Slides5_PG_Kostenmin.pdf

# Optimalisatie van kosten Dit hoofdstuk verkent hoe producenten de productie optimaliseren door de laagst mogelijke kosten te realiseren voor een gegeven outputniveau, waarbij zowel grafische als algebraïsche methoden worden gehanteerd [1](#page=1) [3](#page=3). ### 1.1 Het optimum #### 1.1.1 Grafische bepaling van het optimum De totale kosten van een producent worden uitgedrukt als $F = \ell L + rK$, waarbij $F$ de totale kosten zijn, $\ell$ de prijs van arbeid ($L$) en $r$ de prijs van kapitaal ($K$). In een grafiek met arbeid op de horizontale as en kapitaal op de verticale as, vertegenwoordigt deze vergelijking een **isokostenrechte**. Deze rechte geeft alle combinaties van arbeid en kapitaal weer die voor een vast totaal kostenbedrag ($F$) kunnen worden aangeschaft. De vergelijking van de isokostenrechte kan worden herschreven als $K = \frac{F}{r} - \frac{\ell}{r}L$ [4](#page=4). De intercept op de K-as is $\frac{F}{r}$, de intercept op de L-as is $\frac{F}{\ell}$, en de richtingscoëfficiënt is $-\frac{\ell}{r}$, die ook kan worden uitgedrukt als $\tan(\alpha)$ [5](#page=5). Veranderingen in deze factoren hebben invloed op de isokostenrechte: * Een stijging van de totale kosten ($F \uparrow$) leidt tot een parallelle verschuiving naar boven [6](#page=6). * Een stijging van de prijs van kapitaal ($r \uparrow$) resulteert in een neerwaartse wenteling rond het punt $(\frac{F}{\ell}, 0)$ [6](#page=6). * Een stijging van de prijs van arbeid ($\ell \uparrow$) veroorzaakt een neerwaartse wenteling rond het punt $(0, \frac{F}{r})$ [6](#page=6). Het kostenminimeringsprobleem ontstaat wanneer een producent een specifieke outputhoeveelheid ($y$) wil produceren tegen de laagst mogelijke kosten. Grafisch wordt dit opgelost door de isoquant die de gegeven outputniveau ($y$) weergeeft, te raken met de laagst mogelijke isokostenrechte. Het optimum wordt bereikt in het punt waar de helling van de isoquant gelijk is aan de helling van de isokostenrechte. Dit betekent dat de marginale technische substitutieverhouding (MST) tussen arbeid en kapitaal gelijk moet zijn aan de relatieve prijzen van de productiefactoren [7](#page=7) [8](#page=8) [9](#page=9): $$MSVL,K (L^*, K^*) = \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} / \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} = \frac{MPL}{MPK} = \frac{\ell}{r}$$ [12](#page=12) [9](#page=9). #### 1.1.2 Algebraïsche bepaling van het optimum Het kostenminimeringsprobleem kan algebraïsch worden geformuleerd als een minimalisatieprobleem: $$\min_{L,K} \ell L + rK \quad \text{o.b.v.} \quad y = f(L, K)$$ [10](#page=10). Dit kan worden opgelost met behulp van de Lagrange-methode. De Lagrange-functie is: $$L(L, K, \lambda) = \ell L + rK + \lambda [y - f(L, K)]$$ [11](#page=11). De eerste-orde-voorwaarden voor optimaliteit zijn: $$ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial L} = \ell - \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial K} = r - \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = y - f(L, K) = 0 \end{cases} $$ [11](#page=11) [12](#page=12). Hieruit volgt: $$ \begin{cases} \ell = \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} \\ r = \lambda \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} \\ y = f(L, K) \end{cases} $$ [12](#page=12). Door de eerste twee vergelijkingen te delen, verkrijgen we opnieuw de voorwaarde dat de marginale technische substitutieverhouding gelijk is aan de relatieve prijzen van de productiefactoren: $$ \frac{\ell}{r} = \frac{\partial f(L,K)}{\partial L} / \frac{\partial f(L,K)}{\partial K} = MSVL,K (L^*, K^*) $$ [12](#page=12). De oplossing van dit systeem geeft de kostenminimerende vraag naar arbeid en kapitaal als functie van de factorprijzen en het outputniveau: $L^*(\ell, r, y)$ en $K^*(\ell, r, y)$ [13](#page=13). > **Tip:** De economische interpretatie van de Lagrange-multiplicator ($\lambda$) is de marginale kost van de producent. Dit betekent dat de toename in totale kosten als gevolg van een marginale stijging van de output gelijk is aan $\lambda$ . #### 1.1.3 Verdelingen van productiefactoren op basis van outputeffect Op basis van hoe de vraag naar een productiefactor verandert bij een verandering in outputniveau ($y$), worden ze ingedeeld in: * **Inferieur:** Vraag neemt af als $y$ stijgt [13](#page=13). * **Normaal:** Vraag neemt toe als $y$ stijgt [13](#page=13). * **Noodzakelijk:** De vraagelasticiteit naar de productiefactor ten opzichte van $y$ is kleiner dan 1 [13](#page=13). * **Superieur:** De vraagelasticiteit naar de productiefactor ten opzichte van $y$ is groter dan 1 [13](#page=13). #### 1.1.4 Verdelingen van productiefactoren op basis van prijseffect Op basis van hoe de vraag naar de ene productiefactor verandert bij een prijsverandering van een andere productiefactor, worden ze ingedeeld als: * **Substituten:** Een prijsstijging van de ene factor leidt tot een toename in de kostenminimerende vraag naar de andere factor . * **Complementen:** Een prijsstijging van de ene factor leidt tot een daling in de kostenminimerende vraag naar de andere factor . Voor twee productiefactoren zijn de prijseffecten altijd symmetrisch, wat betekent dat de classificatie als substituten of complementen goed gedefinieerd is . #### 1.1.5 Cobb-Douglas Technologie als voorbeeld Bij een Cobb-Douglas productiefunctie van de vorm $y = aL^\alpha K^\beta$, met $a > 0$, $0 < \alpha < 1$ en $0 < \beta < 1$, zijn de kostenminimerende vraagfuncties voor arbeid en kapitaal: $$ L(\ell, r, y) = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \left(\frac{\beta\ell}{\alpha r}\right)^{-\frac{\beta}{\alpha+\beta}} $$ . $$ K(\ell, r, y) = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \left(\frac{\alpha r}{\beta\ell}\right)^{-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} $$ . Uit deze functies kunnen comparatief statische eigenschappen worden afgeleid: * Een stijging van $\ell$ leidt tot een daling van $L$ en een stijging van $K$. * Een stijging van $r$ leidt tot een stijging van $L$ en een daling van $K$. * Een stijging van $y$ leidt tot een stijging van zowel $L$ als $K$. Dit impliceert dat bij een Cobb-Douglas technologie, arbeid en kapitaal substituten zijn. Beide productiefactoren zijn normaal, en of ze noodzakelijk of superieur zijn, hangt af van de som van de exponenten $\alpha + \beta$ . ### 1.2 Verschuivingen van het evenwicht #### 1.2.1 Veranderingen in productieomvang Een verandering in de productieomvang ($y$) leidt tot een aanpassing van de kostenminimerende vraag naar productiefactoren. Het **lange termijn expansiepad (LTE)** verbindt de kostenminimerende combinaties van productiefactoren voor verschillende productieomvangsniveaus in de $L \times K$-ruimte. Het LTE wordt bepaald door de punten waar de marginale technische substitutieverhouding gelijk is aan de relatieve prijsverhouding $\frac{\ell}{r}$, voor alle mogelijke productieomvang niveaus . Voor een Cobb-Douglas technologie is het LTE een rechte lijn door de oorsprong, omdat de relatieve prijsverhouding ($\frac{\ell}{r}$) constant blijft langs deze lijn, terwijl de marginale technische substitutieverhouding ($\frac{\alpha}{\beta}\frac{K}{L}$) ook constant is voor combinaties van $L$ en $K$ die op een rechte lijn door de oorsprong liggen . #### 1.2.2 Veranderingen in technologie Technologische veranderingen beïnvloeden de productiefunctie en kunnen worden ingedeeld in: * **Arbeidsbesparend:** Verhoogt de kapitaalsintensiteit ($K/L$). Bij een Cobb-Douglas technologie leidt dit tot een stijging van $\frac{\beta}{\alpha}$, wat een daling van de relatieve marginale technische substitutieverhouding ($\frac{\alpha}{\beta}\frac{K}{L}$) tot gevolg heeft. De isoquanten worden vlakker. Het lange termijn expansiepad wentelt in de richting van de K-as . * **Kapitaalbesparend:** Verhoogt de arbeidsintensiteit ($L/K$). Bij een Cobb-Douglas technologie leidt dit tot een daling van $\frac{\beta}{\alpha}$, wat een stijging van de relatieve marginale technische substitutieverhouding ($\frac{\alpha}{\beta}\frac{K}{L}$) tot gevolg heeft. De isoquanten worden steiler. Het lange termijn expansiepad wentelt in de richting van de L-as . * **Neutraal:** Verandert de kapitaals- of arbeidsintensiteit niet. De vorm van de isoquanten verandert niet, maar de geproduceerde output op een gegeven isoquant neemt toe, wat leidt tot efficiëntere productie tegen lagere kosten . #### 1.2.3 Veranderingen in prijzen van productiefactoren Veranderingen in de prijzen van productiefactoren ($\ell$ of $r$) leiden tot verschuivingen in de kostenminimerende vraag naar deze factoren, zoals uiteengezet in afdeling 5.2.2 . ### 1.3 Kosten op korte en op lange termijn #### 1.3.1 Inleiding De analyse van de kostenminimerende vraag naar productiefactoren, $L^*(\ell, r, y)$ en $K^*(\ell, r, y)$, beschrijft het **lange termijn** probleem, waarbij beide inputs variabel zijn. Op de **korte termijn** is minstens één productiefactor gefixeerd, bijvoorbeeld kapitaal $K = \overline{K}$ . Op de korte termijn wordt de benodigde hoeveelheid arbeid bepaald door de outputvereiste: $y = f(L(y, \overline{K}), \overline{K})$. De totale kosten op korte termijn zijn dan : $$ TKK (\ell, r, y, \overline{K}) = \ell L(y, \overline{K}) + r \overline{K} $$ . De totale kosten op lange termijn zijn nooit hoger dan de totale kosten op korte termijn ($TKL(\ell, r, y) \le TKK(\ell, r, y, \overline{K})$). Het **korte termijn expansiepad (KTE)** verbindt de kostenminimerende combinaties van productiefactoren voor verschillende productieomvangsniveaus, gegeven een constante hoeveelheid kapitaal . #### 1.3.2 Kosten op korte termijn De totale kosten op korte termijn ($TKK$) kunnen worden opgesplitst in: * **Vaste kosten ($FK$):** Kosten die niet afhankelijk zijn van het productieniveau, zoals de kosten van kapitaal ($FK(r, \overline{K}) = r\overline{K}$) . * **Variabele kosten ($VK$):** Kosten die afhankelijk zijn van het productieniveau, zoals de kosten van arbeid ($VK(\ell, y, \overline{K}) = \ell L(y, \overline{K})$) . Er zijn verschillende kostenconcepten: | Concept | Vaste kosten | Variabele kosten | Totale kosten | | :--------------- | :----------- | :--------------- | :------------ | | Totaal | $FK$ | $VK$ | $TK = VK + FK$ | | Gemiddeld | $GFK = FK/y$ | $GVK = VK/y$ | $GTK = TK/y$ | | Marginaal | $0$ | $MK = \partial VK / \partial y$ | $MK = \partial TK / \partial y$ | De marginale totale kost is gelijk aan de marginale variabele kost, aangezien de marginale vaste kost nul is. De integraal van de marginale kost geeft de variabele kosten terug, en de integraal van de marginale totale kost geeft de totale kosten terug (rekening houdend met de vaste kosten) . De gemiddelde totale kost is de som van de gemiddelde vaste en gemiddelde variabele kost ($GTK = GVK + GFK$). De opportuniteitskost voor eigen vermogen is