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# Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori Ecco il riassunto di studio per l'argomento "Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori". ## 1. Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori ed inferiori Questo argomento introduce i concetti fondamentali per descrivere la limitatezza degli insiemi numerici, definendo gli elementi che circoscrivono un insieme e quelli che vi appartengono, culminando negli estremi superiori e inferiori. ### 1.1 Limitazione di un insieme #### 1.1.1 Insieme superiormente limitato Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice **superiormente limitato** se esiste un numero reale $M$ tale che per ogni elemento $a$ appartenente ad $A$, si ha $a \le M$. Tale numero reale $M$ è chiamato **maggiorante** dell'insieme $A$ [1](#page=1). Se un insieme non ammette alcun maggiorante, si dice **superiormente illimitato** [1](#page=1). #### 1.1.2 Insieme inferiormente limitato Analogamente, un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice **inferiormente limitato** se esiste un numero reale $m$ tale che per ogni elemento $a$ appartenente ad $A$, si ha $a \ge m$. Tale numero reale $m$ è chiamato **minorante** dell'insieme $A$ [1](#page=1). Se un insieme non ammette alcun minorante, si dice **inferiormente illimitato** [1](#page=1). #### 1.1.3 Insieme limitato Infine, un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ si dice **limitato** se è sia superiormente che inferiormente limitato. Questo significa che esistono due numeri reali, $m$ e $M$, tali che per ogni $a \in A$, si ha $m \le a \le M$ [1](#page=1). Un'osservazione importante è che un insieme $A$ è limitato se e solo se esiste un numero reale $N$ tale che $|a| \le N$ per ogni $a \in A$ [1](#page=1). > **Tip:** La rappresentazione grafica di un insieme su una retta reale può aiutare a visualizzare i maggioranti e i minoranti. Tutti i numeri a destra di un maggiorante sono anch'essi maggioranti, e tutti i numeri a sinistra di un minorante sono anch'essi minoranti. ### 1.2 Massimo e minimo di un insieme #### 1.2.1 Definizione di massimo e minimo Un numero che è un maggiorante di un insieme $A$ e che appartiene all'insieme $A$ stesso è detto **massimo** di $A$, denotato con $\max A$ [2](#page=2). Analogamente, un numero che è un minorante di un insieme $A$ e che appartiene all'insieme $A$ stesso è detto **minimo** di $A$, denotato con $\min A$ [2](#page=2). #### 1.2.2 Proprietà di unicità del massimo e del minimo Se il massimo (o il minimo) di un insieme esiste, allora esso è unico [2](#page=2). * **Dimostrazione (per il massimo):** Supponiamo che $M$ e $M'$ siano entrambi massimi dell'insieme $A \subseteq \mathbb{R}$, con $A \neq \emptyset$. Per definizione di massimo, entrambi appartengono ad $A$ ($M \in A$, $M' \in A$) e sono maggioranti di $A$. Poiché $M$ è un maggiorante, deve valere $M' \le M$ (poiché $M'$ è un elemento di $A$). Poiché $M'$ è un maggiorante, deve valere $M \le M'$ (poiché $M$ è un elemento di $A$). Dalle due disuguaglianze, segue che $M = M'$. La dimostrazione per il minimo è analoga [2](#page=2). > **Tip:** Non tutti gli insiemi ammettono massimo o minimo. Ad esempio, l'intervallo aperto $(0, 1)$ non ammette né massimo né minimo. ### 1.3 Estremo superiore ed estremo inferiore #### 1.3.1 Definizione di estremo superiore ed inferiore Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e superiormente limitato. Un numero reale $S$ è detto **estremo superiore** di $A$, denotato con $\sup A$, se $S$ è il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$. In altre parole, $S = \min \{M \in \mathbb{R} \mid M \text{ è maggiorante di } A\}$ [3](#page=3). Analogamente, sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e inferiormente limitato. Un numero reale $I$ è detto **estremo inferiore** di $A$, denotato con $\inf A$, se $I$ è il massimo dell'insieme dei minoranti di $A$. In altre parole, $I = \max \{m \in \mathbb{R} \mid m \text{ è minorante di } A\}$ [3](#page=3). #### 1.3.2 Proprietà di unicità dell'estremo superiore ed inferiore Se l'estremo superiore (o l'estremo inferiore) di un insieme esiste, allora esso è unico. Questo segue direttamente dall'unicità del massimo e del minimo, poiché l'estremo superiore è il minimo dei maggioranti e l'estremo inferiore è il massimo dei minoranti [3](#page=3). #### 1.3.3 Relazione tra estremi e massimo/minimo Ci sono due osservazioni cruciali riguardo la relazione tra estremi e massimo/minimo: 1. Se $\sup A \in A$, allora $A$ ammette massimo e si ha $\max A = \sup A$ [3](#page=3). 