syllabus-sysi-6stp.pdf

# Inleiding tot signalen en systemen Hier is een gedetailleerd studieonderdeel over de inleiding tot signalen en systemen, gebaseerd op de verstrekte documentatie: ## 1. Inleiding tot signalen en systemen Dit hoofdstuk introduceert de kernbegrippen van signalen en systemen door ze te beschouwen als functies, met nadruk op hun brede toepassingsgebieden en de wiskundige aanpak voor analyse [8](#page=8). ### 1.1 Algemeen toepassingsgebied van signalen en systemen Signalen kunnen worden gezien als dragers van informatie, terwijl systemen signalen transformeren. De veelzijdigheid van deze concepten wordt geïllustreerd aan de hand van voorbeelden uit diverse disciplines, zoals mechanische structuren, scheikunde, economie, beeld- en geluidsanalyse, elektriciteit en informatica. Om deze verscheidenheid te bestuderen, wordt gebruik gemaakt van wiskundige analyse en lineaire algebra, waarbij het begrip functie centraal staat [8](#page=8) [9](#page=9). ### 1.2 Signalen als functies Een signaal wordt gedefinieerd als een functie, waarbij het domein (definitiegebied) en het codomein (waardengebied) cruciaal zijn [9](#page=9). #### 1.2.1 Voorbeelden van signalen en hun categorisering * **Continue-tijdsignalen vs. discrete-tijdsignalen:** * Een continu-tijdsignaal is gedefinieerd op een continue verzameling van de tijd, bijvoorbeeld een deelverzameling van $\mathbb{R}$ [9](#page=9). * Een discrete-tijdsignaal is gedefinieerd op een discrete verzameling van de tijd, bijvoorbeeld een deelverzameling van $\mathbb{Z}$ [14](#page=14) [9](#page=9). * **Analoge signalen vs. digitale signalen:** * Een analoog signaal heeft een continu codomein (een deelverzameling van $\mathbb{R}$) [9](#page=9). * Een digitaal signaal heeft zowel een discreet domein als een discreet codomein [10](#page=10). #### 1.2.2 Specifieke voorbeelden van signalen * **GELUID:** Een continu-tijdsignaal met een continu codomein dat luchtdrukwaarden representeert [9](#page=9). * **Sampling:** Het proces waarbij een continu-tijdsignaal wordt benaderd door waarden op discrete tijdstippen te evalueren, resulterend in een discrete-tijdsignaal. De samplefrequentie (aantal samples per seconde) en de sampleperiode (tijdsduur tussen samples) zijn hierbij gerelateerd [10](#page=10). * **Kwantiseren:** Het proces waarbij de waarden van een signaal worden beperkt tot een eindig aantal discrete waarden, wat leidt tot een digitaal signaal. Dit wordt ook wel "truncation" of afronding naar beneden genoemd [10](#page=10). * **TOON:** Een bijzonder signaal dat een zuivere sinusgolf voorstelt: $T O O N(t):= P \sin(2\pi 440t)$ [11](#page=11). * De parameters hierin zijn: * $P$: Amplitude, bijvoorbeeld in hPa [11](#page=11). * $440$: Frequentie in Hertz (Hz), wat staat voor cycli per seconde [11](#page=11). * $\omega = 2\pi 440$: Hoekfrequentie of pulsatie in radialen per seconde [11](#page=11). * Periodieke signalen zoals TOON hebben een periode (de duur van één cyclus) die gelijk is aan $1/\text{frequentie}$ [11](#page=11). * Complexe exponentiëlen van de vorm $t \mapsto e^{i\omega t}$ worden gepromoot als elementaire deeltjes voor een gestroomlijndere theorie [11](#page=11). * **BEELD:** Signalen met een 2-dimensionaal domein. * **BEELD A4:** Een signaal met domein $ \times $ en een codomein dat grijswaarden in $[0, B_{\max}]$ representeert [12](#page=12) . * **KLEUR BEELD:** Een signaal met een 3-dimensionaal codomein $(r, g, b)$ dat de intensiteiten van rood, groen en blauw voorstelt [12](#page=12). * **COMPUTER BEELD:** Een digitaal beeld met een discreet domein (pixels) en een discreet codomein (bv. 256 grijswaarden met 8 bits) [12](#page=12). * Sampling in beeldverwerking gebeurt zowel in de verticale als horizontale dimensie, wat resulteert in pixels [12](#page=12). * **Signalen ad libitum:** Diverse andere voorbeelden, waaronder datasequenties waarbij het domein een ordening heeft maar niet per se de tijd representeert [12](#page=12) [13](#page=13). ### 1.3 Definitie van signalen Een signaal $f: X \rightarrow Y$ wordt gekarakteriseerd door zijn domein $X$, codomein $Y$, en zijn voorschrift. De manieren om het voorschrift aan te duiden zijn [13](#page=13): 1. **Declaratie:** Een wiskundige uitdrukking voor $f(x)$, nuttig voor analyse [13](#page=13). 2. **Procedure:** Gebruikt voor synthese en systeem beschrijvingen, vaak in programmeercode [13](#page=13). 3. **De graf van een signaal:** De verzameling van alle paren $(x, y)$ waarbij $y=f(x)$. Een grafische voorstelling is een plot. Een graf met een eindig domein is een lijst of tabel [13](#page=13). 4. **Compositie of samenstelling:** Het combineren van functies, $f_2 \circ f_1: X \rightarrow Y'$, gedefinieerd als $(f_2 \circ f_1)(x) = f_2(f_1(x))$, indien $Y \subseteq X'$ [13](#page=13). 5. **Fysisch modelleren:** Het signaal wordt bepaald door een fysisch model, bijvoorbeeld een differentiaalvergelijking [13](#page=13). ### 1.4 Signaalruimten Een signaal $x$ is abstract gedefinieerd als een functie $x: \text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}$ [14](#page=14). * **Domein (Dom):** Kan $\mathbb{Z}$ (discrete tijd) of $\mathbb{R}$ (continue tijd) zijn [14](#page=14). * **Codomein (CoDom):** In deze cursus is dit $\mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$, maar kan algemener een meerdimensionale vectorruimte zijn [14](#page=14). De **signaalruimte** genoteerd als $[\text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}]$, is de verzameling van alle functies $x: \text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}$ met specifieke eigenschappen [14](#page=14). * Signaalruimten zijn gesloten onder optelling en scalaire vermenigvuldiging, en vormen zelf een (reële of complexe) vectorruimte [14](#page=14). * $(x + y)(t):= x(t) + y(t)$ [14](#page=14). * $(ax)(t):= ax(t)$ [14](#page=14). * **Complexe getallen:** $c = a + bi$, met $a = \text{Re } c$ (reëel deel) en $b = \text{Im } c$ (imaginair deel) [15](#page=15). * Complex toegevoegde: $\bar{c} = a - bi$ [15](#page=15). * Modulus: $|c| = \sqrt{a^2 + b^2}$, waarbij $|c|^2 = c\bar{c}$ [15](#page=15). * Polair coördinaten: $c = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$, met $r = |c|$ en $\theta = \arg(c)$ [15](#page=15). ### 1.5 Energiesignalen en vermogensignalen * **Energiesignaal:** Een signaal met een begrensde energie. * Continue tijd: $\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt < +\infty$ [15](#page=15). * Discrete tijd: $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2 < +\infty$ [15](#page=15). * **Vermogensignaal:** Een signaal met een begrensd gemiddeld vermogen, ook al kan de totale energie onbegrensd zijn. * Continue tijd: $\lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} |x(t)|^2 dt < +\infty$ [15](#page=15). * Discrete tijd: $\lim_{N \to +\infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{+N} |x(n)|^2 < +\infty$ [15](#page=15). #### 1.5.1 Correlatiefuncties De correlatiefunctie meet de gelijkenis tussen twee signalen als functie van hun tijdsverschil. * **Kruiscorrelatiefunctie:** * Continue tijd, energiesignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(\tau):= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t+\tau)y(t) dt$ [16](#page=16). * Continue tijd, vermogensignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(\tau):= \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} x(t+\tau)y(t) dt$ [16](#page=16). * Discrete tijd, energiesignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(n):= \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x(m+n)y(m)$ [16](#page=16). * Discrete tijd, vermogensignalen: $\mathcal{R}_{x,y}(n):= \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{m=-N}^{+N} x(m+n)y(m)$ [16](#page=16). * **Autocorrelatiefunctie:** De kruiscorrelatie van een signaal met