BW_-_H2.1_Trillingen_-_Oefeningen.pdf

# Oplossingen voor trillingen met veren Dit gedeelte behandelt de analyse en berekening van de beweging van massa's die aan veren zijn opgehangen, waarbij concepten als amplitude, frequentie, periode en snelheid centraal staan. ### 1.1 Basisprincipes van trillingen met veren Wanneer een massa aan een veer wordt gehangen en uit zijn evenwichtsstand wordt gebracht, zal deze een harmonische beweging uitvoeren, mits wrijving verwaarloosd wordt. De terugwerkende kracht van de veer is evenredig met de uitrekking of indrukking volgens de wet van Hooke. * **Wet van Hooke:** De kracht $F$ die door een veer wordt uitgeoefend, is recht evenredig met de uitrekking of indrukking $\Delta y$ ten opzichte van de ruststand. De evenredigheidsconstante is de veerconstante $k$. $F = k \cdot \Delta y$ [10](#page=10) [11](#page=11) [15](#page=15) [17](#page=17) [19](#page=19) [6](#page=6) [8](#page=8). * **Gravitatiekracht:** De kracht die door de massa wordt uitgeoefend op de veer, is gelijk aan zijn gewicht, $G = mg$ [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [19](#page=19) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8). * **Evenwichtsstand:** In de evenwichtsstand is de zwaartekracht gelijk aan de veerkracht [19](#page=19) [1](#page=1) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8). ### 1.2 Berekening van veerconstante, massa, amplitude, frequentie en periode De beweging van een massa aan een veer kan worden gekarakteriseerd door de amplitude, de frequentie en de periode. * **Amplitude (A):** De maximale uitwijking vanaf de evenwichtsstand [19](#page=19) [1](#page=1) [6](#page=6) [8](#page=8). * In veel gevallen is de amplitude de extra uitrekking of indrukking die aan de veer wordt gegeven nadat de massa in rust is gebracht in de evenwichtsstand [1](#page=1) [6](#page=6) [8](#page=8). * **Hoekfrequentie ($\omega$):** De hoekfrequentie van de trilling is gerelateerd aan de veerconstante en de massa volgens: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ [19](#page=19) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8) [9](#page=9). Het kan ook worden berekend uit de maximale snelheid ($v_{max}$) en de amplitude ($A$): $\omega = \frac{v_{max}}{A}$ [8](#page=8) [9](#page=9). * **Periode (T):** De tijd die nodig is voor één volledige trilling. De periode is gerelateerd aan de hoekfrequentie door: $T = \frac{2\pi}{\omega}$ [6](#page=6) [7](#page=7). Door substitutie van de uitdrukking voor $\omega$ krijgt men: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ [6](#page=6) [7](#page=7). De tijd tussen het hoogste en laagste punt van de beweging is gelijk aan een halve periode [7](#page=7). * **Frequentie (f):** Het aantal trillingen per seconde. De frequentie is het omgekeerde van de periode: $f = \frac{1}{T}$ [6](#page=6). Dit impliceert ook $f = \frac{\omega}{2\pi}$ [6](#page=6). ### 1.3 Verband tussen energie en beweging Bij trillingen met veren wordt energie omgezet tussen potentiële en kinetische energie. * **Potentiële energie van een veer ($E_{pot,veer}$):** De energie opgeslagen in een uitgerekte of samengedrukte veer wordt gegeven door: $E_{pot,veer} = \frac{1}{2} k y^2$ [16](#page=16) [17](#page=17). waar $y$ de uitwijking is ten opzichte van de ruststand. * **Kinetische energie ($E_k$):** De energie van beweging. $E_k = \frac{1}{2} m v^2$ * **Potentiële energie van zwaartekracht ($E_{pot,zwaartekracht}$):** De energie gerelateerd aan de hoogte. $E_{pot,zwaartekracht} = mgh$ [16](#page=16) [17](#page=17). * **Behoud van energie:** In een wrijvingsloos systeem wordt de totale mechanische energie (som van kinetische en potentiële energie) behouden. Dit principe wordt gebruikt om de hoogte te berekenen die een object bereikt na te zijn weggeschoten door een veer of om de veerconstante te bepalen wanneer een vallend object een veer samendrukt [16](#page=16) [17](#page=17). ### 1.4 Specifieke toepassingen en voorbeelden De principes van trillingen met veren worden toegepast in diverse situaties, zoals: * **Bepalen van mechanische eigenschappen:** Uit gegevens over uitrekking bij een gegeven massa kan de veerconstante worden berekend. Omgekeerd kan de massa worden bepaald als de veerconstante en de bewegingsparameters bekend zijn [19](#page=19) [6](#page=6) [8](#page=8) [9](#page=9). * **Drukventielen:** De werking van drukventielen in stoomketels en -vaten is gebaseerd op veren die bij een bepaalde druk worden ingedrukt, waardoor stoom kan ontsnappen. De veerconstante en de druk waarbij het ventiel opent, zijn gerelateerd via de kracht op het ventieloppervlak en de veerwet [10](#page=10) [11](#page=11). * De kracht die een ventiel opent, wordt berekend als $F = p \cdot A$, waarbij $p$ de overdruk is en $A$ het oppervlak van het afsluitstuk [10](#page=10) [11](#page=11). * De veerconstante kan vervolgens worden berekend met $k = F / \Delta y$ [11](#page=11). * **Voertuighoephanging:** De veren in de ophanging van een wagen dragen het gewicht van de wagen en de passagiers. De doorzakking van de wagen door extra gewicht kan worden berekend met de wet van Hooke, waarbij de totale veerkracht wordt verdeeld over de individuele veren [15](#page=15). * **Dynamische bewegingsanalyse:** De positie van een trillende massa op een bepaald tijdstip kan worden beschreven met een sinus- of cosinusfunctie, afhankelijk van de beginvoorwaarden (beginpositie en beginsnelheid). De algemene vorm van de uitwijking is $y = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$, waarbij $\phi_0$ de beginfase is die bepaald wordt uit de begincondities bij $t=0$ [19](#page=19). > **Tip:** Let goed op de eenheden die in de opgaven worden gebruikt. Zorg ervoor dat alle waarden worden omgerekend naar standaard SI-eenheden (kilogram voor massa, meters voor lengte, seconden voor tijd) voordat je berekeningen uitvoert [15](#page=15) [16](#page=16) [17](#page=17) [19](#page=19) [1](#page=1) [6](#page=6) [7](#page=7) [8](#page=8) [9](#page=9). > **Tip:** Bij het oplossen van problemen waarbij energie wordt omgezet, is het nuttig om alle energiebronnen en -vormen in kaart te brengen en het principe van energiebehoud toe te passen [16](#page=16) [17](#page=17). > **Tip:** De tijd tussen het bovenste en onderste punt van een trilling is altijd een halve periode. Dit is een veelgebruikte manier om de periode indirect te bepalen [7](#page=7). --- # Oplossingen voor slingerbewegingen Dit gedeelte behandelt de berekeningen gerelateerd aan slingers, waaronder de bepaling van de periode, lengte en de maximale snelheid van een slingerende massa [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21) [2](#page=2) [5](#page=5). ### 2.1 Wiskundige slinger en gerelateerde formules Een wiskundige slinger kan worden benaderd met specifieke formules die de relatie tussen de hoeksnelheid ($\omega$), de periode ($T$), de frequentie ($f$), de lengte van de slinger ($l$) en de zwaartekrachtsversnelling ($g$) beschrijven [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21). #### 2.1.1 