formularium6SP (1).pdf

# Eigenschappen van transformaties Dit gedeelte bespreekt de eigenschappen van transformaties, zoals de Fourierreeks (FR), Fourier Transformatie (FT), en Laplace/z-transformatie, toegepast op zowel continue als discrete tijdsystemen, met aandacht voor periodieke en niet-periodieke signalen [ ](#page=1) [1](#page=1). ### 1.1 Periodieke signalen en transformaties #### 1.1.1 Continue tijd periodieke signalen (Fourierreeks - DFR) Voor continue periodieke signalen met fundamentele frequentie $\omega_0 = \frac{2\pi}{p}$, waar $p$ de periode is, worden de eigenschappen van de Discrete Fourierreeks (DFR) uitgedrukt in termen van de transformatiecoëfficiënten $X(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Tijdsverschuiving:** Een verschuiving van het signaal $x(t)$ met $\tau$ tijdseenheden correspondeert met een faseverschuiving in het frequentiedomein: $x(t - \tau) \longleftrightarrow e^{-ik\omega_0\tau} X(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Frequentieverschuiving (modulatie):** Vermenigvuldiging van het signaal $x(t)$ met een exponentiële functie $e^{im\omega_0t}$ resulteert in een verschuiving van de frequentiespectrumcoëfficiënten: $e^{im\omega_0t} x(t) \longleftrightarrow X(k - m)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Convolutie in tijd vs. vermenigvuldiging in frequentie:** Convolutie van twee continue periodieke signalen in het tijdsdomein wordt een vermenigvuldiging van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein, geschaald met $\frac{1}{p}$: $\frac{1}{p} \int_{p} x(\tau)y(t - \tau) d\tau \longleftrightarrow X(k)Y(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Vermenigvuldiging in tijd vs. convolutie in frequentie:** Vermenigvuldiging van twee continue periodieke signalen in het tijdsdomein resulteert in een convolutie van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein: $x(t)y(t) \longleftrightarrow (X \ast Y)(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Parseval's stelling:** De energie in het tijdsdomein is gelijk aan de energie in het frequentiedomein: $\frac{1}{p} \int_{p} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |X(k)|^2$ [ ](#page=1) [1](#page=1). #### 1.1.2 Discrete tijd periodieke signalen (DFR) Voor discrete periodieke signalen met periode $p$, worden de eigenschappen van de Discrete Fourierreeks (DFR) uitgedrukt in termen van de transformatiecoëfficiënten $X(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Tijdsverschuiving:** Een verschuiving van het discrete signaal $x(n)$ met $m$ tijdseenheden correspondeert met een faseverschuiving in het frequentiedomein: $x(n - m) \longleftrightarrow e^{-ik\omega_0m} X(k)$ [ ](#page=1). Hierbij is $\omega_0$ de fundamentele discrete hoekfrequentie die overeenkomt met de periode $p$ [1](#page=1). * **Frequentieverschuiving (modulatie):** Vermenigvuldiging van het signaal $x(n)$ met een exponentiële functie $e^{im\omega_0n}$ resulteert in een verschuiving van de frequentiespectrumcoëfficiënten: $e^{im\omega_0n} x(n) \longleftrightarrow X(k - m)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Convolutie in tijd vs. vermenigvuldiging in frequentie:** Convolutie van twee discrete periodieke signalen in het tijdsdomein wordt een vermenigvuldiging van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein: $\sum_{\ell \in p} x(\ell)y(n - \ell) \longleftrightarrow X(k)Y(k)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Vermenigvuldiging in tijd vs. convolutie in frequentie:** Vermenigvuldiging van twee discrete periodieke signalen in het tijdsdomein resulteert in een convolutie van hun DFR-coëfficiënten in het frequentiedomein: $x(n)y(n) \longleftrightarrow \sum_{\ell \in p} X(\ell)Y(k - \ell)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Parseval's stelling:** De energie in het tijdsdomein is gelijk aan de energie in het frequentiedomein: $\frac{1}{p} \sum_{n \in p} |x(n)|^2 = \sum_{k \in p} |X(k)|^2$ [ ](#page=1) [1](#page=1). ### 1.2 Niet-periodieke signalen en transformaties #### 1.2.1 Continue tijd niet-periodieke signalen (DTFT, Laplace) Voor