwichtsvoorwaarde: $$ pS + \\rho Sg dz - (p + dp)S = 0 $$ [4.3](#page=94) Hierbij is $\\rho$ de dichtheid van de vloeistof en $G = \\rho Sg dz$ de zwaartekracht op het volume-element. Hieruit volgt: $$ \\frac{dp}{dz} = \\rho g $$ [4.4](#page=94) Als $p\_0$ de druk is op het vrije vloeistofoppervlak ($z=0$), dan wordt de druk $p$ op diepte $z$ gegeven door: $$ p - p\_0 = \\int\_{p\_0}^{p} dp = \\int\_{0}^{z} \\rho g dz $$ [4.5](#page=94) Voor een homogene, onsamendrukbare vloeistof met een constante $g$: $$ p = p\_0 + \\rho g z $$ [4.6](#page=94) Hierbij is $\\rho gz$ de hydrostatische druk op diepte $z$ onder het vrije oppervlak [94](#page=94). Een vloeistof in evenwicht in het zwaarteveld heeft een minimale potentiële energie. Hieruit volgt dat het vrije vloeistofoppervlak loodrecht staat op de zwaarteversnelling $g$. In een beperkte ruimte is dit oppervlak horizontaal [94](#page=94). ##### 4.1.2.2 Een vloeistof in een algemeen krachtveld Op een volume-element $dV = dx dy dz$ werkt een kracht $K$ per eenheid van massa (bv. door rotatie). De druk wordt gegeven door $p(r)$. In de x-richting werkt een nettokracht gelijk aan nul: $$ K\_x \\rho dV + p dS - (p + \\frac{\\partial p}{\\partial x} dx) dS = 0 $$ [4.7](#page=95) Dit leidt tot: $$ \\rho K\_x = \\frac{\\partial p}{\\partial x} $$ [4.9](#page=95) Vectorieel: $$ \\text{grad } p = \\rho K $$ [4.10](#page=95) Indien de kracht wordt afgeleid van een potentiaal $V$ ($K = -\\text{grad } V$), geldt: $$ -\\rho \\text{grad } V = \\text{grad } p $$ [4.12](#page=95) Met constante massadichtheid $\\rho$: $$ p + \\rho V = \\text{constant} $$ [4.13](#page=95) In het zwaarteveld ($V = -gz$ met $z$ naar beneden) herleidt dit zich tot $p = p\_0 + \\rho gz$ [95](#page=95). #### 4.1.3 Wet van Pascal De hydrostatische druk in het zwaarteveld is onafhankelijk van de vorm van het vat en hangt alleen af van de diepte onder het vrije oppervlak [96](#page=96). **Wet van Pascal**: Een druk uitgeoefend op een vloeistof, opgesloten in een vat, plant zich onverminderd voort in alle richtingen [96](#page=96). Dit principe wordt toegepast in de hydraulische pers. Een zuiger met kleine doorsnede $S\_1$ oefent een kracht $K\_1$ uit, wat resulteert in een druk $p = K\_1/S\_1$. Deze druk plant zich voort naar een zuiger met grote doorsnede $S\_2$, waarbij de kracht $K\_2$ wordt: $$ p = \\frac{K\_2}{S\_2} = \\frac{K\_1}{S\_1} \\implies K\_2 = \\frac{S\_2}{S\_1} K\_1 $$ [4.14](#page=96) De hydraulische pers vermenigvuldigt krachten, waarbij de verhouding van de krachten gelijk is aan de verhouding van de doorsneden [96](#page=96). #### 4.1.4 Hydrostatische paradox De hydrostatische paradox beschrijft het verschijnsel dat vloeistoffen in verbonden vaten van verschillende vormen tot dezelfde hoogte reiken, ondanks intuïtieve redeneringen over ongelijke druk. Dit wordt verklaard doordat de druk uitsluitend afhangt van de diepte en niet van de vorm van het vat [96](#page=96). #### 4.1.5 Evenwicht in een samendrukbaar fluïdum in het zwaarteveld Voor een gas neemt de druk af met de hoogte: $$ \\frac{dp}{dz} = -\\rho g $$ [4.15](#page=97) De dichtheid $\\rho$ is geen constante in gassen bij grote hoogteverschillen. Uit de ideale gaswet ($pV = nRT$) volgt $\\rho = \\frac{Mp}{RT}$ (met $M$ de moleculaire massa en $R$ de gasconstante) [97](#page=97). Dit leidt tot: $$ \\frac{dp}{p} = -\\frac{Mg}{RT} dz $$ [4.17](#page=97) * **Isotherme atmosfeer ($T$ = constant)**: $$ p = p\_0 e^{-(Mg/RT)z} $$ [4.19](#page=97) Dit is de barometrische formule, geschikt voor isotherme atmosferen [98](#page=98). * **Temperatuurvariërende atmosfeer (bv. troposfeer)**: Met $T = T\_0 - cz$. $$ \\frac{p}{p\_0} = \\left(1 - \\frac{cz}{T\_0}\\right)^{\\frac{Mg}{Rc}} $$ [4.23](#page=97) #### 4.1.6 Drukmeters * **Open manometer**: Een U-vormige buis gevuld met een vloeistof met dichtheid $\\rho$. $$ p = p\_a + \\rho g h $$ [4.25](#page=98) waarbij $p\_a$ de atmosferische druk is en $h$ het hoogteverschil van de vloeistofniveaus [98](#page=98). * **Kwikbarometer (Buis van Torricelli)**: Meet de atmosferische druk $p\_a$. $$ p\_a = \\rho g h $$ waarbij $h$ de hoogte van de kwikkolom is [99](#page=99). 1 atmosfeer is gelijk aan 101396 pascal of 1014 hectopascal [99](#page=99). #### 4.1.7 Wet van Archimedes Een lichaam dat in een fluïdum is ondergedompeld, ondervindt een opwaartse druk (stuwkracht) die gelijk is aan het gewicht van het verplaatste fluïdum [99](#page=99). De stuwkracht $S$ wordt gegeven door: $$ S = V\_v \\rho\_v g $$ [4.27](#page=100) waarbij $V\_v$ het volume van het verplaatste fluïdum is en $\\rho\_v$ de dichtheid van het fluïdum [100](#page=100). Het aangrijpingspunt van de stuwkracht (perspunt $P$) valt samen met het zwaartepunt van het verplaatste volume vloeistof [100](#page=100). #### 4.1.8 Zinken, zweven en vlotten De gemiddelde dichtheid van een lichaam is $\\langle\\rho\_l\\rangle$. Het gewicht is $G\_l = \\langle\\rho\_l\\rangle V g$ . De stuwkracht is $S = -G\_v = -\\rho\_v V g$ . De netto kracht is $G\_l - G\_v = (\\langle\\rho\_l\\rangle - \\rho\_v)Vg$ . * **Zinken**: Als $\\langle\\rho\_l\\rangle > \\rho\_v$, de resulterende kracht is naar beneden gericht . * **Zweven**: Als $\\langle\\rho\_l\\rangle = \\rho\_v$, het lichaam is in evenwicht in de vloeistof . * **Vlotten**: Als $\\langle\\rho\_l\\rangle < \\rho\_v$, de resulterende kracht is naar boven gericht. Het lichaam wordt gedeeltelijk uit de vloeistof geheven tot de stuwkracht gelijk wordt aan het gewicht . Het evenwicht van een drijvend lichaam is stabiel wanneer het metacentrum $M$ boven het zwaartepunt $Z$ ligt . #### 4.1.9 Drukkracht op de wand van een vat Voor een verticale wand met breedte $b$ waar een vloeistof met dichtheid $\\rho$ tegenaan drukt, neemt de hydrostatische druk lineair toe met de diepte $z$: $p = \\rho g z$ . De resulterende drukkracht $K$ op de wand is: $$ K = \\int\_{0}^{h} p b dz = \\int\_{0}^{h} \\rho g z b dz = \\frac{1}{2} \\rho g b h^2 $$ [4.33](#page=103) Het resulterend moment $M\_A$ om de snijlijn wand-bodem is: $$ M\_A = \\frac{1}{6} \\rho g b h^3 $$ [4.35](#page=103) Het drukcentrum $P$, het aangrijpingspunt van de resulterende kracht, bevindt zich op hoogte $H$: $$ H = \\frac{M\_A}{K} = \\frac{h}{3} $$ [4.37](#page=103) #### 4.1.10 Vloeistof in rotatie om een as Bij rotatie van een vloeistof om een as met hoeksnelheid $\\omega$ werkt er een fictieve centrifugale traagheidskracht per eenheid van massa $K = \\omega^2 r$. Deze kracht kan worden beschreven door een