inbegrepen in de kapitaalkosten . #### 1.3.3 Relaties tussen soorten kosten op korte termijn * **Vaste kosten ($FK$):** Horizontale rechte in de $(y, FK)$-ruimte. Gemiddelde vaste kosten ($GFK$) dalen continu naarmate de output stijgt . * **Variabele kosten ($VK$):** De vorm van de variabele kostencurve is gerelateerd aan de inverse van de productiefunctie. Gemiddelde variabele kosten ($GVK$) bereiken een minimum bij een bepaald outputniveau . * **Totale kosten ($TK$):** Verkregen door de vaste kosten bij de variabele kosten op te tellen. Gemiddelde totale kosten ($GTK$) bereiken een minimum bij een outputniveau dat hoger ligt dan het minimum van de $GVK$ . * **Marginale kosten ($MK$):** De helling van de totale en variabele kostencurve. De marginale kostencurve ($MK$) bereikt een minimum bij een outputniveau dat lager ligt dan het minimum van de $GTK$ . De $MK$-curve snijdt de $GVK$-curve en de $GTK$-curve in hun respectievelijke minimumpunten. Links van het snijpunt ligt de $MK$ onder de gemiddelde kosten, rechts ervan ligt de $MK$ erboven . --- # Verschuivingen van het evenwicht Dit deel van de studieanalyseert hoe veranderingen in productieniveau, technologie en prijzen van productiefactoren het kostenminimerende evenwicht van een producent beïnvloeden door middel van comparatieve statica. ### 2.1 Veranderingen in productieomvang Een verandering in de gewenste productieomvang, aangeduid als $\Delta y$, leidt tot een verandering in de kostenminimerende vraag naar productiefactoren $\Delta Q(y)$. Het lange termijn expansiepad (LTE) verbindt de kostenminimerende combinaties van productiefactoren (arbeid $L$ en kapitaal $K$) voor verschillende productieomvangniveaus in de $L \times K$-ruimte. Dit pad wordt gegeven door de verzameling $(L, K) \in \mathbb{R}^2_+$ zodanig dat de marginale substitutievoet arbeid-kapitaal gelijk is aan de prijsratio van de productiefactoren [7](#page=7): $$ MSVL,K (L, K) = \frac{MPL}{MPK} = \frac{\ell}{r} $$ waarbij $MPL$ de marginale productiviteit van arbeid is en $MPK$ de marginale productiviteit van kapitaal [7](#page=7). > **Voorbeeld:** Voor een Cobb-Douglas productiefunctie van de vorm $y = aL^\alpha K^\beta$, is het lange termijn expansiepad een rechte lijn door de oorsprong in de $L \times K$-ruimte. Dit komt doordat de marginale substitutievoet arbeid-kapitaal, gegeven door $\frac{\alpha}{\beta}\frac{K}{L}$, een constante ratio van $K/L$ vereist voor kostenminimalisatie wanneer deze gelijkgesteld wordt aan $\ell/r$ [7](#page=7). ### 2.2 Veranderingen in technologie Technologische veranderingen (TV) leiden tot veranderingen in de productiefunctie en kunnen worden gecategoriseerd als volgt [8](#page=8): * **Arbeidsbesparend:** Verhoogt de kapitaalsintensiteit ($K/L$) en verlaagt de arbeidsintensiteit ($L/K$) [8](#page=8). * **Kapitaalbesparend:** Verlaagt de kapitaalsintensiteit ($K/L$) en verhoogt de arbeidsintensiteit ($L/K$) [8](#page=8). * **Neutraal:** Verandert de kapitaals- of arbeidsintensiteit niet [8](#page=8). Bij een Cobb-Douglas technologie, $y = aL^\alpha K^\beta$, kan het type technologische verandering worden afgeleid uit de verhouding $\beta/\alpha$. De kapitaalsintensiteit in het optimum wordt bepaald door $K/L = (\beta/\alpha)(\ell/r)$ [8](#page=8). * Een technologische verandering is **arbeidsbesparend** als $\beta/\alpha$ stijgt, wat impliceert dat $\alpha/\beta$ daalt. Dit leidt tot een lagere $MSVL,K(L, K)$ in elk punt $(L, K)$. In de $L \times K$-ruimte resulteren arbeidsbesparende technologische veranderingen in een 'wenteling' van de isoquanten, waardoor ze vlakker worden. Het lange termijn