2. Se $\inf A \in A$, allora $A$ ammette minimo e si ha $\min A = \inf A$ [3](#page=3). > **Tip:** È un errore comune confondere la definizione di estremo superiore/inferiore con quelle di massimo/minimo. La definizione di $\sup A$ e $\inf A$ si basa su quelle di $\max$ e $\min$ (dei rispettivi insiemi di maggioranti/minoranti), e non viceversa [3](#page=3). #### 1.3.4 Teorema di completezza (seconda forma) Questo teorema fondamentale afferma che ogni insieme non vuoto di numeri reali che è superiormente limitato ammette un estremo superiore. Analogamente, ogni insieme non vuoto di numeri reali che è inferiormente limitato ammette un estremo inferiore. Questo principio è noto anche come assioma di completezza di $\mathbb{R}$ [3](#page=3). > **Esempio:** Consideriamo l'insieme $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \text{ e } x < 2\}$. Questo insieme è superiormente limitato. L'insieme dei maggioranti di $A$ è $[2, +\infty)$. Il minimo di questo insieme di maggioranti è 2. Quindi, $\sup A = 2$. Poiché $2 \notin A$, l'insieme $A$ non ammette massimo. L'insieme dei minoranti di $A$ è $(-\infty, 0]$. Il massimo di questo insieme di minoranti è 0. Quindi, $\inf A = 0$. Poiché $0 \notin A$, l'insieme $A$ non ammette minimo [3](#page=3). --- # Teorema di completezza e caratterizzazione di sup e inf Questo argomento esplora il Teorema di Completezza di Dedekind e la sua applicazione agli insiemi numerici reali, introducendo contemporaneamente i teoremi che definiscono in modo rigoroso l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme. ### 2.1 Definizione di estremo superiore e inferiore Un numero $s$ è definito come estremo superiore (o supremum, $\sup$) di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ se $s$ è il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$. Formalmente, $s = \sup A$ se e solo se [3](#page=3): 1. $s$ è un maggiorante di $A$ (cioè, per ogni $x \in A$, si ha $x \leq s$) [3](#page=3). 2. Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a > s - \epsilon$ [4](#page=4). Analogamente, un numero $i$ è definito come estremo inferiore (o infimum, $\inf$) di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$ se $i$ è il massimo dell'insieme dei minoranti di $A$. Formalmente, $i = \inf A$ se e solo se [3](#page=3): 1. $i$ è un minorante di $A$ (cioè, per ogni $x \in A$, si ha $x \geq i$) [3](#page=3). 2. Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a < i + \epsilon$ [4](#page=4). > **Osservazione:** Se l'estremo superiore o inferiore appartiene all'insieme $A$, allora esso coincide rispettivamente con il massimo o il minimo dell'insieme. Tuttavia, è cruciale ricordare che le definizioni di $\sup A$ e $\inf A$ non dipendono dal fatto che tali elementi appartengano o meno all'insieme $A$ [3](#page=3). > **Tip:** È un errore comune confondere la definizione di massimo/minimo con quella di estremo superiore/inferiore. La definizione di $\sup$ e $\inf$ è più generale e non richiede che tali elementi appartengano all'insieme stesso. ### 2.2 Teorema di completezza (seconda forma) Il Teorema di Completezza, nella sua seconda forma, stabilisce che ogni sottoinsieme non vuoto di numeri reali $\mathbb{R}$, se superiormente limitato, ammette un estremo superiore. Analogamente, ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$, se inferiormente limitato, ammette un estremo inferiore [3](#page=3). **Enunciato:** Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto e limitato superiormente (o inferiormente). Allora $A$ ammette un estremo superiore (o inferiore) in $\mathbb{R}$ [3](#page=3). > **Osservazione:** Questo teorema non è valido per l'insieme dei numeri razionali ($\mathbb{Q}$). Ad esempio, l'insieme dei razionali il cui quadrato è minore di 2, pur essendo limitato superiormente in $\mathbb{Q}$ (ad esempio da 2), non ammette un estremo superiore in $\mathbb{Q}$ perché $\sqrt{2}$ non è razionale [4](#page=4). ### 2.3 Teorema di caratterizzazione del sup e dell'inf Questo teorema fornisce un criterio alternativo per verificare se un numero è l'estremo superiore o inferiore di un insieme. **Teorema:** Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ un insieme non vuoto. I) Se $A$ è superiormente limitato, allora $s = \sup A$ se e solo se valgono le seguenti due condizioni: a) $s$ è un maggiorante di $A$ (cioè, $\forall x \in A, x \leq s$) [4](#page=4). b) Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a > s - \epsilon$ (equivalente a dire che $s - \epsilon$ non è un maggiorante di $A$) [4](#page=4). II) Se $A$ è inferiormente limitato, allora $i = \inf A$ se e solo se valgono le seguenti due condizioni: a) $i$ è un minorante di $A$ (cioè, $\forall x \in A, x \geq i$) [4](#page=4). b) Per ogni $\epsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a < i + \epsilon$ (equivalente a dire che $i + \epsilon$ non è un minorante di $A$) [4](#page=4). --- # Potenze, radici e logaritmi Questo capitolo definisce rigorosamente potenze (intere, razionali, reali), radici e logaritmi, analizzando le loro proprietà e il teorema di esistenza del logaritmo [4](#page=4). ### 3.1 Potenze intere Siano $a \in \mathbb{R}$ e $p \in \mathbb{Z}$. La potenza intera si definisce come segue [4](#page=4): * Se $p > 0$, $a^p = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($p$ volte) [4](#page=4). * Se $p < 0$ e $a \neq 0$, $a^p = \frac{1}{a^{-p}}$ [4](#page=4). * Se $p = 0$ e $a \neq 0$, $a^0 = 1$ [4](#page=4). ### 3.2 Radici Siano $y \in \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$ [4](#page=4). * **Radice n-esima:** Se $n$ è dispari, esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che $x^n = y$. Questo $x$ è la radice n-esima di $y$, denotata $\sqrt[n]{y}$ [5](#page=5). * **Radice n-esima (casi particolari):** * Se $n$ è pari, $\sqrt[n]{y}$ ha senso solo se $y \ge 0$. In questo caso, $\sqrt[n]{y} \ge 0$ [5](#page=5). * $\sqrt {x} = |x|$ è una corretta interpretazione quando si considera la radice quadrata come operazione inversa dell'elevamento al quadrato [2](#page=2) [5](#page=5). > **Tip:** Ricorda che per $n$ pari, la radice n-esima restituisce sempre un valore non negativo. ### 3.3 Potenze razionali Siano $a \in \mathbb{R}, a \ge 0$ e $p, q \in \mathbb{Z}$ con $q > 0$ [5](#page=5). La potenza razionale è definita come: $$a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$$ se $a \neq 0$ oppure $p = 0$ [5](#page=5). ### 3.4 Potenze reali Siano $a \in \mathbb{R}, a > 0$ e $r \in \mathbb{R}$ [5](#page=5). * Se $a > 1$, $a^r = \sup \{a^s: s \in \mathbb{Q}, s < r\}$ [5](#page=5). * Se $a = 1$, $a^r = 1$ [5](#page=5). * Se $a \in (0, 1)$, $a^r = \sup \{a^s: s \in \mathbb{Q}, s > r\}$ [5](#page=5). Analogamente si definisce per $r < 0$ [5](#page=5). **Proprietà grafiche delle potenze:** [5](#page=5) [6](#page=6). 1. Se $a > 1$, la funzione $y = a^x$ è crescente [6](#page=6). 2. Se $a = 1$, la funzione $y = a^x$ è costante e vale 1 [6](#page=6). 3. Se $a \in (0, 1)$, la funzione $y = a^x$ è decrescente [6](#page=6). ### 3.5 Teorema di esistenza del logaritmo Siano $a, y \in \mathbb{R}$ entrambi positivi e con $a \neq 1$ [6](#page=6). Allora, esiste un unico $x \in \mathbb{R}$ tale che $a^x = y$. Questo $x$ è denotato con $\log_a y$ (logaritmo in base $a$ di $y$) [6](#page=6). L'unicità di $x$ è garantita dal teorema di completezza dei numeri reali, e $x$ è individuato come [6](#page=6): * $x = \sup \{s \in \mathbb{Q}: a^s < y\}$ se $a > 1$ [6](#page=6). * $x = \sup \{s \in \mathbb{Q}: a^s > y\}$ se $a \in (0, 1)$ [6](#page=6). **Regola mnemonica:** $\log_a y$ è l'esponente a cui devo elevare la base $a$ per ottenere $y$ [6](#page=6). **Grafici dei logaritmi:** [7](#page=7). 