potentiaalfunctie $V(c) = -\\frac{1}{2} \\omega^2 r^2$ . In evenwicht met de zwaartekracht ($V(g) = gz$) geldt: $$ p + \\rho g z - \\frac{1}{2} \\rho \\omega^2 r^2 = \\text{Cte} $$ [4.42](#page=104) Langs het vrije oppervlak is de druk constant, dus de vergelijking van het vrije oppervlak is: $$ g z = \\text{Cte}' + \\frac{1}{2} \\omega^2 r^2 $$ [4.43](#page=104) Dit stelt een omwentelingsparaboloïde voor . Het hoogteverschil $\\Delta h$ tussen de rand en het midden van een cilindervat met straal $a$ is: $$ \\Delta h = \\frac{\\omega^2 a^2}{2g} $$ [4.45](#page=105) ##### 4.1.10.1 Evenwichtsvorm van de aarde De aarde kan benaderd worden als een roterende vloeistof onder invloed van gravitatie en centrifugale krachten. De potentiaalfuncties zijn $V(g) = -\\varepsilon/R$ en $V(c) = -\\omega^2 r^2 / 2$ . In evenwicht: $$ p - \\rho \\frac{\\varepsilon}{R} - \\frac{1}{2} \\rho \\omega^2 r^2 = \\varepsilon' $$ [4.48](#page=106) Voor het vrije oppervlak geldt dan: $$ \\frac{\\varepsilon}{R} - \\frac{\\omega^2 r^2}{2} = \\varepsilon'' $$ [4.49](#page=106) Dit leidt tot de vorm van een sferoïde, een licht afgeplatte sfeer . #### 4.1.11 Druk in het inwendige van een hemellichaam De druk in het inwendige van een hemellichaam wordt veroorzaakt door de algemene gravitatiewet. Voor een sferische schil geldt dat de drukverandering ($dp$) in evenwicht is met de aantrekkingskracht . Voor een constante dichtheid $\\rho$: $$ dp = -\\gamma \\rho \\frac{4}{3} \\pi r \\rho dr $$ [4.58](#page=107) Integratie met de randvoorwaarde $p=0$ voor $r=R$ geeft de druk als functie van $r$: $$ p = \\frac{2}{3} \\pi \\gamma \\rho^2 (R^2 - r^2) $$ [4.59](#page=107) In het centrum ($r=0$) is de druk maximaal: $$ p\_C = \\frac{2}{3} \\pi \\gamma \\rho^2 R^2 $$ [4.60](#page=107) #### 4.1.12 Oppervlakte- en capillariteitsverschijnselen * **Oppervlakteverschijnselen**: Fenomenen die optreden aan het grensvlak tussen een vloeistof en een gas, zoals een vettige naald die op water blijft rusten of zeepvliezen die hun oppervlakte trachten te verminderen . * **Capillariteitsverschijnselen**: Treedt op bij contact van een vloeistof met een wand. Het vrije oppervlak wordt omhoog of omlaag gebogen, afhankelijk van of de vloeistof de wand bevochtigt . In een haarbuisje stijgt of daalt de vloeistof. Het product van de hoogteverschil $h$ en de straal $r$ is constant voor een bepaalde vloeistof en wand . #### 4.1.13 Oppervlakte-energie en oppervlaktespanning Moleculen in een vloeistof ondervinden aantrekkings- en afstotingskrachten. Een molecuul in de grenslaag, aan het vrije oppervlak, ondervindt een resulterende aantrekkingskracht naar binnen . * **Oppervlakte-energie ($\\sigma$)**: De potentiële energie in de grenslaag per oppervlakte-eenheid, uitgedrukt in joule per vierkante meter (J/m²) . * **Oppervlaktespanning ($\\gamma$)**: De kracht per lengte-eenheid langs de rand van een vloeistofoppervlak die het oppervlak tracht samen te trekken, uitgedrukt in newton per meter (N/m) . Voor een vloeistof die zichzelf niet bevochtigt, is de oppervlaktespanning gelijk aan de oppervlakte-energie: $\\gamma = \\sigma$ . #### 4.1.14 Verband tussen oppervlakte-energie $\\sigma$ en oppervlaktespanning $\\gamma$ Bij het vergroten van het oppervlak van