De hoeksnelheid en periode De hoeksnelheid van een wiskundige slinger is gerelateerd aan de zwaartekrachtsversnelling en de lengte van de slinger door de volgende formule [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21): $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$ De hoeksnelheid is ook gerelateerd aan de periode ($T$) en frequentie ($f$) door de volgende relaties [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21): $$ \omega = \frac{2\pi}{T} $$ $$ \omega = 2\pi f $$ Door deze formules te combineren, kunnen we de volgende relaties afleiden voor de periode en lengte van een slinger [12](#page=12) [13](#page=13) [18](#page=18) [21](#page=21): $$ \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{g}{l}} $$ $$ l = g \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 $$ $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$ **Voorbeeld:** Bepaal de lengte van een slinger met een periode van 0,80 seconden [13](#page=13). Gegeven: $T = 0,80 \, \text{s}$, $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$. Gebruik de formule: $l = g \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2$. $$ l = 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \left( \frac{2\pi}{0,80 \, \text{s}} \right)^2 = 0,1590337 \, \text{m} $$ Het antwoord is $l = 0,159 \, \text{m}$ [13](#page=13). **Voorbeeld:** Bepaal de periode van een slinger als deze 42 centimeter langer wordt gemaakt, gegeven dat de oorspronkelijke frequentie 0,735 Hz was [18](#page=18). Eerst bepalen we de oorspronkelijke lengte van de slinger met $f = 0,735 \, \text{Hz}$ en $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$. $$ 2\pi f = \sqrt{\frac{g}{l}} $$ $$ \frac{g}{l} = (2\pi f)^2 $$ $$ l = \frac{g}{(2\pi f)^2} = \frac{9,81 \, \text{m/s}^2}{(2\pi \cdot 0,735 \, \text{Hz})^2} = 0,459975 \, \text{m} $$ De slinger wordt 42 cm langer gemaakt, dus de nieuwe lengte is $l_{\text{nieuw}} = 0,459975 \, \text{m} + 0,42 \, \text{m} = 0,8799754 \, \text{m}$. Nu berekenen we de nieuwe periode met de nieuwe lengte: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l_{\text{nieuw}}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,8799754 \, \text{m}}{9,81 \, \text{m/s}^2}} = 1,88131 \, \text{s} $$ Het antwoord is $T = 1,88 \, \text{s}$ [18](#page=18). ### 2.2 Maximale snelheid van een slingerende massa De maximale snelheid ($v_{\text{max}}$) van een slingerende massa treedt op in de evenwichtspositie en is gerelateerd aan de amplitude ($A$) en de hoeksnelheid ($\omega$) door de volgende formule [20](#page=20) [21](#page=21): $$ v_{\text{max}} = A \cdot \omega $$ Hierbij is de amplitude ($A$) de maximale uitwijking vanuit de evenwichtspositie. Deze uitwijking kan worden uitgedrukt in termen van de straal (de lengte van de slinger $l$) en de maximale hoek ($\theta$) als een booglengte: $$ A = r \cdot \theta $$ waarbij $r = l$. Als de beginpositie van de slinger een bepaalde hoogte heeft, kan de amplitude ook worden bepaald door de kinetische energie in de evenwichtspositie gelijk te stellen aan de potentiële energie op de maximale uitwijking, of door de uitwijking als een booglengte te berekenen uit de beginhoogte of de initiële hoek. **Voorbeeld:** Bepaal de hoek waarover een slinger van 1,28 meter lengte moet worden uitgetrokken, zodat de maximale snelheid in de evenwichtspositie 1,58 m/s is [20](#page=20). Gegeven: $l = 1,28 \, \text{m}$, $v_{\text{max}} = 1,58 \, \text{m/s}$, $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$. Eerst bepalen we de hoeksnelheid $\omega$: $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,81 \, \text{m/s}^2}{1,28 \, \text{m}}} = 2,768404 \, \text{s}^{-1} $$ Vervolgens bepalen we de amplitude $A$ met $v_{\text{max}} = A \cdot \omega$: $$ A = \frac{v_{\text{max}}}{\omega} = \frac{1,58 \, \text{m/s}}{2,768404 \, \text{s}^{-1}} = 0,570726 \, \text{m} $$ Nu berekenen we de hoek $\theta$ waarover de massa is uitgetrokken, gebruikmakend van $A = r \cdot \theta$: $$ \theta = \frac{A}{r} = \frac{0,570726 \, \text{m}}{1,28 \, \text{m}} = 0,44588 \, \text{rad} $$ Omzetten naar graden: $$ 0,44588 \, \text{rad} \cdot \frac{180^\circ}{\pi \, \text{rad}} = 25,547^\circ $$ Het antwoord is $25,547^\circ$ of $25^\circ 32' 49''$ [20](#page=20). **Voorbeeld:** Een slinger met een lengte van 87,3 cm en een massa van 237 g wordt 42,6 cm opzij getrokken en losgelaten. Bepaal de periode en de maximale snelheid [21](#page=21). Gegeven: $l = 87,3 \, \text{cm} = 0,873 \, \text{m}$, initiële uitwijking = 42,6 cm. a) Bepaal de periode ($T$): $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,873 \, \text{m}}{9,81 \, \text{m/s}^2}} = 1,87436 \, \text{s} $$ De periode is $T \approx 1,87 \, \text{s}$ [21](#page=21). b) Bepaal de maximale snelheid ($v_{\text{max}}$): Eerst berekenen we de hoeksnelheid $\omega$: $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,81 \, \text{m/s}^2}{0,873 \, \text{m}}} = 3,35218 \, \text{s}^{-1} $$ Om de amplitude $A$ te bepalen, gebruiken we de initiële uitwijking. De relatie tussen de initiële hoek $\theta_{\text{initieel}}$ en de booglengte van de uitwijking is $A = l \cdot \theta_{\text{initieel}}$. We kunnen $\theta_{\text{initieel}}$ vinden door te kijken naar de initiële uitwijking als een deel van de lengte. Als we de initiële uitwijking van 42,6 cm beschouwen als een booglengte $A$, dan is de hoek $\theta_{\text{initieel}} = A/l$. Echter, de berekening in het document gebruikt $\sin(\theta_{\text{initieel}}) = \frac{\text{uitwijking}}{l}$. Dit impliceert dat de 42,6 cm een horizontale afstand is, en niet een booglengte. In dit geval wordt de hoek $\theta_{\text{initieel}}$ als volgt berekend: $$ \sin(\theta_{\text{initieel}}) = \frac{42,6 \, \text{cm}}{87,3 \, \text{cm}} = 0,4879725 $$ $$ \theta_{\text{initieel}} = \arcsin(0,4879725) = 0,509765 \, \text{rad} $$ De amplitude (booglengte) is dan: $$ A = l \cdot \theta_{\text{initieel}} = 0,873 \, \text{m} \cdot 0,509765 \, \text{rad} = 0,4450252 \, \text{m} $$ Nu de maximale snelheid: $$ v_{\text{max}} = A \cdot \omega = 0,4450252 \, \text{m} \cdot 3,35218 \, \text{s}^{-1} = 1,4918 \, \text{m/s} $$ De maximale snelheid is $v_{\text{max}} \approx 1,49 \, \text{m/s}$ [21](#page=21). > **Tip:** Bij het berekenen van de maximale snelheid van een slinger is het cruciaal om de amplitude correct te bepalen. Vaak wordt de amplitude gegeven als een booglengte, maar soms moet deze worden afgeleid uit een initiële hoek of een horizontale afstand. ### 2.3 Voorbeelden uit het document Enkele voorbeelden uit het document illustreren de toepassing van deze formules [12](#page=12) [13](#page=13) [15](#page=15) [18](#page=18) [20](#page=20) [21](#page=21) [2](#page=2) [5](#page=5). * Een massa van 0,5 kg aan een slinger moet een lengte van 0,99396 m hebben om een periode van 2 s te hebben [12](#page=12). * Een slinger met een lengte van 1,28 m en een massa van 168 g vereist een hoek van 25,547° voor een maximale snelheid van 1,58 m/s [20](#page=20). * Een slinger met een lengte van 87,3 cm en een massa van 237 g heeft