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# Calcul différentiel et algèbre linéaire Ce chapitre introduit les concepts fondamentaux du calcul différentiel et de l'algèbre linéaire, en se concentrant sur les fonctions linéaires, les matrices et le rang des applications linéaires [1](#page=1). ### 1.1 Rappels d'algèbre linéaire #### 1.1.1 Fonctions linéaires, matrices et rang Une fonction $f : E \to F$, où $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels (par exemple, $E = \mathbb{R}^N$ et $F = \mathbb{R}^M$), est dite linéaire si elle satisfait deux propriétés : 1. Pour tout $x, y \in E$, $f(x + y) = f(x) + f(y)$ (additivité) [1](#page=1). 2. Pour tout $x \in E$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ (homogénéité) [1](#page=1). Considérons l'application $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ définie par $f(x, y, z) = (x - 2z, 2x + 5y + z, x + 3y + z, 0)$ [1](#page=1). **1) Montrer que $f$ est linéaire.** Pour montrer que $f$ est linéaire, nous devons vérifier les propriétés d'additivité et d'homogénéité. Soient $x = (x_1, y_1, z_1)$ et $y = (x_2, y_2, z_2)$ deux vecteurs dans $\mathbb{R}^3$, et $\alpha \in \mathbb{R}$. * **Additivité :** $x+y = (x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)$. $f(x+y) = f(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2) = ((x_1+x_2) - 2(z_1+z_2), 2(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + (z_1+z_2), (x_1+x_2) + 3(y_1+y_2) + (z_1+z_2), 0)$ $= (x_1-2z_1 + x_2-2z_2, 2x_1+5y_1+z_1 + 2x_2+5y_2+z_2, x_1+3y_1+z_1 + x_2+3y_2+z_2, 0)$ $= (x_1-2z_1, 2x_1+5y_1+z_1, x_1+3y_1+z_1, 0) + (x_2-2z_2, 2x_2+5y_2+z_2, x_2+3y_2+z_2, 0)$ $= f(x) + f(y)$ [1](#page=1). * **Homogénéité :** $\alpha x = (\alpha x_1, \alpha y_1, \alpha z_1)$. $f(\alpha x) = f(\alpha x_1, \alpha y_1, \alpha z_1) = (\alpha x_1 - 2\alpha z_1, 2\alpha x_1 + 5\alpha y_1 + \alpha z_1, \alpha x_1 + 3\alpha y_1 + \alpha z_1, 0)$ $= \alpha (x_1 - 2z_1, 2x_1 + 5y_1 + z_1, x_1 + 3y_1 + z_1, 0)$ $= \alpha f(x)$ [1](#page=1). Puisque les deux propriétés sont vérifiées, $f$ est une fonction linéaire [1](#page=1). **2) Donner la matrice de $f$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}^4$.** La matrice d'une application linéaire $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ dans les bases canoniques est obtenue en appliquant $f$ aux vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^n$ et en utilisant les résultats comme colonnes de la matrice. Les vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^3$ sont $e_1 = (1, 0, 0)$, $e_2 = (0, 1, 0)$ et $e_3 = (0, 0, 1)$ [1](#page=1). Calculons $f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$ : $f(1, 0, 0) = (1 - 2 2 + 5 + 0, 1 + 3 + 0, 0) = (1, 2, 1, 0)$ [1](#page=1). $f(0, 1, 0) = (0 - 2 2 + 5 + 0, 0 + 3 + 0, 0) = (0, 5, 3, 0)$ [1](#page=1). $f(0, 0, 1) = (0 - 2 2 + 5 + 1, 0 + 3 + 1, 0) = (-2, 1, 1, 0)$ [1](#page=1). La matrice $A$ de $f$ est donc : $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ [1](#page=1). **3) Déterminer l’image de $f$ et en déduire son rang.** L'image de $f$, notée $\text{Im}(f)$, est l'espace vectoriel engendré par les vecteurs $f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$. Les colonnes de la matrice $A$ engendrent l'image [1](#page=1). $\text{Im}(f) = \text{Vect}\{(1, 2, 1, 0), (0, 5, 3, 0), (-2, 1, 1, 0)\}$ [1](#page=1). Pour trouver une base de $\text{Im}(f)$ et son rang, on peut effectuer des opérations sur les colonnes de la matrice $A$ (ou sur les vecteurs engendrant $\text{Im}(f)$). On remarque que la dernière ligne de $A$ est nulle, ce qui signifie que tous les vecteurs de l'image auront leur quatrième composante nulle. L'image est donc contenue dans le sous-espace $\{ (a, b, c, 0) \mid a, b, c \in \mathbb{R} \}$. Regardons les trois premières composantes des vecteurs : $v_1 = (1, 2, 1)$ $v_2 = (0, 5, 3)$ $v_3 = (-2, 1, 1)$ On peut vérifier si ces vecteurs sont linéairement indépendants. Effectuons une combinaison linéaire : $\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = 0$. $\alpha(1, 2, 1) + \beta(0, 5, 3) + \gamma(-2, 1, 1) = (0, 0, 0)$ $(\alpha - 2\gamma, 2\alpha + 5\beta + \gamma, \alpha + 3\beta + \gamma) = (0, 0, 0)$ De la