een vlies wordt arbeid geleverd en potentiële energie opgeslagen. Arbeid $A = 2\\gamma ld$. [4.61](#page=111) Oppervlakte-energie $A = 2\\sigma ld$. [4.62](#page=111) Hieruit volgt $\\gamma = \\sigma$. [4.63](#page=111) Echter, de relatie is temperatuurafhankelijk en wordt complexer bij niet-adiabatische processen . #### 4.1.15 Meting van de oppervlaktespanning $\\gamma$ * **Methode van Terquem**: Gebruikt een raam met draden gespannen met een vlies van de te onderzoeken vloeistof. De spanning in de draad en de oppervlaktespanning worden afgeleid uit evenwichtsvoorwaarden . * **Afrukmethode**: Meet de kracht $K$ die nodig is om een ring uit een vloeistof te tillen. $$ \\gamma = \\frac{K}{4\\pi r} $$ [4.74](#page=114) waarbij $r$ de straal van de ring is. De factor 4 komt van de twee grenslagen aan weerszijden van het membraan . De oppervlaktespanning is temperatuurafhankelijk en neemt doorgaans af bij stijgende temperatuur . #### 4.1.16 Overdruk in een zeepbel In een zeepbel heerst een overdruk $\\Delta p$. Deze wordt veroorzaakt door de oppervlaktespanning . Voor een zeepbel met straal $R$ geldt: $$ \\Delta p = \\frac{4\\gamma}{R} $$ [4.79](#page=115) De overdruk is groter voor kleinere zeepbellen . #### 4.1.17 Formule van Laplace De formule van Laplace beschrijft de overdruk $\\Delta p$ in de grenslaag van een gekromd vloeistofoppervlak ten opzichte van de omringende druk . $$ \\Delta p = \\gamma \\left( \\frac{1}{R\_1} + \\frac{1}{R\_2} \\right) $$ [4.83](#page=117) waarbij $R\_1$ en $R\_2$ de hoofdkromtestralen zijn . Voor een zeepbel met gelijke kromming aan beide zijden ($R\_1 = R\_2 = R$), wordt dit: $$ \\Delta p = \\frac{4\\gamma}{R} $$ [4.84](#page=118) Dit komt overeen met de eerder gevonden formule . #### 4.1.18 Capillaire verschijnselen: de contacthoek Tussen vloeistoffen en vaste stoffen (wanden) bestaan oppervlaktespanningen: $\\sigma\_{L,V}, \\gamma\_{L,V}$ (vloeistof-vast) en $\\sigma\_{V,G}, \\gamma\_{V,G}$ (vast-gas), naast de gas-vloeistof spanning $\\sigma, \\gamma$ . De kromming van een vloeistofoppervlak nabij een wand hangt af van het verschil tussen deze spanningen . De **contacthoek $\\theta$** is de hoek tussen het vloeistofoppervlak en de wand op het contactpunt. Een contacthoek van nul betekent volledige bevochtiging . #### 4.1.19 Vorm van het vrije vloeistofoppervlak in nabijheid van de wand Nabij een verticale wand geldt voor de druk $p$ op een hoogte $z$: $$ p = p\_a - \\rho g z $$ [4.87](#page=121) Voor een punt onmiddellijk onder het vrije oppervlak: $$ p\_a - \\rho g z = p\_a + \\gamma \\left( \\frac{1}{R\_1} + \\frac{1}{R\_2} \\right) $$ [4.88](#page=121) Voor een verticale wand zijn de hoofdkromtestralen $R\_1 = \\infty$ en $R\_2 = -R$ (waarbij $R$ de kromtestraal van de loodrechte doorsnede is) . Dit leidt tot: $$ \\rho g z = \\gamma \\frac{1}{R} $$ [4.90](#page=122) De vloeistof aan de wand bereikt een hoogte $z\_0$: $$ z\_0 = \\sqrt{\\frac{2\\gamma}{\\rho g} (1 - \\sin \\theta\_0)} $$ [4.99](#page=122) waarbij $\\theta\_0$ de contacthoek is . #### 4.1.20 Capillaire stijghoogte in een buisje De opwaartse kracht door oppervlaktespanning is $2\\pi r \\gamma\_{LG} \\cos \\theta$. Het gewicht van de opgetilde vloeistof is $\\pi r^2 h \\rho g$ . In