HS3_ingevuld.pdf

# De wetten van Newton en hun toepassingen Dit onderwerp behandelt de drie fundamentele wetten van Newton en introduceert diverse krachten, met een focus op hun toepassing binnen de biomechanica. ### 1.1 De wetten van Newton De wetten van Newton beschrijven de relatie tussen de beweging van een object en de krachten die erop inwerken [4](#page=4) [5](#page=5) [8](#page=8). #### 1.1.1 De eerste wet van Newton: de traagheidswet De eerste wet van Newton, ook wel de traagheidswet genoemd, stelt dat elk lichaam in rust blijft (snelheid nul) of een eenparige rechtlijnige beweging blijft uitvoeren, tenzij het door uitwendige krachten gedwongen wordt zijn toestand te veranderen. Dit kan wiskundig worden uitgedrukt als [4](#page=4): $$ \\sum\_{i} \\vec{F}\_i = 0 \\Leftrightarrow \\vec{a} = 0 $$ waar $\\sum\_{i} \\vec{F}\_i$ de som van alle uitwendige krachten is en $\\vec{a}$ de versnelling is [4](#page=4). #### 1.1.2 De tweede wet van Newton: kracht en versnelling De tweede wet van Newton beschrijft het verband tussen kracht, massa en versnelling. De grootte van de versnelling van een object is recht evenredig met de grootte van de netto kracht die erop inwerkt, en omgekeerd evenredig met zijn massa. De wet wordt als volgt geformuleerd [5](#page=5) [6](#page=6): $$ \\sum\_{i} \\vec{F}\_i = m \\vec{a} $$ Krachten zijn vectoren met een aangrijpingspunt, terwijl massa een scalair is en versnelling een vector. De SI-eenheid van kracht is de Newton (N), waarbij $1 , \\text{N} = 1 , \\text{kg} \\cdot \\text{m/s}^2$. In componenten uitgedrukt geldt [7](#page=7): $$ \\sum\_{i} F\_{xi} = ma\_x $$$$ \\sum\_{i} F\_{yi} = ma\_y $$$$ \\sum\_{i} F\_{zi} = ma\_z $$ #### 1.1.3 De derde wet van Newton: actie en reactie De derde wet van Newton stelt dat wanneer een lichaam A een kracht uitoefent op een lichaam B, lichaam B een kracht uitoefent op lichaam A die even groot is, dezelfde richting heeft, maar tegengesteld gericht is. Dit wordt wiskundig uitgedrukt als [8](#page=8) [9](#page=9): $$ \\vec{F}\_{AB} = -\\vec{F}{BA} $$ ### 1.2 Inertieel referentiestelsel De wetten van Newton zijn alleen geldig in inertiële referentiestelsels. Een inertieel referentiestelsel is een assenstelsel dat in rust is of een eenparige rechtlijnige beweging uitvoert. Het kiezen van het juiste referentiestelsel is cruciaal om pseudokrachten (ook wel fictieve krachten genoemd) te vermijden [10](#page=10) [47](#page=47). ### 1.3 Diverse krachten en hun toepassingen in de biomechanica Verschillende soorten krachten spelen een rol in biomechanische systemen. #### 1.3.1 Zwaartekracht en gewicht De zwaartekracht ($\\vec{G}$) is de kracht die de aarde uitoefent op een object met massa $m$, en wordt gegeven door $\\vec{G} = m\\vec{g}$, waarbij $\\vec{g}$ de versnelling als gevolg van de zwaartekracht is. Gewicht is een kracht (een vector), terwijl massa een maat is voor de inertie van een object (een scalair) [12](#page=12). #### 1.3.2 Normaalkracht De normaalkracht ($N$) is de contactkracht die wordt uitgeoefend door een steunvlak op een lichaam, loodrecht op het contactoppervlak. De grootte van de normaalkracht kan gelijk zijn aan, groter of kleiner zijn dan de zwaartekracht, afhankelijk van andere aanwezige krachten [13](#page=13) [14](#page=14) [15](#page=15) [16](#page=16). * **Horizontaal steunvlak:** Op een horizontale vloer is de normaalkracht $N$ gelijk aan het gewicht $W$ als er geen andere verticale krachten zijn. Als er een externe kracht is die schuin omhoog trekt, zal de normaalkracht kleiner zijn: $N = W - F\\sin\\theta$ [14](#page=14) [16](#page=16). * **Hellend steunvlak:** Op een hellend vlak is de normaalkracht gelijk aan de component van de zwaartekracht loodrecht op het oppervlak: $N = W\\cos\\theta$, waarbij $\\theta$ de hoek van de helling is [18](#page=18). #### 1.3.3 Spankracht of trekkracht Spankracht ($T$) is de trekkracht die door een touw of kabel wordt uitgeoefend op een object waaraan het is bevestigd. Bij een turner die in rust hangt, heft de spankracht van de armen de zwaartekracht op, wat resulteert in