1. Se $a > 1$, la funzione $y = \log_a x$ ha un grafico crescente [7](#page=7). 2. Se $a \in (0, 1)$, la funzione $y = \log_a x$ ha un grafico decrescente [7](#page=7). ### 3.6 Proprietà dei logaritmi Siano $a > 0, a \neq 1$ e $x, y > 0$. Valgono le seguenti proprietà [7](#page=7): 1. $\log_a a = 1$ [7](#page=7). 2. $\log_a (a^b) = b$ [7](#page=7). 3. $\log_a 1 = 0$ [7](#page=7). 4. $\log_a (xy) = \log_a |x| + \log_a y$ [7](#page=7). 5. $\log_a (x^z) = z \log_a x$ [7](#page=7). * Caso particolare: $\log_a \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x$ [7](#page=7). 6. $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a |x| - \log_a y$ [7](#page=7). 7. **Formula del cambio di base:** $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ [7](#page=7). * Caso particolare: $\log_a b = \frac{\log_a b}{\log_a a} = \log_a b$. (Questa è una tautologia che può essere usata per ricordare la formula generale) [7](#page=7). --- # Esercizi di ricapitolazione Questa sezione si concentra sulla risoluzione pratica di equazioni con radici, ponendo un'enfasi particolare sulla determinazione del campo di esistenza e sull'applicazione corretta delle proprietà algebriche [8](#page=8) [9](#page=9). ### 4.1 Risoluzione di equazioni irrazionali La risoluzione di equazioni irrazionali, ovvero quelle contenenti incognite sotto il segno di radice, richiede una procedura attenta che inizia con la definizione del campo di esistenza (C.d.E.) [8](#page=8). #### 4.1.1 Determinazione del campo di esistenza Il campo di esistenza è fondamentale perché garantisce che le espressioni sotto radice siano ben definite (non negative) e che la soluzione trovata sia valida per l'equazione originale [8](#page=8). * Per radici quadrate, il radicando (l'espressione sotto la radice) deve essere maggiore o uguale a zero. Se un'equazione presenta più radici, tutti i rispettivi radicandi devono soddisfare questa condizione simultaneamente [8](#page=8) [9](#page=9). #### 4.1.2 Applicazione delle proprietà algebriche Una volta stabilito il campo di esistenza, è possibile manipolare l'equazione per isolare la radice e procedere alla sua eliminazione, solitamente tramite l'elevamento al quadrato di entrambi i membri [8](#page=8) [9](#page=9). * **Condizione per elevare al quadrato**: È cruciale assicurarsi che entrambi i membri dell'equazione siano non negativi prima di elevarli al quadrato. Se un membro è negativo, elevarlo al quadrato potrebbe introdurre soluzioni estranee. Ad esempio, l'equazione $2 = -5$ è falsa, ma elevando al quadrato si otterrebbe $4 = 25$, che è anch'essa falsa. Tuttavia, se elevassimo al quadrato senza controllare, potremmo considerare valide manipolazioni errate [9](#page=9). > **Tip:** Dopo aver trovato le soluzioni dall'equazione manipolata, è **obbligatorio** verificare che ciascuna soluzione appartenga al campo di esistenza definito inizialmente. Solo le soluzioni che soddisfano sia le condizioni algebriche sia quelle del campo di esistenza sono da considerarsi valide per l'equazione irrazionale originale [8](#page=8) [9](#page=9). #### 4.1.3 Esempi pratici **Esempio 1: Equazione con una radice quadrata** Risolvere $\sqrt{x+1} = 4$ [8](#page=8). 1. **Campo di esistenza**: Il radicando $x+1$ deve essere maggiore o uguale a zero: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ [8](#page=8). 2. **Elevamento al quadrato**: Poiché entrambi i membri ($ \sqrt{x+1} $ e $4$) sono non negativi nel C.d.E., possiamo elevarli al quadrato: $(\sqrt{x+1})^2 = 4^2$ $x+1 = 16$ $x = 15$ [8](#page=8). 3. **Verifica nel C.d.E.**: La soluzione $x=15$ soddisfa la condizione $x \ge -1$ ($15 \ge -1$). 4. **Soluzione**: Pertanto, $x=15$ è la soluzione valida dell'equazione [8](#page=8). **Esempio 2: Equazione con due radici quadrate e un termine lineare** Risolvere $\sqrt{x^2+x-1} = \sqrt{x}$ [9](#page=9). 