evenwicht: $$ 2\\pi r \\gamma\_{LG} \\cos \\theta = \\pi r^2 h \\rho g $$ [4.101](#page=123) De stijghoogte $h$ wordt gegeven door: $$ h = \\frac{2 \\gamma\_{LG} \\cos \\theta}{\\rho g r} $$ [4.102](#page=123) Dit toont aan dat $hr$ constant is, wat gebruikt kan worden om $\\gamma\_{LG}$ te meten . ### 4.2 Hydrodynamica: fluïda in beweging Hydrodynamica bestudeert fluïda in beweging. Ideale fluïda zijn onsamendrukbaar en niet-viskeus . #### 4.2.1 Inleidende definities * **Vloeilijn**: De baan van een fluïdumdeeltje. De snelheid kan in richting en grootte veranderen . * **Stroomlijn**: De baan die raakt aan de snelheidsvector in elk punt op een bepaald tijdstip . * **Stationair regime**: Het stroompatroon verandert niet in de tijd. Elk deeltje dat door een punt gaat, volgt dezelfde vloeilijn . * **Stroombuis**: Het oppervlak gevormd door stroomlijnen die door de omtrek van een oppervlakte-element gaan. In een stationair regime verlaat de vloeistof de stroombuis niet . * **Stagnatiepunt**: Punten waar de snelheid nul is . #### 4.2.2 Continuïteitsvergelijking Voor een onsamendrukbaar fluïdum, waar $v\_1$ en $v\_2$ de snelheden zijn op doorsneden $A\_1$ en $A\_2$ van een stroombuis: $$ A\_1 v\_1 = A\_2 v\_2 $$ [5.2](#page=125) Dit betekent dat de stroomsnelheid omgekeerd evenredig is met de doorsnede . De stroomsterkte $I$ (massa per tijdseenheid) is: $$ I = \\frac{dm}{dt} = \\rho v A $$ [5.6](#page=126) Voor onsamendrukbare fluïda wordt de stroomsterkte behouden . De stroomdichtheid $J$ is de stroom per oppervlakte-eenheid: $$ J = \\rho v $$ [5.8](#page=126) #### 4.2.3 Kracht uitgeoefend door een fluïdum op een gebogen stroombuis Om een stroom $J$ van richting te veranderen, zijn er krachten nodig loodrecht op de stroomlijnen, veroorzaakt door drukverschillen. De resulterende kracht $K$ is gelijk aan de verandering van de impuls per tijdseenheid: $$ K = \\frac{dp}{dt} $$ [5.9](#page=126) Voor een stationair regime is de resulterende kracht op de stroombuis: $$ K = I(v\_1 - v\_2) $$ [5.14](#page=127) #### 4.2.4 Vergelijking van Bernoulli: druk in een bewegende vloeistof Voor een onsamendrukbaar fluïdum met stationair regime, op basis van behoud van mechanische energie, geldt de vergelijking van Bernoulli langs een stroombuis: $$ p + \\rho g h + \\frac{1}{2} \\rho v^2 = \\text{Cte} $$ [5.23](#page=129) Hierin is $p$ de druk, $\\rho gh$ de potentiële energie per volume-eenheid, en $\\frac{1}{2} \\rho v^2$ de kinetische energie per volume-eenheid . De grondvergelijking van de hydrostatica ($p + \\rho gh = \\text{Cte}$) is een speciaal geval voor stilstaande fluïda ($v=0$) . ##### 4.2.4.1 Toepassingen * **Uitstroomsnelheid van een vloeistof**: Voor een open tank ($p=p\_a$): $$ v = \\sqrt{2gh} $$ [5.28](#page=129) Dit is gelijk aan de valsnelheid in vrije val . Voor een gesloten tank met druk $p$: $$ v = \\sqrt{\\frac{2(p - p\_a)}{\\rho}} $$ [5.29](#page=130) * **Uitstromende vloeistof als stuwkracht**: De reactiekracht $K$ op de tank is: $$ K = v \\frac{dm}{dt} = v I = 2 A (p - p\_a) $$ [5.32](#page=130) #### 4.2.5 Meten van stroomsnelheden * **Venturibuis**: Meet het drukverschil in een vernauwde buis om de stroomsnelheid te bepalen. $$ v\_1 = \\sqrt{\\frac{2gh (\\rho\_0/\\rho)}{(A\_1/A\_2)^2 - 1}} $$ [5.36](#page=131) waarbij $\\rho\_0$ de dichtheid van de manometervloeistof is en $\\rho$ de dichtheid van het gas . * **Pitotbuis**: Meet het drukverschil tussen een stagnatiepunt en een punt met stromingssnelheid. $$ v\_B = \\sqrt{\\frac{2(p\_A - p\_B)}{\\rho}} = \\sqrt{2gh \\frac{\\rho\_0}{\\rho}} $$ [5.40](#page=132) Wordt gebruikt in vliegtuigen om de luchtsnelheid te meten . #### 4.2.6 Viscositeit Viscositeit is de inwendige wrijving van een fluïdum. Het vereist een kracht om twee oppervlakken met een fluïdumlaag ertussen over elkaar te laten glijden . De viscositeitscoëfficiënt $\\eta$ is de evenredigheidsfactor tussen schuifspanning en snelheidsgradiënt: $$ K = \\eta \\frac{dv}{dz} A $$ [5.43](#page=135) De SI-eenheid van viscositeit is pascal-seconde (Pa·s) . De viscositeit is temperatuurafhankelijk: stijgt voor gassen, daalt voor vloeistoffen bij hogere temperaturen . #### 4.2.7 Laminaire stroming, viscositeitscoëfficiënt In laminaire stroming schuiven oneindig dunne vloeistoflaagjes over elkaar. De snelheid groeit lineair van een vaste naar een beweegbare wand . #### 4.2.8 Wet van Poiseuille Beschrijft de laminaire stroming van een fluïdum door een cilindrische buis met lengte $L$ en straal $R$ . Het snelheidsverloop is parabolisch: $$ v = \\frac{p\_1 - p\_2}{4\\eta L} (R^2 - r^2) $$ [5.49](#page=136) Het volumedebiet $Q$ is: $$ Q = \\frac{\\pi}{8\\eta} \\frac{(p\_1 - p\_2)}{L} R^4 $$ [5.53](#page=137) Het debiet is rechtevenredig met de drukgradiënt en de vierde macht van de straal, en omgekeerd evenredig met de viscositeit . #### 4.2.9 Viscosimeter van Poiseuille Meet de viscositeit $\\eta$ met behulp van de wet van Poiseuille, door het volumedebiet $Q$ te meten . $$ \\eta = \\frac{\\pi}{8Q} \\frac{h g \\rho L}{R^4} $$ [5.54](#page=138) #### 4.2.10 Viscosimeter steunend op de wet van Stokes De wet van Stokes beschrijft de wrijvingskracht $K$ op een sfeer met straal $a$ die beweegt met snelheid $v$ in een fluïdum met viscositeit $\\eta$: $$ K = 6 \\pi a \\eta v $$ [5.57](#page=138) Deze methode is geschikt voor zeer viskeuze vloeistoffen door de limietsnelheid $v\_0$ te meten . $$ \\eta = \\frac{2}{9} a^2 \\frac{(\\rho - \\rho') g}{v\_0} $$ [5.59](#page=139) #### 4.2.11 Dynamische stuwkracht Naast de statische stuwkracht is er ook een dynamische stuwkracht, veroorzaakt door de beweging van een fluïdum . Dit effect treedt op wanneer de stroomsnelheid boven een object toeneemt en onder het object afneemt, wat leidt tot een hydrodynamisch drukverschil volgens de wet van Bernoulli . #### 4.2.12 Circulatie van het snelheidsvectorveld en de formule van Kutta-Joukowski De circulatie $\\Gamma$ om een gesloten kromme in een snelheidsveld is gedefinieerd als de lijnintegraal: $$ \\Gamma = \\oint \\mathbf{v} \\cdot d\\mathbf{s} $$ [5.62](#page=140) De formule van Kutta-Joukowski stelt dat de hydrodynamische stuwkracht $K$ op een cilindrisch object evenredig is met de lengte $L$, de fluïdumdichtheid $\\rho$, de stroomsnelheid $v$ en de circulatie $\\Gamma$: $$ K = L \\rho v \\Gamma $$ [5.63](#page=140) Deze formule wordt toegepast op vliegtuigvleugels om de liftkracht te berekenen . #### 4.2.13 Turbulente stroming, getal van Reynolds Wanneer de stroomsnelheid een kritische