een netto kracht van nul. Pezen dragen spierkracht over naar botten via spankracht [19](#page=19) [20](#page=20). #### 1.3.4 Wrijvingskracht Wrijving is een kracht die optreedt bij beweging langs een contactoppervlak. Het kan zowel nadelig zijn (bv. in sportprestaties, gewrichten) als noodzakelijk (bv. om te voorkomen dat men wegglijdt bij stappen) [21](#page=21) [22](#page=22) [23](#page=23). * **Statische wrijvingskracht ($\\vec{f}\_s$):** Dit is de wrijvingskracht die overwonnen moet worden om een object in rust in beweging te krijgen. De grootte ervan varieert van 0 tot een maximumwaarde, $f\_{s,max} = \\mu\_s N$, waar $\\mu\_s$ de statische wrijvingscoëfficiënt is [22](#page=22) [25](#page=25). * **Kinetische wrijvingskracht ($\\vec{f}\_k$):** Dit is de wrijvingskracht die optreedt wanneer een object in beweging is. De grootte ervan is $f\_k = \\mu\_k N$, waar $\\mu\_k$ de kinetische wrijvingscoëfficiënt is [23](#page=23) [25](#page=25). De wrijvingskracht is evenwijdig aan het contactoppervlak en tegengesteld gericht aan de bewegingsrichting of de uitwendige kracht. De grootte hangt af van de aard van de contactoppervlakken en de normaalkracht, maar niet van de grootte van het contactoppervlak. Verschillende materiaalcombinaties hebben verschillende wrijvingscoëfficiënten [24](#page=24) [26](#page=26). **Toepassing in gewrichten:** Kraakbeen en synoviale vloeistof spelen een rol bij het reguleren van wrijving in gewrichten. Bij stilstand zorgt het kraakbeen voor een hogere statische wrijvingscoëfficiënt ($\\mu\_s$), terwijl bij beweging de synoviale vloeistof wordt geperst, wat resulteert in een lagere kinetische wrijvingscoëfficiënt ($\\mu\_k$) [28](#page=28) [29](#page=29). #### 1.3.5 Grondreactiekracht De grondreactiekracht is de kracht die door het oppervlak wordt uitgeoefend op het lichaam dat zich erop voortbeweegt. Deze kracht heeft typisch drie componenten [32](#page=32): * Een verticale component ($F\_z$), vergelijkbaar met de normaalkracht [32](#page=32) [34](#page=34). * Schuifcomponenten: een antero-posterieure component ($F\_y$) voor voorwaarts-achterwaartse beweging, en een medio-laterale component ($F\_x$) voor zijwaartse beweging [32](#page=32) [33](#page=33) [34](#page=34). Krachtplatforms worden gebruikt om deze krachten te meten tijdens activiteiten zoals lopen en springen [33](#page=33). #### 1.3.6 Reactiekracht in het gewricht Bewegingen en interacties tussen verschillende lichaamsdelen leiden tot reactiekrachten in gewrichten, volgens de derde wet van Newton. Deze reactiekracht is de netto kracht die op het gewricht werkt en bestaat uit een compressiecomponent (loodrecht op het gewrichtsoppervlak) en een schuifcomponent (rakend aan het gewrichtsoppervlak). Het lumbosacrale gewricht is een voorbeeld waar deze krachten relevant zijn [35](#page=35) [36](#page=36). #### 1.3.7 Spierkracht Spierkracht is de kracht die door spieren wordt gegenereerd wanneer ze samentrekken in een bepaalde richting. Deze krachten kunnen worden gemodelleerd of gemeten, hoewel directe meting tijdens functionele bewegingen vaak invasief is. Een spier kan zowel roterende als stabiliserende componenten hebben ten opzichte van een gewricht [37](#page=37) [38](#page=38) [39](#page=39). #### 1.3.8 Elastische krachten Elastische krachten zijn gerelateerd aan vervormbare elementen, zoals veren, zowel binnen als buiten het menselijk lichaam. De wet van Hooke beschrijft de relatie tussen de veerkracht ($\\vec{F}$) en de uitrekking of inkrimping ($\\vec{x}$) van een elastisch object [40](#page=40): $$ \\vec{F} = -k \\vec{x} $$ Hierbij is $k$ de veerstijfheid [41](#page=41). #### 1.3.9 Weerstand in een fluïdum Weerstand in een fluïdum (zoals lucht of water) wordt veroorzaakt door de relatieve snelheid tussen het object en het fluïdum. Deze weerstandskracht bestaat uit twee componenten [42](#page=42): * **Drag-kracht ($F\_{drag}$):** Deze kracht is tegengesteld aan de bewegingsrichting en wordt gegeven door de formule: $$ F\_{drag} = \\frac{1}{2} C\_d A \\rho v^2 $$ waarin $\\rho$ de massadichtheid van het fluïdum