première composante : $\alpha = 2\gamma$. Substituons dans la deuxième : $2(2\gamma) + 5\beta + \gamma = 0 \implies 5\gamma + 5\beta = 0 \implies \beta = -\gamma$. Substituons dans la troisième : $2\gamma + 3(-\gamma) + \gamma = 0 \implies 2\gamma - 3\gamma + \gamma = 0 \implies 0 = 0$. Ceci montre que les vecteurs sont linéairement dépendants. Par exemple, pour $\gamma = 1$, on a $\alpha = 2$ et $\beta = -1$. Donc $2v_1 - v_2 + v_3 = 0$. Exprimons $v_3$ en fonction de $v_1$ et $v_2$: $v_3 = v_2 - 2v_1$. $(-2, 1, 1) = (0, 5, 3) - 2(1, 2, 1) = (0, 5, 3) - (2, 4, 2) = (-2, 1, 1)$. Donc, l'espace engendré par $v_1, v_2, v_3$ est le même que celui engendré par $v_1, v_2$. Les vecteurs $(1, 2, 1, 0)$ et $(0, 5, 3, 0)$ forment une base de $\text{Im}(f)$ [1](#page=1). Une base de $\text{Im}(f)$ est donc $\{(1, 2, 1, 0), (0, 5, 3, 0)\}$ [1](#page=1). Le rang de $f$ est la dimension de son image. $\text{rang}(f) = \dim(\text{Im}(f)) = 2$ [1](#page=1). **4) Calculer, de deux manières différentes, la dimension du noyau de $f$.** Le noyau de $f$, noté $\text{Ker}(f)$, est l'ensemble des vecteurs $x \in \mathbb{R}^3$ tels que $f(x) = 0$ [1](#page=1). * **Première manière : Utiliser le théorème du rang.** Le théorème du rang stipule que pour une application linéaire $f : E \to F$, on a : $\dim(E) = \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ [1](#page=1). Dans notre cas, $E = \mathbb{R}^3$, donc $\dim(E) = 3$. Nous avons trouvé $\dim(\text{Im}(f)) = \text{rang}(f) = 2$ [1](#page=1). Donc, $3 = \dim(\text{Ker}(f)) + 2$. Cela implique $\dim(\text{Ker}(f)) = 3 - 2 = 1$ [1](#page=1). * **Deuxième manière : Résoudre le système homogène.** Pour trouver le noyau, nous devons résoudre le système $f(x, y, z) = (0, 0, 0, 0)$. Cela revient à résoudre le système homogène dont la matrice des coefficients est la matrice $A$ de $f$ (ou plutôt ses lignes non nulles, car la dernière ligne est entièrement nulle) : $$ \begin{cases} x - 2z = 0 \\ 2x + 5y + z = 0 \\ x + 3y + z = 0 \end{cases} $$ [1](#page=1). Ou, en utilisant la matrice $A$ : $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ [1](#page=1). Utilisons la méthode de Gauss sur les équations : $x = 2z$ [1](#page=1). Substituons dans: $2(2z) + 5y + z = 0 \implies 4z + 5y + z = 0 \implies 5y + 5z = 0 \implies y = -z$ [1](#page=1) . Vérifions avec: $x + 3y + z = (2z) + 3(-z) + z = 2z - 3z + z = 0$. L'équation est satisfaite [1](#page=1) . Donc, les solutions sont de la forme $(x, y, z) = (2z, -z, z) = z(2, -1, 1)$ pour tout $z \in \mathbb{R}$ [1](#page=1). Le noyau de $f$ est l'espace vectoriel engendré par le vecteur $(2, -1, 1)$ [1](#page=1). $\text{Ker}(f) = \text{Vect}\{(2, -1, 1)\}$ [1](#page=1). La dimension du noyau est donc 1, car il est engendré par un seul vecteur non nul [1](#page=1). > **Tip:** Le théorème du rang est un outil très puissant pour relier la dimension du noyau, la dimension de l'image et la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire. Il est souvent plus rapide de l'utiliser lorsque la dimension de l'image est déjà connue. > **Example:** Pour $f(x, y, z) = (x - 2z, 2x + 5y + z, x + 3y + z, 0)$, nous avons calculé que $\text{rang}(f) = 2$. L'espace de départ est $\mathbb{R}^3$ de dimension 3. Par le théorème du rang, $\dim(\text{Ker}(f)) = \dim(\mathbb{R}^3) - \text{rang}(f) = 3 - 2 = 1$. Pour trouver explicitement le noyau, nous avons résolu le système homogène associé à $f$ et trouvé qu'il était engendré par le vecteur $(2, -1, 1)$, confirmant ainsi sa dimension 1 [1](#page=1). --- # Espaces vectoriels normés et topologies associées Cette section explore la notion de norme sur divers espaces vectoriels, ainsi que les propriétés topologiques fondamentales qui en découlent, telles que les boules, l'intérieur, l'adhérence et la frontière. ### 2.1 Rappels sur les normes sur R et R^2 Un espace vectoriel $E$ est dit normé s'il est muni d'une application $\|\cdot\|: E \to \mathbb{R}$ satisfaisant les propriétés suivantes pour tout $x, y \in E$ et tout $\alpha \in \mathbb{R}$: 1. $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$ (positivité homogène) [1](#page=1). 2. $\|x\| \ge 0$ (positivité) [1](#page=1). 3. $\|x\| = 0 \iff x = 0$ (définitude) [1](#page=1). 