niet-periodieke signalen in continue tijd worden de Discrete Time Fourier Transform (DTFT) en de Laplace transformatie gebruikt [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Fourier Transformatie (DTFT):** * **Verschuiving in tijd:** $x(t - \tau) \longleftrightarrow e^{-i\omega\tau} X(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Tijdschaalverandering:** $x(at) \longleftrightarrow \frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Differentiatie:** De $p$-de afgeleide van een signaal correspondeert met vermenigvuldiging van de transformatie met $(i\omega)^p$: $x^{(p)}(t) \longleftrightarrow (i\omega)^p X(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Convolutie in tijd vs. vermenigvuldiging in frequentie:** $x \ast y \longleftrightarrow XY$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Parseval's stelling:** $\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} |X(\omega)|^2 d\omega$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Laplace Transformatie:** * **Afgeleide:** De eerste afgeleide van $x(t)$ transformeert naar $sX(s)$ min een term gerelateerd aan de beginwaarde: $\dot{x}(t) \longleftrightarrow sX(s) - qx(0^-)$ [ ](#page=1). Hierbij is $q=1$ voor eenzijdige transformaties en $q=0$ voor tweezijdige transformaties [1](#page=1). * **Vermenigvuldiging met $t^n$ (informeel):** Hoewel de specifieke eigenschap niet volledig uitgeschreven is, wordt $nx(n)$ getransformeerd naar $-z \frac{d}{dz}X(z)$ in het discrete geval, wat analogieën suggereert voor continue tijd. #### 1.2.2 Discrete tijd niet-periodieke signalen (DTFT, z-transformatie) Voor niet-periodieke signalen in discrete tijd worden de Discrete Time Fourier Transform (DTFT) en de z-transformatie gebruikt [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Fourier Transformatie (DTFT):** * **Verschuiving in tijd:** $x(n - m) \longleftrightarrow e^{-i\omega m} X(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Frequentieverschuiving (modulatie):** $e^{i\tau n}x(n) \longleftrightarrow X(\omega - \tau)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Parseval's stelling (discrete energie):** $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x(n)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |X(\omega)|^2 d\omega$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **z-transformatie:** * **Tijdsverschuiving naar rechts:** Een vertraging van het signaal met één tijdseenheid wordt weergegeven door: $x(n-1) \longleftrightarrow qx(-1) + z^{-1}X(z)$ [ ](#page=1). Hierbij is $q=1$ voor eenzijdige transformaties en $q=0$ voor tweezijdige transformaties [1](#page=1). * **Vermenigvuldiging met $n$:** $nx(n) \longleftrightarrow -z \frac{d}{dz}X(z)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). ### 1.3 Standaardvoorbeelden Hieronder volgen enkele standaardvoorbeelden van transformaties [ ](#page=1) [1](#page=1). #### 1.3.1 Continue tijd niet-periodieke signalen * **Impulsfunctie:** Een constante 1 transformeert naar een Dirac-deltafunctie geschaald met $2\pi$: $1 \longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Rechthoekpuls (vensterfunctie):** De vensterfunctie $B_1(t) = H(1 - |t|)$ transformeert naar $2$ sinc($\omega$): $B_1(t) = H(1 - |t|) \longleftrightarrow 2 \text{sinc}(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). Algemener, voor $B_a(t) = H(a - |t|)$: $\text{sinc } at \longleftrightarrow \frac{\pi}{a} B_a(\omega)$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * **Machtsfuncties met exponentiële demping:** * Voor $\Re(s) > \Re(a)$: $\frac{t^{n-1}e^{at}H(t)}{(n-1)!} \longleftrightarrow \frac{1}{(s-a)^n}$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * Voor $\Re(s) < \Re(a)$: $\frac{-t^{n-1}e^{at}H(-t)}{(n-1)!