waarde overschrijdt, kan de stroming turbulent worden, gekenmerkt door wervels . De overgang van laminaire naar turbulente stroming wordt bepaald door het **getal van Reynolds ($n\_R$)**: $$ n\_R = \\frac{\\rho v d}{\\eta} $$ [5.72](#page=143) * $n\_R < 2000$: laminaire stroming. * $2000 < n\_R < 3000$: overgangsregime. * $n\_R > 3000$: turbulente stroming . Het getal van Reynolds is dimensieloos . * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Scalair | Een fysische grootheid die volledig bepaald is door een maatgetal. Massa, energie en temperatuur zijn voorbeelden. | | Vector | Een fysische grootheid die gekenmerkt wordt door richting, zin en maatgetal. Snelheid, versnelling en kracht zijn voorbeelden van vectoriële grootheden. | | Eenheidsvector | Een vector op een as met een maatgetal van +1, die de richting en zin van die as aangeeft. | | Vectorsom | De som van twee of meer vectoren, gevonden met de driehoeksmethode, waarbij de vectoren achter elkaar worden geplaatst en de resultant de driehoek sluit. | | Scalair product | Het product van twee vectoren dat resulteert in een scalair. Het is gelijk aan het product van de normen vermenigvuldigd met de cosinus van de ingesloten hoek. | | Vectorieel product | Het product van twee vectoren dat resulteert in een vector. Deze vector staat loodrecht op het vlak gevormd door de twee oorspronkelijke vectoren en de grootte is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram op deze vectoren gebouwd. | | Gemengd product | Het scalair product van één vector met het vectorieel product van twee andere vectoren. De absolute waarde is het volume van het parallellepipedum geconstrueerd op de drie vectoren. | | Kinematica | De tak van de mechanica die de beweging van lichamen bestudeert zonder rekening te houden met de oorzaken ervan. | | Bewegingsvergelijking | Een vergelijking die de plaatsvector van een deeltje uitdrukt als functie van de tijd, bijvoorbeeld r = r(t). | | Rechtlijnige beweging | Beweging waarbij een deeltje zich voortbeweegt langs een rechte lijn. | | Kromlijnige beweging | Beweging waarbij een deeltje zich voortbeweegt langs een gekromde baan. | | Snelheid | De mate van verandering van positie van een object. Gemiddelde snelheid is de verplaatsing gedeeld door de tijd, en ogenblikkelijke snelheid is de afgeleide van de positie naar tijd. | | Versnelling | De mate van verandering van snelheid van een object. Gemiddelde versnelling is de snelheidsverandering gedeeld door de tijdsduur, en ogenblikkelijke versnelling is de afgeleide van de snelheid naar tijd. | | Tangentiële versnelling | Het component van de versnelling dat gericht is langs de raaklijn aan de baan en verantwoordelijk is voor de verandering in de grootte van de snelheid. | | Normale versnelling | Het component van de versnelling dat gericht is volgens de normaal op de baan en verantwoordelijk is voor de verandering in de richting van de snelheidsvector (ook wel middelpuntzoekende versnelling genoemd). | | Harmonische beweging | Een specifieke vorm van periodieke beweging, vaak beschreven als de projectie van een eenparig cirkelvormige beweging op een as. | | Zwevingen | Een fenomeen dat optreedt bij de samenstelling van twee trillingen met bijna dezelfde