4. $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$ (inégalité triangulaire) [1](#page=1). La valeur absolue $|\cdot|$ est une norme sur $\mathbb{R}$ [1](#page=1). #### 2.1.1 Boules dans R Dans l'espace normé $(\mathbb{R}, |\cdot|)$, les boules ouvertes et fermées sont définies comme suit : * **Boule ouverte centrée en $x$ de rayon $r > 0$**: $B(x, r) = \{y \in \mathbb{R} \mid |x - y| < r\} = (x-r, x+r)$ [1](#page=1). * Pour $x=0$, $B(0, r) = (-r, r)$ [1](#page=1). * Pour $x=1$, $B(1, r) = (1-r, 1+r)$ [1](#page=1). * **Boule fermée centrée en $x$ de rayon $r > 0$**: $Bf(x, r) = \{y \in \mathbb{R} \mid |x - y| \le r\} = [x-r, x+r]$ [1](#page=1). #### 2.1.2 Normes dans R^2 Pour tout $x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$, trois normes couramment utilisées sont définies [1](#page=1): * **Norme $L_1$ (ou norme du taxi)**: $\|x\|_1:= |x_1| + |x_2|$ [1](#page=1). * **Norme $L_2$ (ou norme euclidienne)**: $\|x\|_2:= \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ [1](#page=1). * **Norme $L_\infty$ (ou norme du maximum)**: $\|x\|_\infty:= \max\{|x_1|, |x_2|\}$ [1](#page=1). Ces trois applications sont bien des normes sur $\mathbb{R}^2$ [1](#page=1). > **Tip:** Le dessin des boules fermées centrées à l'origine de rayon 1 pour ces différentes normes permet de visualiser la géométrie induite par chaque norme. Pour $\| \cdot \|_1$, la boule est un carré dont les sommets sont sur les axes. Pour $\| \cdot \|_\infty$, c'est un carré dont les côtés sont parallèles aux axes. Pour $\| \cdot \|_2$, c'est le disque unité usuel. #### 2.1.3 Équivalence des normes sur R^2 Deux normes $\|\cdot\|_a$ et $\|\cdot\|_b$ sur un espace vectoriel $E$ sont dites équivalentes s'il existe deux constantes réelles positives $c_1$ et $c_2$ telles que pour tout $x \in E$, $c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a$. Cela équivaut à dire que pour tout $x \in E \setminus \{0\}$, $\frac{1}{c_2} \|x\|_b \le \|x\|_a \le c_1 \|x\|_b$ [2](#page=2). Pour les normes $\| \cdot \|_1$, $\| \cdot \|_2$, $\| \cdot \|_\infty$ sur $\mathbb{R}^2$, les inégalités suivantes sont vérifiées pour tout $x \in \mathbb{R}^2$ [2](#page=2): * $\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le 2\|x\|_\infty$ [2](#page=2). * $\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{2}\|x\|_\infty$ [2](#page=2). * $\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{2}\|x\|_2$ [2](#page=2). Ces inégalités montrent que les trois normes sont équivalentes sur $\mathbb{R}^2$. De plus, les constantes intervenant dans ces inégalités ne peuvent pas être améliorées, car pour chacune d'elles, il existe un vecteur non nul $x \in \mathbb{R}^2$ pour lequel l'égalité est atteinte [2](#page=2). > **Tip:** L'équivalence des normes est une propriété fondamentale. Dans un espace de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Cela signifie que des concepts topologiques comme la convergence ou la continuité sont indépendants de la norme choisie. #### 2.1.4 Une autre norme sur R^2 L'application $N(x, y) = |2x - y| + |3x + 2y|$ est également une norme sur $\mathbb{R}^2$ [1](#page=1). Il est possible de montrer que cette norme $N$ est équivalente à la norme $\| \cdot \|_1$ sur $\mathbb{R}^2$, en établissant les inégalités suivantes pour tout $u \in \mathbb{R}^2$ [2](#page=2): * $N(u) \le 5 \|u\|_1$ [2](#page=2). * $\|u\|_1 \le \frac{7}{5} N(u)$ (cette inégalité est reformulée dans le document comme $\Vert u \Vert_1 \leq 5 \frac{7}{5} N(u)$ qui est incorrect, la borne exacte pour $\Vert u \Vert_1$ est donnée par la constante $\frac{7}{5}$) [2](#page=2). ### 2.2 Normes sur d'autres espaces vectoriels #### 2.2.1 Normes sur l'espace des matrices Soit $E = M_2(\mathbb{R})$ l'espace des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. Deux normes sont considérées [2](#page=2): * **Norme $N_\infty$**: Pour $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$, $N_\infty(A) = \max\{|x|, |y|, |z|, |t|\}$ [2](#page=2). * **Norme $N_1$**: Pour $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$, $N_1(A) = |x| + |y| + |z| + |t|$ [2](#page=2). Ces deux applications sont bien des normes sur $M_2(\mathbb{R})$. Elles sont également équivalentes, vérifiant