} \longleftrightarrow \frac{1}{(s-a)^n}$ [ ](#page=1) [1](#page=1). #### 1.3.2 Discrete tijd niet-periodieke signalen * **Gegeneraliseerde binomiale coëfficiënten:** * Voor $|z| > |a|$: $\binom{n+m}{m} a^n H(n) \longleftrightarrow \frac{1}{(1 - az^{-1})^{m+1}}$ [ ](#page=1) [1](#page=1). * Voor $|z| < |a|$: $\binom{-n-1}{m} a^n H(-n-m-1) \longleftrightarrow \frac{(-1)^{m+1}}{(1 - az^{-1})^{m+1}}$ [ ](#page=1) [1](#page=1). --- # Canonieke vormen voor discrete tijdssystemen Canonieke vormen voor discrete tijdssystemen bieden gestandaardiseerde representaties van waarneembaarheid en regelbaarheid met behulp van systeemmatrices [2](#page=2). ### 2.1 Algemene Vorm en Transferfunctie Een algemeen lineair tijdinvariant (LTI) discreet systeem kan worden beschreven door de volgende differentievergelijking: $a_0y + a_1 D y + \dots + a_{N-1} D^{N-1} y + a_N D^N y = b_0u + b_1 D u + \dots + b_{N-1} D^{N-1} u + b_N D^N u$ [2](#page=2). Hierin staat $D$ voor de voorwaartse operator, waarbij $D^k x(t) = x(t+k)$. De bijbehorende transferfunctie $H(z)$ wordt gegeven door [2](#page=2): $H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \dots + b_N z^{-N}}{a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \dots + a_N z^{-N}}$ [2](#page=2). ### 2.2 Waarneembare canonieke vorm De waarneembare canonieke vorm wordt verkregen door de coëfficiënt $a_0$ gelijk te stellen aan 1. In deze vorm wordt de toestand $x$ gerepresenteerd door een vector, en de dynamiek van het systeem wordt beschreven door de volgende toestandsvergelijkingen [2](#page=2): $$ D x = A x + B u $$ $$ y = C x + D u $$ [2](#page=2). Voor de waarneembare canonieke vorm zijn de matrices $A$, $B$, $C$ en $D$ als volgt gedefinieerd: $A = \begin{bmatrix} 0 & \dots & \dots & \dots & 0 & -a_N \\ 1 & 0 & \dots & \dots & 0 & -a_{N-1} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & -a_{N-2} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & -a_2 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 & -a_1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2). $B = \begin{bmatrix} b_N - a_N b_0 \\ b_{N-1} - a_{N-1} b_0 \\ b_{N-2} - a_{N-2} b_0 \\ \vdots \\ b_2 - a_2 b_0 \\ b_1 - a_1 b_0 \end{bmatrix}$ [2](#page=2). $C = \begin{bmatrix} 0 & \dots & 0 & 1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2). $D = b_0$ [2](#page=2). > **Tip:** De naam "waarneembare" canonieke vorm suggereert dat de toestanden direct gerelateerd zijn aan waarneembare uitgangen of dat de waarneembaarheid van het systeem eenvoudig te analyseren is in deze vorm. ### 2.3 Regelbare canonieke vorm De regelbare canonieke vorm, eveneens met $a_0 = 1$, wordt gekenmerkt door een andere structuur van de systeemmatrices: $$ D x = A x + B u $$ $$ y = C x + D u $$ [2](#page=2). Voor de regelbare canonieke vorm zijn de matrices als volgt gedefinieerd: $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \\ -a_N & -a_{N-1} & \dots & \dots & -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2). $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2). $C = \begin{bmatrix} b_N - b_0 a_N & b_{N-1} - b_0 a_{N-1} & \dots & b_1 - b_0 a_1 \end{bmatrix}$ [2](#page=2). $D = b_0$ [2](#page=2). > **Tip:** De naam "regelbare" canonieke vorm impliceert dat de regelbaarheid van het systeem eenvoudig te controleren is en dat de structuur van de matrix $B$ dit proces faciliteert. De controle-input $u$ heeft een directe invloed op de laatste toestandstoename. --- # Canonieke vormen voor continue tijdssystemen Dit onderwerp behandelt de waarneembare en regelbare canonieke vormen voor continue tijdsystemen, uitgedrukt met behulp van systeemmatrices [3](#page=3). ### 3.1 Algemene introductie Continue tijdsystemen kunnen worden beschreven met behulp van differentiaalvergelijkingen van de vorm: $$a_0y + a_1\frac{dy}{dt} + \cdots + a_{N-1}\frac{d^{N-1}y}{dt^{N-1}} + a_N\frac{d^Ny}{dt^N} = b_0u + b_1\frac{du}{dt} + \cdots + b_{N-1}\frac{d^{N-1}u}{dt^{N-1}} + b_N\frac{d^Nu}{dt^N}$$ [3](#page=3). De overdrachtsfunctie $H(s)$ van zo'n systeem is gedefinieerd als: $$H(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2 + \cdots + b_Ns^N}{a_0 + a_1s + a_2s^2 + \cdots + a_Ns^N}$$ [3](#page=3). ### 3.2 Waarneembare canonieke vorm De waarneembare canonieke vorm is een specifieke toestandsruimte representatie waarbij de systeemmatrices worden afgeleid uit de coëfficiënten van de overdrachtsfunctie. Hierbij wordt aangenomen dat $a_N = 1$ [3](#page=3). De systeemmatrices voor de waarneembare