is, $A$ de effectieve doorsnede van het lichaam, $v$ de relatieve snelheid, en $C\_d$ de vormweerstandcoëfficiënt [44](#page=44). * **Lift-kracht ($F\_{lift}$):** Deze kracht staat loodrecht op de bewegingsrichting en wordt berekend met: $$ F\_{lift} = \\frac{1}{2} C\_l A \\rho v^2 $$ waarin $C\_l$ de liftcoëfficiënt is [45](#page=45). Voorbeelden van weerstand in fluïda omvatten zwemmen, vliegen en het bewegen van een lichaam door de lucht [46](#page=46). > **Tip:** Bij het analyseren van bewegingen is het essentieel om het juiste inertiële referentiestelsel te kiezen om de toepassing van de wetten van Newton correct te kunnen uitvoeren en het optreden van fictieve krachten te vermijden [47](#page=47). * * * # Specifieke krachten in de biomechanica Dit hoofdstuk behandelt de specifieke krachten die een rol spelen in de biomechanica, inclusief hun eigenschappen en berekeningsmethoden. ### 2.1 Zwaartekracht Zwaartekracht, ook wel gewicht genoemd, is de kracht die door de aarde wordt uitgeoefend op een object en wordt berekend met de formule: $$ \\vec{G} = m \\vec{g} $$ Hierin is $m$ de massa van het object en $\\vec{g}$ de zwaartekrachtsversnelling. Massa is een maat voor traagheid en is een scalair, terwijl gewicht een kracht is en een vectoriële grootheid [12](#page=12). ### 2.2 Normaalkracht De normaalkracht is de kracht die door een steunvlak wordt uitgeoefend op een contact makend lichaam, en staat altijd loodrecht op dat steunvlak. De grootte van de normaalkracht is niet noodzakelijk gelijk aan de zwaartekracht en hangt af van de andere aanwezige krachten [13](#page=13). * **Horizontaal steunvlak:** * Als een koffer stilstaat op een horizontale vloer, is de nettokracht nul volgens Newton's eerste wet. De normaalkracht (N) compenseert dan volledig de zwaartekracht (W): $N = W$ [14](#page=14). * Wanneer er een kracht $\\vec{F}$ onder een hoek $\\theta$ met de horizontale as aan de koffer wordt getrokken, terwijl er geen verticale beweging is ($a\_y = 0$), wordt de normaalkracht berekend als: $N = W - F\\sin\\theta$ [15](#page=15) [16](#page=16). * **Hellend steunvlak:** * Op een hellend vlak wordt de zwaartekracht ontbonden in componenten parallel en loodrecht op het vlak. De normaalkracht is dan gelijk aan de component van de zwaartekracht die loodrecht op het vlak staat: $N = W\\cos\\theta$, waarbij $\\theta$ de hoek van de helling is. De component parallel aan het vlak zorgt voor versnelling langs de helling: $W\\sin\\theta = ma$ [17](#page=17) [18](#page=18). ### 2.3 Spankracht of trekkracht Spankracht (T) is de trekkracht die door een touw of vergelijkbaar object wordt uitgeoefend op een aangehangen lichaam, altijd in de richting van het touw. Dit principe wordt toegepast bij het overbrengen van spierkracht naar bot via pezen. In rust is de spankracht gelijk in grootte aan de zwaartekracht, maar tegengesteld gericht ($T = - \\vec{G}$) [19](#page=19) [20](#page=20). ### 2.4 Wrijvingskracht Wrijvingskracht ontstaat bij beweging of poging tot beweging langs een contactoppervlak en kan zowel nadelig (sportprestaties, gewrichten) als noodzakelijk (stappen, lopen) zijn [21](#page=21). * **Statische wrijvingskracht ($f\_s$):** Deze kracht overwint de neiging tot beweging wanneer een object stilstaat. De grootte varieert tussen nul en een maximale waarde ($f\_{s,max}$): $0 \\leq f\_s \\leq f\_{s,max}$. De maximale statische wrijvingskracht is afhankelijk van de aard van de contactoppervlakken en de normaalkracht: $f\_{s,max} = \\mu\_s N$, waarbij $\\mu\_s$ de statische wrijvingscoëfficiënt is [22](#page=22) [25](#page=25). * **Kinetische wrijvingskracht ($f\_k$):** Deze kracht werkt wanneer een object in beweging is langs een oppervlak. De grootte is direct gerelateerd aan de normaalkracht en de kinetische wrijvingscoëfficiënt ($\\mu\_k$): $f\_k = \\mu\_k N$ [23](#page=23) [25](#page=25). De richting van de wrijvingskracht is evenwijdig aan het contactoppervlak en tegengesteld aan de uitwendige kracht of bewegingsrichting. De grootte is niet afhankelijk van de contactoppervlakte, maar wel van de