pour toute matrice $A \in E$: $N_\infty(A) \le N_1(A) \le 4N_\infty(A)$ [2](#page=2). #### 2.2.2 Normes sur l'espace des fonctions continues Soit $E = C( \mathbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $ $ à valeurs réelles. Deux normes importantes sont définies sur $E$ [1](#page=1) [2](#page=2): * **Norme sup (ou norme infinie)**: Pour $u \in E$, $\|u\|_\infty = \sup_{t \in } |u(t)|$. Cette norme représente la plus grande valeur absolue atteinte par la fonction sur l'intervalle [1](#page=1) [2](#page=2). * **Norme $L_1$ (ou norme intégrale)**: Pour $u \in E$, $\|u\|_1 = \int_0^1 |u(t)| dt$. Cette norme représente l'aire sous la courbe de la valeur absolue de la fonction [2](#page=2). Ces deux applications sont des normes sur $E$ [2](#page=2). Il existe une inégalité entre ces deux normes: pour tout $u \in E$, $\|u\|_1 \le \|u\|_\infty$. Cependant, ces deux normes ne sont pas équivalentes sur $E$. Pour le démontrer, on peut considérer la suite de fonctions $u_n(t) = t^n$. On a $\|u_n\|_\infty = 1$ pour tout $n$, mais $\|u_n\|_1 = \int_0^1 t^n dt = \frac{1}{n+1}$, qui tend vers 0 lorsque $n \to \infty$ [2](#page=2). Pour l'ensemble $F$ des fonctions polynomiales de degré au plus 2, il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $u \in F$, $\|u\|_\infty \le C\|u\|_1$. Ceci est lié au fait que $F$ est un sous-espace de dimension finie de $E$ [3](#page=3). L'espace $(E, \|\cdot\|_\infty)$ est complet [2](#page=2). ### 2.3 Topologie des espaces vectoriels normés Un espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|)$ induit une topologie sur $E$. Les éléments de base de cette topologie sont les boules ouvertes. #### 2.3.1 Boules et intérieur Pour tout $x \in E$ et $r > 0$, la boule ouverte $B(x, r)$ est définie comme $B(x, r) = \{y \in E \mid \|x - y\| < r\}$ [2](#page=2). La boule fermée $Bf(x, r)$ est définie comme $Bf(x, r) = \{y \in E \mid \|x - y\| \le r\}$ [2](#page=2). Une propriété fondamentale relie les boules ouvertes et fermées: la boule ouverte $B(x, r)$ est l'intérieur de la boule fermée $Bf(x, r)$ de même centre et rayon. Autrement dit, $B(x, r) = \text{int}(Bf(x, r))$ [2](#page=2). #### 2.3.2 Propriétés topologiques dans R Dans l'espace normé $(\mathbb{R}, |\cdot|)$, on peut déterminer l'intérieur, l'adhérence et la frontière de divers sous-ensembles. Un sous-ensemble $D \subseteq E$ est dit dense si son adhérence est $E$ tout entier ($\bar{D} = E$) [2](#page=2). * **A = {2, 4, 5}**: $\text{int}(A) = \emptyset$, $\bar{A} = \{2, 4, 5\}$, $\partial A = \{2, 4, 5\}$. A n'est pas dense [2](#page=2). * **B = ∪ {π}**: $\text{int}(B) = (1, 3)$, $\bar{B} = \cup \{\pi\}$, $\partial B = \{1, 3, \pi\}$. B n'est pas dense [1](#page=1) [2](#page=2) [3](#page=3). * **C = [−1, 1[ ∪ {3}**: $\text{int}(C) = (-1, 1)$, $\bar{C} = [-1, 1 \cup \{3\}$, $\partial C = \{-1, 1, 3\}$. C n'est pas dense [2](#page=2). * **D = Z (entiers relatifs)**: $\text{int}(D) = \emptyset$, $\bar{D} = \mathbb{Z}$, $\partial D = \mathbb{Z}$. D n'est pas dense [2](#page=2). * **E = ⋃$_{n \in \mathbb{N}^*}$ {1/n}**: $\text{int}(E) = \emptyset$, $\bar{E} = E \cup \{0\}$, $\partial E = E \cup \{0\}$. E n'est pas dense [2](#page=2). * **F = Q (rationnels)**: $\text{int}(F) = \emptyset$, $\bar{F} = \mathbb{R}$, $\partial F = \mathbb{R}$. Q est dense dans R [2](#page=2). #### 2.3.3 Propriétés topologiques dans R^N Dans $(\mathbb{R}^n, \|\cdot\|_2)$, on analyse les propriétés topologiques de sous-ensembles [3](#page=3). * **A = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 ≤ 1} (disque unité fermé)**: $\text{int}(A) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1\}$, $\bar{A} = A$, $\partial A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1\}$ (le cercle unité) [3](#page=3). * **B = {(x, y, z) ∈ R^3 | z − x^2 ≥ 0, y > x}**: $\text{int}(B) = B$, $\bar{B} = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z - x^2 \ge 0, y \ge x\}$, $\partial B$ est la réunion des surfaces $z=x^2, y=x$ et $z=x^2, y>x$. B n'est pas dense [3](#page=3). * **C = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0} (plan passant par l'origine)**: $\text{int}(C) = \emptyset$, $\bar{C} = C$, $\partial C = C$. C n'est pas dense [3](#page=3). * **D = Q × Z**: $\text{int}(D) = \emptyset$, $\bar{D} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, $\partial D = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$. D est dense dans $\mathbb{R}^2$ [3](#page=3). #### 2.3.4 Topologie en dimension infinie Dans $E = \ell^\infty$, l'espace des suites réelles bornées, muni de la norme $\|u\|_\infty = \sup_{k \in \mathbb{N}} |u(k)|$, on considère deux sous-espaces vectoriels [3](#page=3): * $A:= \{u = (u(k))_k \in E \mid u(k) \xrightarrow{k\to+\infty} 0\}$ (suites qui convergent vers 0) [3](#page=3). * $B:= \{u = (u(k))_k \in E \mid \exists K \in \mathbb{N}, \forall k \ge K, u(k) =0\}$ (suites nulles à partir d'un certain rang) [3](#page=3). La norme $\| \cdot \|_\infty$ est bien une norme sur $E$ [3](#page=3). $A$ est fermé dans $(E, \|\cdot\|_\infty)$ [3](#page=3). $B$ n'est pas fermé dans $(E, \|\cdot\|_\infty)$. L'indication suggère d'utiliser la suite $u_n(k) = \begin{cases} 1 & \text{si } k \le n \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$, qui appartient à $B$ mais converge dans $E$ vers la suite $(1, 1, 1, \dots)$ qui n'est pas dans $B$ [3](#page=3). $A$ est l'adhérence de $B$ dans $(E, \|\cdot\|_\infty)$, c'est-à-dire $\bar{B} = A$ [3](#page=3). Les espaces $(E, \|\cdot\|_\infty)$ et $(A, \|\cdot\|_\infty)$ sont complets, mais $(B, \|\cdot\|_\infty)$ ne l'est pas [3](#page=3). #### 2.3.5 Ensembles convexes Un ensemble $S$ dans un espace vectoriel est dit convexe si pour tout $x, y \in S$, le segment $[x, y = \{\lambda x + (1-\lambda) y \mid \lambda \in \}$ est entièrement contenu dans $S$ [1](#page=1). Parmi les ensembles considérés [3](#page=3): 1. La boule $B(x_0, r)$ est convexe. Pour tout $u, v \in B(x_0, r)$, $\|x_0 - u\| < r$ et $\|x_0 - v\| < r$. Alors pour $\lambda \in $, $\|x_0 - (\lambda u + (1-\lambda) v)\| = \| \lambda(x_0 - u) + (1-\lambda)(x_0 - v) \| \le \lambda \|x_0 - u\| + (1-\lambda) \|x_0 - v\| < \lambda r + (1-\lambda) r = r$. Donc $\lambda u + (1-\lambda) v \in B(x_0, r)$. [1](#page=1) [3](#page=3). 2. Le cube $C = [0, a \times [0, b \times [0, c]$ dans $\mathbb{R}^3$ est convexe. C'est le produit cartésien d'intervalles fermés, qui sont convexes dans $\mathbb{R}$. 3. Le graphe $\Gamma = \{(x, x^2) \mid x \in \mathbb{R}\}$ dans $\mathbb{R}^2$ n'est pas convexe. Par exemple, prenons $x_1 = -1$ et $x_2 = 1$. Les points correspondants sont $(-1, 1)$ et $(1, 1)$. Le milieu du segment reliant ces deux points est $\frac{1}{2}(-1, 1) + \frac{1}{2}(1, 1) = (0, 1)$. Ce point $(0, 1)$ n'est pas sur le graphe car $0^2 = 0 \ne 1$. [3](#page=3). --- # Normes équivalentes et complétude des espaces Ce chapitre aborde l'équivalence entre différentes normes sur des espaces vectoriels et l'étude de la complétude de ces espaces, en particulier dans le contexte de la dimension infinie [2](#page=2) [3](#page=3). ### 3.1 Équivalence des normes Deux normes $\Vert \cdot \Vert_A$ et $\Vert \cdot \Vert_B$ sur un même espace vectoriel $E$ sont dites équivalentes s'il existe deux constantes $c > 0$ et $C > 0$ telles que pour tout $u \in E$, on ait : $$c \Vert u \Vert_B \le \Vert u \Vert_A \le C \Vert u \Vert_B$$ Cette condition implique que les topologies induites par ces normes sont identiques [2](#page=2) [3](#page=3). #### 3.1.1 Exemples d'équivalence de normes **Exemple sur $\mathbb{R}^2$ :** Soit $N(u) = \Vert u \Vert_{\infty}$ la norme infinie pour $u = (x, y) \in \mathbb{R}^2$, c'est-à-dire $N(u) = \max(|x|, |y|)$, et $\Vert \cdot \Vert_1$ la norme $L^1$ définie par $\Vert u \Vert_1 = |x| + |y|$. Pour tout $u = (x, y) \in \mathbb{R}^2$, on a : $\Vert u \Vert_1 = |x| + |y| \le \max(|x|, |y|) + \max(|x|, |y|) = 2 N(u)$ [2](#page=2). De plus, $N(u) = \max(|x|, |y|) \le |x| + |y| = \Vert u \Vert_1$ [2](#page=2). Ainsi, pour tout $u \in \mathbb{R}^2$, on a $\Vert u \Vert_1 \le 2 N(u)$ et $N(u) \le \Vert u \Vert_1$. Les normes $N$ et $\Vert \cdot \Vert_1$ sont donc équivalentes [2](#page=2). **Exemple sur l'espace des matrices $M_2(\mathbb{R})$ :** Pour une matrice $A = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$, les normes $N_1$ et $N_\infty$ sont définies par : $N_\infty(A) = \max(|x|, |y|, |z|, |t|)$ $N_1(A) = |x| + |y| + |z| + |t|$ On peut montrer que $N_\infty(A) \le N_1(A)$. De plus, $N_1(A) = |x| + |y| + |z| + |t| \le 4 \max(|x|, |y|, |z|, |t|) = 4 N_\infty(A)$. Par conséquent, $N_\infty$ et $N_1$ sont des normes équivalentes sur $M_2(\mathbb{R})$ [2](#page=2). **Exemple sur l'espace des fonctions continues $C( \mathbb{R})$:** [1](#page=1). Sur $E = C( \mathbb{R})$, les normes $\Vert \cdot \Vert_\infty$ (norme de la borne supérieure) et $\Vert \cdot \Vert_1$ (norme $L^1$) sont définies par [1](#page=1): $\Vert u \Vert_\infty = \sup_{t \in } |u(t)|$ [1](#page=1). $\Vert u \Vert_1 = \int_0^1 |u(t)| dt$ Pour toute fonction $u \in E$, on a $\Vert u \Vert_1 = \int_0^1 |u(t)| dt \le \int_0^1 \sup_{s \in } |u(s)| dt = \Vert u \Vert_\infty \int_0^1 1 dt = \Vert u \Vert_\infty$ [1](#page=1) [2](#page=2). Cependant, ces deux normes ne sont pas équivalentes sur $E$. Pour le montrer, on peut considérer la suite de fonctions $u_n(t) = t^n$ pour $t \in $ [1](#page=1) [2](#page=2). Pour cette suite : $\Vert u_n \Vert_\infty = \sup_{t \in } |t^n| = 1$ [1](#page=1) [2](#page=2). $\Vert u_n \Vert_1 = \int_0^1 |t^n| dt = \int_0^1 t^n dt = \frac{1}{n+1}$ [2](#page=2). On observe que $\Vert u_n \Vert_1 \to 0$ lorsque $n \to +\infty$, tandis que $\Vert u_n \Vert_\infty = 1$. Cela montre qu'il n'existe pas de constante $c > 0$ telle que $c \Vert u \Vert_\infty \le \Vert u \Vert_1$ pour tout $u \in E$, car si c'était le cas, on aurait $c \cdot 1 \le \frac{1}{n+1}$ pour tout $n$, ce qui est impossible. Pour l'ensemble $F = \{u \in E \mid \exists (a, b, c) \in \mathbb{R}^3, \forall t \in u(t) = a + bt + ct^2\}$, qui est l'espace des polynômes de degré au plus 2, il existe une constante $C > 0$ telle que $\Vert u \Vert_\infty \le C \Vert u \Vert_1$ pour tout $u \in F$. Cela est dû au fait que $F$ est un sous-espace de dimension finie, et toutes les normes sur un espace de dimension finie sont équivalentes [1](#page=1) [2](#page=2). ### 3.2 Complétude des espaces vectoriels normés Un espace vectoriel normé $(E, \Vert \cdot \Vert)$ est dit complet si toute suite de Cauchy dans $E$ est convergente dans $E$. Un espace complet est appelé un espace de Banach [3](#page=3). #### 3.2.1 Complétude de $C( \mathbb{R})$ [1](#page=1). L'espace $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ où $E = C( \mathbb{R})$ est complet. Ceci signifie que toute suite de fonctions continues sur $ $ qui est de Cauchy pour la norme de la borne supérieure converge uniformément vers une fonction continue sur $ $ [1](#page=1) [2](#page=2). #### 3.2.2 Complétude dans la topologie de dimension infinie Considérons l'espace $E = \ell^\infty$, qui est l'espace des suites réelles bornées, muni de la norme $\Vert u \Vert_\infty = \sup_{k \in \mathbb{N}} |u(k)|$ [3](#page=3). * **Sous-espace $A$:** Soit $A:= \{u = (u(k))_k \in E \mid u(k) \xrightarrow{k \to +\infty} 0\}$. Cet ensemble $A$ est fermé dans $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$. L'espace $(A, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ est complet, car $A$ est un sous-espace fermé d'un espace complet ($E$) [3](#page=3). * **Sous-espace $B$:** Soit $B:= \{u = (u(k))_k \in E \mid \exists K \in \mathbb{N}, \forall k \ge K, u(k) = 0\}$. Cet ensemble $B$ n'est pas fermé dans $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$. Pour le démontrer, on peut considérer la suite de fonctions $(u_n)_n$ définie par $u_n(k) = 1$ si $k \le n$ et $0$ sinon. Cette suite appartient à $B$ pour chaque $n$, mais elle converge dans $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ vers la suite $u=(1, 1, 1, \dots)$, qui n'appartient pas à $B$ car elle n'est pas à support fini (elle est nulle à partir d'un certain rang $K$) [3](#page=3). * **Adhérence de $B$:** L'adhérence de $B$ dans $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ est l'ensemble $A$. Cela signifie que toute suite d'éléments de $B$ qui converge dans $E$ pour la norme $\Vert \cdot \Vert_\infty$ converge vers un élément de $A$ [3](#page=3). * **Complétude de $(B, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ :** L'espace $(B, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ n'est pas complet. Comme $B$ n'est pas fermé dans $E$, il ne peut pas être