expansiepad wentelt in de richting van de $K$-as, wat duidt op een stijgende kapitaalsintensiteit ($K/L \uparrow$) [8](#page=8) [9](#page=9). * Een technologische verandering is **kapitaalbesparend** als $\beta/\alpha$ daalt, wat impliceert dat $\alpha/\beta$ stijgt. Dit leidt tot een hogere $MSVL,K(L, K)$ in elk punt $(L, K)$. Kapitaalbesparende technologische veranderingen resulteren in isoquanten die steiler worden. Het lange termijn expansiepad wentelt in de richting van de $L$-as, wat duidt op een dalende kapitaalsintensiteit ($K/L \downarrow$) [8](#page=8) [9](#page=9). * Bij een **neutrale** technologische verandering verandert de verhouding $\alpha/\beta$ niet, en dus ook de $MSVL,K$ niet. De isoquanten zelf veranderen niet in vorm, maar de productieniveaus die met elke isoquant corresponderen, stijgen. Dit betekent dat de oude productiecapaciteit nu op een lagere isoquant, en dus tegen lagere kosten, gerealiseerd kan worden. Het lange termijn expansiepad blijft onveranderd [9](#page=9). > **Tip:** Concentreer u op de intuïtie achter de 'wenteling' van de isoquanten en de impact op het lange termijn expansiepad. Dit verklaart de relatieve verandering in de gewenste inzet van productiefactoren. ### 2.3 Veranderingen in prijzen van productiefactoren Veranderingen in de prijzen van productiefactoren ($\ell$ en $r$) beïnvloeden de kostenminimerende vraag naar productiefactoren $L(\ell, r, y)$ en $K(\ell, r, y)$. Het effect van dergelijke veranderingen is reeds behandeld in sectie 5.2.2 [9](#page=9). #### 2.3.1 De kostenminimerende vraag naar productiefactoren De kostenminimerende vraag naar arbeid en kapitaal wordt bepaald door de productievereiste en de prijzen van de productiefactoren. Op lange termijn wordt dit bepaald door de optimale combinatie van $L$ en $K$ voor een gegeven productie $y$, met de marginale substitutievoet gelijk aan de prijsratio: $MSVL,K = \ell/r$. De totale kosten op lange termijn ($TKL$) zijn dan [10](#page=10): $$ TKL(\ell, r, y) = \ell L(\ell, r, y) + r K(\ell, r, y) $$ #### 2.3.2 Korte termijn kosten versus lange termijn kosten Op korte termijn is de hoeveelheid kapitaal vastgezet ($K = \overline{K}$). De minimale hoeveelheid arbeid die nodig is om een productie $y$ te realiseren, gegeven $\overline{K}$, is $L(y, \overline{K})$, waarbij $y = f(L(y, \overline{K}), \overline{K})$. De totale kosten op korte termijn ($TKK$) zijn dan [10](#page=10): $$ TKK(\ell, r, y, \overline{K}) = \ell L(y, \overline{K}) + r \overline{K} $$ Het korte termijn expansiepad verbindt de kostenminimerende combinaties van productiefactoren voor verschillende productieniveaus, met een gegeven hoeveelheid kapitaal. Op korte termijn is $K = \overline{K}$ niet noodzakelijk de optimale hoeveelheid kapitaal, wat impliceert dat de totale kosten op korte termijn nooit hoger zullen zijn dan de totale kosten op lange termijn [10](#page=10): $$ TKL(\ell, r, y) \leq TKK(\ell, r, y, \overline{K}) $$ Dit komt doordat op lange termijn de producent de flexibiliteit heeft om zowel arbeid als kapitaal aan te passen om kosten te minimaliseren [10](#page=10). --- # Kosten op korte en lange termijn Dit hoofdstuk onderscheidt de kostenstructuren op korte termijn (waarbij ten minste één productiefactor vast is) en op lange termijn (waarbij alle productiefactoren variabel zijn), en analyseert de afleiding en het verloop van de verschillende kostencurven [10](#page=10). ### 3.1 Kosten op korte termijn Op korte termijn is de hoeveelheid kapitaal ($K$) vastgesteld op $\overline{K}$. De totale kosten op korte termijn ($TKK$) worden bepaald door de prijs van arbeid ($\ell$) en