aard van de materialen en de normaalkracht. Verschillende materiaalkoppelingen hebben uiteenlopende wrijvingscoëfficiënten [24](#page=24) [26](#page=26). In gewrichten fungeert het kraakbeen als contactoppervlak. Bij stilstand, wanneer het synoviale vocht wordt samengedrukt, is de statische wrijvingscoëfficiënt relatief hoog, wat zorgt voor stabiliteit. Tijdens beweging wordt het synoviale vocht weggeperst, wat resulteert in een lagere kinetische wrijvingscoëfficiënt en soepelere beweging [28](#page=28) [29](#page=29). ### 2.5 Grondreactiekracht De grondreactiekracht is de kracht die door het oppervlak (bijvoorbeeld de grond) wordt uitgeoefend op een lichaam dat zich daarop voortbeweegt. Deze kracht bestaat uit [32](#page=32): * Een verticale component ($F\_z$), die overeenkomt met de normaalkracht [32](#page=32). * Schuifcomponenten: * Antero-posterieure component ($F\_y$), werkend in de voorwaarts-achterwaarts richting [32](#page=32). * Medio-laterale component ($F\_x$), werkend in de zijwaarts richting [32](#page=32). Krachtplatforms worden gebruikt om deze grondreactiekrachten te meten, bijvoorbeeld tijdens het lopen of bij een sprong [33](#page=33) [34](#page=34). ### 2.6 Reactiekracht in het gewricht Wanneer verschillende lichaamsonderdelen bewegen, ontstaan er reactiekrachten in de gewrichten, conform Newton's derde wet. De reactiekracht in een gewricht is de netto kracht die op het gewricht werkt en kan worden ontbonden in een compressiecomponent (loodrecht op het gewrichtsoppervlak) en een schuifcomponent (rakend aan het gewrichtsoppervlak). Toepassingen hiervan zijn te vinden in bijvoorbeeld het lumbosacrale gewricht [35](#page=35) [36](#page=36). ### 2.7 Spierkracht Spierkracht is de kracht die een spier uitoefent wanneer deze samentrekt. Spieren hebben een specifieke richting en een aangrijpingspunt, en kunnen zowel roterende als stabiliserende componenten van de kracht leveren. Het meten van spierkracht \_in vivo kan gebeuren via wiskundige modellen of, invasief, met krachtmeters op de pees [37](#page=37) [38](#page=38) [39](#page=39). ### 2.8 Elastische krachten Elastische krachten ontstaan in rekbare elementen, zowel binnen als buiten het menselijk lichaam, en beschrijven het verband tussen kracht en rek. De Wet van Hooke beschrijft de reactiekracht van een veer [40](#page=40): $$ \\vec{F} = -k \\vec{x} $$ Hierin is $k$ de veerstijfheid en $\\vec{x}$ de uitrekking of samendrukking [41](#page=41). ### 2.9 Weerstand in een fluïdum Bij beweging door een fluïdum (zoals lucht of water) ondervindt een lichaam weerstand. Deze weerstandskracht is gerelateerd aan de relatieve snelheid tussen het lichaam en het fluïdum. De weerstand bestaat uit twee componenten [42](#page=42): * **Drag-kracht ($F\_{drag}$):** Deze kracht werkt tegengesteld aan de bewegingsrichting en wordt berekend met de formule: $$ F\_{drag} = \\frac{1}{2} C\_d A \\rho v^2 $$ Hierbij staat $\\rho$ voor de massadichtheid van het fluïdum, $A$ voor de effectieve doorsnede van het lichaam, $v$ voor de relatieve snelheid, en $C\_d$ voor de dimensieloze vormweerstandscoëfficiënt [44](#page=44). * **Lift-kracht ($F\_{lift}$):** Deze kracht staat loodrecht op de bewegingsrichting en wordt berekend met: $$ F\_{lift} = \\frac{1}{2} C\_l A \\rho v^2 $$ Hierbij is $C\_l$ de dimensieloze liftcoëfficiënt [45](#page=45). Voorbeelden van weerstand in fluïda zijn onder andere het zwemmen of fietsen [46](#page=46). * * * # Oefeningen en toepassingen in bewegingsanalyse Dit gedeelte illustreert de concepten van lineaire kinetica aan de hand van praktische voorbeelden, zoals voertuigen in bochten en een skiër op een helling [49](#page=49). ### 3.1 Algemene werkwijze voor het oplossen van kinetische problemen Een gestructureerde aanpak is cruciaal voor het correct oplossen van problemen in bewegingsanalyse [49](#page=49). #### 3.1.1 Stappenplan 1. **Free body diagram (lichaamsdiagram)**: Identificeer het lichaam en teken alle uitwendige krachten die erop inwerken als vectoren [49](#page=49). 