complet s'il n'est pas égal à $E$. En résumé, parmi les espaces $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$, $(A, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ et $(B, \Vert \cdot \Vert_\infty)$, seuls $(E, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ et $(A, \Vert \cdot \Vert_\infty)$ sont complets [3](#page=3). --- # Ensembles convexes Ce chapitre explore l'identification et la justification des propriétés de convexité pour divers ensembles géométriques dans des espaces vectoriels normés. [ ](#page=3) [3](#page=3). ### 12.1 Définition d'un ensemble convexe Un sous-ensemble $K$ d'un espace vectoriel normé $(E, \Vert \cdot \Vert)$ est dit convexe si, pour tout couple de points $x$ et $y$ appartenant à $K$, le segment $[x, y]$ reliant ces deux points est entièrement contenu dans $K$ [ ](#page=3). Mathématiquement, cela se traduit par [3](#page=3): $$ \forall x, y \in K, \forall \lambda \in (1-\lambda)x + \lambda y \in K $$ [ ](#page=3) [1](#page=1) [3](#page=3). > **Tip:** La condition $\lambda \in $ est cruciale. Elle assure que l'on reste bien entre les deux points $x$ et $y$, et non en dehors du segment [1](#page=1). ### 12.2 Exemples d'ensembles convexes et justifications L'exercice 12 propose d'analyser la convexité de plusieurs ensembles classiques. #### 12.2.1 La boule ouverte dans un espace vectoriel normé La boule $B(x_0, r)$ de centre $x_0$ et de rayon $r > 0$ dans un espace vectoriel normé $(E, \Vert \cdot \Vert)$ est un ensemble convexe [ ](#page=3) [3](#page=3). Pour le justifier, considérons deux points arbitraires $u$ et $v$ dans $B(x_0, r)$. Cela signifie que $\Vert u - x_0 \Vert < r$ et $\Vert v - x_0 \Vert < r$ [ ](#page=3). Prenons un réel $\lambda \in $. Nous devons montrer que le point $w = (1-\lambda)u + \lambda v$ appartient également à la boule, c'est-à-dire que $\Vert w - x_0 \Vert < r$ [1](#page=1) [3](#page=3). On a : $$ w - x_0 = (1-\lambda)u + \lambda v - x_0 $$ $$ w - x_0 = (1-\lambda)(u - x_0) + \lambda(v - x_0) $$ En utilisant l'inégalité triangulaire et les propriétés de la norme : $$ \Vert w - x_0 \Vert = \Vert (1-\lambda)(u - x_0) + \lambda(v - x_0) \Vert $$ $$ \Vert w - x_0 \Vert \leq (1-\lambda)\Vert u - x_0 \Vert + \lambda\Vert v - x_0 \Vert $$ [ ](#page=3) [3](#page=3). Puisque $\Vert u - x_0 \Vert < r$ et $\Vert v - x_0 \Vert < r$, et que $1-\lambda \geq 0$ et $\lambda \geq 0$ : $$ \Vert w - x_0 \Vert < (1-\lambda)r + \lambda r $$ $$ \Vert w - x_0 \Vert < r $$ Ainsi, $w$ appartient bien à la boule $B(x_0, r)$, ce qui confirme sa convexité [ ](#page=3) [3](#page=3). > **Tip:** L'inégalité triangulaire est un outil fondamental pour prouver la convexité de la plupart des ensembles basés sur des normes. #### 12.2.2 Le cube dans $\mathbb{R}^3$ Le cube $C = [0, a \times [0, b \times [0, c]$ dans $\mathbb{R}^3$, avec $a, b, c \in \mathbb{R}^+$, est un ensemble convexe [ ](#page=3) [3](#page=3). Pour le prouver, soient deux points $P_1 = (x_1, y_1, z_1)$ et $P_2 = (x_2, y_2, z_2)$ dans $C$. Cela implique que $0 \leq x_1, x_2 \leq a$, $0 \leq y_1, y_2 \leq b$, et $0 \leq z_1, z_2 \leq c$ [ ](#page=3). Soit $\lambda \in $. Le point $P = (1-\lambda)P_1 + \lambda P_2 = ((1-\lambda)x_1 + \lambda x_2, (1-\lambda)y_1 + \lambda y_2, (1-\lambda)z_1 + \lambda z_2)$ doit appartenir à $C$ [1](#page=1) [3](#page=3). Considérons la première coordonnée : Puisque $0 \leq x_1 \leq a$ et $0 \leq x_2 \leq a$, et que $1-\lambda \geq 0, \lambda \geq 0$, on a : $0 \leq (1-\lambda)x_1 \leq (1-\lambda)a$ $0 \leq \lambda x_2 \leq \lambda a$ Donc, $0 \leq (1-\lambda)x_1 + \lambda x_2 \leq (1-\lambda)a + \lambda a = a$ [ ](#page=3) [3](#page=3). Les mêmes arguments s'appliquent aux deuxième et troisième coordonnées pour $b$ et $c$ respectivement. Par conséquent, $P$ appartient au cube $C$, démontrant sa convexité [ ](#page=3) [3](#page=3). > **Example:** Un rectangle dans $\mathbb{R}^2$ ou un intervalle dans $\mathbb{R}$ sont des cas particuliers de ce principe. Ils sont tous convexes. #### 12.2.3 Le graphe d'une fonction dans $\mathbb{R}^2$ Le graphe $\Gamma = \{ (x, x^2) \mid x \in \mathbb{R} \}$ dans $\mathbb{R}^2$ n'est pas un ensemble convexe [ ](#page=3) [3](#page=3). Pour le justifier, prenons