de gevraagde hoeveelheid arbeid ($L$), en de prijs van kapitaal ($r$) vermenigvuldigd met de vaste hoeveelheid kapitaal ($\overline{K}$) [10](#page=10). De totale kosten op korte termijn bestaan uit twee componenten: * **Vaste kosten (FK):** Deze kosten zijn onafhankelijk van het productieniveau ($y$) en worden bepaald door de prijs van kapitaal en de vaste hoeveelheid kapitaal: $FK(r, \overline{K}) = r\overline{K}$. Grafisch worden deze voorgesteld als een horizontale rechte [11](#page=11). * **Variabele kosten (VK):** Deze kosten variëren met het productieniveau en worden bepaald door de prijs van arbeid en de hoeveelheid arbeid die nodig is om een bepaalde output te produceren. De variabele kostenfunctie ($VK(y)$) wordt afgeleid uit de omgekeerde variabele kostencurve, die op zijn beurt is gebaseerd op de kortetermijnproductiefunctie (#page=11, 12). De variabele kosten zijn typisch stijgend en convex [11](#page=11) [12](#page=12) [17](#page=17). **Relaties tussen de soorten kosten op korte termijn:** * **Totale Kosten (TK):** $TK(y) = VK(y) + FK$. De TK-curve is de VK-curve die verticaal verschoven is met de hoogte van de vaste kosten [11](#page=11) [12](#page=12). * **Gemiddelde Vaste Kosten (GFK):** $GFK(y) = \frac{FK}{y}$ (#page=11, 12). Deze curve daalt naarmate de productie toeneemt [11](#page=11) [12](#page=12). * **Gemiddelde Variabele Kosten (GVK):** $GVK(y) = \frac{VK(y)}{y}$ (#page=11, 13). De GVK-curve bereikt een minimum [11](#page=11) [13](#page=13). * **Gemiddelde Totale Kosten (GTK):** $GTK(y) = \frac{TK(y)}{y} = GVK(y) + GFK(y)$ (#page=11, 13). De GTK-curve bereikt ook een minimum [11](#page=11) [13](#page=13). * **Marginale Kosten (MK):** $MK(y) = \frac{\partial TK(y)}{\partial y} = \frac{\partial VK(y)}{\partial y}$ (#page=11, 13). De marginale kostencurve daalt eerst en stijgt daarna, en bereikt een minimum. De MK-curve is de helling van de raaklijn aan de TK- en VK-curven [11](#page=11) [13](#page=13). **Belangrijke relaties tussen kostencurven:** * De MK-curve snijdt zowel de GVK- als de GTK-curve in hun minimum (#page=14, 15) [14](#page=14) [15](#page=15). * De GVK-curve verloopt dalend als $MK < GVK$, en stijgend als $MK > GVK$ [14](#page=14). * De GTK-curve verloopt dalend als $MK < GTK$, en stijgend als $MK > GTK$ [15](#page=15). * Het minimum van de MK-curve wordt bereikt bij een lager outputniveau dan het minimum van de GVK-curve [14](#page=14). * Het minimum van de GTK-curve wordt bereikt bij een hoger outputniveau dan het minimum van de GVK-curve [15](#page=15). **Theorema: Relaties tussen MK(y), GVK(y), GTK(y), MPL(L) en GPL(L) curve:** 1. De GVK(y)-curve verloopt dalend (stijgend) als MK(y) < GVK(y) (MK(y) > GVK(y)). MK(y) snijdt GVK(y) in haar minimum [14](#page=14). 2. Het minimum van de MK(y)-curve wordt bereikt bij een lager outputniveau dan het minimum van de GVK(y)-curve [14](#page=14). 3. De GTK(y)-curve verloopt dalend (stijgend) als MK(y) < GTK(y) (MK(y) > GTK(y)). MK(y) snijdt GTK(y) in haar minimum [15](#page=15). 4. Het minimum van de GTK(y)-curve wordt bereikt bij een hoger outputniveau dan het minimum van de GVK(y)-curve [15](#page=15). 5. De MK(y)-curve is dalend (stijgend) als en slechts als de gemiddelde productiviteit van arbeid (MPL) stijgend (dalend) is [16](#page=16). 