zichzelf, $\mathcal{R}_{x,x}(\tau)$ of $R_x(\tau)$ [16](#page=16). * Een grote autocorrelatiewaarde duidt op kleine afwijkingen tussen signaalwaarden die $t$ uit elkaar liggen [17](#page=17). * Eigenschappen voor reëelwaardige signalen: * Even: $R_x(t) = R_x(-t)$ [17](#page=17). * Heeft een maximum op $t=0$: $|R_x(t)| \le R_x $ [17](#page=17). ### 1.6 Systemen als functies Systemen transformeren ingangssignalen naar uitgangssignalen en worden daarom zelf beschouwd als functies waarvan het domein en codomein signaalruimten zijn. Een systeem $S$ wordt gedefinieerd als $S: [\text{Dom} \rightarrow \text{CoDom}] \rightarrow [\text{Dom}_0 \rightarrow \text{CoDom}_0]$, waarbij $u$ het ingangssignaal is en $y$ het uitgangssignaal: $y = S(u)$ [17](#page=17). #### 1.6.1 Voorbeelden van systemen * **Opslaan:** Muziek opslaan op CD [17](#page=17). * **Transmissie:** Geluid overbrengen via het internet [17](#page=17). * **Equalizer:** Aanpassen van frequentiecomponenten van een geluidssignaal [17](#page=17). * **Filter:** Verwijderen van ruis uit een signaal [17](#page=17). * **Regelaar:** Servo voor autosturing, thermostaten, cruise control [17](#page=17). #### 1.6.2 Basisoperaties op signalen en systemen * **Verschuivingsoperator:** $D_\tau w(t):= w(t-\tau)$. Voor $\tau>0$ wordt dit een delay-operator genoemd [18](#page=18). * **Tijdschalingsoperator:** $TS_a w(t):= w(at)$. $TS_{-1}$ staat voor tijdsomkering ($\tilde{w}(t) = w(-t)$) [18](#page=18). #### 1.6.3 Belangrijke systeemtypen * **Geheugenloos systeem:** De uitgang op een bepaald moment hangt uitsluitend af van de ingang op datzelfde moment (en eventueel de tijd $t$) [18](#page=18) [19](#page=19). * $S(u)(t):= f(u(t))$ [18](#page=18). * **Smoother:** Een systeem dat de ingang uitmiddelt over een bepaald tijdsvenster, wat resulteert in een "gladder" signaal [19](#page=19). * $S(u)(t):= \frac{1}{M} \int_{t-M}^{t} u(\tau) d\tau$ [19](#page=19). * **Convolutie:** Een fundamenteel systeem in de analyse van signalen en systemen. * $(u \ast h)(t):= \int_{-\infty}^{+\infty} u(\tau)h(t-\tau) d\tau$ [20](#page=20). * De convolutie van twee signalen $u$ en $h$ definieert de uitgang $y$ van een systeem gekarakteriseerd door $h$ [20](#page=20). * Relatie met kruiscorrelatie: $\mathcal{R}_{v,w} = v \ast (TS_{-1}w)$ [20](#page=20). ### 1.7 Differentie- en differentiaalvergelijkingen als systemen Differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen worden veel gebruikt als systeemmodellen. Eén ingang kan leiden tot oneindig veel uitgangen (bv. bij lineaire differentiaalvergelijkingen) tenzij extra informatie zoals beginvoorwaarden of causaliteit wordt opgelegd. Digitale signaalverwerking (DSP) is een belangrijk gebied dat zich bezighoudt met systemen die discrete-tijdsignalen verwerken [20](#page=20) [21](#page=21). ### 1.8 Systemen beschreven door blokdiagrammen Blokdiagrammen bieden een grafische voorstelling van systemen [21](#page=21). * **Cascade:** De opeenvolging van systemen, wat overeenkomt met de compositie van functies [21](#page=21). * $S = S_2 \circ S_1$ [21](#page=21). * **Combinatie van systemen:** Systemen kunnen worden gecombineerd met behulp van sommatie en andere operaties [21](#page=21). * **Terugkoppeling (feedback):** De uitgang van een systeem wordt (deels) teruggekoppeld naar de ingang, wat leidt tot impliciete definies van systemen. De oplossing van deze vergelijkingen kan complex zijn en vereist soms specifieke methoden om een unieke uitgang te bepalen [21](#page=21) [22](#page=22). --- # Fourier-reeksen en transformaties Hier is een gedetailleerd studieoverzicht over Fourier-reeksen en transformaties, gebaseerd op de verstrekte documentatie: ## 2. Fourier-reeksen en transformaties Dit deel van de syllabus behandelt de ontwikkeling van periodieke en aperiodieke signalen met behulp van Fourier-reeksen en Fourier-transformaties, waarbij de nadruk ligt op orthogonaliteit, de stelling van de beste benadering, en de eigenschappen van deze transformaties voor systeem analyse [23](#page=23). ### 2.1 Orthogonale functies #### 2.1.1 Inwendig product en norm Het concept van het **inwendig product** is fundamenteel voor de studie van Fourier-reeksen. Het maakt de introductie mogelijk van afgeleide begrippen zoals 'norm' en 'afstand', en met name 'orthogonaliteit'. Een inwendig product op een vectorruimte X over $\mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ is een afbeelding $\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ die voldoet aan de volgende eigenschappen voor $x, y, z \in X$ en $c \in \mathbb{R}$ of $\mathbb{C}$ [23](#page=23): * $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ (symmetrie) [23](#page=23). * $\langle x, y + z \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle$ (distributiviteit) [23](#page=23). * $\langle c x, y \rangle = c \langle x, y \rangle$ (homogeniteit) [23](#page=23). * $\langle x, x \rangle \ge 0$, met $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$ (niet-negativiteit) [23](#page=23). Klassieke voorbeelden van inwendige producten zijn: * Voor $x, y \in \mathbb{C}^n$: $\langle x, y \rangle:= x^\text{H} y$ (waarbij $x^\text{H}$ de geconjugeerde getransponeerde is) [24](#page=24). * Voor $x, y \in [ \mathbb{Z} \to \mathbb{C} ]$: $\langle x, y \rangle:= \sum_{n \in \mathbb{Z}} x(n) \overline{y(n)}$ [24](#page=24). * Voor $f, g \in [ [a, b) \to \mathbb{C} ]$: $\langle f, g \rangle:= \int_a^b f(t) \overline{g(t)} dt$ [24](#page=24). * Voor periodieke functies met periode $p$: $\langle f, g \rangle:= \frac{1}{p} \int_{[p]} f(t) \overline{g(t)} dt$ [27](#page=27). Het inwendig product definieert een **norm** voor een vector: $k x k:= \sqrt{\langle x, x \rangle}$. De Cauchy-Schwarz ongelijkheid stelt dat $ | \langle x, y \rangle |^2 \le \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle $ voor alle $x, y \in X$, met gelijkheid indien $x$ en $y$ lineair afhankelijk zijn. De norm voldoet aan de volgende eigenschappen [24](#page=24): * $k x k = 0 \iff x = 0$ [24](#page=24). * $k c x k = |c| k x k$ [24](#page=24). * $k x + y k \le k x k + k y k$ (driehoeksongelijkheid) [24](#page=24). Voor signaalruimtes zijn de normen vaak van het type $k f k:= \left(\int |f(t)|^2 dt\right)^{1/2}$ of $k x k:= \left(\sum |x(n)|^2\right)^{1/2}$. Ruimtes van functies met een eindige $L^2$-norm, dus waarvoor $k f k < +\infty$, vormen een vectorruimte [24](#page=24) [25](#page=25). #### 2.1.2 Orthonormaliteit Twee vectoren $x$ en $y$ zijn **orthogonaal** als hun inwendig product nul is: $\langle x, y \rangle = 0$. Een set van vectoren $S = \{\phi_0, \phi_1, \phi_2, \dots \}$ wordt een **orthogonaal stel** genoemd als $\langle \phi_n, \phi_m \rangle = 0$ voor $n \ne m$. Als bovendien $k \phi_n k = 1$ voor alle $n$, dan is $S$ een **orthonormaal stel** [25](#page=25). ### 2.2 Stelling van de beste benadering Gegeven een signaal $f$ en een orthonormaal stel $\{\phi_i\}$, is de beste benadering van $f$ door een lineaire combinatie van de eerste $n+1$ basissignalen, $t_n = \sum_{k=0}^n b_{nk}\phi_k$, die de afstand $k f - t_n k$ minimaliseert, verkregen wanneer de coëfficiënten $b_{nk}$ gelijk zijn aan de Fourier-coëfficiënten: $c_k = \langle f, \phi_k \rangle$ [26](#page=26). De geoptimaliseerde som is $s_n := \sum_{k=0}^n c_k \phi_k$. De fout wordt gegeven door: $$ k f - t_n k^2 = k f k^2 - \sum_{k=0}^n |c_k|^2 + \sum_{k=0}^n |b_{nk} - c_k|^2 $$ [26](#page=26). Om de fout te minimaliseren, kiest men $b_{nk} = c_k$. De minimale fout is dan: $$ k f - s_n k^2 = k f k^2 - \sum_{k=0}^n |c_k|^2 $$ [26](#page=26) [29](#page=29). > **Tip:** Geometrisch correspondeert de beste benadering met de orthogonale projectie van het signaal $f$ op de deelruimte opgespannen door de basissignalen $\{\phi_0, \dots, \phi_n\}$ [29](#page=29). ### 2.3 Fourier-reeks van periodieke continue-tijdsignalen