2. **Keuze van het inertiële referentiestelsel**: Kies een geschikt referentiekader waarin de wetten van Newton geldig zijn [49](#page=49). 3. **Toepassen van de wetten van Newton**: Formuleer de tweede wet van Newton in vectorvorm: $\\sum \\vec{F} = m\\vec{a}$ [49](#page=49). 4. **Componentvergelijkingen**: Ontbind de vectoren in componenten langs de gekozen assen. Het aantal onbekenden (krachten, versnellingen) moet gelijk zijn aan het aantal opgestelde vergelijkingen [49](#page=49). 5. **Oplossen van de vergelijkingen**: Los het stelsel van vergelijkingen op en controleer de eenheden [49](#page=49). 6. **Gezond verstand**: Evalueer de oplossing kritisch en controleer of deze redelijk is [49](#page=49). * **Tip**: Vergeet niet om kinematische vergelijkingen uit eerdere hoofdstukken te combineren met de kinetische vergelijkingen indien nodig [49](#page=49). ### 3.2 Toepassing: Voertuig in een vlakke bocht Dit voorbeeld onderzoekt de maximale snelheid waarmee een auto een vlakke bocht kan nemen zonder uit de bocht te vliegen. #### 3.2.1 Probleemstelling Een auto beschrijft een eenparig cirkelvormige beweging met een straal $r = 20$ m. Gegeven is de statische wrijvingscoëfficiënt $\\mu\_s = 0,6$. Wat is de maximale snelheid $v\_{max}$ die de auto mag hebben om niet uit de bocht te vliegen [50](#page=50)? #### 3.2.2 Analyse De krachten die op de auto inwerken zijn de wrijvingskracht ($\\vec{f}\_s$), de zwaartekracht ($\\vec{G}$) en de normaalkracht ($\\vec{N}$). De tweede wet van Newton luidt [51](#page=51): $$ \\vec{f}\_s + \\vec{G} + \\vec{N} = m\\vec{a} $$ Hierbij is $\\vec{a}$ de centripetale versnelling die gericht is naar het middelpunt van de cirkelvormige baan. We ontbinden de vergelijking in componenten langs de verticale (z-)as en de radiale (r-)as. * **z-as**: Er is geen verticale beweging, dus de netto verticale kracht is nul. $N - G = 0 \\implies N = G = mg$ [52](#page=52). * **r-as**: De netto radiale kracht levert de centripetale versnelling. De wrijvingskracht is hier de enige kracht die naar het middelpunt werkt. $-f\_s = -m \\frac{v^2}{r}$ [52](#page=52). De maximale snelheid wordt bereikt wanneer de wrijvingskracht zijn maximale waarde bereikt: $f\_{s,max} = \\mu\_s N$. Door deze in te vullen, krijgen we [52](#page=52): $\\mu\_s N = m \\frac{v\_{max}^2}{r}$ [52](#page=52). $\\mu\_s (mg) = m \\frac{v\_{max}^2}{r}$ [52](#page=52). Dit vereenvoudigt tot: $v\_{max} = \\sqrt{\\mu\_s g r}$ [52](#page=52). #### 3.2.3 Resultaat Met de gegeven waarden $r = 20$ m, $\\mu\_s = 0,6$ en $g = 9,81 , m/s^2$: $v\_{max} = \\sqrt{0,6 \\times 9,81 , m/s^2 \\times 20 , m} = 10,8 , m/s$ [52](#page=52). Dit is gelijk aan $39 , km/u$ [52](#page=52). > **Tip**: De massa van de auto ($m$) valt weg in de berekening van de maximale snelheid. ### 3.3 Toepassing: Voertuig in een hellende bocht Dit voorbeeld onderzoekt de hellingshoek die nodig is om de wrijvingskracht overbodig te maken bij het nemen van een bocht met een bepaalde snelheid. #### 3.3.1 Probleemstelling Stel dat de straal van de bocht $r = 20$ m blijft en de auto aan $39 , km/u$ (oftewel $10,8 , m/s$) rijdt. Hoe groot moet de hellingshoek $\\theta$ van de bocht zijn, zodat de wrijvingskracht niet nodig is voor de benodigde centripetale kracht [53](#page=53)? #### 3.3.2 Analyse De krachten die op de auto inwerken zijn de zwaartekracht ($\\vec{G}$), de normaalkracht ($\\vec{N}$) en de wrijvingskracht ($\\vec{f}\_s$). Aangezien de wrijvingskracht niet nodig is, werken alleen $\\vec{G}$ en $\\vec{N}$ en moet hun netto resultante de centripetale kracht leveren. We ontbinden de normaalkracht en de zwaartekracht in componenten langs de radiale (r-)as en de verticale (z-)as. De helling is geconfigureerd zodat de normaalkracht een component heeft die naar het middelpunt van de bocht wijst. * **r-as**: De horizontale component van de normaalkracht levert de centripetale kracht. $N \\sin\\theta = m \\frac{v^2}{r}$ [54](#page=54). * **z-as**: De verticale component van de normaalkracht balanceert de zwaartekracht. $N \\cos\\theta = G = mg$ [54](#page=54). Door de twee vergelijkingen te delen, $N \\sin\\theta / (N \\cos\\theta) = (m v^2 / r) / (mg)$, krijgen we: $\\tan\\theta = \\frac{v^2}{rg}$ [54](#page=54). #### 3.3.3 Resultaat Met $v = 10,8 , m/s$, $r = 20 , m$ en $g = 9,81 , m/s^2$: $\\theta = \\arctan\\left(\\frac{(10,8 , m/s)^2}{20 , m \\times 9,81 , m/s^2}\\right) = \\arctan\\left(\\frac{116,64}{196,2}\\right) \\approx \\arctan(0,5945)$ [54](#page=54). $\\theta \\approx 30,75°$. Afgerond is dit $30,9°$ [54](#page=54). > **Tip**: Dit type bocht, waarbij de helling de centripetale kracht levert, wordt ook wel een 'gebankte' bocht genoemd. ### 3.4 Toepassing: Skiër op een helling Dit voorbeeld berekent de eindsnelheid van een skiër die een helling afglijdt, rekening houdend met wrijving. #### 3.4.1 Probleemstelling Een skiër start vanuit rust en glijdt een helling van $50$ m lengte af. De hellingshoek is $\\theta = 30°$ met de horizontale. De kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen de ski's en de piste is $\\mu\_k = 0,05$. Luchtweerstand wordt verwaarloosd. Met welke snelheid komt de skiër beneden [55](#page=55)? #### 3.4.2 Analyse De krachten die op de skiër inwerken zijn de zwaartekracht ($\\vec{G}$), de kinetische wrijvingskracht ($\\vec{f}\_k$) en de normaalkracht ($\\vec{N}$). We kiezen een x-as parallel aan de helling (naar beneden gericht) en een y-as loodrecht op de helling (omhoog gericht). De zwaartekracht wordt ontbonden in een component parallel aan de helling ($G\\sin\\theta$) en een component loodrecht op de helling ($G\\cos\\theta$) [57](#page=57). * **y-as**: De netto kracht in de y-richting is nul, aangezien de skiër niet van de helling af of erin beweegt. $N - G\\cos\\theta = 0 \\implies N = G\\cos\\theta = mg\\cos\\theta$ [57](#page=57). De kinetische wrijvingskracht is dan: $f\_k = \\mu\_k N = \\mu\_k mg\\cos\\theta$ [57](#page=57). * **x-as**: De netto kracht in de x-richting is de resultante van de component van de zwaartekracht naar beneden en de wrijvingskracht naar boven. Deze kracht veroorzaakt de versnelling $a\_x$ langs de helling. $f\_k - G\\sin\\theta = m a\_x$ [57](#page=57). Substituting $f\_k$: $\\mu\_k mg\\cos\\theta - mg\\sin\\theta = m a\_x$ [57](#page=57). De massa $m$ valt weg, wat resulteert in de versnelling: $a\_x = g(\\mu\_k\\cos\\theta - \\sin\\theta)$ [57](#page=57). #### 3.4.3 Berekening van de eindsnelheid De skiër voert een eenparig versnelde rechtlijnige beweging uit. We kunnen de volgende kinematische vergelijking gebruiken [58](#page=58): $v^2 = v\_0^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$ [58](#page=58). Hierin is $v\_0 = 0$ (start vanuit rust) en $x - x\_0 = 50$ m (de lengte van de helling) [58](#page=58). Dus: $v^2 = 2 a\_x (50 , m)$ [58](#page=58). $v = \\sqrt{2 g (\\mu\_k\\cos\\theta - \\sin\\theta) (50 , m)}$ [58](#page=58). #### 3.4.4 Resultaat Met $g = 9,81 , m/s^2$, $\\mu\_k = 0,05$, $\\theta = 30°$, en de hellinglengte van $50$ m: $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 , m/s^2 \\times (0,05 \\times \\cos(30°) - \\sin(30°)) \\times 50 , m}$ [58](#page=58). $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (0,05 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} - 0,5) \\times 50}$ [58](#page=58). $v = \\sqrt{981 \\times (0,0433 - 0,5)}$ [58](#page=58). Deze berekening lijkt een fout te bevatten, aangezien de term binnen de wortel negatief wordt. Laten we de waarden opnieuw controleren en de formule aanpassen zoals in het document aangegeven: $a\_x = g(\\mu\_k\\cos\\theta - \\sin\\theta)$ [57](#page=57). $a\_x = 9,81 , m/s^2 \\times (0,05 \\times \\cos(30°) - \\sin(30°))$ [57](#page=57). $a\_x = 9,81 \\times (0,05 \\times 0,866 - 0,5) = 9,81 \\times (0,0433 - 0,5) = 9,81 \\times (-0,4567) \\approx -4,48 , m/s^2$ [57](#page=57). Dit negatieve resultaat voor $a\_x$ zou betekenen dat de skiër niet zou versnellen maar vertragen, of dat de wrijvingscoëfficiënt te hoog is om te glijden met deze hoek. Echter, het document zelf geeft een ander resultaat aan met een andere invulling, wat mogelijk een typefout in de formules in het document is, of de uitdrukking voor $a\_x$ is andersom in het document. Laten