frequenties, resulterend in een periodieke variatie van de amplitude. | | Referentiestelsel | Een coördinatensysteem ten opzichte waarvan de beweging van een object wordt beschreven. | | Traagheidsreferentiestelsel | Een referentiestelsel waarin de eerste wet van Newton (traagheidswet) geldig is, d.w.z. een stelsel dat niet versneld is ten opzichte van de sterren. | | Pseudokracht | Een schijnkracht die optreedt in niet-inertiële referentiestelsels als gevolg van de versnelling van het stelsel zelf, om de wetten van Newton geldig te houden. Voorbeelden zijn de middelpuntvliedende en Corioliskracht. | | Wet van behoud van hoeveelheid van beweging | In een geïsoleerd stelsel blijft de totale hoeveelheid van beweging (impuls) constant. | | Impulsmoment | Het product van de plaatsvector van een deeltje met zijn impuls (massa maal snelheid). Het behoud van impulsmoment geldt in centraalkrachtvelden. | | Arbeid | De verrichte arbeid door een kracht op een object is gelijk aan het scalair product van de krachtvector en de verplaatsingsvector. Het is de energie die wordt overgedragen door de kracht. | | Vermogen | De arbeid verricht per tijdseenheid. Het is de snelheid waarmee energie wordt overgedragen of omgezet. | | Potentiële energie | Energie die een object bezit als gevolg van zijn positie in een krachtveld (bijvoorbeeld zwaartekracht of veer). | | Kinetische energie | Energie die een object bezit als gevolg van zijn beweging, gelijk aan 1/2 mv². | | Wet van behoud van mechanische energie | In een conservatief krachtveld blijft de som van de kinetische en potentiële energie constant. | | Gravitatiewet van Newton | Stelt dat twee puntmassa's elkaar aantrekken met een kracht die evenredig is met het product van hun massa's en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen hen. | | Hydrostatica | De studie van fluïda (vloeistoffen en gassen) in rust. | | Hydrodynamica | De studie van fluïda in beweging. | | Dichtheid | Massa per volume-eenheid van een stof. | | Druk | Kracht per oppervlakte-eenheid, loodrecht op het oppervlak. | | Hydrostatische druk | De druk in een fluïdum als gevolg van de zwaartekracht, toenemend met de diepte. | | Wet van Pascal | Een druk uitgeoefend op een ingesloten fluïdum plant zich onverminderd voort in alle richtingen. | | Wet van Archimedes | Een in een fluïdum ondergedompeld lichaam ondervindt een opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van het verplaatste fluïdum. | | Oppervlaktespanning | De kracht per lengte-eenheid die aan de rand van een vloeistofoppervlak werkt, veroorzaakt door de aantrekkingskrachten tussen de vloeistofmoleculen. | | Viscositeit | De inwendige wrijving van een fluïdum, die weerstand biedt aan stroming. | | Laminaire stroming | Stroming waarbij de vloeistoflagen parallel stromen zonder zich te mengen. | | Turbulente stroming | Stroming met wervelingen en menging van de vloeistoflagen. | | Wet van Poiseuille | Beschrijft de volumestroom van een viskeuze vloeistof door een cilindrische buis onder invloed van een drukverschil. | | Getal van Reynold | Een dimensieloos getal dat de aard van de stroming (laminair of turbulent) bepaalt, afhankelijk van de dichtheid, snelheid, diameter en viscositeit van het fluïdum. |