een periode van 1,87 s en een maximale snelheid van 1,49 m/s wanneer deze 42,6 cm opzij wordt getrokken [21](#page=21). --- # Toepassingen van veren en slingers in voertuigen en ventielen Deze sectie analyseert de toepassing van veersystemen en drukventielen in voertuigen en stoomketels, inclusief de berekening van frequenties en benodigde veerconstanten. ### 3.1 Veersystemen in voertuigen Voertuigen maken gebruik van veersystemen voor de ophanging, wat essentieel is voor comfort en rijgedrag. De ophanging van een wagen kan worden gemodelleerd als een veersysteem. #### 3.1.1 Berekening van de frequentie van de ophanging De frequentie waarmee een wagen op en neer veert, kan worden berekend met behulp van de massa van de wagen (inclusief inzittenden) en de gecombineerde veerconstante van de veringen. Aangenomen wordt dat elke veer dezelfde belasting draagt. De formule voor de frequentie ($f$) van een trillend systeem is afgeleid van de hoekfrequentie $\omega$: $$ \omega = 2\pi T = 2\pi f $$ En ook: $$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$ Waar $k$ de totale effectieve veerconstante is en $m$ de massa. Door deze gelijk te stellen, verkrijgen we: $$ 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{m}} $$ En de frequentie $f$ wordt dan: $$ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $$ **Voorbeeld:** Een wagen met een massa van 1280 kg (inclusief twee personen) heeft vier veringen, elk met een krachtconstante van $1,25 \times 10^4$ N/m. De massa die aan elke veer wordt toebedeeld, is $1/4$ van de totale massa, dus 320 kg. De frequentie waarmee de wagen op en neer veert bij het rijden over een drempel van 12,5 cm hoog, is [14](#page=14): $$ f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1,25 \times 10^4 \text{ N/m}}{320 \text{ kg}}} \approx 0,995 \text{ Hz} $$ #### 3.1.2 Berekening van de doorzakking van de wagen Bij het instappen van personen neemt de totale massa van de wagen toe, wat resulteert in een extra doorzakking van de vering. Deze doorzakking kan worden berekend met behulp van de Wet van Hooke ($F = k \cdot \Delta y$). De extra kracht op elke veer is een deel van het totale gewicht van de extra personen. Als de massa van de personen $m_p$ is en er vier veren zijn, dan is de extra kracht per veer $F_{\text{extra}} = \frac{m_p \cdot g}{4}$. De doorzakking $\Delta y$ kan dan worden berekend als $\Delta y = \frac{F_{\text{extra}}}{k_{\text{veer}}}$. **Voorbeeld:** Een wagen met een massa van 1175 kg heeft vier veren met een veerconstante van $1,10 \times 10^4$ N/m. Als er drie personen met een totale massa van 244 kg instappen, is de extra kracht per veer [15](#page=15): $$ G = \frac{244 \text{ kg} \cdot 9,81 \text{ m/s}^2}{4} = 598,41 \text{ N} $$ Volgens de Wet van Hooke, $F = k \cdot \Delta y$, wordt de doorzakking $\Delta y$ berekend als: $$ \Delta y = \frac{598,41 \text{ N}}{1,10 \times 10^4 \text{ N/m}} = 0,0544 \text{ m} $$ Dit komt overeen met 5,44 cm [15](#page=15). ### 3.2 Drukventielen in stoomketels Drukventielen, essentieel voor de veiligheid van stoomketels en stoomvaten, maken gebruik van veren om de druk te reguleren. Wanneer de druk in het vat te hoog wordt, wordt een veer ingedrukt, waardoor een afsluitstuk omhoog gaat en stoom kan ontsnappen. #### 3.2.1 Berekening van de openingsdruk van een ventiel De druk waarbij een ventiel opent, is gerelateerd aan de kracht die nodig is om de veer een bepaalde afstand in te drukken, en de oppervlakte waarop de druk werkt. De kracht die de veer moet