Een periodiek signaal $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ met periode $p > 0$ voldoet aan $f(t) = f(t+p)$ voor alle $t \in \mathbb{R}$. Een signaal met eindig domein $[a, b)$ kan periodiek worden uitgebreid naar $\mathbb{R}$ [30](#page=30). De basis voor continue-tijd Fourier-reeksen (CTFR) is de reeks van complexe exponentiëlen $\{\phi_n(t) = e^{in\omega_0 t} \mid n \in \mathbb{Z}\}$, waarbij $\omega_0 = \frac{2\pi}{p}$. Dit stel is orthonormaal met het inwendig product $\langle f, g \rangle:= \frac{1}{p} \int_{[p]} f(t) \overline{g(t)} dt$ [27](#page=27) [28](#page=28). Een periodiek signaal $f$ kan worden ontwikkeld in een Fourier-reeks: $$ f(t) \sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega_0 t}, \quad t \in \mathbb{R} $$ [28](#page=28). met de Fourier-coëfficiënten $c_n$: $$ c_n = \langle f, \phi_n \rangle = \frac{1}{p} \int_{[p]} f(t) e^{-in\omega_0 t} dt, \quad n \in \mathbb{Z} $$ [28](#page=28). #### 2.3.1 Convergentie * **Convergentie in norm:** De partiële sommen $s_N(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{in\omega_0 t}$ convergeren in norm naar $f(t)$ als $N \to \infty$: $\lim_{N \to \infty} k f - s_N k_2 = 0$. Dit is equivalent aan de gelijkheid van Parseval [28](#page=28) [32](#page=32): $$ \frac{1}{p} \int_{[p]} |f(t)|^2 dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n|^2 $$ [29](#page=29) [39](#page=39). * **Puntsgewijze convergentie:** Voor periodieke signalen die voldoen aan de Dirichlet-voorwaarden (absolute integreerbaarheid, eindig aantal extrema per periode, en stuksgewijze continuïteit) convergeert de reeks puntsgewijze naar $\frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$ [32](#page=32). * **Uniforme convergentie:** Treedt enkel op onder strengere voorwaarden (bv. $f$ continu en stuksgewijze glad). Het **Gibbs-verschijnsel** illustreert het gebrek aan uniforme convergentie nabij discontinuïteiten, met een overshoot van circa 9% van de sprong [32](#page=32) [33](#page=33). #### 2.3.2 Eigenschappen van de Fourier-reeks Voor periodieke signalen $x(t) \sim X(k)$ en $y(t) \sim Y(k)$ met dezelfde periode $p$: * **Lineariteit:** $a x(t) + b y(t) \sim a X(k) + b Y(k)$ [37](#page=37). * **Verschuiving in tijd:** $x(t - \tau) \sim X(k) e^{-ik \frac{2\pi}{p} \tau}$ [37](#page=37). * **Modulatie:** $e^{iM \frac{2\pi}{p} t} x(t) \sim X(k-M)$ voor $M \in \mathbb{Z}$ [37](#page=37). * **Complex toegevoegde:** $\overline{x(t)} \sim \overline{X(-k)}$. Voor reële signalen geldt: $x(t) \in \mathbb{R} \implies X(k) = \overline{X(-k)}$ (even amplitude, oneven fase) [37](#page=37). * **Tijdomkering:** $x(-t) \sim X(-k)$ [38](#page=38). ### 2.4 Fourier-reeks van periodieke discrete-tijdsignalen (DFR) Een discreet-tijdsignaal $x: \mathbb{Z} \to \mathbb{C}$ is periodiek met periode $p \in \mathbb{N}$ als $x(n) = x(n+p)$ voor alle $n \in \mathbb{Z}$. De fundamentele periode bestaat altijd [34](#page=34). De basis voor DFR zijn de discrete complexe exponentiëlen $\{\phi_k(n) = e^{ik\omega_0 n} \mid k = 0, \dots, p-1\}$, waarbij $\omega_0 = \frac{2\pi}{p}$. Dit stel vormt een orthonormaal stel met het inwendig product $\langle f, g \rangle:= \frac{1}{p} \sum_{n=0}^{p-1} f(n) \overline{g(n)}$ [35](#page=35). Een periodiek signaal $x$ met periode $p$ kan worden ontwikkeld in een discrete-tijd Fourier-reeks (DFR): $$ x(n) = \sum_{k=0}^{p-1} c_k e^{ik\omega_0 n}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ [36](#page=36). met de Fourier-coëfficiënten $c_k$: $$ c_k = \langle x, \phi_k \rangle = \frac{1}{p} \sum_{n=0}^{p-1} x(n) e^{-ik\omega_0 n}, \quad k = 0, \dots, p-1 $$ [36](#page=36). #### 2.4.1 Representatie als matrix De DFR kan worden uitgedrukt met behulp van matrices. Laten $x = [x \dots, x(p-1)]^\text{T}$ het signaalvector zijn en $X = [X \dots, X(p-1)]^\text{T}$ de vector van Fourier-coëfficiënten. Dan geldt : $$ X = \frac{1}{p} F x $$ [40](#page=40). en de inverse transformatie (reconstructie): $$ x = F X $$ [40](#page=40). waarbij $F$ de $p \times p$ DFT-matrix is met elementen $F_{kn} = e^{-ik\omega_0 n} = e^{-i \frac{2\pi}{p} kn}$. De matrix $F$ is symmetrisch en $F F^\text{H} = pI$, waardoor $\frac{1}{\sqrt{p}}F$ een unitaire matrix is [40](#page=40). #### 2.4.2 Eigenschappen van DFR Analoge eigenschappen als voor de continue Fourier-reeks gelden, met discrete tijdvariabelen en sommaties in plaats van integralen [38](#page=38). * **Periodieke convolutie:** $z(n) = \frac{1}{p} \sum_{\ell=0}^{p-1} x(\ell)y(n-\ell) \implies Z(k) = X(k)Y(k)$ [39](#page=39). * **Vermenigvuldiging:** $z(n) = x(n)y(n) \implies Z(k) = \sum_{\ell=0}^{p-1} X(\ell)Y(k-\ell)$ [39](#page=39). * **Gelijkheid van Parseval:** $\frac{1}{p} \sum_{n=0}^{p-1} |x(n)|^2 = \sum_{k=0}^{p-1} |X(k)|^2$ [39](#page=39). ### 2.5 Fourier-transformaties voor aperiodieke signalen Fourier-transformaties breiden het concept van Fourier-reeksen uit naar aperiodieke signalen [77](#page=77). #### 2.5.1 Continue-tijd Fourier-transformatie (FT) Voor een aperiodiek signaal $x \in L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ wordt de Fourier-transformatie $X(\omega)$ gedefinieerd als: $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i\omega t} dt, \quad \omega \in \mathbb{R} $$ [80](#page=80). De inverse Fourier-transformatie (iFT) wordt gegeven door: $$ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{i\omega t} d\omega, \quad t \in \mathbb{R} $$ [80](#page=80). > **Tip:** De FT zet een signaal om van het tijdsdomein naar het frequentiedomein (pulsatie $\omega$). De iFT doet het omgekeerde [82](#page=82). #### 2.5.2 Discrete-tijd Fourier-transformatie (DTFT) Voor een aperiodiek discreet-tijdsignaal $x \in [ \mathbb{Z} \to \mathbb{C} ]$ wordt de DTFT $X(\omega)$ gedefinieerd als: $$ X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-i\omega n}, \quad \omega \in \mathbb{R} $$ [78](#page=78). De DTFT is altijd periodiek met periode $2\pi$. De inverse DTFT (invDTFT) is: $$ x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} X(\omega) e^{i\omega n} d\omega, \quad n \in \mathbb{Z} $$ [79](#page=79). #### 2.5.3 Verband tussen Fourier-reeksen en -transformaties * **Periodiek CT-signaal $\to$ FT:** De FT van een periodiek CT-signaal is een Dirac-kamverdeling op de frequentie-as, waarbij de Dirac-impulsen gelokaliseerd zijn op de harmonischen $k\omega_0$ en hun sterkte bepaald wordt door de FR-coëfficiënten $c_k$: $$ X_{FT}(\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \delta(\omega - k\omega_0) $$ [93](#page=93). * **Periodiek DT-signaal $\to$ DTFT:** De DTFT van een periodiek DT-signaal is een periodieke versie van gesamplede DFR-coëfficiënten, gemodificeerd door Dirac-delta's op de frequentie-as. Binnen één periode $[0, 2\pi)$ geldt: $$ X_{DTFT}(\omega) = \frac{2\pi}{p} \sum_{k=0}^{p-1} X_{DFT}(k) \delta(\omega - k\omega_0), \quad \omega \in [0, 2\pi) $$ [94](#page=94). ### 2.6 Eigenschappen van Fourier-transformaties Veel eigenschappen van de Fourier-reeks hebben een analoog voor de Fourier-transformatie. #### 2.6.1 FT Eigenschappen Voor $x, y \in L^2(\mathbb{R}, \mathbb{C})$ met $X=FT(x)$ en $Y=FT(y)$: * **Lineariteit:** $a x(t) + b y(t) \sim a X(\omega) + b Y(\omega)$ [82](#page=82). * **Verschuiving in tijd:** $x(t - \tau) \sim e^{-i\omega\tau} X(\omega)$ [82](#page=82). * **Modulatie:** $e^{ia t} x(t) \sim X(\omega - a)$ [82](#page=82). * **Complex toegevoegde:** $\overline{x(t)} \sim \overline{X(-\omega)}$ [82](#page=82). * **Tijdschaalverandering:** $x(at) \sim \frac{1}{|a|} X(\frac{\omega}{a})$ [83](#page=83). * **Afgeleide:** $\frac{d^p}{dt^p} x(t) \sim (i\omega)^p X(\omega)$ [83](#page=83). * **Hermitische symmetrie:** * $x(t) \in \mathbb{R} \implies X(-\omega) = \overline{X(\omega)}$ [83](#page=83). * $x(t) \in \mathbb{R}$ en even $\implies X(\omega) \in \mathbb{R}$ en even [83](#page=83). * $x(t) \in \mathbb{R}$ en oneven $\implies X(\omega)$ imaginair en oneven [83](#page=83). * **Convolutie:** $x(t) * y(t) \sim X(\omega) Y(\omega)$ [83](#page=83). * **Vermenigvuldiging in tijddomein:** $x(t)y(t) \sim \frac{1}{2\pi} (X * Y)(\omega)$ [85](#page=85). * **Plancherel / Parseval:** $\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\overline{y(t)} dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\overline{Y(\omega)} d\omega$. Voor energie: $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega$ [83](#page=83). #### 2.6.2 DTFT Eigenschappen Analogen van de FT-eigenschappen gelden voor de DTFT, met discrete tijdvariabelen en de $2\pi$-periodiciteit van de DTFT in acht genomen. Bijvoorbeeld, de convolutie-eigenschap wordt [82](#page=82) [83](#page=83): $$ x(n) * y(n) \sim X(\omega) Y(\omega) $$ [83](#page=83). En de identiteit van Parseval: $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x(n)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |X(\omega)|^2 d\omega $$ [83](#page=83). ### 2.7 Dualiteit Het principe van dualiteit stelt dat, voor bepaalde transformaties (zoals FT en DFT), het verband tussen een signaal en zijn getransformeerde symmetrisch is. * **FT-dualiteit:** Als $x(t) \sim X(\omega)$, dan geldt ook $X(\omega) \sim 2\pi \tilde{x}(t)$, waarbij $\tilde{x}(t) = x(-t)$. Dit leidt tot paren als [84](#page=84): $$ \frac{1}{2\pi} \tilde{X} \sim x \sim X \sim 2\pi \tilde{x} $$ [84](#page=84). * **DFT-dualiteit:** Als $x(n) \sim X(k)$ (met $p$-periodieke signalen), dan geldt ook $X(k) \sim p \tilde{x}(n)$ [85](#page=85). > **Tip:** Dualiteit is een krachtig hulpmiddel om nieuwe eigenschappen af te leiden uit reeds bekende eigenschappen. ### 2.8 Sommatieformule van Poisson De sommatieformule van Poisson legt een verband tussen de FT van een signaal en de FR-coëfficiënten van zijn periodieke uitbreiding: $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(t + np) = \frac{1}{p} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\frac{2\pi k}{p}\right) e^{i k \frac{2\pi}{p} t} $$ [86](#page=86). ### 2.9 Energiespectrum en vermogenspectrum * **Energiespectrum:** Voor signalen met eindige energie wordt de energie verdeeld over de frequenties. De spectrale energiedichtheid is $|X(f)|^2$. Voor een LTI-systeem geldt $|Y(f)|^2 = |H(f)|^2 |X(f)|^2$ [88](#page=88). * **Vermogenspectrum:** Voor signalen met eindig gemiddeld vermogen (bv. periodieke signalen) wordt het vermogenspectrum $S_x(f)$ gedefinieerd zodanig dat het totale vermogen de integraal van het spectrum is. Het vermogenspectrum is de FT van de autocorrelatiefunctie: $R_x(\tau) \leftrightarrow S_x(f)$. Voor een LTI-systeem geldt $S_y(f) = |H(f)|^2 S_x(f)$ [89](#page=89). ### 2.10 Onzekerheidsbeginsel van Heisenberg Voor signalen met eindige energie geldt dat de tijdsduur waarin het signaal significant is en de bandbreedte waarin het spectrum significant is, niet tegelijkertijd willekeurig klein gemaakt kunnen worden. De varianties $\sigma_t^2$ en $\sigma_\omega^2$ voldoen aan: $$ \sigma_t^2 \sigma_\omega^2 \ge \frac{1}{4} $$ [90](#page=90). ### 2.11 Voorbeelden van Fourier-transformaties #### 2.11.1 FT van elementaire signalen * $x(t) = \text{rect}(t/T) \sim T \cdot \text{sinc}(\omega T/2)$ [81](#page=81). * $x(t) = e^{iat} \sim 2\pi \delta(\omega - a)$ [87](#page=87). * $x(t) = \cos(at) \sim \pi (\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a))$ [93](#page=93). #### 2.11.2 DFT/DFR van elementaire signalen Voorbeelden met sinussen en cosinussen in discrete tijd worden besproken in de documentatie [41](#page=41). #### 2.11.3 Verbanden tussen FR en FT De documentatie onderzoekt de relatie tussen de Fourier-reeks van een signaal en de Fourier-transformatie van zijn triviale en periodieke uitbreidingen. Dit illustreert hoe de discrete frequenties van de FR corresponderen met gesamplede waarden van de continue FT [92](#page=92) [93](#page=93) [94](#page=94). --- # Lineaire tijdinvariante (LTI) systemen en hun analyse Hier is de studiehandleiding voor "Lineaire tijdinvariante (LTI) systemen en hun analyse": # 3. Lineaire tijdinvariante (LTI) systemen en hun analyse Dit gedeelte behandelt de analyse van lineaire en tijdinvariante systemen, inclusief hun impulsantwoord, frequentieantwoord, overdrachtsfunctie, en de relatie met differentievergelijkingen en toestandsmodellen. ## 3.1 Fundamentele concepten en definities ### 3.1.1 Systeemdefinitie Een systeem S is een afbeelding van een ingangsruimte naar een uitgangsruimte. Voor discrete-tijdsystemen geldt $S: [Z \to \mathbb{C}] \to [Z \to \mathbb{C}]$ en voor continue-tijdsystemen $S: [\mathbb{R} \to \mathbb{C}] \to [\mathbb{R} \to \mathbb{C}]$. De uitgang $y$ wordt uniek bepaald door de ingang $u$ via $y = S(u)$ [42](#page=42). ### 3.1.2 Tijdinvariantie Een systeem $S$ is tijdinvariant (of stationair/translatie-invariant) als een tijdsvertraging van de ingang leidt tot dezelfde tijdsvertraging van de uitgang. Dit kan worden uitgedrukt met de verschuivingsoperator $D_\tau$ (voor continue tijd) of $D_k$ (voor discrete tijd) [43](#page=43). * **Continue tijd:** $S$ is tijdinvariant $\iff S \circ D_\tau = D_\tau \circ S$ voor alle $\tau \in \mathbb{R}$. Dit betekent $S(u(t-\tau)) = y(t-\tau)$ als $y(t) = S(u(t))$ [43](#page=43). * **Discrete tijd:** $S$ is tijdinvariant $\iff S \circ D_k = D_k \circ S$ voor alle $k \in \mathbb{Z}$. Dit betekent $S(u(n-k)) = y(n-k)$ als $y(n) = S(u(n))$ [43](#page=43). ### 3.1.3 Lineariteit Een systeem $S$ is lineair als het voldoet aan de superpositie-eigenschap: voor willekeurige ingangen $x, y$ en scalairen $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ geldt $S(\alpha x + \beta y) = \alpha S(x) + \beta S(y)$ [43](#page=43). ### 3.1.4 Lineair TijdInvariante (LTI) Systemen Systemen die zowel lineair als tijdinvariant zijn, worden LTI-systemen genoemd. ## 3.2 Impulsantwoord en convolutie LTI-systemen kunnen volledig gekarakteriseerd worden door hun impulsantwoord. ### 3.2.1 Impulsantwoord Het impulsantwoord $h$ van een LTI-systeem $S$ is de uitgang van het systeem wanneer de ingang de Dirac-impuls (voor continue tijd) of de Kronecker-delta (voor discrete tijd) is [45](#page=45). * **Discrete tijd:** Het impulsantwoord $h$ is het signaal $h = S(\delta)$, waar $\delta(n) = 1$ als $n=0$ en $\delta(n) = 0$ anders [44](#page=44). * **Continue tijd:** Het impulsantwoord $h$ is de distributie $h = S(\delta)$, waar $\delta$ de Dirac-distributie is [50](#page=50). ### 3.2.2 Convolutie De relatie tussen de ingang $u$, de uitgang $y$ en het impulsantwoord $h$ van een LTI-systeem wordt gegeven door de convolutie-operator. * **Discrete tijd:** $(x * y)(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(k) y(n-k)$. Voor een LTI-systeem geldt $y(n) = (h * u)(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) u(n-k)$. De convolutie is commutatief ($h * u = u * h$) en lineair. De Dirac-impuls $\delta$ is het eenheidselement voor convolutie: $h * \delta = h$ [44](#page=44) [45](#page=45). * **Continue tijd:** $(x * y)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) y(t-\tau) d\tau$. Voor een LTI-systeem geldt $y(t) = (h * u)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) u(t-\tau) d\tau$. Ook hier is de convolutie commutatief en lineair. De Dirac-distributie $\delta$ is het eenheidselement: $h * \delta = h$ [53](#page=53) [54](#page=54). ## 3.3 Frequentieantwoord Het frequentieantwoord beschrijft hoe een LTI-systeem reageert op sinusoïdale ingangen. ### 3.3.1 Definities * **Discrete tijd:** Voor een ingang $u(n) = e^{j\omega n}$, is de uitgang $y(n) = H_f(\omega) e^{j\omega n}$, waarbij $H_f(\omega) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h(m) e^{-j\omega m}$ het frequentieantwoord is, op voorwaarde dat de reeks absoluut convergeert. Complexe exponentiëlen zijn eigensignalen van LTI-systemen [59](#page=59) [60](#page=60). * **Continue tijd:** Voor een ingang $u(t) = e^{j\omega t}$, is de uitgang $y(t) = H_f(\omega) e^{j\omega t}$, waarbij $H_f(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau$ het frequentieantwoord is, op voorwaarde dat de integraal absoluut convergeert. Ook hier zijn complexe exponentiëlen eigensignalen [62](#page=62) [63](#page=63). ### 3.3.2 Relatie met Fourier-transformatie Het frequentieantwoord is de Fourier-transformatie van het impulsantwoord [60](#page=60) [63](#page=63): * **Discrete tijd:** $H_f(\omega) = \text{DTFT}\{h(n)\}(\omega)$ [60](#page=60). * **Continue tijd:** $H_f(\omega) = \text{CTFT}\{h(t)\}(\omega)$ [63](#page=63). ### 3.3.3 Periodieke signalen Voor periodieke ingangen kan het spectrum van de uitgang worden verkregen door het spectrum van de ingang te vermenigvuldigen met het frequentieantwoord op de overeenkomstige frequentiecomponenten. LTI-systemen filteren frequenties, wat verklaart waarom ze "filters" worden genoemd [64](#page=64) [65](#page=65). ## 3.4 Overdrachtsfunctie (Transferfunctie) De overdrachtsfunctie is de Laplace-getransformeerde (continue tijd) of z-getransformeerde (discrete tijd) van het impulsantwoord. ### 3.4.1 Definities * **Discrete tijd:** $H(z) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} h(m) z^{-m}$, voor $z \in \mathbb{C}$ waar de reeks convergeert. Complexe signalen $u(n) = z^n$ zijn ook eigensignalen, met uitgang $y(n) = H(z)z^n$ [61](#page=61). * **Continue tijd:** $H(s) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s\tau} d\tau$, voor $s \in \mathbb{C}$ waar de integraal convergeert. Complexe signalen $u(t) = e^{st}$ zijn ook eigensignalen, met uitgang $y(t) = H(s)e^{st}$ [63](#page=63) [64](#page=64). ### 3.4.2 Relatie met Laplace/z-transformatie De overdrachtsfunctie is de Laplace-getransformeerde (continue tijd) of z-getransformeerde (discrete tijd) van het impulsantwoord . * **Discrete tijd:** $H(z) = Z\{h(n)\}(z)$ . * **Continue tijd:** $H(s) = L\{h(t)\}(s)$ . ### 3.4.3 Verschil met Frequentieantwoord Voor continue tijd geldt $H(i\omega) = H_f(\omega)$ als $H(s)$ op de imaginaire as bestaat. Voor discrete tijd geldt $H(e^{j\omega}) = H_f(\omega)$ als $H(z)$ op de eenheidscirkel bestaat . ## 3.5 Toestandsmodel Een toestandsmodel biedt een alternatieve, meer gedetailleerde beschrijving van systemen, die niet alleen de relatie tussen ingang en uitgang beschrijft, maar ook de interne toestand van het systeem. ### 3.5.1 Discrete-tijd toestandsmodel Een toestandsmodel is een 6-tuple $(X_{WGB}, U_{WGB}, Y_{WGB}, \text{Update}, n_0, x_0)$, waarbij de $\text{Update}$-functie de volgende toestand $x(n+1)$ en de huidige uitgang $y(n)$ bepaalt op basis van de huidige toestand $x(n)$, de ingang $u(n)$ en de tijdstap $n$ : $(x(n+1), y(n)) = \text{Update}(x(n), u(n), n)$, $n \ge n_0$. Voor LTI-systemen wordt dit: $x(n+1) = Ax(n) + Bu(n)$ $y(n) = Cx(n) + Du(n)$, $n \ge 0$ . Hierin zijn $A, B, C, D$ matrices die het systeem beschrijven. ### 3.5.2 Continue-tijd toestandsmodel Voor continue tijd geldt: $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ $y(t) = Cx(t) + Du(t)$, $t \in \mathbb{R}$ . De matrixexponentiële $e^{At}$ speelt hierbij een cruciale rol in de oplossing. ### 3.5.3 Algemene oplossing * **Discrete tijd:** $x(n) = A^n x + \sum_{m=0}^{n-1} A^{n-1-m} B u(m)$ . * **Continue tijd:** $x(t) = e^{At} x + \int_0^t e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d\tau$ . ### 3.5.4 Stabiliteit in toestandsmodel Asymptotische stabiliteit voor het toestandsmodel (ingang nul) is equivalent aan het feit dat alle eigenwaarden van matrix $A$ een negatief reëel deel hebben. Voor BIBO-stabiliteit geldt dat de som van de absolute waarden van de elementen van het impulsantwoord moet convergeren (discrete tijd) of dat de integraal van de absolute waarden van het impulsantwoord moet convergeren (continue tijd) [57](#page=57). ## 3.6 Differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen als systemen Lineaire hogere-orde differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen kunnen gemodelleerd worden als LTI-systemen. ### 3.6.1 Frequentieantwoord en Overdrachtsfunctie Voor differentievergelijkingen wordt het frequentieantwoord gegeven door $H(\omega) = \frac{b_0 + b_1e^{-j\omega} + \dots + b_M e^{-j\omega M}}{a_0 + a_1e^{-j\omega} + \dots + a_N e^{-j\omega N}}$. De overdrachtsfunctie is $H(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1} + \dots + b_M z^{-M}}{a_0 + a_1z^{-1} + \dots + a_N z^{-N}}$ [68](#page=68) [70](#page=70). Voor differentiaalvergelijkingen worden deze respectievelijk $H(\omega) = \frac{b_0 + b_1(j\omega) + \dots + b_M (j\omega)^M}{a_0 + a_1(j\omega) + \dots + a_N (j\omega)^N}$ en $H(s) = \frac{b_0 + b_1s + \dots + b_M s^M}{a_0 + a_1s + \dots + a_N s^N}$ [71](#page=71) [72](#page=72). ### 3.6.2 Pol en Nullen De polen van de overdrachtsfunctie bepalen de stabiliteit van het systeem. De nullen en polen van de overdrachtsfunctie karakteriseren het systeemgedrag [70](#page=70) [72](#page=72). ### 3.6.3 FIR- en IIR-filters * **FIR (Finite Impulse Response) filters:** Hebben een impulsantwoord dat op een eindig aantal tijdstippen niet nul is. Ze zijn altijd stabiel [72](#page=72). * **IIR (Infinite Impulse Response) filters:** Hebben een impulsantwoord dat op oneindig veel tijdstippen niet nul is. Ze kunnen instabiel zijn [73](#page=73). ## 3.7 Distributietheorie Distributies, zoals de Dirac-delta, zijn veralgemeende functies die nodig zijn om de eigenschappen van LTI-systemen in continue tijd rigoureus te beschrijven, met name rondom impulsen [46](#page=46). * **Dirac-delta distributie $\delta(t)$:** Een veralgemeende functie met de eigenschap $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau) \psi(\tau) d\tau = \psi $ voor elke testfunctie $\psi$ [50](#page=50). * **Afgeleiden en integralen van distributies:** Distributietheorie maakt het mogelijk om afgeleiden en integralen van niet-differentiëerbare functies (zoals de Heaviside-functie) te definiëren. Zo is de afgeleide van de Heaviside-functie gelijk aan de Dirac-delta distributie: $DH = \delta$ [52](#page=52). ## 3.8 Belangrijke Eigenschappen en Toepassingen ### 3.8.1 Causaliteit Een systeem is causaal als de uitgang op tijdstip $t$ alleen afhangt van ingangswaarden op tijdstippen $\tau \le t$. Voor LTI-systemen impliceert dit dat het impulsantwoord nul is voor negatieve tijd [58](#page=58). ### 3.8.2 Stabiliteit (BIBO) Een systeem is BIBO-stabiel (Bounded Input, Bounded Output) als elke begrensde ingang een begrensde uitgang oplevert [57](#page=57). * **Discrete tijd:** Equivalent aan $\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h(n)| < \infty$ [58](#page=58). * **Continue tijd:** Equivalent aan $\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty$ [58](#page=58). ### 3.8.3 Cascade en Terugkoppeling * **Cascade:** Het frequentieantwoord (of de overdrachtsfunctie) van systemen in cascade vermenigvuldigt zich: $H_{cascade}(\omega) = H_1(\omega) H_2(\omega)$. De volgorde maakt niet uit [66](#page=66). * **Terugkoppeling:** Voor een teruggekoppeld systeem met overdrachtsfuncties $H_1$ (direct pad) en $H_2$ (feedback pad), is de gesloten-lus overdrachtsfunctie $H(s) = \frac{H_1(s)}{1 - H_1(s)H_2(s)}$ [67](#page=67). ## 3.9 z- en Laplace-transformatie De z-transformatie (discrete tijd) en Laplace-transformatie (continue tijd) zijn krachtige hulpmiddelen voor de analyse van LTI-systemen. ### 3.9.1 Definities en Eigenschappen De transformaties zetten convoluties in het tijddomein om in vermenigvuldigingen in het transformatiedomein (z- of s-domein). Belangrijke eigenschappen zijn lineariteit, tijdverschuiving, schaling, en differentiatie/integratie . ### 3.9.2 Relatie met Systeemeigenschappen * **Causaliteit:** Karakteriseert zich door het convergentiegebied (GAC) van de transformatie. Voor continue tijd is het GAC een rechterhalfvlak, en voor discrete tijd een gebied buiten een cirkel . * **Stabiliteit:** De ligging van de polen van de overdrachtsfunctie ten opzichte van de eenheidscirkel (discrete tijd) of de imaginaire as (continue tijd) bepaalt de stabiliteit . * **Frequentieantwoord:** De overdrachtsfunctie geëvalueerd op de eenheidscirkel ($z=e^{j\omega}$) of op de imaginaire as ($s=j\omega$) geeft het frequentieantwoord . ### 3.9.3 Oplossen van Differentievergelijkingen met Beginvoorwaarden De eenzijdige z-transformatie en Laplace-transformatie zijn essentieel voor het oplossen van beginwaardeproblemen voor differentievergelijkingen en differentiaalvergelijkingen, waarbij de transformatie de differentievergelijkingen omzet in algebraïsche vergelijkingen . --- # Sampling en reconstructie van signalen Sampling en reconstructie van signalen is een cruciaal proces in signaalverwerking, waarbij continue tijdsignalen worden omgezet naar discrete tijdsignalen en vice versa. ## 4. Sampling en reconstructie van signalen ### 4.1 Sampling van continue-tijdsignalen Sampling transformeert continue-tijdsignalen naar discrete-tijdsignalen door het signaal te evalueren op uniform gespreide tijdstippen. * **Sampler**: Een systeem dat continue-tijdsignalen omzet in discrete-tijdsignalen. * Definitie: `SamplerTs: [R!C. * `Ts`: Het sample-interval (bemonsteringsinterval of sample-periode), uitgedrukt in seconden per sample [96](#page=96). * `fs`: De sample-frequentie (bemonsteringsfrequentie), gedefinieerd als `fs:= 1/Ts`, uitgedrukt in samples per seconde [96](#page=96). * `ωs`: De sample-pulsatie, gedefinieerd als `ωs:= 2πfs = 2π/Ts`, uitgedrukt in rad/s [96](#page=96). #### 4.1.1 Aliasing Een belangrijk gevolg van sampling is dat het gesamplede signaal minder informatie bevat dan het oorspronkelijke continue signaal. Verschillende continue signalen kunnen leiden tot hetzelfde discrete signaal na sampling. * **Aliassen**: Signalen die niet te onderscheiden zijn na sampling. * Voor een signaal `x(t):= ei2πf t` en een sample-periode `Ts`, leiden alle signalen `xN (t):= ei2π(f +N f s)t` met `N ∈ Z` tot hetzelfde gesamplede signaal `y(n):= ei2πf T s n` [96](#page=96). > **Tip:** In het frequentiedomein resulteert sampling in de replicatie van het oorspronkelijke signaal spectrum, verschoven over veelvouden van de sample-frequentie `fs` [96](#page=96). ### 4.2 Reconstructie: een wiskundig model Reconstructie is het proces van het herstellen van een continu-tijdsignaal uit een discreet-tijdsignaal. Dit is vaak een benadering, tenzij specifieke voorwaarden vervuld zijn. * **Reconstructiemethoden**: * **Zero-order-hold (ZOH)**: Een methode waarbij elke sample wordt aangehouden gedurende het sample-interval. Het gereconstrueerde signaal heeft discontinuïteiten [97](#page=97) [99](#page=99). * Impulsantwoord: `hu(t):= 1` voor `0 ≤ t < Ts`, `0` elders [98](#page=98). * **First-order-hold (lineaire interpolatie)**: Een methode die de samples verbindt met rechte lijnen. Dit introduceert 'hoeken' in het gereconstrueerde signaal [97](#page=97) [99](#page=99). * Impulsantwoord: `h^(t):= 1 - |t|/Ts` voor `Ts ≤ t ≤ Ts`, `0` elders [98](#page=98). * **Wiskundig model voor reconstructie**: * Het reconstructieproces wordt gemodelleerd als een cascade van een impulsgenerator en een LTI-systeem [97](#page=97). * **Impulsgenerator**: Zet het discrete signaal `y` om in een reeks Dirac-impulsen `w`. * `w:= +∞∑k=−∞ y(k) DkTs δ` [98](#page=98). * Het gereconstrueerde signaal `ˆx` wordt verkregen door convolutie van `w` met het impulsantwoord `h` van het LTI-systeem: `ˆx = h * w` [98](#page=98). * `ˆx(t) = +∞∑k=−∞ y(k)h(t - kTs)` [98](#page=98). ### 4.3 De sampling-stelling van Shannon–Nyquist Deze stelling legt de voorwaarden vast waaronder een continu-tijdsignaal perfect kan worden gereconstrueerd uit zijn discrete samples. #### 4.3.1 De stelling van Shannon–Nyquist * Het spectrum `W(ω)` van het gesamplede signaal `w` (na de impulsgenerator) is gerelateerd aan het spectrum `X(ω)` van het oorspronkelijke signaal `x` door: * `W(ω) = (1/Ts) * +∞∑k=−∞ X(ω - kωs)` [100](#page=100). * Dit betekent dat `W(ω)` een oneindige som is van verschoven versies van `X(ω)`, geschaald met `1/Ts`. * **Bandbegrensd signaal**: Een signaal `x` waarvan het spectrum `X(ω) = 0` voor `|ω| > ωM`. `ωM` is de hoogste frequentiecomponent [100](#page=100). * **Voorwaarde voor perfecte reconstructie**: Om overlap tussen de verschoven spectra van `X(ω)` te voorkomen, moet de sample-pulsatie `ωs` voldoen aan: * `ωs > 2ωM`. Dit staat bekend als de Nyquist-rate. De Nyquist-frequentie is `fs_N = ωM/π = 2fM` . * **Formulering van de stelling**: Als een signaal `x` bandbegrensd is tot `ωM` en de sample-pulsatie `ωs > 2ωM`, dan zijn de spectra van het gesamplede signaal en het oorspronkelijke signaal gelijk voor frequenties binnen de bandbreedte van het oorspronkelijke signaal (op een factor `Ts` na): * `Ts * W |[−ωM, ωM]| = X` . > **Tip:** De voorwaarde `ωs > 2ωM` is cruciaal. Als deze niet voldaan is, treedt aliasing op en kan het oorspronkelijke signaal niet meer perfect gereconstrueerd worden. #### 4.3.2 Ideale interpolatie Onder de voorwaarde van de sampling-stelling kan het oorspronkelijke signaal `x` perfect gereconstrueerd worden uit zijn samples. * **Ideaal reconstructiesysteem**: Een LTI-systeem met een frequentieantwoord `H(ω)` dat de verschoven spectra van `X(ω)` selecteert en de rest verwerpt. * Een geschikt frequentieantwoord is een blokfilter: * `Hωc(ω):= 1` voor `|ω| ≤ ωc`, `0` elders, met `ωM < ωc < ωs - ωM` . * Een goede keuze is `ωc = ωs / 2` . * Het gereconstrueerde signaal `ˆx` wordt verkregen door `ˆX = Ts * Hωc * W`. Onder de juiste omstandigheden geldt `ˆX = X`. * **Impulsantwoord van de ideale reconstructor**: Het impulsantwoord `h(t)` corresponderend met `Ts * Hωc(ω)` is de sinc-functie: * `h(t) = Ts * (sin(ωc * t) / (π * t)) = (2ωc / ωs) * sinc(ωc * t)` . * De functie `sinc(θ)` is gedefinieerd als `sin(θ)/θ` voor `θ ≠ 0` en `1` voor `θ = 0` . * **Sinc-interpolatie**: Het oorspronkelijke signaal `x(t)` kan worden uitgedrukt als een som van de samples vermenigvuldigd met de sinc-functie: * `x(t) = +∞∑k=−∞ x(kTs) * h(t - kTs)` . * `x(t) = +∞∑k=−∞ x(kTs) * (2ωc / ωs) * sinc(ωc * (t - kTs))` . * Dit drukt uit hoe het signaal bepaald wordt door zijn samples via ideale interpolatie. #### 4.3.3 Heuristische kijk op de sampling-stelling De voorwaarde `fs > 2fM` (of `ωs > 2ωM`) kan intuïtief verklaard worden door te kijken naar aliasing van de hoogste frequentiecomponent in het signaal. * Als het signaal `x(t) = ei2πfM t` de hoogste frequentie `fM` bevat, dan geeft sampling met frequentie `fs` het signaal `y(n) = ei2πfM T s n`. * Andere signalen `xN (t) = ei2π(fM +N f s)t` geven ook dit `y(n)`. * Om aliasing te voorkomen, moeten de frequenties van deze aliassen buiten de bandbreedte van het oorspronkelijke signaal vallen. * Als `fs > 2fM`, dan is `fM - fs < fM`. De alias met `N=-1` (`fM - fs`) bevindt zich dan buiten de bandbreedte `[−fM, fM]` van het oorspronkelijke signaal. Alle andere aliassen vallen dan ook buiten deze bandbreedte . ### 4.4 Alternatief bewijs van de sampling-stelling en ideale interpolatie Een alternatieve manier om de sampling-stelling te bewijzen maakt gebruik van de Poisson-sommatieformule en de eigenschappen van Fourier-transformaties. * De Poisson-sommatieformule voor een signaal `X(ω)` luidt: * `+∞∑k=−∞ X(ω + kωs) = (1/Ts) * +∞∑k=−∞ x(kT s)e−ikTsω` . * Door beide zijden te vermenigvuldigen met het frequentieantwoord `Hωc(ω)` van een ideaal laagdoorlaatfilter en vervolgens de inverse Fourier-transformatie te nemen, kan de reconstructieformule van de sinc-interpolatie worden afgeleid . * `x(t) = +∞∑k=−∞ x(kT s) * (2ωc / ωs) * sinc(ωc * (t - kTs))` . --- # De