6. De GVK(y)-curve is dalend (stijgend) als en slechts als de gemiddelde productiviteit van arbeid (GPL) stijgend (dalend) is [16](#page=16). > **Tip:** De relaties tussen de kosten- en productiviteitscurven zijn een kernonderdeel. Begrijp hoe de vorm van de productiefunctie de vorm van de kostencurven beïnvloedt. #### 3.1.1 Voorbeelden van kostencurven * **Cobb Douglas technologie:** Voor een Cobb Douglas productiefunctie van de vorm $y = aL^\alpha K^\beta$ zijn de GVK en GTK typisch U-vormig, waarbij het verloop afhangt van de exponent $\alpha$. De MK-curve ligt boven de GVK-curve (#page=17, 18) [17](#page=17) [18](#page=18). * **Lineaire technologie:** Bij een lineaire productiefunctie ($y=dL$) zijn de GVK en MK constant en vallen ze samen. De GFK en GTK zijn dalend [19](#page=19). * **Panvormig verloop van GVK:** Dit kan voorkomen wanneer er een interval van productie is waar de variabele kosten lineair stijgen, wat resulteert in een constante GVK binnen dat interval [20](#page=20). ### 3.2 Kosten op lange termijn Op lange termijn zijn alle productiefactoren variabel, inclusief kapitaal ($\overline{K}$). Het lange termijn expansiepad (LTE) verbindt de kostenminimerende combinaties van arbeid en kapitaal voor verschillende productieniveaus [10](#page=10) [22](#page=22). #### 3.2.1 Afleiding van het lange termijn expansiepad Het lange termijn expansiepad wordt bepaald door de kostenminimerende keuze van productiefactoren voor elk outputniveau (#page=22, 23). Dit is het snijpunt van de isoquanten en de isokostenlijnen voor verschillende outputniveaus [22](#page=22) [23](#page=23). #### 3.2.2 Grafische afleiding van de lange termijn kostencurve De totale kosten op lange termijn ($TKL$) voor een bepaalde output $y$ worden berekend door de kostenminimerende hoeveelheden arbeid ($L^*$) en kapitaal ($K^*$) te vermenigvuldigen met hun respectievelijke prijzen en deze op te tellen: $TKL(\ell, r, y) = \ell L^* + r K^*$ (#page=10, 23) [10](#page=10) [23](#page=23). * Op lange termijn zijn de kosten altijd lager dan of gelijk aan de kosten op korte termijn voor hetzelfde productieniveau (#page=10, 24). De kosten op korte en lange termijn zijn gelijk wanneer de gekozen hoeveelheid kapitaal op korte termijn ook de optimale hoeveelheid kapitaal op lange termijn is (#page=24, 27) [10](#page=10) [24](#page=24) [27](#page=27). * Na elke aanpassing van de kapitaalvoorraad bevindt de onderneming zich weer op een kortetermijn expansiepad [24](#page=24). #### 3.2.3 De planningcurve De lange termijn gemiddelde totale kosten-curve (GTKL), ook wel de **planningcurve** genoemd, is de omhullende curve van de verschillende kortetermijn gemiddelde totale kosten-curves ($GTKK$) voor verschillende niveaus van kapitaal (#page=28, 29, 30). Deze curve geeft weer hoe de gemiddelde totale kosten veranderen wanneer de schaal van de onderneming verandert [28](#page=28) [29](#page=29) [30](#page=30). **Relatie tussen de planningcurve en schaalopbrengsten:** * **Toenemende schaalopbrengsten:** leiden tot een dalende planningcurve (economies of scale) (#page=30, 31, 32, 34) [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32) [34](#page=34). * **Constante schaalopbrengsten:** leiden tot een horizontale planningcurve (geen economies of scale) (#page=30, 31, 32, 34) [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32) [34](#page=34). * **Afnemende schaalopbrengsten:** leiden tot een stijgende planningcurve (diseconomies of scale) (#page=30, 31, 32, 34) [30](#page=30) [31](#page=31) [32](#page=32) [34](#page=34). > **Tip:** Het onderscheid tussen schaalopbrengsten (verandering in output bij proportionele verandering in input) en schaalbesparingen (verandering in GTK bij schaaluitbreiding) is cruciaal. #### 3.2.4 Verschuivingen van de planningcurve De planningcurve kan verschuiven als de prijzen van de productiefactoren veranderen. Volgens het Lemma van Shephard is de afgeleide van de totale lange termijn kostenfunctie naar de prijs van een productiefactor gelijk aan de optimale hoeveelheid van die productiefactor (#page=32, 33) [32](#page=32) [33](#page=33). * Als de prijs van een productiefactor stijgt, verschuift de planningcurve doorgaans opwaarts. De specifieke impact op de vorm en positie van de curve hangt af van of de factor inferieur, normaal of superieur is [33](#page=33). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Isokostencurve | Een curve die alle combinaties van twee inputs weergeeft die tot dezelfde totale kosten leiden voor de producent. | | Isokostenrechte | Een rechte lijn die de combinaties van inputs weergeeft die een vaste kostenpost vertegenwoordigen, waarbij de prijs van de ene input op de verticale as en de andere op de horizontale as staat. | | Isoquant | Een curve die alle combinaties van twee inputs weergeeft die tot dezelfde hoeveelheid output leiden. | | Kostenminimering | Het proces waarbij een producent de laagst mogelijke kosten realiseert voor een gegeven productieniveau. | | Lagrange multiplicator | Een variabele die in de Lagrange-functie wordt gebruikt om de voorwaarden van een optimalisatieprobleem met een beperking te formuleren en op te lossen. | | Marginale technische substitutieverhouding (MTSV) | De verhouding van de marginale productiviteit van twee productiefactoren, die aangeeft hoeveel van de ene factor kan worden opgeofferd bij een toename van de andere factor, terwijl het productieniveau constant blijft. | | Productiefunctie | Een wiskundige relatie die aangeeft hoeveel output kan worden geproduceerd met een gegeven combinatie van productiefactoren. | | Cobb-Douglas technologie | Een specifieke vorm van de productiefunctie die wordt gekenmerkt door constante schaalopbrengsten, waarbij de output proportioneel verandert wanneer alle inputs met dezelfde factor worden vermenigvuldigd. | | Lange termijn expansiepad | Het pad dat de opeenvolgende optimale inputcombinaties weergeeft die een producent kiest wanneer het productieniveau op lange termijn verandert, waarbij alle inputs variabel zijn. | | Korte termijn expansiepad | Het pad dat de opeenvolgende optimale inputcombinaties weergeeft die een producent kiest wanneer het productieniveau op korte termijn verandert, waarbij ten minste één input vast is. | | Vaste kosten | Kosten die niet variëren met het productieniveau op korte termijn. | | Variabele kosten | Kosten die wel variëren met het productieniveau op korte termijn. | | Gemiddelde vaste kosten (GFK) | De totale vaste kosten gedeeld door de output. | | Gemiddelde variabele kosten (GVK) | De totale variabele kosten gedeeld door de output. | | Gemiddelde totale kosten (GTK) | De totale kosten gedeeld door de output. | | Marginale kosten (MK) | De extra kosten die gemaakt worden voor de productie van één extra eenheid output. | | Schaalopbrengsten | De verandering in output die optreedt wanneer alle productiefactoren proportioneel worden verhoogd. | | Planningcurve (lange termijn GTK) | De omhullende curve van de korte termijn gemiddelde totale kostencurven, die het verband weergeeft tussen de output en de minimale gemiddelde kosten op lange termijn. | | Lemma van Shephard | Een economisch theorema dat stelt dat de afgeleide van de lange termijn totale kostfunctie naar de prijs van een productiefactor gelijk is aan de optimale hoeveelheid van die productiefactor. | | Schaalvoordelen | Voordelen die ontstaan door een toename van de productieomvang, wat leidt tot lagere gemiddelde kosten. | | Schaalnadelen | Nadelen die ontstaan door een te grote productieomvang, wat leidt tot hogere gemiddelde kosten. |