we de formule uit het document volgen voor de snelheidberekening met de gegeven numerieke waarden: $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (0,05 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{1}{2}) \\times 50}$ [58](#page=58). De uitdrukking in het document is: $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (\\frac{1}{2} - 0,05 \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}) \\times 50}$ met een tekenfout in de formule $a\_x$. De correcte formule voor de versnelling naar beneden zou moeten zijn: $a\_x = g(\\sin\\theta - \\mu\_k\\cos\\theta)$ [57](#page=57). Laten we het document volgen met de numerieke invulling die leidt tot een positieve snelheid: $v = \\sqrt{2 \\times 9,81 \\times (\\frac{3}{2} - \\frac{1}{2}) \\times 50}$ -- Dit lijkt een foutieve numerieke invulling te zijn die niet overeenkomt met de cosinus en sinus waarden [58](#page=58). De tekst zelf geeft echter aan dat de snelheid $21 , m/s$ is [58](#page=58). Laten we de correcte berekening met de juiste formule toepassen: $a\_x = g(\\sin\\theta - \\mu\_k\\cos\\theta)$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (\\sin(30°) - 0,05 \\cos(30°))$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (0,5 - 0,05 \\times 0,866)$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (0,5 - 0,0433)$$a\_x = 9,81 , m/s^2 (0,4567) \\approx 4,48 , m/s^2$ [57](#page=57). Nu de eindsnelheid berekenen met deze versnelling en de hellinglengte van $50$ m: $v^2 = v\_0^2 + 2 a\_x (x - x\_0)$$v^2 = 0^2 + 2 \\times 4,48 , m/s^2 \\times 50 , m$$v^2 = 448 , m^2/s^2$$v = \\sqrt{448} \\approx 21,17 , m/s$ [58](#page=58). Dit komt overeen met de $21 , m/s$ die in het document wordt genoemd [58](#page=58). $21 , m/s = 76 , km/u$ [58](#page=58). > **Tip**: Bij het oplossen van problemen met hellingen is het cruciaal om de zwaartekracht correct te ontbinden in componenten parallel en loodrecht op de helling. De numerieke invulling in het document kan verwarrend zijn, maar de finale uitkomst van $21 , m/s$ is consistent met een correcte toepassing van de wetten. * * * ## Veelgemaakte fouten om te vermijden * Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens * Let op formules en belangrijke definities * Oefen met de voorbeelden in elke sectie * Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Kracht | Een interactie die een object kan versnellen of vertragen. Krachten zijn vectoren met een aangrijpingspunt, richting en grootte. | | Massa | Een scalair getal dat de inertie van een object aangeeft, oftewel de weerstand tegen verandering in bewegingstoestand. Het is een maat voor de hoeveelheid materie in een object. | | Beweging | Verandering van positie van een object in de ruimte gedurende de tijd. Dit kan variëren van rust tot een eenparige beweging of een versnelde beweging. | | Eerste wet van Newton (Traagheidswet) | Stelt dat een object in rust zal blijven in rust, en een object in beweging zal blijven bewegen met constante snelheid in een rechte lijn, tenzij er een externe kracht op werkt. | | Traagheid | De neiging van een object om zich te verzetten tegen veranderingen in zijn bewegingstoestand. Hoe groter de massa van een object, hoe groter de traagheid. | | ERB (Eenparig Rechtlijnige Beweging) | Een bewegingstoestand waarbij de snelheid constant is, wat betekent dat zowel de grootte als de richting van de snelheid niet veranderen. | | Uitwendige oorzaak | Een externe factor, meestal een kracht, die ervoor zorgt dat een object van bewegingstoestand verandert. | | Kracht (uitwendig) | Een duw- of trekkracht die door een object op een ander object wordt uitgeoefend, wat kan leiden tot een verandering in de bewegingstoestand. | | Vectoren | Wiskundige objecten die zowel grootte als richting hebben. Kracht en versnelling zijn voorbeelden van vectoren. | | Scalair | Een wiskundige grootheid die alleen grootte heeft, maar geen richting. Massa en temperatuur zijn voorbeelden van scalaire grootheden. | | Tweede wet van Newton | Stelt dat de versnelling van een object recht evenredig is met de netto kracht die