z- en Laplace-transformaties Deze sectie introduceert en analyseert de z-transformatie voor discrete-tijdsignalen en de Laplace-transformatie voor continue-tijdsignalen, inclusief hun eigenschappen, convergentiegebieden, inverse transformaties, en hun toepassing in LTI-systemen, waarbij stabiliteit en causaliteit worden behandeld. ### 5.1 De z-transformatie De z-transformatie is een wiskundige transformatie die een discreet tijdsignaal omzet in een functie in het complexe domein (het z-domein). Het stelt ons in staat om differentievergelijkingen en discrete LTI-systemen te analyseren met behulp van algebraïsche methoden . #### 5.1.1 Definitie Voor een discreet signaal $x[n]$, gedefinieerd voor $n \in \mathbb{Z}$, wordt de z-getransformeerde $X(z)$ gedefinieerd als: $$X(z) = Z\{x[n]\}(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$ . Het is ook gebruikelijk om de z-transformatie te definiëren met $z^n$ in plaats van $z^{-n}$, wat leidt tot: $$H(z):= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]z^m$$ . Deze laatste definitie wordt vaak gebruikt voor de overdrachtsfunctie van een LTI-systeem . #### 5.1.2 Belangrijke voorbeelden | Signaal $x[n]$ | z-getransformeerde $X(z)$ | Gebied van absolute convergentie (GAC) | | :---------------------- | :---------------------------------------------------------- | :------------------------------------- | | $a^n H[n]$ | $\frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$ | $|z| > |a|$ | | $a^n H[-n-1]$ | $\frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}$ | $|z| < |a|$ | | $a^n H[n]$ | $\frac{1}{1-az}$ (niet de standaard def.) | $|z| < |a|$ | | $\cos(\omega_0 n) H[n]$ | $\frac{z(z-\cos \omega_0)}{z^2 - 2z\cos \omega_0 + 1}$ | $|z| > 1$ | | $\delta[n-m]$ | $z^{-m}$ | $z \neq 0$ voor $m>0$, $\mathbb{C}$ voor $m \le 0$ | | $n a^n H[n]$ | $\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} = \frac{az}{(z-a)^2}$ | $|z| > |a|$ | #### 5.1.3 Convergentiegebied (GAC) Het convergentiegebied (GAC) van de z-transformatie is het verzameling van complexe getallen $z$ waarvoor de reeks ${\sum}_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]z^{-n}|$ convergeert . * **Circulaire symmetrie:** Het GAC is symmetrisch ten opzichte van cirkels gecentreerd op de oorsprong . * **Eindige drager:** Als $x[n]$ slechts op een eindig aantal waarden van $n$ ongelijk nul is, is het GAC het gehele complexe vlak, mogelijk met uitzondering van $z=0$ of $z=\infty$ . * **Rechts signaal:** Als $x[n]=0$ voor $nn_2$, dan is het GAC binnen een cirkel met een bepaalde straal. Anticausale signalen zijn hiervan een speciaal geval . * **Tweezijdig signaal:** Het GAC is een ring (of een schijf) . * **Rationale z-getransformeerde:** Het GAC is een ring, begrensd door polen . #### 5.1.4 Eigenschappen | Operatie in tijdsdomein | Transformatie in z-domein | GAC | | :---------------------- | :-------------------------------------------- | :-------------------------------------- | | Lineariteit: $ax_1[n + bx_2[n]$ | $aX_1(z) + bX_2(z)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ | | Tijdverschuiving: $x[n-m]$ | $z^{-m}X(z)$ | GAC, mogelijk aangepast (bv. 0 of 1 uitgesloten) | | Schaling in z-domein: $a^n x[n]$ | $X(az)$ | $|a|GAC$ | | Tijdomkering: $x[-n]$ | $X(z^{-1})$ | $\{z^{-1} : z \in GAC\}$ | | Convolutie: $(x_1 * x_2)[n]$ | $X_1(z)X_2(z)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ | | Differentiatie: $x[n]-x[n-1]$ | $(1-z^{-1})X(z)$ | $GAC(X) \setminus \{z=0\}$ | | Accumulatie: $\sum_{k=0}^{n} x[k]$ | $\frac{1}{1-z^{-1}}X(z)$ | $GAC(X) \setminus \{|z|=1\}$ | | $n x[n]$ | $-z \frac{dX(z)}{dz}$ | $GAC$ | #### 5.1.5 Inverse z-transformatie De inverse z-transformatie reconstrueert het tijdsignaal $x[n]$ uit zijn z-getransformeerde $X(z)$ . * **Contourintegratie:** De inverse kan worden berekend met een lijnintegraal in het GAC: $$x[n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C X(z)z^{n-1} dz$$ . waarbij $C$ een gesloten kromme in het GAC rond de oorsprong is. * **Methode van de tabel:** Voor rationale z-getransformeerden kan de inverse worden bepaald door de functie te ontbinden in partiële breuken en gebruik te maken van een tabel met bekende transformaties . > **Tip:** Bij het toepassen van de methode van de tabel voor rationale functies in de vorm $X(z) = \frac{b(\xi)}{a(\xi)}$ met $\xi=z^{-1}$, kan het handig zijn om eerst te herschrijven naar een vorm met $\xi=z$ en de partiële breukontwikkeling toe te passen op die vorm, alvorens terug te transformeren met de juiste tabelvermelding . #### 5.1.6 z-transformatie en LTI-systemen Voor LTI-systemen, beschreven door de convolutie $y[n = (h * u)[n]$, geldt in het z-domein $Y(z) = H(z)U(z)$, waarbij $H(z)$ de overdrachtsfunctie is . * **Causaliteit:** Een systeem is causaal als en slechts als $H(z)$ zijn GAC een rechterhalfvlak is dat $\infty$ bevat. Voor rationale $H(z)$, is het GAC buiten de verste pool van de oorsprong, en de graad van de teller is kleiner dan of gelijk aan de graad van de noemer . * **Stabiliteit (BIBO):** Een systeem is BIBO-stabiel als en slechts als het GAC van $H(z)$ de eenheidscirkel omvat. Voor causale LTI-systemen met een rationale overdrachtsfunctie, liggen de polen van $H(z)$ binnen de eenheidscirkel . #### 5.1.7 Eenzijdige z-transformatie De eenzijdige z-transformatie wordt gedefinieerd voor causale signalen ($x[n]=0$ voor $n<0$) en wordt gegeven door: $$^{1Z}\{x[n]\}(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n}$$ . Het GAC is hier altijd een gebied buiten een cirkel . #### 5.1.8 Differentievergelijkingen met beginvoorwaarden De eenzijdige z-transformatie maakt het elegant oplossen van differentievergelijkingen met beginvoorwaarden mogelijk. Door de differentievergelijking te transformeren en gebruik te maken van de tijdverschuivingseigenschap, kan de uitgang $Y(z)$ worden uitgedrukt in termen van de ingang $U(z)$ en de beginvoorwaarden . ### 5.2 De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is de continue-tijd analogon van de z-transformatie. Het zet een continu tijdsignaal om in een functie in het complexe domein (het s-domein) . #### 5.2.1 Definitie Voor een continu signaal $x(t)$, gedefinieerd voor $t \in \mathbb{R}$, wordt de Laplace-getransformeerde $X(s)$ gedefinieerd als: $$X(s) = L\{x(t)\}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$$ . Vaak wordt de definitie beperkt tot $t \ge 0$ voor causale systemen: $$X(s) = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$$ . #### 5.2.2 Belangrijke voorbeelden | Signaal $x(t)$ | Laplace-getransformeerde $X(s)$ | Gebied van absolute convergentie (GAC) | | :---------------------- | :------------------------------ | :------------------------------------- | | $e^{at}H(t)$ | $\frac{1}{s+a}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ | | $H(t)$ | $\frac{1}{s}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | | $\cos(\omega_0 t)H(t)$ | $\frac{s}{s^2 + \omega_0^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | | $\sin(\omega_0 t)H(t)$ | $\frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$ | $\text{Re}(s) > 0$ | | $\delta(t-T)$ | $e^{-sT}$ | $\mathbb{C}$ | | $\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{at}H(t)$ | $\frac{1}{(s+a)^n}$ | $\text{Re}(s) > \text{Re}(a)$ | #### 5.2.3 Convergentiegebied (GAC) Het GAC van de Laplace-transformatie is het verzameling van complexe getallen $s$ waarvoor de integraal $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)e^{-st}| dt$ convergeert . * **Verticale symmetrie:** Het GAC is symmetrisch ten opzichte van verticale lijnen in het complexe vlak . * **Rechts signaal:** Als $x(t)=0$ voor $tt_2$, dan is het GAC een linkerhalfvlak dat een bepaalde verticale lijn bevat of links daarvan ligt . * **Rationale L-getransformeerde:** Het GAC is een verticale strook, begrensd door polen of