overwinnen is $F = k \cdot \Delta y$, waar $k$ de veerconstante is en $\Delta y$ de doorbuiging van de veer op het moment van openen. De druk $p$ wordt berekend met de formule $p = F/A$, waarbij $A$ het oppervlak van het afsluitstuk is. Het oppervlak wordt berekend met $A = \pi r^2$, waar $r$ de straal van het afsluitstuk is [10](#page=10). **Voorbeeld 1:** Een ventiel met een veerconstante van 2450 N/m moet een doorbuiging van 4,0 cm (0,04 m) weerstaan voordat stoom kan ontsnappen. Het afsluitstuk heeft een diameter van 2,4 cm (straal van 0,012 m). De kracht die de veer ondervindt is [10](#page=10): $$ F = 2450 \text{ N/m} \cdot 0,04 \text{ m} = 98 \text{ N} $$ De druk waarbij de stoom ontsnapt is: $$ p = \frac{98 \text{ N}}{\pi \cdot (0,012 \text{ m})^2} \approx 216627,56 \text{ Pa} $$ Dit komt overeen met ongeveer 216 kPa [10](#page=10). **Voorbeeld 2:** Een drukventiel met een diameter van 1,905 cm (straal van 0,009525 m) moet openen als de druk 2,1 bar (210000 Pa) hoger is dan atmosferische druk. Het ventiel opent als de veer 2,7 cm (0,027 m) wordt ingedrukt. De kracht die op de veer wordt uitgeoefend bij deze druk is [11](#page=11): $$ F = p \cdot A = 210000 \text{ Pa} \cdot \pi \cdot (0,009525 \text{ m})^2 \approx 59,854821 \text{ N} $$ De vereiste veerconstante $k$ wordt dan berekend met de Wet van Hooke: $$ k = \frac{F}{\Delta y} = \frac{59,854821 \text{ N}}{0,027 \text{ m}} \approx 2216,845 \text{ N/m} $$ ### 3.3 Slingers Slingers, in dit geval wiskundige slingers, worden ook toegepast en hun gedrag wordt bepaald door hun lengte en de massa die eraan hangt. #### 3.3.1 Berekening van de lengte van een slinger De periode van een wiskundige slinger ($T$) wordt bepaald door de lengte ($l$) van de slinger en de versnelling van de zwaartekracht ($g$). De formule hiervoor is: $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$ Om de lengte te bepalen, kunnen we deze formule herschikken: $$ \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}} $$ $$ \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{l}{g} $$ $$ l = g \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 $$ **Voorbeeld 1:** Om een slinger met een massa van 0,5 kg een periode van 2 seconden te geven, moet de lengte van de slinger zijn (met $g \approx 9,81$ m/s²): $$ l = 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot \left(\frac{2 \text{ s}}{2\pi}\right)^2 \approx 0,99396 \text{ m} $$ **Voorbeeld 2:** Een massa van 230 g wordt 6,2 cm opzij getrokken vanaf de verticale evenwichtspositie en losgelaten, wat resulteert in een slingerbeweging met een periode van 0,80 s. De lengte van het touw ($l$) wordt berekend met de herschikte formule [3](#page=3): $$ l = 9,81 \text{ m/s}^2 \cdot \left(\frac{0,80 \text{ s}}{2\pi}\right)^2 \approx 0,159 \text{ m} $$ #### 3.3.2 Berekening van de massa van een massa-veersysteem De massa die aan een veer hangt en trilt, kan worden bepaald aan de hand van de amplitude van de trilling, de snelheid door de evenwichtspositie en de veerconstante. Voor een massa-veer systeem geldt dat de maximale potentiële energie gelijk is aan de maximale kinetische energie. De relatie tussen de amplitude ($A$), de snelheid door de evenwichtspositie ($v_{\text{max}}$), de massa ($m$) en de veerconstante ($k$) is: $$ \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 $$ Dit kan worden herschikt om de massa te vinden: $$ m = k \left(\frac{A}{v_{\text{max}}}\right)^2 $$ **Voorbeeld:** Een massa hangt aan een veer met een amplitude van 5 cm (0,05 m) en gaat