erop werkt en omgekeerd evenredig met zijn massa. De formule is $\sum \vec{F}_i = m\vec{a}$. | | Versnelling | De snelheid waarmee de snelheid van een object verandert, zowel in grootte als in richting. Het is een vectorgrootheid. | | Derde wet van Newton (Actie-Reactie) | Stelt dat voor elke actie er een gelijke en tegengestelde reactie is. Als object A een kracht uitoefent op object B, oefent object B een gelijke en tegengestelde kracht uit op object A. | | Inertieel referentiestelsel | Een referentiestelsel waarin de wetten van Newton geldig zijn. Dit zijn stelsels die in rust zijn of een eenparige rechtlijnige beweging uitvoeren. | | Zwaartekracht | De aantrekkingskracht die de aarde uitoefent op alle objecten met massa. Het is een vector en wordt weergegeven met $\vec{G} = m\vec{g}$, waarbij $\vec{g}$ de gravitatieversnelling is. | | Gewicht | De kracht die door de zwaartekracht op een object wordt uitgeoefend. Het is een vector. | | Normaalkracht | De kracht die wordt uitgeoefend door een oppervlak op een object dat erop rust, loodrecht op het oppervlak. Deze kracht compenseert vaak de zwaartekracht, maar niet altijd. | | Spankracht (Trekkracht) | De kracht die door een gespannen touw, kabel of ketting wordt uitgeoefend op objecten waaraan het is bevestigd. De richting is langs het touw. | | Wrijvingskracht | Een kracht die de relatieve beweging tussen twee contactoppervlakken tegenwerkt. Er zijn statische en kinetische wrijvingskrachten. | | Statische wrijvingskracht | De kracht die voorkomt dat een stilstaand object begint te bewegen. Het is variabel en gelijk aan de toegepaste kracht tot aan een maximumwaarde. | | Kinetische wrijvingskracht | De kracht die de beweging tussen twee glijdende oppervlakken tegenwerkt. Deze kracht is meestal constant en kleiner dan de maximale statische wrijvingskracht. | | Wrijvingscoëfficiënt | Een dimensieloze factor die de sterkte van de wrijving tussen twee oppervlakken aangeeft. Er is een statische ($\mu_s$) en een kinetische ($\mu_k$) wrijvingscoëfficiënt. | | Grondreactiekracht | De kracht die door de grond wordt uitgeoefend op een lichaam dat zich erop voortbeweegt. Deze kracht heeft verticale en horizontale componenten. | | Reactiekracht in het gewricht | De totale kracht die op een gewricht werkt als gevolg van de interactie tussen de botten, spieren en andere weefsels. | | Spierkracht | De kracht die door een spier wordt gegenereerd wanneer deze samentrekt. Deze kracht wordt gebruikt om beweging te genereren of stabiliteit te bieden. | | Elastische krachten | Krachten die ontstaan in elastische materialen, zoals veren, wanneer ze worden uitgerekt of samengedrukt. De Wet van Hooke beschrijft dit verband: $\vec{F} = -k\vec{x}$. | | Veerkracht | De reactiekracht die door een veer wordt uitgeoefend wanneer deze wordt vervormd. | | Wet van Hooke | Een natuurkundige wet die stelt dat de kracht die nodig is om een veer uit te rekken of samen te drukken recht evenredig is met de afstand die de veer wordt uitgerekt of samengedrukt vanaf zijn rustpositie. | | Weerstand in een fluïdum | De kracht die een bewegend object ondervindt wanneer het door een vloeistof of gas beweegt. Dit omvat drag- en liftkrachten. | | Drag-kracht | De component van de weerstand in een fluïdum die tegengesteld is aan de bewegingsrichting van het object. De formule is $F_{drag} = \frac{1}{2} C_d A \rho v^2$. | | Lift-kracht | De component van de weerstand in een fluïdum die loodrecht staat op de bewegingsrichting van het object. De formule is $F_{lift} = \frac{1}{2} C_l A \rho v^2$. | | Pseudokracht (Fictieve kracht) | Een schijnkracht die wordt waargenomen in niet-inertiële referentiestelsels, zoals bij een versneld voertuig. Deze krachten bestaan niet in een inertieel stelsel. | | Free body diagram | Een grafische weergave van een object waarop alle uitwendige krachten die erop inwerken, worden getoond als vectoren. | | Centripetale kracht | De netto kracht die nodig is om een object in een cirkelvormige beweging te houden. Deze kracht wijst altijd naar het centrum van de cirkel. |