zich uitstrekkend naar $\pm \infty$. Voor een rechts signaal met een rationale L-getransformeerde is het GAC rechts van de meest rechtse pool . #### 5.2.4 Eigenschappen | Operatie in tijdsdomein | Transformatie in s-domein | GAC | | :---------------------- | :-------------------------------- | :-------------------------------- | | Lineariteit: $ax_1(t) + bx_2(t)$ | $aX_1(s) + bX_2(s)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ | | Tijdverschuiving: $x(t-t_0)$ | $e^{-st_0}X(s)$ | GAC | | Verschuiving in s-domein: $e^{s_0 t}x(t)$ | $X(s-s_0)$ | $GAC + \text{Re}(s_0)$ | | Tijdschaal: $x(at)$ | $\frac{1}{|a|}X(\frac{s}{a})$ | $a \cdot GAC$ | | Convolutie: $(x_1 * x_2)(t)$ | $X_1(s)X_2(s)$ | $GAC_1 \cap GAC_2$ | | Differentiatie: $\frac{dx(t)}{dt}$ | $sX(s)$ | GAC(X) | | $t x(t)$ | $-\frac{dX(s)}{ds}$ | GAC | | Integratie: $\int_{-\infty}^{t} x(\tau)d\tau$ | $\frac{1}{s}X(s)$ | $GAC(X) \setminus \{\text{Re}(s)=0\}$ | #### 5.2.5 Inverse Laplace-transformatie De inverse Laplace-transformatie reconstrueert het tijdsignaal $x(t)$ uit zijn Laplace-getransformeerde $X(s)$ . * **Contourintegratie:** De inverse kan worden berekend met een lijnintegraal in het GAC: $$x(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} X(s)e^{st} ds$$ . waarbij $\sigma$ het reële deel van $s$ is binnen het GAC. * **Methode van de tabel:** Net als bij de z-transformatie, kan voor rationale Laplace-getransformeerden de inverse worden bepaald door partiële breuken en een tabel met bekende transformaties . > **Tip:** Het belang van het GAC is cruciaal bij het bepalen van de juiste inverse transformatie, aangezien dezelfde rationale functie verschillende tijdsignalen kan representeren afhankelijk van het GAC . #### 5.2.6 Laplace-transformatie en LTI-systemen Voor LTI-systemen beschreven door $y(t) = (h * u)(t)$, geldt in het Laplace-domein $Y(s) = H(s)U(s)$, waarbij $H(s)$ de overdrachtsfunctie is . * **Causaliteit:** Een systeem is causaal als het GAC van $H(s)$ een rechterhalfvlak is. Voor rationale $H(s)$, is het GAC rechts van de polen . * **Stabiliteit (BIBO):** Een systeem is BIBO-stabiel als het GAC van $H(s)$ de imaginaire as bevat. Voor causale LTI-systemen met een rationale overdrachtsfunctie, liggen de polen van $H(s)$ links van de imaginaire as . #### 5.2.7 Eenzijdige Laplace-transformatie De eenzijdige Laplace-transformatie wordt gedefinieerd voor signalen die nul zijn voor $t<0$, en wordt gegeven door: $$^1L\{x(t)\}(s) = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st} dt$$ . Het GAC is hier altijd een rechterhalfvlak. Deze transformatie is essentieel voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden . #### 5.2.8 Differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden De eenzijdige Laplace-transformatie biedt een krachtige methode om differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden op te lossen. De transformatie van de differentiaalvergelijking resulteert in een algebraïsche vergelijking in het s-domein, waarin de beginvoorwaarden expliciet worden meegenomen. De uiteindelijke oplossing wordt verkregen door een inverse Laplace-transformatie . #### 5.2.9 Toestandsmodel Het toestandsmodel voor LTI-systemen kan ook worden geanalyseerd met behulp van de Laplace-transformatie, wat leidt tot een algebraïsche oplossing voor de toestandsvectoren en de uitgang. Dit omvat het bepalen van de overdrachtsfunctie vanuit de systeemmatrices A, B, C, en D . --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Signaal | Een functie die informatie voorstelt, vaak afhankelijk van tijd of een andere continue of discrete variabele. | | Systeem | Een entiteit die signalen transformeert; het kan worden voorgesteld als een functie die een ingangssignaal omzet in een uitgangssignaal. | | Domein | Het bereik van waarden waarover een functie of signaal gedefinieerd is. | | Codomein | Het bereik van mogelijke uitkomsten of waarden die een functie kan aannemen. | | Continue-tijdsignaal | Een signaal waarvan het domein een continu interval van reële getallen is. | | Discrete-tijdsignaal | Een signaal waarvan het domein een discrete verzameling van getallen is, vaak gehele getallen die stappen of tijdstippen voorstellen. | | Lineair systeem | Een systeem dat voldoet aan de eigenschappen van homogeniteit en additiviteit: S(αu1 + βu2) = αS(u1) + βS(u2). | | Tijdinvariant systeem | Een systeem waarvan het gedrag niet verandert over de tijd. Dit betekent dat als een ingangssignaal wordt vertraagd, de uitgang hetzelfde vertraagde signaal is. | | Impulsantwoord | De uitgang van een LTI systeem wanneer de ingang de eenheidsimpuls (Dirac-delta of Kronecker-delta) is. Het bepaalt volledig het gedrag van een LTI systeem. | | Convolutie | Een wiskundige operatie die de interactie tussen twee functies beschrijft, vaak gebruikt om de uitgang van een LTI systeem te berekenen als gevolg van de ingang en het impulsantwoord. | | Fourier-reeks (FR) | Een representatie van een periodiek signaal als een som van complexe exponentiëlen van verschillende frequenties. | | Fourier-transformatie (FT) | Een transformatie die een signaal in het tijddomein omzet naar een representatie in het frequentiedomein, gebruikt voor aperiodieke signalen. | | z-transformatie | Een discrete-tijd analyse-instrument dat discrete-tijdsignalen omzet naar een complexe frequentievariabele 'z', analoog aan de Laplace-transformatie voor continue tijd. | | Laplace-transformatie | Een continue-tijd analyse-instrument dat signalen omzet naar de complexe frequentievariabele 's', essentieel voor het analyseren van differentiaalvergelijkingen en LTI systemen. | | Frequentieantwoord | De reactie van een LTI systeem op een sinusoïdale ingang van een specifieke frequentie. Het wordt verkregen door de overdrachtsfunctie te evalueren op de imaginaire as ($s = i\omega$) of op de eenheidscirkel ($z = e^{i\omega}$). | | Overdrachtsfunctie (Transferfunctie) | Een rationele functie in $z$ (voor discrete tijd) of $s$ (voor continue tijd) die het gedrag van een LTI systeem karakteriseert, vaak verkregen door de Laplace- of z-getransformeerde van het impulsantwoord te nemen. | | BIBO-stabiliteit | Een systeem is BIBO-stabiel (Bounded Input Bounded Output) als elke begrensde ingang resulteert in een begrensde uitgang. Voor LTI systemen is dit equivalent aan de absolute convergentie van het impulsantwoord. | | Causaliteit | Een systeem is causaal als de uitgang op een bepaald moment alleen afhangt van de ingang op het huidige moment of in het verleden, en niet van toekomstige ingangen. | | Toestandsmodel | Een wiskundig model dat het gedrag van een systeem beschrijft aan de hand van zijn interne toestand, ingang en uitgang, met een update-functie die de volgende toestand en uitgang bepaalt op basis van de huidige toestand, ingang en tijd. | | Matrixvoorstelling | Een lineair toestandsmodel kan worden voorgesteld door matrices A, B, C, en D die de dynamica van het systeem beschrijven. | | GAC (Gebied van Absolute Convergentie) | Het gebied in het complexe vlak waarvoor de z- of Laplace-transformatie van een signaal absoluut convergeert. | | Dirac-impuls ($\delta(t)$) | Een veralgemeend signaal dat nul is voor alle $t \neq 0$ en oneindig 'sterk' is op $t=0$, met een geïntegreerde waarde van 1. Het is het neutrale element voor convolutie. | | Heaviside-functie (H(t)) | Een functie die nul is voor $t<0$ en één is voor $t \ge 0$. De afgeleide van de Heaviside-functie is de Dirac-impuls. | | FIR-filter | Een Finite Impulse Response filter; een LTI systeem met een impulsantwoord dat slechts voor een eindig aantal tijdstappen niet nul is. | | IIR-filter | Een Infinite Impulse Response filter; een LTI systeem met een impulsantwoord dat voor een oneindig aantal tijdstappen niet nul is, vaak gerealiseerd met recursieve differentievergelijkingen. |