deux points sur le graphe. Par exemple, considérons le point $P_1 = (-1, (-1)^2) = (-1, 1)$ et le point $P_2 = (1, 1^2) = (1, 1)$. Ces deux points appartiennent à $\Gamma$ [ ](#page=3) [3](#page=3). Soit $\lambda = \frac{1}{2}$. Le point milieu du segment reliant $P_1$ et $P_2$ est : $$ P_m = (1-\frac{1}{2})P_1 + \frac{1}{2}P_2 = \frac{1}{2}(-1, 1) + \frac{1}{2}(1, 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (0, 1) $$ Ce point $(0, 1)$ est-il sur le graphe $\Gamma$? Pour qu'il y soit, il faudrait que sa deuxième coordonnée soit le carré de sa première coordonnée. Or, $1 \neq 0^2$. Donc, $(0, 1) \notin \Gamma$ [ ](#page=3) [3](#page=3). Comme nous avons trouvé un segment reliant deux points du graphe qui sort du graphe, $\Gamma$ n'est pas convexe [ ](#page=3) [3](#page=3). > **Tip:** Les graphes de fonctions qui "pen**d**ent" (comme $y=x^2$ ou $y=\sqrt{x}$) ne sont généralement pas convexes. Les fonctions "concaves" elles, ont un graphe qui forme une sorte de "bol inversé" et leur graphe est convexe. --- ## Erreurs courantes à éviter - Révisez tous les sujets en profondeur avant les examens - Portez attention aux formules et définitions clés - Pratiquez avec les exemples fournis dans chaque section - Ne mémorisez pas sans comprendre les concepts sous-jacents

| Term | Definition | |------|------------| | Espace vectoriel | Un ensemble muni de deux opérations (addition vectorielle et multiplication par un scalaire) satisfaisant certains axiomes, permettant de combiner des vecteurs et de les multiplier par des nombres. | | Norme | Une fonction d'un espace vectoriel vers les nombres réels positifs qui assigne une 'longueur' ou 'taille' à chaque vecteur, satisfaisant la positivité, la définition (non-nullité pour les vecteurs non nuls), l'homogénéité et l'inégalité triangulaire. | | Fonction linéaire | Une fonction entre deux espaces vectoriels qui préserve les opérations d'addition vectorielle et de multiplication par un scalaire. | | Matrice | Une représentation rectangulaire de nombres, de symboles ou d'expressions, arrangés en lignes et colonnes, souvent utilisée pour représenter des transformations linéaires. | | Rang | La dimension de l'espace image d'une application linéaire, indiquant le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants qui peuvent être obtenus par l'application. | | Noyau (de f) | L'ensemble de tous les vecteurs d'un espace vectoriel qui sont appliqués sur le vecteur nul par une fonction linéaire $f$. Il s'agit d'un sous-espace vectoriel. | | Boule ouverte | L'ensemble des points dans un espace métrique ou normé dont la distance à un centre donné est strictement inférieure à un rayon donné. Dans un espace normé $(E, \Vert \cdot \Vert)$, $B(x, r) = \{y \in E \mid \Vert x - y \Vert < r\}$. | | Boule fermée | L'ensemble des points dans un espace métrique ou normé dont la distance à un centre donné est inférieure ou égale à un rayon donné. Dans un espace normé $(E, \Vert \cdot \Vert)$, $B_f(x, r) = \{y \in E \mid \Vert x - y \Vert \le r\}$. | | Normes équivalentes | Deux normes $\Vert \cdot \Vert_1$ et $\Vert \cdot \Vert_2$ sur un même espace vectoriel $E$ sont dites équivalentes s'il existe des constantes positives $c$ et $C$ telles que $c \Vert x \Vert_1 \le \Vert x \Vert_2 \le C \Vert x \Vert_1$ pour tout $x \in E$. | | Intérieur (d'un ensemble) | Le plus grand ensemble ouvert contenu dans un ensemble donné. Un point est dans l'intérieur d'un ensemble s'il existe une petite boule centrée en ce point entièrement contenue dans l'ensemble. | | Adhérence (d'un ensemble) | Le plus petit ensemble fermé contenant un ensemble donné. Un point est dans l'adhérence d'un ensemble si toute boule centrée en ce point contient au moins un point de l'ensemble. | | Frontière (d'un ensemble) | L'ensemble des points qui sont à la fois dans l'adhérence de l'ensemble et dans l'adhérence de son complémentaire. | | Ensemble convexe | Un ensemble dans un espace vectoriel tel que pour deux points quelconques de l'ensemble, le segment de droite les reliant est entièrement contenu dans l'ensemble. | | Espace complet | Un espace métrique ou normé où toute suite de Cauchy converge vers un point de cet espace. |