met een snelheid van 0,8 m/s door haar evenwichtstand. De veerconstante $k$ is 30 N/m. De massa die aan de veer hangt, is [2](#page=2): $$ m = 30 \text{ N/m} \cdot \left(\frac{0,05 \text{ m}}{0,8 \text{ m/s}}\right)^2 = 30 \cdot (0,0625)^2 = 30 \cdot 0,00390625 = 0,1171875 \text{ kg} $$ Dit komt overeen met 117,1875 gram [2](#page=2). --- ## Veelgemaakte fouten om te vermijden - Bestudeer alle onderwerpen grondig voor examens - Let op formules en belangrijke definities - Oefen met de voorbeelden in elke sectie - Memoriseer niet zonder de onderliggende concepten te begrijpen

| Term | Definition | |------|------------| | Amplitude | De maximale uitwijking van een trillend voorwerp vanuit de evenwichtspositie. Het is de afstand van het midden van de beweging tot het toppunt of dal van de golf. | | Frequentie | Het aantal volledige trillingen dat per seconde wordt uitgevoerd. De eenheid van frequentie is Hertz (Hz), wat overeenkomt met trillingen per seconde. | | Periode | De tijd die nodig is voor één volledige trilling. Het is de omgekeerde waarde van de frequentie en wordt uitgedrukt in seconden (s). | | Veerconstante | Een maat voor de stijfheid van een veer, aangeduid met $k$. Een hogere veerconstante betekent dat er meer kracht nodig is om de veer in te drukken of uit te rekken. De eenheid is Newton per meter (N/m). | | Harmonische beweging | Een specifieke vorm van periodieke beweging waarbij de terugkerende kracht recht evenredig is met de verplaatsing uit de evenwichtspositie en tegengesteld gericht is. | | Evenwichtspositie | De positie waarin een object zich bevindt wanneer er geen resulterende kracht op werkt, waardoor het stilstaat of met constante snelheid beweegt. Bij een trillend systeem is dit het punt waar de netto kracht nul is. | | Wiskundige slinger | Een geïdealiseerd model van een slinger, bestaande uit een puntmassa die aan een massaloos, onrekbaar touw hangt. De beweging van een wiskundige slinger wordt beschreven door een specifieke vergelijking. | | Potentiële energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn positie of toestand. Bij een veer is dit de opgeslagen energie door in- of uitdrukken, en bij een slinger is het de energie door de hoogte. | | Kinetische energie | De energie die een voorwerp bezit vanwege zijn beweging. Dit is de energie van massa in beweging en wordt bepaald door zowel de massa als de snelheid van het voorwerp. | | Behoud van energie | Een fundamenteel natuurkundig principe dat stelt dat de totale energie in een geïsoleerd systeem constant blijft; energie kan niet worden gecreëerd of vernietigd, alleen worden omgezet van de ene vorm naar de andere. | | Druk | De kracht die per eenheid van oppervlakte wordt uitgeoefend. In het geval van een gas of vloeistof is dit de kracht die het medium uitoefent op de wanden van een vat of een oppervlak. De eenheid is Pascal (Pa) of bar. | | Diameter | De afstand over een cirkel door het middelpunt. Het is tweemaal de straal van de cirkel en wordt vaak gebruikt om de grootte van ronde objecten te specificeren. | | Straal | De afstand van het middelpunt van een cirkel tot elk punt op de omtrek. De diameter is twee keer de straal. | | Hoek | Een maat voor de rotatie tussen twee lijnen die samenkomen in een punt. Hoeken worden gemeten in graden of radialen. | | Radiaal | Een eenheid voor het meten van hoeken, waarbij een volledige cirkel gelijk is aan $2\pi$ radialen. Eén radiaal is de hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal van de cirkel. |