1. **Campo di esistenza**: Dobbiamo avere contemporaneamente: * $x^2+x-1 \ge 0$. Le radici di $x^2+x-1=0$ sono $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Quindi, $x^2+x-1 \ge 0$ per $x \le \frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ o $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ [1](#page=1). * $x \ge 0$. La combinazione di queste condizioni porta a un C.d.E. di $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ [8](#page=8) [9](#page=9). 2. **Elevamento al quadrato**: Entrambi i membri sono non negativi nel C.d.E. (poiché $x \ge 0$). Eleviamo al quadrato: $(\sqrt{x^2+x-1})^2 = (\sqrt{x})^2$ $x^2+x-1 = x$ $x^2 - 1 = 0$ $x^2 = 1$ Le soluzioni sono $x = \pm 1$ [9](#page=9). 3. **Verifica nel C.d.E.**: Dobbiamo controllare quali di queste soluzioni appartengono al C.d.E. $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (circa $x \ge 0.618$). * $x=1$: $1 \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ è vera. * $x=-1$: $-1 \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ è falsa. 4. **Soluzione**: L'unica soluzione valida è $x=1$ [9](#page=9). > **Osservazione importante:** Quando si eleva al quadrato un'equazione, è fondamentale controllare che entrambi i membri siano non negativi nel campo di esistenza. Ignorare questa condizione può portare all'introduzione di soluzioni spurie [9](#page=9). --- ## Errori comuni da evitare - Rivedete tutti gli argomenti accuratamente prima degli esami - Prestate attenzione alle formule e definizioni chiave - Praticate con gli esempi forniti in ogni sezione - Non memorizzate senza comprendere i concetti sottostanti

| Termine | Definizione | |------|------------| | Maggiorante | Un numero M appartenente all'insieme dei numeri reali è detto maggiorante di un insieme A se ogni elemento di A è minore o uguale a M. | | Minorante | Un numero m appartenente all'insieme dei numeri reali è detto minorante di un insieme A se ogni elemento di A è maggiore o uguale a m. | | Massimo di un insieme | Il massimo di un insieme A, denotato con max A, è un maggiorante di A che appartiene ad A stesso. Se esiste, è unico. | | Minimo di un insieme | Il minimo di un insieme A, denotato con min A, è un minorante di A che appartiene ad A stesso. Se esiste, è unico. | | Estremo superiore (sup A) | L'estremo superiore di un insieme A, denotato con sup A, è il minimo dell'insieme dei maggioranti di A. | | Estremo inferiore (inf A) | L'estremo inferiore di un insieme A, denotato con inf A, è il massimo dell'insieme dei minoranti di A. | | Teorema di completezza (2° forma) | Afferma che ogni sottoinsieme non vuoto di numeri reali che è superiormente limitato ammette un estremo superiore in R. Analogamente per l'estremo inferiore se il sottoinsieme è inferiormente limitato. | | Potenza intera | Per $a \in \mathbb{R}$ e $p \in \mathbb{Z}$: se $p > 0$, $a^p = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ (p volte); se $p < 0$ e $a \neq 0$, $a^p = \frac{1}{a^{-p}}$; se $p = 0$ e $a \neq 0$, $a^0 = 1$. | | Radice n-esima | La radice n-esima di un numero reale y, denotata con $\sqrt[n]{y}$, è quel numero reale x tale che $x^n = y$. Per $n$ pari, si richiede $y \ge 0$ e si assume la radice non negativa; per $n$ dispari, è definita per ogni $y \in \mathbb{R}$. | | Potenza razionale | Per $a \in \mathbb{R}$, $a \ge 0$ e $\frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ con $q > 0$, $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$. | | Potenza reale | Per $a \in \mathbb{R}$, $a > 0$, la potenza reale $a^z$ con $z \in \mathbb{R}$ è definita come l'estremo superiore dell'insieme $\{a^q \mid q \in \mathbb{Q}, q \le z\}$ se $a > 1$, come 1 se $a = 1$, e come l'estremo inferiore dell'insieme $\{a^q \mid q \in \mathbb{Q}, q \le z\}$ se $a \in (0, 1)$. | | Logaritmo | Il logaritmo in base a di y, denotato con $\log_a y$, è l'esponente x tale che $a^x = y$. È definito per $a > 0$, $a \neq 1$ e $y > 0$. |