canonieke vorm zijn: **Toestandsvergelijking:** $$ \dot{x} = A x + B u $$ waarbij $$ A = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & -a_{N-2} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & -a_{N-1} \end{bmatrix} $$ [3](#page=3). $$ B = \begin{bmatrix} b_0 - a_0b_N \\ b_1 - a_1b_N \\ b_2 - a_2b_N \\ \vdots \\ b_{N-2} - a_{N-2}b_N \\ b_{N-1} - a_{N-1}b_N \end{bmatrix} $$ [3](#page=3). **Uitgangsvergelijking:** $$ y = C x + D u $$ waarbij $$ C = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ [3](#page=3). $$ D = b_N $$ [3](#page=3). > **Tip:** In de waarneembare canonieke vorm is het eenvoudig om de output $y$ direct te relateren aan de input $u$ en de geschiedenis van de input, wat de intuïtie voor de invloed van de input op de output vergemakkelijkt. ### 3.3 Regelbare canonieke vorm De regelbare canonieke vorm is een andere standaard toestandsruimte representatie. Ook hier wordt aangenomen dat $a_N = 1$ [3](#page=3). De systeemmatrices voor de regelbare canonieke vorm zijn: **Toestandsvergelijking:** $$ \dot{x} = A x + B u $$ waarbij $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 & \cdots & \cdots & \cdots & -a_{N-1} \end{bmatrix} $$ [3](#page=3). $$ B = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ [3](#page=3). **Uitgangsvergelijking:** $$ y = C x + D u $$ waarbij $$ C = \begin{bmatrix} b_0 - b_N a_0 & b_1 - b_N a_1 & \cdots & b_{N-1} - b_N a_{N-1} \end{bmatrix} $$ [3](#page=3). $$ D = b_N $$ [3](#page=3). > **Tip:** De regelbare canonieke vorm is nuttig voor het ontwerpen van controllers, omdat de laatste rij van matrix A direct de coëfficiënten van de karakteristieke vergelijking bevat, wat belangrijk is voor het plaatsen van de polen van het systeem. --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Transforme van Fourier | De discrete Fourier-transformatie (DFT) relateert een eindige sequentie van signaalwaarden aan de discrete frequentiecomponenten ervan. De continue Fourier-transformatie (FT) transformeert een tijddomeinsignaal naar het frequentiedomein, en de inverse transformatie reconstrueert het oorspronkelijke signaal. | | Laplace-transformatie | Een wiskundige transformatie die een functie van tijd naar een functie van complexe frequentie verplaatst, veel gebruikt in de analyse van dynamische systemen. De z-transformatie is het discrete equivalent daarvan. | | Periodiek signaal | Een signaal dat zich herhaalt na een vaste tijdsperiode. In de context van discrete tijd wordt dit de periode $p$ genoemd. | | Niet-periodiek signaal | Een signaal dat zich niet herhaalt over een vaste periode. Dit type signaal wordt vaak geanalyseerd met behulp van de Fourier-transformatie in continue tijd en de Discrete Tijd Fourier Transformatie (DTFT) in discrete tijd. | | Convolutie | Een wiskundige bewerking die twee functies combineert om een derde functie te produceren die de mate waarin de vorm van de ene functie wordt gewijzigd door de andere uitdrukt. In het tijddomein vertegenwoordigt het de respons van een lineair tijdinvariant systeem op een inputsignaal. | | Parseval"s theorema | Een belangrijke relatie die de energie van een signaal in het tijddomein gelijkstelt aan de energie van het signaal in het frequentiedomein, wat de behoud van energie in de transformatie aantoont. | | Canonieke vorm | Een gestandaardiseerde representatie van een lineair systeem, vaak uitgedrukt in toestandsruimte. Voorbeelden zijn de waarneembare en regelbare canonieke vormen, die nuttig zijn voor systeemidentificatie en controleontwerp. | | Toestandsruimte | Een wiskundige methode voor het modelleren van fysieke systemen met een set van inputvariabelen, outputvariabelen en toestandsvariabelen. Het wordt vaak gebruikt om dynamische systemen te analyseren. | | Waarneembaarheid | Een eigenschap van een systeem die aangeeft of de interne toestanden van het systeem kunnen worden bepaald uit de metingen van de outputs. | | Regelbaarheid | Een eigenschap van een systeem die aangeeft of de interne toestanden van het systeem kunnen worden gestuurd naar een gewenste waarde door middel van de inputs. |